圓弧的矢（sagitta，有時縮寫成sag）或弓形高是指該圓弧對應的弦之中點到弧之中點的距離。
在建築學中，矢廣泛用於計算跨越一定高度和距離所需的弧度，並且在光學中用於評估球面鏡或透鏡的厚度。矢的英文sagitta來自拉丁文sagitta意思是「箭」。
三角函數的正矢函數正是得名於矢，在割圓八線中，矢對應到正矢。
矢與弓形高是相似的概念，差別僅在矢專指一個弧中點到弧兩端連線之中點的那條線，而弓形高是弓形的高。矢與弧相關，而弓形高與弓形相關。


公式 在下列等式中，
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
代表矢（弓形高），
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
為圓的半徑，
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
為圓弧兩端點的距離，也就是弦長。其中半弦
  
    
      
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        l
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}l}
  
和弓心距
  
    
      
        r
        −
        s
      
    
    {\displaystyle r-s}
  
正好是直角三角形的兩條邊，半徑
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
剛好是其斜邊，根據勾股定理則有：

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              l
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              r
              −
              s
            
            )
          
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle r^{2}=\left({\tfrac {1}{2}}l\right)^{2}+\left(r-s\right)^{2}.}
  

由此可以推導出矢
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
、弦
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
和半徑
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
的關係式：

  
    
      
        
          
            
              
                s
              
              
                
                =
                r
                −
                
                  
                    
                      r
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    
                      
                        
                          1
                          4
                        
                      
                    
                    
                      l
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                ,
              
            
            
              
                l
              
              
                
                =
                2
                
                  
                    2
                    r
                    s
                    −
                    
                      s
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                ,
              
            
            
              
                r
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        s
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        
                          
                            1
                            4
                          
                        
                      
                      
                        l
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      2
                      s
                    
                  
                
                =
                
                  
                    s
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      l
                      
                        2
                      
                    
                    
                      8
                      s
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}s&=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {1}{4}}l^{2}}},\\[10mu]l&=2{\sqrt {2rs-s^{2}}},\\[5px]r&={\frac {s^{2}+{\tfrac {1}{4}}l^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {l^{2}}{8s}}.\end{aligned}}}
  

矢也可以透過正矢函數來計算出來。若圓弧對應的圓心角為Δ，令Δ = 2θ，則矢為：

  
    
      
        s
        =
        r
        versin
        ⁡
        θ
        =
        r
        
          (
          
            1
            −
            cos
            ⁡
            θ
          
          )
        
        =
        2
        r
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}
  


近似值 當矢相對於半徑很小時，可以使用以下公式來近似計算：

  
    
      
        s
        ≈
        
          
            
              l
              
                2
              
            
            
              8
              r
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle s\approx {\frac {l^{2}}{8r}}.}
  

或者，如果矢長（弓形高）很小，且已知矢長、半徑和弦長，則可以透過以下公式來估計計弧長：

  
    
      
        a
        ≈
        l
        +
        
          
            
              2
              
                s
                
                  2
                
              
            
            r
          
        
        ≈
        l
        +
        
          
            
              8
              
                s
                
                  2
                
              
            
            
              3
              l
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle a\approx l+{\frac {2s^{2}}{r}}\approx l+{\frac {8s^{2}}{3l}},}
  

其中，a是弧長。這個公式為中國數學家沈括所知，兩個世紀後，郭守敬提出了一個更準確的公式。


參見 弦 (幾何)
弧
弓形


參考文獻