拿破崙問題（Napoleon's problem）是著名的圓規作圖問題，原題如下：
給定一圓和其圓心，只用圓規將此圓四等分。（此圓指的是圓周而不是圓面積）
此題目是由義大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼向拿破崙·波拿巴提出的問題，但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化，變成只給定一圓，只用圓規將此圓四等分，在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。
1672年，喬治·莫爾證明只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖，但此證明直到1928年才被發現。


找出圓心 = 作法 =
在已知的圓
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
上找任意一點 A，以任意半徑畫弧 
  
    
      
        
          
            
              C
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}
  
（必須和圓
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
有交點，长度最好差不多有半圆那么长，方便第三步作图），交圓
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
於 B'、B 兩點。
分别以B'、B為圓心， 
  
    
      
        
          
            
              
                B
                ′
              
              A
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {B'A}}}
  
  、
  
    
      
        
          
            
              B
              A
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {BA}}}
  
 為半徑，畫兩条弧 
  
    
      
        
          
            
              C
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {Green}C_{2}}}
  
，兩弧线相交於 A 点和 C 點。
再以 C 点為圓心、 
  
    
      
        
          
            
              C
              A
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {CA}}}
  
為半徑，畫弧 
  
    
      
        
          
            
              C
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {RawSienna}C_{3}}}
  
 ，交弧
  
    
      
        
          
            
              C
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}
  
於 D'、D兩點。
以D'、D為圓心， 
  
    
      
        
          
            
              
                D
                ′
              
              A
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {D'A}}}
  
 、
  
    
      
        
          
            
              D
              A
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {DA}}}
  
 為半徑，畫兩条弧 
  
    
      
        
          
            
              C
              
                4
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {blue}C_{4}}}
  
 ，兩弧线相交於A点和O点。（O点即圓
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的圓心）


= 證明 =
設圓
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}}
  
的半徑為
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，圓
  
    
      
        
          C
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{3}}
  
的半徑為
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，我們知道：

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              B
              C
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              A
              D
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              O
              D
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {AD}}={\overline {OD}}}
  

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              A
              C
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              D
              C
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\overline {AC}}={\overline {DC}}}
  

因為
  
    
      
        △
        A
        D
        C
        ∼
        △
        A
        O
        D
      
    
    {\displaystyle \triangle ADC\thicksim \triangle AOD}
  
，所以
  
    
      
        
          
            
              A
              O
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {AO}}={\frac {a^{2}}{b}}}
  

由於
  
    
      
        
          
            
              A
              O
            
            ¯
          
        
        :
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
        =
        a
        :
        b
        =
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
        :
        
          
            
              A
              C
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {AO}}:{\overline {AB}}=a:b={\overline {AB}}:{\overline {AC}}}
  
，可以得出
  
    
      
        △
        A
        B
        C
        ∼
        △
        A
        O
        B
      
    
    {\displaystyle \triangle ABC\thicksim \triangle AOB}
  

根據對稱性，
  
    
      
        
          
            
              A
              O
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {AO}}}
  
通過圓心，又
  
    
      
        
          
            
              A
              O
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              O
              B
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {AO}}={\overline {OB}}}
  
，所以
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
是圓
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的圓心。


四等分圓 = 作法 =
由前面我們已經知道圓心的位置

在已知的圓上找任意一點 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，以
  
    
      
        
          
            
              X
              O
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {XO}}}
  
為半徑畫弧 
  
    
      
        
          
            
              C
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}
  
，交圓於 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
、
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 兩點。
以 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 為圓心，
  
    
      
        
          
            
              Y
              O
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {YO}}}
  
為半徑畫弧 
  
    
      
        
          
            
              C
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {Red}C_{2}}}
  
，交圓於 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
 点（和 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 點）。
（继续分别以 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
、
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 為圓心，
  
    
      
        
          
            
              Z
              O
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {ZO}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              V
              O
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {VO}}}
  
 為半徑畫弧，即可將圓六等分，）
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
、
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
、
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
、
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
 為四个六等分點（如圖）。
以 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 為圓心，
  
    
      
        
          
            
              V
              Y
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {VY}}}
  
為半徑畫弧 
  
    
      
        
          
            
              C
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {blue}C_{3}}}
  
；以 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
 為圓心，
  
    
      
        
          
            
              Z
              X
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {ZX}}}
  
為半徑畫弧 
  
    
      
        
          
            
              C
              
                4
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {blue}C_{4}}}
  
，兩弧交於 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 點。
以 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
 為圓心，取
  
    
      
        
          
            
              O
              T
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {OT}}}
  
的长度 
  
    
      
        
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {Green}D}}
  
 為半徑畫弧 
  
    
      
        
          
            
              C
              
                5
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {Green}C_{5}}}
  
，交圓於 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
、
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 兩點。

  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
、
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
、
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
、
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 四點將圓四等分。


= 證明 =
設圓的半徑為
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，容易得出
  
    
      
        
          
            
              O
              V
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {OV}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              O
              X
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {OX}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              O
              Y
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {OY}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              O
              Z
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {OZ}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              V
              X
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {VX}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              X
              Y
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {XY}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              Y
              Z
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {YZ}}}
  
的長度都是
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，可以得出
  
    
      
        
          
            
              V
              Y
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              V
              T
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            3
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle {\overline {VY}}={\overline {VT}}={\sqrt {3}}a}
  
，根據畢氏定理可以得出
  
    
      
        
          
            
              O
              T
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    V
                    T
                  
                  ¯
                
              
              
                2
              
            
            −
            
              
                
                  
                    V
                    O
                  
                  ¯
                
              
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            2
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle {\overline {OT}}={\sqrt {{\overline {VT}}^{2}-{\overline {VO}}^{2}}}={\sqrt {2}}a}
  
，因此
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
、
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
、
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  
、
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
四點將圓四等分。


參見 拿破崙定理
尺規作圖
圓規作圖


註解 參考資料 Napoleon's Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆）MathWorld
拿破崙分圓