在幾何學中，截角大十二面體是一種具有二十面體對稱非凸均勻多面體，由24個面組成，其結構可以視為切去大十二面體的12個頂點而得，其具有12對互相平行面，因此也可以視為一種平行多面體，其對偶多面體為小星形五角化十二面體。


分類 1993年，茲維·喀拉·埃爾發表的論文《Uniform Solution for Uniform Polyhedra》中，將截角大十二面體編號為K42，表示其為一個二十面體對稱的多面體，同一年，馬德爾參考茲維·喀拉·埃爾的分類方式，將截角大十二面體給予索引編號U37。其也被考克斯特的論文收錄，並給予編號C47。溫尼爾也在他的書《多面體模型》中將之給予編號W75。


性質 截角大十二面體由24個面、90條邊和60個頂點組成，是一種二十四面體。每個頂點都是2個十邊形和1個五角星的公共頂點。


= 面的組成 =
截角大十二面體由24個面組成，在其二十四個面中，有12個五角星面和12個十邊形面，其中有12個面是非凸面。


= 二面角 =
截角大十二面體有兩種二面角，包括了十邊形-十邊形二面角和十邊形-五角星二面角。其中十邊形-十邊形二面角為五平方根倒數的反餘弦值；十邊形-五角星二面角為負的五平方根倒數之反餘弦值。

  
    
      
        
          
            Angle
          
          
            
              {
              10
              }
            
            ,
            
              {
              10
              }
            
          
        
        =
        
          cos
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            
              5
            
            5
          
        
        ≈
        
          63.434948823
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle {\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{10\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63.434948823^{\circ }}
  

  
    
      
        
          
            Angle
          
          
            
              {
              10
              }
            
            ,
            
              {
              
                
                  
                    
                    
                      5
                    
                  
                
                
                  /
                
                
                  
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
              }
            
          
        
        =
        
          cos
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            
              −
              
                
                  5
                
              
            
            5
          
        
        ≈
        
          116.565051177
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle {\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {-{\sqrt {5}}}{5}}\approx 116.565051177^{\circ }}
  

其中
  
    
      
        
          
            {
            10
            }
          
          ,
          
            {
            
              
                
                  
                  
                    5
                  
                
              
              
                /
              
              
                
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle {\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}}
  
為十邊形和五角星的施萊夫利符號。


= 頂點座標 =
邊長長度為1單位且幾何中心位於原點的截角大十二面體，其頂點座標為

  
    
      
        (
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        0
        ,
        ±
        
          
            
              5
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              5
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},0)}
  
、

  
    
      
        (
        0
        ,
        ±
        
          
            
              5
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              3
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              ±
              1
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              3
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              3
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              3
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              ±
              1
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              ±
              1
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              3
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              3
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})}
  
。


相關多面體 截角大十二面體的頂點布局與多種多面體相同。其中三種為均勻多面體相同，分別為非凸大斜方截半二十面體、大十二面截半二十面體和大斜方十二面體；還有2種複合多面體，分別是六複合五角柱和二十複合五角柱。

這個多面體是大十二面體經過截角變換後的結果，大十二面體在不同的截角深度也得到有不同的結果，例如節到中點後得到截半大十二面體，過截角後得到的立體則與對偶多面體的截角等價，為截角小星形十二面體。這種多面體外觀與正二十面體幾乎一樣，但其有24個面，12個面是來自截角後的頂點以及12個截角的五角星與之重合。


= 對偶複合體 =
小星形五角化十二面體與其對偶的複合體為複合截角大十二面體小星形五角化十二面體 。其共有84個面、180條邊和84個頂點，其尤拉示性數為-12，虧格為7，有12個非凸面。


參見 大十二面體


參考文獻 外部連結 埃里克·韦斯坦因. 截角大十二面體. MathWorld.