在数学中，重言 1-形式（Tautological one-form）是流形 Q 的余切丛 
  
    
      
        
          T
          
            ∗
          
        
        Q
      
    
    {\displaystyle T^{*}Q}
  
 上一个特殊的 1-形式。这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了 
  
    
      
        
          T
          
            ∗
          
        
        Q
      
    
    {\displaystyle T^{*}Q}
  
 的辛流形结构。重言 1-形式在哈密顿力学与拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有时也称为刘维尔 1-形式，典范 1-形式，或者辛势能。一个类似的对象是切丛上的典范向量场。
在典范坐标中，重言 1-形式由下式给出：

  
    
      
        θ
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        d
        
          q
          
            i
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \theta =\sum _{i}p_{i}dq^{i}\ .}
  

在差一个全微分（恰当形式）的意义下，相空间中的任何“保持”典范 1-形式结构的坐标系，可以称之为典范坐标；不同典范坐标之间的变换称为典范变换。
典范辛形式由

  
    
      
        ω
        =
        −
        d
        θ
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        d
        
          q
          
            i
          
        
        ∧
        d
        
          p
          
            i
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}\ ,}
  

给出。


无坐标定义 重言 1-形式可以相当抽象地定义为相空间上一个 1-形式。设 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 是一个流形，
  
    
      
        M
        =
        
          T
          
            ∗
          
        
        Q
      
    
    {\displaystyle M=T^{*}Q}
  
 是其余切空间或者说相空间。设

  
    
      
        π
        :
        M
        →
        Q
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \pi :M\to Q\ ,}
  

是典范纤维丛投影，令

  
    
      
        
          T
          
            π
          
        
        :
        T
        M
        →
        T
        Q
         
        ,
      
    
    {\displaystyle T_{\pi }:TM\to TQ\ ,}
  

是 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
 诱导的前推。设 m 是 M 上一点，然而因为 M 是余切丛，我们可将 m 理解为切空间上一个函数，在 
  
    
      
        q
        =
        π
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle q=\pi (m)}
  
 点为：

  
    
      
        m
        :
        
          T
          
            q
          
        
        Q
        →
        
          R
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle m:T_{q}Q\to \mathbb {R} \ .}
  

这样，我们便有 m 是在 q 点的纤维中。重言 1-形式 
  
    
      
        
          θ
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{m}}
  
 在点 m 定义为

  
    
      
        
          θ
          
            m
          
        
        =
        m
        ∘
        
          T
          
            π
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \theta _{m}=m\circ T_{\pi }\ .}
  

这是一个线性函数

  
    
      
        
          θ
          
            m
          
        
        :
        
          T
          
            m
          
        
        M
        →
        
          R
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} \ ,}
  

所以

  
    
      
        θ
        :
        T
        M
        →
        
          R
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \theta :TM\to \mathbb {R} \ ,}
  

是流形 
  
    
      
        M
        =
        
          T
          
            ∗
          
        
        Q
      
    
    {\displaystyle M=T^{*}Q}
  
 上一个 1-形式。不难验证这种定义和上一节局部坐标的定义是相同的。


性质 重言 1-形式是惟一“消去”拉回的 1-形式。这便是说：若

  
    
      
        β
        :
        Q
        →
        
          T
          
            ∗
          
        
        Q
      
    
    {\displaystyle \beta :Q\to T^{*}Q}
  

是 Q 上任意一个 1-形式，而 
  
    
      
        
          β
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ^{*}}
  
 是其拉回。那么

  
    
      
        
          β
          
            ∗
          
        
        θ
        =
        β
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta \ ,}
  

以及

  
    
      
        
          β
          
            ∗
          
        
        ω
        =
        −
        d
        β
         
        .
      
    
    {\displaystyle \beta ^{*}\omega =-d\beta \ .}
  

这些都可以用上一节的定义直接得到，如果写成局部坐标的形式就最好理解：

  
    
      
        
          β
          
            ∗
          
        
        θ
        =
        
          β
          
            ∗
          
        
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        d
        
          q
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          β
          
            ∗
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        d
        
          q
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          β
          
            i
          
        
        d
        
          q
          
            i
          
        
        =
        β
         
        .
      
    
    {\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ^{*}\sum _{i}p_{i}dq^{i}=\sum _{i}\beta ^{*}p_{i}dq^{i}=\sum _{i}\beta _{i}dq^{i}=\beta \ .}
  


作用量 如果 H 是余切丛上一个哈密顿向量场，而 
  
    
      
        
          X
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{H}}
  
 是其哈密顿流，那么相应的作用量 S 为

  
    
      
        S
        =
        θ
        (
        
          X
          
            H
          
        
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle S=\theta (X_{H})\ .}
  

用普通的方式表述，哈密顿流代表了一个力学系统在哈密顿-雅可比方程限制下的轨道。哈密顿流是哈密顿向量场的积分曲线，所以我们用作用量-角度坐标传统记法：

  
    
      
        S
        (
        E
        )
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        ∮
        
          p
          
            i
          
        
        
        d
        
          q
          
            i
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}\ ,}
  

这里积分理解为在流形上的维持能量 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 为常数 
  
    
      
        H
        =
        E
        =
        
          const
        
      
    
    {\displaystyle H=E={\text{const}}}
  
 的子集上进行。


在度量空间上 如果流形 Q 有一个黎曼或者伪黎曼度量 g，那么相应的定义可以用广义坐标写出。特别地，如果我们取度量为映射

  
    
      
        g
        :
        T
        Q
        →
        
          T
          
            ∗
          
        
        Q
         
        ,
      
    
    {\displaystyle g:TQ\to T^{*}Q\ ,}
  

这样便定义了

  
    
      
        Θ
        =
        
          g
          
            ∗
          
        
        θ
      
    
    {\displaystyle \Theta =g^{*}\theta }
  

和

  
    
      
        Ω
        =
        −
        d
        Θ
        =
        
          g
          
            ∗
          
        
        ω
      
    
    {\displaystyle \Omega =-d\Theta =g^{*}\omega }
  

在 TQ 上的广义坐标中 
  
    
      
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}
  
 ，我们有

  
    
      
        Θ
        =
        
          ∑
          
            i
            j
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        d
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}}
  

以及

  
    
      
        Ω
        =
        
          ∑
          
            i
            j
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
        d
        
          q
          
            i
          
        
        ∧
        d
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            j
          
        
        +
        
          ∑
          
            i
            j
            k
          
        
        
          
            
              ∂
              
                g
                
                  i
                  j
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  k
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        
        d
        
          q
          
            j
          
        
        ∧
        d
        
          q
          
            k
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}\ .}
  

度量使我们可定义 
  
    
      
        
          T
          
            ∗
          
        
        Q
      
    
    {\displaystyle T^{*}Q}
  
 上的一个单位半径球面（丛）。典范 1-形式限制到这些球面上组成了一个切触结构；这个切触结构可以用来生成关于这个度量的测地流。


又见 基本类


参考文献 Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.
贺龙广，辛几何与泊松几何引论，首都师范大学出版社，2001年，ISBN 7-81064-249-9