在光學裏，菲涅耳衍射（Fresnel diffraction），又稱近場繞射（Near-field diffraction），指的是光波在近場區域的衍射。菲涅耳衍射積分式可以用來計算光波在近場區域的傳播，因法國物理學者奥古斯丁·菲涅耳而命名，是基爾霍夫衍射公式的近似。
從每一個光學系統特徵的菲涅耳數，可以辨別光波傳播的區域是近場還是遠場。設想光波入射於任意孔徑，對於這光學系統，菲涅耳數定義為

  
    
      
        F
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              L
              λ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {a^{2}}{L\lambda }}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 是孔徑的尺寸，
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 是孔徑與觀察屏之間的距離，
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 是入射波的波長。
假若 
  
    
      
        F
        ≳
        1
      
    
    {\displaystyle F\gtrsim 1}
  
 ，則衍射波是處於近場，可以使用菲涅耳衍射積分式來計算其物理性質。


菲涅耳衍射 假設照射光波於開有孔徑的不透明擋板，則會有衍射圖樣出現於觀察屏。根據惠更斯-菲涅耳原理，從孔徑內部任意點次波源Q發射出的圓球面次波，在觀察屏點P的波擾 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x,y,z)}
  
 為

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        −
         
        
          
            i
            λ
          
        
        
          ∫
          
            
              S
            
          
        
        ψ
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        0
        )
        
          
            
              e
              
                i
                k
                R
              
            
            R
          
        
        K
        (
        χ
        )
         
        
          d
        
        
          x
          ′
        
        
          d
        
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {i}{\lambda }}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0){\frac {e^{ikR}}{R}}K(\chi )\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          r
        
        =
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}
  
 是點P的直角坐標，
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
        =
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '=(x',y',0)}
  
 是點Q的直角坐標，
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 是波長，
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
 是積分平面（孔徑），
  
    
      
        ψ
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x',y',0)}
  
 是位於點次波源Q的波擾，
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
 是從點Q到點P的位移向量，
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 是 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
 的數值大小，
  
    
      
        K
        (
        χ
        )
      
    
    {\displaystyle K(\chi )}
  
 是傾斜因子，
  
    
      
        χ
      
    
    {\displaystyle \chi }
  
 是垂直於孔徑平面的法向量與 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
 之間的夾角。
古斯塔夫·基爾霍夫給出了傾斜因子 
  
    
      
        K
        (
        χ
        )
      
    
    {\displaystyle K(\chi )}
  
 的表達式：

  
    
      
        K
        (
        χ
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        1
        +
        cos
        ⁡
        χ
        )
      
    
    {\displaystyle K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )}
  
 。
除了最簡單的衍射案例以外，幾乎不可能找到這積分式的解析解。通常，必須使用數值分析方法來解析這積分式。


= 菲涅耳近似 =
為了要計算這積分式的解答，必須先使積分項目更簡單化。設定

  
    
      
        ρ
        =
        
          
            (
            x
            −
            
              x
              ′
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            y
            −
            
              y
              ′
            
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho ={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}}}
  
 。

  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y',0)}
  
 與 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,z)}
  
 之間的距離 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 可以以泰勒級數表示為

  
    
      
        
          
            
              
                R
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    x
                    −
                    
                      x
                      ′
                    
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    (
                    y
                    −
                    
                      y
                      ′
                    
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    
                      ρ
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                z
                
                  
                    1
                    +
                    
                      
                        
                          ρ
                          
                            2
                          
                        
                        
                          z
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                z
                
                  [
                  
                    1
                    +
                    
                      
                        
                          ρ
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          
                            z
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        1
                        8
                      
                    
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              ρ
                              
                                2
                              
                            
                            
                              z
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    ⋯
                  
                  ]
                
              
            
            
              
              
                
                =
                z
                +
                
                  
                    
                      ρ
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      z
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      ρ
                      
                        4
                      
                    
                    
                      8
                      
                        z
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                +
                ⋯
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \\\end{aligned}}}
  
。
假若保留所有項目，則這級數式為精確解。將這 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 的級數式代入被積函數的相位。菲涅耳近似的要點是在假定級數式的第三個項目非常微小，可以被忽略。為了達到這目的，第三個項目必須超小於相位的週期 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
 ：

  
    
      
        
          
            
              k
              
                ρ
                
                  4
                
              
            
            
              8
              
                z
                
                  3
                
              
            
          
        
        ≪
        2
        π
      
    
    {\displaystyle {\frac {k\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi }
  
 。
改換以波長 
  
    
      
        λ
        =
        2
        π
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle \lambda =2\pi /k}
  
 來表達，

  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                4
              
            
            
              8
              
                z
                
                  3
                
              
              λ
            
          
        
        ≪
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}
  
 。
將先前 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
 的表達式代入， 

  
    
      
        
          
            
              [
              (
              x
              −
              
                x
                ′
              
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              (
              y
              −
              
                y
                ′
              
              
                )
                
                  2
                
              
              
                ]
                
                  2
                
              
            
            
              8
              
                z
                
                  3
                
              
              λ
            
          
        
        ≪
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}
  
 。
假若，對於所有 
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y',0)}
  
 與 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,z)}
  
 的可能值，這條件成立，則泰勒級數式的第三個項目和更高階項目都可以忽略。
從這些論述，
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 可以近似為

  
    
      
        R
        ≈
        z
        +
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            
              2
              z
            
          
        
        =
        z
        +
        
          
            
              (
              x
              −
              
                x
                ′
              
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              (
              y
              −
              
                y
                ′
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              2
              z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}}
  
 。
這方程式稱為「菲涅耳近似」。這近似成立的條件是上述不等式。
例如，對於半徑為1mm的圓孔，假設觀察屏區域的半徑也是1mm，入射波的波長為500nm，則近似成立的條件為

  
    
      
        z
        ≫
        
          
            (
            
              
                
                  ρ
                  
                    4
                  
                
                
                  8
                  λ
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            3
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0.002
                  
                    4
                  
                
                
                  8
                  ⋅
                  500
                  ⋅
                  
                    10
                    
                      −
                      9
                    
                  
                
              
            
            ]
          
          
            1
            
              /
            
            3
          
        
        ≈
        0.016
        [
        m
        ]
      
    
    {\displaystyle z\gg \left({\frac {\rho ^{4}}{8\lambda }}\right)^{1/3}=\left[{\frac {0.002^{4}}{8\cdot 500\cdot 10^{-9}}}\right]^{1/3}\approx 0.016[m]}
  
 。
圓孔與觀察屏之間的距離 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 必須超大於16mm。實際而言，這條件太過嚴苛，從數值分析的結果，只要圓孔與觀察屏之間的距離 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 大於16mm就行了。


= 菲涅耳衍射積分式 =

假設孔徑尺寸超小於傳播路徑長度，則 
  
    
      
        K
        (
        χ
        )
        ≈
        1
      
    
    {\displaystyle K(\chi )\approx 1}
  
 。特別是在z-軸附近的小範圍區域，
  
    
      
        x
        ,
        y
        ≪
        z
      
    
    {\displaystyle x,y\ll z}
  
 ，分母的 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 ，可以近似為 
  
    
      
        R
        ≈
        z
      
    
    {\displaystyle R\approx z}
  
 ，只取至線性項目。現在，採用菲涅耳近似，則在位置 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,z)}
  
 的波擾為

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        −
         
        
          
            
              i
              
                e
                
                  i
                  k
                  z
                
              
            
            
              λ
              z
            
          
        
        
          ∫
          
            
              S
            
          
        
        ψ
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        0
        )
        
          e
          
            i
            k
            [
            (
            x
            −
            
              x
              ′
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            y
            −
            
              y
              ′
            
            
              )
              
                2
              
            
            ]
            
              /
            
            2
            z
          
        
         
        
          d
        
        
          x
          ′
        
        
          d
        
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0)e^{ik[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
  
 。
這就是「菲涅耳衍射積分式」。仔細推敲這積分式的含意，假設菲涅耳近似成立，則位於孔徑的次波源發射出的圓球面次波，會沿著z-軸方向，傳播到觀察屏。整個積分調製圓球面波的波幅與相位。只有對於少數案例，這方程式存在分析解答。
更進一步近似，將 
  
    
      
        
          e
          
            i
            k
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{ikR}}
  
 近似為 
  
    
      
        
          e
          
            i
            k
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{ikz}}
  
 ，相位部分僅取至線性項目，這只有當觀察屏與孔徑之間的距離超遠時才成立，請參閱條目夫朗和斐繞射。菲涅耳衍射與夫琅禾费衍射不同的地方，主要是菲涅耳衍射將波前的曲率納入考量，這是為了要精確計算相互干涉的波擾彼此之間的相對相位。


= 圓孔衍射 =
轴上照度

假設孔徑是半徑為 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的圓孔，首先計算沿著中心軸的波擾， 
  
    
      
        x
        ,
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x,y=0}
  
 ，又假設入射波是波幅為 
  
    
      
        
          ψ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{0}}
  
 、朝著z-軸傳播的平面波。
根據菲涅耳衍射積分式，

  
    
      
        ψ
        (
        0
        ,
        0
        ,
        z
        )
        =
        −
         
        
          
            
              i
              
                e
                
                  i
                  k
                  z
                
              
              
                ψ
                
                  0
                
              
            
            
              λ
              z
            
          
        
        
          ∫
          
            
              S
            
          
        
        
          e
          
            i
            k
            (
            
              x
              
                ′
                
                  2
                
              
            
            +
            
              y
              
                ′
                
                  2
                
              
            
            )
            
              /
            
            2
            z
          
        
         
        
          d
        
        
          x
          ′
        
        
          d
        
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \psi (0,0,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}\psi _{0}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
  
 。
改採極坐標 
  
    
      
        (
        
          ρ
          ′
        
        ,
        
          θ
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\rho ',\theta ')}
  
 ，

  
    
      
        
          
            
              
                ψ
                (
                0
                ,
                0
                ,
                z
                )
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    
                      i
                      
                        e
                        
                          i
                          k
                          z
                        
                      
                      
                        ψ
                        
                          0
                        
                      
                    
                    
                      λ
                      z
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    a
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    k
                    
                      ρ
                      
                        ′
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      /
                    
                    2
                    z
                  
                
                 
                
                  ρ
                  ′
                
                
                  d
                
                
                  ρ
                  ′
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  ψ
                  
                    0
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    k
                    z
                  
                
                (
                
                  e
                  
                    i
                    k
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    
                      /
                    
                    2
                    z
                  
                
                −
                1
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (0,0,z)&=-\ {\frac {ie^{ikz}\psi _{0}}{\lambda z}}\int _{0}^{a}e^{ik\rho '^{2}/2z}\ \rho '\mathrm {d} \rho '\\&=-\psi _{0}e^{ikz}(e^{ika^{2}/2z}-1)\\\end{aligned}}}
  
 。
輻照度 
  
    
      
        I
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle I(z)}
  
 為

  
    
      
        I
        (
        z
        )
        =
        
          ψ
          
            ∗
          
        
        ψ
        
          /
        
        2
        =
        
          ψ
          
            0
          
          
             
            2
          
        
         
        2
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        k
        
          a
          
            2
          
        
        
          /
        
        4
        z
        )
        =
        
          I
          
            0
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        k
        
          a
          
            2
          
        
        
          /
        
        4
        z
        )
      
    
    {\displaystyle I(z)=\psi ^{*}\psi /2=\psi _{0}^{\ 2}\ 2\sin ^{2}(ka^{2}/4z)=I_{0}\sin ^{2}(ka^{2}/4z)}
  
 。
從這函數繪製的輻照度比率對無量綱距離圖展示出，離孔徑越近，震盪越劇烈。這區域是菲涅耳衍射區域。在這區域裏，輻照度的極值點分別為

極大值：當 
  
    
      
        z
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              2
              n
              λ
            
          
        
        ,
        
        n
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle z={\frac {a^{2}}{2n\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots }
  
 。
極小值：當 
  
    
      
        z
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              (
              2
              n
              −
              1
              )
              λ
            
          
        
        ,
        
        n
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle z={\frac {a^{2}}{(2n-1)\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots }
  
 。
離孔徑越遠，兩個相鄰極值點之間的間隔越大，
  
    
      
        z
        =
        
          a
          
            2
          
        
        
          /
        
        λ
      
    
    {\displaystyle z=a^{2}/\lambda }
  
 是最後一個極值點。遠於這距離，輻照度呈單調遞減。通常，物理學者規定菲涅耳衍射區域的菲涅耳數大於或等於1，這對應於 
  
    
      
        
          Z
          
            F
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        
          /
        
        λ
      
    
    {\displaystyle Z_{F}=a^{2}/\lambda }
  
 為分界點；超遠於這分界點，是夫朗和斐繞射區域，可以使用夫朗和斐近似，數學計算比較簡單很多。
例如，對於半徑為1mm的圓孔，假設入射波的波長為500nm，則 
  
    
      
        
          Z
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle Z_{F}}
  
 為

  
    
      
        
          Z
          
            F
          
        
        =
        
          
            
              0.001
              
                2
              
            
            
              500
              ⋅
              
                10
                
                  −
                  9
                
              
            
          
        
        ≈
        2
        [
        m
        ]
      
    
    {\displaystyle Z_{F}={\frac {0.001^{2}}{500\cdot 10^{-9}}}\approx 2[m]}
  
 。
總結，孔徑與觀察屏之間的距離在2m以內是菲涅耳衍射區域，以外是夫朗和斐繞射區域。

轴侧照度
 

  
    
      
        I
        =
        
          
            (
            
              
                V
                
                  0
                
              
              −
              cos
              ⁡
              
                (
                
                  
                    
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        v
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
                )
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                V
                
                  1
                
              
              −
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        v
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      2
                      u
                    
                  
                
                )
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle I=\left(V_{0}-\cos \left({\frac {u^{2}+v^{2}}{2u}}\right)\right)^{2}+\left(V_{1}-\sin \left({\frac {u^{2}+v^{2}}{2u}}\right)\right)^{2}}
  

其中 
  
    
      
        
          V
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{m}}
  
是二元隆梅尔函数(Lommel function)

  
    
      
        
          V
          
            m
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        ∗
        (
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        ∗
        (
        
          
            v
            u
          
        
        
          )
          
            2
            ∗
            n
            +
            m
          
        
        ∗
        
          J
          
            2
            n
            +
            m
          
        
        (
        v
        )
        )
      
    
    {\displaystyle V_{m}=\sum _{n=0}^{\infty }*((-1)^{n}*({\frac {v}{u}})^{2*n+m}*J_{2n+m}(v))}
  

  
    
      
        
          J
          
            2
            n
            +
            m
          
        
        (
        v
        )
      
    
    {\displaystyle J_{2n+m}(v)}
  
 为 第一类
  
    
      
        2
        n
        +
        m
      
    
    {\displaystyle 2n+m}
  
 阶贝塞尔函数


= 圆盘衍射 =

圆盘衍射在轴上的强度为

  
    
      
        I
        =
        
          I
          
            0
          
        
        ∗
        
          λ
          
            2
          
        
        
          /
        
        4
      
    
    {\displaystyle I=I_{0}*\lambda ^{2}/4}
  

因此圆盘衍射的轴上强度，和波长的平方成正比，而与圆盘的直径、与圆盘的距离无关，所以衍射图形的中心一定是个亮点。这个亮点称为泊松光斑。菲涅耳圆孔衍射图形的中心点，根据圆孔直径和距离之不同，可以是亮点，也可以是暗点。


= 单缝衍射 =

菲涅耳单缝衍射的强度分布为：.

  
    
      
        I
        =
        (
        C
        p
        (
        Y
        )
        −
        C
        q
        (
        Y
        )
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        S
        p
        (
        Y
        )
        −
        S
        q
        (
        Y
        )
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle I=(Cp(Y)-Cq(Y))^{2}+(Sp(Y)-Sq(Y))^{2}}
  

其中 Cp,Cq 为余弦菲涅耳积分：

  
    
      
        C
        p
        (
        Y
        )
        :=
        
          ∫
          
            0
          
          
            p
          
        
        (
        cos
        ⁡
        (
        (
        1
        
          /
        
        2
        )
        ∗
        π
        ∗
        
          t
          
            2
          
        
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle Cp(Y):=\int _{0}^{p}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
  

  
    
      
        C
        q
        (
        Y
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            q
          
        
        (
        cos
        ⁡
        (
        (
        1
        
          /
        
        2
        )
        ∗
        π
        ∗
        
          t
          
            2
          
        
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
  
;

Sp,Sq 为正弦菲涅耳积分：

  
    
      
        S
        p
        (
        Y
        )
        :=
        
          ∫
          
            0
          
          
            p
          
        
        (
        sin
        ⁡
        (
        (
        1
        
          /
        
        2
        )
        ∗
        π
        ∗
        
          t
          
            2
          
        
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
  

  
    
      
        S
        q
        (
        Y
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            q
          
        
        (
        sin
        ⁡
        (
        (
        1
        
          /
        
        2
        )
        ∗
        π
        ∗
        
          t
          
            2
          
        
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle Sq(Y)=\int _{0}^{q}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
  
;
菲涅耳单缝衍射图形与夫琅禾费单缝衍射明显不同之处在于前者的第一个极小值不等于0（如图），而后者为0。


= 直边衍射 =

一个平面波通过与光线传播方向垂直的不透明直边，

其菲涅耳直边衍射的强度分布为：.

  
    
      
        I
        =
        (
        C
        p
        (
        Y
        )
        +
        0.5
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        S
        p
        (
        Y
        )
        +
        0.5
        )
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle I=(Cp(Y)+0.5)^{2}+(Sp(Y)+0.5))^{2}}
  

其中 Cq 为余弦菲涅耳积分：

  
    
      
        C
        q
        (
        Y
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            q
          
        
        (
        cos
        ⁡
        (
        (
        1
        
          /
        
        2
        )
        ∗
        π
        ∗
        
          t
          
            2
          
        
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
  
;
Sp 为正弦菲涅耳积分：

  
    
      
        S
        p
        (
        Y
        )
        :=
        
          ∫
          
            0
          
          
            p
          
        
        (
        sin
        ⁡
        (
        (
        1
        
          /
        
        2
        )
        ∗
        π
        ∗
        
          t
          
            2
          
        
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
  

菲涅尔直边衍射图样在几何阴影区附近强度不为零，在明亮区间，光强以阻尼振动形式逐渐衰减至一个稳定数值


進階理論 = 卷積 =
設定函數 
  
    
      
        h
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle h(x,y,z)}
  
 為

  
    
      
        h
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        −
         
        
          
            
              i
              
                e
                
                  i
                  k
                  z
                
              
            
            
              λ
              z
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              
                k
                
                  2
                  z
                
              
            
            (
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle h(x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}
  
 。
波擾 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x,y,z)}
  
 可以寫為卷積形式：

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          ∬
          
            −
            ∞
          
          
             
             
             
            ∞
          
        
        ψ
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        0
        )
        h
        (
        x
        −
        
          x
          ′
        
        ,
        y
        −
        
          y
          ′
        
        ,
        z
        )
         
        
          d
        
        
          x
          ′
        
        
          d
        
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,y,z)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }\psi (x',y',0)h(x-x',y-y',z)\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
  
 ，
或者，由於z-坐標與積分無關，可以將z-坐標資訊提出，

  
    
      
        
          ψ
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          ∬
          
            −
            ∞
          
          
             
             
             
            ∞
          
        
        
          ψ
          
            0
          
        
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
        
          h
          
            z
          
        
        (
        x
        −
        
          x
          ′
        
        ,
        y
        −
        
          y
          ′
        
        )
         
        
          d
        
        
          x
          ′
        
        
          d
        
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{z}(x,y)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }\psi _{0}(x',y')h_{z}(x-x',y-y')\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
  
 ，
這卷積又可以標記為

  
    
      
        
          ψ
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          ψ
          
            0
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        ∗
        
          h
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \psi _{z}(x,y)=\psi _{0}(x,y)*h_{z}(x,y)}
  
 。
根據卷積定理，函數卷積的傅立葉變換是函數傅立葉變換的乘積，以方程式表達，

  
    
      
        
          
            F
          
        
        {
        
          ψ
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        }
        =
        
          
            F
          
        
        {
        
          ψ
          
            0
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        ∗
        h
        (
        x
        ,
        y
        )
        }
        =
        
          
            F
          
        
        {
        
          ψ
          
            0
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        }
        ⋅
        
          
            F
          
        
        {
        
          h
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        }
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\psi _{z}(x,y)\}={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)*h(x,y)\}={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}\cdot {\mathcal {F}}\{h_{z}(x,y)\}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          
            F
          
        
        {
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        }
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(x,y)\}}
  
 是函數 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 的傅立葉變換。
假設這光學系統是線性系統，滿足空間不變性，即改變波源的位置只會改變衍射圖樣的位置，不會改變衍射圖樣的形狀。這樣，一個有限尺寸波源所產生的衍射圖樣，可以視為是由其每一個點波源所產生的衍射圖樣共同線性疊加而形成。
假設這線性系統的線性算子為 
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
 、輸入函數為 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 、輸出函數為 
  
    
      
        G
        (
        X
        ,
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle G(X,Y)}
  
 ，則這兩個函數之間的關係可以表達為

  
    
      
        G
        (
        X
        ,
        Y
        )
        =
        
          
            L
          
        
        {
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        }
      
    
    {\displaystyle G(X,Y)={\mathcal {L}}\{f(x,y)\}}
  
 。
應用狄拉克δ函數的數學性質，

  
    
      
        G
        (
        X
        ,
        Y
        )
        =
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            
              ∬
              
                −
                ∞
              
              
                 
                 
                 
                ∞
              
            
            f
            (
            
              x
              ′
            
            ,
            
              y
              ′
            
            )
            δ
            (
            x
            −
            
              x
              ′
            
            )
            δ
            (
            y
            −
            
              y
              ′
            
            )
             
            
              d
            
            
              x
              ′
            
            
              d
            
            
              y
              ′
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle G(X,Y)={\mathcal {L}}\left\{\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }f(x',y')\delta (x-x')\delta (y-y')\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'\right\}}
  
 。
將 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x',y')}
  
 視為函數 
  
    
      
        δ
        (
        x
        −
        
          x
          ′
        
        )
        δ
        (
        y
        −
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta (x-x')\delta (y-y')}
  
 權重係數，應用線性系統的性質，可以將積分式寫為

  
    
      
        G
        (
        X
        ,
        Y
        )
        =
        
          ∬
          
            −
            ∞
          
          
             
             
             
            ∞
          
        
        f
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
        
          
            L
          
        
        {
        δ
        (
        x
        −
        
          x
          ′
        
        )
        δ
        (
        y
        −
        
          y
          ′
        
        )
        }
         
        
          d
        
        
          x
          ′
        
        
          d
        
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle G(X,Y)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }f(x',y'){\mathcal {L}}\{\delta (x-x')\delta (y-y')\}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
  
 。
由此推論，表現觀察屏輻照圖案的函數 
  
    
      
        
          h
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle h_{z}(x,y)}
  
 是線性系統對於在孔徑位置 
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y')}
  
 的狄拉克δ函數所做出的響應，因此稱為脈衝響應。


= 傅立葉變換 =
定義空間頻率 
  
    
      
        
          K
          
            x
          
        
        ,
        
          K
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{x},K_{y}}
  
 為

  
    
      
        
          K
          
            x
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        k
        x
        
          /
        
        z
      
    
    {\displaystyle K_{x}\ {\stackrel {def}{=}}\ kx/z}
  
 、

  
    
      
        
          K
          
            y
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        k
        y
        
          /
        
        z
      
    
    {\displaystyle K_{y}\ {\stackrel {def}{=}}\ ky/z}
  
 。
將橫向位移的每一個分量展開，

  
    
      
        (
        x
        −
        
          x
          ′
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            ′
            
              2
            
          
        
        −
        2
        x
        
          x
          ′
        
      
    
    {\displaystyle (x-x')^{2}=x^{2}+x'^{2}-2xx'}
  
 、

  
    
      
        (
        y
        −
        
          y
          ′
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            ′
            
              2
            
          
        
        −
        2
        y
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle (y-y')^{2}=y^{2}+y'^{2}-2yy'}
  
 ，
則菲涅耳衍射積分式可以以二維傅立葉變換來表達。設定函數 
  
    
      
        G
        (
        
          K
          
            x
          
        
        ,
        
          K
          
            y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle G(K_{x},K_{y})}
  
 為函數 
  
    
      
        g
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle g(x',y')}
  
 的傅立葉變換，那麼，根據定義，函數 
  
    
      
        G
        (
        
          K
          
            x
          
        
        ,
        
          K
          
            y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle G(K_{x},K_{y})}
  
 為

  
    
      
        G
        (
        
          K
          
            x
          
        
        ,
        
          K
          
            y
          
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            F
          
        
        
          {
          
            g
            (
            
              x
              ′
            
            ,
            
              y
              ′
            
            )
          
          }
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          ∬
          
            −
            ∞
          
          
             
             
             
            ∞
          
        
        g
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
        
          e
          
            −
            i
            (
            
              K
              
                x
              
            
            
              x
              ′
            
            +
            
              K
              
                y
              
            
            
              y
              ′
            
            )
          
        
         
        
          d
        
        
          x
          ′
        
        
          d
        
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle G(K_{x},K_{y})\ {\stackrel {def}{=}}\ {\mathcal {F}}\left\{g(x',y')\right\}\ {\stackrel {def}{=}}\ \iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }g(x',y')e^{-i(K_{x}x'+K_{y}y')}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
  
 ；
設定函數 
  
    
      
        g
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle g(x',y')}
  
 為

  
    
      
        g
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
        =
        
          ψ
          
            0
          
        
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
        
          e
          
            i
            k
            (
            
              x
              
                ′
                
                  2
                
              
            
            +
            
              y
              
                ′
                
                  2
                
              
            
            )
            
              /
            
            2
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle g(x',y')=\psi _{0}(x',y')e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}}
  
 。
菲涅耳衍射積分式表達為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ψ
                  
                    z
                  
                
                (
                x
                ,
                y
                )
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    
                      i
                      
                        e
                        
                          i
                          k
                          z
                        
                      
                    
                    
                      λ
                      z
                    
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    k
                    (
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                    )
                    
                      /
                    
                    2
                    z
                  
                
                 
                
                  
                    F
                  
                
                {
                
                  ψ
                  
                    0
                  
                
                (
                
                  x
                  ′
                
                ,
                
                  y
                  ′
                
                )
                
                  e
                  
                    i
                    k
                    (
                    
                      x
                      
                        ′
                        
                          2
                        
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        ′
                        
                          2
                        
                      
                    
                    )
                    
                      /
                    
                    2
                    z
                  
                
                }
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    
                      i
                      
                        e
                        
                          i
                          k
                          z
                        
                      
                    
                    
                      λ
                      z
                    
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    k
                    (
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                    )
                    
                      /
                    
                    2
                    z
                  
                
                 
                
                  
                    F
                  
                
                {
                g
                (
                
                  x
                  ′
                
                ,
                
                  y
                  ′
                
                )
                }
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                 
                
                  
                    
                      i
                      
                        e
                        
                          i
                          k
                          z
                        
                      
                    
                    
                      λ
                      z
                    
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    k
                    (
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                    )
                    
                      /
                    
                    2
                    z
                  
                
                 
                G
                (
                
                  K
                  
                    x
                  
                
                ,
                
                  K
                  
                    y
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  h
                  
                    z
                  
                
                (
                x
                ,
                y
                )
                 
                G
                (
                
                  K
                  
                    x
                  
                
                ,
                
                  K
                  
                    y
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{z}(x,y)&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ {\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x',y')e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}\}\\&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ {\mathcal {F}}\{g(x',y')\}\\&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ G(K_{x},K_{y})\\&=h_{z}(x,y)\ G(K_{x},K_{y})\\\end{aligned}}}
  
；
其中，函數 
  
    
      
        
          h
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        −
         
        
          
            
              i
              
                e
                
                  i
                  k
                  z
                
              
            
            
              λ
              z
            
          
        
        
          e
          
            i
            k
            (
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
            )
            
              /
            
            2
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{z}(x,y)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}}
  
 。
在做實例計算時，先計算 
  
    
      
        g
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle g(x',y')}
  
 的傅立葉變換，然後將空間頻率 
  
    
      
        
          K
          
            x
          
        
        ,
        
          K
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{x},K_{y}}
  
 替換回原來的變量，最後再乘以 
  
    
      
        
          h
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle h_{z}(x,y)}
  
 ，就可以得到 
  
    
      
        
          ψ
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \psi _{z}(x,y)}
  
 。假若 
  
    
      
        g
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle g(x',y')}
  
 是個常見函數，而且已知道 
  
    
      
        g
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle g(x',y')}
  
 的傅立葉變換，則這是一種比較精緻的理論方法。更多相關內容，請參閱條目線性標準轉換。


原子反射鏡 由於菲涅耳衍射機制，原子波入射於由物質形成的相互平行凸脊陣列，會被鏡面反射。這效應可以用來實現原子反射鏡。


參閱 菲涅耳積分
菲涅耳波帶（Fresnel zone）
基爾霍夫積分定理
基爾霍夫衍射公式


參考文獻 Goodman, Joseph W. Introduction to Fourier optics. New York: McGraw-Hill. 1996. ISBN 0-07-024254-2.