肯普納級數（英語：Kempner series）是十進制寫法不含數字9的正整數的倒數和。用符號可寫成

  
    
      
        
          ∑
          
            
              
                
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                
                
                  
                    n
                    
                      缺 
                    
                    9
                  
                
              
            
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              1
              n
            
          
          
            ,
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}n=1\\n{\text{缺 }}9\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {1}{n}}_{,}}
  

其中「缺9」意思是「十進制表示中，不含數字9」，下同。奧伯利·肯普納於1914年最早研究該級數。肯普納級數是由調和級數刪走含數字9的項所得，但肯普納級數收斂，調和級數則發散。肯普納證明，級數之和小於90。羅伯特·貝利證明，級數準確到小數點後20位的值為22.92067661926415034816（OEIS數列A082838）。
直觀理解，級數收斂是因為大部分「大數」都有齊0至9的全部數字。例如，均勻隨機選一個100位的正整數，很易包含至少一個數字9，於是級數不計該數的倒數。
施梅爾策與貝利找到高效算法，給定任意數字串為輸入，計算缺該串的正整數倒數和。此問題推廣了原本的級數求值問題。舉例，考慮所有缺數字串「42」的正整數
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，其倒數和約為228.44630415923081325415。又舉例，缺數字串「314159」的正整數倒數和約為2302582.33386378260789202376。（上述數值皆四捨五入至末位。）


命名 許多文獻中，級數未有命名。MathWorld用Kempner series為條目名。朱利安·哈維爾所著《伽瑪》（論歐拉-馬斯刻若尼常數）亦採用同一名稱。


收斂 肯普納對數列收斂之證明，載於若干教科書，如哈代與賴特合著《數論導論》，亦是阿波斯托《數學分析》的習題。證明如下。
將級數各項按分母的位數分組。由乘法原理，缺「9」的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
位正整數共有
  
    
      
        8
        ×
        
          9
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 8\times 9^{n-1}}
  
個，因為最高位有8個選擇（1至8，首位不為零），而其後
  
    
      
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n-1}
  
位，每位有9種選擇（0至8），且各位的選擇互相獨立。任何
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
位數皆不小於
  
    
      
        
          10
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{n-1}}
  
，故其倒數至多為
  
    
      
        
          10
          
            1
            −
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{1-n}}
  
。所以，缺「9」的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
位正整數之倒數，對級數的貢獻，至多是
  
    
      
        8
        ×
        
          
            (
            
              
                9
                10
              
            
            )
          
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 8\times \left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}}
  
。因此，將各組貢獻加總，全個級數至多為

  
    
      
        8
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              
                9
                10
              
            
            )
          
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        80.
      
    
    {\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80.}
  

若將禁止出現的「9」換成其他非零數字，則同樣的論證仍成立。至於缺「0」的情況，缺「0」的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
位正整數共有
  
    
      
        
          9
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 9^{n}}
  
個，故缺「0」正整數的倒數和至多為：

  
    
      
        9
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              
                9
                10
              
            
            )
          
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        90.
      
    
    {\displaystyle 9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90.}
  

若刪去含有某串
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
位子字串的項，例如忽略所有分母含子字串「42」的項，則級數同樣收斂。證明方法幾乎一樣，先觀察在
  
    
      
        
          10
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{k}}
  
進制中，刪去含有該字串為「位」的項，則前述證明適用，證出新級數收斂。但是，新級數比欲證收斂的級數更大，原因是欲證收斂的級數中，不僅刪走以該字串為
  
    
      
        
          10
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{k}}
  
進制位的項，還刪走了跨
  
    
      
        
          10
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{k}}
  
進制位而含該字串的項。接續前一個例子，百進制的新級數略過4217（百進制的首位是42）和1742（百進制的末位是42），但未略過1427，而欲證收斂的級數中，連1427也一併略去。
巴基爾·法喜研究恰有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個數字
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
（滿足
  
    
      
        0
        ≤
        d
        ≤
        9
      
    
    {\displaystyle 0\leq d\leq 9}
  
）的正整數倒數和
  
    
      
        S
        (
        d
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle S(d,n)}
  
，此為肯普納級數的推廣，因為原級數即為
  
    
      
        S
        (
        9
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle S(9,0)}
  
。法喜證明，對每個
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
，數列
  
    
      
        S
        (
        d
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle S(d,n)}
  
由
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
起取值遞減，且當
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
趨向無窮大時，收斂到
  
    
      
        10
        ln
        ⁡
        10
      
    
    {\displaystyle 10\ln 10}
  
。不過，數列一般並非由
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n=0}
  
起遞減，例如原級數值為
  
    
      
        S
        (
        9
        ,
        0
        )
        ≈
        22.921
        <
        23.026
        ≈
        10
        ln
        ⁡
        10
      
    
    {\displaystyle S(9,0)\approx 22.921<23.026\approx 10\ln 10}
  
，比
  
    
      
        n
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle n\geq 1}
  
時任意一個
  
    
      
        S
        (
        9
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle S(9,n)}
  
更小。


數值方法 級數收斂得很慢。貝利寫道，即使計算前1024項和，其後餘項仍超過1。
80是很粗略的上界。弗蘭克·厄文較仔細地分析後，證明級數值接近23。此後，再由貝利改進到前述的22.92067…。
貝利以
  
    
      
        s
        (
        i
        ,
        j
        )
      
    
    {\displaystyle s(i,j)}
  
表示缺某指定數字的所有
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
位正整數的
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
次方倒數和，然後推導出，只要有齊
  
    
      
        s
        (
        i
        ,
        j
        +
        n
        )
      
    
    {\displaystyle s(i,j+n)}
  
對所有非負整數
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的值，就能遞歸計算
  
    
      
        s
        (
        i
        +
        1
        ,
        j
        )
      
    
    {\displaystyle s(i+1,j)}
  
。於是，祗需較少的計算，已得到原級數
  
    
      
        s
        (
        1
        ,
        1
        )
        +
        s
        (
        1
        ,
        2
        )
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle s(1,1)+s(1,2)+\cdots }
  
的準確估計。


參見 倒數和收斂
倒數和列表


參考文獻