动能 （英語：Kinetic energy）是物质运动时所得到的能量。它通常被定义成使某物体从静止状态至运动状态所做的功。由于运动是相对的，动能也是相对于某参照系而言。同一物体在不同的参照系会有不同的速率，也就是有不同的动能。动能的国际单位是焦耳（J），以基本单位表示是千克米平方每秒平方（kg·m2·s−2）。一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。


经典力学 在经典力学，一个质点（一个很小的物体，它的大小基本可以忽略）或者一个没有自转的刚体的动能、速率与质量的关系是：

  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          v
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}}
  

其中
  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}}
  
代表动能，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
代表质量，
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
代表速率。
而当一个物体的质量不变，一个物体平移的动能、速率与质量的关系亦同上。
一个物体的动能与動量的关系为：

  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}}
  

其中
  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}}
  
代表动能，
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
代表动量的数值及
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
代表质量。


= 推导与定义 =
我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来静止，在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的功。

  
    
      
        W
        =
        ∫
        
          
            
              F
              →
            
          
        
        ⋅
        d
        
          
            
              s
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}
  

其中
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
代表功，
  
    
      
        
          
            
              F
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {F}}}
  
代表物体所受到的总共的作用力，
  
    
      
        
          
            
              s
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {s}}}
  
代表物体的位移。
根据牛顿第二定律，

  
    
      
        
          
            
              F
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                
                  
                    p
                    →
                  
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}}
  

其中
  
    
      
        
          
            
              F
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {F}}}
  
代表力，
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}}
  
代表动量，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
代表时间。
动量、速度与质量的关系为：

  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        =
        m
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}
  

其中
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}}
  
代表动量，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
代表质量，
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
代表速率。
在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。

  
    
      
        W
        =
        ∫
        
          
            
              d
              
                
                  
                    p
                    →
                  
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        ⋅
        d
        
          
            
              s
              →
            
          
        
        =
        ∫
        m
        
          
            
              d
              
                
                  
                    v
                    →
                  
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        ⋅
        d
        
          
            
              s
              →
            
          
        
        =
        ∫
        m
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        ⋅
        d
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ∫
        m
        d
        (
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          v
          
            2
          
        
        +
        
          C
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle W=\int {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\cdot d{\vec {s}}=\int m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {s}}=\int m{\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}={\frac {1}{2}}\int md({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})={\frac {1}{2}}mv^{2}+C_{0}}
  

其中
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
代表功，
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}}
  
代表动量，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
代表时间，
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
代表速度，
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
代表速率，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
代表质量，
  
    
      
        
          C
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{0}}
  
代表不定常数。当物体的速率为零时，其动能亦为零。因此，

  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          v
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}}
  

其中
  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}}
  
代表动能，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
代表质量及
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
代表速率。


= 自转的物体 =
如果一个物体自转，它便有自转动能。自转动能是它的每一质点的平移动能的和。

  
    
      
        
          E
          
            r
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ∫
        
          v
          
            2
          
        
        d
        m
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ∫
        
          r
          
            2
          
        
        
          ω
          
            2
          
        
        d
        m
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ω
          
            2
          
        
        ∫
        
          r
          
            2
          
        
        d
        m
        =
        
          
            1
            2
          
        
        I
        
          ω
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{r}={\frac {1}{2}}\int v^{2}dm={\frac {1}{2}}\int r^{2}\omega ^{2}dm={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\int r^{2}dm={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}
  

其中
  
    
      
        
          E
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{r}}
  
代表自转动能，
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
代表速率，
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
代表角速度，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
代表质量及
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
代表质点到旋转轴间的距离。


相对论 在狭义相对论中，我们必须改变线性动量的表达式。
使用
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
表示静止质量，
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
和
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
分别表示物体的速度和速率， 而
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
表示真空中的光速，我们假设线性动量
  
    
      
        
          p
        
        =
        m
        γ
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }
  
， 其中
  
    
      
        γ
        =
        1
        
          /
        
        
          
            1
            −
            
              v
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
  

分部积分得到

  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
        =
        ∫
        
          v
        
        ⋅
        d
        
          p
        
        =
        ∫
        
          v
        
        ⋅
        d
        (
        m
        γ
        
          v
        
        )
        =
        m
        γ
        
          v
        
        ⋅
        
          v
        
        −
        ∫
        m
        γ
        
          v
        
        ⋅
        d
        
          v
        
        =
        m
        γ
        
          v
          
            2
          
        
        −
        
          
            m
            2
          
        
        ∫
        γ
        d
        (
        
          v
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d(v^{2})}
  

回忆
  
    
      
        γ
        =
        (
        1
        −
        
          v
          
            2
          
        
        
          /
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          )
          
            −
            1
            
              /
            
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!}
  
，我们得到：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  E
                  
                    k
                  
                
              
              
                
                =
                m
                γ
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    
                      −
                      m
                      
                        c
                        
                          2
                        
                      
                    
                    2
                  
                
                ∫
                γ
                d
                (
                1
                −
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  /
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                m
                γ
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                +
                m
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                (
                1
                −
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  /
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    1
                    
                      /
                    
                    2
                  
                
                −
                
                  E
                  
                    0
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d(1-v^{2}/c^{2})\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}-E_{0}\end{aligned}}}
  

其中
  
    
      
        
          E
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{0}}
  
作为积分常数。
于是:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  E
                  
                    k
                  
                
              
              
                
                =
                m
                γ
                (
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                (
                1
                −
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  /
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                )
                )
                −
                
                  E
                  
                    0
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                m
                γ
                (
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                )
                −
                
                  E
                  
                    0
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                m
                γ
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  E
                  
                    0
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma (v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))-E_{0}\\&=m\gamma (v^{2}+c^{2}-v^{2})-E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}}
  

通过观察
  
    
      
        
          v
        
        =
        0
        ,
         
        γ
        =
        1
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =0,\ \gamma =1\!}
  
 且 
  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle E_{\text{k}}=0\!}
  
，得到积分常数
  
    
      
        
          E
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{0}}
  
应为

  
    
      
        
          E
          
            0
          
        
        =
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle E_{0}=mc^{2}\,}
  

并给出通常的公式

  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
        =
        m
        γ
        
          c
          
            2
          
        
        −
        m
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              m
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              1
              −
              
                v
                
                  2
                
              
              
                /
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        m
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}}
  


= 極限 =

  
    
      
        
          lim
          
            v
            →
            c
          
        
        
          E
          
            k
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{v\rightarrow c}E_{\text{k}}=\infty }
  

當速度趋向光速，動能趋向無限，因此限制了速度的上限為光速，體現了相對論的自恰性。

利用泰勒公式：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  E
                  
                    k
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      m
                      
                        c
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      1
                      −
                      (
                      v
                      
                        /
                      
                      c
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                −
                m
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                m
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                (
                1
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  /
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    3
                    8
                  
                
                
                  v
                  
                    4
                  
                
                
                  /
                
                
                  c
                  
                    4
                  
                
                +
                ⋯
                )
                −
                m
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                m
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      m
                      
                        v
                        
                          2
                        
                      
                    
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    3
                    8
                  
                
                
                  m
                  
                    v
                    
                      4
                    
                  
                  
                    /
                  
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
                +
                ⋯
                −
                m
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                ≈
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                m
                
                  v
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}\\&=mc^{2}(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\cdots )-mc^{2}\\&=mc^{2}+{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}{mv^{4}/c^{2}}+\cdots -mc^{2}\\&\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}}
  

低速情況下，相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。


參見 势能（又称“位能”）
机械能
能量
相对论
牛顿运动定律


参考文献