《测圆海镜》是中国金代数学家李冶的代表作，于公元1248年写成。全书一共十二卷，由一百七十个问题组成。书中对勾股容圆的问题进行了探讨，系统地建立了“天元术”（列一元方程的方法）来解决几何问题。《测圆海镜》被认为是中国现存的第一部天元术著作。
天元术是对具体问题列出方程而后求解的方法。天元术于宋金时期开始发展，到元朝达到一个高峰。在《测圆海镜》问世之前，中国虽有以天人代表未知数用以布列方程和多项式的工作，但早期著作已失，仅存被引用的一些片段。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术，用“天元”代替未知数，列出方程，然后求解。


内容 《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关系的公式总集识别杂记；卷二至卷十二，共一百七十个问题及其解答所组成。书中一共有148问，182种方法是以天元术列出方程以求解，其中列出一次方程31个，二次方程106个，三次方程24个，四次方程20个，六次方程1个


= 卷一 =


 圆城图式  圆城图式（右图）是全书的总括图解，由一个直角三角形（古时称为勾股形）、它的内切圆以及一些特定的点和直线组成。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代。最大的三角形的三个顶点分别是天、地、乾，天地乾三角形的内切圆圆心称为心。过心的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于日、南、北三点。过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点。过东的垂直线和过南的水平线都是内切圆的切线，它们分别交天地乾三角形于艮、坤、山、月四点，而相交于巽点。乾坤巽艮构成一个正方形。过月的垂直线交东西水平线于青点，交地乾边于泉点。过山的水平线交南北垂直线于朱点，交天乾边于金点。而这两条线相交于泛点。最后过日的水平线交天乾边于旦点，过川的垂直线交地乾边于夕点。总共22个点。


 总率名号  全书所研究的三角形一共有15个，全部是以天地线之间的线段为弦（斜边）的直角三角形。总率名号给出了这些三角形和线段的名称。它们分别是：

其中弦是三角形斜边，股是三角形的长直角边（这里是竖直的），勾是三角形短直角边（这里是水平的）。（
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  
代表通勾，
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1}}
  
代表通股，
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1}}
  
代表通弦，余类推）。


 今问正数  今问正数一节给出了圆城图式中每个线段的长度。其中以内切圆的半径为120步，作为标准。

弦
勾
股
勾股和：a + b
勾股校：b - a
勾弦和：a + c
勾弦校：c - a
股弦和：b + c
股弦校：c - b
弦校和：c + (b - a)
弦校校：c - (b - a)
弦和和：(a + b) + c
弦和校：(a + b) - c
例子:「通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，较（兩者的差）二百八十；勾弦和一千，较三百六十；股弦和一千二百八十，较八十；弦较和九百六十，较四百；弦和和一千六百，较二百四十。」
15个勾股形中上高 = 下高；上平 = 下平，因此，15个勾股形中，只有13个勾股形是相异的。
《今问正数》共15个勾股形×13项=195项。
，列表如下。


 识别杂记  识别杂记都是关于不同线段之间的几何关系式。一共给出了692个公式。是全书的纲领。
识别杂记包含八项：

诸杂名目：是全书的总纲，列出各项定义，例如虚勾虚股相得名为虚率，高股平勾差名为角差，又名远差等等。诸杂名目中还列出三十余项定理，如凡大差小差相乘为半段径幂，大差勾小差股相乘同上、黄广股黄长勾相乘为经幂等等。


 = 名目  =


 = 杂用公式  =

  
    
      
        (
        
          c
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            1
          
        
        )
        ∗
        (
        
          c
          
            1
          
        
        ∗
        
          b
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})}
  
= 
  
    
      
        
          1
        
        2
      
    
    {\displaystyle 1 \over 2}
  
*
  
    
      
        (
        
          d
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (d_{1})^{2}}
  

  
    
      
        
          a
          
            10
          
        
        ∗
        
          b
          
            11
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{10}*b_{11}}
  
= 
  
    
      
        
          1
        
        2
      
    
    {\displaystyle 1 \over 2}
  

  
    
      
        (
        
          d
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (d_{1})^{2}}
  

  
    
      
        
          a
          
            13
          
        
        ∗
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{13}*b_{1}}
  
= 
  
    
      
        
          1
        
        2
      
    
    {\displaystyle 1 \over 2}
  

  
    
      
        (
        
          d
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (d_{1})^{2}}
  

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ∗
        
          b
          
            13
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}*b_{13}}
  
= 
  
    
      
        
          1
        
        2
      
    
    {\displaystyle 1 \over 2}
  

  
    
      
        (
        
          d
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (d_{1})^{2}}
  

  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        ∗
        
          b
          
            15
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{2}*b_{15}}
  
= 
  
    
      
    
    {\displaystyle }
  

  
    
      
        (
        
          r
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (r_{1})^{2}}
  

  
    
      
        
          a
          
            14
          
        
        ∗
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{14}*a_{3}}
  
= 
  
    
      
        (
        
          r
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (r_{1})^{2}}
  

  
    
      
        
          a
          
            5
          
        
        ∗
        
          b
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{5}*b_{4}}
  
= 
  
    
      
        (
        
          d
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (d_{1})^{2}}
  

  
    
      
        
          a
          
            8
          
        
        ∗
        
          b
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{8}*b_{6}}
  
= 
  
    
      
        
          a
          
            9
          
        
        ∗
        
          b
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{9}*b_{7}}
  

  
    
      
        =
        (
        
          r
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle =(r_{1})^{2}}
  

  
    
      
        (
        
          b
          
            14
          
        
        ∗
        
          c
          
            14
          
        
        )
        ∗
        (
        
          a
          
            15
          
        
        +
        
          c
          
            15
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})}
  
= 
  
    
      
        (
        
          r
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (r_{1})^{2}}
  

  
    
      
        
          c
          
            6
          
        
        ∗
        
          c
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{6}*c_{8}}
  
= 
  
    
      
        
          c
          
            7
          
        
        ∗
        
          c
          
            9
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle c_{7}*c_{9})}
  
=
  
    
      
        
          a
          
            13
          
        
        ∗
        
          b
          
            13
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{13}*b_{13}}
  

  
    
      
    
    {\displaystyle }
  


 = 五和五较  =

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          c
          
            3
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            4
          
        
        +
        
          b
          
            4
          
        
        +
        
          c
          
            4
          
        
        =
        2
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            5
          
        
        +
        
          b
          
            5
          
        
        +
        
          c
          
            5
          
        
        =
        2
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            6
          
        
        +
        
          b
          
            6
          
        
        +
        
          c
          
            6
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            7
          
        
        +
        
          b
          
            7
          
        
        +
        
          c
          
            7
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            8
          
        
        +
        
          b
          
            8
          
        
        +
        
          c
          
            8
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            9
          
        
        +
        
          b
          
            9
          
        
        +
        
          c
          
            9
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            10
          
        
        +
        
          b
          
            10
          
        
        +
        
          c
          
            10
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            11
          
        
        +
        
          b
          
            11
          
        
        +
        
          c
          
            11
          
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
        −
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            12
          
        
        +
        
          b
          
            12
          
        
        +
        
          c
          
            12
          
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            13
          
        
        +
        
          b
          
            13
          
        
        +
        
          c
          
            13
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          b
          
            1
          
        
        −
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            14
          
        
        +
        
          b
          
            14
          
        
        +
        
          c
          
            14
          
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}}
  

  
    
      
        
          a
          
            15
          
        
        +
        
          b
          
            15
          
        
        +
        
          c
          
            15
          
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
        −
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}}
  

此外还有诸弦，大小差，诸差，诸率互见，四位拾遗，拾遗。
一共692关系式，这些关系式完全是几何定理，与具体数值无关。
举例：第三条中“勾股和即弦黄和”一句就是：三角形两直角边之和等于斜边加上内切圆直径（“黄”指内切圆直径）。这个命题可以由直角三角形的勾股定理推出：

设直角三角形三边分别为
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
、
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
，其中
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  

内接圆直径
  
    
      
        d
        =
        
          
            
              2
              a
              b
            
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\frac {2ab}{a+b+c}}}
  
，因此
内接圆直径 + 斜边 = 
  
    
      
        d
        +
        c
        =
        
          
            
              2
              a
              b
            
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
          
        
        +
        c
        =
        
          
            
              2
              a
              b
              +
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              a
              c
              +
              b
              c
            
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d+c={\frac {2ab}{a+b+c}}+c={\frac {2ab+c^{2}+ac+bc}{a+b+c}}}
  

  
    
      
        =
        
          
            
              2
              a
              b
              +
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              a
              c
              +
              b
              c
            
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              a
              +
              b
              )
              (
              a
              +
              b
              +
              c
              )
            
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {2ab+a^{2}+b^{2}+ac+bc}{a+b+c}}={\frac {(a+b)(a+b+c)}{a+b+c}}}
  

  
    
      
        =
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle =a+b}
  
 = 两直角边之和
后面出现的各问题，都根据这些公式中的相等关系而列出方程，然后求解。
李冶的692个公式中，有8个是错误的，只是因为数值吻合而被误认为成立。


 新设第一率   新设第二率   新设第三率   新设第四率  = 第二卷 =
正率14问

从第二卷开始，《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题，它们都是围绕着同一个题设背景而展开。
在第二卷开头，李冶作出了以后题目公用的总假设：

这里的圆城就是指天地乾三角形的内切圆，其方向按照圆城图式里面东南西北四个点的位置而定（注意北在下方，东在左边，与现在通用的方位相反），所谓的“乾地”、“坤地”则是指圆城图式里面出现的乾点、坤点等等。以后的每个问题中要求的长度都是圆城的半径或直径。
接下来的问题都是已知某些线段的长度，问圆城的半径或直径。李冶在每一题的题目之后都先写出解法（代数演算），再给出演草（代入数值的计算）。

洞渊九容
开头十个问题，不需要天元方程。清代数学李善兰认为，第一个问题和《九章算术》的勾股容圆题目一样，第二问至第十问就是《自序》中提到的“洞渊九容”。但李冶原书或《四库全书》李锐较本都没有这九个问题的细草，李善兰在《天算或问》一书中根据相似三角形原理求得各式，并以第二问为例阐明如下：

  
    
      
        
          
            
              a
              
                1
              
            
            
              
                a
                
                  1
                
              
              +
              
                b
                
                  1
                
              
              +
              
                c
                
                  1
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {a_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}}
  

  
    
      
        
          
            
              b
              
                1
              
            
            
              
                b
                
                  1
                
              
              +
              
                c
                
                  1
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {b_{1} \over b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over b_{2}+c_{2}}}
  

又因：

  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            1
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}}
  

所以

  
    
      
        
          
            
              2
              
                b
                
                  1
                
              
              
                c
                
                  1
                
              
            
            
              
                a
                
                  1
                
              
              +
              
                b
                
                  1
                
              
              +
              
                c
                
                  1
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                b
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {2b_{1}c_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={2b_{2}c_{2} \over b_{2}+c_{2}}}
  

得

  
    
      
        
          
            
              2
              
                a
                
                  2
                
              
              ×
              
                b
                
                  2
                
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle {2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d}
  

其余类推。
。

第一问：或问：甲乙二人俱在乾地，乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙，问径几里？
答曰：城径二百四十步。

勾股容圆
  
    
      
        d
        =
        
          
            
              2
              
                a
                
                  1
                
              
              ×
              
                b
                
                  1
                
              
            
            
              
                a
                
                  1
                
              
              +
              
                b
                
                  1
                
              
              +
              
                c
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={2a_{1}\times b_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}}
  

  
    
      
        =
        
          
            
              2
              ∗
              320
              ∗
              600
            
            
              320
              +
              600
              +
              
                
                  (
                
              
              
                320
                
                  2
                
              
              +
              
                600
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        =
        240
      
    
    {\displaystyle ={2*320*600 \over 320+600+{\sqrt {(}}320^{2}+600^{2})}=240}
  

第二问：勾上容圆

  
    
      
        
          
            
              2
              
                a
                
                  2
                
              
              ×
              
                b
                
                  2
                
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle {2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d}
  

第三问：股上容圆

  
    
      
        
          
            
              2
              
                a
                
                  3
                
              
              ×
              
                b
                
                  3
                
              
            
            
              
                a
                
                  3
                
              
              +
              
                b
                
                  3
                
              
              +
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle {2a_{3}\times b_{3} \over a_{3}+b_{3}+c_{3}}=d}
  

第四问：勾股上容圆

  
    
      
        
          
            
              2
              
                a
                
                  12
                
              
              ×
              
                b
                
                  12
                
              
            
            
              c
              
                12
              
            
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle {2a_{12}\times b_{12} \over c_{12}}=d}
  

第五问：弦上容圆

  
    
      
        
          
            
              2
              a
              ×
              b
            
            
              a
              +
              b
            
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle {2a\times b \over a+b}=d}
  

第六问：勾外容圆

  
    
      
        
          
            
              2
              
                a
                
                  10
                
              
              ×
              
                b
                
                  10
                
              
            
            
              
                b
                
                  10
                
              
              −
              
                a
                
                  10
                
              
              +
              
                c
                
                  10
                
              
            
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle {2a_{10}\times b_{10} \over b_{10}-a_{10}+c_{10}}=d}
  

第七问：股外容圆

  
    
      
        
          
            
              2
              
                a
                
                  11
                
              
              ×
              
                b
                
                  11
                
              
            
            
              
                b
                
                  11
                
              
              −
              
                a
                
                  11
                
              
              +
              
                c
                
                  11
                
              
            
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle {2a_{11}\times b_{11} \over b_{11}-a_{11}+c_{11}}=d}
  

第八问：弦外容圆

  
    
      
        
          
            
              2
              
                a
                
                  13
                
              
              ×
              
                b
                
                  13
                
              
            
            
              
                b
                
                  13
                
              
              +
              
                a
                
                  13
                
              
              −
              
                c
                
                  13
                
              
            
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle {2a_{13}\times b_{13} \over b_{13}+a_{13}-c_{13}}=d}
  

第九问：勾外容圆半

  
    
      
        
          
            
              2
              
                a
                
                  14
                
              
              ×
              
                b
                
                  14
                
              
            
            
              
                c
                
                  14
                
              
              −
              
                a
                
                  14
                
              
            
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle {2a_{14}\times b_{14} \over c_{14}-a_{14}}=d}
  

第十问：股外容圆半

  
    
      
        
          
            
              2
              
                a
                
                  15
                
              
              ×
              
                b
                
                  15
                
              
            
            
              
                c
                
                  15
                
              
              −
              
                b
                
                  15
                
              
            
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle {2a_{15}\times b_{15} \over c_{15}-b_{15}}=d}
  

天元术

从第十四题开始，引入天元术，将所求的未知量设为“天元”，然后根据识别杂记中给出的公式构造出两个天元式，另其相等，然后解方程得出答案。《测圆海镜》中天元式的次序，高次幂在常数项之上，和《益古演段》，《四元玉鉴》的相反。

第十四问
“或问出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问答同前”。

法曰：以二行步相乘为实，二行步相并为从，一步常法，得半径。
草曰：立天元一为半径，置南行步在地，
内减天元半径得股圆差：
  
    
      
        480
        −
        x
      
    
    {\displaystyle 480-x}
  

元
。
又置乙东行步在地，内减天元，得勾圆差：
  
    
      
        200
        −
        x
      
    
    {\displaystyle 200-x}
  

元

以勾圆差增乘股圆差得半段黄方幂：
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        680
        x
        +
        96000
      
    
    {\displaystyle x^{2}-680x+96000}
  

元

又置天元幂以倍之，也为半段黄方幂；

元
因此，得
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        680
        x
        +
        96000
        =
        2
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}-680x+96000=2x^{2}}
  

相消得：
  
    
      
        −
        
          x
          
            2
          
        
        −
        680
        x
        +
        96000
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}
  

元

解方程，得半径
  
    
      
        r
        =
        120
      
    
    {\displaystyle r=120}
  
。


= 第三卷 =
边股17问 


= 第四卷 =
底勾17问：已知
  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{3}}
  
及另一边求直径d.
。
第三卷边股问与第四卷同次第底勾问成对偶。


= 第五卷 =
大股18问：已知
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1}}
  
。


= 第六卷 =
大勾18问：

1-11，13-19已知a_{1}，及另一边求直径d.
12问：已知 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}+c_{3}}
  
及另边，求直径。


= 第七卷 =
明叀前18问；求直径d。


= 第八卷 =
边股17问：已知 三至八边，或其差，和，求直径d.


 第十四问  或问：高差，平差并一百六十一步，明差叀差并七十七步，问答同前。
即：
草曰：
已知 

  
    
      
        (
        
          b
          
            7
          
        
        −
        
          a
          
            7
          
        
        )
        +
        (
        
          b
          
            8
          
        
        −
        
          a
          
            8
          
        
        )
        =
        161
      
    
    {\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161}
  

  
    
      
        (
        
          b
          
            14
          
        
        −
        
          a
          
            14
          
        
        )
        +
        (
        
          b
          
            15
          
        
        −
        
          a
          
            15
          
        
        )
        =
        77
      
    
    {\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77}
  

相加除2 ; 根据#杂用公式，等于皇极差：

  
    
      
        
          (
          
            b
            
              7
            
          
          −
          
            a
            
              7
            
          
          )
          +
          (
          
            b
            
              8
            
          
          −
          
            a
            
              8
            
          
          )
          +
          (
          
            b
            
              14
            
          
          −
          
            a
            
              14
            
          
          )
          +
          (
          
            b
            
              15
            
          
          −
          
            a
            
              15
            
          
          )
        
        2
      
    
    {\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2}
  
 
  
    
      
        =
        (
        
          b
          
            12
          
        
        −
        
          a
          
            12
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle =(b_{12}-a_{12})}
  

  
    
      
        
          b
          
            12
          
        
        −
        
          a
          
            12
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle b_{12}-a_{12}=}
  

  
    
      
        
          161
          +
          77
        
        2
      
    
    {\displaystyle 161+77 \over 2}
  

  
    
      
        =
        119
      
    
    {\displaystyle =119}
  

设天元一为上平勾：

  
    
      
        x
        =
        
          a
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle x=a_{8}}
  

  
    
      
        x
        +
        161
      
    
    {\displaystyle x+161}
  
 =
  
    
      
        x
        +
        (
        
          b
          
            7
          
        
        −
        
          a
          
            7
          
        
        )
        +
        (
        
          b
          
            8
          
        
        −
        
          a
          
            8
          
        
        )
        =
        
          a
          
            8
          
        
        +
        (
        
          b
          
            7
          
        
        −
        
          a
          
            7
          
        
        )
        +
        (
        
          b
          
            8
          
        
        −
        
          a
          
            8
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})}
  

  
    
      
        =
        
          b
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle =b_{7}}
  
 (杂用公式)
因为 
  
    
      
        
          a
          
            8
          
        
        +
        
          b
          
            7
          
        
        =
        
          c
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{8}+b_{7}=c_{12}}
  
 (杂用公式)

  
    
      
        
          c
          
            12
          
        
        =
        x
        +
        
          b
          
            7
          
        
        =
        2
        ∗
        x
        +
        (
        
          b
          
            7
          
        
        −
        
          a
          
            7
          
        
        )
        +
        (
        
          b
          
            8
          
        
        −
        
          a
          
            8
          
        
        )
        =
        2
        ∗
        x
        +
        161
      
    
    {\displaystyle c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161}
  

  
    
      
        
          c
          
            12
          
          
            2
          
        
        =
        (
        x
        +
        
          b
          
            7
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        (
        2
        ∗
        x
        +
        161
        
          )
          
            2
          
        
        =
        4
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        644
        ∗
        x
        +
        25921
      
    
    {\displaystyle c_{12}^{2}=(x+b_{7})^{2}=(2*x+161)^{2}=4*x^{2}+644*x+25921}
  

  
    
      
        
          c
          
            12
          
          
            2
          
        
        −
        (
        
          b
          
            12
          
        
        −
        
          a
          
            12
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{12}^{2}-(b_{12}-a_{12})^{2}}
  

  
    
      
        =
        4
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        644
        ∗
        x
        +
        25921
        −
      
    
    {\displaystyle =4*x^{2}+644*x+25921-}
  

  
    
      
        
          (
          (
          
            b
            
              7
            
          
          −
          
            a
            
              7
            
          
          )
          +
          (
          
            b
            
              8
            
          
          −
          
            a
            
              8
            
          
          )
          +
          (
          
            b
            
              14
            
          
          −
          
            a
            
              14
            
          
          )
          +
          (
          
            b
            
              15
            
          
          −
          
            a
            
              15
            
          
          )
          
            )
            
              2
            
          
        
        4
      
    
    {\displaystyle ((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^{2} \over 4}
  

  
    
      
        =
        4
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        644
        ∗
        x
        +
        11760
        =
        d
      
    
    {\displaystyle =4*x^{2}+644*x+11760=d}
  
(圆城直径),

  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        =
        (
        4
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        644
        ∗
        x
        +
        11760
        
          )
          
            2
          
        
        =
        16
        ∗
        
          x
          
            4
          
        
        +
        5152
        ∗
        
          x
          
            3
          
        
        +
        508816
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        15146880
        ∗
        x
        +
        138297600
      
    
    {\displaystyle d^{2}=(4*x^{2}+644*x+11760)^{2}=16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600}
  

将 
  
    
      
        4
        ∗
        x
      
    
    {\displaystyle 4*x}
  
乘下高股

  
    
      
        4
        ∗
        x
        ∗
        
          b
          
            7
          
        
        =
        4
        ∗
        x
        ∗
        (
        x
        +
        (
        
          b
          
            7
          
        
        −
        
          a
          
            7
          
        
        )
        +
        (
        
          b
          
            8
          
        
        −
        
          a
          
            8
          
        
        )
        )
        =
        4
        ∗
        x
        ∗
        (
        x
        +
        161
        )
        =
        4
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        644
        ∗
        x
      
    
    {\displaystyle 4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*(x+161)=4*x^{2}+644*x}
  

乘之以皇极弦幂:

  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        =
        4
        ∗
        x
        ∗
        
          b
          
            7
          
        
        ∗
        
          c
          
            12
          
          
            2
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle d^{2}=4*x*b_{7}*c_{12}^{2}=}
  

  
    
      
        (
        4
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        644
        ∗
        x
        )
        ∗
        (
        4
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        644
        ∗
        x
        +
        25921
        )
        =
      
    
    {\displaystyle (4*x^{2}+644*x)*(4*x^{2}+644*x+25921)=}
  

  
    
      
        16
        ∗
        
          x
          
            4
          
        
        +
        5152
        ∗
        
          x
          
            3
          
        
        +
        518420
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        16693124
      
    
    {\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124}
  

因此

  
    
      
        16
        ∗
        
          x
          
            4
          
        
        +
        5152
        ∗
        
          x
          
            3
          
        
        +
        518420
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        16693124
        =
      
    
    {\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124=}
  

  
    
      
        16
        ∗
        
          x
          
            4
          
        
        +
        5152
        ∗
        
          x
          
            3
          
        
        +
        508816
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        15146880
        ∗
        x
        +
        138297600
      
    
    {\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600}
  

左右相消得：

  
    
      
        9604
        ∗
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1546244
        ∗
        x
        −
        138297600
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 9604*x^{2}+1546244*x-138297600=0}
  

解之得 
  
    
      
        x
        =
        
          a
          
            8
          
        
        =
        64
      
    
    {\displaystyle x=a_{8}=64}
  
;
正合#今问正数中的下平勾。


= 第九卷上 =
：大斜四问


= 第九卷下 =
：大和8问

边股17问：已知三边，求直径d。


= 第十卷 =
：三事和8问


= 第十一卷 =
杂糅18问：
第十七问，十八问取自《洞淵算书》。


= 第十二卷 =
之分14问


版本 天元术并非李冶的独创，而是从金代起便在中国北方开始萌芽。据祖颐在《四元玉鉴后序》中的记载，李冶以前研究天元术的学者有北宋蒋周撰《益古集》、李文一撰《照胆》，石信道撰《钤经》、刘汝谐撰《如积释锁》等书，世人才知道有天元。此外朱世杰《四元玉鉴》引用北宋《洞渊九容细草》两道题，其中有“立天元一”。后来李德载撰《两仪群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《阴阳备用三元节要》三卷下有天元，地元。但是这些早期天元术的著作已经失传。宋代《杨辉算法》保留蒋周《益古集》的一些条段法的题目，没保留天元术的内容。现存元刻本《阴阳备用三元节要》只有一条二元术题，《测圆海镜》是现存最早的系统地讲述天元术的著作。
到了明代，天元术因为艰深难懂而少人研究，几近失传。明代唐顺抄录过《测圆海镜》，但不懂天元术；顾应祥曾经撰写《测圆海镜分类释术》，但完全没有明白天元术中天元为未知数的含义，因而将《测圆海镜》中关于立天元列方程的演算全部删去，只留下用开方术解方程的过程，以便后人学习。李俨认为宋金元发展起来的天元术至此已被遗忘。《测圆海镜分类释术》一书，虽然删除了天元术内容，但保存了全部算题，也补入正确的几何学解法，使得几近失传的《测圆海镜》，得以从新流传。
十八世纪时，随着西洋算学传入中国，李冶等人的天元术著作才被后来的数学家重新发现。戴东原从《永乐大典》中辑录出李冶《测圆海镜》；清朝梅瑴成（梅文鼎之孙）曾经研读元学士李冶的《测圆海镜》，对其中的天元之术感到不解，后来在研习西方的“借根方”法时发现所谓的“借根”就是“立天元”（都是设未知数），方才重新开始认识天元术。之后，《四元玉鉴》等其它天元术著作也被重新认识。孔广森曾校对《测圆海镜》中的四章。乾隆三十八年（1773年），《四库全书》收录了李潢家藏本的《测圆海镜》。1798年，清代大藏书家鲍廷博刊印的《知不足斋丛书》中收录了李锐校勘的《测圆海镜细草》十二卷。之后又有焦循和李锐在研究了《测圆海镜》、《益古演段》和《数书九章》后写的《天元一释》和《开方通释》两书，用较为明白的语言详细解释了李冶的天元术和秦九韶的正负开方术。1873年，张楚钟发表《测圆海镜通释》对《识别杂记》中的几百条定理，用几何方法逐条证明。


清代研究 1896年刘岳云出版《测圆海镜解》，发现《圆城图式》中各线段的简单加减关系，发表《诸率加减表》，此后李善兰出版《测圆海镜解》等。他在另一篇著作《天算或问》中给出勾股容圆各公式的统一公式。其后陈维祺发表《各率及较泛积表》将《识别杂记》用“泛积”概念统一表示。王季同在《九容公式》中进一步发展了陈维祺的成果，发现

极勾=(高股 * 平勾 +平勾^2)^(1/2)
极股=(高股 * 平勾 +高股^2)^(1/2)
半径=(高股 * 平勾 )^(1/2)


国际研究 19世纪初，朝鲜数学家南秉哲著《海镜细草解》。
1913年，法国学者L.van Hoe 介绍《测圆海镜》。1982年，法国林力娜（K. Chemla)作论文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye，获得博士学位。1983年，新加坡大学教授蓝丽蓉发表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,论述《测圆海镜》。


评价 清代数学家对《测圆海镜》给予很高评价。阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”，李善兰称赞它是“中华算书，无有胜于此者”。白尚恕说，《测圆海镜》的成就，超过同时期的印度，阿拉伯和欧洲，“处于世界数学里遥遥领先的地位”


参考文献 = 引用 =


= 来源 =


参见 李冶《益古演段》
朱世杰《四元玉鉴》
李善兰
秦九韶算法