在数学中，有许多定理称为单调收敛定理（英語：Monotone convergence theorem）；这里我们介绍一些主要的例子。


单调实数序列的收敛性 = 定理 =
如果ak是一个单调的实数序列（例如ak ≤ ak+1），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。当且仅当序列是有界的，这个极限是有限的。


= 证明 =
我们证明如果递增序列
  
    
      
        ⟨
        
          a
          
            n
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle a_{n}\rangle }
  
有上界，则它是收敛的，且它的极限为
  
    
      
        
          sup
          
            n
          
        
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}}
  
。
由于
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
  
非空且有上界，因此根据实数的最小上界公理，
  
    
      
        c
        =
        
          sup
          
            n
          
        
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}
  
存在，且是有限的。现在，对于每一个
  
    
      
        ε
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \varepsilon >0}
  
，都存在一个
  
    
      
        
          a
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{N}}
  
，使得
  
    
      
        
          a
          
            N
          
        
        >
        c
        −
        ε
      
    
    {\displaystyle a_{N}>c-\varepsilon }
  
，否则
  
    
      
        c
        −
        ε
      
    
    {\displaystyle c-\varepsilon }
  
是
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
  
的一个上界，这与
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
为最小上界
  
    
      
        
          sup
          
            n
          
        
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}}
  
的事实矛盾。于是，由于
  
    
      
        ⟨
        
          a
          
            n
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle a_{n}\rangle }
  
是递增的，对于所有的n > N，都有
  
    
      
        
          |
        
        c
        −
        
          a
          
            n
          
        
        
          |
        
        =
        c
        −
        
          a
          
            n
          
        
        ≤
        c
        −
        
          a
          
            N
          
        
        <
        ε
      
    
    {\displaystyle |c-a_{n}|=c-a_{n}\leq c-a_{N}<\varepsilon }
  
，因此根据定义，
  
    
      
        ⟨
        
          a
          
            n
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle a_{n}\rangle }
  
的极限为
  
    
      
        
          sup
          
            n
          
        
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}}
  
。证毕。
类似地，如果一个实数序列是递减且有下界，则它的最大下界就是它的极限。


单调级数的收敛性 = 定理 =
如果对于所有的自然数j和k，aj,k都是非负实数，且aj,k ≤ aj+1,k，则（参见第168页）：

  
    
      
        
          lim
          
            j
            →
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            k
          
        
        
          a
          
            j
            ,
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
          
        
        
          lim
          
            j
            →
            ∞
          
        
        
          a
          
            j
            ,
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}}
  


勒贝格单调收敛定理 这个定理是前一个定理的推广，也许就是最重要的单调收敛定理。


= 定理 =
设( X, A, 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 )为一个测度空间。若序列 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        ,
        
          f
          
            2
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }
  
 為定義域是

  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，對應域是 
  
    
      
        [
        0
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle [0,\infty )}
  
 的 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
-可测单调递增函数序列。也就是说 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        X
        ,
        
        k
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \forall x\in X,\,k\in \mathbb {N} }
  
，有

  
    
      
        0
        ≤
        
          f
          
            k
          
        
        (
        x
        )
        ≤
        
          f
          
            k
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)}
  
。
接着，设序列 
  
    
      
        {
        
          f
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{f_{n}\}}
  
 的逐点极限为 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
。也就是说 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        X
        ,
      
    
    {\displaystyle \forall x\in X,}
  

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        :=
        
          lim
          
            k
            →
            ∞
          
        
        
          f
          
            k
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)}
  
。
則 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 會是 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
-可测函數，且：

  
    
      
        
          lim
          
            k
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            X
          
        
        
          f
          
            k
          
        
        
        d
        μ
        =
        
          ∫
          
            X
          
        
        f
        
        d
        μ
      
    
    {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu }
  
。（参见第21.38节）
注意其積分值不一定是有限值，也就是左右兩邊可能都是無限大。


= 证明 =
我们首先证明f是
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
-可测函数。为此，只需证明区间[0,t]在f下的原像是X上的σ代数A的一个元素。设I为
  
    
      
        [
        0
        ,
        ∞
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,\infty ]}
  
的一个子区间。那么：

  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        I
        )
        =
        {
        x
        ∈
        X
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        ∈
        I
        }
      
    
    {\displaystyle f^{-1}(I)=\{x\in X|f(x)\in I\}}
  
。
另一方面，由于[0,t]是闭区间，因此：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ∈
        I
        ⇔
        
          f
          
            k
          
        
        (
        x
        )
        ∈
        I
        ,
         
        ∀
        k
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle f(x)\in I\Leftrightarrow f_{k}(x)\in I,~\forall k\in \mathbb {N} }
  
。
所以：

  
    
      
        {
        x
        ∈
        X
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        ∈
        I
        }
        =
        
          ⋂
          
            k
            ∈
            
              N
            
          
        
        {
        x
        ∈
        X
        
          |
        
        
          f
          
            k
          
        
        (
        x
        )
        ∈
        I
        }
      
    
    {\displaystyle \{x\in X|f(x)\in I\}=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }\{x\in X|f_{k}(x)\in I\}}
  
。
注意可数交集中的每一个集合都是A的一个元素，这是因为它是一个波莱尔子集在
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
-可测函数
  
    
      
        
          f
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{k}}
  
下的原像。由于根据定义，σ代数在可数交集下封闭，因此这便证明了f是
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
-可测的。需要注意的是，一般来说，任何可测函数的最小上界也是可测的。
现在我们证明单调收敛定理的余下的部分。f是
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
-可测的事实，意味着表达式
  
    
      
        ∫
        f
        d
        μ
      
    
    {\displaystyle \int fd\mu }
  
是定义良好的。
我们从证明
  
    
      
        ∫
        f
        d
        μ
        ≥
        
          lim
          
            k
          
        
        ∫
        
          f
          
            k
          
        
        d
        μ
      
    
    {\displaystyle \int fd\mu \geq \lim _{k}\int f_{k}d\mu }
  
开始。
根据勒贝格积分的定义，

  
    
      
        ∫
        f
        d
        μ
        =
        s
        u
        p
        {
        ∫
        g
        d
        μ
        
          |
        
        g
        ∈
        S
        F
        ,
        g
        ≤
        f
        }
      
    
    {\displaystyle \int fd\mu =sup\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f\}}
  
，
其中SF是X上的
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
-可测简单函数的交集。由于在每一个
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
，都有
  
    
      
        
          f
          
            k
          
        
        (
        x
        )
        ≤
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{k}(x)\leq f(x)}
  
，我们便有：

  
    
      
        
          {
          
            ∫
            g
            d
            μ
            
              |
            
            g
            ∈
            S
            F
            ,
            g
            ≤
            
              f
              
                k
              
            
          
          }
        
        ⊆
        
          {
          
            ∫
            g
            d
            μ
            
              |
            
            g
            ∈
            S
            F
            ,
            g
            ≤
            f
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f_{k}\right\}\subseteq \left\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f\right\}.}
  

因此，由于一个子集的最小上界不能大于整个集合的最小上界，我们便有：
  
    
      
        ∫
        f
        d
        μ
        ≥
        
          lim
          
            k
          
        
        ∫
        
          f
          
            k
          
        
        d
        μ
        .
      
    
    {\displaystyle \int fd\mu \geq \lim _{k}\int f_{k}d\mu .}
  

右面的极限存在，因为序列是单调的。
我们现在证明另一个方向的不等式（也可从法图引理推出），也就是说，我们来证明：

  
    
      
        ∫
        f
        d
        μ
        ≤
        
          lim
          
            k
          
        
        ∫
        
          f
          
            k
          
        
        d
        μ
        .
      
    
    {\displaystyle \int fd\mu \leq \lim _{k}\int f_{k}d\mu .}
  

从积分的定义可以推出，存在一个非负简单函数的非递減序列gn，它几乎处处逐点收敛于f，且：

  
    
      
        
          lim
          
            k
          
        
        ∫
        
          g
          
            k
          
        
        d
        μ
        =
        ∫
        f
        d
        μ
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{k}\int g_{k}d\mu =\int fd\mu .}
  

只需证明对于每一个
  
    
      
        k
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle k\in \mathbb {N} }
  
，都有：

  
    
      
        ∫
        
          g
          
            k
          
        
        d
        μ
        ≤
        
          lim
          
            j
          
        
        ∫
        
          f
          
            j
          
        
        d
        μ
      
    
    {\displaystyle \int g_{k}d\mu \leq \lim _{j}\int f_{j}d\mu }
  

这是因为如果这对每一个k都成立，那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。
我们证明如果gk是简单函数，且

  
    
      
        
          lim
          
            j
          
        
        
          f
          
            j
          
        
        (
        x
        )
        ≥
        
          g
          
            k
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{j}f_{j}(x)\geq g_{k}(x)}
  

几乎处处，则：

  
    
      
        
          lim
          
            j
          
        
        ∫
        
          f
          
            j
          
        
        d
        μ
        ≥
        ∫
        
          g
          
            k
          
        
        d
        μ
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{j}\int f_{j}d\mu \geq \int g_{k}d\mu .}
  

由于积分是线性的，我们可以把函数
  
    
      
        
          g
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{k}}
  
分拆成它的常数部分，化为
  
    
      
        
          g
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{k}}
  
是σ代数A的一个元素B的指示函数的情况。在这种情况下，我们假设
  
    
      
        
          f
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{j}}
  
是一个可测函数的序列，它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。 
为了证明这个结果，固定
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
  
，并定义可测集合的序列：

  
    
      
        
          B
          
            n
          
        
        =
        {
        x
        ∈
        B
        :
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        ≥
        1
        −
        ϵ
        }
        .
      
    
    {\displaystyle B_{n}=\{x\in B:f_{n}(x)\geq 1-\epsilon \}.}
  

根据积分的单调性，可以推出对于任何的
  
    
      
        n
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
  
，都有：

  
    
      
        μ
        (
        
          B
          
            n
          
        
        )
        (
        1
        −
        ϵ
        )
        =
        ∫
        (
        1
        −
        ϵ
        )
        
          1
          
            
              B
              
                n
              
            
          
        
        d
        μ
        ≤
        ∫
        
          f
          
            n
          
        
        d
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu (B_{n})(1-\epsilon )=\int (1-\epsilon )1_{B_{n}}d\mu \leq \int f_{n}d\mu }
  

根据
  
    
      
        
          lim
          
            j
          
        
        
          f
          
            j
          
        
        (
        x
        )
        ≥
        
          g
          
            k
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{j}f_{j}(x)\geq g_{k}(x)}
  
的假设，对于足够大的n，任何B内的x都将位于
  
    
      
        
          B
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{n}}
  
内，因此：

  
    
      
        
          ⋃
          
            n
          
        
        
          B
          
            n
          
        
        =
        B
      
    
    {\displaystyle \bigcup _{n}B_{n}=B}
  
。
所以，我们有：

  
    
      
        ∫
        
          g
          
            k
          
        
        d
        μ
        =
        ∫
        
          1
          
            B
          
        
        d
        μ
        =
        μ
        (
        B
        )
        =
        μ
        (
        
          ⋃
          
            n
          
        
        
          B
          
            n
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int g_{k}d\mu =\int 1_{B}d\mu =\mu (B)=\mu (\bigcup _{n}B_{n}).}
  

利用测度的单调性，可得：

  
    
      
        μ
        (
        
          ⋃
          
            n
          
        
        
          B
          
            n
          
        
        )
        =
        
          lim
          
            n
          
        
        μ
        (
        
          B
          
            n
          
        
        )
        ≤
        
          lim
          
            n
          
        
        (
        1
        −
        ϵ
        
          )
          
            −
            1
          
        
        ∫
        
          f
          
            n
          
        
        d
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu (\bigcup _{n}B_{n})=\lim _{n}\mu (B_{n})\leq \lim _{n}(1-\epsilon )^{-1}\int f_{n}d\mu }
  

取
  
    
      
        k
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle k\rightarrow \infty }
  
，并利用这对任何正数
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
都正确的事实，定理便得证。


参见 无穷级数
勒贝格控制收敛定理


注释