本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。

在電動力學裡，勞侖茲力（Lorentz force）是運動於電磁場的帶電粒子所感受到的作用力。勞侖茲力是因荷蘭物理學者亨德里克·勞侖茲而命名。根據勞侖茲力定律，勞侖茲力可以用方程式，稱為勞侖茲力方程式，表達為

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        (
        
          E
        
        +
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
  
；
其中，
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
是勞侖茲力，
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
是帶電粒子的電荷量，
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
是電場强度，
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
是帶電粒子的速度，
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
是磁感应强度。
勞侖茲力定律是一個基本公理，不是從別的理論推導出來的定律，而是由多次重複完成的實驗所得到的同樣的結果。
感受到電場的作用，正電荷會朝著電場的方向加速；但是感受到磁場的作用，按照右手開掌定則，正電荷會朝著垂直於速度
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
和磁場
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
的方向彎曲（詳細地說，假設右手的大拇指與
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
同向，食指與
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
同向，則掌心推出的方向为
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
的方向）。
勞侖茲力方程式的
  
    
      
        q
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle q\mathbf {E} }
  
項目是電場力項目，
  
    
      
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
項目是磁場力項目。處於磁場內的載電導線感受到的磁場力就是這勞侖茲力的磁場力分量。
勞侖茲力方程式的积分形式为

  
    
      
        
          F
        
        =
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        (
        ρ
        
          E
        
        +
        
          J
        
        ×
        
          B
        
        )
         
        
          d
        
        τ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {V} }(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\ \mathrm {d} \tau }
  
。
其中，
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
是積分的體積，
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
是電荷密度，
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
是電流密度，
  
    
      
        
          d
        
        τ
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \tau }
  
是微小體元素。
勞侖茲力密度
  
    
      
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {f} }
  
是單位體積的勞侖茲力，表達為：

  
    
      
        
          f
        
        =
        ρ
        
          E
        
        +
        ρ
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        =
        ρ
        
          E
        
        +
        
          J
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }
  
。


歷史 1892年，荷兰物理学家亨德里克·勞侖茲提出勞侖茲力的概念。但是，在勞侖茲之前，就已經有發掘出勞侖茲力方程式的形式，特別是在詹姆斯·馬克士威的1861年論文《論物理力線》裏的公式（77）：

  
    
      
        P
        =
        μ
        γ
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              t
            
          
        
        −
        μ
        β
        
          
            
              d
              z
            
            
              d
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              d
              F
            
            
              d
              t
            
          
        
        −
        
          
            
              d
              Ψ
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P=\mu \gamma {\frac {dy}{dt}}-\mu \beta {\frac {dz}{dt}}+{\frac {dF}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dx}}}
  
、

  
    
      
        Q
        =
        μ
        α
        
          
            
              d
              z
            
            
              d
              t
            
          
        
        −
        μ
        γ
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              d
              G
            
            
              d
              t
            
          
        
        −
        
          
            
              d
              Ψ
            
            
              d
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Q=\mu \alpha {\frac {dz}{dt}}-\mu \gamma {\frac {dx}{dt}}+{\frac {dG}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dy}}}
  
、

  
    
      
        R
        =
        μ
        β
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        −
        μ
        α
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              d
              H
            
            
              d
              t
            
          
        
        −
        
          
            
              d
              Ψ
            
            
              d
              z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R=\mu \beta {\frac {dx}{dt}}-\mu \alpha {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dz}}}
  
；
其中，
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
、
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
、
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
分別為電場的三個分量，
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
是磁導率，
  
    
      
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              d
              z
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dz}{dt}}}
  
分別為導電體的移動速度的三個分量，
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
、
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
、
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
分別為磁場強度的三個分量，
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
、
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
、
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
分別為磁矢勢的三個分量，
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  
是電勢。
後來，在他的1864年論文《電磁場的動力學理論》裏，馬克士威將這公式列為馬克士威方程組的八個原本方程式中的方程式（D）:

  
    
      
        
          E
        
        =
        
          v
        
        ×
        (
        μ
        
          H
        
        )
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        −
        ∇
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {v} \times (\mu \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }
  
；
其中，
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
是速度，
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} }
  
是磁場強度，
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
是磁導率，
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
是磁矢勢，
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
是電勢。
很明顯地，馬克士威版是現代版的前導。兩個版本的差別為：

馬克士威版並沒有特意地提到電荷。馬克士威稱物理量
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
為電動力（electromotive force）。這英文原文與電動勢的英文原文相同。很多物理學家都對英文原文表示意見，認為會造成困惑，是個相當不精確的術語。從方程式形式和單位分析方面來看，這物理量對應於現代的物理量單位電荷的勞侖茲力。
馬克士威版包含有現在稱為電場的項目，以電勢
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
和磁向量勢
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
來表達：

  
    
      
        
          E
        
        =
        −
        ∇
        ϕ
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
  
。
取旋度於這表達式，就可以得到法拉第-馬克士威方程式：

  
    
      
        ∇
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
  
。
因此，這表達式等價於法拉第-馬克士威方程式。儘管勞侖茲力方程式來自於原本的一條馬克士威方程式，現在，經過奧利弗·黑維塞重新表述後的勞侖茲力方程式，不再被視為馬克士威方程組中的一員，而成為伴隨馬克士威方程組的一條獨立基要的定律。


勞侖茲力定律的重要意義 當馬克士威方程組描繪帶電粒子怎樣產生電磁場的同時，勞侖茲力方程式描繪了移動於電磁場的帶電粒子所感受到的電磁力。這使得整個電磁動力的圖畫得以完整。在一個複雜的物理系統裏，帶電粒子可能還會感受到別種作用力，像萬有引力或核力。馬克士威方程組並非與這些作用力完全無關；而是通過帶電粒子或電流密度與這些作用力耦合。
對於實際的物質，在原則上和計算的複雜程度上，勞侖茲力方程式都不足以描述一群粒子的物理行為。在物質介質裏的帶電粒子，必須同時地響應和生成電磁場。除此以外，還必須考慮到描述這一群粒子的運動的傳輸方程式，例如，波茲曼傳輸方程式（Boltzmann equation）、福克-普朗克方程式（Fokker–Planck equation）、納維-斯托克斯方程式、等等。請參閱磁流體力學、超導現象、恆星演化、等等。在這些學術領域研究的科學家必須解析複雜的傳輸方程式，求得帶電粒子在時間和空間方面的響應。
或許有些讀者會認為這些理論只是靠著近似來處理一個大系綜的帶電粒子。從更深的層面來看，帶電粒子也會對非電磁力，像萬有引力，核力或邊界條件等等，產生響應。


粒子的運動軌道 給予作用於粒子的勞侖茲力的公式，將這公式代入牛頓第二運動定律，可以得到粒子的運動方程式。解析這運動方程式，就可以找到粒子的運動軌道。


= 範例：回旋加速器 =

在一個簡單的迴旋加速器內，均勻磁場是
  
    
      
        
          B
        
        =
        
          B
          
            0
          
        
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}}
  
，電場是零。那麼，運動於xy-平面的帶電粒子
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
所感受到的勞侖茲力
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
為

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
。
將這公式代入牛頓第二運動定律，

  
    
      
        m
        
          a
        
        =
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle m\mathbf {a} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
；
其中，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
是帶電粒子的質量，
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
是帶電粒子的加速度。
由於帶電粒子的加速度與速度互相垂直，帶電粒子呈圓周運動。假設粒子帶有正電荷，則這公式的一般解答為

  
    
      
        
          r
        
        =
        
          r
          
            c
          
        
        (
        cos
        ⁡
        ω
        t
        ,
        
        −
        sin
        ⁡
        ω
        t
        ,
        
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =r_{c}(\cos \omega t,\,-\sin \omega t,\,0)}
  
；
其中，
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
是帶電粒子的圓周運動軌道，
  
    
      
        
          r
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{c}}
  
是圓周半徑，
  
    
      
        ω
        =
        q
        B
        
          /
        
        m
      
    
    {\displaystyle \omega =qB/m}
  
是旋轉角速度，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
是時間。

朝著均勻磁場方向看，帶電粒子會以反時針方向，呈等速圓周運動。給予初始速率
  
    
      
        
          v
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{0}}
  
。那麼，圓周半徑為

  
    
      
        
          r
          
            c
          
        
        =
        
          v
          
            0
          
        
        
          /
        
        ω
        =
        m
        
          v
          
            0
          
        
        
          /
        
        q
        B
      
    
    {\displaystyle r_{c}=v_{0}/\omega =mv_{0}/qB}
  
。
這圓周半徑稱為迴旋半徑（cyclotron radius）或拉莫半徑（Larmor radius）。
  
    
      
        ω
        =
        q
        B
        
          /
        
        m
      
    
    {\displaystyle \omega =qB/m}
  
稱為迴旋頻率（cyclotron frequency）。
帶電粒子的動量
  
    
      
        
          p
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{0}}
  
為

  
    
      
        
          p
          
            0
          
        
        =
        m
        
          v
          
            0
          
        
        =
        q
        B
        
          r
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{0}=mv_{0}=qBr_{c}}
  
。
假設粒子帶有負電荷，則運動方向會逆反，改為順時針方向。
假設初始速度有一個z-分量
  
    
      
        
          v
          
            z
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{z0}}
  
，則帶電粒子會呈等速螺旋運動。


= 導向中心漂移運動 =

對於很多有意思的、比較複雜的實際案例，在磁場內運動的帶電粒子（例如，電漿的電子或離子），可以分為兩部分處理。這兩部分的疊加，足以描述這帶電粒子的物理行為。第一部分是速度比較快的，環繞著某一點的圓周運動。環繞之點稱為導向中心（guiding center）。另一部分是導向中心的漂移運動。其速度比較慢，會因不同種類的粒子而不同，又跟其電荷量、質量或溫度有關。不同的漂移速度可能會造成電流或化學分離。


電場和磁場的定義 許多經典電磁學教科書會用勞侖茲力定律來定義電場和磁場。


= 電場 =
假設檢驗電荷靜止不動，
  
    
      
        
          v
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =0}
  
，則勞侖茲力方程式變為

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }
  
。
採用國際單位制，假設檢驗電荷的電量為1庫侖，作用於檢驗電荷的勞倫茲力為1牛頓，則檢驗電荷感受到的電場為1牛頓／庫侖。 


= 磁場 =
假設電場為零，則作用於電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
的勞侖茲力是

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
。
對於一條線電荷密度為
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
的載流導線，總作用力為

  
    
      
        
          F
        
        =
        
          ∫
          
            
              C
            
          
        
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        
          d
        
        q
        =
        
          ∫
          
            
              C
            
          
        
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        λ
        
          d
        
        ℓ
        =
        
          ∫
          
            
              C
            
          
        
        
          I
        
        ×
        
          B
        
        
          d
        
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \mathrm {d} q=\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \lambda \mathrm {d} \ell =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {I} \times \mathbf {B} \mathrm {d} \ell }
  
；
其中，
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
是積分路徑，
  
    
      
        
          I
        
        =
        λ
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} =\lambda \mathbf {v} }
  
是電流向量。
假設電流是穩定電流，則可以將電流從積分內提出，用向量
  
    
      
        
          d
        
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
  
來表示電流
  
    
      
        
          I
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} }
  
的方向：

  
    
      
        
          F
        
        =
        I
        
          ∫
          
            
              C
            
          
        
        
          d
        
        
          ℓ
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =I\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} }
  
。
這公式給出了，在磁場內，載流導線感受到的磁場力。
使用這公式和必歐-沙伐定律，就可以推導出安培力定律（詳盡細節，請參閱安培力定律）。
假設，磁場是均勻磁場，積分路徑是垂直於磁場的直線，則

  
    
      
        F
        =
        I
        L
        B
      
    
    {\displaystyle F=ILB}
  
；
其中，
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
是積分路徑
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的長度，
採用國際單位制，假設檢驗電流為1安培，作用於載流導線的單位長度的勞侖茲力為1牛頓/公尺，則檢驗電流感受到的磁場為1特斯拉。


動生電動勢 許多發電機的基本運作原理涉及動生電動勢概念。將導線移動於磁場，則會產生電動勢，稱為動生電動勢。如圖右，假設一條長度為
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
的細直導線，以速度
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
移動於磁場
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
。磁場
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
以箭尾或叉叉表示，方向由銀幕外部指入銀幕。思考在這導線內的電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
，根據勞侖茲定律，會感受到勞侖茲力
  
    
      
        
          
            F
          
          
            l
            o
            r
            e
            n
            t
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}}
  
：

  
    
      
        
          
            F
          
          
            l
            o
            r
            e
            n
            t
            z
          
        
        =
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
。
在這裡，勞侖茲力也是磁場力。因為這磁場力的作用，正電荷會往導線的上端移動，負電荷會往導線的下端移動。在穩定平衡狀態，這會感應出一個電場
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
：

  
    
      
        
          E
        
        =
        −
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
。
電動勢定義為造成開路電路的兩個終端的電勢差，對於每單位電荷所需做的功。所以，動生電動勢
  
    
      
        
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}}
  
為

  
    
      
        
          
            E
          
        
        =
        
          ∫
          
            L
          
        
        
          
            
              
                F
                
                  l
                  o
                  r
                  e
                  n
                  t
                  z
                
              
            
            q
          
        
        ⋅
        d
        
          ℓ
        
        =
        v
        B
        L
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{L}{\frac {\mathbf {F_{lorentz}} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=vBL}
  
。
在這個例子裏，穩定平衡狀態時的電流等於零。假設載流導線與其他原件連結成一個電路，則會因為動生電動勢而產生電流。例如，將一個電阻
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
與導線的兩端相連結，則流過電阻的電流
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
為

  
    
      
        I
        =
        
          
            E
          
        
        
          /
        
        R
        =
        v
        B
        L
        
          /
        
        R
      
    
    {\displaystyle I={\mathcal {E}}/R=vBL/R}
  
。


法拉第電磁感應定律 法拉第電磁感應定律闡明，穿過任意閉迴路的磁通量的變化率，與這迴路的電動勢成正比：

  
    
      
        
          
            E
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                d
              
              
                Φ
                
                  B
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}}
  
是電動勢，
  
    
      
        
          Φ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi _{B}}
  
是磁通量，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
是時間。
在時間
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
通過任意曲面
  
    
      
        Σ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Sigma (t)}
  
的磁通量
  
    
      
        
          Φ
          
            B
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi _{B}(t)}
  
定義為

  
    
      
        
          Φ
          
            B
          
        
        (
        t
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          ∫
          
            Σ
            (
            t
            )
          
        
        
          B
        
        (
        
          r
        
        ,
        
        t
        )
        ⋅
        d
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} }
  
；
其中，
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
是位置，
  
    
      
        d
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {a} }
  
是微小面元素。
給予一個以常速度
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
移動於磁場的閉迴路
  
    
      
        ∂
        Σ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \partial \Sigma (t)}
  
。那麼，磁通量對於時間的全微分是

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  Φ
                  
                    B
                  
                
                (
                t
                )
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    Σ
                    (
                    t
                    +
                    d
                    t
                    )
                  
                
                
                  B
                
                (
                
                  r
                
                ,
                
                t
                +
                d
                t
                )
                ⋅
                d
                
                  a
                
                −
                
                  ∫
                  
                    Σ
                    (
                    t
                    )
                  
                
                
                  B
                
                (
                
                  r
                
                ,
                
                t
                )
                ⋅
                d
                
                  a
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    Σ
                    (
                    t
                    +
                    d
                    t
                    )
                  
                
                
                  B
                
                (
                
                  r
                
                ,
                
                t
                )
                ⋅
                d
                
                  a
                
                +
                
                  ∫
                  
                    Σ
                    (
                    t
                    +
                    d
                    t
                    )
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        B
                      
                      (
                      
                        r
                      
                      ,
                      
                      t
                      )
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                d
                t
                ⋅
                d
                
                  a
                
                −
                
                  ∫
                  
                    Σ
                    (
                    t
                    )
                  
                
                
                  B
                
                (
                
                  r
                
                ,
                
                t
                )
                ⋅
                d
                
                  a
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    Σ
                    (
                    t
                    +
                    d
                    t
                    )
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        B
                      
                      (
                      
                        r
                      
                      ,
                      
                      t
                      )
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                d
                t
                ⋅
                d
                
                  a
                
                +
                
                  ∫
                  
                    
                      Σ
                      
                        t
                        o
                        t
                        a
                        l
                      
                    
                  
                
                
                  B
                
                (
                
                  r
                
                ,
                
                t
                )
                ⋅
                d
                
                  a
                
                −
                
                  ∫
                  
                    
                      Σ
                      
                        r
                        i
                        b
                        b
                        o
                        n
                      
                    
                  
                
                
                  B
                
                (
                
                  r
                
                ,
                
                t
                )
                ⋅
                d
                
                  a
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+dt)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\\end{aligned}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        Σ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Sigma (t)}
  
是邊緣為
  
    
      
        ∂
        Σ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \partial \Sigma (t)}
  
的曲面，
  
    
      
        
          Σ
          
            t
            o
            t
            a
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle \Sigma _{total}}
  
是包括
  
    
      
        Σ
        (
        t
        +
        d
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Sigma (t+dt)}
  
、
  
    
      
        −
        Σ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle -\Sigma (t)}
  
和
  
    
      
        
          Σ
          
            r
            i
            b
            b
            o
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
  
的閉曲面，
  
    
      
        
          Σ
          
            r
            i
            b
            b
            o
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
  
是邊緣
  
    
      
        ∂
        Σ
        (
        t
        +
        d
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \partial \Sigma (t+dt)}
  
和
  
    
      
        ∂
        Σ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \partial \Sigma (t)}
  
形成的邊緣曲面。
根據散度定理和高斯磁定律，

  
    
      
        
          ∫
          
            
              Σ
              
                t
                o
                t
                a
                l
              
            
          
        
        
          B
        
        ⋅
        d
        
          a
        
        =
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              
                t
                o
                t
                a
                l
              
            
          
        
        ∇
        ⋅
        
          B
        
        d
        τ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} d\tau =0}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            V
          
          
            t
            o
            t
            a
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} _{total}}
  
是閉曲面
  
    
      
        
          Σ
          
            t
            o
            t
            a
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle \Sigma _{total}}
  
包含的空間，
  
    
      
        d
        τ
      
    
    {\displaystyle d\tau }
  
是微小體元素。
通過邊緣曲面
  
    
      
        
          Σ
          
            r
            i
            b
            b
            o
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
  
的磁通量可以改變成一個線積分：

  
    
      
        
          ∫
          
            
              Σ
              
                r
                i
                b
                b
                o
                n
              
            
          
        
        
          B
        
        ⋅
        d
        
          a
        
        =
        
          ∫
          
            ∂
            Σ
            (
            t
            )
          
        
        
          B
        
        ⋅
        [
        d
        
          ℓ
        
        ×
        (
        
          v
        
        d
        t
        )
        ]
        =
        
          ∫
          
            ∂
            Σ
            (
            t
            )
          
        
        [
        (
        
          v
        
        d
        t
        )
        ×
        
          B
        
        ]
        ⋅
        d
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
  
。
所以，磁通量對於時間的全導數，或磁通量的變化率為

  
    
      
        
          
            
              d
              
                Φ
                
                  B
                
              
              (
              t
              )
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          ∫
          
            Σ
            (
            t
            +
            d
            t
            )
          
        
        
          
            
              ∂
              
                B
              
              (
              
                r
              
              ,
              
              t
              )
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        ⋅
        d
        
          a
        
        −
        
          ∫
          
            ∂
            Σ
            (
            t
            )
          
        
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        ⋅
        d
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
  
。
運動於移動的閉迴路
  
    
      
        ∂
        Σ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \partial \Sigma (t)}
  
的一個電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
的速度
  
    
      
        
          w
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} }
  
為

  
    
      
        
          w
        
        =
        
          u
        
        +
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }
  
；
其中，
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
  
是相對於閉迴路
  
    
      
        ∂
        Σ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \partial \Sigma (t)}
  
的電荷運動速度，
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
是閉迴路
  
    
      
        ∂
        Σ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \partial \Sigma (t)}
  
的移動速度。
這電荷會感受到勞侖茲力

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        (
        
          E
        
        +
        
          w
        
        ×
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )}
  
；
電動勢
  
    
      
        
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}}
  
定義為

  
    
      
        
          
            E
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          ∫
          
            ∂
            Σ
          
        
        
          
            
              F
            
            q
          
        
        ⋅
        d
        
          ℓ
        
        =
        
          ∫
          
            ∂
            Σ
          
        
        (
        
          E
        
        +
        
          w
        
        ×
        
          B
        
        )
        ⋅
        d
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma }{\frac {\mathbf {F} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
  
。
根據法拉第電磁感應定律，

  
    
      
        
          
            E
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                d
              
              
                Φ
                
                  B
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        
          ∫
          
            ∂
            Σ
          
        
        (
        
          E
        
        +
        
          w
        
        ×
        
          B
        
        )
        ⋅
        d
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
  
。
在計算積分時，閉迴路
  
    
      
        ∂
        Σ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \partial \Sigma (t)}
  
的微小線元素
  
    
      
        d
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}
  
與正在那位置的電荷的
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
  
平行。所以，

  
    
      
        
          
            
              d
              
                Φ
                
                  B
                
              
              (
              t
              )
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        −
        
          ∫
          
            ∂
            Σ
          
        
        (
        
          E
        
        +
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        )
        ⋅
        d
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=-\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
  
。
令兩個磁通量變化率的方程式相等，除去同有的移動的閉迴路項目，則可得到

  
    
      
        
          ∫
          
            ∂
            Σ
          
        
        
          E
        
        ⋅
        d
        
          ℓ
        
        =
        −
        
          ∫
          
            Σ
          
        
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        ⋅
        d
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} }
  
。
應用斯托克斯定理，
  
    
      
        
          ∫
          
            ∂
            Σ
          
        
        
          E
        
        ⋅
        d
        
          ℓ
        
        =
        
          ∫
          
            Σ
          
        
        ∇
        ×
        
          E
        
        ⋅
        d
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }
  
，可以得到

  
    
      
        
          ∫
          
            Σ
          
        
        
          (
          
            ∇
            ×
            
              E
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    B
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
          
          )
        
        ⋅
        d
        
          a
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \int _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {a} =0}
  
。
由於
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }
  
是任意取面，可以將被積式從積分中取出：

  
    
      
        ∇
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
  
。
這是馬克士威-法拉第方程式。由於這方程式的右手邊是個對於時間的偏導數項目，只涉及固定的閉迴路，不能用來計算移動中的閉迴路。
用馬克士威-法拉第方程式，通常對於時間的偏導數的詮釋只限制為固定邊界。而在另一方面，不論導線的閉迴路是剛硬固定的、是在運動中、是在形變過程中，不論磁場是不含時的或含時的，法拉第電磁感應定律都成立。但是，對於某些案例，法拉第電磁感應定律並不適用或使用起來很困難。這時候，必須使用勞侖茲力定律。詳盡細節，請參閱法拉第電磁感應定律不適用案例。
假設閉迴路移動於不含時間的磁場
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
，通過閉迴路的磁通量
  
    
      
        
          Φ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi _{B}}
  
會因為幾種因素而改變：例如，假若磁場
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
隨著位置改變，閉迴路移動至不同磁場
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
的位置，則磁通量
  
    
      
        
          Φ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi _{B}}
  
會改變。或者，假若相對於磁場，閉迴路的定向改變，由於微小元素
  
    
      
        
          B
        
        ⋅
        d
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }
  
的改變，磁通量
  
    
      
        
          Φ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi _{B}}
  
也會改變。再舉一個例子，假若閉迴路掃掠過一個均勻的不含時磁場，由於閉迴路的形變，磁通量
  
    
      
        
          Φ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi _{B}}
  
會改變。對於這三個案例，法拉第電磁感應定律正確地計算出磁通量變化率
  
    
      
        
          
            
              d
              
                Φ
                
                  B
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
  
所產生的電動勢。
對比前面所述狀況，假設固定的閉迴路處於含時磁場
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
，馬克士威-法拉第方程式會顯示出一個非保守性的電場
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
產生於閉迴路，靠著勞侖茲力的
  
    
      
        q
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle q\mathbf {E} }
  
項目，驅使載電粒子移動於導線。這狀況也會改變磁通量
  
    
      
        
          Φ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi _{B}}
  
，法拉第電磁感應定律也會正確地計算出磁通量變化率
  
    
      
        
          
            
              d
              
                Φ
                
                  B
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
  
所產生的電動勢。


用位勢來表達勞侖茲力方程式 根據亥姆霍兹分解（Helmholtz decomposition），電場和磁場可以用電勢
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
和磁向量勢
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
來表達：

  
    
      
        
          E
        
        =
        −
        ∇
        ϕ
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
  

  
    
      
        
          B
        
        =
        ∇
        ×
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
  

其中∇为梯度，∇⋅ 为散度，∇× 为旋度。
將這兩個公式代入勞侖茲力方程式，則可得到

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        
          [
          
            −
            ∇
            ϕ
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              v
            
            ×
            (
            ∇
            ×
            
              A
            
            )
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]}
  

可以化简为


勞侖茲力方程式的協變形式 定義粒子的四維速度
  
    
      
        
          u
          
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{\beta }}
  
為

  
    
      
        
          u
          
            β
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        (
        
          u
          
            0
          
        
        ,
        
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
        
          u
          
            2
          
        
        ,
        
        
          u
          
            3
          
        
        )
        =
        γ
        (
        c
        ,
        
        −
        
          v
          
            x
          
        
        ,
        
        −
        
          v
          
            y
          
        
        ,
        
        −
        
          v
          
            z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u_{\beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})}
  
；
其中，
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是勞侖茲因子，
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
是光速，
  
    
      
        
          v
        
        =
        (
        
          v
          
            x
          
        
        ,
        
        
          v
          
            y
          
        
        ,
        
        
          v
          
            z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})}
  
是粒子的速度向量。
定義電磁場張量
  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{\alpha \beta }}
  
為

  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    E
                    
                      x
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    E
                    
                      y
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    E
                    
                      z
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
              
              
                
                  
                    E
                    
                      x
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    E
                    
                      y
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  
                    B
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    E
                    
                      z
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
是電場向量，
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
是磁場向量。
結合牛頓運動定律與勞侖茲力定律在一起，以電磁場張量寫為反變形式（contravariant form）：

  
    
      
        
          
            
              d
              
                p
                
                  α
                
              
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        q
        
          u
          
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{\alpha \beta }}
  
；
其中，
  
    
      
        
          p
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{\alpha }}
  
是四維動量，
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
是粒子的固有時。
應用勞侖茲變換，電磁場張量可以從一個參考系
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
轉換到另一個參考系
  
    
      
        
          
            
              S
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {S}}}
  
：

  
    
      
        
          
            
              
                F
                ¯
              
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            
              Λ
              
                μ
              
            
          
          
            α
          
        
        
          
            
              Λ
              
                ν
              
            
          
          
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            
              Λ
              
                μ
              
            
          
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }}
  
和
  
    
      
        
          
            
              Λ
              
                ν
              
            
          
          
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle {\Lambda ^{\nu }}_{\beta }}
  
是勞侖茲變換矩陣。
換另一種方法，定義四維勢
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\alpha }}
  
為

  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        (
        ϕ
        
          /
        
        c
        ,
        
        
          A
          
            x
          
        
        ,
        
        
          A
          
            y
          
        
        ,
        
        
          A
          
            z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})}
  
；
其中，
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
是電勢，
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
是磁向量勢。
定義四維坐標  
  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{\alpha }}
  
為

  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        (
        c
        t
        ,
        
        −
        x
        ,
        
        −
        y
        ,
        
        −
        z
        )
      
    
    {\displaystyle x_{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,-x,\,-y,\,-z)}
  
。
那麼，電磁場張量為

  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  α
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}}
  
。


= 從勞侖茲力方程式的張量形式計算向量形式 =
先計算四維力（four-force）的
  
    
      
        μ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \mu =1}
  
分量（x-分量）：

  
    
      
        γ
        
          
            
              d
              
                p
                
                  1
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                p
                
                  1
                
              
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        q
        
          u
          
            β
          
        
        
          F
          
            1
            β
          
        
        =
        q
        
          (
          
            
              u
              
                0
              
            
            
              F
              
                10
              
            
            +
            
              u
              
                1
              
            
            
              F
              
                11
              
            
            +
            
              u
              
                2
              
            
            
              F
              
                12
              
            
            +
            
              u
              
                3
              
            
            
              F
              
                13
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}={\frac {dp^{1}}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{1\beta }=q\left(u_{0}F^{10}+u_{1}F^{11}+u_{2}F^{12}+u_{3}F^{13}\right)}
  
。
將電磁場張量的分量代入，可以得到

  
    
      
        γ
        
          
            
              d
              
                p
                
                  1
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        q
        
          (
          
            
              u
              
                0
              
            
            
              (
              
                
                  
                    E
                    
                      x
                    
                  
                  c
                
              
              )
            
            +
            
              u
              
                2
              
            
            (
            −
            
              B
              
                z
              
            
            )
            +
            
              u
              
                3
              
            
            (
            
              B
              
                y
              
            
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\left(u_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+u_{2}(-B_{z})+u_{3}(B_{y})\right)}
  
。
再將四維速度的分量代入，則會得到

  
    
      
        γ
        
          
            
              d
              
                p
                
                  1
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        q
        γ
        
          (
          
            c
            
              (
              
                
                  
                    E
                    
                      x
                    
                  
                  c
                
              
              )
            
            +
            
              v
              
                y
              
            
            
              B
              
                z
              
            
            −
            
              v
              
                z
              
            
            
              B
              
                y
              
            
          
          )
        
        =
        q
        γ
        [
        
          E
          
            x
          
        
        +
        (
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        
          )
          
            x
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]}
  
。
類似地，可以計算出四維力的
  
    
      
        μ
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \mu =2}
  
和
  
    
      
        μ
        =
        3
      
    
    {\displaystyle \mu =3}
  
分量。所以，

  
    
      
        
          
            
              d
              
                p
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        q
        (
        
          E
        
        +
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
  
。


參閱 參考文獻 外部連結 National High Magnetic Field Laboratory的Java互動教學網頁：勞侖茲力。