电磁四维势（英文：Electromagnetic four-potential）是电磁理论中的一个协变四维矢量，它在国际单位制中的单位是伏特·秒/米（在厘米-克-秒制中的单位是馬克士威/厘米），它的定义为（括号中表示在厘米-克-秒制中的形式，下同）

  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                ϕ
                c
              
            
            ,
            −
            
              
                
                  A
                  →
                
              
            
          
          )
        
        
        
          (
          
            
              A
              
                α
              
            
            =
            (
            ϕ
            ,
            −
            
              
                
                  A
                  →
                
              
            
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},-{\vec {A}}\right)\qquad \left(A_{\alpha }=(\phi ,-{\vec {A}})\right)}
  

其中
  
    
      
        ϕ
        
      
    
    {\displaystyle \phi \,}
  
是电势，
  
    
      
        
          
            
              A
              →
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {A}}\,}
  
是磁矢势。
在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 
  
    
      
        d
        i
        a
        g
        (
        1
        ,
        −
        1
        ,
        −
        1
        ,
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle diag(1,-1,-1,-1)}
  
 ，這是参考了約翰·傑克森（John D. Jackson）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。
电场与磁场和相应的标势与矢势的对应关系分别为

  
    
      
        
          
            
              E
              →
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∇
              →
            
          
        
        ϕ
        −
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    A
                    →
                  
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        
        
          (
          
            −
            
              
                
                  ∇
                  →
                
              
            
            ϕ
            −
            
              
                1
                c
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        A
                        →
                      
                    
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\qquad \left(-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)}
  

  
    
      
        
          
            
              B
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              ∇
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              A
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}
  

将这两个势写在一起的原因是
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }}
  
是协变的，这意味着它在任意的曲面坐标变换下和一个标量的梯度变换方式相同，即如
  
    
      
        
          
            
              ∂
              ψ
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x^{\alpha }}}\,,}
  
的变换形式。这样四维势的内积

  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        =
        
          
            
              ϕ
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          |
        
        
          
            
              A
              →
            
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
        
          (
          
            
              A
              
                α
              
            
            
              g
              
                α
                β
              
            
            
              A
              
                β
              
            
            
            =
            
              ϕ
              
                2
              
            
            −
            
              |
            
            
              
                
                  A
                  →
                
              
            
            
              
                |
              
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }g^{\alpha \beta }A_{\beta }={\frac {\phi ^{2}}{c^{2}}}-|{\vec {A}}|^{2}\qquad \left(A_{\alpha }g^{\alpha \beta }A_{\beta }\,=\phi ^{2}-|{\vec {A}}|^{2}\right)}
  

在任意惯性系下都是一个不变量。
不过，电场与磁场和相应的标势与矢势的对应关系并不是唯一的，通常可以对这两个势做如下的变换：

  
    
      
        ϕ
        
        →
        
        ϕ
        +
        
          
            
              ∂
              λ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \phi \qquad \rightarrow \qquad \phi +{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}\,}
  

  
    
      
        
          
            
              A
              →
            
          
        
        
        →
        
        
          
            
              A
              →
            
          
        
        −
        ∇
        λ
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {A}}\qquad \rightarrow \qquad {\vec {A}}-\nabla \lambda \,}
  

这组变换称作规范变换，在规范变换下电场和磁场仍然保持不变，因此相应的电标势和磁矢势并没有确定下来。
人们习惯在惯性参考系中采用洛伦茨规范条件
  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}
  
，实际上加上这组规范条件也并不能完全确定四维势（规范变换依然成立），但这样做的好处是这组规范条件具有洛伦兹不变性。
此时电磁场的麦克斯韦方程组可化简为下面的形式：

  
    
      
        ◻
        
          A
          
            α
          
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          η
          
            α
            β
          
        
        
          J
          
            β
          
        
        
        
          (
          
            ◻
            
              A
              
                α
              
            
            =
            
              
                
                  4
                  π
                
                c
              
            
            
              η
              
                α
                β
              
            
            
              J
              
                β
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Box A_{\alpha }=\mu _{0}\eta _{\alpha \beta }J^{\beta }\qquad \left(\Box A_{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\eta _{\alpha \beta }J^{\beta }\right)}
  

其中
  
    
      
        
          J
          
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle J^{\beta }\,}
  
是四维电流矢量，
而

  
    
      
        ◻
        =
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}
  
是达朗贝尔算符。
如果写成电标势和磁矢势，则有

  
    
      
        ◻
        ϕ
        =
        
          
            ρ
            
              ϵ
              
                0
              
            
          
        
        
        
          (
          
            ◻
            ϕ
            =
            4
            π
            ρ
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Box \phi ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \left(\Box \phi =4\pi \rho \right)}
  

  
    
      
        ◻
        
          
            
              A
              →
            
          
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        
        
          (
          
            ◻
            
              
                
                  A
                  →
                
              
            
            =
            
              
                
                  4
                  π
                
                c
              
            
            
              
                
                  j
                  →
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Box {\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}\qquad \left(\Box {\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\right)}
  

对给定的分别为
  
    
      
        ρ
        (
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)}
  
和
  
    
      
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        (
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {j}}({\vec {x}},t)}
  
的电荷和电流分布，方程在国际单位制中的解为

  
    
      
        ϕ
        (
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        ∫
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          x
          
            ′
          
        
        
          
            
              ρ
              (
              
                
                  
                    
                      x
                      →
                    
                  
                
                
                  ′
                
              
              ,
              τ
              )
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      x
                      →
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      
                        x
                        →
                      
                    
                  
                  
                    ′
                  
                
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho ({\vec {x}}^{\prime },\tau )}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}
  

  
    
      
        
          
            
              A
              →
            
          
        
        (
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          x
          
            ′
          
        
        
          
            
              
                
                  
                    j
                    →
                  
                
              
              (
              
                
                  
                    
                      x
                      →
                    
                  
                
                
                  ′
                
              
              ,
              τ
              )
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      x
                      →
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      
                        x
                        →
                      
                    
                  
                  
                    ′
                  
                
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {{\vec {j}}({\vec {x}}^{\prime },\tau )}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}
  
,
其中
  
    
      
        τ
        =
        t
        −
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      x
                      →
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      
                        x
                        →
                      
                    
                  
                  ′
                
              
              |
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau =t-{\frac {\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}{c}}}
  
是推迟时间。有时方程也用
  
    
      
        ρ
        (
        
          
            
              
                x
                →
              
            
          
          ′
        
        ,
        τ
        )
        =
        [
        ρ
        (
        
          
            
              
                x
                →
              
            
          
          ′
        
        ,
        t
        )
        ]
        
      
    
    {\displaystyle \rho ({\vec {x}}',\tau )=[\rho ({\vec {x}}',t)]\,}
  
这样的形式表示对于时间变量应该用推迟时间来计算。当然，由于上面的方程是非齐次的微分方程，相应的齐次方程解加上非齐次方程的任何特解都会满足边界条件。一般来说，对应的齐次方程解表征着远源传播的电磁波。
对一些典型情形（例如振荡电流或电荷）进行上面的积分时，积分会同时给出以
  
    
      
        
          r
          
            −
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle r^{-2}\,}
  
形式变化的磁场（感生磁场）和以
  
    
      
        
          r
          
            −
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle r^{-1}\,}
  
形式变化的电磁场（辐射场）。


参考文献 Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5. 
Jackson, J D. Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. 1999. ISBN 0-471-30932-X. 


参见 经典电磁理论的协变形式
电磁波方程