在抽象代数中，一个系数域为
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
的多项式
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle P(x)\,}
  
的分裂域（根域）是
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
的“最小”的一个扩域
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
，使得在其中
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
可以被分解为一次因式
  
    
      
        x
        −
        
          r
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x-r_{i}\,}
  
的乘积，其中的
  
    
      
        
          r
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle r_{i}\,}
  
是
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
中元素。一个
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是同构的：在同构意义上，
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
上的多项式的分裂域是唯一的。


术语与定义 称一个系数域为
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
的多项式  
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle P(x)\,}
  
在
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
的某个扩域
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
中分裂，当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解（分裂）成最简单的一次因式的乘积：

  
    
      
        P
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            k
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          a
          
            k
          
        
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            k
          
        
        (
        x
        −
        
          r
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}=a_{k}\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})}
  

其中的
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        ∈
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {K} }
  
，
  
    
      
        
          r
          
            i
          
        
        ∈
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle r_{i}\in \mathbb {L} }
  
。换句话来说，
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
的根都在
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
中。
使得
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
在其中分裂的扩域
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
有很多，譬如对于某个使得
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
分裂的的
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
，它任意的扩域
  
    
      
        
          
            L
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} '}
  
也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域，是指这样的一个扩域
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} }
  
：

在
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} }
  
里，
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
，可以分解为一次因式的乘积；
在
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} }
  
的任何真子域（不等于自身）里，
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
都无法如此分解。这样的扩域称为
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
在
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
上的分裂域。


例子 如果
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
是有理数域
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
，多项式为  

  
    
      
        P
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            3
          
        
        −
        2
        
      
    
    {\displaystyle P(x)=x^{3}-2\,}
  

那么其分裂域
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
可以是在
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
中添加三次单位根
  
    
      
        ω
        
      
    
    {\displaystyle \omega \,}
  
和2的立方根而得到的扩域：
  
    
      
        
          Q
        
        (
        ω
        ,
        
          
            2
            
              3
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ,{\sqrt[{3}]{2}})}
  
。因为这时
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
可以写作：

  
    
      
        P
        =
        (
        x
        −
        
          
            2
            
              3
            
          
        
        )
        (
        x
        −
        ω
        
          
            2
            
              3
            
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          ω
          
            2
          
        
        
          
            2
            
              3
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P=(x-{\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega {\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})}
  

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如：

多项式
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+1\,}
  
在实数域 R上的分裂域是复数域 C。
多项式
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+1\,}
  
在准有限域 GF7上的分裂域是GF72.
多项式
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}-1\,}
  
在准有限域 GF7上的分裂域是GF7，因为在其上
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        1
        =
        (
        x
        +
        1
        )
        (
        x
        −
        1
        )
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}-1=(x+1)(x-1)\,}
  
已经分解完毕。


性质 给定多项式
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle P(x)\,}
  
，在 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
上的分裂域
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} }
  
，假设在
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} }
  
里
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
，分解为

  
    
      
        P
        =
        a
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            k
          
        
        (
        x
        −
        
          r
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P=a\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})}
  

那么
  
    
      
        
          E
        
        =
        
          K
        
        (
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        
          r
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          r
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} =\mathbb {K} (r_{1},r_{2},\cdots ,r_{k})}
  
。
对于域
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
的一个代数闭域扩域
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {A} }
  
和
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
上的一个多项式
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
，存在
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
  
在
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
上的唯一的一个分裂域
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
，使得
  
    
      
        
          K
        
        ⊂
        
          L
        
        ⊂
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} \subset \mathbb {L} \subset \mathbb {A} }
  
。 
对于
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
的一个可分扩张
  
    
      
        
          
            K
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} '}
  
，
  
    
      
        
          
            K
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} '}
  
的伽罗瓦闭包是一个分裂域，也是
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
的包含
  
    
      
        
          
            K
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} '}
  
的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了
  
    
      
        
          
            K
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} '}
  
中任意元素
  
    
      
        a
        
      
    
    {\displaystyle a\,}
  
，在
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
上的极小多项式在
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
上的分裂域。


参见 代数扩张
正规扩张
极小多项式
可分扩张


参考来源 Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999).  Abstract Algebra (2nd ed.).  New York:  John Wiley & Sons, Inc.  ISBN 0-471-36857-1. [1]
David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]


外部链接 李華介，簡介Galois理論 （页面存档备份，存于互联网档案馆）