拓扑空间（英語：Topological space）是一种賦予「一點附近」這個概念的抽象数学结构；拓扑空间也是一个集合，其元素称为点，由此可以定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。


定义动机 拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。
對於度量空间 
  
    
      
        (
        M
        ,
        
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (M,\,d)}
  
 內的任一點 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，可定義中心為 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，半徑為 
  
    
      
        r
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r>0}
  
 的開球

  
    
      
        B
        (
        x
        ;
        r
        )
        :=
        
          {
          
            y
            ∈
            M
            
            
              
                |
              
            
            
            d
            (
            x
            ,
            
            y
            )
            <
            r
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)<r\right\}}
  

然後把開球視為點 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 ，都會有一個夠小的開球 
  
    
      
        B
        (
        x
        ;
        r
        )
      
    
    {\displaystyle B(x;r)}
  
 完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義 
  
    
      
        (
        M
        ,
        
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (M,\,d)}
  
 的開子集 
  
    
      
        O
        ⊆
        M
      
    
    {\displaystyle O\subseteq M}
  
 為滿足如下條件的子集合

  
    
      
        (
        ∀
        x
        ∈
        O
        )
        (
        ∃
        r
        >
        0
        )
        [
        
        B
        (
        x
        ;
        r
        )
        ⊆
        O
        
        ]
      
    
    {\displaystyle (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]}
  

這樣定義的開集有一些有趣的性質：
(1) 任二開集的交集也是開集
任取兩個 
  
    
      
        (
        M
        ,
        
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (M,\,d)}
  
 的開子集 
  
    
      
        
          O
          
            1
          
        
        ,
        
        
          O
          
            2
          
        
        ⊆
        M
      
    
    {\displaystyle O_{1},\,O_{2}\subseteq M}
  
 ，若 
  
    
      
        x
        ∈
        
          O
          
            1
          
        
        ∩
        
          O
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in O_{1}\cap O_{2}}
  
 ，根據定義存在 
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        
        
          r
          
            2
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r_{1},\,r_{2}>0}
  
 使得

  
    
      
        B
        (
        x
        ;
        
          r
          
            1
          
        
        )
        ⊆
        
          O
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle B(x;r_{1})\subseteq O_{1}}
  

  
    
      
        B
        (
        x
        ;
        
          r
          
            2
          
        
        )
        ⊆
        
          O
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle B(x;r_{2})\subseteq O_{2}}
  

這樣若取 
  
    
      
        r
        =
        min
        
          {
          
            r
            
              1
            
          
          ,
          
          
            r
            
              2
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle r=\min {\{r_{1},\,r_{2}\}}}
  
 ，則會有：

  
    
      
        B
        (
        x
        ;
        r
        )
        ⊆
        
          O
          
            1
          
        
        ∩
        
          O
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle B(x;r)\subseteq O_{1}\cap O_{2}}
  

也就是說， 
  
    
      
        
          O
          
            1
          
        
        ∩
        
          O
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{1}\cap O_{2}}
  
 也是個開集。
(2) 任意個開集的并集也會是開集
若 
  
    
      
        
          
            A
          
        
        ⊆
        
          
            P
          
        
        (
        M
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}
  
 是一群開集所構成的集合，也就是說

  
    
      
        ∀
        O
        {
        (
        O
        ∈
        
          
            A
          
        
        )
        ⇒
        (
        ∀
        x
        ∈
        O
        )
        (
        ∃
        r
        >
        0
        )
        [
        
        B
        (
        x
        ;
        r
        )
        ⊆
        O
        
        ]
        }
      
    
    {\displaystyle \forall O\{(O\in {\mathfrak {A}})\Rightarrow (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]\}}
  

如果取

  
    
      
        a
        ∈
        ⋃
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle a\in \bigcup {\mathfrak {A}}}
  

換句話說：

  
    
      
        ∃
        O
        [
        
        (
        O
        ∈
        
          
            A
          
        
        )
        ∧
        (
        a
        ∈
        O
        )
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {A}})\wedge (a\in O)\,]}
  

這樣的話，顯然有

  
    
      
        (
        ∃
        r
        >
        0
        )
        
          [
          
            
            B
            (
            a
            ;
            r
            )
            ⊆
            ⋃
            
              
                A
              
            
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle (\exists r>0)\left[\,B(a;r)\subseteq \bigcup {\mathfrak {A}}\,\right]}
  

所以 
  
    
      
        ⋃
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}}
  
 也會是一個開集。
以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。


正式定义 拓扑结构一词涵盖了开集系，闭集系，邻域系，开核，閉包，导集，滤子等若干概念。可以从这些概念出发，给出若干种等价結構，但大部分書籍都以開集系為準。


= 开集系 =
根據定义动机一節可以作如下的定義：
 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的子集族 
  
    
      
        
          
            O
          
        
        ⊆
        
          
            P
          
        
        (
        M
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {O}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}
  
 若滿足以下开集公理

則称 
  
    
      
        
          
            O
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {O}}}
  
 为 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的开集系（其中的元素称为开集）或拓扑，
  
    
      
        (
        X
        ,
        
        
          
            O
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})}
  
 則被稱為一拓扑空間，
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 內的元素 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
 則称为拓扑空间 
  
    
      
        (
        X
        ,
        
        
          
            O
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})}
  
 的点。
开集系的代號 
  
    
      
        
          
            O
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {O}}}
  
 是字母「O」的德文尖角體，取名自德语形容词「offen」（開的）。
从开集系出发定义其它概念：（
  
    
      
        A
        ⊆
        X
      
    
    {\displaystyle A\subseteq X}
  
 為 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的子集）

闭集：若 
  
    
      
        X
        −
        A
      
    
    {\displaystyle X-A}
  
 是开集，則稱 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 是闭集。
邻域：若存在开集 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 使得 
  
    
      
        x
        ∈
        O
        ⊆
        A
      
    
    {\displaystyle x\in O\subseteq A}
  
 ，則稱 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 是点 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的邻域。
开核：
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的開核（或內部）
  
    
      
        
          A
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\circ }}
  
 定義為
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 內所有开集之并，也就是
  
    
      
        
          A
          
            ∘
          
        
        :=
        ⋃
        
          {
          
            O
            ∈
            
              
                O
              
            
            
            
              
                |
              
            
            
            O
            ⊆
            A
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle A^{\circ }:=\bigcup \left\{O\in {\mathfrak {O}}\,{\big |}\,O\subseteq A\right\}}
  


= 闭集系 =

  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的子集族 
  
    
      
        
          
            F
          
        
        ⊆
        
          
            P
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
  
 若滿足如下闭集公理：

則称 
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {F}}}
  
 为 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的闭集系（其中的元素称为闭集）。
閉集系的代號 
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {F}}}
  
 是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法语动词「fermer」（關閉）的过去分词「ferme」（封閉的）。
根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族

  
    
      
        
          
            
              O
            
          
          
            
              F
            
          
        
        =
        
          {
          
            O
            ∈
            
              
                P
              
            
            (
            X
            )
            
            
              
                |
              
            
            
            X
            −
            O
            ∈
            
              
                F
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {F}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-O\in {\mathfrak {F}}\right\}}
  

為开集系，類似地，對於開集系 
  
    
      
        
          
            O
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {O}}}
  
 ，以下的子集族

  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            
              O
            
          
        
        =
        
          {
          
            F
            ∈
            
              
                P
              
            
            (
            X
            )
            
            
              
                |
              
            
            
            X
            −
            F
            ∈
            
              
                O
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\mathfrak {O}}=\left\{F\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-F\in {\mathfrak {O}}\right\}}
  

為閉集系，所以閉集系跟拓扑是等價的結構。
从闭集系出发定义其它概念：（
  
    
      
        A
        ⊆
        X
      
    
    {\displaystyle A\subseteq X}
  
 為 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的子集）

开集：
  
    
      
        X
        −
        A
      
    
    {\displaystyle X-A}
  
 是闭集，則稱 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 是开集。
闭包：
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的闭包
  
    
      
        
          
            A
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {A}}}
  
 定義為包含A的所有闭集之交，也就是
  
    
      
        
          
            A
            ¯
          
        
        :=
        ⋂
        
          {
          
            F
            ∈
            
              
                F
              
            
            
            
              
                |
              
            
            
            A
            ⊆
            F
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {A}}:=\bigcap \left\{F\in {\mathfrak {F}}\,{\big |}\,A\subseteq F\right\}}
  


= 邻域系 =
函数 
  
    
      
        
          
            U
          
        
        :
        X
        →
        
          
            P
          
        
        [
        
          
            P
          
        
        (
        X
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {U}}:X\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}
  
（ 
  
    
      
        
          
            P
          
        
        [
        
          
            P
          
        
        (
        X
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}
  
 指 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的幂集的幂集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
 满足如下邻域公理：

这样任意 
  
    
      
        
          
            U
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}
  
 被称为 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的邻域系， 
  
    
      
        
          
            U
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}
  
 裡的元素 
  
    
      
        U
        ∈
        
          
            U
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)}
  
 則称为 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的邻域。
換句話說，函數 
  
    
      
        
          
            U
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {U}}}
  
 将 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的每个点 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
 映射至 
  
    
      
        
          
            U
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}
  
 ，而 
  
    
      
        
          
            U
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}
  
 則是所有 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的邻域所構成的集族。
邻域系的代號 
  
    
      
        
          
            U
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {U}}}
  
 是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德语动词「 umgeben」（環繞）的名詞化「Umgebung」（周圍、環境）。
若取以下的子集族

  
    
      
        
          
            
              O
            
          
          
            
              U
            
          
        
        =
        
          {
          
            O
            ∈
            
              
                P
              
            
            (
            X
            )
            
            
              
                |
              
            
            
            (
            ∀
            x
            )
            {
            
            (
            x
            ∈
            O
            )
            ⇒
            [
            
            O
            ∈
            
              
                U
              
            
            (
            x
            )
            
            ]
            
            }
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\forall x)\{\,(x\in O)\Rightarrow [\,O\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}\right\}}
  

因為 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 包含任意邻域， 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 本身顯然為任意 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
 的領域，故  
  
    
      
        X
        ∈
        
          
            
              O
            
          
          
            
              U
            
          
        
      
    
    {\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}
  
 ；另外空集合 
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing }
  
 沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，
  
    
      
        ∅
        ∈
        
          
            
              O
            
          
          
            
              U
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}
  
。
若取 
  
    
      
        
          O
          
            1
          
        
        ,
        
        
          O
          
            2
          
        
        ∈
        
          
            
              O
            
          
          
            
              U
            
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}
  
 ，根據邻域公理的第二項有 
  
    
      
        
          O
          
            1
          
        
        ∩
        
          O
          
            2
          
        
        ∈
        
          
            
              O
            
          
          
            
              U
            
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}
  
 ；若取 
  
    
      
        
          
            B
          
        
        ⊆
        
          
            
              O
            
          
          
            
              U
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}
  
 ，且 
  
    
      
        x
        ∈
        ⋃
        
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {B}}}
  
 ，那換句話說

  
    
      
        ∃
        O
        [
        
        (
        O
        ∈
        
          
            B
          
        
        )
        ∧
        (
        x
        ∈
        O
        )
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\,]}
  

這樣的話有

  
    
      
        ∃
        O
        [
        
        (
        O
        ∈
        
          
            B
          
        
        )
        ∧
        (
        x
        ∈
        O
        )
        ∧
        (
        O
        ∈
        
          
            
              O
            
          
          
            
              U
            
          
        
        )
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\wedge (O\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}})\,]}
  

那這樣根據邻域公理第三項，
  
    
      
        ⋃
        
          
            B
          
        
        ∈
        
          
            
              O
            
          
          
            
              U
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \bigcup {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}
  
，所以 
  
    
      
        
          
            
              O
            
          
          
            
              U
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}
  
 的確是個開集合系。
類似地對於開集系 
  
    
      
        
          
            O
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {O}}}
  
 ，若對任意 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
 取

  
    
      
        
          
            U
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          {
          
            U
            ∈
            
              
                P
              
            
            (
            X
            )
            
            
              
                |
              
            
            
            ∃
            O
            [
            
            (
            O
            ∈
            
              
                O
              
            
            )
            ∧
            (
            O
            ⊆
            U
            )
            ∧
            (
            x
            ∈
            O
            )
            
            ]
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,\exists O[\,(O\in {\mathfrak {O}})\wedge (O\subseteq U)\wedge (x\in O)\,]\right\}}
  

那 
  
    
      
        
          
            U
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}
  
 也會符合上面四款邻域系公理（注意到第四項取 
  
    
      
        V
        =
        
          U
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle V=U^{\circ }}
  
 ），所以對所有 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
 定義了邻域系等同於定義了一個拓扑。
从邻域系出发定义其它概念：（
  
    
      
        A
        ⊆
        X
      
    
    {\displaystyle A\subseteq X}
  
 為 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的子集）

开集：对任意 
  
    
      
        x
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x\in A}
  
 ，有 
  
    
      
        A
        ∈
        
          
            U
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle A\in {\mathfrak {U}}(x)}
  
，則稱 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 是开集。（開集本身是它所有点的邻域）
开核：
  
    
      
        
          A
          
            ∘
          
        
        =
        
          {
          
            x
            ∈
            X
            
            
              
                |
              
            
            
            ∃
            U
            {
            
            [
            
            U
            ∈
            
              
                U
              
            
            (
            x
            )
            
            ]
            ∧
            (
            U
            ⊆
            A
            )
            
            }
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle A^{\circ }=\left\{x\in X\,{\big |}\,\exists U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\wedge (U\subseteq A)\,\}\right\}}
  
（開核裡的每一點，都有一個包含於 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的領域。）
闭包：
  
    
      
        
          
            A
            ¯
          
        
        =
        
          {
          
            x
            ∈
            X
            
            
              
                |
              
            
            
            ∀
            U
            {
            [
            
            U
            ∈
            
              
                U
              
            
            (
            x
            )
            
            ]
            ⇒
            (
            U
            ∩
            A
            =
            ∅
            )
            }
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {A}}=\left\{x\in X\,{\big |}\,\forall U\{[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (U\cap A\neq \varnothing )\}\right\}}
  
。（閉包裡每一點的領域，都跟 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 有交集。）


= 闭包公理 =

  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的幂集
  
    
      
        P
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle P(X)}
  
上的一元运算
  
    
      
        c
        :
        P
        (
        X
        )
        →
        P
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle c:P(X)\to P(X)}
  
（即将
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集A映射为
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        c
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle c(A)}
  
）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
满足下述的闭包公理：

A1：
  
    
      
        A
        ⊆
        c
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle A\subseteq c(A)}
  
；
A2：
  
    
      
        c
        (
        c
        (
        A
        )
        )
        =
        c
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle c(c(A))=c(A)}
  
；
A3：
  
    
      
        c
        (
        A
        ∪
        B
        )
        =
        c
        (
        A
        )
        ∪
        c
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)}
  
；
A4：
  
    
      
        c
        (
        ∅
        )
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle c(\varnothing )=\varnothing }
  
。
集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的闭包通常记为
  
    
      
        
          
            A
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {A}}}
  
。
从闭包出发定义其它概念：

从闭包定义闭集：
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是闭集，当且仅当
  
    
      
        A
        =
        
          
            A
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\overline {A}}}
  
。
从闭包定义开核：
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的开核
  
    
      
        
          A
          
            ∘
          
        
        =
        X
        −
        
          
            
              X
              −
              A
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\circ }=X-{\overline {X-A}}}
  
。
从闭包定义邻域：
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
是点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的邻域，当且仅当
  
    
      
        x
        ∈
        
          
            
              X
              −
              U
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle x\notin {\overline {X-U}}}
  
。


= 开核公理 =

  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的幂集
  
    
      
        P
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle P(X)}
  
上的一元运算
  
    
      
        o
        :
        P
        (
        X
        )
        →
        P
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle o:P(X)\to P(X)}
  
（即将
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集A映射为
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        o
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle o(A)}
  
）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算
  
    
      
        o
      
    
    {\displaystyle o}
  
满足如下开核公理：

I1：
  
    
      
        o
        (
        A
        )
        ⊆
        A
      
    
    {\displaystyle o(A)\subseteq A}
  
；
I2：
  
    
      
        o
        (
        o
        (
        A
        )
        )
        =
        o
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle o(o(A))=o(A)}
  
；
I3：
  
    
      
        o
        (
        A
        ∩
        B
        )
        =
        o
        (
        A
        )
        ∩
        o
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)}
  
；
I4：
  
    
      
        o
        (
        X
        )
        =
        X
      
    
    {\displaystyle o(X)=X}
  
。
集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的开核通常记为
  
    
      
        
          A
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\circ }}
  
。
（显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。
从开核出发定义其它概念：

从开核定义开集：
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是开集，当且仅当
  
    
      
        A
        =
        
          A
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle A=A^{\circ }}
  
。
从开核定义邻域：
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
是点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的邻域，当且仅当
  
    
      
        x
        ∈
        
          U
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in U^{\circ }}
  
。
从开核定义闭包：
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的闭包
  
    
      
        
          
            A
            ¯
          
        
        =
        X
        −
        (
        X
        −
        A
        
          )
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {A}}=X-(X-A)^{\circ }}
  
。


= 导集公理 =

  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的幂集
  
    
      
        
          
            P
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
  
上的一元运算
  
    
      
        d
        :
        
          
            P
          
        
        (
        X
        )
        →
        
          
            P
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}
  
（即将
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
映射为
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        d
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle d(A)}
  
）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
满足以下导集公理：

D1：
  
    
      
        d
        (
        ∅
        )
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle d(\varnothing )=\varnothing }
  
；
D2：
  
    
      
        d
        (
        d
        (
        A
        )
        )
        ⊆
        d
        (
        A
        )
        ∪
        A
      
    
    {\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A}
  
；
D3：
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        X
        ,
         
        d
        (
        A
        )
        =
        d
        (
        A
        −
        {
        x
        }
        )
      
    
    {\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})}
  
；
D4：
  
    
      
        d
        (
        A
        ∪
        B
        )
        =
        d
        (
        A
        )
        ∪
        d
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}
  

从导集出发定义其它概念：

从导集定义闭集：
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是闭集，当且仅当
  
    
      
        d
        (
        A
        )
        ⊆
        A
      
    
    {\displaystyle d(A)\subseteq A}
  
。


拓扑之间的关系 同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑
  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}
  
的每一个开集都是拓扑
  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}
  
的开集时，称拓扑
  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}
  
比拓扑
  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}
  
更细，或称拓扑
  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}
  
比拓扑
  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}
  
更粗。
仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。
最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。
在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。


连续映射与同胚 类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。


= 性質 =

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
对任何闭集的原像是闭集。
对点
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的任一邻域
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
，都存在点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的一个邻域
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
，使得
  
    
      
        f
        (
        U
        )
        ⊂
        V
      
    
    {\displaystyle f(U)\subset V}
  
，则称
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
在点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
连续，而连续映射即点点连续的映射。
对任一集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        f
        (
        
          
            A
            ¯
          
        
        )
        ⊆
        
          
            
              f
              (
              A
              )
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle f({\overline {A}})\subseteq {\overline {f(A)}}}
  
成立。
对任一集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        
          A
          
            ∘
          
        
        )
        ⊆
        (
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        A
        )
        
          )
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{-1}(A^{\circ })\subseteq (f^{-1}(A))^{\circ }}
  
成立。


拓扑空间范畴 拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的範疇。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。


相关概念 = 基本概念 =
给定拓扑空间
  
    
      
        (
        X
        ,
        τ
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\tau )}
  
，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：

内部，内点
A的开核o(A)又称为A的内部，其元素称为A的内点。
外部，外点
X - c(A)称为A的外部，其元素称为A的外点。
边界，边界点
c(A)∩c(X-A)称为A的边界，其元素称为A的边界点。
触点
A的闭包c(A)中的点称为A的触点。
稠密性，稠密集
称A在X中是稠密的（或称稠密集），当且仅当c(A) = X。
边缘集
称A是X的边缘集，当且仅当X-A在X中是稠密的。
疏性，疏集
称A在X中是疏的（或称疏集），当且仅当c(A)是X中的边缘集。
第一范畴集，第二范畴集
称A是X中的第一范畴集，当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集，当且仅当A不是X中的第一范畴集。
聚点，导集
X中的点x称为A的聚点，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的导集。
孤立点
A中的点x称为A的孤立点，当且仅当它不是A的聚点。
孤点集，离散集
称A为孤点集或离散集，当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。
自密集
称A为自密集，当且仅当A中的点都是A的聚点（等价地，A中没有A的孤立点）。
完备集
称A为完备集，当且仅当A等于其导集。
自密核
A的最大自密子集称为A的自密核。
无核集
称A是无核集，当且仅当A的自密核是∅（或等价地，A的任意非空子集都含有孤立点）。


= 网 =
网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在於以有向集合代替自然数集
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
。
空间
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
上的一个网
  
    
      
        (
        
          x
          
            α
          
        
        
          )
          
            α
            ∈
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}
  
是从有向集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
映至
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的映射。
若存在
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
，使得对每个
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的邻域
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
都存在
  
    
      
        β
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle \beta \in A}
  
，使得
  
    
      
        α
        ≥
        β
        ⇒
        
          x
          
            α
          
        
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle \alpha \geq \beta \Rightarrow x_{\alpha }\in U}
  
，则称网
  
    
      
        (
        
          x
          
            α
          
        
        
          )
          
            α
            ∈
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}
  
收敛至
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
。
几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网


拓扑空间的例子 实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
更一般的，n维欧几里得空间Rn构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。
任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。
除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
流形都是一个拓扑空间。
每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。
扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对Rn或者Cn来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。
线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。
泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。
任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，在某些極端情況下，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。
可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。
如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处a和b是Γ的元素。


= 例子 =
X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個平庸拓扑。
X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。
1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
3个元素的集上总拓扑数只有29个。
4个元素的集上总拓扑数只有355个。
n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明
3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：

{∅, X}
{∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
{∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
{∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
{∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
{∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}


拓扑空间的构造 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f : X  →  Y是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。
Vietoris拓扑


拓扑空间的分类 依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。
以下假设X为一个拓扑空间。


= 分离公理 =
详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。

拓扑不可区分性
X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立：
对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。
x的邻域系和y的邻域系相同。

  
    
      
        x
        ∈
        
          
            
              {
              y
              }
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in {\overline {\{y\}}}}
  
，且
  
    
      
        y
        ∈
        
          
            
              {
              x
              }
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle y\in {\overline {\{x\}}}}
  
。


= 可数公理 =
可分的
X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。
第一可数
X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
第二可数
X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。


= 连通性 =
连通
X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。
局部连通
X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。
完全不连通
X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
道路连通
X称为道路连通的，当且仅当其任意两点x和y，存在从x到y的道路p，也即，存在一个连续映射p: [0,1] → X，满足p（0）= x  且p（1）= y。道路连通的空间总是连通的。
局部道路连通
X称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。
单连通
X称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射
  
    
      
        f
        :
        
          
            S
          
          
            1
          
        
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X}
  
都与常数映射同伦。
可缩
X称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。
超连通
X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
极连通
X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
平庸的
X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。


= 紧性 =
（详细资料请参照紧集）

紧性
X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
林德洛夫性质
X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
仿紧
X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
可数紧
X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
列紧
X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
伪紧
X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。


= 可度量化 =
可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。


拥有代数结构的拓扑空间 对於任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
乃是一个拓扑空间配上连续映射
  
    
      
        m
        :
        G
        ×
        G
        →
        G
      
    
    {\displaystyle m:G\times G\rightarrow G}
  
（群乘法）及
  
    
      
        i
        :
        G
        →
        G
      
    
    {\displaystyle i:G\rightarrow G}
  
（反元素），使之具备群结构。
同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。
结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。


拥有序结构的拓扑空间 拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：

谱空间（spectral space）上的序结构。
特殊化预序：定义
  
    
      
        x
        ≤
        y
        ⇔
        
          c
          l
        
        (
        x
        )
        ⊂
        
          c
          l
        
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow \mathrm {cl} (x)\subset \mathrm {cl} (y)}
  
。常见於计算机科学。


外部链接 n个元素的集上总拓扑数规律

整數數列線上大全:OEIS-A000798.


参考书目 John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.
点集拓扑学初步 / 江泽涵著. - 上海: 上海科学技术出版社, 1979年1月。
点集拓扑学基础 / 吴东兴著. - 北京: 科学出版社, 1981年3月。
点集拓扑学原理 / 鲍姆著;蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
一般拓扑学 / 李普舒茨著;陈昌平等译. - 上海: 华东师大出版社, 1982年1月。
一般拓扑学 / 凯莱著;吴丛，吴让泉译. - 北京: 科学出版社, 1982年5月。
拓扑学引论 / 本特·门德尔森著;陈明蔚译. - 南宁: 广西人民出版社, 1983年1月。
基础拓扑学 / 阿姆斯特朗著;孙以丰译. - 北京: 北京大学出版社, 1983年1月。
点集拓扑学 / 方嘉琳编著. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年4月。
拓扑学的基础和方法 / 野口宏著;郭卫中，王家彦译. - 北京: 科学出版社, 1986年3月。
拓扑学初步 / 苏步青著. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年4月。
拓扑学基础教程 / 曼克勒斯著;罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987年8月。
基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光著. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
拓扑学导论 / 鲍里索维奇等著;盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
基础拓扑学讲义 / 尤承业编著. - 北京: 北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.