在數論中，對正整數n，歐拉函數
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為φ函數（由高斯所命名）或是歐拉總計函數（totient function，由西爾維斯特所命名）。
例如
  
    
      
        φ
        
          (
          8
          )
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle \varphi \left(8\right)=4}
  
，因為1、3、5和7均與8互質。
欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
  
的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起構成了欧拉定理的證明。


歷史：欧拉函數與費馬小定理 1736年，欧拉證明了费马小定理：

假若 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 為質數，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 為任意正整數，那麼 
  
    
      
        
          a
          
            p
          
        
        −
        a
      
    
    {\displaystyle a^{p}-a}
  
 可被 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 整除。
然後欧拉予以一般化：

假若 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 與 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 互質，那麼 
  
    
      
        
          a
          
            φ
            (
            n
            )
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle a^{\varphi (n)}-1}
  
 可被 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 整除。亦即，
  
    
      
        
          a
          
            φ
            (
            n
            )
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
  
。
其中 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
 即為歐拉總計函數。如果 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 為質數，那麼 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        =
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)=n-1}
  
，因此，有高斯的版本：

假若 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 為質數，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 與 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 互質（
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 不是 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 的倍數），那麼 
  
    
      
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
  
。


欧拉函數的值 以下為
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 為
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
至
  
    
      
        100
      
    
    {\displaystyle 100}
  
時，對應
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
 的值

若
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
有標準分解
  
    
      
        
          p
          
            1
          
          
            
              k
              
                1
              
            
          
        
        
          p
          
            2
          
          
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        ⋯
        
          p
          
            r
          
          
            
              k
              
                r
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}
  
（其中各
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
  
為互異的質因子，各
  
    
      
        
          k
          
            i
          
        
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle k_{i}\geq 1}
  
為質因子的次數），則歐拉函數在該處的值為

  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        =
        
          p
          
            1
          
          
            
              k
              
                1
              
            
            −
            1
          
        
        
          p
          
            2
          
          
            
              k
              
                2
              
            
            −
            1
          
        
        ⋯
        
          p
          
            r
          
          
            
              k
              
                r
              
            
            −
            1
          
        
        (
        
          p
          
            1
          
        
        −
        1
        )
        (
        
          p
          
            2
          
        
        −
        1
        )
        ⋯
        (
        
          p
          
            r
          
        
        −
        1
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)=p_{1}^{k_{1}-1}p_{2}^{k_{2}-1}\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{1}-1)(p_{2}-1)\cdots (p_{r}-1),}
  

亦可等價地寫成

  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        =
        n
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                
                  p
                  
                    1
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                
                  p
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        ⋯
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                
                  p
                  
                    r
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right).}
  

此結果可由
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
在質數冪處的取值，以及其積性得到。


= 質數冪處取值 =
最簡單的情況有
  
    
      
        φ
        (
        1
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \varphi (1)=1}
  
（小于等于1的正整数中唯一和1互質的數就是1本身）。
一般地，若n是質數p的k次冪，則
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        =
        φ
        (
        
          p
          
            k
          
        
        )
        =
        
          p
          
            k
          
        
        −
        
          p
          
            k
            −
            1
          
        
        =
        (
        p
        −
        1
        )
        
          p
          
            k
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}}
  
，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。


= 積性 =
歐拉函數是積性函數，即是说若m,n互質，則
  
    
      
        φ
        (
        m
        n
        )
        =
        φ
        (
        m
        )
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}
  
。使用中國剩餘定理有較簡略的證明：設A, B, C是跟m, n, mn互質的數的集，據中國剩餘定理，
  
    
      
        A
        ×
        B
      
    
    {\displaystyle A\times B}
  
和
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
可建立雙射（一一對應）關係，因此兩者元素個數相等。
較詳細的證明如下：
設
  
    
      
        N
        <
        m
        n
      
    
    {\displaystyle N<mn}
  
，且
  
    
      
        N
        =
        
          k
          
            1
          
        
        m
        +
        p
        =
        
          k
          
            2
          
        
        n
        +
        q
      
    
    {\displaystyle N=k_{1}m+p=k_{2}n+q}
  
。若
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
與
  
    
      
        m
        n
      
    
    {\displaystyle mn}
  
互質，則
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
與
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
、
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
均互質。又因為
  
    
      
        (
        
          k
          
            1
          
        
        m
        +
        p
        ,
        m
        )
        =
        (
        p
        ,
        m
        )
        ,
        (
        
          k
          
            2
          
        
        n
        +
        q
        ,
        n
        )
        =
        (
        q
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle (k_{1}m+p,m)=(p,m),(k_{2}n+q,n)=(q,n)}
  
，若
  
    
      
        p
        ,
        q
      
    
    {\displaystyle p,q}
  
分別與
  
    
      
        m
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle m,n}
  
互質，則
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
一定和
  
    
      
        m
        n
      
    
    {\displaystyle mn}
  
互質。反之亦然，即若
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
與
  
    
      
        m
        n
      
    
    {\displaystyle mn}
  
互質，則亦有
  
    
      
        p
        ,
        q
      
    
    {\displaystyle p,q}
  
分別與
  
    
      
        m
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle m,n}
  
互質。
由中國剩餘定理，方程組

  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  N
                  ≡
                  p
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    m
                    )
                  
                
              
              
                
                  N
                  ≡
                  q
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    n
                    )
                  
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}N\equiv p{\pmod {m}}\\N\equiv q{\pmod {n}}\\\end{matrix}}\right.}
  

的通解可以寫成
  
    
      
        N
        =
        k
        m
        n
        +
        p
        
          t
          
            1
          
        
        n
        +
        q
        
          t
          
            2
          
        
        m
         
        (
        k
        ∈
        
          Z
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle N=kmn+pt_{1}n+qt_{2}m\ (k\in \mathbb {Z} ),}
  
 其中
  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{1},t_{2}}
  
為固定的整數，故二元組
  
    
      
        (
        p
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle (p,q)}
  
（要滿足
  
    
      
        0
        <
        p
        ≤
        m
        ,
         
        0
        <
        q
        ≤
        n
        ,
         
        (
        p
        ,
        m
        )
        =
        1
        ,
         
        (
        q
        ,
        n
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 0<p\leq m,\ 0<q\leq n,\ (p,m)=1,\ (q,n)=1}
  
）與小於
  
    
      
        m
        n
      
    
    {\displaystyle mn}
  
且與
  
    
      
        m
        n
      
    
    {\displaystyle mn}
  
互質的正整數
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
一一對應。
由
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
的定義（和乘法原理），前一種數對
  
    
      
        (
        p
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle (p,q)}
  
的個數為
  
    
      
        φ
        (
        m
        )
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (m)\varphi (n)}
  
。而後一種數
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
的個數為
  
    
      
        φ
        (
        m
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (mn)}
  
。
所以，
  
    
      
        φ
        (
        m
        n
        )
        =
        φ
        (
        m
        )
        φ
        (
        n
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n).}
  


= 公式的證明 =
結合以上兩小節的結果可得：若
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
有質因數分解式
  
    
      
        n
        =
        
          p
          
            1
          
          
            
              k
              
                1
              
            
          
        
        
          p
          
            2
          
          
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        ⋯
        
          p
          
            r
          
          
            
              k
              
                r
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}
  
，則

  
    
      
        
        
          
            
              
                φ
                (
                n
                )
              
              
                
                =
                φ
                
                  (
                  
                    
                      ∏
                      
                        i
                        =
                        1
                      
                      
                        r
                      
                    
                    
                      p
                      
                        i
                      
                      
                        
                          k
                          
                            i
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∏
                  
                    i
                    =
                    1
                  
                  
                    r
                  
                
                φ
                
                  (
                  
                    p
                    
                      i
                    
                    
                      
                        k
                        
                          i
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  （ 积 性 ）
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∏
                  
                    i
                    =
                    1
                  
                  
                    r
                  
                
                
                  p
                  
                    i
                  
                  
                    
                      k
                      
                        i
                      
                    
                    −
                    1
                  
                
                (
                
                  p
                  
                    i
                  
                
                −
                1
                )
              
              
                
                  （ 质 数 幂 处 取 值 ）
                
              
            
            
              
              
                
                =
                n
                
                  ∏
                  
                    i
                    =
                    1
                  
                  
                    r
                  
                
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        1
                        
                          p
                          
                            i
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \quad {\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}\right)\\&=\prod _{i=1}^{r}\varphi \left(p_{i}^{k_{i}}\right)&{\text{（ 积 性 ）}}\\&=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}-1}(p_{i}-1)&{\text{（ 质 数 幂 处 取 值 ）}}\\&=n\prod _{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).\end{aligned}}}
  


= 例子 =
計算
  
    
      
        72
        =
        
          2
          
            3
          
        
        ×
        
          3
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 72=2^{3}\times 3^{2}}
  
的歐拉函數值：

  
    
      
        φ
        (
        72
        )
        =
        φ
        (
        
          2
          
            3
          
        
        ×
        
          3
          
            2
          
        
        )
        =
        
          2
          
            3
            −
            1
          
        
        (
        2
        −
        1
        )
        ×
        
          3
          
            2
            −
            1
          
        
        (
        3
        −
        1
        )
        =
        
          2
          
            2
          
        
        ×
        1
        ×
        3
        ×
        2
        =
        24.
      
    
    {\displaystyle \varphi (72)=\varphi (2^{3}\times 3^{2})=2^{3-1}(2-1)\times 3^{2-1}(3-1)=2^{2}\times 1\times 3\times 2=24.}
  


性质 n的欧拉函数
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
 也是循环群 Cn 的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。Cn 中每个元素都能生成 Cn 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 Cd 的生成元个数相加，就将得到 Cn 的元素总个数：n。也就是说：

  
    
      
        
          ∑
          
            d
            ∣
            n
          
        
        φ
        (
        d
        )
        =
        n
      
    
    {\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n}
  

其中的d为n的正约数。
运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
的公式：

  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            d
            ∣
            n
          
        
        d
        ⋅
        μ
        (
        n
        
          /
        
        d
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)}
  

其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。
對任何兩個互質的正整數a, m（即 gcd(a,m) = 1），
  
    
      
        m
        ≥
        2
      
    
    {\displaystyle m\geq 2}
  
，有

  
    
      
        
          a
          
            φ
            (
            m
            )
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          m
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}}
  

即欧拉定理。
这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
  
 的单位元组成的乘法群
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          
            Z
          
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ^{\times }}
  

當m是質數p時，此式則為：

  
    
      
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
  

即費馬小定理。


歐拉商數 歐拉商數（totient number）指的是歐拉函數的值，也就是說，若m是一個歐拉商數，那至少存在一個n，使得φ(n) = m。而歐拉商數m的「重複度」（valency或multiplicity），指的是這等式的解數。相對地，一個非歐拉商數指的是不是歐拉商數的自然數。顯然所有大於1的奇數都是非歐拉商數，此外也存有無限多的偶數是非歐拉商數，且所有的正整數都有一個倍數是非歐拉商數。
不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出：

  
    
      
        
          
            x
            
              log
              ⁡
              x
            
          
        
        
          e
          
            
              
                (
              
            
            C
            +
            o
            (
            1
            )
            
              
                )
              
            
            (
            log
            ⁡
            log
            ⁡
            log
            ⁡
            x
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x}{\log x}}e^{{\big (}C+o(1){\big )}(\log \log \log x)^{2}}}
  

其中C = 0.8178146...。
考慮重複度，那麼不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出：

  
    
      
        
          
            |
          
        
        {
        n
        :
        φ
        (
        n
        )
        ≤
        x
        }
        
          
            |
          
        
        =
        
          
            
              ζ
              (
              2
              )
              ζ
              (
              3
              )
            
            
              ζ
              (
              6
              )
            
          
        
        ⋅
        x
        +
        R
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\Big \vert }\{n:\varphi (n)\leq x\}{\Big \vert }={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}\cdot x+R(x)}
  

其中對任意正數k而言，誤差項R至多與x/(log x)k成比例。
目前已知對於任意的δ < 0.55655而言，有無限多個m，其重複度超過mδ。


= Ford定理 =
Ford (1999)證明說對於任意整數k ≥ 2而言，總存在一個歐拉商數m，其重複度為k，也就是說總有數字使得這等式φ(n) = m有剛好k個解。這結果由瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基所猜測，且是Schinzel猜想H的一個結果。事實上，對於任何出現的重複度而言，該重複度會出現無限多次。
然而，沒有任何數字m的重複度為k = 1。卡邁克爾猜想的歐拉函數猜想講的是沒有m的重複度為k = 1。


= 完全歐拉商數 =

完全歐拉商數（perfect totient number）是一個等同於其歐拉函數迭代總和的整數，也就是說，如果將歐拉函數套用在一個正整數
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
之後，並將歐拉函數套用在如此所得的結果上，如此下去，直到最後得到1為止，並將這一系列的數給加總起來。若這總和為
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，那麼
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
就是一個完全歐拉商數。


生成函数 以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质：
  
    
      
        
          ∑
          
            d
            
              |
            
            n
          
        
        φ
        (
        d
        )
        =
        n
      
    
    {\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n}
  
。
由
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
(n)生成的狄利克雷级数是：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              φ
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ζ
              (
              s
              −
              1
              )
            
            
              ζ
              (
              s
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.}
  

其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下：

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        
          ∑
          
            f
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              φ
              (
              f
              )
            
            
              f
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              ∑
              
                g
                =
                1
              
              
                ∞
              
            
            
              
                1
                
                  g
                  
                    s
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                f
                =
                1
              
              
                ∞
              
            
            
              
                
                  φ
                  (
                  f
                  )
                
                
                  f
                  
                    s
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)}
  

  
    
      
        .
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        =
        
          ∑
          
            h
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                f
                g
                =
                h
              
            
            1
            ⋅
            φ
            (
            g
            )
          
          )
        
        
          
            1
            
              h
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}}
  

  
    
      
        .
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        =
        
          ∑
          
            h
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                f
                g
                =
                h
              
            
            φ
            (
            g
            )
          
          )
        
        
          
            1
            
              h
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            h
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                d
                
                  |
                
                h
              
            
            φ
            (
            d
            )
          
          )
        
        
          
            1
            
              h
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}}
  

使用开始时的等式，就得到：
  
    
      
        
          ∑
          
            h
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                d
                
                  |
                
                h
              
            
            φ
            (
            d
            )
          
          )
        
        
          
            1
            
              h
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            h
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            h
            
              h
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}}
  

于是
  
    
      
        
          ∑
          
            h
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            h
            
              h
              
                s
              
            
          
        
        =
        ζ
        (
        s
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)}
  

欧拉函数生成的朗贝级数如下：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              φ
              (
              n
              )
              
                q
                
                  n
                
              
            
            
              1
              −
              
                q
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        
          
            q
            
              (
              1
              −
              q
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}
  

其对于满足 |q|<1 的q收敛。
推导如下：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              φ
              (
              n
              )
              
                q
                
                  n
                
              
            
            
              1
              −
              
                q
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        φ
        (
        n
        )
        
          ∑
          
            r
            ≥
            1
          
        
        
          q
          
            r
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r\geq 1}q^{rn}}
  

后者等价于：

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            ≥
            1
          
        
        
          q
          
            k
          
        
        
          ∑
          
            n
            
              |
            
            k
          
        
        φ
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            ≥
            1
          
        
        k
        
          q
          
            k
          
        
        =
        
          
            q
            
              (
              1
              −
              q
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{k\geq 1}q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}
  


欧拉函数的走势 随着n变大，估计
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
 的值是一件很难的事。当n为质数时，
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        =
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)=n-1}
  
，但有时
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
又与n差得很远。
在n足够大时，有估计：

对每个 ε > 0，都有n > N(ε)使得 
  
    
      
        
        
          n
          
            1
            −
            ε
          
        
        <
        φ
        (
        n
        )
        <
        n
      
    
    {\displaystyle \,n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n}
  

如果考虑比值：

  
    
      
        
        φ
        (
        n
        )
        
          /
        
        n
        ,
      
    
    {\displaystyle \,\varphi (n)/n,}
  

由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似
  
    
      
        1
        −
        
          p
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 1-p^{-1}}
  
的项的乘积。因此，使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数 ε 可以被替换为：

  
    
      
        C
        
        log
        ⁡
        log
        ⁡
        n
        
          /
        
        log
        ⁡
        n
        .
      
    
    {\displaystyle C\,\log \log n/\log n.}
  

  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
就平均值的意义上来说是与n很相近的，因为：

  
    
      
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        φ
        (
        k
        )
        =
        
          
            3
            
              π
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            O
          
        
        
          (
          
            
              
                log
                ⁡
                n
              
              n
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}
  

其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选取两个数，则当n趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 
  
    
      
        6
        
          /
        
        
          π
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 6/\pi ^{2}}
  
 。一个相关的结果是比值
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)/n}
  
的平均值：

  
    
      
        
          
            1
            n
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              φ
              (
              k
              )
            
            k
          
        
        =
        
          
            6
            
              π
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            O
          
        
        
          (
          
            
              
                log
                ⁡
                n
              
              n
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right).}
  


其他与欧拉函数有关的等式 φ
        
          (
          
            n
            
              m
            
          
          )
        
        =
        
          n
          
            m
            −
            1
          
        
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)}
  

  
    
      
        ∀
        a
        ∈
        N
        ,
        ∀
        n
        ∈
        N
        ,
         
        ∃
        l
        ∈
        N
      
    
    {\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N}
  
 使得 
  
    
      
        [
        (
        a
        >
        1
        ∧
        n
        >
        1
        )
        →
        (
        l
        
          |
        
        φ
        (
        
          a
          
            n
          
        
        −
        1
        )
        ∧
        l
        ≥
        n
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [(a>1\land n>1)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq n)]}
  

  
    
      
        ∀
        a
        ∈
        N
        ,
        ∀
        n
        ∈
        N
        ,
         
        ∃
        l
        ∈
        N
      
    
    {\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N}
  
 使得 
  
    
      
        [
        (
        a
        >
        1
        ∧
        n
        >
        6
        ∧
        4
        ∣
        n
        )
        →
        (
        l
        
          |
        
        φ
        (
        
          a
          
            n
          
        
        −
        1
        )
        ∧
        l
        ≥
        2
        n
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [(a>1\land n>6\land 4\nmid n)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq 2n)]}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            d
            ∣
            n
          
        
        
          
            
              
                μ
                
                  2
                
              
              (
              d
              )
            
            
              φ
              (
              d
              )
            
          
        
        =
        
          
            n
            
              φ
              (
              n
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            
              
                1
                ≤
                k
                ≤
                n
              
              
                (
                k
                ,
                n
                )
                =
                1
              
            
          
        
        
        
        k
        =
        
          
            1
            2
          
        
        n
        φ
        (
        n
        )
        
           for 
        
        n
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n){\text{ for }}n>1}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        φ
        (
        k
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              ∑
              
                k
                =
                1
              
              
                n
              
            
            μ
            (
            k
            )
            
              
                ⌊
                
                  
                    n
                    k
                  
                
                ⌋
              
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              φ
              (
              k
              )
            
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              μ
              (
              k
              )
            
            k
          
        
        
          ⌊
          
            
              n
              k
            
          
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor }
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            k
            
              φ
              (
              k
              )
            
          
        
        =
        
          
            O
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            1
            
              φ
              (
              k
              )
            
          
        
        =
        
          
            O
          
        
        (
        log
        ⁡
        (
        n
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))}
  


与欧拉函数有关的不等式 φ
        (
        n
        )
        >
        
          
            n
            
              
                e
                
                  γ
                
              
              
              log
              ⁡
              log
              ⁡
              n
              +
              
                
                  3
                  
                    log
                    ⁡
                    log
                    ⁡
                    n
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}}
  
，其中n > 2，γ 为欧拉-马歇罗尼常数。

  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        ≥
        
          
            
              n
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}}
  
 ，其中n > 0。
对整数n > 6，
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        ≥
        
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n}}}
  
。
当n为质数时，显然有
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        =
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)=n-1}
  
。对于合数的n，则有：

  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        ≤
        n
        −
        
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}}
  


未解決問題 = 萊默的歐拉函數問題 =

若p是質數，則有φ(p) = p − 1。1932年，德里克·亨利·萊默問說是否有合成數n使得φ(n) 整除n − 1。目前未知是否有這樣的數存在。
1933年萊默證明說若有這樣的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，那麼
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
必然是奇數、必然是無平方因子數，且必然有至少七個不同的質因數（
  
    
      
        ω
        (
        n
        )
        ≥
        7
      
    
    {\displaystyle \omega (n)\geq 7}
  
）。1980年，Cohen和Hagis證明了說，若這樣的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
存在，則
  
    
      
        n
        >
        
          10
          
            20
          
        
      
    
    {\displaystyle n>10^{20}}
  
且
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
有至少14個不同的質因數（
  
    
      
        ω
        (
        n
        )
        ≥
        14
      
    
    {\displaystyle \omega (n)\geq 14}
  
）；此外，Hagis證明了說若這樣的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
存在且可被3除盡，那麼
  
    
      
        n
        >
        
          10
          
            1937042
          
        
      
    
    {\displaystyle n>10^{1937042}}
  
且
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
有至少298848個不同的質因數（
  
    
      
        ω
        (
        n
        )
        ≥
        298848
      
    
    {\displaystyle \omega (n)\geq 298848}
  
）。


= 卡邁克爾猜想的歐拉函數猜想 =

此猜想認為說不存在正整數n，使得對於所有其他的m而言，在m = n的狀況下必有φ(m) = φ(n)。可見上述Ford定理一節的說明。
若有一個如此的反例存在，就必有無限多的反例存在，而最小的可能反例，在十進位下，其位數超過一百億。


= 黎曼猜想 =
黎曼猜想成立，當且僅當以下不等式對所有的n ≥ p120569#成立。此處的p120569#是最初的120569個質數的乘積：

  
    
      
        
          
            n
            
              φ
              (
              n
              )
            
          
        
        <
        
          e
          
            γ
          
        
        log
        ⁡
        log
        ⁡
        n
        +
        
          
            
              
                e
                
                  γ
                
              
              (
              4
              +
              γ
              −
              log
              ⁡
              4
              π
              )
            
            
              log
              ⁡
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}
  

此處的γ是歐拉常數。


程式代码 = C++ =


参考来源 Milton Abramowitz、Irene A. Stegun， Handbook of Mathematical Functions， (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2节.
Eric Bach、Jeffrey Shallit， Algorithmic Number Theory, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8节，234页.
Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
柯召，孙琦：数论讲义（上册），第二版，高等教育出版社，2001


文獻来源 參考資料