匹配渐近展开法（英語：method of matched asymptotic expansions）是数学中用于获得方程或方程组高精度近似解的一种常用方法，尤其常用于奇异摄动微分方程的求解。
对于许多奇异摄动问题而言，可以将定义域分成两个或多个部分。其中一部分（通常是范围最大的部分）可以通过正则摄动理论获得渐近展开级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层，处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理，以获得相应的“内解”（之前通过正则摄动获得的则称为“外解”）。最后再将内解与外解通过“匹配”的办法合并，以得到在整个定义域内都适用的近似解。


示例 考虑边值问题

  
    
      
        ϵ
        
          y
          ″
        
        +
        (
        1
        +
        ϵ
        )
        
          y
          ′
        
        +
        y
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \epsilon y''+(1+\epsilon )y'+y=0,}
  

其中
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
为时间
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
的函数，定义域从0到1，边界条件为
  
    
      
        y
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y(0)=0}
  
与
  
    
      
        y
        (
        1
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle y(1)=1}
  
。
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
是一个小参数，满足
  
    
      
        0
        <
        ϵ
        ≪
        1
      
    
    {\displaystyle 0<\epsilon \ll 1}
  
。


= 外解（t = O(1)） =
由
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
十分小，故可以当作正则摄动问题处理。取
  
    
      
        ϵ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon =0}
  
，有

  
    
      
        
          y
          ′
        
        +
        y
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle y'+y=0.\,}
  

该方程的解为

  
    
      
        y
        =
        A
        
          e
          
            −
            t
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y=Ae^{-t}\,}
  

其中
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
为常数。使用边界条件
  
    
      
        y
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y(0)=0}
  
，有
  
    
      
        A
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A=0}
  
。而如果使用另一个边界条件
  
    
      
        y
        (
        1
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle y(1)=1}
  
，则有
  
    
      
        A
        =
        e
      
    
    {\displaystyle A=e}
  
。这说明该解不可能满足所有边界条件，意味着
  
    
      
        ϵ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon =0}
  
的假设不能在整个定义域中都适用（即奇异摄动问题）。于是，我们能够知道定义域中必定存在一个边界层，其中
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
与自变量
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
相比不能再忽略不计。这个边界层位于
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
  
一侧。于是我们使用另一个边界条件
  
    
      
        y
        (
        1
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle y(1)=1}
  
得到适用于边界层以外区域的外解
  
    
      
        
          y
          
            O
          
        
        =
        
          e
          
            1
            −
            t
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y_{O}=e^{1-t}\,}
  
。


= 内解（t = O(ε）） =
在边界层之内，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
与
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
都很小，但它们大小相若，故可以定义一个新的O(1) 时间变量
  
    
      
        τ
        =
        t
        
          /
        
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \tau =t/\epsilon }
  
。于是原先的边值问题可以改写为

  
    
      
        
          
            1
            ϵ
          
        
        
          y
          ″
        
        (
        τ
        )
        +
        
          (
          
            1
            +
            ϵ
          
          )
        
        
          
            1
            ϵ
          
        
        
          y
          ′
        
        (
        τ
        )
        +
        y
        (
        τ
        )
        =
        0
        ,
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\epsilon }}y''(\tau )+\left({1+\epsilon }\right){\frac {1}{\epsilon }}y'(\tau )+y(\tau )=0,\,}
  

将两边同乘
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
再取
  
    
      
        ϵ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon =0}
  
，得到

  
    
      
        
          y
          ″
        
        +
        
          y
          ′
        
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle y''+y'=0.\,}
  

该方程的解为

  
    
      
        y
        =
        B
        −
        C
        
          e
          
            −
            τ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y=B-Ce^{-\tau }\,}
  

其中
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
与
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
为常数。使用边界层内的边界条件
  
    
      
        y
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y(0)=0}
  
，得到
  
    
      
        B
        =
        C
      
    
    {\displaystyle B=C}
  
。故内解为

  
    
      
        
          y
          
            I
          
        
        =
        B
        
          (
          
            1
            −
            
              e
              
                −
                τ
              
            
          
          )
        
        =
        B
        
          (
          
            1
            −
            
              e
              
                −
                t
                
                  /
                
                ϵ
              
            
          
          )
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle y_{I}=B\left({1-e^{-\tau }}\right)=B\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right).\,}
  


= 匹配 =
由于对于中间大小的
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
（
  
    
      
        ϵ
        ≪
        t
        ≪
        1
      
    
    {\displaystyle \epsilon \ll t\ll 1}
  
）需同时满足内解和外解，故可以令内解的外极限与外解的内极限相等，即
  
    
      
        
          lim
          
            τ
            →
            ∞
          
        
        
          y
          
            I
          
        
        =
        
          lim
          
            t
            →
            0
          
        
        
          y
          
            O
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }y_{I}=\lim _{t\to 0}y_{O}\,}
  
。由此得到常数
  
    
      
        B
        =
        e
      
    
    {\displaystyle B=e}
  
。


= 合并 =

最后，将匹配好的内解与外解合并，以得到适用于整个定义域的近似解。具体而言，即是将内解与外解相加，再减去内、外解重合部分的值
  
    
      
        
        
          y
          
            
              o
              v
              e
              r
              l
              a
              p
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \,y_{\mathrm {overlap} }}
  
（即外解的内极限，或内解的外极限）。此问题中，重合部分的值为
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
。故可以得到原边值问题的最终近似解为

  
    
      
        y
        (
        t
        )
        =
        
          y
          
            I
          
        
        +
        
          y
          
            O
          
        
        −
        
          y
          
            
              o
              v
              e
              r
              l
              a
              p
            
          
        
        =
        e
        
          (
          
            1
            −
            
              e
              
                −
                t
                
                  /
                
                ϵ
              
            
          
          )
        
        +
        
          e
          
            1
            −
            t
          
        
        −
        e
        =
        e
        
          (
          
            
              e
              
                −
                t
              
            
            −
            
              e
              
                −
                t
                
                  /
                
                ϵ
              
            
          
          )
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle y(t)=y_{I}+y_{O}-y_{\mathrm {overlap} }=e\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right)+e^{1-t}-e=e\left({e^{-t}-e^{-t/\epsilon }}\right).\,}
  


参考文献