維納濾波器（Wiener filter）是由美國數學家諾伯特·維納（Norbert Wiener）於1940年代提出，並於1949年首次正式發表的一種線性濾波技術。它的設計目標是在最小均方誤差的準則下，從被雜訊干擾的觀測訊號中，恢復出原始訊號。此濾波器的核心假設包括：訊號與雜訊皆為平穩隨機過程，並且其統計特性（如相關函數與功率譜）已被確定。基於這些假設，維納濾波器透過統計優化，使得濾波後訊號與真實訊號之間的平均平方差達到最小。
與理想化的通阻型濾波器（如低通、高通、帶通或帶阻）不同，維納濾波器會根據訊號與雜訊的統計特性，動態調整對各頻段的保留或抑制程度。它具有兩種形式：

非因果版本：可以利用未來資訊來達成最佳去噪效果，但不適用於即時系統。
因果版本：只使用當前與過去資料，以適應即時處理需求，但推導上更為複雜。
維納濾波器廣泛應用於音訊降噪、影像復原、通訊無線通道均衡等領域；同時也成為多種自適應濾波演算法如 LMS、RLS 及卡爾曼濾波器的重要理論基石。


描述 維納濾波器的理論基礎可追溯至維納與霍夫（Norbert Wiener and Eberhard Hopf）對隨機訊號估計問題的研究，其推導出的維納–霍夫方程提供了解析解，使得在理想條件下可以精確求出濾波器的脈衝響應或係數。在離散時間域中，維納濾波器可以實作為有限長度（FIR）或無限長度（IIR）形式；而若進一步要求因果性，則必須透過頻譜因式分解處理，以確保濾波器可以即時實作。
與傳統設計為低通、高通、帶通等類型的頻率選擇性濾波器不同，維納濾波器不單以頻率為設計依據，而是依據輸入訊號與期望輸出的統計特性，於各頻段進行權重調整。其在頻域上的濾波器傳輸函數通常具有非零相位響應，這表示它可能會改變訊號的波形結構，但可保證輸出在統計意義下最接近目標訊號。
為解決實務中無法事先得知訊號與雜訊統計特性的限制，維納濾波器衍生出一系列自適應濾波方法，像是最小均方（LMS）與遞迴最小平方（RLS）演算法。這些方法可在線估測濾波係數，使濾波器能夠追蹤動態環境變化而維持近似最小均方誤差的性能。
除了用於一維訊號的去雜訊，維納濾波技術也已擴展至多維資料，例如影像處理中的降噪與去模糊。這類應用中，空間域與頻域的維納濾波器皆可使用，並可根據局部統計特性調整濾波強度，達到空間自適應的效果。
維納濾波器提供了一種將統計估計與線性系統設計結合的方式，並開啟了數位訊號處理中以機率模型為基礎的濾波方法發展，其理論影響深遠，至今仍是統計訊號處理與通訊系統中的重要工具。


模型/问题的建立 假设维纳滤波器的输入信号是
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
  
，叠加噪声
  
    
      
        n
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle n(t)}
  
。输出信号
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  
通过滤波器
  
    
      
        g
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle g(t)}
  
使用下面的卷积运算得到：

  
    
      
        x
        (
        t
        )
        =
        g
        (
        t
        )
        ∗
        (
        s
        (
        t
        )
        +
        n
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)=g(t)*(s(t)+n(t))}
  

其中

  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
  
是需要估计的原始信号

  
    
      
        n
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle n(t)}
  
是噪声

  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  
是估计出的信号（我们希望它能等同于
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
  
)

  
    
      
        g
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle g(t)}
  
是维纳滤波器
误差是
  
    
      
        e
        (
        t
        )
        =
        s
        (
        t
        +
        d
        )
        −
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle e(t)=s(t+d)-x(t)}
  
，方差是
  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          s
          
            2
          
        
        (
        t
        +
        d
        )
        −
        2
        s
        (
        t
        +
        d
        )
        x
        (
        t
        )
        +
        
          x
          
            2
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle e^{2}(t)=s^{2}(t+d)-2s(t+d)x(t)+x^{2}(t)}
  
其中

  
    
      
        s
        (
        t
        +
        d
        )
      
    
    {\displaystyle s(t+d)}
  
是所期望的滤波器输出

  
    
      
        e
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle e(t)}
  
是误差
根据d的不同，问题名称可以更换为：

如果
  
    
      
        d
        >
        0
      
    
    {\displaystyle d>0}
  
那么问题是预测
如果
  
    
      
        d
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d=0}
  
那么问题是滤波
如果
  
    
      
        d
        <
        0
      
    
    {\displaystyle d<0}
  
那么问题是平滑
将
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  
写成卷积积分：
  
    
      
        x
        (
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          g
          (
          τ
          )
          
            [
            
              s
              (
              t
              −
              τ
              )
              +
              n
              (
              t
              −
              τ
              )
            
            ]
          
          d
          τ
        
      
    
    {\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )\left[s(t-\tau )+n(t-\tau )\right]d\tau }}
  
.
计算平方误差的均值，可得

  
    
      
        E
        (
        
          e
          
            2
          
        
        )
        =
        
          R
          
            s
          
        
        (
        0
        )
        −
        2
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          g
          (
          τ
          )
          
            R
            
              x
              
              s
            
          
          (
          τ
          +
          d
          )
          d
          τ
        
        +
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            ∫
            
              −
              ∞
            
            
              ∞
            
          
          
            g
            (
            τ
            )
            g
            (
            θ
            )
            
              R
              
                x
              
            
            (
            τ
            −
            θ
            )
            d
            τ
          
          d
          θ
        
      
    
    {\displaystyle E(e^{2})=R_{s}(0)-2\int _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{x\,s}(\tau +d)d\tau }+\int _{-\infty }^{\infty }{\int _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )g(\theta )R_{x}(\tau -\theta )d\tau }d\theta }}
  

其中

  
    
      
        
        
        
          R
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle \,\!R_{s}}
  
是
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
  
的自相关函数

  
    
      
        
        
        
          R
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \,\!R_{x}}
  
是
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  
的自相关函数

  
    
      
        
          R
          
            x
            
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{x\,s}}
  
是
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  
和
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
  
的互相关函数
如果信号
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
  
和噪声
  
    
      
        n
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle n(t)}
  
是不相关的（例如，互相关是0）那么请注意

  
    
      
        
          R
          
            x
            
            s
          
        
        =
        
          R
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{x\,s}=R_{s}}
  

  
    
      
        
        
        
          R
          
            x
          
        
        =
        
          R
          
            s
          
        
        +
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \,\!R_{x}=R_{s}+R_{n}}
  

这个的目的是求最优的
  
    
      
        g
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle g(t)}
  
，使得
  
    
      
        E
        (
        
          e
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle E(e^{2})}
  
最小。


稳态解（Stationary solution） 维纳滤波对于因果系统与非因果系统有两种不同解，如下：


= 非因果解（Anticausal solution) =

  
    
      
        G
        (
        s
        )
        =
        
          
            
              
                S
                
                  x
                  ,
                  s
                
              
              (
              s
              )
              
                e
                
                  α
                  s
                
              
            
            
              
                S
                
                  x
                
              
              (
              s
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G(s)={\frac {S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_{x}(s)}}}
  

其中
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 是谱函数。
只要
  
    
      
        g
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle g(t)}
  
是最优的，那么最小均方误差公式简化为
  
    
      
        E
        (
        
          e
          
            2
          
        
        )
        =
        
          R
          
            s
          
        
        (
        0
        )
        −
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          g
          (
          τ
          )
          
            R
            
              x
              ,
              s
            
          
          (
          τ
          +
          d
          )
          d
          τ
        
      
    
    {\displaystyle E(e^{2})=R_{s}(0)-\int _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{x,s}(\tau +d)d\tau }}
  

那么方程的解
  
    
      
        g
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle g(t)}
  
就是
  
    
      
        G
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle G(s)}
  
的双边拉普拉斯变换逆变换（inverse two-sided Laplace transform）。


= 因果解（Causal solution) =

  
    
      
        G
        (
        s
        )
        =
        
          
            
              H
              (
              s
              )
            
            
              
                S
                
                  x
                
                
                  +
                
              
              (
              s
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}}}
  

其中

  
    
      
        H
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle H(s)}
  
是
  
    
      
        
          
            
              
                S
                
                  x
                  ,
                  s
                
              
              (
              s
              )
              
                e
                
                  α
                  s
                
              
            
            
              
                S
                
                  x
                
                
                  −
                
              
              (
              s
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_{x}^{-}(s)}}}
  
的拉普拉斯逆变换positive time解

  
    
      
        
          S
          
            x
          
          
            +
          
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle S_{x}^{+}(s)}
  
是
  
    
      
        
          S
          
            x
          
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle S_{x}(s)}
  
的拉普拉斯逆变换positive time解

  
    
      
        
          S
          
            x
          
          
            −
          
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle S_{x}^{-}(s)}
  
是
  
    
      
        
          S
          
            x
          
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle S_{x}(s)}
  
的拉普拉斯逆变换negative time解


离散序列的有限冲激响应维纳滤波器 因果的有限冲激响应（FIR）维纳滤波器通过使用输入和输出信号的统计信息，而不是使用一些给定的数据矩阵X和输出矢量Y，来发现最佳的抽头权重。它将输入信号的自相关的估计（T）代入输入矩阵X，将输出和输入信号的互相关估计（V）代入的输出向量Y。
为了获得维纳滤波系数，考虑将信号w[n]输入到一个N阶维纳滤波器，系数
  
    
      
        {
        
          a
          
            i
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{i}\}}
  
, 
  
    
      
        i
        
        =
        
        0
        ,
        
        …
        ,
        
        N
      
    
    {\displaystyle i\,=\,0,\,\ldots ,\,N}
  
，N的滤波器的输出被记作x[n]，这是由下式给出

  
    
      
        x
        [
        n
        ]
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        w
        [
        n
        −
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle x[n]=\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]}
  
。
剩余误差来表示e[n]的，被定义为e[n] = x[n] − s[n]（参见相应的框图）。维纳滤波器被设计成最小化均方误差（MMSE准则），它可以如下简而言之：

  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        =
        arg
        ⁡
        min
         
        E
        {
        
          e
          
            2
          
        
        [
        n
        ]
        }
      
    
    {\displaystyle a_{i}=\arg \min ~E\{e^{2}[n]\}}
  
，

  
    
      
        E
        {
        ⋅
        }
      
    
    {\displaystyle E\{\cdot \}}
  
表示期望算子。在一般情况下，系数
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
  
可能是复数，在w[n]的和s[n]是复数的情况下可能推导出。对于复信号，待求解矩阵是一个共轭对称Toeplitz矩阵，而不是对称Toeplitz矩阵。为简单起见，下面只考虑所有这些量实数的情况。均方误差（MSE）可改写为：

  
    
      
        
          
            
              
                E
                {
                
                  e
                  
                    2
                  
                
                [
                n
                ]
                }
              
              
                =
              
              
                E
                {
                (
                x
                [
                n
                ]
                −
                s
                [
                n
                ]
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                }
              
            
            
              
              
                =
              
              
                E
                {
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                [
                n
                ]
                }
                +
                E
                {
                
                  s
                  
                    2
                  
                
                [
                n
                ]
                }
                −
                2
                E
                {
                x
                [
                n
                ]
                s
                [
                n
                ]
                }
              
            
            
              
              
                =
              
              
                E
                {
                
                  
                    (
                  
                
                
                  ∑
                  
                    i
                    =
                    0
                  
                  
                    N
                  
                
                
                  a
                  
                    i
                  
                
                w
                [
                n
                −
                i
                ]
                
                  
                    
                      )
                    
                  
                  
                    2
                  
                
                }
                +
                E
                {
                
                  s
                  
                    2
                  
                
                [
                n
                ]
                }
                −
                2
                E
                {
                
                  ∑
                  
                    i
                    =
                    0
                  
                  
                    N
                  
                
                
                  a
                  
                    i
                  
                
                w
                [
                n
                −
                i
                ]
                s
                [
                n
                ]
                }
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{rcl}E\{e^{2}[n]\}&=&E\{(x[n]-s[n])^{2}\}\\&=&E\{x^{2}[n]\}+E\{s^{2}[n]\}-2E\{x[n]s[n]\}\\&=&E\{{\big (}\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]{\big )}^{2}\}+E\{s^{2}[n]\}-2E\{\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]s[n]\}.\end{array}}}
  

矢量
  
    
      
        [
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          a
          
            N
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [a_{0},\,\ldots ,\,a_{N}]}
  
减少上面的表达式，计算其关于
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
  
的导数

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      
                        a
                        
                          i
                        
                      
                    
                  
                
                E
                {
                
                  e
                  
                    2
                  
                
                [
                n
                ]
                }
              
              
                =
              
              
                2
                E
                {
                
                  
                    (
                  
                
                
                  ∑
                  
                    j
                    =
                    0
                  
                  
                    N
                  
                
                
                  a
                  
                    j
                  
                
                w
                [
                n
                −
                j
                ]
                
                  
                    )
                  
                
                w
                [
                n
                −
                i
                ]
                }
                −
                2
                E
                {
                s
                [
                n
                ]
                w
                [
                n
                −
                i
                ]
                }
                
                i
                =
                0
                ,
                
                …
                ,
                
                N
              
            
            
              
              
                =
              
              
                2
                
                  ∑
                  
                    j
                    =
                    0
                  
                  
                    N
                  
                
                E
                {
                w
                [
                n
                −
                j
                ]
                w
                [
                n
                −
                i
                ]
                }
                
                  a
                  
                    j
                  
                
                −
                2
                E
                {
                w
                [
                n
                −
                i
                ]
                s
                [
                n
                ]
                }
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\{e^{2}[n]\}&=&2E\{{\big (}\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]{\big )}w[n-i]\}-2E\{s[n]w[n-i]\}\quad i=0,\,\ldots ,\,N\\&=&2\sum _{j=0}^{N}E\{w[n-j]w[n-i]\}a_{j}-2E\{w[n-i]s[n]\}.\end{array}}}
  

假设，
  
    
      
        w
        [
        n
        ]
      
    
    {\displaystyle w[n]}
  
和
  
    
      
        s
        [
        n
        ]
      
    
    {\displaystyle s[n]}
  
均为平稳和联合平稳，记序列
  
    
      
        
          R
          
            w
          
        
        [
        m
        ]
      
    
    {\displaystyle R_{w}[m]}
  
和
  
    
      
        
          R
          
            w
            s
          
        
        [
        m
        ]
      
    
    {\displaystyle R_{ws}[m]}
  
为
  
    
      
        w
        [
        n
        ]
      
    
    {\displaystyle w[n]}
  
的自相关和
  
    
      
        w
        [
        n
        ]
      
    
    {\displaystyle w[n]}
  
和
  
    
      
        s
        [
        n
        ]
      
    
    {\displaystyle s[n]}
  
之间的互相关，定义如下：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  R
                  
                    w
                  
                
                [
                m
                ]
                =
              
              
                E
                {
                w
                [
                n
                ]
                w
                [
                n
                +
                m
                ]
                }
              
            
            
              
                
                  R
                  
                    w
                    s
                  
                
                [
                m
                ]
                =
              
              
                E
                {
                w
                [
                n
                ]
                s
                [
                n
                +
                m
                ]
                }
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}R_{w}[m]=&E\{w[n]w[n+m]\}\\R_{ws}[m]=&E\{w[n]s[n+m]\}.\end{aligned}}}
  

因此，注意到
  
    
      
        
          R
          
            w
            s
          
        
        [
        −
        i
        ]
        
        =
        
        
          R
          
            s
            w
          
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle R_{ws}[-i]\,=\,R_{sw}[i]}
  
，导数的MSE可以改写为

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                a
                
                  i
                
              
            
          
        
        E
        {
        
          e
          
            2
          
        
        [
        n
        ]
        }
        =
        2
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          R
          
            w
          
        
        [
        j
        −
        i
        ]
        
          a
          
            j
          
        
        −
        2
        
          R
          
            s
            w
          
        
        [
        i
        ]
        
        i
        =
        0
        ,
        
        …
        ,
        
        N
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\{e^{2}[n]\}=2\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}-2R_{sw}[i]\quad i=0,\,\ldots ,\,N}
  
.
令该导数等于零，得到

  
    
      
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          R
          
            w
          
        
        [
        j
        −
        i
        ]
        
          a
          
            j
          
        
        =
        
          R
          
            s
            w
          
        
        [
        i
        ]
        
        i
        =
        0
        ,
        
        …
        ,
        
        N
      
    
    {\displaystyle \sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}=R_{sw}[i]\quad i=0,\,\ldots ,\,N}
  
，
上式可以改写为矩阵形式

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  T
                
                
                  a
                
                =
                
                  v
                
              
            
            
              
                ⇒
              
              
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            R
                            
                              w
                            
                          
                          [
                          0
                          ]
                        
                        
                          
                            R
                            
                              w
                            
                          
                          [
                          1
                          ]
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            R
                            
                              w
                            
                          
                          [
                          N
                          ]
                        
                      
                      
                        
                          
                            R
                            
                              w
                            
                          
                          [
                          1
                          ]
                        
                        
                          
                            R
                            
                              w
                            
                          
                          [
                          0
                          ]
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            R
                            
                              w
                            
                          
                          [
                          N
                          −
                          1
                          ]
                        
                      
                      
                        
                          ⋮
                        
                        
                          ⋮
                        
                        
                          ⋱
                        
                        
                          ⋮
                        
                      
                      
                        
                          
                            R
                            
                              w
                            
                          
                          [
                          N
                          ]
                        
                        
                          
                            R
                            
                              w
                            
                          
                          [
                          N
                          −
                          1
                          ]
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            R
                            
                              w
                            
                          
                          [
                          0
                          ]
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              0
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            a
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          ⋮
                        
                      
                      
                        
                          
                            a
                            
                              N
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            R
                            
                              w
                              s
                            
                          
                          [
                          0
                          ]
                        
                      
                      
                        
                          
                            R
                            
                              w
                              s
                            
                          
                          [
                          1
                          ]
                        
                      
                      
                        
                          ⋮
                        
                      
                      
                        
                          
                            R
                            
                              w
                              s
                            
                          
                          [
                          N
                          ]
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} \mathbf {a} =\mathbf {v} \\\Rightarrow &{\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}[1]&\cdots &R_{w}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[0]\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N]\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
  

这些方程被称作Wiener-Hopf方程。出现在方程中的矩阵T是一个对称的Toeplitz矩阵。当
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
在适当条件下，这些矩阵是正定的，也就是非奇异的，从而使得有唯一解来确定维纳滤波器系数矢量，
  
    
      
        
          a
        
        
        =
        
        
          
            T
          
          
            −
            1
          
        
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,=\,\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} }
  
。此外，Wiener-Hopf方程存在一个求解的有效算法，称为Levinson-Durbin算法，因此并不需要对矩阵
  
    
      
        
          T
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} }
  
的显式求逆。


维纳滤波器的优缺点 維納濾波器的設計優勢在於：它能以最小化均方誤差（MSE）為目標，達成線性估計的最優效果，這使其在理想統計條件下（訊號與雜訊的功率譜已知）能充分發揮精準去噪與訊號恢復性能；此外，在某些案例中，濾波器係數可以求得封閉形式解，因此能利用簡單的物理元件（RC、LC網絡）加以實現。因其理論明確、可計算性高，維納濾波常成為後續 LMS、RLS 及卡爾曼濾波自適應方法的基礎。
然而，其實務上的限制也不容忽視：首先，在真實環境中精確獲得信號和噪聲的功率頻譜或自相關函數十分困難，尤其在非平穩或時變噪聲條件下更難以估計到位；其次，維納濾波為線性方法，這意味其無法處理非線性現象（如訊號高次諧波、混疊），可能導致濾波後結果出現模糊、振鈴（ringing）等失真現象；第三，設計 FIR 或 IIR 濾波器時需要進行矩陣反演或頻譜因式分解，對計算能力要求較高，尤其在高維或大規模案例中亦不易即時實現。
此外，在應用中也遇到頻率分佈重疊與生態噪聲模式的挑戰，維納濾波解對小幅頻譜估計誤差通常十分敏感，實務效能可能因此明顯下降。而且在一些影像去模糊案例中，若參數估計不精準，更可能導致「過度鈍化」（over-smoothing）或不必要的邊緣損失。
綜上所述，儘管維納濾波在統計理論上具備無可匹敵的最佳特性，但其使用條件限制（已知統計特性、線性假設、計算開銷）與對估計誤差敏感性，使其在較複雜或動態環境中常被替代或與其他自適應、非線性技術（如 LMS、卡爾曼或小波濾波）結合使用，以求更穩健且實用的處理效果。


参见 諾伯特·維納（Norbert Wiener）
卡尔曼滤波


参考书目 ^ [1]: Wiener, Norbert (1949), Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series.  New York: Wiley.  ISBN 0-262-73005-7
^ [2]: Brown, Robert Grover and Patrick Y.C. Hwang (1996) Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. 3 ed. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-12839-2
^ [3]: Neil Gershenfeld, The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge University Press, 1999