在数学中，如果在某个集合
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
上定义的具有实数或复数值的某个函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的值域是有界集合，则函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数
  
    
      
        M
        >
        0
      
    
    {\displaystyle M>0}
  
，使得对于集合
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
中的所有
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，都有
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        M
      
    
    {\displaystyle |f(x)|\leq M}
  
。有时，如果对于集合
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
中的所有
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，都有
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ≤
        A
      
    
    {\displaystyle f(x)\leq A}
  
，则函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
称为上有界的，
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
就是它的一个上界；如果对于集合
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
中的所有
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，都有
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ≥
        B
      
    
    {\displaystyle f(x)\geq B}
  
，则函数称为下有界的，
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
就是它的一个下界。
一个特例是有界数列，其中
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
是所有自然数所组成的集合
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
。所以，一个数列
  
    
      
        f
        =
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        )
      
    
    {\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}
  

是有界的，如果存在一个数
  
    
      
        M
        >
        0
      
    
    {\displaystyle M>0}
  
，使得对于所有的自然数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，都有
  
    
      
        
          |
          
            a
            
              n
            
          
          |
        
        ≤
        M
      
    
    {\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq M}
  
。


例子 由
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sin x}
  
所定义的函数
  
    
      
        f
        :
        R
        →
        R
      
    
    {\displaystyle f:R\rightarrow R}
  
是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。
函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}}
  
（
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
不等于−1或1）是无界的。当
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
越来越接近−1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为
  
    
      
        [
        2
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle [2,\infty )}
  
，则函数就是有界的。
函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}
  
是有界的。
任何一个连续函数
  
    
      
        f
        :
        [
        0
        ,
        1
        ]
        →
        R
      
    
    {\displaystyle f:[0,1]\rightarrow R}
  
都是有界的。
狄利克雷函数：当
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是有理数时，函数的值是0，而当
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。


参见 有界集合
支撑集
一致有界