微分几何中，曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率
  
    
      
        
          κ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa _{1}}
  
和
  
    
      
        
          κ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa _{2}}
  
的乘积。它是曲率的内在度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。
用符号表示，高斯曲率
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
定义为

  
    
      
        
          K
        
        =
        
          κ
          
            1
          
        
        
          κ
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}\,\!}
  
.
也可以如下给出

  
    
      
        
          K
        
        =
        
          
            
              ⟨
              (
              
                ∇
                
                  2
                
              
              
                ∇
                
                  1
                
              
              −
              
                ∇
                
                  1
                
              
              
                ∇
                
                  2
                
              
              )
              
                
                  e
                
                
                  1
                
              
              ,
              
                
                  e
                
                
                  2
                
              
              ⟩
            
            
              det
              g
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}},}
  

其中
  
    
      
        
          ∇
          
            i
          
        
        =
        
          ∇
          
            
              
                
                  e
                
              
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}}
  
是协变导数而
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
是度量张量。

  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中的正规曲面的一点
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
，则高斯曲率为

  
    
      
        K
        (
        
          p
        
        )
        =
        det
        (
        S
        (
        
          p
        
        )
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} )),}
  

其中
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
为形算子。
关于高斯曲率的一个很有用的公式是用等温坐标中的拉普拉斯算子表达的刘维尔方程。


非形式化定义 利用隐函数定理将曲面用二元函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的图像来表示，并且假设点
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
为临界点，也即f在该点的梯度为0（这总是可以通过适当的刚体运动来实现）。然后
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
点的高斯曲率就是
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在点
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的黑塞矩阵（二阶导数组成的2×2矩阵）的行列式。这个定义只要用基本的微积分知识就可以理解杯底或者帽顶“对应”鞍点的区别。


总曲率 曲面上某个区域的高斯曲率的曲面积分称为总曲率。测地三角形（即黎曼球面几何中的三角形）的总曲率等于它的内角和与
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的差。正曲率曲面上的三角形的内角和大于
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
，而负曲率曲面上的三角形的内角和小于
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
。零曲率曲面上（如欧几里得平面），其内角和等于
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
。

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          θ
          
            i
          
        
        =
        π
        +
        
          ∬
          
            T
          
        
        K
        
        d
        A
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}
  

更一般的结果是高斯-博内定理。


重要定理 = 绝妙定理 =

高斯的绝妙定理断言曲面的高斯曲率由曲面上长度的测量本身决定。事实上，它完全由第一基本形式决定并且可以用第一基本形式及其一阶和二阶偏导数表达。等价地，嵌入在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中的曲面的第二基本形式的行列式也可以这样表达。定理的“绝妙”之处在于，虽然
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中的曲面
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
上的高斯曲率的定义明显依赖于曲面各点在空间中的定位，而高斯曲率本身只要曲面上的内在度量就可以决定，而与环境空间没有进一步的关联：它是一个内蕴不变量。精确地讲，高斯曲率在曲面的等度变换下保持不变。
在现代微分几何中，"曲面"抽象的看来是一个二维微分流形。将这个观点和曲面的经典理论联系起来的是将抽象曲面嵌入到
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中，并用第一基本形式赋予黎曼度量。假设这个嵌入在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中的像是曲面
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
。局域等度就是
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中的开区域之间的微分同胚
  
    
      
        f
        :
        U
        →
        V
      
    
    {\displaystyle f:U\rightarrow V}
  
，限制到
  
    
      
        S
        ∩
        U
      
    
    {\displaystyle S\cap U}
  
就是到自己的像的等度变换。绝妙定理可以如下表述：

嵌入到
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
的光滑曲面的高斯曲率在局域等度下不变。
例如圆柱面的高斯曲率为0，和“展开”后得到的平面是一样的。另一方面，因为半径为
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
的球面有正常数曲率
  
    
      
        
          R
          
            −
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{-2}}
  
而平面有常数曲率0，这两个曲面不是等度的，即使局部也不行。因此即使是一部分球面的平面表示也会扭曲距离。所以没有测绘映射是完美的。


= 高斯-博内定理 =

高斯-博内定理将曲面的总曲率和它的欧拉示性数联系起来，并且给出了一个局部几何性质和全局拓扑性质的重要关联。


常曲率曲面 Minding定理(1839年)断言所有具有相同常曲率K的曲面局域等度。Minding的一个结果是所有曲率为0的曲面可以通过弯曲平面区域来构造。这样的曲面称为可展曲面。Minding也提出了有常正曲率的闭曲面是否刚性的问题。
Liebmann定理 (1900年)解决了Minding的问题。唯一常正曲率正则
  
    
      
        (
        
          C
          
            2
          
        
        )
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle (C^{2})\mathbf {R} ^{3}}
  
中的闭曲面是球面。
希尔伯特定理 (1901年)断言在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中不存在常负高斯曲率的完全解析（
  
    
      
        
          C
          
            ω
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{\omega }}
  
）正则曲面。事实上，对于浸入到
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
的
  
    
      
        
          C
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{2}}
  
曲面也成立，但是对于
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
-曲面却不成立。伪球面有常负高斯曲率，除了在其尖点。


其它公式 R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中的曲面的高斯曲率可以表达为第二基本形式和第一基本形式的行列式的商：

  
    
      
        K
        =
        
          
            
              det
              I
              I
            
            
              det
              I
            
          
        
        =
        
          
            
              L
              N
              −
              
                M
                
                  2
                
              
            
            
              E
              G
              −
              
                F
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle K={\frac {\det II}{\det I}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}
  

Brioschi公式只用第一基本形式给出高斯曲率:

  
    
      
        K
        =
        
          
            
              
                
                  |
                  
                    
                      
                        −
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        
                          E
                          
                            v
                            v
                          
                        
                        +
                        
                          F
                          
                            u
                            v
                          
                        
                        −
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        
                          G
                          
                            u
                            u
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        
                          E
                          
                            u
                          
                        
                      
                      
                        
                          F
                          
                            u
                          
                        
                        −
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        
                          E
                          
                            v
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          F
                          
                            v
                          
                        
                        −
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        
                          G
                          
                            u
                          
                        
                      
                      
                        E
                      
                      
                        F
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        
                          G
                          
                            v
                          
                        
                      
                      
                        F
                      
                      
                        G
                      
                    
                  
                  |
                
              
              −
              
                
                  |
                  
                    
                      
                        0
                      
                      
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        
                          E
                          
                            v
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        
                          G
                          
                            u
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        
                          E
                          
                            v
                          
                        
                      
                      
                        E
                      
                      
                        F
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        
                          G
                          
                            u
                          
                        
                      
                      
                        F
                      
                      
                        G
                      
                    
                  
                  |
                
              
            
            
              (
              E
              G
              −
              
                F
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}}
  

对于正交参数化，高斯曲率为：

  
    
      
        K
        =
        −
        
          
            1
            
              2
              
                
                  E
                  G
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  u
                
              
            
            
              
                
                  G
                  
                    u
                  
                
                
                  E
                  G
                
              
            
            +
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  v
                
              
            
            
              
                
                  E
                  
                    v
                  
                
                
                  E
                  G
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).}
  

高斯曲率是测地圆的周长和平面上的圆的周长之差的极限:

  
    
      
        K
        =
        
          lim
          
            r
            →
            0
          
        
        [
        2
        π
        r
        −
        
          
            C
          
        
        (
        r
        )
        ]
        ⋅
        
          
            3
            
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle K=\lim _{r\rightarrow 0}[2\pi r-{\mbox{C}}(r)]\cdot {\frac {3}{\pi r^{3}}}}
  

高斯曲率是测地圆的面积和平面上的圆的面积之差的极限：

  
    
      
        K
        =
        
          lim
          
            r
            →
            0
          
        
        [
        π
        
          r
          
            2
          
        
        −
        
          
            A
          
        
        (
        r
        )
        ]
        ⋅
        
          
            12
            
              π
              
                r
                
                  4
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle K=\lim _{r\rightarrow 0}[\pi r^{2}-{\mbox{A}}(r)]\cdot {\frac {12}{\pi r^{4}}}}
  

高斯曲率可以用克里斯托费尔记号表达: 

  
    
      
        K
        =
        −
        
          
            1
            E
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  u
                
              
            
            
              Γ
              
                12
              
              
                2
              
            
            −
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  v
                
              
            
            
              Γ
              
                11
              
              
                2
              
            
            +
            
              Γ
              
                12
              
              
                1
              
            
            
              Γ
              
                11
              
              
                2
              
            
            −
            
              Γ
              
                11
              
              
                1
              
            
            
              Γ
              
                12
              
              
                2
              
            
            +
            
              Γ
              
                12
              
              
                2
              
            
            
              Γ
              
                12
              
              
                2
              
            
            −
            
              Γ
              
                11
              
              
                2
              
            
            
              Γ
              
                22
              
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}
  


参考 参看 截面曲率
平均曲率
绝妙定理
高斯映射