费曼－卡茨公式是一个数学公式与定理，得名于理查德·费曼和马克·卡茨，将随机过程和抛物型偏微分方程结合在一起。使用费曼－卡茨公式可以通过将某些抛物型偏微分方程的解写成随机过程的条件期望的方式，从而将求此类微分方程的数值解转化为模拟随机过程的路径。反过来，此一类随机过程的期望可以通过确定性的计算（偏微分方程求解）得到。考虑偏微分方程：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        μ
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          σ
          
            2
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              u
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        V
        (
        x
        ,
        t
        )
        u
        =
        f
        (
        x
        ,
        t
        )
        .
        
        
        t
        ∈
        [
        0
        ,
        T
        ]
        ,
        
        
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-V(x,t)u=f(x,t).\qquad \qquad t\in [0,T],\,\,x\in \mathbb {R} }
  

满足边界条件：
  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        T
        )
        =
        ψ
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle u(x,T)=\psi (x),}
  

其中的 
  
    
      
        μ
        ,
         
        σ
        ,
         
        ψ
        ,
        V
      
    
    {\displaystyle \mu ,\ \sigma ,\ \psi ,V}
  
 是已知的函数， 
  
    
      
         
        T
      
    
    {\displaystyle \ T}
  
 是给定的参数，
  
    
      
        u
        :
        
          R
        
        ×
        [
        0
        ,
        T
        ]
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }
  
 是所求的解函数。费曼－卡茨公式声明，这个偏微分方程的解函数可以写成某个随机过程的（条件）期望：

  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        E
        
          [
          
            
              ∫
              
                t
              
              
                T
              
            
            
              e
              
                −
                
                  ∫
                  
                    t
                  
                  
                    s
                  
                
                V
                (
                
                  X
                  
                    τ
                  
                
                )
                 
                ,
                d
                τ
              
            
            f
            (
            
              X
              
                s
              
            
            ,
            s
            )
            d
            s
            +
            
              e
              
                −
                
                  ∫
                  
                    t
                  
                  
                    T
                  
                
                V
                (
                
                  X
                  
                    τ
                  
                
                )
                
                d
                τ
              
            
            ψ
            (
            
              X
              
                T
              
            
            )
            
              |
            
            
              X
              
                t
              
            
            =
            x
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle u(x,t)=E\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\ ,d\tau }f(X_{s},s)ds+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau })\,d\tau }\psi (X_{T})|X_{t}=x\right]}
  

其中
  
    
      
         
        X
        =
        
          (
          
            
              X
              
                t
              
            
            ;
            t
            ⩾
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \ X=\left(X_{t};t\geqslant 0\right)}
  
 是由以下的随机动力方程

  
    
      
        d
        
          X
          
            t
          
        
        =
        μ
        (
        
          X
          
            t
          
        
        ,
        t
        )
        
        d
        t
        +
        σ
        (
        
          X
          
            t
          
        
        ,
        t
        )
        
        d
        
          W
          
            t
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t},}
  

决定的伊藤随机过程。其中的
  
    
      
         
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \ W_{t}}
  
是维纳过程（Wiener过程，又称为布朗过程），
  
    
      
         
        
          X
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \ X_{t}}
  
 满足初始条件
  
    
      
         
        
          X
          
            0
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \ X_{0}=x}
  
。


条件 费曼－卡茨公式建立在若干对参数函数的限制性条件下。这些条件主要是要求参数函数足够“平滑”与“规则”，使得随机微分方程和偏微分方程的解存在。
首先假设偏微分方程的解函数 u 存在。卡拉查斯和史雷夫在1988年证明了：当其余函数及 u 满足以下条件

参数函数
  
    
      
        μ
        ,
         
        σ
        ,
         
        ψ
        ,
         
        V
        ,
         
        f
      
    
    {\displaystyle \mu ,\ \sigma ,\ \psi ,\ V,\ f}
  
以及函数u 都是连续函数。
函数u 关于x 变量保持多项式增长，即存在正常数M和c，使得对所有的x，都有：

  
    
      
         
        u
        (
        x
        ,
        t
        )
        ⩽
        M
        (
        1
        +
        
          |
        
        x
        
          
            |
          
          
            c
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \ u(x,t)\leqslant M(1+|x|^{c})}
  

参数函数 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 和 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 都要么是正值函数，要么也满足类似以上的多项式增长条件。
参数函数 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 有下界，并且
参数函数 
  
    
      
        μ
        ,
         
        σ
      
    
    {\displaystyle \mu ,\ \sigma }
  
 满足关于x 变量的利普希茨条件，即存在常数K，使得对所有不相等的x 和y，都有：

  
    
      
        
          |
        
        σ
        (
        x
        ,
        t
        )
        −
        σ
        (
        y
        ,
        t
        )
        
          |
        
        +
        
          |
        
        μ
        (
        x
        ,
        t
        )
        −
        μ
        (
        y
        ,
        t
        )
        
          |
        
        ⩽
        K
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\sigma (x,t)-\sigma (y,t)|+|\mu (x,t)-\mu (y,t)|\leqslant K|x-y|}
  

的时候，解函数可以用费曼－卡茨公式表达为条件期望的形式。这些条件中并不保证解的存在性。要保证后者，需要更强的条件：

参数函数 
  
    
      
        μ
        ,
         
        σ
      
    
    {\displaystyle \mu ,\ \sigma }
  
 有界，并且局部地满足关于x 变量和t 变量的利普希茨条件（即常数K可以和x相关）。
对任意的t，参数函数 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 都满足赫尔德连续条件，即存在与t无关的常数H和介于0与1之间的常数 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
，使得

  
    
      
        
          |
        
        σ
        (
        x
        ,
        t
        )
        −
        σ
        (
        y
        ,
        t
        )
        
          |
        
        ⩽
        K
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          
            |
          
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle |\sigma (x,t)-\sigma (y,t)|\leqslant K|x-y|^{\alpha }}
  

参数函数 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 有界，并且对任意的t，都局部地满足赫尔德连续条件。
对任意的t，参数函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 都局部地满足赫尔德连续条件，并关于x 变量满足多项式增长条件。
参数函数 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
  关于x 变量满足多项式增长条件。
以上条件由弗里德曼在1975年给出。1980年克里洛夫提出用更简洁（同时更强）的条件代替，可以是：

所有的参数函数
  
    
      
        μ
        ,
         
        σ
        ,
         
        ψ
        ,
         
        V
        ,
         
        f
      
    
    {\displaystyle \mu ,\ \sigma ,\ \psi ,\ V,\ f}
  
满足利普希茨条件并且二次连续可导，同时满足多项式增长条件；函数V有下界。
在以上的条件下，偏微分方程的解唯一存在，并且满足费曼－卡茨公式的期望表达，同时也满足多项式增长条件。


证明 为简化起见，以下只证明
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,t)=0}
  
的情况。
设偏微分方程的解函数为 
  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle u(x,t)}
  
。对以下函数
  
    
      
        
          Y
          
            s
          
        
        =
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                s
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        u
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
      
    
    {\displaystyle Y_{s}=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }u(X_{s},s)}
  
 使用伊藤公式，可以得到：

  
    
      
        d
        
          Y
          
            s
          
        
        =
        d
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                s
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        u
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
        +
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                s
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        
        d
        u
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
        +
        d
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                s
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        d
        u
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
      
    
    {\displaystyle dY_{s}=de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }u(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\,du(X_{s},s)+de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }du(X_{s},s)}
  

由于 
  
    
      
        d
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                s
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        =
        −
        V
        (
        
          X
          
            s
          
        
        )
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                s
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        
        d
        s
      
    
    {\displaystyle de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }=-V(X_{s})e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\,ds}
  
，等式右边第三项是高阶无穷小
  
    
      
        o
        (
        d
        t
        )
      
    
    {\displaystyle o(dt)}
  
，因此可以忽略。再一次对
  
    
      
        d
        u
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
      
    
    {\displaystyle du(X_{s},s)}
  
 使用伊藤公式，会得到

  
    
      
        d
        
          Y
          
            s
          
        
        =
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                s
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        
        
          (
          
            −
            V
            (
            
              X
              
                s
              
            
            )
            u
            (
            
              X
              
                s
              
            
            ,
            s
            )
            +
            μ
            (
            
              X
              
                s
              
            
            ,
            s
            )
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            (
            
              X
              
                s
              
            
            ,
            s
            )
            +
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            (
            
              X
              
                s
              
            
            ,
            s
            )
            +
            
              
                1
                2
              
            
            
              σ
              
                2
              
            
            (
            
              X
              
                s
              
            
            ,
            s
            )
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  u
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            (
            
              X
              
                s
              
            
            ,
            s
            )
          
          )
        
        
        d
        s
      
    
    {\displaystyle dY_{s}=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\,\left(-V(X_{s})u(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial x}}(X_{s},s)+{\frac {\partial u}{\partial t}}(X_{s},s)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(X_{s},s)\right)\,ds}
  

  
    
      
        
        +
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                s
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        σ
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
        
        d
        
          W
          
            s
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \;+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\sigma (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial x}}(X_{s},s)\,dW_{s}.}
  

等式右边的第一项里的括号中的式子恰好是微分方程的左边，因此等于0。剩下的是： 

  
    
      
        d
        
          Y
          
            s
          
        
        =
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                s
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        σ
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
        
        d
        
          W
          
            s
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle dY_{s}=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\sigma (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial x}}(X_{s},s)\,dW_{s}.}
  

将这个等式的两边从 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 积分到 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
，可以得到：

  
    
      
        
          Y
          
            T
          
        
        −
        
          Y
          
            t
          
        
        =
        
          ∫
          
            t
          
          
            T
          
        
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                s
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        σ
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              X
            
          
        
        (
        
          X
          
            s
          
        
        ,
        s
        )
        
        d
        
          W
          
            s
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle Y_{T}-Y_{t}=\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }\sigma (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}(X_{s},s)\,dW_{s}.}
  

两边取在已知
  
    
      
        
          X
          
            t
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle X_{t}=x}
  
下的条件期望，并且注意到等式右边是一个伊藤积分，因此右边等于0。所以 
  
    
      
        E
        [
        Y
        (
        T
        )
        
          |
        
        
          X
          
            t
          
        
        =
        x
        ]
        =
        E
        [
        Y
        (
        t
        )
        
          |
        
        
          X
          
            t
          
        
        =
        x
        ]
        =
        u
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle E[Y(T)|X_{t}=x]=E[Y(t)|X_{t}=x]=u(x,t)}
  
。注意到 

  
    
      
        E
        [
        Y
        (
        T
        )
        
          |
        
        
          X
          
            t
          
        
        =
        x
        ]
        =
        E
        [
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                T
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        u
        (
        
          X
          
            T
          
        
        ,
        T
        )
        
          |
        
        
          X
          
            t
          
        
        =
        x
        ]
        =
        E
        [
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                t
              
              
                T
              
            
            V
            (
            
              X
              
                τ
              
            
            )
            
            d
            τ
          
        
        ψ
        (
        
          X
          
            T
          
        
        )
        )
        
          |
        
        
          X
          
            t
          
        
        =
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle E[Y(T)|X_{t}=x]=E[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau })\,d\tau }u(X_{T},T)|X_{t}=x]=E[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau })\,d\tau }\psi (X_{T}))|X_{t}=x]}
  

就可以得出需要证明的结论。


相关 以上的条件期望形式的公式对多维的伊藤过程也适用。与之相应，解函数
  
    
      
        u
        :
        
          
            R
          
          
            N
          
        
        ×
        [
        0
        ,
        T
        ]
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R} }
  
相对的偏微分方程是：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          μ
          
            i
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          γ
          
            i
            j
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              u
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        −
        r
        (
        x
        ,
        t
        )
        u
        =
        f
        (
        x
        ,
        t
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}x_{j}}}-r(x,t)u=f(x,t),}
  

其中的

  
    
      
        
          γ
          
            i
            j
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          σ
          
            i
            k
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          σ
          
            j
            k
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),}
  

也就是说 
  
    
      
        γ
        =
        σ
        
        
          σ
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma =\sigma \,\sigma ^{\prime }}
  
，其中
  
    
      
        
          σ
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{\prime }}
  
是矩阵 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
的转置矩阵。

将解函数表示为条件期望的形式后，可以使用蒙特卡罗或准蒙特卡罗方法来求出近似的数值解。
此定理最早由卡茨于1949年发表，最初的费曼－卡茨公式是作为一个解决某些维纳泛函的分布的公式提出的。假设
  
    
      
         
        x
        (
        τ
        )
      
    
    {\displaystyle \ x(\tau )}
  
 是满足初始条件 
  
    
      
         
        x
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \ x(0)=0}
  
的某个扩散过程。现要求出以下函数的期望值

  
    
      
        
          e
          
            −
            
              ∫
              
                0
              
              
                t
              
            
            V
            (
            x
            (
            τ
            )
            )
            
            d
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau }}
  

费曼－卡茨公式说明这个期望值等价于对某个扩散方程（抛物型偏微分方程）的解的积分。特别地，当条件
  
    
      
         
        u
        V
        (
        x
        )
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle \ uV(x)\geqslant 0}
  
满足时，若设
  
    
      
         
        w
        (
        x
        ,
        0
        )
        =
        δ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ w(x,0)=\delta (x)}
  
并满足
  
    
      
        
          
            
              ∂
              w
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              w
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        u
        V
        (
        x
        )
        w
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w}
  
，则有

  
    
      
        E
        
          (
          
            e
            
              −
              u
              
                ∫
                
                  0
                
                
                  t
                
              
              V
              (
              x
              (
              τ
              )
              )
              
              d
              τ
            
          
          )
        
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        w
        (
        x
        ,
        t
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle E\left(e^{-u\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau }\right)=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx}
  

费曼－卡茨公式也可以阐释成对某个特定形式的泛函积分求值的一种方法。如果：

  
    
      
        I
        =
        ∫
        f
        (
        x
        (
        0
        )
        )
        
          e
          
            −
            u
            
              ∫
              
                0
              
              
                t
              
            
            V
            (
            x
            (
            t
            )
            )
            
            d
            t
          
        
        g
        (
        x
        (
        t
        )
        )
        
        D
        x
      
    
    {\displaystyle I=\int f(x(0))e^{-u\int _{0}^{t}V(x(t))\,dt}g(x(t))\,Dx}
  

其中的积分对所有的随机漫步路径取得，那么

  
    
      
        I
        =
        ∫
        w
        (
        x
        ,
        t
        )
        g
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle I=\int w(x,t)g(x)\,dx}
  

其中
  
    
      
         
        w
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \ w(x,t)}
  
是抛物型偏微分方程 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              w
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              w
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        u
        V
        (
        x
        )
        w
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w,}
  
 的解。并满足初始条件 
  
    
      
         
        w
        (
        x
        ,
        0
        )
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ w(x,0)=f(x)}
  
.


参见 伊藤引理
Kunita–Watanabe定理
吉萨诺夫定理
科尔莫戈罗夫前向方程（也称为Fokker–Planck方程）


参考来源 Simon, Barry. Functional Integration and Quantum Physics. Academic Press. 1979. 
Pham, Huyen. Continuous-time stochastic control and optimisation with financial applications. Springer-Verlag. 2009.