拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、熱力學和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写电場、引力場和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。


定義 三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：
使用笛卡尔坐标，

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0}
  
。
使用柱坐标，

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            r
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            r
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0}
  

使用球面坐标，

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            
              ρ
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              ρ
            
          
        
        
          (
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  ρ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                ρ
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                ρ
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                φ
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho ^{2}{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0}
  
。
使用曲线坐标，

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                ξ
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    ξ
                    
                      k
                    
                  
                
              
            
            
              g
              
                k
                i
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                ξ
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          g
          
            j
            m
          
        
        
          Γ
          
            m
            n
          
          
            n
          
        
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{ki}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,}
  

或 

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            
              
                |
              
              g
              
                |
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                ξ
                
                  i
                
              
            
          
        
        
        
          (
          
            
              
                
                  |
                
                g
                
                  |
                
              
            
            
              g
              
                i
                j
              
            
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    ξ
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        0
        ,
        
        (
        g
        =
        
          d
          e
          t
        
        {
        
          g
          
            i
            j
          
        
        }
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\mathrm {det} \{g_{ij}\})}
  
。
這組方程又经常写為

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        φ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0}
  

或者

  
    
      
        div
        
        grad
        
        φ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\varphi =0}
  
；
其中，div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场）。
這方程又可写為

  
    
      
        Δ
        φ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta \varphi =0}
  
；
其中，Δ称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即

  
    
      
        Δ
        φ
        =
        f
      
    
    {\displaystyle \Delta \varphi =f}
  
，
则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型微分方程。偏微分算子
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}}
  
或
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  
（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子。


边界条件 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
内定义的函数
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
，使得
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
在
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
边界处的温度函数φ本身，而是φ沿
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数的任意线性组合同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理將各種通解線性组合起来，以滿足所有邊界條件。


二维拉普拉斯方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              ψ
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              ψ
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        ≡
        
          ψ
          
            x
            x
          
        
        +
        
          ψ
          
            y
            y
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.}
  


= 解析函数 =
解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若 z = x + iy，并且

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        u
        (
        x
        ,
        y
        )
        +
        i
        v
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}
  
，
那么 f(z) 是解析函数的充要条件是 u(x,y)，v(x,y) 可微，且满足下列柯西-黎曼方程：

  
    
      
        
          u
          
            x
          
        
        =
        
          v
          
            y
          
        
        ,
        
        
          v
          
            x
          
        
        =
        −
        
          u
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}}
  
。
上述方程继续求导就得到

  
    
      
        
          u
          
            y
            y
          
        
        =
        (
        −
        
          v
          
            x
          
        
        
          )
          
            y
          
        
        =
        −
        (
        
          v
          
            y
          
        
        
          )
          
            x
          
        
        =
        −
        (
        
          u
          
            x
          
        
        
          )
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}}
  
。
所以 u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得 v 同样满足拉普拉斯方程。
反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z) 的实部确定的调和函数，若写成下列形式：

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        φ
        (
        x
        ,
        y
        )
        +
        i
        ψ
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y)}
  
，
则等式

  
    
      
        
          ψ
          
            x
          
        
        =
        −
        
          φ
          
            y
          
        
        ,
        
        
          ψ
          
            y
          
        
        =
        
          φ
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}}
  
。
成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：

  
    
      
        d
        ψ
        =
        −
        
          φ
          
            y
          
        
        
        d
        x
        +
        
          φ
          
            x
          
        
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy}
  
。
φ 满足拉普拉斯方程意味着 ψ 满足可积条件：

  
    
      
        
          ψ
          
            x
            y
          
        
        =
        
          ψ
          
            y
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx}}
  
。
所以可以通过一个线积分来定义 ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了 φ 和 ψ 这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数 f(z)） 的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有 f(z) 的奇点。譬如，在极坐标平面 (r,θ) 上定义函数

  
    
      
        φ
        =
        log
        ⁡
        r
      
    
    {\displaystyle \varphi =\log r}
  
，
那么相应的解析函数为

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        log
        ⁡
        z
        =
        log
        ⁡
        r
        +
        i
        θ
      
    
    {\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta }
  
。
在这里需要注意的是，极角 θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。
拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。
幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数 f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          z
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}
  
，
将每一项系数适当地分离出实部和虚部

  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
        +
        i
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}}
  
。
那么

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          [
          
            
              a
              
                n
              
            
            
              r
              
                n
              
            
            cos
            ⁡
            n
            θ
            −
            
              b
              
                n
              
            
            
              r
              
                n
              
            
            sin
            ⁡
            n
            θ
          
          ]
        
        +
        i
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          [
          
            
              a
              
                n
              
            
            
              r
              
                n
              
            
            sin
            ⁡
            n
            θ
            +
            
              b
              
                n
              
            
            
              r
              
                n
              
            
            cos
            ⁡
            n
            θ
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right]}
  
，
这便是 f 的傅里叶级数。这些三角函数自身也可以用倍角公式展开。


= 流體動力學 =
设 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
、
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 和 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：

  
    
      
        
          u
          
            x
          
        
        +
        
          v
          
            y
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle u_{x}+v_{y}=0}
  
，
无旋条件为：

  
    
      
        
          v
          
            x
          
        
        −
        
          u
          
            y
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle v_{x}-u_{y}=0}
  
。
若定义一个标量函数 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
，使其微分满足：

  
    
      
        d
        ψ
        =
        −
        v
        
        d
        x
        +
        u
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle d\psi =-v\,dx+u\,dy}
  
，
那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 的一阶偏导为：

  
    
      
        
          ψ
          
            x
          
        
        =
        −
        v
        ,
        
        
          ψ
          
            y
          
        
        =
        u
      
    
    {\displaystyle \psi _{x}=-v,\quad \psi _{y}=u}
  
，
无旋条件即令 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 满足拉普拉斯方程。
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 的共轭调和函数 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 称为速度势。柯西-黎曼方程要求

  
    
      
        
          φ
          
            x
          
        
        =
        u
        ,
        
        
          φ
          
            y
          
        
        =
        v
      
    
    {\displaystyle \varphi _{x}=u,\quad \varphi _{y}=v}
  
。
所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。


= 靜電學 =
根据麦克斯韦方程组，二维空间中不随时间变化的电场 (u,v) 满足：

  
    
      
        ∇
        ×
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        
          v
          
            x
          
        
        −
        
          u
          
            y
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \times (u,v)=v_{x}-u_{y}=0}
  
，
和

  
    
      
        ∇
        ⋅
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        ρ
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot (u,v)=\rho }
  
，
其中 ρ 为电荷密度。第一个麦克斯韦方程便是下列微分式的可积条件：

  
    
      
        d
        φ
        =
        −
        u
        
        d
        x
        −
        v
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle d\varphi =-u\,dx-v\,dy}
  
，
所以可以构造电势函数 φ 使其满足

  
    
      
        
          φ
          
            x
          
        
        =
        −
        u
        ,
        
        
          φ
          
            y
          
        
        =
        −
        v
      
    
    {\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v}
  
。
第二个麦克斯韦方程即：

  
    
      
        
          φ
          
            x
            x
          
        
        +
        
          φ
          
            y
            y
          
        
        =
        −
        ρ
      
    
    {\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho }
  
，
这是一个泊松方程，当空间不包含自由电荷时，方程等号右边变为0，方程变为拉普拉斯方程。


三维拉普拉斯方程 = 基本解 =
拉普拉斯方程的基本解满足

  
    
      
        ∇
        ⋅
        ∇
        u
        =
        
          u
          
            x
            x
          
        
        +
        
          u
          
            y
            y
          
        
        +
        
          u
          
            z
            z
          
        
        =
        −
        δ
        (
        x
        −
        
          x
          ′
        
        ,
        y
        −
        
          y
          ′
        
        ,
        z
        −
        
          z
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x',y-y',z-z')}
  
，
其中的三维δ函数代表位于
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
        
          y
          ′
        
        ,
        
        
          z
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x',\,y',\,z')}
  
的一个点源。
由基本解的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么

  
    
      
        
          ∭
          
            V
          
        
        ∇
        ⋅
        ∇
        u
        d
        V
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \nabla udV=-1}
  
。
由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理

  
    
      
        −
        1
        =
        
          ∭
          
            V
          
        
        ∇
        ⋅
        ∇
        u
        
        d
        V
        =
        
          ∬
          
            S
          
        
        
          u
          
            r
          
        
        d
        S
        =
        4
        π
        
          a
          
            2
          
        
        
          u
          
            r
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle -1=\iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=\iint _{S}u_{r}dS=4\pi a^{2}u_{r}(a)}
  
。
求得在以点源为中心，半径为r的球面上有

  
    
      
        
          u
          
            r
          
        
        (
        r
        )
        =
        −
        
          
            1
            
              4
              π
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{r}(r)=-{\frac {1}{4\pi r^{2}}}}
  
，
所以

  
    
      
        u
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {1}{4\pi r}}}
  
。
经过类似的推导同样可求得二维形式的解

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              −
              ln
              ⁡
              r
            
            
              2
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {-\ln r}{2\pi }}}
  
。


= 格林函数 =
格林函数是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。譬如，
  
    
      
        G
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ;
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle G(x,y,z;x',y',z')\,}
  
可以满足

  
    
      
        ∇
        ⋅
        ∇
        G
        =
        −
        δ
        (
        x
        −
        
          x
          ′
        
        ,
        y
        −
        
          y
          ′
        
        ,
        z
        −
        
          z
          ′
        
        )
        
        
          
            in
          
        
        
        V
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \nabla G=-\delta (x-x',y-y',z-z')\quad {\hbox{in}}\quad V}
  
，

  
    
      
        G
        =
        0
        
        
          
            if
          
        
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        
        
          
            on
          
        
        
        S
      
    
    {\displaystyle G=0\quad {\hbox{if}}\quad (x,y,z)\quad {\hbox{on}}\quad S}
  
。
现设u为在V内满足泊松方程的任意解：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        ∇
        u
        =
        −
        f
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=-f}
  
，
且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用格林定理（是高斯散度定理的一个推论），得到

  
    
      
        
          ∭
          
            V
          
        
        
          [
          
            G
            
            ∇
            ⋅
            ∇
            u
            −
            u
            
            ∇
            ⋅
            ∇
            G
          
          ]
        
        
        d
        V
        =
        
          ∭
          
            V
          
        
        ∇
        ⋅
        
          [
          
            G
            ∇
            u
            −
            u
            ∇
            G
          
          ]
        
        
        d
        V
        =
        
          ∬
          
            S
          
        
        
          [
          
            G
            
              u
              
                n
              
            
            −
            u
            
              G
              
                n
              
            
          
          ]
        
        
        d
        S
      
    
    {\displaystyle \iiint _{V}\left[G\,\nabla \cdot \nabla u-u\,\nabla \cdot \nabla G\right]\,dV=\iiint _{V}\nabla \cdot \left[G\nabla u-u\nabla G\right]\,dV=\iint _{S}\left[Gu_{n}-uG_{n}\right]\,dS}
  
。
un和Gn分别代表两个函数在边界S上的法向导数。考虑到u和G满足的条件，可将這滿足狄利克雷边界条件的公式化简为

  
    
      
        u
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
        =
        
          ∭
          
            V
          
        
        G
        f
        
        d
        V
        −
        
          ∬
          
            S
          
        
        
          G
          
            n
          
        
        g
        
        d
        S
      
    
    {\displaystyle u(x',y',z')=\iiint _{V}Gf\,dV-\iint _{S}G_{n}g\,dS}
  
。
所以格林函数描述了量f和g对
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y',z')}
  
点函数值的影响。


= 圓球殼案例 =
格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得：距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P' 距球心

  
    
      
        
          ρ
          ′
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho '={\frac {a^{2}}{\rho }}}
  
。
需要注意的是，如果P在球内，那么P'将在球外。于是可得格林函数为

  
    
      
        G
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              R
            
          
        
        −
        
          
            a
            
              4
              π
              ρ
              
                R
                ′
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G={\frac {1}{4\pi R}}-{\frac {a}{4\pi \rho R'}}}
  
；
其中，R表示距源点P的距离，R' 表示距镜像点P' 的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为：

  
    
      
        u
        (
        P
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          a
          
            3
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  ρ
                  
                    2
                  
                
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        ∬
        
          
            
              g
              (
              
                θ
                ′
              
              ,
              
                φ
                ′
              
              )
              sin
              ⁡
              
                θ
                ′
              
              
              d
              
                θ
                ′
              
              
              d
              
                φ
                ′
              
            
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                ρ
                
                  2
                
              
              −
              2
              a
              ρ
              cos
              ⁡
              Θ
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u(P)={\frac {1}{4\pi }}a^{3}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}\right)\iint {\frac {g(\theta ',\varphi ')\sin \theta '\,d\theta '\,d\varphi '}{(a^{2}+\rho ^{2}-2a\rho \cos \Theta )^{3/2}}}}
  
；
其中，
  
    
      
        cos
        ⁡
        Θ
        =
        cos
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        
          θ
          ′
        
        +
        sin
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        
          θ
          ′
        
        cos
        ⁡
        (
        θ
        −
        
          θ
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \cos \Theta =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\theta -\theta ')}
  
。
这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。


参见 球面调和函数
势流理论
電势


参考文献 严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，ISBN 978-7-312-00799-6/O•177
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 978-0-8218-0772-9
I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 978-1-58488-299-2
A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, 1949.
Pijush K.Kundu, Fluid Mechanics, Academic Press, 2002.


外部链接