在固体物理学中，布洛赫波（Bloch wave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数，又名布洛赫态（Bloch state）。
布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫而得名。
布洛赫波由一个平面波和一个周期函数 
  
    
      
        u
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle u({\boldsymbol {r}})}
  
 （布洛赫波包）相乘得到。其中 
  
    
      
        u
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle u({\boldsymbol {r}})}
  
 与势场具有相同周期性。布洛赫波的具体形式为：

  
    
      
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            e
          
          
            
              i
            
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
          
        
        u
        (
        
          r
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}u({\boldsymbol {r}}).}
  

式中 
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
  
 为波向量。上式表达的波函数称为布洛赫函数。当势场具有离散的平移对称性，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：

  
    
      
        ψ
        (
        
          r
        
        +
        
          
            R
            
              n
            
          
        
        )
        =
        
          
            e
          
          
            
              i
            
            
              k
            
            ⋅
            
              
                R
                
                  n
                
              
            
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R_{n}}})=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R_{n}}}}\psi ({\boldsymbol {r}})}
  

这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem），其中 
  
    
      
        
          
            R
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {R_{n}}}}
  
 为晶格周期向量。可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。
平面波波向量 
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
  
 （又称“布洛赫波向量”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶格动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵向量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波向量，即所谓“简约波向量”。对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n 以区别。这些能带的能量在 
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
  
 的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。在单电子近似的框架内，如一个周期性势场具有离散的平移对称性，电子的波函数可以由能带和晶格动量来共同标记。电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数来可靠地预言。
上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波向量 
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {k}}}
  
 是一个守恒量（以倒易点阵向量为模），即电子波的群速度为守恒量。换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷以及电子与声子的相互作用。
从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符与平移算符的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。  
布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（1877年），加斯东·弗洛凯（1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（1892年）等独立地提出。因此，类似性质的概念在各个领域有着不同的名称：常微分方程理论中称为弗洛凯理论（也有人称“李雅普诺夫-弗洛凯定理”）；一维周期性波动方程则有时被称为希尔方程。


布洛赫定理的证明 给出平移算符
  
    
      
        
          
            
              
                T
                ^
              
            
          
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}}
  
，并定义其作用为对任意函数
  
    
      
        f
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle f({\boldsymbol {r}})}
  
有：

  
    
      
        
          
            
              
                T
                ^
              
            
          
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        f
        (
        
          r
        
        )
        =
        f
        (
        
          r
        
        +
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}f({\boldsymbol {r}})=f({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})}
  

其中
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{n}}
  
是布拉维格子的任意矢量。
由于晶格周期势的周期性，不难得到晶格哈密顿量具有离散的平移对称性：

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        (
        
          r
        
        +
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {H}}({\boldsymbol {r}})}
  

所以有：

  
    
      
        
          
            
              
                T
                ^
              
            
          
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        (
        
          r
        
        +
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        ψ
        (
        
          r
        
        +
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        (
        
          r
        
        )
        ψ
        (
        
          r
        
        +
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        
          
            
              
                T
                ^
              
            
          
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}{\hat {H}}\psi ({\boldsymbol {r}})={\hat {H}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {H}}({\boldsymbol {r}})\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {H}}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})}
  

即此时哈密顿量算符与平移算符是对易的，从而它们具有共同的本征函数，因此可讨论
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
  
的本征函数来代替对
  
    
      
        
          
            
              
                T
                ^
              
            
          
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}}
  
本征函数的讨论。
设
  
    
      
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})}
  
为这两个算符的共同本征函数，
  
    
      
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}}
  
是对应本征值，那么有：

  
    
      
        
          
            
              
                T
                ^
              
            
          
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        ψ
        (
        
          r
        
        +
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        =
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})=\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})=\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})}
  

波函数的归一化条件：

  
    
      
        ∫
        
          |
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          d
        
        
          r
        
        =
        ∫
        
          |
        
        ψ
        (
        
          r
        
        +
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          d
        
        
          r
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int |\psi ({\boldsymbol {r}})|^{2}{\text{d}}{\boldsymbol {r}}=\int |\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})|^{2}{\text{d}}{\boldsymbol {r}}=1}
  

要求
  
    
      
        
          |
        
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle |\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}|^{2}=1}
  
，即本征值的形式应为：

  
    
      
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          e
          
            i
            
              β
              
                
                  
                    R
                  
                  
                    n
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}=e^{i\beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}}}}
  

除此之外，平移算符还要满足
  
    
      
        
          
            
              
                T
                ^
              
            
          
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        
          
            
              
                T
                ^
              
            
          
          
            
              
                R
              
              
                m
              
            
          
        
        ψ
        =
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                m
              
            
          
        
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        ψ
        =
        
          
            
              
                T
                ^
              
            
          
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            +
            
              
                R
              
              
                m
              
            
          
        
        ψ
        =
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            +
            
              
                R
              
              
                m
              
            
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{m}}\psi =\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{m}}\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ={\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{m}}\psi =\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{m}}\psi }
  

，即平移算符本征值要满足关系：

  
    
      
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            +
            
              
                R
              
              
                m
              
            
          
        
        =
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                m
              
            
          
        
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{m}}=\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{m}}\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}}
  

将之前推导得到的
  
    
      
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          e
          
            i
            
              β
              
                
                  
                    R
                  
                  
                    n
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}=e^{i\beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}}}}
  
带入上式中，有：

  
    
      
        
          β
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            +
            
              
                R
              
              
                m
              
            
          
        
        =
        
          β
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        +
        
          β
          
            
              
                R
              
              
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{m}}=\beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}}+\beta _{{\boldsymbol {R}}_{m}}}
  

由此可知，
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
与
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{n}}
  
必须成正比关系，所以可设
  
    
      
        
          β
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          k
        
        ⋅
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}}={\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}
  
，从而：

  
    
      
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          e
          
            i
            
              k
            
            ⋅
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}}
  

因此证明了对任意的布拉维格矢
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{n}}
  
其本征波函数有如下关系：

  
    
      
        ψ
        (
        
          r
        
        +
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                T
                ^
              
            
          
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          λ
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          e
          
            i
            
              k
            
            ⋅
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})=\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})}
  

此即布洛赫定理。


参见 K·p微扰论
轨道磁化
Hannay角
几何相位


参考资料