本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「
  
    
      
        
          
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle '\,\!}
  
」；源變數的標記的後面有單撇號「
  
    
      
        
          
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle '\,\!}
  
」。

在靜磁學裏，必歐-沙伐定律（Biot-Savart Law）以方程式描述，電流在其周圍所產生的磁場。採用靜磁近似，當電流緩慢地隨時間而改變時（例如當載流導線緩慢地移動時），這定律成立，磁場與電流的大小、方向、距離有關。必歐-沙伐定律是以法國物理學者让-巴蒂斯特·毕奥與菲利克斯·沙伐命名。
必歐-沙伐定律表明，假設源位置為
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
的微小線元素
  
    
      
        
          d
        
        
          
            ℓ
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}
  
有電流
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
，則
  
    
      
        
          d
        
        
          
            ℓ
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}
  
作用於場位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
的磁場為

  
    
      
        
          d
        
        
          B
        
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          d
        
        
          
            ℓ
          
          ′
        
        ×
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          d
        
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} }
  
是微小磁場（這篇文章簡稱磁通量密度為磁場），
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}}
  
是磁常數。
已知電流密度
  
    
      
        
          J
        
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ')}
  
，則有：

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          J
        
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        ×
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}{r}'}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{r}'}
  
為微小體積元素，
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
是積分的體積。
在流体力学中，以渦度對應電流、速度對應磁場強度，便可應用必歐-沙伐定律以計算渦線（vortex line）導出的速度。


概念 必歐-沙伐定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷，電流量不隨時間而改變，電荷不會在任意位置累積或消失。採用國際單位制，用方程式表示，

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                L
              
              ′
            
          
        
        
          d
        
        
          
            ℓ
          
          ′
        
        ×
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\mathbb {L} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
  
；
其中，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
是源電流，
  
    
      
        
          
            L
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} '}
  
是積分路徑，
  
    
      
        
          d
        
        
          
            ℓ
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}
  
是源電流的微小線元素。
應用這方程式，必須先選出磁場的場位置。固定這場位置，積分於源電流的路徑，就可以計算出在場位置的磁場。請注意，這定律的應用，隱性地依賴著磁場的疊加原理成立；也就是說，每一個微小線段的電流所產生的磁場，其向量的疊加和給出總磁場。對於電場和磁場，疊加原理成立，因為它們是一組線性微分方程式的解答。更明確地說，它們是馬克士威方程組的解答。
當電流可以近似為流過無窮細狹導線，上述這方程式是正確的。但假若導線是寬厚的，則可用包含導線體積
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
的積分方程式：

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          J
        
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        ×
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{r}'}
  
；
其中，
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
是電流密度，
  
    
      
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r'}
  
是微小體積元素。
必歐-沙伐定律是靜磁學的基本定律，在靜磁學的地位，類同於庫侖定律之於靜電學。必歐-沙伐定律和安培定律的關係，則如庫侖定律之於高斯定律。
假若無法採用靜磁近似，例如當電流隨著時間變化太快，或當導線快速地移動時，就不能使用必歐-沙伐定律，必須改用傑斐緬柯方程式。


= 等速運動的點電荷所產生的電場和磁場 =
由於點電荷的運動不能形成電流，所以，必須使用推遲勢的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
以等速度
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
移動，在時間
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
的位置為
  
    
      
        
          w
        
        =
        
          v
        
        t
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {v} t}
  
。那麼，麦克斯韦方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場：

  
    
      
        
          E
        
        =
        
          
            q
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          
            
              1
              −
              
                v
                
                  2
                
              
              
                /
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              (
              1
              −
              
                v
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
              
                /
              
              
                c
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                w
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                w
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}}
  
、

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          v
        
        ×
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {v} \times {\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} }
  
；
其中，
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
和
  
    
      
        
          r
        
        −
        
          w
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {w} }
  
之間的夾角。
當
  
    
      
        
          v
          
            2
          
        
        ≪
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle v^{2}\ll c^{2}}
  
時，電場和磁場可以近似為

  
    
      
        
          E
        
        =
        
          
            q
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                w
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                w
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}}
  
、

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              q
              
                v
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        ×
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                w
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                w
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q\mathbf {v} }{4\pi }}\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}}
  
。
這方程式最先由奧利弗·黑維塞於1888年推導出來，稱為必歐-沙伐點電荷定律。


安培定律和高斯磁定律的導引 這裏，我們要從必歐-沙伐定律推導出安培定律和高斯磁定律。若想查閱此證明，請點選「顯示」。


參閱 狹義相對論
向量分析
散度定理
安培律


參考文獻 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義II（2）介電質、磁與感應定律. 台灣: 天下文化書. 2008: pp. 142–144. ISBN 978-986-216-231-6.  引文格式1维护：冗余文本 (link)