在數學中，一個李群 G 的伴隨表示（adjoint representation）或伴隨作用（adjoint action）是 G 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛作用的線性化形式。


正式定义 設 G 是一個李群，
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 是它的李代數（我們將其等價於 G 中恒同元素的切空間 TeG）。利用方程 
  
    
      
        Ψ
        (
        g
        )
        =
        
          Ψ
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (g)=\Psi _{g}}
  
 對 g 屬於 G，定義一個映射

  
    
      
        Ψ
        :
        G
        →
        
          A
          u
          t
        
        (
        G
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \Psi :G\to \mathrm {Aut} (G),\,}
  

這里 
  
    
      
        
          A
          u
          t
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}
  
 是 G 的自同構群而自同構 
  
    
      
        
          Ψ
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi _{g}}
  
 定義為

  
    
      
        
          Ψ
          
            g
          
        
        (
        h
        )
        =
        g
        h
        
          g
          
            −
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}\,}
  
 對所有 h 屬於 G。
從而 Ψg 在恒同處的微分是李代數 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 的一個自同構。我們記這個映射為 Adg：

  
    
      
        
          
            A
            d
          
          
            g
          
        
        :
        
          
            g
          
        
        →
        
          
            g
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.\,}
  

所謂 Adg 是一個李代數自同構是說 Adg 是 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 的一個保持李括號的線性變換。映射

  
    
      
        
          A
          d
        
        :
        G
        →
        
          A
          u
          t
        
        (
        
          
            g
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
  

將 g 映為 Adg 稱為 G 的伴隨表示（adjoint representation）。這确实是 G 的一個表示因為 
  
    
      
        
          A
          u
          t
        
        (
        
          
            g
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
  
 是 
  
    
      
        
          G
          L
        
        (
        
          
            g
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}
  
 的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 G 的維數相同。


= 李代数的伴随表示 =
我們可以由李群 G 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數

  
    
      
        
          A
          d
        
        :
        G
        →
        
          A
          u
          t
        
        (
        
          
            g
          
        
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,}
  

給出李代數 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 的伴隨表示：

  
    
      
        
          a
          d
        
        :
        
          
            g
          
        
        →
        
          D
          e
          r
        
        (
        
          
            g
          
        
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}).\,}
  

這里 
  
    
      
        
          D
          e
          r
        
        (
        
          
            g
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})}
  
 是 
  
    
      
        
          A
          u
          t
        
        (
        
          
            g
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
  
 的李代數，可以與 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯繫。特別地，我們可以證明

  
    
      
        
          
            a
            d
          
          
            x
          
        
        (
        y
        )
        =
        [
        x
        ,
        y
        ]
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}
  

對所有 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
  
 成立。詳情請見李代数的伴随表示。


例子 如果 G 是一個 n 維阿貝爾群，G 的伴隨表示是n 維平凡表示。
如果 G 是一個矩陣李群（即 GL(n,C) 的一個閉子群），則它的李代數是一個以交換子作李括號的 n×n 矩陣代數（即 
  
    
      
        
          
            
              g
              l
            
          
          
            n
          
        
        (
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}
  
 的子代數）。此時，伴隨映射由 Adg(x) = gxg−1 給出。
如果 G 是 SL2(R)（行列式為 1 的 2×2 實矩陣），G 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。


性质 下表總結了定義中提到的不同映射的性質

G 在伴隨映射下的像記為 AdG。如果 G 連通，則伴隨表示的核與 Ψ 的核相同，就是 G 的中心。從而，如果 G 中心平凡，則連通李群 G 的伴隨表示是忠實的。進一步，如果 G 不連通，伴隨映射的核是 G 的單位分支 G0 的中心化子。由第一同構定理我們有

  
    
      
        
          
            A
            d
          
          
            G
          
        
        ≅
        G
        
          /
        
        
          C
          
            G
          
        
        (
        
          G
          
            0
          
        
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}\cong G/C_{G}(G_{0}).\,}
  


半单李群的根 如果 G 半單，伴随表示的非零权组成一个根系。为了说明这是怎么回事，考虑特例 G=SLn(R)。
我们可取对角矩阵 diag(t1,...,tn) 的群是 G 的极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        ↦
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    t
                    
                      1
                    
                  
                  
                    t
                    
                      2
                    
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    t
                    
                      1
                    
                  
                  
                    t
                    
                      n
                    
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                  
                    t
                    
                      1
                    
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                  
                    t
                    
                      n
                    
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  
                    a
                    
                      2
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    t
                    
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                    t
                    
                      1
                    
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    t
                    
                      n
                    
                  
                  
                    t
                    
                      2
                    
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  
                    a
                    
                      n
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                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}
  

从而 T 在 G 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有本征向量 titj-1。G 的根是权 
diag(t1,...,tn)→titj-1。这是 G=SLn(R) 的根系作为ei−ej 形式的向量集合的标准描述之说明。


变体与类比 伴随表示也能对任何域上的代数群定义。
餘伴随表示（co-adjoint representation）是伴随表示的逆步表示。亚历山大·卡里洛夫（Alexandre Kirillov）观察到任何向量在餘伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学（另见卡里洛夫特征标公式（Kirillov character formula）），一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。


参考 Fulton, William; Harris, Joe, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 129, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6 
Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222, Springer-Verlag( reprinted by World Publishing Corporation, Beijing), 2004, ISBN 978-7-5062-8297-0