微分几何中，第二基本形式（second fundamental form）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。


 R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中曲面


= 引论 =

  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中一个参数曲面
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，
  
    
      
        z
        =
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle z=f(x,y)}
  
，且平面
  
    
      
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z=0}
  
与曲面在原点相切。则
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
以及关于
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
和
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的偏导数在
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
皆为零。从而
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
处的泰勒展开以二次项开始：

  
    
      
        z
        =
        
          f
          
            x
            x
          
        
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        
          f
          
            x
            y
          
        
        x
        y
        +
        
          f
          
            y
            y
          
        
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        o
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle z=f_{xx}{\frac {x^{2}}{2}}+f_{xy}xy+f_{yy}{\frac {y^{2}}{2}}+o(n)}
  
，
记 
  
    
      
        L
        =
        
          f
          
            x
            x
          
        
        ,
        M
        =
        
          f
          
            x
            y
          
        
        ,
        N
        =
        
          f
          
            y
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle L=f_{xx},M=f_{xy},N=f_{yy}}
  
, 则在
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
坐标中原点处的第二基本形式是二次型：

  
    
      
        L
        d
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        M
        d
        x
        d
        y
        +
        N
        d
        
          y
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle Ldx^{2}+2Mdxdy+Ndy^{2}.\,}
  

对 参数曲面
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
上一个光滑点
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，总可以选取坐标系使得坐标的 z-平面与
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
切于
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，然后可以相同的方式定义第二基本形式。


= 经典记号 =
一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          r
        
        (
        u
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)}
  
 是
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中一个正则参数曲面，这里
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
是两个变量的光滑向量值函数。通常记
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
关于
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
和
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
的偏导数为
  
    
      
        
          
            r
          
          
            u
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{u}}
  
与
  
    
      
        
          
            r
          
          
            v
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{v}}
  
。参数化的正则性意味着
  
    
      
        
          
            r
          
          
            u
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{u}}
  
与
  
    
      
        
          
            r
          
          
            v
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{v}}
  
对
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
的定义域中任何
  
    
      
        (
        u
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle (u,v)}
  
是线性无关的。等价地，叉积
  
    
      
        
          
            r
          
          
            u
          
        
        ×
        
          
            r
          
          
            v
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}
  
是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场
  
    
      
        
          n
        
        (
        u
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} (u,v)}
  
：

  
    
      
        
          n
        
        =
        
          
            
              
                
                  r
                
                
                  u
                
              
              ×
              
                
                  r
                
                
                  v
                
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  u
                
              
              ×
              
                
                  r
                
                
                  v
                
              
              
                |
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.}
  

第二基本形式通常写成

  
    
      
        
          I
          I
        
        =
        L
        d
        
          u
          
            2
          
        
        +
        2
        M
        d
        u
        d
        v
        +
        N
        d
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {II} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},\,}
  

在基
  
    
      
        {
        
          
            r
          
          
            u
          
        
        ,
        
          
            r
          
          
            v
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{\mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}\}}
  
下的矩阵是

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  L
                
                
                  M
                
              
              
                
                  M
                
                
                  N
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}
  

在参数化 uv-平面上一个给定点处系数
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
, 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
, 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
由
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
在那个点的二次偏导数到
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的法线上投影给出，利用点积可计算如下：

  
    
      
        L
        =
        
          
            r
          
          
            u
            u
          
        
        ⋅
        
          n
        
        ,
        
        M
        =
        
          
            r
          
          
            u
            v
          
        
        ⋅
        
          n
        
        ,
        
        N
        =
        
          
            r
          
          
            v
            v
          
        
        ⋅
        
          n
        
        .
      
    
    {\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} ,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} ,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} .}
  


= 现代记法 =
一个通常曲面
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的第二基本形式定义如下：设
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          r
        
        (
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          u
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2})}
  
是
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
  
中一个正则参数曲面，这里
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
是两个变量的光滑向量值函数。通常记
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
关于
  
    
      
        
          u
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{\alpha }}
  
的偏导数为
  
    
      
        
          
            r
          
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{\alpha }}
  
，
  
    
      
        α
        =
        1
        ,
        2
      
    
    {\displaystyle \alpha =1,2}
  
。参数化的正则性意味着
  
    
      
        
          
            r
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
  
与
  
    
      
        
          
            r
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
  
在
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {S} }
  
的切空间。等价地，叉积
  
    
      
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            r
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}
  
是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
： 

  
    
      
        
          n
        
        =
        
          
            
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              ×
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              ×
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}}
  

第二基本形式通常写作

  
    
      
        
          I
          I
        
        =
        
          b
          
            α
            β
          
        
        d
        
          u
          
            α
          
        
        d
        
          u
          
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {II} =b_{\alpha \beta }du^{\alpha }du^{\beta }}
  

上式使用了爱因斯坦求和约定。
在参数
  
    
      
        (
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          u
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (u^{1},u^{2})}
  
-曲面给定点处系数
  
    
      
        
          b
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{\alpha \beta }}
  
由
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
的二次偏导数到
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的法线的投影给出，利用点积可写成：

  
    
      
        
          b
          
            α
            β
          
        
        =
        
          
            r
          
          
            α
            β
          
        
        ⋅
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle b_{\alpha \beta }=\mathbf {r} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {n} }
  


黎曼流形中的超曲面 在欧几里得空间中，第二基本形式由

  
    
      
        I
        
        I
        (
        v
        ,
        w
        )
        =
        ⟨
        d
        ν
        (
        v
        )
        ,
        w
        ⟩
      
    
    {\displaystyle I\!I(v,w)=\langle d\nu (v),w\rangle }
  

给出，这里 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 是高斯映射，而 
  
    
      
        d
        ν
      
    
    {\displaystyle d\nu }
  
 是 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 的微分视为一个向量值微分形式，括号表示欧几里得空间的度量张量。
更一般地，在一个黎曼流形上，第二基本形式是描述一个超曲面形算子（记作
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
）的等价方法，

  
    
      
        
          I
        
        
        
          I
        
        (
        v
        ,
        w
        )
        =
        ⟨
        S
        (
        v
        )
        ,
        w
        ⟩
        =
        −
        ⟨
        
          ∇
          
            v
          
        
        n
        ,
        w
        ⟩
        =
        ⟨
        n
        ,
        
          ∇
          
            v
          
        
        w
        ⟩
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle =-\langle \nabla _{v}n,w\rangle =\langle n,\nabla _{v}w\rangle ,}
  

这里 
  
    
      
        
          ∇
          
            v
          
        
        w
      
    
    {\displaystyle \nabla _{v}w}
  
 表示周围空间的共变导数，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
超曲面上一个法向量场。如果仿射联络是无挠的，则第二基本形式是对称的。
第二基本形式的符号取决于
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个定向）。


= 推广为任意餘维数 =
第二基本形式可以推广到任意餘維數。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为

  
    
      
        
          I
        
        
        
          I
        
        (
        v
        ,
        w
        )
        =
        (
        
          ∇
          
            v
          
        
        w
        
          )
          
            ⊥
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },}
  

这里 
  
    
      
        (
        
          ∇
          
            v
          
        
        w
        
          )
          
            ⊥
          
        
      
    
    {\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }}
  
 表示共变导数 
  
    
      
        
          ∇
          
            v
          
        
        w
      
    
    {\displaystyle \nabla _{v}w}
  
 到法丛的正交投影。
在欧几里得空间中，子流形的曲率张量可以描述为下列公式：

  
    
      
        ⟨
        R
        (
        u
        ,
        v
        )
        w
        ,
        z
        ⟩
        =
        ⟨
        
          I
        
        
        
          I
        
        (
        u
        ,
        z
        )
        ,
        
          I
        
        
        
          I
        
        (
        v
        ,
        w
        )
        ⟩
        −
        ⟨
        
          I
        
        
        
          I
        
        (
        u
        ,
        w
        )
        ,
        
          I
        
        
        
          I
        
        (
        v
        ,
        z
        )
        ⟩
        .
      
    
    {\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}
  

这叫做高斯方程，可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值，是曲面的主曲率。一组正交规范本征向量称为主方向。
对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
是嵌入黎曼流形
  
    
      
        (
        M
        ,
        g
        )
      
    
    {\displaystyle (M,g)}
  
中一个流形，则
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
在诱导度量下的曲率张量 
  
    
      
        
          R
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{N}}
  
 可以用第二基本形式与
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
的曲率张量 
  
    
      
        
          R
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{M}}
  
 表示出来：

  
    
      
        ⟨
        
          R
          
            N
          
        
        (
        u
        ,
        v
        )
        w
        ,
        z
        ⟩
        =
        ⟨
        
          R
          
            M
          
        
        (
        u
        ,
        v
        )
        w
        ,
        z
        ⟩
        +
        ⟨
        
          I
        
        
        
          I
        
        (
        u
        ,
        z
        )
        ,
        
          I
        
        
        
          I
        
        (
        v
        ,
        w
        )
        ⟩
        −
        ⟨
        
          I
        
        
        
          I
        
        (
        u
        ,
        w
        )
        ,
        
          I
        
        
        
          I
        
        (
        v
        ,
        z
        )
        ⟩
        .
      
    
    {\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}
  


相关条目 第一基本形式
高斯曲率
高斯-科达齐方程


参考文献 Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7. 
Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325.  
Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1. 


外部链接 关于第二基本形式的几何的一篇博士论文，作者为 Steven Verpoort: https://lirias.kuleuven.be/bitstream/1979/1779/2/hierrrissiedan!.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）