在数学分析中，黎曼-勒贝格定理（或黎曼-勒贝格引理、黎曼-勒贝格积分引理）是一个傅里叶分析方面的结果。这个定理有两种形式，分别是关于周期函数（傅里叶理论中关于傅里叶级数的方面）和关于在一般实数域
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
上定义的函数（傅里叶变换的方面）。在任一种形式下，定理都说明了可积函数在傅里叶变换后的结果在无穷远处趋于0。这个结果也可以适用于局部紧致的阿贝尔群。


历史 波恩哈德·黎曼发表这个定理的最初版本是在公元1854年，作为他为哥廷根大学的特许任教资格进行的答辩的关于三角级数的论文《论函数之三角级数表示》（Uber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe）中的一部分。在这一篇答辩论文中，黎曼首先定义了现在以他的名字命名的黎曼积分。在黎曼积分的理论基础上，黎曼得出了许多与傅里叶级数相关的结果，其中包括了黎曼-勒贝格定理。在黎曼逝世后的第二年（1867年），这篇答辩论文被收录在《黎曼著作集》中发表，1873年被翻译成法语。


定理的叙述 = 实数函数 =
设 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 为一个在实数域
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
的区间
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
上定义的L1可积函数，取值为实数或复数。那么有

  
    
      
        
          lim
          
            s
            →
            ±
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            I
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        
          e
          
            −
            i
            s
            t
          
        
        
        d
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{s\to \pm \infty }\int _{I}f(t)\,e^{-ist}\,dt=0}
  

在傅里叶分析中，可以将定理中的表达式变成相关的概念。

当区间
  
    
      
        
          I
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {I} }
  
是
  
    
      
        [
        0
        ,
        2
        π
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,2\pi ]}
  
的时候，黎曼-勒贝格定理变为

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ±
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            I
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        
          e
          
            −
            i
            n
            t
          
        
        
        d
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \pm \infty }\int _{I}f(t)\,e^{-int}\,dt=0}
  

其中的n是整数。因此，对于周期是 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
 的局部可积的周期函数，其对应的傅里叶级数的系数
  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle c_{n}(f)}
  
在n趋于正无穷或负无穷时都会趋于0。比如说对于分段连续的函数，以上结果就是成立的。

当区间
  
    
      
        
          I
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {I} }
  
包括了整个实数轴
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,\infty )}
  
的时候，黎曼-勒贝格定理则说明函数的傅里叶变换在无穷远处等于0。

  
    
      
        
          lim
          
            s
            →
            ±
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          lim
          
            s
            →
            ±
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        
          e
          
            −
            i
            s
            t
          
        
        
        d
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{s\to \pm \infty }{\hat {f}}(s)=\lim _{s\to \pm \infty }\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,e^{-ist}\,dt=0}
  


= 抽象调和分析 =
设 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 为一个局部紧致的阿贝尔群（空间的可分性已经被紧性保证），而 
  
    
      
        
          
            
              G
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {G}}}
  
 为其对偶群。给定一个定义域为 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
，而取值为实数或复数域的函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，并假设 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在哈尔测度下在 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 上可积。那么 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的傅里叶变换在 
  
    
      
        
          
            
              G
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {G}}}
  
 的无穷远处为0。


证明 定理的证明大致是基于一类基本或初等的函数在可积函数集合 
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            1
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathsf {L}}^{1}(\mathbb {R} )}
  
 中的稠密性。这些函数都是能够简单的推出定理的成立，例如阶梯函数或足够光滑的函数（如
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
的函数）。
证明的思路是首先证明对一类简单的函数定理成立，然后再利用这一类函数在可积函数函数集合中的稠密性，将每个可积函数看成是一列此类函数的极限，于是由函数的可积性可以使用勒贝格控制收敛定理，证明对于一般可积函数的情况。
例如，对于在某个区间[a, b]上连续可导的函数（即
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
的函数），运用分部积分法可以很容易地证明定理成立。运用分部积分法可以得到：

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        t
        )
        
          e
          
            −
            i
            s
            t
          
        
        
        
          d
        
        t
        =
        
          
            i
            s
          
        
        f
        (
        b
        )
        
          e
          
            −
            i
            s
            b
          
        
        −
        
          
            i
            s
          
        
        f
        (
        a
        )
        
          e
          
            −
            i
            s
            a
          
        
        −
        
          
            i
            s
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          f
          ′
        
        (
        t
        )
        
          e
          
            −
            i
            s
            t
          
        
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t={\frac {i}{s}}f(b)e^{-isb}-{\frac {i}{s}}f(a)e^{-isa}-{\frac {i}{s}}\int _{a}^{b}f'(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ‖
                  
                    
                      ∫
                      
                        a
                      
                      
                        b
                      
                    
                    f
                    (
                    t
                    )
                    
                      e
                      
                        −
                        i
                        s
                        t
                      
                    
                    
                    
                      d
                    
                    t
                  
                  ‖
                
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    s
                  
                
                
                  ‖
                  
                    f
                    (
                    b
                    )
                    
                      e
                      
                        −
                        i
                        s
                        b
                      
                    
                    −
                    f
                    (
                    a
                    )
                    
                      e
                      
                        −
                        i
                        s
                        a
                      
                    
                    −
                    
                      ∫
                      
                        a
                      
                      
                        b
                      
                    
                    
                      f
                      ′
                    
                    (
                    t
                    )
                    
                      e
                      
                        −
                        i
                        s
                        t
                      
                    
                    
                    
                      d
                    
                    t
                  
                  ‖
                
              
            
            
              
              
                
                ≤
                
                  
                    1
                    s
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      ‖
                      
                        f
                        (
                        b
                        )
                      
                      ‖
                    
                    +
                    
                      ‖
                      
                        f
                        (
                        a
                        )
                      
                      ‖
                    
                    +
                    
                      ∫
                      
                        a
                      
                      
                        b
                      
                    
                    
                      ‖
                      
                        
                          f
                          ′
                        
                        (
                        t
                        )
                      
                      ‖
                    
                    
                    
                      d
                    
                    t
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\int _{a}^{b}f(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t\right\|&={\frac {1}{s}}\left\|f(b)e^{-isb}-f(a)e^{-isa}-\int _{a}^{b}f'(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t\right\|\\&\leq {\frac {1}{s}}\left(\left\|f(b)\right\|+\left\|f(a)\right\|+\int _{a}^{b}\left\|f'(t)\right\|\,\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}}
  

由于 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 是
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
的函数，
  
    
      
        
          f
          ′
        
      
    
    {\displaystyle f'}
  
 有界，于是以上括号中的三项都是有限的，因此当 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 趋于无穷的时候，式子趋于0。
对于阶梯函数，经过类似的计算，也可以容易地证明定理成立。而由于紧支撑的阶梯函数的集合（或
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
函数的集合）在所有可积函数集合
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            1
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathsf {L}}^{1}(\mathbb {R} )}
  
中是稠密的，于是只要将每个可积函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 看成是一列紧支撑阶梯函数（或
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
函数）的极限，那么根据勒贝格控制收敛定理，就有：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  lim
                  
                    s
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  ∫
                  
                    I
                  
                
                f
                (
                t
                )
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    s
                    t
                  
                
                
                  d
                
                t
              
              
                
                =
                
                  lim
                  
                    s
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  ∫
                  
                    I
                  
                
                
                  lim
                  
                    n
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  f
                  
                    n
                  
                
                (
                t
                )
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    s
                    t
                  
                
                
                  d
                
                t
                =
                
                  lim
                  
                    s
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  lim
                  
                    n
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  ∫
                  
                    I
                  
                
                
                  f
                  
                    n
                  
                
                (
                t
                )
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    s
                    t
                  
                
                
                
                  d
                
                t
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  lim
                  
                    n
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  lim
                  
                    s
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  ∫
                  
                    I
                  
                
                
                  f
                  
                    n
                  
                
                (
                t
                )
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    s
                    t
                  
                
                
                
                  d
                
                t
                =
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{s\to \infty }\int _{I}f(t)e^{-ist}\mathrm {d} t&=\lim _{s\to \infty }\int _{I}\lim _{n\to \infty }f_{n}(t)e^{-ist}\mathrm {d} t=\lim _{s\to \infty }\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t\\&=\lim _{n\to \infty }\lim _{s\to \infty }\int _{I}f_{n}(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t=0\end{aligned}}}
  


参考来源