扭稜四角反角柱（英文：Snub square antiprism）是詹森多面體的其中一個，其所引為J85。它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來。扭稜四角反角柱是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（Norman Johnson）命名並給予描述。


性質 扭稜四角反角柱共由26個面、40條邊和16頂點所組成。在其26個面中，有24個三角形和2個正方形。在其16個頂點中，有8個頂點是5個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[35]來表示、另外8個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[34,4]來表示。


= 構造 =
形如其名地，扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱套用扭稜變換來構造。在施萊夫利符號中可以表示為ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱，其中的扭稜是考克斯特扭稜；而在康威扭稜中，扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜來構造，在康威多面體表示法中可以表示為sY4。


= 體積與表面積 =
若一個扭稜四角反角柱邊長為
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，則其表面積
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
為：

  
    
      
        A
        =
        
          (
          
            2
            +
            6
            
              
                3
              
            
          
          )
        
        
          a
          
            2
          
        
        ≈
        12.39230
        
          a
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle A=\left(2+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12.39230a^{2},}
  

而其體積
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
為：

  
    
      
        V
        =
        ξ
        
          a
          
            3
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle V=\xi a^{3},}
  

其中
  
    
      
        ξ
        ≈
        3.60122
      
    
    {\displaystyle \xi \approx 3.60122}
  
是下列多項式的最大實根：

  
    
      
        531441
        
          x
          
            12
          
        
        −
        85726026
        
          x
          
            8
          
        
        −
        48347280
        
          x
          
            6
          
        
        +
        11588832
        
          x
          
            4
          
        
        +
        4759488
        
          x
          
            2
          
        
        −
        892448.
      
    
    {\displaystyle 531441x^{12}-85726026x^{8}-48347280x^{6}+11588832x^{4}+4759488x^{2}-892448.}
  


= 頂點座標 =
令
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
為下列三次式的正實根，約為
  
    
      
        k
        ≈
        0.82354
      
    
    {\displaystyle k\approx 0.82354}
  
：

  
    
      
        9
        
          x
          
            3
          
        
        +
        3
        
          
            3
          
        
        
          (
          
            5
            −
            
              
                2
              
            
          
          )
        
        
          x
          
            2
          
        
        −
        3
        
          (
          
            5
            −
            2
            
              
                2
              
            
          
          )
        
        x
        −
        17
        
          
            3
          
        
        +
        7
        
          
            6
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle 9x^{3}+3{\sqrt {3}}\left(5-{\sqrt {2}}\right)x^{2}-3\left(5-2{\sqrt {2}}\right)x-17{\sqrt {3}}+7{\sqrt {6}}.}
  

和h約為
  
    
      
        h
        ≈
        1.35374
      
    
    {\displaystyle h\approx 1.35374}
  
：

  
    
      
        h
        =
        
          
            
              
                
                  2
                
              
              +
              8
              +
              2
              
                
                  3
                
              
              k
              −
              3
              
                (
                
                  2
                  +
                  
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
              
                k
                
                  2
                
              
            
            
              4
              
                
                  3
                  −
                  3
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle h={\frac {{\sqrt {2}}+8+2{\sqrt {3}}k-3\left(2+{\sqrt {2}}\right)k^{2}}{4{\sqrt {3-3k^{2}}}}}.}
  

則邊長為2的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道的並集在繞z軸旋轉90°和繞垂直於z軸並與x軸夾角22.5°的直線旋轉180°所產生的空間對稱群之群作用下給出：

  
    
      
        (
        1
        ,
        1
        ,
        h
        )
        ,
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                3
              
            
            k
            ,
            0
            ,
            h
            −
            
              
                3
                −
                3
                
                  k
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (1,1,h),\,\left(1+{\sqrt {3}}k,0,h-{\sqrt {3-3k^{2}}}\right)}
  


扭稜反角柱 類似的造方式之多面體還有扭稜三角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,6}）為經過扭稜變換的三角反角柱（可以視為一個對稱性較低的正八面體），其結果為偽二十面體（可以視為一個對稱性較低的正二十面體）。另一個為扭稜五角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,10}）甚至是更高邊數的扭稜反角柱，但其結果不會是由正三角形構成的凸多面體。邊數更少的扭稜二角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,4}）對應另一個詹森多面體——扭稜鍥形體，但必須在二角反角柱中保留兩個退化的對角面（以紅色繪製）。這些都可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的一項。


參見 詹森多面體
多面體
柏拉圖立體
半正多面體


參考文獻 外部連結 埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld. 
埃里克·韦斯坦因. Snub square antiprism. MathWorld.