在集合论和数学的其他分支中，一群集合的并集（Union），是以这群集合的所有元素來构成的集合。


有限聯集 聯集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 
  
    
      
        A
        ∪
        B
      
    
    {\displaystyle A\cup B}
  
 ：

  
    
      
        (
        ∀
        A
        )
        (
        ∀
        B
        )
        (
        ∀
        x
        )
        
          {
          
            (
            x
            ∈
            A
            ∪
            B
            )
            ⇔
            
              [
              
                (
                x
                ∈
                A
                )
                ∨
                (
                x
                ∈
                B
                )
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cup B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\vee (x\in B)\right]\right\}}
  

也就是直觀上：

「對所有 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 ， 
  
    
      
        x
        ∈
        A
        ∪
        B
      
    
    {\displaystyle x\in A\cup B}
  
 等價於 
  
    
      
        x
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x\in A}
  
 或 
  
    
      
        x
        ∈
        B
      
    
    {\displaystyle x\in B}
  
」
举例：
集合
  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,2,3\}}
  
和
  
    
      
        {
        2
        ,
        3
        ,
        4
        }
      
    
    {\displaystyle \{2,3,4\}}
  
的并集是
  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        4
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,2,3,4\}}
  
。数
  
    
      
        9
      
    
    {\displaystyle 9}
  
不属于素数集合
  
    
      
        {
        2
        ,
        3
        ,
        5
        ,
        7
        ,
        11
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}}
  
和偶数集合
  
    
      
        {
        2
        ,
        4
        ,
        6
        ,
        8
        ,
        10
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{2,4,6,8,10,\ldots \}}
  
的并集，因为
  
    
      
        9
      
    
    {\displaystyle 9}
  
既不是素数，也不是偶数。
更通常的，多个集合的并集可以这样定义：
例如，
  
    
      
        A
        ,
        B
      
    
    {\displaystyle A,B}
  
和
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的并集含有所有
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的元素，所有
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的元素和所有
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的元素，而没有其他元素。形式上：

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是
  
    
      
        A
        ∪
        B
        ∪
        C
      
    
    {\displaystyle A\cup B\cup C}
  
的元素，当且仅当
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
属于
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
或
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
属于
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
或
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
属于
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
。


= 代数性质 =
二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即

  
    
      
        A
        ∪
        (
        B
        ∪
        C
        )
        =
        (
        A
        ∪
        B
        )
        ∪
        C
      
    
    {\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}
  
。事实上，
  
    
      
        A
        ∪
        B
        ∪
        C
      
    
    {\displaystyle A\cup B\cup C}
  
也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。
相似的，并集运算满足交换律，即集合的顺序任意。
空集是并集运算的单位元。即
  
    
      
        ∅
        ∪
        A
        =
        A
      
    
    {\displaystyle \varnothing \cup A=A}
  
，对任意集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
。可以将空集当作零个集合的并集。
结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。


无限并集 由公理化集合论的并集公理，有唯一的集合 
  
    
      
        ⋃
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \bigcup {\mathcal {M}}}
  
 滿足：

  
    
      
        (
        ∀
        
          
            M
          
        
        )
        (
        ∀
        x
        )
        
          {
          
            
              (
              
                x
                ∈
                ⋃
                
                  
                    M
                  
                
              
              )
            
            ⇔
            (
            ∃
            A
            )
            
              [
              
                
                  (
                  
                    A
                    ∈
                    
                      
                        M
                      
                    
                  
                  )
                
                ∧
                (
                x
                ∈
                A
                )
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle (\forall {\mathcal {M}})(\forall x)\left\{\left(x\in \bigcup {\mathcal {M}}\right)\Leftrightarrow (\exists A)\left[\left(A\in {\mathcal {M}}\right)\wedge (x\in A)\right]\right\}}
  

也就是直觀上「對所有 
  
    
      
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}}
  
 和所有 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 ， 
  
    
      
        x
        ∈
        ⋃
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in \bigcup {\mathcal {M}}}
  
 等價於有某個 
  
    
      
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}}
  
 的下屬集合 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ，使得
  
    
      
        x
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x\in A}
  
」。以上的 
  
    
      
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}}
  
 可以直觀的視為一個集合族，而把 
  
    
      
        ⋃
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \bigcup {\mathcal {M}}}
  
 看成對 
  
    
      
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}}
  
 內的集合取并集，例如：
取 
  
    
      
        
          
            M
          
        
        =
        {
        A
        ,
        B
        ,
        C
        }
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}=\{A,B,C\}}
  
 則 
  
    
      
        ⋃
        
          
            M
          
        
        =
        A
        ∪
        B
        ∪
        C
      
    
    {\displaystyle \bigcup {\mathcal {M}}=A\cup B\cup C}
  
 。
但這個公理並沒有對 
  
    
      
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}}
  
 下屬集合的數量做出任何限制，所以這個 
  
    
      
        ⋃
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \bigcup {\mathcal {M}}}
  
 被俗稱為任意并集或无限并集。
若 
  
    
      
        X
        ⊆
        ⋃
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle X\subseteq \bigcup {\mathcal {M}}}
  
 ，會稱 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 被 
  
    
      
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}}
  
  覆蓋（cover），也就是直觀上可以用 
  
    
      
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}}
  
 裡的所有集合疊起來蓋住 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
。
无限并集有多种表示方法：
可模仿求和符号記為

  
    
      
        
          ⋃
          
            A
            ∈
            
              
                M
              
            
          
        
        A
      
    
    {\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {M}}}A}
  
。
但大多數人會假設指标集 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 的存在，換句話說

若 
  
    
      
        I
        
        
          
            ≅
            A
          
        
        
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle I\,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}}
  
 則 
  
    
      
        
          ⋃
          
            i
            ∈
            I
          
        
        A
        (
        i
        )
        :=
        ⋃
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A(i):=\bigcup {\mathcal {M}}}
  

在指标集 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 是自然数系 
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
 的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說：

若 
  
    
      
        
          N
        
        
        
          
            ≅
            A
          
        
        
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} \,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}}
  
 則 
  
    
      
        
          ⋃
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        A
        (
        i
        )
        :=
        ⋃
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \bigcup _{i=0}^{\infty }A(i):=\bigcup {\mathcal {M}}}
  

也可以更粗略直觀的將 
  
    
      
        
          ⋃
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        A
        (
        i
        )
      
    
    {\displaystyle \bigcup _{i=0}^{\infty }A(i)}
  
 写作
  
    
      
        
          A
          
            0
          
        
        ∪
        
          A
          
            1
          
        
        ∪
        
          A
          
            2
          
        
        ∪
        …
      
    
    {\displaystyle A_{0}\cup A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots }
  
。


= 无限并集的性質 =


 比較性質   覆蓋性質  「
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 正好就是其冪集的聯集」，這個定理直觀上可理解成，因為冪集 
  
    
      
        
          
            P
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}
  
 是以 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 和 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的子集為元素，所以 
  
    
      
        
          
            P
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}
  
 的聯集理當是 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 。

直觀上，這個定理說「一群集合的聯集包含於  
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ，則它們個個都包含於 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 」

直觀上，這個定理說「集族 
  
    
      
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}}
  
 的聯集為 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ，則對 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的每點 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 ，都可從 
  
    
      
        
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}}
  
 裡找到一個 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的鄰域 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 ，且這個鄰域不會比 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 大 」


 運算性質  直觀上這個定理說，交集在「无限并集满足分配律」，一般會不正式的寫為

  
    
      
        
          ⋃
          
            i
            ∈
            I
          
        
        
          (
          
            A
            ∩
            
              B
              
                i
              
            
          
          )
        
        =
        A
        ∩
        
          ⋃
          
            i
            ∈
            I
          
        
        
          B
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A\cap B_{i}\right)=A\cap \bigcup _{i\in I}B_{i}}
  

這個定理一般會被不正式的寫為

  
    
      
        
          ⋃
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ⋂
              
                j
                =
                i
              
              
                ∞
              
            
            
              A
              
                j
              
            
          
          )
        
        ⊆
        
          ⋂
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ⋃
              
                j
                =
                i
              
              
                ∞
              
            
            
              A
              
                j
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \bigcup _{i=0}^{\infty }\left(\bigcap _{j=i}^{\infty }A_{j}\right)\subseteq \bigcap _{i=0}^{\infty }\left(\bigcup _{j=i}^{\infty }A_{j}\right)}
  
。


参考 朴素集合论
交集
补集
对称差
不交并
布尔逻辑


参考文献