在向量微积分中，弗勒内-塞雷公式（Frenet–Serret 公式）用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗勒内公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内（于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷（于1851年）分别提出。
单位切向量 T，单位法向量 N，单位副法向量 B，被称作 弗勒内标架，他们的具体定义如下：

T 是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。
N 是切向量 T 对弧长参数的微分单位化得到的向量。
B 是 T 和 N 的外积。
弗勒内公式如下：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        d
                        
                          T
                        
                      
                      
                        d
                        s
                      
                    
                  
                
              
              
                
                =
                κ
                
                  N
                
                ,
              
            
            
              
                
                  
                    
                      
                        d
                        
                          N
                        
                      
                      
                        d
                        s
                      
                    
                  
                
              
              
                
                =
                −
                κ
                
                  T
                
                +
                τ
                
                  B
                
                ,
              
            
            
              
                
                  
                    
                      
                        d
                        
                          B
                        
                      
                      
                        d
                        s
                      
                    
                  
                
              
              
                
                =
                −
                τ
                
                  N
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}}
  

其中d/ds 是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。


弗勒内公式 记r(t) 为欧式空间R3中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗勒内公式只适用于正则曲线，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。
记 s(t) 为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：

  
    
      
        s
        (
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        ‖
        
          
            r
          
          ′
        
        (
        τ
        )
        ‖
        d
        τ
        .
      
    
    {\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\|\mathbf {r} '(\tau )\|d\tau .}
  

由于假设r′ = 0，因此可以将 t 表示为 s 的函数，因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。
对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s)，弗勒内标架 (或弗勒内基底)定义如下：

单位切向量 T：

  
    
      
        
          T
        
        =
        
          
            
              d
              
                r
              
            
            
              d
              s
            
          
        
        .
        
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} ={d\mathbf {r}  \over ds}.\qquad \qquad (1)}
  

主法向量 N：

  
    
      
        
          N
        
        =
        
          
            
              
                
                  d
                  
                    T
                  
                
                
                  d
                  s
                
              
            
            
              ‖
              
                
                  
                    d
                    
                      T
                    
                  
                  
                    d
                    s
                  
                
              
              ‖
            
          
        
        .
        
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}.\qquad \qquad (2)}
  

副法向量 B 定义为 T 和 N 的外积：

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          T
        
        ×
        
          N
        
        .
        
        
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .\qquad \qquad (3)}
  

由于 
  
    
      
        
          |
        
        
          T
        
        
          |
        
        =
        1
        ,
        
          
            
              d
              (
              
                T
              
              ⋅
              
                T
              
              )
            
            
              d
              s
            
          
        
        =
        2
        
          T
        
        ⋅
        
          N
        
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,}
  
 所以 N 与 T 垂直。  方程 (3) 说明 B 垂直于 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。
弗勒内公式如下：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      d
                      
                        T
                      
                    
                    
                      d
                      s
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
              
                κ
                
                  N
                
              
              
            
            
              
              
              
              
              
            
            
              
                
                  
                    
                      d
                      
                        N
                      
                    
                    
                      d
                      s
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
                −
                κ
                
                  T
                
              
              
              
                +
                
                τ
                
                  B
                
              
            
            
              
              
              
              
              
            
            
              
                
                  
                    
                      d
                      
                        B
                      
                    
                    
                      d
                      s
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
              
                −
                τ
                
                  N
                
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} &\end{matrix}}}
  

其中 κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。
弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理，并且可以写做矩阵的形式：

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      T
                      ′
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      N
                      ′
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      B
                      ′
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  κ
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  κ
                
                
                  0
                
                
                  τ
                
              
              
                
                  0
                
                
                  −
                  τ
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    T
                  
                
              
              
                
                  
                    N
                  
                
              
              
                
                  
                    B
                  
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}
  

其中的矩阵是反对称矩阵。
对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。


参阅 曲线仿射几何
曲线微分几何
达布标架
运动学


注释 参考资料 Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet, L., Orientation by Helical Motion II.  Changing the direction of the axis of motion, Bulletin of Mathematical Biology, 1993, 55 (1): 213–230 
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外部链接 Rudy Rucker's KappaTau Paper.
Very nice visual representation for the trihedron