量子成像（英語：Quantum Imaging，QI），又称鬼成像（英語：Ghost Imaging，GI）、关联成像（英語：Correlated imaging，CI）等，是一种利用光场的二阶或高阶关联获得物体信息的成像方法。量子成像属于非定域成像，其概念起源于20世纪50年代的HB-T实验。继纠缠光量子成像实验之后，陆续有研究者提出了经典光量子成像、无透镜量子成像、计算量子成像、差分量子成像等技术。量子成像技术在光刻、激光雷达、生物组织造影、水下成像等领域都有应用。


历史 = 基础研究 =

20世纪50年代，汉伯里·布朗（英語：R. Hanbury Brown）与特威斯（英語：R. Q. Twiss）进行了HB-T实验，其主要内容是设计了一种干涉仪以解决在基线较长的情况下，射电星角直径的测量问题。这种干涉仪在射电天文学中又被称为强度干涉仪，其大致结构是：来自光源的光被半镀银镜分为两束，分别照射两个光电倍增管的阴极，两管的输出电流经过放大以后在线性混频器中相乘，如此持续运行大约一小时以获得可观测的结果。因此其在形态上类似迈克耳孙干涉仪，但不同点在于，迈克耳孙干涉仪是在检测之前混合两路信号，并且信号在混合之前始终拥有相位信息。这种干涉仪则不然，进行混合的只是两路信号的强度，相位信息在经过光电倍增管之后已经被抹去了。但即便如此，两路信号仍然表现出相干性，这意味着光场的相干性不仅在相位上体现出来，甚至仅仅在强度上也可以体现。文章发表之后，一些物理学家无法在HB-T实验验证中得出显著的相干性，并声称“这种相干性的存在要求对量子力学中一些基本概念进行重大修订”。汉伯里·布朗和特威斯进行了理论推导，并尝试了对天狼星A的观测，最终验证了实验结果的合理性。这个实验将光子符合探测引入光学实验，使得人们认识到光的二阶干涉效应会造成光场的强度关联（相关性）。
1970年，美国国家宇航局电子研究中心的大卫·伯纳姆（英語：David Burnham）与唐纳德·温伯格（英語：Donald Weinberg）在光子计数实验中使用了名叫“自发参量下转换”的非线性光学技术。两人用氦-镉激光器产生325nm激光束泵浦25mm长的磷酸二氢铵（ADP）晶体，测得入射光子转化为相位匹配（入射光子动量和能量等于两出射光子动量和与能量和）的双光子的概率最大。这一技术使得纠缠光子对可以很方便地获得。1985年以后，人们开始注意到自发参量下双光子场的存在，并开始对其进行研究和应用。1988年，苏联学者大卫·尼古拉耶维奇提出了一种用来验证爱因斯坦-波多尔斯基-罗森实验，并证明互补原理的方法，其中设计的一种装置实际上可以作为量子成像设备使用。这种装置进行符合检测的方法是，用两路探测器中的一路是否收到光子，来控制另一路探测的开闭。大卫·尼古拉耶维奇也由此被认为是量子成像方案的提出者。


= 纠缠光量子成像 =

1994年，大卫·尼古拉耶维奇在一篇尝试同时使用经典表述和量子表述解释光的量子性质的论文中，从量子力学的角度阐释了双光子非定域成像的理论基础。1995年，美国马里兰大学的史砚华小组以纠缠双光子作为光源，结合符合测量技术，实现了量子成像。史砚华小组用波长351.1nm的氩离子激光器产生直径2mm的光束作为泵浦源，泵浦被切割成为简并II型相位匹配角的
  
    
      
        
          β
          
            −
          
          
            BaB
            
              2
            
            
              
            
          
          
            O
            
              4
            
            
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ce {\beta-BaB2O4}}}
  
（偏硼酸钡，BBO）晶体，出射两路正交偏振信号。分别将从BBO晶体的e-射线平面和o-射线平面出射的光束称为信号光和闲置光，这两路光的波长均为702.2nm，即泵浦光波长的二倍。混合有未经自发参量下转换的原泵浦光、信号光和闲置光的混合光束经过紫外级熔融石英色散棱镜滤除剩余的波长为351.1nm的原泵浦光，进入作为偏振分束器的汤普森棱镜将信号光和闲置光分开。信号光束照射焦距为400mm的成像凸透镜，透过的光束经过一个简并波长为702.2nm、带宽为83nm的滤光片，再照射在物体（写有“UMBC”字样的光圈）上。经过物体之后，信号光束再通过一个焦距为25mm的收集凸透镜，到达一个直径为0.8mm的干冰冷却雪崩光电二极管D1，这个雪崩光电二极管恰位于收集透镜的焦点上。闲置光束经过另一个同样的滤光片，不经过物体，直接照射在由0.5mm多模光纤尖端上，再到达另一个干冰冷却雪崩二极管D2。两个正交的编码驱动检测器在垂直于光束方向的平面上进行扫描，并将检测器的输出脉冲发送到接收窗口为1.8ns的符合计数器。设成像透镜到收集透镜距离为S，成像透镜到多模光纤尖端距离为S'，成像透镜焦距为f，当三者满足关系式

  
    
      
        
          
            1
            S
          
        
        +
        
          
            1
            
              S
              ′
            
          
        
        =
        
          
            1
            f
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{S}}+{\frac {1}{S'}}={\frac {1}{f}}}
  

时，装置可产生清晰物像。其中符合计数器的原理是，两探测器均有响应时才计数，如果只有一个有响应或都没有响应则不计数。探测器D1没有空间分辨率，D2所在的闲置光（参考光）光路中没有待成像物体，所以两者都不能单独完成物体成像；但处于无物体参考光路的D2探测器经过逐点扫描再与D1结果关联之后得到了物体的像，使得量子成像又被称为“鬼”成像。
1997年，索托·里贝罗（英語：P. H. Souto Ribeiro）小组发现，当自发参量下转换晶体足够薄（在泵浦光传播方向上足够短）时，泵浦光束的角频谱将转化为自发参量下转换过程生成的双光子状态。小组通过将自发参量下转换光束的横向特性与泵浦光束的横向特性联系起来，提出了控制信号光子与闲置光子之间横向空间相关性的方法，实现了对纠缠光子关联性质的调制，使得在不向信号光路和闲置光路添加任何光学器件的情况下，也可以控制符合检测入射光束的横向特性，而不对强度产生影响。


= 经典光量子成像 =
史砚华小组实验验证量子成像之后，经典光是否能实现量子成像在学术界产生了争议。2001年，波士顿大学的艾曼·阿布瓦迪（英語：Ayman F. Abouraddy）小组分别用经典光和纠缠光进行了量子成像实验，之后发表评论称，纠缠光可以成部分相干像或者甚至完全相干像，经典光只能成非相干像；量子成像是纠缠光的特性，其他双光子源并不能模仿。然而，2002年，罗切斯特大学的瑞安·本宁克（英語：Ryan S. Bennink）团队就使用随机扫描激光光源证明了了经典光源也可以进行量子成像。Bennink团队对连续激光束进行斩波，通过随机旋转反射镜产生不同方向的偏转光，再通过分束器来产生经典光源；用桶探测器检测信号光是否未被测试图案遮挡，并记录信号光未被遮挡时CCD拍摄参考光记录下的帧，即用桶探测器门控CCD。实验结果是，未门控时CCD无法拍摄到图案，经过门控之后CCD可以拍摄到测试图案。这证明了，尽管经典光源没有纠缠光源所特有的一些全局性质，但具有一定相关性的经典光源仍然可以通过符合计数产生量子成像现象。
2004年，意大利的路易吉·卢吉亚托小组提出了热光源的量子成像理论方案。在这种方案中，来自热光源的光束被分束器分为两束，后续处理与纠缠光源成像相同，小组通过类比纠缠光源和热光源的成像过程，推断可以使用纯粹的非相干光源（热光源）实现量子成像。2005年，史砚华小组用氦氖激光器产生的激光入射旋转毛玻璃盘产生的赝热光源为光源，发现了非纠缠光源的双光子成像高斯薄透镜方程，实现了量子成像。同年，中科院物理所的吴令安小组实现了真热光的双光子二阶关联，不久后用20mA直流供电、谐振波长780nm的空心阴极灯（铷灯）实现了真热光源量子成像。
尽管已经证明无论经典光源还是纠缠光源都可以进行量子成像，但费里（F. Ferri）小组于2005年发表文章称，成像的分辨率具有一个上限，这个上限只有使用纠缠光源可以达到。这证明，纠缠光源相对经典光源量子成像，具有信息可见性和分辨率更高的优势，这种优势在高精度测量和量子通信领域都有应用。另一方面，热光源更容易生成和测量，但成像的分辨率会更低，背景噪声更强。
2008年，美国麻省理工学院教授杰弗里·夏皮罗使用高斯态光模型理论对量子成像原理进行了统一的解释。


= 无透镜量子成像 =
2004年，韩申生和程静提出可以通过适当选择成像几何形状，用非相干光源实现无透镜傅里叶变换成像。这为非可见光量子成像，如X射线衍射成像，提供了理论上的可行性。2006年，史砚华小组实现了无透镜或其他等效成像系统的赝热光源量子成像，这种方案适合任何波长的辐射作为光源，并且形成图像的过程中不需要任何成像透镜，因此这种方案对于X射线、伽马射线和其他波长光源的成像应用帮助很大。


= 计算量子成像 =

夏皮罗也提出了计算量子成像的理论。与传统量子成像不同，计算量子成像方案仅保留了包含待成像物体的测量光路和桶探测器，通过激光照射空间光调制器产生可调强度、相位等参数的空间调制光场（又称为主动式光源），再根据衍射理论计算得到原参考光路在无透镜量子成像中可以得到的特定位置的光强分布，与测量光场进行符合关联得到图像。这种方案所用的装置可以生成没有背景噪声的图像，其分辨率和成像区域可以通过调整空间光调制器的参数来控制。2009年，以色列科学家B. Sun等人在3D成像实验中验证了计算量子成像的可行性。


= 差分量子成像 =
2010年，意大利学者路易吉·卢贾托等提出差分量子成像（差分鬼成像，英語：Differential Ghost Imaging，DGI）的方案，该方案提高了量子成像信噪比的数量级，大幅提高了量子成像的成像质量，在一些强干扰和背景噪声较大的环境下表现较为良好，但需要大量的测量数据和更复杂的计算。2012年，罗开红及其同事提出一种名为“对应成像”（英語：Correspondence Imaging，CI）的技术，可概述为选择桶探测器在正向或负向的强度波动（正信号与负信号），对对应的参考光路所得的数据进行条件平均，而不是用桶探测器获得的光强与参考光路所得数据直接相乘。2013年，中科院物理研究所吴令安小组提出时间对应差分量子成像，将差分量子成像和对应成像的优点结合起来，降低了数据处理难度，缩短了成像所需的计算时间。


原理 以下尝试分析史砚华小组1995年所做的纠缠光源量子成像实验，简述量子成像的原理。
自发参量下转换过程之后，泵浦光子分裂成为一对信号光子-闲置光子，其能量满足

  
    
      
        
          ω
          
            s
          
        
        =
        
          ω
          
            i
          
        
        =
        
          ω
          
            p
          
        
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \omega _{s}=\omega _{i}=\omega _{p}/2}
  

其中
  
    
      
        
          ω
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{s}}
  
是信号光子的能量，
  
    
      
        
          ω
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{i}}
  
是闲置光子的能量，
  
    
      
        
          ω
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{p}}
  
是泵浦光子的能量，“
  
    
      
        ≅
      
    
    {\displaystyle \cong }
  
”代表近似等于。
双光子的横向位矢和动量EPR
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
函数表达式分别为
  
    
      
        δ
        (
        
          
            
              ρ
              
                s
              
            
            →
          
        
        −
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{i}}})}
  
和
  
    
      
        δ
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})}
  
其中，
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                s
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{s}}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
  
分别是信号光子和闲置光子的位矢，
  
    
      
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {k_{s}}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {k_{i}}}}
  
分别是信号光子和闲置光子的动量。
虽然光子可能从非线性晶体表面的任何一点出射，但
  
    
      
        δ
        (
        
          
            
              ρ
              
                s
              
            
            →
          
        
        −
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{i}}})}
  
表明，如果在某一空间位置找到信号-闲置光子对中的一个光子，则必在对应位置找到另一个光子，即光子对必从同一点出射。
  
    
      
        δ
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})}
  
定义了光子对的角度相关性：
  
    
      
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        =
        −
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {k_{s}}}=-{\overrightarrow {k_{i}}}}
  
，即双光子必在相对出射点大致相等但相反的角度存在。
定义
  
    
      
        
          G
          
            (
            2
            )
          
        
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle G^{(2)}({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})}
  
；
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
  
是物平面和像平面上点的横向位矢。以下将证明，物平面和像平面之间存在一个
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
函数，即存在一种“点对点”的对应关系，若在物平面上
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}}
  
位置找到信号光子，则必在满足
  
    
      
        δ
        (
        
          
            
              ρ
              
                s
              
            
            →
          
        
        −
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
        
          /
        
        m
        )
      
    
    {\displaystyle \delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{i}}}/m)}
  
关系的位置找到闲置光子。
  
    
      
        m
        =
        −
        
          
            
              s
              
                i
              
            
            
              s
              
                o
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m=-{\frac {s_{i}}{s_{o}}}}
  
，是像对物体的放大倍数，其中
  
    
      
        
          s
          
            o
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{o}}
  
是物平面与透镜的光学距离，
  
    
      
        
          s
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{i}}
  
是像平面与透镜的光学距离。
确定
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
函数对应的相关性后，以下展示物函数
  
    
      
        A
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A({\overrightarrow {\rho _{o}}})}
  
如何转到
  
    
      
        A
        (
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
        
          /
        
        m
        )
      
    
    {\displaystyle A({\overrightarrow {\rho _{i}}}/m)}
  
。上图中的一条“光线”实际上表示一对信号-闲置光子。
  
    
      
        (
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (r_{1},t_{1})}
  
和
  
    
      
        (
        
          r
          
            2
          
        
        ,
        
          t
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (r_{2},t_{2})}
  
在物平面和像平面上的对应关系实际上是双光子振幅叠加的结果。
建立格林函数
  
    
      
        g
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        ,
        
          ω
          
            s
          
        
        ,
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            o
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s},{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})}
  
和
  
    
      
        g
        (
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        ,
        
          ω
          
            i
          
        
        ,
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i},{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})}
  
。信号光路和闲置光路的测量方法非常不同，需要分开考虑。


= 信号光路 =
在信号光路，信号光在从源输出到成像透镜的
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}}
  
的距离上自由传播，通过
  
    
      
        
          s
          
            o
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{o}}
  
距离的物光路，到达收集透镜，再聚焦到
  
    
      
        
          D
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{1}}
  
上，光学传递函数为：

  
    
      
        g
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        ,
        
          ω
          
            s
          
        
        ;
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            o
          
        
        =
        
          d
          
            1
          
        
        +
        
          s
          
            o
          
        
        )
        =
        
          e
          
            i
            
              
                
                  ω
                  
                    s
                  
                
                c
              
            
            
              z
              
                o
              
            
          
        
        ×
        
          ∫
          
            l
            e
            n
            s
          
        
        d
        
          
            
              ρ
              
                l
              
            
            →
          
        
        
          ∫
          
            s
            o
            u
            r
            c
            e
          
        
        d
        
          
            
              ρ
              
                s
              
            
            →
          
        
        {
        
          
            
              −
              i
              
                ω
                
                  s
                
              
            
            
              2
              π
              c
              
                d
                
                  1
                
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  k
                  
                    s
                  
                
                →
              
            
            ⋅
            
              
                
                  ρ
                  
                    s
                  
                
                →
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  ω
                  
                    s
                  
                
                
                  2
                  c
                  
                    d
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          s
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          l
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        }
        ×
        
          e
          
            −
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  f
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      ρ
                      
                        l
                      
                    
                    →
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        {
        
          
            
              −
              i
              
                ω
                
                  s
                
              
            
            
              2
              π
              c
              
                s
                
                  o
                
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  ω
                  
                    s
                  
                
                
                  2
                  c
                  
                    s
                    
                      o
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          l
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          o
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s};{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o}=d_{1}+s_{o})=e^{i{\frac {\omega _{s}}{c}}z_{o}}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}\{{\frac {-i\omega _{s}}{2\pi cd_{1}}}e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\{{\frac {-i\omega _{s}}{2\pi cs_{o}}}e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}\}}
  

  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                s
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{s}}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                l
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{l}}}}
  
分别是光源输出平面和成像透镜平面上定义的横向位矢。上式中，前后两个大括号分别代表光子从输出平面到成像透镜平面，和成像透镜平面到物平面的自由空间传播过程。
  
    
      
        
          e
          
            i
            
              
                
                  ω
                  
                    s
                  
                
                
                  2
                  c
                  
                    d
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          s
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          l
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}}
  
和
  
    
      
        
          e
          
            i
            
              
                
                  ω
                  
                    s
                  
                
                
                  2
                  c
                  
                    s
                    
                      o
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          l
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          o
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}}
  
是菲涅尔相位。把成像透镜视为薄透镜，则其变换函数近似为一个高斯函数
  
    
      
        l
        (
        
          |
          
            
              
                ρ
                
                  l
                
              
              →
            
          
          |
        
        ,
        f
        )
        ≅
        
          e
          
            −
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  f
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      ρ
                      
                        l
                      
                    
                    →
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle l(\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ,f)\cong e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}}
  
。


= 闲置光路 =
在闲置光路，闲置光从源输出到成像透镜，整个
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}}
  
距离上都是自由传播的，光学传递函数为：

  
    
      
        g
        (
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        ,
        
          ω
          
            i
          
        
        ;
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        =
        
          d
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            
              −
              i
              
                ω
                
                  i
                
              
            
            
              2
              π
              c
              
                d
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  ω
                  
                    i
                  
                
                c
              
            
            
              d
              
                2
              
            
          
        
        
          ∫
          
            s
            o
            u
            r
            c
            e
          
        
        d
        
          
            
              ρ
              
                s
              
              ′
            
            →
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  ω
                  
                    i
                  
                
                
                  2
                  c
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          s
                        
                        ′
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          2
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  k
                  
                    i
                  
                
                →
              
            
            ⋅
            
              
                
                  ρ
                  
                    s
                  
                  ′
                
                →
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2}=d_{2})={\frac {-i\omega _{i}}{2\pi cd_{2}}}e^{i{\frac {\omega _{i}}{c}}d_{2}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho '_{s}}}e^{i{\frac {\omega _{i}}{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho '_{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{2}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                s
              
              ′
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{2}}}}
  
分别是源平面和
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
光电探测器平面上的横向位矢。


= 全光路（物平面-像平面） =
为简化计算，假设
  
    
      
        
          ω
          
            s
          
        
        =
        
          ω
          
            i
          
        
        =
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega _{s}=\omega _{i}=\omega }
  
，SPDC双光子共线，忽略所有比例常数（因此将
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
替换为
  
    
      
        ∝
      
    
    {\displaystyle \propto }
  
），将
  
    
      
        g
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        ,
        
          ω
          
            s
          
        
        ,
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            o
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s},{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})}
  
和
  
    
      
        g
        (
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        ,
        
          ω
          
            i
          
        
        ,
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i},{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})}
  
代入像平面有效波函数（英語：effective wave function）

  
    
      
        Ψ
        (
        
          
            
              ρ
              
                1
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            1
          
        
        ;
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        
          t
          
            2
          
        
        )
        =
        
          Ψ
          
            o
          
        
        ∫
        d
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        d
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        δ
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
        ∫
        d
        
          
            ω
            
              s
            
          
        
        d
        
          
            ω
            
              i
            
          
        
        δ
        (
        
          
            ω
            
              s
            
          
        
        +
        
          
            ω
            
              i
            
          
        
        −
        
          
            ω
            
              p
            
          
        
        )
        ×
        g
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        ,
        
          ω
          
            s
          
        
        ;
        
          
            
              ρ
              
                1
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
        
          e
          
            −
            i
            
              ω
              
                s
              
            
            
              t
              
                1
              
            
          
        
        g
        (
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        ,
        
          ω
          
            i
          
        
        ;
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
        
          e
          
            −
            i
            
              ω
              
                i
              
            
            
              t
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi ({\overrightarrow {\rho _{1}}},z_{1},t_{1};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2},t_{2})=\Psi _{o}\int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})\int d{\omega _{s}}d{\omega _{i}}\delta ({\omega _{s}}+{\omega _{i}}-{\omega _{p}})\times g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s};{\overrightarrow {\rho _{1}}},z_{1})e^{-i\omega _{s}t_{1}}g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})e^{-i\omega _{i}t_{2}}}
  

可求出双光子有效波函数表达式

  
    
      
        Ψ
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
        )
        ∝
        ∫
        d
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        d
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        δ
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
        g
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        ,
        ω
        ;
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            o
          
        
        )
        g
        (
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        ,
        ω
        ;
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
        ∝
        
          e
          
            i
            
              
                ω
                c
              
            
            (
            
              s
              
                o
              
            
            +
            
              s
              
                i
              
            
            )
          
        
        ∫
        d
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        d
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        δ
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
        ×
        
          ∫
          
            l
            e
            n
            s
          
        
        d
        
          
            
              ρ
              
                l
              
            
            →
          
        
        
          ∫
          
            s
            o
            u
            r
            c
            e
          
        
        d
        
          
            
              ρ
              
                s
              
            
            →
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  k
                  
                    s
                  
                
                →
              
            
            ⋅
            
              
                
                  ρ
                  
                    s
                  
                
                →
              
            
          
        
        
          e
          
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  
                    d
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          s
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          l
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        ×
        
          e
          
            −
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  f
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      ρ
                      
                        l
                      
                    
                    →
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  ω
                  
                    s
                  
                
                
                  2
                  c
                  
                    s
                    
                      o
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          l
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          o
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        ×
        
          ∫
          
            s
            o
            u
            r
            c
            e
          
        
        d
        
          ρ
          
            s
          
          ′
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  k
                  
                    i
                  
                
                →
              
            
            ⋅
            
              
                
                  ρ
                  
                    s
                  
                  ′
                
                →
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  ω
                  
                    i
                  
                
                
                  2
                  c
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          s
                        
                        ′
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          2
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega ;{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega ;{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{{\frac {\omega }{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}\times \int _{source}d\rho '_{s}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}e^{i{\frac {\omega _{i}}{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho '_{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{2}}}\right\vert ^{2}}}
  

完成二重积分

  
    
      
        ∫
        d
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        d
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        δ
        (
        
          
            
              k
              
                s
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              k
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
        
          e
          
            i
            
              
                
                  k
                  
                    s
                  
                
                →
              
            
            ⋅
            
              
                
                  ρ
                  
                    s
                  
                
                →
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                
                  k
                  
                    i
                  
                
                →
              
            
            ⋅
            
              
                
                  ρ
                  
                    s
                  
                  ′
                
                →
              
            
          
        
        ∽
        δ
        (
        
          
            
              ρ
              
                s
              
            
            →
          
        
        −
        
          
            
              ρ
              
                s
              
              ′
            
            →
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}\backsim \delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho '_{s}}})}
  

后，双光子有效波函数表达式变形为

  
    
      
        Ψ
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
        )
        ∝
        
          e
          
            i
            
              
                ω
                c
              
            
            (
            
              s
              
                o
              
            
            +
            
              s
              
                i
              
            
            )
          
        
        ×
        
          ∫
          
            l
            e
            n
            s
          
        
        d
        
          
            
              ρ
              
                l
              
            
            →
          
        
        
          ∫
          
            s
            o
            u
            r
            c
            e
          
        
        d
        
          
            
              ρ
              
                s
              
            
            →
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          2
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          s
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  
                    d
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          s
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          l
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        ×
        
          e
          
            −
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  f
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      ρ
                      
                        l
                      
                    
                    →
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  
                    s
                    
                      o
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          l
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          o
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}e^{i{\frac {\omega }{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{2}}}-{\overrightarrow {\rho _{s}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}}
  

完成对
  
    
      
        d
        
          
            
              ρ
              
                s
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle d{\overrightarrow {\rho _{s}}}}
  
的积分后，可变形为

  
    
      
        Ψ
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
        )
        ∝
        
          e
          
            i
            
              
                ω
                c
              
            
            (
            
              s
              
                o
              
            
            +
            
              s
              
                i
              
            
            )
          
        
        ×
        
          ∫
          
            l
            e
            n
            s
          
        
        d
        
          
            
              ρ
              
                l
              
            
            →
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  
                    s
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          2
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          l
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  f
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      ρ
                      
                        l
                      
                    
                    →
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                  
                    s
                    
                      o
                    
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          l
                        
                      
                      →
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        ρ
                        
                          o
                        
                      
                      →
                    
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{i}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{2}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}}
  

用
  
    
      
        
          s
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{i}}
  
代替
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}+d_{2}}
  
，
  
    
      
        d
        
          
            
              ρ
              
                l
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle d{\overrightarrow {\rho _{l}}}}
  
上的积分在物平面和像平面之间产生的点对点对应关系，由高斯薄透镜方程定义：

  
    
      
        
          ∫
          
            l
            e
            n
            s
          
        
        
          
            
              ρ
              
                l
              
            
            →
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                ω
                
                  2
                  c
                
              
            
            [
            
              
                1
                
                  s
                  
                    o
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  s
                  
                    i
                  
                
              
            
            −
            
              
                1
                f
              
            
            ]
            
              
                |
                
                  
                    
                      ρ
                      
                        l
                      
                    
                    →
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            i
            
              
                ω
                c
              
            
            (
            
              
                
                  
                    ρ
                    
                      o
                    
                  
                  →
                
                
                  s
                  
                    o
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ρ
                    
                      i
                    
                  
                  →
                
                
                  s
                  
                    i
                  
                
              
            
            )
            ⋅
            
              
                
                  ρ
                  
                    l
                  
                
                →
              
            
          
        
        ∼
        δ
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              
                ρ
                
                  i
                
              
              →
            
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{lens}{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{i{\frac {\omega }{2c}}[{\frac {1}{s_{o}}}+{\frac {1}{s_{i}}}-{\frac {1}{f}}]\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{-i{\frac {\omega }{c}}({\frac {\overrightarrow {\rho _{o}}}{s_{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{s_{i}}})\cdot {\overrightarrow {\rho _{l}}}}\sim \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})}
  

用
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{2}}}}
  
等效代替
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
  
，则上式中的积分值趋向无穷大，应用高斯薄透镜方程

  
    
      
        
          
            1
            
              s
              
                i
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              s
              
                o
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            f
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{s_{i}}}+{\frac {1}{s_{o}}}={\frac {1}{f}}}
  

将
  
    
      
        m
        =
        
          
            
              s
              
                i
              
            
            
              s
              
                o
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m={\frac {s_{i}}{s_{o}}}}
  
定义为成像系统放大倍数，
  
    
      
        δ
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              
                ρ
                
                  i
                
              
              →
            
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})}
  
表示物平面上的每一个
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}}
  
与像平面上的每一个
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
  
唯一对应，两向量方向相反，大小比为
  
    
      
        m
        =
        
          
            
              |
              
                
                  
                    ρ
                    
                      i
                    
                  
                  →
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    ρ
                    
                      o
                    
                  
                  →
                
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m={\frac {\left\vert {\overrightarrow {\rho _{i}}}\right\vert }{\left\vert {\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert }}}
  
。
考虑到成像透镜尺寸有限（设半径为R），则积分会产生点扩散函数
  
    
      
        s
        o
        m
        b
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle somb(x)}
  
：

  
    
      
        
          ∫
          
            l
            e
            n
            s
          
        
        d
        
          
            
              ρ
              
                l
              
            
            →
          
        
        
          e
          
            −
            i
            
              
                ω
                c
              
            
            (
            
              
                
                  
                    ρ
                    
                      o
                    
                  
                  →
                
                
                  s
                  
                    o
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ρ
                    
                      i
                    
                  
                  →
                
                
                  s
                  
                    i
                  
                
              
            
            )
            ⋅
            
              
                
                  ρ
                  
                    l
                  
                
                →
              
            
          
        
        ∝
        s
        o
        m
        b
        (
        
          
            R
            
              s
              
                o
              
            
          
        
        
          
            ω
            c
          
        
        [
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              
                ρ
                
                  i
                
              
              →
            
            m
          
        
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{-i{\frac {\omega }{c}}({\frac {\overrightarrow {\rho _{o}}}{s_{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{s_{i}}})\cdot {\overrightarrow {\rho _{l}}}}\propto somb({\frac {R}{s_{o}}}{\frac {\omega }{c}}[{\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}}])}
  

其中
  
    
      
        s
        o
        m
        b
        (
        x
        )
        =
        2
        
          J
          
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle somb(x)=2J_{1}(x)}
  
，
  
    
      
        
          J
          
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle J_{1}(x)}
  
是一阶贝塞尔函数，将物-像平面的点对点关系转化为点对像素关系，限制了成像的空间分辨率。在代入高斯薄透镜方程后，横向双光子有效波函数近似为一个
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
函数：

  
    
      
        Ψ
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
        ∼
        δ
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              
                ρ
                
                  i
                
              
              →
            
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})\sim \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})}
  

这表现了物-像平面之间的点对点相关性，即若在物平面
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}}
  
位置找到信号光子，则必然在像平面
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
  
位置找到闲置光子，
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
  
满足
  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              
                ρ
                
                  i
                
              
              →
            
            m
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}}=0}
  
，
  
    
      
        m
        =
        
          
            
              s
              
                i
              
            
            
              s
              
                o
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m={\frac {s_{i}}{s_{o}}}}
  
。
在信号光路的光学传递函数中再加入作为物体的光圈、收集透镜和光子计数检测器，其中后两者整体可视为一个桶探测器。桶探测器对通过物体（光圈）
  
    
      
        A
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A({\overrightarrow {\rho _{o}}})}
  
，触发光电联合检测的光子进行积分：

  
    
      
        
          R
          
            1
            ,
            2
          
        
        ∝
        
          ∫
          
            o
            b
            j
            e
            c
            t
          
        
        d
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        
          
            |
            
              A
              (
              
                
                  
                    ρ
                    
                      o
                    
                  
                  →
                
              
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        
          
            |
            
              Ψ
              (
              
                
                  
                    ρ
                    
                      o
                    
                  
                  →
                
              
              ,
              Ψ
              (
              
                
                  
                    ρ
                    
                      i
                    
                  
                  →
                
              
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        ≅
        
          
            |
            
              A
              (
              
                
                  
                    
                      ρ
                      
                        i
                      
                    
                    →
                  
                  m
                
              
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{1,2}\propto \int _{object}d{\overrightarrow {\rho _{o}}}\left\vert A({\overrightarrow {\rho _{o}}})\right\vert ^{2}\left\vert \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},\Psi ({\overrightarrow {\rho _{i}}})\right\vert ^{2}\cong \left\vert A({\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})\right\vert ^{2}}
  

同时，闲置光路中的探测器
  
    
      
        
          D
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{2}}
  
再次扫描像平面，
  
    
      
        
          
            
              
                
                  ρ
                  
                    2
                  
                
                →
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  ρ
                  
                    i
                  
                
                →
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{2}}}}={\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}}
  
。
综上所述，位置EPR相关性是双光子振幅相干叠加的结果：

  
    
      
        
          G
          
            (
            2
            )
          
        
        (
        
          
            
              ρ
              
                o
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              ρ
              
                i
              
            
            →
          
        
        )
        =
        
          
            |
            
              ∫
              d
              
                
                  
                    k
                    
                      s
                    
                  
                  →
                
              
              d
              
                
                  
                    k
                    
                      i
                    
                  
                  →
                
              
              δ
              (
              
                
                  
                    k
                    
                      s
                    
                  
                  →
                
              
              +
              
                
                  
                    k
                    
                      i
                    
                  
                  →
                
              
              )
              g
              (
              
                
                  
                    k
                    
                      s
                    
                  
                  →
                
              
              ,
              
                
                  
                    ρ
                    
                      o
                    
                  
                  →
                
              
              )
              g
              (
              
                
                  
                    k
                    
                      i
                    
                  
                  →
                
              
              ,
              
                
                  
                    ρ
                    
                      2
                    
                  
                  →
                
              
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle G^{(2)}({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})=\left\vert \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})g({\overrightarrow {k_{s}}},{\overrightarrow {\rho _{o}}})g({\overrightarrow {k_{i}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\right\vert ^{2}}
  

原则上，一对信号-闲置光子对包含用于在物平面和像平面间产生点对点对应关系的双光子振幅，因此量子成像又称为“双光子关联成像”。


相关领域与应用 = 光刻技术 =
2000年，博托（英語：A. N. Boto）小组提出了N光子吸收光刻技术，这种技术使用纠缠光子流取代经典光的非相干性光子流，降低光刻技术中的最小可分辨特征尺寸。高度纠缠的光子可以使得光刻技术的最小可分辨特征尺寸突破瑞利衍射极限规定的最小值
  
    
      
        λ
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \lambda /2}
  
，达到
  
    
      
        λ
        
          /
        
        2
        N
      
    
    {\displaystyle \lambda /2N}
  
（N是一个泵浦光子分裂成为的一组纠缠光子的数量，这些光子最后都会被光刻胶吸收）。其原理可以简述为：在经典光中，N个光子到达某一特定空间区域的概率是单个光子到达该范围的N次方，但纠缠光中只要确定其中一个光子到达的区域，其他N-1个光子会到达的区域是确定的，如果光学系统对的足够准，则N个纠缠光子到达某一特定区域的概率就只需要计算一次，这使得N光子光刻不需要光焦度达到不切实际的程度，仅使用与经典器件相同的功率级别，即可使光刻最小可分辨特征尺寸降低N倍。


= 激光雷达技术 =
传统激光雷达分为两种类型：扫描成像激光雷达和非扫描成像激光雷达。扫描成像激光雷达通过用脉冲激光逐点扫描目标区域来获得目标的真实空间图像，这种雷达难以对高速运动物体进行成像；非扫描成像激光雷达用脉冲闪光激光源和高分辨率成像系统进行成像，一次曝光即可获得目标的真实空间图像，但目标反射的光强是由CCD相机许多小像素接收到的，因此检测灵敏度较低，其检测距离受到成像系统光路和整个成像平面的信噪比的影响。相较之下，量子成像激光雷达具有遥感距离长、成像速度快和成像分辨率高等优点。
2009年，以色列科学家亚伦·希尔伯格（英語：Yaron Silberberg）等进行了计算量子成像的验证实验，提出了用于赝热量子成像的图像重建高级算法，并提出计算量子成像可以用于激光雷达。2011年，美国麻省理工学院学者提出计算量子成像用于遥感成像的方案，并分析了这种方案的性能。2012年，上海光机所韩申生团队实现了基于稀疏约束的关联成像雷达，并在约1km的距离上进行了高分辨率成像。2013年，韩申生团队实现了3D量子成像激光雷达。2015年，韩申生小组提出了结构化图像重构方法，这种方法可以更准确地恢复具有各种稀疏比率的场景切片，并且具有明显的增强分辨率的效果，这适用于测量次数较少的量子成像过程，大幅提高了三维量子成像激光雷达的成像质量。2016年，清华大学戴琼海小组提出了内容自适应计算量子成像方法，用以在测量次数较少的情况下重建较高质量的图像，从而完成对动态目标的成像。


参见 量子力学
量子力学入门
量子光学


参考文献