在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelof Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·林德勒夫。


局部定理 设E为一个完备的有限维賦範向量空間（即一个巴拿赫空间），f为一个取值在E上的函数：

其中U为E中的一个开集，I是
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

如果f关于t连续，并在U中满足利普希茨条件，也就是说，

那么对于任一给定的初始条件： 
  
    
      
        x
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}
  
，其中 
  
    
      
        
          t
          
            0
          
        
        ∈
        I
      
    
    {\displaystyle t_{0}\in I}
  
、
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle x_{0}\in U}
  
，微分方程（1）存在一个解 
  
    
      
        (
        J
        ,
        x
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (J,x(t))}
  
，其中 
  
    
      
        J
        ⊂
        I
      
    
    {\displaystyle J\subset I}
  
 是一个包含 
  
    
      
        
          t
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{0}}
  
 的区间，
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  
 是一个从 
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
 射到 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。
局部唯一性：在包含点
  
    
      
        
          t
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{0}}
  
的足够小的
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。
这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（
  
    
      
        x
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}
  
）时，下一刻的情况是唯一确定的。


局部定理的证明 一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列
  
    
      
        
          y
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        Φ
        (
        
          y
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y_{n+1}=\Phi (y_{n})}
  
，使得
  
    
      
        
          Φ
          
            ′
          
        
        (
        
          y
          
            n
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          y
          
            n
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi ^{\prime }(y_{n})=f(y_{n},t)}
  
，这样，如果这个序列有一个收敛点 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 ，那么
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
为函数
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
  
的不动点，这时就有
  
    
      
        
          y
          
            ′
          
        
        =
        
          Φ
          
            ′
          
        
        (
        y
        )
        =
        f
        (
        y
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)}
  
，于是我们构造出了一个解
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
。为此，我们从常数函数

  
    
      
        
          y
          
            0
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          x
          
            0
          
        
         
      
    
    {\displaystyle y_{0}(t)=x_{0}\ }
  
开始。令

  
    
      
        Φ
        (
        
          y
          
            i
          
        
        )
        (
        t
        )
        =
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          ∫
          
            
              t
              
                0
              
            
          
          
            t
          
        
        f
        (
        
          y
          
            i
          
        
        (
        s
        )
        ,
        s
        )
        
        d
        s
        .
      
    
    {\displaystyle \Phi (y_{i})(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.}
  

这样构造出来的函数列
  
    
      
        (
        
          y
          
            i
          
        
        
          )
          
            i
            ≥
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle (y_{i})_{i\geq 0}}
  
中的每个函数都满足初始条件。并且由于 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
  
成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
  
的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。
由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。


最大解定理 局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解
  
    
      
         
        (
        J
        ,
        x
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \ (J,x(t))}
  
、
  
    
      
        (
        
          J
          
            ′
          
        
        ,
        
          x
          
            ′
          
        
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}
  
，定义一个序关系：
  
    
      
         
        (
        J
        ,
        x
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \ (J,x(t))}
  
小于
  
    
      
        (
        
          J
          
            ′
          
        
        ,
        
          x
          
            ′
          
        
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}
  
当且仅当 
  
    
      
        J
        ⊂
        
          J
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle J\subset J^{\prime }}
  
，并且
  
    
      
        
          x
          
            ′
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x^{\prime }(t)}
  
在
  
    
      
         
        J
      
    
    {\displaystyle \ J}
  
上的值与
  
    
      
         
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \ x(t)}
  
一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。


= 证明思路 =
解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。
解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。


扩展至高阶常微分方程 对于一元的高阶常微分方程

  
    
      
        F
        
          (
          
            t
            ,
            y
            (
            t
            )
            ,
            
              y
              
                ′
              
            
            (
            t
            )
            ⋯
            
              y
              
                (
                n
                −
                1
                )
              
            
            (
            t
            )
          
          )
        
        =
        
          y
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        t
        )
        
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)}
  
，
只需构造向量
  
    
      
        Y
        (
        t
        )
        =
        (
        y
        (
        t
        )
        ,
        
          y
          ′
        
        (
        t
        )
        ,
         
        …
        ,
         
        
          y
          
            (
            n
            −
            1
            )
          
        
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))}
  
和相应的映射
  
    
      
         
        Φ
      
    
    {\displaystyle \ \Phi }
  
，就可以使得（2）变为
  
    
      
        
          Y
          
            ′
          
        
        (
        t
        )
        =
        Φ
        (
        Y
        (
        t
        )
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)}
  
。这时的初始条件为
  
    
      
        Y
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        
          Y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}
  
，即

  
    
      
        
          
            
              
                y
                (
                
                  t
                  
                    0
                  
                
                )
                =
                
                  y
                  
                    0
                  
                
              
            
            
              
                
                  y
                  
                    ′
                  
                
                (
                
                  t
                  
                    0
                  
                
                )
                =
                
                  y
                  
                    1
                  
                
              
            
            
              
                ⋮
              
            
            
              
                
                  y
                  
                    (
                    n
                    −
                    1
                    )
                  
                
                (
                
                  t
                  
                    0
                  
                
                )
                =
                
                  y
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}y(t_{0})=y_{0}\\y^{\prime }(t_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t_{0})=y_{n-1}\end{matrix}}}
  


扩展至偏微分方程 对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。


参见 常微分方程
柯西-克瓦列夫斯基定理
动力系统
初值問題
利普希茨条件
弗罗贝尼乌斯定理
皮亚诺存在性定理


参考资料 常微分方程（组）基本理论
M. E. Lindelof, Sur l'application de la methode des approximations successives aux equations differentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des seances de l'Academie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table （页面存档备份，存于互联网档案馆） 找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明）


相关链接 局部柯西-利普希茨定理的另一个证明，英文 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
湖北师范学院数学与统计学院，比较严格的讨论，中文