歐氏幾何中，雞爪定理（或內心/旁心引理，英語：incenter/excenter lemma）描述三角形的頂點、內心、旁心、外接圓的位置關係。其斷言，三角形某頂點
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
所對的旁心
  
    
      
        
          I
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{B}}
  
、另兩個頂點
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
、內心
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
四點共圓，且其圓心（
  
    
      
        I
        
          I
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle II_{B}}
  
中點）位於三角形的外接圓
  
    
      
        ⊙
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \odot ABC}
  
上。此定理的構形常於奧數幾何題出現。


敍述 設
  
    
      
        △
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \triangle ABC}
  
為任意三角形，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
為其內心，
  
    
      
        ∠
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \angle ABC}
  
的角平分線
  
    
      
        B
        I
      
    
    {\displaystyle BI}
  
交外接圓
  
    
      
        ⊙
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \odot ABC}
  
於
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
。定理斷言，
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
到
  
    
      
        A
        ,
        C
        ,
        I
      
    
    {\displaystyle A,C,I}
  
三點等远，即
  
    
      
        D
        A
        =
        D
        C
        =
        D
        I
      
    
    {\displaystyle DA=DC=DI}
  
。
等價的說法有：

過
  
    
      
        A
        ,
        C
        ,
        I
      
    
    {\displaystyle A,C,I}
  
三點的圓，圓心位於
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
。這尤其說明該圓的圓心在於原三角形的外接圓上。
諸三角形
  
    
      
        A
        I
        D
        ,
        C
        I
        D
        ,
        A
        C
        D
      
    
    {\displaystyle AID,CID,ACD}
  
皆為等腰，
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
為其頂角。
還有第四點
  
    
      
        
          I
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{B}}
  
也到
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
等遠，就是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
所對的旁心。在以
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
為圓心的圓上，
  
    
      
        
          I
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{B}}
  
與
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
互為對徑點，即
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
為
  
    
      
        I
        
          I
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle II_{B}}
  
的中點。


證明 由於同弧所對的圆周角相等，有

  
    
      
        ∠
        I
        B
        A
        =
        ∠
        D
        C
        A
        ,
        
        ∠
        I
        B
        C
        =
        ∠
        D
        A
        C
        .
      
    
    {\displaystyle \angle IBA=\angle DCA,\quad \angle IBC=\angle DAC.}
  

又
  
    
      
        B
        I
      
    
    {\displaystyle BI}
  
為角
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的平分線，有

  
    
      
        ∠
        D
        C
        A
        =
        ∠
        D
        A
        C
        ,
      
    
    {\displaystyle \angle DCA=\angle DAC,}
  

故
  
    
      
        D
        A
        =
        D
        C
      
    
    {\displaystyle DA=DC}
  
得證（等圓周角對等弦）。
最後計角有：

  
    
      
        
          
            
              
                ∠
                D
                I
                A
                =
                

                
              
              
                
                  180
                  
                    ∘
                  
                
                −
                ∠
                A
                I
                B
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                ∠
                I
                A
                B
                +
                ∠
                I
                B
                A
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                ∠
                I
                A
                C
                +
                ∠
                D
                A
                C
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                ∠
                I
                A
                D
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\angle DIA={}&180^{\circ }-\angle AIB\\={}&\angle IAB+\angle IBA\\={}&\angle IAC+\angle DAC\\={}&\angle IAD.\\\end{aligned}}}
  

所以三角形
  
    
      
        D
        I
        A
      
    
    {\displaystyle DIA}
  
有兩底角相等，證畢
  
    
      
        D
        A
        =
        D
        I
      
    
    {\displaystyle DA=DI}
  
。


應用於求作三角形 定理適用於解決以下問題：已知某三角形的一個頂點
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、內心
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
和外心
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
，求作該三角形。作法如下：

以
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
為圓心，
  
    
      
        O
        B
      
    
    {\displaystyle OB}
  
為半徑，作圓。此為三角形的外接圓。
作直線
  
    
      
        B
        I
      
    
    {\displaystyle BI}
  
，與外接圓交於（
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
以外的另一點）
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
。
以
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
為圓心，
  
    
      
        D
        I
      
    
    {\displaystyle DI}
  
為半徑作圓，定理保證所得的圓過另兩個頂點
  
    
      
        A
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,C}
  
。
所以，該圓與外接圓的交點
  
    
      
        A
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,C}
  
即為所求。
然而，並非在平面上任意取三點作為
  
    
      
        B
        ,
        I
        ,
        O
      
    
    {\displaystyle B,I,O}
  
皆有對應的三角形。若以上作法不能給出三角形，則問題可能出在
  
    
      
        I
        B
      
    
    {\displaystyle IB}
  
與
  
    
      
        ⊙
        O
      
    
    {\displaystyle \odot O}
  
相切，也可能在於最後兩圓相切或外離。而且，若
  
    
      
        B
        ,
        I
        ,
        O
      
    
    {\displaystyle B,I,O}
  
三點無任何限制，則即使作法確實給出三角形，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
亦不必為其內心，可能是旁心。該些情況下，不存在三角形以
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
為頂點，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
為內心、
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
為外心。（對於固定的
  
    
      
        B
        ,
        O
      
    
    {\displaystyle B,O}
  
兩點，若要存在此種三角形，則
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
必須位於以
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
為尖點關於
  
    
      
        ⊙
        O
      
    
    {\displaystyle \odot O}
  
作成的心臟線圍成的區域中。）
其他構作三角形的問題，如給定頂點、內心、九點圓心，求作三角形，有部分情況可化歸為前述問題解決，但一般而言無法尺規作出。


命名 本定理有許多不同的名稱。「雞爪定理」得名自
  
    
      
        D
        A
        ,
        D
        I
        ,
        D
        C
      
    
    {\displaystyle DA,DI,DC}
  
諸線段組成的幾何圖形。同樣，俄文稱為лемма о трезубце語言代码 rus 已升格为代码 ru，謂三叉引理，或теорема трилистника語言代码 rus 已升格为代码 ru，謂三葉草定理。英文又稱theorem of trillium「延齡草定理」，亦是以某種三葉植物命名。
定理亦有其他名稱並非來自該形狀，如「內心/旁心引理」（the incenter/excenter lemma）。


參考文獻