在实分析中，达布定理（英語：Darboux's theorem）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有实函数的导数都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即，若
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
为可导函数，则对任意区间
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
，
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        I
        )
      
    
    {\displaystyle f'(I)}
  
 仍为区间。
当函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 是一阶连续可导函数时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 
  
    
      
        
          f
          ′
        
      
    
    {\displaystyle f'}
  
 不连续时，达布定理说明 
  
    
      
        
          f
          ′
        
      
    
    {\displaystyle f'}
  
 仍具有介值性质。


内容 设
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
  
为闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的可导实函数，那么对介于
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle f'(a)}
  
和
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle f'(b)}
  
之间的任意
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
，存在
  
    
      
        x
        ∈
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle x\in [a,b]}
  
使得
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        y
      
    
    {\displaystyle f'(x)=y}
  
。


证明 不失一般性，可假设
  
    
      
        f
        
          
          
            +
          
          ′
        
        (
        a
        )
        >
        y
        >
        f
        
          
          
            −
          
          ′
        
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle f\,'_{+}(a)>y>f\,'_{-}(b)}
  
。又设
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        :=
        f
        (
        x
        )
        −
        t
        x
      
    
    {\displaystyle g(x):=f(x)-tx}
  
，则 
  
    
      
        
          g
          
            +
          
          ′
        
        (
        a
        )
        >
        0
        >
        
          g
          
            −
          
          ′
        
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)}
  
。只需找到
  
    
      
        
          g
          ′
        
      
    
    {\displaystyle g'}
  
在
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的一个零点即可。
由于
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
是
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的连续函数，由極值定理，
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
在
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上达到极大值。由于
  
    
      
        
          g
          
            +
          
          ′
        
        (
        a
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle g'_{+}(a)>0}
  
，极大值不在
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
处取到。同理，由于
  
    
      
        
          g
          
            −
          
          ′
        
        (
        b
        )
        <
        0
      
    
    {\displaystyle g'_{-}(b)<0}
  
，极大值也不在b处取到。设
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
为取到极大值的点，这时，
  
    
      
        g
        
          
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle g\,'(x)=0}
  
。于是定理得证。


历史 19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻畫出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是拓扑学家正弦曲线函数：

  
    
      
        x
        ↦
        
          
            {
            
              
                
                  sin
                  ⁡
                  (
                  1
                  
                    /
                  
                  x
                  )
                
                
                  x
                  =
                  0
                  
                    时 
                  
                  ,
                
              
              
                
                  0
                
                
                  x
                  =
                  0
                  
                    时 
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0{\text{时 }},\\0&x=0{\text{时 }}.\end{cases}}}
  

其导数在
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
处并不连续。


参考资料 万丽 , 李少琪 , 阎庆旭，《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》，《数学的实践与认识》2003年11期
潘继斌，《达布(Darboux)定理及其应用》，《湖北师范学院学报（自然科学版）》2000年01期


外部链接 本條目含有来自PlanetMath《Darboux’s theorem (analysis)》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。
本條目含有来自PlanetMath《Proof of Darboux’s theorem》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。