在平面几何中，蚌线是一类曲线，可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说，过定点 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的动直线与给定曲线 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 相交，动直线上满足“与交点距离为定长 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 ”的点的轨迹定出的新曲线，就是原曲线 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 关于极点 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 和迹距 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 的蚌线。
用解析几何的方式来表述：平面曲线 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 的极坐标方程为 
  
    
      
        ρ
        =
        f
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \rho =f(\theta )}
  
 ，则以 
  
    
      
        ρ
        =
        f
        (
        θ
        )
        ±
        k
      
    
    {\displaystyle \rho =f(\theta )\pm k}
  
 为方程的曲线是 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 关于原点的蚌线。
“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线，即尼科美迪斯蚌线。尼科美迪斯是古希腊数学家，他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角和倍立方体。


尼科美迪斯蚌线 = 性质 =
有定直线 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 和直线外一固定点 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
，过点 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的动直线与 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 相交，动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹，就是直线 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 关于极点 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的蚌线 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 ，即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支，两支的渐近线都为 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 。
通常记 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 与点 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的距离为 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 ，迹距为 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
。根据 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 的关系，内支有三种不同形态：

当 
  
    
      
        b
        <
        a
      
    
    {\displaystyle b<a}
  
 时，蚌线内支没有尖点或结点，极点与内支不相交。
当 
  
    
      
        a
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a=b}
  
 时，蚌线内支有一个尖点，尖点与极点重合。
当 
  
    
      
        b
        >
        a
      
    
    {\displaystyle b>a}
  
 时，蚌线内支有一个结点，结点与极点重合。
尼科美迪斯蚌线是轴对称图形，对称轴与 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 垂直并通过极点 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
。


= 历史和应用 =

古希腊数学家尼科美迪斯是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具，这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传，只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出，存在“四种”蚌线，但只记录了“第一种”蚌线，也就是直线蚌线的外支，用来解决尺规作图三大难题中的两个：三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线，很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。
帕普斯将该曲线称为“螺线”（κοχλοειδης γραμμη），这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”（κογχοειδης γραμμη）。
17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。


 倍立方体  作线段 
  
    
      
        A
        B
        =
        1
      
    
    {\displaystyle AB=1}
  
 。以点 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 为圆心、
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
 为半径作圆，以点 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 为圆心、
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
 为半径作圆，交于点 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 。
过点 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 作线段 
  
    
      
        A
        C
      
    
    {\displaystyle AC}
  
 的垂线 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
。以点 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 为极点、
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
 为迹距作直线 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 的蚌线外支。
延长 
  
    
      
        B
        A
      
    
    {\displaystyle BA}
  
 交蚌线于点 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 。延长 
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
 交圆 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 于点 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 。连接 
  
    
      
        C
        D
      
    
    {\displaystyle CD}
  
 交 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 于点 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
 。线段 
  
    
      
        C
        F
      
    
    {\displaystyle CF}
  
 的长度即为 
  
    
      
        
          
            2
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}
  
 。


 三等分角  作任意直角三角形 
  
    
      
        △
        O
        A
        B
      
    
    {\displaystyle \triangle OAB}
  
 ，点 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 为垂足。以点 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 为极点、
  
    
      
        2
         
        O
        B
      
    
    {\displaystyle 2\ OB}
  
 为迹距作直线 
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
 的蚌线外支。
过点 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 作直线 
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
 的垂线，交蚌线于点 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
。 
  
    
      
        O
        C
      
    
    {\displaystyle OC}
  
 就是 
  
    
      
        ∠
        A
        O
        B
      
    
    {\displaystyle \angle AOB}
  
 的三等分线。


= 解析几何 =
在极坐标系中，设点 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 为坐标原点，则直线 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 和蚌线 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 的方程可以表示为：

  
    
      
        l
        :
         
        ρ
        =
        a
        
          sec
          ⁡
          θ
        
      
    
    {\displaystyle l:\ \rho =a{\sec \theta }}
  

  
    
      
        c
        :
         
        ρ
        =
        a
        
          sec
          ⁡
          θ
        
        ±
        b
      
    
    {\displaystyle c:\ \rho =a{\sec \theta }\pm b}
  

  
    
      
        (
        −
        
          
            π
            2
          
        
        <
        θ
        <
        
          
            π
            2
          
        
         
        ,
         
        a
        ,
        b
        ∈
        
          
            R
          
          
            +
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (-{\pi  \over 2}<\theta <{\pi  \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+})}
  

在直角坐标系中，设点 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 为坐标原点，则直线 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 和蚌线 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 的方程可以表示为：

  
    
      
        l
        :
         
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle l:\ x=a}
  

  
    
      
        c
        :
         
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            2
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        )
        =
        
          b
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle c:\ (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})=b^{2}x^{2}}
  

  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ∈
        
          
            R
          
          
            +
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b\in \mathbb {R} ^{+})}
  

或用参数方程表示为：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  a
                  ±
                  b
                  cos
                  ⁡
                  θ
                
              
              
                
                  y
                  =
                  a
                  tan
                  ⁡
                  θ
                  ±
                  b
                  sin
                  ⁡
                  θ
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=a\pm b\cos \theta \\y=a\tan \theta \pm b\sin \theta \end{cases}}}
  

（上下正负号同号，
  
    
      
        −
        
          
            π
            2
          
        
        <
        θ
        <
        
          
            π
            2
          
        
         
        ,
         
        a
        ,
        b
        ∈
        
          
            R
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\pi  \over 2}<\theta <{\pi  \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+}}
  
）
尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。


帕斯卡蜗线 帕斯卡蜗线是一类外旋轮线，同时也是一类特殊的蚌线，是圆关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上，所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时，就是心脏线。
作圆 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 关于圆上一个定点 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，延长 
  
    
      
        B
        O
      
    
    {\displaystyle BO}
  
 至圆外，与所作蚌线交于点 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
。根据蚌线的性质，易知 
  
    
      
        ∠
        A
        C
        B
        =
        
          
            1
            3
          
        
        ∠
        A
        O
        B
      
    
    {\displaystyle \angle ACB={1 \over 3}\angle AOB}
  
 。这条特殊的蚌线被称为三等分角蜗线。

		
			
			
		
		
			
			
		
		
			
			
		


其他蚌线 参考来源