在数学中，格朗沃尔引理或格朗沃尔不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。
格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。
格朗沃尔不等式的名称来自多玛·哈肯·格朗沃尔。格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。
格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明。而积分形式则是由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）在1943年证明。


微分形式 设 I 是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中 a < b。又设β 和 u 为定义在 I 上的实数值的连续函数。假设 u 是一个在 I 的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：

  
    
      
        
          u
          ′
        
        (
        t
        )
        ≤
        β
        (
        t
        )
        
        u
        (
        t
        )
        ,
        
        t
        ∈
        
          I
          
            ∘
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}
  

那么对于所有的
  
    
      
        t
        ∈
        
          I
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle t\in I^{\circ }}
  
，函数 u 都小于等于以下微分方程
  
    
      
        
          y
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        β
        (
        t
        )
        
        y
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle y'(t)=\beta (t)\,y(t)}
  
的解：

  
    
      
        u
        (
        t
        )
        ≤
        u
        (
        a
        )
        exp
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            t
          
        
        β
        (
        s
        )
        
        
          d
        
        s
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}
  

注意：不等式对函数 β 和 u 的符号没有任何要求。 


= 证明 =
如果设

  
    
      
        v
        (
        t
        )
        =
        exp
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            t
          
        
        β
        (
        s
        )
        
        
          d
        
        s
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}
  

是以下微分方程 

  
    
      
        
          v
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        β
        (
        t
        )
        
        v
        (
        t
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),}
  

其中 v(a) = 1 的解，那么对所有的 t 都有 v(t) > 0， 因此根据复合函数求导法则中的除法定则：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              u
              v
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              
                u
                ′
              
              v
              −
              
                v
                ′
              
              u
            
            
              v
              
                2
              
            
          
        
        ≤
        
          
            
              β
              u
              v
              −
              β
              v
              u
            
            
              v
              
                2
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\leq {\frac {\beta uv-\beta vu}{v^{2}}}=0}
  

对所有的 t > a 成立，因此 

  
    
      
        
          
            
              u
              (
              t
              )
            
            
              v
              (
              t
              )
            
          
        
        ≤
        
          
            
              u
              (
              a
              )
            
            
              v
              (
              a
              )
            
          
        
        =
        u
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a)}
  

于是格朗沃尔不等式得证。


积分形式 设 I 是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中 a < b。又设  α、β 和 u 为定义在 I 上的实数值的函数。假设 β 和 u 是连续的，则有：

(a) 如果 β 是非负函数并且 u 满足如下的积分不等式：

  
    
      
        u
        (
        t
        )
        ≤
        α
        (
        t
        )
        +
        
          ∫
          
            a
          
          
            t
          
        
        β
        (
        s
        )
        u
        (
        s
        )
        
        
          d
        
        s
        ,
        
        t
        ∈
        I
      
    
    {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I}
  
，
那么

  
    
      
        u
        (
        t
        )
        ≤
        α
        (
        t
        )
        +
        
          ∫
          
            a
          
          
            t
          
        
        α
        (
        s
        )
        β
        (
        s
        )
        exp
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          ∫
          
            s
          
          
            t
          
        
        β
        (
        r
        )
        
        
          d
        
        r
        
          
            )
          
        
        
          d
        
        s
        ,
        
        t
        ∈
        I
      
    
    {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I}
  
。
(b) 如果在之前的条件下， α 还是一个常数，那么

  
    
      
        u
        (
        t
        )
        ≤
        α
        exp
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            t
          
        
        β
        (
        s
        )
        
        
          d
        
        s
        
          
            )
          
        
        ,
        
        t
        ∈
        I
        .
      
    
    {\displaystyle u(t)\leq \alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}
  

注意：

不等式的成立条件里并没有限制 α 和 u 的符号；
相比于微分形式，积分形式中对函数 u 的可微性没有做要求；


= 证明 =
(a) 定义

  
    
      
        v
        (
        s
        )
        =
        exp
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          −
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            s
          
        
        β
        (
        r
        )
        
        
          d
        
        r
        
          
            )
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            s
          
        
        β
        (
        r
        )
        u
        (
        r
        )
        
        
          d
        
        r
        ,
        
        s
        ∈
        I
        .
      
    
    {\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}
  

则运用复合函数求导法则中的乘積法則、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：

  
    
      
        
          v
          ′
        
        (
        s
        )
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              
                u
                (
                s
                )
                −
                
                  ∫
                  
                    a
                  
                  
                    s
                  
                
                β
                (
                r
                )
                u
                (
                r
                )
                
                
                  d
                
                r
              
              ⏟
            
          
          
            ≤
            
            α
            (
            s
            )
          
        
        
          
            )
          
        
        β
        (
        s
        )
        exp
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          −
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            s
          
        
        β
        (
        r
        )
        
          d
        
        r
        
          
            )
          
        
        ,
        
        s
        ∈
        I
      
    
    {\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I}
  
，
由于注意到括号中的部分小于 α，可以得到相应的不等式，并进行积分。由于函数 β 以及其指数都是非负函数，不等号保持不变。然而 v(a) = 0，因此积分式等价于：

  
    
      
        v
        (
        t
        )
        ≤
        
          ∫
          
            a
          
          
            t
          
        
        α
        (
        s
        )
        β
        (
        s
        )
        exp
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          −
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            s
          
        
        β
        (
        r
        )
        
        
          d
        
        r
        
          
            )
          
        
        
          d
        
        s
        .
      
    
    {\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}
  

再运用第一步里 v(t) 的定义，就得到：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∫
                  
                    a
                  
                  
                    t
                  
                
                β
                (
                s
                )
                u
                (
                s
                )
                
                
                  d
                
                s
              
              
                
                =
                exp
                ⁡
                
                  
                    (
                  
                
                
                  ∫
                  
                    a
                  
                  
                    t
                  
                
                β
                (
                r
                )
                
                
                  d
                
                r
                
                  
                    )
                  
                
                v
                (
                t
                )
              
            
            
              
              
                
                ≤
                
                  ∫
                  
                    a
                  
                  
                    t
                  
                
                α
                (
                s
                )
                β
                (
                s
                )
                exp
                ⁡
                
                  
                    (
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∫
                          
                            a
                          
                          
                            t
                          
                        
                        β
                        (
                        r
                        )
                        
                        
                          d
                        
                        r
                        −
                        
                          ∫
                          
                            a
                          
                          
                            s
                          
                        
                        β
                        (
                        r
                        )
                        
                        
                          d
                        
                        r
                      
                      ⏟
                    
                  
                  
                    =
                    
                    
                      ∫
                      
                        s
                      
                      
                        t
                      
                    
                    β
                    (
                    r
                    )
                    
                    
                      d
                    
                    r
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                
                  d
                
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s\end{aligned}}}
  
。
最后将原来条件里的不等式带入上式左边，就可以得到格朗沃尔不等式了。
(b) 如果函数 α 为常数函数，那么命题 (a) 中不等式的右边可以进行积分。由微积分基本定理可以获得：

  
    
      
        
          
            
              
                u
                (
                t
                )
              
              
                
                ≤
                α
                +
                
                  
                    (
                  
                
                
                  −
                
                α
                exp
                ⁡
                
                  
                    (
                  
                
                
                  ∫
                  
                    s
                  
                  
                    t
                  
                
                β
                (
                r
                )
                
                
                  d
                
                r
                
                  
                    )
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                
                  
                    
                      |
                    
                  
                  
                    s
                    =
                    a
                  
                  
                    s
                    =
                    t
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                α
                exp
                ⁡
                
                  
                    (
                  
                
                
                  ∫
                  
                    a
                  
                  
                    t
                  
                
                β
                (
                r
                )
                
                
                  d
                
                r
                
                  
                    )
                  
                
                ,
                
                t
                ∈
                I
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha +{\biggl (}{-}\alpha \exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I\end{aligned}}}
  
。


参见 全局解


参考来源 楼红卫，林伟，《常微分方程》，复旦大学出版社，2007年，ISBN：978-7-309-05590-0/O.400
李荣华，刘播，《微分方程数值解法(第4版)》，高等教育出版社，2009年。
Jan A. Sanders, Ferdinand Verhulst, James A. Murdock, Averaging methods in nonlinear dynamical systems, Springer,2007.