在線性代數中，對稱矩陣（英語：symmetric matrix）指轉置矩陣和自身相等方形矩陣。

  
    
      
        A
        =
        
          A
          
            
              T
            
          
        
         
        
      
    
    {\displaystyle A=A^{\textrm {T}}\ \!}
  

對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線（左上至右下）為軸進行對稱。若將其寫作
  
    
      
        A
        =
        (
        
          a
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A=(a_{ij})}
  
，則对所有的i和j，

  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
        =
        
          a
          
            j
            i
          
        
         
        
      
    
    {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\ \!}
  

下列是3×3的對稱矩陣：

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  3
                
              
              
                
                  2
                
                
                  4
                
                
                  −
                  5
                
              
              
                
                  3
                
                
                  −
                  5
                
                
                  6
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}}
  


例子 [
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  c
                
              
              
                
                  b
                
                
                  d
                
                
                  e
                
              
              
                
                  c
                
                
                  e
                
                
                  f
                
              
            
            ]
          
        
        ,
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  5
                
              
              
                
                  5
                
                
                  7
                
              
            
            ]
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&5\\5&7\end{bmatrix}},}
  

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  0
                
              
              
                
                  3
                
                
                  1
                
                
                  6
                
              
              
                
                  0
                
                
                  6
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        ,
        
          
            [
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  b
                
                
                  c
                
              
            
            ]
          
        
        ,
        
          
            [
            
              
                
                  2
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&0\\3&1&6\\0&6&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}}
  


性质 對於任何方形矩陣
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，
  
    
      
        X
        +
        
          X
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle X+X^{T}}
  
是對稱矩陣。

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
為方形矩陣是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
為對稱矩陣的必要條件，即對稱矩陣行數必等於列數。
對角矩陣都是對稱矩陣。
若且唯若兩者的乘法可交換（即
  
    
      
        A
        B
        =
        B
        A
      
    
    {\displaystyle AB=BA}
  
）時，兩個對稱矩陣的積（
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
）是對稱矩陣。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。
任何方形矩陣
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，如果它的元素屬於一個特徵不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：

  
    
      
        X
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        X
        +
        
          X
          
            T
          
        
        )
        +
        
          
            1
            2
          
        
        (
        X
        −
        
          X
          
            T
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle X={\frac {1}{2}}(X+X^{T})+{\frac {1}{2}}(X-X^{T})}
  

每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
若對稱矩陣
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的每個元素均為實數，
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是實對稱矩陣。
一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
如果X是對稱矩陣，那麼 
  
    
      
        A
        X
        
          A
          
            
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle AXA^{\textrm {T}}}
  
 也是對稱矩陣.


分解 利用若尔当标准形，我们可以证明每一个实方阵都可以写成两个实对称矩阵的乘积，而每一个复方阵都可以写成两个复对称矩阵的乘积。
每一个实非奇异矩阵都可以唯一分解成一个正交矩阵和一个对称正定矩阵的乘积，这称为极分解。奇异矩阵也可以分解，但不是唯一的。
Cholesky分解说明每一个实正定对称矩阵都是一个上三角矩阵和它的转置的乘积。


實對稱矩陣 实對稱矩陣是一個元素都为实数的对称矩陣，用<,>表示
  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{n}}
  
上的內積。
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
的實矩陣
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是對稱的，若且唯若對於所有
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}
  
，

  
    
      
        ⟨
        A
        x
        ,
        y
        ⟩
        =
        ⟨
        x
        ,
        A
        y
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }
  
。
实對稱矩陣有以下的性质：

实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量是正交的。
实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
n阶实对称矩阵A必可对角化。
可用正交矩阵对角化。
K重特征值必有K个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λE-A)=n-k。


黑塞矩阵 实对称n × n矩阵出现在二阶连续可微的n元函数的黑塞矩阵之中。
Rn上的每一个二次型q都可以唯一写成q(x) = xTAx的形式，其中A是对称的n × n矩阵。于是，根据谱定理，可以说每一个二次型，不考虑Rn的正交基的选择，“看起来像”：

  
    
      
        q
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          λ
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}
  

其中λi是实数。这大大简化了二次型的研究，以及水平集{x : q(x) = 1}的研究，它们是圆锥曲线的推广。
这是很重要的，部分是由于每一个光滑的多元函数的二阶表现，都由属于该函数的黑塞矩阵的二次型描述；这是泰勒定理的一个结果。


可对称化矩阵 矩阵A称为可对称化的，如果存在一个可逆对角矩阵D和一个对称矩阵S，使得：

A = DS.
可对称化矩阵的转置也是可对称化的，因为
  
    
      
        (
        D
        S
        
          )
          
            T
          
        
        =
        S
        D
        =
        
          D
          
            −
            1
          
        
        D
        S
        D
      
    
    {\displaystyle (DS)^{T}=SD=D^{-1}DSD}
  
，而
  
    
      
        D
        S
        D
      
    
    {\displaystyle DSD}
  
是对称的。
当且仅当
  
    
      
        A
        =
        [
        
          a
          
            j
            k
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle A=[a_{jk}]}
  
满足以下的条件时，矩阵可对称化：

如果
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a_{ij}=0}
  
，那么
  
    
      
        
          a
          
            j
            i
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a_{ji}=0}
  
；
对于任何有限序列
  
    
      
        
          i
          
            1
          
        
        ,
        
          i
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          i
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle i_{1},i_{2},...,i_{k}}
  
，都有
  
    
      
        
          a
          
            
              i
              
                1
              
            
            
              i
              
                2
              
            
          
        
        
          a
          
            
              i
              
                2
              
            
            
              i
              
                3
              
            
          
        
        .
        .
        .
        
          a
          
            
              i
              
                k
              
            
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        =
        
          a
          
            
              i
              
                2
              
            
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        
          a
          
            
              i
              
                3
              
            
            
              i
              
                2
              
            
          
        
        .
        .
        .
        
          a
          
            
              i
              
                1
              
            
            
              i
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}...a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}...a_{i_{1}i_{k}}}
  
。


与不等式的关系 对称阵 Z 分解为3行3列:

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    Z
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      13
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    Z
                    
                      12
                    
                    
                      T
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      23
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    Z
                    
                      13
                    
                    
                      T
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      23
                    
                    
                      T
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{12}^{T}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{13}^{T}&Z_{23}^{T}&Z_{33}\end{bmatrix}}}
  

当且仅当

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    Z
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      12
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    Z
                    
                      12
                    
                    
                      T
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      22
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        ,
        
          
            [
            
              
                
                  
                    Z
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      13
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    Z
                    
                      13
                    
                    
                      T
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{12}^{T}&Z_{22}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{13}\\Z_{13}^{T}&Z_{33}\end{bmatrix}}}
  

时, 存在 
  
    
      
        X
        =
        
          Z
          
            13
          
          
            T
          
        
        
          Z
          
            11
          
          
            −
            1
          
        
        
          Z
          
            12
          
        
        −
        
          Z
          
            23
          
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle X=Z_{13}^{T}Z_{11}^{-1}Z_{12}-Z_{23}^{T}}
  
, 使得

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    Z
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      13
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    Z
                    
                      12
                    
                    
                      T
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      23
                    
                  
                  +
                  
                    X
                    
                      T
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    Z
                    
                      13
                    
                    
                      T
                    
                  
                
                
                  
                    Z
                    
                      23
                    
                    
                      T
                    
                  
                  +
                  X
                
                
                  
                    Z
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        <
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{12}^{T}&Z_{22}&Z_{23}+X^{T}\\Z_{13}^{T}&Z_{23}^{T}+X&Z_{33}\end{bmatrix}}<0}
  

成立。


参见 反对称阵
循环矩阵
汉克尔矩阵
特普利茨矩阵
中心对称矩阵
希尔伯特矩阵
考克斯特矩阵
协方差矩阵


参考文献