向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函数）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究对象。


正式定義 給定域 
  
    
      
        
          (
          
            K
            ,
            
            +
            ,
            
            ×
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
  
 和某集合 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 ，它們具有了以下兩種运算（函数）：

向量加法 
  
    
      
        ⊕
        :
        V
        ×
        V
        →
        V
      
    
    {\displaystyle \oplus :V\times V\to V}
  
 （其中 
  
    
      
        ⊕
        (
        u
        ,
        
        v
        )
      
    
    {\displaystyle \oplus (u,\,v)}
  
 慣例上簡記為 
  
    
      
        u
        ⊕
        v
      
    
    {\displaystyle u\oplus v}
  
 ）
标量乘法 
  
    
      
        ⋅
        :
        K
        ×
        V
        →
        V
      
    
    {\displaystyle \cdot :K\times V\to V}
  
 （其中 
  
    
      
        ⋅
        
        (
        a
        ,
        
        v
        )
      
    
    {\displaystyle \cdot \,(a,\,v)}
  
 慣例上簡記為 
  
    
      
        a
        ⋅
        v
      
    
    {\displaystyle a\cdot v}
  
 甚至是  
  
    
      
        a
        v
      
    
    {\displaystyle av}
  
  ）
且這兩種運算滿足：（特別注意 
  
    
      
        +
      
    
    {\displaystyle +}
  
 和 
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  
 是域 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 是本身具有的加法和乘法）

這樣稱 「 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 為定義在域 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 上的向量空間」，而 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 裡的元素 
  
    
      
        u
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle u\in V}
  
 被稱為向量；域 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 裡的元素 
  
    
      
        a
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle a\in K}
  
 被稱為标量。這樣域 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 就是囊括所有标量的集合，所以為了解說方便，有時會將 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 暱稱為标量域或是标量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法 
  
    
      
        ⊕
      
    
    {\displaystyle \oplus }
  
 也可以簡寫成 
  
    
      
        +
      
    
    {\displaystyle +}
  
 。
前四個條件規定 
  
    
      
        
          (
          
            V
            ,
            
            ⊕
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(V,\,\oplus \right)}
  
 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 
  
    
      
        
          (
          
            K
            ,
            
            +
            ,
            
            ×
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
  
 是個域，且 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 是一個 
  
    
      
        K
        −
      
    
    {\displaystyle K-}
  
模」。


基本性质 以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 
  
    
      
        
          0
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle 0_{V}}
  
 代表「向量加法 
  
    
      
        ⊕
      
    
    {\displaystyle \oplus }
  
 的唯一單位元」，並稱之為 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 的零向量。
在不跟标量域的加法單位元 
  
    
      
        
          0
          
            K
          
        
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle 0_{K}\in K}
  
  混淆的情況下，零向量 
  
    
      
        
          0
          
            V
          
        
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle 0_{V}\in V}
  
 也可以簡寫成 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 。

以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 
  
    
      
        
          u
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{-1}}
  
 代表「向量 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
 在向量加法 
  
    
      
        ⊕
      
    
    {\displaystyle \oplus }
  
 下的唯一逆元素」，甚至可以把 
  
    
      
        v
        ⊕
        
          u
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle v\oplus u^{-1}}
  
 簡記為 
  
    
      
        v
        ⊖
        u
      
    
    {\displaystyle v\ominus u}
  
 ，並暱稱為向量減法。在不跟标量的加法混淆的情況下， 
  
    
      
        
          u
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{-1}}
  
 也可記為 
  
    
      
        −
        u
      
    
    {\displaystyle -u}
  
 ； 
  
    
      
        v
        ⊖
        u
      
    
    {\displaystyle v\ominus u}
  
 也可記為 
  
    
      
        v
        −
        u
      
    
    {\displaystyle v-u}
  
 。


額外結構 研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。
一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。


例子 對一般域F，V记為F-向量空間。若F是實數域ℝ，则V稱為實數向量空間；若F是複數域ℂ，则V稱為複數向量空間；若F是有限域，则V稱為有限域向量空間。
最简单的F-向量空間是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：

u + (v + w) = (u + v) + w，
v + w = w + v，
零元素存在：零元素0满足：对任何的向量元素v，v + 0 = v，
逆元素存在：对任何的向量元素v，它的相反数w = −v就满足v + w = 0。
标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
标量乘法有單位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v = v。
更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
都有一个坐标
  
    
      
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle P(x,y)}
  
，并对应着一个向量
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。
同样地，高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为
  
    
      
        v
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}
  
，其中的
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}
  
都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

  
    
      
        ∀
        λ
        ∈
        
          R
        
        ,
        
        v
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        ,
        
        w
        =
        (
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          b
          
            n
          
        
        )
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
  
，

  
    
      
        v
        +
        w
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
        +
        (
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          b
          
            n
          
        
        )
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          b
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})}
  

  
    
      
        λ
        v
        =
        λ
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
        =
        (
        λ
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        λ
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        λ
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})}
  

可以验证这也是一个向量空间。
再考虑所有系数为实数的多项式的集合
  
    
      
        
          R
        
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} [X]}
  
。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，
  
    
      
        
          R
        
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} [X]}
  
也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合
  
    
      
        
          
            C
          
        
        (
        
          R
        
        ,
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
  
也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。


= 方程组与向量空间 =
向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

  
    
      
        3
        x
        +
        2
        y
        −
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 3x+2y-z=0}
  

  
    
      
        x
        +
        5
        y
        +
        2
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x+5y+2z=0}
  

如果
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}
  
和
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}
  
都是解，那么可以验证它们的“和”
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})}
  
也是一组解，因为：

  
    
      
        3
        (
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        )
        +
        2
        (
        
          y
          
            1
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        )
        −
        (
        
          z
          
            1
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        )
        =
        (
        3
        
          x
          
            1
          
        
        +
        2
        
          y
          
            1
          
        
        −
        
          z
          
            1
          
        
        )
        +
        (
        3
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          z
          
            2
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0}
  

  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        )
        +
        5
        (
        
          y
          
            1
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        )
        +
        2
        (
        
          z
          
            1
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        )
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        +
        5
        
          y
          
            1
          
        
        +
        2
        
          z
          
            1
          
        
        )
        +
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        5
        
          y
          
            2
          
        
        +
        2
        
          z
          
            2
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0}
  

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。
一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。
对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

  
    
      
        
          f
          ″
        
        +
        4
        x
        
          f
          ′
        
        +
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        f
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f''+4xf'+\cos(x)f=0}
  

出于和上面类似的理由，方程的两个解
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{1}}
  
和
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{2}}
  
的和函数
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        +
        
          f
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{1}+f_{2}}
  
也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。


子空間基底 如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的線性子空間（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空间
  
    
      
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle {0}}
  
。
給出一個向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也称線性包络，记作span(B)。
給出一個向量集合B，若它的生成子空间就是向量空間V，则稱B為V的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱V是一个有限维空间。
可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列：
  
    
      
        
          B
        
        =
        
          {
          
            
              e
              
                1
              
            
            ,
            
              e
              
                2
              
            
            ,
            ⋯
            ,
            
              e
              
                n
              
            
            ,
            ⋯
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}}
  
，那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現：

  
    
      
        v
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        
          e
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            n
          
        
        
          e
          
            n
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots }
  

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。
可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中，  ℝn的維度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基
  
    
      
        
          B
        
        =
        
          {
          
            
              e
              
                1
              
            
            ,
            
              e
              
                2
              
            
            ,
            ⋯
            ,
            
              e
              
                n
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}}
  
，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

  
    
      
        v
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        
          e
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            n
          
        
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}}
  

那么v可以用数组
  
    
      
        v
        =
        (
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          λ
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})}
  
来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        =
        (
        1
        ,
        0
        ,
        ⋯
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle e_{1}=(1,0,\cdots ,0)}
  

  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
        =
        (
        0
        ,
        1
        ,
        ⋯
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle e_{2}=(0,1,\cdots ,0)}
  

  
    
      
        
          e
          
            n
          
        
        =
        (
        0
        ,
        0
        ,
        ⋯
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle e_{n}=(0,0,\cdots ,1)}
  

可以证明，存在从任意一个n维的
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
-向量空间到空间
  
    
      
        
          
            F
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} ^{n}}
  
的双射。这种关系称为同构。


線性映射 給定兩個系数域都是F的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

  
    
      
        f
        :
        
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:\,V\rightarrow W}
  

  
    
      
        ∀
        a
        ∈
        F
        ,
        u
        ,
        v
        ∈
        V
        ,
        
        f
        (
        u
        +
        v
        )
        =
        f
        (
        u
        )
        +
        f
        (
        v
        )
        ,
        
        f
        (
        a
        ⋅
        v
        )
        =
        a
        ⋅
        f
        (
        v
        )
      
    
    {\displaystyle \forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)}
  

所有线性变换的集合记为
  
    
      
        
          
            L
          
        
        (
        V
        ,
        W
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}
  
，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，
  
    
      
        
          
            L
          
        
        (
        V
        ,
        W
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}
  
中的线性变换可以通过矩阵来表示。
如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之间存在同构
  
    
      
        f
        :
        
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:\,V\rightarrow W}
  
，那么其逆映射
  
    
      
        g
        :
        
        W
        →
        V
      
    
    {\displaystyle g:\,W\rightarrow V}
  
也存在，并且对所有的
  
    
      
        x
        ∈
        V
        ,
        
        y
        ∈
        W
      
    
    {\displaystyle x\in V,\,y\in W}
  
，都有：

  
    
      
        g
        ∘
        f
        (
        x
        )
        =
        x
        ,
        
        f
        ∘
        g
        (
        y
        )
        =
        y
      
    
    {\displaystyle g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y}
  


參考文獻 《中国大百科全书》
Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
Gilbert Strang.  "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8


參考資料 外部連結