立方和是數學公式的一種，它屬於因式分解、乘法公式及恆等式，被普遍使用。立方和是指一個立方數，加上另一個立方數，即是它們的總和。公式如下：

  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        ±
        
          b
          
            3
          
        
        =
        (
        a
        ±
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        ∓
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        =
        (
        a
        ±
        b
        
          )
          
            3
          
        
        ∓
        3
        a
        b
        (
        a
        ±
        b
        )
      
    
    {\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)}
  

立方和被因式分解後，答案分別包含二項式及三項式，與立方差相同。


驗證 = 主驗證 =
驗證此公式，可透過因式分解，首先設以下公式：

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        b
        −
        
          a
          
            2
          
        
        b
        +
        a
        
          b
          
            2
          
        
        −
        a
        
          b
          
            2
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!}
  

然後代入：

  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        =
        
          a
          
            3
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        b
        +
        a
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        b
        −
        a
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}
  

透過因式分解，可得：

  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        =
        a
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        +
        b
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
  

  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
  

這樣便可驗證：
  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        ≡
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
  


= 和立方驗證 =
透過和立方可驗證立方和的原理：

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}
  

  
    
      
        =
        
          x
          
            3
          
        
        +
        3
        
          x
          
            2
          
        
        y
        +
        3
        x
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!}
  

那即是只要減去
  
    
      
        3
        
          x
          
            2
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle 3x^{2}y}
  
及
  
    
      
        3
        x
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 3xy^{2}}
  
便可得到立方和，可設：

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
        =
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            3
          
        
        −
        3
        
          x
          
            2
          
        
        y
        −
        3
        x
        
          y
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}
  

右邊的方程 
  
    
      
        =
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            3
          
        
        −
        3
        
          x
          
            2
          
        
        y
        −
        3
        x
        
          y
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle =(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}
  

運用因式分解的方法：

  
    
      
        =
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            3
          
        
        −
        3
        x
        y
        (
        x
        +
        y
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}
  

  
    
      
        =
        (
        x
        +
        y
        )
        
          [
          
            (
            x
            +
            y
            
              )
              
                2
              
            
            −
            3
            x
            y
          
          ]
        
        
        
      
    
    {\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}
  

  
    
      
        =
        (
        x
        +
        y
        )
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
        −
        3
        x
        y
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}
  

  
    
      
        =
        (
        x
        +
        y
        )
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}
  

這樣便可驗證出：
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
        =
        (
        x
        +
        y
        )
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}
  


= 幾何驗證 =

透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。
根據右圖，設兩個立方，總和為：

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+y^{3}\,\!}
  

把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}
  

要得到
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+y^{3}}
  
，可使用
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{3}}
  
的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：

  
    
      
        x
        ×
        y
        ×
        (
        x
        +
        y
        )
      
    
    {\displaystyle x\times y\times (x+y)}
  

  
    
      
        x
        ×
        (
        x
        +
        y
        )
        ×
        y
      
    
    {\displaystyle x\times (x+y)\times y}
  

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        )
        ×
        y
        ×
        x
      
    
    {\displaystyle (x+y)\times y\times x}
  

把三個部分加在一起，便得：

  
    
      
        =
        x
        y
        (
        x
        +
        y
        )
        +
        x
        y
        (
        x
        +
        y
        )
        +
        x
        y
        (
        x
        +
        y
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle =xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!}
  

  
    
      
        =
        3
        x
        y
        (
        x
        +
        y
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle =3xy(x+y)\,\!}
  

之後，把
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{3}}
  
減去它，便得：

  
    
      
        =
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            3
          
        
        −
        3
        x
        y
        (
        x
        +
        y
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}
  

上公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：

  
    
      
        =
        (
        x
        +
        y
        )
        
          [
          
            (
            x
            +
            y
            
              )
              
                2
              
            
            −
            3
            x
            y
          
          ]
        
        
        
      
    
    {\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}
  

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{2}}
  
可透過和平方公式，得到：

  
    
      
        =
        (
        x
        +
        y
        )
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
        −
        3
        x
        y
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}
  

  
    
      
        =
        (
        x
        +
        y
        )
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}
  

這樣便可證明
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
        =
        (
        x
        +
        y
        )
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}
  


= 反驗證 =
透過
  
    
      
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
  
也可反驗證立方和。

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
  

  
    
      
        =
        a
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        +
        b
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle =a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
  

  
    
      
        =
        
          a
          
            3
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        b
        +
        a
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        b
        −
        a
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle =a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}
  

  
    
      
        =
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle =a^{3}+b^{3}\,\!}
  

以上計算方法亦可簡化為一個表格：

這樣便可證明
  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
  


立方差 立方差也可以使用立方和來驗證，例如：

  
    
      
        125
        
          u
          
            3
          
        
        −
        343
        
          v
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle 125u^{3}-343v^{3}\,\!}
  

把兩個數項都轉為立方數：

  
    
      
        =
        (
        5
        u
        
          )
          
            3
          
        
        −
        (
        7
        v
        
          )
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle =(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!}
  

運用負正得負，可得：

  
    
      
        =
        (
        5
        u
        
          )
          
            3
          
        
        +
        (
        −
        7
        v
        
          )
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle =(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!}
  

然後運用立方和，可得：

  
    
      
        =
        
          [
          
            5
            u
            +
            (
            −
            7
            v
            )
          
          ]
        
        
          [
          
            25
            
              u
              
                2
              
            
            −
            (
            5
            u
            )
            (
            −
            7
            v
            )
            +
            (
            −
            7
            v
            
              )
              
                2
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle =\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]}
  

  
    
      
        =
        (
        5
        u
        −
        7
        v
        )
        (
        25
        
          u
          
            2
          
        
        +
        35
        u
        v
        +
        49
        
          v
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle =(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!}
  

這個方法更可驗證到立方差的公式是
  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        −
        
          b
          
            3
          
        
        =
        (
        a
        −
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}
  


兩組立方和的數 有些整數可以有兩個立方和組合，
而最少的，已是過千的1729。它是兩組不同的立方和：

  
    
      
        1729
        =
        
          1
          
            3
          
        
        +
        
          12
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}\,\!}
  

  
    
      
        1729
        =
        
          9
          
            3
          
        
        +
        
          10
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle 1729=9^{3}+10^{3}\,\!}
  

下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104：

  
    
      
        4104
        =
        
          9
          
            3
          
        
        +
        
          15
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle 4104=9^{3}+15^{3}\,\!}
  

  
    
      
        4104
        =
        
          2
          
            3
          
        
        +
        
          16
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle 4104=2^{3}+16^{3}\,\!}
  

首十個兩組立方和的數：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728


参见 幾何學
工程學


參考文獻