数学中，庞加莱度量（Poincare metric），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。
在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（Q-analog）的关系，这种形式不同于前两种。


黎曼曲面上的度量概要 复平面上的度量可写成一般形式

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          λ
          
            2
          
        
        (
        z
        ,
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
        
        d
        z
        d
        
          
            z
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}}
  

这里 λ 是 z 与 
  
    
      
        
          
            z
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {z}}}
  
 的一个实正函数。复平面上曲线 γ 的长度为

  
    
      
        l
        (
        γ
        )
        =
        
          ∫
          
            γ
          
        
        λ
        (
        z
        ,
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
        
        
          |
        
        d
        z
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|.}
  

复平面上子集 M 之面积是

  
    
      
        
          
            Area
          
        
        (
        M
        )
        =
        
          ∫
          
            M
          
        
        
          λ
          
            2
          
        
        (
        z
        ,
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
        
        
          
            i
            2
          
        
        d
        z
        ∧
        d
        
          
            z
            ¯
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\mbox{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}},}
  

这里 
  
    
      
        ∧
      
    
    {\displaystyle \wedge }
  
 是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 
  
    
      
        
          λ
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda ^{4}}
  
，故而行列式的平方根是 
  
    
      
        
          λ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda ^{2}}
  
。复平面上的欧几里得体积形式为 
  
    
      
        d
        x
        ∧
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dx\wedge dy}
  
，从而我们有   

  
    
      
        d
        z
        ∧
        d
        
          
            z
            ¯
          
        
        =
        (
        d
        x
        +
        i
        
        d
        y
        )
        ∧
        (
        d
        x
        −
        i
        d
        y
        )
        =
        −
        2
        i
        
        d
        x
        ∧
        d
        y
        .
      
    
    {\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)=-2i\,dx\wedge dy.}
  

函数 
  
    
      
        Φ
        (
        z
        ,
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (z,{\overline {z}})}
  
 称为度量的势能（potential of the metric），如果 

  
    
      
        4
        
          
            ∂
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                
                  z
                  ¯
                
              
            
          
        
        Φ
        (
        z
        ,
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
        =
        
          λ
          
            2
          
        
        (
        z
        ,
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}
  

拉普拉斯–贝尔特拉米算子为

  
    
      
        Δ
        =
        
          
            4
            
              λ
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                
                  z
                  ¯
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              λ
              
                2
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).}
  

度量的高斯曲率由

  
    
      
        K
        =
        −
        Δ
        log
        ⁡
        λ
        ,
      
    
    {\displaystyle K=-\Delta \log \lambda ,}
  

给出，这个曲率是里奇数量曲率的一半。
等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上，等距与坐标变换等价：即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而，比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量 
  
    
      
        
          λ
          
            2
          
        
        (
        z
        ,
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
        
        d
        z
        d
        
          
            z
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}}
  
 而 T 是带有度量 
  
    
      
        
          μ
          
            2
          
        
        (
        w
        ,
        
          
            w
            ¯
          
        
        )
        
        d
        w
        
        d
        
          
            w
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}}
  
 的黎曼曲面，则映射

  
    
      
        f
        :
        S
        →
        T
        
      
    
    {\displaystyle f:S\to T\,}
  

以及 
  
    
      
        f
        =
        w
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f=w(z)}
  
 是等距当且仅当它是共形的以及

  
    
      
        
          μ
          
            2
          
        
        (
        w
        ,
        
          
            w
            ¯
          
        
        )
        
        
          
            
              ∂
              w
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  w
                  ¯
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  z
                  ¯
                
              
            
          
        
        =
        
          λ
          
            2
          
        
        (
        z
        ,
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}
  

在这里，映射为共形的也就是条件

  
    
      
        w
        (
        z
        ,
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
        =
        w
        (
        z
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),}
  

即

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                
                  z
                  ¯
                
              
            
          
        
        w
        (
        z
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.}
  


庞加莱平面上的度量与体积元 庞加莱半平面模型中上半平面 H 的庞加莱度量张量为

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              d
              
                y
                
                  2
                
              
            
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              z
              d
              
                
                  z
                  ¯
                
              
            
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dzd{\overline {z}}}{y^{2}}},}
  

这里我们记 
  
    
      
        d
        z
        =
        d
        x
        +
        i
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dz=dx+i\,dy}
  
。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是，如果我们记

  
    
      
        
          z
          ′
        
        =
        
          x
          ′
        
        +
        i
        
          y
          ′
        
        =
        
          
            
              a
              z
              +
              b
            
            
              c
              z
              +
              d
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}},}
  

对 
  
    
      
        a
        d
        −
        b
        c
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ad-bc=1}
  
，则我们可算得

  
    
      
        
          x
          ′
        
        =
        
          
            
              a
              c
              (
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                y
                
                  2
                
              
              )
              +
              x
              (
              a
              d
              +
              b
              c
              )
              +
              b
              d
            
            
              
                |
              
              c
              z
              +
              d
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},}
  

与

  
    
      
        
          y
          ′
        
        =
        
          
            y
            
              
                |
              
              c
              z
              +
              d
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}},}
  

无穷小变换为

  
    
      
        d
        
          z
          ′
        
        =
        
          
            
              d
              z
            
            
              (
              c
              z
              +
              d
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},}
  

从而

  
    
      
        d
        
          z
          ′
        
        d
        
          
            
              z
              ¯
            
          
          ′
        
        =
        
          
            
              d
              z
              
              d
              
                
                  z
                  ¯
                
              
            
            
              
                |
              
              c
              z
              +
              d
              
                
                  |
                
                
                  4
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}.}
  

这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。
不变体积元素为

  
    
      
        d
        μ
        =
        
          
            
              d
              x
              
              d
              y
            
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}
  

对 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ∈
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }
  
 度量为

  
    
      
        ρ
        (
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
        =
        2
        
          tanh
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            
              
                |
              
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                z
                
                  2
                
              
              
                |
              
            
            
              
                |
              
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  ¯
                
              
              
                |
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}},}
  

  
    
      
        ρ
        (
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
        =
        log
        ⁡
        
          
            
              
                |
              
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  ¯
                
              
              
                |
              
              +
              
                |
              
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                z
                
                  2
                
              
              
                |
              
            
            
              
                |
              
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  ¯
                
              
              
                |
              
              −
              
                |
              
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                z
                
                  2
                
              
              
                |
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}.}
  

度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面 
  
    
      
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
        =
        
          C
        
        ∪
        ∞
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty }
  
 上任意四点 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}
  
 与
  
    
      
        
          z
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{4}}
  
，交比定义为

  
    
      
        (
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ;
        
          z
          
            3
          
        
        ,
        
          z
          
            4
          
        
        )
        =
        
          
            
              (
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                z
                
                  2
                
              
              )
              (
              
                z
                
                  3
                
              
              −
              
                z
                
                  4
                
              
              )
            
            
              (
              
                z
                
                  2
                
              
              −
              
                z
                
                  3
                
              
              )
              (
              
                z
                
                  4
                
              
              −
              
                z
                
                  1
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}.}
  

那么度量用交比表示为

  
    
      
        ρ
        (
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
        =
        ln
        ⁡
        (
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
          
            ×
          
        
        ;
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
          
            ×
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times }).}
  

这里 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1}^{\times }}
  
 与 
  
    
      
        
          z
          
            2
          
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{2}^{\times }}
  
 是端点，位于实数轴上，测地线连接 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1}}
  
 与 
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{2}}
  
。这些点是有顺序的故 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1}}
  
 位于 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
          
            ×
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1}^{\times }}
  
 与 
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{2}}
  
 之间。
这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧（的一段），即端点位于实轴的上半圆周。


从平面到圆盘的共形映射 上半平面可以共形地映到单位圆盘，用莫比乌斯变换

  
    
      
        w
        =
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
        
          
            
              z
              −
              
                z
                
                  0
                
              
            
            
              z
              −
              
                
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  ¯
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}},}
  

这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中，常数 z0 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴 
  
    
      
        ℑ
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Im z=0}
  
 映为单位圆盘的边界 
  
    
      
        
          |
        
        w
        
          |
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle |w|=1}
  
。实常数 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 将圆盘旋转任意一个角度。
典范映射是

  
    
      
        w
        =
        
          
            
              i
              z
              +
              1
            
            
              z
              +
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}
  

将 i 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。


庞加莱圆盘上的度量与体积元素 庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘 
  
    
      
        U
        =
        {
        z
        =
        x
        +
        i
        y
        :
        
          |
        
        z
        
          |
        
        =
        
          
            (
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
            )
          
        
        ≤
        1
        }
      
    
    {\displaystyle U=\{z=x+iy:|z|={\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}\leq 1\}}
  
 上为

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              d
              
                y
                
                  2
                
              
            
            
              (
              1
              −
              (
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                y
                
                  2
                
              
              )
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              z
              
              d
              
                
                  z
                  ¯
                
              
            
            
              (
              1
              −
              
                |
              
              z
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}
  

体积形式为

  
    
      
        d
        μ
        =
        
          
            
              d
              x
              
              d
              y
            
            
              (
              1
              −
              (
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                y
                
                  2
                
              
              )
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              x
              
              d
              y
            
            
              (
              1
              −
              
                |
              
              z
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}
  

对 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2}\in U}
  
 的庞加莱度量为

  
    
      
        ρ
        (
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
        =
        2
        
          tanh
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          |
          
            
              
                
                  z
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  z
                  
                    2
                  
                
              
              
                1
                −
                
                  z
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                    ¯
                  
                
              
            
          
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|.}
  

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。


穿孔圆盘模型 第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射：

  
    
      
        q
        =
        e
        x
        p
        (
        i
        π
        τ
        )
      
    
    {\displaystyle q=exp(i\pi \tau )}
  

这里 q 是 nome（Nome），
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 是半周期比例（half-period ratio）。在上一节的记号中，
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 是上半平面 
  
    
      
        ℑ
        τ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \Im \tau >0}
  
 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘，因为值 q=0 不在映射的像中。
上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          
            4
            
              
                |
              
              q
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
              (
              log
              ⁡
              
                |
              
              q
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        d
        q
        d
        
          
            q
            ¯
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dqd{\overline {q}},}
  

度量的势能是

  
    
      
        Φ
        (
        q
        ,
        
          
            q
            ¯
          
        
        )
        =
        4
        log
        ⁡
        log
        ⁡
        
          |
        
        q
        
          
            |
          
          
            −
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}.}
  


施瓦茨引理 庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广，称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）。


另见 富克斯群（Fuchsian group）
富克斯模型（Fuchsian model）
克莱因群
克莱因模型
庞加莱圆盘模型
庞加莱半平面模型
本原测地线（Prime geodesic）
施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理


引用 Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)