卢卡斯-莱默检验法（英語：Lucas–Lehmer primality test），是数学中检验梅森数的素性检验，由法國數學家爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas）于1878年完善，美國數學家德里克·亨利·莱默（Derrick Henry Lehmer）随后于1930年代将其改进。
因特网梅森質数大搜索用这个检验法找到了不少很大的質数，最近几个最大的質数就是这个项目发现的。由于梅森数比随机选择的整数更有可能是質数，因此他们认为这是一个极有用的方法。


方法 卢卡斯－莱默检验法原理是这样：
令梅森数
Mp = 2p− 1作为检验对象（预设p是質数，否则Mp就是合数了）。
定义序列{si }：所有的i ≥ 0 

.
.
.
这个序列的开始几项是4, 14, 194, 37634, ... （OEIS數列A003010）
那么Mp是素数当且仅当

  
    
      
        
          s
          
            p
            −
            2
          
        
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          
            M
            
              p
            
          
          )
        
        ;
      
    
    {\displaystyle s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}};}
  

否则, Mp是合数。
sp − 2模Mp的余数叫做p的卢卡斯－莱默余数。


例子 假设我们想验证M3 = 7是素数。我们从s=4开始，并更新3−2 = 1次，把所有的得数模7：

s ← ((4×4) − 2) mod 7 = 0
由于我们最终得到了一个能被7整除的s，因此M3是素数。
另一方面，M11 = 2047 = 23×89就不是素数。我们仍然从s=4开始，并更新11−2 = 9次，把所有的得数模2047：

s ← ((4×4) − 2) mod 2047 = 14
s ← ((14×14) − 2) mod 2047 = 194
s ← ((194×194) − 2) mod 2047 = 788
s ← ((788×788) − 2) mod 2047 = 701
s ← ((701×701) − 2) mod 2047 = 119
s ← ((119×119) − 2) mod 2047 = 1877
s ← ((1877×1877) − 2) mod 2047 = 240
s ← ((240×240) − 2) mod 2047 = 282
s ← ((282×282) − 2) mod 2047 = 1736
由于s最终仍未能被2047整除，因此M11=2047不是素数。但是，我们从这个检验法仍然无法知道2047的因子，只知道它的卢卡斯-莱默余数1736。


正确性的证明 我们注意到
  
    
      
        
          ⟨
        
        
          s
          
            i
          
        
        
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle {\langle }s_{i}{\rangle }}
  
是一个具有闭式解的递推关系。定义
  
    
      
        ω
        =
        2
        +
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega =2+{\sqrt {3}}}
  
及
  
    
      
        
          
            
              ω
              ¯
            
          
        
        =
        2
        −
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {\omega }}=2-{\sqrt {3}}}
  
；我们可以用数学归纳法来验证对于所有i，都有
  
    
      
        
          s
          
            i
          
        
        =
        
          ω
          
            
              2
              
                i
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ω
                ¯
              
            
          
          
            
              2
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{i}=\omega ^{2^{i}}+{\bar {\omega }}^{2^{i}}}
  
：

  
    
      
        
          s
          
            0
          
        
        =
        
          ω
          
            
              2
              
                0
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ω
                ¯
              
            
          
          
            
              2
              
                0
              
            
          
        
        =
        (
        2
        +
        
          
            3
          
        
        )
        +
        (
        2
        −
        
          
            3
          
        
        )
        =
        4
      
    
    {\displaystyle s_{0}=\omega ^{2^{0}}+{\bar {\omega }}^{2^{0}}=(2+{\sqrt {3}})+(2-{\sqrt {3}})=4}
  
。

  
    
      
        
          
            
              
                
                  s
                  
                    n
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  s
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                2
              
            
            
              
              
                =
              
              
                
                  
                    (
                    
                      
                        ω
                        
                          
                            2
                            
                              n
                              −
                              1
                            
                          
                        
                      
                      +
                      
                        
                          
                            
                              ω
                              ¯
                            
                          
                        
                        
                          
                            2
                            
                              n
                              −
                              1
                            
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                2
              
            
            
              
              
                =
              
              
                
                  ω
                  
                    
                      2
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        ω
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    
                      2
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                +
                2
                (
                ω
                
                  
                    
                      ω
                      ¯
                    
                  
                
                
                  )
                  
                    
                      2
                      
                        n
                        −
                        1
                      
                    
                  
                
                −
                2
              
            
            
              
              
                =
              
              
                
                  ω
                  
                    
                      2
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        ω
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    
                      2
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lcl}s_{n}&=&s_{n-1}^{2}-2\\&=&\left(\omega ^{2^{n-1}}+{\bar {\omega }}^{2^{n-1}}\right)^{2}-2\\&=&\omega ^{2^{n}}+{\bar {\omega }}^{2^{n}}+2(\omega {\bar {\omega }})^{2^{n-1}}-2\\&=&\omega ^{2^{n}}+{\bar {\omega }}^{2^{n}},\\\end{array}}}
  

最后一个步骤可从
  
    
      
        ω
        
          
            
              ω
              ¯
            
          
        
        =
        (
        2
        +
        
          
            3
          
        
        )
        (
        2
        −
        
          
            3
          
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \omega {\bar {\omega }}=(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})=1}
  
推出。在两个部分中，我们都将用到这个结果。


= 充分性 =
我们希望证明
  
    
      
        
          s
          
            p
            −
            2
          
        
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          
            M
            
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}}}
  
意味着
  
    
      
        
          M
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{p}}
  
是素数。我们叙述一个利用初等群论的证明，由J. W.布鲁斯给出。
假设
  
    
      
        
          s
          
            p
            −
            2
          
        
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          
            M
            
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}}}
  
。那么对于某个整数k，有
  
    
      
        
          ω
          
            
              2
              
                p
                −
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ω
                ¯
              
            
          
          
            
              2
              
                p
                −
                2
              
            
          
        
        =
        k
        
          M
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2^{p-2}}+{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}=kM_{p}}
  
，以及：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ω
                  
                    
                      2
                      
                        p
                        −
                        2
                      
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
                k
                
                  M
                  
                    p
                  
                
                −
                
                  
                    
                      
                        ω
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    
                      2
                      
                        p
                        −
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    (
                    
                      ω
                      
                        
                          2
                          
                            p
                            −
                            2
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                k
                
                  M
                  
                    p
                  
                
                
                  ω
                  
                    
                      2
                      
                        p
                        −
                        2
                      
                    
                  
                
                −
                (
                ω
                
                  
                    
                      ω
                      ¯
                    
                  
                
                
                  )
                  
                    
                      2
                      
                        p
                        −
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  ω
                  
                    
                      2
                      
                        p
                        −
                        1
                      
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
                k
                
                  M
                  
                    p
                  
                
                
                  ω
                  
                    
                      2
                      
                        p
                        −
                        2
                      
                    
                  
                
                −
                1.
                
                
                
                
                
                (
                1
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\omega ^{2^{p-2}}&=&kM_{p}-{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}\\\left(\omega ^{2^{p-2}}\right)^{2}&=&kM_{p}\omega ^{2^{p-2}}-(\omega {\bar {\omega }})^{2^{p-2}}\\\omega ^{2^{p-1}}&=&kM_{p}\omega ^{2^{p-2}}-1.\quad \quad \quad \quad \quad (1)\\\end{array}}}
  

现在假设Mp是合数，其非平凡素因子q > 2（所有梅森素数都是奇数）。定义含有q2个元素的集合
  
    
      
        X
        =
        {
        a
        +
        b
        
          
            3
          
        
        
          |
        
        a
        ,
        b
        ∈
        
          
            Z
          
          
            q
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle X=\{a+b{\sqrt {3}}|a,b\in \mathbb {Z} _{q}\}}
  
，其中
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{q}}
  
是模q的整数，是一个有限域。X中的乘法运算定义为：

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          
            3
          
        
        )
        (
        c
        +
        d
        
          
            3
          
        
        )
        =
        [
        (
        a
        c
        +
        3
        b
        d
        )
        
          
             mod 
          
        
        q
        ]
        +
        [
        (
        b
        c
        +
        a
        d
        )
        
          
             mod 
          
        
        q
        ]
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle (a+b{\sqrt {3}})(c+d{\sqrt {3}})=[(ac+3bd){\hbox{ mod }}q]+[(bc+ad){\hbox{ mod }}q]{\sqrt {3}}}
  
.
由于q > 2，因此
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
和
  
    
      
        
          
            
              ω
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {\omega }}}
  
位于X内。任何两个位于X内的数的乘积也一定位于X内，但它不是一个群，因为不是所有的元素x都有逆元素y，使得xy = 1。如果我们只考虑有逆元素的元素，我们便得到了一个群X*，它的大小最多为
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle q^{2}-1}
  
（因为0没有逆元素）。
现在，由于
  
    
      
        
          M
          
            p
          
        
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          q
          )
        
      
    
    {\displaystyle M_{p}\equiv 0{\pmod {q}}}
  
，且
  
    
      
        ω
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle \omega \in X}
  
，我们有
  
    
      
        k
        
          M
          
            p
          
        
        
          ω
          
            
              2
              
                p
                −
                2
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle kM_{p}\omega ^{2^{p-2}}=0}
  
，根据方程(1)可得
  
    
      
        
          ω
          
            
              2
              
                p
                −
                1
              
            
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2^{p-1}}=-1}
  
。两边平方，得
  
    
      
        
          ω
          
            
              2
              
                p
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2^{p}}=1}
  
，证明了
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
是可逆的，其逆元素为
  
    
      
        
          ω
          
            
              2
              
                p
              
            
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2^{p}-1}}
  
，因此位于X*内，它的目能整除
  
    
      
        
          2
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{p}}
  
。实际上，这个阶必须等于
  
    
      
        
          2
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{p}}
  
，因为
  
    
      
        
          ω
          
            
              2
              
                p
                −
                1
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2^{p-1}}\neq 1}
  
，因此这个阶不能整除
  
    
      
        
          2
          
            p
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{p-1}}
  
。由于群元素的阶最多就是群的大小，我们便得出结论，
  
    
      
        
          2
          
            p
          
        
        ≤
        
          q
          
            2
          
        
        −
        1
        <
        
          q
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{p}\leq q^{2}-1<q^{2}}
  
。但由于q是
  
    
      
        
          M
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{p}}
  
的一个非平凡素因子，我们必须有
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
        ≤
        
          M
          
            p
          
        
        =
        
          2
          
            p
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle q^{2}\leq M_{p}=2^{p}-1}
  
，得出矛盾
  
    
      
        
          2
          
            p
          
        
        <
        
          2
          
            p
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 2^{p}<2^{p}-1}
  
。因此
  
    
      
        
          M
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{p}}
  
是素数。


= 必要性 =
我们假设
  
    
      
        
          M
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{p}}
  
是素数，欲推出
  
    
      
        
          s
          
            p
            −
            2
          
        
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          
            M
            
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}}}
  
。我们叙述一个Oystein J. R.
Odseth的证明。首先，注意到3是模 Mp的二次非剩余，这是因为对于奇数p > 1，2 p − 1只取得值7 mod 12，因此从勒让德符号的性质可知
  
    
      
        (
        3
        
          |
        
        
          M
          
            p
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (3|M_{p})}
  
是−1。根据欧拉准则，可得：

  
    
      
        
          3
          
            (
            
              M
              
                p
              
            
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        ≡
        −
        1
        
          
          (
          mod
          
          
            M
            
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle 3^{(M_{p}-1)/2}\equiv -1{\pmod {M_{p}}}}
  
.
另一方面，2是模
  
    
      
        
          M
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{p}}
  
的二次剩余，这是因为
  
    
      
        
          2
          
            p
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          
            M
            
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle 2^{p}\equiv 1{\pmod {M_{p}}}}
  
，因此
  
    
      
        2
        ≡
        
          2
          
            p
            +
            1
          
        
        =
        
          
            (
            
              2
              
                (
                p
                +
                1
                )
                
                  /
                
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
          
          (
          mod
          
          
            M
            
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle 2\equiv 2^{p+1}=\left(2^{(p+1)/2}\right)^{2}{\pmod {M_{p}}}}
  
。根据欧拉准则，可得：

  
    
      
        
          2
          
            (
            
              M
              
                p
              
            
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          
            M
            
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle 2^{(M_{p}-1)/2}\equiv 1{\pmod {M_{p}}}}
  
.
接着，定义
  
    
      
        σ
        =
        2
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma =2{\sqrt {3}}}
  
，并像前面那样，定义X*为
  
    
      
        {
        a
        +
        b
        
          
            3
          
        
        
          |
        
        a
        ,
        b
        ∈
        
          
            Z
          
          
            
              M
              
                p
              
            
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a+b{\sqrt {3}}|a,b\in \mathbb {Z} _{M_{p}}\}}
  
的乘法群。我们将用到以下的引理：

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            
              M
              
                p
              
            
          
        
        ≡
        
          x
          
            
              M
              
                p
              
            
          
        
        +
        
          y
          
            
              M
              
                p
              
            
          
        
        
          
          (
          mod
          
          
            M
            
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{M_{p}}\equiv x^{M_{p}}+y^{M_{p}}{\pmod {M_{p}}}}
  

（根据费马小定理），以及

  
    
      
        
          a
          
            
              M
              
                p
              
            
          
        
        ≡
        a
        
          
          (
          mod
          
          
            M
            
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{M_{p}}\equiv a{\pmod {M_{p}}}}
  

对于所有整数a（费马小定理）。
那么，在群X*中，我们有：

  
    
      
        
          
            
              
                (
                6
                +
                σ
                
                  )
                  
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  6
                  
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                +
                (
                
                  2
                  
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                )
                (
                
                  
                    
                      3
                    
                  
                  
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                =
              
              
                6
                +
                2
                (
                
                  3
                  
                    (
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                    −
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    2
                  
                
                )
                
                  
                    3
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                6
                +
                2
                (
                −
                1
                )
                
                  
                    3
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                6
                −
                σ
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lcl}(6+\sigma )^{M_{p}}&=&6^{M_{p}}+(2^{M_{p}})({\sqrt {3}}^{M_{p}})\\&=&6+2(3^{(M_{p}-1)/2}){\sqrt {3}}\\&=&6+2(-1){\sqrt {3}}\\&=&6-\sigma .\end{array}}}
  

简单计算可知  
  
    
      
        ω
        =
        (
        6
        +
        σ
        
          )
          
            2
          
        
        
          /
        
        24
      
    
    {\displaystyle \omega =(6+\sigma )^{2}/24}
  
。我们可以用这个结果来计算群X*中的
  
    
      
        
          ω
          
            (
            
              M
              
                p
              
            
            +
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ^{(M_{p}+1)/2}}
  
：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ω
                  
                    (
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                    +
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                (
                6
                +
                σ
                
                  )
                  
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                    +
                    1
                  
                
                
                  /
                
                
                  24
                  
                    (
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                    +
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                (
                6
                +
                σ
                
                  )
                  
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                (
                6
                +
                σ
                )
                
                  /
                
                (
                24
                ×
                
                  24
                  
                    (
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                    −
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    2
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                =
              
              
                (
                6
                −
                σ
                )
                (
                6
                +
                σ
                )
                
                  /
                
                (
                −
                24
                )
              
            
            
              
              
                =
              
              
                −
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\omega ^{(M_{p}+1)/2}&=&(6+\sigma )^{M_{p}+1}/24^{(M_{p}+1)/2}\\&=&(6+\sigma )^{M_{p}}(6+\sigma )/(24\times 24^{(M_{p}-1)/2})\\&=&(6-\sigma )(6+\sigma )/(-24)\\&=&-1.\end{array}}}
  

其中我们用到了以下的事实：

  
    
      
        
          24
          
            (
            
              M
              
                p
              
            
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        =
        (
        
          2
          
            (
            
              M
              
                p
              
            
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        
          )
          
            3
          
        
        (
        
          3
          
            (
            
              M
              
                p
              
            
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        )
        =
        (
        1
        
          )
          
            3
          
        
        (
        −
        1
        )
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 24^{(M_{p}-1)/2}=(2^{(M_{p}-1)/2})^{3}(3^{(M_{p}-1)/2})=(1)^{3}(-1)=-1}
  
。
由于
  
    
      
        
          M
          
            p
          
        
        ≡
        3
        
          
          (
          mod
          
          4
          )
        
      
    
    {\displaystyle M_{p}\equiv 3{\pmod {4}}}
  
，我们还需要做的就是把方程的两边乘以
  
    
      
        
          
            
              
                ω
                ¯
              
            
          
          
            (
            
              M
              
                p
              
            
            +
            1
            )
            
              /
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}}
  
，并利用
  
    
      
        ω
        
          
            
              ω
              ¯
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \omega {\bar {\omega }}=1}
  
：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ω
                  
                    (
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                    +
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    2
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ω
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    (
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                    +
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    4
                  
                
              
              
                =
              
              
                −
                
                  
                    
                      
                        ω
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    (
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                    +
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    4
                  
                
              
            
            
              
                
                  ω
                  
                    (
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                    +
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    4
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        ω
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    (
                    
                      M
                      
                        p
                      
                    
                    +
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    4
                  
                
              
              
                =
              
              
                0
              
            
            
              
                
                  ω
                  
                    (
                    
                      2
                      
                        p
                      
                    
                    −
                    1
                    +
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    4
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        ω
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    (
                    
                      2
                      
                        p
                      
                    
                    −
                    1
                    +
                    1
                    )
                    
                      /
                    
                    4
                  
                
              
              
                =
              
              
                0
              
            
            
              
                
                  ω
                  
                    
                      2
                      
                        p
                        −
                        2
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        ω
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    
                      2
                      
                        p
                        −
                        2
                      
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
                0
              
            
            
              
                
                  s
                  
                    p
                    −
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                0.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\omega ^{(M_{p}+1)/2}{\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}&=&-{\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}\\\omega ^{(M_{p}+1)/4}+{\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}&=&0\\\omega ^{(2^{p}-1+1)/4}+{\bar {\omega }}^{(2^{p}-1+1)/4}&=&0\\\omega ^{2^{p-2}}+{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}&=&0\\s_{p-2}&=&0.\\\end{array}}}
  

由于sp−2是整数，且在X*内是零，因此它也是零mod Mp。


参见 梅森素数
因特网梅森素数大搜索（GIMPS）
新梅森猜想
埃拉托斯特尼筛法
米勒-拉宾检验
试除法
费马素性检验
卢卡斯-莱默检验法
孪生素数
三胞胎素数
四胞胎素数
素数判定法则
表兄弟素数
六素数
X²+1素数


注释 参考文献 Richard Crandall and Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective 1st edition. Springer. 2001. ISBN 978-0-387-94777-8.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Section 4.2.1: The Lucas–Lehmer test, pp.167–170.


外部链接 埃里克·韦斯坦因. 卢卡斯-莱默检验法. MathWorld. 
GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
A proof of Lucas–Lehmer–Reix test (for Fermat numbers) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Lucas–Lehmer test at MersenneWiki