泛函分析中，得名于斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数（或非阿基米德完备赋范域）上的结合代数A，同时也是巴拿赫空间，即在范数导出的度量中完备的赋范空间。范数要满足

  
    
      
        ‖
        x
        
        y
        ‖
         
        ≤
        ‖
        x
        ‖
        
        ‖
        y
        ‖
        
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        A
        .
      
    
    {\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad \forall x,y\in A.}
  

这确保了乘法运算连续。
若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元，则称其是含幺的（unital）。若其乘法是可交换的，则称其可交换。任意巴拿赫代数A（无论有无单位元）都可等距同构地嵌入含幺巴拿赫代数
  
    
      
        
          A
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{e}}
  
，从而形成
  
    
      
        
          A
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{e}}
  
的闭理想。通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的：因为可以先考虑
  
    
      
        
          A
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{e}}
  
，再在原始代数中应用结果，来发展许多理论。不过并非总如此，例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数。
实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数，例如非平凡复巴拿赫代数中元素的谱不会是空的，而实巴拿赫代数中，某些元素的谱可能是空的。
巴拿赫代数也可以定义在P进数域上。这是P进数分析的一部分。


例子 巴拿赫代数的典型例子是
  
    
      
        
          C
          
            0
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle C_{0}(X)}
  
，即定义在局部紧豪斯多夫空间X上在无穷远处消失的（复值）连续函数空间。当且仅当X是紧空间，
  
    
      
        
          C
          
            0
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle C_{0}(X)}
  
含幺。共轭复数是对合，因此
  
    
      
        
          C
          
            0
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle C_{0}(X)}
  
实际上是C*-代数。更一般地说，C*-代数都是巴拿赫代数。

实数（或复数）集是巴拿赫代数，范数为绝对值。
若给所有实数或复数n阶方阵集合配备服从乘法范数，就成为含幺巴拿赫代数。
取巴拿赫空间
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
（或
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
  
），范数为
  
    
      
        ‖
        x
        ‖
        =
        
          max
          

          
        
        
          |
        
        
          x
          
            i
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}
  
，并定义乘法分量形式：
  
    
      
        
          (
          
            
              x
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              x
              
                n
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              y
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              y
              
                n
              
            
          
          )
        
        =
        
          (
          
            
              x
              
                1
              
            
            
              y
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              x
              
                n
              
            
            
              y
              
                n
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}
  

四元数形成了4维实巴拿赫代数，范数为四元数的绝对值。
定义在某集合（具有逐点乘和上确范数）上的有界实值或复值函数的代数是含幺巴拿赫代数。
某局部紧空间（具有逐点乘和上确范数）上的有界连续实值或复值函数的代数是巴拿赫代数。
巴拿赫空间E（以函数复合为乘法，以算子范数为范数）上的连续线性算子的代数是含幺巴拿赫代数。E上所有紧算子的集合是巴拿赫代数，也是闭理想。若
  
    
      
        dim
        ⁡
        E
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \dim E=\infty }
  
，则没有单位元。
若G是局部紧豪斯多夫拓扑群，
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
是其哈尔测度，则G上所有
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
可积函数的巴拿赫空间
  
    
      
        
          L
          
            1
          
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle L^{1}(G)}
  
在卷积
  
    
      
        x
        y
        (
        g
        )
        =
        ∫
        x
        (
        h
        )
        y
        
          (
          
            
              h
              
                −
                1
              
            
            g
          
          )
        
        d
        μ
        (
        h
        )
        ,
         
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        
          L
          
            1
          
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h),\ \forall x,y\in L^{1}(G)}
  
下成为巴拿赫代数。
一致代数：巴拿赫代数，是复代数
  
    
      
        C
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle C(X)}
  
的子代数，具有上确范数，包含常数并分离了X的点（必须是紧豪斯多夫空间）。
自然巴拿赫函数代数：一致代数，其所有特征都在X的点上取值。
C*-代数：某希尔伯特空间上有界算子的代数的闭*-子代数，是巴拿赫代数。
测度代数：包含某局部紧群上所有拉东测度的巴拿赫代数，测度之积由卷积给出。
四元数代数
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {H} }
  
是实巴拿赫代数，不是复代数，因为四元数的中心是实数。
仿射体代数（affinoid algebra）是非阿基米德域上的一种巴拿赫代数，是刚性解析几何的基本构件。


性质 一些由幂级数定义的初等函数可在任意含幺巴拿赫代数中定义，如指数函数和三角函数，及更一般的任意整函数（特别地，指数映射可用于定义抽象索引群）。几何级数公式在一般含幺巴拿赫代数中仍有效。二项式定理对巴拿赫代数中两个交换元也成立。
任何含幺巴拿赫代数中的可逆元集合都是开集，其上的逆运算是连续的（因此是同胚），所以形成了乘法下的拓扑群。
若巴拿赫代数有幺元
  
    
      
        
          1
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {1} }
  
，则
  
    
      
        
          1
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {1} }
  
不可能是交换子；即
  
    
      
        x
        y
        −
        y
        x
        =
        
          1
        
        ,
         
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} ,\ \forall x,y\in A}
  
。这是因为
  
    
      
        x
        y
        ,
         
        y
        x
      
    
    {\displaystyle xy,\ yx}
  
若不是
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
，则具有相同的谱。
上述例子给出的各种函数代数具有与标准代数（如实数）迥异的性质，例如：

是除代数的实巴拿赫代数同构于实数、复数或四元数。因此，只有是除代数的复巴拿赫代数是复形。（这就是盖尔范德-马祖尔定理）
没有零除子的含幺实巴拿赫代数的主理想都是闭的，代数同构于实数、复数与四元数。
没有零除子的交换实含幺诺特巴拿赫代数同构于实数或复数。
交换实含幺诺特巴拿赫代数（可有零除子）是有限维的。
巴拿赫代数中的永久奇异元是零的拓扑除子，也就是说，考虑巴拿赫代数A的扩张B，使一些在给定代数A中奇异的元素，在B中有乘法逆元。A中零的拓扑除子在A的任意巴拿赫扩张B中都是永久奇异的。


谱理论 复数域上的含幺巴拿赫代数为谱理论提供了一个一般环境。元素
  
    
      
        x
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x\in A}
  
的谱记作
  
    
      
        σ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (x)}
  
，包含所有使
  
    
      
        x
        −
        λ
        
          1
        
      
    
    {\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }
  
在A中不可逆的复标量
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
。任意元素x的谱是
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
中半径为
  
    
      
        ‖
        x
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|x\|}
  
、圆心在
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
的闭圆盘的闭子集，于是也是紧的。另外，元素x的谱
  
    
      
        σ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (x)}
  
也非空，满足谱半径公式：

  
    
      
        sup
        {
        
          |
        
        λ
        
          |
        
        :
        λ
        ∈
        σ
        (
        x
        )
        }
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        ‖
        
          x
          
            n
          
        
        
          ‖
          
            1
            
              /
            
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}
  

给定
  
    
      
        x
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x\in A}
  
，全纯函数微积分允许为在
  
    
      
        σ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (x)}
  
的邻域全纯的任意函数f定义
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle f(x)\in A}
  
；此外，谱映射定理成立：

  
    
      
        σ
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        f
        (
        σ
        (
        x
        )
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}
  

若巴拿赫代数A是复巴拿赫空间X上的有界线性算子的代数
  
    
      
        L
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle L(X)}
  
（例如方阵的代数），则A中的谱与算子理论中的谱重合。对
  
    
      
        f
        ∈
        C
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle f\in C(X)}
  
（紧豪斯多夫空间X），可见：

  
    
      
        σ
        (
        f
        )
        =
        {
        f
        (
        t
        )
        :
        t
        ∈
        X
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}
  

C*-代数的正规元素x的范数与谱半径重合，这推广了正规算子的类似事实。
令A为复含幺巴拿赫代数，当中非零元x都可逆（是除代数）。
  
    
      
        ∀
        a
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle \forall a\in A}
  
，都有
  
    
      
        λ
        ∈
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
  
使

  
    
      
        a
        −
        λ
        
          1
        
      
    
    {\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }
  
不可逆（因为a的谱非空），于是
  
    
      
        a
        =
        λ
        
          1
        
        :
      
    
    {\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :}
  
代数A自然同构于
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
（盖尔范德-马祖尔定理的复数情形）。


理想与特征 令A为
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
上的含幺交换巴拿赫代数。由于A是含幺交换环，A的不可逆元属于A的某极大理想。由于极大理想
  
    
      
        
          
            m
          
        
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {m}}\in A}
  
是闭的，
  
    
      
        A
        
          /
        
        
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}
  
是巴拿赫代数且是域，且由盖尔范德-马祖尔定理，A的最大理想集与非零同胚
  
    
      
        A
        →
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle A\to \mathbb {C} }
  
集
  
    
      
        Δ
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta (A)}
  
之间有双射。集合
  
    
      
        Δ
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta (A)}
  
称作A的“结构空间”或“特征空间”，元素为“特征”。
特征
  
    
      
        χ
      
    
    {\displaystyle \chi }
  
是A上的线性泛函，是乘法函数（
  
    
      
        χ
        (
        a
        b
        )
        =
        χ
        (
        a
        )
        χ
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}
  
且满足
  
    
      
        χ
        (
        
          1
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1}
  
。）每个特征都是
  
    
      
        A
        →
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle A\to \mathbb {C} }
  
且自动连续，因为特征的核是最大理想，是闭的；而且范数（即算子范数）为1。装备了A上逐点收敛拓扑（即由
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}}
  
的弱*-拓扑诱导的拓扑）后，特征空间
  
    
      
        Δ
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta (A)}
  
是豪斯多夫紧空间。

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        A
        ,
      
    
    {\displaystyle \forall x\in A,}
  

  
    
      
        σ
        (
        x
        )
        =
        σ
        (
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}
  

q在
  
    
      
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {x}}}
  
是x的盖尔范德表示，定义如下：
  
    
      
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {x}}}
  
是连续函数
  
    
      
        Δ
        (
        A
        )
        →
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \Delta (A)\to \mathbb {C} }
  
，由
  
    
      
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
        (
        χ
        )
        =
        χ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x)}
  
给出。
  
    
      
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {x}}}
  
的谱也是作为紧空间
  
    
      
        Δ
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta (A)}
  
上复连续函数的代数
  
    
      
        C
        (
        Δ
        (
        A
        )
        )
      
    
    {\displaystyle C(\Delta (A))}
  
的元素的谱。显式地写，

  
    
      
        σ
        (
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
        )
        =
        {
        χ
        (
        x
        )
        :
        χ
        ∈
        Δ
        (
        A
        )
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}
  

作为代数，当且仅当含幺交换巴拿赫代数的盖尔范德表示具有平凡核，其是半单的（即其雅各布森根为零）。这种代数的重要例子是交换C*-代数。事实上，若A是交换含幺C*-代数，则其盖尔范德表示是
  
    
      
        A
        ,
         
        C
        (
        Δ
        (
        A
        )
        )
      
    
    {\displaystyle A,\ C(\Delta (A))}
  
间的等距*-同构。


巴拿赫*-代数 巴拿赫*-代数A是复数域上的巴拿赫代数，以及映射
  
    
      
        
          

          
          
            ∗
          
        
        :
        A
        →
        A
      
    
    {\displaystyle {}^{*}:A\to A}
  
，满足如下性质：

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        A
        ,
         
        
          
            (
            
              x
              
                ∗
              
            
            )
          
          
            ∗
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \forall x\in A,\ \left(x^{*}\right)^{*}=x}
  
（于是映射是对合）

  
    
      
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        A
        ,
         
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            ∗
          
        
        =
        
          x
          
            ∗
          
        
        +
        
          y
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}
  

  
    
      
        ∀
        λ
        ∈
        
          C
        
        ,
         
        x
        ∈
        A
        ,
         
        (
        λ
        x
        
          )
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            
              λ
              ¯
            
          
        
        
          x
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\ x\in A,\ (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}
  
，其中
  
    
      
        
          
            
              λ
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {\lambda }}}
  
表示
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
的共轭复数

  
    
      
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        A
        ,
         
        (
        x
        y
        
          )
          
            ∗
          
        
        =
        
          y
          
            ∗
          
        
        
          x
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall x,y\in A,\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
  

也就是说，巴拿赫*-代数是
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
上的巴拿赫代数，也是*-代数。
在大多数自然例子中，还需要对合是等距的，即

  
    
      
        ‖
        
          x
          
            ∗
          
        
        ‖
        =
        ‖
        x
        ‖
        
        
           for all 
        
        x
        ∈
        A
        .
      
    
    {\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}
  

有人把这性质纳入了巴拿赫*-代数的定义。
巴拿赫*-代数满足
  
    
      
        ‖
        
          x
          
            ∗
          
        
        x
        ‖
        =
        ‖
        
          x
          
            ∗
          
        
        ‖
        ‖
        x
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}
  
是C*-代数。


另见 近似单位
卡普兰斯基猜想
算子代数
希洛夫界


注释 参考文献