在數學中，一個數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的平方根
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
指的是滿足
  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y^{2}=x}
  
的數，即平方結果等於
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的數。例如，4和-4都是16的平方根，因为
  
    
      
        
          4
          
            2
          
        
        =
        (
        −
        4
        
          )
          
            2
          
        
        =
        16
      
    
    {\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}
  
。
任意非負實數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
都有唯一的非負平方根，称为算术平方根或主平方根（英語：principal square root），記為
  
    
      
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x}}}
  
，其中的符号
  
    
      
        
          
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\quad }}}
  
称作根号。例如，9的算术平方根为3，记作 
  
    
      
        
          
            9
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {9}}=3}
  
，因为
  
    
      
        
          3
          
            2
          
        
        =
        3
        ×
        3
        =
        9
      
    
    {\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9}
  
并且3非负。被求平方根的数称作被开方数（英語：radicand），是根号下的数字或者表达式，即例子中的数字9。
正数
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
有兩個互为相反数的平方根：正数
  
    
      
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x}}}
  
与负数
  
    
      
        −
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\sqrt {x}}}
  
，可以将两者一起记为
  
    
      
        ±
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}
  
。
負數的平方根在複數系中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其“平方根”（例如矩陣的平方根）。

在Microsoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。


历史 耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
的六十进制数字 1;24,51,10。六十进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。
莱因德数学纸草书大约成书于前1650年，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。
古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。
古希腊的《几何原本》大约成书于前380年，书中还阐述了如果正整数不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数（无法写作m/n，其中m和n是整数）。
中国的《书》成书于汉朝（约前202年到前186年之间），书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。
古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。
中世紀時，拉丁語中的latus（正方形邊）的首個字母“L”被不少歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫，在被開方的數下畫一線。
最有影響的是拉丁語的radix（平方根），1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞（R右下角的有一斜劃，像P和x的合體）；⎷（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小寫r的變型；后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“⎷‾”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写），从而形成了现在人們熟知的开方运算符号
  
    
      
        
          
            
              
              
            
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\,\,}}}
  
。


正數 x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的平方根亦可用指數表示，如：

  
    
      
        
          x
          
            
              1
              2
            
          
        
        =
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}}
  

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的絕對值可用
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  
的算數平方根表示：

  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          (
          
            =
            
              
                {
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      (
                      x
                      ≥
                      0
                      )
                    
                  
                  
                    
                      −
                      x
                    
                    
                      (
                      x
                      <
                      0
                      )
                    
                  
                
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)}
  

若正整數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是平方數，則其平方根是整數。若正整數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
不是平方數，則其平方根是無理數。
對於正數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
、
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
，以下式成立：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    x
                  
                
                
                  
                    y
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    x
                    y
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      x
                      y
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}
  


负数与複數 正数和负数的平方都是正数，0的平方是0，因此负数没有实数平方根。然而，我们可以把我们所使用的数字集合扩大，加入负数的平方根，这样的集合就是複數。首先需要引入一个实数集之外的新数字，记作
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
（也可以记作
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
，比如电学场景中
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
一般表示电流），称之为虚数单位，定义即为
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1}
  
，故
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
是-1的平方根，而且
  
    
      
        (
        −
        i
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle (-i)^{2}=i^{2}=-1}
  
，所以
  
    
      
        −
        i
      
    
    {\displaystyle -i}
  
也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
，如果
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是任意非负实数，则
  
    
      
        −
        x
      
    
    {\displaystyle -x}
  
的算术平方根就是：

  
    
      
        
          
            −
            x
          
        
        =
        i
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}}
  

例如-5的平方根有两个，它们分别为
  
    
      
        
          
            5
          
        
        i
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {5}}i}
  
和
  
    
      
        −
        
          
            5
          
        
        i
      
    
    {\displaystyle -{\sqrt {5}}i}
  
。
之所以等式右侧（包括其对应的负值）是
  
    
      
        −
        x
      
    
    {\displaystyle -x}
  
的算术平方根，是因为：

  
    
      
        (
        i
        
          
            x
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          i
          
            2
          
        
        (
        
          
            x
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        (
        −
        1
        )
        x
        =
        −
        x
      
    
    {\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x}
  

负数的兩個平方根为一对共轭的纯虚数。
對於負數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
、
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
，以下式成立：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    x
                  
                
                
                  
                    y
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    −
                    x
                  
                
                
                i
                ×
                
                  
                    −
                    y
                  
                
                
                i
                =
                
                  
                    x
                    y
                  
                
                
                
                  i
                  
                    2
                  
                
                =
                −
                
                  
                    x
                    y
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        
                          −
                          x
                        
                      
                      i
                    
                    
                      
                        
                          −
                          y
                        
                      
                      i
                    
                  
                
                =
                
                  
                    
                      
                        −
                        x
                      
                      
                        −
                        y
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    
                      x
                      y
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {-x}}\,i\times {\sqrt {-y}}\,i={\sqrt {xy}}\,i^{2}=-{\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\frac {{\sqrt {-x}}i}{{\sqrt {-y}}i}}={\sqrt {\frac {-x}{-y}}}={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}
  


= 虚数的算术平方根 =

虚数
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
的算术平方根可以根据以下公式计算：

  
    
      
        
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              2
            
            2
          
        
        +
        i
        
          
            
              2
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
            
            2
          
        
        (
        1
        +
        i
        )
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}
  

这个公式可以通过用代数方法推导，只需找到特定的实数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，满足

  
    
      
        
          
            
              
                i
              
              
                
                =
                (
                a
                +
                b
                i
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                +
                2
                a
                b
                i
                −
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}i&=(a+bi)^{2}\\&=a^{2}+2abi-b^{2}\end{aligned}}}
  

就可以得到方程组

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  2
                  a
                  b
                  =
                  1
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\\a^{2}-b^{2}=0\end{cases}}}
  

的解：

  
    
      
        a
        =
        b
        =
        ±
        
          
            
              2
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a=b=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
  

其中，算术平方根即为

  
    
      
        a
        =
        b
        =
        
          
            
              2
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}}
  

这个公式还可以通过棣莫弗公式得到，设

  
    
      
        i
        =
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              π
              2
            
          
          )
        
        +
        i
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              π
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}
  

就可以推出

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    i
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        (
                        
                          
                            π
                            2
                          
                        
                        )
                      
                      +
                      i
                      sin
                      ⁡
                      
                        (
                        
                          
                            π
                            2
                          
                        
                        )
                      
                    
                    ]
                  
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      π
                      4
                    
                  
                  )
                
                +
                i
                sin
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      π
                      4
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                    
                    2
                  
                
                +
                i
                
                  
                    
                      2
                    
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                    
                    2
                  
                
                (
                1
                +
                i
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left[\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\end{aligned}}}
  


= 复数的算术平方根 =

对于任何一个非零的复数
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
都存在两个複数
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
使得
  
    
      
        
          w
          
            2
          
        
        =
        z
      
    
    {\displaystyle w^{2}=z}
  
。
首先，我们将复数
  
    
      
        x
        +
        i
        y
      
    
    {\displaystyle x+iy}
  
 看作是平面上的点，即笛卡尔坐标系中的
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
点。这个点也可以写作极坐标的
  
    
      
        (
        r
        ,
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle (r,\varphi )}
  
，其中
  
    
      
        r
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle r\geq 0}
  
，是该点到坐标原点的距离，
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
则是从原点到该点的直线与实数坐标轴（
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
轴）的夹角。复分析中，通常把该点记作
  
    
      
        r
        
          e
          
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle re^{i\varphi }}
  
。如果

  
    
      
        z
        =
        r
        
          e
          
            i
            φ
          
        
        ,
        −
        π
        <
        φ
        ≤
        π
      
    
    {\displaystyle z=re^{i\varphi },-\pi <\varphi \leq \pi }
  

那么我们将
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
的算术平方根定义为：

  
    
      
        
          
            z
          
        
        =
        
          
            r
          
        
        
          e
          
            
              
                i
                φ
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}}
  

因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。
  
    
      
        
          
            1
            +
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {1+x}}}
  
 的泰勒级数也适用于复数
  
    
      
        x
        (
        
          |
          x
          |
        
        <
        1
        )
      
    
    {\displaystyle x(\left\vert x\right\vert <1)}
  
。
上面的公式还可以用三角函数的形式表达：

  
    
      
        
          
            r
            
              (
              
                cos
                ⁡
                φ
                +
                i
                sin
                ⁡
                φ
              
              )
            
          
        
        =
        
          
            r
          
        
        
          (
          
            cos
            ⁡
            
              
                φ
                2
              
            
            +
            i
            sin
            ⁡
            
              
                φ
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)}
  


= 代数公式 =
如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z，其算术平方根可以使用如下公式：

  
    
      
        
          
            z
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  |
                
                z
                
                  |
                
                +
                ℜ
                (
                z
                )
              
              2
            
          
        
        ±
        i
        
          
            
              
                
                  |
                
                z
                
                  |
                
                −
                ℜ
                (
                z
                )
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\Re (z)}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|z|-\Re (z)}{2}}}}
  

其中，方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同（为0时取正）；主值实部永远非负。
在虛數裡，平方根函數的值不是連續的，以下等式不一定成立：

  
    
      
        
          
            z
            w
          
        
        =
        
          
            z
          
        
        
          
            w
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}
  

  
    
      
        
          
            
              w
            
            
              z
            
          
        
        =
        
          
            
              w
              z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              z
              
                ∗
              
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                z
              
            
            )
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}
  

所以這是錯誤的：

  
    
      
        −
        1
        =
        i
        ⋅
        i
        =
        
          
            −
            1
          
        
        ⋅
        
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            (
            −
            1
            )
            ⋅
            (
            −
            1
            )
          
        
        =
        
          
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}
  


多项式 例：若
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
  
，
  
    
      
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            +
            2
            
              x
              
                2
              
            
            +
            1
          
        
        =
        
          
            (
            
              x
              
                2
              
            
            +
            1
            
              )
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          |
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
        
          |
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x^{4}+2x^{2}+1}}={\sqrt {(x^{2}+1)^{2}}}=|x^{2}+1|=x^{2}+1\,\!}
  


2的算术平方根 數學史中，最重要的平方根可以說是
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
，它代表邊長為1的正方形的對角線長，是第一個公認的無理數，也叫毕达哥拉斯常数，其值到小數點14位約為1.4142135623731。

  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
是無理數，可由歸謬法證明：

設
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
為有理數，可表示為
  
    
      
        
          
            p
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{q}}}
  
，其中
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
、
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
為互質之正整數。
因為
  
    
      
        
          
            (
            
              
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              q
              
                2
              
            
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}=2}
  
，故
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{2}}
  
是2的倍數，
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
也是2的倍數，記為
  
    
      
        2
        k
      
    
    {\displaystyle 2k}
  
，其中
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
為正整數。
但是
  
    
      
        2
        
          q
          
            2
          
        
        =
        
          p
          
            2
          
        
        =
        4
        
          k
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2q^{2}=p^{2}=4k^{2}}
  
，故
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
        =
        2
        
          k
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q^{2}=2k^{2}}
  
，
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q^{2}}
  
是2的倍數，
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
也是2的倍數。
依上兩式，
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
、
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
都是2的倍數，和
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
、
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
不是有理數，即
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
是無理數。


計算方法 = 因數計算 =

  
    
      
        
          
            24
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                2
              
            
            ⋅
            6
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        
          
            6
          
        
        =
        2
        
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {24}}={\sqrt {2^{2}\cdot 6}}={\sqrt {2^{2}}}{\sqrt {6}}=2{\sqrt {6}}}
  
。
注意，6 的质因数分解为 2 × 3，不能写成某个数的平方，因此 
  
    
      
        2
        
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle 2{\sqrt {6}}}
  
 就是最简结果
。


= 中算开方 =

《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明、增乘开平方法；明代数学家，程大位发明，而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方，精确到25位数字。


= 長除式算法 =
長除式算平方根的方式也稱為直式開方法，原理是
  
    
      
        .
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        (
        2
        a
        +
        b
        )
        b
      
    
    {\displaystyle .(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+(2a+b)b}
  
。

首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組，順序為1' 04. 85' 73'。
將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。
將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。
將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於但最接近上一步所得之差，並將該個個位數記下，且將上一步所得之差減去所得之積。
記下的數一次隔兩位記下。
重覆第3步，直到找到答案。
可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。
下面以
  
    
      
        
          
            200
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {200}}}
  
為例子：

  
    
      
        
          
            
              
                
                
                  
                    1
                  
                
                 
                 
                
                  
                    4
                  
                
                .
                 
                 
                
                  
                    1
                  
                
                 
                 
                
                  
                    4
                  
                
                 
                 
                
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    2
                    
                      |
                    
                    00.00
                    
                      |
                    
                    00
                    
                      |
                    
                    00
                  
                
              
            
            
              
                
                
                  
                    
                      1
                      
                       
                    
                    _
                  
                
              
              
                
                
                  
                    1
                  
                
                ×
                
                  
                    1
                  
                
                ≤
                2
              
            
            
              
                
                1
                 
                00
              
              
                a
                =
                
                  
                    1
                  
                
                0
                ,
                b
                =
                
                  
                    4
                  
                
              
            
            
              
                
                
                  
                    
                       
                       
                      
                      96
                      
                       
                    
                    _
                  
                
              
              
                
                ⇒
                (
                2
                a
                +
                b
                )
                b
                =
                2
                
                  
                    4
                  
                
                ×
                
                  
                    4
                  
                
                =
                96
                ≤
                100
              
            
            
              
                
                 
                4
                 
                00
              
              
                a
                =
                
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    4
                  
                
                0
                ,
                b
                =
                
                  
                    1
                  
                
              
            
            
              
                
                 
                
                  
                    
                      2
                       
                      81
                      
                       
                    
                    _
                  
                
              
              
                
                ⇒
                (
                2
                a
                +
                b
                )
                b
                =
                28
                
                  
                    1
                  
                
                ×
                
                  
                    1
                  
                
                =
                281
                ≤
                400
              
            
            
              
                
                 
                1
                 
                19
                 
                00
              
              
                a
                =
                
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    4
                  
                
                
                  
                    1
                  
                
                0
                ,
                b
                =
                
                  
                    4
                  
                
              
            
            
              
                
                 
                
                  
                    
                      1
                       
                      12
                       
                      96
                      
                       
                    
                    _
                  
                
              
              
                
                ⇒
                (
                2
                a
                +
                b
                )
                b
                =
                282
                
                  
                    4
                  
                
                ×
                
                  
                    4
                  
                
                =
                11296
                ≤
                11900
              
            
            
              
                
                
                 
                 
                6
                 
                04
                 
                00
              
              
                a
                =
                
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    4
                  
                
                
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    4
                  
                
                0
                ,
                b
                =
                
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                
                 
                 
                
                  
                    
                      5
                       
                      65
                       
                      64
                    
                    _
                  
                
              
              
                
                ⇒
                (
                2
                a
                +
                b
                )
                b
                =
                2828
                
                  
                    2
                  
                
                ×
                
                  
                    2
                  
                
                =
                56564
                ≤
                60400
              
            
            
              
                
                
                
                 
                
                38
                 
                36
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{ll}\quad {\color {Red}1}~~{\color {Green}4}.~~{\color {Blue}1}~~{\color {Purple}4}~~{\color {Orange}2}\\{\sqrt {2|00.00|00|00}}\\\quad {\underline {1\quad ~}}&\quad {\color {Red}1}\times {\color {Red}1}\leq 2\\\quad 1~00&a={\color {Red}1}0,b={\color {Green}4}\\\quad {\underline {~~\,96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2{\color {Green}4}\times {\color {Green}4}=96\leq 100\\\qquad ~4~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}0,b={\color {Blue}1}\\\qquad ~{\underline {2~81\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=28{\color {Blue}1}\times {\color {Blue}1}=281\leq 400\\\qquad ~1~19~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}0,b={\color {Purple}4}\\\qquad ~{\underline {1~12~96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=282{\color {Purple}4}\times {\color {Purple}4}=11296\leq 11900\\\qquad \quad ~~6~04~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}{\color {Purple}4}0,b={\color {Orange}2}\\\qquad \quad ~~{\underline {5~65~64}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2828{\color {Orange}2}\times {\color {Orange}2}=56564\leq 60400\\\qquad \quad \quad ~\,38~36\\\end{array}}}
  

  
    
      
        
          
            200
          
        
        ≈
        14.14213562373095048801668872421
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {200}}\approx 14.14213562373095048801668872421}
  

四捨五入得答案為14.14。
事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見n次方算法。
利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下：


= 牛頓法 =
如果要求
  
    
      
        S
        
        (
        S
        >
        1
        )
      
    
    {\displaystyle S\,(S>1)}
  
的平方根，選取
  
    
      
        1
        
        <
        
        
          x
          
            0
          
        
        
        <
        
        S
      
    
    {\displaystyle 1\,<\,x_{0}\,<\,S}
  

  
    
      
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                n
              
            
            +
            
              
                S
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right)}
  

例子：求
  
    
      
        
          
            125348
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {125348}}}
  
至6位有效數字。

  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        
          3
          
            6
          
        
        =
        729.000
        
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}=3^{6}=729.000\,\!}
  

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                0
              
            
            +
            
              
                S
                
                  x
                  
                    0
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            729.000
            +
            
              
                125348
                729.000
              
            
          
          )
        
        =
        450.472
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(729.000+{\frac {125348}{729.000}}\right)=450.472}
  

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                1
              
            
            +
            
              
                S
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            450.472
            +
            
              
                125348
                450.472
              
            
          
          )
        
        =
        364.365
      
    
    {\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(450.472+{\frac {125348}{450.472}}\right)=364.365}
  

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              
                S
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            364.365
            +
            
              
                125348
                364.365
              
            
          
          )
        
        =
        354.191
      
    
    {\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(364.365+{\frac {125348}{364.365}}\right)=354.191}
  

  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                3
              
            
            +
            
              
                S
                
                  x
                  
                    3
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            354.191
            +
            
              
                125348
                354.191
              
            
          
          )
        
        =
        354.045
      
    
    {\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.191+{\frac {125348}{354.191}}\right)=354.045}
  

  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                4
              
            
            +
            
              
                S
                
                  x
                  
                    4
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            354.045
            +
            
              
                125348
                354.045
              
            
          
          )
        
        =
        354.045
      
    
    {\displaystyle x_{5}={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.045+{\frac {125348}{354.045}}\right)=354.045}
  

因此
  
    
      
        
          
            125348
          
        
        ≈
        354.045
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {125348}}\approx 354.045}
  
.


= 連分數 =
平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见连分数，其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为：

  
    
      
        
          
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {1}}=1}
  

  
    
      
        
          
            2
          
        
        =
        [
        1
        ;
        2
        ,
        2
        ,
        2
        ,
        2...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2...]}
  

  
    
      
        
          
            3
          
        
        =
        [
        1
        ;
        1
        ,
        2
        ,
        1
        ,
        2...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2...]}
  

  
    
      
        
          
            4
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {4}}=2}
  

  
    
      
        
          
            5
          
        
        =
        [
        2
        ;
        4
        ,
        4
        ,
        4
        ,
        4...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4...]}
  

  
    
      
        
          
            6
          
        
        =
        [
        2
        ;
        2
        ,
        4
        ,
        2
        ,
        4...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {6}}=[2;2,4,2,4...]}
  

  
    
      
        
          
            7
          
        
        =
        [
        2
        ;
        1
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        4
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        4...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]}
  

  
    
      
        
          
            8
          
        
        =
        [
        2
        ;
        1
        ,
        4
        ,
        1
        ,
        4...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {8}}=[2;1,4,1,4...]}
  

  
    
      
        
          
            9
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {9}}=3}
  

  
    
      
        
          
            10
          
        
        =
        [
        3
        ;
        6
        ,
        6
        ,
        6
        ,
        6...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {10}}=[3;6,6,6,6...]}
  
 

  
    
      
        
          
            11
          
        
        =
        [
        3
        ;
        3
        ,
        6
        ,
        3
        ,
        6...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {11}}=[3;3,6,3,6...]}
  

  
    
      
        
          
            12
          
        
        =
        [
        3
        ;
        2
        ,
        6
        ,
        2
        ,
        6...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {12}}=[3;2,6,2,6...]}
  

  
    
      
        
          
            13
          
        
        =
        [
        3
        ;
        1
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        6
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        6...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]}
  

  
    
      
        
          
            14
          
        
        =
        [
        3
        ;
        1
        ,
        2
        ,
        1
        ,
        6
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        1
        ,
        6...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {14}}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]}
  

  
    
      
        
          
            15
          
        
        =
        [
        3
        ;
        1
        ,
        6
        ,
        1
        ,
        6...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {15}}=[3;1,6,1,6...]}
  

  
    
      
        
          
            16
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {16}}=4}
  

  
    
      
        
          
            17
          
        
        =
        [
        4
        ;
        8
        ,
        8
        ,
        8
        ,
        8...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {17}}=[4;8,8,8,8...]}
  

  
    
      
        
          
            18
          
        
        =
        [
        4
        ;
        4
        ,
        8
        ,
        4
        ,
        8...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {18}}=[4;4,8,4,8...]}
  

  
    
      
        
          
            19
          
        
        =
        [
        4
        ;
        2
        ,
        1
        ,
        3
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        8
        ,
        2
        ,
        1
        ,
        3
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        8...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {19}}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]}
  

  
    
      
        
          
            20
          
        
        =
        [
        4
        ;
        2
        ,
        8
        ,
        2
        ,
        8...
        ]
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {20}}=[4;2,8,2,8...]}
  

连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。


= 巴比倫方法 =

巴比伦求平方根的算法实际上很简单：（假设要求一个数N的平方根）

预测一个平方根
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，初始另一个值
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
，且
  
    
      
        x
        y
        =
        N
      
    
    {\displaystyle xy=N}
  

求预测值与初始值的均值：
  
    
      
        x
        =
        
          
            
              x
              +
              y
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {x+y}{2}}}
  
, 
  
    
      
        y
        =
        
          
            N
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\frac {N}{x}}}
  

比较
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
和
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的差值是否达到精度，如果无，继续步骤


= 重複的算術運算 =
這個方法是從佩爾方程演變過來的，它通過不斷減去奇數來求得答案。


= 尺规作图 =


 問題  給定線段AB和1，求一條長為
  
    
      
        
          
            A
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {AB}}}
  
的線段。


 解法  畫線AB，延長BA至C使
  
    
      
        A
        C
        =
        1
      
    
    {\displaystyle AC=1}
  

以BC的中點為圓心，OC為半徑畫圓
過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度


 證明  將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設

O=
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  

AB=
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  

直徑為BC的圓就是
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  n
                  +
                  1
                
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}}
  
（圓的方程式：
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
  
）（其中
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
表示半径。）
將
  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  +
                  1
                
                2
              
            
            −
            1
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)}
  
（A,D所在的x座標）代入上面的方程式

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                  2
                
              
              −
              1
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  n
                  +
                  1
                
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}}
  

解方程，得
  
    
      
        y
        =
        
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\sqrt {n}}}
  
。
另也可参见射影定理。


参见 方根
增乘开平方法
二项式定理
牛顿法


外部链接 Earliest Uses of Symbols of Operation（英文）
The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
开方公式的推导 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
平方根計算器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）


參考資料