在拓扑学中，两个同维数流形之间的连续映射的度数（degree）非正式地说是一个点被盖住的次数。一个映射的度数可用同调群，或（对光滑映射）正则值的原像定义。它是卷绕数的一个推广。例如，考虑复平面上映射 zn，视为 S2 到自身的映射，具有度数 n，它将球面绕自身缠了 n 圈。
在物理学中，连续映射的度数，比如从空间到有序参数集的一个映射，是拓扑量子数的一个例子。


从一个圆周到自身 最简单也最重要的例子是从圆周到自身一个连续映射的度数（这称为卷绕数）：

  
    
      
        f
        :
        
          S
          
            1
          
        
        →
        
          S
          
            1
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle f\colon S^{1}\to S^{1}.\,}
  

存在投影：

  
    
      
        
          R
        
        →
        
          S
          
            1
          
        
        =
        
          R
        
        
          /
        
        
          Z
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} \,}
  
,  
  
    
      
        x
        ↦
        [
        x
        ]
        ,
      
    
    {\displaystyle x\mapsto [x],}
  

这里 [x] 是 x 模 1 等价类（即 
  
    
      
        x
        ∼
        y
      
    
    {\displaystyle x\sim y}
  
 当且仅当 
  
    
      
        x
        −
        y
      
    
    {\displaystyle x-y}
  
 是整数）。 
如果

  
    
      
        f
        :
        
          S
          
            1
          
        
        →
        
          S
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}\,}
  

连续则存在一个连续映射

  
    
      
        F
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
        ,
      
    
    {\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}
  

称为 f 到 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
 的提升，使得 f([z]) = [F(z)]。这样一个提升在差一个整数相加下惟一确定，且

  
    
      
        deg
        ⁡
        (
        f
        )
        =
        F
        (
        x
        +
        1
        )
        −
        F
        (
        x
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle \deg(f)=F(x+1)-F(x).\,}
  

注意到

  
    
      
        F
        (
        x
        +
        1
        )
        −
        F
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle F(x+1)-F(x)\,}
  

是一个整数且关于 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 也连续；实数线上局部常值函数一定是常数。从而此定义与 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的选择无关。


流形之间 = 代数拓扑 =
设 X 与 Y 是一个闭连通定向 m-维流形。流形的定向性蕴含最高阶同调群同构于 Z。选取一个定向意味着选取最高阶同调群的一个生成元。
一个连续映射 f : X→Y 诱导从 Hm(X) 到 Hm(Y) 的同态 f*。设 [X] 是选定的 Hm(X) 的生成元，或言 X 基本类。则 f 的度数定义为f*([X])。换句话说，

  
    
      
        
          f
          
            ∗
          
        
        (
        [
        X
        ]
        )
        =
        deg
        ⁡
        (
        f
        )
        [
        Y
        ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.}
  

如果 y 属于 Y 且 f-1(y) 是一个有限集合，f 的度数可以通过考虑 X 在 f-1(y) 每个点的 m-阶局部同调群计算出来。


= 微分拓扑 =
在微分拓扑的语言中，一个连续映射的度数可如下定义：如果 f 是一个连续映射，定义域是一个紧流形，设 p 是 f 的一个正则值，考虑有限集合

  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        p
        )
        =
        {
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        }
        
        .
      
    
    {\displaystyle f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},..,x_{n}\}\,.}
  

由 p 是一个正则值，在每个 xi 的一个邻域中映射 f 是局部微分同胚（这是一个覆盖映射）。微分同胚可以为保持定向或反定向。设 r 是 xi 中 f 保持定向的个数，而 s 是反定向的个数。当 f 的定义域是连通的，数 r - s 与 p 的选取无关，我们定义 f 的度数为 r - s。这个定义与上一节代数拓扑定义重合。
同样的定义对带边界的紧流形也成立，但此时 f 需将 X 的边界送到 Y 的边界。 
我们也可以像上面一样类似定义模 2 度数 (deg2(f))，取 Z2 同调中的基本类即可。在此情形 deg2(f) 是 Z2 中一个元素，流形不要求可定向。与上类似，如果 n 是 p 原像的个数，则 deg2(f) 是 n 模 2。
微分形式的积分给出 （C∞-）奇异同调与德拉姆上同调之间的一个配对：<[c], [ω]> = ∫cω，这里 [c] 是由圈 c 代表的同调类，ω 是代表一个德拉姆上同调类的一个闭形式。对定向 m-维流形之间的一个连续映射 f : X→Y，我们有

  
    
      
        ⟨
        
          f
          
            ∗
          
        
        [
        c
        ]
        ,
        [
        ω
        ]
        ⟩
        =
        ⟨
        [
        c
        ]
        ,
        
          f
          
            ∗
          
        
        [
        ω
        ]
        ⟩
        ,
      
    
    {\displaystyle \langle f_{*}[c],[\omega ]\rangle =\langle [c],f^{*}[\omega ]\rangle ,}
  

这里 f* 与 f* 分别是在链与形式上的诱导映射。因为 f*[X] = deg f · [Y]，我们有

  
    
      
        deg
        ⁡
        f
        
          ∫
          
            Y
          
        
        ω
        =
        
          ∫
          
            X
          
        
        
          f
          
            ∗
          
        
        ω
        
      
    
    {\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}
  

对任意 Y 上 m-形式 ω。


性质 映射度是同伦不变量；而且从球面到自身的连续映射是完全同伦不变量，即两个映射 
  
    
      
        f
        ,
        g
        :
        
          S
          
            n
          
        
        →
        
          S
          
            n
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}
  
 同伦当且仅当 
  
    
      
        deg
        ⁡
        (
        f
        )
        =
        deg
        ⁡
        (
        g
        )
      
    
    {\displaystyle \deg(f)=\deg(g)}
  
。
换句话说，度数是一个同构 
  
    
      
        [
        
          S
          
            n
          
        
        ,
        
          S
          
            n
          
        
        ]
        =
        
          π
          
            n
          
        
        
          S
          
            n
          
        
        →
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle [S^{n},S^{n}]=\pi _{n}S^{n}\to \mathbf {Z} }
  
。


相关条目 拓扑度数理论


参考文献 Flanders, H. Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. 1989. 
Hirsch, M. Differential topology. Springer-Verlag. 1976. ISBN 0-387-90148-5.