在抽象代数中，十六元數（英語：Sedenion）是在實數上形成的16維非交換且非結合代數結構。彷如八元數，其乘法不符合交換律及結合律。十六元數可以透過將八元數套用凯莱-迪克森结构來構造。然而，与八元数不一样，十六元数甚至不符合交错性。尽管如此，十六元数仍然符合幂结合性。此外，十六元數中存在零因子（zero divisor），例如
  
    
      
        
          
            
              (
              
                
                  
                  
                    e
                    
                      3
                    
                  
                
                +
                
                  
                  
                    e
                    
                      10
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ×
          
            
              (
              
                
                  
                  
                    e
                    
                      6
                    
                  
                
                −
                
                  
                  
                    e
                    
                      15
                    
                  
                
              
              )
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {{\left({{\,e_{3}}+{\,e_{10}}}\right)}\times {\left({{\,e_{6}}-{\,e_{15}}}\right)}}=0}
  
，這點與八元數截然不同——因此，十六元數無法構成整環（integral domain），也無法構成除環（divisor ring）。
十六元數是由八元數套用凯莱-迪克森構造而成的。十六元數亦可以繼續進行凯莱-迪克森構造。若將十六元數套用凯莱-迪克森構造將會形成三十二元數（trigintaduonion）。每一次的構造都會導致維數翻倍，並且構造結果同樣與十六元數類似，有著不符合交错性、符合幂结合性與存在零因子等特性。
十六元數這個術語同時亦用於其他同為16維度的代數結構，例如兩個複四元數的張量積、實數上的4×4矩陣代數或喬納森·D·H·史密斯於1995提出的一種代數結構。


算術 十六元數的乘法和八元數一樣，不具備交換律及結合律。與八元數不同的是，十六元數不具備交错代数的特性。雖然如此，但十六元數仍然保有冪結合性，也就是說，對所有的十六元數集
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} }
  
中的元素x，冪
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{n}}
  
是可以明確定義的。同時，十六元數亦有柔性代數的特性。
十六元數共有的16個單位。這16個單位十六元數是：

  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{2}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{3}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{4}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{5}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{6}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{7}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{8}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            9
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{9}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{10}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            11
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{11}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{12}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            13
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{13}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            14
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{14}}
  
及
  
    
      
        
          e
          
            15
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{15}}
  

每個十六元數都是單位十六元數
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0}}
  
, 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1}}
  
, 
  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{2}}
  
, 
  
    
      
        
          e
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{3}}
  
, ..., 
  
    
      
        
          e
          
            15
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{15}}
  
的線性組合，並構成了十六元數向量空間的基。 每個十六元數都可以用以下形式表示：

  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            0
          
        
        
          e
          
            0
          
        
        +
        
          x
          
            1
          
        
        
          e
          
            1
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          x
          
            14
          
        
        
          e
          
            14
          
        
        +
        
          x
          
            15
          
        
        
          e
          
            15
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}.}
  

十六元數的加法和減法是通過將相應十六元數單位之係數的加法或減法來定義的。而十六元數的乘法是對加法的分配，所以兩個十六元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算。
十六元數和其他也由凯莱-迪克森结构來構造的代數結構一樣，其皆包含了依凯莱-迪克森结构構造來源的代數結構。例如十六元數可透過八元數代凯莱-迪克森结构來構造、八元數可透過四元數代凯莱-迪克森结构來構造、四元數可透過複數代凯莱-迪克森结构來構造、複數可透過實數代凯莱-迪克森结构來構造。因此，十六元數系包含了一個八元數系（由下方乘法表對應的
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0}}
  
至
  
    
      
        
          e
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{7}}
  
構造），亦包含了四元數系（由
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0}}
  
至
  
    
      
        
          e
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{3}}
  
構造），也包含了複數系（由
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0}}
  
至
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1}}
  
構造）和實數系（由
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0}}
  
構造）。
十六元數具有乘法單位元素
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0}}
  
和乘法逆元，但因為存在零因子因此無法構成可除代數。換句話說，即十六元數的代數系統中，存在2個非零十六元數相乘為零，例如
  
    
      
        (
        
          e
          
            3
          
        
        +
        
          e
          
            10
          
        
        )
        (
        
          e
          
            6
          
        
        −
        
          e
          
            15
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})=0}
  
。其他基於凯莱-迪克森结构構造的超複數系統中，維度大於16的超複數也都存在零因子。
十六元數單元乘數表如下：


= 十六元數特性 =
從上表可得到：

對所有的
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
，有
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        
          e
          
            i
          
        
        =
        
          e
          
            i
          
        
        
          e
          
            0
          
        
        =
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}}
  
，

  
    
      
        
          e
          
            i
          
        
        
          e
          
            i
          
        
        =
        −
        
          e
          
            0
          
        
        
        
        
          for
        
        
        
        i
        =
        0
      
    
    {\displaystyle e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq 0}
  
，且

  
    
      
        
          e
          
            i
          
        
        
          e
          
            j
          
        
        =
        −
        
          e
          
            j
          
        
        
          e
          
            i
          
        
        
        
        
          for
        
        
        
        i
        =
        j
        
        
        
          with
        
        
        
        i
        ,
        j
        =
        0
      
    
    {\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq j\,\,{\text{with}}\,\,i,j\neq 0}
  
。


 反結合  十六元數並非完全反結合。選擇任意四個生成元
  
    
      
        i
        ,
        j
        ,
        k
      
    
    {\displaystyle i,j,k}
  
和
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
，對於乘積
  
    
      
        i
        j
        k
        l
      
    
    {\displaystyle ijkl}
  
，有五種添加括號的方法。假如反結合律總是成立，則五者之間應有以下關係：

  
    
      
        (
        i
        j
        )
        (
        k
        l
        )
        =
        −
        (
        (
        i
        j
        )
        k
        )
        l
        =
        (
        i
        (
        j
        k
        )
        )
        l
        =
        −
        i
        (
        (
        j
        k
        )
        l
        )
        =
        i
        (
        j
        (
        k
        l
        )
        )
        =
        −
        (
        i
        j
        )
        (
        k
        l
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl),}
  

從而
  
    
      
        (
        i
        j
        )
        (
        k
        l
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (ij)(kl)=0}
  
，矛盾。所以，某兩者之間不滿足反結合律。
特別地，代入
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        
          e
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}}
  
和
  
    
      
        
          e
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{8}}
  
時，利用上列乘法表，可得最後兩式滿足結合律：
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        (
        
          e
          
            2
          
        
        
          e
          
            12
          
        
        )
        =
        (
        
          e
          
            1
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        )
        
          e
          
            12
          
        
        =
        −
        
          e
          
            15
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{12})=(e_{1}e_{2})e_{12}=-e_{15}}
  
。


= 四元子代數 =
在下表列出了構成這個特定十六元數乘法表的35個三元組。用於使用凯莱-迪克森结构構造之十六元數的7個八元數三元組，以粗體表示：
每個三元組中，三個數的二進制表示，按位異或的結果為0。
{ {1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 7, 6}, {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15}, 
{2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7}, 
{3, 6, 5}, {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},  
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},  
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10} }
84組由十六元數單位組成的零因子數組
  
    
      
        {
        
          e
          
            a
          
        
        ,
        
          e
          
            b
          
        
        ,
        
          e
          
            c
          
        
        ,
        
          e
          
            d
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}}
  
列舉如下，其中

  
    
      
        (
        
          e
          
            a
          
        
        +
        
          e
          
            b
          
        
        )
        ∘
        (
        
          e
          
            c
          
        
        +
        
          e
          
            d
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0}
  
：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        1
                        ≤
                        a
                        ≤
                        6
                        ,
                      
                      
                        c
                        >
                        a
                        ,
                      
                      
                        9
                        ≤
                        b
                        ≤
                        15
                      
                    
                    
                      
                        9
                        ≤
                        d
                        ≤
                        15
                      
                      
                      
                        −
                        9
                        ≥
                        d
                        ≥
                        −
                        15
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            3
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            9
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            15
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            5
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            14
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            11
                          
                        
                        }
                      
                    
                    
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            12
                          
                        
                        }
                      
                      
                        {
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            10
                          
                        
                        ,
                        
                          e
                          
                            7
                          
                        
                        ,
                        −
                        
                          e
                          
                            13
                          
                        
                        }
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{ccc}1\leq a\leq 6,&c>a,&9\leq b\leq 15\\9\leq d\leq 15&&-9\geq d\geq -15\end{array}}\\{\begin{array}{ll}\{e_{1},e_{10},e_{5},e_{14}\}&\{e_{1},e_{10},e_{4},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{10},e_{7},e_{12}\}&\{e_{1},e_{10},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{4},e_{14}\}&\{e_{1},e_{11},e_{6},-e_{12}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{5},e_{15}\}&\{e_{1},e_{11},e_{7},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{2},e_{15}\}&\{e_{1},e_{12},e_{3},-e_{14}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{6},e_{11}\}&\{e_{1},e_{12},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{6},e_{10}\}&\{e_{1},e_{13},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{7},e_{11}\}&\{e_{1},e_{13},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{2},e_{13}\}&\{e_{1},e_{14},e_{4},-e_{11}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{3},e_{12}\}&\{e_{1},e_{14},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{3},e_{13}\}&\{e_{1},e_{15},e_{2},-e_{12}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{4},e_{10}\}&\{e_{1},e_{15},e_{5},-e_{11}\}\\\{e_{2},e_{9},e_{4},e_{15}\}&\{e_{2},e_{9},e_{5},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{9},e_{6},e_{13}\}&\{e_{2},e_{9},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{5},e_{12}\}&\{e_{2},e_{11},e_{4},-e_{13}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{6},e_{15}\}&\{e_{2},e_{11},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{3},e_{13}\}&\{e_{2},e_{12},e_{5},-e_{11}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{7},e_{9}\}&\{e_{2},e_{13},e_{3},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{13},e_{4},e_{11}\}&\{e_{2},e_{13},e_{6},-e_{9}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{5},e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{4},-e_{9}\}\\\{e_{2},e_{15},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{6},-e_{11}\}\\\{e_{3},e_{9},e_{6},e_{12}\}&\{e_{3},e_{9},e_{4},-e_{14}\}\\\{e_{3},e_{9},e_{7},e_{13}\}&\{e_{3},e_{9},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{4},e_{13}\}&\{e_{3},e_{10},e_{5},-e_{12}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{7},e_{14}\}&\{e_{3},e_{10},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{12},e_{5},e_{10}\}&\{e_{3},e_{12},e_{6},-e_{9}\}\\\{e_{3},e_{14},e_{4},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{4},-e_{10}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{5},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{6},e_{10}\}&\{e_{3},e_{14},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{4},e_{9},e_{7},e_{10}\}&\{e_{4},e_{9},e_{6},-e_{11}\}\\\{e_{4},e_{10},e_{5},e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{4},e_{11},e_{6},e_{9}\}&\{e_{4},e_{11},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{4},e_{13},e_{6},e_{15}\}&\{e_{4},e_{13},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{4},e_{14},e_{7},e_{13}\}&\{e_{4},e_{14},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{4},e_{15},e_{5},e_{14}\}&\{e_{4},e_{15},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{5},e_{10},e_{6},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{6},-e_{10}\}\\\{e_{5},e_{11},e_{7},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{5},e_{12},e_{7},e_{14}\}&\{e_{5},e_{12},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{5},e_{15},e_{6},e_{12}\}&\{e_{5},e_{14},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{6},e_{11},e_{7},e_{10}\}&\{e_{6},e_{10},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{6},e_{13},e_{7},e_{12}\}&\{e_{6},e_{10},e_{7},-e_{13}\}\end{array}}\end{array}}}
  


應用 莫雷諾·吉列爾莫於1998年表明，一對範數一的十六元數空間（每個元素皆為範數為1的十六元數二元組的空間）中的元素相乘為零這樣的代數空間與緊湊形式的例外李群G2同胚。（留意在莫雷諾論文中，零因子指的是一對相乘為零的元素。）
十六元數神經網絡在機器學習應用中提供了一種高效且緊湊的表達方式，並被用於解決多個時間序列預測問題。


參見 超复数
伦纳德·尤金·迪克森


參考文獻