在数学中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡，音乐同构（Musical isomorphism 或典范同构 canonical isomorphism）是指（伪）黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛 
  
    
      
        
          T
          
            ∗
          
        
        M
      
    
    {\displaystyle T^{*}M}
  
  之间的同构，这个同构由黎曼度量给出。不過一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 
  
    
      
        V
      
    
    {\textstyle V}
  
，這些同構自然給出了 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 和其對偶空間 
  
    
      
        
          V
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle V^{*}}
  
 之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonical isomorphosm）。
這些運算在流形上的張量場理論裡也称为指标的上升和下降。


正式定义 黎曼流形 M 的黎曼度量 
  
    
      
        g
        =
        
          ∑
          
            i
            j
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        d
        
          x
          
            i
          
        
        ⊗
        d
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle g=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}}
  
 是一个二階的对称、正定张量场 
  
    
      
        g
        ∈
        
          
            
              T
            
          
          
            2
          
          
            0
          
        
        (
        M
        )
      
    
    {\displaystyle g\in {\mathcal {T}}_{2}^{0}(M)}
  
。在任意一点 x∈M，黎曼度量會誘導出一個映射 
  
    
      
        
          
            
              
                g
                ^
              
            
          
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}_{x}}
  
 

  
    
      
        
          
            
              
                g
                ^
              
            
          
          
            x
          
        
        :
        
          T
          
            x
          
        
        M
        ⟶
        
          T
          
            x
          
          
            ∗
          
        
        M
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}_{x}:T_{x}M\longrightarrow T_{x}^{*}M}
  

這映射給了點 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的切空間跟餘切空间之间的一个线性同构，对任何切向量 Xx 属于 TxM，定義

  
    
      
        
          
            
              
                g
                ^
              
            
          
          
            x
          
        
        (
        
          X
          
            x
          
        
        )
        =
        ⟨
        
          X
          
            x
          
        
        ,
        ⋅
        ⟩
        ∈
        
          T
          
            x
          
          
            ∗
          
        
        M
         
        ,
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}_{x}(X_{x})=\langle X_{x},\cdot \rangle \in T_{x}^{*}M\ ,}
  

其中符號 
  
    
      
        ⟨
        
        ,
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \,,\rangle }
  
 代表 流形上的黎曼度量。这意味着，

  
    
      
        
          
            
              
                g
                ^
              
            
          
          
            x
          
        
        (
        
          X
          
            x
          
        
        )
        (
        
          Y
          
            x
          
        
        )
        =
        ⟨
        
          X
          
            x
          
        
        ,
        
          Y
          
            x
          
        
        ⟩
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}_{x}(X_{x})(Y_{x})=\langle X_{x},Y_{x}\rangle \ .}
  

这些线性映射的集合定义了一个丛同构

  
    
      
        
          
            
              g
              ^
            
          
        
        :
        T
        M
        ⟶
        
          T
          
            ∗
          
        
        M
         
        ,
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M\ ,}
  

这是一个特别的微分同胚，在每个切空间上為線性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 
  
    
      
        (
        U
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (U,x)}
  
下，设度量矩阵为 
  
    
      
        (
        
          g
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (g_{ij})}
  
，逆矩阵为 
  
    
      
        (
        
          g
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (g^{ij})}
  
，向量場
  
    
      
        X
        =
        
          α
          
            i
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle X=\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
  
　。则这个同构會將
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
映射到

  
    
      
        
          
            
              g
              ^
            
          
        
        :
        
          α
          
            i
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        ↦
        
          α
          
            i
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        d
        
        
          x
          
            j
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}:\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\mapsto \alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}\ .}
  

这里使用了爱因斯坦求和约定。
以上同构称为降号音乐同构（flat）用符號
  
    
      
        
          
          
            ♭
          
        
      
    
    {\displaystyle ^{\flat }}
  
表示，例如以上的函數
  
    
      
        
          
            
              g
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}}
  
可表示成：
  
    
      
        (
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          α
          
            i
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          )
          
            ♭
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            j
          
        
        
          α
          
            i
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        d
        
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle (\sum _{i}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}\alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}}
  
；而其逆運算称为升号（sharp）用符號
  
    
      
        
          
          
            ♯
          
        
      
    
    {\displaystyle ^{\sharp }}
  
表示：降号下降指标，升号上升指标，(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004，第75頁)。升号用局部坐标表示为：

  
    
      
        
          
            
              
                g
                ^
              
            
          
          
            −
            1
          
        
        :
        ξ
        =
        
          α
          
            i
          
        
        d
        
        
          x
          
            i
          
        
        ↦
        
          α
          
            i
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}^{-1}:\xi =\alpha _{i}d\,x^{i}\mapsto \alpha _{i}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ .}
  

这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，哈密顿向量场便是由这个同构导出的。


名称由来 同构 
  
    
      
        
          
            
              g
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}}
  
 与其逆 
  
    
      
        
          
            
              
                g
                ^
              
            
          
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}^{-1}}
  
 称为“音乐同构”是因为是因为常常用兩種音樂符號 
  
    
      
        ♭
        ,
        ♯
      
    
    {\displaystyle \flat ,\sharp }
  
來代替這些同構，比如 
  
    
      
        
          
            
              g
              ^
            
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}(X)}
  
 會寫成 
  
    
      
        
          X
          
            ♭
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{\flat }}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                g
                ^
              
            
          
          
            −
            1
          
        
        (
        ω
        )
      
    
    {\displaystyle {\widehat {g}}^{-1}(\omega )}
  
 會寫成 
  
    
      
        
          ω
          
            ♯
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ^{\sharp }}
  
，它们將指标向下、向上移动。例如，流形上的向量場 
  
    
      
        
          X
          =
          
            ∑
            
              i
            
          
          
            X
            
              i
            
          
          
            
              ∂
              
                ∂
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle X=\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
  
 經過 
  
    
      
        ♭
      
    
    {\displaystyle \flat }
  
 映射會變成餘向量場：

  
    
      
        (
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          )
          
            ♭
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            j
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
        :=
        
          ∑
          
            j
          
        
        
          X
          
            j
          
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle (\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}g_{ij}X^{i}dx^{j}:=\sum _{j}X_{j}dx^{j}\ ,}
  

這裡
  
    
      
        ♭
      
    
    {\displaystyle \flat }
  
將
  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
  
映射到
  
    
      
        
          ∑
          
            j
          
        
        
          X
          
            j
          
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{j}X_{j}dx^{j}}
  
，係數的指標從上到下，所以這運算用降號符號
  
    
      
        ♭
      
    
    {\displaystyle \flat }
  
表示。
而餘向量 
  
    
      
        ω
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          ω
          
            i
          
        
        d
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega =\sum _{i}\omega _{i}dx^{i}}
  
，經過 
  
    
      
        ♯
      
    
    {\displaystyle \sharp }
  
 運算會變成向量

  
    
      
        (
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          ω
          
            i
          
        
        d
        
          x
          
            i
          
        
        
          )
          
            ♯
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            j
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
          ω
          
            i
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle (\sum _{i}\omega _{i}dx^{i})^{\sharp }=\sum _{ij}g^{ij}\omega _{i}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ ,}
  

所以指标向下、向上移动好似符号降号（
  
    
      
        ♭
      
    
    {\displaystyle \flat }
  
）与升号（
  
    
      
        ♯
      
    
    {\displaystyle \sharp }
  
）下降与上升一个半音的音高(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004，第75頁)。


梯度、散度与旋度 音乐同构可以用来定义 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  
 上无坐标形式的梯度、散度与旋度：

  
    
      
        
          
            
              
                ∇
                f
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          d
                        
                      
                      f
                    
                    )
                  
                  
                    ♯
                  
                
              
            
            
              
                ∇
                ⋅
                F
              
              
                
                =
                ⋆
                
                  
                    d
                  
                
                ⋆
                (
                
                  F
                  
                    ♭
                  
                
                )
              
            
            
              
                ∇
                ×
                F
              
              
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      ⋆
                      
                        
                          d
                        
                      
                      (
                      
                        F
                        
                          ♭
                        
                      
                      )
                    
                    ]
                  
                  
                    ♯
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&=\left({\mathbf {d} }f\right)^{\sharp }\\\nabla \cdot F&=\star {\mathbf {d} }\star (F^{\flat })\\\nabla \times F&=\left[\star {\mathbf {d} }(F^{\flat })\right]^{\sharp }\end{aligned}}}
  

这里 
  
    
      
        f
        ,
        F
      
    
    {\displaystyle f,F}
  
 分別是 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  
 裡的函數跟向量場，
  
    
      
        ⋆
      
    
    {\displaystyle \star }
  
 是霍奇星号算子(Marsden & Ratiu 1999，第135頁)。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上，第一个等式便定义了以 f 为哈密顿量的哈密顿向量场。
此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来，设 v 与 w 是 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  
 中向量场，容易证明

  
    
      
        
          v
        
        ×
        
          w
        
        =
        
          
            [
            
              ⋆
              
                (
                
                  
                    
                      v
                    
                    
                      ♭
                    
                  
                  ∧
                  
                    
                      w
                    
                    
                      ♭
                    
                  
                
                )
              
            
            ]
          
          
            ♯
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {w} =\left[\star \left(\mathbf {v} ^{\flat }\wedge \mathbf {w} ^{\flat }\right)\right]^{\sharp }.}
  


参考文献 Gallot, Sylvestre; Hullin, Dominique; Lafontaine, Jacques, Riemannian Geometry 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-20493-0 .
Marsden, Jerrold E.; Ratiu, Tudor S., Introduction to Mechanics and Symmetry 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98643-2 .