适应过程是随机过程研究中常见的概念，表示不能“预见未来”的随机过程。非正式的数学解释是，一个随机过程是适应于某个参考族的，当且仅当在任意的特定时刻，随机过程都是可测的。适应过程是随机过程理论中很多重要概念的基础。比如说能够定义伊藤积分的随机过程就需要是适应过程。


定义 设有

概率空间
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            F
          
        
        ,
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
  
；
测度空间
  
    
      
        (
        S
        ,
        
          
            A
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}
  
，状态空间；
有序的指标集
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
： 可以是非负实数集
  
    
      
        [
        0
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle [0,\infty )}
  
、有限时间集
  
    
      
        [
        0
        ,
        
          T
          
            0
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,T_{0}]}
  
或离散时间
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
；
σ-代数
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}}
  
上的参考族
  
    
      
        
          F
        
        =
        {
        
          
            
              F
            
          
          
            t
          
        
        
          |
        
        t
        ∈
        T
        }
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}
  
；
随机过程
  
    
      
        X
        :
        T
        ×
        Ω
        →
        
          X
        
        =
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
。
则随机过程
  
    
      
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
是适应过程（适应于
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} }
  
的随机过程）当且仅当对任意的时刻
  
    
      
        t
        ∈
        T
      
    
    {\displaystyle t\in T}
  
，映射：
  
    
      
        
          X
          
            t
          
        
        :
        Ω
        →
        S
      
    
    {\displaystyle X_{t}:\Omega \to S}
  
都是
  
    
      
        (
        
          
            
              F
            
          
          
            t
          
        
        ,
        
          
            A
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t},{\mathcal {A}})}
  
-可测的随机变量:37:97。
适应过程的定义说明，如果一个过程适应于某个参考族
  
    
      
        
          F
        
        =
        {
        
          
            
              F
            
          
          
            t
          
        
        
          |
        
        t
        ∈
        T
        }
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}
  
，那么在任意一个特定的时刻，我们掌握的信息都包括了这个过程。也就是说这个过程在任意时刻的结果必然在该时刻可知。但一般来说，适应过程在任意时刻的结果并不能提前预知。如果一个（离散的）随机过程在时刻
  
    
      
        t
        =
        n
      
    
    {\displaystyle t=n}
  
的结果能够在
  
    
      
        t
        =
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle t=n-1}
  
的时刻已知，那么这个过程被称为在参考族
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} }
  
中可预测。可预测的随机过程必然适应于参考族，反之则不然。


例子 设状态空间
  
    
      
        (
        S
        ,
        
          
            A
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}
  
为实数及其波莱尔σ-代数
  
    
      
        (
        
          R
        
        ,
        
          
            B
          
        
        (
        
          R
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
  
。设指标集为连续的：
  
    
      
        T
        =
        [
        0
        ,
        ∞
        )
        .
      
    
    {\displaystyle T=[0,\infty ).}
  
 给定一个随机过程
  
    
      
        X
        =
        
          
            (
            
              X
              
                t
              
            
            )
          
          
            t
            ∈
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle X=\left(X_{t}\right)_{t\in T}}
  
，如果考虑过程
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
产生的自然参考族：
  
    
      
        
          
            
              
                
                  F
                
                ~
              
            
          
          
            X
          
        
        =
        {
        
          
            
              
                
                  F
                
                ~
              
            
          
          
            t
          
          
            X
          
        
        
          |
        
        t
        ∈
        T
        }
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}^{X}=\{{\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}|t\in T\}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  F
                
                ~
              
            
          
          
            t
          
          
            X
          
        
        =
        σ
        
          (
          
            
              X
              
                s
              
            
            
            ;
            
            
            0
            ⩽
            s
            ⩽
            t
          
          )
        
        =
        σ
        
          (
          
            {
            
              
                X
                
                  s
                
                
                  (
                  −
                  1
                  )
                
              
              (
              H
              )
              
              
                |
              
              
              0
              ⩽
              s
              ⩽
              t
              ,
              
              
              H
              ∈
              
                
                  B
                
              
              (
              
                R
              
              )
            
            }
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}=\sigma \left(X_{s}\,;\,\,0\leqslant s\leqslant t\right)=\sigma \left(\left\{X_{s}^{(-1)}(H)\,|\,0\leqslant s\leqslant t,\,\,H\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right\}\right)}
  

那么
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
当然是适应于
  
    
      
        
          
            
              
                
                  F
                
                ~
              
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}^{X}}
  
的过程，因为在每个时刻，
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
都是
  
    
      
        
          
            
              
                
                  F
                
                ~
              
            
          
          
            t
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}}
  
-可测的随机变量。自然参考族也是能使得
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
为适应变量的“最小”参考族。
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
适应于某个参考族
  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            r
          
        
        =
        {
        
          
            
              F
            
          
          
            t
          
        
        
          |
        
        t
        ∈
        T
        }
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}^{r}=\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}
  
，当且仅当在任何时刻
  
    
      
        t
        ∈
        T
      
    
    {\displaystyle t\in T}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                
                  F
                
                ~
              
            
          
          
            t
          
          
            X
          
        
        ⊆
        
          
            
              F
            
          
          
            t
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}.}
  
:98 
设
  
    
      
        X
        =
        
          
            (
            
              X
              
                n
              
            
            )
          
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle X=\left(X_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
  
是某彩票每期的开奖结果，那么
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
是一个适应随机过程，但不可能是一个可预测过程。


参考来源