数学归纳法（英語：mathematical induction，縮寫：MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个或者局部自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非逻辑上不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事實上，所有數學證明都属于演繹推理方法。


定义 最简单和常见的数学归纳法是证明当
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

证明 “当
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
时命题成立。”（选择数字1因其作为自然数集合中的最小值）
证明 “若假设在
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
时命题成立，可推導出在
  
    
      
        n
        =
        m
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=m+1}
  
时命题成立。（
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
代表任意自然数）”
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺骨牌效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

证明 「第一张骨牌会倒。」
证明 「只要任意一张骨牌倒了，其下一张骨牌也会因為前面的骨牌倒而跟著倒。」
则可下结论：所有的骨牌都会倒下。


例子 = 例子1 =
证明下面这个给定公式（命题）为真：

  
    
      
        1
        +
        2
        +
        3
        +
        ⋯
        +
        n
        =
        
          
            
              n
              (
              n
              +
              1
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}
  

其中
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
为任意自然数。这是用于计算前n个自然数的和的简单公式。


 证明   = 第一步-起始步骤  =
第一步是验证这个公式在
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
时成立。左边
  
    
      
        =
        1
      
    
    {\displaystyle =1}
  
，而右边
  
    
      
        =
        
          
            
              1
              (
              1
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ={\frac {1(1+1)}{2}}=1}
  
，所以这个公式在
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
时成立。第一步完成。


 = 第二步-推递步骤  =
第二步证明假设
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
时公式成立，则可推理出
  
    
      
        n
        =
        m
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=m+1}
  
时公式也成立。 证明步骤如下。
假设
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
时公式成立。即

  
    
      
        1
        +
        2
        +
        ⋯
        +
        m
        =
        
          
            
              m
              (
              m
              +
              1
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+2+\cdots +m={\frac {m(m+1)}{2}}}
  
【等式
  
    
      
        P
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle P(m)}
  
】
然后在等式等号两边分别加上
  
    
      
        m
        +
        1
      
    
    {\displaystyle m+1}
  
得到

  
    
      
        1
        +
        2
        +
        ⋯
        +
        m
        +
        (
        m
        +
        1
        )
        =
        
          
            
              m
              (
              m
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        +
        (
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle 1+2+\cdots +m+(m+1)={\frac {m(m+1)}{2}}+(m+1)}
  
【等式
  
    
      
        P
        (
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(m+1)}
  
】
这就是
  
    
      
        n
        =
        m
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=m+1}
  
时的等式。
现在需要根据等式等式
  
    
      
        P
        (
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(m+1)}
  
演绎出等式
  
    
      
        P
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle P(m)}
  
的符号形式。（需要注意的是如果给定公式不为真，则做不到）通过因式分解合并(形式变换/字符操纵)，等式
  
    
      
        P
        (
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(m+1)}
  
的右手边

  
    
      
        =
        
          
            
              m
              (
              m
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        +
        
          
            
              2
              (
              m
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
              m
              +
              2
              )
              (
              m
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
              m
              +
              1
              )
              (
              m
              +
              2
              )
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
              m
              +
              1
              )
              [
              (
              m
              +
              1
              )
              +
              1
              ]
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle ={\frac {m(m+1)}{2}}+{\frac {2(m+1)}{2}}={\frac {(m+2)(m+1)}{2}}={\frac {(m+1)(m+2)}{2}}={\frac {(m+1)[(m+1)+1]}{2}}.}
  

也就是说

  
    
      
        1
        +
        2
        +
        ⋯
        +
        (
        m
        +
        1
        )
        =
        
          
            
              (
              m
              +
              1
              )
              [
              (
              m
              +
              1
              )
              +
              1
              ]
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+2+\cdots +(m+1)={\frac {(m+1)[(m+1)+1]}{2}}}
  

这样便证明了从等式
  
    
      
        P
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle P(m)}
  
成立可推理出等式
  
    
      
        P
        (
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(m+1)}
  
也成立。证明至此完成，结论：对于任意自然数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，
  
    
      
        P
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle P(n)}
  
均成立。


 解释  在这个证明中，推理的过程如下：

首先证明命题
  
    
      
        P
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(1)}
  
成立，即公式在
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
时成立。
然后证明从命题
  
    
      
        P
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle P(m)}
  
成立可以推演出命题
  
    
      
        P
        (
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(m+1)}
  
也成立。【此部实际属于演绎推理法。技术方法是基于命题
  
    
      
        P
        (
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(m+1)}
  
的符号形式变换出命题
  
    
      
        P
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle P(m)}
  
的符号形式。】
根据上两条从命题
  
    
      
        P
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(1)}
  
成立可以推理出命题
  
    
      
        P
        (
        1
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(1+1)}
  
，也就是命题
  
    
      
        P
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle P(2)}
  
成立。
继续推理，可以知道命题
  
    
      
        P
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle P(3)}
  
成立。
从命题
  
    
      
        P
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle P(3)}
  
成立可以推导出命题
  
    
      
        P
        (
        4
        )
      
    
    {\displaystyle P(4)}
  
也成立。
不断的重复推導下一命題成立的步驟。（这就是所谓“归纳”推理的地方）
我们便可以下结论：对于任意自然数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，命题
  
    
      
        P
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle P(n)}
  
 成立。


= 例子2 =
证明对于Fibonacci数列，定義
  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
        =
        
          F
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          F
          
            n
            −
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}
  
，且
  
    
      
        
          F
          
            0
          
        
        =
        0
        ,
        
          F
          
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle F_{0}=0,F_{1}=1}
  
，則
  
    
      
        
          F
          
            0
          
        
        +
        
          F
          
            1
          
        
        +
        
          F
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          F
          
            n
          
        
        =
        
          F
          
            n
            +
            2
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle F_{0}+F_{1}+F_{2}+\cdots +F_{n}=F_{n+2}-1}
  
。


 证明  首先，我们先使得
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n=0}
  
的情况成立，
  
    
      
        
          F
          
            0
          
        
        =
        
          F
          
            2
          
        
        −
        1
        ,
        0
        =
        1
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F_{0}=F_{2}-1,0=1-1=0}
  

然后，我们假定
  
    
      
        n
        =
        k
      
    
    {\displaystyle n=k}
  
的情况下的成立的，
  
    
      
        
          F
          
            0
          
        
        +
        
          F
          
            1
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          F
          
            k
          
        
        =
        
          F
          
            k
            +
            2
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle F_{0}+F_{1}+...+F_{k}=F_{k+2}-1}
  

然后我们使得
  
    
      
        n
        =
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=k+1}
  
的情况也成立，（这是为了表明，如果有任意数k使得其成立，则有其+1也成立）

  
    
      
        
          F
          
            0
          
        
        +
        
          F
          
            1
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          F
          
            k
          
        
        +
        
          F
          
            k
            +
            1
          
        
        =
        
          F
          
            k
            +
            2
          
        
        −
        1
        +
        
          F
          
            k
            +
            1
          
        
        =
        
          F
          
            k
            +
            3
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle F_{0}+F_{1}+...+F_{k}+F_{k+1}=F_{k+2}-1+F_{k+1}=F_{k+3}-1}
  

于是我们得证，即从
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n=0}
  
，到
  
    
      
        n
        =
        0
        +
        1
        ,
        1
        +
        1
        ,
        2
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=0+1,1+1,2+1}
  
到所有正实数都成立，就像多米诺骨牌的第一块
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n=0}
  
成立而且每一块的下一块都成立（
  
    
      
        k
        ,
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle k,k+1}
  
)


数学归纳法的变体 在应用中，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。


= 从0以外的自然数开始 =
第一种情况：
如果欲证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

第一步，证明当
  
    
      
        n
        =
        b
      
    
    {\displaystyle n=b}
  
时命题成立。
第二步，证明如果
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
（
  
    
      
        m
        ≥
        b
      
    
    {\displaystyle m\geq b}
  
） 成立，那么可以推导出
  
    
      
        n
        =
        m
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=m+1}
  
也成立。
用这个方法可以证明诸如“当
  
    
      
        n
        ≥
        5
      
    
    {\displaystyle n\geq 5}
  
时，
  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
        >
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{n}>n^{2}}
  
这一类命题。
第二种情况：
如果欲证明的命题针对全部自然数，但仅当大于等于某个数字b时比较容易证明，则可参考如下步骤：

第一步，证明当
  
    
      
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle n=0,1,2,\cdots ,b}
  
时命题成立。
第二步，证明如果
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
（
  
    
      
        m
        ≥
        b
      
    
    {\displaystyle m\geq b}
  
）成立，那么可以推导出
  
    
      
        n
        =
        m
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=m+1}
  
也成立。
用这种方法可以证明一些需要通过放缩来证明的不等式。


= 只針對偶数或只針對奇数 =
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：
奇数方面：

第一步，证明当
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
时命题成立。
第二步，证明如果
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
成立，那么可以推导出
  
    
      
        n
        =
        m
        +
        2
      
    
    {\displaystyle n=m+2}
  
也成立。
偶数方面：

第一步，证明当
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n=0}
  
或
  
    
      
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=2}
  
时命题成立。
第二步，证明如果
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
成立，那么可以推导出
  
    
      
        n
        =
        m
        +
        2
      
    
    {\displaystyle n=m+2}
  
也成立。
或調整命題表述，使之變為對所有正整數成立，例如

證明「
  
    
      
        1
        +
        3
        +
        5
        +
        7
        +
        ⋯
        +
        a
        =
        
          
            
              (
              a
              +
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+3+5+7+\cdots +a={\frac {(a+1)^{2}}{4}}}
  
對所有正奇數
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
成立」等價於證明「
  
    
      
        1
        +
        3
        +
        5
        +
        7
        +
        ⋯
        +
        (
        2
        b
        −
        1
        )
        =
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+3+5+7+\cdots +(2b-1)=b^{2}}
  
對所有正整數
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
成立」。


= 遞迴歸納法 =
又名递降归纳法。数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
”这样的命题。对于形如“对任意的
  
    
      
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        ,
        m
      
    
    {\displaystyle n=0,1,2,\cdots ,m}
  
”这样的命题，如果对一般的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
比较复杂，而
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
比较容易验证，并且我们可以实现从
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
到
  
    
      
        k
        −
        1
      
    
    {\displaystyle k-1}
  
的递推，
  
    
      
        k
        =
        1
        ,
        ⋯
        ,
        m
      
    
    {\displaystyle k=1,\cdots ,m}
  
的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的
  
    
      
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        ,
        m
      
    
    {\displaystyle n=0,1,2,\cdots ,m}
  
，原命题均成立。


= 完整归纳法 =
另一个一般化的方法叫完整归纳法（也称第二数学归纳法或强归纳法），在第二步中我们假定式子不仅当
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
时成立，当
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
小于或等于
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
时也成立。这样可以设计出这样两步:

证明当
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n=0}
  
时式子成立.
证明当
  
    
      
        n
        ≤
        m
      
    
    {\displaystyle n\leq m}
  
时成立，那么当
  
    
      
        n
        =
        m
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=m+1}
  
时式子也成立.
例如，这种方法被用来证明：

  
    
      
        
          f
          i
          b
        
        (
        n
        )
        =
        
          
            
              
                Φ
                
                  n
                
              
              −
              
                
                  (
                  
                    −
                    Φ
                  
                  )
                
                
                  −
                  n
                
              
            
            
              5
              
                
                  1
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {fib} (n)={\frac {\Phi ^{n}-\left(-\Phi \right)^{-n}}{5^{\frac {1}{2}}}}}
  

其中 
  
    
      
        
          f
          i
          b
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {fib} (n)}
  
是第
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个斐波纳契数和
  
    
      
        Φ
        =
        
          
            
              1
              +
              
                5
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi ={\frac {1+5^{\frac {1}{2}}}{2}}}
  
（即黄金分割）。如果我们可以假设式子已经在当
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
和
  
    
      
        n
        =
        m
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n=m-1}
  
时成立，从
  
    
      
        
          f
          i
          b
        
        (
        m
        +
        1
        )
        =
        
          f
          i
          b
        
        (
        m
        )
        +
        
          f
          i
          b
        
        (
        m
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {fib} (m+1)=\mathrm {fib} (m)+\mathrm {fib} (m-1)}
  
之后可以直截了当地证明当
  
    
      
        n
        =
        m
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=m+1}
  
时式子成立.
这种方法也是第一种形式的特殊化：

定义
  
    
      
        
          P
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {P} (n)}
  
是我们将证的式子,

  
    
      
        
          P
        
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {P} (0)}
  
和
  
    
      
        
          P
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {P} (1)}
  
成立

  
    
      
        
          P
        
        (
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {P} (m+1)}
  
在
  
    
      
        
          P
        
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {P} (m)}
  
和
  
    
      
        
          P
        
        (
        m
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {P} (m-1)}
  
成立时成立。
结论：
  
    
      
        
          P
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {P} (n)}
  
对一切自然数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
成立。


= 超限归纳法 =

最后两步可以用这样一步表示：

证明如果式子在所有的
  
    
      
        n
        <
        m
      
    
    {\displaystyle n<m}
  
成立，那么式子在当
  
    
      
        n
        =
        m
      
    
    {\displaystyle n=m}
  
时也成立。
实际上这是数学归纳法的大多数通式，可以知道他不仅对表达自然数的式子有效，而且对于任何在良基集（也就是一个偏序的集合，包括有限降链）中元素的式子也有效（这里"
  
    
      
        <
      
    
    {\displaystyle <}
  
"被定义为
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  
 当且仅当
  
    
      
        a
        ≤
        b
      
    
    {\displaystyle a\leq b}
  
和
  
    
      
        a
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a\neq b}
  
）。
这种形式的归纳法当运用到序数（以良序的和一些的良基类的形式）时被称为超限归纳法，它在集合论、拓扑学和其他领域是一種重要的方法。
要区别用超限归纳法证明的命题的三种情况：

  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
是一个极小元素，也就是没有一个元素小于
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  

  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
有一个直接的前辈，比
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
小的元素有一个大的元素

  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
没有任何前辈，也就是
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
是一个界限序数.
参见数学归纳法的三种形式。


形式寫法 = 使用二階邏輯 =
二階邏輯可捕捉數學歸納法這概念，表達成如下邏輯式：

  
    
      
        
          ∀
          P
          
            
              (
            
          
          P
          (
          0
          )
          ∧
          ∀
          k
          
            
              (
            
          
          P
          (
          k
          )
          ⇒
          P
          (
          k
          +
          1
          )
          
            
              )
            
          
          ⇒
          ∀
          n
          
            
              (
            
          
          P
          (
          n
          )
          
            
              )
            
          
          
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\Rightarrow P(k+1){\bigr )}\Rightarrow \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}}
  
，

  
    
      
        P
        (
        .
        )
      
    
    {\displaystyle P(.)}
  
是容納一自然數的述詞變元，遍歷所有述詞而非個別數字，為二階量詞（是故此式與二階邏輯有關），
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
與
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
則是自然數變元，遍歷所有自然數。
白話解釋此式，此式說：起始步驟
  
    
      
        P
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle P(0)}
  
與推遞步驟（即歸納假設，
  
    
      
        P
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle P(k)}
  
蘊涵 
  
    
      
        P
        (
        k
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(k+1)}
  
） 兩步成立會導出對任一自然數
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
， 
  
    
      
        P
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle P(n)}
  
成立之結論。通常，我們為了證明第二步，會假設
  
    
      
        P
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle P(n)}
  
成立（歸納假設），再進一步證明
  
    
      
        P
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle P(n+1)}
  
。此牽涉到條件證法，將條件句之前件作為假設，假定其正確以便於證明。


= 使用一階邏輯 =
若用一階邏輯將數學歸納法公設化，則須採用公設模式，替每一個可能存在的述詞設下針對其的獨立公設。舉例而言，我們僅允許三個一階述詞存在，分別名為
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}}
  
、
  
    
      
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{2}}
  
、
  
    
      
        
          P
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{3}}
  
 ，則原先以二階邏輯描述的公設可改寫為：

  
    
      
        
          
            P
            
              1
            
          
          (
          0
          )
          ∧
          ∀
          k
          
            
              (
            
          
          
            P
            
              1
            
          
          (
          k
          )
          →
          
            P
            
              1
            
          
          (
          k
          +
          1
          )
          
            
              )
            
          
          →
          ∀
          n
          
            
              (
            
          
          
            P
            
              1
            
          
          (
          n
          )
          
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle P_{1}(0)\land \forall k{\bigl (}P_{1}(k)\to P_{1}(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P_{1}(n){\bigr )}}
  
，

  
    
      
        
          
            P
            
              2
            
          
          (
          0
          )
          ∧
          ∀
          k
          
            
              (
            
          
          
            P
            
              2
            
          
          (
          k
          )
          →
          
            P
            
              2
            
          
          (
          k
          +
          1
          )
          
            
              )
            
          
          →
          ∀
          n
          
            
              (
            
          
          
            P
            
              2
            
          
          (
          n
          )
          
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle P_{2}(0)\land \forall k{\bigl (}P_{2}(k)\to P_{2}(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P_{2}(n){\bigr )}}
  
，

  
    
      
        
          
            P
            
              3
            
          
          (
          0
          )
          ∧
          ∀
          k
          
            
              (
            
          
          
            P
            
              3
            
          
          (
          k
          )
          →
          
            P
            
              3
            
          
          (
          k
          +
          1
          )
          
            
              )
            
          
          →
          ∀
          n
          
            
              (
            
          
          
            P
            
              3
            
          
          (
          n
          )
          
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle P_{3}(0)\land \forall k{\bigl (}P_{3}(k)\to P_{3}(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P_{3}(n){\bigr )}}
  
，
。然而其強度與以二階邏輯描述之邏輯式不同，前者較後者弱。理由為一階邏輯述詞之數量為可數，而二階邏輯量限所迭代的集合為不可數。
此外，二階邏輯所表示的歸納公設綜合其它皮亞諾公設為同疇(categorical)，且所得之自然數模型無限大。根據勒文海姆-斯科倫定理，用一階邏輯表達的理論若有可數無限大的模型，則其有不可數大的模型，是故無法前頭將所述的模型公設化。亦即，用二階邏輯表達的公設僅允許一群模型彼此同構，而一階邏輯模型則因前述定理，並非每個模型都同構。


= 使用一階ZFC集合論 =
一階ZFC集合論不允許述詞被遍歷， 但我們可以藉由遍歷集合，繞過一階邏輯之限制，描述歸納法：

  
    
      
        ∀
        A
        
          
            (
          
        
        0
        ∈
        A
        ∧
        ∀
        k
        ∈
        
          N
        
        
          
            (
          
        
        k
        ∈
        A
        →
        (
        k
        +
        1
        )
        ∈
        A
        
          
            )
          
        
        →
        
          N
        
        ⊆
        A
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall A{\Bigl (}0\in A\land \forall k\in \mathbb {N} {\bigl (}k\in A\to (k+1)\in A{\bigr )}\to \mathbb {N} \subseteq A{\Bigr )}}
  

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 本身是集合，但可視作命題——只要命題在這數下成立，數字就會收入集合。別於皮亞諾公設，將數學歸納法定為公設，ZFC集合論直接定義自然數，使得歸納法本身是定理而非公設。


数学归纳法的合理性 皮亞諾公理視數學歸納法不證自明，設作公理，而於策梅洛-弗兰克尔集合论，數學歸納法可从良序定理推导出来。需要注意的是数学归纳法只能判定给定命题的真，而不能证伪，因为在形式变换这一过程需要一定技巧与灵感。抽象的概念如自然数，可通过抽象的工具去处理。通过有限的步骤处理无限的对象如证明质数的无穷。


參見 归纳推理
演绎推理
结构归纳法
完整归纳法


參考文獻 外部链接 Mathematical Induction, Examples （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）