本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。
在靜電學裏，電勢能（electric potential energy）是處於電場的電荷分佈所具有的勢能，與電荷分佈在系統內部的組態有關。電勢能的單位是焦耳。電勢能與電勢不同。電勢定義為處於電場的電荷所具有的電勢能每單位電荷。電勢的單位是伏特。
電勢能的數值不具有絕對意義，只具有相對意義。所以，必須先設定一個電勢能為零的參考系統。當物理系統內的每一個點電荷相距无穷远且其相對靜止不動時，這一物理系統通常可以設定為電勢能等於零的參考系統。假設一個物理系統裏的每一個點電荷，從無窮遠处被一外力匀速地遷移到其所在位置，该外力做的总機械功為 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 ，則定义這系統的電勢能 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 為 

  
    
      
        U
        :=
        W
      
    
    {\displaystyle U:=W}
  
 。
在這過程裏，所涉及的機械功 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 ，不論是正值或負值，都由這物理系統之外的機制賦予。並且，被匀速遷移的每一個點電荷都不會獲得任何動能。
如此計算電勢能，並沒有考慮到移動的路徑，這是因為電場是保守場，電勢能只跟初始位置與終止位置有關，與路徑無關。


計算電勢能 在一個物理系統內，計算一個點電荷所具有的電勢能的方法，就是計算將這點電荷Q從無窮遠位置遷移到其它固定位置電荷附近所需要做的機械功。而計算只需要两个参数：

其它電荷所產生的電勢。
點電荷Q的電荷量。
注意：这里的計算不需要知道其它電荷的電荷量，也不需要知道这一點電荷Q所產生的電勢。


儲存於點電荷系統內的電勢能 = 單點電荷系統 =
只擁有單獨一個點電荷的物理系統，其電勢能為零，因為沒有任何其它可以產生電場的源電荷，所以，將點電荷從無窮遠移動至其最終位置，外機制不需要對它做任何機械功。特別注意，這點電荷有可能會與自己生成的電場發生作用。然而，由於在點電荷的位置，它自己生成的電場為無窮大，所以，在計算系統的有限總電勢能之時，一般刻意不將這「自身能」納入考量範圍之內，以簡化物理模型，方便計算。


= 雙點電荷系統 =

思考兩個點電荷所組成的物理系統。假設第一個點電荷 
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1}}
  
 的位置為坐標系的原點 
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {O} }
  
 ，則根據庫侖定律，點電荷 
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1}}
  
 施加於位置為 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 的第二個點電荷 
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{2}}
  
 的電場力為

  
    
      
        
          
            F
          
          
            c
          
        
        =
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                
                  r
                
                ^
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{c}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}}
  
  是電常數。
在移动點電荷 
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{2}}
  
 時，為保证匀速，外機制必须施加作用力 
  
    
      
        −
        
          
            F
          
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle -\mathbf {F} _{c}}
  
 於點電荷 
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{2}}
  
 ，从而与电场力达到二力平衡。所以，機械功 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 為

  
    
      
        W
        =
        −
        
          ∫
          
            
              L
            
          
        
        
          
            F
          
          
            c
          
        
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
        =
        −
         
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              L
            
          
        
        
          
            
              
                
                  r
                
                ^
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle W=-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {F} _{c}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-\ {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {L} }{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
  
 。
由於庫侖力為保守力，機械功與積分路徑 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
 無關，所以，可以選擇任意一條積分路徑。在這裡，最簡單的路徑為從無窮遠位置朝著 
  
    
      
        −
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\hat {\mathbf {r} }}}
  
 方向遷移至 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 位置的直線路徑。那麼，機械功為

  
    
      
        W
        =
        −
         
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            ∞
          
          
            r
          
        
        
          
            
              
                d
              
              r
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle W=-\ {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\infty }^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}
  
 。
這機械功是無窮遠位置與 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 位置之間的靜電能差別：

  
    
      
        W
        =
        U
        (
        
          r
        
        )
        −
        U
        (
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle W=U(\mathbf {r} )-U(\infty )}
  
 。
設定 
  
    
      
        U
        (
        ∞
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle U(\infty )=0}
  
 ，則

  
    
      
        U
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}
  
 。
現在，假設兩個點電荷的位置分別為 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
  
 、
  
    
      
        
          
            r
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
  
 ，則電勢能為

  
    
      
        U
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                12
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{r_{12}}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          r
          
            12
          
        
        =
        
          |
        
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle r_{12}=|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|}
  
 是兩個點電荷之間的距離。
假設兩個點電荷的正負性相異，則電勢能為負值，兩個點電荷會互相吸引；否則，電勢能為正值，兩個點電荷會互相排斥。


= 三個以上點電荷的系統 =
對於三個點電荷的系統，外機制將其每一個單獨點電荷，一個接著一個，從無窮遠位置遷移至最終位置，所需要做的機械功，就是整個系統的靜勢能。以方程式表示，

  
    
      
        U
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    q
                    
                      1
                    
                  
                  
                    q
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  r
                  
                    12
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    q
                    
                      1
                    
                  
                  
                    q
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  r
                  
                    13
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    q
                    
                      2
                    
                  
                  
                    q
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  r
                  
                    23
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q_{1}q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {q_{1}q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {q_{2}q_{3}}{r_{23}}}\right)}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        
          q
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}
  
 為點電荷，
  
    
      
        
          r
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{ij}}
  
 為第i個與第j個點電荷之間的距離。
按照這方法演算，對於多個點電荷的系統，按照順序，從第一個點電荷到最後一個點電荷，各自移动到最後對應位置。在第 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 個點電荷 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 遷移時，只會感受到從第 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 個點電荷到第 
  
    
      
        i
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i-1}
  
 個點電荷的電場力，而機械功 
  
    
      
        
          W
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{i}}
  
 是因為抗拒這些電場力而做出的貢獻：

  
    
      
        
          W
          
            i
          
        
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            i
            −
            1
          
        
        
          
            
              
                q
                
                  i
                
              
              
                q
                
                  j
                
              
            
            
              r
              
                i
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}
  
 。
所有點電荷做出的總機械功（即總電勢能）為

  
    
      
        U
        =
        W
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          W
          
            i
          
        
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            i
            −
            1
          
        
        
          
            
              
                q
                
                  i
                
              
              
                q
                
                  j
                
              
            
            
              r
              
                i
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U=W=\sum _{i=1}^{n}W_{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}
  
 。
將每一個項目重覆多計算一次，然後將總和除以 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
 ，這公式也可以表達為，

  
    
      
        U
        =
        
          
            1
            
              8
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
            ,
            j
            =
            i
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                q
                
                  i
                
              
              
                q
                
                  j
                
              
            
            
              r
              
                i
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U={\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}
  
 。
這樣，可以忽略點電荷的遷移順序。
注意到除了點電荷 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 以外，所有其它點電荷產生的電勢在位置 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
  
 為

  
    
      
        ϕ
        (
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
            ,
            j
            =
            i
          
          
            n
          
        
        
          
            
              q
              
                j
              
            
            
              r
              
                i
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}}}
  
 。
所以，離散點電荷系統的總電勢能為

  
    
      
        U
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          q
          
            i
          
        
        ϕ
        (
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})}
  
 。
上述方程式假設電介質是自由空間，其電容率為 
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}}
  
 ，即電常數。假設電介質不是自由空間，而是電容率為 
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
 的某種電介質，則必需將方程式內的 
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}}
  
 更換為 
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
 。


儲存於連續電荷分佈的能量 對於連續電荷分佈，前面的電勢能方程式變為

  
    
      
        U
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        ρ
        (
        
          r
        
        )
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r}
  
 ；
其中，
  
    
      
        ρ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}
  
 是在源位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 的電荷密度，
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 是積分體積。
應用高斯定律

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          E
        
        =
        
          
            ρ
            
              ϵ
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
  
 ;
其中，
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
 是電場。
電勢能為

  
    
      
        
          
            
              
                U
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      ϵ
                      
                        0
                      
                    
                    2
                  
                
                
                  ∫
                  
                    
                      V
                    
                  
                
                [
                
                  ∇
                
                ⋅
                
                  E
                
                (
                
                  r
                
                )
                ]
                ϕ
                (
                
                  r
                
                )
                 
                
                  
                    d
                  
                  
                    3
                  
                
                r
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      ϵ
                      
                        0
                      
                    
                    2
                  
                
                
                  ∫
                  
                    
                      V
                    
                  
                
                
                  ∇
                
                ⋅
                [
                
                  E
                
                (
                
                  r
                
                )
                ϕ
                (
                
                  r
                
                )
                ]
                −
                
                  E
                
                (
                
                  r
                
                )
                ⋅
                
                  ∇
                
                ϕ
                (
                
                  r
                
                )
                 
                
                  
                    d
                  
                  
                    3
                  
                
                r
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }[\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )]\phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r\\&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot [\mathbf {E} (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )]-\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r\\\end{aligned}}}
  
 。
應用散度定理，可以得到

  
    
      
        U
        =
        
          
            
              ϵ
              
                0
              
            
            2
          
        
        
          ∮
          
            
              S
            
          
        
        [
        
          E
        
        (
        
          r
        
        )
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        ]
        ⋅
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        r
        −
        
          
            
              ϵ
              
                0
              
            
            2
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          E
        
        (
        
          r
        
        )
        ⋅
        
          ∇
        
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\oint _{\mathbb {S} }[\mathbf {E} (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )]\cdot \mathrm {d} ^{2}r-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
 是包住積分體積 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 的閉曲面。
當積分體積 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 趨向於無限大時，閉曲面 
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
 的面積趨向於以變率 
  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r^{2}}
  
 遞增，而電場、電勢分別趨向於以變率 
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/r^{2}}
  
 、
  
    
      
        1
        
          /
        
        r
      
    
    {\displaystyle 1/r}
  
 遞減，所以，上述方程式左手邊第一個面積分項目趨向於零，電勢能變為

  
    
      
        U
        =
        −
        
          
            
              ϵ
              
                0
              
            
            2
          
        
        
          ∫
          
            
              A
              L
              L
               
              S
              P
              A
              C
              E
            
          
        
        
          E
        
        (
        
          r
        
        )
        ⋅
        
          ∇
        
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle U=-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}r}
  
 。
電場與電勢的微分關係為

  
    
      
        
          E
        
        =
        −
        ∇
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi }
  
 。
將這方程式代入，電勢能變為

  
    
      
        U
        =
        
          
            
              ϵ
              
                0
              
            
            2
          
        
        
          ∫
          
            
              A
              L
              L
               
              S
              P
              A
              C
              E
            
          
        
        [
        E
        (
        
          r
        
        )
        
          ]
          
            2
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }[E(\mathbf {r} )]^{2}\mathrm {d} ^{3}r}
  
 。
所以，電勢能密度 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
 為

  
    
      
        u
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              ϵ
              
                0
              
            
            2
          
        
        [
        E
        (
        
          r
        
        )
        
          ]
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle u(\mathbf {r} )={\frac {\epsilon _{0}}{2}}[E(\mathbf {r} )]^{2}}
  
 。


自身能與交互作用能 前面分別推導出兩個電勢能方程式：

  
    
      
        U
        =
        
          
            1
            
              8
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
            ,
            j
            =
            i
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                q
                
                  i
                
              
              
                q
                
                  j
                
              
            
            
              r
              
                i
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U={\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}
  
 。

  
    
      
        U
        =
        
          
            
              ϵ
              
                0
              
            
            2
          
        
        
          ∫
          
            
              A
              L
              L
               
              S
              P
              A
              C
              E
            
          
        
        [
        E
        (
        
          r
        
        )
        
          ]
          
            2
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }[E(\mathbf {r} )]^{2}\mathrm {d} ^{3}r}
  
 。
注意到第一個方程式計算得到的電勢能，可以是正值，也可以是負值；但從第一個方程式推導出來的第二個方程式，其計算得到的電勢能則必定是正值。為甚麼會發生這不一致問題？原因是第一個方程式只囊括了電荷與電荷之間的交互作用能；而第二個方程式在推導過程中，無可避免地將電荷的自身能也包括在內。在推導第一個方程式時，在位置 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
  
 的電勢乃是，除了 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 以外，所有其它電荷共同貢獻出的電勢；而在推導第二個方程式時，電勢乃是所有電荷共同貢獻出的電勢。
舉一個雙點電荷案例，假設電荷 
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1}}
  
 、
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{2}}
  
 的位置分別為 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
  
 、
  
    
      
        
          
            r
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
  
 ，則在任意位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 的電場為

  
    
      
        
          E
        
        =
        
          
            E
          
          
            1
          
        
        +
        
          
            E
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              q
              
                1
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              q
              
                2
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}={\frac {q_{1}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|^{3}}}+{\frac {q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|^{3}}}}
  
 ，
其電勢能密度為

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              ϵ
              
                0
              
            
            2
          
        
        
          E
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              ϵ
              
                0
              
            
            2
          
        
        (
        
          E
          
            1
          
        
        
          
          
            2
          
        
        +
        
          E
          
            2
          
        
        
          
          
            2
          
        
        +
        2
        
          
            E
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            E
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}={\frac {\epsilon _{0}}{2}}(E_{1}\,^{2}+E_{2}\,^{2}+2\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2})}
  
 。
很明顯地，這方程式右手邊的前兩個項目分別為電荷 
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1}}
  
 、
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{2}}
  
 的自身能密度 
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          E
          
            1
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}E_{1}\,^{2}/2}
  
 、
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          E
          
            2
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}E_{2}\,^{2}/2}
  
 。最後一個項目是否為交互作用能密度？為了回答這有意思的問題，繼續計算交互作用能密度的體積積分：

  
    
      
        
          U
          
            i
            n
            t
          
        
        =
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          u
          
            i
            n
            t
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
        =
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          
            E
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            E
          
          
            2
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
        =
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              16
              
                π
                
                  2
                
              
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
         
        ⋅
         
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle U_{int}=\int _{\mathbb {V} }u_{int}\ \mathrm {d} ^{3}r=\epsilon _{0}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\ \mathrm {d} ^{3}r={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|^{3}}}\ \cdot \ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}r}
  
 。
應用一條向量恆等式，

  
    
      
        ∇
        
          (
          
            
              1
              
                
                  |
                
                
                  r
                
                −
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                
                  |
                
              
            
          
          )
        
        =
        −
         
        
          
            
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-\ {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
  
 ，
可以得到

  
    
      
        
          
            
              
                
                  U
                  
                    i
                    n
                    t
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        q
                        
                          1
                        
                      
                      
                        q
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      16
                      
                        π
                        
                          2
                        
                      
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    
                      V
                    
                  
                
                ∇
                
                  (
                  
                    
                      1
                      
                        
                          |
                        
                        
                          r
                        
                        −
                        
                          
                            r
                          
                          
                            1
                          
                        
                        
                          |
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                 
                ⋅
                 
                ∇
                
                  (
                  
                    
                      1
                      
                        
                          |
                        
                        
                          r
                        
                        −
                        
                          
                            r
                          
                          
                            2
                          
                        
                        
                          |
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    3
                  
                
                r
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        q
                        
                          1
                        
                      
                      
                        q
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      16
                      
                        π
                        
                          2
                        
                      
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    
                      V
                    
                  
                
                ∇
                 
                ⋅
                 
                
                  [
                  
                    
                      
                        1
                        
                          
                            |
                          
                          
                            r
                          
                          −
                          
                            
                              r
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            |
                          
                        
                      
                    
                    ∇
                    
                      (
                      
                        
                          1
                          
                            
                              |
                            
                            
                              r
                            
                            −
                            
                              
                                r
                              
                              
                                2
                              
                            
                            
                              |
                            
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  ]
                
                −
                 
                
                  (
                  
                    
                      1
                      
                        
                          |
                        
                        
                          r
                        
                        −
                        
                          
                            r
                          
                          
                            1
                          
                        
                        
                          |
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  ∇
                  
                    2
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      1
                      
                        
                          |
                        
                        
                          r
                        
                        −
                        
                          
                            r
                          
                          
                            2
                          
                        
                        
                          |
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    3
                  
                
                r
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}U_{int}&={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\right)\ \cdot \ \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r\\&={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \ \cdot \ \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]-\ \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\right)\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r\\\end{aligned}}}
  
 。
應用散度定理，可以將這方程式右手邊第一個項目，從體積積分變為面積積分：

  
    
      
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        ∇
         
        ⋅
         
        
          [
          
            
              
                1
                
                  
                    |
                  
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    
                      1
                    
                  
                  
                    |
                  
                
              
            
            ∇
            
              (
              
                
                  1
                  
                    
                      |
                    
                    
                      r
                    
                    −
                    
                      
                        r
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      |
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
        =
        
          ∮
          
            
              S
            
          
        
        
          [
          
            
              
                1
                
                  
                    |
                  
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    
                      1
                    
                  
                  
                    |
                  
                
              
            
            ∇
            
              (
              
                
                  1
                  
                    
                      |
                    
                    
                      r
                    
                    −
                    
                      
                        r
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      |
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        ⋅
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\nabla \ \cdot \ \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]\mathrm {d} ^{3}r=\oint _{\mathbb {S} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]\cdot \mathrm {d} ^{2}r}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
 是包住積分體積 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 的閉曲面。
假設 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 趨向於無窮大空間，則這面積積分趨向於零。再應用一則關於狄拉克δ函數的向量恆等式

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              1
              
                
                  |
                
                
                  r
                
                −
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                
                  |
                
              
            
          
          )
        
        =
        −
        4
        π
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
  
 ，
可以得到

  
    
      
        
          U
          
            i
            n
            t
          
        
        =
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              A
              L
              L
               
              S
              P
              A
              C
              E
            
          
        
        
          
            
              δ
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              
                |
              
            
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{int}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }{\frac {\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\ \mathrm {d} ^{3}r={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}}
  
 。
這就是双点电荷系统的電勢能。


參考文獻