S波（S-wave，secondary wave）是二種體波（體波的命名是因為此波穿越地球內部，相對於體波的是表面波）中之一。它是因地震而產生的，被地震儀記錄下來。命名為S波（二次波，secondary wave）是因為它的速度僅次於P波（最快的地震波）。S波也可以代表剪切波（shear wave），因為S波是一種橫波，地球內部粒子的震動方向與震波能量傳遞方向是垂直的。S波與P波不同的是，S波無法穿越外地核。所以S波的陰影區正對著地震的震源。
S波移动时是剪切波或横波，因此其运动方向与波的传播方向是垂直的，若要形象地描述S波，可以认为S波是挥动绳子时，绳子上传播的波，这与P波是不同的。P波是一种纵波，纵波就如振动的弹簧上传播的波，其形态就像蠕虫一样。S波通过弹性介质移动，而主要的恢复力来自於剪切效应。这些波是不发散的，遵守不可压缩介质的连续性方程：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          u
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}
  


原理 S波预测来自於1800年代的理论，最初来自於各向同性固体的應力－应变关系：

  
    
      
        
          τ
          
            i
            j
          
        
        =
        λ
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        
          e
          
            k
            k
          
        
        +
        2
        μ
        
          e
          
            i
            j
          
        
         
      
    
    {\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}e_{kk}+2\mu e_{ij}\ }
  

其中
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
是应力，
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
和
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
是拉梅参数（
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
是剪切模量），
  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}}
  
是克罗内克函数，而应变张量定义为

  
    
      
        
          e
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              ∂
              
                i
              
            
            
              u
              
                j
              
            
            +
            
              ∂
              
                j
              
            
            
              u
              
                i
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}
  

其中u是应变位移。将後式代入前式得到

  
    
      
        
          τ
          
            i
            j
          
        
        =
        λ
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        
          ∂
          
            k
          
        
        
          u
          
            k
          
        
        +
        μ
        
          (
          
            
              ∂
              
                i
              
            
            
              u
              
                j
              
            
            +
            
              ∂
              
                j
              
            
            
              u
              
                i
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}
  

这种情况下的牛顿第二定律给出了地震波传播的运动齐次方程：

  
    
      
        ρ
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                u
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          ∂
          
            j
          
        
        
          τ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\partial _{j}\tau _{ij}}
  

其中
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
是质量密度。代入上面的应力张量得到：

  
    
      
        ρ
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                u
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          ∂
          
            i
          
        
        λ
        
          ∂
          
            k
          
        
        
          u
          
            k
          
        
        +
        
          ∂
          
            j
          
        
        μ
        
          (
          
            
              ∂
              
                i
              
            
            
              u
              
                j
              
            
            +
            
              ∂
              
                j
              
            
            
              u
              
                i
              
            
          
          )
        
        =
        λ
        
          ∂
          
            i
          
        
        
          ∂
          
            k
          
        
        
          u
          
            k
          
        
        +
        μ
        
          ∂
          
            i
          
        
        
          ∂
          
            j
          
        
        
          u
          
            j
          
        
        +
        μ
        
          ∂
          
            j
          
        
        
          ∂
          
            j
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\partial _{i}\lambda \partial _{k}u_{k}+\partial _{j}\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)=\lambda \partial _{i}\partial _{k}u_{k}+\mu \partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\mu \partial _{j}\partial _{j}u_{i}.}
  

利用向量恒等式并取一定的近似可得到均匀介质中的地震波方程：

  
    
      
        ρ
        
          
            
              u
              ¨
            
          
        
        =
        
          (
          
            λ
            +
            2
            μ
          
          )
        
        ∇
        (
        ∇
        ⋅
        
          u
        
        )
        −
        μ
        ∇
        ×
        (
        ∇
        ×
        
          u
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho {\ddot {\boldsymbol {u}}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {u}})-\mu \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {u}})}
  

其中牛顿标记用於表示时间导数。取方程的旋度并利用向量恒等式最终得到：

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        (
        ∇
        ×
        
          u
        
        )
        −
        
          
            1
            
              β
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              (
              ∇
              ×
              
                u
              
              )
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})-{\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})}{\partial t^{2}}}=0}
  

这一方程是一个只包含了u的旋度和速度
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
的波动方程，其中
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
满足

  
    
      
        
          β
          
            2
          
        
        =
        
          
            μ
            ρ
          
        
         
      
    
    {\displaystyle \beta ^{2}={\frac {\mu }{\rho }}\ }
  

这一公式描述了S波的传播。若用均匀介质中的地震波方程的散度代替旋度，则会得到描述P波传播的方程。


參見 P波
橫波


参考文献