几何中，庞加莱圆盘模型（Poincare disk model），也叫共形圆盘模型（conformal disk model），是一个 n-维双曲几何模型。几何中的点對應到 n 维圆盘（或球）上的點，几何中的「直线」（准确地说是测地线）對應到任意垂直于圆盘边界的圓弧或是圆盘的直径。庞加莱圆盘模型、克莱因模型以及庞加莱半空间模型，一起被贝尔特拉米用来证明双曲几何与欧几里得几何的相容性等价。


距离函数 如果 u 和 v 是赋以通常欧几里得范数的 n 维向量空间 Rn 中两个向量，两者范数都小于 1，则我们可以定义一个等距不变量为：

  
    
      
        δ
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        2
        
          
            
              
                |
              
              
                |
              
              u
              −
              v
              
                |
              
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
            
              (
              1
              −
              
                |
              
              
                |
              
              u
              
                |
              
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
              )
              (
              1
              −
              
                |
              
              
                |
              
              v
              
                |
              
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \delta (u,v)=2{\frac {||u-v||^{2}}{(1-||u||^{2})(1-||v||^{2})}},\,}
  

这里 ||*|| 表示通常的欧几里得范数。那么距离函数是

  
    
      
        d
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        arccosh
        ⁡
        (
        1
        +
        δ
        (
        u
        ,
        v
        )
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle d(u,v)=\operatorname {arccosh} (1+\delta (u,v)).\,}
  

这样的距离函数对任何两个范数小于 1 的向量有定义，将这样的向量集合变为一个度量空间，这是一个具有常曲率 -1 的双曲空间模型。这个模型具有共形性质，双曲空间中两条曲线相交的角度与在这个模型中的欧几里得角度相同。


度量形式 庞加莱圆盘模型的度量形式是：

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        4
        
          
            
              
                ∑
                
                  i
                
              
              d
              
                x
                
                  i
                
                
                  2
                
              
            
            
              (
              1
              −
              
                ∑
                
                  i
                
              
              
                x
                
                  i
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{(1-\sum _{i}x_{i}^{2})^{2}}}.\,}
  


与双曲面模型的关系 庞加莱圆盘模型，和克莱因模型一样，都与双曲面模型射影相关。如果我们有双曲面模型中双曲面的上叶中一点 [t, x1, ..., xn]，这样就定义了双曲面模型中一点，我们可以通过与 [-1, 0, ..., 0] 连接一条直线将其投影到超曲面 t = 0 上，所得是庞加莱圆盘模型中的对应点。


过两点的直线 解析几何中一个基本构造是寻找过两个定点的一条直线。在庞加莱圆盘模型中，平面上的直线定义为具有如下性质的圆周之一部分

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        a
        x
        +
        b
        y
        +
        1
        =
        0
        ,
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0,\,}
  

这是垂直于单位圆周的圆周的一般形式，或就是直径，可以证明这是连接这两点（双曲）距离最短的曲线，即测地线。给定圆盘中不在同一直径上两点 u 和 v，我们可以求出过这两点的圆周，得到

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                u
                
                  2
                
              
              (
              
                v
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              +
              
                v
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              )
              −
              
                v
                
                  2
                
              
              (
              
                u
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              +
              
                u
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              )
              +
              
                u
                
                  2
                
              
              −
              
                v
                
                  2
                
              
            
            
              
                u
                
                  1
                
              
              
                v
                
                  2
                
              
              −
              
                u
                
                  2
                
              
              
                v
                
                  1
                
              
            
          
        
        x
        +
        

        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})+u_{2}-v_{2}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                v
                
                  1
                
              
              (
              
                u
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              +
              
                u
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              )
              −
              
                u
                
                  1
                
              
              (
              
                v
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              +
              
                v
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              )
              +
              
                v
                
                  1
                
              
              −
              
                u
                
                  1
                
              
            
            
              
                u
                
                  1
                
              
              
                v
                
                  2
                
              
              −
              
                u
                
                  2
                
              
              
                v
                
                  1
                
              
            
          
        
        y
        +
        1
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})+v_{1}-u_{1}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0.}
  

如果点 u 和 v 在圆盘的边界上但不是直径的端点，上面的公式简化成

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              2
              (
              
                u
                
                  2
                
              
              −
              
                v
                
                  2
                
              
              )
            
            
              
                u
                
                  1
                
              
              
                v
                
                  2
                
              
              −
              
                u
                
                  2
                
              
              
                v
                
                  1
                
              
            
          
        
        x
        −
        
          
            
              2
              (
              
                u
                
                  1
                
              
              −
              
                v
                
                  1
                
              
              )
            
            
              
                u
                
                  1
                
              
              
                v
                
                  2
                
              
              −
              
                u
                
                  2
                
              
              
                v
                
                  1
                
              
            
          
        
        y
        +
        1
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x-{\frac {2(u_{1}-v_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0.\,}
  


庞加莱圆盘模型中的角 我们可用一个公式计算出端点（理想点）为单位向量 u 与 v 以及端点为 s 与 t 的两条圆弧相交的角度。因为理想点在克莱因模型和庞加莱圆盘模型是一样的，两个模型中的公式是一样的。
如果两条直线都是直径，那么 v = −u 和 t = −s，则我们只要找出这两个单位向量的角度，角度 θ 的公式为

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        u
        ⋅
        s
        .
        
      
    
    {\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s.\,}
  

如果 v = -u 但 t= -s，用楔积表示，公式变为

  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        
          
            
              P
              
                2
              
            
            
              Q
              R
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},}
  

这里

  
    
      
        P
        =
        u
        ⋅
        (
        s
        −
        t
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle P=u\cdot (s-t),\,}
  

  
    
      
        Q
        =
        u
        ⋅
        u
        ,
        
      
    
    {\displaystyle Q=u\cdot u,\,}
  

  
    
      
        R
        =
        (
        s
        −
        t
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        t
        )
        −
        (
        s
        ∧
        t
        )
        ⋅
        (
        s
        ∧
        t
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t).\,}
  

如果两条弦都不是直径，得到一般的公式

  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        
          
            
              P
              
                2
              
            
            
              Q
              R
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},}
  

这里

  
    
      
        P
        =
        (
        u
        −
        v
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        t
        )
        −
        (
        u
        ∧
        v
        )
        ⋅
        (
        s
        ∧
        t
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t),\,}
  

  
    
      
        Q
        =
        (
        u
        −
        v
        )
        ⋅
        (
        u
        −
        v
        )
        −
        (
        u
        ∧
        v
        )
        ⋅
        (
        u
        ∧
        v
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle Q=(u-v)\cdot (u-v)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v),\,}
  

  
    
      
        R
        =
        (
        s
        −
        t
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        t
        )
        −
        (
        s
        ∧
        t
        )
        ⋅
        (
        s
        ∧
        t
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t).\,}
  

利用比内-柯西恒等式以及这些向量都是单位向量的事实，我们可只使用点积将上面的表达式写成

  
    
      
        P
        =
        (
        u
        −
        v
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        t
        )
        +
        (
        u
        ⋅
        t
        )
        (
        v
        ⋅
        s
        )
        −
        (
        u
        ⋅
        s
        )
        (
        v
        ⋅
        t
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t),\,}
  

  
    
      
        Q
        =
        (
        1
        −
        u
        ⋅
        v
        
          )
          
            2
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle Q=(1-u\cdot v)^{2},\,}
  

  
    
      
        R
        =
        (
        1
        −
        s
        ⋅
        t
        
          )
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle R=(1-s\cdot t)^{2}.\,}
  


艺术作品 毛瑞特斯·柯奈利斯·艾雪的画作圓極限IV、圓極限III是庞加莱圆盘的一个艺术形象化。


另见 双曲几何
克莱因模型
庞加莱半平面模型
庞加莱度量
伪球
双曲面模型
逆几何


参考文献 James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
Saul Stahl, The Poincare Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993