方塊矩陣，也称方阵、方矩陣或正方矩陣，是行數及列數皆相同的矩陣。由
  
    
      
        n
        ×
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\times n\,}
  
矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，构成環。除了
  
    
      
        n
        =
        1
        
      
    
    {\displaystyle n=1\,}
  
，此環並不是交换環。
M(n, R)，即實方塊矩陣環，是個實有单位的結合代數。M(n, C)，即複方塊矩陣環，則是複結合代數。
單位矩陣
  
    
      
        
          I
          
            n
          
        
        
      
    
    {\displaystyle I_{n}\,}
  
的對角線全是1而其他位置全是0，對所有
  
    
      
        m
        ×
        n
        
      
    
    {\displaystyle m\times n\,}
  
矩陣
  
    
      
        M
        
      
    
    {\displaystyle M\,}
  
及
  
    
      
        n
        ×
        k
        
      
    
    {\displaystyle n\times k\,}
  
矩陣
  
    
      
        N
        
      
    
    {\displaystyle N\,}
  
都有
  
    
      
        M
        
          I
          
            n
          
        
        =
        M
        
      
    
    {\displaystyle MI_{n}=M\,}
  
及
  
    
      
        
          I
          
            n
          
        
        N
        =
        N
        
      
    
    {\displaystyle I_{n}N=N\,}
  
。
例如，若
  
    
      
        n
        =
        3
        
      
    
    {\displaystyle n=3\,}
  
：

  
    
      
        
          I
          
            3
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        
      
    
    {\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,}
  

單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。
方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇异方阵。
  
    
      
        n
        ×
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\times n\,}
  
矩陣
  
    
      
        A
        
      
    
    {\displaystyle A\,}
  
是可逆當且僅當存在矩陣
  
    
      
        B
        
      
    
    {\displaystyle B\,}
  
使得

  
    
      
        A
        B
        =
        
          I
          
            n
          
        
        (
        =
        B
        A
        )
        
      
    
    {\displaystyle AB=I_{n}(=BA)\,}
  
。
此時
  
    
      
        B
        
      
    
    {\displaystyle B\,}
  
稱為
  
    
      
        A
        
      
    
    {\displaystyle A\,}
  
的逆矩陣，並記作
  
    
      
        
          A
          
            −
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{-1}\,}
  
。
所有
  
    
      
        n
        ×
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\times n\,}
  
矩陣在乘法上組成一個群（亦是一個李群），稱為一般線性群。
若數字
  
    
      
        λ
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \,}
  
和非零向量
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}\,}
  
满足
  
    
      
        A
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        λ
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle A{\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\,}
  
，則
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}\,}
  
為
  
    
      
        A
        
      
    
    {\displaystyle A\,}
  
的一個特征向量，
  
    
      
        λ
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \,}
  
是其對應的特征值。數字
  
    
      
        λ
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \,}
  
為
  
    
      
        A
        
      
    
    {\displaystyle A\,}
  
的特征值當且僅當
  
    
      
        A
        −
        λ
        
          I
          
            n
          
        
        
      
    
    {\displaystyle A-\lambda I_{n}\,}
  
可逆，又當且僅當
  
    
      
        
          p
          
            A
          
        
        (
        λ
        )
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle p_{A}(\lambda )=0\,}
  
。這裏，
  
    
      
        
          p
          
            A
          
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle p_{A}(x)\,}
  
是
  
    
      
        A
        
      
    
    {\displaystyle A\,}
  
的特征多項式。特征多項式是一個
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
次多項式，有
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
个复根（考虑重根），即
  
    
      
        A
        
      
    
    {\displaystyle A\,}
  
有
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
個特征值。
方塊矩陣
  
    
      
        A
        
      
    
    {\displaystyle A\,}
  
的行列式是其
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
個特征值的積，但亦可經由莱布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。
高斯-若爾當消元法非常重要，可以用来計算矩阵的行列式，秩，逆矩陣，并解決線性方程組。
矩陣的迹是
  
    
      
        n
        ×
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\times n\,}
  
矩陣的对角线元素之和，也是其
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
個特征值之和。
所有正交矩阵都是方块矩阵。


方块矩阵的等价命题 线性代数中，下列关于方块矩阵A的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：

A 可逆 ； A的反矩陣存在。
det(A) = 0 。
rank(A) = n 。
Null(A) = 0 。
A的特征值中没有0。
对任意b属于Fn，Ax = b有唯一解。
Ax = 0只有平凡解。
ATA可逆。
A与单位矩阵行（列）等价。
A的行向量或列向量張成Fn 。
A的零空间只有零向量。
A的值域為Fn 。
A的行（列）向量构成Fn (Fn)中向量的线性无关集。
这裡，F为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。


參考資料