在数学中，环绕数（linking number）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。
环绕数由高斯以环绕积分的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 DNA超螺旋的研究。


定义 空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这决定了环绕数：

每条曲线在移动过程中可以穿过自身，但这两条曲线保持互相分离。


计算环绕数 存在一个算法计算出一个链环图表的环绕数。按如下法则将每个交叉标记为“正”或“负”
：

正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍，即

环绕数
  
    
      
        =
        
          
            
              
                n
                
                  1
                
              
              +
              
                n
                
                  2
                
              
              −
              
                n
                
                  3
                
              
              −
              
                n
                
                  4
                
              
            
            2
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}},\,}
  

这里 n1, n2, n3, n4 分别表示四类交叉数的个数。两个和 
  
    
      
        
          n
          
            1
          
        
        +
        
          n
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}
  
 与 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
        +
        
          n
          
            4
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}
  
 总相等。这样得到了如下另外的公式

环绕数
  
    
      
        =
        
        
          n
          
            1
          
        
        −
        
          n
          
            4
          
        
        
        =
        
        
          n
          
            2
          
        
        −
        
          n
          
            3
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle =\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.\,}
  

注意到 
  
    
      
        
          n
          
            1
          
        
        −
        
          n
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{1}-n_{4}}
  
 只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
        −
        
          n
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{2}-n_{3}}
  
 只涉及到上交叉。


性质与例子 任何两条没有链接起来的曲线相交数为零。但环绕数为零的两条曲线仍可能是链接起来的（例如右图的怀特黑德链环）。
逆转任何一条曲线的定向，环绕数改变符号；但两条曲线同时逆转定向，环绕数不变。
环绕数具有手征性：取一个链环的镜像，环绕数改变符号。我们对正环绕数的约定基于右手法则。
x-y 平面上一条定向曲线的卷绕数等于它与 z-轴（将 z-轴想象为三维球面中一条闭曲线）的环绕数。
更一般地，如果其中一条曲线是简单的，则这个分支的第一同调群同构于整数 Z。在此情形，环绕数由另一条曲线的同调类决定。
在物理学中，环绕数是拓扑量子数之一例，它与量子纠缠有关。


高斯的积分定义 给定两条不交可微曲线 
  
    
      
        
          γ
          
            1
          
        
        ,
        
          γ
          
            2
          
        
        :
        
          S
          
            1
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}
  
，定义从环面到单位球面高斯映射 
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
 为

  
    
      
        Γ
        (
        s
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              
                γ
                
                  1
                
              
              (
              s
              )
              −
              
                γ
                
                  2
                
              
              (
              t
              )
            
            
              
                |
              
              
                γ
                
                  1
                
              
              (
              s
              )
              −
              
                γ
                
                  2
                
              
              (
              t
              )
              
                |
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}.\,}
  

取单位球面上一点 v，从而链环的正交投影到垂直于 v 的平面给出一个链环图表。观察到点 (s, t) 在高斯映射下映为 v 对应于链环图表中一个交叉，这里 
  
    
      
        
          γ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma _{1}}
  
 在 
  
    
      
        
          γ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma _{2}}
  
 上。并且 (s, t) 的一个邻域在高斯映射下映为 v 的一个邻域，保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于 v 的链环图表的环绕数，只需数高斯映射覆盖 v 的带符号次数。由于 v 是一个正则值，这恰是高斯映射的度数（即 Γ 的像盖住球面的带符号次数）。环绕数的同痕不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数，所以环绕数与任何特定的链环图表无关。
曲线 γ1 与 γ2 的环绕数的这种表述给出了用二重线积分表示的一个明确公式，即高斯环绕积分：

环绕数
  
    
      
        

        
        
        =
        
        ϕ
        (
        
          γ
          
            1
          
        
        ,
        
          γ
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∮
          
            
              γ
              
                1
              
            
          
        
        
          ∮
          
            
              γ
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        ⋅
        (
        d
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        ×
        d
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {}\,=\,\phi (\gamma _{1},\gamma _{2})={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}).}
  

这个积分求出了高斯映射像的全部带符号面积（被积函数是 Γ 的雅可比矩阵），然后除以球面的面积（等于 4π）。


推广 就像三维中环绕的闭曲线，任何两个维数为 m 与 n 的闭流形，可能在 
  
    
      
        m
        +
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle m+n+1}
  
 维欧几里得空间中环绕起来。任何这样链环有一个相伴的高斯映射，其度数是环绕数的推广。
任何标架纽结有一个自环绕数，得自计算纽结 C 与将曲线 C 中的点沿着标架向量稍微移动得到一条新曲线的环绕数。由铅直移动（沿着黑板标架）得到的自环绕数称为考夫曼自环绕数（Kauffman's self-linking number）。


量子场论 U(1) 陳-西蒙斯理論是：

  
    
      
        C
        S
        =
        
          
            k
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            M
          
        
        A
        d
        A
      
    
    {\displaystyle CS={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}AdA}
  

若
  
    
      
        M
        =
        
          R
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle M=R^{3}}
  
，路徑積分是

  
    
      
        Z
        (
        
          C
          
            1
          
        
        ,
        
          C
          
            2
          
        
        )
        =
        ∫
        d
        A
        exp
        ⁡
        
          (
          i
          C
          S
          +
          i
          
            ∫
            
              
                C
                
                  1
                
              
            
          
          A
          +
          i
          
            ∫
            
              
                C
                
                  2
                
              
            
          
          A
          )
        
        =
        ∫
        d
        A
        exp
        ⁡
        
          (
          i
          C
          S
          +
          i
          ∫
          J
          A
          )
        
      
    
    {\displaystyle Z(C_{1},C_{2})=\int dA\exp {(iCS+i\int _{C_{1}}A+i\int _{C_{2}}A)}=\int dA\exp {(iCS+i\int JA)}}
  
，
包括C1和C2的威爾森迴圈。J=J1+J2，而且

  
    
      
        
          J
          
            i
          
          
            a
          
        
        =
        
          ∫
          
            
              C
              
                i
              
            
          
        
        d
        
          x
          
            a
          
        
        
          δ
          
            3
          
        
        (
        x
        −
        
          x
          
            i
          
        
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle J_{i}^{a}=\int _{C_{i}}dx^{a}\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}
  

因為這是高斯的積分，所以我們不需要重整化或正規化。再說這個積分是拓撲不變。
若J是经典方程就是

  
    
      
        d
        A
        =
        (
        2
        π
        
          /
        
        k
        )
        ∗
        J
      
    
    {\displaystyle dA=(2\pi /k)*J}
  

或

  
    
      
        ∇
        ×
        A
        =
        2
        π
        J
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle \nabla \times A=2\pi J/k}
  

若我们选洛伦茨规范
  
    
      
        d
        ∗
        A
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d*A=0}
  

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        A
        =
        −
        2
        π
        ∇
        ×
        J
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}A=-2\pi \nabla \times J/k}
  

从电磁学，解是

  
    
      
        A
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              k
            
          
        
        ∫
        
          d
          
            3
          
        
        y
        
          
            
              ∇
              ×
              J
              (
              y
              )
            
            
              
                |
              
              x
              −
              y
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A(x)={\frac {1}{2k}}\int d^{3}y{\frac {\nabla \times J(y)}{|x-y|}}}
  

则

  
    
      
        Z
        [
        
          C
          
            1
          
        
        ,
        
          C
          
            2
          
        
        ]
        =
        exp
        ⁡
        (
        2
        π
        i
        ϕ
        (
        
          C
          
            1
          
        
        ,
        
          C
          
            2
          
        
        )
        
          /
        
        k
        )
      
    
    {\displaystyle Z[C_{1},C_{2}]=\exp(2\pi i\phi (C_{1},C_{2})/k)}
  

这是最简单的一个拓撲量子場論。根据爱德华·威滕的证明，非阿贝尔G的陈-西蒙斯论给其他拓扑不变，例如琼斯多项式。


另见 陳-西蒙斯理論
卷绕数
绞拧数
扭转数
曲线的微分几何
链环 (纽结理论)
霍普夫不变量
吻接数


注释 参考文献 A.V. Chernavskii, Linking coefficient, Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
-, Writhing number, Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4