磁矩是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場的磁鐵，會感受到力矩，促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩可以用向量表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，載流迴路、電子、分子或行星等等，都具有磁矩。
科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子。一般磁性物質的磁場，其泰勒展開的多極展開式，由於磁單極子項目恆等於零，第一個項目是磁偶極子項、第二個項目是磁四極子（quadrupole）項，以此类推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要項目，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同。


概述 一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積：

  
    
      
        
          μ
        
        =
        I
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          μ
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
  
為磁偶極矩，
  
    
      
        I
        
        
      
    
    {\displaystyle I\,\!}
  
為電流，
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則決定。
處於外磁場的載流迴圈，其感受到的力矩和其勢能與磁偶極矩的關係為：

  
    
      
        
          τ
        
        =
        
          μ
        
        ×
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}
  
、

  
    
      
        U
        =
        −
        
          μ
        
        ⋅
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          τ
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
  
為力矩，
  
    
      
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
  
為磁場，
  
    
      
        U
        
        
      
    
    {\displaystyle U\,\!}
  
為勢能。
許多基本粒子，例如電子，都具有內稟磁矩。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有關，必須用量子力學來解釋。這些內稟磁矩是量子化的，最小的基本單位，常常稱為「磁子」（magneton）。例如，電子自旋的磁矩與波耳磁子的關係式為：

  
    
      
        
          
            μ
          
          
            s
          
        
        =
        −
        
          g
          
            s
          
        
        
          μ
          
            B
          
        
        
          S
        
        
          /
        
        ℏ
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}=-g_{s}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            μ
          
          
            s
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}\,\!}
  
為電子自旋的磁矩，電子自旋g因子
  
    
      
        
          g
          
            s
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{s}\,\!}
  
是一項比例常數，
  
    
      
        
          μ
          
            B
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{B}\,\!}
  
為波耳磁子，
  
    
      
        
          S
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
  
為電子的自旋，
  
    
      
        ℏ
        
        
      
    
    {\displaystyle \hbar \,\!}
  
是約化普朗克常數。


單位 採用國際單位制，磁偶極矩的因次是面積×電流。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法：

1 安培·公尺2 = 1 焦耳／特斯拉。
CGS單位制又可細分為幾種亞單位制：靜電單位制（electrostatic units），電磁單位制（electromagnetic units）、高斯單位制。

磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分／秒的光速。
在這篇文章內，所有的方程式都採用國際單位制。


兩種磁源 在任何物理系統裏，磁矩最基本的源頭有兩種：

電荷的運動，像電流，會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈（或者所有的電荷的位置和速度），理論上就可以計算出磁矩。
像電子、質子一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數，可以用理論推導出來，得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如，電子磁矩的測量值是−9.284764×10−24焦耳／特斯拉。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向（電子磁矩的測量值是負值，這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向）。
整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量和：

電子的自旋。
電子環繞著質子的軌域運動。
質子的自旋。
再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和，是條形磁鐵的磁矩。


計算磁矩的方程式 = 平面迴圈 =

對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩
  
    
      
        
          μ
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
  
是

  
    
      
        
          μ
        
        =
        I
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        I
        
        
      
    
    {\displaystyle I\,\!}
  
是迴圈所載有的恆定電流，
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
是平面迴圈的面積向量。
面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出：令四隻手指朝著電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。
這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持
  
    
      
        
          μ
        
        =
        I
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
  
不變，則所有更高階的磁矩會趨向於零，這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子，或純磁偶極子。


= 任意迴路 =
對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流
  
    
      
        I
        
        
      
    
    {\displaystyle I\,\!}
  
，則其磁偶極矩為

  
    
      
        
          μ
        
        =
        I
        
          ∫
          
            
              S
            
          
        
        
          d
        
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          S
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} \,\!}
  
是積分曲面，
  
    
      
        
          C
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} \,\!}
  
是
  
    
      
        
          S
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} \,\!}
  
邊緣的閉合迴路，
  
    
      
        
          d
        
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}
  
是微小面積元素，
  
    
      
        
          d
        
        
          ℓ
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
  
是微小線元素，
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
是
  
    
      
        
          d
        
        
          ℓ
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
  
的位置。
引用向量恆等式

  
    
      
        
          ∫
          
            
              S
            
          
        
        
          d
        
        
          a
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∮
          
            
              C
            
          
        
        
          r
        
        ×
        
          d
        
        
          ℓ
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
  
，
即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式

  
    
      
        
          μ
        
        =
        
          
            I
            2
          
        
        
          ∮
          
            
              C
            
          
        
        
          r
        
        ×
        
          d
        
        
          ℓ
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
  
。


= 任意電流分佈 =
對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為

  
    
      
        
          μ
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          r
        
        ×
        
          J
        
         
        
          d
        
        V
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
  
是積分體積，
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
是源電流位置，
  
    
      
        
          J
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
  
是電流密度，
  
    
      
        
          d
        
        V
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} V\,\!}
  
是微小體積元素。
任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。


= 基本粒子 =
在原子物理學和核子物理學裏，磁矩的大小標記為
  
    
      
        μ
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu \,\!}
  
，通常測量單位為波耳磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：

欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。


載流迴路產生的磁場 載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是，隨著距離的增遠，這些多極項目會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極項目是磁場的顯要項目。
思考一個載有恆定電流
  
    
      
        I
        
        
      
    
    {\displaystyle I\,\!}
  
的任意局域迴路
  
    
      
        
          C
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} \,\!}
  
，其磁矢勢
  
    
      
        
          A
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \,\!}
  
為

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∮
          
            
              
                C
              
              ′
            
          
        
         
        
          
            
              
                d
              
              
                ℓ
              
              
                
                ′
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} '}\ {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
是檢驗位置，
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}
  
是源頭位置，是微小線元素
  
    
      
        
          d
        
        
          ℓ
        
        
          
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}
  
的位置，
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}\,\!}
  
是磁常數。
假設檢驗位置足夠遠，
  
    
      
        r
        >
        
          r
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle r>r'\,\!}
  
，則表達式
  
    
      
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}
  
可以泰勒展開為

  
    
      
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            r
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
         
        
          
            (
            
              
                
                  r
                  ′
                
                r
              
            
            )
          
          
            n
          
        
        
          P
          
            n
          
        
        (
        cos
        ⁡
        
          θ
          ′
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\ \left({\frac {r'}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta ')\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        (
        cos
        ⁡
        
          θ
          ′
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}(\cos \theta ')\,\!}
  
是勒讓德多項式，
  
    
      
        
          θ
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \theta '\,\!}
  
是
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
與
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}
  
之間的夾角。
所以，磁矢勢展開為

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
         
        
          
            1
            
              r
              
                n
                +
                1
              
            
          
        
        
          ∮
          
            
              
                C
              
              ′
            
          
        
         
        (
        
          r
          ′
        
        
          )
          
            n
          
        
        
          P
          
            n
          
        
        (
        cos
        ⁡
        
          θ
          ′
        
        )
        
          d
        
        
          ℓ
        
        
          
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{r^{n+1}}}\oint _{\mathbb {C} '}\ (r')^{n}P_{n}(\cos \theta ')\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}
  
。
思考
  
    
      
        n
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle n=0\,\!}
  
項目，也就是磁單極子項目：

  
    
      
        
          
            A
          
          
            0
          
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
            
            
              4
              π
              r
            
          
        
        
          ∮
          
            
              
                C
              
              ′
            
          
        
         
        
          d
        
        
          ℓ
        
        
          
          ′
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r}}\oint _{\mathbb {C} '}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'=0\,\!}
  
。
由於閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。
再思考
  
    
      
        n
        =
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle n=1\,\!}
  
項目，也就是磁偶極子項目：

  
    
      
        
          
            A
          
          
            1
          
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
         
        
          ∮
          
            
              
                C
              
              ′
            
          
        
         
        
          r
          ′
        
        cos
        ⁡
        
          θ
          ′
        
        
          d
        
        
          ℓ
        
        
          
          ′
        
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
         
        (
        −
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ×
        
          ∮
          
            
              
                S
              
              ′
            
          
        
        
          d
        
        
          
            a
          
          ′
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ \oint _{\mathbb {C} '}\ r'\cos \theta '\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ (-{\hat {\mathbf {r} }}\times \oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} ')\,\!}
  
。
注意到磁偶極矩為
  
    
      
        
          μ
        
        =
        I
        
          ∮
          
            
              
                S
              
              ′
            
          
        
        
          d
        
        
          
            a
          
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\,\!}
  
，偶極磁矢勢可以寫為

  
    
      
        
          
            A
          
          
            1
          
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
         
        
          
            
              
                μ
              
              ×
              
                
                  
                    
                      r
                    
                    ^
                  
                
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {{\boldsymbol {\mu }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}\,\!}
  
。
偶極磁場
  
    
      
        
          
            B
          
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} _{1}\,\!}
  
為

  
    
      
        
          
            B
          
          
            1
          
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        ∇
        ×
        
          
            A
          
          
            1
          
        
        (
        
          r
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )\,\!}
  
。
由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置（原點
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {O} }
  
），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為

  
    
      
        
          
            B
          
          
            1
          
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          [
          
            3
            (
            
              μ
            
            ⋅
            
              
                
                  
                    r
                  
                  ^
                
              
            
            )
            
              
                
                  
                    r
                  
                  ^
                
              
            
            −
            
              μ
            
          
          ]
        
        +
        
          
            
              2
              
                μ
                
                  0
                
              
            
            3
          
        
        
          μ
        
        
          δ
          
            3
          
        
        (
        
          r
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          δ
          
            3
          
        
        (
        
          r
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}
  
是狄拉克δ函數。
偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（hyperfine structure）。在天文學裏，氫原子的超精細結構給出了21公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了3K背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（recombination）至再電離紀元（reionization）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。
給予幾個磁偶極矩，則按照疊加原理，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。


處於外磁場的磁偶極子 = 磁偶極子感受到的磁力矩 =

如圖右，假設載有電流
  
    
      
        I
        
        
      
    
    {\displaystyle I\,\!}
  
的一個方形迴圈處於外磁場
  
    
      
        
          B
        
        =
        
          B
          
            0
          
        
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
  
。方形迴圈四個邊的邊長為
  
    
      
        w
        
        
      
    
    {\displaystyle w\,\!}
  
，其中兩個與
  
    
      
        
          
            
              
                y
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!}
  
平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為
  
    
      
        −
        θ
        +
        π
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!}
  
。
垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為

  
    
      
        
          τ
        
        =
        
          (
          
            I
            w
            
              B
              
                0
              
            
            
              
                
                  w
                  sin
                  ⁡
                  
                    θ
                  
                
                2
              
            
            +
            I
            w
            
              B
              
                0
              
            
            
              
                
                  w
                  sin
                  ⁡
                  
                    θ
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
        
          
            
              
                y
              
              ^
            
          
        
        =
        I
        
          w
          
            2
          
        
        
          B
          
            0
          
        
        sin
        ⁡
        
          θ
        
        
          
            
              
                y
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {\mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\,\!}
  
。
另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為  
  
    
      
        
          μ
        
        =
        I
        
          w
          
            2
          
        
        
          
            
              μ
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!}
  
。所以，這迴圈感受到的磁力矩為

  
    
      
        
          τ
        
        =
        
          μ
        
        ×
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}
  
。
令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持
  
    
      
        
          μ
        
        =
        I
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
  
不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。
當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值
  
    
      
        μ
        
          B
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu B_{0}\,\!}
  
；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。


= 磁偶極子的勢能 =
將載流迴圈從角弧
  
    
      
        
          θ
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{1}\,\!}
  
扭轉到角弧
  
    
      
        
          θ
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{2}\,\!}
  
，磁場所做的機械功
  
    
      
        W
        
        
      
    
    {\displaystyle W\,\!}
  
為

  
    
      
        W
        =
        −
        
          ∫
          
            
              θ
              
                1
              
            
          
          
            
              θ
              
                2
              
            
          
        
        τ
         
        d
        θ
        =
        −
        
          ∫
          
            
              θ
              
                1
              
            
          
          
            
              θ
              
                2
              
            
          
        
        μ
        
          B
          
            0
          
        
        sin
        ⁡
        
          θ
        
         
        d
        θ
        =
        μ
        
          B
          
            0
          
        
        (
        cos
        ⁡
        
          
            θ
            
              2
            
          
        
        −
        cos
        ⁡
        
          
            θ
            
              1
            
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle W=-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}})\,\!}
  
。
注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向，而
  
    
      
        θ
        
        
      
    
    {\displaystyle \theta \,\!}
  
是朝著順時針方向遞增，所以必須添加一個負號。設定
  
    
      
        
          θ
          
            1
          
        
        =
        π
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!}
  
，則 

  
    
      
        W
        =
        μ
        
          B
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            θ
            
              2
            
          
        
        =
        
          μ
        
        ⋅
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
  
。
對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧
  
    
      
        π
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle \pi /2\,\!}
  
扭轉到角弧
  
    
      
        
          θ
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{2}\,\!}
  
，所做的機械功
  
    
      
        
          W
          
            a
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle W_{a}\,\!}
  
為

  
    
      
        
          W
          
            a
          
        
        =
        −
        W
        =
        −
        
          μ
        
        ⋅
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
  
。
定義載流迴圈的勢能
  
    
      
        U
        
        
      
    
    {\displaystyle U\,\!}
  
等於這機械功
  
    
      
        
          W
          
            a
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle W_{a}\,\!}
  
，以方程式表示為

  
    
      
        U
        =
        −
        
          μ
        
        ⋅
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
  
。
與前段所述同理，磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，勢能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，勢能是最小值
  
    
      
        −
        μ
        
          B
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle -\mu B_{0}\,\!}
  
；當磁偶極矩與磁場呈相反方向時，勢能是最大值
  
    
      
        μ
        
          B
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu B_{0}\,\!}
  
。


= 非均勻磁場 =
假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路
  
    
      
        
          
            C
          
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} '\,\!}
  
的磁場力等於零：

  
    
      
        
          F
        
        =
        I
        
          ∮
          
            
              
                C
              
              ′
            
          
        
        
          d
        
        
          
            ℓ
          
          ′
        
        ×
        
          B
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times \mathbf {B} =0\,\!}
  
。
假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同。採用常見的「電流模型」，則一個磁偶極子所感受到的磁場力為

  
    
      
        
          
            F
          
          
            ℓ
          
        
        =
        ∇
        (
        
          μ
        
        ⋅
        
          B
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} )\,\!}
  
。
另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為

  
    
      
        
          
            F
          
          
            d
          
        
        =
        (
        
          μ
        
        ⋅
        ∇
        )
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!}
  
。
兩者之間的差別為

  
    
      
        
          
            F
          
          
            l
          
        
        =
        
          
            F
          
          
            d
          
        
        +
        
          μ
        
        ×
        
          (
          
            ∇
            ×
            
              B
            
          
          )
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!}
  
。
假設，電流等於零，電場不含時間，則根據馬克士威-安培方程式，

  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!}
  
，
兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年，兩個不同的實驗，研究中子的散射於鐵磁性物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合。


範例 = 圓形載流迴圈的磁偶極矩 =
一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有1安培電流，半徑
  
    
      
        
          r
          ′
        
        
        
      
    
    {\displaystyle r'\,\!}
  
為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈，其磁偶極矩為：

  
    
      
        μ
        =
        π
        
          r
          ′
        
        
          
          
            2
          
        
        I
        =
        π
        ×
        
          0.05
          
            2
          
        
        ×
        1
        ≈
        0.008
        
        [
        
          A
        
        ⋅
        
          
            m
          
          
            2
          
        
        ]
        =
        0.008
        
        [
        
          J
          
            /
          
          T
        
        ]
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}
  
。
磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據：

假設場位置的距離
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
超遠於迴圈半徑
  
    
      
        
          r
          ′
        
        =
        0.05
         
        
          m
        
        
        
      
    
    {\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!}
  
，則磁場會呈反立方減弱：
沿著迴圈的中心軸，磁矩與場位置
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
平行：

  
    
      
        B
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        2
        μ
        =
        
          
            
              4
              π
              ×
              
                10
                
                  −
                  7
                
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        ×
        2
        ×
        0.008
        ≈
        
          
            
              1.6
              ×
              
                10
                
                  −
                  9
                
              
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        
        [
        
          T
        
        ⋅
        
          
            m
          
          
            3
          
        
        ]
        
        
      
    
    {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}
  
。
在包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置：

  
    
      
        B
        =
        −
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        μ
        =
        −
         
        
          
            
              4
              π
              ×
              
                10
                
                  −
                  7
                
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        ×
        0.008
        ≈
        −
         
        
          
            
              0.8
              ×
              
                10
                
                  −
                  9
                
              
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        
        [
        
          T
        
        ⋅
        
          
            m
          
          
            3
          
        
        ]
        
        
      
    
    {\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}
  
。
負號表示平面任意位置案例與中心軸案例，這兩個案例的磁場呈相反方向。
假設在地球的某地方，地磁場
  
    
      
        
          
            B
          
          
            E
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
  
的數值大約為0.5 高斯（5×10−5 特斯拉），而且迴圈磁矩垂直於地磁場
  
    
      
        
          
            B
          
          
            E
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
  
，則此迴圈所感受到的力矩為

  
    
      
        τ
        ≈
        0.008
        ×
        5
        ×
        
          10
          
            −
            5
          
        
        =
        4
        ×
        
          10
          
            −
            7
          
        
         
        [
        
          N
        
        ⋅
        
          m
        
        ]
        
        
      
    
    {\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}
  
。
應用力矩的觀念，可以製造出羅盤。假設這羅盤的磁針，由於力矩的作用，從磁針的磁矩垂直於地磁場
  
    
      
        
          
            B
          
          
            E
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
  
，旋轉至磁針的磁矩與地磁場
  
    
      
        
          
            B
          
          
            E
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
  
呈相同方向，則這羅盤-地球系統釋放出的能量
  
    
      
        U
        
        
      
    
    {\displaystyle U\,\!}
  
為

  
    
      
        U
        ≈
        0.008
        ×
        5
        ×
        
          10
          
            −
            5
          
        
        =
        4
        ×
        
          10
          
            −
            7
          
        
         
        [
        
          J
        
        ]
        
        
      
    
    {\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}
  
  。
由於羅盤懸浮系統的摩擦機制，這能量是以熱量的形式耗散淨盡。


= 螺線管的磁矩 =

一個多匝線圈（或螺線管）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。
假設螺線管的匝數為
  
    
      
        N
        
        
      
    
    {\displaystyle N\,\!}
  
，每一匝線圈面積為
  
    
      
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle a\,\!}
  
，通過電流為
  
    
      
        I
        
        
      
    
    {\displaystyle I\,\!}
  
，則其磁矩為

  
    
      
        μ
        =
        N
        I
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu =NIa\,\!}
  
。


= 載電粒子圓周運動的磁矩 =
假設，一個點電荷
  
    
      
        q
        
        
      
    
    {\displaystyle q\,\!}
  
以等速
  
    
      
        v
        
        
      
    
    {\displaystyle v\,\!}
  
繞著z-軸，移動於半徑為
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
的平面圓形路徑，則其電流為 	 

  
    
      
        I
        =
        
          
            
              q
              v
            
            
              2
              π
              r
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!}
  
。
其磁矩為

  
    
      
        
          μ
        
        =
        
          
            
              q
              v
            
            
              2
              π
              r
            
          
        
        π
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              q
              v
              r
            
            2
          
        
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
  
。
其角動量
  
    
      
        
          J
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
  
為

  
    
      
        
          J
        
        =
        m
        v
        r
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
  
。
其中，
  
    
      
        m
        
        
      
    
    {\displaystyle m\,\!}
  
是載電粒子的質量。
所以，磁矩與角動量的經典關係為

  
    
      
        
          μ
        
        =
        
          
            q
            
              2
              m
            
          
        
        
          J
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}\mathbf {J} \,\!}
  
。
對於電子，這經典關係為

  
    
      
        
          μ
        
        =
        −
         
        
          
            e
            
              2
              
                m
                
                  e
                
              
            
          
        
        
          J
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}\mathbf {J} \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          m
          
            e
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle m_{e}\,\!}
  
是電子的質量，
  
    
      
        e
        
        
      
    
    {\displaystyle e\,\!}
  
是電子的絕對電量。
假設，這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子。由於離心力等於庫侖吸引力，

  
    
      
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              e
              
                2
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          m
          
            e
          
        
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            r
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
  
是電常數。
現在施加外磁場
  
    
      
        
          B
        
        =
        B
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
  
於此氫原子，則會有額外的勞侖茲力作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為
  
    
      
        
          v
          
            B
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle v_{B}\,\!}
  
，則

  
    
      
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              e
              
                2
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        +
        e
        
          v
          
            B
          
        
        B
        =
        
          m
          
            e
          
        
        
          
            
              v
              
                B
              
              
                2
              
            
            r
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}}\,\!}
  
。
所以，

  
    
      
        
          v
          
            B
          
          
            2
          
        
        −
        
          v
          
            2
          
        
        =
        (
        
          v
          
            B
          
        
        +
        v
        )
        (
        
          v
          
            B
          
        
        −
        v
        )
        =
        
          
            
              e
              
                v
                
                  B
                
              
              B
              r
            
            
              m
              
                e
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}}\,\!}
  
。
假設，兩個速度的差別
  
    
      
        Δ
        v
        =
        
          v
          
            B
          
        
        −
        v
        
        
      
    
    {\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!}
  
超小，則

  
    
      
        Δ
        v
        ≈
        
          
            
              e
              B
              r
            
            
              2
              
                m
                
                  e
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}}\,\!}
  
。
所以，由於施加外磁場
  
    
      
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
  
，磁矩的變化為

  
    
      
        Δ
        
          μ
        
        =
        −
        
          
            
              e
              Δ
              v
              r
            
            2
          
        
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                e
                
                  2
                
              
              
                r
                
                  2
                
              
            
            
              4
              
                m
                
                  e
                
              
            
          
        
        B
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
  
。
注意到
  
    
      
        Δ
        
          μ
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
  
與
  
    
      
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
  
呈相反方向，因而減弱了磁場。這是抗磁性的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。
為了簡略計算，使用半經典方法，可以求出磁矩的變化為

  
    
      
        Δ
        
          μ
        
        =
        −
         
        
          
            
              
                e
                
                  2
                
              
              ⟨
              
                r
                
                  2
                
              
              ⟩
            
            
              4
              
                m
                
                  e
                
              
            
          
        
        B
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        ⟨
        
          r
          
            2
          
        
        ⟩
        
        
      
    
    {\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!}
  
是半徑平方的期望值。


= 電子的磁矩 =
電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性，涉及到量子力學。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩（electron magnetic dipole moment）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振。
電子的磁矩是

  
    
      
        
          μ
        
        =
        −
        
          g
          
            e
          
        
        
          μ
          
            B
          
        
        
          S
        
        
          /
        
        ℏ
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          g
          
            e
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{e}\,\!}
  
是電子的朗德g因子，
  
    
      
        
          μ
          
            B
          
        
        =
        e
        ℏ
        
          /
        
        2
        
          m
          
            e
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!}
  
是波耳磁子，
  
    
      
        
          S
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
  
是電子的自旋角動量。
按照前面計算的經典結果，
  
    
      
        
          g
          
            e
          
        
        =
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{e}=1\,\!}
  
；但是，在狄拉克力學裏，
  
    
      
        
          g
          
            e
          
        
        =
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{e}=2\,\!}
  
；更準確地，由於量子電動力學效應，它的實際値稍微大些，
  
    
      
        
          g
          
            S
          
        
        =
        2.002
        
        319
        
        304
        
        36
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!}
  
。
請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子），其磁矩與自旋呈相同方向。


= 原子的磁矩 =
在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合（angular momentum coupling）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩
  
    
      
        μ
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu \,\!}
  
與總角動量
  
    
      
        
          J
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
  
的關係為

  
    
      
        
          μ
        
        =
        −
        
          g
          
            J
          
        
        
          μ
          
            B
          
        
        
          J
        
        
          /
        
        ℏ
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          g
          
            J
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{J}\,\!}
  
是原子獨特的朗德g因子。
磁矩對於磁場方向的分量
  
    
      
        
          μ
          
            z
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{z}\,\!}
  
是

  
    
      
        
          μ
          
            z
          
        
        =
        −
        
          g
          
            J
          
        
        
          μ
          
            B
          
        
        
          J
          
            z
          
        
        
          /
        
        ℏ
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          J
          
            z
          
        
        =
        
          J
          
            m
          
        
        ℏ
        
        
      
    
    {\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!}
  
是總角動量對於磁場方向的分量，
  
    
      
        
          J
          
            m
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle J_{m}\,\!}
  
是磁量子數，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。
因為電子帶有負電荷，所以
  
    
      
        
          μ
          
            z
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{z}\,\!}
  
是負值。
處於磁場的磁偶極子的動力學，不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為

  
    
      
        
          
            1
            γ
          
        
        
          
            
              d
              
                μ
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          μ
        
        ×
        
          H
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        γ
        
        
      
    
    {\displaystyle \gamma \,\!}
  
是迴轉磁比率（gyromagnetic ratio） ，
  
    
      
        
          H
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} \,\!}
  
是磁場。
注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分：

  
    
      
        
          H
        
        =
        
          
            H
          
          
            e
            f
            f
          
        
        −
        
          
            λ
            
              γ
              μ
            
          
        
        
          
            
              d
              
                μ
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            H
          
          
            e
            f
            f
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!}
  
是有效磁場（外磁場加上任何自身場），
  
    
      
        λ
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \,\!}
  
是阻尼係數。
這樣，可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）：

  
    
      
        
          
            1
            γ
          
        
        
          
            
              d
              
                μ
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          μ
        
        ×
        
          
            H
          
          
            e
            f
            f
          
        
        −
        
          
            λ
            
              γ
              μ
            
          
        
        
          μ
        
        ×
        
          
            
              d
              
                μ
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}
  
。
方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。


= 原子核的磁矩 =

核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。
雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函數的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。


= 分子的磁矩 =
任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：

假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（順磁性貢獻）
電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（抗磁性貢獻）
依照核自旋組態，核自旋所產生的總磁矩。


 分子磁性範例  氧分子，O2，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。
二氧化碳分子，CO2，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像13C或17O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。
氫分子，H2，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體，正氫或仲氫，都具有這種物理性質。


參閱 電偶極矩
磁化強度
磁化率
球多極矩
絕熱不變數
磁偶極間交互作用（Magnetic dipole-dipole interaction）


參考文獻