在数学和向量代数领域，外積（英語：external product）又称叉积（cross product）、叉乘、向量积（vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  
。与点积不同，它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
和
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
，它们的外积写作
  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }
  
，是
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
和
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
所在平面的法线向量，与
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
和
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
都垂直。外积被广泛运用于数学、物理、工程学、计算机科学领域。
如果两个向量方向相同或相反（即它们没有线性无关的分量），亦或任意一个的长度为零，那么它们的外积为零。推广开来，外积的模长和以这两个向量为边的平行四边形的面积相等；如果两个向量成直角，它们外积的模长即为两者长度的乘积。
外积和点积一样依赖于欧几里德空间的度量，但与点积之不同的是，外积还依赖于定向或右手定則。
叉积的名称源自表示叉积运算的叉乘号（
  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }
  
），讀作a cross b，向量积的叫法则是在强调其运算结果为向量而非标量。向量的另一种乘法是点积（
  
    
      
        
          a
        
        ⋅
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }
  
），讀作a dot b，其结果为标量，称为点积或数量积或标量积。


定义 两个向量
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
和
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
的外积仅在三维空间中有定义，写作
  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }
  
。在物理学中，外积有时也被写成
  
    
      
        
          a
        
        ∧
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }
  
，但在数学中
  
    
      
        
          a
        
        ∧
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }
  
是外代数中的外积。
外积
  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }
  
是与
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
和
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
都垂直的向量
  
    
      
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {c} }
  
。其方向由右手定則决定，范数等于以两个向量为边的平行四边形的面积。
外积可以定义为：

  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        =
        ‖
        
          a
        
        ‖
        ‖
        
          b
        
        ‖
        sin
        ⁡
        (
        θ
        )
         
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\ \mathbf {n} }
  

其中
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
表示
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
和
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
在它们所定义的平面上的夹角（
  
    
      
        
          0
          
            ∘
          
        
        ≤
        θ
        ≤
        
          180
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta \leq 180^{\circ }}
  
）。
  
    
      
        ‖
        
          a
        
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|\mathbf {a} \|}
  
和
  
    
      
        ‖
        
          b
        
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|\mathbf {b} \|}
  
是向量
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
和
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
的模长，而
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
则是一个与
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
、
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
所构成的平面垂直的单位向量，方向由右手定則决定。根据上述公式，当
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
与
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
平行（即
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
为0°或180°）时，它们的外积为零向量
  
    
      
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {0} }
  
。

按照惯例，向量
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
的方向由右手定則决定：将右手食指指向
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
的方向、中指指向
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
的方向，则此时拇指的方向即为
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
的方向。使用这一定则意味着外积满足反交换律，
  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        =
        −
        (
        
          b
        
        ×
        
          a
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )}
  
：将右手食指指向
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
、中指指向
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
，那么拇指就必定指向相反方向，即翻转了外积的符号。
由此可以看出，使用外积需要考虑坐标系的利手性（英語：Handedness），如果使用的是左手坐标系，向量
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
的方向需要使用左手定则决定，与右手坐标系中的方向相反。
这样就会带来一个问题：参照系的变换不应该影响
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
的方向（例如从右手坐标系到左手坐标系的镜像变换）。因此，两个向量的外积并不是（真）向量，而是贗向量。


计算 = 坐标表示 =

右手坐标系中，基向量
  
    
      
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} }
  
、
  
    
      
        
          j
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {j} }
  
、
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
  
满足以下等式：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  i
                
                ×
                
                  j
                
              
              
                
                =
                
                  k
                
              
            
            
              
                
                  j
                
                ×
                
                  k
                
              
              
                
                =
                
                  i
                
              
            
            
              
                
                  k
                
                ×
                
                  i
                
              
              
                
                =
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} \times \mathbf {j} &=\mathbf {k} \\\mathbf {j} \times \mathbf {k} &=\mathbf {i} \\\mathbf {k} \times \mathbf {i} &=\mathbf {j} \end{aligned}}}
  

根据反交换律可以得出：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  j
                  ×
                  i
                
              
              
                
                =
                −
                
                  k
                
              
            
            
              
                
                  k
                  ×
                  j
                
              
              
                
                =
                −
                
                  i
                
              
            
            
              
                
                  i
                  ×
                  k
                
              
              
                
                =
                −
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j\times i} &=-\mathbf {k} \\\mathbf {k\times j} &=-\mathbf {i} \\\mathbf {i\times k} &=-\mathbf {j} \end{aligned}}}
  

根据外积的定义可以得出：

  
    
      
        
          i
        
        ×
        
          i
        
        =
        
          j
        
        ×
        
          j
        
        =
        
          k
        
        ×
        
          k
        
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} }
  
（零向量）。
根据以上等式，结合外积的分配律和线性关系，就可以确定任意向量的外积。
向量
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
  
和
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
可以定义为平行于基向量的三个正交元素之和：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  u
                
              
              
                
                =
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  i
                
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  j
                
                +
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  k
                
              
            
            
              
                
                  v
                
              
              
                
                =
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                
                  i
                
                +
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  j
                
                +
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                
                  k
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}}
  

两者的外积
  
    
      
        
          u
        
        ×
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }
  
可以根据分配律展开：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  u
                
                ×
                
                  v
                
                =
                

                
              
              
                
                (
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  i
                
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  j
                
                +
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  k
                
                )
                ×
                (
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                
                  i
                
                +
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  j
                
                +
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                
                  k
                
                )
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                (
                
                  i
                
                ×
                
                  i
                
                )
                +
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                (
                
                  i
                
                ×
                
                  j
                
                )
                +
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                (
                
                  i
                
                ×
                
                  k
                
                )
                +
                

                
              
            
            
              
              
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                (
                
                  j
                
                ×
                
                  i
                
                )
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                (
                
                  j
                
                ×
                
                  j
                
                )
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                (
                
                  j
                
                ×
                
                  k
                
                )
                +
                

                
              
            
            
              
              
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                (
                
                  k
                
                ×
                
                  i
                
                )
                +
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                (
                
                  k
                
                ×
                
                  j
                
                )
                +
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                (
                
                  k
                
                ×
                
                  k
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={}&(u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} )\times (v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} )\\={}&u_{1}v_{1}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+u_{1}v_{2}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+u_{1}v_{3}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+{}\\&u_{2}v_{1}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+u_{2}v_{2}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+u_{2}v_{3}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+{}\\&u_{3}v_{1}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+u_{3}v_{2}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+u_{3}v_{3}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} )\\\end{aligned}}}
  

即把
  
    
      
        
          u
        
        ×
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }
  
分解为九个仅涉及
  
    
      
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} }
  
、
  
    
      
        
          j
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {j} }
  
、
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
  
的简单外积之和。九个外积各自所涉及的向量，要么相互平行、要么相互正交。将最前面所述的几个等式带入其中，然后合并同类项，可以得到：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  u
                
                ×
                
                  v
                
                =
                

                
              
              
                
                −
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                
                  0
                
                +
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  k
                
                −
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                
                  j
                
              
            
            
              
              
                
                −
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                
                  k
                
                −
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  0
                
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                
                  i
                
              
            
            
              
              
                
                +
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                
                  j
                
                −
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  i
                
                −
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                
                  0
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                (
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                )
                
                  i
                
                +
                (
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                )
                
                  j
                
                +
                (
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                )
                
                  k
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={}&-u_{1}v_{1}\mathbf {0} +u_{1}v_{2}\mathbf {k} -u_{1}v_{3}\mathbf {j} \\&-u_{2}v_{1}\mathbf {k} -u_{2}v_{2}\mathbf {0} +u_{2}v_{3}\mathbf {i} \\&+u_{3}v_{1}\mathbf {j} -u_{3}v_{2}\mathbf {i} -u_{3}v_{3}\mathbf {0} \\={}&(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} \\\end{aligned}}}
  

即结果向量
  
    
      
        
          s
        
        =
        
          s
          
            1
          
        
        
          i
        
        +
        
          s
          
            2
          
        
        
          j
        
        +
        
          s
          
            3
          
        
        
          k
        
        =
        
          u
        
        ×
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {s} =s_{1}\mathbf {i} +s_{2}\mathbf {j} +s_{3}\mathbf {k} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} }
  
的三个标量元素为：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  s
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  s
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
              
            
            
              
                
                  s
                  
                    3
                  
                
              
              
                
                =
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\s_{2}&=u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\s_{3}&=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{aligned}}}
  

也可以记作列向量的形式：

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    s
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                    s
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      3
                    
                  
                  −
                  
                    u
                    
                      3
                    
                  
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                    u
                    
                      3
                    
                  
                  
                    v
                    
                      1
                    
                  
                  −
                  
                    u
                    
                      1
                    
                  
                  
                    v
                    
                      3
                    
                  
                  ,
                  
                    u
                    
                      1
                    
                  
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1},s_{2},s_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{pmatrix}}}
  


= 矩阵表示 =

外积可以表达为这样的行列式：

  
    
      
        
          u
          ×
          v
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    j
                  
                
                
                  
                    k
                  
                
              
              
                
                  
                    u
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    u
                    
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    v
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    v
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}
  

这个行列式可以使用萨吕法则或拉普拉斯展开计算。使用萨吕法则可以展开为：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  u
                  ×
                  v
                
              
              
                
                =
                (
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                
                  i
                
                +
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                
                  j
                
                +
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  k
                
                )
                −
                (
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  i
                
                +
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                
                  j
                
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                
                  k
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                )
                
                  i
                
                +
                (
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                )
                
                  j
                
                +
                (
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                )
                
                  k
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u\times v} &=(u_{2}v_{3}\mathbf {i} +u_{3}v_{1}\mathbf {j} +u_{1}v_{2}\mathbf {k} )-(u_{3}v_{2}\mathbf {i} +u_{1}v_{3}\mathbf {j} +u_{2}v_{1}\mathbf {k} )\\&=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} \end{aligned}}}
  

使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  u
                  ×
                  v
                
              
              
                
                =
                
                  
                    |
                    
                      
                        
                          
                            u
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          
                            u
                            
                              3
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            v
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          
                            v
                            
                              3
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                
                
                  i
                
                −
                
                  
                    |
                    
                      
                        
                          
                            u
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            u
                            
                              3
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            v
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            v
                            
                              3
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                
                
                  j
                
                +
                
                  
                    |
                    
                      
                        
                          
                            u
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            u
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            v
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            v
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                
                
                  k
                
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                )
                
                  i
                
                −
                (
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    3
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                )
                
                  j
                
                +
                (
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                )
                
                  k
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u\times v} &={\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} \\&=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} -(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} \end{aligned}}}
  

都可以直接得到结果向量。


性质 = 代数性质 =
對於任意三個向量
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
、
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
、
  
    
      
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {c} }
  
，

  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          a
        
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} }
  

  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          0
        
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {0} =\mathbf {0} }
  

  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        =
        −
        
          b
        
        ×
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} }
  
（反交换律）

  
    
      
        
          a
        
        ×
        (
        
          b
        
        +
        
          c
        
        )
        =
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        +
        
          a
        
        ×
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} }
  
（加法的左分配律）

  
    
      
        (
        
          a
        
        +
        
          b
        
        )
        ×
        
          c
        
        =
        
          a
        
        ×
        
          c
        
        +
        
          b
        
        ×
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} }
  
（加法的右分配律）

  
    
      
        (
        λ
        
          a
        
        )
        ×
        
          b
        
        =
        λ
        (
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        )
        =
        
          a
        
        ×
        (
        λ
        
          b
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )}
  

  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        +
        
          c
        
        ×
        
          d
        
        =
        (
        
          a
        
        −
        
          c
        
        )
        ×
        (
        
          b
        
        −
        
          d
        
        )
        +
        
          a
        
        ×
        
          d
        
        +
        
          c
        
        ×
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} }
  

  
    
      
        
          |
        
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          b
        
        ×
        
          a
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {b} \times \mathbf {a} |}
  

  
    
      
        
          |
        
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          |
        
        
          a
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          |
        
        
          b
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        −
        (
        
          a
        
        ⋅
        
          b
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                  
                  ⋅
                  
                    a
                  
                
                
                  
                    a
                  
                  ⋅
                  
                    b
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                  
                  ⋅
                  
                    b
                  
                
                
                  
                    b
                  
                  ⋅
                  
                    b
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{vmatrix}}}
  
（拉格朗日恆等式）
一般來說，向量外積不遵守約簡律，即
  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        =
        
          a
        
        ×
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} }
  
不表示
  
    
      
        
          b
        
        =
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {c} }
  
。此外，
  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} }
  
不表示
  
    
      
        
          a
        
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }
  
或
  
    
      
        
          b
        
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }
  
。
但對於两个非零向量
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
和
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
，

  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} }
  
當且僅當 
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
平行於
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  


= 几何意义 =

如果以向量
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
和
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
为边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的范数与这个平行四边形的正面积相等（如图1）：

  
    
      
        
          ‖
          
            
              a
            
            ×
            
              b
            
          
          ‖
        
        =
        
          ‖
          
            a
          
          ‖
        
        
          ‖
          
            b
          
          ‖
        
        sin
        ⁡
        θ
        .
      
    
    {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin \theta .}
  

同时，如果以向量
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
、
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
、
  
    
      
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {c} }
  
为棱构成一个平行六面体，那么这个平行六面体的体积
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {V} }
  
也可以通过外积和点积的组合得到，这种积称作标量三重积（如图2）：

  
    
      
        
          a
        
        ⋅
        (
        
          b
        
        ×
        
          c
        
        )
        =
        
          b
        
        ⋅
        (
        
          c
        
        ×
        
          a
        
        )
        =
        
          c
        
        ⋅
        (
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}
  

因为标量三重积可能为负，平行六面体的体积需要取其绝对值：

  
    
      
        V
        =
        
          |
        
        
          a
        
        ⋅
        (
        
          b
        
        ×
        
          c
        
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}
  

因为外积的模长与其参数夹角的正弦有关，可以认为外积是「垂直度」的度量，正如点积是「平行度」的度量一样。对于任意两个单位向量，外积为1意味着它们互相垂直，外积为0意味着它们互相平行。点积则相反：点积为0意味着它们互相垂直。
单位向量还能带来两个特性：两个单位向量的点积是它们夹角的余弦（可正可负）；它们外积的模长则为夹角的正弦（始终为正）。


= 向量微分 =
對於實數
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
和兩個向量值函數
  
    
      
        
          a
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} (t)}
  
、
  
    
      
        
          b
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} (t)}
  
，乘積法則成立：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        (
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        )
        =
        
          
            
              d
              
                a
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        ×
        
          b
        
        +
        
          a
        
        ×
        
          
            
              d
              
                b
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}}}
  


三維坐標 给定直角坐标系的单位向量
  
    
      
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} }
  
，
  
    
      
        
          j
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {j} }
  
，
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
  
满足下列等式：

  
    
      
        
          i
        
        ×
        
          j
        
        =
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} }
  
、
  
    
      
        
          j
        
        ×
        
          k
        
        =
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} }
  
、
  
    
      
        
          k
        
        ×
        
          i
        
        =
        
          j
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} }
  

通过这些规则，两个向量的外积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

  
    
      
        
          a
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          i
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          j
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }
  

  
    
      
        
          b
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          i
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
          j
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }
  

则

  
    
      
        
          
            
              
                
                  a
                
                ×
                
                  b
                
              
              
                
                =
                (
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                )
                
                  i
                
                +
                (
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                )
                
                  j
                
                +
                (
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                )
                
                  k
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    |
                    
                      
                        
                          
                            i
                          
                        
                        
                          
                            j
                          
                        
                        
                          
                            k
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            a
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            a
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          
                            a
                            
                              3
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            b
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            b
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          
                            b
                            
                              3
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}}
  

外积也可以用四元数来表示。注意到上述
  
    
      
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} }
  
、
  
    
      
        
          j
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {j} }
  
、
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
  
之间的外积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k，两个向量的外积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。


高维情形 七维向量的外积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。
七维外积具有与三维外积相似的性质：

双线性性：

  
    
      
        
          x
        
        ×
        (
        a
        
          y
        
        +
        b
        
          z
        
        )
        =
        a
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        +
        b
        
          x
        
        ×
        
          z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times (a\mathbf {y} +b\mathbf {z} )=a\mathbf {x} \times \mathbf {y} +b\mathbf {x} \times \mathbf {z} }
  

  
    
      
        (
        a
        
          y
        
        +
        b
        
          z
        
        )
        ×
        
          x
        
        =
        a
        
          y
        
        ×
        
          x
        
        +
        b
        
          z
        
        ×
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle (a\mathbf {y} +b\mathbf {z} )\times \mathbf {x} =a\mathbf {y} \times \mathbf {x} +b\mathbf {z} \times \mathbf {x} }
  

反交换律：

  
    
      
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        +
        
          y
        
        ×
        
          x
        
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} +\mathbf {y} \times \mathbf {x} =\mathbf {0} }
  

  
    
      
        
          x
        
        ×
        
          y
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} }
  
同时与
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
  
和
  
    
      
        
          y
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} }
  
垂直：

  
    
      
        
          x
        
        ⋅
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
        =
        
          y
        
        ⋅
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=\mathbf {0} }
  

拉格朗日恒等式：

  
    
      
        
          |
        
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          |
        
        
          x
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          |
        
        
          y
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        −
        (
        
          x
        
        ⋅
        
          y
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}}
  

不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：

  
    
      
        
          x
        
        ×
        (
        
          y
        
        ×
        
          z
        
        )
        
        +
        
          y
        
        ×
        (
        
          z
        
        ×
        
          x
        
        )
        
        +
        
          z
        
        ×
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\;+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\;+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\neq \mathbf {0} }
  


应用 另外，在物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中，外积应用十分广泛。例如力矩、角动量、洛伦兹力等矢量都可以由向量的外积求解。在进行这些物理量的计算时，往往可以借助右手定则辅助判断方向。


历史 1773年，约瑟夫·拉格朗日引入了点积和叉积的概念来研究三维空间中的四面体。1843年，威廉·哈密顿引入了四元数乘法，同时区分了“向（矢）量”和“标量”的概念。给定两个四元数[0,u]和[0,v]，其中u和v是
  
    
      
        
          R
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{3}}
  
空间中的向量，使得其乘积可以写成为
  
    
      
        [
        −
        
          u
        
        ⋅
        
          v
        
        ,
        
          u
        
        ×
        
          v
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [-\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ,\mathbf {u} \times \mathbf {v} ]}
  
的形式。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在四元数的基础建立了著名的麦克斯韦方程组。四元数因此（同时也因为其他方面的）应用，在很长一段时间内都是物理学教育的必备内容。
在1878年威廉·金顿·克利福德在发表的《Elements of Dynamic》中将两个向量的叉积的范数定义为以这两个向量为边的平行四边形的面积，且在在方向上垂直于它们所确定的平面。
四元数方法通常需要提取结果中的标量和矢量部分的信息，因此奥利弗·亥维赛和乔赛亚·威拉德·吉布斯都认为其过于冗长。于是在四元数乘法被引入约四十年后，他们在激烈的反对声中引入了点积和叉积以作为替代方案。新方法在效率上的便捷最终得到了一致认可，使得亥维赛可以将麦克斯韦方程组由最初的20个减为今天常见的4个。
在很大程度上独立于这种发展，而且当时基本上不受欢迎，赫尔曼·格拉斯曼发明了一种与二维和三维空间无关几何代数，外积在其中起着中心作用。在1853年，与格拉斯曼同时代的人奥古斯丁·路易·柯西发表了一篇关于代数键的文章。代数键可用于求解方程，且和叉积有着相同的乘法特性。克利福德将哈密顿和格拉斯曼的代数结合起来，创建了克利福德代数。在三维矢量的情况下，由两个矢量产生的双向量二重化为一个矢量，从而产生叉积。
交叉符号和“叉积”这个名字是从乔赛亚·威拉德·吉布斯开始的，它们最初出现在1881年给他的学生的私人出版笔记中，叫做《向量分析的元素》。吉布斯的符号以及“叉乘”这个名字后来通过他以前的学生埃德温·B·威尔逊编写的教科书《向量分析》(Vector Analysis)获得了广泛的读者。威尔逊从吉布斯的课件中重新组织了材料，以及Heaviside，Fopps和Hamilton出版的材料。他把向量分析分为下列三个部分：

第一，关于向量的加法和标量与向量的乘积。第二，关于微分和积分与标量函数和向量函数的关系。第三，包含了线性向量函数的理论。
定义了两个主要的向量乘法，称为：

两个向量的直接乘，标量乘或者点乘。
两个向量的斜乘，向量乘或叉乘。
还研究了几种三重积和三重以上向量的乘积。还包括上述的三重积扩展。


参见 純量积
三重積
右手定则
外代数：外乘的实质，赝矢量与赝标量


参考文献