在幾何學中，大截角截半二十面體（英語：great truncated icosidodecahedron）又稱為星形截角截半二十面體（英語：great quasitruncated icosidodecahedron或stellatruncated icosidodecahedron）是一種非凸均勻多面體，由30個正方形、20個正六邊形和12個正十角星組成，其索引為U68，對偶多面體為大四角化菱形三十面體，具有二十面體群對稱性。在施萊夫利符號中，大截角截半二十面體可以表示為t0,1,2{5⁄3,3}或t'{35/2}，在考克斯特—迪肯符号中可以表示為，在威佐夫記號中可以表示為5⁄3 2 3 |。在拓樸學上，這個立體與大斜方截半二十面体拓樸同構。


性質 大截角截半二十面體由62個面、180條邊和120個頂點組成。在其62個面中有30個正方形、20個正六邊形和12個正十角星。組成大截角截半二十面體的十角星為施萊夫利符號計為{10⁄3}的十角星，與組成截角截半大十二面體的十角星相同。組成大截角截半二十面體的120個頂點皆為十角星、正方形與正六邊形的公共頂點，在頂點圖中可以用10⁄3.4.6或6.10⁄3.4來表示。
大截角截半二十面體的凸包為形變的大斜方截半二十面体。


= 分類 =
由於大截角截半二十面體的頂點圖為不等邊三角形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，並可以透過星形正多面體進行廣義截角來構造，因此大截角截半二十面體是一種自相交截角擬正多面體（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角擬正多面體一共有五種，分別為立方截角立方八面體、星形截角截半立方體、二十面截角十二面十二面體、截角截半大十二面體和大截角截半二十面體。這些立體由阿爾伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）和約翰·皮奇（Johann Pitsch）於1881年發現並描述。


= 二面角 =
大截角截半二十面體共有三種二面角，分別為四邊形面和十角星面的交角、六邊形面和十角星面的交角和四邊形和六邊形的交角。
其中四邊形和十角星的交角約為121.717度：

  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  10
                  
                    (
                    
                      5
                      −
                      
                        
                          5
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                10
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {10\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{10}}\right)}
  

  
    
      
        =
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  
                    5
                    −
                    
                      
                        5
                      
                    
                  
                  10
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle =\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}
  

  
    
      
        ≈
        2.12437068569194
      
    
    {\displaystyle \approx 2.12437068569194}
  

  
    
      
        ≈
        
          121.717474
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \approx 121.717474^{\circ }}
  

六邊形和十角星的交角約為79.188度：

  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                15
                
                  (
                  
                    5
                    −
                    2
                    
                      
                        5
                      
                    
                  
                  )
                
              
              15
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)}
  

  
    
      
        =
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  5
                  −
                  2
                  
                    
                      5
                    
                  
                
                15
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle =\arccos \left({\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)}
  

  
    
      
        ≈
        1.382085796
      
    
    {\displaystyle \approx 1.382085796}
  

  
    
      
        ≈
        
          79.187683
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \approx 79.187683^{\circ }}
  

四邊形和六邊形的交角約為69.095度：

  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  
                    15
                  
                
                −
                
                  
                    3
                  
                
              
              6
            
          
          )
        
        ≈
        1.20593249868
        ≈
        
          69.094843
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos \left({\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 1.20593249868\approx 69.094843^{\circ }}
  


= 頂點座標 =
若一個幾何中心位於原點的大截角截半二十面體邊長為單位長，則其頂點座標為：

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              2
              
                
                  5
                
              
              −
              3
            
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {2{\sqrt {5}}-3}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              2
              
                
                  5
                
              
              −
              3
            
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {2{\sqrt {5}}-3}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              2
              
                
                  5
                
              
              −
              3
            
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {2{\sqrt {5}}-3}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        1
        ,
        
        ±
        
          
            
              7
              −
              3
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              3
              −
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm 1,\,\pm {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              3
              −
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        1
        ,
        
        ±
        
          
            
              7
              −
              3
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm 1,\,\pm {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              7
              −
              3
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              3
              −
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm 1)}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              4
              −
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              −
              2
            
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {4-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              −
              2
            
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              4
              −
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {4-{\sqrt {5}}}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              4
              −
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              −
              2
            
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {4-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              −
              1
            
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              5
              −
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              3
              
                
                  5
                
              
              −
              5
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}-5}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              3
              
                
                  5
                
              
              −
              5
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              −
              1
            
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              5
              −
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {3{\sqrt {5}}-5}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              5
              −
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              3
              
                
                  5
                
              
              −
              5
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              −
              1
            
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}-5}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              3
              −
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              3
              −
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              3
              
                (
                
                  
                    
                      5
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {3\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              3
              
                (
                
                  
                    
                      5
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              3
              −
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              3
              −
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {3\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              3
              −
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              3
              
                (
                
                  
                    
                      5
                    
                  
                  −
                  1
                
                )
              
            
            4
          
        
        ,
        
        ±
        
          
            
              3
              −
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {3\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}})}
  
。


參見 星形均勻多面體


參考文獻