在概率论与统计学中，任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 是正态分布的随机变量，则 
  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle \exp(Y)}
  
（指数函数）为对数正态分布；同样，如果 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 是对数正态分布，则 
  
    
      
        ln
        ⁡
        X
      
    
    {\displaystyle \ln X}
  
为正态分布。
如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。
对于 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  
，对数正态分布的概率密度函数为

  
    
      
        f
        (
        x
        ;
        μ
        ,
        σ
        )
        =
        
          
            1
            
              x
              σ
              
                
                  2
                  π
                
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            (
            ln
            ⁡
            x
            −
            μ
            
              )
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
            
              σ
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}
  

其中 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 与 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

  
    
      
        
          E
        
        (
        X
        )
        =
        
          e
          
            μ
            +
            
              σ
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
  

方差为

  
    
      
        
          v
          a
          r
        
        (
        X
        )
        =
        (
        
          e
          
            
              σ
              
                2
              
            
          
        
        −
        1
        )
        
          e
          
            2
            μ
            +
            
              σ
              
                2
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,}
  

给定期望值与方差，也可以用这个关系求 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 与 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  

  
    
      
        μ
        =
        ln
        ⁡
        (
        
          E
        
        (
        X
        )
        )
        −
        
          
            1
            2
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            1
            +
            
              
                
                  
                    v
                    a
                    r
                  
                  (
                  X
                  )
                
                
                  
                    E
                  
                  (
                  X
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right),}
  

  
    
      
        
          σ
          
            2
          
        
        =
        ln
        ⁡
        
          (
          
            1
            +
            
              
                
                  
                    v
                    a
                    r
                  
                  (
                  X
                  )
                
                
                  
                    E
                  
                  (
                  X
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right).}
  


与几何平均值和几何标准差的关系 对数正态分布、几何平均数与几何標準差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 
  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle \exp(\mu )}
  
，几何標準差等于 
  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        σ
        )
      
    
    {\displaystyle \exp(\sigma )}
  
。
如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

其中几何平均数 
  
    
      
        
          μ
          
            
              g
              e
              o
            
          
        
        =
        exp
        ⁡
        (
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )}
  
，几何標準差 
  
    
      
        
          σ
          
            
              g
              e
              o
            
          
        
        =
        exp
        ⁡
        (
        σ
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )}
  


矩 原始矩为：

  
    
      
        
          μ
          
            1
          
        
        =
        
          e
          
            μ
            +
            
              σ
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
  

  
    
      
        
          μ
          
            2
          
        
        =
        
          e
          
            2
            μ
            +
            4
            
              σ
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}}
  

  
    
      
        
          μ
          
            3
          
        
        =
        
          e
          
            3
            μ
            +
            9
            
              σ
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}}
  

  
    
      
        
          μ
          
            4
          
        
        =
        
          e
          
            4
            μ
            +
            16
            
              σ
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}}
  

或者更为一般的矩

  
    
      
        
          μ
          
            k
          
        
        =
        
          e
          
            k
            μ
            +
            
              k
              
                2
              
            
            
              σ
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.}
  


局部期望 随机变量 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 在阈值 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 上的局部期望定义为

  
    
      
        g
        (
        k
        )
        =
        
          ∫
          
            k
          
          
            ∞
          
        
        (
        x
        −
        k
        )
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }(x-k)f(x)\,dx}
  

其中 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

  
    
      
        g
        (
        k
        )
        =
        exp
        ⁡
        (
        μ
        +
        
          σ
          
            2
          
        
        
          /
        
        2
        )
        Φ
        
          (
          
            
              
                −
                ln
                ⁡
                (
                k
                )
                +
                μ
                +
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
              
              σ
            
          
          )
        
        −
        k
        Φ
        
          (
          
            
              
                −
                ln
                ⁡
                (
                k
                )
                +
                μ
              
              σ
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle g(k)=\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu +\sigma ^{2}}{\sigma }}\right)-k\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu }{\sigma }}\right)}
  

其中 
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
  
 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。


参数的最大似然估计 为了确定对数正态分布参数 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 与 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

  
    
      
        
          f
          
            L
          
        
        (
        x
        ;
        μ
        ,
        σ
        )
        =
        
          
            1
            x
          
        
        
        
          f
          
            N
          
        
        (
        ln
        ⁡
        x
        ;
        μ
        ,
        σ
        )
      
    
    {\displaystyle f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )}
  

其中用 
  
    
      
        
          f
          
            L
          
        
        (
        ⋅
        )
      
    
    {\displaystyle f_{L}(\cdot )}
  
 表示对数正态分布的概率密度函数，用 
  
    
      
        
          f
          
            N
          
        
        (
        ⋅
        )
      
    
    {\displaystyle f_{N}(\cdot )}
  
— 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ℓ
                  
                    L
                  
                
                (
                μ
                ,
                σ
                
                  |
                
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                ,
                .
                .
                .
                ,
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                )
              
              
                =
              
              
                −
                
                  ∑
                  
                    k
                  
                
                ln
                ⁡
                
                  x
                  
                    k
                  
                
                +
                
                  ℓ
                  
                    N
                  
                
                (
                μ
                ,
                σ
                
                  |
                
                ln
                ⁡
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                ,
                ln
                ⁡
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                ,
                …
                ,
                ln
                ⁡
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                )
                =
              
            
            
              
            
            
              
                 
              
              
                =
              
              
                constant
                +
                
                  ℓ
                  
                    N
                  
                
                (
                μ
                ,
                σ
                
                  |
                
                ln
                ⁡
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                ,
                ln
                ⁡
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                ,
                …
                ,
                ln
                ⁡
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                )
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{L}(\mu ,\sigma |x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})=\\\\\ &=&\operatorname {constant} +\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).\end{matrix}}}
  

由于第一项相对于 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 与 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 来说是常数，两个对数最大似然函数 
  
    
      
        
          ℓ
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{L}}
  
 与 
  
    
      
        
          ℓ
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{N}}
  
 在同样的 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 与 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

  
    
      
        
          
            
              μ
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              
                ∑
                
                  k
                
              
              ln
              ⁡
              
                x
                
                  k
                
              
            
            n
          
        
        ,
         
        
          
            
              
                σ
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                ∑
                
                  k
                
              
              
                
                  
                    (
                    
                      ln
                      ⁡
                      
                        x
                        
                          k
                        
                      
                      −
                      
                        
                          
                            μ
                            ^
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.}
  


相关分布 如果 
  
    
      
        Y
        =
        ln
        ⁡
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle Y=\ln(X)}
  
 与 
  
    
      
        X
        ∼
        
          L
          o
          g
          -
          N
        
        ⁡
        (
        μ
        ,
        
          σ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})}
  
，则 
  
    
      
        Y
        ∼
        N
        (
        μ
        ,
        
          σ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}
  
 是正态分布。
如果 
  
    
      
        
          X
          
            m
          
        
        ∼
        
          L
          o
          g
          -
          N
        
        ⁡
        (
        μ
        ,
        
          σ
          
            m
          
          
            2
          
        
        )
        ,
         
        m
        =
        
          
            
              1...
              n
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}}
  
 是有同样 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 参数、而 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 可能不同的统计独立对数正态分布变量 ，并且 
  
    
      
        Y
        =
        
          ∏
          
            m
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          X
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}}
  
，则 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 也是对数正态分布变量：
  
    
      
        Y
        ∼
        
          L
          o
          g
          -
          N
        
        ⁡
        
          (
          
            n
            μ
            ,
            
              ∑
              
                m
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              σ
              
                m
              
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)}
  
。


进一步的阅读资料 Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.


参考文献 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues （页面存档备份，存于互联网档案馆）, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.


参见 几何平均数
几何标准差
误差函数