有一个角为直角的三角形称为直角三角形（英語：right triangle）。在直角三角形中，直角相邻的两条边称为直角邊。直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作「弦」。若兩條直角邊不一樣長，短的那條邊叫作「勾」，長的那條邊叫作「股」。
直角三角形满足畢氏定理（勾股定理），即两直角边边长的平方和等于斜边长的平方。直角三角形各邊和角之間的關係也是三角學的基礎。
直角三角形的外心是斜边中点；其垂心是直角顶点。
若直角三角形的三邊均為整數，稱為畢氏三角形，其邊長稱為勾股數。
埃及將邊長比例為3:4:5的直角三角形称为埃及三角形。
在三角尺當中有兩組特殊直角三角形
等腰直角三角形（45°、45°、90°）邊長比為1:1:√2
被垂直平分的正三角形（30°、60°、90°）邊長比為1:√3:2


主要性質 = 面積 =
和其他三角形相同，直角三角形的面積等於任一邊（底邊）乘以對應高的一半。在直角三角形中．若以一股（直角邊）為底邊，另一股即為對應的高，因此面積為二股直角邊乘積的一半，面積T的公式為

  
    
      
        T
        =
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
      
    
    {\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab}
  

其中
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
是直角三角形的二股。
若內切圓和斜邊
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
相切於
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
點，令半周長
  
    
      
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}
  
為
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
，則
  
    
      
        P
        A
        =
        s
        −
        a
      
    
    {\displaystyle PA=s-a}
  
且
  
    
      
        P
        B
        =
        s
        −
        b
      
    
    {\displaystyle PB=s-b}
  
，面積可表示為

  
    
      
        T
        =
        
          PA
        
        ⋅
        
          PB
        
        =
        (
        s
        −
        a
        )
        (
        s
        −
        b
        )
        .
      
    
    {\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}
  

此公式只適用在直角三角形。


= 高 =

若在直角三角形有直角的頂點處作往斜邊的高，可以將三角形切割成二個較小的三角形，兩者均和原三角形相似，且二個小三角形彼此相似。因此：

高為斜線切割出的二線段的幾何平均數。
各股是直角三角形的高和斜線切割出的二線段中相鄰部份的幾何平均數。
若以方程式表示

  
    
      
        
          
            f
            
              2
            
          
          =
          d
          e
          ,
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}
  
（有時稱為直角三角形高定理）

  
    
      
        
          
            b
            
              2
            
          
          =
          c
          e
          ,
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}
  

  
    
      
        
          
            a
            
              2
            
          
          =
          c
          d
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}
  

其中
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
, 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
, 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
, 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
, 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
均如圖所示。
三角形的面積等於底邊乘高除二，也等於二股乘積除二，兩者相等，因此

  
    
      
        f
        =
        
          
            
              a
              b
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle f={\frac {ab}{c}}}
  
。
斜邊上的高和兩股還有以下的關係。

  
    
      
        
          
            1
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              f
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}}
  
。


= 勾股定理 =

勾股定理也稱為畢氏定理，內容如下：

在任意直角的三角形中，邊長等於斜邊的正方形，其面積等於邊長等於兩股的二個正方形的和
可以表示為以下的公式表示

  
    
      
        
          
            a
            
              2
            
          
          +
          
            b
            
              2
            
          
          =
          
            c
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  

其中
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
為斜邊長，而
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
為剩下二股的長度。


= 內切圓及外接圓 =

直角三角形的二股長度為
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，斜邊長度為
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
，內切圓的半徑為

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              −
              c
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              a
              b
            
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}
  

外接圓的半徑為斜邊的一半

  
    
      
        R
        =
        
          
            c
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}
  

直角三角形的任一股可以用內切圓半徑和另一股長度表示：

  
    
      
        
          a
          =
          
            
              
                2
                r
                (
                b
                −
                r
                )
              
              
                b
                −
                2
                r
              
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}
  


性质 一三角形
  
    
      
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle ABC}
  
，其各邊為
  
    
      
        a
        ≤
        b
        <
        c
      
    
    {\displaystyle a\leq b<c}
  
、半周長
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
、面積
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
、斜邊的高
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
、外接圓半徑
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
、內切圓半徑
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
、旁切圓半徑
  
    
      
        
          r
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{a}}
  
, 
  
    
      
        
          r
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{b}}
  
, 
  
    
      
        
          r
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{c}}
  
（分別和
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
, 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
邊相切）、中線
  
    
      
        
          m
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{a}}
  
, 
  
    
      
        
          m
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{b}}
  
, 
  
    
      
        
          m
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{c}}
  
，此三角形為直角三角形若且唯若以下六類的敘述中有任何一個成立。以下的敘述也是直角三角形的性質。


= 邊長和半周長 =

  
    
      
        
          
            a
            
              2
            
          
          +
          
            b
            
              2
            
          
          =
          
            c
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  
（勾股定理）

  
    
      
        
          (
          s
          −
          a
          )
          (
          s
          −
          b
          )
          =
          s
          (
          s
          −
          c
          )
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}
  

  
    
      
        
          s
          =
          2
          R
          +
          r
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}
  

  
    
      
        
          
            a
            
              2
            
          
          +
          
            b
            
              2
            
          
          +
          
            c
            
              2
            
          
          =
          8
          
            R
            
              2
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}
  


= 角 =
角
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和角
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
互為餘角。

  
    
      
        
          cos
          ⁡
          
            A
          
          cos
          ⁡
          
            B
          
          cos
          ⁡
          
            C
          
          =
          0.
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}
  

  
    
      
        
          
            sin
            
              2
            
          
          ⁡
          
            A
          
          +
          
            sin
            
              2
            
          
          ⁡
          
            B
          
          +
          
            sin
            
              2
            
          
          ⁡
          
            C
          
          =
          2.
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}
  

  
    
      
        
          
            cos
            
              2
            
          
          ⁡
          
            A
          
          +
          
            cos
            
              2
            
          
          ⁡
          
            B
          
          +
          
            cos
            
              2
            
          
          ⁡
          
            C
          
          =
          1.
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}
  

  
    
      
        
          sin
          ⁡
          
            2
            A
          
          =
          sin
          ⁡
          
            2
            B
          
          =
          2
          sin
          ⁡
          
            A
          
          sin
          ⁡
          
            B
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}
  


= 面積 =

  
    
      
        
          T
          =
          
            
              
                a
                b
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}
  

  
    
      
        
          T
          =
          
            r
            
              a
            
          
          
            r
            
              b
            
          
          =
          r
          
            r
            
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}
  

  
    
      
        
          T
          =
          r
          (
          2
          R
          +
          r
          )
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}
  

  
    
      
        T
        =
        P
        A
        ⋅
        P
        B
      
    
    {\displaystyle T=PA\cdot PB}
  
，其中
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
為內切圓和最長邊
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
相切的點


= 內切圓及旁切圓半徑 =

  
    
      
        
          r
          =
          s
          −
          c
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r=s-c}
  

  
    
      
        
          
            r
            
              a
            
          
          =
          s
          −
          b
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b}
  

  
    
      
        
          
            r
            
              b
            
          
          =
          s
          −
          a
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a}
  

  
    
      
        
          
            r
            
              c
            
          
          =
          s
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r_{c}=s}
  

  
    
      
        
          
            r
            
              a
            
          
          +
          
            r
            
              b
            
          
          +
          
            r
            
              c
            
          
          +
          r
          =
          a
          +
          b
          +
          c
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}
  

  
    
      
        
          
            r
            
              a
            
            
              2
            
          
          +
          
            r
            
              b
            
            
              2
            
          
          +
          
            r
            
              c
            
            
              2
            
          
          +
          
            r
            
              2
            
          
          =
          
            a
            
              2
            
          
          +
          
            b
            
              2
            
          
          +
          
            c
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}
  

  
    
      
        
          r
          =
          
            
              
                
                  r
                  
                    a
                  
                
                
                  r
                  
                    b
                  
                
              
              
                r
                
                  c
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}}
  


= 高線和中線 =

  
    
      
        
          h
          =
          
            
              
                a
                b
              
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}
  

  
    
      
        
          
            m
            
              a
            
            
              2
            
          
          +
          
            m
            
              b
            
            
              2
            
          
          +
          
            m
            
              c
            
            
              2
            
          
          =
          6
          
            R
            
              2
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}
  

中線中有一條的長度等於外接圓半徑。
高線中最短的（通過由最大角頂點的高線）將對邊分為二個線段，高線恰為二線段的幾何平均數，即為直角三角形高定理。


= 內切參圓和外接圓 =
三角形可以放在一個半圓中，且一邊恰和直徑完全重合。
外接圓圓心恰為最長邊的中點。
最長邊的邊長恰為外接圓的直徑。（
  
    
      
        c
        =
        2
        R
      
    
    {\displaystyle c=2R}
  
）。
外接圓和九點圓相切。
垂心在外接圓的圓周上
內切圓圓心（內心）和垂心的距離為
  
    
      
        
          
            2
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}r}
  
.。


各邊的比例 銳角的三角函數可以用直角三角形各邊的比例來定義。針對一特定銳角，可以繪製一直角三角形，各邊分別是此銳角的對邊、鄰邊及斜邊。所有有相同大小銳角的直角三角形都為相似形，因此依照上面的定義，各邊的比例只和此銳角的角度有關。若一角度
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，其對邊、鄰邊及斜邊分別是
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
及
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
，則其三角函數為：

  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
        =
        
          
            a
            h
          
        
        ,
        
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            b
            h
          
        
        ,
        
        tan
        ⁡
        θ
        =
        
          
            a
            b
          
        
        ,
        
        sec
        ⁡
        θ
        =
        
          
            h
            b
          
        
        ,
        
        cot
        ⁡
        θ
        =
        
          
            b
            a
          
        
        ,
        
        csc
        ⁡
        θ
        =
        
          
            h
            a
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin \theta ={\frac {a}{h}},\,\cos \theta ={\frac {b}{h}},\,\tan \theta ={\frac {a}{b}},\,\sec \theta ={\frac {h}{b}},\,\cot \theta ={\frac {b}{a}},\,\csc \theta ={\frac {h}{a}}.}
  


特殊的直角三角形 特定角度的三角函數可以計算其精確值，因此對應直角三角形的各邊比例也可以得知。例如像30°-60°-90°三角形，可以用來計算角度為π/6倍數的三角函數，以及45°-45°-90°三角形，可以用來計算角度為π/4倍數的三角函數，這些都屬於特殊直角三角形。


泰勒斯定理 泰勒斯定理提到若
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
點是直徑的
  
    
      
        B
        C
      
    
    {\displaystyle BC}
  
的一圓上的一點，且不和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
點及
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
點共點，
  
    
      
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle ABC}
  
為直角三角形，
  
    
      
        ∠
        A
      
    
    {\displaystyle \angle A}
  
為直角。其逆定理為若一三角形內接於一圓，則其斜邊長度即為該圓的直徑。因此可以推論由直角頂邊到斜邊的中線（外接圓半徑）為斜邊的一半。而直角三角形外接圓的半徑為直角頂邊到斜邊的中線長．也是直徑的一半。


中線 直角三角形的中線長和內切圓半徑滿足以下的公式：

  
    
      
        
          m
          
            a
          
          
            2
          
        
        +
        
          m
          
            b
          
          
            2
          
        
        =
        5
        
          m
          
            c
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            5
            4
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}
  

因為直角三角形斜邊的中線長是斜邊的一半，會將直角三角形分為二個等腰三角形。


不同平均和黃金比例的關係 令
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
、
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
和
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是二個正整數
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
（
  
    
      
        a
        >
        b
      
    
    {\displaystyle a>b}
  
）的調和平均、幾何平均及算術平均。若一直角三角形的二股為
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
和
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
，其斜邊為
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，則

  
    
      
        
          
            A
            H
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                2
              
            
            
              G
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              G
              
                2
              
            
            
              H
              
                2
              
            
          
        
        =
        ϕ
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,}
  

及

  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        =
        
          ϕ
          
            3
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,}
  

其中
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
為黃金比例
  
    
      
        
          
            
              
                1
                +
                
                  
                    5
                  
                
              
              2
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,}
  


其他性質 若長度為
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
及
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
，通過頂點的線段，將斜邊分為三等分，則

  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
        +
        
          q
          
            2
          
        
        =
        5
        
          
            (
            
              
                c
                3
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}}
  
。
除直角三角形以外的三角形都可以找到三個相異的內接正方形，但直角三角形只能找到二個相異的內接正方形。
令
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
和
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
（
  
    
      
        h
        >
        k
      
    
    {\displaystyle h>k}
  
）為一斜邊長為
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
的直角三角形的二個內接正方形邊長，則

  
    
      
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              h
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}
  

直角三角形的周長等於內切圓及三個旁切圓的半徑和。


參看 三角學


參考資料