在幾何學中，七維正八胞體（Octaexon或Octa-7-tope）是一種自身對偶的正七維多胞體，
是七維空間的單純形也是七維空間中最簡單的正圖形，因此又稱為7-單純形（7-simplex）
，由8個六維正七胞體的六維胞組成，其二面角為cos−1(1/7)約為81.79°。喬納森·鮑爾斯（Jonathan Bowers）將七維正八胞體縮寫為oca。


性質 七維正八胞體共由8個頂點、28條邊、56個三角形的面、70個正四面體的三維胞、56個正五胞體的四維胞、28個五維正六胞體的五維胞和8個六維正七胞體的六維胞組成，其中六維正七胞體為七維正八胞體的維面。
对于一个边长为a的七維正八胞体，其超胞积是
  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      7
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  20160
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {a^{7}}{20160}}}
  
,表胞积是
  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      7
                    
                  
                  
                    a
                    
                      6
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  720
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\sqrt {7}}a^{6}}{720}}}
  
,高是
  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  2
                  
                    
                      7
                    
                  
                  a
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  7
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {2{\sqrt {7}}a}{7}}}
  
。
若一个七維正八胞体的棱长为1，则其外接七維超球的半径为
  
    
      
        
          
            
              7
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sqrt {7}}{4}}}
  
,內切七維超球的半径为
  
    
      
        
          
            
              7
            
            32
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sqrt {7}}{32}}}
  
。
邊長為2的七維正八胞體可以內接於單位七維超立方體中。下一個可以內接於單位超方形的最大單純形為十一維正十二胞體。


= 作為一種排佈 =
七維正八胞體的排佈矩陣為：

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          8
                        
                        
                          7
                        
                        
                          21
                        
                        
                          35
                        
                        
                          35
                        
                        
                          21
                        
                        
                          7
                        
                      
                      
                        
                          2
                        
                        
                          28
                        
                        
                          6
                        
                        
                          15
                        
                        
                          20
                        
                        
                          15
                        
                        
                          6
                        
                      
                      
                        
                          3
                        
                        
                          3
                        
                        
                          56
                        
                        
                          5
                        
                        
                          10
                        
                        
                          10
                        
                        
                          5
                        
                      
                      
                        
                          4
                        
                        
                          6
                        
                        
                          4
                        
                        
                          70
                        
                        
                          4
                        
                        
                          6
                        
                        
                          4
                        
                      
                      
                        
                          5
                        
                        
                          10
                        
                        
                          10
                        
                        
                          5
                        
                        
                          56
                        
                        
                          3
                        
                        
                          3
                        
                      
                      
                        
                          6
                        
                        
                          15
                        
                        
                          20
                        
                        
                          15
                        
                        
                          6
                        
                        
                          28
                        
                        
                          2
                        
                      
                      
                        
                          7
                        
                        
                          21
                        
                        
                          35
                        
                        
                          35
                        
                        
                          21
                        
                        
                          7
                        
                        
                          8
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&7&21&35&35&21&7\\2&28&6&15&20&15&6\\3&3&56&5&10&10&5\\4&6&4&70&4&6&4\\5&10&10&5&56&3&3\\6&15&20&15&6&28&2\\7&21&35&35&21&7&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}
  

行和列對應於七維正八胞體的頂點、邊、面、胞、四維胞、五維胞和六維胞。對角線上的數字表示該元素在七維正八胞體中的數量。非對角線的數量表示對應行所代表的元素上有多少列所代表的元素交於該處。由於七維正八胞體是一種自身對偶的多胞體，因此這個排佈矩陣旋轉180度後會相同。


= 頂點座標 =
若一個七維正八胞體幾何中心位於原點，且邊長為2單位長，則其頂點座標為：

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                
                  /
                
                28
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                21
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                15
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                10
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                6
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                3
              
            
            ,
             
            ±
            1
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                
                  /
                
                28
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                21
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                15
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                10
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                6
              
            
            ,
             
            −
            2
            
              
                1
                
                  /
                
                3
              
            
            ,
             
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                
                  /
                
                28
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                21
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                15
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                10
              
            
            ,
             
            −
            
              
                3
                
                  /
                
                2
              
            
            ,
             
            0
            ,
             
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                
                  /
                
                28
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                21
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                15
              
            
            ,
             
            −
            2
            
              
                2
                
                  /
                
                5
              
            
            ,
             
            0
            ,
             
            0
            ,
             
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                
                  /
                
                28
              
            
            ,
             
            
              
                1
                
                  /
                
                21
              
            
            ,
             
            −
            
              
                5
                
                  /
                
                3
              
            
            ,
             
            0
            ,
             
            0
            ,
             
            0
            ,
             
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                
                  /
                
                28
              
            
            ,
             
            −
            
              
                12
                
                  /
                
                7
              
            
            ,
             
            0
            ,
             
            0
            ,
             
            0
            ,
             
            0
            ,
             
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            −
            
              
                7
                
                  /
                
                4
              
            
            ,
             
            0
            ,
             
            0
            ,
             
            0
            ,
             
            0
            ,
             
            0
            ,
             
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(-{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}
  

透過將七維正八胞體可以內接於七維超立方體中可以獲得更簡單的座標集合，其值為：

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            
              
                1
                4
              
            
            ,
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right).}
  

更簡單地，七維正八胞體可以坐落於八維空間座標(0,0,0,0,0,0,0,1)的排列。這個結構是基於八維正軸體的維面。


圖像 正交投影 參考文獻