正割（secant，
  
    
      
        sec
      
    
    {\displaystyle \sec }
  
）是三角函数的一种。它的定义域是不含
  
    
      
        k
        π
        +
        
          
            
              π
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k\pi +{\tfrac {\pi }{2}}}
  
（或180°k+90°，其中
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）。
正割是三角函数的正函數（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在
  
    
      
        2
        k
        π
      
    
    {\displaystyle 2k\pi }
  
（360°k）到
  
    
      
        2
        k
        π
        +
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2k\pi +{\frac {\pi }{2}}}
  
（360°k+90°）的區間之間，函數是遞增的，另外正割函数和餘弦函数互為倒數。
在單位圓上，正割函数位於割線上，因此將此函數命名為正割函数。
和其他三角函數一樣，正割函数一樣可以擴展到複數。


符号史 正割的数学符号为
  
    
      
        sec
      
    
    {\displaystyle \sec }
  
，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。


定义 = 直角三角形中 =

在直角三角形中，一个锐角
  
    
      
        ∠
        A
      
    
    {\displaystyle \angle A}
  
的正割定义为它的斜邊与鄰邊的比值，也就是：

  
    
      
        sec
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              c
            
            
              b
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!}
  

可以發現其定義和餘弦函數互為倒數。


= 直角坐标系中 =
设
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，
  
    
      
        P
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P\left({x,y}\right)}
  
是角的终边上一点，
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}
  
是P到原点O的距离，则
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
的正割定义为：

  
    
      
        sec
        ⁡
        α
        =
        
          
            r
            x
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!}
  


= 单位圆定义 =

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于
  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \sin \theta }
  
。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了
  
    
      
        sec
        ⁡
        θ
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{x}}}
  
。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）或小于
  
    
      
        −
        2
        π
      
    
    {\displaystyle -2\pi }
  
（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）的周期函数：

  
    
      
        sec
        ⁡
        θ
        =
        sec
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            2
            π
            k
          
          )
        
        =
        sec
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            
              360
              
                ∘
              
            
            k
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \sec \theta =\sec \left(\theta +2\pi k\right)=\sec \left(\theta +360^{\circ }k\right)}
  

对于任何角度
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
和任何整数
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
。


= 與其他函數定義 =
正割函數和餘弦函數互為倒數
即：

  
    
      
        sec
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            
              cos
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}
  


= 級數定義 =
正割也能使用泰勒級數來定義：

  
    
      
        sec
        ⁡
        x
        =
        1
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        
          
            
              5
              
                x
                
                  4
                
              
            
            24
          
        
        +
        
          
            
              61
              
                x
                
                  6
                
              
            
            720
          
        
        +
        
          
            
              277
              
                x
                
                  8
                
              
            
            8064
          
        
        +
        
          
            
              50521
              
                x
                
                  10
                
              
            
            3628800
          
        
        +
        .
        .
        .
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              E
              
                n
              
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        
          x
          
            2
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+{\frac {50521x^{10}}{3628800}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}x^{2n}.}
  

其中
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}}
  
为欧拉数。
另外，我们也有

  
    
      
        sec
        ⁡
        x
        =
        4
        π
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
              (
              1
              −
              2
              n
              )
            
            
              (
              2
              n
              π
              −
              π
              
                )
                
                  2
                
              
              −
              4
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        4
        π
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
              (
              1
              +
              2
              n
              )
            
            
              (
              π
              +
              2
              n
              π
              
                )
                
                  2
                
              
              −
              4
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sec x=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1-2n)}{(2n\pi -\pi )^{2}-4x^{2}}}=4\pi \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1+2n)}{(\pi +2n\pi )^{2}-4x^{2}}}.}
  


= 微分方程定義 =

  
    
      
        
          sec
          ′
        
        ⁡
        x
         
        =
        sec
        ⁡
        x
        tan
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \sec 'x\ =\sec x\tan x}
  

  
    
      
        sec
        ⁡
        x
        =
        
          
            (
            
              ln
              ⁡
              
                |
                
                  sec
                  ⁡
                  x
                  +
                  tan
                  ⁡
                  x
                
                |
              
            
            )
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \sec x=\left(\ln \left|\sec x+\tan x\right|\right)'}
  


= 指數定義 =

  
    
      
        sec
        ⁡
        θ
        =
        
          
            2
            
              
                e
                
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}
  


恆等式 = 用其它三角函数来表示正割 =


= 和差角公式 =

  
    
      
        sec
        ⁡
        (
        θ
        ±
        ψ
        )
        =
        
          
            
              sec
              ⁡
              θ
              sec
              ⁡
              ψ
            
            
              1
              ∓
              tan
              ⁡
              θ
              tan
              ⁡
              ψ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sec(\theta \pm \psi )={\frac {\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}}
  


巴罗的正割積分 艾萨克·巴罗在1670年提出正割的積分

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ϕ
          
        
        sec
        ⁡
        t
        
        d
        t
        =
        ln
        ⁡
        tan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            +
            
              
                ϕ
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)}
  


註釋 參考文獻 參見 正弦
餘弦
正切
餘切
餘割
三角学
三角函数
函數
正弦波