度分布是图论和网络理论中的概念。一个图（或网络）由一些顶点（节点）和连接它们的边（连结）构成。每个顶点（节点）连出的所有边（连结）的数量就是这个顶点（节点）的度。度分布指的是对一个图（网络）中顶点（节点）度数的总体描述。对于随机图，度分布指的是图中顶点度数的概率分布。


定义 度分布是图论和（复杂）网络理论中都存在的概念。首先介绍图的概念。一个图
  
    
      
        G
        =
        G
        (
        V
        ,
        E
        )
      
    
    {\displaystyle G=G(V,E)}
  
是一个由两个集合
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
和
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
构成的二元组。集合
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
一般由有限个元素构成：
  
    
      
        V
        =
        {
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          v
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle V=\{v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\}}
  
，其中的元素
  
    
      
        
          v
          
            i
          
        
        ,
        
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle v_{i},\,i=1,2,\cdots ,n}
  
被称为图的顶点。集合
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
是由
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}}
  
个元素构成的集合：
  
    
      
        E
        =
        {
        
          e
          
            i
            ,
            j
          
        
        
        
        
          |
        
        
        
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        ,
        n
        ,
        
        j
        =
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        ,
        n
        }
      
    
    {\displaystyle E=\{e_{i,j}\,\,|\,\,i=1,2,\cdots ,n,\,j=1,2,\cdots ,n\}}
  
。
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
中的每个元素都是一个非负整数。无向图中，
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的一个元素
  
    
      
        
          e
          
            i
            ,
            j
          
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle e_{i,j}=k}
  
，表示
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
中的两个顶点
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
和
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
连有
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
条边，并且规定
  
    
      
        
          e
          
            i
            ,
            j
          
        
        =
        
          e
          
            j
            ,
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{i,j}=e_{j,i}}
  
。有向图中，
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的一个元素
  
    
      
        
          e
          
            i
            ,
            j
          
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle e_{i,j}=k}
  
，表示
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
中的顶点
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
有
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
条连向顶点
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
的边。如果一个图
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
中所有的
  
    
      
        
          e
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{i,j}}
  
都不超过1，并且
  
    
      
        ∀
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        ,
        n
        ,
        
        
        
          e
          
            i
            ,
            i
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \forall i=1,2,\cdots ,n,\,\,e_{i,i}=0}
  
，那么称图
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
是简单图。
网络理论的数学框架建立在图论上。网络理论中的网络其实就是图论中的图，但在网络理论中称之为网络，图的顶点在网络理论中称为节点，边被称为连结。以下仍旧以图论中的术语定义度分布。
一个无向图
  
    
      
        G
        =
        G
        (
        V
        ,
        E
        )
      
    
    {\displaystyle G=G(V,E)}
  
中某个顶点
  
    
      
        
          v
          
            
              i
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{i_{0}}}
  
的度，是指所有与它相连的边的数目。

  
    
      
        d
        (
        
          v
          
            
              i
              
                0
              
            
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            
              i
              
                0
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle d(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}}
  

有向图中，根据连出边的数目和连入边的数目，分为出度
  
    
      
        
          d
          
            o
            u
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{out}}
  
和入度
  
    
      
        
          d
          
            i
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{in}}
  
。

  
    
      
        
          d
          
            o
            u
            t
          
        
        (
        
          v
          
            
              i
              
                0
              
            
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            
              i
              
                0
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{out}(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}}
  

  
    
      
        
          d
          
            i
            n
          
        
        (
        
          v
          
            
              i
              
                0
              
            
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            
              i
              
                0
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{in}(v_{i_{0}})=\sum _{j=i_{0}}e_{i,j}}
  

因此，一个无向图
  
    
      
        G
        =
        G
        (
        V
        ,
        E
        )
      
    
    {\displaystyle G=G(V,E)}
  
中，
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
可以看成将每个顶点映射到一个非负整数的函数：

  
    
      
        d
        :
        
        
          v
          
            i
          
        
        ↦
        d
        (
        
          v
          
            i
          
        
        )
        
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        ,
        n
        .
      
    
    {\displaystyle d:\,v_{i}\mapsto d(v_{i})\quad i=1,2,\cdots ,n.}
  

而度分布则是对每个非负整数
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
，考察度数是
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
的顶点在所有顶点中占的比例：

  
    
      
        ∀
        m
        ∈
        
          N
        
        ,
        
        
        P
        :
        m
        ↦
        P
        (
        m
        )
        =
        
          
            
              Card
              ⁡
              {
              
                v
                
                  i
                
              
              
              
                |
              
              
              d
              (
              
                v
                
                  i
                
              
              )
              =
              m
              }
            
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ,\,\,P:m\mapsto P(m)={\frac {\operatorname {Card} \{v_{i}\,|\,d(v_{i})=m\}}{n}},}
  

因此满足：

  
    
      
        
          ∑
          
            m
            ∈
            
              N
            
          
        
        P
        (
        m
        )
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle \sum _{m\in \mathbb {N} }P(m)=1.}
  

从顶点中等概率地随机抽取一个顶点，那么这个顶点度数为
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
的概率就是
  
    
      
        P
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle P(k)}
  
。


= 随机图顶点的度分布 =
随机图是指由随机过程产生的图，即是将给定的顶点之间随机地连上边。一个随机图
  
    
      
        G
        =
        G
        (
        V
        ,
        E
        )
      
    
    {\displaystyle G=G(V,E)}
  
中，每两个顶点之间的边的数量
  
    
      
        
          e
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{i,j}}
  
是随机变量。因此任一顶点
  
    
      
        
          v
          
            
              i
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{i_{0}}}
  
的度
  
    
      
        d
        (
        
          v
          
            
              i
              
                0
              
            
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            
              i
              
                0
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle d(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}}
  
也是随机变量。这个变量的概率分布也称为随机图中的顶点的度分布：

  
    
      
        
          P
          
            i
          
        
        (
        k
        )
        =
        
          P
        
        (
        d
        (
        
          v
          
            i
          
        
        )
        =
        k
        )
        .
      
    
    {\displaystyle P_{i}(k)=\mathbb {P} (d(v_{i})=k).}
  

这个定义与一般的图的度分布是不一样的。
在经典的随机图模型中，所有顶点的位置都是一致的，没有特殊的顶点。因此每个顶点的度分布
  
    
      
        
          P
          
            i
          
        
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle P_{i}(k)}
  
都是相同的：
  
    
      
        ∀
        i
        ,
        
        
          P
          
            i
          
        
        (
        k
        )
        =
        P
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \forall i,\,P_{i}(k)=P(k)}
  
。所以，随机抽取一个顶点，它的度数是
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
的概率就是
  
    
      
        P
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle P(k)}
  
；
  
    
      
        P
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle P(k)}
  
越高，表示可能有更多的顶点度数是
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
。当顶点数目很大每个顶点的度分布都是相对独立的时候，顶点的度分布
  
    
      
        
          P
          
            i
          
        
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle P_{i}(k)}
  
近似等于图中度数是
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
的顶点的比例。


例子 以下给出一些度分布的例子。右图是由十个顶点构成的无向图。其中度数是4的顶点有3个，度数是3的顶点有6个，度数是6的顶点有1个，所以度分布是：

  
    
      
        P
        (
        m
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0.3
                  ,
                
                
                  m
                  =
                  4
                
              
              
                
                  0.6
                  ,
                
                
                  m
                  =
                  3
                
              
              
                
                  0.1
                  ,
                
                
                  m
                  =
                  6
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  m
                  =
                  3
                  ,
                  4
                  ,
                  6
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P(m)={\begin{cases}0.3,&m=4\\0.6,&m=3\\0.1,&m=6\\0,&m\neq 3,4,6\end{cases}}}
  

对于
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶完全图，所有的顶点的度数都是
  
    
      
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n-1}
  
，所以度分布是：

  
    
      
        P
        (
        m
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  m
                  =
                  n
                  −
                  1
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  m
                  =
                  n
                  −
                  1
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P(m)={\begin{cases}1,&m=n-1\\0,&m\neq n-1\end{cases}}}
  

如果图
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
是任意两顶点之间以概率
  
    
      
        0
        <
        p
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0<p<1}
  
连边的随机图，那么每个顶点都有相同的度分布。

  
    
      
        P
        (
        m
        )
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                −
                1
              
              m
            
            
              )
            
          
        
        
          p
          
            m
          
        
        (
        1
        −
        p
        
          )
          
            n
            −
            1
            −
            m
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P(m)={\binom {n-1}{m}}p^{m}(1-p)^{n-1-m}.}
  

这个分布是泊松分布。我们可以构造每个顶点的度数都是这样的概率分布的随机图模型。这样当顶点数很大的时候，度数是
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
的顶点的个数占的比例大致是
  
    
      
        P
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle P(k)}
  
。这个分布的特点是当k很小或很大的时候，
  
    
      
        P
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle P(k)}
  
都近似于0，
  
    
      
        P
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle P(k)}
  
的值在一个特定的值处达到高峰，然后回落。也就是说，大多数的顶点的度数在这个特定值左右。然而在真实的复杂网络中，人们观察到，度分布并不像这种随机图模型显示的，聚集在某个特定值周围，而是随着k增大而以多项式速度递减，也就是遵从所谓的幂律分布：

  
    
      
        P
        (
        k
        )
        ∝
        
          
            1
            
              k
              
                γ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P(k)\propto {\frac {1}{k^{\gamma }}}}
  

也就是说
  
    
      
        P
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle P(k)}
  
 的概率反比于
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 的某个幂次，其中
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是某个正实数。这种网络特性被称为无尺度特性。


参考文献 引用

期刊文章
Albert, R.; Barabasi, A.-L. Statistical mechanics of complex networks. Reviews of Modern Physics. 2002, 74: 47–97. Bibcode:2002RvMP...74...47A. arXiv:cond-mat/0106096 . doi:10.1103/RevModPhys.74.47.  
Dorogovtsev, S.; Mendes, J. F. F. Evolution of networks. Advances in Physics. 2002, 51 (4): 1079–1187. Bibcode:2002AdPhy..51.1079D. arXiv:cond-mat/0106144 . doi:10.1080/00018730110112519.  
书籍
Shlomo Havlin, Reuven Cohen. Complex Networks: Structure, Robustness and Function. Cambridge University Press. 2010  [2013-04-20]. （原始内容存档于2011-10-04）. 


参见 图的连通性
集聚系数
複雜網路
無尺度網路
隨機圖
圖論