数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：

  
    
      
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              P
              (
              x
              )
            
            
              
                d
              
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        2
        x
        
          
            
              
                d
              
              P
              (
              x
              )
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        +
        n
        (
        n
        +
        1
        )
        P
        (
        x
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle (1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}P(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} P(x)}{\mathrm {d} x}}+n(n+1)P(x)=0.}
  

为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式:

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        
          [
          
            (
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
            )
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            P
            (
            x
            )
          
          ]
        
        +
        n
        (
        n
        +
        1
        )
        P
        (
        x
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0.}
  

上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。勒让德方程是物理學和其他技術領域常常遇到的一類常微分方程。當試圖在球坐標中求解三維拉普拉斯方程（或相關的其他偏微分方程）時，問題便會歸結為勒讓德方程的求解。  
勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |x|<1}
  
 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n 为非负整数，即
  
    
      
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
  
.


正交性 勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 
  
    
      
        −
        1
        ≤
        x
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle -1\leq x\leq 1}
  
 关于L2内积满足正交性，即：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            1
          
          
            1
          
        
        
          P
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            2
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
        
          δ
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}
  

其中 
  
    
      
        
          δ
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{mn}}
  
 为克罗内克δ记号，当
  
    
      
        m
        =
        n
      
    
    {\displaystyle m=n}
  
 时为1，否则为0。 
事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式 
  
    
      
        
          1
          ,
          x
          ,
          
            x
            
              2
            
          
          ,
          …
        
      
    
    {\displaystyle {1,x,x^{2},\ldots }}
  
 进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题：

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        
          [
          
            (
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
            )
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            P
            (
            x
            )
          
          ]
        
        =
        −
        λ
        P
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle {\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}P(x)\right]=-\lambda P(x),}
  

其中本征值 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 对应于原方程中的 
  
    
      
        n
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle n(n+1)}
  
。


部分实例 下表列出了前11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式：

前6阶（n 从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：


在物理学中的应用 在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开：

  
    
      
        
          
            1
            
              |
              
                
                  x
                
                −
                
                  
                    x
                  
                  
                    ′
                  
                
              
              |
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              +
              
                r
                
                  ′
                  2
                
              
              −
              2
              r
              
                r
                ′
              
              cos
              ⁡
              γ
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            ℓ
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              r
              
                ′
                ℓ
              
            
            
              r
              
                ℓ
                +
                1
              
            
          
        
        
          P
          
            ℓ
          
        
        (
        cos
        ⁡
        γ
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )}
  

其中
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
和
  
    
      
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle r'}
  
分别为位置向量
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
  
和
  
    
      
        
          
            x
          
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}
  
 的长度(其中
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
和
  
    
      
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle r'}
  
分别為對位置向量
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
  
和
  
    
      
        
          
            x
          
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}
  
 的長度進行測量的結果)，
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
为两向量的夹角(
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
為對兩向量的夾角展開估計的結果)。当
  
    
      
        r
        >
        
          r
          ′
        
      
    
    {\displaystyle r>r'}
  
时上式成立。该式计算了在
  
    
      
        
          
            x
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} '}
  
处的点电荷激发的电场在
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
  
点引起的电势大小。在对空间中连续分布的电荷引起的电势大小进行计算时(當計算由連續分佈之電荷所產生的電位時)，将涉及对上式进行积分(需積分上式中間項)。这时，上式右边的勒让德多项式展开将对此积分的计算带来很大的方便(逐項積分上式右邊的展開式可得一級數解，此級數之第一項叫做電單極矩，第二項叫做電偶極矩，第三項叫做電四極矩)。
静电场中具有轴对称边界条件的问题可以归结为在球坐标系中用分离变量法求解关于电势函数的拉普拉斯方程
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        (
        
          x
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )=0}
  
（与和对称轴的夹角无关）。若设
  
    
      
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}
  
为对称轴，
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
为观测者位置向量和
  
    
      
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}
  
轴的夹角，则势函数的解可表示为：

  
    
      
        Φ
        (
        r
        ,
        θ
        )
        =
        
          ∑
          
            ℓ
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          [
          
            
              A
              
                ℓ
              
            
            
              r
              
                ℓ
              
            
            +
            
              B
              
                ℓ
              
            
            
              r
              
                −
                (
                ℓ
                +
                1
                )
              
            
          
          ]
        
        
          P
          
            ℓ
          
        
        (
        cos
        ⁡
        θ
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).}
  

其中
  
    
      
        
          A
          
            ℓ
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\ell }}
  
和
  
    
      
        
          B
          
            ℓ
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{\ell }}
  
由具体边界条件确定。


其他性质 勒让德多项式的奇偶性由其阶数确定。当阶数k为偶数时，
  
    
      
        
          P
          
            k
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{k}(x)}
  
为偶函数；当阶数k为奇数时，
  
    
      
        
          P
          
            k
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{k}(x)}
  
为奇函数，即：

  
    
      
        
          P
          
            k
          
        
        (
        −
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
          
        
        
          P
          
            k
          
        
        (
        x
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle P_{k}(-x)=(-1)^{k}P_{k}(x).\,}
  


= 递推关系 =
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系：

  
    
      
        (
        n
        +
        1
        )
        
          P
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        (
        2
        n
        +
        1
        )
        x
        
          P
          
            n
          
        
        −
        n
        
          P
          
            n
            −
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle (n+1)P_{n+1}=(2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}\,}
  

另外，考虑微分后还有以下递推关系：

  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              1
            
            n
          
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        
          P
          
            n
          
        
        =
        x
        
          P
          
            n
          
        
        −
        
          P
          
            n
            −
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}.}
  

  
    
      
        (
        2
        n
        +
        1
        )
        
          P
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        
          [
          
            
              P
              
                n
                +
                1
              
            
            −
            
              P
              
                n
                −
                1
              
            
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle (2n+1)P_{n}={\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right].}
  

其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用。
使多项式的值：


移位勒让德多项式 移位勒让德多项式
  
    
      
        
          
            
              
                P
                
                  n
                
              
              ~
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}
  
的正交区间定义在
  
    
      
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,1]}
  
上，即：

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            
              
                P
                
                  m
                
              
              ~
            
          
        
        (
        x
        )
        
          
            
              
                P
                
                  n
                
              
              ~
            
          
        
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
        
          δ
          
            m
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,\mathrm {d} x={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}.}
  

其显式表达式为：

  
    
      
        
          
            
              
                P
                
                  n
                
              
              ~
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                k
              
              k
            
            
              )
            
          
        
        (
        −
        x
        
          )
          
            k
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}.}
  

相应的罗德里格公式为：

  
    
      
        
          
            
              
                P
                
                  n
                
              
              ~
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        n
        !
        
          )
          
            −
            1
          
        
        
          
            
              
                d
              
              
                n
              
            
            
              
                d
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          [
          
            (
            
              x
              
                2
              
            
            −
            x
            
              )
              
                n
              
            
          
          ]
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(n!)^{-1}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,}
  

下表列出了前4阶移位勒让德多项式：


分数阶勒让德多项式 分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分和通过Γ函数定义的非整数阶乘代入罗德里格公式中来定义。


极限关系 大Q勒让德多项式→勒让德多项式
令大q雅可比多项式中的
  
    
      
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle c=0}
  
,即勒让德多项式
令连续q勒让德多项式 q->1得勒让德多项式

  
    
      
        
          lim
          
            q
            →
            1
          
        
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        
          |
        
        q
        )
        =
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{q\to 1}P_{n}(x|q)=P_{n}(x)}
  

小q勒让德多项式→勒让德多项式

  
    
      
        
          lim
          
            q
            →
            1
          
        
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        
          |
        
        q
        )
        =
        
          P
          
            n
          
        
        (
        1
        −
        2
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{q\to 1}p_{n}(x|q)=P_{n}(1-2x)}
  


参见 高斯求积
伴随勒让德多项式
勒让德有理函数


外部链接 沃尔夫勒姆（Wolfram）数学世界对勒让德多项式的介绍（英文） （页面存档备份，存于互联网档案馆）


参考文献 2. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4（参见 第8章 （页面存档备份，存于互联网档案馆）和第22章 （页面存档备份，存于互联网档案馆））