柯西积分定理（或稱柯西－古薩定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0.


定理 设
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
是复平面
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的一个单连通的开子集。
  
    
      
        f
        
        :
        
        Ω
        
        →
        
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
  
是一个
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的全纯函数。设
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
内的一个分段可求长的简单闭曲线（即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线），那么：

  
    
      
        
          ∮
          
            γ
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}
  


= 单连通条件的必要性 =

  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
是单连通表示
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
中没有“洞”，例如任何一个开圆盘
  
    
      
        D
        =
        {
        z
        :
        
          |
        
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
        <
        r
        }
      
    
    {\displaystyle D=\{z:|z-z_{0}|<r\}}
  
都符合条件，这个条件是很重要的，考虑中央有“洞”的圆盘：
  
    
      
        
          D
          
            h
          
        
        =
        {
        z
        :
        0
        <
        
          |
        
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
        <
        2
        }
      
    
    {\displaystyle D_{h}=\{z:0<|z-z_{0}|<2\}}
  
，在其中取逆时针方向的单位圆路径：

  
    
      
        γ
        (
        t
        )
        =
        
          e
          
            i
            t
          
        
        
        t
        ∈
        
          [
          
            0
            ,
            2
            π
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right)}
  

考虑函数
  
    
      
        f
        
        :
        
        z
        
        ↦
        
        1
        
          /
        
        z
      
    
    {\displaystyle f\;:\;z\;\mapsto \;1/z}
  
，它在
  
    
      
        
          D
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{h}}
  
中是全纯函数，但它的路径积分：

  
    
      
        
          ∮
          
            γ
          
        
        
          
            1
            z
          
        
        
        d
        z
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          
            
              i
              
                e
                
                  i
                  t
                
              
            
            
              e
              
                i
                t
              
            
          
        
        
        d
        t
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        i
        
        d
        t
        =
        2
        π
        i
      
    
    {\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{ie^{it} \over e^{it}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}
  

不等于零。这是因为函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在“洞”中有奇点。如果考虑整个圆盘
  
    
      
        
          D
          
            s
          
        
        =
        {
        z
        :
        
          |
        
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
        <
        2
        }
      
    
    {\displaystyle D_{s}=\{z:|z-z_{0}|<2\}}
  
，就会发现
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在圆盘中央的点上没有定义，不是全纯函数。


= 等价叙述 =
柯西积分定理有若干个等价的叙述。例如：
设
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
是复平面
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的一个开子集。
  
    
      
        f
        
        :
        
        Ω
        
        →
        
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
  
是一个定义在
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的函数。设
  
    
      
        
          γ
          
            1
          
        
        
        :
        
        [
        0
        ,
        1
        ]
        
        →
        Ω
      
    
    {\displaystyle \gamma _{1}\;:\;[0,1]\;\rightarrow \Omega }
  
与
  
    
      
        
          γ
          
            2
          
        
        
        :
        
        [
        0
        ,
        1
        ]
        
        →
        Ω
      
    
    {\displaystyle \gamma _{2}\;:\;[0,1]\;\rightarrow \Omega }
  
是
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
内的两条可求长的简单曲线，它们的起点和终点都重合：

  
    
      
        
          γ
          
            1
          
        
        (
        0
        )
        =
        
          γ
          
            2
          
        
        (
        0
        )
        ,
        
        
          γ
          
            1
          
        
        (
        1
        )
        =
        
          γ
          
            2
          
        
        (
        1
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0),\quad \gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1),}
  

并且函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        
          γ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma _{1}}
  
与
  
    
      
        
          γ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma _{2}}
  
围成的闭合区域
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
内是全纯函数，那么函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
沿这两条曲线的路径积分相同：

  
    
      
        
          ∫
          
            
              γ
              
                1
              
            
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        
          ∫
          
            
              γ
              
                2
              
            
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)\,dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)\,dz.}
  


= 推广 =
除了对分段可求长的简单闭合曲线成立以外，柯西积分定理对于某些更复杂的曲线也适用。设
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
是复平面
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的一个开子集。
  
    
      
        f
        
        :
        
        Ω
        
        →
        
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
  
是定义在
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的全纯函数。无论
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
内的曲线
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是自交还是卷绕数多于1（围着某一点转了不止一圈），只要
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
能够通过连续形变收缩为
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
内的一点，就有：

  
    
      
        
          ∮
          
            γ
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}
  


证明 以下的证明对函数有较为严格的要求，但对物理学中的应用来说已经足够。设
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
是复平面
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的一个开子集。
  
    
      
        f
        
        :
        
        Ω
        
        →
        
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
  
是定义在
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的全纯函数，
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
内的可求长的简单闭合曲线。假设
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的一阶偏导数也在
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上连续，那么可以根据格林定理作出证明。具体如下：
为了便于表达，将函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
写为实部函数和虚部函数：
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        f
        (
        x
        +
        y
        i
        )
        =
        u
        (
        x
        ,
        y
        )
        +
        i
        
        v
        (
        x
        ,
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+i\,v(x,y).}
  
 由于
  
    
      
        
          d
          z
          =
          d
          x
          +
          i
          
          d
          y
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle dz=dx+i\,dy}
  
，积分

  
    
      
        
          ∮
          
            γ
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        
          ∮
          
            γ
          
        
        (
        u
        +
        i
        v
        )
        (
        d
        x
        +
        i
        
        d
        y
        )
        =
        
          ∮
          
            γ
          
        
        (
        u
        
        d
        x
        −
        v
        
        d
        y
        )
        +
        i
        
          ∮
          
            γ
          
        
        (
        v
        
        d
        x
        +
        u
        
        d
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}
  

依据格林定理，右端的两个环路积分都可以变形为
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
围成的区域
  
    
      
        
          D
          
            γ
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{\gamma }}
  
上的面积分。

  
    
      
        
          ∮
          
            γ
          
        
        (
        u
        
        d
        x
        −
        v
        
        d
        y
        )
        =
        
          ∬
          
            
              D
              
                γ
              
            
          
        
        
          (
          
            −
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        
        d
        y
        
        ,
        
        
          ∮
          
            γ
          
        
        (
        v
        
        d
        x
        +
        u
        
        d
        y
        )
        =
        
          ∬
          
            
              D
              
                γ
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D_{\gamma }}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\;,\qquad \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}
  

另一方面，由于
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是全纯函数，所以它的实部函数和虚部函数满足柯西－黎曼方程：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        
        ,
        
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}\;,\qquad {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}}
  

所以以上的两个积分中的被积函数都是0，

  
    
      
        
          ∬
          
            
              D
              
                γ
              
            
          
        
        
          (
          
            −
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        
        d
        y
        =
        
          ∬
          
            
              D
              
                γ
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        
        d
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \iint _{D_{\gamma }}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}
  

  
    
      
        
          ∬
          
            
              D
              
                γ
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        
        d
        y
        =
        
          ∬
          
            
              D
              
                γ
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        
        d
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}
  

因而积分也是0：

  
    
      
        
          ∮
          
            γ
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}
  


推论 该定理的一个直接推论，是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算：设
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
是复平面
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的一个开子集。
  
    
      
        f
        
        :
        
        Ω
        
        →
        
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
  
是一个
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的全纯函数。函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
内的路径积分，只与积分的起点和终点有关，与中间经历的路径无关。假设，起点为a，则可以定义一个函数
  
    
      
        F
        
        :
        
        Ω
        
        →
        
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle F\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
  

  
    
      
        ∀
        b
        ∈
        Ω
        ,
        
        
        F
        (
        b
        )
        =
        
          ∫
          
            
              γ
              
                a
              
              
                b
              
            
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
      
    
    {\displaystyle \forall b\in \Omega ,\;\;F(b)=\int _{\gamma _{a}^{b}}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(z)\,dz}
  

其中的
  
    
      
        
          γ
          
            a
          
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma _{a}^{b}}
  
可以是任何以a为起点，b为终点的分段可求长简单曲线。函数
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
被称为
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的（复）原函数或反导数函数。
柯西积分定理与柯西积分公式是等价的。从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和留数定理。


参见 柯西－黎曼方程
柯西积分公式
留数


参考来源 = 脚注 =


= 参考文献 =
Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996.
Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhauser, pp. 26-29, 1999.
Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.
Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.


外部链接 埃里克·韦斯坦因. 柯西积分定理. MathWorld.