导数（英語：derivative）是微积分学中的一個概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的自变量在一点
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
上产生一个增量
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
时，函數输出值的增量與自變量增量
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
的比值在
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
趋于0时的極限如果存在，即為
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
处的导数，记作
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x_{0})}
  
、
  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              f
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})}
  
或
  
    
      
        
          
            
            
              
                
                  
                    d
                  
                  f
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            |
          
          
            x
            =
            
              x
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}}
  
。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度:155。
导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导(可微分)，否则称为不可导(不可微分)。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在這一点上的切线斜率。
对于可导的函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，
  
    
      
        x
        ↦
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle x\mapsto f'(x)}
  
也是一个函数，称作
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导（英語：differentiation）。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的:372。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。


定义 = 一般定义 =

直觀上 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)-f(a)}
  
代表函數值從 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 到 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的變化量，那這樣，
代表的是從 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 到 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的平均變化率，如果把 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 趨近於 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，似乎就可以更能貼切的描述函數值在 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 附近的變化。

以此為動機，若实函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 於实数 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 有定義，且以下極限（注意這個表達式所定義的函數定義域不含 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 ）存在則称 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 於 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 处可导，并称这个极限为 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 於 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 处的导数:117-118，记为
  
    
      
        
          f
          
            ′
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle f^{\prime }(a)}
  
也可记作  
  
    
      
        
          
            
            
              
                
                  
                    d
                  
                  f
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            |
          
          
            x
            =
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=a}}
  
 或 
  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              f
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)}
  
 :154。
根據函數極限的定義，導數定義部分的 ＂存在 
  
    
      
        δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \delta >0}
  
 使所有的 
  
    
      
        x
        ∈
        
          D
          
            f
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in D_{f}}
  
 ，只要 
  
    
      
        0
        <
        
          |
        
        x
        −
        a
        
          |
        
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle 0<|x-a|<\delta }
  
 都有....＂ 可以直觀的理解為 ＂當 
  
    
      
        h
        =
        x
        −
        a
      
    
    {\displaystyle h=x-a}
  
 趨近於 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 都有....＂，但要把它寫成嚴謹的定義，會碰到 ＂存在 
  
    
      
        δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \delta >0}
  
 對所有的實數 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 ，只要 
  
    
      
        a
        +
        h
        ∈
        
          D
          
            f
          
        
      
    
    {\displaystyle a+h\in D_{f}}
  
 且 
  
    
      
        0
        <
        
          |
        
        h
        
          |
        
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle 0<|h|<\delta }
  
 都有....＂這段敘述無法直接套入極限定義的問題，對此必須把以下的表達式

定義為導數原始極限表達式的簡記，而非另一種自動合法的導數定義。但如果存在 
  
    
      
        r
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r>0}
  
 ，使 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        (
        a
        −
        r
        ,
        
        a
        +
        r
        )
      
    
    {\displaystyle (a-r,\,a+r)}
  
 裡都有定義，那定義 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
 為以為定義域，然後以為對應規則的函數，那以下的極限式就可以把以 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 為自變數的偏差，將之趨近於零求導數的想法納入正式的運算裡。


= 几何意义 =

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{0}}
  
为曲线上的一个定点，
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
为曲线上的一个动点。当
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
沿曲线逐渐趋向于点
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{0}}
  
时，并且割线
  
    
      
        P
        
          P
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle PP_{0}}
  
的极限位置
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        T
      
    
    {\displaystyle P_{0}T}
  
存在，则称
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        T
      
    
    {\displaystyle P_{0}T}
  
为曲线在
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{0}}
  
处的切线。
若曲线为一函数
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
的图像，那么割线
  
    
      
        P
        
          P
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle PP_{0}}
  
（粉紅色）的斜率为：

当
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{0}}
  
处的切线
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        T
      
    
    {\displaystyle P_{0}T}
  
（橘紅色），即
  
    
      
        P
        
          P
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle PP_{0}}
  
的极限位置存在时，此时
  
    
      
        Δ
        x
        →
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta x\to 0}
  
，
  
    
      
        φ
        →
        α
      
    
    {\displaystyle \varphi \to \alpha }
  
，则
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        T
      
    
    {\displaystyle P_{0}T}
  
的斜率
  
    
      
        tan
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle \tan \alpha }
  
为：

上式与一般定义中的导数定义完全相同，也就是说
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        tan
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle f'(x_{0})=\tan \alpha }
  
，因此，导数的几何意义即曲线
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
在点
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle P_{0}(x_{0},f(x_{0}))}
  
处切线的斜率。:117:153


= 导数、导函数与微分算子 =

若函数 
  
    
      
        
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle \;f(x)\;}
  
 在其定义域包含的某区间 
  
    
      
        
        I
        
      
    
    {\displaystyle \;I\;}
  
 内每一个点都可导，那么也可以说函数
  
    
      
        
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle \;f(x)\;}
  
 在区间 
  
    
      
        
        I
        
      
    
    {\displaystyle \;I\;}
  
 内可导，这时对于 
  
    
      
        
        I
        
      
    
    {\displaystyle \;I\;}
  
 内每一个确定的
  
    
      
        
        x
        
      
    
    {\displaystyle \;x\;}
  
 值，都对应着 
  
    
      
        
        f
        
      
    
    {\displaystyle \;f\;}
  
 的一个确定的导数值，如此一来就构成了一个新的函数
  
    
      
        x
        ↦
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle x\mapsto f'(x)}
  
，这个函数称作原来函数 
  
    
      
        
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle \;f(x)\;}
  
 的导函数:155，记作：
  
    
      
        
        
          y
          ′
        
        
      
    
    {\displaystyle \;y'\;}
  
、
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)\;}
  
 或者 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
                f
              
              
                
                  d
                
                x
              
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)}
  
。值得注意的是，导数是一个数，是指函数 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(x)\;}
  
 在点 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}\;}
  
 处导函数的函数值。但在不至于混淆的情况下，通常也可以说导函数为导数。
由于对每一个可导的函数 
  
    
      
        
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle \;f(x)\;}
  
，都有它的导函数 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)\;}
  
 存在，我们还可以定义将函数映射到其导函数的算子。这个算子称为微分算子，一般记作 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 或 
  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  d
                
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}
  
。例如：

  
    
      
        
          
            
              
                D
                (
                x
                ↦
                1
                )
              
              
                
                =
                (
                x
                ↦
                0
                )
              
            
            
              
                D
                (
                x
                ↦
                x
                )
              
              
                
                =
                (
                x
                ↦
                1
                )
              
            
            
              
                D
                (
                x
                ↦
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                )
              
              
                
                =
                (
                x
                ↦
                2
                ⋅
                x
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0)\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1)\\D(x\mapsto x^{2})&=(x\mapsto 2\cdot x)\end{aligned}}}
  

由于微分算子的输出值仍然是函数，可以继续求出它在某一点的取值。比如说对于函数 
  
    
      
        
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \;f(x)=x^{2}\;}
  
，

  
    
      
        D
        (
        f
        )
        =
        (
        x
        ↦
        2
        ⋅
        x
        )
      
    
    {\displaystyle D(f)=(x\mapsto 2\cdot x)}
  

所以
  
    
      
        D
        (
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        2
        x
      
    
    {\displaystyle D(f)(x)=2x}
  
，
  
    
      
        D
        (
        f
        )
        (
        1.4
        )
        =
        2
        ×
        1.4
        =
        2.8
      
    
    {\displaystyle D(f)(1.4)=2\times 1.4=2.8}
  
。


= 导数与微分 =
微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分
  
    
      
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} x}
  
，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
的微分又可记作
  
    
      
        
          d
        
        y
        =
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\mathrm {d} x}
  
。


历史 导数和积分的发现是微积分发明的关键一步。17世纪以来，光学透镜的设计以及炮弹弹道轨迹的计算促使欧洲的数学家对曲线的切线进行研究。1630年代，法国数学家吉尔·德·罗伯瓦尔作出了最初的尝试。与此同时，同是法国人的费马在计算切线时已经使用了无穷小量的概念:52。

如右图，费马考虑曲线 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 在 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 处的切线。他声称，对于切线，有以下的关系成立：

  
    
      
        
          
            s
            
              s
              +
              h
            
          
        
        =
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              +
              h
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {s}{s+h}}={\frac {f(x)}{f(x+h)}}}
  

对上式变形后得到：

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            
              
                f
                (
                x
                +
                h
                )
                −
                f
                (
                x
                )
              
              h
            
          
        
      
    
    {\displaystyle s={\frac {f(x)}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}}
  

对于具体的函数 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
，比如 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{3}}
  
，费马计算 
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              x
              +
              h
              )
              −
              f
              (
              x
              )
            
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
  
 的值，并将 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
设为0，就得到 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
，从而确定切线的斜率。可以看出，费马的方法实质上已经是求导。费马还给出了 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 为多项式时切线的公式。英国的巴罗、荷兰的于德（Johnann Van Waveren Hudde）和瓦隆的斯卢兹（Rene Francoiss Walther de Sluze）继续了费马的工作。然而，费马和巴罗等人并没有将求导归纳为一种独立的工具，只是给出了具体的计算技巧。
1660年代，英国人伊萨克·牛顿提出了“流数”的概念。牛顿在写于1671年的《流数法与无穷级数》中对流数的解释是：“我把时间看作是连续的流动或增长，而其他的量则随着时间而连续增长。我从时间流动性出发，把所有其他量的增长速度称为流数。”也就是说，流数就是导数。牛顿将无穷小的时间间隔定义为“瞬间”（moment），而一个量的增量则是流数与瞬间的乘积。求导数时，牛顿将自变量和因变量两边展开，同时除以瞬间，再将剩下的项中含有瞬间的项忽略掉:72。而在他的第三篇微积分论文中，牛顿使用了新的概念：最初比和最后比。他说：

相比于牛顿，德国数学家莱布尼兹使用了更清晰的记号来描述导数（见导数的记法一节）。他利用了巴罗的“微分三角形”概念，将自变量和因变量的增量记为 
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
 和 
  
    
      
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dy}
  
。他把 
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
 理解为“比任何给定的长度都要小”，而 
  
    
      
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dy}
  
 则是 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 移动时 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
“瞬刻的增长”:89。而导数则是两者之间的比例。他还研究了函数之和、差、积、商的求导法则。

牛顿和莱布尼兹的差别在于，牛顿将无穷小量作为求流数或导数的工具，而莱布尼兹则用无穷小量的比值来表示导数。这与二人的哲学思想差异有关:92。
微积分的理论面世后，遭到了有关无穷小量定义的攻击与质疑。导数的定义自然也包括在内。莱布尼兹和牛顿对无穷小量的认识都是模糊的。不仅如此，莱布尼兹甚至引入了
  
    
      
        (
        d
        )
        x
      
    
    {\displaystyle (d)x}
  
 和 
  
    
      
        (
        d
        )
        y
      
    
    {\displaystyle (d)y}
  
，称其为“未消失的量”，用以进行求导前部的计算。在完成计算后再用“消失的量”
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
 和 
  
    
      
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dy}
  
来代替它们，并假定前两者之比等于后两者之比，认为这是一个不容置疑的真理:102。
许多数学家，包括伯努利兄弟、泰勒、麦克劳林、达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都想要对微积分的严密性辩护或将微积分严密化。但受限于对无穷小量的认识，十八世纪的数学家并没有做出太大的成果。微积分的强烈抨击者，英国的乔治·贝克莱主教在攻击无穷小量时认为，流数实际上是“消失的量的鬼魂”，是0与0之比。欧拉承认后者，并认为0与0之比可以是有限值。拉格朗日则假定函数都可以展开为幂级数，并在此基础上定义导数:154-156。
十九世纪后，随着对函数连续性和极限的更深刻认识，微积分终于趋于严谨。波尔查诺是首先将导数定义为函数值的改变量与自变量增量之比在自变量增量无限接近0时趋向的量。波尔查诺强调导数不是0与0之比，而是前面的比值趋向的数:10。柯西在他的著作《无穷小分析教程概论》中也使用了同样的定义，并定义
  
    
      
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dy}
  
 为导数与 
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
 的乘积。这样，导数和微分的概念得到了统一:11。


导数的记法 从微积分发轫至如今，不同的数学家都曾使用过不同的记号来表示函数的导数。部分记号至今仍然使用，成为现代的通用记法。


= 牛顿的记法 =
作为微积分的发明人之一，牛顿在1704年著作中将导数用函数符号上方的点来表示。例如 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
的导数就记作
  
    
      
        
          
            
              y
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {y}}}
  
，而二阶导数则记为
  
    
      
        
          
            
              y
              ¨
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {y}}}
  
:193-196。他以后的数学家也会将
  
    
      
        
          
            
              y
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {y}}}
  
用来表示函数的微分。牛顿的记法中没有明确自变量，因此 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 对 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的导数在牛顿的著作中也会被记成
  
    
      
        
          y
          ′
        
        :
        
          x
          ′
        
      
    
    {\displaystyle y':x'}
  
，因为这可以理解为两个函数
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 和 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 对于另一个变量
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的导数比:196。而这个导数比（使用莱布尼兹的记号）：

  
    
      
        
          y
          ′
        
        :
        
          x
          ′
        
        =
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              t
            
          
        
        :
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y':x'={\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {dy}{dx}}}
  

牛顿的记号多见于物理学或与之有关的方面，如微分方程中。以及直到现在，使用函数符号上加一点来表示某一变量的变化率（即对时间的导数）依然常见于各类物理学教材中（如使用
  
    
      
        
          
            
              v
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {v}}}
  
来表示加速度等）。注意到对于高阶的导数，这种记法就无法表示了。


= 莱布尼兹的记法 =

莱布尼兹在他的研究中分别使用 
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
 和 
  
    
      
        Δ
        y
      
    
    {\displaystyle \Delta y}
  
 来表示函数自变量和應变量（输出值）的有限变化量，而使用 
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
 和 
  
    
      
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dy}
  
 来表示“无限小”的变化量（即所谓的“无穷小量”）。如果将函数记为
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
的话，那么在莱布尼兹的记法下，其导数记为：

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              x
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)}
  
、
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)}
  
 或 
  
    
      
        
          
            
              d
              
                (
                
                  f
                  (
                  x
                  )
                
                )
              
            
            
              d
              x
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {d\left(f(x)\right)}{dx}},}
  

这个记法最早出现在莱布尼兹1684年的论文中:204，莱布尼兹在之前的文章中会将 
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
 记成 
  
    
      
        
          
            
              x
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {x}{d}}}
  
，把 
  
    
      
        
          
            
              
                d
                y
              
              
                d
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}}
  
 记成 
  
    
      
        d
        
          
            
              y
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d{\tfrac {y}{x}}}
  
。莱布尼兹记法的好处是明确了自变量和應变量。要注意的是记号
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
是一个整体，
  
    
      
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dy}
  
也是，而
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
  
可以看成一个整体，也可以不严谨地看成
  
    
      
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dy}
  
和
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
的比值。此外，
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
  
 表示的是导函数，在某一点 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  
 的导数则记为：
  
    
      
        
          
            
            
              
                
                  d
                  y
                
                
                  d
                  x
                
              
            
            |
          
          
            x
            =
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}}
  
 
对于更高阶的导数（比如说n阶，见高阶导数一节），莱布尼兹的记法是：

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  n
                
              
              y
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  n
                
              
              f
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)}
  
 或 
  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  n
                
              
              
                [
                
                  f
                  (
                  x
                  )
                
                ]
              
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{n}\left[f(x)\right]}{dx^{n}}},}
  

这种记法是在1695年出现的:205。这里的分子和分母不再具有单独的意义。莱布尼兹的记法中使用 
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}
  
 来表示微分算子，比如说二阶的导数 
  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              y
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}
  
 就可以看成：

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              y
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            
              
                d
                y
              
              
                d
                x
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}
  

莱布尼兹记法的另一个好处是便于记忆导数计算的法则。例如链式法则（见导数的计算一节）应用莱布尼兹的记法就是：

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              u
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              d
              u
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}
  

可以想象为右边是两个分式的乘积，消去
  
    
      
        d
        u
      
    
    {\displaystyle du}
  
之后就变成左边。
由于牛顿和莱布尼兹之间关于微积分创始人称号的持久纠纷，在十八世纪早期的很长时间里，英国数学界与欧洲大陆的数学界分别采用牛顿和莱布尼兹的记号，泾渭分明。这种情况直到十八世纪后期才开始改变，随着拉格朗日记法的出现而变得多样化起来:197-200。


= 拉格朗日的记法 =
另一种现今常见的记法是十八世纪拉格朗日于1797年率先使用的，以在函数的右上角加上一短撇作为导数的记号。函数 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
 的导数就记作 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x)}
  
 或 
  
    
      
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle y'}
  
。二阶和三阶导数记为
  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f''(x)}
  
、
  
    
      
        
          y
          ″
        
      
    
    {\displaystyle y''}
  
 和 
  
    
      
        
          f
          ‴
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f'''(x)}
  
、
  
    
      
        
          y
          ‴
        
      
    
    {\displaystyle y'''}
  
:207。如果需要处理更高阶的导数，则用括号内的求导阶数n来代替短撇，记为：
  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}(x)}
  
、
  
    
      
        
          y
          
            (
            n
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{(n)}}
  
。当十九世纪的数学家柯西处理微分学时，他认为莱布尼兹的记法“模糊不便”，而采用更为“紧凑”的记法，将 
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
  
 记为
  
    
      
        
          y
          
            x
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle y'_{x}}
  
。这种记法可说是拉格朗日记法的变种:218。后来这种记法曾继续被精简为
  
    
      
        
          y
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{x}}
  
。


= 其它记法 =
十九世纪以前，尽管大部分数学家会选择采用牛顿、莱布尼兹或拉格朗日的记号来表示导数，但也有很多的数学家希望使用自己的方法来记录。在不同数学家的著作中可以看到各种主流记法的混合或变体。数学家之间关于什么样的记法最为简便和严谨也是各执一词。同时，由于函数的微分、导数、偏导数以及无穷小量等概念尚未成熟，记号的不统一更增加了数学家之间相互理解的难度:214-234。十九世纪初期的德国数学家马尔丹·欧姆采用
  
    
      
        ∂
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \partial f(x)}
  
来表示导数，而同时期的雅可比则采用
  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
  
来表示偏导数。同时许多数学家采用
  
    
      
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {df}{dx}}}
  
、
  
    
      
        
          
            d
            x
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{x}}f}
  
或 
  
    
      
        
          
            
              δ
              f
            
            
              δ
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta x}}}
  
表示偏导数。
用大写字母
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
表示导数从十八世纪末就开始。1800年，法国数学家路易斯·弗朗索瓦·安托内·阿伯加斯特（Louis Francois Antoine Arbogast）使用
  
    
      
        
          D
          
            m
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle D^{m}f}
  
表示函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的m阶导数或全微分。而其后本杰明·佩尔斯也使用
  
    
      
        D
        f
        ⋅
        x
      
    
    {\displaystyle Df\cdot x}
  
表示 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 对 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的导数。而柯西也采用类似的记号，用
  
    
      
        
          D
          
            x
          
          
            m
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle D_{x}^{m}f}
  
表示函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 对 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的m阶偏导数。


函数可导的条件 如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        +
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
  
上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先，要使函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在一点可导，那么函数一定要在这一点处连续。换言之，函数若在某点可导，则必然在该点处连续。这个结论来自于连续性的定义。

符号函数（sgn函数）是一个不连续的函数在断点处不可导的例子：

首先注意到这个函数在
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x_{0}=0}
  
处不连续。作为验证，可以求出函数在
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
处附近的变化率，根据函数可导的条件再进行判断：

该函数在
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x_{0}=0}
  
左侧附近的变化率为：
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              x
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              x
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              −
              1
              −
              0
            
            
              x
              −
              0
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {-1-0}{x-0}}=-{\frac {1}{x}}}
  

当
  
    
      
        x
        →
        
          0
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle x\to 0^{-}}
  
时，上面的比值趋于正无穷大发散，不存在，故这个符号函数在
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x_{0}=0}
  
处不可导。
然而，连续性并不能保证可导性。即使函数在一点上连续，也不一定就在这一点可导。事实上，存在着在每一点都连续，但又在每一点都不可导的“病态函数”。1931年，斯特凡·巴拿赫甚至证明，事实上“绝大多数”的连续函数都属于这种病态函数（至少在一点可导的连续函数在所有连续函数中是贫集）。在连续而不可导的函数里，一种常见的情况是，函数在某一点连续，并且可以定义它的左导数和右导数：

然而左导数和右导数并不相等，因而函数在该处不可导。实际上，若函数导数存在，则必然可以推出左右导数相等，这是由极限的性质（极限存在则左右极限相等）得来：

下面以绝对值函数作为例子：

该函数在
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
处的左导数为：
  
    
      
        
          f
          
            −
          
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        
          lim
          
            x
            →
            
              0
              
                −
              
            
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              )
              −
              f
              (
              0
              )
            
            
              x
              −
              0
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            
              0
              
                −
              
            
          
        
        
          
            
              −
              x
              −
              0
            
            
              x
              −
              0
            
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle f'_{-}(0)=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1}
  

该函数在
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
处的右导数为：
  
    
      
        
          f
          
            +
          
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        
          lim
          
            x
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              )
              −
              f
              (
              0
              )
            
            
              x
              −
              0
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          
            
              x
              −
              0
            
            
              x
              −
              0
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle f'_{+}(0)=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {x-0}{x-0}}=1}
  

绝对值函数在
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
处的左右导数皆存在，但由于左右导数不相等，故绝对值函数在
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
处不可导。:118-119
如果函数在一点的左右导数都存在并且相等，那么函数在该处可导。:155


导数与函数的性质 通过认识可导函数的导数，可以推断出不少函数本身的性质。


= 单调性 =

根据微积分基本定理，对于可导的函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，有：

  
    
      
        f
        (
        b
        )
        −
        f
        (
        a
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          f
          ′
        
        (
        t
        )
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle f(b)-f(a)=\int _{a}^{b}f'(t)\mathrm {d} t}
  

如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点（或极值可疑点），在这类点上函数可能会取得极大值或极小值。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f'(x_{0})=0}
  
 的一点 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
，如果存在 
  
    
      
        δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \delta >0}
  
 使得 
  
    
      
        
          f
          ′
        
      
    
    {\displaystyle f'}
  
 在区间
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        −
        δ
        ,
        
          x
          
            0
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0}]}
  
 上都大于等于零，而在区间 
  
    
      
        [
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            0
          
        
        +
        δ
        )
      
    
    {\displaystyle [x_{0},x_{0}+\delta )}
  
 上都小于等于零，那么 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
 是一个极大值点，反之则为极小值点:170。如果
  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f''(x_{0})=0}
  
 並且 
  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f''(x)}
  
 在 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
 改變加減號，則称这个点是拐点；否則这个点不是拐点。
如果函数在 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
 处的二阶导数 
  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f''(x_{0})}
  
 存在，极值点也可以用它的正负性判断（已确定
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f'(x_{0})=0}
  
）。如果
  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle f''(x_{0})>0}
  
，那么 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
 是一个极小值点，反之为极大值点:170-171。


= 凹凸性 =

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凸的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上 
  
    
      
        
          f
          ″
        
      
    
    {\displaystyle f''}
  
 恒大于零，则这个区间上函数是向下凸的，反之这个区间上函数是向上凸的:176-178。


导数的计算 原则上，函数的导数可以通过考虑差商和计算其极限来从定义计算。在实践中，一旦知道了一些简单函数的导数，就可以使用从更简单的函数获得更复杂函数的导数的规则，来更容易地计算其他函数的导数。


= 基本函数的导数 =

所谓基本函数是指一些形式简单并且容易求出导数的函数。这些基本函数的导函数可以通过定义直接求出。

幂函数的导数：如果

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            r
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{r},}
  

其中
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
是任意实数，那么

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        r
        
          x
          
            r
            −
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f'(x)=rx^{r-1},}
  
函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的定义域可以是整个实数域，但导函数的定义域则不一定与之相同。例如当 
  
    
      
        r
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {1}{2}}}
  
时：

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          x
          
            −
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\tfrac {1}{2}}}\,}
  
:119
导函数的定义域只限所有正实数而不包括0。需要注意的是，不会有多项式函数的导数为
  
    
      
        
          
            x
            
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle x^{-1}}
  
。当 
  
    
      
        r
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r=0}
  
 时，常函数的导数是0。

底数为
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
的指数函数 
  
    
      
        
          y
          =
          
            e
            
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle y=e^{x}}
  
 的导数还是自身：
  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  d
                
                x
              
            
          
          
            e
            
              x
            
          
          =
          
            e
            
              x
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}.}
  
 而一般的指数函数 
  
    
      
        y
        =
        
          a
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle y=a^{x}}
  
 的导数还需要乘以一个系数：
  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  d
                
                x
              
            
          
          
            a
            
              x
            
          
          =
          ln
          ⁡
          (
          a
          )
          
            a
            
              x
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.}
  
:122
自然对数函数的导数则是 
  
    
      
        
          x
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{-1}}
  
：
  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  d
                
                x
              
            
          
          ln
          ⁡
          (
          x
          )
          =
          
            
              1
              x
            
          
          ,
          
          x
          >
          0.
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}
  
:123 同样的，一般的对数函数导数则还需要乘以一个系数：
  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  d
                
                x
              
            
          
          
            log
            
              a
            
          
          ⁡
          (
          x
          )
          =
          
            
              1
              
                x
                ln
                ⁡
                (
                a
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}
  

三角函数的导数仍然是三角函数，或者由三角函数构成:122:

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}
  

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        −
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}
  

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        tan
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          sec
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        1
        +
        
          tan
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}
  

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        cot
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        −
        
          csc
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        −
        
          
            1
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}.}
  

反三角函数的导数则是无理分式:160:

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        arcsin
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
        
        −
        1
        <
        x
        <
        1.
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}
  

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        arccos
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        −
        
          
            1
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
        
        −
        1
        <
        x
        <
        1.
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}
  

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        arctan
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}
  


= 导数的求导法则 =

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

求导的线性性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

  
    
      
        (
        a
        f
        +
        b
        g
        
          )
          ′
        
        =
        a
        
          f
          ′
        
        +
        b
        
          g
          ′
        
        
      
    
    {\displaystyle (af+bg)'=af'+bg'\,}
  
 （其中
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
为常数）:121
两个函数的乘积的导函数，等于其中一个的导函数乘以另一者，加上另一者的导函数与其的乘积

  
    
      
        (
        f
        g
        
          )
          ′
        
        =
        
          f
          ′
        
        g
        +
        f
        
          g
          ′
        
        
      
    
    {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}
  
 :125
两个函数的商的导函数也是一个分式。其中分子是分子函数的导函数乘以分母函数减去分母函数的导函数乘以分子函数后的差，而其分母是分母函数的平方。

  
    
      
        
          
            (
            
              
                f
                g
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            
              
                f
                ′
              
              g
              −
              f
              
                g
                ′
              
            
            
              g
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}
  
 （在
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle g(x)\neq 0}
  
处方有意义）:126
复合函数的求导法则：如果有复合函数 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        h
        [
        g
        (
        x
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle f(x)=h[g(x)]}
  
，那么

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        
          h
          ′
        
        [
        g
        (
        x
        )
        ]
        ⋅
        
          g
          ′
        
        (
        x
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)=h'[g(x)]\cdot g'(x).\,}
  
:128
若要求某个函数在某一点的导数，可以先运用以上方法求出这个函数的导函数，再看导函数在这一点的值。


= 例子 =
欲求函数

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            4
          
        
        +
        sin
        ⁡
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        −
        ln
        ⁡
        (
        x
        )
        
          e
          
            x
          
        
        +
        7
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}
  

在
  
    
      
        x
        =
        3
      
    
    {\displaystyle x=3}
  
处的导数。可以先求出其导函数：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  f
                  ′
                
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                4
                
                  x
                  
                    (
                    4
                    −
                    1
                    )
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        (
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        )
                      
                    
                    
                      
                        d
                      
                      x
                    
                  
                
                cos
                ⁡
                (
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                )
                −
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            (
                            
                              ln
                              ⁡
                              
                                x
                              
                            
                            )
                          
                        
                        
                          
                            d
                          
                          x
                        
                      
                    
                    
                      e
                      
                        x
                      
                    
                    +
                    ln
                    ⁡
                    
                      x
                    
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            (
                            
                              e
                              
                                x
                              
                            
                            )
                          
                        
                        
                          
                            d
                          
                          x
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
                +
                0
              
            
            
              
              
                
                =
                4
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                +
                2
                x
                cos
                ⁡
                (
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                )
                −
                
                  
                    1
                    x
                  
                
                
                  e
                  
                    x
                  
                
                −
                ln
                ⁡
                (
                x
                )
                
                  e
                  
                    x
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {\mathrm {d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm {d} x}}\cos(x^{2})-\left[{\frac {\mathrm {d} \left(\ln {x}\right)}{\mathrm {d} x}}e^{x}+\ln {x}{\frac {\mathrm {d} \left(e^{x}\right)}{\mathrm {d} x}}\right]+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}
  

其中第二项使用了复合函数的求导法则，而第三项则使用了乘积的求导法则。求出导函数后，再将
  
    
      
        x
        =
        3
      
    
    {\displaystyle x=3}
  
代入，得到导数为：

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        3
        )
        =
        108
        +
        6
        cos
        ⁡
        (
        9
        )
        −
        
          
            
              e
              
                3
              
            
            3
          
        
        −
        ln
        ⁡
        (
        3
        )
        
          e
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f'(3)=108+6\cos(9)-{\frac {e^{3}}{3}}-\ln(3)e^{3}\,}
  


高阶导数 = 二阶导数 =

如果函数的导数
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)\,}
  
在
  
    
      
        x
        
      
    
    {\displaystyle x\,}
  
处可导，则称
  
    
      
        [
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        
          ]
          ′
        
        
      
    
    {\displaystyle [f'(x)]'\,}
  
为
  
    
      
        x
        
      
    
    {\displaystyle x\,}
  
的二阶导数。记做：
  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f''(x)\,}
  
，
  
    
      
        
          y
          ″
        
        
      
    
    {\displaystyle y''\,}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  2
                
              
              y
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}y}{{\rm {d}}x^{2}}}}
  
或
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  2
                
              
              f
              (
              x
              )
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}f(x)}{{\rm {d}}x^{2}}}}
  
:132、
二阶导数可用于求解函数凹凸性问题。

  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        x
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle f''(x)>0}
  
函数在x上凹。

  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        x
        )
        <
        0
      
    
    {\displaystyle f''(x)<0}
  
函数在x下凹。


= 高阶导数 =
二阶导数的导数称为三阶导数，记做
  
    
      
        
          f
          ‴
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f'''(x)\,}
  
，
  
    
      
        
          y
          ‴
        
        
      
    
    {\displaystyle y'''\,}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  3
                
              
              y
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{3}y}{{\rm {d}}x^{3}}}}
  
或
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  3
                
              
              f
              (
              x
              )
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{3}f(x)}{{\rm {d}}x^{3}}}}
  

三阶导数的导数称为四阶导数，记做
  
    
      
        
          f
          
            (
            4
            )
          
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f^{(4)}(x)\,}
  
，
  
    
      
        
          y
          
            (
            4
            )
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y^{(4)}\,}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  4
                
              
              y
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  4
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{4}y}{{\rm {d}}x^{4}}}}
  
或
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  4
                
              
              f
              (
              x
              )
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  4
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{4}f(x)}{{\rm {d}}x^{4}}}}
  

一般的
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(x)\,}
  
的
  
    
      
        n
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle n-1\,}
  
阶导数的导数称为
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(x)\,}
  
的
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
阶导数，记为
  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}(x)\,}
  
，
  
    
      
        
          y
          
            (
            n
            )
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y^{(n)}\,}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  n
                
              
              y
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}y}{{\rm {d}}x^{n}}}}
  
或
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  n
                
              
              f
              (
              x
              )
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}f(x)}{{\rm {d}}x^{n}}}}
  
:133


= 高阶导数的求法 =
一般来说，高阶导数的计算和导数一样，可以按照定义逐步求出。同时，高阶导数也有求导法则：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        (
        u
        ±
        v
        )
        =
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        u
        ±
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        v
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(u\pm v)={\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}u\pm {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}v}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        (
        C
        u
        )
        =
        C
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        u
         
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(Cu)=C{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}u\ }
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        (
        u
        ⋅
        v
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          C
          
            k
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
                −
                k
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                  −
                  k
                
              
            
          
        
        u
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                k
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  k
                
              
            
          
        
        v
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(u\cdot v)=\sum _{k=0}^{n}C_{k}^{n}{\frac {{\rm {d}}^{n-k}}{{\rm {d}}x^{n-k}}}u{\frac {{\rm {d}}^{k}}{{\rm {d}}x^{k}}}v}
  
（莱布尼兹公式）:134
因此，可以利用已知的高阶导数求导法则，通过四则运算, 变量代换等方法，求出
  
    
      
        n
         
      
    
    {\displaystyle n\ }
  
阶导数。一些常见的有规律的高阶导数的公式如下:133：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          x
          
            α
          
        
        =
        
          x
          
            α
            −
            n
          
        
        
          ∏
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        α
        −
        k
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}x^{\alpha }=x^{\alpha -n}\prod _{k=0}^{n-1}(\alpha -k)}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          
            1
            x
          
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          
            
              n
              !
            
            
              x
              
                n
                +
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}{\frac {1}{x}}=(-1)^{n}{\frac {n!}{x^{n+1}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        x
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
            −
            1
          
        
        
          
            
              (
              n
              −
              1
              )
              !
            
            
              x
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\ln x=(-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}}
  

  
    
      
        
      
    
    {\displaystyle \!}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          e
          
            x
          
        
         
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{x}=e^{x}\ }
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        =
        
          a
          
            x
          
        
        ⋅
        
          ln
          
            n
          
        
        ⁡
        a
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}a^{x}=a^{x}\cdot \ln ^{n}a}
  
 
  
    
      
        (
        a
        >
        0
        )
         
      
    
    {\displaystyle (a>0)\ }
  

  
    
      
        
      
    
    {\displaystyle \!}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            k
            x
            +
            b
          
          )
        
        =
        
          k
          
            n
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            k
            x
            +
            b
            +
            
              
                
                  n
                  π
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\sin \left(kx+b\right)=k^{n}\sin \left(kx+b+{\frac {n\pi }{2}}\right)}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            k
            x
            +
            b
          
          )
        
        =
        
          k
          
            n
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            k
            x
            +
            b
            +
            
              
                
                  n
                  π
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\cos \left(kx+b\right)=k^{n}\cos \left(kx+b+{\frac {n\pi }{2}}\right)}
  


多元函数的导数 = 向量值函数的导数 =
当函数 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 的取值不再是实数，而是一般的
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
  
中的向量时，仍然可能对其求导。这时的函数值是：
  
    
      
        y
        =
        
          (
          
            
              y
              
                1
              
            
            (
            x
            )
            ,
            
              y
              
                2
              
            
            (
            x
            )
            ,
            ⋯
            ,
            
              y
              
                n
              
            
            (
            x
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle y=\left(y_{1}(x),y_{2}(x),\cdots ,y_{n}(x)\right)}
  
。每个 
  
    
      
        
          y
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
        
        1
        ⩽
        i
        ⩽
        n
      
    
    {\displaystyle y_{i}(x),\;\;1\leqslant i\leqslant n}
  
 都是一个实数值的函数。具体的例子如二维或者三维空间里的参数方程。因此，对 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
 求导实际上是对每个分量函数 
  
    
      
        
          y
          
            i
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y_{i}(x)}
  
 求导。

  
    
      
        
          
            y
          
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        (
        
          y
          
            1
          
          ′
        
        (
        t
        )
        ,
        ⋯
        ,
        
          y
          
            n
          
          ′
        
        (
        t
        )
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\cdots ,y'_{n}(t)).}
  
:191
这也符合定义

  
    
      
        
          
            y
          
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
          
        
        
          
            
              
                y
              
              (
              t
              +
              h
              )
              −
              
                y
              
              (
              t
              )
            
            h
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}
  

设
  
    
      
        
          (
          
            
              e
              
                1
              
            
            ,
            
              e
              
                2
              
            
            ,
            ⋯
            
              e
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(e_{1},e_{2},\cdots e_{n}\right)}
  
为
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
  
的一组基，那么对函数：
  
    
      
        y
        
        :
        t
        
        ↦
        
        
          y
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        
          e
          
            1
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        
          e
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        
          y
          
            n
          
        
        (
        t
        )
        
          e
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle y\,:t\,\mapsto \,y_{1}(t)e_{1}+y_{2}(t)e_{2}+\cdots y_{n}(t)e_{n},}
  

其导函数为：
  
    
      
        
          y
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        
          y
          
            1
          
          ′
        
        (
        t
        )
        
          e
          
            1
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
          ′
        
        (
        t
        )
        
          e
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        
          y
          
            n
          
          ′
        
        (
        t
        )
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y'(t)=y'_{1}(t)e_{1}+y'_{2}(t)e_{2}+\cdots y'_{n}(t)e_{n}}
  


= 偏导数 =

如果有函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 其自变量不是单个实数，而是多于一个元素，例如：

  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}
  

这时可以把其中一个元素（比如 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 ）看做参数，那么 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 可以看做是关于另一个元素的参数函数：

  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          f
          
            x
          
        
        (
        y
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}
  

也就是说，对于某个确定的 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，函数 
  
    
      
        
          f
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{x}}
  
 就是一个关于 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 的函数。在 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  
 固定的情况下，可以计算这个函数 
  
    
      
        
          f
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{x}}
  
 关于 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 的导数。

  
    
      
        
          f
          
            a
          
          ′
        
        (
        y
        )
        =
        a
        +
        2
        y
        
      
    
    {\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y\,}
  

这个表达式对于所有的 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 都对。这种导数称为偏导数，一般记作：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        x
        +
        2
        y
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y}
  

这里的符号 ∂ 是字母 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
 的圆体变体，一般读作 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
 的首音节或读“偏”，以便与 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
 区别。
更一般地来说，一个多元函数 
  
    
      
        f
        
          (
          
            
              x
              
                1
              
            
            ,
            
              x
              
                2
              
            
            ,
            ⋯
            ,
            
              x
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)}
  
 在点 
  
    
      
        
          (
          
            
              a
              
                1
              
            
            ,
            
              a
              
                2
              
            
            ,
            ⋯
            ,
            
              a
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right)}
  
 处对 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 的偏导数定义为：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
          
        
        
          
            
              f
              (
              
                a
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                a
                
                  i
                
              
              +
              h
              ,
              …
              ,
              
                a
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                a
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                a
                
                  n
                
              
              )
            
            h
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}.}
  

上面的极限中，除了 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 外所有的自变元都是固定的，这就确定了一个一元函数：

  
    
      
        
          f
          
            
              a
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              a
              
                i
                −
                1
              
            
            ,
            
              a
              
                i
                +
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              a
              
                n
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            i
          
        
        ,
        
          a
          
            i
            +
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}
  

因此，按定义有：

  
    
      
        
          
            
              d
              
                f
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  …
                  ,
                  
                    a
                    
                      i
                      −
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                    a
                    
                      i
                      +
                      1
                    
                  
                  ,
                  …
                  ,
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        
          a
          
            i
          
        
        )
        =
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}
  

偏导数的实质仍然是一元函数的导数。:56
多变量函数的一个重要的例子，是从
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
  
（例如 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}
  
 或 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
）映射到
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
上的标量值函数 
  
    
      
        f
        
          (
          
            
              x
              
                1
              
            
            ,
            
              x
              
                2
              
            
            ,
            ⋯
            ,
            
              x
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)}
  
。在这种情况下，
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 关于每一个变量 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 都有偏导数
  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}
  
。在点 
  
    
      
        x
        =
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle x={\boldsymbol {a}}}
  
，这些偏导数定义了一个向量：

  
    
      
        ∇
        f
        (
        
          a
        
        )
        =
        
          [
          
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            (
            
              a
            
            )
            ,
            …
            ,
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            (
            
              a
            
            )
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \nabla f({\boldsymbol {a}})=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})\right]}
  
。
这个向量称为 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在点 
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
  
 的梯度。如果 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数 
  
    
      
        ∇
        f
      
    
    {\displaystyle \nabla f}
  
，它把点 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 映射到向量 
  
    
      
        ∇
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla f(a)}
  
。这样，梯度便决定了一个向量场。


= 方向导数 =

方向导数是比偏导数更加广泛的概念。导数的本质是函数值增量与自变量增量之比的极限。在多元函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 中，可以选定一个确定的方向（以这个方向上的单位向量 
  
    
      
        
          δ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}}
  
 表示），并考虑函数在这个方向上的增量：

  
    
      
        f
        (
        
          
            x
          
          
            0
          
        
        +
        t
        
          δ
        
        )
        −
        f
        (
        
          
            x
          
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f({\boldsymbol {x}}_{0}+t{\boldsymbol {\delta }})-f({\boldsymbol {x}}_{0})}
  

这个增量为关于 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的一元函数。函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的方向导数定义为这个增量与 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的比值在 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 趋于0时的极限，记为
  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                δ
              
            
          
        
        (
        
          
            x
          
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\delta }}}}({\boldsymbol {x}}_{0})}
  
。

  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                δ
              
            
          
        
        (
        
          
            x
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          lim
          
            t
            →
            0
          
        
        
          
            
              f
              (
              
                
                  x
                
                
                  0
                
              
              +
              t
              
                δ
              
              )
              −
              f
              (
              
                
                  x
                
                
                  0
                
              
              )
            
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\delta }}}}({\boldsymbol {x}}_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f({\boldsymbol {x}}_{0}+t{\boldsymbol {\delta }})-f({\boldsymbol {x}}_{0})}{t}}}
  

方向导数表示了函数从某点开始在某个方向上的变化率。:55-56
在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
  
中，如果将向量 
  
    
      
        
          δ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}}
  
 选为正规基 
  
    
      
        
          (
          
            
              
                e
              
              
                1
              
            
            ,
            
              
                e
              
              
                2
              
            
            ,
            ⋯
            ,
            
              
                e
              
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2},\cdots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\right)}
  
 之中的一个，如
  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}}
  
，那么方向导数就是关于 
  
    
      
        
          
            x
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}
  
 的偏导数。:55-56


推广 导数的概念建立在变量为实数之上，但也可以推广到更加广泛的意义上。推广的导数本质上仍旧是函数在局部一点上的线性逼近。


= 复变量导数 =

对于变量为复数的函数，也可以定义导数的概念。假设有复变函数
  
    
      
        f
        :
        Ω
        ∈
        
          C
        
        →
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle f:\Omega \in \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
  
。如果 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在某一点 
  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
  
 及附近有定义，并且极限：

  
    
      
        
          lim
          
            z
            →
            
              z
              
                0
              
            
          
        
        
          
            
              f
              (
              z
              )
              −
              f
              (
              
                z
                
                  0
                
              
              )
            
            
              z
              −
              
                z
                
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}
  

存在，那么就说函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
  
 可导。其中 
  
    
      
        z
        →
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z\to z_{0}}
  
 表示 
  
    
      
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z-z_{0}}
  
 的模长趋向于0。如果将复变量 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 视作 
  
    
      
        x
        +
        i
        y
      
    
    {\displaystyle x+iy}
  
，那么 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 可以视作一个
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
上的函数。如果作为复变函数的 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 可导，那么作为
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
上函数的 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的偏导数也存在，但反之则不然。只有当柯西-黎曼条件满足的时候才能保证复变函数的复可导性。


= 弱微分 =

在分布理论里，弱微分的概念使得对更多严格意义上无法求导的函数也可以定义导函数。设
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
是一个局部勒贝格可积（比如说在
  
    
      
        
          L
          
            l
            o
            c
          
          
            1
          
        
        (
        
          R
        
        )
         
      
    
    {\displaystyle L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )\ }
  
中）的函数，称
  
    
      
        v
        ∈
        
          L
          
            l
            o
            c
          
          
            1
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle v\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )}
  
是
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
的一个弱微分，如果对所有的测试函数
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
，都有：

  
    
      
        
          ∫
          
            
              R
            
          
        
        u
        (
        t
        )
        
          φ
          ′
        
        (
        t
        )
        d
        t
        =
        −
        
          ∫
          
            
              R
            
          
        
        v
        (
        t
        )
        φ
        (
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{\mathbb {R} }v(t)\varphi (t)dt}
  

成立。其中测试函数是指紧支撑的光滑函数。弱微分包括了强微分，也就是通常意义上的导数。


= 次导数 =

在凸分析，也就是对凸函数的研究中，可以定义凸函数的次导数。次导数的概念是导数的几何意义的推广。由于函数是凸的，过它的图像上每一点总可以作一条直线，使得函数的图像在直线上方。这种直線的斜率称为函数在这点的次导数。如果函数在某点可导，那么次导数只有一个，等于其导数。如果函数像绝对值函数一样在零点有突然的转折，那么次导数可能不止一个。比如过零点而斜率在
  
    
      
        (
        −
        1
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (-1,1)}
  
之间的直线都在绝对值函数下方，因此
  
    
      
        (
        −
        1
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (-1,1)}
  
之间的每个数都是绝对值函数在零点的次导数。


= 非整数阶导数 =

早在十九世纪，在数学家明确了求导与积分的互逆关系以后，就出现了负阶次导数的记号：
  
    
      
        
          D
          
            −
            n
          
        
        =
        
          ∫
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle D^{-n}=\int ^{n}}
  
（表示求n次积分）:208。而非整数阶导数的概念则进一步将其推广。比如，半微分算子
  
    
      
        H
        =
        
          D
          
            
              1
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H=D^{\frac {1}{2}}}
  
表示其作用于函数上两次以后的效果将等于一次求导：

  
    
      
        
          H
          
            2
          
        
        (
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        H
        [
        H
        (
        f
        )
        ]
        (
        x
        )
        =
        D
        (
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle H^{2}(f)(x)=H[H(f)](x)=D(f)(x)=f'(x)}
  

定义非整数阶导数的方法不止一种，最常用的非整数阶导数定义为黎曼-刘维尔定义：

设
  
    
      
        0
        <
        s
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0<s<1}
  
，函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的s阶积分为：
  
    
      
        
          D
          
            t
          
          
            −
            s
          
        
        f
        (
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              Γ
              (
              s
              )
            
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            t
          
        
        (
        t
        −
        u
        
          )
          
            s
            −
            1
          
        
        f
        (
        u
        )
        d
        (
        u
        )
      
    
    {\displaystyle D_{t}^{-s}f(t)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{a}^{t}(t-u)^{s-1}f(u)d(u)}
  

而对
  
    
      
        n
        −
        1
        <
        β
        <
        n
      
    
    {\displaystyle n-1<\beta <n}
  
，函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
阶导数为：
  
    
      
        
          D
          
            t
          
          
            β
          
        
        f
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              d
              
                n
              
            
            
              d
              
                t
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          [
          
            
              D
              
                t
              
              
                −
                n
                −
                β
              
            
            f
            (
            t
            )
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle D_{t}^{\beta }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\left[D_{t}^{-n-\beta }f(t)\right]}
  


= 加托导数和弗雷歇导数 =
方向导数在无穷维向量空间如巴拿赫空间和弗雷歇空间上可以推广为加托导数和弗雷歇导数。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于物理学，特别是量子场论。


= 导子 =

微分代数中有导子的概念。导子是具备了微分算子的某些特征的运算子，例如向量场的李导数，或非交换代数中的交换子。给定一个环或域 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
 上的一个代数 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
，
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
 上的一个
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
-导子 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
 是一个从 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
 射到自身的
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
-线性映射（线性自同态），并满足导数的乘积法则：

  
    
      
        δ
        (
        a
        b
        )
        =
        (
        δ
        a
        )
        b
        +
        a
        (
        δ
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \delta (ab)=(\delta a)b+a(\delta b)}
  

所有
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
-导子构成了 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
 上线性自同态集 
  
    
      
        End
        ⁡
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {End} {\mathcal {A}}}
  
 的子空间。


导数的应用 物理学、几何学、工程科学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度，也可以表示曲线在一点的斜率。


= 边际和弹性 =
经济学中，所谓边际和弹性的概念与导数紧密相关。比如边际成本就是产量增加一个单位所带来的成本的增加，若将其连续化，得到的便是成本函数的导数。又如需求的弹性是指价格变化一个单位时，需求量的变化，连续化后相应的也是需求函数关于价格的导数。


参见 导数列表
微积分
微分
積分
光滑函数
微分中值定理
介值定理
自动微分
第二次数学危机
协变导数
数值微分


注释 参考文献 外部链接 导数计算器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Hazewinkel, Michiel (编), Derivative, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
埃里克·韦斯坦因. Derivative. MathWorld.