分數（英語：fraction）是用分式（分數式）表達成
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
  
的数（
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        Z
        ,
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a,b\in Z,b\neq 0}
  
）。在上式之中，
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
稱為分母（denominator）而
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
稱為分子（numerator），可視為某件事物平均分成
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
份中佔
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
份，讀作「
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
分之
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用
  
    
      
        a
        
          /
        
        b
      
    
    {\displaystyle a/b}
  
來表示分數。


用法 分數有各種不同的用法與意義：

兩個整數的比例：
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        ≡
        a
        :
        b
         
        (
        a
        ,
        b
        ∈
        
          Z
        
        ,
        a
        ,
        b
        =
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a:b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,a,b\neq 0)}
  
，這是兩個數量的比較關係。
有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
整數除法：
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        ≡
        a
        ÷
        b
         
        (
        a
        ,
        b
        ∈
        
          Z
        
        ,
        b
        =
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)}
  
，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。
等分：
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  
表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數（unit fraction），參見古埃及分數。
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  
也就是
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
這個整數的倒數。
這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。


分類 最簡分數（既约分数）（irreducible fraction）
分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如：
  
    
      
        
          
            4
            
               
              

              
              15
               
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {4}{~{}15~{}}}}
  

真分數（proper fraction）
除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：
  
    
      
        
          
            3
            
               
              

              
              7
               
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{~{}7~{}}}}
  

假分數（top-heavy/improper fraction）
假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如：
  
    
      
        
          
            5
            
               
              

              
              3
               
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{~{}3~{}}}}
  
和
  
    
      
        
          
            8
            
               
              

              
              8
               
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {8}{~{}8~{}}}}
  

帶分數（mixed numeral、mixed fraction、mixed number）
一個整數（whole number）加一個真分數，例如
  
    
      
        a
        
          
            b
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle a{\frac {b}{c}}}
  
，讀作「a又c分之b」；又例如
  
    
      
        1
        
          
            1
            
               
              

              
              2
               
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 1{\frac {1}{~{}2~{}}}}
  
，就是一又二分之一。可寫成假分數，與
  
    
      
        
          
            
               
              

              
              (
              a
              ×
              c
              )
              +
              b
               
              

              
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {~{}(a\times c)+b~{}}{c}}}
  
等價。
十進位分數（decimal fraction）
分母為
  
    
      
        10
      
    
    {\displaystyle 10}
  
的次方的分數稱為十進位分數，通常使用小數的形式來表達，例如，
  
    
      
        
          
            1
            100
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{100}}}
  
一般记为
  
    
      
        0.01
      
    
    {\displaystyle 0.01}
  
，也可以百分率簡記為
  
    
      
        1
        %
      
    
    {\displaystyle 1\%}
  
，或是以
  
    
      
        10
      
    
    {\displaystyle 10}
  
的冪記為
  
    
      
        
          10
          
            −
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{-2}}
  
。
單位分數
分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如：
  
    
      
        
          
            1
            
               
              

              
              99
               
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{~{}99~{}}}}
  

古埃及分數（Egyptian fraction）
將分數表達成單位分數之和。例如：
  
    
      
        
          
            19
            
               
              

              
              20
               
              

              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
               
              

              
              2
               
              

              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
               
              

              
              3
               
              

              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
               
              

              
              9
               
              

              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
               
              

              
              180
               
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}}
  

繁分數
分子和/或分母包含了分數的分數，例如
  
    
      
        
          
            
               
              

              
              
                
                  a
                  
                     
                    

                    
                    b
                     
                    

                    
                  
                
              
               
              

              
            
            
              c
              
                 
                

                
                d
                 
                

                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {~{}{\frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{\frac {c}{~{}d~{}}}}}
  
。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等于
  
    
      
        
          
            
              a
              d
            
            
               
              

              
              b
              c
               
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {ad}{~{}bc~{}}}}
  
。
連分數
外觀如
  
    
      
        x
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          
            1
            
               
              

              
              
                a
                
                  1
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                     
                    

                    
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        1
                        
                           
                          

                          
                          
                            a
                            
                              3
                            
                          
                          +
                          …
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{~{}a_{1}+{\frac {1}{~{}a_{2}+{\frac {1}{~{}a_{3}+\dots }}}}}}}
  
的分數，其中
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
  
是整數。若只有有限個
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
  
非零，則連分數是一個分數。


分數運算 分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。


= 約分、擴分及通分 =
一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。


 约分  「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。
約分後的分數和原來分數的值相等。
  
    
      
        
          
            3
            6
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}}
  

前面的數字的分子和分母皆除以三

擴分
「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        =
        
          
            2
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}}
  

前面的數字的分子和分母皆乘以二

通分
「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分别化為同分母的分數。


= 加法及減法 =
筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：

  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
        +
        
          
            1
            4
          
        
        =
        
          
            
              1
              +
              1
            
            4
          
        
        =
        
          
            2
            4
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}
  

  
    
      
        
          
            1
            5
          
        
        +
        
          
            1
            3
          
        
        =
        
          
            3
            15
          
        
        +
        
          
            5
            15
          
        
        =
        
          
            
              3
              +
              5
            
            15
          
        
        =
        
          
            8
            15
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}}
  


= 乘法及除法 =
分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示：里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：

  
    
      
        
        
          
            1
            5
          
        
        ÷
        
          
            7
            11
          
        
        =
        (
        
          
            1
            5
          
        
        ×
        11
        )
        ÷
        (
        
          
            7
            11
          
        
        ×
        11
        )
        =
        (
        
          
            1
            5
          
        
        ×
        11
        )
        ÷
        7
        =
        (
        
          
            1
            5
          
        
        ×
        11
        ×
        
          
            1
            7
          
        
        )
        ÷
        (
        7
        ×
        
          
            1
            7
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})}
  

  
    
      
        =
        
          
            1
            5
          
        
        ×
        
          
            11
            7
          
        
        =
        
          
            
              1
              ×
              11
            
            
              5
              ×
              7
            
          
        
        =
        
          
            11
            35
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}}
  


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除以零
法里數列
連分數
分母有理化
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参考文献 外部連結 Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics.   [2015-06-03]. （原始内容存档于2014-10-21）. 
埃里克·韦斯坦因. Fraction. MathWorld. 
Fraction. Encyclopedia Britannica.   [2015-06-03]. （原始内容存档于2015-04-26）. 
Fraction (mathematics). Citizendium.   [2015-06-03]. （原始内容存档于2020-11-07）. 
Fraction. PlanetMath.   [2015-06-03]. （原始内容存档于2011-10-11）. 
Online program for exact conversion between fractions and decimals
Online Fractions Calculator with detailed solution
Fraction Practice （页面存档备份，存于互联网档案馆） endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.