在数学中，拉普拉斯展开（英語：Laplace expansion，或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
矩阵
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的某一行（或某一列）的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个元素的
  
    
      
        (
        n
        −
        1
        )
        ×
        (
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n-1)\times (n-1)}
  
余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
行
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
列，它的拉普拉斯展开一共有
  
    
      
        2
        n
      
    
    {\displaystyle 2n}
  
种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。


公式 设B = (bij)是一个n × n矩阵。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。B的（i，j）代数余子式：Cij是指B的（i，j）余子式Mij与(−1)i + j的乘积：Cij = (−1)i + j Mij
拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j ∈ {1, 2, ...,n}：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  |
                
                B
                
                  |
                
              
              
                
                

                
                =
                
                  b
                  
                    i
                    1
                  
                
                
                  C
                  
                    i
                    1
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    i
                    2
                  
                
                
                  C
                  
                    i
                    2
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  b
                  
                    i
                    n
                  
                
                
                  C
                  
                    i
                    n
                  
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  b
                  
                    1
                    j
                  
                
                
                  C
                  
                    1
                    j
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    2
                    j
                  
                
                
                  C
                  
                    2
                    j
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  b
                  
                    n
                    j
                  
                
                
                  C
                  
                    n
                    j
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}|B|&{}=b_{i1}C_{i1}+b_{i2}C_{i2}+\cdots +b_{in}C_{in}\\&{}=b_{1j}C_{1j}+b_{2j}C_{2j}+\cdots +b_{nj}C_{nj}\end{aligned}}}
  


例子 考虑以下的矩阵：

  
    
      
        B
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  3
                
              
              
                
                  4
                
                
                  5
                
                
                  6
                
              
              
                
                  7
                
                
                  8
                
                
                  9
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}
  
。
这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：

  
    
      
        
          |
        
        B
        
          |
        
        =
        1
        ⋅
        
          
            |
            
              
                
                  5
                
                
                  6
                
              
              
                
                  8
                
                
                  9
                
              
            
            |
          
        
        −
        2
        ⋅
        
          
            |
            
              
                
                  4
                
                
                  6
                
              
              
                
                  7
                
                
                  9
                
              
            
            |
          
        
        +
        3
        ⋅
        
          
            |
            
              
                
                  4
                
                
                  5
                
              
              
                
                  7
                
                
                  8
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle |B|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}}
  

  
    
      
        

        
        =
        1
        ⋅
        (
        −
        3
        )
        −
        2
        ⋅
        (
        −
        6
        )
        +
        3
        ⋅
        (
        −
        3
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0}
  
。
也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：

  
    
      
        
          |
        
        B
        
          |
        
        =
        −
        2
        ⋅
        
          
            |
            
              
                
                  4
                
                
                  6
                
              
              
                
                  7
                
                
                  9
                
              
            
            |
          
        
        +
        5
        ⋅
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
              
              
                
                  7
                
                
                  9
                
              
            
            |
          
        
        −
        8
        ⋅
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
              
              
                
                  4
                
                
                  6
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle |B|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}}
  

  
    
      
        

        
        =
        −
        2
        ⋅
        (
        −
        6
        )
        +
        5
        ⋅
        (
        −
        12
        )
        −
        8
        ⋅
        (
        −
        6
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0}
  
。
很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。


证明 设
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
是一个
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
 的矩阵，
  
    
      
        i
        ,
        j
        ∈
        {
        1
        ,
        2
        ,
        .
        .
        .
        ,
        n
        }
      
    
    {\displaystyle i,j\in \{1,2,...,n\}}
  
。为了明确起见，将
  
    
      
        
          M
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{ij}}
  
的系数记为
  
    
      
        (
        
          a
          
            s
            t
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{st})}
  
，其中
  
    
      
        1
        ≤
        s
        ,
        t
        ≤
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 1\leq s,t\leq n-1}
  
.
考虑
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的行列式
  
    
      
        
          |
        
        B
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |B|}
  
中的每个含有
  
    
      
        
          b
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{ij}}
  
的项，它的形式为：

  
    
      
        sgn
        ⁡
        τ
        
        
          b
          
            1
            ,
            τ
            (
            1
            )
          
        
        ⋯
        
          b
          
            i
            ,
            j
          
        
        ⋯
        
          b
          
            n
            ,
            τ
            (
            n
            )
          
        
        =
        sgn
        ⁡
        τ
        
        
          b
          
            i
            j
          
        
        
          a
          
            1
            ,
            σ
            (
            1
            )
          
        
        ⋯
        
          a
          
            n
            −
            1
            ,
            σ
            (
            n
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{i,j}\cdots b_{n,\tau (n)}=\operatorname {sgn} \tau \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}}
  

其中的置换
  
    
      
        τ
        ∈
        
          S
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau \in S_{n}}
  
使得
  
    
      
        τ
        (
        i
        )
        =
        j
      
    
    {\displaystyle \tau (i)=j}
  
，而
  
    
      
        σ
        ∈
        
          S
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma \in S_{n-1}}
  
是唯一的将除了
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
以外的其他元素都映射到与
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
相同的像上去的置换。显然，每个
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
都对应着唯一的
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
，每一个
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
也对应着唯一的
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
。因此我们创建了Sn − 1与{τ ∈ Sn : τ(i) = j}之间的一个双射。置换τ可以经过如下方式从σ得到：
定义σ' ∈ Sn使得对于1 ≤ k ≤ n − 1，σ'(k) = σ(k)并且σ'(n) = n，于是sgn σ' = sgn σ。然后

  
    
      
        τ
        
        =
        (
        n
        ,
        n
        −
        1
        ,
        …
        ,
        i
        )
        
        
          σ
          ′
        
        
        (
        j
        ,
        j
        +
        1
        ,
        …
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \tau \,=(n,n-1,\ldots ,i)\,\sigma '\,(j,j+1,\ldots ,n)}
  
。
由于两个轮换分别可以被写成n − i和n − j个对换，因此

  
    
      
        sgn
        ⁡
        τ
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            2
            n
            −
            (
            i
            +
            j
            )
          
        
        sgn
        ⁡
        
          σ
          ′
        
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
            +
            j
          
        
        sgn
        ⁡
        σ
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \,=(-1)^{2n-(i+j)}\operatorname {sgn} \sigma '\,=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma }
  
。
因此映射σ ↔ τ是双射。由此，

从而拉普拉斯展开成立。


拉普拉斯定理 拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。


参考来源 拉普拉斯定理
线性代数发展史
行列式的展开定理
戴立辉，线性代数，同济大学出版社，2007.