在线性代数裡，正定矩阵（英語：positive-definite matrix）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。


定义 一个 
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
 的实对称矩阵 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 
  
    
      
        
          z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} }
  
，都有 
  
    
      
        
          
            z
          
          
            T
          
        
        M
        
          z
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} ^{T}M\mathbf {z} >0}
  
。其中 
  
    
      
        
          
            z
          
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} ^{T}}
  
表示 
  
    
      
        
          z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} }
  
 的转置。对于复数的情况，定义则为：一个 
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
 的埃尔米特矩阵 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 是正定的若且唯若对于每个非零的複向量 
  
    
      
        
          z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} }
  
，都有 
  
    
      
        
          
            z
          
          
            ∗
          
        
        M
        
          z
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}
  
。其中 
  
    
      
        
          
            z
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}
  
表示 
  
    
      
        
          z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} }
  
 的共轭转置。
這樣的定義仰賴一個事實：对于任意的埃爾米特矩陣 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 及複向量 
  
    
      
        
          z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} }
  
 ，
  
    
      
        
          
            z
          
          
            ∗
          
        
        M
        
          z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }
  
 必定是实数。


正定矩陣 对於 
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
 的埃尔米特矩阵 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
，下列性质与「
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 为正定矩阵」等价：

  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 的所有的特征值 
  
    
      
        
          λ
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{i}}
  
 都是正的。
半双线性形式 
  
    
      
        ⟨
        
          
            x
          
        
        ,
        
          
            y
          
        
        ⟩
        =
        
          
            
              x
            
          
          
            ∗
          
        
        M
        
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}
  
 定义了一个 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
  
上的内积。实际上，所有 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
  
上的内积都可視為由某个正定矩阵通过此种方式得到。

  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 是向量 
  
    
      
        
          
            
              x
            
          
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              x
            
          
          
            n
          
        
        ∈
        
          
            C
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}}
  
 構成的格拉姆矩阵，其中 
  
    
      
        k
        ∈
        
          
            Z
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}
  
。更精确地说，
  
    
      
        M
        =
        [
        
          m
          
            i
            j
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle M=[m_{ij}]}
  
 定义为：
  
    
      
        
          m
          
            i
            j
          
        
        =
        ⟨
        
          
            
              x
            
          
          
            i
          
        
        ,
        
          
            
              x
            
          
          
            j
          
        
        ⟩
        =
        
          
            
              x
            
          
          
            i
          
          
            ∗
          
        
        
          
            
              x
            
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}}
  
。换句话说，
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 具有 
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        A
      
    
    {\displaystyle A^{*}A}
  
 的形式，其中 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 不一定是方阵，但必須是单射的。

  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确地说，就是考察 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 左上角大小 
  
    
      
        1
        ×
        1
        ,
        …
        ,
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle 1\times 1,\ldots ,n\times n}
  
 的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言，相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：  
  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}}
  

存在唯一的下三角矩阵 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
，其主对角线上的元素全是正的，使得 
  
    
      
        M
        =
        L
        
          L
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle M=LL^{*}}
  
。其中 
  
    
      
        
          L
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{*}}
  
是 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 的共轭转置。这一分解被称为科列斯基分解。
对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
  
改为 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
，並将「共轭转置」改为「转置」即可。


= 二次型 =
由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
 代表 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
 或 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
，设 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 是 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
 上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

  
    
      
        B
        :
        V
        ×
        V
        →
        K
      
    
    {\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}
  

是一个双线性映射，使得 
  
    
      
        B
        (
        
          x
        
        ,
        
          y
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}
  
 总是 
  
    
      
        B
        (
        
          y
        
        ,
        
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )}
  
 的共轭。这样的一个映射 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 是正定的若且唯若對於 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
 中所有的非零向量 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
  
，都有 
  
    
      
        B
        (
        
          x
        
        ,
        
          x
        
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0}
  
。


负定、半定及不定矩阵 与正定矩阵对应，一个 
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
 的埃尔米特矩阵 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 是负定矩阵（英語：negative-definite matrix）若且唯若对所有非零向量 
  
    
      
        
          z
        
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}
  
（或 
  
    
      
        
          z
        
        ∈
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}
  
），都有 
  
    
      
        
          z
          
            ∗
          
        
        M
        z
        <
        0
        
      
    
    {\displaystyle z^{*}Mz<0\,}
  
。

  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
是半正定矩阵（英語：positive semi-definite matrix）若且唯若對於所有非零向量 
  
    
      
        
          z
        
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}
  
（或 
  
    
      
        
          z
        
        ∈
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}
  
），都有 
  
    
      
        
          z
          
            ∗
          
        
        M
        z
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle z^{*}Mz\geq 0}
  
。

  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
是半负定矩阵（英語：negative semi-definite matrix）若且唯若對於所有非零向量 
  
    
      
        
          z
        
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}
  
（或 
  
    
      
        
          z
        
        ∈
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}
  
），都有 
  
    
      
        
          z
          
            ∗
          
        
        M
        z
        ≤
        0
      
    
    {\displaystyle z^{*}Mz\leq 0}
  
。
如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵（英語：indefinite matrix）。
可以看出，上一节中正定矩陣的第一個等价性质只需作出相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 是半正定时，相应的格拉姆矩阵不必由线性獨立的向量组成。对於任意矩阵 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        A
      
    
    {\displaystyle A^{*}A}
  
必是半正定的，并有 
  
    
      
        
          r
          a
          n
          k
        
        (
        A
        )
        =
        
          r
          a
          n
          k
        
        (
        
          A
          
            ∗
          
        
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {rank} (A)=\mathrm {rank} (A^{*}A)}
  
（两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作 
  
    
      
        M
        =
        
          A
          
            ∗
          
        
        A
      
    
    {\displaystyle M=A^{*}A}
  
，这就是科列斯基分解。

一个埃尔米特矩阵 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 是负定矩阵若且唯若 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 的所有奇数阶顺序主子式小于 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
，所有偶数阶顺序主子式大于 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
。当 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 是负定矩阵时，
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 的逆矩阵也是负定的。


相关性质 若 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 为半正定矩阵，可以記作 
  
    
      
        M
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle M\geq 0}
  
。如果
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
是正定矩阵，可以記作 
  
    
      
        M
        >
        0
      
    
    {\displaystyle M>0}
  
。这个记法来自泛函分析，其中的正定矩阵定义了正算子。
对于一般的埃尔米特矩阵，
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
、
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
，
  
    
      
        M
        ≥
        N
      
    
    {\displaystyle M\geq N}
  
 若且唯若 
  
    
      
        M
        −
        N
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle M-N\geq 0}
  
。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义
  
    
      
        M
        >
        N
      
    
    {\displaystyle M>N}
  
。


非埃尔米特矩阵的情况 一个实矩阵 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 可能满足對於所有的非零实向量 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
  
，
  
    
      
        
          
            x
          
          
            T
          
        
        M
        
          x
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0}
  
，卻不是对称矩阵。举例来说，矩阵

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  −
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}}
  
就满足这个条件。对於 
  
    
      
        
          x
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}
  
 并且 
  
    
      
        
          x
        
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }
  
，
  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  −
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
          
            2
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0}
  
。
一般来说，一个实系数矩阵 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 满足对所有非零实向量 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
  
，
  
    
      
        
          
            x
          
          
            T
          
        
        M
        
          x
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0}
  
，若且唯若对称矩阵 
  
    
      
        (
        M
        +
        
          M
          
            T
          
        
        )
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle (M+M^{T})/2}
  
 是正定矩阵。
对于复系数矩阵，情况可能會不太一样。主要考慮如何扩展 
  
    
      
        
          
            z
          
          
            ∗
          
        
        M
        
          z
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}
  
 这一性质。要使得 
  
    
      
        
          
            z
          
          
            ∗
          
        
        M
        
          z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }
  
 总为实数，矩阵 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 必须是埃尔米特矩阵。因此，若 
  
    
      
        
          
            z
          
          
            ∗
          
        
        M
        
          z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }
  
 总是正实数，
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 
  
    
      
        
          
            z
          
          
            ∗
          
        
        M
        
          z
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}
  
 扩展为 
  
    
      
        ℜ
        (
        
          
            z
          
          
            ∗
          
        
        M
        
          z
        
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \Re (\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )>0}
  
，则等价于 
  
    
      
        (
        M
        +
        
          M
          
            ∗
          
        
        )
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle (M+M^{*})/2}
  
 为正定矩阵。


参见 确定双线性形式
矩阵的平方根
舒尔补
正定核
正定函数
科列斯基分解
线性矩阵不等式
合同矩阵


参考资料 Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.


外部链接 正定矩阵
关于对称矩阵的一些讨论