在抽象代数中，體（德語：Korper，英語：field）是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，體正是数域以及四则运算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。
體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。
最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的領域中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。
在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論，由Evariste Galois在1830年代提出，致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還解決了五次方程不能有公式解的問題。


正式定义 給定集合 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 ，它具有了以下兩種二元运算：

  
    
      
        +
        :
        K
        ×
        K
        →
        K
      
    
    {\displaystyle +:K\times K\to K}
  
 （其中 
  
    
      
        +
        (
        a
        ,
        
        b
        )
      
    
    {\displaystyle +(a,\,b)}
  
 慣例上簡記為 
  
    
      
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle a+b}
  
 ）

  
    
      
        ×
        :
        K
        ×
        K
        →
        K
      
    
    {\displaystyle \times :K\times K\to K}
  
 （其中 
  
    
      
        ×
        (
        a
        ,
        
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \times (a,\,b)}
  
 慣例上簡記為 
  
    
      
        a
        ×
        b
      
    
    {\displaystyle a\times b}
  
 或 
  
    
      
        a
        ⋅
        b
      
    
    {\displaystyle a\cdot b}
  
  甚至是 
  
    
      
        a
        b
      
    
    {\displaystyle ab}
  
 ）
滿足：

  
    
      
        
          (
          
            K
            ,
            
            +
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(K,\,+\right)}
  
 為交换群，且其單位元為 
  
    
      
        
          0
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle 0_{K}}
  
 。

  
    
      
        
          (
          
            K
            −
            {
            
              0
              
                K
              
            
            }
            ,
            
            ×
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)}
  
 為交换群。
分配律：對所有 
  
    
      
        a
        ,
        
        b
        ,
        
        c
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle a,\,b,\,c\in K}
  
，
  
    
      
        a
        ×
        (
        b
        +
        c
        )
        =
        a
        ×
        b
        +
        a
        ×
        c
      
    
    {\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}
  
 且 
  
    
      
        (
        b
        +
        c
        )
        ×
        a
        =
        b
        ×
        a
        +
        c
        ×
        a
      
    
    {\displaystyle (b+c)\times a=b\times a+c\times a}
  
。
那稱「 
  
    
      
        
          (
          
            K
            ,
            
            +
            ,
            
            ×
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
  
 為體」，當二元运算的符號不重要時，亦可將 
  
    
      
        
          (
          
            K
            ,
            
            +
            ,
            
            ×
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
  
 簡記為 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 。


= 慣用符號與稱呼 =
(1)體的代號：
有時會基於德语 Korper ，以字母 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 代稱體，但也會基於英语 Field 以 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
 代稱。
(2)加法與乘法：
習慣上，
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  
 被稱為乘法， 
  
    
      
        
          (
          
            K
            −
            {
            
              0
              
                K
              
            
            }
            ,
            
            ×
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)}
  
 的單位元會記為 
  
    
      
        
          1
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle 1_{K}}
  
  ，並稱為 
  
    
      
        
          (
          
            K
            ,
            
            +
            ,
            
            ×
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
  
 的乘法單位元。
類似地， 
  
    
      
        +
      
    
    {\displaystyle +}
  
 被稱為加法， 
  
    
      
        
          0
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle 0_{K}}
  
 被稱為體的加法單位元。所以在省略括弧後，仍依照先乘後加的方式閱讀。
(3)減法與除法：
對於任意 
  
    
      
        a
        ,
        
        b
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle a,\,b\in K}
  
 ，會依據群的習慣，將 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的加法逆元素記做 
  
    
      
        −
        a
      
    
    {\displaystyle -a}
  
 ，並將 
  
    
      
        b
        +
        (
        −
        a
        )
      
    
    {\displaystyle b+(-a)}
  
 簡記為 
  
    
      
        b
        −
        a
      
    
    {\displaystyle b-a}
  
 ，並可暱稱為減法。
類似地，若 
  
    
      
        a
        =
        
          0
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle a\neq 0_{K}}
  
 ， 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的乘法逆元素記做 
  
    
      
        
          
            1
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{a}}}
  
 ，並將 
  
    
      
        b
        ×
        
          
            1
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle b\times {\frac {1}{a}}}
  
 簡記為 
  
    
      
        
          
            b
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {b}{a}}}
  
 ，並可暱稱為除法。


基本性質 以上的定理也證明了，只要
  
    
      
        
          (
          
            K
            ,
            
            +
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(K,\,+\right)}
  
 為交换群且有分配律，就足以決定 
  
    
      
        
          0
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle 0_{K}}
  
 相關乘法的值。所以正式定義中把 
  
    
      
        
          0
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle 0_{K}}
  
 排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說

域F中的所有非零元素的集合（一般记作F×）是一个關於乘法的阿贝尔群。F×的每个有限子群都是循环群。
若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数p，要么是0（表示这样的n不存在）。此时
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
中最小的子域分别是
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
或有限域
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
  
，称之为
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的素域。
一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。


例子 許多常见的数域都是域。比如说，全体複數的集合
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
與其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
 與其加法和乘法也是一个域，它是
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的子域，并且不包含更小的子域了。
代数数域：代数数域是有理数域
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
的有限扩域，也就是说代数数域是
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
上的有限维向量空间。代数数域都同构于
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的子域，并且这个同构保持
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作
  
    
      
        
          
            
              Q
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}
  
。
  
    
      
        
          
            
              Q
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}
  
是有理数域
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
的代数闭包（见下）。
  
    
      
        
          
            
              Q
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}
  
是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
全体实数的集合
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
所有的实代数数的集合也构成一个域，它是
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
的一个子域
任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作Fq，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域：F2。F2只含有两个元素0和1，运算法则如下：

设E和F是两个域，E是F的子域，则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域，记作E (x)，E (x)称作E在F中关于  x的单扩张。比如说，复数域
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
就是实数域
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
在
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
中关于虚数单位i的单扩张
每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。
设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
设F是一个域，p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式，则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说，R[X]/<X2 + 1>是一个域（同构于复数域
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
）。可以证明，F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
若V是域F上的一个代數簇，则所有V → F 的有理函数构成一个域，称为V的函数域。
若S是一个黎曼曲面，则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于
  
    
      
        
          2
          
            
              2
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{2^{n}}}
  
的所有自然数构成的子集）都是域。


有限體 有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道
  
    
      
        
          
            F
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
  
為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素
  
    
      
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 1\neq 0}
  
。
通常來說，最簡單的質數階體，就是
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        p
        
          Z
        
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        .
        .
        .
        p
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...p-1\}}
  
，此處
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
為質數，在這個體上的加法與乘法等同於在整數
  
    
      
        
          
            Z
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {\mathbb {Z} } }
  
上的運算，然後除以
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，通常我們將這個體記作
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
  
。要注意的是
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        .
        .
        .
        n
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,...n-1\}}
  
，當n為合成數時並不是一個有限體，例如在 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        4
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }
  
 中 
  
    
      
        2
        ×
        2
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 2\times 2=0}
  
 ，因此 
  
    
      
        (
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        }
        ,
        ×
        )
      
    
    {\displaystyle (\{1,2,3\},\times )}
  
 不能形成群。
如果我們將向量空間
  
    
      
        
          
            V
          
        
        =
        
          
            F
          
          
            p
          
        
        
          /
        
        
          m
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathit {V}}=\mathbb {F} _{p}/m^{n}}
  
，則我們將V稱作有限體向量空間，其中
  
    
      
        n
        =
        dim
        ⁡
        
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle n=\dim {\mathit {V}}}
  
，可知這個向量空間中，有
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
  
個元素。
如果我們將有限體放入矩陣，也就是
  
    
      
        G
        
          L
          
            n
          
        
        (
        
          
            F
          
          
            p
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {F} _{p})}
  
，則此矩陣的元素有
  
    
      
        (
        
          p
          
            n
          
        
        −
        1
        )
        (
        
          p
          
            n
          
        
        −
        p
        )
        .
        .
        .
        (
        
          p
          
            n
          
        
        −
        
          p
          
            n
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})}
  


歷史 歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根x1, x2, x3的置換，在以下的表達
(x1 + ωx2 + ω2x3)3
(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程關於未知 x 到一個 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。


建構體 伽羅瓦理論 請參見伽羅瓦理論


體的不變量 應用 參見 特徵 (代数)
環論
域論
有序域


參考文獻