在热力学和固体物理学中，德拜模型（英語：Debye model）是由彼得·德拜在1912年提出的方法，用于估算声子对固体的比热（热容）的贡献。德拜模型把原子晶格的振动（熱）当作盒中的聲子处理，而与此不同的爱因斯坦模型则将固体作为许多单独的、不相互作用的量子谐振子处理。德拜模型正确地预言了低温时固体的热容：与
  
    
      
        
          T
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{3}}
  
成正比（德拜
  
    
      
        
          T
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{3}}
  
定律）。与爱因斯坦模型一样，它在高温时也与杜隆-珀蒂定律相符合。但由于模型的简单假设，它在中间的温度不太准确。


推导 德拜模型是普朗克黑体辐射定律的固体版本，后者把电磁辐射视为盒中的光子气体，而德拜模型把原子的振动视为盒中的声子（盒子就是这块固体）。它们大部分的计算步骤都是相同的，因为声子气和光子气都是有线性色散关系的玻色气体。
考虑一个边长为
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
的立方体。从盒中粒子一文可知，盒中的（沿某一边长方向传播的）声波由于共振效应，其波长只能为：

  
    
      
        
          λ
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              2
              L
            
            n
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \lambda _{n}={2L \over n}\,,}
  

其中
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
是整数。一个声子的能量是：

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
         
        =
        h
        
          ν
          
            n
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle E_{n}\ =h\nu _{n}\,,}
  

其中
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
是普朗克常数，
  
    
      
        
          ν
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{n}}
  
是声子的频率。近似认为频率与波长成反比，则有：

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        h
        
          ν
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              h
              
                c
                
                  s
                
              
            
            
              λ
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              h
              
                c
                
                  s
                
              
              n
            
            
              2
              L
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle E_{n}=h\nu _{n}={hc_{s} \over \lambda _{n}}={hc_{s}n \over 2L}\,,}
  

其中
  
    
      
        
          c
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{s}}
  
是固体中的声速。推广到三维的情况（沿任意方向传播的声子）：

  
    
      
        
          E
          
            n
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              p
              
                n
              
            
          
          
            2
          
        
        
          
            
              c
              
                s
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  h
                  
                    c
                    
                      s
                    
                  
                
                
                  2
                  L
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              n
              
                x
              
              
                2
              
            
            +
            
              n
              
                y
              
              
                2
              
            
            +
            
              n
              
                z
              
              
                2
              
            
          
          )
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle E_{n}^{2}={p_{n}}^{2}{c_{s}}^{2}=\left({hc_{s} \over 2L}\right)^{2}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,.}
  

其中
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{n}}
  
为声子的动量。频率与波长成反比的近似（即声速恒定）对于低能量声子是准确的，但对于高能量声子则不然（参见声子）。这是德拜模型的局限之一，导致其对中间温度的预言不正确，而对低温和高温都很精确。
下面来计算盒中的总能量：

  
    
      
        U
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          E
          
            n
          
        
        
        
          
            
              N
              ¯
            
          
        
        (
        
          E
          
            n
          
        
        )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle U=\sum _{n}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,,}
  

其中
  
    
      
        
          
            
              N
              ¯
            
          
        
        (
        
          E
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\bar {N}}(E_{n})}
  
是盒中能量为
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}}
  
的声子的数目。换句话说，总能量等于某能量的声子数目乘以其能量再对各能量求和。在三维空间中，我们有：

  
    
      
        U
        =
        
          ∑
          
            
              n
              
                x
              
            
          
        
        
          ∑
          
            
              n
              
                y
              
            
          
        
        
          ∑
          
            
              n
              
                z
              
            
          
        
        
          E
          
            n
          
        
        
        
          
            
              N
              ¯
            
          
        
        (
        
          E
          
            n
          
        
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle U=\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}
  

这是德拜模型和普朗克黑体辐射定律的不同之处。与盒中的电磁辐射不一样，由于声子不能有无限大的频率，所以盒中声子只有有限个能量状态。它的频率由它的传播介质——固体的原子晶格所约束。考虑以下的横向声子的插图：

可以合理假设声子的最小波长是原子间距的两倍，如最下一图所示。固体中有
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
个原子，我们的固体是正方体，因此每一条边有
  
    
      
        
          
            N
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{N}}}
  
个原子，原子间距为
  
    
      
        L
        
          /
        
        
          
            N
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle L/{\sqrt[{3}]{N}}}
  
，从而最小波长为：

  
    
      
        
          λ
          
            
              m
              i
              n
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              L
            
            
              
                N
                
                  3
                
              
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \lambda _{\rm {min}}={2L \over {\sqrt[{3}]{N}}}\,,}
  

最大的模数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
（对于光子是无限大）为：

  
    
      
        
          n
          
            
              m
              a
              x
            
          
        
        =
        
          
            N
            
              3
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle n_{\rm {max}}={\sqrt[{3}]{N}}\,.}
  

这设置了三重能量求和的上限：

  
    
      
        U
        =
        
          ∑
          
            
              n
              
                x
              
            
          
          
            
              N
              
                3
              
            
          
        
        
          ∑
          
            
              n
              
                y
              
            
          
          
            
              N
              
                3
              
            
          
        
        
          ∑
          
            
              n
              
                z
              
            
          
          
            
              N
              
                3
              
            
          
        
        
          E
          
            n
          
        
        
        
          
            
              N
              ¯
            
          
        
        (
        
          E
          
            n
          
        
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle U=\sum _{n_{x}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{y}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{z}}^{\sqrt[{3}]{N}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}
  

对于缓慢变化的、表现良好的函数，求和可以用积分来代替（又称为托马斯-费米近似）：

  
    
      
        U
        ≈
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              N
              
                3
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              N
              
                3
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              N
              
                3
              
            
          
        
        E
        (
        n
        )
        
        
          
            
              N
              ¯
            
          
        
        
          (
          
            E
            (
            n
            )
          
          )
        
        
        d
        
          n
          
            x
          
        
        
        d
        
          n
          
            y
          
        
        
        d
        
          n
          
            z
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle U\approx \int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{\bar {N}}\left(E(n)\right)\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}
  

至此，我们还没有提到
  
    
      
        
          
            
              N
              ¯
            
          
        
        (
        E
        )
      
    
    {\displaystyle {\bar {N}}(E)}
  
：能量为
  
    
      
        E
        
      
    
    {\displaystyle E\,}
  
的声子的数目。声子服从玻色-爱因斯坦统计。它们的分布由著名的玻色-爱因斯坦公式给出：

  
    
      
        ⟨
        N
        
          ⟩
          
            B
            E
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                e
                
                  E
                  
                    /
                  
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \langle N\rangle _{BE}={1 \over e^{E/kT}-1}\,.}
  

由于一个声子有三个可能的偏振态（一个纵向、两个横向，大致携带相同的能量），需把以上公式乘以3：

  
    
      
        
          
            
              N
              ¯
            
          
        
        (
        E
        )
        =
        
          
            3
            
              
                e
                
                  E
                  
                    /
                  
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\bar {N}}(E)={3 \over e^{E/kT}-1}\,.}
  

实际上我们可以定义等效声速
  
    
      
        
          c
          
            s
          
        
        :=
        
          c
          
            
              e
              f
              f
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{s}:=c_{\rm {eff}}}
  
，也就是说，德拜温度
  
    
      
        
          T
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{d}}
  
（见下文）与
  
    
      
        
          c
          
            
              e
              f
              f
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{\rm {eff}}}
  
成正比。更加精确地讲，
  
    
      
        
          T
          
            D
          
          
            −
            3
          
        
        ∝
        
          c
          
            
              e
              f
              f
            
          
          
            −
            3
          
        
        :=
        (
        1
        
          /
        
        3
        )
        
          c
          
            
              l
              o
              n
              g
            
          
          
            −
            3
          
        
        +
        (
        2
        
          /
        
        3
        )
        
          c
          
            
              t
              r
              a
              n
              s
            
          
          
            −
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{D}^{-3}\propto c_{\rm {eff}}^{-3}:=(1/3)c_{\rm {long}}^{-3}+(2/3)c_{\rm {trans}}^{-3}}
  
，其中我们区分了纵向和横向的声波速度（贡献分别为1/3和2/3）。德拜温度或有效声速是晶体的硬度的一种衡量。
把此式代入能量积分，得：

  
    
      
        U
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              N
              
                3
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              N
              
                3
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              N
              
                3
              
            
          
        
        E
        (
        n
        )
        
        
          
            3
            
              
                e
                
                  E
                  (
                  n
                  )
                  
                    /
                  
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        
          n
          
            x
          
        
        
        d
        
          n
          
            y
          
        
        
        d
        
          n
          
            z
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle U=\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}
  

这比光子的情况容易得多，因为（在半经典式的处理中）光子的频率（也即这个三重积分）是无上界的。但如上面图所示，这一点对于声子不成立。为了近似计算这个三重积分，德拜使用了球坐标系：

  
    
      
         
        (
        
          n
          
            x
          
        
        ,
        
          n
          
            y
          
        
        ,
        
          n
          
            z
          
        
        )
        =
        (
        n
        cos
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        ϕ
        ,
        n
        cos
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        ϕ
        ,
        n
        sin
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \ (n_{x},n_{y},n_{z})=(n\cos \theta \cos \phi ,n\cos \theta \sin \phi ,n\sin \theta )}
  

并用八分之一球（球在一个卦限内的部分）来近似代替立方体：

  
    
      
        U
        ≈
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
            
              /
            
            2
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
            
              /
            
            2
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            R
          
        
        E
        (
        n
        )
        
        
          
            3
            
              
                e
                
                  E
                  (
                  n
                  )
                  
                    /
                  
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        
          n
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        
        d
        n
        
        d
        θ
        
        d
        ϕ
        
        ,
      
    
    {\displaystyle U\approx \int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{R}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}n^{2}\sin \theta \,dn\,d\theta \,d\phi \,,}
  

其中
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
是球的半径，通过保持立方体和八分之一球中的粒子数目相同来得出。立方体的体积是
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
： 

  
    
      
        N
        =
        
          
            1
            8
          
        
        
          
            4
            3
          
        
        π
        
          R
          
            3
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle N={1 \over 8}{4 \over 3}\pi R^{3}\,,}
  

因此：

  
    
      
        R
        =
        
          
            
              
                6
                N
              
              π
            
            
              3
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}\,.}
  

用球的积分来代替立方体积分这一近似是德拜模型不准确性的另一来源。
先积分掉角向部分：

  
    
      
        U
        =
        
          
            
              3
              π
            
            2
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            R
          
        
        
        
          
            
              h
              
                c
                
                  s
                
              
              n
            
            
              2
              L
            
          
        
        
          
            
              n
              
                2
              
            
            
              
                e
                
                  h
                  
                    c
                    
                      s
                    
                  
                  n
                  
                    /
                  
                  2
                  L
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        n
      
    
    {\displaystyle U={3\pi  \over 2}\int _{0}^{R}\,{hc_{s}n \over 2L}{n^{2} \over e^{hc_{s}n/2LkT}-1}\,dn}
  

再利用变量代换
  
    
      
        x
        =
        
          
            
              h
              
                c
                
                  s
                
              
              n
            
            
              2
              L
              k
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x={hc_{s}n \over 2LkT}}
  
：

  
    
      
        U
        =
        
          
            
              3
              π
            
            2
          
        
        k
        T
        
          
            (
            
              
                
                  2
                  L
                  k
                  T
                
                
                  h
                  
                    c
                    
                      s
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            h
            
              c
              
                s
              
            
            R
            
              /
            
            2
            L
            k
            T
          
        
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle U={3\pi  \over 2}kT\left({2LkT \over hc_{s}}\right)^{3}\int _{0}^{hc_{s}R/2LkT}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx}
  

为简化表达式，可以定义德拜温度
  
    
      
        
          T
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{D}}
  
——它的量纲与温度相同，因物质而异：

  
    
      
        
          T
          
            D
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              h
              
                c
                
                  s
                
              
              R
            
            
              2
              L
              k
            
          
        
        =
        
          
            
              h
              
                c
                
                  s
                
              
            
            
              2
              L
              k
            
          
        
        
          
            
              
                6
                N
              
              π
            
            
              3
            
          
        
        =
        
          
            
              h
              
                c
                
                  s
                
              
            
            
              2
              k
            
          
        
        
          
            
              
                
                  6
                  π
                
              
              
                
                  N
                  V
                
              
            
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{D}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {hc_{s}R \over 2Lk}={hc_{s} \over 2Lk}{\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}={hc_{s} \over 2k}{\sqrt[{3}]{{6 \over \pi }{N \over V}}}}
  

于是比内能为：

  
    
      
        
          
            U
            
              N
              k
            
          
        
        =
        9
        T
        
          
            (
            
              
                T
                
                  T
                  
                    D
                  
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              T
              
                D
              
            
            
              /
            
            T
          
        
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
        =
        3
        T
        
          D
          
            3
          
        
        
          (
          
            
              
                T
                
                  D
                
              
              T
            
          
          )
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {U}{Nk}}=9T\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx=3TD_{3}\left({T_{D} \over T}\right)\,,}
  

其中
  
    
      
        
          D
          
            3
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle D_{3}(x)}
  
是（第三）德拜函数。
对
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
微分，我们便得到无量纲热容：

  
    
      
        
          
            
              C
              
                V
              
            
            
              N
              k
            
          
        
        =
        9
        
          
            (
            
              
                T
                
                  T
                  
                    D
                  
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              T
              
                D
              
            
            
              /
            
            T
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  4
                
              
              
                e
                
                  x
                
              
            
            
              
                (
                
                  
                    e
                    
                      x
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}=9\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx\,.}
  

这个公式给出了任何温度下德拜模型的结果。下面更简单的公式给出了低温和高温极限下的渐近表现。前面已经提到，这两个渐进表现是精确的，而中间温度的表现则不然。其根本原因在于，低温和高温近似下，德拜模型都给出了其一，低频下精确的色散关系
  
    
      
        E
        (
        ν
        )
      
    
    {\displaystyle E(\nu )}
  
，其二，精确的状态密度（单位频率间隔内的声子数目）
  
    
      
        (
        ∫
        g
        (
        ν
        )
        
        
          
            d
            ν
          
        
        ≡
        3
        N
        )
      
    
    {\displaystyle (\int g(\nu )\,{\rm {d\nu }}\equiv 3N)}
  
。


德拜的推导 实际上，德拜用不同且更简单的方法推出了这个公式。利用连续介质的固体力学，他发现频率小于某个特定值的振动状态的数目趋近于：

  
    
      
        n
        ∼
        
          
            1
            3
          
        
        
          ν
          
            3
          
        
        V
        F
        
        ,
      
    
    {\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}
  

其中
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
是体积，
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
是一个从弹性系数和密度计算出的因子。把这与温度T的量子谐振子的期望能量（已经由爱因斯坦在他的模型中使用）结合，便给出能量：

  
    
      
        U
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        
          
            
              h
              
                ν
                
                  3
                
              
              V
              F
            
            
              
                e
                
                  h
                  ν
                  
                    /
                  
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        ν
        
        ,
      
    
    {\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}
  

如果振动频率趋于无穷大。这个形式给出了
  
    
      
        
          T
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{3}}
  
的表现，它在低温时是正确的。但德拜意识到N个原子不可能有超过
  
    
      
        3
        N
      
    
    {\displaystyle 3N}
  
个振动状态。他假设在原子固体中，振动状态的频谱将继续遵循以上的规则，直到一个最大频率
  
    
      
        
          ν
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{m}}
  
使得总的状态数目为
  
    
      
        3
        N
      
    
    {\displaystyle 3N}
  
为止：

  
    
      
        3
        N
        =
        
          
            1
            3
          
        
        
          ν
          
            m
          
          
            3
          
        
        V
        F
        
        .
      
    
    {\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}
  

德拜知道这个假设不是真正正确的（较高的频率比假设要更加密集），但它保证了高温时的正确表现（杜隆-珀蒂定律）。于是，能量由以下给出：

  
    
      
        U
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              ν
              
                m
              
            
          
        
        
        
          
            
              h
              
                ν
                
                  3
                
              
              V
              F
            
            
              
                e
                
                  h
                  ν
                  
                    /
                  
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        ν
        
        ,
      
    
    {\displaystyle U=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}
  

  
    
      
        =
        V
        F
        k
        T
        (
        k
        T
        
          /
        
        h
        
          )
          
            3
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              T
              
                D
              
            
            
              /
            
            T
          
        
        
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
        
        ,
      
    
    {\displaystyle =VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,}
  

其中
  
    
      
        
          T
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{D}}
  
是
  
    
      
        h
        
          ν
          
            m
          
        
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle h\nu _{m}/k}
  
。

  
    
      
        =
        9
        N
        k
        T
        (
        T
        
          /
        
        
          T
          
            D
          
        
        
          )
          
            3
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              T
              
                D
              
            
            
              /
            
            T
          
        
        
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
        
        ,
      
    
    {\displaystyle =9NkT(T/T_{D})^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,}
  

  
    
      
        =
        3
        N
        k
        T
        
          D
          
            3
          
        
        (
        
          T
          
            D
          
        
        
          /
        
        T
        )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle =3NkTD_{3}(T_{D}/T)\,,}
  

其中
  
    
      
        
          D
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{3}}
  
是一个函数，后来命名为三阶德拜函数。


低温极限 德拜固体的温度称为低的，如果
  
    
      
        T
        ≪
        
          T
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle T\ll T_{D}}
  
，在这个情况下：

  
    
      
        
          
            
              C
              
                V
              
            
            
              N
              k
            
          
        
        ∼
        9
        
          
            (
            
              
                T
                
                  T
                  
                    D
                  
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  4
                
              
              
                e
                
                  x
                
              
            
            
              
                (
                
                  
                    e
                    
                      x
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int _{0}^{\infty }{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx}
  

这个定积分可以精确计算：

  
    
      
        
          
            
              C
              
                V
              
            
            
              N
              k
            
          
        
        ∼
        
          
            
              12
              
                π
                
                  4
                
              
            
            5
          
        
        
          
            (
            
              
                T
                
                  T
                  
                    D
                  
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim {12\pi ^{4} \over 5}\left({T \over T_{D}}\right)^{3}}
  

在低温极限中，德拜模型的局限不适用，它给出了（声子）热容、温度、弹性系数，以及每个原子的体积（后面的数量是包含在德拜温度之中的）之间的正确关系。


高温极限 德拜固体的温度称为高的，如果
  
    
      
        T
        ≫
        
          T
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle T\gg T_{D}}
  
。
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        −
        1
        ≈
        x
      
    
    {\displaystyle e^{x}-1\approx x}
  
如果
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <<
        1
      
    
    {\displaystyle |x|<<1}
  
，得出：

  
    
      
        
          
            
              C
              
                V
              
            
            
              N
              k
            
          
        
        ∼
        9
        
          
            (
            
              
                T
                
                  T
                  
                    D
                  
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              T
              
                D
              
            
            
              /
            
            T
          
        
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}{x^{4} \over x^{2}}\,dx}
  

  
    
      
        
          
            
              C
              
                V
              
            
            
              N
              k
            
          
        
        ∼
        3
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 3\,.}
  

这就是杜隆-珀蒂定律，它是相当准确的，虽然它没有考虑非谐性，这造成了热容进一步上升。如果固体是导体或半导体，那么它的总热容还可能含有电子的不可忽略的贡献。


参见 玻色气体
盒中气体


参考文献 外部链接 用低温恒温器来决定石英的比热、热导率和电导率 （页面存档备份，存于互联网档案馆）