在机器学习中，（高斯）径向基函数核（英語：Radial basis function kernel），或称为RBF核，是一种常用的核函数。它是支持向量机分类中最为常用的核函数。
关于两个样本x和x'的RBF核可表示为某个“输入空间”（input space）的特征向量，它的定义如下所示：

  
    
      
        K
        (
        
          x
        
        ,
        
          
            x
            ′
          
        
        )
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  
                    |
                  
                  
                    |
                  
                  
                    x
                  
                  −
                  
                    
                      x
                      ′
                    
                  
                  
                    |
                  
                  
                    
                      |
                    
                    
                      2
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    σ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\exp \left(-{\frac {||\mathbf {x} -\mathbf {x'} ||_{2}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
  

  
    
      
        
          
            |
          
          
            |
          
          
            x
          
          −
          
            
              x
              ′
            
          
          
            |
          
          
            
              |
            
            
              2
            
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle ||\mathbf {x} -\mathbf {x'} ||_{2}^{2}}
  
可以看做两个特征向量之间的平方欧几里得距离。
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
是一个自由参数。一种等价但更为简单的定义是设一个新的参数
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
，其表达式为
  
    
      
        
          γ
          =
          
            
              
                1
                
                  2
                  
                    σ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \gamma ={\tfrac {1}{2\sigma ^{2}}}}
  
：

  
    
      
        K
        (
        
          x
        
        ,
        
          
            x
            ′
          
        
        )
        =
        exp
        ⁡
        (
        −
        γ
        
          |
        
        
          |
        
        
          x
        
        −
        
          
            x
            ′
          
        
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            2
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\exp(-\gamma ||\mathbf {x} -\mathbf {x'} ||_{2}^{2})}
  

因为RBF核函数的值随距离增大而减小，并介于0（极限）和1（当x = x'的时候）之间，所以它是一种现成的相似性度量表示法。
核的特征空间有无穷多的维数；对于
  
    
      
        σ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sigma =1}
  
，它的展开式为：

  
    
      
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                1
                2
              
            
            
              |
            
            
              |
            
            
              x
            
            −
            
              
                x
                ′
              
            
            
              |
            
            
              
                |
              
              
                2
              
              
                2
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              
                
                  x
                
                
                  ⊤
                
              
              
                
                  x
                  ′
                
              
              
                )
                
                  j
                
              
            
            
              j
              !
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                1
                2
              
            
            
              |
            
            
              |
            
            
              x
            
            
              |
            
            
              
                |
              
              
                2
              
              
                2
              
            
          
          )
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                1
                2
              
            
            
              |
            
            
              |
            
            
              
                x
                ′
              
            
            
              |
            
            
              
                |
              
              
                2
              
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{2}}||\mathbf {x} -\mathbf {x'} ||_{2}^{2}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {x'} )^{j}}{j!}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}||\mathbf {x} ||_{2}^{2}\right)\exp \left(-{\frac {1}{2}}||\mathbf {x'} ||_{2}^{2}\right)}
  


近似 因为支持向量机和其他模型使用了核技巧，它在处理输入空间中大量的训练样本或含有大量特征的样本的时表现不是很好。所以，目前已经设计出了多种RBF核（或相似的其他核）的近似方法。
典型的情况下，这些方法使用z(x)的形式，也就是用一个函数对一个与其他向量（例如支持向量机中的支持向量）无关的单向量进行变换，例如：

  
    
      
        z
        (
        
          x
        
        )
        z
        (
        
          
            x
            ′
          
        
        )
        ≈
        φ
        (
        
          x
        
        )
        φ
        (
        
          
            x
            ′
          
        
        )
        =
        K
        (
        
          x
        
        ,
        
          
            x
            ′
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle z(\mathbf {x} )z(\mathbf {x'} )\approx \varphi (\mathbf {x} )\varphi (\mathbf {x'} )=K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}
  

其中
  
    
      
        
          φ
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \varphi }
  
是RBF核中植入的隐式映射。
一种建构这样的z函数的方法，是对核函数作傅里叶变换，然后从中随机抽出所需函数。


参见 多项式核
径向基函数网络


参考资料