数学中，体积形式提供了函数在不同坐标系（比如球坐标和圆柱坐标）下对体积积分的一种工具。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。
在一个定向n-维流形上，体积元典型地由体积形式生成，所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（细节见下）。
有一个推广的伪体积形式概念，对无论可否定向的流形都存在。
许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形，一个带有全纯体积形式的凯勒流形是卡拉比-丘流形。


定义 流形M上一个体积形式是处处非0的最高阶（n-维流形上的n-形式）微分形式。
用线丛的语言来说，称最高阶外积
  
    
      
        
          Ω
          
            n
          
        
        (
        M
        )
        =
        
          Λ
          
            n
          
        
        (
        
          T
          
            ∗
          
        
        M
        )
      
    
    {\displaystyle \Omega ^{n}(M)=\Lambda ^{n}(T^{*}M)}
  
为行列式线丛，n-形式是它的截面。
对不可定向流形，一个体积“伪”形式，也称为“奇”或“扭曲”的体积形式，可以定义为定向丛的一个处处非0截面；这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下，（非扭曲的）微分形式就是“偶” n-形式。除非特别地讨论扭曲形式时，我们总是略去形容词“偶”。
第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。


定向 一个流形具有体积形式当且仅当它可定向，这也可以作为可定向的一个定义。
在G-结构的语言中，一个体积形式是一个SL-结构。因为
  
    
      
        
          
            SL
          
        
        →
        
          
            
              GL
            
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{SL}}\to {\mbox{GL}}^{+}}
  
是形变收缩（因为
  
    
      
        
          
            
              GL
            
          
          
            +
          
        
        =
        
          
            SL
          
        
        ×
        
          
            R
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{GL}}^{+}={\mbox{SL}}\times \mathbf {R} ^{+}}
  
，这里正实数视为纯量矩阵），一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个
  
    
      
        
          
            
              GL
            
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{GL}}^{+}}
  
-结构，即是一个定向。
在线丛的语言中，行列式丛
  
    
      
        
          Ω
          
            n
          
        
        (
        M
        )
      
    
    {\displaystyle \Omega ^{n}(M)}
  
的平凡性等价于可定向性，而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面，这样又得到，体积形式的存在性等价于可定向性。
对于伪体积形式，一个伪体积形式是一个
  
    
      
        
          
            
              SL
            
          
          
            ±
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{SL}}^{\pm }}
  
-结构，因为
  
    
      
        
          
            
              SL
            
          
          
            ±
          
        
        →
        
          
            GL
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{SL}}^{\pm }\to {\mbox{GL}}}
  
 同伦等价（事实上是形变收缩），任何流形都有伪体积形式。类似地，定向丛总是平凡的，所以任何流形都有一个伪体积形式。


和测度的关系 任何流形有一个伪体积形式，因为定向丛（作为线丛）是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω，密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。
任何伪体积形式ω（从而任何体积形式亦然）定义了一个波莱尔集合上一个测度：

  
    
      
        
          μ
          
            ω
          
        
        (
        U
        )
        =
        
          ∫
          
            U
          
        
        ω
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .\,\!}
  

注意区别，在于任何一个测度可以在（Borel）子集上积分，而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中，写成
  
    
      
        
          ∫
          
            b
          
          
            a
          
        
        f
        
        d
        x
        =
        −
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}
  
，将
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
视为体积形式而不是测度，
  
    
      
        
          ∫
          
            b
          
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{b}^{a}}
  
表明“在
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上沿着定向相反的反向积分”，有时记成
  
    
      
        
          
            
              [
              a
              ,
              b
              ]
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {[a,b]}}}
  
。
进一步，一般的测度不必连续或光滑，他们不必由体积形式定义；或更形式地说，关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。


例子 = 李群 =
任何李群，可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说，如果ωe  是
  
    
      
        
          ⋀
          
            n
          
        
        
          T
          
            e
          
          
            ∗
          
        
        G
      
    
    {\displaystyle \bigwedge ^{n}T_{e}^{*}G}
  
中一个元素，那么一个左不变形式可以定义为
  
    
      
        
          ω
          
            g
          
        
        =
        
          L
          
            g
          
          
            ∗
          
        
        
          ω
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{g}=L_{g}^{*}\omega _{e}}
  
，这里Lg为左平移。作为一个推论，任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的，相应的测度称为哈尔测度。


= 辛流形 =
任何辛流形（或更确切地为殆辛流形）有一个自然的体积形式。如果M是一个带有辛形式ω的2n-维流形，那么由辛形式非退化可知ωn处处非零。作为一个推论，任何辛流形是可定向的（事实上，已经定向）。


= 黎曼体积形式 =
任何黎曼流形（或伪黎曼流形）有一个自然的体积（或伪体积）形式。在局部坐标系下，能写成表达式：

  
    
      
        ω
        =
        
          
            
              |
            
            g
            
              |
            
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        d
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}
  

这里流形为n-维，
  
    
      
        
          |
        
        g
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |g|}
  
是流形上度量张量行列式的绝对值，
  
    
      
        d
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle dx^{i}}
  
为组成流形余切丛一组基的1形式。
这个体积形式有许多不同的记号，包括：

  
    
      
        ω
        =
        
          
            v
            o
            l
          
          
            n
          
        
        =
        ϵ
        =
        ∗
        (
        1
        )
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\epsilon =*(1).\,\!}
  

这里∗是霍奇对偶，从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。
尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式，但是这个记法很难通用，符号ω在微分几何中经常有其它意思（比如辛形式），所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。
一个流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。


= 曲面的体积形式 =
体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入n-维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集
  
    
      
        U
        ⊂
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle U\subset \mathbf {R} ^{2}}
  
，以及映射函数

  
    
      
        ϕ
        :
        U
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi :U\to \mathbf {R} ^{n}}
  

定义了嵌入到
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
  
中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为

  
    
      
        
          λ
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                u
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{j}}}}
  

指标i从1跑到n，j从1跑到2。n-维空间的欧几里得度量诱导了集合U上的一个度量，度量矩阵分量为：

  
    
      
        
          g
          
            i
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          λ
          
            k
            i
          
        
        
          λ
          
            k
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  k
                
              
            
            
              ∂
              
                u
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  k
                
              
            
            
              ∂
              
                u
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{j}}}}
  

度量的行列式由

  
    
      
        det
        g
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    ∂
                    ϕ
                  
                  
                    ∂
                    
                      u
                      
                        1
                      
                    
                  
                
              
              ∧
              
                
                  
                    ∂
                    ϕ
                  
                  
                    ∂
                    
                      u
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        =
        det
        (
        
          λ
          
            T
          
        
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \phi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \phi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )}
  

给出，这里
  
    
      
        ∧
      
    
    {\displaystyle \wedge }
  
是楔积。对一个正则曲面，这个行列式不为0；等价地，雅可比矩阵的秩为2。
现在考虑U的一个坐标变换，由微分同胚

  
    
      
        f
        :
        U
        →
        U
        ,
        
        
      
    
    {\displaystyle f\colon U\to U,\,\!}
  

给出。从而坐标
  
    
      
        (
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          u
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (u_{1},u_{2})}
  
用
  
    
      
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (v_{1},v_{2})}
  
形式表示是
  
    
      
        (
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          u
          
            2
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}
  
。坐标变换的雅可比矩阵为：

  
    
      
        
          F
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                f
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                v
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}}
  

在新坐标系下，我们有：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                v
                
                  j
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            2
          
        
        
          
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                u
                
                  k
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                f
                
                  k
                
              
            
            
              ∂
              
                v
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}
  

从而度量变换为：

  
    
      
        
          
            
              g
              ~
            
          
        
        =
        
          F
          
            T
          
        
        g
        F
      
    
    {\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}
  

这里  
  
    
      
        
          
            
              g
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {g}}}
  
是在v坐标系下的度量。行列式：

  
    
      
        det
        
          
            
              g
              ~
            
          
        
        =
        det
        g
        (
        det
        F
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g(\det F)^{2}}
  
.
给出以上构造后，现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维，体积就是面积。子集
  
    
      
        B
        ⊂
        U
      
    
    {\displaystyle B\subset U}
  
的面积由积分：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    Area
                  
                
                (
                B
                )
              
              
                
                =
                
                  ∬
                  
                    B
                  
                
                
                  
                    det
                    g
                  
                
                
                d
                
                  u
                  
                    1
                  
                
                d
                
                  u
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∬
                  
                    B
                  
                
                
                  
                    det
                    g
                  
                
                
                det
                F
                
                d
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                d
                
                  v
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∬
                  
                    B
                  
                
                
                  
                    det
                    
                      
                        
                          g
                          ~
                        
                      
                    
                  
                
                
                d
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                d
                
                  v
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\det F\;dv_{1}dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}dv_{2}\end{aligned}}}
  

给出。从而，在任一坐标系下，体积都有相同的表达式，即这个表达式在坐标变换下是不变的。
注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性，以上结论可以平凡地推广到任意维数。


体积形式不变性 体积形式不是惟一的，它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym定理的一个几何形式。
给定M上一个处处函数f，和一个体积形式
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
，
  
    
      
        f
        ω
      
    
    {\displaystyle f\omega }
  
也是M上的体积形式。相反地，给定任何两个体积形式
  
    
      
        ω
        ,
        
          ω
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \omega ,\omega '}
  
，他们的比是一个处处非0函数（如果定向相同为正，定向相反为负）。
在坐标系中，他们都不过是一个处处非0函数乘以勒贝格测度，他们的比就是函数的比，这和坐标系的选取无关。本质上，这是
  
    
      
        
          ω
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \omega '}
  
关于
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
的Radon–Nikodym导数。


= 无局部结构 =
一个体积形式没有局部结构：任何两个体积形式（在相同维数的流形上）是局部同构的。
正式地说，这个结论意味着给定任何两个同维数的流形
  
    
      
        M
        ,
        N
      
    
    {\displaystyle M,N}
  
，分别具有体积形式
  
    
      
        
          ω
          
            M
          
        
        ,
        
          ω
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{M},\omega _{N}}
  
，对任何点
  
    
      
        m
        ∈
        M
        ,
        n
        ∈
        N
      
    
    {\displaystyle m\in M,n\in N}
  
，存在一个映射
  
    
      
        f
        :
        U
        →
        V
      
    
    {\displaystyle f\colon U\to V}
  
（这里
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
是
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
的一个邻域而
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
是
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的一个邻域），使得N（限制在邻域
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
上）上的体积形式拉回到
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
（限制在邻域
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
）上的体积形式：
  
    
      
        
          f
          
            ∗
          
        
        
          ω
          
            N
          
        
        
          |
          
            V
          
        
        =
        
          ω
          
            M
          
        
        
          |
          
            U
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}}
  
。给定维数的可微流形是局部微分同胚的；增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。
在1维情形，可以这样证明：给定
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
上一个体积形式
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
，定义

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        :=
        
          ∫
          
            0
          
          
            x
          
        
        ω
      
    
    {\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega }
  

那么标准勒贝格测度
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
通过f: 
  
    
      
        ω
        =
        
          f
          
            ∗
          
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \omega =f^{*}dx}
  
拉回到
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
，实际上，
  
    
      
        ω
        =
        f
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \omega =f\,dx}
  
。
高维数时，给定任何一点
  
    
      
        m
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle m\in M}
  
，存在一个邻域局部同胚于
  
    
      
        
          R
        
        ×
        
          
            R
          
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n-1}}
  
，我们可以进行相同的步骤。


= 整体机构：体积 =
连通流形M上一个体积形式有一个惟一的整体不变量，即总体积（记作
  
    
      
        μ
        (
        M
        )
      
    
    {\displaystyle \mu (M)}
  
），在保持体积形式的映射下不变；总体积可能是无穷，比如
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
  
上的勒贝格测度。对于一个不连通流形，任何连通分支的体积是不变量。
用符号表示，如果
  
    
      
        f
        :
        M
        →
        N
      
    
    {\displaystyle f\colon M\to N}
  
是流形的同胚，将
  
    
      
        
          ω
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{N}}
  
拉回到
  
    
      
        
          ω
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{M}}
  
，那么

  
    
      
        μ
        (
        N
        )
        =
        
          ∫
          
            N
          
        
        
          ω
          
            N
          
        
        =
        
          ∫
          
            f
            (
            M
            )
          
        
        
          ω
          
            N
          
        
        =
        
          ∫
          
            M
          
        
        
          f
          
            ∗
          
        
        
          ω
          
            N
          
        
        =
        
          ∫
          
            M
          
        
        
          ω
          
            M
          
        
        =
        μ
        (
        M
        )
      
    
    {\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)}
  

从而流形具有相同的体积。
体积形式也能在覆盖映射下拉回，在此情况下将体积乘以纤维的基数（形式地说，在纤维上积分）。在无穷重覆盖（比如
  
    
      
        
          R
        
        →
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} \to S^{1}}
  
），有限体积流形上的体积形式拉回到一个无穷体积流形上的体积形式。
反过来，于尔根·莫泽的一个定理指出，对于连通紧流形上两个体积相等的体积形式
  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{1}}
  
和
  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{2}}
  
，存在一个流形的微分自同胚将
  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{1}}
  
拉回到
  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{2}}
  
，事实上存在由的流形成同痕。


另见 庞加莱度量给出了复平面上一个新的体积形式；
测度。


参考文献 Michael Spivak, Calculus on Manifolds, (1965) W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts  ISBN 0-8053-9021-9（提供了一个微分几何的现代理念的初等介绍，只需要一般的微积分背景。）