餘割（Cosecant，
  
    
      
        csc
      
    
    {\displaystyle \csc }
  
）是三角函数的一种。它的定义域不是
  
    
      
        k
        π
      
    
    {\displaystyle k\pi }
  
（或180°k，其中
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）。
餘割是三角函数的餘函數（餘弦、餘切、餘割、餘矢）之一，所以在
  
    
      
        2
        k
        π
      
    
    {\displaystyle 2k\pi }
  
（360°k）到
  
    
      
        2
        k
        π
        +
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2k\pi +{\frac {\pi }{2}}}
  
（360°k+90°）的區間之間，函數是遞减的，另外餘割函数和正弦函数互為倒數。
在單位圓上，餘割函数位於割線上，因此將此函數命名為餘割函数。
和其他三角函數一樣，餘割函数一樣可以擴展到複數。


符号史 余割的符号为
  
    
      
        csc
      
    
    {\displaystyle \csc }
  
，取自英文cosecant，其又源於拉丁文的cosecans及secans complementi。


定义 = 直角三角形中 =

在直角三角形中，一个銳角
  
    
      
        ∠
        A
      
    
    {\displaystyle \angle A}
  
的餘割定義為它的斜邊與對邊的比值，也就是：

  
    
      
        csc
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              c
            
            
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {a} }}}
  

其定義與正弦函數互為倒數。


= 直角坐标系中 =
设
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，
  
    
      
        P
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P\left({x,y}\right)}
  
是角的终边上一点，
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}
  
是P到原点O的距离，则
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
的余割定义为：

  
    
      
        csc
        ⁡
        α
        =
        
          
            r
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \csc \alpha ={\frac {r}{y}}}
  


= 单位圆定义 =

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于
  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \sin \theta }
  
。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了
  
    
      
        csc
        ⁡
        θ
        =
        
          
            1
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y}}}
  
。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）或小于
  
    
      
        −
        2
        π
      
    
    {\displaystyle -2\pi }
  
（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，餘割变成了周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）的周期函数：

  
    
      
        csc
        ⁡
        θ
        =
        csc
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            2
            π
            k
          
          )
        
        =
        csc
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            
              360
              
                ∘
              
            
            k
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \csc \theta =\csc \left(\theta +2\pi k\right)=\csc \left(\theta +360^{\circ }k\right)}
  

对于任何角度
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
和任何整数
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
。


= 與其他函數定義 =
餘割函數和正弦函數互為倒數
即：

  
    
      
        csc
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            
              sin
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}
  


= 級數定義 =
餘割也能使用泰勒級數來定義：

  
    
      
        csc
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            x
          
        
        +
        
          
            x
            6
          
        
        +
        
          
            
              7
              
                x
                
                  3
                
              
            
            360
          
        
        +
        
          
            
              31
              
                x
                
                  5
                
              
            
            15120
          
        
        +
        
          
            
              127
              
                x
                
                  7
                
              
            
            604800
          
        
        +
        
          
            
              73
              
                x
                
                  9
                
              
            
            3421440
          
        
        +
        .
        .
        .
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              2
              (
              
                2
                
                  2
                  n
                  −
                  1
                
              
              −
              1
              )
              
                B
                
                  2
                  n
                
              
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        
          x
          
            2
            n
            −
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+{\frac {127x^{7}}{604800}}+{\frac {73x^{9}}{3421440}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.}
  

其中
  
    
      
        
          B
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{2n}}
  
為伯努利數。
另外，我们也有

  
    
      
        csc
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            x
          
        
        +
        2
        x
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              −
              
                n
                
                  2
                
              
              
                π
                
                  2
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{-n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}.}
  


= 微分方程定义 =

  
    
      
        
          csc
          ′
        
        ⁡
        x
        =
        −
        csc
        ⁡
        x
        cot
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \csc 'x=-\csc x\cot x}
  

  
    
      
        csc
        ⁡
        x
        =
        
          
            (
            
              ln
              ⁡
              
                |
                
                  csc
                  ⁡
                  x
                  −
                  cot
                  ⁡
                  x
                
                |
              
            
            )
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \csc x=\left(\ln \left|\csc x-\cot x\right|\right)'}
  


= 指数定义 =

  
    
      
        csc
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              2
              
                i
              
            
            
              
                e
                
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \csc \theta ={\frac {2\mathrm {i} }{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}
  


恆等式 = 和差角公式 =

  
    
      
        csc
        ⁡
        (
        θ
        ±
        ψ
        )
        =
        
          
            
              csc
              ⁡
              θ
              csc
              ⁡
              ψ
            
            
              cot
              ⁡
              ψ
              ±
              cot
              ⁡
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \csc(\theta \pm \psi )={\frac {\csc \theta \csc \psi }{\cot \psi \pm \cot \theta }}}
  


參見 正弦
餘弦
正切
餘切
正割
三角学
三角函数
函數
正弦波