在抽象代數中，歐幾里得整環（[Euclidean domain] 错误：{{Lang}}：无效参数：|3=（帮助））是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。


定義 一個歐幾里得整环是一整環 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 及函數 
  
    
      
        v
        :
        D
        ∖
        {
        0
        }
        →
        
          N
        
        ∪
        {
        0
        }
      
    
    {\displaystyle v:D\setminus \{0\}\to \mathbb {N} \cup \{0\}}
  
，使之滿足下述性質：

若 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        D
      
    
    {\displaystyle a,b\in D}
  
 而 
  
    
      
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  
，則存在 
  
    
      
        q
        ,
        r
        ∈
        D
      
    
    {\displaystyle q,r\in D}
  
 使得 
  
    
      
        a
        =
        b
        q
        +
        r
      
    
    {\displaystyle a=bq+r}
  
，而且 
  
    
      
        r
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r=0}
  
，或者 
  
    
      
        v
        (
        r
        )
        <
        v
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle v(r)<v(b)}
  
。
若 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 整除 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，則 
  
    
      
        v
        (
        a
        )
        ≤
        v
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle v(a)\leq v(b)}
  
。
函數 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 可設想成元素大小的量度，當 
  
    
      
        D
        =
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle D=\mathbb {Z} }
  
 時可取 
  
    
      
        v
        (
        x
        )
        :=
        
          |
        
        x
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle v(x):=|x|}
  
。


例子 歐幾理得整環的例子包括了：

整數環 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
，
  
    
      
        v
        (
        x
        )
        =
        
          |
        
        x
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle v(x)=|x|}
  
。
高斯整數環 
  
    
      
        
          Z
        
        [
        
          
            −
            1
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}
  
。
域上的多項式環（
  
    
      
        v
        (
        f
        )
        =
        deg
        ⁡
        f
      
    
    {\displaystyle v(f)=\deg f}
  
）與冪級數環（
  
    
      
        v
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle v(f)}
  
 定義為使 
  
    
      
        
          X
          
            n
          
        
        
          |
        
        f
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle X^{n}|f(X)}
  
 的最大非負整數 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
）。
離散賦值環，
  
    
      
        v
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle v(x)}
  
 定義為使 
  
    
      
        x
        ∈
        
          
            
              m
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in {\mathfrak {m}}^{n}}
  
 的最大非負整數 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，其中 
  
    
      
        
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {m}}}
  
 表該離散賦值環的唯一極大理想。
利用輾轉相除法（定義中的第一條性質），可以證明歐幾里得環必為主理想环，此時理想由其中 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
-值最小的元素生成。由此得到一個推論：歐幾里得整環必為唯一分解環。
並非所有主理想環都是歐幾里得整環，Motzkin 證明了 
  
    
      
        
          Q
        
        [
        
          
            d
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}
  
 的整數環在 
  
    
      
        d
        =
        −
        19
        ,
        −
        43
        ,
        −
        67
        ,
        −
        163
      
    
    {\displaystyle d=-19,-43,-67,-163}
  
 時並非歐幾里得整環，卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。


文獻 Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76