在電磁學裏，有兩種偶極子（英语：Dipole）：

電偶極子是兩個分隔一段距離，電量相等，正負相反的電荷。
磁偶極子是一圈封閉循環的電流。例如一個有常定電流運行的線圈。
偶極子的性質可以用它的偶極矩描述。
電偶極矩（
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
）由負電荷指向正電荷，大小等於正電荷量乘以正負電荷之間的距離。磁偶極矩（
  
    
      
        
          m
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {m} }
  
）的方向，根據右手法則，是大拇指從載流迴路的平面指出的方向，而其它手指則指向電流運行方向，磁偶極矩的大小等於電流乘以線圈面積。
除了載流迴路以外，電子和許多基本粒子都擁有磁偶極矩。它們都會產生磁場，與一個非常小的載流迴路產生的磁場完全相同。但是，現時大多數的科學觀點認為這個磁偶極矩是電子的自然性質，而非由載流迴路生成。
永久磁鐵的磁偶極矩來自於電子內稟的磁偶極矩。長條形的永久磁鐵稱為條形磁鐵，其兩端稱為指北極和指南極，其磁偶極矩的方向是由指南極朝向指北極。這常規與地球的磁偶極矩恰巧相反：地球的磁偶極矩的方向是從地球的地磁北極指向地磁南極。地磁北極位於北極附近，實際上是指南極，會吸引磁鐵的指北極；而地磁南極位於南極附近，實際上是指北極，會吸引磁鐵的指南極。羅盤磁針的指北極會指向地磁北極；條形磁鐵可以當作羅盤使用，條形磁鐵的指北極會指向地磁北極。
根據當前的觀察結果，磁偶極子產生的機制只有兩種，載流迴路和量子力學自旋。科學家從未在實驗裏找到任何磁單極子存在的證據。


物理偶極子、點偶極子、近似偶極子 一個物理電偶極子是由兩個等電量的異性點電荷構成的。在距離遠超於兩個點電荷相隔距離之處，物理電偶極子所產生的電場，可以近似為其電偶極矩所產生的電場。令物理電偶極子的兩個點電荷相隔距離趨向於 0 ，同時保持其電偶極矩不變，則極限就是點電偶極子，又稱為純電偶極子。物理電偶極子產生的電場的多極展開式中，一次項目就是點電偶極子產生的電場。物理電偶極子的電偶極矩 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 是

  
    
      
        
          p
        
        =
        q
        
          d
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} }
  
 ；
其中，
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 是每個電荷的帶電量絕對值，
  
    
      
        
          d
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} }
  
 是從負電荷到正電荷的位移向量。
到現今為止，雖然還沒有找到任何磁單極子存在的證據，科學家可以在電子和許多基本粒子的物理行為中，找到以量子力學的自旋形式存在的磁偶極子。點磁偶極子所產生的磁場的形態與點電偶極子所產生的電場的形態完全相同。非常小的載流迴路可以近似為點磁偶極子。物理磁偶極子 
  
    
      
        
          m
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {m} }
  
 的磁偶極矩是

  
    
      
        
          m
        
        =
        I
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {a} }
  
 ；
其中，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 是運行於載流迴路的電流，
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
 是載流迴路的面積向量。
任何電荷或電流組態都具有偶極矩，其對應的偶極子所產生的向量場，是那個組態在遠距離的最好近似。偶極子項只是多極展開式中的一項。當單極矩等於 0 時（對磁案例而言，此情况永遠成立，因為磁單極子不存在），在遠距離 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 时，偶極子項（第二項）是最主要的項；其向量場值衰减率為 
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          r
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/r^{3}}
  
 ，作为比較，單極矩項的遞減率為 
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/r^{2}}
  
 ，第三項的衰减率為 
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          r
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/r^{4}}
  
 ，第 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 項的遞減率為 
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          r
          
            (
            n
            +
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/r^{(n+1)}}
  
 。


分子的電偶極矩 很多分子都擁有電偶極矩。這是因為正負電荷的不均勻分佈。例如，

（正價） H-Cl （負價）
擁有永久電偶極矩的分子稱為極化分子。假若一個分子帶有感應電偶極子，則稱此分子被極化。彼得·德拜是最先研究分子的電偶極子的物理化學家。為了紀念他的貢獻，電偶極矩的測量單位被命名為德拜。
分子的電偶極子又分為以下三種（參閱分子間作用力）：

永久電偶極子：假若一個分子內的幾個原子的電荷分布不均，電負性差異很大，则電負性較大的原子會吸引電子更接近自己，因而使得所佔據區域變得更具負性；另外電負性較小的原子的區域會變得更具正性。這樣，正、負電荷中心始終不重合，就形成了永久電偶極子。
瞬時電偶極子：有時候，電子會恰巧地比較集中於分子內的某一個區域，這偶發狀況會產生暫時的電偶極子。
感應電偶極子：當施加外電場於一個分子時，感應這外電場的作用，分子內部正常的電子雲形狀會被改變，因而產生電偶極子。其伴隨的電偶極矩等於外電場和極化性的乘積。
常見的化學化合物在氣態的電偶極矩，採用德拜單位：

二氧化碳：0
一氧化碳：0.112
臭氧：0.53
光氣：1.17
水蒸氣：1.85
氰化氫：2.98
氨基氰：4.27
溴化鉀：10.41
這些數值可從相對電容率的測量值計算求得。當分子因為對稱性而使得浄電偶極矩被抵消，則設定電偶極矩為 0 。電偶極矩最大值在 10 到 11 這值域內。知道電偶極矩值，科學家可以推論分子的分子結構。例如，數據顯示出，二氧化碳是一個線性分子；而臭氧則不是。


電偶極子的電場 假設電偶極子 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 的位置是原點 
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {O} }
  
 ，則在任意位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 ，此電偶極子產生的電勢 
  
    
      
        Φ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}
  
 是

  
    
      
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              
                p
              
              ⋅
              
                
                  
                    
                      r
                    
                    ^
                  
                
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}}
  
 是真空電容率。
這公式的右手邊項目是任意靜電勢多極展開式的第二個項目。假若這任意靜電勢是由純電偶極子產生，則這項目是多極展開式的唯一不消失項目。
電偶極子 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 所產生的電場 
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
 為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  E
                
                =
                −
                ∇
                Φ
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      
                        r
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    3
                    (
                    
                      p
                    
                    ⋅
                    
                      
                        
                          
                            r
                          
                          ^
                        
                      
                    
                    )
                    
                      
                        
                          
                            r
                          
                          ^
                        
                      
                    
                    −
                    
                      p
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    p
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      
                        r
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                (
                2
                cos
                ⁡
                θ
                
                  
                    
                      
                        r
                      
                      ^
                    
                  
                
                +
                sin
                ⁡
                θ
                
                  
                    
                      θ
                      ^
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})\end{aligned}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 是 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 和 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 之間的夾角。
注意到這個方程式並不完全正確，這是因為電偶極子的電勢有一個奇點在它所處的位置（原點 
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {O} }
  
 ）。更仔細地推導，可以得到電場為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  E
                
                =
                −
                ∇
                Φ
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      
                        r
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    3
                    (
                    
                      p
                    
                    ⋅
                    
                      
                        
                          
                            r
                          
                          ^
                        
                      
                    
                    )
                    
                      
                        
                          
                            r
                          
                          ^
                        
                      
                    
                    −
                    
                      p
                    
                  
                  )
                
                −
                
                  
                    
                      p
                    
                    
                      3
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                    
                  
                
                
                  δ
                  
                    3
                  
                
                (
                
                  r
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    p
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      
                        r
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                (
                2
                cos
                ⁡
                θ
                
                  
                    
                      
                        r
                      
                      ^
                    
                  
                
                +
                sin
                ⁡
                θ
                
                  
                    
                      θ
                      ^
                    
                  
                
                )
                −
                
                  
                    
                      p
                    
                    
                      3
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                    
                  
                
                
                  δ
                  
                    3
                  
                
                (
                
                  r
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          δ
          
            3
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )}
  
 是三維狄拉克δ函數


= 導引 =
從計算電偶極子所產生的電場的平均值，可以得到正確答案。設定以原點 
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {O} }
  
 為圓心，半徑為 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 的球體 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 。電偶極子所產生於這球體的電場，其平均值為：

  
    
      
        ⟨
        
          E
        
        ⟩
        =
        
          
            3
            
              4
              π
              
                b
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          E
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        =
        
          
            3
            
              4
              π
              
                b
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            b
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
          
            p
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        (
        2
        cos
        ⁡
        θ
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        +
        sin
        ⁡
        θ
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
        )
        
          r
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        θ
         
        
          d
        
        θ
        
          d
        
        ϕ
        
          d
        
        r
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})r^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r}
  
 。
注意到球坐標單位向量與直角坐標單位向量之間的關係：

  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              
                x
              
              ^
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        ϕ
        +
        
          
            
              
                y
              
              ^
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        ϕ
        +
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta }
  
 、

  
    
      
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              
                x
              
              ^
            
          
        
        cos
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        ϕ
        +
        
          
            
              
                y
              
              ^
            
          
        
        cos
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        ϕ
        −
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}={\hat {\mathbf {x} }}\cos \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\cos \theta \sin \phi -{\hat {\mathbf {z} }}\sin \theta }
  
 。
將這兩個關係式代入前面積分式，可以得到

注意到這積分式的x-分量與y-分量都等於零，只剩下z-分量：

  
    
      
        
          
            
              
                ⟨
                
                  E
                
                ⟩
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      3
                      p
                    
                    
                      16
                      
                        π
                        
                          2
                        
                      
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      
                        b
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    b
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    2
                    π
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    π
                  
                
                
                  
                    1
                    r
                  
                
                (
                2
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                −
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                )
                
                  
                    
                      
                        z
                      
                      ^
                    
                  
                
                sin
                ⁡
                θ
                 
                
                  d
                
                θ
                
                  d
                
                ϕ
                
                  d
                
                r
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      3
                      p
                      
                        
                          
                            
                              z
                            
                            ^
                          
                        
                      
                    
                    
                      8
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      
                        b
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    b
                  
                
                
                  
                    1
                    r
                  
                
                 
                
                  d
                
                r
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    π
                  
                
                (
                2
                sin
                ⁡
                θ
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                −
                
                  sin
                  
                    3
                  
                
                ⁡
                θ
                )
                 
                
                  d
                
                θ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {E} \rangle &={\frac {3p}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{r}}(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {\mathbf {z} }}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r\\&={\frac {3p{\hat {\mathbf {z} }}}{8\pi \epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ \mathrm {d} r\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta \end{aligned}}}
  
 。
對於徑向坐標 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 積分會得到

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            b
          
        
        
          
            1
            r
          
        
         
        
          d
        
        r
        =
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ \mathrm {d} r=-\infty }
  
 ！
但對於天頂角 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 積分則會得到

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        (
        2
        sin
        ⁡
        θ
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        −
        
          sin
          
            3
          
        
        ⁡
        θ
        )
         
        
          d
        
        θ
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        (
        2
        sin
        ⁡
        θ
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        −
        
          sin
          
            3
          
        
        ⁡
        θ
        )
         
        
          d
        
        θ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta =0}
  
 ！
由此可知，從這運算無法得到 
  
    
      
        ⟨
        
          E
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
  
 的正確值。這是因為電偶極子的電勢有一個奇點在它所處的位置（原點 
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {O} }
  
 ），電場的方程式並不完全正確。必須特別小心地計算，才能得到正確答案。應用向量恆等式 
  
    
      
        
          ∮
          
            
              S
            
          
        
        ψ
         
        
          d
        
        
          S
        
        =
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        ∇
        ψ
         
        
          d
        
        V
      
    
    {\displaystyle \oint _{\mathbb {S} }\psi \ \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\mathbb {V} }\nabla \psi \ \mathrm {d} V}
  
 ，則作用於這球體 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 的電場，其平均值為：

  
    
      
        ⟨
        
          E
        
        ⟩
        =
        
          
            3
            
              4
              π
              
                b
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          E
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        =
        −
         
        
          
            3
            
              4
              π
              
                b
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        ∇
        ϕ
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        =
        −
         
        
          
            3
            
              4
              π
              
                b
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          ∮
          
            
              S
            
          
        
        ϕ
         
        
          d
        
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \phi \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\oint _{\mathbb {S} }\phi \ \mathrm {d} \mathbf {S} }
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
 是球體 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 的表面。
將電勢 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 的方程式代入，注意到 
  
    
      
        
          d
        
        
          S
        
        =
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
         
        
          b
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        θ
         
        
          d
        
        θ
        
          d
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} ={\hat {\mathbf {r} }}\ b^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi }
  
 ，則可得到

  
    
      
        ⟨
        
          E
        
        ⟩
        =
        −
         
        
          
            3
            
              (
              4
              π
              
                )
                
                  2
                
              
              b
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∮
          
            
              S
            
          
        
        
          [
          
            
              ∫
              
                
                  
                    V
                  
                  ′
                
              
            
            
              
                
                  ρ
                  (
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                  )
                
                
                  
                    |
                  
                  b
                  
                    
                      
                        
                          r
                        
                        ^
                      
                    
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                  
                    |
                  
                
              
            
             
            
              
                d
              
              
                3
              
            
            
              
                r
              
              ′
            
          
          ]
        
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
         
        sin
        ⁡
        θ
         
        
          d
        
        θ
        
          d
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {3}{(4\pi )^{2}b\epsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} }\left[\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\right]{\hat {\mathbf {r} }}\ \sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi }
  
 ；
其中，
  
    
      
        ρ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}
  
 是在源位置 
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
 的電荷密度， 
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
 是源積分體積，設定與 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 相同，
  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
  
 是場位置的單位向量，從表面 
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
 垂直往外指出。
場位置與源位置之間距離的倒數以球諧函數 
  
    
      
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}
  
 作多極展開為

  
    
      
        
          
            1
            
              
                |
              
              b
              
                
                  
                    
                      r
                    
                    ^
                  
                
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            ℓ
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            m
            =
            −
            ℓ
          
          
            ℓ
          
        
        
          
            
              4
              π
            
            
              2
              ℓ
              +
              1
            
          
        
        
          
            
              r
              
                ′
                ℓ
              
            
            
              b
              
                ℓ
                +
                1
              
            
          
        
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
          
            ∗
          
        
        (
        
          θ
          ′
        
        ,
        
          ϕ
          ′
        
        )
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        ,
        
        
          r
          ′
        
        <
        b
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}{\frac {r^{\prime \ell }}{b^{\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),\qquad r'<b}
  
 ；
其中，
  
    
      
        b
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b{\hat {\mathbf {r} }}}
  
 與 
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
 的球坐標分別為 
  
    
      
        (
        b
        ,
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (b,\theta ,\phi )}
  
 與 
  
    
      
        (
        
          r
          ′
        
        ,
        
          θ
          ′
        
        ,
        
          ϕ
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (r',\theta ',\phi ')}
  
 。
單位向量 
  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
  
 以球諧函數表示為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        r
                      
                      ^
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        x
                      
                      ^
                    
                  
                
                sin
                ⁡
                θ
                cos
                ⁡
                ϕ
                +
                
                  
                    
                      
                        y
                      
                      ^
                    
                  
                
                sin
                ⁡
                θ
                sin
                ⁡
                ϕ
                +
                
                  
                    
                      
                        z
                      
                      ^
                    
                  
                
                cos
                ⁡
                θ
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        x
                      
                      ^
                    
                  
                
                
                  [
                  
                    −
                    
                      
                        
                          
                            2
                            π
                          
                          3
                        
                      
                    
                    (
                    −
                    
                      Y
                      
                        1
                        ,
                        −
                        1
                      
                      
                        ∗
                      
                    
                    +
                    
                      Y
                      
                        11
                      
                      
                        ∗
                      
                    
                    )
                  
                  ]
                
                +
                
                  
                    
                      
                        y
                      
                      ^
                    
                  
                
                
                  [
                  
                    −
                    
                      
                        
                          
                            2
                            π
                          
                          3
                        
                      
                    
                    (
                    −
                    
                      Y
                      
                        1
                        ,
                        −
                        1
                      
                      
                        ∗
                      
                    
                    −
                    
                      Y
                      
                        11
                      
                      
                        ∗
                      
                    
                    )
                  
                  ]
                
                +
                
                  
                    
                      
                        z
                      
                      ^
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        4
                        π
                      
                      3
                    
                  
                
                
                  Y
                  
                    10
                  
                  
                    ∗
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta \\&={\hat {\mathbf {x} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}+Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {y} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}-Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {z} }}{\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}Y_{10}^{*}\\\end{aligned}}}
  
 。
應用球諧函數的正交歸一性

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
          Y
          
            
              ℓ
              ′
            
            
              m
              ′
            
          
          
            ∗
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        sin
        ⁡
        θ
         
        
          d
        
        θ
        
          d
        
        ϕ
        =
        
          δ
          
            ℓ
            
              ℓ
              ′
            
          
        
        
          δ
          
            m
            
              m
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y_{\ell 'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi =\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'}}
  
 ，
可以得到 
  
    
      
        ⟨
        
          E
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
  
 與這球體的電偶極子 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 之間的關係式：

  
    
      
        ⟨
        
          E
        
        ⟩
        =
        −
         
        
          
            1
            
              4
              π
              
                b
                
                  3
                
              
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
        ρ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
        =
        −
         
        
          
            
              p
            
            
              4
              π
              
                b
                
                  3
                
              
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {1}{4\pi b^{3}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=-\ {\frac {\mathbf {p} }{4\pi b^{3}\epsilon _{0}}}}
  
 。
也就是說，

  
    
      
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          E
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        =
        −
         
        
          
            
              p
            
            
              3
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}}
  
 。
為了滿足這性質，必需對於電偶極子 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 所產生的電場 
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
 ，在其方程式內再添加一個項目：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  E
                
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      
                        r
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    3
                    (
                    
                      p
                    
                    ⋅
                    
                      
                        
                          
                            r
                          
                          ^
                        
                      
                    
                    )
                    
                      
                        
                          
                            r
                          
                          ^
                        
                      
                    
                    −
                    
                      p
                    
                  
                  )
                
                −
                
                  
                    
                      p
                    
                    
                      3
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                    
                  
                
                
                  δ
                  
                    3
                  
                
                (
                
                  r
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    p
                    
                      4
                      π
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                      
                        r
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                (
                2
                cos
                ⁡
                θ
                
                  
                    
                      
                        r
                      
                      ^
                    
                  
                
                +
                sin
                ⁡
                θ
                
                  
                    
                      θ
                      ^
                    
                  
                
                )
                −
                
                  
                    
                      p
                    
                    
                      3
                      
                        ϵ
                        
                          0
                        
                      
                    
                  
                
                
                  δ
                  
                    3
                  
                
                (
                
                  r
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}}
  
 。
這樣，在計算 
  
    
      
        ⟨
        
          E
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
  
 時，就能夠得到明確無誤的答案。


磁偶極子的磁場 假設磁偶極矩為 
  
    
      
        
          m
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {m} }
  
 的磁偶極子，其位置是在原點，則在任意位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 ，磁偶極子的向量勢 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 是

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        
          m
        
        ×
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}(\mathbf {m} \times {\hat {\mathbf {r} }})}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}}
  
 是磁常數。
這磁偶極子所產生的磁場 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 為

  
    
      
        
          B
        
        =
        ∇
        ×
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
  
 。
由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置（原點 
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {O} }
  
 ），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          (
          
            3
            (
            
              m
            
            ⋅
            
              
                
                  
                    r
                  
                  ^
                
              
            
            )
            
              
                
                  
                    r
                  
                  ^
                
              
            
            −
            
              m
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              2
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                m
              
            
            3
          
        
        
          δ
          
            3
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)+{\frac {2\mu _{0}\mathbf {m} }{3}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )}
  
 。
任意磁場的多極展開式中，帶頭項目就是這公式右手邊的第一個項目，偶極子項目。磁場沒有單極子項目。在遠距離，這公式近似任何類似磁偶極子的組態所產生的磁場。
偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（hyperfine structure）。在天文學裏，氫原子的超精細結構給出了21公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了3K背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（recombination）至再電離紀元（reionization）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。


作用於偶極極子的力矩 將一磁偶極子放在均勻磁場，或將電偶極子放在均勻電場，偶極子的兩端會分別各產生一個力，兩個大小相等而方向相反的力產生力矩 
  
    
      
        
          τ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
  
 ：

  
    
      
        
          τ
        
        =
        
          p
        
        ×
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }
  
 、

  
    
      
        
          τ
        
        =
        
          m
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} }
  
 。
力矩傾向將偶極子的方向與向量場的方向排向同一方向，偶極子的位能是

  
    
      
        U
        =
        −
        
          p
        
        ⋅
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} }
  
 、

  
    
      
        U
        =
        −
        
          m
        
        ⋅
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }
  
 。
在計算時，我們常假設偶極子兩端之間的距離是無窮小，即點偶極子。


偶極輻射 在靜電學和靜磁學之外，很重要的物理領域是含時偶極子。
當一個電偶極子在做諧振蕩時，其電偶極矩可以表示為 
  
    
      
        
          p
        
        =
        
          
            p
            ′
          
          (
          
            r
          
          )
        
        
          e
          
            −
            i
            ω
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p'(\mathbf {r} )} e^{-i\omega t}}
  
 ；其中，
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
 是角頻率。在真空裏，它產生的電場和磁場分別為

  
    
      
        
          E
        
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          {
          
            
              
                
                  ω
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                  r
                
              
            
            
              
                
                  
                    r
                  
                  ^
                
              
            
            ×
            
              p
            
            ×
            
              
                
                  
                    r
                  
                  ^
                
              
            
            +
            
              (
              
                
                  
                    1
                    
                      r
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      i
                      ω
                    
                    
                      c
                      
                        r
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            
              [
              
                3
                
                  
                    
                      
                        r
                      
                      ^
                    
                  
                
                (
                
                  
                    
                      
                        r
                      
                      ^
                    
                  
                
                ⋅
                
                  p
                
                )
                −
                
                  p
                
              
              ]
            
          
          }
        
        
          e
          
            i
            ω
            r
            
              /
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left[3{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} \right]\right\}e^{i\omega r/c}}
  
 、

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          
            
              ω
              
                2
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ×
        
          p
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                c
                
                  i
                  ω
                  r
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              e
              
                i
                ω
                r
                
                  /
                
                c
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}}
  
 。
在離開偶極子很遠的位置（
  
    
      
        r
        ω
        
          /
        
        c
        ≫
        1
      
    
    {\displaystyle r\omega /c\gg 1}
  
），向量場的形式近似一個輻射的球面波：

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          
            
              ω
              
                2
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
        (
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ×
        
          p
        
        )
        
          
            
              e
              
                i
                ω
                r
                
                  /
                
                c
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}}
  
 、

  
    
      
        
          E
        
        =
        c
        
          B
        
        ×
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}}
  
 。
經過時間平均，產生的總輻射功率 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 為

  
    
      
        P
        =
        
          
            
              ω
              
                4
              
            
            
              12
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          |
        
        
          p
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P={\frac {\omega ^{4}}{12\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}|\mathbf {p} |^{2}}
  
 。
功率的分佈並不具有均向性，而是集中於垂直於電偶極矩的方向。


量子力學的電偶極子算符 試想一群粒子，數量為 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 ，電荷量和位置分別為 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 和 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
  
 ，
  
    
      
        i
        =
        1
        ,
        
        2
        ,
        
        …
        ,
        
        N
      
    
    {\displaystyle i=1,\,2,\,\dots ,\,N}
  
 。例如，這個群集可能是一個分子，由電荷量為 
  
    
      
        −
        e
      
    
    {\displaystyle -e}
  
 的電子，和電荷量為 
  
    
      
        e
        
          Z
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle eZ_{j}}
  
 的原子核所構成；其中，
  
    
      
        
          Z
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle Z_{j}}
  
 是第 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
 個原子核的原子序。這個群集的電偶極子的量子算符 
  
    
      
        
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {p}}}
  
 是

  
    
      
        
          
            p
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
        
          q
          
            i
          
        
        
        
          
            r
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\mathbf {r} _{i}}
  
 。


參閱 電介質
永電體
印度洋電偶極子（Indian Ocean Dipole）
自旋磁矩（spin magnetic moment）
軸多極矩（Axial multipole moments）
圓柱多極矩（Cylindrical multipole moments）
球多極矩
拉普拉斯展開式（位勢論）（Laplace expansion (potential)）
勒讓德多項式


參考文獻 外部連結 波士頓大學物理模擬示範網頁： 電偶極子的電場線圖和電場向量圖 （页面存档备份，存于互联网档案馆）