在幾何學中，五角六十面體是一種卡塔蘭立體，為由60個不等邊五邊形組成的六十面體，並且是阿基米德立體扭棱十二面體的對偶多面體。這種立體是一個等面圖形，也就是說它每個面都全等，但組成面不是正多邊形。五角六十面體有兩種不同的形式，它們互為鏡像（或“對映體”），是為手性鏡像，兩種手性鏡像的面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。五角六十面體是頂點數最多的卡塔蘭立體。在卡塔蘭立體和阿基米德立體中，五角六十面體的頂點數為第二多，僅次於具有120個頂點的大斜方截半二十面体。


性質 五角六十面體是一個手性多面體，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。這兩種形式互為鏡像（或“對映體”），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。在其92個頂點中，有80個頂點是三階頂點，即3個五邊形的公共頂點和12個頂點是五階頂點，即5個五邊形的公共頂點。


= 構造 =
五角六十面體是扭棱十二面体的對偶多面體。事實上，五角六十面體可以不經由對偶變換而從扭棱十二面体構造。首先在扭棱十二面体的所有12個五邊形面上加入五角錐，再將扭棱十二面体的所有不與五邊形面相鄰的20個三角形面上加入三角錐，並調整加入之錐體的錐高，使加入的錐體之側面與其餘60個三角形面共面則形成五角六十面體，然而這種方式構造的五角六十面體會稍微有點形變。


= 二面角 =
五角六十面體只有一種二面角，約為153.18度：

  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          
            (
            
              −
              
                
                  
                    2
                    
                      (
                      
                        x
                        +
                        
                          
                            2
                            x
                          
                        
                      
                      )
                    
                    
                      (
                      
                        1
                        +
                        15
                        φ
                      
                      )
                    
                    +
                    
                      (
                      
                        15
                        +
                        16
                        φ
                      
                      )
                    
                  
                  209
                
              
            
            )
          
        
        ≈
      
    
    {\displaystyle \arccos {\left(-{\frac {2\left(x+{\frac {2}{x}}\right)\left(1+15\varphi \right)+\left(15+16\varphi \right)}{209}}\right)}\approx }
  
2.67347322717678
  
    
      
        ≈
      
    
    {\displaystyle \approx }
  
153.178732558°
其中
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
為黃金比例、
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
為
  
    
      
        
          
            
              
                
                  φ
                  +
                  
                    
                      φ
                      −
                      
                        
                          
                            5
                            27
                          
                        
                      
                    
                  
                
                2
              
            
            
              3
            
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  φ
                  −
                  
                    
                      φ
                      −
                      
                        
                          
                            5
                            27
                          
                        
                      
                    
                  
                
                2
              
            
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}
  


= 面的組成 =
五角六十面體60個全等的五邊形面組成，每個五邊形都具有3條短邊和2條長邊，若令
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
為
  
    
      
        
          
            
              
                
                  φ
                  +
                  
                    
                      φ
                      −
                      
                        
                          
                            5
                            27
                          
                        
                      
                    
                  
                
                2
              
            
            
              3
            
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  φ
                  −
                  
                    
                      φ
                      −
                      
                        
                          
                            5
                            27
                          
                        
                      
                    
                  
                
                2
              
            
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}
  
，則短邊與長邊的比為：

  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
        :
        
          
            
              x
              
                (
                
                  2
                  +
                  7
                  φ
                
                )
              
              +
              
                (
                
                  5
                  φ
                  −
                  3
                
                )
              
              +
              
                
                  
                    2
                    
                      (
                      
                        8
                        −
                        3
                        φ
                      
                      )
                    
                  
                  x
                
              
            
            31
          
        
        ≈
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}:{\frac {x\left(2+7\varphi \right)+\left(5\varphi -3\right)+{\frac {2\left(8-3\varphi \right)}{x}}}{31}}\approx }
  
0.582899534744982414 : 1.019988247022845898
其中
  
    
      
        φ
        =
        
          
            
              
                1
                +
                
                  
                    5
                  
                
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
  
為黃金比例。

若令
  
    
      
        ξ
        ≈
        0.943
        
        151
        
        259
        
        24
      
    
    {\displaystyle \xi \approx 0.943\,151\,259\,24}
  
為多項式
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        2
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          φ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}}
  
的根，則長邊與短邊的比值
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
為：

  
    
      
        l
        =
        
          
            
              1
              +
              ξ
            
            
              2
              −
              
                ξ
                
                  2
                
              
            
          
        
        ≈
        1.749
        
        852
        
        566
        
        74
      
    
    {\displaystyle l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\approx 1.749\,852\,566\,74}
  
.
也就是說，若短邊為單位長，則長邊的長度約為1.74985單位長。
組成五角六十面體的五邊形有4個相等的鈍角和一個銳角（兩個長邊的夾角）。其中鈍角的角度為
  
    
      
        arccos
        ⁡
        (
        −
        ξ
        
          /
        
        2
        )
        ≈
        118.136
        
        622
        
        758
        
        
          62
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }}
  
，約118度8分，而反餘弦內的值是多項式
  
    
      
        64
        
          x
          
            6
          
        
        −
        128
        
          x
          
            5
          
        
        +
        64
        
          x
          
            4
          
        
        +
        24
        
          x
          
            3
          
        
        −
        24
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 64x^{6}-128x^{5}+64x^{4}+24x^{3}-24x^{2}+1}
  
的第一個實根；銳角的角度為
  
    
      
        arccos
        ⁡
        (
        −
        
          φ
          
            2
          
        
        ξ
        
          /
        
        2
        +
        φ
        )
        ≈
        67.453
        
        508
        
        965
        
        
          51
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos(-\varphi ^{2}\xi /2+\varphi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }}
  
，約67度28分，而反餘弦內的值是多項式
  
    
      
        64
        
          x
          
            6
          
        
        −
        384
        
          x
          
            5
          
        
        +
        384
        
          x
          
            4
          
        
        +
        888
        
          x
          
            3
          
        
        +
        168
        
          x
          
            2
          
        
        −
        128
        x
        −
        31
      
    
    {\displaystyle 64x^{6}-384x^{5}+384x^{4}+888x^{3}+168x^{2}-128x-31}
  
的第4個根。


= 幾何 =
扭棱十二面體的面心不能直接作為五角六十面體的頂點，因為4個三角形的面心位於同一個平面上，但五邊形的面心則否，它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此，五角六十面體的頂點並不都位於同一個球面上，因此根據定義，五角六十面體不是一個環帶多面體。
若其對偶多面體的邊長為單位長，則對應的五角六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為：

  
    
      
        
          
            
              3
              
                (
                
                  x
                  φ
                  +
                  1
                  +
                  φ
                  +
                  
                    
                      1
                      x
                    
                  
                
                )
              
            
            2
          
        
        ≈
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sqrt {3\left(x\varphi +1+\varphi +{\frac {1}{x}}\right)}}{2}}\approx }
  
2.1172098986
十二個五階頂點所在的球面之半徑為：

  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              
                (
                
                  1009
                  +
                  1067
                  φ
                
                )
              
              +
              x
              
                (
                
                  1168
                  +
                  2259
                  φ
                
                )
              
              +
              
                (
                
                  1097
                  +
                  941
                  φ
                
                )
              
            
            62
          
        
        ≈
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sqrt {x^{2}\left(1009+1067\varphi \right)+x\left(1168+2259\varphi \right)+\left(1097+941\varphi \right)}}{62}}\approx }
  
2.220000699


= 體積與表面積 =
若要計算五角六十面體的體積和表面積，則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，並令常數
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
為：

  
    
      
        t
        =
        
          
            
              
                
                  
                    44
                    +
                    12
                    φ
                    (
                    9
                    +
                    
                      
                        81
                        φ
                        −
                        15
                      
                    
                    )
                  
                  
                    3
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    44
                    +
                    12
                    φ
                    (
                    9
                    −
                    
                      
                        81
                        φ
                        −
                        15
                      
                    
                    )
                  
                  
                    3
                  
                
              
              −
              4
            
            12
          
        
        ≈
        0.471
        
        575
        
        629
        
        622
      
    
    {\displaystyle t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.471\,575\,629\,622}
  
 .
則短邊長為
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
的五角六十面體表面積（A）為：

  
    
      
        A
        =
        
          
            
              30
              
                b
                
                  2
                
              
              ⋅
              (
              2
              +
              3
              t
              )
              ⋅
              
                
                  1
                  −
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        ≈
        162.698
        
        964
        
        198
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {30b^{2}\cdot (2+3t)\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}}{1-2t^{2}}}\approx 162.698\,964\,198b^{2}}
  
.
體積（V）為：

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              5
              
                b
                
                  3
                
              
              (
              1
              +
              t
              )
              (
              2
              +
              3
              t
              )
            
            
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              )
              ⋅
              
                
                  1
                  −
                  2
                  t
                
              
            
          
        
        ≈
        189.789
        
        852
        
        067
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2})\cdot {\sqrt {1-2t}}}}\approx 189.789\,852\,067b^{3}}
  
.
使用以上這些數值，可以計算此形狀的球形度量值：

  
    
      
        Ψ
        =
        
          
            
              
                π
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
              (
              6
              V
              
                )
                
                  
                    2
                    3
                  
                
              
            
            A
          
        
        ≈
        0.98163
      
    
    {\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V)^{\frac {2}{3}}}{A}}\approx 0.98163}
  


用途 由於五角六十面體是一個等面多面體，因此可以製成骰子。


參見 卡塔蘭立體
對偶多面體


參考文獻 Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron)


外部連結 埃里克·韦斯坦因, 五角六十面體 （參閱卡塔蘭立體） 於MathWorld（英文）