三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式為

  
    
      
        a
        
          x
          
            3
          
        
        +
        b
        
          x
          
            2
          
        
        +
        c
        x
        +
        d
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
  
，
其中
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ,
        d
        (
        a
        =
        0
        )
      
    
    {\displaystyle a,b,c,d(a\neq 0)}
  
是屬於一個域的數字，通常這個域為ℝ或ℂ。
本條目只解釋一元三次方程，而且簡稱之為三次方程式。


历史 中國唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《緝古算經》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。
波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。
中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。
在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        m
        x
        =
        n
      
    
    {\displaystyle x^{3}+mx=n}
  
的方程。事实上，如果我们允许
  
    
      
        m
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle m,n}
  
是複数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道複数。
尼科洛·塔爾塔利亞被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡尔丹诺拜訪了塔爾塔利亞請教三次方程式解法並得到了啟發。卡尔丹诺注意到塔爾塔利亞的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些複數的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现者。


判别式 当
  
    
      
        Δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta >0}
  
时，方程有一个实根和两个共轭複根；
当
  
    
      
        Δ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta =0}
  
时，方程有三个实根：当

时，方程有一个三重实根；

当时，方程的三个实根中有两个相等；
当
  
    
      
        Δ
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta <0}
  
时，方程有三个不等的实根。


三次方程解法 = 求根公式法 =

红色字体部分为判别式
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  
。
当
  
    
      
        Δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta >0}
  
时，方程有一个实根和两个共轭複根；
当
  
    
      
        Δ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta =0}
  
时，方程有三个实根：
当
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    b
                    c
                  
                  
                    6
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  
                    b
                    
                      3
                    
                  
                  
                    27
                    
                      a
                      
                        3
                      
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  d
                  
                    2
                    a
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            (
            
              
                
                  c
                  
                    3
                    a
                  
                
              
              −
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  
                    9
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=0}
  
时，方程有一个三重实根；
当
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    b
                    c
                  
                  
                    6
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  
                    b
                    
                      3
                    
                  
                  
                    27
                    
                      a
                      
                        3
                      
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  d
                  
                    2
                    a
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            (
            
              
                
                  c
                  
                    3
                    a
                  
                
              
              −
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  
                    9
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}\neq 0}
  
时，方程的三个实根中有两个相等；
当
  
    
      
        Δ
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta <0}
  
时，方程有三个不等的实根。


= 三角函数解 =

  
    
      
        a
        
          x
          
            3
          
        
        +
        b
        
          x
          
            2
          
        
        +
        c
        x
        +
        d
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
  
，其中
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  
。
若令
  
    
      
        Δ
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    −
                    
                      b
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    27
                    
                      a
                      
                        3
                      
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  d
                  
                    2
                    a
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    b
                    c
                  
                  
                    6
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                
                  c
                  
                    3
                    a
                  
                
              
              −
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  
                    9
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
        =
        
          α
          
            2
          
        
        +
        
          β
          
            3
          
        
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta =\left({\frac {-b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=\alpha ^{2}+\beta ^{3}<0}
  
，则

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        −
        
          
            b
            
              3
              a
            
          
        
        +
        2
        
          
            −
            β
          
        
        cos
        ⁡
        
          [
          
            
              
                arccos
                ⁡
                
                  
                    α
                    
                      (
                      −
                      β
                      
                        )
                        
                          
                            3
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              3
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}}{3}}\right]}
  

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            b
            
              3
              a
            
          
        
        +
        2
        
          
            −
            β
          
        
        cos
        ⁡
        
          [
          
            
              
                arccos
                ⁡
                
                  
                    α
                    
                      (
                      −
                      β
                      
                        )
                        
                          
                            3
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                +
                2
                π
              
              3
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}+2\pi }{3}}\right]}
  

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        −
        
          
            b
            
              3
              a
            
          
        
        +
        2
        
          
            −
            β
          
        
        cos
        ⁡
        
          [
          
            
              
                arccos
                ⁡
                
                  
                    α
                    
                      (
                      −
                      β
                      
                        )
                        
                          
                            3
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                −
                2
                π
              
              3
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}-2\pi }{3}}\right]}
  


= 卡尔达诺法 =
令
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
，然後把方程
  
    
      
        a
        
          x
          
            3
          
        
        +
        b
        
          x
          
            2
          
        
        +
        c
        x
        +
        d
      
    
    {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
  
除以
  
    
      
        x
        −
        r
      
    
    {\displaystyle x-r}
  
，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。
在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。
解方程步驟：

把原來方程除以首項係數
  
    
      
        a
        
          (
          
            a
            =
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle a\left(a\neq 0\right)}
  
，得到：

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          b
          ′
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          c
          ′
        
        x
        +
        
          d
          ′
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{3}+b'x^{2}+c'x+d'=0}
  
，其中
  
    
      
        
          b
          ′
        
        =
        
          
            b
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle b'={\frac {b}{a}}}
  
，
  
    
      
        
          c
          ′
        
        =
        
          
            c
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle c'={\frac {c}{a}}}
  
，
  
    
      
        
          d
          ′
        
        =
        
          
            d
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle d'={\frac {d}{a}}}
  
。
代換未知項
  
    
      
        x
        =
        z
        −
        
          
            
              b
              ′
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x=z-{\frac {b'}{3}}}
  
，以消去二次項。當展開
  
    
      
        
          
            (
            
              z
              −
              
                
                  
                    b
                    ′
                  
                  3
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(z-{\frac {b'}{3}}\right)^{3}}
  
，會得到
  
    
      
        −
        
          b
          ′
        
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -b'z^{2}}
  
這項，正好抵消掉出現於
  
    
      
        
          b
          ′
        
        
          
            (
            
              z
              −
              
                
                  
                    b
                    ′
                  
                  3
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b'\left(z-{\frac {b'}{3}}\right)^{2}}
  
的項
  
    
      
        
          b
          ′
        
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b'z^{2}}
  
。故得：

  
    
      
        
          z
          
            3
          
        
        +
        p
        z
        +
        q
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z^{3}+pz+q=0}
  
，其中
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
和
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
是域中的數字。

  
    
      
        p
        =
        
          c
          ′
        
        −
        
          
            
              b
              
                ′
                
                  2
                
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle p=c'-{\frac {b'^{2}}{3}}}
  
；
  
    
      
        q
        =
        
          
            
              2
              
                b
                
                  ′
                  
                    3
                  
                
              
            
            27
          
        
        −
        
          
            
              
                b
                ′
              
              
                c
                ′
              
            
            3
          
        
        +
        
          d
          ′
        
      
    
    {\displaystyle q={\frac {2b'^{3}}{27}}-{\frac {b'c'}{3}}+d'}
  
。
設
  
    
      
        u
        ,
        v
      
    
    {\displaystyle u,v}
  
滿足
  
    
      
        3
        u
        v
        =
        −
        p
        ,
        
          u
          
            3
          
        
        +
        
          v
          
            3
          
        
        =
        −
        q
      
    
    {\displaystyle 3uv=-p,u^{3}+v^{3}=-q}
  
,則
  
    
      
        u
        +
        v
      
    
    {\displaystyle u+v}
  
為解
這個假設的hint如下:
記
  
    
      
        z
        =
        u
        +
        υ
      
    
    {\displaystyle z=u+\upsilon }
  
。前一方程化為
  
    
      
        (
        u
        +
        υ
        
          )
          
            3
          
        
        +
        p
        (
        u
        +
        υ
        )
        +
        q
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (u+\upsilon )^{3}+p(u+\upsilon )+q=0}
  
。
展開：
  
    
      
        
          u
          
            3
          
        
        +
        3
        
          u
          
            2
          
        
        υ
        +
        3
        u
        
          υ
          
            2
          
        
        +
        
          υ
          
            3
          
        
        +
        p
        u
        +
        p
        υ
        +
        q
        =
        0
      
    
    {\displaystyle u^{3}+3u^{2}\upsilon +3u\upsilon ^{2}+\upsilon ^{3}+pu+p\upsilon +q=0}
  
。
重組：
  
    
      
        (
        
          u
          
            3
          
        
        +
        
          υ
          
            3
          
        
        +
        q
        )
        +
        (
        3
        u
        
          υ
          
            2
          
        
        +
        3
        
          u
          
            2
          
        
        υ
        +
        p
        u
        +
        p
        υ
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+(3u\upsilon ^{2}+3u^{2}\upsilon +pu+p\upsilon )=0}
  
。
分解：
  
    
      
        (
        
          u
          
            3
          
        
        +
        
          υ
          
            3
          
        
        +
        q
        )
        +
        (
        u
        +
        υ
        )
        (
        3
        u
        υ
        +
        p
        )
        =
        (
        
          u
          
            3
          
        
        +
        
          υ
          
            3
          
        
        +
        q
        )
        +
        z
        (
        3
        u
        υ
        +
        p
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+(u+\upsilon )(3u\upsilon +p)=(u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+z(3u\upsilon +p)=0}
  
。
設
  
    
      
        U
        =
        
          u
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle U=u^{3}}
  
和
  
    
      
        V
        =
        
          υ
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V=\upsilon ^{3}}
  
。我們有
  
    
      
        U
        +
        V
        =
        −
        q
      
    
    {\displaystyle U+V=-q}
  
和
  
    
      
        U
        V
        =
        −
        
          
            
              p
              
                3
              
            
            27
          
        
      
    
    {\displaystyle UV=-{\frac {p^{3}}{27}}}
  
因為
  
    
      
        U
        V
        =
        (
        u
        υ
        
          )
          
            3
          
        
        =
        (
        −
        
          
            p
            3
          
        
        
          )
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle UV=(u\upsilon )^{3}=(-{\frac {p}{3}})^{3}}
  
。所以
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
和
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
是輔助方程
  
    
      
        
          
            X
          
          
            2
          
        
        +
        q
        
          X
        
        −
        
          
            
              p
              
                3
              
            
            27
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+q\mathrm {X} -{\frac {p^{3}}{27}}=0}
  
的根(韋達定理)，可代一般二次方程公式得解。
接下來，
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
和
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
是
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
和
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的立方根，適合
  
    
      
        u
        v
        =
        −
        
          
            p
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}
  
，
  
    
      
        z
        =
        u
        +
        v
      
    
    {\displaystyle z=u+v}
  
，最後得出
  
    
      
        x
        =
        z
        −
        
          
            
              b
              ′
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x=z-{\frac {b'}{3}}}
  
。
在域
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
裡，若
  
    
      
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{0}}
  
和
  
    
      
        
          v
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{0}}
  
是立方根，其它的立方根就是
  
    
      
        ω
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega u_{0}}
  
和
  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2}u_{0}}
  
，當然還有
  
    
      
        ω
        
          v
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega v_{0}}
  
和
  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
        
          v
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2}v_{0}}
  
，其中
  
    
      
        ω
        =
        
          e
          
            
              
                2
                i
                π
              
              3
            
          
        
        =
        
          
            
              −
              1
              +
              
                
                  3
                
              
              i
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega =e^{\frac {2i\pi }{3}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}
  
，是1的一个复数立方根。
因為乘積
  
    
      
        u
        v
        =
        −
        
          
            p
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}
  
固定，所以可能的
  
    
      
        (
        u
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle (u,v)}
  
是
  
    
      
        (
        
          u
          
            0
          
        
        ,
        
          v
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (u_{0},v_{0})}
  
，
  
    
      
        (
        ω
        
          u
          
            0
          
        
        ,
        
          ω
          
            2
          
        
        
          v
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\omega u_{0},\omega ^{2}v_{0})}
  
和
  
    
      
        (
        
          ω
          
            2
          
        
        
          u
          
            0
          
        
        ,
        ω
        
          v
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\omega ^{2}u_{0},\omega v_{0})}
  
。因此三次方程的其它根是
  
    
      
        ω
        
          u
          
            0
          
        
        +
        
          ω
          
            2
          
        
        
          v
          
            0
          
        
        −
        
          
            
              b
              ′
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega u_{0}+\omega ^{2}v_{0}-{\frac {b'}{3}}}
  
和
  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
        
          u
          
            0
          
        
        +
        ω
        
          v
          
            0
          
        
        −
        
          
            
              b
              ′
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2}u_{0}+\omega v_{0}-{\frac {b'}{3}}}
  
。


 判别式  最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
裡，就是
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
的代數閉包。其中差異出現於
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
和
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。
可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式
  
    
      
        Δ
        =
        
          
            
              q
              
                2
              
            
            4
          
        
        +
        
          
            
              p
              
                3
              
            
            27
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta ={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}
  
，

若
  
    
      
        Δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta >0}
  
，方程有一个实根和两个共轭複根；
若
  
    
      
        Δ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta =0}
  
，方程有三个实根：当
  
    
      
        
          
            
              q
              
                2
              
            
            4
          
        
        =
        −
        
          
            
              p
              
                3
              
            
            27
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}=-{\frac {p^{3}}{27}}=0}
  
时，方程有一个三重实根；当
  
    
      
        
          
            
              q
              
                2
              
            
            4
          
        
        =
        −
        
          
            
              p
              
                3
              
            
            27
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}=-{\frac {p^{3}}{27}}\neq 0}
  
时，方程的三个实根中有两个相等；
若
  
    
      
        Δ
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta <0}
  
，方程有三个不等的实根：
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        2
        
          
            Q
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            θ
            3
          
        
        −
        
          
            b
            
              3
              a
            
          
        
        ,
        
          x
          
            2
            ,
            3
          
        
        =
        2
        
          
            Q
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            
              θ
              ±
              2
              π
            
            3
          
        
        −
        
          
            b
            
              3
              a
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{1}=2{\sqrt {Q}}\cos {\frac {\theta }{3}}-{\frac {b}{3a}},x_{2,3}=2{\sqrt {Q}}\cos {\frac {\theta \pm 2\pi }{3}}-{\frac {b}{3a}},}
  
其中
  
    
      
        θ
        =
        arccos
        ⁡
        
          
            R
            
              Q
              
                
                  Q
                
              
            
          
        
        ,
        Q
        =
        −
        
          
            p
            3
          
        
        ,
        R
        =
        
          
            q
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta =\arccos {\frac {R}{Q{\sqrt {Q}}}},Q=-{\frac {p}{3}},R={\frac {q}{2}}}
  
（注意，由於此公式應對於
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        p
        x
        =
        q
      
    
    {\displaystyle x^{3}+px=q}
  
的形式，因此這裡的
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
實際上是前段的
  
    
      
        −
        q
      
    
    {\displaystyle -q}
  
，應用時務必注意取負號即
  
    
      
        R
        =
        −
        
          
            q
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R=-{\frac {q}{2}}}
  
）。
注意到实系数三次方程有一實根存在，這是因為非常數多項式在
  
    
      
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty }
  
和
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
  
的極限是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號，又因为多項式是連續函數，所以從介值定理可知它在某點的值為0。


 第一個例子  解
  
    
      
        2
        
          t
          
            3
          
        
        +
        6
        
          t
          
            2
          
        
        +
        12
        t
        +
        10
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0}
  
。
我們依照上述步驟進行：

  
    
      
        
          t
          
            3
          
        
        +
        3
        
          t
          
            2
          
        
        +
        6
        t
        +
        5
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t^{3}+3t^{2}+6t+5=0}
  
（全式除以
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
）
設
  
    
      
        t
        =
        x
        −
        1
      
    
    {\displaystyle t=x-1}
  
，代換：
  
    
      
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            3
          
        
        +
        3
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            2
          
        
        +
        6
        (
        x
        −
        1
        )
        +
        5
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (x-1)^{3}+3(x-1)^{2}+6(x-1)+5=0}
  
，再展開
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        3
        x
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{3}+3x+1=0}
  
。

  
    
      
        x
        =
        u
        +
        v
      
    
    {\displaystyle x=u+v}
  
，
  
    
      
        U
        =
        
          u
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle U=u^{3}}
  
，
  
    
      
        V
        =
        
          v
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V=v^{3}}
  
。設
  
    
      
        U
        +
        V
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle U+V=-1}
  
和
  
    
      
        U
        V
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle UV=-1}
  
。
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
和
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
是
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
        +
        X
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle X^{2}+X-1=0}
  
的根。

  
    
      
        U
        =
        
          
            
              −
              1
              −
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle U={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}
  
和
  
    
      
        V
        =
        
          
            
              −
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}
  
，

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              
                −
                1
                −
                
                  
                    5
                  
                
              
              2
            
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}}
  
和
  
    
      
        v
        =
        
          
            
              
                −
                1
                +
                
                  
                    5
                  
                
              
              2
            
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}}
  
。

  
    
      
        t
        =
        x
        −
        1
        =
        u
        +
        v
        −
        1
      
    
    {\displaystyle t=x-1=u+v-1}
  
，

  
    
      
        =
        
          
            
              
                −
                1
                −
                
                  
                    5
                  
                
              
              2
            
            
              3
            
          
        
        +
        
          
            
              
                −
                1
                +
                
                  
                    5
                  
                
              
              2
            
            
              3
            
          
        
        −
        1
        ≈
        −
        1.3221853546
      
    
    {\displaystyle ={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}-1\approx -1.3221853546}
  

该方程的另外两个根：

  
    
      
        
          t
          
            2
          
        
        ≈
        −
        0.838907
        +
        1.75438
        i
      
    
    {\displaystyle t_{2}\approx -0.838907+1.75438i}
  
，

  
    
      
        
          t
          
            3
          
        
        ≈
        −
        0.838907
        −
        1.75438
        i
      
    
    {\displaystyle t_{3}\approx -0.838907-1.75438i}
  
，


 第二个例子  这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。
方程是
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        −
        15
        x
        −
        4
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{3}-15x-4=0}
  
。
从函数
  
    
      
        x
        ↦
        
          x
          
            3
          
        
        −
        15
        x
        −
        4
      
    
    {\displaystyle x\mapsto x^{3}-15x-4}
  
算出判别式的值
  
    
      
        Δ
        =
        −
        13068
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta =-13068<0}
  
，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。
前两步都不需要做，做第三步：
  
    
      
        x
        =
        u
        +
        v
      
    
    {\displaystyle x=u+v}
  
，
  
    
      
        U
        =
        
          u
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle U=u^{3}}
  
，
  
    
      
        V
        =
        
          v
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V=v^{3}}
  
。

  
    
      
        U
        +
        V
        =
        4
      
    
    {\displaystyle U+V=4}
  
和
  
    
      
        U
        V
        =
        125
      
    
    {\displaystyle UV=125}
  
。

  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
和
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
是
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
        −
        4
        X
        +
        125
        =
        0
      
    
    {\displaystyle X^{2}-4X+125=0}
  
的根。这方程的判别式已算出是负数，所以只有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。
我们解出
  
    
      
        U
        =
        2
        −
        11
        
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle U=2-11{\mathrm {i} }}
  
和
  
    
      
        V
        =
        2
        +
        11
        
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle V=2+11{\mathrm {i} }}
  
。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部：
现设
  
    
      
        u
        =
        a
        +
        b
        
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle u=a+b{\mathrm {i} }}
  
。

  
    
      
        
          u
          
            3
          
        
        =
        2
        −
        11
        
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{3}=2-11{\mathrm {i} }}
  
等价于：

  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        −
        3
        a
        
          b
          
            2
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle a^{3}-3ab^{2}=2}
  
（实部）

  
    
      
        3
        
          a
          
            2
          
        
        b
        −
        
          b
          
            3
          
        
        =
        −
        11
      
    
    {\displaystyle 3a^{2}b-b^{3}=-11}
  
（虚部）

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        5
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=5}
  
（模）
得到
  
    
      
        a
        =
        2
      
    
    {\displaystyle a=2}
  
和
  
    
      
        b
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle b=-1}
  
，也就是
  
    
      
        u
        =
        2
        −
        
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle u=2-{\mathrm {i} }}
  
，而
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
是其共轭：
  
    
      
        v
        =
        2
        +
        
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle v=2+{\mathrm {i} }}
  
。
归结得
  
    
      
        x
        =
        u
        +
        v
        =
        (
        2
        −
        
          
            i
          
        
        )
        +
        (
        2
        +
        
          
            i
          
        
        )
        =
        4
      
    
    {\displaystyle x=u+v=(2-{\mathrm {i} })+(2+{\mathrm {i} })=4}
  
，可以立时验证出来。
其它根是
  
    
      
        
          x
          ′
        
        =
        j
        (
        2
        −
        
          
            i
          
        
        )
        +
        
          j
          
            2
          
        
        (
        2
        +
        
          
            i
          
        
        )
        =
        −
        2
        +
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x'=j(2-{\mathrm {i} })+j^{2}(2+{\mathrm {i} })=-2+{\sqrt {3}}}
  
和
  
    
      
        
          x
          ″
        
        =
        
          j
          
            2
          
        
        (
        2
        −
        
          
            i
          
        
        )
        +
        j
        (
        2
        +
        
          
            i
          
        
        )
        =
        −
        2
        −
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x''=j^{2}(2-{\mathrm {i} })+j(2+{\mathrm {i} })=-2-{\sqrt {3}}}
  
，其中
  
    
      
        j
        =
        
          
            
              −
              1
              +
              
                
                  3
                
              
              i
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle j={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}
  
。
当
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  
是负，
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
和
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
共轭，故此
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
和
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
也是（要适当选取立方根，记得
  
    
      
        u
        v
        =
        −
        
          
            p
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}
  
）；所以我们可确保
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是实数，还有
  
    
      
        
          x
          ′
        
      
    
    {\displaystyle x'}
  
和
  
    
      
        
          x
          ″
        
      
    
    {\displaystyle x''}
  
。


= 盛金公式法 =

  
    
      
        a
        
          x
          
            3
          
        
        +
        b
        
          x
          
            2
          
        
        +
        c
        x
        +
        d
        =
        0
        ,
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}
  
，其中系数皆为实数。


 判别式  重根判别式：
  
    
      
        A
        =
        
          b
          
            2
          
        
        −
        3
        a
        c
        ,
         
        B
        =
        b
        c
        −
        9
        a
        d
        ,
         
        C
        =
        
          c
          
            2
          
        
        −
        3
        b
        d
      
    
    {\displaystyle A=b^{2}-3ac,\ B=bc-9ad,\ C=c^{2}-3bd}
  
；
总判别式：
  
    
      
        Δ
        =
        
          B
          
            2
          
        
        −
        4
        A
        C
      
    
    {\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}
  
。


 情况1：  A
        =
        B
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A=B=0}
  

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
            
            
              3
              a
            
          
        
        =
        
          
            
              −
              c
            
            b
          
        
        =
        
          
            
              −
              3
              d
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\frac {-b}{3a}}={\frac {-c}{b}}={\frac {-3d}{c}}}
  
。


 情况2：  Δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta >0}
  

让
  
    
      
        
          y
          
            1
            ,
            2
          
        
        =
        A
        b
        +
        3
        a
        
          (
          
            
              
                −
                B
                ±
                
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    4
                    A
                    C
                  
                
              
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle y_{1,2}=Ab+3a\left({\frac {-B\pm {\sqrt {B^{2}-4AC}}}{2}}\right)}
  
，得：

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              −
              
                (
                
                  
                    
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                )
              
            
            
              3
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\frac {-b-\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right)}{3a}}}
  
；

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              2
              b
              +
              
                (
                
                  
                    
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                )
              
              +
              
                
                  3
                
              
              
                (
                
                  
                    
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                
                  i
                
              
            
            
              6
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}={\frac {-2b+\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right)+{\sqrt {3}}\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}-{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right){\rm {i}}}{6a}}}
  
；

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              −
              2
              b
              +
              
                (
                
                  
                    
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                )
              
              −
              
                
                  3
                
              
              
                (
                
                  
                    
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                
                  i
                
              
            
            
              6
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{3}={\frac {-2b+\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right)-{\sqrt {3}}\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}-{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right){\rm {i}}}{6a}}}
  
。


 情况3：  Δ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta =0}
  

让
  
    
      
        k
        =
        
          
            B
            A
          
        
         
        (
        A
        =
        0
        )
      
    
    {\displaystyle k={\frac {B}{A}}\ (A\neq 0)}
  
，得：

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
            
            a
          
        
        +
        k
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\frac {-b}{a}}+k}
  
；

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              −
              k
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {-k}{2}}}
  
。


 情况4：  Δ
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta <0}
  

让
  
    
      
        t
        =
        
          
            
              2
              A
              b
              −
              3
              a
              B
            
            
              2
              A
              
                
                  A
                
              
            
          
        
         
        (
        A
        >
        0
        ,
        −
        1
        <
        t
        <
        1
        )
        ,
        θ
        =
        arccos
        ⁡
        t
      
    
    {\displaystyle t={\frac {2Ab-3aB}{2A{\sqrt {A}}}}\ (A>0,-1<t<1),\theta =\arccos t}
  
，得：

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              −
              2
              
                
                  A
                
              
              cos
              ⁡
              
                
                  θ
                  3
                
              
            
            
              3
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\frac {-b-2{\sqrt {A}}\cos {\frac {\theta }{3}}}{3a}}}
  
；

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              +
              
                
                  A
                
              
              
                (
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    
                      θ
                      3
                    
                  
                  +
                  
                    
                      3
                    
                  
                  sin
                  ⁡
                  
                    
                      θ
                      3
                    
                  
                
                )
              
            
            
              3
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {A}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+{\sqrt {3}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)}{3a}}}
  
；

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              +
              
                
                  A
                
              
              
                (
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    
                      θ
                      3
                    
                  
                  −
                  
                    
                      3
                    
                  
                  sin
                  ⁡
                  
                    
                      θ
                      3
                    
                  
                
                )
              
            
            
              3
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{3}={\frac {-b+{\sqrt {A}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-{\sqrt {3}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)}{3a}}}
  
。


极值 = 驻点的公式 =
设
  
    
      
        y
        =
        a
        
          x
          
            3
          
        
        +
        b
        
          x
          
            2
          
        
        +
        c
        x
        +
        d
      
    
    {\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
  

将其微分，可得
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        3
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=3ax^{2}+2bx+c}
  

有序列表项


= 拐点 =

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              y
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        6
        a
        x
        +
        2
        b
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=6ax+2b}
  

设
  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              y
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}
  
，可得
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
。

  
    
      
        x
        =
        −
        
          
            b
            
              3
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-{\frac {b}{3a}}}
  


= 驻点的类型 =
由函数取极值的充分条件可知：

  
    
      
        
          f
          
            ′
            ′
          
        
        (
        
          x
          
            e
          
        
        )
        <
        0
      
    
    {\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})<0}
  
，
  
    
      
        
          x
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{e}}
  
是
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的极大值点；

  
    
      
        
          f
          
            ′
            ′
          
        
        (
        
          x
          
            e
          
        
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})>0}
  
，
  
    
      
        
          x
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{e}}
  
是
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的极小值点；

  
    
      
        
          f
          
            ′
            ′
          
        
        (
        
          x
          
            e
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})=0}
  
，
  
    
      
        
          x
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{e}}
  
是
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的拐点。

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              y
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        6
        a
        x
        +
        2
        b
        =
        2
        (
        3
        a
        x
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=6ax+2b=2(3ax+b)}
  
可知：

  
    
      
        3
        a
        
          x
          
            e
          
        
        +
        b
        <
        0
      
    
    {\displaystyle 3ax_{e}+b<0}
  
，
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的驻点为极大值点；

  
    
      
        3
        a
        
          x
          
            e
          
        
        +
        b
        >
        0
      
    
    {\displaystyle 3ax_{e}+b>0}
  
，
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的驻点为极小值点；

  
    
      
        3
        a
        
          x
          
            e
          
        
        +
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 3ax_{e}+b=0}
  
，
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的驻点为拐点。


參見 參考資料 外部链接 代數學的故事：三次方程的一般解（页面存档备份，存于互联网档案馆），李白飛
三次方程的判別式（页面存档备份，存于互联网档案馆），應用（页面存档备份，存于互联网档案馆），Carto Wong
以複變函數求解一元三次方程式的根（页面存档备份，存于互联网档案馆）
一元三次方程解法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）