柯西积分公式是数学中复分析的一个重要结论，以十九世纪法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名。柯西积分公式说明了任何一个闭合区域上的全纯函数在区域内部的值完全取决于它在区域边界上的值，并且给出了区域内每一点的任意阶导数的积分计算方式。柯西积分公式是复分析中全纯函数“微分等同于积分”特性的表现。而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的。
这个公式是柯西在1831年证明的。柯西在同年10月11日首次将其发表，并将它写入了1841年发表的《分析与数学物理习题集》（Exercices d'analyse et de physique mathematique）一书中。


定理 设
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
是复平面
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的一个单连通的开子集。
  
    
      
        f
        
        :
        
        
        Ω
        
        →
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle f\;:\;\;\Omega \;\rightarrow \mathbb {C} }
  
是一个
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的全纯函数。设
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
内的一个简单闭合的可求长曲线（即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线），那么函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
内部的点
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
上的值是：

  
    
      
        f
        (
        a
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            γ
          
        
        
          
            
              f
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              a
            
          
        
        
        d
        z
        .
      
    
    {\displaystyle f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-a}\,dz.}
  

其中的积分为沿着
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
逆时针方向的积分。 
以上公式说明，全纯函数必然是无穷次可导的。这是因为假设以上的公式对函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的n阶导数成立：

  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        a
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            γ
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  n
                  )
                
              
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              a
            
          
        
        
        d
        z
        .
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f^{(n)}(z) \over z-a}\,dz.}
  

对上式等号右侧的积分进行n次分部积分变换就可得到对n阶导数的柯西积分公式：

  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        a
        )
        =
        
          
            
              n
              !
            
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            γ
          
        
        
          
            
              f
              (
              z
              )
            
            
              (
              z
              −
              a
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
          
        
        
        d
        z
        .
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.}
  

有时也称作柯西微分公式。右端是一个复可微的函数。这说明
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的n阶导数仍然是复可微的。所以依据数学归纳法可知
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是无穷次可导的，并且柯西微分公式对任意阶的导数都成立。
如果函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
仅在
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
内部是全纯函数，在边界
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
上仅仅是连续函数，那么只有函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的柯西积分公式成立，而微分公式不一定成立。


证明 选定以
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
为圆心，在
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
内部的一个圆盘
  
    
      
        
          D
          
            0
          
        
        =
        {
        z
        ;
        
        
          |
        
        z
        −
        a
        
          |
        
        ⩽
        r
        }
      
    
    {\displaystyle D_{0}=\{z;\;|z-a|\leqslant r\}}
  
，它的边界是圆
  
    
      
        
          C
          
            0
          
        
        =
        {
        z
        ;
        
        
          |
        
        z
        −
        a
        
          |
        
        =
        r
        }
      
    
    {\displaystyle C_{0}=\{z;\;|z-a|=r\}}
  
。函数
  
    
      
        
          
            f
            
              z
              −
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f}{z-a}}}
  
在闭合区域
  
    
      
        D
        ∖
        
          D
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle D\setminus D_{0}}
  
上是全纯函数，所以根据柯西积分定理，它在边界上的积分等于0：

  
    
      
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            γ
          
        
        
          
            
              f
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              a
            
          
        
        
        d
        z
        +
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            
              C
              
                0
              
              
                −
              
            
          
        
        
          
            
              f
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              a
            
          
        
        
        d
        z
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-a}\,dz+{1 \over 2\pi i}\oint _{C_{0}^{-}}{f(z) \over z-a}\,dz=0.}
  

其中
  
    
      
        
          C
          
            0
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{0}^{-}}
  
的标记表示沿“内边界”
  
    
      
        
          C
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{0}}
  
的积分是顺时针方向。所以将这个积分改为沿逆时针方向
  
    
      
        
          C
          
            0
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{0}^{+}}
  
後，就能得到：

  
    
      
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            γ
          
        
        
          
            
              f
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              a
            
          
        
        
        d
        z
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            
              C
              
                0
              
              
                +
              
            
          
        
        
          
            
              f
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              a
            
          
        
        
        d
        z
        .
      
    
    {\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-a}\,dz={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{0}^{+}}{f(z) \over z-a}\,dz.}
  

这个等式与圆盘
  
    
      
        
          D
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{0}}
  
的半径
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
无关，也就是说无论圆盘多麼小，这个等式都成立。注意到当半径
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
趋于0的时候，函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在圆
  
    
      
        
          C
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{0}}
  
上的值基本上等于
  
    
      
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle f(a)}
  
。所以

  
    
      
        
          
            
              
                
                  |
                  
                    
                      ∮
                      
                        
                          C
                          
                            0
                          
                          
                            +
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          f
                          (
                          z
                          )
                        
                        
                          z
                          −
                          a
                        
                      
                    
                    
                    d
                    z
                    −
                    2
                    π
                    i
                    f
                    (
                    a
                    )
                  
                  |
                
              
              
                
                =
                
                  |
                  
                    
                      ∮
                      
                        
                          C
                          
                            0
                          
                          
                            +
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          f
                          (
                          z
                          )
                          −
                          f
                          (
                          a
                          )
                        
                        
                          z
                          −
                          a
                        
                      
                    
                    
                    d
                    z
                  
                  |
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  |
                  
                    
                      ∫
                      
                        0
                      
                      
                        2
                        π
                      
                    
                    
                      
                        
                          f
                          (
                          a
                          +
                          r
                          ⋅
                          
                            e
                            
                              i
                              t
                            
                          
                          )
                          −
                          f
                          (
                          a
                          )
                        
                        
                          a
                          +
                          r
                          ⋅
                          
                            e
                            
                              i
                              t
                            
                          
                          −
                          a
                        
                      
                    
                    r
                    i
                    ⋅
                    
                      e
                      
                        i
                        t
                      
                    
                    
                    d
                    t
                  
                  |
                
                
                (
                z
                =
                a
                +
                r
                ⋅
                
                  e
                  
                    i
                    t
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  |
                  
                    
                      ∫
                      
                        0
                      
                      
                        2
                        π
                      
                    
                    
                      [
                      
                        f
                        (
                        a
                        +
                        r
                        ⋅
                        
                          e
                          
                            i
                            t
                          
                        
                        )
                        −
                        f
                        (
                        a
                        )
                      
                      ]
                    
                    i
                    
                    d
                    t
                  
                  |
                
              
            
            
              
              
                
                ⩽
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    2
                    π
                  
                
                
                  |
                  
                    f
                    (
                    a
                    +
                    r
                    ⋅
                    
                      e
                      
                        i
                        t
                      
                    
                    )
                    −
                    f
                    (
                    a
                    )
                  
                  |
                
                
                d
                t
              
            
            
              
              
                
                ⩽
                2
                π
                
                  max
                  
                    0
                    ⩽
                    t
                    <
                    2
                    π
                  
                
                
                  |
                  
                    f
                    (
                    a
                    +
                    r
                    ⋅
                    
                      e
                      
                        i
                        t
                      
                    
                    )
                    −
                    f
                    (
                    a
                    )
                  
                  |
                
                
                  
                    →
                    
                      
                        r
                        →
                        0
                      
                    
                    
                  
                
                0.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\oint _{C_{0}^{+}}{f(z) \over z-a}\,dz-2\pi if(a)\right|&=\left|\oint _{C_{0}^{+}}{f(z)-f(a) \over z-a}\,dz\right|\\&=\left|\int _{0}^{2\pi }{f(a+r\cdot e^{it})-f(a) \over a+r\cdot e^{it}-a}ri\cdot e^{it}\,dt\right|\qquad (z=a+r\cdot e^{it})\\&=\left|\int _{0}^{2\pi }\left[f(a+r\cdot e^{it})-f(a)\right]i\,dt\right|\\&\leqslant \int _{0}^{2\pi }\left|f(a+r\cdot e^{it})-f(a)\right|\,dt\\&\leqslant 2\pi \max _{0\leqslant t<2\pi }\left|f(a+r\cdot e^{it})-f(a)\right|{\xrightarrow[{r\to 0}]{}}0.\end{aligned}}}
  

这说明

  
    
      
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            γ
          
        
        
          
            
              f
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              a
            
          
        
        
        d
        z
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            
              C
              
                0
              
              
                +
              
            
          
        
        
          
            
              f
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              a
            
          
        
        
        d
        z
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        2
        π
        i
        f
        (
        a
        )
        =
        f
        (
        a
        )
        .
        
        ◻
      
    
    {\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-a}\,dz={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{0}^{+}}{f(z) \over z-a}\,dz={1 \over 2\pi i}2\pi if(a)=f(a).\qquad \Box }
  


例子 考虑函数：
  
    
      
        g
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              2
              z
              +
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}
  
以及闭合区域：|z| = 2。这是一个以原点为圆心，半径为2的圆，以下记作
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
. 下面使用柯西积分公式计算
  
    
      
        g
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle g(z)}
  
沿
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的积分。
首先，函数
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
有两个极点，分别是方程
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
        +
        2
        z
        +
        2
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z^{2}+2z+2=0}
  
的两个复根：
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        =
        −
        1
        +
        i
        ,
      
    
    {\displaystyle z_{1}=-1+i,}
  
 
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
        =
        −
        1
        −
        i
        .
      
    
    {\displaystyle z_{2}=-1-i.}
  
 它们的模长都小于2，所以都在
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的内部。函数可以写成
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
：

  
    
      
        g
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              (
              z
              −
              
                z
                
                  1
                
              
              )
              (
              z
              −
              
                z
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}.}
  

  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
在两个极点附近趋于无穷。在两个极点周围各作一个小圆圈：
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}}
  
和
  
    
      
        
          C
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{2}}
  
，应用柯西积分定理可知，所要求的积分

  
    
      
        
          ∮
          
            C
          
        
        g
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        
          ∮
          
            
              C
              
                1
              
            
          
        
        g
        (
        z
        )
        
        d
        z
        +
        
          ∮
          
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        g
        (
        z
        )
        
        d
        z
        .
      
    
    {\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz.}
  

注意到函数
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              z
              −
              
                z
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{1}={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}}}
  
在
  
    
      
        
          C
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{2}}
  
内部是全纯函数，所以在
  
    
      
        
          C
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{2}}
  
上的积分：

  
    
      
        
          ∮
          
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        g
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        
          ∮
          
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  1
                
              
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        d
        z
        =
        2
        π
        i
        
          f
          
            1
          
        
        (
        
          z
          
            2
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{f_{1}(z) \over z-z_{2}}\,dz=2\pi if_{1}(z_{2}).}
  

同理，函数
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              z
              −
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{2}={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}
  
在
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}}
  
内部是全纯函数，所以

  
    
      
        
          ∮
          
            
              C
              
                1
              
            
          
        
        g
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        
          ∮
          
            
              C
              
                1
              
            
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  2
                
              
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              
                z
                
                  1
                
              
            
          
        
        
        d
        z
        =
        2
        π
        i
        
          f
          
            2
          
        
        (
        
          z
          
            1
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{f_{2}(z) \over z-z_{1}}\,dz=2\pi if_{2}(z_{1}).}
  

所以

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∮
                  
                    C
                  
                
                g
                (
                z
                )
                
                d
                z
              
              
                
                =
                
                  ∮
                  
                    
                      C
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                g
                (
                z
                )
                
                d
                z
                +
                
                  ∮
                  
                    
                      C
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                g
                (
                z
                )
                
                d
                z
                .
                =
                2
                π
                i
                
                  f
                  
                    1
                  
                
                (
                
                  z
                  
                    2
                  
                
                )
                +
                2
                π
                i
                
                  f
                  
                    2
                  
                
                (
                
                  z
                  
                    1
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                2
                π
                i
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          z
                          
                            2
                          
                          
                            2
                          
                        
                        
                          
                            z
                            
                              2
                            
                          
                          −
                          
                            z
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          z
                          
                            1
                          
                          
                            2
                          
                        
                        
                          
                            z
                            
                              1
                            
                          
                          −
                          
                            z
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                =
                2
                π
                i
                
                  
                    
                      
                        z
                        
                          1
                        
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        z
                        
                          2
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        z
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                =
                2
                π
                i
                
                  (
                  
                    
                      z
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                4
                π
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&=\oint _{C_{2}}g(z)\,dz+\oint _{C_{1}}g(z)\,dz.=2\pi if_{1}(z_{2})+2\pi if_{2}(z_{1})\\&=2\pi i\left({\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}+{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}\right)=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}-z_{2}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}=2\pi i\left(z_{1}+z_{2}\right)\\&=-4\pi i\end{aligned}}}
  


参见 柯西积分定理
刘维尔定理
留数定理
莫雷拉定理


参考来源