纖維叢（英語：fiber bundle ），在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个连续满射

  
    
      
        π
        :
        E
        →
        B
      
    
    {\displaystyle \pi :E\rightarrow B}
  

  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
和乘積空間
  
    
      
        B
        ×
        F
      
    
    {\displaystyle B\times F}
  
的局部類似性可以用映射 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
 來說明。也就是說：在每個
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的局部空間 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
，都存在一個相同的
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
（
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
稱作纖維空間），使得 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
 限制在 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 上時　與直积空间
  
    
      
        B
        ×
        F
      
    
    {\displaystyle B\times F}
  
的投影
  
    
      
        P
        :
        B
        ×
        F
        ↦
        B
        ,
        
        P
        (
        b
        ,
        f
        )
        =
        b
      
    
    {\displaystyle P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,f)=b}
  
　相似。（通常會用此滿射：
  
    
      
        π
        :
        E
        →
        B
      
    
    {\displaystyle \pi :E\rightarrow B}
  
來表示一個纖維叢，而忽略
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
）
如果
  
    
      
        E
        =
        B
        ×
        F
      
    
    {\displaystyle E=B\times F}
  
，也就是一个可以整体上等於乘積空間的丛叫做平凡丛（trivial bundle）。
纤维丛扩展了向量丛(vector bundle)，向量丛的主要实例就是流形的切丛（tangent bundle）。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。


正式定義 一个纤维丛由四元组（
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
, 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
, 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
）组成，其中
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
, 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
是拓扑空间而
  
    
      
        π
        :
        E
        →
        B
      
    
    {\displaystyle \pi :E\rightarrow B}
  
是一个连续满射，满足下面给出的局部平凡（local triviality）条件。
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
称为丛的基空间（base space），
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
称为总空间（total space），而
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
称为纤维（fiber）。映射
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
称为投影映射.下面我们假定基空间
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
是连通的。
我们要求对于
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中的每个點
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，存在一个在
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中 包含
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的开邻域
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
，並有一個同胚映射
  
    
      
        φ
        :
        
          π
          
            −
            1
          
        
        (
        U
        )
        →
        U
        ×
        F
      
    
    {\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}
  
 (顯然
  
    
      
        U
        ×
        F
      
    
    {\displaystyle U\times F}
  
是一個乘積空間) ，
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
並且要滿足 
  
    
      
        
          π
          (
          y
          )
          =
          
            proj
            
              1
            
          
          ∘
          ϕ
          (
          y
          )
          ,
          
          ∀
          y
          ∈
          
            π
            
              −
              1
            
          
          (
          U
          )
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \pi (y)=\operatorname {proj} _{1}\circ \phi (y),\,\forall y\in \pi ^{-1}(U)}
  
，也就是下圖是可交换的：

其中
  
    
      
        
          proj
          
            1
          
        
        :
        U
        ×
        F
        →
        U
      
    
    {\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\rightarrow U}
  
是自然投影而
  
    
      
        φ
        :
        
          π
          
            −
            1
          
        
        (
        U
        )
        →
        U
        ×
        F
      
    
    {\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}
  
是一个同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 
  
    
      
        
          x
          =
          π
          ∘
          
            φ
            
              −
              1
            
          
          (
          x
          ,
          f
          )
          ,
          
          ∀
          x
          ∈
          U
          ,
          f
          ∈
          F
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle x=\pi \circ \varphi ^{-1}(x,f),\,\forall x\in U,f\in F}
  
）。所有
  
    
      
        {
        (
        
          U
          
            i
          
        
        ,
        
          φ
          
            i
          
        
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \{(U_{i},\varphi _{i})\}}
  
的集合称为丛的局部平凡化。
对于
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中每點
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，原象（preimage）
  
    
      
        
          π
          
            −
            1
          
        
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \pi ^{-1}(p)}
  
和
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
同胚并称为點
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
上的纤维。一个纤维丛（
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
, 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
, 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
）经常记为

  
    
      
        F
        ⟶
        E
         
        
          
            →
            
              
               
              π
               
            
          
        
         
        B
      
    
    {\displaystyle F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B}
  

以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纖維叢
  
    
      
        π
        :
        E
        →
        B
      
    
    {\displaystyle \pi :E\rightarrow B}
  
都是一个开映射，因为积空间的投影是开映射。所以
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
有由映射
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
决定的商拓扑(quotient topology).
一个光滑纤维丛是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是，
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
, 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是光滑映射。


例子 令
  
    
      
        E
        =
        B
        ×
        F
      
    
    {\displaystyle E=B\times F}
  
并令
  
    
      
        π
        :
        E
        →
        B
      
    
    {\displaystyle \pi :E\rightarrow B}
  
为对第一个因子的投影，则
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
上的丛。这里
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛。

最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带（Mobius strip）。莫比乌斯带是一个以圆为基空间
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
并以线段为纤维
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的丛。对于一点
  
    
      
        x
        ∈
        B
      
    
    {\displaystyle x\in B}
  
的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象
  
    
      
        
          π
          
            −
            1
          
        
        (
        U
        )
      
    
    {\displaystyle \pi ^{-1}(U)}
  
在图中是个（有些扭转的）切片，4个方块宽一个方块长。同胚
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
把
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
的原象映到柱面的一块：弯曲但不扭转。
相应的平凡丛
  
    
      
        B
        ×
        F
      
    
    {\displaystyle B\times F}
  
看起来像一个圆柱，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。
一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个“扭转”的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环，
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
        ×
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}\times S^{1}}
  
。
一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。
纤维丛的一个特例，叫做向量丛,是那些纤维为向量空间的丛（要成为一个向量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群）。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。
另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。
一个球丛是一个纤维为n維球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛（例如黎曼流形的切丛），可以构造一个相应的单位球丛，其在一点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的纤维是所有
  
    
      
        
          E
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{x}}
  
的单位向量的集合.


截面 纤维丛的截面（section或者cross section）是一个连续映射
  
    
      
        f
        :
        B
        →
        E
      
    
    {\displaystyle f:B\rightarrow E}
  
使得
  
    
      
        π
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \pi (f(x))=x}
  
对于所有
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
成立。因为丛通常没有全局有定义的截面，理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的示性类理论。
截面经常只被局部的定义（特别是当全局截面不存在时）。纤维丛的局部截面是一个连续映射
  
    
      
        f
        :
        U
        →
        E
      
    
    {\displaystyle f:U\rightarrow E}
  
其中
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
是一个
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中的开集而
  
    
      
        π
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \pi (f(x))=x}
  
对所有
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
中的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
成立。若
  
    
      
        (
        U
        ,
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle (U,\varphi )}
  
是一个局部平凡化图，则局部截面在
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
上总是存在的。这种截面和连续映射
  
    
      
        U
        →
        F
      
    
    {\displaystyle U\rightarrow F}
  
有1-1对应。截面的集合组成一个层（sheaf）。


结构群和转移函数 纤维丛经常有一个对称群描述重叠的图之间的相容条件。特别的，令
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
为一个拓扑群，它连续的从左边作用在纤维空间
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
上。不失一般性的，我们可以要求
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
有效的作用在
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
上，以便把它看成是
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的同胚群。纖維叢的一个
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
-图册（
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
, 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
, 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
）是之前定義過的局部平凡化並且滿足：对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图
  
    
      
        (
        
          U
          
            i
          
        
        ,
        
          φ
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (U_{i},\varphi _{i})}
  
和
  
    
      
        (
        
          U
          
            j
          
        
        ,
        
          φ
          
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (U_{j},\varphi _{j})}
  
且 
  
    
      
        
          U
          
            i
          
        
        ∩
        
          U
          
            j
          
        
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }
  
，則函数

  
    
      
        
          φ
          
            i
          
        
        
          φ
          
            j
          
          
            −
            1
          
        
        :
        (
        
          U
          
            i
          
        
        ∩
        
          U
          
            j
          
        
        )
        ×
        F
        →
        (
        
          U
          
            i
          
        
        ∩
        
          U
          
            j
          
        
        )
        ×
        F
      
    
    {\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:(U_{i}\cap U_{j})\times F\to (U_{i}\cap U_{j})\times F}
  

是由以下方式给出：

  
    
      
        
          φ
          
            i
          
        
        
          φ
          
            j
          
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        ,
        ξ
        )
        =
        (
        x
        ,
        
          t
          
            i
            j
          
        
        (
        x
        )
        ξ
        )
        ,
        
        ∀
        x
        ∈
        
          U
          
            i
          
        
        ∩
        
          U
          
            j
          
        
        ,
        ξ
        ∈
        F
      
    
    {\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},\xi \in F}
  

其中 
  
    
      
        
          t
          
            i
            j
          
        
        :
        
          U
          
            i
          
        
        ∩
        
          U
          
            j
          
        
        →
        G
      
    
    {\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}
  
 是一个称为转移函数（transition function）的连续映射。两个
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
-圖冊是等價的如果他们的聯集也是
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
-圖冊。一个
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
-丛是有
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
-圖冊等价类的纤维丛。群
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
稱为该丛的结构群（structure group）。
在光滑范畴中，一个
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
-丛是一个光滑纤维丛，其中
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
是一个李群而相应的在
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。
转移函数
  
    
      
        
          t
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{ij}}
  
满足以下条件

  
    
      
        
          t
          
            i
            i
          
        
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle t_{ii}(x)=1}
  

  
    
      
        
          t
          
            i
            j
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          t
          
            j
            i
          
        
        (
        x
        
          )
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}}
  

  
    
      
        
          t
          
            i
            k
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          t
          
            i
            j
          
        
        (
        x
        )
        
          t
          
            j
            k
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)}
  

第三个条件用到三個相交的 
  
    
      
        
          U
          
            i
          
        
        ∩
        
          U
          
            j
          
        
        ∩
        
          U
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}
  
上叫做上链条件（cocycle condition，见Cech上同调）。
一个主丛是一个
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
-丛，其纤维可以认为是
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
本身，并且有一个在全空间上的
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的右作用保持纤维不变。


参见 向量丛
主丛
拉回丛（pullback bundle）
纤维化
覆盖映射
规范场论


外部链接 PlanetMath: Fiber Bundle
MathWorld: Fiber Bundle （页面存档备份，存于互联网档案馆）


参考 Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7.  See chapter one.