在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 φ:M→ N 是从光滑流形 M 到 N 的光滑映射；那么伴随有一个从 N 上 1- 形式（余切丛的截面）到 M 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 φ 拉回，经常记作 φ*。更一般地，任何 N 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 φ 拉回到 M 上。
当映射 φ 是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何 N 上的张量场变换到 M，或者相反。特别地，如果 φ是 Rn 的开集与 Rn 之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形 M 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。
拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。


光滑函数与光滑映射 设 φ:M→ N 是光滑流形 M 与 N 之间的光滑映射，假设 f:N→R 是 N 上一个光滑函数。则 f 通过 φ 的拉回是 M 上的光滑函数 φ*f，定义为
(φ*f)(x) = f(φ(x))。类似地，如果 f 是 N 中开集 U 上的光滑函数，则相同的公式定义了 M 中开集  φ-1(U) 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了 N 上光滑函数层到 φ 的直接像（在 M 上光滑函数层中）的一个态射。
更一般地，如果 f:N→A 是从 N 到任意其他流形 A 的光滑映射，则φ*f(x)=f(φ(x)) 是从 M 到 A 的一个光滑映射。


丛与截面 如果 E 是 N 上一个向量丛（或任意纤维丛），φ:M→N 是光滑映射，那么拉回丛 φ*E 是 M 上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其 M 中的点 x 处的纤维由 (φ*E)x = Eφ(x) 给出。
在此情形，前复合定义了 E 上截面的一个变换：如果 s 是 N 上 E 的一个截面，那么拉回截面 
  
    
      
        
          φ
          
            ∗
          
        
        s
        =
        s
        ∘
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi ^{*}s=s\circ \varphi }
  
 是 M 上拉回丛 φ*E  的一个截面。


多重线性形式 设 Φ:V→ W 是向量空间 V 与 W 之间的一个线性映射（即，Φ 是 L(V,W) 中的元素，也记成 Hom(V,W)），设

  
    
      
        F
        :
        W
        ×
        W
        ×
        ⋯
        ×
        W
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbb {R} }
  

是 W 上一个多重线性形式（也称为 (0,s) 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 s 是乘积中 W 的因子的个数）。则 F 由 Φ 的拉回 Φ*F 是一个 V 上的多重线性形式，定义为 F 与 Φ 的前复合。准确地，给定 V 中向量 v1,v2,...,vs， Φ*F 由公式定义

  
    
      
        (
        
          Φ
          
            ∗
          
        
        F
        )
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          v
          
            s
          
        
        )
        =
        F
        (
        Φ
        (
        
          v
          
            1
          
        
        )
        ,
        Φ
        (
        
          v
          
            2
          
        
        )
        ,
        …
        ,
        Φ
        (
        
          v
          
            s
          
        
        )
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),}
  

这是 V 上一个多重线性形式。从而  Φ* 是一个从 W 上的多重线性形式到 V 上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果 F 是 W 上一个线性形式（或 (0,1) -张量），那么 F 是 W 的对偶空间 W* 中一个元素，则 Φ*F 是 V* 中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射 Φ 自己的方向相反：

  
    
      
        Φ
        :
        V
        →
        W
        ,
        
        
          Φ
          
            ∗
          
        
        :
        
          W
          
            ∗
          
        
        →
        
          V
          
            ∗
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.}
  

从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 W 上取值于 r 个 W 的张量积 
  
    
      
        W
        ⊗
        W
        ⊗
        ⋯
        ⊗
        W
      
    
    {\displaystyle W\otimes W\otimes \cdots \otimes W}
  
 的线性映射。但是，这种张量积不能自然的拉回：不过有从

  
    
      
        V
        ⊗
        V
        ⊗
        ⋯
        ⊗
        V
      
    
    {\displaystyle V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}
  
 到 
  
    
      
        W
        ⊗
        W
        ⊗
        ⋯
        ⊗
        W
      
    
    {\displaystyle W\otimes W\otimes \cdots \otimes W}
  
 的前推算子，定义为

  
    
      
        
          Φ
          
            ∗
          
        
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ⊗
        
          v
          
            2
          
        
        ⊗
        ⋯
        ⊗
        
          v
          
            r
          
        
        )
        =
        Φ
        (
        
          v
          
            1
          
        
        )
        ⊗
        Φ
        (
        
          v
          
            2
          
        
        )
        ⊗
        ⋯
        ⊗
        Φ
        (
        
          v
          
            r
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).}
  

然而，如果 Φ 可逆，拉回可以用逆函数 Φ-1 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起，得到了对任何 (r,s) 阶张量一个拉回算子。


余切向量与 1 形式 设 φ : M → N 是光滑流形间的光滑映射。那么 φ 的前推：φ* = dφ （或 Dφ），是从 M 的切丛 TM 到拉回丛 φ*TN 的（在 M 上）向量丛同态。从而 φ* 的转置是从 φ*T*N 到 M 的余切丛 T*M 的丛映射。
现在假设 α 是 T*N 的一个截面（N 上一个 1-形式），将 α 与 φ 前复合得到 φ*T*N 的一个拉回截面。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致 α 由 φ 的拉回，是 M 上一个 1-形式，定义为：

  
    
      
        (
        
          φ
          
            ∗
          
        
        α
        
          )
          
            x
          
        
        (
        X
        )
        =
        
          α
          
            φ
            (
            x
            )
          
        
        (
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        (
        X
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X))}
  

对 x 属于 M  与 X 属于 TxM。


（共变）张量场 对任何自然数 s，上述构造马上可推广到 (0,s) 阶张量丛上。流形 N 上 (0,s) 张量场  是 N 上张量丛的一个截面，在 N 中 y 点的截面是多重线性 s-形式空间

  
    
      
        F
        :
        
          T
          
            y
          
        
        N
        ×
        ⋯
        ×
        
          T
          
            y
          
        
        N
        →
        
          R
        
        .
      
    
    {\displaystyle F\colon T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .}
  

取 Φ 等于从 M 到 N 的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 M 上 (0,s) 张量场的拉回。更确切地，如果 S  是 N 上一个 (0,s)-张量场，那么 S 由 φ 的拉回 是 M 上 (0,s)-张量场 φ*S，定义为

  
    
      
        (
        
          φ
          
            ∗
          
        
        S
        
          )
          
            x
          
        
        (
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            s
          
        
        )
        =
        
          S
          
            φ
            (
            x
            )
          
        
        (
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        (
        
          X
          
            1
          
        
        )
        ,
        …
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        (
        
          X
          
            s
          
        
        )
        )
         
        ,
      
    
    {\displaystyle (\varphi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{s}))\ ,}
  

对 x 属于 M 与 Xj 属于 TxM。


微分形式 共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 α 是一个微分 k-形式，即 TN（逐点）反交换 k-形式组成的外丛 ΛkT*N 的一个截面，则 α 的拉回是 M 上一个微分 k-形式，定义与上一节相同：

  
    
      
        (
        
          φ
          
            ∗
          
        
        α
        
          )
          
            x
          
        
        (
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            k
          
        
        )
        =
        
          α
          
            φ
            (
            x
            )
          
        
        (
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        (
        
          X
          
            1
          
        
        )
        ,
        …
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        (
        
          X
          
            k
          
        
        )
        )
         
        ,
      
    
    {\displaystyle (\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{k}))\ ,}
  

对 x 属于 M 与 Xj 属于 TxM。
微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。
1. 和楔积相容：假设同上，对 N 上的微分形式 α 与 β，

  
    
      
        
          φ
          
            ∗
          
        
        (
        α
        ∧
        β
        )
        =
        
          φ
          
            ∗
          
        
        α
        ∧
        
          φ
          
            ∗
          
        
        β
         
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\varphi ^{*}\alpha \wedge \varphi ^{*}\beta \ .}
  

2. 和外导数 d 相容：如果 α 是 N 上一个微分形式，则

  
    
      
        
          φ
          
            ∗
          
        
        (
        
          d
        
        α
        )
        =
        
          d
        
        (
        
          φ
          
            ∗
          
        
        α
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi ^{*}(\mathrm {d} \alpha )=\mathrm {d} (\varphi ^{*}\alpha )\ .}
  


由微分同胚拉回 当流形之间的映射 φ 是微分同胚，即有一个光滑逆函数，则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射

  
    
      
        Φ
        =
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        ∈
        G
        L
        (
        
          T
          
            x
          
        
        M
        ,
        
          T
          
            φ
            (
            x
            )
          
        
        N
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi =\mathrm {d} \varphi _{x}\in GL(T_{x}M,T_{\varphi (x)}N)}
  

可逆，给出

  
    
      
        
          Φ
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              d
            
            
              φ
              
                x
              
            
          
          
            −
            1
          
        
        ∈
        G
        L
        (
        
          T
          
            φ
            (
            x
            )
          
        
        N
        ,
        
          T
          
            x
          
        
        M
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \Phi ^{-1}={\mathrm {d} \varphi _{x}}^{-1}\in GL(T_{\varphi (x)}N,T_{x}M).}
  

一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 TN 与 T*N 两部分，分别用  Φ 与 Φ-1 变换。当 M = N 时，则拉回和前推刻画了流形 M 上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量共变指标的变换性质；相对地，反变指标的变换性质由前推给出。


由自同构拉回 上一节的构造有一个代表性特例，若 φ 是流形 M 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 dφ 是 GL(TM,φ*TM) 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群  GL(m) (m = dim M) 相配于 M 的标架丛 GL(M) 的任何丛的截面上导出了拉回作用。


拉回与李导数 将上述想法应用到由向量场 M 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。


联络（共变导数） 如果 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  
 是 N 上向量丛 E 的联络（或共变导数），φ 是从 M 到 N 的光滑映射，那么在 M 上的向量丛 φ*E 上有拉回联络 
  
    
      
        
          φ
          
            ∗
          
        
        ∇
      
    
    {\displaystyle \varphi ^{*}\nabla }
  
，由等式

  
    
      
        (
        
          φ
          
            ∗
          
        
        ∇
        
          )
          
            X
          
        
        (
        
          φ
          
            ∗
          
        
        s
        )
        =
        
          φ
          
            ∗
          
        
        (
        
          ∇
          
            
              d
            
            φ
            (
            X
            )
          
        
        s
        )
      
    
    {\displaystyle (\varphi ^{*}\nabla )_{X}(\varphi ^{*}s)=\varphi ^{*}(\nabla _{\mathrm {d} \varphi (X)}s)}
  

惟一确定。


另见 前推 (微分)
拉回丛
拉回 (范畴论)


参考文献 Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin  ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.