在幾何學中，黃金菱形是指兩對角線長度的比值呈黃金比例的菱形：

  
    
      
        
          
            D
            d
          
        
        =
        φ
        =
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        ≈
        1.618
         
        034
      
    
    {\displaystyle {D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034}
  

其中
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
為長對角線的長度、
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
為短對角線的長度。而由黃金矩形中取到的伐里農平行四邊形皆為黃金菱形。
有數種知名的多面體皆由黃金菱形組成，例如比林斯基十二面體、菱形三十面體等。特別地，有另一種菱形也與黃金比例相關聯，即潘洛斯鑲嵌中的菱形，但不同之處在於，潘洛斯鑲嵌中的菱形是邊長與對角線的比為黃金比例，而黃金菱形則是指兩對角線比值為黃金比例的菱形。


性質 黃金菱形是菱形中的一個特例，其基本性質與菱形相同。以下討論黃金菱形的特別性質。


= 內角 =
黃金菱形的內角為：

銳角：
  
    
      
        α
        =
        2
        arctan
        ⁡
        
          
            1
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =2\arctan {1 \over \varphi }}
  
 ;

  
    
      
        α
        =
        arctan
        ⁡
        
          
            
              
                2
                φ
              
            
            
              1
              −
              (
              
                
                  1
                  φ
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        arctan
        ⁡
        
          
            
              
                2
                φ
              
            
            
              
                1
                φ
              
            
          
        
        =
        arctan
        ⁡
        2
        ≈
        
          63.43495
          
            ∘
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.}
  

鈍角：
  
    
      
        β
        =
        2
        arctan
        ⁡
        φ
        =
        π
        −
        arctan
        ⁡
        2
        ≈
        
          116.56505
          
            ∘
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },}
  

這個角度值與正十二面體相同


= 邊長與對角線長 =
由於菱形也是一種平行四邊形，因此黃金菱形的邊長與對角線長可以用平行四邊形恆等式得出：
黃金菱形的邊長
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
與對角線長
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
具有以下關係：

  
    
      
        a
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              d
              
                2
              
            
            +
            (
            φ
            d
            
              )
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            1
            +
            
              φ
              
                2
              
            
          
        
         
        d
        =
        
          
            
              
                2
                +
                φ
              
            
            2
          
        
         
        d
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            10
            +
            2
            
              
                5
              
            
          
        
         
        d
        ≈
        0.95106
         
        d
         
        .
         
      
    
    {\displaystyle a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0.95106~d~.~}
  

因此，可以用
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
來表示長對角線
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
與短對角線
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
：

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              2
              a
            
            
              
                2
                +
                φ
              
            
          
        
        =
        2
        
          
            
              
                3
                −
                φ
              
              5
            
          
        
         
        a
        =
        
          
            2
            −
            
              
                2
                
                  
                    5
                  
                
              
            
          
        
         
        a
        ≈
        1.05146
         
        a
         
        .
      
    
    {\displaystyle d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.}
  

  
    
      
        D
        =
        
          
            
              2
              φ
              a
            
            
              
                2
                +
                φ
              
            
          
        
        =
        2
        
          
            
              
                2
                +
                φ
              
              5
            
          
        
         
        a
        =
        
          
            2
            +
            
              
                2
                
                  
                    5
                  
                
              
            
          
        
         
        a
        ≈
        1.70130
         
        a
         
        .
      
    
    {\displaystyle D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.}
  


= 面積 =
已知短對角線長
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
時，黃金菱形的的面積為：

  
    
      
        A
        =
        
          
            
              (
              φ
              d
              )
              ⋅
              d
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              φ
            
            2
          
        
         
        
          d
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            4
          
        
         
        
          d
          
            2
          
        
        ≈
        0.80902
         
        
          d
          
            2
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.}
  

已知邊長為
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
時，黃金菱形的的面積為：

  
    
      
        A
        =
        (
        sin
        ⁡
        (
        arctan
        ⁡
        2
        )
        )
         
        
          a
          
            2
          
        
        =
        
          
            2
            
              
                5
              
            
          
        
         
        
          a
          
            2
          
        
        ≈
        0.89443
         
        
          a
          
            2
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.}
  


在多面體中 黃金菱形出現在許多高對稱性的多面體中，例如菱形三十面體（截半二十面体的對偶多面體）、菱形六十面體（菱形三十面體的星形化體）。黃金菱形也構成了許多知名的多面體，例如黃金菱形六面體、比林斯基十二面體和菱形二十面體等。由全部皆由黃金菱形組成的凸多面體僅有兩種黃金菱形六面體、比林斯基十二面體、菱形二十面體以及菱形三十面體五種。而不考慮凹凸性（即允許非凸多面體），則有無限多種多面體可以包含黃金菱形。

		
			
			
		
		
			
			
		
		
			
			
		
		
			
			
		
		
			
			
		
		
			
			
		


參見 黄金三角形


參考文獻 外部連結 From a golden rectangle to a golden rhombus and other golden quadrilaterals （页面存档备份，存于互联网档案馆） Explores some aspects of possible golden rhombi (and golden parallelograms)