本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。
埃瓦尔德求和（英語：Ewald summation），是一种计算周期性系统中长程力（如静电力）的方法，以德国物理学家保罗·彼得·埃瓦尔德命名。埃瓦尔德求和最初用于计算离子晶体的电势能，现在用于计算化学中计算长程力。埃瓦尔德求和是泊松求和公式的特殊形式，用倒空间中的等效求和代替实空间中相互作用能的总和。埃瓦尔德求和将相互作用势分为短程力和无奇点的长程力两部分，短程力在实空间中计算，长程力用傅里叶变换计算。与直接求和相比，此方法的优势为能量能够快速收敛，这意味着此方法在计算长程力时具有较高的精度和合理的速度，是计算周期性系统中长程力的标准方法。此方法需要分子系统的电中性，以准确计算总库仑力。


推导 埃瓦尔德求和将相互作用势表示为两部分之和：

  
    
      
        φ
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          φ
          
            s
            r
          
        
        (
        
          r
        
        )
        +
        
          φ
          
            ℓ
            r
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varphi _{sr}(\mathbf {r} )+\varphi _{\ell r}(\mathbf {r} )}
  
,
其中，
  
    
      
        
          φ
          
            s
            r
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi _{sr}(\mathbf {r} )}
  
表示实空间中和值快速收敛的短程势，
  
    
      
        
          φ
          
            ℓ
            r
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi _{\ell r}(\mathbf {r} )}
  
表示倒空间中和值快速收敛的长程势。所有量（如r）的长程部分是有限的，但可能有简易的数学形式，如高斯分布。该方法假设短程势容易求和，因此需要重点考虑的是长程势。由于使用了傅里叶级数，该方法将周期性边界条件作为假设，此周期性系统的重复单元称为原胞，选择一个原胞作为中央原胞作为参考，其余单元称为镜像。
长程力的能量是中央原胞的电荷与晶格所有电荷间相互作用能之和，因此可以表示为原胞和晶格的电荷密度的双重积分：

  
    
      
        
          E
          
            ℓ
            r
          
        
        =
        ∬
        d
        
          r
        
        
        d
        
          
            r
          
          
            ′
          
        
        
        
          ρ
          
            TOT
          
        
        (
        
          r
        
        )
        
          ρ
          
            u
            c
          
        
        (
        
          
            r
          
          
            ′
          
        
        )
         
        
          φ
          
            ℓ
            r
          
        
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          
            ′
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle E_{\ell r}=\iint d\mathbf {r} \,d\mathbf {r} ^{\prime }\,\rho _{\text{TOT}}(\mathbf {r} )\rho _{uc}(\mathbf {r} ^{\prime })\ \varphi _{\ell r}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime })}
  

其中原胞的电荷密度
  
    
      
        
          ρ
          
            u
            c
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho _{uc}(\mathbf {r} )}
  
是中央原胞中位置
  
    
      
        
          
            r
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{k}}
  
上的电量
  
    
      
        
          q
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{k}}
  
之和：

  
    
      
        
          ρ
          
            u
            c
          
        
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          ∑
          
            
              c
              h
              a
              r
              g
              e
              s
            
             
            k
          
        
        
          q
          
            k
          
        
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho _{uc}(\mathbf {r} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{\mathrm {charges} \ k}q_{k}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k})}
  

总电荷密度
  
    
      
        
          ρ
          
            TOT
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho _{\text{TOT}}(\mathbf {r} )}
  
是原胞及其镜像电量
  
    
      
        
          q
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{k}}
  
之和：

  
    
      
        
          ρ
          
            TOT
          
        
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          ∑
          
            
              n
              
                1
              
            
            ,
            
              n
              
                2
              
            
            ,
            
              n
              
                3
              
            
          
        
        
          ∑
          
            
              c
              h
              a
              r
              g
              e
              s
            
             
            k
          
        
        
          q
          
            k
          
        
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          
            k
          
        
        −
        
          n
          
            1
          
        
        
          
            a
          
          
            1
          
        
        −
        
          n
          
            2
          
        
        
          
            a
          
          
            2
          
        
        −
        
          n
          
            3
          
        
        
          
            a
          
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho _{\text{TOT}}(\mathbf {r} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n_{1},n_{2},n_{3}}\sum _{\mathrm {charges} \ k}q_{k}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}-n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2}-n_{3}\mathbf {a} _{3})}
  

这里，
  
    
      
        δ
        (
        
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta (\mathbf {x} )}
  
表示狄拉克δ函数，
  
    
      
        
          
            a
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{1}}
  
、
  
    
      
        
          
            a
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{2}}
  
、
  
    
      
        
          
            a
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{3}}
  
表示晶格矢量，
  
    
      
        
          n
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{1}}
  
、
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{2}}
  
、
  
    
      
        
          n
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{3}}
  
的范围为所有整数。总电荷密度
  
    
      
        
          ρ
          
            TOT
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho _{\text{TOT}}(\mathbf {r} )}
  
可以表示为
  
    
      
        
          ρ
          
            u
            c
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho _{uc}(\mathbf {r} )}
  
与晶格函数
  
    
      
        L
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle L(\mathbf {r} )}
  
的卷积：

  
    
      
        L
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          ∑
          
            
              n
              
                1
              
            
            ,
            
              n
              
                2
              
            
            ,
            
              n
              
                3
              
            
          
        
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          n
          
            1
          
        
        
          
            a
          
          
            1
          
        
        −
        
          n
          
            2
          
        
        
          
            a
          
          
            2
          
        
        −
        
          n
          
            3
          
        
        
          
            a
          
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle L(\mathbf {r} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n_{1},n_{2},n_{3}}\delta (\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2}-n_{3}\mathbf {a} _{3})}
  

由于
  
    
      
        
          ρ
          
            TOT
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho _{\text{TOT}}(\mathbf {r} )}
  
为卷积，其傅里叶变换为一个积：

  
    
      
        
          
            
              
                ρ
                ~
              
            
          
          
            TOT
          
        
        (
        
          k
        
        )
        =
        
          
            
              L
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
        
          
            
              
                ρ
                ~
              
            
          
          
            u
            c
          
        
        (
        
          k
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\rho }}_{\text{TOT}}(\mathbf {k} )={\tilde {L}}(\mathbf {k} ){\tilde {\rho }}_{uc}(\mathbf {k} )}
  

其中晶格函数的傅里叶变换是狄拉克δ函数的另一个和：

  
    
      
        
          
            
              L
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
        =
        
          
            
              
                (
                
                  2
                  π
                
                )
              
              
                3
              
            
            Ω
          
        
        
          ∑
          
            
              m
              
                1
              
            
            ,
            
              m
              
                2
              
            
            ,
            
              m
              
                3
              
            
          
        
        δ
        (
        
          k
        
        −
        
          m
          
            1
          
        
        
          
            b
          
          
            1
          
        
        −
        
          m
          
            2
          
        
        
          
            b
          
          
            2
          
        
        −
        
          m
          
            3
          
        
        
          
            b
          
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {L}}(\mathbf {k} )={\frac {\left(2\pi \right)^{3}}{\Omega }}\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}}\delta (\mathbf {k} -m_{1}\mathbf {b} _{1}-m_{2}\mathbf {b} _{2}-m_{3}\mathbf {b} _{3})}
  

其中定义倒空间向量为
  
    
      
        
          
            b
          
          
            1
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                
                  a
                
                
                  2
                
              
              ×
              
                
                  a
                
                
                  3
                
              
            
            Ω
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} _{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\Omega }}}
  
（周期性排列），其中
  
    
      
        Ω
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            a
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          (
          
            
              
                a
              
              
                2
              
            
            ×
            
              
                a
              
              
                3
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Omega \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}
  
为中心原胞的体积（几何形状通常为平行六面体），
  
    
      
        L
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle L(\mathbf {r} )}
  
和
  
    
      
        
          
            
              L
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {L}}(\mathbf {k} )}
  
为实函数和偶函数。
为了简洁起见，定义有效单粒子势能：

  
    
      
        v
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        ∫
        d
        
          
            r
          
          
            ′
          
        
        
        
          ρ
          
            u
            c
          
        
        (
        
          
            r
          
          
            ′
          
        
        )
         
        
          φ
          
            ℓ
            r
          
        
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          
            ′
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle v(\mathbf {r} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} ^{\prime }\,\rho _{uc}(\mathbf {r} ^{\prime })\ \varphi _{\ell r}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime })}
  

因为其亦为卷积，其傅里叶变换是一个积：

  
    
      
        
          
            
              V
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                ρ
                ~
              
            
          
          
            u
            c
          
        
        (
        
          k
        
        )
        
          
            
              Φ
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {V}}(\mathbf {k} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tilde {\rho }}_{uc}(\mathbf {k} ){\tilde {\Phi }}(\mathbf {k} )}
  

其中定义了傅里叶变换：

  
    
      
        
          
            
              V
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
        =
        ∫
        d
        
          r
        
         
        v
        (
        
          r
        
        )
         
        
          e
          
            −
            i
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {V}}(\mathbf {k} )=\int d\mathbf {r} \ v(\mathbf {r} )\ e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}
  

现在，长程力的能量可以表示为单个电荷密度的积分：

  
    
      
        
          E
          
            ℓ
            r
          
        
        =
        ∫
        d
        
          r
        
         
        
          ρ
          
            TOT
          
        
        (
        
          r
        
        )
         
        v
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle E_{\ell r}=\int d\mathbf {r} \ \rho _{\text{TOT}}(\mathbf {r} )\ v(\mathbf {r} )}
  

使用帕塞瓦尔定理，能量亦可于倒空间中求和：

  
    
      
        
          E
          
            ℓ
            r
          
        
        =
        ∫
        
          
            
              d
              
                k
              
            
            
              
                (
                
                  2
                  π
                
                )
              
              
                3
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                ρ
                ~
              
            
          
          
            TOT
          
          
            ∗
          
        
        (
        
          k
        
        )
        
          
            
              V
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
        =
        ∫
        
          
            
              d
              
                k
              
            
            
              
                (
                
                  2
                  π
                
                )
              
              
                3
              
            
          
        
        
          
            
              
                L
                ~
              
            
          
          
            ∗
          
        
        (
        
          k
        
        )
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      ρ
                      ~
                    
                  
                
                
                  u
                  c
                
              
              (
              
                k
              
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        
          
            
              Φ
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
        =
        
          
            1
            Ω
          
        
        
          ∑
          
            
              m
              
                1
              
            
            ,
            
              m
              
                2
              
            
            ,
            
              m
              
                3
              
            
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      ρ
                      ~
                    
                  
                
                
                  u
                  c
                
              
              (
              
                k
              
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        
          
            
              Φ
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
      
    
    {\displaystyle E_{\ell r}=\int {\frac {d\mathbf {k} }{\left(2\pi \right)^{3}}}\ {\tilde {\rho }}_{\text{TOT}}^{*}(\mathbf {k} ){\tilde {V}}(\mathbf {k} )=\int {\frac {d\mathbf {k} }{\left(2\pi \right)^{3}}}{\tilde {L}}^{*}(\mathbf {k} )\left|{\tilde {\rho }}_{uc}(\mathbf {k} )\right|^{2}{\tilde {\Phi }}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\Omega }}\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}}\left|{\tilde {\rho }}_{uc}(\mathbf {k} )\right|^{2}{\tilde {\Phi }}(\mathbf {k} )}
  

其中
  
    
      
        
          k
        
        =
        
          m
          
            1
          
        
        
          
            b
          
          
            1
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          
            b
          
          
            2
          
        
        +
        
          m
          
            3
          
        
        
          
            b
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}
  
是最终的和值。
计算出
  
    
      
        
          
            
              
                ρ
                ~
              
            
          
          
            u
            c
          
        
        (
        
          k
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\rho }}_{uc}(\mathbf {k} )}
  
后，
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
  
的和值或积分是显然的，可以很快地收敛。不能收敛的最常见原因是原胞不太明确，其必须为电中性，以避免无穷大的和。


粒子网格埃瓦尔德（PME）方法 在计算机普及前，埃瓦尔德求和是理论物理的理论。然而，自20世纪70年代以来，埃瓦尔德求和在粒子系统的计算机模拟中被广泛使用，尤其是遵守平方反比定律的粒子相互作用，如重力和静电力。最近，粒子网格埃瓦尔德方法也用于计算兰纳-琼斯势的
  
    
      
        
          r
          
            −
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle r^{-6}}
  
部分，以消除截断产生的伪影。其应用包括等离子体、星系及分子的模拟。
在粒子网格埃瓦尔德方法中，和标准埃瓦尔德求和相同，相互作用势被分为两部分
  
    
      
        φ
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          φ
          
            s
            r
          
        
        (
        
          r
        
        )
        +
        
          φ
          
            ℓ
            r
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varphi _{sr}(\mathbf {r} )+\varphi _{\ell r}(\mathbf {r} )}
  
，其基本思想是用实空间中短程力的直接求和
  
    
      
        
          E
          
            s
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{sr}}
  
（粒子部分），及倒空间中长程力的求和（埃瓦尔德部分），代替点粒子间相互作用的能量的直接求和：

  
    
      
        
          E
          
            TOT
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
        φ
        (
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        −
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        )
        =
        
          E
          
            s
            r
          
        
        +
        
          E
          
            ℓ
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{\text{TOT}}=\sum _{i,j}\varphi (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})=E_{sr}+E_{\ell r}}
  

  
    
      
        
          E
          
            s
            r
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
        
          φ
          
            s
            r
          
        
        (
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        −
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle E_{sr}=\sum _{i,j}\varphi _{sr}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})}
  

  
    
      
        
          E
          
            ℓ
            r
          
        
        =
        
          ∑
          
            
              k
            
          
        
        
          
            
              
                Φ
                ~
              
            
          
          
            ℓ
            r
          
        
        (
        
          k
        
        )
        
          
            |
            
              
                
                  
                    ρ
                    ~
                  
                
              
              (
              
                k
              
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{\ell r}=\sum _{\mathbf {k} }{\tilde {\Phi }}_{\ell r}(\mathbf {k} )\left|{\tilde {\rho }}(\mathbf {k} )\right|^{2}}
  

其中
  
    
      
        
          
            
              
                Φ
                ~
              
            
          
          
            ℓ
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\Phi }}_{\ell r}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              ρ
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\rho }}(\mathbf {k} )}
  
表示力和电荷密度的傅里叶变换。由于两个求和分别在实空间和倒空间中迅速收敛，它们可能被精确截断，且所需计算时间大幅减少。计算电荷密度的傅里叶变换
  
    
      
        
          
            
              ρ
              ~
            
          
        
        (
        
          k
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\rho }}(\mathbf {k} )}
  
可使用快速傅里叶变换，需在空间中的离散格子上（即网格部分）估计电荷密度。
由于埃瓦尔德方法隐含的周期性假设，粒子网格埃瓦尔德方法于物理系统中的应用需施加周期性。因此，该方法最适合用于空间范围内可以模拟为无限的系统。在分子动力学模拟中，常构造可以无限平铺形成镜像的电中性原胞；然而，为了正确解释这种近似效应，这些镜像被重新并入原始模拟原胞中，这种整体效应被称为周期性边界条件。 想象一个单位立方体，上表面与下表面有效接触，右侧面与左侧面有效接触，前表面与后表面有效接触。因此，原胞的尺寸必须足够大，以避免两个接触面间不正确的运动相关性，但仍需足够小以便计算。短程力与长程力间截断的定义也可以引入伪影。
电荷密度对网格的限制，使得粒子网格埃瓦尔德方法对电荷密度或势函数平滑变化的系统更有效。利用快速多极子方法可以更有效地处理局部系统或电荷密度波动较大的系统。


偶极子 极性晶体（即原胞中具有净偶极子
  
    
      
        
          
            p
          
          
            u
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} _{uc}}
  
的晶体）的静电能為条件收敛，即取决于求和顺序。例如，若中央原胞的偶极与不断增加的立方体上的原胞偶极相互作用，则其能量收敛值並不會与考慮不斷增大的球面時相等。大致来说，这种条件收敛是因为在半径为
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
的壳上的偶极子数約為
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{2}}
  
；偶极-偶极相互作用的强度約為
  
    
      
        
          
            1
            
              R
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{R^{3}}}}
  
；而兩者相乘的結果是發散的调和级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}
  
。
這看似令人驚訝的結果並不與現實晶體能量有限的事實相違背，因為現實晶體並非無限，具有特定邊界。具体而言，极性晶体的边界的有效表面电荷密度为
  
    
      
        σ
        =
        
          P
        
        ⋅
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \sigma =\mathbf {P} \cdot \mathbf {n} }
  
，其中
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
为表面法向量，
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
为单位体积的净偶极矩。則中央原胞之偶极子與表面电荷密度
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
的相互作用能
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
可寫為：

  
    
      
        U
        =
        
          
            1
            
              2
              
                V
                
                  u
                  c
                
              
            
          
        
        ∫
        
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      p
                    
                    
                      u
                      c
                    
                  
                  ⋅
                  
                    r
                  
                
                )
              
              
                (
                
                  
                    
                      p
                    
                    
                      u
                      c
                    
                  
                  ⋅
                  
                    n
                  
                
                )
              
              d
              S
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U={\frac {1}{2V_{uc}}}\int {\frac {\left(\mathbf {p} _{uc}\cdot \mathbf {r} \right)\left(\mathbf {p} _{uc}\cdot \mathbf {n} \right)dS}{r^{3}}}}
  

其中，
  
    
      
        
          
            p
          
          
            u
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} _{uc}}
  
和
  
    
      
        
          V
          
            u
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{uc}}
  
分别为原胞的净偶极矩和体积，
  
    
      
        d
        S
      
    
    {\displaystyle dS}
  
为晶面上的无穷小区域，
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
为中央原胞到无穷小区域的向量。此公式来自于对能量
  
    
      
        d
        U
        =
        −
        
          
            p
          
          
            u
            c
          
        
        ⋅
        
          d
          E
        
      
    
    {\displaystyle dU=-\mathbf {p} _{uc}\cdot \mathbf {dE} }
  
积分，其中
  
    
      
        d
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {E} }
  
表示无穷小电场，由无穷小的表面电荷
  
    
      
        d
        q
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
        σ
        d
        S
      
    
    {\displaystyle dq{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sigma dS}
  
产生（库仑定律）：

  
    
      
        d
        
          E
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          (
          
            
              
                −
                1
              
              
                4
                π
                ϵ
              
            
          
          )
        
        
          
            
              d
              q
               
              
                r
              
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                −
                1
              
              
                4
                π
                ϵ
              
            
          
          )
        
        
          
            
              σ
              
              d
              S
               
              
                r
              
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {E} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {-1}{4\pi \epsilon }}\right){\frac {dq\ \mathbf {r} }{r^{3}}}=\left({\frac {-1}{4\pi \epsilon }}\right){\frac {\sigma \,dS\ \mathbf {r} }{r^{3}}}}
  

负号来自于
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
的定义，其指向电荷方向为正方向。


历史 埃瓦尔德求和由德国物理学家保罗·彼得·埃瓦尔德于1921年发表，用于确定离子晶体的静电能及马德隆常数。


复杂度 不同的埃瓦尔德求和具有不同的时间复杂度。直接求和的时间复杂度为
  
    
      
        O
        (
        
          N
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(N^{2})}
  
，其中
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
为系统中原子数。粒子网格埃瓦尔德方法的时间复杂度为
  
    
      
        O
        (
        N
        
        log
        ⁡
        N
        )
      
    
    {\displaystyle O(N\,\log N)}
  
。


参见 保罗·彼得·埃瓦尔德
馬德隆常數
泊松求和公式
分子建模
Wolf求和


参考文献