在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（英語：adjugate matrix）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的伴随矩阵记作
  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
  
，或
  
    
      
        
          
            A
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}
  
。


定义 设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：

  
    
      
        
          
            C
          
          
            i
            j
          
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
            +
            j
          
        
        
          
            M
          
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}
  
。
定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。
引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
        =
        
          
            C
          
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}}
  
，
也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。
简言之，伴随矩阵就是把原来余子矩阵C每一列的代数余子式横着写：

  
    
      
        
          
            [
            
              
                a
                d
                j
              
              (
              
                A
              
              )
            
            ]
          
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            C
          
          
            j
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \left[\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\right]_{ij}=\mathbf {C} _{ji}}
  
。


例子 = 2x2矩阵 =
一个
  
    
      
        2
        ×
        2
      
    
    {\displaystyle 2\times 2}
  
矩阵
  
    
      
        
          A
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                  
                
                
                  
                    b
                  
                
              
              
                
                  
                    c
                  
                
                
                  
                    d
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}}
  
的伴随矩阵是

  
    
      
        adj
        ⁡
        (
        
          A
        
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                  
                  
                  
                    d
                  
                
                
                  
                  
                  
                    −
                    b
                  
                
              
              
                
                  
                    −
                    c
                  
                
                
                  
                    a
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{bmatrix}}}
  


= 3x3矩阵 =
对于
  
    
      
        3
        ×
        3
      
    
    {\displaystyle 3\times 3}
  
的矩阵，情况稍微复杂一点：

  
    
      
        
          A
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      13
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      23
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      31
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      32
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}
  

其伴随矩阵是：

  
    
      
        adj
        ⁡
        (
        
          A
        
        )
        =
        
          
            
              [
              
                
                  
                    +
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  22
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  23
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  32
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  33
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    −
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  21
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  23
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  31
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  33
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    +
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  21
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  22
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  31
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  32
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
                
                  
                  
                  
                
                
                  
                    −
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  12
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  13
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  32
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  33
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    +
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  11
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  13
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  31
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  33
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    −
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  11
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  12
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  31
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  32
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
                
                  
                  
                  
                
                
                  
                    +
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  12
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  13
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  22
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  23
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    −
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  11
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  13
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  21
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  23
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    +
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  11
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  12
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                a
                                
                                  21
                                
                              
                            
                            
                              
                                a
                                
                                  22
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
              
              ]
            
          
          
            T
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  +
                  
                    
                      |
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                22
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                23
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                32
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                33
                              
                            
                          
                        
                      
                      |
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    
                      |
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                12
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                13
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                32
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                33
                              
                            
                          
                        
                      
                      |
                    
                  
                
                
                  +
                  
                    
                      |
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                12
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                13
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                22
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                23
                              
                            
                          
                        
                      
                      |
                    
                  
                
              
              
                
                
                
              
              
                
                  −
                  
                    
                      |
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                21
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                23
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                31
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                33
                              
                            
                          
                        
                      
                      |
                    
                  
                
                
                  +
                  
                    
                      |
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                11
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                13
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                31
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                33
                              
                            
                          
                        
                      
                      |
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    
                      |
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                11
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                13
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                21
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                23
                              
                            
                          
                        
                      
                      |
                    
                  
                
              
              
                
                
                
              
              
                
                  +
                  
                    
                      |
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                21
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                22
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                31
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                32
                              
                            
                          
                        
                      
                      |
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    
                      |
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                11
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                12
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                31
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                32
                              
                            
                          
                        
                      
                      |
                    
                  
                
                
                  +
                  
                    
                      |
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                11
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                12
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                21
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                22
                              
                            
                          
                        
                      
                      |
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}}
  

其中

  
    
      
        
          |
          
            
              
                
                  
                    a
                    
                      i
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      i
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                  
                  
                    a
                    
                      j
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      j
                      n
                    
                  
                
              
            
          
          |
        
        =
        det
        
          [
          
            
              
                
                  
                    a
                    
                      i
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      i
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                  
                  
                    a
                    
                      j
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      j
                      n
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        =
        det
        
          |
          
            
              
                
                  
                    a
                    
                      i
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      i
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                  
                  
                    a
                    
                      j
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      j
                      n
                    
                  
                
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left[{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right]=\det \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|}
  

要注意伴随矩阵是餘因子矩陣的转置，因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。


= 具体情况 =
对于数值矩阵，
例如求矩阵 
  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                  −
                  3
                
                
                  
                  2
                
                
                  
                  −
                  5
                
              
              
                
                  
                  −
                  1
                
                
                  
                  0
                
                
                  
                  −
                  2
                
              
              
                
                  
                  3
                
                
                  
                  −
                  4
                
                
                  
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}}
  
 的伴随矩阵
  
    
      
        adj
        ⁡
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {adj} (A)}
  
，
只需将数值代入上节得到的表达式中。
即：
  
    
      
        adj
        ⁡
        (
        A
        
          )
          
            j
            i
          
        
        =
        
          C
          
            i
            j
          
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
            +
            j
          
        
        (
        
          M
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {adj} (A)_{ji}=C_{ij}=(-1)^{i+j}(M_{ij})}
  
。
其中，
  
    
      
        
          M
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{ij}}
  
為刪掉矩陣 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，
  
    
      
        
          C
          
            j
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{ji}}
  
為矩陣 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的餘因子。
例如：
  
    
      
        adj
        ⁡
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {adj} (A)}
  
中第3行第2列的元素为

  
    
      
        adj
        ⁡
        (
        A
        
          )
          
            32
          
        
        =
        
          C
          
            23
          
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            2
            +
            3
          
        
        
        det
        ⁡
        
          
            [
            
              
                
                  
                  −
                  3
                
                
                  
                  2
                
              
              
                
                  
                  3
                
                
                  
                  −
                  4
                
              
            
            ]
          
        
        =
        −
        (
        (
        −
        3
        )
        ⋅
        (
        −
        4
        )
        −
        2
        ⋅
        3
        )
        =
        −
        6
      
    
    {\displaystyle \operatorname {adj} (A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname {det} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\\,3&\!-4\end{bmatrix}}=-((-3)\cdot (-4)-2\cdot 3)=-6}
  

依照其順序一一計算，便可得到计算后的结果是：

  
    
      
        adj
        ⁡
        (
        A
        )
        =
        adj
        ⁡
        
          
            [
            
              
                
                  
                  −
                  3
                
                
                  
                  2
                
                
                  
                  −
                  5
                
              
              
                
                  
                  −
                  1
                
                
                  
                  0
                
                
                  
                  −
                  2
                
              
              
                
                  
                  3
                
                
                  
                  −
                  4
                
                
                  
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                  −
                  8
                
                
                  18
                
                
                  
                  −
                  4
                
              
              
                
                  
                  −
                  5
                
                
                  12
                
                
                  
                  −
                  1
                
              
              
                
                  
                  4
                
                
                  
                  −
                  6
                
                
                  
                  2
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\!-8&18&\,-4\\\,-5&12&\,-1\\\!4&\!-6&\,2\end{bmatrix}}}
  


应用 作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n矩阵A的行列式，有：

  
    
      
        
          A
        
        
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
        =
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
        
        
          A
        
        =
        det
        (
        
          A
        
        )
        
        
          I
        
        
        (
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} \qquad (*)}
  

其中I是n阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第i行第i列的系数是

  
    
      
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
            ;
            j
          
        
        
          C
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{i;j}C_{i,j}}
  
。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。
如果i = j，那么A adj(A)的第i行第j列的系数是

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
            ;
            k
          
        
        
          C
          
            j
            ,
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{i;k}C_{j,k}}
  
。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。
由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。
这是因为如果A可逆，那么

  
    
      
        1
        =
        det
        (
        
          I
        
        )
        =
        det
        (
        
          A
        
        
          
            A
          
          
            −
            1
          
        
        )
        =
        det
        (
        
          A
        
        )
        det
        (
        
          
            A
          
          
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 1=\det(\mathbf {I} )=\det(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {A} ^{-1})}
  
，
如果det(A)是环中的可逆元那么公式（*）表明

  
    
      
        
          
            A
          
          
            −
            1
          
        
        =
        det
        (
        
          A
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
  


性质 对
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
的矩阵A和B，有：

  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          I
        
        )
        =
        
          I
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} }
  
，

  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
          B
        
        )
        =
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          B
        
        )
        
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
  
，

  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          
            A
          
          
            T
          
        
        )
        =
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        
          )
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{T})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{T}}
  
，

  
    
      
        det
        
          
            (
          
        
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
        
          
            )
          
        
        =
        det
        (
        
          A
        
        
          )
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}}
  
，

  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        k
        
          A
        
        )
        =
        
          k
          
            n
            −
            1
          
        
         
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (k\mathbf {A} )=k^{n-1}\ \mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
  

当n>=2时，
  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
        )
        =
        (
        det
        
          A
        
        
          )
          
            n
            −
            2
          
        
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} }
  

如果A可逆，那么
  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          
            A
          
          
            −
            1
          
        
        )
        =
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            A
            
              det
              A
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{-1})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{-1}={\frac {A}{\det A}}}
  

如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。
如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
如果矩阵A和B相似，那么
  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
  
和
  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {B} )}
  
也相似。
如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当
  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
        =
        ±
        
          A
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\pm A^{T}}
  


= 伴随矩阵的秩 =
当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为零矩阵。


= 伴随矩阵的特征值 =
设矩阵A在复域中的特征值为
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
          λ
          
            2
          
        
        ⋯
        
          λ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}}
  
(即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为

  
    
      
        
          λ
          
            2
          
        
        
          λ
          
            3
          
        
        ⋯
        
          λ
          
            n
          
        
        ,
         
        
          λ
          
            1
          
        
        
          λ
          
            3
          
        
        ⋯
        
          λ
          
            n
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          λ
          
            1
          
        
        
          λ
          
            2
          
        
        ⋯
        
          λ
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\ \lambda _{1}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\cdots ,\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}}
  
。


= 伴随矩阵和特征多项式 =
设 
  
    
      
        p
        (
        t
        )
        =
        
          d
          e
          t
        
        (
        
          A
        
        −
        t
        
          I
        
        )
      
    
    {\displaystyle p(t)=\mathrm {det} (\mathbf {A} -t\mathbf {I} )}
  
 为
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的特征多项式，定义
  
    
      
        q
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              p
              (
              0
              )
              −
              p
              (
              t
              )
            
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle q(t)={\frac {p(0)-p(t)}{t}}}
  
，那么：

  
    
      
        
          a
          d
          j
        
        (
        
          A
        
        )
        =
        q
        (
        
          A
        
        )
        =
        −
        (
        
          p
          
            1
          
        
        
          I
        
        +
        
          p
          
            2
          
        
        
          A
        
        +
        
          p
          
            3
          
        
        
          
            A
          
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          p
          
            n
          
        
        
          
            A
          
          
            n
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1})}
  
,
其中
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
  
是
  
    
      
        p
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle p(t)}
  
的各项系数：

  
    
      
        p
        (
        t
        )
        =
        
          p
          
            0
          
        
        +
        
          p
          
            1
          
        
        t
        +
        
          p
          
            2
          
        
        
          t
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        
          p
          
            n
          
        
        
          t
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}}
  
。
伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。


参见 逆矩阵
可逆元
余子矩阵
行列式


参考来源 Strang, Gilbert. Section 4.4: Applications of determinants. Linear Algebra and its Applications 3. Harcourt Brace Jovanovich. 1988: 231–232. ISBN 0-15-551005-3 （英语）. 
居余马. 线性代数 2. 清华大学出版社. 2002 （中文（中国大陆））. 


外部链接 矩阵论参考手册 (英文)（页面存档备份，存于互联网档案馆）