广义超几何函数（generalized hypergeometric function），有时也称超几何函数，是一个用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数，而用“高斯超几何函数”一词代指 p=2、 q=1 时的广义超几何函数。


定义与记号 超几何函数是用幂级数定义的：

  
    
      
        
          β
          
            0
          
        
        +
        
          β
          
            1
          
        
        
          
            z
            
              1
              !
            
          
        
        +
        
          β
          
            2
          
        
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          ∑
          
            n
            ⩾
            0
          
        
        
          β
          
            n
          
        
        
          
            
              z
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}{\frac {z}{1!}}+\beta _{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}{\frac {z^{n}}{n!}}}
  

其中相邻两项的系数之比 βn+1/βn 是关于 n 的有理函数，分子和分母都可以表示成若干个一次函数的乘积。一般要求分子和分母的多项式的最高次系数均为 1，并取 β0=1，于是

  
    
      
        
          
            
              β
              
                n
                +
                1
              
            
            
              β
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              A
              (
              n
              )
            
            
              B
              (
              n
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  p
                
              
              (
              
                a
                
                  i
                
              
              +
              n
              )
            
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  q
                
              
              (
              
                b
                
                  i
                
              
              +
              n
              )
            
          
        
        ,
        
        ∀
        n
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}={\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i}+n)}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i}+n)}},\quad \forall n\geqslant 0}
  

于是用阶乘幂可以将 βn 表示为

  
    
      
        
          β
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  p
                
              
              (
              
                a
                
                  i
                
              
              
                )
                
                  (
                  n
                  )
                
              
            
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  q
                
              
              (
              
                b
                
                  i
                
              
              
                )
                
                  (
                  n
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{n}={\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}}
  

一般用下面的记号来表示超几何函数：

  
    
      
        
          
          
            p
          
        
        
          F
          
            q
          
        
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            p
          
        
        ;
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        
          b
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          b
          
            q
          
        
        ;
        z
        )
        =
        
           
          
            p
          
        
        
          F
          
            q
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      a
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    …
                  
                  
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      b
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    …
                  
                  
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                  
                
              
            
            ;
            z
          
          ]
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  p
                
              
              (
              
                a
                
                  i
                
              
              
                )
                
                  (
                  n
                  )
                
              
            
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  q
                
              
              (
              
                b
                
                  i
                
              
              
                )
                
                  (
                  n
                  )
                
              
            
          
        
        
          
            
              z
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle _{p}F_{q}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{p};b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{q};z)=\ _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
  

当 ai 都不是非正整数（即负整数和 0）时，要求所有的 bi 都不是非正整数。当有至少一个 ai 是非正整数，且其中最大（绝对值最小）者为 k 时，超几何函数将截断为 -k 次多项式，这时允许 bi 中存在非正整数，但要求这些非正整数都小于 k。这都是为了保证在所有的 βn中，分母不为零。


敛散性 下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。
当超几何函数截断为多项式时，显然收敛半径是无穷大。
除去这种特殊情况之外，用比值审敛法可知，当 p<q+1 时，收敛半径为无穷大，当 p=q+1 时，收敛半径为 1，剩下的情况收敛半径为 0（这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级数，而函数本身则采用其它方式定义，如积分表达式）。
当级数的收敛半径为 1 时，级数在单位圆外不收敛，但仍然可以通过解析延拓来定义超几何函数的值。另外，此时在单位圆上的敛散性较为复杂，不能使用比值审敛法，必须使用高斯审敛法来判断，结果如下，令

  
    
      
        
          γ
          
            q
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            q
          
        
        
          b
          
            k
          
        
        −
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            p
          
        
        
          a
          
            k
          
        
        ,
        
        r
        =
        ℜ
        (
        
          γ
          
            q
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma _{q}=\sum _{k=1}^{q}b_{k}-\sum _{k=1}^{p}a_{k},\quad r=\Re (\gamma _{q})}
  

则

当 r>0 时，级数在单位圆上绝对收敛；
当 0≥r>-1 时，级数在单位圆上除 z=1 外收敛，但不绝对收敛；
当 -1≥r 时，级数在单位圆上发散。


积分表达式 复平面上的路径积分可以用来定义所有 ak 都不是非正整数时的广义超几何函数，包括上面说到的 p≥q+1 的情形。
下面只介绍 p+1>q 且级数不截断为多项式的情形（其它情形下，上面的幂级数定义已经是良好的定义，而下面的积分不收敛），这时超几何函数可以定义为：

  
    
      
        
          (
          
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                p
              
            
            Γ
            (
            
              a
              
                k
              
            
            )
          
          /
        
        
          
          
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                q
              
            
            Γ
            (
            
              b
              
                k
              
            
            )
          
          )
        
        
        
          

          
          
            p
          
        
        
          F
          
            q
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      a
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    …
                  
                  
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      b
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    …
                  
                  
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                  
                
              
            
            ;
            z
          
          ]
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            i
            ∞
          
          
            +
            i
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                p
              
            
            Γ
            (
            
              a
              
                k
              
            
            +
            s
            )
          
          /
        
        
          
          
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                q
              
            
            Γ
            (
            
              b
              
                k
              
            
            +
            s
            )
          
          )
        
        Γ
        (
        −
        s
        )
        (
        −
        z
        
          )
          
            s
          
        
        
          d
        
        s
      
    
    {\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{+i\infty }\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}
  

当 p=q 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义。可以证明，两种定义是等价的，且定义出来的超几何函数都是整函数；
当 p=q+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义，但级数定义只在 |z|<1 时有效，在这个区域内，两种定义是等价的，上式提供了级数定义的一个解析延拓；
当 p>q+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数只能通过积分表达式定义，对应的超几何级数只在 z =0 处收敛，其它情况均发散，它是积分定义的超几何函数在 z=0 处的渐近级数，即

  
    
      
        
          
          
            p
          
        
        
          F
          
            q
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      a
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    …
                  
                  
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      b
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    …
                  
                  
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                  
                
              
            
            ;
            z
          
          ]
        
        ≈
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  p
                
              
              (
              
                a
                
                  i
                
              
              
                )
                
                  (
                  n
                  )
                
              
            
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  q
                
              
              (
              
                b
                
                  i
                
              
              
                )
                
                  (
                  n
                  )
                
              
            
          
        
        
          
            
              z
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        ,
        
        p
        >
        q
        +
        1
        ,
        z
        →
        0
        ,
        
          |
        
        arg
        ⁡
        z
        
          |
        
        <
        (
        p
        +
        1
        −
        q
        )
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\approx \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}},\quad p>q+1,z\rightarrow 0,|\arg z|<(p+1-q){\frac {\pi }{2}}}
  


超几何函数的性质 = 特殊值 =

  
    
      
        
          

          
          
            p
          
        
        
          F
          
            q
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                  
                
              
            
            ;
            0
          
          ]
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};0\right]=1}
  


= 欧拉积分变换 =

  
    
      
        
          

          
          
            p
            +
            1
          
        
        
          F
          
            q
            +
            1
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                    ,
                    c
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                    ,
                    d
                  
                
              
            
            ;
            z
          
          ]
        
        =
        
          
            
              Γ
              (
              d
              )
            
            
              Γ
              (
              c
              )
              Γ
              (
              d
              −
              c
              )
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          t
          
            c
            −
            1
          
        
        (
        1
        −
        t
        
          )
          

          
          
            d
            −
            c
            −
            1
          
        
         
        
          

          
          
            p
          
        
        
          F
          
            q
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                  
                
              
            
            ;
            t
            z
          
          ]
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle {}_{p+1}F_{q+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p},c\\b_{1},\ldots ,b_{q},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\ldots ,b_{q}\end{array}};tz\right]dt}
  


= 导函数 =

  
    
      
        
          
            
              
                
                  (
                  
                    z
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          
                            
                              d
                            
                          
                          z
                        
                      
                    
                    +
                    
                      a
                      
                        j
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  

                  
                  
                    p
                  
                
                
                  F
                  
                    q
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                1
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              a
                              
                                j
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              a
                              
                                p
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              b
                              
                                1
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              b
                              
                                q
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    z
                  
                  ]
                
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    j
                  
                
                
                
                  

                  
                  
                    p
                  
                
                
                  F
                  
                    q
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                1
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              a
                              
                                j
                              
                            
                            +
                            1
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              a
                              
                                p
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              b
                              
                                1
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              b
                              
                                q
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    z
                  
                  ]
                
              
            
            
              
                
                  (
                  
                    z
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          
                            
                              d
                            
                          
                          z
                        
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        k
                      
                    
                    −
                    1
                  
                  )
                
                
                  

                  
                  
                    p
                  
                
                
                  F
                  
                    q
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                1
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              a
                              
                                p
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              b
                              
                                1
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              b
                              
                                k
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              b
                              
                                q
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    z
                  
                  ]
                
              
              
                
                =
                (
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                −
                1
                )
                
                
                  

                  
                  
                    p
                  
                
                
                  F
                  
                    q
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                1
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              a
                              
                                p
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              b
                              
                                1
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              b
                              
                                k
                              
                            
                            −
                            1
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              b
                              
                                q
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    z
                  
                  ]
                
              
            
            
              
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      
                        
                          d
                        
                      
                      z
                    
                  
                
                
                
                  

                  
                  
                    p
                  
                
                
                  F
                  
                    q
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                1
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              a
                              
                                p
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              b
                              
                                1
                              
                            
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              b
                              
                                q
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    z
                  
                  ]
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        ∏
                        
                          i
                          =
                          1
                        
                        
                          p
                        
                      
                      
                        a
                        
                          i
                        
                      
                    
                    
                      
                        ∏
                        
                          j
                          =
                          1
                        
                        
                          q
                        
                      
                      
                        b
                        
                          j
                        
                      
                    
                  
                
                
                
                  

                  
                  
                    p
                  
                
                
                  F
                  
                    q
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                1
                              
                            
                            +
                            1
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              a
                              
                                p
                              
                            
                            +
                            1
                          
                        
                        
                          
                            
                              b
                              
                                1
                              
                            
                            +
                            1
                            ,
                            …
                            ,
                            
                              b
                              
                                q
                              
                            
                            +
                            1
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    z
                  
                  ]
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}
  

由上面三个关系式可以得到超几何函数满足的微分方程：

  
    
      
        z
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            p
          
        
        
          (
          
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    
                      d
                    
                  
                  z
                
              
            
            +
            
              a
              
                n
              
            
          
          )
        
        w
        =
        z
        
          
            
              d
            
            
              
                
                  d
                
              
              z
            
          
        
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            q
          
        
        
          (
          
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    
                      d
                    
                  
                  z
                
              
            
            +
            
              b
              
                n
              
            
            −
            1
          
          )
        
        w
        ,
        
        w
        (
        z
        )
        =
        
          

          
          
            p
          
        
        
          F
          
            q
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                  
                
              
            
            ;
            z
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w,\quad w(z)={}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]}
  
.


特例 = 0F0 =
就是指数函数。

  
    
      
        
          

          
          
            0
          
        
        
          F
          
            0
          
        
        (
        ;
        ;
        z
        )
        =
        
          e
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}
  


= 1F0 =

  
    
      
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            0
          
        
        (
        a
        ;
        ;
        z
        )
        =
        (
        1
        −
        z
        
          )
          
            −
            a
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}
  


= 0F1 =
称为合流超几何极限函数（confluent hypergeometric limit functions），与贝塞尔函数有密切关联。

  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              (
              
                
                  
                    x
                    2
                  
                
              
              
                )
                
                  α
                
              
            
            
              Γ
              (
              α
              +
              1
              )
            
          
        
        ⋅
        
          

          
          
            0
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            ;
            α
            +
            1
            ;
            −
            
              
                
                  1
                  4
                
              
            
            
              x
              
                2
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot {}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}
  


= 1F1 和 2F0 =

1F1 就是（第一类）合流超几何函数，也称 Kummer 函数。

  
    
      
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ;
        b
        ;
        z
        )
        =
        M
        (
        a
        ;
        b
        ;
        z
        )
      
    
    {\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)}
  

另一方面，2F0 （此函数的级数表达式不收敛，因此必须通过积分表达式定义）与第二类合流超几何函数（又称Tricomi 函数）有如下关系：

  
    
      
        U
        (
        a
        ,
        b
        ,
        z
        )
        =
        
          z
          
            −
            a
          
        
        ⋅
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            0
          
        
        (
        a
        ,
        a
        −
        b
        +
        1
        ;
        ;
        −
        
          z
          
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})}
  

事实上，它们都可以表示为高斯超几何函数的极限，

  
    
      
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ;
        c
        ;
        z
        )
        =
        
          lim
          
            b
            →
            ∞
          
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        z
        
          /
        
        b
        )
      
    
    {\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=\lim _{b\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}
  

  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            0
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        ;
        z
        )
        =
        
          lim
          
            c
            →
            ∞
          
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        c
        z
        )
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{0}(a,b;;z)=\lim _{c\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;cz)}
  

类似地，pFq 都可以表示成 p+1Fq 或 pFq+1 的极限。
不完全伽玛函数与这两个函数有关联：

  
    
      
        γ
        (
        a
        ,
        z
        )
        =
        
          
            
              z
              
                a
              
            
            a
          
        
        M
        (
        a
        ,
        a
        +
        1
        ,
        −
        z
        )
        ,
        
        a
        ∈
        
          
            Z
          
          
            0
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}
  

  
    
      
        Γ
        (
        a
        ,
        z
        )
        =
        
          e
          
            −
            z
          
        
        U
        (
        1
        −
        a
        ,
        1
        −
        a
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)}
  


= 2F1 =

就是高斯超几何函数，一般又简称超几何函数。


= 多重对数函数 =

当 s 为非负整数时，多重对数函数 Lis 可以用超几何函数表示：

  
    
      
        
          
            L
            i
          
          
            s
          
        
        (
        z
        )
        =
        z
        ⋅
        
          

          
          
            s
            +
            1
          
        
        
          F
          
            s
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    1
                    ,
                    …
                    ,
                    1
                  
                
                
                  
                    2
                    ,
                    …
                    ,
                    2
                  
                
              
            
            ;
            z
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)=z\cdot {}_{s+1}F_{s}\left[{\begin{array}{c}1,\ldots ,1\\2,\dots ,2\end{array}};z\right]}
  


参考 Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W.  (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
Derezinski, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113 .