梯形（美式英语：trapezoid，英式英语：trapezium）是只有一组對邊平行的凸四邊形。梯形平行的兩條邊为底边，分別稱為上底和下底，其间的距離為高，不平行的两条边为腰。下底与腰的夹角为底角，上底与腰的夹角为顶角。有的也将梯形定义为有至少一组对边平等的凸四边形，從兒將平行四边形也视为一种梯形


性质 = 中位线 =
由梯形两腰的中点连成的线段称为梯形的中位线。梯形的中位线与上底和下底都平行，长度为上底与下底的长度之和的一半，即：
  
    
      
        m
        =
        
          
            
              (
              
                a
                +
                b
              
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m={\frac {\left(a+b\right)}{2}}}
  


= 高 =
若
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
為梯形的底邊，
  
    
      
        c
        ,
        d
      
    
    {\displaystyle c,d}
  
為梯形的兩腰，其中
  
    
      
        a
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a\neq b}
  
，則两个底之间的距离称为高，其长度为：

  
    
      
        h
        =
        
          
            
              −
              (
              a
              −
              b
              +
              c
              +
              d
              )
              (
              a
              −
              b
              +
              c
              −
              d
              )
              (
              a
              −
              b
              −
              c
              +
              d
              )
              (
              a
              −
              b
              −
              c
              −
              d
              )
            
            
              2
              
                |
                
                  a
                  −
                  b
                
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h={\frac {\sqrt {-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{2\left|a-b\right|}}}
  


= 面積 =
梯形的面積
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
满足： 

  
    
      
        S
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        a
        +
        b
        )
        h
      
    
    {\displaystyle S={\frac {1}{2}}(a+b)h}
  

其中，
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
是梯形的高，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
分别为其上底和下底。
事实上，由于中位线
  
    
      
        m
        =
        
          
            
              a
              +
              b
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}
  
因此梯形面積
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
亦满足：

  
    
      
        S
        =
        m
        h
      
    
    {\displaystyle S=mh}
  

其中 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 为中位线的长度。
以上两个公式均适用于任何梯形，也包括平行四边形。


= 边与角的关系 =
上下底边平行，因此上下邻角互为补角，度数和为180度。
对角线分割另一条对角线的比相同。


分类 梯形通常可根据角的关系分为锐角梯形、直角梯形、钝角梯形三类。


= 锐角梯形 =
锐角梯形（acute trapezoid）是指底边都是个锐角的梯形，等腰梯形是特殊的锐角梯形


= 直角梯形 =

一个底角为90°的梯形是直角梯形（right trapezoid）。由于梯形的二底边平行，因此根据同旁内角关系，直角梯形一腰上的两个底角都是90°。


= 钝角梯形 =
钝角梯形（obtuse trapezoid）是指两底边都有一个锐角和一个钝角的梯形，平行四边形可看作是特殊（两腰相等）的钝角梯形。


特殊的梯形 = 等腰梯形 =

两腰长度相等的梯形称为等腰梯形，具有如下性质：

两条对角线相等。
同一底上的二内角相等。
对角互补，四顶点共圆。
依据以上性质，判定一个四边形是等腰梯形可以通过以下命题：

两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
同一底上的二内角相等的梯形是等腰梯形。
四顶点共圆的梯形是等腰梯形。


= 正交梯形 =
对角线相互垂直的梯形是正交梯形。


= 圆外切梯形 =

存在内切圆的梯形称为圆外切梯形，此外还有圆外切等腰梯形和圆外切直角梯形子类型。


参考文献