在数学中，概周期函数（或殆周期函数）是一类有近似于周期性质的函数，是连续週期函數的推廣。不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引進，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广。贝西科维奇因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的亚当斯奖。


定义 概週期函數有若干個等價定義。根据哈那德·玻尔引进的分析學上的定义，一个定义域在实数域上的连续函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 如果满足：对任意正实数
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
，都存在实数
  
    
      
        l
        (
        ϵ
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle l(\epsilon )>0}
  
，使得任意长度为
  
    
      
        l
        (
        ϵ
        )
      
    
    {\displaystyle l(\epsilon )}
  
 的区间里至少存在一个数
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
，使得对于任意的
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
  
，都有：

  
    
      
        
          |
          
            f
            (
            x
            +
            t
            )
            −
            f
            (
            x
            )
          
          |
        
        <
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \left|f(x+t)-f(x)\right|<\epsilon }
  

在高维欧几里得空间
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
中，也可以定义类似的概周期向量函数。
按照定义，所有周期函数都是概周期函数。
值域在復平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函数：ζ(s) 截出有限項后，得到的是一些形如

  
    
      
        
          e
          
            (
            σ
            +
            
              
                
                  i
                
                t
                )
                log
                ⁡
                n
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle e^{(\sigma +{\rm {{i}t)\log n}}}\,}
  

的項。其中的
  
    
      
        σ
        +
        
          
            
              i
            
            t
            =
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma +{\rm {{i}t=s}}}
  
。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線（也就是說固定s 的實數部份
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
，而實數
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成：

  
    
      
        t
        ↦
        
          n
          
            σ
          
        
        
          e
          
            (
            log
            ⁡
            n
            )
            i
            t
          
        
        
      
    
    {\displaystyle t\mapsto n^{\sigma }e^{(\log n)it}\,}
  

如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免
  
    
      
        σ
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \sigma <1}
  
 時的解析开拓的問題），那麼由於對不同的n，
  
    
      
        
          e
          
            (
            log
            ⁡
            n
            )
            i
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{(\log n)it}}
  
是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。
在相關研究中，哈那德·玻尔開始注意形如：

  
    
      
        t
        ↦
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          e
          
            i
            
              λ
              
                k
              
            
            t
          
        
        
      
    
    {\displaystyle t\mapsto \sum _{k=1}^{m}e^{i\lambda _{k}t}\,}
  

的三角多项式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數
  
    
      
        
          e
          
            i
            
              λ
              
                k
              
            
            t
          
        
        
      
    
    {\displaystyle e^{i\lambda _{k}t}\,}
  
的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果对每个
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
  
，都存在三角多项式函数：
  
    
      
        
          T
          
            ϵ
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle T_{\epsilon }(x)}
  
，使得对于任意的
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
  
，都有：

  
    
      
        
          |
          
            f
            (
            x
            )
            −
            
              T
              
                ϵ
              
            
            (
            x
            )
          
          |
        
        <
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \left|f(x)-T_{\epsilon }(x)\right|<\epsilon }
  

可以證明，這個定義與第一個定義是等價的。


例子 考虑若干三角多项式函数：

  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        :
        
        x
        ⟼
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        exp
        ⁡
        (
        i
        
          λ
          
            k
          
        
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{n}:\,x\longmapsto \sum _{k=1}^{n}\exp(i\lambda _{k}x)}
  

其中
  
    
      
        
          λ
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{k}}
  
 是复数。每一个
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{n}}
  
 都是周期函数，因此有限个
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{n}}
  
 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说：

  
    
      
        f
        :
        
        x
        ⟼
        exp
        ⁡
        (
        i
        x
        )
        +
        exp
        ⁡
        (
        i
        π
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f:\,x\longmapsto \exp(ix)+\exp(i\pi x)}
  

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
不是周期函数，但仍然是概周期函数。


性质 如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。
如果
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 是概周期函数，那么对于任意实数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，
  
    
      
        f
        (
        x
        +
        a
        )
      
    
    {\displaystyle f(x+a)}
  
、
  
    
      
        f
        (
        a
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(ax)}
  
、
  
    
      
        a
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle af(x)}
  
、
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f(x)|}
  
 也是概周期函数。
如果
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 都是概周期函数，那么
  
    
      
        f
        +
        g
      
    
    {\displaystyle f+g}
  
、
  
    
      
        f
        −
        g
      
    
    {\displaystyle f-g}
  
 和
  
    
      
        f
        ⋅
        g
      
    
    {\displaystyle f\cdot g}
  
 都是概周期函数。
如果
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 是概周期函数，
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
是
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的值域到
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
上的一致连续函数, 则
  
    
      
        H
        (
        f
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle H(f(x))}
  
也是概周期函数。
如果概周期函数的序列
  
    
      
        (
        
          f
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
  
在实轴上一致收敛于函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 ，则
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 也是概周期函数。
如果
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 是概周期函数, 则
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x)}
  
 为概周期函数的充分必要条件是
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 的导函数
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x)}
  
 一致连续。
如果
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 是概周期函数，
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            x
          
        
        f
        (
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}
  
，则
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  
 为概周期函数的充要条件为
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  
 有界。


参看 伪概周期函数
准周期函数
非周期函数
傅里叶级数
计算机音乐


参考书籍 A.S. Besicovitch,   "On generalized almost periodic functions"  Proc. London Math. Soc. (2) , 25  (1926)  pp. 495-512
Bochner, S., Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen, 1926, 96: 119–147, doi:10.1007/BF01209156 
H. Bohr,   "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I"  Acta Math., 45  (1925)  pp. 29–127
H. Bohr,   "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint  (1947)
Bredikhina, E.A., A/a011970, Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
Bredikhina, E.A., Besicovitch almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
Bredikhina, E.A., Bohr almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
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