在線性代數中，線性泛函（英語：linear form）是指由向量空間到對應純量域的線性映射。在 ℝn中，向量空間的向量以行向量表示；線性泛函則會以列向量表示，在向量上的作用則為它們的矩陣積。一般地，如果 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 是域 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 上的向量空間，線性泛函 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 是一个从 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 到 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 的函数，它有以下的线性特性：

  
    
      
        f
        (
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              w
              →
            
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        +
        f
        (
        
          
            
              w
              →
            
          
        
        )
        
        ∀
         
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              w
              →
            
          
        
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle f({\vec {v}}+{\vec {w}})=f({\vec {v}})+f({\vec {w}})\quad \forall \ {\vec {v}},{\vec {w}}\in V}
  

  
    
      
        f
        (
        a
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        a
        f
        (
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        
        ∀
         
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        ∈
        V
        ,
        a
        ∈
        k
      
    
    {\displaystyle f(a{\vec {v}})=af({\vec {v}})\quad \forall \ {\vec {v}}\in V,a\in k}
  

所有從  
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 到  
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 的線性泛函集合, 記為 
  
    
      
        
          Hom
          
            k
          
        
        ⁡
        (
        V
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Hom} _{k}(V,k)}
  
, 本身即為一向量空間，稱為 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 的對偶空間（或稱為
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的代数对偶空间，以和连续对偶空间区分）。


连续线性泛函 若V是一拓撲向量空間，所有连续線性泛函的集稱為连续对偶，有時也簡稱為對偶空間。若
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
是巴拿赫空間，其對偶空間也是。为了把普通的对偶空间与连续对偶空间區別，有时把前一个称为代数对偶。在有限维空间中，每一个线性泛函都是连续的，因此连续对偶与代数对偶相同；但在无限维空间的情况下，连续对偶是代数对偶的真子空间。


例子和應用 = Rn内的线性泛函 =
假设实坐标空间Rn内的向量用列向量来表示：

  
    
      
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\vec {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}
  

那么这些坐标中的任何线性泛函都可以用以下形式的和来表示：

  
    
      
        f
        (
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        )
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f({\vec {x}})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}.}
  

这仅仅是行向量[a1 ... an]与列向量
  
    
      
        
          
            
              x
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {x}}}
  
的矩阵乘积：

  
    
      
        f
        (
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        )
        =
        [
        
          a
          
            1
          
        
        …
        
          a
          
            n
          
        
        ]
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f({\vec {x}})=[a_{1}\dots a_{n}]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}
  


= 積分 =
线性泛函首先出现在泛函分析——函数的向量空间的研究中。线性泛函的一个典型的例子是积分：由黎曼積分所定义的线性变换

  
    
      
        f
        ↦
        I
        (
        f
        )
        :=
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle f\mapsto I(f):=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
  

是由
  
    
      
        C
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle C[a,b]}
  
（在
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上定義的連續函數）的向量空間映射到
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
線性泛函。I(ƒ)的线性可以从积分的基本事实推出：

  
    
      
        I
        (
        f
        +
        g
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        f
        (
        x
        )
        +
        g
        (
        x
        )
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle I(f+g)=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx}
  

  
    
      
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        +
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        g
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        I
        (
        f
        )
        +
        I
        (
        g
        )
      
    
    {\displaystyle =\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)}
  

  
    
      
        I
        (
        α
        f
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        α
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle I(\alpha f)=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx}
  

  
    
      
        =
        α
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        α
        I
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle =\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f)}
  


= 計值泛函 =
以 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}}
  
 表示定義在區間 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
 上的不超过
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 次的實值多項式。 若
  
    
      
        c
        ∈
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle c\in [a,b]}
  
，則設計值泛函（英語：evaluation functional）
  
    
      
        e
        
          v
          
            c
          
        
        :
        
          P
          
            n
          
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle ev_{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }
  
：

  
    
      
        e
        
          v
          
            c
          
        
        f
        =
        f
        (
        c
        )
        .
      
    
    {\displaystyle ev_{c}f=f(c).}
  

映射ƒ → ƒ(c)是线性的，因为：

  
    
      
        (
        f
        +
        g
        )
        (
        c
        )
        =
        f
        (
        c
        )
        +
        g
        (
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (f+g)(c)=f(c)+g(c)}
  

  
    
      
        (
        α
        f
        )
        (
        c
        )
        =
        α
        f
        (
        c
        )
        .
      
    
    {\displaystyle (\alpha f)(c)=\alpha f(c).}
  

若 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}}
  
 是
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
 上的不同點，那么
  
    
      
        e
        
          v
          
            
              x
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ev_{x_{i}}}
  
 是
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}}
  
 對偶空間的一個基。（Lax (1996)以拉格朗日插值法證明此。）


= 在数值积分的应用 =
以上定义的积分泛函I定义了次数不超过n的多项式的子空间Pn上的线性泛函。如果x0，......，xn是[a,b]内n+1个不同的点，那么存在系数a0，......，an，使得对于所有的ƒ 
  
    
      
        ∈
      
    
    {\displaystyle \in }
  
 Pn，都有：

  
    
      
        I
        (
        f
        )
        =
        
          a
          
            0
          
        
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          a
          
            1
          
        
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        f
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}
  

这形成了数值积分理论的基础。
这可以从以上定义的线性泛函Pn的对偶空间的基的事实推出(Lax 1996)。


= 量子力學中的线性泛函 =
线性泛函在量子力学中特别重要。量子力學系統以跟其對偶空間共軛同構的希爾伯特空間表示。系統的一個態可以一線性泛函表示。詳見狄拉克符號。


= 統計學上的分佈 =
在廣義函數的理論，分佈可以視為測試函數空間的線性泛函。


性质 任何线性泛函要么是平凡的（处处为0），要么是到标量域的满射。这是由于向量子空间在线性变换下的像是一个子空间，因此是V在L下的像。但k唯一的子空间（也就是说，k-子空间）是{0}和k本身。
一个线性泛函是连续的，当且仅当它的核是闭集(Rudin 1991，Theorem 1.18)。
具有相同核的线性泛函是成正比的。
线性泛函是(0  1)类型的张量。它是非标量协变张量的最简单的一种。


对偶向量和双线性形式 从有限维空间内的每一个非退化的双线性形式，都可以得到一个从V到V*的同构。特别地，把V内的双线性形式记为⟨ , ⟩ （例如在欧几里得空间中，⟨v,w⟩ = v·w是v和w的数量积），那么存在一个自然同构
  
    
      
        V
        →
        
          V
          
            ∗
          
        
        :
        v
        ↦
        
          v
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle V\to V^{*}:v\mapsto v^{*}}
  
，由下式给出：

  
    
      
        
          v
          
            ∗
          
        
        (
        w
        )
        :=
        ⟨
        v
        ,
        w
        ⟩
        .
        
      
    
    {\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle .\,}
  

逆同构由
  
    
      
        
          V
          
            ∗
          
        
        →
        V
        :
        
          f
          
            ∗
          
        
        ↦
        f
      
    
    {\displaystyle V^{*}\to V:f^{*}\mapsto f}
  
给出，其中ƒ是V的唯一元素，使得对于所有的w ∈ V，都有：

  
    
      
        ⟨
        f
        ,
        w
        ⟩
        =
        
          f
          
            ∗
          
        
        (
        w
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle \langle f,w\rangle =f^{*}(w).\,}
  

以上定义的向量v* ∈ V*称为v ∈ V的对偶向量。
根据里斯表示定理，在无穷维希尔伯特空间中，类似的结果也成立。存在一个从V → V*到连续对偶空间 V*的映射。然而，这个映射不是线性的，而是反线性的。


形象化 在有限维空间内，一個線性泛函可以用其水平集來表示。例如在三維空間，一個線性泛函的水平集是互相平行的平面的族。在高維空間，它們就是平行的超平面。這種觀點可以在一些廣義相對論的文獻找到，如Misner, Thorne & Wheeler (1973)。


有限維向量空間 = 对偶空间的基 =
以V*表示V的對偶空間，對於一有限維向量空間V，V與V*同構。
設V有基
  
    
      
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
         
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2}}
  
，......，
  
    
      
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}_{n}}
  
，不一定正交。那么，V*具有一個基（稱為對偶基）
  
    
      
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
         
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},\ {\tilde {\omega }}^{2}}
  
, ... , 
  
    
      
         
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ {\tilde {\omega }}^{n}}
  
，可以這樣構作：

  
    
      
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            j
          
        
        )
        =
        
          δ
          
            j
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j})=\delta _{j}^{i}}
  

其中δ是克羅內克函數。此處的上標並非冪而是反變。
属于对偶空间
  
    
      
        
          
            
              V
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {V}}}
  
的线性泛函
  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}}
  
可以表示为基泛函的线性组合，其系数（“分量”）为ui：

  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}}
  

于是，把泛函
  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}}
  
应用于基向量ej，得：

  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
        (
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            j
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        (
        
          u
          
            i
          
        
        
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            i
          
        
        )
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            j
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}){\vec {e}}_{j}=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j}))}
  

这是由于泛函的标量倍数的线性，以及泛函的和的逐点线性。那么：

  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
        (
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            j
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            j
          
        
        )
        )
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
          δ
          
            i
          
        
        
          

          
          
            j
          
        
        =
        
          u
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j}))=\sum _{i}u_{i}\delta ^{i}{}_{j}=u_{j}}
  

也就是说：

  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
        (
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            j
          
        
        )
        =
        
          u
          
            j
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=u_{j}.}
  

最后一个方程说明了线性泛函的各个分量可以通过把泛函应用于对应的基向量来获取。


= 对偶基与内积 =
当空间V带有内积时，可以明确写出给定基的对偶基的一个公式。设V具有（不一定正交的）基
  
    
      
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}}
  
。在三维空间内（n = 3），对偶基可以明确写成：

  
    
      
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
        
          ⟨
          
            
              
                
                  
                    ∑
                    
                      j
                      =
                      1
                    
                    
                      3
                    
                  
                  
                    ∑
                    
                      k
                      =
                      1
                    
                    
                      3
                    
                  
                  
                    ϵ
                    
                      i
                      j
                      k
                    
                  
                  
                  (
                  
                    
                      
                        
                          e
                          →
                        
                      
                    
                    
                      j
                    
                  
                  ×
                  
                    
                      
                        
                          e
                          →
                        
                      
                    
                    
                      k
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      
                        
                          e
                          →
                        
                      
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ⋅
                  
                    
                      
                        
                          e
                          →
                        
                      
                    
                    
                      2
                    
                  
                  ×
                  
                    
                      
                        
                          e
                          →
                        
                      
                    
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                
                  v
                  →
                
              
            
          
          ⟩
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})={1 \over 2}\,\left\langle {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\epsilon ^{ijk}\,({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}) \over {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}},{\vec {v}}\right\rangle .}
  

对于i=1，2，3，其中
  
    
      
        ϵ
        
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon \,\!}
  
是列维-奇维塔符号，
  
    
      
        ⟨
        ,
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle ,\rangle }
  
是V上的内积（或数量积）。
在高维空间中，可以推广如下：

  
    
      
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        
          ⟨
          
            
              
                
                  
                    
                      ∑
                      
                        

                        
                        
                          1
                          ≤
                          
                            i
                            
                              2
                            
                          
                          <
                          
                            i
                            
                              3
                            
                          
                          <
                          ⋯
                          <
                          
                            i
                            
                              n
                            
                          
                          ≤
                          n
                        
                      
                    
                  
                  
                    ϵ
                    
                      i
                      
                        i
                        
                          2
                        
                      
                      …
                      
                        i
                        
                          n
                        
                      
                    
                  
                  (
                  ⋆
                  
                    
                      
                        
                          e
                          →
                        
                      
                    
                    
                      
                        i
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ∧
                  ⋯
                  ∧
                  
                    
                      
                        
                          e
                          →
                        
                      
                    
                    
                      
                        i
                        
                          n
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  ⋆
                  (
                  
                    
                      
                        
                          e
                          →
                        
                      
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ∧
                  ⋯
                  ∧
                  
                    
                      
                        
                          e
                          →
                        
                      
                    
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
              
            
            ,
            
              
                
                  v
                  →
                
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})=\left\langle {\frac {{\underset {{}^{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}}{\sum }}\epsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star {\vec {e}}_{i_{2}}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{i_{n}})}{\star ({\vec {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{n})}},{\vec {v}}\right\rangle }
  

其中
  
    
      
        ⋆
      
    
    {\displaystyle \star }
  
是霍奇星算子。
如果有度规结构
  
    
      
        
          g
        
      
    
    {\displaystyle {g}}
  
，就会产生一个V到V*的同构映射
  
    
      
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle {f}}
  
.
当基向量
  
    
      
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
         
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2}}
  
，......，
  
    
      
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}_{n}}
  
是在度规
  
    
      
        
          g
        
      
    
    {\displaystyle {g}}
  
下的标准正交基的时候,

  
    
      
        f
        (
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            i
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                ω
                ~
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        g
        (
        −
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f({\vec {e}}_{i})={\tilde {\omega }}^{i}=g(-,{\vec {e}}_{i})}
  
 来充当对偶基。
当是正交基的时候用
  
    
      
        
          
            
              g
              (
              −
              ,
              
                
                  
                    
                      e
                      →
                    
                  
                
                
                  i
                
              
              )
            
            
              g
              (
              
                
                  
                    
                      e
                      →
                    
                  
                
                
                  i
                
              
              ,
              
                
                  
                    
                      e
                      →
                    
                  
                
                
                  i
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {g(-,{\vec {e}}_{i})}{g({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{i})}}}
  
来充当对偶基。
正是因为有度规产生的同构存在就没有必要再提对偶空间了。


參見 泛函
1-形式
不连续线性映射
里斯表示定理
正线性泛函
雙線性型


參考 Bishop, Richard; Goldberg, Samuel, Chapter 4, Tensor Analysis on Manifolds, Dover Publications, 1980, ISBN 0-486-64039-6 
Halmos, Paul, Finite dimensional vector spaces, Springer, 1974, ISBN 0387900934 
Lax, Peter, Linear algebra, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 978-0471111115 
Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A., Gravitation, W. H. Freeman, 1973, ISBN 0-7167-0344-0 
Schutz, Bernard, Chapter 3, A first course in general relativity, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-27703-5