在仿射幾何，平移（translation）是將物件的每點向同一方向移動相同距離。
它是等距同構，是仿射空間中仿射變換的一種。它可以視為將同一個向量加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
是一個已知的向量，
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
是空間中一點，平移
  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
        
        (
        
          p
        
        )
        =
        
          p
        
        +
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }
  
。
將同一點平移兩次，結果可用一次平移表示，即
  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
        
        (
        
          T
          
            
              u
            
          
        
        (
        
          p
        
        )
        )
        =
        
          T
          
            
              v
            
            +
            
              u
            
          
        
        (
        
          p
        
        )
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {v} }(T_{\mathbf {u} }(\mathbf {p} ))=T_{\mathbf {v} +\mathbf {u} }(\mathbf {p} )}
  
，因此所有平移的集是一個群，稱為平移群。這個群和空間同構，又是歐幾里德群E(n)的正规子群。
T對E的商群與正交群O(n)同構：E(n) / T = O(n)。


矩陣表示 例如在三維空間，使用齐次坐标，
  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {v} }}
  
可用矩陣表示為

  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}
  
。
平移的結果
  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
        
        (
        
          p
        
        )
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )}
  
就是

  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
        
        (
        
          p
        
        )
        =
        
          T
          
            
              v
            
          
        
        
          p
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    p
                    
                      x
                    
                  
                  +
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    p
                    
                      y
                    
                  
                  +
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    p
                    
                      z
                    
                  
                  +
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}}
  
。

平移的逆矩陣：
  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
          
            −
            1
          
        
        =
        
          T
          
            −
            
              v
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }}
  
。兩個平移矩陣的積就是兩次平移的結果：
  
    
      
        
          T
          
            
              u
            
          
        
        
          T
          
            
              v
            
          
        
        =
        
          T
          
            
              u
            
            +
            
              v
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }}
  
。因為向量加法符合交換律，所以平移群不像一般矩陣乘法，平移矩陣乘法是可交換的。


參見 平移運動
平移對稱
變換矩陣
反射
旋转
反演
点反演
缩放


外部連結 Translation Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
Geometric Translation (Interactive Animation) （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Math Is Fun
Understanding 2D Translation （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Understanding 3D Translation （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.