五角錐球狀屋頂（日語：五角錐球形屋根、英語：Disphenocingulum）是一種由20個三角形和4個正方形組成的二十四面體，為詹森多面體的其中一個，索引為J90。其可以藉由合併2個去除2個三角形面的球狀屋頂來構造，但它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來，是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（Norman Johnson）命名並給予描述。


性質 五角錐球狀屋頂共由24個面、38條邊和16個頂點組成。其可以視為由2個去除2個三角形面的球狀屋頂三角形面重新排列合併而成，每個去除2個三角形面的球狀屋頂有12個面，三角形面重新排列合併完成後為二十四面體。其英文名稱字首「di-」表示兩個球狀屋頂，而字尾「-cingulum」（為belt（腰帶）的拉丁語）指的是12個分布於兩個正方形「屋頂」周圍的三角形的腰帶，兩者彼此旋轉90度互相接合。雖然這24個面皆為正多邊形，但由於其有多種頂角，不滿足點可遞的特性，因此不屬於均勻多面體，這類立體早在1966年由諾曼·詹森（Norman Johnson）命名並給予描述。
在組成五角錐球狀屋頂的24個面中，有20個三角形面和4個正方形面。在其16個頂點中，有4個是5個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[35]來表示、還有8個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[34,4]來表示、剩下的4個頂點是2個三角形和2個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[32,42]來表示。


= 體積與表面積 =
若一個五角錐球狀屋頂邊長為
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，則其表面積
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
為：

  
    
      
        A
        =
        4
        +
        5
        
          
            3
          
        
        
          a
          
            2
          
        
        ≈
        12.6603
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=4+5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 12.6603a^{2}}
  

在92種詹森多面體中，有13種詹森多面體的單位邊長體積（V/a3）無法表達為解析數。而五角錐球狀屋頂就是這13種詹森多面體之一。
由於其體積無法表達為解析數，但可以用近似值表示。邊長為
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的五角錐球狀屋頂體積近似為：

  
    
      
        V
        ≈
        3.7776453418585752429
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V\approx 3.7776453418585752429a^{3}}
  
。
上述體積近似值為以下多項式的最大實根：


= 頂點座標 =
令
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 ≈ 0.76713為下列多項式的實根

  
    
      
        
          
            
              
              
                256
                
                  x
                  
                    12
                  
                
                −
                512
                
                  x
                  
                    11
                  
                
                −
                1664
                
                  x
                  
                    10
                  
                
                +
                3712
                
                  x
                  
                    9
                  
                
                +
                1552
                
                  x
                  
                    8
                  
                
                −
                6592
                
                  x
                  
                    7
                  
                
              
            
            
              
              
                
                
                

                
                +
                1248
                
                  x
                  
                    6
                  
                
                +
                4352
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                −
                2024
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                −
                944
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                +
                672
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                −
                24
                x
                −
                23
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&256x^{12}-512x^{11}-1664x^{10}+3712x^{9}+1552x^{8}-6592x^{7}\\&\quad {}+1248x^{6}+4352x^{5}-2024x^{4}-944x^{3}+672x^{2}-24x-23\end{aligned}}}
  

和
  
    
      
        h
        =
        
          
            2
            +
            8
            a
            −
            8
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h={\sqrt {2+8a-8a^{2}}}}
  
和
  
    
      
        c
        =
        
          
            1
            −
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {1-a^{2}}}}
  
。
則邊長為2的五角錐球狀屋頂可以由下列頂點的軌道的並集在沿xz平面和yz平面鏡射所產生的空間對稱群之群作用下給出：

  
    
      
        
          (
          
            1
            ,
            2
            a
            ,
            
              
                h
                2
              
            
          
          )
        
        ,
         
        
          (
          
            1
            ,
            0
            ,
            2
            c
            +
            
              
                h
                2
              
            
          
          )
        
        ,
         
        
          (
          
            1
            +
            
              
                
                  3
                  −
                  4
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                c
              
            
            ,
            0
            ,
            2
            c
            −
            
              
                1
                c
              
            
            +
            
              
                h
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(1,2a,{\frac {h}{2}}\right),\ \left(1,0,2c+{\frac {h}{2}}\right),\ \left(1+{\frac {\sqrt {3-4a^{2}}}{c}},0,2c-{\frac {1}{c}}+{\frac {h}{2}}\right)}
  


相關多面體 參見 詹森多面體
多面體


參考文獻 外部連結 埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld. 
埃里克·韦斯坦因. Disphenocingulum. MathWorld.