数学中，弗雷歇导数是在赋范向量空间上定义的导数。这个名称得自法国数学家莫里斯·弗雷歇，通常用于将单个实变量的实值函数的导数推广到多个实变量的向量值函数的情况，并且用于定义变分法中广泛应用的泛函导数。
一般来说，它将导数的概念从实值函数的一维情况推广到赋范空间上的函数。弗雷歇导数应与加托导数相对比，后者是经典方向导数的推广。
弗雷歇导数在数学分析和物理科学中的非线性问题中有广泛应用，特别是在变分法、非线性分析和非线性泛函分析中。


定义 设 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 和 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 是赋范向量空间，并且有开集 
  
    
      
        U
        ⊆
        V
      
    
    {\displaystyle U\subseteq V}
  
 。一个映射 
  
    
      
        f
        :
        U
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:U\to W}
  
 称为是在 
  
    
      
        x
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle x\in U}
  
 「弗雷歇可微」的，若存在有界线性算子 
  
    
      
        A
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle A:V\to W}
  
 使得
  
    
      
        
          lim
          
            ‖
            h
            ‖
            →
            0
          
        
        
          
            
              ‖
              f
              (
              x
              +
              h
              )
              −
              f
              (
              x
              )
              −
              A
              h
              
                ‖
                
                  W
                
              
            
            
              ‖
              h
              
                ‖
                
                  V
                
              
            
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}
  
这里的极限是指通常意义上的度量空间函数极限（参见度量空间上的函数和极限点）， 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 和 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 充当了两个度量空间，上面的表达式则作为从 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 中取值的 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 的函数。因此，对于 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 中非零元素构成的、收敛到零向量（ 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle h_{n}\to 0}
  
 ）的任一序列 
  
    
      
        ⟨
        
          h
          
            n
          
        
        
          ⟩
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle h_{n}\rangle _{n=1}^{\infty }}
  
 ，上面的极限都存在。等价地，以下一阶展开式成立：
  
    
      
        f
        (
        x
        +
        h
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        +
        A
        h
        +
        o
        (
        h
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x+h)=f(x)+Ah+o(h),}
  
其中
  
    
      
        o
      
    
    {\displaystyle o}
  
是小o符号。一旦存在这样一个运算符 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ，它将是唯一的，所以我们将其记作 
  
    
      
        A
        ≜
        D
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle A\triangleq Df(x)}
  
 并称其为 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 处的「弗雷歇导数」。
考虑在 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 中任意一点上都弗雷歇可微的 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 ，若映射
  
    
      
        D
        f
        :
        U
        →
        B
        (
        V
        ,
        W
        )
        :
        x
        ↦
        D
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Df:U\to B(V,W):x\mapsto Df(x)}
  
是连续的（其中 
  
    
      
        B
        (
        V
        ,
        W
        )
      
    
    {\displaystyle B(V,W)}
  
 表示 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 到 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 的全体有界线性算子构成的空间），那么称 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 是 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
 的。注意这与要求「各点 
  
    
      
        x
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle x\in U}
  
 处的弗雷歇导数 
  
    
      
        D
        f
        (
        x
        )
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle Df(x):V\to W}
  
 都连续」是不同的（有界性和连续性往往等价，这时这一点已得到保证而无需再做要求）。
弗雷歇导数是实函数 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
  
 的普通导数的一个推广。 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
 到 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
 的线性映射不过是乘上一个实数罢了，此例的弗雷歇导数 
  
    
      
        D
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Df(x)}
  
 就是函数 
  
    
      
        t
        ↦
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        t
      
    
    {\displaystyle t\mapsto f'(x)t}
  
 。


性质 在一点弗雷歇可微的映射在该点连续。
弗雷歇导数是以下意义上的线性运算：设 
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:V\to W}
  
 和 
  
    
      
        g
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle g:V\to W}
  
 是在 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 可微的两个映射， 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 是一个标量（实数或复数），则弗雷歇导数具有以下性质：

  
    
      
        D
        (
        c
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        c
        D
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle D(cf)(x)=cDf(x)}
  

  
    
      
        D
        (
        f
        +
        g
        )
        (
        x
        )
        =
        D
        f
        (
        x
        )
        +
        D
        g
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle D(f+g)(x)=Df(x)+Dg(x).}
  

链式法则在这种意义上仍然有效：如果 
  
    
      
        f
        :
        U
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:U\to Y}
  
 在 
  
    
      
        x
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle x\in U}
  
 可微且 
  
    
      
        g
        :
        Y
        →
        W
      
    
    {\displaystyle g:Y\to W}
  
 在 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
 可微，那么它们的复合 
  
    
      
        g
        ∘
        f
      
    
    {\displaystyle g\circ f}
  
 可微于 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 ，且这个导数是前述导数的复合：
  
    
      
        D
        (
        g
        ∘
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        D
        g
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        ∘
        D
        f
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))\circ Df(x).}
  


有限维情况 有限维空间中的弗雷歇导数就是通常的导数。特别地，它的坐标表示就是雅可比矩阵。
考虑 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 的开子集 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 上的映射 
  
    
      
        f
        :
        U
        ⊆
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle f:U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
  
 ，如果 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在一点 
  
    
      
        a
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle a\in U}
  
 处是弗雷歇可微的，那么它的导数是
  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  D
                  f
                  (
                  a
                  )
                  :
                  
                    
                      R
                    
                    
                      n
                    
                  
                  →
                  
                    
                      R
                    
                    
                      m
                    
                  
                
              
              
                
                  D
                  f
                  (
                  a
                  )
                  (
                  v
                  )
                  =
                  
                    J
                    
                      f
                    
                  
                  (
                  a
                  )
                  v
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}Df(a):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}\\Df(a)(v)=J_{f}(a)v\end{cases}}}
  
其中 
  
    
      
        
          J
          
            f
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle J_{f}(a)}
  
 表示 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 处的雅可比矩阵。
此外， 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的偏导数由
  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        a
        )
        =
        D
        f
        (
        a
        )
        (
        
          e
          
            i
          
        
        )
        =
        
          J
          
            f
          
        
        (
        a
        )
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=Df(a)(e_{i})=J_{f}(a)e_{i}}
  
给出，其中 
  
    
      
        
          {
          
            e
            
              i
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{e_{i}\right\}}
  
 是 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 的典范基。由于导数是线性函数，对于任一向量 
  
    
      
        h
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}}
  
 ，可以定义 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 沿 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 的方向导数
  
    
      
        D
        f
        (
        a
        )
        (
        h
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          h
          
            i
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        a
        )
        .
      
    
    {\displaystyle Df(a)(h)=\sum _{i=1}^{n}h_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a).}
  

如果所有偏导数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 都存在且连续，那么 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 是弗雷歇可微的（也是 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
 的）。反之则不然，例如函数
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  (
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  sin
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      (
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      
                        )
                        
                          −
                          1
                          
                            /
                          
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                  =
                  (
                  0
                  ,
                  0
                  )
                
              
              
                
                  0
                
                
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                  =
                  (
                  0
                  ,
                  0
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin \left((x^{2}+y^{2})^{-1/2}\right)&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}
  
在 
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
 是弗雷歇可微的，但没有连续的偏导数。


无限维的例子 无限维中最简单（且非平凡）的一个例子是这样一种情况：弗雷歇导数的域为希尔伯特空间 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 ，且我们所感兴趣的映射是其上的范数 
  
    
      
        ‖
        
        ⋅
        
        ‖
        :
        H
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \|\,\cdot \,\|:H\to \mathbb {R} }
  
 。
首先考虑 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x\neq 0}
  
 的情况，我们可以构造这样一个线性泛函 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 ，它满足
  
    
      
        D
        v
        :=
        
          ⟨
          
            v
            ,
            
              
                x
                
                  ‖
                  x
                  ‖
                
              
            
          
          ⟩
        
        .
      
    
    {\displaystyle Dv:=\left\langle v,{\frac {x}{\|x\|}}\right\rangle .}
  

接下来验证它是 
  
    
      
        ‖
        ⋅
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|\cdot \|}
  
 在 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 处的弗雷歇导数，于是我们考察弗雷歇可微条件中被求极限的表达式：
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                      ‖
                      x
                      +
                      h
                      ‖
                      −
                      ‖
                      x
                      ‖
                      −
                      D
                      h
                      
                        |
                      
                    
                    
                      ‖
                      h
                      ‖
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                      ‖
                      x
                      ‖
                      ‖
                      x
                      +
                      h
                      ‖
                      −
                      ⟨
                      x
                      ,
                      x
                      ⟩
                      −
                      ⟨
                      x
                      ,
                      h
                      ⟩
                      
                        |
                      
                    
                    
                      ‖
                      x
                      ‖
                      ‖
                      h
                      ‖
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                      ‖
                      x
                      ‖
                      ‖
                      x
                      +
                      h
                      ‖
                      −
                      ⟨
                      x
                      ,
                      x
                      +
                      h
                      ⟩
                      
                        |
                      
                    
                    
                      ‖
                      x
                      ‖
                      ‖
                      h
                      ‖
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                      ⟨
                      x
                      ,
                      x
                      ⟩
                      ⟨
                      x
                      +
                      h
                      ,
                      x
                      +
                      h
                      ⟩
                      −
                      ⟨
                      x
                      ,
                      x
                      +
                      h
                      
                        ⟩
                        
                          2
                        
                      
                      
                        |
                      
                    
                    
                      ‖
                      x
                      ‖
                      ‖
                      h
                      ‖
                      (
                      
                        |
                      
                      ‖
                      x
                      ‖
                      ‖
                      x
                      +
                      h
                      ‖
                      +
                      ⟨
                      x
                      ,
                      x
                      +
                      h
                      ⟩
                      
                        |
                      
                      )
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      ⟨
                      x
                      ,
                      x
                      ⟩
                      ⟨
                      h
                      ,
                      h
                      ⟩
                      −
                      ⟨
                      x
                      ,
                      h
                      
                        ⟩
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      ‖
                      x
                      ‖
                      ‖
                      h
                      ‖
                      (
                      
                        |
                      
                      ‖
                      x
                      ‖
                      ‖
                      x
                      +
                      h
                      ‖
                      +
                      ⟨
                      x
                      ,
                      x
                      +
                      h
                      ⟩
                      
                        |
                      
                      )
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                

                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {|\|x+h\|-\|x\|-Dh|}{\|h\|}}&={\frac {|\|x\|\|x+h\|-\langle x,x\rangle -\langle x,h\rangle |}{\|x\|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {|\|x\|\|x+h\|-\langle x,x+h\rangle |}{\|x\|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {|\langle x,x\rangle \langle x+h,x+h\rangle -\langle x,x+h\rangle ^{2}|}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\&{}\end{aligned}}}
  
利用范数和内积的连续性，我们得到：
  
    
      
        
          
            
              
                
                  lim
                  
                    ‖
                    h
                    ‖
                    →
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                      ‖
                      x
                      +
                      h
                      ‖
                      −
                      ‖
                      x
                      ‖
                      −
                      D
                      h
                      
                        |
                      
                    
                    
                      ‖
                      h
                      ‖
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  lim
                  
                    ‖
                    h
                    ‖
                    →
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      ⟨
                      x
                      ,
                      x
                      ⟩
                      ⟨
                      h
                      ,
                      h
                      ⟩
                      −
                      ⟨
                      x
                      ,
                      h
                      
                        ⟩
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      ‖
                      x
                      ‖
                      ‖
                      h
                      ‖
                      (
                      
                        |
                      
                      ‖
                      x
                      ‖
                      ‖
                      x
                      +
                      h
                      ‖
                      +
                      ⟨
                      x
                      ,
                      x
                      +
                      h
                      ⟩
                      
                        |
                      
                      )
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      ‖
                      x
                      
                        ‖
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  lim
                  
                    ‖
                    h
                    ‖
                    →
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      ⟨
                      x
                      ,
                      x
                      ⟩
                      ⟨
                      h
                      ,
                      h
                      ⟩
                      −
                      ⟨
                      x
                      ,
                      h
                      
                        ⟩
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      ‖
                      h
                      ‖
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      ‖
                      x
                      
                        ‖
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  lim
                  
                    ‖
                    h
                    ‖
                    →
                    0
                  
                
                
                  (
                  
                    ⟨
                    x
                    ,
                    x
                    ⟩
                    ‖
                    h
                    ‖
                    −
                    ⟨
                    x
                    ,
                    h
                    ⟩
                    
                      ⟨
                      
                        x
                        ,
                        
                          
                            h
                            
                              ‖
                              h
                              ‖
                            
                          
                        
                      
                      ⟩
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      ‖
                      x
                      
                        ‖
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      lim
                      
                        ‖
                        h
                        ‖
                        →
                        0
                      
                    
                    ⟨
                    x
                    ,
                    x
                    ⟩
                    ‖
                    h
                    ‖
                    −
                    
                      lim
                      
                        h
                        →
                        0
                      
                    
                    ⟨
                    x
                    ,
                    h
                    ⟩
                    
                      ⟨
                      
                        x
                        ,
                        
                          
                            h
                            
                              ‖
                              h
                              ‖
                            
                          
                        
                      
                      ⟩
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      ‖
                      x
                      
                        ‖
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    0
                    −
                    
                      lim
                      
                        ‖
                        h
                        ‖
                        →
                        0
                      
                    
                    ⟨
                    x
                    ,
                    h
                    ⟩
                    
                      ⟨
                      
                        x
                        ,
                        
                          
                            h
                            
                              ‖
                              h
                              ‖
                            
                          
                        
                      
                      ⟩
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    1
                    
                      2
                      ‖
                      x
                      
                        ‖
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      lim
                      
                        ‖
                        h
                        ‖
                        →
                        0
                      
                    
                    ⟨
                    x
                    ,
                    h
                    ⟩
                    
                      ⟨
                      
                        x
                        ,
                        
                          
                            h
                            
                              ‖
                              h
                              ‖
                            
                          
                        
                      
                      ⟩
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {|\|x+h\|-\|x\|-Dh|}{\|h\|}}&=\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\lim _{\|h\|\to 0}\left(\langle x,x\rangle \|h\|-\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{\|h\|\to 0}\langle x,x\rangle \|h\|-\lim _{h\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(0-\lim _{\|h\|\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&=-{\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{\|h\|\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]\end{aligned}}}
  
由于柯西-施瓦茨不等式，式中的内积
  
    
      
        
          ⟨
          
            x
            ,
            
              
                h
                
                  ‖
                  h
                  ‖
                
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle }
  
有上界 
  
    
      
        ‖
        x
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|x\|}
  
 。又容易注意到 
  
    
      
        
          lim
          
            ‖
            h
            ‖
            →
            0
          
        
        ⟨
        x
        ,
        h
        ⟩
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}\langle x,h\rangle =0}
  
 ，因此整个极限为零。
接下来我们将展示范数在 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
 处是不可微的，也就是说，不存在有界线性泛函 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 使得可微条件中的那个极限为 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 。
令 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 是任意一个线性泛函。里斯表示定理表明可以找到某个 
  
    
      
        a
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle a\in H}
  
 使得 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 被 
  
    
      
        D
        v
        =
        ⟨
        a
        ,
        v
        ⟩
      
    
    {\displaystyle Dv=\langle a,v\rangle }
  
 唯一地确定，考虑
  
    
      
        A
        (
        h
        )
        =
        
          
            
              
                |
              
              ‖
              0
              +
              h
              ‖
              −
              ‖
              0
              ‖
              −
              D
              h
              
                |
              
            
            
              ‖
              h
              ‖
            
          
        
        =
        
          |
          
            1
            −
            
              ⟨
              
                a
                ,
                
                  
                    h
                    
                      ‖
                      h
                      ‖
                    
                  
                
              
              ⟩
            
          
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle A(h)={\frac {|\|0+h\|-\|0\|-Dh|}{\|h\|}}=\left|1-\left\langle a,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right|.}
  
为了使范数在 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 处可微，我们必须有
  
    
      
        
          lim
          
            ‖
            h
            ‖
            →
            0
          
        
        A
        (
        h
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}A(h)=0.}
  
我们将证明这对于任意 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 都不成立。当 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  
 时，显然有 
  
    
      
        A
        (
        h
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle A(h)=1}
  
 。现在考虑 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  
 的情况：如果我们选取 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 趋于零的方向为 
  
    
      
        −
        a
      
    
    {\displaystyle -a}
  
 （也就是说， 
  
    
      
        h
        =
        t
        ⋅
        (
        −
        a
        )
      
    
    {\displaystyle h=t\cdot (-a)}
  
 ，其中 
  
    
      
        t
        →
        
          0
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle t\to 0^{+}}
  
 ），那么 
  
    
      
        A
        (
        h
        )
        =
        
          |
        
        1
        +
        ‖
        a
        ‖
        
          |
        
        >
        1
        >
        0
      
    
    {\displaystyle A(h)=|1+\|a\||>1>0}
  
 ，因此至少知道哪怕这个极限存在，也一定不为零。通过进一步考察其他趋向 0 的方式，可以发现这个极限实际上根本不存在。
综上所述，该范数在原点处的弗雷歇导数不存在。这与有限维下的结果是一致的。


与加托导数的关系 一个映射 
  
    
      
        f
        :
        U
        ⊆
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:U\subseteq V\to W}
  
 称为是在 
  
    
      
        x
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle x\in U}
  
 处「加托可微」的，若 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 处沿所有方向的方向导数都存在。这意味着存在一个映射 
  
    
      
        g
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle g:V\to W}
  
 使得
  
    
      
        g
        (
        h
        )
        =
        
          lim
          
            t
            →
            0
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              +
              t
              h
              )
              −
              f
              (
              x
              )
            
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle g(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+th)-f(x)}{t}}}
  
其中 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 取值自向量空间 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 的标量数域（ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 通常是实数）。 
如果
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 是弗雷歇可微的，那么它在此处也是加托可微的，并且 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 正是弗雷歇导数所给出的线性算子 
  
    
      
        A
        =
        D
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle A=Df(x)}
  
 。
然而，并非每个加托可微映射都是弗雷歇可微的。这类似于以下事实：一个函数在某一点的所有方向导数的存在并不能保证此函数在该点的全导数的存在（甚至也不能保证此函数的连续性）。例如，如下定义的具有两个实变量的实值函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 ：
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        +
                        
                          y
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                  =
                  (
                  0
                  ,
                  0
                  )
                
              
              
                
                  0
                
                
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                  =
                  (
                  0
                  ,
                  0
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}
  
它在原点 
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
 连续且加托可微，而它在原点的导数是
  
    
      
        g
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        a
                        
                          3
                        
                      
                      
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                        +
                        
                          b
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  a
                  ,
                  b
                  )
                  =
                  (
                  0
                  ,
                  0
                  )
                
              
              
                
                  0
                
                
                  (
                  a
                  ,
                  b
                  )
                  =
                  (
                  0
                  ,
                  0
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle g(a,b)={\begin{cases}{\frac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\neq (0,0)\\0&(a,b)=(0,0)\end{cases}}}
  

  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 并非一个线性算子，因此上述函数不是弗雷歇可微的。
更一般地说，对于有以下形式的任何函数 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        g
        (
        r
        )
        h
        (
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=g(r)h(\phi )}
  
 （其中 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 和 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 是 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
 的极坐标），如果 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 在 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 处可微且 
  
    
      
        h
        (
        ϕ
        +
        π
        )
        =
        −
        h
        (
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle h(\phi +\pi )=-h(\phi )}
  
 ，那么 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在原点 
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
 处加托可微。但仅当 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 是正弦函数时，加托导数才是线性的、弗雷歇导数才存在。
另一种情况是，如下定义的 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  

  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          x
                          
                            3
                          
                        
                        y
                      
                      
                        
                          x
                          
                            6
                          
                        
                        +
                        
                          y
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                  =
                  (
                  0
                  ,
                  0
                  )
                
              
              
                
                  0
                
                
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                  =
                  (
                  0
                  ,
                  0
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}
  
在 
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
 加托可微，其加托导数处处为零，从而是一个线性算子。然而， 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
 不连续（沿着曲线 
  
    
      
        
          (
          
            t
            ,
            
              t
              
                3
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(t,t^{3}\right)}
  
 接近原点就可以看出这一点）。因此 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在原点不可能是弗雷歇可微的。
一个更微妙的例子是
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        y
                      
                      
                        
                          x
                          
                            4
                          
                        
                        +
                        
                          y
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                  =
                  (
                  0
                  ,
                  0
                  )
                
              
              
                
                  0
                
                
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                  =
                  (
                  0
                  ,
                  0
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}
  
这是一个连续函数，且在 
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
 处加托可微，此处的加托导数是线性的——该导数总是为零。然而， 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 不是弗雷歇可微的。如果是的话，它的弗雷歇导数应与其加托导数一致，从而将是零算子 
  
    
      
        A
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A=0}
  
 ，进而极限
  
    
      
        
          lim
          
            ‖
            h
            
              ‖
              
                2
              
            
            →
            0
          
        
        
          
            
              
                |
              
              f
              (
              (
              0
              ,
              0
              )
              +
              h
              )
              −
              f
              (
              0
              ,
              0
              )
              −
              A
              h
              
                |
              
            
            
              ‖
              h
              
                ‖
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            h
            =
            (
            x
            ,
            y
            )
            →
            (
            0
            ,
            0
            )
          
        
        
          |
          
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                y
              
              
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  y
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{\|h\|_{2}\to 0}{\frac {|f((0,0)+h)-f(0,0)-Ah|}{\|h\|_{2}}}=\lim _{h=(x,y)\to (0,0)}\left|{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}\right|}
  
必须为零。然而，沿着曲线 
  
    
      
        
          (
          
            t
            ,
            
              t
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(t,t^{2}\right)}
  
 接近原点即可看出这个极限不存在,因为函数值等于
  
    
      
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle 1/2}
  
而不等于零。
之所以会出现这些情况，是因为加托导数的定义只要求差商沿每个方向单独收敛，而没有对不同方向的收敛速度提出要求。因此，对于给定的收敛目标 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
 （参见Ε-δ语言），虽然从每个方向看来，给定点的某邻域中该方向的差商都在 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
 限定的范围内，但是这些邻域对于不同的方向可能是不同的，并且可能存在一系列方向使得这些邻域变为任意小的。如果沿这些方向选择点的序列，则同时考虑所有方向的弗雷歇导数定义中的商可能不会收敛。因此，线性加托导数的存在若要保证弗雷歇导数的存在，还须要求差商在所有方向上一致收敛。
下面的例子仅适用于无穷维情况。设 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 是巴拿赫空间， 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 是 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 上一个在 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
 处不连续的线性泛函（参见不连续线性泛函）。令
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        ‖
        x
        ‖
        φ
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=\|x\|\varphi (x).}
  

  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 在 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
 有加托导数 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 。然而由于极限
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        φ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}\varphi (x)}
  
不存在， 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 不是弗雷歇可微的。


高阶导数 若映射 
  
    
      
        f
        :
        U
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:U\to W}
  
 在开集 
  
    
      
        U
        ⊂
        V
      
    
    {\displaystyle U\subset V}
  
 上是弗雷歇可微的，其弗雷歇导数
  
    
      
        D
        f
        :
        U
        →
        L
        (
        V
        ,
        W
        )
      
    
    {\displaystyle Df:U\to L(V,W)}
  
是从 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 到空间 
  
    
      
        L
        (
        V
        ,
        W
        )
      
    
    {\displaystyle L(V,W)}
  
 （ 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 到 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 的全体有界线性算子构成的空间）的一个映射。可以定义这个映射本身的弗雷歇导数，即所谓 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的「二阶导数」
  
    
      
        
          D
          
            2
          
        
        f
        :
        U
        →
        L
        (
        V
        ,
        L
        (
        V
        ,
        W
        )
        )
        .
      
    
    {\displaystyle D^{2}f:U\to L(V,L(V,W)).}
  
為方便处理二阶导数，注意右侧的空间就是 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 到 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 的全体连续双线性映射所构成的巴拿赫空间 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        (
        V
        ×
        V
        ,
        W
        )
      
    
    {\displaystyle L^{2}(V\times V,W)}
  
 ，因為若 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 是 
  
    
      
        L
        (
        V
        ,
        L
        (
        V
        ,
        W
        )
        )
      
    
    {\displaystyle L(V,L(V,W))}
  
 的元素，則 
  
    
      
        φ
        (
        x
        )
        (
        y
        )
        =
        ψ
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (x)(y)=\psi (x,y)}
  
 定義了 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        (
        V
        ×
        V
        ,
        W
        )
      
    
    {\displaystyle L^{2}(V\times V,W)}
  
 中的元素 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 與 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 对应，反之亦然。（一个关于 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 线性的映射 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 若满足 
  
    
      
        φ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (x)}
  
 关于 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 线性，那么它和对 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 和 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 具有双线性的 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 是一样的。）
可以再求
  
    
      
        
          D
          
            2
          
        
        f
        :
        U
        →
        
          L
          
            2
          
        
        (
        V
        ×
        V
        ,
        W
        )
      
    
    {\displaystyle D^{2}f:U\to L^{2}(V\times V,W)}
  
的弗雷歇导数来得到「三阶导数」，其在每个点将给出一个「三线性映射」，依此类推。 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 阶导数
  
    
      
        
          D
          
            n
          
        
        f
        :
        U
        →
        
          L
          
            n
          
        
        (
        V
        ×
        V
        ×
        ⋯
        ×
        V
        ,
        W
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle D^{n}f:U\to L^{n}(V\times V\times \cdots \times V,W),}
  
在每一点处都将是一个连续多重线性映射。递归地，一个映射 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 上 
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
 次弗雷歇可微的条件是：它在 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 上 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 次弗雷歇可微，并且对于任一 
  
    
      
        x
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle x\in U}
  
 都存在一个连续的 
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
 重线性映射 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 使得极限
  
    
      
        
          lim
          
            
              h
              
                n
                +
                1
              
            
            →
            0
          
        
        
          
            
              ‖
              
                
                  D
                  
                    n
                  
                
                f
                
                  (
                  
                    x
                    +
                    
                      h
                      
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                  
                  )
                
                (
                
                  h
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  h
                  
                    2
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  h
                  
                    n
                  
                
                )
                −
                
                  D
                  
                    n
                  
                
                f
                (
                x
                )
                (
                
                  h
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  h
                  
                    2
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  h
                  
                    n
                  
                
                )
                −
                A
                
                  (
                  
                    
                      h
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    
                      h
                      
                        2
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      h
                      
                        n
                      
                    
                    ,
                    
                      h
                      
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                  
                  )
                
              
              ‖
            
            
              ‖
              
                h
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              ‖
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{h_{n+1}\to 0}{\frac {\left\|D^{n}f\left(x+h_{n+1}\right)(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})-D^{n}f(x)(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})-A\left(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n},h_{n+1}\right)\right\|}{\left\|h_{n+1}\right\|}}=0}
  
对取值于 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 的有界子集中的 
  
    
      
        
          h
          
            1
          
        
        ,
        
          h
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n}}
  
 一致收敛。这时， 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 就是 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 处的 
  
    
      
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n+1)}
  
 阶弗雷歇导数。
此外，我们可以将空间
  
    
      
        
          L
          
            n
          
        
        
          (
          
            V
            ×
            V
            ×
            ⋯
            ×
            V
            ,
            W
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle L^{n}\left(V\times V\times \cdots \times V,W\right)}
  
 等价为 
  
    
      
        L
        
          (
          
            
              ⨂
              
                j
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              V
              
                j
              
            
            ,
            W
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle L\left(\bigotimes _{j=1}^{n}V_{j},W\right)}
  
 ，而其成员 
  
    
      
        f
        
          (
          
            
              x
              
                1
              
            
            ,
            
              x
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              x
              
                n
              
            
          
          )
        
        =
        f
        
          (
          
            
              x
              
                1
              
            
            ⊗
            
              x
              
                2
              
            
            ⊗
            ⋯
            ⊗
            
              x
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=f\left(x_{1}\otimes x_{2}\otimes \cdots \otimes x_{n}\right)}
  
 ，从而将弗雷歇导数视为一个普通的线性映射。


弗雷歇偏导数 通常的偏导数是为以下形式的函数定义的 
  
    
      
        f
        :
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
  
 。而在本节中，我们会将其推广到映射的域和目标空间（到达域）是任意（实的或复的）巴拿赫空间的情况。设 
  
    
      
        
          V
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          V
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}
  
 和 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 是（具有相同的标量域的）巴拿赫空间，其上有一点 
  
    
      
        a
        =
        
          (
          
            
              a
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              a
              
                n
              
            
          
          )
        
        ∈
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          V
          
            i
          
        
      
    
    {\textstyle a=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}V_{i}}
  
 ，对于映射 
  
    
      
        f
        :
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          V
          
            i
          
        
        →
        W
      
    
    {\textstyle f:\prod _{i=1}^{n}V_{i}\to W}
  
 ，若函数
  
    
      
        
          φ
          
            i
          
        
        :
        
          V
          
            i
          
        
        →
        W
        :
        x
        ↦
        f
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        x
        ,
        
          a
          
            i
            +
            1
          
        
        ,
        …
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi _{i}:V_{i}\to W:x\mapsto f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots a_{n})}
  
在点 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
  
 是弗雷歇可微的，那么称 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在点 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 有第 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 偏导数 
  
    
      
        
          ∂
          
            i
          
        
        f
        (
        a
        )
        :=
        D
        
          φ
          
            i
          
        
        (
        
          a
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \partial _{i}f(a):=D\varphi _{i}(a_{i})}
  
 。注意 
  
    
      
        
          ∂
          
            i
          
        
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \partial _{i}f(a)}
  
 是一个 
  
    
      
        
          V
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{i}}
  
 到 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 的线性变换。启发式地说，假定 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 有第 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 偏导数，固定所有 
  
    
      
        
          a
          
            j
          
        
        (
        j
        =
        i
        )
      
    
    {\displaystyle a_{j}(j\neq i)}
  
 而只改变 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
  
 时 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的变化量被偏导数 
  
    
      
        
          ∂
          
            i
          
        
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \partial _{i}f(a)}
  
 线性地逼近了。我们可以用小o符号将其表达为
  
    
      
        f
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            i
          
        
        +
        h
        ,
        …
        
          a
          
            n
          
        
        )
        −
        f
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
        =
        
          ∂
          
            i
          
        
        f
        (
        a
        )
        (
        h
        )
        +
        o
        (
        h
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\partial _{i}f(a)(h)+o(h).}
  


推广到拓扑向量空间 弗雷歇导数的概念可以推广到任意拓扑向量空间 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 和 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 。令 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 是 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的一个包含原点的开子集，而映射
  
    
      
        f
        :
        U
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:U\to Y}
  
 满足 
  
    
      
        f
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(0)=0}
  
 ，我们将先定义「该映射的导数为 0 意味着什么」。如果：对于每个 0 的开邻域 
  
    
      
        W
        ⊆
        Y
      
    
    {\displaystyle W\subseteq Y}
  
 ，存在一个 0 的开邻域 
  
    
      
        V
        ⊆
        X
      
    
    {\displaystyle V\subseteq X}
  
 和一个函数 
  
    
      
        o
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle o:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
  
 使得
  
    
      
        
          lim
          
            t
            →
            0
          
        
        
          
            
              o
              (
              t
              )
            
            t
          
        
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {o(t)}{t}}=0,}
  
且对于原点的某个邻域内的所有 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 都有 
  
    
      
        f
        (
        t
        V
        )
        ⊆
        o
        (
        t
        )
        W
      
    
    {\displaystyle f(tV)\subseteq o(t)W}
  
 ，那么称 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 与 0 相切。
现在可以除去 
  
    
      
        f
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(0)=0}
  
 这个限定了。 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在一点 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle x_{0}\in U}
  
 弗雷歇可微，若：存在连续线性算子 
  
    
      
        λ
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle \lambda :X\to Y}
  
 使得映射 
  
    
      
        h
        ↦
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        +
        h
        )
        −
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        −
        λ
        h
      
    
    {\displaystyle h\mapsto f(x_{0}+h)-f(x_{0})-\lambda h}
  
 与 0 相切。(Lang p. 6)
如果弗雷歇导数存在，那么它就唯一。此外，加托导数也必然存在且等于弗雷歇导数，也就是说
  
    
      
        ∀
        v
        ∈
        X
        ,
        
        
          lim
          
            τ
            →
            0
          
        
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              τ
              v
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            τ
          
        
        =
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        v
        ,
      
    
    {\displaystyle \forall v\in X,\quad \lim _{\tau \to 0}{\frac {f(x_{0}+\tau v)-f(x_{0})}{\tau }}=f'(x_{0})v,}
  
其中 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x_{0})}
  
 是弗雷歇导数。在一点处弗雷歇可微的函数必然在该点连续，并且弗雷歇可微函数之和或其标量倍数也是可微的，因此在一点处弗雷歇可微的函数所构成的空间是在该点连续的函数的子空间。链式法则、乘积法则仍可成立，只要：拓扑向量空间 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 也是一个代数，而其乘法是连续的。


参见 方向导数
全导数
泛函导数


注释 参考文献 Cartan, Henri, Calcul differentiel, Paris: Hermann, 1967, MR 0223194 .
Dieudonne, Jean, Foundations of modern analysis, Boston, MA: Academic Press, 1969, MR 0349288 .
Lang, Serge, Differential and Riemannian Manifolds, Springer, 1995, ISBN 0-387-94338-2 .
Munkres, James R., Analysis on manifolds, Addison-Wesley, 1991, ISBN 978-0-201-51035-5, MR 1079066 .
Previato, Emma (编), Dictionary of applied math for engineers and scientists, Comprehensive Dictionary of Mathematics, London: CRC Press, 2003, ISBN 978-1-58488-053-0, MR 1966695 .
Coleman, Rodney (编), Calculus on Normed Vector Spaces, Universitext, Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3894-6 .


外部链接 B. A. Frigyik, S. Srivastava and M. R. Gupta, Introduction to Functional Derivatives, UWEE Tech Report 2008-0001.
http://www.probability.net （页面存档备份，存于互联网档案馆） 这个网页主要是关于基本的概率和测度理论，但是有的章节在巴拿赫空间中的弗雷切导数方面写得很好（关于雅可比公式的章节），所有的结果都给出了证明。