在几何学中，开世定理是欧几里得几何学中的一个定理，可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。


叙述 开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为
  
    
      
        
        R
      
    
    {\displaystyle \,R}
  
 的一个圆
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
  
，圆内又有四个圆
  
    
      
        
        
          O
          
            1
          
        
        ,
        
          O
          
            2
          
        
        ,
        
          O
          
            3
          
        
        ,
        
          O
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}
  
 内切于圆
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
  
（如右图）。如果将圆
  
    
      
        
        
          O
          
            i
          
        
        ,
        
          O
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \,O_{i},O_{j}}
  
 的外公切线的长度设为
  
    
      
        
        
          t
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \,t_{ij}}
  
，那么开世定理声称，有下列等式成立。

  
    
      
        
        
          t
          
            12
          
        
        ⋅
        
          t
          
            34
          
        
        +
        
          t
          
            14
          
        
        ⋅
        
          t
          
            23
          
        
        =
        
          t
          
            13
          
        
        ⋅
        
          t
          
            24
          
        
      
    
    {\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}}
  

可以注意到，如果四个内切的圆都退化成点的话，就会变成圆
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
  
 上的四个点，而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。


证明 设大圆的圆心是点
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
  
；四个圆的圆心分别是点
  
    
      
        
        
          O
          
            1
          
        
        ,
        
          O
          
            2
          
        
        ,
        
          O
          
            3
          
        
        ,
        
          O
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}
  
，半径分别是
  
    
      
        
        
          R
          
            1
          
        
        ,
        
          R
          
            2
          
        
        ,
        
          R
          
            3
          
        
        ,
        
          R
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \,R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}}
  
。每个圆与大圆
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
  
 的切点分别是
  
    
      
        
        
          K
          
            1
          
        
        ,
        
          K
          
            2
          
        
        ,
        
          K
          
            3
          
        
        ,
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \,K_{1},K_{2},K_{3},K_{4}}
  
。
首先，根据勾股定理可以推出：对于任意的i 和j，都有

  
    
      
        
        
          t
          
            i
            j
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  O
                  
                    i
                  
                
                
                  O
                  
                    j
                  
                
              
              ¯
            
          
          
            2
          
        
        −
        (
        
          R
          
            i
          
        
        −
        
          R
          
            j
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
        
        
        ⋯
        
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(1)}
  

接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用
  
    
      
        
        
          K
          
            i
          
        
        ,
        
          K
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \,K_{i},K_{j}}
  
 来表示。
考虑三角形
  
    
      
        
        
          O
          
            i
          
        
        O
        
          O
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \,O_{i}OO_{j}}
  
，根据三角形的余弦定理：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  O
                  
                    i
                  
                
                
                  O
                  
                    j
                  
                
              
              ¯
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                O
                
                  O
                  
                    i
                  
                
              
              ¯
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                O
                
                  O
                  
                    j
                  
                
              
              ¯
            
          
          
            2
          
        
        −
        2
        
          
            
              O
              
                O
                
                  i
                
              
            
            ¯
          
        
        ⋅
        
          
            
              O
              
                O
                
                  j
                
              
            
            ¯
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        ∠
        
          O
          
            i
          
        
        O
        
          O
          
            j
          
        
        
        
        
        ⋯
        
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(2)}
  

由于每个圆
  
    
      
        
        
          O
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \,O_{i}}
  
 都和大圆相切，所以：

  
    
      
        
          
            
              O
              
                O
                
                  i
                
              
            
            ¯
          
        
        =
        R
        −
        
          R
          
            i
          
        
        ,
        
        ∠
        
          O
          
            i
          
        
        O
        
          O
          
            j
          
        
        =
        ∠
        
          K
          
            i
          
        
        O
        
          K
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}
  

设点
  
    
      
        
        C
      
    
    {\displaystyle \,C}
  
 为大圆
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
  
 上的任意一点，根据三角形的正弦定理，在三角形
  
    
      
        
        
          K
          
            i
          
        
        C
        
          K
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \,K_{i}CK_{j}}
  
之中，有：

  
    
      
        
          
            
              
                K
                
                  i
                
              
              
                K
                
                  j
                
              
            
            ¯
          
        
        =
        2
        R
        ⋅
        sin
        ⁡
        ∠
        
          K
          
            i
          
        
        C
        
          K
          
            j
          
        
        =
        2
        R
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          
            
              ∠
              
                K
                
                  i
                
              
              O
              
                K
                
                  j
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}
  

所以，余弦式

  
    
      
        cos
        ⁡
        ∠
        
          K
          
            i
          
        
        O
        
          K
          
            j
          
        
        =
        1
        −
        2
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            
              ∠
              
                K
                
                  i
                
              
              O
              
                K
                
                  j
                
              
            
            2
          
        
        =
        1
        −
        2
        ⋅
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      K
                      
                        i
                      
                    
                    
                      K
                      
                        j
                      
                    
                  
                  ¯
                
                
                  2
                  R
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              
                
                  
                    
                      K
                      
                        i
                      
                    
                    
                      K
                      
                        j
                      
                    
                  
                  ¯
                
              
              
                2
              
            
            
              2
              
                R
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}
  

将以上
  
    
      
        
          
            
              O
              
                O
                
                  i
                
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {OO_{i}}}}
  
 与
  
    
      
        cos
        ⁡
        ∠
        
          K
          
            i
          
        
        O
        
          K
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}}
  
 代入式子
  
    
      
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle (2)}
  
中，就可以得到：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  O
                  
                    i
                  
                
                
                  O
                  
                    j
                  
                
              
              ¯
            
          
          
            2
          
        
        =
        (
        R
        −
        
          R
          
            i
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        R
        −
        
          R
          
            j
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        −
        2
        (
        R
        −
        
          R
          
            i
          
        
        )
        (
        R
        −
        
          R
          
            j
          
        
        )
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          K
                          
                            i
                          
                        
                        
                          K
                          
                            j
                          
                        
                      
                      ¯
                    
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  
                    R
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}
  

  
    
      
        =
        (
        R
        −
        
          R
          
            i
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        R
        −
        
          R
          
            j
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        −
        2
        (
        R
        −
        
          R
          
            i
          
        
        )
        (
        R
        −
        
          R
          
            j
          
        
        )
        +
        (
        R
        −
        
          R
          
            i
          
        
        )
        (
        R
        −
        
          R
          
            j
          
        
        )
        ⋅
        
          
            
              
                
                  
                    
                      K
                      
                        i
                      
                    
                    
                      K
                      
                        j
                      
                    
                  
                  ¯
                
              
              
                2
              
            
            
              R
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle =(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
  

  
    
      
        =
        (
        (
        R
        −
        
          R
          
            i
          
        
        )
        −
        (
        R
        −
        
          R
          
            j
          
        
        )
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        R
        −
        
          R
          
            i
          
        
        )
        (
        R
        −
        
          R
          
            j
          
        
        )
        ⋅
        
          
            
              
                
                  
                    
                      K
                      
                        i
                      
                    
                    
                      K
                      
                        j
                      
                    
                  
                  ¯
                
              
              
                2
              
            
            
              R
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle =((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
  

  
    
      
        =
        (
        
          R
          
            i
          
        
        −
        
          R
          
            j
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        R
        −
        
          R
          
            i
          
        
        )
        (
        R
        −
        
          R
          
            j
          
        
        )
        ⋅
        
          
            
              
                
                  
                    
                      K
                      
                        i
                      
                    
                    
                      K
                      
                        j
                      
                    
                  
                  ¯
                
              
              
                2
              
            
            
              R
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle =(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
  

再代入式子
  
    
      
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1)}
  
中，就得到
  
    
      
        
          t
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{ij}}
  
的表达式：

  
    
      
        
          t
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    
                      O
                      
                        i
                      
                    
                    
                      O
                      
                        j
                      
                    
                  
                  ¯
                
              
              
                2
              
            
            −
            (
            
              R
              
                i
              
            
            −
            
              R
              
                j
              
            
            
              )
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  R
                  −
                  
                    R
                    
                      i
                    
                  
                
              
              ⋅
              
                
                  R
                  −
                  
                    R
                    
                      j
                    
                  
                
              
              ⋅
              
                
                  
                    
                      K
                      
                        i
                      
                    
                    
                      K
                      
                        j
                      
                    
                  
                  ¯
                
              
            
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}
  

以上等式对所有的i 和j 都成立，因此只要注意到四边形 
  
    
      
        
        
          K
          
            1
          
        
        
          K
          
            2
          
        
        
          K
          
            3
          
        
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}
  
 是圆内接四边形，那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理：

  
    
      
        
          t
          
            12
          
        
        
          t
          
            34
          
        
        +
        
          t
          
            14
          
        
        
          t
          
            23
          
        
        =
        
          
            1
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        ⋅
        
          
            R
            −
            
              R
              
                1
              
            
          
        
        
          
            R
            −
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        
          
            R
            −
            
              R
              
                3
              
            
          
        
        
          
            R
            −
            
              R
              
                4
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    K
                    
                      1
                    
                  
                  
                    K
                    
                      2
                    
                  
                
                ¯
              
            
            ⋅
            
              
                
                  
                    K
                    
                      3
                    
                  
                  
                    K
                    
                      4
                    
                  
                
                ¯
              
            
            +
            
              
                
                  
                    K
                    
                      1
                    
                  
                  
                    K
                    
                      4
                    
                  
                
                ¯
              
            
            ⋅
            
              
                
                  
                    K
                    
                      2
                    
                  
                  
                    K
                    
                      3
                    
                  
                
                ¯
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)}
  

  
    
      
        =
        
          
            1
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        ⋅
        
          
            R
            −
            
              R
              
                1
              
            
          
        
        
          
            R
            −
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        
          
            R
            −
            
              R
              
                3
              
            
          
        
        
          
            R
            −
            
              R
              
                4
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    K
                    
                      1
                    
                  
                  
                    K
                    
                      3
                    
                  
                
                ¯
              
            
            ⋅
            
              
                
                  
                    K
                    
                      2
                    
                  
                  
                    K
                    
                      4
                    
                  
                
                ¯
              
            
          
          )
        
        =
        
          t
          
            13
          
        
        
          t
          
            24
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)=t_{13}t_{24}}
  

证明完毕。


推广 可以用类似的方法证明，只要当圆
  
    
      
        
        
          O
          
            1
          
        
        ,
        
          O
          
            2
          
        
        ,
        
          O
          
            3
          
        
        ,
        
          O
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}
  
 与大圆
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
  
 相切（不论是外切还是内切），就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明，对任意的i 和j：

如果圆
  
    
      
        
        
          O
          
            i
          
        
        ,
        
          O
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \,O_{i},O_{j}}
  
 是与大圆
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
  
 以同样的方式相切（都是外切或者都是内切）的话，则
  
    
      
        
        
          t
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \,t_{ij}}
  
表示两个圆的外公切线的长度；
如果圆
  
    
      
        
        
          O
          
            i
          
        
        ,
        
          O
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \,O_{i},O_{j}}
  
 是与大圆
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
  
 以不同的方式相切（一个是外切而另一个是内切）的话，则
  
    
      
        
        
          t
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \,t_{ij}}
  
表示两个圆的内公切线的长度。
另一个特点是：这定理的逆定理也成立。也就是说，如果开世定理的等式成立，那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。


应用 在欧几里得几何学中，开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。


注释 参考书籍 （英文） Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. Dover. 2007. ISBN 978-0-486-46237-0. ，p.123-125 （1929年曾以《现代几何学》（modern geometry）之名出版。）.
（英文）O. Bottema, Reinie Erne. Topics in Elementary Geometry. Springer. 2008. ISBN 978-0-387-78130-3. 


外部链接 埃里克·韦斯坦因. Casey's theorem. MathWorld. 
Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem