雙四角錐柱是指以四邊形為基底的雙角錐柱，其可以由四角柱在兩端各連接一個底面大小相同的四角錐來構成。若雙四角錐柱的基底為正方形，且側面都是正多邊形的話，則這個立體是一種全部由正多邊形組成的立體，為92種詹森多面體中的其中一個，其索引為J15。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（Norman Johnson）命名並給予描述。
雙四角錐柱因其形似鉛筆又稱為鉛筆立方體（pencil cube）或12面鉛筆立方體（12-faced pencil cube）


性質 雙四角錐柱共由12個面、20條邊和10個頂點組成，在其12個面中，有8個三角形面和4個正方形面。在其10個頂點中，有兩種頂點，一種頂點為4個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[34]來表示，這種頂點有2個、另外一種頂點為2個三角形和2個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[32,42]來表示，這種頂點有8個。


= 體積與表面積 =
若一個雙四角錐柱邊長為
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
，則其體積
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
與表面積
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
為：

  
    
      
        V
        =
        
          L
          
            3
          
        
        ⋅
        
          (
          
            1
            +
            
              
                
                  2
                
                3
              
            
          
          )
        
        ≈
        
          L
          
            3
          
        
        ⋅
        1.471404521
      
    
    {\displaystyle V=L^{3}\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx L^{3}\cdot 1.471404521}
  

  
    
      
        A
        =
        
          L
          
            2
          
        
        ⋅
        
          (
          
            4
            +
            2
            
              
                3
              
            
          
          )
        
        ≈
        
          L
          
            2
          
        
        ⋅
        7.464101615
      
    
    {\displaystyle A=L^{2}\cdot \left(4+2{\sqrt {3}}\right)\approx L^{2}\cdot 7.464101615}
  

這樣的雙四角錐柱整體的高
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
為：

  
    
      
        H
        =
        L
        ⋅
        
          (
          
            1
            +
            
              
                2
              
            
          
          )
        
        ≈
        L
        ⋅
        2.414213562
      
    
    {\displaystyle H=L\cdot \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx L\cdot 2.414213562}
  


= 二面角 =
雙四角錐柱共有3種二面角，分別為三角形和正方形的二面角、三角形和三方形的二面角以及正方形和正方形的二面角。其中正方形和正方形的二面角為直角，即90度角。

  
    
      
        ∠
      
    
    {\displaystyle \angle }
  
正方形
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
正方形
  
    
      
        
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \,=90^{\circ }}
  

而三角形和正方形的二面角為負根號三分之二的反餘弦值，約為144.7356度：

  
    
      
        ∠
      
    
    {\displaystyle \angle }
  
三角形
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
正方形
  
    
      
        
        =
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  2
                  3
                
              
            
          
          )
        
        ≈
        2.52611294
        ≈
        
          144.735610
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \,=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 2.52611294\approx 144.735610^{\circ }}
  

三角形和三方形的二面角為負三分之一的反餘弦值，約為109.471度：

  
    
      
        ∠
      
    
    {\displaystyle \angle }
  
三角形
  
    
      
        ,
      
    
    {\displaystyle ,}
  
三方形
  
    
      
        
        =
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                1
                3
              
            
          
          )
        
        ≈
        1.9106332
        ≈
        
          109.471221
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.9106332\approx 109.471221^{\circ }}
  


= 頂點座標 =
若一個雙四角錐柱邊長為單位長，且幾何中心位於原點，則其頂點座標為：

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              
                1
                2
              
            
            ,
            
            ±
            
              
                1
                2
              
            
            ,
            
            ±
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            0
            ,
            
            0
            ,
            
            ±
            
              
                
                  1
                  +
                  
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(0,\,0,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)}
  


相關多面體 一種非正多邊形面的雙四角錐柱的特例是空間填充多面體。這種雙四角錐柱的三角形面不是正三角形，三角形的邊長比為
  
    
      
        2
        :
        
          
            3
          
        
        :
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 2:{\sqrt {3}}:{\sqrt {3}}}
  
。

其可以被認為是立方體堆砌和菱形十二面體堆砌之間的過渡立體。其胞在下圖中根據它們在空間中的方向被著色為白色、紅色和藍色。其四角錐帽具有的面是較短的等腰三角形面，其中6個四角錐帽會聚在一起形成一個立方體。這種堆砌體的對偶是由兩種八面體（正八面體和三角反棱柱）組成的，由八面體疊加到截半的立方體堆砌的中的截半立方體中形成。兩種堆砌體都具有
  
    
      
        
          [
          
            [
            
              4
              ,
              3
              ,
              4
            
            ]
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[\left[4,3,4\right]\right]}
  
對稱性。

雙四角錐柱可以視為二側錐的四角柱，也就是底面為四邊形之柱體對應的二側錐柱體，其他的二側錐柱體有：


參見 詹森多面體
正多面體
正四角錐
正六面體


參考文獻