数学上，
  
    
      
        
        n
        
      
    
    {\displaystyle \,n\,}
  
次單位根是
  
    
      
        
        n
        
      
    
    {\displaystyle \,n\,}
  
次冪為1的複數。它們位於复平面的单位圆上，構成正多边形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。


定义 z
          
            n
          
        
        =
        1
        
        (
        n
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        ⋯
        )
      
    
    {\displaystyle z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )}
  

这方程的複數根 
  
    
      
        z
        
      
    
    {\displaystyle z\,}
  
為
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
次單位根。
單位的 
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
次根有 
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
個：

  
    
      
        
          e
          
            
              
                2
                π
                k
                
                  i
                
              
              n
            
          
        
        
        (
        k
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        ,
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}\qquad (k=0,1,2,\cdots ,n-1)}
  
。


本原根 單位的 
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
次根以乘法構成
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
階循環群。它的生成元是 
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
次本原單位根。
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
次本原單位根是
  
    
      
        
          e
          
            
              
                2
                π
                k
                
                  i
                
              
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}}
  
，其中
  
    
      
        k
        
      
    
    {\displaystyle k\,}
  
和
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
互質。
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
次本原單位根數目為歐拉函數
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
。
全体i次单位根对普通乘法作成群，即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群，且这是一个无限交换群，这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。


例子 一次單位根有一個: 
  
    
      
        1
        
      
    
    {\displaystyle 1\,}
  
。
二次單位根有兩個: 
  
    
      
        1
        
      
    
    {\displaystyle 1\,}
  
和
  
    
      
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle -1\,}
  
，只有
  
    
      
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle -1\,}
  
是本原根。
三次单位根是

  
    
      
        
          {
          
            1
            ,
            
              
                
                  −
                  1
                  +
                  
                    
                      3
                    
                  
                  
                    i
                  
                
                2
              
            
            ,
            
              
                
                  −
                  1
                  −
                  
                    
                      3
                    
                  
                  
                    i
                  
                
                2
              
            
          
          }
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},}
  

其中
  
    
      
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle {i}}
  
是虚數單位；除
  
    
      
        1
        
      
    
    {\displaystyle 1\,}
  
外都是本原根。
四次單位根是

  
    
      
        
          {
          
            1
            ,
            i
            ,
            −
            1
            ,
            −
            i
          
          }
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\{1,i,-1,-i\right\},}
  

其中
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
和
  
    
      
        −
        i
      
    
    {\displaystyle -i}
  
是本原根。


和式 當
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
不小於
  
    
      
        2
        
      
    
    {\displaystyle 2\,}
  
时，
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
次單位根總和為
  
    
      
        0
        
      
    
    {\displaystyle 0\,}
  
。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          e
          
            
              
                2
                π
                k
                
                  i
                
              
              n
            
          
        
        =
        
          
            
              
                e
                
                  
                    
                      2
                      π
                      
                        n
                      
                      i
                    
                    n
                  
                
              
              −
              1
            
            
              
                e
                
                  
                    
                      2
                      π
                      
                        i
                      
                    
                    n
                  
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              1
            
            
              
                e
                
                  
                    
                      2
                      π
                      
                        i
                      
                    
                    n
                  
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}={\frac {e^{\frac {2\pi {n}i}{n}}-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}={\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}=0}
  
。
第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理，由分圓方程的
  
    
      
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{n-1}\,}
  
項係數為零得出。