积分（英語：integral）是微积分学与数学分析裡的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
，
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
在一个实数区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的定积分

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
  

可以在数值上理解为在
  
    
      
        
          O
          x
          y
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle Oxy}
  
坐标平面上，由曲线
  
    
      
        (
        x
        ,
        f
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (x,f(x))}
  
（
  
    
      
        x
        ∈
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle x\in [a,b]}
  
），直线
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  
，
  
    
      
        x
        =
        b
      
    
    {\displaystyle x=b}
  
以及
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
轴围成的曲边梯形的面积值。

  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的不定积分（或原函数）是指任何满足导数是函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的函数
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  
。一个函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的不定积分不是唯一的：只要
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  
是
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的不定积分，那么与之相差一个常数的函数 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        +
        C
      
    
    {\displaystyle F(x)+C}
  
也是
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的不定积分。
微积分基本定理是微积分学中的一条重要定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独立发现。微积分基本定理将积分与微分建立联系，通过找出一个函数的原函数，即可方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，因此习惯上我们常见的积分也称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分区间上的各种类型的函数的积分。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。
对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论，主要是由昂利·勒貝格建立的勒贝格积分。


简介 积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

我们以下面这个问题作为介绍积分概念的开始：

考虑平方根函数
  
    
      
        f
        :
        
        x
        ↦
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f:\,x\mapsto {\sqrt {x}}}
  
，其中
  
    
      
        x
        ∈
        [
        0
        ,
        
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle x\in [0,\,1]}
  
。在区间[0,1]上，函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
“下方”的面积是多少？
问题中的“下方”面积，是指函数
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
的图象与x轴之间的部分的面积
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
（见右图）。我们把这个面积称为函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在区间[0,1]上的积分，写作：

  
    
      
        S
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle S=\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,\mathrm {d} x\,\!.}
  

其中的
  
    
      
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} x}
  
称为积分变量，表示要求面积的范围是用坐标轴横轴的刻度计算；
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{1}}
  
则表示从0开始算起，到1为止，称为积分范围或积分域，其中0称为积分下界，1称为积分上界，
  
    
      
        ∫
      
    
    {\displaystyle \int }
  
叫做积分号，是从拉长的字母S演变过来的。函数
  
    
      
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x}}}
  
写在中间，称为被积函数。
改进的方法是用更多的小方框来将函数图象“覆盖”，如右图中的做法，就是将坐标轴横轴[0,1]等分成5个部分：[0,0.2)、[0.2,0.4)、[0.4,0.6)、[0.6,0.8)、[0.8,1]，然后每一部分上放一个黄色的长方形（见右图■）。这5个长方形的高度分别是函数在每个部分的极大值（也就是最右侧的值）：
  
    
      
        
          
            0.2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {0.2}}}
  
、
  
    
      
        
          
            0.4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {0.4}}}
  
、
  
    
      
        
          
            0.6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {0.6}}}
  
、
  
    
      
        
          
            0.8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {0.8}}}
  
、
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
。这样函数下方的部分就被5个黄色长方形覆盖了，所以面积
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
小于5个黄色长方形面积之和：

  
    
      
        
          
            0.2
          
        
        
          (
          
            0.2
            −
            0
          
          )
        
        +
        
          
            0.4
          
        
        
          (
          
            0.4
            −
            0.2
          
          )
        
        +
        
          
            0.6
          
        
        
          (
          
            0.6
            −
            0.4
          
          )
        
        +
        
          
            0.8
          
        
        
          (
          
            0.8
            −
            0.6
          
          )
        
        +
        
          
            1
          
        
        
          (
          
            1
            −
            0.8
          
          )
        
        ≈
        0.7497.
        
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {0.2}}\left(0.2-0\right)+{\sqrt {0.4}}\left(0.4-0.2\right)+{\sqrt {0.6}}\left(0.6-0.4\right)+{\sqrt {0.8}}\left(0.8-0.6\right)+{\sqrt {1}}\left(1-0.8\right)\approx 0.7497.\,\!}
  

求出了
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的上限之后，用类似的方法可以求
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的下限。同样是将坐标轴等分成若干部分，然后在每个部分放上长方形，不过这时候长方形的高度需要是函数在这个部分的最小值，也就是最左侧的值。比如，如果将横轴等分成12个部分，然后按照以上的方法放上绿色长方形（如右图■），那么从图中可以看出，
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
必定大于绿色长方形面积之和：

  
    
      
        
          
            
              0
              12
            
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                12
              
            
            −
            0
          
          )
        
        +
        
          
            
              1
              12
            
          
        
        
          (
          
            
              
                2
                12
              
            
            −
            
              
                1
                12
              
            
          
          )
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              11
              12
            
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                11
                12
              
            
          
          )
        
        ≈
        0.6203.
        
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\frac {0}{12}}}\left({\frac {1}{12}}-0\right)+{\sqrt {\frac {1}{12}}}\left({\frac {2}{12}}-{\frac {1}{12}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {11}{12}}}\left(1-{\frac {11}{12}}\right)\approx 0.6203.\,\!}
  

于是，面积
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的取值介于0.6203和0.7497之间。要取得更加精确的估计，可以将横轴细分成更多的部分，并按照同样的方法放置长方形，计算长方形的面积之和。随着长方形越来越多，每个长方形越来越“细”，计算出的
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的范围会越来越窄，最后得出
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的精确值。
以上的方法可能出现的“漏洞”，是所谓的“取值范围”不一定会越来越小，最后聚集到同一个值上。虽然直观上来说，由于函数下方的图形面积是确定的，只要不断地用相似的形状“逼近”，最后总会趋向函数下方图形的真实面积。然而，对于某些“病态”的函数，以上的方法是无法得到确定的数值的。十九世纪的数学家波恩哈德·黎曼证明了，对于满足某些条件的良态函数，以上的方法一定能求出函数下方的面积。现代的数学家将这种方法求出的面积称为黎曼积分，并给出了严格的定义（见#严格定义一节）。对于那些无法用黎曼的方法定义“函数下方图形面积”的函数，黎曼之后的数学家发展出了一些更宽泛的定义，让这些函数也能定义积分。


= 术语和标记 =
如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的，对于只有一个变量 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的实值函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 ， 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在闭区间 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的积分记作

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.}
  

其中的
  
    
      
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} x}
  
除了表示
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 中要进行积分的那个变量（积分变量）之外，还可以表示不同的含义。在黎曼积分中，
  
    
      
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} x}
  
表示分割区间的标记；在勒贝格积分中，表示一个测度；或仅仅表示一个独立的量（微分形式）。一般的区间或者积分范围
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
，
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
上的积分可以记作
  
    
      
        
          ∫
          
            J
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{J}f(x)\,\mathrm {d} x.}
  

如果变量不只一个，比如说在二重积分中，函数
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y)\,\!}
  
 在区域D上的积分记作

  
    
      
        
          ∬
          
            D
          
        
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        
        
        
        
          d
        
        σ
      
    
    {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,\!\,\mathrm {d} \sigma }
  
 或者 
  
    
      
        
          ∬
          
            D
          
        
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        
        
        
        
          d
        
        x
        
          d
        
        y
      
    
    {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,\!\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}
  

其中 
  
    
      
        
          d
        
        σ
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \sigma }
  
 与区域D对应，是相应积分域中的微分元。


严格定义 定义积分的方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。


= 黎曼积分 =

黎曼积分得名于德国数学家波恩哈德·黎曼，建立在函数在区间取样分割后的黎曼和之上。设有闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
，那么
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列
  
    
      
        a
        =
        
          x
          
            0
          
        
        <
        
          x
          
            1
          
        
        <
        
          x
          
            2
          
        
        <
        …
        <
        
          x
          
            n
          
        
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}
  
。每个闭区间
  
    
      
        [
        
          x
          
            i
          
        
        ,
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
  
叫做一个子区间。定义
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 为这些子区间长度的最大值：
  
    
      
        λ
        =
        max
        (
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})}
  
，其中
  
    
      
        0
        ≤
        i
        ≤
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leq i\leq n-1}
  
。而闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的一个取样分割是指在进行分割
  
    
      
        a
        =
        
          x
          
            0
          
        
        <
        
          x
          
            1
          
        
        <
        
          x
          
            2
          
        
        <
        …
        <
        
          x
          
            n
          
        
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}
  
后，于每一个子区间中
  
    
      
        [
        
          x
          
            i
          
        
        ,
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
  
取出一点 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        ≤
        
          t
          
            i
          
        
        ≤
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}
  
。

对一个在闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
有定义的实值函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
关于取样分割
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
  
 、
  
    
      
        
          t
          
            0
          
        
        ,
        …
        ,
        
          t
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
  
的黎曼和定义为以下和式：

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        f
        (
        
          t
          
            i
          
        
        )
        (
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}
  

和式中的每一项是子区间长度
  
    
      
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}
  
与在
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{i}}
  
处的函数值
  
    
      
        f
        (
        
          t
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(t_{i})}
  
的乘积。直观地说，就是以标记点
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{i}}
  
到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。
最简单的取样分割方法是将区间均匀地分成若干个长度相等的子区间，然后在每个子区间上按相同的准则取得标记点。例如取每个子区间右端
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
        =
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{i}=x_{i+1}}
  
（见左图左上角）或者取每个子区间上函数的极大值对应的
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{i}}
  
（左图左下角）等等。不同的取样分割方式得到的黎曼和一般都不相同，而如果当
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
足够小的时候，所有的黎曼和都趋于某个极限，那么这个极限就叫做函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的黎曼积分。即，
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
是函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的黎曼积分，当且仅当对于任意的
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
  
，都存在
  
    
      
        δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \delta >0}
  
，使得对于任意的取样分割
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
  
、
  
    
      
        
          t
          
            0
          
        
        ,
        …
        ,
        
          t
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
  
，只要它的子区间长度最大值
  
    
      
        λ
        ≤
        δ
      
    
    {\displaystyle \lambda \leq \delta }
  
 ，就有：

  
    
      
        
          |
          
            
              ∑
              
                i
                =
                0
              
              
                n
                −
                1
              
            
            f
            (
            
              t
              
                i
              
            
            )
            (
            
              x
              
                i
                +
                1
              
            
            −
            
              x
              
                i
              
            
            )
            −
            S
          
          |
        
        <
        ϵ
        .
        
      
    
    {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,}
  

也就是说，对于一个函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，如果在闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的黎曼和都会趋向于一个确定的值
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
，那么
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
。这时候称函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
为黎曼可积的。将
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上的黎曼积分记作：

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
          d
        
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x.}
  


= 勒贝格积分 =

勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义化的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。 黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间裡。:Intro.2-3
勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。在一维实空间中，一个区间 A = [a, b] 的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值， b − a。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。在更复杂的情况下，积分的集合可以更加复杂，不再是区间，甚至不再是区间的交集或并集，其“长度”则由测度来给出。:Intro.3
给定一个集合
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的
  
    
      
        σ
        −
      
    
    {\displaystyle \sigma -}
  
代数
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}}
  
以及
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}}
  
上的一个测度
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
，那么对于
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}}
  
中的一个元素
  
    
      
        A
        ⊂
        Ω
      
    
    {\displaystyle A\subset \Omega }
  
，定义指示函数
  
    
      
        
          1
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle 1_{A}}
  
关于测度
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
的积分为：

  

  
    
      
        ∫
        
          1
          
            A
          
        
        
        
          d
        
        μ
        =
        μ
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \int 1_{A}\,\mathrm {d} \mu =\mu (A)}
  

再定义可测的非负简单函数
  
    
      
        f
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          1
          
            
              A
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}}
  
（其中 
  
    
      
        
          A
          
            i
          
        
        ∈
        
          
            F
          
        
        ,
        
        
        
          a
          
            i
          
        
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}},\,\,a_{i}\geqslant 0}
  
）的积分为：

  
    
      
        ∫
        f
        
        
          d
        
        μ
        =
        ∫
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              a
              
                i
              
            
            
              1
              
                
                  A
                  
                    i
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        
          d
        
        μ
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        ∫
        
          1
          
            
              A
              
                i
              
            
          
        
        
        
          d
        
        μ
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        μ
        (
        
          A
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\int \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}\right)\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{A_{i}}\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mu (A_{i})}
  
:28
对于一般的函数
  
    
      
        f
        :
        Ω
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }
  
，如果对每个区间
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle (a,b]}
  
，都满足 
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
        
          (
          
            (
            a
            ,
            b
            ]
          
          )
        
        ∈
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{-1}\left((a,b]\right)\in {\mathcal {F}}}
  
，那么测度论中定义
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是可测函数。对于一个非负的可测函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，它的积分定义为：

  
    
      
        ∫
        f
        
        
          d
        
        μ
        =
        sup
        
          
            {
          
        
        g
        ,
        
        g
      
    
    {\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\sup {\bigg \{}g,\quad g}
  
为简单函数，并且
  
    
      
        f
        −
        g
      
    
    {\displaystyle f-g}
  
恒大于零
  
    
      
        .
        
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle .\,{\bigg \}}}
  
:30
这个积分可以用以下的方式逼近：

  
    
      
        ∫
        f
        
        
          d
        
        μ
        =
        
          lim
          
            n
            →
            +
            ∞
          
        
        
          [
          
            
              ∑
              
                k
                =
                0
              
              
                n
                
                  2
                  
                    n
                  
                
                −
                1
              
            
            
              
                k
                
                  2
                  
                    n
                  
                
              
            
            μ
            
              (
              
                
                  
                    k
                    
                      2
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                ⩽
                f
                <
                
                  
                    
                      k
                      +
                      1
                    
                    
                      2
                      
                        n
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            n
            μ
            (
            f
            ⩾
            n
            )
          
          ]
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            +
            ∞
          
        
        
          [
          
            
              
                1
                
                  2
                  
                    n
                  
                
              
            
            
              ∑
              
                k
                =
                0
              
              
                n
                
                  2
                  
                    n
                  
                
                −
                1
              
            
            μ
            
              (
              
                
                  
                    k
                    
                      2
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                ⩽
                f
              
              )
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to +\infty }\left[\sum _{k=0}^{n2^{n}-1}{\frac {k}{2^{n}}}\mu \left({\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f<{\frac {k+1}{2^{n}}}\right)+n\mu (f\geqslant n)\right]=\lim _{n\to +\infty }\left[{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n2^{n}-1}\mu \left({\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f\right)\right]}
  
:344
直观上，这种逼近方式是将
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的值域分割成等宽的区段，再考察每段的“长度”，用其测度表示，再乘以区段所在的高度。其覆盖之处如右图中的红色区域所示。佛兰德（Folland）总结说，“黎曼积分是把定义域区间[a, b]划分为子区间”，而勒贝格积分则是“划分
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的值域”。
至于一般的（有正有负的）可测函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，它的积分是函数曲线在x轴上方“围出”的面积，减去曲线在x轴下方“围出”的面积。严格定义需要引进“正部函数”和“负部函数”的概念：

  
    
      
        
          f
          
            +
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle f^{+}:}
  
 如果
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x)\geqslant 0,}
  
 则
  
    
      
        
          f
          
            +
          
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle f^{+}(x)=f(x),}
  
 否则
  
    
      
        
          f
          
            +
          
        
        (
        x
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle f^{+}(x)=0.}
  

  
    
      
        
          f
          
            −
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle f^{-}:}
  
 如果
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ⩽
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x)\leqslant 0,}
  
 则
  
    
      
        
          f
          
            −
          
        
        (
        x
        )
        =
        −
        f
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle f^{-}(x)=-f(x),}
  
 否则
  
    
      
        
          f
          
            −
          
        
        (
        x
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle f^{-}(x)=0.}
  

可以验证，总有
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          f
          
            +
          
        
        (
        x
        )
        −
        
          f
          
            −
          
        
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x).}
  
 而
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的积分定义为：
  
    
      
        ∫
        f
        
        
          d
        
        μ
        =
        ∫
        
          f
          
            +
          
        
        
        
          d
        
        μ
        −
        ∫
        
          f
          
            −
          
        
        
        
          d
        
        μ
      
    
    {\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\int f^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int f^{-}\,\mathrm {d} \mu }
  
:41-42:345
以上定义有意义仅当
  
    
      
        ∫
        
          f
          
            +
          
        
        
        
          d
        
        μ
      
    
    {\displaystyle \int f^{+}\,\mathrm {d} \mu }
  
和
  
    
      
        ∫
        
          f
          
            −
          
        
        
        
          d
        
        μ
      
    
    {\displaystyle \int f^{-}\,\mathrm {d} \mu }
  
中至少有一个的值是有限的（否则会出现无穷大减无穷大的情况），这时称
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的勒贝格积分存在或积分有意义。如果
  
    
      
        ∫
        
          f
          
            +
          
        
        
        
          d
        
        μ
      
    
    {\displaystyle \int f^{+}\,\mathrm {d} \mu }
  
和
  
    
      
        ∫
        
          f
          
            −
          
        
        
        
          d
        
        μ
      
    
    {\displaystyle \int f^{-}\,\mathrm {d} \mu }
  
都是有限的，那么称
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
可积。:42-45:345
给定一个可测集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，可以定义可积函数在
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
上的积分为：

  
    
      
        
          ∫
          
            A
          
        
        f
        
        
          d
        
        μ
        =
        ∫
        f
        
          1
          
            A
          
        
        
        
          d
        
        μ
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu =\int f1_{A}\,\mathrm {d} \mu .}
  
:345


= 其他定义 =
除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。

达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。
黎曼－斯蒂尔杰斯积分：黎曼积分的推广，用一般的函数g(x)代替x作为积分变量，也就是将黎曼和中的
  
    
      
        (
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{i+1}-x_{i})}
  
推广为
  
    
      
        (
        g
        (
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        )
        −
        g
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (g(x_{i+1})-g(x_{i}))}
  
。
勒贝格－斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼－斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函数g代替测度
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
。
哈尔积分：由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入，用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分，参见哈尔测度。
伊藤积分：由伊藤清于二十世纪五十年代引入，用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。


性质 通常意义上的积分都满足一些基本的性质。以下的
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。


= 线性 =
积分是线性的。如果一个函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
可积，那么它乘以一个常数後仍然可积。如果函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
可积，那么它们的和与差也可积。

  
    
      
        
          ∫
          
            
              I
            
          
        
        (
        α
        f
        +
        β
        g
        )
        =
        α
        
          ∫
          
            
              I
            
          
        
        f
        +
        β
        
          ∫
          
            
              I
            
          
        
        g
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathcal {I}}(\alpha f+\beta g)=\alpha \int _{\mathcal {I}}f+\beta \int _{\mathcal {I}}g\,}
  

所有在
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
上可积的函数构成了一个线性空间。黎曼积分的意义上，所有区间[a, b]上黎曼可积的函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
都满足：

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        α
        f
        +
        β
        g
        )
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        α
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        +
        β
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        g
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        .
        
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x.\,}
  

所有在可测集合
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
上勒贝格可积的函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
都满足：

  
    
      
        
          ∫
          
            
              I
            
          
        
        (
        α
        f
        +
        β
        g
        )
        
        
          d
        
        μ
        =
        α
        
          ∫
          
            
              I
            
          
        
        f
        
        
          d
        
        μ
        +
        β
        
          ∫
          
            
              I
            
          
        
        g
        
        
          d
        
        μ
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{\mathcal {I}}(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{\mathcal {I}}f\,\mathrm {d} \mu +\beta \int _{\mathcal {I}}g\,\mathrm {d} \mu .}
  

在积分区域上，积分有可加性。黎曼积分意义上，如果一个函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在某区间上黎曼可积，那么对于区间内的三个实数a, b, c，有

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            c
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        +
        
          ∫
          
            b
          
          
            c
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,}
  

如果函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在两个不相交的可测集
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
和
  
    
      
        
          
            J
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {J}}}
  
上勒贝格可积，那么

  
    
      
        
          ∫
          
            
              
                I
              
            
            ∪
            
              
                J
              
            
          
        
        f
        
        
          d
        
        μ
        =
        
          ∫
          
            
              I
            
          
        
        f
        
        
          d
        
        μ
        +
        
          ∫
          
            
              J
            
          
        
        f
        
        
          d
        
        μ
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{{\mathcal {I}}\cup {\mathcal {J}}}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\mathcal {I}}f\,\mathrm {d} \mu +\int _{\mathcal {J}}f\,\mathrm {d} \mu .}
  

如果函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
勒贝格可积，那么对任意
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
  
，都存在
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
，使得
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}}
  
中任意的元素
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，只要
  
    
      
        μ
        (
        A
        )
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle \mu (A)<\delta }
  
，就有
  
    
      
        
          ∫
          
            A
          
        
        
          |
          f
          |
        
        
        
          d
        
        μ
        <
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \int _{A}\left|f\right|\,\mathrm {d} \mu <\epsilon }
  


= 保号性 =
如果一个函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
上的可积函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
相比， 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
（几乎）总是小于等于
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
，那么
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的（勒贝格）积分也小于等于
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
的（勒贝格）积分。
如果黎曼可积的非负函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
上的积分等于0，那么除了有限个点以外，
  
    
      
        f
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f=0}
  
。如果勒贝格可积的非负函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
上的积分等于0，那么
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
几乎处处为0。如果
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}}
  
中元素
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的测度
  
    
      
        μ
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \mu (A)}
  
等于0，那么任何可积函数在
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
上的积分等于0。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}}
  
中任意元素
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，可积函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
上的积分总等于（大于等于）可积函数
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
在
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
上的积分，那么
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
几乎处处等于（大于等于）
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
。


= 介值性质 =
如果
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
上可积， 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
和
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
分别是
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
上的最大值和最小值，那么：

  
    
      
        m
        L
        (
        
          
            I
          
        
        )
        ⩽
        
          ∫
          
            
              I
            
          
        
        f
        ⩽
        M
        L
        (
        
          
            I
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle mL({\mathcal {I}})\leqslant \int _{\mathcal {I}}f\leqslant ML({\mathcal {I}})}
  

其中的
  
    
      
        L
        (
        
          
            I
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle L({\mathcal {I}})}
  
在黎曼积分中表示区间
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
的长度，在勒贝格积分中表示
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
的测度。


= 绝对连续性 =
积分的绝对连续性表明，如果函数在某区间或集合上可积，那么当积分区域是近乎全区域的时候，积分的值也会逼近在全区域上的积分值。如果函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在某区间
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
上黎曼可积，那么对于满足
  
    
      
        
          
            
              I
            
          
          
            n
          
        
        ⊂
        
          
            
              I
            
          
          
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}_{n}\subset {\mathcal {I}}_{n+1}}
  
，
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              I
            
          
          
            n
          
        
        =
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\mathcal {I}}_{n}={\mathcal {I}}}
  
的区间序列
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  I
                
              
              
                n
              
            
            )
          
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\mathcal {I}}_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
  
，有

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            
              
                
                  I
                
              
              
                n
              
            
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            
              I
            
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{{\mathcal {I}}_{n}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\mathcal {I}}f(x)\,\mathrm {d} x}
  


= 积分不等式 =
涉及积分的基本不等式可以看作是一些离散不等式的类比。如柯西不等式的积分版本：假如有函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
使得
  
    
      
        f
        g
      
    
    {\displaystyle fg}
  
、
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{2}}
  
、
  
    
      
        
          g
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle g^{2}}
  
都在区间
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
上黎曼可积，那么

  
    
      
        
          
            (
            
              
                ∫
                
                  
                    I
                  
                
              
              (
              f
              g
              )
              (
              x
              )
              
              
                d
              
              x
            
            )
          
          
            2
          
        
        ≤
        
          (
          
            
              ∫
              
                
                  I
                
              
            
            f
            (
            x
            
              )
              
                2
              
            
            
            
              d
            
            x
          
          )
        
        
          (
          
            
              ∫
              
                
                  I
                
              
            
            g
            (
            x
            
              )
              
                2
              
            
            
            
              d
            
            x
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(\int _{\mathcal {I}}(fg)(x)\,\mathrm {d} x\right)^{2}\leq \left(\int _{\mathcal {I}}f(x)^{2}\,\mathrm {d} x\right)\left(\int _{\mathcal {I}}g(x)^{2}\,\mathrm {d} x\right).}
  

而更广泛的赫尔德不等式也有积分版本。设有正实数
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
和
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
，其倒数和为1：
  
    
      
        
          
            1
            p
          
        
        +
        
          
            1
            q
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
  
，则对黎曼可积函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
，有以下不等关系（在下式各项有意义的时候）：

  
    
      
        
          |
          
            ∫
            f
            (
            x
            )
            g
            (
            x
            )
            
            
              d
            
            x
          
          |
        
        ⩽
        
          
            (
            
              ∫
              
                
                  |
                  
                    f
                    (
                    x
                    )
                  
                  |
                
                
                  p
                
              
              
              
                d
              
              x
            
            )
          
          
            
              1
              p
            
          
        
        
          
            (
            
              ∫
              
                
                  |
                  
                    g
                    (
                    x
                    )
                  
                  |
                
                
                  q
                
              
              
              
                d
              
              x
            
            )
          
          
            
              1
              q
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,\mathrm {d} x\right|\leqslant \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{q}}.}
  

可以看出柯西不等式是赫尔德不等式在
  
    
      
        p
        =
        q
        =
        2
      
    
    {\displaystyle p=q=2}
  
的时候的特例。
此外闵可夫斯基不等式也有积分版本。设有正实数
  
    
      
        p
        ⩾
        1
      
    
    {\displaystyle p\geqslant 1}
  
，则对黎曼可积函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
，有以下不等关系：

  
    
      
        
          
            (
            
              ∫
              
                
                  |
                  
                    f
                    (
                    x
                    )
                    +
                    g
                    (
                    x
                    )
                  
                  |
                
                
                  p
                
              
              
              
                d
              
              x
            
            )
          
          
            
              1
              p
            
          
        
        ≤
        
          
            (
            
              ∫
              
                
                  |
                  
                    f
                    (
                    x
                    )
                  
                  |
                
                
                  p
                
              
              
              
                d
              
              x
            
            )
          
          
            
              1
              p
            
          
        
        +
        
          
            (
            
              ∫
              
                
                  |
                  
                    g
                    (
                    x
                    )
                  
                  |
                
                
                  p
                
              
              
              
                d
              
              x
            
            )
          
          
            
              1
              p
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.}
  

对于勒贝格可积的函数，类似的不等式可以帮助构建
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
  
空间。
一个函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
可积当且仅当函数
  
    
      
        
          |
        
        f
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f|}
  
可积，并且
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的积分的绝对值，小于等于其绝对值的积分：
  
    
      
        
          |
          
            
              ∫
              
                
                  I
                
              
            
            f
          
          |
        
        ⩽
        
          ∫
          
            
              I
            
          
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|\int _{\mathcal {I}}f\right|\leqslant \int _{\mathcal {I}}|f|}
  
。如果函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
勒贝格可积，那么
  
    
      
        
          |
        
        f
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f|}
  
几乎处处有限。


微积分基本定理 微积分基本定理是将微分运算（求导运算）和积分运算（原函数）联系在一起的基本定理。从基本定理可以看出微分和积分运算之间的互逆关系。定理叙述如下：

微积分基本定理的一个实用的直接推论，也被称为微积分第二基本定理：


推广 = 反常积分 =

狭义的黎曼积分中，被积函数是定义在闭区间（长度有限）上的函数，因此取值也是在有限区间中。反常积分也称为广义积分，是对更一般区间上的函数定义的积分，研究在狭义黎曼积分的被积函数条件没有满足时，是否能够有积分的定义。一个基本的情形是，被积函数在半开区间[a, b)上有定义，然而在自变量趋向开区间的某一端（比如说b）时，函数有“瑕点”（函数值趋向无穷或没有极限）。这时候，考察被积函数在闭区间[a, b - ε]上的积分值
  
    
      
        
          I
          
            ϵ
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{\epsilon }}
  
，如果当其中的正实数 ε 趋向于0的时候，积分值
  
    
      
        
          I
          
            ϵ
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{\epsilon }}
  
趋于一个极限
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
，那么就称被积函数在[a, b)上广义可积，并且称其为瑕积分
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
。这个定义也可以简单地记作：

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          lim
          
            ϵ
            →
            0
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
            −
            ϵ
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{a}^{b-\epsilon }f(x)\,\mathrm {d} x}
  

另一个基本的情形是区间长度为无限大的情形，称为无穷限广义积分。比如说被积函数在在闭区间[a, ∞)上有定义。考虑被积函数在闭区间[a, b]上的积分值
  
    
      
        
          I
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{b}}
  
，如果当b趋向正无穷大的时候，积分值
  
    
      
        
          I
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{b}}
  
趋于一个极限
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
，那么就称被积函数在[a, ∞)上广义可积，并且称为无穷限积分
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
。这个定义也可以简单地记作：

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        
          lim
          
            b
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
  

其余更加复杂的情形包括瑕点在区间内部，或者同时包含了无穷限的情形等等。这些情形都可以拆分为基本情形的组合，然后使用以上的方法探讨广义积分的存在性。比如，考虑函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}}
  
在正实数区间（0到正无穷）上的积分（如右图所示）。这是一个双重广义积分。一方面函数在0处有瑕点（在0附近趋向正无穷），另一方面函数积分区域是无穷限（直到正无穷大）。这时候可以将这个积分分割为两个部分来考察。比如说以1为界限，左右分割为0到1的积分和1到正无穷大的积分。
首先考察1到正无穷大的部分，依据上述方法，可以首先考察
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
在闭区间[1, t]上的积分：

  
    
      
        
          I
          
            t
          
        
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            t
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        =
        2
        arctan
        ⁡
        
          
            t
          
        
        −
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{t}=\int _{1}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}}
  

当实数t趋于无穷大的时候，上述积分值的极限为
  
    
      
        
          lim
          
            t
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            2
            arctan
            ⁡
            
              
                t
              
            
            −
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            π
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}.}
  
 所以
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
从1到正无穷大的积分可以定义为：

  
    
      
        
          ∫
          
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            t
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            1
          
          
            t
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        =
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}}
  

同样地，考察从0到1的部分，可以首先考察
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
在闭区间[s, 1]上的积分：

  
    
      
        
          I
          
            s
          
        
        =
        
          ∫
          
            s
          
          
            1
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        =
        
          
            π
            2
          
        
        −
        2
        arctan
        ⁡
        
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{s}=\int _{s}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}}
  

当正实数s趋于0的时候，上述积分值的极限为
  
    
      
        
          lim
          
            s
            →
            0
          
        
        
          (
          
            
              
                π
                2
              
            
            −
            2
            arctan
            ⁡
            
              
                s
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            π
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{s\to 0}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)={\frac {\pi }{2}}.}
  
 所以
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
从0到1的积分可以定义为：

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            s
            →
            0
          
        
        
          ∫
          
            s
          
          
            1
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        =
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\lim _{s\to 0}\int _{s}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}}
  

因此可以定义
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}}
  
在正实数区间（0到正无穷）上的积分为这两部分的和：

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        +
        
          ∫
          
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        =
        
          
            π
            2
          
        
        +
        
          
            π
            2
          
        
        =
        π
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}+\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}=\pi }
  


= 多重积分 =

狭义积分的积分范围是实数的一个区间或者可测子集。多重积分将积分范围扩展到多维空间中的区域或可测子集。比如说二重积分的积分范围是平面上的一个区域。这时候积分
  
    
      
        
          ∫
          
            D
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{D}f(x)\,\mathrm {d} x}
  
中的变量
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
可以是（赋予了拓扑结构的）向量空间里面的一个向量。富比尼定理证明，在一定条件下，多重积分可以转换为累次积分。也就是说，在多维空间上的积分可以通过转化为多个嵌套的一重积分来计算。通常的方法是将多重的积分变量转变为各个坐标指标上的积分变量。例如，考虑以下二重积分：

  
    
      
        
          ∫
          
            C
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            −
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        σ
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{C}e^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} \sigma .}
  

其中的
  
    
      
        C
        =
        {
        (
        x
        ,
        y
        )
        
        
          |
        
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        ⩽
        1
        }
      
    
    {\displaystyle C=\{(x,y)\;|\;x^{2}+y^{2}\leqslant 1\}}
  
是一个半径为1的圆盘。这个二重积分可以转变成：

  
    
      
        
          ∫
          
            C
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            −
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        σ
        =
        
          ∫
          
            −
            1
          
          
            1
          
        
        
          ∫
          
            −
            
              
                1
                −
                
                  y
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          
            
              1
              −
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            −
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        
          d
        
        y
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          e
          
            −
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
        r
        
          d
        
        r
        
          d
        
        θ
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{C}e^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} \sigma =\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-y^{2}}}}^{\sqrt {1-y^{2}}}e^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}e^{-r^{2}}\,r\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta .}
  


= 路径积分与曲面积分 =

路径积分也称曲线积分，可以看作是区间上积分的推广。积分的范围不是区间（直线段），而是高维空间中的有向曲线。后者称为积分路径。路径积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。路径积分的被积函数可以是标量函数（标量场）或向量函数（向量场）。如果被积函数F是一个梯度场，那么F的曲线积分与所取的路径无关，而只与路径的起点和终点的选取有关。与路径积分类似，平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。路径积分和曲面积分是物理学中很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功、量子力学中计算粒子出现的概率，会用到路径积分。流体力学中计算流体的流量、电力学中使用高斯定律计算电场和电荷分布时，会用到曲面积分。


种类 黎曼积分
达布积分
勒贝格积分
黎曼-斯蒂爾吉斯积分
數值積分


注释 參見 微积分基本定理
不定积分
定积分
積分符號
积分表
曲线下面积 (药物代谢动力学)


参考来源