诺特定理是理论物理的中心结果之一，它表达了每个连续对称性都有着相应的守恒定律。例如，物理定律不随着时间而改变，这表示它们有关于时间的某种对称性。舉例來說，若現實中重力的强度每天都有所改变，就會违反能量守恒定律，因为觀察者可以在重力弱的那天把重物举起，然后在重力强的时候放下来，这样就得到了比一开始输入的更多的能量。
诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立的。它得名于20世纪初的数学家埃米·诺特。诺特定理和量子力学深刻相关，因为它仅用经典力学的原理就可以认出和海森堡测不准原理相关的物理量（譬如位置和动量）。


定理的数学表述 对该定理一种比较完善的表述方法为：

对于每个局部作用下的可微对称性，存在一个对应的守恒流。


= 解释 =
上述命题中的“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。
定理的形式化命题仅从不变性条件就导出和一个守恒的物理量相应的流的表达式。该守恒量称为诺特荷，而该流称为诺特流。诺特流至多相差一个无散度向量场。


应用 诺特定理的应用帮助物理学家在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的定律的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。例如：

对于物理系统对于空间平移的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了动量的守恒律；
对于转动的不变性给出了角动量的守恒律；
对于时间平移的不变性给出了著名的能量守恒定律。
在量子场论中，和诺特定理相似，沃德-高桥恒等式（Ward-Takahashi）产生出更多的守恒定律，例如从电势和向量势的规范不变性得出电荷的守恒。
诺特荷也被用于计算静态黑洞的熵1。


证明 设有一个n维流形M以及一个目标流形T。令
  
    
      
        
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {C}}}
  
为从M到T的光滑函数组成的位形空间。（更一般的情况下，可以有一个M上的纤维丛的光滑截面）
物理学中这样的"M"的例子包括：

经典力学上，哈密顿表述中，M是一个一维流形R，代表时间而目标空间是广义位置的空间的余切丛。
场论中，M是时空流形，而目标空间是场在任何给定可取的值的集合。例如，如果有m个实值标量场，φ1,...,φm，则目标流形是Rm。若流形是一个实向量场，则目标流形同构于R3。
现在设有一个泛函

  
    
      
        S
        :
        
          
            C
          
        
        →
        
          R
        
        ,
      
    
    {\displaystyle S:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,}
  

称为作用量。（注意它在
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
中而非
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
中取值；这是有物理原因的，并且并不影响本证明。）
要得到通常版本的诺特定理，需要对作用量作额外的限制。假设S[φ]是M上的如下函数的积分

  
    
      
        
          
            L
          
        
        (
        φ
        ,
        
          ∂
          
            μ
          
        
        φ
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)}
  

称为拉格朗日量，它依赖于φ，包括它在各点的导数和位置。换句话说，
对于
  
    
      
        
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {C}}}
  
中的φ

  
    
      
        S
        [
        φ
        ]
        ≡
        
          ∫
          
            M
          
        
        
          d
          
            n
          
        
        x
        
          
            L
          
        
        [
        φ
        (
        x
        )
        ,
        
          ∂
          
            μ
          
        
        φ
        (
        x
        )
        ,
        x
        ]
        .
      
    
    {\displaystyle S[\varphi ]\equiv \int _{M}d^{n}x{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].}
  

若能给出边界条件，也即，在M为紧致的情况下φ在边界的取值，或者在x趋向∞时，φ的极限。则
  
    
      
        
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {C}}}
  
的由满足如下两个条件的φ组成的子空间就是在壳解的子空间，其一是φ的S的泛函导数为零，也即：

  
    
      
        
          
            δ
            
              δ
              ϕ
              (
              x
              )
            
          
        
        S
        [
        ϕ
        ]
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi (x)}}S[\phi ]=0}
  

其二是φ满足给定边界条件。（参看稳定作用量原理）
现在，假设有一个无穷小变换，定义在
  
    
      
        
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {C}}}
  
上，它由一个泛函求导Q生成，满足

  
    
      
        Q
        
          [
          
            
              ∫
              
                N
              
            
            
              d
              
                n
              
            
            x
            
              
                L
              
            
          
          ]
        
        =
        
          ∫
          
            ∂
            N
          
        
        d
        
          s
          
            μ
          
        
        
          f
          
            μ
          
        
        [
        ϕ
        (
        x
        )
        ,
        ∂
        ϕ
        ,
        ∂
        ∂
        ϕ
        ,
        .
        .
        .
        ]
      
    
    {\displaystyle Q\left[\int _{N}d^{n}x{\mathcal {L}}\right]=\int _{\partial N}ds_{\mu }f^{\mu }[\phi (x),\partial \phi ,\partial \partial \phi ,...]}
  

对于所有紧致子流形N成立，换句话讲（散度定理），

  
    
      
        Q
        [
        
          
            L
          
        
        (
        x
        )
        ]
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          f
          
            μ
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}
  

对于所有x成立，其中令
  
    
      
        
          
            L
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            L
          
        
        [
        ϕ
        (
        x
        )
        ,
        
          ∂
          
            μ
          
        
        ϕ
        (
        x
        )
        ,
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\phi (x),\partial _{\mu }\phi (x),x]}
  
。
若这在在壳和离壳都成立，則称Q生成一个离壳对称性。若只在在壳情况成立，称Q生成在壳对称性。
並且，称Q是单参数对称性李群的生成元。
现在，对于每个N，因为欧拉-拉格朗日方程，在壳（只有在壳）上，可以有

因为这对于所有N成立，所以有

  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      L
                    
                  
                
                
                  ∂
                  (
                  
                    ∂
                    
                      μ
                    
                  
                  ϕ
                  )
                
              
            
            Q
            [
            ϕ
            ]
            −
            
              f
              
                μ
              
            
          
          ]
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]-f^{\mu }\right]=0.}
  

但这无非就是对于如下的流的连续性方程

  
    
      
        
          J
          
            μ
          
        
        ≡
        
          
            
              ∂
              
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              (
              
                ∂
                
                  μ
                
              
              ϕ
              )
            
          
        
        Q
        [
        ϕ
        ]
        −
        
          f
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle J^{\mu }\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]-f^{\mu }}
  

这被称为和该对称性相关的诺特流（Noether current）。该连续性方程说明如果对这个流在空间式切片上积分，就可以得到称为诺特荷的守恒量（当然，必须假定M非紧致时，该流趋向无穷远处时下降足够快）。


= 评论 =
诺特定理实际上是边界条件和变分原理的关系的反映。假设作用量没有边界项，诺特定理意味着

  
    
      
        
          ∫
          
            ∂
            N
          
        
        d
        
          s
          
            μ
          
        
        
          J
          
            μ
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \int _{\partial N}ds_{\mu }J^{\mu }=0.}
  

诺特定理是一个在壳定理。诺特定理的量子化版本是沃德-高桥恒等式。
假定有两个对称性求导Q1和Q2。则[Q1,Q2]也是一个对称性求导。显式地来看

  
    
      
        
          Q
          
            1
          
        
        [
        
          
            L
          
        
        ]
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          f
          
            1
          
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}
  

及

  
    
      
        
          Q
          
            2
          
        
        [
        
          
            L
          
        
        ]
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          f
          
            2
          
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}
  

(这个是否离壳或仅仅在壳成立无关紧要）。则，

  
    
      
        [
        
          Q
          
            1
          
        
        ,
        
          Q
          
            2
          
        
        ]
        [
        
          
            L
          
        
        ]
        =
        
          Q
          
            1
          
        
        [
        
          Q
          
            2
          
        
        [
        
          
            L
          
        
        ]
        ]
        −
        
          Q
          
            2
          
        
        [
        
          Q
          
            1
          
        
        [
        
          
            L
          
        
        ]
        ]
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          f
          
            12
          
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]=\partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}
  

其中f12=Q1[f2μ]-Q2[f1μ]。所以，

  
    
      
        
          j
          
            12
          
          
            μ
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  (
                  
                    ∂
                    
                      μ
                    
                  
                  ϕ
                  )
                
              
            
            
              
                L
              
            
          
          )
        
        (
        
          Q
          
            1
          
        
        [
        
          Q
          
            2
          
        
        [
        ϕ
        ]
        ]
        −
        
          Q
          
            2
          
        
        [
        
          Q
          
            1
          
        
        [
        ϕ
        ]
        ]
        )
        −
        
          f
          
            12
          
          
            μ
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\phi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\phi ]])-f_{12}^{\mu }.}
  

这表明可以（简单地）将诺特定理扩张到更大的李代数上。


= 证明的一般化 =
这个推理可以应用到任何求导过程Q，不只是对称性求导，也可以是更一般的泛函微分作用，包括拉格朗日量依赖于场的更高阶的导数以及非局部作用量的情况。令ε为任意时空（或时间）流形的光滑函数，满足其支撑的闭包和边界不交。ε是一个测试函数。则根据变分原理（附带说一下，它不适用于边界），由q[ε][φ(x)]=ε(x)Q[φ(x)]生成的求导分布q满足q[ε][S]=0对于任何在壳的ε成立，或者可以简写为q(x)[S]对于所有不在边界上的x（注意q(x)是求导分布的简写，通常不是用x参数化的求导）。这就是诺特定理的一般化。
要看出这个一般化和上面的版本如何对应，可以假设作用量就是只依赖于φ及其一阶导数的时空积分。并且，假设

  
    
      
        Q
        [
        
          
            L
          
        
        ]
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          f
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f^{\mu }}
  

（离壳或仅仅在壳都可以）。则，

  
    
      
        q
        [
        ϵ
        ]
        [
        S
        ]
        =
        ∫
        
          d
          
            d
          
        
        x
        q
        [
        ϵ
        ]
        [
        
          
            L
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle q[\epsilon ][S]=\int d^{d}xq[\epsilon ][{\mathcal {L}}]}
  

  
    
      
        =
        ∫
        
          d
          
            d
          
        
        x
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  ϕ
                
              
            
            
              
                L
              
            
          
          )
        
        ϵ
        Q
        [
        ϕ
        ]
        +
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  (
                  
                    ∂
                    
                      μ
                    
                  
                  ϕ
                  )
                
              
            
            
              
                L
              
            
          
          ]
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        (
        ϵ
        Q
        [
        ϕ
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle =\int d^{d}x\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}{\mathcal {L}}\right)\epsilon Q[\phi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\epsilon Q[\phi ])}
  

  
    
      
        =
        ∫
        
          d
          
            d
          
        
        x
        ϵ
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          
            {
          
        
        
          f
          
            μ
          
        
        −
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  (
                  
                    ∂
                    
                      μ
                    
                  
                  ϕ
                  )
                
              
            
            
              
                L
              
            
          
          ]
        
        Q
        [
        ϕ
        ]
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle =\int d^{d}x\epsilon \partial _{\mu }{\Bigg \{}f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\phi ]{\Bigg \}}}
  

对于所有ε成立。
更一般地讲，如果拉格朗日量依赖于高阶导数，则

  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          [
          
            
              f
              
                μ
              
            
            −
            
              [
              
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      (
                      
                        ∂
                        
                          μ
                        
                      
                      ϕ
                      )
                    
                  
                
                
                  
                    L
                  
                
              
              ]
            
            Q
            [
            ϕ
            ]
            −
            2
            
              [
              
                
                  ∂
                  
                    ∂
                    (
                    
                      ∂
                      
                        μ
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        ν
                      
                    
                    ϕ
                    )
                  
                
              
              ]
            
            
              ∂
              
                ν
              
            
            Q
            [
            ϕ
            ]
            +
            
              ∂
              
                ν
              
            
            
              [
              
                
                  [
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          ∂
                          (
                          
                            ∂
                            
                              μ
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              ν
                            
                          
                          ϕ
                          )
                        
                      
                    
                    
                      
                        L
                      
                    
                  
                  ]
                
                Q
                [
                ϕ
                ]
              
              ]
            
            −
            
            ⋯
          
          ]
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\phi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\right]\partial _{\nu }Q[\phi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\phi ]\right]-\,\cdots \right]=0.}
  


例子 = 例1：能量守恒 =
考慮一个特殊情况：
设有一个质量为m，坐标为x，在势能V影响下运动，坐标为t的牛顿粒子。其作用量S为：

（也即，在一个弯曲黎曼空间（但不是弯曲时空）中运动的一个牛顿质点，该空间度量为g，质点势能为V）。
取Q为时间平移的生成元。换句话说，
  
    
      
        Q
        [
        x
        (
        t
        )
        ]
        =
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}
  
。 [量子场理论学家经常在方程右边加上一个因子i]。 注意

  
    
      
        Q
        [
        
          
            L
          
        
        ]
        =
        m
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        
          
            
              
                x
                ¨
              
            
          
          
            j
          
        
        −
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        V
        (
        x
        )
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=mg_{ij}{\dot {x}}^{i}{\ddot {x}}^{j}-{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}V(x){\dot {x}}^{i}.}
  

这有如下形式

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          [
          
            
              
                m
                2
              
            
            
              g
              
                i
                j
              
            
            
              
                
                  
                    x
                    ˙
                  
                
              
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    x
                    ˙
                  
                
              
              
                j
              
            
            −
            V
            (
            x
            )
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right]}
  

所以可以令

  
    
      
        f
        =
        
          
            m
            2
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            j
          
        
        −
        V
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f={\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x).}
  

则，

可以认出右边就是能量，而诺特定理就是说
  
    
      
        
          
            
              j
              ˙
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\dot {j}}=0}
  
 （也即，能量守恒就是时间平移的不变性的结果）。
更一般的来讲，若拉格朗日量不显式依赖于时间，如下物理量

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ˙
                        
                      
                    
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
              
                L
              
            
          
          )
        
        
          
            
              
                x
                
                  i
                
              
              ˙
            
          
        
        −
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}^{i}}}{\mathcal {L}}\right){\dot {x^{i}}}-{\mathcal {L}}}
  

（称为哈密顿量）是守恒的。


= 例2：线性动量守恒 =
继续使用一维时间。这次，令

也即N个势能只依赖于两两相对位移的牛顿质点。
对于
  
    
      
        
          
            
              Q
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {Q}}}
  
，考虑平移变换的生成元（也即坐标系的变换）。换句话说，

  
    
      
        
          Q
          
            i
          
        
        [
        
          x
          
            α
          
          
            j
          
        
        (
        t
        )
        ]
        =
        
          δ
          
            i
          
          
            j
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle Q_{i}[x_{\alpha }^{j}(t)]=\delta _{i}^{j}.}
  

注意

  
    
      
        
          Q
          
            i
          
        
        [
        
          
            L
          
        
        ]
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Q_{i}[{\mathcal {L}}]=0}
  

所以令

  
    
      
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\vec {f}}=0.}
  

则，

  
    
      
        
          
            
              
                J
                
                  i
                
              
              →
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            α
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              x
                              →
                            
                          
                          ˙
                        
                      
                    
                    
                      α
                    
                  
                
              
            
            
              
                L
              
            
          
          )
        
        ⋅
        
          
            
              Q
              →
            
          
        
        [
        
          
            
              
                x
                →
              
            
          
          
            α
          
        
        ]
        −
        
          
            
              f
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {J_{i}}}=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}[{\vec {x}}_{\alpha }]-{\vec {f}}}
  

  
    
      
        =
        
          ∑
          
            α
          
        
        
          m
          
            α
          
        
        
          
            
              
                
                  
                    x
                    →
                  
                
                ˙
              
            
          
          
            α
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle =\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }^{i}}
  

诺特定理表明
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    J
                    
                      i
                    
                  
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\dot {\vec {J_{i}}}}=0}
  
 (说明每个方向上的总动量守恒来自该方向上的平移不变性).


= 例3 =
上面的两个例子都是在一维流形（时间）上的。下面来探討一个时空中的例子，若考虑(3＋1)-闵可夫斯基时空中的无质量有一个四次势的标量场的共形变换。

取Q为时空缩放的生成元。换句话说，

  
    
      
        Q
        [
        ϕ
        (
        x
        )
        ]
        =
        
          x
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        ϕ
        (
        x
        )
        +
        ϕ
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle Q[\phi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\phi (x)+\phi (x).}
  

右手边的第二项是由于φ的“共形权重”。注意

  
    
      
        Q
        [
        
          
            L
          
        
        ]
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        ϕ
        
          (
          
            
              ∂
              
                μ
              
            
            ϕ
            +
            
              x
              
                ν
              
            
            
              ∂
              
                μ
              
            
            
              ∂
              
                ν
              
            
            ϕ
            +
            
              ∂
              
                μ
              
            
            ϕ
          
          )
        
        −
        4
        λ
        
          ϕ
          
            3
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                μ
              
            
            
              ∂
              
                μ
              
            
            ϕ
            +
            ϕ
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\phi \left(\partial _{\mu }\phi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +\partial _{\mu }\phi \right)-4\lambda \phi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\phi +\phi \right).}
  

这有以下形式（其中进行了空指标的变换）

  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          [
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              x
              
                μ
              
            
            
              ∂
              
                ν
              
            
            ϕ
            
              ∂
              
                ν
              
            
            ϕ
            −
            λ
            
              x
              
                μ
              
            
            
              ϕ
              
                4
              
            
          
          ]
        
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                μ
              
            
            
              
                L
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\phi \partial _{\nu }\phi -\lambda x^{\mu }\phi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)}
  

並令以下

  
    
      
        
          f
          
            μ
          
        
        =
        
          x
          
            μ
          
        
        
          
            L
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.\,}
  

则， 

  
    
      
        
          j
          
            μ
          
        
        =
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  (
                  
                    ∂
                    
                      μ
                    
                  
                  ϕ
                  )
                
              
            
            
              
                L
              
            
          
          ]
        
        Q
        [
        ϕ
        ]
        −
        
          f
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle j^{\mu }=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\phi ]-f^{\mu }}
  

  
    
      
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        ϕ
        
          (
          
            
              x
              
                ν
              
            
            
              ∂
              
                ν
              
            
            ϕ
            +
            ϕ
          
          )
        
        −
        
          x
          
            μ
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              ∂
              
                ν
              
            
            ϕ
            
              ∂
              
                ν
              
            
            ϕ
            −
            λ
            
              ϕ
              
                4
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle =\partial ^{\mu }\phi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\phi +\phi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\phi \partial _{\nu }\phi -\lambda \phi ^{4}\right).}
  

诺特定理表明
  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          j
          
            μ
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}
  
 （可以直接将欧拉－拉格朗日方程代入左边验证）。
（註：如果要找出该方程的沃德-高桥版本，会遇到异常问题。）


参看 荷 (物理)
拉普拉斯-龍格-冷次向量
诺特第二定理


参考 诺特论文的英文译本
关于诺特定理的文章（英文）（页面存档备份，存于互联网档案馆），作者John Baez
诺特关于对称性和守恒定律之间的深刻关系的发现，作者Nina Byers
^  注解1： 计算静态黑洞的熵（英文）（页面存档备份，存于互联网档案馆）
^  注解2： 只用诺特定理得出麦克斯韦，杨－米尔斯和理论中的对称能动张量（页面存档备份，存于互联网档案馆）