自然密度（英語：natural density），又称渐进密度（英語：asymptotic density），是数论中度量自然数子集大小的工具之一。


简介 以平方数集和自然数集的大小关系为例：

平方数集与自然数集都是可数无穷集，我们能够在两个集合间建立一一映射（对于任意的自然数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
都可以找到对应的平方数
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}}
  
与之对应，反之亦然），即两个集合是等势的。
然而，这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。
考虑自然数的一个子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和整数区间
  
    
      
        [
        1
        ,
        n
        ]
      
    
    {\displaystyle [1,n]}
  
：

如果从整数区间
  
    
      
        [
        1
        ,
        n
        ]
      
    
    {\displaystyle [1,n]}
  
中随机选取一个整数，那么这个整数属于
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的概率应该等于
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
与整数区间
  
    
      
        [
        1
        ,
        n
        ]
      
    
    {\displaystyle [1,n]}
  
的交集中的所有元素在整数区间
  
    
      
        [
        1
        ,
        n
        ]
      
    
    {\displaystyle [1,n]}
  
中的占比。当
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
趋近于无穷时，若上述概率也趋近于某个极限，则将该极限定义为
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的自然密度。

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的概率。
自然密度（以及一些其他类型的密度）也是概率数论的研究对象。
与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。


定义 对于一个自然数集的子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，当
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
趋向于无穷时，若
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
中不大于
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的元素个数与
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的比值收敛到
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
，则称
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的自然密度为
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
。
更进一步，若定义
  
    
      
        a
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle a(n)}
  
为
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
里不大于
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的元素个数，那么命题“
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的自然密度为
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
”等效于：

  
    
      
        
          
            
              a
              (
              n
              )
            
            n
          
        
        →
        α
      
    
    {\displaystyle {\frac {a(n)}{n}}\to \alpha }
  
，当
  
    
      
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\to \infty }
  

从定义中可以看出，若
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是某个集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的自然密度，则一定有
  
    
      
        0
        ≤
        α
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}
  
。


= 上自然密度 =
设
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 是自然数集
  
    
      
        
          N
        
        =
        {
        1
        ,
        2
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}
  
的一个子集。对任何
  
    
      
        n
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
  
，定义
  
    
      
        A
        (
        n
        )
        =
        {
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
        }
        ∩
        A
      
    
    {\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A}
  
，
  
    
      
        a
        (
        n
        )
        =
        
          |
        
        A
        (
        n
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle a(n)=|A(n)|}
  
。
则
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的上自然密度（英語：upper asymptotic density）为：

  
    
      
        
          
            d
            ¯
          
        
        (
        A
        )
        =
        
          lim sup
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              a
              (
              n
              )
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
  

其中
  
    
      
        lim sup
      
    
    {\displaystyle \limsup }
  
是上极限。 
  
    
      
        
          
            d
            ¯
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {d}}(A)}
  
也可简称为
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的上密度。 


= 下自然密度 =
同样地，定义A的下自然密度（英語：lower asymptotic density）为：

  
    
      
        
          
            d
            _
          
        
        (
        A
        )
        =
        
          lim inf
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              a
              (
              n
              )
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
  


= 自然密度的其他定义方法 =
1. 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的自然密度
  
    
      
        d
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle d(A)}
  
是：

若
  
    
      
        
          
            d
            ¯
          
        
        (
        A
        )
        =
        
          
            d
            _
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {d}}(A)={\underline {d}}(A)}
  
，则
  
    
      
        d
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle d(A)}
  
等于
  
    
      
        
          
            d
            ¯
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {d}}(A)}
  
（或
  
    
      
        
          
            d
            _
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle {\underline {d}}(A)}
  
 ） 。
2. 自然密度的定义还可以表示为：

  
    
      
        d
        (
        A
        )
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              a
              (
              n
              )
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
  
（若极限存在）
3. 可以证明，下述命题也是自然密度的定义：

若将自然数集
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
的子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
写作一个递增数列：

  
    
      
        A
        =
        {
        
          a
          
            1
          
        
        <
        
          a
          
            2
          
        
        <
        …
        <
        
          a
          
            n
          
        
        <
        …
        ;
        n
        ∈
        
          N
        
        }
      
    
    {\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}}
  

那么

  
    
      
        
          
            d
            _
          
        
        (
        A
        )
        =
        
          lim inf
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            n
            
              a
              
                n
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}
  

  
    
      
        
          
            d
            ¯
          
        
        (
        A
        )
        =
        
          lim sup
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            n
            
              a
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}
  

  
    
      
        d
        (
        A
        )
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            n
            
              a
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}
  
（若极限存在）


= 推广 =
一个稍弱的密度定义是 上Banach密度（英語：upper Banach density）。对于
  
    
      
        A
        ⊆
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }
  
，定义
  
    
      
        
          d
          
            ∗
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle d^{*}(A)}
  
为：

  
    
      
        
          d
          
            ∗
          
        
        (
        A
        )
        =
        
          lim sup
          
            N
            −
            M
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              
                |
              
              A
              ∩
              {
              M
              ,
              M
              +
              1
              ,
              …
              ,
              N
              }
              
                |
              
            
            
              N
              −
              M
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}}
  


性质 若对于集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
存在
  
    
      
        d
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle d(A)}
  
，则对于其补集
  
    
      
        
          A
          
            ∁
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\complement }}
  
，
  
    
      
        d
        (
        
          A
          
            ∁
          
        
        )
        =
        1
        −
        d
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle d(A^{\complement })=1-d(A)}
  
成立。
若
  
    
      
        d
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle d(A)}
  
，
  
    
      
        d
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle d(B)}
  
及
  
    
      
        d
        (
        A
        ∪
        B
        )
      
    
    {\displaystyle d(A\cup B)}
  
均存在，则
  
    
      
        max
        {
        d
        (
        A
        )
        ,
        d
        (
        B
        )
        }
        ≤
        d
        (
        A
        ∪
        B
        )
        ≤
        min
        {
        d
        (
        A
        )
        +
        d
        (
        B
        )
        ,
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}}
  
成立。
自然数集的自然密度为
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
，即
  
    
      
        d
        (
        
          N
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle d(\mathbb {N} )=1}
  
成立。
对于自然数集的任意有限子集
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
, 有
  
    
      
        d
        (
        F
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d(F)=0}
  
成立。
对于平方数集
  
    
      
        A
        =
        {
        
          n
          
            2
          
        
        ;
        n
        ∈
        
          N
        
        }
      
    
    {\displaystyle A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}}
  
，有
  
    
      
        d
        (
        A
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d(A)=0}
  
成立。
对于偶数集
  
    
      
        A
        =
        {
        2
        n
        ;
        n
        ∈
        
          N
        
        }
      
    
    {\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}}
  
，有
  
    
      
        d
        (
        A
        )
        =
        0.5
      
    
    {\displaystyle d(A)=0.5}
  
成立。更一般地，对于等差级数组成的集合
  
    
      
        A
        =
        {
        a
        n
        +
        b
        ;
        n
        ∈
        
          N
        
        }
      
    
    {\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}}
  
，有
  
    
      
        d
        (
        A
        )
        =
        
          
            1
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle d(A)={\frac {1}{a}}}
  
成立。
对于质数集合
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
，由质数定理知：
  
    
      
        d
        (
        P
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d(P)=0}
  
成立。
无平方数因数的数的集合的自然密度为
  
    
      
        
          
            6
            
              π
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}
  
。更一般地，无
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
次方因数的数的集合的自然密度为
  
    
      
        
          
            1
            
              ζ
              (
              n
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (n)}}}
  
，其中
  
    
      
        ζ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (n)}
  
是黎曼ζ函數。
过剩数集合具有非零的自然密度。Marc Deleglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间。
所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合，即
  
    
      
        A
        =
        
          ⋃
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        {
        
          2
          
            2
            n
          
        
        ,
        …
        ,
        
          2
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}}
  
，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。
其上自然密度为：

  
    
      
        
          
            d
            ¯
          
        
        (
        A
        )
        =
        
          lim
          
            m
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              1
              +
              
                2
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                2
                
                  2
                  m
                
              
            
            
              
                2
                
                  2
                  m
                  +
                  1
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          lim
          
            m
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              
                2
                
                  2
                  m
                  +
                  2
                
              
              −
              1
            
            
              3
              (
              
                2
                
                  2
                  m
                  +
                  1
                
              
              −
              1
              )
            
          
        
        =
        
          
            2
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}
  

而其下自然密度为：

  
    
      
        
          
            d
            _
          
        
        (
        A
        )
        =
        
          lim
          
            m
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              1
              +
              
                2
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                2
                
                  2
                  m
                
              
            
            
              
                2
                
                  2
                  m
                  +
                  2
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          lim
          
            m
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              
                2
                
                  2
                  m
                  +
                  2
                
              
              −
              1
            
            
              3
              (
              
                2
                
                  2
                  m
                  +
                  2
                
              
              −
              1
              )
            
          
        
        =
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}
  

同样，所有十进制表示法中以
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为
  
    
      
        
          
            5
            9
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{9}}}
  
而其下自然密度为
  
    
      
        
          
            1
            9
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{9}}}
  
。
对区间[0,1]上的任意Equidistributed序列
  
    
      
        {
        
          α
          
            n
          
        
        
          }
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
  
，定义单调集族
  
    
      
        {
        
          A
          
            x
          
        
        
          }
          
            x
            ∈
            [
            0
            ,
            1
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}
  
:

  
    
      
        
          A
          
            x
          
        
        :=
        {
        n
        ∈
        
          N
        
        
        :
        
        
          α
          
            n
          
        
        <
        x
        }
      
    
    {\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}}
  

则依定义有：
对于任意的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，
  
    
      
        d
        (
        
          A
          
            x
          
        
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle d(A_{x})=x}
  
。
若
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
有正的上自然密度，则塞迈雷迪定理表明
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
包含了任意长度的等差数列。Furstenberg–Sarkozy定理表明，
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
内一定存在差为平方数的两个元素。


其他密度函数 用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的对数密度（英語：logarithmic density）可以定义为：

  
    
      
        
          δ
        
        (
        A
        )
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              log
              ⁡
              x
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            ∈
            A
            ,
            n
            ≤
            x
          
        
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}}
  
（若极限存在）
同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。


相关条目 狄利克雷密度
施尼勒尔曼密度


参考 Nathanson, Melvyn B. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. 2000. ISBN 0387989129. Zbl 0953.11002. 
Niven, Ivan. The asymptotic density of sequences. Bulletin of the American Mathematical Society. 1951, 57: 420–434  [2018-10-18]. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9. （原始内容存档于2020-08-21）. 
Steuding, Jorn. Probabilistic number theory (PDF). 2002  [2014-11-16]. （原始内容 (PDF)存档于December 22, 2011）. 
Tenenbaum, Gerald. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Cambridge University Press. 1995. Zbl 0831.11001. 


参考文献