巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。


定理 设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q < 1，使得对于所有X内的x和y，都有：

  
    
      
        d
        (
        T
        (
        x
        )
        ,
        T
        (
        y
        )
        )
        ≤
        q
        ⋅
        d
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle d(T(x),T(y))\leq q\cdot d(x,y)}
  

那么映射T在X内有且只有一个不动点x*（这就是说，Tx* = x*）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x0开始，定义一个迭代序列xn = Txn-1，其中n = 1，2，3，……。那么，这个序列收敛，极限为x*。以下的不等式描述了收敛的速率：

  
    
      
        d
        (
        
          x
          
            ∗
          
        
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ≤
        
          
            
              q
              
                n
              
            
            
              1
              −
              q
            
          
        
        d
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle d(x^{*},x_{n})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}).}
  

等价地：

  
    
      
        d
        (
        
          x
          
            ∗
          
        
        ,
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        )
        ≤
        
          
            q
            
              1
              −
              q
            
          
        
        d
        (
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle d(x^{*},x_{n+1})\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n})}
  

且

  
    
      
        d
        (
        
          x
          
            ∗
          
        
        ,
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        )
        ≤
        q
        d
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        
          x
          
            ∗
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle d(x^{*},x_{n+1})\leq qd(x_{n},x^{*}).}
  

满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。
注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射T : [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。
当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是如何恰当地定义X，使T把元素从X映射到X，即Tx总是X的一个元素。


证明 选择任何
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ∈
        (
        X
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle x_{0}\in (X,d)}
  
。如果
  
    
      
        T
        
          x
          
            0
          
        
        =
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle Tx_{0}=x_{0}}
  
，则不必证明；以下设
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        T
        
          x
          
            0
          
        
        =
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=Tx_{0}\neq x_{0}}
  
。对于每一个
  
    
      
        n
        ∈
        {
        2
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle n\in \{2,\ldots \}}
  
，定义
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        T
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}=Tx_{n-1}\,\!}
  
。我们声称对于所有的
  
    
      
        n
        ∈
        {
        1
        ,
        2
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle n\in \{1,2,\dots \}}
  
，以下等式都成立：

  
    
      
        d
        (
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ≤
        
          q
          
            n
          
        
        d
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})}
  
。
我们用数学归纳法来证明。对于
  
    
      
        n
        =
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle n=1\,\!}
  
的情况，命题是成立的，这是因为：

  
    
      
        d
        (
        
          x
          
            1
            +
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        )
        =
        d
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        )
        =
        d
        (
        T
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        T
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ≤
        q
        d
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle d(x_{1+1},x_{1})=d(x_{2},x_{1})=d(Tx_{1},Tx_{0})\leq qd(x_{1},x_{0})}
  
。
假设命题对于某个
  
    
      
        k
        ∈
        {
        1
        ,
        2
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}
  
是成立的。那么，我们有：

从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的
  
    
      
        n
        ∈
        {
        1
        ,
        2
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \}}
  
，以上的命题都成立。
设
  
    
      
        ϵ
        >
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0\,\!}
  
。由于
  
    
      
        0
        ≤
        q
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leq q<1}
  
，我们便可以找出一个较大的
  
    
      
        N
        ∈
        {
        1
        ,
        2
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle N\in \{1,2,\ldots \}}
  
，使得：

  
    
      
        
          q
          
            N
          
        
        <
        
          
            
              ϵ
              (
              1
              −
              q
              )
            
            
              d
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle q^{N}<{\frac {\epsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}}
  
。
利用以上的命题，我们便有对于任何
  
    
      
        m
        
        
      
    
    {\displaystyle m\,\!}
  
，
  
    
      
        n
        ∈
        {
        0
        ,
        1
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}}
  
以及
  
    
      
        m
        >
        n
        ≥
        N
      
    
    {\displaystyle m>n\geq N}
  
，都有：

第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中
  
    
      
        0
        ≤
        q
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leq q<1}
  
，因此它收敛。以上表明
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        
          }
          
            n
            ≥
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}}
  
是
  
    
      
        (
        X
        ,
        d
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle (X,d)\,\!}
  
内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设
  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}}
  
。我们作出两个声明：第一，
  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{*}\,\!}
  
是
  
    
      
        T
        
        
      
    
    {\displaystyle T\,\!}
  
的一个不动点，也就是说，
  
    
      
        T
        
          x
          
            ∗
          
        
        =
        
          x
          
            ∗
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle Tx^{*}=x^{*}\,\!}
  
；第二，
  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{*}\,\!}
  
是
  
    
      
        T
        
        
      
    
    {\displaystyle T\,\!}
  
在
  
    
      
        (
        X
        ,
        d
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle (X,d)\,\!}
  
中的唯一的不动点。
为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的
  
    
      
        n
        ∈
        {
        0
        ,
        1
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}}
  
，都有：

  
    
      
        0
        ≤
        d
        (
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        ,
        T
        
          x
          
            ∗
          
        
        )
        =
        d
        (
        T
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        T
        
          x
          
            ∗
          
        
        )
        ≤
        q
        d
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        
          x
          
            ∗
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 0\leq d(x_{n+1},Tx^{*})=d(Tx_{n},Tx^{*})\leq qd(x_{n},x^{*})}
  
。
由于当
  
    
      
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\to \infty }
  
时，
  
    
      
        q
        d
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        
          x
          
            ∗
          
        
        )
        →
        0
      
    
    {\displaystyle qd(x_{n},x^{*})\to 0}
  
，因此根据夹挤定理，可知
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        d
        (
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        ,
        T
        
          x
          
            ∗
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n+1},Tx^{*})=0}
  
。这表明当
  
    
      
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\to \infty }
  
时，
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        T
        
          x
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}\to Tx^{*}}
  
。但当
  
    
      
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\to \infty }
  
时，
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        
          x
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}\to x^{*}}
  
，且极限是唯一的；因此，一定是
  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
        =
        T
        
          x
          
            ∗
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{*}=Tx^{*}\,\!}
  
的情况。
为了证明第二个命题，我们假设
  
    
      
        y
        
        
      
    
    {\displaystyle y\,\!}
  
也满足
  
    
      
        T
        y
        =
        y
        
        
      
    
    {\displaystyle Ty=y\,\!}
  
。那么：

  
    
      
        0
        ≤
        d
        (
        
          x
          
            ∗
          
        
        ,
        y
        )
        =
        d
        (
        T
        
          x
          
            ∗
          
        
        ,
        T
        y
        )
        ≤
        q
        d
        (
        
          x
          
            ∗
          
        
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle 0\leq d(x^{*},y)=d(Tx^{*},Ty)\leq qd(x^{*},y)}
  
。
由于
  
    
      
        0
        ≤
        q
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leq q<1}
  
，因此上式意味着
  
    
      
        0
        ≤
        (
        1
        −
        q
        )
        d
        (
        
          x
          
            ∗
          
        
        ,
        y
        )
        ≤
        0
      
    
    {\displaystyle 0\leq (1-q)d(x^{*},y)\leq 0}
  
，这表明
  
    
      
        d
        (
        
          x
          
            ∗
          
        
        ,
        y
        )
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle d(x^{*},y)=0\,\!}
  
，于是根据正定性，
  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
        =
        y
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{*}=y\,\!}
  
，定理得证。


逆定理 巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：
设
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow X}
  
为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代f n都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。


推广 一个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下：

为了方便起见，这里把地球近似看作是正球体。
首先，按照经纬度可以给地球表面上每一个点标出坐标 (x, y)，其中前元是经度、后元是纬度。又定义地面上任意两点间的距离 d(A, B) 是 A 到 B 间大圆弧的弧长。
其次，把这国家的地图上的点按照其所代表点的实际经纬度标出坐标 (u, v)。
那么对于地图上任意一点 P 而言，它既在地图上表示地点 (up, vp)，又实际在地面上占有点 (xp, yp)。显然，这构成了从集合 S={P|P 是地面上的点且 P 属于该国领土} 到其本身的映射，现记作 M(P)=M((xp, yp))=(up, vp)。
又因为地图是缩小的，即对于任意两个地点 A∈S、B∈S 而言，d(A, B)>d(M(A), M(B))，也即 M(P) 是一个压缩映射。
事实上，取实数 k>1 作为地图比例尺的分母、即 1:k，那么由比例尺的定义知 d(A, B)=kd(M(A), M(B))，两边同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。换言之，存在实数 q=1/k<1 满足对于 S 内所有的 A 和 B，d(M(A), M(B))≤qd(A, B)，这里等号总是成立。
现在将 S 视为以 d 为度量的空间，那么它显然是一个完备度量空间。
根据巴拿赫不动点定理，M 在 S 内有且仅有一个不动点，即该点恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.
关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。


参考文献 Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. 2001. ISBN 978-0-471-41825-2. 
William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
Bourbawiki上巴拿赫不动点定理的证明