在複分析中，留数定理，又叫残数定理（英語：Residue theorem），是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。


定理 假设
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
是复平面上的一个单连通开子集，
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}
  
是复平面上有限个点，
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是定义在
  
    
      
        U
        ∖
        
          
            a
            
              1
            
          
          ,
          ⋯
          ,
          
            a
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U\setminus {a_{1},\cdots ,a_{n}}}
  
的全纯函数。如果
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是一条把
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}
  
包围起来的可求长闭曲线，但不经过任何一个
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{k}}
  
，那么：

  
    
      
        
          ∮
          
            γ
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        2
        π
        i
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        I
        ⁡
        (
        γ
        ,
        
          a
          
            k
          
        
        )
        Res
        ⁡
        (
        f
        ,
        
          a
          
            k
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}
  

如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, ak) = 1，因此：

  
    
      
        
          ∮
          
            γ
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        2
        π
        i
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        Res
        ⁡
        (
        f
        ,
        
          a
          
            k
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).}
  

在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。


例子 = 实轴上的积分 =
以下的积分

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              e
              
                i
                t
                x
              
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}
  

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为：

  
    
      
        
          ∫
          
            C
          
        
        
          f
          (
          z
          )
        
        
        d
        z
        =
        
          ∫
          
            C
          
        
        
          
            
              e
              
                i
                t
                z
              
            
            
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
        
        d
        z
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}
  

由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。
由于f(z)是

f(z)在z = i的留数是：

  
    
      
        
          Res
          
            z
            =
            i
          
        
        ⁡
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              e
              
                −
                t
              
            
            
              2
              i
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.}
  

根据留数定理，我们有：

  
    
      
        
          ∫
          
            C
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        2
        π
        i
        ⋅
        
          Res
          
            z
            =
            i
          
        
        ⁡
        f
        (
        z
        )
        =
        2
        π
        i
        
          
            
              e
              
                −
                t
              
            
            
              2
              i
            
          
        
        =
        π
        
          e
          
            −
            t
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}
  

路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：

  
    
      
        
          ∫
          
            
              straight
            
          
        
        +
        
          ∫
          
            
              arc
            
          
        
        =
        π
        
          e
          
            −
            t
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,}
  

因此

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            a
          
          
            a
          
        
        =
        π
        
          e
          
            −
            t
          
        
        −
        
          ∫
          
            
              arc
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.}
  

如果t > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：

  
    
      
        
          ∫
          
            
              arc
            
          
        
        
          
            
              e
              
                i
                t
                z
              
            
            
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
        
        d
        z
        ≤
        
          ∫
          
            
              arc
            
          
        
        
          |
          
            
              
                e
                
                  i
                  t
                  z
                
              
              
                
                  z
                  
                    2
                  
                
                +
                1
              
            
          
          |
        
        
        
          |
        
        d
        z
        
          |
        
        =
        
          ∫
          
            
              arc
            
          
        
        
          
            
              
                |
              
              
                e
                
                  i
                  t
                  z
                
              
              
                |
              
            
            
              
                |
              
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              1
              
                |
              
            
          
        
        
        
          |
        
        d
        z
        
          |
        
        =
        
          ∫
          
            
              arc
            
          
        
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              1
              
                |
              
            
          
        
        
        
          |
        
        d
        z
        
          |
        
        ≤
        
          ∫
          
            
              arc
            
          
        
        
          
            1
            
              
                a
                
                  2
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        
          |
        
        d
        z
        
          |
        
        =
        
          
            
              π
              a
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              −
              1
            
          
        
        →
        0
         
        
          
            as
          
        
         
        a
        →
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\leq \int _{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^{2}+1}\right|\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^{2}+1|}\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{1 \over |z^{2}+1|}\,|dz|\leq \int _{\mbox{arc}}{1 \over a^{2}-1}\,|dz|={\frac {\pi a}{a^{2}-1}}\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .}
  

上述结果也可以直接由Jordan引理得到，要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要
  
    
      
        t
        >
        0
      
    
    {\displaystyle t>0}
  
才能成立，所以如果
  
    
      
        t
        <
        0
      
    
    {\displaystyle t<0}
  
就必须考虑下半平面上的半圆弧。
因此，如果t > 0，那么：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              e
              
                i
                t
                z
              
            
            
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
        
        d
        z
        =
        π
        
          e
          
            −
            t
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}
  

类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t < 0，则

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              e
              
                i
                t
                z
              
            
            
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
        
        d
        z
        =
        π
        
          e
          
            t
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}
  

因此我们有：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              e
              
                i
                t
                z
              
            
            
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
        
        d
        z
        =
        π
        
          e
          
            −
            
              |
              t
              |
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}
  

（如果t = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。）


= 无穷级数 =
由于
  
    
      
        π
        cot
        ⁡
        (
        π
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \pi \cot(\pi z)}
  
在
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
为整数时皆为一阶极点，并且留数皆为
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
，因此可以用来计算如下所示级数：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)}
  

在此处令
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          z
          
            −
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)=z^{-2}}
  
，并且令
  
    
      
        
          Γ
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{N}}
  
为
  
    
      
        
          
            [
            
              −
              N
              −
              
                
                  1
                  2
                
              
              ,
              N
              +
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            ]
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left[-N-{\frac {1}{2}},N+{\frac {1}{2}}\right]^{2}}
  
的正方形正向（逆时针）围道（其中
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
为整数），于是依留数定理：

  
    
      
        
          
            1
            
              2
              π
              
                i
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              Γ
              
                N
              
            
          
        
        f
        (
        z
        )
        π
        cot
        ⁡
        (
        π
        z
        )
        
          d
        
        z
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              
                i
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              Γ
              
                N
              
            
          
        
        
          
            
              π
              cot
              ⁡
              (
              π
              z
              )
            
            
              z
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        z
        =
        
          Res
          
            z
            =
            0
          
        
        +
        
          
            
              ∑
              
                n
                =
                −
                N
              
              
                N
              
            
            
              n
              =
              0
            
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z^{2}}}\mathrm {d} z=\operatorname {Res} _{z=0}+{\underset {n\neq 0}{\sum _{n=-N}^{N}}}{\frac {1}{n^{2}}}}
  

当
  
    
      
        N
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle N\to \infty }
  
时，等式左侧由于
  
    
      
        O
        (
        
          n
          
            −
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(n^{-2})}
  
而趋于零；另一方面：

  
    
      
        
          
            z
            2
          
        
        cot
        ⁡
        
          
            z
            2
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              
                B
                
                  2
                
              
              
                z
                
                  2
                
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        1
        −
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            12
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}=1-{\frac {B_{2}z^{2}}{2!}}+\cdots =1-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots }
  

其中有伯努利数
  
    
      
        
          B
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}}
  
。
（实际上有
  
    
      
        
          
            z
            2
          
        
        cot
        ⁡
        
          
            z
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                i
              
              z
            
            
              1
              −
              
                
                  e
                
                
                  −
                  
                    i
                  
                  z
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              
                i
              
              z
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}={\frac {\mathrm {i} z}{1-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}-{\frac {\mathrm {i} z}{2}}}
  
）因此，
  
    
      
        
          Res
          
            z
            =
            0
          
        
        =
        −
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=0}=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}}
  
，可以得出：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  

即为巴塞尔问题的证明之一。


参见 留数
路径积分
莫雷拉定理
傅里叶变换
拉普拉斯变换


参考文献 Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9 
Mitronivic, Dragoslav; Keckic, Jovan, The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4 
Lindelof, Ernst, Le calcul des residus et ses applications a la theorie des fonctions, Editions Jacques Gabay, 19051989, ISBN 2-87647-060-8 


外部链接 Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）
John H. Mathews所作的留数定理教程