在数学分析中，隐函数定理（英語：Implicit function theorem）是一個用來回答下面的問題的工具：

以隐函数表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？

隐函数定理说明，对于一个由关系 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=0}
  
 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有鄰域使得在該鄰域內 y 可以表示成关于 x 的函数：

  
    
      
        y
        =
        h
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=h(x)}
  

这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。
舉一個簡單例子：假設兩個變量 x, y 滿足隱函數 x2 + y2 − 1 = 0，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 y=h(x) 去(局部的)描述這單位圓的圖形？
答案是：除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 兩點外，其他點局部上都有 y=h(x) 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。


例子 有函數 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}
  
，那么方程式 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y)-1=0}
  
 的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 
  
    
      
        y
        =
        h
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=h(x)}
  
 的形式的，因为每个
  
    
      
        x
        ∈
        (
        −
        1
        ,
        1
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle x\in (-1,1),}
  
都有两个
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的值与之对应，即
  
    
      
        ±
        
          
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}
  
。
然而在某些點附近，局部地用 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 來表示 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 是可能的。比如给定圆上一点 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
，如果 
  
    
      
        y
        >
        0
      
    
    {\displaystyle y>0}
  
，也就是说如果只選取圓的上半部分的话，在这一点附近 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 可以写成关于 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的函数：
  
    
      
        y
        =
        
          
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}
  
。如果 
  
    
      
        y
        <
        0
      
    
    {\displaystyle y<0}
  
，在圓的下半部分 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 也可以写成关于 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的函数：
  
    
      
        y
        =
        −
        
          
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}
  
。
但是，在点 
  
    
      
        (
        ±
        1
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm 1,0)}
  
 的附近，
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 无法写成关于 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的函数，因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是說对于附近的每一个 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，都有两个 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 的值与之对应，這種情況下 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 無法寫成 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的函數。


定理的叙述：欧几里得空间的情况 设 f : Rn+m → Rm 为一个连续可微函数。这里Rn+m 被看作是两个空间的直积： Rn×Rm，于是 Rn+m 中的一个元素写成 (x,y) = (x1, ..., xn, y1, ..., ym) 的形式。 我們的目標是找到一個函數 h: Rn → Rm ，讓這函數的圖形(graph of a function), (x, h(x)), 局部上恰好等於集合{ (x, y) | f(x,y) = 0}，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 h 的局部存在。
固定一点(a,b) = (a1, ..., an, b1, ..., bm) 使得 f(a, b) = 0，我們希望在點 (a,b) 的附近找到一個 y 关于 x 的函数 h，严格来说，就是说存在 a 的鄰域 U ⊆ Rn 和 b 的邻域 V ⊆ Rm 以及函數：h : U → V，使得 h 的函數的圖形 (x, h(x)) 剛好等於 U × V 中  f(x,y) = 0 的集合，也就是說：

  
    
      
        {
        (
        
          x
        
        ,
        h
        (
        
          x
        
        )
        )
        ∣
        
          x
        
        ∈
        U
        }
        =
        {
        (
        
          x
        
        ,
        
          y
        
        )
        ∈
        U
        ×
        V
        ∣
        f
        (
        
          x
        
        ,
        
          y
        
        )
        =
        
          0
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}}
  
。
要保證这样的函数 h 存在，函数 f 的雅可比矩阵要满足某些性質。对于给定的一点 (a,b)，f 的雅可比矩阵写作：

  
    
      
        (
        D
        f
        )
        (
        
          a
        
        ,
        
          b
        
        )
        =
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                  (
                  
                    a
                  
                  ,
                  
                    b
                  
                  )
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                  (
                  
                    a
                  
                  ,
                  
                    b
                  
                  )
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            m
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                  (
                  
                    a
                  
                  ,
                  
                    b
                  
                  )
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            m
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                  (
                  
                    a
                  
                  ,
                  
                    b
                  
                  )
                
              
            
          
          |
        
        
          
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                  (
                  
                    a
                  
                  ,
                  
                    b
                  
                  )
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            m
                          
                        
                      
                    
                  
                  (
                  
                    a
                  
                  ,
                  
                    b
                  
                  )
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            m
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                  (
                  
                    a
                  
                  ,
                  
                    b
                  
                  )
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            m
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            m
                          
                        
                      
                    
                  
                  (
                  
                    a
                  
                  ,
                  
                    b
                  
                  )
                
              
            
          
          ]
        
        =
        [
        X
        
          |
        
        Y
        ]
      
    
    {\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}
  

其中的矩阵 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 是函數 f 关于變數 x 的偏微分，而矩陣 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 是 f 关于變數 y 的偏微分。隐函数定理说明了：如果
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的鄰域 U、V 和函数 h(x) 就会存在。正式的敘述就是：


一般情形 设
  
    
      
        
          E
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{1}}
  
、
  
    
      
        
          E
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{2}}
  
和
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
是三个巴拿赫空间，而
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
、
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
分别是
  
    
      
        
          E
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{1}}
  
、
  
    
      
        
          E
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{2}}
  
上的两个开集。设函数：

  
    
      
        f
        :
        U
        ×
        V
        →
        F
      
    
    {\displaystyle f:U\times V\rightarrow F}
  

是一個
  
    
      
        k
         
        (
        k
        ≥
        1
        )
      
    
    {\displaystyle k~(k\geq 1)}
  
階可微函數（見Frechet導數），并且对于
  
    
      
        
          E
          
            1
          
        
        ×
        
          E
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{1}\times E_{2}}
  
中的一点
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
  
，满足：

  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}
  

映射 
  
    
      
        y
        ↦
        (
        D
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
        )
        (
        0
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)}
  
 是一個從
  
    
      
        
          E
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{2}}
  
到
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的同構
那么有如下结论：

存在
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
的邻域 
  
    
      
        
          U
          
            0
          
        
        ⊂
        U
      
    
    {\displaystyle U_{0}\subset U}
  
 、 
  
    
      
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{0}}
  
的邻域 
  
    
      
        
          V
          
            0
          
        
        ⊂
        V
      
    
    {\displaystyle V_{0}\subset V}
  
 ，以及 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 階Frechet可微函數
  
    
      
        φ
        :
        
          U
          
            0
          
        
        →
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}}
  
，使得：
对任意
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
        ∈
        
          U
          
            0
          
        
        ×
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}}
  
，只要
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=0}
  
，就有
  
    
      
        y
        =
        φ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=\varphi (x)}
  
。


参见 反函数定理
不动点定理
压缩映射定理
微分


参考来源 （英文）Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF). Iowa State University.   [2009-11-05]. （原始内容 (PDF)存档于2021-05-07）. 
Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984. 
Danilov, V.I., Implicit function (in algebraic geometry), Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2. 
Fritzsche, K.; Grauert, H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. 2002. 
Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522. 
Kudryavtsev, Lev Dmitrievich, Implicit function, Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117. 
Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.