康威鏈式箭號表示法是由約翰·何頓·康威發明的，用來表示大數。形式上看起來會像這樣：2→3→4→5→6。


定義 康威鏈式箭號表示法的長度定義如下：

任何一個正整數是長度為1的康威鏈。
假若有一個長度是n的康威鏈，後面加上→和一個正整數，此時形成的鏈長度為n+1。
如果兩個康威鏈代表相同的整數，那麼就說它們是等價的。
下面四個規則說明如何用康威鏈表示整數，其中
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
和
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
是正整數，
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
是一個較短的康威鏈：

康威鏈
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
表示正整數
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
。

  
    
      
        p
        →
        q
      
    
    {\displaystyle p\to q}
  
代表指數函數
  
    
      
        
          p
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{q}}
  
。

  
    
      
        X
        →
        p
        →
        1
      
    
    {\displaystyle X\to p\to 1}
  
等價於
  
    
      
        X
        →
        p
      
    
    {\displaystyle X\to p}
  
。

  
    
      
        X
        →
        p
        →
        (
        q
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle X\to p\to (q+1)}
  
等價於
  
    
      
        X
        →
        (
        X
        →
        (
        ⋯
        (
        X
        →
        (
        X
        )
        →
        q
        )
        ⋯
        )
        →
        q
        )
        →
        q
      
    
    {\displaystyle X\to (X\to (\cdots (X\to (X)\to q)\cdots )\to q)\to q}
  
 （在這裡，
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
出現
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
次，
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
出現
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
  
次，括號數量為
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
  
）。
第四條規則可以以遞迴關係式列出，避免省略號的出現：

4a. 
  
    
      
        X
        →
        1
        →
        (
        q
        +
        1
        )
        =
        X
      
    
    {\displaystyle X\to 1\to (q+1)=X}
  

4b. 
  
    
      
        X
        →
        (
        p
        +
        1
        )
        →
        (
        q
        +
        1
        )
        =
        X
        →
        (
        X
        →
        p
        →
        (
        q
        +
        1
        )
        )
        →
        q
      
    
    {\displaystyle X\to (p+1)\to (q+1)=X\to (X\to p\to (q+1))\to q}
  

上面的四條規則可用來定義所有的康威鏈。例如長度為3的康威鏈，利用第四條規則，基本上長度仍然一樣，但
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
和
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
會是遞減的，當遞減到1時，就可以利用第三條規則來使長度縮短，使得它可利用第二條規則來計算出來。


性質 長度為3的康威鏈對應hyper運算符和高德納箭號表示法：
  
    
      
        
          
            
              
                p
                →
                q
                →
                r
                =
                
                  hyper
                
                (
                p
                ,
                r
                +
                2
                ,
                q
                )
                =
                p
                
                
                
              
              
                
                  
                    
                      ↑
                      ⋯
                      ↑
                    
                    ⏟
                  
                
              
              
                
                
                
                q
                =
                p
                
                  ↑
                  
                    r
                  
                
                q
                .
              
            
            
              
              
                
                
                
                r
                
                   arrows
                
                
                
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}p\to q\to r={\text{hyper}}(p,r+2,q)=p\!\!\!&\underbrace {\uparrow \dots \uparrow } &\!\!\!q=p\uparrow ^{r}q.\\&\!\!\!r{\text{ arrows}}\!\!\!\end{matrix}}}
  

X→Y形式上如同X→p（設Y是一個較短的康威鏈，如同X一樣），因此：
一個康威鏈的開頭是冪。
1→Y等價於1。
X→1→Y等價於X。
2→2→Y等價於4。
X→2→2等價於X→(X)，其中後面的X是先被算出來的整數，如a→b→2→2 = a→b→(a→b) = a→b→ab。
康威鏈不能被拆分，其箭號並不是二元運算符。其他二元運算符具有交換律及結合律，如2 + 3 = 3 + 2，2 + 3 + 2 = (2 + 3) + 2 = 2 + (3 + 2)，或者是按照規定的順序，如234這類指數是從右至左計算，先計算34 = 81，再計算281。康威鏈並不符合上述性質。例如：

  
    
      
        2
        →
        3
        →
        2
        =
        2
        ↑↑
        3
        =
        
          2
          
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        =
        16
      
    
    {\displaystyle 2\rightarrow 3\rightarrow 2=2\uparrow \uparrow 3=2^{2^{2}}=16}
  

  
    
      
        2
        →
        
          (
          
            3
            →
            2
          
          )
        
        =
        
          2
          
            (
            
              3
              
                2
              
            
            )
          
        
        =
        
          2
          
            
              3
              
                2
              
            
          
        
        =
        512
      
    
    {\displaystyle 2\rightarrow \left(3\rightarrow 2\right)=2^{(3^{2})}=2^{3^{2}}=512}
  

  
    
      
        
          (
          
            2
            →
            3
          
          )
        
        →
        2
        =
        
          
            (
            
              2
              
                3
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        64
      
    
    {\displaystyle \left(2\rightarrow 3\right)\rightarrow 2=\left(2^{3}\right)^{2}=64}
  

第一個式子並不等於下面任何式子。


例子 例子很快會變得非常複雜，先從簡單的開始（其中有些例子也會應用高德納箭號表示法）：
n

= n  （規則1）
p→q

= pq （規則2）
例如 3→4 = 34 = 81
1→（任何康威鏈）

= 1，因為任何康威鏈最終可以被簡化成一個數字，而1的任何次方都是1。 （事實上，任何含有1的康威鏈，在1後面的那些數字和箭號都可直接消去，一個例子如X→1→Y = X。）
4→3→2

= 4→(4→(4)→1)→1（規則4），從內向外展開。
= 4→(4→4→1)→1（去掉多餘的括號）
= 4→(4→4)→1（規則3）
= 4→(44)→1（規則2）
= 4→(256)→1（計算指數）
= 4→256→1（去括號）
= 4→256（規則3）
= 4256（規則2）
利用高德納箭號表示法可以很容易解決：
  
    
      
        4
        
          ↑
          
            2
          
        
        3
        =
        4
        ↑↑
        3
        =
        4
        ↑
        4
        ↑
        4
        =
        4
        ↑
        
          4
          
            4
          
        
        =
        4
        ↑
        256
        =
        
          4
          
            256
          
        
      
    
    {\displaystyle 4\uparrow ^{2}3=4\uparrow \uparrow 3=4\uparrow 4\uparrow 4=4\uparrow 4^{4}=4\uparrow 256=4^{256}}
  

2→2→4

= 2→(2)→3（規則4）
= 2→2→3（去括號）
= 2→2→2（規則4，去括號）
= 2→2→1（規則4，去括號）
= 2→2（規則3）
= 4（規則2）（事實上，任何以2→2為開頭的康威鏈其值均為4，本例是一個例子，應用性質6）
高德納箭號表示法：
  
    
      
        2
        
          ↑
          
            4
          
        
        2
        =
        2
        ↑↑↑↑
        2
        =
        2
        ↑↑↑
        2
        =
        2
        ↑↑
        2
        =
        2
        ↑
        2
        =
        
          2
          
            2
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle 2\uparrow ^{4}2=2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=2\uparrow \uparrow \uparrow 2=2\uparrow \uparrow 2=2\uparrow 2=2^{2}=4}
  

2→4→3

= 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2（規則4）
= 2→(2→(2→2→2)→2)→2（去括號）
= 2→(2→(4)→2)→2（性質6）
= 2→(2→4→2)→2（去括號）
= 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2（規則4）
= 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2（去括號）
= 2→(2→(2→(2→2)))→2（規則3）
= 2→(2→(2→(4)))→2（規則2）
= 2→(2→(16))→2（規則2）
= 2→65536→2（規則2）
= 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1（規則4），其中括號出現65535次
= 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...)))（規則3）
= 2→(2→(2→(...2→(4)...)))（規則2）
= 2→(2→(2→(...16...)))（規則2）
= 
  
    
      
        
          2
          
            
              2
              
                …
                
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{2^{\dots ^{2}}}}
  
（其中2出現216 = 65536次） = 655362（見迭代冪次）
若用高德納箭號表示法可得
  
    
      
        2
        
          ↑
          
            3
          
        
        4
        =
        2
        ↑↑↑
        4
        =
        2
        ↑↑
        2
        ↑↑
        2
        ↑↑
        2
        =
        2
        ↑↑
        2
        ↑↑
        2
        ↑
        2
        =
        2
        ↑↑
        2
        ↑↑
        4
        =
        2
        ↑↑
        2
        ↑
        2
        ↑
        2
        ↑
        2
        =
        2
        ↑↑
        65536
      
    
    {\displaystyle 2\uparrow ^{3}4=2\uparrow \uparrow \uparrow 4=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 4=2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2=2\uparrow \uparrow 65536}
  

2→3→2→2

= 2→3→(2→3)→1（規則4）
= 2→3→8（規則2和規則3）（利用高德納箭號表示法即為
  
    
      
        2
        
          ↑
          
            8
          
        
        3
      
    
    {\displaystyle 2\uparrow ^{8}3}
  
）
= 2→(2→2→7)→7（規則4）
= 2→4→7（性質6，利用高德納箭號表示法即為
  
    
      
        2
        
          ↑
          
            7
          
        
        4
      
    
    {\displaystyle 2\uparrow ^{7}4}
  
）
= 2→(2→(2→2→6)→6)→6（規則4）
= 2→(2→4→6)→6（性質6）
= 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6（規則4）
= 2→(2→(2→4→5)→5)→6（性質6）
= 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6（規則4）
= 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6（性質6）
= 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4)→5)→6（規則4）
= 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6（性質6）
= 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6（利用前面的例子）
= 大到無法想像的數
高德納箭號表示法：
  
    
      
        2
        
          ↑
          
            6
          
        
        2
        
          ↑
          
            5
          
        
        2
        
          ↑
          
            4
          
        
        2
        
          ↑
          
            3
          
        
        2
        
          ↑
          
            2
          
        
        65536
      
    
    {\displaystyle 2\uparrow ^{6}2\uparrow ^{5}2\uparrow ^{4}2\uparrow ^{3}2\uparrow ^{2}65536}
  

3→2→2→2

= 3→2→(3→2)→1（規則4）
= 3→2→9（規則2和規則3）
= 3→3→8（規則4）
高德納箭號表示法：
  
    
      
        3
        
          ↑
          
            8
          
        
        3
      
    
    {\displaystyle 3\uparrow ^{8}3}
  

3→2→3→3

= 3→2→(3→2→(3→2)→2)→2（規則4）
= 3→2→(3→2→9→2)→2（規則2）
= 3→2→(3→2→(3→2→(...3→2→(3→2)→1...)→1)→1)→2（規則4），其中3→2出現10次，也就是原本的1個，加上括號裡的9個。
= 3→2→(3→2→(3→2→(...3→2→(3→2)...)))→2（規則3），3→2出現10次。
= 3→2→(3→2→(3→2→(...3→2→9...)))→2（規則2），3→2出現9次。
= 3→2→(3→2→(3→2→(...3→3→8...)))→2（規則4），3→2出現8次。
= 3→2→(3→2→(3→2→(...
  
    
      
        3
        
          ↑
          
            8
          
        
        3
      
    
    {\displaystyle 3\uparrow ^{8}3}
  
...)))→2（高德納箭號表示法），3→2出現8次。
= 3→2→(3→2→(3→2→(...3→2→(
  
    
      
        3
        
          ↑
          
            8
          
        
        3
      
    
    {\displaystyle 3\uparrow ^{8}3}
  
)...)))→2
= 3→2→(3→2→(3→2→(...
  
    
      
        3
        
          ↑
          
            3
            
              ↑
              
                8
              
            
            3
          
        
        3
      
    
    {\displaystyle 3\uparrow ^{3\uparrow ^{8}3}3}
  
...)))→2（高德納箭號表示法），3→2出現7次。
= ...
= 3→2→
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      3
                      
                        ↑
                        
                          3
                          
                            ↑
                            
                              .
                              .
                              .3
                              
                                ↑
                                
                                  8
                                
                              
                              3...
                            
                          
                          3
                        
                      
                      3
                    
                    ⏟
                  
                
              
            
            
              
                8
                
                   arrows
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3\uparrow ^{3\uparrow ^{...3\uparrow ^{8}3...}3}3} \\8{\text{ arrows}}\end{matrix}}}
  
→2（高德納箭號表示法）
= 3→2→(3→2→(...3→2→(3→2)→1...)→1)→1（規則4），其中3→2出現
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      3
                      
                        ↑
                        
                          3
                          
                            ↑
                            
                              .
                              .
                              .3
                              
                                ↑
                                
                                  8
                                
                              
                              3...
                            
                          
                          3
                        
                      
                      3
                    
                    ⏟
                  
                
              
            
            
              
                8
                
                   arrows
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3\uparrow ^{3\uparrow ^{...3\uparrow ^{8}3...}3}3} \\8{\text{ arrows}}\end{matrix}}}
  
次。
= 3→2→(3→2→(...3→2→(3→2)))（規則3），其中3→2出現
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      3
                      
                        ↑
                        
                          3
                          
                            ↑
                            
                              .
                              .
                              .3
                              
                                ↑
                                
                                  8
                                
                              
                              3...
                            
                          
                          3
                        
                      
                      3
                    
                    ⏟
                  
                
              
            
            
              
                8
                
                   arrows
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3\uparrow ^{3\uparrow ^{...3\uparrow ^{8}3...}3}3} \\8{\text{ arrows}}\end{matrix}}}
  
次。
= 
  
    
      
        
          3
          
            ↑
            
              3
              
                ↑
                
                  .
                  .
                  .3
                  
                    ↑
                    
                      3
                      ↑
                      2
                    
                  
                  3...
                
              
              3
            
          
          3
        
      
    
    {\displaystyle {3\uparrow ^{3\uparrow ^{...3\uparrow ^{3\uparrow 2}3...}3}3}}
  
，其中向上箭號出現
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      3
                      
                        ↑
                        
                          3
                          
                            ↑
                            
                              .
                              .
                              .3
                              
                                ↑
                                
                                  8
                                
                              
                              3...
                            
                          
                          3
                        
                      
                      3
                    
                    ⏟
                  
                
              
            
            
              
                8
                
                   arrows
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3\uparrow ^{3\uparrow ^{...3\uparrow ^{8}3...}3}3} \\8{\text{ arrows}}\end{matrix}}}
  
次。
= 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        3
                        
                          ↑
                          
                            3
                            
                              ↑
                              
                                .
                                .
                                .3
                                
                                  ↑
                                  
                                    3
                                    ↑
                                    2
                                  
                                
                                3...
                              
                            
                            3
                          
                        
                        3
                      
                      ⏟
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          3
                          
                            ↑
                            
                              3
                              
                                ↑
                                
                                  .
                                  .
                                  .3
                                  
                                    ↑
                                    
                                      8
                                    
                                  
                                  3...
                                
                              
                              3
                            
                          
                          3
                          
                             arrows
                          
                        
                        ⏟
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                8
                
                   arrows
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3\uparrow ^{3\uparrow ^{...3\uparrow ^{3\uparrow 2}3...}3}3} _{\underbrace {3\uparrow ^{3\uparrow ^{...3\uparrow ^{8}3...}3}3{\text{ arrows}}} }\\8{\text{ arrows}}\end{matrix}}}
  

可見得3→2→3→3為使用高德納箭號表示法都難以表示的數，這個例子可證明，使用康威鏈式箭號表示法表示大數的效率會比高德納箭號表示法高很多（葛立恆數則是另一個例子）。


= 一般性的例子 =
簡單的例子：

  
    
      
        a
        →
        b
        →
        2
        →
        2
        =
        a
        →
        b
        →
        (
        a
        →
        b
        )
        →
        1
        =
        a
        →
        b
        →
        
          a
          
            b
          
        
        =
        a
        
          ↑
          
            
              a
              
                b
              
            
          
        
        b
      
    
    {\displaystyle a\to b\to 2\to 2=a\to b\to (a\to b)\to 1=a\to b\to a^{b}=a\uparrow ^{a^{b}}b}
  

最後利用了性質1。

  
    
      
        a
        →
        b
        →
        3
        →
        2
        =
        a
        →
        b
        →
        (
        a
        →
        b
        →
        (
        a
        →
        b
        )
        →
        1
        )
        →
        1
      
    
    {\displaystyle a\to b\to 3\to 2=a\to b\to (a\to b\to (a\to b)\to 1)\to 1}
  
 
  
    
      
        =
        a
        →
        b
        →
        (
        a
        →
        b
        →
        
          a
          
            b
          
        
        )
        =
        a
        →
        b
        →
        (
        a
        →
        b
        →
        2
        →
        2
        )
        =
        a
        
          ↑
          
            a
            →
            b
            →
            2
            →
            2
          
        
        b
      
    
    {\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to a^{b})=a\to b\to (a\to b\to 2\to 2)=a\uparrow ^{a\to b\to 2\to 2}b}
  

最後利用了
  
    
      
        a
        →
        b
        →
        2
        →
        2
      
    
    {\displaystyle a\to b\to 2\to 2}
  
。

  
    
      
        a
        →
        b
        →
        4
        →
        2
        =
        a
        →
        b
        →
        (
        a
        →
        b
        →
        (
        a
        →
        b
        →
        
          a
          
            b
          
        
        )
        )
        =
        a
        
          ↑
          
            a
            →
            b
            →
            3
            →
            2
          
        
        b
      
    
    {\displaystyle a\to b\to 4\to 2=a\to b\to (a\to b\to (a\to b\to a^{b}))=a\uparrow ^{a\to b\to 3\to 2}b}
  

最後利用了
  
    
      
        a
        →
        b
        →
        3
        →
        2
      
    
    {\displaystyle a\to b\to 3\to 2}
  
。
對於任何康威鏈X，設
  
    
      
        f
        (
        p
        )
        =
        X
        →
        p
      
    
    {\displaystyle f(p)=X\to p}
  
，則
  
    
      
        X
        →
        p
        →
        2
        =
        
          f
          
            p
          
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle X\to p\to 2=f^{p}(1)}
  
（見複合函數）。
設
  
    
      
        X
        =
        a
        →
        b
      
    
    {\displaystyle X=a\to b}
  
，則
  
    
      
        f
        (
        p
        )
        =
        a
        
          ↑
          
            p
          
        
        b
      
    
    {\displaystyle f(p)=a\uparrow ^{p}b}
  
，所以
  
    
      
        a
        →
        b
        →
        p
        →
        2
        =
        
          f
          
            p
          
        
        (
        1
        )
        =
        a
        
          ↑
          
            a
            →
            b
            →
            (
            p
            −
            1
            )
            →
            2
          
        
        b
      
    
    {\displaystyle a\to b\to p\to 2=f^{p}(1)=a\uparrow ^{a\to b\to (p-1)\to 2}b}
  
。
例如
  
    
      
        10
        →
        10
        →
        3
        →
        2
        =
        10
        
          ↑
          
            10
            
              ↑
              
                
                  10
                  
                    10
                  
                
              
            
            10
          
        
        10
        
      
    
    {\displaystyle 10\to 10\to 3\to 2=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10\!}
  
。
進而：

  
    
      
        a
        →
        b
        →
        2
        →
        3
        =
        a
        →
        b
        →
        2
        →
        (
        2
        +
        1
        )
        =
        a
        →
        b
        →
        (
        a
        →
        b
        )
        →
        2
        =
        a
        →
        b
        →
        
          a
          
            b
          
        
        →
        2
        =
        
          f
          
            
              a
              
                b
              
            
          
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle a\to b\to 2\to 3=a\to b\to 2\to (2+1)=a\to b\to (a\to b)\to 2=a\to b\to a^{b}\to 2=f^{a^{b}}(1)}
  

我們可以進一步一般化。假設
  
    
      
        
          g
          
            q
          
        
        (
        p
        )
        =
        X
        →
        p
        →
        q
      
    
    {\displaystyle g_{q}(p)=X\to p\to q}
  
，則
  
    
      
        X
        →
        p
        →
        q
        +
        1
        =
        
          g
          
            q
          
          
            p
          
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle X\to p\to q+1=g_{q}^{p}(1)}
  
，就是說
  
    
      
        
          g
          
            q
            +
            1
          
        
        (
        p
        )
        =
        
          g
          
            q
          
          
            p
          
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle g_{q+1}(p)=g_{q}^{p}(1)}
  
。
根據上面可知，

  
    
      
        
          g
          
            2
          
        
        (
        p
        )
        =
        a
        →
        b
        →
        p
        →
        2
        =
        
          f
          
            p
          
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle g_{2}(p)=a\to b\to p\to 2=f^{p}(1)}
  
以及
  
    
      
        
          g
          
            3
          
        
        (
        p
        )
        =
        
          g
          
            2
          
          
            p
          
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle g_{3}(p)=g_{2}^{p}(1)}
  
，所以
  
    
      
        a
        →
        b
        →
        2
        →
        3
        =
        
          g
          
            3
          
        
        (
        2
        )
        =
        
          g
          
            2
          
          
            2
          
        
        (
        1
        )
        =
        
          g
          
            2
          
        
        (
        
          g
          
            2
          
        
        (
        1
        )
        )
        =
        
          f
          
            f
            (
            1
            )
          
        
        (
        1
        )
        =
        
          f
          
            
              a
              
                b
              
            
          
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle a\to b\to 2\to 3=g_{3}(2)=g_{2}^{2}(1)=g_{2}(g_{2}(1))=f^{f(1)}(1)=f^{a^{b}}(1)}
  
。


阿克曼函數 阿克曼函數可以使用康威鏈式箭號表示法來表示：

A(m, n) = (2 → (n + 3) → (m − 2)) − 3 for m > 2
相反的

2 → n → m = A(m + 2,n − 3) + 3 for n > 2
（n=1和n=2有特別的規定，A(m, -2) = -1 以及 A(m, -1) = 1。）


葛立恆數 葛立恆數 
  
    
      
        G
        
      
    
    {\displaystyle G\!}
  
無法用康威鏈式箭號表示法來簡單的表示，但是可以訂出簡潔的上下界。設 
  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        3
        →
        3
        →
        n
        
      
    
    {\displaystyle f(n)=3\rightarrow 3\rightarrow n\!}
  
，則 
  
    
      
        G
        =
        
          f
          
            64
          
        
        (
        4
        )
        
      
    
    {\displaystyle G=f^{64}(4)\,}
  
（見複合函數），可以得到
  
    
      
        3
        →
        3
        →
        64
        →
        2
        <
        G
        <
        3
        →
        3
        →
        65
        →
        2
        
      
    
    {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2\,}
  
。
證明：這裡會使用到規則3和規則4：

  
    
      
        
          f
          
            64
          
        
        (
        1
        )
        
      
    
    {\displaystyle f^{64}(1)\,}
  

  
    
      
        =
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        ⋯
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        1
        )
        )
        ⋯
        )
        )
        
      
    
    {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 1))\cdots ))\,}
  
 （這裡有64個 
  
    
      
        3
        →
        3
      
    
    {\displaystyle 3\rightarrow 3}
  
）

  
    
      
        =
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        ⋯
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        )
        →
        1
        )
        ⋯
        )
        →
        1
        )
        →
        1
        
      
    
    {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)\rightarrow 1)\cdots )\rightarrow 1)\rightarrow 1\,}
  

  
    
      
        =
        3
        →
        3
        →
        64
        →
        2
        ;
        
      
    
    {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2;\,}
  

  
    
      
        
          f
          
            64
          
        
        (
        4
        )
        =
        G
        ;
        
      
    
    {\displaystyle f^{64}(4)=G;\,}
  

  
    
      
        =
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        ⋯
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        4
        )
        )
        ⋯
        )
        )
        
      
    
    {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 4))\cdots ))\,}
  
 （這裡有64個 
  
    
      
        3
        →
        3
      
    
    {\displaystyle 3\rightarrow 3}
  
）

  
    
      
        
          f
          
            64
          
        
        (
        27
        )
        
      
    
    {\displaystyle f^{64}(27)\,}
  

  
    
      
        =
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        ⋯
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        27
        )
        )
        ⋯
        )
        )
        
      
    
    {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27))\cdots ))\,}
  
 （這裡有64個 
  
    
      
        3
        →
        3
      
    
    {\displaystyle 3\rightarrow 3}
  
）

  
    
      
        =
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        ⋯
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        )
        )
        )
        ⋯
        )
        )
        
      
    
    {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)))\cdots ))\,}
  
 （這裡有65個 
  
    
      
        3
        →
        3
      
    
    {\displaystyle 3\rightarrow 3}
  
）

  
    
      
        =
        3
        →
        3
        →
        65
        →
        2
        
      
    
    {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2\,}
  

由於
  
    
      
        f
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle f(n)}
  
是嚴格遞增函數，

  
    
      
        
          f
          
            64
          
        
        (
        1
        )
        <
        
          f
          
            64
          
        
        (
        4
        )
        <
        
          f
          
            64
          
        
        (
        27
        )
        
      
    
    {\displaystyle f^{64}(1)<f^{64}(4)<f^{64}(27)\,}
  

這給出了上下界。
利用康威鏈式箭號表示法，很容易表示遠遠大於葛立恆數的數：

  
    
      
        3
        →
        3
        →
        3
        →
        3
         
         
        =
         
         
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        )
        →
        2
        )
        →
        2
        
         
         
        =
         
         
        3
        →
        3
        →
        (
        3
        →
        3
        →
        27
        →
        2
        )
        →
        2
        
      
    
    {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3~~=~~3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)\rightarrow 2)\rightarrow 2\,~~=~~3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\,}
  

其中
  
    
      
        3
        →
        3
        →
        27
        →
        2
      
    
    {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2}
  
遠遠大於
  
    
      
        65
      
    
    {\displaystyle 65}
  
，因此
  
    
      
        3
        →
        3
        →
        3
        →
        3
      
    
    {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3}
  
遠遠大於葛立恆數。


參見 hyper運算符
高德納箭號表示法
阿克曼函數


參考資料 外部連結 Factoids > big numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
Robert Munafo's Large Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
The Book of Numbers by J. H. Conway and R. K. Guy （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）