本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。
在物理學裏，電荷守恒定律（law of charge conservation）是一種關於電荷的守恆定律。電荷守恒定律有兩種版本，「弱版電荷守恒定律」（又稱為「全域電荷守恒定律」）與「強版電荷守恒定律」（又稱為「局域電荷守恒定律」）。弱版電荷守恒定律表明，整個宇宙的總電荷量保持不變，不會隨著時間的演進而改變。注意到這定律並沒有禁止，在宇宙這端的某電荷突然不見，而在宇宙那端突然出現。強版電荷守恒定律明確地禁止這種可能。強版電荷守恒定律表明，在任意空間區域內電荷量的變化，等於流入這區域的電荷量減去流出這區域的電荷量。對於在區域內部的電荷與流入流出這區域的電荷，這些電荷的會計關係就是電荷守恒。
定量描述，強版定律的方程式是一種連續方程式：

  
    
      
        Q
        (
        
          t
          
            2
          
        
        )
        =
        Q
        (
        
          t
          
            1
          
        
        )
        +
        
          Q
          
            I
            N
          
        
        −
        
          Q
          
            O
            U
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+Q_{IN}-Q_{OUT}}
  
；
其中，
  
    
      
        Q
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle Q(t)}
  
是在時間
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
某設定體積內的電荷量，
  
    
      
        
          Q
          
            I
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{IN}}
  
、
  
    
      
        
          Q
          
            O
            U
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{OUT}}
  
是在時間間隔
  
    
      
        [
        
          t
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            2
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [t_{1},t_{2}]}
  
內分別流入與流出這設定體積的電荷量。
上述兩種守恆定律建立於一個基礎原則，即電荷不能獨自生成與湮滅。假設帶正電粒子接觸到帶負電粒子，兩個粒子帶有電量相同，則因為這接觸動作，兩個粒子會變為中性，這物理行為是合理與被允許的。一個中子，也可以因𝛃衰變，生成帶正電的質子、帶負電的電子與中性的反微中子。但是，任何粒子，不可能獨自地改變電荷量。物理學明確地禁止這種物理行為。更仔細地說，像電子、質子一類的亞原子粒子會帶有電荷，而這些亞原子粒子可以被生成或湮滅。在粒子物理學裏，電荷守恆意味著，在那些生成帶電粒子的基本粒子反應裏，雖然會有帶正電粒子或帶負電粒子生成，在反應前與反應後，總電荷量不會改變；同樣地，在那些湮滅帶電粒子的基本粒子反應裏，雖然會有帶正電粒子或帶負電粒子湮滅，在反應前與反應後，總電荷量絕不會改變；
雖然全域電荷守恒定律要求宇宙的總電荷量保持不變，到底總電荷量是多少仍舊是有待研究問題。大多數跡象顯示宇宙的電荷量為零，即正電荷量與負電荷量相同。


歷史 美國科學家與政治家富蘭克林於1747年與朋友通信：

在這裡與歐洲，科學家已經發現，並且證實，電火是一種真實的元素或物質種類，不是因摩擦而產生，而是只能從搜集獲得。
學術界歸功富蘭克林為這定律的創建者。「富蘭克林電荷守恒定律」表明，在任何絕緣系統內，總電荷量不變。


電磁學表述 流入某體積
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
的淨電流為

  
    
      
        I
        =
        −
        
          ∮
          
            
              S
            
          
        
        
          J
        
        ⋅
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle I=-\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }
  
；
其中，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
是電流，
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
是電流密度，
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
是包圍體積
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
的閉曲面，
  
    
      
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }
  
是微小面向量元素，垂直於
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
從體積內朝外指出。
應用散度定理，將這方程式寫為

  
    
      
        I
        =
        −
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        ∇
        ⋅
        
          J
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle I=-\int _{\mathbb {V} }\nabla \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r}
  
。
總電荷量
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
與體積
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
內的電荷密度
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
的關係為

  
    
      
        Q
        =
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        ρ
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle Q=\int _{\mathbb {V} }\rho \ \mathrm {d} ^{3}r}
  
。
電荷守恆要求，流入體積
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
的淨電流，等於體積
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
內總電荷量
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
的變率：

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              Q
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        I
        =
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=I=\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} ^{3}r}
  
。
所以，

  
    
      
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        (
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∇
        
        ⋅
        
          J
        
         
        )
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        r
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ )\mathrm {d} ^{3}r=0}
  
。
對於任意體積
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
，上述方程式都成立。所以，可以將被積式提取出來：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          J
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}
  
。
電荷守恆方程式又稱為電荷連續方程式。
在十九世紀中期，詹姆斯·馬克士威發現安培定律（原本形式）不能滿足電荷守恆的要求。於是，他將安培定律的方程式加以修正為馬克士威-安培方程式。由於這動作，馬克士威發覺包括這方程式在內的馬克士威方程組，可以用來描述電磁波的物理行為，並且推導出電磁波以光速傳播於自由空間。因此，他正確地斷定光波是一種電磁波。更詳盡細節，請參閱條目馬克士威方程組。
確實無誤，馬克士威方程組已概括了電荷守恆方程式。思考馬克士威-安培方程式，

  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
        +
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          
            
              ∂
              
                E
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
是磁場，
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}}
  
是磁常數，
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}}
  
是電常數，
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
是電場。
取這方程式的散度，

  
    
      
        0
        ≡
        ∇
        ⋅
        (
        ∇
        ×
        
          B
        
        )
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        ∇
        ⋅
        
          J
        
        +
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          
            
              ∂
              (
              ∇
              ⋅
              
                E
              
              )
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 0\equiv \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}}
  
。
将高斯定律（ 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          E
        
        =
        ρ
        
          /
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}
  
 ）带入上式，立即得到電荷守恆定律，

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∇
        
        ⋅
        
          J
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} =0}
  
。


規範不變性 = 靜電學 =
在靜電學裏，電勢乃是相對的，不是絕對的。假設在三維空間的電勢為
  
    
      
        ϕ
        =
        f
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \phi =f(\mathbf {r} )}
  
，現將電勢加上一個常數
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
，改為
  
    
      
        
          ϕ
          ′
        
        =
        f
        (
        
          r
        
        )
        +
        c
      
    
    {\displaystyle \phi '=f(\mathbf {r} )+c}
  
，則電場不會改變，這性質稱為規範不變性。由於這性質，必需先設定在某參考位置的電勢，在其它位置的電勢才具有真實物理意義。因此，每一條方程式只會涉及到相對電勢，不會涉及到絕對電勢。
電荷守恆與規範不變性密切相關。這可以用一個思想實驗來論述。假設某種過程可以破壞電荷守恆（假若無法永久地破壞，至少可以暫時地破壞）。這過程會在空間裏電勢為
  
    
      
        
          V
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{1}}
  
的某位置
  
    
      
        
          
            r
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
  
生成電荷
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
，然後將這電荷遷移至在空間裏電勢為
  
    
      
        
          V
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{2}}
  
的位置
  
    
      
        
          
            r
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
  
，最後將這電荷湮滅。注意到這過程並沒有破壞全域電荷守恆定律，只破壞了局域電荷守恆定律。
現在規定，在任意位置，生成電荷需要輸入能量
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
，湮滅電荷會釋出能量
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
。由於生成電荷或湮滅電荷的位置是任意位置，
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
不會與相對電勢有關。
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
也不會與絕對電勢有關。那麼，整個過程會使得系統獲得能量
  
    
      
        W
        +
        q
        
          V
          
            1
          
        
        −
        q
        
          V
          
            2
          
        
        −
        W
      
    
    {\displaystyle W+qV_{1}-qV_{2}-W}
  
。但是，這樣做會違反能量守恆。為了遵守能量守恆，必需要求局域電荷守恆。所以，由於規範不變性，電荷守恆定律成立。


= 電磁學 =
在電磁學裏，對電勢與磁向量勢做規範變換，

  
    
      
        
          ϕ
          ′
        
        =
        ϕ
        −
        
          
            
              ∂
              Λ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}
  
、

  
    
      
        
          
            A
          
          ′
        
        =
        
          A
        
        +
        ∇
        Λ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \Lambda }
  
；
其中，規範函數
  
    
      
        Λ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Lambda (\mathbf {r} ,t)}
  
是任意純量場。
新的電場
  
    
      
        
          
            E
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} '}
  
、磁場
  
    
      
        
          
            B
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} '}
  
分別為

  
    
      
        
          
            E
          
          ′
        
        =
        −
        ∇
        
          ϕ
          ′
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                
                  A
                
                ′
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        −
        ∇
        ϕ
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} '=-\nabla \phi '-{\frac {\partial \mathbf {A} '}{\partial t}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=\mathbf {E} }
  
、

  
    
      
        
          
            B
          
          ′
        
        =
        ∇
        ×
        
          
            A
          
          ′
        
        =
        ∇
        ×
        
          A
        
        =
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} '=\nabla \times \mathbf {A} '=\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }
  
，
分別與舊的電場
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
、磁場
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
相同。這性質稱為規範不變性。由於這性質，在規範變換下，馬克士威方程組的形式不變。 


= 諾特定理 =
根據諾特定理，電荷守恆可以理解為由於對稱性而導致的後果。諾特定理表明，每一種守恆定律，必定有其伴隨的物理對稱性。伴隨著電荷守恆的對稱性是電磁場的規範不變性。 
採用高斯單位制，張量標記，愛因斯坦求和約定，思考電磁場的拉格朗日密度
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
，

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    L
                  
                
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    1
                    
                      16
                      π
                    
                  
                
                
                  F
                  
                    α
                    β
                  
                
                
                  F
                  
                    α
                    β
                  
                
                −
                 
                
                  
                    1
                    c
                  
                
                
                  J
                  
                    α
                  
                
                
                  A
                  
                    α
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    1
                    
                      16
                      π
                    
                  
                
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                
                  A
                  
                    β
                  
                
                −
                
                  ∂
                  
                    β
                  
                
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                )
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                
                  A
                  
                    β
                  
                
                −
                
                  ∂
                  
                    β
                  
                
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                )
                −
                 
                
                  
                    1
                    c
                  
                
                
                  J
                  
                    α
                  
                
                
                  A
                  
                    α
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-\ {\frac {1}{16\pi }}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }A^{\alpha }\\&=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }A^{\alpha }\\\end{aligned}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha \beta }}
  
是電磁張量，
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
是光速，
  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }}
  
是四維電流密度，
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\alpha }}
  
是電磁四維勢。
現在，做一個微小變換

  
    
      
        
          A
          
            ′
            
              α
            
          
        
        =
        
          A
          
            α
          
        
        +
        
          ∂
          
            α
          
        
        Λ
      
    
    {\displaystyle A'^{\alpha }=A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda }
  
；
其中，
  
    
      
        Λ
        (
        
          x
          
            α
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Lambda (x^{\alpha })}
  
是規範函數。
新的拉格朗日密度
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}'}
  
為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      L
                    
                  
                  ′
                
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    1
                    
                      16
                      π
                    
                  
                
                [
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                (
                
                  A
                  
                    β
                  
                
                +
                
                  ∂
                  
                    β
                  
                
                Λ
                )
                −
                
                  ∂
                  
                    β
                  
                
                (
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                +
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                Λ
                )
                ]
                 
                [
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                (
                
                  A
                  
                    β
                  
                
                +
                
                  ∂
                  
                    β
                  
                
                Λ
                )
                −
                
                  ∂
                  
                    β
                  
                
                (
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                +
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                Λ
                )
                ]
                −
                 
                
                  
                    1
                    c
                  
                
                
                  J
                  
                    α
                  
                
                (
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                +
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                Λ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    1
                    
                      16
                      π
                    
                  
                
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                
                  A
                  
                    β
                  
                
                −
                
                  ∂
                  
                    β
                  
                
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                )
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                
                  A
                  
                    β
                  
                
                −
                
                  ∂
                  
                    β
                  
                
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                )
                −
                 
                
                  
                    1
                    c
                  
                
                
                  J
                  
                    α
                  
                
                (
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                +
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                Λ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    L
                  
                
                −
                 
                
                  
                    1
                    c
                  
                
                
                  J
                  
                    α
                  
                
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                Λ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}'&=-\ {\frac {1}{16\pi }}[\partial _{\alpha }(A_{\beta }+\partial _{\beta }\Lambda )-\partial _{\beta }(A_{\alpha }+\partial _{\alpha }\Lambda )]\ [\partial ^{\alpha }(A^{\beta }+\partial ^{\beta }\Lambda )-\partial ^{\beta }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )]-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )\\&=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )\\&={\mathcal {L}}-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }\partial ^{\alpha }\Lambda \\\end{aligned}}}
  
 。
在這種規範變換下，拉格朗日密度不是不變量，但是作用量
  
    
      
        
          
            I
          
        
        =
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          
            L
          
        
         
        
          
            d
          
          
            4
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{\mathbb {V} }{\mathcal {L}}\ \mathrm {d} ^{4}x}
  
是不變量：

  
    
      
        
          
            
              I
            
          
          ′
        
        −
        
          
            I
          
        
        =
        −
         
        
          
            1
            c
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          J
          
            α
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        Λ
        
          
            d
          
          
            4
          
        
        x
        =
        −
         
        
          
            1
            c
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        (
        
          J
          
            α
          
        
        Λ
        )
        
          
            d
          
          
            4
          
        
        x
        +
         
        
          
            1
            c
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        Λ
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          J
          
            α
          
        
        
          
            d
          
          
            4
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}'-{\mathcal {I}}=-\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }J_{\alpha }\partial ^{\alpha }\Lambda \mathrm {d} ^{4}x=-\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm {d} ^{4}x+\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\Lambda \partial ^{\alpha }J_{\alpha }\mathrm {d} ^{4}x}
  
；
其中，
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
是四維積分體積。
應用散度定理，四維體積積分
  
    
      
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        (
        
          J
          
            α
          
        
        Λ
        )
        
          
            d
          
          
            4
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm {d} ^{4}x}
  
可以變為一個三維曲面積分。將
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
增大，使得表面不存在任何四維電流
  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }}
  
，則這項目等於零。那麼，

  
    
      
        
          
            
              I
            
          
          ′
        
        −
        
          
            I
          
        
        =
        
          
            1
            c
          
        
        
          ∫
          
            
              V
            
          
        
        Λ
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          J
          
            α
          
        
        
          
            d
          
          
            4
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}'-{\mathcal {I}}={\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\Lambda \partial ^{\alpha }J_{\alpha }\mathrm {d} ^{4}x}
  
。
注意到
  
    
      
        Λ
      
    
    {\displaystyle \Lambda }
  
是任意函數，所以，假若作用量
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
是規範不變量，則必定導致

  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          J
          
            α
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial ^{\alpha }J_{\alpha }=0}
  
。


= 規範場論 =

採用高斯單位制，自旋1/2粒子的旋量場的狄拉克拉格朗日密度為

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        i
        ℏ
        c
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        ψ
        −
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }
  
；
其中，
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  
是約化普朗克常數，
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
是光速，
  
    
      
        
          γ
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma ^{\mu }}
  
是狄拉克矩陣（Dirac matrix），
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
是四維旋量，
  
    
      
        
          
            ψ
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\psi }}}
  
是
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
的狄拉克伴隨（Dirac adjoint），
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
是粒子質量。
對於全域規範變換，

  
    
      
        
          ψ
          ′
        
        =
        ψ
        
          e
          
            i
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi '=\psi e^{i\theta }}
  
；
其中，
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是常數相移。
在全局規範變換下，拉格朗日密度
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
是不變量：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      L
                    
                  
                  ′
                
              
              
                
                =
                i
                ℏ
                c
                
                  
                    
                      ψ
                      ′
                    
                    ¯
                  
                
                
                  γ
                  
                    μ
                  
                
                
                  ∂
                  
                    μ
                  
                
                
                  ψ
                  ′
                
                −
                m
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    
                      ψ
                      ′
                    
                    ¯
                  
                
                
                  ψ
                  ′
                
              
            
            
              
              
                
                =
                i
                ℏ
                c
                
                  
                    ψ
                    ¯
                  
                
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    θ
                  
                
                
                  γ
                  
                    μ
                  
                
                
                  ∂
                  
                    μ
                  
                
                (
                ψ
                
                  e
                  
                    i
                    θ
                  
                
                )
                −
                m
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    ψ
                    ¯
                  
                
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    θ
                  
                
                ψ
                
                  e
                  
                    i
                    θ
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                i
                ℏ
                c
                
                  
                    ψ
                    ¯
                  
                
                
                  γ
                  
                    μ
                  
                
                
                  ∂
                  
                    μ
                  
                
                ψ
                −
                m
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    ψ
                    ¯
                  
                
                ψ
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    L
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}'&=i\hbar c{\overline {\psi '}}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi '-mc^{2}{\overline {\psi '}}\psi '\\&=i\hbar c{\overline {\psi }}e^{-i\theta }\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })-mc^{2}{\overline {\psi }}e^{-i\theta }\psi e^{i\theta }\\&=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi \\&={\mathcal {L}}\\\end{aligned}}}
  
 。
可是，對於局域規範變換，
  
    
      
        θ
        =
        θ
        (
        
          x
          
            μ
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \theta =\theta (x^{\mu })}
  
不是常數。在局域規範變換下，由於
  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        (
        ψ
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        )
        =
        (
        
          ∂
          
            μ
          
        
        ψ
        )
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        +
        i
        (
        
          ∂
          
            μ
          
        
        θ
        )
        ψ
        
          e
          
            i
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })=(\partial _{\mu }\psi )e^{i\theta }+i(\partial _{\mu }\theta )\psi e^{i\theta }}
  
，拉格朗日密度
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
不是不變量：

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          ′
        
        =
        
          
            L
          
        
        −
        ℏ
        c
        (
        
          ∂
          
            μ
          
        
        θ
        )
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            μ
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}'={\mathcal {L}}-\hbar c(\partial _{\mu }\theta ){\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }
  
。
因此，必需添加額外項目，才能使
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
成為不變量。猜想新拉格朗日密度的形式為

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            1
          
        
        =
        i
        ℏ
        c
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        ψ
        −
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        ψ
        −
        q
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            μ
          
        
        ψ
        
          A
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}
  
；
其中，
  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\mu }}
  
是新添加的四維向量場。
假設，對於局域規範變換，
  
    
      
        
          A
          
            μ
          
          ′
        
        =
        
          A
          
            μ
          
        
        +
        
          ∂
          
            μ
          
        
        Λ
      
    
    {\displaystyle A'_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\Lambda }
  
。那麼，在局域規範變換下，

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            1
          
          ′
        
        =
        
          
            
              L
            
          
          
            1
          
        
        −
        ℏ
        c
        (
        
          ∂
          
            μ
          
        
        θ
        )
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            μ
          
        
        ψ
        +
        q
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            μ
          
        
        ψ
        
          ∂
          
            μ
          
        
        Λ
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}'_{1}={\mathcal {L}}_{1}-\hbar c(\partial _{\mu }\theta ){\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi +q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \partial _{\mu }\Lambda }
  
。
設定
  
    
      
        Λ
        =
        −
        ℏ
        c
        θ
        
          /
        
        q
      
    
    {\displaystyle \Lambda =-\hbar c\theta /q}
  
，則拉格朗日密度
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}
  
成為規範不變量。但是四維向量場
  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\mu }}
  
的物理意義仍舊不清楚。
思考自旋為1、質量為
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
的粒子的四維向量場，其普羅卡拉格朗日密度（Proca Lagrangian）為

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            P
          
        
        =
        −
         
        
          
            1
            
              16
              π
            
          
        
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        )
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        )
        +
        
          
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              8
              π
              
                ℏ
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          A
          
            ν
          
        
        
          A
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })+{\frac {m^{2}c^{2}}{8\pi \hbar ^{2}}}A^{\nu }A_{\nu }}
  
。
在局域規範變換下，這方程式右手邊第一個項目是不變量，但第二個項目不是不變量。假設粒子不具質量
  
    
      
        m
        =
        0
      
    
    {\displaystyle m=0}
  
，則可除去第二個項目。將這粒子不具質量的普羅卡拉格朗日密度與拉格朗日密度
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}
  
綜合在一起，所得到的拉格朗日密度
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
  
是規範不變量：  

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            2
          
        
        =
        i
        ℏ
        c
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        ψ
        −
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        ψ
        −
         
        
          
            1
            
              16
              π
            
          
        
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        )
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        )
        −
        q
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            μ
          
        
        ψ
        
          A
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}
  
。
假設
  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\mu }}
  
是電磁四維勢、四維電流密度
  
    
      
        
          J
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{\mu }}
  
是
  
    
      
        
          J
          
            μ
          
        
        =
        c
        q
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            μ
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle J_{\mu }=cq{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }
  
、電磁張量
  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha \beta }}
  
是
  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        =
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }}
  
，那麼，
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
  
表示為

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            2
          
        
        =
        i
        ℏ
        c
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        ψ
        −
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        ψ
        −
         
        
          
            1
            
              16
              π
            
          
        
        (
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        )
        −
        
          
            1
            c
          
        
        
          J
          
            μ
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -\ {\frac {1}{16\pi }}(F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta })-{\frac {1}{c}}J^{\mu }A_{\mu }}
  
。
這方程式右手邊前面兩個項目是描述電子或正子的狄拉克場的拉格朗日密度，後面兩個項目則是以光子為媒介的電磁場的拉格朗日密度。對於
  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\mu }}
  
的拉格朗日方程式為馬克士威方程組：

  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          
            
              4
              π
            
            c
          
        
        
          J
          
            μ
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }-{\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }=0}
  
。
規範不變性有很多可被檢驗的後果。例如，局域規範不變性要求光子不具有質量。因此，假若做實驗能夠精確地證實光子不具有質量，這也會成為電荷守恆的強證據。
可是，甚至當物理系統具有完全的規範不變性時，假若電荷從正常的三維空間漏入隱藏的額外維度，則仍舊會有可能發生電荷不守恆現象。


實驗證據 假若電荷不永遠守恆，則可能會發生粒子衰變。檢驗電荷守恆最好的實驗方法就是尋找這些粒子衰變。至今為止，物理學者尚未能找到任何這類衰變。例如，對於電子衰變為微中子與光子的反應，物理學者試著偵測這反應產生的高能光子：

但是，有理論提出，即使電荷不永遠守恆，這種生成高能光子的衰變反應也永遠不會發生。當然，也有實驗試著偵測不產生高能光子的衰變，或者一些比較不尋常的電荷破壞過程，例如，電子可能會自發變成正电子、電子移入其它維度。最優良的實驗值限為


參閱 電容器－儲存電荷的元件。
克希荷夫電路定律－應用電荷守恆於電路。
守恆定律與對稱性（Conservation Laws and Symmetry）
規範理論入門（Introduction to Gauge Theory）－關於規範不變性與電荷守恆的進階論述。


參考文獻