在幾何學中，同界角（英語：Coterminal angles）是指兩個有向角（有標示起始邊與終邊的角）有著各自的角度量值（其量值可能相等），且共用同一對起始邊與終邊，即共享相同始邊和終邊的角度，但擁有不同的旋轉量，就稱為同界角。同界角擁有相同的三角函數值，因此三角函數具有周期性。每個角皆有無限多個同界角，其量值可以為負，但必須是一個實數。


性質 每個同界角皆差360度，換句話說，每360度就會出現一個同界角。每個同界角兩邊的向量內積與外積皆有相同的值。此外，任何角都可以找到最小正同界角和最大負同界角。
同界角可以如下定義：

若有兩個角有相同的始邊與終邊，則兩個角互為同界角
若兩角相差360度的整數倍則兩個角互為同界角
同界角存在關係式：

  
    
      
        
          θ
          
            1
          
        
        −
        
          θ
          
            2
          
        
        =
        
          360
          
            ∘
          
        
        k
        ,
        
        k
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=360^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} }
  

亦可寫為：

  
    
      
        
          θ
          
            1
          
        
        −
        
          θ
          
            2
          
        
        =
        2
        k
        π
        ,
        
        k
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=2k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} }
  

或：

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          θ
          
            1
          
        
        −
        sin
        ⁡
        
          θ
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            1
          
        
        −
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}=0}
  


與三角函數關係 從三角函數的诱导公式可以得知同界角的存在，下表指出，任何三角函數，只要位移為
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
，就會得到相同的函數值，因此
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
與
  
    
      
        θ
        +
        2
        π
      
    
    {\displaystyle \theta +2\pi }
  
互為同界角。

另外，從簡單的三角方程中，也可以找到同界角，例如：

考慮方程
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        k
        
        ,
        
        θ
      
    
    {\displaystyle \cos(\theta )=k\,,\,\theta }
  
有無限多組解，其中
  
    
      
        arccos
        ⁡
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \arccos(k)}
  
為一個解且為最小正同界角，其餘解皆與
  
    
      
        arccos
        ⁡
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \arccos(k)}
  
或是-
  
    
      
        arccos
        ⁡
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \arccos(k)}
  
互為同界角。
但是有例外，如正切和餘切，由於其週期不為360度，如正切函數的周期為180度（即
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
），因此相同的函數值未必互為同界角。


最小正同界角與最大負同界角 同界角通常有無窮多個，因此在計算一些角度或三角函數抑或是一些週期函數的解時，會取最接近零的同界角。這類同界角又可以再分成最小正同界角與最大負同界角。其中，最小正同界角恆為正，通常解某些具週期性的方程的主值時，是使用最小正同界角。最小正同界角在0到
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360度）之間的最小正同界角與原始角相同，當原始角為
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360度）或
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360度）的倍數時，最小正同界角為零；最大負同界角恆為負，在
  
    
      
        −
        2
        π
      
    
    {\displaystyle -2\pi }
  
（負360度）到0之間的最大負同界角與原始角相同。


參見 角
角度
三角函數


參考文獻