反正割（英語：arcsecant、記為：
  
    
      
        arcsec
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcsec} }
  
或
  
    
      
        
          sec
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \sec ^{-1}}
  
）是一種反三角函數，對應的三角函數為正割函數，用來計算已知斜邊與鄰邊的比值求出其夾角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數，其輸入值與反餘弦互為倒數。
由於正割函數在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正割是單射也是可逆的，由於限制正割函數的定義域在
  
    
      
        [
        0
        ,
        π
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,\pi ]}
  
（[0, 180°]）时，其值域是全體實數，但在區間
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,1]}
  
不存在。


符號 反正割一般記為
  
    
      
        
          sec
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle \sec ^{-1}z}
  
或
  
    
      
        arcsec
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcsec} z}
  
，以表示正割的反函數。也有以大寫書寫的版本Arcsec z和Sec−1 z一般用於表示多值函數。在符號
  
    
      
        
          sec
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle \sec ^{-1}z}
  
上的上標-1是表示反函數，而不是乘法逆元素。但根據ISO 31-11應將反正切函數記為
  
    
      
        arcsec
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcsec} z}
  
，因為
  
    
      
        
          sec
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \sec ^{-1}}
  
可能會與
  
    
      
        
          
            1
            sec
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\sec }}}
  
混淆，
  
    
      
        
          
            1
            sec
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\sec }}}
  
是餘弦函數。


定義 原始的定義是將正割函數限制在
  
    
      
        [
        0
        ,
        π
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,\pi ]}
  
（[0, 180°]）的反函數
在複變分析中，反正割是這樣定義的：

  
    
      
        arcsec
        ⁡
        x
        =
        −
        
          
            i
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  1
                  x
                
              
            
            +
            
              
                1
                −
                
                  
                    
                      
                        i
                      
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {\mathrm {i} }{x^{2}}}}}\right)\,}
  

這個動作使反正割被推廣到複數。
下圖表示推廣到複數的反正割複數平面函數圖形，可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。


= 直角三角形中 =
在直角三角形中，反正割定義為已知斜邊c與鄰邊b比值對應的
  
    
      
        ∠
        A
      
    
    {\displaystyle \angle A}
  
的大小，也就是：

  
    
      
        
          sec
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            
              H
              y
              p
              o
              t
              e
              n
              u
              s
              e
            
            
              A
              d
              j
              a
              c
              e
              n
              t
            
          
        
        =
        θ
        
        
      
    
    {\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!}
  

		
			
			
		
		
			
			
		

此外在直角三角形中，若已知斜邊為
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
且鄰邊為單位長，
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
代入反正割可求得對應的角的大小：

  
    
      
        
          sec
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        x
        =
        arcsec
        ⁡
        x
        =
        θ
        
        
      
    
    {\displaystyle \sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!}
  

因此，根據畢氏定理可以使反正割利用其他反三角函數表示：

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        arcsec
        ⁡
        x
        )
        =
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              1
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        arcsec
        ⁡
        x
        )
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}}
  

  
    
      
        tan
        ⁡
        (
        arcsec
        ⁡
        x
        )
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}
  


= 直角坐標系中 =
若
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是平面直角坐标系xOy中的一個未知的象限角，
  
    
      
        P
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P\left({x,y}\right)}
  
是角的终边上一点，
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}
  
是P到原点O的距离，若已知
  
    
      
        
          
            r
            x
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {r}{x}}\,\!}
  
，則可利用反正割求得未知的象限角
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
：

  
    
      
        
          sec
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            r
            x
          
        
        =
        arcsec
        ⁡
        
          
            r
            x
          
        
        =
        α
        
        
      
    
    {\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!}
  


= 級數定義 =
反正割函數可以使用無窮級數定義：

  
    
      
        
          
            
              
                arcsec
                ⁡
                z
              
              
                
                

                
                =
                arccos
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      1
                      z
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                [
                
                  z
                  
                    −
                    1
                  
                
                +
                
                  (
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      z
                      
                        −
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                +
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        ⋅
                        3
                      
                      
                        2
                        ⋅
                        4
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      z
                      
                        −
                        5
                      
                    
                    5
                  
                
                +
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        ⋅
                        3
                        ⋅
                        5
                      
                      
                        2
                        ⋅
                        4
                        ⋅
                        6
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      z
                      
                        −
                        7
                      
                    
                    7
                  
                
                +
                ⋯
                ]
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        (
                        2
                        n
                        )
                        !
                      
                      
                        
                          2
                          
                            2
                            n
                          
                        
                        (
                        n
                        !
                        
                          )
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
                
                  
                    
                      z
                      
                        −
                        (
                        2
                        n
                        +
                        1
                        )
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                    
                  
                
                ;
                
                
                  |
                  z
                  |
                
                ≥
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}
  

反正割函數的泰勒展開式為：

  
    
      
        arcsec
        ⁡
        x
        =
        
          
            π
            2
          
        
        −
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              2
              n
              −
              1
              )
              !
              !
            
            
              (
              2
              n
              +
              1
              )
              (
              2
              n
              )
              !
              !
            
          
        
        
          x
          
            −
            2
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          
            π
            2
          
        
        −
        
          
            1
            x
          
        
        −
        
          
            1
            
              6
              
                x
                
                  3
                
              
            
          
        
        −
        
          
            3
            
              40
              
                x
                
                  5
                
              
            
          
        
        −
        
          
            5
            
              112
              
                x
                
                  7
                
              
            
          
        
        −
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots }
  


參見 反餘弦
正割
餘弦


註釋 參考文獻 外部連結 埃里克·韦斯坦因. Inverse Secant. MathWorld. 
埃里克·韦斯坦因. Arcsecant. MathWorld.