矩阵指数（matrix exponential）是方块矩阵的一种矩阵函数，与指数函数类似。矩阵指数给出了矩阵李代数与对应的李群之间的关系。
设X为n×n的实数或复数矩阵。X的指数，用eX或exp(X)来表示，是由以下幂级数所给出的n×n矩阵：

  
    
      
        
          e
          
            X
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              k
              !
            
          
        
        
          X
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}}
  

以上的级数总是收敛的，因此X的指数是定义良好的。注意，如果X是1×1的矩阵，则X的矩阵指数就是由X的元素的指数所组成的1×1矩阵。


性质 = 基本性质 =
设X和Y为n×n的复数矩阵，并设a和b为任意的复数。我们把n×n的单位矩阵记为I，把零矩阵记为0。
我们可以从指数级数的定义直接得到矩阵指数的如下性质：

e0 = I
exp(XT) = (exp X)T，其中XT表示X的转置。从中可以推出，如果X是对称矩阵，则eX也是对称矩阵；如果X是斜对称矩阵，则eX是正交矩阵。
exp(X*) = (exp X)*，其中X*表示X的共轭转置。可以推出，如果X是埃尔米特矩阵，则eX也是埃尔米特矩阵；如果X是斜埃尔米特矩阵，则eX是酉矩阵。
如果Y是可逆矩阵，那么 eYXY−1 = YeXY−1 
接下来是一个关键性质：

如果
  
    
      
        X
        Y
        =
        Y
        X
      
    
    {\displaystyle XY=YX}
  
那么 
  
    
      
        
          e
          
            X
          
        
        
          e
          
            Y
          
        
        =
        
          e
          
            X
            +
            Y
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}
  

由此导出的推论有：

eaXebX = e(a + b)X
eXe−X = I


= 线性微分方程 =
矩阵指数的一个重要性，是它可以用来解微分方程。从(1)可知，以下微分方程

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        y
        (
        t
        )
        =
        A
        y
        (
        t
        )
        ,
        
        y
        (
        0
        )
        =
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}}
  

其中A是矩阵，具有解

  
    
      
        y
        (
        t
        )
        =
        
          e
          
            A
            t
          
        
        
          y
          
            0
          
        
         
      
    
    {\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}\ }
  

矩阵指数也可以用来解非齐次方程：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        y
        (
        t
        )
        =
        A
        y
        (
        t
        )
        +
        z
        (
        t
        )
        ,
        
        y
        (
        0
        )
        =
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}}
  

参见以下的例子。
当A不是常数时，以下形式的微分方程没有闭式解：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        y
        (
        t
        )
        =
        A
        (
        t
        )
        
        y
        (
        t
        )
        ,
        
        y
        (
        0
        )
        =
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}}
  

但马格努斯级数可以给出无穷级数形式的解。


= 矩阵指数的行列式 =
根据雅可比公式，对任意复矩阵，下列迹等式成立：

除了提供一种额外的计算工具，这个等式还表明矩阵指数总是可逆矩阵。这点可以如下证明：因为上述等式的右边恒不等于0，所以左边det(eA) = 0，从而eA必可逆。


= 指数相加 =
我们知道，对于任何实数（标量）x和y，指数函数都满足公式ex + y = exey。类似的等式对于可交换矩阵也成立：如果矩阵X和Y是可交换的（即XY = YX），则：

  
    
      
        
          e
          
            X
            +
            Y
          
        
        =
        
          e
          
            X
          
        
        
          e
          
            Y
          
        
         
      
    
    {\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}\ }
  

但是，如果它们不是可交换的，则以上的等式不一定成立。
这个命题反过来不成立：eX+Y=eXeY并不一定就意味着X和Y是可交换的。但是，如果X和Y只含有代数数，而且它们的大小至少为2×2，则反过来也成立。
X和Y不可交换的情况可以用以下方法计算：


= 李乘积公式 =
即使
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
和
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
不可交换，
  
    
      
        
          e
          
            X
            +
            Y
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{X+Y}}
  
可以用李乘积公式来计算

  
    
      
        
          e
          
            X
            +
            Y
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        (
        
          e
          
            X
            
              /
            
            n
          
        
        
          e
          
            Y
            
              /
            
            n
          
        
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{X+Y}=\lim _{n\rightarrow \infty }(e^{X/n}e^{Y/n})^{n}}
  


= 贝克尔-坎贝尔-豪斯多夫公式 =
从另一个方向讲，如果
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
和
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
是元素足够小（但不一定可交换）的矩阵，我们有：

  
    
      
        
          e
          
            X
          
        
        
          e
          
            Y
          
        
        =
        
          e
          
            Z
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}
  

其中
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
可以通过
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
和
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
的交换子的级数（贝克尔-坎贝尔-豪斯多夫公式）来计算：

  
    
      
        Z
        =
        X
        +
        Y
        +
        
          
            1
            2
          
        
        [
        X
        ,
        Y
        ]
        +
        
          
            1
            12
          
        
        [
        X
        ,
        [
        X
        ,
        Y
        ]
        ]
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots }
  

其中余项均为与
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
和
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
相关的迭代交换子。


= 指数映射 =
注意矩阵的指数总是非奇异方阵。eX的逆矩阵由e−X给出。这与复数的指数总是非零的事实类似。这样，矩阵指数就给出了一个映射：

  
    
      
        exp
        :
        
          M
          
            n
          
        
        (
        
          C
        
        )
        →
        
          
            GL
          
        
        (
        n
        ,
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to {\mbox{GL}}(n,\mathbb {C} )}
  

这是从所有n×n矩阵的空间到一般线性群（所有非奇异方阵所组成的群）的映射。实际上，这个映射是满射，就是说每一个非奇异方阵都可以写成某个矩阵的指数。矩阵对数就是这个映射的逆映射。
对于任何两个矩阵X和Y，我们有：

  
    
      
        ‖
        
          e
          
            X
            +
            Y
          
        
        −
        
          e
          
            X
          
        
        ‖
        ≤
        ‖
        Y
        ‖
        
          e
          
            ‖
            X
            ‖
          
        
        
          e
          
            ‖
            Y
            ‖
          
        
      
    
    {\displaystyle \|e^{X+Y}-e^{X}\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|}}
  

其中|| · ||表示任意的矩阵范数。从中可以推出，指数映射在Mn(C)的紧子集内是连续和利普希茨连续的。
以下的映射

  
    
      
        t
        ↦
        
          e
          
            t
            X
          
        
        ,
        
        t
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R} }
  

定义了一般线性群中的一条光滑曲线，当t = 0时穿过单位元。实际上，这给出了一般线性群的一个单参数子群，这是由于：

  
    
      
        
          e
          
            t
            X
          
        
        
          e
          
            s
            X
          
        
        =
        
          e
          
            (
            t
            +
            s
            )
            X
          
        
         
      
    
    {\displaystyle e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}\ }
  

这条曲线在点t的导数（或切向量）由以下等式给出：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          e
          
            t
            X
          
        
        =
        X
        
          e
          
            t
            X
          
        
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}\qquad (1)}
  

t = 0时的导数就是矩阵X，所以我们可以说，X是这个单参数子群的推广。
更加一般地：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          e
          
            X
            (
            t
            )
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          e
          
            (
            1
            −
            α
            )
            X
            (
            t
            )
          
        
        
          
            
              d
              X
              (
              t
              )
            
            
              d
              t
            
          
        
        
          e
          
            α
            X
            (
            t
            )
          
        
        
        d
        α
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{(1-\alpha )X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{\alpha X(t)}\,d\alpha }
  


矩阵指数的计算 找到可靠而准确的方法来计算矩阵指数是很困难的，这仍然是目前数学和数值分析领域的一个重要研究课题。Matlab、GNU Octave和SciPy都使用帕德近似。 在本节中，我们讨论了原则上适用于任何矩阵的方法，并且可以对小矩阵进行显式处理。 随后的章节描述了适合对大矩阵进行数值评估的方法。


= 可对角化矩阵 =
如果矩阵是对角的：

  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  0
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}}
  

则把主对角线上的所有元素取指数，就是原矩阵的指数：

  
    
      
        
          e
          
            A
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    e
                    
                      
                        a
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    e
                    
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  0
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  
                    e
                    
                      
                        a
                        
                          n
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}}
  

这也允许了我们计算可对角化矩阵的指数。如果
  
    
      
        A
        =
        U
        D
        
          U
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A=UDU^{-1}}
  
，且D是对角矩阵，则
  
    
      
        
          e
          
            A
          
        
        =
        U
        
          e
          
            D
          
        
        
          U
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{A}=Ue^{D}U^{-1}}
  
。用西尔维斯特公式，也可以得到相同的结果。


= 幂零矩阵 =
如果对于某个整数q，有Nq = 0，则矩阵N称为幂零矩阵。在这种情况下，矩阵指数eN可以直接从级数展开式来计算，这是因为级数在有限个项后就终止了：

  
    
      
        
          e
          
            N
          
        
        =
        I
        +
        N
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          N
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            6
          
        
        
          N
          
            3
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            1
            
              (
              q
              −
              1
              )
              !
            
          
        
        
          N
          
            q
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}}
  


= 推广 =
当矩阵X的最小多项式可以分解为一次多项式的积时，它就可以表示为以下的和：

  
    
      
        X
        =
        A
        +
        N
         
      
    
    {\displaystyle X=A+N\ }
  

其中：

A是可对角化矩阵；
N是幂零矩阵；
A与N是可交换的（也就是说， AN = NA）。
这称为Dunford分解。
这就是说，我们可以通过化为前两种情况，来计算X的指数：

  
    
      
        
          e
          
            X
          
        
        =
        
          e
          
            A
            +
            N
          
        
        =
        
          e
          
            A
          
        
        
          e
          
            N
          
        
         
      
    
    {\displaystyle e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}\ }
  

注意为了让最后一步成立， A和N必须是可交换的。
另外一个密切相关的方法，是利用X的若尔当标准型。假设X = PJP −1，其中J是X的若尔当标准型。那么：

  
    
      
        
          e
          
            X
          
        
        =
        P
        
          e
          
            J
          
        
        
          P
          
            −
            1
          
        
         
      
    
    {\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}\ }
  

另外，由于

  
    
      
        J
        =
        
          J
          
            
              a
              
                1
              
            
          
        
        (
        
          λ
          
            1
          
        
        )
        ⊕
        
          J
          
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        (
        
          λ
          
            2
          
        
        )
        ⊕
        ⋯
        ⊕
        
          J
          
            
              a
              
                n
              
            
          
        
        (
        
          λ
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n})}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                  
                    J
                  
                
              
              
                
                

                
                =
                exp
                ⁡
                
                  
                    (
                  
                
                
                  J
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                (
                
                  λ
                  
                    1
                  
                
                )
                ⊕
                
                  J
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                (
                
                  λ
                  
                    2
                  
                
                )
                ⊕
                ⋯
                ⊕
                
                  J
                  
                    
                      a
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                (
                
                  λ
                  
                    n
                  
                
                )
                
                  
                    )
                  
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                exp
                ⁡
                
                  
                    (
                  
                
                
                  J
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                (
                
                  λ
                  
                    1
                  
                
                )
                
                  
                    )
                  
                
                ⊕
                exp
                ⁡
                
                  
                    (
                  
                
                
                  J
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                (
                
                  λ
                  
                    2
                  
                
                )
                
                  
                    )
                  
                
                ⊕
                ⋯
                ⊕
                exp
                ⁡
                
                  
                    (
                  
                
                
                  J
                  
                    
                      a
                      
                        k
                      
                    
                  
                
                (
                
                  λ
                  
                    k
                  
                
                )
                
                  
                    )
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}e^{J}&{}=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&{}=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{k}}(\lambda _{k}){\big )}\end{aligned}}}
  

因此，我们只需要知道怎样计算若尔当块的矩阵指数。但是，每一个若尔当块都具有形式

  
    
      
        
          J
          
            a
          
        
        (
        λ
        )
        =
        λ
        I
        +
        N
         
      
    
    {\displaystyle J_{a}(\lambda )=\lambda I+N\ }
  

其中N是幂零矩阵。则这个区块的矩阵指数由下式给出：

  
    
      
        
          e
          
            λ
            I
            +
            N
          
        
        =
        
          e
          
            λ
          
        
        
          e
          
            N
          
        
         
      
    
    {\displaystyle e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}\ }
  


计算 假设我们想要计算以下矩阵的指数。

  
    
      
        B
        =
        
          
            [
            
              
                
                  21
                
                
                  17
                
                
                  6
                
              
              
                
                  −
                  5
                
                
                  −
                  1
                
                
                  −
                  6
                
              
              
                
                  4
                
                
                  4
                
                
                  16
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}}
  

它的若尔当型为：

  
    
      
        J
        =
        
          P
          
            −
            1
          
        
        B
        P
        =
        
          
            [
            
              
                
                  4
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  16
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  16
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}}}
  

其中矩阵P由下式给出：

  
    
      
        P
        =
        
          
            [
            
              
                
                  −
                  
                    
                      1
                      4
                    
                  
                
                
                  2
                
                
                  
                    
                      5
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      4
                    
                  
                
                
                  −
                  2
                
                
                  −
                  
                    
                      1
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  4
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}}
  

我们首先来计算exp(J)。我们有：

  
    
      
        J
        =
        
          J
          
            1
          
        
        (
        4
        )
        ⊕
        
          J
          
            2
          
        
        (
        16
        )
      
    
    {\displaystyle J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)}
  

1×1矩阵的指数仅仅是该矩阵的元素的指数，因此exp(J1(4)) = [e4]。
  
    
      
        
          J
          
            2
          
        
        (
        16
        )
      
    
    {\displaystyle J_{2}(16)}
  
的指数可以用以上提到的公式exp(λ
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
+N) = eλ exp(N)来算出：

  
    
      
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              [
              
                
                  
                    16
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    0
                  
                  
                    16
                  
                
              
              ]
            
          
          )
        
        =
        
          e
          
            16
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              [
              
                
                  
                    0
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    0
                  
                  
                    0
                  
                
              
              ]
            
          
          )
        
        =
        
          e
          
            16
          
        
        
          (
          
            
              
                [
                
                  
                    
                      1
                    
                    
                      0
                    
                  
                  
                    
                      0
                    
                    
                      1
                    
                  
                
                ]
              
            
            +
            
              
                [
                
                  
                    
                      0
                    
                    
                      1
                    
                  
                  
                    
                      0
                    
                    
                      0
                    
                  
                
                ]
              
            
            +
            
              
                1
                
                  2
                  !
                
              
            
            
              
                [
                
                  
                    
                      0
                    
                    
                      0
                    
                  
                  
                    
                      0
                    
                    
                      0
                    
                  
                
                ]
              
            
            +
            ⋯
          
          )
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                
                
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots \right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}}
  

因此，原矩阵B的指数为：

  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        B
        )
        =
        P
        exp
        ⁡
        (
        J
        )
        
          P
          
            −
            1
          
        
        =
        P
        
          
            [
            
              
                
                  
                    e
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                
                
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
          P
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  13
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                  −
                  
                    e
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  13
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                  −
                  5
                  
                    e
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                  −
                  2
                  
                    e
                    
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  −
                  9
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                  +
                  
                    e
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  −
                  9
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                  +
                  5
                  
                    e
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  −
                  2
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                  +
                  2
                  
                    e
                    
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  16
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                
                
                  16
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                
                
                  4
                  
                    e
                    
                      16
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \exp(B)=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}}
  


应用 = 线性微分方程 =
矩阵指数在解线性微分方程时十分有用。前面曾提到，以下形式的微分方程

  
    
      
        
          
            y
          
          ′
        
        =
        C
        
          y
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} '=C\mathbf {y} }
  

具有解eCty(0)。如果我们考虑以下向量

  
    
      
        
          y
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      n
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}}
  

我们就可以把线性微分方程表示为： 

  
    
      
        
          
            y
          
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        A
        
          y
        
        (
        t
        )
        +
        
          b
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t)}
  

如果我们作一个猜想，把两边乘以一个积分因子 e−At，便得到：

  
    
      
        
          e
          
            −
            A
            t
          
        
        
          
            y
          
          ′
        
        −
        
          e
          
            −
            A
            t
          
        
        A
        
          y
        
        =
        
          e
          
            −
            A
            t
          
        
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} =e^{-At}\mathbf {b} }
  

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        (
        
          e
          
            −
            A
            t
          
        
        
          y
        
        )
        =
        
          e
          
            −
            A
            t
          
        
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{-At}\mathbf {y} )=e^{-At}\mathbf {b} }
  

如果我们可以计算eAt，那么就得到了微分方程的解。 


 例子（齐次）  假设我们有以下的微分方程组：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  x
                  ′
                
              
              
                =
              
              
                2
                x
              
              
                −
                y
              
              
                +
                z
              
            
            
              
                
                  y
                  ′
                
              
              
                =
              
              
              
                3
                y
              
              
                −
                1
                z
              
            
            
              
                
                  z
                  ′
                
              
              
                =
              
              
                2
                x
              
              
                +
                y
              
              
                +
                3
                z
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}}
  

相关的矩阵为：

  
    
      
        M
        =
        
          
            [
            
              
                
                  2
                
                
                  −
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  3
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  2
                
                
                  1
                
                
                  3
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}}
  

在以上的例子中，我们计算了矩阵指数 

  
    
      
        
          e
          
            t
            M
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  2
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                  −
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
                
                  −
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  2
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                  +
                  2
                  (
                  t
                  +
                  1
                  )
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
                
                  2
                  (
                  t
                  +
                  1
                  )
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
                
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{tM}={\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}}
  

因此微分方程组的通解为： 

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
              
                
                  z
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          C
          
            1
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  2
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                  −
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
              
              
                
                  −
                  2
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                  +
                  2
                  (
                  t
                  +
                  1
                  )
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
              
              
                
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        +
        
          C
          
            2
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  −
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
              
              
                
                  2
                  (
                  t
                  +
                  1
                  )
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
              
              
                
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        +
        
          C
          
            3
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
              
              
                
                  2
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=C_{1}{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+C_{2}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+C_{3}{\begin{bmatrix}0\\0\\2e^{t}\end{bmatrix}}}
  

也就是说，

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                
                  C
                  
                    1
                  
                
                (
                2
                
                  e
                  
                    t
                  
                
                −
                2
                t
                
                  e
                  
                    2
                    t
                  
                
                )
                +
                
                  C
                  
                    2
                  
                
                (
                −
                2
                t
                
                  e
                  
                    2
                    t
                  
                
                )
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                
                  C
                  
                    1
                  
                
                (
                −
                2
                
                  e
                  
                    t
                  
                
                +
                2
                (
                t
                +
                1
                )
                
                  e
                  
                    2
                    t
                  
                
                )
                +
                
                  C
                  
                    2
                  
                
                (
                2
                (
                t
                +
                1
                )
                
                  e
                  
                    2
                    t
                  
                
                )
              
            
            
              
                z
              
              
                
                =
                (
                
                  C
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  C
                  
                    2
                  
                
                )
                (
                2
                t
                
                  e
                  
                    2
                    t
                  
                
                )
                +
                2
                
                  C
                  
                    3
                  
                
                
                  e
                  
                    t
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=C_{1}(2e^{t}-2te^{2t})+C_{2}(-2te^{2t})\\y&=C_{1}(-2e^{t}+2(t+1)e^{2t})+C_{2}(2(t+1)e^{2t})\\z&=(C_{1}+C_{2})(2te^{2t})+2C_{3}e^{t}\end{aligned}}}
  


 非齐次的情况──参数变换  对于非齐次的情况，我们可以用积分因子的方法（类似于参数变换的方法）。我们找到形为yp(t) = exp(tA)z(t)一个特解：

  
    
      
        
          
            y
          
          
            p
          
          ′
        
        =
        (
        
          e
          
            t
            A
          
        
        
          )
          ′
        
        
          z
        
        (
        t
        )
        +
        
          e
          
            t
            A
          
        
        
          
            z
          
          ′
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} _{p}'=(e^{tA})'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)}
  

  
    
      
        =
        A
        
          e
          
            t
            A
          
        
        
          z
        
        (
        t
        )
        +
        
          e
          
            t
            A
          
        
        
          
            z
          
          ′
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle =Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)}
  

  
    
      
        =
        A
        
          
            y
          
          
            p
          
        
        (
        t
        )
        +
        
          e
          
            t
            A
          
        
        
          
            z
          
          ′
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle =A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)}
  

为了让yp为方程的解，必须有：

  
    
      
        
          e
          
            t
            A
          
        
        
          
            z
          
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        
          b
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle e^{tA}\mathbf {z} '(t)=\mathbf {b} (t)}
  

  
    
      
        
          
            z
          
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        (
        
          e
          
            t
            A
          
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        
          b
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} '(t)=(e^{tA})^{-1}\mathbf {b} (t)}
  

  
    
      
        
          z
        
        (
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        
          e
          
            −
            u
            A
          
        
        
          b
        
        (
        u
        )
        
        d
        u
        +
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} (t)=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} }
  

因此，

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    y
                  
                  
                    p
                  
                
              
              
                
                

                
                =
                
                  e
                  
                    t
                    A
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    t
                  
                
                
                  e
                  
                    −
                    u
                    A
                  
                
                
                  b
                
                (
                u
                )
                
                d
                u
                +
                
                  e
                  
                    t
                    A
                  
                
                
                  c
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    t
                  
                
                
                  e
                  
                    (
                    t
                    −
                    u
                    )
                    A
                  
                
                
                  b
                
                (
                u
                )
                
                d
                u
                +
                
                  e
                  
                    t
                    A
                  
                
                
                  c
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&{}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&{}=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \end{aligned}}}
  

其中c由问题的初始条件决定。


 例子（非齐次）  假设我们有以下的微分方程组：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  x
                  ′
                
              
              
                =
              
              
                2
                x
              
              
                −
                y
              
              
                +
                z
              
              
                +
                
                  e
                  
                    2
                    t
                  
                
              
            
            
              
                
                  y
                  ′
                
              
              
                =
              
              
              
                3
                y
              
              
                −
                1
                z
              
              
            
            
              
                
                  z
                  ′
                
              
              
                =
              
              
                2
                x
              
              
                +
                y
              
              
                +
                3
                z
              
              
                +
                
                  e
                  
                    2
                    t
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z&+e^{2t}\\y'&=&&3y&-1z&\\z'&=&2x&+y&+3z&+e^{2t}\end{matrix}}}
  

那么我们有 

  
    
      
        M
        =
        
          
            [
            
              
                
                  2
                
                
                  −
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  3
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  2
                
                
                  1
                
                
                  3
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}}
  

以及

  
    
      
        
          b
        
        =
        
          e
          
            2
            t
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}}
  

用前面的方法，我们可以得出齐次微分方程的解。由于齐次方程的通解与非齐次方程的特解的和就是非齐次方程的通解，因此我们只需要找到一个特解（用参数变换法）。
我们有：

  
    
      
        
          
            y
          
          
            p
          
        
        =
        
          e
          
            t
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        
          e
          
            (
            −
            u
            )
            M
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
              
              
                
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
        d
        u
        +
        
          e
          
            t
            M
          
        
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{t}\int _{0}^{t}e^{(-u)M}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tM}\mathbf {c} }
  

  
    
      
        
          
            y
          
          
            p
          
        
        =
        
          e
          
            t
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  2
                  
                    e
                    
                      u
                    
                  
                  −
                  2
                  u
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
                
                  −
                  2
                  u
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
              
              
                
                  −
                  2
                  
                    e
                    
                      u
                    
                  
                  +
                  2
                  (
                  u
                  +
                  1
                  )
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
                
                  2
                  (
                  u
                  +
                  1
                  )
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
              
              
                
                  2
                  u
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
                
                  2
                  u
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    e
                    
                      u
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
              
              
                
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
        d
        u
        +
        
          e
          
            t
            M
          
        
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{t}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tM}\mathbf {c} }
  

  
    
      
        
          
            y
          
          
            p
          
        
        =
        
          e
          
            t
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                  (
                  2
                  
                    e
                    
                      u
                    
                  
                  −
                  2
                  u
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                  )
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                  (
                  −
                  2
                  
                    e
                    
                      u
                    
                  
                  +
                  2
                  (
                  1
                  +
                  u
                  )
                  
                    e
                    
                      2
                      u
                    
                  
                  )
                
              
              
                
              
              
                
                  2
                  
                    e
                    
                      3
                      u
                    
                  
                  +
                  2
                  u
                  
                    e
                    
                      4
                      u
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        +
        
          e
          
            t
            M
          
        
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{t}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}(2e^{u}-2ue^{2u})\\\\e^{2u}(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u})\\\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}+e^{tM}\mathbf {c} }
  

  
    
      
        
          
            y
          
          
            p
          
        
        =
        
          e
          
            t
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  −
                  
                    
                      1
                      24
                    
                  
                  
                    e
                    
                      3
                      t
                    
                  
                  (
                  3
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                  (
                  4
                  t
                  −
                  1
                  )
                  −
                  16
                  )
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      24
                    
                  
                  
                    e
                    
                      3
                      t
                    
                  
                  (
                  3
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                  (
                  4
                  t
                  +
                  4
                  )
                  −
                  16
                  )
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      24
                    
                  
                  
                    e
                    
                      3
                      t
                    
                  
                  (
                  3
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                  (
                  4
                  t
                  −
                  1
                  )
                  −
                  16
                  )
                
              
            
            ]
          
        
        +
        
          
            [
            
              
                
                  2
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                  −
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
                
                  −
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
              
              
                
                  −
                  2
                  
                    e
                    
                      t
                    
                  
                  +
                  2
                  (
                  t
                  +
                  1
                  )
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
                
                  2
                  (
                  t
                  +
                  1
                  )
                  
                    e
                    
                      2
                      t
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
              
              
                
                  2
                  t
                  
                    e
                    
                      2
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                    c
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{t}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}}
  

进一步简化，就可以得到原方程的特解。


註釋 参考文献 参閱 外部链接 埃里克·韦斯坦因. Matrix Exponential. MathWorld. 
矩阵指数的教程