数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。
对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。


同调群的构造 其过程如下：给定对象
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，首先定义链复形，它包含了
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模
  
    
      
        
          A
          
            0
          
        
        ,
        
          A
          
            1
          
        
        ,
        
          A
          
            2
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots }
  
的序列，群同态
  
    
      
        
          d
          
            n
          
        
        :
        
          A
          
            n
          
        
        →
        
          A
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}}
  
满足任何两个相连的同态的复合为0: 
  
    
      
        
          d
          
            n
          
        
        ∘
        
          d
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}
  
对于所有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
成立。这意味着第
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
个映射的像包含在第
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个映射的核中，我们定义
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶同调群为商群（商模）

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        X
        )
        =
        
          k
          e
          r
        
        (
        
          d
          
            n
          
        
        )
        
          /
        
        
          i
          m
        
        (
        
          d
          
            n
            +
            1
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).}
  

链复形称为正合的，如果（
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
）阶映射的像总是等于
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶映射的核。因此
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的同调群是衡量
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
所关联的链复形离正合有“多远”的障碍。


非正式的例子 非正式地，拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合，用其同调群来表示

  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
        (
        X
        )
        ,
        
          H
          
            1
          
        
        (
        X
        )
        ,
        
          H
          
            2
          
        
        (
        X
        )
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }
  

其中第
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
个同调群
  
    
      
        
          H
          
            k
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H_{k}(X)}
  
描绘了
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
中的
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
维圈 (cycle)，实现为
  
    
      
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle k+1}
  
维圆盘边界 (boundary) 的障碍。0维同调群刻画了两个零维圈，也即点，实现成一维圆盘，也即线段的边界的障碍，因此
  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H_{0}(X)}
  
刻画了
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
中的道路连通分支。

一维球面 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}
  
是一个圆。它有一个连通分支和一个一维圈，但没有更高维圈。其对应的同调群由下式给出

  
    
      
        
          H
          
            k
          
        
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
        ≅
        
          
            {
            
              
                
                  
                    Z
                  
                
                
                  k
                  =
                  0
                  ,
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  k
                  =
                  0
                  ,
                  1
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\0&k\neq 0,1\end{cases}}}
  

其中
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
表示整数加群，
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
表示平凡群。
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
        ≅
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} }
  
表示
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}
  
的一阶同调群为由一个元素生成的有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维圈。

二维球面
  
    
      
        
          S
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{2}}
  
有一个连通分支，零个一维圈，一个二维圈（即球面），无更高维的圈，其对应的同调群为

  
    
      
        
          H
          
            k
          
        
        (
        
          S
          
            2
          
        
        )
        ≅
        
          
            {
            
              
                
                  
                    Z
                  
                
                
                  k
                  =
                  0
                  ,
                  2
                
              
              
                
                  0
                
                
                  k
                  =
                  0
                  ,
                  2
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{k}(S^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\0&k\neq 0,2\end{cases}}}
  

一般地，对
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维球面
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{n}}
  
，其同调群为

  
    
      
        
          H
          
            k
          
        
        (
        
          S
          
            n
          
        
        )
        ≅
        
          
            {
            
              
                
                  
                    Z
                  
                
                
                  k
                  =
                  0
                  ,
                  n
                
              
              
                
                  0
                
                
                  k
                  =
                  0
                  ,
                  n
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{k}(S^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}}
  

二维实心球
  
    
      
        
          B
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle B^{2}}
  
有一个道路连通分支，但与圆不同的是，
  
    
      
        
          B
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle B^{2}}
  
没有一维或更高维的圈，其对应的同调群除了零阶同调群
  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
        (
        
          B
          
            2
          
        
        )
        ≅
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle H_{0}(B^{2})\cong \mathbb {Z} }
  
以外，其余阶的同调群均为平凡群。

环面被定义为两个圆
  
    
      
        
          T
          
            2
          
        
        =
        
          S
          
            1
          
        
        ×
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}
  
的笛卡尔积。环面有一个道路连通分支，两个独立的一维圈（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维圈（环面的内部）。其对应的同调群为

  
    
      
        
          H
          
            k
          
        
        (
        
          T
          
            2
          
        
        )
        ≅
        
          
            {
            
              
                
                  
                    Z
                  
                
                
                  k
                  =
                  0
                  ,
                  2
                
              
              
                
                  
                    Z
                  
                  ×
                  
                    Z
                  
                
                
                  k
                  =
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  k
                  ≥
                  3
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{k}(T^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 3\end{cases}}}
  

两个独立的一维圈组成了一组有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群
  
    
      
        
          Z
        
        ×
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
  
.


例子 引入同调的概念可以用单纯复形
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的单纯同调：设
  
    
      
        
          C
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{n}}
  
为
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
中的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维可定向单纯形生成的自由交换群或者模，映射
  
    
      
        
          ∂
          
            n
          
        
        :
        
          C
          
            n
          
        
        →
        
          C
          
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\rightarrow C_{n+1}}
  
映射称为边缘映射 (boundary map)，它将
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维单纯形

  
    
      
        σ
        :
        
          Δ
          
            n
          
        
        →
        X
      
    
    {\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X}
  

映射为如下交错和

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
          
        
        σ
        
          
            |
          
          
            [
            
              e
              
                0
              
            
            ,
            …
            ,
            
              e
              
                i
                −
                1
              
            
            ,
            
              e
              
                i
                +
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              e
              
                n
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |_{[e_{0},\ldots ,e_{i-1},e_{i+1},\ldots ,e_{n}]}.}
  

，其中
  
    
      
        σ
        
          
            |
          
          
            [
            
              e
              
                0
              
            
            ,
            ⋯
            ,
            
              e
              
                i
                −
                1
              
            
            ,
            
              e
              
                i
                +
                1
              
            
            ,
            ⋯
            ,
            
              e
              
                n
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma |_{[e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}]}}
  
表示
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
限制在
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          e
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            i
            +
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}}
  
对应的面 (face)上。如果我们将模取在一个域上，则
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶同调的维数就是
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
中
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维圈的个数。
仿照单纯同调群，可以定义任何拓扑空间
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的奇异同调群。我们定义
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的上同调的链复形中的空间为
  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}}
  
为自由交换群（或者自由模），其生成元为所有从
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
为单纯形到
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的连续函数。同态
  
    
      
        
          d
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{n}}
  
从单纯形的边缘映射得到。
同调代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
和某个模
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
开始。
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的链复形定义如下：首先找到一个自由模
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  
和一个满同态
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        :
        
          F
          
            1
          
        
        →
        X
      
    
    {\displaystyle p_{1}:F_{1}\rightarrow X}
  
。然后找到一个自由模
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  
和一个满同态
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
        :
        
          F
          
            2
          
        
        →
        
          k
          e
          r
        
        (
        
          p
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})}
  
。以该方式继续，得到一个自由模
  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{n}}
  
和同态
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{n}}
  
的序列。将函子
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}}
  
仅依赖于
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
和
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，并且按定义就是
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
作用于
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的n阶导出函子。


同调函子 链复形构成一个范畴：从链复形
  
    
      
        (
        
          d
          
            n
          
        
        :
        
          A
          
            n
          
        
        →
        
          A
          
            n
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})}
  
到链复形
  
    
      
        (
        
          e
          
            n
          
        
        :
        
          B
          
            n
          
        
        →
        
          B
          
            n
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})}
  
的态射是一个同态的序列
  
    
      
        (
        
          f
          
            n
          
        
        :
        
          A
          
            n
          
        
        →
        
          B
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n})}
  
，满足
  
    
      
        
          f
          
            n
            −
            1
          
        
        ∘
        
          d
          
            n
          
        
        =
        
          e
          
            n
            −
            1
          
        
        ∘
        
          f
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}}
  
对于所有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
成立。
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶同调 
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}}
  
可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。 
若链复形以协变的方式依赖于对象
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
（也就是任何态射
  
    
      
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle X\rightarrow Y}
  
诱导出一个从
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的链复形到
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
的链复形的态射），则
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}}
  
是从
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。
同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H^{n}}
  
）构成从
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。


性质 若
  
    
      
        (
        
          d
          
            n
          
        
        :
        
          A
          
            n
          
        
        →
        
          A
          
            n
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})}
  
是链复形，满足出有限个
  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}}
  
外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

  
    
      
        χ
        =
        ∑
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
        
          r
          a
          n
          k
        
        (
        
          A
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}
  

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调水平上也可以计算欧拉示性数:

  
    
      
        χ
        =
        ∑
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
        
          r
          a
          n
          k
        
        (
        
          H
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}
  

特别地，在代数拓扑中，欧拉示性数
  
    
      
        χ
      
    
    {\displaystyle \chi }
  
是拓扑空间的重要不变量。
此外，每个链复形的短正合序列

  
    
      
        0
        →
        A
        →
        B
        →
        C
        →
        0
      
    
    {\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}
  

诱导一个同调群的长正合序列

  
    
      
        ⋯
        →
        
          H
          
            n
          
        
        (
        A
        )
        →
        
          H
          
            n
          
        
        (
        B
        )
        →
        
          H
          
            n
          
        
        (
        C
        )
        →
        
          H
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        A
        )
        →
        
          H
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        B
        )
        →
        
          H
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        C
        )
        →
        
          H
          
            n
            −
            2
          
        
        (
        A
        )
        →
        ⋯
        
      
    
    {\displaystyle \cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,}
  

这个长正合序列中的所有映射由链复形间的映射导出，除了映射
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        C
        )
        →
        
          H
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)}
  
之外。后者称为连接同态，由蛇引理给出。


参看 奇异同调
上同调
同调论
同调代数


參考文獻 Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002  [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-15）.  有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。
Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398. 
Spanier, Edwin H. Algebraic Topology. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.