数学中，维纳过程（英語：Wiener process）是一种连续时间随机过程，得名于诺伯特·维纳。由于与物理学中的布朗运动有密切关系，也常被称为“布朗运动过程”或简称为布朗运动。维纳过程是莱维过程（指左极限右连续的平稳独立增量随机过程）中最有名的一类，在纯数学、应用数学、经济学与物理学中都有重要应用。
维纳过程的地位在纯数学中与在应用数学中同等重要。在纯数学中，维纳过程导致了对连续鞅理论的研究，是刻画一系列重要的复杂过程的基本工具。它在随机分析、扩散过程和位势论领域的研究中是不可或缺的。在应用数学中，维纳过程可以描述高斯白噪声的积分形式。在电子工程中，维纳过程是建立噪音的数学模型的重要部分。控制论中，维纳过程可以用来表示不可知因素。
维纳过程和物理学中的布朗运动有密切关系。布朗运动是指悬浮在液体中的花粉微小颗粒所进行的无休止随机运动。维纳运动也可以描述由福克-普朗克方程和郎之万方程确定的其他随机运动。维纳过程构成了量子力學的严谨路徑積分表述的基础（根据费曼-卡茨公式，薛定谔方程的解可以用维纳过程表示）。金融数学中，维纳过程可以用于描述期权定价模型如布莱克-斯科尔斯模型。


刻画维纳过程 一个维纳过程（也称为标准布朗运动）
  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{t}}
  
可以用三个性质刻画:§7.1

  
    
      
        
          W
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle W_{0}=0}
  

映射
  
    
      
        t
        ↦
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle t\mapsto W_{t}}
  
在正实数轴上几乎处处连续

  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{t}}
  
是独立增量函数，并且对所有
  
    
      
        0
        ⩽
        s
        <
        t
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant s<t}
  
，
  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
        −
        
          W
          
            s
          
        
        
        
        ∼
        
          
            N
          
        
        (
        0
        ,
        t
        −
        s
        )
      
    
    {\displaystyle W_{t}-W_{s}\,\,\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}
  

第三条中，
  
    
      
        
          
            N
          
        
        (
        μ
        ,
        
          σ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}
  
表示期望为
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
，方差为
  
    
      
        
          σ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{2}}
  
的正态分布随机变量。独立增量函数的定义是，如果随机抽取两段不重叠的时间段

  
    
      
        0
        ⩽
        
          s
          
            1
          
        
        <
        
          t
          
            1
          
        
        ⩽
        
          s
          
            2
          
        
        <
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant s_{1}<t_{1}\leqslant s_{2}<t_{2}}
  
，
  
    
      
        
          W
          
            
              t
              
                1
              
            
          
        
        −
        
          W
          
            
              s
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{t_{1}}-W_{s_{1}}}
  
和
  
    
      
        
          W
          
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          W
          
            
              s
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{t_{2}}-W_{s_{2}}}
  
是互相独立的随机变量，并且对更多的不重叠时间段的情况也是如此
另一个等价的刻画方式是以法国数学家保罗·利维命名的“利维刻画”：维纳过程是几乎处处路径连续的零期望连续鞅，并且满足二次变差：
  
    
      
        ⟨
        W
        ,
        W
        
          ⟩
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle W,W\rangle _{t}}
  
，也就是说
  
    
      
        
          W
          
            t
          
          
            2
          
        
        −
        t
      
    
    {\displaystyle W_{t}^{2}-t}
  
仍然是连续鞅。
1923年，维纳首次证明维纳过程存在:9。维纳过程可以用随机漫步或任意拥有平稳独立增量的离散随机过程的尺度极限来构造。这个构造方法基于Donsker定理。与随机漫步一样，一维和二维的维纳过程是常返的，也就是说几乎一定会回到起始的原点，或者说几乎一定会无限次跌入原点附近的任意邻域。当维度高于或等于三维时，维纳过程不再是常返的。与随机漫步不同的是，维纳过程拥有尺度不变性。如果
  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{t}}
  
是一个随机过程，那么对所有的正实数
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
，

  
    
      
        
          
            1
            α
          
        
        
          W
          
            
              α
              
                2
              
            
            t
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}W_{\alpha ^{2}t}\,}
  

也是一个维纳过程:12。
维纳测度是满足 
  
    
      
        g
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle g(0)=0}
  
 的连续函数空间上的概率分布。关于维纳测度的积分称为 维纳积分.


一维维纳过程的性质 = 基本性质 =
对任意的正实数
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
，一维维纳过程在
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
时刻是一个随机变量，它的概率密度函数是：
  
    
      
        
          f
          
            
              W
              
                t
              
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              t
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              2
              t
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/{2t}}.}
  

这是因为按照维纳过程的定义，当
  
    
      
        s
        =
        0
      
    
    {\displaystyle s=0}
  
时，可以推出
  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{t}}
  
的分布：

  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
        =
        
          W
          
            t
          
        
        −
        
          W
          
            0
          
        
        ∼
        
          
            N
          
        
        (
        0
        ,
        t
        )
        .
      
    
    {\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim {\mathcal {N}}(0,t).}
  

它的数学期望是零：
  
    
      
        
          E
        
        (
        
          W
          
            t
          
        
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} (W_{t})=0.}
  

它的方差是
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
：
  
    
      
        Var
        ⁡
        (
        
          W
          
            t
          
        
        )
        =
        
          E
        
        (
        
          W
          
            t
          
          
            2
          
        
        )
        −
        
          
            E
          
          
            2
          
        
        (
        
          W
          
            t
          
        
        )
        =
        
          E
        
        (
        
          W
          
            t
          
          
            2
          
        
        )
        −
        0
        =
        
          E
        
        (
        
          W
          
            t
          
          
            2
          
        
        )
        =
        t
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=\mathbb {E} (W_{t}^{2})-\mathbb {E} ^{2}(W_{t})=\mathbb {E} (W_{t}^{2})-0=\mathbb {E} (W_{t}^{2})=t.}
  

在维纳过程的独立增量定义中，令
  
    
      
        
          t
          
            2
          
        
        =
        t
      
    
    {\displaystyle t_{2}=t}
  
，
  
    
      
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          t
          
            1
          
        
        =
        s
        <
        t
      
    
    {\displaystyle s_{2}=t_{1}=s<t}
  
，
  
    
      
        
          s
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle s_{1}=0}
  
，那么
  
    
      
        
          W
          
            s
          
        
        =
        
          W
          
            
              t
              
                1
              
            
          
        
        −
        
          W
          
            
              s
              
                1
              
            
          
        
        ∼
        
          
            N
          
        
        (
        0
        ,
        s
        )
      
    
    {\displaystyle W_{s}=W_{t_{1}}-W_{s_{1}}\sim {\mathcal {N}}(0,s)}
  
和
  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
        −
        
          W
          
            s
          
        
        =
        
          W
          
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          W
          
            
              s
              
                2
              
            
          
        
        ∼
        
          
            N
          
        
        (
        0
        ,
        t
        −
        s
        )
      
    
    {\displaystyle W_{t}-W_{s}=W_{t_{2}}-W_{s_{2}}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}
  
是相互独立的随机变量，并且

  
    
      
        cov
        ⁡
        (
        
          W
          
            s
          
        
        ,
        
          W
          
            t
          
        
        )
        =
        
          E
        
        
          [
          
            (
            
              W
              
                s
              
            
            −
            
              E
            
            (
            
              W
              
                s
              
            
            )
            )
            ⋅
            (
            
              W
              
                t
              
            
            −
            
              E
            
            (
            
              W
              
                t
              
            
            )
            )
          
          ]
        
        =
        
          E
        
        (
        
          W
          
            s
          
        
        ⋅
        
          W
          
            t
          
        
        )
        =
        
          E
        
        [
        
          W
          
            s
          
        
        
          (
          
            
              W
              
                t
              
            
            −
            
              W
              
                s
              
            
          
          )
        
        ]
        +
        
          E
        
        (
        
          W
          
            s
          
          
            2
          
        
        )
        =
        
          E
        
        (
        
          W
          
            s
          
        
        )
        
          E
        
        
          (
          
            
              W
              
                t
              
            
            −
            
              W
              
                s
              
            
          
          )
        
        +
        s
        =
        s
         
         
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\mathbb {E} \left[(W_{s}-\mathbb {E} (W_{s}))\cdot (W_{t}-\mathbb {E} (W_{t}))\right]=\mathbb {E} (W_{s}\cdot W_{t})=\mathbb {E} [W_{s}\left(W_{t}-W_{s}\right)]+\mathbb {E} (W_{s}^{2})=\mathbb {E} (W_{s})\mathbb {E} \left(W_{t}-W_{s}\right)+s=s\ \ .}
  

所以两个不同时刻
  
    
      
        0
        ⩽
        s
        ,
        t
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant s,t}
  
，
  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{t}}
  
与
  
    
      
        
          W
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{s}}
  
的协方差和相关系数是：  

  
    
      
        cov
        ⁡
        (
        
          W
          
            s
          
        
        ,
        
          W
          
            t
          
        
        )
        =
        min
        (
        s
        ,
        t
        )
        
        ,
        
        
        corr
        ⁡
        (
        
          W
          
            s
          
        
        ,
        
          W
          
            t
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                c
                o
                v
              
              (
              
                W
                
                  s
                
              
              ,
              
                W
                
                  t
                
              
              )
            
            
              
                σ
                
                  
                    W
                    
                      s
                    
                  
                
              
              
                σ
                
                  
                    W
                    
                      t
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              min
              (
              s
              ,
              t
              )
            
            
              s
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              
                min
                (
                s
                ,
                t
                )
              
              
                max
                (
                s
                ,
                t
                )
              
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)\,,\qquad \quad \operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\mathrm {cov} (W_{s},W_{t}) \over \sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}={\frac {\min(s,t)}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {\min(s,t)}{\max(s,t)}}}\,.}
  


= 即时最值 =
维纳过程中的即时最大值
  
    
      
        
          M
          
            t
          
        
        =
        
          max
          
            0
            ≤
            s
            ≤
            t
          
        
        
          W
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}
  
与
  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{t}}
  
的联合概率分布是：

  
    
      
        
          f
          
            
              M
              
                t
              
            
            ,
            
              W
              
                t
              
            
          
        
        (
        m
        ,
        w
        )
        =
        
          
            
              2
              (
              2
              m
              −
              w
              )
            
            
              t
              
                
                  2
                  π
                  t
                
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                
                  (
                  2
                  m
                  −
                  w
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                  t
                
              
            
          
        
        ,
        m
        ≥
        0
        ,
        w
        ≤
        m
      
    
    {\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},m\geq 0,w\leq m}
  

而即时最大值的分布
  
    
      
        
          f
          
            
              M
              
                t
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{M_{t}}}
  
是对
  
    
      
        −
        ∞
        <
        w
        ≤
        m
      
    
    {\displaystyle -\infty <w\leq m}
  
的积分：

  
    
      
        
          f
          
            
              M
              
                t
              
            
          
        
        (
        m
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            m
          
        
        
          f
          
            
              M
              
                t
              
            
            ,
            
              W
              
                t
              
            
          
        
        (
        m
        ,
        w
        )
        
        d
        w
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            m
          
        
        
          
            
              2
              (
              2
              m
              −
              w
              )
            
            
              t
              
                
                  2
                  π
                  t
                
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                
                  (
                  2
                  m
                  −
                  w
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                  t
                
              
            
          
        
        
        d
        w
        =
        
          
            
              2
              
                π
                t
              
            
          
        
        
          e
          
            
              
                −
                
                  m
                  
                    2
                  
                
              
              
                2
                t
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{M_{t}}(m)=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{\frac {-m^{2}}{2t}}}
  

即时最大值的数学期望是:114：

  
    
      
        
          E
        
        
          M
          
            t
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        m
        
          f
          
            
              M
              
                t
              
            
          
        
        (
        m
        )
        
        d
        m
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        m
        
          
            
              2
              
                π
                t
              
            
          
        
        
          e
          
            
              
                −
                
                  m
                  
                    2
                  
                
              
              
                2
                t
              
            
          
        
        
        d
        m
        =
        
          
            
              
                2
                t
              
              π
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} M_{t}=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{\frac {-m^{2}}{2t}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}.}
  

由于维纳过程上下对称，即时最小值显然是即时最大值的相反数。


= 对称性质 =

尺度不变性：对任意的正实数
  
    
      
        α
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha >0}
  
，随机过程
  
    
      
        
          
            (
            
              V
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ⩾
            0
          
        
        :
        
        
        
          V
          
            t
          
        
        =
        
          
            1
            
              α
            
          
        
        
          W
          
            α
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(V_{t}\right)_{t\geqslant 0}:\,\,V_{t}={\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}W_{\alpha t}}
  
都仍然是一个维纳过程。
时间反转：对任意的正实数
  
    
      
        T
        >
        0
      
    
    {\displaystyle T>0}
  
，随机过程
  
    
      
        
          
            (
            
              V
              
                t
              
            
            )
          
          
            0
            ⩽
            t
            ⩽
            T
          
        
        :
        
        
        
          V
          
            t
          
        
        =
        
          W
          
            T
          
        
        −
        
          W
          
            T
            −
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(V_{t}\right)_{0\leqslant t\leqslant T}:\,\,V_{t}=W_{T}-W_{T-t}}
  
和
  
    
      
        
          
            (
            
              W
              
                t
              
            
            )
          
          
            0
            ⩽
            t
            ⩽
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(W_{t}\right)_{0\leqslant t\leqslant T}}
  
性质相同。
空间对称：随机过程
  
    
      
        
          
            (
            
              V
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ⩾
            0
          
        
        :
        
        
        
          V
          
            t
          
        
        =
        −
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(V_{t}\right)_{t\geqslant 0}:\,\,V_{t}=-W_{t}}
  
也是一个维纳过程。
时间反演：随机过程
  
    
      
        
          
            (
            
              V
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ⩾
            0
          
        
        :
        
        
        
          V
          
            0
          
        
        =
        0
        ,
        
        
        ∀
        t
        >
        0
        ,
        
        
        
          V
          
            t
          
        
        =
        t
        
          W
          
            
              1
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(V_{t}\right)_{t\geqslant 0}:\,\,V_{0}=0,\,\,\forall t>0,\,\,V_{t}=tW_{\frac {1}{t}}}
  
也是一个维纳过程。
参考资料：:13、:44


= 时间平移不变性和马尔可夫性质 =
维纳过程具有马尔可夫性质，也就是说，在任意一点之后的走势仅仅和这一点的取值相关，而与之前的取值无关。也就是说，对任何的有界连续函数
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
，

  
    
      
        
          E
        
        [
        ϕ
        (
        
          W
          
            s
          
        
        ,
        s
        ⩾
        t
        )
        
          |
        
        
          
            
              F
            
          
          
            t
          
        
        ]
        =
        
          E
        
        [
        ϕ
        (
        
          W
          
            s
          
        
        ,
        s
        ⩾
        t
        )
        
          |
        
        
          W
          
            t
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant t)|{\mathcal {F}}_{t}]=\mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant t)|W_{t}]}
  

因此维纳过程具有时间平移不变性：随机过程
  
    
      
        
          
            (
            
              V
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ⩾
            0
          
        
        :
        
        
        
          V
          
            t
          
        
        =
        
          W
          
            
              t
              
                0
              
            
            +
            t
          
        
        −
        
          W
          
            
              t
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(V_{t}\right)_{t\geqslant 0}:\,\,V_{t}=W_{t_{0}+t}-W_{t_{0}}}
  
也是一个维纳过程。不仅如此，维纳过程还满足强马尔可夫性质：对任意的有限停时
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
，随机变量
  
    
      
        
          B
          
            t
          
        
        =
        
          W
          
            τ
            +
            t
          
        
        −
        
          W
          
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{t}=W_{\tau +t}-W_{\tau }}
  
独立于滤波
  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}
  
。也就是说，对任何的有界连续函数
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
，

  
    
      
        
          E
        
        [
        ϕ
        (
        
          W
          
            s
          
        
        ,
        s
        ⩾
        τ
        )
        
          |
        
        
          
            
              F
            
          
          
            τ
          
        
        ]
        =
        
          E
        
        [
        ϕ
        (
        
          W
          
            s
          
        
        ,
        s
        ⩾
        τ
        )
        
          |
        
        
          W
          
            τ
          
        
        ]
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant \tau )|{\mathcal {F}}_{\tau }]=\mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant \tau )|W_{\tau }].}
  

维纳过程的强马尔可夫性质，说明即便给定的时间不是定时而是一个停时，维纳过程在停时之后的走势仍然与之前无关。所以，将停时之后的维纳过程上下反转，仍然会是一个维纳过程。用数学语言来说，就是：给定一个停时
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
之后，随机变量：
  
    
      
        
          B
          
            t
          
        
        =
        
          W
          
            t
          
        
        
          
            1
          
          
            t
            ⩽
            τ
          
        
        +
        
          (
          
            2
            
              W
              
                τ
              
            
            −
            
              W
              
                t
              
            
          
          )
        
        
          
            1
          
          
            t
            >
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{t}=W_{t}\mathbf {1} _{t\leqslant \tau }+\left(2W_{\tau }-W_{t}\right)\mathbf {1} _{t>\tau }}
  
也是一个维纳过程。这个性质也称为维纳过程的反射原理。
作为推论，可以建立即时最大值
  
    
      
        
          M
          
            t
          
        
        =
        
          max
          
            0
            ≤
            s
            ≤
            t
          
        
        
          W
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}
  
与
  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{t}}
  
的另一种关系。设有正实数
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
  
停时
  
    
      
        
          τ
          
            a
          
        
        =
        inf
        {
        t
        >
        0
        ,
        
        
          W
          
            t
          
        
        >
        a
        }
      
    
    {\displaystyle \tau _{a}=\inf\{t>0,\,W_{t}>a\}}
  
，那么
  
    
      
        {
        
          τ
          
            a
          
        
        ⩽
        t
        }
        =
        {
        
          M
          
            t
          
        
        ⩾
        a
        }
      
    
    {\displaystyle \{\tau _{a}\leqslant t\}=\{M_{t}\geqslant a\}}
  
。运用反射原理可以证明，
  
    
      
        
          P
        
        
          (
          
            
              M
              
                t
              
            
            ⩾
            a
          
          )
        
        =
        2
        
          P
        
        
          (
          
            
              W
              
                t
              
            
            ⩾
            a
          
          )
        
        =
        
          P
        
        
          (
          
            
              |
            
            
              W
              
                t
              
            
            
              |
            
            ⩾
            a
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} \left(M_{t}\geqslant a\right)=2\mathbb {P} \left(W_{t}\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(|W_{t}|\geqslant a\right)}
  
。更一般地，设有 
  
    
      
        a
        >
        b
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle a>b\geqslant 0}
  
，则
  
    
      
        
          P
        
        
          (
          
            
              W
              
                t
              
            
            ⩽
            b
            ,
            
            
              M
              
                t
              
            
            ⩾
            a
          
          )
        
        =
        
          P
        
        
          (
          
            
              W
              
                t
              
            
            ⩾
            2
            a
            −
            b
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} \left(W_{t}\leqslant b,\,M_{t}\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(W_{t}\geqslant 2a-b\right)}
  
。


参见 抽象维纳空间
经典维纳空间
切诺夫分布


参考来源 Kleinert, Hagen, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback ISBN 981-238-107-4   (also available online: PDF-files （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
Stark,Henry, John W. Woods, Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing, 3rd edition, Prentice Hall (New Jersey, 2002); Textbook ISBN 0-13-020071-9
Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, second edition, Springer-Verlag 1994.