橢圓柱坐標系（英語：Elliptic cylindrical coordinates）是一種三維正交坐標系 。往 z-軸方向延伸二維的橢圓坐標系，則可得到橢圓柱坐標系；其坐標曲面是共焦的橢圓柱面與雙曲柱面。橢圓柱坐標系的兩個焦點 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  
 與 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  
 的直角坐標，分別設定為 
  
    
      
        (
        −
        a
        ,
         
        0
        ,
         
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (-a,\ 0,\ 0)}
  
 與 
  
    
      
        (
        a
        ,
         
        0
        ,
         
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (a,\ 0,\ 0)}
  
 ，都處於直角坐標系的 x-軸。


基本定義 橢圓柱坐標 
  
    
      
        (
        μ
        ,
         
        ν
        ,
         
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ z)}
  
 最常見的定義是

  
    
      
        x
        =
        a
         
        cosh
        ⁡
        μ
         
        cos
        ⁡
        ν
      
    
    {\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }
  
 、

  
    
      
        y
        =
        a
         
        sinh
        ⁡
        μ
         
        sin
        ⁡
        ν
      
    
    {\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }
  
 、

  
    
      
        z
        =
        z
      
    
    {\displaystyle z=z}
  
 ；
其中，實數 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
  
 ，實數 
  
    
      
        μ
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle \mu \geq 0}
  
 ，弧度 
  
    
      
        ν
        ∈
        [
        0
        ,
        2
        π
        )
      
    
    {\displaystyle \nu \in [0,2\pi )}
  
 ，坐標 z 是實數。

  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 的等值曲線形成了橢圓，而 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 的等值曲線則形成了雙曲線：

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                cosh
                
                  2
                
              
              ⁡
              μ
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                sinh
                
                  2
                
              
              ⁡
              μ
            
          
        
        =
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        ν
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        ν
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
  
 、

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              ν
            
          
        
        −
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              ν
            
          
        
        =
        
          cosh
          
            2
          
        
        ⁡
        μ
        −
        
          sinh
          
            2
          
        
        ⁡
        μ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
  
 。


標度因子 橢圓柱坐標 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 與 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 的標度因子相等：

  
    
      
        
          h
          
            μ
          
        
        =
        
          h
          
            ν
          
        
        =
        a
        
          
            
              sinh
              
                2
              
            
            ⁡
            μ
            +
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}
  
 、

  
    
      
        
          h
          
            z
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle h_{z}=1}
  
 。
所以，無窮小體積元素等於

  
    
      
        d
        V
        =
        
          a
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              sinh
              
                2
              
            
            ⁡
            μ
            +
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            ν
          
          )
        
        d
        μ
        d
        ν
        d
        z
      
    
    {\displaystyle dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz}
  
 。
拉普拉斯算子是

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        
          
            1
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                (
                
                  
                    sinh
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  μ
                  +
                  
                    sin
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  ν
                
                )
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  Φ
                
                
                  ∂
                  
                    μ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  Φ
                
                
                  ∂
                  
                    ν
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Φ
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}
  
 。
其它微分算子，例如 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
  
 與 
  
    
      
        ∇
        ×
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
  
 ，都可以用橢圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。


第二種定義 有時候，會用到另外一種橢圓柱坐標系 
  
    
      
        (
        σ
        ,
         
        τ
        ,
         
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
  
 ，其中， 
  
    
      
        σ
        =
        cosh
        ⁡
        μ
      
    
    {\displaystyle \sigma =\cosh \mu }
  
 ，
  
    
      
        τ
        =
        cos
        ⁡
        ν
      
    
    {\displaystyle \tau =\cos \nu }
  
 。同樣地，
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 的等值曲線是橢圓，而 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 的等值曲線是雙曲線。在這裏， 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 必須屬於區間 
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
         
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,\ 1]}
  
 ，而 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 必須大於或等於 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 。
用橢圓柱坐標系，任何在 xy-平面上的點 
  
    
      
        (
        σ
        ,
         
        τ
        ,
         
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
  
 ，其與兩個焦點的距離 
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}}
  
 ，
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}}
  
 有一個很簡單的關係（回想兩個焦點 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  
 與 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  
 的坐標分別為 
  
    
      
        (
        −
        a
        ,
         
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (-a,\ 0)}
  
 與 
  
    
      
        (
        a
        ,
         
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (a,\ 0)}
  
 ）：

  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
        =
        2
        a
        σ
      
    
    {\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }
  
 、

  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        −
        
          d
          
            2
          
        
        =
        2
        a
        τ
      
    
    {\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }
  
 。
因此，

  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        =
        a
        (
        σ
        +
        τ
        )
      
    
    {\displaystyle d_{1}=a(\sigma +\tau )}
  
 、

  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        =
        a
        (
        σ
        −
        τ
        )
      
    
    {\displaystyle d_{2}=a(\sigma -\tau )}
  
 。
第二種橢圓柱坐標有一個缺點，那就是它與直角坐標並不保持一一對應關係：

  
    
      
        x
        =
        a
        σ
        τ
      
    
    {\displaystyle x=a\sigma \tau }
  
 ，

  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              σ
              
                2
              
            
            −
            1
          
          )
        
        
          (
          
            1
            −
            
              τ
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}
  
 。


第二種標度因子 第二種橢圓柱坐標 
  
    
      
        (
        σ
        ,
         
        τ
        ,
         
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
  
 的標度因子是

  
    
      
        
          h
          
            σ
          
        
        =
        a
        
          
            
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}
  
 、

  
    
      
        
          h
          
            τ
          
        
        =
        a
        
          
            
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
              
                1
                −
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}
  
 、

  
    
      
        
          h
          
            z
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle h_{z}=1}
  
 。
所以，無窮小體積元素等於

  
    
      
        d
        V
        =
        
          a
          
            2
          
        
        
          
            
              
                σ
                
                  2
                
              
              −
              
                τ
                
                  2
                
              
            
            
              
                (
                
                  
                    σ
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    τ
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        d
        σ
        d
        τ
        d
        z
      
    
    {\displaystyle dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz}
  
 。
拉普拉斯算子是 

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        
          
            1
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                (
                
                  
                    σ
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    τ
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                −
                1
              
            
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  σ
                
              
            
            
              (
              
                
                  
                    
                      σ
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      Φ
                    
                    
                      ∂
                      σ
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                1
                −
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  τ
                
              
            
            
              (
              
                
                  
                    1
                    −
                    
                      τ
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      Φ
                    
                    
                      ∂
                      τ
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Φ
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}
  
 。
其它微分算子，例如 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
  
 與 
  
    
      
        ∇
        ×
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
  
 ，都可以用第二種橢圓柱坐標表達，只需要將第二種標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。


應用 橢圓柱坐標最經典的用途是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，橢圓柱坐標允許分離變數法的使用。擧一個典型的例題，有一塊寬度為 
  
    
      
        2
        a
      
    
    {\displaystyle 2a}
  
 的平板導體，請問其周圍的電場為什麼？應用橢圓柱坐標，我們可以有條不紊地分析這例題。
三維的波方程，假若用橢圓柱坐標來表達，則可以用分離變數法解析，形成了馬蒂厄微分方程 (Mathieu differential equation) 。


參閱 拉普拉斯-龍格-冷次向量


參考文獻 Philip M. Morse, Herman Feshbach. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 657. ISBN 0-07-043316-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
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Korn GA. Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 179.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
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Moon P, Spencer DE. Elliptic-Cylinder Coordinates (η, ψ, z). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 17–20 (Table 1.03). ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)