在物理學裏，連續性方程式（英語：continuity equation）是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。在適當條件下，質量、能量、動量、電荷等都是守恆量，因此很多傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。
連續性方程式是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比，這種守恆定律条件更强。本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達了同樣的思想──在任意區域內某種守恆量總量的改變，等於從邊界進入或離去的數量；守恆量不能夠增加或減少，只能夠從某一個位置遷移到另一個位置。
每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達（使用通量積分），描述任意有限區域內的守恆量；也可以用微分形式表達（使用散度算符），描述任意位置的守恆量。其微分形式与積分形式通过散度定理相互关联。


概論 = 微分形式 =
一般的連續性方程式的微分形式為

  
    
      
        
          
            
              ∂
              φ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          f
        
        =
        s
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =s}
  
 ；
其中，
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 是某物理量 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 的密度（每單位體積的物理量），
  
    
      
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {f} }
  
 是 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 的流量密度（每單位面積每單位時間的物理量）的向量函數（vector function），
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 是 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 在每單位體積每單位時間的生成量。
假若 
  
    
      
        s
        >
        0
      
    
    {\displaystyle s>0}
  
 則稱 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 為「源點」；假若 
  
    
      
        s
        <
        0
      
    
    {\displaystyle s<0}
  
 則稱 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 為「匯點」。假設 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 是没有产生或湮滅的守恆量，（例如，電荷），則 
  
    
      
        s
        =
        0
      
    
    {\displaystyle s=0}
  
 ，連續性方程式變為

  
    
      
        
          
            
              ∂
              φ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          f
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =0}
  
 。
從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式，這方程式可以用來表示任意連續性方程式。该方程式也是平流方程式（advection equation）的推廣。
另一些物理學中的方程式也具有類似連續性方程式的數學形式，例如電場的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被稱為連續性方程式，因為 
  
    
      
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {f} }
  
 並不代表真實物理量的流動。


= 積分形式 =

根據散度定理，連續性方程式可以寫為等價的積分形式：

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              Q
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        +
        
          ∮
          
            
              S
            
          
        
        
          f
        
        ⋅
        
          d
        
        
          a
        
        =
        S
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =S}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
 是包住體積 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 的任意固定（不隨時間改變）閉曲面，
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 是在體積 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 內的 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 總量，
  
    
      
        S
        =
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        s
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle S=\int _{\mathbb {V} }s\ \mathrm {d} ^{3}r}
  
 是在積分體積 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 內源點與匯點的總生成量每單位時間，
  
    
      
        
          d
        
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }
  
 是微小面向量積分元素。
舉一簡例，假設 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 是台北101大樓，
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 是在大樓內某時間的總人數，
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等，共同組成的曲面，則連續性方程式表明，當人們進入大樓時（代表穿過曲面的內向通量），或當大樓裏面的孕婦生產時（代表源點的 
  
    
      
        s
        >
        0
      
    
    {\displaystyle s>0}
  
 ），在大樓裏面的總人數會增加；而當人們離開大樓時（代表穿過曲面的外向通量），在大樓裏面的總人數會減少。


電磁理論 在電磁理論裏，連續性方程式可以視為一條經驗定律，表達局域電荷守恆，或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明，電荷密度 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
 的變率與電流密度 
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
 的散度，兩者的代數和等於零：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          J
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}
  
 。


= 馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式 =
馬克士威-安培方程式為

  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
        +
        
          μ
          
            0
          
        
         
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          
            
              ∂
              E
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\ \epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 是磁場，
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
 是電場，
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}}
  
 是磁常數，
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}}
  
 是電常數。
取散度於方程式的兩邊，由於旋度的散度必是零，

  
    
      
        0
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        ∇
        ⋅
        
          J
        
        +
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          
            
              ∂
              (
              ∇
              ⋅
              
                E
              
              )
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 0=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}}
  
 。
高斯定律的方程式為

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          E
        
        =
        ρ
        
          /
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}
  
 。
將這方程式代入，可以得到

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          J
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}
  
。
電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述：假若電荷從某微小體積元素移動出去（電流密度的散度是正值），則在那微小體積元素內的總電荷量會減少，電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺，連續性方程式就是電荷守恆。


= 四維電流 =
四維電流密度定義為

  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        (
        c
        ρ
        ,
        
          J
        
        )
        =
        (
        c
        ρ
        ,
        
          J
          
            x
          
        
        ,
        
          J
          
            y
          
        
        ,
        
          J
          
            z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (c\rho ,\mathbf {J} )=(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z})}
  
 ；
其中，
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 標記時空坐標，
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 是光速。
電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達，即連續性方程式

  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          J
          
            α
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=0}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    r
                    
                      0
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    r
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    r
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  c
                  ∂
                  t
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}},{\frac {\partial }{\partial r^{1}}},{\frac {\partial }{\partial r^{2}}},{\frac {\partial }{\partial r^{3}}}\right)=\left({\frac {\partial }{c\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}
  
 。


流體力學 在流體力學裏，連續性方程式表明，在任何穩定態過程中，質量進入物理系統的速率等於離開的速率。。此时連續性方程式与電路學的克希荷夫電流定律类似。「質量連續性方程式」的微分形式為

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        (
        ρ
        
          u
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}
  
；
其中，
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
 是流體質量密度，
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
  
 是流速向量場，兩者相乘後為质量通量。
假設流體是不可壓縮流，則密度 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
 是常數，質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        (
        
          u
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} )=0}
  
 。
這意味著，在所有位置，速度場的散度等於零；也就是說，局域的體積變率為零。
在另一方面，納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式，描述動量守恆。


能量 根據能量守恆，能量只能夠傳輸，不能夠生成或湮滅，这意味着「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律（Laws of thermodynamics）外，能量守恆的另一种數學表述，即，

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          q
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0}
  
 ；
其中，
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
 是能量密度（單位體積的能量），
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 是能量通量向量（數值大小為單位截面面積每單位時間傳輸的能量，方向為截面的外法线方向）。
根據傅立葉定律（Fourier's law），對於均勻傳導介質，

  
    
      
        
          q
        
        =
        −
        k
        ∇
        T
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} =-k\nabla T}
  
 ；
其中，
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 是熱導率，
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 是溫度函數。
能量連續性方程式又可寫為热传导方程，

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        −
        k
        
          ∇
          
            2
          
        
        T
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-k\nabla ^{2}T=0}
  
 。


量子力學 在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」假设一個量子系統的波函數為 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)}
  
 ，機率流 
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
的定義為

  
    
      
        
          J
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            ℏ
            
              2
              m
              i
            
          
        
        
          (
          
            
              Ψ
              
                ∗
              
            
            
              ∇
            
            Ψ
            −
            Ψ
            
              ∇
            
            
              Ψ
              
                ∗
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            ℏ
            m
          
        
        
          
            Im
          
        
        (
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        
          ∇
        
        Ψ
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )}
  
 ；
其中，
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  
 是約化普朗克常數，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 是質量，
  
    
      
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi ^{*}}
  
 是 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  
 是共軛複數，
  
    
      
        
          
            Im
          
        
        (
        )
      
    
    {\displaystyle {\mbox{Im}}()}
  
 是取括弧內項目的虚部。


= 連續方程式與機率守恒定律 =
機率流滿足量子力學的連續方程式：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∇
        
        ⋅
        
          J
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}
  
 ；
其中，
  
    
      
        ρ
        =
        
          |
        
        Ψ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}}
  
 是機率密度。
應用高斯公式，可以等價地以積分方程式表示，

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          |
        
        Ψ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        +
        
          ∮
          
            
              S
            
          
        
        
          J
        
        ⋅
        
          
            d
          
          
            a
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0}
  
 ；(1)
其中，
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 是任意三維區域，
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
 是 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 的邊界曲面。
方程式 (1) 左邊第一個體積積分項（不包括對於時間的偏微分）是測量粒子位置時粒子在 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 內的機率對於時間的微分，与其流出三維區域的機率 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 的通量，兩者之和等於零。


= 連續方程式推导 =
測得粒子在三維區域 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 內的機率 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 是

  
    
      
        P
        =
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        ρ
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        =
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          |
        
        Ψ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }
  
 。
機率對於時間的導數是

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              P
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          |
        
        Ψ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        =
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  Ψ
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            
              Ψ
              
                ∗
              
            
            +
            Ψ
            
              
                
                  ∂
                  
                    Ψ
                    
                      ∗
                    
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
          
          )
        
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}
  
 ；(2)
注意到 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  
 的含時薛丁格方程式為

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            
              ∂
              Ψ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              −
              
                ℏ
                
                  2
                
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        +
        U
        Ψ
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }
  
 ；
其中，
  
    
      
        U
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle U(\mathbf {r} )}
  
 是位勢。
將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              P
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        −
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          
            ℏ
            
              2
              m
              i
            
          
        
        
          (
          
            
              Ψ
              
                ∗
              
            
            
              ∇
              
                2
              
            
            Ψ
            −
            Ψ
            
              ∇
              
                2
              
            
            
              Ψ
              
                ∗
              
            
          
          )
        
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}
  
 。
應用一則向量恆等式，可以得到

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          (
          
            
              Ψ
              
                ∗
              
            
            
              ∇
            
            Ψ
            −
            Ψ
            
              ∇
            
            
              Ψ
              
                ∗
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∇
        
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        ⋅
        
          ∇
        
        Ψ
        +
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        −
        
          ∇
        
        Ψ
        ⋅
        
          ∇
        
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        −
        Ψ
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}
  
 。
這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              P
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        −
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          ∇
        
        ⋅
        
          [
          
            
              
                ℏ
                
                  2
                  m
                  i
                
              
            
            
              (
              
                
                  Ψ
                  
                    ∗
                  
                
                
                  ∇
                
                Ψ
                −
                Ψ
                
                  ∇
                
                
                  Ψ
                  
                    ∗
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}}
  
 。
將機率密度方程式與機率流定義式代入，

  
    
      
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        =
        −
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          (
          
            
              ∇
            
            ⋅
            
              J
            
          
          )
        
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}
  
 。
该等式對於任意三維區域 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 都成立，所以被積項目在任何位置都必須等於零：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∇
        
        ⋅
        
          J
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}
  
 。


參閱 歐拉方程式
諾特定理


參考文獻