RL电路，全称电阻-电感电路（英語：Resistor-inductor circuit），或称RL滤波器、RL网络，是最简单的无限脉冲响应电子滤波器。它由一个电阻器、一个电感元件串联或并联组成，并由电压源驱动。


概论 最基本的被动线性元件为电阻器（R）、电容器（C）和电感元件（L）。这些元件可以被用来组成4种不同的电路：RC电路、RL电路、LC电路和RLC电路，这些名称都缘于各自所使用元件的英语缩写。它们体现了一些对于模拟电子技术来说很重要的性质。它们都可以被用作被动滤波器。本条目主要讲述RL电路串联、并联状态的情况。
在实际应用中通常使用电容器（以及RC电路）而非电感来构成滤波电路。这是因为电容更容易制造，且元件的尺寸普遍更小。


复阻抗 具有电感L（以亨利为单位）的电感元件的复阻抗ZL（以欧姆为单位）为：

  
    
      
        
          Z
          
            L
          
        
         
        =
         
        L
        s
      
    
    {\displaystyle Z_{L}\ =\ Ls}
  

复频率s是一个复数，

  
    
      
        s
         
        =
         
        σ
        +
        j
        ω
      
    
    {\displaystyle s\ =\ \sigma +j\omega }
  

这里

j表示虚数单位:

  
    
      
        
          j
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle j^{2}=-1}
  

  
    
      
        σ
         
      
    
    {\displaystyle \sigma \ }
  
为指数衰减常数（以每秒弧度为单位），且

  
    
      
        ω
         
      
    
    {\displaystyle \omega \ }
  
为角频率（以每秒弧度为单位）


= 示性函数 =
复数函数示性函数（Eigenfunctions）对所有线性时不变系统（linear time-invariant, LTI）有以下的形式：

  
    
      
        V
        (
        t
        )
         
        =
         
        
          A
        
        
          e
          
            s
            t
          
        
         
        =
         
        
          A
        
        
          e
          
            (
            σ
            +
            j
            ω
            )
            t
          
        
         
      
    
    {\displaystyle V(t)\ =\ \mathbf {A} e^{st}\ =\ \mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\ }
  
，若令
  
    
      
        
          A
        
         
        =
         
        A
        
          e
          
            j
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \ =\ Ae^{j\phi }}
  
，则可重写为
  
    
      
         
        =
         
        A
        
          e
          
            j
            ϕ
          
        
        
          e
          
            (
            σ
            +
            j
            ω
            )
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \ =\ Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}}
  
，合并复数指数后得到
  
    
      
         
        =
         
        A
        
          e
          
            σ
            t
          
        
        
          e
          
            j
            (
            ω
            t
            +
            ϕ
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \ =\ Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}}
  

通过复数的欧拉公式，示性函数的实部为指数衰减的正弦值：

  
    
      
        v
        (
        t
        )
         
        =
         
        
          R
          e
        
        
          {
          
            V
            (
            t
            )
          
          }
        
         
        =
         
        A
        
          e
          
            σ
            t
          
        
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        +
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)\ =\ \mathrm {Re} \left\{V(t)\right\}\ =\ Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )}
  


= 正弦稳定状态 =
正弦稳定状态是当输入电压仅包含纯的正弦信号的特殊情况，即不存在指数衰减。因此：

  
    
      
        σ
         
        =
         
        0
      
    
    {\displaystyle \sigma \ =\ 0}
  

且s的值变为：

  
    
      
        s
         
        =
         
        j
        ω
      
    
    {\displaystyle s\ =\ j\omega }
  


串联 如果把整个RL电路看做一个按阻抗进行分压的系统，则电感元件“分得”的电压为：

  
    
      
        
          V
          
            L
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          
            
              L
              s
            
            
              R
              +
              L
              s
            
          
        
        
          V
          
            i
            n
          
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{in}(s)}
  

电阻器“分得”的电压为：

  
    
      
        
          V
          
            R
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          
            R
            
              R
              +
              L
              s
            
          
        
        
          V
          
            i
            n
          
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{in}(s)}
  
.


= 电流 =
由于是串联电路，因此电路处处电流相等，且为：

  
    
      
        I
        (
        s
        )
        =
        
          
            
              
                V
                
                  i
                  n
                
              
              (
              s
              )
            
            
              R
              +
              L
              s
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I(s)={\frac {V_{in}(s)}{R+Ls}}}
  
.


= 传递函数 =
电感元件的传递函数为：

  
    
      
        
          H
          
            L
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          
            
              
                V
                
                  L
                
              
              (
              s
              )
            
            
              
                V
                
                  i
                  n
                
              
              (
              s
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              L
              s
            
            
              R
              +
              L
              s
            
          
        
        =
        
          G
          
            L
          
        
        
          e
          
            j
            
              ϕ
              
                L
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{L}(s)={V_{L}(s) \over V_{in}(s)}={Ls \over R+Ls}=G_{L}e^{j\phi _{L}}}
  

类似的，电阻器的传递函数为：

  
    
      
        
          H
          
            R
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          
            
              
                V
                
                  R
                
              
              (
              s
              )
            
            
              
                V
                
                  i
                  n
                
              
              (
              s
              )
            
          
        
        =
        
          
            R
            
              R
              +
              L
              s
            
          
        
        =
        
          G
          
            R
          
        
        
          e
          
            j
            
              ϕ
              
                R
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={R \over R+Ls}=G_{R}e^{j\phi _{R}}}
  


 极点和零点  两个传输函数都有一个极点位于：

  
    
      
        s
        =
        −
        
          
            R
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle s=-{R \over L}}
  

另外，电感元件在原点处有一个零点。


= 增益和相位 =
通过代入上面的表达式，可以求得两个组件的增益为：

  
    
      
        
          G
          
            L
          
        
        =
        
          |
        
        
          H
          
            L
          
        
        (
        s
        )
        
          |
        
        =
        
          |
          
            
              
                
                  V
                  
                    L
                  
                
                (
                s
                )
              
              
                
                  V
                  
                    i
                    n
                  
                
                (
                s
                )
              
            
          
          |
        
        =
        
          
            
              ω
              L
            
            
              
                R
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  (
                  
                    ω
                    L
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{L}=|H_{L}(s)|=\left|{\frac {V_{L}(s)}{V_{in}(s)}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}
  

且

  
    
      
        
          G
          
            R
          
        
        =
        
          |
        
        
          H
          
            R
          
        
        (
        s
        )
        
          |
        
        =
        
          |
          
            
              
                
                  V
                  
                    R
                  
                
                (
                s
                )
              
              
                
                  V
                  
                    i
                    n
                  
                
                (
                s
                )
              
            
          
          |
        
        =
        
          
            R
            
              
                R
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  (
                  
                    ω
                    L
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{R}=|H_{R}(s)|=\left|{\frac {V_{R}(s)}{V_{in}(s)}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}
  
,
相位为：

  
    
      
        
          ϕ
          
            L
          
        
        =
        ∠
        
          H
          
            L
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          tan
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          (
          
            
              R
              
                ω
                L
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}
  

且

  
    
      
        
          ϕ
          
            R
          
        
        =
        ∠
        
          H
          
            R
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          tan
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  ω
                  L
                
                R
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)}
  
.


= 相量表示 =
通常用相量代替上面的式子来表达输出：

  
    
      
        
          V
          
            L
          
        
        =
        
          G
          
            L
          
        
        
          V
          
            i
            n
          
        
        
          e
          
            j
            
              ϕ
              
                L
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{L}=G_{L}V_{in}e^{j\phi _{L}}}
  

  
    
      
        
          V
          
            R
          
        
        =
        
          G
          
            R
          
        
        
          V
          
            i
            n
          
        
        
          e
          
            j
            
              ϕ
              
                R
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{R}=G_{R}V_{in}e^{j\phi _{R}}}
  
.


= 脉冲响应 =
每一种电压的冲激响应是对应传输函数的反拉普拉斯变换。它代表电路对于包含脉冲或狄拉克δ函数的输入电压的响应。
电感元件电压的响应为：

  
    
      
        
          h
          
            L
          
        
        (
        t
        )
        =
        δ
        (
        t
        )
        −
        
          
            R
            L
          
        
        
          e
          
            −
            t
            R
            
              /
            
            L
          
        
        u
        (
        t
        )
        =
        δ
        (
        t
        )
        −
        
          
            1
            τ
          
        
        
          e
          
            −
            t
            
              /
            
            τ
          
        
        u
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{R \over L}e^{-tR/L}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}
  

这里u(t)是单位阶跃函数且

  
    
      
        τ
        =
        
          
            L
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau ={L \over R}}
  
为时间常数。
类似的，电阻器电压的响应为：

  
    
      
        
          h
          
            R
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            R
            L
          
        
        
          e
          
            −
            t
            R
            
              /
            
            L
          
        
        u
        (
        t
        )
        =
        
          
            1
            τ
          
        
        
          e
          
            −
            t
            
              /
            
            τ
          
        
        u
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle h_{R}(t)={R \over L}e^{-tR/L}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}
  


= 零输入响应 =
RL电路的零输入响应（Zero input response， ZIR）描述了电路在不连接输入信号源的情况下、达到稳定电压和电流时的工作状态。因为它没有外接输入信号，因此得名。
一个RL电路的零输入响应为：

  
    
      
        i
        (
        t
        )
        =
        i
        (
        0
        )
        
          e
          
            −
            (
            R
            
              /
            
            L
            )
            t
          
        
        =
        i
        (
        0
        )
        
          e
          
            −
            t
            
              /
            
            τ
          
        
        
         
      
    
    {\displaystyle i(t)=i(0)e^{-(R/L)t}=i(0)e^{-t/\tau }\!\ }
  
.
其中
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
是时间常数。


并联 除非连接到电流源，RL电路的并联形式很少引起人们的兴趣。这主要是因为输出电压
  
    
      
        
          V
          
            o
            u
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{out}}
  
等于输入电压
  
    
      
        
          V
          
            i
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{in}}
  
，这样，整个电路并未能充当一个电压信号的滤波器。
复阻抗为：

  
    
      
        
          I
          
            R
          
        
        =
        
          
            
              V
              
                i
                n
              
            
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}}
  

且

  
    
      
        
        
        
          I
          
            L
          
        
        =
        
          
            
              V
              
                i
                n
              
            
            
              j
              ω
              L
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              j
              
                V
                
                  i
                  n
                
              
            
            
              ω
              L
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \,\!I_{L}={\frac {V_{in}}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{in}}{\omega L}}}
  
.
这表明电感元件在相位上落后电阻器（以及输入信号）90度。
RL电路的并联形式经常在放大器电路的输出级上，使放大器与负载隔离。由于电容器引入的相移，有些放大器在高频的情况会变得不稳定，容易产生振荡。这会影响电器功能（例如音响的音效品质）和其使用寿命（特别是对晶体管来说），所以应当尽量避免。


参考文献 相关条目 电子滤波器
RC电路
LC电路
RLC电路