模糊函数是一套用于信号分析与信号仿真设计的数学方法，为菲利普·伍德沃德（Philip Woodward）在1953年所提出。其初始目的是用来分析雷达回波信号受时间延迟和多普勒效应的影响，但在随后的发展中，也广泛被应用于时频分析、信号处理等领域。


定义 函数
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
  
的模糊函数
  
    
      
        A
        (
        τ
        ,
        η
        )
      
    
    {\displaystyle A(\tau ,\eta )}
  
定义为：

  
    
      
        A
        (
        τ
        ,
        η
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        s
        (
        t
        )
        
          s
          
            ∗
          
        
        (
        t
        −
        τ
        )
        
          e
          
            j
            2
            π
            η
            t
          
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle A(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{j2\pi \eta t}dt}
  

其中，
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
代表和初始信号的时间差分值，而
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
则代表和初始信号的频率差分值，而这样的二维空间称为模糊域（Ambiguity Domain）。以雷达应用来讲，
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
反映了发射信号和回波信号的时间延迟（Time Delay），
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
则反映了两信号间的多普勒频移（Dopple Frequency Shift）。星号
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle *}
  
代表对函数取其共轭复数。上式为自时域定义之模糊函数。我们也可以通过函数
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
  
的傅里叶变换对
  
    
      
        S
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle S(f)}
  
从频域定义之：

  
    
      
        A
        (
        τ
        ,
        η
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        S
        (
        f
        )
        
          S
          
            ∗
          
        
        (
        f
        −
        η
        )
        
          e
          
            j
            2
            π
            τ
            f
          
        
        d
        f
      
    
    {\displaystyle A(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)S^{*}(f-\eta )e^{j2\pi \tau f}df}
  

经修改后，模糊函数也可以用对称的形式定义，成为对称模糊函数（Symmetric Ambiguity Function）：

  
    
      
        
          A
          
            s
          
        
        (
        τ
        ,
        η
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        s
        (
        t
        +
        
          
            τ
            2
          
        
        )
        
          s
          
            ∗
          
        
        (
        t
        −
        
          
            τ
            2
          
        
        )
        
          e
          
            j
            2
            π
            η
            t
          
        
        d
        t
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        S
        (
        f
        +
        
          
            η
            2
          
        
        )
        
          S
          
            ∗
          
        
        (
        f
        −
        
          
            η
            2
          
        
        )
        
          e
          
            j
            2
            π
            τ
            f
          
        
        d
        f
      
    
    {\displaystyle A_{s}(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{j2\pi \eta t}dt=\int _{-\infty }^{\infty }S(f+{\frac {\eta }{2}})S^{*}(f-{\frac {\eta }{2}})e^{j2\pi \tau f}df}
  

  
    
      
    
    {\displaystyle }
  


基本性质 模糊函数有下列几种基本性质：


= 最大值 =
模糊函数最大值永远发生在模糊域的原点
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
：

  
    
      
        
          |
          
            A
            (
            τ
            ,
            η
            )
          
          |
        
        ≤
        
          |
          
            A
            (
            0
            ,
            0
            )
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|A(\tau ,\eta )\right|\leq \left|A(0,0)\right|}
  


= 对称性 =
模糊函数为一对称函数：

  
    
      
        A
        (
        τ
        ,
        η
        )
        =
        
          A
          
            ∗
          
        
        (
        −
        τ
        ,
        −
        η
        )
      
    
    {\displaystyle A(\tau ,\eta )=A^{*}(-\tau ,-\eta )}
  


= 时间比例调整 =

  
    
      
        
          s
          
            ′
          
        
        (
        t
        )
        =
        s
        (
        α
        t
        )
        ⇒
        
          A
          
            ′
          
        
        (
        τ
        ,
        η
        )
        =
        
          
            1
            
              |
              α
              |
            
          
        
        A
        (
        α
        τ
        ,
        
          
            η
            α
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle s^{\prime }(t)=s(\alpha t)\Rightarrow A^{\prime }(\tau ,\eta )={\frac {1}{\left|\alpha \right|}}A(\alpha \tau ,{\frac {\eta }{\alpha }})}
  


= 时间位移 =

  
    
      
        
          s
          
            ′
          
        
        (
        t
        )
        =
        s
        (
        t
        −
        Δ
        t
        )
        ⇒
        
          A
          
            ′
          
        
        (
        τ
        ,
        η
        )
        =
        A
        (
        τ
        ,
        η
        )
        
          e
          
            −
            j
            2
            π
            f
            Δ
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle s^{\prime }(t)=s(t-\Delta t)\Rightarrow A^{\prime }(\tau ,\eta )=A(\tau ,\eta )e^{-j2\pi f\Delta t}}
  


= 调制 =

  
    
      
        
          s
          
            ′
          
        
        (
        t
        )
        =
        s
        (
        t
        )
        
          e
          
            j
            2
            π
            f
            t
          
        
        ⇒
        
          A
          
            ′
          
        
        (
        τ
        ,
        η
        )
        =
        A
        (
        τ
        ,
        η
        )
        
          e
          
            −
            j
            2
            π
            f
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle s^{\prime }(t)=s(t)e^{j2\pi ft}\Rightarrow A^{\prime }(\tau ,\eta )=A(\tau ,\eta )e^{-j2\pi f\tau }}
  


= 和自相关函数的关系 =
当我们设定频率差值
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
为0时，模糊函数将退化为信号
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
  
的自相关函数：

  
    
      
        A
        (
        τ
        ,
        η
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        s
        (
        t
        )
        
          s
          
            ∗
          
        
        (
        t
        −
        τ
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle A(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )dt}
  


常见信号之模糊函数 = 方波 =
若方波定义为：:
  
    
      
        r
        e
        c
        t
        (
        t
        ,
        T
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  
                    
                      if
                    
                  
                  
                    |
                    t
                    |
                  
                  ≤
                  
                    
                      T
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  
                    
                      if
                    
                  
                  
                    |
                    t
                    |
                  
                  >
                  
                    
                      T
                      2
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle rect(t,T)={\begin{cases}1,&{\mbox{if}}\left|t\right|\leq {\frac {T}{2}}\\0,&{\mbox{if}}\left|t\right|>{\frac {T}{2}}\end{cases}}}
  
,則其模糊函数
  
    
      
        
          A
          
            r
            e
            c
            t
          
        
        (
        τ
        ,
        η
        )
      
    
    {\displaystyle A_{rect}(\tau ,\eta )}
  
计算如下：

  
    
      
        
          A
          
            r
            e
            c
            t
          
        
        (
        τ
        ,
        η
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        r
        e
        c
        t
        (
        t
        +
        
          
            τ
            2
          
        
        )
        r
        e
        c
        
          t
          
            ∗
          
        
        (
        t
        −
        
          
            τ
            2
          
        
        )
        
          e
          
            j
            2
            π
            η
            t
          
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle A_{rect}(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }rect(t+{\frac {\tau }{2}})rect^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{j2\pi \eta t}dt}
  

  
    
      
        =
        
          ∫
          
            −
            (
            T
            −
            τ
            )
            
              /
            
            2
          
          
            (
            T
            −
            τ
            )
            
              /
            
            2
          
        
        
          e
          
            j
            2
            π
            η
            t
          
        
        d
        t
        =
        
          
            {
            
              
                
                  (
                  T
                  −
                  
                    |
                    τ
                    |
                  
                  s
                  i
                  n
                  c
                  [
                  η
                  (
                  T
                  −
                  
                    |
                    τ
                    |
                  
                  )
                  ]
                  )
                
                
                  
                    
                      for
                    
                  
                  
                    |
                    τ
                    |
                  
                  ≤
                  T
                
              
              
                
                  0
                  
                    
                      for
                    
                  
                  
                    |
                    τ
                    |
                  
                  >
                  T
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle =\int _{-(T-\tau )/2}^{(T-\tau )/2}e^{j2\pi \eta t}dt={\begin{cases}(T-\left|\tau \right|sinc[\eta (T-\left|\tau \right|)])&{\mbox{for}}\left|\tau \right|\leq T\\0{\mbox{for}}\left|\tau \right|>T\end{cases}}}
  


= 高斯函数 =
对一个高斯信号
  
    
      
        g
        (
        t
        )
        =
        
          e
          
            −
            α
            
              t
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle g(t)=e^{-\alpha t^{2}}}
  
而言，其模糊函数为：

  
    
      
        
          A
          
            G
          
        
        (
        τ
        ,
        η
        )
        =
        
          
            1
            
              2
            
          
        
        
          e
          
            
              
                −
                α
                (
                
                  τ
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  η
                  
                    2
                  
                
                )
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{G}(\tau ,\eta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{\frac {-\alpha (\tau ^{2}+\eta ^{2})}{2}}}
  


和维格纳分布的关系 模糊函数是伍德沃德依据维格纳分布改良而来。二者之间详细的关系请参阅模糊函数与韦格纳分布的关系。


应用 模糊函数一开始是由雷达领域研究学者菲利浦·伍德沃德由维格纳分布发展而來，因此其最初的应用领域多与雷达相关，是该领域相当重要的基础理论。随着时间的推进和时频分析方法的兴起，越来越多的时频分析方法使用了模糊函数的概念。例如，西摩·斯坦于1981年提到，模糊函数可以用来估算具有相同成分的两个信号，因受外加噪声干扰而造成的频率、时间位移；而时频分析工具科恩系列分布则是运用一函数之模糊函数并搭配适当的遮罩函数，做为分析该函数时频特性的基础。


参考资料