八元数（英語：Octonion）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元数非结合推广的超複數，通常记为O或
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交错代数的特性，並保有冪結合性。
也许是因为八元数的乘法不具備结合性，因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑中也有应用。


歷史 八元數第一次被描述於1843年，於一封约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凯莱發表的時間稍晚一些。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凯莱是獨自發現八元數的，因此八元數又被稱為凯莱數或凯莱代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。


定义 八元数可以视为实数的八元组。八元数有多種構造方式。以凯莱-迪克森结构為例，八元数可以表達為2個四元數P與Q的組合，即 P+Q l 或
  
    
      
        
          p
          
            0
          
        
        +
        
          p
          
            1
          
        
        i
        +
        
          p
          
            2
          
        
        j
        +
        
          p
          
            3
          
        
        k
        +
        
          (
          
            
              q
              
                0
              
            
            +
            
              q
              
                1
              
            
            i
            +
            
              q
              
                2
              
            
            j
            +
            
              q
              
                3
              
            
            k
          
          )
        
        l
        
      
    
    {\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}
  
，其中，量l為其中一個八元数單位並滿足：

  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        
          j
          
            2
          
        
        =
        
          k
          
            2
          
        
        =
        
          l
          
            2
          
        
        =
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,}
  

在這種定義下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成

  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          x
          
            1
          
        
        
        i
        +
        
          x
          
            2
          
        
        
        j
        +
        
          x
          
            3
          
        
        
        k
        +
        
          x
          
            4
          
        
        
        l
        +
        
          x
          
            5
          
        
        
        i
        l
        +
        
          x
          
            6
          
        
        
        j
        l
        +
        
          x
          
            7
          
        
        
        k
        l
      
    
    {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}
  

其中系数xa是实数。
這些八元数單位亦滿足：

  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        
          j
          
            2
          
        
        =
        
          k
          
            2
          
        
        =
        
          l
          
            2
          
        
        =
        (
        i
        l
        
          )
          
            2
          
        
        =
        (
        j
        l
        
          )
          
            2
          
        
        =
        (
        k
        l
        
          )
          
            2
          
        
        =
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,}
  

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。

一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為ea的線性組合，其中 a=0, 1,..., 7 ：

  
    
      
        {
        
          e
          
            0
          
        
        ,
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        
          e
          
            3
          
        
        ,
        
          e
          
            4
          
        
        ,
        
          e
          
            5
          
        
        ,
        
          e
          
            6
          
        
        ,
        
          e
          
            7
          
        
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}
  

當中的
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0}}
  
為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數 x 都可以寫成以下形式：

  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            0
          
        
        
          e
          
            0
          
        
        +
        
          x
          
            1
          
        
        
          e
          
            1
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
        
        
          e
          
            3
          
        
        +
        
          x
          
            4
          
        
        
          e
          
            4
          
        
        +
        
          x
          
            5
          
        
        
          e
          
            5
          
        
        +
        
          x
          
            6
          
        
        
          e
          
            6
          
        
        +
        
          x
          
            7
          
        
        
          e
          
            7
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}
  

其中xi為單位元素ei的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出，其乘法表的結構與{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式（
  
    
      
        
          p
          
            0
          
        
        +
        
          p
          
            1
          
        
        i
        +
        
          p
          
            2
          
        
        j
        +
        
          p
          
            3
          
        
        k
        +
        
          (
          
            
              q
              
                0
              
            
            +
            
              q
              
                1
              
            
            i
            +
            
              q
              
                2
              
            
            j
            +
            
              q
              
                3
              
            
            k
          
          )
        
        l
        
      
    
    {\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}
  
）類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述：

除了主對角線上以及
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0}}
  
作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。
該表可總結如下：

  
    
      
        
          e
          
            i
          
        
        
          e
          
            j
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    e
                    
                      j
                    
                  
                  ,
                
                
                  
                    if 
                  
                  i
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    e
                    
                      i
                    
                  
                  ,
                
                
                  
                    if 
                  
                  j
                  =
                  0
                
              
              
                
                  −
                  
                    δ
                    
                      i
                      j
                    
                  
                  
                    e
                    
                      0
                    
                  
                  +
                  
                    ε
                    
                      i
                      j
                      k
                    
                  
                  
                    e
                    
                      k
                    
                  
                  ,
                
                
                  
                    otherwise
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
  

其中δij為克罗内克δ函数（當且僅當i = j時為1）、 εijk為完全反對稱張量，且當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365時，值為1。
然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle e_{0}=1}
  
八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素
  
    
      
        {
        
          e
          
            0
          
        
        ,
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        
          e
          
            3
          
        
        ,
        
          e
          
            4
          
        
        ,
        
          e
          
            5
          
        
        ,
        
          e
          
            6
          
        
        ,
        
          e
          
            7
          
        
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}
  
的符號來獲得。這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。
這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 e1e2 = e4的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法诺平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表en和
  
    
      
        i
        j
        k
        l
      
    
    {\displaystyle ijkl}
  
格式的矩陣。

此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為
  
    
      
        1
        ,
        i
        ,
        j
        ,
        k
        ,
        L
        ,
        m
        ,
        n
        ,
        o
      
    
    {\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o}
  
。


= 凯莱-迪克松构造 =

一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
和
  
    
      
        (
        c
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (c,d)}
  
的乘积定义为：

  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        (
        c
        ,
        d
        )
        =
        (
        a
        c
        −
        
          d
          
            ∗
          
        
        b
        ,
        d
        a
        +
        b
        
          c
          
            ∗
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}
  

其中
  
    
      
        
          z
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{*}}
  
表示四元数
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。


= 法诺平面记忆 =

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也視為一条直线），称为法诺平面。这些直线是有向的。七个点对应于Im(
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。
设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：

ab = c，ba = −c
以及它们的循环置换。这些规则

1是乘法单位元，
对于图中的每一个点，都有
  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle e^{2}=-1}
  

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
的一个子代数，与四元数
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {H} }
  
同构。


= 共轭、範数和逆元素 =
八元数

  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          x
          
            1
          
        
        
        i
        +
        
          x
          
            2
          
        
        
        j
        +
        
          x
          
            3
          
        
        
        k
        +
        
          x
          
            4
          
        
        
        l
        +
        
          x
          
            5
          
        
        
        i
        l
        +
        
          x
          
            6
          
        
        
        j
        l
        +
        
          x
          
            7
          
        
        
        k
        l
      
    
    {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}
  

的共轭为：

  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
        =
        
          x
          
            0
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        
        i
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
        j
        −
        
          x
          
            3
          
        
        
        k
        −
        
          x
          
            4
          
        
        
        l
        −
        
          x
          
            5
          
        
        
        i
        l
        −
        
          x
          
            6
          
        
        
        j
        l
        −
        
          x
          
            7
          
        
        
        k
        l
        .
      
    
    {\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}
  

當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為{e1, e2 ... e7}，則八元数的共轭可以簡化表示為：

  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            x
            ¯
          
        
        =
        
          x
          
            0
          
        
        
          e
          
            0
          
        
        −
        
          x
          
            i
          
        
        
          e
          
            i
          
        
        ,
         
        i
        =
        1
        ,
        2
        ⋯
        7
      
    
    {\displaystyle x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7}
  

共轭是
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
的一个对合，满足
  
    
      
        (
        x
        y
        
          )
          
            ∗
          
        
        =
        
          y
          
            ∗
          
        
        
          x
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
  
（注意次序的变化）。
x的实数部分定义为
  
    
      
        
          R
          e
        
        
          (
          x
          )
        
        =
        
          
            
              
                x
                +
                
                  x
                  
                    ∗
                  
                
              
              2
            
          
        
        =
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}}
  
，虚数部分定义为
  
    
      
        
          I
          m
        
        
          (
          x
          )
        
        =
        
          
            
              
                x
                −
                
                  x
                  
                    ∗
                  
                
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}}
  
。所有纯虚的八元数生成了
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
的一个七维子空间，记为Im(
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
)。
八元数x的範数可用與自身共軛的積
  
    
      
        ‖
        x
        
          ‖
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            ∗
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x}
  
來定義：

  
    
      
        ‖
        x
        ‖
        =
        
          
            
              x
              
                ∗
              
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}
  

在这里，平方根是定义良好的，因为
  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
        x
        =
        x
        
          x
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}
  
总是非负实数：

  
    
      
        ‖
        x
        
          ‖
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            ∗
          
        
        x
        =
        
          x
          
            0
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            4
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            5
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            6
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            7
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}
  

这个範数与
  
    
      
        
          
            R
          
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}
  
上的标准欧几里得範数是一致的。

  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
上範数的存在，意味着
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
的所有非零元素都存在逆元素。x = 0的逆元素为：

  
    
      
        
          x
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              x
              
                ∗
              
            
            
              ‖
              x
              
                ‖
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}
  

它满足
  
    
      
        x
        
          x
          
            −
            1
          
        
        =
        
          x
          
            −
            1
          
        
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}
  
。


性质 八元数的乘法既不是交换的：

  
    
      
        i
        j
        =
        −
        j
        i
        =
        j
        i
        
      
    
    {\displaystyle ij=-ji\neq ji\,}
  

也不是结合的：

  
    
      
        (
        i
        j
        )
        l
        =
        −
        i
        (
        j
        l
        )
        =
        i
        (
        j
        l
        )
        
      
    
    {\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,}
  

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数是结合的。实际上，我们可以证明，由
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
的任何两个元素所生成的子代数都与
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
、
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
或
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {H} }
  
同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。
八元数确实保留了
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
、
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
和
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {H} }
  
共同拥有的一个重要的性质：
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
上的範数满足

  
    
      
        ‖
        x
        y
        ‖
        =
        ‖
        x
        ‖
        ‖
        y
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}
  

这意味着八元数形成了一个非结合的赋範可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因為它们都存在零因子。
这样，实数域上唯一的赋範可除代数是
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
、
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
、
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {H} }
  
和
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数。
由于八元数不是结合的，因此
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。


= 自同构 =
八元数的自同构A，是
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
的可逆线性变换，满足：

  
    
      
        A
        (
        x
        y
        )
        =
        A
        (
        x
        )
        A
        (
        y
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,}
  

  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
的所有自同构的集合组成了一个群，称为G2。群G2是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是例外李群中最小的一个。


参见 双曲复数
四元数
十六元数
Spin(8)
PSL(2,7)──法诺平面的自同构群。


註釋 参考文献 延伸閱讀 Baez, John, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205  [2008-12-01], （原始内容存档于2008-12-09） .  Online HTML version at math.ucr.edu. （原始内容存档于2008-10-09）. 
Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . （Review. （原始内容存档于2016-09-10）. ）