在物理学和热力学中，状态方程（英語：Equation of state），也称物态方程，表达了热力学系统中若干个态函数参量之间的关系。特別是在热力学中，状态方程是一个热力学方程，描述了给定物理条件环境下物质的状态，例如其温度、压强、体积和内能。状态方程在描述流体、混合流体、固体甚至是研究恒星内部都十分有用。


概述 物态方程最显著的作用是它可以通过已知条件来预测气体和液体的状态。具有这样的目的的、较为简单的物态方程是理想气体状态方程，这个方程在低压强、中等温度的情况下，可以粗略地估算气体的状态。然而，当压强升、温度降低时，这个方程的精确度会降低，并且不能预测气体液化为液体。因此，科学家研究出了一系列针对气体和液体的更为精确的物态方程。目前，没有一个单独的方程可以精确地预测所有物质在所有情况下的状态。
除了上述的针对气体和液体的物态方程，也有可以预测固体体积，甚至可以预测固体从一种晶态变为另一种的转变。对于恒星、中子星内部，也有专门的模型来描述其物态变化。与之相关的则是理想流体的状态方程。


历史 = 玻意耳－马略特定律（1662） =
玻意耳定律可能是第一个有关物质状态的方程表达。1662年，这位著名的爱尔兰物理学家、化学家罗伯特·波义耳利用一端封闭、管内装有气体的J形管进行了一系列实验。管里还加入了水银封闭，使管内气体的数量保持恒定。然后，波义耳仔细地测量了气体的体积。气体的压强可以通过测量J形管长短两端水银页面的高度来得到。通过这一系列实验，波义耳注意到气体体积与压强成反比关系，这可以表达为以下的数学形式：

  
    
      
        p
        V
        =
        
          c
          o
          n
          s
          t
          a
          n
          t
        
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle pV=\mathrm {constant} .\,\!}
  

以上的关系式也被埃德姆·马略特发现，这个定律也被称为“玻意耳－马略特定律”。不过，马略特直到1676年都没有发表这个发现。


= 查理-吕萨克定律（1787） =
1787年，法国物理学家雅克·查理（Jacques Charles）发现氧气、氮气、氢气、二氧化碳和其他气体，当温度升高80开尔文（热力学温标）、其他条件一致时，气体膨胀的体积相等。约瑟夫·路易·盖-吕萨克也发表了相似的实验结果，表明了体积与温度之间的线性关系：

  
    
      
        
          
            
              V
              
                1
              
            
            
              T
              
                1
              
            
          
        
        =
        
          
            
              V
              
                2
              
            
            
              T
              
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}.}
  

上面这个方程被称为“查理定律”。


= 道尔顿分压定律（1801） =
道尔顿分压定律指出，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
种气体组成的混合气体的压强等于各组分气体单独所受压强之和，可以用下面的数学形式表达：

  
    
      
        
          p
          
            total
          
        
        =
        
          p
          
            1
          
        
        +
        
          p
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          p
          
            n
          
        
        =
        
          p
          
            total
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle p_{\text{total}}=p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}=p_{\text{total}}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}.}
  


= 理想气体定律（1834） =
理想气体定律，又称理想气体状态方程，是1834年法国物理学家埃米里·克拉珀龙（法語：Benoit Paul Emile Clapeyron）综合波义耳和查里的发现得到的一个方程。最初，这个定律被表达为
  
    
      
        P
        
          V
          
            m
          
        
        =
        R
        (
        
          T
          
            C
          
        
        +
        267
        )
      
    
    {\displaystyle PV_{m}=R(T_{C}+267)}
  
（温度以热力学温标为单位），这里
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
是气体常数。然而，不久后的研究表明267应该被修正为接近273.2，因为当时定义0摄氏度等于273.15开尔文，于是有以下的式子：

  
    
      
         
        p
        
          V
          
            m
          
        
        =
        R
        (
        
          T
          
            C
          
        
        +
        273.15
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \ pV_{m}=R(T_{C}+273.15).}
  


= 凡得瓦方程（1873） =
1873年，荷兰物理学家范德华给出了有限体积被连续分子充满情况下的物态方程。他的这一新公式改革了对于物态方程的研究。其后又有雷德利希-邝氏方程（英語：Redlich–Kwong equation of state）等对三次方程的修正。


主要物态方程 对于一个系统中的给提物质，温度、体积和压强不是相互独立的量。它们被下面的方程约束：

  
    
      
        
           
          f
          (
          p
          ,
          V
          ,
          T
          )
          =
          0
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\ f(p,V,T)=0}.}
  

式中的变量定义在下面给出。一些始终被用到的单位还将被使用，尽管国际单位制（SI）现在被推荐使用。特别指出，温度采用的是热力学温标。

  
    
      
         
        p
      
    
    {\displaystyle \ p}
  
 = 压强

  
    
      
         
        V
      
    
    {\displaystyle \ V}
  
 = 体积

  
    
      
         
        n
      
    
    {\displaystyle \ n}
  
 = 物质粒子的数量

  
    
      
         
        
          V
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \ V_{m}}
  
 = 
  
    
      
        
          
            V
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {V}{n}}}
  
 = 摩尔体积，即1摩尔物质（通常指气体或液体）的体积

  
    
      
         
        T
      
    
    {\displaystyle \ T}
  
 = 热力学温标

  
    
      
         
        R
      
    
    {\displaystyle \ R}
  
 = 气体常数（8.314472 J/(mol·K)）

  
    
      
         
        
          p
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \ p_{c}}
  
 = 临界点压强

  
    
      
         
        
          V
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \ V_{c}}
  
 = 临界点时的摩尔体积

  
    
      
         
        
          T
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \ T_{c}}
  
 = 临界点时的热力学温标


= 经典理想气体状态方程 =

经典理想气体状态方程可以写作：

  
    
      
        
           
          p
          V
          =
          n
          R
          T
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\ pV=nRT}.}
  

也可以表达为以下形式：

  
    
      
        
           
          p
          =
          ρ
          (
          γ
          −
          1
          )
          e
        
      
    
    {\displaystyle {\ p=\rho (\gamma -1)e}}
  

这里，
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
表示密度，
  
    
      
        γ
        =
        
          C
          
            p
          
        
        
          /
        
        
          C
          
            v
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma =C_{p}/C_{v}}
  
表示绝热指数，
  
    
      
        e
        =
        
          C
          
            v
          
        
        T
      
    
    {\displaystyle e=C_{v}T}
  
表示单位质量物质的内能，
  
    
      
        
          C
          
            v
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{v}}
  
表示恒定体积下的热容，
  
    
      
        
          C
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{p}}
  
表示恒定压强下的热容。


三次的物态方程 = 范德华方程 =
范德华方程写作：

  
    
      
        
          
            (
            
              p
              +
              
                
                  a
                  
                    V
                    
                      m
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            (
            
              
                V
                
                  m
                
              
              −
              b
            
            )
          
          =
          R
          T
        
      
    
    {\displaystyle {\left(p+{\frac {a}{V_{m}^{2}}}\right)\left(V_{m}-b\right)=RT}}
  

这里
  
    
      
        
          V
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{m}}
  
为摩尔体积，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 and 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
为表征物质本身性质的两个常数，它们可以通过临界点时的参数
  
    
      
        
          p
          
            c
          
        
        ,
        
          T
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{c},T_{c}}
  
及
  
    
      
        
          V
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{c}}
  
用以下的式子计算出（注意，
  
    
      
        
          V
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{c}}
  
是临界点时的摩尔体积）：

  
    
      
        a
        =
        3
        
          p
          
            c
          
        
        
        
          V
          
            c
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a=3p_{c}\,V_{c}^{2}}
  

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              V
              
                c
              
            
            3
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle b={\frac {V_{c}}{3}}.}
  

也可以写作：

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              27
              (
              R
              
              
                T
                
                  c
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              64
              
                p
                
                  c
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {27(R\,T_{c})^{2}}{64p_{c}}}}
  

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              R
              
              
                T
                
                  c
                
              
            
            
              8
              
                p
                
                  c
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle b={\frac {R\,T_{c}}{8p_{c}}}.}
  

范德华方程于1873年被提出来，是最早的几个能够比理想气体状态方程更为准确的物态方程之一。在这一里程碑意义的方程中，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
被称作吸引参量（attraction parameter），而
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
被称作排斥参量（repulsion parameter）或有效摩尔体积（effective molecular volume）。尽管这个方程确实比理想气体状态方程更加优秀，并且确实能够预测液体的相态，其与实验值的较高吻合度却仅仅发生在有液体形成的情况。由于历史原因，范德华方程在教科书和论文中不断被引用，以现在的眼光评判的话，范德华方程仍然是过时的。其他一些稍微复杂一点的物态方程表现出更高的精确度。
范德华方程可以被认为是一个改进的理想气体状态方程，原因如下：

分子被看做是具有体积的微粒，而不是一个根据其物质决定的点。因此
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
不能够太小，以至于小于一些常量。所以在范德华方程中使用
  
    
      
        V
        −
        b
      
    
    {\displaystyle V-b}
  
来代替
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
。
尽管理想气体分子间不进行相互碰撞，我们考虑分子与其他分子互相吸引的距离在几个分子半径的距离内。这对分子内的物质影响不大，但是却使分子表面的物质在半径方向被向里吸引。因此，利用理想气体状态方程计算式，我们人为地使得外层表面的压强减小，因此我们使用
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
一个特定值来代替
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
。为了求得这个“特定值”，需要考察一个施加在气体分子的额外的力。当这个施加在每个表面分子的力为
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，施加在所有分子的力为~
  
    
      
        
          ρ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho ^{2}}
  
~
  
    
      
        
          
            1
            
              V
              
                m
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{V_{m}^{2}}}}
  
。
利用这些無量綱的状态参量，例如，Vr=Vm/Vc，Pr=P/Pc以及Tr=T/Tc，范德华方程可以表示为：

  
    
      
        
          
            (
            
              
                P
                
                  r
                
              
              +
              
                
                  3
                  
                    V
                    
                      r
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            (
            
              3
              
                V
                
                  r
                
              
              −
              1
            
            )
          
          =
          8
          
            T
            
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\left(P_{r}+{\frac {3}{V_{r}^{2}}}\right)\left(3V_{r}-1\right)=8T_{r}}}
  

这个方程形式的好处在于，对于给定的Tr和Pr，無量綱体积可以直接利用三次方程解得：

  
    
      
        
          
            V
            
              r
            
            
              3
            
          
          −
          
            (
            
              
                
                  1
                  3
                
              
              +
              
                
                  
                    8
                    
                      T
                      
                        r
                      
                    
                  
                  
                    3
                    
                      P
                      
                        r
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            V
            
              r
            
            
              2
            
          
          +
          
            
              
                3
                
                  V
                  
                    r
                  
                
              
              
                P
                
                  r
                
              
            
          
          −
          
            
              1
              
                P
                
                  r
                
              
            
          
          =
          0
        
      
    
    {\displaystyle {V_{r}^{3}-\left({\frac {1}{3}}+{\frac {8T_{r}}{3P_{r}}}\right)V_{r}^{2}+{\frac {3V_{r}}{P_{r}}}-{\frac {1}{P_{r}}}=0}}
  

对于Pr<1且Tr<1，系统处于蒸发-液态平衡。在上面的情况里，这个三次方程可以导出3个根。最大的根以及最小的根分别为气体和液体的無量綱体积。


= 雷德利希-邝氏方程（Redlich-Kwong 方程） =

  
    
      
        
          p
          =
          
            
              
                R
                
                T
              
              
                
                  V
                  
                    m
                  
                
                −
                b
              
            
          
          −
          
            
              a
              
                
                  
                    T
                  
                
                
                
                  V
                  
                    m
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      V
                      
                        m
                      
                    
                    +
                    b
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {p={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a}{{\sqrt {T}}\,V_{m}\left(V_{m}+b\right)}}}}
  

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              0.42748
              
              
                R
                
                  2
                
              
              
              
                T
                
                  c
                
                
                  
                  2.5
                
              
            
            
              p
              
                c
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {0.42748\,R^{2}\,T_{c}^{\,2.5}}{p_{c}}}}
  

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              0.08662
              
              R
              
              
                T
                
                  c
                
              
            
            
              p
              
                c
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\frac {0.08662\,R\,T_{c}}{p_{c}}}}
  

雷德利希-邝氏方程于1949年被提出，是对于当时其他物态方程的一个较大的改进形式。由于它相对简单的数学形式，它仍然引起了很多人的兴趣。虽然比范德华方程更优越，但是因为它在涉及液相的情况里表现得不太好，因此不能用于精确计算气液平衡。然而，它仍然可以在涉及单独的液相的情况里发挥作用。
当压强对临界压强的比值小于温度对临界温度比值的一半时，即：

  
    
      
        
          
            p
            
              p
              
                c
              
            
          
        
        <
        
          
            T
            
              2
              
                T
                
                  c
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{p_{c}}}<{\frac {T}{2T_{c}}}.}
  

雷德利希-邝氏方程能够充分胜任计算气相属性。


= 索阿维对雷德利希-邝氏方程的修正 =

  
    
      
        p
        =
        
          
            
              R
              
              T
            
            
              
                V
                
                  m
                
              
              −
              b
            
          
        
        −
        
          
            
              a
              
              α
            
            
              
                V
                
                  m
                
              
              
                (
                
                  
                    V
                    
                      m
                    
                  
                  +
                  b
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a\,\alpha }{V_{m}\left(V_{m}+b\right)}}}
  

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              0.42748
              
              
                R
                
                  2
                
              
              
              
                T
                
                  c
                
                
                  2
                
              
            
            
              P
              
                c
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {0.42748\,R^{2}\,T_{c}^{2}}{P_{c}}}}
  

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              0.08664
              
              R
              
              
                T
                
                  c
                
              
            
            
              P
              
                c
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\frac {0.08664\,R\,T_{c}}{P_{c}}}}
  

  
    
      
        α
        =
        
          
            (
            
              1
              +
              
                (
                
                  0.48508
                  +
                  1.55171
                  
                  ω
                  −
                  0.15613
                  
                  
                    ω
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    T
                    
                      r
                    
                    
                      
                      0.5
                    
                  
                
                )
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =\left(1+\left(0.48508+1.55171\,\omega -0.15613\,\omega ^{2}\right)\left(1-T_{r}^{\,0.5}\right)\right)^{2}}
  

  
    
      
        
          T
          
            r
          
        
        =
        
          
            T
            
              T
              
                c
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{r}={\frac {T}{T_{c}}}}
  

这里，
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
是该种物质的偏离系数。索阿维修正的原始形式为：

  
    
      
        α
        =
        
          
            (
            
              1
              +
              
                (
                
                  0.48
                  +
                  1.574
                  
                  ω
                  −
                  0.176
                  
                  
                    ω
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    T
                    
                      r
                    
                    
                      
                      0.5
                    
                  
                
                )
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =\left(1+\left(0.48+1.574\,\omega -0.176\,\omega ^{2}\right)\left(1-T_{r}^{\,0.5}\right)\right)^{2}}
  

在1972年，索阿维(G. Soave）将雷德利希-邝氏方程中的1/√(T)项替换为一个与温度和偏离系数有关的函数α(T,ω)，替换后的方程也被称作“索阿维-雷德利希-邝氏方程”。引入α函数是为了与烃的蒸发压强相适应，事实证明这个方程在这些物质的相关计算中更加精确。


= 彭-罗宾逊物态方程（Peng–Robinson 方程） =

  
    
      
        p
        =
        
          
            
              R
              
              T
            
            
              
                V
                
                  m
                
              
              −
              b
            
          
        
        −
        
          
            
              a
              
              α
            
            
              
                V
                
                  m
                
                
                  2
                
              
              +
              2
              b
              
                V
                
                  m
                
              
              −
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a\,\alpha }{V_{m}^{2}+2bV_{m}-b^{2}}}}
  

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              0.45724
              
              
                R
                
                  2
                
              
              
              
                T
                
                  c
                
                
                  2
                
              
            
            
              p
              
                c
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {0.45724\,R^{2}\,T_{c}^{2}}{p_{c}}}}
  

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              0.07780
              
              R
              
              
                T
                
                  c
                
              
            
            
              p
              
                c
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\frac {0.07780\,R\,T_{c}}{p_{c}}}}
  

  
    
      
        α
        =
        
          
            (
            
              1
              +
              
                (
                
                  0.37464
                  +
                  1.54226
                  
                  ω
                  −
                  0.26992
                  
                  
                    ω
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    T
                    
                      r
                    
                    
                      
                      0.5
                    
                  
                
                )
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =\left(1+\left(0.37464+1.54226\,\omega -0.26992\,\omega ^{2}\right)\left(1-T_{r}^{\,0.5}\right)\right)^{2}}
  

  
    
      
        
          T
          
            r
          
        
        =
        
          
            T
            
              T
              
                c
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{r}={\frac {T}{T_{c}}}}
  

可以写作多项式的形式：

  
    
      
        A
        =
        
          
            
              a
              α
              p
            
            
              
                R
                
                  2
                
              
              
              
                T
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {a\alpha p}{R^{2}\,T^{2}}}}
  

  
    
      
        B
        =
        
          
            
              b
              p
            
            
              R
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B={\frac {bp}{RT}}}
  

  
    
      
        
          Z
          
            3
          
        
        −
        (
        1
        −
        B
        )
         
        
          Z
          
            2
          
        
        +
        (
        A
        −
        2
        B
        −
        3
        
          B
          
            2
          
        
        )
         
        Z
        −
        (
        A
        B
        −
        
          B
          
            2
          
        
        −
        
          B
          
            3
          
        
        )
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle Z^{3}-(1-B)\ Z^{2}+(A-2B-3B^{2})\ Z-(AB-B^{2}-B^{3})=0\,\!}
  

这里，
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
是物质的偏离系数，
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
是气体常数，
  
    
      
        Z
        =
        
          
            
              P
              V
            
            
              R
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Z={\frac {PV}{RT}}}
  
是压缩因子。
彭-罗宾逊方程于1976年被导出，主要是为了以下的几个目的：

参数应该可以用临界参量和偏离系数表达；
模型能够在临界状态附近体现较高的精确度，尤其是对于压缩因子和流体密度的计算；
混杂的规定不应该引用比二元相互作用参量更加复杂的参数，而应该独立于温度、压强和物质组分；
方程应该能够适用于所有流体（例如天然气）的性质。
虽然它总的来说在预测许多流体密度方面表现得更好，但是在大多数部分，彭-罗宾逊方程的效果和索阿维的方程相似，尤其是在针对非极化物质的计算方面。


= Elliott, Suresh, Donohue方程 =
Elliott, Suresh, Donohue方程（简称：ESD方程）于1990年被提出。，这个方程是为了修正彭-罗宾逊方程中由于范德瓦尔斯项引起的一处不精确。

  
    
      
        
          
            
              p
              
                V
                
                  m
                
              
            
            
              R
              T
            
          
        
        =
        Z
        =
        1
        +
        
          Z
          
            
              r
              e
              p
            
          
        
        +
        
          Z
          
            
              a
              t
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {pV_{m}}{RT}}=Z=1+Z^{\rm {rep}}+Z^{\rm {att}}}
  

这里：

  
    
      
        
          Z
          
            
              r
              e
              p
            
          
        
        =
        
          
            
              4
              c
              η
            
            
              1
              −
              1.9
              η
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Z^{\rm {rep}}={\frac {4c\eta }{1-1.9\eta }}}
  

  
    
      
        
          Z
          
            
              a
              t
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                z
                
                  m
                
              
              q
              η
              Y
            
            
              1
              +
              
                k
                
                  1
                
              
              η
              Y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Z^{\rm {att}}=-{\frac {z_{m}q\eta Y}{1+k_{1}\eta Y}}}
  

且，

  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
是一个偏离系数，
  
    
      
        c
        =
        1
      
    
    {\displaystyle c=1}
  
表示球状分子
对于非球状分子，下面的关系被用到：

  
    
      
        c
        =
        1
        +
        3.535
        ω
        +
        0.533
        
          ω
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle c=1+3.535\omega +0.533\omega ^{2}}
  
，这里
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
是一个偏离系数。
减少的分子数量密度
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
可以表达为
  
    
      
        η
        =
        
          
            
              
                v
                
                  ∗
                
              
              n
            
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta ={\frac {v^{*}n}{V}}}
  

这里

  
    
      
        
          v
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle v^{*}}
  
为一个关于物质尺寸的参数

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
为分子数量

  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
为容器体积
与尺寸相关的特征参数与形状参数
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
的关系为：

  
    
      
        
          v
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            
              k
              
                T
                
                  c
                
              
            
            
              P
              
                c
              
            
          
        
        Φ
      
    
    {\displaystyle v^{*}={\frac {kT_{c}}{P_{c}}}\Phi }
  

这里

  
    
      
        Φ
        =
        
          
            
              0.0312
              +
              0.087
              (
              c
              −
              1
              )
              +
              0.008
              (
              c
              −
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              1.000
              +
              2.455
              (
              c
              −
              1
              )
              +
              0.732
              (
              c
              −
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi ={\frac {0.0312+0.087(c-1)+0.008(c-1)^{2}}{1.000+2.455(c-1)+0.732(c-1)^{2}}}}
  
，且
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
为波尔兹曼常数。
应用时，应当注意波尔兹曼常数和气体常数之间的关系，并要观察到分子数量可以用阿伏伽德罗常数和摩尔质量表示。简化的数量密度
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
可以用体积表达为：

  
    
      
        η
        =
        
          
            
              R
              
                T
                
                  c
                
              
            
            
              P
              
                c
              
            
          
        
        Φ
        
          
            1
            
              V
              
                m
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \eta ={\frac {RT_{c}}{P_{c}}}\Phi {\frac {1}{V_{m}}}.}
  

形状参数
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
可以通过下面的式子给出：

  
    
      
        Y
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              ϵ
              
                k
                T
              
            
          
          )
        
        −
        
          k
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle Y=\exp \left({\frac {\epsilon }{kT}}\right)-k_{2}}
  

这里
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
为矩形势阱的“深度”，又可以由以下式子得到：

  
    
      
        
          
            ϵ
            k
          
        
        =
        
          
            
              1.000
              +
              0.945
              (
              c
              −
              1
              )
              +
              0.134
              (
              c
              −
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              1.023
              +
              2.225
              (
              c
              −
              1
              )
              +
              0.478
              (
              c
              −
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\epsilon }{k}}={\frac {1.000+0.945(c-1)+0.134(c-1)^{2}}{1.023+2.225(c-1)+0.478(c-1)^{2}}}}
  

  
    
      
        
          z
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{m}}
  
，
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}}
  
，
  
    
      
        
          k
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{2}}
  
和
  
    
      
        
          k
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{3}}
  
是物态方程的常数；

  
    
      
        
          z
          
            m
          
        
        =
        9.49
      
    
    {\displaystyle z_{m}=9.49}
  
为球状分子的情况（c=1）

  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
        =
        1.7745
      
    
    {\displaystyle k_{1}=1.7745}
  

  
    
      
        
          k
          
            2
          
        
        =
        1.0617
      
    
    {\displaystyle k_{2}=1.0617}
  

  
    
      
        
          k
          
            3
          
        
        =
        1.90476.
      
    
    {\displaystyle k_{3}=1.90476.}
  

关于这个模型的细节，可以参阅J.R. Elliott Jr在1990年的论文。


非三次的物态方程 = 狄特里奇物态方程 =

  
    
      
         
        p
        (
        V
        −
        b
        )
        =
        R
        T
        
          e
          
            −
            a
            
              /
            
            R
            T
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle \ p(V-b)=RTe^{-a/RTV}}
  

这里
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
与分子相互作用相关，
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
考虑了分子的有限体积（与范德华方程类似）。
可以简化为：

  
    
      
         
        
          T
          
            c
          
        
        =
        
          
            a
            
              4
              R
              b
            
          
        
        ,
         
        
          p
          
            c
          
        
        =
        
          
            a
            
              4
              
                b
                
                  2
                
              
              
                e
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
         
        
          V
          
            c
          
        
        =
        2
        b
        .
      
    
    {\displaystyle \ T_{c}={\frac {a}{4Rb}},\ p_{c}={\frac {a}{4b^{2}e^{2}}},\ V_{c}=2b.}
  


維里狀態方程 = 維里狀態方程 =

  
    
      
        
          
            
              p
              
                V
                
                  m
                
              
            
            
              R
              T
            
          
        
        =
        1
        +
        
          
            B
            
              V
              
                m
              
            
          
        
        +
        
          
            C
            
              V
              
                m
              
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            D
            
              V
              
                m
              
              
                3
              
            
          
        
        +
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {pV_{m}}{RT}}=1+{\frac {B}{V_{m}}}+{\frac {C}{V_{m}^{2}}}+{\frac {D}{V_{m}^{3}}}+\dots }
  

  
    
      
        B
        =
        −
        
          V
          
            c
          
        
        
      
    
    {\displaystyle B=-V_{c}\,}
  

  
    
      
        C
        =
        
          
            
              V
              
                c
              
              
                2
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle C={\frac {V_{c}^{2}}{3}}}
  

尽管形式上不是最方便的物态方程，维里状态方程（Virial equation of state）仍然十分重要，因为它可以直接由统计力学推导出。这个方程也被称作昂内斯（Heike Kamerlingh Onnes）方程。如果关于分子内部力的数学假设设定得适当，那么就能得到每一个维里系数的理论表达。在上面的式子中，
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
表示每两个分子间的相互作用，
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
表示每三个分子间的相互作用，以此类推......如果考虑的项数越多，方程的精确性就越高。系数
  
    
      
        B
        ,
        C
        ,
        D
      
    
    {\displaystyle B,C,D}
  
只是温度的函数。
通过应用范德瓦尔斯方程中的参数
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
，它也可以用来求解波义耳温度（当
  
    
      
        B
        =
        0
      
    
    {\displaystyle B=0}
  
时且应用于理想气体），如下式：

  
    
      
        B
        =
        b
        −
        
          
            a
            
              R
              T
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle B=b-{\frac {a}{RT}}.}
  


= BWR物态方程 =

  
    
      
        p
        =
        ρ
        R
        T
        +
        
          (
          
            
              B
              
                0
              
            
            R
            T
            −
            
              A
              
                0
              
            
            −
            
              
                
                  C
                  
                    0
                  
                
                
                  T
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  D
                  
                    0
                  
                
                
                  T
                  
                    3
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  E
                  
                    0
                  
                
                
                  T
                  
                    4
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          ρ
          
            2
          
        
        +
        
          (
          
            b
            R
            T
            −
            a
            −
            
              
                d
                T
              
            
          
          )
        
        
          ρ
          
            3
          
        
        +
        α
        
          (
          
            a
            +
            
              
                d
                T
              
            
          
          )
        
        
          ρ
          
            6
          
        
        +
        
          
            
              c
              
                ρ
                
                  3
                
              
            
            
              T
              
                2
              
            
          
        
        
          (
          
            1
            +
            γ
            
              ρ
              
                2
              
            
          
          )
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            γ
            
              ρ
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle p=\rho RT+\left(B_{0}RT-A_{0}-{\frac {C_{0}}{T^{2}}}+{\frac {D_{0}}{T^{3}}}-{\frac {E_{0}}{T^{4}}}\right)\rho ^{2}+\left(bRT-a-{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{3}+\alpha \left(a+{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{6}+{\frac {c\rho ^{3}}{T^{2}}}\left(1+\gamma \rho ^{2}\right)\exp \left(-\gamma \rho ^{2}\right)}
  

这里

  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
为压强

  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
为摩尔体积
1973年K.E. Starling出版的一部专著记有15种物质的参数值。


多参量物态方程 = 亥姆霍兹函数形式 =
亥姆霍兹物态方程（Multiparameter equations of state (MEOS)）可以用来精确地计算纯净的流体（包括液态和氣态）。亥姆霍兹函数为理想气体项和剩余项的和。这两项在简化的温度和密度很明晰，由此：

  
    
      
        
          
            
              a
              (
              T
              ,
              ρ
              )
            
            
              R
              T
            
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  o
                
              
              (
              T
              ,
              ρ
              )
              +
              
                a
                
                  r
                
              
              (
              T
              ,
              ρ
              )
            
            
              R
              T
            
          
        
        =
        
          α
          
            o
          
        
        (
        τ
        ,
        δ
        )
        +
        
          α
          
            r
          
        
        (
        τ
        ,
        δ
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {a(T,\rho )}{RT}}={\frac {a^{o}(T,\rho )+a^{r}(T,\rho )}{RT}}=\alpha ^{o}(\tau ,\delta )+\alpha ^{r}(\tau ,\delta )}
  

这里

  
    
      
        τ
        =
        
          
            
              T
              
                r
              
            
            T
          
        
        ,
        δ
        =
        
          
            ρ
            
              ρ
              
                r
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau ={\frac {T_{r}}{T}},\delta ={\frac {\rho }{\rho _{r}}}}
  


其他物态方程的形式 = 极端相对物态方程 =
极端相对的流体具有以下的物态方程：

  
    
      
        p
        =
        
          ρ
          
            m
          
        
        
          c
          
            s
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p=\rho _{m}c_{s}^{2}}
  

这里
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
为压强， 
  
    
      
        
          ρ
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{m}}
  
为质量密度，
  
    
      
        
          c
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{s}}
  
为音速。


= 理想玻色物态方程 =
对于理想的玻色气体，其物态方程为：

  
    
      
        p
        
          V
          
            m
          
        
        =
        R
        T
         
        
          
            
              
                
                  
                    Li
                  
                
                
                  α
                  +
                  1
                
              
              (
              z
              )
            
            
              ζ
              (
              α
              )
            
          
        
        
          
            (
            
              
                T
                
                  T
                  
                    c
                  
                
              
            
            )
          
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle pV_{m}=RT~{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha +1}(z)}{\zeta (\alpha )}}\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{\alpha }}
  

这里
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
表征系统自身特性的一个指数（例如当不存在一个势场时，
  
    
      
        α
        =
        3
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \alpha =3/2}
  
），
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
等于 
  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        μ
        
          /
        
        k
        T
        )
      
    
    {\displaystyle \exp(\mu /kT)}
  
 ，这里
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
為化学势，
  
    
      
        
          
            Li
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {Li}}}
  
为多重对数函数
，
  
    
      
        ξ
      
    
    {\displaystyle \xi }
  
表示黎曼ζ函数，
  
    
      
        
          T
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{c}}
  
为玻色-爱因斯坦凝聚开始形成时的临界温度。


参考文献 Elliot, J. Richard; Lira, Carl T. Introductory Chemical Engineering Thermodynamics. Prentice Hall. 1999. 
秦允豪. 《热学》. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-013790-3.