椭球是一种二次曲面，是椭圆在三维空间的推广。


标准方程 椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的方程式：

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}
  

其中a和b是赤道半径（沿着x和y轴），c是极半径（沿着z轴）。这三个数都是固定的正实数，决定了椭球的形状。
如果三个半径都是相等的，那么就是一个球；如果有两个半径是相等的，则是一个类球面。

  
    
      
        a
        =
        b
        =
        c
        
        
      
    
    {\displaystyle a=b=c\,\!}
  
 ：球；

  
    
      
        a
        =
        b
        >
        c
        
        
      
    
    {\displaystyle a=b>c\,\!}
  
 ：扁球面（类似盤状）；

  
    
      
        a
        =
        b
        <
        c
        
        
      
    
    {\displaystyle a=b<c\,\!}
  
 ：长球面（类似條状）；

  
    
      
        a
        =
        b
        ,
        b
        =
        c
        ,
        c
        =
        a
        
      
    
    {\displaystyle a\neq b,b\neq c,c\neq a\!}
  
 ：不等边椭球（“三条边都不相等”）。
点(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。从原点到这三个点的线段，称为椭球的半主轴。它们与椭圆的半长轴和半短轴相对应。


参数化 使用球坐标系，其中
  
    
      
        
          
            +
          
        
        
        
        
        θ
        
          
            
              
              ′
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\theta {\color {white}'}\,\!}
  
是天顶角，
  
    
      
        
          
            +
          
        
        
        
        
        φ
        
          
            
            
            
            −
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\varphi {\color {white}\!\!\!-}\,\!}
  
是方位角，则椭球可以表示为以下的参数形式：

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                a
                
                sin
                ⁡
                θ
                cos
                ⁡
                φ
                ;
                
                
                  
                    
                      |
                    
                  
                
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                b
                
                sin
                ⁡
                θ
                sin
                ⁡
                φ
                ;
              
            
            
              
                z
              
              
                
                =
                c
                
                cos
                ⁡
                θ
                ;
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\sin \theta \cos \varphi ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=c\,\cos \theta ;\end{aligned}}\,\!}
  

  
    
      
        
          
            
              
                0
                ≤
                θ
                ≤
                
                  
                    180
                  
                  
                    ∘
                  
                
                ;
                
                
                  0
                
                ≤
                φ
                ≤
                
                  
                    360
                  
                  
                    ∘
                  
                
                ;
                
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}0\leq \theta \leq {180}^{\circ };\quad {0}\leq \varphi \leq {360}^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!}
  

使用地理坐标系，其中
  
    
      
        β
        
        
      
    
    {\displaystyle \beta \,\!}
  
是一点的参数纬度，
  
    
      
        
          
            +
          
        
        
        
        
        λ
        
          
            
              
              ′
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\lambda {\color {white}'}\,\!}
  
是该点的经度：

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                a
                
                cos
                ⁡
                β
                cos
                ⁡
                λ
                ;
                
                
                  
                    
                      |
                    
                  
                
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                b
                
                cos
                ⁡
                β
                sin
                ⁡
                λ
                ;
              
            
            
              
                z
              
              
                
                =
                c
                
                sin
                ⁡
                β
                ;
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos \beta \cos \lambda ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\cos \beta \sin \lambda ;\\z&=c\,\sin \beta ;\end{aligned}}\,\!}
  

  
    
      
        
          
            
              
                −
                
                  90
                  
                    ∘
                  
                
                ≤
                β
                ≤
                
                  90
                  
                    ∘
                  
                
                ;
                
                −
                
                  180
                  
                    ∘
                  
                
                ≤
                λ
                ≤
                
                  180
                  
                    ∘
                  
                
                ;
                
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}-90^{\circ }\leq \beta \leq 90^{\circ };\quad -180^{\circ }\leq \lambda \leq 180^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!}
  

（注意，当
  
    
      
        
          
            
              
                
                  |
                
              
            
            β
            =
            ±
            
              
                90
              
              
                ∘
              
            
          
          
            
              
                |
              
            
          
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {{\color {white}|}\beta =\pm {90}^{\circ }}{\color {white}|}\,\!}
  
时，也就是在极点时，这个参数不是一一对应的）


体积和表面积 = 体积 =
椭球的体积由以下公式给出：

  
    
      
        
          
            4
            3
          
        
        π
        a
        b
        c
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!}
  

注意，当三个半径都相等时，这个公式便化为球的体积；两个半径相等时，便化为扁球面或长球面的体积。


= 表面积 =
椭球的表面积由以下公式给出：

  
    
      
        S
        =
        2
        π
        
          [
          
            
              c
              
                2
              
            
            +
            b
            
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
            F
            
              (
              
                o
                
                ε
                ,
                
                  
                    
                      
                        b
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        c
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        b
                        
                          2
                        
                      
                      
                        sin
                        
                          2
                        
                      
                      ⁡
                      o
                      
                      ε
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                
                  b
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            E
            
              (
              
                o
                
                ε
                ,
                
                  
                    
                      
                        b
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        c
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        b
                        
                          2
                        
                      
                      
                        sin
                        
                          2
                        
                      
                      ⁡
                      o
                      
                      ε
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        ,
        
        
      
    
    {\displaystyle S=2\pi \left[c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}F\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}\right)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}E\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}\right)\right],\,\!}
  

其中

  
    
      
        o
        
        ε
        =
        arccos
        ⁡
        
          
            c
            a
          
        
        
      
    
    {\displaystyle o\!\varepsilon =\arccos {\frac {c}{a}}\;}
  
（扁球面）或
  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          
            a
            c
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \arccos {\frac {a}{c}}\;}
  
（长球面），是角离心率；
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        k
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle F(x,k)\,\!}
  
、
  
    
      
        E
        (
        x
        ,
        k
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle E(x,k)\,\!}
  
是第一类和第二类不完全椭圆积分。
与球的表面积不同，椭球的表面积一般不能用初等函数来表示。
一个近似公式为：

  
    
      
        S
        ≈
        4
        π
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    a
                    
                      p
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      p
                    
                  
                  
                    c
                    
                      p
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      p
                    
                  
                  
                    c
                    
                      p
                    
                  
                
                3
              
            
            )
          
          
            
              1
              p
            
          
        
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{\frac {1}{p}}.\,\!}
  

其中
  
    
      
        p
        ≈
        1.6075
        
      
    
    {\displaystyle p\approx 1.6075\,}
  
。这样相对误差最多为
  
    
      
        1.061
        
      
    
    {\displaystyle 1.061\,}
  
%（Knud Thomsen公式）；
  
    
      
        p
        =
        
          
            8
            5
          
        
        =
        1.6
        
      
    
    {\displaystyle p={\frac {8}{5}}=1.6\,}
  
的值对于接近于球的椭球较为适宜，其相对误差最多为
  
    
      
        1.178
        
      
    
    {\displaystyle 1.178\,}
  
%（David W. Cantrell公式）。
对于
  
    
      
        a
        =
        b
        
      
    
    {\displaystyle a=b\,}
  
的情况，有一个精确的公式：

 扁球面：
  
    
      
        S
        =
        2
        π
        
        
          (
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              c
              
                2
              
            
            
              
                
                  arctanh
                  ⁡
                  sin
                  ⁡
                  o
                  
                  ε
                
                
                  sin
                  ⁡
                  o
                  
                  ε
                
              
            
          
          )
        
        ;
        
        
      
    
    {\displaystyle S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} \sin o\!\varepsilon }{\sin o\!\varepsilon }}\right);\,\!}
  

长球面：
  
    
      
        S
        =
        2
        π
        
        
          (
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              c
              
                2
              
            
            
              
                
                  o
                  
                  ε
                
                
                  tan
                  ⁡
                  o
                  
                  ε
                
              
            
          
          )
        
        ;
        
        
      
    
    {\displaystyle S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {o\!\varepsilon }{\tan o\!\varepsilon }}\right);\,\!}
  

  
    
      
        c
        
      
    
    {\displaystyle c\,}
  
比
  
    
      
        a
        
      
    
    {\displaystyle a\,}
  
和
  
    
      
        b
        
      
    
    {\displaystyle b\,}
  
都小很多时，表面积近似等于
  
    
      
        2
        π
        a
        b
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle 2\pi ab.\,\!}
  
。


椭球与平面相交的横截面 椭球与平面相交的横截面为椭圆。如右图所示，椭圆的两个直径 
  
    
      
        
          
            d
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {d_{2}}}
  
 与 
  
    
      
        
          
            d
            
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {d_{1}}}
  
 可表示为

  
    
      
        
          
            d
            
              1
              ,
              2
            
            
              2
            
          
        
        =
        
          
            
              8
              (
              1
              −
              
                
                  
                    z
                    
                      c
                    
                    
                      2
                    
                  
                  
                    
                      ∑
                      
                        i
                        =
                        1
                      
                      
                        3
                      
                    
                    
                      r
                      
                        i
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      sin
                      
                        2
                      
                    
                    ⁡
                    
                      p
                      
                        i
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            
              
                
                  ∑
                  
                    i
                    =
                    1
                  
                  
                    3
                  
                
                
                  
                    
                      
                        cos
                        
                          2
                        
                      
                      ⁡
                      
                        p
                        
                          i
                        
                      
                    
                    
                      
                        r
                        
                          i
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
              ±
              
                
                  (
                  
                    ∑
                    
                      i
                      =
                      1
                    
                    
                      3
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          cos
                          
                            2
                          
                        
                        ⁡
                        
                          p
                          
                            i
                          
                        
                      
                      
                        
                          r
                          
                            i
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  (
                  
                    ∑
                    
                      i
                      =
                      1
                    
                    
                      3
                    
                  
                  
                    r
                    
                      i
                    
                    
                      2
                    
                  
                  
                    sin
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  
                    p
                    
                      i
                    
                  
                  )
                  
                    /
                  
                  
                    r
                    
                      1
                    
                    
                      2
                    
                  
                  
                    r
                    
                      2
                    
                    
                      2
                    
                  
                  
                    r
                    
                      3
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {d_{1,2}^{2}}={{8(1-{z_{c}^{2} \over {\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sin ^{2}p_{i}}})} \over {\sum _{i=1}^{3}{\cos ^{2}p_{i} \over {r_{i}^{2}}}}\pm {\sqrt {(\sum _{i=1}^{3}{\cos ^{2}p_{i} \over {r_{i}^{2}}})^{2}-4(\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sin ^{2}p_{i})/r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}}}}}
  


线性变换 如果我们对球使用可逆的线性变换，便可以得到一个椭球；它可以用旋转的方法来化成以上标准的形式，这是谱定理的结果。如果该线性变换用一个对称的3乘3矩阵来表示的话，那么这个矩阵的特征向量就是正交的（根据谱定理），它表示了轴的方向：而半轴的长度则由特征值给出。
椭球与平面的交集是空集、一个点，或一个椭圆。
我们也可以利用经过线性变换的球来定义多维空间的椭球，并使用谱定理来得出一个标准方程。


质量性质 均匀密度的椭球的质量为：

  
    
      
        m
        =
        ρ
        V
        =
        ρ
        
          
            4
            3
          
        
        π
        a
        b
        c
        
        
      
    
    {\displaystyle m=\rho V=\rho {\frac {4}{3}}\pi abc\,\!}
  

其中
  
    
      
        ρ
        
        
      
    
    {\displaystyle \rho \,\!}
  
是密度。
均匀密度的椭球的转动惯量为：

  
    
      
        
          I
          
            
              x
              x
            
          
        
        =
        m
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{\mathrm {xx} }=m{b^{2}+c^{2} \over 5}}
  

  
    
      
        
          I
          
            
              y
              y
            
          
        
        =
        m
        
          
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                a
                
                  2
                
              
            
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{\mathrm {yy} }=m{c^{2}+a^{2} \over 5}}
  

  
    
      
        
          I
          
            
              z
              z
            
          
        
        =
        m
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{\mathrm {zz} }=m{a^{2}+b^{2} \over 5}}
  

其中
  
    
      
        
          I
          
            
              x
              x
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle I_{\mathrm {xx} }\,\!}
  
、
  
    
      
        
          I
          
            
              y
              y
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle I_{\mathrm {yy} }\,\!}
  
和
  
    
      
        
          I
          
            
              z
              z
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle I_{\mathrm {zz} }\,\!}
  
分别是关于x、y和z轴的转动惯量。惯性积为零。
容易知道，如果a=b=c，那么上述公式便化为均匀密度的球的转动惯量。
反过来，如果知道了一个任意刚体的质量和主惯性矩，那么就可以构造出一个等价的均匀密度的椭球，使用以下特征：

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              
                5
                2
              
            
            
              
                
                  
                    I
                    
                      
                        y
                        y
                      
                    
                  
                  +
                  
                    I
                    
                      
                        z
                        z
                      
                    
                  
                  −
                  
                    I
                    
                      
                        x
                        x
                      
                    
                  
                
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\sqrt {{5 \over 2}{I_{\mathrm {yy} }+I_{\mathrm {zz} }-I_{\mathrm {xx} } \over m}}}}
  

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              
                5
                2
              
            
            
              
                
                  
                    I
                    
                      
                        z
                        z
                      
                    
                  
                  +
                  
                    I
                    
                      
                        x
                        x
                      
                    
                  
                  −
                  
                    I
                    
                      
                        y
                        y
                      
                    
                  
                
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\sqrt {{5 \over 2}{I_{\mathrm {zz} }+I_{\mathrm {xx} }-I_{\mathrm {yy} } \over m}}}}
  

  
    
      
        c
        =
        
          
            
              
                5
                2
              
            
            
              
                
                  
                    I
                    
                      
                        x
                        x
                      
                    
                  
                  +
                  
                    I
                    
                      
                        y
                        y
                      
                    
                  
                  −
                  
                    I
                    
                      
                        z
                        z
                      
                    
                  
                
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {{5 \over 2}{I_{\mathrm {xx} }+I_{\mathrm {yy} }-I_{\mathrm {zz} } \over m}}}}
  

  
    
      
        ρ
        =
        
          
            3
            4
          
        
        
          
            m
            
              π
              a
              b
              c
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \rho ={\frac {3}{4}}{m \over \pi abc}\!}
  


鸡蛋形 鸡蛋的形状可以近似地认为是半个长球面与半个球在赤道处相拼合而成，共用一个旋转对称的主轴。虽然鸡蛋形通常意味着在赤道平面没有反射对称，它也可以用来指真正的长球面。它也可以用来描述相应的二维图形。参见鵝蛋形。


引用 参考文献 椭球 （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Jeff Bryant, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
椭球 （页面存档备份，存于互联网档案馆）和二次曲面 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, MathWorld.


参见 抛物面
双曲面
橢球坐標系
類球面


外部連結 椭球的Javascript 维模型