在物理学中，角动量是与物体的位置向量和动量相关的物理量。對於某慣性參考系的原點
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {O} }
  
，物體的角動量是物体的位置向量和动量的叉積，通常写做
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
。角动量是向量，且是一贗矢量。

  
    
      
        
          L
        
        =
        
          r
        
        ×
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
  

其中，
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
表示物体的位置向量，
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
表示角动量。
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
表示动量。角動量
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
又可寫為：

  
    
      
        
          L
        
        =
        
          r
        
        ×
        
          p
        
        =
        
          r
        
        ×
        (
        m
        
          v
        
        )
        =
        
          r
        
        ×
        (
        
          ω
        
        ×
        (
        m
        
          r
        
        )
        )
        =
        m
        
          r
          
            2
          
        
        
          ω
        
        =
        I
        
          ω
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m\mathbf {v} )=\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times (m\mathbf {r} ))=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I{\boldsymbol {\omega }}}
  

其中，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
表示質點的转动惯量，
  
    
      
        
          ω
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
  
是角速度向量。
假設作用於物體的外力矩和為零，則物體的角动量是守恒的。需要注意的是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。
當物體的運動狀態（動量）發生變化，則表示物體受力作用，而作用力大小就等於動量
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
的時變率：
  
    
      
        
          F
        
        =
        
          
            
              d
              
                P
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{dt}}}
  

當物體的轉動狀態發生改變時，表示物體受到力矩作用，而力矩就等於角動量的時變率：
  
    
      
        
          τ
        
        =
        
          
            
              d
              
                L
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}}
  

若物體（或系統）所受外力矩和為零，則物體（系統）的角動量守恆。例如靜電力或萬有引力均是徑向力，因此不會產生力矩。行星運動的交互作用力源自於萬有引力，故行星運動滿足角動量守恆，所對應的就是开普勒定律中的第二定律。

需要特別說明的是，動量
  
    
      
        
          P
        
        ≡
        m
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} \equiv m\mathbf {v} }
  
，也就是說，動量的方向和速度的方向一致。
伽利略·伽利萊首先引入角動量守恆的概念。


角動量量子化 在量子力學裡角動量是量子化的：系統的角動量不能任意地取某實數值而只能取以約化普朗克常数
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  
為單位整數或半整數倍。粒子的運動軌道造成的角動量必須取
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  
的整數倍。另外實驗證明大部分亞原子粒子都拥有一種和運動無關的先天角動量叫自旋。自旋以
  
    
      
        
          
            ℏ
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}}
  
的倍數出現。


= 量子化角動量和不确定性原理 =
角動量是位移與動量的矢量積。而量子力學裡位移與同方向動量是非對易的因此各獨立方向的角動量分别非對易：

  
    
      
        [
        
          L
          
            i
          
        
        ,
        
          L
          
            j
          
        
        ]
        =
        i
        ℏ
        
          ϵ
          
            i
            j
            k
          
        
        
          L
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
  

  
    
      
        
          ϵ
          
            i
            j
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{ijk}}
  
是列維-奇維塔符號。

  
    
      
        [
        A
        ,
        B
        ]
        =
        A
        B
        −
        B
        A
      
    
    {\displaystyle [A,B]=AB-BA}
  
是交換子。
根据海森堡不確定原理非對易的物理量不能同時測準。因此角動量矢量的各方向部可以各自但不能同時确定。雖然如此但是角動量矢量的長度是可和任意一部同時确定：

  
    
      
        
          [
          
            
              L
              
                i
              
            
            ,
            
              L
              
                2
              
            
          
          ]
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left[L_{i},L^{2}\right]=0}
  

因此算符
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{2}}
  
和
  
    
      
        
          L
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{z}}
  
（任選一方向為z）有共同的特徵波函數。
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{2}}
  
在球座標系表現為：

  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}
  

其中
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是位移與
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
軸夹角，
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
是繞
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
軸旋轉的角度。
它和
  
    
      
        
          L
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{z}}
  
的共同特徵函數

  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        
          |
        
        l
        ,
        m
        ⟩
        =
        
          
            ℏ
          
          
            2
          
        
        l
        (
        l
        +
        1
        )
        
          |
        
        l
        ,
        m
        ⟩
      
    
    {\displaystyle L^{2}|l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|l,m\rangle }
  

  
    
      
        
          L
          
            z
          
        
        
          |
        
        l
        ,
        m
        ⟩
        =
        ℏ
        m
        
          |
        
        l
        ,
        m
        ⟩
      
    
    {\displaystyle L_{z}|l,m\rangle =\hbar m|l,m\rangle }
  

是球諧函數：

  
    
      
        ⟨
        θ
        ,
        ϕ
        
          |
        
        l
        ,
        m
        ⟩
        =
        
          Y
          
            l
            ,
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle \langle \theta ,\phi |l,m\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )}
  

  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
是某非負整數。
  
    
      
        −
        l
        ≤
        m
        ≤
        l
      
    
    {\displaystyle -l\leq m\leq l}
  
是絕對值不大於
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
的整數。


= 能量均分與角動量量子化 =
經典力學內角動量是可以取任意連續值會導致熱力學上一些吊詭。角動量量子化給這些問題完美的答案，這也是角動量量子化有其必要性的證據之一。
在熱力學裡平均能量和系統自由度有關。例如忽略内部結构的單原子分子組成的理想氣體平均能量是
  
    
      
        
          
            E
            N
          
        
        =
        
          
            3
            2
          
        
        
          k
          
            
              B
            
          
        
        T
      
    
    {\displaystyle {\frac {E}{N}}={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T}
  
：三維空間運動的分子的每個獨立運動方向分别給予平均能量
  
    
      
        
          
            
              
                k
                
                  
                    B
                  
                
              
              T
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2}}}
  
。這是能量均分定理。
假設除了三維的平移運動，氣體的分子是由两種原子組成。而原子可以相互環繞運動。為了簡化問題假設所有分子的原子對只能環繞z軸運動。它們旋轉的動能量是：

  
    
      
        E
        =
        
          
            
              L
              
                z
              
              
                2
              
            
            
              2
              I
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E={\frac {L_{z}^{2}}{2I}}}
  

  
    
      
        
          L
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{z}}
  
是分子旋轉的角動量，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
是轉動慣量和原子的距离平方成正比。從運用統計力學的配分函數

  
    
      
        Z
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        d
        
          L
          
            z
          
        
        
          e
          
            −
            β
            
              
                
                  L
                  
                    z
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  I
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                2
                π
                I
              
              β
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Z=\int _{-\infty }^{\infty }dL_{z}e^{-\beta {\frac {L_{z}^{2}}{2I}}}={\sqrt {\frac {2\pi I}{\beta }}}}
  

（
  
    
      
        β
        =
        
          
            1
            
              
                k
                
                  
                    B
                  
                
              
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}}
  
是温度
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
的倒數）可以得到古典旋轉運動對平均能量的貢献：

  
    
      
        
          
            
              ⟨
              E
              ⟩
            
            N
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              log
              ⁡
              Z
            
            
              ∂
              β
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              β
            
          
        
        =
        
          
            
              
                k
                
                  
                    B
                  
                
              
              T
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{N}}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2}}}
  

也就是新的旋轉自由度和每平移運動方向給與一樣的能量。
但是，旋轉的貢献并不決定於分子的轉動慣量
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
也就是和原子的距离無關。但這和我們期待原子距离或分子轉動慣量趨向0時回到無旋轉的結果相矛盾。這就是經典力學引起的弔詭：能量均分定理允許透過宏觀觀察得到所有微觀自由度的資訊：尽管由很多基本粒子組成的原子一般擁有遠高於宏觀觀察的自由度。
問題的解决來自角動量量子化。因為微觀角動量不能取任意的連續值因此以上用積分計算配分函數是不正确的。配分函數應該是一個和：

  
    
      
        Z
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            β
            
              
                
                  
                    n
                    
                      2
                    
                  
                  
                    ℏ
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                  I
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Z=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\beta {\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}}
  

在温度很高（
  
    
      
        β
        →
        0
      
    
    {\displaystyle \beta \to 0}
  
）或分子轉動慣量很大的情况下，每項間變化緩慢。用積分來進似近似以上和是可接受的。在這情况下選轉的确和一般自由度一樣。上段得到的結果是正确的。但在温度很低或分子轉動慣量很小的情况下
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
主要貢献來自
  
    
      
        
          |
        
        n
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |n|}
  
小的前幾項：

  
    
      
        Z
        ≃
        1
        +
        
          e
          
            −
            β
            
              
                
                  
                    n
                    
                      2
                    
                  
                  
                    ℏ
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                  I
                
              
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle Z\simeq 1+e^{-\beta {\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}+\cdots }
  

因此對平均温度的貢献是：

  
    
      
        
          
            
              ⟨
              E
              ⟩
            
            N
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              log
              ⁡
              Z
            
            
              ∂
              β
            
          
        
        ≃
        
          
            
              
                n
                
                  2
                
              
              
                ℏ
                
                  2
                
              
            
            
              2
              I
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{N}}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}\simeq {\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}
  

而一個系統的量子旋轉特徵和經典旋轉特徵的交叉點出現在温度可以給與幾個
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  
角動量的能量：

  
    
      
        
          T
          
            ∗
          
        
        ≈
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              I
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{*}\approx {\frac {\hbar ^{2}}{2I}}}
  


参考文献 参见 力矩
動量
守恒定律
角速度
角動量守恒定律
角動量算符
旋轉動能
轉動慣量
比角动量


外部連結