在特殊函数中，合流超几何函数（confluent hypergeometric function）定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形，相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞，因而得名。
根据所选择的参变量与宗量的不同，合流超几何函数有多种标准形式，常见的有：

Kummer 函数（第一类合流超几何函数）M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一个相异且无关的函数也被称为 Kummer 函数；
Tricomi 函数（第二类合流超几何函数）U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一个线性无关的解，有时会写成 Ψ(a,b,z)；
惠泰克函数 是惠泰克方程的解，惠泰克方程里的参数与 Kummer 方程的参数所对应的李代数参数相关；


Kummer 方程 根据广义超几何函数的性质，超几何函数 w(z)=1F1(a;b;z) 满足的微分方程为：

  
    
      
        z
        
          (
          
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    
                      d
                    
                  
                  z
                
              
            
            +
            a
          
          )
        
        w
        =
        z
        
          
            
              d
            
            
              
                
                  d
                
              
              z
            
          
        
        
          (
          
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    
                      d
                    
                  
                  z
                
              
            
            +
            b
            −
            1
          
          )
        
        w
      
    
    {\displaystyle z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b-1\right)w}
  
.
展开后就得到 Kummer 方程，

  
    
      
        z
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              w
            
            
              
                d
              
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        (
        b
        −
        z
        )
        
          
            
              
                d
              
              w
            
            
              
                d
              
              z
            
          
        
        −
        a
        w
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+(b-z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-aw=0}
  
,
它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数：

  
    
      
        M
        (
        a
        ,
        b
        ,
        z
        )
        =
        
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ;
        b
        ;
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              a
              
                )
                
                  (
                  n
                  )
                
              
            
            
              (
              b
              
                )
                
                  (
                  n
                  )
                
              
            
          
        
        
          
            
              z
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle M(a,b,z)=\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
  

式中 (a)(n) 是升阶乘的 Pochhammer 记号。
Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形：

  
    
      
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ;
        c
        ;
        z
        )
        =
        
          lim
          
            b
            →
            ∞
          
        
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        
          
            
              z
              b
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=\lim _{b\rightarrow \infty }\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})}
  

高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为：

  
    
      
        
          z
          
            1
            −
            c
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        1
        +
        a
        −
        c
        ,
        1
        +
        b
        −
        c
        ;
        2
        −
        c
        ;
        z
        )
      
    
    {\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}
  

按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 b 等同于上式的 c）：

  
    
      
        
          z
          
            1
            −
            b
          
        
        
          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        1
        +
        a
        −
        b
        ;
        2
        −
        b
        ;
        z
        )
      
    
    {\displaystyle z^{1-b}\,_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}
  

但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合：

  
    
      
        U
        (
        a
        ,
        b
        ,
        z
        )
        =
        
          
            
              Γ
              (
              1
              −
              b
              )
            
            
              Γ
              (
              a
              −
              b
              +
              1
              )
            
          
        
        M
        (
        a
        ,
        b
        ,
        z
        )
        +
        
          
            
              Γ
              (
              b
              −
              1
              )
            
            
              Γ
              (
              a
              )
            
          
        
        
          z
          
            1
            −
            b
          
        
        M
        (
        a
        −
        b
        +
        1
        ,
        2
        −
        b
        ,
        z
        )
        .
      
    
    {\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a-b+1)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).}
  

它与另一个广义超几何函数有下列关系：

  
    
      
        U
        (
        a
        ,
        b
        ,
        z
        )
        =
        
          z
          
            −
            a
          
        
        ⋅
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            0
          
        
        (
        a
        ,
        a
        −
        b
        +
        1
        ;
        ;
        −
        
          z
          
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})}
  

但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 2F0 对应的超几何级数视为渐近级数。

  
    
      
        U
        (
        a
        ,
        b
        ,
        z
        )
        ≈
        
          z
          
            −
            a
          
        
        ⋅
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            0
          
        
        (
        a
        ,
        a
        −
        b
        +
        1
        ;
        ;
        −
        
          z
          
            −
            1
          
        
        )
        ,
        
        z
        →
        ∞
        ,
        
          |
        
        arg
        ⁡
        z
        
          |
        
        <
        
          
            
              3
              π
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1}),\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<{\frac {3\pi }{2}}}
  

Kummer 函数是整函数，而 Tricomi 函数一般有奇点 0。


= 可转化为 Kummer 方程的二阶线性常微分方程 =
大部分系数为自变量 z 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程

  
    
      
        (
        A
        +
        B
        z
        )
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              w
            
            
              d
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        (
        C
        +
        D
        z
        )
        
          
            
              d
              w
            
            
              d
              z
            
          
        
        +
        (
        E
        +
        F
        z
        )
        w
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}
  

先将 A+Bz 用一个新的 z 代换，就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式：

  
    
      
        z
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              w
            
            
              d
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        (
        C
        +
        D
        z
        )
        
          
            
              d
              w
            
            
              d
              z
            
          
        
        +
        (
        E
        +
        F
        z
        )
        w
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}
  

这里的 C,D,E,F 是作代换后得到的新的值。然后将 z 用 (D2-4F)-1/2z 代换，并将整个式子乘以相同的常数，得到：

  
    
      
        z
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              w
            
            
              d
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          (
          
            C
            +
            
              
                D
                
                  
                    D
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  F
                
              
            
            z
          
          )
        
        
          
            
              d
              w
            
            
              d
              z
            
          
        
        +
        
          (
          
            
              
                E
                
                  
                    D
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  F
                
              
            
            +
            
              
                F
                
                  
                    D
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  F
                
              
            
            z
          
          )
        
        w
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}
  

它的解为，

  
    
      
        w
        (
        z
        )
        =
        exp
        ⁡
        [
        −
        (
        1
        +
        
          
            
              D
              
                
                  D
                  
                    2
                  
                
                −
                4
                F
              
            
          
        
        )
        
          
            
              z
              2
            
          
        
        ]
        f
        (
        z
        )
        ,
        
        f
        (
        z
        )
        =
        
          k
          
            1
          
        
        M
        (
        a
        ,
        C
        ,
        z
        )
        +
        
          k
          
            2
          
        
        U
        (
        a
        ,
        C
        ,
        z
        )
        ,
        
        a
        =
        (
        1
        +
        
          
            
              D
              
                
                  D
                  
                    2
                  
                
                −
                4
                F
              
            
          
        
        )
        
          
            
              C
              2
            
          
        
        −
        
          
            
              E
              
                
                  D
                  
                    2
                  
                
                −
                4
                F
              
            
          
        
        ,
        
          k
          
            1
          
        
        ,
        
          k
          
            2
          
        
        ∈
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle w(z)=\exp[-(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {z}{2}}]f(z),\quad f(z)=k_{1}M(a,C,z)+k_{2}U(a,C,z),\quad a=(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {C}{2}}-{\tfrac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},k_{1},k_{2}\in \mathbb {C} }
  


= 李代数参数与惠泰克方程 =
Kummer 方程的李代数参数定义为

  
    
      
        α
        =
        b
        −
        1
        ,
        θ
        =
        2
        a
        −
        b
        ,
      
    
    {\displaystyle \alpha =b-1,\theta =2a-b,}
  

其中第一个李代数参数是 z=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 z=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 z=0 处的两个正则解可以表示为

  
    
      
        
          F
          
            α
            ,
            θ
          
        
        (
        z
        )
        
           and 
        
        
          z
          
            −
            α
          
        
        
          F
          
            −
            α
            ,
            θ
          
        
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha ,\theta }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\theta }(z)}
  

惠泰克方程的形式为：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              w
            
            
              
                d
              
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          (
          
            −
            
              
                1
                4
              
            
            +
            
              
                κ
                z
              
            
            +
            
              
                
                  1
                  
                    /
                  
                  4
                  −
                  
                    μ
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  z
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        w
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}
  

它的两个线性无关的解为惠泰克函数，与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系：

  
    
      
        
          M
          
            κ
            ,
            μ
          
        
        
          (
          z
          )
        
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            z
            
              /
            
            2
          
          )
        
        
          z
          
            μ
            +
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
          
        
        M
        
          (
          
            μ
            −
            κ
            +
            
              
                1
                2
              
            
            ,
            1
            +
            2
            μ
            ;
            z
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}
  

  
    
      
        
          W
          
            κ
            ,
            μ
          
        
        
          (
          z
          )
        
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            z
            
              /
            
            2
          
          )
        
        
          z
          
            μ
            +
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
          
        
        U
        
          (
          
            μ
            −
            κ
            +
            
              
                1
                2
              
            
            ,
            1
            +
            2
            μ
            ;
            z
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}
  

注意到

  
    
      
        
          M
          
            κ
            ,
            μ
          
        
        
          (
          z
          )
        
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            z
            
              /
            
            2
          
          )
        
        
          z
          
            μ
            +
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
          
        
        
          F
          
            2
            μ
            ,
            −
            2
            κ
          
        
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}F_{2\mu ,-2\kappa }(z)}
  

故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价，两者之间只差一个常数倍。


积分表示 合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到，高斯超几何函数的积分表示为：

  
    
      
        
          B
        
        (
        a
        ,
        c
        −
        a
        )
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        
          
            
              z
              b
            
          
        
        )
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          t
          
            b
            −
            c
          
        
        (
        t
        −
        1
        
          )
          
            c
            −
            a
            −
            1
          
        
        (
        t
        −
        
          
            
              z
              b
            
          
        
        
          )
          
            −
            b
          
        
        
          d
        
        t
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          t
          
            −
            c
          
        
        (
        t
        −
        1
        
          )
          
            c
            −
            a
            −
            1
          
        
        (
        1
        −
        
          
            
              z
              
                b
                t
              
            
          
        
        
          )
          
            −
            b
          
        
        
          d
        
        t
        ,
        ℜ
        (
        c
        )
        >
        ℜ
        (
        a
        )
        >
        0
        ,
        
          |
        
        arg
        ⁡
        (
        1
        −
        
          
            
              z
              b
            
          
        
        )
        
          |
        
        <
        π
      
    
    {\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\mathrm {d} t=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-{\tfrac {z}{bt}})^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }
  

式中的 Β 是beta函数。
两边取极限后就得到（第一类）合流超几何函数的积分表示：

  
    
      
        
          B
        
        (
        a
        ,
        c
        −
        a
        )
        
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ;
        c
        ;
        z
        )
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          t
          
            −
            c
          
        
        (
        t
        −
        1
        
          )
          
            c
            −
            a
            −
            1
          
        
        
          e
          
            
              
                z
                t
              
            
          
        
        
          d
        
        t
        ,
        ℜ
        (
        c
        )
        >
        ℜ
        (
        a
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{1}F_{1}(a;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{\tfrac {z}{t}}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0}
  

第二类合流超几何函数的积分表示为：

  
    
      
        Γ
        (
        a
        )
        U
        (
        a
        ,
        b
        ,
        z
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            z
            t
          
        
        
          t
          
            a
            −
            1
          
        
        (
        1
        +
        t
        
          )
          
            b
            −
            a
            −
            1
          
        
        
        d
        t
        ,
        
        ℜ
        (
        a
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \Gamma (a)U(a,b,z)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad \Re (a)>0}
  


变换公式 高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为：

  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        
          
            
              z
              b
            
          
        
        )
        =
        (
        1
        −
        
          
            
              z
              b
            
          
        
        
          )
          
            −
            b
          
        
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        c
        −
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        
          
            
              1
              b
            
          
        
        
          
            
              
                b
                z
              
              
                z
                −
                b
              
            
          
        
        )
        ,
        
        
          |
        
        arg
        ⁡
        (
        1
        −
        
          
            
              z
              b
            
          
        
        )
        
          |
        
        <
        π
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=(1-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {1}{b}}{\tfrac {bz}{z-b}}),\quad |\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }
  

两边取极限得到（第一类）合流超几何函数的 Kummer 变换公式：

  
    
      
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ;
        c
        ;
        z
        )
        =
        
          e
          
            z
          
        
        
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        c
        −
        a
        ;
        c
        ;
        −
        z
        )
      
    
    {\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=e^{z}\,{}_{1}F_{1}(c-a;c;-z)}
  

第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为：

  
    
      
        U
        (
        a
        ,
        b
        ,
        z
        )
        =
        
          z
          
            1
            −
            b
          
        
        U
        
          (
          
            1
            +
            a
            −
            b
            ,
            2
            −
            b
            ,
            z
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}
  
.


特殊情形 很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。


= 柱函数 =
第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为：

  
    
      
        
          I
          
            ν
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              z
              
                ν
              
            
            
              
                2
                
                  ν
                
              
              
                e
                
                  z
                
              
              Γ
              (
              ν
              +
              1
              )
            
          
        
        M
        (
        ν
        +
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        2
        ν
        +
        1
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {z^{\nu }}{2^{\nu }e^{z}\Gamma (\nu +1)}}M(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}
  

  
    
      
        
          K
          
            ν
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            π
          
        
        (
        2
        z
        
          )
          
            ν
          
        
        
          e
          
            −
            z
          
        
        U
        (
        ν
        +
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        2
        ν
        +
        1
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle K_{\nu }(z)={\sqrt {\pi }}(2z)^{\nu }e^{-z}U(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}
  


= Γ, 误差函数 =
不完全伽玛函数可以表示为：

  
    
      
        γ
        (
        a
        ,
        z
        )
        =
        
          
            
              z
              
                a
              
            
            a
          
        
        M
        (
        a
        ,
        a
        +
        1
        ,
        −
        z
        )
        ,
        
        a
        ∈
        
          
            Z
          
          
            0
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}
  

  
    
      
        Γ
        (
        a
        ,
        z
        )
        =
        
          e
          
            −
            z
          
        
        U
        (
        1
        −
        a
        ,
        1
        −
        a
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)}
  

误差函数可以表示为：

  
    
      
        erf
        ⁡
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              2
              z
            
            
              π
            
          
        
        M
        (
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
          
            3
            2
          
        
        ,
        −
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}M({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2})}
  


= 正交多项式及相关函数 =
拉盖尔函数可以表示为：

  
    
      
        
          L
          
            n
          
          
            (
            α
            )
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                α
              
              n
            
            
              )
            
          
        
        M
        (
        −
        n
        ,
        α
        +
        1
        ,
        z
        )
        ,
        
        α
        ∈
        
          
            Z
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)={n+\alpha  \choose n}M(-n,\alpha +1,z),\quad \alpha \notin \mathbb {Z} ^{-}}
  

其中的二项式系数用贝塔函数来定义。
（物理学上的）厄米多项式可以表示为：

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          2
          
            n
          
        
        U
        (
        −
        
          
            n
            2
          
        
        ,
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
        ,
        
        n
        ∈
        
          
            Z
          
          
            0
          
          
            +
          
        
        ,
        ℜ
        (
        z
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle H_{n}(z)=2^{n}U(-{\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}},z^{2}),\quad n\in \mathbb {Z} _{0}^{+},\Re (z)>0}
  


注 参考文献 Chistova, E.A., c/c024700, Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
Erdelyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. Higher transcendental functions. Vol. I. New York–Toronto–London: McGraw–Hill Book Company, Inc. 1953. MR 0058756. 
Kummer, Ernst Eduard. De integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis. Journal fur die reine und angewandte Mathematik. 1837, 17: 228–242  [2014-09-05]. ISSN 0075-4102. doi:10.1515/crll.1837.17.228. （原始内容存档于2014-08-19） （拉丁语）. 
Slater, Lucy Joan. Confluent hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1960. MR 0107026. 
Tricomi, Francesco G. Sulle funzioni ipergeometriche confluenti. Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta. 1947, 26: 141–175. ISSN 0003-4622. MR 0029451. doi:10.1007/bf02415375 （意大利语）. 
Tricomi, Francesco G. Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche 1. Rome: Edizioni cremonese. 1954. ISBN 978-88-7083-449-9. MR 0076936 （意大利语）. 


外部链接 Wolfram 函数大全上的 Kummer 超几何函数（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Wolfram 函数大全上的 Tricomi 超几何函数（页面存档备份，存于互联网档案馆）