在微分几何中，第一基本形式（first fundamental form）是三维欧几里得空间中一个曲面的切空间中内积，由
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中标准点积诱导。它使得曲面的曲率和度量性质（比如长度与面积）可与环绕空间一致地计算。第一基本形式用罗马数字 I 表示：

  
    
      
        
          I
        
        (
        v
        ,
        w
        )
        =
        ⟨
        v
        ,
        w
        ⟩
        .
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {I} (v,w)=\langle v,w\rangle .\,}
  

设
  
    
      
        X
        (
        u
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle X(u,v)}
  
是一个参数曲面，则两个切向量的内积为

  
    
      
        
          
            
              
              
                

                
                
                
                  I
                
                (
                a
                
                  X
                  
                    u
                  
                
                +
                b
                
                  X
                  
                    v
                  
                
                ,
                c
                
                  X
                  
                    u
                  
                
                +
                d
                
                  X
                  
                    v
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                a
                c
                ⟨
                
                  X
                  
                    u
                  
                
                ,
                
                  X
                  
                    u
                  
                
                ⟩
                +
                (
                a
                d
                +
                b
                c
                )
                ⟨
                
                  X
                  
                    u
                  
                
                ,
                
                  X
                  
                    v
                  
                
                ⟩
                +
                b
                d
                ⟨
                
                  X
                  
                    v
                  
                
                ,
                
                  X
                  
                    v
                  
                
                ⟩
              
            
            
              
              
                
                =
                E
                a
                c
                +
                F
                (
                a
                d
                +
                b
                c
                )
                +
                G
                b
                d
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}
  

这里
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
、
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
与
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
是第一基本形式的系数。
第一基本形式可以表示为一个对称矩阵

  
    
      
        
          I
        
        (
        v
        ,
        w
        )
        =
        
          v
          
            T
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  E
                
                
                  F
                
              
              
                
                  F
                
                
                  G
                
              
            
            )
          
        
        w
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {I} (v,w)=v^{T}{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}w.}
  


进一步的记号 当第一基本形式写成一个参数时，它表示向量与自己的内积，

  
    
      
        
          I
        
        (
        v
        )
        =
        ⟨
        v
        ,
        v
        ⟩
        =
        
          |
        
        v
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}.\,}
  

第一基本形式写成现代记法的度量张量。系数则可以写做 
  
    
      
        
          g
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{ij}}
  
：

  
    
      
        
          (
          
            g
            
              i
              j
            
          
          )
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    g
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    g
                    
                      12
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    g
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    g
                    
                      22
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  E
                
                
                  F
                
              
              
                
                  F
                
                
                  G
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}
  

这个张量的分量是切向量
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{1}}
  
与
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{2}}
  
的数量积：

  
    
      
        
          g
          
            i
            j
          
        
        =
        
          X
          
            i
          
        
        ⋅
        
          X
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}}
  

对
  
    
      
        i
        ,
        j
        =
        1
        ,
        2
      
    
    {\displaystyle i,j=1,2}
  
。具体例子可见下一节。


變數變換 如果有一個曲面具有兩個表示參數
  
    
      
        X
        (
        u
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle X(u,v)}
  
以及
  
    
      
        
          
            
              X
              ~
            
          
        
        (
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
        ,
        
          
            
              v
              ~
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {X}}({\tilde {u}},{\tilde {v}})}
  
，則二者的第一基本形式的係數
  
    
      
        E
        ,
        F
        ,
        G
      
    
    {\displaystyle E,F,G}
  
與
  
    
      
        
          
            
              E
              ~
            
          
        
        ,
        
          
            
              F
              ~
            
          
        
        ,
        
          
            
              G
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {E}},{\tilde {F}},{\tilde {G}}}
  
存在一個關係:

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  E
                
                
                  F
                
              
              
                
                  F
                
                
                  G
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          u
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      u
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          v
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      u
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          u
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      v
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          v
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      v
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      
                        E
                        ~
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        F
                        ~
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        F
                        ~
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        G
                        ~
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          u
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      u
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          u
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      v
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          v
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      u
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          v
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      v
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {v}}_{u}\\{\tilde {u}}_{v}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tilde {E}}&{\tilde {F}}\\{\tilde {F}}&{\tilde {G}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {u}}_{v}\\{\tilde {v}}_{u}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}}
  
，其中
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          u
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      u
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          u
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      v
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          v
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      u
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          v
                          ~
                        
                      
                    
                    
                      v
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              (
              
                
                  
                    u
                    ~
                  
                
              
              ,
              
                
                  
                    v
                    ~
                  
                
              
              )
            
            
              ∂
              (
              u
              ,
              v
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {u}}_{v}\\{\tilde {v}}_{u}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}={\frac {\partial ({\tilde {u}},{\tilde {v}})}{\partial (u,v)}}}
  
，所以說可以有

  
    
      
        E
        G
        −
        
          F
          
            2
          
        
        =
        (
        
          
            
              E
              ~
            
          
        
        
          
            
              G
              ~
            
          
        
        −
        
          
            
              
                F
                ~
              
            
          
          
            2
          
        
        )
        
          |
        
        
          
            
              ∂
              (
              u
              ,
              v
              )
            
            
              ∂
              (
              u
              ,
              v
              )
            
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle EG-F^{2}=({\tilde {E}}{\tilde {G}}-{\tilde {F}}^{2})|{\frac {\partial (u,v)}{\partial (u,v)}}|^{2}}
  


计算长度与面积 第一基本形式完全描述了曲面的度量性质。从而，它使我们可以计算曲面上曲线的长度与区域的面积。线元素可以用第一基本形式的系数表示为：

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        E
        d
        
          u
          
            2
          
        
        +
        2
        F
        d
        u
        d
        v
        +
        G
        d
        
          v
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,}
  
.
由 
  
    
      
        d
        A
        =
        
          |
        
        
          X
          
            u
          
        
        ×
        
          X
          
            v
          
        
        
          |
        
         
        d
        u
        
        d
        v
      
    
    {\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv}
  
 给出的经典面积元素可以用第一基本形式的系数利用拉格朗日恒等式写出，

  
    
      
        d
        A
        =
        
          |
        
        
          X
          
            u
          
        
        ×
        
          X
          
            v
          
        
        
          |
        
         
        d
        u
        
        d
        v
        =
        
          
            ⟨
            
              X
              
                u
              
            
            ,
            
              X
              
                u
              
            
            ⟩
            ⟨
            
              X
              
                v
              
            
            ,
            
              X
              
                v
              
            
            ⟩
            −
            ⟨
            
              X
              
                u
              
            
            ,
            
              X
              
                v
              
            
            
              ⟩
              
                2
              
            
          
        
         
        d
        u
        
        d
        v
        =
        
          
            E
            G
            −
            
              F
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        u
        
        d
        v
        .
      
    
    {\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\langle X_{u},X_{v}\rangle ^{2}}}\ du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}
  


= 例子 =

  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中单位球面可如下参数化

  
    
      
        X
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  u
                  sin
                  ⁡
                  v
                
              
              
                
                  sin
                  ⁡
                  u
                  sin
                  ⁡
                  v
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  v
                
              
            
            )
          
        
        ,
         
        (
        u
        ,
        v
        )
        ∈
        [
        0
        ,
        2
        π
        )
        ×
        [
        0
        ,
        π
        )
        .
      
    
    {\displaystyle X(u,v)={\begin{pmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{pmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ).}
  

  
    
      
        X
        (
        u
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle X(u,v)}
  
 分别对 u 和 v 微分得出

  
    
      
        
          X
          
            u
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  −
                  sin
                  ⁡
                  u
                  sin
                  ⁡
                  v
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  u
                  sin
                  ⁡
                  v
                
              
              
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        ,
         
        
          X
          
            v
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  u
                  cos
                  ⁡
                  v
                
              
              
                
                  sin
                  ⁡
                  u
                  cos
                  ⁡
                  v
                
              
              
                
                  −
                  sin
                  ⁡
                  v
                
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle X_{u}={\begin{pmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{pmatrix}},\ X_{v}={\begin{pmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{pmatrix}}.}
  

第一基本形式的系数可由取偏导数的点积得到：

  
    
      
        E
        =
        
          X
          
            u
          
        
        ⋅
        
          X
          
            u
          
        
        =
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        v
      
    
    {\displaystyle E=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v}
  

  
    
      
        F
        =
        
          X
          
            u
          
        
        ⋅
        
          X
          
            v
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F=X_{u}\cdot X_{v}=0}
  

  
    
      
        G
        =
        
          X
          
            v
          
        
        ⋅
        
          X
          
            v
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle G=X_{v}\cdot X_{v}=1}
  


 球面上曲线的长度  球面的赤道可由 
  
    
      
        (
        u
        (
        t
        )
        ,
        v
        (
        t
        )
        )
        =
        (
        t
        ,
        
          
            π
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (u(t),v(t))=(t,{\frac {\pi }{2}})}
  
 参数化，这里
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
取值于 0 到 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
。线元素可用来计算这个曲线的长度。

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          
            E
            
              
                (
                
                  
                    
                      d
                      u
                    
                    
                      d
                      t
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            +
            2
            F
            
              
                
                  d
                  u
                
                
                  d
                  t
                
              
            
            
              
                
                  d
                  v
                
                
                  d
                  t
                
              
            
            +
            G
            
              
                (
                
                  
                    
                      d
                      v
                    
                    
                      d
                      t
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        t
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        sin
        ⁡
        v
        
        d
        t
        =
        2
        π
        sin
        ⁡
        v
        =
        2
        π
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\sin v\,dt=2\pi \sin v=2\pi .}
  


 球面上区域的面积  面积元素可用来计算球面的面积：

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          
            E
            G
            −
            
              F
              
                2
              
            
          
        
         
        d
        u
        
        d
        v
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        sin
        ⁡
        v
        
        d
        u
        
        d
        v
        =
        2
        π
        
          
            [
            
              −
              cos
              ⁡
              v
            
            ]
          
          
            0
          
          
            π
          
        
        =
        4
        π
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi .}
  


高斯曲率 一个曲面的高斯曲率由

  
    
      
        K
        =
        
          
            
              det
              I
              I
            
            
              det
              I
            
          
        
        =
        
          
            
              L
              N
              −
              
                M
                
                  2
                
              
            
            
              E
              G
              −
              
                F
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle K={\frac {\det II}{\det I}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},}
  

给出，这里
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
、
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
与
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
是第二基本形式的系数。
高斯的绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一基本形式及其导数表示，从而
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
事实上是曲面的一个内蕴不变量。高斯曲率用第一基本形式明确的表达式由 Brioschi 公式给出。


另见 度量张量
第二基本形式


外部链接 First Fundamental Form — from Wolfram MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）
PlanetMath: first fundamental form （页面存档备份，存于互联网档案馆）