巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由義大利數學家皮耶特罗·门戈利在1644年提出，瑞士數學家莱昂哈德·欧拉於1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，年仅二十八岁的欧拉因此一举成名。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被德國數學家黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》（Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。
这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和，也就是以下级数的和：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            +
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  1
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              
                1
                
                  n
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)}
  

这个级数的和大约等于1.644934（OEIS數列A013661）。巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，并证明它是正确的。欧拉发现准确值是
  
    
      
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  
，并在1735年公布；彼时他給出了一個錯誤的证明，真正严密的证明在1741年给出。


收敛性证明 利用放缩法可以简便地证明级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
  
有界，並由单调收敛定理得到收敛性。
注意到
  
    
      
        ∀
        n
        ∈
        
          
            N
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}}
  
且
  
    
      
        n
        ⩾
        2
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 2}
  
，
  
    
      
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        <
        
          
            1
            
              
                (
                
                  n
                  −
                  1
                
                )
              
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}<{\frac {1}{\left(n-1\right)n}}}
  
。故

  
    
      
        
          
            
              
                1
                +
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        
                          2
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        1
                        
                          3
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    +
                    ⋯
                    +
                    
                      
                        1
                        
                          n
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                <
                1
                +
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        
                          1
                          ×
                          2
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        1
                        
                          2
                          ×
                          3
                        
                      
                    
                    +
                    ⋯
                    +
                    
                      
                        1
                        
                          
                            (
                            
                              n
                              −
                              1
                            
                            )
                          
                          n
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                1
                +
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        1
                        n
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                <
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}1+\left({\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)&<1+\left({\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+\cdots +{\frac {1}{\left(n-1\right)n}}\right)\\&=1+\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\\&<2\end{aligned}}}
  

故
  
    
      
        1
        <
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        <
        2
      
    
    {\displaystyle 1<\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<2}
  
。


欧拉的錯誤證明 欧拉最初推导
  
    
      
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\,}
  
的方法是聪明和新颖的。他假设有限多项式的性质对于无穷级数也是成立的。然而，欧拉沒有證明此一假设，且此一假設在一般情況下也是錯誤的。不過他计算了级数的部分和后发现，级数確實趨近
  
    
      
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\,}
  
，不多不少。这给了他足够的自信心，把这个结果公诸于众。
欧拉的方法是从正弦函数的泰勒级数展开式开始：

  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        =
        x
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            
              5
              !
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                7
              
            
            
              7
              !
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }
  

两边除以
  
    
      
        x
        
      
    
    {\displaystyle x\,}
  
，得：

  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            
              5
              !
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                6
              
            
            
              7
              !
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }
  

现在，
  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=0\,}
  
的根出现在
  
    
      
        x
        =
        n
        ⋅
        π
        
      
    
    {\displaystyle x=n\cdot \pi \,}
  
，其中
  
    
      
        n
        =
        ±
        1
        ,
        ±
        2
        ,
        ±
        3
        ,
        …
        
      
    
    {\displaystyle n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \,}
  
我们假设可以把这个无穷级数表示为线性因子的乘积，就像把多项式因式分解一样：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      x
                    
                    x
                  
                
              
              
                
                

                
                =
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        x
                        π
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      
                        x
                        π
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        x
                        
                          2
                          π
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      
                        x
                        
                          2
                          π
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        x
                        
                          3
                          π
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      
                        x
                        
                          3
                          π
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                ⋯
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        
                          π
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        
                          4
                          
                            π
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        
                          9
                          
                            π
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                ⋯
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&{}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}}
  

如果把这个乘积展开，并把所有有
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}\,}
  
的项收集在一起，我们可以看到， 
  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}
  
的二次项系数为：

  
    
      
        −
        
          (
          
            
              
                1
                
                  π
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  4
                  
                    π
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  9
                  
                    π
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            ⋯
          
          )
        
        =
        −
        
          
            1
            
              π
              
                2
              
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
  

但从
  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}
  
原先的级数展开式中可以看出，
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}\,}
  
的系数是
  
    
      
        −
        
          
            1
            
              3
              !
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            6
          
        
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {1}{3!}}=-{\frac {1}{6}}\,}
  
。这两个系数一定是相等的；因此，

  
    
      
        −
        
          
            1
            6
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              π
              
                2
              
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
  

等式两边乘以
  
    
      
        −
        
          π
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle -\pi ^{2}\,}
  
就可以得出所有平方数的倒数之和。

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  


黎曼ζ函数 黎曼ζ函数ζ(s)是数学中的一个很重要的函数，因为它与素数的分布密切相关。这个函数对于任何实数部分大于1的复数s都是有定义的，由以下公式定义：

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
  

取s = 2，我们可以看出ζ(2)等于所有平方数的倒数之和：

  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              4
              
                2
              
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
        ≈
        1.644934
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934}
  

用以下的等式，可以证明这个级数收敛：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        <
        1
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            2
          
          
            N
          
        
        
          
            1
            
              n
              (
              n
              −
              1
              )
            
          
        
        =
        1
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            2
          
          
            N
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
            −
            
              
                1
                n
              
            
          
          )
        
        =
        1
        +
        1
        −
        
          
            1
            N
          
        
        
        
          
            →
            
              N
              →
              ∞
            
          
        
        
        2
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)=1+1-{\frac {1}{N}}\,{\xrightarrow {N\to \infty }}\,2}
  

因此ζ(2)的上界小于2，因为这个级数只含有正数项，它一定是收敛的。可以证明，当s是正的偶数时，ζ(s)可以用伯努利数来表示。设
  
    
      
        s
        =
        2
        n
      
    
    {\displaystyle s=2n}
  
，有以下公式：

  
    
      
        ζ
        (
        2
        n
        )
        =
        
          
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  2
                  n
                
              
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                B
                
                  2
                  n
                
              
            
            
              2
              ⋅
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}}
  


严密的证明 以下介绍了一个
  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  
的证明。它是目前已知最基本的证明，大部分其它的证明都需要用到傅里叶分析、复分析和多变量微积分，但这个证明连一元微积分也不需要（在证明的最后部分需要使用极限的概念）。
考虑面积，
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        tan
        ⁡
        θ
        >
        
          
            1
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        θ
        >
        
          
            1
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\tan \theta >{\frac {1}{2}}r^{2}\theta >{\frac {1}{2}}r^{2}\sin \theta }
  

  
    
      
        tan
        ⁡
        θ
        >
        θ
        >
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \tan \theta >\theta >\sin \theta }
  

  
    
      
        
          
            1
            
              tan
              ⁡
              θ
            
          
        
        <
        
          
            1
            θ
          
        
        <
        
          
            1
            
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}<{\frac {1}{\theta }}<{\frac {1}{\sin \theta }}}
  

  
    
      
        
          cot
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        <
        
          
            1
            
              θ
              
                2
              
            
          
        
        <
        
          csc
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \cot ^{2}\theta <{\frac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta }
  

这个证明的想法是把以下的部分和固定在两个表达式之间，这两个表达式当m趋于无穷大时都趋于
  
    
      
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  
。

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          
            1
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            1
            
              m
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}}
  

这两个表达式从余切和余割的恒等式推出。而这些恒等式则从棣莫弗定理推出。
设x为一个实数，满足0 < x < π/2，并设n为正整数。从棣莫弗定理和余切函数的定义，可得：

  
    
      
        
          
            
              cos
              ⁡
              (
              n
              x
              )
              +
              i
              sin
              ⁡
              (
              n
              x
              )
            
            
              (
              sin
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              cos
              ⁡
              x
              +
              i
              sin
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              (
              sin
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  x
                  +
                  i
                  sin
                  ⁡
                  x
                
                
                  sin
                  ⁡
                  x
                
              
            
            )
          
          
            n
          
        
        =
        (
        cot
        ⁡
        x
        +
        i
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\cos(nx)+i\sin(nx)}{(\sin x)^{n}}}={\frac {(\cos x+i\sin x)^{n}}{(\sin x)^{n}}}=\left({\frac {\cos x+i\sin x}{\sin x}}\right)^{n}=(\cot x+i)^{n}}
  

根据二项式定理，我们有：

  
    
      
        (
        cot
        ⁡
        x
        +
        i
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              n
              0
            
            
              )
            
          
        
        
          cot
          
            n
          
        
        ⁡
        x
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              1
            
            
              )
            
          
        
        (
        
          cot
          
            n
            −
            1
          
        
        ⁡
        x
        )
        i
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              
                n
                −
                1
              
            
            
              )
            
          
        
        (
        cot
        ⁡
        x
        )
        
          i
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              n
            
            
              )
            
          
        
        
          i
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (\cot x+i)^{n}={n \choose 0}\cot ^{n}x+{n \choose 1}(\cot ^{n-1}x)i+\cdots +{n \choose {n-1}}(\cot x)i^{n-1}+{n \choose n}i^{n}}
  

  
    
      
        =
        
          [
          
            
              
                
                  (
                
                
                  n
                  0
                
                
                  )
                
              
            
            
              cot
              
                n
              
            
            ⁡
            x
            −
            
              
                
                  (
                
                
                  n
                  2
                
                
                  )
                
              
            
            
              cot
              
                n
                −
                2
              
            
            ⁡
            x
            ±
            ⋯
          
          ]
        
        
        +
        
        i
        
          [
          
            
              
                
                  (
                
                
                  n
                  1
                
                
                  )
                
              
            
            
              cot
              
                n
                −
                1
              
            
            ⁡
            x
            −
            
              
                
                  (
                
                
                  n
                  3
                
                
                  )
                
              
            
            
              cot
              
                n
                −
                3
              
            
            ⁡
            x
            ±
            ⋯
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle =\left[{n \choose 0}\cot ^{n}x-{n \choose 2}\cot ^{n-2}x\pm \cdots \right]\;+\;i\left[{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots \right]}
  

把两个方程合并，由于相等的两个复数的虚数部分也一定相等，因此有：

  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              n
              x
              )
            
            
              (
              sin
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        
          [
          
            
              
                
                  (
                
                
                  n
                  1
                
                
                  )
                
              
            
            
              cot
              
                n
                −
                1
              
            
            ⁡
            x
            −
            
              
                
                  (
                
                
                  n
                  3
                
                
                  )
                
              
            
            
              cot
              
                n
                −
                3
              
            
            ⁡
            x
            ±
            ⋯
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin(nx)}{(\sin x)^{n}}}=\left[{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots \right]}
  

固定一个正整数m，设n = 2m + 1，并考虑xr = r π/(2m + 1)对于r = 1、2、……、m。那么nxr是π的倍数，因此是正弦函数的零点，所以：

  
    
      
        0
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                m
                +
                1
              
              1
            
            
              )
            
          
        
        
          cot
          
            2
            m
          
        
        ⁡
        
          x
          
            r
          
        
        −
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                m
                +
                1
              
              3
            
            
              )
            
          
        
        
          cot
          
            2
            m
            −
            2
          
        
        ⁡
        
          x
          
            r
          
        
        ±
        ⋯
        +
        (
        −
        1
        
          )
          
            m
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                m
                +
                1
              
              
                2
                m
                +
                1
              
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 0={{2m+1} \choose 1}\cot ^{2m}x_{r}-{{2m+1} \choose 3}\cot ^{2m-2}x_{r}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}}
  

对于所有的r = 1、2、……、m。x1、……、xm是区间(0, π/2)内不同的数。由于函数cot2 x在这个区间内是一一对应的，因此当r = 1、2、……、m时，tr = cot2 xr的值各不同。根据以上方程，这些m个"tr"是以下m次多项式的根：

  
    
      
        p
        (
        t
        )
        :=
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                m
                +
                1
              
              1
            
            
              )
            
          
        
        
          t
          
            m
          
        
        −
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                m
                +
                1
              
              3
            
            
              )
            
          
        
        
          t
          
            m
            −
            1
          
        
        ±
        ⋯
        +
        (
        −
        1
        
          )
          
            m
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                m
                +
                1
              
              
                2
                m
                +
                1
              
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p(t):={{2m+1} \choose 1}t^{m}-{{2m+1} \choose 3}t^{m-1}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}}
  

根据韦达定理，我们可以直接从这个多项式的头两项计算出所有根的和，因此：

  
    
      
        
          cot
          
            2
          
        
        ⁡
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          cot
          
            2
          
        
        ⁡
        
          x
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          cot
          
            2
          
        
        ⁡
        
          x
          
            m
          
        
        =
        
          
            
              
                (
              
              
                
                  2
                  m
                  +
                  1
                
                3
              
              
                )
              
            
            
              
                (
              
              
                
                  2
                  m
                  +
                  1
                
                1
              
              
                )
              
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              m
              (
              2
              m
              −
              1
              )
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \cot ^{2}x_{1}+\cot ^{2}x_{2}+\cdots +\cot ^{2}x_{m}={\frac {\binom {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}}={\frac {2m(2m-1)}{6}}}
  

把恒等式csc2 x = cot2 x + 1代入，可得：

  
    
      
        
          csc
          
            2
          
        
        ⁡
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          csc
          
            2
          
        
        ⁡
        
          x
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          csc
          
            2
          
        
        ⁡
        
          x
          
            m
          
        
        =
        
          
            
              2
              m
              (
              2
              m
              −
              1
              )
            
            6
          
        
        +
        m
        =
        
          
            
              2
              m
              (
              2
              m
              +
              2
              )
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \csc ^{2}x_{1}+\csc ^{2}x_{2}+\cdots +\csc ^{2}x_{m}={\frac {2m(2m-1)}{6}}+m={\frac {2m(2m+2)}{6}}}
  

现在考虑不等式cot2 x < 1/x2 < csc2 x。如果我们把对于xr = r π/(2m + 1)的所有不等式相加起来，并利用以上的两个恒等式，便可得到：

  
    
      
        
          
            
              2
              m
              (
              2
              m
              −
              1
              )
            
            6
          
        
        <
        
          
            (
            
              
                
                  2
                  m
                  +
                  1
                
                π
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                
                  2
                  m
                  +
                  1
                
                
                  2
                  π
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            (
            
              
                
                  2
                  m
                  +
                  1
                
                
                  m
                  π
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        <
        
          
            
              2
              m
              (
              2
              m
              +
              2
              )
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2m(2m-1)}{6}}<\left({\frac {2m+1}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac {2m(2m+2)}{6}}}
  

把不等式乘以(π/(2m + 1))2，便得：

  
    
      
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
        
          (
          
            
              
                2
                m
              
              
                2
                m
                +
                1
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              
                2
                m
                −
                1
              
              
                2
                m
                +
                1
              
            
          
          )
        
        <
        
          
            1
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            1
            
              m
              
                2
              
            
          
        
        <
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
        
          (
          
            
              
                2
                m
              
              
                2
                m
                +
                1
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              
                2
                m
                +
                2
              
              
                2
                m
                +
                1
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m-1}{2m+1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{2m+1}}\right)}
  

当m趋于无穷大时，左面和右面的表达式都趋于
  
    
      
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  
，因此根据夹挤定理，有：

  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            m
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  1
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              
                1
                
                  m
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\lim _{m\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  

证毕。


二重积分的证明 首先考虑二重积分
  
    
      
        
          ∬
          
            
              D
              
                1
              
            
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
              
                d
              
              y
            
            
              1
              −
              x
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-xy}}}
  
的级数展开形式，其中区域D1为x∈(0,1)且y∈(0,1)的正方形区域：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∬
                  
                    
                      D
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      x
                      
                        d
                      
                      y
                    
                    
                      1
                      −
                      x
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      ∫
                      
                        0
                      
                      
                        1
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          x
                        
                        
                          1
                          −
                          x
                          y
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  d
                
                y
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      ∫
                      
                        0
                      
                      
                        1
                      
                    
                    
                      ∑
                      
                        n
                        =
                        1
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    (
                    x
                    y
                    
                      )
                      
                        n
                        −
                        1
                      
                    
                    
                      d
                    
                    x
                  
                  ]
                
                
                  d
                
                y
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                    
                      
                        ∑
                        
                          n
                          =
                          1
                        
                        
                          ∞
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              x
                              
                                n
                              
                            
                            
                              y
                              
                                n
                                −
                                1
                              
                            
                          
                          n
                        
                      
                    
                    |
                  
                  
                    x
                    =
                    0
                  
                  
                    x
                    =
                    1
                  
                
                
                  d
                
                y
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      y
                      
                        n
                        −
                        1
                      
                    
                    n
                  
                
                
                  d
                
                y
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                    
                      
                        ∑
                        
                          n
                          =
                          1
                        
                        
                          ∞
                        
                      
                      
                        
                          
                            y
                            
                              n
                            
                          
                          
                            n
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                  
                    y
                    =
                    0
                  
                  
                    y
                    =
                    1
                  
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      n
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-xy}}&=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{1-xy}}\right)\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(xy)^{n-1}\mathrm {d} x\right]\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left.\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}y^{n-1}}{n}}\right|_{x=0}^{x=1}\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n-1}}{n}}\mathrm {d} y\\&=\left.\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n}}{n^{2}}}\right|_{y=0}^{y=1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\end{aligned}}}
  

接下来考虑做如下变换：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  u
                  cos
                  ⁡
                  
                    
                      
                        π
                        4
                      
                    
                  
                  −
                  v
                  sin
                  ⁡
                  
                    
                      
                        π
                        4
                      
                    
                  
                  =
                  
                    
                      
                        
                          u
                          −
                          v
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  y
                  =
                  u
                  sin
                  ⁡
                  
                    
                      
                        π
                        4
                      
                    
                  
                  +
                  v
                  cos
                  ⁡
                  
                    
                      
                        π
                        4
                      
                    
                  
                  =
                  
                    
                      
                        
                          u
                          +
                          v
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=u\cos {\dfrac {\pi }{4}}-v\sin {\dfrac {\pi }{4}}={\dfrac {u-v}{\sqrt {2}}}\\y=u\sin {\dfrac {\pi }{4}}+v\cos {\dfrac {\pi }{4}}={\dfrac {u+v}{\sqrt {2}}}\\\end{cases}}}
  

相当于将正方形区域D1旋转45°之后变成D2，但仍然保持其形状与面积，其中正方形D2的四个顶点在(u,v)下的坐标分别是
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
、
  
    
      
        (
        1
        
          /
        
        
          
            2
          
        
        ,
        −
        1
        
          /
        
        
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (1/{\sqrt {2}},-1/{\sqrt {2}})}
  
、
  
    
      
        (
        
          
            2
          
        
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle ({\sqrt {2}},0)}
  
、
  
    
      
        (
        1
        
          /
        
        
          
            2
          
        
        ,
        1
        
          /
        
        
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})}
  
：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∬
                  
                    
                      D
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      x
                      
                        d
                      
                      y
                    
                    
                      1
                      −
                      x
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ∬
                  
                    
                      D
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      u
                      
                        d
                      
                      v
                    
                    
                      1
                      −
                      
                        
                          
                            (
                            u
                            −
                            v
                            )
                            (
                            u
                            +
                            v
                            )
                          
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                =
                2
                
                  ∬
                  
                    
                      D
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      u
                      
                        d
                      
                      v
                    
                    
                      2
                      −
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        v
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                2
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      1
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      ∫
                      
                        −
                        u
                      
                      
                        u
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          v
                        
                        
                          2
                          −
                          
                            u
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            v
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  d
                
                u
                +
                2
                
                  ∫
                  
                    
                      1
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      ∫
                      
                        u
                        −
                        
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            2
                          
                        
                        −
                        u
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          v
                        
                        
                          2
                          −
                          
                            u
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            v
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  d
                
                u
              
            
            
              
              
                
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      1
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      ∫
                      
                        0
                      
                      
                        u
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          v
                        
                        
                          2
                          −
                          
                            u
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            v
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  d
                
                u
                +
                4
                
                  ∫
                  
                    
                      1
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      ∫
                      
                        0
                      
                      
                        
                          
                            2
                          
                        
                        −
                        u
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          v
                        
                        
                          2
                          −
                          
                            u
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            v
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  d
                
                u
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  I
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  I
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-xy}}&=\iint \limits _{D_{2}}{\frac {\mathrm {d} u\mathrm {d} v}{1-{\frac {(u-v)(u+v)}{2}}}}=2\iint \limits _{D_{2}}{\frac {\mathrm {d} u\mathrm {d} v}{2-u^{2}+v^{2}}}\\&=2\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\int _{-u}^{u}{\frac {\mathrm {d} v}{2-u^{2}+v^{2}}}\right)\mathrm {d} u+2\int _{\frac {1}{\sqrt {2}}}^{\sqrt {2}}\left(\int _{u-{\sqrt {2}}}^{{\sqrt {2}}-u}{\frac {\mathrm {d} v}{2-u^{2}+v^{2}}}\right)\mathrm {d} u\\&=4\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} v}{2-u^{2}+v^{2}}}\right)\mathrm {d} u+4\int _{\frac {1}{\sqrt {2}}}^{\sqrt {2}}\left(\int _{0}^{{\sqrt {2}}-u}{\frac {\mathrm {d} v}{2-u^{2}+v^{2}}}\right)\mathrm {d} u\\&=I_{1}+I_{2}\end{aligned}}}
  

最后一行用到的是偶函数的性质化简积分，并且将加号前后的两个积分（包括前面的系数）简记为I1与I2。先计算I1，下面变量代换设
  
    
      
        u
        =
        
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle u={\sqrt {2}}\sin \theta }
  
，则有
  
    
      
        
          d
        
        u
        =
        
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        θ
        
          d
        
        θ
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} u={\sqrt {2}}\cos \theta \mathrm {d} \theta }
  
：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  I
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      1
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                    
                      
                        
                          arctan
                          ⁡
                          
                            
                              v
                              
                                2
                                −
                                
                                  u
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                        
                          2
                          −
                          
                            u
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                  
                    v
                    =
                    0
                  
                  
                    v
                    =
                    u
                  
                
                
                  d
                
                u
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      1
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      arctan
                      ⁡
                      
                        
                          u
                          
                            2
                            −
                            
                              u
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      2
                      −
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  d
                
                u
              
            
            
              
              
                
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      π
                      6
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          2
                        
                      
                      cos
                      ⁡
                      θ
                      ⋅
                      arctan
                      ⁡
                      
                        
                          
                            
                              
                                2
                              
                            
                            sin
                            ⁡
                            θ
                          
                          
                            2
                            −
                            2
                            
                              sin
                              
                                2
                              
                            
                            ⁡
                            θ
                          
                        
                      
                    
                    
                      2
                      −
                      2
                      
                        sin
                        
                          2
                        
                      
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
                
                  d
                
                θ
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      π
                      6
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          2
                        
                      
                      cos
                      ⁡
                      θ
                      ⋅
                      arctan
                      ⁡
                      
                        
                          
                            
                              
                                2
                              
                            
                            sin
                            ⁡
                            θ
                          
                          
                            
                              
                                2
                              
                            
                            cos
                            ⁡
                            θ
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          2
                        
                      
                      cos
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
                
                  d
                
                θ
              
            
            
              
              
                
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      π
                      6
                    
                  
                
                arctan
                ⁡
                tan
                ⁡
                θ
                
                  d
                
                θ
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      π
                      6
                    
                  
                
                θ
                
                  d
                
                θ
                =
                2
                
                  θ
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    
                      |
                    
                  
                  
                    θ
                    =
                    0
                  
                  
                    θ
                    =
                    
                      
                        π
                        6
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    
                      π
                      
                        2
                      
                    
                    18
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=4\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left.{\frac {\arctan {\frac {v}{\sqrt {2-u^{2}}}}}{\sqrt {2-u^{2}}}}\right|_{v=0}^{v=u}\mathrm {d} u=4\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\arctan {\frac {u}{\sqrt {2-u^{2}}}}}{\sqrt {2-u^{2}}}}\mathrm {d} u\\&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{6}}{\frac {{\sqrt {2}}\cos \theta \cdot \arctan {\frac {{\sqrt {2}}\sin \theta }{\sqrt {2-2\sin ^{2}\theta }}}}{\sqrt {2-2\sin ^{2}\theta }}}\mathrm {d} \theta =4\int _{0}^{\frac {\pi }{6}}{\frac {{\sqrt {2}}\cos \theta \cdot \arctan {\frac {{\sqrt {2}}\sin \theta }{{\sqrt {2}}\cos \theta }}}{{\sqrt {2}}\cos \theta }}\mathrm {d} \theta \\&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{6}}\arctan \tan \theta \mathrm {d} \theta =4\int _{0}^{\frac {\pi }{6}}\theta \mathrm {d} \theta =2\theta ^{2}{\bigg |}_{\theta =0}^{\theta ={\frac {\pi }{6}}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}\end{aligned}}}
  

类似地，再计算I2，下面变量代换设
  
    
      
        u
        =
        
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle u={\sqrt {2}}\cos \theta }
  
，则有
  
    
      
        
          d
        
        u
        =
        −
        
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        
          d
        
        θ
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} u=-{\sqrt {2}}\sin \theta \mathrm {d} \theta }
  
，并且交换积分上下限从负号变回正号：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  I
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    
                      1
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                    
                      
                        
                          arctan
                          ⁡
                          
                            
                              v
                              
                                2
                                −
                                
                                  u
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                        
                          2
                          −
                          
                            u
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                  
                    v
                    =
                    0
                  
                  
                    v
                    =
                    
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    u
                  
                
                
                  d
                
                u
                =
                
                  ∫
                  
                    
                      1
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      arctan
                      ⁡
                      
                        
                          
                            
                              
                                2
                              
                            
                            −
                            u
                          
                          
                            2
                            −
                            
                              u
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      2
                      −
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  d
                
                u
              
            
            
              
              
                
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      π
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          2
                        
                      
                      sin
                      ⁡
                      θ
                      ⋅
                      arctan
                      ⁡
                      
                        
                          
                            
                              
                                2
                              
                            
                            −
                            
                              
                                2
                              
                            
                            cos
                            ⁡
                            θ
                          
                          
                            2
                            −
                            2
                            
                              cos
                              
                                2
                              
                            
                            ⁡
                            θ
                          
                        
                      
                    
                    
                      2
                      −
                      2
                      
                        cos
                        
                          2
                        
                      
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
                
                  d
                
                θ
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      π
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          2
                        
                      
                      sin
                      ⁡
                      θ
                      ⋅
                      arctan
                      ⁡
                      
                        
                          
                            
                              
                                2
                              
                            
                            (
                            1
                            −
                            cos
                            ⁡
                            θ
                            )
                          
                          
                            
                              
                                2
                              
                            
                            sin
                            ⁡
                            θ
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          2
                        
                      
                      sin
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
                
                  d
                
                θ
              
            
            
              
              
                
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      π
                      3
                    
                  
                
                arctan
                ⁡
                tan
                ⁡
                
                  
                    θ
                    2
                  
                
                
                  d
                
                θ
                =
                4
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    
                      π
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    θ
                    2
                  
                
                
                  d
                
                θ
                =
                
                  θ
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    
                      |
                    
                  
                  
                    θ
                    =
                    0
                  
                  
                    θ
                    =
                    
                      
                        π
                        3
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    
                      π
                      
                        2
                      
                    
                    9
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}&=4\int _{\frac {1}{\sqrt {2}}}^{\sqrt {2}}\left.{\frac {\arctan {\frac {v}{\sqrt {2-u^{2}}}}}{\sqrt {2-u^{2}}}}\right|_{v=0}^{v={\sqrt {2}}-u}\mathrm {d} u=\int _{\frac {1}{\sqrt {2}}}^{\sqrt {2}}{\frac {\arctan {\frac {{\sqrt {2}}-u}{\sqrt {2-u^{2}}}}}{\sqrt {2-u^{2}}}}\mathrm {d} u\\&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}{\frac {{\sqrt {2}}\sin \theta \cdot \arctan {\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}\cos \theta }{\sqrt {2-2\cos ^{2}\theta }}}}{\sqrt {2-2\cos ^{2}\theta }}}\mathrm {d} \theta =4\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}{\frac {{\sqrt {2}}\sin \theta \cdot \arctan {\frac {{\sqrt {2}}(1-\cos \theta )}{{\sqrt {2}}\sin \theta }}}{{\sqrt {2}}\sin \theta }}\mathrm {d} \theta \\&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\arctan \tan {\frac {\theta }{2}}\mathrm {d} \theta =4\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}{\frac {\theta }{2}}\mathrm {d} \theta =\theta ^{2}{\bigg |}_{\theta =0}^{\theta ={\frac {\pi }{3}}}={\frac {\pi ^{2}}{9}}\end{aligned}}}
  

最终可以得到：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          ∬
          
            
              D
              
                1
              
            
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
              
                d
              
              y
            
            
              1
              −
              x
              y
            
          
        
        =
        2
        
          ∬
          
            
              D
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                d
              
              u
              
                d
              
              v
            
            
              2
              −
              
                u
                
                  2
                
              
              +
              
                v
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          I
          
            1
          
        
        +
        
          I
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            18
          
        
        +
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            9
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-xy}}=2\iint \limits _{D_{2}}{\frac {\mathrm {d} u\mathrm {d} v}{2-u^{2}+v^{2}}}=I_{1}+I_{2}={\frac {\pi ^{2}}{18}}+{\frac {\pi ^{2}}{9}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  

证毕。


傅里叶级数的证明 设有函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=x}
  
，其定义域为
  
    
      
        x
        ∈
        (
        −
        π
        ,
        π
        )
      
    
    {\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}
  
。这个函数的傅里叶级数是：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              2
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            n
          
        
        sin
        ⁡
        (
        n
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx)}
  
。
根据帕塞瓦尔恒等式，我们有：

  
    
      
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            3
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            π
          
        
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            π
          
        
        (
        2
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            n
          
        
        sin
        ⁡
        (
        n
        t
        )
        
          )
          
            2
          
        
        d
        t
        =
        2
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\pi ^{2} \over 3}={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }(2{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nt))^{2}dt=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}}
  

因此

  
    
      
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\pi ^{2} \over 6}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}}
  

证毕。


参考文献 Weil, Andre, Number Theory: An Approach Through History, Springer-Verlag, 1983, ISBN 0-8176-3141-0 .
Dunham, William, Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America, 1999, ISBN 0-88385-328-0 .
Derbyshire, John, Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press, 2003, ISBN 0-309-08549-7 .
Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M., Proofs from THE BOOK, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998 
Edwards, Harold M., Riemann's Zeta Function, Dover, 2001, ISBN 0-486-41740-9 .


外部链接 （英文）欧拉对巴塞尔问题的解法──一个很长的故事PDF（61.7 KiB）
（英文）欧拉是怎样解决的PDF（265 KiB）
（英文）欧拉和伯努利的无穷级数增添了一个微积分班级的趣味PDF（106 KiB）
（英文）ζ(2)=π2/6的十四种证明 （页面存档备份，存于互联网档案馆），由Robin Chapman编制