集合（英語：set）簡稱集，是一个基本的数学模型，指若干不同物件（英語：object）形成的总体。集合裡的物件称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。若
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的元素，記作
  
    
      
        x
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x\in A}
  
。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。
集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。


导言 = 定义 =
简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作“元素”或“成员”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。
在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：

族、系：通常指它的元素也是一些集合。


= 符号 =
元素通常用
  
    
      
        a
        ,
         
        b
        ,
         
        c
        ,
         
        d
        ,
         
        x
      
    
    {\displaystyle a,\ b,\ c,\ d,\ x}
  
等小写字母來表示；而集合通常用
  
    
      
        
          A
          ,
           
          B
          ,
           
          C
          ,
           
          D
          ,
           
          X
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A,\ B,\ C,\ D,\ X} }
  
等大寫字母來表示。
當元素
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
属于集合
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
時，记作
  
    
      
        a
        ∈
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle a\in \mathbf {A} }
  
。
当元素
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
不属于集合
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
时，记作
  
    
      
        a
        ∈
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle a\not \in \mathbf {A} }
  
。
如果
  
    
      
        
          A
          ,
           
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A,\ B} }
  
两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作
  
    
      
        
          A
          =
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A=B} }
  
。


= 特性 =
无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。

集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见序理论）
互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。

有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。
确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。


表示 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：

  
    
      
        A
        =
      
    
    {\displaystyle A=}
  
大于零的前三个自然数

  
    
      
        B
        =
      
    
    {\displaystyle B=}
  
光的三原色和白色
集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：

  
    
      
        C
        =
        
          {
          
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle C=\left\{1,2,3\right\}}
  

  
    
      
        D
        =
        {
      
    
    {\displaystyle D=\{}
  
红色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
蓝色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
绿色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
白色
  
    
      
        }
      
    
    {\displaystyle \}}
  

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，
  
    
      
        A
        =
        C
      
    
    {\displaystyle A=C}
  
而
  
    
      
        B
        =
        D
      
    
    {\displaystyle B=D}
  
，因为它们正好有相同的元素。
元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都和集合相同與否没有关系。比如：这三个集合
  
    
      
        
          {
          
            2
            ,
            4
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{2,4\right\}}
  
，
  
    
      
        
          {
          
            4
            ,
            2
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{4,2\right\}}
  
和
  
    
      
        
          {
          
            2
            ,
            2
            ,
            4
            ,
            2
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{2,2,4,2\right\}}
  
是相同的，因为它们有相同的元素。

集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。


集合间的关系 = 子集与包含关系 =


 定义  集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，若
  
    
      
        ∀
        a
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle \forall a\in A}
  
，有
  
    
      
        a
        ∈
        B
        ∴
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle a\in B\therefore A\subseteq B}
  
。则称
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的子集，亦称
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
包含于
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，或
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
包含
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，记作
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  
或
  
    
      
        B
        ⊇
        A
      
    
    {\displaystyle B\supseteq A}
  
，否则称
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
不是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的子集，记作
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\nsubseteq B}
  
或
  
    
      
        B
        ⊇
        A
      
    
    {\displaystyle B\nsupseteq A}
  
。
若
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  
，且
  
    
      
        A
        =
        B
      
    
    {\displaystyle A\neq B}
  
，则称
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的真子集，亦称
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
真包含于
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，或
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
真包含
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，记作
  
    
      
        A
        ⫋
        B
      
    
    {\displaystyle A\subsetneqq B}
  
或
  
    
      
        B
        ⫌
        A
      
    
    {\displaystyle B\supsetneqq A}
  
（有时也记作
  
    
      
        A
        ⊂
        B
      
    
    {\displaystyle A\subset B}
  
或
  
    
      
        B
        ⊃
        A
      
    
    {\displaystyle B\supset A}
  
）。


 基本性质  包含关系“
  
    
      
        ⊆
      
    
    {\displaystyle \subseteq }
  
”是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质：
自反性：
  
    
      
        ∀
      
    
    {\displaystyle \forall }
  
集合
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
，
  
    
      
        S
        ⊆
        S
      
    
    {\displaystyle S\subseteq S}
  
；（任何集合都是其本身的子集）
反对称性：
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  
且
  
    
      
        B
        ⊆
        A
        ⇔
        A
        =
        B
      
    
    {\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow A=B}
  
；（这是证明两集合相等的常用手段之一）
传递性：
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  
且
  
    
      
        B
        ⊆
        C
        ⇒
        A
        ⊆
        C
      
    
    {\displaystyle B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C}
  
；
真包含关系“
  
    
      
        ⫋
      
    
    {\displaystyle \subsetneqq }
  
”是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质：
反自反性：
  
    
      
        ∀
      
    
    {\displaystyle \forall }
  
集合
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
，
  
    
      
        S
        ⫋
        S
      
    
    {\displaystyle S\subsetneqq S}
  
都不成立；
非对称性：
  
    
      
        A
        ⫋
        B
        ⇒
        B
        ⫋
        A
      
    
    {\displaystyle A\subsetneqq B\Rightarrow B\subsetneqq A}
  
不成立；反之亦然；
传递性：
  
    
      
        A
        ⫋
        B
      
    
    {\displaystyle A\subsetneqq B}
  
且
  
    
      
        B
        ⫋
        C
        ⇒
        A
        ⫋
        C
      
    
    {\displaystyle B\subsetneqq C\Rightarrow A\subsetneqq C}
  
；
显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的偏序关系。而
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing }
  
是这个偏序关系的最小元素，即：
  
    
      
        ∀
      
    
    {\displaystyle \forall }
  
集合
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
，
  
    
      
        ∅
        ⊆
        S
      
    
    {\displaystyle \varnothing \subseteq S}
  
；且若
  
    
      
        S
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle S\neq \varnothing }
  
，则
  
    
      
        ∅
        ⫋
        S
      
    
    {\displaystyle \varnothing \subsetneqq S}
  
，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）


 举例  所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。

  
    
      
        
          {
          
            1
            ,
            3
          
          }
        
        ⫋
        
          {
          
            1
            ,
            2
            ,
            3
            ,
            4
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{1,3\right\}\subsetneqq \left\{1,2,3,4\right\}}
  

  
    
      
        
          {
          
            1
            ,
            2
            ,
            3
            ,
            4
          
          }
        
        ⊆
        
          {
          
            1
            ,
            2
            ,
            3
            ,
            4
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}}
  


运算 = 併 =

两个集合可以相"加"。
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的聯集是将
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的元素放到一起构成的新集合。


 定义  给定集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，定义运算
  
    
      
        ∪
      
    
    {\displaystyle \cup }
  
如下：
  
    
      
        A
        ∪
        B
        =
        {
        e
        
          |
        
        e
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle A\cup B=\{e|e\in A}
  
或
  
    
      
        e
        ∈
        B
        }
      
    
    {\displaystyle e\in B\}}
  
。
  
    
      
        A
        ∪
        B
      
    
    {\displaystyle A\cup B}
  
称为
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的聯集。


 示例  {
        1
        ,
        2
        }
        ∪
        {
      
    
    {\displaystyle \{1,2\}\cup \{}
  
红色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
白色
  
    
      
        }
        =
        {
        1
        ,
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle \}=\{1,2,}
  
红色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
白色
  
    
      
        }
      
    
    {\displaystyle \}}
  

  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle \{1,2,}
  
绿色
  
    
      
        }
        ∪
        {
      
    
    {\displaystyle \}\cup \{}
  
红色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
白色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
绿色
  
    
      
        }
        =
        {
        1
        ,
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle \}=\{1,2,}
  
红色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
白色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
绿色
  
    
      
        }
      
    
    {\displaystyle \}}
  

  
    
      
        
          {
          
            1
            ,
            2
          
          }
        
        ∪
        
          {
          
            1
            ,
            2
          
          }
        
        =
        
          {
          
            1
            ,
            2
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}}
  


 基本性质  作为集合间的二元运算，
  
    
      
        ∪
      
    
    {\displaystyle \cup }
  
运算具有以下性质。

交换律：
  
    
      
        A
        ∪
        B
        =
        B
        ∪
        A
      
    
    {\displaystyle A\cup B=B\cup A}
  
；
结合律：
  
    
      
        
          (
          
            A
            ∪
            B
          
          )
        
        ∪
        C
        =
        A
        ∪
        
          (
          
            B
            ∪
            C
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)}
  
；
幂等律：
  
    
      
        A
        ∪
        A
        =
        A
      
    
    {\displaystyle A\cup A=A}
  
；
幺元：
  
    
      
        ∀
      
    
    {\displaystyle \forall }
  
集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        A
        ∪
        ∅
        =
        A
      
    
    {\displaystyle A\cup \varnothing =A}
  
；（
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing }
  
是
  
    
      
        ∪
      
    
    {\displaystyle \cup }
  
运算的幺元）。


= 交 =

一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的交集，写作
  
    
      
        A
        ∩
        B
      
    
    {\displaystyle A\cap B}
  
，是既属于
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的、又属于
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的所有元素组成的集合。
若
  
    
      
        A
        ∩
        B
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle A\cap B=\varnothing }
  
，则
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
称作不相交。


 定义  给定集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，定义运算
  
    
      
        ∩
      
    
    {\displaystyle \cap }
  
如下：
  
    
      
        A
        ∩
        B
        =
        {
        e
        
          |
        
        e
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle A\cap B=\{e|e\in A}
  
且
  
    
      
        e
        ∈
        B
        }
      
    
    {\displaystyle e\in B\}}
  
。
  
    
      
        A
        ∩
        B
      
    
    {\displaystyle A\cap B}
  
称为
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的交集。


 基本性质  作为集合间的二元运算，
  
    
      
        ∩
      
    
    {\displaystyle \cap }
  
运算具有以下性质。

交换律：
  
    
      
        A
        ∩
        B
        =
        B
        ∩
        A
      
    
    {\displaystyle A\cap B=B\cap A}
  
；
结合律：
  
    
      
        (
        A
        ∩
        B
        )
        ∩
        C
        =
        A
        ∩
        (
        B
        ∩
        C
        )
      
    
    {\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}
  
；
幂等律：
  
    
      
        A
        ∩
        A
        =
        A
      
    
    {\displaystyle A\cap A=A}
  
；
空集合：
  
    
      
        ∀
      
    
    {\displaystyle \forall }
  
集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        A
        ∩
        ∅
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }
  
；（
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing }
  
是
  
    
      
        ∩
      
    
    {\displaystyle \cap }
  
运算的空集合）。
其它性质还有：

  
    
      
        A
        ⊆
        B
        ⇒
        A
        ∩
        B
        =
        A
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A}
  


 示例  {
        1
        ,
        2
        }
        ∩
        {
      
    
    {\displaystyle \{1,2\}\cap \{}
  
红色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
白色
  
    
      
        }
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle \}=\varnothing }
  

  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle \{1,2,}
  
绿色
  
    
      
        }
        ∩
        {
      
    
    {\displaystyle \}\cap \{}
  
红色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
白色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
绿色
  
    
      
        }
        =
        {
      
    
    {\displaystyle \}=\{}
  
绿色
  
    
      
        }
      
    
    {\displaystyle \}}
  

  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        }
        ∩
        {
        1
        ,
        2
        }
        =
        {
        1
        ,
        2
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}}
  


= 补集 =

两个集合也可以相"减"。
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
在
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中的相对补集，国际上通常写作 
  
    
      
        B
        ∖
        A
      
    
    {\displaystyle B\setminus A}
  
，中文教材中有时也会写作
  
    
      
        B
        −
        A
      
    
    {\displaystyle B-A}
  
。表示属于
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的、但不属于
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的所有元素组成的集合。
在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
的子集。这样， 
  
    
      
        U
        −
        A
      
    
    {\displaystyle U-A}
  
称作
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的绝对补集，或简称补集（餘集），写作
  
    
      
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A'}
  
或
  
    
      
        
          ∁
          
            U
          
        
        A
      
    
    {\displaystyle \complement _{U}A}
  
。

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。


 定义  给定集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，定义运算-如下：
  
    
      
        A
        −
        B
        =
        {
        e
        
          |
        
        e
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle A-B=\{e|e\in A}
  
且
  
    
      
        e
        ∈
        B
        }
      
    
    {\displaystyle e\not \in B\}}
  
。
  
    
      
        A
        −
        B
      
    
    {\displaystyle A-B}
  
称为
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
对于
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的差集，相对补集或相对餘集。
在上下文确定了全集
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
时，对于
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
的某个子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，一般称
  
    
      
        U
        −
        A
      
    
    {\displaystyle U-A}
  
为
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
（对于
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
）的补集或余集，通常记为
  
    
      
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A'}
  
或
  
    
      
        
          
            
              A
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {A}}}
  
，也有记为
  
    
      
        
          A
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\text{c}}}
  
, 
  
    
      
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A'}
  
, 
  
    
      
        
          ∁
          
            U
          
        
        A
      
    
    {\displaystyle \complement _{U}A}
  
，以及
  
    
      
        ∁
        A
      
    
    {\displaystyle \complement A}
  
的。


 基本性质  作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：

  
    
      
        A
        −
        A
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle A-A=\varnothing }
  
；
右幺元：
  
    
      
        ∀
      
    
    {\displaystyle \forall }
  
集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        A
        −
        ∅
        =
        A
      
    
    {\displaystyle A-\varnothing =A}
  
；（
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing }
  
是
  
    
      
        −
      
    
    {\displaystyle -}
  
运算的右幺元）。
左零元：
  
    
      
        ∀
      
    
    {\displaystyle \forall }
  
集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        ∅
        −
        A
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing -A=\varnothing }
  
；（
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing }
  
是
  
    
      
        −
      
    
    {\displaystyle -}
  
运算的左零元）。


 示例  {
        1
        ,
        2
        }
        −
        {
      
    
    {\displaystyle \{1,2\}-\{}
  
红色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
白色
  
    
      
        }
        =
        {
        1
        ,
        2
        }
      
    
    {\displaystyle \}=\{1,2\}}
  

  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle \{1,2,}
  
绿色
  
    
      
        }
        −
        {
      
    
    {\displaystyle \}-\{}
  
红色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
白色
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
绿色
  
    
      
        }
        =
        {
        1
        ,
        2
        }
      
    
    {\displaystyle \}=\{1,2\}}
  

  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        }
        −
        {
        1
        ,
        2
        }
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle \{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing }
  

若
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
是整数集，则奇数的补集是偶数


= 對稱差 =


 定义  给定集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，定义对称差运算
  
    
      
        △
      
    
    {\displaystyle \vartriangle }
  
如下：
  
    
      
        A
        △
        B
        =
        (
        A
        −
        B
        )
        ∪
        (
        B
        −
        A
        )
      
    
    {\displaystyle A\vartriangle B=(A-B)\cup (B-A)}
  
。


 基本性质  作为集合间的二元运算，
  
    
      
        △
      
    
    {\displaystyle \vartriangle }
  
运算具有如下基本性质：

交换律：
  
    
      
        A
        △
        B
        =
        B
        △
        A
      
    
    {\displaystyle A\vartriangle B=B\vartriangle A}
  
；
结合律：
  
    
      
        (
        A
        △
        B
        )
        △
        C
        =
        A
        △
        (
        B
        △
        C
        )
      
    
    {\displaystyle (A\vartriangle B)\vartriangle C=A\vartriangle (B\vartriangle C)}
  
；
幺元：
  
    
      
        ∀
      
    
    {\displaystyle \forall }
  
集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        A
        △
        ∅
        =
        A
      
    
    {\displaystyle A\vartriangle \varnothing =A}
  
；（
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing }
  
是
  
    
      
        △
      
    
    {\displaystyle \vartriangle }
  
运算的幺元）。
逆元：
  
    
      
        A
        △
        A
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle A\vartriangle A=\varnothing }
  
；


运算性质 集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：

分配律:

  
    
      
        A
        ∪
        (
        B
        ∩
        C
        )
        =
        (
        A
        ∪
        B
        )
        ∩
        (
        A
        ∪
        C
        )
      
    
    {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}
  

  
    
      
        A
        ∩
        (
        B
        ∪
        C
        )
        =
        (
        A
        ∩
        B
        )
        ∪
        (
        A
        ∩
        C
        )
      
    
    {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}
  

对偶律:

  
    
      
        
          
            
              A
              ∪
              B
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            A
            ¯
          
        
        ∩
        
          
            B
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}
  

  
    
      
        
          
            
              A
              ∩
              B
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            A
            ¯
          
        
        ∪
        
          
            B
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}
  


集合的元素个数 上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。數學寫法有很多種，不同作者及不同書本用不同的寫法:  
  
    
      
        Card
        ⁡
        (
        A
        )
        ,
         
        #
        A
        ,
         
        
          |
        
        A
        
          |
        
        ,
         
        
          
            
              A
              ¯
            
          
        
        ,
         
        
          
            
              
                
                  A
                  ¯
                
              
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Card} (A),\ \#A,\ |A|,\ {\bar {A}},\ {\bar {\bar {A}}}}
  
。
集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 
  
    
      
        {
        }
      
    
    {\displaystyle \{\}}
  
 或符号
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing }
  
表示。比如：集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是2004年所有住在月球上的人，它没有元素，则
  
    
      
        A
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle A=\varnothing }
  
。在数学上，空集非常重要。更多資訊請參閱空集。
如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。
集合也可以有无穷多个元素，這樣的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他資訊请见集合的势。


公理化集合论 若把集合看作“符合任意特定性質的一堆東西”，會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论，數學家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。


類 在更深層的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。
类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。
定义 类A如果满足条件“
  
    
      
        ∃
        B
        (
        A
        ∈
        B
        )
      
    
    {\displaystyle \exists B(A\in B)}
  
”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为
  
    
      
        Set
        ⁡
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Set} (A)}
  
。否则称为本性类。
这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。


参见 公理化数学
类的理论
集合代数


参考文献