在數學裏，特別是將線性代數套用到物理時，愛因斯坦求和約定（Einstein summation convention）是一種標記的約定，又稱為愛因斯坦標記法（Einstein notation），在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」
按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為1、2、3（代表維度為三的歐幾里得空間），或0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裏）無限集合。這樣，在三維空間裏，

  
    
      
        y
        =
        
          c
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,\!}
  

的意思是

  
    
      
        y
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          c
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            3
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}\,\!}
  
。
請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裏，
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{1}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}\,\!}
  
分別表示
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
坐標、
  
    
      
        y
        
        
      
    
    {\displaystyle y\,\!}
  
坐標、
  
    
      
        z
        
        
      
    
    {\displaystyle z\,\!}
  
坐標，而不是
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
、
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
的平方、
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
的立方。


簡介 愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量：

  
    
      
        y
        =
        
          c
          
            1
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            3
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          c
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle y=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots +c_{n}x^{n}\,\!}
  
。
通常會將這寫為求和公式形式：

  
    
      
        y
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          c
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}c_{i}x^{i}\,\!}
  
。
在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函數（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號：

  
    
      
        y
        =
        
          c
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        
        
        
      
    
    {\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,\,\!}
  

採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。


向量的表示 在線性代數裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為1-形式）。向量的分量是用上標來標明，例如，
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{i}\,\!}
  
。給予一個
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
維向量空間
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
  
和其任意基底
  
    
      
        
          e
        
        =
        (
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            e
          
          
            n
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} =(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!}
  
（可能不是標準正交基），那麼，向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
表示為

  
    
      
        
          a
        
        =
        
          a
          
            i
          
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}a^{1}\\a^{2}\\\vdots \\a^{n}\end{bmatrix}}\,\!}
  
。
餘向量的分量是用下標來標明，例如，
  
    
      
        
          α
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{i}\,\!}
  
。給予
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
  
的對偶空間
  
    
      
        
          
            V
          
          
            ∗
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!}
  
和其任意基底
  
    
      
        
          ω
        
        =
        (
        
          
            ω
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            ω
          
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            ω
          
          
            n
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}^{1},{\boldsymbol {\omega }}^{2},\dots ,{\boldsymbol {\omega }}^{n})\,\!}
  
（可能不是標準正交基），那麼，餘向量
  
    
      
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
表示為

  
    
      
        
          α
        
        =
        
          α
          
            i
          
        
        
          
            ω
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    α
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\alpha _{i}{\boldsymbol {\omega }}^{i}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}\,\!}
  
。
採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從
  
    
      
        
          e
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} \,\!}
  
改變為
  
    
      
        
          
            
              e
            
            ¯
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbf {e} }}\,\!}
  
，反變向量會變換為

  
    
      
        
          
            
              a
              ¯
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    x
                    ¯
                  
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {a}}^{i}={\frac {\partial {\overline {x}}^{i}}{\partial x^{j}}}a^{j}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            
              a
              ¯
            
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {a}}^{i}\,\!}
  
是改變基底後的向量的分量，
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {x}}^{i}\,\!}
  
是改變基底後的坐標，
  
    
      
        
          x
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{j}\,\!}
  
是原先的坐標，
下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從
  
    
      
        
          ω
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
  
改變為
  
    
      
        
          
            ω
            ¯
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\omega }}}\,\!}
  
，共變向量會會變換為

  
    
      
        
          
            
              α
              ¯
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    x
                    ¯
                  
                
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          α
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\alpha }}_{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\overline {x}}^{j}}}\alpha _{j}\,\!}
  
。


一般運算 矩陣
  
    
      
        A
        
        
      
    
    {\displaystyle A\,\!}
  
的第
  
    
      
        m
        
        
      
    
    {\displaystyle m\,\!}
  
橫排，第 
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
豎排的元素，以前標記為
  
    
      
        
          A
          
            m
            n
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A_{mn}\,\!}
  
；現在改標記為
  
    
      
        
          A
          
            n
          
          
            m
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}^{m}\,\!}
  
。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：


= 內積 =
給予向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
和餘向量
  
    
      
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
，其向量和餘向量的內積為純量：

  
    
      
        
          a
        
        ⋅
        
          α
        
        =
        
          a
          
            i
          
        
        
          α
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}=a_{i}\alpha ^{i}\,\!}
  
。


= 向量乘以矩陣 =
給予矩陣
  
    
      
        A
        
        
      
    
    {\displaystyle A\,\!}
  
和向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
，它們的乘積是向量
  
    
      
        
          b
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} \,\!}
  
：

  
    
      
        
          b
          
            i
          
        
        =
        
          A
          
            j
          
          
            i
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle b^{i}=A_{j}^{i}a^{j}\,\!}
  
。
類似地，矩陣
  
    
      
        A
        
        
      
    
    {\displaystyle A\,\!}
  
的轉置矩陣
  
    
      
        B
        =
        
          A
          
            
              T
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle B=A^{\mathrm {T} }\,\!}
  
，其與餘向量
  
    
      
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
的乘積是餘向量
  
    
      
        
          β
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\,\!}
  
：

  
    
      
        
          β
          
            j
          
        
        =
        
          B
          
            j
          
          
            i
          
        
        
          α
          
            i
          
        
        =
        
          α
          
            i
          
        
        
          B
          
            j
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{j}=B_{j}^{i}\alpha _{i}=\alpha _{i}B_{j}^{i}\,\!}
  
。


= 矩陣乘法 =
矩陣乘法表示為

  
    
      
        
          C
          
            k
          
          
            i
          
        
        =
        
          A
          
            j
          
          
            i
          
        
        
        
          B
          
            k
          
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle C_{k}^{i}=A_{j}^{i}\,B_{k}^{j}\,\!}
  
。
這公式等價於較冗長的普通標記法：

  
    
      
        
          C
          
            i
            k
          
        
        =
        (
        A
        
        B
        
          )
          
            i
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          A
          
            i
            j
          
        
        
          B
          
            j
            k
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle C_{ik}=(A\,B)_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}\,\!}
  
。


= 跡 =
給予一個方塊矩陣
  
    
      
        
          A
          
            j
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A_{j}^{i}\,\!}
  
，總和所有上標與下標相同的元素
  
    
      
        
          A
          
            i
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A_{i}^{i}\,\!}
  
，可以得到這矩陣的跡
  
    
      
        t
        
        
      
    
    {\displaystyle t\,\!}
  
：

  
    
      
        t
        =
        
          A
          
            i
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle t=A_{i}^{i}\,\!}
  
。


= 外積 =
M維向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
和N維餘向量
  
    
      
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
的外積是一個M×N矩陣
  
    
      
        A
        
        
      
    
    {\displaystyle A\,\!}
  
：

  
    
      
        A
        =
        
          a
        
        
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A=\mathbf {a} \,{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
。
採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為

  
    
      
        
          A
          
            j
          
          
            i
          
        
        =
        
          a
          
            i
          
        
        
        
          α
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A_{j}^{i}=a^{i}\,\alpha _{j}\,\!}
  

由於
  
    
      
        i
        
        
      
    
    {\displaystyle i\,\!}
  
和
  
    
      
        j
        
        
      
    
    {\displaystyle j\,\!}
  
代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為M和N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣
  
    
      
        A
        
        
      
    
    {\displaystyle A\,\!}
  
的標號。


向量的內積 一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量
  
    
      
        
          
            
              
                i
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            
              
                j
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!}
  
及
  
    
      
        
          
            
              
                k
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}
  
來描述三維空間的向量。

  
    
      
        
          u
        
        =
        
          u
          
            x
          
        
        
          
            
              
                i
              
              ^
            
          
        
        +
        
          u
          
            y
          
        
        
          
            
              
                j
              
              ^
            
          
        
        +
        
          u
          
            z
          
        
        
          
            
              
                k
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =u_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+u_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+u_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\,\!}
  
。
把直角坐標系的基底向量
  
    
      
        
          
            
              
                i
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            
              
                j
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!}
  
及
  
    
      
        
          
            
              
                k
              
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}
  
寫成
  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!}
  
及
  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}
  
，所以一個向量可以寫成：

  
    
      
        
          u
        
        =
        
          u
          
            1
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            1
          
        
        +
        
          u
          
            2
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          u
          
            3
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            3
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+u_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+u_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}
  
。
根據愛因斯坦求和约定，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：

  
    
      
        
          u
        
        =
        
          u
          
            i
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{i=1}^{3}u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}
  
。
由於基底是標準正交基，
  
    
      
        
          u
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \,\!}
  
的每一個分量
  
    
      
        
          u
          
            i
          
        
        =
        
          u
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle u^{i}=u_{i}\,\!}
  
，所以，

  
    
      
        
          u
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}
  
。
兩個向量
  
    
      
        
          u
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \,\!}
  
與
  
    
      
        
          v
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
  
的内积是

  
    
      
        
          u
        
        ⋅
        
          v
        
        =
        (
        
          u
          
            i
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        )
        ⋅
        (
        
          v
          
            j
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            j
          
        
        )
        =
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
                =
                1
              
              
                3
              
            
            
              u
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
            
          
          )
        
        ⋅
        
          (
          
            
              ∑
              
                j
                =
                1
              
              
                3
              
            
            
              v
              
                j
              
            
            
              
                e
              
              
                j
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
          v
          
            j
          
        
        (
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            j
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\cdot (v^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\left(\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}({\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j})\,\!}
  
。
由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            j
          
        
        =
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
         
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!}
  
就是克羅內克函數。當
  
    
      
        i
        =
        j
        
        
      
    
    {\displaystyle i=j\,\!}
  
時，則
  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        =
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}=1\,\!}
  
，否則
  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}=0\,\!}
  
。
邏輯上，在方程式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數
  
    
      
         
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!}
  
，就可以把方程式中的標號
  
    
      
        i
        
        
      
    
    {\displaystyle i\,\!}
  
轉為
  
    
      
        j
        
        
      
    
    {\displaystyle j\,\!}
  
或者把標號
  
    
      
        j
        
        
      
    
    {\displaystyle j\,\!}
  
轉為
  
    
      
        i
        
        
      
    
    {\displaystyle i\,\!}
  
。所以，

  
    
      
        
          u
        
        ⋅
        
          v
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
          v
          
            j
          
        
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
          v
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}\delta _{ij}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}v_{i}\,\!}
  
。


向量的叉積 採用同樣的標準正交基
  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!}
  
及
  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}
  
，兩個向量
  
    
      
        
          u
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \,\!}
  
與
  
    
      
        
          v
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
  
的叉積，以方程式表示為

  
    
      
        
          u
        
        ×
        
          v
        
        =
        (
        
          u
          
            j
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            j
          
        
        )
        ×
        (
        
          v
          
            k
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            k
          
        
        )
        =
        
          (
          
            
              ∑
              
                j
                =
                1
              
              
                3
              
            
            
              u
              
                j
              
            
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    ^
                  
                
              
              
                j
              
            
          
          )
        
        ×
        
          (
          
            
              ∑
              
                k
                =
                1
              
              
                3
              
            
            
              v
              
                k
              
            
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    ^
                  
                
              
              
                k
              
            
          
          )
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\times (v^{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k})=\left(\sum _{j=1}^{3}u_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}\right)\times \left(\sum _{k=1}^{3}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\right)\,\!}
  

  
    
      
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          u
          
            j
          
        
        
          v
          
            k
          
        
        (
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            k
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          u
          
            j
          
        
        
          v
          
            k
          
        
        
          ϵ
          
            i
            j
            k
          
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle =\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}\,\!}
  
。
注意到

  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            j
          
        
        ×
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            k
          
        
        =
        
          ϵ
          
            i
            j
            k
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{k}=\epsilon _{ijk}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}
  
；
其中，張量
  
    
      
         
        
          ϵ
          
            i
            j
            k
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \ \epsilon _{ijk}\,\!}
  
是列维-奇维塔符号，定義為

所以，

  
    
      
        
          u
        
        ×
        
          v
        
        =
        (
        
          u
          
            2
          
        
        
          v
          
            3
          
        
        −
        
          u
          
            3
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            1
          
        
        +
        (
        
          u
          
            3
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        −
        
          u
          
            1
          
        
        
          v
          
            3
          
        
        )
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        (
        
          u
          
            1
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        −
        
          u
          
            2
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        )
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{2}v^{3}-u^{3}v^{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(u^{3}v^{1}-u^{1}v^{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(u^{1}v^{2}-u^{2}v^{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}
  
。
設定
  
    
      
        
          w
        
        =
        
          u
        
        ×
        
          v
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} \,\!}
  
，那麼，

  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          ϵ
          
            i
            j
            k
          
        
        
          u
          
            j
          
        
        
          v
          
            k
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle w^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}
  
。
所以，

  
    
      
         
        
          w
          
            i
          
        
        =
        
          ϵ
          
            i
            j
            k
          
        
        
          u
          
            j
          
        
        
          v
          
            k
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \ w^{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}\,\!}
  
。


向量的共變分量和反變分量 在歐幾里得空間
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
  
裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量
  
    
      
        
          b
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} \,\!}
  
，通過下述方程式，向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
唯一地確定了餘向量
  
    
      
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
：

  
    
      
        
          α
        
        (
        
          b
        
        )
        =
        
          a
        
        ⋅
        
          b
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \,\!}
  
。
逆過來，通過上述方程式，每一個餘向量
  
    
      
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
唯一地確定了向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。
給予
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
  
的一個基底
  
    
      
        
          
            f
          
        
        =
        (
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        
          X
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            n
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!}
  
，則必存在一個唯一的對偶基底
  
    
      
        
          
            
              f
            
          
          
            ♯
          
        
        =
        (
        
          Y
          
            1
          
        
        ,
        
          Y
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          Y
          
            n
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!}
  
，滿足

  
    
      
        
          Y
          
            i
          
        
        ⋅
        
          X
          
            j
          
        
        =
        
          δ
          
            j
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}
  
；
其中，張量
  
    
      
        
          δ
          
            j
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}
  
是克羅內克函數。
以這兩種基底，任意向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
可以寫為兩種形式

  
    
      
        
          
            
              
                
                  a
                
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  a
                  
                    i
                  
                
                [
                
                  
                    f
                  
                
                ]
                
                  X
                  
                    i
                  
                
                =
                
                  
                    f
                  
                
                
                
                  a
                
                [
                
                  
                    f
                  
                
                ]
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  a
                  
                    i
                  
                
                [
                
                  
                    f
                  
                
                ]
                
                  Y
                  
                    i
                  
                
                =
                
                  
                    
                      f
                    
                  
                  
                    ♯
                  
                
                
                
                  a
                
                [
                
                  
                    
                      f
                    
                  
                  
                    ♯
                  
                
                ]
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i}a^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}a_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        [
        
          
            f
          
        
        ]
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}
  
是向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
對於基底
  
    
      
        
          
            f
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}
  
的反變分量，
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        [
        
          
            f
          
        
        ]
        
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}
  
是向量
  
    
      
        
          v
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
  
對於基底
  
    
      
        
          
            f
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}
  
的共變分量，


= 歐幾里得空間 =

在歐幾里得空間
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,\!}
  
裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為
  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}
  
，就可以計算其對偶基底的基底向量：

  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  e
                
                
                  2
                
              
              ×
              
                
                  e
                
                
                  3
                
              
            
            τ
          
        
        ;
        
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  e
                
                
                  3
                
              
              ×
              
                
                  e
                
                
                  1
                
              
            
            τ
          
        
        ;
        
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  e
                
                
                  1
                
              
              ×
              
                
                  e
                
                
                  2
                
              
            
            τ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        τ
        =
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ⋅
        (
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!}
  
是基底向量
  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}
  
共同形成的平行六面體的體積。
反過來計算，

  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  e
                
                
                  2
                
              
              ×
              
                
                  e
                
                
                  3
                
              
            
            
              τ
              ′
            
          
        
        ;
        
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  e
                
                
                  3
                
              
              ×
              
                
                  e
                
                
                  1
                
              
            
            
              τ
              ′
            
          
        
        ;
        
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  e
                
                
                  1
                
              
              ×
              
                
                  e
                
                
                  2
                
              
            
            
              τ
              ′
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          τ
          ′
        
        =
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ⋅
        (
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        )
        =
        1
        
          /
        
        τ
        
        
      
    
    {\displaystyle \tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!}
  
是基底向量
  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} ^{2}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} ^{3}\,\!}
  
共同形成的平行六面體的體積。
雖然
  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}
  
與
  
    
      
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} ^{j}\,\!}
  
並不相互標準正交，它們相互對偶：

  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        =
        
          δ
          
            i
          
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!}
  
。
雖然
  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}
  
與
  
    
      
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{j}\,\!}
  
並不相互標準正交，它們相互對偶：

  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        =
        
          δ
          
            j
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}
  
。
這樣，任意向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
的反變分量為

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        
          a
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ;
        
        
          a
          
            2
          
        
        =
        
          a
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ;
        
        
          a
          
            3
          
        
        =
        
          a
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!}
  
。
類似地，共變分量為

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        
          a
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ;
        
        
          a
          
            2
          
        
        =
        
          a
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ;
        
        
          a
          
            3
          
        
        =
        
          a
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!}
  
。
這樣，
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
可以表示為

  
    
      
        
          a
        
        =
        
          a
          
            i
          
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!}
  
，
或者，

  
    
      
        
          a
        
        =
        
          a
          
            i
          
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!}
  
。
綜合上述關係式，

  
    
      
        
          a
        
        =
        (
        
          a
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        )
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        =
        (
        
          a
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        )
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!}
  
。
向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
的共變分量為

  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        =
        
          a
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        =
        (
        
          a
          
            j
          
        
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        )
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        =
        (
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        )
        
          a
          
            j
          
        
        =
        
          g
          
            j
            i
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          g
          
            j
            i
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!}
  
是度規張量。
向量
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
的反變分量為

  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        =
        
          a
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        =
        (
        
          a
          
            j
          
        
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        )
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        =
        (
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        )
        
          a
          
            j
          
        
        =
        
          g
          
            j
            i
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!}
  
 ;
其中，
  
    
      
        
          g
          
            j
            i
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!}
  
是共軛度規張量。
共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。


抽象定義 思考維度為
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
的向量空間
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
  
。給予一個可能不是標準正交基的基底
  
    
      
        (
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            e
          
          
            n
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!}
  
。那麼，在
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
  
內的向量
  
    
      
        
          v
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
  
，對於這基底，其分量為
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle v^{1}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          v
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle v^{2}\,\!}
  
、...
  
    
      
        
          v
          
            n
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle v^{n}\,\!}
  
。以方程式表示，

  
    
      
        
          v
        
        =
        
          v
          
            i
          
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}.\,\!}
  
。
在這方程式右手邊，標號
  
    
      
        i
        
        
      
    
    {\displaystyle i\,\!}
  
在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從
  
    
      
        i
        
        
      
    
    {\displaystyle i\,\!}
  
等於
  
    
      
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle 1\,\!}
  
到
  
    
      
        n
        
        
      
    
    {\displaystyle n\,\!}
  
，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。
愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
  
用張量積和對偶性建立的向量空間。例如，
  
    
      
        
          V
        
        ⊗
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!}
  
，
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
  
與自己的張量積，擁有由形式為
  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ⊗
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,\!}
  
的張量組成的基底。任意在
  
    
      
        
          V
        
        ⊗
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!}
  
內的張量
  
    
      
        
          T
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} \,\!}
  
可以寫為

  
    
      
        
          T
        
        =
        
          T
          
            i
            j
          
        
        
          
            e
          
          
            i
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}\,\!}
  
。
向量空間
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
  
的對偶空間
  
    
      
        
          
            V
          
          
            ∗
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!}
  
擁有基底
  
    
      
        (
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            e
          
          
            n
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n})\,\!}
  
，遵守規則

  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        =
        
          δ
          
            j
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          δ
          
            j
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}
  
是克羅內克函數。


範例 為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。

思考四維時空，標號的值是從0到3。兩個張量，經過張量縮併（tensor contraction）運算後，變為一個純量：

  
    
      
        c
        =
        
          a
          
            μ
          
        
        
          b
          
            μ
          
        
        =
        
          a
          
            0
          
        
        
          b
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle c=a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}\,\!}
  
。
方程式的右手邊有兩個項目：

  
    
      
        
          c
          
            ν
          
        
        =
        
          a
          
            μ
            ν
          
        
        
          b
          
            μ
          
        
        +
        
          f
          
            ν
          
        
        =
        
          a
          
            0
            ν
          
        
        
          b
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
            ν
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
            ν
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
            ν
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          f
          
            ν
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle c^{\nu }=a^{\mu \nu }b_{\mu }+f^{\nu }=a^{0\nu }b_{0}+a^{1\nu }b_{1}+a^{2\nu }b_{2}+a^{3\nu }b_{3}+f^{\nu }\,\!}
  
。
由於運算結果與標號
  
    
      
        μ
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu \,\!}
  
和
  
    
      
        ν
        
        
      
    
    {\displaystyle \nu \,\!}
  
無關，可以被其它標號隨意更換，所以，
  
    
      
        μ
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu \,\!}
  
和
  
    
      
        ν
        
        
      
    
    {\displaystyle \nu \,\!}
  
稱為傀標號。
自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏，而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏，
  
    
      
        ν
        
        
      
    
    {\displaystyle \nu \,\!}
  
是自由標號，每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目
  
    
      
        
          a
          
            μ
            ν
          
        
        
          b
          
            μ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{\mu \nu }b_{\mu }\,\!}
  
裏，標號
  
    
      
        μ
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu \,\!}
  
出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱
  
    
      
        μ
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu \,\!}
  
為求和標號。
思考在黎曼空間的弧線元素長度
  
    
      
        d
        s
        
        
      
    
    {\displaystyle ds\,\!}
  
：

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          g
          
            i
            j
          
        
        d
        
          x
          
            i
          
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
        =
        
          g
          
            0
            j
          
        
        d
        
          x
          
            0
          
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
        +
        
          g
          
            1
            j
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
        +
        
          g
          
            2
            j
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
        +
        
          g
          
            3
            j
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=g_{0j}dx^{0}dx^{j}+g_{1j}dx^{1}dx^{j}+g_{2j}dx^{2}dx^{j}+g_{3j}dx^{3}dx^{j}\,\!}
  
。請將這兩種標號跟自由變量和約束變量相比較。
進一步擴展，

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          g
          
            00
          
        
        d
        
          x
          
            0
          
        
        d
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          g
          
            10
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        d
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          g
          
            20
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        d
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          g
          
            30
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
        d
        
          x
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=g_{00}dx^{0}dx^{0}+g_{10}dx^{1}dx^{0}+g_{20}dx^{2}dx^{0}+g_{30}dx^{3}dx^{0}\,\!}
  

  
    
      
        
        +
        
          g
          
            01
          
        
        d
        
          x
          
            0
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          g
          
            11
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          g
          
            21
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          g
          
            31
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \qquad +g_{01}dx^{0}dx^{1}+g_{11}dx^{1}dx^{1}+g_{21}dx^{2}dx^{1}+g_{31}dx^{3}dx^{1}\,\!}
  

  
    
      
        
        +
        
          g
          
            02
          
        
        d
        
          x
          
            0
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          g
          
            12
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          g
          
            22
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          g
          
            32
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \qquad +g_{02}dx^{0}dx^{2}+g_{12}dx^{1}dx^{2}+g_{22}dx^{2}dx^{2}+g_{32}dx^{3}dx^{2}\,\!}
  

  
    
      
        
        +
        
          g
          
            03
          
        
        d
        
          x
          
            0
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          g
          
            13
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          g
          
            23
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          g
          
            33
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \qquad +g_{03}dx^{0}dx^{3}+g_{13}dx^{1}dx^{3}+g_{23}dx^{2}dx^{3}+g_{33}dx^{3}dx^{3}\,\!}
  
。
注意到
  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}\,\!}
  
是
  
    
      
        d
        s
        
        
      
    
    {\displaystyle ds\,\!}
  
乘以
  
    
      
        d
        s
        
        
      
    
    {\displaystyle ds\,\!}
  
，是
  
    
      
        (
        d
        s
        
          )
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle (ds)^{2}\,\!}
  
，而不是
  
    
      
        (
        
          s
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle (s^{2})\,\!}
  
坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。


參閱 狄拉克標記
抽象指标记号
潘洛斯圖形標記法（Penrose graphical notation）


參考文獻 Kuptsov, L.P., Einstein rule, Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .


外部連結 Rawlings, Steve, Lecture 10 - Einstein Summation Convention and Vector Identities (PDF), Oxford University, 2007-02-01  [2010-05-10], （原始内容 (PDF)存档于2017-01-06）