在科學和數學中，狄拉克δ函數或簡稱δ函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。δ函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。
從純數學的觀點來看，狄拉克δ函數並非嚴格意義上的函數，因為任何在擴展實數線上定義的函數，如果在一個點以外的地方都等於零，其總積分必須為零。δ函數只有在出現在積分以內的時候才有實質的意義。根據這一點，δ函數一般可以當做普通函數一樣使用。
狄拉克δ函數得名自物理学家保罗·狄拉克，其形式上所遵守的規則屬於運算微積分的一部分，是物理學和工程學的標準工具。包括δ函數在內的運算微積分方法，在20世紀初受到數學家的質疑，直到1950年代洛朗·施瓦茨才發展出一套令人滿意的嚴謹理論。嚴謹地來說，δ函數必須定義為一個分佈，對應於支撐集為原點的概率測度。
在許多應用中，均將δ視為由在原點處有尖峰的函數所組成的序列的極限（弱極限），而序列中的函數則可作為對δ函數的近似。在訊號處理上，δ函數常稱為單位脈衝符號或單位脈衝函數。克羅內克δ函數是對應於狄拉克δ函數的離散函數，其定義域為離散集，值域可以是0或者1。


概述 δ函數的圖形通常可以視為整條x軸和正y軸。雖然稱為函數，但δ函數並非真正的函數，至少它的值域不在實數以內。例如，f(x) = δ(x)和g(x) = 0這兩個數學物件除了在x = 0以外都有相同的值，但其積分卻不相同。根據勒貝格積分理論，若f和g為函數，使得f = g幾乎處處成立，則f可積當且僅當g可積且f和g的積分相同。要嚴謹處理δ函數，須用到測度論或分佈。
δ函數可以代表一個既高又窄的尖峰函數（脈衝），用以描述點電荷和質點等抽象化的概念。舉例來說，要描述球桿擊球的動力學問題，可以用δ函數描述擊球那一刻的力。不但各種方程式會因此簡化，而且只需球桿傳遞的總衝量就能算出球擊出後的運動，而不須考慮球桿向球傳遞能量的複雜具體情況。
在應用數學中，δ函數往往能看作是某函數序列的極限（弱極限），該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰，例如以零為中心、方差趨向零的高斯分佈序列。


歷史 約瑟夫·傅利葉在他的《熱分析理論》（法語：Theorie analytique de la chaleur）中呈現了以下的方程式，今天稱為傅里葉積分定理：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
         
        d
        α
        f
        (
        α
        )
         
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        d
        p
         
        cos
        ⁡
        (
        p
        x
        −
        p
        α
        )
         
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}
  

這相当于以這種方式引入了δ函數：

  
    
      
        δ
        (
        x
        −
        α
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        d
        p
         
        cos
        ⁡
        (
        p
        x
        −
        p
        α
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}
  

之後，奧古斯丁·路易·柯西用指數函數表達了這一定理：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          e
          
            i
            p
            x
          
        
        
          (
          
            
              ∫
              
                −
                ∞
              
              
                ∞
              
            
            
              e
              
                −
                i
                p
                α
              
            
            f
            (
            α
            )
             
            d
            α
          
          )
        
         
        d
        p
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp.}
  

柯西指出，在某些情況下，積分的計算順序會影響計算結果。
分佈理論允許重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅里葉的方程式：

  
    
      
        
          
            
              
                f
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    p
                    x
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      ∫
                      
                        −
                        ∞
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      e
                      
                        −
                        i
                        p
                        α
                      
                    
                    f
                    (
                    α
                    )
                     
                    d
                    α
                  
                  )
                
                 
                d
                p
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      ∫
                      
                        −
                        ∞
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      e
                      
                        i
                        p
                        x
                      
                    
                    
                      e
                      
                        −
                        i
                        p
                        α
                      
                    
                     
                    d
                    p
                  
                  )
                
                f
                (
                α
                )
                 
                d
                α
                =
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                δ
                (
                x
                −
                α
                )
                f
                (
                α
                )
                 
                d
                α
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\ dp\right)f(\alpha )\ d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\ d\alpha ,\end{aligned}}}
  

其中δ函數可表達為：

  
    
      
        δ
        (
        x
        −
        α
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            i
            p
            (
            x
            −
            α
            )
          
        
         
        d
        p
         
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\ dp\ .}
  

在接下來的幾個世紀，數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義，以及方程式中的函數f所需的條件。用舊有的數學觀念來理解，會有以下的問題：

經典傅里葉變換的最大缺點在於，能夠有效計算的只有很狹窄的一類函數。這些函數必須（在無限的鄰域內）足夠快地降至零，才能保證傅里葉積分值的存在。例如，連多項式這種如此簡單的函數，也不存在經典意義上的傅里葉變換。經典傅里葉變換擴展至分佈，大大增加了能夠進行變換的函數類型，移除了諸多障礙。
之後，米歇爾·普朗歇爾（Michel Plancherel）開創性的L2理論（1910年）、諾伯特·維納和薩洛蒙·博赫納（Salomon Bochner）的貢獻（1930年前後）以及最後洛朗·施瓦茨歸納這一切的分佈理論（1945年）進一步推廣了傅里葉積分，並建立了狄拉克δ函數的嚴格定義。
1827年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函數（柯西分佈的無限小版本）。西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基爾霍夫之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函數。基爾霍夫與赫爾曼·馮·亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分佈的極限，這也符合開爾文勳爵對點熱源的描述。19世紀末，奧利弗·黑維塞利用形式上的傅里葉級數對單位脈衝進行操作。1930年，保羅·狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了δ函數作為一種「方便的記號」，故此該函數今天以他命名。


定義 籠統地來說，δ函數是在實數線上的一個函數，在原點上無限，在所有其他點上為零，

  
    
      
        δ
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  +
                  ∞
                  ,
                
                
                  x
                  =
                  0
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  x
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}
  

並同時滿足以下條件

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        δ
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}
  

這只是一個概略的表述：δ函數並不是一個嚴格意義上的函數，沒有任何定義在實數線上的函數能滿足以上的條件。更嚴謹地來說，δ函數可以定義為分佈或測度。


= 測度 =
測度是其中一種嚴謹定義δ函數的方法。作為一個測度，δ函數取一個實線R的子集A，當0 ∈ A時輸出δ(A) = 1，否則δ(A) = 0。如果把δ函數想象成位於0的一個理想化的質點，則δ(A)代表集合A所包含的質量。一個函數相對於δ的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函數f，這一積分滿足：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        δ
        {
        d
        x
        }
        =
        f
        (
        0
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0).}
  

測度δ相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個奇異測度。因此，它並不具有拉東-尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函數δ：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        δ
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        f
        (
        0
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0).}
  

雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼或勒貝格）積分。
作為R上的概率測度，狄拉克測度可以通過它的累積分佈函數──單位階躍函數──來定義：

  
    
      
        H
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    if 
                  
                  x
                  ≥
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    if 
                  
                  x
                  <
                  0.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}
  

換句話說，H(x)是積累指示函數1(−∞, x]相對於測度δ的積分：

  
    
      
        H
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            
              R
            
          
        
        
          
            1
          
          
            (
            −
            ∞
            ,
            x
            ]
          
        
        (
        t
        )
        
        δ
        {
        d
        t
        }
        =
        δ
        (
        −
        ∞
        ,
        x
        ]
        .
      
    
    {\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (-\infty ,x].}
  

δ函數相對於一個連續函數的積分可以通過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        δ
        {
        d
        x
        }
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        H
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}
  

δ函數的所有更高矩都是零。其特徵函數和矩母函數都等於1。


= 分佈 =
在分佈理論中，一個廣義函數並不像普通函數一樣直接定義，而是在它相對其他函數積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義δ函數相對某個足夠「良好」的測試函數的「積分」就足夠了。如果δ函數已經定義為測度，則這種積分可以是測試函數相對於這δ測度的勒貝格積分。
測試函數空間一般可包括所有
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
上的緊支撐光滑函數。作為一個分佈，δ函數是在測試函數空間上的線性泛函，定義為

若要使δ成為一個正式的分佈，它必須要在測試函數空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函數空間上的線性泛函
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
要能夠良好定義一個分佈，其必要和充分條件是，對於每個正整數
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
，有整數
  
    
      
        
          M
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{N}}
  
和常數
  
    
      
        
          C
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{N}}
  
，使得對每個測試函數
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
，以下不等式都成立：

  
    
      
        
          |
        
        S
        [
        φ
        ]
        
          |
        
        ≤
        
          C
          
            N
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            
              M
              
                N
              
            
          
        
        
          sup
          
            x
            ∈
            [
            −
            N
            ,
            N
            ]
          
        
        
          |
        
        
          φ
          
            (
            k
            )
          
        
        (
        x
        )
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle |S[\varphi ]|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}|\varphi ^{(k)}(x)|.}
  

當
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
就是δ分佈時，对所有的
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
取
  
    
      
        
          C
          
            N
          
        
        =
        1
        ,
        
          M
          
            N
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle C_{N}=1,M_{N}=0}
  
，就能滿足這條不等式。因此，δ是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈，其支撐集是
  
    
      
        {
        0
        }
      
    
    {\displaystyle \{0\}}
  
。
δ分佈有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函數的分佈導數，也就是說，對於任何測試函數
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
，

  
    
      
        δ
        [
        φ
        ]
        =
        −
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          φ
          ′
        
        (
        x
        )
        H
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x.}
  

直觀而言，如果允許分部積分法，以上的積分就會簡化為

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        φ
        (
        x
        )
        
          H
          ′
        
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        φ
        (
        x
        )
        δ
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)H'(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\delta (x)\,\mathrm {d} x.}
  

而利用黎曼－斯蒂尔杰斯积分的分部积分法可以得到

  
    
      
        −
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          φ
          ′
        
        (
        x
        )
        H
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        φ
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        H
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} H(x).}
  

在测度论中，狄拉克測度通過積分產生分佈。相反，公式(1)在所有緊支撐連續函數
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
空間上定義了一個Daniell積分，且根據里斯表示定理，該積分可以表示為
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
相對於某拉東測度的勒贝格积分。
當講到「狄拉克δ函數」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克δ分佈」。測度論中相對應的概念則稱為狄拉克測度。


= 推廣 =
在n維歐幾里得空間Rn中，狄拉克δ函數可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函數f，滿足

  
    
      
        
          ∫
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        f
        (
        
          x
        
        )
        δ
        {
        d
        
          x
        
        }
        =
        f
        (
        
          0
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0} ).}
  

作為一個測度，n維δ函數是每個獨立變量的1維δ函數的積測度。也就是說，若x = (x1, x2, ..., xn)，則

上文的1維δ分佈也存在n維推廣。儘管在物理學和工程學中應用廣泛，公式(2)還是必須小心使用，因為多個分佈的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。
狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。設X是集合，x0 ∈ X，Σ為X子集上的任何σ-代数，則對每個集合A ∈ Σ可以定義測度：

  
    
      
        
          δ
          
            
              x
              
                0
              
            
          
        
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    if 
                  
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  ∈
                  A
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    if 
                  
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  ∈
                  A
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}
  

這就是單位質量集中在x0處的狄拉克測度。
δ函數也可以推廣至微分流形，由於具有微分結構，因此能保留它作為分佈的一些性質。流形M上以x0 ∈ M為中心的δ函數可定義為以下分佈：

對於所有M上的緊支撐光滑實數值函數φ。一個常見的特殊情況是，M是歐幾里得空間Rn中的一個開集。
在局部緊豪斯多夫空間X中，集中在點x的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函數φ的Daniell積分(3)的拉東測度。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，映射
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ↦
        
          δ
          
            
              x
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}
  
是把X嵌入到包含所有在X上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函數。而且，X在這一嵌入下的值域的凸包，在在X上的概率測度空間中是一個稠密集。


性質 = 縮放與對稱 =
對非零純量
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
，δ函數有以下縮放性質：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        δ
        (
        α
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        δ
        (
        u
        )
        
        
          
            
              
                d
              
              u
            
            
              
                |
              
              α
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                |
              
              α
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {\mathrm {d} u}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}
  

所以

δ函數是一個偶分佈，也就是說

  
    
      
        δ
        (
        −
        x
        )
        =
        δ
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (-x)=\delta (x).}
  

因此δ函數屬於−1階齊次函數。


= 代數性質 =
δ和
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的分佈積等於零：

  
    
      
        x
        δ
        (
        x
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle x\delta (x)=0.}
  

相反，若
  
    
      
        x
        f
        (
        x
        )
        =
        x
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle xf(x)=xg(x)}
  
，其中
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
為分佈，則存在常數
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
使得

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        g
        (
        x
        )
        +
        c
        δ
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x).}
  


= 平移 =
延時δ函數的積分為：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        δ
        (
        t
        −
        T
        )
        
        
          d
        
        t
        =
        f
        (
        T
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-T)\,\mathrm {d} t=f(T).}
  

因此δ函數有「篩選」或「採樣」的功能──可以篩選出函數在
  
    
      
        t
        =
        T
      
    
    {\displaystyle t=T}
  
的值。
可以推論，函數
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
  
與延時δ函數卷積後會受到延時：

這必須在
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是緩增分佈的前提下才會成立（見下文關於傅里葉變換的討論）。以一個特殊情況為例，有恆等式如下（把δ視為分佈）

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        δ
        (
        ξ
        −
        x
        )
        δ
        (
        x
        −
        η
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        δ
        (
        ξ
        −
        η
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,\mathrm {d} x=\delta (\xi -\eta ).}
  


= 與函數的復合 =
更一般地來說，δ分佈可以和光滑函數
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
  
復合，使得熟悉的變量更換公式成立：

  
    
      
        
          ∫
          
            
              R
            
          
        
        δ
        
          
            (
          
        
        g
        (
        x
        )
        
          
            )
          
        
        f
        
          
            (
          
        
        g
        (
        x
        )
        
          
            )
          
        
        
          |
        
        
          g
          ′
        
        (
        x
        )
        
          |
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            g
            (
            
              R
            
            )
          
        
        δ
        (
        u
        )
        f
        (
        u
        )
        
        
          d
        
        u
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}|g'(x)|\,\mathrm {d} x=\int _{g(\mathbf {R} )}\delta (u)f(u)\,\mathrm {d} u}
  

條件是
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
為連續可微函數且處處非零。換言之，
  
    
      
        δ
        ∘
        g
      
    
    {\displaystyle \delta \circ g}
  
作為一個分佈具有唯一的定義，使得這條恆等式對於一切緊支撐測試函數f都成立。因此，定義域必須切割開來，排除
  
    
      
        
          g
          ′
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle g'=0}
  
這一點。如果
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
處處非零，那麼此分佈滿足
  
    
      
        δ
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \delta (g(x))=0}
  
；否則如果
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
在
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
處有一個實數根，則

  
    
      
        δ
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        =
        
          
            
              δ
              (
              x
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                g
                ′
              
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
              
                |
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}
  

很自然地，對連續可微函數
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
，可以把
  
    
      
        δ
        (
        g
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \delta (g(x))}
  
「定義」為

  
    
      
        δ
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              δ
              (
              x
              −
              
                x
                
                  i
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                g
                ′
              
              (
              
                x
                
                  i
                
              
              )
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}
  

其中求和跑遍
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
  
的所有根，這些根都假設為單根。比如，

  
    
      
        δ
        
          (
          
            
              x
              
                2
              
            
            −
            
              α
              
                2
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            
              2
              
                |
              
              α
              
                |
              
            
          
        
        
          
            [
          
        
        δ
        
          (
          
            x
            +
            α
          
          )
        
        +
        δ
        
          (
          
            x
            −
            α
          
          )
        
        
          
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}
  

δ分佈的廣義縮放特性，用積分寫出：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        δ
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        
        d
        x
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  i
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                g
                ′
              
              (
              
                x
                
                  i
                
              
              )
              
                |
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}
  


= 在n維中的性質 =
δ分佈在
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
維空間中的縮放性質如下：

  
    
      
        δ
        (
        α
        
          x
        
        )
        =
        
          |
        
        α
        
          
            |
          
          
            −
            n
          
        
        δ
        (
        
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )}
  

從而δ是一個
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
階齊次分佈。δ分佈在任何鏡射和旋轉
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
下不變：

  
    
      
        δ
        (
        ρ
        
          x
        
        )
        =
        δ
        (
        
          x
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} ).}
  

和單變量時一樣，可以唯一地定義δ與雙利普希茨函數
  
    
      
        g
        :
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle g:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}
  
的復合，使得恆等式

  
    
      
        
          ∫
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        δ
        (
        g
        (
        
          x
        
        )
        )
        
        f
        (
        g
        (
        
          x
        
        )
        )
        
        
          |
        
        det
        
          g
          ′
        
        (
        
          x
        
        )
        
          |
        
        
        
          d
        
        
          x
        
        =
        
          ∫
          
            g
            (
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            )
          
        
        δ
        (
        
          u
        
        )
        f
        (
        
          u
        
        )
        
        
          d
        
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\,|\det g'(\mathbf {x} )|\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g(\mathbf {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,\mathrm {d} \mathbf {u} }
  

對於所有緊支撐函數
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
成立。
利用幾何測度論中的餘面積公式，可以定義δ函數與從一個歐幾里得空間到另一個不同維度的空間的浸沒的復合，所產生的結果是一種流。在連續可微函數
  
    
      
        g
        :
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle g:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}
  
滿足
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
的梯度處處非零的特殊情況下，以下恆等式成立：

  
    
      
        
          ∫
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        f
        (
        
          x
        
        )
        
        δ
        (
        g
        (
        
          x
        
        )
        )
        
        
          d
        
        
          x
        
        =
        
          ∫
          
            
              g
              
                −
                1
              
            
            (
            0
            )
          
        
        
          
            
              f
              (
              
                x
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                ∇
              
              g
              
                |
              
            
          
        
        
        
          d
        
        σ
        (
        
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {x} )}
  

其中右邊的積分範圍是
  
    
      
        
          g
          
            −
            1
          
        
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle g^{-1}(0)}
  
，即
  
    
      
        g
        (
        
          x
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle g(\mathbf {x} )=0}
  
所定義的一個
  
    
      
        (
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n-1)}
  
維曲面（依閔可夫斯基容度）。這叫做單層（simple layer）積分。
更一般地來說，若
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
是
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
  
中的光滑超曲面，則可以把
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
聯繫到在
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
上對任何緊支撐光滑函數
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
積分的分佈：

  
    
      
        
          δ
          
            S
          
        
        [
        g
        ]
        =
        
          ∫
          
            S
          
        
        g
        (
        
          s
        
        )
        
        
          d
        
        σ
        (
        
          s
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} )}
  

其中
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
是聯繫到
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的超曲面測度。這種推廣與
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
上的單層位勢的位勢論相關。設
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
是
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
  
中具有光滑邊緣
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的區域，則
  
    
      
        
          δ
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{S}}
  
等於
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
的指示函數的（分佈意義上的）法向導數：

  
    
      
        −
        
          ∫
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        g
        (
        
          x
        
        )
        
        
          
            
              ∂
              
                1
                
                  D
                
              
              (
              
                x
              
              )
            
            
              ∂
              n
            
          
        
        
        
          d
        
        
          x
        
        =
        
          ∫
          
            S
          
        
        
        g
        (
        
          s
        
        )
        
        
          d
        
        σ
        (
        
          s
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle -\int _{\mathbf {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\;\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\;\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} ),}
  

其中
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
是向外法線。


傅里葉變換 δ函數屬於緩增函數，所以擁有良好定義的傅里葉變換。正式地說，（在一些傅里葉變換慣例下）有

  
    
      
        
          
            
              δ
              ^
            
          
        
        (
        ξ
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            2
            π
            i
            x
            ξ
          
        
        δ
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle {\hat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\delta (x)\,dx=1.}
  

一個分佈的傅里葉變換的定義是，在緩增分佈與速降函數的對偶配對
  
    
      
        ⟨
        ⋅
        ,
        ⋅
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
  
下，要求傅里葉變換是自伴的。從而，
  
    
      
        
          
            
              δ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\delta }}}
  
定義為滿足以下條件的唯一緩增分佈：

  
    
      
        ⟨
        
          
            
              δ
              ^
            
          
        
        ,
        φ
        ⟩
        =
        ⟨
        δ
        ,
        
          
            
              φ
              ^
            
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle {\hat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\hat {\varphi }}\rangle }
  

對於一切速降函數φ。從此可推導，的確
  
    
      
        
          
            
              δ
              ^
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\hat {\delta }}=1}
  
。
這條恆等式意味著，δ函數與任何其他緩增分佈S的卷積即等於S：

  
    
      
        S
        ∗
        δ
        =
        S
        .
      
    
    {\displaystyle S*\delta =S.}
  

這意味著，δ是緩增分佈上的卷積的單位元。而且，在卷積下的緊支撐分佈空間是一個以δ函數為單位元的結合代數。這在訊號處理應用中尤其重要，因為與緩增分佈的卷積屬於線性非時變系統，而基於δ函數的線性非時變系統可以測量該緩增分佈的脈衝響應。只要對δ作適當的近似，就可以以任意要求的程度算出脈衝響應。一旦知道脈衝響應，就能完全描述整個系統的特征。詳見線性非時變系統理論：脈衝響應和卷積。
緩增函數f(ξ) = 1的反傅里葉變換等於δ函數。更正式地表達，

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        1
        ⋅
        
          e
          
            2
            π
            i
            x
            ξ
          
        
        
        d
        ξ
        =
        δ
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x).}
  

更嚴謹地來說，有

  
    
      
        ⟨
        1
        ,
        
          f
          
            ∨
          
        
        ⟩
        =
        f
        (
        0
        )
        =
        ⟨
        δ
        ,
        f
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle 1,f^{\vee }\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }
  

對於一切速降函數f。
這樣，δ函數暗示著在R上的傅里葉核的正交性，即：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            i
            2
            π
            
              ξ
              
                1
              
            
            t
          
        
        
          
            [
            
              e
              
                i
                2
                π
                
                  ξ
                  
                    2
                  
                
                t
              
            
            ]
          
          
            ∗
          
        
        
        d
        t
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            i
            2
            π
            (
            
              ξ
              
                2
              
            
            −
            
              ξ
              
                1
              
            
            )
            t
          
        
        
        d
        t
        =
        δ
        (
        
          ξ
          
            2
          
        
        −
        
          ξ
          
            1
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}
  

換句話說，緩增分佈

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          e
          
            i
            2
            π
            
              ξ
              
                1
              
            
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}
  

的傅里葉變換是

  
    
      
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        (
        
          ξ
          
            2
          
        
        )
        =
        δ
        (
        
          ξ
          
            1
          
        
        −
        
          ξ
          
            2
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\hat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}).}
  

這同樣可以通過對傅里葉變換要求自伴性而得出。
利用傅里葉變換的解析延拓，可以得出δ函數的拉普拉斯變換：

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        δ
        (
        t
        −
        a
        )
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        
        d
        t
        =
        
          e
          
            −
            s
            a
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}
  


分佈導數 狄拉克δ分佈的分佈導數是一個分佈δ′，它對於所有緊支撐光滑測試函數φ定義為

  
    
      
        
          δ
          ′
        
        [
        φ
        ]
        =
        −
        δ
        [
        
          φ
          ′
        
        ]
        =
        −
        
          φ
          ′
        
        (
        0
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}
  

此處第一個等號類似於分部積分，因為若δ是個真正的函數，則

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          δ
          ′
        
        (
        x
        )
        φ
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        −
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        δ
        (
        x
        )
        
          φ
          ′
        
        (
        x
        )
        
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx.}
  

δ的k階導數的定義大同小異，對任何測試函數φ，

  
    
      
        
          δ
          
            (
            k
            )
          
        
        [
        φ
        ]
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
          
        
        
          φ
          
            (
            k
            )
          
        
        (
        0
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}
  

從而δ是個無限可微分佈。
δ函數的一階微分是差商

  
    
      
        
          δ
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
          
        
        
          
            
              δ
              (
              x
              +
              h
              )
              −
              δ
              (
              x
              )
            
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}}
  

的分佈極限。更準確地說，有

  
    
      
        
          δ
          ′
        
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
          
        
        
          
            1
            h
          
        
        (
        
          τ
          
            h
          
        
        δ
        −
        δ
        )
      
    
    {\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}
  

其中τh是平移算子，對於函數的定義是τhφ(x) = φ(x + h)，而對於分佈S的定義是

  
    
      
        (
        
          τ
          
            h
          
        
        S
        )
        [
        φ
        ]
        =
        S
        [
        
          τ
          
            −
            h
          
        
        φ
        ]
        .
      
    
    {\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}
  

在電磁學中，δ函數的一階導數代表一個位於原點的點磁偶極，因此也稱為「偶極」或偶函數。
δ函數的導數滿足一些基本性質，包括：

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                δ
                (
                −
                x
                )
                =
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                δ
                (
                x
                )
              
            
            
              
              
                
                  δ
                  ′
                
                (
                −
                x
                )
                =
                −
                
                  δ
                  ′
                
                (
                x
                )
              
            
            
              
              
                x
                
                  δ
                  ′
                
                (
                x
                )
                =
                −
                δ
                (
                x
                )
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\delta (-x)={\frac {d}{dx}}\delta (x)\\[8pt]&\delta '(-x)=-\delta '(x)\\[8pt]&x\delta '(x)=-\delta (x).\end{aligned}}}
  

這些性質都可以通過對測試函數積分，並運用分部積分法推導而出。
另外，δ′與緊支撐光滑測試函數f的卷積為

  
    
      
        
          δ
          ′
        
        ∗
        f
        =
        δ
        ∗
        
          f
          ′
        
        =
        
          f
          ′
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}
  

這來自卷積的分佈導數的性質。


= 更高維度 =
更一般地說，在n維歐幾里得空間Rn中的開集U上，以點a ∈ U為中心的狄拉克δ分佈定義為

  
    
      
        
          δ
          
            a
          
        
        [
        φ
        ]
        =
        φ
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}
  

對於一切φ ∈ S(U)，其中S(U)是所有U上的緊支撐光滑函數的空間。若α = (α1, ..., αn)是任何多重指標，而∂α表示相關的混合偏導數算子，則δa的α階導數∂αδa是

  
    
      
        
          ⟨
          
            
              ∂
              
                α
              
            
            
              δ
              
                a
              
            
            ,
            φ
          
          ⟩
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              |
            
            α
            
              |
            
          
        
        
          ⟨
          
            
              δ
              
                a
              
            
            ,
            
              ∂
              
                α
              
            
            φ
          
          ⟩
        
        =
        
          
            
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  
                    |
                  
                  α
                  
                    |
                  
                
              
              
                ∂
                
                  α
                
              
              φ
              (
              x
              )
            
            |
          
          
            x
            =
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =\left.(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x)\right|_{x=a}}
  

對於一切φ ∈ S(U)。也就是說，δa的α階導數是個分佈，它在任何測試函數φ的值等於φ在點a的α階導數（加上合適的正負號）。
δ函數的一階偏導數可以視為沿著坐標平面的雙層。更一般地來講，支撐在一個曲面上的單層的法向導數是在該曲面上的雙層，並表示一個層磁單極。δ函數的更高階導數，在物理學裡稱為多極。
高階導數很自然地能夠建構具有單元素支撐集的分佈的完整結構。若S是任何在U上、支撐集為一個點{a}的分佈，那麼存在整數m和一組係數cα，使得

  
    
      
        S
        =
        
          ∑
          
            
              |
            
            α
            
              |
            
            ≤
            m
          
        
        
          c
          
            α
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          δ
          
            a
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}
  


δ函數的表示 δ函數可以視為一個函數序列的極限：

  
    
      
        δ
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            ε
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          η
          
            ε
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),\,}
  

其中ηε(x)有時稱為初生δ函數。這一極限是個弱極限：對於一切緊支撐連續函數f，有

或者，這個極限對於一切緊支撐光滑函數f都存在。這兩種不同的弱收斂模式往往有十分微妙的差異，前者是依測度的淡拓撲收斂，而後者則是分佈的收斂。


= 對單位元的近似 =
通常一個初生δ函數ηε可以如下建構。設η是一個R上的總積分為1的絕對可積函數，並定義

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ε
          
            −
            1
          
        
        η
        
          (
          
            
              x
              ε
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}
  

在n維當中，改用以下縮放

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ε
          
            −
            n
          
        
        η
        
          (
          
            
              x
              ε
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}
  

在簡單的變量更換之後，可見ηε的積分同樣等於1。不難證明，(5)對於一切連續緊支撐函數f都成立，從而ηε作為一個測度向δ弱收斂。
這樣建構的ηε叫做對單位元的近似，因為包含所有絕對可積函數的空間L1(R)在函數卷積這一作用下閉合：f ∗ g ∈ L1(R)，當f和g都屬於L1(R)。然而，L1(R)在卷積下並沒有單位元：沒有任何元素h使得f ∗ h = f對於所有f都成立。但序列ηε仍然能夠近似這種單位元，就是說

  
    
      
        f
        ∗
        
          η
          
            ε
          
        
        →
        f
        
        
          
            
              a
              s
               
            
            ε
            →
            0.
          
        
      
    
    {\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\rm {{as\ }\varepsilon \to 0.}}}
  

在平均收斂（即L1中的收斂）下，此極限存在。要確保幾乎處處點收斂，還需要對ηε加上更多的前提，比如它必須是對應於一個緊支撐函數的柔化函數。
如果最初的η = η1本身已經是光滑的而且具有緊支撐，那麼整個序列就叫做柔化序列。標準柔化序列可以通過選擇某個適當歸一化的脈衝函數η來定義，例如

  
    
      
        η
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    e
                    
                      −
                      
                        
                          1
                          
                            1
                            −
                            
                              |
                            
                            x
                            
                              
                                |
                              
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                     if 
                  
                  
                    |
                  
                  x
                  
                    |
                  
                  <
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                     if 
                  
                  
                    |
                  
                  x
                  
                    |
                  
                  ≥
                  1.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}
  

在數值分析等的一些情況下，以分段線性函數對單位元進行近似會更加有用。可以定義η1是一個三角形函數，然後有

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ε
          
            −
            1
          
        
        max
        
          (
          
            1
            −
            
              |
              
                
                  x
                  ε
                
              
              |
            
            ,
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}
  

它們全部都是連續的且具有緊支撐，但不是光滑的，從而也不是柔化函數。


= 概率論 =
在概率論中，很自然地會加入一項額外條件，亦即要求對單位元近似的初始η1是正的，因為這樣它就會代表一個概率分佈。有時需要和概率分佈來卷積的原因是，輸出值是輸入值的凸組合，因此處於最高與最低輸入值之間，從而能夠避免過衝或下衝。取η1為任何隨意的概率分佈，並如上設ηε(x) = η1(x/ε)/ε，就可以取得對單位元的近似。此外，如果η的平均值為0，且更高矩較小，那麼序列就會向δ函數收斂得更快。比如，設η1是[−1/2, 1/2]上的均勻分佈，即矩形函數，則：

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            ε
          
        
         
        
          
            rect
          
        
        
          (
          
            
              x
              ε
            
          
          )
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      1
                      ε
                    
                  
                  ,
                
                
                  −
                  
                    
                      ε
                      2
                    
                  
                  <
                  x
                  <
                  
                    
                      ε
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  
                    otherwise
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\ {\textrm {rect}}\left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
  

又以維格納半圓分布舉例，

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      2
                      
                        π
                        
                          ε
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        ε
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ,
                
                
                  −
                  ε
                  <
                  x
                  <
                  ε
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  
                    otherwise
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon \\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
  

這是連續的，且具有緊支撐，但因為不是光滑的，所以也不是柔化函數。


= 半群 =
初生δ函數往往以卷積半群的身份出現。這相等於另加一個條件──ηε與ηδ的卷積必須滿足

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        ∗
        
          η
          
            δ
          
        
        =
        
          η
          
            ε
            +
            δ
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}
  

對於所有ε和δ > 0。L1中形成初生δ函數的卷積半群一定是對單位元的近似（用上式的意思），但半群設下了限制性頗強的條件。
在實踐當中，對單位元的半群近似出現在物理學所啟發的橢圓型和拋物型偏微分方程中，作為基本解或格林函數。在應用數學中，半群是線性非時變系統的輸出。抽象地來說，若A是一個作用在x的函數上的線性算子，則在對初值問題求解時會出現卷積半群：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        t
                      
                    
                  
                  η
                  (
                  t
                  ,
                  x
                  )
                  =
                  A
                  η
                  (
                  t
                  ,
                  x
                  )
                  ,
                  
                  t
                  >
                  0
                
              
              
                
                  
                    
                      lim
                      
                        t
                        →
                        
                          0
                          
                            +
                          
                        
                      
                    
                    η
                    (
                    t
                    ,
                    x
                    )
                    =
                    δ
                    (
                    x
                    )
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}
  

其中極限同樣是弱極限。設ηε(x) = η(ε, x)，得出相關的初生δ函數。
下面將列出若干有物理意義的、在此類基本解中所出現的卷積半群。

熱核
熱核，定義是

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              ε
            
          
        
        
          
            e
          
          
            −
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  ε
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}
  

代表的是一條無限長絲在t > 0時的溫度，如果在t = 0時在原點處儲藏了一個單位的熱能。此半群依照一維熱傳導方程式演變：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              u
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}
  

在概率論中，ηε(x)是一個平均值為0、方差為ε的正態分佈。它代表了一個粒子從原點開始，作標準布朗運動，在t = ε這一刻的概率密度函數。在這種情況下，半群條件也就體現了布朗運動的馬可夫性質。
在高維歐幾里得空間Rn中，熱核等於

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        =
        
          
            1
            
              (
              2
              π
              ε
              
                )
                
                  n
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            e
          
          
            −
            
              
                
                  x
                  ⋅
                  x
                
                
                  2
                  ε
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}
  

並且在作必要的修改後有著相同的物理解釋。而且，當ε → 0，ηε → δ，因此它也代表了一個初生δ函數。

帕松核
帕松核

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            π
          
        
        
          
            ε
            
              
                ε
                
                  2
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            e
          
          
            2
            π
            
              i
            
            ξ
            x
            −
            
              |
            
            ε
            ξ
            
              |
            
          
        
        
        d
        ξ
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\;d\xi }
  

是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。它代表了一個半無限平板在邊緣的電勢固定為δ函數時的電勢。帕松核也和柯西分佈有緊密的聯繫。半群根據以下方程演變：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            (
            
              −
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    ∂
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            
              1
              2
            
          
        
        u
        (
        t
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}
  

其中的算子嚴謹地定義為傅里葉乘數

  
    
      
        
          
            F
          
        
        
          [
          
            
              
                (
                
                  −
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          2
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            f
          
          ]
        
        (
        ξ
        )
        =
        
          |
        
        2
        π
        ξ
        
          |
        
        
          
            F
          
        
        f
        (
        ξ
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}
  


= 震蕩積分 =
在波動力學等物理範疇中，須要解不少雙曲型偏微分方程，而這些方程有更多的奇異解。因此，從相關的柯西問題的基本解所產生的初生δ函數，一般都是震蕩積分。例如，從穿音速氣體動力學的歐拉-特里科米方程的解，取得歸一化艾里函數

  
    
      
        
          ε
          
            −
            
              
                1
                3
              
            
          
        
        Ai
        ⁡
        
          (
          
            x
            
              ε
              
                −
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \varepsilon ^{-{\frac {1}{3}}}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-{\frac {1}{3}}}\right).}
  

雖然用的是傅里葉變換，但是不難看到，這從某種意義上產生了一個半群，只不過由於它不是絕對可積的，所以無法從上文更強的意義來定義半群。許多用振蕩積分來建構的初生δ函數，只能從分佈意義上收斂（見下文的例子狄利克雷核），而不能從測度意義上收斂。
另一個例子是R1+1中的波動方程式的柯西問題：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  c
                  
                    −
                    2
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          2
                        
                      
                      u
                    
                    
                      ∂
                      
                        t
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                −
                Δ
                u
              
              
                
                =
                0
              
            
            
              
                u
                =
                0
                ,
                
                
                  
                    
                      ∂
                      u
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                =
                δ
              
              
                
                
                  for 
                
                t
                =
                0.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}
  

解u代表了一條具有無限彈性的弦，一開始在原點處受到擾動後，距離平衡的位移程度。
其他同類的對單位元的近似還包括，廣泛應用於電子和電訊中的sinc函數

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              π
              x
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              x
              ε
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            
              
                1
                ε
              
            
          
          
            
              1
              ε
            
          
        
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        
        d
        k
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\;dk}
  

以及貝塞爾函數

  
    
      
        
          η
          
            ε
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            ε
          
        
        
          J
          
            
              1
              ε
            
          
        
        
          (
          
            
              
                x
                +
                1
              
              ε
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}
  


= 平面波分解 =
要對線性偏微分方程

  
    
      
        L
        [
        u
        ]
        =
        f
      
    
    {\displaystyle L[u]=f}
  

求解，其中L是Rn上的一個微分算子，可以先取得基本解，即對以下方程求解：

  
    
      
        L
        [
        u
        ]
        =
        δ
        .
      
    
    {\displaystyle L[u]=\delta .}
  

當L相對簡單的時候，通常直接利用傅里葉變換就可以求解（如上文提到的帕松核和熱核）。如果算子比較複雜，可以先考慮更簡單的方程

  
    
      
        L
        [
        u
        ]
        =
        h
      
    
    {\displaystyle L[u]=h}
  

其中h是一個平面波函數，意思是對於某向量ξ，有

  
    
      
        h
        =
        h
        (
        x
        ⋅
        ξ
        )
      
    
    {\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}
  

這樣的方程可以用柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理求解（如果L的係數是解析函數），或者用求積法求解（如果L的係數是常數）。所以，如果δ函數能夠分解成平面波的話，理論上就能取得線性偏微分方程的解。
對δ函數進行平面波分解的方法，最早是約翰·拉東（Johann Radon）所發展的一套通用技巧之一，之後由弗瑞茲·約翰進一步發展至這種形式（1955）。選擇k，使得n + k是一個偶整數；對於實數s，定義

  
    
      
        g
        (
        s
        )
        =
        Re
        ⁡
        
          [
          
            
              
                −
                
                  s
                  
                    k
                  
                
                log
                ⁡
                (
                −
                i
                s
                )
              
              
                k
                !
                (
                2
                π
                i
                
                  )
                  
                    n
                  
                
              
            
          
          ]
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          |
                        
                        s
                        
                          
                            |
                          
                          
                            k
                          
                        
                      
                      
                        4
                        k
                        !
                        (
                        2
                        π
                        i
                        
                          )
                          
                            n
                            −
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  n
                  
                     odd
                  
                
              
              
                
                
              
              
                
                  −
                  
                    
                      
                        
                          |
                        
                        s
                        
                          
                            |
                          
                          
                            k
                          
                        
                        log
                        ⁡
                        
                          |
                        
                        s
                        
                          |
                        
                      
                      
                        k
                        !
                        (
                        2
                        π
                        i
                        
                          )
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  n
                  
                     even.
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\&\\-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}
  

要取得δ，對g(x · ξ)相對球體測度dω積分，再對積分施用拉普拉斯算子的冪，其中ξ屬於單位球面Sn−1：

  
    
      
        δ
        (
        x
        )
        =
        
          Δ
          
            x
          
          
            
              
                n
                +
                k
              
              2
            
          
        
        
          ∫
          
            
              S
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        g
        (
        x
        ⋅
        ξ
        )
        
        d
        
          ω
          
            ξ
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}
  

此處的拉普拉斯算子理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函數φ，

  
    
      
        φ
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        φ
        (
        y
        )
        
        d
        y
        
        
          Δ
          
            x
          
          
            
              
                n
                +
                k
              
              2
            
          
        
        
          ∫
          
            
              S
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        g
        (
        (
        x
        −
        y
        )
        ⋅
        ξ
        )
        
        d
        
          ω
          
            ξ
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}
  

這一結果來自牛頓位勢公式（牛頓位勢是帕松方程的基本解）。這實際上是拉東變換的逆轉公式，因為它能夠從φ(x)在超曲面上的積分取回φ(x)的值。例如，若n是奇數，而k = 1，則右邊的積分等於

  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        
          Δ
          
            x
          
          
            
              
                n
                +
                1
              
              2
            
          
        
        ∫
        
          ∫
          
            
              S
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        φ
        (
        y
        )
        
          |
        
        (
        y
        −
        x
        )
        ⋅
        ξ
        
          |
        
        
        d
        
          ω
          
            ξ
          
        
        
        d
        y
        =
        
          c
          
            n
          
        
        
          Δ
          
            x
          
          
            
              
                n
                +
                1
              
              2
            
          
        
        
          ∫
          
            
              S
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        
        d
        
          ω
          
            ξ
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        p
        
          |
        
        R
        φ
        (
        ξ
        ,
        p
        +
        x
        ⋅
        ξ
        )
        
        d
        p
      
    
    {\displaystyle c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\int \int _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy=c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp}
  

其中Rφ(ξ, p)是φ的拉東變換：

  
    
      
        R
        φ
        (
        ξ
        ,
        p
        )
        =
        
          ∫
          
            x
            ⋅
            ξ
            =
            p
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
          
            n
            −
            1
          
        
        x
        .
      
    
    {\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}
  

平面波分解的另一個等價表達式是（Gelfand & Shilov 1966–1968，I, §3.10）

  
    
      
        δ
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              (
              n
              −
              1
              )
              !
            
            
              (
              2
              π
              i
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              S
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        (
        x
        ⋅
        ξ
        
          )
          
            −
            n
          
        
        
        d
        
          ω
          
            ξ
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta (x)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }}
  

對於偶數n，且

  
    
      
        δ
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              (
              2
              π
              i
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              S
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        
          δ
          
            (
            n
            −
            1
            )
          
        
        (
        x
        ⋅
        ξ
        )
        
        d
        
          ω
          
            ξ
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }}
  

對於奇數n。


= 傅里葉核 =
在對傅里葉級數的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函數相關的傅里葉級數是否收斂到該函數，以及從何種意義上收斂。週期為2π的函數f的傅里葉級數的第n部分和，定義是與狄利克雷核在區間[−π,π]上的卷積：

  
    
      
        
          D
          
            N
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            N
          
          
            N
          
        
        
          e
          
            i
            n
            x
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  (
                  N
                  +
                  
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                  
                  )
                  x
                
                )
              
            
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})x\right)}{\sin(x/2)}}.}
  

因此

  
    
      
        
          s
          
            N
          
        
        (
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        
          D
          
            N
          
        
        ∗
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            N
          
          
            N
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          e
          
            i
            n
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}
  

其中

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            π
          
        
        f
        (
        y
        )
        
          e
          
            −
            i
            n
            y
          
        
        
        d
        y
        .
      
    
    {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}
  

傅里葉級數的一個基礎結果說明，當N → ∞，狄利克雷核趨向於δ函數的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂，即

  
    
      
        
          s
          
            N
          
        
        (
        f
        )
        (
        0
        )
        =
        
          ∫
          
            
              R
            
          
        
        
          D
          
            N
          
        
        (
        x
        )
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        →
        2
        π
        f
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{\mathbf {R} }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}
  

對於一切緊支撐光滑函數f。從而，在區間[−π,π]上有

  
    
      
        δ
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            i
            n
            x
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}.}
  

儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函數成立，換言之，DN從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅里葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核

  
    
      
        
          F
          
            N
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            N
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
            −
            1
          
        
        
          D
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            N
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  sin
                  ⁡
                  
                    
                      
                        N
                        x
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  sin
                  ⁡
                  
                    
                      x
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}
  

費耶核從一種更強的意義向δ函數收斂：

  
    
      
        
          ∫
          
            
              R
            
          
        
        
          F
          
            N
          
        
        (
        x
        )
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        →
        2
        π
        f
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}
  

對於一切緊支撐連續函數f。結果是，所有連續函數的傅里葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函數的值。


= 希爾伯特空間理論 =
狄拉克δ分佈是在包含所有平方可積函數的希爾伯特空間L2上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函數在L2中是一個稠密集，且δ分佈對於緊支撐光滑函數有良好定義。在許多應用中，可以對L2的某個子空間賦予更強的拓撲，使得δ函數能夠定義一個有界線性算子。

索伯列夫空間
索伯列夫嵌入定理應用在實數線R上的索伯列夫空間上時，意味著任何平方可積函數f，只要滿足

  
    
      
        ‖
        f
        
          ‖
          
            
              H
              
                1
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        (
        ξ
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        (
        1
        +
        
          |
        
        ξ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        )
        
        d
        ξ
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }
  

就必定是連續的，而且滿足

  
    
      
        δ
        [
        f
        ]
        =
        
          |
        
        f
        (
        0
        )
        
          |
        
        <
        C
        ‖
        f
        
          ‖
          
            
              H
              
                1
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}
  

從而δ是一個在索伯列夫空間H1上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，δ是H1的連續對偶空間H−1的元素。更一般地說，在n維中，有δ ∈ H−s(Rn)，條件是s > n / 2。


 全純函數空間  在複分析中，δ函數出現在柯西積分公式中，公式說明，若D是複數平面上一個具有光滑邊緣的域，則

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            ∂
            D
          
        
        
          
            
              f
              (
              ζ
              )
              
              d
              ζ
            
            
              ζ
              −
              z
            
          
        
        ,
        
        z
        ∈
        D
      
    
    {\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}
  

對於一切在D的閉包內連續的全純函數。從而，對於此類全純函數，δ函數δz可以以柯西積分表示：

  
    
      
        
          δ
          
            z
          
        
        [
        f
        ]
        =
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            ∂
            D
          
        
        
          
            
              f
              (
              ζ
              )
              
              d
              ζ
            
            
              ζ
              −
              z
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}
  

更一般地來說，設H2(∂D)是一個哈代空間，它是所有在D中直到D的邊緣都是連續的全純函數，在L2(∂D)中的凸包。H2(∂D)中的函數可以唯一地延續成D上的全純函數，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於z ∈ D，δ函數δz是一個H2(∂D)上的連續線性泛函。這是多複數變量函數中的特殊情況：對於光滑域D，塞格核代替了柯西積分的角色。


 單位分解  在可分希爾伯特空間中，給定一個由函數{φn}組成的標準正交基（如一個緊自伴算子的歸一化特徵向量），那麼任何向量f都可以表達成：

  
    
      
        f
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          α
          
            n
          
        
        
          φ
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}
  

係數{αn}可以如下得出：

  
    
      
        
          α
          
            n
          
        
        =
        ⟨
        
          φ
          
            n
          
        
        ,
        f
        ⟩
        ,
      
    
    {\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}
  

也可以寫為

  
    
      
        
          α
          
            n
          
        
        =
        
          φ
          
            n
          
          
            †
          
        
        f
        ,
      
    
    {\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}
  

這是狄拉克符號的一種。在這種寫法下，f以並矢方式展開：

  
    
      
        f
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          φ
          
            n
          
        
        
          (
          
            
              φ
              
                n
              
              
                †
              
            
            f
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).}
  

設I是該希爾伯特空間上的恆等算子，則表達式

  
    
      
        I
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          φ
          
            n
          
        
        
          φ
          
            n
          
          
            †
          
        
      
    
    {\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger }}
  

稱為單位分解。當希爾伯特空間是L2(D)，包含所有在域D上的平方可積函數，那麼

  
    
      
        
          φ
          
            n
          
        
        
          φ
          
            n
          
          
            †
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger }}
  

就是一個積分算子，而f可以重新表達為：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            D
          
        
        
        
          (
          
            
              φ
              
                n
              
            
            (
            x
            )
            
              φ
              
                n
              
              
                ∗
              
            
            (
            ξ
            )
          
          )
        
        f
        (
        ξ
        )
        
        d
        ξ
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .}
  

右邊的級數是在L2當中向f收斂。就算f是連續函數，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        ∫
        
        δ
        (
        x
        −
        ξ
        )
        f
        (
        ξ
        )
        
        d
        ξ
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,}
  

如此來表示δ函數：

  
    
      
        δ
        (
        x
        −
        ξ
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          φ
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          φ
          
            n
          
          
            ∗
          
        
        (
        ξ
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).}
  

在適當的裝備希爾伯特空間(Φ, L2(D), Φ*)中，其中Φ ⊂ L2(D)包含所有緊支撐光滑函數，視乎基φn的性質，上方的級數有可能在Φ*中收斂。在大多數實際情況下，標準正交基來自於某個積分或微分算子，這時候級數會從分佈的意義上收斂。


= 無限小δ函數 =
1827年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函數時，用到了一個無限小數α，使得函數δα滿足

  
    
      
        ∫
        F
        (
        x
        )
        
          δ
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        =
        F
        (
        0
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0).}
  

他（以及拉扎爾·卡諾）把無限小數定義為一個趨向於零的序列。
非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言，狄拉克δ函數可以用含有無限小數的延伸實數來表達，詳見Yamashita (2007)論文所列出的相關書目。這樣定義的δ函數是真正意義上的函數，使得對於每個實函數F，都有

  
    
      
        ∫
        F
        (
        x
        )
        
          δ
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        =
        F
        (
        0
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0),}
  

結果與傅里葉和柯西用別的語言所表達的一樣。


狄拉克梳子 由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做狄拉克梳子，亦以西里爾字母Ш相形稱為Ш分佈，是一個取樣函數，常用在數碼訊號處理和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個δ函數的無限和，和的極限是分佈意義上的極限：

  
    
      
        Δ
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        δ
        (
        x
        −
        n
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \Delta (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),}
  

這可以理解為，在每個整數處都有一個單位質點。
狄拉克梳子是其自身的傅里葉變換（或乘以某個歸一常數）。其重要性在於，若f是速降函數，則f在週期化後的結果以以下卷積表示：

  
    
      
        (
        f
        ∗
        Δ
        )
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        −
        n
        )
        .
      
    
    {\displaystyle (f*\Delta )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).}
  

特別有，

  
    
      
        (
        f
        ∗
        Δ
        
          )
          
            ∧
          
        
        =
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        
          
            
              Δ
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        Δ
        ,
      
    
    {\displaystyle (f*\Delta )^{\wedge }={\hat {f}}{\widehat {\Delta }}={\hat {f}}\Delta ,}
  

這正是帕松求和公式。


索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理 索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理是量子力學中重要的定理，它把δ函數和分佈p.v.1/x聯繫起來，後者是函數1/x的柯西主值，定義是

  
    
      
        
          ⟨
          
            
              p
              .
              v
              .
            
            ⁡
            
              
                1
                x
              
            
            ,
            φ
          
          ⟩
        
        =
        
          lim
          
            ε
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              |
            
            x
            
              |
            
            >
            ε
          
        
        
          
            
              φ
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.}
  

索霍茨基公式說明，

  
    
      
        
          lim
          
            ε
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          
            1
            
              x
              ±
              i
              ε
            
          
        
        =
        
          p
          .
          v
          .
        
        ⁡
        
          
            1
            x
          
        
        ∓
        i
        π
        δ
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}
  

此處的極限是分佈意義上的極限，就是說對於一切緊支撐光滑函數f，

  
    
      
        
          lim
          
            ε
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            
              x
              ±
              i
              ε
            
          
        
        
        d
        x
        =
        ∓
        i
        π
        f
        (
        0
        )
        +
        
          lim
          
            ε
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              |
            
            x
            
              |
            
            >
            ε
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}
  


與克羅內克δ函數的關係 克羅內克δ函數δij的定義是，

  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                
                
                  i
                  =
                  j
                
              
              
                
                  0
                
                
                  i
                  =
                  j
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}}
  

對於所有整數i、j。它滿足以下的篩選性質：若
  
    
      
        (
        
          a
          
            i
          
        
        
          )
          
            i
            ∈
            
              Z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }}
  
是一個兩頭無限的序列，則

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          δ
          
            i
            k
          
        
        =
        
          a
          
            k
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}
  

這和狄拉克δ函數的篩選性質十分相似：對於任何R上的實函數或複函數f，有

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        δ
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
        d
        x
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}
  

也就是說，克羅內克δ函數可以看作是與狄拉克δ函數對應的離散函數。


應用 = 概率論 =
在概率論和統計學中，狄拉克函數往往以概率密度函數的身份，來代表一個離散分佈或部分離散、部分連續的分佈（概率密度函數一般只用作描述完全連續分佈）。例如，設一組點x = {x1, ..., xn}，對應概率為p1, ..., pn；由這些點所組成的離散分佈的概率密度函數可以寫作

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        δ
        (
        x
        −
        
          x
          
            i
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}
  

又舉一例，設一個分佈，其中十分之六的情況下輸出標準正態分佈，而十分之四的情況下輸出單個數值3.5，這是一個部分連續、部分離散的混合分佈。其密度函數是

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        0.6
        
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                2
              
            
          
        
        +
        0.4
        
        δ
        (
        x
        −
        3.5
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).}
  

也可以以完全不同的方法，用δ函數表示擴散過程（如布朗運動）中的局部時。一個隨機過程的局部時的表達式為

  
    
      
        ℓ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        δ
        (
        x
        −
        B
        (
        s
        )
        )
        
        d
        s
      
    
    {\displaystyle \ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds}
  

這代表了該過程在某特定區間內，在點x所花的時間。更準確地說，當只有一個維度時，上面的積分可以寫成

  
    
      
        ℓ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          lim
          
            ε
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          
            1
            
              2
              ε
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        
          
            1
          
          
            [
            x
            −
            ε
            ,
            x
            +
            ε
            ]
          
        
        (
        B
        (
        s
        )
        )
        
        d
        s
      
    
    {\displaystyle \ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds}
  

其中1[x−ε, x+ε]是區間[x−ε, x+ε]的指示函數。


= 量子力學 =
以下舉一個例子，展示δ函數如何在量子力學中派上用場。一個粒子的波函數所給出的，是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅。波函數假定屬於希爾伯特空間L2（平方可積函數空間），且粒子在某空間範圍內出現的總概率，等於波函數的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函數{φn}叫做標準正交，如果

  
    
      
        ⟨
        
          φ
          
            n
          
        
        
          |
        
        
          φ
          
            m
          
        
        ⟩
        =
        
          δ
          
            n
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle \varphi _{n}|\varphi _{m}\rangle =\delta _{nm}}
  

其中δ指的是克羅內克δ函數，而不是狄拉克δ函數。一組標準正交波函數叫做在平方可積函數空間中完備，如果任何波函數ψ都可以表達為一些φn的線性組合：

  
    
      
        ψ
        =
        ∑
        
          c
          
            n
          
        
        
          φ
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \psi =\sum c_{n}\varphi _{n},}
  

其中
  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        =
        ⟨
        
          φ
          
            n
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle c_{n}=\langle \varphi _{n}|\psi \rangle }
  
。量子力學中的哈密頓算符量度的是（束縛態的）能級，而算符的所有本徵函數正正就組成了波函數完備標準正交系統，每個本徵函數所對應的特徵值等於能量值。這組能量值叫做這個哈密爾頓算符的光譜。利用狄拉克符號（如上），上式所表達的就是單位分解：

  
    
      
        I
        =
        ∑
        
          |
        
        
          φ
          
            n
          
        
        ⟩
        ⟨
        
          φ
          
            n
          
        
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.}
  

此處，特徵值都是離散的，但一個可觀察量的特徵值也可以是連續的，就如位置算符Qψ(x) = xψ(x)。位置（在一維當中）的光譜是整條實數線，所以稱作連續光譜。不過，和哈密頓算符不同的是，位置算符並沒有正式的本徵函數。為了解決這一困局，通常會擴大所允許使用的函數，從普通的函數到所有分佈。換言之，量子力學的希爾伯特空間要由合適的裝備希爾伯特空間取代。這樣一來，位置算符就有了一套完備的本徵分佈，對應於實數線上的每個點y：

  
    
      
        
          φ
          
            y
          
        
        (
        x
        )
        =
        δ
        (
        x
        −
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi _{y}(x)=\delta (x-y).}
  

位置的本徵函數（分佈）用狄拉克符號記作
  
    
      
        
          φ
          
            y
          
        
        =
        
          |
        
        y
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \varphi _{y}=|y\rangle }
  
，亦稱為位置本徵態。
這種處理方法同樣可以應用於動量算符，以及一切希爾伯特空間上的自伴無界算子P，前提是P具有連續光譜，且不存在退化特徵值。更確切地說，有一個實數的子集Ω（即算子的光譜）和一組分佈φy，對應於Ω的每個元素y，使得

  
    
      
        P
        
          φ
          
            y
          
        
        =
        y
        
          φ
          
            y
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.}
  

也就是說，φy是P的特征向量（本徵分佈）。如果這些特征向量（作為分佈）都滿足歸一化條件：

  
    
      
        ⟨
        
          φ
          
            y
          
        
        ,
        
          φ
          
            
              y
              ′
            
          
        
        ⟩
        =
        δ
        (
        y
        −
        
          y
          ′
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y'),}
  

那麼對於一切測試函數ψ，就有

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        c
        (
        y
        )
        
          φ
          
            y
          
        
        (
        x
        )
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy}
  

其中

  
    
      
        c
        (
        y
        )
        =
        ⟨
        ψ
        ,
        
          φ
          
            y
          
        
        ⟩
        .
      
    
    {\displaystyle c(y)=\langle \psi ,\varphi _{y}\rangle .}
  

此處所得出的單位分解和離散的情況比較，有相似之處：

  
    
      
        I
        =
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          |
        
        
          φ
          
            y
          
        
        ⟩
        
        ⟨
        
          φ
          
            y
          
        
        
          |
        
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy}
  

其中以算子為值的積分同樣理解為弱積分。若P的光譜同時含有連續和離散部分，則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和，再加上跑遍所有連續態的積分。
δ函數在量子力學中還有眾多特殊應用，例如δ位勢阱。


= 結構力學 =
在結構力學中，δ函數可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在t=0時突然受到衝量為I的力的衝擊，其演變可以如下描述：

  
    
      
        m
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              ξ
            
            
              
                d
              
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        k
        ξ
        =
        I
        δ
        (
        t
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi }{\mathrm {d} t^{2}}}+k\xi =I\delta (t),}
  

其中m是質量，ξ是撓度，而k是彈簧常數。
根據歐拉﹣伯努力理論，一條細長的樑的靜力負荷撓度是

  
    
      
        E
        I
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  4
                
              
              w
            
            
              
                d
              
              
                x
                
                  4
                
              
            
          
        
        =
        q
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x),}
  

其中EI是樑的彎曲剛度，w是撓度，x是空間坐標，而q(x)則是負荷分佈。如果棟樑在x = x0處受到點力F的負荷，那麼負荷分佈可以寫作

  
    
      
        q
        (
        x
        )
        =
        F
        δ
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle q(x)=F\delta (x-x_{0}).}
  

由於δ函數的積分是黑維塞階躍函數，因此細長棟樑在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度，可以用一組分段多項式來表示。
δ函數還可以描述作用在一條樑上的點彎矩。設兩個相距d的相反方向的點力F，它們在棟樑上所產生的彎矩為M = Fd。在保持M不變的情況下，使d趨向於零。假設所產生的彎矩位於x = 0，方向是順時針，那麼對棟樑的負荷分佈就是

  
    
      
        
          
            
              
                q
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  lim
                  
                    d
                    →
                    0
                  
                
                
                  
                    (
                  
                
                F
                δ
                (
                x
                )
                −
                F
                δ
                (
                x
                −
                d
                )
                
                  
                    )
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  lim
                  
                    d
                    →
                    0
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        M
                        d
                      
                    
                    δ
                    (
                    x
                    )
                    −
                    
                      
                        M
                        d
                      
                    
                    δ
                    (
                    x
                    −
                    d
                    )
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                M
                
                  lim
                  
                    d
                    →
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      δ
                      (
                      x
                      )
                      −
                      δ
                      (
                      x
                      −
                      d
                      )
                    
                    d
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                M
                
                  δ
                  ′
                
                (
                x
                )
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\&=M\delta '(x).\end{aligned}}}
  

因此點彎矩可以用δ函數的導數來描述。對棟樑方程積分，得出的撓度一樣是分段多項式。


參見 δ位勢阱
格林函數


脚注 = 註釋 =


= 引註 =


參考資料 外部連結 Hazewinkel, Michiel (编), Delta-function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
KhanAcademy.org視頻講義 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
狄拉克δ函數 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
視頻講義──第23課 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
狄拉克δ函數 （页面存档备份，存于互联网档案馆），PlanetMath（英文）