本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，
  
    
      
        
          
            x
          
          
            μ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}
  
或
  
    
      
        
          
            x
          
          
            μ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {x}_{\mu }\,\!}
  
。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，
  
    
      
        (
        x
        
          )
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle (x)^{2}\,\!}
  
表示
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
平方；而
  
    
      
        
          
            x
          
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {x}^{2}\,\!}
  
是
  
    
      
        
          
            x
          
          
            μ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}
  
的第二個分量。
波向量是波的向量表示方法。波向量是一个向量，其大小表示波数（
  
    
      
        k
        =
        
          |
        
        
          
            k
          
        
        
          |
        
        =
        2
        π
        
          /
        
        λ
      
    
    {\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }
  
），其方向表示波传播的方向。
波向量在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。


定义 波矢有两种常见的定义，区别在於振幅因子是否乘以
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
，两种定义分别用於物理学和晶体学以及它们的相关领域。 


= 物理学定义 =
理想的一维行波遵循如下方程：

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        A
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        −
        ω
        t
        +
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )}
  

其中：

x为位置；
t为时间；

  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
（x和t的函数）是对波进行描述的扰动（例如对於海浪，
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
是超出水面的高度；对於声波，
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
是超气压）；
A是波的振幅（振动的峰值）；

  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；

  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
是波的角频率，描述了在一个给定点波振动的快慢程度；

  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
是波数，与波长成反比，由
  
    
      
        k
        =
        2
        π
        
          /
        
        λ
      
    
    {\displaystyle k=2\pi /\lambda }
  
求出。
此波在+x方向上行进，相速度为
  
    
      
        ω
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle \omega /k}
  
。
推广到三维情况下，方程为：

  
    
      
        ψ
        
          (
          
            
              
                r
              
            
            ,
            t
          
          )
        
        =
        A
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                k
              
            
            ⋅
            
              
                r
              
            
            −
            ω
            t
            +
            φ
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t+\varphi \right)}
  

其中：

r是三维空间中的位置矢量；

  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
  
 是矢量点积；
k是波矢。
这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数
  
    
      
        
          |
        
        
          
            k
          
        
        
          |
        
        =
        2
        π
        
          /
        
        λ
      
    
    {\displaystyle |{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }
  
。波矢的方向是平面波行进的方向。


= 晶体学定义 =
在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。在一维和三维情况下的方程分别为：

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        A
        cos
        ⁡
        (
        2
        π
        (
        k
        x
        −
        ν
        t
        )
        +
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )}
  

  
    
      
        ψ
        
          (
          
            
              
                r
              
            
            ,
            t
          
          )
        
        =
        A
        cos
        ⁡
        
          (
          
            2
            π
            (
            
              
                k
              
            
            ⋅
            
              
                r
              
            
            −
            ν
            t
            )
            +
            φ
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)}
  
。
不同点在於：

晶体学定义使用了频率
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
，而不是角频率
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
，由公式
  
    
      
        2
        π
        ν
        =
        ω
      
    
    {\displaystyle 2\pi \nu =\omega }
  
，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的
  
    
      
        k
        =
        
          |
        
        
          
            k
          
        
        
          |
        
        =
        1
        
          /
        
        λ
      
    
    {\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda }
  
，而在物理学定义中，
  
    
      
        k
        =
        
          |
        
        
          
            k
          
        
        
          |
        
        =
        2
        π
        
          /
        
        λ
      
    
    {\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }
  
。


狭义相对论 接近单色光的波包可以由波矢

  
    
      
        
          k
          
            μ
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                ω
                c
              
            
            ,
            
              
                
                  k
                  →
                
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,}
  

准确描述，若明确的改写成共變和反變形式，则

  
    
      
        
          k
          
            μ
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                ω
                c
              
            
            ,
            
              k
              
                1
              
            
            ,
            
              k
              
                2
              
            
            ,
            
              k
              
                3
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k^{1},k^{2},k^{3}\right)\,}
  
且

  
    
      
        
          k
          
            μ
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                ω
                c
              
            
            ,
            −
            
              k
              
                1
              
            
            ,
            −
            
              k
              
                2
              
            
            ,
            −
            
              k
              
                3
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle k_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{1},-k_{2},-k_{3}\right)\,}
  
。
於是波矢的大小为

  
    
      
        
          k
          
            2
          
        
        =
        
          k
          
            μ
          
        
        
          k
          
            μ
          
        
        =
        
          k
          
            0
          
        
        
          k
          
            0
          
        
        −
        
          k
          
            1
          
        
        
          k
          
            1
          
        
        −
        
          k
          
            2
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        −
        
          k
          
            3
          
        
        
          k
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle k^{2}=k^{\mu }k_{\mu }=k^{0}k_{0}-k^{1}k_{1}-k^{2}k_{2}-k^{3}k_{3}\,}
  

  
    
      
        =
        
          
            
              ω
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            
              
                k
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0\,}
  

最後一步等於零是因为对於真空中的光满足

  
    
      
        k
        =
        
          
            ω
            c
          
        
        
      
    
    {\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}\,}
  


= 洛伦兹变换 =
对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为

  
    
      
        Λ
        =
        
          
            [
            
              
                
                  γ
                
                
                  −
                  β
                  γ
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  β
                  γ
                
                
                  γ
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \Lambda ={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}
  
。
在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位於坐标系S s，地球位於观测系S obs。
对波矢进行洛伦兹变换得到

  
    
      
        
          k
          
            s
          
          
            μ
          
        
        =
        
          Λ
          
            ν
          
          
            μ
          
        
        
          k
          
            
              o
              b
              s
            
          
          
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,}
  
。
只考虑
  
    
      
        μ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mu =0}
  
分量的情况，得到

  
    
      
        
          k
          
            s
          
          
            0
          
        
        =
        
          Λ
          
            0
          
          
            0
          
        
        
          k
          
            
              o
              b
              s
            
          
          
            0
          
        
        +
        
          Λ
          
            1
          
          
            0
          
        
        
          k
          
            
              o
              b
              s
            
          
          
            1
          
        
        +
        
          Λ
          
            2
          
          
            0
          
        
        
          k
          
            
              o
              b
              s
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          Λ
          
            3
          
          
            0
          
        
        
          k
          
            
              o
              b
              s
            
          
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle k_{s}^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\,}
  
。

因此


 波源远离观测者  当波源径直地远离观测者时，
  
    
      
        θ
        =
        π
      
    
    {\displaystyle \theta =\pi }
  
，方程变为：

  
    
      
        
          
            
              ω
              
                
                  o
                  b
                  s
                
              
            
            
              ω
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              γ
              (
              1
              +
              β
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              
                β
                
                  2
                
              
            
            
              1
              +
              β
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              1
              +
              β
              )
              (
              1
              −
              β
              )
            
            
              1
              +
              β
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              β
            
            
              1
              +
              β
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\,}
  
。


 波源接近观测者  当波源径直地接近观测者时，
  
    
      
        θ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \theta =0}
  
，方程变为：

  
    
      
        
          
            
              ω
              
                
                  o
                  b
                  s
                
              
            
            
              ω
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              +
              β
            
            
              1
              −
              β
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}\,}
  
。


参考文献 Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.