在幾何學中，十九面體是指有19個面的多面體，在十九面體當中沒有任何一個形狀是正多面體，換言之即正十九面體並不存在，但仍有許多由正多邊形組成的十九面體，例如正十七角柱，與之拓樸結構類似的十九面體曾被用於在形狀穩定性的證明。
常見的十九面體是十七角柱和十八角錐，也有一些化學結構是十九面體，例如有一種十二個頂點的分子構型，由其在幾何上由十八個三角形和一個四邊形組成。此外要構成十九面體至少要有12個頂點。


常見的十九面體 常見的十九面體包含了一些錐體、柱體和一些由錐體與柱體組合並包含19個面形狀，亦有一些拓樸結構明顯與錐體、柱體不同的十九面體，例如空間填充十三面體的對偶多面體。


= 十八角錐 =

十八角錐是一種底面為十八邊形的錐體，是十九面體的一種，其具有19個面、36條邊和19個頂點，其對偶多面體是自己本身。正十八角錐是一種底面為正十八邊形的十八角錐，在施萊夫利符號中可以用{}∨{18}來表示。底邊長為
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
、高為
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
的正十八角錐體積
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
和表面積
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
為：

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              3
              h
              
                s
                
                  2
                
              
              cot
              ⁡
              
                
                  π
                  18
                
              
            
            2
          
        
        ≈
        8.50692
        h
        
          s
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {3hs^{2}\cot {\frac {\pi }{18}}}{2}}\approx 8.50692hs^{2}}
  

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              9
              s
              
                (
                
                  
                    
                      4
                      
                        h
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        s
                        
                          2
                        
                      
                      
                        cot
                        
                          2
                        
                      
                      ⁡
                      
                        
                          π
                          18
                        
                      
                    
                  
                  +
                  s
                  cot
                  ⁡
                  
                    
                      π
                      18
                    
                  
                
                )
              
            
            2
          
        
        ≈
        4.5
        s
        
          (
          
            
              
                4
                
                  h
                  
                    2
                  
                
                +
                32.1634
                
                  s
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            5.67128
            s
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {9s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{18}}}}+s\cot {\frac {\pi }{18}}\right)}{2}}\approx 4.5s\left({\sqrt {4h^{2}+32.1634s^{2}}}+5.67128s\right)}
  


= 十七角柱 =

十七角柱是一種底面為十七邊形的柱體，是十九面體的一種，由19個面51條邊和34個頂點組成。正十七角柱代表每個面都是正多邊形的十七角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個十七邊形的公共頂點，頂點圖以
  
    
      
        4
        
          .
        
        4
        
          .
        
        17
      
    
    {\displaystyle 4{.}4{.}17}
  
表示，因此具有每個角等角的性質（點可遞），可以歸類為半正十九面體，不過他跟其他較接近球形的半正多面體相比之下變得比較扁一些。
正十七角柱在施萊夫利符號中可以用{17}×{}或t{2,17}來表示，在考克斯特符號中可以用來表示，在威佐夫符號中可以利用2 17 | 2來表示，在康威多面體表示法中可以利用P17來表示。底邊長為
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
、高為
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
的正十七角柱體積
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
和表面積
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
為：

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              17
              h
              
                s
                
                  2
                
              
              cot
              ⁡
              
                
                  π
                  17
                
              
            
            4
          
        
        ≈
        22.7355
        h
        
          s
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {17hs^{2}\cot {\frac {\pi }{17}}}{4}}\approx 22.7355hs^{2}}
  

  
    
      
        S
        =
        17
        s
        
          (
          
            h
            +
            
              
                
                  s
                  cot
                  ⁡
                  
                    
                      π
                      17
                    
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
        ≈
        17
        s
        
          (
          
            h
            +
            2.67476
            s
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle S=17s\left(h+{\frac {s\cot {\frac {\pi }{17}}}{2}}\right)\approx 17s\left(h+2.67476s\right)}
  


= 九角錐柱 =
九角錐柱是指底面為九邊形的角錐柱，由19個面、32條邊和19個頂點組成，是一種十九面體。其對偶多面體為九角錐台錐，由於拓樸結構與九角錐柱相同，因此有時會被視作自身對偶多面體。


= 九角錐台錐 =
九角錐台錐是指由九角錐台和九角錐組合成的多面體，其有兩種形式：一種是九角錐疊在九角錐台較小的九邊形面、另一種是九角錐疊在九角錐台較大的九邊形面。後者可以視為只截去一個頂點的雙九角錐。
九角錐台錐的拓樸結構與九角錐柱相同，因為九角錐柱可以藉由縮放其九邊形面使圖形變形成九角錐台錐。


= 十七角錐台 =
十七角錐台一種底面為時七邊形的錐台，可以視為切去一個頂點的十七角錐。通常其兩個底面形狀會有差異或者相似，而兩個底面都全等的十七角錐台與十七角柱無異，因此十七角錐台的拓樸結構與十七角柱相同，因為十七角柱可以藉由縮放其十七邊形面使圖形變形成十七角錐台。


= 六角錐反角柱 =
六角錐反角柱是指底面為六邊形的角錐反角柱，可以視為一個六角錐與一個反六角柱底面對底面的組合。
六角錐反角柱不是一個詹森多面體，因為當其所有面都是正多邊形時，其中六個正三角形將會共面，而導致圖形退化成反六角柱。

相同的情形也出現在雙六角錐反角柱上，必須要將部分正多邊形面拉長或扭曲才能構成多面體，導致其無法以所有面皆為正多邊形的形式存在，因此這些多面體可以被歸類為擬詹森多面體。


= 對偶多面體為十九面體的多面體 =
有些多面體具有19個頂點，因此其對偶多面體為十九面體。例如空間填充十三面體具有19個頂點，因此其對偶多面體是一個十九面體。


 空間填充十三面體的對偶多面體  空間填充十三面體的對偶多面體是一種19面體，其可以視為一種經過扭稜變換的結果，其對應的原像與半立方體類似，但又不相同，其對應的原像有面積為零的退化面。
這個多面體一共有19個面、30條邊和13個頂點，其面由16個三角形和3個梯形所組成。其對偶多面體可以獨立填滿整個三維空間。


= 十九面體列表 =


參見 十九邊形：同為含19個維面（facet）的形狀，但是位於二維空間。


參考文獻