在物理學中，圓周運動（英語：Circular motion）是指运动轨迹为圆或圆的一部分的一种运动。
圓周運動的例子有：一個轨道为圆的人造衛星的运动、一个電子垂直地進入一個均勻的磁場时所做的运动等等。
一个质点的圆周运动可以按轨道的切線和垂直轨道的法線这两个方向来分解。
质点的加速度在切向的分量称为切線加速度。切線加速度改变质点沿轨道运动的线速度的大小，不改变方向。加速度在法線的分量成为法線加速度。由于在圆周运动中，法線加速度始终指向圆心，所以此加速度又称向心加速度。向心加速度改变质点速度的方向，不改变大小。
切線加速度大小为零的运动称为匀速圆周运动。
对于匀速圆周运动，符合以下方程和分量方程：


= 常用公式 =

  
    
      
        θ
        =
        ω
        t
         
      
    
    {\displaystyle \theta =\omega t\ }
  

  
    
      
        a
        =
        r
        
          ω
          
            2
          
        
         
      
    
    {\displaystyle a=r\omega ^{2}\ }
  

  
    
      
        
          ω
        
      
      =
      
        
          
            2
            π
          
          
             
            T
             
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega }={2\pi  \over \ T\ }
  

其中
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
为速度，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
为向心加速度, 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
为周期，
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
为角速度（单位：rad/s）。


= 分量方程 =
在运动平面中建立平面直角坐标系，并以圆心为原点，初位置的位置矢量
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
  
的方向为
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
轴正方向。


 位移  |
          
            
              
                x
                →
              
            
          
          |
        
        =
        r
        cos
        ⁡
        θ
        =
        r
        cos
        ⁡
        ω
        t
      
    
    {\displaystyle \left|{\vec {x}}\right|=r\cos \theta =r\cos \omega t}
  

  
    
      
        
          |
          
            
              
                y
                →
              
            
          
          |
        
        =
        r
        sin
        ⁡
        θ
        =
        r
        sin
        ⁡
        ω
        t
      
    
    {\displaystyle \left|{\vec {y}}\right|=r\sin \theta =r\sin \omega t}
  


 速度  |
          
            
              
                
                  V
                  →
                
              
            
            
              x
            
          
          |
        
        =
        
          
            
              d
              
                
                  
                    x
                    →
                  
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              r
              cos
              ⁡
              θ
            
            
              d
              θ
            
          
        
        
          
            
              d
              θ
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        −
        r
        ω
        sin
        ⁡
        ω
        t
      
    
    {\displaystyle \left|{\vec {V}}_{x}\right|={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\frac {dr\cos \theta }{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}=-r\omega \sin \omega t}
  

  
    
      
        
          |
          
            
              
                
                  V
                  →
                
              
            
            
              y
            
          
          |
        
        =
        
          
            
              d
              
                
                  
                    y
                    →
                  
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              r
              sin
              ⁡
              θ
            
            
              d
              θ
            
          
        
        
          
            
              d
              θ
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        r
        ω
        cos
        ⁡
        ω
        t
      
    
    {\displaystyle \left|{\vec {V}}_{y}\right|={\frac {d{\vec {y}}}{dt}}={\frac {dr\sin \theta }{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}=r\omega \cos \omega t}
  

  
    
      
        ω
        =
        
          
            
              d
              θ
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}}
  


 加速度  a
                →
              
            
          
          
            x
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                
                  
                    
                      V
                      →
                    
                  
                
                
                  x
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        
          ω
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        ω
        t
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}_{x}={\frac {d{\vec {V}}_{x}}{dt}}=-{\vec {r}}\omega ^{2}\cos \omega t}
  

  
    
      
        
          
            
              
                a
                →
              
            
          
          
            y
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                
                  
                    
                      V
                      →
                    
                  
                
                
                  y
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        
          ω
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        ω
        t
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}_{y}={\frac {d{\vec {V}}_{y}}{dt}}=-{\vec {r}}\omega ^{2}\sin \omega t}
  

  
    
      
        
          |
          
            
              
                a
                →
              
            
          
          |
        
        =
        
          
            
              a
              
                x
              
              
                2
              
            
            +
            
              a
              
                y
              
              
                2
              
            
          
        
        =
        r
        
          ω
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            r
          
        
        =
        
          
            
              4
              
                π
                
                  2
                
              
              r
            
            
              T
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}=r\omega ^{2}={\frac {v^{2}}{r}}={\frac {4\pi ^{2}r}{T^{2}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              ω
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
              
                
                  
                    r
                    →
                  
                
              
            
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}={\frac {2\pi {\vec {r}}}{T}}}
  


动力学分析 将做圆周运动的质点受到的合力
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
分解为切向力
  
    
      
        
          F
          
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{\tau }}
  
和法向力
  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{n}}
  
。
切向力产生切向加速度：

  
    
      
        
          F
          
            τ
          
        
        =
        m
        
          a
          
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{\tau }=ma_{\tau }}
  

法向力产生法向加速度:

  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
        =
        m
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{n}=ma_{n}}
  

当质点做匀速圆周运动时，质点受到的合外力
  
    
      
        F
        =
        
          F
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle F=F_{n}}
  
，此时
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
又称向心力。


物理量 假设一个1千克的物体，以角速度1 rad·s−1沿半径为1 m的匀速圆周运动。

该物体的速率为1 m·s−1
向心加速度为1 m·s−2
该物体受到的向心力为1 kg·m·s−2，即1牛顿
该物体的动量为1 kg·m·s−1
转动惯量为1 kg·m2
角动量为1 kg·m2·s−1
动能为
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
  
焦耳
轨道的周长为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
 (≈6.283)米
运动的周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
秒
频率为
  
    
      
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}
  
赫兹
從量子力學的觀點，系統在受激態的量子數大約為～9.48×1035。
然后假设一个质量为
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
的物体，以角速度
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
沿半径为r的圆周运动。

速度
  
    
      
        v
        =
        r
        ω
      
    
    {\displaystyle v=r\omega }
  

向心加速度
  
    
      
        a
        =
        r
        
          ω
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle a=r\omega ^{2}={\frac {v^{2}}{r}}}
  

向心力
  
    
      
        F
        =
        m
        a
        =
        r
        m
        
          ω
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              m
              
                v
                
                  2
                
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle F=ma=rm\omega ^{2}={\frac {mv^{2}}{r}}}
  

物体的动量
  
    
      
        p
        =
        m
        v
        =
        r
        m
        ω
      
    
    {\displaystyle p=mv=rm\omega }
  

转动惯量
  
    
      
        I
        =
        
          r
          
            2
          
        
        m
      
    
    {\displaystyle I=r^{2}m}
  

角动量
  
    
      
        L
        =
        r
        m
        v
        =
        
          r
          
            2
          
        
        m
        ω
        =
        I
        ω
      
    
    {\displaystyle L=rmv=r^{2}m\omega =I\omega }
  

动能
  
    
      
        E
        =
        
          
            
              m
              
                v
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                r
                
                  2
                
              
              m
              
                ω
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        =
        
          
            
              I
              
                ω
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              L
              
                2
              
            
            
              2
              I
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {r^{2}m\omega ^{2}}{2}}={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}={\frac {L^{2}}{2I}}}
  

轨道周长为
  
    
      
        2
        π
        r
      
    
    {\displaystyle 2\pi r}
  

运动周期
  
    
      
        T
        =
        
          
            
              2
              π
            
            ω
          
        
      
    
    {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}
  

频率
  
    
      
        f
        =
        
          
            1
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle f={\frac {1}{T}}}
  
. (常用希腊字母ν表示频率，但为了与表示速度的符号
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
区分，这里使用
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
表示频率)
量子数
  
    
      
        J
        =
        
          
            
              2
              π
              L
            
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle J={\frac {2\pi L}{h}}}
  
（
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
是普朗克常数）


变速圆周运动 一般地，将作圆周运动的物体所受的合力分解为向心力（垂直于速度方向）和切向力（沿速度方向，使物体速度大小发生变化）。而物体在这两个方向上满足牛顿第二定律。
向心力的大小：

  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
        =
        m
        
          a
          
            n
          
        
        =
        m
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{n}=ma_{n}=m{\frac {v^{2}}{r}}}
  

  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
是物体的速度，
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
是运动轨迹的半径。


圆周运动的极坐标描述 在圓周運動時，物體沿著一個曲率半徑固定的曲線運動。

  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
  
 徑向量為：

  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        R
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}=R{\vec {e}}_{R}}
  
 此處 
  
    
      
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}_{R}}
  
 是平行於徑向量的單位向量。
在極座標中，物體的速度可以用兩個分量表示：徑向分量和切線分量。當圓的半徑為常數且徑向分量的速度為零，則速度:

  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        R
        
          
            
              φ
              ˙
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}=R{\dot {\varphi }}\cdot {\vec {e}}_{\varphi }}
  

所以 
  
    
      
        
          v
          
            φ
          
        
        =
        R
        ω
      
    
    {\displaystyle v_{\varphi }=R\omega }
  

物體的加速度也可以分解成徑向分量及切線分量：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  v
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        =
        −
        R
        
          
            
              
                φ
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            R
          
        
        +
        R
        
          
            
              φ
              ¨
            
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}=-R{\dot {\varphi }}^{2}{\vec {e}}_{R}+R{\ddot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }}
  

我們可以看到向心加速度是徑向的分量，它是：

  
    
      
        
          a
          
            R
          
        
        =
        R
        
          
            
              
                φ
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        R
        
          ω
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{R}=R{\dot {\varphi }}^{2}=R\omega ^{2}}
  

徑向分量可改變速度的大小:

  
    
      
        
          a
          
            φ
          
        
        =
        R
        
          
            
              φ
              ¨
            
          
        
        =
        R
        ε
      
    
    {\displaystyle a_{\varphi }=R{\ddot {\varphi }}=R\varepsilon }
  


圆周运动的复数描述 我們可以使用複數來描述圓周運動。令
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
軸表示實數，
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
軸表示虛數，則物體的位置可以表示成在
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
的複數向量：

  
    
      
        z
        =
        x
        +
        i
        y
        =
        R
        (
        cos
        ⁡
        φ
        +
        i
        sin
        ⁡
        φ
        )
        =
        R
        
          e
          
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle z=x+iy=R(\cos \varphi +i\sin \varphi )=Re^{i\varphi }}
  

此處
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
是虛數單位。

  
    
      
        φ
        =
        φ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi =\varphi (t)}
  
是複數向量的實數部份，並且是時間的函數。
因為半徑是常數（定值）
  
    
      
        
          
            
              R
              ˙
            
          
        
        =
        
          
            
              R
              ¨
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\dot {R}}={\ddot {R}}=0}
  

所以速度是：

  
    
      
        v
        =
        
          
            
              z
              ˙
            
          
        
        =
        i
        R
        
          
            
              φ
              ˙
            
          
        
        
          e
          
            i
            φ
          
        
        =
        i
        ω
        ⋅
        R
        
          e
          
            i
            φ
          
        
        =
        i
        ω
        z
      
    
    {\displaystyle v={\dot {z}}=iR{\dot {\varphi }}e^{i\varphi }=i\omega \cdot Re^{i\varphi }=i\omega z}
  

而加速度則是：

  
    
      
        a
        =
        i
        
          
            
              ω
              ˙
            
          
        
        z
        +
        i
        ω
        
          
            
              z
              ˙
            
          
        
        =
        (
        i
        ε
        −
        
          ω
          
            2
          
        
        )
        z
      
    
    {\displaystyle a=i{\dot {\omega }}z+i\omega {\dot {z}}=(i\varepsilon -\omega ^{2})z}
  


参考文献 参见 角动量
向心力
離心力
慣性力
简谐运动
曲线运动
运动方程
时间导数
簡諧運動
地球靜止軌道
地球同步轨道
机弦
擺 (數學)


外部链接 Circular Motion （页面存档备份，存于互联网档案馆） - 网上教科书（英文）