在經典力學裏，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。
在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。
在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。
作用量-角度坐標，對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析，對於 Lax pairs 的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想，都佔有關鍵地位。


導引 = 保守的哈密頓量系統 =
主條目：哈密頓特徵函數
假設，在一個物理系統裏，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量 
  
    
      
        
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}}
  
 不顯含時間；

  
    
      
        
          
            H
          
        
        (
        
          q
        
        ;
         
        
          p
        
        )
        =
        
          a
          
            
              H
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          a
          
            
              H
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{\mathcal {H}}}
  
 是運動常數，
  
    
      
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} }
  
 是廣義坐標，
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 是廣義動量。
採用哈密頓特徵函數 
  
    
      
        W
        (
        
          q
        
        ;
         
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )}
  
 為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為

  
    
      
        
          p
        
        =
        
          
            
              ∂
              W
            
            
              ∂
              
                q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}}
  
 ，

  
    
      
        
          Q
        
        =
        
          
            
              ∂
              W
            
            
              ∂
              
                P
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {P} }}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} }
  
 是新廣義坐標，
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
 是新廣義動量。
新哈密頓量 
  
    
      
        
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}}
  
 與舊哈密頓量 
  
    
      
        
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}}
  
 相等：

  
    
      
        
          
            K
          
        
        (
        
          Q
        
        ;
         
        
          P
        
        )
        =
        
          
            H
          
        
        (
        
          q
        
        ;
         
        
          p
        
        )
        =
        
          a
          
            
              H
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ;\ \mathbf {P} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}
  
 。
新廣義動量的哈密頓方程式為

  
    
      
        
          
            
              
                P
              
              ˙
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                
                  K
                
              
            
            
              ∂
              Q
            
          
        
        =
        0
        ,
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\!}
  
 。
所以，新廣義動量是常數 
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
 ：

  
    
      
        
          P
        
        =
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {a} }
  
 ，
假設，這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 
  
    
      
        
          
            H
          
        
        
          (
          
            
              q
            
            ,
             
            
              
                
                  ∂
                  W
                
                
                  ∂
                  
                    q
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          a
          
            
              H
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}}
  
 為完全可分的，則哈密頓特徵函數 
  
    
      
        W
        (
        
          q
        
        ;
         
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )}
  
 可以分離為 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 個函數 
  
    
      
        
          W
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{i}}
  
 ：

  
    
      
        W
        (
        
          q
        
        ;
         
        
          a
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
         
        
          W
          
            i
          
        
        (
        
          q
          
            i
          
        
        ;
         
        
          a
        
        )
      
    
    {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {a} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )}
  
 。
哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是

  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                W
                
                  i
                
              
              (
              
                q
                
                  i
                
              
              ;
               
              
                a
              
              )
            
            
              ∂
              
                q
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )}{\partial q_{i}}}}
  
 ，

  
    
      
        
          Q
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
         
        
          
            
              ∂
              
                W
                
                  j
                
              
              (
              
                q
                
                  j
                
              
              ;
               
              
                a
              
              )
            
            
              ∂
              
                a
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {a} )}{\partial a_{i}}}}
  
 。


= 週期性運動 =
假若，粒子的運動是週期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量-角度坐標 
  
    
      
        (
        
          w
        
        ,
         
        
          J
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {w} ,\ \mathbf {J} )}
  
 。定義作用量為

  
    
      
        
          J
          
            i
          
        
        ≡
        ∮
        
          p
          
            i
          
        
        d
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{i}\equiv \oint p_{i}dq_{i}}
  
 ；
這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。
由於廣義動量 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
  
 只跟 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 、
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
 有關，經過積分，作用量
  
    
      
        
          J
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{i}}
  
 只跟 
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
 有關。所以，作用量向量 
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
 只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為

  
    
      
        W
        (
        
          q
        
        ;
         
        
          J
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
         
        
          W
          
            i
          
        
        (
        
          q
          
            i
          
        
        ;
         
        
          J
        
        )
      
    
    {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {J} )}
  
 。
雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。
定義角度 
  
    
      
        
          w
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} }
  
 為

  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
        ≡
        
          
            
              ∂
              W
            
            
              ∂
              
                J
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
         
        
          
            
              ∂
              
                W
                
                  j
                
              
              (
              
                q
                
                  j
                
              
              ;
               
              
                J
              
              )
            
            
              ∂
              
                J
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {J} )}{\partial J_{i}}}}
  
 。
由於所有的廣義坐標 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 都相互獨立，所有的廣義動量 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
  
 也都相互獨立，所以，所有的作用量 
  
    
      
        
          J
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{i}}
  
 都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為

  
    
      
        W
        (
        
          w
        
        ;
         
        
          J
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
         
        
          W
          
            i
          
        
        (
        
          w
          
            i
          
        
        ;
         
        
          J
        
        )
      
    
    {\displaystyle W(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(w_{i};\ \mathbf {J} )}
  
 。
新哈密頓量 
  
    
      
        
          
            
              K
            
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}'}
  
 與舊哈密頓量 
  
    
      
        
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}}
  
 相等：

  
    
      
        
          
            
              K
            
          
          ′
        
        (
        
          w
        
        ;
         
        
          J
        
        )
        =
        
          
            H
          
        
        (
        
          q
        
        ;
         
        
          p
        
        )
        =
        
          a
          
            
              H
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}
  
 。
因為作用量 
  
    
      
        
          J
          
            i
          
        
        =
        
          J
          
            i
          
        
        (
        
          a
        
        )
      
    
    {\displaystyle J_{i}=J_{i}(\mathbf {a} )}
  
 只是常數向量，所以，

  
    
      
        −
        
          
            
              
                J
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    K
                  
                
                ′
              
            
            
              ∂
              
                w
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -{\dot {J}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial w_{i}}}=0}
  
 。
新哈密頓量 
  
    
      
        
          
            
              K
            
          
          ′
        
        =
        
          
            
              K
            
          
          ′
        
        (
        
          J
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}'={\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )}
  
 ，只跟作用量 
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
 有關，跟角度 
  
    
      
        
          w
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} }
  
 無關。
角度 
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
  
 隨時間的導數 
  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}}
  
 ，可以用哈密頓方程式決定：

  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
        (
        
          J
        
        )
        =
        
          
            
              
                w
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    K
                  
                
                ′
              
            
            
              ∂
              
                J
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )={\dot {w}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{i}}}}
  
 。
每一個 
  
    
      
        
          J
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{i}}
  
 都是常數，所以，
  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
        (
        
          J
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )}
  
 也是常數：

  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
        =
        
          ν
          
            i
          
        
        t
        +
        
          β
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}=\nu _{i}t+\beta _{i}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          β
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{i}}
  
 是積分常數。


= 運動頻率 =
假設原本廣義坐標 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 的振蕩或旋轉的運動週期為 
  
    
      
        
          T
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{i}}
  
 ，則其對應的角度變數 
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
  
 的改變是 
  
    
      
        Δ
        
          w
          
            i
          
        
        =
        
          ν
          
            i
          
        
        
          T
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta w_{i}=\nu _{i}T_{i}}
  
 。進一步了解物理量 
  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}}
  
 的性質，猜想 
  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}}
  
 與廣義坐標 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 週期性運動的頻率有關。可是，因為角度 
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
  
 是廣義座標 
  
    
      
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} }
  
 與作用量 
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
 的函數，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期 
  
    
      
        
          T
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{i}}
  
 ：

  
    
      
        
          T
          
            i
          
        
        =
        ∮
        d
        t
        =
        ∮
        
          
            
              d
              
                q
                
                  i
                
              
            
            
              
                
                  q
                  
                    i
                  
                
                ˙
              
            
          
        
        =
        ∮
        
          
            
              
                
              
              
                
                  d
                  
                    q
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                   
                   
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∂
                            
                              
                                H
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∂
                            
                              p
                              
                                i
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                   
                   
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{i}=\oint dt=\oint {\frac {dq_{i}}{\dot {q_{i}}}}=\oint {\cfrac {dq_{i}}{\ \ {\cfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\ \ }}}
  
 。
新哈密頓量 
  
    
      
        
          
            
              K
            
          
          ′
        
        (
        
          J
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )}
  
 與舊哈密頓量 
  
    
      
        
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}}
  
 相等。所以，

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                p
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    K
                  
                
                ′
              
            
            
              ∂
              
                J
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                J
                
                  j
                
              
            
            
              ∂
              
                p
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ν
          
            j
          
        
        
          
            
              ∂
              
                J
                
                  j
                
              
            
            
              ∂
              
                p
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{j}}}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}}
  
 。
假若 
  
    
      
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{j}}
  
 是個循環坐標，那麼，其共軛動量 
  
    
      
        
          p
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{j}}
  
 必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來：

  
    
      
        
          J
          
            j
          
        
        ≡
        ∮
        
          p
          
            j
          
        
        d
        
          q
          
            j
          
        
        =
        
          p
          
            j
          
        
        ∮
        d
        
          q
          
            j
          
        
        =
        
          p
          
            j
          
        
        ℓ
      
    
    {\displaystyle J_{j}\equiv \oint p_{j}dq_{j}=p_{j}\oint dq_{j}=p_{j}\ell }
  
 ；
其中，
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
 是 
  
    
      
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{j}}
  
 運動一週期的值。
這樣，

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                p
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ν
          
            j
          
        
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        
        ℓ
        =
        
          ν
          
            i
          
        
        
        ℓ
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\delta _{ij}\,\ell =\nu _{i}\,\ell }
  
 。
代入週期 
  
    
      
        
          T
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{i}}
  
 的公式，

  
    
      
        
          T
          
            i
          
        
        =
        ∮
        
          
            
              d
              
                q
                
                  i
                
              
            
            
              
                ν
                
                  i
                
              
              (
              
                J
              
              )
              
              ℓ
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              ν
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{i}=\oint {\frac {dq_{i}}{\nu _{i}(\mathbf {J} )\,\ell }}={\frac {1}{\nu _{i}}}}
  
 。
肯定地，
  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}}
  
 是廣義坐標 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 的頻率。
假若 
  
    
      
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{j}}
  
 不是循環坐標，則不能將其共軛動量 
  
    
      
        
          p
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{j}}
  
 從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度 
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
  
 跟廣義坐標 
  
    
      
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} }
  
 、作用量 
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
 有關： 

  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
        =
        
          w
          
            i
          
        
        (
        
          q
        
        ;
         
        
          J
        
        )
      
    
    {\displaystyle w_{i}=w_{i}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )}
  
 。
保持作用量不變，角度的虛位移 
  
    
      
        δ
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta w_{i}}
  
 是：

  
    
      
        δ
        
          w
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              ∂
              
                w
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta w_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}}
  
 。
在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 都有它運動的週期 
  
    
      
        
          T
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{i}}
  
 。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期不同 
  
    
      
        
          T
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{1}}
  
 、
  
    
      
        
          T
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{2}}
  
 。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為

  
    
      
        T
        =
        
          m
          
            1
          
        
        
          T
          
            1
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          T
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle T=m_{1}T_{1}+m_{2}T_{2}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          
            T
            
              T
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {T}{T_{1}}}}
  
 、
  
    
      
        
          
            T
            
              T
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {T}{T_{2}}}}
  
 、
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}}
  
 、
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
  
 ，都是正值的整數。
同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。那麼，新週期 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 為

  
    
      
        T
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          m
          
            i
          
        
        
          T
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}m_{i}T_{i}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          
            T
            
              T
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {T}{T_{i}}}}
  
 、
  
    
      
        
          m
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{i}}
  
 ，都是正值的整數。
經過一個週期 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 ，角度 
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
  
 的變化是：

  
    
      
        Δ
        
          w
          
            i
          
        
        =
        
          ν
          
            i
          
        
        
          m
          
            i
          
        
        
          T
          
            i
          
        
        =
        ∮
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              ∂
              
                w
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            j
          
        
        =
        ∮
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                W
                
                  k
                
              
              (
              
                q
                
                  k
                
              
              ;
               
              
                J
              
              )
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
               
              ∂
              
                J
                
                  i
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta w_{i}=\nu _{i}m_{i}T_{i}=\oint \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}=\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}}dq_{j}}
  
 。
由於作用量 
  
    
      
        
          J
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{i}}
  
 是個常數，可以將它從積分內提出： 

  
    
      
        Δ
        
          w
          
            i
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              
                J
                
                  i
                
              
            
          
        
        ∮
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              ∂
              
                W
                
                  k
                
              
              (
              
                q
                
                  k
                
              
              ;
               
              
                J
              
              )
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            j
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              
                J
                
                  i
                
              
            
          
        
        ∮
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          p
          
            j
          
        
        d
        
          q
          
            j
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              
                J
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          m
          
            j
          
        
        
          J
          
            j
          
        
        =
        
          m
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta w_{i}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}}}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}p_{j}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}J_{j}=m_{i}}
  
 。
所以，頻率是 

  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
        (
        
          J
        
        )
        =
        
          
            1
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}
  
 。
假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 、
  
    
      
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{j}}
  
 ，其週期 
  
    
      
        
          T
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{i}}
  
 、
  
    
      
        
          T
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{j}}
  
 的比例是無理數。那麼，
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 不可能與 
  
    
      
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{j}}
  
 同時回到同一點。雖然如此，有理論證明，
  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}}
  
 、
  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}}
  
 仍舊分別是 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 、
  
    
      
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{j}}
  
 的頻率。


= 傅立葉級數 =
角度 
  
    
      
        
          w
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} }
  
 是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 
  
    
      
        
          q
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{k}}
  
 可以用角度的傅立葉級數表示：

  
    
      
        
          q
          
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            
              s
              
                1
              
            
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            
              s
              
                2
              
            
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        …
        
          ∑
          
            
              s
              
                N
              
            
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          A
          
            
              s
              
                1
              
            
            ,
            
              s
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              s
              
                N
              
            
          
          
            k
          
        
        
          e
          
            i
            2
            π
            
              s
              
                1
              
            
            
              w
              
                1
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            2
            π
            
              s
              
                2
              
            
            
              w
              
                2
              
            
          
        
        …
        
          e
          
            i
            2
            π
            
              s
              
                N
              
            
            
              w
              
                N
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\ldots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\ldots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}
  
 ；
其中， 
  
    
      
        
          A
          
            
              s
              
                1
              
            
            ,
            
              s
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              s
              
                N
              
            
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}
  
 是傅立葉級數係數。
在大多數實際案例，物理系統的哈密頓-亞可比方程式 
  
    
      
        
          
            H
          
        
        
          (
          
            
              q
            
            ,
             
            
              
                
                  ∂
                  W
                
                
                  ∂
                  
                    q
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          a
          
            
              H
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}}
  
 為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 
  
    
      
        
          q
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{k}}
  
 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示：

  
    
      
        
          q
          
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            
              s
              
                k
              
            
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            i
            2
            π
            
              s
              
                i
              
            
            
              w
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi s_{i}w_{i}}}
  
 。


基本規則總結 一般程序有三個步驟：

計算作用量變數 
  
    
      
        
          J
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{i}}
  
 。
用作用量變數表示原本哈密頓量。
取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率 
  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}}
  
 。


簡併度 在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率；也就是說，
  
    
      
        
          ν
          
            i
          
        
        =
        
          ν
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{i}=\nu _{j}}
  
 for 
  
    
      
        i
        =
        j
      
    
    {\displaystyle i\neq j}
  
 。稱這些案例的運動狀態為簡併。
簡併的運動給出暗示，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒問題的頻率是簡併的，這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。
簡併的運動還給出暗示，在多於一種坐標系統裏，哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如，克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系，都是完全可分的。


參考文獻 Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.