数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。
设v1, ..., vn是向量空间V中一个单形的顶点，如果V中某点p满足，

  
    
      
        (
        
          λ
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            n
          
        
        )
        
        p
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        
        
          v
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            n
          
        
        
        
          v
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n})\,p=\lambda _{1}\,v_{1}+\cdots +\lambda _{n}\,v_{n},}
  

那么我们称系数（λ1, ..., λn）是 p关于v1, ..., vn的重心坐标。这些顶点自己的坐标分别是（1, 0, 0, ..., 0），（0, 1, 0, ..., 0）, ...,（0, 0, 0, ..., 1）。重心坐标不是惟一的：对任何不等于零的k，（k λ1, ..., k λn）也是p的重心坐标。但总可以取坐标满足
λ1 + ...+ λn = 1，称为正规化坐标。注意到定义式在仿射变换下不变，故重心坐标具有仿射不变性。
如果坐标分量都非负，则p在v1, ..., vn的凸包内部，即由这些顶点组成的单形包含p。我们设想如果有质量λ1, ..., λn分别位于单形的顶点，那么质量中心就是p。这是术语“重心”的起源，1827年由奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯最初引入。


三角形的重心坐标 在三角形情形中，重心坐标也叫面积坐标，因为P点关于三角形ABC的重心坐标和三角形PBC, PCA及PAB的（有向）面积成比例，证明如下（如右图所示）。
我们用黑体小写字母表示对应点的向量，比如三角形ABC顶点为
  
    
      
        
          
            a
          
        
        
        ,
        
          
            b
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {a}}\,,{\textbf {b}}\,}
  
和
  
    
      
        
          
            c
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {c}}\,}
  
，P点为
  
    
      
        
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {p}}}
  
等。设PBC, PCA及PAB面积之比为
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        :
        
          λ
          
            2
          
        
        :
        
          λ
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}\,}
  
且
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        +
        
          λ
          
            3
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}
  
，设射线AP与BC交于D，则

  
    
      
        B
        D
        :
        D
        C
        =
        
          λ
          
            3
          
        
        :
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle BD:DC=\lambda _{3}:\lambda _{2},}
  
从而
  
    
      
        
          
            d
          
        
        =
        
          
            
              
                λ
                
                  2
                
              
              
                
                  b
                
              
              +
              
                λ
                
                  3
                
              
              
                
                  c
                
              
            
            
              
                λ
                
                  2
                
              
              +
              
                λ
                
                  3
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\textbf {d}}={\frac {\lambda _{2}{\textbf {b}}+\lambda _{3}{\textbf {c}}}{\lambda _{2}+\lambda _{3}}},}
  

  
    
      
        A
        P
        :
        P
        D
        =
        (
        
          λ
          
            2
          
        
        +
        
          λ
          
            3
          
        
        )
        :
        
          λ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle AP:PD=(\lambda _{2}+\lambda _{3}):\lambda _{1}}
  
，故

  
    
      
        
          
            p
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                λ
                
                  2
                
              
              +
              
                λ
                
                  3
                
              
              )
              
                
                  d
                
              
              +
              
                λ
                
                  1
                
              
              
                
                  a
                
              
            
            
              
                λ
                
                  1
                
              
              +
              
                λ
                
                  2
                
              
              +
              
                λ
                
                  3
                
              
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\textbf {p}}={\frac {(\lambda _{2}+\lambda _{3}){\textbf {d}}+\lambda _{1}{\textbf {a}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}\,,}
  

  
    
      
        
          
            p
          
        
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        
          
            a
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        
          
            b
          
        
        +
        
          λ
          
            3
          
        
        
          
            c
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {a}}+\lambda _{2}{\textbf {b}}+\lambda _{3}{\textbf {c}}\,.}
  

所以，
  
    
      
        (
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
        
          λ
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}
  
就是P的重心坐标。


= 坐标变换 =
给定三角形平面一点P，我们将这一点的面积坐标
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}\,}
  
，
  
    
      
        
          λ
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{2}\,}
  
和
  
    
      
        
          λ
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{3}\,}
  
用笛卡尔坐标表示出来。
利用笛卡尔坐标中的三角形面积公式：

  
    
      
        S
        (
        A
        B
        C
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      a
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      a
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      b
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      b
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      c
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      c
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle S(ABC)={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&x_{a}&y_{a}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}}
  

我们可得：

  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        =
        S
        (
        P
        B
        C
        )
        
          /
        
        S
        (
        A
        B
        C
        )
        =
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      p
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      p
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      b
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      b
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      c
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      c
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        
          /
        
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      a
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      a
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      b
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      b
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      c
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      c
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}=S(PBC)/S(ABC)={\begin{vmatrix}1&x_{p}&y_{p}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}1&x_{a}&y_{a}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}}
  

类似地有
  
    
      
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
        
          λ
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{3}}
  
，注意ABC构成一个三角形，上式的分母不可能为0。
反过来则简单得多：

  
    
      
        
          
            p
          
        
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        
          
            a
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        
          
            b
          
        
        +
        
          λ
          
            3
          
        
        
          
            c
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {a}}+\lambda _{2}{\textbf {b}}+\lambda _{3}{\textbf {c}},}
  
故

  
    
      
        
          x
          
            p
          
        
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        
          x
          
            a
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        
          x
          
            b
          
        
        +
        
          λ
          
            3
          
        
        
          x
          
            c
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{p}=\lambda _{1}x_{a}+\lambda _{2}x_{b}+\lambda _{3}x_{c},}
  
和

  
    
      
        
          y
          
            p
          
        
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        
          y
          
            a
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        
          y
          
            b
          
        
        +
        
          λ
          
            3
          
        
        
          y
          
            c
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle y_{p}=\lambda _{1}y_{a}+\lambda _{2}y_{b}+\lambda _{3}y_{c}.}
  


= 判断一点的位置 =
因重心坐标是笛卡尔坐标的一个线性变换，从而它们在边和三角形区域之间的变化是线性的。如果点在三角形内部，那么所有重心坐标属于开区间
  
    
      
        (
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (0,1)}
  
；如果一点在三角形的边上，至少有一个面积坐标
  
    
      
        
          λ
          
            1...3
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1...3}}
  
为0，其余分量位于闭区间
  
    
      
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,1]}
  
。如果有某个坐标小于0，则位于三角形外部，具体分布可参考上图。
图示中，B和C顶端的坐标正负反了，B的应该是（-,+,-），C的是（-,-,+）


= 应用 =
面积坐标在涉及到三角形子区域的工程学问题时特别有用，经常可以化简解析积分求值，高斯积分法表也常以面积坐标的形式给出。
考虑由顶点
  
    
      
        
          
            
              v
            
          
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {v}}_{1}\,}
  
, 
  
    
      
        
          
            
              v
            
          
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {v}}_{2}\,}
  
和
  
    
      
        
          
            
              v
            
          
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {v}}_{3}\,}
  
定义的三角形T，任何在三角形内部的点
  
    
      
        
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {p}}}
  
都能写成顶点的加权和：

  
    
      
        
          
            p
          
        
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        
          
            
              v
            
          
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        
          
            
              v
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          λ
          
            3
          
        
        
          
            
              v
            
          
          
            3
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {v}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {v}}_{2}+\lambda _{3}{\textbf {v}}_{3},}
  

这里
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}\,}
  
、
  
    
      
        
          λ
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{2}\,}
  
和
  
    
      
        
          λ
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{3}\,}
  
是面积坐标。注意到
  
    
      
        
          λ
          
            3
          
        
        =
        1
        −
        
          λ
          
            1
          
        
        −
        
          λ
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\,}
  
。从而，函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在T上的积分为：

  
    
      
        
          ∫
          
            T
          
        
        f
        (
        
          
            p
          
        
        )
         
        d
        s
        =
        2
        S
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
            −
            
              λ
              
                2
              
            
          
        
        f
        (
        
          λ
          
            1
          
        
        
          
            
              v
            
          
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        
          
            
              v
            
          
          
            2
          
        
        +
        (
        1
        −
        
          λ
          
            1
          
        
        −
        
          λ
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              v
            
          
          
            3
          
        
        )
         
        d
        
          λ
          
            1
          
        
         
        d
        
          λ
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \int _{T}f({\textbf {p}})\ ds=2S\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}{\textbf {v}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {v}}_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}){\textbf {v}}_{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\,}
  

这里S是三角形T的面积。注意上式具有线性插值的形式。
重心坐标提供了一种非结构网格上函数插值的方法，假设函数值在所有网格的顶点上已知。如果
  
    
      
        0
        ≤
        
          λ
          
            i
          
        
        ≤
        1
        
        ∀
        
        i
        ∈
        
          1
          ,
          2
          ,
          3
        
      
    
    {\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i\in {1,2,3}}
  
，则点
  
    
      
        
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {p}}}
  
位于三角形内部或边界上。我们取
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的插值为

  
    
      
        f
        (
        
          
            p
          
        
        )
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        f
        (
        
          
            
              v
            
          
          
            1
          
        
        )
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        f
        (
        
          
            
              v
            
          
          
            2
          
        
        )
        +
        
          λ
          
            3
          
        
        f
        (
        
          
            
              v
            
          
          
            3
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle f({\textbf {p}})=\lambda _{1}f({\textbf {v}}_{1})+\lambda _{2}f({\textbf {v}}_{2})+\lambda _{3}f({\textbf {v}}_{3}),}
  

这个线性插值是自动正规的因为
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        +
        
          λ
          
            3
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}
  
。


四面体的重心坐标 重心坐标容易推广到三维空间。3维单形即四面体，具有四个三角形面和四个顶点。
完全类似于三角形，四面体
  
    
      
        
          
            
              v
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              v
            
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            
              v
            
          
          
            3
          
        
        ,
        
          
            
              v
            
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3},{\textbf {v}}_{4}}
  
的顶点
  
    
      
        
          
            
              v
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {v}}_{1}}
  
的重心坐标为（1,0,0,0），
  
    
      
        
          
            
              v
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {v}}_{2}}
  
为（0,1,0,0），如是等等。
点
  
    
      
        
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {p}}}
  
的笛卡尔坐标和为关于四面体
  
    
      
        
          
            
              v
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              v
            
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            
              v
            
          
          
            3
          
        
        ,
        
          
            
              v
            
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3},{\textbf {v}}_{4}}
  
的重心坐标的关系：

  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        =
        
          Vol
        
        (
        P
        
          V
          
            2
          
        
        
          V
          
            3
          
        
        
          V
          
            4
          
        
        )
        
          /
        
        
          Vol
        
        (
        
          V
          
            1
          
        
        
          V
          
            2
          
        
        
          V
          
            3
          
        
        
          V
          
            4
          
        
        )
        ,
        
        
          λ
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}={\text{Vol}}(PV_{2}V_{3}V_{4})/{\text{Vol}}(V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}),\;\lambda _{2}=\cdots .}
  

这里
  
    
      
        
          Vol
        
        (
        
          V
          
            1
          
        
        
          V
          
            2
          
        
        
          V
          
            3
          
        
        
          V
          
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{Vol}}(V_{1}V_{2}V_{3}V_{4})}
  
为
  
    
      
        
          
            
              v
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              v
            
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            
              v
            
          
          
            3
          
        
        ,
        
          
            
              v
            
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3},{\textbf {v}}_{4}}
  
组成的四面体的体积，类似于三角形也可以用笛卡尔坐标的一个行列式表示出来。
3维重心坐标和2维一样，可以确定一点是否位于四面体内部，也能对四面体网格上函数插值。因为利用重心坐标可以极大地简化3维插值，四面体网格经常用于有限元分析。


参考文献 Bradley, Christopher J. The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. 2007. ISBN 978-1-906338-00-8. 
埃里克·韦斯坦因. Areal Coordinates. MathWorld. 
埃里克·韦斯坦因. Barycentric Coordinates. MathWorld. 


外部链接 重心坐标：一个有意思的运用 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（解“三杯子问题”）位于cut-the-knot
齐次重心坐标在平面欧几里得几何中的运用