本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。

在静電學裡，電勢（electric potential/ ePtntl）又稱电位（eForce/ eFrc)，是描述電場中某一點之能量高低性質的物理純量，操作型定義為“電場中某處的電勢”等於“處於電場中該位置的單位電荷所具有的電勢能”，單位用伏特。
電勢的數值不具有絕對意義，只具有相對意義，因此為了便於分析問題，必須設定一個參考位置，並把它設為零，稱為零勢能點。通常，會把無窮遠處的電勢設定為零。那麼，電勢可以定義如下：假設檢驗電荷從無窮遠位置，經過任意路徑，克服電場力，以緩慢、沒有產生加速度的方式移動到某位置，則在這位置的電勢，等於因移動檢驗電荷所做的功與檢驗電荷的電荷量的比值。在國際單位制裏，電位的單位為伏特（
  
    
      
        
          
            
              V
            
            =
            
              J
            
            
              /
            
            
              C
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {{\text{V}}={\text{J}}/{\text{C}}}}
  
）（Volt），它是為了紀念意大利物理學家亞歷山德羅·伏特（Alessandro Volta）而命名。
電勢必需滿足帕松方程式，同時符合相關邊界條件；假設在某區域內的電荷密度為零，則帕松方程式約化為拉普拉斯方程式，電勢必需滿足拉普拉斯方程式。
在電動力學裡，當含時電磁場存在的時候，電勢可以延伸為「廣義電勢」。特別注意，廣義電勢不能被視為電勢能每單位電荷。


簡介 處於外電場的帶電粒子會受到外電場施加的作用力，稱為電場力，促使帶電粒子加速運動。對於帶正電粒子，電場力與電場同方向；對於帶負電粒子，電場力與電場反方向。電場力的數值大小與電荷量、電場數值大小成正比。
作用力與勢能之間有非常直接的關係。隨著物體朝著作用力的方向的加速運動，物體的動能變大，勢能變小。例如，一個石頭在山頂的重力勢能大於在山腳的重力勢能。隨著物體的滾落，重力勢能變小，動能變大。
對於某種特別作用力，科學家可以定義其向量場和其位勢，使得物體因為這向量場而具有的勢能，只與物體位置、參考位置之間的距離有關。稱這種作用力為保守力，這種向量場為保守場。
例如，重力、靜電場的電場力，都是保守力。靜電場的純量勢稱為電勢，或稱為靜電勢。
電勢和磁向量勢共同形成一個四維向量，稱為四維勢。從某一個慣性參考系觀察到的四維勢，應用勞侖茲變換，可以計算出另外一個慣性參考系所觀察到的四維勢。


靜電學裏的電勢 在靜電學裏，電場
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
內某位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
的電勢
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
，以方程式定義為

  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          U
          
            
              E
            
          
        
        (
        
          r
        
        )
        
          /
        
        q
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )/q}
  
；
其中，
  
    
      
        
          U
          
            
              E
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{\mathrm {E} }}
  
是在位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
的檢驗電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
所具有的電勢能。
電勢能的數值是人為設定的，沒有絕對意義，只有相對於某參考位置的已設定參考值時才有物理意義。假若要設定電勢能在空間任意位置的數值，必須先設定其在某參考位置
  
    
      
        
          
            r
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
  
的數值。為了方便運算，假設其參考數值為0。然後，就可以將在位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
的電勢能
  
    
      
        
          U
          
            
              E
            
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )}
  
定義為從參考位置
  
    
      
        
          
            r
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
  
緩慢地將檢驗電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
移動至
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
所需做的機械功
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
：

  
    
      
        
          U
          
            
              E
            
          
        
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        W
      
    
    {\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ W}
  
。
移動檢驗電荷時所施加的外力
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
，必須恰巧抵消處於電場
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
的檢驗電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
所感受到的電場力
  
    
      
        q
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle q\mathbf {E} }
  
，即
  
    
      
        
          F
        
        =
        −
        q
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =-q\mathbf {E} }
  
。其所做機械功等於外力
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
的路徑積分：

  
    
      
        W
        =
        
          ∫
          
            
              L
            
          
        
        
          F
        
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
        =
        −
        q
        
          ∫
          
            
              L
            
          
        
        
          E
        
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle W=\int _{\mathbb {L} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-q\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
是從參考位置
  
    
      
        
          
            r
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
  
到位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
的一條任意路徑，
  
    
      
        
          d
        
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
  
是微小線元素。
在靜電學裏，
  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          E
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =0}
  
，電場是保守場，所以，在積分時，可以選擇任意路徑
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
，計算出來的結果都一樣。欲知更詳盡細節，請參閱條目保守力。由於這方程式右邊的路徑積分跟路徑
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
  
無關，只跟路徑的初始位置
  
    
      
        
          
            r
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
  
、終止位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
有關，因此若能夠假設無窮遠位置
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
  
的電勢能為0，則可以設定參考位置
  
    
      
        
          
            r
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
  
在無窮遠位置
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
  
：

  
    
      
        
          U
          
            
              E
            
          
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        q
        
          ∫
          
            ∞
          
          
            
              r
            
          
        
        
          E
        
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=-q\int _{\infty }^{\mathbf {r} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
  
。
所以，電勢就是從無窮遠位置到檢驗位置對於電場做路徑積分所得結果的負值：

  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        
          ∫
          
            ∞
          
          
            
              r
            
          
        
        
          E
        
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=-\int _{\infty }^{\mathbf {r} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
  
。
在任意兩個位置
  
    
      
        
          
            r
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
  
、
  
    
      
        
          
            r
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
  
之間的「電勢差」
  
    
      
        Δ
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \Delta \phi }
  
為

  
    
      
        Δ
        ϕ
        =
        ϕ
        (
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        )
        −
        ϕ
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        )
        =
        −
        
          ∫
          
            
              
                r
              
              
                1
              
            
          
          
            
              
                r
              
              
                2
              
            
          
        
        
          E
        
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle \Delta \phi =\phi (\mathbf {r} _{2})-\phi (\mathbf {r} _{1})=-\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
  
。
由於電場
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
是保守場，電勢差也與積分路徑無關，只跟積分路徑的初始位置與終止位置有關。


= 點電荷 =
由點電荷 Q 所產生的電勢，在距離 r 時，可表示為

  
    
      
        V
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          
            Q
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}}
  

其中，ε0 是真空電容率。
在無限遠處，電勢為零。由多個點電荷產生的電勢，相等於各點電荷所產生的電勢之和。此外，電勢場是純量場，電場則是向量場。


= 疊加原理 =
電場遵守疊加原理：假設在三維空間裏，由兩組完全不相交的電荷分佈所產生的電場分別為
  
    
      
        
          
            E
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} _{1}}
  
、
  
    
      
        
          
            E
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} _{2}}
  
，則總電場為
  
    
      
        
          
            E
          
          
            t
          
        
        =
        
          
            E
          
          
            1
          
        
        +
        
          
            E
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} _{t}=\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}}
  
。
總電勢為每單位電荷克服電場力所做的機械功之和：

  
    
      
        
          ϕ
          
            t
          
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        
          ∫
          
            ∞
          
          
            
              r
            
          
        
        
          
            E
          
          
            t
          
        
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
        =
        −
        
          ∫
          
            ∞
          
          
            
              r
            
          
        
        (
        
          
            E
          
          
            1
          
        
        +
        
          
            E
          
          
            2
          
        
        )
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
        =
        
          ϕ
          
            1
          
        
        (
        
          r
        
        )
        +
        
          ϕ
          
            2
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \phi _{t}(\mathbf {r} )=-\int _{\infty }^{\mathbf {r} }\mathbf {E} _{t}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\infty }^{\mathbf {r} }(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\phi _{1}(\mathbf {r} )+\phi _{2}(\mathbf {r} )}
  
。
所以，電勢也遵守疊加原理。當計算一組電荷分佈所產生的電勢時，只需要知道在電荷分佈的每個源位置的單獨電荷所產生在檢驗位置的電勢，就可以應用積分運算，得到整個電荷分佈所產生在檢驗位置的電勢。


= 電勢的微分方程式 =
應用積分符號內取微分方法，電勢的梯度為

  
    
      
        
          ∇
        
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        
          ∇
        
        
          ∫
          
            ∞
          
          
            
              r
            
          
        
        
          E
        
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        ⋅
        
          d
        
        
          
            ℓ
          
          
            
            ′
          
        
        =
        −
        
          E
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } \int _{\infty }^{\mathbf {r} }\mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}^{\,\prime }=-\mathbf {E} (\mathbf {r} )}
  
。
所以，電場與電勢之間的關係為

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        
          ∇
        
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )}
  
。
根據高斯定律的方程式，

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          E
        
        =
        ρ
        
          /
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}
  
；
其中，
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
是電荷密度，
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}}
  
是電常數。
所以，電勢滿足帕松方程式：

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
        =
        −
        ρ
        
          /
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-\rho /\epsilon _{0}}
  
。
假設電荷密度為零，則這方程式變為拉普拉斯方程式：

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}
  
。
請注意，假若
  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          E
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq 0}
  
，也就是說，電場不具保守性（由於隨時間變化的磁場造成的效應；參閱馬克士威方程組），則不能使用這些方程式。
由於電勢乃是純量，而電場是具有三個分量的向量，所以，很多時候，使用電勢來解析問題會省去很多運算工作，帶來很大的便利。


拉普拉斯方程式的解答 在某空間區域內，假設電荷密度為零，則電勢必須滿足拉普拉斯方程式，並且符合所有相關邊界條件。


= 邊界條件 =
在靜電學裏，有三種邊界條件：

狄利克雷邊界條件：在所有邊界，電勢都已良態給定。具有這種邊界條件的問題稱為狄利克雷問題。
紐曼邊界條件：在所有邊界，電勢的法向導數都已良態給定。具有這種邊界條件的問題稱為紐曼問題。
混合邊界條件：一部分邊界的電勢都已良態給定，其它邊界的電勢的法向導數也已良態給定。
根據拉普拉斯方程式的唯一性定理，對於這些種類的邊界條件，拉普拉斯方程式的解答都具有唯一性。所以，只要找到一個符合邊界條件的解答，則這解答必定為正確解答。


= 分離變數法 =
應用分離變數法來解析拉普拉斯方程式，可以將問題的偏微分方程式改變為一組較容易解析的常微分方程式。對於一般問題，通常會採用直角坐標系、圓柱坐標系或球坐標系來分離拉普拉斯方程式。但是，對於其它比較特別的問題，另外還有八種坐標系可以用來分離拉普拉斯方程式。分離之後，找到每一個常微分方程式的通解（通常為一組本徵方程式的疊加），電勢可以表達為這些通解的乘積。將這表達式與邊界條件相匹配，就可以設定一般解的係數，從而找到問題的特解。根據拉普拉斯方程式的唯一性定理，這特解也是唯一的正確解答。


= 兩個半平面導體案例 =

假設在xy-平面的無限平面導體被一條位於
  
    
      
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y=0}
  
的絕緣線條分為兩半，兩個處於y+、y--半平面的導體的電勢分別設定為
  
    
      
        +
        V
      
    
    {\displaystyle +V}
  
、
  
    
      
        −
        V
      
    
    {\displaystyle -V}
  
，則計算z+-半空間任意位置的電勢這問題，由於邊界條件的幾何形狀適合用直角坐標來描述，可以以直角坐標
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,z)}
  
將拉普拉斯方程式表示為：

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              ϕ
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              ϕ
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              ϕ
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}
  
。
因為這案例與x-坐標無關，方程式可以簡化為

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
        (
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              ϕ
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              ϕ
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (y,z)={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}
  
。
應用分離變數法，猜想解答的形式為

  
    
      
        ϕ
        (
        y
        ,
        z
        )
        =
        Y
        (
        y
        )
        Z
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \phi (y,z)=Y(y)Z(z)}
  
。
將這公式代入拉普拉斯方程式，則可得到

  
    
      
        
          
            1
            
              Y
              (
              y
              )
            
          
        
         
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              Y
              (
              y
              )
            
            
              
                d
              
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              Z
              (
              z
              )
            
          
        
         
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              Z
              (
              z
              )
            
            
              
                d
              
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Y(y)}{\mathrm {d} y^{2}}}+{\frac {1}{Z(z)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Z(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}=0}
  
。
注意到這方程式的每一個項目都只含有一個變量，並且跟其它變量無關。所以，每一個項目都等於常數：

  
    
      
        
          
            1
            
              Y
              (
              y
              )
            
          
        
         
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              Y
              (
              y
              )
            
            
              
                d
              
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        C
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Y(y)}{\mathrm {d} y^{2}}}=C}
  
、

  
    
      
        
          
            1
            
              Z
              (
              z
              )
            
          
        
         
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              Z
              (
              z
              )
            
            
              
                d
              
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        C
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{Z(z)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Z(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}=-C}
  
。
這樣，一個二次偏微分方程式被改變為兩個簡單的二次常微分方程式。解答分別為

  
    
      
        Y
        (
        y
        )
        =
        
          A
          
            1
          
        
        
          e
          
            i
            k
            y
          
        
        +
        
          A
          
            2
          
        
        
          e
          
            −
            i
            k
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle Y(y)=A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky}}
  
、

  
    
      
        Z
        (
        z
        )
        =
        
          B
          
            1
          
        
        
          e
          
            k
            z
          
        
        +
        
          B
          
            2
          
        
        
          e
          
            −
            k
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle Z(z)=B_{1}e^{kz}+B_{2}e^{-kz}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle A_{1}(k)}
  
、
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle A_{2}(k)}
  
、
  
    
      
        
          B
          
            1
          
        
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle B_{1}(k)}
  
、
  
    
      
        
          B
          
            2
          
        
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle B_{2}(k)}
  
都是係數函數。
當
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
趨向於無窮大時，
  
    
      
        Z
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle Z(z)}
  
趨向於零，所以，
  
    
      
        
          B
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle B_{1}=0}
  
。綜合起來，電勢為

  
    
      
        ϕ
        (
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        
          A
          
            1
          
        
        
          e
          
            i
            k
            y
          
        
        +
        
          A
          
            2
          
        
        
          e
          
            −
            i
            k
            y
          
        
        )
        
          e
          
            −
            k
            z
          
        
        
          d
        
        k
      
    
    {\displaystyle \phi (y,z)=\int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})e^{-kz}\mathrm {d} k}
  
。
由於在
  
    
      
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z=0}
  
，y+、y--半平面的電勢分別為
  
    
      
        +
        V
      
    
    {\displaystyle +V}
  
、
  
    
      
        −
        V
      
    
    {\displaystyle -V}
  
，所以，

當
  
    
      
        y
        >
        0
      
    
    {\displaystyle y>0}
  
時，
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        
          A
          
            1
          
        
        
          e
          
            i
            k
            y
          
        
        +
        
          A
          
            2
          
        
        
          e
          
            −
            i
            k
            y
          
        
        )
        
          d
        
        k
        =
        +
        V
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrm {d} k=+V}
  
、
當
  
    
      
        y
        <
        0
      
    
    {\displaystyle y<0}
  
時，
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        
          A
          
            1
          
        
        
          e
          
            i
            k
            y
          
        
        +
        
          A
          
            2
          
        
        
          e
          
            −
            i
            k
            y
          
        
        )
        
          d
        
        k
        =
        −
        V
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrm {d} k=-V}
  
。
應用傅立葉變換，可以得到

  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        (
        k
        )
        =
        
          
            V
            
              2
              π
            
          
        
        
          (
          
            
              ∫
              
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              e
              
                −
                i
                k
                
                  y
                  ′
                
              
            
            
              d
            
            
              y
              ′
            
            −
            
              ∫
              
                −
                ∞
              
              
                0
              
            
            
              e
              
                −
                i
                k
                
                  y
                  ′
                
              
            
            
              d
            
            
              y
              ′
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}(k)={\frac {V}{2\pi }}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-iky'}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{-iky'}\mathrm {d} y'\right)}
  
、

  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
        (
        k
        )
        =
        
          
            V
            
              2
              π
            
          
        
        
          (
          
            
              ∫
              
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              e
              
                i
                k
                
                  y
                  ′
                
              
            
            
              d
            
            
              y
              ′
            
            −
            
              ∫
              
                −
                ∞
              
              
                0
              
            
            
              e
              
                i
                k
                
                  y
                  ′
                
              
            
            
              d
            
            
              y
              ′
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle A_{2}(k)={\frac {V}{2\pi }}\left(\int _{0}^{\infty }e^{iky'}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{iky'}\mathrm {d} y'\right)}
  
。
所以，由
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle A_{1}(k)}
  
項目貢獻出的電勢為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    V
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  d
                
                k
                
                  {
                  
                    
                      ∫
                      
                        0
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      e
                      
                        i
                        k
                        (
                        y
                        −
                        
                          y
                          ′
                        
                        )
                        −
                        k
                        z
                      
                    
                    
                      d
                    
                    
                      y
                      ′
                    
                    −
                    
                      ∫
                      
                        −
                        ∞
                      
                      
                        0
                      
                    
                    
                      e
                      
                        i
                        k
                        (
                        y
                        −
                        
                          y
                          ′
                        
                        )
                        −
                        k
                        z
                      
                    
                    
                      d
                    
                    
                      y
                      ′
                    
                  
                  }
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    V
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        y
                        ′
                      
                    
                    
                      i
                      (
                      y
                      −
                      
                        y
                        ′
                      
                      )
                      −
                      z
                    
                  
                
                +
                 
                
                  
                    V
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        y
                        ′
                      
                    
                    
                      i
                      (
                      y
                      −
                      
                        y
                        ′
                      
                      )
                      −
                      z
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}&={\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k\left\{\int _{0}^{\infty }e^{ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'\right\}\\&=-\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{i(y-y')-z}}+\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}}
  
  。
類似地，由
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle A_{2}(k)}
  
項目貢獻出的電勢為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ϕ
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    V
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  d
                
                k
                
                  {
                  
                    
                      ∫
                      
                        0
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      e
                      
                        −
                        i
                        k
                        (
                        y
                        −
                        
                          y
                          ′
                        
                        )
                        −
                        k
                        z
                      
                    
                    
                      d
                    
                    
                      y
                      ′
                    
                    −
                    
                      ∫
                      
                        −
                        ∞
                      
                      
                        0
                      
                    
                    
                      e
                      
                        −
                        i
                        k
                        (
                        y
                        −
                        
                          y
                          ′
                        
                        )
                        −
                        k
                        z
                      
                    
                    
                      d
                    
                    
                      y
                      ′
                    
                  
                  }
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    V
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        y
                        ′
                      
                    
                    
                      −
                      i
                      (
                      y
                      −
                      
                        y
                        ′
                      
                      )
                      −
                      z
                    
                  
                
                +
                 
                
                  
                    V
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        y
                        ′
                      
                    
                    
                      −
                      i
                      (
                      y
                      −
                      
                        y
                        ′
                      
                      )
                      −
                      z
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{2}&={\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k\left\{\int _{0}^{\infty }e^{-ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'\right\}\\&=-\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{-i(y-y')-z}}+\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{-i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}}
  
  。
總電勢為

  
    
      
        
          
            
              
                ϕ
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      V
                      z
                    
                    π
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        y
                        ′
                      
                    
                    
                      (
                      y
                      −
                      
                        y
                        ′
                      
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                −
                 
                
                  
                    
                      V
                      z
                    
                    π
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        y
                        ′
                      
                    
                    
                      (
                      y
                      −
                      
                        y
                        ′
                      
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                      V
                    
                    π
                  
                
                 
                arctan
                ⁡
                
                  
                    (
                    
                      
                        y
                        z
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\phi &={\frac {Vz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\ {\frac {Vz}{\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\\&={\frac {2V}{\pi }}\ \arctan {\left({\frac {y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}}
  
。


帕松方程式的解答 = 電荷分佈所產生的電勢 =
根據庫侖定律，一個源位置為
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
的點電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
，所產生在任意位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
的電場為

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            q
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
  
。
對於一群點電荷，應用疊加原理，總電場等於每一個點電荷所產生的電場的疊加。體積區域
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
內部電荷密度為
  
    
      
        ρ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}
  
的電荷分佈，在檢驗位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
所產生的電場為

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        ρ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        
          
            
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} '){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}r'}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r'}
  
是微小體積元素。
應用一條向量恆等式，

  
    
      
        ∇
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
        =
        −
         
        
          
            
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=-\ {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
  
，
可以得到

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
         
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        ∇
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          
            
              ρ
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\nabla \int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}r'}
  
。
設定在無窮遠的電勢為參考值0，則在任意位置的電勢為

  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          
            
              ρ
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}r'}
  
；（1）
應用一則關於狄拉克δ函數的向量恆等式

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              1
              
                
                  |
                
                
                  r
                
                −
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                
                  |
                
              
            
          
          )
        
        =
        −
        4
        π
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
  
，
假設檢驗位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
在積分體積
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
內，則可得到帕松方程式：

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              
                ρ
                (
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                )
              
              
                
                  |
                
                
                  r
                
                −
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                
                  |
                
              
            
          
          )
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
        =
        −
         
        
          
            1
            
              ϵ
              
                0
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        ρ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          ′
        
        )
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
        =
        −
         
        
          
            
              ρ
              (
              
                r
              
              )
            
            
              ϵ
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla ^{2}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ \mathrm {d} ^{3}r'=-\ {\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'=-\ {\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}}
  
。
所以，電勢的方程式（1）為帕松方程式的解答。


= 邊界條件 =
電勢的方程式（1）只考慮到一群電荷分佈所產生的電勢。假若遭遇邊界條件為電勢的靜電學問題，就不能使用方程式（1），必需使用更具功能的方法。
根據格林第二恆等式，對於任意良態函數
  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}
  
與
  
    
      
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
  
，

  
    
      
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          (
          
            ϕ
            
              ∇
              
                2
              
            
            ψ
            −
            ψ
            
              ∇
              
                2
              
            
            ϕ
          
          )
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
        =
        
          ∮
          
            
              S
            
          
        
        
          (
          
            ϕ
            
              
                
                  ∂
                  ψ
                
                
                  ∂
                  n
                
              
            
            −
            ψ
            
              
                
                  ∂
                  ϕ
                
                
                  ∂
                  n
                
              
            
          
          )
        
         
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\left(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi \right)\ \mathrm {d} ^{3}r=\oint _{\mathbb {S} }\left(\phi {\partial \psi  \over \partial n}-\psi {\partial \phi  \over \partial n}\right)\ \mathrm {d} ^{2}r}
  
；
其中，
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
是積分體積，
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
是包住
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
的閉表面，
  
    
      
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}r}
  
是微小面元素，
  
    
      
        
          ∂
          ϕ
        
        
          ∂
          n
        
      
    
    {\displaystyle \partial \phi  \over \partial n}
  
或
  
    
      
        
          ∂
          ϕ
        
        
          ∂
          n
        
      
    
    {\displaystyle \partial \phi  \over \partial n}
  
都是取垂直於閉表面
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
的法向導數，都是從積分體積
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
朝外指出。
設定
  
    
      
        ϕ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ')}
  
為在
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
的電勢，
  
    
      
        ψ
        =
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi ={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}
  
為
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
與
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
之間的距離。應用帕松方程式
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        ρ
        
          /
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )=-\rho /\epsilon _{0}}
  
，則可得到

  
    
      
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          [
          
            ϕ
            (
            
              
                r
              
              ′
            
            )
            
              ∇
              
                2
              
            
            
              (
              
                
                  1
                  
                    
                      |
                    
                    
                      r
                    
                    −
                    
                      
                        r
                      
                      ′
                    
                    
                      |
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                
                  ρ
                  (
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                  )
                
                
                  
                    ϵ
                    
                      0
                    
                  
                  
                    |
                  
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                  
                    |
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
        =
        
          ∮
          
            
              
                S
              
              ′
            
          
        
        
          [
          
            ϕ
             
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    n
                    ′
                  
                
              
            
            
              (
              
                
                  1
                  
                    
                      |
                    
                    
                      r
                    
                    −
                    
                      
                        r
                      
                      ′
                    
                    
                      |
                    
                  
                
              
              )
            
            −
            
              (
              
                
                  1
                  
                    
                      |
                    
                    
                      r
                    
                    −
                    
                      
                        r
                      
                      ′
                    
                    
                      |
                    
                  
                
              
              )
            
            
              
                
                  ∂
                  ϕ
                
                
                  ∂
                  
                    n
                    ′
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}\left[\phi (\mathbf {r} ')\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)+{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\epsilon _{0}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]\mathrm {d} ^{3}r'=\oint _{\mathbb {S} '}\left[\phi \ {\partial  \over \partial n'}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right){\partial \phi  \over \partial n'}\right]\mathrm {d} ^{2}r'}
  
。
再應用向量恆等式

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              1
              
                
                  |
                
                
                  r
                
                −
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                
                  |
                
              
            
          
          )
        
        =
        −
        4
        π
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
  
。
假設檢驗位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
在積分體積
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
內，則可得到

  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          
            
              ρ
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
        +
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∮
          
            
              
                S
              
              ′
            
          
        
        
          [
          
            
              (
              
                
                  1
                  
                    
                      |
                    
                    
                      r
                    
                    −
                    
                      
                        r
                      
                      ′
                    
                    
                      |
                    
                  
                
              
              )
            
            
              
                
                  ∂
                  ϕ
                
                
                  ∂
                  
                    n
                    ′
                  
                
              
            
            −
            ϕ
             
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    n
                    ′
                  
                
              
            
            
              (
              
                
                  1
                  
                    
                      |
                    
                    
                      r
                    
                    −
                    
                      
                        r
                      
                      ′
                    
                    
                      |
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}r'+{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\left[\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right){\partial \phi  \over \partial n'}-\phi \ {\partial  \over \partial n'}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\right]\mathrm {d} ^{2}r'}
  
。
這方程式右手邊的體積分就是電勢的方程式（1），而面積分就是因為邊界條件而添加的項目。這是
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
體內與體外之間的邊界曲面。面積分的第一個項目要求給定在邊界曲面的法向電場，即
  
    
      
        
          E
          
            
              n
              ′
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              
                n
                ′
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n'}=-{\partial \phi  \over \partial n'}}
  
，也就是面感應電荷密度
  
    
      
        σ
        =
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          E
          
            
              n
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma =\epsilon _{0}E_{n'}}
  
。面積分的第二個項目要求給定在邊界曲面的電勢
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
。假若能夠知道積分體積內的電荷密度、在閉曲面的面電荷密度與電勢，就可以計算出在積分體積內任意位置的電勢。
根據柯西邊界條件，有時候，給定在邊界曲面的法向電場與電勢，可能會因為給定過多邊界條件，而造成無法計算出一致的電勢的狀況。實際而言，只要給定法向電場或電勢，兩者之一，就可以計算出電勢。
假若積分體積為無窮大空間，當
  
    
      
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle r'}
  
趨向於無窮大時，則面積分的被積分項目會以
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          r
          
            ′
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/r'^{3}}
  
速率遞減，而積分面積會以
  
    
      
        
          r
          
            ′
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r'^{2}}
  
速率遞增，所以，面積分項目會趨向於零，這方程式約化為先前的電勢方程式（1）。


= 格林函數 =
包括函數
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          |
        
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          ′
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}
  
在內，有一類函數
  
    
      
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
  
，稱為格林函數，能夠滿足方程式

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        −
        4
        π
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
  
。
另外，假設函數
  
    
      
        H
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
  
滿足拉普拉斯方程式

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        H
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0}
  
，
則函數
  
    
      
        
          G
          ′
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        +
        H
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle G'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
  
也是格林函數。
應用這靈活性質，可以更嚴格地規定格林函數：

對於狄利克雷問題，當源位置
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
在邊界表面
  
    
      
        
          
            
              S
            
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {S} '}}
  
時，規定格林函數
  
    
      
        
          G
          
            D
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0}
  
。這樣，從格林第二恆等式，設定
  
    
      
        ϕ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ')}
  
為在
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
的電勢，
  
    
      
        ψ
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        
          G
          
            D
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
  
，則可得到

  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        ρ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        
          G
          
            D
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
        −
         
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∮
          
            
              
                S
              
              ′
            
          
        
        ϕ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
         
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  D
                
              
              (
              
                r
              
              ,
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              ∂
              
                n
                ′
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'-\ {\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\phi (\mathbf {r} ')\ {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ') \over \partial n'}\mathrm {d} ^{2}r'}
  
。（2）
對於滿足紐曼問題，當源位置
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
在邊界表面
  
    
      
        
          
            
              S
            
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {S} '}}
  
時，規定格林函數
  
    
      
        
          ∮
          
            
              
                S
              
              ′
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  D
                
              
              (
              
                r
              
              ,
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              ∂
              
                n
                ′
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        
          r
          ′
        
        =
        −
        
          
            
              4
              π
            
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle \oint _{\mathbb {S} '}{\frac {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\mathrm {d} ^{2}r'=-{\frac {4\pi }{S}}}
  
。
這兩種規定都能夠唯一地設定格林函數。注意到格林函數是一個幾何函數，與整個系統的電荷分佈無關。對於任何系統，只要計算出適合其幾何形狀的格林函數，則不論系統的電荷分佈為何，都可以使用同樣的格林函數。


= 無限平面導體案例 =

假設xy-平面是接地的無限平面導體，則對於z+半空間、滿足狄利克雷邊界條件的格林函數為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  G
                  
                    D
                  
                
                (
                
                  r
                
                ,
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                )
                =
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          1
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          
                            (
                            x
                            −
                            
                              x
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                            +
                            (
                            y
                            −
                            
                              y
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                            +
                            (
                            z
                            −
                            
                              z
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                
                
                −
                 
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          1
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          
                            (
                            x
                            −
                            
                              x
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                            +
                            (
                            y
                            −
                            
                              y
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                            +
                            (
                            z
                            +
                            
                              z
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}\\\qquad \qquad \qquad -\ {\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{matrix}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,z)}
  
、
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y',z')}
  
分別是檢驗位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
、源位置
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
的直角坐標。
由於接地導體的電勢為零，方程式（2）的面積分項目等於零，方程式（2）變為

  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        ρ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        
          G
          
            D
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'}
  
。
假設在位置
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        ,
        a
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0,a)}
  
有點電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
，則在z+半空間任意位置的電勢為

  
    
      
        
          
            
              
                ϕ
                (
                
                  r
                
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    
                      
                        V
                      
                      ′
                    
                  
                
                ρ
                (
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                )
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            y
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          (
                          z
                          −
                          a
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        1
                        
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            y
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          (
                          z
                          +
                          a
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                 
                
                  
                    d
                  
                  
                    3
                  
                
                
                  r
                  ′
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        q
                        
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            y
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          (
                          z
                          −
                          a
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        q
                        
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            y
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          (
                          z
                          +
                          a
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right)\ \mathrm {d} ^{3}r'\\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}-{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right)\\\end{aligned}}}
  
。
仔細檢察這方程式，右手邊第一個項目，是在沒有平面導體的狀況時，點電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
所產生的電勢；右手邊第二個項目，是使用鏡像法時，鏡像電荷
  
    
      
        −
        q
      
    
    {\displaystyle -q}
  
所產生的電勢。請參閱鏡像法條目的點電荷與無限平面導體段落。


 導引  已知函數
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          |
        
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          ′
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}
  
為格林函數
  
    
      
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
  
，滿足方程式

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        −
        4
        π
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
  
。
在三維無限空間裏，
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          |
        
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          ′
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}
  
的傅立葉級數為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    
                      
                        |
                      
                      
                        r
                      
                      −
                      
                        
                          r
                        
                        ′
                      
                      
                        |
                      
                    
                  
                
              
              
                
                ≡
                
                  
                    1
                    
                      2
                      
                        π
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    3
                  
                
                k
                
                  
                    
                      e
                      
                        i
                        
                          k
                        
                        ⋅
                        (
                        
                          r
                        
                        −
                        
                          
                            r
                          
                          ′
                        
                        )
                      
                    
                    
                      k
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      
                        π
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  d
                
                
                  k
                  
                    x
                  
                
                 
                
                  d
                
                
                  k
                  
                    y
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    
                      k
                      
                        x
                      
                    
                    (
                    x
                    −
                    
                      x
                      ′
                    
                    )
                    +
                    i
                    
                      k
                      
                        y
                      
                    
                    (
                    y
                    −
                    
                      y
                      ′
                    
                    )
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                 
                
                  d
                
                
                  k
                  
                    z
                  
                
                
                  
                    
                      e
                      
                        i
                        
                          k
                          
                            z
                          
                        
                        (
                        z
                        −
                        
                          z
                          ′
                        
                        )
                      
                    
                    
                      
                        k
                        
                          x
                        
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        k
                        
                          y
                        
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        k
                        
                          z
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}&\equiv {\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} ^{3}k{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}}{k^{2}}}\\&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}{\frac {e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}\\\end{aligned}}}
  
 。
現在，必需找到格林函數
  
    
      
        
          G
          
            D
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        +
        H
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
  
，滿足狄利克雷邊界條件
  
    
      
        
          G
          
            D
          
        
        (
        (
        x
        ,
        y
        ,
        0
        )
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle G_{D}((x,y,0),\mathbf {r} ')=0}
  
，同時，函數
  
    
      
        H
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
  
滿足拉普拉斯方程式

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        H
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0}
  
。
對於z+半空間，
  
    
      
        H
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
  
以傅立葉級數擴張為

  
    
      
        
          
            
              
                H
                (
                
                  r
                
                ,
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      
                        π
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                 
                
                  d
                
                
                  k
                  
                    x
                  
                
                 
                
                  d
                
                
                  k
                  
                    y
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    
                      k
                      
                        x
                      
                    
                    (
                    x
                    −
                    
                      x
                      ′
                    
                    )
                    +
                    i
                    
                      k
                      
                        y
                      
                    
                    (
                    y
                    −
                    
                      y
                      ′
                    
                    )
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                 
                
                  d
                
                
                  k
                  
                    z
                  
                
                
                  [
                  
                    B
                    (
                    
                      k
                    
                    ,
                    
                      z
                      ′
                    
                    )
                    
                      e
                      
                        i
                        
                          k
                          
                            z
                          
                        
                        z
                      
                    
                    +
                    C
                    (
                    
                      k
                    
                    ,
                    
                      z
                      ′
                    
                    )
                    
                      e
                      
                        −
                        i
                        
                          k
                          
                            z
                          
                        
                        z
                      
                    
                  
                  ]
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left[B(\mathbf {k} ,z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf {k} ,z')e^{-ik_{z}z}\right]\\\end{aligned}}}
  
。
對於x-座標與對於y-座標的傅立葉級數擴張，
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
函數與
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
函數的形式相同。這是因為對於無限空間案例與無限平面導體案例，兩種案例的x-邊界條件與y-邊界條件都相同，只有z-邊界條件稍有改變。將
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
函數的方程式代如，
  
    
      
        
          G
          
            D
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
  
變為

  
    
      
        
          G
          
            D
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              
                π
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          d
        
        
          k
          
            x
          
        
         
        
          d
        
        
          k
          
            y
          
        
        
          e
          
            i
            
              k
              
                x
              
            
            (
            x
            −
            
              x
              ′
            
            )
            +
            i
            
              k
              
                y
              
            
            (
            y
            −
            
              y
              ′
            
            )
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          d
        
        
          k
          
            z
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  e
                  
                    i
                    
                      k
                      
                        z
                      
                    
                    (
                    z
                    −
                    
                      z
                      ′
                    
                    )
                  
                
                
                  
                    k
                    
                      x
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    k
                    
                      y
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    k
                    
                      z
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            B
            (
            
              k
            
            ,
            
              z
              ′
            
            )
            
              e
              
                i
                
                  k
                  
                    z
                  
                
                z
              
            
            +
            C
            (
            
              k
            
            ,
            
              z
              ′
            
            )
            
              e
              
                −
                i
                
                  k
                  
                    z
                  
                
                z
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left[{\frac {e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf {k} ,z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf {k} ,z')e^{-ik_{z}z}\right]}
  
；
其中，
  
    
      
        B
        (
        
          k
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')}
  
與
  
    
      
        C
        (
        
          k
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')}
  
都是係數函數。
由於
  
    
      
        
          G
          
            D
          
        
        (
        (
        x
        ,
        y
        ,
        0
        )
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle G_{D}((x,y,0),\mathbf {r} ')=0}
  
，對於任意
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
  
與
  
    
      
        
          z
          ′
        
      
    
    {\displaystyle z'}
  
，
  
    
      
        B
        (
        
          k
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')}
  
與
  
    
      
        C
        (
        
          k
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')}
  
之間的關係為

  
    
      
        
          
            
              e
              
                −
                i
                
                  k
                  
                    z
                  
                
                
                  z
                  ′
                
              
            
            
              
                k
                
                  x
                
                
                  2
                
              
              +
              
                k
                
                  y
                
                
                  2
                
              
              +
              
                k
                
                  z
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        B
        (
        
          k
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
        +
        C
        
          k
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf {k} ,z')+C\mathbf {k} ,z')=0}
  
、

  
    
      
        B
        (
        
          k
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
        =
        
          
            
              
                B
                
                  0
                
              
              
                e
                
                  −
                  i
                  
                    k
                    
                      z
                    
                  
                  
                    z
                    ′
                  
                
              
            
            
              
                k
                
                  x
                
                
                  2
                
              
              +
              
                k
                
                  y
                
                
                  2
                
              
              +
              
                k
                
                  z
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')={\frac {B_{0}e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}}
  
、

  
    
      
        C
        (
        
          k
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
        =
        
          
            
              
                C
                
                  0
                
              
              
                e
                
                  −
                  i
                  
                    k
                    
                      z
                    
                  
                  
                    z
                    ′
                  
                
              
            
            
              
                k
                
                  x
                
                
                  2
                
              
              +
              
                k
                
                  y
                
                
                  2
                
              
              +
              
                k
                
                  z
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')={\frac {C_{0}e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          B
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{0}}
  
與
  
    
      
        
          C
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{0}}
  
都是係數常數，而且，
  
    
      
        
          B
          
            0
          
        
        +
        
          C
          
            0
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle B_{0}+C_{0}=-1}
  
 
將這些公式代入
  
    
      
        
          G
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{D}}
  
，可以得到

  
    
      
        
          G
          
            D
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              
                π
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          d
        
        
          k
          
            x
          
        
         
        
          d
        
        
          k
          
            y
          
        
        
          e
          
            i
            
              k
              
                x
              
            
            (
            x
            −
            
              x
              ′
            
            )
            +
            i
            
              k
              
                y
              
            
            (
            y
            −
            
              y
              ′
            
            )
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          d
        
        
          k
          
            z
          
        
        
          {
          
            
              
                
                  (
                  1
                  +
                  
                    B
                    
                      0
                    
                  
                  )
                
                
                  k
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              [
              
                
                  e
                  
                    i
                    
                      k
                      
                        z
                      
                    
                    (
                    z
                    −
                    
                      z
                      ′
                    
                    )
                  
                
                −
                
                  e
                  
                    i
                    
                      k
                      
                        z
                      
                    
                    (
                    z
                    +
                    
                      z
                      ′
                    
                    )
                  
                
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left\{{\frac {(1+B_{0})}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}}
  
。
為了滿足方程式
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          G
          
            D
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        −
        4
        π
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
  
，必需設定
  
    
      
        
          B
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle B_{0}=0}
  
。所以，

  
    
      
        
          
            
              
                
                  G
                  
                    D
                  
                
                (
                
                  r
                
                ,
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      
                        π
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                 
                
                  d
                
                
                  k
                  
                    x
                  
                
                 
                
                  d
                
                
                  k
                  
                    y
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    
                      k
                      
                        x
                      
                    
                    (
                    x
                    −
                    
                      x
                      ′
                    
                    )
                    +
                    i
                    
                      k
                      
                        y
                      
                    
                    (
                    y
                    −
                    
                      y
                      ′
                    
                    )
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                 
                
                  d
                
                
                  k
                  
                    z
                  
                
                
                  {
                  
                    
                      
                        1
                        
                          k
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    
                      [
                      
                        
                          e
                          
                            i
                            
                              k
                              
                                z
                              
                            
                            (
                            z
                            −
                            
                              z
                              ′
                            
                            )
                          
                        
                        −
                        
                          e
                          
                            i
                            
                              k
                              
                                z
                              
                            
                            (
                            z
                            +
                            
                              z
                              ′
                            
                            )
                          
                        
                      
                      ]
                    
                  
                  }
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      
                        |
                      
                      
                        r
                      
                      −
                      
                        
                          r
                        
                        ′
                      
                      
                        |
                      
                    
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    
                      
                        |
                      
                      
                        r
                      
                      −
                      
                        
                          r
                        
                        ″
                      
                      
                        |
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          1
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          
                            (
                            x
                            −
                            
                              x
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                            +
                            (
                            y
                            −
                            
                              y
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                            +
                            (
                            z
                            −
                            
                              z
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                −
                 
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          1
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          
                            (
                            x
                            −
                            
                              x
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                            +
                            (
                            y
                            −
                            
                              y
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                            +
                            (
                            z
                            +
                            
                              z
                              ′
                            
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left\{{\frac {1}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}\\&={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ''|}}\\&={\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}-\ {\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{aligned}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          
            r
          
          ″
        
        =
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        −
        
          z
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} ''=(x',y',-z')}
  
是鏡像電荷的位置。


= 兩個半平面導體案例 =
假設在xy-平面的無限平面導體被一條位於
  
    
      
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y=0}
  
的絕緣線條分為兩半，兩個處於y+、y--半平面的導體的電勢分別設定為
  
    
      
        +
        V
      
    
    {\displaystyle +V}
  
與
  
    
      
        −
        V
      
    
    {\displaystyle -V}
  
，則由於
  
    
      
        ρ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=0}
  
，方程式（2）變為

  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
         
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∮
          
            
              
                S
              
              ′
            
          
        
        ϕ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
         
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  D
                
              
              (
              
                r
              
              ,
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              ∂
              
                n
                ′
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=-\ {\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\phi (\mathbf {r} ')\ {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ') \over \partial n'}\mathrm {d} ^{2}r'}
  
。（3）
注意到
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
是z+-半空間，xy-平面是其邊界閉曲面的一部分，格林函數在xy-平面的法向導數的方向是朝著負z方向：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        G
                        
                          D
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        n
                        ′
                      
                    
                  
                
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        G
                        
                          D
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        z
                        ′
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          z
                          −
                          
                            z
                            ′
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          [
                          (
                          x
                          −
                          
                            x
                            ′
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          (
                          y
                          −
                          
                            y
                            ′
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          (
                          z
                          −
                          
                            z
                            ′
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                          
                            ]
                            
                              3
                              
                                /
                              
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                 
                −
                 
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          z
                          +
                          
                            z
                            ′
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          [
                          (
                          x
                          −
                          
                            x
                            ′
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          (
                          y
                          −
                          
                            y
                            ′
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          (
                          z
                          +
                          
                            z
                            ′
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                          
                            ]
                            
                              3
                              
                                /
                              
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          2
                          z
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          [
                          (
                          x
                          −
                          
                            x
                            ′
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          (
                          y
                          −
                          
                            y
                            ′
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            z
                            
                              2
                            
                          
                          
                            ]
                            
                              3
                              
                                /
                              
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\partial G_{D} \over \partial n'}&=-\ {\partial G_{D} \over \partial z'}\\&=-\ {\cfrac {z-z'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}]^{3/2}}}\ -\ {\cfrac {z+z'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}]^{3/2}}}\\&=-\ {\cfrac {2z}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\\\end{aligned}}}
  
。

  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
的邊界閉曲面在無窮遠位置的電勢為0，所以，只需要計算xy-平面給出的貢獻，就可以得到在
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
內部任意位置的電勢。將上述方程式代入方程式（3）：

  
    
      
        
          
            
              
                ϕ
                (
                
                  r
                
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                      z
                    
                    
                      4
                      π
                    
                  
                
                
                  {
                  
                    
                      ∫
                      
                        0
                        +
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      ∫
                      
                        −
                        ∞
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                          
                          
                            
                              V
                              
                                d
                              
                              
                                x
                                ′
                              
                              
                                d
                              
                              
                                y
                                ′
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                          
                          
                            
                              [
                              (
                              x
                              −
                              
                                x
                                ′
                              
                              
                                )
                                
                                  2
                                
                              
                              +
                              (
                              y
                              −
                              
                                y
                                ′
                              
                              
                                )
                                
                                  2
                                
                              
                              +
                              
                                z
                                
                                  2
                                
                              
                              
                                ]
                                
                                  3
                                  
                                    /
                                  
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      ∫
                      
                        −
                        ∞
                      
                      
                        0
                        −
                      
                    
                    
                      ∫
                      
                        −
                        ∞
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                          
                          
                            
                              −
                              V
                              
                                d
                              
                              
                                x
                                ′
                              
                              
                                d
                              
                              
                                y
                                ′
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                          
                          
                            
                              [
                              (
                              x
                              −
                              
                                x
                                ′
                              
                              
                                )
                                
                                  2
                                
                              
                              +
                              (
                              y
                              −
                              
                                y
                                ′
                              
                              
                                )
                                
                                  2
                                
                              
                              +
                              
                                z
                                
                                  2
                                
                              
                              
                                ]
                                
                                  3
                                  
                                    /
                                  
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  }
                
              
            
            
              
              
                
                =
                 
                
                  
                    
                      z
                      V
                    
                    π
                  
                
                
                  {
                  
                    
                      ∫
                      
                        0
                        +
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            y
                            ′
                          
                        
                        
                          (
                          y
                          −
                          
                            y
                            ′
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            z
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      ∫
                      
                        −
                        ∞
                      
                      
                        0
                        −
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            y
                            ′
                          
                        
                        
                          (
                          y
                          −
                          
                            y
                            ′
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            z
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  }
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                      V
                    
                    π
                  
                
                 
                arctan
                ⁡
                
                  
                    (
                    
                      
                        y
                        z
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {2z}{4\pi }}\left\{\int _{0+}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\cfrac {V\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}+\int _{-\infty }^{0-}\int _{-\infty }^{\infty }{\cfrac {-V\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\right\}\\&=\ {\frac {zV}{\pi }}\left\{\int _{0+}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\int _{-\infty }^{0-}{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\right\}\\&={\frac {2V}{\pi }}\ \arctan {\left({\frac {y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}}
  
。


推廣至電動力學 假設磁場含時間（每當電場含時間，則此假設成立。逆過來亦成立），則不能簡單地以純量勢
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
描述電場。因為根據法拉第電磁感應定律，
  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          E
        
        =
        −
         
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-\ {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\neq 0}
  
，電場不再具有保守性，
  
    
      
        ∫
        
          E
        
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle \int \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
  
跟路徑有關。
替代地，在定義純量勢時，必須引入磁向量勢
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
，定義為

  
    
      
        
          B
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          ∇
        
        ×
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} \ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }
  
；
其中，
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
是磁場。
根據亥姆霍茲定理（Helmholtz theorem），假設一個向量函數
  
    
      
        
          F
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}
  
滿足以下兩條件：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          F
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        D
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} )=D(\mathbf {r} )}
  
、

  
    
      
        ∇
        ×
        
          F
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          C
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {C} (\mathbf {r} )}
  
 ;
其中，
  
    
      
        D
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle D(\mathbf {r} )}
  
是個純量函數，
  
    
      
        
          C
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} (\mathbf {r} )}
  
是個向量函數。
再假設
  
    
      
        D
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle D(\mathbf {r} )}
  
和
  
    
      
        
          C
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} (\mathbf {r} )}
  
，在無窮遠處都足夠快速地趨向0，則
  
    
      
        
          F
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}
  
可以用方程式表達為

  
    
      
        
          F
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        ∇
        
          (
          
            
              
                1
                
                  4
                  π
                
              
            
            
              ∫
              
                
                  
                    V
                  
                  ′
                
              
            
            
              
                
                  D
                  (
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                  )
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                  
                    |
                  
                
              
            
            
              
                d
              
              
                3
              
            
            
              r
              ′
            
          
          )
        
        +
        ∇
        ×
        
          (
          
            
              
                1
                
                  4
                  π
                
              
            
            
              ∫
              
                
                  
                    V
                  
                  ′
                
              
            
            
              
                
                  
                    C
                  
                  (
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                  )
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                  
                    |
                  
                
              
            
            
              
                d
              
              
                3
              
            
            
              r
              ′
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\nabla \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {D(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\right)+\nabla \times \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\right)}
  
 ;
在這裏，
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  
只作用於
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
，體積分的體積為
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
。
採用庫侖規範（Coulomb gauge），則磁向量勢
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
遵守

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          A
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} =0}
  
。
所以，

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        ∇
        ×
        
          (
          
            
              
                1
                
                  4
                  π
                
              
            
            
              ∫
              
                
                  
                    V
                  
                  ′
                
              
            
            
              
                
                  
                    B
                  
                  (
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                  )
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                  
                    |
                  
                
              
            
            
              
                d
              
              
                3
              
            
            
              r
              ′
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          B
        
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
        ×
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\right)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {B} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}r'}
  
。
注意到，以上這些推導，並沒有涉及時間參數。加入時間參數
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
，結果也成立。所以，永遠可以找到磁向量勢
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
：

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        ,
        
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          B
        
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        ,
        
        t
        )
        ×
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {B} (\mathbf {r} ',\,t)\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}r'}
  
。
根據法拉第電磁感應定律，向量場
  
    
      
        
          G
        
        =
        
          E
        
        +
        ∂
        
          A
        
        
          /
        
        ∂
        t
      
    
    {\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {E} +\partial \mathbf {A} /\partial t}
  
是一個保守場：

  
    
      
        ∇
        ×
        
          G
        
        =
        ∇
        ×
        
          E
        
        +
        ∇
        ×
        ∂
        
          A
        
        
          /
        
        ∂
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {G} =\nabla \times \mathbf {E} +\nabla \times \partial \mathbf {A} /\partial t=0}
  
。
所以，必定可以找到純量勢
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
，滿足
  
    
      
        
          G
        
        =
        −
        ∇
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {G} =-\nabla \phi }
  
。因此，下述方程式成立：

  
    
      
        
          E
        
        =
        −
        
          ∇
        
        ϕ
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
  
。
靜電勢只是這含時定義的一個特別案例，在這案例裏，磁向量勢
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
不含時間。從另一方面來說，對於含時向量場，電場的路徑積分與靜電學的結果大不相同：

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          E
        
        ⋅
        
          d
        
        
          ℓ
        
        =
        ϕ
        (
        b
        )
        −
        ϕ
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\neq \phi (b)-\phi (a)}
  
。


參閱 电壓
鏡像法
勞侖次規範
推遲勢
保守力與保守場


參考文獻 延伸阅读 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 
Wangsness, Roald K. Electromagnetic Fields 2nd., Revised, illustrated. Wiley. 1986. ISBN 9780471811862.