数学上，一个索伯列夫空间是一个由函数组成的賦範向量空間。对于某个给定的p ≥ 1，索伯列夫空间的范数是函数f 的k阶导数和函数f 的有限Lp范数的结合。
索伯列夫空间以苏联数学家舍蓋·索伯列夫来命名。它的重要性体现在一些偏微分方程的弱解在特定的索伯列夫空间存在，即使该偏微分方程在具有经典导数定义的连续函数空间不存在强解。


简介 对于数学函数的光滑性有很多種。最基本的要求可能就是函数要连续，更進一步的要求是可微（因为可微函数也是连续的），再强一些的概念是导数的连续性（这些函数称为
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
 — 参看光滑函数）。可微函数在很多领域相当重要，特别是在微分方程中。在二十世纪，人们发现
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。
而索伯列夫空间正是
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
空间的替代品，用于研究偏微分方程的解。


技术性讨论 我们从最简单情况下的索伯列夫空间开始，也就是单位圆上的一维情况。在这个情况下，索伯列夫空间
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}}
  
定义为Lp的子集，使得f和它的直到k阶的导数有一个有限的Lp范数，对于某个给定的p ≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中，假设
  
    
      
        
          f
          
            (
            k
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{(k-1)}}
  
是几乎处处可微并且等于其导数的勒贝格积分（这可以排除康托函数这样的例子）就足够了。
按照这个定义，索伯列夫空间有一个自然的范数,

  
    
      
        ‖
        f
        
          ‖
          
            k
            ,
            p
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            k
          
        
        ‖
        
          f
          
            (
            i
            )
          
        
        
          ‖
          
            p
          
          
            p
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            1
            
              /
            
            p
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            k
          
        
        ∫
        
          |
        
        
          f
          
            (
            i
            )
          
        
        (
        t
        )
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        
        d
        t
        
          
            
              )
            
          
          
            1
            
              /
            
            p
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \|f\|_{k,p}={\Big (}\sum _{i=0}^{k}\|f^{(i)}\|_{p}^{p}{\Big )}^{1/p}={\Big (}\sum _{i=0}^{k}\int |f^{(i)}(t)|^{p}\,dt{\Big )}^{1/p}.}
  

赋予了范数
  
    
      
        ‖
        ⋅
        
          ‖
          
            k
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \|\cdot \|_{k,p}}
  
的
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}}
  
是一个完备空间。实际上只要取序列中的第一项和最后一项就可以了，也即，如下的范数 

  
    
      
        ‖
        
          f
          
            (
            k
            )
          
        
        
          ‖
          
            p
          
        
        +
        ‖
        f
        
          ‖
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \|f^{(k)}\|_{p}+\|f\|_{p}}
  

和上述范数等价。


= 例子 =
有些索伯列夫空间有简单的表述。例如，在一维情况，
  
    
      
        
          W
          
            1
            ,
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{1,1}}
  
就是绝对连续函数空间，而W1,∞是李普希兹函数空间。还有，
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{k,2}}
  
可以自然地用其傅立叶级数的术语定义，也就是

  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            2
          
        
        (
        
          
            T
          
        
        )
        =
        
          
            {
          
        
        f
        ∈
        
          L
          
            2
          
        
        (
        
          
            T
          
        
        )
        :
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        (
        1
        +
        
          n
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          n
          
            2
            k
          
        
        )
        
          |
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        (
        n
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        <
        ∞
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{k,2}({\mathbb {T} })={\Big \{}f\in L^{2}({\mathbb {T} }):\sum _{n=-\infty }^{\infty }(1+n^{2}+\dotsb +n^{2k})|{\widehat {f}}(n)|^{2}<\infty {\Big \}}}
  

其中
  
    
      
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {f}}}
  
是f的傅立叶级数。和前面一样，可以采用等价的范数

  
    
      
        ‖
        f
        
          ‖
          
            2
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        (
        1
        +
        
          n
          
            2
            k
          
        
        )
        
          |
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        (
        n
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \|f\|^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(1+n^{2k})|{\widehat {f}}(n)|^{2}.}
  

两个表达都可以从帕塞瓦尔定理以及微分等价于傅立叶系数乘以in这个事实导出。这个特殊情况很重要，因此有一个特别的符号，
  
    
      
        
          H
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle H^{k}}
  
:

  
    
      
        
        
          H
          
            k
          
        
        =
        
          W
          
            k
            ,
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \,H^{k}=W^{k,2}.}
  


非整数k的索伯列夫空间 为避免混淆，在讨论不是整数的k的时候，我们通常用s来取代它，也即
  
    
      
        
          W
          
            s
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{s,p}}
  
或者
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle H^{s}}
  
。


= p = 2的情形 =
p = 2的情形是最简单的情形，因为傅立叶表述可以直接推广。我们定义范数为

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            2
            ,
            s
          
          
            2
          
        
        =
        ∑
        (
        1
        +
        
          n
          
            2
            s
          
        
        )
        
          |
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        (
        n
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ||f||_{2,s}^{2}=\sum (1+n^{2s})|{\widehat {f}}(n)|^{2}}
  

而索伯列夫空间
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle H^{s}}
  
为具有有限范数的函数的空间。


= 分数阶微分 =
如果p不是2，就采取类似的方法。在这个情况下帕塞瓦尔定理不再成立，但是微分还是对应于在傅立叶域中的乘法，并且可以推广到非整数阶。因此，可以定义一个分数阶微分的算子其阶为s，如下所示

  
    
      
        
          F
          
            s
          
        
        (
        f
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        (
        i
        n
        
          )
          
            s
          
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        (
        n
        )
        
          e
          
            i
            n
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{s}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(in)^{s}{\widehat {f}}(n)e^{int}}
  

换句话说，取傅立叶变换，乘以
  
    
      
        (
        i
        n
        
          )
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle (in)^{s}}
  
再取逆傅立叶变换（定义为傅立叶－乘法－逆傅立叶的算子称为乘子，这本身也是一个研究主题）。这使得我们可以定义
  
    
      
        s
        ,
        p
      
    
    {\displaystyle s,p}
  
的索伯列夫范数如下

  
    
      
        
        ‖
        f
        
          ‖
          
            s
            ,
            p
          
        
        =
        ‖
        f
        
          ‖
          
            p
          
        
        +
        ‖
        
          F
          
            s
          
        
        (
        f
        )
        
          ‖
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \,\Vert f\Vert _{s,p}=\Vert f\Vert _{p}+\Vert F^{s}(f)\Vert _{p}}
  

而且，跟平常一样，索伯列夫空间是有有限索伯列夫范数的函数的空间。


= 复插值 =
获取“分数索伯列夫空间”的另一个办法是采用复插值。复插值是一个通用的技术：对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间X及Y，且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中，我们可以创建“过渡空间”，记为[X,Y]t。（后面将会讨论到一个不同的方法，所谓的实插值方法，它对于迹的分类的索伯列夫理论有重要的意义）。

这样的空间X和Y称为插值对。
下面提一些关于复插值的有用的定理：
定理 (插值): [ [X,Y]a , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb+(1-c)a.
定理 (算子的插值): 若{X,Y}和{A,B}是插值对，并且若T是一个线性映射，定义与X+Y到A+B中，使得T在X到A和Y到B上连续，则T从[X,Y]t到[A,B]t上连续。并且有如下的插值不等式：

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        T
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            [
            X
            ,
            Y
            
              ]
              
                t
              
            
            →
            [
            A
            ,
            B
            
              ]
              
                t
              
            
          
        
        ≤
        C
        
          |
        
        
          |
        
        T
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            X
            →
            A
          
          
            1
            −
            t
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        T
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            Y
            →
            B
          
          
            t
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle ||T||_{[X,Y]_{t}\to [A,B]_{t}}\leq C||T||_{X\to A}^{1-t}||T||_{Y\to B}^{t}.}
  

参看: Riesz-Thorin定理。
回到索伯列夫空间上来，我们要通过对几个
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}}
  
的插值得到非整数s的
  
    
      
        
          W
          
            s
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{s,p}}
  
。第一件事当然是看看这个可以给出一致的结果，而我们确实有
定理: 
  
    
      
        
          
            [
            
              
                W
                
                  0
                  ,
                  p
                
              
              ,
              
                W
                
                  m
                  ,
                  p
                
              
            
            ]
          
          
            t
          
        
        =
        
          W
          
            n
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_{t}=W^{n,p}}
  
，如果n是一个整数使得n=tm。
因此，复插值是一个得到一个空间
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}}
  
之间的空间
  
    
      
        
          W
          
            s
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{s,p}}
  
的一个连续统的一致的方法。而且，它给出了和分数阶微分同样的空间（但参看延拓算子中的一个变化）。


多维情况 现在考虑在Rn及其子集上的索伯列夫空间。从圆到线的变化只涉及傅立叶公式的技术细节 — 基本上就是将傅立叶级数变为傅立叶变换，将求和变为积分。到多维情况的转换有更大的难度，从定义就开始变化。
  
    
      
        
          f
          
            (
            k
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{(k-1)}}
  
是
  
    
      
        
          f
          
            (
            k
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{(k)}}
  
的积分这个条件无法一般化，而最简单的解决办法是考虑分布理论意义下的导数。
由此可以得到一个形式化的定义。令D为Rn中开集。定义索伯列夫空间

  
    
      
        
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        D
        )
      
    
    {\displaystyle \,W^{k,p}(D)}
  

为定义于D上的函数f的族，使得对于满足下式的每个多重索引
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  

  
    
      
        
          |
        
        α
        
          |
        
        ≤
        k
      
    
    {\displaystyle |\alpha |\leq k}
  

  
    
      
        
          f
          
            (
            α
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{(\alpha )}}
  
是一个函数，且

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        
          f
          
            (
            α
            )
          
        
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        <
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle ||f^{(\alpha )}||_{p}<\infty .}
  

在它上面的一个合适的范数是所有这样的α上的那些Lp范数的和。它是完备的，因此是一个巴拿赫空间。
实际上，这个方法在一维也成立，并且和前面分数阶微分中所述并无多大区别。


= 例子 =
在多维情况，有些结果不再成立，例如，
  
    
      
        
          W
          
            1
            ,
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{1,1}}
  
只包含连续函数。例如，1/|x|属于
  
    
      
        
          W
          
            1
            ,
            1
          
        
        (
        
          B
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle W^{1,1}(B^{3})}
  
，其中
  
    
      
        
          B
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle B^{3}}
  
是三维的单位球。对于足够大的k，
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        D
        )
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}(D)}
  
将只包含连续函数，但是对于哪个k才够取决于p以及维数这二者。
但是，W1,∞和
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{k,2}}
  
的表述在做了必要的修改之后还是成立的。


索伯列夫嵌入 索伯列夫空间
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}
  
是
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}
  
的子集。一个很自然的问题是:有没有其它的Lp空间包含
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}
  
？索伯列夫嵌入定理给出一个简单的表达（参看）:
定理:令
  
    
      
        k
        ,
        n
        ∈
        
          
            Z
          
          
            >
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle k,n\in \mathbb {Z} _{>0}}
  
且
  
    
      
        1
        ≤
        p
        ≤
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
  
。则如下命题成立:

若
  
    
      
        
          
            1
            p
          
        
        >
        
          
            k
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{p}}>{\frac {k}{n}}}
  
则
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        ⊆
        
          L
          
            
              1
              
                
                  
                    1
                    p
                  
                
                −
                
                  
                    k
                    n
                  
                
              
            
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})\subseteq L^{\frac {1}{{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}}}(\mathbb {R} ^{n})}
  
（作为集合）。而且，包含关系是一个有界算子。
若
  
    
      
        
          
            1
            p
          
        
        =
        
          
            k
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {k}{n}}}
  
 则所有有紧支撑的函数
  
    
      
        f
        ∈
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}
  
是
  
    
      
        
          L
          
            q
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}
  
的元素，其中
  
    
      
        q
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle q<\infty }
  
。


迹 令s > ½。若X为开集，使得其边界 G"足够光滑"，则我们可以定义映射P的迹（也即，限制)如下

  
    
      
        P
        u
        =
        u
        
          
            |
          
          
            G
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle Pu=u|_{G},}
  

也即，u限制到边界G上。一个可能的光滑条件是一致
  
    
      
        
          C
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{m}}
  
， m ≥ s。 （但是注意，这个矩阵迹没有关系。）
这个迹映射P其定义域为
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}(X)}
  
，而其像正好是
  
    
      
        
          H
          
            s
            −
            1
            
              /
            
            2
          
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s-1/2}(G)}
  
。如果要完全形式化，P首先定义在无穷可微函数上，并且通过连续性扩展到整个
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}(X)}
  
。注意取迹'失去了半个导数'。
确定
  
    
      
        
          W
          
            s
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{s,p}}
  
的迹映射的像要困难很多，需要使用实插值这个工具，在此不具体讨论。其最后的结果是Besov空间。事实上，在
  
    
      
        
          W
          
            s
            ,
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle W^{s,p}}
  
空间的情形，我们不是失去半个导数，我们失去了1/p个导数。


延拓算子 若X是开域，其边界不是太不良（例如，如果其边界为流形，或者满足更宽松但更奇特的“锥条件”）则存在一个算子A将X的函数到Rn的函数，使得：

Au(x) = u(x) 对于几乎所有X中的x以及
A连续，从
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}(X)}
  
到
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}({\mathbb {R} }^{n})}
  
，对于任何1 ≤ p ≤ ∞ 以及整数k。
我们称算子A为X的延拓算子。
延拓算子是最自然的定义非整数s的
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}(X)}
  
方法（我们不能直接在X进行，因为取傅立叶变化是一个整体操作）。我们定义
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}(X)}
  
为：u属于
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}(X)}
  
当且仅当Au属于
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}
  
。等价的有，复插值产生同样的
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}(X)}
  
空间只要X存在一个延拓算子。如果X没有一个延拓算子，复插值是唯一取得
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}(X)}
  
空间的办法。
因此，插值不等式仍然成立。


= 用零延拓 =
我们定义
  
    
      
        
          H
          
            0
          
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H_{0}^{s}(X)}
  
为无穷可微紧支撑函数的空间
  
    
      
        
          C
          
            c
          
          
            ∞
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle C_{c}^{\infty }(X)}
  
在
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}(X)}
  
中的闭包。给定一个迹的定义如上，我们可以给出如下命题
定理：令X为一致Cm正规空间，m ≥ s并令P为线性映射，将
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}(X)}
  
中的u映射到

  
    
      
        
          
            
            
              (
              
                u
                ,
                
                  
                    
                      d
                      u
                    
                    
                      d
                      n
                    
                  
                
                ,
                .
                .
                .
                ,
                
                  
                    
                      
                        d
                        
                          k
                        
                      
                      u
                    
                    
                      d
                      
                        n
                        
                          k
                        
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            |
          
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle \left.\left(u,{\frac {du}{dn}},...,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}}
  

其中d/dn是垂直于G的导数，而k是最大的小于s的整数。则
  
    
      
        
          H
          
            0
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{0}^{s}}
  
正好是P的核。
若
  
    
      
        u
        ∈
        
          H
          
            0
          
          
            s
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle u\in H_{0}^{s}(X)}
  
，我们可以一种自然的方式定义它的零延拓
  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
        ∈
        
          L
          
            2
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}({\mathbb {R} }^{n})}
  
，也就是 

  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        u
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}(x)=u(x)}
  
若
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
，否则
  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}(x)=0}
  
。
定理：令s>½。将u变为
  
    
      
        
          
            
              u
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {u}}}
  
的映射是到
  
    
      
        
          H
          
            s
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle H^{s}({\mathbb {R} }^{n})}
  
中的连续映射，当且仅当s不是形为n+½（对于某个整数n）。


参考