形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。


简介 形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。举例来说，以下的级数式子：

  
    
      
        A
        =
        1
        −
        3
        X
        +
        5
        
          X
          
            2
          
        
        −
        7
        
          X
          
            3
          
        
        +
        9
        
          X
          
            4
          
        
        −
        11
        
          X
          
            5
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}
  

如果我们把它当成幂级数来研究的话，重点会放在它的收敛半径等于1、其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。但作为形式幂级数来研究时，我们关注的是它本身的结构。我们甚至可以把它简写为：
  
    
      
        [
        1
        ,
        −
        3
        ,
        5
        ,
        −
        7
        ,
        9
        ,
        ⋯
        ]
      
    
    {\displaystyle [1,-3,5,-7,9,\cdots ]}
  
这样，只关注它的系数。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。比如说系数为阶乘的形式幂级数：
  
    
      
        [
        1
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        6
        ,
        24
        ,
        120
        ,
        ,
        ⋯
        ]
      
    
    {\displaystyle [1,1,2,6,24,120,,\cdots ]}
  
，即使说它对应的幂级数：

  
    
      
        A
        =
        1
        +
        X
        +
        2
        
          X
          
            2
          
        
        +
        6
        
          X
          
            3
          
        
        +
        24
        
          X
          
            4
          
        
        +
        120
        
          X
          
            5
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle A=1+X+2X^{2}+6X^{3}+24X^{4}+120X^{5}+\cdots .}
  

在
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
取任何的非零实数值时都不收敛，我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算。
和多项式环中的元素一样，形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算，具体的计算方式和多项式环一样。比如说设：

  
    
      
        B
        =
        2
        X
        +
        4
        
          X
          
            3
          
        
        +
        6
        
          X
          
            5
          
        
        +
        8
        
          X
          
            7
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+8X^{7}+\cdots .}
  

那么
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
与
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的和就是：

  
    
      
        A
        +
        B
        =
        1
        +
        3
        X
        +
        2
        
          X
          
            2
          
        
        +
        10
        
          X
          
            3
          
        
        +
        24
        
          X
          
            4
          
        
        +
        126
        
          X
          
            5
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle A+B=1+3X+2X^{2}+10X^{3}+24X^{4}+126X^{5}+\cdots .}
  

  
    
      
        A
        B
        =
        2
        X
        −
        6
        
          X
          
            2
          
        
        +
        14
        
          X
          
            3
          
        
        −
        26
        
          X
          
            4
          
        
        +
        44
        
          X
          
            5
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}
  

其中
  
    
      
        A
        +
        B
      
    
    {\displaystyle A+B}
  
里面
  
    
      
        
          X
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{3}}
  
的系数就是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
与
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中
  
    
      
        
          X
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{3}}
  
的系数的和；
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
里面
  
    
      
        
          X
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{5}}
  
的系数就是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
与
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的阶数相加等于5的项的系数乘积的和：

  
    
      
        44
        
          X
          
            5
          
        
        =
        (
        1
        ×
        6
        
          X
          
            5
          
        
        )
        +
        (
        5
        
          X
          
            2
          
        
        ×
        4
        
          X
          
            3
          
        
        )
        +
        (
        9
        
          X
          
            4
          
        
        ×
        2
        X
        )
        .
      
    
    {\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}
  

对每个确定的阶数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，这个计算是有限项（至多
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
项）的相加，所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候，不需要像在对幂级数进行计算时一样，考虑诸如是否绝对收敛、条件收敛或是一致收敛的问题。另外，如多项式的形式运算一样，形式幂级数也满足加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。
形式幂级数不仅能够定义乘法，也能定义乘法逆的运算。一个形式幂级数
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的逆是指另一个形式幂级数
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
，使得
  
    
      
        A
        C
        =
        1
      
    
    {\displaystyle AC=1}
  
. 如果这样的形式幂级数
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
存在，就是唯一的，将其记为
  
    
      
        
          A
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{-1}}
  
。同时我们也可以定义形式幂级数的除法：当
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的逆存在时，
  
    
      
        B
        
          /
        
        A
        =
        B
        ⋅
        
          A
          
            −
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle B/A=B\cdot A^{-1}.}
  
 比如说，可以很容易验证：

  
    
      
        
          
            1
            
              1
              +
              X
            
          
        
        =
        1
        −
        X
        +
        
          X
          
            2
          
        
        −
        
          X
          
            3
          
        
        +
        
          X
          
            4
          
        
        −
        
          X
          
            5
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}
  

形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作：将一个形式幂级数映射到它的
  
    
      
        
          X
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{n}}
  
的系数。这个操作常常记作
  
    
      
        [
        
          X
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [X^{n}]}
  
，比如说对形式幂级数
  
    
      
        A
        =
        1
        −
        3
        X
        +
        5
        
          X
          
            2
          
        
        −
        7
        
          X
          
            3
          
        
        +
        9
        
          X
          
            4
          
        
        −
        11
        
          X
          
            5
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}
  
，就有：

  
    
      
        [
        
          X
          
            5
          
        
        ]
        A
        =
        −
        11
      
    
    {\displaystyle [X^{5}]A=-11}
  

对以上定义的形式幂级数
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，也有：
  
    
      
        [
        
          X
          
            3
          
        
        ]
        B
        =
        4
      
    
    {\displaystyle [X^{3}]B=4}
  
。又比如：
  
    
      
        [
        
          X
          
            2
          
        
        ]
        (
        X
        +
        3
        
          X
          
            2
          
        
        
          Y
          
            3
          
        
        +
        10
        
          Y
          
            6
          
        
        )
        =
        3
        
          Y
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle [X^{2}](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})=3Y^{3}}
  
，
  
    
      
        [
        
          X
          
            2
          
        
        
          Y
          
            3
          
        
        ]
        (
        X
        +
        3
        
          X
          
            2
          
        
        
          Y
          
            3
          
        
        +
        10
        
          Y
          
            6
          
        
        )
        =
        3
      
    
    {\displaystyle [X^{2}Y^{3}](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})=3}
  
。提取映射和多项式环中的对应映射一样，都可以看做是到一个子空间的投影映射。


形式幂级数的环结构 所有的不定元为
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，系数为某一个交换环
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
上元素的形式幂级数构成一个环，称为
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
上变量为
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的形式幂级数环，记作
  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  
。


= 定义 =

  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  
可以定义为
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
上变量为
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的多项式环完备化（对于特定的度量）后得到的。这个定义自然就赋予了
  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  
以拓扑环的结构（同时也赋予了完备度量空间的结构）。不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐，而建构
  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  
所需要的并没有那么多。以下将对
  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  
的环结构和拓扑结构分别定义，更为明晰，容易理解。


 环结构  首先可以定义集合
  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  
的范围。作为一个集合，
  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  
可以用和
  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
  
一样的方法构造。
  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
  
是所有
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
上元素构成的数列
  
    
      
        (
        
          a
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
  
的集合：

  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
        =
        {
        (
        
          a
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
        ,
        
        
        
        ∀
        n
        ∈
        
          N
        
        ,
        
        
          a
          
            n
          
        
        ∈
        R
        }
        .
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,\,\,\forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}\in R\}.}
  

  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
  
中的元素可以定义加法和乘法：

  
    
      
        (
        
          a
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
        +
        (
        
          b
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                a
                
                  n
                
              
              +
              
                b
                
                  n
                
              
            
            )
          
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
  

  
    
      
        (
        
          a
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
        ×
        (
        
          b
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                ∑
                
                  k
                  =
                  0
                
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  k
                
              
              
                b
                
                  n
                  −
                  k
                
              
            
            )
          
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}
  

其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的柯西乘积，也是一种卷积。可以证明，在以上的定义下，
  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
  
是一个交换环。环的加法零元是
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        ,
        0
        ,
        .
        .
        .
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0,0,...)}
  
，乘法幺元是
  
    
      
        (
        1
        ,
        0
        ,
        0
        ,
        .
        .
        .
        )
      
    
    {\displaystyle (1,0,0,...)}
  
。于是我们可以将
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
中的元素嵌入到
  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
  
之中，

  
    
      
        x
        ∈
        R
        
        
        ↦
        
        (
        x
        ,
        0
        ,
        0
        ,
        .
        .
        .
        )
      
    
    {\displaystyle x\in R\,\,\mapsto \,(x,0,0,...)}
  

并将
  
    
      
        (
        0
        ,
        1
        ,
        0
        ,
        0
        ,
        .
        .
        .
        )
      
    
    {\displaystyle (0,1,0,0,...)}
  
映射到不定元
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，这样通过以上定义的加法和乘法就可以将
  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
  
中的有限非零元元素同构为：

  
    
      
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        ,
        0
        ,
        0
        ,
        …
        )
        ↦
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        X
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          X
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )\mapsto a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}}
  

这样的结构和多项式环是一样的。所以对于更一般的
  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
  
中元素
  
    
      
        (
        
          a
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
  
，就可以自然地希望将其对应到
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            ∈
            
              N
            
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}
  
：
但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到，所以需要用一个约定上的映射
  
    
      
        φ
        :
        
        
          R
          
            
              N
            
          
        
        →
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle \varphi :\,R^{\mathbb {N} }\rightarrow R[[X]]}
  
来做到：

  
    
      
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        ,
        …
        )
        ↦
        φ
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        ,
        …
        )
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        X
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          X
          
            n
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          ∑
          
            i
            ∈
            
              N
            
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )\mapsto \varphi (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}+\cdots =\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}
  

这个映射涵盖了之前的多项式的定义，并且可以定义

  
    
      
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
                ∈
                
                  N
                
              
            
            
              a
              
                i
              
            
            
              X
              
                i
              
            
          
          )
        
        +
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
                ∈
                
                  N
                
              
            
            
              b
              
                i
              
            
            
              X
              
                i
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∑
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
        
          (
          
            
              a
              
                n
              
            
            +
            
              b
              
                n
              
            
          
          )
        
        
          X
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}.}
  

以及

  
    
      
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
                ∈
                
                  N
                
              
            
            
              a
              
                i
              
            
            
              X
              
                i
              
            
          
          )
        
        ×
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
                ∈
                
                  N
                
              
            
            
              b
              
                i
              
            
            
              X
              
                i
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∑
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                k
                =
                0
              
              
                n
              
            
            
              a
              
                k
              
            
            
              b
              
                n
                −
                k
              
            
          
          )
        
        
          X
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}
  

这个定义使得
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
是一个同态，所以
  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  
也是一个交换环。  


 拓扑结构  以上的定义中建立了映射 

  
    
      
        φ
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        ,
        …
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        ,
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)}
  

但需要注意的是这里的定义中
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}
  
还是一个符号性的对象，因为我们并没有定义其中无限求和号的意义。为了更好地定义
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}
  
本身，我们需要引入拓扑的结构，将其作为极限来严格地说明。需要注意的是，适合的拓扑结构不止一个。

我们可以在
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
上定义离散拓扑的结构，然后将
  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
  
作为可数个
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
的积空间，将其上的拓扑定义为积拓扑。
我们也可以直接在
  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
  
上定义类似于p进数拓扑的
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
进拓扑，其中的
  
    
      
        I
        =
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle I=(X)}
  
是环结构中由
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
生成的理想，也就是由所有
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}X^{i}}
  
形式的形式幂级数构成的集合。
对不熟悉一般的点集拓扑学的读者，也可以建立一个具体的度量（也就是定义“距离”）来定义拓扑。比如定义两个数列
  
    
      
        a
        =
        (
        
          a
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
  
和
  
    
      
        b
        =
        (
        
          b
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
  
的距离：

  
    
      
        d
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    2
                    
                      −
                      ω
                      (
                      a
                      −
                      b
                      )
                    
                  
                
                
                  
                  a
                  −
                  b
                  =
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                  a
                  −
                  b
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d(a,b)={\begin{cases}2^{-\omega (a-b)}&\quad a-b\neq 0\\0&\quad a-b=0\end{cases}}}
  

其中
  
    
      
        ω
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle \omega (s)}
  
表示数列
  
    
      
        s
        =
        (
        
          s
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
  
中第一个不等于0的系数的下标。这样的定义之下，我们说两个数列如果越来越“接近”，那么第一个系数不同的地方会出现的越晚，也就是说它们的距离也越小。对一个数列
  
    
      
        a
        =
        (
        
          a
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
  
，定义部分和数列为：

  
    
      
        
          s
          
            k
          
        
        =
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            k
          
        
        ,
        0
        ,
        0
        ,
        …
        )
      
    
    {\displaystyle s_{k}=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{k},0,0,\ldots )}
  

那么部分和
  
    
      
        
          s
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{k}}
  
和
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的距离就会是
  
    
      
        
          2
          
            −
            (
            k
            +
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{-(k+1)}}
  
，所以
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
趋于无穷大的时候，部分和数列和
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的距离趋于0. 这样，在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后，就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限。

  
    
      
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        ,
        …
        )
        =
        
          lim
          
            k
            →
            ∞
          
        
        
          s
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }s_{k}}
  

然后对形式幂级数也定义类似的距离：

  
    
      
        
          d
          ′
        
        (
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        ,
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    2
                    
                      −
                      
                        ω
                        ′
                      
                    
                  
                  ,
                  
                  
                  
                    ω
                    ′
                  
                  =
                  
                    min
                    
                      n
                    
                  
                  {
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      n
                    
                  
                  }
                
                
                  
                  ∃
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                  ∀
                  n
                  ,
                  
                  
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d'(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}X^{i})={\begin{cases}2^{-\omega '},\,\,\omega '=\min _{n}\{a_{n}\neq b_{n}\}&\quad \exists a_{n}\neq b_{n}\\0&\quad \forall n,\,\,a_{n}=b_{n}\end{cases}}}
  

然后形式幂级数也就满足：

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        =:
        φ
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        ,
        …
        )
        =
        
          lim
          
            k
            →
            ∞
          
        
        φ
        (
        
          s
          
            k
          
        
        )
        =
        
          lim
          
            k
            →
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            k
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}=:\varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }\varphi (s_{k})=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}}
  

并且可以验证加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律。于是我们定义出了一个同构于
  
    
      
        
          R
          
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathbb {N} }}
  
的拓扑环，将其称为
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
上的形式幂级数环
  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  
。


参考来源 Nicolas Bourbaki: Algebra, IV, §4. Springer-Verlag 1988.