球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分。在古典場論、量子力学等领域广泛应用。


函数的推导 = 本微分方程的推导 =
球坐标下的拉普拉斯方程式:

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        f
        =
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            
              r
              
                2
              
            
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                φ
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0\,\!}
  
 。

利用分离变量法，设定 
  
    
      
        f
        (
        r
        ,
         
        θ
        ,
         
        φ
        )
        =
        R
        (
        r
        )
        Y
        (
        θ
        ,
         
        φ
        )
        =
        R
        (
        r
        )
        Θ
        (
        θ
        )
        Φ
        (
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle f(r,\ \theta ,\ \varphi )=R(r)Y(\theta ,\ \varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )}
  
 。其中
  
    
      
        Y
        (
        θ
        ,
         
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle Y(\theta ,\ \varphi )}
  
代表角度部分的解，也就是球谐函数。
代入拉普拉斯方程，得到：

  
    
      
        
          
            
              Θ
              Φ
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            d
            
              d
              r
            
          
        
        
          (
          
            
              r
              
                2
              
            
            
              
                
                  d
                  R
                
                
                  d
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              R
              Φ
            
            
              
                r
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            d
            
              d
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  d
                  Θ
                
                
                  d
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              R
              Θ
            
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              Φ
            
            
              d
              
                φ
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle {\Theta \Phi  \over r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{dR \over dr}\right)+{R\Phi  \over r^{2}\sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {d\Theta  \over d\theta }\right)+{R\Theta  \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{d^{2}\Phi  \over d\varphi ^{2}}=0\,\!}
  

分离变量后得：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        1
                        R
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        d
                        
                          d
                          r
                        
                      
                    
                  
                  
                    (
                    
                      
                        r
                        
                          2
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              d
                              R
                            
                            
                              d
                              r
                            
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  =
                  λ
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        1
                        Φ
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                            d
                            
                              2
                            
                          
                          Φ
                        
                        
                          d
                          
                            φ
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  =
                  −
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  λ
                  +
                  
                    
                      
                        1
                        
                          Θ
                          sin
                          ⁡
                          θ
                        
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        d
                        
                          d
                          θ
                        
                      
                    
                  
                  
                    (
                    
                      sin
                      ⁡
                      θ
                      
                        
                          
                            
                              d
                              Θ
                            
                            
                              d
                              θ
                            
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  −
                  
                    
                      
                        
                          m
                          
                            2
                          
                        
                        
                          
                            sin
                            
                              2
                            
                          
                          ⁡
                          θ
                        
                      
                    
                  
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {1}{R}}{\dfrac {d}{dr}}\left(r^{2}{\dfrac {dR}{dr}}\right)=\lambda \\{\dfrac {1}{\Phi }}{\dfrac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}\\\lambda +{\dfrac {1}{\Theta \sin \theta }}{\dfrac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\dfrac {d\Theta }{d\theta }}\right)-{\dfrac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=0\end{cases}}}
  
 ，整理得
  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  
                    R
                    ″
                  
                  +
                  2
                  r
                  
                    R
                    ′
                  
                  −
                  λ
                  R
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    Φ
                    ″
                  
                  +
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                  Φ
                  =
                  0
                
              
              
                
                  sin
                  ⁡
                  θ
                  
                    
                      
                        d
                        
                          d
                          θ
                        
                      
                    
                  
                  (
                  sin
                  ⁡
                  θ
                  
                    Θ
                    ′
                  
                  )
                  +
                  (
                  λ
                  
                    sin
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  θ
                  −
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  Θ
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}r^{2}R''+2rR'-\lambda R=0\\\Phi ''+m^{2}\Phi =0\\\sin \theta {\dfrac {d}{d\theta }}(\sin \theta \Theta ')+(\lambda \sin ^{2}\theta -m^{2})\Theta =0\end{cases}}}
  


= 本征方程的求解 =
这里，
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
  
是一个以
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
为周期的函数，即满足周期性边界条件
  
    
      
        Φ
        (
        φ
        )
        =
        Φ
        (
        φ
        +
        2
        π
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )}
  
，因此
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
必须为整数。而且可以解出：

  
    
      
        Φ
        =
        
          e
          
            i
            m
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi =e^{im\phi }}
  
，
  
    
      
        m
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
  

而对于
  
    
      
        Θ
      
    
    {\displaystyle \Theta }
  
的方程，进行变量替换 
  
    
      
        t
        =
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle t=\cos \theta }
  
，
  
    
      
        d
        t
        =
        −
        sin
        ⁡
        θ
        d
        θ
      
    
    {\displaystyle dt=-\sin \theta d\theta }
  
，
  
    
      
        
          |
        
        t
        
          |
        
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle |t|\leqslant 1}
  
，得到关于
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
的伴随勒让德方程。方程的解应满足在
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,1]}
  
区间上取有限值，此时必须有
  
    
      
        λ
        =
        l
        (
        l
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda =l(l+1)}
  
，其中
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
为自然数，且
  
    
      
        l
        ⩾
        
          |
        
        m
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle l\geqslant |m|}
  
。对应方程的解为
  
    
      
        
          P
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle P_{\ell }^{m}(t)}
  
。即可以解出：

  
    
      
        Θ
        =
        
          P
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        (
        cos
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \Theta =P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}
  
，
  
    
      
        l
        ∈
        
          N
        
        ,
        l
        ⩾
        
          |
        
        m
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle l\in \mathbb {N} ,l\geqslant |m|}
  

故球谐函数可以表达为：

  
    
      
        
          Y
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        N
        Φ
        (
        φ
        )
        Θ
        (
        θ
        )
        =
        N
        
        
          e
          
            i
            m
            φ
          
        
        
        
          P
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        (
        cos
        ⁡
        
          θ
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\Phi (\varphi )\Theta (\theta )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,\!}
  
 ，
  
    
      
        l
        ∈
        
          N
        
        ,
        m
        =
        0
        ,
        ±
        1
        ,
        ±
        2
        ,
        …
        ±
        l
      
    
    {\displaystyle l\in \mathbb {N} ,m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm l}
  
；
其中N 是归一化因子。
經過歸一化後，球谐函数表達為：

  
    
      
        
          Y
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        (
        θ
        ,
         
        φ
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            m
          
        
        
          
            
              
                
                  (
                  2
                  ℓ
                  +
                  1
                  )
                
                
                  4
                  π
                
              
            
            
              
                
                  (
                  ℓ
                  −
                  
                    |
                  
                  m
                  
                    |
                  
                  )
                  !
                
                
                  (
                  ℓ
                  +
                  
                    |
                  
                  m
                  
                    |
                  
                  )
                  !
                
              
            
          
        
        
        
          P
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        (
        cos
        ⁡
        
          θ
        
        )
        
        
          e
          
            i
            m
            φ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\ \varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }\,\!}
  
 ；
这里的 
  
    
      
        
          Y
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle Y_{\ell }^{m}\,\!}
  
 称为 
  
    
      
        ℓ
        
        
      
    
    {\displaystyle \ell \,\!}
  
 和 
  
    
      
        m
        
        
      
    
    {\displaystyle m\,\!}
  
 的球谐函数。以上推导过程中，
  
    
      
        i
        
        
      
    
    {\displaystyle i\,\!}
  
 是虛數單位， 
  
    
      
        
          P
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{\ell }^{m}\,\!}
  
 是伴随勒让德多项式 。
其中
  
    
      
        
          P
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)\,\!}
  
 用方程式定義為：

  
    
      
        
          P
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          )
          
            
              |
            
            m
            
              |
            
            
              /
            
            2
          
        
         
        
          
            
              d
              
                
                  |
                
                m
                
                  |
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  
                    |
                  
                  m
                  
                    |
                  
                
              
            
          
        
        
          P
          
            ℓ
          
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{\ell }(x)\,}
  
 ；
而 
  
    
      
        
          P
          
            ℓ
          
        
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{\ell }(x)\,\!}
  
 是 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

  
    
      
        
          P
          
            ℓ
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                2
                
                  ℓ
                
              
              ℓ
              !
            
          
        
        
          
            
              d
              
                ℓ
              
            
            
              d
              
                x
                
                  ℓ
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        1
        
          )
          
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{\ell }(x)={1 \over 2^{\ell }\ell !}{d^{\ell } \over dx^{\ell }}(x^{2}-1)^{l}}
  
 。


前几阶球谐函数 l
        =
        0
      
    
    {\displaystyle l=0}
  

  
    
      
        
          Y
          
            0
          
          
            0
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              1
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}}
  

  
    
      
        l
        =
        1
      
    
    {\displaystyle l=1}
  

  
    
      
        
          Y
          
            1
          
          
            −
            1
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              3
              
                2
                π
              
            
          
        
        
        sin
        ⁡
        θ
        
        
          e
          
            −
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }}
  

  
    
      
        
          Y
          
            1
          
          
            0
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              3
              π
            
          
        
        
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta }
  

  
    
      
        
          Y
          
            1
          
          
            1
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          
            
              −
              1
            
            2
          
        
        
          
            
              3
              
                2
                π
              
            
          
        
        
        sin
        ⁡
        θ
        
        
          e
          
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }}
  

  
    
      
        l
        =
        2
      
    
    {\displaystyle l=2}
  

  
    
      
        
          Y
          
            2
          
          
            −
            2
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            
              15
              
                2
                π
              
            
          
        
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        
        
          e
          
            −
            2
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }}
  

  
    
      
        
          Y
          
            2
          
          
            −
            1
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              15
              
                2
                π
              
            
          
        
        
        sin
        ⁡
        θ
        
        cos
        ⁡
        θ
        
        
          e
          
            −
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }}
  

  
    
      
        
          Y
          
            2
          
          
            0
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            
              5
              π
            
          
        
        
        (
        3
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)}
  

  
    
      
        
          Y
          
            2
          
          
            1
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          
            
              −
              1
            
            2
          
        
        
          
            
              15
              
                2
                π
              
            
          
        
        
        sin
        ⁡
        θ
        
        cos
        ⁡
        θ
        
        
          e
          
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }}
  

  
    
      
        
          Y
          
            2
          
          
            2
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            
              15
              
                2
                π
              
            
          
        
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        
        
          e
          
            2
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }}
  


参见 勒让德多项式
伴随勒让德多项式
施图姆-刘维尔理论
柱谐函数
向量球諧函數