本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。

坡印廷向量（英語：Poynting vector），亦称能流密度矢量，其方向為電磁能傳遞方向，大小為能流密度（单位面积的能量传输速率）。坡印廷矢量的SI单位是瓦特每平方米（W/m2）。它是以其发現者约翰·亨利·坡印廷來命名的。奧利弗·黑維塞和尼科莱·乌诺夫亦獨立發現所謂的坡印廷向量。


定义 在坡印廷的原始论文和许多教科书中，它通常记作 S 或 N，定义为

  
    
      
        
          S
        
        =
        
          E
        
        ×
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
  

其中

E 是电场强度；
H 是磁场强度。
这种形式通常被称为亚伯拉罕形式。
偶尔也用电场强度 E 和磁感应强度 B 作为另一种定义。甚至可以把电位移矢量 D 和磁感应强度 B 结合起来得到的坡印廷矢量的闵可夫斯基形式，或使用 D 与 H 构成另一种形式。选用哪种形式一直是有争议的：羅伯特·費福（Robert Pfeifer）等人总结并一定程度上解决了亚伯拉罕与闵可夫斯基形式支持者之间长达一个世纪的争议。
坡印亭矢量表示的是电磁能量的能流矢量的特殊情况。然而，空间内任何形式的能量都有其移动方向，也有密度，所以其他形式的能量也可以定义能流矢量，例如机械能。1874年由尼科莱·乌诺夫发现的乌诺夫–坡印亭矢量以完全广义的观点描述了液体和弹性介质中的能流。


= 说明 =
  
電流方向改變時，電場與磁場方向同時改變，能量場方向不變，因此交流電電流方向改變不會影響對負載作功。
根據能量守恒所得的坡印亭定理中出现了坡印廷向量（参见此条目中定理和向量的推导）：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        −
        
          ∇
        
        ⋅
        
          S
        
        −
        
          
            J
            
              
                f
              
            
          
        
        ⋅
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} }
  

其中 Jf 为自由电荷的电流密度而 u 为线性、非色散材料的电磁场能量密度，即

  
    
      
        u
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
        
          (
          
            
              E
            
            ⋅
            
              D
            
            +
            
              B
            
            ⋅
            
              H
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)}
  

其中

E 是电场强度；
D 是电位移矢量；
B 是磁感应强度；
H 是磁场强度。
右面的第一项表示流入一个小体积的净电磁能流，而第二项表示自由电流所抵銷的功部分（這些功從电磁能转换成耗散能、热）。在此定义中，在此项中不包括束缚电流，但束缚电流会影响 S 和 u。
對於线性、非色散、各向同性（為了方便分析）材料，本构关系写作

  
    
      
        
          D
        
        =
        ε
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }
  
，
  
    
      
        
          H
        
        =
        
          
            1
            μ
          
        
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} }
  

的时候。其中

ε 为材料的电容率；
μ 为材料的磁导率。
原则上，这把此形式的坡印廷定理限制於描述場在真空中的行為，或在線性、非色散材料中的行為。坡印廷定理可以延伸到色散材料中，但必須在方程式裏添加更多項。
坡印廷矢量通常被解释为能流，但對於某些案例可能會導致悖論般的結果。上述坡印廷定理描述了更一般的情形，指出坡印廷矢量的散度與能量密度的改變有關，这就是说它只能描述空间中能量密度的改变，描述不了能流，換句話說，坡印廷矢量只精確地定義至任意場的旋度。在下一節會有更多相關說明。


= 增添場旋度的不變性 =
坡印廷定理中，坡印廷向量以散度∇ ⋅ S形式出現，因此可在坡印廷向量S中任意增添場F的旋度而不對其造成影響：

  
    
      
        
          
            S
          
          ′
        
        =
        
          S
        
        +
        ∇
        ×
        
          F
        
        ⇒
        ∇
        ⋅
        
          
            S
          
          ′
        
        =
        ∇
        ⋅
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {S} '=\mathbf {S} +\nabla \times \mathbf {F} \Rightarrow \nabla \cdot \mathbf {S} '=\nabla \cdot \mathbf {S} }
  
，
此處應用到向量關係式：任意場F之旋度項的散度為零，即∇ ⋅ (∇ × F) = 0（細節參見向量恆等式列表）。
此項性質用於類靜電學範疇，舉例來說，可以用來描述壓電材料中與波動相關的能量傳遞。在此情形，磁場可以忽略，局部的能量通量主要是由電場項來貢獻。以通則來說，我們可用下式來表示坡印廷向量的散度：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            
              E
            
            ×
            
              H
            
          
          )
        
        =
        
          H
        
        ⋅
        ∇
        ×
        
          E
        
        −
        
          E
        
        ⋅
        ∇
        ×
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right)=\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} }
  

而馬克士威方程組第四條方程式寫道：

  
    
      
        ∇
        ×
        
          H
        
        =
        
          
            J
            
              
                f
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                D
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{\mathrm {f} }} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
  
，
其中Jf是自由電荷所產生的電流密度。
在介電材料中，方程式變為

  
    
      
        ∇
        ×
        
          H
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                D
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
  
。
將前述兩項結果結合可得如下類靜電學散度：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          S
        
        =
        −
        
          E
        
        ⋅
        
          
            
              ∂
              
                D
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
  
。
一個新的「無磁場貢獻」的坡印廷向量可得到相同的散度結果：

  
    
      
        
          
            S
            ′
          
        
        =
        −
        V
        
          
            
              ∂
              
                D
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {S'} =-V{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
  

其中V為靜電勢。
平行板電容器的案例中，相互垂直的S與S′兩者皆導致相同的整體能量平衡，此例子由Bondar與Bastien指出。
一般普遍認為：採用異於古典坡印廷向量的其他向量，會導致相對論中對電磁場描述的矛盾；因為相對論中，能量與動量是以應力-能量張量做局域定義的。然而上方的轉換卻與量子電動力學相符，其中光子沒有明確定義的軌跡，而只有放射與吸收的機率。


微观领域的形式 在某些情况下，可以更合适地定义坡印亭矢量为

  
    
      
        
          S
        
        =
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
          E
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }
  

其中

μ0 是真空磁导率；
E 是电场强度；
B 是磁感应强度。
可以直接从以总电荷和总电流为变量的麦克斯韦方程组和洛伦兹力定律导出这种形式。
对应的坡印亭定理的形式为

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          S
        
        =
        −
        
          J
        
        ⋅
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
  

其中 J 为全电流密度，而能量密度 u 为

  
    
      
        u
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
        
          (
          
            
              ε
              
                0
              
            
            
              
                E
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                1
                
                  μ
                  
                    0
                  
                
              
            
            
              
                B
              
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)}
  

其中 ε0 是真空电容率。
坡印廷向量的两种定义在真空或非磁性材料中等价，其中B = μ0H。在其他的情形，兩者的差異在於S = 1/μ0 E × B，而對應的u是純輻射性的，因為耗散項−J ⋅ E包括了總電流，而以H場所做的定義涵蓋了約束電流的貢獻，因而缺乏耗散項。
推導S = 1/μ0 E × B的過程中只需要微觀場E和B，關於材料性質的假設則可迴避掉。是故以此方式定義的坡印廷向量與坡印廷定理是普遍成立的，不論是在真空中或各式各樣的材料中。


时间平均坡印廷矢量 对于时间周期正弦电磁场，单位时间内的平均潮流（功率流）往往更有用处，可以通过如下的电场和磁场的解析表示来求得（下标“a”指的是解析信号，带下划线的下标“m”指複振幅，而上标“*”指共轭复数）：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  S
                
              
              
                
                =
                
                  E
                
                ×
                
                  H
                
              
            
            
              
              
                
                =
                Re
                
                
                  (
                  
                    
                      E
                      
                        
                          a
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                ×
                Re
                
                
                  (
                  
                    
                      H
                      
                        
                          a
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                Re
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    
                      e
                      
                        j
                        ω
                        t
                      
                    
                  
                  )
                
                ×
                Re
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            H
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    
                      e
                      
                        j
                        ω
                        t
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    
                      e
                      
                        j
                        ω
                        t
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                            
                              ∗
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    
                      e
                      
                        −
                        j
                        ω
                        t
                      
                    
                  
                  )
                
                ×
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            H
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    
                      e
                      
                        j
                        ω
                        t
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            H
                            
                              m
                            
                            
                              ∗
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    
                      e
                      
                        −
                        j
                        ω
                        t
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    ×
                    
                      
                        
                          
                            H
                            
                              m
                            
                            
                              ∗
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                            
                              ∗
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    ×
                    
                      
                        
                          
                            H
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    ×
                    
                      
                        
                          
                            H
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    
                      e
                      
                        2
                        j
                        ω
                        t
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                            
                              ∗
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    ×
                    
                      
                        
                          
                            H
                            
                              m
                            
                            
                              ∗
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    
                      e
                      
                        −
                        2
                        j
                        ω
                        t
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    ×
                    
                      
                        
                          
                            H
                            
                              m
                            
                            
                              ∗
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    +
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              
                                
                                  E
                                  
                                    m
                                  
                                
                              
                              _
                            
                          
                          ×
                          
                            
                              
                                
                                  H
                                  
                                    m
                                  
                                  
                                    ∗
                                  
                                
                              
                              _
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        ∗
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    ×
                    
                      
                        
                          
                            H
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    
                      e
                      
                        2
                        j
                        ω
                        t
                      
                    
                    +
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              
                                
                                  E
                                  
                                    m
                                  
                                
                              
                              _
                            
                          
                          ×
                          
                            
                              
                                
                                  H
                                  
                                    m
                                  
                                
                              
                              _
                            
                          
                          
                            e
                            
                              2
                              j
                              ω
                              t
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        ∗
                      
                    
                  
                  ]
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                Re
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    ×
                    
                      
                        
                          
                            H
                            
                              m
                            
                            
                              ∗
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                Re
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            E
                            
                              m
                            
                          
                        
                        _
                      
                    
                    ×
                    
                      
                        H
                        
                          m
                        
                      
                    
                    
                      e
                      
                        2
                        j
                        ω
                        t
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} &=\mathbf {E} \times \mathbf {H} \\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H_{\mathrm {a} }} \right)\\&=\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\times {\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left[{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)^{*}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)^{*}\right]\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times \mathbf {H_{m}} e^{2j\omega t}\right)\end{aligned}}}
  

关于时间的平均为

  
    
      
        ⟨
        
          S
        
        ⟩
        =
        
          
            1
            T
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            T
          
        
        
          S
        
        (
        t
        )
        
          d
        
        t
        =
        
          
            1
            T
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            T
          
        
        
        
          [
          
            
              
                1
                2
              
            
            Re
            
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        E
                        
                          m
                        
                      
                    
                    _
                  
                
                ×
                
                  
                    
                      
                        H
                        
                          m
                        
                        
                          ∗
                        
                      
                    
                    _
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
            Re
            
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        E
                        
                          m
                        
                      
                    
                    _
                  
                
                ×
                
                  
                    
                      
                        H
                        
                          m
                        
                      
                    
                    _
                  
                
                
                  e
                  
                    2
                    j
                    ω
                    t
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)\right]\mathrm {d} t}
  

第二项为正弦曲线

  
    
      
        Re
        
        
          (
          
            e
            
              2
              j
              ω
              t
            
          
          )
        
        =
        cos
        ⁡
        (
        2
        ω
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Re} \!\left(e^{2j\omega t}\right)=\cos(2\omega t)}
  

其平均为零，于是得到

  
    
      
        ⟨
        
          S
        
        ⟩
        =
        
          
            1
            2
          
        
        Re
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    E
                    
                      m
                    
                  
                
                _
              
            
            ×
            
              
                
                  
                    H
                    
                      m
                    
                    
                      ∗
                    
                  
                
                _
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        Re
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    E
                    
                      m
                    
                  
                
                _
              
            
            
              e
              
                j
                ω
                t
              
            
            ×
            
              
                
                  
                    H
                    
                      m
                    
                    
                      ∗
                    
                  
                
                _
              
            
            
              e
              
                −
                j
                ω
                t
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        Re
        
        
          (
          
            
              
                E
                
                  
                    a
                  
                
              
            
            ×
            
              
                H
                
                  
                    a
                  
                
                
                  ∗
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \times \mathbf {H_{\mathrm {a} }^{*}} \right)}
  


例子與應用 = 同軸電纜 =

舉例而言，一條同轴电缆的介電絕緣體之中的坡印廷向量與電纜的軸線幾乎平行（假設電纜外無場，且包含直流電在內的波長遠長於電纜直徑）。輸送到負載的電能完全是流經導體之間的介電質。極少量的能量是經導體流動，因為此處的電場強度接近於零。在導體內的能量流是徑向的，成為導體電阻發熱的能量散失。無能量流至電纜外，因為內層導體與外層導體所產生的磁場彼此相抵消。


= 電阻耗散 =
若導體有不小的電阻，則在導體表面附近，坡印廷向量則會出現歪斜而接觸到導體。當坡印廷向量伸入導體時，其被彎折到幾乎與表面垂直的方向。此為斯涅尔定律以及導體內部甚慢的光速所造成的結果。關於導體內部光速的定義與計算，參見文獻Hayt第402頁。
在導體內部，坡印廷向量代表了能量從電磁場流入電纜，產生了電阻的焦耳發熱。從斯涅尔定律起始的推導，參見文獻Reitz第454頁。


= 平面波 =

呈線偏振而以固定頻率傳播的電磁正弦平面波，其坡印廷向量永遠指向傳播方向，而坡印廷向量的大小會不停振盪。此大小的時間均值為：

  
    
      
        ⟨
        S
        ⟩
        =
        
          
            1
            
              2
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                c
              
            
          
        
        
          E
          
            
              m
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
              
            
            2
          
        
        
          E
          
            
              m
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle S\rangle ={\frac {1}{2\mu _{0}\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }^{2}={\frac {\varepsilon _{0}\mathrm {c} }{2}}E_{\mathrm {m} }^{2}}
  

其中Em是電場大小，c是自由空間中的光速。時間均值則稱為輻照度，在辐射度量学中標記為Ee；在其他領域又稱為強度，標記為 I。


 數學推導  平面電磁波中，E與B以及波傳遞方向總是互相垂直。此外E大小與B大小有如下關係式：

  
    
      
        
          B
          
            
              m
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              c
            
          
        
        
          E
          
            
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{\mathrm {m} }={\frac {1}{\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }}
  

與時間及空間的相依性為

  
    
      
        E
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          E
          
            
              m
            
          
        
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        −
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=E_{\mathrm {m} }\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}
  

  
    
      
        B
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          B
          
            
              m
            
          
        
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        −
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(\mathbf {r} ,t)=B_{\mathrm {m} }\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}
  

其中ω為波的角频率，而k為波矢。
因此與時空變量相依的坡印廷向量為：

  
    
      
        S
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
          E
          
            
              m
            
          
        
        
          B
          
            
              m
            
          
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        ω
        t
        −
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              c
            
          
        
        
          E
          
            
              m
            
          
          
            2
          
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        ω
        t
        −
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        )
        =
        
          ε
          
            0
          
        
        
          c
        
        
          E
          
            
              m
            
          
          
            2
          
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        ω
        t
        −
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle S(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}E_{\mathrm {m} }B_{\mathrm {m} }\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )={\frac {1}{\mu _{0}c}}E_{\mathrm {m} }^{2}\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\mathrm {c} E_{\mathrm {m} }^{2}\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}
  
。
在最後一步驟中，使用到等式ε0μ0 = 1/c2。既然cos2(ωt − k ⋅ r)的時間平均與空間平均是1/2，則

  
    
      
        ⟨
        S
        ⟩
        =
        
          
            1
            
              2
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                c
              
            
          
        
        
          E
          
            
              m
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
              
            
            2
          
        
        
          E
          
            
              m
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle S\rangle ={\frac {1}{2\mu _{0}\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }^{2}={\frac {\varepsilon _{0}\mathrm {c} }{2}}E_{\mathrm {m} }^{2}}
  
。
只要運用電場與磁場分佈的資料，即可計算出坡印廷向量；這樣的資料包括了特殊物理情形的邊界條件，比如偶極天線的例子。也因此E場與H場的分佈構成電磁學分析上的主體，而坡印廷向量則成了有價值的副產物。


= 輻射壓 =
電磁場的線動量密度為S/c2，此處S為坡印廷向量的大小，而c是自由空間中的光速。電磁波對一目標物表面所產生的輻射壓則為：

  
    
      
        
          P
          
            
              r
              a
              d
            
          
        
        =
        
          
            
              ⟨
              S
              ⟩
            
            
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}}
  
。


= 靜場 =

在静态场考虑坡印亭矢量显示出了麦克斯韦方程组的相对论性，并让我们更加理解了洛伦兹力 q(v × B) 的磁分量。例如，考虑所附图片，它描述了在一个圆柱形电容器的坡印廷矢量，位于在由永磁体产生的一个磁场（指向纸内）。虽然只有静态电场和磁场，计算坡印廷矢量得出了顺时针方向循环流动的没有起始或结束的电磁能量。
虽然循环的能流看似是无意义或矛盾的，它却证明了保持动量守恒是绝对有必要的。动量密度与能流密度成正比，所以能量的循环流动包含着角动量。 这是因为洛伦兹力的磁分量存在时，电容器放电。在放电过程中，能流中包含的角动量随着转移到穿过磁场的放电电流的电荷上而耗尽。


參考文獻 = 書目 =
Harrington, Roger F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields. McGraw-Hill. 1961. 
Hayt, William. Engineering Electromagnetics 4th. McGraw-Hill. 1981. ISBN 0-07-027395-2. 
Reitz, John R.; Milford, Frederick J.; Christy, Robert W. Foundations of Electromagnetic Theory 4th. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-52624-7. 


= 延伸閱讀 =
"Poynting Vector" from ScienceWorld (A Wolfram Web Resource)（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Eric W. Weisstein
Richard Becker & Sauter, F. Electromagnetic fields and interactions. New York: Dover. 1964  [2015-05-21]. ISBN 0-486-64290-9. （原始内容存档于2009-03-06）. 
Joseph Edminister. Schaum's outline of theory and problems of electromagnetics. New York: McGraw-Hill Professional. 1995: 225. ISBN 0-07-021234-1.