数学上，卡迪森-辛格問題（英語：Kadison–Singer problem）於1959年提出，有關泛函分析，問某個特定C*-代数上的任意線性泛函，延拓到另一個較大的C*-代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。
問題源出1940年代保罗·狄拉克對量子力学理論基礎的研究。1959年，理查德·卡迪森與艾沙道尔·辛格給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森-辛格問題等價。卡迪森、辛格，以及日後多個作者，都相信問題答案為否定（即不唯一），然而於2013年，亞當·馬庫斯、丹尼爾·斯皮爾曼、尼基·斯里瓦斯塔瓦合著論文給出肯定的答案。翌年，三人因此獲SIAM頒發波利亞獎。
馬-斯-斯三氏皆為電腦科學家，本來並非研究C*-代數。馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後，「仍无法用C*-代数的语言来描述它」。解決問題的轉捩點，是喬爾·安德森（Joel Anderson）將其重寫成不牽涉C*-代數理論的等價形式。安德森於1979年證明，其「鋪砌猜想」（英語：paving conjecture）與卡迪森-辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維希爾伯特空間的算子，而相比之下，原問題的空間則是無窮維。此後，亦有其他學者，如尼克·威佛（Nik Weaver），在有限維空間中，給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬-斯-斯三氏研究。而此版本用交織多項式族（英語：interlacing family）獲解決。


原問題敍述 先引入若干定義：

  
    
      
        
          
            ℓ
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}^{2}}
  

平方可和的複序列空間，即
  
    
      
        
          ℓ
          
            2
          
        
        =
        
          {
          
            (
            
              x
              
                1
              
            
            ,
            
              x
              
                2
              
            
            ,
            …
            )
            :
            
              x
              
                i
              
            
            ∈
            
              C
            
            ,
            
              ∑
              
                i
              
            
            
              
                |
                
                  x
                  
                    i
                  
                
                |
              
              
                2
              
            
            <
            ∞
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ):x_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i}\left|x_{i}\right|^{2}<\infty \right\}}
  
。此空間為可分希爾伯特空間，內積定義由
  
    
      
        ⟨
        x
        ,
        y
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        
          
            
              y
              
                i
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}
  
給出。

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          
            ℓ
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})}
  

從
  
    
      
        
          ℓ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell ^{2}}
  
到
  
    
      
        
          ℓ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell ^{2}}
  
的連續線性算子組成的集合。此集合上，有加減法、乘法、伴隨等運算，構成一個C*-代数。

  
    
      
        
          D
        
        (
        
          
            ℓ
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})}
  

從
  
    
      
        
          ℓ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell ^{2}}
  
到
  
    
      
        
          ℓ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell ^{2}}
  
的對角連續線性算子集合。換言之，
  
    
      
        D
        (
        
          ℓ
          
            2
          
        
        )
        =
        
          {
          
            
              
              
                f
                :
                
                  ℓ
                  
                    2
                  
                
                →
                
                  ℓ
                  
                    2
                  
                
              
              |
            
            f
            (
            x
            )
            =
            (
            
              a
              
                1
              
            
            
              x
              
                1
              
            
            ,
            
              a
              
                2
              
            
            
              x
              
                2
              
            
            ,
            …
            )
            ,
            
               其 中 
            
            
              a
              
                i
              
            
            ∈
            
              C
            
            ,
            
               且 
            
            
              a
              
                i
              
            
            
               有 界 
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle D(\ell ^{2})=\left\{\left.f:\ell ^{2}\to \ell ^{2}\right|f(x)=(a_{1}x_{1},a_{2}x_{2},\ldots ),{\text{ 其 中 }}a_{i}\in \mathbb {C} ,{\text{ 且 }}a_{i}{\text{ 有 界 }}\right\}}
  
。
  
    
      
        D
        (
        
          ℓ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle D(\ell ^{2})}
  
包含於
  
    
      
        B
        (
        
          ℓ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(\ell ^{2})}
  
，故為其子C*-代数。
態
C*-代數
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
上的態，是連續線性泛函
  
    
      
        φ
        :
        A
        →
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {C} }
  
，將單位元
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
映到
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
，且對任意半正定的
  
    
      
        T
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle T\geq 0}
  
，有
  
    
      
        φ
        (
        T
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle \varphi (T)\geq 0}
  
（即此時
  
    
      
        φ
        (
        T
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (T)}
  
要取實值，且該實值為非負）。
純態
接續上項，
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
稱為純態，意思是在
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
上所有態組成的集合中，
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
是極端點，即不能寫成其他態的凸組合。
由哈恩-巴拿赫定理，
  
    
      
        D
        (
        
          ℓ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle D(\ell ^{2})}
  
上的任意泛函，必能延拓到
  
    
      
        B
        (
        
          ℓ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(\ell ^{2})}
  
上。卡迪森與辛格二人問，對於純態，此延拓是否唯一。所以，卡迪森-辛格問題是要證明或否證以下命題：

對
  
    
      
        D
        (
        
          ℓ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle D(\ell ^{2})}
  
上的任意純態
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
，
  
    
      
        B
        (
        
          ℓ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(\ell ^{2})}
  
上都存在唯一的態
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
，使
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
延拓
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
，即兩者限制到
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
時等同。

此命題已證為真。


鋪砌猜想敍述 卡迪森-辛格問題的答案為肯定，當且僅當以下鋪砌猜想為真：

 對任意的
  
    
      
        ε
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \varepsilon >0}
  
，存在正整數
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
使得：對每個
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，以及對
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
維希爾伯特空間
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
  
上的每個線性算子
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
（可視為
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
方陣），若其對角線全零，則存在某種方法將
  
    
      
        {
        1
        ,
        …
        ,
        n
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,\dots ,n\}}
  
分劃為
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
份
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          A
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}
  
，使得

  
    
      
        ‖
        
          P
          
            
              A
              
                j
              
            
          
        
        T
        
          P
          
            
              A
              
                j
              
            
          
        
        ‖
        ≤
        ε
        ‖
        T
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|}
  
 對於每個 
  
    
      
        j
        =
        1
        ,
        …
        ,
        k
      
    
    {\displaystyle j=1,\ldots ,k}
  
 都成立。
此處
  
    
      
        
          P
          
            
              A
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{A_{j}}}
  
是正交投影，將
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
  
（坐標以
  
    
      
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle 1,2,\ldots ,n}
  
為下標）映到坐標僅以
  
    
      
        
          A
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{j}}
  
元素為下標的子空間。換言之，
  
    
      
        
          P
          
            
              A
              
                j
              
            
          
        
        T
        
          P
          
            
              A
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{A_{j}}TP_{A_{j}}}
  
是下標為
  
    
      
        
          A
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{j}}
  
元素的各行列，相交而得的子方陣。而矩陣範數
  
    
      
        ‖
        ⋅
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|\cdot \|}
  
取為譜範數，即來自
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
  
上歐氏範數的算子范数。

注意命題中，
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
只能與
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
有關，但不取決於
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
。


偏差敍述 尼克·威佛（Nik Weaver）證明，以下「偏差理論」命題，同樣與卡迪森-辛格問題（的肯定答案）等價：

設有向量
  
    
      
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          u
          
            m
          
        
        ∈
        
          
            C
          
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}}
  
，滿足
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
          u
          
            i
          
          
            ∗
          
        
        =
        I
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I}
  
（
  
    
      
        d
        ×
        d
      
    
    {\displaystyle d\times d}
  
單位方陣），且對每個
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
，
  
    
      
        ‖
        
          u
          
            i
          
        
        
          ‖
          
            2
          
          
            2
          
        
        ≤
        δ
      
    
    {\displaystyle \|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta }
  
。則存在一種方法將
  
    
      
        {
        1
        ,
        …
        ,
        m
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}
  
分劃成兩個子集
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{1}}
  
和
  
    
      
        
          S
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{2}}
  
，使得對於
  
    
      
        j
        =
        1
        ,
        2
      
    
    {\displaystyle j=1,2}
  
都有

  
    
      
        
          ‖
          
            
              ∑
              
                i
                ∈
                
                  S
                  
                    j
                  
                
              
            
            
              u
              
                i
              
            
            
              u
              
                i
              
              
                ∗
              
            
          
          ‖
        
        ≤
        
          
            
              
                (
                
                  1
                  +
                  
                    
                      2
                      δ
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}.}
  

馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族（英語：interlacing families）的技巧，證明上述命題為真。該命題又有以下推論：

設向量
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          v
          
            m
          
        
        ∈
        
          
            R
          
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}
  
滿足
  
    
      
        ‖
        
          v
          
            i
          
        
        
          ‖
          
            2
          
          
            2
          
        
        ≤
        α
      
    
    {\displaystyle \|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha }
  
（對所有
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
），還有

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            m
          
        
        ⟨
        
          v
          
            i
          
        
        ,
        x
        
          ⟩
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1}
  
 對滿足
  
    
      
        ‖
        x
        ‖
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \|x\|=1}
  
的所有向量
  
    
      
        x
        ∈
        
          
            R
          
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}
  
成立。
則可以將
  
    
      
        {
        1
        ,
        …
        ,
        m
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}
  
分劃成兩個子集
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{1}}
  
、
  
    
      
        
          S
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{2}}
  
，使得對
  
    
      
        j
        =
        1
        ,
        2
      
    
    {\displaystyle j=1,2}
  
，以及滿足
  
    
      
        ‖
        x
        ‖
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \|x\|=1}
  
的任意向量
  
    
      
        x
        ∈
        
          
            R
          
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}
  
，皆有：

  
    
      
        
          |
          
            
              ∑
              
                i
                ∈
                
                  S
                  
                    j
                  
                
              
            
            ⟨
            
              v
              
                i
              
            
            ,
            x
            
              ⟩
              
                2
              
            
            −
            
              
                1
                2
              
            
          
          |
        
        ≤
        5
        
          
            α
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}.}
  

「偏差」一詞的含義，在
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
較小時顯明：在單位球面上取值恆為
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
的二次型，可以分拆成兩個大致相等的二次型，而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值，離
  
    
      
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle 1/2}
  
的偏差很小。利用命題此種形式，可以推導出關於圖分劃的若干結果。


參考文獻 外部鏈結 Nicholas J. A. Harvey. An introduction to the Kadison–Singer Problem and the Paving Conjecture [卡迪森-辛格問題與鋪砌猜想的介紹] (PDF). 2013-07-11  [2021-10-16]. （原始内容存档 (PDF)于2021-10-21） （英语）. 
陶哲軒. Real stable polynomials and the Kadison-Singer problem [實穩定多項式與卡迪森-辛格問題] (網誌). 2013-11-04  [2021-10-16]. （原始内容存档于2022-01-19） （英语）.