柯西函數方程是以下的函數方程：

  
    
      
        f
        (
        x
        +
        y
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        +
        f
        (
        y
        )
         
      
    
    {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\ }
  

此方程的解被稱為加性函數。


方程的解 在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        c
        x
         
      
    
    {\displaystyle f(x)=cx\ }
  
，其中
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
任意給定的有理數。
在實數中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如：

若 f 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化，證明 f 只需要在一點連續。
若 f 在任一個區間上是單調的
若 f 在任一個區間上是有界的
另一方面，如果函數 f 沒有其他限制條件，那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由喬治·哈梅爾使用基的概念證明。
希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。
存在實數
  
    
      
        c
         
      
    
    {\displaystyle c\ }
  
使得
  
    
      
        f
        (
        c
        x
        )
        =
        c
        f
        (
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle f(cx)\neq cf(x)\ }
  
的解稱為柯西─哈默方程（英語：Cauchy-Hamel function(s)）。在希爾伯特的第三個問題中，往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（英語：Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。


在有理數集下的證明 先設
  
    
      
        y
        =
        0
         
      
    
    {\displaystyle y=0\ }
  
，得到：

  
    
      
        f
        (
        x
        +
        0
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        +
        f
        (
        0
        )
         
      
    
    {\displaystyle f(x+0)=f(x)+f(0)\ }
  

  
    
      
        f
        (
        0
        )
        =
        0
         
      
    
    {\displaystyle f(0)=0\ }
  

再設
  
    
      
        y
        =
        −
        x
         
      
    
    {\displaystyle y=-x\ }
  
：

  
    
      
        f
        (
        x
        −
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        +
        f
        (
        −
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle f(x-x)=f(x)+f(-x)\ }
  

  
    
      
        f
        (
        −
        x
        )
        =
        −
        f
        (
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle f(-x)=-f(x)\ }
  

反覆設
  
    
      
        y
        =
        x
         
      
    
    {\displaystyle y=x\ }
  
、
  
    
      
        y
        =
        2
        x
         
      
    
    {\displaystyle y=2x\ }
  
、...、
  
    
      
        y
        =
        x
        +
        x
        +
        ⋯
        +
        x
      
    
    {\displaystyle y=x+x+\cdots +x}
  
，可以得到

  
    
      
        f
        (
        m
        x
        )
        =
        m
        f
        (
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle f(mx)=mf(x)\ }
  
...(1)
設
  
    
      
        x
        =
        
          
            y
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {y}{n}}}
  
並代入(1)式得到：

  
    
      
        f
        
          (
          
            
              y
              n
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            n
          
        
        f
        (
        y
        )
         
      
    
    {\displaystyle f\left({\frac {y}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(y)\ }
  

或者
  
    
      
        f
        
          (
          
            
              x
              n
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            n
          
        
        f
        (
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(x)\ }
  
...(2)
對於任意有理數
  
    
      
        
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {m}{n}}}
  
，設
  
    
      
        y
        =
        
          
            m
            n
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle y={\frac {m}{n}}x}
  
，根據(1)、(2)兩式可知：

  
    
      
        f
        
          (
          
            
              
                m
                n
              
            
            x
          
          )
        
        =
        
          
            m
            n
          
        
        f
        (
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle f\left({\frac {m}{n}}x\right)={\frac {m}{n}}f(x)\ }
  

上式又可改寫為

  
    
      
        f
        
          (
          
            α
            q
          
          )
        
        =
        q
        f
        (
        α
        )
        
        ∀
        q
        ∈
        
          Q
        
        ,
        α
        ∈
        
          R
        
         
      
    
    {\displaystyle f\left(\alpha q\right)=qf(\alpha )\qquad \forall q\in \mathbb {Q} ,\alpha \in \mathbb {R} \ }
  

令
  
    
      
        α
        =
        1
         
      
    
    {\displaystyle \alpha =1\ }
  
就可以得到在有理數下的唯一解。


其他解的性質 以下的證明將顯示（若存在）線性函數以外的解，該解是相當病態的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle y=f(x)\ }
  
在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。
不失一般性，假設解f滿足
  
    
      
        f
        (
        q
        )
        =
        q
        ,
        ∀
        q
        ∈
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle f(q)=q,\forall q\in \mathbb {Q} }
  
，且能找到實數
  
    
      
        α
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
  
滿足
  
    
      
        f
        (
        α
        )
        =
        α
      
    
    {\displaystyle f(\alpha )\neq \alpha }
  
，同時設
  
    
      
        f
        (
        α
        )
        =
        α
        +
        δ
        ,
        δ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0}
  

任意給定一個圓，其內部必能找到一個小圓以點
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
為圓心，其中滿足
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        
          Q
        
        ,
        x
        =
        y
      
    
    {\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} ,x\neq y}
  
。令實數
  
    
      
        r
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r>0}
  
為半徑的
  
    
      
        
          
            2
            
              5
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{\sqrt[{}]{5}}}}
  
倍，即半徑為
  
    
      
        
          
            
              
                
                  5
                  

                  
                
              
              r
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\sqrt[{}]{5}}r}{2}}}
  
。
令
  
    
      
        β
        =
        
          
            
              y
              −
              x
            
            δ
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ={\frac {y-x}{\delta }}}
  
，存在一個有理數
  
    
      
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  
滿足：

  
    
      
        
          |
          
            β
            −
            b
          
          |
        
        <
        
          
            r
            
              2
              
                |
                δ
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}}
  

類似地，存在一個有理數
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
使得：

  
    
      
        
          |
          
            α
            −
            a
          
          |
        
        <
        
          
            r
            
              2
              
                |
                b
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}}
  

設實數X,Y滿足：

  
    
      
        X
        =
        x
        +
        b
        (
        α
        −
        a
        )
         
      
    
    {\displaystyle X=x+b(\alpha -a)\ }
  

  
    
      
        Y
        =
        f
        (
        X
        )
         
      
    
    {\displaystyle Y=f(X)\ }
  

從原方程和以上的關係式可以得知：

  
    
      
        Y
        =
        f
        (
        x
        +
        b
        (
        α
        −
        a
        )
        )
         
      
    
    {\displaystyle Y=f(x+b(\alpha -a))\ }
  

  
    
      
        =
        f
        (
        x
        )
        +
        f
        (
        b
        α
        )
        −
        f
        (
        b
        a
        )
         
      
    
    {\displaystyle =f(x)+f(b\alpha )-f(ba)\ }
  

  
    
      
        =
        x
        +
        b
        f
        (
        α
        )
        −
        b
        f
        (
        a
        )
         
      
    
    {\displaystyle =x+bf(\alpha )-bf(a)\ }
  

  
    
      
        =
        (
        y
        −
        δ
        β
        )
        +
        b
        (
        α
        +
        δ
        )
        −
        b
        a
         
      
    
    {\displaystyle =(y-\delta \beta )+b(\alpha +\delta )-ba\ }
  

  
    
      
        =
        y
        +
        b
        (
        α
        −
        a
        )
        −
        δ
        (
        β
        −
        b
        )
         
      
    
    {\displaystyle =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\ }
  

由以上關係式可知
  
    
      
        
          |
          
            X
            −
            x
          
          |
        
        <
        
          
            r
            2
          
        
        ,
        
          |
          
            Y
            −
            y
          
          |
        
        <
        r
      
    
    {\displaystyle \left|X-x\right|<{\frac {r}{2}},\left|Y-y\right|<r}
  

∴
  
    
      
        (
        X
        ,
        Y
        )
         
      
    
    {\displaystyle (X,Y)\ }
  
在指定的小圓內，
於是
  
    
      
        (
        X
        ,
        Y
        )
         
      
    
    {\displaystyle (X,Y)\ }
  
在原本較大的圓內；
即在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
中任意給定的圓內皆包含
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle y=f(x)\ }
  
圖形的一點；
即
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle y=f(x)\ }
  
的圖形在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
中稠密，得證。
另一方法：如f 不是线性函数，存在
  
    
      
        U
        =
        (
        u
        ,
        f
        (
        u
        )
        )
        ,
        V
        =
        (
        v
        ,
        f
        (
        v
        )
        )
      
    
    {\displaystyle U=(u,f(u)),V=(v,f(v))}
  
在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
独立。任取
  
    
      
        X
        ∈
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{2}}
  
, 
  
    
      
        X
        =
        α
        U
        +
        β
        V
      
    
    {\displaystyle X=\alpha U+\beta V}
  
, 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
和
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
是有理数序列的极限, 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
是f 的图形的聚点。


其他解的形式與證明 與有理數的情形使用相同的方式，可以證明線性解的證明在任意的集合
  
    
      
        α
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \alpha \mathbb {Q} }
  
上也成立，其中
  
    
      
        α
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
  
（表示所有有理數乘上
  
    
      
        α
         
      
    
    {\displaystyle \alpha \ }
  
的積的集合，以下亦同）
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造，而且是以選擇公理為基礎得到的。
在承認選擇公理的前提下，在
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
上存在一個
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
的基底，也就是這樣的集合：

  
    
      
        A
        ⊂
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle A\subset \mathbb {R} }
  
，使得對於任何實數
  
    
      
        x
         
      
    
    {\displaystyle x\ }
  
，存在唯一的有限集合

  
    
      
        
          {
          
            
              a
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              a
              
                n
              
            
          
          }
        
        ⊂
        A
      
    
    {\displaystyle \left\{a_{1},\dots ,a_{n}\right\}\subset A}
  

以及唯一對應的 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 個有理數
  
    
      
        
          {
          
            
              λ
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              λ
              
                n
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right\}}
  
，滿足：

  
    
      
        x
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            λ
            
              i
            
          
          
            a
            
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}
  

設想函數方程在實數集的子集
  
    
      
        x
        
          Q
        
        ,
        x
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x\mathbb {Q} ,x\in A}
  
上成立，即滿足
  
    
      
        f
        (
        y
        )
        =
        g
        (
        x
        )
        
        y
      
    
    {\displaystyle f(y)=g(x)\,y}
  
，其中 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 是 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的有理數倍。
運用前面推導的結論，得到對任意實數滿足方程的函數：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          g
          (
          
            a
            
              i
            
          
          )
          
            λ
            
              i
            
          
          
            a
            
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}{g(a_{i})\lambda _{i}a_{i}}}
  

對於所有
  
    
      
        g
        :
        A
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle g:A\rightarrow \mathbb {R} }
  
，以上
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 是函數方程的解。其中
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 為線性的充要條件是 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
是常數函數。


參考資料 外部連結 羅格斯大學 （页面存档备份，存于互联网档案馆）網站上的解法（英文）
The Hunt for Addi(c)tive Monster （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）