階躍響應是指系統在其輸入為單位階躍函數時，其輸出的變化。在電子工程或自動控制領域中，階躍響應是指系統的輸入在很短時間由0變成1時，其輸出的時域特性。此概念可以延伸到使用抽象数学概念的动力系统，以演化参数表示其特性。
分析系統的階躍響應有助於了解系統的特性，因為當輸入在長時間穩態後，有快速而大幅度的變化，可以看出系統各個部份的特性。而且也可以知道系統的穩定性。


階躍響應的時域相關特性 系统的階躍響應可以用与以下时域特性的量來描述：

过衝（overshoot）。
上昇時間（rise time）。
安定時間（settling time）。
振鈴（ringing）。
对于线性动态系统来说，从这些特征中可以推知许多该系统的信息。


一階線性電路的階躍響應 考慮如右圖的RC電路，頻域下輸出電壓Vc和輸入電壓Vin的關係可表示為下式：

  
    
      
        
          V
          
            c
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          
            
              1
              
                /
              
              C
              s
            
            
              R
              +
              1
              
                /
              
              C
              s
            
          
        
        
          V
          
            i
            n
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              R
              C
              s
            
          
        
        
          V
          
            i
            n
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              τ
              s
            
          
        
        
          V
          
            i
            n
          
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle V_{c}(s)={\frac {1/Cs}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {1}{1+RCs}}V_{in}(s)={\frac {1}{1+\tau s}}V_{in}(s)}
  

其中
  
    
      
        τ
        =
        R
        C
      
    
    {\displaystyle \tau =RC}
  
為此系統的時間常數
考慮以下形式的輸入電壓Vin(t)：

  
    
      
        
          V
          
            i
            n
          
        
        (
        t
        )
        =
        0
        ,
        t
        ≤
        0
      
    
    {\displaystyle V_{in}(t)=0,t\leq 0}
  

  
    
      
        
          V
          
            i
            n
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          V
          
            i
            n
          
        
        ,
        t
        >
        0
      
    
    {\displaystyle V_{in}(t)=V_{in},t>0}
  

則輸出電壓Vc(t)可以表示為以下的形式：

  
    
      
        
          V
          
            c
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          V
          
            i
            n
          
        
        (
        1
        −
        
          e
          
            −
            
              
                t
                τ
              
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle V_{c}(t)=V_{in}(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})}
  


反馈放大器的阶跃响应 本节介绍了一个简单的负反馈放大器的阶跃响应如图1所示。反馈放大器由一个增益为 AOL 的主开环放大器和反馈因子为 β 的反馈回路。以下會分析此回授放大器，確認其阶跃响应和控制響應的時間常數之間的關係，也看阶跃响应和回授量之間的關係。
负反馈放大器增益为（见负反馈放大器）：

  
    
      
        
          A
          
            F
            B
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                O
                L
              
            
            
              1
              +
              β
              
                A
                
                  O
                  L
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}}}
  
，
其中

AOL = 开环增益
AFB = 闭环增益（存在负反馈时的增益）
β = 反馈因子。


= 有一个主导极点 =
在许多情况下，可以用时间常数 τ 的单一主导极点很好地模拟正向放大器，它的开环增益为：

  
    
      
        
          A
          
            O
            L
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                0
              
            
            
              1
              +
              j
              ω
              τ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{1+j\omega \tau }}}
  
，
零频率增益为 A0，角频率 ω = 2πf。这种正向放大器有单位阶跃响应

  
    
      
        
          S
          
            O
            L
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          A
          
            0
          
        
        (
        1
        −
        
          e
          
            −
            t
            
              /
            
            τ
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle S_{OL}(t)=A_{0}(1-e^{-t/\tau })}
  
，
是从零到新平衡值 A0 的指数趋近。
单极点放大器的传递函数导出闭环增益：

  
    
      
        
          A
          
            F
            B
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                0
              
            
            
              1
              +
              β
              
                A
                
                  0
                
              
            
          
        
        ×
        
          
            1
            
              1
              +
              j
              ω
              
                
                  τ
                  
                    1
                    +
                    β
                    
                      A
                      
                        0
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\times {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau }{1+\beta A_{0}}}}}}
  

此闭环增益与开环增益是形式相同：均为单极滤波器。其阶跃响应的形式相同：一个趋于新平衡值的指数衰减。但闭环阶跃函数的时间常数为  τ / (1 + β A0)，因此因此它比前向放大器的响应快，是其 1 + β A0 倍：

  
    
      
        
          S
          
            F
            B
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              A
              
                0
              
            
            
              1
              +
              β
              
                A
                
                  0
                
              
            
          
        
        (
        1
        −
        
          e
          
            −
            t
            (
            1
            +
            β
            
              A
              
                0
              
            
            )
            
              /
            
            τ
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle S_{FB}(t)={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}(1-e^{-t(1+\beta A_{0})/\tau })}
  
，
由于反馈因子 β 的增加，阶跃响应会更快，直到最初假设的一个主导极点不再准确。如果有第二个极点，则随着闭环时间常数区域第二个极点的时间常数，需要进行双极点分析。


= 双极点放大器 =
在开环增益有两个极点的情况下（两个时间常数，τ1和τ2），阶跃响应更为复杂。开环增益为：

  
    
      
        
          A
          
            O
            L
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                0
              
            
            
              (
              1
              +
              j
              ω
              
                τ
                
                  1
                
              
              )
              (
              1
              +
              j
              ω
              
                τ
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}},}
  

零频率增益为 A0，角频率 ω = 2πf。


 分析  双极点放大器的传递函数可以导出闭环增益：

  
    
      
        
          A
          
            F
            B
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                0
              
            
            
              1
              +
              β
              
                A
                
                  0
                
              
            
          
        
        ×
        
          
            1
            
              1
              +
              j
              ω
              
                
                  
                    
                      τ
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      τ
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    1
                    +
                    β
                    
                      A
                      
                        0
                      
                    
                  
                
              
              +
              (
              j
              ω
              
                )
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      τ
                      
                        1
                      
                    
                    
                      τ
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    1
                    +
                    β
                    
                      A
                      
                        0
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\times {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}}
  

放大器的时间相关性通过切换变量 s = jω 很容易发现，于是增益变为：

  
    
      
        
          A
          
            F
            B
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                0
              
            
            
              
                τ
                
                  1
                
              
              
                τ
                
                  2
                
              
            
          
        
        ×
        
          
            1
            
              
                s
                
                  2
                
              
              +
              s
              
                (
                
                  
                    
                      1
                      
                        τ
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      1
                      
                        τ
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              +
              
                
                  
                    1
                    +
                    β
                    
                      A
                      
                        0
                      
                    
                  
                  
                    
                      τ
                      
                        1
                      
                    
                    
                      τ
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\times {\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}}
  

这个表达式的极点（即分母的零点）位于：

  
    
      
        2
        s
        =
        −
        
          (
          
            
              
                1
                
                  τ
                  
                    1
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle 2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)}
  

  
    
      
        ±
        
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      1
                      
                        τ
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                  −
                  
                    
                      1
                      
                        τ
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            −
            
              
                
                  4
                  β
                  
                    A
                    
                      0
                    
                  
                
                
                  
                    τ
                    
                      1
                    
                  
                  
                    τ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},}
  

这说明对于足够大 βA0 平方根就会变成虚数，极点的位置是共轭复数，s+ 与 s−；参见图2：

  
    
      
        
          s
          
            ±
          
        
        =
        −
        ρ
        ±
        j
        μ
        ,
        
      
    
    {\displaystyle s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,\,}
  

其中

  
    
      
        ρ
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  τ
                  
                    1
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),}
  

而

  
    
      
        μ
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              
                
                  4
                  β
                  
                    A
                    
                      0
                    
                  
                
                
                  
                    τ
                    
                      1
                    
                  
                  
                    τ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                (
                
                  
                    
                      1
                      
                        τ
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                  −
                  
                    
                      1
                      
                        τ
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}}
  

使用极坐标系，根的半径的模为 |s|（图2）：

  
    
      
        
          |
        
        s
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          s
          
            ±
          
        
        
          |
        
        =
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            +
            
              μ
              
                2
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle |s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},}
  

而角坐标 φ 为：

  
    
      
        cos
        ⁡
        ϕ
        =
        
          
            ρ
            
              
                |
              
              s
              
                |
              
            
          
        
        ,
        sin
        ⁡
        ϕ
        =
        
          
            μ
            
              
                |
              
              s
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}}
  

拉普拉斯变换表告诉我们这样一个系统的时间响应是由两个函数的组合而成的：

  
    
      
        
          e
          
            −
            ρ
            t
          
        
        sin
        ⁡
        (
        μ
        t
        )
        
        
          and
        
        
      
    
    {\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{and}}\quad }
  
 
  
    
      
        
          e
          
            −
            ρ
            t
          
        
        cos
        ⁡
        (
        μ
        t
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle e^{-\rho t}\cos(\mu t),}
  

也就是说，解在时间上阻尼振荡。特别是，该系统的单位阶跃响应为：

  
    
      
        S
        (
        t
        )
        =
        
          (
          
            
              
                A
                
                  0
                
              
              
                1
                +
                β
                
                  A
                  
                    0
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            1
            −
            
              e
              
                −
                ρ
                t
              
            
             
            
              
                
                  sin
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      μ
                      t
                      +
                      ϕ
                    
                    )
                  
                
                
                  sin
                  ⁡
                  (
                  ϕ
                  )
                
              
            
          
          )
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin(\phi )}}\right)\ ,}
  

化简为

  
    
      
        S
        (
        t
        )
        =
        1
        −
        
          e
          
            −
            ρ
            t
          
        
         
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  μ
                  t
                  +
                  ϕ
                
                )
              
            
            
              sin
              ⁡
              (
              ϕ
              )
            
          
        
         
      
    
    {\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin(\phi )}}\ }
  

当 A0 趋于无穷大时，反馈系数 β 为1。
注意到响应的阻尼是由 ρ 決定的，也就是由开环放大器的时间常数确定的。相反，振荡的频率是由 μ 确定的，也就是由, 通过 βA0 由反馈参数确定的。因为 ρ 涉及到时间常数的倒数之和，所以可以发现 ρ 主要受到两个时间常数中较短的那个影响。


 结果  图3显示了参数 μ 取3个不同值时，单元阶跃输入的时间响应。可以看出随着 μ 增加，振荡频率也会增加，但振荡被包含在由指数型函数 [ 1 − exp (−ρt) ] 和 [ 1 + exp(−ρt) ] 确定的两条渐近线以内。这两条渐近线是由 ρ 决定的，所以也就由开环放大器的时间常数决定，与反馈无关。
终值的振荡现象被称为振鈴。过冲是指摆动最大值高于终值，显然会随着 μ 增加。同样，下冲是指摆动最小值低于终值，同样也会随着 μ 增加。安定時間是指从终值出发，降到低于某个特定水平（终值的10%）用的时间。
稳定时间对 μ 的依赖性不明显，而双极点系统的近似可能不能达到用稳定时间对反馈的依赖性作出现实中的结论的准确性。但渐近线 [ 1 − exp (−ρt) ] 与 [ 1 + exp (−ρt) ] 显然影响稳定时间，它们被开环放大器的时间常数控制，特别是在2个时间常数中的时间较短的。这表明开环放大器的设计必须满足稳定时间的规定。
此分析的有两个主要结论：

反馈控制了给定开环放大器并给定开环时间常数 τ1 与 τ2 时终值上下振荡的幅度。
开环放大器决定了稳定时间。它确定了图3中的时标，开环放大器越快，时标越快。
顺便说一句，可以注意到实际中与线性双极点模型的偏离主要来自两个方面：其一，实际放大器的极点多於两个，零点也是；其二，实际放大器是非线性的，所以它们的阶跃响应会随着信号幅度变换。


 控制过冲  以下會說明如何用適當的參數選擇來減少過沖。
利用以上的公式，可以將階躍響應微分找最大值來計算過沖量。其過沖量最大值Smax 為 ：

  
    
      
        
          S
          
            max
          
        
        =
        1
        +
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            π
            
              
                ρ
                μ
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right)}
  

階躍響應的終值為1，因此其指數即為過沖量。可以看出若μ = 0，其過沖量為0，也就是：

  
    
      
        
          
            
              4
              β
              
                A
                
                  0
                
              
            
            
              
                τ
                
                  1
                
              
              
                τ
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                  
                    τ
                    
                      1
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  1
                  
                    τ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}
  

令x = ( τ1 / τ2 )1 / 2  ，可以求解二個時間常數之間的比例，結果為

  
    
      
        x
        =
        
          
            β
            
              A
              
                0
              
            
          
        
        +
        
          
            β
            
              A
              
                0
              
            
            +
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}\,}
  

因為β A0 >> 1，因此平方根中的1可以省略，得到

  
    
      
        
          
            
              τ
              
                1
              
            
            
              τ
              
                2
              
            
          
        
        =
        4
        β
        
          A
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}}
  

換句話說，第一個時間常數需遠大於第二個時間常數。有時系統為了一些特性，需要允許一些過沖量，以下的關係中引入一個因子α：

  
    
      
        
          
            
              τ
              
                1
              
            
            
              τ
              
                2
              
            
          
        
        =
        α
        β
        
          A
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},}
  

α可以依允許的過沖量來設計。
圖4就是描述其程序。比較上圖（α = 4）及下圖（α = 0.5）可以看出α較小，可以加快響應的速度，但也讓過沖量變大。中間的圖α = 2為幅度最平坦的滤波器，在波德圖上沒有尖點。此設計有經驗法則內建的安全預度，可以處理像重零點、重極點、非線性（例如和信號振幅相依的特性）及製造的變異，這些都可能造成過大的過沖量。極點擺放位置（也就是α）的調整是頻率補償的主題，其中一個方式是極點分離。


 稳定时间控制  图3中阶跃响应中振铃的幅度是由阻尼因数 exp ( −ρ t ) 决定的。也就是说，如果我们指定出可接受的阶跃响应离终值的偏移量 Δ，即：

  
    
      
        S
        (
        t
        )
        ≤
        1
        +
        Δ
        ,
        
      
    
    {\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta ,\,}
  

在时间长于稳定时间 tS 这个前提下，无论 β AOL 的值为多少时这个条件都能满足。稳定时间 tS 为：

  
    
      
        Δ
        =
        
          e
          
            −
            ρ
            
              t
              
                S
              
            
          
        
        
           or 
        
        
          t
          
            S
          
        
        =
        
          
            
              ln
              ⁡
              
                (
                
                  
                    1
                    Δ
                  
                
                )
              
            
            ρ
          
        
        =
        
          τ
          
            2
          
        
        
          
            
              2
              ln
              ⁡
              
                (
                
                  
                    1
                    Δ
                  
                
                )
              
            
            
              1
              +
              
                
                  
                    τ
                    
                      2
                    
                  
                  
                    τ
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
          
        
        ≈
        2
        
          τ
          
            2
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              1
              Δ
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln \left({\frac {1}{\Delta }}\right)}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln \left({\frac {1}{\Delta }}\right)}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln \left({\frac {1}{\Delta }}\right),}
  

因為過沖的條件，τ1 = αβAOL τ2，因此τ1 >> τ2 成立。一般稳定时间條件是指稳定时间和其單位增益的頻寬成反比的情形，原因是1/(2π τ2)接近放大器在典型主極點補償下的頻寬。不過此結果比經驗法則的結果更準確。例如，若Δ = 1/e4 = 1.8 %，其稳定时间為tS = 8 τ2。
一般而言，對過沖量的控制會決定二個時間常數的比例，稳定时间tS 會決定 τ2。


 相位裕度  其次，極點比例τ1/τ2也和回授放大器的相位裕度有關。圖5是二個極點放大器的波德圖，頻率到第二個極點的位置。圖5的假設是頻率f0 dB在位在f1 = 1/(2πτ1)的最小極點及位在f2 = 1/(2πτ2)的第二極點之間。如圖5所示，若 α ≥ 1，此假設即成立。
利用圖5，頻率（用f0 dB表示)為迴路增益 βA0滿足單位增益或是0 dB條件的位置，可以定義為：

  
    
      
        
          |
        
        β
        
          A
          
            OL
          
        
        (
        
          f
          
            0 db
          
        
        )
        
          |
        
        =
        1
         
      
    
    {\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1\ }
  

波德增益圖中增益下降的斜率是 20 dB/decade，頻率每增加十倍，增益下降的比例相同：

  
    
      
        
          f
          
            0 dB
          
        
        =
        β
        
          A
          
            0
          
        
        
          f
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}\,}
  

相位裕度是頻率在f0 dB 處，相位和−180°之間的距離，因此裕度為：

  
    
      
        
          ϕ
          
            m
          
        
        =
        
          180
          
            ∘
          
        
        −
        arctan
        ⁡
        (
        
          f
          
            0 dB
          
        
        
          /
        
        
          f
          
            1
          
        
        )
        −
        arctan
        ⁡
        (
        
          f
          
            0 dB
          
        
        
          /
        
        
          f
          
            2
          
        
        )
         
      
    
    {\displaystyle \phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\ }
  

因為f0 dB / f1 = βA0 >> 1，有關f1的項為90°，因此相位裕度為：

  
    
      
        
          ϕ
          
            m
          
        
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
        −
        arctan
        ⁡
        (
        
          f
          
            0 dB
          
        
        
          /
        
        
          f
          
            2
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{m}=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\,}
  

  
    
      
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
        −
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                β
                
                  A
                  
                    0
                  
                
                
                  f
                  
                    1
                  
                
              
              
                α
                β
                
                  A
                  
                    0
                  
                
                
                  f
                  
                    1
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle =90^{\circ }-\arctan \left({\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}\right)}
  

  
    
      
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
        −
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              1
              α
            
          
          )
        
        =
        arctan
        ⁡
        
          (
          α
          )
        
      
    
    {\displaystyle =90^{\circ }-\arctan \left({\frac {1}{\alpha }}\right)=\arctan \left(\alpha \right)}
  

若α = 1，則 φm = 45°，若α = 2，則φm = 63.4°. Sansen建議α = 3，對應的φm = 71.6°「是一種很好的啟始條件。」
若τ2縮短，α會增加。穩定時間tS 也會減小。若τ1變大，α也會增加，穩定時間會略有變動。若用到極點分離技巧，τ1和 τ2都會變化。
若放大器有二個以上的極點，圖5的波德圖仍然可以計算相位裕度，只要將f2視為「等效的第二極點」位置即可。


數學定義 本節以抽象概念下的動態系統
  
    
      
        
          
            
              S
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\mathfrak {S}}}
  
，來提供形式性的數學定義。所有符號及假設列在下方。

  
    
      
        
          t
          ∈
          T
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle t\in T}
  
是系統的演化參數，為方便說明，簡稱為時間。

  
    
      
        
          
            x
          
          
            
              |
            
            
              t
            
          
          ∈
          M
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {x}}|_{t}\in M}
  
是系統在時間
  
    
      
        t
        
      
    
    {\displaystyle t\,}
  
時的狀態，為方便說明，稱為輸出。

  
    
      
        
          Φ
          :
          T
          ×
          M
          ⟶
          M
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \Phi :T\times M\longrightarrow M}
  
是動態系統的演化函數。

  
    
      
        
          Φ
          (
          0
          ,
          
            x
          
          )
          =
          
            
              x
            
            
              0
            
          
          ∈
          M
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \Phi (0,{\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}_{0}\in M}
  
是動態系統的初始狀態。

  
    
      
        
          H
          (
          t
          )
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle H(t)\,}
  
是单位阶跃函数。


= 非線性動態系統 =
若針對一個一般的動態系統，其階躍響應可定義如下：

  
    
      
        
          x
        
        
          
            |
          
          
            t
          
        
        =
        
          Φ
          
            {
            H
            (
            t
            )
            }
            
              (
              
                t
                ,
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      0
                    
                  
                
              
              )
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}=\Phi _{\{H(t)\}\left(t,{{\boldsymbol {x}}_{0}}\right)}\,}
  

其階躍響應是系統輸入為單位階躍函數時的演化函數。表示式中H(t)為下標。


= 線性動態系統 =
對於一個線性非時變系統，令
  
    
      
        
          
            
              S
            
          
           
          ≡
           
          S
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\mathfrak {S}}\ \equiv \ S}
  
，其階躍響應可以用單位階躍函數
  
    
      
        
          H
          (
          t
          )
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle H(t)}
  
和系統衝激響應
  
    
      
        
          h
          (
          t
          )
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h(t)}
  
的卷積來表示：

  
    
      
        a
        (
        t
        )
        =
        
          h
          ∗
          H
        
        (
        t
        )
        =
        
          H
          ∗
          h
        
        (
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        h
        (
        τ
        )
        H
        (
        t
        −
        τ
        )
        
        d
        τ
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            t
          
        
        h
        (
        τ
        )
        
        d
        τ
      
    
    {\displaystyle a(t)={h*H}(t)={H*h}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau }
  

對線性非時變系統而言就是將後面的式子積分。相對的，對於線性非時變系統，階躍響應的微分即為衝激響應：

  
    
      
        h
        (
        t
        )
        =
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
        a
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle h(t)={\frac {d}{dt}}\,a(t)}
  

不過此關係在非線性系統或是時變系統並不成立。
對於一個線性非時變系統，其階躍響應可以用單位階躍函數
  
    
      
        
          H
          (
          t
          )
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle H(t)}
  
和系統衝激響應
  
    
      
        
          h
          (
          t
          )
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h(t)}
  
的卷積來表示：

  
    
      
        a
        (
        t
        )
        =
        
          h
          ∗
          H
        
        (
        t
        )
        =
        
          H
          ∗
          h
        
        (
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        h
        (
        τ
        )
        H
        (
        t
        −
        τ
        )
        
        d
        τ
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            t
          
        
        h
        (
        τ
        )
        
        d
        τ
      
    
    {\displaystyle a(t)={h*H}(t)={H*h}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau }
  


參照 衝激響應
过冲
上昇時間
安定時間
時間常數
極點分離


参考文献与注释 延伸阅读 外部链接 Kuo power point slides; Chapter 7 especially （页面存档备份，存于互联网档案馆）