直線，是一個點在平面或空間沿著一定方向和其相反方向運動的軌跡，是不彎曲的線。直線是幾何學的基本概念，在不同的幾何學體系中有著不同的描述。在這裡主要描述歐幾里得空間中的直線。其他曲率非零狀況下的直線，請參考非歐幾里得幾何。
歐幾里得幾何研究曲率為零的空間下狀況，它並未對點、直線、平面、空間給出定義，而是通過公理來描述點線面的關係。
歐幾里得幾何中的直線可以看作是一個點的集合，這個集合中的任意一點都在這個集合中的其他任意兩點所確定的直綫上。
“過兩點有且只有一條直線”是歐幾里得幾何體系中的一條公理，“有且只有”意即“確定”，即兩點確定一直線。
在幾何學中，直線沒有粗細，沒有端點，沒有方向性，具有無限的長度，具有固定的位置。


線性方程 在解析幾何中，我們常用線性方程描述一條直線。


= 二維直角坐標系方程 =
平行於x-或y-軸
最簡單的直線方程是平行於x-軸或y-軸的直線：

  
    
      
        x
        =
        a
        
      
    
    {\displaystyle x=a\;}
  
 或 
  
    
      
        
        y
        =
        b
      
    
    {\displaystyle \;y=b}
  
，
當中 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 分別是x-和y-截距。
一般式
對於所有的直線，都可以形式

  
    
      
        A
        x
        +
        B
        y
        +
        C
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Ax+By+C=0}
  

來表示。
這表示示形式並不是唯一的，但習慣上常限制 
  
    
      
        A
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle A\geq 0}
  
 及 
  
    
      
        gcd
        (
        A
        ,
        B
        ,
        C
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \gcd(A,B,C)=1}
  
 。在此限制下，同一條直線只有一種表達形式。
在這形式下，直線的斜率是 
  
    
      
        −
        
          
            A
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {A}{B}}}
  
 ，x-截距是 
  
    
      
        −
        
          
            C
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {C}{A}}}
  
 ，y-截距是 
  
    
      
        −
        
          
            C
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {C}{B}}}
  
 。
斜截式
在直線不平行於y-軸時，若斜率是 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 ，y-截距是 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 ，則有方程

  
    
      
        y
        =
        m
        x
        +
        b
      
    
    {\displaystyle y=mx+b}
  
 。
在這形式下，直線的表達形式是唯一的。
二點式
若直線穿過兩點 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1})}
  
 和 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2})}
  
 ，則有方程

  
    
      
        
          
            
              x
              −
              
                x
                
                  1
                
              
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              
                x
                
                  1
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              y
              −
              
                y
                
                  1
                
              
            
            
              
                y
                
                  2
                
              
              −
              
                y
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}}
  
。
等價地，可以用行列式

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  x
                
                
                  y
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
              
            
            |
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}
  

表示。
點斜式
若直線穿過一點 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
  
 ，而且斜率是 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
，則有方程

  
    
      
        y
        −
        
          y
          
            0
          
        
        =
        m
        
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y-y_{0}=m\,(x-x_{0})}
  
。
截距式
若直線的x-和y-截距分別是 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 ，則方程為

  
    
      
        
          
            x
            a
          
        
        +
        
          
            y
            b
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {x \over a}+{y \over b}=1}
  
。
法線式
過原點向直線作一垂直線段，若該線長度為 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 ，且與正x-軸的傾斜角為 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 ，則有方程

  
    
      
        x
        cos
        ⁡
        α
        +
        y
        sin
        ⁡
        α
        −
        p
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0}
  
。
向量式
若直線穿過一點 
  
    
      
        
          a
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\\\end{bmatrix}}}
  
 ，且有方向向量 
  
    
      
        
          u
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    u
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    u
                    
                      y
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{x}\\u_{y}\\\end{bmatrix}}}
  
 ，則有向量方程

  
    
      
        
          r
        
        =
        
          a
        
        +
        λ
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {u} }
  
，
當中 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}}
  
 ，而 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 是一任意實數。
須要注意的是，這直線的表達形式並不是唯一的。
參數式
從向量式出發，可以參數 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 表示方程

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                
                  x
                  
                    0
                  
                
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  u
                  
                    x
                  
                
                λ
              
              
            
            
              
                y
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                
                  y
                  
                    0
                  
                
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  u
                  
                    y
                  
                
                λ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x&&\;=\;&&x_{0}&&\;+\;&&u_{x}\lambda &\\y&&\;=\;&&y_{0}&&\;+\;&&u_{y}\lambda \end{alignedat}}}
  
 ，
其中 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 是一任意實數。


= 三維直角坐標系方程 =
在三維坐標上，由於一條等式只代表一個平面，一條直線須由最少兩條等式定義。
平行於x-、y-或z-軸
平行於x-、y-或z-軸的直線有方程

  
    
      
        
          
            
              
                y
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                b
              
              
            
            
              
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                c
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}y&&\;=\;&&b&\\z&&\;=\;&&c\end{alignedat}}\,}
  
 、
  
    
      
        
        
          
            
              
                x
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                a
              
              
            
            
              
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                c
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \,{\begin{alignedat}{3}x&&\;=\;&&a&\\z&&\;=\;&&c\end{alignedat}}\,}
  
 或 
  
    
      
        
        
          
            
              
                x
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                a
              
              
            
            
              
                y
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                b
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \,{\begin{alignedat}{3}x&&\;=\;&&a&\\y&&\;=\;&&b\end{alignedat}}}
  

的形式。
一般式
對於任何直線，一般式都能以兩個非平行平面定義：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  C
                  
                    1
                  
                
                z
                
              
              
              
                +
                
              
              
              
                
                  D
                  
                    1
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  A
                  
                    2
                  
                
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  C
                  
                    2
                  
                
                z
                
              
              
              
                +
                
              
              
              
                
                  D
                  
                    2
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{9}A_{1}x&&\;+\;&&B_{1}y&&\;+\;&&C_{1}z\;&&+\;&&D_{1}\;&&=\;&&0&\\A_{2}x&&\;+\;&&B_{2}y&&\;+\;&&C_{2}z\;&&+\;&&D_{2}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}
  
 ，
其中 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        :
        
          B
          
            1
          
        
        :
        
          C
          
            1
          
        
        =
        
          A
          
            2
          
        
        :
        
          B
          
            2
          
        
        :
        
          C
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}:B_{1}:C_{1}\neq A_{2}:B_{2}:C_{2}}
  
 。
由於從一條直線可引申出無限對平面，這表示方式並不是唯一的。因此又能考慮以三個共線平面定義：

  
    
      
        
          
            
              
                A
                x
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                B
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                D
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                C
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                A
                z
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                E
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                B
                z
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                C
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                F
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}Ax&&\;-\;&&By&&\;+\;&&D\;&&=\;&&0&\\Cy&&\;-\;&&Az&&\;+\;&&E\;&&=\;&&0&\\Bz&&\;-\;&&Cx&&\;+\;&&F\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}
  
，
或合併記作

  
    
      
        A
        x
        −
        B
        y
        +
        D
        =
        C
        y
        −
        A
        z
        +
        E
        =
        B
        z
        −
        C
        x
        +
        F
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Ax-By+D=Cy-Az+E=Bz-Cx+F=0}
  
，
其中係數須乎合關係 
  
    
      
        A
        F
        +
        B
        E
        +
        C
        D
        =
        0
      
    
    {\displaystyle AF+BE+CD=0}
  
 ，以保證三個平面相交於同一直線。
事實上，這三條等式分別對應著直線在xy-、yz-和xz-平面的投影。
在限制 
  
    
      
        A
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle A\geq 0}
  
 及 
  
    
      
        gcd
        (
        A
        ,
        B
        ,
        C
        ,
        D
        ,
        E
        ,
        F
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \gcd(A,B,C,D,E,F)=1}
  
 下，同一條直線只有一種表達形式。
（注：對於平行於軸平面的直線，例如 
  
    
      
        2
        y
        −
        3
        z
        +
        1
        =
        x
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 2y-3z+1=x-1=0}
  
 ，會有以下表示方式：

  
    
      
        
          
            
              
                3
                x
              
              
              
                
                
              
              
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                3
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
            
              
                2
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                3
                z
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                1
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
            
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                2
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                2
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;\;&&&&\;-\;&&3\;&&=\;&&0\\2y&&\;-\;&&3z&&\;+\;&&1\;&&=\;&&0\\&&\;-\;&&2x&&\;+\;&&2\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}
  
 。
對於定義一條直線，這步驟是非必要的。但在本頁往後的部份，這表示方式能簡化一些公式。）
斜截式
類似於二維的情形，在直線不平行於yz-軸平面時，可以寫成

  
    
      
        
          
            
              
                y
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                m
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                b
              
            
            
              
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                n
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                c
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{5}y&&\;=\;&&mx&&\;+\;&&b\\z&&\;=\;&&nx&&\;+\;&&c\end{alignedat}}}
  

的形式。
在這形式下，直線的表達形式是唯一的。
（注：對於直線平行於yz-平面時，以上方式並不適用。但直線仍可表示成

  
    
      
        
          
            
              
                x
                
              
              
                
                =
                
                a
              
            
            
              
                z
                
              
              
                
                =
                
                n
                y
                +
                c
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x\;&=\;a\\z\;&=\;ny+c\end{alignedat}}}
  
 。）
二點式
若直線穿過兩點 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}
  
 和 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}
  
 ，則有方程

  
    
      
        
          
            
              x
              −
              
                x
                
                  1
                
              
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              
                x
                
                  1
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              y
              −
              
                y
                
                  1
                
              
            
            
              
                y
                
                  2
                
              
              −
              
                y
                
                  1
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              z
              −
              
                z
                
                  1
                
              
            
            
              
                z
                
                  2
                
              
              −
              
                z
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}}
  
 。
等價地，可以用行列式

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  x
                
                
                  y
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  y
                
                
                  z
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  z
                
                
                  x
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
              
            
            |
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y&z&1\\y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}z&x&1\\z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\end{vmatrix}}=0}
  

表示。
向量式
若直線穿過一點 
  
    
      
        
          a
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\\\end{bmatrix}}}
  
 ，且有方向向量 
  
    
      
        
          u
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    u
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    u
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    u
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\\\end{bmatrix}}}
  
 ，則有向量方程

  
    
      
        
          r
        
        =
        
          a
        
        +
        λ
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {u} }
  
 ，
當中 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
              
                
                  z
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}}
  
 ，而 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 是一任意實數。
須要注意的是，這直線的表達形式並不是唯一的。
參數式
從向量式出發，可以參數 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 表示方程

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                
                  x
                  
                    0
                  
                
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  u
                  
                    x
                  
                
                λ
              
              
            
            
              
                y
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                
                  y
                  
                    0
                  
                
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  u
                  
                    y
                  
                
                λ
              
              
            
            
              
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                
                  z
                  
                    0
                  
                
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  u
                  
                    z
                  
                
                λ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x&&\;=\;&&x_{0}&&\;+\;&&u_{x}\lambda &\\y&&\;=\;&&y_{0}&&\;+\;&&u_{y}\lambda &\\z&&\;=\;&&z_{0}&&\;+\;&&u_{z}\lambda \end{alignedat}}}
  
 ，
其中 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 是一任意實數。


直線與解析幾何 = 點與直線的距離 =
一般情況下，點與直线的距离，是指點到直線的最短距離，即垂直距離。
在二維直角坐標中，直線 
  
    
      
        A
        x
        +
        B
        y
        +
        C
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Ax+By+C=0}
  
 與點 
  
    
      
        (
        p
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle (p,q)}
  
 的最短距離為

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              |
              
                A
                p
                +
                B
                q
                +
                C
              
              |
            
            
              
                A
                
                  2
                
              
              +
              
                B
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\frac {\left|Ap+Bq+C\right|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}
  

給出向量式 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          a
        
        +
        λ
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {u} }
  
 和 點 
  
    
      
        
          p
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  p
                
              
              
                
                  q
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{bmatrix}p\\q\\\end{bmatrix}}}
  
 ，則有距離

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              |
              
                (
                
                  a
                
                −
                
                  p
                
                )
                ×
                
                  u
                
              
              |
            
            
              |
              
                u
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\frac {\left|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )\times \mathbf {u} \right|}{\left|\mathbf {u} \right|}}}
  

在三維直角坐標中，直線 
  
    
      
        
          
            
              
                A
                x
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                B
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                D
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                C
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                A
                z
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                E
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                B
                z
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                C
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                F
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}Ax&&\;-\;&&By&&\;+\;&&D\;&&=\;&&0&\\Cy&&\;-\;&&Az&&\;+\;&&E\;&&=\;&&0&\\Bz&&\;-\;&&Cx&&\;+\;&&F\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}
  
 與點 
  
    
      
        (
        p
        ,
        q
        ,
        r
        )
      
    
    {\displaystyle (p,q,r)}
  
 的最短距離為

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              
                (
                A
                p
                −
                B
                q
                +
                D
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                (
                C
                q
                −
                A
                r
                +
                E
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                (
                B
                r
                −
                C
                p
                +
                F
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                  A
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  C
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\sqrt {\frac {(Ap-Bq+D)^{2}+(Cq-Ar+E)^{2}+(Br-Cp+F)^{2}}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}
  
。
給出向量式 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          a
        
        +
        λ
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {u} }
  
 和點 
  
    
      
        
          p
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  p
                
              
              
                
                  q
                
              
              
                
                  r
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{bmatrix}p\\q\\r\\\end{bmatrix}}}
  
 ，則有距離

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              |
              
                (
                
                  a
                
                −
                
                  p
                
                )
                ×
                
                  u
                
              
              |
            
            
              |
              
                u
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\frac {\left|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )\times \mathbf {u} \right|}{\left|\mathbf {u} \right|}}}
  


= 两条相交直线的相交點 =
不考慮重合的情形，在二維平面中，兩條相交直線可以相交或平行。
給定兩條直线 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        x
        +
        
          B
          
            1
          
        
        y
        +
        
          C
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}
  
 和 
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
        x
        +
        
          B
          
            2
          
        
        y
        +
        
          C
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}
  
 ，二者相交的條件是

  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        :
        
          B
          
            1
          
        
        =
        
          A
          
            2
          
        
        :
        
          B
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}:B_{1}\neq A_{2}:B_{2}}
  
。
或等價地，

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  
                    A
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}\neq 0}
  
，
當中 
  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  c
                
                
                  d
                
              
            
            |
          
        
        =
        a
        d
        −
        b
        c
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}
  
。
這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得

  
    
      
        x
        =
        −
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      C
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      C
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-{\frac {\begin{vmatrix}C_{1}&B_{1}\\C_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}}
  
 ， 
  
    
      
        y
        =
        −
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      C
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      C
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y=-{\frac {\begin{vmatrix}A_{1}&C_{1}\\A_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}}
  
。
在三維空間中，不考慮重合的情形，兩條直線可以相交、平行或歪斜（異面）。
給定兩條直线 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                x
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  D
                  
                    1
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  C
                  
                    1
                  
                
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                z
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  E
                  
                    1
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                z
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  C
                  
                    1
                  
                
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}A_{1}x&&\;-\;&&B_{1}y&&\;+\;&&D_{1}\;&&=\;&&0&\\C_{1}y&&\;-\;&&A_{1}z&&\;+\;&&E_{1}\;&&=\;&&0&\\B_{1}z&&\;-\;&&C_{1}x&&\;+\;&&F_{1}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}
  
 及 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  
                    2
                  
                
                x
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  D
                  
                    2
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  C
                  
                    2
                  
                
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  A
                  
                    2
                  
                
                z
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  E
                  
                    2
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                z
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  C
                  
                    2
                  
                
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  F
                  
                    2
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}A_{2}x&&\;-\;&&B_{2}y&&\;+\;&&D_{2}\;&&=\;&&0&\\C_{2}y&&\;-\;&&A_{2}z&&\;+\;&&E_{2}\;&&=\;&&0&\\B_{2}z&&\;-\;&&C_{2}x&&\;+\;&&F_{2}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}
  
 ，二者相交的條件是

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  
                    A
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}
  
 、 
  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  
                    B
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    C
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    B
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    C
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}}
  
 及 
  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  
                    C
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    A
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    C
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    A
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}}
  
 不全為 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 ，且

  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          F
          
            2
          
        
        +
        
          A
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        +
        
          B
          
            1
          
        
        
          E
          
            2
          
        
        +
        
          B
          
            2
          
        
        
          E
          
            1
          
        
        +
        
          C
          
            1
          
        
        
          D
          
            2
          
        
        +
        
          C
          
            2
          
        
        
          D
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A_{1}F_{2}+A_{2}F_{1}+B_{1}E_{2}+B_{2}E_{1}+C_{1}D_{2}+C_{2}D_{1}=0}
  
。
這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得

  
    
      
        x
        =
        −
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      D
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      D
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
        =
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      B
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      F
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      F
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      B
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      C
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      C
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-{\frac {\begin{vmatrix}D_{1}&B_{1}\\D_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}={\frac {\begin{vmatrix}B_{1}&F_{1}\\B_{2}&F_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}}}
  
 ， 
  
    
      
        y
        =
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      D
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      D
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      E
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      E
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      C
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      C
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}A_{1}&D_{1}\\A_{2}&D_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}E_{1}&A_{1}\\E_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}}}
  
 ， 
  
    
      
        z
        =
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      C
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      E
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      C
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      E
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      C
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      C
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      F
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      C
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      F
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      C
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      B
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      C
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      C
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z={\frac {\begin{vmatrix}C_{1}&E_{1}\\C_{2}&E_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{1}&C_{1}\\F_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}}}
  
 。


= 两条相交直线的夹角 =
若兩線相交，則會形成夾角。兩線之間的夾角，通常指不大於90°的一隻。
在二維平面上，給定直线 
  
    
      
        y
        =
        m
        x
        +
        b
      
    
    {\displaystyle y=mx+b}
  
 ，該線與x-軸的夾角為

  
    
      
        tan
        ⁡
        θ
        =
        
          |
          m
          |
        
      
    
    {\displaystyle \tan \theta =\left|m\right|}
  
 。
給定兩條直线 
  
    
      
        y
        =
        
          m
          
            1
          
        
        x
        +
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle y=m_{1}x+b_{1}}
  
 和 
  
    
      
        y
        =
        
          m
          
            2
          
        
        x
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=m_{2}x+b_{2}}
  
 ，二者互相垂直當且僅當

  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        
          m
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle m_{1}m_{2}=-1}
  
 。
而其他情況，兩線相交所形成的夾角 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 （
  
    
      
        
          0
          
            ∘
          
        
        ≤
        θ
        <
        
          90
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta <90^{\circ }}
  
），則由

  
    
      
        tan
        ⁡
        θ
        =
        
          |
          
            
              
                
                  m
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  m
                  
                    2
                  
                
              
              
                1
                +
                
                  m
                  
                    1
                  
                
                
                  m
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \tan \theta =\left|{\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right|}
  

給出。
給定相交直线向量式 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            a
            
              1
            
          
        
        +
        λ
        
          
            u
            
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{1}} +\lambda \mathbf {u_{1}} }
  
 和 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            a
            
              2
            
          
        
        +
        μ
        
          
            u
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{2}} +\mu \mathbf {u_{2}} }
  
 ，則有

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              
                
                  u
                  
                    1
                  
                
              
              ⋅
              
                
                  u
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    u
                    
                      1
                    
                  
                
                |
              
              
                |
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {u_{1}} \cdot \mathbf {u_{2}} }{\left|\mathbf {u_{1}} \right|\left|\mathbf {u_{2}} \right|}}}
  
 。
在三維空間中，給定兩條相交直线 
  
    
      
        
          
            
              
                y
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                
                  m
                  
                    1
                  
                
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  b
                  
                    1
                  
                
              
            
            
              
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                
                  n
                  
                    1
                  
                
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  c
                  
                    1
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{5}y&&\;=\;&&m_{1}x&&\;+\;&&b_{1}\\z&&\;=\;&&n_{1}x&&\;+\;&&c_{1}\end{alignedat}}}
  
 和 
  
    
      
        
          
            
              
                y
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                
                  m
                  
                    2
                  
                
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{5}y&&\;=\;&&m_{2}x&&\;+\;&&b_{2}\\z&&\;=\;&&n_{2}x&&\;+\;&&c_{2}\end{alignedat}}}
  
 ，二者互相垂直當且僅當

  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        
          m
          
            2
          
        
        +
        
          n
          
            1
          
        
        
          n
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}=-1}
  
 。
而其他情況，兩線相交所形成的夾角 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 （
  
    
      
        
          0
          
            ∘
          
        
        ≤
        θ
        <
        
          90
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta <90^{\circ }}
  
），則由

  
    
      
        tan
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              (
              
                m
                
                  1
                
              
              −
              
                m
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              (
              
                n
                
                  1
                
              
              −
              
                n
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    |
                    
                      
                        
                          
                            m
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            m
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            n
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            n
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                
                
                  2
                
              
            
            
              |
              
                1
                +
                
                  m
                  
                    1
                  
                
                
                  m
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  n
                  
                    1
                  
                
                
                  n
                  
                    2
                  
                
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sqrt {(m_{1}-m_{2})^{2}+(n_{1}-n_{2})^{2}+{\begin{vmatrix}m_{1}&m_{2}\\n_{1}&n_{2}\end{vmatrix}}^{2}}}{\left|1+m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}\right|}}}
  

給出，當中 
  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  c
                
                
                  d
                
              
            
            |
          
        
        =
        a
        d
        −
        b
        c
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}
  
 。
若取 
  
    
      
        
          n
          
            1
          
        
        =
        
          n
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n_{1}=n_{2}=0}
  
 ， 則公式退化成二維的形式。
給定相交直线向量式 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            a
            
              1
            
          
        
        +
        λ
        
          
            u
            
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{1}} +\lambda \mathbf {u_{1}} }
  
 和 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            a
            
              2
            
          
        
        +
        μ
        
          
            u
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{2}} +\mu \mathbf {u_{2}} }
  
 ，則有

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              
                
                  u
                  
                    1
                  
                
              
              ⋅
              
                
                  u
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                |
                
                  
                    u
                    
                      1
                    
                  
                
                |
              
              
                |
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {u_{1}} \cdot \mathbf {u_{2}} }{\left|\mathbf {u_{1}} \right|\left|\mathbf {u_{2}} \right|}}}
  
。


= 两条直线的距離 =
一般情況下，两条直线的距离，是指最短距離。
二維情況下，两条相交直线的距离必然為 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 。
若有两條平行直线 
  
    
      
        A
        x
        +
        B
        y
        +
        
          C
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Ax+By+C_{1}=0}
  
 及 
  
    
      
        A
        x
        +
        B
        y
        +
        
          C
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Ax+By+C_{2}=0}
  
 ，則有距離

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              |
              
                
                  C
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  C
                  
                    2
                  
                
              
              |
            
            
              
                A
                
                  2
                
              
              +
              
                B
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\frac {\left|C_{1}-C_{2}\right|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}
  
。
給定平行向量式 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            a
            
              1
            
          
        
        +
        λ
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{1}} +\lambda \mathbf {u} }
  
 和 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            a
            
              2
            
          
        
        +
        μ
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{2}} +\mu \mathbf {u} }
  
 ，則有

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              |
              
                (
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                −
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                )
                ×
                
                  u
                
              
              |
            
            
              |
              
                u
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\frac {\left|(\mathbf {a_{1}} -\mathbf {a_{2}} )\times \mathbf {u} \right|}{\left|\mathbf {u} \right|}}}
  
。
三維情況下，两条相交直线的距离同樣必然為 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 。
若有两條平行直线 
  
    
      
        
          
            
              
                A
                x
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                B
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  D
                  
                    1
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                C
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                A
                z
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  E
                  
                    1
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                B
                z
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                C
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}Ax&&\;-\;&&By&&\;+\;&&D_{1}\;&&=\;&&0&\\Cy&&\;-\;&&Az&&\;+\;&&E_{1}\;&&=\;&&0&\\Bz&&\;-\;&&Cx&&\;+\;&&F_{1}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}
  
 及 
  
    
      
        
          
            
              
                A
                x
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                B
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  D
                  
                    2
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                C
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                A
                z
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  E
                  
                    2
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                B
                z
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                C
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  F
                  
                    2
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}Ax&&\;-\;&&By&&\;+\;&&D_{2}\;&&=\;&&0&\\Cy&&\;-\;&&Az&&\;+\;&&E_{2}\;&&=\;&&0&\\Bz&&\;-\;&&Cx&&\;+\;&&F_{2}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}
  
 ，則有距離

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              
                (
                
                  D
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  D
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                (
                
                  E
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  E
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                (
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  F
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                  A
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  C
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\sqrt {\frac {(D_{1}-D_{2})^{2}+(E_{1}-E_{2})^{2}+(F_{1}-F_{2})^{2}}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}
  
。
給定平行直線向量式 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            a
            
              1
            
          
        
        +
        λ
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{1}} +\lambda \mathbf {u} }
  
 和 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            a
            
              2
            
          
        
        +
        μ
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{2}} +\mu \mathbf {u} }
  
 ，則有

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              |
              
                (
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                −
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                )
                ×
                
                  u
                
              
              |
            
            
              |
              
                u
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\frac {\left|(\mathbf {a_{1}} -\mathbf {a_{2}} )\times \mathbf {u} \right|}{\left|\mathbf {u} \right|}}}
  
。
兩條歪斜直線（即既非相交，亦非平行）有方程 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                x
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  D
                  
                    1
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  C
                  
                    1
                  
                
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                z
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  E
                  
                    1
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                z
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  C
                  
                    1
                  
                
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}A_{1}x&&\;-\;&&B_{1}y&&\;+\;&&D_{1}\;&&=\;&&0&\\C_{1}y&&\;-\;&&A_{1}z&&\;+\;&&E_{1}\;&&=\;&&0&\\B_{1}z&&\;-\;&&C_{1}x&&\;+\;&&F_{1}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}
  
 及 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  
                    2
                  
                
                x
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  D
                  
                    2
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  C
                  
                    2
                  
                
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  A
                  
                    2
                  
                
                z
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  E
                  
                    2
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                z
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                
                  C
                  
                    2
                  
                
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  F
                  
                    2
                  
                
                
              
              
              
                =
                
              
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}A_{2}x&&\;-\;&&B_{2}y&&\;+\;&&D_{2}\;&&=\;&&0&\\C_{2}y&&\;-\;&&A_{2}z&&\;+\;&&E_{2}\;&&=\;&&0&\\B_{2}z&&\;-\;&&C_{2}x&&\;+\;&&F_{2}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}
  
 ，則有距離

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              |
              
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                
                  F
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  A
                  
                    2
                  
                
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                
                  E
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                
                  E
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  C
                  
                    1
                  
                
                
                  D
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  C
                  
                    2
                  
                
                
                  D
                  
                    1
                  
                
              
              |
            
            
              
                
                  
                    |
                    
                      
                        
                          
                            A
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            B
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            A
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          
                            B
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    |
                    
                      
                        
                          
                            B
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            C
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            B
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          
                            C
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    |
                    
                      
                        
                          
                            C
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            A
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            C
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          
                            A
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\frac {\left|A_{1}F_{2}+A_{2}F_{1}+B_{1}E_{2}+B_{2}E_{1}+C_{1}D_{2}+C_{2}D_{1}\right|}{\sqrt {{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}^{2}}}}}
  
 ，
當中 
  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  c
                
                
                  d
                
              
            
            |
          
        
        =
        a
        d
        −
        b
        c
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}
  
 。
給定歪斜直線向量式 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            a
            
              1
            
          
        
        +
        λ
        
          
            u
            
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{1}} +\lambda \mathbf {u_{1}} }
  
 和 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            a
            
              2
            
          
        
        +
        μ
        
          
            u
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{2}} +\mu \mathbf {u_{2}} }
  
 ，則有距離

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              |
              
                (
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                −
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                )
                ⋅
                (
                
                  
                    u
                    
                      1
                    
                  
                
                ×
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    u
                    
                      1
                    
                  
                
                ×
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\frac {\left|(\mathbf {a_{1}} -\mathbf {a_{2}} )\cdot (\mathbf {u_{1}} \times \mathbf {u_{2}} )\right|}{\left|\mathbf {u_{1}} \times \mathbf {u_{2}} \right|}}}
  
。


相關條目 解析幾何
點
平面
相交
平行
歪斜


參考資料 俞正光、李永乐、詹汉生编，《线性代数与解析几何》，清华大学出版社。
吕林根，《解析几何》，高等教育出版社。
Line （页面存档备份，存于互联网档案馆） ，Wolfram MathWorld。
Equations of a Straight Line （页面存档备份，存于互联网档案馆） ，Cut-the-Knot。