二项式定理（英語：Binomial theorem）描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{n}}
  
展开为类似
  
    
      
        a
        
          x
          
            b
          
        
        
          y
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle ax^{b}y^{c}}
  
项之和的恒等式，其中
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
、
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
均为非负整数且
  
    
      
        b
        +
        c
        =
        n
      
    
    {\displaystyle b+c=n}
  
。系数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是依赖于
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
的正整数。当某项的指数为0时，通常略去不写。例如：

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            4
          
        
        
        =
        
        
          x
          
            4
          
        
        
        +
        
        4
        
          x
          
            3
          
        
        y
        
        +
        
        6
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        
        +
        
        4
        x
        
          y
          
            3
          
        
        
        +
        
        
          y
          
            4
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.}
  

  
    
      
        a
        
          x
          
            b
          
        
        
          y
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle ax^{b}y^{c}}
  
中的系数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
被称为二项式系数，记作
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                b
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}
  
或
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                c
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}
  
（二者值相等）。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。


历史 二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献，他在17世纪描述了这一现象。但早在他之前，就曾有数学家进行类似的研究。例如，古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况。公元前三世纪，印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力羅摩发现。在同一时期，波斯数学家卡拉吉和数学家兼诗人歐瑪爾·海亞姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪，中国数学家杨辉也得到了类似的结果。卡拉吉用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数。


定理的陈述 根据此定理，可以将
  
    
      
        x
        +
        y
      
    
    {\displaystyle x+y}
  
的任意次幂展开成和的形式

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              n
              0
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        
          y
          
            0
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              1
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        
          y
          
            1
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              2
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            n
            −
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              
                n
                −
                1
              
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        
          y
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              n
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            0
          
        
        
          y
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}
  

其中每个
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                k
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
  
 为一个称作二项式系数的特定正整数，其等於
  
    
      
        
          
            
              n
              !
            
            
              k
              !
              (
              n
              −
              k
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
  
。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            n
            −
            k
          
        
        
          y
          
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            k
          
        
        
          y
          
            n
            −
            k
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}
  

后面的表达式只是将根据
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
与
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的对称性得出的，通过比较发现公式中的二项式系数也是对称的。
二项式定理的一个变形是用 1 来代换
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
得到的，所以它只涉及一个变量。在这种形式中，公式写作

  
    
      
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              n
              0
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              1
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              2
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              
                n
                −
                1
              
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              n
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},}
  

或者等价地

  
    
      
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            k
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.}
  


几何释义 对于正值
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，二项式定理，在
  
    
      
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=2}
  
时是在几何上的明显事实，边为
  
    
      
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle a+b}
  
的正方形，可以切割成1个边为
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的正方形，1个边为
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
的正方形，和2个边为
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
的长方形。对于
  
    
      
        n
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=3}
  
，定理陈述了边为
  
    
      
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle a+b}
  
的立方体，可以切割成1个边为
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的立方体，1个边为
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
的立方体，3个
  
    
      
        a
        ×
        a
        ×
        b
      
    
    {\displaystyle a\times a\times b}
  
长方体，和3个
  
    
      
        a
        ×
        b
        ×
        b
      
    
    {\displaystyle a\times b\times b}
  
长方体。
在微积分中，此图解也给出导数
  
    
      
        (
        
          x
          
            n
          
        
        
          )
          ′
        
        =
        n
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}
  
的几何证明。设
  
    
      
        a
        =
        x
      
    
    {\displaystyle a=x}
  
且
  
    
      
        b
        =
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle b=\Delta x}
  
，将
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
解释为
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的无穷小量改变，则此图解将无穷小量改变，显示为
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维超立方体 
  
    
      
        (
        x
        +
        Δ
        x
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+\Delta x)^{n}}
  
：

  
    
      
        (
        x
        +
        Δ
        x
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          x
          
            n
          
        
        +
        n
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        Δ
        x
        +
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                2
              
              
                )
              
            
          
        
        
          x
          
            n
            −
            2
          
        
        (
        Δ
        x
        
          )
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\tbinom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}
  

其中（针对
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
的）线性项的系数是
  
    
      
        n
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle nx^{n-1}}
  
，将公式代入采用差商的导数定义并取极限，意味着忽略高阶项
  
    
      
        (
        Δ
        x
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (\Delta x)^{2}}
  
和更高者，产生公式：
  
    
      
        (
        
          x
          
            n
          
        
        
          )
          ′
        
        =
        n
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}
  
。若再进行积分，这对应于应用微积分基本定理，则得到卡瓦列里求积公式：
  
    
      
        
          
            ∫
            
              x
              
                n
                −
                1
              
            
            
            d
            x
            =
            
              
                
                  1
                  n
                
              
            
            
              x
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}
  
。


證明 = 數學歸納法 =
當
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
，

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            1
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            
              (
            
            
              1
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          a
          
            1
            −
            k
          
        
        
          b
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              1
              0
            
            
              )
            
          
        
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            0
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              1
              1
            
            
              )
            
          
        
        
          a
          
            0
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        =
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle (a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{1-k}b^{k}={1 \choose 0}a^{1}b^{0}+{1 \choose 1}a^{0}b^{1}=a+b}
  

假設二项展开式在 
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
 時成立。若
  
    
      
        n
        =
        m
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=m+1}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                (
                a
                +
                b
                
                  )
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                a
                (
                a
                +
                b
                
                  )
                  
                    m
                  
                
                +
                b
                (
                a
                +
                b
                
                  )
                  
                    m
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                a
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      m
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    −
                    k
                  
                
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                +
                b
                
                  ∑
                  
                    j
                    =
                    0
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      m
                      j
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    −
                    j
                  
                
                
                  b
                  
                    j
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      m
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    −
                    k
                    +
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    j
                    =
                    0
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      m
                      j
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    −
                    j
                  
                
                
                  b
                  
                    j
                    +
                    1
                  
                
                 
                 
                 
                 
                 
                
                  ( 將 
                
                a
                
                  , 
                
                b
                
                  ) 
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      m
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    −
                    k
                    +
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    j
                    =
                    0
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      m
                      j
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    −
                    j
                  
                
                
                  b
                  
                    j
                    +
                    1
                  
                
                 
                 
                 
                 
                 
                
                   取 出 
                
                k
                =
                0
                
                   的 項 
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      m
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    −
                    k
                    +
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      m
                      
                        k
                        −
                        1
                      
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    −
                    k
                    +
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                 
                 
                 
                 
                 
                
                  設 
                
                j
                =
                k
                −
                1
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      m
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    −
                    k
                    +
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      m
                      
                        k
                        −
                        1
                      
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    +
                    1
                    −
                    k
                  
                
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
                 
                 
                 
                 
                 
                
                  取 出 
                
                k
                =
                m
                +
                1
                
                  項 
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          (
                        
                        
                          m
                          k
                        
                        
                          )
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          (
                        
                        
                          m
                          
                            k
                            −
                            1
                          
                        
                        
                          )
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
                
                  a
                  
                    m
                    +
                    1
                    −
                    k
                  
                
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                 
                 
                 
                 
                 
                
                  兩 者 加 起 
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      
                        m
                        +
                        1
                      
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    +
                    1
                    −
                    k
                  
                
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                 
                 
                 
                 
                 
                
                  套 用 帕 斯 卡 法 則 
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    m
                    +
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      
                        m
                        +
                        1
                      
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    m
                    +
                    1
                    −
                    k
                  
                
                
                  b
                  
                    k
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)^{m+1}&=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\\&=a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}\\&=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}\ \ \ \ \ {\text{( 將 }}a{\text{, }}b{\text{) }}\\&=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}\ \ \ \ \ {\text{ 取 出 }}k=0{\text{ 的 項 }}\\&=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}\ \ \ \ \ {\text{設 }}j=k-1\\&=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}\ \ \ \ \ {\text{取 出 }}k=m+1{\text{項 }}\\&=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}\ \ \ \ \ {\text{兩 者 加 起 }}\\&=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}\ \ \ \ \ {\text{套 用 帕 斯 卡 法 則 }}\\&=\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}\end{aligned}}}
  


= 組合方法 =
考慮
  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            7
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a+b)^{7}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)}
  
，共7個括號相乘，從7個括號選出其中的4個括號中的
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，再從剩餘的3個括號中選出3個
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
相乘，便得一組
  
    
      
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{4}b^{3}}
  
，而這樣的選法共有
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                7
                4
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {7}{4}}}
  
種，故總共有
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                7
                4
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {7}{4}}}
  
個
  
    
      
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{4}b^{3}}
  
；其他各項同理。
同理，
  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            n
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        .
        .
        .
        .
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a+b)^{n}=(a+b)(a+b)....(a+b)(a+b)}
  
，共
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個括號相乘，從
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個括號選出其中的
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
個括號中的
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，再從剩餘的
  
    
      
        (
        n
        −
        k
        )
      
    
    {\displaystyle (n-k)}
  
個括號中選出
  
    
      
        (
        n
        −
        k
        )
      
    
    {\displaystyle (n-k)}
  
個
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
相乘，便得一組
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
        
          b
          
            n
            −
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{k}b^{n-k}}
  
，而這樣的選法共有
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                k
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
  
種，故總共有
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                k
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
  
個
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
        
          b
          
            n
            −
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{k}b^{n-k}}
  
；其他各項同理。


= 不盡相異物排列方法 =
考慮
  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            7
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a+b)^{7}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)}
  
，每一個括號可以出
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
或出
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，而最後要有4個
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、3個
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
相乘，這形同
  
    
      
        a
        a
        a
        a
        b
        b
        b
      
    
    {\displaystyle aaaabbb}
  
的「不盡相異物排列」，其方法數為
  
    
      
        
          
            
              7
              !
            
            
              4
              !
              ×
              3
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {7!}{4!\times 3!}}}
  
，恰好等於
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                7
                4
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {7}{4}}}
  
；其他各項同理。
同理，
  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            n
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        .
        .
        .
        .
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a+b)^{n}=(a+b)(a+b)....(a+b)(a+b)}
  
，每一個括號可以出
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
或出
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，而最後要有
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
個
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、
  
    
      
        (
        n
        −
        k
        )
      
    
    {\displaystyle (n-k)}
  
個
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
相乘，這形同
  
    
      
        
          
            
              
                a
                a
                …
                a
                a
              
              ⏟
            
          
          
            k
          
        
        
          
            
              
                b
                b
                …
                b
                b
              
              ⏟
            
          
          
            n
            −
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \underbrace {aa\ldots aa} _{k}\underbrace {bb\ldots bb} _{n-k}}
  
的「不盡相異物排列」，其方法數為
  
    
      
        
          
            
              n
              !
            
            
              k
              !
              ×
              (
              n
              −
              k
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {n!}{k!\times (n-k)!}}}
  
，恰好等於
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                k
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
  
；其他各項同理。


= 一般形式的证明 =
通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式

设
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=(1+x)^{a}}
  
, 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
            
            
              a
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}x^{k}}
  
。注意只有当
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |x|<1}
  
时上述两个函数才收敛

首先证明 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
  
收敛于
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |x|<1}
  
。这里省略
之后，易得
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
满足微分方程︰
  
    
      
        (
        1
        +
        x
        )
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        a
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (1+x)f'(x)=af(x)}
  
。用求导的一般方法就能得到这个结论，这里省略
再证明 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
  
亦满足上述微分方程︰

  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        1
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
            
            
              a
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle g(x)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}x^{k}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  g
                  ′
                
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                k
                
                  x
                  
                    k
                    −
                    1
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      
                        k
                        +
                        1
                      
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                (
                k
                +
                1
                )
                
                  x
                  
                    k
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                (
                a
                −
                k
                )
                
                  x
                  
                    k
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose {k+1}}(k+1)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}(a-k)x^{k}\\\end{aligned}}}
  

因为

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      
                        k
                        +
                        1
                      
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                (
                k
                +
                1
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      (
                      a
                      )
                      (
                      a
                      −
                      1
                      )
                      ⋯
                      (
                      a
                      −
                      k
                      +
                      1
                      )
                      (
                      a
                      −
                      k
                      )
                    
                    
                      (
                      k
                      +
                      1
                      )
                      !
                    
                  
                
                (
                k
                +
                1
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      (
                      a
                      )
                      (
                      a
                      −
                      1
                      )
                      ⋯
                      (
                      a
                      −
                      k
                      +
                      1
                      )
                      (
                      a
                      −
                      k
                      )
                    
                    
                      k
                      !
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                (
                a
                −
                k
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{a \choose {k+1}}(k+1)&={\frac {(a)(a-1)\cdots (a-k+1)(a-k)}{(k+1)!}}(k+1)\\&={\frac {(a)(a-1)\cdots (a-k+1)(a-k)}{k!}}\\&={a \choose k}(a-k)\end{aligned}}}
  

于是

  
    
      
        
          
            
              
                (
                1
                +
                x
                )
                
                  g
                  ′
                
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  g
                  ′
                
                (
                x
                )
                +
                x
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                k
                
                  x
                  
                    k
                    −
                    1
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                (
                a
                −
                k
                )
                
                  x
                  
                    k
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                k
                
                  x
                  
                    k
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                (
                a
                −
                k
                )
                
                  x
                  
                    k
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                k
                
                  x
                  
                    k
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    k
                  
                
                (
                a
                −
                k
                +
                k
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                a
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      a
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    k
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                a
                ⋅
                g
                (
                x
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)g'(x)&=g'(x)+x\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}(a-k)x^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}(a-k)x^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}x^{k}(a-k+k)\\&=a\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}x^{k}\\&=a\cdot g(x)\\\end{aligned}}}
  

因为 
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
            
            
              a
              k
            
            
              )
            
          
        
        k
        
          x
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              a
              0
            
            
              )
            
          
        
        ⋅
        0
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
            
            
              a
              k
            
            
              )
            
          
        
        k
        
          x
          
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
            
            
              a
              k
            
            
              )
            
          
        
        k
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}={a \choose 0}\cdot 0x^{0}+\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          
            a
            
              1
              +
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {g'(x)}{g(x)}}={\frac {a}{1+x}}}
  

  
    
      
        ∵
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          
            a
            
              1
              +
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \because {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {a}{1+x}}}
  

  
    
      
        ∴
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \therefore {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}}
  

  
    
      
        
          g
          ′
        
        (
        x
        )
        f
        (
        x
        )
        =
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g'(x)f(x)=f'(x)g(x)}
  

根据除法定则，
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            
              
                g
                (
                x
                )
              
              
                f
                (
                x
                )
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
              f
              (
              x
              )
              −
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
              g
              (
              x
              )
            
            
              (
              f
              (
              x
              )
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {g(x)}{f(x)}}\right)={\frac {g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{(f(x))^{2}}}=0}
  

根据拉格朗日中值定理，
  
    
      
        
          
            
              g
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {g(x)}{f(x)}}}
  
是常数函數.

  
    
      
        
          
            
              g
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              g
              (
              0
              )
            
            
              f
              (
              0
              )
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {g(0)}{f(0)}}=1}
  

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=g(x)}
  


应用 牛顿以二项式定理作为基礎发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于近似、估计以及证明恒等式等。


= 证明组合恒等式 =
二项式定理给出的系数可以视为组合数 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {n \choose k}}
  
 的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。

(1)证明
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                k
              
              
                )
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                n
              
              n
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}}
  

可以考虑恒等式 
  
    
      
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            n
          
        
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            n
          
        
        =
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (1+x)^{n}(1+x)^{n}=(1+x)^{2n}}
  
。 展开等式左边得到： 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              i
            
            
              )
            
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              j
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}{n \choose i}{n \choose j}x^{i}x^{j}}
  
。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到 
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            2
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                n
              
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}x^{k}}
  
。 比较两边幂次为 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 的项的系数可以得到: 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            k
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              i
            
            
              )
            
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              
                k
                −
                i
              
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                n
              
              k
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{n \choose i}{n \choose k-i}={2n \choose k}}
  
。 令 
  
    
      
        k
        =
        n
      
    
    {\displaystyle k=n}
  
，并注意到 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              n
              i
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              n
              
                n
                −
                i
              
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {n \choose i}={n \choose n-i}}
  
 即可得到所要证明的结论。

(2)證明
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          2
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}}
  

因為
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            n
            −
            k
          
        
        
          y
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}
  

令
  
    
      
        x
        =
        y
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=y=1}
  
，代入上式，得

  
    
      
        
          
            
              
                (
                1
                +
                1
                
                  )
                  
                    n
                  
                
              
              
                
                =
                
                  2
                  
                    n
                  
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    n
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      n
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                ⋅
                
                  1
                  
                    n
                    −
                    k
                  
                
                ⋅
                
                  1
                  
                    k
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      n
                      0
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      n
                      1
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      n
                      2
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      n
                      n
                    
                    
                      )
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    n
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      n
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(1+1)^{n}&=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot 1^{n-k}\cdot 1^{k}\\&={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\end{aligned}}}
  


= 多倍角恒等式 =
在复数中，二项式定理可以與棣莫弗公式結合，成為n倍角公式。根據棣莫弗公式：

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          (
          
            n
            x
          
          )
        
        +
        i
        sin
        ⁡
        
          (
          
            n
            x
          
          )
        
        =
        
          
            (
            
              cos
              ⁡
              x
              +
              i
              sin
              ⁡
              x
            
            )
          
          
            n
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.\,}
  

通過使用二项式定理，右邊的表達式可以擴展為

  
    
      
        
          
            (
            
              cos
              ⁡
              x
              +
              i
              sin
              ⁡
              x
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        +
        2
        i
        cos
        ⁡
        x
        sin
        ⁡
        x
        −
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x,}
  

由棣莫弗公式，实部与虚部对应，能夠得出

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        2
        x
        )
        =
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        −
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        
        
          and
        
        
        sin
        ⁡
        (
        2
        x
        )
        =
        2
        cos
        ⁡
        x
        sin
        ⁡
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}
  

即二倍角公式。同樣，因為

  
    
      
        
          
            (
            
              cos
              ⁡
              x
              +
              i
              sin
              ⁡
              x
            
            )
          
          
            3
          
        
        =
        
          cos
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        +
        3
        i
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        sin
        ⁡
        x
        −
        3
        cos
        ⁡
        x
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        −
        i
        
          sin
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}
  

所以藉棣莫弗公式，能夠得出

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        3
        x
        )
        =
        
          cos
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        −
        3
        cos
        ⁡
        x
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        
        
          and
        
        
        sin
        ⁡
        (
        3
        x
        )
        =
        3
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        sin
        ⁡
        x
        −
        
          sin
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}
  

整體而言，多倍角恒等式可以寫作

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        n
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            
               even
            
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              k
              2
            
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          cos
          
            n
            −
            k
          
        
        ⁡
        x
        
          sin
          
            k
          
        
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}
  

和

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        n
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            
               odd
            
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              
                k
                −
                1
              
              2
            
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          cos
          
            n
            −
            k
          
        
        ⁡
        x
        
          sin
          
            k
          
        
        ⁡
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}
  


= e级数 =
數學常數e的定義爲下列極限值：

  
    
      
        e
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              1
              +
              
                
                  1
                  n
                
              
            
            )
          
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}
  

使用二项式定理能得出

  
    
      
        
          
            (
            
              1
              +
              
                
                  1
                  n
                
              
            
            )
          
          
            n
          
        
        =
        1
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              1
            
            
              )
            
          
        
        
          
            1
            n
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              2
            
            
              )
            
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              3
            
            
              )
            
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                3
              
            
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              n
            
            
              )
            
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                n
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}
  

第
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
项之總和為

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                k
              
            
          
        
        
        =
        
        
          
            1
            
              k
              !
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              n
              (
              n
              −
              1
              )
              (
              n
              −
              2
              )
              ⋯
              (
              n
              −
              k
              +
              1
              )
            
            
              n
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}\;=\;{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}
  

因為
  
    
      
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\to \infty }
  
时，右邊的表达式趋近1。因此

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                k
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              k
              !
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}
  

這表明
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
可以表示为

  
    
      
        e
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              k
              !
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              0
              !
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              1
              !
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              !
            
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}
  


推广 该定理可以推广到对任意实数次幂的展开，即牛顿广义二项式定理：

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            α
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
            
            
              α
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            α
            −
            k
          
        
        
          y
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha  \choose k}x^{\alpha -k}y^{k}}
  
。其中
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              α
              k
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              α
              (
              α
              −
              1
              )
              .
              .
              .
              (
              α
              −
              k
              +
              1
              )
            
            
              k
              !
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              α
              
                )
                
                  k
                
              
            
            
              k
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\alpha  \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)...(\alpha -k+1)}{k!}}={\frac {(\alpha )_{k}}{k!}}}
  
。


= 多项式展开 =

对于多元形式的多项式展开，可以看做二项式定理的推广：

  
    
      
        
          
            (
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              .
              .
              .
              +
              
                x
                
                  n
                
              
            
            )
          
          
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            
              α
              
                1
              
            
            +
            
              α
              
                2
              
            
            +
            .
            .
            .
            +
            
              α
              
                n
              
            
            =
            k
          
        
        
          
            
              k
              !
            
            
              
                α
                
                  1
                
              
              !
              .
              .
              .
              
                α
                
                  n
                
              
              !
            
          
        
        
          x
          
            1
          
          
            
              α
              
                1
              
            
          
        
        .
        .
        .
        
          x
          
            n
          
          
            
              α
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\right)^{k}=\sum _{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=k}{\frac {k!}{\alpha _{1}!...\alpha _{n}!}}x_{1}^{\alpha _{1}}...x_{n}^{\alpha _{n}}}
  
.
证明：
数学归纳法。对元数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
做归纳：
当
  
    
      
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=2}
  
时，原式为二项式定理，成立。 假设对
  
    
      
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n-1}
  
元成立，则：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    (
                    
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      .
                      .
                      .
                      +
                      
                        x
                        
                          n
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    k
                  
                
              
              
                
                =
                (
                (
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                .
                .
                .
                +
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                )
                +
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                
                  )
                  
                    k
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    
                      α
                      
                        n
                      
                    
                    =
                    0
                  
                  
                    k
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      !
                    
                    
                      
                        α
                        
                          n
                        
                      
                      !
                      
                        (
                        
                          k
                          −
                          
                            α
                            
                              n
                            
                          
                        
                        )
                      
                      !
                    
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      .
                      .
                      .
                      +
                      
                        x
                        
                          n
                          −
                          1
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    k
                    −
                    
                      α
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                  
                  
                    
                      α
                      
                        n
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    
                      α
                      
                        n
                      
                    
                    =
                    0
                  
                  
                    k
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      !
                    
                    
                      
                        α
                        
                          n
                        
                      
                      !
                      
                        (
                        
                          k
                          −
                          
                            α
                            
                              n
                            
                          
                        
                        )
                      
                      !
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    
                      α
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      α
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    .
                    .
                    .
                    +
                    
                      α
                      
                        n
                        −
                        1
                      
                    
                    =
                    k
                    −
                    
                      α
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                        
                          k
                          −
                          
                            α
                            
                              n
                            
                          
                        
                        )
                      
                      !
                    
                    
                      
                        α
                        
                          1
                        
                      
                      !
                      .
                      .
                      .
                      
                        α
                        
                          n
                          −
                          1
                        
                      
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    1
                  
                  
                    
                      α
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                .
                .
                .
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                  
                    
                      α
                      
                        n
                        −
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                  
                  
                    
                      α
                      
                        n
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    
                      α
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      α
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    .
                    .
                    .
                    +
                    
                      α
                      
                        n
                      
                    
                    =
                    k
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      !
                    
                    
                      
                        α
                        
                          1
                        
                      
                      !
                      .
                      .
                      .
                      
                        α
                        
                          n
                        
                      
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    1
                  
                  
                    
                      α
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                .
                .
                .
                
                  x
                  
                    n
                  
                  
                    
                      α
                      
                        n
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\right)^{k}&=((x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1})+x_{n})^{k}\\&=\sum _{\alpha _{n}=0}^{k}{\frac {k!}{\alpha _{n}!\left(k-\alpha _{n}\right)!}}\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}\right)^{k-\alpha _{n}}x_{n}^{\alpha _{n}}\\&=\sum _{\alpha _{n}=0}^{k}{\frac {k!}{\alpha _{n}!\left(k-\alpha _{n}\right)!}}\sum _{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n-1}=k-\alpha _{n}}{\frac {\left(k-\alpha _{n}\right)!}{\alpha _{1}!...\alpha _{n-1}!}}x_{1}^{\alpha _{1}}...x_{n-1}^{\alpha _{n-1}}x_{n}^{\alpha _{n}}\\&=\sum _{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=k}{\frac {k!}{\alpha _{1}!...\alpha _{n}!}}x_{1}^{\alpha _{1}}...x_{n}^{\alpha _{n}}\\\end{aligned}}}
  

证毕。


参见 参考文獻 參考書目 外部链接 Binomial Theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆） - 史蒂芬·沃尔夫勒姆
"Binomial Theorem (Step-by-Step)"（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram 演示项目, 2007.
The Binomial Theorem - Interactive Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Binomial Expansion - HyperPhysics