在數學裏，卡西米爾不變量（又稱卡西米爾元或卡希米爾算子）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 J 2, 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。
卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對刚体动力学的描述當中。


定義 最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。


= 二次卡西米爾元 =
設 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 為一個 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 維半單李代數。設 B 為 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 上非奇異的二次型，並要求 B 在 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 的伴隨作用下不變，即對 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 中的任意 X,Y,Z, 都有 
  
    
      
        B
        (
        a
        
          d
          
            X
          
        
        Y
        ,
        Z
        )
        +
        B
        (
        Y
        ,
        a
        
          d
          
            X
          
        
        Z
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle B(ad_{X}Y,Z)+B(Y,ad_{X}Z)=0.}
  
 （例如，可取 B 為基灵型。）
設

  
    
      
        {
        
          X
          
            i
          
        
        
          }
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}
  

為 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 的基，以及

  
    
      
        {
        
          X
          
            i
          
        
        
          }
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}
  

為 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 關於 B 的對偶基，則 B 的卡西米爾不變量 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
 是泛包絡代數 
  
    
      
        U
        (
        
          
            g
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U({\mathfrak {g}})}
  
 的元素

  
    
      
        Ω
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}
  

儘管上述定義取決於選取的基，可以證明所得的 Ω 與所選的基無關。另一方面，不同的二次型 B 可以給出不同的 Ω.  B 的不變性，說明卡西米爾元與李代數 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 的任何元素都可交換，因此是泛包絡代數 
  
    
      
        U
        (
        
          
            g
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U({\mathfrak {g}})}
  
 的中心的元素。


= 線性表示和光滑作用的卡西米爾元 =
給定 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 在向量空間 V 上的李代數表示 ρ （允許無窮維），將 ρ(Ω) 稱為 ρ 的卡西米爾不變量，其為 V 上的線性算子，且由下式給出：

  
    
      
        ρ
        (
        Ω
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        ρ
        (
        
          X
          
            i
          
        
        )
        ρ
        (
        
          X
          
            i
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}
  

此處假定了 B 為基靈型，否則必須指明 B.
該構造的特定形式，在微分幾何和大域分析中有重要作用。假設連通李群 G 的李代數 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 作用在微分流形 M 上，則在 M 的連續函數空間上，有 G 相應的表示 ρ. 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 的元素均由 M 上的一階微分算子表示，於是，上式給出 ρ 的卡西米爾元，其為 M 上的二階微分算子，且在 G 的作用下不變。
更進一步，若 M 有度量张量，使得 G 的元素作為 M 的保距變換，可遞地作用在 M 上，且一點的穩定子 Gx 不可約地作用在切空間 TxM 上，則 ρ 的卡西米爾元是該度量的拉普拉斯算子的倍數。
也可定義更一般的卡西米爾不變量，其於弗雷德霍姆理論研究伪微分算子時用到。


= 一般情況 =
每個卡西米爾算子，都對應伴隨表示的對稱代數 
  
    
      
        
          
            
              ad
            
          
          
            
              g
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.}
  
 的對稱齊次多項式。換言之，任何一個卡西米爾算子都具有下列形式：

  
    
      
        
          C
          
            (
            m
            )
          
        
        =
        
          κ
          
            i
            j
            ⋯
            k
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        ⊗
        
          X
          
            j
          
        
        ⊗
        ⋯
        ⊗
        
          X
          
            k
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k},}
  

其中 m 是對稱張量 
  
    
      
        
          κ
          
            i
            j
            ⋯
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}
  
 的階，且 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}
  
 組成 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 的基。域 K上的多项式环 
  
    
      
        K
        [
        
          t
          
            i
          
        
        ,
        
          t
          
            j
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          t
          
            k
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]}
  
 內，有 m 元對稱齊次多項式

  
    
      
        
          c
          
            (
            m
            )
          
        
        =
        
          κ
          
            i
            j
            ⋯
            k
          
        
        
          t
          
            i
          
        
        
          t
          
            j
          
        
        ⋯
        
          t
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}
  

與該卡西米爾算子對應。龐卡萊–伯克霍夫–維特定理給出了泛包絡代數的顯式構造，由此可以證明上述的對應關係。
然而，並非每個對應張量（或對稱齊次多項式）都與一個卡西米爾算子對應。其必須與李括號顯見地可交換，即對每個基向量 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}
  
, 都滿足

  
    
      
        [
        
          C
          
            (
            m
            )
          
        
        ,
        
          X
          
            i
          
        
        ]
        =
        0
      
    
    {\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}
  
.
考慮结构常数 fijk，其滿足

  
    
      
        [
        
          X
          
            i
          
        
        ,
        
          X
          
            j
          
        
        ]
        =
        
          f
          
            i
            j
          
          
            
            
            k
          
        
        
          X
          
            k
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}.}
  

於是對於滿足上述條件的對稱多項式，可得

  
    
      
        
          f
          
            i
            j
          
          
            
            
            k
          
        
        
          κ
          
            j
            l
            ⋯
            m
          
        
        +
        
          f
          
            i
            j
          
          
            
            
            l
          
        
        
          κ
          
            k
            j
            ⋯
            m
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          f
          
            i
            j
          
          
            
            
            m
          
        
        
          κ
          
            k
            l
            ⋯
            j
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0.}
  

此為伊斯拉埃爾·蓋爾范德所得的結果。由該交換關係，可知卡西米爾元與李代數中的任意元素都可交換，從而卡西米爾元是在泛包絡代數的中心裏內。得益於此，李代數表示能以其卡西米爾元的特徵值來分類。
注意上述對稱多項式的線性和仍然是在中心裏。更甚者，諸卡西米爾元組成中心的一組基。若一個半單李代數的秩為 r, 即其嘉当子代数的維數為 r, 則其恰有 r 個卡西米爾元。


性質 = 唯一性 =
一個單李代數中，每個不變二次型皆為基灵型的倍數，所以對應的卡西米爾元唯一（允許相差一個常數的意義下）。對於一般的半單李代數，考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和，因此該二次型空間中，對應每個單分量，恰有一個基向量。故卡西米爾元組成的空間中，也對應每個單分量，恰有一個基向量。


= 與 G 上拉普拉斯算子的關係 =
若 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 為李群，且其李代數為 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
, 則 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 上的不變二次型對應 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 上的雙不變黎曼度量。並且， 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 的泛包絡代數等同於 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 上的左不變微分算子空間。在此等同關係下，
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 上雙線性型的卡西米爾元，對應 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 關於雙不變度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。


= 推廣 =
卡西米爾算子是李代數的泛包絡代數的中心的特殊二次元素。換言之，卡西米爾算子是一個微分算子，其與李代數的生成元皆可交換。泛包絡代數中心裏，每個二次元素均是某個二次型的卡西米爾元。然而，中心內可以有其他（非二次）的元素。
由拉卡定理，半單李代數的泛包絡代數中心的維數，等於該李代數的秩。在任意的半單李群（即其李代數為半單李代數）上，可以利用卡西米爾元，定義群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述關於秩的結論，當秩大於 1 時，無法類比地定義唯一的拉普拉斯算子。
根據定義，泛包絡代數的中心內，任何元素都與整個代數的元素可交換。由舒尔引理，任何既約表示中，卡西米爾算子必為恆等映射的倍數。該比例常數適用於李代數表示的分類（也就適用於李群表示的分類）。物理上，質量和自旋均屬該種常數，並且量子力学中許多量子数亦然。


例： s
            o
          
        
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
  

考慮三維欧几里得空间的旋轉群 SO(3). 其李代數 
  
    
      
        
          
            s
            o
          
        
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
  
 的秩為 1, 因此僅得一個獨立的卡西米爾元。旋轉群的基靈型為克羅內克δ, 故相應的卡西米爾不變量正是李代數的生成元 
  
    
      
        
          L
          
            x
          
        
        ,
        
        
          L
          
            y
          
        
        ,
        
        
          L
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}
  
 的平方和。換言之，卡西米爾元由等式

  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        =
        
          L
          
            x
          
          
            2
          
        
        +
        
          L
          
            y
          
          
            2
          
        
        +
        
          L
          
            z
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}
  

給出。
考慮 
  
    
      
        
          
            s
            o
          
        
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
  
 的一個不可約表示。記其中 
  
    
      
        
          L
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{z}}
  
 的最大特徵值為 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
, 則 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
 的可能取值為 
  
    
      
        0
        ,
        1
        
          /
        
        2
        ,
        1
        ,
        3
        
          /
        
        2
        ,
        …
        .
      
    
    {\displaystyle 0,1/2,1,3/2,\ldots .}
  
 卡西米爾元的不變性可推出其為恆等算子 I 的倍數。該常數可以具體計算出，即：

  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        =
        
          L
          
            x
          
          
            2
          
        
        +
        
          L
          
            y
          
          
            2
          
        
        +
        
          L
          
            z
          
          
            2
          
        
        =
        ℓ
        (
        ℓ
        +
        1
        )
        I
        .
      
    
    {\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}
  

在量子力学中，常數 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
 稱為總角動量量子數。對於旋轉群的有限維矩陣取值表示，
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
 總為整數或半整數（奇數的一半）。倘為整數，則該表示稱為玻色子表示（英語：bosonic representation)，否則稱為费米子表示（英語：fermionic representation)。
給定 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
, 得到的矩陣表示是 
  
    
      
        (
        2
        ℓ
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (2\ell +1)}
  
 維的。例如 
  
    
      
        
          
            s
            o
          
        
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
  
 的三維表示對應於 
  
    
      
        ℓ
        
        =
        
        1
      
    
    {\displaystyle \ell \,=\,1}
  
, 由下列的生成元給出：

  
    
      
        
          L
          
            x
          
        
        =
        i
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        ;
        
        
          L
          
            y
          
        
        =
        i
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        ;
        
        
          L
          
            z
          
        
        =
        i
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle L_{x}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};\quad L_{y}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};\quad L_{z}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}
  

其中照物理學常用的約定加入了 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 因子，使得諸生成元皆為自伴算子。
由此，可以手算二次卡西米爾元，結果為

  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        =
        
          L
          
            x
          
          
            2
          
        
        +
        
          L
          
            y
          
          
            2
          
        
        +
        
          L
          
            z
          
          
            2
          
        
        =
        2
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}
  

當 
  
    
      
        ℓ
        
        =
        
        1
      
    
    {\displaystyle \ell \,=\,1}
  
時，
  
    
      
        ℓ
        (
        ℓ
        +
        1
        )
        
        =
        
        2
      
    
    {\displaystyle \ell (\ell +1)\,=\,2}
  
, 故此例子與前段的一般結果一致。類似地，二維的表示以泡利矩陣作基，對應物理上自旋為 1/2 的粒子。


特徵值 由於卡西米爾元 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
 在泛包絡代數的中心內，其在一個單模（該代數的直和分解的一個分量）上的作用是乘上一個常數。設 
  
    
      
        ⟨
        ,
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle ,\rangle }
  
 為 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
 定義採用的對稱非退化二次型。記 
  
    
      
        L
        (
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle L(\lambda )}
  
 為具有最高權 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 的元素組成的有限維模（稱為該表示的最高權模）。則卡西米爾元 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
 在 
  
    
      
        L
        (
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle L(\lambda )}
  
 的作用為乘常數 

  
    
      
        ⟨
        λ
        ,
        λ
        +
        2
        ρ
        ⟩
        =
        ⟨
        λ
        +
        ρ
        ,
        λ
        +
        ρ
        ⟩
        −
        ⟨
        ρ
        ,
        ρ
        ⟩
        ,
      
    
    {\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}
  

其中 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
 為所有正根之和之半。
若 
  
    
      
        L
        (
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle L(\lambda )}
  
 非平凡（即 
  
    
      
        λ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda \neq 0}
  
), 則上述常數非零。原因是，由於 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 是優控的（英語：dominant, 即與任意正根的內積皆非負），若 
  
    
      
        λ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda \neq 0}
  
，則 
  
    
      
        ⟨
        λ
        ,
        λ
        ⟩
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}
  
, 且 
  
    
      
        ⟨
        λ
        ,
        ρ
        ⟩
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}
  
, 故 
  
    
      
        ⟨
        λ
        ,
        λ
        +
        2
        ρ
        ⟩
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}
  
. 此結果適用於魏爾完全可約性定理的證明。亦可不使用上述公式，而採用更抽象的嘉當判別法證明該常數非零。


參見 哈里希·錢德拉同構
包立－魯班斯基偽向量


參考文獻 Hall, Brian C., Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics 267, Springer, 2013 
Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666 
Humphreys, James E., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics 9 Second printing, revised, New York: Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90053-5 


延伸閱讀 Jacobson, Nathan. Lie algebras. Dover Publications. 1979: 243–249. ISBN 0-486-63832-4.