在同余理论中，模 n 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。
这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果 n 是质数当且仅当阶数为 n-1。


群公理 容易验证模 n 互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。

互质同余类的乘法是良好定义：a 与 n 互质，当且仅当 gcd(a, n) = 1. 同余类中的整数a ≡ b (mod n) 满足gcd(a, n) = gcd(b, n), 因此一个整数与 n 互质当且仅当另一个整数也与 n 互质.
恒同: 1 是恒同； 1所在的同余类是唯一的乘法恒同类
闭：如果 a 和 b 都与 n 互质，那么 ab 也是；因为gcd(a, n) = 1 与 gcd(b, n) = 1 意味着 gcd(ab, n) = 1, 与 n 互质的同余类在乘法下是封闭的。
逆：找 x 满足 ax ≡ 1 (mod n) 等价于解 ax + ny = 1，可用欧几里得算法求出x，并且x在模n的同余类里。当 a 与 n 互质, 由于 gcd(a, n) = 1 ,根据 裴蜀定理 存在整数 x 与 y 满足 ax + ny = 1. 注意到由等式 ax + ny = 1 可推出 x 与 n 互质, 所以乘法逆元属于群.
结合性和交换性：由整数的相应事实以及模 n 运算是一个环同态推出。由于同余类a ≡ a'  与 b ≡ b'  (mod n) 的整数乘法意味着 ab ≡ a'b'  (mod n). 这可推出乘法满足结合律、交换律。


记法 整数模 n 环记作 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
  
 或 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
  
（即整数环模去理想 nZ = (n) ，由 n 的倍数组成）或 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}
  
 因作者所喜，它的单位群可能记为 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ∗
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},}
  
 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },}
  
 
  
    
      
        U
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle U(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),}
  
 或类似的记号，本文采用 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.}
  


结构 = 2 的幂次 =
模 2 只有一个互质同余类 1，所以

  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        2
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ≅
        {
        1
        }
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \{1\}}
  
 平凡。
模 4 有两个互质同余类，1 和 3，所以 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        4
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ≅
        
          C
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2},}
  
 两元循环群。
模 8 有四个互质同余类，1, 3, 5 和 7，每个平方都是 1，所以 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        8
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ≅
        
          C
          
            2
          
        
        ×
        
          C
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{2},}
  
 Klein 四元群。
模 16 有八个互质同余类，1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。
  
    
      
        {
        ±
        1
        ,
        ±
        7
        }
        ≅
        
          C
          
            2
          
        
        ×
        
          C
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \{\pm 1,\pm 7\}\cong C_{2}\times C_{2},}
  
 为 2-扭子群（即每个元素的平方为 1），所以 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        16
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }}
  
 不是循环群。3的幂次：
  
    
      
        {
        1
        ,
        3
        ,
        9
        ,
        11
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,3,9,11\}}
  
 是一个 4 阶子群，5 的幂次也是，
  
    
      
        {
        1
        ,
        5
        ,
        9
        ,
        13
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,5,9,13\}}
  
。所以 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        16
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ≅
        
          C
          
            2
          
        
        ×
        
          C
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{4}}
  
。 
以上 8 和 16 的讨论对高阶幂次 2k, k > 2 也成立：

  
    
      
        {
        ±
        1
        ,
        
          2
          
            k
            −
            1
          
        
        ±
        1
        }
        ≅
        
          C
          
            2
          
        
        ×
        
          C
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong C_{2}\times C_{2},}
  
 是 2-扭子群（所以 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        
          2
          
            k
          
        
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}
  
 不是循环）而 3 的幂次是一个2k- 2 子群，所以 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        
          2
          
            k
          
        
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ≅
        
          C
          
            2
          
        
        ×
        
          C
          
            
              2
              
                k
                −
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{2^{k-2}}}
  
。


= 奇质数的幂 =
对奇质数的幂 pk，此群是循环群： 
  
    
      
        
        
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        
          p
          
            k
          
        
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ≅
        
          C
          
            
              p
              
                k
                −
                1
              
            
            (
            p
            −
            1
            )
          
        
        ≅
        
          C
          
            φ
            (
            
              p
              
                k
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \;\;(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{p^{k-1}(p-1)}\cong C_{\varphi (p^{k})}.}
  


= 一般合数 =
中国剩余定理 说明如果
  
    
      
        
        
        n
        =
        
          p
          
            1
          
          
            
              k
              
                1
              
            
          
        
        
          p
          
            2
          
          
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        
          p
          
            3
          
          
            
              k
              
                3
              
            
          
        
        …
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;}
  
 那么环 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
  
 每个质数幂因子相应的环的直积：

  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        ≅
        
          Z
        
        
          /
        
        
          
            p
            
              1
            
            
              
                k
                
                  1
                
              
            
          
        
        
          Z
        
        
        ×
        
        
          Z
        
        
          /
        
        
          
            p
            
              2
            
            
              
                k
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          Z
        
        
        ×
        
        
          Z
        
        
          /
        
        
          
            p
            
              3
            
            
              
                k
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          Z
        
        …
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;}
  

类似地，
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}
  
 的单位群是每个质数幂因子相应群的直积：

  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ≅
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        
          
            p
            
              1
            
            
              
                k
                
                  1
                
              
            
          
        
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ×
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        
          
            p
            
              2
            
            
              
                k
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ×
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        
          
            p
            
              3
            
            
              
                k
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        …
        
        .
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.}
  


阶数 群的阶数由欧拉函数给出：
  
    
      
        
          |
        
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        
          |
        
        =
        φ
        (
        n
        )
        .
      
    
    {\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).}
  
 （OEIS數列A000010）
这是直积中各循环阶数的乘积。


指数 指数为卡邁克爾函數
  
    
      
        λ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda (n)}
  
，（OEIS數列A002322），即这些循环群的阶数的最小公倍数。这意味着如果 a 和 n 互质，
  
    
      
        
          a
          
            λ
            (
            n
            )
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}.}
  


生成元 (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}
  
 是循环群当且仅当 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        =
        λ
        (
        n
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)=\lambda (n).}
  
 这在 n 为奇质数的幂次、奇质数幂次 2 倍、2 和 4 成立，此时也称一个生成元为模 n 的原根。
因为所有 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },}
  
 n = 1, 2, ..., 7 是循环群，上述结论的另一种说法是：如果 n < 8 那么 
  
    
      
        
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle \;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}
  
 有原根；如果 n ≥ 8，且不能被 4 或者两个不同的奇质数整除，
  
    
      
        
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle \;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}
  
 有原根。( A033948 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, ... )
一般情形每个直积因子循环有一个生成元。


列表 这个表列出了较小 n 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}
  
 的结构和生成元。生成元不是惟一（mod n）的，比如 (mod 16) 时 {–1, 3} 和{–1, 5} 都可以。生成元以和直积因子相同的顺序列出。
以 n=20 为例。
  
    
      
        φ
        (
        20
        )
        =
        8
      
    
    {\displaystyle \varphi (20)=8}
  
 意味着 
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        20
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}
  
 的阶数是 8（即有 8 个小于 20 的正整数与其互质）；
  
    
      
        λ
        (
        20
        )
        =
        4
      
    
    {\displaystyle \lambda (20)=4}
  
 说明任何和20互质的数的 4 次幂≡ 1(mod 20)；至于生成元，19 的指数为2，3 的指数为 4，而任何
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        20
        
          Z
        
        
          )
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}
  
 中元素都是 19a × 3b 的形式，这里 a 为 0 或 1，b 为 0, 1, 2, 或 3。

19 的幂是 {±1}，3 的幂为 {3, 9, 7, 1}。后者和他们的负数 (mod 20)，{17, 11, 13, 19} 是所有小于 20 且与其互质的数。19 的指数为 2 而 3 的指数为 4 意味着任何 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            20
          
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{20}^{\times }}
  
 中数的 4 次幂 ≡ 1 (mod 20)。


参见 Lenstra 椭圆曲线分解，Lenstra给出的基于椭圆曲线的整数因子分解算法。


注释 参考文献 高斯的算术研究（Disquisitiones Arithemeticae）由西塞罗拉丁语翻译成英语和德语。德语版包含他所有数论的论文：所有关于二次互反律的证明，高斯和符号的确定，双二次互反律的研究以及未发表的笔记。

Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549 
Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8 
Riesel, Hans, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhauser, 1994, ISBN 0-8176-3743-5 


外部链接 埃里克·韦斯坦因. Modulo Multiplication Group. MathWorld.