擺是一種實驗儀器，可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條繩或竿，和一個錘組成。錘繫在繩的下方，繩的另一端固定。當推動擺時，錘來回移動。擺可以作一個計時器。


類型 = 簡諧運動 =
若最高處（ 
  
    
      
        v
        =
        0
      
    
    {\displaystyle v=0}
  
 ）的繩子和最低處（速度最大值）的繩子的角度為 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，符合：

  
    
      
        θ
        ≤
        
          5
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta \leq 5^{\circ }}
  

則可使用下列公式算出它的振動週期。


 週期公式  T
        =
        2
        π
        
          
            
              L
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
  
（ 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 為擺長； 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 為當地重力加速度）
一擺長為 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 公尺的單擺，於地表處作小角度擺動可近似為簡諧運動，週期 
  
    
      
        T
        ≈
        2.0
        s
      
    
    {\displaystyle T\approx 2.0s}
  
，這種單擺稱之為秒擺。


 公式證明  一單擺擺錘正在擺盪最高處(此時 
  
    
      
        v
        =
        0
      
    
    {\displaystyle v=0}
  
 )，繩和鉛直線有夾角 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，繩長為 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
，相對於平衡點的位移為 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  

此物體受下列力的影響（下列說明錯誤，繩子的張力是因為擺錘重力引起，任何一瞬間擺錘法向（徑向）合力為零，但切線加速度為 
  
    
      
        −
        g
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle -g\sin \theta }
  
 ）

繩子之拉力大小 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  

重力大小 
  
    
      
        
          F
          
            g
          
        
        =
        m
        g
      
    
    {\displaystyle F_{g}=mg}
  

繩子的拉力 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
 有分力

  
    
      
        F
        cos
        ⁡
        θ
        =
        m
        g
      
    
    {\displaystyle F\cos \theta =mg}
  

  
    
      
        F
        sin
        ⁡
        θ
        =
        k
        x
      
    
    {\displaystyle F\sin \theta =kx}
  

  
    
      
        ∵
        
          
            
              lim
            
            
              θ
              →
              0
            
          
        
        
        cos
        ⁡
        θ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \because {\underset {\theta \to 0}{\mathop {\lim } }}\,\cos \theta =1}
  

  
    
      
        ∴
        F
        ≈
        
          m
          
            G
          
        
        g
      
    
    {\displaystyle \therefore F\approx m_{G}g}
  

  
    
      
        F
        sin
        ⁡
        
          θ
        
        =
        
          m
          
            G
          
        
        g
        
          (
          
            
              x
              L
            
          
          )
        
        =
        k
        x
      
    
    {\displaystyle F\sin {\theta }=m_{G}g\left({\frac {x}{L}}\right)=kx}
  

解得 
  
    
      
        k
        =
        
          
            
              
                m
                
                  G
                
              
              g
            
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle k={\frac {m_{G}g}{L}}}
  

代入 
  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          
            
              
                m
                
                  I
                
              
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}}{k}}}}
  

得到 
  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          
            
              
                
                  m
                  
                    I
                  
                
                L
              
              
                
                  m
                  
                    G
                  
                
                g
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}L}{m_{G}g}}}}
  

根據廣義相對論可知，
  
    
      
        
          m
          
            I
          
        
        =
        
          m
          
            G
          
        
        
      
    
    {\displaystyle m_{I}=m_{G}\,}
  

故  
  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          
            
              L
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
  


= 單擺 =

取 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 為繩的長度， 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 為繩和垂直平面的線的交角，
  
    
      
        
          θ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{0}}
  
 為 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 的最大值，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 為錘的質量，
  
    
      
        
          
            
              θ
              ¨
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\theta }}}
  
 表示角度加速度 
  
    
      
        α
        =
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  2
                
              
              θ
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ={\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}}
  
 。
忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響：

錘速率最高是在 
  
    
      
        θ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \theta =0}
  
 時。當錘升到最高點，其速率為 0。繩的張力沒有對錘做功，整個過程中動能和位能的和不變，機械能守恆。
運動方程為：

  
    
      
        m
        L
        
          
            
              θ
              ¨
            
          
        
        =
        −
        m
        
          
            g
          
        
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle mL{\ddot {\theta }}=-m{\rm {g}}\sin \theta }
  

注意到不論θ的值為何，運動週期和錘的質量無關。
當 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 相當小的時候，
  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
        ≈
        θ
      
    
    {\displaystyle \sin \theta \approx \theta }
  
，因此可得到一條二階齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動，週期 
  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          
            
              L
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
  
。
準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程：   

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              t
            
            
              
                
                  d
                
              
              θ
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              L
              
                
                  g
                
              
            
          
        
        
          
            1
            
              
                cos
                ⁡
                θ
                −
                cos
                ⁡
                
                  θ
                  
                    0
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {{\rm {d}}t \over {\rm {d}}\theta }={1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}
  

  
    
      
        T
        =
        
          θ
          
            0
          
        
        →
        0
        →
        −
        
          θ
          
            0
          
        
        →
        0
        →
        
          θ
          
            0
          
        
        =
        4
        
          (
          
            
              θ
              
                0
              
            
            →
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle T=\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}=4\left(\theta _{0}\rightarrow 0\right)}
  

  
    
      
        T
        =
        4
        
          
            1
            
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              L
              
                
                  g
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              θ
              
                0
              
            
          
        
        
          
            1
            
              
                cos
                ⁡
                θ
                −
                cos
                ⁡
                
                  θ
                  
                    0
                  
                
              
            
          
        
        
        
          
            d
          
        
        θ
      
    
    {\displaystyle T=4{1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}\,{\rm {d}}\theta }
  

將上式重寫成第一類橢圓函數的形式：

  
    
      
        T
        =
        4
        
          
            
              L
              
                
                  g
                
              
            
          
        
        F
        
          (
          
            
              sin
              ⁡
              
                
                  
                    θ
                    
                      0
                    
                  
                  2
                
              
            
            ,
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle T=4{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}F\left({\sin {\theta _{0} \over 2}},{\pi  \over 2}\right)}
  

其中
  
    
      
        F
        (
        k
        ,
        ϕ
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ϕ
          
        
        
          
            1
            
              
                1
                −
                
                  k
                  
                    2
                  
                
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                
                  θ
                
              
            
          
        
        
        
          
            d
          
        
        θ
        .
      
    
    {\displaystyle F(k,\phi )=\int _{0}^{\phi }{1 \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}{\theta }}}}\,{\rm {d}}\theta .}
  

週期可以用級數表示成：

  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          
            
              L
              
                
                  g
                
              
            
          
        
        
          [
          
            1
            +
            
              
                (
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            
              
                
                  θ
                  
                    0
                  
                
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  
                    
                      1
                      ⋅
                      3
                    
                    
                      2
                      ⋅
                      4
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              sin
              
                4
              
            
            ⁡
            
              
                
                  θ
                  
                    0
                  
                
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  
                    
                      1
                      ⋅
                      3
                      ⋅
                      5
                    
                    
                      2
                      ⋅
                      4
                      ⋅
                      6
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              sin
              
                6
              
            
            ⁡
            
              
                
                  θ
                  
                    0
                  
                
                2
              
            
            +
            ⋯
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over {\mathrm {g} }}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right]}
  

  
    
      
        =
        2
        π
        
          
            
              L
              g
            
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                1
                16
              
            
            
              θ
              
                0
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                11
                3072
              
            
            
              θ
              
                0
              
              
                4
              
            
            +
            ⋯
          
          )
        
        =
        2
        π
        
          
            
              L
              g
            
          
        
        
          [
          
            
              ∑
              
                n
                =
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              
                (
                
                  
                    
                      
                        (
                        
                          2
                          n
                        
                        )
                      
                      !
                    
                    
                      
                        2
                        
                          2
                          n
                        
                      
                      
                        
                          (
                          
                            n
                            !
                          
                          )
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              sin
              
                2
                n
              
            
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    θ
                    
                      0
                    
                  
                  2
                
              
              )
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle =2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]}
  


= 衝擊擺 =

衝擊擺是來用計算子弹速度的實驗室儀器。它的原理為：物件碰撞前後動量守恒，擺運動時能量守恒。
衝擊擺和普通擺相似，特別之處它的錘會和射入子弹產生完全非彈性碰撞，即碰撞後兩者會合為一。
將子弹射向停止的錘，使錘和子弹合在一起擺動。設錘質量為
  
    
      
        
          m
          
            p
          
        
        
      
    
    {\displaystyle m_{p}\,}
  
，子弹質量和初速度分別為
  
    
      
        
          m
          
            b
          
        
        
      
    
    {\displaystyle m_{b}\,}
  
和v，錘和子弹碰撞後的速度為u。
以下是子弹速度的計算方法：
由動量守恒定律，

  
    
      
        
          m
          
            b
          
        
        ×
        v
        +
        
          m
          
            p
          
        
        ×
        0
        =
        (
        
          m
          
            b
          
        
        +
        
          m
          
            p
          
        
        )
        ×
        u
      
    
    {\displaystyle m_{b}\times v+m_{p}\times 0=(m_{b}+m_{p})\times u}
  

由能量守恒定律，

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          m
          
            b
          
        
        +
        
          m
          
            p
          
        
        )
        
          u
          
            2
          
        
        =
        (
        
          m
          
            b
          
        
        +
        
          m
          
            p
          
        
        )
        g
        h
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}(m_{b}+m_{p})u^{2}=(m_{b}+m_{p})gh}
  

解得 
  
    
      
        v
        =
        
          
            
              (
              
                m
                
                  b
                
              
              +
              
                m
                
                  p
                
              
              )
              
                
                  2
                  g
                  h
                
              
            
            
              m
              
                b
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v={\frac {(m_{b}+m_{p}){\sqrt {2gh}}}{m_{b}}}}
  
。


= 倒單擺 =

倒單擺有許多不同的架構，常見的有二種。
最簡單的是無質量的直桿一端接在固定的樞紐上，另一端連結重量，此架構類似一般單擺，但因為重量在樞紐點上方，直桿在重量下方，需支持重物不落下，因此會將單擺的線改為有剛性的直桿。
另外一種是將倒單擺放在可以一維水平運動的台車上，透過台車的水平運動來控制擺的位置。
倒單擺在擺直立朝上時可以平衡，不過是不穩定平衡，需要透過控制系統才能維持平衡。


= 圆錐擺 =

錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時，繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動。


= 複擺（物理擺/compound pendulum) =

當質量不集中或不規則的物體以轉軸吊起擺動時，此擺稱作複擺（物理擺）。由於有質量分佈的緣故，週期跟剛性物體重心對轉軸的轉動慣量（I）有關。根據平行軸定理及可以求出小角度複擺週期為 
  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          
            
              I
              
                m
                g
                d
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}}
  


= 雙擺(complex pendulum/double pendulum) =

雙擺系統是混沌的。


= 磁性擺 =
和雙擺一樣，磁性擺系統是混沌的。


應用 = 傅科擺 =

傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。


= 鐘擺 =
擺鐘。
為了減少溫度變化的影響，有不同的設計：

柵形補償擺（Gridiron Pendulum）：以不同金屬（鋼和銅）配搭，保持擺的長度不變
Graham's pendulum：有一個水銀管柱，保持擺的重心不變
以木製擺
Ellicott compensated pendulum：用多個擺的結構配合


參考 Paul Appell, "Sur une interpretation des valeurs imaginaires du temps en Mecanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Sceances de l'Academie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005