在线性代数中，三角矩阵（英語：triangular matrix）是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。
三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。


描述 一个如下形状的矩阵：

  
    
      
        
          L
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    l
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                
                
                
                  ⋯
                
                
                
                  0
                
              
              
                
                  
                    l
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    l
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                
                
                
                  (
                  0
                  )
                
                
              
              
                
                  
                    l
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    l
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋱
                
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋱
                
                
              
              
                
                  
                    l
                    
                      n
                      ,
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    l
                    
                      n
                      ,
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    l
                    
                      n
                      ,
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    l
                    
                      n
                      ,
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{1,1}&&\cdots &&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&&(0)&\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &&\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}}}
  

被称为下三角矩阵；同样的，一个如下形状的矩阵：

  
    
      
        
          U
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    u
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    u
                    
                      1
                      ,
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    u
                    
                      1
                      ,
                      3
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    u
                    
                      1
                      ,
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                
                  
                    u
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    u
                    
                      2
                      ,
                      3
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    u
                    
                      2
                      ,
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                
                  (
                  0
                  )
                
                
                
                  ⋱
                
                
                  
                    u
                    
                      n
                      −
                      1
                      ,
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                
                  ⋯
                
                
                
                  
                    u
                    
                      n
                      ,
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\&(0)&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&\cdots &&u_{n,n}\end{bmatrix}}}
  

被称为上三角矩阵。
上（下）三角矩阵乘以系数后也是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。这些事实说明：所有上（下）三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个子代数。然而要注意的是上三角矩阵与下三角矩阵的乘积一般并不是三角矩阵。


特殊的三角矩阵 = 严格三角矩阵 =
一个上（下）三角矩阵是严格上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为零。所有的是严格上（下）三角矩阵也形成一个子代数。所有的严格三角矩阵都是幂零矩阵。


= 单位三角矩阵 =
一个上（下）三角矩阵是单位上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为1。单位三角矩阵都是幺幂矩阵。


= 高斯矩阵 =
高斯矩阵是是单位三角矩阵中的一种，除了一列的系数以外，其他系数都是零。这类矩阵是高斯消去法中基本操作的矩阵体现，因此也叫做基元矩阵或高斯变换矩阵。一个下三角的高斯矩阵为：

  
    
      
        
          
            L
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                
                
                  …
                
                
                
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  ⋱
                
                
                
                
                
                
                
              
              
                
                  0
                
                
                  ⋱
                
                
                  1
                
                
                
                
                
                
              
              
                
                  0
                
                
                  ⋱
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                
                
                  0
                
                
                  
                    l
                    
                      i
                      +
                      1
                      ,
                      i
                    
                  
                
                
                  1
                
                
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
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                  0
                
                
                  
                    l
                    
                      i
                      +
                      2
                      ,
                      i
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  ⋱
                
                
                
              
              
                
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  1
                
                
              
              
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  0
                
                
                  
                    l
                    
                      n
                      ,
                      i
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} _{i}={\begin{bmatrix}1&&&\dots &&&&0\\0&\ddots &&&&&&\\0&\ddots &1&&&&&\\0&\ddots &0&1&&&&\vdots \\&&0&l_{i+1,i}&1&&&\vdots \\\vdots &&0&l_{i+2,i}&0&\ddots &&\\&&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\0&\dots &0&l_{n,i}&0&\dots &0&1\\\end{bmatrix}}}
  

高斯矩阵的逆仍然是高斯矩阵。实际上，

  
    
      
        
          
            L
          
          
            i
          
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                
                
                  …
                
                
                
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  ⋱
                
                
                
                
                
                
                
              
              
                
                  0
                
                
                  ⋱
                
                
                  1
                
                
                
                
                
                
              
              
                
                  0
                
                
                  ⋱
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    l
                    
                      i
                      +
                      1
                      ,
                      i
                    
                  
                
                
                  1
                
                
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    l
                    
                      i
                      +
                      2
                      ,
                      i
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  ⋱
                
                
                
              
              
                
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  1
                
                
              
              
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    l
                    
                      n
                      ,
                      i
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  …
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} _{i}^{-1}={\begin{bmatrix}1&&&\dots &&&&0\\0&\ddots &&&&&&\\0&\ddots &1&&&&&\\0&\ddots &0&1&&&&\vdots \\&&0&-l_{i+1,i}&1&&&\vdots \\\vdots &&0&-l_{i+2,i}&0&\ddots &&\\&&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\0&\dots &0&-l_{n,i}&0&\dots &0&1\\\end{bmatrix}}}
  
 ，
即是说一个高斯矩阵的逆是将其非对角线上元素加上负号后得到的矩阵。


性质 一个同时是上三角矩阵和下三角矩阵的矩阵必然是对角矩阵。单位矩阵是唯一同时为单位上三角矩阵和单位下三角矩阵的矩阵。
分别计算乘积A*A 与 AA*的系数并进行比较后就可以发现：一个同时为三角矩阵和正规矩阵的矩阵也必然是对角矩阵（因为正规矩阵满足A*A=AA*，其中 A*为A的共轭转置）。
上三角矩阵的转置矩阵是下三角矩阵，反之亦然。
三角矩阵的行列式等于其对角线上所有元素之乘积。对于三角矩阵A，其特征多项式
  
    
      
        x
        I
        −
        A
      
    
    {\displaystyle xI-A}
  
也是三角矩阵。三角矩阵的对角线元素的集合实际上是它的特征值的集合（其重数为在特征多项式中的重数）。


= 矩阵的三角化 =

每个复系数矩阵都与一个三角矩阵相似。实际上，如果矩阵A的特征值都包含于其系数域中（比如一个代数闭域），那么A相似于一个三角矩阵。这个性质可以用归纳法证明。一个更进一步的结论是由若尔当标准形定理得出，说明了A实际上相似于一个十分特别的上三角矩阵（若尔当形）。
在复系数的情况下，每个方阵A都有一个舒尔分解，即A酉相似（即在酉矩阵的基变换下）于一个上三角矩阵。
求三角矩阵的逆比求一般矩阵的逆要简单很多，可以直接逐个元素算出，而不必用高斯消去法。
一般用L来做下三角矩阵的记号，因为英文中的“下”为“Lower”，首字母为L。同样的，上三角矩阵的记号通常是U(Upper)。


三角矩阵代数 上三角性质在许多操作下保持不变：

两个上三角阵之和仍为上三角阵；
两个上三角阵之积仍为上三角阵；
上三角阵的逆矩阵仍为上三角阵，如果它存在的话；
上三角阵与常量之积仍为上三角阵。
这些性质意味着上三角矩阵构成了关于给定大小的方阵的结合代数的一个子代数。
可逆上（下）三角矩阵的集合构成了一个群。它是一般线性群的一个子群。2×2的上（下）三角矩阵构成的群同构与系数域的加法群。当系数域是复数时，就成为了抛物线型莫比乌斯变换。3×3的上三角矩阵构成了海森堡群。
上三角阵代数在泛函分析中有一个自然的推广，即无穷维希尔伯特空间上的套代数。


向前与向后替换 矩阵方程
  
    
      
        
          L
        
        
          x
        
        =
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} }
  
和
  
    
      
        
          U
        
        
          x
        
        =
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} }
  
有着非常简洁的解法。对于包含下三角矩阵的方程
  
    
      
        
          L
        
        
          x
        
        =
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} }
  
，可以使用所谓的“向后替换法”，即是在解出了第一个未知数
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
  
后，将它代入下一个方程（向后），解出下一个未知数
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  
，依此类推，直到解出
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}}
  
。对于方程
  
    
      
        
          U
        
        
          x
        
        =
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} }
  
，则使用“向前替换法”，即将上面的方法倒过来，从后向前解出未知数。
注意这里不需要求矩阵的逆，因此复杂度大大下降。


= 向后替换 =
矩阵方程Lx = b可以清楚地写成：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  l
                  
                    1
                    ,
                    1
                  
                
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
              
              
              
              
              
                =
              
              
                
                  b
                  
                    1
                  
                
              
            
            
              
                
                  l
                  
                    2
                    ,
                    1
                  
                
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
              
                +
              
              
                
                  l
                  
                    2
                    ,
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
              
              
              
                =
              
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                ⋮
              
              
              
                ⋮
              
              
                ⋱
              
              
              
              
                ⋮
              
            
            
              
                
                  l
                  
                    m
                    ,
                    1
                  
                
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
              
                +
              
              
                
                  l
                  
                    m
                    ,
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
              
                +
                ⋯
                +
              
              
                
                  l
                  
                    m
                    ,
                    m
                  
                
                
                  x
                  
                    m
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  b
                  
                    m
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}l_{1,1}x_{1}&&&&&=&b_{1}\\l_{2,1}x_{1}&+&l_{2,2}x_{2}&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &\ddots &&&\vdots \\l_{m,1}x_{1}&+&l_{m,2}x_{2}&+\dotsb +&l_{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}
  

首先解第一行：
  
    
      
        
          l
          
            1
            ,
            1
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1,1}x_{1}=b_{1}}
  
，得到
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
  
的值。将其带入第二行的方程，就可解出
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  
。已知
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
  
、
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  
后代入第三行就可求出
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{3}}
  
......依此便可解出全部未知数。
将表达式写出就是

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              b
              
                1
              
            
            
              l
              
                1
                ,
                1
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{l_{1,1}}},}
  

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                l
                
                  2
                  ,
                  1
                
              
              
                x
                
                  1
                
              
            
            
              l
              
                2
                ,
                2
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{2}={\frac {b_{2}-l_{2,1}x_{1}}{l_{2,2}}},}
  

  
    
      
        ⋮
      
    
    {\displaystyle \vdots }
  

  
    
      
        
          x
          
            m
          
        
        =
        
          
            
              
                b
                
                  m
                
              
              −
              
                ∑
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  m
                  −
                  1
                
              
              
                l
                
                  m
                  ,
                  i
                
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              l
              
                m
                ,
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{m}={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}l_{m,i}x_{i}}{l_{m,m}}}}
  
。
用向前替换法解方程Lx = b道理相同，只不过要从后解起。


= 应用 =
在金融方面，向后替换法被运用在步步为营法中，用来构造收益曲线。


参见 高斯消去法
QR分解
LU分解
海森堡矩阵
不变子空间


注释与参考 许以超. 线性代数与矩阵论 2. 高等教育出版社 （中文（中国大陆））.