反伽瑪函數
  
    
      
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
  
（反Γ函數，Inverse gamma function）是伽瑪函數（Γ函數）的反函數。
換句話說，如果反Γ函數以
  
    
      
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        y
      
    
    {\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y}
  
的形式表示，則其滿足
  
    
      
        Γ
        (
        y
        )
        =
        x
      
    
    {\textstyle \Gamma (y)=x}
  
。
例如24的反伽瑪函數值為5，
  
    
      
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        (
        24
        )
        =
        5
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5}
  
，因為5代到伽瑪函數為24。
一般而言，反伽瑪函數是指定義域在實數區間
  
    
      
        
          [
          
            β
            ,
            +
            ∞
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)}
  
上且圖形在實數區間
  
    
      
        
          [
          
            α
            ,
            +
            ∞
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}
  
上的主分支，其中
  
    
      
        β
        =
        0.8856031
        …
      
    
    {\displaystyle \beta =0.8856031\ldots }
  
是伽瑪函數在正實軸上的最小值、
  
    
      
        α
        =
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        (
        β
        )
        =
        1.4616321
        …
      
    
    {\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots }
  
是能使
  
    
      
        Γ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma (x)}
  
最小的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
值。
反伽瑪函數可以透過伽瑪函數和階乘的關係來定義反階乘，即階乘的反函數。
限制在
  
    
      
        
          [
          
            α
            ,
            +
            ∞
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}
  
區間的反伽瑪函數稱為伽瑪函數的主逆函數（principal inverse function），可以表示為
  
    
      
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
  
。
在不同分支上的伽瑪函數也可以定義出反伽瑪函數，在第n個分支上的反伽瑪函數可以表示為
  
    
      
        
          Γ
          
            n
          
          
            −
            1
          
        
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}
  
。


定義 由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數，因此最簡單的情況下可以表示為：

  
    
      
        Γ
        (
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \Gamma (\Gamma ^{-1}(x))=x}
  

更進一步的，反伽瑪函數可以用如下積分表達式來定義：

  
    
      
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        a
        +
        b
        x
        +
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            Γ
            (
            α
            )
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  x
                  −
                  t
                
              
            
            −
            
              
                t
                
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
          
          )
        
        d
        μ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)}
  

其中
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            Γ
            
              (
              α
              )
            
          
        
        
          (
          
            
              1
              
                
                  t
                  
                    2
                  
                
                +
                1
              
            
          
          )
        
        d
        μ
        (
        t
        )
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty }
  
、a和b為滿足
  
    
      
        b
        ≧
        0
      
    
    {\displaystyle b\geqq 0}
  
的實數、
  
    
      
        μ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mu (t)}
  
為博雷尔测度。


近似值 反伽瑪函數的分支可以透過先計算
  
    
      
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
  
在分支點
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
附近的泰勒級數，接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。
例如，可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似；

  
    
      
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        
          (
          x
          )
        
        ≈
        α
        +
        
          
            
              
                2
                
                  (
                  
                    x
                    −
                    Γ
                    
                      (
                      α
                      )
                    
                  
                  )
                
              
              
                Ψ
                
                  (
                  
                    1
                    ,
                     
                    α
                  
                  )
                
                Γ
                
                  (
                  α
                  )
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}
  

反伽瑪函數也有如下的渐近分析形式：

  
    
      
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        ∼
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            
              ln
              ⁡
              
                (
                
                  
                    x
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                )
              
            
            
              
                W
                
                  0
                
              
              
                (
                
                  
                    e
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  ln
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        x
                        
                          2
                          π
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}}
  

其中
  
    
      
        
          W
          
            0
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle W_{0}(x)}
  
是朗伯W函数。這個公式是利用史特靈公式求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。


= 級數展開 =
要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算倒數伽瑪函數
  
    
      
        
          
            1
            
              Γ
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}}
  
在負整數極點附近的級數展開，然後再求級數的逆。
令
  
    
      
        z
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle z={\frac {1}{x}}}
  
可以得到第
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個分支的反伽瑪函數
  
    
      
        
          Γ
          
            n
          
          
            −
            1
          
        
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}
  
，其中
  
    
      
        n
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle n\geq 0}
  
。

  
    
      
        
          Γ
          
            n
          
          
            −
            1
          
        
        (
        z
        )
        =
        −
        n
        +
        
          
            
              
                (
                
                  −
                  1
                
                )
              
              
                n
              
            
            
              n
              !
              z
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ψ
                
                  (
                  0
                  )
                
              
              
                (
                
                  n
                  +
                  1
                
                )
              
            
            
              
                (
                
                  n
                  !
                  z
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  (
                  
                    −
                    1
                  
                  )
                
                
                  n
                
              
              
                (
                
                  
                    π
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  9
                  
                    ψ
                    
                      (
                      0
                      )
                    
                  
                  
                    
                      (
                      
                        n
                        +
                        1
                      
                      )
                    
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  3
                  
                    ψ
                    
                      (
                      1
                      )
                    
                  
                  
                    (
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                    )
                  
                
                )
              
            
            
              6
              
                
                  (
                  
                    n
                    !
                    z
                  
                  )
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        +
        O
        
          (
          
            
              1
              
                z
                
                  4
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)}
  

其中，
  
    
      
        
          ψ
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}
  
是多伽玛函数。


反階乘 反階乘是階乘的反函數，有時記為Factorial-1或ArcFactorial，其函數值可以透過反伽瑪函數或解伽瑪函數方程來得到。
例如120的反階乘為5，因為
  
    
      
        5
        !
        =
        120
      
    
    {\displaystyle 5!=120}
  
。
目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。

反伽瑪函數與反階乘的關係為：

  
    
      
        
          Γ
          
            −
            1
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          A
          r
          c
          F
          a
          c
          t
          o
          r
          i
          a
          l
        
        (
        z
        )
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{-1}(n)=\mathrm {ArcFactorial} (z)+1}
  

這是由於：

  
    
      
        z
        !
        =
        Γ
        (
        z
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}
  

反階乘可以定義為：

  
    
      
        (
        
          A
          r
          c
          F
          a
          c
          t
          o
          r
          i
          a
          l
        
        (
        z
        )
        )
        !
        =
        z
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {ArcFactorial} (z))!=z}
  

條件是
  
    
      
        
          A
          r
          c
          F
          a
          c
          t
          o
          r
          i
          a
          l
        
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)}
  
在復平面上是全純的，並且沿著實軸的一部分進行切割，從正參數階乘的最小值開始，延伸到
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
  
。
在分支點
  
    
      
        z
        =
        
          μ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z=\mu _{0}}
  
附近的反階乘可以展開為；

  
    
      
        
          A
          r
          c
          F
          a
          c
          t
          o
          r
          i
          a
          l
        
        (
        z
        )
        =
        
          ν
          
            0
          
        
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
            −
            1
          
        
        
          d
          
            n
          
        
        ⋅
        
          
            (
          
        
        log
        ⁡
        (
        z
        
          /
        
        
          μ
          
            0
          
        
        )
        
          
            
              )
            
          
          
            n
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)=\nu _{0}+\sum _{n=1}^{N-1}d_{n}\cdot {\Big (}\log(z/\mu _{0}){\Big )}^{n/2}}
  

由於階乘與伽瑪函數之間的關聯，反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計：

  
    
      
        
          A
          r
          c
          F
          a
          c
          t
          o
          r
          i
          a
          l
        
        
          (
          z
          )
        
        ≈
        −
        1
        +
        α
        +
        
          
            
              
                2
                
                  (
                  
                    x
                    −
                    Γ
                    
                      (
                      α
                      )
                    
                  
                  )
                
              
              
                Ψ
                
                  (
                  
                    1
                    ,
                     
                    α
                  
                  )
                
                Γ
                
                  (
                  α
                  )
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}
  

因此，反階乘也可以寫成如下的渐近分析形式：

  
    
      
        
          A
          r
          c
          F
          a
          c
          t
          o
          r
          i
          a
          l
        
        
          (
          x
          )
        
        ∼
        
          
            
              ln
              ⁡
              
                (
                
                  
                    x
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                )
              
            
            
              
                W
                
                  0
                
              
              
                (
                
                  
                    e
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  ln
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        x
                        
                          2
                          π
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                )
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}}
  

其中
  
    
      
        
          W
          
            0
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle W_{0}(x)}
  
是朗伯W函数。


參見 倒數伽瑪函數


註釋 參考文獻