函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。
微分在数学中的定义：由
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
是
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的函数(
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
)。从简单的平面直角坐标系来看，自变量
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的变化量趋近于0时(
  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}
  
)，因变量
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的变化量也趋近于0，但
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
和
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的变化量都趋近于0。当
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
有极小的变化量时，这称为
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的微分。
当某些函数
  
    
      
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle f}
  
的自变量
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle x}
  
有一个微小的改变
  
    
      
        
          h
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h}
  
时，函数的变化可以分解为两个部分。
一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量
  
    
      
        
          h
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h}
  
，可以表示成
  
    
      
        
          h
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h}
  
和一个与
  
    
      
        
          h
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h}
  
无关，只与函数
  
    
      
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle f}
  
及
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle x}
  
有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在
  
    
      
        
          h
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h}
  
上的值。
另一部分是比
  
    
      
        
          h
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h}
  
更高阶的无穷小，也就是说除以
  
    
      
        
          h
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h}
  
后仍然会趋于零。当改变量
  
    
      
        
          h
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h}
  
很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle x}
  
处的微分，记作
  
    
      
        
          
            f
            ′
          
          (
          x
          )
          h
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle f'(x)h}
  
或
  
    
      
        
          
            
              d
            
          
          
            f
            
              x
            
          
          (
          h
          )
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)}
  
。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。
不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。
在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量
  
    
      
        
          h
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle h}
  
映射到变化量的线性部分的线性映射
  
    
      
        
          
            
              d
            
          
          
            f
            
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}
  
。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。


一元微分 = 定义 =

设函数
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
在某区间
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
内有定义。对于
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
内一点
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
，当
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
变动到附近的
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        +
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle x_{0}+\Delta x}
  
（也在此区间内）时，如果函数的增量
  
    
      
        Δ
        y
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        +
        Δ
        x
        )
        −
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}
  
可表示为

  
    
      
        Δ
        y
        =
        A
        Δ
        x
        +
        o
        (
        Δ
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)}
  
（其中
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是不依赖于
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
的常数），而
  
    
      
        o
        (
        Δ
        x
        )
      
    
    {\displaystyle o(\Delta x)}
  
是比
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
高阶的无穷小，那么称函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
在点
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
是可微的，且
  
    
      
        A
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle A\Delta x}
  
称作函数在点
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
相应于自变量增量
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
的微分，记作
  
    
      
        
          
            d
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}y}
  
，即
  
    
      
        
          
            d
          
        
        y
        =
        A
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}y=A\Delta x}
  
，
  
    
      
        
          
            d
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}y}
  
是
  
    
      
        Δ
        y
      
    
    {\displaystyle \Delta y}
  
的线性主部。:141
通常把自变量
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的增量
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
称为自变量的微分，记作
  
    
      
        
          
            d
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}x}
  
，即
  
    
      
        
          
            d
          
        
        x
        =
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}x=\Delta x}
  
。


= 和导数的关系 =
微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念:141。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分
  
    
      
        
          
            d
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}x}
  
，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
的微分又可记作
  
    
      
        
          
            d
          
        
        y
        =
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        
          
            d
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x}
  
。


= 几何意义 =
设
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
是曲线
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
上的点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
在横坐标上的增量，
  
    
      
        Δ
        y
      
    
    {\displaystyle \Delta y}
  
是曲线在点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
对应
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
在纵坐标上的增量，
  
    
      
        
          
            d
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}y}
  
是曲线在点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
的切线对应
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
在纵坐标上的增量。当
  
    
      
        
          |
          
            Δ
            x
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|\Delta x\right|}
  
很小时，
  
    
      
        
          |
          
            Δ
            y
            −
            
              
                d
              
            
            y
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|}
  
比
  
    
      
        
          |
          
            Δ
            x
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|\Delta x\right|}
  
要小得多(高阶无穷小)，因此在点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。


= 例子 =
设有函数
  
    
      
        f
        :
        x
        ↦
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}
  
，考虑它从某一点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
变到
  
    
      
        x
        +
        
          
            d
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle x+{\textrm {d}}x}
  
。这时，函数的改变量
  
    
      
        f
        (
        x
        +
        
          
            d
          
        
        x
        )
        −
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)}
  
等于：

  
    
      
        f
        (
        x
        +
        
          
            d
          
        
        x
        )
        −
        f
        (
        x
        )
        =
        (
        x
        +
        
          
            d
          
        
        x
        
          )
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}}
  

  
    
      
        =
        2
        x
        ⋅
        
          
            d
          
        
        x
        +
        (
        
          
            d
          
        
        x
        
          )
          
            2
          
        
        =
        A
        
          
            d
          
        
        x
        +
        o
        (
        
          
            d
          
        
        x
        )
      
    
    {\displaystyle =2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)}
  

其中的线性主部：
  
    
      
        A
        d
        x
        =
        2
        x
        d
        x
      
    
    {\displaystyle Adx=2xdx}
  
，高阶无穷小是
  
    
      
        o
        (
        
          
            d
          
        
        x
        )
        =
        (
        
          
            d
          
        
        x
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}}
  
。
因此函数
  
    
      
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle f}
  
在点
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle x}
  
处的微分是
  
    
      
        
          
            d
          
        
        y
        =
        2
        x
        
          
            d
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x}
  
。函数的微分与自变量的微分之商
  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              y
            
            
              
                
                  d
                
              
              x
            
          
        
        =
        2
        x
        =
        
          f
          
            ′
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)}
  
，等于函数的导数。

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              y
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              (
              a
              
                x
                
                  n
                
              
              )
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}}
  
，尤其
  
    
      
        y
        =
        a
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y=ax^{n}}
  

  
    
      
        =
        n
        a
        
          x
          
            (
            n
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle =nax^{(n-1)}}
  

以下有一例子：
當方程式為
  
    
      
        y
        =
        2
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=2x^{2}}
  
時，就會有以下的微分過程。

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              y
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}
  

  
    
      
        =
        
          
            
              
                d
              
              2
              
                x
                
                  2
                
              
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}}
  

  
    
      
        =
        2
        ⋅
        2
        
          x
          
            (
            2
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle =2\cdot 2x^{(2-1)}}
  

  
    
      
        =
        4
        x
      
    
    {\displaystyle =4x}
  


= 微分法则 =
和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
、
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
可微，那么：

  
    
      
        
          d
        
        (
        a
        u
        +
        b
        v
        )
        =
        
          d
        
        a
        u
        +
        
          d
        
        b
        v
        =
        a
        
          d
        
        u
        +
        b
        
          d
        
        v
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} (au+bv)=\mathrm {d} au+\mathrm {d} bv=a\mathrm {d} u+b\mathrm {d} v}
  

  
    
      
        d
        (
        u
        v
        )
        =
        u
        d
        v
        +
        v
        d
        u
      
    
    {\displaystyle d(uv)=udv+vdu}
  

  
    
      
        d
        
          (
          
            
              u
              v
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              v
              d
              u
              −
              u
              d
              v
            
            
              v
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}}
  

若函数
  
    
      
        y
        (
        u
        )
      
    
    {\displaystyle y(u)}
  
可导，那么
  
    
      
        d
        [
        y
        (
        u
        )
        ]
        =
        
          y
          ′
        
        (
        u
        )
        d
        u
      
    
    {\displaystyle d[y(u)]=y'(u)du}
  
:139


= 极值 =


多元函数微分 当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏導數只對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。


= 定义 =
设
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是从欧几里得空间Rn（或者任意一个内积空间）中的一个开集
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
射到Rm的一个函数。对于
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
中的一点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
及其在
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
中的邻域
  
    
      
        Λ
      
    
    {\displaystyle \Lambda }
  
中的点
  
    
      
        x
        +
        h
      
    
    {\displaystyle x+h}
  
。如果存在线性映射
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
使得对任意这样的
  
    
      
        x
        +
        h
      
    
    {\displaystyle x+h}
  
,

  
    
      
        
          lim
          
            h
            →
            0
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  |
                
                f
                (
                x
                +
                h
                )
                −
                f
                (
                x
                )
                −
                A
                (
                h
                )
                
                  |
                
              
              
                
                  |
                
                h
                
                  |
                
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0}
  

那么称函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
处可微。线性映射
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
叫做
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
处的微分，记作
  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}
  
。
如果
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。
当函数在某个区域的每一点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
都有微分
  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}
  
时，可以考虑将
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
映射到
  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}
  
的函数：

  
    
      
        
          
            d
          
        
        f
        :
        x
        ↦
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f_{x}}
  

这个函数一般称为微分函数。


= 性质 =
如果
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）裡，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：
设
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是从Rn射到Rm的函数，
  
    
      
        f
        =
        (
        
          f
          
            1
          
        
        ,
        
          f
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          f
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})}
  
，那么：

  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            x
          
        
        =
        
          J
          
            f
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            m
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            m
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}
  
。
具体来说，对于一个改变量：
  
    
      
        h
        =
        (
        
          h
          
            1
          
        
        ,
        
          h
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          h
          
            n
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          h
          
            i
          
        
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}}
  
，微分值：

  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            x
          
        
        (
        h
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            m
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          f
                          
                            m
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    h
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    h
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                j
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    f
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
            
              h
              
                j
              
            
          
          )
        
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}h_{j}\right)e_{i}}
  

可微的必要条件：如果函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在一点
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                f
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}
  
都存在，但反之不真:76。
可微的充分条件：如果函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在一点
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
的雅克比矩阵的每一个元素
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                f
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}
  
都在
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
连续，那么函数在这点处可微，但反之不真:77。


= 例子 =
函数
  
    
      
        f
        :
        (
        x
        ,
        y
        )
        ↦
        
          (
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
            ,
            (
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
            −
            
              y
              
                2
              
            
            )
            x
            −
            y
            ,
            x
            −
            (
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
            −
            
              y
              
                2
              
            
            )
            y
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)}
  
是一个从
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
射到
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  
的函数。它在某一点
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
的雅可比矩阵为：

  
    
      
        
          J
          
            f
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  2
                  x
                
                
                  2
                  y
                
              
              
                
                  1
                  −
                  3
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  −
                  2
                  x
                  y
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                  +
                  2
                  x
                  y
                
                
                  −
                  1
                  +
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  3
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}}
  

微分为：
  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            (
            x
            ,
            y
            )
          
        
        :
        h
        ↦
        
          J
          
            f
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        (
        h
        )
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)}
  
，也就是：

  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            (
            x
            ,
            y
            )
          
        
        :
        h
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    h
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    h
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        ↦
        
          
            [
            
              
                
                  2
                  x
                
                
                  2
                  y
                
              
              
                
                  1
                  −
                  3
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  −
                  2
                  x
                  y
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                  +
                  2
                  x
                  y
                
                
                  −
                  1
                  +
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  3
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    h
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    h
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  2
                  x
                  
                    h
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  2
                  y
                  
                    h
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  (
                  1
                  −
                  3
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  
                    h
                    
                      1
                    
                  
                  −
                  (
                  2
                  x
                  y
                  +
                  1
                  )
                  
                    h
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  (
                  1
                  +
                  2
                  x
                  y
                  )
                  
                    h
                    
                      1
                    
                  
                  −
                  (
                  1
                  −
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  3
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  
                    h
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}}
  


微分与微分形式 如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
给出一个近似描述函数性质的线性映射
  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}
  
，而微分形式对区域
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式：
  
    
      
        ω
        (
        x
        )
        :
        
          
            T
            D
          
          
            x
          
        
        ⟶
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \omega (x):\mathbf {TD} _{x}\longrightarrow \mathbb {R} }
  
。在坐标记法下，可以写成：

  
    
      
        ω
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            1
            ≤
            
              i
              
                1
              
            
            ≤
            ⋯
            ≤
            
              i
              
                k
              
            
            ≤
            n
          
        
        
          a
          
            
              i
              
                1
              
            
            ⋯
            
              i
              
                k
              
            
          
        
        (
        x
        )
        
          
            d
          
        
        
          x
          
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        
          
            d
          
        
        
          x
          
            
              i
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega (x)=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}a_{i_{1}\cdots i_{k}}(x){\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}}
  

其中的
  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}x^{i}}
  
是
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
-射影算子，也就是说将一个向量
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
射到它的第
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
个分量
  
    
      
        
          v
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle v^{i}}
  
的映射。而
  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          x
          
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        
          
            d
          
        
        
          x
          
            
              i
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}}
  
是满足：

  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          x
          
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        
          
            d
          
        
        
          x
          
            
              i
              
                k
              
            
          
        
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        
          v
          
            k
          
        
        )
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    v
                    
                      1
                    
                    
                      
                        i
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    v
                    
                      1
                    
                    
                      
                        i
                        
                          k
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    v
                    
                      k
                    
                    
                      
                        i
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    v
                    
                      k
                    
                    
                      
                        i
                        
                          k
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdots v_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots &v_{1}^{i_{k}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{k}^{i_{1}}&\cdots &v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}}
  

的k-形式。
特别地，当
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是一个从Rn射到R 的函数时，可以将
  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}
  
写作：

  
    
      
        
          
            d
          
        
        
          f
          
            x
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        x
        )
        
          
            d
          
        
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x){\textrm {d}}x^{i}}
  

正是上面公式的一个特例。


参见 微分学
微积分
导数
积分
偏导数
外微分
泰勒公式


参考来源 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.