在物理學裏，無限深方形阱（infinite square potential），又稱為無限深位勢阱（infinite potential well），是一個阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大的位勢阱。思考一個或多個粒子，永遠地束縛於無限深位勢阱內，無法逃出。關於這些粒子的量子行為的問題，稱為無限深方形阱問題，又稱為無限深位勢阱問題，盒中粒子問題（particle in a box problem），是一個理論問題。假若，阱內只有一個粒子，則稱為單粒子無限深方形阱問題。假若，阱內有兩個粒子，則稱為雙粒子無限深方形阱問題。假若，這兩個粒子是完全相同的粒子，則問題又複雜許多，稱為雙全同粒子無限深方形阱問題。在這裏，只討論單粒子無限深方形阱問題。
在經典力學裏，應用牛頓運動定律，可以非常容易地求得無限深方形阱問題的解答。假設粒子與阱壁的碰撞是彈性碰撞，粒子的動能保持不變。則這粒子在方形阱的兩阱壁之間來回移動，碰撞來，碰撞去，而速率始終保持不變。在任意時間，粒子在阱內各個位置的機率是均勻的。
在量子力學裏，這問題突然變得很有意思。許多基要的概念，在這問題的解析中，呈現了出來。由於問題的理想化與簡易化，應用薛丁格方程，可以很容易地，雖然並不是很直覺地，求得解答。滿足這薛丁格方程的能量本徵函數，是表達粒子量子態的波函數。每一個能量本徵函數的能量，只能是離散能級譜中的一個能級。很令人驚訝的是，離散能級譜中最小的能級不是 0 ，而是一個有限值，稱為零點能量！這系統的最小能級量子態的能級不是 0 。
更加地，假若測量粒子的位置，則會發現粒子在阱內各個位置的機率大不相同。在有些位置，找到粒子的機率是 0 ，絕對找不到粒子。這些結果與經典力學的答案迥然不同。可是，這些結果所根據的原理，早已在許多精心設計的實驗中，廣泛地證明是正確無誤的。


簡介 在量子力學裏，無限深方形阱問題是一個簡單化的，理想化的問題。無限深方形阱是一個有限尺寸的位勢阱，阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。在阱內，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移動於阱內。可是，阱壁是無限的高，粒子完全地束縛於阱內。為了刪繁就簡，先從一維問題開始，研討粒子只移動於一維空間的問題。之後，可推廣至二維與三維空間。
這問題的薛丁格方程解答，明確地呈現出粒子的某些量子行為。這些量子行為與實驗的結果相符合；可是，與經典力學的理論預測，有很大的衝突。特別令人注目地是，這量子行為是自然地從邊界條件產生的，而不是人為勉強加添造成的。這解答乾淨俐落地展示出，任何類似波的物理系統，自然地會產生量子行為；與平常的想法恰恰相反，量子行為不是像變魔術一般變出來的。
無限深方形阱問題的粒子的量子行為包括：

能量量子化：　表達粒子量子態的能量本徵函數，其伴隨的能量不是任意值，而只能是離散能級譜中的一個能級。
零點能量：　粒子最小的允許能級，稱為零點能量，不是 0 。
波節點： 恰恰與經典力學相反，薛丁格方程預測會有波節的存在。這意味著在阱內某些地方，找到粒子的概率是零。
不論這問題有多麼地簡單，由於能夠完全地解析其薛丁格方程，這問題可以導致對量子力學有更深刻的理解。實際上，這問題也非常的重要。無限深方形阱問題可以用來模擬許多真實的物理系統。例如，一個導電電子在一根直的，極細的奈米金屬絲內的量子行為。更詳細內容，請參閱條目奈米線。


一維阱 一個粒子束縛於一維無限深方形阱內，阱寬為 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 。阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 方向）。如圖示，一維無限深方形阱的本徵函數 
  
    
      
        
          ψ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{n}}
  
 與本徵值 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}}
  
 分別為

  
    
      
        
          ψ
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              2
              L
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  n
                  π
                  x
                
                L
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}}
  
 ，

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                n
                
                  2
                
              
              
                h
                
                  2
                
              
            
            
              8
              m
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 是正值的整數，
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 是普朗克常數，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 是粒子質量。


= 導引 =
一維不含時薛丁格方程可以表達為

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              ψ
              (
              x
              )
            
            
              
                d
              
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        V
        (
        x
        )
        ψ
        (
        x
        )
        =
        E
        ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}
  
 ；
  
    
      
        
      
    
    {\displaystyle \quad }
  
(1)
其中，
  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x)}
  
 是複值的、不含時間的波函數，
  
    
      
        V
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle V(x)}
  
 是跟位置有關的位勢，
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 是正值的能量。
在阱內，位勢 
  
    
      
        V
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle V(x)=0}
  
 。一維不含時薛丁格方程約化為

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              ψ
              (
              x
              )
            
            
              
                d
              
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        E
        ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=E\psi (x)}
  
 。
  
    
      
        
      
    
    {\displaystyle \quad }
  
(2)
這是一個已經經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x)}
  
 與本徵值 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 是

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        A
        sin
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        +
        B
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)}
  
 ，
  
    
      
        
      
    
    {\displaystyle \quad }
  
(3a)

  
    
      
        E
        =
        
          
            
              
                ℏ
                
                  2
                
              
              
                k
                
                  2
                
              
            
            
              2
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}
  
 ；
  
    
      
        
      
    
    {\displaystyle \quad }
  
(3b)
其中，
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 與 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 是常數，可以是複值，
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 是實值的波數（因為 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 是正值的，所以，
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 必須是實數。）。
為了求得一般解 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x)}
  
 的常數 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ， 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 ，與波數 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 的值，必須具體表明這問題的邊界條件。由於粒子趨向於位勢低的地區，位勢越高，找到粒子的機率 
  
    
      
        
          
            |
            
              ψ
              (
              x
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|\psi (x)\right|^{2}}
  
 越小。在 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
 ， 
  
    
      
        x
        =
        L
      
    
    {\displaystyle x=L}
  
 兩個阱壁位置，位勢無限的高，找到粒子的機率是微乎其微：
  
    
      
        
          
            |
            
              ψ
              (
              x
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left|\psi (x)\right|^{2}=0}
  
 。所以，邊界條件是

  
    
      
        ψ
        (
        0
        )
        =
        ψ
        (
        L
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \psi (0)=\psi (L)=0}
  
 。(4)
代入方程 (3a) 。在 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
 ，可以得到

  
    
      
        ψ
        (
        0
        )
        =
        B
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \psi (0)=B=0}
  
 。(5)
在 
  
    
      
        x
        =
        L
      
    
    {\displaystyle x=L}
  
 ，可以得到

  
    
      
        ψ
        (
        L
        )
        =
        A
        sin
        ⁡
        (
        k
        L
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \psi (L)=A\sin(kL)=0}
  
 。(6)
方程 (6) 的一個簡易解是 
  
    
      
        A
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A=0}
  
 。可是，這樣，波函數是 
  
    
      
        ψ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \psi =0}
  
 。這意味著一個不可能的物理答案：粒子不在阱內！所以，不能接受這簡易解。設定 
  
    
      
        A
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A\neq 0}
  
 ，則 
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        k
        L
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sin(kL)=0}
  
 。那麼，必須要求

  
    
      
        k
        =
        
          
            
              n
              π
            
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}}
  
 ;(7)
其中，整數 
  
    
      
        n
        >
        0
      
    
    {\displaystyle n>0}
  
 。
注意到 
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n=0}
  
 狀況必須被排除，因為，不能容許波函數是 
  
    
      
        ψ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \psi =0}
  
 的物理答案：粒子不在阱內！
為了求得 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 值，波函數需要歸一化，一個粒子必須存在於整個一維空間的某地方：

  
    
      
        1
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            |
            
              ψ
              (
              x
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            |
            A
            |
          
          
            2
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            L
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            |
            A
            |
          
          
            2
          
        
        
          
            L
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }\left|\psi (x)\right|^{2}\,\mathrm {d} x=\left|A\right|^{2}\int _{0}^{L}\sin ^{2}(kx)\,\mathrm {d} x=\left|A\right|^{2}{\frac {L}{2}}}
  
 。
常數 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的值為

  
    
      
        
          |
          A
          |
        
        =
        
          
            
              2
              L
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}}}
  
 。(8)
常數 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 可以是任何複數，只要絕對值等於
  
    
      
        
          
            
              2
              L
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{L}}}}
  
 ；可是，這些不同值的 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 都對應於同樣的物理狀態。所以，為了方便計算，選擇 
  
    
      
        A
        =
        
          
            
              2
              L
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\sqrt {\frac {2}{L}}}}
  
 。

最後，將方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一維無限深方形阱問題的能量本徵方程與能量本徵值（能級）是

  
    
      
        
          ψ
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              2
              L
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                n
                π
                x
              
              L
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}
  
 ，

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                n
                
                  2
                
              
              
                h
                
                  2
                
              
            
            
              8
              m
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}
  
 。
如同前面所述，此問題只容許量子化的能級。由於 
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n\neq 0}
  
 ，最低的能級，稱為零點能量，大於 0 。這答案可以用不確定原理解釋。因為粒子束縛於有限的區域，位置變異數有上界。所以，粒子的動量的變異數大於 0 ，粒子必須擁有能量。這能量隨著阱寬的減小而增加。
很重要的一點是，雖然表達粒子量子態的能量本徵函數，其能量只能是離散能級譜中的一個能級。這並不能防止粒子擁有任意的能量，只要這能量大於零點能量。根據態疊加原理，粒子的量子態，可以是幾個能量本徵函數的疊加。當測量粒子的能量時，測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。由於測量會造成波函數塌縮，不能對同一個粒子做多次的測量，而指望得到有意義的答案。必須假設準備了許多同樣的系統。對每一個系統內的粒子，做同樣的測量。雖然，每一次的測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。所有答案的的平均值，是粒子的能量期望值。


= 啟發導引 =
能量本徵值的公式可以啟發地被推導出來。試想，兩個阱壁必定是波函數的波節。這意味著，阱寬必須剛好能夠容納半個波長的整數倍：

  
    
      
        n
        
          
            λ
            2
          
        
        =
        L
      
    
    {\displaystyle n{\frac {\lambda }{2}}=L}
  
 ；
其中，
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 是波長，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 是正值的整數。
應用德布羅意假說，粒子的動量 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 是

  
    
      
        p
        =
        
          
            h
            λ
          
        
        =
        
          
            h
            
              2
              L
            
          
        
        n
      
    
    {\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {h}{2L}}n}
  
 。
代入聯繫能量與動量的經典公式，則可以得到系統的能量本徵值。

  
    
      
        E
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        =
        
          
            
              
                n
                
                  2
                
              
              
                h
                
                  2
                
              
            
            
              8
              m
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}
  
 。


二維阱 一個粒子束縛於二維無限深方形阱內，阱寬在 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 與 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 方向，分別為 
  
    
      
        
          L
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{x}}
  
  ，
  
    
      
        
          L
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{y}}
  
 。阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 與 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 方向）。二維無限深方形阱的本徵函數 
  
    
      
        
          ψ
          
            
              n
              
                x
              
            
            ,
            
              n
              
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}}
  
 與本徵值 
  
    
      
        
          E
          
            
              n
              
                x
              
            
            ,
            
              n
              
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}}
  
 分別為

  
    
      
        
          ψ
          
            
              n
              
                x
              
            
            ,
            
              n
              
                y
              
            
          
        
        =
        
          
            
              4
              
                
                  L
                  
                    x
                  
                
                
                  L
                  
                    y
                  
                
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  
                    x
                  
                
                π
                x
              
              
                L
                
                  x
                
              
            
          
          )
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  
                    y
                  
                
                π
                y
              
              
                L
                
                  y
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}={\sqrt {\frac {4}{L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)}
  

  
    
      
        
          E
          
            
              n
              
                x
              
            
            ,
            
              n
              
                y
              
            
          
        
        =
        
          
            
              h
              
                2
              
            
            
              8
              m
            
          
        
        
          [
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      n
                      
                        x
                      
                    
                    
                      L
                      
                        x
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  
                    
                      n
                      
                        y
                      
                    
                    
                      L
                      
                        y
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {h^{2}}{8m}}\left[\left({\frac {n_{x}}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{y}}{L_{y}}}\right)^{2}\right]}
  

其中，
  
    
      
        
          n
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{x}}
  
 與 
  
    
      
        
          n
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{y}}
  
 是正值的整數。


= 導引 =
在這二維的問題裏，粒子束縛於一個二維位勢阱內，在阱內，二維的解答方程與方程 (2) 類似，是一個二階偏微分方程：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  ψ
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  ψ
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        E
        ψ
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right)=E\psi }
  
。
應用分離變數法 。首先，假設 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
         
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x,\ y)}
  
 是兩個不相關的函數 
  
    
      
        X
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle X(x)}
  
 與 
  
    
      
        Y
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle Y(y)}
  
 的乘積，
  
    
      
        X
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle X(x)}
  
 只含有變數 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 ，
  
    
      
        Y
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle Y(y)}
  
 只含有變數 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 ：

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        X
        (
        x
        )
        Y
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x,y)=X(x)Y(y)}
  
 。
將 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
         
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x,\ y)}
  
 的假設方程代入二維方程，則可得到

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          (
          
            Y
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  X
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            X
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  Y
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        E
        X
        Y
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(Y{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+X{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}\right)=EXY}
  
 。
將這方程兩邊都除以 
  
    
      
        X
        Y
      
    
    {\displaystyle XY}
  
 ，則可得到

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  X
                  ″
                
                X
              
            
            +
            
              
                
                  Y
                  ″
                
                Y
              
            
          
          )
        
        =
        E
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {X''}{X}}+{\frac {Y''}{Y}}\right)=E}
  
 。
由於方程左邊圓括號內的兩個項目 
  
    
      
        
          
            
              X
              ″
            
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {X''}{X}}}
  
 、
  
    
      
        
          
            
              Y
              ″
            
            Y
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {Y''}{Y}}}
  
 分別只跟 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 、
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 有關，兩個項目分別都必須等於常數：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              X
              ″
            
            X
          
        
        =
        
          E
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {X''}{X}}=E_{x}}
  
 ，

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              Y
              ″
            
            Y
          
        
        =
        
          E
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {Y''}{Y}}=E_{y}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          E
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{x}}
  
 與 
  
    
      
        
          E
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{y}}
  
 都是常數，
  
    
      
        
          E
          
            x
          
        
        +
        
          E
          
            y
          
        
        =
        E
      
    
    {\displaystyle E_{x}+E_{y}=E}
  
 。
這樣，可以得到兩個約化的一維薛丁格方程：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              X
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          E
          
            x
          
        
        X
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}=E_{x}X}
  
 ，

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              Y
            
            
              d
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          E
          
            y
          
        
        Y
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}=E_{y}Y}
  
 。
前面，已經解析了同樣形式的一維薛丁格方程（方程 (2) ）。將那裡的答案移接到這裡，

  
    
      
        
          X
          
            
              n
              
                x
              
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                L
                
                  x
                
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  
                    x
                  
                
                π
                x
              
              
                L
                
                  x
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle X_{n_{x}}={\sqrt {\frac {2}{L_{x}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)}
  
 ，

  
    
      
        
          Y
          
            
              n
              
                y
              
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                L
                
                  y
                
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  
                    y
                  
                
                π
                y
              
              
                L
                
                  y
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle Y_{n_{y}}={\sqrt {\frac {2}{L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)}
  
 ；
其中，整數 
  
    
      
        
          n
          
            x
          
        
        =
        1
        ,
         
        2
        ,
         
        3
        ,
         
        …
      
    
    {\displaystyle n_{x}=1,\ 2,\ 3,\ \dots }
  
 ，
  
    
      
        
          n
          
            y
          
        
        =
        1
        ,
         
        2
        ,
         
        3
        ,
         
        …
      
    
    {\displaystyle n_{y}=1,\ 2,\ 3,\ \dots }
  
 。
將兩個方程合併，可以得到解答：

  
    
      
        
          ψ
          
            
              n
              
                x
              
            
            ,
            
              n
              
                y
              
            
          
        
        =
        
          
            
              4
              
                
                  L
                  
                    x
                  
                
                
                  L
                  
                    y
                  
                
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  
                    x
                  
                
                π
                x
              
              
                L
                
                  x
                
              
            
          
          )
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  
                    y
                  
                
                π
                y
              
              
                L
                
                  y
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}={\sqrt {\frac {4}{L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)}
  
 ，

  
    
      
        
          E
          
            
              n
              
                x
              
            
            ,
            
              n
              
                y
              
            
          
        
        =
        
          
            
              h
              
                2
              
            
            
              8
              m
            
          
        
        
          [
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      n
                      
                        x
                      
                    
                    
                      L
                      
                        x
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  
                    
                      n
                      
                        y
                      
                    
                    
                      L
                      
                        y
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {h^{2}}{8m}}\left[\left({\frac {n_{x}}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{y}}{L_{y}}}\right)^{2}\right]}
  
 。


三維阱 同樣地，應用分離變數法於三維阱問題，可以得到能量本徵函數與能量本徵值：

  
    
      
        
          ψ
          
            
              n
              
                x
              
            
            ,
            
              n
              
                y
              
            
            ,
            
              n
              
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            
              8
              
                
                  L
                  
                    x
                  
                
                
                  L
                  
                    y
                  
                
                
                  L
                  
                    z
                  
                
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  
                    x
                  
                
                π
                x
              
              
                L
                
                  x
                
              
            
          
          )
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  
                    y
                  
                
                π
                y
              
              
                L
                
                  y
                
              
            
          
          )
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  
                    z
                  
                
                π
                z
              
              
                L
                
                  z
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\sqrt {\frac {8}{L_{x}L_{y}L_{z}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)\sin \left({\frac {n_{z}\pi z}{L_{z}}}\right)}
  
 ，

  
    
      
        
          E
          
            
              n
              
                x
              
            
            ,
            
              n
              
                y
              
            
            ,
            
              n
              
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            
              h
              
                2
              
            
            
              8
              m
            
          
        
        
          [
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      n
                      
                        x
                      
                    
                    
                      L
                      
                        x
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  
                    
                      n
                      
                        y
                      
                    
                    
                      L
                      
                        y
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  
                    
                      n
                      
                        z
                      
                    
                    
                      L
                      
                        z
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m}}\left[\left({\frac {n_{x}}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{y}}{L_{y}}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{z}}{L_{z}}}\right)^{2}\right]}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          n
          
            i
          
        
        =
        1
        ,
         
        2
        ,
         
        3
        ,
         
        …
      
    
    {\displaystyle n_{i}=1,\ 2,\ 3,\ \ldots }
  
 。
當兩個以上的阱寬相等的時候，對應於同樣的總能量，會存在有多個不同的波函數。這狀況稱為簡併，是由物理系統的對稱性造成的。例如，假設 一個三維阱的 
  
    
      
        
          L
          
            x
          
        
        =
        
          L
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{x}=L_{y}}
  
 ，則 
  
    
      
        
          n
          
            x
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n_{x}=2}
  
 ，
  
    
      
        
          n
          
            y
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n_{y}=1}
  
 ，
  
    
      
        
          n
          
            z
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n_{z}=1}
  
 的波函數與 
  
    
      
        
          n
          
            x
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n_{x}=1}
  
 ，
  
    
      
        
          n
          
            y
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n_{y}=2}
  
 ，
  
    
      
        
          n
          
            z
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n_{z}=1}
  
 的波函數，兩個波函數的能量相等。由於在這物理系統裏，有兩個阱寬相等，這物理系統對稱於繞著 z-軸的 
  
    
      
        
          90
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle 90^{\circ }}
  
 旋轉。


參考文獻 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 


參閱 態疊加原理
自由粒子
有限深方形阱
有限位勢壘
球對稱位勢
Delta 位勢阱
Delta 位勢壘
量子穿隧效應
盒中氣體
隨機電動力學