在微分几何中，曲率半径R是曲率的倒数。 对于曲线上一点，曲率半径等于最贴近该点曲线的圆弧半径。 对于曲面上一点，曲率半径是最贴合该点的法向截面或其组合的圆弧半径。   


定义 对于空间曲线，曲率半径是曲率矢量的长度。
对于平面曲线，则曲率半径是曲线上固定一点的弧长的微分与切角的微分之比的绝对值

  
    
      
        R
        =
        
          |
          
            
              
                d
                s
              
              
                d
                φ
              
            
          
          |
        
        =
        
          
            1
            κ
          
        
      
    
    {\displaystyle R=\left\vert {ds \over d\varphi }\right\vert ={1 \over \kappa }}
  

而κ是曲率。


公式 = 二维 =

若曲线在笛卡尔坐标中为y(x) 作为函数图，则其曲率半径为（假设曲线可进行二阶微分）

  
    
      
        R
        =
        
          |
          
            
              
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      y
                      
                        ′
                        
                          
                          2
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    3
                    2
                  
                
              
              
                y
                ″
              
            
          
          |
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,}
  

其中
  
    
      
        
          y
          ′
        
        =
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}
  

  
    
      
        
          y
          ″
        
        =
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              y
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}
  
|z|为z的绝对值。
如果曲线是关于函数x(t)和y(t)的参数方程，则其曲率半径为

  
    
      
        R
        =
        
          |
          
            
              
                d
                s
              
              
                d
                φ
              
            
          
          |
        
        =
        
          |
          
            
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            x
                            ˙
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            y
                            ˙
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    3
                    2
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      ˙
                    
                  
                
                
                  
                    
                      y
                      ¨
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      y
                      ˙
                    
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      ¨
                    
                  
                
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|}
  

其中
  
    
      
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        ,
      
    
    {\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}
  

  
    
      
        
          
            
              x
              ¨
            
          
        
        =
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              x
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}
  

  
    
      
        
          
            
              y
              ˙
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              t
            
          
        
        ,
      
    
    {\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}
  

  
    
      
        
          
            
              y
              ¨
            
          
        
        =
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              y
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\textstyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}
  

由此启发，该结果可以表示为

  
    
      
        R
        =
        
          
            
              
                |
                
                  v
                
                |
              
              
                3
              
            
            
              |
              
                
                  v
                
                ×
                
                  
                    
                      v
                      ˙
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,}
  

其中

  
    
      
        
          |
          
            v
          
          |
        
        =
        
          
            |
          
        
        (
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        ,
        
          
            
              y
              ˙
            
          
        
        )
        
          
            |
          
        
        =
        R
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.}
  


= n维 =
若γ : ℝ → ℝn是ℝn中的参数方程曲线，则曲线上每个点的曲率半径ρ : ℝ → ℝ ，由此可知

  
    
      
        ρ
        =
        
          
            
              
                |
                
                  
                    γ
                  
                  ′
                
                |
              
              
                3
              
            
            
              
                
                  |
                  
                    
                      γ
                    
                    ′
                  
                  |
                
                
                  2
                
              
              
              
                
                  |
                  
                    
                      γ
                    
                    ″
                  
                  |
                
                
                  2
                
              
              −
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        γ
                      
                      ′
                    
                    ⋅
                    
                      
                        γ
                      
                      ″
                    
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}
  

特殊情况下，若f(t)是从ℝ映射到ℝ的函数，则其图象的曲率半径γ(t) = (t, f (t))为

  
    
      
        ρ
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              
                |
                
                  1
                  +
                  
                    f
                    
                      ′
                      
                        
                        2
                      
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
                |
              
              
                
                  3
                  2
                
              
            
            
              |
              
                
                  f
                  ″
                
                (
                t
                )
              
              |
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}
  


= 推导过程 =
令γ如上，并固定t 。我们想要找到一个与t处的γ零阶、一阶和二阶导数相匹配的参数方程圆的半径ρ 。显然，半径与位置γ(t) 无关，而与速度γ′(t)和加速度γ″(t) 有关。 由向量v和w只能获得三个独立标量，即v · v 、 v · w和w · w 。因此，曲率半径一定是关于这三个标量函数。即 |γ′(t)|2, |γ″(t)|2，γ′(t) · γ″(t) 。 
ℝn中圆的一般参数方程为

  
    
      
        
          g
        
        (
        u
        )
        =
        
          a
        
        cos
        ⁡
        (
        h
        (
        u
        )
        )
        +
        
          b
        
        sin
        ⁡
        (
        h
        (
        u
        )
        )
        +
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c} }
  

其中c ∈ ℝn是圆心（无关，因为它在求导过程中消失）， a,b ∈ ℝn是长度为ρ的相互垂直的向量（即， a · a = b · b = ρ2，a · b = 0 ), h : ℝ → ℝ是在t处可两次微分任意函数。
g的相关导数为

  
    
      
        
          
            
              
                
                  |
                
                
                  
                    g
                  
                  ′
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ρ
                  
                    2
                  
                
                (
                
                  h
                  ′
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    g
                  
                  ′
                
                ⋅
                
                  
                    g
                  
                  ″
                
              
              
                
                =
                
                  ρ
                  
                    2
                  
                
                
                  h
                  ′
                
                
                  h
                  ″
                
              
            
            
              
                
                  |
                
                
                  
                    g
                  
                  ″
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ρ
                  
                    2
                  
                
                
                  (
                  
                    (
                    
                      h
                      ′
                    
                    
                      )
                      
                        4
                      
                    
                    +
                    (
                    
                      h
                      ″
                    
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}
  

若现在将g的导数等同于t处γ的相应导数，可得

  
    
      
        
          
            
              
                
                  |
                
                
                  
                    γ
                  
                  ′
                
                (
                t
                )
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ρ
                  
                    2
                  
                
                
                  h
                  
                    ′
                    
                      
                      2
                    
                  
                
                (
                t
                )
              
            
            
              
                
                  
                    γ
                  
                  ′
                
                (
                t
                )
                ⋅
                
                  
                    γ
                  
                  ″
                
                (
                t
                )
              
              
                
                =
                
                  ρ
                  
                    2
                  
                
                
                  h
                  ′
                
                (
                t
                )
                
                  h
                  ″
                
                (
                t
                )
              
            
            
              
                
                  |
                
                
                  
                    γ
                  
                  ″
                
                (
                t
                )
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ρ
                  
                    2
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      h
                      
                        ′
                        
                          
                          4
                        
                      
                    
                    (
                    t
                    )
                    +
                    
                      h
                      
                        ″
                        
                          
                          2
                        
                      
                    
                    (
                    t
                    )
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}
  

关于三个未知数（ ρ 、 h′(t)和h″(t) ）的三个方程可以求解其中的ρ ，可得曲率半径的公式为：

  
    
      
        ρ
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              
                |
                
                  
                    
                      γ
                    
                    ′
                  
                  (
                  t
                  )
                
                |
              
              
                3
              
            
            
              
                
                  |
                  
                    
                      
                        γ
                      
                      ′
                    
                    (
                    t
                    )
                  
                  |
                
                
                  2
                
              
              
              
                
                  |
                  
                    
                      
                        γ
                      
                      ″
                    
                    (
                    t
                    )
                  
                  |
                
                
                  2
                
              
              −
              
                
                  (
                
              
              
                
                  γ
                
                ′
              
              (
              t
              )
              ⋅
              
                
                  γ
                
                ″
              
              (
              t
              )
              
                
                  
                    )
                  
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,}
  

提高可读性省略参数t ，可得

  
    
      
        ρ
        =
        
          
            
              
                |
                
                  
                    γ
                  
                  ′
                
                |
              
              
                3
              
            
            
              
                
                  |
                  
                    
                      γ
                    
                    ′
                  
                  |
                
                
                  2
                
              
              
              
                
                  |
                  
                    
                      γ
                    
                    ″
                  
                  |
                
                
                  2
                
              
              −
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        γ
                      
                      ′
                    
                    ⋅
                    
                      
                        γ
                      
                      ″
                    
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}
  


示例 = 半圆与圆 =
对于一个半径为a的在上半平面的半圆 

  
    
      
        
          
            
              
                y
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  y
                  ′
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      −
                      x
                    
                    
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  y
                  ″
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      −
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        (
                        
                          
                            a
                            
                              2
                            
                          
                          −
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        
                          3
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}y&={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\\y'&={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\\y''&={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,.\end{aligned}}}
  

对于一个半径为a的在下半平面的半圆 

  
    
      
        y
        =
        −
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,.}
  

该半径为a的圆有等于a的曲率半径。


= 椭圆 =
在长轴为2a短轴为2b的椭圆中, 长轴的顶点有该椭圆上最小的曲率半径, 
  
    
      
        R
        =
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            a
          
        
      
    
    {\textstyle R={b^{2} \over a}}
  
; 并且短轴的顶点有该椭圆上最大的曲率半径 R = a2/b。
令椭圆的曲率半径是关于参数t的方程, 即

  
    
      
        R
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              (
              
                b
                
                  2
                
              
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              t
              +
              
                a
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              t
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
            
              a
              b
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle R(t)={\frac {(b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t)^{3/2}}{ab}}\,,}
  

其中
  
    
      
        θ
        =
        
          tan
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          
            y
            x
          
        
        
          
            )
          
        
        =
        
          tan
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          
            b
            a
          
        
        
        tan
        
        t
        
          
            )
          
        
        
        .
      
    
    {\textstyle \theta =\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {y}{x}}{\Big )}=\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {b}{a}}\;\tan \;t{\Big )}\,.}
  

令椭圆的曲率半径是关于参数θ的方程, 即

  
    
      
        R
        (
        θ
        )
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            b
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            
              1
              −
              
                e
                
                  2
                
              
              (
              2
              −
              
                e
                
                  2
                
              
              )
              (
              cos
              ⁡
              θ
              
                )
                
                  2
                
              
              )
            
            
              1
              −
              
                e
                
                  2
                
              
              (
              cos
              ⁡
              θ
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            3
            
              /
            
            2
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,}
  

其中椭圆的偏心率e, 是

  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,.}
  


应用 在微分几何中使用，参见切萨罗方程
在地球的曲率半径（近似于扁椭球体）中使用；参见：弧度测量
曲率半径也在弯曲梁的三部分方程中使用
曲率半徑 (光学)
薄膜技术
印刷电子学
最小曲线半径
AFM 探测器


參考