內射模（英語：injective module），在模論中，是具有與有理數 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
（視為 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
-模）相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念，由Reinhold Baer於1940年引進。


定義 一個環 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 上的左模 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 若滿足以下等價條件，則稱之為內射模：

若 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 是另一個左 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
-模 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 的子模，則存在另一個子模 
  
    
      
        R
        ⊂
        M
      
    
    {\displaystyle R\subset M}
  
 使得 
  
    
      
        M
        =
        R
        ⊕
        Q
      
    
    {\displaystyle M=R\oplus Q}
  
。
若 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
  
 是左 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
-模的單射，
  
    
      
        g
        :
        X
        →
        Q
      
    
    {\displaystyle g:X\to Q}
  
 為同態，則存在同態 
  
    
      
        h
        :
        Y
        →
        Q
      
    
    {\displaystyle h:Y\to Q}
  
 使得 
  
    
      
        h
        ∘
        f
        =
        g
      
    
    {\displaystyle h\circ f=g}
  
。圖示如下：

任何短正合序列 
  
    
      
        0
        →
        Q
        →
        M
        →
        K
        →
        0
      
    
    {\displaystyle 0\to Q\to M\to K\to 0}
  
 都分裂。
函子 
  
    
      
        
          
            H
            o
            m
          
          
            R
          
        
        (
        −
        ,
        Q
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,Q)}
  
 為正合函子。
右模的定義類此。抽象地說，內射模乃是模範疇中的內射對象。


例子 零模是內射模的平凡例子。
設 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 為域，則任何 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
-模（即 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
-向量空間）都是內射模，此點可由基的性質證明。
設 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 為緊群（例如有限群），
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 為特徵為零的域。根據緊群的表示理論，可知任何表示的子表示都是其直和項；若翻譯為模的語言，即是：群代數 
  
    
      
        k
        G
      
    
    {\displaystyle kG}
  
 上的所有模都是內射模。
設 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 為域 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 上含單位元的有限維結合代數。則逆變函子 
  
    
      
        
          
            H
            o
            m
          
          
            k
          
        
        (
        −
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(-,k)}
  
 給出有限生成左 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
-模與有限生成右 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-模的對偶性。因此，有限生成的左 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
-模在同構的意義下皆可寫作 
  
    
      
        
          
            H
            o
            m
          
          
            k
          
        
        (
        P
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(P,k)}
  
，其中 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 是某個有限生成的投射右 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
-模。
在一般的環上也存在充足的（在內射分解的意義下）投射模，以下將述及相關理論。初步的例子包括：
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
 對加法形成內射 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
-模。群 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
  
 （
  
    
      
        n
        >
        1
      
    
    {\displaystyle n>1}
  
）是內射 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
  
-模，而非內射 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
-模。
若一个环作为它自身的左模是内射的，就称为一个左自内射环（英語：left self-injective ring）。右自内射环可对称的定义。半单环，整数的剩余类环是自内射环。一个左自内射环不一定是右自内射的。


性質 內射模的直積（包括無窮直積）仍是內射模，內射模的有限直和仍為內射模。一般而言，內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。
Baer 在其論文中證明了一個有用的結果，通常稱作 Baer 判準：一個左 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
-模 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 是內射模若且唯若定義在任一理想 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 上的態射 
  
    
      
        I
        →
        Q
      
    
    {\displaystyle I\to Q}
  
 都能延拓到整個 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 上。
利用此判準，可證明主理想域 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 上的模 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 是內射模若且唯若 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 可除，即：對任何 
  
    
      
        r
        =
        0
        ∈
        R
        .
        
        q
        ∈
        Q
      
    
    {\displaystyle r\neq 0\in R.\;q\in Q}
  
，存在 
  
    
      
        
          q
          ′
        
        ∈
        Q
      
    
    {\displaystyle q'\in Q}
  
 使得 
  
    
      
        r
        
          q
          ′
        
        =
        q
      
    
    {\displaystyle rq'=q}
  
，由此可證 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
 是內射 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
-模，向量空間都是內射模。
最重要的內射模當屬 
  
    
      
        
          Q
        
        
          /
        
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }
  
：它是 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
-模範疇中的內射上生成元，換言之，這是內射模，而且任何 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
-模皆可嵌入某個 
  
    
      
        (
        
          Q
        
        
          /
        
        
          Z
        
        
          )
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{a}}
  
 中，其中 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 是夠大的基數。由此可知任何 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
-模皆可嵌入某個內射 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
-模。此性質對任意環 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 上的左模都成立，要點在於利用 
  
    
      
        
          Q
        
        
          /
        
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }
  
 的特性構造左 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
-模範疇中的內射上生成元。
我們也可以定義模的內射包（基本上是包含一個模的最小內射模）。任意模 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 都有內射分解，這是形式如下的正合序列：

  
    
      
        0
        →
        M
        →
        
          I
          
            0
          
        
        →
        
          I
          
            1
          
        
        →
        
          I
          
            2
          
        
        →
        ⋯
        
          I
          
            n
          
        
        →
        ⋯
      
    
    {\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots I^{n}\to \cdots }
  

其中每個 
  
    
      
        
          I
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle I^{j}}
  
 都是內射的。內射分解可以用以定義模的內射維度（基本上是內射分解的最短長度，可能是無限的）及導函子。
不可分解內射模的自同態環是局部環。


文獻 F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.


参见 模论
投射模