泊松方程（法語：Equation de Poisson）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。


方程的叙述 泊松方程式為

  
    
      
        Δ
        φ
        =
        f
      
    
    {\displaystyle \Delta \varphi =f}
  

在這裡
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  
代表的是拉普拉斯算子，而
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
和
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為
  
    
      
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\nabla }^{2}}
  
，因此泊松方程通常寫成

  
    
      
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        φ
        =
        f
      
    
    {\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f}
  

在三維直角坐標系，可以寫成

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        φ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        f
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}
  

如果有
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y,z)}
  
恒等于0，這個方程式就會變成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

  
    
      
        Δ
        φ
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}
  

泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考屏蔽泊松方程。現在也发展出很多種數值解，如松弛法（一种迭代法）。


数学表达 通常泊松方程式表示为

  
    
      
        −
        Δ
        φ
        =
        f
      
    
    {\displaystyle -\Delta \varphi =f}
  

这里
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  
代表拉普拉斯算子，
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
为已知函数，而
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
为未知函数。当
  
    
      
        f
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f=0}
  
   时，这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  −
                  Δ
                  φ
                  =
                  f
                
                
                  
                    in
                  
                   
                  Ω
                
              
              
                
                  φ
                  =
                  g
                
                
                  
                    auf
                  
                   
                  ∂
                  Ω
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}
  

其中 
  
    
      
        Ω
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
  
 为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

  
    
      
        Φ
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  −
                  
                    
                      
                        1
                        
                          2
                          π
                        
                      
                    
                  
                  ln
                  ⁡
                  
                    |
                  
                  x
                  
                    |
                  
                
                
                  n
                  =
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        1
                        
                          n
                          (
                          n
                          −
                          2
                          )
                          
                            ω
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        1
                        
                          
                            |
                          
                          x
                          
                            
                              |
                            
                            
                              n
                              −
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  n
                  ≥
                  3
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}}
  

其中
  
    
      
        
          ω
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{n}}
  
为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积
  
    
      
        (
        Φ
        ∗
        f
        )
      
    
    {\displaystyle (\Phi *f)}
  
得到 
  
    
      
        −
        Δ
        φ
        =
        f
      
    
    {\displaystyle -\Delta \varphi =f}
  
的解。
为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

  
    
      
        G
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        Φ
        (
        y
        −
        x
        )
        −
        
          ϕ
          
            x
          
        
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)}
  

  
    
      
        
          ϕ
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi ^{x}}
  
 为一个校正函数，它满足

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  Δ
                  
                    ϕ
                    
                      x
                    
                  
                  =
                  0
                
                
                  
                    in
                  
                   
                  Ω
                
              
              
                
                  
                    ϕ
                    
                      x
                    
                  
                  =
                  Φ
                  (
                  y
                  −
                  x
                  )
                
                
                  
                    auf
                  
                   
                  ∂
                  Ω
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}
  

通常情况下
  
    
      
        
          ϕ
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi ^{x}}
  
是依赖于
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
。
通过 
  
    
      
        G
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle G(x,y)}
  
可以给出上述边界条件的解

  
    
      
        u
        (
        x
        )
        =
        −
        
          ∫
          
            ∂
            Ω
          
        
        g
        (
        y
        )
        
          
            
              ∂
              G
            
            
              ∂
              ν
            
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        
          d
        
        σ
        (
        y
        )
        +
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        f
        (
        y
        )
        G
        (
        x
        ,
        y
        )
        
          d
        
        y
      
    
    {\displaystyle u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y}
  

其中
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 表示
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
  
上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。


靜電學 在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制（SI）中：

  
    
      
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        Φ
        =
        −
        
          
            ρ
            
              ϵ
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho  \over \epsilon _{0}}}
  

此
  
    
      
        Φ
        
      
    
    {\displaystyle \Phi \!}
  
代表電勢（單位為伏特），
  
    
      
        ρ
        
      
    
    {\displaystyle \rho \!}
  
是體電荷密度（單位為庫侖/立方公尺），而
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}\!}
  
是真空電容率（單位為法拉/公尺）。
如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

  
    
      
        ρ
        =
        0
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \rho =0,\,}
  

此方程式就變成拉普拉斯方程：

  
    
      
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        Φ
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =0.}
  


= 高斯電荷分佈的電場 =
如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度

  
    
      
        ρ
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (r)}
  
：

  
    
      
        ρ
        (
        r
        )
        =
        
          
            Q
            
              
                σ
                
                  3
                
              
              
                
                  
                    2
                    π
                  
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        
        
          e
          
            −
            
              r
              
                2
              
            
            
              /
            
            (
            2
            
              σ
              
                2
              
            
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}
  

此處，Q代表總電荷
此泊松方程式：
  
    
      
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        Φ
        =
        −
        
          
            ρ
            
              ϵ
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho  \over \epsilon _{0}}}
  

的解Φ(r)則為

  
    
      
        Φ
        (
        r
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          
            Q
            r
          
        
        
        
          
            erf
          
        
        
          (
          
            
              r
              
                
                  
                    2
                  
                
                σ
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}
  

erf(x)代表的是误差函数.
注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場

  
    
      
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          
            Q
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}}
  
；正如我們所預期的。


參閱 离散泊松方程
泊松-玻尔兹曼方程
泊松方程的唯一性定理


参考文献 = 引用 =


= 来源 =


外部链接 Hazewinkel, Michiel (编), Poisson equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
Poisson's equation （页面存档备份，存于互联网档案馆） on PlanetMath.