高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
  
，是個不可以轉成有序環的欧几里得整环。

  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
        =
        {
        a
        +
        b
        i
        ∣
        a
        ,
        b
        ∈
        
          Z
        
        }
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}
  

高斯整數的范数都是非負整數，定義為

  
    
      
        N
        (
        z
        w
        )
        =
        N
        (
        z
        )
        N
        (
        w
        )
      
    
    {\displaystyle N(zw)=N(z)N(w)}
  

  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
  
單位元
  
    
      
        1
        ,
        −
        1
        ,
        i
        ,
        −
        i
      
    
    {\displaystyle 1,-1,i,-i}
  
的範數均為
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
。


高斯整環 高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为
  
    
      
        1
        ,
        −
        1
        ,
        i
        ,
        −
        i
      
    
    {\displaystyle 1,-1,i,-i}
  
。


= 質元素 =

  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
  
的素元素又称为高斯質數。
高斯整数
  
    
      
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle a+bi}
  
是素数当且仅当：

  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
中有一个是零，另一个是形为
  
    
      
        4
        n
        +
        3
      
    
    {\displaystyle 4n+3}
  
或其相反数
  
    
      
        −
        (
        4
        n
        +
        3
        )
      
    
    {\displaystyle -(4n+3)}
  
的素数
或

  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
均不为零，而
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}}
  
为素数。

以下给出这些条件的证明。
必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
，
  
    
      
        g
        ∣
        g
        
          
            g
            ¯
          
        
        =
        N
        (
        g
        )
      
    
    {\displaystyle g\mid g{\overline {g}}=N(g)}
  
。现在，
  
    
      
        N
        (
        g
        )
      
    
    {\displaystyle N(g)}
  
是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        
          p
          
            2
          
        
        ⋯
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}
  
的乘积。根据素数的定义，如果
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
是素数，则它可以整除
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
  
，对于某个
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
。另外，
  
    
      
        
          
            g
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {g}}}
  
可以整除
  
    
      
        
          
            
              p
              
                i
              
            
            ¯
          
        
        =
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {p_{i}}}=p_{i}}
  
，因此
  
    
      
        N
        (
        g
        )
        =
        g
        
          
            g
            ¯
          
        
        ∣
        
          p
          
            i
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}}
  
。于是现在只有两种选择：要么
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
的范数是素数，要么是素数的平方。
如果实际上对于某个素数
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，有
  
    
      
        N
        (
        g
        )
        =
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle N(g)=p^{2}}
  
，那么
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
和
  
    
      
        
          
            g
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {g}}}
  
都能整除
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{2}}
  
。它们都不能是可逆元，因此
  
    
      
        g
        =
        p
        u
      
    
    {\displaystyle g=pu}
  
，以及
  
    
      
        
          
            g
            ¯
          
        
        =
        p
        
          
            u
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {g}}=p{\overline {u}}}
  
，其中
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
是可逆元。这就是说，要么
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  
，要么
  
    
      
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b=0}
  
，其中
  
    
      
        g
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle g=a+bi}
  
。
然而，不是每一个素数
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
都是高斯素数。
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
就不是高斯素数，因为
  
    
      
        2
        =
        (
        1
        +
        i
        )
        (
        1
        −
        i
        )
      
    
    {\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}
  
。高斯素数不能是
  
    
      
        4
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 4n+1}
  
的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}}
  
的形式，其中
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
是整数，且
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        i
        )
        (
        a
        −
        b
        i
        )
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}
  
。剩下的就只有形为
  
    
      
        4
        n
        +
        3
      
    
    {\displaystyle 4n+3}
  
的素数了。
形为
  
    
      
        4
        n
        +
        3
      
    
    {\displaystyle 4n+3}
  
的素数也是高斯素数。假设
  
    
      
        g
        =
        p
        +
        0
        i
      
    
    {\displaystyle g=p+0i}
  
，其中
  
    
      
        p
        =
        4
        n
        +
        3
      
    
    {\displaystyle p=4n+3}
  
是素数，且可以分解为
  
    
      
        g
        =
        h
        k
      
    
    {\displaystyle g=hk}
  
。那么
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
        =
        N
        (
        g
        )
        =
        N
        (
        h
        )
        N
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle p^{2}=N(g)=N(h)N(k)}
  
。如果这个分解是非平凡的，那么
  
    
      
        N
        (
        h
        )
        =
        N
        (
        k
        )
        =
        p
      
    
    {\displaystyle N(h)=N(k)=p}
  
。但是，任何两个平方数的和都不能写成
  
    
      
        4
        n
        +
        3
      
    
    {\displaystyle 4n+3}
  
的形式。因此分解一定是平凡的，所以
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
是高斯素数。
类似地，
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
乘以一个形为
  
    
      
        4
        n
        +
        3
      
    
    {\displaystyle 4n+3}
  
的素数也是高斯素数，但
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
乘以形为
  
    
      
        4
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 4n+1}
  
的素数则不是。
如果
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
是范数为素数的高斯整数，那么
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
是高斯素数。这是因为如果
  
    
      
        g
        =
        h
        k
      
    
    {\displaystyle g=hk}
  
，那么
  
    
      
        N
        (
        g
        )
        =
        N
        (
        h
        )
        N
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle N(g)=N(h)N(k)}
  
。由于
  
    
      
        N
        (
        g
        )
      
    
    {\displaystyle N(g)}
  
是素数，因此
  
    
      
        N
        (
        h
        )
      
    
    {\displaystyle N(h)}
  
或
  
    
      
        N
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle N(k)}
  
一定是1，所以
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
或
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
一定是可逆元。


= 作为整闭包 =
高斯整数环是
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Z} }
  
在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。


= 作为欧几里德环 =
在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为
  
    
      
        
          
            
              2
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
  
个单位。因此，
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
  
是一个欧几里德环，其中
  
    
      
        v
        (
        z
        )
        =
        N
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle v(z)=N(z)}
  
。所以，該環尤其是主理想整環，其理想皆形如
  
    
      
        ⟨
        a
        +
        b
        i
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle a+bi\rangle }
  
。若
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (a,b)=1}
  
，則對應的商是：

  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
        
          /
        
        
          
            ⟨
            
              a
              +
              b
              i
            
            ⟩
          
        
        ≅
        
          
            Z
          
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
          
        
         
        =
         
        {
        [
        0
        ]
        ,
        [
        1
        ]
        ,
        [
        2
        ]
        ⋯
        ,
        [
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        1
        ]
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.}
  


未解决的问题 高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。
关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：
实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数
  
    
      
        3
        ,
        7
        ,
        11
        ,
        19
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle 3,7,11,19,\dots }
  
。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
的直线上存在无穷多个高斯素数吗？
在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？


參見 艾森斯坦整數
费马平方和定理
二次互反律


参考文献 C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
从数到环：环论的早期历史，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5