折纸公理，又称藤田－羽鳥公理或藤田－贾斯汀公理，是折纸数学的基本公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作。
折纸定理最早於1989年由雅克·贾斯汀（Jacques Justin）发现。截至目前為止，共推衍了7個公理，其中，公理1－6又于1991年由日裔意大利数学家藤田文章发现。定理7也于2001年由羽鳥公士郎发现。贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。


七个公理 前6个公理又叫做藤田公理，公理7由羽鳥公士郎发现，贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。7条公理如下：

给定两点 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
，有且仅有一条折痕同时过这两点。
给定两点 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
，有且仅有一种方法把 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 上。
给定两直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
，可以把 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 上。
给定一点 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和一条直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
，有且仅有一种方法过 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 折出 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 的垂线。
给定两点 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 和一条直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
，可以沿过 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 的直线将 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 上。
给定两点 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 和两直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
，可以一次将 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 、
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 分别折到 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 、
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 上。
给定一点 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 和两直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
，可以沿着 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 的垂线将 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 上。
公理5可能有最多2个解，公理6可能有最多3个解，而尺规作图的公理最多只有两个解。所以，折纸的作图能力要强于尺规作图。就是说，尺规作图相当于在解二次方程，而折纸几何相当于解三次方程。因而诸如三等分角、倍立方等尺规作图无法解决的问题却可以用折纸几何解决。但是公理6在实践中需要将纸“滑动”，这其实相当于二刻尺作图，这在标准的尺规作图中是不被允许的。
罗伯特·朗证明了这七个公理已经是折纸几何的全部公理了。


= 公理 1 =
给定两点 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
，有且仅有一条折痕同时过这两点。

以参数方程表示的话，过2点的直线可以表示为：

  
    
      
        F
        (
        s
        )
        =
        
          p
          
            1
          
        
        +
        s
        (
        
          p
          
            2
          
        
        −
        
          p
          
            1
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle F(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1}).}
  


= 公理 2 =
给定两点 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
，有且仅有一种方法把 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 上。

这条公理相当于是作线段 
  
    
      
        
          
            
              
                p
                
                  1
                
              
              
                p
                
                  2
                
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {p_{1}p_{2}}}}
  
的垂直平分线。这可以通过以下四个步骤完成：

使用公理1作出连结 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 的直线 
  
    
      
        P
        (
        s
        )
        =
        
          p
          
            1
          
        
        +
        s
        (
        
          p
          
            2
          
        
        −
        
          p
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})}
  

找到直线 
  
    
      
        P
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle P(s)}
  
 的中点 
  
    
      
        
          p
          
            m
            i
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{mid}}
  

找到垂直于 
  
    
      
        P
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle P(s)}
  
 的向量 
  
    
      
        
          
            v
            
              p
              e
              r
              p
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v_{perp}} }
  

折痕的参数方程表示为：

  
    
      
        F
        (
        s
        )
        =
        
          p
          
            
              m
              i
              d
            
          
        
        +
        s
        ⋅
        
          
            v
          
          
            
              p
              e
              r
              p
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {perp} }.}
  


= 公理 3 =
给定两直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
，可以把 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 上。

这条公理相当于是找出 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 组成的角的平分线。假设 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 是 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 上任意两点，
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{2}}
  
 是 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 上任意两点，
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
  
 和 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
 分别是 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 方向的单位向量：

  
    
      
        
          u
        
        =
        (
        
          p
          
            2
          
        
        −
        
          p
          
            1
          
        
        )
        
          /
        
        
          |
          
            (
            
              p
              
                2
              
            
            −
            
              p
              
                1
              
            
            )
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|}
  

  
    
      
        
          v
        
        =
        (
        
          q
          
            2
          
        
        −
        
          q
          
            1
          
        
        )
        
          /
        
        
          |
          
            (
            
              q
              
                2
              
            
            −
            
              q
              
                1
              
            
            )
          
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|.}
  

如果两直线不平行，它们的交点为：

  
    
      
        
          p
          
            
              i
              n
              t
            
          
        
        =
        
          p
          
            1
          
        
        +
        
          s
          
            
              i
              n
              t
            
          
        
        ⋅
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u} }
  

其中

  
    
      
        
          s
          
            i
            n
            t
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                
                  v
                
                
                  ⊥
                
              
              ⋅
              (
              
                p
                
                  1
                
              
              −
              
                q
                
                  1
                
              
              )
            
            
              
                
                  v
                
                
                  ⊥
                
              
              ⋅
              
                u
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle s_{int}=-{\frac {\mathbf {v} _{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{\mathbf {v} _{\perp }\cdot \mathbf {u} }}.}
  

两条直线所夹的一个角的平分线方向是：

  
    
      
        
          w
        
        =
        
          
            
              
                |
                
                  u
                
                |
              
              
                v
              
              +
              
                |
                
                  v
                
                |
              
              
                u
              
            
            
              
                |
                
                  u
                
                |
              
              +
              
                |
                
                  v
                
                |
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}.}
  

折痕的参数方程是：

  
    
      
        F
        (
        s
        )
        =
        
          p
          
            
              i
              n
              t
            
          
        
        +
        s
        ⋅
        
          w
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w} .}
  

这两直线还有另一个角平分线，两条角平分线互相垂直，且都过点 
  
    
      
        
          p
          
            i
            n
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{int}}
  
。而沿着任意一条角平分线折都能将 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 上。但在实践中可能因为交点的位置（比如交点在纸外）使沿着其中一条角平分线的折叠无法实施。
如果两条直线平行，那么只要沿着两直线中间的一条线（与两直线平行，到两直线距离相等）折叠就可以将 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 上


= 公理 4 =
给定一点 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和一条直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
，有且仅有一种方法过 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 折出 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 的垂线。

向量 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
 是垂直于 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 的单位向量，那么折痕的参数方程是：

  
    
      
        F
        (
        s
        )
        =
        
          p
          
            1
          
        
        +
        s
        ⋅
        
          v
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(s)=p_{1}+s\cdot \mathbf {v} .}
  


= 公理 5 =
给定两点 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 和一条直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
，可以沿过 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 的直线将 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 上。

这个公理相当于找出圆和直线的交点，所以有最多2个解，最少也可能无解。这取决于直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 和以
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 为圆心，
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 到 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 的距离为半径的圆的位置关系。如果直线和圆不相交则无解，相切则有1解，相交则有2解.
如果我们知道直线上两点 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1})}
  
 和 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2})}
  
，那么直线可以表示为：

  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            1
          
        
        +
        s
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle x=x_{1}+s(x_{2}-x_{1})\,}
  

  
    
      
        y
        =
        
          y
          
            1
          
        
        +
        s
        (
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          y
          
            1
          
        
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle y=y_{1}+s(y_{2}-y_{1}).\,}
  

如果圆心 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
        =
        (
        
          x
          
            c
          
        
        ,
        
          y
          
            c
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle p_{2}=(x_{c},y_{c})}
  
，半径 
  
    
      
        r
        =
        
          |
          
            
              p
              
                1
              
            
            −
            
              p
              
                2
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle r=\left|p_{1}-p_{2}\right|}
  
。那么这个圆可以表示为：

  
    
      
        (
        x
        −
        
          x
          
            c
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        −
        
          y
          
            c
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle (x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}.\,}
  

为了确定圆和直线的交点，将直线方程代入圆方程，得：

  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        +
        s
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        )
        −
        
          x
          
            c
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        
          y
          
            1
          
        
        +
        s
        (
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          y
          
            1
          
        
        )
        −
        
          y
          
            c
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle (x_{1}+s(x_{2}-x_{1})-x_{c})^{2}+(y_{1}+s(y_{2}-y_{1})-y_{c})^{2}=r^{2}.\,}
  

或者可以简化为：

  
    
      
        a
        
          s
          
            2
          
        
        +
        b
        s
        +
        c
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle as^{2}+bs+c=0\,}
  

其中：

  
    
      
        a
        =
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          y
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle a=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\,}
  

  
    
      
        b
        =
        2
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        )
        (
        
          x
          
            1
          
        
        −
        
          x
          
            c
          
        
        )
        +
        2
        (
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          y
          
            1
          
        
        )
        (
        
          y
          
            1
          
        
        −
        
          y
          
            c
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle b=2(x_{2}-x_{1})(x_{1}-x_{c})+2(y_{2}-y_{1})(y_{1}-y_{c})\,}
  

  
    
      
        c
        =
        
          x
          
            c
          
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            c
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            1
          
          
            2
          
        
        −
        2
        (
        
          x
          
            c
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          y
          
            c
          
        
        
          y
          
            1
          
        
        )
        −
        
          r
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle c=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2(x_{c}x_{1}+y_{c}y_{1})-r^{2}.\,}
  

然后，只要解以下方程就能确定直线和圆的交点：

  
    
      
        
          
            
              −
              b
              ±
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
  

如果判别式 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        c
        <
        0
      
    
    {\displaystyle b^{2}-4ac<0}
  
，那么方程无实数解，圆和直线没有交点；如果辨别式等于0，那么方程有一解，圆和直线相切；如果辨别式大于0，方程有两解，圆和直线有两个交点。令
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}}
  
 是两个交点（如果存在），那么，我们可以得到线段如下：

  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                p
                
                  1
                
              
              
                d
                
                  1
                
              
            
            ¯
          
        
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}={\overline {p_{1}d_{1}}}\,}
  

  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                p
                
                  1
                
              
              
                d
                
                  2
                
              
            
            ¯
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}={\overline {p_{1}d_{2}}}.\,}
  

折痕 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle F_{1}(s)}
  
 垂直平分 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}}
  
，可以将 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}}
  
。同样，折痕 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle F_{2}(s)}
  
 垂直平分 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
  
，可以将 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}}
  
。只要应用公理2就可以找到垂直平分线。折痕的参数方程是：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                (
                s
                )
              
              
                
                =
                
                  p
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                (
                
                  d
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  p
                  
                    1
                  
                
                )
                +
                s
                (
                
                  d
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  p
                  
                    1
                  
                
                
                  )
                  
                    ⊥
                  
                
              
            
            
              
                
                  F
                  
                    2
                  
                
                (
                s
                )
              
              
                
                =
                
                  p
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                (
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  p
                  
                    1
                  
                
                )
                +
                s
                (
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  p
                  
                    1
                  
                
                
                  )
                  
                    ⊥
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{1}-p_{1})+s(d_{1}-p_{1})_{\perp }\\[8pt]F_{2}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{2}-p_{1})+s(d_{2}-p_{1})_{\perp }.\end{aligned}}}
  


= 公理 6 =
给定两点 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 和两直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
，可以一次将 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 、
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
 分别折到 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 、
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 上。

这个公理相当于找到同时与两条抛物线相切的直线，等价于解一个三次方程。两条抛物线的焦点分别是 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{2}}
  
，准线分别是 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
。


= 公理 7 =
给定一点 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 和两直线 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 和 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
，可以沿着 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 的垂线将 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  
 折到 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 上。

过 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 点作 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
 的平行线，交 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1}}
  
 于 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
，这个公理就是要找出线段 
  
    
      
        
          
            
              p
              q
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {pq}}}
  
 的垂直平分线。沿着这条垂直平分线折，就可以将 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 折到 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 上。


参考资料 外部链接 Origami Geometric Constructions by Thomas Hull
A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Roger C. Alperin
Lang, Robert J. Origami and Geometric Constructions (PDF). Robert J. Lang. 2003  [2007-04-12]. （原始内容存档于2012-03-10）.