在量子力學中，薛定諤方程（Schrodinger equation）是描述物理系統的量子態隨時間演化的偏微分方程，为量子力學的基礎方程之一，其以發表者奧地利物理學家埃尔温·薛定諤而命名。關於量子態與薛定諤方程的概念涵蓋於基礎量子力學假說裏，無法從其它任何原理推導而出。
在古典力學裏，人们使用牛頓第二定律描述物體運動。而在量子力學裏，類似的運動方程為薛定諤方程。薛定諤方程的解完備地描述物理系統裏，微觀尺寸粒子的量子行為；這包括分子系統、原子系統、亞原子系統；另外，薛定諤方程的解還可完備地描述宏觀系統，可能乃至整個宇宙。
薛定諤方程可以分為「含時薛定諤方程」與「不含時薛定諤方程」兩種。含時薛定諤方程與時間有關，描述量子系統的波函數怎樣隨著時間而演化。不含時薛定諤方程则與時間無關，描述了定態量子系統的物理性質；該方程的解就是定態量子系統的波函數。量子事件發生的機率可以用波函數來計算，其機率幅的絕對值平方就是量子事件發生的機率密度。
薛定諤方程所屬的波動力學可以數學變換為維爾納·海森堡的矩陣力學，或理察·費曼的路徑積分表述。薛定諤方程是個非相對論性方程，不適用於相對論性理論；對於相對論性微觀系統，必須改使用狄拉克方程或克莱因-戈尔登方程等。


方程的數學形式 = 含時薛定諤方程 =
含時薛定諤方程描述物理系統隨時間演化，其最廣義形式為：

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        Ψ
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }
  

其中，
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
  
 是表徵波函數總能量的哈密頓算符，
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  
 是物理系統的波函數，
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 是虛數單位，
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  
 是約化普朗克常數，
  
    
      
        ∂
        
          /
        
        ∂
        t
      
    
    {\displaystyle \partial /\partial t}
  
 是對於時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的偏微分。

在三維空間裏，移動於位勢 
  
    
      
        V
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)}
  
 的單獨粒子，其含時薛定諤方程可以更具體地表示為

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        +
        V
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
  

其中，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 是質量，
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  
 是參數為位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 、時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的波函數，
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}}
  
 是拉普拉斯算符。
術語「薛定諤方程」可以指廣義形式的薛定諤方程，也可指具體形式的薛定諤方程。廣義形式的薛定諤方程名如其實，可以應用於廣泛量子力學領域，表達從狄拉克方程到量子場論的各種方程，只要將哈密頓算符的各種複雜表達式代入即可。通常，具體形式的薛定諤方程所描述的系統是實際系統的簡化近似模型，這是為了要避開不必要的複雜數學運算。對於大多數案例，所得到的結果相當準確；但是對於相對論性案例，結果则並不令人滿意。对于更詳盡的細節，請參閱 相對論性量子力學。
應用薛定諤方程時，必須先給出哈密頓算符的表達式，因此会涉及到計算系統的動能與勢能；將算符表達式代入薛定諤方程，再將所得偏微分方程加以解析，即可找到波函數。關於系統的量子態的信息，全部都会包含在波函數中。


= 由含时薛定谔方程到不含时薛定谔方程 =
含時薛定谔方程
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  
为偏微分方程，假定位勢與時間無關：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        +
        V
        (
        
          r
        
        )
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
  

使用分离变量法，令
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        φ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\varphi (t)}
  
，方程变为

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            1
            
              φ
              (
              t
              )
            
          
        
        
          
            
              d
              φ
              (
              t
              )
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            1
            
              ψ
              (
              
                r
              
              )
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        +
        V
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi (\mathbf {r} )}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )}
  

注意到等號左手邊是時間的函數，而右手邊則是位置的函數，所以兩邊都等於常數
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
：

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            1
            φ
          
        
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            1
            ψ
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        ψ
        +
        V
        =
        E
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi }}{\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi }}\nabla ^{2}\psi +V=E}
  

左手邊的方程
  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            1
            
              φ
              (
              t
              )
            
          
        
        
          
            
              d
              φ
              (
              t
              )
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        E
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=E}
  
的解为

  
    
      
        φ
        (
        t
        )
        =
        
          e
          
            
              
                −
                i
                E
                t
              
              ℏ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi (t)=e^{\frac {-iEt}{\hbar }}}
  

右手邊的方程可转化为不含时薛定谔方程：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        +
        V
        (
        
          r
        
        )
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        E
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}
  

不含时薛定谔方程也可寫為

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        ψ
        =
        E
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }
  

其中，
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        V
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}
  
是哈密頓算符。


= 不含時薛定諤方程 =
不含時薛定諤方程與時間無關，它預言波函數可以形成駐波，稱為定態（在原子物理學裏，又稱為軌道，例如，原子軌道或分子軌道），假若能夠計算出這些定態，分析出其量子行為，則解析含時薛定諤方程會變得更為簡易。不含時薛定諤方程為描述定態的方程。只有當哈密頓量不與時間顯性相關，才會使用這方程。廣義形式的不含時薛定諤方程為

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        ψ
        =
        E
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }
  

其中，
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 是不含時波函數，
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 是能量。
這方程的詮釋為，假若將哈密頓算符作用於波函數
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
時，得到的結果與同樣波函數
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
成正比，則波函數
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
處於定態，比例常數
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 是量子態
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
的能量。在這裏，
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
標記設定的波函數和其對應的量子態。這方程為又稱為「定態薛定諤方程」，引用線性代數術語，這方程為「能量本徵薛定諤方程」，
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 是「能量本徵值」，或「本徵能量」。
在三維空間裏，處於位勢 
  
    
      
        V
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle V(\mathbf {r} )}
  
 的單獨粒子，其不含時薛定諤方程可以更具體地表示為

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        +
        V
        (
        
          r
        
        )
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        E
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}
  


歷史背景與發展 1900年，馬克斯·普朗克在研究黑體輻射中作出将電磁輻射能量量子化的假设，因此發現將能量 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 與頻率 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 關聯在一起的普朗克關係式 
  
    
      
        E
        =
        h
        ν
      
    
    {\displaystyle E=h\nu }
  
。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦從對於光電效應的研究又給予這關係式嶄新的詮釋：頻率為 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 的光子擁有的能量為 
  
    
      
        h
        ν
      
    
    {\displaystyle h\nu }
  
 ；其中，
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 因子是普朗克常數。 这一點子成為後來波粒二象性概念的早期路標之一。由於在狹義相對論裏，能量與動量的關聯方式類似頻率與波數的關聯方式，因此可以揣測，光子的動量
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
與波長
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
成反比，與波數
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
成正比，以方程來表示這關係式，

  
    
      
        p
        =
        h
        
          /
        
        λ
        =
        ℏ
        k
      
    
    {\displaystyle p=h/\lambda =\hbar k}
  

路易·德布羅意認為，不單光子遵守這關係式，所有粒子都遵守這關係式。他於1924年進一步提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波動性與粒子性，這性質稱為波粒二象性。電子也不例外的具有這種性質。電子是一種物質波，稱為「電子波」。電子的能量與動量分別決定了伴隨它的物質波所具有的頻率與波數。在原子裏，束縛電子形成駐波；這意味著他的旋轉頻率只能呈某些離散數值。這些量子化軌道對應於離散能級。從這些點子，德布羅意複製出玻爾模型的能級。
在1925年，瑞士蘇黎世每兩周會舉辦一场物理學術研討會。有一次，主辦者彼得·德拜邀請薛定諤講述關於德布羅意的波粒二象性博士論文。那段時期，薛定諤正在研究氣體理論，他從閱讀愛因斯坦關於玻色-愛因斯坦統計的論述中，接觸德布羅意的博士論文，在這方面有很精深的理解。在研討會裡，他將波粒二象性闡述的淋漓盡致，大家都聽的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波動性，應該有一種能夠正確描述這種量子性質的波動方程。他的意見給予薛定諤極大的啟發與鼓舞，他開始尋找這波動方程。檢試此方程最簡單與基本的方法就是，用此方程來描述氫原子內部束縛電子的物理行為，而必能複製出玻爾模型的理論結果，另外，這方程還必須能解釋索末菲模型給出的精細結構。
很快，薛定諤就通过德布羅意論文的相對論性理論，推導出一個相對論性波動方程，他將這方程應用於氫原子，計算出束縛電子的波函數。但很可惜。因為薛定諤沒有將電子的自旋納入考量，所以從這方程推導出的精細結構公式不符合索末菲模型。他只好將這方程加以修改，除去相對論性部分，并用剩下的非相對論性方程來計算氫原子的譜線。解析這微分方程的工作相當困難，在其好朋友數學家赫爾曼·外爾鼎力相助下，他複製出了與波耳模型完全相同的答案。因此，他決定暫且不發表相對論性部分，只把非相對論性波動方程與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文。1926年，他正式發表了這論文。
這篇論文迅速在量子學術界引起震撼。普朗克表示“他已閱讀完畢整篇論文，就像被一個迷語困惑多時，渴慕知道答案的孩童，現在終於聽到了解答”。愛因斯坦稱讚，這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才。愛因斯坦覺得，薛定諤已做出決定性貢獻。由於薛定諤所創建的波動力學涉及到眾所熟悉的波動概念與數學，而不是矩陣力學中既抽象又陌生的矩陣代數，量子學者都很樂意地開始學習與應用波動力學。自旋的發現者喬治·烏倫貝克驚嘆，“薛定諤方程給我們帶來極大的解救！”沃爾夫岡·包立認為，這論文應可算是近期最重要的著作。
薛定諤給出的薛定諤方程能夠正確地描述波函數的量子行為。在那時，物理學者尚不清楚如何詮釋波函數，薛定諤試圖以電荷密度来詮釋波函數的絕對值平方，但並不成功。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地詮釋了波函數的物理意義。但是薛定諤與愛因斯坦观点相同，都不贊同這種統計或機率方法，以及它所伴隨的非連續性波函數塌縮。愛因斯坦主張，量子力學是個決定性理論的統計近似。在薛定諤有生的最後一年，寫給玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根詮釋。


含時薛定谔方程導引 雖然含時薛定諤方程能夠啟發式地由幾個假設推導出來，但為便于論述，在作理論量子力學研究時，經常會直接將這方程當作一個基本假定。


= 啟發式導引 1 =
含時薛丁格方程的啟發式導引建立於幾個前提：

粒子的總能量 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 可以經典地表示為動能 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 與勢能 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 的總和：

  
    
      
        E
        =
        T
        +
        V
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        +
        V
      
    
    {\displaystyle E=T+V={\frac {p^{2}}{2m}}+V}
  

其中，
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 是動量，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 是質量。
特別注意，能量 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 與動量 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 也出現於下述兩個關係式。
愛因斯坦於提出光電效應時，指出光子的能量 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 與對應的電磁波的頻率 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 成正比：

  
    
      
        E
        =
        h
        f
        =
        ℏ
        ω
      
    
    {\displaystyle E=hf=\hbar \omega }
  

其中，
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 是普朗克常數，
  
    
      
        ω
        =
        2
        π
        f
      
    
    {\displaystyle \omega =2\pi f}
  
 是角頻率。
德布羅意提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性，都是一種波動。微觀粒子的動量 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 與伴隨的物質波波長 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 有關：

  
    
      
        p
        =
        h
        
          /
        
        λ
        =
        ℏ
        k
      
    
    {\displaystyle p=h/\lambda =\hbar k}
  

其中，
  
    
      
        k
        =
        2
        π
        
          /
        
        λ
      
    
    {\displaystyle k=2\pi /\lambda }
  
 是波數。
延伸至向量，

  
    
      
        
          p
        
        =
        ℏ
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }
  

假設波函數是個複值平面波：

  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        A
        
          e
          
            i
            (
            k
            x
            −
            ω
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}}
  

則其對於時間的偏導數為

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
        =
        −
        i
        ω
        Ψ
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-i\omega \Psi }
  

這偏導數與能量有關：

  
    
      
        E
        Ψ
        =
        ℏ
        ω
        Ψ
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
      
    
    {\displaystyle E\Psi =\hbar \omega \Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }
  

類似地，波函數對於位置的二次偏導數為

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        Ψ
        =
        −
        
          k
          
            2
          
        
        Ψ
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi =-k^{2}\Psi }
  

這偏導數與動量有關：

  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
        Ψ
        =
        
          ℏ
          
            2
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        Ψ
        =
        −
        
          ℏ
          
            2
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        Ψ
      
    
    {\displaystyle p^{2}\Psi =\hbar ^{2}k^{2}\Psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi }
  

引用古典力學的能量守恆定律，單獨粒子的總能量 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 為

  
    
      
        E
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        +
        V
      
    
    {\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}+V}
  

因此，單獨粒子移動於一維位勢 
  
    
      
        V
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle V(x)}
  
 的薛丁格方程為

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        Ψ
        +
        V
        (
        x
        )
        Ψ
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V(x)\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }
  

設定哈密頓函數 
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
  
 為

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        V
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)}
  

就可以得到廣義形式的薛丁格方程：

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        Ψ
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }
  


= 啟發式導引 2 =

「哈密頓類比」是威廉·哈密頓在研究古典力學時給出的理論，又稱為「光學-力學類比」；哈密頓指出，在古典力學裏粒子的運動軌道，就如同在幾何光學裏光線的傳播路徑；垂直於這軌道的等作用量曲面，就如同垂直於路徑的等傳播時間曲面；描述粒子運動的最小作用量原理，就如同描述光線傳播的費馬原理。哈密頓發現，使用哈密頓-雅可比方程式，可以推導出最小作用量原理與費馬原理；同樣的形式論，可以描述光的物理行為，不論光是由遵守費馬原理的光線組成，還是由遵守最小作用量原理的粒子組成。
很多光的性質，例如，衍射、干涉等等，無法用幾何光學的理論來作解釋，必須要用到波動光學的理論來證實。這意味著幾何光學不等價於波動光學，幾何光學是波動光學的波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限案例。哈密頓又研究發現，使用哈密頓-雅可比方程式也可以描述波動光學裏遵守惠更斯原理的光波，只要將光線的等傳播時間曲面改為光波的波前。薛丁格尋思，古典力學與量子力學之間的關係，就如同幾何光學與波動光學之間的關係；哈密頓-雅可比方程式應該對應於量子力學的波動方程式在某種極限的案例，而這極限應該也是物質波波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限（或按照對應原理，普朗克常數趨於0的極限）；按照先前哈密頓類比的模式，依樣畫葫蘆，應該可以找到正確形式的波動方程式。這想法很正確，經過一番努力，他成功地推導出薛丁格方程式。
假設一個粒子移動於顯不含時位勢 
  
    
      
        V
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle V(\mathbf {r} )}
  
 ，它的哈密頓-雅可比方程為

  
    
      
        
          
            1
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            (
            
              
                ∇
              
              S
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        V
        +
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+V+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
  

其中，
  
    
      
        S
        (
        
          r
        
        ,
        
          a
        
        ;
        t
        )
      
    
    {\displaystyle S(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}};t)}
  
 是哈密頓主函數，
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
  
 是運動常數向量。
由於位勢顯性不含時，哈密頓主函數可以分離成兩部分：

  
    
      
        S
        =
        W
        (
        
          r
        
        ,
        
          a
        
        )
        −
        E
        t
      
    
    {\displaystyle S=W(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}})-Et}
  

其中，顯性不含時的函數 
  
    
      
        W
        (
        
          r
        
        ,
        
          a
        
        )
      
    
    {\displaystyle W(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}})}
  
 是哈密頓特徵函數，
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 是能量。
將哈密頓主函數公式代入粒子的哈密頓-雅可比方程，稍加運算，可以得到

  
    
      
        
          |
        
        
          ∇
        
        S
        
          |
        
        =
        
          
            2
            m
            (
            E
            −
            V
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle |{\boldsymbol {\nabla }}S|={\sqrt {2m(E-V)}}}
  

哈密頓主函數對於時間的全導數是

  
    
      
        
          
            
              d
              S
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        S
        ⋅
        
          
            
              d
              
                r
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
  

哈密頓主函數 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 的常數等值曲面 
  
    
      
        
          σ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{0}}
  
 在空間移動的方程式為

  
    
      
        0
        =
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        S
        ⋅
        
          
            
              d
              
                r
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        −
        E
        +
        ∇
        S
        ⋅
        
          
            
              d
              
                r
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 0={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=-E+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
  

所以，在設定等值曲面的正負面之後，
  
    
      
        
          σ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{0}}
  
 朝著法線方向移動的速度 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
 是

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              d
              r
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            E
            
              
                |
              
              ∇
              S
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            E
            
              2
              m
              (
              E
              −
              V
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {dr}{dt}}={\frac {E}{|\nabla S|}}={\frac {E}{\sqrt {2m(E-V)}}}}
  

這速度 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
 是相速度，而不是粒子的移動速度 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 ：

  
    
      
        v
        =
        
          
            
              
                |
              
              
                ∇
              
              S
              
                |
              
            
            m
          
        
        =
        
          
            
              
                2
                (
                E
                −
                V
                )
              
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v={\frac {|{\boldsymbol {\nabla }}S|}{m}}={\sqrt {\frac {2(E-V)}{m}}}}
  

試想 
  
    
      
        
          σ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{0}}
  
 為一個相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，假設粒子的波函數所擁有的相位與 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 成正比：

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        A
        (
        
          r
        
        )
        
          e
          
            i
            S
            
              /
            
            κ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )e^{iS/\kappa }}
  

其中，
  
    
      
        κ
      
    
    {\displaystyle \kappa }
  
 是常數，
  
    
      
        A
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle A(\mathbf {r} )}
  
 是參數為位置的係數函數。
將哈密頓主函數的公式代入 
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  
 波函數，

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        A
        (
        
          r
        
        )
        
          e
          
            i
            (
            W
            −
            E
            t
            )
            
              /
            
            κ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\kappa }}
  

注意到 
  
    
      
        E
        
          /
        
        κ
      
    
    {\displaystyle E/\kappa }
  
 的因次必須是頻率，薛丁格靈機一動，想到愛因斯坦的光電效應理論 
  
    
      
        E
        =
        ℏ
        ω
      
    
    {\displaystyle E=\hbar \omega }
  
 ；其中，
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  
 是約化普朗克常數，
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
 是角頻率。他嘗試設定 
  
    
      
        κ
        =
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \kappa =\hbar }
  
 ，粒子的波函數 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  
 變為

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        A
        (
        
          r
        
        )
        
          e
          
            i
            (
            W
            −
            E
            t
            )
            
              /
            
            ℏ
          
        
        =
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        
          e
          
            −
            i
            E
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\hbar }=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}
  

其中，
  
    
      
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        A
        (
        
          r
        
        )
        
          e
          
            i
            W
            (
            
              r
            
            )
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{iW(\mathbf {r} )/\hbar }}
  
 

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  
 的波動方程為

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        −
        
          
            1
            
              u
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Ψ
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0}
  

將 
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  
 波函數代入波動方程，經過一番運算，可以得到

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        +
        
          
            
              E
              
                2
              
            
            
              
                ℏ
                
                  2
                
              
              
                u
                
                  2
                
              
            
          
        
        Ψ
        =
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        +
        
          
            
              2
              m
              (
              E
              −
              V
              )
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        Ψ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Psi +{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}u^{2}}}\Psi =\nabla ^{2}\Psi +{\frac {2m(E-V)}{\hbar ^{2}}}\Psi =0}
  

注意到 
  
    
      
        E
        Ψ
        =
        i
        ℏ
        
          
            
              ∂
              Ψ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}
  
 。稍加編排，即可推導出含時薛丁格方程：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        +
        V
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        i
        ℏ
        
          
            
              ∂
              Ψ
              (
              
                r
              
              ,
              t
              )
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}
  


= 重要性質 =


 歸一性  在量子力學裏，所有事件發生的機率，其總和等於1，這特性稱為歸一性，以方程表示為

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
         
        
          d
        
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=1}
  

為了滿足這特性，必須將波函數歸一化。薛定諤方程能夠自動地維持波函數的歸一性。假若，某波函數 
  
    
      
        Φ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (x,t)}
  
 尚未被歸一化。由於薛定諤方程為線性方程，
  
    
      
        Φ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (x,t)}
  
 與任何常數的乘積還是這個薛定諤方程的波函數。設定 
  
    
      
        ϕ
        (
        x
        )
        =
        A
        Φ
        (
        x
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \phi (x)=A\Phi (x,0)}
  
 ；其中， 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 是歸一常數，使得

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        )
        ϕ
        (
        x
        )
         
        
          d
        
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\phi (x)\ \mathrm {d} x=1}
  

這樣，新波函數 
  
    
      
        
          Φ
          
            A
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        A
        Φ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi _{A}(x,t)=A\Phi (x,t)}
  
 還是這個薛定諤方程的解答，而且，
  
    
      
        
          Φ
          
            A
          
        
        (
        x
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi _{A}(x,0)}
  
 已經被歸一化了。在這裏，特別注意到歸一性方程的波函數 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)}
  
 含時間，而對於位置的積分仍舊可能含時間。在某個時間的歸一化，並不保證隨著時間的流易，波函數仍舊保持歸一化。薛定諤方程有一個優良性質：它可以自動地保持波函數的歸一化。這樣，量子系統永遠地滿足歸一性。所以，薛定諤方程能夠自動地維持波函數的歸一性。


 = 證明  =
總機率對於時間的導數為 

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
         
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        (
        
          
            
              ∂
              
                Ψ
                
                  ∗
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
        +
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        
          
            
              ∂
              Ψ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
         
        )
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ ({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\ )\mathrm {d} x}
  

思考含時薛定諤方程，

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Ψ
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        V
        (
        x
        )
        Ψ
        =
        i
        ℏ
        
          
            
              ∂
              Ψ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}
  

其複共軛是

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                Ψ
                
                  ∗
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        V
        (
        x
        )
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        =
        −
        i
        ℏ
        
          
            
              ∂
              
                Ψ
                
                  ∗
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+V(x)\Psi ^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}}
  

將這兩個方程分別乘以波函數和波函數的共軛，再相減，可以得到

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        Ψ
                        
                          ∗
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                Ψ
                +
                
                  Ψ
                  
                    ∗
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      Ψ
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    
                      i
                      ℏ
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      Ψ
                      
                        ∗
                      
                    
                  
                  )
                
                Ψ
                +
                
                  
                    i
                    ℏ
                  
                
                V
                
                  Ψ
                  
                    ∗
                  
                
                Ψ
                −
                
                  Ψ
                  
                    ∗
                  
                
                
                  
                    i
                    ℏ
                  
                
                V
                Ψ
                +
                
                  Ψ
                  
                    ∗
                  
                
                
                  
                    
                      i
                      ℏ
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    Ψ
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    
                      i
                      ℏ
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      Ψ
                      
                        ∗
                      
                    
                  
                  )
                
                Ψ
                +
                
                  Ψ
                  
                    ∗
                  
                
                
                  
                    
                      i
                      ℏ
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    Ψ
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      i
                      ℏ
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      x
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      Ψ
                      
                        ∗
                      
                    
                    
                      
                        ∂
                        
                          ∂
                          x
                        
                      
                    
                    Ψ
                    −
                    Ψ
                    
                      
                        ∂
                        
                          ∂
                          x
                        
                      
                    
                    
                      Ψ
                      
                        ∗
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi ^{*}\right)\Psi +{\frac {i}{\hbar }}V\Psi ^{*}\Psi -\Psi ^{*}{\frac {i}{\hbar }}V\Psi +\Psi ^{*}{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi \right)\\&=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi ^{*}\right)\Psi +\Psi ^{*}{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi \right)\\&={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\\\end{aligned}}}
  

所以，總機率對於時間的導數為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                 
                
                  Ψ
                  
                    ∗
                  
                
                (
                x
                ,
                t
                )
                Ψ
                (
                x
                ,
                t
                )
                 
                
                  d
                
                x
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                 
                
                  
                    
                      i
                      ℏ
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      x
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      Ψ
                      
                        ∗
                      
                    
                    
                      
                        ∂
                        
                          ∂
                          x
                        
                      
                    
                    Ψ
                    −
                    Ψ
                    
                      
                        ∂
                        
                          ∂
                          x
                        
                      
                    
                    
                      Ψ
                      
                        ∗
                      
                    
                  
                  )
                
                 
                
                  d
                
                x
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      i
                      ℏ
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    
                    
                      (
                      
                        
                          Ψ
                          
                            ∗
                          
                        
                        
                          
                            ∂
                            
                              ∂
                              x
                            
                          
                        
                        Ψ
                        −
                        Ψ
                        
                          
                            ∂
                            
                              ∂
                              x
                            
                          
                        
                        
                          Ψ
                          
                            ∗
                          
                        
                      
                      )
                    
                    |
                  
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x&=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\ \mathrm {d} x\\&={\frac {i\hbar }{2m}}\left.\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\right|_{-\infty }^{\infty }\\\end{aligned}}}
  

在無窮遠的極限，符合實際物理的波函數必須等於零：

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
         
        
          d
        
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=0}
  

因此，薛定諤方程會維持波函數的歸一化性質，這性質不會隨著時間的流易而改變。


 線性方程  薛定諤方程是一個線性方程。滿足薛定諤方程的波函數擁有線性關係。假設波函數 
  
    
      
        
          Ψ
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi _{A}}
  
 與 
  
    
      
        
          Ψ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi _{B}}
  
 是薛定諤方程的解，則任意線性組合 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  
 也是薛定諤方程的解：

  
    
      
        Ψ
        =
        a
        
          Ψ
          
            A
          
        
        +
        b
        
          Ψ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi =a\Psi _{A}+b\Psi _{B}}
  

其中，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 與 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 是常數。
這線性組合可以延伸至任意多個波函數。因此，波函數的疊加也是同樣薛定諤方程的解。這種疊加性質是量子力學最為奧妙的性質之一。量子系統可以同時處於兩個以上的古典狀態；一個粒子可以同時出現在幾個不同位置，可以同時擁有不同的能量。


 = 證明  =
根據含時薛定諤方程，

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          Ψ
          
            A
          
        
        +
        V
        
          Ψ
          
            A
          
        
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          Ψ
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi _{A}+V\Psi _{A}=i\hbar {\partial  \over \partial t}\Psi _{A}}
  

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          Ψ
          
            B
          
        
        +
        V
        
          Ψ
          
            B
          
        
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          Ψ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi _{B}+V\Psi _{B}=i\hbar {\partial  \over \partial t}\Psi _{B}}
  

因此，這兩個解的線性組合 
  
    
      
        Ψ
        =
        a
        
          Ψ
          
            A
          
        
        +
        b
        
          Ψ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi =a\Psi _{A}+b\Psi _{B}}
  
 為

  
    
      
        
          
            
              
                i
                ℏ
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                Ψ
              
              
                
                =
                i
                ℏ
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                (
                a
                
                  Ψ
                  
                    A
                  
                
                +
                b
                
                  Ψ
                  
                    B
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                i
                ℏ
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                (
                a
                
                  Ψ
                  
                    A
                  
                
                )
                +
                i
                ℏ
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                (
                b
                
                  Ψ
                  
                    B
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  [
                  
                    −
                    
                      
                        
                          ℏ
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          m
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    (
                    a
                    
                      Ψ
                      
                        A
                      
                    
                    )
                    +
                    V
                    (
                    a
                    
                      Ψ
                      
                        A
                      
                    
                    )
                  
                  ]
                
                +
                
                  [
                  
                    −
                    
                      
                        
                          ℏ
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          m
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    (
                    b
                    
                      Ψ
                      
                        B
                      
                    
                    )
                    +
                    V
                    (
                    b
                    
                      Ψ
                      
                        B
                      
                    
                    )
                  
                  ]
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    
                      ℏ
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        2
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                (
                a
                
                  Ψ
                  
                    A
                  
                
                +
                b
                
                  Ψ
                  
                    B
                  
                
                )
                +
                V
                (
                a
                
                  Ψ
                  
                    A
                  
                
                +
                b
                
                  Ψ
                  
                    B
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    
                      ℏ
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        2
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                Ψ
                +
                V
                Ψ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi &=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(a\Psi _{A}+b\Psi _{B})\\&=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(a\Psi _{A})+i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(b\Psi _{B})\\&=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(a\Psi _{A})+V(a\Psi _{A})\right]+\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(b\Psi _{B})+V(b\Psi _{B})\right]\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(a\Psi _{A}+b\Psi _{B})+V(a\Psi _{A}+b\Psi _{B})\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V\Psi \\\end{aligned}}}
  

所以，
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  
 也是這含時薛定諤方程的解，這證明了含時薛定諤方程是一個線性方程。類似地，也可以證明不含時薛定諤方程是一個線性方程。


不含時薛定諤方程導引 不含時薛定諤方程與時間無關，又稱為「能量本徵薛定諤方程」或「定態薛定諤方程」，可以用來計算粒子的本徵能量和其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)}
  
 的形式為

  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
        
          e
          
            −
            i
            E
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }}
  
 ；
其中，
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 是分離常數，稍後，會推論出 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 就是能量，
  
    
      
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi _{E}(x)}
  
 是對應於 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 的函數。
將這猜想解代入含時薛定諤方程，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛定諤方程

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
        +
        V
        (
        x
        )
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
        =
        E
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi _{E}(x)+V(x)\psi _{E}(x)=E\psi _{E}(x)}
  

類似地，可以推導出三維不含時薛定諤方程

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        
          r
        
        )
        +
        V
        (
        
          r
        
        )
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        E
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{E}(\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} )}
  


= 重要性質 =


 定態  波函數
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
        
          e
          
            −
            i
            E
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }}
  
所代表的量子態稱為定態，雖然波函數本身與時間有關，機率密度
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        =
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          |
        
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P(x)=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=|\psi _{E}(x)|^{2}}
  
只與位置有關。由於能量
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
是個常數，定態所有與時間無關的可觀察量 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 的期望值都是常數：

  
    
      
        ⟨
        O
        ⟩
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
         
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
         
        
          ψ
          
            E
          
          
            ∗
          
        
        (
        x
        )
        
          
            
              O
              ^
            
          
        
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
         
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \langle O\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t){\hat {O}}\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{E}^{*}(x){\hat {O}}\psi _{E}(x)\ \mathrm {d} x}
  

波函數
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)}
  
的相位因子
  
    
      
        
          e
          
            −
            i
            E
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}
  
在計算過程中会自動刪除，因此可以忽略此相位因子，而改使用不含時波函數
  
    
      
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi _{E}(x)}
  
來指稱定態。處於定態的系統永遠是固定不變的。


 明確能量  在古典力學裏，哈密頓量
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
是系統的總能量：

  
    
      
        H
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        +
        V
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )}
  

在量子力學裏，對應的哈密頓算符
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
  
的形式為

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        V
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}
  

其本徵函數為
  
    
      
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi _{E}(x)}
  
，本徵值為
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
，是系統的總能量：

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        ψ
        =
        E
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }
  

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              
                H
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}^{2}}
  
的期望值為

  
    
      
        ⟨
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        ⟩
        =
        E
      
    
    {\displaystyle \langle {\hat {H}}\rangle =E}
  

  
    
      
        ⟨
        
          
            
              
                H
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        ⟩
        =
        
          E
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle {\hat {H}}^{2}\rangle =E^{2}}
  

因此，對於定態系統多次重複測量哈密頓量，所得到數據的標準差為0，換句話說，每次測量都會得到同樣的答案
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
。


 線性組合  不含時薛定諤方程有無窮多個本徵函數解
  
    
      
        
          ψ
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi _{n}(x)}
  
，每一個解對應一個能量本徵值
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}}
  
：

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
        =
        
          E
          
            n
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}
  

含時薛定諤方程的一般解是這些解的線性組合：

  
    
      
        Ψ
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            i
            
              E
              
                n
              
            
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi =\sum _{n}c_{n}\psi _{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }}
  

其中，
  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{n}}
  
是權重係數。
為了滿足歸一性，

  
    
      
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{n}|c_{n}|^{2}=1}
  

這線性組合與時間有關，對應的機率密度與各種期望值都與時間有關。


物理意義 薛丁格方程與其解在物理學領域造成思維方面的突破性發展。薛丁格方程是一種嶄新的方程，關於它的解析引導出很多不尋常、出乎意料之中的結果。


= 統計詮釋 =

在古典力學裏，運動於空間的粒子在任何時刻，都具有確定的位置與動量。這些物理量按照牛頓運動定律進行決定性的演化。在量子力學裏，粒子並不具有確定的位置與動量，對於這些物理量進行測量，會得到遵守粒子運動的機率分佈的隨機結果。
從含時薛定諤方程可以計算出粒子的波函數。按照廣義統計詮釋，由波函數
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)}
  
，可以計算出粒子運動的機率分佈
  
    
      
        P
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle P(x,t)}
  
：

  
    
      
        P
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle P(x,t)=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)}
  

因此，可以預測在某時刻，粒子處於某區域的機率。薛定諤方程描述粒子的波函數怎樣隨著時間流易而产生決定性演化。儘管可以計算出波函數的完整形式，也可以計算出粒子運動的機率分佈，但薛定諤方程無法準確地預測粒子在哪個時刻會處於哪個區域。
從波動觀分析，薛丁格方程式乃是一個波動方程式，它完美地描述一個與時間、位置有關的量子波所發生的運動行為與所具有的量子性質，而解答這波動方程式的波函數可以詮釋為「在某時間、某位置發生相互作用的概率輻」。這寬鬆的詮釋方式可以適用於波動觀或粒子觀。


= 不確定性原理 =

描述粒子物理行為的薛定諤方程是一種波動方程，它的波函數解答是一種延伸於空間的量子物理值波，具有波動性。在波動力學裏，做傅立葉分析可以得到一個重要結果，即假設波的波長越為明確，則波的位置越為不明確；反之亦然。物質波也遵守這結果，在量子力學裏，這結果蛻化為不確定性原理，即粒子的位置與動量不可同時被確定，位置的不確定性
  
    
      
        Δ
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \Delta {x}}
  
與動量的不確定性
  
    
      
        Δ
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \Delta {p}}
  
遵守不等式

  
    
      
        Δ
        
          x
        
        Δ
        
          p
        
        ≥
        ℏ
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \Delta {x}\Delta {p}\geq \hbar /2}
  

不確定性原理表明了量子測量的不確定性，這是量子系統內秉的性質。由此性質还可以推導出粒子的波動性。


= 量子測量 =

根據哥本哈根詮釋，粒子的運動遵守薛定諤方程，直到因被測量而發生波函數塌縮為止。假設對於某系統的某可觀察量做測量，而描述這系統的波函數是由這可觀察量的幾個本徵函數量子疊加而成，每次對於這可觀察量做測量只能得到本徵函數的本徵值，不能得到任何其它數值。當波函數塌縮現象發生時，由於粒子與測量儀器彼此相互作用，系統的波函數會按照機率分佈隨機的約化為原本幾個本徵函數中的單獨一個本徵函數。這是量子測量的關鍵要素，將波函數與可觀察量，如位置或動量，關聯在一起。
量子系統隨著時間流易而演化的兩個過程為薛定諤方程預測的演化、波函數塌縮。有些教科書會將這兩種過程分別當作量子力學的假設，然後從假設推導出量子力學的其他理論結果。很多物理學者認為，從薛定諤方程無法推導出波函數塌縮。這兩種過程具有迥然不同的性質。薛定諤方程預測的演化具有決定性，能夠從最初波函數預測未來的最終波函數；它還具有逆反性，能夠將時間逆反地從最終態演化回最初態。波函數塌縮具有非決定性，從最初態按照機率分佈隨機地約化至最終態，無法預測這最終態到底是甚麼；它還具有非逆反性，測量動作將量子態的信息發掘出來，這是一種無法時間逆反的程序，獲得的額外信息無法再還原。


= 量子穿隧效應 =

在古典力學裏，當一個圓球慢慢地滾上一座高山，假若它沒有足夠能量翻過山頂到另一邊，它會停止滾動，往反方向滾回。但是，薛定諤方程預測，這圓球跑到另一邊的機率大於零，儘管它的能量不足以爬到山頂，這種波動性行為稱為量子穿隧效應，無法用微粒說來解釋這種效應。特別是對於微觀粒子與適當形狀的勢壘，做實驗很容易就可觀察到這種效應。阿尔法衰变 就是因為阿尔法粒子擺脫了本來不可能擺脫的強作用力束縛而從原子核逃逸出來的現象。


= 粒子的波動性 =
非相對論性薛定諤方程是波動方程。遵守這方程進行運動的粒子因此會顯示出波動性行為。雙縫實驗是一個範例，它能夠展示出粒子通常不會進行的波動行為。從兩條狹縫傳播出來的物質波在某些位置會相長干涉，在某些位置又會相消干涉，因此形成複雜的干涉圖樣。直覺而言，假設，從發射源到探測屏，每次只會出現單獨一個粒子，即每次只有一個粒子獨自通過兩條狹縫，按照微粒說，累積多次發射不應該形成干涉圖樣。但是，做實驗可以實際觀察到這干涉圖樣，如同右圖從真正實驗獲得的圖樣所展示。這意味著，雖然每次只有一個粒子通過狹縫，這粒子可以同時通過兩條狹縫，自己與自己互相干涉。光子、電子、中子、原子、甚至分子，都可以表現出這種奇異的量子行為。


相對論性薛定諤方程 薛定諤方程並沒有涉及到相對論效應。對於伽利略變換，薛定諤方程的形式不变。 對於勞侖茲變換，薛定諤方程的形式會改變。為了要涵蓋相對論效應，必須將薛定諤方程加以延伸。試想能量-動量關係式，

  
    
      
        
          E
          
            2
          
        
        =
        
          p
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}
  

其中，
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 是光速，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 是靜止質量。
將這關係式內的能量與動量改為其對應的算符，將整個關係式作用於波函數，可以得到

  
    
      
        −
        
          ℏ
          
            2
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        Ψ
        =
        −
        
          ℏ
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            4
          
        
        Ψ
      
    
    {\displaystyle -\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\Psi =-\hbar ^{2}c^{2}\nabla ^{2}\Psi +m^{2}c^{4}\Psi }
  

稍加編排，可以得到克莱因-戈尔登方程：

  
    
      
        (
        
          ◻
          
            2
          
        
        +
        
          μ
          
            2
          
        
        )
        ψ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0}
  

其中，
  
    
      
        
          ◻
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}
  
 是达朗贝尔算符，
  
    
      
        μ
        =
        
          
            
              m
              c
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}}
  
 
對於勞侖茲變換，這方程的形式不會改變，是個勞侖茲不變式。但是，它是時間的二階微分方程，玻恩的統計詮釋不適用於它的解。它不適用於自旋1/2粒子，只適用於零自旋粒子。另外，這方程的解擁有正頻率和負頻率。平面波波函數解的色散關係式（dispersion relation）為

  
    
      
        
          ℏ
          
            2
          
        
        
          ω
          
            2
          
        
        −
        
          ℏ
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        =
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \hbar ^{2}\omega ^{2}-\hbar ^{2}c^{2}k^{2}=m^{2}c^{4}}
  

其中，
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
 是角頻率，可以是正值或負值。
對量子力學來說，正負角頻率或正負能量，是一個很嚴峻的問題，因為無法從底端來限制能量的最低值。雖然如此，加以適當的詮釋，這方程仍舊能夠正確地給出零自旋粒子的相對論性波函數。
將克莱因-戈尔登方程作因式分解，從所得到的兩個因子算符中的一個，可以得到整個狄拉克方程：

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            
              ∂
              Ψ
              (
              
                r
              
              ,
              t
              )
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                1
                i
              
            
            
              α
              ⋅
              ∇
            
            +
            β
            m
          
          )
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left({\frac {1}{i}}{\boldsymbol {\alpha \cdot \nabla }}+\beta m\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)}
  

其中，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
是自旋-½ 粒子的質量，
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 、
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 分別是空間位置、時間，
  
    
      
        β
        =
        
          
            (
            
              
                
                  I
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  −
                  I
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}}
  
、
  
    
      
        
          α
          
            i
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    σ
                    
                      i
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    σ
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}}
  
是係數矩陣，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
是2×2單位矩陣，
  
    
      
        
          σ
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{i}}
  
是泡利矩阵。
狄拉克方程乃是時間的一階微分方程，適用於自旋-½粒子。它的解稱為旋量，擁有四個分量，因此有四個線性獨立的解，其中兩個對應於粒子，另外兩個對應於反粒子。


解析方法 一般來說，解析薛定諤方程會用到下述這些方法：

量子微擾理論
變分原理
量子蒙特卡羅方法
密度泛函理論
WKB 近似與半經典擴展
對於某些特殊的狀況，可以使用特別方法：

有分析解的量子力学系统列表
哈特里-福克方法與後哈特里-福克方法。
離散Delta位势阱方法


範例 = 自由粒子 =

當位勢為零時，薛定諤方程為

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\,\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
  

這薛定諤方程有一個平面波解：

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
            −
            ω
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}
  

其中，
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
  
 是波向量，
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
 是角頻率。
將這平面波解代入薛定諤方程，可以得到色散關係式

  
    
      
        
          
            
              
                ℏ
                
                  2
                
              
              
                k
                
                  2
                
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        =
        ℏ
        ω
      
    
    {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }
  

由於粒子存在的機率等於 1 ，波函數 
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  
 必須歸一化，才能夠表達出正確的物理內涵。對於一般的自由粒子而言，這不是問題，因為，自由粒子的波函數，在位置空間或動量空間都是局部性的，只有在某些局部區域才呈有限值，在其它區域的數值都很微小，可以被忽略。
在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不需要呈特定的數值，自由粒子的波函數以波包形式來表示：

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              K
            
          
        
        A
        (
        
          k
        
        )
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
            −
            ω
            t
            )
          
        
        
        
          d
        
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\mathrm {d} \mathbf {k} }
  

其中，積分區域 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
 是 
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
  
-空間。
為了方便計算，只思考一維空間，

  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        A
        (
        k
        )
         
        
          e
          
            i
            (
            k
            x
            −
            ω
            (
            k
            )
            t
            )
          
        
        
        
          d
        
        k
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,\mathrm {d} k}
  

其中，振幅 
  
    
      
        A
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle A(k)}
  
 是線性疊加的係數函數。
從在時間 
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
  
 的波函數
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,0)}
  
 ，可以得到係數函數：

  
    
      
        A
        (
        k
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            
            ∞
          
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        0
        )
         
        
          e
          
            −
            i
            k
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x}
  

已知在時間 
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
  
 的波函數 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,0)}
  
 ，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)}
  
 。


= 一維諧振子 =

在一維諧振子問題裏，質量為 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 的粒子移動於位勢 
  
    
      
        V
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          ω
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}
  
 ，此粒子的哈密頓算符 
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
  
 為

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          ω
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}
  

每一個能級所對應的能量本徵態必需滿足由這哈密頓算符所形成的薛定諤方程 ：

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
        =
        
          E
          
            n
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}
  

採用位置表現，解析這個微分方程，使用冪級數方法。可以得到一族的解：

  
    
      
        
          ψ
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                2
                
                  n
                
              
              
              n
              !
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  m
                  ω
                
                
                  π
                  ℏ
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            4
          
        
        
          e
          
            
              (
              
                −
                
                  
                    
                      m
                      ω
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      2
                      ℏ
                    
                  
                
              
              )
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              H
            
          
          
            n
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    m
                    ω
                  
                  ℏ
                
              
            
            x
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{\left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)}\cdot {\mathfrak {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}
  

  
    
      
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
  

其中，函數
  
    
      
        
          
            
              H
            
          
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          e
          
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              d
              
                n
              
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}
  
 為埃爾米特多項式。
對應於函數
  
    
      
        
          
            
              H
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {H}}_{n}}
  
的能級為

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        ℏ
        ω
        
          (
          
            n
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)}
  

一維諧振子的能譜有以下性質：

能量被量子化，只能呈離散數值，即 
  
    
      
        ℏ
        ω
      
    
    {\displaystyle \hbar \omega }
  
乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多種量子力學系統的特徵。
最低能量（當n = 0）不為零，而是 
  
    
      
        ℏ
        ω
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \hbar \omega /2}
  
 ，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」，且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子引力學裏。
能級是等距的，諧振子問題的能譜與波耳模型或盒中粒子問題不同。


= 球對稱位勢 =

假設單獨粒子移動於球對稱位勢 ，描述這量子系統運動的薛定諤方程為

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              μ
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        ψ
        +
        V
        (
        r
        )
        ψ
        =
        E
        ψ
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V(r)\psi =E\psi }
  

其中，
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 是粒子的質量，
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 是粒子的波函數，
  
    
      
        V
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle V(r)}
  
 是位勢，
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 是徑向距離。
採用球坐標 
  
    
      
        (
        r
        ,
        
        θ
        ,
        
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (r,\,\theta ,\,\phi )}
  
，將拉普拉斯算子 
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}}
  
 展開：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              μ
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          {
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  r
                
              
            
            
              (
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      r
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                1
                
                  
                    sin
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  θ
                
              
            
            
              [
              
                sin
                ⁡
                θ
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      θ
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    sin
                    ⁡
                    θ
                    
                      
                        ∂
                        
                          ∂
                          θ
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        2
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        ϕ
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
              ]
            
          
          }
        
        ψ
        +
        V
        (
        r
        )
        ψ
        =
        E
        ψ
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi +V(r)\psi =E\psi }
  

滿足薛定諤方程的本徵函數 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 的形式為：

  
    
      
        ψ
        (
        r
        ,
        
        θ
        ,
        
        ϕ
        )
        =
        R
        (
        r
        )
        Θ
        (
        θ
        )
        Φ
        (
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (r,\,\theta ,\,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )}
  

其中，
  
    
      
        R
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle R(r)}
  
 ，
  
    
      
        Θ
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \Theta (\theta )}
  
 ，
  
    
      
        Φ
        (
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\phi )}
  
 ，都是函數。
  
    
      
        Θ
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \Theta (\theta )}
  
 與 
  
    
      
        Φ
        (
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\phi )}
  
 時常會合併為一個函數
  
    
      
        
          Y
          
            l
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        
        ϕ
        )
        =
        Θ
        (
        θ
        )
        Φ
        (
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )}
  
 ，稱為球諧函數。這樣，本徵函數 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 的形式變為：

  
    
      
        ψ
        (
        r
        ,
        
        θ
        ,
        
        ϕ
        )
        =
        R
        (
        r
        )
        
          Y
          
            l
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (r,\,\theta ,\,\phi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\,\phi )}
  


 角部分解答  參數為天頂角 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 、方位角 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 的球諧函數 
  
    
      
        
          Y
          
            l
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{lm}}
  
 ，滿足角部分方程 

  
    
      
        −
        
          
            1
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          [
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
            
              
                (
              
            
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
            
              
                )
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    ϕ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
          Y
          
            l
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        =
        l
        (
        l
        +
        1
        )
        
          Y
          
            l
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )}
  

其中，非負整數 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 、
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 分別是角量子數、磁量子數。
磁量子數遵守關係式
  
    
      
        −
        l
        ≤
        m
        ≤
        l
      
    
    {\displaystyle -l\leq m\leq l}
  
。不同的 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 與 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 對應於不同的球諧函數解答 
  
    
      
        
          Y
          
            l
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{lm}}
  
 ：

  
    
      
        
          Y
          
            l
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        
        ϕ
        )
        =
        (
        i
        
          )
          
            m
            +
            
              |
            
            m
            
              |
            
          
        
        
          
            
              
                
                  (
                  2
                  l
                  +
                  1
                  )
                
                
                  4
                  π
                
              
            
            
              
                
                  (
                  l
                  −
                  m
                  )
                  !
                
                
                  (
                  l
                  +
                  m
                  )
                  !
                
              
            
          
        
        
        
          P
          
            l
            m
          
        
        (
        cos
        ⁡
        
          θ
        
        )
        
        
          e
          
            i
            m
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-m)! \over (l+m)!}}}\,P_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}
  

其中，
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 是虛數單位，
  
    
      
        
          P
          
            l
            m
          
        
        (
        cos
        ⁡
        
          θ
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{lm}(\cos {\theta })}
  
 是伴隨勒讓德多項式，以方程表示為

  
    
      
        
          P
          
            l
            m
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          )
          
            
              |
            
            m
            
              |
            
            
              /
            
            2
          
        
        
        
          
            
              d
              
                
                  |
                
                m
                
                  |
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  
                    |
                  
                  m
                  
                    |
                  
                
              
            
          
        
        
          P
          
            l
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\,{\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)}
  

而 
  
    
      
        
          P
          
            l
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{l}(x)}
  
 是 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 階勒讓德多項式，以羅德里格公式表示為

  
    
      
        
          P
          
            l
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                2
                
                  l
                
              
              l
              !
            
          
        
        
          
            
              d
              
                l
              
            
            
              d
              
                x
                
                  l
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        1
        
          )
          
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}}
  


 徑向部分解答  將角部分解答代入薛定諤方程，則可得到一維二階微分方程：

  
    
      
        
          {
          
            −
            
              
                
                  ℏ
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  μ
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              
                d
                
                  d
                  r
                
              
            
            
              (
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    d
                    
                      d
                      r
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                
                  
                    ℏ
                    
                      2
                    
                  
                  l
                  (
                  l
                  +
                  1
                  )
                
                
                  2
                  μ
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            V
            (
            r
            )
          
          }
        
        R
        (
        r
        )
        =
        E
        R
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle \left\{-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}+V(r)\right\}R(r)=ER(r)}
  

設定函數 
  
    
      
        u
        (
        r
        )
        =
        r
        R
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle u(r)=rR(r)}
  
，代入方程，經過一番繁雜的運算，可以得到

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              μ
            
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              u
              (
              r
              )
            
            
              d
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ℏ
                
                  2
                
              
              l
              (
              l
              +
              1
              )
            
            
              2
              μ
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        u
        (
        r
        )
        +
        V
        (
        r
        )
        u
        (
        r
        )
        =
        E
        u
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2}u(r) \over dr^{2}}+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}u(r)+V(r)u(r)=Eu(r)}
  

徑向方程變為

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              μ
            
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              u
              (
              r
              )
            
            
              d
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          V
          
            
              e
              f
              f
            
          
        
        (
        r
        )
        u
        (
        r
        )
        =
        E
        u
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2}u(r) \over dr^{2}}+V_{\mathrm {eff} }(r)u(r)=Eu(r)}
  

其中，有效位勢 
  
    
      
        
          V
          
            
              e
              f
              f
            
          
        
        (
        r
        )
        =
        V
        (
        r
        )
        +
        
          
            
              
                ℏ
                
                  2
                
              
              l
              (
              l
              +
              1
              )
            
            
              2
              μ
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2\mu r^{2}}}}
  
 
這正是函數為 
  
    
      
        u
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle u(r)}
  
 ，有效位勢為 
  
    
      
        
          V
          
            
              e
              f
              f
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{\mathrm {eff} }}
  
 的薛定諤方程。徑向距離 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 的定義域是從 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 到 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
  
 。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。為了要更進一步解析，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。


参见 量子數
類氫原子
薛丁格繪景
薛定谔猫
薛定谔-牛顿方程


註釋 参考文献 外部連結 理查·費曼應用路徑積分方法推導出薛定諤方程：Feynman's derivation of the Schrodinger equation。（英文）
Hazewinkel, Michiel (编), Schrodinger equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 （英文）
量子物理学 （页面存档备份，存于互联网档案馆） — 教科书有处理与时间无关的薛定谔方程（英文）
线性薛定谔方程 （页面存档备份，存于互联网档案馆） EqWorld: 数理方程的世界。（英文）
非线性薛定谔方程 （页面存档备份，存于互联网档案馆） EqWorld: 数理方程的世界。（英文）
一维的薛定谔方程 以及 书的目录.（英文）
所有关于三维的薛定谔方程  （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）