矩阵
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的共轭转置（英語：conjugate transpose，又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置（英語：Hermitian transpose））
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}}
  
的定义为：

  
    
      
        (
        
          A
          
            ∗
          
        
        
          )
          
            i
            ,
            j
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                j
                ,
                i
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}}
  

其中
  
    
      
        (
        ⋅
        
          )
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle (\cdot )_{i,j}}
  
表示矩阵i行j列上的元素，
  
    
      
        
          
            
              (
              ⋅
              )
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {(\cdot )}}}
  
表示标量的复共轭。
这一定义也可以写作：

  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        =
        (
        
          
            A
            ¯
          
        
        
          )
          
            
              T
            
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                
                  T
                
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}}
  

其中
  
    
      
        
          A
          
            
              T
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{\mathrm {T} }\,\!}
  
是矩阵A的转置，
  
    
      
        
          
            A
            ¯
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {A}}\,\!}
  
表示对矩阵A中的元素取复共轭。
通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：

  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}\,\!}
  
或
  
    
      
        
          A
          
            
              H
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{\mathrm {H} }\,\!}
  
，常用于线性代数

  
    
      
        
          A
          
            †
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{\dagger }\,\!}
  
，普遍用于量子力学，而同時
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}\,\!}
  
只表示為
  
    
      
        A
        
        
      
    
    {\displaystyle A\,\!}
  
的複數共軛。

  
    
      
        
          A
          
            +
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{+}\,\!}
  
（但这一记号通常指矩阵的摩尔－彭若斯广义逆)
注意：某些情况下
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}\,\!}
  
也指仅对矩阵元素取复共轭，而不做矩阵转置，切勿混淆。


实例 若

  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  3
                  +
                  i
                
                
                  5
                
              
              
                
                  2
                  −
                  2
                  i
                
                
                  i
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}}
  
 ，
则

  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  3
                  −
                  i
                
                
                  2
                  +
                  2
                  i
                
              
              
                
                  5
                
                
                  −
                  i
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}}
  
。


基本评注 如果A的元素是实数，那么A*与A的转置AT相等。把复值方块矩阵视为复数的推广，以及把共轭转置视为共轭复数的推广通常是非常有用的。
元素为
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{ij}}
  
的方块矩阵A称为：

埃尔米特矩阵或自伴矩阵，如果A = A*，也就是说，
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
        =
        
          a
          
            j
            i
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}^{*}}
  
 ；
斜埃尔米特矩阵或反埃尔米特矩阵，如果A = −A*，也就是说，
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
        =
        −
        
          a
          
            j
            i
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}^{*}}
  
 ；
正规矩阵，如果A*A = AA*。
即使A不是方块矩阵，A*A和AA*仍然是埃尔米特矩阵和半正定矩阵。


性质 (A + B)* = A* + B*。
(rA)* =  r*A*，其中r为复数，r*为r的复共轭。
(AB)* = B*A*，其中A为m行n列的矩阵，B为n行p列矩阵。
(A*)* = A 。
若A为方阵，则det(A*) = (det A)*，且tr(A*) = (tr A)* 。
A是可逆矩阵，当且仅当A*可逆，且有(A*)−1 = (A−1)* 。
A*的特征值是A的特征值的复共轭。
<Ax,y> = <x, A*y>，其中A为m列n行的矩阵，复向量x为n维行向量，复向量y为m维行向量，<·,·>为复数的内积。


推广 从上面给出的最后一个性质可以推出，如果我们把A视为从希尔伯特空间Cn到Cm的线性变换，则矩阵A*对应于A的自伴算子。于是，希尔伯特空间之间的自伴算子可以视为矩阵的共轭转置的推广。
还可以进行另外一种推广：假设A是一个从复值向量空间V到W的线性映射，那么可以定义复共轭线性映射和线性映射的转置，并可以取A的共轭转置为A的转置的共轭复数。它把W的共轭对偶映射到V的共轭对偶。


参见 埃尔米特伴随


参考资料 外部链接 埃里克·韦斯坦因. Conjugate Transpose. MathWorld. 
Conjugate transpose. PlanetMath.