n 维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是X中所有点的平均。如果一個物件質量分佈平均，形心便是重心。
如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。
有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。


性質 一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。


三角形的中心 形心是三角形的幾何中心，是指三角形的三條中线（頂點和對邊的中點的連線）交點。


= 三條中線共點證明 =

用塞瓦定理逆定理可以直接證出：

  
    
      
        
          
            
              B
              E
            
            
              E
              C
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              C
              F
            
            
              F
              A
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              A
              D
            
            
              D
              B
            
          
        
        =
        
          
            1
            1
          
        
        ⋅
        
          
            1
            1
          
        
        ⋅
        
          
            1
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {BE}{EC}}\cdot {\frac {CF}{FA}}\cdot {\frac {AD}{DB}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}=1}
  

因此三線共點。
中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的1/3。如右图所示：
如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于
  
    
      
        (
        
          x
          
            a
          
        
        ,
        
          y
          
            a
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{a},y_{a})}
  
，
  
    
      
        (
        
          x
          
            b
          
        
        ,
        
          y
          
            b
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{b},y_{b})}
  
，和
  
    
      
        (
        
          x
          
            c
          
        
        ,
        
          y
          
            c
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{c},y_{c})}
  
，那么几何中心位于：

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            a
          
        
        +
        
          x
          
            b
          
        
        +
        
          x
          
            c
          
        
        )
        ,
        
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
            
          
        
        (
        
          y
          
            a
          
        
        +
        
          y
          
            b
          
        
        +
        
          y
          
            c
          
        
        )
        
          
            )
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            a
          
        
        ,
        
          y
          
            a
          
        
        )
        +
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            b
          
        
        ,
        
          y
          
            b
          
        
        )
        +
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            c
          
        
        ,
        
          y
          
            c
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\Big (}{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a}+x_{b}+x_{c}),\;{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(y_{a}+y_{b}+y_{c}){\Big )}={\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a},y_{a})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{b},y_{b})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{c},y_{c})}
  


= 中心分中线为2:1的证明 =
设三角形ABC的中线AD，BE和CF交于三角形的中心G，延长AD至点O使得

  
    
      
        A
        G
        =
        G
        O
        .
        
      
    
    {\displaystyle AG=GO.\,}
  

那么三角形AGE和AOC 相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长，所以OC平行于BG。同样的，OB平行于CG。
从而图形GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线GO和BC的交点使得GD = DO，这样 

  
    
      
        G
        O
        =
        G
        D
        +
        D
        O
        =
        2
        G
        D
        .
        
      
    
    {\displaystyle GO=GD+DO=2GD.\,}
  

所以，
  
    
      
        A
        G
        =
        G
        O
        =
        2
        G
        D
        
      
    
    {\displaystyle AG=GO=2GD\,}
  
，或
  
    
      
        A
        G
        :
        G
        D
        =
        2
        :
        1
        
      
    
    {\displaystyle AG:GD=2:1\,}
  
，这对任何中线都成立。


= 性質 =
三角形的重心與三頂點連線，所形成的三個三角形面積相等。
頂點到重心的距離是中線的
  
    
      
        
          
            
              2
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
  
。
外心
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
、重心
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
、九點圓圓心
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
、垂心
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
四點依次序共線，其中
  
    
      
        O
        G
        :
        G
        F
        :
        F
        H
        =
        2
        :
        1
        :
        3
      
    
    {\displaystyle OG:GF:FH=2:1:3}
  
，此線稱為歐拉線。
內心
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
、重心
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
、斯俾克心
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
、奈格爾點
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
四點依次序共線，其中
  
    
      
        I
        G
        :
        G
        S
        :
        S
        N
        =
        2
        :
        1
        :
        3
      
    
    {\displaystyle IG:GS:SN=2:1:3}
  
，此線稱為奈格爾線。
三角形的重心同時也是中點三角形的重心。
在直角座標系中，若頂點的座標分別為
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1})}
  
、
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2})}
  
、
  
    
      
        (
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          y
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{3},y_{3})}
  
，則重心的座標為：

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                3
              
            
            ,
            
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
                3
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\right)}
  

三線坐標中、重心的座標為：

  
    
      
        b
        c
        :
        c
        a
        :
        a
        b
        =
        
          
            1
            a
          
        
        :
        
          
            1
            b
          
        
        :
        
          
            1
            c
          
        
        =
        csc
        ⁡
        A
        :
        csc
        ⁡
        B
        :
        csc
        ⁡
        C
      
    
    {\displaystyle bc:ca:ab={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=\csc A:\csc B:\csc C}
  

重心坐標中、重心的座標為：

  
    
      
        1
        :
        1
        :
        1
      
    
    {\displaystyle 1:1:1}
  

三角形的重心的等截共轭点也是三角形重心自己。
三角形的重心的等角共轭点称为类似重心。


四面体的中心 类似三角形的中心的结论对四面体也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-维单形。如果单形的顶点集是
  
    
      
        
          
            v
            
              0
            
          
          ,
          .
          .
          .
          ,
          
            v
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {v_{0},...,v_{n}}}
  
，将这些顶点看成向量，几何中心位于：

  
    
      
        
          
            1
            
              n
              +
              1
            
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          v
          
            i
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}\;.}
  


多边形的中心 一个由N个顶点（xi , yi）确定的不自交闭多边形的中心能如下计算： 
记号（ xN , yN）与顶点（ x0 , y0）相同。多边形的面积为：

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            N
            −
            1
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
         
        
          y
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
         
        
          y
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}
  

多边形的中心由下式给出：

  
    
      
        
          C
          
            x
          
        
        =
        
          
            1
            
              6
              A
            
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            N
            −
            1
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        +
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        )
        (
        
          x
          
            i
          
        
         
        
          y
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
         
        
          y
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}
  

  
    
      
        
          C
          
            y
          
        
        =
        
          
            1
            
              6
              A
            
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            N
            −
            1
          
        
        (
        
          y
          
            i
          
        
        +
        
          y
          
            i
            +
            1
          
        
        )
        (
        
          x
          
            i
          
        
         
        
          y
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
         
        
          y
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}
  


有限点集的中心 给定有限点集  
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}
  
属于
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
，它们的中心定义
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
为

  
    
      
        C
        =
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                x
                
                  k
                
              
            
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle C={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}{k}}}
  
。


面积中心 面积中心和质量中心非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。
对于两部分组成的图形，将有如下等式：

  
    
      
        
          
            y
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                    ¯
                  
                
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                    ¯
                  
                
                
                  A
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  A
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {y}}={\dfrac {{\overline {y_{1}}}A_{1}+{\overline {y_{2}}}A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}}
  

  
    
      
        
          
            y
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {y}}}
  
是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是特定部分的面积。
当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：

  
    
      
        
          
            x
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              ∑
              
                
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                  ¯
                
              
              
                A
                
                  i
                
              
            
            
              ∑
              
                A
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum {\overline {x_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}}
  

  
    
      
        
          
            y
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              ∑
              
                
                  
                    y
                    
                      i
                    
                  
                  ¯
                
              
              
                A
                
                  i
                
              
            
            
              ∑
              
                A
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {y}}={\frac {\sum {\overline {y_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}}
  

这里从y-轴到中心的距离是
  
    
      
        
          
            x
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {x}}}
  
，从x-轴到中心的距离是
  
    
      
        
          
            y
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {y}}}
  
，中心的坐标是
  
    
      
        (
        
          
            x
            ¯
          
        
        ,
        
          
            y
            ¯
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})}
  
。


积分公式 一个平面图形的中心的横坐标（x轴）由积分

  
    
      
        
          C
          
            x
          
        
        =
        
          
            
              ∫
              x
              f
              (
              x
              )
              
              d
              x
            
            
              ∫
              f
              (
              x
              )
              
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{x}={\frac {\int xf(x)\;dx}{\int f(x)\;dx}}}
  
给出。
这里f（x）是对象位于在横坐标x点y轴上的长度，是在x图形的测度。这个公式能由区域关于y-轴的第一矩得出。
这个过程等价于取加权平均。假设y-轴表示频率，x-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着x-轴的中心即  
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}}
  
。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。
对任意维数n，由相同的公式得出
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
中一个对象的中心第一个坐标，假设f (x)是对象在坐标x的截面（也就是说，对象中第一个坐标为x的所有点的集合）的（n-1）-维测度。
注意到分母恰是对象的n- 维测度。特别的，在f为正规时，即分母为1，中心也称为f的平均。
当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。


圆锥和棱锥的中心 圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。


对称中心 如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。


地理中心 地理学中，地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心。


参见 重心列表
帕普斯中心定理
K-平均算法
中點
外心
內心
垂心
奈格爾點
类似中线
歐拉線
西瓦定理


参考文献 外部链接 Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
Triangle centers（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
Characteristic Property of Centroid（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
Barycentric Coordinates（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Interactive animations showing Centroid of a triangle（页面存档备份，存于互联网档案馆） and Centroid construction with compass and straightedge（页面存档备份，存于互联网档案馆）