萨哈电离方程（Saha ionization equation），又称为萨哈-朗缪尔方程（Saha-Langmuir equation），用于描述原子的离子化状态与温度和压力之间的关系的表达式，由印度物理学家梅格纳德·萨哈（1920年）和欧文·朗缪尔（1923年）发现。这个方程的一个最重要的应用，是解释恒星的光谱分类。该方程是结合量子力学和统计力学的想法的结果。


推导 对于足够高的温度下的气体，原子之间的碰撞将使某些原子电离。通常束缚于原子的一个或更多个电子将从原子射出来，形成一团电子气体，与电离的原子和中性原子的气体共存。这个状态称为等离子体。萨哈方程把这个等离子体的电离程度用温度、密度和原子的电离能的函数来描述。该方程只对德拜长度较大的等离子体成立。这就是说，离子和电子对其它离子和电子的库仑电荷的屏蔽是可以忽略的。因此，随后的电离势的下降，以及配分函数的“截止”也是可以忽略的。
对于由一种原子所组成的气体，萨哈方程为：

  
    
      
        
          
            
              
                n
                
                  i
                  +
                  1
                
              
              
                n
                
                  e
                
              
            
            
              n
              
                i
              
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              Λ
              
                3
              
            
          
        
        
          
            
              g
              
                i
                +
                1
              
            
            
              g
              
                i
              
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          [
          
            −
            
              
                
                  (
                  
                    ϵ
                    
                      i
                      +
                      1
                    
                  
                  −
                  
                    ϵ
                    
                      i
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    k
                    
                      B
                    
                  
                  T
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {n_{i+1}n_{e}}{n_{i}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\epsilon _{i+1}-\epsilon _{i})}{k_{B}T}}\right]}
  

其中：

  
    
      
        
          n
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle n_{i}\,}
  
是第i个电离状态中的原子密度，也就是说，原子失去了i个电子；

  
    
      
        
          g
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{i}\,}
  
是i-离子的状态的简并度；

  
    
      
        
          ϵ
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{i}\,}
  
是中性原子失去i个电子，形成一个i级离子所需要的能量；

  
    
      
        
          n
          
            e
          
        
        
      
    
    {\displaystyle n_{e}\,}
  
是电子密度；

  
    
      
        Λ
        
      
    
    {\displaystyle \Lambda \,}
  
是电子的热德布罗意波长；

  
    
      
        Λ
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                h
                
                  2
                
              
              
                2
                π
                
                  m
                  
                    e
                  
                
                
                  k
                  
                    B
                  
                
                T
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Lambda \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {h^{2}}{2\pi m_{e}k_{B}T}}}}
  

  
    
      
        
          m
          
            e
          
        
        
      
    
    {\displaystyle m_{e}\,}
  
是电子质量；

  
    
      
        T
        
      
    
    {\displaystyle T\,}
  
是气体的温度；

  
    
      
        
          k
          
            B
          
        
        
      
    
    {\displaystyle k_{B}\,}
  
是玻尔兹曼常数；

  
    
      
        h
        
      
    
    {\displaystyle h\,}
  
是普朗克常数。
在只有一级电离是重要的情况下，我们有
  
    
      
        
          n
          
            1
          
        
        =
        
          n
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{1}=n_{e}}
  
，并定义总密度n 为
  
    
      
        n
        =
        
          n
          
            0
          
        
        +
        
          n
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle n=n_{0}+n_{1}}
  
，于是萨哈方程简化为：

  
    
      
        
          
            
              n
              
                e
              
              
                2
              
            
            
              n
              −
              
                n
                
                  e
                
              
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              Λ
              
                3
              
            
          
        
        
          
            
              g
              
                1
              
            
            
              g
              
                0
              
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          [
          
            
              
                −
                ϵ
              
              
                
                  k
                  
                    B
                  
                
                T
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {n_{e}^{2}}{n-n_{e}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\epsilon }{k_{B}T}}\right]}
  

其中
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
是电离能。


粒子密度 萨哈方程对于决定两个不同的电离级的粒子密度之比是很有用的。为了这个目的，它最有用的形式为：

  
    
      
        
          
            
              Z
              
                i
              
            
            
              N
              
                i
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                Z
                
                  i
                  +
                  1
                
              
              
                Z
                
                  e
                
              
            
            
              
                N
                
                  i
                  +
                  1
                
              
              
                N
                
                  e
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}}}
  
,
其中Z表示配分函数。萨哈方程可以视为化学势的平衡条件的一个重述：

  
    
      
        
          μ
          
            i
          
        
        =
        
          μ
          
            i
            +
            1
          
        
        +
        
          μ
          
            e
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}\,}
  

这个方程仅仅说明一个电离状态为i的原子的电势，与一个电子和一个电离状态为i+1的原子的电势是相等的；因此系统处于平衡，不会出现净电离变化。


参考文献 来自犹他大学物理学系的一个详细的推导 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
来自马里兰大学天文学系的讲稿
Saha, Megh Nad; On a Physical Theory of Stellar Spectra （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Volume 99, Issue 697 (May 1921), pp. 135–153
Langmuir, Irving; and Kingdon, Kenneth H.; The Removal of Thorium from the Surface of a Thoriated Tungsten Filament by Positive Ion Bombardment （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Physical Review, Vol. 22, No. 2 (August 1923), pp. 148–160