算术-几何平均值不等式，簡稱算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
为
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个非負实数，它们的算术平均数是
  
    
      
        
          
            A
          
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                x
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} _{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}
  
，它们的几何平均数是
  
    
      
        
          
            G
          
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                x
                
                  2
                
              
              ⋯
              
                x
                
                  n
                
              
            
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {G} _{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}
  
。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负实数
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
  
：

  
    
      
        
          
            A
          
          
            n
          
        
        ≥
        
          
            G
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}}
  

等号成立当且仅当
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
  
。
通常用于两个数之间，设这两个数为
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，也就是
  
    
      
        
          
            
              a
              +
              b
            
            2
          
        
        ⩾
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}}
  

算术-几何平均值不等式仅适用于非負实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。


例子 在
  
    
      
        n
        =
        4
      
    
    {\displaystyle n=4}
  
的情况，设：
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        3.5
        ,
         
        
          x
          
            2
          
        
        =
        6.2
        ,
         
        
          x
          
            3
          
        
        =
        8.4
        ,
         
        
          x
          
            4
          
        
        =
        5
      
    
    {\displaystyle x_{1}=3.5,\ x_{2}=6.2,\ x_{3}=8.4,\ x_{4}=5}
  
，那么 

  
    
      
        
          
            A
          
          
            4
          
        
        =
        
          
            
              3.5
              +
              6.2
              +
              8.4
              +
              5
            
            4
          
        
        =
        5.775
        ,
         
        
          
            G
          
          
            4
          
        
        =
        
          
            
              3.5
              ×
              6.2
              ×
              8.4
              ×
              5
            
            
              4
            
          
        
        ≈
        5.4945
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} _{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} _{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945}
  

可见
  
    
      
        
          
            A
          
          
            4
          
        
        ≥
        
          
            G
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} _{4}\geq \mathbf {G} _{4}}
  
。


历史上的证明 历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
  
    
      
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=2}
  
的情况很早就为人所知，但对于一般的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。


= 柯西的证明 =
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明：


= 归纳法的证明 =
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（Algebra）的第二卷中给出的：

于是完成了从
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
到
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明：


= 基于琴生不等式的证明 =
注意到几何平均数
  
    
      
        
          
            G
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {G} _{n}}
  
实际上等于
  
    
      
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              
                ln
                ⁡
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                +
                ln
                ⁡
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                +
                ⋯
                +
                ln
                ⁡
                
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
              n
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right)}
  
，因此算术-几何平均不等式等价于：

  
    
      
        ln
        ⁡
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                x
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
        ≥
        
          
            
              ln
              ⁡
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
              +
              ln
              ⁡
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
              +
              ⋯
              +
              ln
              ⁡
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}}
  
。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。


= 基于排序不等式的证明 =
令
  
    
      
        
          b
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                i
              
            
            
              
                
                  G
                
              
              
                n
              
            
          
        
        (
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        .
        .
        .
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle b_{i}={\frac {a_{i}}{{\mathbf {G} }_{n}}}(i=1,2,3,...,n)}
  
，于是有
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        ⋯
        
          b
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=1}
  
，再作代换
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              c
              
                1
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            
              c
              
                3
              
            
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              c
              
                n
              
            
            
              c
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1}={\frac {c_{1}}{c_{2}}},b_{2}={\frac {c_{2}}{c_{3}}},\cdots ,b_{n}={\frac {c_{n}}{c_{1}}}}
  
，运用排序不等式得到：

  
    
      
        
          
            
              c
              
                1
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            
              c
              
                3
              
            
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              c
              
                n
              
            
            
              c
              
                1
              
            
          
        
        ⩾
        
          
            
              c
              
                1
              
            
            
              c
              
                1
              
            
          
        
        +
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          
            
              c
              
                n
              
            
            
              c
              
                n
              
            
          
        
        =
        n
      
    
    {\displaystyle {\frac {c_{1}}{c_{2}}}+{\frac {c_{2}}{c_{3}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{c_{1}}}\geqslant {\frac {c_{1}}{c_{1}}}+{\frac {c_{2}}{c_{2}}}+...+{\frac {c_{n}}{c_{n}}}=n}
  
，
于是得到
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        ⩾
        n
        
          
            
              G
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\geqslant n{\mathbf {G} }_{n}}
  
，即原不等式成立。
此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。


推广 算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。


= 加权算术-几何平均不等式 =
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}
  
和
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}
  
为正实数，并且
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        +
        
          p
          
            2
          
        
        ⋯
        +
        
          p
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle p_{1}+p_{2}\cdots +p_{n}=1}
  
，那么：

  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          p
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        ⋯
        +
        
          p
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        ≥
        
          x
          
            1
          
          
            
              p
              
                1
              
            
          
        
        
          x
          
            2
          
          
            
              p
              
                2
              
            
          
        
        ⋯
        
          x
          
            n
          
          
            
              p
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}}
  
。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。


= 矩阵形式 =
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：
对于系数都是正实数的矩阵

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      k
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                      1
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      k
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nk}\end{bmatrix}}}
  

设
  
    
      
        
          A
          
            j
          
        
        =
        
          
            1
            n
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}}
  
，
  
    
      
        
          G
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              
                ∏
                
                  j
                  =
                  1
                
                
                  k
                
              
              
                a
                
                  i
                  j
                
              
            
            
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{i}={\sqrt[{k}]{\prod _{j=1}^{k}a_{ij}}}}
  
，那么有：

  
    
      
        
          
            
              
                A
                
                  1
                
              
              
                A
                
                  2
                
              
              ⋯
              
                A
                
                  k
                
              
            
            
              k
            
          
        
        ⩽
        
          
            
              
                G
                
                  1
                
              
              +
              
                G
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                G
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}}
  

也就是说：对
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个横行取的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个几何平均数的算术平均。


= 极限形式 =
也称为积分形式：对任意在区间
  
    
      
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,1]}
  
上可积的正值函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，都有 

 
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        ≥
        exp
        ⁡
        (
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        ln
        ⁡
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)dx\geq \exp(\int _{0}^{1}\ln f(x)dx)}
  
 
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成
  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                x
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
        ≥
        exp
        ⁡
        (
        
          
            
              ln
              ⁡
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
              +
              ln
              ⁡
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
              +
              ⋯
              +
              ln
              ⁡
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
            
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq \exp({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}})}
  
后，将两边的黎曼和中的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
趋于无穷大后得到的形式。


= 算數-幾何-調和平均值不等式 =
若再規定
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
的调和平均数
  
    
      
        H
        =
        
          
            n
            
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
              +
              .
              .
              .
              +
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.}
  

則有

  
    
      
        
          
            A
          
          
            n
          
        
        ≥
        
          
            G
          
          
            n
          
        
        ≥
        
          
            H
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}}
  

且等号依舊成立当且仅当
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
  
。
證明由算數-幾何平均值不等式知

  
    
      
        
          
            
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
              +
              .
              .
              .
              +
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            n
          
        
        ≥
        
          
            
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
              ⋯
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            
              n
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                ⋯
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{x_{1}}}{\frac {1}{x_{2}}}\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}}
  

故

  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              
                x
                
                  2
                
              
              ⋯
              
                x
                
                  n
                
              
            
            
              n
            
          
        
        ≥
        
          
            n
            
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
              +
              .
              .
              .
              +
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}}
  

即

  
    
      
        
          
            G
          
          
            n
          
        
        ≥
        
          
            H
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}}
  

且等號成立於

  
    
      
        
          
            1
            
              x
              
                1
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          
            1
            
              x
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}={\frac {1}{x_{2}}}=\cdots ={\frac {1}{x_{n}}}}
  

即

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
  


参见 平均数不等式
算术平均数
几何平均数
幂平均不等式
杨氏不等式


参考来源 匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。