橢球坐標系（英語：Ellipsoidal coordinates）是一種三維正交坐標系，是橢圓坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同，橢球坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。


基本公式 橢球坐標 
  
    
      
        (
        λ
        ,
         
        μ
        ,
         
        ν
        )
      
    
    {\displaystyle (\lambda ,\ \mu ,\ \nu )}
  
 以直角坐標 
  
    
      
        (
        x
        ,
         
        y
        ,
         
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x,\ y,\ z)}
  
 定義為：

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              λ
              )
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              μ
              )
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              ν
              )
            
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              −
              
                b
                
                  2
                
              
              )
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}={\frac {(a^{2}+\lambda )(a^{2}+\mu )(a^{2}+\nu )}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}}}
  
 、

  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              λ
              )
              (
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              μ
              )
              (
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              ν
              )
            
            
              (
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                a
                
                  2
                
              
              )
              (
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{2}={\frac {(b^{2}+\lambda )(b^{2}+\mu )(b^{2}+\nu )}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}}}
  
 、

  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              λ
              )
              (
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              μ
              )
              (
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              ν
              )
            
            
              (
              
                c
                
                  2
                
              
              −
              
                b
                
                  2
                
              
              )
              (
              
                c
                
                  2
                
              
              −
              
                a
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{2}={\frac {(c^{2}+\lambda )(c^{2}+\mu )(c^{2}+\nu )}{(c^{2}-b^{2})(c^{2}-a^{2})}}}
  
 ；
其中，橢球坐標遵守以下限制：

  
    
      
        −
        λ
        <
        
          c
          
            2
          
        
        <
        −
        μ
        <
        
          b
          
            2
          
        
        <
        −
        ν
        <
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}}
  
 。


坐標曲面 λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
-坐標曲面是橢球面 ：

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              λ
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              λ
            
          
        
        +
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              λ
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1}
  
 。

  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
-坐標曲面是單葉雙曲面 (hyperboloid of one sheet) ：

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              μ
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              μ
            
          
        
        +
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              μ
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1}
  
 。

  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
-坐標曲面是双葉雙曲面 (hyperboloid of two sheet) ：

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              ν
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              ν
            
          
        
        +
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              ν
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1}
  
 。


標度因子 為了簡化標度因子的計算，設定函數

  
    
      
        S
        (
        σ
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        σ
        )
        (
        
          b
          
            2
          
        
        +
        σ
        )
        (
        
          c
          
            2
          
        
        +
        σ
        )
      
    
    {\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (a^{2}+\sigma )(b^{2}+\sigma )(c^{2}+\sigma )}
  
 ；
其中，參數 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 可以代表任何一個橢球坐標 
  
    
      
        (
        λ
        ,
         
        μ
        ,
         
        ν
        )
      
    
    {\displaystyle (\lambda ,\ \mu ,\ \nu )}
  
 。
橢球坐標的標度因子分別為

  
    
      
        
          h
          
            λ
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              
                (
                λ
                −
                μ
                )
                (
                λ
                −
                ν
                )
              
              
                S
                (
                λ
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}{S(\lambda )}}}}
  
 、

  
    
      
        
          h
          
            μ
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              
                (
                μ
                −
                λ
                )
                (
                μ
                −
                ν
                )
              
              
                S
                (
                μ
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}{S(\mu )}}}}
  
 、

  
    
      
        
          h
          
            ν
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              
                (
                ν
                −
                λ
                )
                (
                ν
                −
                μ
                )
              
              
                S
                (
                ν
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}{S(\nu )}}}}
  
 。
無窮小體積元素等於

  
    
      
        d
        V
        =
        
          
            
              (
              λ
              −
              μ
              )
              (
              λ
              −
              ν
              )
              (
              μ
              −
              ν
              )
            
            
              8
              
                
                  −
                  S
                  (
                  λ
                  )
                  S
                  (
                  μ
                  )
                  S
                  (
                  ν
                  )
                
              
            
          
        
         
        d
        λ
        d
        μ
        d
        ν
      
    
    {\displaystyle dV={\frac {(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\ d\lambda d\mu d\nu }
  
 。
拉普拉斯算子是 

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        
          
            
              4
              
                
                  S
                  (
                  λ
                  )
                
              
            
            
              
                (
                
                  λ
                  −
                  μ
                
                )
              
              
                (
                
                  λ
                  −
                  ν
                
                )
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              λ
            
          
        
        
          [
          
            
              
                S
                (
                λ
                )
              
            
            
              
                
                  ∂
                  Φ
                
                
                  ∂
                  λ
                
              
            
          
          ]
        
         
        +
         
        
          
            
              4
              
                
                  S
                  (
                  μ
                  )
                
              
            
            
              
                (
                
                  μ
                  −
                  λ
                
                )
              
              
                (
                
                  μ
                  −
                  ν
                
                )
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              μ
            
          
        
        
          [
          
            
              
                S
                (
                μ
                )
              
            
            
              
                
                  ∂
                  Φ
                
                
                  ∂
                  μ
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\ +\ {\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]}
  

  
    
      
        +
         
        
          
            
              4
              
                
                  S
                  (
                  ν
                  )
                
              
            
            
              
                (
                
                  ν
                  −
                  λ
                
                )
              
              
                (
                
                  ν
                  −
                  μ
                
                )
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              ν
            
          
        
        
          [
          
            
              
                S
                (
                ν
                )
              
            
            
              
                
                  ∂
                  Φ
                
                
                  ∂
                  ν
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle +\ {\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]}
  
 。
其它微分算子，例如 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
  
 與 
  
    
      
        ∇
        ×
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
  
 ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。


參閱 橢球
類球面


參考目錄 Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 663.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
Sauer R, Szabo I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: pp. 101–102.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 176.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
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Moon PH, Spencer DE. Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 40–44 (Table 1.10). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)