筹算（英語：Rod calculus）是漢字文化圈古代使用算筹进行十进位制计算的程序。


历史 筹算具体出现时间已然不可考，但根据典籍记录和考古发现，至少在战国初年筹算已然出现。它使用中国商代发明的十进位制计数，可以很方便地进行四则运算以及乘方，开方等较复杂运算，并可以对零、负数和分数作出表示与计算。
筹算在公元6世纪由中国传入韓國和日本。七世纪的印度数学，分数中的分子在上，分母在下，与中国同，分数的乘除法也和《九章算术》相同。古印度数学绝大部分来自中国。。一直到被珠算完全取代之前，筹算是東亞古代进行日常计算的方法，算筹是東亞古代数学家研究数学时常用的计算器具，是東亞古代各种重要数学发明的基础，开创了中国以至東亞古代以计算为中心的机械化数学体系，与古希腊以逻辑推理为中心的数学体系有所不同；机械化的数学体系是一千多年世界数学的主流


影響 筹算的乘除法传入印度，成为土盘算法。9世纪初至10世纪，又经印度传入阿拉伯,这时期的阿拉伯阐述印度数学的数学著作，诸如《印度算术原理》，其土盘算式虽然用阿拉伯数字表示，但其十进位制概念，分数的表示法，以及加、减、乘、除四则运算的计算方法，和中国的筹算雷同，有的还用空格“0”表示“0”，和筹算一模一样。有学者认为，中国古代的筹算，通过丝绸之路传入印度、阿拉伯，促成印度－阿拉伯数字体系。


数字表示 算筹数系是世界上唯一只用一个符号的方向和位置的组合，表示任何十进位数字或分数的系统。
单位数字：将筹棍竖排一根棍表示1，两根棍表示2，5根棍表示5如图上。但从6至9数字的表示，不是並排6至9根筹棍，而是采用同位五进制，即用一根筹棍代表数码5，横放在筹数1至4的上方如图。这已蕴含算盘雏形。上排是筹算中1至9的竖码，下排是相應數字的横码。

大于9的数字，则用十进制表示，在个位数的位置左边，放置一个筹数，代表这个筹数的十倍，在十位数值左的位置，代表百位数，如此类推。如图所示数二百三十一（231）的表示法，在个位放置一根筹码，表示1，在十位放置筹数3，代表30，在百位放置筹数2，代表200，总数即二百三十一（231）。《孙子算经》云：

凡算之法：先識其位，一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。
筹算板一般是桌面或地面，通常没有格子。如果筹码2，3，1并排排列，有可能被误读为51或24；为了避免邻位误读，每隔一位交替使用竖码横码，即个位竖码，十位用横码，百位用竖码，千位用横码，如此类推，就可以完全避免误读了。


= 零的表示 =

中国自有筹算起就有“0”，即以空位表示“0”。筹算中的零是位置零和运算结果的零，没有特定符号，这和阿拉伯数字专有一个符号0不同，阿拉伯数字0只是符号零，不是运算结果。


= 正负数 =
宋代数学家用红色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，也有一律用黑色筹码，但在數字最後一位加一根斜棍標示為负数。


小数 孙子算经的度量衡已有十进位制概念，如尺、寸、分、厘、毫、丝、忽。七丈一尺二寸三分四厘五毫六絲，用现代表示方法为71.23456尺，用算筹排为

其中为十位数，为个位数，为十分之一位等等。
南宋秦九韶在《数书九章》中将小数推广到非度量衡，如

1.1446154日
表示为：

日
即在个位数1下记一“日”字。


加法 算筹本身已经包含加法，因此用算筹进行加法运算十分方便快捷。筹算加法与阿拉伯数字加法最大的不同，在于算筹本身具有可加性，用算筹进行加法运算，只须机械地搬动筹棍，即可进行运算，不需要另外背诵加法表，这与阿拉伯数字不同，不可能将阿拉伯数字1和2机械地叠成3字，2和3叠成一个5字。
左图表示
  
    
      
        3748
        +
        289
      
    
    {\displaystyle 3748+289}
  
的运筹步骤：

将被加数3748放上行，加数289放下行，位数对齐。
从左往右计算。
取出下行百位数的二竖棍，与上行7合并为9。
从上行十位的4，取出二根筹棍（上行剩2），与下行8合为10，进位1，与百位的9合为10，进一位。
将个位数的8，取出一根筹与下行9合为10，进位1，与十位的2合为3
答案4037。
上行被加数筹码，在运算过程中逐步变化；下行加数筹码，在运算过程中逐步消失。


减法 不需向上一數量級借位的情況下，只要从被减数中去掉与减数相同数目的筹棍，剩余的筹码就是答案。左圖為計算54-23的演示步驟。
右圖為計算4231-789的演示步驟，此情況即為需要向上一數量級借位：

将被减数4231放在上行，减数789放下行。从左往右逐位运筹。
从千位借1为百位10，减去下行该位的7，余数3与上行2合为5，下行本位的7被取去，留空白。
从百位5借1留4，百位所借1减十位下行8得2，与上行3合为5；至此上行筹码为3451，下行为9。
从上行十位的5借1余四，所借1（=10）减去下行9得1，搬往上行得2，至此下行筹码已全部减除，上行得3442即是运算结果。


乘法 运用算筹进行乘除运算时必须先学会九九表:《夏侯阳算经》云：夫乘除之法，先明九九，一丛十横，百立千僵，千十相望，万百相当。满六已上，五在上方。六不积算，五不单张。上下相乘，实居中央。言十自当。已法除之，宜得上商，横算相当。以次右行，极于左方。
《孙子算经》对筹算乘法有详细阐述。
左圖即為筹算38×76的演示步驟：

将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位，对齐被乘数的最高位。如图：被乘数38在上排，乘数76在下排，其个位数6对齐被乘数38的3。上下排之间，留空几排，作中间积存放处。
运算规则：从左至右。
从被乘数的最高位开始运筹（例中即先運算30×76，再運算8×76）。在运算中必须运用九九表。据九九表「三七二十一」，将筹码21放在中间排，1对齐乘数的十位，即在7之上；然後「三六一十八」；（30×76得中间积2280），如图中排，至此被乘数的3已经完成运算，从筹板除去。
将乘数76的筹码，往右移动一位，7改横码，6改为竖码；
以下再運算8×76，運算「七八五十六」，撤乘数十位数筹码7；
運算「八六四十八」，4与上一步所得56的6合并为10，进位1，撤去被乘数个位8，撤去乘数个位6；
将中间积2280与608相加，得积2888，至此整條算式运算完毕。
P.S.:範例圖片是一邊乘一邊加而不是像文字描述所說乘完後才加。


除法 左圖為計算
  
    
      
        
          
            309
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {309}{7}}}
  
的演示步驟：

将被除数309放中排，除数7放下排，上排留空。
将除数7右移一位，变横码，用九九表和减法运算30÷7：30除7得4剩2，
商4摆上排，2留中排。
将除数7右移一位，改竖码；再用九九表和减法运算29÷7：29除7得4余1，
商4放上排，除数不撤，最后得商44，余数1，故
  
    
      
        
          
            309
            7
          
        
        =
        44
        
          
            1
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {309}{7}}=44{\frac {1}{7}}}
  
。
孙子除法在9世纪初最早由花拉子米从印度介绍到阿拉伯国家，十世纪阿拉伯数学家阿尔乌几里德《印度的算术》叙述的早期除法和十一世纪波斯数学家伊本·拉班《印度算术原理》叙述的除法，也是不折不扣的孙子除法：

同样上、中、下三行的布列格式
同样上为商数，中为被除数，下为除数
同样的左边对齐
同样的自左往右运算
同样算一步后将除数右移一位
同样除数后面以空格代0
同样的商和余数，以三行格式表示。


分数 用筹算进行除法运算时，如留有余数，则必须保留除数和余数，形成一对筹码，一在上一在下。刘徽《九章算术注》中，在上的筹称“实”，为在下的筹称为“法”：《孙子算经》中，在上的筹称为“子”，（分子），而在下的称为“母”（分母）。如右图一对筹码一在上一在下，1是子，7是母，构成分数 
  
    
      
        
          
            1
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{7}}}
  
。
这种筹算分数的表示法，在9世纪由花拉子米介绍到阿拉伯国家。


= 分数加法 =

  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            2
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {2}{5}}}
  

将分子1，2 摆放在算筹板的左边，将分母3，5摆放在算筹板的右边
将分子与分母交叉互乘，将所得的积代替相应的分子
将分母相乘，将乘积摆放在算筹板右下方
将新的分子相加，其和摆放在算筹板右上方
结果：
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            2
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {2}{5}}}
  
=
  
    
      
        
          
            11
            15
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {11}{15}}}
  


= 分数减法 =

  
    
      
        
          
            8
            9
          
        
        −
        
          
            1
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {8}{9}}-{\frac {1}{5}}}
  

将分子8，1的算筹摆放在算筹板的左边
将分母9，5 摆放在算筹板的右边
分子分母互乘，以乘积代替相应的分子。
分母相乘，其积摆放在算筹板右下方
新分子相减为差，将差数摆放在算筹板右上方
结果： 
  
    
      
        
          
            8
            9
          
        
        −
        
          
            1
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {8}{9}}-{\frac {1}{5}}}
  
 = 
  
    
      
        
          
            31
            45
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {31}{45}}}
  


= 分数乘法 =

  
    
      
        3
        
          
            1
            3
          
        
        ×
        5
        
          
            2
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle 3{\frac {1}{3}}\times 5{\frac {2}{5}}}
  

将
  
    
      
        3
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 3{\frac {1}{3}}}
  
 和
  
    
      
        
          
            2
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{5}}}
  
在算筹板上布置成商、实、法形式。
商乘法加入实。 3*3 + 1=10； 5*5 + 2=27
实乘实：10*27=270
法乘法：3*5=15
实除法:
  
    
      
        3
        
          
            1
            3
          
        
        ×
        5
        
          
            2
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle 3{\frac {1}{3}}\times 5{\frac {2}{5}}}
  
=18
此算法的实质是将带分数先化成假分数，再行乘法。


= 分数除法 =
将分数在算筹板上以商、实、法的三行格式排列。
将商乘法，并入实。
将除数分数的分子、分母互换。
分子、分母相乘。
约分。
此算法的实质是将带分数先化成假分数，并将除数取倒数相乘。


= 最大公约数 =

九章算术给出求两个数最大公约数的方法，即辗转相除，以至最后余数相等，即为最大公约数。
左图为求 
  
    
      
        
          
            32450625
            59056400
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {32450625}{59056400}}}
  
 的最大公约数，并进行约分。
最大公约数为25，约分得
  
    
      
        
          
            1298025
            2362256
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1298025}{2362256}}}
  
。


= 分数内插法 =

何承天发明名为调日法的分数内插法，反复将弱值分数与强值分数的分子分母相加已求得更佳的近似值。祖冲之用此法求的著名的圆周率
约率
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}}}
  
和密率
  
    
      
        
          
            355
            113
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {355}{113}}}
  


开平方根 孙子算经卷中：“今有積，二十三萬四千五百六十七步。問：為方幾何？答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。
術曰：置積二十三萬四千五百六十七步，為實，次借一算為下法，步之超一位至百而止。上商置四百于實之上，副置四萬于實之下。下法之商，名為方法；命上商四百除實，除訖，倍方法，方法一退，下法再退，復置上商八十以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名為廉法；方廉各命上商八十以除實，除訖，倍廉法，從方法，方法一退，下法再退，復置上商四以次前，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法；方廉隅各命上商四以除實，除訖，倍隅法，從方法，上商得四百八十四，下法得九百六十八，不盡三百一十一，是為方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一”。
右图为筹算开方 
  
    
      
        
          
            234567
          
        
        ≈
        484
        
          
            
              311
              968
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}
  
。
算法如下：

把234567放在算籌板的由上數起的第二行上，稱之為實。
把一個標記“1”放置在第四行的萬位，稱為下法。
估計平方根的第一位，放在第一行（商）的百位。
將商乘以下法(4×1)，把積放在第三行，稱之為方法。
將實減去商和方法的積，23-4×4=7
將方法乘以2，把它移向右邊，改為橫碼。
把下法向右移兩位。
估計平方根的第二位，放在商的十位。
將商乘以下法，積加到方法。
8(方)×8(商的十位)=64，將74減去64，把10放到實,再將105減去8(廉)×8(商的十位)=64，再把41放回實。
把方法的個位(廉)乘以2，加到原方法80。
把方法向右移，改變方向；把下法向右移兩位。
估計平方根的第三位。
將商乘以下法(4×1)，積加到方法，此時方法應為964。
從實減去4×900+4×60+4×4=76，餘下311。
把方法的個位乘以2，加到原方法960。
答案：
  
    
      
        
          
            234567
          
        
        ≈
        484
        
          
            
              311
              968
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}
  

十一世纪波斯数学家伊本·拉班的开平方术，与孙子基本上相同，唯最后分母加1，所以平方根的小数比真值略小，孙子算法所得，则比真值略大。


开立方根 九章算术卷第四《少广》有数道开立方题，其开立方术为后世开立方术的基础。
〔二二〕又有積一百九十三萬七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問為立方幾何？
答曰：一百二十四尺、太半尺。
開立方術曰：置積為實。借一算步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復除，折而下。以三乘所得數置中行。復借一算置下行。步之，中超一，下超二等。復置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中從定法。復除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。若積有分者，通分內子為定實。定實乃開之，訖，開其母以報除。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。

  
    
      
        
          
            
              1937541
              
                
                  17
                  27
                
              
            
            
              3
            
          
        
        =
        124
        
          
            2
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{1937541{\frac {17}{27}}}}=124{\frac {2}{3}}}
  

北宋数学家贾宪发明增乘开立方法和递增三乘开四次方术。
右图为贾宪增乘开立方解九章算术第四卷少广〔一九〕
今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？
答曰：一百二十三尺。
：
  
    
      
        
          
            1860867
            
              3
            
          
        
        =
        123
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{1860867}}=123}
  


联立方程 九章算術　卷第八　方程：
〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。 問上、中、下禾實一秉各幾何？
答曰：
上禾一秉，九斗、四分斗之一，
中禾一秉，四斗、四分斗之一，
下禾一秉，二斗、四分斗之三。
有三捆上等穀物，兩捆中等穀物，一捆下等穀物，共39斗；有兩捆上等，三捆中等，一捆下等，共34斗；有一捆上等，兩捆中等，三捆下等，共26斗。分別找出上、中、下等穀物的數量。
方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。

以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

將中列乘以右上角的數字，即3。
重複地從中列減去右列，直到中上角的數字為0。
將左列乘以右上角的數字，即3。
重複地從左列減去右列，直到左上角的數字為0。
對中列和左列使用上述消除算法後，矩陣將簡化成三角形狀：

一捆下等穀物的數量=
  
    
      
        
          
            99
            36
          
        
        =
        2
        
          
            3
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {99}{36}}=2{\frac {3}{4}}}
  
斗
一捆上等穀物=
  
    
      
        9
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle 9{\frac {1}{4}}}
  
斗
一捆中等穀物=
  
    
      
        4
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle 4{\frac {1}{4}}}
  
斗


行列式 日本数学家关孝和在《三部抄》的《解伏题之法》中，將线性方程组的係數縱橫寫成方陣的形式，发明了行列式。關孝和還提出了兩種計算行列式的值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法。


高次方程 南宋数学家秦九韶将贾宪的增乘开方术推广，以求解高次方程。右图为秦九韶解下列四次方程式的程序。

  
    
      
        −
        
          x
          
            4
          
        
        +
        15245
        
          x
          
            2
          
        
        −
        6262506.25
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -x^{4}+15245x^{2}-6262506.25=0}
  

程序：

置6262506.25 为实
置15245 为上廉
置1为益隅
上廉超二位，益隅超三位。
置商20步
以商乘益隅入下廉
以下廉乘商生负廉
以负廉与正廉相消得正上廉
以商乘上廉为方
以方乘商除实
又以商乘益隅入下廉
以下廉乘商生负廉
负廉与正廉相消
商与上廉生方
商隅相乘入下廉
商与下廉生负廉
负廉与正廉相消
商又与隅生下廉
下廉三退，隅四退
无商（商第二位为0），以上廉并入方，并益隅入下廉
益隅并负廉与正方廉相消，命为母
约分
得
  
    
      
        x
        =
        20
        
          
            1298025
            2362256
          
        
      
    
    {\displaystyle x=20{\frac {1298025}{2362256}}}
  


四元高次方程 筹算的应用在朱世杰《四元玉鉴》中的四元术到达高峰。

三元术
今有股弦较除弦和与直积等。只云勾股较除弦较和与勾同。问弦几何？

答曰：五步。
术曰：立天元一为勾，地元一为股，人元一为弦，物元一为开数。
：得到 
今式
  
    
      
        −
        y
        −
        z
        −
        
          y
          
            2
          
        
        ×
        x
        −
        x
        +
        x
        y
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -y-z-y^{2}\times x-x+xyz=0}
  

太

云式：
  
    
      
        −
        y
        −
        z
        +
        x
        −
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -y-z+x-x^{2}+xz=0}
  

三元式：
  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          z
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        =
        0
        ;
      
    
    {\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}
  

太

三元式与云式相消，
人天易位     人弦-->天勾
得：
前式
  
    
      
        −
        x
        −
        2
        
          x
          
            2
          
        
        +
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        x
        y
        −
        x
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle -x-2x^{2}+y+y^{2}+xy-xy^{2}+x^{2}y}
  

      太

及
后式 
  
    
      
        −
        2
        x
        −
        2
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        y
        −
        2
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
        +
        4
        x
        y
        −
        2
        x
        
          y
          
            2
          
        
        +
        x
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -2x-2x^{2}+2y-2y^{2}+y^{3}+4xy-2xy^{2}+xy^{2}}
  

太

相消得

  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        −
        6
        
          x
          
            3
          
        
        +
        4
        
          x
          
            2
          
        
        +
        6
        x
        −
        5
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}
  

解之得  
  
    
      
        x
        =
        5
      
    
    {\displaystyle x=5}
  
 天勾=5；
人天易位   天勾-->人弦
得弦=五步。

四元术

今有股乘五较与弦幂加勾乘弦等。只云勾除五和与股幂减勾弦同。问黄方带勾股弦共几何？

答曰：一十四0 步。
草曰：立天元0 一为勾，地元一为股，人元一为弦，物元一为开数。得四元方程
1：  0 0         
  
    
      
        −
        2
        ×
        y
        +
        x
        +
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -2\times y+x+z=0}
  
;
2：   0 0         
  
    
      
        −
        
          y
          
            2
          
        
        ×
        x
        +
        4
        ×
        y
        +
        2
        ×
        x
        −
        
          x
          
            2
          
        
        +
        4
        ×
        z
        +
        x
        ×
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -y^{2}\times x+4\times y+2\times x-x^{2}+4\times z+x\times z=0}
  
;
3：   0 0          
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          z
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}
  
;
4：   0 0          
  
    
      
        2
        ×
        y
        −
        w
        +
        2
        ×
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 2\times y-w+2\times x=0}
  
;
消元，物易天位

  
    
      
        4
        
          x
          
            2
          
        
        −
        7
        x
        −
        686
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 4x^{2}-7x-686=0}
  

解之，
物易天位，得 十四步。


参看 增乘开平方法
蘇州碼子


註釋 参考文献