击中时也称为命中时、首中时，是数学中随机过程研究裡出现的一个概念，表示一个随机过程首次接触到状态空间的某个子集的时间。在特定的例子中，也会被称为离时（脱离时间）或回时（首次回归时间）。


定义 设
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
是一个有序的指标集，比如说是自然数的集合
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
、非负实数集
  
    
      
        
          
            R
          
          
            +
          
        
        =
        [
        0
        ,
        +
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=[0,+\infty )}
  
或者是这两者的子集。
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
中的一个元素
  
    
      
        t
        ∈
        T
      
    
    {\displaystyle t\in T}
  
可以被认为是一种记录时间的方式（离散或连续型）。给定一个概率空间
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            F
          
        
        ,
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
  
，一个可测状态空间
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
，设
  
    
      
        X
        :
        
        
        Ω
        ×
        T
        →
        S
        =
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle X:\,\,\Omega \times T\rightarrow S=\left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
为一个随机过程，并设
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
为
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
中的一个可测子集。那么，随机过程
  
    
      
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
首次接触子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的击中时定义为以下的随机变量:155：

  
    
      
        
          τ
          
            A
          
        
        Ω
        ⟶
        
          
            T
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{A}\Omega \longrightarrow {\overline {T}}}
  

  
    
      
        
          τ
          
            A
          
        
        (
        ω
        )
        :=
        
        
        inf
        {
        t
        ∈
        T
        
        
          |
        
        
        
          X
          
            t
          
        
        (
        ω
        )
        ∈
        A
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A\}.}
  

同样，可以定义
  
    
      
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
首次离开子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的离时： 

  
    
      
        
          ϵ
          
            A
          
        
        (
        ω
        )
        :=
        
        
        inf
        {
        t
        ∈
        T
        
        
          |
        
        
        
          X
          
            t
          
        
        (
        ω
        )
        ∈
        A
        }
        =
        
        inf
        {
        t
        ∈
        T
        
        
          |
        
        
        
          X
          
            t
          
        
        (
        ω
        )
        ∈
        
          A
          
            c
          
        
        }
        =
        
          τ
          
            
              A
              
                c
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\notin A\}=\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A^{c}\}=\tau _{A^{c}}.}
  

可以看出离时实际上也是击中时的一种，表示首次接触到要研究的子集的补集的时间。很多时候，离时也会记为
  
    
      
        
          τ
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{A}}
  
，和击中时一样。
另外一种击中时是 
  
    
      
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
后首次回到出发点
  
    
      
        {
        
          X
          
            0
          
        
        (
        ω
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \{X_{0}(\omega )\}}
  
的击中时，称为回时或首次回归时间： 

  
    
      
        
          τ
          
            0
          
        
        (
        ω
        )
        :=
        
        
        inf
        {
        t
        ∈
        T
        
        
          |
        
        
        
          X
          
            t
          
        
        (
        ω
        )
        =
        
          X
          
            0
          
        
        (
        ω
        )
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \tau _{0}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )=X_{0}(\omega )\}.}
  


例子 设
  
    
      
        
          
            (
            
              W
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            
              
                R
              
              
                +
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}
  
为
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
上标准的布朗运动过程，则对于任意（实数的）波莱尔可测子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，都可以定义首次接触
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的击中时
  
    
      
        
          τ
          
            A
          
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{A}^{W}}
  
，并且可以证明这样定义的击中时
  
    
      
        
          τ
          
            A
          
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{A}^{W}}
  
都是停时。
如果定义标准布朗运动
  
    
      
        
          
            (
            
              W
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            
              
                R
              
              
                +
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}
  
首次离开区间
  
    
      
        
          A
          
            r
          
        
        =
        (
        −
        r
        ,
        r
        )
      
    
    {\displaystyle A_{r}=(-r,r)}
  
的离时为
  
    
      
        
          ϵ
          
            r
          
          
            W
          
        
        =
        
          τ
          
            
              A
              
                r
              
              
                c
              
            
          
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{r}^{W}=\tau _{A_{r}^{c}}^{W}}
  
，那么这个离时也是停时，它的数学期望是：
  
    
      
        
          E
        
        (
        
          ϵ
          
            r
          
          
            W
          
        
        )
        =
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} (\epsilon _{r}^{W})=r^{2}}
  
，方差是
  
    
      
        Var
        ⁡
        (
        
          ϵ
          
            r
          
          
            W
          
        
        )
        =
        
          
            2
            3
          
        
        
          r
          
            4
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon _{r}^{W})={\frac {2}{3}}r^{4}.}
  


首发定理 对于给定的概率空间，随机过程首次进入状态空间中的一个可测子集
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的击中时也称为
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的首发时间（debut）。首发定理说明，如果随机过程是循序可测的，那么可测子集的首发时间一定是停时。循序可测过程包括所有的左连续适应过程和右连续适应过程。首发定理的证明用到了解析集的性质。首发定理需要概率空间是完全概率空间。
首发定理的逆定理指出，所有定义在某个实数时间轴的滤波上的停时，都能表示为某个状态空间子集的击中时。特别地，存在一个适应的不增随机过程，其路径几乎总是左极限右连续，并且取值为0或1，使得子集
  
    
      
        {
        0
        }
      
    
    {\displaystyle \{0\}}
  
的击中时就是对应的停时。 


参见 停时


参考来源 Fischer, Tom. On simple representations of stopping times and stopping time sigma-algebras. Statistics and Probability Letters. 2013, 83 (1): 345–349. doi:10.1016/j.spl.2012.09.024. 
Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications Sixth edition. Berlin: Springer. 2003. ISBN 3-540-04758-1.  引文格式1维护：冗余文本 (link)