玻恩－朗德方程（英語：Born–Lande equation）是由德国化学家马克斯·玻恩和阿尔弗雷德·朗德提出的一个计算离子化合物晶格能的公式。1918年，马克斯·玻恩和阿尔弗雷德·朗德提出晶格能的计算公式可由离子晶格的静电势和推斥型势能概念推导出来。

  
    
      
        E
        =
        −
        
          
            
              
                N
                
                  A
                
              
              M
              
                z
                
                  +
                
              
              
                z
                
                  −
                
              
              
                e
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
              
                r
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}
  

其中：

NA =  阿伏伽德罗常数；
M = 马德隆常数，取决于晶体中的几何排列；
z+ = 阳离子电荷数；
z− = 阴离子电荷数；
e = 元电荷，大约1.6022×10−19 C；
ε0 = 真空电容率；
4πε0 = 1.112×10−10 C2/(J·m)
r0 = 最近离子的距离
n = 玻恩指数，通常在5到12之间，可由实验测定压缩性或理论计算得出。


推导 离子晶体可以用硬的弹性球模型来描述，它们之间通过阴阳离子的静电引力结合在一起。它们的平衡距离就是静电引力与短距斥力相平衡的位置。


= 静电势 =
一对电量相等、电性相反的离子间的静电势
  
    
      
        
          E
          
            pair
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{\text{pair}}}
  
为：

  
    
      
        
          E
          
            pair
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                z
                
                  2
                
              
              
                e
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{\text{pair}}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}
  

其中：

z = 一个离子所带电荷
e = 元电荷，大约1.6022×10−19 C；
ε0 = 真空电容率；
4πε0 = 1.112×10−10 C2/(J·m)；
r0 = 最近离子的距离
对于阴阳离子个数比1:1的简单晶体，对一个离子和晶格中其他离子的相互作用力求和可以算出
  
    
      
        
          E
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{M}}
  
，有时称作马德堡能或晶格能：

  
    
      
        
          E
          
            M
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                z
                
                  2
                
              
              
                e
                
                  2
                
              
              M
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{M}=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}}
  

其中：

  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 = 马德隆常数，取决于晶体中的几何排列；

  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 = 最近不同电性离子的距离


= 排斥理论 =
玻恩和朗德认为晶体中离子的排斥作用与
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          r
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/r^{n}}
  
成正比，所以推斥能
  
    
      
        
          E
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{R}}
  
可以表示为：

  
    
      
        
        
          E
          
            R
          
        
        =
        
          
            B
            
              r
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \,E_{R}={\frac {B}{r^{n}}}}
  

其中：

  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 = 表示推斥作用强度的常数

  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 = 最近不同电性离子的距离

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 = 玻恩指数，通常在5到12之间，表示某种晶体的压缩性


= 总能量 =
因此，晶体中一个离子总的势能可表示为马德隆能和推斥势能的和：

  
    
      
        E
        (
        r
        )
        =
        −
        
          
            
              
                z
                
                  2
                
              
              
                e
                
                  2
                
              
              M
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
        +
        
          
            B
            
              r
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E(r)=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}+{\frac {B}{r^{n}}}}
  

将这个能量对
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
微分即可得到用平衡距离
  
    
      
        
          r
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{0}}
  
表示未知常数
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的关系式：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      E
                    
                    
                      
                        d
                      
                      r
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                      
                        e
                        
                          2
                        
                      
                      M
                    
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      
                        r
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      n
                      B
                    
                    
                      r
                      
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                0
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                      
                        e
                        
                          2
                        
                      
                      M
                    
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      
                        r
                        
                          0
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      n
                      B
                    
                    
                      r
                      
                        0
                      
                      
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  r
                  
                    0
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          4
                          π
                          
                            ϵ
                            
                              0
                            
                          
                          n
                          B
                        
                        
                          
                            z
                            
                              2
                            
                          
                          
                            e
                            
                              2
                            
                          
                          M
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    
                      1
                      
                        n
                        −
                        1
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                B
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                      
                        e
                        
                          2
                        
                      
                      M
                    
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      n
                    
                  
                
                
                  r
                  
                    0
                  
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} r}}&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}-{\frac {nB}{r^{n+1}}}\\0&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}^{2}}}-{\frac {nB}{r_{0}^{n+1}}}\\r_{0}&=\left({\frac {4\pi \epsilon _{0}nB}{z^{2}e^{2}M}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\\B&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}n}}r_{0}^{n-1}\end{aligned}}}
  

求出最小推斥势能并将
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
用含有
  
    
      
        
          r
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{0}}
  
代入即可得到玻恩－朗德方程：

  
    
      
        E
        (
        
          r
          
            0
          
        
        )
        =
        −
        
          
            
              M
              
                z
                
                  2
                
              
              
                e
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
              
                r
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle E(r_{0})=-{\frac {Mz^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}
  


计算晶格能 玻恩－朗德方程的计算结果与实验符合得较好：


参见 卡普斯钦斯基方程


参考资料