曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。
从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。
曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。


定义 设 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 是一个正整数，
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 是正整数或 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
  
，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 是实数非空区间，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 属于 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
。一个
  
    
      
        
          C
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{r}}
  
 类（即 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 为 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 次连续可微）向量值函数

  
    
      
        
          γ
        
        :
        I
        →
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\gamma } :I\to {\mathbb {R} }^{n}}
  

称为一条 
  
    
      
        
          C
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{r}}
  
 类参数曲线或曲线 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 的一个 
  
    
      
        
          C
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{r}}
  
 参数化，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 称为曲线 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 的参数，
  
    
      
        γ
        (
        I
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma (I)}
  
 称为曲线的像。将参数曲线 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 和它的像 
  
    
      
        γ
        (
        I
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma (I)}
  
 区别开来是非常重要的，因为一个给定的
  
    
      
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
  
的子集可以是许多不同的参数曲线的像。
可以想象参数 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 代表时间，而曲线 
  
    
      
        γ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma (t)}
  
 作为空间中一个运动粒子轨迹。
如果 I 是闭区间 [a, b]，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点。
如果 
  
    
      
        γ
        (
        a
        )
        =
        γ
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}
  
，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 Cr-曲线，如果 γ(k)(a) = γ(k)(b) 对所有 k ≤ r。
如果 
  
    
      
        γ
        :
        (
        a
        ,
        b
        )
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma :(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}}
  
 为单射，我们称为简单曲线。
如果参数曲线 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是 
  
    
      
        
          C
          
            ω
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{\omega }}
  
 类。
记号 -
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 表示朝相反的方向运动的曲线。
一条 
  
    
      
        
          C
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{k}}
  
-曲线

  
    
      
        γ
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
  

称为 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 阶正则当且仅当对任何 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 属于
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  

  
    
      
        {
        
          γ
          ′
        
        (
        t
        )
        ,
        
          γ
          ″
        
        (
        t
        )
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          γ
          
            (
            m
            )
          
        
        (
        t
        )
        }
        
          
            , 
          
        
        m
        ≤
        k
      
    
    {\displaystyle \lbrace \gamma '(t),\gamma ''(t),...,\gamma ^{(m)}(t)\rbrace {\mbox{, }}m\leq k}
  

在 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 中线性无关。
特别地，一条 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  
-曲线 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 是正则的如果 

  
    
      
        
          γ
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}
  
 对任何 
  
    
      
        t
        ∈
        I
        
        .
      
    
    {\displaystyle t\in I\,.}
  


重新参数化与等价关系 给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质（长度，Frenet 标架和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为  Cr 曲线，是曲线的微分几何研究的中心。
两个 Cr 参数曲线

  
    
      
        
          
            γ
            
              1
            
          
        
        :
        
          I
          
            1
          
        
        →
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\gamma _{1}} :I_{1}\to R^{n}}
  

与

  
    
      
        
          
            γ
            
              2
            
          
        
        :
        
          I
          
            2
          
        
        →
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\gamma _{2}} :I_{2}\to R^{n}}
  

要称为等价，就要存在一个 Cr 双射

  
    
      
        ϕ
        :
        
          I
          
            1
          
        
        →
        
          I
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi :I_{1}\to I_{2}}
  

使得

  
    
      
        
          ϕ
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        0
        
        (
        t
        ∈
        
          I
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \phi '(t)\neq 0\qquad (t\in I_{1})}
  

和

  
    
      
        
          
            γ
            
              2
            
          
        
        (
        ϕ
        (
        t
        )
        )
        =
        
          
            γ
            
              1
            
          
        
        (
        t
        )
        
        (
        t
        ∈
        
          I
          
            1
          
        
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\gamma _{2}} (\phi (t))=\mathbf {\gamma _{1}} (t)\qquad (t\in I_{1})\,.}
  

γ2 称为 γ1 的重新参数化。这种 γ1 的重新参数化在所有参数 Cr 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 Cr 曲线。
对定向 Cr 曲线，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'(t) > 0。
等价的 Cr 曲线有相同的像；等价的定向 Cr 曲线有相同的运动方向。


长度与自然参数化 C1 曲线 γ : [a, b] → Rn 的长度 l 可以定义为

  
    
      
        l
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        |
        
          
            γ
          
          ′
        
        (
        t
        )
        |
        d
        t
        .
      
    
    {\displaystyle l=\int _{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert dt.}
  

曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。
对任何正则 Cr （r 至少为 1）曲线 γ: [a, b] → Rn 我们可以定义一个函数

  
    
      
        s
        (
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            
              t
              
                0
              
            
          
          
            t
          
        
        |
        
          
            γ
          
          ′
        
        (
        x
        )
        |
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle s(t)=\int _{t_{0}}^{t}\vert \mathbf {\gamma } '(x)\vert dx.}
  

写成

  
    
      
        
          
            
              
                γ
              
              (
              s
              )
            
            ¯
          
        
        =
        γ
        (
        t
        (
        s
        )
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbf {\gamma } (s)}}=\gamma (t(s))}
  

这里 t(s) 是 s(t) 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 
  
    
      
        
          
            
              γ
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {\gamma }}}
  
，称为自然、弧长或单位速度参数化；参数 s(t) 称为 γ 的自然参数。
我们偏爱这个参数，因为自然参数 s(t) 以单位速度转动 γ 的像，所以

  
    
      
        |
        
          
            
              
                
                  γ
                
                ′
              
              (
              s
              (
              t
              )
              )
            
            ¯
          
        
        |
        =
        1
        
        (
        t
        ∈
        I
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \vert {\overline {\mathbf {\gamma } '(s(t))}}\vert =1\qquad (t\in I).}
  

在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。
给定一条参数化曲线 γ(t) 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。
数量

  
    
      
        E
        (
        γ
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        |
        
          
            γ
          
          ′
        
        (
        t
        )
        
          |
          
            2
          
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert ^{2}dt}
  

经常称为曲线的能量或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。


Frenet 标架 一个 Frenet 标架是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ(t) 局部性质的n 个正交向量 ei(t) 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。
给定 Rn 中一条 n 阶正则 Cn+1-曲线 γ，曲线的 Frenet 标架是一组正交向量

  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        ,
        …
        ,
        
          
            e
          
          
            n
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}
  

称为 Frenet 向量。它们是通过对 γ(t) 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：

  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              
                
                  γ
                
                ′
              
              (
              t
              )
            
            
              ‖
              
                
                  γ
                
                ′
              
              (
              t
              )
              ‖
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}}
  

  
    
      
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      j
                    
                  
                  ¯
                
              
              (
              t
              )
            
            
              ‖
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      j
                    
                  
                  ¯
                
              
              (
              t
              )
              ‖
            
          
        
        
          
            , 
          
        
        
          
            
              
                e
              
              
                j
              
            
            ¯
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            γ
          
          
            (
            j
            )
          
        
        (
        t
        )
        −
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            j
            −
            1
          
        
        ⟨
        
          
            γ
          
          
            (
            j
            )
          
        
        (
        t
        )
        ,
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{j}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\|}}{\mbox{, }}{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)=\mathbf {\gamma } ^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {\gamma } ^{(j)}(t),\mathbf {e} _{i}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t)}
  

实值函数 χi(t) 称为 广义曲率，定义为

  
    
      
        
          χ
          
            i
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              ⟨
              
                
                  e
                
                
                  i
                
                ′
              
              (
              t
              )
              ,
              
                
                  e
                
                
                  i
                  +
                  1
                
              
              (
              t
              )
              ⟩
            
            
              ‖
              
                
                  γ
                
                
                  
                    
                    ′
                  
                
              
              (
              t
              )
              ‖
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}}
  

Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。


特殊 Frenet 向量和广义曲率 最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。


= 切向量 =
如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 P 的切向量。
數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(t)，對參數 t 的任何值： t = t0，
向量：

  
    
      
        
          γ
          ′
        
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            d
            
              d
              
              t
            
          
        
        
          γ
        
        (
        t
        )
        ,
        
          t
          =
          
            t
            
              0
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma '(t_{0})={\frac {d}{d\,t}}\mathbf {\gamma } (t),{t=t_{0}}}
  

是點 P = γ(t0) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。
切向量的長度：

  
    
      
        ‖
        
          
            γ
          
          ′
        
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|\mathbf {\gamma } '(t_{0})\|}
  

是在時間 t0 的速率。

第一個 Frenet 向量 e1(t) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：

  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              
                
                  γ
                
                ′
              
              (
              t
              )
            
            
              ‖
              
                
                  γ
                
                ′
              
              (
              t
              )
              ‖
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}.}
  

如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        (
        s
        )
        =
        
          
            γ
          
          ′
        
        (
        s
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)=\mathbf {\gamma } '(s).}
  

單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。


= 法向量 =
法向量，有时也称为曲率向量，表明曲线和一条直线的偏离程度。
法向量定义为

  
    
      
        
          
            
              
                e
              
              
                2
              
            
            ¯
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            γ
          
          ″
        
        (
        t
        )
        −
        ⟨
        
          
            γ
          
          ″
        
        (
        t
        )
        ,
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
        
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)=\mathbf {\gamma } ''(t)-\langle \mathbf {\gamma } ''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t).}
  

其正规形式单位法向量，是 Frenet 向量 e2(t)，定义为

  
    
      
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      2
                    
                  
                  ¯
                
              
              (
              t
              )
            
            
              ‖
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      2
                    
                  
                  ¯
                
              
              (
              t
              )
              ‖
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\|}}.}
  

t 点的切向量和法向量张成 t 点的密切平面。


= 曲率 =

第一个广义曲率 χ1(t) 称为曲率，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为

  
    
      
        κ
        (
        t
        )
        =
        
          χ
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              ⟨
              
                
                  e
                
                
                  1
                
                ′
              
              (
              t
              )
              ,
              
                
                  e
                
                
                  2
                
              
              (
              t
              )
              ⟩
            
            
              ‖
              
                
                  γ
                
                
                  
                    
                    ′
                  
                
              
              (
              t
              )
              ‖
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}}
  

称为 γ 在点 t 的曲率。
曲率的倒数

  
    
      
        
          
            1
            
              κ
              (
              t
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}}
  

称为曲率半径。
半径为 r 的圆周有常曲率

  
    
      
        κ
        (
        t
        )
        =
        
          
            1
            r
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}\,,}
  

但一条直线的曲率是 0 。


= 次法向量 =
次法向量是第三个 Frenet 向量 e3(t) ，
总是正交于 t 点的单位切向量和单位法向量。其定义为

  
    
      
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      3
                    
                  
                  ¯
                
              
              (
              t
              )
            
            
              ‖
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      3
                    
                  
                  ¯
                
              
              (
              t
              )
              ‖
            
          
        
        
        
          
            
              
                e
              
              
                3
              
            
            ¯
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            γ
          
          ‴
        
        (
        t
        )
        −
        ⟨
        
          
            γ
          
          ‴
        
        (
        t
        )
        ,
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
        
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        −
        ⟨
        
          
            γ
          
          ‴
        
        (
        t
        )
        ,
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
        
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\|}}\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)=\mathbf {\gamma } '''(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{2}(t)}
  

在 3 维空间中等式简化为

  
    
      
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        ×
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{2}(t)\times \mathbf {e} _{1}(t)\,.}
  


= 挠率 =

第二广义曲率 χ2(t) 称为挠率，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 t 都在这一个平面内）。

  
    
      
        τ
        (
        t
        )
        =
        
          χ
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              ⟨
              
                
                  e
                
                
                  2
                
                ′
              
              (
              t
              )
              ,
              
                
                  e
                
                
                  3
                
              
              (
              t
              )
              ⟩
            
            
              ‖
              
                
                  γ
                
                ′
              
              (
              t
              )
              ‖
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}}
  

称为 γ 在点 t 的挠率。


曲线论主要定理 给定 n 个函数

  
    
      
        
          χ
          
            i
          
        
        ∈
        
          C
          
            n
            −
            i
          
        
        (
        [
        a
        ,
        b
        ]
        )
        
          
            , 
          
        
        1
        ≤
        i
        ≤
        n
      
    
    {\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b]){\mbox{, }}1\leq i\leq n}
  

满足

  
    
      
        
          χ
          
            i
          
        
        (
        t
        )
        >
        0
        
          
            , 
          
        
        1
        ≤
        i
        ≤
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1}
  

那么存在惟一的（在差一个欧几里得群作用的意义下） n 阶正则 Cn+1-曲线 γ，具有如下性质

  
    
      
        ‖
        
          γ
          ′
        
        (
        t
        )
        ‖
        =
        1
        
          
             
          
        
        (
        t
        ∈
        [
        a
        ,
        b
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle \|\gamma '(t)\|=1{\mbox{ }}(t\in [a,b])}
  

  
    
      
        
          χ
          
            i
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              ⟨
              
                
                  e
                
                
                  i
                
                ′
              
              (
              t
              )
              ,
              
                
                  e
                
                
                  i
                  +
                  1
                
              
              (
              t
              )
              ⟩
            
            
              ‖
              
                
                  γ
                
                ′
              
              (
              t
              )
              ‖
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}\,,}
  

这里集合

  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        ,
        …
        ,
        
          
            e
          
          
            n
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}
  

是曲面的 Frenet 标架。
再附加起始 t0 ∈ I，起始点 p0 ∈ Rn 以及一个初始正交标架 {e1, ..., en-1} 满足

  
    
      
        
          γ
        
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            p
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\gamma } (t_{0})=\mathbf {p} _{0}}
  

  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        
          
            , 
          
        
        1
        ≤
        i
        ≤
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{i}(t_{0})=\mathbf {e} _{i}{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1}
  

那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。


Frenet-Serret 公式 Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χi 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。


= 2-维 =

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      1
                    
                    ′
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      2
                    
                    ′
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  κ
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  −
                  κ
                  (
                  t
                  )
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      1
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      2
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}}
  


= 3-维 =

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      1
                    
                    ′
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      2
                    
                    ′
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      3
                    
                    ′
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  κ
                  (
                  t
                  )
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  κ
                  (
                  t
                  )
                
                
                  0
                
                
                  τ
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  0
                
                
                  −
                  τ
                  (
                  t
                  )
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      1
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      2
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      3
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
  


= n 维一般公式 =

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      1
                    
                    ′
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      n
                    
                    ′
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    χ
                    
                      1
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  
                    χ
                    
                      1
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋱
                
                
              
              
                
                
                  ⋱
                
                
                  0
                
                
                  
                    χ
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  0
                
                
                
                  −
                  
                    χ
                    
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                      −
                      1
                    
                  
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                  0
                
              
            
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                      e
                    
                    
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                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
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                  )
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&&0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&&-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}}
  


参考文献 Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
陈维桓，微分几何，北京大学出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709.


另见 曲线论题列表
曲线的仿射几何
弧
切线、切点、次切距
密切圆
包络线、转迹线
四顶点定理
测地线
等周问题
环绕数