艾里函数（Ai(x)），英国英格蘭天文学家、數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函数，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)（也称为艾里函数），是以下微分方程的解：

  
    
      
        
          y
          ″
        
        −
        x
        y
        =
        0
        ,
        
        
      
    
    {\displaystyle y''-xy=0,\,\!}
  

这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程，它有一个转折点，在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。


定义 对于实数x，艾里函数由以下的积分定义：

  
    
      
        
          A
          i
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  t
                  
                    3
                  
                
                3
              
            
            +
            x
            t
          
          )
        
        
        d
        t
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}
  

虽然这个函数不是绝对可积的（当t趋于+∞时积分表达式不趋于零），这个广义积分还是收敛的，因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消（这可以用分部积分法来检验）。
把:
  
    
      
        y
        =
        A
        i
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=Ai(x)}
  
求导，我们可以发现它满足以下的微分方程： 

  
    
      
        
          y
          ″
        
        −
        x
        y
        =
        0.
        
        
      
    
    {\displaystyle y''-xy=0.\,\!}
  

这个方程有两个线性独立的解。除了:
  
    
      
        A
        i
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Ai(x)}
  
以外，另外一个解称为第二艾里函数，记为
  
    
      
        B
        i
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Bi(x)}
  
。它定义为当x趋于−∞时，振幅与
  
    
      
        A
        i
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Ai(x)}
  
相等，但相位与
  
    
      
        A
        i
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Ai(x)}
  
相差
  
    
      
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
  

的函数：

  
    
      
        
          B
          i
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
         
        
          e
          
            
              (
              
                −
                
                  
                    
                      t
                      
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                +
                x
                t
              
              )
            
          
        
        +
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  t
                  
                    3
                  
                
                3
              
            
            +
            x
            t
          
          )
        
        
        d
        t
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\ e^{\left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)}+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}
  


性质 x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
时，
  
    
      
        
          A
          i
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}
  
和 
  
    
      
        
          B
          i
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}
  
以及它们的导数的值为：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  i
                
                (
                0
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    1
                    
                      
                        
                          9
                          
                            3
                          
                        
                      
                      Γ
                      (
                      
                        
                          2
                          3
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                ,
              
              
                
                
                  
                    A
                    i
                  
                  ′
                
                (
                0
                )
              
              
                
                

                
                =
                −
                
                  
                    1
                    
                      
                        
                          3
                          
                            3
                          
                        
                      
                      Γ
                      (
                      
                        
                          1
                          3
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                ,
              
            
            
              
                
                  B
                  i
                
                (
                0
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    1
                    
                      
                        
                          3
                          
                            6
                          
                        
                      
                      Γ
                      (
                      
                        
                          2
                          3
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                ,
              
              
                
                
                  
                    B
                    i
                  
                  ′
                
                (
                0
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      3
                      
                        6
                      
                    
                    
                      Γ
                      (
                      
                        
                          1
                          3
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}
  

在这里，
  
    
      
        
          Γ
        
      
    
    {\displaystyle {\Gamma }}
  
表示伽玛函数。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是
  
    
      
        
          
            1
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}
  

。
当x是正数时，Ai(x)是正的凸函数，指数衰减为零，Bi(x)也是正的凸函数，但呈指数增长。当x是负数时，Ai(x)和Bi(x)在零附近振动，其频率逐渐上升，振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。


渐近公式 当x趋于+∞时，艾里函数的渐近表现为：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  i
                
                (
                x
                )
              
              
                
                

                
                ∼
                
                  
                    
                      e
                      
                        −
                        
                          
                            2
                            3
                          
                        
                        
                          x
                          
                            3
                            
                              /
                            
                            2
                          
                        
                      
                    
                    
                      2
                      
                        
                          π
                        
                      
                      
                      
                        x
                        
                          1
                          
                            /
                          
                          4
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  B
                  i
                
                (
                x
                )
              
              
                
                

                
                ∼
                
                  
                    
                      e
                      
                        
                          
                            2
                            3
                          
                        
                        
                          x
                          
                            3
                            
                              /
                            
                            2
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          π
                        
                      
                      
                      
                        x
                        
                          1
                          
                            /
                          
                          4
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}
  

而对于负数方向的极限，则有：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  i
                
                (
                −
                x
                )
              
              
                
                

                
                ∼
                
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      (
                      
                        
                          2
                          3
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                          
                            /
                          
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        
                          1
                          4
                        
                      
                      π
                      )
                    
                    
                      
                        
                          π
                        
                      
                      
                      
                        x
                        
                          1
                          
                            /
                          
                          4
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  B
                  i
                
                (
                −
                x
                )
              
              
                
                

                
                ∼
                
                  
                    
                      cos
                      ⁡
                      (
                      
                        
                          2
                          3
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                          
                            /
                          
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        
                          1
                          4
                        
                      
                      π
                      )
                    
                    
                      
                        
                          π
                        
                      
                      
                      
                        x
                        
                          1
                          
                            /
                          
                          4
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}
  

这些极限的渐近展开式也是可以得到的。


自变量是复数时的情形 我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面：

  
    
      
        
          A
          i
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∫
          
            C
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  t
                  
                    3
                  
                
                3
              
            
            −
            z
            t
          
          )
        
        
        d
        t
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}
  

其中积分路径
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始，在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外，我们也可以用微分方程
  
    
      
        
          y
          ″
        
        −
        x
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y''-xy=0}
  
来把Ai(x)和Bi(x)延拓为复平面上的整函数。
以上Ai(x)的渐近公式在复平面上也是正确的，如果取主值为x2/3，且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的，只要x位于扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}内，对于某个正数δ。最后，Ai(−x)和Bi(−x)是正确的，如果x位于扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}内。
从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。


= 图像 =


与其它特殊函数的关系 当自变量是正数时，艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  i
                
                (
                x
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    1
                    π
                  
                
                
                  
                    
                      
                        1
                        3
                      
                    
                    x
                  
                
                
                
                  K
                  
                    1
                    
                      /
                    
                    3
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        2
                        3
                      
                    
                    
                      x
                      
                        3
                        
                          /
                        
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                ,
              
            
            
              
                
                  B
                  i
                
                (
                x
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      
                        1
                        3
                      
                    
                    x
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      I
                      
                        1
                        
                          /
                        
                        3
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          
                            2
                            3
                          
                        
                        
                          x
                          
                            3
                            
                              /
                            
                            2
                          
                        
                      
                      )
                    
                    +
                    
                      I
                      
                        −
                        1
                        
                          /
                        
                        3
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          
                            2
                            3
                          
                        
                        
                          x
                          
                            3
                            
                              /
                            
                            2
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  )
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}
  

在这里，I±1/3和K1/3是方程
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          ″
        
        +
        x
        
          y
          ′
        
        −
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
        
          /
        
        9
        )
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0}
  
的解。
当自变量是负数时，艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  i
                
                (
                −
                x
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    1
                    3
                  
                
                
                  
                    x
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      J
                      
                        1
                        
                          /
                        
                        3
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          
                            2
                            3
                          
                        
                        
                          x
                          
                            3
                            
                              /
                            
                            2
                          
                        
                      
                      )
                    
                    +
                    
                      J
                      
                        −
                        1
                        
                          /
                        
                        3
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          
                            2
                            3
                          
                        
                        
                          x
                          
                            3
                            
                              /
                            
                            2
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  )
                
                ,
              
            
            
              
                
                  B
                  i
                
                (
                −
                x
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      
                        1
                        3
                      
                    
                    x
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      J
                      
                        −
                        1
                        
                          /
                        
                        3
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          
                            2
                            3
                          
                        
                        
                          x
                          
                            3
                            
                              /
                            
                            2
                          
                        
                      
                      )
                    
                    −
                    
                      J
                      
                        1
                        
                          /
                        
                        3
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          
                            2
                            3
                          
                        
                        
                          x
                          
                            3
                            
                              /
                            
                            2
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  )
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}
  

在这里，J±1/3是方程
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          ″
        
        +
        x
        
          y
          ′
        
        +
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        1
        
          /
        
        9
        )
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0}
  
的解。
Scorer函数是
  
    
      
        
          y
          ″
        
        −
        x
        y
        =
        1
        
          /
        
        π
      
    
    {\displaystyle y''-xy=1/\pi }
  
的解，它也可以用艾里函数来表示：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  G
                  i
                
                (
                x
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  B
                  i
                
                (
                x
                )
                
                  ∫
                  
                    x
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  A
                  i
                
                (
                t
                )
                
                d
                t
                +
                
                  A
                  i
                
                (
                x
                )
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    x
                  
                
                
                  B
                  i
                
                (
                t
                )
                
                d
                t
                ,
              
            
            
              
                
                  H
                  i
                
                (
                x
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  B
                  i
                
                (
                x
                )
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    x
                  
                
                
                  A
                  i
                
                (
                t
                )
                
                d
                t
                −
                
                  A
                  i
                
                (
                x
                )
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    x
                  
                
                
                  B
                  i
                
                (
                t
                )
                
                d
                t
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}
  

或是利用超几何函数，

  
    
      
        Gi
        ⁡
        (
        z
        )
        ≡
        
          
            1
            3
          
        
        Bi
        ⁡
        (
        z
        )
        −
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              2
              π
            
          
        
        
          
            
            
              1
            
          
          
            F
            
              2
            
          
        
        (
        1
        ;
        4
        
          /
        
        3
        ,
        5
        
          /
        
        3
        ;
        
          z
          
            3
          
        
        
          /
        
        9
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Gi} (z)\equiv {\frac {1}{3}}\operatorname {Bi} (z)-{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}
  

  
    
      
        Hi
        ⁡
        (
        z
        )
        ≡
        
          
            2
            3
          
        
        Bi
        ⁡
        (
        z
        )
        +
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              2
              π
            
          
        
        
          
            
            
              1
            
          
          
            F
            
              2
            
          
        
        (
        1
        ;
        4
        
          /
        
        3
        ,
        5
        
          /
        
        3
        ;
        
          z
          
            3
          
        
        
          /
        
        9
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Hi} (z)\equiv {\frac {2}{3}}\operatorname {Bi} (z)+{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}
  


参考文献 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (See §10.4) （页面存档备份，存于互联网档案馆）. National Bureau of Standards.
Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
Harold Richard Suiter. Star Testing Astronomical Telescopes: A Manual for Optical Evaluation and Adjustment. Richmond, VA: Willmann-Bell. 1994. ISBN 978-0-943396-44-6. （含有许多图像 （页面存档备份，存于互联网档案馆））


外部链接 埃里克·韦斯坦因. Airy Functions. MathWorld.