经典电磁理论的协变形式是指将经典的电磁学定律（主要包括馬克士威方程組和洛伦兹力）纳入狭义相对论的框架，利用洛伦兹协变的四维矢量和四维张量写成“外在协变”的形式。这种形式的好处在于，经典的电磁学定律在任意惯性坐标系下具有相同的形式，并能够使场和力在不同惯性系下的变换更加容易表述。
在本文中，闵可夫斯基度规的形式被规定为
  
    
      
        d
        i
        a
        g
        (
        1
        ,
        −
        1
        ,
        −
        1
        ,
        −
        1
        )
        
      
    
    {\displaystyle diag(1,-1,-1,-1)\,}
  
，这是参考了John David Jackson所编写的《经典电动力学》中所采用的形式；并且从头彻尾都使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定。


协变量 = 电磁张量 =

将电场和磁场统一起来可写成一个反对称张量，即电磁张量。当单位为伏特·秒/米2，其协变形式为

  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      
                        E
                        
                          x
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        E
                        
                          y
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        E
                        
                          z
                        
                      
                      c
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        −
                        
                          E
                          
                            x
                          
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        −
                        
                          E
                          
                            y
                          
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        −
                        
                          E
                          
                            z
                          
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {-E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {-E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {-E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)}
  

通过张量代数可以得到反变形式为

  
    
      
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
        
        
          η
          
            μ
            α
          
        
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          η
          
            β
            ν
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      
                        −
                        
                          E
                          
                            x
                          
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        −
                        
                          E
                          
                            y
                          
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        −
                        
                          E
                          
                            z
                          
                        
                      
                      c
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        E
                        
                          x
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        E
                        
                          y
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        E
                        
                          z
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle F^{\mu \nu }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\eta ^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,\eta ^{\beta \nu }=\left({\begin{matrix}0&{\frac {-E_{x}}{c}}&{\frac {-E_{y}}{c}}&{\frac {-E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).}
  

其中
  
    
      
        
          E
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} \,}
  
是电场强度，
  
    
      
        
          B
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} \,}
  
是磁感应强度，
  
    
      
        c
        
      
    
    {\displaystyle c\,}
  
是真空中的光速。如果采用高斯单位制，光速这个因子将不会出现。


= 四维电流密度 =

四维电流密度是统一了电流密度和电荷密度的四维矢量。当单位为安培/米2，其反变形式为

  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        =
        
        (
        c
        ρ
        ,
        
          J
        
        )
      
    
    {\displaystyle J^{\alpha }=\,(c\rho ,\mathbf {J} )}
  

其中
  
    
      
        ρ
        
      
    
    {\displaystyle \rho \,}
  
是电荷密度，
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
是电流密度。


= 电磁四维势 =

电磁四维势是统一了电标势和磁矢势的四维矢量。当单位为伏特·秒/米时，其协变形式为

  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
        =
        
          (
          
            ϕ
            
              /
            
            c
            ,
            −
            
              A
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }=\left(\phi /c,-\mathbf {A} \right)}
  

电磁张量和四维势之间的关系为

  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        =
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}
  

其中

  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
        =
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                1
                c
              
            
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            ,
            
              ∇
            
          
          )
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\mathbf {\nabla } \right)\,.}
  


= 电磁应力-能量张量 =

电磁应力-能量张量是一个对称张量，描述了电磁场对全部应力-能量张量的贡献。当单位为焦耳/米3，它的反变形式为

  
    
      
        
          T
          
            α
            β
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  (
                  
                    ϵ
                    
                      0
                    
                  
                  
                    E
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    
                      1
                      
                        μ
                        
                          0
                        
                      
                    
                  
                  
                    B
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    S
                    
                      x
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  
                    S
                    
                      y
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  
                    S
                    
                      z
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
              
              
                
                  
                    S
                    
                      x
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    σ
                    
                      x
                      x
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    σ
                    
                      x
                      y
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    σ
                    
                      x
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    S
                    
                      y
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    σ
                    
                      y
                      x
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    σ
                    
                      y
                      y
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    σ
                    
                      y
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    S
                    
                      z
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    σ
                    
                      z
                      x
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    σ
                    
                      z
                      y
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    σ
                    
                      z
                      z
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}
  

其中
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}\,}
  
是真空电容率， 
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}\,}
  
是真空磁导率，坡印亭矢量为

  
    
      
        
          S
        
        =
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
          E
        
        ×
        
          B
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,}
  

而馬克士威應力張量為

  
    
      
        
          σ
          
            i
            j
          
        
        =
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          E
          
            i
          
        
        
          E
          
            j
          
        
        +
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
          B
          
            i
          
        
        
          B
          
            j
          
        
        −
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          E
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
          B
          
            2
          
        
        )
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\tfrac {1}{2}}(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})\delta _{ij}\,.}
  

电磁应力-能量张量与电磁场张量之间的关系由下面方程给出：

  
    
      
        
          T
          
            α
            β
          
        
        =
        
          
            
              −
              1
            
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        (
        
          F
          
            α
            γ
          
        
        
          η
          
            γ
            ν
          
        
        
          F
          
            ν
            β
          
        
        +
        
          
            1
            4
          
        
        
          η
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            γ
            ν
          
        
        
          F
          
            γ
            ν
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {-1}{\mu _{0}}}(F^{\alpha \gamma }\eta _{\gamma \nu }F^{\nu \beta }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu })}
  

其中
  
    
      
        η
        
      
    
    {\displaystyle \eta \,}
  
是闵可夫斯基度规张量。注意我们这里使用了关系

  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          μ
          
            0
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        =
        1
        
        .
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,.}
  


= 其他非电磁学协变量 =
除上面的电磁学量以外，我们在这里列出三个非电磁学的四维矢量，它们在本文中也有用到：

位置（坐标）矢量，单位为米：

  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
        =
        (
        c
        t
        ,
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle x^{\alpha }=(ct,x,y,z)\,.}
  

四维速度矢量，单位为米/秒：

  
    
      
        
          u
          
            α
          
        
        =
        γ
        (
        c
        ,
        
          u
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle u^{\alpha }=\gamma (c,\mathbf {u} )\,}
  

其中
  
    
      
        
          u
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \,}
  
是（三维）速度矢量，而
  
    
      
        γ
        
      
    
    {\displaystyle \gamma \,}
  
是与
  
    
      
        
          u
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \,}
  
有关的洛伦兹因子。
四维动量矢量，单位为千克·米/秒：

  
    
      
        
          p
          
            α
          
        
        =
        (
        E
        
          /
        
        c
        ,
        −
        
          p
        
        )
        =
        m
        
        
          η
          
            α
            ν
          
        
        
        
          u
          
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle p_{\alpha }=(E/c,-\mathbf {p} )=m\,\eta _{\alpha \nu }\,u^{\nu }\,}
  

其中
  
    
      
        
          p
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} \,}
  
是（三维）动量矢量，而E是能量，m是粒子的静止质量。


馬克士威方程組 真空中的馬克士威方程組可以写作两个张量方程的形式： :
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  α
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
          
            β
          
        
        
        
          
            and
          
        
        
        0
        =
        
          ϵ
          
            α
            β
            γ
            δ
          
        
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  α
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  γ
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}=\mu _{0}J^{\beta }\qquad {\hbox{and}}\qquad 0=\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }{\frac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}}
  

其中F αβ是电磁张量，J α是四维电流密度，є αβγδ是列维-奇维塔符号，所有角标满足爱因斯坦求和约定。第一个张量方程表述了两个非齐次的麦克斯韦方程：高斯定律和安培定律；第二个张量方程表述了两个齐次的麦克斯韦方程：法拉第电磁感应定律和磁场的高斯定律。
在无源的情形下，麦克斯韦方程组退化为与场强有关的波方程：

  
    
      
        
          η
          
            γ
            ν
          
        
        
          ∂
          
            γ
          
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
        
        ◻
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                F
                
                  α
                  β
                
              
            
            
              
                ∂
                t
              
              
                2
              
            
          
        
        =
        0
        
        .
      
    
    {\displaystyle \eta ^{\gamma \nu }\partial _{\gamma }\partial _{\nu }F^{\alpha \beta }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\Box F^{\alpha \beta }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\nabla ^{2}F^{\alpha \beta }-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}F^{\alpha \beta } \over {\partial t}^{2}}=0\,.}
  

这里
  
    
      
        ◻
      
    
    {\displaystyle \Box }
  
是达朗贝尔算符。


= 其他符号记法 =
如果不用求和约定或列维-奇维塔符号，方程组将写为

  
    
      
        
          ∑
          
            
              x
              
                α
              
            
            =
            c
            t
            ,
            x
            ,
            y
            ,
            z
          
        
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  α
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
          
            β
          
        
        
        
          
            and
          
        
        
        0
        =
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  α
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  γ
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  β
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  γ
                  α
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{x^{\alpha }=ct,x,y,z}{\partial F^{\alpha \beta } \over \partial x^{\alpha }}=\mu _{0}J^{\beta }\qquad {\hbox{and}}\qquad 0={\partial F_{\alpha \beta } \over \partial x^{\gamma }}+{\partial F_{\beta \gamma } \over \partial x^{\alpha }}+{\partial F_{\gamma \alpha } \over \partial x^{\beta }}}
  

其中所有的角标的范围是0到3（更具体而言，
  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{\alpha }}
  
的范围是{ct,x,y,z}）。第一个张量方程对应着四个标量方程，其中
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
的值为0到3。第二个张量方程可展开为
  
    
      
        
          4
          
            3
          
        
        =
        64
      
    
    {\displaystyle 4^{3}=64}
  
个标量方程，但只有四个是独立的。
为了方便可以将四维梯度写作更简洁的形式：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  α
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  γ
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
        
        
          ∂
          
            γ
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              F
              
                α
                β
              
            
          
          
            ,
            γ
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\partial F^{\alpha \beta } \over \partial x^{\gamma }}\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\partial _{\gamma }F^{\alpha \beta }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,{F^{\alpha \beta }}_{,\gamma }\,.}
  

从而馬克士威方程組最终的协变形式为

  
    
      
        
          
            
              F
              
                α
                β
              
            
          
          
            ,
            α
          
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
          
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle {F^{\alpha \beta }}_{,\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}
  

以及

  
    
      
        
          ϵ
          
            α
            β
            γ
            δ
          
        
        
          
            F
            
              α
              β
              ,
              γ
            
          
        
        =
        0
         
        .
      
    
    {\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }{F_{\alpha \beta ,\gamma }}=0\ .}
  


连续性方程 由电荷守恒得到的连续性方程的协变形式为

  
    
      
        
          
            
              J
              
                α
              
            
          
          
            ,
            α
          
        
        
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          J
          
            α
          
        
        
        =
        
        0
        
        .
      
    
    {\displaystyle {J^{\alpha }}_{,\alpha }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\partial _{\alpha }J^{\alpha }\,=\,0\,.}
  


洛伦兹力 电磁场通过洛伦兹力来影响其中粒子的运动。仅考虑洛伦兹力的影响时，牛顿运动定律用场强张量表示的相对论形式为

  
    
      
        
          
            
              d
              
                p
                
                  α
                
              
            
            
              d
              τ
            
          
        
        
        =
        q
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          u
          
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta }}
  

其中
  
    
      
        p
        
      
    
    {\displaystyle p\,}
  
是四维动量，
  
    
      
        q
        
      
    
    {\displaystyle q\,}
  
是电荷，
  
    
      
        u
        
      
    
    {\displaystyle u\,}
  
是四维速度，
  
    
      
        τ
        
      
    
    {\displaystyle \tau \,}
  
是粒子的固有时。
如果采用（普通）时间而不是固有时，方程则写为

  
    
      
        
          
            
              d
              
                p
                
                  α
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        q
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  β
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }}{dt}}\,.}
  

在连续性介质中，三维的力密度（空间分量：三维小体元中的洛伦兹力除以体元的体积）和一维的功率密度（时间分量：三维小体元中传播的功率除以体元的体积）合并为一个协变的力密度矢量
  
    
      
        
          f
          
            μ
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{\mu }\,.}
  
。从而洛伦兹力的密度的空间分量为
  
    
      
        
          f
        
        =
        ρ
        
          E
        
        +
        
          J
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }
  
. 写为外在协变的形式为

  
    
      
        
          f
          
            μ
          
        
        =
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        
          J
          
            ν
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle f_{\mu }=F_{\mu \nu }J^{\nu }.\!}
  


电磁应力-能量张量的微分方程 电磁应力-能量张量满足下面的微分方程，此方程将电磁张量和四维电流密度相联系：

  
    
      
        
          η
          
            α
            ν
          
        
        
          
            
              T
              
                ν
                β
              
            
          
          
            ,
            β
          
        
        +
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          J
          
            β
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0\,}
  

这个方程表述了电磁相互作用中动量和能量的守恒律。


洛伦茨规范条件 洛伦茨规范是具有洛伦兹不变性的规范条件。（在规范对称性下可以选取多种不同的规范条件，例如库仑规范，通常在一个惯性系下满足的规范条件将不能同时满足於另一个惯性系。）
洛伦茨规范用四维势表示为  

  
    
      
        
          η
          
            α
            ν
          
        
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            ν
          
        
        =
        0
        
        .
      
    
    {\displaystyle \eta ^{\alpha \nu }\,\partial _{\alpha }A_{\nu }=0\,.}
  


= 洛伦茨规范下的麦克斯韦方程组 =
洛伦茨规范下的麦克斯韦方程组可表为

  
    
      
        
          η
          
            σ
            ν
          
        
        
        ◻
        
          A
          
            ν
          
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
        
          J
          
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta ^{\sigma \nu }\,\Box A_{\nu }=-\mu _{0}\,J^{\sigma }}
  

其中
  
    
      
        ◻
      
    
    {\displaystyle \Box }
  
是达朗贝尔算符。


介质中麦克斯韦方程组的协变形式 如果考虑介质中的麦克斯韦方程组，此时的电流
  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        
      
    
    {\displaystyle J^{\alpha }\,}
  
可分为自由电流
  
    
      
        
          
            
              J
              
                α
              
            
          
          
            free
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {J^{\alpha }}_{\text{free}}\,}
  
和束缚电流
  
    
      
        
          
            
              J
              
                α
              
            
          
          
            bound
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {J^{\alpha }}_{\text{bound}}\,}
  
：

  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        =
        
          
            
              J
              
                α
              
            
          
          
            free
          
        
        +
        
          
            
              J
              
                α
              
            
          
          
            bound
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle J^{\alpha }={J^{\alpha }}_{\text{free}}+{J^{\alpha }}_{\text{bound}}\,.}
  

其中束缚电流的部分来自介质的磁化和电极化，这两者构成一个反对称的反变磁化-极化张量： 

  
    
      
        
          
            
              M
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    P
                    
                      x
                    
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    P
                    
                      y
                    
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    P
                    
                      z
                    
                  
                  c
                
              
              
                
                  
                    P
                    
                      x
                    
                  
                  c
                
                
                  0
                
                
                  
                    M
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    M
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    P
                    
                      y
                    
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    M
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  
                    M
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    P
                    
                      z
                    
                  
                  c
                
                
                  
                    M
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    M
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-P_{x}c&-P_{y}c&-P_{z}c\\P_{x}c&0&M_{z}&-M_{y}\\P_{y}c&-M_{z}&0&M_{x}\\P_{z}c&M_{y}&-M_{x}&0\end{pmatrix}}}
  

根据麦克斯韦方程，束缚电流为 

  
    
      
        
          
            
              J
              
                μ
              
            
          
          
            bound
          
        
        =
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          
            
              M
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {J^{\mu }}_{\text{bound}}=\partial _{\nu }{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.}
  

将磁化-极化张量和真空中的电磁张量
  
    
      
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle F^{\mu \nu }\,,}
  
合并，我们可以得到反对称的反变电磁位移张量，其中包含了电位移矢量
  
    
      
        [
        
          D
          
            x
          
        
        ,
        
          D
          
            y
          
        
        ,
        
          D
          
            z
          
        
        ]
        
      
    
    {\displaystyle [D_{x},D_{y},D_{z}]\!}
  
和磁场强度矢量
  
    
      
        [
        
          H
          
            x
          
        
        ,
        
          H
          
            y
          
        
        ,
        
          H
          
            z
          
        
        ]
        
      
    
    {\displaystyle [H_{x},H_{y},H_{z}]\,}
  
： 

  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    D
                    
                      x
                    
                  
                  c
                
                
                  
                    D
                    
                      y
                    
                  
                  c
                
                
                  
                    D
                    
                      z
                    
                  
                  c
                
              
              
                
                  −
                  
                    D
                    
                      x
                    
                  
                  c
                
                
                  0
                
                
                  
                    H
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    H
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  −
                  
                    D
                    
                      y
                    
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    H
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  
                    H
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  −
                  
                    D
                    
                      z
                    
                  
                  c
                
                
                  
                    H
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    H
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&D_{x}c&D_{y}c&D_{z}c\\-D_{x}c&0&H_{z}&-H_{y}\\-D_{y}c&-H_{z}&0&H_{x}\\-D_{z}c&H_{y}&-H_{x}&0\end{pmatrix}}.}
  

它们之间的关系为 

  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          
            
              M
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,}
  

这个方程等价於经典电磁学中的
  
    
      
        
          D
        
        =
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          E
        
        +
        
          P
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,}
  
和
  
    
      
        
          H
        
        =
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
          B
        
        −
        
          M
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \,.}
  

并进一步可以推导出介质中的安培定律
  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          H
        
        =
        
          
            J
          
          
            free
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                D
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{free}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
  
和高斯定律
  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          D
        
        =
        
          ρ
          
            free
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}}}
  
，即 

  
    
      
        
          
            
              J
              
                μ
              
            
          
          
            free
          
        
        =
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {J^{\mu }}_{\text{free}}=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,.}
  

束缚电流和自由电流的定义已经由上面给出，并且各自满足守恒律：

  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          
            
              J
              
                μ
              
            
          
          
            bound
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }{J^{\mu }}_{\text{bound}}=0\,}
  
 :
  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          
            
              J
              
                μ
              
            
          
          
            free
          
        
        =
        0
        
        .
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }{J^{\mu }}_{\text{free}}=0\,.}
  

由此，如果我们需要求解介质中的电流密度
  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle J^{\alpha }\,,}
  
，可以将其分为求解自由电流密度
  
    
      
        
          
            
              J
              
                α
              
            
          
          
            free
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {J^{\alpha }}_{\text{free}}\,,}
  
和求解磁化-极化张量
  
    
      
        
          
            
              M
            
          
          
            α
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,}
  
的问题。例如，在低频线性介质中有

  
    
      
        
          
            J
          
          
            free
          
        
        =
        σ
        
          E
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{\text{free}}=\sigma \mathbf {E} \,}
  

  
    
      
        
          P
        
        =
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          χ
          
            e
          
        
        
          E
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} \,}
  

  
    
      
        
          M
        
        =
        
          χ
          
            m
          
        
        
          H
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} \,}
  

其中观察者在与介质共同运动的参考系中，
  
    
      
        σ
        
      
    
    {\displaystyle \sigma \,}
  
是电导率，
  
    
      
        
          χ
          
            e
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \chi _{e}\,}
  
是电极化率，
  
    
      
        
          χ
          
            m
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \chi _{m}\,}
  
是磁化率。


拉格朗日量 单位为焦耳/米3时，真空中的经典电磁拉格朗日量为

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
        =
        
        
          
            
              L
            
          
          
            
              f
              i
              e
              l
              d
            
          
        
        +
        
          
            
              L
            
          
          
            
              i
              n
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              4
              
                μ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        +
        
          A
          
            α
          
        
        
          J
          
            α
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {field} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }+A_{\alpha }J^{\alpha }\,.}
  

其中包含了表示场强的项和表示相互作用的项。  如果我们将自由电流和束缚电流分开，则拉格朗日量写为

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
        =
        
        −
        
          
            1
            
              4
              
                μ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        +
        
          A
          
            α
          
        
        
          J
          
            free
          
          
            α
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          
            
              M
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }+A_{\alpha }J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.}
  
  对应的非相对论形式为

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
        =
        
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          E
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
          B
          
            2
          
        
        )
        −
        ϕ
        
        
          ρ
          
            free
          
        
        +
        
          A
        
        ⋅
        
          
            J
          
          
            free
          
        
        +
        
          E
        
        ⋅
        
          P
        
        +
        
          B
        
        ⋅
        
          M
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\frac {1}{2}}(\epsilon _{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})-\phi \,\rho _{\text{free}}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {M} \,.}
  


广义相对论中的推广 在广义相对论中，度规张量
  
    
      
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{\alpha \beta }\,}
  
不再是恒定的
  
    
      
        
          η
          
            α
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{\alpha \beta }\,}
  
，而有可能随时间和空间变化，度规张量则是引力场的势。
真空中处于引力场中的麦克斯韦方程组为

  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        =
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        
        −
        
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha \beta }\,=\,\partial _{\alpha }A_{\beta }\,-\,\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}
  

  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
        =
        
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
        
          g
          
            μ
            α
          
        
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          g
          
            β
            ν
          
        
        
        
          
            −
            g
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\,}
  

  
    
      
        
          J
          
            μ
          
        
        
        =
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle J^{\mu }\,=\,\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,}
  

  
    
      
        
          f
          
            μ
          
        
        
        =
        
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        
        
          J
          
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{\mu }\,=\,F_{\mu \nu }\,J^{\nu }\,}
  

其中
  
    
      
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle g^{\alpha \beta }\,}
  
是度规张量
  
    
      
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{\alpha \beta }\,}
  
的倒数，而
  
    
      
        g
        
      
    
    {\displaystyle g\,}
  
是度规张量的行列式，
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }\,}
  
是电磁场的四维势，
  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle F^{\alpha \beta }\,}
  
是电磁张量，
  
    
      
        
          D
          
            μ
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle D^{\mu \nu }\,}
  
是位移电流张量，
  
    
      
        
          f
          
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{\mu }\,}
  
是洛伦兹力的密度，
  
    
      
        
          J
          
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle J_{\mu }\,}
  
是四维电流密度。尽管方程组中使用了偏导数，这些方程仍然在任意曲面坐标变换下是协变的：也就是说如果将偏导数换成协变导数，引入的附加项会自动消去从而保持形式不变。


参见 非齐次的电磁波方程
移動中的磁鐵與導體問題
弯曲时空中的麦克斯韦方程组


参考文献 Einstein, A. Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown. 1961. ISBN 0-517-02961-8. 
Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. 1973. ISBN 0-7167-0344-0. 
Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon. 1975. ISBN 0-08-018176-7. 
R. P. Feynman, F. B. Moringo, and W. G. Wagner. Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. 1995. ISBN 0-201-62734-5.