爱因斯坦模型是一种固体模型，基于三种假设：

晶格中的每一个原子都是三维量子谐振子；
原子不互相作用；
所有的原子都以相同的频率振动（与德拜模型不同）。
第一个假设是相当准确的，而第二个假设则不是。如果原子真的不互相作用，那么声波就不会在固体内传播。


历史上的影响 原先的理论是由爱因斯坦在1907年提出的，具有很大的历史相关性。由杜隆-珀蒂定律所预言的固体的热容已经知道是与经典力学一致的。然而，低温下的实验观察表明，热容在绝对零度时趋于零，在高温时单调增加到杜隆-珀蒂定律的预言。利用普朗克的量子化假设，爱因斯坦第一次能够预言所观察到的实验趋势。与光电效应在一起，这成为需要量子化的最重要的证据之一（值得注意的是，爱因斯坦是在现代量子力学的出现的许多年之前解决了量子谐振子问题）。尽管它成功了，但是爱因斯坦却错误预言为指数趋近于零，而正确的表现则是遵守
  
    
      
        
          T
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{3}}
  
幂定律。这个缺陷后来由德拜模型在1912年纠正。


热容（微正则系综） 恒定体积V的物体的热容，通过内能U定义为：

  
    
      
        
          C
          
            V
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  T
                
              
            
            )
          
          
            V
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle C_{V}=\left({\partial U \over \partial T}\right)_{V}.}
  

  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
是系统的温度，可以从熵求出：

  
    
      
        
          
            1
            T
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              U
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {1 \over T}={\partial S \over \partial U}.}
  

为了求出熵，考虑由
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
个原子所组成的固体，每一个原子都有3个自由度。因此，总共有
  
    
      
        3
        N
      
    
    {\displaystyle 3N}
  
个量子谐振子（以下称SHO）。

  
    
      
        
          N
          
            ′
          
        
        =
        3
        N
      
    
    {\displaystyle N^{\prime }=3N}
  

SHO的可能的能量为：

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        ℏ
        ω
        
          (
          
            n
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)}
  

或者说，能级是均匀分隔的，我们可以定义能量的量子：

  
    
      
        ε
        =
        ℏ
        ω
      
    
    {\displaystyle \varepsilon =\hbar \omega }
  

它是SHO的能量可以增长的最小的，也是唯一的数量。接着，我们必须计算系统的多重性。也就是说，计算有多少种方法把
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
个能量量子分布在
  
    
      
        
          N
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle N^{\prime }}
  
个SHO。我们可以想象把
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
个石头分布在
  
    
      
        
          N
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle N^{\prime }}
  
个盒子中：

或把一堆石头分成
  
    
      
        
          N
          
            ′
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle N^{\prime }-1}
  
份：

或把
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
个石头和
  
    
      
        
          N
          
            ′
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle N^{\prime }-1}
  
个划分排成一行：

最后一个图最能说明问题。把
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 样东西排成一行，有
  
    
      
        n
        !
      
    
    {\displaystyle n!}
  
 种方法。因此，把
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
个石头和
  
    
      
        
          N
          
            ′
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle N^{\prime }-1}
  
个划分排成一行的方法有
  
    
      
        
          (
          
            q
            +
            
              N
              
                ′
              
            
            −
            1
          
          )
        
        !
      
    
    {\displaystyle \left(q+N^{\prime }-1\right)!}
  
 种，然而，如果把第2个划分和第5个划分互换位置，是没有任何不同的。相同的理由对量子也成立。为了得出可能的不可区分的排列方法，我们必须把排列的总数除以不可区分的排列的数目。一共有
  
    
      
        q
        !
      
    
    {\displaystyle q!}
  
种相同的量子排列，以及
  
    
      
        (
        
          N
          
            ′
          
        
        −
        1
        )
        !
      
    
    {\displaystyle (N^{\prime }-1)!}
  
 种相同的划分排列。因此，系统的多重性为：

  
    
      
        Ω
        =
        
          
            
              
                (
                
                  q
                  +
                  
                    N
                    
                      ′
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
              !
            
            
              q
              !
              (
              
                N
                
                  ′
                
              
              −
              1
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega ={\left(q+N^{\prime }-1\right)! \over q!(N^{\prime }-1)!}}
  

正如上面所提及的，这就是把
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
个能量量子放在
  
    
      
        
          N
          
            ′
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle N^{\prime }-1}
  
个谐振子中的方法数目。系统的熵具有下列形式：

  
    
      
        S
        
          /
        
        k
        =
        ln
        ⁡
        Ω
        =
        ln
        ⁡
        
          
            
              
                (
                
                  q
                  +
                  
                    N
                    
                      ′
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
              !
            
            
              q
              !
              (
              
                N
                
                  ′
                
              
              −
              1
              )
              !
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle S/k=\ln \Omega =\ln {\left(q+N^{\prime }-1\right)! \over q!(N^{\prime }-1)!}.}
  

  
    
      
        
          N
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle N^{\prime }}
  
是一个很大的数，把它减去一总体上没有任何影响：

  
    
      
        S
        
          /
        
        k
        ≈
        ln
        ⁡
        
          
            
              
                (
                
                  q
                  +
                  
                    N
                    
                      ′
                    
                  
                
                )
              
              !
            
            
              q
              !
              
                N
                
                  ′
                
              
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S/k\approx \ln {\left(q+N^{\prime }\right)! \over q!N^{\prime }!}}
  

利用斯特灵公式的帮助，熵可以简化：

  
    
      
        S
        
          /
        
        k
        ≈
        
          (
          
            q
            +
            
              N
              
                ′
              
            
          
          )
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            q
            +
            
              N
              
                ′
              
            
          
          )
        
        −
        
          N
          
            ′
          
        
        ln
        ⁡
        
          N
          
            ′
          
        
        −
        q
        ln
        ⁡
        q
        .
      
    
    {\displaystyle S/k\approx \left(q+N^{\prime }\right)\ln \left(q+N^{\prime }\right)-N^{\prime }\ln N^{\prime }-q\ln q.}
  

固体的总能量为：

  
    
      
        U
        =
        
          
            
              
                N
                
                  ′
                
              
              ε
            
            2
          
        
        +
        q
        ε
        .
      
    
    {\displaystyle U={N^{\prime }\varepsilon  \over 2}+q\varepsilon .}
  

我们现在来计算温度：

  
    
      
        
          
            1
            T
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              U
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              q
            
          
        
        
          
            
              d
              q
            
            
              d
              U
            
          
        
        =
        
          
            1
            ε
          
        
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              q
            
          
        
        =
        
          
            k
            ε
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            1
            +
            
              N
              
                ′
              
            
            
              /
            
            q
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {1 \over T}={\partial S \over \partial U}={\partial S \over \partial q}{dq \over dU}={1 \over \varepsilon }{\partial S \over \partial q}={k \over \varepsilon }\ln \left(1+N^{\prime }/q\right)}
  

把这个公式两边取倒数，以求出U：

  
    
      
        U
        =
        
          
            
              
                N
                
                  ′
                
              
              ε
            
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                N
                
                  ′
                
              
              ε
            
            
              
                e
                
                  ε
                  
                    /
                  
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle U={N^{\prime }\varepsilon  \over 2}+{N^{\prime }\varepsilon  \over e^{\varepsilon /kT}-1}.}
  

两边关于温度求导，以求出
  
    
      
        
          C
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{V}}
  
：

  
    
      
        
          C
          
            V
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              U
            
            
              ∂
              T
            
          
        
        =
        
          
            
              
                N
                
                  ′
                
              
              
                ε
                
                  2
                
              
            
            
              k
              
                T
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            
              e
              
                ε
                
                  /
                
                k
                T
              
            
            
              
                (
                
                  
                    e
                    
                      ε
                      
                        /
                      
                      k
                      T
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{V}={\partial U \over \partial T}={N^{\prime }\varepsilon ^{2} \over kT^{2}}{e^{\varepsilon /kT} \over \left(e^{\varepsilon /kT}-1\right)^{2}}}
  

或

  
    
      
        
          C
          
            V
          
        
        =
        3
        N
        k
        
          
            (
            
              
                ε
                
                  k
                  T
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
          
            
              e
              
                ε
                
                  /
                
                k
                T
              
            
            
              
                (
                
                  
                    e
                    
                      ε
                      
                        /
                      
                      k
                      T
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\varepsilon  \over kT}\right)^{2}{e^{\varepsilon /kT} \over \left(e^{\varepsilon /kT}-1\right)^{2}}}
  

虽然固体的爱因斯坦模型准确预言高温时的热容，在低温时与实验值仍有明显的差距。关于低温时准确的热容计算，参见德拜模型。


热容（正则系综） 热容可以通过利用SHO的正则配分函数来获得。

  
    
      
        Z
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            
              E
              
                n
              
            
            
              /
            
            k
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-E_{n}/kT}}
  

其中

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        ε
        
          (
          
            n
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}=\varepsilon \left(n+{1 \over 2}\right)}
  

把该式代入配分函数的公式，得：

  
    
      
        
          
            
              
                Z
              
              
                
                

                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  e
                  
                    −
                    ε
                    
                      (
                      
                        n
                        +
                        1
                        
                          /
                        
                        2
                      
                      )
                    
                    
                      /
                    
                    k
                    T
                  
                
                =
                
                  e
                  
                    −
                    ε
                    
                      /
                    
                    2
                    k
                    T
                  
                
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  e
                  
                    −
                    n
                    ε
                    
                      /
                    
                    k
                    T
                  
                
                =
                
                  e
                  
                    −
                    ε
                    
                      /
                    
                    2
                    k
                    T
                  
                
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      e
                      
                        −
                        ε
                        
                          /
                        
                        k
                        T
                      
                    
                    )
                  
                  
                    n
                  
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      e
                      
                        −
                        ε
                        
                          /
                        
                        2
                        k
                        T
                      
                    
                    
                      1
                      −
                      
                        e
                        
                          −
                          ε
                          
                            /
                          
                          k
                          T
                        
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      
                        e
                        
                          ε
                          
                            /
                          
                          2
                          k
                          T
                        
                      
                      −
                      
                        e
                        
                          −
                          ε
                          
                            /
                          
                          2
                          k
                          T
                        
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      sinh
                      ⁡
                      
                        (
                        
                          
                            ε
                            
                              2
                              k
                              T
                            
                          
                        
                        )
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}Z&{}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\varepsilon \left(n+1/2\right)/kT}=e^{-\varepsilon /2kT}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\varepsilon /kT}=e^{-\varepsilon /2kT}\sum _{n=0}^{\infty }\left(e^{-\varepsilon /kT}\right)^{n}\\&{}={e^{-\varepsilon /2kT} \over 1-e^{-\varepsilon /kT}}={1 \over e^{\varepsilon /2kT}-e^{-\varepsilon /2kT}}={1 \over 2\sinh \left({\varepsilon  \over 2kT}\right)}.\end{aligned}}}
  

这是一个SHO的配分函数。因为，统计上来说，固体的热容、能量，以及熵，都是在它的原子（SHO）中均匀分布的，因此我们可以利用这个配分函数来获得这些物理量，然后直接把它们乘以
  
    
      
        
          N
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle N^{\prime }}
  
以得出总量。接着，我们来计算每一个谐振子的平均能量：

  
    
      
        ⟨
        E
        ⟩
        =
        u
        =
        −
        
          
            1
            Z
          
        
        
          ∂
          
            β
          
        
        Z
      
    
    {\displaystyle \langle E\rangle =u=-{1 \over Z}\partial _{\beta }Z}
  

其中

  
    
      
        β
        =
        
          
            1
            
              k
              T
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \beta ={1 \over kT}.}
  

因此：

  
    
      
        u
        =
        −
        2
        sinh
        ⁡
        
          (
          
            
              ε
              
                2
                k
                T
              
            
          
          )
        
        
          
            
              −
              cosh
              ⁡
              
                (
                
                  
                    ε
                    
                      2
                      k
                      T
                    
                  
                
                )
              
            
            
              2
              
                sinh
                
                  2
                
              
              ⁡
              
                (
                
                  
                    ε
                    
                      2
                      k
                      T
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        
          
            ε
            2
          
        
        =
        
          
            ε
            2
          
        
        coth
        ⁡
        
          (
          
            
              ε
              
                2
                k
                T
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle u=-2\sinh \left({\varepsilon  \over 2kT}\right){-\cosh \left({\varepsilon  \over 2kT}\right) \over 2\sinh ^{2}\left({\varepsilon  \over 2kT}\right)}{\varepsilon  \over 2}={\varepsilon  \over 2}\coth \left({\varepsilon  \over 2kT}\right).}
  

于是，一个谐振子的热容为：

  
    
      
        
          C
          
            V
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              U
            
            
              ∂
              T
            
          
        
        =
        −
        
          
            ε
            2
          
        
        
          
            1
            
              
                sinh
                
                  2
                
              
              ⁡
              
                (
                
                  
                    ε
                    
                      2
                      k
                      T
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        
          (
          
            −
            
              
                ε
                
                  2
                  k
                  
                    T
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        k
        
          
            (
            
              
                ε
                
                  2
                  k
                  T
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
          
            1
            
              
                sinh
                
                  2
                
              
              ⁡
              
                (
                
                  
                    ε
                    
                      2
                      k
                      T
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle C_{V}={\partial U \over \partial T}=-{\varepsilon  \over 2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon  \over 2kT}\right)}\left(-{\varepsilon  \over 2kT^{2}}\right)=k\left({\varepsilon  \over 2kT}\right)^{2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon  \over 2kT}\right)}.}
  

整个固体的热容由
  
    
      
        
          C
          
            V
          
        
        =
        3
        N
        
          C
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{V}=3NC_{V}}
  
给出：

  
    
      
        
          C
          
            V
          
        
        =
        3
        N
        k
        
          
            (
            
              
                ε
                
                  2
                  k
                  T
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
          
            1
            
              
                sinh
                
                  2
                
              
              ⁡
              
                (
                
                  
                    ε
                    
                      2
                      k
                      T
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\varepsilon  \over 2kT}\right)^{2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon  \over 2kT}\right)}.}
  

它与前面推导的公式是相等的。
物理量
  
    
      
        
          T
          
            E
          
        
        =
        ε
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle T_{E}=\varepsilon /k}
  
的量纲是温度，是晶体的一个特有的性质。它称为“爱因斯坦温度”。因此，爱因斯坦晶体模型预言晶体的能量和热容是无量纲比率
  
    
      
        T
        
          /
        
        
          T
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle T/T_{E}}
  
的通用函数。类似地，德拜模型预言了比率
  
    
      
        T
        
          /
        
        
          T
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle T/T_{D}}
  
的通用函数。


参考文献 "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Warme", A. Einstein, Annalen der Physik, volume 22, pp. 180-190, 1907.