2i进制，是由高德纳于1995年提出来的，当时用作高中科学精英研究用。它是一种以2i为基数的非标准进位制。这种进制以0、1、2、3为基本數碼，能够独一无二的表示全体复数。


转换2i进制到十进制 将2i进制转换为十进制可以用标准公式。这个公式是：

  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
进制数
  
    
      
        …
        
          d
          
            3
          
        
        
          d
          
            2
          
        
        
          d
          
            1
          
        
        
          d
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \ldots d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}}
  
 的十进制数为

  
    
      
        ⋯
        +
        
          d
          
            3
          
        
        ⋅
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
        ⋅
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            1
          
        
        ⋅
        b
        +
        
          d
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \cdots +d_{3}\cdot b^{3}+d_{2}\cdot b^{2}+d_{1}\cdot b+d_{0}}
  

2i进制中，
  
    
      
        b
        =
        2
        i
      
    
    {\displaystyle b=2i}
  
。


= 示例 =
将 
  
    
      
        
          1101
          
            2
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle 1101_{2i}}
  
 转换为十进制，可按照上述公式填入相应数字：

  
    
      
        1
        ⋅
        (
        2
        i
        
          )
          
            3
          
        
        +
        1
        ⋅
        (
        2
        i
        
          )
          
            2
          
        
        +
        0
        ⋅
        (
        2
        i
        
          )
          
            1
          
        
        +
        1
        ⋅
        (
        2
        i
        
          )
          
            0
          
        
        =
        −
        8
        i
        −
        4
        +
        0
        +
        1
        =
        −
        3
        −
        8
        i
      
    
    {\displaystyle 1\cdot (2i)^{3}+1\cdot (2i)^{2}+0\cdot (2i)^{1}+1\cdot (2i)^{0}=-8i-4+0+1=-3-8i}
  

再比如： 
  
    
      
        
          1030003
          
            2
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle 1030003_{2i}}
  
 十进制是

  
    
      
        1
        ⋅
        (
        2
        i
        
          )
          
            6
          
        
        +
        3
        ⋅
        (
        2
        i
        
          )
          
            4
          
        
        +
        3
        ⋅
        (
        2
        i
        
          )
          
            0
          
        
        =
        −
        64
        +
        3
        ⋅
        16
        +
        3
        =
        −
        13
      
    
    {\displaystyle 1\cdot (2i)^{6}+3\cdot (2i)^{4}+3\cdot (2i)^{0}=-64+3\cdot 16+3=-13}
  


十进制转换到2i进制 也能将十进制数转换为2i进制。 每个复数（形如a+bi） 都有个2i进制形式。 大多十进制数都只有1个形式，但像1这样的数在十进制中有两种形式1.0 = 0.9， 相对应的 1/5有两种2i进制形式：1.03002i = 0.00032i。
要转换十进制数，先将实部和虚部分别转换为2i进制数，然后加到一起即可。 比如， –1+4i 等于–1 加上 4i，–1的2i进制数是103， 4i的2i进制数是20，因此 –1+4i = 1232i。
转换虚部时，可以先乘以2i，得到一个实数；然后将这个实数转换为2i进制，然后右移一位即可（等效于除以 2i）。 例如，虚部是 6i，先将6i 乘以2i 得到 –12，化为2i进制是3002i，然后右移一位，得到： 6i = 302i。
转换实数，可以用方程组来求解。


= 示例：实数 =
我们来求解7的2i进制数。我们很难知道这个2i进制数有多长，所以我们先假设一个比较长的数。 我们先选六位试试，如果不够，我们再延长。
我们写出公式，然后分组：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  7
                  
                    10
                  
                
              
              
                
                =
                
                  d
                  
                    0
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    1
                  
                
                ⋅
                b
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                ⋅
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    3
                  
                
                ⋅
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    4
                  
                
                ⋅
                
                  b
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    5
                  
                
                ⋅
                
                  b
                  
                    5
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  d
                  
                    0
                  
                
                +
                2
                i
                
                  d
                  
                    1
                  
                
                −
                4
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                8
                i
                
                  d
                  
                    3
                  
                
                +
                16
                
                  d
                  
                    4
                  
                
                +
                32
                i
                
                  d
                  
                    5
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  d
                  
                    0
                  
                
                −
                4
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                +
                16
                
                  d
                  
                    4
                  
                
                +
                i
                (
                2
                
                  d
                  
                    1
                  
                
                −
                8
                
                  d
                  
                    3
                  
                
                +
                32
                
                  d
                  
                    5
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}7_{10}&=d_{0}+d_{1}\cdot b+d_{2}\cdot b^{2}+d_{3}\cdot b^{3}+d_{4}\cdot b^{4}+d_{5}\cdot b^{5}\\&=d_{0}+2id_{1}-4d_{2}-8id_{3}+16d_{4}+32id_{5}\\&=d_{0}-4d_{2}+16d_{4}+i(2d_{1}-8d_{3}+32d_{5})\\\end{aligned}}}
  

7是实数，因此d1、d3 和 d5 是0。 剩下就是系数d0、d2 和  d4。 因为 d0 − 4 d2 + 16 d4  =  7 并且他们只能是 0、 1、 2 或 3 。可能的结果是： d0 = 3,  d2 = 3 ， d4 = 1。 这样就找到了710的2i进制数。

  
    
      
        
          
            
              
                
                  7
                  
                    10
                  
                
                =
                
                  010303
                  
                    2
                    i
                  
                
                =
                
                  10303
                  
                    2
                    i
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}7_{10}=010303_{2i}=10303_{2i}.\end{aligned}}}
  


= 示例: 虚数 =
找一个纯虚数的2i进制数，可以模拟实数的方法。 例如6i, 也可以用公式。实部全为零，虚部化为6。  6i 很容易看出 d1 = 3 其他各位都是0。6i就是：

  
    
      
        
          
            
              
                6
                
                  i
                  
                    10
                  
                
                =
                
                  30
                  
                    2
                    i
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}6i_{10}=30_{2i}\end{aligned}}}
  


= 其他的轉換方式 =
對實數而言，2i进制表示法實際上與負四进制相同。要將複數x+iy轉換成2i进制可以透過將x和y/2分別轉換為負四进制再將之交錯合併來完成轉換成2i进制的工作。如果x和y都是有限的二进制小數，則可以使用連續的带余除法來將十进制數轉換成2i进制：
例如：35+23i=121003.22i


小数点“.” 十进制中小数点用来区分整数部分和小数部分。2i进制中小数点一样可以用，比如
  
    
      
        .
        .
        .
        
          d
          
            5
          
        
        
          d
          
            4
          
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          d
          
            2
          
        
        
          d
          
            1
          
        
        
          d
          
            0
          
        
        .
        
          d
          
            −
            1
          
        
        
          d
          
            −
            2
          
        
        
          d
          
            −
            3
          
        
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle ...d_{5}d_{4}d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}...}
  
 中，小数点用来分割b的正数幂和負数幂。带小数点时，公式是：

  
    
      
        
          d
          
            5
          
        
        
          b
          
            5
          
        
        +
        
          d
          
            4
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        +
        
          d
          
            3
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            1
          
        
        b
        +
        
          d
          
            0
          
        
        +
        
          d
          
            −
            1
          
        
        
          b
          
            −
            1
          
        
        +
        
          d
          
            −
            2
          
        
        
          b
          
            −
            2
          
        
        +
        
          d
          
            −
            3
          
        
        
          b
          
            −
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{5}b^{5}+d_{4}b^{4}+d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}+d_{-1}b^{-1}+d_{-2}b^{-2}+d_{-3}b^{-3}}
  

或

  
    
      
        32
        i
        
          d
          
            5
          
        
        +
        16
        
          d
          
            4
          
        
        −
        8
        i
        
          d
          
            3
          
        
        −
        4
        
          d
          
            2
          
        
        +
        2
        i
        
          d
          
            1
          
        
        +
        
          d
          
            0
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              i
            
          
        
        
          d
          
            −
            1
          
        
        +
        
          
            1
            
              −
              4
            
          
        
        
          d
          
            −
            2
          
        
        +
        
          
            1
            
              −
              8
              i
            
          
        
        
          d
          
            −
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}}
  

  
    
      
        =
        32
        i
        
          d
          
            5
          
        
        +
        16
        
          d
          
            4
          
        
        −
        8
        i
        
          d
          
            3
          
        
        −
        4
        
          d
          
            2
          
        
        +
        2
        i
        
          d
          
            1
          
        
        +
        
          d
          
            0
          
        
        −
        
          
            i
            2
          
        
        
          d
          
            −
            1
          
        
        −
        
          
            1
            4
          
        
        
          d
          
            −
            2
          
        
        +
        
          
            i
            8
          
        
        
          d
          
            −
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle =32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}-{\frac {i}{2}}d_{-1}-{\frac {1}{4}}d_{-2}+{\frac {i}{8}}d_{-3}}
  


= 示例 =
將i轉換為2i進制，没有小数点的话，可能没办法做到。因此：

  
    
      
        
          
            
              
                i
              
              
                
                =
                32
                i
                
                  d
                  
                    5
                  
                
                +
                16
                
                  d
                  
                    4
                  
                
                −
                8
                i
                
                  d
                  
                    3
                  
                
                −
                4
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                +
                2
                i
                
                  d
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    0
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    
                      2
                      i
                    
                  
                
                
                  d
                  
                    −
                    1
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    
                      −
                      4
                    
                  
                
                
                  d
                  
                    −
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    
                      −
                      8
                      i
                    
                  
                
                
                  d
                  
                    −
                    3
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                i
                (
                32
                
                  d
                  
                    5
                  
                
                −
                8
                
                  d
                  
                    3
                  
                
                +
                2
                
                  d
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  d
                  
                    −
                    1
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    8
                  
                
                
                  d
                  
                    −
                    3
                  
                
                )
                +
                16
                
                  d
                  
                    4
                  
                
                −
                4
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    0
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                  d
                  
                    −
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}i&=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}\\&=i(32d_{5}-8d_{3}+2d_{1}-{\frac {1}{2}}d_{-1}+{\frac {1}{8}}d_{-3})+16d_{4}-4d_{2}+d_{0}-{\frac {1}{4}}d_{-2}\\\end{aligned}}}
  

因為实部为0，故 d4 = d2 = d0 = d-2 = 0。
接著考慮虚部部分，当 d5 = d3 = d -3 = 0 并且 当 d1=1 ， d-1=2 时结果正确。所以

  
    
      
        
          
            
              
                i
                =
                
                  10.2
                  
                    2
                    i
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}i=10.2_{2i}\end{aligned}}}
  
.


= 示例（分數） =
將
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  
轉換為2i進制，其結果為-0.0203。


加减法 2i进制也可以做加减法。 首先要记住以下规则：

数字超过3时, 减 4 "进" −1 到左边第二位。
数字小于0时, 加 4"进" +1 到左边第二位。
简单的说： 「加四进一、减四借一」（當作四進制來計算）。 和一般竖式加法不同的是，要借/进到左边第二位。


= 示例：加法 =
   1 - 2i                1031             3 - 4i                 1023
   1 - 2i                1031             1 - 8i                 1001
   ------- +     <=>     ----- +          ------- +      <=>     ----- +
   2 - 4i                1022             4 - 12i               12320

第一个例子，先是1+1=2。然后是3+3=6，6比3大，我们得减4借1。接着是0+0=0。然后是1+1=2，在减去借的1。得1。 
第二个例子，先是3+1=4; 4 比3大，我们得减4借1。然后是2+0=2。 接着是0+0=0，再减去借位1，得-1，小于0，我们得加四进一。 然后是1+1=2; 最后是进位1。我们得到结果
  
    
      
        
          12320
          
            2
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle 12320_{2i}}
  
。


= 示例：减法 =
减法和加法类似。下面是例子：

         - 2 - 8i                       1102
           1 - 6i                       1011  
           ------- -         <=>        ----- -
         - 3 - 2i                       1131

这个例子中，先是2-1 = 1。 然后是0-1=-1，小于0，加4进1得3；接着是1-0=1。然后是1-1=0，加上进位得1。 结果就是 
  
    
      
        
          1131
          
            2
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle 1131_{2i}}
  
。


乘法 乘法也要用到上面两点。先逐位相乘，然后叠加。比如：

             11201
             20121  x
             --------
             11201      <--- 1 x 11201
            12002       <--- 2 x 11201
           11201        <--- 1 x 11201
          00000         <--- 0 x 11201
         12002      +   <--- 2 x 11201
         ------------
         120231321

也就是 
  
    
      
        (
        9
        −
        8
        i
        )
        ⋅
        (
        29
        +
        4
        i
        )
        =
        293
        −
        196
        i
      
    
    {\displaystyle (9-8i)\cdot (29+4i)=293-196i}
  
。


查表转换 下面是一个常用的复数对照表。我们可以用叠加的方法来转换复数


示例 5
        =
        16
        +
        (
        3
        ⋅
        −
        4
        )
        +
        1
        =
        
          10301
          
            2
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle 5=16+(3\cdot -4)+1=10301_{2i}}
  

  
    
      
        i
        =
        2
        i
        +
        2
        
          (
          
            −
            
              
                1
                2
              
            
            i
          
          )
        
        =
        
          10.2
          
            2
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle i=2i+2\left(-{\frac {1}{2}}i\right)=10.2_{2i}}
  

  
    
      
        7
        
          
            3
            4
          
        
        −
        7
        
          
            1
            2
          
        
        i
        =
        1
        (
        16
        )
        +
        1
        (
        −
        8
        i
        )
        +
        2
        (
        −
        4
        )
        +
        1
        (
        2
        i
        )
        +
        3
        
          (
          
            −
            
              
                1
                2
              
            
            i
          
          )
        
        +
        1
        
          (
          
            −
            
              
                1
                4
              
            
          
          )
        
        =
        
          11210.31
          
            2
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle 7{\frac {3}{4}}-7{\frac {1}{2}}i=1(16)+1(-8i)+2(-4)+1(2i)+3\left(-{\frac {1}{2}}i\right)+1\left(-{\frac {1}{4}}\right)=11210.31_{2i}}
  


参见 四進制
十六進制
複進制
负进制


参考资料 D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Edition. Addison-Wesley. pp. 205, "Positional Number Systems" 
^ Donald Knuth. An imaginary number system. Communications of the ACM. April 1960, 3 (4).