在数学中，三角形的高线（或称高、垂线）是指过它的一个顶点并垂直于对边的直线，或这条直线上从顶点到与对边所在直线的交点之间的线段。高线与对边所在之直線的交点称为垂足。过一个顶点的高线的长度被称为三角形在这个顶点上的高，而对应的对边称为底边，其长度称为底。
三角形的三条高线交于一点，该点称为三角形的垂心，一般记作
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
。


高线与垂心 任意一个三角形的三条高线交于一点，称为该三角形的垂心。证明如下：
设有三角形
  
    
      
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle ABC}
  
。过顶点
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
做
  
    
      
        B
        C
      
    
    {\displaystyle BC}
  
的高线交
  
    
      
        B
        C
      
    
    {\displaystyle BC}
  
于点
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
，过顶点
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
做
  
    
      
        A
        C
      
    
    {\displaystyle AC}
  
的高线交
  
    
      
        A
        C
      
    
    {\displaystyle AC}
  
于点
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
；直线
  
    
      
        A
        D
      
    
    {\displaystyle AD}
  
和
  
    
      
        B
        E
      
    
    {\displaystyle BE}
  
交于点
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
（如右图）。只需证明直线
  
    
      
        C
        H
      
    
    {\displaystyle CH}
  
垂直于
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
，就证明了
  
    
      
        C
        H
      
    
    {\displaystyle CH}
  
是过
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
点的高线，即三条高线相交于一点
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
。因为欧氏几何中，给定一點與一直線，只存在一條直線過这个定點並與給定的直線垂直。
下证
  
    
      
        C
        H
      
    
    {\displaystyle CH}
  
垂直于
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
。设
  
    
      
        C
        H
      
    
    {\displaystyle CH}
  
和
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
的交点为
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
。由于角
  
    
      
        A
        E
        B
      
    
    {\displaystyle AEB}
  
和角
  
    
      
        A
        D
        B
      
    
    {\displaystyle ADB}
  
（右图中蓝色角）都是直角，
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
、
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
四点共圆，同理，
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
、
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
、
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
、
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
四点共圆。所以角
  
    
      
        D
        C
        H
      
    
    {\displaystyle DCH}
  
等于角
  
    
      
        D
        A
        B
      
    
    {\displaystyle DAB}
  
，角
  
    
      
        D
        C
        H
      
    
    {\displaystyle DCH}
  
等于角
  
    
      
        D
        E
        B
      
    
    {\displaystyle DEB}
  
等于角
  
    
      
        D
        A
        B
      
    
    {\displaystyle DAB}
  
（红色角相等）。
然而角
  
    
      
        D
        A
        B
      
    
    {\displaystyle DAB}
  
与角
  
    
      
        A
        B
        D
      
    
    {\displaystyle ABD}
  
（绿色角）的和是90度，所以角
  
    
      
        D
        C
        H
      
    
    {\displaystyle DCH}
  
与角
  
    
      
        A
        B
        D
      
    
    {\displaystyle ABD}
  
的和也是90度，即角
  
    
      
        F
        C
        B
      
    
    {\displaystyle FCB}
  
与角
  
    
      
        F
        B
        C
      
    
    {\displaystyle FBC}
  
的和是90度。因此三角形
  
    
      
        B
        C
        F
      
    
    {\displaystyle BCF}
  
是直角三角形，角
  
    
      
        B
        F
        C
      
    
    {\displaystyle BFC}
  
（紫色角）是直角。也就是说
  
    
      
        C
        H
      
    
    {\displaystyle CH}
  
垂直于
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
。因此三角形的三条高线交于一点
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
。证毕。
垂心坐标为
  
    
      
        (
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                    
                      y
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                  
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    
                      x
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        3
                      
                    
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                  
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        1
                      
                    
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                  
                    
                      y
                      
                        3
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      x
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    
                      y
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
              
              |
            
          
        
        ,
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                    
                      y
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    
                      x
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    
                      x
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        3
                      
                    
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        1
                      
                    
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      x
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    
                      y
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
              
              |
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\frac {\begin{vmatrix}x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}&1&y_{1}\\x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}&1&y_{2}\\x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}&1&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}},{\frac {\begin{vmatrix}x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}&x_{1}&1\\x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}&x_{2}&1\\x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}&x_{3}&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}})}
  


性质 三角形的高可以用来计算其面积：三角形的面积
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
等于过一个顶点的高乘以对边的长度再除以2：

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              a
              
                h
                
                  a
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}}
  

其中
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
为某一条边的边长，
  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{a}}
  
为所对的顶点的高。 

如果三角形
  
    
      
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle ABC}
  
是等腰三角形，
  
    
      
        A
        B
        =
        A
        C
      
    
    {\displaystyle AB=AC}
  
，那么过
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
点的高线与过
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
点的中线和角平分线重合。
直角三角形的垂心是斜边所对的顶点。如果三角形
  
    
      
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle ABC}
  
是直角三角形，其中角
  
    
      
        A
        C
        B
      
    
    {\displaystyle ACB}
  
是直角，那么过
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
点的高线是
  
    
      
        A
        C
      
    
    {\displaystyle AC}
  
，过
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
点的高线是
  
    
      
        B
        C
      
    
    {\displaystyle BC}
  
。三角形的垂心就是点
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
。
锐角三角形的垂心在三角形内部；钝角三角形的垂心在三角形外部。
欧拉定理断言，三角形的重心
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
、外心
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
和垂心
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
共线（称为欧拉线），并且重心是连接外心和垂心的线段的一个三等分点：
  
    
      
        H
        G
        =
        2
        G
        O
      
    
    {\displaystyle HG=2GO}
  

垂心将高线分成的两段的乘积相等：如右图中，
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        H
        ×
        H
        H
        1
        =
        
          A
          
            2
          
        
        H
        ×
        H
        
          H
          
            2
          
        
        =
        
          A
          
            3
          
        
        H
        ×
        H
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}H\times HH1=A_{2}H\times HH_{2}=A_{3}H\times HH_{3}}
  

三角形的垂心到一边的距离，等于这边上的高线的延长线从垂足到外接圆的长度。
外心
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
和垂心
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
为等角共轭点。
三角形的三个垂足都在九点圆的圆周上。每个顶点和垂心所连成的线段的中点也在九点圆上。实际上，九点圆的九个点就是三边的中点和以上的六个点。九点圆的圆心也在欧拉线上，并且在垂心到外心的线段的中点。此外九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。
一个三角形
  
    
      
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle ABC}
  
的三个顶点
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
和它的垂心
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
构成一个垂心组： 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
、
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
。也就是说，这四点中任意的三点的垂心都是第四点。


垂心的垂足三角形 过平面上一点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
分别做垂直于三角形每条边的垂线，与这条边相交于一点（垂足）。这三个点连成的三角形称为点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
的垂足三角形。垂心
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
的垂足三角形是
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        
          H
          
            2
          
        
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
  
。
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
是三角形
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        
          H
          
            2
          
        
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
  
的内心，而三角形
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          A
          
            2
          
        
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}
  
的三个顶点是三角形
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        
          H
          
            2
          
        
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
  
的三个旁心。
锐角三角形
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          A
          
            2
          
        
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}
  
的所有内接三角形中，有最小周长的是垂心
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
的垂足三角形
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        
          H
          
            2
          
        
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
  
。如果一束光从三角形的某一个高线垂足
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}}
  
、
  
    
      
        
          H
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{2}}
  
或
  
    
      
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{3}}
  
出发沿着三角形
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        
          H
          
            2
          
        
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
  
的边的方向射出，那么它的光路将是闭合的，也就是三角形
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        
          H
          
            2
          
        
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
  
。这个性质仅对于垂心的垂足三角形成立：如果从三角形某一边某一点出发的光线经过反射能形成一个三角形的闭合光路，那么这个光路必然是三角形
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        
          H
          
            2
          
        
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
  
。
垂心H 的垂足三角形的各个边分别平行于三角形的外接圆在各个顶点处的切线。
在三角形
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          A
          
            2
          
        
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}
  
中，三角形
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          H
          
            2
          
        
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}H_{2}H_{3}}
  
、三角形
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        
          A
          
            2
          
        
        
          H
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}A_{2}H_{3}}
  
和三角形
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        
          H
          
            2
          
        
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}H_{2}A_{3}}
  
的外接圆交于一点，这点就是
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          A
          
            2
          
        
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}
  
的垂心
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
。


高线的长度 过三角形某一顶点的高线的长度称为过这点的高或这一点上的高。三角形
  
    
      
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle ABC}
  
的三个顶点 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
上的高通常分别记作
  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{a}}
  
、
  
    
      
        
          h
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{b}}
  
、
  
    
      
        
          h
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{c}}
  
。它们可以用三角形三边的边长
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
、
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
（分别是顶点
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的对边：
  
    
      
        B
        C
      
    
    {\displaystyle BC}
  
、
  
    
      
        C
        A
      
    
    {\displaystyle CA}
  
和
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
的长度）来表示：

  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                
                  s
                  (
                  s
                  −
                  a
                  )
                  (
                  s
                  −
                  b
                  )
                  (
                  s
                  −
                  c
                  )
                
              
            
            a
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}
  

  
    
      
        
          h
          
            b
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                
                  s
                  (
                  s
                  −
                  a
                  )
                  (
                  s
                  −
                  b
                  )
                  (
                  s
                  −
                  c
                  )
                
              
            
            b
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}.}
  

  
    
      
        
          h
          
            c
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                
                  s
                  (
                  s
                  −
                  a
                  )
                  (
                  s
                  −
                  b
                  )
                  (
                  s
                  −
                  c
                  )
                
              
            
            c
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}.}
  

其中s是三角形的半周长：
  
    
      
        2
        s
        =
        a
        +
        b
        +
        c
      
    
    {\displaystyle 2s=a+b+c}
  
。这三个关系式可以通过海伦公式：

  
    
      
        S
        =
        
          
            s
            (
            s
            −
            a
            )
            (
            s
            −
            b
            )
            (
            s
            −
            c
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
  

以及三角形的面积公式：
  
    
      
        S
        =
        
          
            
              a
              
                h
                
                  a
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}}
  
推出来。


= 高与内切圆半径 =
三角形内切圆的半径
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
与三个顶点上的高
  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{a}}
  
、
  
    
      
        
          h
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{b}}
  
、
  
    
      
        
          h
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{c}}
  
有如下的关系：

  
    
      
        
          
            
              1
              r
            
          
          =
          
            
              1
              
                h
                
                  a
                
              
            
          
          +
          
            
              1
              
                h
                
                  b
                
              
            
          
          +
          
            
              1
              
                h
                
                  c
                
              
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}
  
 
而三角形的三个旁切圆的半径也和高有类似的关系：

 
  
    
      
        
          
            
              1
              
                r
                
                  a
                
              
            
          
          =
          −
          
            
              1
              
                h
                
                  a
                
              
            
          
          +
          
            
              1
              
                h
                
                  b
                
              
            
          
          +
          
            
              1
              
                h
                
                  c
                
              
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r_{a}}}=-{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}
  
  

  
    
      
        
          
            
              1
              
                r
                
                  b
                
              
            
          
          =
          
            
              1
              
                h
                
                  a
                
              
            
          
          −
          
            
              1
              
                h
                
                  b
                
              
            
          
          +
          
            
              1
              
                h
                
                  c
                
              
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r_{b}}}={\frac {1}{h_{a}}}-{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}
  
 
 
  
    
      
        
          
            
              1
              
                r
                
                  c
                
              
            
          
          =
          
            
              1
              
                h
                
                  a
                
              
            
          
          +
          
            
              1
              
                h
                
                  b
                
              
            
          
          −
          
            
              1
              
                h
                
                  c
                
              
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r_{c}}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}.}
  
 
其中的
  
    
      
        
          r
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{a}}
  
、
  
    
      
        
          r
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{b}}
  
、
  
    
      
        
          r
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{c}}
  
分别指圆心在三个顶点
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
射出的内角平分线上的旁切圆
  
    
      
        
          J
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{a}}
  
、
  
    
      
        
          J
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{b}}
  
、
  
    
      
        
          J
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{c}}
  
的半径。


= 反海龍公式 =
如果设
  
    
      
        
          h
          
            s
          
        
        =
        
          
            
              
                h
                
                  a
                
                
                  −
                  1
                
              
              +
              
                h
                
                  b
                
                
                  −
                  1
                
              
              +
              
                h
                
                  c
                
                
                  −
                  1
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{s}={\frac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}{2}}}
  
，那么有以下类似于海龍公式的三角形面积公式：

  
    
      
        
          A
          
            −
            1
          
        
        =
        4
        
          
            
              h
              
                s
              
            
            (
            
              h
              
                s
              
            
            −
            
              h
              
                a
              
              
                −
                1
              
            
            )
            (
            
              h
              
                s
              
            
            −
            
              h
              
                b
              
              
                −
                1
              
            
            )
            (
            
              h
              
                s
              
            
            −
            
              h
              
                c
              
              
                −
                1
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {h_{s}(h_{s}-h_{a}^{-1})(h_{s}-h_{b}^{-1})(h_{s}-h_{c}^{-1})}}.}
  


= 高與外切圓半徑和面積之關係 =
令
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
是與三高
  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
        ,
        
          h
          
            b
          
        
        ,
        
          h
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}}
  
成反比的一組數字：
「三高線之三角形」的外切圓半徑可以表示為此：

  
    
      
        R
        =
        
          
            
              a
              b
              
                c
                
                  2
                
              
              
                h
                
                  c
                
              
            
            
              8
              (
              
                S
                
                  a
                  b
                  c
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\frac {abc^{2}h_{c}}{8(S_{abc})^{2}}}}
  

「三高線之三角形」的面積可以表示為此：

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              (
              c
              
                h
                
                  c
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              4
              (
              
                S
                
                  a
                  b
                  c
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {(ch_{c})^{2}}{4(S_{abc})^{2}}}}
  

。證明在下方。


= 高與外切圓半徑、面積之證明 =
令
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        :
        
          b
          
            0
          
        
        :
        
          c
          
            0
          
        
        =
        
          h
          
            a
          
          
            −
            1
          
        
        :
        
          h
          
            b
          
          
            −
            1
          
        
        :
        
          h
          
            c
          
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0}:b_{0}:c_{0}=h_{a}^{-1}:h_{b}^{-1}:h_{c}^{-1}}
  
，將 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          b
          
            0
          
        
        ,
        
          c
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0},b_{0},c_{0}}
  
形成一與原三角形相似的三角形
我們可知當 
  
    
      
        s
        =
        
          
            
              
                a
                
                  0
                
              
              +
              
                b
                
                  0
                
              
              +
              
                c
                
                  0
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s={\frac {a_{0}+b_{0}+c_{0}}{2}}}
  
 時，
  
    
      
        
          S
          
            
              a
              
                0
              
            
            
              b
              
                0
              
            
            
              c
              
                0
              
            
          
        
        =
        
          
            s
            (
            s
            −
            
              a
              
                0
              
            
            )
            (
            s
            −
            
              b
              
                0
              
            
            )
            (
            s
            −
            
              c
              
                0
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{a_{0}b_{0}c_{0}}={\sqrt {s(s-a_{0})(s-b_{0})(s-c_{0})}}}
  
 
由上可得
  
    
      
        
          h
          
            
              c
              
                0
              
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                S
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  
                    b
                    
                      0
                    
                  
                  
                    c
                    
                      0
                    
                  
                
              
            
            
              c
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{c_{0}}={\frac {2S_{a_{0}b_{0}c_{0}}}{c_{0}}}}
  
，因此兩三角形之比值
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              h
              
                c
              
            
            
              h
              
                
                  c
                  
                    0
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                c
                
                  0
                
              
              
                h
                
                  c
                
              
            
            
              2
              
                S
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  
                    b
                    
                      0
                    
                  
                  
                    c
                    
                      0
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {h_{c}}{h_{c_{0}}}}={\frac {c_{0}h_{c}}{2S_{a_{0}b_{0}c_{0}}}}}
  

故原三角形ABC中
  
    
      
        a
        =
        
          a
          
            0
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle a=a_{0}r}
  
，
  
    
      
        b
        =
        
          b
          
            0
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle b=b_{0}r}
  
，
  
    
      
        c
        =
        
          c
          
            0
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle c=c_{0}r}
  

所以外切圓半徑
  
    
      
        R
        =
        
          
            
              a
              b
            
            
              2
              
                h
                
                  c
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  0
                
              
              
                b
                
                  0
                
              
            
            
              2
              
                h
                
                  c
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                
                  
                    
                      c
                      
                        0
                      
                    
                    
                      h
                      
                        c
                      
                    
                  
                  
                    2
                    
                      S
                      
                        
                          a
                          
                            0
                          
                        
                        
                          b
                          
                            0
                          
                        
                        
                          c
                          
                            0
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  0
                
              
              
                b
                
                  0
                
              
            
            
              2
              
                h
                
                  c
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              b
              
                c
                
                  2
                
              
              
                h
                
                  c
                
              
            
            
              8
              (
              
                S
                
                  a
                  b
                  c
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\frac {ab}{2h_{c}}}={\frac {r^{2}a_{0}b_{0}}{2h_{c}}}={\frac {({\frac {c_{0}h_{c}}{2S_{a_{0}b_{0}c_{0}}}})^{2}a_{0}b_{0}}{2h_{c}}}={\frac {abc^{2}h_{c}}{8(S_{abc})^{2}}}}
  

而面積S則為
  
    
      
        S
        =
        
          S
          
            
              a
              
                0
              
            
            
              b
              
                0
              
            
            
              c
              
                0
              
            
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          S
          
            
              a
              
                0
              
            
            
              b
              
                0
              
            
            
              c
              
                0
              
            
          
        
        (
        
          
            
              
                c
                
                  0
                
              
              
                h
                
                  c
                
              
            
            
              2
              
                S
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  
                    b
                    
                      0
                    
                  
                  
                    c
                    
                      0
                    
                  
                
              
            
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          
            
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              c
              
                h
                
                  c
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              4
              (
              
                S
                
                  a
                  b
                  c
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S=S_{a_{0}b_{0}c_{0}}r^{2}=S_{a_{0}b_{0}c_{0}}({\frac {c_{0}h_{c}}{2S_{a_{0}b_{0}c_{0}}}})^{2}={\frac {(ch_{c})^{2}}{4(S_{abc})^{2}}}}
  


参见 垂心组
垂足三角形
垂直
九点圆


参考来源 R.A.约翰逊，单墫 译. 《近代欧氏几何学》. 上海教育出版社. ISBN 7-5320-6392-5.