在数学与物理中，哈密顿向量场是辛流形上一个向量场，定义在任何能量函数或哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式，哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中称为典范变换，在数学中称为（哈密顿）辛同胚。
哈密顿向量场可以更一般地定义在任何泊松流形上。对应于流形上的函数 f 与 g 的两个哈密顿向量场的李括号也是一个哈密顿向量场，其哈密顿函数由 g 与 f 的泊松括号给出。


定义 假设 (M,ω) 是一个辛流形。因为辛形式 ω 非退化，诱导了切丛 
  
    
      
        T
        M
      
    
    {\displaystyle TM}
  
 与余切丛 
  
    
      
        
          T
          
            ∗
          
        
        M
      
    
    {\displaystyle T^{*}M}
  
 的一个线性同构

  
    
      
        ω
        :
        T
        M
        →
        
          T
          
            ∗
          
        
        M
      
    
    {\displaystyle \omega :TM\to T^{*}M}
  

以及逆

  
    
      
        Ω
        :
        
          T
          
            ∗
          
        
        M
        →
        T
        M
        ,
        
        Ω
        =
        
          ω
          
            −
            1
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}\ .}
  

从而，流形 M 上的1-形式可以与向量场等价起来，故任何可微函数 
  
    
      
        H
        :
        M
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle H:M\to \mathbb {R} }
  
 确定了惟一的向量场 XH = Ω(dH)，称为哈密顿函数 H 的哈密顿向量场。即对 M 上任何向量场 Y，等式

  
    
      
        
          d
        
        H
        (
        Y
        )
        =
        ω
        (
        
          X
          
            H
          
        
        ,
        Y
        )
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y)\ ,}
  

一定成立。
注：一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号；需注意物理与数学著作的不同习惯。


例子 假设 M 是一个 2n 维辛流形。则由达布定理，我们在局部总可以取 M 的一个典范坐标 
  
    
      
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        ,
        
          p
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          p
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})}
  
，在这个坐标系下辛形式表示为

  
    
      
        ω
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          d
        
        
          q
          
            i
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          p
          
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i}.}
  

则关于哈密顿函数 H 的哈密顿向量场具有形式

  
    
      
        
          X
          
            H
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  H
                
                
                  ∂
                  
                    p
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            ,
            −
            
              
                
                  ∂
                  H
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        Ω
        
        
          d
        
        H
         
        ,
      
    
    {\displaystyle X_{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H\ ,}
  

这里 Ω 是一个 2n × 2n 矩阵

  
    
      
        Ω
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    I
                    
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  −
                  
                    I
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}\ .}
  

假设 M = R2n 是 2n 维具有（整体）典范坐标的辛向量空间。

如果 
  
    
      
        H
        =
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle H=p_{i}}
  
 则 
  
    
      
        
          X
          
            H
          
        
        =
        ∂
        
          /
        
        ∂
        
          q
          
            i
          
        
         
        ;
      
    
    {\displaystyle X_{H}=\partial /\partial q^{i}\ ;}
  

如果 
  
    
      
        H
        =
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle H=q^{i}}
  
 则 
  
    
      
        
          X
          
            H
          
        
        =
        −
        ∂
        
          /
        
        ∂
        
          p
          
            i
          
        
         
        ;
      
    
    {\displaystyle X_{H}=-\partial /\partial p^{i}\ ;}
  

如果 
  
    
      
        H
        =
        1
        
          /
        
        2
        ∑
        (
        
          p
          
            i
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle H=1/2\sum (p_{i})^{2}}
  
 则 
  
    
      
        
          X
          
            H
          
        
        =
        ∑
        
          p
          
            i
          
        
        ∂
        
          /
        
        ∂
        
          q
          
            i
          
        
         
        ;
      
    
    {\displaystyle X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i}\ ;}
  

如果 
  
    
      
        H
        =
        1
        
          /
        
        2
        ∑
        
          a
          
            i
            j
          
        
        
          q
          
            i
          
        
        
          q
          
            j
          
        
        ,
        
          a
          
            i
            j
          
        
        =
        
          a
          
            j
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle H=1/2\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}}
  
 则 
  
    
      
        
          X
          
            H
          
        
        =
        −
        ∑
        
          a
          
            i
            j
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        ∂
        
          /
        
        ∂
        
          q
          
            j
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle X_{H}=-\sum a_{ij}p_{i}\partial /\partial q^{j}\ .}
  


性质 映射 
  
    
      
        f
        ↦
        
          X
          
            f
          
        
      
    
    {\displaystyle f\mapsto X_{f}}
  
 线性的，所以两个哈密顿函数之和变为相应的哈密顿向量场之和。
假设 
  
    
      
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        ,
        
          p
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          p
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})}
  
 是 M 上的典范坐标。则曲线 
  
    
      
        γ
        (
        t
        )
        =
        (
        q
        (
        t
        )
        ,
        p
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma (t)=(q(t),p(t))}
  
 是哈密顿向量场 XH 的积分曲线当且仅当它是哈密顿方程的一个解：

  
    
      
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              H
            
            
              ∂
              
                p
                
                  i
                
              
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              
                p
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              H
            
            
              ∂
              
                q
                
                  i
                
              
            
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\ .}
  

哈密顿函数 H 在积分曲线上是常数，这就是 
  
    
      
        H
        (
        γ
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle H(\gamma (t))}
  
 与时间 t 无关。这个性质对应于哈密顿力学中的能量守恒。
更一般地，如果两个函数 F 与 H 的泊松括号为零（见下），则 F 沿着 H 的积分曲线为常数；类似地 H 沿着 F 的积分曲线是常数。这个事实是诺特定理背后的数学原理。
辛形式 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
 在哈密顿流下不变；或等价地，李导数 
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            
              X
              
                H
              
            
          
        
        ω
        =
        (
        
          ι
          
            
              X
              
                f
              
            
          
        
        ∘
        d
        +
        d
        ∘
        
          ι
          
            
              X
              
                f
              
            
          
        
        )
        ω
        =
        d
        ∘
        d
        f
        =
        0
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =(\iota _{X_{f}}\circ d+d\circ \iota _{X_{f}})\omega =d\circ df=0\ .}
  
 这里 
  
    
      
        ι
      
    
    {\displaystyle \iota }
  
 是内乘，用到了李导数的嘉当公式。


泊松括号 哈密顿向量场的概念导致了辛流形 M 上的可微函数的一个斜对称双线性算子，这就是泊松括号，由如下公式定义

  
    
      
        {
        f
        ,
        g
        }
        =
        ω
        (
        
          X
          
            f
          
        
        ,
        
          X
          
            g
          
        
        )
        =
        d
        f
        (
        
          X
          
            g
          
        
        )
        =
        
          
            
              L
            
          
          
            
              X
              
                g
              
            
          
        
        f
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=df(X_{g})={\mathcal {L}}_{X_{g}}f\ ,}
  

这里 
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}
  
 表示沿着向量场 X 的李导数。此外，我们可以验证有恒等式：

  
    
      
        
          X
          
            {
            f
            ,
            g
            }
          
        
        =
        −
        [
        
          X
          
            f
          
        
        ,
        
          X
          
            g
          
        
        ]
        ,
      
    
    {\displaystyle X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}],}
  

这里右边表示哈密顿函数 g 与 g 对应的哈密顿向量场的李括号。事实上有：

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  ι
                  
                    [
                    
                      X
                      
                        f
                      
                    
                    ,
                    
                      X
                      
                        g
                      
                    
                    ]
                  
                
                ω
              
            
            
              
                =
              
              
                
                (
                
                  
                    
                      L
                    
                  
                  
                    
                      X
                      
                        f
                      
                    
                  
                
                ∘
                
                  ι
                  
                    
                      X
                      
                        g
                      
                    
                  
                
                −
                
                  ι
                  
                    
                      X
                      
                        g
                      
                    
                  
                
                ∘
                
                  
                    
                      L
                    
                  
                  
                    
                      X
                      
                        f
                      
                    
                  
                
                )
                ω
              
            
            
              
                =
              
              
                
                  
                    
                      L
                    
                  
                  
                    
                      X
                      
                        f
                      
                    
                  
                
                ∘
                
                  ι
                  
                    
                      X
                      
                        g
                      
                    
                  
                
                ω
              
            
            
              
                =
              
              
                
                (
                
                  ι
                  
                    
                      X
                      
                        f
                      
                    
                  
                
                ∘
                d
                +
                d
                ∘
                
                  ι
                  
                    
                      X
                      
                        f
                      
                    
                  
                
                )
                d
                g
              
            
            
              
                =
              
              
                d
                (
                
                  ι
                  
                    
                      X
                      
                        f
                      
                    
                  
                
                )
                d
                g
                )
              
            
            
              
                =
              
              
                
                −
                d
                {
                f
                ,
                g
                }
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&\iota _{[X_{f},X_{g}]}\omega \\=&({\mathcal {L}}_{X_{f}}\circ \iota _{X_{g}}-\iota _{X_{g}}\circ {\mathcal {L}}_{X_{f}})\omega \\=&{\mathcal {L}}_{X_{f}}\circ \iota _{X_{g}}\omega \\=&(\iota _{X_{f}}\circ d+d\circ \iota _{X_{f}})dg\\=&d(\iota _{X_{f}})dg)\\=&-d\{f,g\}\\\end{aligned}}}
  

作为一个推论，泊松括号满足雅可比恒等式。

  
    
      
        {
        {
        f
        ,
        g
        }
        ,
        h
        }
        +
        {
        {
        g
        ,
        h
        }
        ,
        f
        }
        +
        {
        {
        h
        ,
        f
        }
        ,
        g
        }
        =
        0
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\ ,}
  

这意味着 M 上可微函数组成的向量空间，赋予泊松括号，是 R 上的一个李代数，且映射 

  
    
      
        f
        ↦
        
          X
          
            f
          
        
      
    
    {\displaystyle f\mapsto X_{f}}
  
 是一个李代数反同态，其核由局部常值函数组成（如果 M 连通则为常数）。


参考文献 Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. 1978. ISBN 978-0-821-84438-0.  See section 3.2.
Arnol'd, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Berlin etc: Springer. 1997. ISBN 0-387-96890-3. 
Frankel, Theodore. The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-38753-1. 
McDuff, Dusa; Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford Mathematical Monographs. 1998. ISBN 0-19-850451-9.