在數學中，一矩陣又稱為全一矩陣，是指所有元素皆為1的矩陣，通常以符號
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
來表示，並以下標符號表示矩陣的維度，例如：

  
    
      
        
          J
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        ;
        
        
          J
          
            3
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        ;
        
        
          J
          
            2
            ,
            5
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        ;
        
        
          J
          
            1
            ,
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad }
  

部分文獻將之稱為單元矩陣或單位矩陣（英語：unit matrix）。但「單位矩陣」一詞更常代表主對角線為一、其餘為零的單位矩陣，兩者是不同的矩陣。
類似地，一向量或全一向量是指只所有元素皆為1的向量，可以視為有一行或只有一列的全一矩陣，其也不應與單位向量混淆。
特別地，
  
    
      
        1
        ×
        1
      
    
    {\displaystyle 1\times 1}
  
的全一矩陣與單位矩陣是等價的，即
  
    
      
        
          I
          
            1
          
        
        =
        
          J
          
            1
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{1}=J_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}
  
。對於所有維度大於或等於2的全一矩陣，若其為方陣，則其行列式為0。


性質 所有的
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
的全一方陣（為方陣的全一矩陣）
  
    
      
        
          J
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{n}}
  
有以下性質：

  
    
      
        
          J
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{n}}
  
的跡為
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  

若
  
    
      
        n
        ≥
        2
      
    
    {\displaystyle n\geq 2}
  
，
  
    
      
        
          J
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{n}}
  
的行列式為
  
    
      
        det
        
          J
          
            n
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \det J_{n}=0}
  
。對於小於2的情況，行列式為1，即
  
    
      
        det
        
          J
          
            1
          
        
        =
        det
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}
  
。（若也將
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n=0}
  
考慮進來，則若將空矩陣也視為一種全一矩陣，則其行列式也為1）
全一矩陣
  
    
      
        
          J
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{n}}
  
的特徵多項式為
  
    
      
        (
        x
        −
        n
        )
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-n)x^{n-1}}
  

全一矩陣
  
    
      
        
          J
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{n}}
  
的極小多項式為
  
    
      
        (
        x
        −
        n
        )
        x
      
    
    {\displaystyle (x-n)x}
  

全一矩陣
  
    
      
        
          J
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{n}}
  
的秩為1、特徵值為
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
（代數重数為1）和0（代數重数為
  
    
      
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n-1}
  
）

  
    
      
        
          J
          
            k
          
        
        =
        
          n
          
            k
            −
            1
          
        
        J
      
    
    {\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}
  
，其中
  
    
      
        k
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        .
      
    
    {\displaystyle k=1,2,\ldots .}
  

全一矩陣
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
是阿達瑪乘積的單位元
當全一矩陣
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
在實矩陣運算時，以下附加性質成立：

全一矩陣
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
為半正定矩阵

  
    
      
        
          
            1
            n
          
        
        
          J
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n}}J_{n}}
  
為幂等矩阵
全一矩陣
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
的矩阵指数為
  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        
          J
          
            n
          
        
        )
        =
        I
        +
        
          
            
              
                e
                
                  n
                
              
              −
              1
            
            n
          
        
        
          J
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}}
  


應用 全一矩陣可以應用於數學領域中的組合學，特別是在涉及代數方法的圖論中。舉例來說，如果
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個頂點無向圖
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的鄰接矩陣，且
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
是與
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
相同維度的全一矩陣，則若
  
    
      
        A
        J
        =
        J
        A
      
    
    {\displaystyle AJ=JA}
  
時，
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
為正則圖，反之亦然。


參見 零矩陣
矩陣單元


參考文獻