在数学中，相交是两个几何图形之间关系的一种。两个图形相交是指它们有公共的部分，或者说同时属于两者的点的集合不是空集。若两个几何图形在某个地方有且只有一个交点，则可以称为相切而不是相交。如果两个图形完全重合，则一般不称为相交。


直线的相交 在欧几里得平面上，两条直线要么平行，要么相交，要么重合。这时欧几里得第五公设的推论。相交的两条直线恰好有一个交点。在非欧几何中，按几何特性（曲率），可以分为两类。罗巴切夫斯基几何中两条直线要么平行，要么相交，但平行线不止一条。黎曼几何中两条直线总是相交。
三维空间或更高维空间中，两条直线相交则必定共面。


圆的相交 歐幾里得幾何中，同一平面上的两个圆之间的关系有四种：相离、相切、相容和相交。相离指两圆没有交点而且没有一个圆在另一个圆内部。相切是指两圆只有一个交点。相交是指两圆有多于一个交点。相容是指两圆没有交点且一个圆在另一个内部。
两个圆相交当且仅当两个圆心之间的距离严格小于两圆的半径之和，并严格大于两圆的半径之差。


解析几何中的判别方法 在平面解析几何中，设两条直线的方程为：

  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            1
          
        
        )
        :
        
         
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          b
          
            1
          
        
        y
        =
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ a_{1}x+b_{1}y=c_{1}}
  

  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            2
          
        
        )
        :
        
         
        
          a
          
            2
          
        
        x
        +
        
          b
          
            2
          
        
        y
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}
  

那么
  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1})}
  
与 
  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2})}
  
 相交当且仅当行列式：

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}
  
不等于零。
对于两圆相交，设两个圆的方程是：

  
    
      
        (
        
          
            
              C
            
          
          
            1
          
        
        )
        :
        
         
        (
        x
        −
        
          x
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        −
        
          y
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            1
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{1}):\,\ (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2}}
  

  
    
      
        (
        
          
            
              C
            
          
          
            2
          
        
        )
        :
        
         
        (
        x
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        −
        
          y
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{2}):\,\ (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}
  

那么
  
    
      
        (
        
          
            
              C
            
          
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{1})}
  
与 
  
    
      
        (
        
          
            
              C
            
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{2})}
  
 相交当且仅当：

  
    
      
        
          |
        
        
          r
          
            1
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          |
        
        <
        
          
            (
            
              x
              
                1
              
            
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            
              y
              
                1
              
            
            −
            
              y
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
          
        
        <
        
          |
        
        
          r
          
            1
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |r_{1}-r_{2}|<{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}<|r_{1}+r_{2}|}
  


例子 = 直线 =
设两条直线的方程是：

  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            1
          
        
        )
        :
        
         
        3
        x
        +
        5
        y
        =
        18
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ 3x+5y=18}
  

  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            2
          
        
        )
        :
        
         
        6
        x
        −
        y
        =
        3
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ 6x-y=3}
  

由于行列式：
  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  3
                
                
                  5
                
              
              
                
                  6
                
                
                  −
                  1
                
              
            
            |
          
        
        =
        −
        33
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}3&5\\6&-1\end{vmatrix}}=-33\neq 0}
  
，两直线相交。交点为
  
    
      
        (
        1
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle (1,3)}
  
。

设两条直线的方程是：

  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            1
          
        
        )
        :
        
         
        3
        x
        +
        5
        y
        =
        18
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ 3x+5y=18}
  

  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            2
          
        
        )
        :
        
         
        6
        x
        +
        10
        y
        =
        3
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ 6x+10y=3}
  

由于行列式：
  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  3
                
                
                  5
                
              
              
                
                  6
                
                
                  10
                
              
            
            |
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}3&5\\6&10\end{vmatrix}}=0}
  
，两直线不相交（实际上平行）。


= 圆 =
设两个圆的方程是：

  
    
      
        (
        
          
            
              C
            
          
          
            1
          
        
        )
        :
        
         
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        +
        4
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          6
          
            2
          
        
        =
        36
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{1}):\,\ (x-1)^{2}+(y+4)^{2}=6^{2}=36}
  

  
    
      
        (
        
          
            
              C
            
          
          
            2
          
        
        )
        :
        
         
        (
        x
        +
        3
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          2
          
            2
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {C}}_{2}):\,\ (x+3)^{2}+(y+1)^{2}=2^{2}=4}
  

这时两个圆心的距离是：
  
    
      
        
          
            [
            1
            −
            (
            −
            3
            )
            
              ]
              
                2
              
            
            +
            [
            −
            4
            −
            (
            −
            1
            )
            
              ]
              
                2
              
            
          
        
        =
        5
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {[1-(-3)]^{2}+[-4-(-1)]^{2}}}=5}
  
，
  
    
      
        
          |
        
        6
        −
        2
        
          |
        
        <
        5
        <
        
          |
        
        6
        +
        2
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |6-2|<5<|6+2|}
  
，因此两圆相交。


参见 拓撲學
几何学
交集


参考来源 R.A.约翰逊 著，单壿 译. 近代欧氏几何学. 上海教育出版社. 1999. ISBN 7-532-06392-0. 
盛为民. 解析几何学. 浙江大学出版社. 2008. ISBN 7-308-06149-0.