黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。
许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。


相关定义 给定无穷级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
，其部分和为：
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
  
。如果部分和的数列 

  
    
      
        
          {
          
            
              S
              
                1
              
            
            ,
             
            
              S
              
                2
              
            
            ,
             
            
              S
              
                3
              
            
            ,
            …
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}
  

收敛于某个数值：
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
，则级数收敛。也就是说，对于任何的
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
  
，总存在一个整数N，使得如果
  
    
      
        n
        ≥
        N
      
    
    {\displaystyle n\geq N}
  
，则

  
    
      
        
          |
          
            
              S
              
                n
              
            
            −
            ℓ
          
          |
        
        ≤
         
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \epsilon }
  
.
那么级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
收敛。如果级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
收敛，但级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          |
          
            a
            
              n
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert }
  
发散，则称此级数是条件收敛的。:149


定理的陈述 假设
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列
  
    
      
        σ
        :
        
        
        n
        ↦
        σ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)}
  
，使得

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            σ
            (
            n
            )
          
        
        =
        C
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}
  

此外，也存在另一种排列
  
    
      
        
          σ
          ′
        
        :
        
        
        n
        ↦
        
          σ
          ′
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)}
  
，使得

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            
              σ
              ′
            
            (
            n
            )
          
        
        =
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}
  

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
  
，或没有任何极限。:192
反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。:193
簡單來說，你可以藉由調換數列的其中幾項，使得這個新數列的級數的極限與原數列的不同；但是，這個方法可行的前提是原級數條件收斂，如果原級數絕對收斂的話，那麼這個方法就行不通。


例子 交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子：

  
    
      
        
          A
          
            h
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{h}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}
  

收敛，而

  
    
      
        
          S
          
            h
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          
            |
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            n
          
        
        
          
            |
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{h}=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}
  

是调和级数它是发散的（因為abs((-1)ⁿ)=1, for n in N（註：abs為絕對值absolute value之意）。虽然在标准的表示法中，交错调和级数收敛于ln(2)，我们可以把它的项重新排列，使它收敛于任何一个数，甚至发散。例如，如果排列为以下的形式，

  
    
      
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            1
            4
          
        
        +
        
          (
          
            
              
                1
                3
              
            
            −
            
              
                1
                6
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            1
            8
          
        
        +
        
          (
          
            
              
                1
                5
              
            
            −
            
              
                1
                10
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            1
            12
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }
  

那么这时的和等于
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  2
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  4
                  n
                  +
                  2
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  4
                  n
                  +
                  4
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  4
                  n
                  +
                  2
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  4
                  n
                  +
                  4
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}
  

可以看出，它的和是原来的和的一半。:153-154:108-111


= 趋近任一个实数 =

用不同的排列方法，可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上，由于调和级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n}{\frac {1}{n}}}
  
是发散的，它的部分和可以近似估计为：

  
    
      
        
          S
          
            N
          
        
        =
        1
        +
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            4
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          
            1
            n
          
        
        =
        γ
        +
        ln
        ⁡
        N
        +
        o
        (
        1
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle S_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),}
  

其中
  
    
      
        o
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle o(1)}
  
表示一个当N趋于无穷大时的无穷小，
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
指欧拉常数。如果将调和级数
  
    
      
        
          A
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{h}}
  
中所有负项（也就是所有偶数项）相加，得到的级数会是：

  
    
      
        
          A
          
            h
          
          
            −
          
        
        =
        −
        
          
            1
            2
          
        
        −
        
          
            1
            4
          
        
        −
        
          
            1
            6
          
        
        −
        
          
            1
            8
          
        
        ⋯
        =
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                1
                2
              
            
            +
            
              
                1
                3
              
            
            +
            
              
                1
                4
              
            
            +
            ⋯
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle A_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}
  

它的部分和是：

  
    
      
        
          A
          
            N
          
          
            −
          
        
        =
        −
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          
            1
            
              2
              n
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            2
          
        
        γ
        −
        
          
            1
            2
          
        
        ln
        ⁡
        N
        +
        o
        (
        1
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle A_{N}^{-}=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),}
  

因此所有正项相加的级数
  
    
      
        
          A
          
            h
          
          
            +
          
        
        =
        1
        +
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        +
        
          
            1
            7
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle A_{h}^{+}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots }
  
的部分和是：

  
    
      
        
          A
          
            N
          
          
            +
          
        
        =
        
          A
          
            N
          
        
        −
        
          A
          
            N
          
          
            −
          
        
        =
        ln
        ⁡
        2
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            γ
            +
            ln
            ⁡
            N
          
          )
        
        +
        o
        (
        1
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle A_{N}^{+}=A_{N}-A_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),}
  

这也是一个发散级数，趋向正无穷。因此，对任意给定的正实数
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
，可以使用以下的算法来构造出趋向
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的重排级数
  
    
      
        
          A
          
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\sigma }}
  
的每一项：

从第一项起，将
  
    
      
        
          A
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{h}}
  
中的正项（奇数项）从前往后放入，一直放到超过
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
为止：必定存在一个自然数
  
    
      
        
          N
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle N_{1}}
  
，使得
  
    
      
        
          A
          
            
              N
              
                1
              
            
            −
            1
          
          
            +
          
        
        ⩽
        C
        +
        <
        
          A
          
            
              N
              
                1
              
            
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{N_{1}-1}^{+}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}}
  
（假设
  
    
      
        
          A
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A_{0}=0}
  
）。将第1至第
  
    
      
        
          N
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle N_{1}}
  
项定义为：

  
    
      
        ∀
        k
        =
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        ,
        
          N
          
            1
          
        
        ,
        
        
        σ
        (
        k
        )
        =
        2
        k
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \forall k=1,2,\cdots ,N_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1}
  

从第
  
    
      
        
          N
          
            1
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle N_{1}+1}
  
项开始，将
  
    
      
        
          A
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{h}}
  
中的负项（偶数项）从前往后放入，一直放到小于
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
为止：必定存在一个自然数
  
    
      
        
          N
          
            2
          
        
        >
        
          N
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle N_{2}>N_{1}}
  
，使得
  
    
      
        
          A
          
            
              N
              
                1
              
            
          
          
            +
          
        
        +
        
          A
          
            
              N
              
                2
              
            
            −
            
              N
              
                1
              
            
            −
            1
          
          
            −
          
        
        ⩽
        C
        +
        <
        
          A
          
            
              N
              
                1
              
            
          
          
            +
          
        
        +
        
          A
          
            
              N
              
                2
              
            
            −
            
              N
              
                1
              
            
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}-1}^{-}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}}^{-}}
  
。将第
  
    
      
        
          N
          
            1
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle N_{1}+1}
  
至第
  
    
      
        
          N
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle N_{2}}
  
项定义为：

  
    
      
        ∀
        k
        =
        
          N
          
            1
          
        
        +
        1
        ,
        
          N
          
            1
          
        
        +
        2
        ,
        ⋯
        ,
        
          N
          
            2
          
        
        ,
        
        
        σ
        (
        k
        )
        =
        2
        k
        −
        2
        
          N
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall k=N_{1}+1,N_{1}+2,\cdots ,N_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N_{1}}
  

交替重复这两步来重排级数，可以将重排级数的部分和
  
    
      
        
          A
          
            
              N
              
                k
              
            
          
          
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}
  
保持在
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
上下，而因为
  
    
      
        
          A
          
            
              N
              
                k
              
            
          
          
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}
  
是重复第k步时首次“跨过”
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
时候的值，因而它与
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的差距必定不超过“跨越”时的“步长”，也就是
  
    
      
        
          
            1
            
              N
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{N_{k}}}}
  
。随着
  
    
      
        
          N
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle N_{k}}
  
越来越大，
  
    
      
        
          A
          
            
              N
              
                k
              
            
          
          
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}
  
与
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数
  
    
      
        
          A
          
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\sigma }}
  
最终会收敛于
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
。:111-113


证明 对一般的条件收敛级数，也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正项构成的级数发散到正无穷大，所有负项构成的级数发散到负无穷大，所以每次超出（低于）目标值
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
以后，只要不停地累加，必然能够再次低于（超出）目标值
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
；其次，调和级数是由
  
    
      
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n}}}
  
相加而成，而随着
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
趋向无穷，
  
    
      
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n}}}
  
趋向于0，也就是说“步长”趋向0，所以最终能够收敛。所以只需要证明，任何条件收敛级数都满足这两个性质：

所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的；
级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.
就能证明黎曼级数定理成立了。

证明了性质一与性质二後，就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
，不妨假设
  
    
      
        C
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle C\geqslant 0}
  
. 首先将
  
    
      
        
          A
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{+}}
  
的项按顺序累加，直到部分和超过
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
为止，然后再将
  
    
      
        
          A
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{-}}
  
的项按顺序累加在其後，直到部分和小于
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
为止，接着再将
  
    
      
        
          A
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{+}}
  
剩余的项按顺序累加在其後，直到部分和超过
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
为止……这个算法可以一直进行下去，因为根据性质一，
  
    
      
        
          A
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{+}}
  
和
  
    
      
        
          A
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{-}}
  
都是发散的。而在执行算法的过程中，部分和与
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
会越来越接近。因为无论是在部分和低于
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
，逐项增加到超过
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的过程中，还是在部分和超过了
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
，逐项减少到低于
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的过程中，部分和与
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的差距（绝对值）都不超过前一次“跨越”
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
值的那一刻，部分和与
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越”
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
值时的“步长”。假设第
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
次“跨越”的是在累加第
  
    
      
        
          N
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle N_{k}}
  
项的时候发生的，那么直到第
  
    
      
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle k+1}
  
次“跨越”时，部分和与
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的差距都小于等于
  
    
      
        
          a
          
            
              N
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{N_{k}}}
  
。随着
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
趋于无穷大，
  
    
      
        
          N
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle N_{k}}
  
也趋于无穷大，因而根据性质二，
  
    
      
        
          a
          
            
              N
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{N_{k}}}
  
趋于0，也就是说部分和与
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的差距趋于0。这等价于说重排後的级数
  
    
      
        
          A
          
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\sigma }}
  
收敛于
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
。
如果
  
    
      
        C
        <
        0
      
    
    {\displaystyle C<0}
  
，只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
次累加正项要超越的值从
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
改为
  
    
      
        C
        +
        k
      
    
    {\displaystyle C+k}
  
，然后累加负项直到低于
  
    
      
        C
        +
        k
      
    
    {\displaystyle C+k}
  
，再开始第
  
    
      
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle k+1}
  
次累加正项直到超越
  
    
      
        C
        +
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle C+k+1}
  
，如此以往，就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1，将每次累加负项要低于的值设为0，那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动，从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。:193-197:154-156


推廣 此定理可推廣至斯坦尼兹定理。給定一個複數收斂級數∑ an，則重排後的級數∑ aσ (n)之和有以下幾種可能：

級數∑ an為絕對收斂，所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
級數∑ an為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合，則S要不為整個複數平面C，要不為複數平面上C上的一條線L

  
    
      
        L
        =
        {
        a
        +
        t
        b
        :
        t
        ∈
        
          R
        
        }
        ,
        
        a
        ,
        b
        ∈
        
          C
        
        ,
         
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0}
  

更一般的說，給定一個有限維度實向量空間E，考慮其向量組成的收斂級數，則重排級數之和的集合為E的仿射子空間。


参考来源 Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆）. 于2005年5月16日访问。