在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值（expectation value）是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。
量子力學顯露出一種內稟統計行為。同樣的一個實驗重複地做很多次，每次實驗的測量結果通常不會一樣，只有從很多次的實驗結果計算出來的統計平均值，才是可複製的數值。量子理論不能預測單次實驗的測量結果，量子理論可以用期望值來預測多次實驗得到的統計平均值。
採用狄拉克標記，假設量子系統的量子態為 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
  
 ，則對於這量子態，可觀察量 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的期望值 
  
    
      
        ⟨
        O
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle O\rangle }
  
 定義為

  
    
      
        ⟨
        O
        ⟩
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle }
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {O}}}
  
 是對應於可觀察量 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的算符。


量子力學形式論 雖然量子力學與古典力學計算實驗平均值的方法相同，但是，量子力學形式論裏對於可觀察量的數學表述與古典的測度論有很顯著的不同。對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，而測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態是這本徵態。
以數學表述，對應於可觀察量 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的量子算符 
  
    
      
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {O}}}
  
 是一個厄米算符，量子態是以態向量的形式存在於向量空間。假設量子系統的量子態為 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
  
 ，則對於這量子態，可觀察量 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的期望值 
  
    
      
        ⟨
        O
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle O\rangle }
  
 定義為

  
    
      
        ⟨
        O
        ⟩
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle }
  
 。
假設算符 
  
    
      
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {O}}}
  
 的一組本徵態 
  
    
      
        
          |
        
        
          e
          
            i
          
        
        ⟩
        ,
        
        i
        =
        1
        ,
        
        2
        ,
        
        3
        ,
        
        …
         
      
    
    {\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots \ }
  
 形成了一個具有正交歸一性的基底：

  
    
      
        ⟨
        
          e
          
            i
          
        
        
          |
        
        
          e
          
            j
          
        
        ⟩
        =
        
          δ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}}
  
 是克羅內克函數。
本徵態 
  
    
      
        
          |
        
        
          e
          
            i
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |e_{i}\rangle }
  
 的本徵值為 
  
    
      
        
          O
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{i}}
  
 ：

  
    
      
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
        
          |
        
        
          e
          
            i
          
        
        ⟩
        =
        
          O
          
            i
          
        
        
          |
        
        
          e
          
            i
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle {\hat {O}}|e_{i}\rangle =O_{i}|e_{i}\rangle }
  
 。
量子態 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
  
 可以展開為這些本徵態的線性組合：

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          c
          
            i
          
        
        
          |
        
        
          e
          
            i
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|e_{i}\rangle }
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          c
          
            i
          
        
        =
        ⟨
        
          e
          
            i
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }
  
 是複係數，是在量子態 
  
    
      
        
          |
        
        
          e
          
            i
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |e_{i}\rangle }
  
 裏找到量子態 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
  
 的機率幅。
應用全等式

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          |
        
        
          e
          
            i
          
        
        ⟩
        ⟨
        
          e
          
            i
          
        
        
          |
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=1}
  
 ，
可觀察量 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的期望值可以寫為

  
    
      
        
          
            
              
                ⟨
                O
                ⟩
              
              
                
                =
                ⟨
                ψ
                
                  |
                
                
                  
                    
                      O
                      ^
                    
                  
                
                
                  |
                
                ψ
                ⟩
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                    ,
                    j
                  
                
                ⟨
                ψ
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    i
                  
                
                ⟩
                ⟨
                
                  e
                  
                    i
                  
                
                
                  |
                
                
                  
                    
                      O
                      ^
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                ⟩
                ⟨
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                
                  |
                
                ψ
                ⟩
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                    ,
                    j
                  
                
                ⟨
                ψ
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    i
                  
                
                ⟩
                ⟨
                
                  e
                  
                    i
                  
                
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                ⟩
                ⟨
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                
                  |
                
                ψ
                ⟩
                
                  O
                  
                    i
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  |
                
                ⟨
                
                  e
                  
                    i
                  
                
                
                  |
                
                ψ
                ⟩
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  O
                  
                    i
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\langle O\rangle &=\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle \\&=\sum _{i,j}\langle \psi |e_{i}\rangle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle \\&=\sum _{i,j}\langle \psi |e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle O_{i}\\&=\sum _{i}|\langle e_{i}|\psi \rangle |^{2}O_{i}\\\end{aligned}}}
  
 。
這表達式很像是一個算術平均式，它表明了期望值的物理意義：本徵值 
  
    
      
        
          O
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{i}}
  
 是實驗的可能結果，對應的係數 
  
    
      
        
          |
        
        ⟨
        
          e
          
            i
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          |
        
        
          c
          
            i
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |\langle e_{i}|\psi \rangle |^{2}=|c_{i}|^{2}}
  
 是這結果可能會發生的機率。總合所有本徵值與其對應的機率係數的乘積，就可以得到期望值。


動力量子系統的期望值 當思考動力量子系統時，態向量 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
  
 或算符 
  
    
      
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {O}}}
  
 ，兩者之中，任何一個，都可以設定為與時間有關，這決定於採用薛丁格繪景或海森堡繪景。不論選擇的是那一種繪景，最後求得的期望值都是相同的。
在海森堡繪景裏，算符被設定為與時間有關，而量子態則在初始時間 
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
  
 就被固定，與時間無關。另一種稱為薛丁格繪景的理論方法設定量子算符與時間無關，又設定量子態與時間有關。在概念方面或在數學方面，這兩種繪景等價，推導出的結果一樣。大多數初級量子力學教科書採用的是薛丁格繪景，通過生動活潑的量子態，學生可以迅速地瞭解量子系統如何隨著時間演變。海森堡繪景比較適用於研究一些像對稱性或守恆定律的基礎論題領域，例如量子場論，或者研究超大自由度系統的學術，例如統計力學。


系综平均值 系綜是一組量子系統。概念而言，在系綜裏，量子系統的數量為無窮多。系綜又分為純系綜與混系綜。純系綜的每一個量子系統都具有同樣的量子態，這量子態也可以用來代表純系綜。前面幾節所論述的對象主要是純系綜。例如，從斯特恩-革拉赫實驗儀器分裂出來的兩道銀子束，一道是量子態為上旋的純系綜 
  
    
      
        
          
            
              E
            
          
          
            u
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}_{up}}
  
 ，另一道是量子態為下旋的純系綜 
  
    
      
        
          
            
              E
            
          
          
            d
            o
            w
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}_{down}}
  
 。
混系綜的量子系統可以具有不同的量子態 
  
    
      
        
          |
        
        
          ψ
          
            (
            i
            )
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi ^{(i)}\rangle }
  
 。例如，在有一種混系綜 
  
    
      
        
          
            
              E
            
          
          
            m
            i
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}_{mix}}
  
 的所有量子系統裏，量子態為上旋的佔50%，量子態為上旋的佔50%。混系綜不能用單獨態向量設定，混系綜是用密度算符 
  
    
      
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\rho }}}
  
 設定：

  
    
      
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          w
          
            i
          
        
        
          |
        
        
          ψ
          
            (
            i
            )
          
        
        ⟩
        ⟨
        
          ψ
          
            (
            i
            )
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}w_{i}|\psi ^{(i)}\rangle \langle \psi ^{(i)}|}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
  
 是找到量子態為 
  
    
      
        
          |
        
        
          ϕ
          
            i
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\phi _{i}\rangle }
  
 的量子系統在系綜裏的機率。

純系綜 
  
    
      
        
          
            
              E
            
          
          
            u
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}_{up}}
  
 的密度算符為 
  
    
      
        
          |
        
        ↑
        ⟩
        ⟨
        ↑
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\uparrow \rangle \langle \uparrow |}
  
 。
純系綜 
  
    
      
        
          
            
              E
            
          
          
            d
            o
            w
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}_{down}}
  
 的密度算符為 
  
    
      
        
          |
        
        ↓
        ⟩
        ⟨
        ↓
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\downarrow \rangle \langle \downarrow |}
  
 。
混系綜 
  
    
      
        
          
            
              E
            
          
          
            m
            i
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}_{mix}}
  
 的密度算符為 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          |
        
        ↑
        ⟩
        ⟨
        ↑
        
          |
        
        +
        
          |
        
        ↓
        ⟩
        ⟨
        ↓
        
          |
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}(|\uparrow \rangle \langle \uparrow |+|\downarrow \rangle \langle \downarrow |)}
  
 。
以算符 
  
    
      
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {O}}}
  
 的本徵態 
  
    
      
        
          |
        
        
          e
          
            i
          
        
        ⟩
        ,
        
        i
        =
        1
        ,
        
        2
        ,
        
        3
        ,
        
        …
         
      
    
    {\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots \ }
  
 形成的基底來表示對應於密度算符的密度矩陣 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
 ：

  
    
      
        
          ρ
          
            j
            k
          
        
        =
        ⟨
        
          e
          
            j
          
        
        
          |
        
        ρ
        
          |
        
        
          e
          
            k
          
        
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          w
          
            i
          
        
        ⟨
        
          e
          
            j
          
        
        
          |
        
        
          ψ
          
            (
            i
            )
          
        
        ⟩
        ⟨
        
          ψ
          
            (
            i
            )
          
        
        
          |
        
        
          e
          
            k
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \rho _{jk}=\langle e_{j}|\rho |e_{k}\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle e_{j}|\psi ^{(i)}\rangle \langle \psi ^{(i)}|e_{k}\rangle }
  
 ；
對於系綜測量可觀察量 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 得到的「系縱平均值」又稱為「系綜期望值」，簡稱「期望值」，以方程式表示為

  
    
      
        
          
            
              
                ⟨
                O
                ⟩
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  w
                  
                    i
                  
                
                ⟨
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                
                  |
                
                
                  
                    
                      O
                      ^
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                ⟩
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  ∑
                  
                    j
                  
                
                
                  w
                  
                    i
                  
                
                ⟨
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                ⟩
                ⟨
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                
                  |
                
                
                  
                    
                      O
                      ^
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                ⟩
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  ∑
                  
                    j
                  
                
                
                  w
                  
                    i
                  
                
                ⟨
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                ⟩
                ⟨
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                
                  |
                
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                ⟩
                
                  O
                  
                    j
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  ∑
                  
                    j
                  
                
                
                  w
                  
                    i
                  
                
                
                  |
                
                ⟨
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                ⟩
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  O
                  
                    j
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\langle O\rangle &=\sum _{i}w_{i}\langle \psi ^{(i)}|{\hat {O}}|\psi ^{(i)}\rangle \\&=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}\langle \psi ^{(i)}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|{\hat {O}}|\psi ^{(i)}\rangle \\&=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}\langle \psi ^{(i)}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi ^{(i)}\rangle O_{j}\\&=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}|\langle \psi ^{(i)}|e_{j}\rangle |^{2}O_{j}\\\end{aligned}}}
  
 。
對於一般可觀察量 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ，系縱平均值表示為

  
    
      
        
          
            
              
                ⟨
                A
                ⟩
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  w
                  
                    i
                  
                
                ⟨
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                
                  |
                
                
                  
                    
                      A
                      ^
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                ⟩
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  ∑
                  
                    j
                    ,
                    k
                  
                
                
                  w
                  
                    i
                  
                
                ⟨
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                ⟩
                ⟨
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                
                  |
                
                
                  
                    
                      A
                      ^
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    k
                  
                
                ⟩
                ⟨
                
                  e
                  
                    k
                  
                
                
                  |
                
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                ⟩
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  ∑
                  
                    j
                    ,
                    k
                  
                
                
                  w
                  
                    i
                  
                
                ⟨
                
                  e
                  
                    k
                  
                
                
                  |
                
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                ⟩
                ⟨
                
                  ψ
                  
                    (
                    i
                    )
                  
                
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                ⟩
                ⟨
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                
                  |
                
                
                  
                    
                      A
                      ^
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    k
                  
                
                ⟩
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    j
                    ,
                    k
                  
                
                
                  ρ
                  
                    k
                    j
                  
                
                ⟨
                
                  e
                  
                    j
                  
                
                
                  |
                
                
                  
                    
                      A
                      ^
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  e
                  
                    k
                  
                
                ⟩
              
            
            
              
              
                
                =
                T
                r
                a
                c
                e
                (
                ρ
                A
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &=\sum _{i}w_{i}\langle \psi ^{(i)}|{\hat {A}}|\psi ^{(i)}\rangle \\&=\sum _{i}\sum _{j,k}w_{i}\langle \psi ^{(i)}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|{\hat {A}}|e_{k}\rangle \langle e_{k}|\psi ^{(i)}\rangle \\&=\sum _{i}\sum _{j,k}w_{i}\langle e_{k}|\psi ^{(i)}\rangle \langle \psi ^{(i)}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|{\hat {A}}|e_{k}\rangle \\&=\sum _{j,k}\rho _{kj}\langle e_{j}|{\hat {A}}|e_{k}\rangle \\&=Trace(\rho A)\\\end{aligned}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        T
        r
        a
        c
        e
        (
        ρ
        A
        )
      
    
    {\displaystyle Trace(\rho A)}
  
 是矩陣 
  
    
      
        ρ
        A
      
    
    {\displaystyle \rho A}
  
 的跡數。
總結，

  
    
      
        ⟨
        A
        ⟩
        =
        
          T
          r
          a
          c
          e
        
        (
        ρ
        A
        )
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          w
          
            i
          
        
        ⟨
        
          ψ
          
            i
          
        
        
          |
        
        A
        
          |
        
        
          ψ
          
            i
          
        
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          w
          
            i
          
        
        ⟨
        A
        
          ⟩
          
            
              ψ
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle A\rangle =\mathrm {Trace} (\rho A)=\sum _{i}w_{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        ⟨
        A
        
          ⟩
          
            
              ψ
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle A\rangle _{\psi _{i}}}
  
 是對於量子態 
  
    
      
        
          ψ
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{i}}
  
 ，可觀察量 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的期望值。


簡例 舉一個相當簡單的例子，假設 
  
    
      
        
          
            
              Λ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\Lambda }}}
  
 是一個投影算符，則本徵值為 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 或 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 。這對應於一種「是非題」類型的物理實驗，這例子的期望值是實驗結果為 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 的機率，可以計算為

  
    
      
        ⟨
        Λ
        ⟩
        =
        
          |
        
        
          
            
              Λ
              ^
            
          
        
        ψ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle \Lambda \rangle =|{\hat {\Lambda }}\psi |^{2}}
  
 。


位置空間案例 採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 
  
    
      
        
          
            H
          
        
        =
        
          L
          
            2
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}
  
 ，是實值定義域的平方可積函數的空間。
波函數 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x)}
  
 定義為

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        ⟨
        x
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle }
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          |
        
        x
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |x\rangle }
  
 是位置算符 
  
    
      
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {x}}}
  
 的本徵態。
兩個態向量的內積是 

  
    
      
        ⟨
        
          ψ
          
            1
          
        
        
          |
        
        
          ψ
          
            2
          
        
        ⟩
        =
        ∫
        
          ψ
          
            1
          
          
            ∗
          
        
        (
        x
        )
        
          ψ
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)\,\mathrm {d} x}
  
 。
對於任意量子態 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 ，可觀察量 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的期望值為

  
    
      
        ⟨
        x
        ⟩
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle x\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle }
  
 。
位置算符 
  
    
      
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {x}}}
  
 作用於量子態 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
  
 的結果，表現於位置空間，等價於波函數 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x)}
  
 與 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的乘積，所以，

  
    
      
        ⟨
        x
        ⟩
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          ψ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        )
        
        x
        
        ψ
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        x
        
        
          |
        
        ψ
        (
        x
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }x\,|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x}
  
 。
粒子處於 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 與 
  
    
      
        x
        +
        d
        x
      
    
    {\displaystyle x+dx}
  
 微小區間內的機率是

  
    
      
        p
        (
        x
        )
        
          d
        
        x
        =
        
          ψ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        )
        ψ
        (
        x
        )
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle p(x)\mathrm {d} x=\psi ^{*}(x)\psi (x)\mathrm {d} x}
  
 。
粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。
通常而言，對於可觀察量 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的量子算符 
  
    
      
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {O}}}
  
 ，假若能夠找到其表現於位置空間的位置算符 
  
    
      
        
          
            
              
                O
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathfrak {O}}}}
  
 的形式，就可以計算出 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的期望值。例如，表現於位置空間的動量算符 
  
    
      
        
          
            
              
                P
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathfrak {P}}}}
  
 的形式為：

  
    
      
        
          
            
              
                P
              
              ^
            
          
        
        =
        
          
            ℏ
            i
          
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathfrak {P}}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}
  
 。
所以，動量的期望值為

  
    
      
        ⟨
        P
        ⟩
        =
        
          
            ℏ
            i
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          ψ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        )
        
        
          
            
              d
              ψ
              (
              x
              )
            
            
              d
              x
            
          
        
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \langle P\rangle ={\frac {\hbar }{i}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,\mathrm {d} x}
  
 。


參閱 維里定理
埃倫費斯特定理


參考文獻 Isham, Chris J. Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. Imperial College Press. 1995. ISBN 978-1860940019.