機率分布（英語：probability distribution）簡稱分布，亦稱機率分配或分配，是概率論中的一個概念。

使用時可以有以下兩種含義：

廣義地，它指稱：隨機變量的概率性質——當我們說概率空間
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            F
          
        
        ,
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
  
中的兩個隨機變量X和Y具有同樣的分布時，我們是無法用概率
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
來區別他們的。換言之：
稱X和Y為同分布的隨機變量，當且僅當對任意事件
  
    
      
        A
        ∈
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
  
，有
  
    
      
        
          P
        
        (
        X
        ∈
        A
        )
        =
        
          P
        
        (
        Y
        ∈
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\mathbb {P} (Y\in A)}
  
成立。

但是，不能認為同分布的隨機變量是相同的隨機變量。事實上即使X與Y同分布，也可以没有任何點ω使得X(ω)=Y(ω)。在這個意義下，可以把隨機變量分類，每一類稱作一個分布，其中的所有隨機變量都同分布。用更簡要的語言來說，同分布是一種等價關係，每一個等價類就是一個分布。需注意的是，通常談到的離散分布、均勻分布、伯努利分布、正態分布、泊松分布等，都是指各種類型的分布，而不能視作一個分布。

狹義地，它是指：隨機變量的概率分布函數。設X是樣本空間
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            F
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}
  
上的隨機變量，
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
為概率測度，則稱如下定義的函數是X的分布函數，或稱累積分布函數：

  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
        (
        a
        )
        =
        
          P
        
        (
        X
        ≤
        a
        )
      
    
    {\displaystyle F_{X}(a)=\mathbb {P} (X\leq a)}
  
，對任意實數
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
定義。

具有相同分布函數的隨機變量一定是同分布的，因此可以用分布函數來描述一個分布，但更常用的描述手段是概率密度函數。


分布函數的性質刻劃 對於特定的隨機變量 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，其分布函數
  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{X}}
  
是單調不減及右連續，而且
  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
        (
        −
        ∞
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F_{X}(-\infty )=0}
  
，
  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
        (
        ∞
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle F_{X}(\infty )=1}
  
。這些性質反過來也描述了所有可能成為分布函數的函數：

設 
  
    
      
        F
        :
        [
        −
        ∞
        ,
        ∞
        ]
        →
        [
        0
        ,
        1
        ]
        ,
        F
        (
        −
        ∞
        )
        =
        0
        ,
        F
        (
        ∞
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle F:[-\infty ,\infty ]\to [0,1],F(-\infty )=0,F(\infty )=1}
  
且單調不減、右連續，則存在概率空間
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            F
          
        
        ,
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
  
及其上的隨機變量 X ，使得 F 是 X 的分布函數，即 
  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
        =
        F
      
    
    {\displaystyle F_{X}=F}
  


隨機變量的分布 設 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 為概率測度，
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 為隨機變量，則函數

  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        P
        (
        X
        ≤
        x
        )
        ,
        (
        x
        ∈
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)=P(X\leq x),(x\in \mathbb {R} )}
  

稱為 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的概率分布函數。如果将 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  
 在 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 处的函数值就表示 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 落在区间 
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,x]}
  
 上的概率。
例如，設隨機變量 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 為擲兩次骰子所得的點數差，而整个樣本空間由 36 个元素组成。

其分布函数是：

  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                  ,
                  x
                  <
                  0
                
              
              
                
                  6
                  
                    /
                  
                  36
                  ,
                  x
                  <
                  1
                
              
              
                
                  16
                  
                    /
                  
                  36
                  ,
                  x
                  <
                  2
                
              
              
                
                  24
                  
                    /
                  
                  36
                  ,
                  x
                  <
                  3
                
              
              
                
                  30
                  
                    /
                  
                  36
                  ,
                  x
                  <
                  4
                
              
              
                
                  34
                  
                    /
                  
                  36
                  ,
                  x
                  <
                  5
                
              
              
                
                  1
                  ,
                  x
                  ≥
                  5
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0,x<0\\6/36,x<1\\16/36,x<2\\24/36,x<3\\30/36,x<4\\34/36,x<5\\1,x\geq 5\end{cases}}}
  


离散機率分布族 上面所列举的例子属于离散分布，即分布函数的值域是離散的，比如只取整數值的隨機變量就是屬於離散分布的。
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  
表示随机变量
  
    
      
        X
        ≤
        x
      
    
    {\displaystyle X\leq x}
  
的概率值。如果X的取值只有
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        <
        
          x
          
            2
          
        
        <
        .
        .
        .
        <
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}<x_{2}<...<x_{n}}
  
，則：

  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            i
          
        
        P
        (
        
          x
          
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F_{X}(x_{i})=\sum _{j=1}^{i}P(x_{j})}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        P
        (
        
          x
          
            k
          
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}P(x_{k})=1}
  

其他常見的離散機率分布族有：


= 伯努利分布 =


= 二项式分布 =

二项分布是最重要的离散概率分布之一，由瑞士数学家雅各布·伯努利所发展，一般用二项分布来计算概率的前提是，每次抽出样品后再放回去，并且只能有两种试验结果，比如黑球或红球，正品或次品等。二项分布指出，随机一次试验出现的概率如果为
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，那么在
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
次试验中出现
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
次的概率为：

  
    
      
        f
        (
        n
        ,
        k
        ,
        p
        )
        =
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          p
          
            k
          
        
        (
        1
        −
        p
        
          )
          
            n
            −
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle f(n,k,p)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}
  

例如，在掷3次骰子中，不出现6点的概率是：
  
    
      
        f
        (
        3
        ,
        0
        ,
        
          
            1
            6
          
        
        )
        =
        
          
            
              (
            
            
              3
              0
            
            
              )
            
          
        
        
          
            (
            
              
                1
                6
              
            
            )
          
          
            0
          
        
        
          
            (
            
              
                5
                6
              
            
            )
          
          
            3
          
        
        =
        0.579
      
    
    {\displaystyle f(3,0,{\frac {1}{6}})={3 \choose 0}\left({\frac {1}{6}}\right)^{0}\left({\frac {5}{6}}\right)^{3}=0.579}
  
在连续两次的轮盘游戏中，至少出现一次红色的概率为：
  
    
      
        f
        (
        2
        ,
        1
        ,
        
          
            18
            37
          
        
        )
        +
        f
        (
        2
        ,
        2
        ,
        
          
            18
            37
          
        
        )
        =
        0.736
      
    
    {\displaystyle f(2,1,{\frac {18}{37}})+f(2,2,{\frac {18}{37}})=0.736}
  

二项分布在
  
    
      
        p
        =
        0.5
      
    
    {\displaystyle p=0.5}
  
时表现出图像的对称性，而在
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
取其它值时是非对称的。另外二项分布的期望值
  
    
      
        E
        ⁡
        (
        X
        )
        =
        n
        p
      
    
    {\displaystyle \operatorname {E} (X)=np}
  
，以及方差
  
    
      
        var
        ⁡
        (
        X
        )
        =
        n
        
        p
        
        (
        1
        −
        p
        )
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {var} (X)=n\,p\,(1-p)\!}
  


= 几何分布 =


= 負二項式分布 =


= 超几何分布 =

作为离散概率分布的超几何分布尤其指在抽样试验时抽出的样品不再放回去的分布情况。在一个容器中一共有
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
个球，其中
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
个黑球，
  
    
      
        (
        N
        −
        M
        )
      
    
    {\displaystyle (N-M)}
  
个红球，通过下面的超几何分布公式可以计算出，从容器中抽出的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个球中（抽出的球不放回去）有
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
个黑球的概率是多少：

  
    
      
        f
        (
        k
        ,
        n
        ;
        M
        ;
        N
        )
        :=
        
          
            
              
                
                  
                    (
                  
                  
                    M
                    k
                  
                  
                    )
                  
                
              
              
                
                  
                    (
                  
                  
                    
                      N
                      −
                      M
                    
                    
                      n
                      −
                      k
                    
                  
                  
                    )
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    (
                  
                  
                    N
                    n
                  
                  
                    )
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(k,n;M;N):={\frac {\displaystyle {M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle {N \choose n}}}}
  

例如，容器中一共10个球，其中6个黑色，4个白色，一共抽5次（抽出的球不放回去），在这5个球中有3个黑球的概率是：

  
    
      
        f
        (
        k
        =
        3
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    (
                  
                  
                    6
                    3
                  
                  
                    )
                  
                
              
              
                
                  
                    (
                  
                  
                    
                      10
                      −
                      6
                    
                    
                      5
                      −
                      3
                    
                  
                  
                    )
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    (
                  
                  
                    10
                    5
                  
                  
                    )
                  
                
              
            
          
        
        =
        0.476
      
    
    {\displaystyle f(k=3)={\frac {\displaystyle {6 \choose 3}{10-6 \choose 5-3}}{\displaystyle {10 \choose 5}}}=0.476}
  


 超几何分布与二项式分布的关系  與二項式分布不同的是，在超几何分布中，特別强调的是抽出的样品在下一次抽取前不再放回去，但是如果抽取的次数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
和总共样品数
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
相比很小（大约
  
    
      
        n
        
          /
        
        N
        <
        0.05
      
    
    {\displaystyle n/N<0.05}
  
），这时在计算上二项分布和超几何分布相互间则没有主要的区别，此时人们更愿意采用二项分布的方法，因为在数学计算上二项分布要简单一些。


= Poisson分布 =

Poisson近似是二项分布的一種極限形式。其强调如下的试验前提：一次抽样的概率值
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
相对很小，而抽取次数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
值又相对很大。因此泊松分布又被称之为罕有事件分布。泊松分布指出，如果随机一次试验出现的概率为
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，那么在
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
次试验中出现
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
次的概率按照泊松分布应该为：

  
    
      
        f
        (
        n
        ,
        k
        ,
        p
        )
        =
        
          
            
              (
              n
              ⋅
              p
              
                )
                
                  k
                
              
            
            
              
                e
                
                  n
                  ⋅
                  p
                
              
              ⋅
              k
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(n,k,p)={\frac {(n\cdot p)^{k}}{e^{n\cdot p}\cdot k!}}}
  

其中，数学常数
  
    
      
        e
        =
        2.71828...
      
    
    {\displaystyle e=2.71828...}
  
(自然對數的底数)例如，某工厂在生产零件时，每200个成品中会有1个次品，那么在100个零件中最多出现2个次品的概率按照泊松分布应该是：
  
    
      
        f
        (
        100
        ,
        0
        ,
        
          
            1
            200
          
        
        )
        +
        f
        (
        100
        ,
        1
        ,
        
          
            1
            200
          
        
        )
        +
        f
        (
        100
        ,
        2
        ,
        
          
            1
            200
          
        
        )
        =
        0.986
      
    
    {\displaystyle f(100,0,{\frac {1}{200}})+f(100,1,{\frac {1}{200}})+f(100,2,{\frac {1}{200}})=0.986}
  

在实践中如果遇到
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
值很大導致二项分布難於計算时，可以考慮使用泊松分布，但前提是
  
    
      
        n
        ⋅
        p
      
    
    {\displaystyle n\cdot p}
  
必須趨於一個有限极限。采用泊松分布的一个不太严格的规则（通过展开二项分布，并在形式上化简为类似泊松分布后，利用极限化简即可得）是：

  
    
      
        n
        ≥
        100
      
    
    {\displaystyle n\geq 100}
  

  
    
      
        p
        ≤
        0.1
      
    
    {\displaystyle p\leq 0.1}
  


= 離散均匀分布 =


連續機率分布族 設
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
是具有分布函数
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的连续随机变量，且F的一階導數處處存在，則其導函數

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              d
              ⁡
              F
              (
              x
              )
            
            
              d
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {d} F(x)}{\operatorname {d} x}}}
  

称为
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的機率密度函数。每个機率密度函数都有如下性质：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          
            d
          
        
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}x=1}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          
            d
          
        
        x
        =
        P
        ⁡
        (
        a
        ≤
        X
        ≤
        b
        )
        =
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)}
  

第一个性质表明，機率密度函数与
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
轴形成的区域的面积等于1，第二个性质表明，连续随机变量在区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
的概率值等于密度函数在区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的积分，也即是与
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
轴在
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
内形成的区域的面积。因为
  
    
      
        0
        ≤
        F
        (
        x
        )
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}
  
，且
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
是
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  
的导数，因此按照积分原理不难推出上面两个公式。
正态分布、指数分布、
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
-分布，
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
-分布以及
  
    
      
        
          χ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \chi ^{2}}
  
-分布都是連續分布。

常見的連續機率分布族有：


= 均匀分布 =


= 正态分布 =

连续随机变量的機率密度函数如果是如下形式，

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              σ
              
                
                  2
                  π
                
              
            
          
        
        
          e
          
            
              (
              
                −
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          x
                          −
                          μ
                        
                        σ
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}}
  

那么这个连续分布被称之为正态分布，或者高斯分布。其密度函数的曲线呈对称钟形，因此又被称之为钟形曲线，其中
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
是平均值，
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
是标准差。正态分布是一种理想分布，许多典型的分布，比如成年人的身高，汽车轮胎的运转状态，人类的智商值（IQ），都属于或者说至少接近正态分布。同样按照连续分布的定义，常態機率密度函数具有和普通機率密度函数类似的性质：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        
          
            d
          
        
        t
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,{\rm {d}}t=1}
  

  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              σ
              
                
                  2
                  π
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            x
          
        
        
          e
          
            
              (
              
                −
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          t
                          −
                          μ
                        
                        σ
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
              
              )
            
          
        
        
        
          
            d
          
        
        t
      
    
    {\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{\left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}\,{\rm {d}}t}
  

如果给出一个正态分布的平均值
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
以及标准差
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
，可以根据上面的第二个公式计算出任一区间的概率分布情况。但是如上的计算量是相当庞大的，没有计算机的辅助基本是不可能的，解决这一问题的方法是借助
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
-变换以及标准正态分布表格（
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
-表格）。
中间值
  
    
      
        μ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mu =0}
  
以及标准差
  
    
      
        σ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sigma =1}
  
的正态分布被称之为标准正态分布，其累積分布函数是

  
    
      
        Φ
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        ⋅
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            z
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                1
                2
              
            
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \int _{-\infty }^{z}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t}
  

将普通形式的正态分布变换到标准正态分布的方法是

  
    
      
        z
        =
        
          
            
              x
              −
              μ
            
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}
  

例如，已知
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
服從正态分布，且
  
    
      
        μ
        =
        5
      
    
    {\displaystyle \mu =5}
  
，
  
    
      
        σ
        =
        3
      
    
    {\displaystyle \sigma =3}
  
，求区间概率值
  
    
      
        P
        (
        4
        <
        X
        ≤
        7
        )
      
    
    {\displaystyle P(4<X\leq 7)}
  
。计算过程如下：
設另一隨機變量
  
    
      
        Z
        =
        
          
            
              X
              −
              5
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle Z={\frac {X-5}{3}}}
  
，則
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
服從標準常態分佈，且

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                
                4
                <
                X
                ≤
                7
              
            
            
              
              
                
                
                ⟺
                
                
                  
                    
                      4
                      −
                      5
                    
                    3
                  
                
                <
                Z
                ≤
                
                  
                    
                      7
                      −
                      5
                    
                    3
                  
                
              
            
            
              
              
                
                
                ⟺
                
                −
                1
                
                  /
                
                3
                <
                Z
                ≤
                2
                
                  /
                
                3
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&\qquad \quad 4<X\leq 7\\&\iff {\frac {4-5}{3}}<Z\leq {\frac {7-5}{3}}\\&\iff -1/3<Z\leq 2/3,\end{aligned}}}
  

所以

  
    
      
        P
        (
        4
        <
        X
        ≤
        7
        )
        =
        P
        (
        −
        1
        
          /
        
        3
        <
        Z
        ≤
        2
        
          /
        
        3
        )
        =
        Φ
        (
        2
        
          /
        
        3
        )
        −
        Φ
        (
        −
        1
        
          /
        
        3
        )
        ≈
        0.7475
        −
        0.3694
        =
        0.3781
        ,
      
    
    {\displaystyle P(4<X\leq 7)=P(-1/3<Z\leq 2/3)=\Phi (2/3)-\Phi (-1/3)\approx 0.7475-0.3694=0.3781,}
  

其中
  
    
      
        Φ
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (z)}
  
值通过查
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
-表格获得。


 正态分布与二项分布的关系  在离散分布中如果试验次数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
值非常大，而且单次试验的概率
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
值又不是很小的情况下，正态分布可以用来近似的代替二项分布。一个粗略的使用正态分布的近似规则是：
  
    
      
        n
        ⋅
        p
        ⋅
        (
        1
        −
        p
        )
        ≥
        9
      
    
    {\displaystyle n\cdot p\cdot (1-p)\geq 9}
  
。从二项分布中获得
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
和
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
值的方法是

期望值
  
    
      
        μ
        =
        n
        ⋅
        p
      
    
    {\displaystyle \mu =n\cdot p}
  

標準差
  
    
      
        σ
        =
        
          
            n
            ⋅
            p
            ⋅
            (
            1
            −
            p
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}}
  

如果
  
    
      
        σ
        >
        3
      
    
    {\displaystyle \sigma >3}
  
，则必须采用下面的近似修正方法：

  
    
      
        P
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ≤
        X
        ≤
        
          x
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    
                      x
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      n
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                ⋅
                
                  p
                  
                    k
                  
                
                ⋅
                (
                q
                
                  )
                  
                    n
                    −
                    k
                  
                
              
              ⏟
            
          
          
            
              E
              F
            
          
        
        ≈
        
          
            
              
                Φ
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        +
                        0.5
                        −
                        μ
                      
                      σ
                    
                  
                  )
                
                −
                Φ
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                        −
                        0.5
                        −
                        μ
                      
                      σ
                    
                  
                  )
                
              
              ⏟
            
          
          
            
              Z
              F
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P(x_{1}\leq X\leq x_{2})=\underbrace {\sum _{k=x_{1}}^{x_{2}}{n \choose k}\cdot p^{k}\cdot (q)^{n-k}} _{\mathrm {EF} }\approx \underbrace {\Phi \left({\frac {x_{2}+0.5-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {x_{1}-0.5-\mu }{\sigma }}\right)} _{\mathrm {ZF} }}
  

上（下）临界值分别增加（减少）修正值0.5的目的是在
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
值很大时获得更精确的近似值，只有
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
很小时，修正值0.5可以不被考虑。
例如，随机试验为连续64次掷硬币，获得的国徽数位于32和42之间的概率是多少？用正态分布计算如下，

  
    
      
        μ
        =
        n
        ⋅
        p
        =
        64
        ⋅
        0.5
        =
        32
      
    
    {\displaystyle \mu =n\cdot p=64\cdot 0.5=32}
  

  
    
      
        σ
        =
        
          
            n
            ⋅
            p
            ⋅
            (
            1
            −
            p
            )
          
        
        =
        
          
            64
            ⋅
            0.5
            ⋅
            0.5
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle \sigma ={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}={\sqrt {64\cdot 0.5\cdot 0.5}}=4}
  

  
    
      
        n
        ⋅
        p
        ⋅
        q
        =
        16
        ≥
        9
      
    
    {\displaystyle n\cdot p\cdot q=16\geq 9}
  
，符合近似规则，应用
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
-变换：

  
    
      
        P
        (
        32
        ≤
        X
        ≤
        42
        )
        ≈
        Φ
        
          (
          
            
              
                42
                +
                0.5
                −
                32
              
              4
            
          
          )
        
        −
        Φ
        
          (
          
            
              
                32
                −
                0.5
                −
                32
              
              4
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P(32\leq X\leq 42)\approx \Phi \left({\frac {42+0.5-32}{4}}\right)-\Phi \left({\frac {32-0.5-32}{4}}\right)}
  

  
    
      
        =
        Φ
        
          (
          2.63
          )
        
        −
        Φ
        
          (
          
            −
            0.13
          
          )
        
        =
        0.0517
        +
        0.4957
        =
        0.5474
      
    
    {\displaystyle =\Phi \left(2.63\right)-\Phi \left(-0.13\right)=0.0517+0.4957=0.5474}
  

在运用
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
-表格时注意到利用密度函数的对称性来求出
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
为负值时的区域面积。


= 伽瑪分布 =


= 指数分布 =


= 其他連續型常用分布 =


 貝它分布   雙指數分布   對數常態分布   柏拉圖分布   柯西分布  = 多元常態分布 =


参考文献 參見 概率论
隨機變數
累积分布函数
概率密度函数
概率質量函数


注释 外部链接 概率分布Java演示
二项分布Java演示
超几何分布Java演示
泊松分布Java演示
正态分布Java演示