渐近分析（asymptotic analysis、asymptotics），在数学分析中是一种描述函数在极限附近的行为的方法。有多个科学领域应用此方法。例子如下：

在计算机科学中，算法分析考虑给定算法在输入非常大的数据集时候的性能。
当實體系統的规模变得非常大的时候，分析它的行为。
最简单的例子如下：考虑一个函数
  
    
      
        f
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle f(n)}
  
，我们需要了解当
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
变得非常大的时候
  
    
      
        f
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle f(n)}
  
的性质。
令
  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        
          n
          
            2
          
        
        +
        3
        n
      
    
    {\displaystyle f(n)=n^{2}+3n}
  
，在
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
特别大的时候，第二项
  
    
      
        3
        n
      
    
    {\displaystyle 3n}
  
比起第一项
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}}
  
要小很多。
于是对于这个函数，有如下断言：「
  
    
      
        f
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle f(n)}
  
在
  
    
      
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\rightarrow \infty }
  
的情况下与
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}}
  
渐近等价」，记作
  
    
      
        f
        (
        n
        )
        ∼
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(n)\sim n^{2}}
  
。


渐近等价 定义：给定关于自然数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的复函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
，
命题
  
    
      
        f
        (
        n
        )
        ∼
        g
        (
        n
        )
        
          
             
          
        
        (
        n
        →
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle f(n)\sim g(n){\mbox{  }}(n\rightarrow \infty )}
  
表明（使用小o符号）

  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        g
        (
        n
        )
        +
        o
        (
        g
        (
        n
        )
        )
        
          
             
          
        
        (
        n
        →
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle f(n)=g(n)+o(g(n)){\mbox{  }}(n\rightarrow \infty )}
  

或（等价记法）

  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        (
        1
        +
        o
        (
        1
        )
        )
        g
        (
        n
        )
        
          
             
          
        
        (
        n
        →
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle f(n)=(1+o(1))g(n){\mbox{  }}(n\rightarrow \infty )}
  
。
这说明，对所有正常数
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
  
，存在常量
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
，使得对于所有的
  
    
      
        n
        ⩾
        N
      
    
    {\displaystyle n\geqslant N}
  
有

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        n
        )
        −
        g
        (
        n
        )
        
          |
        
        ⩽
        ϵ
        
          |
        
        g
        (
        n
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f(n)-g(n)|\leqslant \epsilon |g(n)|}
  
。
当
  
    
      
        g
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle g(n)}
  
不是0或者趋于无穷大时，该命题可等价记作

  
    
      
        
          lim
          
            n
            
              →
            
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              n
              )
            
            
              g
              (
              n
              )
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{n{\rightarrow }\infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1}
  
。
渐近等价是一个关于
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的函数的集合上的等价关系。非正式地，函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的等价类包含所有在极限情况下近似等于
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的函数
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
。


渐近展开 函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的渐近展开是它的一种级数展开。这种展开的部分和未必收敛，但每一个部分和都表示
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的一个渐近表示式。例子：斯特灵公式。


相關條目 漸近運算複雜度
漸近理論


參考注釋 外部連結 J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint （页面存档备份，存于互联网档案馆）.