在数学中，五级运算（亦称超-5运算）是迭代幂次之后和六级运算之前的超运算。五级运算被定义为迭代幂次的迭代，如同迭代幂次是冪的迭代一样。以下为首五级超运算级别：

加法

  
    
      
        a
        [
        1
        ]
        b
        =
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle a[1]b=a+b}
  

乘法

  
    
      
        a
        [
        2
        ]
        b
        =
        a
        ×
        b
        =
        
          
            
              
                a
                +
                a
                +
                ⋯
                +
                a
              
              ⏟
            
          
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle a[2]b=a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b}}
  

冪

  
    
      
        a
        [
        3
        ]
        b
        =
        
          a
          
            b
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                ×
                a
                ×
                ⋯
                ×
                a
              
              ⏟
            
          
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle a[3]b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b}}
  

迭代冪次

  
    
      
        a
        [
        4
        ]
        b
        =
        
          
            
            
              b
            
          
          a
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  
                    a
                    
                      
                        ⋅
                        
                          
                            ⋅
                            
                              
                                ⋅
                                
                                  a
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              ⏟
            
          
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle a[4]b={^{b}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{b}}
  

五级运算

  
    
      
        a
        [
        5
        ]
        b
        =
        
          
            
            
              b
            
          
          a
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                  
                    
                      
                      
                        
                          
                          
                            
                              
                              
                                
                                  
                                  
                                    
                                      
                                      
                                        a
                                      
                                    
                                  
                                
                                ⋅
                              
                            
                            ⋅
                          
                        
                        ⋅
                      
                    
                    a
                  
                
                a
              
              ⏟
            
          
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle a[5]b={_{b}a}=\underbrace {^{^{^{^{^{^{a}}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{b}}
  

以上每一级超运算都是对上一级的迭代。例如，将五级运算和迭代幂次用超运算符号表示，
  
    
      
        2
        [
        5
        ]
        3
      
    
    {\displaystyle 2[5]3}
  
意味着2连续迭代取幂自己3次，即
  
    
      
        2
        [
        4
        ]
        (
        2
        [
        4
        ]
        2
        )
      
    
    {\displaystyle 2[4](2[4]2)}
  
，可以计算出，
  
    
      
        2
        [
        5
        ]
        3
        =
        2
        [
        4
        ]
        (
        2
        [
        4
        ]
        2
        )
        =
        2
        [
        4
        ]
        (
        
          2
          
            2
          
        
        )
        =
        2
        [
        4
        ]
        4
        =
        
          2
          
            
              2
              
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                4
              
            
          
        
        =
        
          2
          
            16
          
        
        =
        65536.
      
    
    {\displaystyle 2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.}
  


符号 关于五级运算的符号几乎没有达成共识，因此，有许多不同的方法来表记。但是，有些符号的使用较其他符号更广泛，有些符号具有明显的优缺点。

五级运算可以超运算符号表示，如
  
    
      
        a
        [
        5
        ]
        b
      
    
    {\displaystyle a[5]b}
  
。在这种表记方法中，
  
    
      
        a
        [
        3
        ]
        b
      
    
    {\displaystyle a[3]b}
  
，即幂运算，可以解释为函数
  
    
      
        x
        ↦
        a
        [
        2
        ]
        x
      
    
    {\displaystyle x\mapsto a[2]x}
  
从1开始迭代
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
次的结果；类似地，迭代幂次
  
    
      
        a
        [
        4
        ]
        b
      
    
    {\displaystyle a[4]b}
  
表示函数
  
    
      
        x
        ↦
        a
        [
        3
        ]
        x
      
    
    {\displaystyle x\mapsto a[3]x}
  
从1开始迭代b次的结果；五级运算
  
    
      
        a
        [
        5
        ]
        b
      
    
    {\displaystyle a[5]b}
  
表示函数
  
    
      
        x
        ↦
        a
        [
        4
        ]
        x
      
    
    {\displaystyle x\mapsto a[4]x}
  
从1开始迭代b次的结果。这也是本文大部分所使用的符号。
在高德納箭號表示法中，
  
    
      
        a
        [
        5
        ]
        b
      
    
    {\displaystyle a[5]b}
  
表示为
  
    
      
        a
        ↑↑↑
        b
      
    
    {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}
  
或
  
    
      
        a
        
          ↑
          
            3
          
        
        b
      
    
    {\displaystyle a\uparrow ^{3}b}
  
。在这个记法中，
  
    
      
        a
        ↑
        b
      
    
    {\displaystyle a\uparrow b}
  
表示幂运算，而
  
    
      
        a
        ↑↑
        b
      
    
    {\displaystyle a\uparrow \uparrow b}
  
代表迭代幂次。通过继续添加箭头，该记法可以轻松地表记更高级的超运算。
在康威鏈式箭號表示法中，
  
    
      
        a
        [
        5
        ]
        b
        =
        a
        →
        b
        →
        3
      
    
    {\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}
  
。
另一个建议的符号是
  
    
      
        
          
            
            
              b
            
          
          a
        
      
    
    {\displaystyle {_{b}a}}
  
，尽管这不能扩展到更高级的超运算。


例子 五级运算的值也可以从阿克曼函數的变量值表的第四行中的值中获得：如果
  
    
      
        A
        (
        n
        ,
        m
        )
      
    
    {\displaystyle A(n,m)}
  
由阿克曼递归關係
  
    
      
        A
        (
        m
        −
        1
        ,
        A
        (
        m
        ,
        n
        −
        1
        )
        )
      
    
    {\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}
  
与初始条件
  
    
      
        A
        (
        1
        ,
        n
        )
        =
        a
        n
      
    
    {\displaystyle A(1,n)=an}
  
和
  
    
      
        A
        (
        m
        ,
        1
        )
        =
        a
      
    
    {\displaystyle A(m,1)=a}
  
定义，那么
  
    
      
        a
        [
        5
        ]
        b
        =
        A
        (
        4
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle a[5]b=A(4,b)}
  
。
五級運算是迭代幂次的迭代，而其基本運算（迭代幂次）尚未扩展到非整数高度，所以五级运算
  
    
      
        a
        [
        5
        ]
        b
      
    
    {\displaystyle a[5]b}
  
当前亦仅對整数a和b有定義，其中a>0且b≥-1，以及一些其他可能有唯一定义的整数值。与所有三级（冪）及更高级的超运算一样，五级运算具有以下适用于所有定義域内a和b的值的基本恒等式：

  
    
      
        1
        [
        5
        ]
        b
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 1[5]b=1}
  

  
    
      
        a
        [
        5
        ]
        1
        =
        a
      
    
    {\displaystyle a[5]1=a}
  

此外，我们还可以定义：

  
    
      
        a
        [
        5
        ]
        0
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a[5]0=1}
  

  
    
      
        a
        [
        5
        ]
        (
        −
        1
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a[5](-1)=0}
  

五级运算生成大数的速度非常快，因此只有极少数非平凡的情况可以得出可以用常规符号表记的数，如下表所記，其中
  
    
      
        
          exp
          
            10
          
        
        ⁡
        (
        n
        )
        =
        
          10
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \exp _{10}(n)=10^{n}}
  
。


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大数
葛立恆數
大数的历史


参考文献