在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示各結果之間某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过繁複实验和多次观测来了解。而，如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式（Lagrange polynomial）。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。
对于给定的若n+1个点
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
        ,
        …
        ,
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        
          y
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}
  
，对应于它们的次数不超过n的拉格朗日多项式
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle L}
  
只有一个。如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle L}
  
相差
  
    
      
        λ
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            1
          
        
        )
        …
        (
        x
        −
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda (x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n})}
  
的多项式都满足条件。


定义 对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：

  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
        ,
        …
        ,
        (
        
          x
          
            k
          
        
        ,
        
          y
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}
  

其中
  
    
      
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j}}
  
对应着自变量的位置，而
  
    
      
        
          y
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{j}}
  
对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

  
    
      
        L
        (
        x
        )
        :=
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            k
          
        
        
          y
          
            j
          
        
        
          ℓ
          
            j
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}
  

其中每个
  
    
      
        
          ℓ
          
            j
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ell _{j}(x)}
  
为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：

  
    
      
        
          ℓ
          
            j
          
        
        (
        x
        )
        :=
        
          ∏
          
            i
            =
            0
            ,
            
            i
            =
            j
          
          
            k
          
        
        
          
            
              x
              −
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              x
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              (
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
          
        
        ⋯
        
          
            
              (
              x
              −
              
                x
                
                  j
                  −
                  1
                
              
              )
            
            
              (
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  j
                  −
                  1
                
              
              )
            
          
        
        
          
            
              (
              x
              −
              
                x
                
                  j
                  +
                  1
                
              
              )
            
            
              (
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  j
                  +
                  1
                
              
              )
            
          
        
        ⋯
        
          
            
              (
              x
              −
              
                x
                
                  k
                
              
              )
            
            
              (
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  k
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}.}
  

拉格朗日基本多项式
  
    
      
        
          ℓ
          
            j
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ell _{j}(x)}
  
的特点是在
  
    
      
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j}}
  
上取值为1，在其它的点
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        ,
        
        i
        =
        j
      
    
    {\displaystyle x_{i},\,i\neq j}
  
上取值为0。


範例 假设有某个二次多项式函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，已知它在三个点上的取值为：

  
    
      
        f
        (
        4
        )
        =
        10
      
    
    {\displaystyle f(4)=10}
  

  
    
      
        f
        (
        5
        )
        =
        5.25
      
    
    {\displaystyle f(5)=5.25}
  

  
    
      
        f
        (
        6
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle f(6)=1}
  

要求
  
    
      
        f
        (
        18
        )
      
    
    {\displaystyle f(18)}
  
的值。
首先写出每个拉格朗日基本多项式：

  
    
      
        
          ℓ
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              (
              x
              −
              5
              )
            
            
              (
              4
              −
              5
              )
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              (
              x
              −
              6
              )
            
            
              (
              4
              −
              6
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{0}(x)={\frac {(x-5)}{(4-5)}}\cdot {\frac {(x-6)}{(4-6)}}}
  

  
    
      
        
          ℓ
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              (
              x
              −
              4
              )
            
            
              (
              5
              −
              4
              )
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              (
              x
              −
              6
              )
            
            
              (
              5
              −
              6
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{1}(x)={\frac {(x-4)}{(5-4)}}\cdot {\frac {(x-6)}{(5-6)}}}
  

  
    
      
        
          ℓ
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              (
              x
              −
              4
              )
            
            
              (
              6
              −
              4
              )
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              (
              x
              −
              5
              )
            
            
              (
              6
              −
              5
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{2}(x)={\frac {(x-4)}{(6-4)}}\cdot {\frac {(x-5)}{(6-5)}}}
  

然后应用拉格朗日插值法，就可以得到
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的表达式（
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
为函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的插值函数）：

  
    
      
        p
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        4
        )
        
          ℓ
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        +
        f
        (
        5
        )
        
          ℓ
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        +
        f
        (
        6
        )
        
          ℓ
          
            2
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p(x)=f(4)\ell _{0}(x)+f(5)\ell _{1}(x)+f(6)\ell _{2}(x)}
  

  
    
      
        .
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        =
        10
        ⋅
        
          
            
              (
              x
              −
              5
              )
              (
              x
              −
              6
              )
            
            
              (
              4
              −
              5
              )
              (
              4
              −
              6
              )
            
          
        
        +
        5.25
        ⋅
        
          
            
              (
              x
              −
              4
              )
              (
              x
              −
              6
              )
            
            
              (
              5
              −
              4
              )
              (
              5
              −
              6
              )
            
          
        
        +
        1
        ⋅
        
          
            
              (
              x
              −
              4
              )
              (
              x
              −
              5
              )
            
            
              (
              6
              −
              4
              )
              (
              6
              −
              5
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=10\cdot {\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}+5.25\cdot {\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}+1\cdot {\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}}
  

  
    
      
        .
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        =
        
          
            1
            4
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        28
        x
        +
        136
        )
      
    
    {\displaystyle .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {1}{4}}(x^{2}-28x+136)}
  

此時代入数值
  
    
      
         
        18
      
    
    {\displaystyle \ 18}
  
就可以求出所需之值：
  
    
      
         
        f
        (
        18
        )
        =
        p
        (
        18
        )
        =
        −
        11
      
    
    {\displaystyle \ f(18)=p(18)=-11}
  
。


证明 = 存在性 =
对于给定的k+1个点：
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
        ,
        …
        ,
        (
        
          x
          
            k
          
        
        ,
        
          y
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}
  
，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点
  
    
      
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j}}
  
取值为1，而在其他点取值都是0的多项式
  
    
      
        
          ℓ
          
            j
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ell _{j}(x)}
  
。这样，多项式
  
    
      
        
          y
          
            j
          
        
        
          ℓ
          
            j
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y_{j}\ell _{j}(x)}
  
在点
  
    
      
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j}}
  
取值为
  
    
      
        
          y
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{j}}
  
，而在其他点取值都是0。而多项式
  
    
      
        L
        (
        x
        )
        :=
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            k
          
        
        
          y
          
            j
          
        
        
          ℓ
          
            j
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}
  
就可以满足

  
    
      
        L
        (
        
          x
          
            j
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            k
          
        
        
          y
          
            i
          
        
        
          ℓ
          
            i
          
        
        (
        
          x
          
            j
          
        
        )
        =
        0
        +
        0
        +
        ⋯
        +
        
          y
          
            j
          
        
        +
        ⋯
        +
        0
        =
        
          y
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle L(x_{j})=\sum _{i=0}^{k}y_{i}\ell _{i}(x_{j})=0+0+\cdots +y_{j}+\cdots +0=y_{j}}
  

在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：

  
    
      
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ⋯
        (
        x
        −
        
          x
          
            j
            −
            1
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            j
            +
            1
          
        
        )
        ⋯
        (
        x
        −
        
          x
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x-x_{0})\cdots (x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdots (x-x_{k})}
  

它在点
  
    
      
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j}}
  
取值为：
  
    
      
        (
        
          x
          
            j
          
        
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ⋯
        (
        
          x
          
            j
          
        
        −
        
          x
          
            j
            −
            1
          
        
        )
        (
        
          x
          
            j
          
        
        −
        
          x
          
            j
            +
            1
          
        
        )
        ⋯
        (
        
          x
          
            j
          
        
        −
        
          x
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{j}-x_{0})\cdots (x_{j}-x_{j-1})(x_{j}-x_{j+1})\cdots (x_{j}-x_{k})}
  
。由于已经假定
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
两两互不相同，因此上面的取值不等于0。于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在
  
    
      
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j}}
  
取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：

  
    
      
        
          ℓ
          
            j
          
        
        (
        x
        )
        :=
        
          ∏
          
            i
            =
            0
            ,
            
            i
            =
            j
          
          
            k
          
        
        
          
            
              x
              −
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              x
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              (
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
          
        
        ⋯
        
          
            
              (
              x
              −
              
                x
                
                  j
                  −
                  1
                
              
              )
            
            
              (
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  j
                  −
                  1
                
              
              )
            
          
        
        
          
            
              (
              x
              −
              
                x
                
                  j
                  +
                  1
                
              
              )
            
            
              (
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  j
                  +
                  1
                
              
              )
            
          
        
        ⋯
        
          
            
              (
              x
              −
              
                x
                
                  k
                
              
              )
            
            
              (
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  k
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}}
  

这就是拉格朗日基本多项式。


= 唯一性 =
次数不超过k的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k的拉格朗日多项式：
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}}
  
和
  
    
      
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{2}}
  
，它们的差
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        −
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}-P_{2}}
  
在所有k+1个点上取值都是0，因此必然是多项式
  
    
      
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            1
          
        
        )
        ⋯
        (
        x
        −
        
          x
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k})}
  
的倍数。因此，如果这个差
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        −
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}-P_{2}}
  
不等于0，次数就一定不小于k+1。但是
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        −
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}-P_{2}}
  
是两个次数不超过k的多项式之差，它的次数也不超过k。所以
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        −
        
          P
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P_{1}-P_{2}=0}
  
，也就是说
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        =
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}=P_{2}}
  
。这样就证明了唯一性。


几何性质 拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式
  
    
      
        
          ℓ
          
            0
          
        
        ,
        
          ℓ
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          ℓ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\cdots ,\ell _{n}}
  
（由某一组
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        <
        
          x
          
            1
          
        
        <
        ⋯
        <
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}}
  
确定）可以看做是由次数不超过n的多项式所组成的线性空间：
  
    
      
        
          
            K
          
          
            n
          
        
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} _{n}[X]}
  
的一组基底。首先，如果存在一组系数：
  
    
      
        
          λ
          
            0
          
        
        ,
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          λ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}
  
使得，

  
    
      
        P
        =
        
          λ
          
            0
          
        
        
          ℓ
          
            0
          
        
        +
        
          λ
          
            1
          
        
        
          ℓ
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            n
          
        
        
          ℓ
          
            n
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P=\lambda _{0}\ell _{0}+\lambda _{1}\ell _{1}+\cdots +\lambda _{n}\ell _{n}=0}
  
，
那么，一方面多项式P是满足
  
    
      
        P
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        
          λ
          
            0
          
        
        ,
        P
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        P
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          λ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle P(x_{0})=\lambda _{0},P(x_{1})=\lambda _{1},\cdots ,P(x_{n})=\lambda _{n}}
  
的拉格朗日插值多项式，另一方面P是零多项式，所以取值永远是0。所以

  
    
      
        
          λ
          
            0
          
        
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          λ
          
            n
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda _{0}=\lambda _{1}=\cdots =\lambda _{n}=0}
  
。
这证明了
  
    
      
        
          ℓ
          
            0
          
        
        ,
        
          ℓ
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          ℓ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\cdots ,\ell _{n}}
  
是线性无关的。同时它一共包含n+1个多项式，恰好等于
  
    
      
        
          
            K
          
          
            n
          
        
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} _{n}[X]}
  
的维数。所以
  
    
      
        
          ℓ
          
            0
          
        
        ,
        
          ℓ
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          ℓ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\cdots ,\ell _{n}}
  
构成了
  
    
      
        
          
            K
          
          
            n
          
        
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} _{n}[X]}
  
的一组基底。
拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n次多项式）。


优点与缺点 拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。


重心拉格朗日插值法 重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进。在拉格朗日插值法中，运用多项式

  
    
      
        ℓ
        (
        x
        )
        =
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            1
          
        
        )
        ⋯
        (
        x
        −
        
          x
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \ell (x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k})}
  

可以将拉格朗日基本多项式重新写为：

  
    
      
        
          ℓ
          
            j
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              ℓ
              (
              x
              )
            
            
              x
              −
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          
            1
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  0
                  ,
                  i
                  =
                  j
                
                
                  k
                
              
              (
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  i
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{j}(x)={\frac {\ell (x)}{x-x_{j}}}{\frac {1}{\prod _{i=0,i\neq j}^{k}(x_{j}-x_{i})}}}
  

定义重心权

  
    
      
        
          w
          
            j
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  0
                  ,
                  i
                  =
                  j
                
                
                  k
                
              
              (
              
                x
                
                  j
                
              
              −
              
                x
                
                  i
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\prod _{i=0,i\neq j}^{k}(x_{j}-x_{i})}}}
  

上面的表达式可以简化为：

  
    
      
        
          ℓ
          
            j
          
        
        (
        x
        )
        =
        ℓ
        (
        x
        )
        
          
            
              w
              
                j
              
            
            
              x
              −
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{j}(x)=\ell (x){\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}}
  

于是拉格朗日插值多项式变为：

  
    
      
        L
        (
        x
        )
        =
        ℓ
        (
        x
        )
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            k
          
        
        
          
            
              w
              
                j
              
            
            
              x
              −
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          y
          
            j
          
        
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle L(x)=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}
  

即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式。它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个
  
    
      
        
          w
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{j}}
  
都除以
  
    
      
        (
        
          x
          
            j
          
        
        −
        
          x
          
            k
            +
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{j}-x_{k+1})}
  
，就可以得到新的重心权
  
    
      
        
          w
          
            k
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{k+1}}
  
，计算复杂度为
  
    
      
        
          
            O
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}
  
，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度
  
    
      
        
          
            O
          
        
        (
        
          n
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})}
  
降了一个量级。
将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        ≡
        1
      
    
    {\displaystyle g(x)\equiv 1}
  
插值，可以得到：

  
    
      
        ∀
        x
        ,
        
        g
        (
        x
        )
        =
        ℓ
        (
        x
        )
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            k
          
        
        
          
            
              w
              
                j
              
            
            
              x
              −
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall x,\,g(x)=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}}
  

因为
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        ≡
        1
      
    
    {\displaystyle g(x)\equiv 1}
  
是一个多项式。
因此，将
  
    
      
        L
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle L(x)}
  
除以
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
  
后可得到：

  
    
      
        L
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              
                ∑
                
                  j
                  =
                  0
                
                
                  k
                
              
              
                
                  
                    w
                    
                      j
                    
                  
                  
                    x
                    −
                    
                      x
                      
                        j
                      
                    
                  
                
              
              
                y
                
                  j
                
              
            
            
              
                ∑
                
                  j
                  =
                  0
                
                
                  k
                
              
              
                
                  
                    w
                    
                      j
                    
                  
                  
                    x
                    −
                    
                      x
                      
                        j
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle L(x)={\frac {\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}}{\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)}
  

这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式。它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入x值计算
  
    
      
        L
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle L(x)}
  
的时候不必计算多项式
  
    
      
        ℓ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ell (x)}
  
。它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零。同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性。第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小。


参考文献 = 引用 =


= 来源 =
书籍
李庆扬、王能超、易大义. 《数值分析》 第4版. 清华大学出版社. 2001. ISBN 7-302-04561-5 （中文（简体））. 
冯有前. 《数值分析》. 清华大学出版社. 2001. ISBN 7-810-82495-3 （中文（简体））. 
拉格朗日插值多项式. 太原理工大学. （原始内容存档于2008-06-09） （中文（简体））. 


参见 约瑟夫·拉格朗日
多项式插值
样条插值
伯恩斯坦多项式
牛顿多项式
龙格现象