曲（qu）线指动点在空间中运动方向连续变化的轨迹。直线是特殊的曲线。
在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。


历史 若尔当曲线定理
变分法（最速降線問題、等時降線）
希爾伯特第十六問題
皮亚诺曲线和其他Space-filling curve
卷绕数


定义 在数学上，一条曲线的定义为：

设
  
    
      
        I
        =
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle I=[a,b]}
  
为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
就是一个连续函数
  
    
      
        c
        :
        I
        →
        X
      
    
    {\displaystyle c:I\rightarrow X}
  
的映射，其中
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
为一个拓扑空间。
我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
。
若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。
若
  
    
      
        I
        =
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle I=[a,b]}
  
和
  
    
      
        f
        (
        a
        )
        =
        f
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle f(a)=f(b)}
  
，f是闭曲线（closed curve）或環圈。


曲线方程 一般来说，当在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（curvilinear equation，curve equation）。
例如，
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
  
是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。


曲线长度 若
  
    
      
        γ
        (
        t
        )
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        X
        ⊂
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}}
  
，则其长度是

  
    
      
        L
        (
        γ
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          |
          
            
              γ
              ′
            
            (
            t
            )
          
          |
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t}
  


= 平面曲线 =
例如，若一条平面曲线可表达成标准方程
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
，那么它的长度就是：

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          
            
              
                
                  [
                  
                    
                      f
                      ′
                    
                    
                      (
                      x
                      )
                    
                  
                  ]
                
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
          
          
            
              d
            
          
          x
        
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}}
  

其中
  
    
      
        a
        
      
    
    {\displaystyle a\,}
  
、
  
    
      
        b
        
      
    
    {\displaystyle b\,}
  
为
  
    
      
        x
        
      
    
    {\displaystyle x\,}
  
的上下限。
若平面曲线可表达成参数方程
  
    
      
        x
        (
        t
        )
        ,
        y
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t),y(t)}
  
，那么它的长度就是：

  
    
      
        
          ∫
          
            α
          
          
            β
          
        
        
          
            
              
                
                  (
                  
                    
                      x
                      ′
                    
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  (
                  
                    
                      y
                      ′
                    
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
            
          
          
            
              d
            
          
          t
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}}
  

其中
  
    
      
        α
        
      
    
    {\displaystyle \alpha \,}
  
、
  
    
      
        β
        
      
    
    {\displaystyle \beta \,}
  
为
  
    
      
        t
        
      
    
    {\displaystyle t\,}
  
的上下限。


参考 外部链接 （英文）MacTutor著名曲線列圖 （页面存档备份，存于互联网档案馆）