五邊形數是能排成五邊形的多邊形數。其概念類似三角形數及平方數，不過五邊形數和三角形數及平方數不同，所對應的形狀沒有旋轉對稱（Rotational symmetry）的特性。
第
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個五邊形數可用以下公式求得

  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              3
              
                n
                
                  2
                
              
              −
              n
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}}
  

且
  
    
      
        n
        >
        0
      
    
    {\displaystyle n>0}
  
。
首幾個五邊形數為1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, ...（OEIS數列A000326），其奇偶排列是「奇奇偶偶」。
第
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個五邊形數是第
  
    
      
        3
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 3n-1}
  
個三角形數的
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  
。首
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個五邊形數的算術平均數是第
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個三角形數。


五邊形數測試 利用以下的公式可以測試一個正整數x是否是五邊形數（此處不考慮廣義五邊形數）：

  
    
      
        n
        =
        
          
            
              
                
                  24
                  x
                  +
                  1
                
              
              +
              1
            
            6
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}
  

若n是自然數，則x是五邊形數，而且恰為第n個五邊形數。
若n不是自然數，則x不是五邊形數。


用五邊形數的和來表示整數 依照費馬多邊形數定理，任何整數都可以表示為不超過5個五邊形數的和。但大多數的整數都可以表示不超過3個五邊形數的和。在小於
  
    
      
        
          10
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{6}}
  
的整數中，只有以下6個整數需用5個五邊形數的和來表示：
9, 21, 31, 43, 55, 89 （OEIS數列A133929）


廣義五邊形數 廣義五邊形數的公式和五邊形數相同，只是n可以為負數和零，n 依序為0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...，廣義五邊形數也可以用下式表示：

  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              3
              
                n
                
                  2
                
              
              ±
              n
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{n}={\frac {3n^{2}\pm n}{2}}}
  

n 依序為0, 1, 2, 3, 4...，
其產生的數列如下：
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)
在歐拉的整數分拆理論中，五邊形數定理說明廣義五邊形數和整數分拆的關係。
用第n個五邊形數（n>2）排列組成的正五邊形，外圍點的個數有
  
    
      
        5
        (
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle 5(n-1)}
  
個，因此在內部的點個數為：

  
    
      
        
          
            
              3
              
                n
                
                  2
                
              
              −
              n
            
            2
          
        
        −
        5
        (
        n
        −
        1
        )
        =
        
          
            
              3
              
                n
                
                  2
                
              
              −
              11
              n
              +
              10
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
              3
              n
              −
              5
              )
              (
              n
              −
              2
              )
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              3
              (
              n
              −
              2
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              (
              n
              −
              2
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3n^{2}-n}{2}}-5(n-1)={\frac {3n^{2}-11n+10}{2}}={\frac {(3n-5)(n-2)}{2}}={\frac {3(n-2)^{2}+(n-2)}{2}}}
  

剛好也是一個廣義五邊形數。
所有的整數都可以表示成不超過3個廣義五邊形數的和。
若三角形數可以被3整除，則除以3之後的數必為廣義五邊形數。


廣義五邊形數和中心六邊形數 廣義五邊形數和中心六邊形數有密切的關係。將中心六邊形數以陣列的方式排出，並且從中間將正六邊形分為二個梯形，較大的梯形可以表示為五邊形數，而較小的梯形可以表示為廣義五邊形數，因此中心六邊形數可以表示為二個廣義五邊形數的和（五邊形數也是廣義五邊形數的一種）：

一般來言：

  
    
      
        3
        n
        (
        n
        −
        1
        )
        +
        1
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        n
        (
        3
        n
        −
        1
        )
        +
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        1
        −
        n
        )
        [
        3
        (
        1
        −
        n
        )
        −
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle 3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n)[3(1-n)-1]}
  

等式右側為二個廣義五邊形數，且第一項是五邊形數(n ≥ 1)。


參見 五邊形數定理


參考資料 Leonard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers


外部連結 Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung（页面存档备份，存于互联网档案馆）（德文）