在统计学理论的估计中，用不放回抽样来估计离散型均匀分布最大值问题中著名的德国坦克问题（英語：German tank problem），它因在第二次世界大战中用于估计德国坦克数量而得名。
这些分析说明了频率推断和贝叶斯推断之间的不同。
基于“单个”样本估计的样本总数各有不同，而在“多个”样本的基础上估计则是现实生活中一个很有意义的估计问题，它的答案很简单，但并不那么明显。


范例 假设某个情报人员已经发现了k = 4辆坦克，其序列号分别为2、6、7、14，观测到的最大的序列号为m = 14。坦克未知的总数设为N。
按“频率论”方法的估算公式，计算出坦克总数为：

  
    
      
        N
        ≈
        m
        +
        
          
            m
            k
          
        
        −
        1
        =
        16.5
      
    
    {\displaystyle N\approx m+{\frac {m}{k}}-1=16.5}
  

而“贝叶斯”分析会给出一个估计坦克数量的概率质量函数，如下所示：

  
    
      
        Pr
        (
        N
        =
        n
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    if 
                  
                  n
                  <
                  m
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        k
                        −
                        1
                      
                      k
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          (
                        
                        
                          
                            m
                            −
                            1
                          
                          
                            k
                            −
                            1
                          
                        
                        
                          )
                        
                      
                      
                        
                          (
                        
                        
                          n
                          k
                        
                        
                          )
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  n
                  ≥
                  m
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Pr(N=n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n<m\\{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}&{\text{if }}n\geq m\end{cases}}}
  

从中，我们可以估计坦克数量：

  
    
      
        
          
            
              
                N
              
              
                
                ≈
                μ
                ±
                σ
                =
                19.5
                ±
                10
              
            
            
              
                μ
              
              
                
                =
                (
                m
                −
                1
                )
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    
                      k
                      −
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              
                σ
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        (
                        k
                        −
                        1
                        )
                        (
                        m
                        −
                        1
                        )
                        (
                        m
                        −
                        k
                        +
                        1
                        )
                      
                      
                        (
                        k
                        −
                        3
                        )
                        (
                        k
                        −
                        2
                        
                          )
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}N&\approx \mu \pm \sigma =19.5\pm 10\\\mu &=(m-1){\frac {k-1}{k-2}}\\\sigma &={\sqrt {\frac {(k-1)(m-1)(m-k+1)}{(k-3)(k-2)^{2}}}}\end{aligned}}}
  

这个分布的偏度为正，因为其中有一个事实，即至少有14辆坦克。


历史上的问题 在战争的过程中，西方盟国一直在努力确定德国的生产速度，并以两种主要方式得到这个数据：常规情报收集和统计估计。大部分情况下，统计估计的可信度很大程度上决定于常规情报收集。而有时常规情报收集会和统计估计一起结合使用，如在D日前夕估计豹式坦克的生产速度。
盟军指挥机构已经注意到了出现在意大利的五号坦克（豹式坦克），速度快，装备有75 mm/L70长管戰車砲，是很不寻常的重型坦克，但在法国北部编号就很小，就和虎I坦克在突尼斯那样。由于谢尔曼坦克在对阵三号坦克和四号坦克时表现良好，美国陆军对它非常自信，以至于迫不及待地希望与他们相遇。就在D日的不久前，有消息称德国手中有大量的五号坦克。
为了确定这种说法的真实性，盟军要尝试估计正在生产坦克的数量。为此，他们要使用被缴获或被摧毁的坦克的序列号。他们主要使用变速箱的号码，因为其为两个完整的序列。底盘和发动机号码也有使用，但它们的编号规则比较复杂。各种其他的零件用来对分析结果进行交叉检查。对轮胎也做了类似的分析，其上观察到了顺序编号（即1、2、3、......、N)。
对坦克车轮的分析产生了对使用中的车轮模具数量的估计。在与英国车轮制造商讨论过后，他们估计了这么多的模具可以生产多少车轮，进而是每个月可生产的坦克数量。对两辆坦克（每辆32个车轮，总计64个车轮）车轮的分析的结果是1944年2月的生产数量估计在270左右，大大超出此前预期。
德国战后公布的记录显示，1944年2月一个月的生产量是276辆。统计方法结果的精确度是常规情报收集方法所远远不能达到的，而“德国坦克问题”这个词也成为了这种统计分析问题的标志。
估计产量并不是这种序列号分析的唯一应用。它也用于探查更多德国生产的信息，包括工厂数目、工厂的相对重要性、供应链长度（基于生产和使用之间的滞后程度）、生产工艺的改变、及对诸如橡胶等资源的使用。


= 具体数据 =
根据常规盟军情报的估计，德国在1940年6月和1942年9月之间，每月大约能生产1,400辆坦克。将缴获坦克的序列号代入下文的公式，可计算出每月246辆。战后，从阿尔伯特·斯佩尔所管辖的部门缴获的德国生产记录显示，实际数目是245辆。
某些特定月份的估计如下：


= 类似分析 =

在二战期间，类似的序列号分析也在其他军事装备上应用过，其中最成功的属V-2火箭。
二战期间，德国情报部门分析了苏联军事装备工厂，朝鲜战争期间苏联装备工厂也被分析过。苏联在二战期间也估计过德国坦克的生产数。
20世纪80年代，一些美国人被获准进入以色列的梅卡瓦坦克的生产线。生产编号是分类过的，但水箱上有序列号，可以用来估计生产量。
该公式在非军事中也有使用，如估计Commodore 64计算机的总数，其结果（1.25亿）与官方数字相当匹配。


= 应对措施 =

为了防止序列号分析，可以不使用序列号，或者减少可用的辅助信息。此外可以使用抗密码分析的序列号，最有效的方法是从比生产物品数量大得多的列表中随机选择一个号码，之后就不再使用（一次性密码本），或产生随机数后检查是否在已分配编号列表上；编号可能会发生碰撞，除非编号可能的位数数目在生产物品数字位数的两倍以上（其中序列号可以以任何数为底）；参见生日问题。对此可使用密码学安全伪随机数生成器。要想从序列号中反推生产订单，对所有这些方法都需要一个查找表（或破解加密器），其使序列号变得复杂：如对于加密器，不能一次反推一串序列号，每个号码都必须单独查找，或者是一张生成列表。
另外，还可以对连续的序列号进行加密，同时方便解码，但这会带来潜在的已知明文攻击：即使从任意数开始，明文都会具有特定模式（即数字是有序的）。一个例子是在肯·福勒特的小说《代码为零》中，木星-C火箭的序列号加密规则为：

此处的代码字为Huntsville（省略重复字母），用以获得一张10字的键值表。因此，13号火箭编为“HN”，而24号火箭则是“UT”。


频率论分析 = 最小方差无偏估计 =
对于点估计（估算出单个总体（
  
    
      
        
          
            
              N
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {N}}}
  
）值），最小方差无偏估计（MVUE，或UMVU估计）由下式给出：

  
    
      
        
          
            
              N
              ^
            
          
        
        =
        m
        
          (
          
            1
            +
            
              k
              
                −
                1
              
            
          
          )
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle {\hat {N}}=m\left(1+k^{-1}\right)-1}
  

其中m是所观察到的最大序号（样本最大值），而k是观察到的坦克数目（样本容量）。注意，一旦观察到一个序列号，它就不再在样本池中，也不会被再次观察到。
其方差为

  
    
      
        var
        ⁡
        (
        
          
            
              N
              ^
            
          
        
        )
        =
        
          
            1
            k
          
        
        
          
            
              (
              N
              −
              k
              )
              (
              N
              +
              1
              )
            
            
              (
              k
              +
              2
              )
            
          
        
        ≈
        
          
            
              N
              
                2
              
            
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        
           for small samples 
        
        k
        ≪
        N
      
    
    {\displaystyle \operatorname {var} ({\hat {N}})={\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N}
  

因而标准差约为N/k，即样本间距的（总体）平均大小；注意与前文中的m/k相比。


 直观  公式可以直观地理解为样本最大值加上样本中观测值之间的平均间距，由于是最大似然估计，样本最大值被用作初始估计值，再加上间距以补偿样本最大值的负偏差，以此作为总体最大值的一个估计，因而可写成：

  
    
      
        
          
            
              N
              ^
            
          
        
        =
        m
        +
        
          
            
              m
              −
              k
            
            k
          
        
        =
        m
        +
        m
        
          k
          
            −
            1
          
        
        −
        1
        =
        m
        
          (
          
            1
            +
            
              k
              
                −
                1
              
            
          
          )
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle {\hat {N}}=m+{\frac {m-k}{k}}=m+mk^{-1}-1=m\left(1+k^{-1}\right)-1}
  

可以想象样品在整个区间内均匀分布，而更多的样本就在0至N + 1的区间之外。
如果在0和编号最小样本（样本最小值）之间选一个初始间距，那么样本间的平均间距是
  
    
      
        (
        m
        −
        k
        )
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle (m-k)/k}
  
；有
  
    
      
        −
        k
      
    
    {\displaystyle -k}
  
是因为样本本身在计算样本间距时不应算入。
这一理念确立并推广了最大间距估计的方法。


 推导  样本最大值等于m的概率为
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                
                  m
                  −
                  1
                
                
                  k
                  −
                  1
                
              
              
                )
              
            
          
        
        
          
            /
          
        
        
          
            
              
                (
              
              
                N
                k
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {m-1}{k-1}}{\big /}{\tbinom {N}{k}}}
  
，其中
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                ⋅
                ⋅
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {\cdot }{\cdot }}}
  
是二项式系数。
样本最大值的期望值为

  
    
      
        
          
            
              
                μ
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    m
                    =
                    k
                  
                  
                    N
                  
                
                m
                
                  
                    
                      
                        
                          (
                        
                        
                          
                            m
                            −
                            1
                          
                          
                            k
                            −
                            1
                          
                        
                        
                          )
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          (
                        
                        
                          N
                          k
                        
                        
                          )
                        
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    
                      k
                      (
                      N
                      +
                      1
                      )
                    
                    
                      k
                      +
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              
                ⇒
                N
              
              
                
                =
                μ
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      k
                      
                        −
                        1
                      
                    
                  
                  )
                
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\sum _{m=k}^{N}m{\frac {\tbinom {m-1}{k-1}}{\tbinom {N}{k}}}={\frac {k(N+1)}{k+1}}\\\Rightarrow N&=\mu \left(1+k^{-1}\right)-1\end{aligned}}}
  

因而

  
    
      
        
          
            
              
                μ
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      k
                      
                        −
                        1
                      
                    
                  
                  )
                
                −
                1
              
              
                
                =
                E
                
                  [
                  
                    m
                    
                      (
                      
                        1
                        +
                        
                          k
                          
                            −
                            1
                          
                        
                      
                      )
                    
                    −
                    1
                  
                  ]
                
              
            
            
              
                ⇒
                
                  
                    
                      N
                      ^
                    
                  
                
              
              
                
                =
                m
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      k
                      
                        −
                        1
                      
                    
                  
                  )
                
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left(1+k^{-1}\right)-1&=E\left[m\left(1+k^{-1}\right)-1\right]\\\Rightarrow {\hat {N}}&=m\left(1+k^{-1}\right)-1\end{aligned}}}
  

为N的无偏估计。
为了表明这是UMVU估计：

首先表明样本最大值是总体最大值的充分统计，使用类似于在充分性：均匀分布中具体阐述的方法（但对于德国坦克问题，我们必须排除在样本中出现两次序列号的结果）;
接着表明这是一个完整统计。
那么根据莱曼–薛费定理，如上纠正过偏差的样本最大值是无偏的，也就是UMVU估计。


= 置信区间 =
此外，或者补充来说，对于“点”估计可以进行“区间”估计，如置信区间。基于k个样本落在覆盖全范围p（0 ≤ p ≤ 1）的区间的概率为pk，可以很容易地计算出这些结果（在此段中假设取样后“放回”以简化计算，如果取样后不放回则会夸大概率，区间也将过于保守）。
因此，样本最大值的分位数的抽样分布曲线是x1/k在0到1上的图像：样本最大值m的第p到第q个分位数是区间[p1/kN, q1/kN]。反转这个结果就产生总体最大值的相应置信区间[m/q1/k, m/p1/k]。下界非常接近m，所以取p = 5%到100%得到的非对称置信区间更有意义；k = 5时会产生
  
    
      
        
          
            0.05
            
              1
              
                /
              
              5
            
          
          
          ≈
          
          0.55
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle 0.05^{1/5}\;\approx \;0.55}
  
，所以区间为[m, 1.82m]。
例如，对k = 5，取对称的95%区间，即令p = 2.5%，q = 97.5%，可得
  
    
      
        
          
            0.025
            
              1
              
                /
              
              5
            
          
          
          ≈
          
          0.48
          ,
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle 0.025^{1/5}\;\approx \;0.48,\,}
  
 
  
    
      
        
          
            0.975
            
              1
              
                /
              
              5
            
          
          
          ≈
          
          0.995
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle 0.975^{1/5}\;\approx \;0.995}
  
，所以置信区间大约为
  
    
      
        
          
            [
            
              1.005
              m
              ,
              
              2.08
              m
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \left[1.005m,\,2.08m\right]}
  
。
更一般地，（下偏）95％置信区间为
  
    
      
        
          
            [
            
              m
              ,
              
              m
              
                /
              
              
                0.05
                
                  1
                  
                    /
                  
                  k
                
              
            
            ]
          
          
          =
          
          
            [
            
              m
              ,
              
              m
              ⋅
              
                20
                
                  1
                  
                    /
                  
                  k
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \left[m,\,m/0.05^{1/k}\right]\;=\;\left[m,\,m\cdot 20^{1/k}\right]}
  
。对于一系列的k，附上UMVU的点估计值（加1以便于阅读）以便参考，可得：

从中可发现：

对于较小的样本容量，置信区间很宽，反映了其估计值具有很大的不确定性。
范围迅速缩小，反映了“所有”样品远低于最大值的概率呈指数衰减。
置信区间呈正偏态，因为N永远不可能低于样本最大值，但却可能比它任意大。
注意，m/k不能天真地用作（或者更确切地说，是(m + m/k − 1)/k）标准差SE的估计值，因为标准差的估计值基于“总体”最大值（一个参数），在这里用估计值来估计误差会造成循环论证。
在某些领域，尤其是在未来学中，以这种方式基于单个样本估计置信区间——考虑到它是一个随机取样的分位数（根据平庸原理）——称为哥白尼原则。这一点特别适用于基于目前的年龄来估计寿命，尤其是末日论将其用于估计人类的预期存活时间。


贝叶斯分析 在德国坦克问题中，贝叶斯方法要考虑当观察到的坦克总数
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle K}
  
等于数
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle k}
  
、序列号最大值
  
    
      
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle M}
  
等于数
  
    
      
        
          m
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle m}
  
时敌方坦克总数
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle N}
  
等于数
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle n}
  
的可信度
  
    
      
        
          (
          N
          =
          n
          ∣
          M
          =
          m
          ,
          K
          =
          k
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle (N=n\mid M=m,K=k)}
  

为了简便起见，以下将
  
    
      
        
          (
          N
          =
          n
          ∣
          M
          =
          m
          ,
          K
          =
          k
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle (N=n\mid M=m,K=k)}
  
写成
  
    
      
        
          (
          n
          ∣
          m
          ,
          k
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle (n\mid m,k)}
  
。
条件概率的法则会给出

  
    
      
        (
        n
        ∣
        m
        ,
        k
        )
        =
        (
        m
        ∣
        n
        ,
        k
        )
        
          
            
              (
              n
              ∣
              k
              )
            
            
              (
              m
              ∣
              k
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (n\mid m,k)=(m\mid n,k){\frac {(n\mid k)}{(m\mid k)}}}
  

表达式
  
    
      
        
          (
          m
          ∣
          n
          ,
          k
          )
          =
          (
          M
          =
          m
          ∣
          N
          =
          n
          ,
          K
          =
          k
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle (m\mid n,k)=(M=m\mid N=n,K=k)}
  
是当敌方坦克总数等于已知的
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle n}
  
、且观察到了
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle k}
  
辆敌方坦克时，所观察到的序列号最大值等于
  
    
      
        
          m
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle m}
  
的条件概率。其为

  
    
      
        (
        m
        ∣
        n
        ,
        k
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          (
                        
                        
                          
                            m
                            −
                            1
                          
                          
                            k
                            −
                            1
                          
                        
                        
                          )
                        
                      
                      
                        
                          (
                        
                        
                          n
                          k
                        
                        
                          )
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  k
                  ≤
                  m
                  ≤
                  n
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    otherwise
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (m\mid n,k)={\begin{cases}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}&{\text{if }}k\leq m\leq n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
  

其中二项式系数
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                k
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{k}}}
  
是从总数为
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle n}
  
的总体中取
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle k}
  
个样本的方法数。
表达式
  
    
      
        
          (
          m
          ∣
          k
          )
          =
          (
          M
          =
          m
          ∣
          K
          =
          k
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle (m\mid k)=(M=m\mid K=k)}
  
是在真正观测前，假设观察了k辆坦克后，最大序号等于m的概率。通过合并所有可能的
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle n}
  
，
  
    
      
        
          (
          m
          ∣
          k
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle (m\mid k)}
  
可以改写为其它形式。

  
    
      
        
          
            
              
                (
                m
                ∣
                k
                )
              
              
                
                =
                (
                m
                ∣
                k
                )
                ⋅
                1
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                m
                ∣
                k
                )
                
                  
                    ∑
                    
                      n
                      =
                      0
                    
                    
                      ∞
                    
                  
                  (
                  n
                  ∣
                  m
                  ,
                  k
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                m
                ∣
                k
                )
                
                  
                    ∑
                    
                      n
                      =
                      0
                    
                    
                      ∞
                    
                  
                  (
                  m
                  ∣
                  n
                  ,
                  k
                  )
                  
                    
                      
                        (
                        n
                        ∣
                        k
                        )
                      
                      
                        (
                        m
                        ∣
                        k
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                (
                m
                ∣
                n
                ,
                k
                )
                (
                n
                ∣
                k
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(m\mid k)&=(m\mid k)\cdot 1\\&=(m\mid k){\sum _{n=0}^{\infty }(n\mid m,k)}\\&=(m\mid k){\sum _{n=0}^{\infty }(m\mid n,k){\frac {(n\mid k)}{(m\mid k)}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(m\mid n,k)(n\mid k)\end{aligned}}}
  

表达式
  
    
      
        
          (
          n
          ∣
          k
          )
          =
          (
          N
          =
          n
          ∣
          K
          =
          k
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle (n\mid k)=(N=n\mid K=k)}
  
为当已观察到k辆坦克、但序列号尚未统计前坦克总数等于n的可信度。假定它是某种离散均匀分布

  
    
      
        (
        n
        ∣
        k
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      1
                      
                        Ω
                        −
                        k
                      
                    
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  k
                  ≤
                  n
                  <
                  Ω
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    otherwise
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (n\mid k)={\begin{cases}{\frac {1}{\Omega -k}}&{\text{if }}k\leq n<\Omega \\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
  

上限
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
必须是有限的，因为该函数

  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        
          lim
          
            Ω
            →
            ∞
          
        
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      1
                      
                        Ω
                        −
                        k
                      
                    
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  k
                  ≤
                  n
                  <
                  Ω
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    otherwise
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(n)=\lim _{\Omega \rightarrow \infty }{\begin{cases}{\frac {1}{\Omega -k}}&{\text{if }}k\leq n<\Omega \\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
  

的结果为:
  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(n)=0}
  
，而这不是一个概率质量函数。
因而

  
    
      
        (
        n
        ∣
        m
        ,
        k
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        (
                        m
                        
                          |
                        
                        n
                        ,
                        k
                        )
                      
                      
                        
                          ∑
                          
                            n
                            =
                            m
                          
                          
                            Ω
                            −
                            1
                          
                        
                        (
                        m
                        
                          |
                        
                        n
                        ,
                        k
                        )
                      
                    
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  m
                  ≤
                  n
                  <
                  Ω
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    otherwise
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (n\mid m,k)={\begin{cases}{\frac {(m|n,k)}{\sum _{n=m}^{\Omega -1}(m|n,k)}}&{\text{if }}m\leq n<\Omega \\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
  

如果
  
    
      
        
          
            ∑
            
              n
              =
              m
            
            
              ∞
            
          
          (
          m
          
            |
          
          n
          ,
          k
          )
          <
          ∞
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=m}^{\infty }(m|n,k)<\infty }
  
，那么不受欢迎的变量
  
    
      
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \Omega }
  
就能从表达式中消失。

  
    
      
        (
        n
        ∣
        m
        ,
        k
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    if 
                  
                  n
                  <
                  m
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        (
                        m
                        
                          |
                        
                        n
                        ,
                        k
                        )
                      
                      
                        
                          ∑
                          
                            n
                            =
                            m
                          
                          
                            ∞
                          
                        
                        (
                        m
                        
                          |
                        
                        n
                        ,
                        k
                        )
                      
                    
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  n
                  ≥
                  m
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (n\mid m,k)={\begin{cases}0&{\text{if }}n<m\\{\frac {(m|n,k)}{\sum _{n=m}^{\infty }(m|n,k)}}&{\text{if }}n\geq m\end{cases}}}
  

当k ≥ 1时，敌方坦克数量分布的众数为m。
当k ≥ 2时，敌方坦克数量“等于”
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的可信度为

  
    
      
        (
        N
        =
        n
        
          |
        
        M
        =
        m
        ≥
        k
        ,
        K
        =
        k
        ≥
        2
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    if 
                  
                  n
                  <
                  m
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        k
                        −
                        1
                      
                      k
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          (
                        
                        
                          
                            m
                            −
                            1
                          
                          
                            k
                            −
                            1
                          
                        
                        
                          )
                        
                      
                      
                        
                          (
                        
                        
                          n
                          k
                        
                        
                          )
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  n
                  ≥
                  m
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (N=n|M=m\geq k,K=k\geq 2)={\begin{cases}0&{\text{if }}n<m\\{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}&{\text{if }}n\geq m\end{cases}}}
  

而敌方坦克数量
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle N}
  
“大于”
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle n}
  
的可信度为

  
    
      
        (
        N
        >
        n
        
          |
        
        M
        =
        m
        ≥
        k
        ,
        K
        =
        k
        ≥
        2
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    if 
                  
                  n
                  <
                  m
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          (
                        
                        
                          
                            m
                            −
                            1
                          
                          
                            k
                            −
                            1
                          
                        
                        
                          )
                        
                      
                      
                        
                          (
                        
                        
                          n
                          
                            k
                            −
                            1
                          
                        
                        
                          )
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  n
                  ≥
                  m
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (N>n|M=m\geq k,K=k\geq 2)={\begin{cases}1&{\text{if }}n<m\\{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k-1}}}&{\text{if }}n\geq m\end{cases}}}
  

当k ≥ 3时，
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
的均值有限：

  
    
      
        
          
            
              (
              m
              −
              1
              )
              (
              k
              −
              1
              )
            
            
              k
              −
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {(m-1)(k-1)}{k-2}}}
  

当k ≥ 4时，
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle N}
  
的标准差有限：

  
    
      
        
          
            
              
                (
                m
                −
                1
                )
                (
                k
                −
                1
                )
                (
                m
                +
                1
                −
                k
                )
              
              
                (
                k
                −
                2
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                (
                k
                −
                3
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\frac {(m-1)(k-1)(m+1-k)}{(k-2)^{2}(k-3)}}}}
  

这些公式将在下面推导。


= 求和公式 =
下面的等式用二项式系数表示法来简化德国坦克问题中的级数。

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            m
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              
                (
              
              
                n
                k
              
              
                )
              
            
          
        
        =
        
          
            k
            
              k
              −
              1
            
          
        
        
          
            1
            
              
                (
              
              
                
                  m
                  −
                  1
                
                
                  k
                  −
                  1
                
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{k}}}={\frac {k}{k-1}}{\frac {1}{\binom {m-1}{k-1}}}}
  

这个求和公式有点类似于积分公式

  
    
      
        
          ∫
          
            n
            =
            m
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              d
              n
            
            
              n
              
                k
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              k
              −
              1
            
          
        
        
          
            1
            
              m
              
                k
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{n=m}^{\infty }{\frac {dn}{n^{k}}}={\frac {1}{k-1}}{\frac {1}{m^{k-1}}}}
  

这些公式在k > 1时适用。


= 一辆坦克 =
从n辆坦克的总体中随机观察一辆坦克，当m ≤ n时，其序列号为m的概率为1/n，而当m > n时概率是零。用艾弗森括号表示法可写成

  
    
      
        (
        M
        =
        m
        
          |
        
        N
        =
        n
        ,
        K
        =
        1
        )
        =
        (
        m
        
          |
        
        n
        )
        =
        
          
            
              [
              m
              ≤
              n
              ]
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (M=m|N=n,K=1)=(m|n)={\frac {[m\leq n]}{n}}}
  

这是
  
    
      
        
          m
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle m}
  
的条件概率质量分布函数。
当m为定值时，这是一个n的似然函数。

  
    
      
        
          
            L
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          
            
              [
              n
              ≥
              m
              ]
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}(n)={\frac {[n\geq m]}{n}}}
  

最大似然估计的坦克总数为N0 = m。
总概率为无穷大，因为尾部为一个调和级数数列。

  
    
      
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          
            L
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            m
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            n
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \sum _{n}{\mathcal {L}}(n)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }
  

但

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∑
                  
                    n
                  
                
                
                  
                    L
                  
                
                (
                n
                )
                [
                n
                <
                Ω
                ]
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    m
                  
                  
                    Ω
                    −
                    1
                  
                
                
                  
                    1
                    n
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  H
                  
                    Ω
                    −
                    1
                  
                
                −
                
                  H
                  
                    m
                    −
                    1
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)[n<\Omega ]&=\sum _{n=m}^{\Omega -1}{\frac {1}{n}}\\&=H_{\Omega -1}-H_{m-1}\end{aligned}}}
  

其中
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}}
  
为调和数。
可信度质量分布函数依赖于先前的限制
  
    
      
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \Omega }
  
：

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                (
                N
                =
                n
                ∣
                M
                =
                m
                ,
                K
                =
                1
                )
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                (
                n
                
                  |
                
                m
                )
                =
                
                  
                    
                      [
                      m
                      ≤
                      n
                      ]
                    
                    n
                  
                
                
                  
                    
                      [
                      n
                      <
                      Ω
                      ]
                    
                    
                      
                        H
                        
                          Ω
                          −
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        H
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=1)\\={}&(n|m)={\frac {[m\leq n]}{n}}{\frac {[n<\Omega ]}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\end{aligned}}}
  

  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle N}
  
的均值为

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∑
                  
                    n
                  
                
                n
                ⋅
                (
                n
                
                  |
                
                m
                )
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    m
                  
                  
                    Ω
                    −
                    1
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      
                        H
                        
                          Ω
                          −
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        H
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      Ω
                      −
                      m
                    
                    
                      
                        H
                        
                          Ω
                          −
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        H
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                ≈
                
                  
                    
                      Ω
                      −
                      m
                    
                    
                      log
                      ⁡
                      
                        (
                        
                          
                            
                              Ω
                              −
                              1
                            
                            
                              m
                              −
                              1
                            
                          
                        
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}n\cdot (n|m)&=\sum _{n=m}^{\Omega -1}{\frac {1}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\\&={\frac {\Omega -m}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\\&\approx {\frac {\Omega -m}{\log \left({\frac {\Omega -1}{m-1}}\right)}}\end{aligned}}}
  


= 两辆坦克 =
如果观察到了两辆坦克，而不是一辆，那么所观察到的两个序列号中较大值为m的概率为

  
    
      
        (
        M
        =
        m
        ∣
        N
        =
        n
        ,
        K
        =
        2
        )
        =
        (
        m
        
          |
        
        n
        )
        =
        [
        m
        ≤
        n
        ]
        
          
            
              m
              −
              1
            
            
              
                (
              
              
                n
                2
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (M=m\mid N=n,K=2)=(m|n)=[m\leq n]{\frac {m-1}{\binom {n}{2}}}}
  

当m为定值时，这是一个n的似然函数

  
    
      
        
          
            L
          
        
        (
        n
        )
        =
        [
        n
        ≥
        m
        ]
        
          
            
              m
              −
              1
            
            
              
                (
              
              
                n
                2
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}(n)=[n\geq m]{\frac {m-1}{\binom {n}{2}}}}
  

总概率为

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∑
                  
                    n
                  
                
                
                  
                    L
                  
                
                (
                n
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    1
                  
                
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    m
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      
                        (
                      
                      
                        n
                        2
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    1
                  
                
                ⋅
                
                  
                    2
                    
                      2
                      −
                      1
                    
                  
                
                ⋅
                
                  
                    1
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        
                          2
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)&={\frac {m-1}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{2}}}\\&={\frac {m-1}{1}}\cdot {\frac {2}{2-1}}\cdot {\frac {1}{\binom {m-1}{2-1}}}\\&=2\end{aligned}}}
  

可信度质量分布函数为

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                (
                N
                =
                n
                ∣
                M
                =
                m
                ,
                K
                =
                2
                )
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                (
                n
                ∣
                m
                )
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          L
                        
                      
                      (
                      n
                      )
                    
                    
                      
                        ∑
                        
                          n
                        
                      
                      
                        
                          L
                        
                      
                      (
                      n
                      )
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                [
                n
                ≥
                m
                ]
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    
                      n
                      (
                      n
                      −
                      1
                      )
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=2)\\={}&(n\mid m)\\={}&{\frac {{\mathcal {L}}(n)}{\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)}}\\={}&[n\geq m]{\frac {m-1}{n(n-1)}}\end{aligned}}}
  

中位数
  
    
      
        
          
            
              
                N
                ~
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\tilde {N}}}
  
满足

  
    
      
        
          ∑
          
            n
          
        
        [
        n
        ≥
        
          
            
              N
              ~
            
          
        
        ]
        (
        n
        
          |
        
        m
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n}[n\geq {\tilde {N}}](n|m)={\frac {1}{2}}}
  

所以

  
    
      
        
          
            
              m
              −
              1
            
            
              
                
                  
                    N
                    ~
                  
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {m-1}{{\tilde {N}}-1}}={\frac {1}{2}}}
  

因而中位数为

  
    
      
        
          
            
              N
              ~
            
          
        
        =
        2
        m
        −
        1
      
    
    {\displaystyle {\tilde {N}}=2m-1}
  

但N的均值为无穷大

  
    
      
        μ
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        n
        ⋅
        (
        n
        
          |
        
        m
        )
        =
        
          
            
              m
              −
              1
            
            1
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            m
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              −
              1
            
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \mu =\sum _{n}n\cdot (n|m)={\frac {m-1}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}=\infty }
  


= 多辆坦克 =


 可信度质量分布函数  在序列号{1,...,n}中观测到的最大值为k的条件概率m为

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                (
                M
                =
                m
                
                  |
                
                N
                =
                n
                ,
                K
                =
                k
                ≥
                2
                )
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                (
                m
                ∣
                n
                ,
                k
                )
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                [
                m
                ≤
                n
                ]
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    
                      
                        (
                      
                      
                        n
                        k
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&(M=m|N=n,K=k\geq 2)\\={}&(m\mid n,k)\\={}&[m\leq n]{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}\end{aligned}}}
  

n的似然函数表达式与此相同

  
    
      
        
          
            L
          
        
        (
        n
        )
        =
        [
        n
        ≥
        m
        ]
        
          
            
              
                (
              
              
                
                  m
                  −
                  1
                
                
                  k
                  −
                  1
                
              
              
                )
              
            
            
              
                (
              
              
                n
                k
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}(n)=[n\geq m]{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}}
  

k ≥ 2的总概率为一个有限值：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∑
                  
                    n
                  
                
                
                  
                    L
                  
                
                (
                n
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    1
                  
                
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    m
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      
                        
                          (
                        
                        
                          n
                          k
                        
                        
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    1
                  
                
                ⋅
                
                  
                    k
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                  
                
                ⋅
                
                  
                    1
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    k
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)&={\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{1 \over {\binom {n}{k}}}\\&={\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\cdot {\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {1}{\binom {m-1}{k-1}}}\\&={\frac {k}{k-1}}\end{aligned}}}
  

可信度质量分布函数为

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                (
                N
                =
                n
                
                  |
                
                M
                =
                m
                ,
                K
                =
                k
                ≥
                2
                )
                =
                (
                n
                
                  |
                
                m
                ,
                k
                )
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          L
                        
                      
                      (
                      n
                      )
                    
                    
                      
                        ∑
                        
                          n
                        
                      
                      
                        
                          L
                        
                      
                      (
                      n
                      )
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                [
                n
                ≥
                m
                ]
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    k
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    
                      
                        (
                      
                      
                        n
                        k
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                [
                n
                ≥
                m
                ]
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    n
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          2
                        
                        
                          k
                          −
                          2
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          n
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                [
                n
                ≥
                m
                ]
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    n
                  
                
                
                  
                    
                      m
                      −
                      2
                    
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    
                      k
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          3
                        
                        
                          k
                          −
                          3
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          n
                          −
                          2
                        
                        
                          k
                          −
                          2
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n|M=m,K=k\geq 2)=(n|m,k)\\={}&{\frac {{\mathcal {L}}(n)}{\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)}}\\={}&[n\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}\\={}&[n\geq m]{\frac {m-1}{n}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{\binom {n-1}{k-1}}}\\={}&[n\geq m]{\frac {m-1}{n}}{\frac {m-2}{n-1}}{\frac {k-1}{k-2}}{\frac {\binom {m-3}{k-3}}{\binom {n-2}{k-2}}}\end{aligned}}}
  

互补累积分布函数是N > x的可信度

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                (
                N
                >
                x
                ∣
                M
                =
                m
                ,
                K
                =
                k
                )
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                  
                    {
                    
                      
                        
                          1
                        
                        
                          
                            if 
                          
                          x
                          <
                          m
                        
                      
                      
                        
                          
                            ∑
                            
                              n
                              =
                              x
                              +
                              1
                            
                            
                              ∞
                            
                          
                          (
                          n
                          
                            |
                          
                          m
                          ,
                          k
                          )
                        
                        
                          
                            if 
                          
                          x
                          ≥
                          m
                        
                      
                    
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                [
                x
                <
                m
                ]
                +
                [
                x
                ≥
                m
                ]
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    x
                    +
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    k
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    
                      
                        (
                      
                      
                        N
                        k
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                [
                x
                <
                m
                ]
                +
                [
                x
                ≥
                m
                ]
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    k
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    1
                  
                
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    x
                    +
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      
                        (
                      
                      
                        n
                        k
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                [
                x
                <
                m
                ]
                +
                [
                x
                ≥
                m
                ]
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    k
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    1
                  
                
                ⋅
                
                  
                    k
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      
                        (
                      
                      
                        x
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                [
                x
                <
                m
                ]
                +
                [
                x
                ≥
                m
                ]
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    
                      
                        (
                      
                      
                        x
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&(N>x\mid M=m,K=k)\\={}&{\begin{cases}1&{\text{if }}x<m\\\sum _{n=x+1}^{\infty }(n|m,k)&{\text{if }}x\geq m\end{cases}}\\={}&[x<m]+[x\geq m]\sum _{n=x+1}^{\infty }{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {N}{k}}}\\={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\sum _{n=x+1}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{k}}}\\={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\cdot {\frac {k}{k-1}}{\frac {1}{\binom {x}{k-1}}}\\={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {x}{k-1}}}\end{aligned}}}
  

累积分布函数是N ≤ x的可信度

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                (
                N
                ≤
                x
                
                  |
                
                M
                =
                m
                ,
                K
                =
                k
                )
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                1
                −
                (
                N
                >
                x
                ∣
                M
                =
                m
                ,
                K
                =
                k
                )
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                [
                x
                ≥
                m
                ]
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        
                          
                            (
                          
                          
                            
                              m
                              −
                              1
                            
                            
                              k
                              −
                              1
                            
                          
                          
                            )
                          
                        
                        
                          
                            (
                          
                          
                            x
                            
                              k
                              −
                              1
                            
                          
                          
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&(N\leq x|M=m,K=k)\\={}&1-(N>x\mid M=m,K=k)\\={}&[x\geq m]\left(1-{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {x}{k-1}}}\right)\end{aligned}}}
  


 数量级  敌方坦克数目的数量级为

  
    
      
        
          
            
              
                μ
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                  
                
                n
                ⋅
                (
                N
                =
                n
                
                  |
                
                M
                =
                m
                ,
                K
                =
                k
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                  
                
                n
                [
                n
                ≥
                m
                ]
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    n
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          2
                        
                        
                          k
                          −
                          2
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          n
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          2
                        
                        
                          k
                          −
                          2
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    1
                  
                
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    m
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          n
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          2
                        
                        
                          k
                          −
                          2
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    1
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    
                      k
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          2
                        
                        
                          k
                          −
                          2
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    
                      k
                      −
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\sum _{n}n\cdot (N=n|M=m,K=k)\\&=\sum _{n}n[n\geq m]{\frac {m-1}{n}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{\binom {n-1}{k-1}}}\\&={\frac {m-1}{1}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n-1}{k-1}}}\\&={\frac {m-1}{1}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{1}}\cdot {\frac {k-1}{k-2}}{\frac {1}{\binom {m-2}{k-2}}}\\&={\frac {m-1}{1}}{\frac {k-1}{k-2}}\end{aligned}}}
  


 统计不确定度  统计的不确定度用标准差σ表示，其满足等式

  
    
      
        
          σ
          
            2
          
        
        +
        
          μ
          
            2
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          n
          
            2
          
        
        ⋅
        (
        N
        =
        n
        ∣
        M
        =
        m
        ,
        K
        =
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{2}+\mu ^{2}=\sum _{n}n^{2}\cdot (N=n\mid M=m,K=k)}
  

所以

  
    
      
        
          
            
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  μ
                  
                    2
                  
                
                −
                μ
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                  
                
                n
                (
                n
                −
                1
                )
                ⋅
                (
                N
                =
                n
                ∣
                M
                =
                m
                ,
                K
                =
                k
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    m
                  
                  
                    ∞
                  
                
                n
                (
                n
                −
                1
                )
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    n
                  
                
                
                  
                    
                      m
                      −
                      2
                    
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    
                      k
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          3
                        
                        
                          k
                          −
                          3
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          n
                          −
                          2
                        
                        
                          k
                          −
                          2
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      m
                      −
                      2
                    
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    
                      k
                      −
                      2
                    
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          3
                        
                        
                          k
                          −
                          3
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    1
                  
                
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    m
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          n
                          −
                          2
                        
                        
                          k
                          −
                          2
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      m
                      −
                      2
                    
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    
                      k
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          3
                        
                        
                          k
                          −
                          3
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      −
                      2
                    
                    
                      k
                      −
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      
                        (
                      
                      
                        
                          m
                          −
                          3
                        
                        
                          k
                          −
                          3
                        
                      
                      
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      m
                      −
                      2
                    
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      k
                      −
                      1
                    
                    
                      k
                      −
                      3
                    
                  
                
              
            
            
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}+\mu ^{2}-\mu &=\sum _{n}n(n-1)\cdot (N=n\mid M=m,K=k)\\&=\sum _{n=m}^{\infty }n(n-1){\frac {m-1}{n}}{\frac {m-2}{n-1}}{\frac {k-1}{k-2}}{\frac {\binom {m-3}{k-3}}{\binom {n-2}{k-2}}}\\&={\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-2}}\cdot {\frac {\binom {m-3}{k-3}}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n-2}{k-2}}}\\&={\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-2}}{\frac {\binom {m-3}{k-3}}{1}}{\frac {k-2}{k-3}}{\frac {1}{\binom {m-3}{k-3}}}\\&={\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-3}}\\&\end{aligned}}}
  

及

  
    
      
        
          
            
              
                σ
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        
                          m
                          −
                          1
                        
                        1
                      
                    
                    
                      
                        
                          m
                          −
                          2
                        
                        1
                      
                    
                    
                      
                        
                          k
                          −
                          1
                        
                        
                          k
                          −
                          3
                        
                      
                    
                    +
                    μ
                    −
                    
                      μ
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        (
                        k
                        −
                        1
                        )
                        (
                        m
                        −
                        1
                        )
                        (
                        m
                        −
                        k
                        +
                        1
                        )
                      
                      
                        (
                        k
                        −
                        3
                        )
                        (
                        k
                        −
                        2
                        
                          )
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-3}}+\mu -\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(k-1)(m-1)(m-k+1)}{(k-3)(k-2)^{2}}}}\\&\end{aligned}}}
  

方差均值比则为

  
    
      
        
          
            
              σ
              
                2
              
            
            μ
          
        
        =
        
          
            
              m
              −
              k
              +
              1
            
            
              (
              k
              −
              3
              )
              (
              k
              −
              2
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}={\frac {m-k+1}{(k-3)(k-2)}}}
  


参见 标记重捕法，另一种估计样本总数的方法
最大间距估计，对“假设均匀分布”直觉的推广
哥白尼原则，类似的预测，基于单个样本（目前的年龄）计算预期寿命。
一个应用：末日论，估计人类的预期生存时间


= 其他对估计的讨论 =
最大似然估计
估计偏差#离散均匀分布的最大值
似然函数#例2


参考 注释

引用

文献