超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。
此種代數舉例如下：

4維度：四元數、雙複數、分裂四元數
8維度：八元數、複四元數
16維度：十六元數


歷史 19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。
分類工作始於本傑明·皮爾士的1872年文章〈線性結合代數〉，並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士接續。重要的是，二人認定冪零元和冪等元皆對分類有用。凱萊－迪克森構造利用對合，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲和弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制：赫維茲定理斷言有限維的實複合代數僅得實數系
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
、複數系
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
、四元數系
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {H} }
  
、八元數系
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
，而弗羅貝尼烏斯定理斷言，實結合除代數僅得
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
、
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
、
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {H} }
  
。1958年，弗蘭克·亞當斯考慮H-空間（有具單位元的連續乘法的拓撲空間）的霍普夫不變量，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在1、2、4、8。
矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如
  
    
      
        2
        ×
        2
      
    
    {\displaystyle 2\times 2}
  
實矩陣組成的代數（同構於分裂四元數）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907年，約瑟夫·韋德伯恩證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積。此後，結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和雙曲四元數系，也算是另一類的超複數。
湯馬士·霍金斯（Thomas Hawkins）解釋，超複數是研究李群和群表示論的踏腳石。例如，1929年，埃米·諾特發表〈超複量與表示論〉。1973年，以賽亞·坎托爾和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版關於超複數的德文教科書，該書於1989年翻譯成英文。
凱倫·帕歇爾詳細介紹全盛期的超複數研究，包括數學家特奧多爾·莫林和愛德華·斯圖迪的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡，巴爾特·倫德特·范德瓦爾登在《代數史》有三十頁專論超複數。


定義 Kantor & Solodovnikov (1989)定義超複數為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位，但無需可結合或可交換。 該些元素可以寫成一組基
  
    
      
        {
        1
        ,
        
          i
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          i
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}
  
的線性組合，其中系數為實數
  
    
      
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}
  
，而基的大小
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
稱為該代數的維數。若可行，一般將基正規化，即選取
  
    
      
        
          i
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle i_{k}}
  
使
  
    
      
        
          i
          
            k
          
          
            2
          
        
        ∈
        {
        −
        1
        ,
        0
        ,
        +
        1
        }
      
    
    {\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}
  
。下節先考慮二維超複數（即
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
）。


二維實代數 關於二維實代數有以下定理：在同構意義下，實域上的二維單位代數恰有3個：複數系、雙曲複數系、二元數系。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。
下段簡述定理的證明。
因為給定的代數是二維，可選一組基
  
    
      
        {
        1
        ,
        u
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,u\}}
  
。因為代數對乘法封閉，
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
的平方仍是代數的元素，故可寫成線性組合：

  
    
      
        
          u
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        u
        ,
      
    
    {\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u,}
  

其中
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1}}
  
為實系數。
運用常見的配方法，兩邊減走
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        u
      
    
    {\displaystyle a_{1}u}
  
並加上
  
    
      
        
          a
          
            1
          
          
            2
          
        
        
          /
        
        4
      
    
    {\displaystyle a_{1}^{2}/4}
  
，得：

  
    
      
        
          u
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            1
          
        
        u
        +
        
          
            
              a
              
                1
              
              
                2
              
            
            4
          
        
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          
            
              a
              
                1
              
              
                2
              
            
            4
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}
  

所以
  
    
      
        
          
            (
            
              u
              −
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                u
                ~
              
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}
  
，其中
  
    
      
        
          
            
              
                u
                ~
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          
            
              a
              
                1
              
              
                2
              
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}
  
是實數。
取決於此實數值，分別有三種情況：

若
  
    
      
        4
        
          a
          
            0
          
        
        =
        −
        
          a
          
            1
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 4a_{0}=-a_{1}^{2}}
  
，則上式變成
  
    
      
        
          
            
              
                u
                ~
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=0}
  
。於是，
  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}}
  
可視為二元數的基
  
    
      
        {
        1
        ,
        ε
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,\varepsilon \}}
  
中的冪零元
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
。
若
  
    
      
        4
        
          a
          
            0
          
        
        >
        −
        
          a
          
            1
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 4a_{0}>-a_{1}^{2}}
  
，則有
  
    
      
        
          
            
              
                u
                ~
              
            
          
          
            2
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}>0}
  
。雙曲複數的標準基
  
    
      
        {
        1
        ,
        j
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,j\}}
  
滿足
  
    
      
        
          j
          
            2
          
        
        =
        +
        1
      
    
    {\displaystyle j^{2}=+1}
  
，故若除
  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}}
  
以正實數
  
    
      
        a
        :=
        
          
            
              a
              
                0
              
            
            +
            
              
                
                  a
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                4
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}}
  
（其平方與
  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}}
  
平方相等），得到的結果即可視為
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
。
若
  
    
      
        4
        
          a
          
            0
          
        
        <
        −
        
          a
          
            1
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 4a_{0}<-a_{1}^{2}}
  
，則有
  
    
      
        
          
            
              
                u
                ~
              
            
          
          
            2
          
        
        <
        0
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}<0}
  
。平常複數的標準基
  
    
      
        {
        1
        ,
        i
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,i\}}
  
滿足
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1}
  
，故若除
  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}}
  
以正實數
  
    
      
        a
        :=
        
          
            
              
                
                  a
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                4
              
            
            −
            
              a
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}}
  
（其平方與
  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}}
  
平方互為相反數），得到的結果即可視為
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
。
從而定理成立。
複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域。若代數具有1的非實平方根
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
（如雙曲複數），則也有冪等元
  
    
      
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        1
        ±
        j
        )
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)}
  
和零因子（因為
  
    
      
        (
        1
        +
        j
        )
        (
        1
        −
        j
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (1+j)(1-j)=0}
  
），故此種代數必不為除代數。然而，此種性質有時很有用，例如雙曲複數適用於描述狹義相對論的勞侖茲變換。
《數學雜誌》在2004年的某版中，稱二維實代數為「廣義複數」（generalized complex numbers）。四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。


高維例子（有多於一條非實軸） = 克里福代數 =

克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積
  
    
      
        u
        ⋅
        v
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        u
        v
        +
        v
        u
        )
      
    
    {\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}
  
，正交化該二次型，以得到基
  
    
      
        {
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          e
          
            k
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}
  
，滿足：

  
    
      
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        
          e
          
            i
          
        
        
          e
          
            j
          
        
        +
        
          e
          
            j
          
        
        
          e
          
            i
          
        
        )
        =
        
          {
          
            
              
                
                  −
                  1
                  ,
                  0
                  ,
                  +
                  1
                  ,
                
                
                  i
                  =
                  j
                  ,
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  i
                  =
                  j
                  .
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.}
  

由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到
  
    
      
        
          2
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{k}}
  
個克里福數，即
  
    
      
        1
        ,
         
        
          e
          
            1
          
        
        ,
         
        
          e
          
            2
          
        
        ,
         
        
          e
          
            3
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          e
          
            1
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          e
          
            1
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        
          e
          
            3
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          e
          
            1
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        ⋯
        
          e
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle 1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}}
  
，皆為克里福代數的元素，且組成該代數的基（不同於原向量空間的基），可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基
  
    
      
        {
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          e
          
            k
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}
  
不同，該代數的其他基元素不一定反交換，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即
  
    
      
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{i}}
  
）有奇數對抑或偶數對。所以，
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        =
        −
        
          e
          
            2
          
        
        
          e
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}
  
，但
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        (
        
          e
          
            2
          
        
        
          e
          
            3
          
        
        )
        =
        +
        (
        
          e
          
            2
          
        
        
          e
          
            3
          
        
        )
        
          e
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}
  
。
若不允許
  
    
      
        
          e
          
            i
          
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle e_{i}^{2}=0}
  
（即二次型非退化），則餘下的克里福代數可記為
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            p
            ,
            q
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}
  
，表示其為
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
個滿足
  
    
      
        
          e
          
            i
          
          
            2
          
        
        =
        +
        1
      
    
    {\displaystyle e_{i}^{2}=+1}
  
的簡單基元和
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
個滿足
  
    
      
        
          e
          
            i
          
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle e_{i}^{2}=-1}
  
的簡單基元生成的代數，而括號內的
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
指明此為實域上的克里福代數，即元素的系數為實數。
該些代數稱為幾何代數，組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋，因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。
此族代數包括：複數系
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            0
            ,
            1
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )}
  
、雙曲複數系
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            1
            ,
            0
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )}
  
，四元數系
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            0
            ,
            2
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )}
  
、分裂複四元數系
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            0
            ,
            3
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}
  
、分裂四元數系
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            1
            ,
            1
          
        
        (
        
          R
        
        )
        ≅
        
          
            C
            l
          
          
            2
            ,
            0
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )}
  
（二維空間生成的自然代數）、
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            3
            ,
            0
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )}
  
（三維空間生成的自然代數，也是包立矩陣生成的代數）、時空代數
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            1
            ,
            3
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}
  
。
代數
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            p
            ,
            q
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}
  
可以視為代數
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            q
            +
            1
            ,
            p
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}
  
的偶子代數
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            q
            +
            1
            ,
            p
          
          
            [
            0
            ]
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}
  
，從而可用作描述
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            q
            +
            1
            ,
            p
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}
  
中的旋轉。因此，複數密切關係二維空間的旋轉，四元數密切關係三維空間的旋轉，雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉（洛侖茲變換），餘可類推。
雖然八維或以上時，凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。
1995年，伊恩·波蒂厄斯有關克里福代數的書中，論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況：

設
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
為實結合代數，且具有單位元
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
。則

  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
生成
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
（實子代數），
若
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle e_{0}\in A}
  
是任何滿足
  
    
      
        
          e
          
            0
          
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle e_{0}^{2}=-1}
  
的元素，則其生成的二維子代數與
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
同構（複子代數），
若
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle e_{0}\in A}
  
是任何滿足
  
    
      
        
          e
          
            0
          
          
            2
          
        
        =
        +
        1
      
    
    {\displaystyle e_{0}^{2}=+1}
  
的元素，則其生成的二維子代數與
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
同構（此處
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
是實二元組的集合，其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構），
若
  
    
      
        
          e
          
            0
          
          
            2
          
        
        =
        
          e
          
            1
          
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}
  
，且
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        ,
        
          e
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0},e_{1}}
  
反交換，則
  
    
      
        {
        
          e
          
            0
          
        
        ,
        
          e
          
            1
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}
  
生成的四維子代數同構於
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {H} }
  
（四元數代數），
若
  
    
      
        
          e
          
            0
          
          
            2
          
        
        =
        
          e
          
            1
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}
  
，且
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        ,
        
          e
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0},e_{1}}
  
反交換，則
  
    
      
        {
        
          e
          
            0
          
        
        ,
        
          e
          
            1
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}
  
生成的四維子代數同構於
  
    
      
        
          
            
              M
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )}
  
（元素為
  
    
      
        2
        ×
        2
      
    
    {\displaystyle 2\times 2}
  
實矩陣，或分裂四元數），
若
  
    
      
        
          e
          
            0
          
          
            2
          
        
        =
        
          e
          
            1
          
          
            2
          
        
        =
        
          e
          
            2
          
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}
  
，且
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        ,
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}
  
兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於
  
    
      
         
        
          

          
          
            2
          
        
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \ {}^{2}\mathbb {H} }
  
（分裂複四元數代數），
若
  
    
      
        
          e
          
            0
          
          
            2
          
        
        =
        
          e
          
            1
          
          
            2
          
        
        =
        
          e
          
            2
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}
  
，且
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        ,
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}
  
兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於
  
    
      
        
          
            
              M
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}
  
（元素為
  
    
      
        2
        ×
        2
      
    
    {\displaystyle 2\times 2}
  
複矩陣，亦可視為複四元數或包立代數）。
超出該些古典代數的延伸，見克里福代數的分類。


= 凱萊－迪克森構造 =

撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數
  
    
      
        
          
            C
            l
          
          
            p
            ,
            q
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}
  
皆含有平方為
  
    
      
        +
        1
      
    
    {\displaystyle +1}
  
的非實數，故不能為除代數。凱萊－迪克森構造是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為
  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
         
        (
        n
        =
        2
        ,
         
        3
        ,
         
        4
        ,
        …
        )
      
    
    {\displaystyle 2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )}
  
的數系，該些數系的基
  
    
      
        {
        1
        ,
        
          i
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          i
          
            
              2
              
                n
              
            
            −
            1
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}}
  
滿足：所有非實的基元兩兩反交換，且
  
    
      
        
          i
          
            m
          
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i_{m}^{2}=-1}
  
。在8維或以上時（即
  
    
      
        n
        ≥
        3
      
    
    {\displaystyle n\geq 3}
  
），該些代數不可結合，而在16維或以上時（即
  
    
      
        n
        ≥
        4
      
    
    {\displaystyle n\geq 4}
  
），該些代數有零因子。
此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換，八元數乘法不可結合，而十六元數的範數不具積性。
凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到複合代數中的「分裂代數」，而非除代數：

分裂複數系：有基
  
    
      
        {
        1
        ,
        
          i
          
            1
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,i_{1}\}}
  
，滿足
  
    
      
         
        
          i
          
            1
          
          
            2
          
        
        =
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}
  
，
分裂四元數系：有基
  
    
      
        {
        1
        ,
        
          i
          
            1
          
        
        ,
        
          i
          
            2
          
        
        ,
        
          i
          
            3
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}}
  
，滿足
  
    
      
         
        
          i
          
            1
          
          
            2
          
        
        =
        −
        1
        ,
        
          i
          
            2
          
          
            2
          
        
        =
        
          i
          
            3
          
          
            2
          
        
        =
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}
  
，
分裂八元數系：有基
  
    
      
        {
        1
        ,
        
          i
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          i
          
            7
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}}
  
，滿足
  
    
      
         
        
          i
          
            1
          
          
            2
          
        
        =
        
          i
          
            2
          
          
            2
          
        
        =
        
          i
          
            3
          
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}
  
，
  
    
      
         
        
          i
          
            4
          
          
            2
          
        
        =
        
          i
          
            5
          
          
            2
          
        
        =
        
          i
          
            6
          
          
            2
          
        
        =
        
          i
          
            7
          
          
            2
          
        
        =
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}
  
。
與複數系不同，分裂複數系並非代數閉，甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元。


= 張量積 =
兩個代數的張量積仍為代數，如此可構造更多超複數系。
作為例子，取2維實代數
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
（複數系）、4維實代數
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {H} }
  
（四元數系）、8維實代數
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
（八元數系），分別與
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
作張量積，依次得4維的雙複數系
  
    
      
        
          C
        
        
          ⊗
          
            
              R
            
          
        
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
  
、8維的複四元數系
  
    
      
        
          C
        
        
          ⊗
          
            
              R
            
          
        
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }
  
、16維的複八元數系
  
    
      
        
          C
        
        
          ⊗
          
            
              R
            
          
        
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }
  
。


= 其他例子 =
多重複數：其組成複域上的
  
    
      
        
          2
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{n-1}}
  
維向量空間。
複合代數：賦有二次型的代數，其中二次型與乘法可互換次序。


參見 十六元數
托馬斯·柯克曼
格奧爾格·舍費爾
理查德·布饒爾
超複分析


注 參考資料