勾股数，又名商高數或毕氏数（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  
」之中，
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)}
  
的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。
如果
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)}
  
是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即
  
    
      
        (
        n
        a
        ,
        n
        b
        ,
        n
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (na,nb,nc)}
  
也是勾股数。若果
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)}
  
三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数或本原勾股數組。


找出素勾股数 以下的方法可用来找出素勾股数。设
  
    
      
        m
        >
        n
      
    
    {\displaystyle m>n}
  
、
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
和
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
均是正整数，

  
    
      
        a
        =
        
          m
          
            2
          
        
        −
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}
  

  
    
      
        b
        =
        2
        m
        n
      
    
    {\displaystyle b=2mn}
  

  
    
      
        c
        =
        
          m
          
            2
          
        
        +
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}
  

若
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
和
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
是互质，而且
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
和
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
為一奇一偶，计算出来的
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)}
  
就是素勾股数。（若
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
和
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
都是奇数，
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)}
  
就会全是偶数，不符合互质。）
所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。


例子 以下是小于 100 的素勾股数：

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现：
  
    
      
        (
        20
        ,
        21
        ,
        29
        )
      
    
    {\displaystyle (20,21,29)}
  
与
  
    
      
        (
        20
        ,
        99
        ,
        101
        )
      
    
    {\displaystyle (20,99,101)}
  
。
其中最先例子是5，它在以下兩組勾股數之中出現
  
    
      
        (
        3
        ,
        4
        ,
        5
        )
      
    
    {\displaystyle (3,4,5)}
  
及
  
    
      
        (
        5
        ,
        12
        ,
        13
        )
      
    
    {\displaystyle (5,12,13)}
  
。
在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是：

  
    
      
        1229779565176982820
      
    
    {\displaystyle 1229779565176982820}
  

  
    
      
        1230126649417435981
      
    
    {\displaystyle 1230126649417435981}
  

  
    
      
        1739416382736996181
      
    
    {\displaystyle 1739416382736996181}
  

与

  
    
      
        1229779565176982820
      
    
    {\displaystyle 1229779565176982820}
  

  
    
      
        378089444731722233953867379643788099
      
    
    {\displaystyle 378089444731722233953867379643788099}
  

  
    
      
        378089444731722233953867379643788101
      
    
    {\displaystyle 378089444731722233953867379643788101}
  

试考虑它的质因数分解

  
    
      
        1229779565176982820
        =
        
          2
          
            2
          
        
        ×
        3
        ×
        5
        ×
        7
        ×
        11
        ×
        13
        ×
        17
        ×
        19
        ×
        23
        ×
        29
        ×
        31
        ×
        37
        ×
        41
        ×
        43
        ×
        47
      
    
    {\displaystyle 1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47}
  

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。


性質 對於本原勾股數組
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)}
  
，
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  
，我們有

  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
兩兩互質

  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
其中一個是3的倍數

  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
其中一個是4的倍數

  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
其中一個是5的倍數
對於第二、三、四條性質的證明：
利用完全平方數
  
    
      
        ≡
        0
        ,
        1
        
          
          (
          mod
          
          3
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv 0,1{\pmod {3}}}
  
 若
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
都不是3的倍數，則
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        ≡
        2
        
          
          (
          mod
          
          3
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 2{\pmod {3}}}
  
，導致
  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        ≡
        2
        
          
          (
          mod
          
          3
          )
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}\equiv 2{\pmod {3}}}
  
 矛盾，所以
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
一定有且只有一個數是3的倍數。
因為
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)}
  
是本原勾股數組，所以必有
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
一奇一偶。不妨設
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
為奇數，
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
為偶數，這時候對
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  
兩邊同時
  
    
      
        
          mod
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bmod {8}}}
  
，則會得到
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          8
          )
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}\equiv 0{\pmod {8}}}
  
，故
  
    
      
        4
        ∣
        b
      
    
    {\displaystyle 4\mid b}
  
，所以
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
一定有且只有一個數是4的倍數。
利用完全平方數
  
    
      
        ≡
        0
        ,
        1
        ,
        4
        
          
          (
          mod
          
          5
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv 0,1,4{\pmod {5}}}
  
 若
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
都不是5的倍數，則
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        ≡
        0
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 0}
  
或
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
或
  
    
      
        3
        
          
          (
          mod
          
          5
          )
        
      
    
    {\displaystyle 3{\pmod {5}}}
  
，而
  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        ≡
        1
      
    
    {\displaystyle c^{2}\equiv 1}
  
 或
  
    
      
        4
        
          
          (
          mod
          
          5
          )
        
      
    
    {\displaystyle 4{\pmod {5}}}
  
，矛盾，所以
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
一定有且只有一個數是5的倍數。
證畢。


找尋勾股數的小技巧 若需要一組最小數為奇數的勾股數，可任意選取一個 3 或以上的奇數，將該數自乘為平方數，除以 2，答案加減 0.5 可得到兩個新的數字，這兩個數字連同一開始選取的奇數，三者必定形成一組勾股數。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能，例如
  
    
      
        (
        27
        ,
        364
        ,
        365
        )
      
    
    {\displaystyle (27,364,365)}
  
並非是以 27 為起首的唯一勾股數，因為存在另一個勾股數是
  
    
      
        (
        27
        ,
        36
        ,
        45
        )
      
    
    {\displaystyle (27,36,45)}
  
，同樣也以 27 為首。
對於任何大於1的整數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+1}
  
、
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}-1}
  
與
  
    
      
        2
        x
      
    
    {\displaystyle 2x}
  
，三個數必為畢氏數，例如：代入
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
為2，則
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+1}
  
為5，
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}-1}
  
為3，
  
    
      
        2
        x
      
    
    {\displaystyle 2x}
  
為4，
  
    
      
        (
        3
        ,
        4
        ,
        5
        )
      
    
    {\displaystyle (3,4,5)}
  
為一組畢氏數。


推廣 费马最后定理指出，若
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}
  
，而
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
是大于 2 的整数，
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)}
  
即没有正整数解。


參見 勾股定理
費馬最後定理
特殊直角三角形#常見的勾股数


外部链接 談費瑪最後定理第 2 頁
勾股定理
Javascript 计算器，用以计算 (
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
        −
        
          n
          
            2
          
        
        ,
        2
        m
        n
        ,
        
          m
          
            2
          
        
        +
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}}
  
) 公式，以及如何推论此公式。
120 三元數組 (doc)