n维球面是普通的球面在任意维度的推广。它是(n + 1)维空间内的n维流形。特别地，0维球面就是直线上的两个点，1维球面是平面上的圆，2维球面是三维空间内的普通球面。高于2维的球面有时称为超球面。中心位于原点且半径为单位长度的n维球面称为单位n维球面，记为Sn。用符号来表示，就是：

  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          {
          
            x
            ∈
            
              
                R
              
              
                n
                +
                1
              
            
            :
            ‖
            x
            ‖
            =
            1
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=1\right\}.}
  

n维球面是(n + 1)维球体的表面或边界，是n维流形的一种。对于n ≥ 2，n维球面是单连通的n维流形，其曲率为正的常数。


描述 对于任何自然数n，半径为r的n维球面定义为(n + 1)维欧几里得空间中到某个定点的距离等于常数r的所有点的集合，其中r可以是任何正的实数。它是(n + 1)维空间内的n维流形。特别地：

0维球面是直线上的两个点{p − r, p + r}；
1维球面是平面上的圆；
2维球面是三维空间内的普通球面；
3维球面是四维空间内的球面。


= (n + 1)维空间中的欧几里得坐标 =
(n + 1)维空间中的点(x1, x2, ..., xn+1)定义了一个n维球面（Sn(r)），由以下方程表示：

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
            +
            1
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        −
        
          C
          
            i
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-C_{i})^{2}.\,}
  

其中C是中心点，r是半径。
以上的n维球面在(n + 1)维空间中存在，是n维流形的一个例子。半径为
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
的n维球面的体积形式ω由下式给出：

  
    
      
        ω
        =
        
          
            1
            r
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
            +
            1
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            j
            −
            1
          
        
        
          x
          
            j
          
        
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        d
        
          x
          
            j
            −
            1
          
        
        ∧
        d
        
          x
          
            j
            +
            1
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        d
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        ∗
        d
        r
      
    
    {\displaystyle \omega ={1 \over r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr}
  

其中*是霍奇星算子（关于讨论和这个公式在r = 1的情形下的证明，请参见Flanders (1989，§6.1)）。因此，

  
    
      
        d
        r
        ∧
        ω
        =
        d
        
          x
          
            1
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        d
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}
  


= n维球体 =
由n维球面所包围的体积，称为(n + 1)维球体。如果把球体的表面包括在内，则(n + 1)维球体是封闭的，否则是开放的。
特别地：

1维球体，是一个线段，是0维球面的内部。
2维球体，是一个圆盘，是圆（1维球面）的内部。
3维球体，是一个普通的球体，是球面（2维球面）的内部。
4维球体，是3维球面的内部。


n维球体的体积 (
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n-1)}
  
维球面所包围的体积（
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维球体的体积）由以下公式给出：

  
    
      
        
          V
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                π
                
                  
                    n
                    2
                  
                
              
              
                R
                
                  n
                
              
            
            
              Γ
              (
              
                
                  n
                  2
                
              
              +
              1
              )
            
          
        
        =
        
          
            C
            
              n
            
          
          
            R
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}={C_{n}R^{n}}}
  
,
其中
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
是伽玛函数。对于偶数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，
  
    
      
        Γ
        
          (
          
            
              
                n
                2
              
            
            +
            1
          
          )
        
        =
        
          (
          
            
              n
              2
            
          
          )
        
        !
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)=\left({\frac {n}{2}}\right)!}
  
；对于奇数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，
  
    
      
        Γ
        
          (
          
            
              
                n
                2
              
            
            +
            1
          
          )
        
        =
        
          
            π
          
        
        
          
            
              n
              !
              !
            
            
              2
              
                (
                n
                +
                1
                )
                
                  /
                
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}
  
，其中
  
    
      
        n
        !
        !
      
    
    {\displaystyle n!!}
  
表示双阶乘。
由此可以推出，对于给定的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，常数
  
    
      
        
          C
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{n}}
  
的值为：

  
    
      
        
          C
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                k
              
            
            
              k
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{n}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}}
  
（对于偶数n=2k），

  
    
      
        
          C
          
            n
          
        
        =
        
          C
          
            2
            k
            +
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                2
                
                  2
                  k
                  +
                  1
                
              
              k
              !
              
              
                π
                
                  k
                
              
            
            
              (
              2
              k
              +
              1
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{n}=C_{2k+1}={\frac {2^{2k+1}k!\,\pi ^{k}}{(2k+1)!}}}
  
（对于奇数n=2k+1）。
这个(n-1)维球面的表面积是：

  
    
      
        
          S
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                V
                
                  n
                
              
            
            
              d
              R
            
          
        
        =
        
          
            
              n
              
                V
                
                  n
                
              
            
            R
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                π
                
                  
                    n
                    2
                  
                
              
              
                R
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
            
              Γ
              (
              
                
                  n
                  2
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          n
          
            C
            
              n
            
          
          
            R
            
              n
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n-1}={\frac {dV_{n}}{dR}}={\frac {nV_{n}}{R}}={2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1} \over \Gamma ({\frac {n}{2}})}={nC_{n}R^{n-1}}}
  

n维球面的表面积和体积之间有以下的关系：

  
    
      
        
          V
          
            n
          
        
        
          /
        
        
          S
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        R
        
          /
        
        n
        
      
    
    {\displaystyle V_{n}/S_{n-1}=R/n\,}
  

  
    
      
        
          S
          
            n
            +
            1
          
        
        
          /
        
        
          V
          
            n
          
        
        =
        2
        π
        R
        
      
    
    {\displaystyle S_{n+1}/V_{n}=2\pi R\,}
  

从此可以推导出递推关系：

  
    
      
        
          V
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
              
                R
                
                  2
                
              
            
            n
          
        
        
          V
          
            n
            −
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}\,}
  

这些公式也可以直接从n维球坐标系中的积分推出(Stewart 2006，第881頁)。


= 例子 =
对于较小的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，半径为
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维球体体积
  
    
      
        
          V
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{n}}
  
为如下：

但当 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 趋于无穷大时，
  
    
      
        
          
            
              V
              
                n
              
            
            
              R
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {V_{n}}{R^{n}}}}
  
 趋于0。
如果维度n不限于整数，那么n维球面的体积就是n的连续函数，它的极大值位于n = 5.2569464...，体积为5.277768...。当n = 0或n = 12.76405...时，体积为1。
单位n维球面的外切超正方体的边长为2，因此体积为2n；当维度增加时，n维球面的体积与外切于它的超正方体的体积之比单调减少。


超球坐标系 我们可以定义n维空间内的坐标系统，与3维空间内的球坐标系类似，由径向坐标
  
    
      
         
        r
      
    
    {\displaystyle \ r}
  
和
  
    
      
         
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \ n-1}
  
个角度坐标
  
    
      
         
        
          ϕ
          
            1
          
        
        ,
        
          ϕ
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          ϕ
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \ \phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}}
  
组成。如果
  
    
      
         
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \ x_{i}}
  
是笛卡儿坐标系，那么我们可以定义：

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        r
        cos
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=r\cos(\phi _{1})\,}
  

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        r
        sin
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        )
        cos
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            2
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\,}
  

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        r
        sin
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        )
        sin
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            2
          
        
        )
        cos
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            3
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle x_{3}=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\,}
  

  
    
      
        ⋯
        
      
    
    {\displaystyle \cdots \,}
  

  
    
      
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        r
        sin
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        )
        ⋯
        sin
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            n
            −
            2
          
        
        )
        cos
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle x_{n-1}=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\,}
  

  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
         
         
        
        =
        r
        sin
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        )
        ⋯
        sin
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            n
            −
            2
          
        
        )
        sin
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}~~\,=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\,}
  

从中可以推出逆变换的公式：

  
    
      
        tan
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        =
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              x
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan(\phi _{n-1})={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}}
  

  
    
      
        tan
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            n
            −
            2
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    x
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
            
              x
              
                n
                −
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan(\phi _{n-2})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}}
  

  
    
      
        ⋯
        
      
    
    {\displaystyle \cdots \,}
  

  
    
      
        tan
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    x
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
            
              x
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan(\phi _{1})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}}
  

注意最后一个角
  
    
      
        
          ϕ
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{n-1}}
  
的值域为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
，而其它角的值域为
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
。这个值域覆盖了整个球面。
n维空间内的体积元素可以从变换的雅可比行列式得出：

  
    
      
        
          d
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        V
        =
        
          |
          
            det
            
              
                
                  ∂
                  (
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                  )
                
                
                  ∂
                  (
                  r
                  ,
                  
                    ϕ
                    
                      j
                    
                  
                  )
                
              
            
          
          |
        
        d
        r
        
        d
        
          ϕ
          
            1
          
        
        
        d
        
          ϕ
          
            2
          
        
        …
        d
        
          ϕ
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{\mathbb {R} ^{n}}V=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}
  

  
    
      
        =
        
          r
          
            n
            −
            1
          
        
        
          sin
          
            n
            −
            2
          
        
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        )
        
          sin
          
            n
            −
            3
          
        
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            2
          
        
        )
        ⋯
        sin
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            n
            −
            2
          
        
        )
        
        d
        r
        
        d
        
          ϕ
          
            1
          
        
        
        d
        
          ϕ
          
            2
          
        
        ⋯
        d
        
          ϕ
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle =r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}}
  

以上n维球体的体积方程可以通过积分来重新得出：

  
    
      
        
          V
          
            n
          
        
        =
        
          ∫
          
            r
            =
            0
          
          
            R
          
        
        
          ∫
          
            
              ϕ
              
                1
              
            
            =
            0
          
          
            π
          
        
        ⋯
        
          ∫
          
            
              ϕ
              
                n
                −
                2
              
            
            =
            0
          
          
            π
          
        
        
          ∫
          
            
              ϕ
              
                n
                −
                1
              
            
            =
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          d
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        V
        .
        
      
    
    {\displaystyle V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V.\,}
  

(n-1)–维球面的体积元素是2维球面的面积元素的推广，由以下公式给出：

  
    
      
        
          d
          
            
              S
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        V
        =
        
          sin
          
            n
            −
            2
          
        
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        )
        
          sin
          
            n
            −
            3
          
        
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            2
          
        
        )
        ⋯
        sin
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            n
            −
            2
          
        
        )
        
        d
        
          ϕ
          
            1
          
        
        
        d
        
          ϕ
          
            2
          
        
        …
        d
        
          ϕ
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{S^{n-1}}V=\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}
  


球极平面投影 就像三维空间中的二维球面可以通过球极平面投影映射到二维平面上一样，一个n维球面也可以通过球极平面投影的n维形式映射到n维超平面。例如，半径为1的二维球面上的点
  
    
      
         
        [
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ]
      
    
    {\displaystyle \ [x,y,z]}
  
映射到
  
    
      
         
        x
        y
      
    
    {\displaystyle \ xy}
  
平面上的点
  
    
      
         
        [
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ]
        ↦
        
          [
          
            
              
                x
                
                  1
                  −
                  z
                
              
            
            ,
            
              
                y
                
                  1
                  −
                  z
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right]}
  
。也就是说：

  
    
      
         
        [
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ]
        ↦
        
          [
          
            
              
                x
                
                  1
                  −
                  z
                
              
            
            ,
            
              
                y
                
                  1
                  −
                  z
                
              
            
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}
  

类似地，半径为1的n维球面
  
    
      
        
          
            S
          
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {S} ^{n-1}}
  
的球极平面投影映射到垂直于
  
    
      
         
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ x_{n}}
  
轴的n-1维超平面
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{n-1}}
  
：

  
    
      
        [
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ]
        ↦
        
          [
          
            
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                
                  1
                  −
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  1
                  −
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ,
            …
            ,
            
              
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                
                  1
                  −
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}
  


参见 共形几何
同调球面
球的同伦群
同伦球
双曲群
超正方体
反演几何
正交群
莫比乌斯变换


参考文献 Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York: Dover Publications, 1989, ISBN 978-0-486-66169-8 .
Moura, Eduarda; Henderson, David G., Experiencing geometry: on plane and sphere, Prentice Hall, 1996  [2008-09-13], ISBN 978-0-13-373770-7, （原始内容存档于2008-07-04） （第20章：3-spheres and hyperbolic 3-spaces）
Weeks, Jeffrey R., The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds, Marcel Dekker, 1985, ISBN 978-0-8247-7437-0 （第14章：The Hypersphere）
Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.
Stewart, James, Calculus: Concepts and Contexts 3rd, Thomson/Brooks/Cole, 2006 .


外部链接 埃里克·韦斯坦因. 超球面. MathWorld. 
科学空间：求n维球的体积（页面存档备份，存于互联网档案馆）