数学分支序理论中，良擬序或良預序（英語：well-quasi-ordering，簡寫作wqo或WQO）是特殊的擬序，其元素的任意无穷序列
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots }
  
中，必有先後兩項遞增，即存在
  
    
      
        i
        <
        j
      
    
    {\displaystyle i<j}
  
使
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        ≤
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}
  
。


動機 良基歸納法可用於任何良基關係上，用以證明某集的全部元素皆具某性質。所以，或許會考慮某擬序是否良基。不過，良基擬序的類，對某些運算不封閉，即由某良基擬序出發，經若干運算，構造而成的新擬序，不一定良基。欲使新擬序仍為良基，原擬序需追加若干限制。
以冪集運算為例。給定集合
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
上的擬序
  
    
      
        ≤
      
    
    {\displaystyle \leq }
  
，可以定義冪集
  
    
      
        
          
            P
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
  
上的擬序
  
    
      
        
          ≤
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \leq ^{+}}
  
，使
  
    
      
        A
        
          ≤
          
            +
          
        
        B
      
    
    {\displaystyle A\leq ^{+}B}
  
當且僅當對
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的每個元素，皆可在
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中找到元素大於等於該元素。可以證明
  
    
      
        
          ≤
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \leq ^{+}}
  
不必良基，但若原擬序為良擬序，則冪集的擬序確實良基。


定義 集合
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
上的良擬序（well-quasi-ordering）是一種预序关系（即滿足自反性
  
    
      
        x
        ≤
        x
      
    
    {\displaystyle x\leq x}
  
、传递性
  
    
      
        x
        ≤
        y
        ∧
        y
        ≤
        z
        
        ⟹
        
        x
        ≤
        z
      
    
    {\displaystyle x\leq y\wedge y\leq z\implies x\leq z}
  
的的二元關係
  
    
      
        ≤
      
    
    {\displaystyle \leq }
  
），使得
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
中任意无穷序列
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots }
  
，皆有先後兩項
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        ≤
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}
  
（
  
    
      
        i
        <
        j
      
    
    {\displaystyle i<j}
  
）遞增。若有此種良擬序，則
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
本身稱為良擬序集（well-quasi-ordered set），簡寫為wqo。
良偏序（well-partial-ordering）既是良擬序又是偏序，即除前述條件外，尚具反對稱性
  
    
      
        x
        ≤
        y
        ∧
        y
        ≤
        x
        
        ⟹
        
        x
        =
        y
      
    
    {\displaystyle x\leq y\wedge y\leq x\implies x=y}
  
。
良擬序有其他等價定義，如將條件改為既不含無窮嚴格遞減序列
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        >
        
          x
          
            1
          
        
        >
        
          x
          
            2
          
        
        >
        ⋯
      
    
    {\displaystyle x_{0}>x_{1}>x_{2}>\cdots }
  
，又不含任意兩項不可比的無窮序列。換言之，擬序
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
為良擬序當且僅當
  
    
      
        (
        X
        ,
        <
        )
      
    
    {\displaystyle (X,<)}
  
良基，且不含無窮反链。（與§ 無窮遞增子序列的拉姆齊論證相似。）


性質 給定擬序
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
，在冪集上有另一擬序
  
    
      
        (
        
          
            P
          
        
        (
        X
        )
        ,
        
          ≤
          
            +
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\leq ^{+})}
  
，其中
  
    
      
        A
        
          ≤
          
            +
          
        
        B
        
        ⟺
        
        ∀
        a
        ∈
        A
        ,
        ∃
        b
        ∈
        B
        ,
        a
        ≤
        b
      
    
    {\displaystyle A\leq ^{+}B\iff \forall a\in A,\exists b\in B,a\leq b}
  
。此關係為良基當且僅當
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
本身是wqo。
給定良擬序
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
，若有一列子集
  
    
      
        
          S
          
            0
          
        
        ⊆
        
          S
          
            1
          
        
        ⊆
        ⋯
        ⊆
        X
      
    
    {\displaystyle S_{0}\subseteq S_{1}\subseteq \cdots \subseteq X}
  
，其中每個子集皆向上封閉，則該序列終必恆定，即自某個
  
    
      
        n
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
  
起，以後各項
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          S
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        ⋯
      
    
    {\displaystyle S_{n}=S_{n+1}=\cdots }
  
。假若不然，則對每個
  
    
      
        i
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle i\in \mathbb {N} }
  
，存在
  
    
      
        ∃
        j
        >
        i
      
    
    {\displaystyle \exists j>i}
  
使
  
    
      
        
          S
          
            j
          
        
        ∖
        
          S
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{j}\setminus S_{i}}
  
非空，從中選一個元素，如此可得某個無窮序列，其無遞增的兩項。
給定良擬序
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
，
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的任何子集
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
關於
  
    
      
        ≤
      
    
    {\displaystyle \leq }
  
僅得有限多個極小元，否則該些極小元組成無窮反鏈。


= 無窮遞增子序列 =
若
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
為wqo，則任意無窮序列
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots }
  
，皆有無窮上升子序列
  
    
      
        
          x
          
            
              n
              
                0
              
            
          
        
        ≤
        
          x
          
            
              n
              
                1
              
            
          
        
        ≤
        
          x
          
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        ≤
        ⋯
      
    
    {\displaystyle x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq \cdots }
  
（各下標
  
    
      
        
          n
          
            0
          
        
        <
        
          n
          
            1
          
        
        <
        
          n
          
            2
          
        
        <
        ⋯
      
    
    {\displaystyle n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots }
  
）。此種子序列或稱為「完美」（perfect）。可用拉姆齊證法：給定序列
  
    
      
        (
        
          x
          
            i
          
        
        
          )
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle (x_{i})_{i}}
  
，考慮全部
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
中，何者使
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
右邊沒有任何
  
    
      
        j
        >
        i
      
    
    {\displaystyle j>i}
  
滿足
  
    
      
        
          x
          
            j
          
        
        ≥
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j}\geq x_{i}}
  
。記此種
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
的集合為
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
。若
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
無窮，則以
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
為下標集的子序列將不具遞增的兩項，與
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
為wqo的假設抵觸。所以，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
為有限集。衹要
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
大於
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
中所有元素，則
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
不屬
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
，故有某個
  
    
      
        m
        >
        n
      
    
    {\displaystyle m>n}
  
使
  
    
      
        
          x
          
            m
          
        
        ≥
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{m}\geq x_{n}}
  
，如此可逐項延伸，得到無窮遞增子序列。
「任意序列皆有無窮上升子列」與wqo的條件等價，亦可作為另一種定義。


例 (
        
          N
        
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}
  
，自然數集配備平常的大小序，是良偏序，乃至良序。不過，若允許負數，換成整數集的大小序
  
    
      
        (
        
          Z
        
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leq )}
  
，則並非良擬序，因為此大小關係並非良基：負數組成無遞增兩項的序列。（圖一）

  
    
      
        (
        
          N
        
        ,
        
          |
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {N} ,|)}
  
，自然數集按整除序，不是良擬序：質數兩兩不可比較，組成無窮反鏈。（圖二）

  
    
      
        (
        
          
            N
          
          
            k
          
        
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {N} ^{k},\leq )}
  
，自然數
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
元組的集合逐分量排序，是良偏序。此為迪克遜引理（圖三）。更一般地，若
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
為良擬序，則對任意正整數
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
，積序
  
    
      
        (
        
          X
          
            k
          
        
        ,
        
          ≤
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X^{k},\leq ^{k})}
  
亦是良擬序。
設
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
為有限集，且至少有兩個元素。克莱尼星号
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
  
是字母取自
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的全體有限字串之集。按字典序，
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
  
不是良擬序，因為有無窮遞降序列
  
    
      
        b
        ,
        a
        b
        ,
        a
        a
        b
        ,
        a
        a
        a
        b
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle b,ab,aab,aaab,\ldots }
  
。同樣，
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
  
關於前綴關係亦非良擬序，因為前述序列在該偏序下是無窮反鏈。然而，
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
  
倘按子序列關係排序，則是良偏序。（在
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
衹有一個元素的退化情況，此三種偏序完全一樣。）
推而廣之，以
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
為字母集的有限串集
  
    
      
        (
        
          X
          
            ∗
          
        
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X^{*},\leq )}
  
，按「嵌入」排序，如此組成良擬序當且僅當
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
本身是良擬序，此結論稱為希格曼引理。其中所謂字串
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
可以嵌入到
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
，意思是
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
中有與
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
等長的子序列，逐項大於等於
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
。若取子母集為無序集
  
    
      
        (
        X
        ,
        =
        )
      
    
    {\displaystyle (X,=)}
  
，則字串
  
    
      
        u
        ≤
        v
      
    
    {\displaystyle u\leq v}
  
當且僅當
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
是
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
的子序列，退化成前款情況。
相反，良擬序
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
上的無窮序列集，記為
  
    
      
        (
        
          X
          
            ω
          
        
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X^{\omega },\leq )}
  
，按嵌入序，一般不為良擬序。換言之，希格曼引理不適用於無窮序列。數學家引入優擬序，以期望推廣希格曼引理。
以wqo 
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
之元素標記頂點的有限樹全體，按嵌入排序，也是wqo，即克魯斯克爾樹定理。此處的樹有選定根節點，而嵌入的要求有三：某節點的子節點要映到該節點之像的後嗣；同節點的不同子節點，要映到該節點之像的不同子分支上；每個節點處的標記，小於等於其像的標記。
無窮樹之間的嵌入關係是wqo，由克里斯平·納許-威廉斯所證。
可數全序類之間的嵌入關係是良擬序，同樣散佈全序類之間亦然。（萊弗定理）
可數布尔代数的嵌入序是良擬序，由萊弗定理證得。
有限圖按图子式序組成良擬序集。（羅伯遜-西摩定理）
對每個正整數
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
，樹深至多為
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
的圖，按导出子图序，組成良擬序集。亦可同上考慮以良擬序
  
    
      
        (
        X
        ,
        ≤
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\leq )}
  
標記其頂點，並要求該導出子圖的嵌入映射，使每個頂點的像的標記皆大於等於原標記，仍得良擬序。此外，補可約圖按導出子圖序，構成良擬序。


與良偏序的關聯 字面上，良擬序較良偏序廣義，但基於以下觀察，兩者實際分別不大：一方面，wpo必為wqo。另一方面，若有某wqo，則其各等價類組成wpo。舉例整數集
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
的整除序是擬序
  
    
      
        (
        
          Z
        
        ,
        
          |
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} ,|)}
  
（但不是良擬序），其等價類形如
  
    
      
        {
        ±
        m
        }
      
    
    {\displaystyle \{\pm m\}}
  
，所以等價類組成的偏序同構於
  
    
      
        (
        
          N
        
        ,
        
          |
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {N} ,|)}
  
。
據米爾納，「考慮擬序，並不比偏序更為概括……僅是因為較方便。」又例如，在全序類的嵌入擬序中，開區間
  
    
      
        (
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (0,1)}
  
與閉區間
  
    
      
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,1]}
  
不同構，但可互相嵌入，所以在對應偏序中屬同一等價類，托馬斯·福斯特稱該等價類「似乎不是很有啓發性」，而且，全體偏序集按包含關係組成的偏序類，雖然鏈完備，但並不完備，若改為考慮全體擬序集則不會有此問題。


註 參考文獻 Kruskal, J. B. The theory of well-quasi-ordering: A frequently discovered concept [良擬序論：常發現的概念]. Journal of Combinatorial Theory. Series A. 1972, 13 (3): 297–305. doi:10.1016/0097-3165(72)90063-5  （英语）. 
Ketonen, Jussi. The structure of countable Boolean algebras [可數布爾代數的結構]. Annals of Mathematics. 1978, 108 (1): 41–89. JSTOR 1970929. doi:10.2307/1970929 （英语）. 
Gallier, Jean H. What's so special about Kruskal's theorem and the ordinal Γo? A survey of some results in proof theory [克魯斯克爾定與與序數Γo有何特別？證明論若干結果的綜述]. Annals of Pure and Applied Logic. 1991, 53 (3): 199–260. doi:10.1016/0168-0072(91)90022-E  （英语）.