在渐近分析中，一个函数的渐近展开被定义为一个函数级数（通常是柯西发散的），该级数的每一个部分和都给出该函数的一个渐近表达式。


形式定义 下面的定义中用到小 o 表示法。
设 {φn(z)} 为一个函数序列，{an} 为一个数列，f(z) 是一个函数，若

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        −
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            m
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          ϕ
          
            n
          
        
        (
        z
        )
        =
        o
        (
        
          ϕ
          
            m
          
        
        (
        z
        )
        )
        ,
        
        z
        →
        
          z
          
            0
          
        
        ,
        ∀
        m
        ∈
        
          
            Z
          
          
            0
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)-\sum _{n=0}^{m}a_{n}\phi _{n}(z)=o(\phi _{m}(z)),\quad z\rightarrow z_{0},\forall m\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}
  

则称级数

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          ϕ
          
            n
          
        
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(z)}
  

为 f(z) 在 z=z0 点处的渐近级数。记作

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        ∼
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          ϕ
          
            n
          
        
        (
        z
        )
        ,
        
        z
        →
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(z),\quad z\rightarrow z_{0}}
  


与一般级数展开的区别 粗略来说，渐近级数与一般的级数展开（例如泰勒级数）的区别在于，渐近级数是 z 越接近 z0，部分和越接近被展开的函数，而泰勒级数等则是 z 点固定，取的项数越多结果越接近被展开的函数。
另外一个重要的区别是，渐近展开常常需要对宗量有额外的限制，例如辐角的限制。
除此之外，一个函数在一点的泰勒展开表达式唯一地确定了以该点为中心的收敛圆内函数的形式，而渐近级数则不然，详见下一小节的讨论。


渐近展开的唯一性 在一定的辐角范围内，给定了 {φn(z)} 的具体形式后，一个函数 f(z) 渐近展开的表达式是唯一的，即系数序列 {an} 是唯一的。这是因为系数序列可以由下面的关系完全确定：

  
    
      
        
          a
          
            m
          
        
        =
        
          lim
          
            z
            →
            
              z
              
                0
              
            
          
        
        
          
            1
            
              
                ϕ
                
                  m
                
              
              (
              z
              )
            
          
        
        
          [
          
            f
            (
            z
            )
            −
            
              ∑
              
                n
                =
                0
              
              
                m
                −
                1
              
            
            
              a
              
                n
              
            
            
              ϕ
              
                n
              
            
            (
            z
            )
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle a_{m}=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {1}{\phi _{m}(z)}}\left[f(z)-\sum _{n=0}^{m-1}a_{n}\phi _{n}(z)\right]}
  

但是反过来，两个不同的函数 f(z) 与 g(z) 在同一个点 z0 处可以有同样的渐近展开，事实上，设函数 φ∞(z) 满足：

  
    
      
        
          ϕ
          
            ∞
          
        
        (
        z
        )
        =
        o
        (
        
          ϕ
          
            m
          
        
        (
        z
        )
        )
        ,
        
        z
        →
        
          z
          
            0
          
        
        ,
        ∀
        m
        ∈
        
          
            Z
          
          
            0
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{\infty }(z)=o(\phi _{m}(z)),\quad z\rightarrow z_{0},\forall m\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}
  

则显然 f(z) 与 f(z)+φ∞(z) 在同一个点 z0 处有同样的渐近展开。


渐近幂级数 在渐近展开中最常用的是渐近幂级数，它定义为

  
    
      
        
          ϕ
          
            n
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    z
                    
                      −
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  =
                  ∞
                
              
              
                
                  (
                  z
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  
                    )
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    otherwise
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{n}(z)={\begin{cases}z^{-n}&z_{0}=\infty \\(z-z_{0})^{n}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
  


= 一些例子 =
伽玛函数：

  
    
      
        
          
            
              e
              
                z
              
            
            
              
                z
                
                  z
                
              
              
                
                  2
                  π
                  z
                
              
            
          
        
        Γ
        (
        z
        +
        1
        )
        ∼
        1
        +
        
          
            1
            
              12
              z
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              288
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          
            139
            
              51840
              
                z
                
                  3
                
              
            
          
        
        −
        ⋯
        ,
        
        z
        →
        ∞
        ,
        
          |
        
        arg
        ⁡
        z
        
          |
        
        <
        π
      
    
    {\displaystyle {\frac {e^{z}}{z^{z}{\sqrt {2\pi z}}}}\Gamma (z+1)\sim 1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51840z^{3}}}-\cdots ,\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<\pi }
  

汉克尔函数：

  
    
      
        exp
        ⁡
        
          [
          
            i
            
              (
              
                
                  
                    π
                    4
                  
                
                −
                
                  
                    
                      ν
                      π
                    
                    2
                  
                
                −
                z
              
              )
            
          
          ]
        
        
          
            
              
                π
                z
              
              2
            
          
        
        
          H
          
            ν
          
          
            (
            1
            )
          
        
        (
        z
        )
        ∼
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                i
                
                  k
                
              
              
                ∏
                
                  n
                  =
                  1
                
                
                  k
                
              
              (
              4
              
                ν
                
                  2
                
              
              −
              (
              2
              n
              −
              1
              
                )
                
                  2
                
              
              )
            
            
              
                2
                
                  3
                  k
                
              
              k
              !
            
          
        
        
          z
          
            −
            k
          
        
        ,
        
        z
        →
        ∞
        ,
        −
        π
        <
        arg
        ⁡
        z
        <
        2
        π
      
    
    {\displaystyle \exp \left[i\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\nu \pi }{2}}-z\right)\right]{\sqrt {\frac {\pi z}{2}}}H_{\nu }^{(1)}(z)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\prod _{n=1}^{k}(4\nu ^{2}-(2n-1)^{2})}{2^{3k}k!}}z^{-k},\quad z\rightarrow \infty ,-\pi <\arg z<2\pi }
  

第二类合流超几何函数：

  
    
      
        
          z
          
            a
          
        
        U
        (
        a
        ,
        b
        ,
        z
        )
        ∼
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        a
        
          )
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        a
        −
        b
        +
        1
        
          )
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        −
        z
        
          )
          
            −
            n
          
        
        ,
        
        z
        →
        ∞
        ,
        
          |
        
        arg
        ⁡
        z
        
          |
        
        <
        
          
            
              3
              π
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{a}U(a,b,z)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(a)^{(n)}(a-b+1)^{(n)}(-z)^{-n},\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<{\frac {3\pi }{2}}}
  

式中用到了升阶乘的 Pochhammer 记号。


参考 Hardy, G. H., Divergent Series, Oxford University Press, 1949.