長球面坐標系（英語：Prolate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  
 與 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  
 的直角坐標分別為 
  
    
      
        (
        0
        ,
         
        0
        ,
         
        −
        a
        )
      
    
    {\displaystyle (0,\ 0,\ -a)}
  
 與 
  
    
      
        (
        0
        ,
         
        0
        ,
         
        a
        )
      
    
    {\displaystyle (0,\ 0,\ a)}
  
 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。


基本定義 在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 
  
    
      
        (
        μ
        ,
         
        ν
        ,
         
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}
  
 常見的定義是

  
    
      
        x
        =
        a
         
        sinh
        ⁡
        μ
         
        sin
        ⁡
        ν
         
        cos
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle x=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi }
  
 、

  
    
      
        y
        =
        a
         
        sinh
        ⁡
        μ
         
        sin
        ⁡
        ν
         
        sin
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi }
  
 、

  
    
      
        z
        =
        a
         
        cosh
        ⁡
        μ
         
        cos
        ⁡
        ν
      
    
    {\displaystyle z=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }
  
 ；
其中，
  
    
      
        μ
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle \mu \geq 0}
  
 是個實數，弧度 
  
    
      
        0
        ≤
        ν
        ≤
        π
      
    
    {\displaystyle 0\leq \nu \leq \pi }
  
 ，弧度 
  
    
      
        0
        ≤
        ϕ
        ≤
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }
  
 。


= 坐標曲面 =

  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 坐標曲面是長球面：

  
    
      
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                cosh
                
                  2
                
              
              ⁡
              μ
            
          
        
        +
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                y
                
                  2
                
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                sinh
                
                  2
                
              
              ⁡
              μ
            
          
        
        =
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        ν
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        ν
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
  
 。
每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 
  
    
      
        a
        sinh
        ⁡
        μ
      
    
    {\displaystyle a\sinh \mu }
  
 ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 
  
    
      
        a
        cosh
        ⁡
        μ
      
    
    {\displaystyle a\cosh \mu }
  
 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 
  
    
      
        ±
        a
      
    
    {\displaystyle \pm a}
  
 。

  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：

  
    
      
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              ν
            
          
        
        −
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                y
                
                  2
                
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              ν
            
          
        
        =
        
          cosh
          
            2
          
        
        ⁡
        μ
        −
        
          sinh
          
            2
          
        
        ⁡
        μ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
  
 。
當 
  
    
      
        ν
        <
        π
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \nu <\pi /2}
  
 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 
  
    
      
        ν
        >
        π
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \nu >\pi /2}
  
 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 坐標曲面是個半平面 ：

  
    
      
        x
        sin
        ⁡
        ϕ
        −
        y
        cos
        ⁡
        ϕ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}
  
 。


= 標度因子 =
長球面坐標 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 與 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 的標度因子相等：

  
    
      
        
          h
          
            μ
          
        
        =
        
          h
          
            ν
          
        
        =
        a
        
          
            
              sinh
              
                2
              
            
            ⁡
            μ
            +
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}
  
 。
方位角 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 的標度因子為

  
    
      
        
          h
          
            ϕ
          
        
        =
        a
        sinh
        ⁡
        μ
         
        sin
        ⁡
        ν
      
    
    {\displaystyle h_{\phi }=a\sinh \mu \ \sin \nu }
  
 。
無窮小體積元素是

  
    
      
        d
        V
        =
        
          a
          
            3
          
        
        sinh
        ⁡
        μ
         
        sin
        ⁡
        ν
         
        
          (
          
            
              sinh
              
                2
              
            
            ⁡
            μ
            +
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            ν
          
          )
        
        d
        μ
        d
        ν
        d
        ϕ
      
    
    {\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \ \sin \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }
  
 。
拉普拉斯算子是

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        
          
            1
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                (
                
                  
                    sinh
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  μ
                  +
                  
                    sin
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  ν
                
                )
              
            
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  Φ
                
                
                  ∂
                  
                    μ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  Φ
                
                
                  ∂
                  
                    ν
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            coth
            ⁡
            μ
            
              
                
                  ∂
                  Φ
                
                
                  ∂
                  μ
                
              
            
            +
            cot
            ⁡
            ν
            
              
                
                  ∂
                  Φ
                
                
                  ∂
                  ν
                
              
            
          
          ]
        
        +
        
          
            1
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                sinh
                
                  2
                
              
              ⁡
              μ
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              ν
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Φ
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}
  
 。
其它微分算子，像 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
  
 ， 
  
    
      
        ∇
        ×
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
  
 ，都可以用 
  
    
      
        (
        μ
        ,
         
        ν
        ,
         
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}
  
 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。


= 應用 =
當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 
  
    
      
        
          H
          
            2
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{2}^{+}}
  
 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 (
  
    
      
        μ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mu =0}
  
) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 (
  
    
      
        ν
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nu =0}
  
) 產生的電場。


第二種表述 另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 
  
    
      
        (
        σ
        ,
         
        τ
        ,
         
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}
  
 ：

  
    
      
        σ
        =
        cosh
        ⁡
        μ
      
    
    {\displaystyle \sigma =\cosh \mu }
  
 、

  
    
      
        τ
        =
        cos
        ⁡
        ν
      
    
    {\displaystyle \tau =\cos \nu }
  
 、

  
    
      
        ϕ
        =
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi =\phi }
  
 。
其中，
  
    
      
        σ
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle \sigma \geq 1}
  
 是個實數，
  
    
      
        1
        ≥
        τ
        ≥
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 1\geq \tau \geq -1}
  
 是個實數，弧度 
  
    
      
        0
        ≤
        ϕ
        ≤
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }
  
 。
與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:

  
    
      
        x
        =
        a
        
          
            
              (
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                −
                1
              
              )
            
            
              (
              
                1
                −
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
              )
            
          
        
        cos
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle x=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\cos \phi }
  
 、

  
    
      
        y
        =
        a
        
          
            
              (
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                −
                1
              
              )
            
            
              (
              
                1
                −
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
              )
            
          
        
        sin
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle y=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\sin \phi }
  
 、

  
    
      
        z
        =
        a
         
        σ
         
        τ
      
    
    {\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau }
  
 。


= 坐標曲面 =

  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 坐標曲面是長球面：

  
    
      
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                σ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                y
                
                  2
                
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              (
              
                σ
                
                  2
                
              
              −
              1
              )
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)}}=1}
  
 。
每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 
  
    
      
        a
        
          
            
              σ
              
                2
              
            
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}
  
 ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 
  
    
      
        a
        σ
      
    
    {\displaystyle a\sigma }
  
 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 
  
    
      
        ±
        a
      
    
    {\displaystyle \pm a}
  
 。

  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 坐標曲面是半個旋轉雙曲面：

  
    
      
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                τ
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                y
                
                  2
                
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              (
              1
              −
              
                τ
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(1-\tau ^{2})}}=1}
  
 。
當 
  
    
      
        τ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \tau >0}
  
 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 
  
    
      
        τ
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \tau <0}
  
 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 坐標曲面是個半平面 ：

  
    
      
        x
        sin
        ⁡
        ϕ
        −
        y
        cos
        ⁡
        ϕ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}
  
 。
任何一點 P 與焦點 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  
 ，
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  
 的距離 
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}}
  
 ，
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}}
  
 ，可以一個很簡單的公式表示：

  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
        =
        2
        a
        σ
      
    
    {\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }
  
 、

  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        −
        
          d
          
            2
          
        
        =
        2
        a
        τ
      
    
    {\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }
  
 。
所以，點 P 與焦點 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  
 的距離 
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}}
  
 是 
  
    
      
        a
        (
        σ
        +
        τ
        )
      
    
    {\displaystyle a(\sigma +\tau )}
  
 ，點 P 與焦點 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  
 的距離 
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}}
  
 是 
  
    
      
        a
        (
        σ
        −
        τ
        )
      
    
    {\displaystyle a(\sigma -\tau )}
  
 。（回想 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  
 ，
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  
 都是在 z-軸，分別位於 
  
    
      
        z
        =
        −
        a
      
    
    {\displaystyle z=-a}
  
 ，
  
    
      
        z
        =
        +
        a
      
    
    {\displaystyle z=+a}
  
 。）


= 標度因子 =
第二種長球面坐標 
  
    
      
        (
        σ
        ,
         
        τ
        ,
         
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}
  
 的標度因子分別為:

  
    
      
        
          h
          
            σ
          
        
        =
        a
        
          
            
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}
  
 、

  
    
      
        
          h
          
            τ
          
        
        =
        a
        
          
            
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
              
                1
                −
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}
  
 、

  
    
      
        
          h
          
            ϕ
          
        
        =
        a
        
          
            
              (
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                −
                1
              
              )
            
            
              (
              
                1
                −
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}
  
 。
無窮小體積元素是

  
    
      
        d
        V
        =
        
          a
          
            3
          
        
        
          (
          
            
              σ
              
                2
              
            
            −
            
              τ
              
                2
              
            
          
          )
        
        d
        σ
        d
        τ
        d
        ϕ
      
    
    {\displaystyle dV=a^{3}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau d\phi }
  
 。
拉普拉斯算子是

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        
          
            1
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                (
                
                  
                    σ
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    τ
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        
          {
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  σ
                
              
            
            
              [
              
                
                  (
                  
                    
                      σ
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    1
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      ∂
                      Φ
                    
                    
                      ∂
                      σ
                    
                  
                
              
              ]
            
            +
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  τ
                
              
            
            
              [
              
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      τ
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      ∂
                      Φ
                    
                    
                      ∂
                      τ
                    
                  
                
              
              ]
            
          
          }
        
        +
        
          
            1
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                (
                
                  
                    σ
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    τ
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Φ
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}
  
 。
其它微分算子，像 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
  
 ， 
  
    
      
        ∇
        ×
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
  
 ，都可以用 
  
    
      
        (
        μ
        ,
         
        ν
        ,
         
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}
  
 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。


= 應用 =
如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為長扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。


參閱 參考目錄 = 不按照命名常規 =
Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661.  引文格式1维护：冗余文本 (link)  採用 
  
    
      
        
          ξ
          
            1
          
        
        =
        a
        cosh
        ⁡
        μ
      
    
    {\displaystyle \xi _{1}=a\cosh \mu }
  
 、
  
    
      
        
          ξ
          
            2
          
        
        =
        sin
        ⁡
        ν
      
    
    {\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu }
  
 、
  
    
      
        
          ξ
          
            3
          
        
        =
        cos
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi }
  
 。
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)  如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 
  
    
      
        
          u
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{k}}
  
 來替代 
  
    
      
        
          ξ
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \xi _{k}}
  
 。
Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
Sauer R, Szabo I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97.  引文格式1维护：冗余文本 (link)  採用混合坐標 
  
    
      
        ξ
        =
        cosh
        ⁡
        μ
      
    
    {\displaystyle \xi =\cosh \mu }
  
 、
  
    
      
        η
        =
        sin
        ⁡
        ν
      
    
    {\displaystyle \eta =\sin \nu }
  
 、
  
    
      
        ϕ
        =
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi =\phi }
  
 。


= 按照命名常規 =
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用第一種表述 
  
    
      
        (
        μ
        ,
         
        ν
        ,
         
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}
  
 ，又加介紹了簡併的第三種表述 
  
    
      
        (
        σ
        ,
         
        τ
        ,
         
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}
  
 。
Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182.  引文格式1维护：冗余文本 (link)  如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度 
  
    
      
        θ
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
        −
        ν
      
    
    {\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }
  
 來替代緯度 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 。
Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)  Moon and Spencer 採用餘緯度常規 
  
    
      
        θ
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
        −
        ν
      
    
    {\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }
  
 ，又改名 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 為 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 。


= 特異命名常規 =
Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。