在数学分析中，狄利克雷定理（或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。
定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差函数。


定理的叙述 设 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 为一个在
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
上的周期性的局部可积函数，其周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
。给定 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
  
，假设有以下条件成立：

函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
 处有左极限和右极限，分别记为 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            0
          
          
            +
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{0}^{+})}
  
 和 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            0
          
          
            −
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{0}^{-})}
  
。
存在正实数：
  
    
      
        α
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha >0}
  
，使得以下的两个积分收敛：

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            α
          
        
        
          
            
              
                |
              
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              t
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
                
                  +
                
              
              )
              
                |
              
            
            t
          
        
        
          
            d
          
        
        t
        ,
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            α
          
        
        
          
            
              
                |
              
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              −
              t
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
                
                  −
                
              
              )
              
                |
              
            
            t
          
        
        
          
            d
          
        
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}+t)-f(x_{0}^{+})|}{t}}{\mathrm {d} }t,\qquad \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}-t)-f(x_{0}^{-})|}{t}}{\mathrm {d} }t}
  

那么，函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的傅里叶级数在
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
 处收敛，并且有：

  
    
      
        
          lim
          
            n
          
        
        (
        
          S
          
            n
          
        
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        f
        (
        
          x
          
            0
          
          
            +
          
        
        )
        +
        f
        (
        
          x
          
            0
          
          
            −
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \lim \limits _{n}(S_{n}f(x_{0}))={\frac {1}{2}}(f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-}))}
  

定理成立的一个特例是当函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
 处有左导数和右导数的时候，又或者是当函数是分段
  
    
      
        
          
            
              C
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
  
函数（见光滑函数）的时候。


证明 定理的证明是基于以下事实：傅里叶函数可以通过卷积以及拥有良好性质的三角多项式：狄利克雷核来计算。

  
    
      
        
          D
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            −
            n
          
          
            n
          
        
        
          e
          
            i
            k
            x
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    (
                    
                      n
                      +
                      
                        
                          1
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                  x
                
                )
              
            
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}
  

  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        (
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            π
          
        
        f
        (
        t
        )
        
          D
          
            n
          
        
        (
        x
        −
        t
        )
        d
        t
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            π
          
        
        
          D
          
            n
          
        
        (
        t
        )
        f
        (
        x
        −
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)f(x-t)dt}
  

这里使用的是狄利克雷核的第二种形式：

  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        (
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            π
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              (
              
                n
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              )
            
            t
          
          )
        
        
          
            
              f
              (
              x
              −
              t
              )
            
            
              sin
              ⁡
              
                
                  t
                  2
                
              
            
          
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}
  

这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数 
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              x
              −
              t
              )
            
            
              sin
              ⁡
              (
              t
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}}
  
 在0附近并不一定可积。但是由于：

  
    
      
        
          
            
              f
              ~
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  +
                
              
              )
              +
              f
              (
              
                x
                
                  −
                
              
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}}
  

存在，可以考虑将区间
  
    
      
        [
        −
        π
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle [-\pi ,0)}
  
上的积分用
  
    
      
        u
        =
        −
        t
      
    
    {\displaystyle u=-t}
  
换元，这样 
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        (
        f
        )
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle S_{n}(f)(x)}
  
 就变成：

  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        (
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              (
              
                n
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              )
            
            t
          
          )
        
        
          
            
              f
              (
              x
              +
              t
              )
              +
              f
              (
              x
              −
              t
              )
            
            
              sin
              ⁡
              
                
                  t
                  2
                
              
            
          
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle S_{n}(f)(x)=\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}
  

因此：

  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        (
        f
        )
        (
        x
        )
        −
        
          
            
              f
              ~
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              (
              
                n
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              )
            
            t
          
          )
        
        
          
            
              f
              (
              x
              +
              t
              )
              +
              f
              (
              x
              −
              t
              )
            
            
              sin
              ⁡
              
                
                  t
                  2
                
              
            
          
        
        d
        t
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            f
            (
            
              x
              
                +
              
            
            )
            +
            f
            (
            
              x
              
                −
              
            
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt-{\frac {1}{2}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)}
  

而由于狄利克雷核在区间
  
    
      
        [
        −
        π
        ,
        π
        ]
      
    
    {\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
  
上的积分平均值是1，也就是说：

  
    
      
        1
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            π
          
        
        
          D
          
            n
          
        
        (
        t
        )
        d
        t
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            π
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    (
                    
                      n
                      +
                      
                        
                          1
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                  t
                
                )
              
            
            
              sin
              ⁡
              (
              t
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
        d
        t
        =
        2
        ⋅
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    (
                    
                      n
                      +
                      
                        
                          1
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                  t
                
                )
              
            
            
              sin
              ⁡
              (
              t
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle 1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt=2\cdot {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}
  

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    (
                    
                      n
                      +
                      
                        
                          1
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                  t
                
                )
              
            
            
              sin
              ⁡
              (
              t
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}
  

因此：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  S
                  
                    n
                  
                
                (
                f
                )
                (
                x
                )
                −
                
                  
                    
                      f
                      ~
                    
                  
                
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    π
                  
                
                sin
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      (
                      
                        n
                        +
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                      
                      )
                    
                    t
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      f
                      (
                      x
                      +
                      t
                      )
                      +
                      f
                      (
                      x
                      −
                      t
                      )
                    
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        
                          t
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                d
                t
              
            
            
              
              
                
                −
                
                  
                    1
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    π
                  
                
                
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        (
                        
                          
                            (
                            
                              n
                              +
                              
                                
                                  1
                                  2
                                
                              
                            
                            )
                          
                          t
                        
                        )
                      
                    
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        
                          t
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    f
                    (
                    
                      x
                      
                        +
                      
                    
                    )
                    +
                    f
                    (
                    
                      x
                      
                        −
                      
                    
                    )
                  
                  )
                
                d
                t
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    π
                  
                
                sin
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      (
                      
                        n
                        +
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                      
                      )
                    
                    t
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      f
                      (
                      x
                      +
                      t
                      )
                      +
                      f
                      (
                      x
                      −
                      t
                      )
                      −
                      f
                      (
                      
                        x
                        
                          +
                        
                      
                      )
                      −
                      f
                      (
                      
                        x
                        
                          −
                        
                      
                      )
                    
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        
                          t
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                d
                t
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\\&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin {\frac {t}{2}}}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\end{aligned}}}
  

由条件二，以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理，因此可以对两边求极限，得到：

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          S
          
            n
          
        
        (
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              f
              ~
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(f)(x)={\tilde {f}}(x)}
  


参见 傅里叶级数
狄利克雷核
费耶核


注释与参考 参考书籍 （英文）Allan Pinkus,Samy Zafrany. Fourier series and integral transforms. Cambridge University Press. 1997. ISBN 9780521597715. p.46-52.
（法文）Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarie-Rieusset. Series de Fourier et ondelettes. Cassini. 1998. ISBN 284225001X.