天元术是中国古代的代数学方法之一种，是中国古代建立高次方程的方法。1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。元代数学家王恂也广泛使用天元术解高次方程。例如在授时历中“问半弧背一度下，黄赤道矢弧若干”一题，王恂用天元术建立和求解四次多项式方程 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        +
        (
        14823.0624
        +
        243.50
        )
        
          x
          
            2
          
        
        −
        1804707.859375
        x
        +
        14823.0625
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{4}+(14823.0624+243.50)x^{2}-1804707.859375x+14823.0625=0}
  

其中“天元”相当于现在的未知数，“立天元一为某某”相当于现代数学中的“设某某为
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
”，用天、地表示方程的正次幂和负次幂，根据问题设未知数，列出两个相等的多项式，进行多项式运算，最后列出有待求解的方程。


历史 在中国数学史上最早创立天元概念的是北宋平阳蒋周所著的《益古集》，随后有博陆李文一撰《照胆》，鹿泉石信道撰《钤经》，平水刘汝谐撰《如积释锁》，处州李思聪《洞渊九容》后人才知道有天元。
李冶在东平获得刘汝谐撰《如积释锁》，书中用十九个单字表示未知数的各个
  
    
      
        
          x
          
            9
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{9}}
  
至
  
    
      
        
          x
          
            −
            9
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{-9}}
  
的幂：

仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼；其中立天元在上。
后来有太原彭泽彦出，反其道而行，以天元在下。
《益古集》、《照胆》、《钤经》、《如积释锁》、《洞渊九容》等早期天元术著作今已失传。李冶在《测圆海镜》中使用天元在上的天元术。后来李冶又著《益古演段》，采用天元在下的次序。朱世杰《四元玉鉴》和《算学启蒙》卷下也采用天元在下的次序。


例子 在天元术中，一次项系数旁记一“元”字（或在常数项旁记一“太”字）。

历史上有两种次序：
《测圆海镜》式
“元”以上的系数表示各正次幂，“元”以下的系数表示常数项和各负次幂）。
例：李冶《测圆海镜》第二卷第十四问方程：
  
    
      
        −
        
          x
          
            2
          
        
        −
        680
        x
        +
        96000
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}
  

元

《益古演段》式
“元”以下的系数表示各正次幂，“元”以上的系数表示常数和各负次幂
例一：
李冶《益古演段》卷中第三十六问中的方程=
  
    
      
        3
        
          x
          
            2
          
        
        +
        210
        x
        −
        20325
      
    
    {\displaystyle 3x^{2}+210x-20325}
  
 用天元术表示为:

 太
    元（x）
                   （
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  
项）
其中“太”是常数项，算筹 打斜线表示该项常数为负数。
“元”相当于未知数x
例二：
朱世杰《算学启蒙》下卷第四问
将代数方程

  
    
      
        (
        92
        −
        X
        )
        X
        −
        2052
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (92-X)X-2052=0}
  

表示为天元方程：

例三：
朱世杰《四元玉鉴》《一气混元》

今有黄方乘直积得二十四步，只云股弦和九步，问勾几何？
答曰：三步。
草曰:立天元一为勾，
根据条件 黄方乘直积得二十四步

黄方：
  
    
      
        (
        a
        +
        b
        −
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a+b-c)}
  

直积：
  
    
      
        a
        b
      
    
    {\displaystyle ab}
  

得  
  
    
      
        (
        a
        +
        b
        −
        c
        )
        a
        b
        =
        24
      
    
    {\displaystyle (a+b-c)ab=24}
  

此外：股弦和九步

  
    
      
        b
        +
        c
        =
        9
      
    
    {\displaystyle b+c=9}
  

  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  
(立天元一为勾)
由此得方程

  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
        −
        9
        
          x
          
            4
          
        
        −
        81
        
          x
          
            3
          
        
        +
        729
        
          x
          
            2
          
        
        =
        3888
      
    
    {\displaystyle x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888}
  

 太

解之，得勾=3


天元术与阿拉伯代数之差异 天元术与阿拉伯代数虽功用相同，但方法迥异。天元术可解高次方程，阿拉伯代数只能解一次，二次方程。天元术解根只求正根，但阿拉伯代数解二次方程得二根。


参见 《益古演段》
《算学启蒙》
《四元玉鉴》


参考文献