在数学中，循序可测是随机过程的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质，能够保证停过程的可测性。循序可测性比随机过程的适应性更加严格:4-5。循序可测过程在伊藤积分理论中有重要应用。


定义 设有

概率空间
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            F
          
        
        ,
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
  
；
测度空间
  
    
      
        (
        
          X
        
        ,
        
          
            A
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}
  
，状态空间；
σ-代数
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}}
  
上的参考族
  
    
      
        {
        
          
            
              F
            
          
          
            t
          
        
        
          |
        
        t
        ⩾
        0
        }
      
    
    {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}|t\geqslant 0\}}
  
；
随机过程
  
    
      
        X
        :
        T
        =
        [
        0
        ,
        ∞
        )
        ×
        Ω
        →
        
          X
        
        =
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle X:T=[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
（指标集
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
也可以是有限时间
  
    
      
        [
        0
        ,
        
          T
          
            0
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,T_{0}]}
  
或离散时间
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
）。
则随机过程
  
    
      
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
是循序可测过程当且仅当对任意的时刻
  
    
      
        t
        ∈
        T
      
    
    {\displaystyle t\in T}
  
，映射

  
    
      
        X
        
          |
          
            
              
              
                [
                0
                ,
                t
                ]
              
            
            :
            
            
            [
            0
            ,
            t
            ]
            ×
            Ω
            
            
            ⟶
            
            
            
              X
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle X\left|_{[0,t]}:\,\,[0,t]\times \Omega \,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {X} \right.}
  

  
    
      
        (
        s
        ,
        ω
        )
        
        ↦
        
        
        
          X
          
            s
          
        
        (
        ω
        )
      
    
    {\displaystyle (s,\omega )\quad \mapsto \,\,X_{s}(\omega )}
  

都是 
  
    
      
        
          B
          o
          r
          e
          l
        
        (
        [
        0
        ,
        t
        ]
        )
        ⊗
        
          
            
              F
            
          
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}
  
-可测的:110。
  
    
      
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
是循序可测过程可以推出它必然是适应过程:5。 
子集
  
    
      
        P
        ⊆
        [
        0
        ,
        ∞
        )
        ×
        Ω
      
    
    {\displaystyle P\subseteq [0,\infty )\times \Omega }
  
是循序可测集合当且仅当指示过程：

  
    
      
        
          X
          
            s
          
        
        (
        ω
        )
        :=
        
          
            1
          
          
            P
          
        
        (
        s
        ,
        ω
        )
      
    
    {\displaystyle X_{s}(\omega ):=\mathbf {1} _{P}(s,\omega )}
  

是循序可测过程。所有循序可测的子集
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
构成
  
    
      
        [
        0
        ,
        ∞
        )
        ×
        Ω
      
    
    {\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }
  
上的一个σ-代数，一般记为
  
    
      
        
          P
          r
          o
          g
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Prog} }
  
。一个随机过程
  
    
      
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
是循序可测过程当且仅当它（在被看作
  
    
      
        [
        0
        ,
        ∞
        )
        ×
        Ω
      
    
    {\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }
  
上的随机变量时）是
  
    
      
        
          P
          r
          o
          g
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Prog} }
  
-可测的:190。


性质 如果一个适应随机过程是左连续或右连续的，那么它是循序可测过程。特别地，左极限右连续的适应随机过程是循序可测过程:191。
设
  
    
      
        W
        =
        
          (
          
            
              W
              
                t
              
            
            (
            ω
            )
            
            ;
            
            
            t
            ∈
            T
            ,
            
            ω
            ∈
            Ω
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle W=\left(W_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}
  
是一维的标准布朗运动过程，
  
    
      
        H
        =
        
          (
          
            
              H
              
                t
              
            
            (
            ω
            )
            
            ;
            
            
            t
            ∈
            T
            ,
            
            ω
            ∈
            Ω
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle H=\left(H_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}
  
为关于
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
的参考族
  
    
      
        {
        
          
            
              F
            
          
          
            t
          
          
            W
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}
  
的（实值的）循序可测过程，并且满足
  
    
      
        
          E
        
        [
        
          ∫
          
            T
          
        
        H
        (
        t
        
          )
          
            2
          
        
        
          d
        
        t
        ]
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} [\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t]<\infty }
  
，那么我们可以定义
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
关于
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
的随机积分：
  
    
      
        
          ∫
          
            T
          
        
        H
        (
        t
        )
        
          d
        
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}}
  
:146-147，而且满足

  
    
      
        
          E
        
        
          [
          
            
              (
              
                
                  ∫
                  
                    T
                  
                
                H
                (
                t
                )
                
                  d
                
                
                  W
                  
                    t
                  
                
              
              )
            
            
              2
            
          
          ]
        
        =
        
          E
        
        
          [
          
            
              ∫
              
                T
              
            
            H
            (
            t
            
              )
              
                2
              
            
            
              d
            
            t
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t\right].}
  
:192:141。
一个随机过程
  
    
      
        X
        =
        
          (
          
            
              X
              
                t
              
            
            (
            ω
            )
            
            ;
            
            
            t
            ∈
            T
            ,
            
            ω
            ∈
            Ω
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle X=\left(X_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}
  
的修正（modification）是指另一个随机过程
  
    
      
        Y
        =
        
          (
          
            
              Y
              
                t
              
            
            (
            ω
            )
            
            ;
            
            
            t
            ∈
            T
            ,
            
            ω
            ∈
            Ω
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle Y=\left(Y_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}
  
，满足
  
    
      
        ∀
        t
        ∈
        T
        ,
        
        
        
          P
        
        (
        
          X
          
            t
          
        
        =
        
          Y
          
            t
          
        
        )
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle \forall t\in T,\,\,\mathbb {P} (X_{t}=Y_{t})=1.}
  
 可以证明，尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的，但必然拥有一个循序可测的修正:110。


参见 圖模式
马尔可夫链
马尔可夫逻辑网络
适应过程
可预测过程


参考来源