大二重斜方截半二十面體又稱為米勒的怪物（Miller's Monster）是一種非凸均勻多面體，由124個面、240條邊和60個頂點組成。這個立體中存在半球面，也就是通過幾何中心的面，因此其對偶多面體是一種無窮星形多面體。


性質 大二重斜方截半二十面體是唯一一種頂角超過六個面構成的非退化均勻多面體，其每個頂角都是八面角。更精確地說，這個立體每個頂點都是4個正方形、2個三角形和2個五角星的公共頂點。其對應的八面角中，4個正方形面穿過了八面角的中央軸線，交錯地與另外2個三角形和2個五角星相鄰。這樣的配置在頂點圖中可以用4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2表示。特別地，這個立體的威佐夫記號計為 | 3/2 5/3 3 5/2 ，當中包含了4個分數，這個性質有別於其他均勻多面體：其他均勻多面體的威佐夫記號基本上可以用三個有理數表達，分別代表球面上史瓦茲三角形的三條邊，然而這個立體需要4個，這意味著這個立體無法用從球面三角形以威佐夫結構的模式來定義。其他具備此特性的均勻多面體都是退化的形式，例如大二重扭稜二重斜方十二面體。


= 面的組成 =
大二重斜方截半二十面體共由40個三角形、60個正方形和24個五角星組成，在其124個面中，有24個面是非凸且自相交的，即24個五角星面，和60個穿過整體幾何中心的正方形面。若將其視為簡單多面體，也就是移除自相交的部分以便建構其模型，則大二重斜方截半二十面體有1280個外部面。


= 二面角 =
大二重斜方截半二十面體有兩種二面角，分別是正方形與三角形的交角，約54.7度以及五角星和正方形的交角，約71度。

其中，正方形與三角形的交角為三平方根倒數的反餘弦值：

  
    
      
        
          cos
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            
              3
            
            3
          
        
        ≈
        0.9553166
        ≈
        
          54.7356103
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {3}}{3}}\approx 0.9553166\approx 54.7356103^{\circ }}
  

而五角星和正方形的交角為：

  
    
      
        
          cos
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            
              5
              
                (
                
                  5
                  −
                  2
                  
                    
                      5
                    
                  
                
                )
              
            
            5
          
        
        ≈
        1.2398695
        ≈
        
          71.0392901
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{5}}\approx 1.2398695\approx 71.0392901^{\circ }}
  


= 頂點座標 =
若一大二重斜方截半二十面體的邊長為單位長，則這個大二重斜方截半二十面體的頂點座標為：

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              
                
                  
                    
                      
                        5
                      
                    
                    −
                    1
                    −
                    2
                    
                      
                        
                          
                            5
                          
                        
                        −
                        2
                      
                    
                  
                  8
                
              
            
            ,
            
            ±
            
              
                
                  
                    3
                    −
                    
                      
                        5
                      
                    
                    −
                    
                      
                        10
                        
                          
                            5
                          
                        
                        −
                        22
                      
                    
                  
                  8
                
              
            
            ,
            
            ±
            
              
                
                  
                    2
                    +
                    
                      
                        2
                        
                          
                            5
                          
                        
                        −
                        2
                      
                    
                  
                  8
                
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}-1-2{\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}-{\sqrt {10{\sqrt {5}}-22}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {2+{\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}}{8}}}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            0
            ,
            
            ±
            
              
                
                  3
                  −
                  
                    
                      5
                    
                  
                
                2
              
            
            ,
            
            ±
            
              
                
                  
                    
                      5
                    
                  
                  −
                  1
                
                2
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}{2}},\,\pm {\frac {\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{2}}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              
                
                  
                    3
                    −
                    
                      
                        5
                      
                    
                    +
                    
                      
                        10
                        
                          
                            5
                          
                        
                        −
                        22
                      
                    
                  
                  8
                
              
            
            ,
            
            ±
            
              
                
                  
                    2
                    −
                    
                      
                        2
                        
                          
                            5
                          
                        
                        −
                        2
                      
                    
                  
                  8
                
              
            
            ,
            
            ±
            
              
                
                  
                    
                      
                        5
                      
                    
                    −
                    1
                    +
                    2
                    
                      
                        
                          
                            5
                          
                        
                        −
                        2
                      
                    
                  
                  8
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(\pm {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}+{\sqrt {10{\sqrt {5}}-22}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {2-{\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}-1+2{\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}}{8}}}\right).}
  

若大二重斜方截半二十面體的邊長為2√2單位長，則其頂點座標簡化為以下列數值的全排列來表示：

  
    
      
        
          (
          
            0
            ,
            ±
            
              
                2
                τ
              
            
            ,
            ±
            
              
                2
                
                  τ
                
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(0,\pm {\frac {2}{\tau }},\pm {\frac {2}{\sqrt {\tau }}}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              (
              
                −
                1
                +
                
                  
                    1
                    
                      
                        τ
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                
                  
                    1
                    
                      τ
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    
                      τ
                    
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                
                  
                    1
                    τ
                  
                
                +
                
                  
                    τ
                  
                
              
              )
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(\pm \left(-1+{\frac {1}{\sqrt {\tau ^{3}}}}\right),\pm \left({\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {\tau }}}\right),\pm \left({\frac {1}{\tau }}+{\sqrt {\tau }}\right)\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              (
              
                
                  
                    
                      −
                      1
                    
                    τ
                  
                
                +
                
                  
                    τ
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                1
                −
                
                  
                    1
                    
                      
                        τ
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                
                  
                    1
                    
                      τ
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    
                      τ
                    
                  
                
              
              )
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(\pm \left({\frac {-1}{\tau }}+{\sqrt {\tau }}\right),\pm \left(-1-{\frac {1}{\sqrt {\tau ^{3}}}}\right),\pm \left({\frac {1}{\tau ^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {\tau }}}\right)\right),}
  

其中τ = (1+√5)/2 是黃金比例。


使用 大二重斜方截半二十面體曾作為《數學期刊》（The Mathematica Journal）第4期第3卷的封面圖像。


參考文獻