複數（英語：complex number），為實數的延伸，它使任一多項式方程都有根。複數當中有個「虛數單位」
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
，它是
  
    
      
        −
        1
      
    
    {\displaystyle -1}
  
的一个平方根，即
  
    
      
        
          
            
              i
            
            
              2
            
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
  
。任一複數都可表達為
  
    
      
        x
        +
        y
        i
      
    
    {\displaystyle x+yi}
  
，其中
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
及
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
皆為實數，分別稱為複數之「實部」和「虛部」。
複數的發現源於三次方程的根的表達式。數學上，「複」字表明所討論的數體為複數，如複矩陣、複變函數等。
形式上，複數系統可以定義為普通實數的虛數i的代數擴展。這意味著複數可以作為變量i中的多項式進行加，減和乘，並施加規則
  
    
      
        
          
            
              i
            
            
              2
            
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
  
。此外，複數也可以除以非零複數。總體而言，複數系統是一個域。
在幾何上，複數通過將水平軸用於實部，將垂直軸用於虛部，將一維數線的概念擴展到二維複平面。這些數字的點位於複平面的垂直軸上。虛部為零的複數可以看作是實數。
但是，複數允許使用更豐富的代數結構，其中包括在向量空間中不一定可用的附加運算。例如，兩個複數的乘積總是再次產生一個複數，並且不應將其誤認為是涉及向量的常規“乘積”。


歷史 最早提到有關負數的平方根的文獻出於公元1世紀古希腊数学家亞歷山卓的希羅，他考慮的是一種不可能的平頂金字塔的體積，計算結果會是
  
    
      
        
          
            81
            −
            144
          
        
        =
        3
        i
        
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {81-144}}=3i{\sqrt {7}}}
  
 ，但這對他是不可理解的，所以他只單純地把為正的
  
    
      
        
          
            144
            −
            81
          
        
        =
        3
        
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}}
  
。
16世紀意大利數學家（請參看塔塔利亞和卡爾達諾）得出一元三次和四次方程式的根的表達式，並發現即使只考慮實數根，仍不可避免面對負數方根。17世紀笛卡兒稱負數方根為虛數，「子虛烏有的數」，表達對此的無奈和不忿。18世紀初棣莫弗及歐拉大力推動複數的接受。1730年，棣莫弗提出棣莫弗公式：

  
    
      
        (
        cos
        ⁡
        θ
        +
        i
        sin
        ⁡
        θ
        
          )
          
            n
          
        
        =
        cos
        ⁡
        n
        θ
        +
        i
        sin
        ⁡
        n
        θ
      
    
    {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }
  
，
而歐拉則在1748年提出分析學中的歐拉公式：

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        +
        i
        sin
        ⁡
        θ
        =
        
          e
          
            i
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}
  
，
18世紀末，複數漸漸被大多數人接受，當時卡斯帕尔·韦塞尔提出複數可看作平面上的一點。數年後，高斯再提出此觀點並大力推廣，複數的研究開始高速發展。詫異的是，早於1685年約翰·沃利斯已經在De Algebra tractatus提出此一觀點。
卡斯帕尔·韦塞尔的文章發表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy上，以當今標準來看，也是相當清楚和完備。他又考慮球体，得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年，Abbe Buee亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點，即以
  
    
      
        ±
        
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}}
  
來表示平面上與實數軸垂直的單位線段。1806年，Buee的文章正式刊出，同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章，而阿岡的複數平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及，他發表了一篇備忘錄，奠定複數在數學的地位。
柯西及阿贝尔的努力，掃除了複數使用的最後顧忌，後者更是首位以複數研究著名的。
複數吸引了著名數學家的注意，包括库默尔（1844年）、克罗内克（1845年）、舍夫勒（1845年、1851年、1880年）、贝拉维蒂斯（1835年、1852年）、喬治·皮科克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比乌斯發表了大量有關複數幾何的短文，約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念，例如質數，推廣至複數。
費迪南·艾森斯坦研究
  
    
      
        a
        +
        b
        j
      
    
    {\displaystyle a+bj}
  
，其中
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
是
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{3}-1=0}
  
的複根。其他如
  
    
      
        
          x
          
            k
          
        
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{k}-1=0}
  
 (
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
是質數)亦有考慮。類以推廣的先鋒為库默尔的完美數理論，經由菲利克斯·克莱因（1893年）以幾何角度加以簡化。伽羅華其後提出更一般的推廣——阿貝爾-魯菲尼定理，解決了五次以上多項式的根不能表達問題。


定義 = 符号表示 =
尽管可以使用其他表示法，复数通常写为如下形式：

  
    
      
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle a+bi}
  

这裡的
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
是实数，而i是虛數單位，它有着性质
  
    
      
        
          
            
              i
            
            
              2
            
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
  
。实数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
叫做复数的实部，而实数
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
叫做复数的虚部。实数可以被认为是虚部为零的复数；就是说实数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
等价于复数
  
    
      
        a
        +
        0
        i
      
    
    {\displaystyle a+0i}
  
。实部为零且虚部不为零的复数也被称作“纯虚数”；而实部不為零且虚部也不为零的复数也被称作“非純虚数”或“雜虛數”。
例如，
  
    
      
        3
        +
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 3+2i}
  
是复数，它的实部为3虚部为2。如果
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        i
        b
      
    
    {\displaystyle z=a+ib}
  
，则实部（
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
）被指示为
  
    
      
        Re
        ⁡
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
  
或
  
    
      
        ℜ
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Re (z)}
  
，而虚部（
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
）被指示为
  
    
      
        Im
        ⁡
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
  
或
  
    
      
        ℑ
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Im (z)}
  
。
在某些领域（特别是电子工程，这裡的i是电流的符号）中，虚部
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
被替代写为
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
，所以复数有时写为
  
    
      
        a
        +
        j
        b
      
    
    {\displaystyle a+jb}
  
。
所有复数的集合通常指示为
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
，或者用黑板粗体写为
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
。实数
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
可以被当作
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的子集，通过把实数的所有成员当作复数：
  
    
      
        a
        =
        a
        +
        0
        i
      
    
    {\displaystyle a=a+0i}
  
。


= 等量关系 =
复数中的虚数是无法比较大小的，即两个虚数只有相等和不等两种等量关系。
两个复数是相等的，当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。就是说，設
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
,
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
,
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
,
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
為實數，則
  
    
      
        a
        +
        b
        i
        =
        c
        +
        d
        i
      
    
    {\displaystyle a+bi=c+di}
  
当且仅当
  
    
      
        a
        =
        c
      
    
    {\displaystyle a=c}
  
并且
  
    
      
        b
        =
        d
      
    
    {\displaystyle b=d}
  
。


= 运算 =
通过形式上应用代数的结合律、交换律和分配律，再加上等式
  
    
      
        
          
            
              i
            
            
              2
            
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
  
，定义复数的加法、减法、乘法和除法:

加法：
  
    
      
        
        (
        a
        +
        b
        i
        )
        +
        (
        c
        +
        d
        i
        )
        =
        (
        a
        +
        c
        )
        +
        (
        b
        +
        d
        )
        i
      
    
    {\displaystyle \,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
  

减法：
  
    
      
        
        (
        a
        +
        b
        i
        )
        −
        (
        c
        +
        d
        i
        )
        =
        (
        a
        −
        c
        )
        +
        (
        b
        −
        d
        )
        i
      
    
    {\displaystyle \,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
  

乘法：
  
    
      
        
        (
        a
        +
        b
        i
        )
        (
        c
        +
        d
        i
        )
        =
        a
        c
        +
        b
        c
        i
        +
        a
        d
        i
        +
        b
        d
        
          i
          
            2
          
        
        =
        (
        a
        c
        −
        b
        d
        )
        +
        (
        b
        c
        +
        a
        d
        )
        i
      
    
    {\displaystyle \,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}
  

除法：
  
    
      
        
          
            
              
                
                
                  
                    
                      (
                      a
                      +
                      b
                      i
                      )
                    
                    
                      (
                      c
                      +
                      d
                      i
                      )
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      (
                      a
                      +
                      b
                      i
                      )
                      (
                      c
                      −
                      d
                      i
                      )
                    
                    
                      (
                      c
                      +
                      d
                      i
                      )
                      (
                      c
                      −
                      d
                      i
                      )
                    
                  
                
                =
                
                  
                    
                      a
                      c
                      +
                      b
                      c
                      i
                      −
                      a
                      d
                      i
                      −
                      b
                      d
                      
                        i
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        c
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      (
                      d
                      i
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      (
                      a
                      c
                      +
                      b
                      d
                      )
                      +
                      (
                      b
                      c
                      −
                      a
                      d
                      )
                      i
                    
                    
                      
                        c
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        d
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                =
                
                  (
                  
                    
                      
                        a
                        c
                        +
                        b
                        d
                      
                      
                        
                          c
                          
                            2
                          
                        
                        +
                        
                          d
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  (
                  
                    
                      
                        b
                        c
                        −
                        a
                        d
                      
                      
                        
                          c
                          
                            2
                          
                        
                        +
                        
                          d
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}&={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bci-adi-bdi^{2}}{c^{2}-(di)^{2}}}\\&={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i\end{aligned}}}
  


= 複數體 =
複數可定義為實數
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
組成的有序對，而其相關之和及積為：

  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        (
        c
        ,
        d
        )
        =
        (
        a
        +
        c
        ,
        b
        +
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}
  
，

  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        ⋅
        (
        c
        ,
        d
        )
        =
        (
        a
        c
        −
        b
        d
        ,
        b
        c
        +
        a
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)}
  
，
複數數系是一個體，複數體常以
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
來表示。
一個實數
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
等同於複數
  
    
      
        (
        a
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (a,0)}
  
，故實數體為複數體的子體。虛數單位
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
就是複數
  
    
      
        (
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (0,1)}
  
。此外，還有:

加法单位元（“零元”）: 
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  

乘法单位元（“幺元”）: 
  
    
      
        (
        1
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (1,0)}
  

  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
的加法逆元: 
  
    
      
        (
        −
        a
        ,
        −
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (-a,-b)}
  

非零
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
的乘法逆元（倒数）: 
  
    
      
        
          (
          
            
              
                a
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                
                  −
                  b
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right)}
  
。
複數體亦可定為代數數的拓撲閉包或實數體的代數閉包。


= 複數平面 =

先把坐标轴画出来，横的叫实轴，竖的叫虚轴，然后确定0的位置，
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
  
可以用二维空间来表示出来。
复数
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
可以被看作在被称为阿甘得图（得名於让-罗贝尔·阿冈，也叫做高斯平面）的二维笛卡尔坐标系内的一个点或位置向量。这个点也就是这个复数
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
可以用笛卡尔（直角）坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部
  
    
      
        x
        =
        ℜ
        z
      
    
    {\displaystyle x=\Re z}
  
和虚部
  
    
      
        y
        =
        ℑ
        z
      
    
    {\displaystyle y=\Im z}
  
。复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。


= 絕對值、共軛與距離 =

  
    
      
        z
        =
        r
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle z=re^{i\phi }}
  
，则
  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
        =
        r
      
    
    {\displaystyle |z|=r}
  
是
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
的「絕對值」（「模」、「幅值」、「大小」）。如果
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
  
，則
  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
  
.
對所有
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
及
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
，有

  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
        −
        
          |
        
        w
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        z
        +
        w
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        z
        
          |
        
        +
        
          |
        
        w
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |z|-|w|\leq |z+w|\leq |z|+|w|}
  

  
    
      
        
          |
        
        z
        w
        
          |
        
        =
        
          |
        
        z
        
          |
        
        
        
          |
        
        w
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |zw|=|z|\;|w|}
  

  
    
      
        
          |
          
            
              z
              w
            
          
          |
        
        =
        
          
            
              
                |
              
              z
              
                |
              
            
            
              
                |
              
              w
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}}
  

當定義了距離
  
    
      
        d
        (
        z
        ,
        w
        )
        =
        
          |
          
            z
            −
            w
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle d(z,w)=\left|z-w\right|}
  
，複數體便成了度量空间，我們亦可談極限和連續。加法、乘法及除法都是連續的運算。

  
    
      
        z
        =
        a
        +
        i
        b
      
    
    {\displaystyle z=a+ib}
  
的共軛複數定義為
  
    
      
        z
        =
        a
        −
        i
        b
      
    
    {\displaystyle z=a-ib}
  
，記作
  
    
      
        
          
            z
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {z}}}
  
或
  
    
      
        
          z
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{*}}
  
。如圖所示，
  
    
      
        
          
            z
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {z}}}
  
是
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
关于實數轴的「对称点」。有

  
    
      
        
          
            
              z
              +
              w
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            z
            ¯
          
        
        +
        
          
            w
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}
  

  
    
      
        
          
            
              z
              w
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            z
            ¯
          
        
        ⋅
        
          
            w
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}}
  

  
    
      
        
          
            
              (
              
                
                  z
                  w
                
              
              )
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              z
              ¯
            
            
              w
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              z
              ¯
            
            ¯
          
        
        =
        z
      
    
    {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}
  

  
    
      
        
          
            z
            ¯
          
        
        =
        z
      
    
    {\displaystyle {\overline {z}}=z}
  
 當且僅當
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
是實數

  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          
            z
            ¯
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|}
  

  
    
      
        
          |
        
        z
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        z
        
          
            z
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}}
  
（“複數和其共軛值相乘等於其大小平方值”）

  
    
      
        
          z
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            z
            ¯
          
        
        
          |
        
        z
        
          
            |
          
          
            −
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{-1}={\overline {z}}|z|^{-2}}
  
 若
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
非零。這是計算乘法逆最常用的等式。
對於所有代數運算
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，共軛值是可交換的。這即是說
  
    
      
        f
        (
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
        =
        
          
            
              f
              (
              z
              )
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle f({\overline {z}})={\overline {f(z)}}}
  
。一些非代數運算如正弦「
  
    
      
        sin
      
    
    {\displaystyle \sin }
  
」亦有此性質。這是由於
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
的不明確選擇——
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}=-1}
  
有二解。可是，共軛值是不可微分的（參見全纯函数）。
一複數
  
    
      
        z
        =
        r
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle z=re^{i\phi }}
  
的「幅角」或「相位」為
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
。此值對模
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
而言是唯一的。
對於乘法和除法分別有：

  
    
      
        
        r
        
          e
          
            α
            i
          
        
        s
        
          e
          
            β
            i
          
        
        =
        (
        r
        s
        )
        
          e
          
            (
            α
            +
            β
            )
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \,re^{\alpha i}se^{\beta i}=(rs)e^{(\alpha +\beta )i}}
  
（即“模值相乘，幅角相加”或“大小相乘，相位相加”）

  
    
      
        
        
          
            
              r
              
                e
                
                  α
                  i
                
              
            
            
              s
              
                e
                
                  β
                  i
                
              
            
          
        
        =
        
          
            r
            s
          
        
        
          e
          
            (
            α
            −
            β
            )
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \,{\frac {re^{\alpha i}}{se^{\beta i}}}={\frac {r}{s}}e^{(\alpha -\beta )i}}
  
（即“模值相除，幅角相减”或“大小相除，相位相減”)


= 複數的三角函數運算 =

  
    
      
        z
        =
        (
        x
        +
        i
        y
        )
      
    
    {\displaystyle z=(x+iy)}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          z
        
        =
        sin
        ⁡
        
          x
        
        cosh
        ⁡
        
          x
        
        +
        i
        cos
        ⁡
        
          y
        
        sinh
        ⁡
        
          y
        
      
    
    {\displaystyle \sin {z}=\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          z
        
        =
        cos
        ⁡
        
          x
        
        cosh
        ⁡
        
          x
        
        −
        i
        sin
        ⁡
        
          y
        
        sinh
        ⁡
        
          y
        
      
    
    {\displaystyle \cos {z}=\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}
  

  
    
      
        tan
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                z
              
            
            
              cos
              ⁡
              
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                x
              
              cosh
              ⁡
              
                x
              
              +
              i
              cos
              ⁡
              
                y
              
              sinh
              ⁡
              
                y
              
            
            
              cos
              ⁡
              
                x
              
              cosh
              ⁡
              
                x
              
              −
              i
              sin
              ⁡
              
                y
              
              sinh
              ⁡
              
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan {z}={\frac {\sin {z}}{\cos {z}}}={\frac {\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}{\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}}}
  

  
    
      
        cot
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            1
            
              tan
              ⁡
              
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                z
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                x
              
              cosh
              ⁡
              
                x
              
              −
              i
              sin
              ⁡
              
                y
              
              sinh
              ⁡
              
                y
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                x
              
              cosh
              ⁡
              
                x
              
              +
              i
              cos
              ⁡
              
                y
              
              sinh
              ⁡
              
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cot {z}={\frac {1}{\tan {z}}}={\frac {\cos {z}}{\sin {z}}}={\frac {\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}{\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                sec
                ⁡
                
                  z
                
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        z
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        x
                      
                      cosh
                      ⁡
                      
                        x
                      
                      −
                      i
                      sin
                      ⁡
                      
                        y
                      
                      sinh
                      ⁡
                      
                        y
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        x
                      
                      cosh
                      ⁡
                      
                        x
                      
                    
                    
                      
                        
                          (
                          
                            cos
                            ⁡
                            
                              x
                            
                            cosh
                            ⁡
                            
                              x
                            
                          
                          )
                        
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        
                          (
                          
                            sin
                            ⁡
                            
                              y
                            
                            sinh
                            ⁡
                            
                              y
                            
                          
                          )
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                +
                i
                
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        y
                      
                      sinh
                      ⁡
                      
                        y
                      
                    
                    
                      
                        
                          (
                          
                            cos
                            ⁡
                            
                              x
                            
                            cosh
                            ⁡
                            
                              x
                            
                          
                          )
                        
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        
                          (
                          
                            sin
                            ⁡
                            
                              y
                            
                            sinh
                            ⁡
                            
                              y
                            
                          
                          )
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        
                          
                            z
                            ¯
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        |
                        
                          cos
                          ⁡
                          
                            z
                          
                        
                        |
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sec {z}&={\frac {1}{\cos {z}}}={\frac {1}{\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}}\\&={\frac {\cos {x}\cosh {x}}{\left(\cos {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\sin {y}\sinh {y}\right)^{2}}}+i{\frac {\sin {y}\sinh {y}}{\left(\cos {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\sin {y}\sinh {y}\right)^{2}}}\\&={\frac {\cos {\bar {z}}}{\left\vert \cos {z}\right\vert ^{2}}}\end{aligned}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                csc
                ⁡
                
                  z
                
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        z
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        x
                      
                      cosh
                      ⁡
                      
                        x
                      
                      +
                      i
                      cos
                      ⁡
                      
                        y
                      
                      sinh
                      ⁡
                      
                        y
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        x
                      
                      cosh
                      ⁡
                      
                        x
                      
                    
                    
                      
                        
                          (
                          
                            sin
                            ⁡
                            
                              x
                            
                            cosh
                            ⁡
                            
                              x
                            
                          
                          )
                        
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        
                          (
                          
                            cos
                            ⁡
                            
                              x
                            
                            sinh
                            ⁡
                            
                              x
                            
                          
                          )
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                +
                i
                
                  
                    
                      −
                      cos
                      ⁡
                      
                        x
                      
                      sinh
                      ⁡
                      
                        x
                      
                    
                    
                      
                        
                          (
                          
                            sin
                            ⁡
                            
                              x
                            
                            cosh
                            ⁡
                            
                              x
                            
                          
                          )
                        
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        
                          (
                          
                            cos
                            ⁡
                            
                              x
                            
                            sinh
                            ⁡
                            
                              x
                            
                          
                          )
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        
                          
                            z
                            ¯
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        |
                        
                          sin
                          ⁡
                          
                            z
                          
                        
                        |
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\csc {z}&={\frac {1}{\sin {z}}}={\frac {1}{\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}}\\&={\frac {\sin {x}\cosh {x}}{\left(\sin {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\cos {x}\sinh {x}\right)^{2}}}+i{\frac {-\cos {x}\sinh {x}}{\left(\sin {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\cos {x}\sinh {x}\right)^{2}}}\\&={\frac {\sin {\bar {z}}}{\left\vert \sin {z}\right\vert ^{2}}}\end{aligned}}}
  

反函數:

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        
          z
        
        =
        −
        i
        ln
        ⁡
        
          
            (
            
              i
              z
              +
              
                
                  1
                  +
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin {z}=-i\ln {\left(iz+{\sqrt {1+z^{2}}}\right)}}
  

  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            π
            2
          
        
        −
        arcsin
        ⁡
        
          z
        
        =
        −
        i
        ln
        ⁡
        
          
            (
            
              z
              +
              
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos {z}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {z}=-i\ln {\left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}}
  

  
    
      
        arctan
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            i
            2
          
        
        ln
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  1
                  −
                  i
                  z
                
                
                  1
                  +
                  i
                  z
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \arctan {z}={\frac {i}{2}}\ln {\left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)}}
  

  
    
      
        arccot
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            i
            2
          
        
        ln
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  z
                  +
                  i
                
                
                  z
                  −
                  i
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arccot} {z}={\frac {i}{2}}\ln {\left({\frac {z+i}{z-i}}\right)}}
  

  
    
      
        arcsec
        ⁡
        
          z
        
        =
        arccos
        ⁡
        
          
            1
            z
          
        
        =
        −
        i
        ln
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  1
                  z
                
              
              +
              
                
                  
                    
                      1
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcsec} {z}=\arccos {\frac {1}{z}}=-i\ln {\left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)}}
  

  
    
      
        arccsc
        ⁡
        
          z
        
        =
        arcsin
        ⁡
        
          
            1
            z
          
        
        =
        −
        i
        ln
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  i
                  z
                
              
              +
              
                
                  1
                  +
                  
                    
                      1
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arccsc} {z}=\arcsin {\frac {1}{z}}=-i\ln {\left({\frac {i}{z}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)}}
  


= 複數的雙曲函數運算 =

  
    
      
        z
        =
        (
        x
        +
        i
        y
        )
      
    
    {\displaystyle z=(x+iy)}
  

  
    
      
        sinh
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            
              
                e
                
                  z
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  z
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sinh {z}={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}
  

  
    
      
        cosh
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            
              
                e
                
                  z
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  z
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \cosh {z}={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}}
  

  
    
      
        tanh
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            
              sinh
              ⁡
              
                z
              
            
            
              cosh
              ⁡
              
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                e
                
                  z
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  z
                
              
            
            
              
                e
                
                  z
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  z
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tanh {z}={\frac {\sinh {z}}{\cosh {z}}}={\frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}}}
  

  
    
      
        coth
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            1
            
              tan
              ⁡
              
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            
              cosh
              ⁡
              
                z
              
            
            
              sinh
              ⁡
              
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                e
                
                  z
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  z
                
              
            
            
              
                e
                
                  z
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  z
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \coth {z}={\frac {1}{\tan {z}}}={\frac {\cosh {z}}{\sinh {z}}}={\frac {e^{z}+e^{-z}}{e^{z}-e^{-z}}}}
  

  
    
      
        sech
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            1
            
              cosh
              ⁡
              
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              
                e
                
                  z
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  z
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sech} {z}={\frac {1}{\cosh {z}}}={\frac {2}{e^{z}+e^{-z}}}}
  

  
    
      
        csch
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            1
            
              sinh
              ⁡
              
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              
                e
                
                  z
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  z
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {csch} {z}={\frac {1}{\sinh {z}}}={\frac {2}{e^{z}-e^{-z}}}}
  

反函數:

  
    
      
        arcsinh
        ⁡
        
          z
        
        =
        ln
        ⁡
        
          
            (
            
              z
              +
              
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcsinh} {z}=\ln {\left(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\right)}}
  

  
    
      
        arccosh
        ⁡
        
          z
        
        =
        ln
        ⁡
        
          
            (
            
              z
              +
              
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arccosh} {z}=\ln {\left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}}
  

  
    
      
        arctanh
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            
              ln
              ⁡
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        +
                        z
                      
                      
                        1
                        −
                        z
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arctanh} {z}={\frac {\ln {\left({\frac {1+z}{1-z}}\right)}}{2}}}
  

  
    
      
        arccoth
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            
              ln
              ⁡
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        z
                        +
                        1
                      
                      
                        z
                        −
                        1
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arccoth} {z}={\frac {\ln {\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)}}{2}}}
  

  
    
      
        arcsech
        ⁡
        
          z
        
        =
        arccosh
        ⁡
        
          
            1
            z
          
        
        =
        ln
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  1
                  z
                
              
              +
              
                
                  
                    
                      1
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcsech} {z}=\operatorname {arccosh} {\frac {1}{z}}=\ln {\left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)}}
  

  
    
      
        arccsch
        ⁡
        
          z
        
        =
        arcsinh
        ⁡
        
          
            1
            z
          
        
        =
        ln
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  1
                  z
                
              
              +
              
                
                  
                    
                      1
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  +
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arccsch} {z}=\operatorname {arcsinh} {\frac {1}{z}}=\ln {\left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\right)}}
  


= 复数运算的几何解释 =

考虑一个平面。一个点是原点0。另一个点是单位1。
两个点A和B的和是点X = A + B使得顶点0, A, B的三角形和顶点X, B, A的三角形是全等的。
两个点A和B的积是点X = AB使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, B, X的三角形是相似的。
点A的共轭复数是点X = A*使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, 1, X的三角形相互是镜像。


极坐标形式 复数
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
也可以用极坐标来表示。
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
所对应的极坐标由叫做绝对值或模或大小的
  
    
      
        r
        =
        
          |
          z
          |
        
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle r=\left\vert z\right\vert \geq 0}
  
和叫做辐角或相位的
  
    
      
        φ
        =
        arg
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle \varphi =\arg z}
  
组成。若
  
    
      
        r
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r=0}
  
，不论
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
值为何，
  
    
      
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z=0}
  
。为了避免一个复数具有多种极坐标表示的情况，通常会设置
  
    
      
        arg
        ⁡
        0
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \arg 0=0}
  
，从而让
  
    
      
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z=0}
  
所对应的
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
具有唯一的值：
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
。
  
    
      
        r
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r>0}
  
时，复数在辐角
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
模以
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
后是唯一的；就是说，对于两个被视为极坐标表示的复数而言，若它们的辐角之差是
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
的整数倍数，则这两个复数等价。因此，通常会限制
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
在区间
  
    
      
        (
        −
        π
        ,
        π
        ]
      
    
    {\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
  
内，也就是说
  
    
      
        −
        π
        <
        φ
        ≤
        π
      
    
    {\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }
  
，以此来避免一个复数具有多种极坐标表示的情况。


= 极坐标形式的写法 =
极坐标形式的写法

  
    
      
        z
        =
        r
        
        (
        cos
        ⁡
        φ
        +
        i
        sin
        ⁡
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle z=r\,(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
  
，
被叫做“三角形式”。有时使用符号cis φ简写cosφ + isinφ。
使用欧拉公式还可以写为

  
    
      
        z
        =
        r
        
        
          
            e
          
          
            i
            φ
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle z=r\,\mathrm {e} ^{i\varphi }\,,}
  

这叫做“指数形式”。


= 从极坐标形式到笛卡尔坐标形式的转换 =

  
    
      
        x
        =
        r
        cos
        ⁡
        φ
      
    
    {\displaystyle x=r\cos \varphi }
  

  
    
      
        y
        =
        r
        sin
        ⁡
        φ
      
    
    {\displaystyle y=r\sin \varphi }
  


= 从笛卡尔坐标形式到极坐标形式的转换 =

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
  

  
    
      
        φ
        =
        
          
            {
            
              
                
                  arctan
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      y
                      x
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  x
                  >
                  0
                
              
              
                
                  arctan
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      y
                      x
                    
                  
                  )
                  +
                  π
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  x
                  <
                  0
                  
                    
                       and 
                    
                  
                  y
                  ≥
                  0
                
              
              
                
                  arctan
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      y
                      x
                    
                  
                  )
                  −
                  π
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  x
                  <
                  0
                  
                    
                       and 
                    
                  
                  y
                  <
                  0
                
              
              
                
                  +
                  
                    
                      π
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  x
                  =
                  0
                  
                    
                       and 
                    
                  
                  y
                  >
                  0
                
              
              
                
                  −
                  
                    
                      π
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  x
                  =
                  0
                  
                    
                       and 
                    
                  
                  y
                  <
                  0
                
              
              
                
                  
                    u
                    n
                    d
                    e
                    f
                    i
                    n
                    e
                    d
                  
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  x
                  =
                  0
                  
                    
                       and 
                    
                  
                  y
                  =
                  0.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
  

前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:

  
    
      
        φ
        =
        
          
            {
            
              
                
                  +
                  arccos
                  ⁡
                  
                    
                      x
                      r
                    
                  
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  y
                  ≥
                  0
                  
                    
                       and 
                    
                  
                  r
                  =
                  0
                
              
              
                
                  −
                  arccos
                  ⁡
                  
                    
                      x
                      r
                    
                  
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  y
                  <
                  0
                
              
              
                
                  
                    u
                    n
                    d
                    e
                    f
                    i
                    n
                    e
                    d
                  
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  r
                  =
                  0.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}+\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}
  


= 极坐标形式下的乘法、除法、指数和开方根 =
在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。
使用三角恒等式得到

  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        
        
          e
          
            i
            
              φ
              
                1
              
            
          
        
        ⋅
        
          r
          
            2
          
        
        
        
          e
          
            i
            
              φ
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          r
          
            1
          
        
        
        
          r
          
            2
          
        
        
        
          e
          
            i
            (
            
              φ
              
                1
              
            
            +
            
              φ
              
                2
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\,r_{2}\,e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}
  
，
和

  
    
      
        
          
            
              
                r
                
                  1
                
              
              
              
                e
                
                  i
                  
                    φ
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
              
                e
                
                  i
                  
                    φ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              r
              
                1
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
        
          e
          
            i
            (
            
              φ
              
                1
              
            
            −
            
              φ
              
                2
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}
  
。
依据棣莫弗定理做整数幂的指数运算，

  
    
      
        
          
            (
          
        
        r
        
        
          e
          
            i
            φ
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            n
          
        
        =
        
          r
          
            n
          
        
        
        
          e
          
            i
            n
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\big (}r\,e^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}\,e^{in\varphi }}
  
。
任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。
两个复数的加法只是两个向量的向量加法，乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。
乘以
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
对应于一个逆时针旋转90 度(
  
    
      
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
  
 弧度)。方程
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1}
  
的几何意义是顺序的两个90度旋转导致一个180度(
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
弧度)旋转。甚至算术中的
  
    
      
        (
        −
        1
        )
        ×
        (
        −
        1
        )
        =
        +
        1
      
    
    {\displaystyle (-1)\times (-1)=+1}
  
都可以被在几何上被理解为两个180度旋转的组合。
任何数的所有方根，实数或复数的，都可以用简单的算法找到。
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
次方根给出为

  
    
      
        
          
            
              r
              
                e
                
                  i
                  φ
                
              
            
            
              n
            
          
        
        =
        
          
            r
            
              n
            
          
        
         
        
          e
          
            i
            
              (
              
                
                  
                    φ
                    +
                    2
                    k
                    π
                  
                  n
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}\ e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}}
  

对于
  
    
      
        k
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}
  
，这裡的
  
    
      
        
          
            r
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}
  
表示
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
的主
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
次方根。

  
    
      
        ln
        ⁡
        
          z
        
        =
        ln
        ⁡
        
          
            |
            z
            |
          
        
        +
        i
        (
        arg
        ⁡
        
          z
        
        +
        2
        π
        n
        )
        ,
        n
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \ln {z}=\ln {\left\vert z\right\vert }+i(\arg {z}+2\pi n),n\in \mathbb {Z} }
  

  
    
      
        
          log
          
            w
          
        
        ⁡
        
          z
        
        =
        
          
            
              ln
              ⁡
              
                z
              
            
            
              ln
              ⁡
              
                w
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ln
              ⁡
              
                
                  |
                  z
                  |
                
              
              +
              i
              (
              arg
              ⁡
              
                z
              
              +
              2
              π
              n
              )
            
            
              ln
              ⁡
              
                
                  |
                  w
                  |
                
              
              +
              i
              (
              arg
              ⁡
              
                w
              
              +
              2
              π
              n
              )
            
          
        
        ,
        n
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \log _{w}{z}={\frac {\ln {z}}{\ln {w}}}={\frac {\ln {\left\vert z\right\vert }+i(\arg {z}+2\pi n)}{\ln {\left\vert w\right\vert }+i(\arg {w}+2\pi n)}},n\in \mathbb {Z} }
  

結論

  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                  
                    w
                    ln
                    ⁡
                    
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                =
                cosh
                ⁡
                
                  (
                  w
                  ln
                  ⁡
                  
                    z
                  
                  )
                
                +
                sinh
                ⁡
                
                  (
                  w
                  ln
                  ⁡
                  
                    z
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                cosh
                ⁡
                
                  
                    (
                    
                      w
                      (
                      ln
                      ⁡
                      
                        
                          |
                          z
                          |
                        
                      
                      +
                      i
                      (
                      arg
                      ⁡
                      
                        z
                      
                      +
                      2
                      π
                      n
                      )
                      )
                    
                    )
                  
                
                +
                sinh
                ⁡
                
                  
                    (
                    
                      w
                      (
                      ln
                      ⁡
                      
                        
                          |
                          z
                          |
                        
                      
                      +
                      i
                      (
                      arg
                      ⁡
                      
                        z
                      
                      +
                      2
                      π
                      n
                      )
                      )
                    
                    )
                  
                
                ,
                n
                ∈
                
                  Z
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}e^{w\ln {z}}&=\cosh {(w\ln {z})}+\sinh {(w\ln {z})}\\&=\cosh {\left(w(\ln {\left\vert z\right\vert }+i(\arg {z}+2\pi n))\right)}+\sinh {\left(w(\ln {\left\vert z\right\vert }+i(\arg {z}+2\pi n))\right)},n\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}
  

  
    
      
        Γ
        
          (
          z
          )
        
        ≈
        
          
            2
            π
          
        
        
          z
          
            z
            −
            
              
                1
                2
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma {(z)}\approx {\sqrt {2\pi }}z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}}
  

  
    
      
        z
        !
        ≈
        
          
            2
            π
          
        
        (
        z
        +
        1
        
          )
          
            z
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            z
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle z!\approx {\sqrt {2\pi }}(z+1)^{z+{\frac {1}{2}}}e^{-z+1}}
  


代數性質 下表给出任何複數
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
的加法和乘法的基本性质。


一些特性 = 矩陣表達式 =
這是個實用價值不大，但具數學意義的表達式，是將複數看作能旋轉及縮放二維位置矢量的2×2實數矩陣，即是

  
    
      
        a
        +
        i
        b
        ↔
        
          
            (
            
              
                
                  a
                
                
                  −
                  b
                
              
              
                
                  b
                
                
                  
                  
                  a
                
              
            
            )
          
        
        =
        r
        
          
            [
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  φ
                
                
                  −
                  sin
                  ⁡
                  φ
                
              
              
                
                  sin
                  ⁡
                  φ
                
                
                  cos
                  ⁡
                  φ
                
              
            
            ]
          
        
        =
        r
        exp
        ⁡
        
          (
          
            φ
            
              
                [
                
                  
                    
                      0
                    
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  
                    
                      1
                    
                    
                      0
                    
                  
                
                ]
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}=r{\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}=r\exp \left(\varphi {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\right),}
  

其中
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
及
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
為實數。可算出此類矩陣的和、積及乘法逆都是此類矩陣。此外

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  a
                
                
                  −
                  b
                
              
              
                
                  b
                
                
                  
                  
                  a
                
              
            
            )
          
        
        =
        a
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  
                  
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                  
                  1
                
              
            
            )
          
        
        +
        b
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                  
                  0
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
  

即實數1對應着單位矩陣

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  
                  
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                  
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{pmatrix}}}
  
，
而虛數單位
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
對應着

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                  
                  0
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
  
。
此矩陣令平面作逆時鐘90度旋轉，它的平方就是-1。
複數的絶對值就是行列式的平方根。這些矩陣對應相應的平面變換，其旋轉角度等於複數的徧角，改變比例等於複數的絶對值。複數的軛就是矩陣的轉置。
若矩陣中的
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
本來就是複數，則構成的代數便是四元數。由此，矩陣代表法可看成代數的凱萊-迪克森結構法。


= 實向量空間 =

  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
可以視作二維實綫性空間。不同於實數體，複數體上不可能有與其算術相容的全序：
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
並非有序體。


= 多項式的根 =
滿足
  
    
      
        p
        (
        z
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle p(z)=0}
  
的複數z是多項式
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的“根”。代數基本定理指出，所有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
次多項式，不管實數系數抑或複數系數的，都剛好有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個複數根（
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
重根按
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
个计算）。這定理等價於複數體是代數閉體。
事實上，複數體是實數體的代數閉包。它是多項式環
  
    
      
        
          R
        
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} [X]}
  
經由理想
  
    
      
        
          ⟨
          
            
              X
              
                2
              
            
            +
            1
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle X^{2}+1\right\rangle }
  
顯生出的商環：

  
    
      
        
          C
        
        =
        
          R
        
        [
        X
        ]
        
          /
        
        (
        
          X
          
            2
          
        
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}
  
。
這是一個體因為
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle X^{2}+1}
  
為不可約多項式，而
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
在商環內對應着虛數單位
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
。


= 代數特徵 =
複數體
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
唯一（就體同構來說）的體擁有三項代數特征:

它的特徵值是0
它對質數體的超越度是實數的基數
它是代數閉的
而然，
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
包含很多與
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
同構的子體。


= 不可排序 =
在
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
上不可能建立與其加法及乘法相容之全序關係，即不存在一全序
  
    
      
        ⪯
      
    
    {\displaystyle \preceq }
  
使得對於任意複數
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2}}
  
，有
  
    
      
        0
        ⪯
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ⇒
        0
        ⪯
        
          z
          
            1
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        0
        ⪯
        
          z
          
            1
          
        
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 0\preceq z_{1},z_{2}\Rightarrow 0\preceq z_{1}+z_{2},0\preceq z_{1}z_{2}}
  
。


= 复指数幂 =

计算一个实数的复数幂是可以的。
  
    
      
        
          a
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{z}}
  
可以定义为
  
    
      
        
          e
          
            z
            ⋅
            ln
            ⁡
            (
            a
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}
  
。


複分析 研究複變函數的理論稱為複分析。它在應用數學和其他數學分支上都有許多實際應用。實分析和數論的結果，最自然的證明經常是以複分析的技巧完成（例子可見質數定理）。
複變函數的圖像是四維的，所以不像實變函數般可以用平面圖像表示。要表示複變函數的圖像，可以用有顏色的三維圖像表達四維資訊，或者以動畫表示函數對複平面的動態變換。


應用 = 系统分析 =
在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在複平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法和尼科尔斯图法都是在複平面上进行的。
无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点

位于右半平面，则因果系统不稳定；
都位于左半平面，则因果系统稳定；
位于虚轴上，则系统为临界稳定的。
如果稳定系统的全部零点都位于左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。


= 信号分析 =
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值
  
    
      
        
          |
          z
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left\vert z\right\vert }
  
表示信号的幅度，辐角
  
    
      
        arg
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle \arg z}
  
表示给定频率的正弦波的相位。
利用傅里叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的複函數的实部表示：

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        z
        
          e
          
            i
            ω
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle f(t)=ze^{i\omega t}}
  
，
其中
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
对应角频率，复数
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
包含了幅度和相位的信息。
电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。）


= 反常積分 =
在應用層面，複分析常用以計算某些實值的反常積分，藉由複值函數得出。方法有多種，見圍道積分方法。


= 量子力學 =
量子力學中複數是十分重要的，因其理論是建基於複數體上無限維的希尔伯特空间，而薛丁格方程式亦包含
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 虛數單位。


= 相對論 =
如將時間變數視為虛數的話便可簡化一些狹義和廣義相對論中的時空度量张量 (Metric Tensor)方程。


= 應用數學 =
實際應用中，求解給定差分方程模型的系統，通常首先找出線性差分方程對應的特徵方程的所有複特徵根r，再將系統以形爲f(t)= ert的基函數的線性組合表示。


= 流体力學 =
複函數於流体力學中可描述二維勢流。


= 電路分析 =
物理和工程領域中的交流電路分析，使用到相量作表達正弦信號。


= 分形 =
一些分形如曼德博集合和茹利亚集（Julia set）是建基於複平面上的點的。


复数的平方根 复数的平方根是可以计算的。其公式为
  
    
      
        
          
            x
            +
            i
            y
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  |
                  
                    x
                    +
                    i
                    y
                  
                  |
                
                +
                x
              
              2
            
          
        
        ±
        i
        
          
            
              
                
                  |
                  
                    x
                    +
                    i
                    y
                  
                  |
                
                −
                x
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}}
  
。


參見 複平面
複幾何
棣莫弗公式
歐拉恆等式
超複數
局部體
相量
四元數
双曲复数


參考資料 Conway, John. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3. 


延伸閱讀 An Imaginary Tale: The Story of 
  
    
      
        
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {-1}}}
  
, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
Numbers, by H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert; Springer; ISBN 0-387-97497-0 (hardcover, 1991). An advanced perspective on the historical development of the concept of number.
The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, by Roger Penrose; Alfred A. Knopf, 2005; ISBN 0-679-45443-8. Chapters 4-7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, by John Derbyshire; Joseph Henry Press; ISBN 0-309-09657-X (hardcover 2006).  A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.
Visual Complex Analysis, by Tristan Needham; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.


外部連結 Euler's work on Complex Roots of Polynomials at Convergence
John and Betty's Journey Through Complex Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
埃里克·韦斯坦因. Complex Number. MathWorld. 
SOS Math - Complex Variables （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Algebraic Structure of Complex Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆） from cut-the-knot
Complex Numbers Module by John H. Mathews
IMO Compendium Training Materials （页面存档备份，存于互联网档案馆） contains a text on applications of complex numbers to euclidean geometry
myElectrical.com Complex Number Ccalculator
solvemymath.com Complex Numbers Calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Interactive Visual Representation of Complex Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）