条件收敛（英语：Conditionally Convergent）是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。


详细定义 = 条件收敛的级数 =
给定一个实数项无穷级数
  
    
      
        A
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}
  
，如果它自身收敛于一个定值
  
    
      
        C
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle C\in \mathbb {R} }
  
：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        =
        C
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=C,}
  

但由每一项的绝对值构成的正项级数：
  
    
      
        
          A
          
            s
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle A_{s}=\sum _{n}|a_{n}|}
  
不收敛：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          |
        
        =
        ∞
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,}
  

那么就称这个无穷级数
  
    
      
        A
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}
  
是一个条件收敛的无穷级数。:149


= 条件收敛的广义积分 =
给定一个在区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle [a,\infty )}
  
上有定义的函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
，如果
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
在任意的闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上都可积，并且广义积分：

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            +
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
          d
        
        x
        =
        
          lim
          
            b
            →
            +
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
  

收敛，而函数绝对值的广义积分：

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        
          d
        
        x
        =
        
          lim
          
            b
            →
            +
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{+\infty }|f(x)|\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}
  

发散，那么就称广义积分
  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            +
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}
  
条件收敛。:104


例子 = 无穷级数 =
常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数：

  
    
      
        
          A
          
            h
          
        
        =
        1
        −
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            1
            3
          
        
        −
        
          
            1
            4
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{h}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}
  

它收敛到定值：
  
    
      
        ln
        ⁡
        2
      
    
    {\displaystyle \ln 2}
  
，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数：
  
    
      
        H
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          
            |
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            n
          
        
        
          
            |
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}
  
叫做调和级数，是发散的。

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            n
          
        
        =
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .}
  


= 广义积分 =
条件收敛的广义积分的一个例子是函数：
  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}
  
在正实数轴上的积分：

  
    
      
        I
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}
  

任取实数
  
    
      
        a
        >
        1
      
    
    {\displaystyle a>1}
  
，运用分部积分法可以得到：

  
    
      
        
          ∫
          
            1
          
          
            a
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
          d
        
        x
        =
        cos
        ⁡
        1
        −
        
          
            
              cos
              ⁡
              a
            
            a
          
        
        −
        
          ∫
          
            1
          
          
            a
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              x
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-{\frac {\cos a}{a}}-\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}
  

而对任意的正实数
  
    
      
        A
        ,
        B
        >
        1
      
    
    {\displaystyle A,B>1}
  
：

  
    
      
        
          
            |
          
        
        
          ∫
          
            A
          
          
            B
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              x
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        x
        
          
            |
          
        
        ⩽
        
          ∫
          
            A
          
          
            B
          
        
        
          
            
              
                |
              
              cos
              ⁡
              x
              
                |
              
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        x
        ⩽
        
          ∫
          
            A
          
          
            B
          
        
        
          
            1
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        x
        ⩽
        
          
            1
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\Bigg |}\int _{A}^{B}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x{\Bigg |}\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {|\cos x|}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{A}}}
  

由柯西收敛原理可知广义积分
  
    
      
        
          ∫
          
            1
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              x
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}
  
收敛，所以

  
    
      
        
          ∫
          
            1
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
          d
        
        x
        =
        
          lim
          
            a
            →
            +
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            1
          
          
            a
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
          d
        
        x
        =
        cos
        ⁡
        1
        −
        
          lim
          
            a
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              a
            
            a
          
        
        −
        
          lim
          
            a
            →
            +
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            1
          
          
            a
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              x
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        x
        =
        cos
        ⁡
        1
        −
        
          ∫
          
            1
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              x
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-\lim _{a\to +\infty }{\frac {\cos a}{a}}-\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\cos 1-\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}
  

即积分：
  
    
      
        I
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}
  
收敛。但是，绝对值函数的积分：
  
    
      
        
          I
          
            s
          
        
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            |
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
          
            |
          
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x}
  
不收敛。这是因为对任意自然数
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
，积分：

  
    
      
        
          I
          
            k
          
        
        =
        
          ∫
          
            k
            π
          
          
            (
            k
            +
            1
            )
            π
          
        
        
          
            |
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
          
            |
          
        
        
          d
        
        x
        ⩾
        
          ∫
          
            k
            π
          
          
            (
            k
            +
            1
            )
            π
          
        
        
          
            
              
                |
              
              sin
              ⁡
              x
              
                |
              
            
            
              (
              k
              +
              1
              )
              π
            
          
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            2
            
              (
              k
              +
              1
              )
              π
            
          
        
        =
        
          
            2
            π
          
        
        ⋅
        
          
            1
            
              k
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{(k+1)\pi }}\mathrm {d} x={\frac {2}{(k+1)\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{k+1}}}
  

所以

  
    
      
        
          I
          
            s
          
        
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            |
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
          
            |
          
        
        
          d
        
        x
        ⩾
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          I
          
            k
          
        
        ⩾
        
          
            2
            π
          
        
        ⋅
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              k
              +
              1
            
          
        
        =
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \sum _{k=1}^{+\infty }I_{k}\geqslant {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k+1}}=+\infty }
  

因此，积分
  
    
      
        I
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}
  
是条件收敛的。:104-106


相关定理 黎曼级数定理：假设
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列
  
    
      
        σ
        :
        
        
        n
        ↦
        σ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)}
  
，使得

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            σ
            (
            n
            )
          
        
        =
        C
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}
  

此外，也存在另一种排列
  
    
      
        
          σ
          ′
        
        :
        
        
        n
        ↦
        
          σ
          ′
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)}
  
，使得

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            
              σ
              ′
            
            (
            n
            )
          
        
        =
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}
  

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
  
，或没有任何极限。:192
反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。:193


参见 无条件收敛
绝对收敛


参考来源