反扭稜大星形十二面體是一種星形均勻多面體，由80個正三角形和12個正五角星組成，索引為U69，對偶多面體為大逆五角六十面体，具有二十面體群對稱性。


性質 反扭稜大星形十二面體共由92個面、150條邊和60個頂點組成。在其92個面中，有80個正三角形面和12個正五角星面。這80個三角形面中有60個來自扭稜變換。


= 頂角的組成 =
在反扭稜大星形十二面體的60個頂點中，每個頂點都是4個正三角形面和1個正五角星面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以反向相接正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖中可以用(5/3.3.3.3.3)來表示。
與扭稜大星形十二面體不同，反扭稜大星形十二面體中的五角星與周邊面相接的方式相反，因而構成了一個幾何上不同，但拓樸上相同的結構。其拓樸結構也與扭棱十二面体相同。


= 表示法 =
反扭稜大星形十二面體在考克斯特—迪肯符号中可以表示為，在施萊夫利符號中可以表示為sr{5⁄3,3}，在威佐夫記號中可以表示為| 5/3 2 3。


= 尺寸 =
若反扭稜大星形十二面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：

  
    
      
        R
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              
                2
                −
                x
              
              
                1
                −
                x
              
            
          
        
        =
        0.816081
        …
      
    
    {\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.816081\dots }
  

其中
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        2
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              
                1
                ±
                
                  
                    5
                  
                
              
              2
            
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}}
  
的實根。
以
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{2}}
  
為變數的六次方程

  
    
      
        4096
        
          R
          
            12
          
        
        −
        27648
        
          R
          
            10
          
        
        +
        47104
        
          R
          
            8
          
        
        −
        35776
        
          R
          
            6
          
        
        +
        13872
        
          R
          
            4
          
        
        −
        2696
        
          R
          
            2
          
        
        +
        209
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}
  

共有4個實根，分別是扭棱十二面体、扭稜大星形十二面體、反扭稜大星形十二面體和大反屈扭稜截半二十面體的外接球半徑。


= 頂點座標 =
反扭稜大星形十二面體的頂點座標為下列座標的偶置換：

  
    
      
        
          (
          
            ±
            2
            α
            ,
            ±
            2
            ,
            ±
            2
            β
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)}
  
、

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              (
              
                α
                −
                β
                τ
                −
                
                  
                    1
                    τ
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                
                  
                    α
                    τ
                  
                
                +
                β
                −
                τ
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                α
                τ
                −
                
                  
                    β
                    τ
                  
                
                −
                1
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)}
  
、

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              (
              
                α
                τ
                −
                
                  
                    β
                    τ
                  
                
                +
                1
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                α
                −
                β
                τ
                +
                
                  
                    1
                    τ
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                
                  
                    α
                    τ
                  
                
                +
                β
                +
                τ
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)}
  
、

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              (
              
                α
                τ
                −
                
                  
                    β
                    τ
                  
                
                −
                1
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                α
                +
                β
                τ
                +
                
                  
                    1
                    τ
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                
                  
                    α
                    τ
                  
                
                +
                β
                −
                τ
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)}
  
和

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              (
              
                α
                −
                β
                τ
                +
                
                  
                    1
                    τ
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                
                  
                    α
                    τ
                  
                
                −
                β
                −
                τ
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                α
                τ
                −
                
                  
                    β
                    τ
                  
                
                +
                1
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)}
  
，
帶有偶數個正號，其中

  
    
      
        α
        =
        
          
            
              ξ
              −
              1
            
            ξ
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}}
  

且

  
    
      
        β
        =
        −
        
          
            ξ
            τ
          
        
        +
        
          
            1
            
              τ
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              ξ
              τ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}}
  

其中
  
    
      
        τ
        =
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
  
為黃金比例、

  
    
      
        ξ
      
    
    {\displaystyle \xi }
  
是方程式
  
    
      
        
          ξ
          
            3
          
        
        −
        2
        ξ
        =
        −
        
          
            1
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}}
  
的正實根，約為1.2224727。
若上述座標使用奇置換並帶有奇數個正號的話，則會得到反扭稜大星形十二面體的另一種形式，即另一種形式的手性對映體。


參見 均勻多面體列表
扭稜大星形十二面體


參考文獻