在几何上，一个环面（torus）是一个手镯形状的旋转曲面，由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球面可以视为环面的特殊情况，也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交，圆面中间有一个洞，就像一个手镯、甜甜圈、呼啦圈，或者一个充了气的轮胎。另一个情况，也就是轴是圆的一根弦的时候，就产生一个挤扁了的球面，就像一个圆的座垫那样。英文Torus曾是拉丁文的这种形状的座垫。


几何 圆环面可以参数式地定义为：

  
    
      
        x
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        (
        R
        +
        r
        cos
        ⁡
        
          v
        
        )
        cos
        ⁡
        
          u
        
        
      
    
    {\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,}
  

  
    
      
        y
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        (
        R
        +
        r
        cos
        ⁡
        
          v
        
        )
        sin
        ⁡
        
          u
        
        
      
    
    {\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,}
  

  
    
      
        z
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        r
        sin
        ⁡
        
          v
        
        
      
    
    {\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}\,}
  

其中

u, v ∈ [0, 2π],
R是管子的中心到画面的中心的距离，
r是圆管的半径。
直角坐标系中的关于z-轴方位角对称的环面方程是

  
    
      
        
          
            (
            
              R
              −
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}
  

该圆环面的表面积和内部体积如下

  
    
      
        A
        =
        4
        
          π
          
            2
          
        
        R
        r
        =
        
          (
          
            2
            π
            r
          
          )
        
        
          (
          
            2
            π
            R
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,}
  

  
    
      
        V
        =
        2
        
          π
          
            2
          
        
        R
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          (
          
            π
            
              r
              
                2
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            2
            π
            R
          
          )
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,}
  

根据更一般的定义，环面的生成元不必是圆，而可以是椭圆或任何圆锥曲线。


拓扑 拓扑学上，一个环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面：S1 × S1。
上述曲面，若采用R3诱导的相对拓扑，则同胚于一个拓扑环面，只要它不和自己的轴相交。
该环面也可用欧几里得平面的一个商空间来表述，这是通过如下的等价关系来完成的

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1)
或者等价地说，作为单位正方形将对边粘合的商空间，表述为基本多边形 
  
    
      
        A
        B
        
          A
          
            −
            1
          
        
        
          B
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}
  
。
环面的基本群是圆的基本群和自身的直积：

  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        
          
            T
          
          
            2
          
        
        )
        =
        
          π
          
            1
          
        
        (
        
          
            S
          
          
            1
          
        
        )
        ×
        
          π
          
            1
          
        
        (
        
          
            S
          
          
            1
          
        
        )
        ≅
        
          Z
        
        ×
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\times \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
  

直观地讲，这意味着一个先绕着环面的“洞”（譬如，沿着某个纬度方向的圆）然后绕着环面“实体”（譬如，沿着特定经度方向的圆）的闭路径可以变形成为先绕实体后绕空心的路径。所以，严格的经度方向和严格的纬度方向的路径是可交换的。这可以想象成为两个鞋带互相穿过然后解开再系上。
环面的第一同调群和基本群同构（因为基本群是交换群）。


高维度的環面 环面很容易推广到任意维。n维标准环面可以定义为 n 个标准圆的乘积：

  
    
      
        
          
            T
          
          
            n
          
        
        =
        
          
            S
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            S
          
          
            1
          
        
        ×
        ⋯
        ×
        
          
            S
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}}
  

上面所述的环面就是 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维环面。 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 维环面就是圆。 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
 维环面很难描述。和 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
 维环面一样， 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维环面可以表述为 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 在各个坐标方向整数平移下的商空间。也即， 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维环面是 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 模(modulo)整数格点 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}
  
 的群作用（该作用就是向量和）。等价地说，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维环面是 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维立方体把相对的面两两粘合起来得到的空间。

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维环是 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维紧致流形的一个例子。它也是紧致可交换李群的一个例子。这是因为单位圆是一个紧致可交换李群（如果把它作为定义了乘法的单位长度复数来看）。环面上的群乘法可以定义为各坐标分别相乘。
环面群在紧致李群理论中有重要的作用。部分原因在于所有紧致李群中总是存在一个极大环面；也就是最大可能维度的闭子群环面。

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维环面的基本群是一个n阶自由可交换群。 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维环面的 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 阶同调群是 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 取 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 阶的自由可交换群。因此可以推出 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维环面的欧拉示性数 是0。上同调环H·(Tn,Z)可以等同为Z-模 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}
  
上的外代数，其生成元为 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 非平凡闭链的对偶。


环面着色 如果把环面分成若干区域，那么总是可以用最多7种颜色来着色，使得每对相邻区域有不同的颜色。（这和四色问题不同。）在下面的例子中，环面被分为7个区域，两两相邻，说明7色是必须的：


参見 代数环面
圆环
環圈
椭圆曲线
极大环面
周期格
球面
曲面
环体
环面 (原子物理)
Villarceau圆
环面曲线


外部链接 环面的建立 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 位于网站
更多环的图像 （页面存档备份，存于互联网档案馆） (位于 趣味数学 （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
Eric W. Weisstein. "环面." 位于MathWorld--Wolfram网络资源。 http://mathworld.wolfram.com/Torus.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
气泡圈的图像和视频 位于David Whiteis的BubbleRings.com