在數論上，除數函數 
  
    
      
        
          σ
          
            x
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma _{x}(n)}
  
 是一類算術函數，定義為 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的正因數的 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 次冪之和，即 
  
    
      
        
          σ
          
            x
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            d
            
              |
            
            n
          
        
        
          d
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}}
  
。
其中一些特殊情況：

  
    
      
        
          σ
          
            0
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma _{0}(n)}
  
 ：
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的正因數的數目

  
    
      
        
          σ
          
            1
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma _{1}(n)}
  
 ：
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的正因數之和（包括自己），若扣除
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
本身則稱為真因數和。


性質 σ
          
            x
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma _{x}(n)}
  
 都是積性函數，但不是完全積性。

  
    
      
        
          σ
          
            x
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            r
          
        
        
          
            
              
                p
                
                  i
                
                
                  (
                  
                    a
                    
                      i
                    
                  
                  +
                  1
                  )
                  x
                
              
              −
              1
            
            
              
                p
                
                  i
                
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}}
  
，其与 
  
    
      
        
          σ
          
            x
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            r
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            
              a
              
                i
              
            
          
        
        
          p
          
            i
          
          
            j
            x
          
        
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            r
          
        
        (
        1
        +
        
          p
          
            i
          
          
            x
          
        
        +
        
          p
          
            i
          
          
            2
            x
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          p
          
            i
          
          
            
              a
              
                i
              
            
            x
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x})}
  
（
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的各因數的 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 次方後的和，其在 
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
  
 時即為 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 包括 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 本身在內的各因數的和）相等。

  
    
      
        
          σ
          
            x
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            μ
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          μ
          
            x
            −
            1
          
        
        
          ∑
          
            ν
            =
            1
          
          
            μ
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            
              2
              π
              ν
              n
            
            μ
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{x-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {\frac {2\pi \nu n}{\mu }}.}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                σ
                
                  a
                
              
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        ζ
        (
        s
        )
        ζ
        (
        s
        −
        a
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a).}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                σ
                
                  a
                
              
              (
              n
              )
              
                σ
                
                  b
                
              
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ζ
              (
              s
              )
              ζ
              (
              s
              −
              a
              )
              ζ
              (
              s
              −
              b
              )
              ζ
              (
              s
              −
              a
              −
              b
              )
            
            
              ζ
              (
              2
              s
              −
              a
              −
              b
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.}
  


參考 Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9