複底数进制是指底數為虛數或複數的进位制系統。
其中，底數為虛數的进位制系統最早由高德纳於1955年提出；底數為複數的进位制系統於1964年由所羅門·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）和1965年由沃爾特·F·彭尼（Walter F. Penney）提出。


概述 令
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
為整环
  
    
      
        ⊂
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \subset \mathbb {C} }
  
和
  
    
      
        
          |
        
        ⋅
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\cdot |}
  
為（阿基米德）绝对赋值。
數
  
    
      
        X
        ∈
        D
      
    
    {\displaystyle X\in D}
  
在进位制系統中可以表示為：

  
    
      
        X
        =
        ±
        
          ∑
          
            ν
          
          

          
        
        
          x
          
            ν
          
        
        
          ρ
          
            ν
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle X=\pm \sum _{\nu }^{}x_{\nu }\rho ^{\nu },}
  

其中

其势
  
    
      
        R
        :=
        
          |
        
        Z
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle R:=|Z|}
  
稱為分解程度（level of decomposition）
进位制系統或編碼系統是一對二元組：

  
    
      
        
          ⟨
          
            ρ
            ,
            Z
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle \rho ,Z\right\rangle }
  

包括了其底數
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
和位數數碼集合
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
。通常會將有
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
個位數數碼的位數數碼集合表示為：

  
    
      
        
          Z
          
            R
          
        
        :=
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        
          R
          −
          1
        
        }
        .
      
    
    {\displaystyle Z_{R}:=\{0,1,2,\dotsc ,{R-1}\}.}
  

理想的进位制系統或編碼系統具有以下特性：

任何在环
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
內的數如整數
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
、高斯整數
  
    
      
        
          Z
        
        [
        
          i
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}
  
或环
  
    
      
        
          Z
        
        
          [
          
            
              
                
                  −
                  1
                  +
                  
                    i
                  
                  
                    
                      7
                    
                  
                
                2
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}\right]}
  
的整數可以表達為為唯一的編碼，並可能帶有正負號±。
任何在分式環
  
    
      
        K
        :=
        Quot
        ⁡
        (
        D
        )
      
    
    {\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)}
  
內的數，或者再取完備化（
  
    
      
        
          |
        
        ⋅
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\cdot |}
  
度量的意義下）所得的
  
    
      
        K
        :=
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle K:=\mathbb {R} }
  
或
  
    
      
        K
        :=
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle K:=\mathbb {C} }
  
內的數，皆可以表示為在
  
    
      
        
          |
        
        ⋅
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\cdot |}
  
下，於
  
    
      
        ν
        →
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle \nu \to -\infty }
  
收斂的無窮級數
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，且不只一種表示方式之數的集合测度為0。後者要求集合
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
最小，即對於實數
  
    
      
        R
        =
        
          |
        
        ρ
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle R=|\rho |}
  
、對於複數
  
    
      
        R
        =
        
          |
        
        ρ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R=|\rho |^{2}}
  
。


實數 在這種表示法中，一般常見的標準十进制表示為：

  
    
      
        
          ⟨
          
            10
            ,
            
              Z
              
                10
              
            
          
          ⟩
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\langle 10,Z_{10}\right\rangle ,}
  

標準二进制系統表示為：

  
    
      
        
          ⟨
          
            2
            ,
            
              Z
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\langle 2,Z_{2}\right\rangle ,}
  

負二进制系統表示為：

  
    
      
        
          ⟨
          
            −
            2
            ,
            
              Z
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\langle -2,Z_{2}\right\rangle ,}
  

平衡三進位系統表示為：

  
    
      
        
          ⟨
          
            3
            ,
            {
            −
            1
            ,
            0
            ,
            1
            }
          
          ⟩
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left\langle 3,\{-1,0,1\}\right\rangle .}
  

上述這幾個进位制系統在
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
和
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
中都具有上述的特性。後兩個不需要使用正負號。


複數 較廣為人知的複底数进位制系統包括下列幾個进位制系統（其中
  
    
      
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {i} }
  
表示虛數單位）：

  
    
      
        
          ⟨
          
            
              
                R
              
            
            ,
            
              Z
              
                R
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle }
  
，例如
  
    
      
        
          ⟨
          
            ±
            
              i
            
            
              
                2
              
            
            ,
            
              Z
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }
  
 （
  
    
      
        
          i
        
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {i} {\sqrt {2}}}
  
进制）和

  
    
      
        
          ⟨
          
            ±
            2
            
              i
            
            ,
            
              Z
              
                4
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle \pm 2\mathrm {i} ,Z_{4}\right\rangle }
  
，即2i进制，由高德纳於1995年提出。

  
    
      
        
          ⟨
          
            
              
                2
              
            
            
              e
              
                ±
                
                  
                    
                      π
                      2
                    
                  
                
                
                  i
                
              
            
            =
            ±
            
              i
            
            
              
                2
              
            
            ,
            
              Z
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }
  
和

  
    
      
        
          ⟨
          
            
              
                2
              
            
            
              e
              
                ±
                
                  
                    
                      
                        3
                        π
                      
                      4
                    
                  
                
                
                  i
                
              
            
            =
            −
            1
            ±
            
              i
            
            ,
            
              Z
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {3\pi }{4}}\mathrm {i} }=-1\pm \mathrm {i} ,Z_{2}\right\rangle }
  
（參見下方−1 ± i进制一節）

  
    
      
        
          ⟨
          
            
              
                R
              
            
            
              e
              
                
                  i
                
                φ
              
            
            ,
            
              Z
              
                R
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}}e^{\mathrm {i} \varphi },Z_{R}\right\rangle }
  
，其中
  
    
      
        φ
        =
        ±
        arccos
        ⁡
        
          (
          −
          β
          
            /
          
          (
          2
          
            
              R
            
          
          )
          )
        
      
    
    {\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /(2{\sqrt {R}}))}}
  
、 
  
    
      
        β
        <
        min
        (
        R
        ,
        2
        
          
            R
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \beta <\min(R,2{\sqrt {R}})}
  
且
  
    
      
        
          β
          

          
          

          
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{}^{}}
  
是一個正整數，在給定的
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
可以取多個值。 比如
  
    
      
        β
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \beta =1}
  
且
  
    
      
        R
        =
        2
      
    
    {\displaystyle R=2}
  
是指

  
    
      
        
          ⟨
          
            
              
                
                  
                    −
                    1
                    +
                    
                      i
                    
                    
                      
                        7
                      
                    
                  
                  2
                
              
            
            ,
            
              Z
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}},Z_{2}\right\rangle }
  
进位制系統。（
  
    
      
        
          
            
              
                −
                1
                +
                
                  i
                
                
                  
                    7
                  
                
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}}
  
进制）

  
    
      
        
          ⟨
          
            2
            
              e
              
                
                  
                    
                      π
                      3
                    
                  
                
                
                  i
                
              
            
            ,
            
              A
              
                4
              
            
            :=
            
              {
              
                0
                ,
                1
                ,
                
                  e
                  
                    
                      
                        
                          
                            2
                            π
                          
                          3
                        
                      
                    
                    
                      i
                    
                  
                
                ,
                
                  e
                  
                    −
                    
                      
                        
                          
                            2
                            π
                          
                          3
                        
                      
                    
                    
                      i
                    
                  
                
              
              }
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle 2e^{{\tfrac {\pi }{3}}\mathrm {i} },A_{4}:=\left\{0,1,e^{{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} },e^{-{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }\right\}\right\rangle }
  
。

  
    
      
        
          ⟨
          
            −
            R
            ,
            
              A
              
                R
              
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle -R,A_{R}^{2}\right\rangle }
  
，其中，集合
  
    
      
        
          A
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{R}^{2}}
  
由複數
  
    
      
        
          r
          
            ν
          
        
        =
        
          α
          
            ν
          
          
            1
          
        
        +
        
          α
          
            ν
          
          
            2
          
        
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle r_{\nu }=\alpha _{\nu }^{1}+\alpha _{\nu }^{2}\mathrm {i} }
  
組成，且數
  
    
      
        
          α
          
            ν
          
          

          
        
        ∈
        
          Z
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{\nu }^{}\in Z_{R}}
  
，例如

  
    
      
        
          ⟨
          
            −
            2
            ,
            {
            0
            ,
            1
            ,
            
              i
            
            ,
            1
            +
            
              i
            
            }
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle -2,\{0,1,\mathrm {i} ,1+\mathrm {i} \}\right\rangle }
  
。

  
    
      
        
          ⟨
          
            ρ
            =
            
              ρ
              
                2
              
            
            ,
            
              Z
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle \rho =\rho _{2},Z_{2}\right\rangle }
  
，其中
  
    
      
        
          ρ
          
            2
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  (
                  −
                  2
                  
                    )
                    
                      
                        
                          ν
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  ν
                  
                     even,
                  
                
              
              
                
                  (
                  −
                  2
                  
                    )
                    
                      
                        
                          
                            ν
                            −
                            1
                          
                          2
                        
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  ν
                  
                     odd.
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{\tfrac {\nu }{2}}&{\text{if }}\nu {\text{ even,}}\\(-2)^{\tfrac {\nu -1}{2}}\mathrm {i} &{\text{if }}\nu {\text{ odd.}}\end{cases}}}
  
 


二元系統 複數的二元系統是僅使用兩個數碼——0和1的进位制系統，即位數數碼集合為
  
    
      
        
          Z
          
            2
          
        
        =
        {
        0
        ,
        1
        }
      
    
    {\displaystyle Z_{2}=\{0,1\}}
  
的进位制系統，這類記數系統具有較實際的用途。
下表列出了一些
  
    
      
        ⟨
        ρ
        ,
        
          Z
          
            2
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \rho ,Z_{2}\rangle }
  
的进位制系統（皆為上述进位制系統的特例），並用其表達−1, 2, −2, i。
同時也列出標準的二进制（下表的第一列）和「負二进制」（下表的第二列）供比較。這兩個进位制無法真正地表達出虛數單位i。

與所有具有阿基米德绝对赋值的进位制系統一樣，有些數字具有多種表示形式。此類數字的範例顯示在表格的右欄中。這些數都是循環小數，其循環節以上標水平線標記。


进制轉換 若要將一高斯整數
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
轉換為一個以高斯整數
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
為底數的进位制
  
    
      
        
          ⟨
          
            b
            ,
            
              Z
              
                R
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle b,Z_{R}\right\rangle }
  
可以將數分成一個可被底數整除的高斯整數和一個位於位數數碼集合內的數，並將可被底數整除的高斯整數部分除以底數當作商，位於位數數碼集合內的數當作餘數，並用商數繼續計算，並重複以上步驟，直到商為零，一系列的餘數部分即為轉換完成的結果。

  
    
      
        
          z
          
            
          
        
        =
        
          q
          
            1
          
        
        b
        +
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{\,}=q_{1}b+a_{0}}
  

  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
        =
        
          q
          
            2
          
        
        b
        +
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1}=q_{2}b+a_{1}}
  

  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
        =
        
          q
          
            3
          
        
        b
        +
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{2}=q_{3}b+a_{2}}
  

  
    
      
        
        
        ⋮
      
    
    {\displaystyle \quad \quad \vdots }
  

  
    
      
        
          q
          
            t
          
        
        =
        
          0
          
            
          
        
        b
        +
        
          a
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{t}=0_{\,}b+a_{t}}
  

其中，
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1}}
  
、
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{2}}
  
、
  
    
      
        
          q
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{3}}
  
……
  
    
      
        
          q
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{t}}
  
為高斯整數，
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  
、
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
  
、
  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{3}}
  
……
  
    
      
        
          a
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{t}}
  
為位於位數數碼集合內的數，
則
  
    
      
        z
        =
        
          
            (
            
              
                a
                
                  t
                
              
              ⋯
              
                a
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  1
                
              
              
                a
                
                  0
                
              
            
            )
          
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle z=\left(a_{t}\cdots a_{2}a_{1}a_{0}\right)_{b}}
  
。
以5+12i轉換成-2+i进制（
  
    
      
        
          ⟨
          
            −
            2
            +
            
              i
            
            ,
            {
            0
            ,
            1
            ,
            2
            ,
            3
            ,
            4
            }
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle -2+\mathrm {i} ,\{0,1,2,3,4\}\right\rangle }
  
）為例：

故5+12i(10)轉換成-2+i进制為2324(−2+i)。


−1 ± i进制 較常被討論的複底数进制是2i进制和−1 ± i进制（−1 + i进制和−1 − i进制），因為其皆可不使用正負號有限地表達所有高斯整數。
−1 ± i进制以0和1为基本數碼，其於1964年由所羅門·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）和1965年由沃爾特·F·彭尼（Walter F. Penney）提出。


= 與twindragon關聯 =
整數的捨入區域——即在這系統表達之下，共用整數部分的複數（非整數）集合
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
——在複平面中具有分形：twindragon。根據定義，集合
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的所有點可以計為
  
    
      
        
          
            ∑
            
              k
              ≥
              1
            
          
          
            x
            
              k
            
          
          (
          
            i
          
          −
          1
          
            )
            
              −
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}}
  
，其中
  
    
      
        
          x
          
            k
          
        
        ∈
        
          Z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{k}\in Z_{2}}
  
。
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
可以分解成16塊
  
    
      
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        S
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}S}
  
。注意到，若
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
逆時針旋轉135°，則會得到兩個與
  
    
      
        
          
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        S
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S}
  
相等的相鄰集合，因為
  
    
      
        (
        
          i
        
        −
        1
        )
        S
        =
        S
        ∪
        (
        S
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {i} -1)S=S\cup (S+1)}
  
。中心的矩形 R 在以下點逆時針地與坐標軸相交：
  
    
      
        
          
            
              2
              15
            
          
        
        ←
        0.
        
          
            00001100
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {2}{15}}\gets 0.{\overline {00001100}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              1
              15
            
          
        
        
          i
        
        ←
        0.
        
          
            00000011
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00000011}}}
  
、
  
    
      
        −
        
          
            
              8
              15
            
          
        
        ←
        0.
        
          
            11000000
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\tfrac {8}{15}}\gets 0.{\overline {11000000}}}
  
和
  
    
      
        −
        
          
            
              4
              15
            
          
        
        
          i
        
        ←
        0.
        
          
            00110000
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\tfrac {4}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00110000}}}
  
。因此，S 包含所有絕對值≤ 1/15的複數。
由此，複矩形

  
    
      
        [
        −
        
          
            
              8
              15
            
          
        
        ,
        
          
            
              2
              15
            
          
        
        ]
        ×
        [
        −
        
          
            
              4
              15
            
          
        
        ,
        
          
            
              1
              15
            
          
        
        ]
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle [-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i} }
  

透過单射

  
    
      
        
          
            ∑
            
              k
              ≥
              1
            
          
          
            x
            
              k
            
          
          (
          
            i
          
          −
          1
          
            )
            
              −
              k
            
          
          ↦
          
            ∑
            
              k
              ≥
              1
            
          
          
            x
            
              k
            
          
          
            b
            
              −
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\mapsto \sum _{k\geq 1}x_{k}b^{-k}}
  

映入實數區間
  
    
      
        [
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle [0,1)}
  
，其中
  
    
      
        b
        >
        2
      
    
    {\displaystyle b>2}
  
。
此外，還有兩個映射

  
    
      
        
          
            
              
                
                  Z
                  
                    2
                  
                  
                    
                      N
                    
                  
                
              
              
                →
              
              
                S
              
            
            
              
                
                  
                    (
                    
                      x
                      
                        k
                      
                    
                    )
                  
                  
                    k
                    ∈
                    
                      N
                    
                  
                
              
              
                ↦
              
              
                
                  ∑
                  
                    k
                    ≥
                    1
                  
                
                
                  x
                  
                    k
                  
                
                (
                
                  i
                
                −
                1
                
                  )
                  
                    −
                    k
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &S\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\end{array}}}
  

和

  
    
      
        
          
            
              
                
                  Z
                  
                    2
                  
                  
                    
                      N
                    
                  
                
              
              
                →
              
              
                [
                0
                ,
                1
                )
              
            
            
              
                
                  
                    (
                    
                      x
                      
                        k
                      
                    
                    )
                  
                  
                    k
                    ∈
                    
                      N
                    
                  
                
              
              
                ↦
              
              
                
                  ∑
                  
                    k
                    ≥
                    1
                  
                
                
                  x
                  
                    k
                  
                
                
                  2
                  
                    −
                    k
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &[0,1)\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}2^{-k}\end{array}}}
  

兩者皆满射，也就是產生了一個滿射（空間填充）的映射

  
    
      
        [
        0
        ,
        1
        )
        
        →
        
        S
      
    
    {\displaystyle [0,1)\qquad \to \qquad S}
  

然而，其並不連續，因此不是空間填充曲線。但是一個類似的曲線——戴維斯-高德納龍（Davis-Knuth dragon），是連續的空間填充曲線。


註釋 參考文獻