在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為運動常數（constant of motion），又稱為守恆量。它的作用有點類似運動的約束。可是，運動常數是數學的約束，自然地從運動方程式中顯現出來，而不是物理的約束；物理的約束會有相應的約束力來維持這約束。常見的運動常數例子有能量、動量、角動量、拉普拉斯-龍格-冷次向量。


應用 運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。通過解析運動常數，可以明瞭許多物體運動的性質，而不需將運動方程式的解答完全計算出來。假若一個物體的角動量向量是恆定的，則此物體的軌跡（Trajectory）必包含於一個平面。在有些幸運的狀況下，甚至連運動軌跡都可以簡單地導引出來；因為它們是運動常數的等值曲面之相交線。舉例而言，從潘索橢圓球（Poinsot's ellipsoid）可以觀察出，一個淨力矩等於零的剛體的旋轉，其角速度軌跡是一個圓球（角動量守恆）與一個橢圓球（能量守恆）的相交。用別種方法，這答案或許很不容易導引出。因此，運動常數的辨認是很重要的研究目標。


辨認運動常數的方法 辨認運動常數的方法有好幾種：

最簡單，但最無系統的方法是靠直覺。假設一個物理量是運動常數（或許是從分析實驗數據而得到的結論）。經過數學證明，可以論定，在物體的運動過程中，此量的值是保守的。
哈密頓-亞可比方程式給予一個常用與直接的方法來認明運動常數，特別是當採用正交坐標的哈密頓量，呈現出可辨認的函數形式。
另外一種方法應用下述事實：每一個守恆量的量值都相應於一個拉格朗日量的對稱性。諾特定理給予一個有系統的方法，從對稱性導引出守恆量。例如，拉格朗日量對於時間演化的不變性，造成了能量守恆；拉格朗日量對於空間平移的不變性（平移對稱性），造成了動量守恆；拉格朗日量對於空間轉動的不變性，造成了角動量守恆。反過來說也是正確的；每一個拉格朗日量的對稱性相應於一個運動常數
假若一個物理量
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，既不是顯性地含時間，又與哈密頓量的帕松括號等於零，則此物理量是保守的：

  
    
      
        
          
            
              d
              A
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              A
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        [
        A
        ,
         
        H
        ]
      
    
    {\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+[A,\ H]}
  
。
另外一個很有用的理論，帕松定理闡明：假若
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
與
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
都是運動常數，則它們的帕松括號
  
    
      
        [
        A
        ,
         
        B
        ]
      
    
    {\displaystyle [A,\ B]}
  
也是運動常數。
一個物理系統，假若擁有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個自由度，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個運動常數，其任何一對運動常數的帕松括號等於零，則稱此系統為完全可積分系統（completely integrable system）。稱這一集合的運動常數互相對合。


量子力學 假若，一個可觀測量
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
與哈密頓量
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
是可交換的，而且不顯性地含時間，則此可觀測量是個運動常數。


= 導引 =
假設，一個可觀測量
  
    
      
        Q
        =
        Q
        (
        x
        ,
        p
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle Q=Q(x,p,t)}
  
跟位置
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
、動量
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
、時間
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
有關。再假設一個波函數
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
遵守薛丁格方程式
  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            
              ∂
              ψ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        H
        ψ
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi }
  
。求
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
期望值對於時間
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
的導數，

其中，
  
    
      
        [
        H
        ,
        Q
        ]
        =
        H
        Q
        −
        Q
        H
      
    
    {\displaystyle [H,Q]=HQ-QH}
  
是交換子。
假若，
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
與哈密頓量
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
是可交換的，而且不顯性地含時間，則

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        ⟨
        Q
        ⟩
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}
  
。
所以，
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
是運動常數。


參閱 守恆定律
正則變換
哈密頓力學
拉格朗日力學


參考文獻 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.