移動中的磁鐵跟導體問題（moving magnet and conductor problem）是一個源自於19世紀的著名思想實驗，涉及到經典電磁學與狹義相對論（classical electromagnetism and special relativity）的交叉領域。在這問題裏，相對於磁鐵的參考系，導體以均勻速度 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 移動。從磁鐵的參考系與導體的參考系分別觀測，流動於導體的電流相同。這事實遵守基本「相對性原理」：沒有絕對靜止標準，只可以觀測到相對運動。但是，根據馬克士威方程組和勞侖茲力定律，導體的電荷，在磁鐵參考系會感受到磁場力，而在導體參考系會感受到電場力。從不同的參考系觀測，同樣的物理現象竟會出現大相逕庭的描述。這問題與邁克生-莫立實驗啟發了阿爾伯特·愛因斯坦的相對論。


簡介 在愛因斯坦發表的 1905 年論文裏，首段描述的就是移動中的磁鐵與導體問題：

關於不同參考系所觀測到的現象，有一個絕對不可妥協的要求，那就是一致性。這是很重要的論點，因為關於趨動電荷、造成電流的作用力，牛頓力學預測一種變換（伽利略變換），而電動力學預測另外一種不同的變換（勞侖茲變換）。從許多實驗的結果，像光行差、邁克生-莫立實驗等等，建立了勞侖茲變換為正確無誤。狹義相對論的成功發展將這與牛頓力學的不符之處徹底解決。關於作用力的變換，從一個參考系到另一個參考系，狹義相對論將這變換加以修改，促使與勞侖茲不變性一致化。稍後，會詳細解釋這些變換。
再進一步，假若能夠將這些描述合併在一起，獨立於參考系的考量之外，不必被各種各樣的參考系牽扯，那會是多麼美好之舉。達到這目標的細微線索是，在一個參考系的磁場，在另一個參考系會變成電場。類似地，在一個參考系的電場的螺線部分（不是由電荷產生的部分），在另一個參考系會變成磁場；也就是說，螺線電場與磁場是一塊銅幣的兩面。這意味著不同描述的弔詭可能只是語意方面的問題。
為了避免這語意陷阱，可以合併描述為電磁張量。電場與磁場變成電磁張量的分量，在所有參考系裏，形式相同。


前論 從做實驗可以觀測到帶電粒子的運動軌道，從而推斷出经典電磁場的存在，经典電磁場理論能夠解釋帶電粒子的運動行為。
物理學強烈地要求，所有觀測必需對於粒子的運動軌道達成共論。例如，假若某觀測發現一個粒子碰撞到標靶靶心，則所有觀測必需達到同樣的結論。這要求對於電磁場的屬性與從一個參考系變換到另一個參考系的物理行為給予約束。這要求也對於電磁場怎樣影響加速度給予約束，從而影響帶電粒子的運動軌道。
愛因斯坦在他的1905年闡述狹義相對論的論文裏提到的例子，即關於導體移動於磁鐵產生的磁場的問題。在磁鐵的參考系，導體會感受到磁場力。在導體的參考系，移動相對於磁鐵，導體會感受到電場力。這磁鐵參考系的磁場與導體參考系的電場，必需對於導體的運動造成一致性的結果。在1905年，愛因斯坦表明，馬克士威方程組所代表的場方程組正確無誤，牛頓運動定律需要修改才能給出一致性的粒子軌道


電磁場的伽利略變換 假設磁鐵參考系與導體參考系是以伽利略變換相關聯，則這兩個參考系所觀測到的電磁場、作用力可以直截了當的計算出來，解釋兩個參考系所觀測到的感應電流相同。這也會順便給出一般方程式，能夠以一個參考系的電磁場表達另一個參考系的電磁場。
實際而言，兩個參考系不是以伽利略變換相關聯，而是以勞侖茲變換相關聯。然而，在相對速度超小於光速之時，伽利略變換是非常優良的近似。

在以下論述裏，沒有單撇號的符號對應於磁鐵的靜止參考系，而有單撇號的符號對應於導體的靜止參考系。
設定 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
 為導體參考系對於磁鐵參考系的相對速度，則位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 、時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的伽利略變換分別為

  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
        =
        
          r
        
        −
        
          v
        
        t
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {v} t}
  
 、

  
    
      
        
          t
          ′
        
        =
        t
      
    
    {\displaystyle t'=t}
  
 。
在伽利略變換下，
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  
 、
  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}
  
 分別為

  
    
      
        
          ∇
          ′
        
        =
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla '=\nabla }
  
 、

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                t
                ′
              
            
          
        
        =
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          v
        
        ⋅
        ∇
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla }
  
 。


= 磁鐵參考系 =
在磁鐵的靜止參考系，參數為場位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 、時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的磁場 
  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}
  
 是由磁鐵的形狀和結構決定，與時間無關。電場為零， 
  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=0}
  
 。
通常，處於電場 
  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}
  
 與磁場 
  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}
  
 的導體內的帶電粒子 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 所感受到的勞侖茲力 
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
 為

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        (
        
          E
        
        +
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
  
 。
由於電場為零，帶電粒子所感受到的作用力為

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
 。


= 導體參考系 =
在導體的靜止參考系，磁場 
  
    
      
        
          
            B
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} '}
  
 與磁鐵參考系的磁場 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 之間的關係為

  
    
      
        
          
            B
          
          ′
        
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        ,
        
          t
          ′
        
        )
        =
        
          B
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} '(\mathbf {r} ',t')=\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}
  
 。
由於磁場 
  
    
      
        
          
            B
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} '}
  
 含時間 
  
    
      
        
          t
          ′
        
      
    
    {\displaystyle t'}
  
 ，根據馬克士威-法拉第方程式，會有電場生成於導體參考系：

  
    
      
        
          ∇
          ′
        
        ×
        
          
            E
          
          ′
        
        =
        −
         
        
          
            
              ∂
              
                
                  B
                
                ′
              
            
            
              ∂
              
                t
                ′
              
            
          
        
        =
        −
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              v
            
            ⋅
            ∇
          
          )
        
        
          B
        
        =
        −
        (
        
          v
        
        ⋅
        ∇
        )
        
          B
        
        =
        −
        (
        
          v
        
        ⋅
        
          ∇
          ′
        
        )
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \nabla '\times \mathbf {E} '=-\ {\frac {\partial \mathbf {B} '}{\partial t'}}=-\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} =-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {B} =-(\mathbf {v} \cdot \nabla ')\mathbf {B} }
  
 。
應用向量恆等式與高斯磁定律，注意到 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
 是常數，可以得到

  
    
      
        
          ∇
          ′
        
        ×
        
          
            E
            ′
          
        
        =
        −
        (
        
          v
        
        ⋅
        
          ∇
          ′
        
        )
        
          B
        
        =
        −
        
          ∇
          ′
        
        ×
        (
        
          B
        
        ×
        
          v
        
        )
        −
        
          v
        
        (
        
          ∇
          ′
        
        ⋅
        
          B
        
        )
        =
        −
        
          ∇
          ′
        
        ×
        (
        
          B
        
        ×
        
          v
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla '\times \mathbf {E'} =-(\mathbf {v} \cdot \nabla ')\mathbf {B} =-\nabla '\times (\mathbf {B} \times \mathbf {v} )-\mathbf {v} (\nabla '\cdot \mathbf {B} )=-\nabla '\times (\mathbf {B} \times \mathbf {v} )}
  
 。
對於這方程式，存在有解答

  
    
      
        
          
            E
          
          ′
        
        =
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
 。
在導體參考系，導體內部的電荷 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 是呈靜止狀態，勞侖茲力的磁場力項目等於零，電荷感受到的作用力為

  
    
      
        
          
            F
          
          ′
        
        =
        q
        
          
            E
          
          ′
        
        =
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
 。
注意到 
  
    
      
        
          F
        
        =
        
          
            F
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} '}
  
 ，在兩個參考系觀測到的作用力相等（這是期待的結果），因此，在兩個參考系任何可觀測到的後果，像感應電流，應該也相等，儘管在導體參考系，作用力是電場力，而在磁鐵參考系，作用力是磁場力。


= 勞侖茲力不變性 =
在伽利略變換下的電場與磁場也可以從勞侖茲力不變性猜出。由於加速度的伽利略變換為

  
    
      
        
          a
        
        =
        
          
            a
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '}
  
 ，
作用力的伽利略變換為

  
    
      
        
          F
        
        =
        
          
            F
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} '}
  
 。
思考移動於電磁場的一個帶電粒子，其所感受到的勞侖茲力為：

  
    
      
        q
        (
        
          E
        
        +
        
          w
        
        ×
        
          B
        
        )
        =
        q
        (
        
          
            E
          
          ′
        
        +
        
          
            w
          
          ′
        
        ×
        
          
            B
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )=q(\mathbf {E} '+\mathbf {w} '\times \mathbf {B} ')}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          w
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} }
  
 、
  
    
      
        
          
            w
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} '}
  
 是粒子分別在磁鐵參考系、導體參考系的速度，
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 是粒子的電量。
速度的伽利略變換為

  
    
      
        
          w
        
        =
        
          
            w
          
          ′
        
        +
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {w} '+\mathbf {v} }
  
 ，
將這變換公式代入，可以得到

  
    
      
        
          E
        
        +
        
          v
        
        ×
        
          
            B
          
          ′
        
        =
        
          
            E
          
          ′
        
        +
        
          w
        
        ×
        (
        
          
            B
          
          ′
        
        −
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} '=\mathbf {E} '+\mathbf {w} \times (\mathbf {B} '-\mathbf {B} )}
  
 。
從參考系裏觀測到的電磁場，不應該與粒子速度有關，唯一可能是設定

  
    
      
        
          
            B
          
          ′
        
        =
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} '=\mathbf {B} }
  
 、

  
    
      
        
          E
        
        =
        
          
            E
          
          ′
        
        −
        
          v
        
        ×
        
          
            B
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} '-\mathbf {v} \times \mathbf {B} '}
  
 。
對於移動中的磁鐵與導體問題，
  
    
      
        
          E
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =0}
  
 、
  
    
      
        
          
            w
          
          ′
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} '=0}
  
 ，勞侖茲力分別為

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
 、

  
    
      
        
          
            F
          
          ′
        
        =
        q
        
          
            E
          
          ′
        
        =
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
 。


= 電磁場的伽利略變換方程式 =
將前面結果加以延伸，假設在磁鐵參考系觀測到的電場不等於零，則仍舊可倚賴馬克士威-法拉第方程式做出解釋，在導體參考系，這含時電場會貢獻出磁場。通常而言，最終結果是

  
    
      
        
          
            E
          
          ′
        
        =
        
          E
        
        +
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
 、

  
    
      
        
          
            B
          
          ′
        
        =
        
          B
        
        −
        
          
            1
            
              
                c
              
              
                2
              
            
          
        
         
        
          v
        
        ×
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} '=\mathbf {B} -{\frac {1}{{c}^{2}}}\ \mathbf {v} \times \mathbf {E} }
  
 ；
其中，
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 是自由空間的光速。
將這些變換方程式帶入馬克士威方程組，可以發覺，假若在一個參考系裏，馬克士威方程組完全成立，則在另外一個參考系裏，馬克士威方程組幾乎完全成立，只差幾個不正確的項目。這些項目必需靠勞侖茲變換來修正。所以，這些變換方程式有瑕疵，稍後會有更詳細解釋。


電磁場的勞侖茲變換 假設相對於磁鐵參考系，導體參考系以速度 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
 移動，則馬克士威方程組的變換方程式為：

  
    
      
        
          
            E
          
          
            ∥
          
          ′
        
        =
        
          
            E
          
          
            ∥
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }'=\mathbf {E} _{\parallel }}
  
 、

  
    
      
        
          
            E
          
          
            ⊥
          
          ′
        
        =
        γ
        (
        
          
            E
          
          
            ⊥
          
        
        +
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} _{\bot }'=\gamma (\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
  
 、

  
    
      
        
          
            B
          
          
            ∥
          
          ′
        
        =
        
          
            B
          
          
            ∥
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} _{\parallel }'=\mathbf {B} _{\parallel }}
  
 、

  
    
      
        
          
            B
          
          
            ⊥
          
          ′
        
        =
        γ
        (
        
          
            B
          
          
            ⊥
          
        
        −
        
          
            
              v
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        ×
        
          E
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} _{\bot }'=\gamma (\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\times \mathbf {E} )}
  
 ；
其中，
  
    
      
        γ
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                
                  (
                  v
                  
                    /
                  
                  c
                  )
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{(v/c)}^{2}}}}}
  
  是勞侖茲因子，與 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
 平行的電磁場部分以符號 
  
    
      
        ∥
      
    
    {\displaystyle \parallel }
  
 為下標，與 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
 垂直的電磁場部分以符號 
  
    
      
        ⊥
      
    
    {\displaystyle \bot }
  
 為下標。
假設在磁鐵參考系裏，電場為零，
  
    
      
        
          E
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =0}
  
 ，則

  
    
      
        
          
            E
          
          ′
        
        =
        γ
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
 。
在導體參考系裏，電荷感受到的作用力為

  
    
      
        
          
            F
          
          ′
        
        =
        q
        
          
            E
          
          ′
        
        =
        q
        γ
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
 。
這方程式與先前從非相對論性牛頓運動定律獲得的方程式不同，相差一個勞侖茲因子 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 。注意到現在 
  
    
      
        
          F
        
        =
        
          
            F
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} \neq \mathbf {F} '}
  
 ，在兩個參考系觀測到的作用力不再相等。物理學不能容忍這樣的結果。幸好，有狹義相對論中流砥柱，能夠給出兩個參考系之間對於作用力的正確變換方程式，化解這困境。


= 作用力的相對論性修正 =

注意到在兩個參考系裏，勞侖茲力都具有同樣的形式，雖然電磁場的數值大小不同：

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        
          [
          
            
              E
            
            +
            
              v
            
            ×
            
              B
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q\left[\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right]}
  
 、

  
    
      
        
          
            F
          
          ′
        
        =
        q
        
          [
          
            
              
                E
              
              ′
            
            +
            
              
                v
              
              ′
            
            ×
            
              
                B
              
              ′
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} '=q\left[\mathbf {E} '+\mathbf {v} '\times \mathbf {B} '\right]}
  
 。
如右圖所示，稍微簡化案例，設定磁場為 
  
    
      
        
          B
        
        =
        B
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}}
  
 ，電場為 
  
    
      
        
          E
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =0}
  
 ，導體以速度 
  
    
      
        
          v
        
        =
        v
        
          
            
              
                x
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {x} }}}
  
 移動。那麼，在磁鐵參考系裏，電荷感受的作用力為

  
    
      
        
          F
          
            y
          
        
        =
        −
        q
        v
        B
      
    
    {\displaystyle F_{y}=-qvB}
  
 。
在導體參考系裏，磁鐵相對地移動，電荷感受的作用力為

  
    
      
        
          
            
              F
              
                y
              
            
          
          ′
        
        =
        q
        
          E
          ′
        
        =
        −
        q
        γ
        v
        B
      
    
    {\displaystyle {F_{y}}'=qE'=-q\gamma vB}
  
 。
這兩個作用力相差勞侖茲因子 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 。應用狹義相對論，可以解釋這差別。在狹義相對論裏，從磁鐵參考系勞侖茲變換到導體參考系，時空坐標的變換方程式為（注意到兩個參考系的相對運動是沿著x-方向。）

  
    
      
        
          x
          ′
        
        =
        γ
        (
        x
        −
        v
        t
        )
         
      
    
    {\displaystyle x'=\gamma (x-vt)\ }
  
 、  
  
    
      
        x
        =
        γ
        (
        
          x
          ′
        
        +
        v
        
          t
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=\gamma (x'+vt')}
  
 、

  
    
      
        
          t
          ′
        
        =
        γ
        
          (
          
            t
            −
            
              
                
                  v
                  x
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}
  
 、  
  
    
      
        t
        =
        γ
        
          (
          
            
              t
              ′
            
            +
            
              
                
                  v
                  
                    x
                    ′
                  
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle t=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)}
  
 。
這些變換引致作用力y-分量的差別：

  
    
      
        
          
            
              F
              
                y
              
            
          
          ′
        
        =
        γ
        
          
            F
            
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {F_{y}}'=\gamma {F_{y}}}
  
 。
為了遵守勞侖茲不變性，同樣的作用力，在不同參考系觀測到的數值可能不一樣，這與伽利略不變性迥然不同。但是，回憶前段落根據勞侖茲力定律所做的分析，可以得到

  
    
      
        γ
        
          F
          
            y
          
        
        =
        −
        q
        γ
        v
        B
      
    
    {\displaystyle \gamma F_{y}=-q\gamma vB}
  
 、   
  
    
      
        
          
            
              F
              
                y
              
            
          
          ′
        
        =
        −
        q
        γ
        v
        B
      
    
    {\displaystyle {F_{y}}'=-q\gamma vB}
  
 。
兩個結果完全相符合。雖然從不同參考系測量得到的作用力數值不一樣，但是參考系與參考系之間的變換完全遵守相對論。


經典電磁理論的協變表述 應用協變表述，閔可夫斯基度規的形式被規定為 
  
    
      
        d
        i
        a
        g
        (
        1
        ,
        −
        1
        ,
        −
        1
        ,
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle diag(1,-1,-1,-1)}
  
 ，這是参考了約翰·傑克森（John D. Jackson）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。
先列出解析移動中的磁鐵與導體問題所需的變量與方程式。定義帶電粒子的四維速度 
  
    
      
        
          u
          
            ζ
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{\zeta }}
  
 為

  
    
      
        
          u
          
            ζ
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        (
        
          u
          
            0
          
        
        ,
        
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
        
          u
          
            2
          
        
        ,
        
        
          u
          
            3
          
        
        )
        =
        γ
        (
        c
        ,
        
        −
        
          v
          
            x
          
        
        ,
        
        −
        
          v
          
            y
          
        
        ,
        
        −
        
          v
          
            z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u_{\zeta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})}
  
 ；
其中，
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 是自由空間的光速，
  
    
      
        
          v
        
        =
        (
        
          v
          
            x
          
        
        ,
        
        
          v
          
            y
          
        
        ,
        
        
          v
          
            z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})}
  
 是帶電粒子的速度向量。
定義電磁場張量 
  
    
      
        
          F
          
            ξ
            ζ
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{\xi \zeta }}
  
 為

  
    
      
        
          F
          
            ξ
            ζ
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    E
                    
                      x
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    E
                    
                      y
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    E
                    
                      z
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
              
              
                
                  
                    E
                    
                      x
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    E
                    
                      y
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  
                    B
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    E
                    
                      z
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{\xi \zeta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          E
        
        =
        (
        
          E
          
            x
          
        
        ,
        
        
          E
          
            y
          
        
        ,
        
        
          E
          
            z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =(E_{x},\,E_{y},\,E_{z})}
  
 是電場，
  
    
      
        
          B
        
        =
        (
        
          B
          
            x
          
        
        ,
        
        
          B
          
            y
          
        
        ,
        
        
          B
          
            z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =(B_{x},\,B_{y},\,B_{z})}
  
 是磁場。
結合牛頓運動定律與勞侖茲力定律在一起，以電磁場張量寫為協變形式(covariant form)：

  
    
      
        
          f
          
            ξ
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            
              d
              
                p
                
                  ξ
                
              
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        q
        
          u
          
            ζ
          
        
        
          F
          
            ξ
            ζ
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{\xi }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {dp^{\xi }}{d\tau }}=qu_{\zeta }F^{\xi \zeta }}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          f
          
            ξ
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{\xi }}
  
 是四維力（four-force），
  
    
      
        
          p
          
            ξ
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{\xi }}
  
 是四維動量，
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 是帶電粒子的固有時。
應用勞侖茲變換，電磁場張量可以從一個參考系變換到另一個參考系：

  
    
      
        
          F
          
            ′
            
              μ
              ν
            
          
        
        =
        
          
            
              Λ
              
                μ
              
            
          
          
            ξ
          
        
        
          
            
              Λ
              
                ν
              
            
          
          
            ζ
          
        
        
          F
          
            ξ
            ζ
          
        
      
    
    {\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\xi }{\Lambda ^{\nu }}_{\zeta }F^{\xi \zeta }}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          
            
              Λ
              
                μ
              
            
          
          
            ξ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\xi }}
  
 和 
  
    
      
        
          
            
              Λ
              
                ν
              
            
          
          
            ζ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\Lambda ^{\nu }}_{\zeta }}
  
 是勞侖茲變換矩陣。
現在，可以開始解析移動中的磁鐵與導體問題。與這問題相關的勞侖茲變換矩陣 
  
    
      
        
          Λ
          
            ν
          
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}
  
 是

  
    
      
        
          Λ
          
            ν
          
          
            μ
          
        
        =
         
        
          (
          
            
              
                
                  γ
                
                
                  −
                  γ
                  β
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  γ
                  β
                
                
                  γ
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}
  
 ；
其中，
  
    
      
        β
        =
        
          
            v
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}
  
 是貝他因子。
在磁鐵參考系，觀測到的電磁場張量 
  
    
      
        
          F
          
            ξ
            ζ
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{\xi \zeta }}
  
 為

  
    
      
        
          F
          
            ξ
            ζ
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  −
                  B
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  B
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{\xi \zeta }={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-B&0\\0&B&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}
  
 。
帶電粒子（也可以說是導體）的四維速度 
  
    
      
        
          u
          
            ζ
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{\zeta }}
  
 為

  
    
      
        
          u
          
            ζ
          
        
        =
        γ
        (
        c
        ,
        
        −
        v
        ,
        
        0
        ,
        
        0
        )
      
    
    {\displaystyle u_{\zeta }=\gamma (c,\,-v,\,0,\,0)}
  
 ；
四維力 
  
    
      
        
          f
          
            ξ
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{\xi }}
  
 為

  
    
      
        
          f
          
            ξ
          
        
        =
        q
        
          u
          
            ζ
          
        
        
          F
          
            ξ
            ζ
          
        
        =
        γ
        (
        0
        ,
        
        0
        ,
        
        −
        v
        B
        ,
        
        0
        )
      
    
    {\displaystyle f^{\xi }=qu_{\zeta }F^{\xi \zeta }=\gamma (0,\,0,\,-vB,\,0)}
  
 。
在導體參考系，觀測到的電磁場張量 
  
    
      
        
          F
          
            ′
            
              μ
              ν
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F'^{\mu \nu }}
  
 為

  
    
      
        
          F
          
            ′
            
              02
            
          
        
        =
        
          
            
              Λ
              
                0
              
            
          
          
            ξ
          
        
        
          
            
              Λ
              
                2
              
            
          
          
            ζ
          
        
        
          F
          
            ξ
            ζ
          
        
        =
        
          
            
              Λ
              
                0
              
            
          
          
            1
          
        
        
          
            
              Λ
              
                2
              
            
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            12
          
        
        +
        
          
            
              Λ
              
                0
              
            
          
          
            2
          
        
        
          
            
              Λ
              
                2
              
            
          
          
            1
          
        
        
          F
          
            21
          
        
        =
        γ
        β
        B
      
    
    {\displaystyle F'^{02}={\Lambda ^{0}}_{\xi }{\Lambda ^{2}}_{\zeta }F^{\xi \zeta }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}+{\Lambda ^{0}}_{2}{\Lambda ^{2}}_{1}F^{21}=\gamma \beta B}
  
 、

  
    
      
        
          F
          
            ′
            
              20
            
          
        
        =
        
          
            
              Λ
              
                2
              
            
          
          
            ξ
          
        
        
          
            
              Λ
              
                0
              
            
          
          
            ζ
          
        
        
          F
          
            ξ
            ζ
          
        
        =
        
          
            
              Λ
              
                2
              
            
          
          
            1
          
        
        
          
            
              Λ
              
                0
              
            
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            12
          
        
        +
        
          
            
              Λ
              
                2
              
            
          
          
            2
          
        
        
          
            
              Λ
              
                0
              
            
          
          
            1
          
        
        
          F
          
            21
          
        
        =
        −
        γ
        β
        B
      
    
    {\displaystyle F'^{20}={\Lambda ^{2}}_{\xi }{\Lambda ^{0}}_{\zeta }F^{\xi \zeta }={\Lambda ^{2}}_{1}{\Lambda ^{0}}_{2}F^{12}+{\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{0}}_{1}F^{21}=-\gamma \beta B}
  
 。
其他項目都等零。所以電磁場張量 
  
    
      
        
          F
          
            ′
            
              μ
              ν
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F'^{\mu \nu }}
  
 為

  
    
      
        
          F
          
            ′
            
              μ
              ν
            
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  γ
                  β
                  B
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  γ
                  β
                  B
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle F'^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&0&\gamma \beta B&0\\0&0&0&0\\-\gamma \beta B&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}
  
 ，
在導體參考系，電場為

  
    
      
        
          E
          ′
        
        =
        −
        γ
        v
        B
      
    
    {\displaystyle E'=-\gamma vB}
  
 。
帶電粒子（也可以說是導體）的四維速度 
  
    
      
        
          u
          
            ζ
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle u'_{\zeta }}
  
 為

  
    
      
        
          u
          
            ζ
          
          ′
        
        =
        γ
        (
        c
        ,
        
        0
        ,
        
        0
        ,
        
        0
        )
      
    
    {\displaystyle u'_{\zeta }=\gamma (c,\,0,\,0,\,0)}
  
 ；
四維力 
  
    
      
        
          f
          
            ′
            
              ξ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f'^{\xi }}
  
 為

  
    
      
        
          f
          
            ′
            
              ξ
            
          
        
        =
        q
        
          u
          
            ζ
          
          ′
        
        
          F
          
            ′
            
              ξ
              ζ
            
          
        
        =
        γ
        (
        0
        ,
        
        0
        ,
        
        −
        v
        B
        ,
        
        0
        )
      
    
    {\displaystyle f'^{\xi }=qu'_{\zeta }F'^{\xi \zeta }=\gamma (0,\,0,\,-vB,\,0)}
  
 。
這滿足兩個參考系之間對於四維力的勞侖茲變換：

  
    
      
        
          f
          
            ′
            
              μ
            
          
        
        =
        
          
            
              Λ
              
                μ
              
            
          
          
            ξ
          
        
        
          f
          
            ξ
          
        
      
    
    {\displaystyle f'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\xi }f^{\xi }}
  
 。


參閱 參考文獻 外部連結 加州大學洛杉磯分校物理課堂示範網頁 ：磁鐵與導體的相對運動實驗 （页面存档备份，存于互联网档案馆）