对数微分法（英語：Logarithmic differentiation）是在微积分学中，通过求某函数f的对数导数来求得函数导数的一种方法， 

  
    
      
        [
        ln
        ⁡
        (
        f
        )
        
          ]
          ′
        
        =
        
          
            
              f
              ′
            
            f
          
        
        
        →
        
        
          f
          ′
        
        =
        f
        ⋅
        [
        ln
        ⁡
        (
        f
        )
        
          ]
          ′
        
        .
      
    
    {\displaystyle [\ln(f)]'={\frac {f'}{f}}\quad \rightarrow \quad f'=f\cdot [\ln(f)]'.}
  

这一方法常在函数对数求导比对函数本身求导更容易时使用，这样的函数通常是几项的积，取对数之后，可以把函数变成容易求导的几项的和。这一方法对幂函数形式的函数也很有用。对数微分法依赖于链式法则和对数的性质（尤其是自然对数），把积变为求和，把商变为做差。这一方法可以应用于所有恆不为0的可微函数。


概述 对于某函数

  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle y=f(x)\,\!}
  

运用对数微分法，通常对函数两边取绝对值后取自然对数。

  
    
      
        ln
        ⁡
        
          |
        
        y
        
          |
        
        =
        ln
        ⁡
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \ln |y|=\ln |f(x)|\,\!}
  

运用隐式微分法，可得

  
    
      
        
          
            1
            y
          
        
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}}
  

两边同乘以y，则方程左边只剩下dy/dx：

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        y
        ×
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y\times {\frac {f'(x)}{f(x)}}=f'(x).}
  

对数微分法有用，是因为对数的性质可以大大简化复杂函数的微分，常用的对数性质有：

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        a
        b
        )
        =
        ln
        ⁡
        (
        a
        )
        +
        ln
        ⁡
        (
        b
        )
        ,
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              a
              b
            
          
          )
        
        =
        ln
        ⁡
        (
        a
        )
        −
        ln
        ⁡
        (
        b
        )
        ,
        
        ln
        ⁡
        (
        
          a
          
            n
          
        
        )
        =
        n
        ln
        ⁡
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a)}
  


= 通用公式 =
有一如下形式的函数，

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∏
          
            i
          
        
        (
        
          f
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        
          )
          
            
              α
              
                i
              
            
            (
            x
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}.}
  

两边取自然对数，得

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          α
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        ⋅
        ln
        ⁡
        (
        
          f
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),}
  

两边对x求导，得

  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          [
          
            
              α
              
                i
              
              ′
            
            (
            x
            )
            ⋅
            ln
            ⁡
            (
            
              f
              
                i
              
            
            (
            x
            )
            )
            +
            
              α
              
                i
              
            
            (
            x
            )
            ⋅
            
              
                
                  
                    f
                    
                      i
                    
                    ′
                  
                  (
                  x
                  )
                
                
                  
                    f
                    
                      i
                    
                  
                  (
                  x
                  )
                
              
            
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}
  

两边同乘以
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
，可得原函数的导数为

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              
                
                  ∏
                  
                    i
                  
                
                (
                
                  f
                  
                    i
                  
                
                (
                x
                )
                
                  )
                  
                    
                      α
                      
                        i
                      
                    
                    (
                    x
                    )
                  
                
              
              ⏞
            
          
          
            f
            (
            x
            )
          
        
        ×
        
          
            
              
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  {
                  
                    
                      α
                      
                        i
                      
                      ′
                    
                    (
                    x
                    )
                    ⋅
                    ln
                    ⁡
                    (
                    
                      f
                      
                        i
                      
                    
                    (
                    x
                    )
                    )
                    +
                    
                      α
                      
                        i
                      
                    
                    (
                    x
                    )
                    ⋅
                    
                      
                        
                          
                            f
                            
                              i
                            
                            ′
                          
                          (
                          x
                          )
                        
                        
                          
                            f
                            
                              i
                            
                          
                          (
                          x
                          )
                        
                      
                    
                  
                  }
                
              
              ⏞
            
          
          
            [
            ln
            ⁡
            (
            f
            (
            x
            )
            )
            
              ]
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}}
  


应用 = 积函数 =
对如下形式的两个函数的积函数

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        g
        (
        x
        )
        h
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,\!}
  

两边取自然对数，可得如下形式的和函数

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        ln
        ⁡
        (
        g
        (
        x
        )
        h
        (
        x
        )
        )
        =
        ln
        ⁡
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        +
        ln
        ⁡
        (
        h
        (
        x
        )
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x))\,\!}
  

应用链式法则，两边微分，得

  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        +
        
          
            
              
                h
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              h
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}}
  

整理，可得

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        ×
        
          
            {
          
        
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        +
        
          
            
              
                h
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              h
              (
              x
              )
            
          
        
        
          
            }
          
        
        =
        g
        (
        x
        )
        h
        (
        x
        )
        ×
        
          
            {
          
        
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        +
        
          
            
              
                h
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              h
              (
              x
              )
            
          
        
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}=g(x)h(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}
  


= 商函数 =
对如下形式的两个函数的商函数

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              g
              (
              x
              )
            
            
              h
              (
              x
              )
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}\,\!}
  

两边取自然对数，可得如下形式的差函数

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        ln
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          
            
              g
              (
              x
              )
            
            
              h
              (
              x
              )
            
          
        
        
          
            )
          
        
        =
        ln
        ⁡
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        −
        ln
        ⁡
        (
        h
        (
        x
        )
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \ln(f(x))=\ln {\Bigg (}{\frac {g(x)}{h(x)}}{\Bigg )}=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\!}
  

应用链式法则，两边求导，得

  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        −
        
          
            
              
                h
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              h
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}}
  

整理，可得

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        ×
        
          
            {
          
        
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        −
        
          
            
              
                h
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              h
              (
              x
              )
            
          
        
        
          
            }
          
        
        =
        
          
            
              g
              (
              x
              )
            
            
              h
              (
              x
              )
            
          
        
        ×
        
          
            {
          
        
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        −
        
          
            
              
                h
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              h
              (
              x
              )
            
          
        
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}
  

右边通分之后，结果和对
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
运用除法定则所得结果相同。


= 复合指数函数 =
对于如下形式的函数

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        g
        (
        x
        
          )
          
            h
            (
            x
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!}
  

两边取自然对数，可得如下形式的积函数

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        ln
        ⁡
        
          (
          
            g
            (
            x
            
              )
              
                h
                (
                x
                )
              
            
          
          )
        
        =
        h
        (
        x
        )
        ln
        ⁡
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))\,\!}
  

应用链式法则，两边求导，得

  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          h
          ′
        
        (
        x
        )
        ln
        ⁡
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        +
        h
        (
        x
        )
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}}
  

整理，得

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        ×
        
          
            {
          
        
        
          h
          ′
        
        (
        x
        )
        ln
        ⁡
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        +
        h
        (
        x
        )
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        
          
            }
          
        
        =
        g
        (
        x
        
          )
          
            h
            (
            x
            )
          
        
        ×
        
          
            {
          
        
        
          h
          ′
        
        (
        x
        )
        ln
        ⁡
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        +
        h
        (
        x
        )
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        
          
            }
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}=g(x)^{h(x)}\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}.}
  

与将函数f看做指数函数，直接运用链式法则所得结果相同。


参见 对数恒等式


参考文献 外部链接 网易公开课：对数微分法. 网易.   [2014-11-26]. （原始内容存档于2020-01-07）. 
对数之微分法（高中文理科）. Youtube.   [2014-11-26]. （原始内容存档于2016-03-14）. 
Differentiation by taking logarithms – Teach yourself. mathcentre.ac.uk.   [2012-01-03]. （原始内容存档于2020-10-26）. 
Logarithmic differentiation.   [2009-03-10]. （原始内容存档于2020-11-27）. 
Calculus I – Logarithmic differentiation.   [2009-03-10]. （原始内容存档于2021-01-03）.