洛伦茨吸引子（Lorenz attractor）是洛伦茨振子（Lorenz oscillator）的长期行为对应的分形结构，以爱德华·诺顿·洛伦茨（Edward Norton Lorenz）的姓氏命名。洛伦茨振子是能产生混沌流的三维动力系统，又稱作勞侖次系統（Lorenz system），其一組混沌解稱作洛伦茨吸引子，以其双纽线形状而著称。映射展示出动力系统（三维系统的三个变量）的状态是如何以一种复杂且不重复的模式，随时间的推移而演变的。


简述 洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨於1963年发表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。
这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对於气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。
从技术角度看来，洛伦茨振子具有非線性、三维性和确定性。2001年，沃里克·塔克尔（Warwick Tucker）证明出在一组确定的参数下，系统会表现出混沌行为，显示出人们今天所知的奇异吸引子。这样的奇异吸引子是豪斯多夫维数在2与3之间的分形。彼得·格拉斯伯格（Peter Grassberger）已於1983年估算出豪斯多夫维数为2.06 ± 0.01，而关联维数为2.05 ± 0.01。
此系统也会出现在单模激光和发电机的简化模型中。除此之外，闭环对流、水轮转动等物理模型也有此系统的应用。


洛伦茨方程 洛伦茨方程是基於纳维－斯托克斯方程、连续性方程和热传导方程简化得出，最初的形式为：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    v
                    →
                  
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  v
                  →
                
              
            
            ∇
          
          )
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∇
              p
            
            ρ
          
        
        +
        ν
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              g
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\nabla \right){\vec {v}}=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}+{\vec {g}}}
  

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            ρ
            
              
                
                  v
                  →
                
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho {\vec {v}}\right)=0}
  

  
    
      
        
          
            
              ∂
              T
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            T
            
              
                
                  v
                  →
                
              
            
          
          )
        
        =
        χ
        
          ∇
          
            2
          
        
        T
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(T{\vec {v}}\right)=\chi \nabla ^{2}T}
  

  
    
      
        ρ
        =
        
          ρ
          
            0
          
        
        
          (
          
            1
            −
            γ
            
              (
              
                T
                −
                
                  T
                  
                    0
                  
                
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \rho =\rho _{0}\left(1-\gamma \left(T-T_{0}\right)\right)}
  

  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
是流速，
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
是流体温度，
  
    
      
        
          T
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{0}}
  
是上限温度（也可以写成
  
    
      
        
          T
          
            0
          
        
        +
        Δ
        T
      
    
    {\displaystyle T_{0}+\Delta T}
  
），
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
是密度，
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
是压强，
  
    
      
        
          
            
              g
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {g}}}
  
是重力，
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
、
  
    
      
        χ
      
    
    {\displaystyle \chi }
  
、
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
依次是热膨胀系数、热扩散率和动黏滯係數。
简化後的形式称为洛伦茨方程，是决定洛伦茨振子状态的方程为一组常微分方程：

  
    
      
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        σ
        (
        y
        −
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\sigma (y-x)}
  

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        x
        (
        ρ
        −
        z
        )
        −
        y
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=x(\rho -z)-y}
  

  
    
      
        
          
            
              d
              z
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        x
        y
        −
        β
        z
      
    
    {\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=xy-\beta z}
  

含时间参数的形式：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        x
                        (
                        t
                        )
                      
                      
                        
                          d
                        
                        t
                      
                    
                  
                  =
                  σ
                  
                    
                      (
                    
                  
                  y
                  (
                  t
                  )
                  −
                  x
                  (
                  t
                  )
                  
                    
                      )
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        y
                        (
                        t
                        )
                      
                      
                        
                          d
                        
                        t
                      
                    
                  
                  =
                  ρ
                  
                  x
                  (
                  t
                  )
                  −
                  y
                  (
                  t
                  )
                  −
                  x
                  (
                  t
                  )
                  
                  z
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        z
                        (
                        t
                        )
                      
                      
                        
                          d
                        
                        t
                      
                    
                  
                  =
                  x
                  (
                  t
                  )
                  
                  y
                  (
                  t
                  )
                  −
                  β
                  
                  z
                  (
                  t
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=\sigma {\bigl (}y(t)-x(t){\bigr )}\\{\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\{\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=x(t)\,y(t)-\beta \,z(t)\end{cases}}}
  

  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
称为普兰特尔数 ，
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
称为瑞利数。所有的
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
，
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
，
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 > 0，但通常
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 = 10，
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 = 8/3，
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
不定。若
  
    
      
        ρ
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \rho <1}
  
，则吸引子为原点，没有任何其他稳定点。1≤ρ<13.927时，螺线轨迹接近两点（这相当於存在阻尼振子），两点的位置由下列式子决定：
  
    
      
         
        x
        =
        ±
        
          
            b
            (
            ρ
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ~x=\pm {\sqrt {b(\rho -1)}}}
  
、
  
    
      
         
        y
        =
        ±
        
          
            b
            (
            ρ
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ~y=\pm {\sqrt {b(\rho -1)}}}
  
、
  
    
      
         
        z
        =
        ρ
        −
        1
      
    
    {\displaystyle ~z=\rho -1}
  
。系统在
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
 = 28时表现出混沌特性，但
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
为其他值时会显示出具纽结的周期轨道。例如，当
  
    
      
        ρ
        =
        99.96
      
    
    {\displaystyle \rho =99.96}
  
时，图像变为一个T(3,2)环面纽结。


瑞利数 源代码 = GNU Octave =
下面是GNU Octave模拟洛伦茨吸引子的源代码：

## Lorenz Attractor equations solved by ODE Solve
## x' = sigma*(y-x)
## y' = x*(rho - z) - y
## z' = x*y - beta*z
function dx = lorenzatt(X)
    rho = 28; sigma = 10; beta = 8/3;
    dx = zeros(3,1);
    dx(1) = sigma*(X(2) - X(1));
    dx(2) = X(1)*(rho - X(3)) - X(2);
    dx(3) = X(1)*X(2) - beta*X(3);
    return
end

## Using LSODE to solve the ODE system.
clear all
close all
lsode_options("absolute tolerance",1e-3)
lsode_options("relative tolerance",1e-4)
t = linspace(0,25,1e3); X0 = [0,1,1.05];
[X,T,MSG]=lsode(@lorenzatt,X0,t);
T
MSG
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))
view(45,45)


= Borland C =


= Borland Pascal =


= Fortran =


= QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb") =


参见 混沌映射列表
Takens定理
曼德布洛特集合


参考文献 （英文）Jonas Bergman, Knots in the Lorentz Equation, 学士毕业论文, Uppsala University 2004.
（英文）Frøyland, J., Alfsen, K. H. Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model. Phys. Rev. A. 1984, 29: 2928–2931. doi:10.1103/PhysRevA.29.2928. 
（英文）P. Grassberger and I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D. 1983, 9: 189–208  [2022-01-08]. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. （原始内容存档于2016-02-17）. 
（英文）Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 1963, 20: 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2. 
（英文）Strogatz, Steven H. Nonlinear Systems and Chaos. Perseus publishing. 1994. 
（英文）Tucker, W. A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem. Found. Comp. Math. 2002, 2: 53–117  [2010-02-26]. （原始内容存档于2019-12-28）. 


外部链接 （英文）埃里克·韦斯坦因. 洛伦茨吸引子. MathWorld. 
（英文）洛伦茨吸引子 （页面存档备份，存于互联网档案馆），作者为Wolfram Demonstrations Project的Rob Morris
（英文）洛伦茨吸引子，planetmath.org
（英文）用於绘出洛伦茨吸引子或处理类似情况的源代码 （页面存档备份，存于互联网档案馆），使用ANSI C及gnuplot实现
（英文）《同步混沌与私人通信》，由MIT林肯实验室的Steven Strogatz与Kevin Cuomo讲解电子电路中洛伦茨吸引子的实现
（英文）洛伦茨吸引子交互式动画 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（需Adobe Shockwave插件）
（英文）Levitated.net：计算艺术与设计 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
（英文）3D Attractors：三维方式显示和研究洛伦茨吸引子Mac程序
（英文）3D VRML Lorenz attractor（需VRML浏览器插件）
（英文）J语言实现洛伦茨吸引子演示的短文 （页面存档备份，存于互联网档案馆） - 见J语言
（英文）非线性模拟的Java小程序 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（选择预设“Lorenz attractor”），作者Viktor Bachraty，编写语言Jython
（英文）模拟电子技术中洛伦茨吸引子的实现
（简体中文）混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子 （页面存档备份，存于互联网档案馆）