因数（英語：factor）也称 约数、因子、除子、除數（divisor），是一个常见的数学名词，用于描述自然数 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和自然数 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 之间存在的整除关系，即 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 可以被 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 整除。这里我们称 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 是 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的倍数，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 是 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 的因数或因子。


定义 设 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
 满足  
  
    
      
        a
        ∈
        
          
            N
          
          
            ∗
          
        
        ,
        b
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle a\in \mathbb {N} ^{*},b\in \mathbb {N} }
  
. 若存在  
  
    
      
        q
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle q\in \mathbb {N} }
  
 使得  
  
    
      
        b
        =
        a
        q
      
    
    {\displaystyle b=aq}
  
, 那么就说  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 是  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的倍数， 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 是 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 的约数。这种关系记作  
  
    
      
        a
        
          |
        
        b
      
    
    {\displaystyle a|b}
  
,读作“
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 整除 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
”.
例如 
  
    
      
        24
        =
        3
        ×
        8
        ,
        
        1150
        =
        25
        ×
        46
      
    
    {\displaystyle 24=3\times 8,\;1150=25\times 46}
  
. 所以  
  
    
      
        3
        
          |
        
        24
        ,
        
        25
        
          |
        
        1150
      
    
    {\displaystyle 3|24,\;25|1150}
  
，同时 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
 是 
  
    
      
        24
      
    
    {\displaystyle 24}
  
 的因数；
  
    
      
        25
      
    
    {\displaystyle 25}
  
 是 
  
    
      
        1150
      
    
    {\displaystyle 1150}
  
 的因数。
除了自己本身外的因數，稱為 真因數 或 真因子（proper divisor）。


性质 若 
  
    
      
        a
        
          |
        
        b
        ,
        
        b
        
          |
        
        c
      
    
    {\displaystyle a|b,\;b|c}
  
 那么 
  
    
      
        a
        
          |
        
        c
      
    
    {\displaystyle a|c}
  
.
若 
  
    
      
        a
        
          |
        
        b
        ,
        
        a
        
          |
        
        c
      
    
    {\displaystyle a|b,\;a|c}
  
 且 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }
  
, 有 
  
    
      
        a
        
          |
        
        (
        b
        x
        +
        c
        y
        )
      
    
    {\displaystyle a|(bx+cy)}
  
.
若 
  
    
      
        a
        
          |
        
        b
      
    
    {\displaystyle a|b}
  
, 设 
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t\not =0}
  
, 那么 
  
    
      
        (
        t
        a
        )
        
          |
        
        (
        t
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (ta)|(tb)}
  
.
若 
  
    
      
        b
        =
        q
        d
        +
        c
      
    
    {\displaystyle b=qd+c}
  
, 那么 
  
    
      
        d
        
          |
        
        b
      
    
    {\displaystyle d|b}
  
 的充要条件是 
  
    
      
        d
        
          |
        
        c
      
    
    {\displaystyle d|c}
  

若 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }
  
 满足 
  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        =
        1
        ,
        
        a
        
          |
        
        n
        .
        
        b
        
          |
        
        n
      
    
    {\displaystyle ax+by=1,\;a|n.\;b|n}
  
 那么 
  
    
      
        a
        b
        
          |
        
        n
      
    
    {\displaystyle ab|n}
  
.
这里对最后一条性质进行证明:

  
    
      
        ∵
        a
        
          |
        
        n
        ,
        
        b
        
          |
        
        n
        
        ∴
        a
        b
        
          |
        
        b
        n
        ,
        
        a
        b
        
          |
        
        a
        n
        
        ∴
        a
        b
        
          |
        
        (
        a
        n
        x
        +
        b
        n
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \because a|n,\;b|n\quad \therefore ab|bn,\;ab|an\quad \therefore ab|(anx+bny)}
  

  
    
      
        ∵
        a
        x
        +
        b
        y
        =
        1
        
        ∴
        a
        b
        
          |
        
        n
      
    
    {\displaystyle \because ax+by=1\quad \therefore ab|n}
  

证毕。


相关定理 = 整数的唯一分解定理 =
任何一个正整数都有且仅有一种方式写出它所有素数因子的乘积表达式。这个过程称为质因数分解
如果 
  
    
      
        A
        ∈
        
          
            N
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle A\in \mathbb {N} ^{+}}
  
, 那么

  
    
      
        A
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          p
          
            i
          
          
            
              a
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}}
  
, 其中 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
  
 是一个素数.
这种表示方法是唯一的。


= 因数个数 =
自然数 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 的因数个数以 
  
    
      
        d
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle d(n)}
  
 表示。
若 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 唯一分解为 
  
    
      
        N
        =
        
          p
          
            1
          
          
            
              a
              
                1
              
            
          
        
        ×
        
          p
          
            2
          
          
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        ×
        
          p
          
            3
          
          
            
              a
              
                3
              
            
          
        
        ×
        ⋯
        ×
        
          p
          
            n
          
          
            
              a
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          p
          
            i
          
          
            
              k
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}
  
, 则 
  
    
      
        d
        (
        N
        )
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        +
        1
        )
        ×
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        1
        )
        ×
        (
        
          a
          
            3
          
        
        +
        1
        )
        ×
        ⋯
        ×
        (
        
          a
          
            n
          
        
        +
        1
        )
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          (
          
            
              a
              
                i
              
            
            +
            1
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle d(N)=(a_{1}+1)\times (a_{2}+1)\times (a_{3}+1)\times \cdots \times (a_{n}+1)=\prod _{i=1}^{n}\left(a_{i}+1\right)}
  
.
例如 
  
    
      
        2646
        =
        2
        ×
        
          3
          
            3
          
        
        ×
        
          7
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}}
  
，则其正因数个数 
  
    
      
        d
        (
        2646
        )
        =
        (
        1
        +
        1
        )
        ×
        (
        3
        +
        1
        )
        ×
        (
        2
        +
        1
        )
        =
        24
      
    
    {\displaystyle d(2646)=(1+1)\times (3+1)\times (2+1)=24}
  
。


= 因数和 =
自然数N的正因数和，以因数函数 
  
    
      
        σ
        (
        N
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (N)}
  
 表示。由质因数分解而得。
若 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 唯一分解为 
  
    
      
        N
        =
        
          p
          
            1
          
          
            
              a
              
                1
              
            
          
        
        ×
        
          p
          
            2
          
          
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        ×
        
          p
          
            3
          
          
            
              a
              
                3
              
            
          
        
        ×
        ⋯
        ×
        
          p
          
            n
          
          
            
              a
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          p
          
            i
          
          
            
              k
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}
  
, 则 
  
    
      
        σ
        (
        N
        )
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                j
                =
                0
              
              
                
                  a
                  
                    i
                  
                
              
            
            
              p
              
                i
              
              
                j
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \sigma (N)=\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{j}\right)}
  
.
再由等比级数求和公式可知，上式亦可写成：

  
    
      
        
          
            
              
                σ
                (
                N
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        p
                        
                          1
                        
                        
                          
                            a
                            
                              1
                            
                          
                          +
                          1
                        
                      
                      −
                      1
                    
                    
                      
                        p
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      1
                    
                  
                
                ×
                
                  
                    
                      
                        p
                        
                          2
                        
                        
                          
                            a
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          1
                        
                      
                      −
                      1
                    
                    
                      
                        p
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      1
                    
                  
                
                ×
                ⋯
                ×
                
                  
                    
                      
                        p
                        
                          n
                        
                        
                          
                            a
                            
                              n
                            
                          
                          +
                          1
                        
                      
                      −
                      1
                    
                    
                      
                        p
                        
                          n
                        
                      
                      −
                      1
                    
                  
                
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (N)&={\frac {p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{a_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times \cdots \times {\frac {p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}}&\end{aligned}}}
  

例如
  
    
      
        2646
        =
        2
        ×
        
          3
          
            3
          
        
        ×
        
          7
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}}
  
，则其正因数之和

  
    
      
        
          
            
              
                σ
                (
                2646
                )
              
              
                
                =
                (
                1
                +
                2
                )
                ×
                (
                1
                +
                3
                +
                9
                +
                27
                )
                ×
                (
                1
                +
                7
                +
                49
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        2
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      1
                    
                    
                      2
                      −
                      1
                    
                  
                
                ×
                
                  
                    
                      
                        3
                        
                          4
                        
                      
                      −
                      1
                    
                    
                      3
                      −
                      1
                    
                  
                
                ×
                
                  
                    
                      
                        7
                        
                          3
                        
                      
                      −
                      1
                    
                    
                      7
                      −
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                3
                ×
                40
                ×
                57
              
            
            
              
              
                
                =
                6840
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2646)&=(1+2)\times (1+3+9+27)\times (1+7+49)\\&={\frac {2^{2}-1}{2-1}}\times {\frac {3^{4}-1}{3-1}}\times {\frac {7^{3}-1}{7-1}}\\&=3\times 40\times 57\\&=6840\end{aligned}}}
  
。


其他 所有n的正因數都是n的質因數的積的一些冪。這是算術基本定理的結果。
1是所有整數的正因數，-1是所有整數的負因數，因為
  
    
      
        x
        =
        1
        x
        =
        −
        1
        ×
        (
        −
        x
        )
      
    
    {\displaystyle x=1x=-1\times (-x)}
  

由上式同樣可證明，一個整數及其相反數必然為自身的因數，叫做 明顯因數。

n的正因數數目是積性函數d(n)，正因數之和則是另一個積性函數σ(n)。詳見除數函數
質數
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
只有2個正因數：1, 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
。
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 的平方數只有三個正因數：1, 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{2}}
  
。


参考 相關條目 因數判別法可參照整除規則。
質數
同余
質因數
公倍數、最小公倍數
公因數、最大公因數