在线性代数中，舒尔分解或舒尔上三角化是一种矩阵分解方法，得名于德国数学家伊沙海·舒爾。


定理的陈述 舒尔分解定理表明，如果A是n阶的复方阵，则存在n阶么正矩阵Q，n阶上三角矩阵U，使得：

  
    
      
        A
        =
        Q
        U
        
          Q
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle A=QUQ^{H}}
  

即任何一个n阶复方阵A酉相似于一个n阶上三角矩阵U。因为A，U相似，所以两者有相同的特征值，且相同特征值的代数重数也相同。又因U是上三角矩阵，所以U的对角元素实际上是A的所有特征值。
该定理表明，存在Cn的一个线性子空间序列{0} = V0 ⊂ V1 ⊂ ... ⊂ Vn = Cn，使得其中的每一个都是A（看成线性变换）的不变子空间。且存在Cn（指定标准内积）的一组单位酉正交基，使得前i个基向量张成上述序列中第i个子空间。


定理的证明 = 以线性变换思想 =
把矩阵A看成是有限维酉空间Cn上的线性变换，它有特征值λ，所对应的特征子空间为Vλ，令Vλ⊥ 为它的正交补空间。分别取两个空间的一组单位正交基(Z1，Z2)，它们构成原空间的一组单位正交基，则线性变换A在这组基下的矩阵表出为：

  
    
      
        
          
            
              [
              
                
                  
                    
                      Z
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      Z
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              ]
            
          
          
            ∗
          
        
        A
        
          
            [
            
              
                
                  
                    Z
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  λ
                  
                  
                    I
                    
                      λ
                    
                  
                
                
                  
                    A
                    
                      12
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    A
                    
                      22
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        :
        
          
            
              
                
                  V
                  
                    λ
                  
                
              
            
            
              
                ⊕
              
            
            
              
                
                  V
                  
                    λ
                  
                  
                    ⊥
                  
                
              
            
          
        
        →
        
          
            
              
                
                  V
                  
                    λ
                  
                
              
            
            
              
                ⊕
              
            
            
              
                
                  V
                  
                    λ
                  
                  
                    ⊥
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}}
  

而A22又可以看成是Vλ⊥上的线性变换，又可以重复上述过程。（本质上，A22是A在商空间Cn\Vλ上引入的线性变换。）所以最终可以找到Cn的一组基，使得A在这组基下的矩阵为上三角矩阵。


= 以矩阵思想 =
上述证明过程也可以用矩阵的语言复述。对n阶矩阵采用数学归纳法:

k=1，显然命题成立。
若任何一个n-1阶矩阵酉正交相似于一个上三角矩阵。则对一个n阶矩阵，它有特征值λ1，对应特征向量β。将β扩充为Cn的一组单位正交基，并排列成矩阵V1，则有：

  
    
      
        
          V
          
            1
          
          
            −
            1
          
        
        A
        
          V
          
            1
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    λ
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  ∗
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    A
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{1}^{-1}AV_{1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&A_{1}\end{bmatrix}}}
  

根据归纳假设，存在n-1阶酉矩阵V2和上三角矩阵T，使得：

  
    
      
        
          V
          
            2
          
          
            −
            1
          
        
        
          A
          
            1
          
        
        
          V
          
            2
          
        
        =
        T
      
    
    {\displaystyle V_{2}^{-1}A_{1}V_{2}=T}
  

所以有：

  
    
      
        
          
            
              [
              
                
                  
                    1
                  
                  
                    0
                  
                
                
                  
                    0
                  
                  
                    
                      V
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              ]
            
          
          
            −
            1
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    λ
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  ∗
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    A
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    V
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    λ
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  ∗
                
              
              
                
                  0
                
                
                  T
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&A_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&T\end{bmatrix}}}
  

即：

  
    
      
        (
        
          V
          
            1
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    V
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        A
        (
        
          V
          
            1
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    V
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    λ
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  ∗
                
              
              
                
                  0
                
                
                  T
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle (V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}})^{-1}A(V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}})={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&T\end{bmatrix}}}
  

令
  
    
      
        U
        =
        
          V
          
            1
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    V
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle U=V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}}
  
，显然它是酉矩阵。由归纳假设，原命题成立。


计算 给定矩阵的舒尔分解可以用QR计算法求出。换言之，为求解矩阵的舒尔分解，并没有必要求解其特征多项式的根。另一方面，通过求解一个多项式的伴随矩阵的舒尔分解，可以计算出它的所有根。类似地，通过舒尔分解，也可以计算给定矩阵的特征值。


广义舒尔分解 给定矩阵A和B，则存在酉矩阵Q、Z，上三角矩阵S、T，使得
  
    
      
        A
        =
        Q
        S
        
          Z
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A=QSZ^{-1}}
  
和
  
    
      
        B
        =
        Q
        T
        
          Z
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle B=QTZ^{-1}}
  
同时成立。这被称为广义舒尔分解，有时也被称为QZ分解。
广义特征值问题
  
    
      
        d
        e
        t
        (
        A
        −
        λ
        B
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle det(A-\lambda B)=0}
  
的解是S、T对应的对角元的比值，即
  
    
      
        
          λ
          
            i
          
        
        =
        
          S
          
            i
            i
          
        
        
          /
        
        
          T
          
            i
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}
  
。


参考文献