餘切（英語：Cotangent，一般記作
  
    
      
        cot
      
    
    {\displaystyle \cot }
  
，或者ctg）是三角函数的一种，是正切的餘角函數。它的定义域是整个不等于
  
    
      
        k
        π
      
    
    {\displaystyle k\pi }
  
（180°k）的实数的集合，
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
为整数，值域是整个实数集。它是周期函数，其最小正周期为
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
（180°）。餘切函数是奇函数。
餘切函數在各个小区间上单独看為单调递减函數，和正切互為倒數，其函數圖形和正切函數圖形對稱於
  
    
      
        
          
            π
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
  
（45°）；該函數不連續，有奇點
  
    
      
        k
        π
      
    
    {\displaystyle k\pi }
  
（180°k），其中
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
是一個整數。


符号说明 余切最早用符号tan.com表示，该符号同正切一样，最初由T.芬克使用。后来人们又逐渐将该符号简化为ctg，后来又改为cot，与现代符号完全相同。


定义 = 直角三角形中 =

在直角三角形中，一个锐角的餘切定义为它的鄰邊与對邊的比值，也就是：

  
    
      
        cot
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              b
            
            
              a
            
          
        
        
        =
        
          
            
              cos
              ⁡
              θ
            
            
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {b} }{\mathrm {a} }}\,={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}
  

可以發現其定義和正切函數互為倒數。


= 直角坐标系中 =
设
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，
  
    
      
        P
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P\left({x,y}\right)}
  
是角的终边上一点，
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}
  
是P到原点O的距离，则α的正切定义为：

  
    
      
        cot
        ⁡
        α
        =
        
          
            x
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \cot \alpha ={\frac {x}{y}}}
  


= 单位圆定义 =

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，并与单位圆相交，並令这个交点為y。另原點為O。做一直線，y點，垂直於
  
    
      
        
          
            
              O
              y
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {Oy}}}
  
，並與单位圆相切，令直線與y軸的交點，則此點與y點之距離為餘切比值。

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度，產生斜边等于 1 的无限数目個三角形的一种方式。
对于大于
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）或小于
  
    
      
        −
        2
        π
      
    
    {\displaystyle -2\pi }
  
（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些三角函數变成了周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）的周期函数；但由於餘切是切線，再绕单位圆旋转時，會出現周期是
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
（180°），所以正切是周期为
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
（180°）的周期函数:

  
    
      
        cot
        ⁡
        θ
        =
        cot
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            π
            k
          
          )
        
        =
        cot
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            
              180
              
                ∘
              
            
            k
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \cot \theta =\cot \left(\theta +\pi k\right)=\cot \left(\theta +180^{\circ }k\right)}
  

对于任何角度
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
和任何整数
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
。


= 級數定義 =
餘切函數也可以使用泰勒展開式定義

  
    
      
        cot
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            x
          
        
        −
        
          
            x
            3
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            45
          
        
        −
        
          
            
              2
              
                x
                
                  5
                
              
            
            945
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                7
              
            
            4725
          
        
        −
        
          
            
              2
              
                x
                
                  9
                
              
            
            93555
          
        
        +
        .
        .
        .
        =
        
          
            1
            x
          
        
        −
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                B
                
                  2
                  n
                
              
              
                4
                
                  n
                
              
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        
          x
          
            2
            n
            −
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-{\frac {2x^{9}}{93555}}+...={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.}
  

其中
  
    
      
        
          B
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{2n}}
  
為伯努利數。
另外，我们也有

  
    
      
        cot
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            x
          
        
        −
        2
        x
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              
                n
                
                  2
                
              
              
                π
                
                  2
                
              
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}.}
  


= 微分方程定义 =
cot的微分是負csc的平方

  
    
      
        
          cot
          ′
        
        ⁡
        x
         
        =
        −
        
          csc
          
            2
          
        
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \cot 'x\ =-\csc ^{2}x}
  

另外

  
    
      
        ∫
        cot
        ⁡
        x
        
        d
        x
        =
        ln
        ⁡
        (
        sin
        ⁡
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \int \cot x\,dx=\ln(\sin x)}
  

所以可以用

  
    
      
        cot
        ⁡
        x
        =
        (
        ln
        ⁡
        (
        sin
        ⁡
        x
        )
        
          )
          ′
        
        
      
    
    {\displaystyle \cot x=(\ln(\sin x))'\,}
  
來定義。


= 指数定义 =

  
    
      
        cot
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              
                
                  i
                
              
              (
              
                e
                
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
              )
            
            
              
                e
                
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \cot \theta ={\frac {{\mathrm {i} }(e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta })}{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}
  


恒等式 = 用其它三角函数来表示餘切 =


= 和差角公式 =

  
    
      
        cot
        ⁡
        (
        θ
        ±
        ψ
        )
        =
        
          
            
              cot
              ⁡
              θ
              cot
              ⁡
              ψ
              ∓
              1
            
            
              cot
              ⁡
              ψ
              ±
              cot
              ⁡
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cot(\theta \pm \psi )={\frac {\cot \theta \cot \psi \mp 1}{\cot \psi \pm \cot \theta }}}
  


= 二倍角公式 =

  
    
      
        
          
            
              
                cot
                ⁡
                2
                θ
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        cot
                        
                          2
                        
                      
                      ⁡
                      θ
                      −
                      1
                    
                    
                      2
                      cot
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      cot
                      ⁡
                      θ
                      −
                      1
                    
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    
                      cot
                      ⁡
                      θ
                      +
                      1
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\cot 2\theta &={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\\&={\frac {1}{\cot \theta -1}}-{\frac {1}{\cot \theta +1}}\\\end{aligned}}}
  


= 半角公式 =

  
    
      
        
          
            
              
                cot
                ⁡
                
                  
                    θ
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                csc
                ⁡
                θ
                +
                cot
                ⁡
                θ
              
            
            
              
              
                
                =
                ±
                
                
                  
                    
                      
                        1
                        +
                        cos
                        ⁡
                        θ
                      
                      
                        1
                        −
                        cos
                        ⁡
                        θ
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      θ
                    
                    
                      1
                      −
                      cos
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      1
                      +
                      cos
                      ⁡
                      θ
                    
                    
                      sin
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      cos
                      ⁡
                      θ
                      −
                      sin
                      ⁡
                      θ
                      +
                      1
                    
                    
                      cos
                      ⁡
                      θ
                      +
                      sin
                      ⁡
                      θ
                      −
                      1
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta  \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta -\sin \theta +1}{\cos \theta +\sin \theta -1}}\end{aligned}}}
  


= 三倍角公式 =

  
    
      
        cot
        ⁡
        3
        θ
        =
        
          
            
              
                cot
                
                  3
                
              
              ⁡
              θ
              −
              3
              cot
              ⁡
              θ
            
            
              3
              
                cot
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {\cot ^{3}\theta -3\cot \theta }{3\cot ^{2}\theta -1}}}
  


余切定理 余切定理是三角学中关于三角形内切圆半径的定理。
假设
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
, 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
, 与
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是三角形的三个内角，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
, 与
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
是与之对应的三个对边，若

  
    
      
        ζ
        =
        
          
            
              
                1
                s
              
            
            (
            s
            −
            a
            )
            (
            s
            −
            b
            )
            (
            s
            −
            c
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}
  
 （这个三角形的内切圆半径），其中：

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
  
（
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
就是三角形的半周长），
那么余切定理告诉我们：

  
    
      
        cot
        ⁡
        
          
            α
            2
          
        
        =
        
          
            
              s
              −
              a
            
            ζ
          
        
      
    
    {\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}}
  

  
    
      
        cot
        ⁡
        
          
            β
            2
          
        
        =
        
          
            
              s
              −
              b
            
            ζ
          
        
      
    
    {\displaystyle \cot {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}}
  

  
    
      
        cot
        ⁡
        
          
            γ
            2
          
        
        =
        
          
            
              s
              −
              c
            
            ζ
          
        
      
    
    {\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}}
  

还有

  
    
      
        
          
            
              cot
              ⁡
              
                
                  α
                  2
                
              
            
            
              s
              −
              a
            
          
        
        =
        
          
            
              cot
              ⁡
              
                
                  β
                  2
                
              
            
            
              s
              −
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              cot
              ⁡
              
                
                  γ
                  2
                
              
            
            
              s
              −
              c
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{s-c}}.}
  

总而言之：余切定理就是某个角一半的余切等于半周长减去这个角所对的边长再除以三角形的内切圆半径。


參見 正弦
餘弦
正切
正割
餘割
三角学
三角函数
函數
正弦波


参考资料