欠四面十二面體（tetrahedrally diminished dodecahedron）又稱四面星形化二十面體（tetrahedrally stellated icosahedron）或螺旋四面體（propello tetrahedron）是一種拓樸自身對偶的十六面體，由4個正三角形面、12個全等的四邊形面、30條邊和16個頂點組成。
欠四面十二面體並非是少4個面的十二面體，其名稱是來自欠缺四個頂角的正十二面體形式的欠四面十二面體，之所以稱為欠四面十二面體是因為其在四個頂角處各欠缺了四面體狀的結構，因此稱為欠四面十二面體。


形式 欠四面十二面體有三種形式，一種是多爾曼盧克對偶構造的自身對偶形式；一種是欠缺四個頂角的正十二面體形式；還有一種是星形化的正二十面體形式。


= 自身對偶形式 =
在自身對偶形式中，欠四面十二面體是302404種自身對偶的十六面體中，1476種至少具有2階對稱性中唯一具有四面體對稱性的立體。

		
			
			
		
		
			
			
		
		
			
			
		


= 欠缺四個頂角的正十二面體形式 =
在欠缺四個頂角的正十二面體形式中，其移除了4個正十二面體的頂角，並將相鄰的五邊形面切割成梯形。這種形式的欠四面十二面體有兩種二面角，分別為梯形和梯形的二面角，以及梯形和三角形的二面角。其中，梯形和梯形的二面角為：

  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          −
          
            
              1
              
                5
              
            
          
        
        ≈
        
          116.565051
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos {-{\frac {1}{\sqrt {5}}}}\approx 116.565051^{\circ }}
  

而梯形和三角形的二面角為：

  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          
            
              
                5
                +
                2
                
                  
                    5
                  
                
              
              15
            
          
        
        ≈
        
          142.622632
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos {\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\approx 142.622632^{\circ }}
  

		
			
			
		
		
			
			
		
		
			
			
		


= 星形化正二十面體形式 =
在星形化正二十面體形式中，其是32種以四面提群對稱性定義的星形化正二十面體之一，並具有鳶形面。這種欠四面十二面體是五複合四面體中，少一個四面體之幾何結構的星狀核。在康威多面體表示法中，其可以用pT來表示，代表通過喬治·W·哈特的螺旋變換（propeller operator）的正四面體。
假設中交球的半徑为1，則存在一个邊長比為0.849:1.057的典型形式，其鳶形面保持等腰。

		
			
			
		
		
			
			
		
		
			
			
		


性質 = 構造 =
欠四面十二面體具有手性四面體群對稱性，因此其可以構造自四個面星形化的五角十二面體群對稱性之扭稜四面體或構造自欠缺4個頂點的五角十二面體。


= 頂點座標 =
自身對偶形式的欠四面十二面體頂點座標為：

  
    
      
        
          (
          
            
              C
              
                1
              
            
            ,
            
            ±
            
              C
              
                0
              
            
            ,
            
            ±
            1
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(C_{1},\,\pm C_{0},\,\pm 1\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            −
            
              C
              
                1
              
            
            ,
            
            ∓
            
              C
              
                0
              
            
            ,
            
            ±
            1
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(-C_{1},\,\mp C_{0},\,\pm 1\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            1
            ,
            
            ±
            
              C
              
                1
              
            
            ,
            
            ±
            
              C
              
                0
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(1,\,\pm C_{1},\,\pm C_{0}\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            −
            1
            ,
            
            ∓
            
              C
              
                1
              
            
            ,
            
            ±
            
              C
              
                0
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(-1,\,\mp C_{1},\,\pm C_{0}\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              C
              
                0
              
            
            ,
            
            ±
            1
            ,
            
            ±
            
              C
              
                1
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(C_{0},\,\pm 1,\,\pm C_{1}\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            −
            
              C
              
                0
              
            
            ,
            
            ∓
            1
            ,
            
            ±
            
              C
              
                1
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(-C_{0},\,\mp 1,\,\pm C_{1}\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              C
              
                2
              
            
            ,
            
            ∓
            
              C
              
                2
              
            
            ,
            
            ±
            
              C
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(C_{2},\,\mp C_{2},\,\pm C_{2}\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            −
            
              C
              
                2
              
            
            ,
            
            ±
            
              C
              
                2
              
            
            ,
            
            ±
            
              C
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(-C_{2},\,\pm C_{2},\,\pm C_{2}\right)}
  

其中：

  
    
      
        
          C
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    4
                    
                      (
                      
                        11
                        +
                        3
                        
                          
                            69
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  
                    3
                  
                
              
              −
              
                
                  
                    4
                    
                      (
                      
                        3
                        
                          
                            69
                          
                        
                        −
                        11
                      
                      )
                    
                  
                  
                    3
                  
                
              
              −
              1
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{0}={\frac {{\sqrt[{3}]{4\left(11+3{\sqrt {69}}\right)}}-{\sqrt[{3}]{4\left(3{\sqrt {69}}-11\right)}}-1}{3}}}
  

≈0.139680581996

  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    4
                    
                      (
                      
                        25
                        +
                        3
                        
                          
                            69
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  
                    3
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    4
                    
                      (
                      
                        25
                        −
                        3
                        
                          
                            69
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  
                    3
                  
                
              
              −
              5
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}={\frac {{\sqrt[{3}]{4\left(25+3{\sqrt {69}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{4\left(25-3{\sqrt {69}}\right)}}-5}{3}}}
  

≈0.509755332493

  
    
      
        
          C
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    4
                    
                      (
                      
                        371
                        +
                        33
                        
                          
                            69
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  
                    3
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    4
                    
                      (
                      
                        371
                        −
                        33
                        
                          
                            69
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  
                    3
                  
                
              
              −
              1
            
            33
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{2}={\frac {{\sqrt[{3}]{4\left(371+33{\sqrt {69}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{4\left(371-33{\sqrt {69}}\right)}}-1}{33}}}
  

≈0.606267870861


相關幾何體 欠四面十二面體是雙曲均勻堆砌體部分欠缺二十面體堆砌（施萊夫利符號：pd{3,5,3}）的頂點圖，每個頂點都是12個五角反棱柱和4個正十二面體的公共頂點。

		
			
			
		
		
			
			
		


參見 四階十二面體


參考文獻