广义相对论中的开普勒问题，是指在广义相对论的框架下求解存在引力相互作用的两体动力学问题。在典型情况下以及本文中，其中一个物体的质量
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
和另一个物体的质量
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
相比可忽略，这种近似对应着实际情形中地球绕太阳公转，以及一个光子在一颗恒星的引力场中的运动等问题。在这些情形下，可以认为大质量
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
的位置在空间中是固定的，并且只有大质量的引力场对周围时空曲率变化有贡献。这时的时空曲率可由爱因斯坦场方程的史瓦西解来描述；而小质量
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
（以下简称“粒子”）的运动可由史瓦西解的测地线方程来描述。由于假设小质量
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
是点状的无尺寸粒子，两者之间的潮汐力可忽略。
从测地线方程可以推出广义相对论的关键性实验证据，著名的水星近日点的进动，以及光线在太阳引力场中的偏折。对于前者，广义相对论为观测到的这一现象提供了漂亮的解释，而后者则是广义相对论的著名预言，其正确性被亚瑟·爱丁顿爵士的实验观测所证实。
广义相对论的两体问题中还涉及了引力辐射造成的轨道衰减，这是一个纯粹的相对论效应，没有对应的经典力学版本。这个问题并不包含在史瓦西解中，请参见引力辐射和引力波天文学。


历史背景-爱因斯坦的直觉 1859年，法国天文学家于尔班·勒威耶发现水星的实际轨道进动与预期的并不十分相符：即使考虑到太阳系中其他行星的影响，实际的进动速度还是要比牛顿的经典理论稍微快一点。这个误差相当小，大约为每世纪43弧度秒，但这还是要比测量引起的误差每世纪0.1弧度秒大很多。勒威耶立刻意识到他这一发现的重要性，并向更多的物理学家和天文学家寻求解释。在当时提出的一些经典解释包括，行星际尘埃、太阳本身未被观测到的椭球性、水星未被观测到的卫星，甚至假想的水内行星“祝融星”等。在这些解释被一一否决后，有些物理学家提出了更激进的猜想，认为牛顿的引力平方反比律并不严格成立。例如某些人提出定律中的指数并不严格为2，而某些人如亨德里克·洛伦兹提出牛顿的万有引力定律应增加与速度有关的引力势修正项。
1905年，爱因斯坦提出了狭义相对论，这一理论否决了任何超过光速传播的效应的可能性；不过同时，这也暗示了相对论的基本假设和牛顿天体力学的矛盾。拉普拉斯早先在其研究中证明，如果引力相互作用不是超距的（即传播是瞬时的），行星的运动将不再严格满足动量守恒定律（类似于电磁相互作用中一部分动量要传递给电磁相互作用的媒介子，引力相互作用中也需要携带动量的媒介子）。从牛顿力学的观点来看，如果引力相互作用只能以有限速度传播，那么在任意时刻，行星受到的来自太阳的引力将不会指向太阳所在的即时位置，而是在若干时间之前的位置。在经典力学的基础上，拉普拉斯推导出当引力以光速传播时太阳系是不稳定的，并只能维持并不太长时间的存在。而对太阳系的实际观测表明，如果引力的传播速度确实存在一个上限，根据经典力学这个上限将比光速高出好几个数量级。
这种矛盾引出了建立一个替代牛顿引力理论的新理论的需求，这个新理论需要满足狭义相对论的基本假设，并且在相对论效应可忽略时能够和牛顿的引力理论相容。1907年爱因斯坦确认了建立一个狭义相对论的后继理论的必要性，这个理论能够同时包含狭义相对论的基本假设和万有引力相互作用。在1907年至1915年间，爱因斯坦在等效原理的基础上逐渐发展了他的新理论。根据等效原理，一个均勻引力场对在其内所有物体的作用都是相同的，因此这个引力场将不能被一个处于自由落体状态的观察者观测到。归纳而言，所有局部的引力效应都可以在一个直线加速的非惯性参考系中体现出来，这个原理反过来也成立，即加速参考系等效于一个局部的引力场。这样看来，引力和离心力以及科里奥利力等惯性力这样的“虚拟力”有相类似的效应：惯性力都来源于一个加速的非惯性系，并且和物体的惯性质量成正比，引力亦然（由于惯性质量和引力质量等价）。想要在等效原理的基础上将万有引力和狭义相对论的基本假设统一起来，需要牺牲的是经典力学中习以为常的基本假设：我们所处的时空是一个符合欧几里得几何的平直时空。爱因斯坦使用的是一种更廣義的几何学：黎曼几何，在黎曼几何描述下的时空可以是弯曲的。经过八年的研究，他成功得到了一个能够包含引力理论的更具功能的相对论性理论：广义相对论。广义相对论要求时空是弯曲的，这种时空的弯曲性是引力的体现，也是一种物理上的实在，这和惯性力不过是假想的“虚力”完全不同。广义相对论首先成功解释了水星近日点的进动误差并预言了光线在太阳引力场中的偏折，这个预言在广义相对论发表之后得到了实验证实。


几何基础-度规 在经典的欧几里得几何中，三角形满足勾股定理（毕达哥拉斯定理），这意味着空间中两点间的距离平方等于空间中所有完备正交分量平方和：

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        d
        
          x
          
            2
          
        
        +
        d
        
          y
          
            2
          
        
        +
        d
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}
  

这里
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
、
  
    
      
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dy}
  
、
  
    
      
        d
        z
      
    
    {\displaystyle dz}
  
表示在笛卡尔坐标系下三个坐标轴
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
、
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
、
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
上各自两点间的无穷小距离。
现在想象存在一个笛卡尔坐标不适用的世界，其间两点的距离由下式描述：

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        F
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        d
        
          x
          
            2
          
        
        +
        G
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        d
        
          y
          
            2
          
        
        +
        H
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        d
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=F(x,y,z)dx^{2}+G(x,y,z)dy^{2}+H(x,y,z)dz^{2}}
  

这里
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
、
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
、
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
是坐标
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
、
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
、
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
的任意函数。想象一个这样的世界其实并不困难，我们就生活在这样一个表面是弯曲的世界上，这也是无法精确描绘出一个平面的世界地图的原因。想要简明地描述这个世界的表面几何不适合采用笛卡尔坐标，比较简单的做法是球坐标系
  
    
      
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (r,\theta ,\phi )}
  
，这时的欧几里得几何中的距离表示为：

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        d
        
          r
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        d
        
          θ
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        d
        
          ϕ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}
  

进一步的想象可能会比较困难，但我们假设存在一个用来测量长度的尺子不再可靠的世界：尺子的长度会因其位置甚至摆放方向而改变。这是最一般的情况，在计算两点间距离时需要考虑交叉项的存在：

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          g
          
            x
            x
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          g
          
            x
            y
          
        
        d
        x
        d
        y
        +
        
          g
          
            x
            z
          
        
        d
        x
        d
        z
        +
        ⋯
        +
        
          g
          
            z
            y
          
        
        d
        z
        d
        y
        +
        
          g
          
            z
            z
          
        
        d
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=g_{xx}dx^{2}+g_{xy}dxdy+g_{xz}dxdz+\cdots +g_{zy}dzdy+g_{zz}dz^{2}}
  

这里九个函数
  
    
      
        
          g
          
            x
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{xy}}
  
等构成了空间的度规张量，它定义了黎曼几何框架下的空间几何。在球坐标系下交叉项不存在，它只包含有三个非零的张量元素。
在狭义相对论中，爱因斯坦就已经指出空间中两点的距离并不是恒量，而与观察者的运动（即惯性参考系）有关。狭义相对论指出在任何惯性系下观测到的恒量是两点间的时空间隔，这个间隔被称作固有时。固有时是一个相对论不变量，它与惯性参考系无关。

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          τ
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          t
          
            2
          
        
        −
        d
        
          x
          
            2
          
        
        −
        d
        
          y
          
            2
          
        
        −
        d
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}
  

在球坐标下这可以写成

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          τ
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          t
          
            2
          
        
        −
        d
        
          r
          
            2
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        d
        
          θ
          
            2
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        d
        
          ϕ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}
  

这些公式都可以看作是毕达哥拉斯定理的自然推广，它们仅在时空曲率为零时成立。但在广义相对论的框架下，时间和空间都可以是弯曲的，这时的时空间隔需要写成更一般的形式：

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          τ
          
            2
          
        
        =
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        d
        
          x
          
            μ
          
        
        d
        
          x
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}
  

这里的度规
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
取决于时空中发出引力的质量、动量和能量，描述这一关系的是爱因斯坦的引力场方程。爱因斯坦的引力理论不仅和当时已知的物理定律相容，它还成功预言了很多从未观测到的物理现象，这些现象至今仍然不断被实验观测所证实。


史瓦西几何 爱因斯坦场方程的解的最简单形式是史瓦西度规，它对应着一个不带电荷和角动量的球对称的质量
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
的引力场，其形式为：

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            d
            τ
          
          
            2
          
        
        =
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          t
          
            2
          
        
        −
        
          
            
              d
              
                r
                
                  2
                
              
            
            
              1
              −
              
                
                  
                    r
                    
                      s
                    
                  
                  r
                
              
            
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        d
        
          θ
          
            2
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        d
        
          φ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}}
  

其中，

  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
是固有时；

  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
是光速；

  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
是时间坐标；

  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
是球面的径向坐标；

  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是球面的纬度坐标；

  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
是球面的经度坐标；

  
    
      
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{s}}
  
是中心质量
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
的史瓦西半径，其关系为

  
    
      
        
          r
          
            s
          
        
        =
        
          
            
              2
              G
              M
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}
  

牛顿经典力学下引力的传播速度无限大，与光速无关：这可以看作是在经典近似下史瓦西半径趋于零，这时的史瓦西度规还原为狭义相对论的形式。在一般情形下，史瓦西半径总是非常小的，例如地球的史瓦西半径只有9毫米，而一颗人造卫星的同步轨道半径是它的四十亿倍，为42164千米。即使是在地球表面，广义相对论对牛顿引力的修正也只有十亿分之一。然而在宇宙中的致密星体如黑洞和中子星的周围，广义相对论的效应就变得非常明显。


测地线方程 根据广义相对论，质量可忽略的粒子在引力场中沿着测地线运动。在无引力的平直时空中，测地线是直线；但当时空存在弯曲时，测地线由下面的测地线方程描述：

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  μ
                
              
            
            
              d
              
                q
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          Γ
          
            ν
            λ
          
          
            μ
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  ν
                
              
            
            
              d
              q
            
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  λ
                
              
            
            
              d
              q
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0}
  

这里
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
是克里斯托费尔符号而变量
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
是一个将粒子在时空中的轨迹（世界线）参数化的参量。克里斯托费尔符号只和度规对於坐标的一阶偏导数有关（即描述了度规如何随坐标变化）。对于类时轨迹（速度小於光速的帶质量粒子的運動軌跡）而言，参数
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
一般取作固有时；而对于类光轨迹（呈光速的零质量粒子的運動軌跡），固有时为零，因此严格来讲不能将固有时用作参数；不过类光可以看作是类时的极端相对论案例，有时从而可以通过取极限的方法，从类时的轨迹导出粒子质量为零时类光的轨迹，并保持总能量不变。
在度规具有对称性的场合下我们往往可以将问题简化。例如史瓦西度规是关于平面
  
    
      
        θ
        =
        π
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \theta =\pi /2}
  
对称的，任何起始于这一平面上测地线的粒子将保持在这一平面上运动。因此我们总可以认为粒子的轨道保持在这一平面上，即纬度坐标
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
恒等于
  
    
      
        π
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \pi /2}
  
，这时的史瓦西度规简化为

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          τ
          
            2
          
        
        =
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          t
          
            2
          
        
        −
        
          
            
              d
              
                r
                
                  2
                
              
            
            
              1
              −
              
                
                  
                    r
                    
                      s
                    
                  
                  r
                
              
            
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        d
        
          φ
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}.}
  

从这个形式可得到两个运动的守恒量，单位质量的角动量和单位质量的能量（参见下文注释）

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        
          
            L
            m
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}
  

  
    
      
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        
          
            E
            
              m
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}
  

将这两个守恒量代入史瓦西度规中得到粒子的运动方程

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              E
              
                2
              
            
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              c
              
                2
              
            
            +
            
              
                
                  L
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\right).}
  

通过角动量
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
的定义，得到如下替换关系可消去式中的固有时

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  φ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  τ
                
                
                  d
                  φ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  m
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
                L
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {mr^{2}}{L}}\right)^{2},}
  

这样就得到了粒子的轨道方程

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  φ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              r
              
                4
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              
                
                  r
                  
                    4
                  
                
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              r
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}
  

其中的两个长度参数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
的定义为

  
    
      
        a
        =
        
          
            L
            
              m
              c
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle a={\frac {L}{mc}},}
  

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              c
              L
            
            E
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle b={\frac {cL}{E}}.}
  

利用最小作用量原理或哈密顿-雅可比方程可得到相同形式的轨道方程（见后文），轨道方程的解为

  
    
      
        φ
        =
        ∫
        
          
            
              d
              r
            
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      
                        b
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  −
                  
                    (
                    
                      1
                      −
                      
                        
                          
                            r
                            
                              s
                            
                          
                          r
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    (
                    
                      
                        
                          1
                          
                            a
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                      +
                      
                        
                          1
                          
                            r
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}}}.}
  


光线在太阳引力场中偏折的近似公式 对于上面的史瓦西度规中的粒子轨道方程，当粒子质量趋于零（或长度参数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
趋于无穷大）时，轨道方程的解变为如下形式：

  
    
      
        φ
        =
        ∫
        
          
            
              d
              r
            
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      
                        b
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  −
                  
                    (
                    
                      1
                      −
                      
                        
                          
                            r
                            
                              s
                            
                          
                          r
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    
                      1
                      
                        r
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}}
  

将此式按
  
    
      
        
          r
          
            s
          
        
        
          /
        
        r
      
    
    {\displaystyle r_{s}/r}
  
的幂指数展开，得到的领导项给出了一个来自无穷远处的无质量粒子在史瓦西引力场中的运动角度近似偏移量（其后这个粒子仍然向无穷远处运动）

  
    
      
        δ
        φ
        ≈
        
          
            
              2
              
                r
                
                  s
                
              
            
            b
          
        
        =
        
          
            
              4
              G
              M
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              b
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {2r_{s}}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}.}
  

这里长度参数
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
可理解为粒子在运动过程中距中心质量的最近距离。尽管这个公式是通过相当的近似得到的，在大多数有关引力透镜的测量中它都相当精确，这是因为对大多数星体而言
  
    
      
        
          r
          
            s
          
        
        
          /
        
        r
      
    
    {\displaystyle r_{s}/r}
  
都很小。对于掠过太阳表面的光子，其角偏移量大约只有1.75角秒。


和经典力学的关系 从上面得到的史瓦西度规中的粒子运动方程

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              E
              
                2
              
            
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                r
                
                  s
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            r
          
        
        −
        
          
            
              L
              
                2
              
            
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                r
                
                  s
                
              
              
                L
                
                  2
                
              
            
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}+{\frac {r_{s}L^{2}}{m^{2}r^{3}}}}
  

可通过代入史瓦西半径的定义得到

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          [
          
            
              
                
                  E
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  m
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                1
                2
              
            
            m
            
              c
              
                2
              
            
          
          ]
        
        +
        
          
            
              G
              M
              m
            
            r
          
        
        −
        
          
            
              L
              
                2
              
            
            
              2
              m
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              G
              M
              
                L
                
                  2
                
              
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              m
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}}
  

这个运动方程相当于一个质量为
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
的粒子在一个一维势阱中运动，其有效势能为

  
    
      
        V
        (
        r
        )
        =
        −
        
          
            
              G
              M
              m
            
            r
          
        
        +
        
          
            
              L
              
                2
              
            
            
              2
              m
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              G
              M
              
                L
                
                  2
                
              
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              m
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}}
  

式中前两项是经典力学的结果：第一项是牛顿重力勢能（负值表示吸引），第二项是具有排斥效应的离心势能；而第三项仅在广义相对论中存在，它代表的是一个与距离立方成反比的吸引势能。从后文或其他文献中可以看到，这种立方反比势能造成了粒子运动周期中椭圆轨道的逐渐相对论进动，每个周期内进动的角位移为

  
    
      
        δ
        φ
        ≈
        
          
            
              6
              π
              G
              M
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              A
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}
  

其中
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是椭圆的半长轴，
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
是偏心率。
在
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
很小时，由于是立方反比关系第三项起主导作用，这决定了一个关键性的最内稳定圆半径
  
    
      
        
          r
          
            
              i
              n
              n
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}
  
，如果粒子一旦处于小于这个半径的范围内，它最终会不可避免地向内坠入。这个最内半径是单位质量的角动量的函数，即上面定义的长度参数
  
    
      
        a
        =
        L
        
          /
        
        m
        c
      
    
    {\displaystyle a=L/mc}
  
。


圆轨道和其稳定性 如果使用长度参数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，有效势能
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
可写成如下形式：

  
    
      
        V
        (
        r
        )
        =
        
          
            
              m
              
                c
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        
          [
          
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
            +
            
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  
                    r
                    
                      s
                    
                  
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  r
                  
                    3
                  
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right]}
  

当有效力为零时，得到粒子的圆轨道：

  
    
      
        F
        =
        −
        
          
            
              d
              V
            
            
              d
              r
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              m
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              2
              
                r
                
                  4
                
              
            
          
        
        
          [
          
            
              r
              
                s
              
            
            
              r
              
                2
              
            
            −
            2
            
              a
              
                2
              
            
            r
            +
            3
            
              r
              
                s
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
          ]
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0}
  

有效力为零的含义即为吸引力（牛顿引力加广义相对论的立方反比引力）和排斥力（等效的离心力）恰巧平衡。在两个半径上可以满足这种平衡条件，它们被记为
  
    
      
        
          r
          
            
              o
              u
              t
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
  
和
  
    
      
        
          r
          
            
              i
              n
              n
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}
  

  
    
      
        
          r
          
            
              o
              u
              t
              e
              r
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              r
              
                s
              
            
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                1
                −
                
                  
                    
                      3
                      
                        r
                        
                          s
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {outer} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)}
  

  
    
      
        
          r
          
            
              i
              n
              n
              e
              r
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              r
              
                s
              
            
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                −
                
                  
                    
                      3
                      
                        r
                        
                          s
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              3
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                
                  o
                  u
                  t
                  e
                  r
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {inner} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}}}
  

其中靠内的半径
  
    
      
        
          r
          
            
              i
              n
              n
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}
  
对应的圆轨道是不稳定的，这个原因在上面已经提到：由于当
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
很小时，立方反比项增长速度远大于其他两项，这个引力将把粒子强烈地吸引到引力场中心处。而靠外的半径
  
    
      
        
          r
          
            
              o
              u
              t
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
  
对应的圆轨道是稳定的，这是因为在那附近立方反比项并不显著，系统基本可近似为一个非相对论的开普勒系统。
当长度参数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
远大于史瓦西半径
  
    
      
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{s}}
  
时（经典极限），这两个圆轨道半径公式近似为

  
    
      
        
          r
          
            
              o
              u
              t
              e
              r
            
          
        
        ≈
        
          
            
              2
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}}
  

  
    
      
        
          r
          
            
              i
              n
              n
              e
              r
            
          
        
        ≈
        
          
            3
            2
          
        
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {inner} }\approx {\frac {3}{2}}r_{s}}
  

直接在经典理论下让惯性离心力等于牛顿万有引力：

  
    
      
        m
        
          ω
          
            φ
          
          
            2
          
        
        r
        =
        
          
            
              G
              M
              m
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m\omega _{\varphi }^{2}r={\frac {GMm}{r^{2}}}}
  

这里
  
    
      
        
          ω
          
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{\varphi }}
  
是粒子的角速度。如果使用广义相对论中的记法，经典的角速度等於

  
    
      
        
          ω
          
            φ
          
          
            2
          
        
        ≈
        
          
            
              G
              M
            
            
              r
              
                
                  o
                  u
                  t
                  e
                  r
                
              
              
                3
              
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                2
                
                  r
                  
                    
                      o
                      u
                      t
                      e
                      r
                    
                  
                  
                    3
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              2
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              
                r
                
                  s
                
                
                  3
                
              
              
                8
                
                  a
                  
                    6
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              
                c
                
                  2
                
              
              
                r
                
                  s
                
                
                  4
                
              
            
            
              16
              
                a
                
                  6
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}}
  

在另一种情形下，当
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}}
  
由上逐渐逼近
  
    
      
        3
        
          r
          
            s
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 3r_{s}^{2}}
  
时，这两个圆轨道半径重合为一个值：

  
    
      
        
          r
          
            
              o
              u
              t
              e
              r
            
          
        
        ≈
        
          r
          
            
              i
              n
              n
              e
              r
            
          
        
        ≈
        3
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{s}}
  

上面给出的
  
    
      
        
          r
          
            
              i
              n
              n
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}
  
和
  
    
      
        
          r
          
            
              o
              u
              t
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
  
的二项式解保证了
  
    
      
        
          r
          
            
              o
              u
              t
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
  
总是大于
  
    
      
        3
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle 3r_{s}}
  
的，而
  
    
      
        
          r
          
            
              i
              n
              n
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}
  
总是在
  
    
      
        3
        
          /
        
        2
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle 3/2r_{s}}
  
和
  
    
      
        3
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle 3r_{s}}
  
的范围内。半径小于
  
    
      
        3
        
          /
        
        2
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle 3/2r_{s}}
  
的圆轨道是不能存在的。对于无质量的粒子，长度参数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
为无穷大，例如对于光子可以存在一个
  
    
      
        
          r
          
            
              i
              n
              n
              e
              r
            
          
        
        =
        3
        
          /
        
        2
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {inner} }=3/2r_{s}}
  
的圆轨道，这个半径所构成的球有时被称作「光子球」（photon sphere）。


椭圆轨道进动的推导 从史瓦西几何中得到的径向有效势能
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
可以推出轨道的进动速度。首先，圆轨道
  
    
      
        
          r
          
            
              o
              u
              t
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
  
的一个微小的半径变化会造成在
  
    
      
        
          r
          
            
              o
              u
              t
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
  
上的稳定的谐振动，其振动的角频率为

  
    
      
        
          ω
          
            r
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            m
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                  V
                
                
                  d
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
          
            r
            =
            
              r
              
                
                  o
                  u
                  t
                  e
                  r
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}}
  

用有效势能
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的形式代入并求二阶导数，

  
    
      
        
          ω
          
            r
          
          
            2
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                
                  r
                  
                    s
                  
                
              
              
                2
                
                  r
                  
                    
                      o
                      u
                      t
                      e
                      r
                    
                  
                  
                    4
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              r
              
                
                  o
                  u
                  t
                  e
                  r
                
              
            
            −
            
              r
              
                
                  i
                  n
                  n
                  e
                  r
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          ω
          
            φ
          
          
            2
          
        
        
          
            1
            −
            
              
                
                  3
                  
                    r
                    
                      s
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}}
  

两边开平方并作二项式展开：

  
    
      
        
          ω
          
            r
          
        
        =
        
          ω
          
            φ
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  3
                  
                    r
                    
                      s
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  4
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            ⋯
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)}
  

而后再乘以公转的周期
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
就得到了在一个周期内的轨道进动的角位移

  
    
      
        δ
        φ
        =
        T
        
          (
          
            
              
                
                  ω
                  
                    φ
                  
                
                −
                
                  ω
                  
                    r
                  
                
              
              
                ω
                
                  φ
                
              
            
          
          )
        
        ≈
        2
        π
        
          (
          
            
              
                3
                
                  r
                  
                    s
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                4
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              3
              π
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              2
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          r
          
            s
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta \varphi =T\left({\frac {\omega _{\varphi }-\omega _{r}}{\omega _{\varphi }}}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}}
  

这里我们用到了
  
    
      
        ω
        T
        =
        2
        π
      
    
    {\displaystyle \omega T=2\pi }
  
以及长度参数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的定义。代入史瓦西半径
  
    
      
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{s}}
  
的定义得到

  
    
      
        δ
        φ
        ≈
        
          
            
              3
              π
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              2
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                4
                
                  G
                  
                    2
                  
                
                
                  M
                  
                    2
                  
                
              
              
                c
                
                  4
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              6
              π
              
                G
                
                  2
                
              
              
                M
                
                  2
                
              
              
                m
                
                  2
                
              
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}
  

根据开普勒第三定律，使用椭圆的半长轴
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和偏心率
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
可以简化这个公式，开普勒第三定律在这里可以写为

  
    
      
        
          
            
              L
              
                2
              
            
            
              G
              M
              
                m
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        A
        
          (
          
            1
            −
            
              e
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}=A\left(1-e^{2}\right)}
  

这样就得到了上面看到的进动角位移公式

  
    
      
        δ
        φ
        ≈
        
          
            
              6
              π
              G
              M
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              A
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}
  


使用椭圆函数的圆轨道的解 轨道方程

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  φ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              r
              
                4
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              
                
                  r
                  
                    4
                  
                
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              r
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}
  

可以通过引入一个无量纲量来化简：

  
    
      
        ζ
        =
        
          
            
              r
              
                s
              
            
            
              4
              r
            
          
        
        −
        
          
            1
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}}
  

这时轨道方程可表示为

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  ζ
                
                
                  d
                  φ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        4
        
          ζ
          
            3
          
        
        −
        
          g
          
            2
          
        
        ζ
        −
        
          g
          
            3
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},}
  

这里的无量纲系数
  
    
      
        
          g
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{2}}
  
、
  
    
      
        
          g
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{3}}
  
由下式给出

  
    
      
        
          
            
              
                
                  g
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    12
                  
                
                −
                
                  
                    
                      r
                      
                        s
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      4
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                ,
              
            
            
              
                
                  g
                  
                    3
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    216
                  
                
                +
                
                  
                    
                      r
                      
                        s
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      24
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      r
                      
                        s
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      16
                      
                        b
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{s}^{2}}{4a^{2}}},\\g_{3}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{s}^{2}}{24a^{2}}}-{\frac {r_{s}^{2}}{16b^{2}}}.\end{aligned}}}
  

这个微分方程的解为

  
    
      
        φ
        −
        
          φ
          
            0
          
        
        =
        ∫
        
          
            
              d
              ζ
            
            
              4
              
                ζ
                
                  3
                
              
              −
              
                g
                
                  2
                
              
              ζ
              −
              
                g
                
                  3
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi -\varphi _{0}=\int {\frac {d\zeta }{\sqrt {4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}}}}.}
  

其中无量纲量
  
    
      
        ζ
        =
        ℘
        (
        φ
        −
        
          φ
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})}
  
，这里
  
    
      
        ℘
      
    
    {\displaystyle \wp }
  
是参数为
  
    
      
        
          g
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{2}}
  
和
  
    
      
        
          g
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{3}}
  
的魏尔施特拉斯椭圆函数，
  
    
      
        
          φ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{0}}
  
是一个积分常数（可以是复数）。


可能轨道的定性分析 对于轨道方程

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  ζ
                
                
                  d
                  φ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        4
        
          ζ
          
            3
          
        
        −
        
          g
          
            2
          
        
        ζ
        −
        
          g
          
            3
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},}
  

如果右边三次多项式的判别式
  
    
      
        Δ
        =
        
          g
          
            2
          
          
            3
          
        
        −
        27
        
          g
          
            3
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}
  
 大于零，则三次方程

  
    
      
        G
        (
        ζ
        )
        =
        4
        
          ζ
          
            3
          
        
        −
        
          g
          
            2
          
        
        ζ
        −
        
          g
          
            3
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=0}
  

有三个实根，
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{2}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{3}}
  
，将它们按从大到小排列

  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        >
        
          e
          
            2
          
        
        >
        
          e
          
            3
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle e_{1}>e_{2}>e_{3}.}
  

在此情形下，方程的解
  
    
      
        ζ
        =
        ℘
        (
        φ
        −
        
          φ
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})}
  
是一个具有两个半周期的椭圆函数，其中一个完全是实的：

  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
        =
        
          ∫
          
            
              e
              
                1
              
            
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              d
              z
            
            
              4
              
                z
                
                  3
                
              
              −
              
                g
                
                  2
                
              
              z
              −
              
                g
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}
  

而另一个完全是虚的：

  
    
      
        
          ω
          
            3
          
        
        =
        i
        
          ∫
          
            −
            
              e
              
                3
              
            
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              d
              z
            
            
              4
              
                z
                
                  3
                
              
              −
              
                g
                
                  2
                
              
              z
              −
              
                g
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}
  

剩下的那一个根对应着一个复数的半周期ω2 = -ω1 - ω3。这三个半周期通过方程与对应的三个根
  
    
      
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{i}}
  
相联系，方程中
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
可以等于1、2、3。因此如果
  
    
      
        
          φ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{0}}
  
被设置为等于其中任何一个半周期，
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
的导数就为零，这对应着一个近星点或远星点：

  
    
      
        
          
            
              d
              ζ
            
            
              d
              ϕ
            
          
        
        =
        0
         
        
          w
          h
          e
          n
        
         
        ζ
        =
        ℘
        (
        −
        
          ω
          
            i
          
        
        )
        =
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ \mathrm {when} \ \zeta =\wp (-\omega _{i})=e_{i}}
  

由于

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  ζ
                
                
                  d
                  φ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        G
        (
        ζ
        )
        =
        4
        
          ζ
          
            3
          
        
        −
        
          g
          
            2
          
        
        ζ
        −
        
          g
          
            3
          
        
        =
        4
        
          (
          
            ζ
            −
            
              e
              
                1
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            ζ
            −
            
              e
              
                2
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            ζ
            −
            
              e
              
                3
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right),}
  

可以看到
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
等于根
  
    
      
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{i}}
  
时，导数的值为零。
不同轨道的定性性质取决于
  
    
      
        
          φ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{0}}
  
的选取。
  
    
      
        
          φ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{0}}
  
等于
  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{2}}
  
的解对应着在
  
    
      
        ζ
        =
        
          e
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta =e_{2}}
  
和
  
    
      
        ζ
        =
        
          e
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta =e_{3}}
  
之间周期性变化的轨道，或者是散射到无穷远处的轨道（
  
    
      
        ζ
        =
        −
        1
        
          /
        
        12
      
    
    {\displaystyle \zeta =-1/12}
  
）。而
  
    
      
        
          φ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{0}}
  
等于
  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{1}}
  
或任何其他实数对应着衰减至半径等于零的轨道，这是由于
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
作为一个实数时不能小于
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1}}
  
，结果就不可避免地增长至无穷大。


= 准椭圆轨道 =
在系统能量满足不等式E2 < m2 c4的前提下，
  
    
      
        
          φ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{0}}
  
等于
  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{2}}
  
时方程的解
  
    
      
        ζ
        =
        ℘
        (
        ϕ
        −
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta =\wp (\phi -\phi _{0})}
  
给出了一个实数的
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
值。对于这类解，变量
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
的值被限制在
  
    
      
        
          e
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{3}}
  
和
  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{2}}
  
之间。如果这两个根都大于-1/12，
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
将不会等于-1/12，也就不会产生半径趋于无穷大的散射轨道。因此这类解对应着一个逐渐进动的椭圆轨道，当粒子（或行星）从起始状态开始演化时，其半径在最小半径
  
    
      
        
          r
          
            m
            i
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{min}}
  
和最大半径
  
    
      
        
          r
          
            m
            a
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{max}}
  
之间振荡，分别为

  
    
      
        
          r
          
            m
            i
            n
          
        
        =
        
          
            
              3
              
                r
                
                  s
                
              
            
            
              1
              +
              12
              
                e
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{min}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{2}}}}
  

  
    
      
        
          r
          
            m
            a
            x
          
        
        =
        
          
            
              3
              
                r
                
                  s
                
              
            
            
              1
              +
              12
              
                e
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{max}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{1}}}}
  

它们分别对应着
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
的两个极值。魏尔施特拉斯椭圆函数的实数周期为
  
    
      
        2
        
          ω
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 2\omega _{1}}
  
，因此当粒子进动了
  
    
      
        2
        
          ω
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 2\omega _{1}}
  
的角位移后将回到与先前相同的半径，椭圆轨道处于进动状态（注意
  
    
      
        2
        
          ω
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 2\omega _{1}}
  
一般来说不等于
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
，但两者的差值即每个轨道周期内进动的角位移很小）。


= 稳定圆轨道 =
这是2e2 = 2e3 = −e1的特殊情形，即方程
  
    
      
        G
        (
        ζ
        )
      
    
    {\displaystyle G(\zeta )}
  
有两个根相等并且是负值，而第三个根是正值。在这种情况下
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
有两个相同的实根e = e2 = e4，这个解对应着经典的圆轨道，即上面得到的半径为
  
    
      
        
          r
          
            o
            u
            t
            e
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{outer}}
  
的轨道，并且我们看到
  
    
      
        
          r
          
            o
            u
            t
            e
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{outer}}
  
一定大于
  
    
      
        3
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle 3r_{s}}
  
。这样的圆轨道之所以稳定，是因为对方程参数的一个微扰只会让这两个实根略微不等，从而得到准椭圆轨道解。例如对处于稳定圆轨道上粒子的一个微小扰动会将它推到准椭圆轨道上去并逐渐开始进动。


= 非束缚（散射）轨道 =
轨道半径趋于无穷大对应着粒子飞向无限远处，这时
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
等于-1/12。这样的非束缚轨道对应着两个实根的值分别落在-1/12两侧，即 e2 ≤ −1/12 ≤ ζ ≤ e3。


= 渐近圆轨道 =
当-e3 = 2e2 = 2e1，
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
有两个正的且相同的实根，而第三个根e3是负值。将重根代换为
  
    
      
        e
        =
        
          n
          
            2
          
        
        
          /
        
        3
      
    
    {\displaystyle e=n^{2}/3}
  
，在
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
等于正负无穷时粒子具有渐近的圆轨道：

  
    
      
        ζ
        =
        
          
            
              r
              
                s
              
            
            
              4
              r
            
          
        
        −
        
          
            1
            12
          
        
        =
        e
        −
        
          
            
              n
              
                2
              
            
            
              
                cosh
                
                  2
                
              
              ⁡
              n
              φ
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{2}}{\cosh ^{2}n\varphi }}.}
  

可以将这个解代回方程验证。当
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
等于正负无穷时，粒子渐近地接近这个圆轨道：

  
    
      
        
          
            
              r
              
                s
              
            
            
              4
              r
            
          
        
        −
        
          
            1
            12
          
        
        =
        e
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.}
  

在这种情形下，粒子的轨道半径一定处于
  
    
      
        2
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle 2r_{s}}
  
和
  
    
      
        3
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle 3r_{s}}
  
之间。
渐近的圆轨道也可以通过用雅可比椭圆函数来表示魏尔施特拉斯椭圆函数得到：

  
    
      
        ζ
        =
        ℘
        (
        ϕ
        −
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
        =
        
          e
          
            1
          
        
        +
        
          (
          
            
              e
              
                1
              
            
            −
            
              e
              
                3
              
            
          
          )
        
        
          
            
              
                
                  c
                  n
                
                
                  2
                
              
              w
            
            
              
                
                  s
                  n
                
                
                  2
                
              
              w
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta =\wp (\phi -\phi _{0})=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {cn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}}
  

这里
  
    
      
        w
        =
        (
        ϕ
        −
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
        
          
            
              e
              
                1
              
            
            −
            
              e
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle w=(\phi -\phi _{0}){\sqrt {e_{1}-e_{3}}}}
  
，并且椭圆积分的模数为

  
    
      
        k
        =
        
          
            
              
                
                  e
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  e
                  
                    3
                  
                
              
              
                
                  e
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  e
                  
                    3
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}
  

在e2趋于e1的极限下，模数趋于1，而
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
趋于
  
    
      
        n
        (
        φ
        −
        
          φ
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle n(\varphi -\varphi _{0})}
  
。这样选择
  
    
      
        
          φ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{0}}
  
的值为
  
    
      
        i
        
          k
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle ik^{\prime }}
  
（四分之一周期）就可以得到上面的渐近圆轨道。


= 衰减轨道 =
当
  
    
      
        
          φ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{0}}
  
等于
  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{1}}
  
（或其他实数）时，
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
的实根有性质
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
总不小于e1，这使得轨道方程

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  ζ
                
                
                  d
                  φ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        4
        
          ζ
          
            3
          
        
        −
        
          g
          
            2
          
        
        ζ
        −
        
          g
          
            3
          
        
        =
        4
        
          (
          
            ζ
            −
            
              e
              
                1
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            ζ
            −
            
              e
              
                2
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            ζ
            −
            
              e
              
                3
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right)}
  

对于所有大于e1的
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
值都是正的，并且
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
可以无限制增长，这对应着粒子轨道逐渐向
  
    
      
        r
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r=0}
  
处衰减。


对测地线方程解的修正 根据广义相对论，两个互相绕转的质量例如双星系统会发出引力辐射，由引力辐射携带的能量会让它们的轨道稍微偏离测地线方程所得到的结果。关于这一问题的最著名间接验证是由拉塞尔·赫尔斯和约瑟夫·泰勒对一个脉冲双星PSR B1913+16的观测，两人因此获得1993年的诺贝尔物理学奖。系统内的两颗中子星距离非常接近，且绕转速度非常之快，测量到的一个周期时长大约仅为465分钟。两颗中子星的轨道是高度椭圆的，偏心率达到0.62。按照广义相对论的预言，这样短的轨道周期和高度的偏心轨道使得这个双星系统成为一个非常好的引力波源，通过引力辐射损失的能量使轨道逐渐衰减，轨道周期逐渐变短。通过长达三十年的实验观测，即使是在可以达到的最精确的测量下轨道周期的降低和广义相对论的预言仍符合得相当好。广义相对论还预言，再过三亿年后这两颗恒星最终会碰撞到一起。
开普勒问题中因引力辐射导致的能量和角动量的损耗公式已经通过计算得到，在一个完整的轨道周期内取平均下的能量变化率为

  
    
      
        −
        ⟨
        
          
            
              d
              E
            
            
              d
              t
            
          
        
        ⟩
        =
        
          
            
              32
              
                G
                
                  4
                
              
              
                m
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              
                m
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              
                (
                
                  
                    m
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
            
              5
              
                c
                
                  5
                
              
              
                a
                
                  5
                
              
              
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      e
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  7
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                73
                24
              
            
            
              e
              
                2
              
            
            +
            
              
                37
                96
              
            
            
              e
              
                4
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle -\langle {\frac {dE}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)}
  

这里e是椭圆轨道的偏心率，a是半长轴。方程左边的角括号表示是在一个轨道周期内取平均值。类似的，角动量的平均变化率为

  
    
      
        −
        ⟨
        
          
            
              d
              
                L
                
                  z
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        ⟩
        =
        
          
            
              32
              
                G
                
                  7
                  
                    /
                  
                  2
                
              
              
                m
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              
                m
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    m
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              5
              
                c
                
                  5
                
              
              
                a
                
                  7
                  
                    /
                  
                  2
                
              
              
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      e
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                7
                8
              
            
            
              e
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle -\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)}
  

週期減少率
  
    
      
        
          P
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{b}}
  
為

  
    
      
        −
        
          
            ⟨
          
        
        
          
            
              d
              
                P
                
                  b
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
          
            ⟩
          
        
        =
        
          
            
              192
              
                G
                
                  5
                  
                    /
                  
                  3
                
              
              
                m
                
                  1
                
              
              
                m
                
                  2
                
              
              
                
                  (
                  
                    
                      m
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      m
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  −
                  1
                  
                    /
                  
                  3
                
              
            
            
              5
              
                c
                
                  5
                
              
              
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      e
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  7
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                73
                24
              
            
            
              e
              
                2
              
            
            +
            
              
                37
                96
              
            
            
              e
              
                4
              
            
          
          )
        
        (
        
          
            
              P
              
                b
              
            
            
              2
              π
            
          
        
        
          )
          
            −
            5
            
              /
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\Bigl \langle }{\frac {dP_{b}}{dt}}{\Bigr \rangle }={\frac {192G^{5/3}m_{1}m_{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)^{-1/3}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)({\frac {P_{b}}{2\pi }})^{-5/3}}
  

轨道的偏心率越接近于1，即椭圆轨道形狀越瘦长时，能量和角动量的损耗就越快；而半长轴越短轨道的衰减也越快


轨道方程的理论力学推导 = 哈密顿-雅可比方法 =
开普勒运动的轨道方程也可以通过哈密顿-雅可比方程推导出。这种方法的好处是它可以将一个粒子的运动等价于一束波的传播，这就很容易进而通过费马原理推导出光线在引力场中的偏折公式。这种方法的解释是，由于引力场的延时效应，一束波的波前靠近中心质量
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
的部分要比远离中心质量的部分运动得慢，这就导致了波前传播方向的改变。
使用一般的协变性，一个粒子在任意坐标下的哈密顿-雅可比方程可以表示为

  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              
                x
                
                  μ
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              
                x
                
                  ν
                
              
            
          
        
        =
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle g^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=m^{2}c^{2}.}
  

特别地，在史瓦西度规下

  
    
      
        
          
            1
            
              
                c
                
                  2
                
              
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    
                      
                        r
                        
                          s
                        
                      
                      r
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  S
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  S
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  S
                
                
                  ∂
                  φ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }}\right)^{2}=m^{2}c^{2}}
  

这里我们仍然选取了轨道平面位于
  
    
      
        θ
        =
        π
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \theta =\pi /2}
  
的球坐标系。假设哈密顿主函数
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
是可分离变量的，则其应具有如下形式：

  
    
      
        S
        =
        −
        E
        t
        +
        L
        φ
        +
        
          S
          
            r
          
        
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle S=-Et+L\varphi +S_{r}(r)}
  

这里
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
和
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
分别是粒子的能量和角动量。从哈密顿-雅可比方程可以得到哈密顿主函数径向分量
  
    
      
        
          S
          
            r
          
        
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle S_{r}(r)}
  
的积分解：

  
    
      
        
          S
          
            r
          
        
        (
        r
        )
        =
        ∫
        
          
            
              L
              d
              r
            
            
              1
              −
              
                
                  
                    r
                    
                      s
                    
                  
                  r
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                1
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
            
            −
            
              (
              
                1
                −
                
                  
                    
                      r
                      
                        s
                      
                    
                    r
                  
                
              
              )
            
            
              (
              
                
                  
                    1
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    
                      r
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle S_{r}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}.}
  

对这个主函数求偏导数：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              L
            
          
        
        =
        φ
        +
        
          
            
              ∂
              
                S
                
                  r
                
              
            
            
              ∂
              L
            
          
        
        =
        
          c
          o
          n
          s
          t
          a
          n
          t
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial L}}=\varphi +{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}=\mathrm {constant} }
  

将满足上面得到的轨道方程

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  φ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              r
              
                4
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              
                
                  r
                  
                    4
                  
                
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              r
              
                2
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right).}
  

这种方法也可以精緻地推导出轨道的进动率。
在质量趋于零（或
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
趋于无穷大）时，哈密顿主函数简化作下面的形式：

  
    
      
        
          S
          
            r
          
        
        (
        r
        )
        =
        
          
            E
            c
          
        
        ∫
        d
        r
        
          
            
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      r
                      −
                      
                        r
                        
                          s
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  r
                  
                    (
                    
                      r
                      −
                      
                        r
                        
                          s
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{r}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{2}}{\left(r-r_{s}\right)^{2}}}-{\frac {b^{2}}{r\left(r-r_{s}\right)}}}}}
  

从这个公式可以导出光线在引力场中的偏振公式。


= 拉格朗日方法 =
在广义相对论中，无质量粒子在时空中的运动轨迹是测地线，这是等效原理的要求。从最小作用量原理的观点来看，测地线长度的变分为零，即：

  
    
      
        0
        =
        δ
        s
        =
        δ
        ∫
        d
        s
        =
        δ
        ∫
        
          
            
              g
              
                μ
                ν
              
            
            
              
                
                  d
                  
                    x
                    
                      μ
                    
                  
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
            
              
                
                  d
                  
                    x
                    
                      ν
                    
                  
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
          
        
        d
        τ
        =
        δ
        ∫
        
          
            2
            T
          
        
        d
        τ
      
    
    {\displaystyle 0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau }
  

这里
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
是固有时，
  
    
      
        s
        =
        c
        τ
      
    
    {\displaystyle s=c\tau }
  
是测地线在时空中的弧长。
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
在这里的定义是

  
    
      
        2
        T
        =
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  s
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  μ
                
              
            
            
              d
              τ
            
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  ν
                
              
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  t
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              1
              −
              
                
                  
                    r
                    
                      s
                    
                  
                  r
                
              
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  φ
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2}}
  

其物理意义类似于经典力学中的动能。如果将时空坐标的四维分量对固有时的导数写成

  
    
      
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            μ
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                x
                
                  μ
                
              
            
            
              d
              τ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}
  

则
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
可以写成

  
    
      
        2
        T
        =
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  t
                  ˙
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              1
              −
              
                
                  
                    r
                    
                      s
                    
                  
                  r
                
              
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  r
                  ˙
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  φ
                  ˙
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}}
  

常数因数的引入对变分问题的结果不会造成影响，因此在积分内取变分仍满足哈密顿原理：

  
    
      
        0
        =
        δ
        ∫
        
          
            2
            T
          
        
        d
        τ
        =
        ∫
        
          
            
              δ
              T
            
            
              2
              T
            
          
        
        d
        τ
        =
        
          
            1
            c
          
        
        δ
        ∫
        T
        d
        τ
        .
      
    
    {\displaystyle 0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .}
  

从拉格朗日方程可以得到变分问题的解

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              τ
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                T
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    σ
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              ∂
              T
            
            
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.}
  

对变量
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
和
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
应用，可得到两个守恒量：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              τ
            
          
        
        
          [
          
            
              r
              
                2
              
            
            
              
                
                  d
                  φ
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
          
          ]
        
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,}
  

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              τ
            
          
        
        
          [
          
            
              (
              
                1
                −
                
                  
                    
                      r
                      
                        s
                      
                    
                    r
                  
                
              
              )
            
            
              
                
                  d
                  t
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
          
          ]
        
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0,}
  

进一步可写成
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
和
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的方程：

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        
          
            L
            m
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}
  

  
    
      
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        
          
            E
            
              m
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}
  

这也是上面看到的从史瓦西度规直接得到的结果。


= 哈密顿原理 =
只受到引力作用的粒子的作用量为

  
    
      
        S
        =
        ∫
        
          −
          m
          
            c
            
              2
            
          
          d
          τ
        
        =
        −
        m
        c
        ∫
        
          c
          
            
              
                d
                τ
              
              
                d
                q
              
            
          
          d
          q
        
        =
        −
        m
        c
        ∫
        
          
            
              
                g
                
                  μ
                  ν
                
              
              
                
                  
                    d
                    
                      x
                      
                        μ
                      
                    
                  
                  
                    d
                    q
                  
                
              
              
                
                  
                    d
                    
                      x
                      
                        ν
                      
                    
                  
                  
                    d
                    q
                  
                
              
            
          
          d
          q
        
      
    
    {\displaystyle S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}}}dq}}
  

其中
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
是任意能够将粒子的世界线可微化的参数，对这个作用量使用变分法就可以得到测地线方程。不过如果我们对被积函数的平方求变分过程会更简单，根据度规这个平方的形式为

  
    
      
        
          
            (
            
              c
              
                
                  
                    d
                    τ
                  
                  
                    d
                    q
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  μ
                
              
            
            
              d
              q
            
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  ν
                
              
            
            
              d
              q
            
          
        
        =
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  t
                
                
                  d
                  q
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              1
              −
              
                
                  
                    r
                    
                      s
                    
                  
                  r
                
              
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  q
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  φ
                
                
                  d
                  q
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}}
  

取变分

  
    
      
        δ
        
          
            (
            
              c
              
                
                  
                    d
                    τ
                  
                  
                    d
                    q
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        2
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            
              d
              τ
            
            
              d
              q
            
          
        
        δ
        
          
            
              d
              τ
            
            
              d
              q
            
          
        
        =
        δ
        
          [
          
            
              (
              
                1
                −
                
                  
                    
                      r
                      
                        s
                      
                    
                    r
                  
                
              
              )
            
            
              c
              
                2
              
            
            
              
                (
                
                  
                    
                      d
                      t
                    
                    
                      d
                      q
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            −
            
              
                1
                
                  1
                  −
                  
                    
                      
                        r
                        
                          s
                        
                      
                      r
                    
                  
                
              
            
            
              
                (
                
                  
                    
                      d
                      r
                    
                    
                      d
                      q
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            −
            
              r
              
                2
              
            
            
              
                (
                
                  
                    
                      d
                      φ
                    
                    
                      d
                      q
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right]}
  

如果我们只对
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
取变分可得

  
    
      
        2
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            
              d
              τ
            
            
              d
              q
            
          
        
        δ
        
          
            
              d
              τ
            
            
              d
              q
            
          
        
        =
        −
        2
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              q
            
          
        
        δ
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              q
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{2}{\frac {d\varphi }{dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}}
  

两边除以
  
    
      
        2
        c
        
          
            
              d
              τ
            
            
              d
              q
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}
  
就得到了被积函数的变分：

  
    
      
        c
        δ
        
          
            
              d
              τ
            
            
              d
              q
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              r
              
                2
              
            
            c
          
        
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              τ
            
          
        
        δ
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              q
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              r
              
                2
              
            
            c
          
        
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              τ
            
          
        
        
          
            
              d
              δ
              φ
            
            
              d
              q
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}}
  

代入哈密顿原理的方程

  
    
      
        0
        =
        δ
        ∫
        
          c
          
            
              
                d
                τ
              
              
                d
                q
              
            
          
          d
          q
        
        =
        ∫
        
          c
          δ
          
            
              
                d
                τ
              
              
                d
                q
              
            
          
          d
          q
        
        =
        ∫
        
          −
          
            
              
                r
                
                  2
                
              
              c
            
          
          
            
              
                d
                φ
              
              
                d
                τ
              
            
          
          
            
              
                d
                δ
                φ
              
              
                d
                q
              
            
          
          d
          q
        
      
    
    {\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq}}
  

通过分部积分法

  
    
      
        0
        =
        −
        
          
            
              r
              
                2
              
            
            c
          
        
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              τ
            
          
        
        δ
        φ
        −
        ∫
        
          
            
              d
              
                d
                q
              
            
          
          
            [
            
              −
              
                
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  c
                
              
              
                
                  
                    d
                    φ
                  
                  
                    d
                    τ
                  
                
              
            
            ]
          
          δ
          φ
          d
          q
        
      
    
    {\displaystyle 0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}}
  

在端点处纬度的变分为零，因此等式右边第一项为零；对于第二项，由于
  
    
      
        δ
        φ
      
    
    {\displaystyle \delta \varphi }
  
可以任意取值，只有当被积函数的另一部分处处为零时才能保证等式右边为零，因此得到运动方程：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              q
            
          
        
        
          [
          
            −
            
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                c
              
            
            
              
                
                  d
                  φ
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
          
          ]
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0}
  

如果我们只对
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
取变分可得

  
    
      
        2
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            
              d
              τ
            
            
              d
              q
            
          
        
        δ
        
          
            
              d
              τ
            
            
              d
              q
            
          
        
        =
        2
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              q
            
          
        
        δ
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              q
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}}}
  

类似地，两边除以
  
    
      
        2
        c
        
          
            
              d
              τ
            
            
              d
              q
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}
  
得到被积函数的变分：

  
    
      
        c
        δ
        
          
            
              d
              τ
            
            
              d
              q
            
          
        
        =
        c
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              τ
            
          
        
        δ
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              q
            
          
        
        =
        c
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              τ
            
          
        
        
          
            
              d
              δ
              t
            
            
              d
              q
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}}
  

根据哈密顿原理

  
    
      
        0
        =
        δ
        ∫
        
          c
          
            
              
                d
                τ
              
              
                d
                q
              
            
          
          d
          q
        
        =
        ∫
        
          c
          
            (
            
              1
              −
              
                
                  
                    r
                    
                      s
                    
                  
                  r
                
              
            
            )
          
          
            
              
                d
                t
              
              
                d
                τ
              
            
          
          
            
              
                d
                δ
                t
              
              
                d
                q
              
            
          
          d
          q
        
      
    
    {\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}}
  

分部积分

  
    
      
        0
        =
        c
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              τ
            
          
        
        δ
        t
        −
        ∫
        
          
            
              d
              
                d
                q
              
            
          
          
            [
            
              c
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    
                      
                        r
                        
                          s
                        
                      
                      r
                    
                  
                
                )
              
              
                
                  
                    d
                    t
                  
                  
                    d
                    τ
                  
                
              
            
            ]
          
          δ
          t
          d
          q
        
      
    
    {\displaystyle 0=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq}}
  

得到运动方程

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              q
            
          
        
        
          [
          
            c
            
              (
              
                1
                −
                
                  
                    
                      r
                      
                        s
                      
                    
                    r
                  
                
              
              )
            
            
              
                
                  d
                  t
                
                
                  d
                  τ
                
              
            
          
          ]
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0}
  

对这两个方程积分并指定积分常数就可以得到上面关于守恒量的方程

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        
          
            L
            m
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}
  

  
    
      
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        
          
            E
            
              m
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}
  

对于能量和角动量是常数的系统，这两个方程可以合并为一个并且对光子这样的无质量粒子同样成立，此时沿着所描述的测地线的固有时总为零。

  
    
      
        
          
            
              r
              
                2
              
            
            
              b
              c
            
          
        
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              r
              
                s
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {r^{2}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{s}}{r}}}
  


参见 开普勒问题
史瓦西度规
广义相对论的实验验证
拉普拉斯-龍格-冷次向量
朗伯W函数


註釋 参考文献 = 期刊文章 =
Hagihara, Y. Theory of the relativistic trajectories in a gravitational field of Schwarzschild. Japanese Journal of Astronomy and Geophysics. 1931, 8: 67–176. ISSN 0368-346X.