判別式是代数学中的概念，它可以推斷出一个实系数或复系数多项式的根的屬性。
当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为：

  
    
      
        
          a
          
            n
          
          
            2
            n
            −
            2
          
        
        
          ∏
          
            i
            <
            j
          
        
        
          (
          
            r
            
              i
            
          
          −
          
            r
            
              j
            
          
          
            )
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}
  

其中的
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  
是多项式的最高次项系数，
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          r
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1},...,r_{n}}
  
是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。
判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。


定义 = 二次方程的判别式 =
最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}
  
，其中系数
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
为实数，则它的判别式定义为：

  
    
      
        Δ
        =
        
          b
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        c
        
      
    
    {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}
  

判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}}
  
和
  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{2}}
  
，那么根据二次方程的求根公式，两个根可以表示为：

  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              +
              
                
                  Δ
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
        ,
        
        
        
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              −
              
                
                  Δ
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\quad \;\;r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.}
  

方程的根与判别式的关系为：

  
    
      
        Δ
        =
        
          a
          
            2
          
        
        (
        
          r
          
            1
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta =a^{2}(r_{1}-r_{2})^{2}.}
  

两个根都是实数，当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时，判别式等于零。如果判别式小于零，则两根是共轭的复数。


= 三次方程的判别式 =
三次多项式
  
    
      
        a
        
          x
          
            3
          
        
        +
        b
        
          x
          
            2
          
        
        +
        c
        x
        +
        d
        
      
    
    {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}
  
的判别式是

  
    
      
        Δ
        =
        
          b
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        
          c
          
            3
          
        
        −
        4
        
          b
          
            3
          
        
        d
        −
        27
        
          a
          
            2
          
        
        
          d
          
            2
          
        
        +
        18
        a
        b
        c
        d
        
      
    
    {\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,}
  

二次項系數為零的首一三次多項式
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        p
        x
        +
        q
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+px+q\,}
  
的判别式是：

  
    
      
        Δ
        =
        −
        4
        
          p
          
            3
          
        
        −
        27
        
          q
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \Delta =-4p^{3}-27q^{2}\,}
  


= 四次方程的判别式 =
四次多項式
  
    
      
        a
        
          x
          
            4
          
        
        +
        b
        
          x
          
            3
          
        
        +
        c
        
          x
          
            2
          
        
        +
        d
        x
        +
        e
        
      
    
    {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}
  
的判别式是：

  
    
      
        
          
            
              
                Δ
                =
              
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                4
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                
                  d
                  
                    3
                  
                
                −
                4
                a
                
                  c
                  
                    3
                  
                
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                +
                18
                a
                b
                c
                
                  d
                  
                    3
                  
                
              
            
            
              
              
                
                −
                27
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  d
                  
                    4
                  
                
                +
                256
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  e
                  
                    3
                  
                
                −
                4
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  c
                  
                    3
                  
                
                e
                +
                18
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                c
                d
                e
              
            
            
              
              
                
                +
                16
                a
                
                  c
                  
                    4
                  
                
                e
                −
                80
                a
                b
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                d
                e
                −
                6
                a
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                e
                +
                144
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                c
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                e
              
            
            
              
              
                
                −
                27
                
                  b
                  
                    4
                  
                
                
                  e
                  
                    2
                  
                
                +
                144
                a
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                c
                
                  e
                  
                    2
                  
                
                −
                128
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                
                  e
                  
                    2
                  
                
                −
                192
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                b
                d
                
                  e
                  
                    2
                  
                
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =&b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{3}d^{3}-4ac^{3}d^{2}+18abcd^{3}\\&-27a^{2}d^{4}+256a^{3}e^{3}-4b^{2}c^{3}e+18b^{3}cde\\&+16ac^{4}e-80abc^{2}de-6ab^{2}d^{2}e+144a^{2}cd^{2}e\\&-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}-192a^{2}bde^{2}\,\end{aligned}}}
  


二次判别式 二次多项式
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        =
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        
      
    
    {\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c\,}
  
的判别式是
  
    
      
        D
        =
        
          b
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        c
        
      
    
    {\displaystyle D=b^{2}-4ac\,}
  
。在一元二次方程的求解中，判别式用来判断方程根的情况，并出现在根的表达式中。 

如果
  
    
      
        D
        >
        0
        
      
    
    {\displaystyle D>0\,}
  
，那么
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle P(x)\,}
  
有两个相异实根
  
    
      
        
          x
          
            1
            ,
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              ±
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
  
，即
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle P(x)\,}
  
的图像穿过
  
    
      
        x
        
      
    
    {\displaystyle x\,}
  
轴两次。
如果
  
    
      
        D
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle D=0\,}
  
，那么
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle P(x)\,}
  
有两个相等实根
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            b
            
              2
              a
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}\,}
  
，
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle P(x)\,}
  
的图像与
  
    
      
        x
        
      
    
    {\displaystyle x\,}
  
轴相切。
如果
  
    
      
        D
        <
        0
        
      
    
    {\displaystyle D<0\,}
  
，那么
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle P(x)\,}
  
没有实根，即
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle P(x)\,}
  
的图像与
  
    
      
        x
        
      
    
    {\displaystyle x\,}
  
轴没有交点。


一般多项式的判别式 对于一般的一个多项式

  
    
      
        p
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        
          x
          
            n
            −
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}
  
，
其判别式等于（差一个系数）以下的
  
    
      
        (
        2
        n
        −
        1
        )
        ×
        (
        2
        n
        −
        1
        )
        
      
    
    {\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)\,}
  
的矩阵的行列式（见西尔维斯特矩阵）：

  
    
      
        
          [
          
            
              
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                
                
                  0
                  …
                
                
                  …
                
                
                  0
                
              
              
                
                
                  0
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                
                
                  0
                  …
                
                
                  0
                
              
              
                
                
                  ⋮
                   
                
                
                
                
                
                
                
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                
                  0
                
                
                  …
                   
                
                
                  0
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                
                  n
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  (
                  n
                  −
                  1
                  )
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  (
                  n
                  −
                  2
                  )
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                   
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  …
                
                
                  0
                
              
              
                
                
                  0
                
                
                  n
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  (
                  n
                  −
                  1
                  )
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  (
                  n
                  −
                  2
                  )
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                   
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  0
                
              
              
                
                
                  ⋮
                   
                
                
                
                
                
                
                
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  0
                
                
                  n
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  (
                  n
                  −
                  1
                  )
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  (
                  n
                  −
                  2
                  )
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                   
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix}}\right].}
  

这个矩阵的行列式称为
  
    
      
        p
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle p(x)\,}
  
和
  
    
      
        
          p
          ′
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle p'(x)\,}
  
的结式，记为
  
    
      
        R
        (
        p
        ,
        
          p
          ′
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle R(p,p')\,}
  
。
  
    
      
        p
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle p(x)\,}
  
的判别式
  
    
      
        D
        (
        p
        )
        
      
    
    {\displaystyle D(p)\,}
  
由以下公式给出：

  
    
      
        D
        (
        p
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              
                1
                2
              
            
            n
            (
            n
            −
            1
            )
          
        
        
          
            1
            
              a
              
                n
              
            
          
        
        R
        (
        p
        ,
        
          p
          ′
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}R(p,p')\,}
  
.
例如，在
  
    
      
        n
        =
        4
        
      
    
    {\displaystyle n=4\,}
  
的情况下，以上的行列式是： 

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                
                  0
                
                
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                
                  4
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  3
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                
                  0
                
                
                  4
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  3
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  4
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  3
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  4
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  3
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}}
  

这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以
  
    
      
        
          a
          
            4
          
        
        
      
    
    {\displaystyle a_{4}\,}
  
。
作为等价条件，多项式的判别式等于：

  
    
      
        
          a
          
            n
          
          
            2
            n
            −
            2
          
        
        
          ∏
          
            i
            <
            j
          
        
        
          (
          
            r
            
              i
            
          
          −
          
            r
            
              j
            
          
          
            )
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}
  

其中
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          r
          
            n
          
        
        
      
    
    {\displaystyle r_{1},\cdots ,r_{n}\,}
  
是多项式
  
    
      
        p
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle p(x)\,}
  
的複根（重根按重数计算）：

  
    
      
        
          
            
              
                p
                (
                x
                )
              
              
                =
              
              
                
                  a
                  
                    n
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                +
                …
                +
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                x
                +
                
                  a
                  
                    0
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                
                  a
                  
                    n
                  
                
                (
                x
                −
                
                  r
                  
                    1
                  
                
                )
                (
                x
                −
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                )
                …
                (
                x
                −
                
                  r
                  
                    n
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}}
  

在这个表达式中可以清楚地看到
  
    
      
        p
        
      
    
    {\displaystyle p\,}
  
有重根当且仅当判别式为零。
多项式的判别式可以在任意的域中定义，定义方式一样。带有根
  
    
      
        
          r
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle r_{i}\,}
  
的表达式仍然有效，只是根要在系数域的某个分裂域中取。


圆锥曲线的判别式 对于以下多项式所定义的圆锥曲线：

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        y
        +
        c
        
          y
          
            2
          
        
        +
        d
        x
        +
        e
        y
        +
        f
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}
  

它的判别式为：

  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        c
      
    
    {\displaystyle b^{2}-4ac}
  

它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0，则是椭圆或圆。如果判别式等于0，则是一条抛物线。如果大于0，则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形（当这个多项式可以因式分解时）。


二次型的判别式 判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域K上的二次型Q上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和： 

  
    
      
        Q
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            k
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          L
          
            i
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}L_{i}^{2}}
  

其中Li是n个变量的线性组合。这时可以定义Q的判别式为所有ai的乘积。另外一个定义是Q所对应的矩阵的行列式。


代数数域的判别式 参见 二次函数
一元二次方程
多项式
圆锥曲线
二次型


参考资料与外部链接 结式与判别式的关系
Mathworld中的文献（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Planetmath中的文献