交叉數不等式是數學的圖論分支中的一条不等式，給出了一幅图画在平面上时交叉數的下界；这一结论又名交叉数引理。給定一幅圖，該下界可由其邊數和頂點數計算出。不等式斷言，若邊數
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
与頂點數
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的比值大于某个常数，則交叉數不小于
  
    
      
        
          e
          
            3
          
        
        
          /
        
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{3}/n^{2}}
  
乘以另一个固定的常数。
交叉數不等式在超大规模集成电路設計與組合幾何方面有應用。其由奧伊陶伊·米克洛什、瓦茨拉夫·赫瓦塔爾、蒙提·紐邦、塞邁雷迪·安德烈四人以及湯姆森·雷頓分別獨立發現。


敍述及歷史 交叉數不等式說明，若無向簡單圖
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
恰有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個頂點和
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
條邊，且
  
    
      
        e
        >
        7
        n
      
    
    {\displaystyle e>7n}
  
，則交叉數
  
    
      
        
          cr
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{cr}}(G)}
  
（即將
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
畫在平面上時，邊的交點數的最小可能值）滿足不等式

  
    
      
        cr
        ⁡
        (
        G
        )
        ≥
        
          
            
              e
              
                3
              
            
            
              29
              
                n
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq {\frac {e^{3}}{29n^{2}}}.}
  

式中的常數
  
    
      
        29
      
    
    {\displaystyle 29}
  
為截至2019年所知最優。此為伊爾·艾克曼（Eyal Ackerman）的結果。
先前常數較弱的結果，可見Pach & Toth (1997)和Pach et al. (2006)。
条件中的常數
  
    
      
        7
      
    
    {\displaystyle 7}
  
也可以縮少至更佳的
  
    
      
        4
      
    
    {\displaystyle 4}
  
，但代價是
  
    
      
        29
      
    
    {\displaystyle 29}
  
要換成較差的
  
    
      
        64
      
    
    {\displaystyle 64}
  
。此版本的證明見後文。
注意式中交叉數
  
    
      
        
          cr
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{cr}}(G)}
  
與兩兩交叉數
  
    
      
        
          pair-cr
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)}
  
不同。如Pach & Toth (2000)指出，兩兩交叉數
  
    
      
        
          pair-cr
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)}
  
係指相交邊對的最小可能數，而交叉數
  
    
      
        
          cr
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{cr}}(G)}
  
係指由任意兩邊所成交叉點的最小可能數，從而
  
    
      
        
          pair-cr
        
        (
        G
        )
        ≤
        
          cr
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)\leq {\text{cr}}(G)}
  
。（一些作者可能假定圖的畫法中不允許兩條邊交叉多於一次，因此需要作出區分。）


應用 雷頓研究交叉數，是為了理論計算機科學中，超大型積體電路設計方面的應用。
此後，Szekely (1997)發現此不等式在關聯幾何方面有應用，能夠簡短地證明一些重要定理，例如塞邁雷迪－特羅特定理，其在已知平面上的點數和直線數時，給出關聯數（即點線對
  
    
      
        (
        p
        ,
        ℓ
        )
      
    
    {\displaystyle (p,\ell )}
  
的數目，其中
  
    
      
        p
        ∈
        ℓ
      
    
    {\displaystyle p\in \ell }
  
）的上界。證明方法是，先構造一幅圖，其頂點即為平面上的點，而邊則為同一直線上相鄰兩個關聯點之間的線段。倘若關聯數大於塞邁雷迪－特羅特的上界，則利用交叉數不等式可證，該圖的交叉數必多於直線的二元組數，但此為不可能（因為兩條直線只能交於獨一點）。此不等式同樣適用於證明貝克定理，即若平面上
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個點中，不存在線性多（即
  
    
      
        n
        
          /
        
        C
      
    
    {\displaystyle n/C}
  
）個點共線，則其兩兩連線產生平方多（即
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
        
          /
        
        K
      
    
    {\displaystyle n^{2}/K}
  
）條不重合的直線，其中
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
和
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
為正常數。
塔馬爾·戴伊類似地證明了幾何k-集數的上界。


證明 = 引理 =
先利用歐拉公式證明以下初步估計：若圖G恰有n個頂點和e條邊，則

  
    
      
        cr
        ⁡
        (
        G
        )
        ≥
        e
        −
        3
        n
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq e-3n.}
  

考慮
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的一個僅得
  
    
      
        
          cr
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{cr}}(G)}
  
個交叉的畫法。可以在每個交叉刪走其中一條邊，從而消除所有交叉。於是，剩下的邊組成一幅平面圖（因為不再有交叉），其邊數至少為
  
    
      
        e
        −
        
          cr
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle e-{\text{cr}}(G)}
  
，頂點數則仍舊為
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
。根據平面圖的歐拉公式，
  
    
      
        e
        −
        
          cr
        
        (
        G
        )
        ≤
        3
        n
      
    
    {\displaystyle e-{\text{cr}}(G)\leq 3n}
  
，所以上述估計成立。（更準確來說，對於
  
    
      
        n
        ≥
        3
      
    
    {\displaystyle n\geq 3}
  
，有
  
    
      
        e
        −
        
          cr
        
        (
        G
        )
        ≤
        3
        n
        −
        6
      
    
    {\displaystyle e-{\text{cr}}(G)\leq 3n-6}
  
。）


= 交叉數不等式 =
有了上述引理，就可以利用概率方法證明原來的交叉數不等式。設
  
    
      
        p
         
        (
        0
        <
        p
        <
        1
        )
      
    
    {\displaystyle p\ (0<p<1)}
  
為待定的概率參數，依如下步骤構造
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的隨機子图
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
：1. 以概率
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
独立随机选取
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的各个顶点；2. 若
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分別以
  
    
      
        
          e
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{H}}
  
、
  
    
      
        
          n
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{H}}
  
和
  
    
      
        
          
            cr
          
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\text{cr}}_{H}}
  
表示
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
的邊數、頂點數和交叉數。由於
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
是
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的子圖，
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的畫法已含有
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
的畫法。由引理，得

  
    
      
        
          cr
          
            H
          
        
        ≥
        
          e
          
            H
          
        
        −
        3
        
          n
          
            H
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cr} _{H}\geq e_{H}-3n_{H}.}
  

取期望值，可知

  
    
      
        
          E
        
        [
        
          cr
          
            H
          
        
        ]
        ≥
        
          E
        
        [
        
          e
          
            H
          
        
        ]
        −
        3
        
          E
        
        [
        
          n
          
            H
          
        
        ]
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} [\operatorname {cr} _{H}]\geq \mathbb {E} [e_{H}]-3\mathbb {E} [n_{H}].}
  

由於
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
中每個頂點选入
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
中的概率為
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，有
  
    
      
        
          E
        
        [
        
          n
          
            H
          
        
        ]
        =
        p
        n
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} [n_{H}]=pn}
  
。類似知
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
中每條邊入选
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
的概率為
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{2}}
  
（因為其兩端皆要入选
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
），所以
  
    
      
        
          E
        
        [
        
          e
          
            H
          
        
        ]
        =
        
          p
          
            2
          
        
        e
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} [e_{H}]=p^{2}e}
  
。最後，在
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的畫法中，每個交叉有
  
    
      
        
          p
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{4}}
  
的概率落入
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
，因為每個交叉牽涉四個頂點。（若從同一個頂點出發畫出兩條邊有交叉，則不妨將兩條邊第一次相交以後的部分對調，從而令交叉的數目變少。由於所考慮的畫法僅得
  
    
      
        
          cr
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{cr}}(G)}
  
個交叉，無法再減少交叉，所以每個交叉必由兩條無公共端點的邊組成。）因此，
  
    
      
        
          E
        
        [
        c
        
          r
          
            H
          
        
        ]
        =
        
          p
          
            4
          
        
        
          cr
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} [cr_{H}]=p^{4}{\text{cr}}(G)}
  
，於是上式可寫成

  
    
      
        
          p
          
            4
          
        
        cr
        ⁡
        (
        G
        )
        ≥
        
          p
          
            2
          
        
        e
        −
        3
        p
        n
        .
      
    
    {\displaystyle p^{4}\operatorname {cr} (G)\geq p^{2}e-3pn.}
  

現在取
  
    
      
        p
        =
        4
        n
        
          /
        
        e
        <
        1
      
    
    {\displaystyle p=4n/e<1}
  
（已設
  
    
      
        e
        >
        4
        n
      
    
    {\displaystyle e>4n}
  
），移項化簡得不等式

  
    
      
        cr
        ⁡
        (
        G
        )
        ≥
        
          
            
              e
              
                3
              
            
            
              64
              
                n
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq {\frac {e^{3}}{64n^{2}}}.}
  

以上論證對於
  
    
      
        e
        >
        7.5
        n
      
    
    {\displaystyle e>7.5n}
  
的情況可以將常數由
  
    
      
        64
      
    
    {\displaystyle 64}
  
改進到
  
    
      
        33.75
      
    
    {\displaystyle 33.75}
  
。


推廣 若圖的圍長大於
  
    
      
        2
        r
      
    
    {\displaystyle 2r}
  
且
  
    
      
        e
        ≥
        4
        n
      
    
    {\displaystyle e\geq 4n}
  
，Pach, Spencer & Toth (2000)將不等式改進成

  
    
      
        cr
        ⁡
        (
        G
        )
        ≥
        
          c
          
            r
          
        
        
          
            
              e
              
                r
                +
                2
              
            
            
              n
              
                r
                +
                1
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq c_{r}{\frac {e^{r+2}}{n^{r+1}}}.}
  

卡里姆·阿迪普拉西托將不等式推廣到高維情況： 若
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  
為單體複形，且其
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
維面數為
  
    
      
        
          f
          
            d
          
        
        (
        Δ
        )
      
    
    {\displaystyle f_{d}(\Delta )}
  
，
  
    
      
        (
        d
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (d-1)}
  
維面數為
  
    
      
        
          f
          
            d
            −
            1
          
        
        (
        Δ
        )
      
    
    {\displaystyle f_{d-1}(\Delta )}
  
，滿足
  
    
      
        
          f
          
            d
          
        
        (
        Δ
        )
        >
        (
        d
        +
        3
        )
        
          f
          
            d
            −
            1
          
        
        (
        Δ
        )
      
    
    {\displaystyle f_{d}(\Delta )>(d+3)f_{d-1}(\Delta )}
  
，則當
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  
映射到
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{2d}}
  
（將圖畫在平面上的高維類比）時，相交的
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
維面對的數目至少為

  
    
      
        
          
            
              
                f
                
                  d
                
                
                  d
                  +
                  2
                
              
              (
              Δ
              )
            
            
              (
              d
              +
              3
              
                )
                
                  d
                  +
                  2
                
              
              
                f
                
                  d
                  −
                  1
                
                
                  d
                  +
                  1
                
              
              (
              Δ
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {f_{d}^{d+2}(\Delta )}{(d+3)^{d+2}f_{d-1}^{d+1}(\Delta )}}.}
  


參考資料