球（英語：ball）在數學裡，是指球面內部的空間。球可以是封閉的（包含球面的邊界點，稱為閉球），也可以是開放的（不包含邊界點，稱為開球）。
球的概念不只存在於三維歐氏空間裡，亦存在於較低或較高維度，以及一般度量空間裡。
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
維空間裡的球稱為
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
維球，且包含於
  
    
      
        n
        −
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle n-1\,\!}
  
維球面內。因此，在歐氏平面裡，球為一圓盤，包含在圓內。在三維空間裡，球則是指在二維球面邊界內的空間。


歐氏空間裡的球 在 
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
 維歐氏空間裡，一個中心為 
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
 ，半徑為 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 的 
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
 維（開）球是個由所有距 
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
 的距離小於 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 的點所組成之集合。一個中心為 
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
，半徑為 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 的 
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
 維閉球是個由所有距 
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
 的距離小於等於 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 的點所組成之集合。
在 
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
 維歐氏空間裡，每個球都是某個超球面內部的空間。在一維時，球是個有界的區間；在二維時，是某個圓的內部（圓盤）；而在三維時，則是某個球面的內部。


= 體積 =

在 
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
 維歐氏空間裡，半徑 
  
    
      
        R
        
        
      
    
    {\displaystyle R\,\!}
  
 的球之 
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
 維體積為：

  
    
      
        
          V
          
            n
          
        
        (
        R
        )
        =
        
          
            
              π
              
                n
                
                  /
                
                2
              
            
            
              Γ
              (
              
                
                  n
                  2
                
              
              +
              1
              )
            
          
        
        
          R
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}
  

其中，Γ是李昂哈德·歐拉的Γ函數（可被視為階乘在實數的延伸）。使用Γ函數在整數與半整數時的公式，可不需要估算Γ函數即可計算出球的體積：

  
    
      
        
          V
          
            2
            k
          
        
        (
        R
        )
        =
        
          
            
              π
              
                k
              
            
            
              k
              !
            
          
        
        
          R
          
            2
            k
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},}
  

  
    
      
        
          V
          
            2
            k
            +
            1
          
        
        (
        R
        )
        =
        
          
            
              
                2
                
                  k
                  +
                  1
                
              
              
                π
                
                  k
                
              
            
            
              (
              2
              k
              +
              1
              )
              !
              !
            
          
        
        
          R
          
            2
            k
            +
            1
          
        
        =
        
          
            
              2
              (
              k
              !
              )
              (
              4
              π
              
                )
                
                  k
                
              
            
            
              (
              2
              k
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        
          R
          
            2
            k
            +
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.}
  

在奇數維度時的體積公式裡，對每個奇數
  
    
      
        2
        k
        +
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle 2k+1\,\!}
  
，雙階乘 (2k + 1)!! 定義為 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。


一般度量空間裡的球 令 (M,d) 為一度量空間，即具有度量（距離函數）d 的集合 M。中心為 M 內的點 p，半徑為 r > 0 的開球，通常標計為 Br(p) 或 B(p; r)，定義為

  
    
      
        
          B
          
            r
          
        
        (
        p
        )
        =
        {
        x
        ∈
        M
        ∣
        d
        (
        x
        ,
        p
        )
        <
        r
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},}
  

其閉球，可標計為 Br[p] 或 B[p; r]，則定義為

  
    
      
        
          B
          
            r
          
        
        [
        p
        ]
        =
        {
        x
        ∈
        M
        ∣
        d
        (
        x
        ,
        p
        )
        ≤
        r
        }
        .
      
    
    {\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}
  

請特別注意，一個球（無論開放或封閉）總會包含點 p，因為依定義， r > 0。
開球的閉包通常標記為 
  
    
      
        
          
            
              
                B
                
                  r
                
              
              (
              p
              )
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}}
  
。雖然 
  
    
      
        
          B
          
            r
          
        
        (
        p
        )
        ⊆
        
          
            
              
                B
                
                  r
                
              
              (
              p
              )
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}}
  
 與 
  
    
      
        
          
            
              
                B
                
                  r
                
              
              (
              p
              )
            
            ¯
          
        
        ⊆
        
          B
          
            r
          
        
        [
        p
        ]
      
    
    {\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p]}
  
 總是成立的，但 
  
    
      
        
          
            
              
                B
                
                  r
                
              
              (
              p
              )
            
            ¯
          
        
        =
        
          B
          
            r
          
        
        [
        p
        ]
      
    
    {\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p]}
  
 則不一定總是為真。舉例來說，在一個具離散度量的度量空間 X 裡，對每個 X 內的 p 而言，
  
    
      
        
          
            
              
                B
                
                  1
                
              
              (
              p
              )
            
            ¯
          
        
        =
        {
        p
        }
      
    
    {\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}}
  
，但 
  
    
      
        
          B
          
            1
          
        
        [
        p
        ]
        =
        X
      
    
    {\displaystyle B_{1}[p]=X}
  
。
一個（開或閉）單位球為一半徑為 1 的球。
度量空間的子集是有界的，若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的，若給定一正值半徑，該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。
度量空間裡的開球為拓撲空間裡的基，其中所有的開集合均為某些（有限或無限個）開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲。


賦範向量空間裡的球 每個具範數 |·| 的賦範向量空間亦為一度量空間，其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此類空間裡，每個球 Br(p) 均可視為是單位球 B1(0) 平移 p，再縮放 r 後所得之集合。
前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦範向量空間裡球的一例。


= p-範數 =
在具 p-範數 Lp 的笛卡爾空間 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 裡，開球是指集合

  
    
      
        B
        (
        r
        )
        =
        
          {
          
            x
            ∈
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            
            :
            
            
              ∑
              
                i
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              
                |
                
                  x
                  
                    i
                  
                
                |
              
              
                p
              
            
            <
            
              r
              
                p
              
            
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}<r^{p}\right\}.}
  

在二維（n=2）時，L1（通常稱為曼哈頓度量）的球是對角線平行於坐標軸的正方形；而 L∞（切比雪夫度量）的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 p 的其他值，該球則會是超橢圓的內部。
在三維（n=3）時，L1 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體，而 L∞ 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 p 的其他值，該球則會是超橢球的內部。


= 一般凸範數 =
更一般性地，給定任一 Rn 內中心對稱、有界、開放且凸的集合 X，均可定義一個在 Rn 的範數，該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意，若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代，則定理不能成立，因為原點也符合定理內所定之集合，但無法定義 Rn 內的範數。


拓撲空間裡的球 在拓撲學的文獻裡，「球」可能有两種含义，由上下文决定。


= 開集 =
“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“p 点周围的一个球”代表包含p 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）
有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：p 的一个邻域是任何包含一个p 的开集的集合，因此通常不是开集。


= 拓撲球 =
X 內的 n 維（開或閉）拓撲球是指 X 內同胚於 n 維（開或閉）歐幾里得球的任一子集，該子集不一定需要由某個度量導出。n 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要，為建構胞腔復形的基礎。
任一 n 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 Rn 及 n 維開單位超方形 
  
    
      
        (
        0
        ,
        1
        
          )
          
            n
          
        
        ⊆
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (0,1)^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
  
。任一 n 維閉拓撲球均同胚於 n 維閉超方形 [0, 1]n。
n 維球同胚於 m 維球，若且唯若 n = m。n 維開球 B 與 Rn 間的同胚可分成兩種類型，以 B 的兩種可能之拓撲定向來區分。
一個 n 維拓撲球不一定是光滑的；若該球是光滑的，亦不一定需微分同胚於一 n 維歐幾里得球。


另見 球 - 一般常見的意義
圓盤
形式球，將球的半徑延伸至負值。
鄰域
三維球面
n維球面（超球面）
亞歷山大帶角球
流形
n維球的體積
正八面體，
  
    
      
        
          ℓ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{1}}
  
 度量下的三維球
球殼
橢球
球缺
半球


参考文献 D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
"Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
"Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2]


参见