在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。
通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 越來越大時，數列 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}}
  
 跟 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 極其靠近，則稱 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 是數列 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}}
  
 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於「 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 點附近」這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。


定義 直觀上，於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點，都可以找到一個以此點為圓心，且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤（但圓盤的邊界可能不在開集內）。開集的嚴謹定義由此而來。


= 歐式空間 =
所謂的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
維歐式空間，指的是囊括所有实数n-元組
  
    
      
        (
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          r
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (r_{1},\,\dots ,\,r_{n})}
  
的集合（記為
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
）。 為了定義開集，可以推廣勾股定理，將 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 中任兩點
  
    
      
        x
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})}
  
 與 
  
    
      
        y
        =
        (
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          y
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y=(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})}
  
 的歐式距離定義為：

  
    
      
        
          d
          
            n
          
        
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        
          
            
              ∑
              
                i
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              
                (
                
                  x
                  
                    i
                  
                
                −
                
                  y
                  
                    i
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}}
  

然後定義所謂的（
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
維）開球（open ball）：

  
    
      
        B
        (
        a
        ,
        
        r
        )
        :=
        
          
            {
          
        
        p
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        
        
          
            |
          
        
        
        
          d
          
            n
          
        
        (
        a
        ,
        
        p
        )
        <
        r
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle B(a,\,r):={\bigg \{}p\in \mathbb {R} ^{n}\,{\bigg |}\,d_{n}(a,\,p)<r{\bigg \}}}
  

也就是直觀上，一個以
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
為球心，
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
為半徑但不包含表面的球體。
這樣就可以作如下的定義：

也就是直觀上，取開集 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的任意點 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 都有一個以 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 為球心的開球完全包含於 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 。


= 賦距空间 =
只要把上節的歐式距離改成一般的度量，開集的概念很容易推廣到賦距空间
  
    
      
        (
        M
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (M,d)}
  
中。
以下把
  
    
      
        (
        M
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (M,d)}
  
 中的開球（open ball）定義成：

  
    
      
        B
        (
        a
        ,
        
        δ
        )
        :=
        
          
            {
          
        
        p
        ∈
        M
        
        
          
            |
          
        
        
        d
        (
        a
        ,
        
        p
        )
        <
        δ
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle B(a,\,\delta ):={\bigg \{}p\in M\,{\bigg |}\,d(a,\,p)<\delta {\bigg \}}}
  

這樣就可以作如下的定義：

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離 
  
    
      
        
          d
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{n}}
  
 和
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
本身就組成了一個賦距空間
  
    
      
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        ,
        
          d
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{n})}
  
。
賦距空間的開集還會有以下的性質：

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。


= 拓撲空間 =
開集是拓扑空间定義的基石；也就是從任意母集合 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 出發，再選取 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的特定的子集族 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 ，規定 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 中的集合就是開集，这樣的子集族 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 被叫做 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 上的拓扑：

根據上一節賦距空間的性質，取 
  
    
      
        
          τ
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{d}}
  
 為所有 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 的開集所構成的子集族，則 
  
    
      
        (
        M
        ,
        
        
          τ
          
            d
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (M,\,\tau _{d})}
  
 也是一拓撲空間。


例子 度量空间
  
    
      
        (
        X
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (X,d)}
  
中，以点
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
为中心，
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
为半径的球体
  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        ε
        )
      
    
    {\displaystyle B(x,\varepsilon )}
  
为开集，任意的开集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
包含以
  
    
      
        x
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x\in A}
  
为中心，充分小的
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
为半径的球体
  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        ε
        )
      
    
    {\displaystyle B(x,\varepsilon )}
  
。
流形中的开集为子流形。


用处 开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。
拓扑空间
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的每個子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的内部。它可以通过取包含在
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
中的所有开集的并集来构造。
给定拓扑空间
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
和
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
以及函数
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow Y}
  
，如果在
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
中的所有开集的前像是在
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
中的开集，則
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是连续的，這是實函數上的連續定義的推廣，
  
    
      
        X
        =
        Y
        =
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }
  
時這與實函數的連續定義等價。如果在
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
中的所有开集的像是
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
中的开集，映射
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
被叫做开映射。
实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。


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度量空间
闭集
闭开集


注释