伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼：

  
    
      
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
              y
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        2
        x
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        +
        
          (
          
            ℓ
            [
            ℓ
            +
            1
            ]
            −
            
              
                
                  m
                  
                    2
                  
                
                
                  1
                  −
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {d^{2}\,y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0}
  

该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。

因上述方程仅当 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
 和 
  
    
      
        m
        
      
    
    {\displaystyle m\,}
  
 均为整数且满足 
  
    
      
        0
        ≤
        m
        ≤
        ℓ
      
    
    {\displaystyle 0\leq m\leq \ell }
  
 时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
 和 
  
    
      
        m
        
      
    
    {\displaystyle m\,}
  
 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
 和/或 
  
    
      
        m
        
      
    
    {\displaystyle m\,}
  
 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。
当 
  
    
      
        m
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle m\,=0}
  
、
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。
注意当 m 为奇数时，连带勒让德多项式并不是多项式。


正交性 与勒让德多项式一样，连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            1
          
          
            1
          
        
        
          P
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        
          P
          
            k
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              (
              l
              +
              m
              )
              !
            
            
              (
              l
              −
              m
              )
              !
            
          
        
        
          
            2
            
              2
              l
              +
              1
            
          
        
        
          δ
          
            k
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)\mathrm {d} x={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}}
  

这是因为，与勒让德方程一样，连带勒让德方程也是施图姆-刘维尔型的：

  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  m
                  
                    2
                  
                
                
                  1
                  −
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            
              [
              
                (
                1
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                )
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      
                        d
                      
                      x
                    
                  
                
              
              ]
            
          
          }
        
        
          P
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        =
        λ
        
          P
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
        λ
        =
        l
        (
        l
        +
        1
        )
        ,
        l
        ∈
        
          
            Z
          
          
            0
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right]\right\}P_{l}^{m}(x)=\lambda P_{l}^{m}(x),\quad \lambda =l(l+1),l\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}
  

正交性的另一种表述如下，它与下面提到的球谐函数有关。

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
          P
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        cos
        ⁡
        θ
        )
        
          P
          
            k
          
          
            m
          
        
        (
        cos
        ⁡
        θ
        )
        sin
        ⁡
        θ
        
          d
        
        θ
        =
        
          
            
              (
              l
              +
              m
              )
              !
            
            
              (
              l
              −
              m
              )
              !
            
          
        
        
          
            2
            
              2
              l
              +
              1
            
          
        
        
          δ
          
            k
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )P_{k}^{m}(\cos \theta )\sin \theta \mathrm {d} \theta ={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}}
  


与勒让德多项式的关系 连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 m 次导得到：

  
    
      
        
          P
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          )
          
            m
            
              /
            
            2
          
        
        
          P
          
            l
          
          
            (
            m
            )
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}P_{l}^{(m)}(x)}
  

等号右边的上标 (m) 表示求 m 次导。


与超几何函数的关系 连带勒让德函数（即 l, m 不一定要是整数）可以用高斯超几何函数表达为：

  
    
      
        
          P
          
            ν
          
          
            μ
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              Γ
              (
              1
              −
              μ
              )
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  z
                  −
                  1
                
                
                  z
                  +
                  1
                
              
            
            )
          
          
            μ
            
              /
            
            2
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        −
        ν
        ,
        ν
        +
        1
        ,
        1
        −
        μ
        ,
        
          
            
              1
              −
              z
            
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\nu ,\nu +1,1-\mu ,{\frac {1-z}{2}})}
  

注意 μ 为正整数 m 时 1-μ 是伽玛函数的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当 μ 趋于 m 时的极限。


负数阶连带勒让德多项式 显然连带勒让德方程在变换 m→-m 下保持不变，传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为：

  
    
      
        
          P
          
            l
          
          
            −
            m
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            m
          
        
        
          
            
              (
              l
              −
              m
              )
              !
            
            
              (
              l
              +
              m
              )
              !
            
          
        
        
          P
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
        m
        =
        1
        ,
        …
        ,
        l
        ;
        l
        ∈
        
          
            Z
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(x),\quad m=1,\ldots ,l;l\in \mathbb {Z} ^{+}}
  

容易验证，这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 m 为负数的情况。
注意在个别文献（如上面的图，以及球谐函数一文）中会直接取

  
    
      
        
          P
          
            l
          
          
            −
            m
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          P
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=P_{l}^{m}(x)}
  

本文不采用这种定义。


与球谐函数的关系 球谐函数是球坐标下三维空间拉普拉斯方程的角度部分的解，构成一组完备的基组，有着重要的意义。
采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为：

  
    
      
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        =
        
          
            
              
                
                  (
                  l
                  −
                  m
                  )
                  !
                
                
                  (
                  l
                  +
                  m
                  )
                  !
                
              
            
            
              
                
                  2
                  l
                  +
                  1
                
                
                  4
                  π
                
              
            
          
        
        
          P
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        cos
        ⁡
        θ
        )
        
          e
          
            i
            m
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}{\frac {2l+1}{4\pi }}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\phi }}
  

由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系：

  
    
      
        ∫
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        
          Y
          
            k
          
          
            n
            ∗
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        
          d
        
        Ω
        =
        
          δ
          
            k
            l
          
        
        
          δ
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \int Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )Y_{k}^{n*}(\theta ,\phi )\mathrm {d} \Omega =\delta _{kl}\delta _{mn}}
  

式中 dΩ 是立体角元。


参考文献 Dunster, T. M., Legendre and Related Functions, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W.  (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248