在概率论和统计学中，一个概率分布的累积量κn(英語：Cumulant)是指一系列能够提供和矩一样的信息的量。累积量和随机变量的矩密切相关。如果两个随机变量的各阶矩都一样，那么它们的累积量也都一样，反之亦然。
对于随机变量
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
而言，一阶累积量等于期望值
  
    
      
        E
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle E(x)}
  
，二阶累积量等于方差
  
    
      
        V
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle V(x)}
  
，三阶累积量等于三阶中心矩
  
    
      
        S
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle S(x)}
  
，但是四阶以及更高阶的累积量与同阶的中心矩并不相等。在某些理论推导中，使用累积量更加方便。特别是当两个或者更多的随机变量相互独立时，它们的

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶累积量的和等于它们和的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶累积量。另外，服从正态分布的随机变量的三阶及以上的累积量为
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
。


定义 一个随机变量
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶累积量
  
    
      
        
          κ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa _{n}}
  
可以用累积生成函数来定义

  
    
      
        K
        (
        t
        )
        =
        log
        ⁡
        
          E
        
        
          e
          
            t
            X
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          κ
          
            n
          
        
        
          
            
              t
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =:
        g
        (
        t
        )
        .
      
    
    {\displaystyle K(t)=\log \mathbb {E} e^{tX}=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=:g(t).}
  

从上面的观察可知，累积量可以通过对生成函数
  
    
      
        g
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle g(t)}
  
（在0处）进行求导得到。也就是说，累积量是
  
    
      
        g
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle g(t)}
  
的麦克劳林级数的系数。

  
    
      
        
          
            
              
                
                  κ
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                
                  g
                  ′
                
                (
                0
                )
                =
                
                  μ
                  
                    1
                  
                  ′
                
                =
                μ
                ,
              
            
            
              
                
                  κ
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  g
                  ″
                
                (
                0
                )
                =
                
                  μ
                  
                    2
                  
                  ′
                
                −
                
                  
                    
                      μ
                      
                        1
                      
                      ′
                    
                  
                  
                    2
                  
                
                =
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                ,
              
            
            
              
              
                

                
                 
                 
                ⋮
              
            
            
              
                
                  κ
                  
                    n
                  
                
              
              
                
                =
                
                  g
                  
                    (
                    n
                    )
                  
                
                (
                0
                )
                ,
              
            
            
              
              
                

                
                 
                 
                ⋮
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=g'(0)=\mu '_{1}=\mu ,\\\kappa _{2}&=g''(0)=\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}=\sigma ^{2},\\&{}\ \ \vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}
  

如果使用
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
（没有中心化）的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶矩
  
    
      
        
          μ
          
            n
          
          
            ′
          
        
        =
        
          E
        
        (
        
          X
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mu _{n}^{\prime }=\mathbb {E} (X^{n})}
  
和矩生成函数则可以定义：

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          e
          
            t
            X
          
        
        )
        =
        1
        +
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          μ
          
            m
          
          ′
        
        
          
            
              t
              
                m
              
            
            
              m
              !
            
          
        
        =
        
          e
          
            g
            (
            t
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} (e^{tX})=1+\sum _{m=1}^{\infty }\mu '_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}=e^{g(t)}.}
  

使用形式幂级数定义的对数函数：

  
    
      
        
          
            
              
                g
                (
                t
                )
              
              
                
                =
                log
                ⁡
                (
                E
                ⁡
                (
                
                  e
                  
                    t
                    X
                  
                
                )
                )
                =
                −
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    1
                    n
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      1
                      −
                      E
                      ⁡
                      (
                      
                        e
                        
                          t
                          X
                        
                      
                      )
                    
                    )
                  
                  
                    n
                  
                
                =
                −
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    1
                    n
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      −
                      
                        ∑
                        
                          m
                          =
                          1
                        
                        
                          ∞
                        
                      
                      
                        μ
                        
                          m
                        
                        ′
                      
                      
                        
                          
                            t
                            
                              m
                            
                          
                          
                            m
                            !
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    n
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  μ
                  
                    1
                  
                  ′
                
                t
                +
                
                  (
                  
                    
                      μ
                      
                        2
                      
                      ′
                    
                    −
                    
                      
                        
                          μ
                          
                            1
                          
                          ′
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      t
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  (
                  
                    
                      μ
                      
                        3
                      
                      ′
                    
                    −
                    3
                    
                      μ
                      
                        2
                      
                      ′
                    
                    
                      μ
                      
                        1
                      
                      ′
                    
                    +
                    2
                    
                      
                        
                          μ
                          
                            1
                          
                          ′
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      t
                      
                        3
                      
                    
                    
                      3
                      !
                    
                  
                
                +
                ⋯
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=\log(\operatorname {E} (e^{tX}))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left(1-\operatorname {E} (e^{tX})\right)^{n}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left(-\sum _{m=1}^{\infty }\mu '_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)^{n}\\&=\mu '_{1}t+\left(\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\right){\frac {t^{2}}{2!}}+\left(\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\right){\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots .\end{aligned}}}
  

随机变量的累积量和随机变量的矩密切相关。比如说，随机变量X有期望
  
    
      
        
          μ
          =
          
            E
          
          (
          X
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \mu =\mathbb {E} (X)}
  
和方差 
  
    
      
        
          
            σ
            
              2
            
          
          =
          
            E
          
          
            (
            
              
                |
              
              X
              −
              μ
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \sigma ^{2}=\mathbb {E} \left(|X-\mu |^{2}\right)}
  
 ，那么它们也是前两阶的累积量： 
  
    
      
        
          μ
          =
          
            κ
            
              1
            
          
          ,
          
          
            σ
            
              2
            
          
          =
          
            κ
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \mu =\kappa _{1},\,\sigma ^{2}=\kappa _{2}}
  
。
要注意有时候
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶矩会用角括号来表示：
  
    
      
        
          μ
          
            n
          
          ′
        
        =
        E
        ⁡
        (
        
          X
          
            n
          
        
        )
        =
        ⟨
        
          X
          
            n
          
        
        ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} (X^{n})=\langle X^{n}\rangle \,}
  
，累积量则用下标
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
的角括号表示：
  
    
      
        
          κ
          
            n
          
        
        =
        ⟨
        
          X
          
            n
          
        
        
          ⟩
          
            c
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \kappa _{n}=\langle X^{n}\rangle _{c}.\,}
  
。
如果随机变量的矩生成函数不存在，那么可以通过后面对于累积量与矩之间的关系的讨论定义累积量。
有些作者偏向于定义累积生成函数为随机变量的特征函数诱导的自然对数。这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的第二类特征函数。

  
    
      
        h
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          κ
          
            n
          
        
        
          
            
              (
              i
              t
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        log
        ⁡
        (
        E
        ⁡
        (
        
          e
          
            i
            t
            X
          
        
        )
        )
        =
        μ
        i
        t
        −
        
          σ
          
            2
          
        
        
          
            
              t
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        ⋯
        .
        
      
    
    {\displaystyle h(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\log(\operatorname {E} (e^{itX}))=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,}
  


统计数学中的应用 使用累积量的一个优势是它对应的生成函数是加性函数。比如说对两个独立的随机变量
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
和
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
，

  
    
      
        
          
            
              
                
                  g
                  
                    X
                    +
                    Y
                  
                
                (
                t
                )
              
              
                
                =
                log
                ⁡
                (
                E
                ⁡
                (
                
                  e
                  
                    t
                    (
                    X
                    +
                    Y
                    )
                  
                
                )
                )
                =
                log
                ⁡
                (
                E
                ⁡
                (
                
                  e
                  
                    t
                    X
                  
                
                )
                E
                ⁡
                (
                
                  e
                  
                    t
                    Y
                  
                
                )
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                log
                ⁡
                (
                E
                ⁡
                (
                
                  e
                  
                    t
                    X
                  
                
                )
                )
                +
                log
                ⁡
                (
                E
                ⁡
                (
                
                  e
                  
                    t
                    Y
                  
                
                )
                )
                =
                
                  g
                  
                    X
                  
                
                (
                t
                )
                +
                
                  g
                  
                    Y
                  
                
                (
                t
                )
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}g_{X+Y}(t)&=\log(\operatorname {E} (e^{t(X+Y)}))=\log(\operatorname {E} (e^{tX})\operatorname {E} (e^{tY}))\\&=\log(\operatorname {E} (e^{tX}))+\log(\operatorname {E} (e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t).\end{aligned}}}
  

它们的和的累积量是各自的累积量的和。


一些具体概率分布的累积量 常量
  
    
      
        X
        =
        μ
      
    
    {\displaystyle X=\mu }
  
的累积生成函数是 
  
    
      
        K
        (
        t
        )
        =
        μ
        t
      
    
    {\displaystyle K(t)=\mu t}
  
。 一阶累积量是
  
    
      
        
          κ
          
            1
          
        
        =
        
          K
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        μ
      
    
    {\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=\mu }
  
,其他阶的累积量均为0， 
  
    
      
        
          κ
          
            2
          
        
        =
        
          κ
          
            3
          
        
        =
        
          κ
          
            4
          
        
        =
        .
        .
        .
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \kappa _{2}=\kappa _{3}=\kappa _{4}=...=0}
  
。
服从伯努利分布的随机变量的累积生成函数是 
  
    
      
        K
        (
        t
        )
        =
        l
        o
        g
        (
        1
        −
        p
        +
        p
        
          e
          
            t
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle K(t)=log(1-p+pe^{t})}
  
。一阶累积量是
  
    
      
        
          κ
          
            1
          
        
        =
        
          K
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        p
      
    
    {\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=p}
  
，二阶累积量是
  
    
      
        
          κ
          
            2
          
        
        =
        
          K
          ″
        
        (
        0
        )
        =
        p
        (
        1
        −
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=p(1-p)}
  
,累积量满足递推公式

  
    
      
        
          κ
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        p
        (
        1
        −
        p
        )
        
          
            
              d
              
                κ
                
                  n
                
              
            
            
              d
              p
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}
  

服从几何分布的随机变量的累积生成函数是
  
    
      
        K
        (
        t
        )
        =
        l
        o
        g
        (
        
          
            p
            
              1
              +
              (
              p
              −
              1
              )
              
                e
                
                  t
                
              
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle K(t)=log({\frac {p}{1+(p-1)e^{t}}})}
  
。 一阶累积量是
  
    
      
        
          κ
          
            1
          
        
        =
        
          K
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        
          p
          
            −
            1
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=p^{-1}-1}
  
，二阶累积量是
  
    
      
        
          κ
          
            2
          
        
        =
        
          K
          ″
        
        (
        0
        )
        =
        
          κ
          
            1
          
        
        
          p
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}p^{-1}}
  
。
服从泊松分布的随机变量的累积生成函数是
  
    
      
        K
        (
        t
        )
        =
        μ
        
          
            e
            
              t
            
          
          −
          1
        
      
    
    {\displaystyle K(t)=\mu {e^{t}-1}}
  
。所有的累积量均等于参数
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
: 
  
    
      
        
          κ
          
            1
          
        
        =
        
          κ
          
            2
          
        
        =
        
          κ
          
            3
          
        
        =
        .
        .
        .
        =
        
          κ
          
            n
          
        
        =
        μ
      
    
    {\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=\kappa _{3}=...=\kappa _{n}=\mu }
  
。
服从二项分布的随机变量的累积生成函数是
  
    
      
        K
        (
        t
        )
        =
        n
        l
        o
        g
        (
        1
        −
        p
        +
        p
        
          e
          
            t
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle K(t)=nlog(1-p+pe^{t})}
  
。 一阶累积量是
  
    
      
        
          κ
          
            1
          
        
        =
        
          K
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        n
        p
      
    
    {\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=np}
  
，二阶累积量是
  
    
      
        
          κ
          
            2
          
        
        =
        
          K
          ″
        
        (
        0
        )
        =
        
          κ
          
            1
          
        
        (
        1
        −
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}(1-p)}
  
。
服从负二项分布的随机变量的累积生成函数的导数是
  
    
      
        
          K
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            n
            
              
                
                  1
                  
                    (
                    1
                    −
                    p
                    )
                    
                      e
                      
                        t
                      
                    
                  
                
              
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle K'(t)={\frac {n}{{\frac {1}{(1-p)e^{t}}}-1}}}
  
。一阶累积量是
  
    
      
        
          κ
          
            1
          
        
        =
        
          K
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        n
        (
        
          
            1
            p
          
        
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=n({\frac {1}{p}}-1)}
  
，二阶累积量是
  
    
      
        
          κ
          
            2
          
        
        =
        
          K
          ″
        
        (
        0
        )
        =
        
          κ
          
            1
          
        
        
          p
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}p^{-1}}
  
。


相關條目 累積量生成函數


参考来源 外部链接 埃里克·韦斯坦因. Cumulant. MathWorld. 
（英文）累积量 （页面存档备份，存于互联网档案馆）：一些数学术语的早期使用