本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。
四维速度（英語：Four-velocity）是指物理学中，特别是狭义相对论和广义相对论中，一个物体的四维速度是取代经典意义上的速度（三维矢量）的四维矢量（四维时空中的矢量）。选取四维速度的原因是四维速度在洛伦兹变换下是协变的，而三维速度不是；换句话说，这么选取可以使光速在任意惯性系下保持不变。
相对论理论中一个事件是在四维时空内的坐标描述的，一个物体在时空中运动产生的轨迹曲线是通过固有时这个参数实现参数化的，而这条曲线称作世界线。四维速度是一维时间与三维空间坐标对固有时的改变率所构成的矢量，同时也是世界线的切向矢量。
作为比较，在经典力学中事件是通过它们在每一时刻上在三维空间中的坐标描述的，它们在三维空间中的轨迹是通过时间这个参数实现参数化的。经典速度是三维空间坐标对时间的改变率所构成的矢量，同时也是轨迹的切向矢量。
在狭义相对论的框架中，四维速度的大小（模）总是和光速的大小相等。


经典力学的情形 在经典力学中一个物体在三维空间中的运动路径由其在三维空间中的坐标函数
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        (
        t
        )
        ,
        
        i
        ∈
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        }
      
    
    {\displaystyle x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}}
  
决定，这些坐标函数都是绝对时间
  
    
      
        t
        
      
    
    {\displaystyle t\,}
  
的函数：

  
    
      
        
          x
        
        =
        
          x
          
            i
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
  

其中
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x^{i}(t)}
  
表示的是在
  
    
      
        t
        
      
    
    {\displaystyle t\,}
  
时刻的三个空间位置。
在任意一点
  
    
      
        p
        
      
    
    {\displaystyle p\,}
  
，经典速度
  
    
      
        
          
            u
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {u} }}
  
（沿此点的切线方向）的定義为

  
    
      
        
          
            u
          
        
        ≡
        
          
            
              
                d
              
              
                x
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {u} }\equiv {\mathrm {d} \mathbf {x}  \over \mathrm {d} t}}
  

因此其分量為

  
    
      
        
          
            u
          
        
        =
        (
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          u
          
            2
          
        
        ,
        
          u
          
            3
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  t
                
              
            
            
            ,
            
              
                
                  
                    d
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  t
                
              
            
            
            ,
            
              
                
                  
                    d
                  
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  t
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {u} }=(u^{1},u^{2},u^{3})={\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}
  

这里的导数都是在
  
    
      
        p
        
      
    
    {\displaystyle p\,}
  
点处定义的，因而它们实际是两个毗邻位置间的距离
  
    
      
        
          d
        
        
          x
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} x^{a}}
  
对对应时间间隔
  
    
      
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} t}
  
的比值。


相对论的情形 在爱因斯坦的相对论中，一个物体对某个特定参考系的运动轨迹是由四维坐标函数
  
    
      
        
          x
          
            μ
          
        
        (
        τ
        )
        ,
        
        μ
        ∈
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        }
      
    
    {\displaystyle x^{\mu }(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}}
  
（其中
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{0}}
  
表示时间坐标乘以光速c）决定的，每个函数都依赖于固有时
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
。

  
    
      
        
          X
        
        =
        
          x
          
            μ
          
        
        (
        τ
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  (
                  τ
                  )
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  (
                  τ
                  )
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  (
                  τ
                  )
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  (
                  τ
                  )
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  c
                  t
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {X} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
  


= 时间膨胀 =
从时间膨胀中我们得知

  
    
      
        t
        =
        γ
        τ
        
      
    
    {\displaystyle t=\gamma \tau \,}
  

其中
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是洛伦兹因子，定义为

  
    
      
        γ
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}
  

而
  
    
      
        u
        
      
    
    {\displaystyle u\,}
  
是经典速度矢量的欧几里德模：

  
    
      
        u
        =
        
          |
        
        
          |
        
        
          u
        
        
          |
        
        
          |
        
        =
        
          
            (
            
              u
              
                1
              
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            
              u
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            
              u
              
                3
              
            
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u=||\mathbf {u} ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}}
  
.


= 四维速度的定义 =
一个四维速度是对应世界线的四维切向矢量，四维速度的世界线
  
    
      
        
          X
        
        (
        τ
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}
  
定义为

  
    
      
        
          U
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                X
              
            
            
              
                d
              
              τ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {X} }{\mathrm {d} \tau }}}
  

其中
  
    
      
        τ
        
      
    
    {\displaystyle \tau \,}
  
是原時。
由於光速在任意慣性系下保持不變，無法找到光子靜止的慣性系，因此，對於光子而言，
  
    
      
        
          d
        
        τ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \tau =0}
  
，四維速度不具良好定義。


= 四维速度的分量 =
时间
  
    
      
        t
        
      
    
    {\displaystyle t\,}
  
和坐标
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{0}}
  
间的关系为

  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        c
        t
        =
        c
        γ
        τ
        
      
    
    {\displaystyle x^{0}=ct=c\gamma \tau \,}
  

  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{0}}
  
对固有时
  
    
      
        τ
        
      
    
    {\displaystyle \tau \,}
  
求导数，可得四维速度
  
    
      
        
          U
          
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle U^{\mu }\,}
  
在
  
    
      
        μ
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \mu =0\,}
  
的分量：

  
    
      
        
          U
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                x
                
                  0
                
              
            
            
              
                d
              
              τ
              
            
          
        
        =
        c
        γ
      
    
    {\displaystyle U^{0}={\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma }
  

至於空間分量方面，即
  
    
      
        μ
        =
        i
        =
      
    
    {\displaystyle \mu =i=}
  
1, 2, 3，根据链式法则求導數，可得固有速度w = Ui：

  
    
      
        
          U
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              
                d
              
              τ
            
          
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              
                d
              
              
                x
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                d
              
              
                x
                
                  0
                
              
            
            
              
                d
              
              τ
            
          
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              
                d
              
              
                x
                
                  0
                
              
            
          
        
        c
        γ
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              
                d
              
              (
              c
              t
              )
            
          
        
        c
        γ
        =
        
          
            1
            c
          
        
        
          
            
              
                d
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        c
        γ
        =
        γ
        
          
            
              
                d
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        γ
        
          u
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle U^{i}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}{\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma u^{i}}
  

這裡我們使用到古典力學中的速度定義：

  
    
      
        
          u
        
        =
        
          u
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}={dx^{i} \over dt}}
  

因此四维速度
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
與光速c及古典速度u的關係為

  
    
      
        U
        =
        γ
        
          (
          
            c
            ,
            
              u
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle U=\gamma \left(c,\mathbf {u} \right)}
  


= 四维速度和加速度 =
四维加速度定义为四维速度對原時的微分：

  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                U
                
                  μ
                
              
            
            
              d
              τ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}
  

因为
  
    
      
        
          U
          
            μ
          
        
        
          U
          
            μ
          
        
        =
        −
        
          c
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=-c^{2}\,}
  
为常數，所以它微分为0：

  
    
      
        0
        =
        
          
            d
            
              d
              τ
            
          
        
        (
        
          U
          
            μ
          
        
        
          U
          
            μ
          
        
        )
        =
        2
        
          U
          
            μ
          
        
        
          
            
              d
              
                U
                
                  μ
                
              
            
            
              d
              τ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 0={\frac {d}{d\tau }}(U^{\mu }U_{\mu })=2U_{\mu }{\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}
  

因此得到以下四维速度和加速度的关系：

  
    
      
        
          U
          
            μ
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle U_{\mu }A^{\mu }=0\,}
  


注释 在一个静止参考系中，
  
    
      
        γ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \gamma =1}
  
并且
  
    
      
        
          u
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =0}
  
，因而四维速度为
  
    
      
        U
        =
        (
        c
        ,
        0
        ,
        0
        ,
        0
        )
        
      
    
    {\displaystyle U=(c,0,0,0)\,}
  
，这正是在四维时空中的时间方向上运动的含义。
注意到虽然仅仅在狭义相对论的框架下，四维速度的模总等于光速；但不论是狭义相对论还是广义相对论，它总具有下面的性质：

  
    
      
        
          U
          
            μ
          
        
        
          U
          
            μ
          
        
        =
        −
        
          c
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle U_{\mu }U^{\mu }=-c^{2}\,}
  

这是一个类时或零性的粒子轨迹必须满足的属性。


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狭义相对论


参考文献 Einstein, Albert;  translated by Robert W. Lawson. Relativity: The Special and General Theory. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995. 1920. 
Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.