随机变量是一種数学概念，用来表示随机试验结果的变量。


簡介 随机变量通常用大写字母
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
、
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
表示。在各种随机试验中，每一个随机事件都可以用一个变量代替任何一个数值。例如擲骰子時擲出的点数是1,2,..,6中的一个，其中的任意一个点数都可以用变量
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
来表示，
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
可以=1，=2....=6，又例如在产品的抽查中，抽到正品可以用“
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
=1”来表示，抽到次品可以用“
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
=0”来表示，这样
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
又可以=1也可以=0。，随机变量实质上是函数。称其为变量是指可作为因变量。


正式定義 直觀上，随机变量為一種特殊的實函數，其值不大於某數的狀況都是事件。所以一個函數是不是隨機變量也跟「怎樣的子集合算事件」有密不可分的關係。
如果随机变量 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的取值是有限的或者是可数无穷尽的值：

  
    
      
        X
        (
        S
        )
        =
        {
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        }
        ≅
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle X(S)=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,\}\cong \mathbb {N} }
  

则称 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 为离散随机变量。
如果 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的取值遍布一区间甚至是整個數線：（
  
    
      
        a
        ,
        
        b
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} }
  
）

  
    
      
        X
        (
        S
        )
        =
        [
        a
        ,
        
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle X(S)=[a,\,b]}
  

则称
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
为连续随机变量。


= 與可測函數的關係 =
如果取 
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
 為所有實開區間所構成的集合：

  
    
      
        
          
            I
          
        
        =
        
          
            {
          
        
        A
        ∈
        
          
            P
          
        
        (
        
          R
        
        )
        
        
          
            |
          
        
        
        (
        ∃
        a
        )
        (
        ∃
        b
        )
        
          [
          
            
            (
            a
            ,
            
            b
            ∈
            
              R
            
            )
            ∧
            (
            A
            =
            (
            a
            ,
            
            b
            )
            )
            
          
          ]
        
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}={\bigg \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \}}}
  

则可以把博雷爾代數 
  
    
      
        
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {B}}}
  
 定義為包含 
  
    
      
        
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {I}}}
  
 的最小Σ-代数：

  
    
      
        
          
            B
          
        
        :=
        σ
        (
        
          
            I
          
        
        )
        =
        ⋂
        
          
            {
          
        
        Σ
        
        
          
            |
          
        
        
        (
        Σ
        
           is a sigma algebra.
        
        )
        ∧
        (
        
          
            I
          
        
        ⊆
        Σ
        )
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {B}}:=\sigma ({\mathcal {I}})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge ({\mathcal {I}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}
  

則根據阿基米德性質，對任意實數 
  
    
      
        r
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle r\in \mathbb {R} }
  
 ，
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        
        r
        ]
        ∈
        
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,\,r]\in {\mathcal {B}}}
  
，有以下的關係：

  
    
      
        (
        r
        ,
        
        ∞
        )
        =
        ⋃
        
          {
          
            A
            ∈
            
              
                I
              
            
            
            
              
                |
              
            
            
            (
            ∃
            n
            ∈
            
              N
            
            )
            
              [
              
                A
                =
                (
                r
                ,
                
                n
                )
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle (r,\,\infty )=\bigcup \left\{A\in {\mathcal {I}}\,{\bigg |}\,(\exists n\in \mathbb {N} )\left[A=(r,\,n)\right]\right\}}
  

  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        
        r
        ]
        =
        
          R
        
        −
        (
        r
        ,
        
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,\,r]=\mathbb {R} -(r,\,\infty )}
  

反之，也可以用類似的方法，由任意的 
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        
        r
        ]
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,\,r]}
  
 ，透過并集和补集組合出 
  
    
      
        (
        a
        ,
        
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,\,b)}
  
：

  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        
        b
        )
        =
        ⋃
        
          {
          
            A
            ∈
            
              
                P
              
            
            (
            
              R
            
            )
            
            
              
                |
              
            
            
            (
            ∃
            n
            ∈
            
              N
            
            )
            
              [
              
                A
                =
                (
                −
                ∞
                ,
                
                b
                −
                
                  
                    1
                    n
                  
                
                ]
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,\,b)=\bigcup \left\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists n\in \mathbb {N} )\left[A=(-\infty ,\,b-{\frac {1}{n}}]\right]\right\}}
  

  
    
      
        (
        a
        ,
        
        b
        )
        =
        
          (
          
            
              R
            
            −
            (
            −
            ∞
            ,
            
            a
            ]
          
          )
        
        ∪
        (
        −
        ∞
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,\,b)=\left(\mathbb {R} -(-\infty ,\,a]\right)\cup (-\infty ,b)}
  

這樣的話，任意的 
  
    
      
        r
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle r\in \mathbb {R} }
  
 都有
  
    
      
        {
        s
        ∈
        S
        
        
          |
        
        
        X
        (
        s
        )
        ≤
        r
        }
        ∈
        
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle \{s\in S\,|\,X(s)\leq r\}\in {\mathcal {E}}}
  
 ，等價於對任意的 
  
    
      
        a
        ,
        
        b
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} }
  
 都有 
  
    
      
        {
        s
        ∈
        S
        
        
          |
        
        
        a
        <
        X
        (
        s
        )
        <
        b
        }
        ∈
        
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle \{s\in S\,|\,a<X(s)<b\}\in {\mathcal {E}}}
  
，這樣根據可测函数性质的定理(2)，上小節定義的 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 ，就是一個 
  
    
      
        
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}}
  
 - 
  
    
      
        
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {B}}}
  
 可测函数，換句話說，随机变量是可測函數的一種特例。


= 範例 =

随机掷两个骰子，整个样本空间由36个元素组成：

  
    
      
        S
        =
        
          {
          
            (
            i
            ,
            j
            )
            ∈
            
              
                N
              
              
                2
              
            
            
              |
            
            (
            i
            ≤
            6
            )
            ∧
            (
            j
            ≤
            6
            )
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle S=\left\{(i,j)\in \mathbb {N} ^{2}|(i\leq 6)\wedge (j\leq 6)\right\}}
  

然後可以簡單地把 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 的任意子集合都視為事件，換句話說，把事件族 
  
    
      
        
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}}
  
 取成 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 的冪集：

  
    
      
        
          
            E
          
        
        =
        
          
            P
          
        
        (
        S
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(S)}
  

這樣的話，可以構造出許多定義在 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 上的随机变量，比如 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 可以定義為「两个骰子的点数和」；者 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 可以定義為「两个骰子的点数差」：

  
    
      
        X
        (
        i
        ,
        j
        )
        :=
        i
        +
        j
      
    
    {\displaystyle X(i,j):=i+j}
  

  
    
      
        Y
        (
        i
        ,
        j
        )
        :=
        
          |
        
        i
        −
        j
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle Y(i,j):=|i-j|}
  

因為「两个骰子的点数和不大於 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
」和「两个骰子的点数差不大於 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
」的樣本點所構成的集合，都是 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 的子集合，所以 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 和 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 都是（在 
  
    
      
        
          
            E
          
        
        =
        
          
            P
          
        
        (
        S
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(S)}
  
 的意義下）定義在 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 上的随机变量，而且它們都是离散随机变量。


性质 = 不确定性 =
随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，其可能取各种随机变量不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。


= 基本类型 =
简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。
按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：


 离散型随机变量  即在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等


 连续型随机变量  即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。


详细分析 = 表示方法 =
随机试验结果的量的表示。例如掷一颗骰子出现的点数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，随机抽查的一个人的身高，悬浮在液体中的微粒沿某一方向的位移，等等，都是随机变量的实例。
一个随机试验的可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
（见概率）。随机变量
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
是定义于
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的函数，即对每一基本事件
  
    
      
        ω
        ∈
        Ω
      
    
    {\displaystyle \omega \in \Omega }
  
，有一数值
  
    
      
        X
        (
        ω
        )
      
    
    {\displaystyle X(\omega )}
  
与之对应。以掷一颗骰子的随机试验为例，它的所有可能结果，共6个，分别记作
  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{1}}
  
, 
  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{2}}
  
, 
  
    
      
        
          ω
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{3}}
  
, 
  
    
      
        
          ω
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{4}}
  
, 
  
    
      
        
          ω
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{5}}
  
, 
  
    
      
        
          ω
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{6}}
  
，这时，
  
    
      
        Ω
        =
        {
        
          ω
          
            1
          
        
        ,
        
          ω
          
            2
          
        
        ,
        
          ω
          
            3
          
        
        ,
        
          ω
          
            4
          
        
        ,
        
          ω
          
            5
          
        
        ,
        
          ω
          
            6
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4},\omega _{5},\omega _{6}\}}
  
，而出现的点数这个随机变量
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，就是
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的函数
  
    
      
        X
        (
        ω
        k
        )
        =
        k
      
    
    {\displaystyle X(\omega k)=k}
  
，
  
    
      
        k
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        6
      
    
    {\displaystyle k=1,2,\ldots ,6}
  
。又如设
  
    
      
        Ω
        =
        {
        
          ω
          
            1
          
        
        ,
        
          ω
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          ω
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\}}
  
是要进行抽查的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个人的全体，那么随意抽查其中一人的身高和体重，就构成两个随机变量
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
和
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
，它们分别是
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的函数：
  
    
      
        X
        (
        ω
        k
        )
        =
      
    
    {\displaystyle X(\omega k)=}
  
“
  
    
      
        ω
        k
      
    
    {\displaystyle \omega k}
  
的身高”，
  
    
      
        Y
        (
        ω
        k
        )
        =
      
    
    {\displaystyle Y(\omega k)=}
  
“
  
    
      
        ω
        k
      
    
    {\displaystyle \omega k}
  
的体重”，
  
    
      
        k
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}
  
。一般说来，一个随机变量所取的值可以是离散的（如掷一颗骰子的点数只取1到6的整数，电话台收到的呼叫次数只取非负整数），也可以充满一个数值区间，或整个实数轴（如液体中悬浮的微粒沿某一方向的位移）。


= 研究方法 =
在研究随机变量的性质时，确定和计算它取某个数值或落入某个数值区间内的概率是特别重要的。因此，随机变量取某个数值或落入某个数值区间这样的基本事件的集合，应当属于所考虑的事件域。根据这样的直观想法，利用概率论公理化的语言，取实数值的随机变量的数学定义可确切地表述如下：概率空间
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        F
        ,
        p
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,F,p)}
  
上的随机变量
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
是定义于
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上的实值可测函数，即对任意
  
    
      
        ω
        ∈
        Ω
      
    
    {\displaystyle \omega \in \Omega }
  
，
  
    
      
        X
        (
        ω
        )
      
    
    {\displaystyle X(\omega )}
  
为实数，且对任意实数
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，使
  
    
      
        X
        (
        ω
        )
        ≤
        x
      
    
    {\displaystyle X(\omega )\leq x}
  
的一切
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
组成的
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
的子集
  
    
      
        {
        ω
        :
        X
        (
        ω
        )
        ≤
        x
        }
      
    
    {\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq x\}}
  
是事件，也即是
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
中的元素。事件
  
    
      
        {
        ω
        :
        X
        (
        ω
        )
        ≤
        x
        }
      
    
    {\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq x\}}
  
常简记作
  
    
      
        {
        X
        ≤
        x
        }
      
    
    {\displaystyle \{X\leq x\}}
  
，并称函数
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        p
        (
        X
        ≤
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)=p(X\leq x)}
  
，
  
    
      
        −
        ∞
        <
        x
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty <x<\infty }
  
 ，为
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的分布函数。
设
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
, 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
是概率空间
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        F
        ,
        p
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,F,p)}
  
上的两个随机变量，如果除去一个零概率事件外，
  
    
      
        X
        (
        ω
        )
      
    
    {\displaystyle X(\omega )}
  
与
  
    
      
        Y
        (
        ω
        )
      
    
    {\displaystyle Y(\omega )}
  
相同，则称
  
    
      
        X
        =
        Y
      
    
    {\displaystyle X=Y}
  
以概率1成立，也记作
  
    
      
        p
        (
        X
        =
        Y
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle p(X=Y)=1}
  
或
  
    
      
        X
        =
        Y
      
    
    {\displaystyle X=Y}
  
,α.s.（α.s.意即几乎必然）。
有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如对地面目标射击，弹着点的位置需要两个坐标才能确定，因此研究它要同时考虑两个随机变量，一般称同一概率空间
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        F
        ,
        p
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,F,p)}
  
上的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个随机变量构成的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维向量
  
    
      
        X
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
  
为
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维随机向量。随机变量可以看作一维随机向量。称
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
元
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
的函数为
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的（联合）分布函数。又如果
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{2})}
  
为二维随机向量，则称
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        +
        i
        
          x
          
            2
          
        
        (
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle x_{1}+ix_{2}(i^{2}=-1)}
  
为复随机变量。
随机变量的独立性 　独立性是概率论所独有的一个重要概念。设
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
是
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个随机变量，如果对任何
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个实数
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
都有 即它们的联合分布函数
  
    
      
        F
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
  
等于它们各自的分布函数
  
    
      
        F
        1
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        ,
        F
        2
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        ,
        …
        ,
        F
        n
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F1(x_{1}),F2(x_{2}),\ldots ,Fn(x_{n})}
  
的乘积。则称
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
是独立的。这一定义可以直接推广到每一
  
    
      
        x
        k
      
    
    {\displaystyle xk}
  
（
  
    
      
        k
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}
  
）是随机向量的情形。独立性的直观意义是：
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
中的任何一个取值的概率规律，并不随其中的其他随机变量取什么值而改变。在实际问题中通常用它来表征多个独立操作的随机试验结果或多种有独立来源的随机因素的概率特性，因此它对于概率统计的应用是十分重要的。
从随机变量（或向量）
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
的独立性还可以推出：设
  
    
      
        B
        k
      
    
    {\displaystyle Bk}
  
是
  
    
      
        x
        k
      
    
    {\displaystyle xk}
  
取值的空间中的任意波莱尔集，
  
    
      
        k
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}
  
。设
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
是独立的，则它们中的任意个都是独立的。但逆之即使其中任何
  
    
      
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n-1}
  
个是独立的，也不保证
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
是独立的。又如果
  
    
      
        f
        j
        (
        x
        )
        ,
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle fj(x),i=1,2,\ldots ,n}
  
，是
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个连续函数或初等函数(或更一般的波莱尔可测函数)，则从
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
的独立性可推出
  
    
      
        f
        1
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        ,
        f
        2
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        ,
        …
        ,
        f
        n
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f1(x_{1}),f2(x_{2}),\ldots ,fn(x_{n})}
  
也独立。如果随机变量(随机向量)序列
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots }
  
中任何有限个都独立，则称之为独立随机变量（随机向量）序列。
关于随机变量的矩、特征函数、母函数及半不变量，分别见数学期望、方差、動差及概率分布。


随机变量的函数 一个新的随机变量能被博雷尔可测函数定义 
  
    
      
        g
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
  
 来产生一个随机变量
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
。
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
的累积分布函数是：

  
    
      
        
          F
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        g
        (
        X
        )
        ≤
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y).}
  

如果博雷尔函数可逆：

  
    
      
        
          F
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        g
        (
        X
        )
        ≤
        y
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  P
                  ⁡
                  (
                  X
                  ≤
                  
                    g
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  (
                  y
                  )
                  )
                  =
                  
                    F
                    
                      X
                    
                  
                  (
                  
                    g
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  (
                  y
                  )
                  )
                  ,
                
                
                  
                    if 
                  
                  
                    g
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  
                     increasing
                  
                  ,
                
              
              
                
              
              
                
                  P
                  ⁡
                  (
                  X
                  ≥
                  
                    g
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  (
                  y
                  )
                  )
                  =
                  1
                  −
                  
                    F
                    
                      X
                    
                  
                  (
                  
                    g
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  (
                  y
                  )
                  )
                  ,
                
                
                  
                    if 
                  
                  
                    g
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  
                     decreasing
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)={\begin{cases}\operatorname {P} (X\leq g^{-1}(y))=F_{X}(g^{-1}(y)),&{\text{if }}g^{-1}{\text{ increasing}},\\\\\operatorname {P} (X\geq g^{-1}(y))=1-F_{X}(g^{-1}(y)),&{\text{if }}g^{-1}{\text{ decreasing}}.\end{cases}}}
  

得到它的概率密度函数：

  
    
      
        
          f
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        
          f
          
            X
          
        
        (
        
          g
          
            −
            1
          
        
        (
        y
        )
        )
        
          |
          
            
              
                d
                
                  g
                  
                    −
                    1
                  
                
                (
                y
                )
              
              
                d
                y
              
            
          
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|.}
  


= 例子 =
定义
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
为实数，在连续性随机变量里，让 
  
    
      
        Y
        =
        
          X
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle Y=X^{2}}
  

  
    
      
        
          F
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        
          X
          
            2
          
        
        ≤
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}
  

如果
  
    
      
        y
        <
        0
      
    
    {\displaystyle y<0}
  
，那么 
  
    
      
        P
        (
        
          X
          
            2
          
        
        ≤
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P(X^{2}\leq y)=0}
  

  
    
      
        
          F
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        0
        
        
          
            if
          
        
        
        y
        <
        0.
      
    
    {\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}
  

如果
  
    
      
        y
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle y\geq 0}
  

  
    
      
        P
        ⁡
        (
        
          X
          
            2
          
        
        ≤
        y
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ≤
        
          
            y
          
        
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        −
        
          
            y
          
        
        ≤
        X
        ≤
        
          
            y
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}
  

可以得到：

  
    
      
        
          F
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        
          F
          
            X
          
        
        (
        
          
            y
          
        
        )
        −
        
          F
          
            X
          
        
        (
        −
        
          
            y
          
        
        )
        
        
          
            if
          
        
        
        y
        ≥
        0.
      
    
    {\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.}
  


參考文獻 外部链接 Hazewinkel, Michiel (编), Random variable, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
Zukerman, Moshe, Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF), 2014  [2017-03-01], （原始内容 (PDF)存档于2016-08-11） 
Zukerman, Moshe, Basic Probability Topics (PDF), 2014  [2017-03-01], （原始内容 (PDF)存档于2021-04-02） 


參見 概率论
隨機分佈
隨機性
隨機函數
生成函數
算法信息论
随机变量的收敛