李群（英語：Lie group，/ˈliː/）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用與微分结构相容。李群的名字源於挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893年，法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。
粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模，就像有限群被用于伽罗瓦理论对代数方程的离散对称性建模一样。


总览 李群是光滑可微流形，因而可以用微分学来研究，这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象，也即群本身，而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”，而后来以“李代数”为人熟知。
李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克莱因在他的爱尔兰根纲领中认为，可以通过选定适当的保持某种几何性质不变的变换群来考察各种“几何”。例如，欧氏几何对应于欧式空间R3中保距变换构成的欧几里得群E(3)；共形几何对应于把群扩大到共形群；而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念，其中G是流形"局部"对称性形成的李群。
李群（以及与之关联的李代数）在现代物理学中起到了重要作用，并通常扮演了物理系统中的对称性。这里，李群表示或相应的李代数表示尤为重要。 表示理论在粒子物理中被频繁使用。一些具有较为重要的表示的群包括旋转群SO(3)（或其双覆盖特殊酉群SU(2))，特殊酉群SU(3)以及庞加莱群。


定义与样例 G
      
    
    {\displaystyle G}
  
为有限维实解析流形
两个解析映射，二元运算
  
    
      
        G
        ×
        

        
        G
        →
        

        
        G
      
    
    {\displaystyle G\times {}G\rightarrow {}G}
  
，和逆映射
  
    
      
        G
        →
        

        
        G
      
    
    {\displaystyle G\rightarrow {}G}
  
满足群公理，从而具有群结构。
实李群是一个满足下列条件的群：它也是一个有限维实光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性

  
    
      
        μ
        :
        G
        ×
        G
        →
        G
        
        μ
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        x
        y
      
    
    {\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}
  

意味着
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
是一个从积流形
  
    
      
        G
        ×
        G
      
    
    {\displaystyle G\times G}
  
到
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的光滑映射。这两个条件可以合并成一条，即映射

  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
        ↦
        
          x
          
            −
            1
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}
  

是一个从积流形
  
    
      
        G
        ×
        G
      
    
    {\displaystyle G\times G}
  
到
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的光滑映射。


= 初步的样例 =
所有
  
    
      
        2
        ×
        2
      
    
    {\displaystyle 2\times 2}
  
实可逆矩阵构成了一个乘法群，记作
  
    
      
        G
        L
        (
        2
        ,
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}
  
或
  
    
      
        G
        
          L
          
            2
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle GL_{2}(\mathbb {R} )}
  
:

  
    
      
        GL
        ⁡
        (
        2
        ,
        
          R
        
        )
        =
        
          {
          
            A
            =
            
              
                (
                
                  
                    
                      a
                    
                    
                      b
                    
                  
                  
                    
                      c
                    
                    
                      d
                    
                  
                
                )
              
            
            :
            det
            A
            =
            a
            d
            −
            b
            c
            =
            0
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}
  

这是一个非紧致的四维实李群；它是
  
    
      
        
          
            
              R
            
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {\mathbb {R} } ^{4}}
  
的一个开子集。这个群是非连通的；它有两个连通分量，对应于行列式的正负两种情况。
旋转矩阵构成了
  
    
      
        G
        L
        (
        2
        ,
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle GL(2,\mathbf {R} )}
  
的一个子群，记为
  
    
      
        S
        O
        (
        2
        ,
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle SO(2,\mathbf {R} )}
  
。它自己本身也是一个李群：具体地说，它是一个与圆微分同胚的一维紧致连通李群。使用旋转角
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 作为参数，这个群可以被参数化为如下形式：

  
    
      
        SO
        ⁡
        (
        2
        ,
        
          R
        
        )
        =
        
          {
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      cos
                      ⁡
                      φ
                    
                    
                      −
                      sin
                      ⁡
                      φ
                    
                  
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      φ
                    
                    
                      cos
                      ⁡
                      φ
                    
                  
                
                )
              
            
            :
            φ
            ∈
            
              R
            
            
              /
            
            2
            π
            
              Z
            
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.}
  

其中，角度的加法对应于
  
    
      
        S
        O
        (
        2
        ,
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle SO(2,\mathbf {R} )}
  
中元素的乘法，角度的相反数对应于逆元。因此，乘法和求逆操作也都是可微映射。
一维仿射群是一类二维上三角阵组成的李群，其中第一个对角线上的元素为正，第二个对角线上的元素为1。因此，该群包含了如下形式的矩阵：

  
    
      
        A
        =
        
          (
          
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
          
          )
        
        ,
        
        a
        >
        0
        ,
        
        b
        ∈
        
          R
        
        .
      
    
    {\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}
  


= 反例 =
现在我们给出一个群的例子，它拥有不可数的元素，并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群：

  
    
      
        H
        =
        
          {
          
            
              
              
                (
                
                  
                    
                      
                        
                          e
                          
                            2
                            π
                            i
                            θ
                          
                        
                      
                      
                        0
                      
                    
                    
                      
                        0
                      
                      
                        
                          e
                          
                            2
                            π
                            i
                            a
                            θ
                          
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              |
            
            θ
            ∈
            
              R
            
          
          }
        
        ⊂
        
          
            T
          
          
            2
          
        
        =
        
          {
          
            
              
              
                (
                
                  
                    
                      
                        
                          e
                          
                            2
                            π
                            i
                            θ
                          
                        
                      
                      
                        0
                      
                    
                    
                      
                        0
                      
                      
                        
                          e
                          
                            2
                            π
                            i
                            ϕ
                          
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              |
            
            θ
            ,
            ϕ
            ∈
            
              R
            
          
          }
        
        ,
      
    
    {\displaystyle H=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right)\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right)\right|\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}
  

其中
  
    
      
        a
        ∈
        
          P
        
        =
        
          R
        
        ∖
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle a\in \mathbb {P} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
  
是一个固定的无理数。这是一个环面 
  
    
      
        
          
            T
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}
  
 的子群，它在子空间拓扑下不是李群。比如说，如果我们取
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
中的一个点
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
的任意小邻域
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
，那么
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
在 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
中的部分是不连通的。群
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
在环面上反复缠绕，形成了一个
  
    
      
        
          
            T
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}
  
的稠密子群。
另一方面，我们可以给群
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
指定另一个拓扑，使得两点
  
    
      
        
          h
          
            1
          
        
        ,
        
          h
          
            2
          
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}
  
之间的距离被定义为群H中连结 
  
    
      
        
          h
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{1}}
  
和
  
    
      
        
          h
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{2}}
  
的最短路径长度。在这个拓扑下，
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
通过其元素中对应的
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
与实直线同胚。在这种拓扑下，
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
仅仅是加法意义下的实数群，因此也是李群。
群
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
是李群的一个非闭"李子群"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。


= 矩阵李群 =
用GL(n; C)表示复数域上的n × n可逆矩阵。GL(n, C)的任何闭子群也是一个李群；这类李群被称为矩阵李群。
由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括Hall以及 Rossmann等，这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例：

定义在R和C上的特殊线性群SL(n, R)和SL(n, C)，分别包括了元素属于R或C的、行列式为1的n × n矩阵。
酉群U(n)（以及特殊酉群SU(n)）, 包含了满足
  
    
      
        
          U
          
            ∗
          
        
        =
        
          U
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle U^{*}=U^{-1}}
  
（对于特殊酉群而言，还需满足
  
    
      
        
          d
          e
          t
        
        (
        U
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \mathrm {det} (U)=1}
  
）的n × n复矩阵。
正交群O(n)（以及特殊正交群SO(n)），包含了满足
  
    
      
        
          R
          
            
              T
            
          
        
        =
        
          R
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}
  
 （对于特殊正交群而言，还需满足
  
    
      
        
          d
          e
          t
        
        (
        R
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \mathrm {det} (R)=1}
  
）的n × n实矩阵。
以上列举的群均为经典群。


= 相关概念 =
与实李群相对应，复李群是在复流形上定义的（例如SL(2, C)）。类似地，使用一种Q的度量完备化我们可以在 p-进数上定义p-进数李群，一种满足每个点都有一个p-进数邻域的拓扑群。


更多李群的样例 李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群或代数群（大部分情况下）是由矩阵构成的群（例如正交群和辛群），而这些也是李群最常见的例子。


= 一维李群 =
一维情况下唯二的连通李群是实直线
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
 （其群操作为加法）和由绝对值为1的复数组成的圆群 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}
  
 （其群操作为乘法）。 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}
  
也常被记作
  
    
      
        U
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle U(1)}
  
，即
  
    
      
        1
        ×
        1
      
    
    {\displaystyle 1\times 1}
  
酉群。


= 二维李群 =
在二维情况下，如果我们只考虑简单连通群，那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类，那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
（其群操作为向量加法）以及一维仿射群（在前面的小节"初步的样例"中有介绍）。


解析李群与光滑李群 部份书籍在定义李群时假设了解析性，本条目採相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为
  
    
      
        
          C
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{\infty }}
  
）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价：
定理.任意
  
    
      
        
          C
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{\infty }}
  
李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。


同态和同构 G
        ,
        H
      
    
    {\displaystyle G,H}
  
均为李群，二者之间的一个同态：
  
    
      
        f
        
        :
        G
        →
        H
      
    
    {\displaystyle f\,:G\rightarrow H}
  
为群同态并且是解析映射（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。
两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。


李代数 李代數刻劃了李群在單位元附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。
設
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
為李群，其李代數
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
定義為
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
在單位元的切空間。
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
自然具備了矢量空間結構，
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
上的李括積
  
    
      
        [
        ,
        ]
        :
        
          
            g
          
        
        ×
        
          
            g
          
        
        →
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle [,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
  
定義如下：

定義
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
對自身的伴隨作用為 
  
    
      
        
          A
          d
        
        (
        x
        )
        (
        y
        )
        :=
        x
        y
        
          x
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ad} (x)(y):=xyx^{-1}}
  
，
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        G
      
    
    {\displaystyle x,y\in G}
  
。
取Ad對變元
  
    
      
        y
        ∈
        G
      
    
    {\displaystyle y\in G}
  
在單位元上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為
  
    
      
        
          A
          d
        
        (
        x
        )
        (
        Y
        )
        =
        x
        Y
        
          x
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ad} (x)(Y)=xYx^{-1}}
  
，
  
    
      
        x
        ∈
        G
        ,
        Y
        ∈
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in G,Y\in {\mathfrak {g}}}
  
。
再對變元
  
    
      
        x
        ∈
        G
      
    
    {\displaystyle x\in G}
  
微分，得到映射
  
    
      
        
          a
          d
        
        :
        
          
            g
          
        
        ×
        
          
            g
          
        
        →
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
  
。定義李括積為
  
    
      
        [
        X
        ,
        Y
        ]
        :=
        
          a
          d
        
        (
        X
        )
        (
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle [X,Y]:=\mathrm {ad} (X)(Y)}
  
。
不難驗證
  
    
      
        [
        ,
        ]
      
    
    {\displaystyle [,]}
  
滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
是交換群若且唯若
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
是交換李代數。
李括積也可以用左不變矢量場及泊松括號定義，或者取定局部坐標，用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。


李群對應李代數 若
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
是李群，
  
    
      
        H
        ⊂
        G
      
    
    {\displaystyle H\subset G}
  
是其子群，並帶有李群結構，使得包含映射
  
    
      
        H
        →
        G
      
    
    {\displaystyle H\to G}
  
為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數
  
    
      
        
          
            h
          
        
        ⊂
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}
  
。反之，任意子李代數
  
    
      
        
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {h}}}
  
透過左平移定義了
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
上的葉狀結構，取含單位元的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群
  
    
      
        H
        ⊂
        G
      
    
    {\displaystyle H\subset G}
  
。此子群未必是閉子群，它可能是
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的稠密子集（考慮環面的例子）。
李代數的映射
  
    
      
        
          
            
              g
            
          
          
            1
          
        
        →
        
          
            
              g
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}}
  
未必能提昇至李群的映射
  
    
      
        
          G
          
            1
          
        
        →
        
          G
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{1}\to G_{2}}
  
，但可提昇至映射
  
    
      
        
          
            
              
                G
                ~
              
            
          
          
            1
          
        
        →
        
          G
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {G}}_{1}\to G_{2}}
  
，其中
  
    
      
        
          
            
              
                G
                ~
              
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {G}}_{1}}
  
是
  
    
      
        
          G
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{1}}
  
的萬有覆疊空間。


指數映射 對於任意矢量
  
    
      
        X
        →
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle X\to {\mathfrak {g}}}
  
，根據常微分方程式的基本理論，存在
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
中的單參數子群
  
    
      
        
          c
          
            X
          
        
        (
        t
        )
        ,
        
          c
          
            X
          
        
        (
        0
        )
        =
        e
      
    
    {\displaystyle c_{X}(t),c_{X}(0)=e}
  
使得
  
    
      
        
          c
          
            X
          
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        
          c
          
            X
          
        
        (
        t
        )
        ⋅
        X
      
    
    {\displaystyle c_{X}'(t)=c_{X}(t)\cdot X}
  
。由此得到的映射

  
    
      
        
          e
          x
          p
        
        :
        
          
            g
          
        
        →
        G
      
    
    {\displaystyle \mathrm {exp} :{\mathfrak {g}}\to G}
  

  
    
      
        X
        ↦
        
          c
          
            X
          
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle X\mapsto c_{X}(1)}
  

稱為指數映射。它總是解析映射。
若
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
為
  
    
      
        
          G
          L
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {GL} (n)}
  
的子群，則
  
    
      
        
          e
          x
          p
        
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              X
              
                i
              
            
            
              i
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {exp} (X)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}}
  
，這是指數映射一詞的緣由。
當
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
連通且非交換時，指數映射
  
    
      
        
          
            g
          
        
        →
        G
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}
  
並非同態；局部上，
  
    
      
        
          e
          x
          p
        
        (
        X
        )
        
          e
          x
          p
        
        (
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {exp} (X)\mathrm {exp} (Y)}
  
可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。


一般體上的李群 在任意體、環乃至於概形上，都可以定義群概形；這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義，然而李群未必是代數簇。
另一方面，若域
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
對某個絕對值是完備域，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義體
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是
  
    
      
        F
        =
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle F=\mathbb {C} }
  
；至於數論方面，特別涉及自守表示的研究上，則須用到
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
為p進數體的情形。


參考條目 李型群


参考文献 = 引用 =


= 来源 =