在数学分析中，一个函数集合被称为等度连续的，如果其中的函数都是连续的并且当自变量变动时，它们的取值都在“相同程度”的范围中浮动。一般来说，集合里的函数是有限个或可数无限个。
等度连续最早出现在阿尔泽拉-阿斯科利定理中。阿尔泽拉—阿斯科利定理说明，考虑某个紧豪斯多夫空间X，以及建立在它上面的连续函数的集合C(X)的一个子集，这个子集是紧集当且仅当它是闭集。作为结论，C(X) 里的一个函数序列一致收敛当且仅当它是等度连续的，并且逐点收敛。


定义 设 
  
    
      
        (
        
          f
          
            i
          
        
        
          )
          
            i
            ∈
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
  
 为从拓扑空间 E 射到度量空间 F 的一组函数。
  
    
      
        (
        
          f
          
            i
          
        
        
          )
          
            i
            ∈
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
  
 是等度连续的当且仅当

  
    
      
        ∀
        ε
        >
        0
        ,
        ∀
        x
        ∈
        E
        ,
        ∃
        V
        ∈
        
          
            V
          
        
        (
        x
        )
        ,
        ∀
        i
        ∈
        I
        ,
        ∀
        y
        ∈
        V
        ,
        d
        (
        
          f
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
          f
          
            i
          
        
        (
        y
        )
        )
        ≤
        ε
      
    
    {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall i\in I,\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }
  

如果拓扑空间 E 上定义了一个距离，那么一组函数 
  
    
      
        (
        
          f
          
            i
          
        
        
          )
          
            i
            ∈
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
  
 是一致等度连续的当且仅当

  
    
      
        ∀
        ε
        >
        0
        ,
        ∃
        η
        >
        0
        ,
        ∀
        i
        ∈
        I
        ,
        ∀
        x
        ∈
        E
        ,
        ∀
        y
        ∈
        B
        (
        x
        ,
        η
        )
        ,
        d
        (
        
          f
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
          f
          
            i
          
        
        (
        y
        )
        )
        ≤
        ε
      
    
    {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \eta >0,\forall i\in I,\forall x\in E,\forall y\in B(x,\eta ),d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }
  

作为对比，命题：“一组函数 
  
    
      
        (
        
          f
          
            i
          
        
        
          )
          
            i
            ∈
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
  
 全都是连续的”的数学化形式如下：

  
    
      
        ∀
        i
        ∈
        I
        ,
        ∀
        ε
        >
        0
        ,
        ∀
        x
        ∈
        E
        ,
        ∃
        V
        ∈
        
          
            V
          
        
        (
        x
        )
        ,
        ∀
        y
        ∈
        V
        ,
        d
        (
        
          f
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
          f
          
            i
          
        
        (
        y
        )
        )
        ≤
        ε
      
    
    {\displaystyle \forall i\in I,\forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }
  

可以看出，对于一般的连续性，邻域 V 的选择是随 i 而变的，也就是说对每个函数，浮动的形式都不一样。而对于等度连续，邻域 V 的选择不随 i 而变，只取决于 x 和 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
。而在一致等度连续中，V 的选择只取决于 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
 了。


参见 一致连续
阿尔泽拉-阿斯科利定理
紧空间


参考来源