拉比判別法（英語：Raabe's Test）是判斷一個實級數收歛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。


定理 对任意级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  

如果存在 
  
    
      
        r
        >
        1
      
    
    {\displaystyle r>1}
  
 ，
  
    
      
        
          n
          
            0
          
        
        ∈
        
          
            N
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ^{*}}
  
 ,使得当 
  
    
      
        n
        >
        
          n
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle n>n_{0}}
  
 时，有

  
    
      
        n
        
          (
          
            
              |
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                
              
              |
            
            −
            1
          
          )
        
        ≥
        r
      
    
    {\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\geq r}
  
，
那么级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
绝对收敛。
如果对充分大的 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 ，有

  
    
      
        n
        
          (
          
            
              |
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                
              
              |
            
            −
            1
          
          )
        
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1}
  
，
那么级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
发散。


极限形式 对任意级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
 ，令

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        n
        
          (
          
            
              |
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                
              
              |
            
            −
            1
          
          )
        
        =
        r
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r,}
  

  
    
      
        r
        >
        1
      
    
    {\displaystyle r>1}
  
 时级数绝对收敛

  
    
      
        r
        <
        1
      
    
    {\displaystyle r<1}
  
 时說明级数 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}
  
 发散(沒有絕對收斂)，原級數 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
 可能收斂也可能發散。

  
    
      
        r
        =
        1
      
    
    {\displaystyle r=1}
  
 时级数可能收敛也可能发散


证明 当 
  
    
      
        r
        >
        1
      
    
    {\displaystyle r>1}
  
 时，存在 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 使得 
  
    
      
        r
        >
        p
        >
        1
      
    
    {\displaystyle r>p>1}
  
. 则:

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        n
        
          (
          
            
              |
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                
              
              |
            
            −
            1
          
          )
        
        =
        r
        >
        p
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        n
        
          (
          
            
              
                (
                
                  1
                  +
                  
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
                )
              
              
                p
              
            
            −
            1
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r>p=\lim _{n\to \infty }n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)}
  

  
    
      
        ⇒
        
        n
        
          (
          
            
              |
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                
              
              |
            
            −
            1
          
          )
        
        >
        n
        
          (
          
            
              
                (
                
                  1
                  +
                  
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
                )
              
              
                p
              
            
            −
            1
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \Rightarrow \quad n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)>n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)\quad }
  
 对充分大的   
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  

  
    
      
        ⇒
        
        
          |
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
          
          |
        
        >
        
          
            
              (
              n
              +
              1
              
                )
                
                  p
                
              
            
            
              n
              
                p
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|>{\frac {(n+1)^{p}}{n^{p}}}}
  

  
    
      
        ⇒
        
        
          |
          
            
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                a
                
                  n
                
              
            
          
          |
        
        <
        
          
            
              1
              
                (
                n
                +
                1
                
                  )
                  
                    p
                  
                
              
            
            
              1
              
                n
                
                  p
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {\frac {1}{(n+1)^{p}}}{\frac {1}{n^{p}}}}}
  

因为当 
  
    
      
        p
        >
        1
      
    
    {\displaystyle p>1}
  
 时级数 
  
    
      
        ∑
        
          n
          
            −
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum n^{-p}}
  
 收敛，故级数 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          |
          
            a
            
              n
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}
  
 在 
  
    
      
        r
        >
        1
      
    
    {\displaystyle r>1}
  
 时收敛，即级数 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
 绝对收敛。

当 
  
    
      
        r
        <
        1
      
    
    {\displaystyle r<1}
  
 时，有

  
    
      
        n
        
          (
          
            
              |
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                
              
              |
            
            −
            1
          
          )
        
        ≤
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1,}
  
，则

  
    
      
        
          |
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
          
          |
        
        ≤
        1
        +
        
          
            1
            n
          
        
        =
        
          
            
              n
              +
              1
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq 1+{\frac {1}{n}}={\frac {n+1}{n}}}
  
，即

  
    
      
        
          |
          
            
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                a
                
                  n
                
              
            
          
          |
        
        ≥
        
          
            n
            
              n
              +
              1
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              
                n
                +
                1
              
            
            
              1
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq {\frac {n}{n+1}}={\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}}
  

由于 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}
  
 发散，故 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
  
 发散。


例子 当 
  
    
      
        r
        =
        1
      
    
    {\displaystyle r=1}
  
 时无法判断其敛散性，举例如下:

已知有

  
    
      
        
          
            
              n
              +
              1
            
            n
          
        
        (
        
          
            
              ln
              ⁡
              (
              n
              +
              1
              )
            
            
              ln
              ⁡
              n
            
          
        
        
          )
          
            α
          
        
        =
        1
        +
        
          
            1
            n
          
        
        +
        
          
            α
            
              n
              ln
              ⁡
              n
            
          
        
        +
        o
        (
        
          
            1
            
              n
              ln
              ⁡
              n
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {n+1}{n}}({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}})^{\alpha }=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {\alpha }{n\ln n}}+o({\frac {1}{n\ln n}})}
  

令 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              n
              (
              ln
              ⁡
              n
              
                )
                
                  α
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n(\ln n)^{\alpha }}}}
  

已知当 
  
    
      
        α
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha >1}
  
 时，
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            2
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        <
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }a_{n}<+\infty }
  
 ；当 
  
    
      
        α
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha \leq 1}
  
 时，
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            2
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }a_{n}=\infty }
  
 ，然而由上式得

  
    
      
        n
        
          (
          
            
              
                
                  a
                  
                    n
                  
                
                
                  a
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
            
            −
            1
          
          )
        
        =
        1
        +
        
          
            α
            
              ln
              ⁡
              n
            
          
        
        +
        o
        (
        
          
            1
            
              ln
              ⁡
              n
            
          
        
        )
        →
        1
        (
        n
        →
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1+{\frac {\alpha }{\ln n}}+o({\frac {1}{\ln n}})\rightarrow 1(n\rightarrow \infty )}
  

这说明当 
  
    
      
        r
        =
        1
      
    
    {\displaystyle r=1}
  
 时，拉比判别法无效。


参考文献