函數
  
    
      
        W
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle W(x)}
  
若在區間(a,b)可積，且
  
    
      
        W
        (
        x
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle W(x)\geq 0}
  
，則可作為權函數。
對於一個多項式的序列
  
    
      
        
          
            f
            
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {f_{i}}}
  
和權函數
  
    
      
        W
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle W(x)}
  
，定義內積

  
    
      
        :
        ⟨
        
          f
          
            m
          
        
        ,
        
          f
          
            n
          
        
        ⟩
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          f
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
        W
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle :\langle f_{m},f_{n}\rangle =\int _{a}^{b}f_{m}(x)f_{n}(x)\,W(x)\,dx}
  

若
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n\neq m}
  
，
  
    
      
        ⟨
        
          f
          
            m
          
        
        ,
        
          f
          
            n
          
        
        ⟩
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \langle f_{m},f_{n}\rangle =0}
  
，這些多項式則稱為正交多項式（英語：Orthogonal Polynomials）。
若
  
    
      
        
          
            f
            
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {f_{i}}}
  
除了正交之外，更有
  
    
      
        ⟨
        
          f
          
            n
          
        
        ,
        
          f
          
            n
          
        
        ⟩
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \langle f_{n},f_{n}\rangle =1}
  
的話，則稱為規範正交多項式。


例子 若權函數為1，區間為(-1,1)，
  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle f_{0}(x)=1}
  
，對應的正交多項式有：

  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        x
        
      
    
    {\displaystyle f_{1}(x)=x\,}
  

  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              3
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              1
            
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}\,}
  

  
    
      
        
          f
          
            3
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              5
              
                x
                
                  3
                
              
              −
              3
              x
            
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}}\,}
  

  
    
      
        
          f
          
            4
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              35
              
                x
                
                  4
                
              
              −
              30
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              3
            
            8
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{4}(x)={\frac {35x^{4}-30x^{2}+3}{8}}\,}
  

  
    
      
        ⋮
      
    
    {\displaystyle \vdots }
  

它們稱為勒讓德多項式。
對於任意向量空間的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一個正交基。對於多項式空間的基，正交化的結果便是勒讓德多項式。


常見的正交多項式 切比雪夫多項式
雅可比多項式
埃尔米特多项式
拉盖尔多项式
蓋根鮑爾多項式
哈恩多项式
拉卡多项式
查理耶多项式
连续双哈恩多项式
贝特曼多项式
双重哈恩多项式
小q-雅可比多项式
本德尔·邓恩多项式
威尔逊多项式
Q哈恩多项式
大q-雅可比多项式
Q-拉盖尔多项式
Q拉卡多项式
梅西纳多项式
克拉夫楚克多项式
梅西纳-珀拉泽克多项式
连续哈恩多项式
连续q-哈恩多项式
Q梅西纳多项式
阿斯克以-威尔逊多项式
Q克拉夫楚克多项式
大q-拉盖尔多项式
双Q克拉夫楚克多项式
Q查理耶多项式
泽尔尼克多项式
罗杰斯-斯泽格多项式
戈特利布多项式


性質 遞歸方程

  
    
      
        
          f
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        (
        
          a
          
            n
          
        
        +
        x
        
          b
          
            n
          
        
        )
        
          f
          
            n
          
        
        −
        
          c
          
            n
          
        
        
          f
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{n+1}=(a_{n}+xb_{n})f_{n}-c_{n}f_{n-1}}
  

其中 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              k
              
                n
                +
                1
              
            
            
              k
              
                n
              
            
          
        
        ,
        
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            n
          
        
        (
        
          
            
              k
              
                n
                +
                1
              
              ′
            
            
              k
              
                n
                +
                1
              
            
          
        
        −
        
          
            
              k
              
                n
              
              ′
            
            
              k
              
                n
              
            
          
        
        )
        ,
        
        
          c
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            n
          
        
        (
        
          
            
              
                k
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              
                h
                
                  n
                
              
            
            
              
                k
                
                  n
                
              
              
                h
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        )
        ,
        
        
          h
          
            n
          
        
        =
        ⟨
        
          f
          
            n
          
        
        ,
        
          f
          
            n
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle b_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\qquad a_{n}=b_{n}({\frac {k_{n+1}'}{k_{n+1}}}-{\frac {k_{n}'}{k_{n}}}),\qquad c_{n}=b_{n}({\frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}),\qquad h_{n}=\langle f_{n},f_{n}\rangle }
  

實根：所有正交多項式系中的正交多項式都有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個實根，這些根是相異且在正交區間之內。
奇偶性：若
  
    
      
        W
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle W(x)}
  
為偶函數，且正交區間為
  
    
      
        (
        −
        a
        ,
        a
        )
      
    
    {\displaystyle (-a,a)}
  
，則有
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        −
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{n}(-x)=(-1)^{n}f_{n}(x)}
  
。


外部連結 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4.  chapter 22 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Vilmos Totik (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
Ioana Dumitriu, Alan. Edelman, Gene ShumanMultivariate Orthogonal Polynomials
Orthogonal polynomials （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Springer Online Reference Works)