在光学中，高斯光束（英語：Gaussian beam）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在光谐振腔中以TEM00波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。
描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。
高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。
亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。


数学形式 高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅

  
    
      
        E
        (
        r
        ,
        z
        )
        =
        
          E
          
            0
          
        
        
          
            
              w
              
                0
              
            
            
              w
              (
              z
              )
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              
                −
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                  w
                  
                    2
                  
                
                (
                z
                )
              
            
          
          )
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            i
            k
            z
            −
            i
            k
            
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  R
                  (
                  z
                  )
                
              
            
            +
            i
            ζ
            (
            z
            )
          
          )
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\ ,}
  

这里

  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 为径向坐标，以光轴中心为参考点

  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 为轴向坐标，以光轴上光波最狭窄（束腰）位置为参考点

  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 为虚数单位（即 
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1}
  
）

  
    
      
        k
        =
        
          
            
              2
              π
            
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle k={2\pi  \over \lambda }}
  
 为波数（以“弧度/米”为单位）

  
    
      
        
          E
          
            0
          
        
        =
        
          |
        
        E
        (
        0
        ,
        0
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle E_{0}=|E(0,0)|}
  

  
    
      
        w
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle w(z)}
  
 为当电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径

  
    
      
        
          w
          
            0
          
        
        =
        w
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle w_{0}=w(0)}
  
 为激光的束腰宽度

  
    
      
        R
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle R(z)}
  
 为光波波前的曲率半径

  
    
      
        ζ
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (z)}
  
 为轴对称光波的 Gouy 相移，对高斯光束的相位也有影响
此外，上式中默认忽略了含时项 
  
    
      
        
          e
          
            i
            ω
            t
          
        
      
    
    {\textstyle e^{i\omega t}}
  
 。
对应的辐照度时域平均值为

  
    
      
        I
        (
        r
        ,
        z
        )
        =
        
          
            
              
                |
              
              E
              (
              r
              ,
              z
              )
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
            
              2
              η
            
          
        
        =
        
          I
          
            0
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  w
                  
                    0
                  
                
                
                  w
                  (
                  z
                  )
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              
                −
                2
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                  w
                  
                    2
                  
                
                (
                z
                )
              
            
          
          )
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,}
  

这里 
  
    
      
        
          I
          
            0
          
        
        =
        I
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle I_{0}=I(0,0)}
  
 为光波束腰中心处的辐照度。常数 
  
    
      
        η
        
      
    
    {\displaystyle \eta \,}
  
 为光波所在传播介质中的波阻抗。在真空中，
  
    
      
        η
        =
        
          η
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                ε
                
                  0
                
              
            
          
        
        =
        1
        
          /
        
        (
        
          ε
          
            0
          
        
        c
        )
        ≈
        376.7
         
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle \eta =\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=1/(\varepsilon _{0}c)\approx 376.7\ \mathrm {\Omega } }
  
。


波束参数 高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。


= 束腰 =
对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 
  
    
      
        
          w
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{0}}
  
，这个最小值被称为束腰（beam waist）。波长为 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 的光波的腰斑位置在 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 轴上的分布为

  
    
      
        w
        (
        z
        )
        =
        
          w
          
            0
          
        
        
        
          
            1
            +
            
              
                
                  (
                  
                    
                      z
                      
                        z
                        
                          
                            R
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
              
                2
              
            
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}\ .}
  

这里将 
  
    
      
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z=0}
  
 定义为束腰的位置。

  
    
      
        
          z
          
            
              R
            
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                w
                
                  0
                
                
                  2
                
              
            
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}}
  

被称为瑞利距离。


= 瑞利距离和共焦参数 =
与束腰轴向距离等于瑞利距离 
  
    
      
        
          z
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{R}}
  
 处的束宽为

  
    
      
        w
        (
        ±
        
          z
          
            
              R
            
          
        
        )
        =
        
          w
          
            0
          
        
        
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}.\,}
  

这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深。

  
    
      
        b
        =
        2
        
          z
          
            
              R
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
              
                w
                
                  0
                
                
                  2
                
              
            
            λ
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .}
  


= 曲率半径 =

  
    
      
        R
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle R(z)}
  
 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数

  
    
      
        R
        (
        z
        )
        =
        z
        
          [
          
            1
            +
            
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        z
                        
                          
                            R
                          
                        
                      
                      z
                    
                  
                  )
                
              
              
                2
              
            
          
          ]
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .}
  


= 光束偏移 =
当 
  
    
      
        z
        ≫
        
          z
          
            
              R
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z\gg z_{\mathrm {R} }}
  
，参数 
  
    
      
        w
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle w(z)}
  
 与 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于

  
    
      
        θ
        ≃
        
          
            λ
            
              π
              
                w
                
                  0
                
              
            
          
        
        
        (
        θ
        
           
          i
          n
           
          r
          a
          d
          i
          a
          n
          s
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} ).}
  

在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为

  
    
      
        Θ
        =
        2
        θ
         
        .
      
    
    {\displaystyle \Theta =2\theta \ .}
  

由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。
由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 
  
    
      
        2
        λ
        
          /
        
        π
      
    
    {\displaystyle 2\lambda /\pi }
  
 的光束适用。
激光束的质量可以用束参数乘积（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 
  
    
      
        
          w
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{0}}
  
 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M2”。高斯光束的 M2 值为1，而所有的是激光束的 M2 值均大于1，并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。


= Gouy 相位 =
光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为

  
    
      
        ζ
        (
        z
        )
        =
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              z
              
                z
                
                  
                    R
                  
                
              
            
          
          )
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ .}
  

当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 
  
    
      
        
          e
          
            −
            i
            k
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-ikz}}
  
 外，多出一个额外的 Gouy 相移 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
。


= 复数形式的光束参数 =
可以通过复数形式的光束参数 
  
    
      
        q
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle q(z)}
  
 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息，

  
    
      
        q
        (
        z
        )
        =
        z
        +
        
          q
          
            0
          
        
        =
        z
        +
        i
        
          z
          
            
              R
            
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }\ .}
  

倒数 
  
    
      
        1
        
          /
        
        q
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle 1/q(z)}
  
 显式提供了 
  
    
      
        q
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle q(z)}
  
，
  
    
      
        w
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle w(z)}
  
 与 
  
    
      
        R
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle R(z)}
  
 间的关系：

  
    
      
        
          
            1
            
              q
              (
              z
              )
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              z
              +
              i
              
                z
                
                  
                    R
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            z
            
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              
                z
                
                  
                    R
                  
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        i
        
          
            
              z
              
                
                  R
                
              
            
            
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              
                z
                
                  
                    R
                  
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              R
              (
              z
              )
            
          
        
        −
        i
        
          
            λ
            
              π
              
                w
                
                  2
                
              
              (
              z
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda  \over \pi w^{2}(z)}.}
  

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。
利用复数光束参数 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

  
    
      
        
          u
        
        (
        x
        ,
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              
                
                  q
                
                
                  x
                
              
              (
              z
              )
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            i
            k
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  
                    
                      q
                    
                    
                      x
                    
                  
                  (
                  z
                  )
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle {u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right).}
  

在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式

  
    
      
        
          u
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          u
        
        (
        x
        ,
        z
        )
        
        
          u
        
        (
        y
        ,
        z
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle {u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z),}
  

对于圆对称的普遍情况，
  
    
      
        
          
            q
          
          
            x
          
        
        =
        
          
            q
          
          
            y
          
        
        =
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle {q}_{x}={q}_{y}={q}}
  
 且
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
  
，可以得出

  
    
      
        
          u
        
        (
        r
        ,
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              
                q
              
              (
              z
              )
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            i
            k
            
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  
                    q
                  
                  (
                  z
                  )
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle {u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right).}
  


功率和辐照度 = 流经孔隙的功率 =
流经距离 z 轴半径为r的圆的功率为

  
    
      
        P
        (
        r
        ,
        z
        )
        =
        
          P
          
            0
          
        
        
          [
          
            1
            −
            
              e
              
                −
                2
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                
                  /
                
                
                  w
                  
                    2
                  
                
                (
                z
                )
              
            
          
          ]
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,}
  

这里

  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        π
        
          I
          
            0
          
        
        
          w
          
            0
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}}
  
 为电磁波传播的总能量
流经以 
  
    
      
        r
        =
        w
        (
        z
        )
        
      
    
    {\displaystyle r=w(z)\,}
  
 为半径的圆的能量占总能量的比值为

  
    
      
        
          
            
              P
              (
              z
              )
            
            
              P
              
                0
              
            
          
        
        =
        1
        −
        
          e
          
            −
            2
          
        
        ≈
        0.865
         
        .
      
    
    {\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\ .}
  

类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为 
  
    
      
        r
        =
        1.07
        ⋅
        w
        (
        z
        )
        
      
    
    {\displaystyle r=1.07\cdot w(z)\,}
  
 的圆形面积，总能量的95%通过 
  
    
      
        r
        =
        1.224
        ⋅
        w
        (
        z
        )
        
      
    
    {\displaystyle r=1.224\cdot w(z)\,}
  
 的圆形面积，总能量的99%会通过 
  
    
      
        r
        =
        1.52
        ⋅
        w
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle r=1.52\cdot w(z)}
  
 的圆。


= 辐照度的峰值和平均值 =
在与束腰的轴向距离为 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 的位置，利用洛必达法则，可以计算该位置的辐射照度峰值

  
    
      
        I
        (
        0
        ,
        z
        )
        =
        
          lim
          
            r
            →
            0
          
        
        
          
            
              
                P
                
                  0
                
              
              
                [
                
                  1
                  −
                  
                    e
                    
                      −
                      2
                      
                        r
                        
                          2
                        
                      
                      
                        /
                      
                      
                        w
                        
                          2
                        
                      
                      (
                      z
                      )
                    
                  
                
                ]
              
            
            
              π
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              P
              
                0
              
            
            π
          
        
        
          lim
          
            r
            →
            0
          
        
        
          
            
              [
              
                −
                (
                −
                2
                )
                (
                2
                r
                )
                
                  e
                  
                    −
                    2
                    
                      r
                      
                        2
                      
                    
                    
                      /
                    
                    
                      w
                      
                        2
                      
                    
                    (
                    z
                    )
                  
                
              
              ]
            
            
              
                w
                
                  2
                
              
              (
              z
              )
              (
              2
              r
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                P
                
                  0
                
              
            
            
              π
              
                w
                
                  2
                
              
              (
              z
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}
  

可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为 
  
    
      
        w
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle w(z)}
  
 的圆的面积。


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参考文献