在數學中，隱式方程（英語：implicit equation）是形同
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0}
  
的關係，其中
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是多元函數。比如單位圓的隱式方程是
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}
  
。
隱函数（implicit function）是由隱式方程間接定義的函數，比如 
  
    
      
        y
        =
        
          
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}
  
 是由 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}
  
 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如
  
    
      
        y
        =
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=\cos(x)}
  
。
隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。


例子 = 反函数 =
隐函数的一个常见类型是反函数。若
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是一个函数，那么
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的反函数记作
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{-1}}
  
, 是给出下面方程解的函数

  
    
      
        x
        =
        f
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle x=f(y)}
  

用
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
表示
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
。这个解是

  
    
      
        y
        =
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle y=f^{-1}(x).}
  

直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的解

  
    
      
        R
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        x
        −
        f
        (
        y
        )
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0.\,}
  

例子

对数函数 
  
    
      
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \ln x}
  
 给出方程
  
    
      
        x
        −
        
          e
          
            y
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x-e^{y}=0}
  
或等价的
  
    
      
        x
        =
        
          e
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle x=e^{y}}
  
的解
  
    
      
        y
        =
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\ln x}
  
。 这里
  
    
      
        f
        (
        y
        )
        =
        
          e
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle f(y)=e^{y}}
  
并且
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle f^{-1}(x)=\ln x}
  
。
朗伯W函數則可以解出
  
    
      
        x
        −
        y
        
          e
          
            y
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x-ye^{y}=0}
  
的
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
值。


= 代数函数 =

一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的代数函数给出一个方程中 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 的解。

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          y
          
            n
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        
          y
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,}
  

其中係數 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle a_{i}(x)}
  
 為 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的多項式函數。
代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例：

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        −
        1
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.\,}
  

那麼 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 的顯函數解顯然是：

  
    
      
        y
        =
        ±
        
          
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,}
  

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。
對於
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解，但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（參見阿贝尔-鲁菲尼定理），例如： 

  
    
      
        
          y
          
            5
          
        
        +
        2
        
          y
          
            4
          
        
        −
        7
        
          y
          
            3
          
        
        +
        3
        
          y
          
            2
          
        
        −
        6
        y
        −
        x
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,}
  

但是，我们仍然可以以隐函数
  
    
      
        y
        =
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=g(x)}
  
的方式来表达。


隱函數的导数 隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：


= 方法一 =
把
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
元隐函数看作
  
    
      
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n+1)}
  
元函数，通过多元函数的偏导数的商求得
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
元隐函数的导数。


 示例  把一元隐函数
  
    
      
        y
        =
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=g(x)}
  
看作二元函数
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=0}
  
，若欲求
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
  
，對
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
取全微分，可得
  
    
      
        d
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          f
          
            x
          
        
        d
        x
        +
        
          f
          
            y
          
        
        d
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0}
  
，經過移項可得
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              f
              
                x
              
            
            
              f
              
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}}
  

（式中
  
    
      
        
          f
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{x}}
  
表示
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
關於
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的偏导数
  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
  
，以此類推）。
把2元隐函数
  
    
      
        y
        =
        g
        (
        x
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle y=g(x,z)}
  
看作3元函数
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y,z)=0}
  
，若欲求
  
    
      
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}
  
，對
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
取全微分，可得
  
    
      
        d
        f
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          f
          
            x
          
        
        d
        x
        +
        
          f
          
            y
          
        
        d
        y
        +
        
          f
          
            z
          
        
        d
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0}
  
 。
由於所求為
  
    
      
        
          
            
              ∂
              g
              (
              x
              ,
              z
              )
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}}}
  
，令z為常數，即
  
    
      
        d
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle dz=0}
  
，經過移項可得
  
    
      
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              f
              
                x
              
            
            
              f
              
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}}
  


= 方法二 =
針對1元隱函數，把
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
看作
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
求导，再通过移项求得
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
  
的值。
針對2元隱函數，把
  
    
      
        y
        ,
        z
      
    
    {\displaystyle y,z}
  
看作
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
求导，令
  
    
      
        d
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle dz=0}
  
，再通过移项求得
  
    
      
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}
  
的值。


 示例  針對
  
    
      
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{n}}
  
：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          y
          
            n
          
        
        =
        n
        ⋅
        
          y
          
            n
            −
            1
          
        
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}}
  

針對
  
    
      
        
          x
          
            m
          
        
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{m}y^{n}}
  
：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          x
          
            m
          
        
        
          y
          
            n
          
        
        =
        n
        ⋅
        
          x
          
            m
          
        
        
          y
          
            n
            −
            1
          
        
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        +
        m
        ⋅
        
          x
          
            m
            −
            1
          
        
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}+m\cdot x^{m-1}y^{n}}
  

求
  
    
      
         
        12
        
          x
          
            7
          
        
        −
        7
        
          x
          
            4
          
        
        
          y
          
            3
          
        
        +
        6
        x
        
          y
          
            5
          
        
        −
        14
        
          y
          
            6
          
        
        +
        25
        =
        10
      
    
    {\displaystyle \ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10}
  
中y對x的導數。
為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

  
    
      
        
          
            12
            
              x
              
                7
              
            
          
        
        
          
            −
            7
            
              x
              
                4
              
            
            
              y
              
                3
              
            
          
        
        
          
            +
            6
            x
            
              y
              
                5
              
            
          
        
        
          
            −
            14
            
              y
              
                6
              
            
          
        
        +
        25
        =
        10
      
    
    {\displaystyle {\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10}
  

1.兩邊皆取其相應的導數，得出

  
    
      
        
          
            12
            ⋅
            7
            
              x
              
                6
              
            
          
        
        
          
            −
            7
            
              (
              
                3
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                
                  y
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    
                      d
                      y
                    
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                +
                4
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                
                  y
                  
                    3
                  
                
              
              )
            
          
        
        
          
            +
            6
            
              (
              
                5
                x
                
                  y
                  
                    4
                  
                
                
                  
                    
                      d
                      y
                    
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                +
                
                  y
                  
                    5
                  
                
              
              )
            
          
        
        
          
            −
            14
            ⋅
            6
            
              y
              
                5
              
            
            
              
                
                  d
                  y
                
                
                  d
                  x
                
              
            
          
        
        +
        0
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx}}}+0=0}
  

2.移項處理。

  
    
      
        
          
            84
            
              x
              
                6
              
            
          
        
        
          
            −
            28
            
              x
              
                3
              
            
            
              y
              
                3
              
            
          
        
        
          
            +
            6
            
              y
              
                5
              
            
          
        
        =
        
          
            21
            
              x
              
                4
              
            
            
              y
              
                2
              
            
            
              
                
                  d
                  y
                
                
                  d
                  x
                
              
            
          
        
        
          
            −
            30
            x
            
              y
              
                4
              
            
            
              
                
                  d
                  y
                
                
                  d
                  x
                
              
            
          
        
        
          
            +
            84
            
              y
              
                5
              
            
            
              
                
                  d
                  y
                
                
                  d
                  x
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx}}}}
  

3.提出導數因子。

  
    
      
        
          
            84
            
              x
              
                6
              
            
          
        
        
          
            −
            28
            
              x
              
                3
              
            
            
              y
              
                3
              
            
          
        
        
          
            +
            6
            
              y
              
                5
              
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                21
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                
                  y
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                −
                30
                x
                
                  y
                  
                    4
                  
                
              
            
            
              
                +
                84
                
                  y
                  
                    5
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              
                d
                y
              
              
                d
                x
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)}
  

4.移項處理。

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  84
                  
                    x
                    
                      6
                    
                  
                
              
              
                
                  −
                  28
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  +
                  6
                  
                    y
                    
                      5
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  21
                  
                    x
                    
                      4
                    
                  
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  −
                  30
                  x
                  
                    y
                    
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  +
                  84
                  
                    y
                    
                      5
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}}{{\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}}}}
  

5.完成。得出其導數為
  
    
      
        
          
            
              84
              
                x
                
                  6
                
              
              −
              28
              
                x
                
                  3
                
              
              
                y
                
                  3
                
              
              +
              6
              
                y
                
                  5
                
              
            
            
              21
              
                x
                
                  4
                
              
              
                y
                
                  2
                
              
              −
              30
              x
              
                y
                
                  4
                
              
              +
              84
              
                y
                
                  5
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {84x^{6}-28x^{3}y^{3}+6y^{5}}{21x^{4}y^{2}-30xy^{4}+84y^{5}}}}
  
。
6.選擇性步驟：因式分解。

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                (
                
                  42
                  
                    x
                    
                      6
                    
                  
                  −
                  14
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                  +
                  3
                  
                    y
                    
                      5
                    
                  
                
                )
              
            
            
              3
              
                y
                
                  2
                
              
              
                (
                
                  7
                  
                    x
                    
                      4
                    
                  
                  −
                  10
                  x
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  28
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {2\left(42x^{6}-14x^{3}y^{3}+3y^{5}\right)}{3y^{2}\left(7x^{4}-10xy^{2}+28y^{3}\right)}}}
  


參見 反函數