在電磁學裏，電位移（英語：electric displacement field）是出現於馬克士威方程組的一種向量場，可以用來解釋介電質內自由電荷所產生的效應。電位移
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
以方程式定義為

  
    
      
        
          D
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          ε
          
            0
          
        
        
          E
        
        +
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }
  
；
其中，
  
    
      
        
          ε
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{0}}
  
是電常數，
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
是電場，
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
是電極化強度。


概述 高斯定律表明，電場的散度等於總電荷密度
  
    
      
        
          ρ
          
            t
            o
            t
            a
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{total}}
  
除以電常數：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          E
        
        =
        
          ρ
          
            t
            o
            t
            a
            l
          
        
        
          /
        
        
          ε
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{total}/\varepsilon _{0}}
  
。
電極化強度的散度等於負束縛電荷密度
  
    
      
        −
        
          ρ
          
            b
            o
            u
            n
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle -\rho _{bound}}
  
：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          P
        
        =
        −
        
          ρ
          
            b
            o
            u
            n
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}}
  
。
而總電荷密度等於束縛電荷密度加上自由電荷密度
  
    
      
        
          ρ
          
            f
            r
            e
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{free}}
  
：

  
    
      
        
          ρ
          
            t
            o
            t
            a
            l
          
        
        =
        
          ρ
          
            f
            r
            e
            e
          
        
        +
        
          ρ
          
            b
            o
            u
            n
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{total}=\rho _{free}+\rho _{bound}}
  
。
所以，電位移的散度等於自由電荷密度
  
    
      
        
          ρ
          
            f
            r
            e
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{free}}
  
：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          D
        
        =
        
          ρ
          
            f
            r
            e
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{free}}
  
。
這與高斯定律的方程式類似。假設，只給定自由電荷密度
  
    
      
        
          ρ
          
            f
            r
            e
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{free}}
  
，或許可以用高斯方法來計算電位移
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
。但是，在這裏，不能使用這方法。只知道自由電荷密度
  
    
      
        
          ρ
          
            f
            r
            e
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{free}}
  
，有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式：

  
    
      
        ∇
        ×
        
          D
        
        =
        
          ε
          
            0
          
        
        (
        ∇
        ×
        
          E
        
        )
        +
        (
        ∇
        ×
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} =\varepsilon _{0}(\nabla \times \mathbf {E} )+(\nabla \times \mathbf {P} )}
  
。
並根據法拉第感應定律：
  
    
      
        ∇
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              
                B
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\dot {\mathbf {B} }}}
  
 , 其中
  
    
      
        
          
            
              
                B
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {B} }}}
  
是磁場相對於時間的變化率

  
    
      
        ∇
        ×
        
          D
        
        +
        
          ε
          
            0
          
        
        
          
            
              
                B
              
              ˙
            
          
        
        =
        ∇
        ×
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} +\varepsilon _{0}{\dot {\mathbf {B} }}=\nabla \times \mathbf {P} }
  

假設電磁場為不含時變電磁場（即與時間無關的電磁場），
  
    
      
        
          
            
              
                B
              
              ˙
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {B} }}=0}
  
，則

  
    
      
        ∇
        ×
        
          D
        
        =
        ∇
        ×
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P} }
  
。
假若
  
    
      
        ∇
        ×
        
          P
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {P} \neq 0}
  
，則雖然設定
  
    
      
        
          ρ
          
            f
            r
            e
            e
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \rho _{free}=0}
  
，電位移仍舊不等於零：
  
    
      
        
          D
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} \neq 0}
  
！
舉例而言，擁有固定電極化強度
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
的永電體，其內部不含有任何自由電荷，但是內在的電極化強度
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
會產生電場。
只有當問題本身具有某種對稱性，像球對稱性或圓柱對稱性等等，才能夠直接使用高斯方法，從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則，必需將電極化強度
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
和邊界條件納入考量。


線性電介質 「線性電介質」，對於外電場的施加，會產生線性響應。例如，鐵電材料是非線性電介質。假設線性電介質具有各向同性，則其電場與電極化強度的關係式為

  
    
      
        
          P
        
        =
        
          χ
          
            e
          
        
        
          ε
          
            0
          
        
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E} }
  
；
其中，
  
    
      
        
          χ
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \chi _{e}}
  
是電極化率。
將這關係式代入電位移的定義式，可以得到

  
    
      
        
          D
        
        =
        (
        1
        +
        
          χ
          
            e
          
        
        )
        
          ε
          
            0
          
        
        
          E
        
        =
        ε
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} =(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E} }
  
；
其中，
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
是電容率。
所以，電位移與電場成正比；其比率是電容率。另外，

  
    
      
        ∇
        ⋅
        (
        ε
        
          E
        
        )
        =
        
          ρ
          
            f
            r
            e
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{free}}
  
。
假設這電介質具有均勻性，則電容率
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
是常數：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          E
        
        =
        
          ρ
          
            f
            r
            e
            e
          
        
        
          /
        
        ε
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{free}/\varepsilon }
  
。
定義相對電容率
  
    
      
        
          ε
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{r}}
  
為

  
    
      
        
          ε
          
            r
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        ε
        
          /
        
        
          ε
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{r}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon /\varepsilon _{0}}
  
。
相對電容率與電極化率有以下的關係：

  
    
      
        
          ε
          
            r
          
        
        =
        1
        +
        
          χ
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{r}=1+\chi _{e}}
  
。
要注意的一点是，上式
  
    
      
        
          D
        
        =
        ε
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }
  
的描述只是一种近似关系，当
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
变得很大时，
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
与
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为，这个式子就像胡克定律一样，只是一种近似。
各向異性線性電介質的電容率是個張量。例如，晶體的電容率通常必需用張量來表示。


應用範例 如右圖所示，平行板電容器是由互相平行、以空間或電介質相隔的兩片平板導體構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷，含有的電荷量分別為
  
    
      
        −
        Q
      
    
    {\displaystyle -Q}
  
、
  
    
      
        +
        Q
      
    
    {\displaystyle +Q}
  
。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度，則可以視這兩片平板導體為無限平面；做簡單計算時，不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性，可以應用高斯定律來計算電位移，其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體，而且垂直於平板導體；又由於平板導體含有的電荷是自由電荷，不需要知道電介質的性質，就可以應用關於自由電荷的高斯定律來計算電位移。
先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子，其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊，平行於平板導體；而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律，

  
    
      
        
          ∮
          
            
              S
            
          
        
        
          
            D
          
          
            +
          
        
        ⋅
        
          d
        
        
          a
        
        =
        Q
      
    
    {\displaystyle \oint _{\mathbb {S} }\mathbf {D} _{+}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =Q}
  
；
其中，
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
是扁長方形盒子的閉合表面，
  
    
      
        
          
            D
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} _{+}}
  
是帶正電平板導體所產生的電位移，
  
    
      
        d
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {a} }
  
是微小面元素。
由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與
  
    
      
        
          
            D
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} _{+}}
  
向量相垂直，它們對於積分的貢獻是零；只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻：

  
    
      
        2
        
          D
          
            +
          
        
        A
        =
        Q
      
    
    {\displaystyle 2D_{+}A=Q}
  
 ;
其中，
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是盒子頂面、底面的面積。
所以，
  
    
      
        
          
            D
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} _{+}}
  
向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出，大小為

  
    
      
        
          D
          
            +
          
        
        =
        Q
        
          /
        
        2
        A
      
    
    {\displaystyle D_{+}=Q/2A}
  
。
類似地，可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移；
  
    
      
        
          
            D
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} _{-}}
  
向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體，大小為

  
    
      
        
          D
          
            −
          
        
        =
        Q
        
          /
        
        2
        A
      
    
    {\displaystyle D_{-}=Q/2A}
  
。
應用疊加原理，可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間，
  
    
      
        
          
            D
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} _{+}}
  
和
  
    
      
        
          
            D
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} _{-}}
  
的方向相同；應用疊加原理，電位移的大小等於平板導體的表面電荷密度：
  
    
      
        D
        =
        Q
        
          /
        
        A
      
    
    {\displaystyle D=Q/A}
  
。在兩片平板導體的共同上方或共同下方，
  
    
      
        
          
            D
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} _{+}}
  
和
  
    
      
        
          
            D
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} _{-}}
  
的方向相反；應用疊加原理，電位移的大小等於零。
假設電介質的電容率為
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
，則在兩片平板導體之間，電場的大小為

  
    
      
        E
        =
        D
        
          /
        
        ε
        =
        Q
        
          /
        
        ε
        A
      
    
    {\displaystyle E=D/\varepsilon =Q/\varepsilon A}
  
。
假設兩片平板導體的間隔距離為
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
，則電壓
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
為

  
    
      
        V
        =
        E
        d
        =
        Q
        d
        
          /
        
        ε
        A
      
    
    {\displaystyle V=Ed=Qd/\varepsilon A}
  
。
這平行板電容器的電容
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
為

  
    
      
        C
        =
        Q
        
          /
        
        V
        =
        ε
        A
        
          /
        
        d
      
    
    {\displaystyle C=Q/V=\varepsilon A/d}
  
。


參閱 《論法拉第力線》
《論物理力線》
位移電流
電磁波方程式


參考文獻