费马小定理（英語：Fermat's little theorem）是数论中的一个定理。假如
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是一个整数，
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
是一个質数，那么
  
    
      
        
          a
          
            p
          
        
        −
        a
      
    
    {\displaystyle a^{p}-a}
  
是
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的倍数，可以表示为

  
    
      
        
          a
          
            p
          
        
        ≡
        a
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}
  

如果
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
不是
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的倍数，這個定理也可以寫成更加常用的一種形式

  
    
      
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
  

註：如果
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的倍数，則

  
    
      
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p}}}
  

費馬小定理的逆敘述不成立，即假如
  
    
      
        
          a
          
            p
          
        
        −
        a
      
    
    {\displaystyle a^{p}-a}
  
是
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的倍数，
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
不一定是一个質数。例如
  
    
      
        
          2
          
            341
          
        
        −
        2
      
    
    {\displaystyle 2^{341}-2}
  
是
  
    
      
        341
      
    
    {\displaystyle 341}
  
的倍数，但
  
    
      
        341
        =
        11
        ×
        31
      
    
    {\displaystyle 341=11\times 31}
  
，不是質数。滿足費馬小定理的合數被稱為费马伪素数。


历史 皮埃爾·德·費馬于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求。
1736年，歐拉出版了一本名為“一些與素數有關的定理的證明”（拉丁文：Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio）”的論文集，其中第一次给出了證明。但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在1683年以前已經得到幾乎是相同的證明。

有些數學家獨立提出相關的假說（有時也被錯誤地稱為中國猜想），當
  
    
      
        
          2
          
            p
          
        
        ≡
        2
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}}
  
成立時，p是質數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而，這一假說的前設是錯的：例如，
  
    
      
        
          2
          
            341
          
        
        ≡
        2
        
          
          (
          mod
          
          341
          )
        
      
    
    {\displaystyle 2^{341}\equiv 2{\pmod {341}}}
  
，而
  
    
      
        341
        =
        11
        ×
        31
      
    
    {\displaystyle 341=11\times 31}
  
是一個偽素數。所有的偽素數都是此假說的反例。


= 卡邁克爾數 =

如上所述，中國猜想仅有一半是正确的。符合中國猜想但不是素数的数被称为伪素数。
更极端的反例是卡迈克尔数：
假設
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
與561互质，則
  
    
      
        
          a
          
            560
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{560}}
  
被561除都余1。这样的数被称为卡邁克爾數，561是最小的卡邁克爾数。Korselt在1899年就给出了卡邁克爾數的等价定义，但直到1910年才由卡邁克爾（Robert Daniel Carmichael）发现第一个卡邁克爾数：561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance证明了卡邁克爾数有无穷多个。


证明 = 方法一 =
（i）若
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是整数，
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
是质数，且
  
    
      
        gcd
        (
        a
        ,
        p
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \gcd(a,p)=1}
  
。若
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
不能整除
  
    
      
        x
        −
        y
      
    
    {\displaystyle x-y}
  
，则
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
不能整除
  
    
      
        a
        (
        x
        −
        y
        )
      
    
    {\displaystyle a(x-y)}
  
。取整數集
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
为所有小於
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的正整数集合（
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
构成
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的完全剩余系，即
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
中不存在两个数同余
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
），
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
中所有的元素乘以
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
组成的集合。因为
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
中的任何两个元素之差都不能被
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
整除，所以
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中的任何两个元素之差也不能被
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
整除。
換句話說，
  
    
      
        gcd
        (
        a
        ,
        p
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \gcd(a,p)=1}
  
，考慮
  
    
      
        1
        ×
        a
        ,
        2
        ×
        a
        ,
        3
        ×
        a
        ,
        .
        .
        .
        .
        (
        p
        −
        1
        )
        ×
        a
      
    
    {\displaystyle 1\times a,2\times a,3\times a,....(p-1)\times a}
  
共
  
    
      
        (
        p
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (p-1)}
  
個數，將它們分別除以
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，餘數分別為
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        
          r
          
            2
          
        
        ,
        
          r
          
            3
          
        
        ,
        .
        .
        .
        .
        ,
        
          r
          
            p
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},....,r_{p-1}}
  
，則集合
  
    
      
        {
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        
          r
          
            2
          
        
        ,
        
          r
          
            3
          
        
        ,
        .
        .
        .
        .
        ,
        
          r
          
            p
            −
            1
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{r_{1},r_{2},r_{3},....,r_{p-1}\}}
  
為集合
  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
        ,
        (
        p
        −
        1
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,(p-1)\}}
  
的重新排列，即
  
    
      
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
        ,
        (
        p
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle 1,2,3,\ldots ,(p-1)}
  
在餘數中恰好各出現一次；這是因為對於任兩個相異
  
    
      
        k
        ∗
        a
      
    
    {\displaystyle k*a}
  
而言（
  
    
      
        k
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
        ,
        (
        p
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle k=1,2,3,\ldots ,(p-1)}
  
），其差不是
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的倍數（所以不會有相同餘數），且任一個
  
    
      
        k
        ∗
        a
      
    
    {\displaystyle k*a}
  
亦不為
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的倍數（所以餘數不為0）。因此

  
    
      
        1
        ⋅
        2
        ⋅
        3
        ⋅
        ⋯
        ⋅
        (
        p
        −
        1
        )
        ≡
        (
        1
        ⋅
        a
        )
        ⋅
        (
        2
        ⋅
        a
        )
        ⋅
        ⋯
        ⋅
        (
        (
        p
        −
        1
        )
        ⋅
        a
        )
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot (p-1)\equiv (1\cdot a)\cdot (2\cdot a)\cdot \dots \cdot ((p-1)\cdot a){\pmod {p}},}
  

即 

  
    
      
        W
        ≡
        W
        ⋅
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle W\equiv W\cdot a^{p-1}{\pmod {p}},}
  

在这里
  
    
      
        W
        =
        1
        ⋅
        2
        ⋅
        3
        ⋅
        …
        ⋅
        (
        p
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle W=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (p-1)}
  
，且
  
    
      
        (
        W
        ,
        p
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (W,p)=1}
  
，因此将整个公式除以
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
即得到： 

  
    
      
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
  

也即 
  
    
      
        
          a
          
            p
          
        
        ≡
        a
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}
  

（ii）若
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
整除
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，则显然有
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
整除
  
    
      
        
          a
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{p}}
  
，即
  
    
      
        
          a
          
            p
          
        
        ≡
        a
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p}\equiv a\equiv 0{\pmod {p}}}
  
。


= 方法二 =

若
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
为质数，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
为整数，且
  
    
      
        p
        ≥
        n
      
    
    {\displaystyle p\geq n}
  
。考慮二項式係數
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                p
                n
              
              
                )
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                p
                !
              
              
                n
                !
                (
                p
                −
                n
                )
                !
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {p}{n}}={\tfrac {p!}{n!(p-n)!}}}
  
，並限定
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
不為
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
或
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
，則由於分子有質數
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，但分母不含
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，故分子的
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
能保留，不被約分而除去，即
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                p
                n
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {p}{n}}}
  
恆為
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的倍數。
再考慮
  
    
      
        (
        b
        +
        1
        
          )
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle (b+1)^{p}}
  
的二項式展開，模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，則

  
    
      
        (
        b
        +
        1
        
          )
          
            p
          
        
        ≡
        
          
            
              
                (
              
              
                p
                p
              
              
                )
              
            
          
        
        
          b
          
            p
          
        
        +
        
          
            
              
                (
              
              
                p
                
                  p
                  −
                  1
                
              
              
                )
              
            
          
        
        
          b
          
            p
            −
            1
          
        
        +
        
          
            
              
                (
              
              
                p
                
                  p
                  −
                  2
                
              
              
                )
              
            
          
        
        
          b
          
            p
            −
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              
                (
              
              
                p
                2
              
              
                )
              
            
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                (
              
              
                p
                1
              
              
                )
              
            
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          
            
              
                (
              
              
                p
                0
              
              
                )
              
            
          
        
        
          b
          
            0
          
        
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle (b+1)^{p}\equiv {\dbinom {p}{p}}b^{p}+{\dbinom {p}{p-1}}b^{p-1}+{\dbinom {p}{p-2}}b^{p-2}+\dots +{\dbinom {p}{2}}b^{2}+{\dbinom {p}{1}}b^{1}+{\dbinom {p}{0}}b^{0}{\pmod {p}}}
  

  
    
      
        ≡
        
          
            
              
                (
              
              
                p
                p
              
              
                )
              
            
          
        
        
          b
          
            p
          
        
        +
        
          
            
              
                (
              
              
                p
                0
              
              
                )
              
            
          
        
        
          b
          
            0
          
        
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv {\dbinom {p}{p}}b^{p}+{\dbinom {p}{0}}b^{0}{\pmod {p}}}
  

  
    
      
        ≡
        
          b
          
            p
          
        
        +
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv b^{p}+1{\pmod {p}}}
  

因此

  
    
      
        (
        b
        +
        1
        
          )
          
            p
          
        
        ≡
        
          b
          
            p
          
        
        +
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle (b+1)^{p}\equiv b^{p}+1{\pmod {p}}}
  

  
    
      
        ≡
        (
        b
        −
        1
        
          )
          
            p
          
        
        +
        1
        +
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv (b-1)^{p}+1+1{\pmod {p}}}
  

  
    
      
        ≡
        (
        b
        −
        2
        
          )
          
            p
          
        
        +
        1
        +
        1
        +
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv (b-2)^{p}+1+1+1{\pmod {p}}}
  

  
    
      
        ≡
        (
        b
        −
        3
        
          )
          
            p
          
        
        +
        1
        +
        1
        +
        1
        +
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv (b-3)^{p}+1+1+1+1{\pmod {p}}}
  

  
    
      
        …
      
    
    {\displaystyle \dots }
  

  
    
      
        ≡
        
          
            
              
                
                  
                    
                      1
                      +
                      1
                      +
                      ⋯
                      +
                      1
                      +
                      1
                    
                    ⏟
                  
                
              
            
            
              
                b
                +
                1
              
            
          
        
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv {\begin{matrix}\underbrace {1+1+\dots +1+1} \\b+1\end{matrix}}{\pmod {p}}}
  

  
    
      
        ≡
        b
        +
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv b+1{\pmod {p}}}
  

令
  
    
      
        a
        =
        b
        +
        1
      
    
    {\displaystyle a=b+1}
  
，即得
  
    
      
        
          a
          
            p
          
        
        ≡
        a
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}
  
。


= 方法三 =
在抽象代数教科书中，费马小定理常作为教授拉格朗日定理时的一个简单例子。显然只需考虑 
  
    
      
        (
        a
        ,
        p
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (a,p)=1}
  
 情形。此时模 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 所有非零的余数，在同余意义下对乘法构成一个群，这个群的阶是 
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
  
。考虑群中的任何一个元素 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，根据拉格朗日定理，
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 的阶必整除群的阶。证毕。


應用 計算
  
    
      
        
          2
          
            100
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{100}}
  
除以13的餘數

  
    
      
        
          2
          
            100
          
        
        ≡
        
          2
          
            12
            ×
            8
            +
            4
          
        
        
          
          (
          mod
          
          13
          )
        
      
    
    {\displaystyle 2^{100}\equiv 2^{12\times 8+4}{\pmod {13}}}
  

  
    
      
        ≡
        (
        
          2
          
            12
          
        
        
          )
          
            8
          
        
        ⋅
        
          2
          
            4
          
        
        
          
          (
          mod
          
          13
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv (2^{12})^{8}\cdot 2^{4}{\pmod {13}}}
  

  
    
      
        ≡
        
          1
          
            8
          
        
        ⋅
        16
        
          
          (
          mod
          
          13
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv 1^{8}\cdot 16{\pmod {13}}}
  

  
    
      
        ≡
        16
        
          
          (
          mod
          
          13
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv 16{\pmod {13}}}
  

  
    
      
        ≡
        3
        
          
          (
          mod
          
          13
          )
        
      
    
    {\displaystyle \equiv 3{\pmod {13}}}
  

故餘數為3。

證明對於任意整數a而言，
  
    
      
        
          a
          
            13
          
        
        −
        a
      
    
    {\displaystyle a^{13}-a}
  
恆為2730的倍數。
易由
  
    
      
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
  
推得
  
    
      
        
          a
          
            n
            (
            p
            −
            1
            )
            +
            1
          
        
        ≡
        
          1
          
            n
          
        
        ⋅
        a
        ≡
        a
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{n(p-1)+1}\equiv 1^{n}\cdot a\equiv a{\pmod {p}}}
  
，其中
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
為正整數。
故對指數13操作如下：13減1為12，12的正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12，分別加1，為2, 3, 4, 5, 7, 13，其中2, 3, 5, 7, 13為質數，根據定理的延伸表達式，
  
    
      
        
          a
          
            13
          
        
        −
        a
      
    
    {\displaystyle a^{13}-a}
  
為2的倍數、為3的倍數、為5的倍數、為7的倍數、為13的倍數，即2*3*5*7*13=2730的倍數。
證明對於任意整數a而言，
  
    
      
        
          a
          
            22
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{22}-a^{2}}
  
恆為3300的倍數。


推广 = 欧拉定理 =
费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果 
  
    
      
        (
        a
        ,
        n
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (a,n)=1}
  
 ，那么

  
    
      
        
          a
          
            φ
            (
            n
            )
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
  

这里 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
 是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于或等于 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的正整数中与 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 互質的数的个数。假如 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 是一个素数，则 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        =
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)=n-1}
  
 ，即费马小定理。

证明
上面证明费马小定理的群论方法，可以同理地证明欧拉定理。
考虑所有与 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 互素的数，这些数模 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的余数所构成的集合，记为 
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cal {S}}}
  
，并将群乘法定义为相乘后模 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的同余。显然 
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cal {S}}}
  
 是一个群，因为它对群乘法封闭（若 
  
    
      
        (
        a
        ,
        n
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (a,n)=1}
  
 和 
  
    
      
        (
        b
        ,
        n
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (b,n)=1}
  
 则 
  
    
      
        (
        a
        b
        ,
        n
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (ab,n)=1}
  
），含幺元（即“1”），且任何一个元素 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的逆元素也在集合中（因为若 
  
    
      
        a
        ∈
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle a\in {\cal {S}}}
  
 则由群乘法封闭性任何
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的幂次都在 
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cal {S}}}
  
 中，所以 
  
    
      
        ⟨
        a
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle a\rangle }
  
 是 
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cal {S}}}
  
 这个有限集的子集）。根据定义， 
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cal {S}}}
  
 的阶是 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
，于是根据拉格朗日定理， 
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cal {S}}}
  
 中任何一个元素的阶必整除 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
。证毕。


= 卡邁克爾函數 =

卡邁克爾函數比欧拉函数更小。费马小定理也是它的特殊情况。

  
    
      
        
          a
          
            λ
            (
            n
            )
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
  


= 多项式除法 =
因為
  
    
      
        p
        
          |
        
        
          x
          
            p
          
        
        −
        x
        ⇒
        
          p
          
            k
          
        
        
          |
        
        (
        
          x
          
            p
          
        
        −
        x
        
          )
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle p|x^{p}-x\Rightarrow p^{k}|(x^{p}-x)^{k}}
  

所以由
  
    
      
        
          x
          
            N
          
        
        
          
          (
          mod
          
          (
          
            x
            
              p
            
          
          −
          x
          
            )
            
              k
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x^{N}{\pmod {(x^{p}-x)^{k}}}}
  
的結果可以得出
  
    
      
        
          x
          
            N
          
        
        
          
          (
          mod
          
          
            p
            
              k
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x^{N}{\pmod {p^{k}}}}
  
的結果
用多項式除法可以得出
  
    
      
        
          x
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{N}}
  
除以
  
    
      
        (
        
          x
          
            p
          
        
        −
        x
        
          )
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (x^{p}-x)^{k}}
  
的次數少於
  
    
      
        
          p
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{k}}
  
的餘式
例如
  
    
      
        3
        ∣
        
          x
          
            3
          
        
        −
        x
      
    
    {\displaystyle 3\mid x^{3}-x}
  
，由多項式除法得到
  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
        =
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
        )
        (
        
          x
          
            3
          
        
        −
        x
        )
        +
        x
      
    
    {\displaystyle x^{5}=(x^{2}+1)(x^{3}-x)+x}
  
，則
  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
        ≡
        x
        
          
          (
          mod
          
          3
          )
        
      
    
    {\displaystyle x^{5}\equiv x{\pmod {3}}}
  

這個餘式的一般結果是：

  
    
      
        
          
            x
            
              p
              k
            
          
          ≡
          
            ∑
            
              i
              =
              1
            
            
              k
            
          
          (
          −
          1
          
            )
            
              i
              −
              1
            
          
          
            
              
                (
              
              
                k
                i
              
              
                )
              
            
          
          
            x
            
              p
              k
              −
              (
              p
              −
              1
              )
              i
            
          
          
            
            (
            mod
            
            
              p
              
                k
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle x^{pk}\equiv \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}{\binom {k}{i}}x^{pk-(p-1)i}{\pmod {p^{k}}}}
  
（除式）

  
    
      
        
          
            x
            
              p
              k
              +
              (
              p
              −
              1
              )
              n
            
          
          ≡
          
            ∑
            
              i
              =
              1
            
            
              k
            
          
          (
          −
          1
          
            )
            
              i
              −
              1
            
          
          
            
              
                (
              
              
                
                  n
                  +
                  i
                  −
                  1
                
                
                  i
                  −
                  1
                
              
              
                )
              
            
          
          
            
              
                (
              
              
                
                  n
                  +
                  k
                
                
                  k
                  −
                  i
                
              
              
                )
              
            
          
          
            x
            
              p
              k
              −
              (
              p
              −
              1
              )
              i
            
          
          
            
            (
            mod
            
            
              p
              
                k
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle x^{pk+(p-1)n}\equiv \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}{\binom {n+i-1}{i-1}}{\binom {n+k}{k-i}}x^{pk-(p-1)i}{\pmod {p^{k}}}}
  

n=0时为除式，用数学归纳法证明余式。

求
  
    
      
        
          x
          
            1000
          
        
        
          
          (
          mod
          
          
            5
            
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x^{1000}{\pmod {5^{2}}}}
  

  
    
      
        
          x
          
            10
            +
            4
            n
          
        
        ≡
        (
        n
        +
        2
        )
        
          x
          
            6
          
        
        −
        (
        n
        +
        1
        )
        
          x
          
            2
          
        
        
          
          (
          mod
          
          
            5
            
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x^{10+4n}\equiv (n+2)x^{6}-(n+1)x^{2}{\pmod {5^{2}}}}
  

  
    
      
        
          x
          
            1000
          
        
        ≡
        249
        
          x
          
            8
          
        
        −
        248
        
          x
          
            4
          
        
        ≡
        24
        
          x
          
            8
          
        
        −
        23
        
          x
          
            4
          
        
        
          
          (
          mod
          
          
            5
            
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x^{1000}\equiv 249x^{8}-248x^{4}\equiv 24x^{8}-23x^{4}{\pmod {5^{2}}}}
  


注释 参见 费马大定理
拉格朗日定理


參考