相空间表述是量子力学的一种表述。在这一表述中，系统的状态是在相空间中描述的，位置与动量被放在同等重要的位置。在量子力学常用的薛定谔绘景中则只会采用动量表象或是位置表象中的一种。相空间表述两个关键的特点是：量子态是以准概率分布描述的而非波函数、态矢或是密度矩阵；算符间的乘法被穆瓦亚尔积取代。
相空间表述理论是由希尔布兰德·格伦尼伍尔德于1946年在其博士学位论文中提出的。何塞·恩里科·穆瓦亚尔也在3年后独立导出该理论。他们所提出的理论都建构于赫尔曼·外尔以及尤金·维格纳早先的构想。
相空间表述的主要优势在于其在形式上与哈密顿力学近似，可以避免引入算符，进而可以“令量子化问题摆脱希尔伯特空间的限制”。这一表述具有统计性质，表现了量子力学和经典统计力学逻辑上的联系，提供了一个比较二者的角度。相空间表述在量子光学、量子退相干以及一些特殊问题中已经得到应用，但其尚未得到广泛应用。
相空间表述所基于的一些概念目前已在数学领域得到了进一步发展，如代数形变理论以及非交换几何。


相空间分布 在相空间表述中，相空间分布，而非较为常见的波函数或是密度矩阵，是对于系统量子态最为基础的描述方式。量子态f(x,p)在相空间中的分布是一个准概率分布。
这一分布有许多种表象，而这些表象也是互相相关的。其中较为重要的一种是維格納準概率分佈表象，W(x,p) 。其他表象包括格劳伯-苏德尔辛P表象、伏見Q表象、柯克伍德-雷阿切克表象、梅塔表象、里维耶表象以及玻恩-约当表象等等。其他表象在哈密顿算符取特定形式时会较为便利，如哈密顿算符取正规序时，采用格劳伯-苏德尔辛P表象在演算时会较为简便。由于维格纳表象较为常用，因而在下文中，如不特殊提及，将统一采用该表象。
相空间分布性质与2n维相空间概率密度分布类似。例如，其分布值是实数，这与通常是复数的波函数不同。我们可以通过在全动量域以及某一位置区间上的维格纳函数积分来理解该位置附近的概率分布：

  
    
      
        P
        ⁡
        [
        a
        ≤
        X
        ≤
        b
        ]
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        W
        (
        x
        ,
        p
        )
        
        d
        p
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx}
  

如果A(x,p)是一个表征可观测量的算符，其可以通过维格纳变换映射到相空间中，成为A(x, p)，还可以通过外尔变换还原回来。
通过相空间分布可以求得可观测量的期望值为：

  
    
      
        ⟨
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
        ⟩
        =
        ∫
        A
        (
        x
        ,
        p
        )
        W
        (
        x
        ,
        p
        )
        
        d
        p
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx}
  

需要注意的是，尽管形式存在一定的类似性，但考虑到概率第三公理的要求W(x,p)并非一种联合分布，因为其所表征的区域中的状态并不一定相互排斥。此外，尽管会违反概率第一公理，即使系统处于纯态时，在特殊情况下，如系统处于相干态时，其值也可能为负。
可以证明，分布值为负的区域非常小，其对于系统整体的影响在几ħ内，因而会在经典极限情况时会消失。但由不确定性原理，负分布值的区域有存在的可能性。不确定性原理并不允许对于相空间内小于ħ的区域进行精确描述。如果方程左边为希尔伯特空间中算符的期望值，那么在量子光学领域，这个式子可以称作光学等价性定理。


星积 相空间中基础的二元非交换运算为穆瓦亚尔积，其对应标准的算符间乘法，以符号★表征，因而也称“星积”。每种表象下，相空间分布所对应的星积运算法则也有所不同。下文中将讨论维格纳-外尔表象下的星积。
为了简洁表记，在这里引入左导数与右导数的标记方法。对于一对函数f与g，它们的左、右导数分别定义为：

  
    
      
        f
        
          
            
              
                
                  ∂
                
                
                  ←
                
              
            
          
          
            x
          
        
        g
        =
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        ⋅
        g
      
    
    {\displaystyle f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g}
  

  
    
      
        f
        
          
            
              
                
                  ∂
                
                
                  →
                
              
            
          
          
            x
          
        
        g
        =
        f
        ⋅
        
          
            
              ∂
              g
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}}
  

星积的微分定义为：

  
    
      
        f
        ⋆
        g
        =
        f
        
        exp
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      i
                      ℏ
                    
                    2
                  
                
              
              (
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                      
                      
                        ←
                      
                    
                  
                
                
                  x
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                      
                      
                        →
                      
                    
                  
                
                
                  p
                
              
              −
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                      
                      
                        ←
                      
                    
                  
                
                
                  p
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                      
                      
                        →
                      
                    
                  
                
                
                  x
                
              
              )
            
            )
          
        
        
        g
      
    
    {\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\tfrac {i\hbar }{2}}({\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}-{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{p}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x})\right)}\,g}
  

式中，指数函数可以理解为一个幂级数。引入额外的微分关系可以令此式的表述形式发生变化：

  
    
      
        
          
            
              
                (
                f
                ⋆
                g
                )
                (
                x
                ,
                p
                )
              
              
                
                =
                f
                
                  (
                  
                    x
                    +
                    
                      
                        
                          
                            i
                            ℏ
                          
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                            
                            
                              →
                            
                          
                        
                      
                      
                        p
                      
                    
                    ,
                    p
                    −
                    
                      
                        
                          
                            i
                            ℏ
                          
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                            
                            
                              →
                            
                          
                        
                      
                      
                        x
                      
                    
                  
                  )
                
                ⋅
                g
                (
                x
                ,
                p
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                f
                (
                x
                ,
                p
                )
                ⋅
                g
                
                  (
                  
                    x
                    −
                    
                      
                        
                          
                            i
                            ℏ
                          
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                            
                            
                              ←
                            
                          
                        
                      
                      
                        p
                      
                    
                    ,
                    p
                    +
                    
                      
                        
                          
                            i
                            ℏ
                          
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                            
                            
                              ←
                            
                          
                        
                      
                      
                        x
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                f
                
                  (
                  
                    x
                    +
                    
                      
                        
                          
                            i
                            ℏ
                          
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                            
                            
                              →
                            
                          
                        
                      
                      
                        p
                      
                    
                    ,
                    p
                  
                  )
                
                ⋅
                g
                
                  (
                  
                    x
                    −
                    
                      
                        
                          
                            i
                            ℏ
                          
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                            
                            
                              ←
                            
                          
                        
                      
                      
                        p
                      
                    
                    ,
                    p
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                f
                
                  (
                  
                    x
                    ,
                    p
                    −
                    
                      
                        
                          
                            i
                            ℏ
                          
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                            
                            
                              →
                            
                          
                        
                      
                      
                        x
                      
                    
                  
                  )
                
                ⋅
                g
                
                  (
                  
                    x
                    ,
                    p
                    +
                    
                      
                        
                          
                            i
                            ℏ
                          
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                            
                            
                              ←
                            
                          
                        
                      
                      
                        x
                      
                    
                  
                  )
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}}
  

通过傅里叶变换还可以定义卷积积分形式的星积：

  
    
      
        (
        f
        ⋆
        g
        )
        (
        x
        ,
        p
        )
        =
        
          
            1
            
              
                π
                
                  2
                
              
              
                ℏ
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        ∫
        f
        (
        x
        +
        
          x
          ′
        
        ,
        p
        +
        
          p
          ′
        
        )
        
        g
        (
        x
        +
        
          x
          ″
        
        ,
        p
        +
        
          p
          ″
        
        )
        
        exp
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      2
                      i
                    
                    ℏ
                  
                
              
              (
              
                x
                ′
              
              
                p
                ″
              
              −
              
                x
                ″
              
              
                p
                ′
              
              )
            
            )
          
        
        
        d
        
          x
          ′
        
        d
        
          p
          ′
        
        d
        
          x
          ″
        
        d
        
          p
          ″
        
      
    
    {\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''}
  
。
能量的本征态分布一般称作“星积本征态”或是“星积本征函数”，对应的能量值则被称为“星积本征值”。它们是对应含时薛定谔方程的星积本征值方程的解：

  
    
      
        H
        ⋆
        W
        =
        E
        ⋅
        W
      
    
    {\displaystyle H\star W=E\cdot W}
  

式中H为哈密顿量。它是一个普通相空间函数，通常与经典力学中的哈密顿量相同。


时间演化 相空间的时间演化可以通过对刘维尔方程进行量子改造得到。这个方程是通过对冯诺伊曼方程进行维格纳变换得到的。
对于相空间分布的任意表象及其对应的星积，存在：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              i
              ℏ
            
          
        
        
          (
          
            f
            ⋆
            H
            −
            H
            ⋆
            f
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),}
  

特别地，对于维格纳函数，存在：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              W
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        −
        {
        {
        W
        ,
        H
        }
        }
        =
        −
        
          
            2
            ℏ
          
        
        W
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                ℏ
                2
              
            
            (
            
              
                
                  
                    
                      ∂
                    
                    
                      ←
                    
                  
                
              
              
                x
              
            
            
              
                
                  
                    
                      ∂
                    
                    
                      →
                    
                  
                
              
              
                p
              
            
            −
            
              
                
                  
                    
                      ∂
                    
                    
                      ←
                    
                  
                
              
              
                p
              
            
            
              
                
                  
                    
                      ∂
                    
                    
                      →
                    
                  
                
              
              
                x
              
            
            )
          
          )
        
         
        H
        =
        −
        {
        W
        ,
        H
        }
        +
        O
        (
        
          ℏ
          
            2
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({{\frac {\hbar }{2}}({\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}-{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{p}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x})}\right)\ H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}
  

式中{{ , }}为穆瓦亚尔括号。其为对易算符经过维格纳变换后的结果，而{ , }则为经典力学中的泊松括号。
而这个式子也服从对应原理：当ħ → 0时，这个方程将还原为经典力学中的刘维尔方程。然而，推广至量子流情况时，相空间某一点的密度却并不守恒，概率流也将发散且可压缩。因而在这里，量子轨道的概念会显得有些微妙。


例子 = 简单谐振子 =

维格纳-外尔表象下，一维简单谐振子的哈密顿量为：

  
    
      
        H
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          ω
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.}
  

则静态维格纳函数的星积本征值方程为：

  
    
      
        
          
            
              
                H
                ⋆
                W
              
              
                
                =
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                    m
                    
                      ω
                      
                        2
                      
                    
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          p
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          m
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                ⋆
                W
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                    m
                    
                      ω
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        (
                        
                          x
                          +
                          
                            
                              
                                i
                                ℏ
                              
                              2
                            
                          
                          
                            
                              
                                
                                  
                                    ∂
                                  
                                  
                                    →
                                  
                                
                              
                            
                            
                              p
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        1
                        
                          2
                          m
                        
                      
                    
                    
                      
                        (
                        
                          p
                          −
                          
                            
                              
                                i
                                ℏ
                              
                              2
                            
                          
                          
                            
                              
                                
                                  
                                    ∂
                                  
                                  
                                    →
                                  
                                
                              
                            
                            
                              x
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                 
                W
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                    m
                    
                      ω
                      
                        2
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        −
                        
                          
                            
                              ℏ
                              
                                2
                              
                            
                            4
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  ∂
                                
                                
                                  →
                                
                              
                            
                          
                          
                            p
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                      )
                    
                    +
                    
                      
                        1
                        
                          2
                          m
                        
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          p
                          
                            2
                          
                        
                        −
                        
                          
                            
                              ℏ
                              
                                2
                              
                            
                            4
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  ∂
                                
                                
                                  →
                                
                              
                            
                          
                          
                            x
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  )
                
                 
                W
              
            
            
              
              
                
                
                
                
                
                
                +
                
                  
                    
                      i
                      ℏ
                    
                    2
                  
                
                
                  (
                  
                    m
                    
                      ω
                      
                        2
                      
                    
                    x
                    
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                            
                            
                              →
                            
                          
                        
                      
                      
                        p
                      
                    
                    −
                    
                      
                        p
                        m
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                            
                            
                              →
                            
                          
                        
                      
                      
                        x
                      
                    
                  
                  )
                
                 
                W
              
            
            
              
              
                
                =
                E
                ⋅
                W
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)^{2}\right)~W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}^{2}\right)\right)~W\\&\,\,\,\,\,+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)~W\\&=E\cdot W.\end{aligned}}}
  

首先考察星积本征值方程的虚数部分：

  
    
      
        
          
            ℏ
            2
          
        
        
          (
          
            m
            
              ω
              
                2
              
            
            x
            
              
                
                  
                    
                      ∂
                    
                    
                      →
                    
                  
                
              
              
                p
              
            
            −
            
              
                p
                m
              
            
            
              
                
                  
                    
                      ∂
                    
                    
                      →
                    
                  
                
              
              
                x
              
            
          
          )
        
        ⋅
        W
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)\cdot W=0}
  

这意味着，星积本征态可以表示为一个单自变量函数：

  
    
      
        W
        (
        x
        ,
        p
        )
        =
        F
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            m
            
              ω
              
                2
              
            
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              
                
                  p
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  m
                
              
            
          
          )
        
        ≡
        F
        (
        u
        )
        .
      
    
    {\displaystyle W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).}
  

通过这一变量变换，星积本征值方程的实数部分可以写为一个改造过的拉盖尔方程。它的解可以以拉盖尔多项式的形式表示为：

  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
        (
        u
        )
        =
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              π
              ℏ
            
          
        
        
          L
          
            n
          
        
        
          (
          
            4
            
              
                u
                
                  ℏ
                  ω
                
              
            
          
          )
        
        
          e
          
            −
            2
            u
            
              /
            
            ℏ
            ω
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega }}
  

对应的星积本征值为：

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        ℏ
        ω
        
          (
          
            n
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}
  

对于谐振子而言，任意的维格纳分布的时间演化非常容易求得。初态为W(x,p; t=0) =  F(u)时的情况可以通过将上述结果在相空间中做刚性转动求得：

  
    
      
        W
        (
        x
        ,
        p
        ;
        t
        )
        =
        W
        (
        m
        ω
        x
        cos
        ⁡
        ω
        t
        −
        p
        sin
        ⁡
        ω
        t
        ,
         
        p
        cos
        ⁡
        ω
        t
        +
        ω
        m
        x
        sin
        ⁡
        ω
        t
        ;
        0
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,~p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0)~.}
  

一般情况下，能量E ≫ ħω的量子谐振子可以表征宏观谐振子。其在相空间中会做匀速运动。对其在全相空间中积分（起点为t = 0），则可以得到一个连续的“围栏”。其含时属性与上面的静态星积本征态F(u)相似，可以作为经典极限的直观表现。


= 自由粒子角动量 =
假设粒子最初处于最小不确定高斯态，位置与动量的期望值在相空间原点。这种自由传播的态的维格纳函数为：

  
    
      
        W
        (
        
          x
        
        ,
        
          p
        
        ;
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              (
              π
              ℏ
              
                )
                
                  3
                
              
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          
            (
            
              −
              
                α
                
                  2
                
              
              
                r
                
                  2
                
              
              −
              
                
                  
                    p
                    
                      2
                    
                  
                  
                    
                      α
                      
                        2
                      
                    
                    
                      ℏ
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              
                (
                
                  1
                  +
                  
                    
                      (
                      
                        
                          t
                          τ
                        
                      
                      )
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
              +
              
                
                  
                    2
                    t
                  
                  
                    ℏ
                    τ
                  
                
              
              
                x
              
              ⋅
              
                p
              
            
            )
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,}
  

式中，α为表征高斯波包的宽度的参数，而τ = m/α2ħ。
最初，位置与动量并不相关。因而在三维情形下，位矢与动量是平行的，且大小为垂直情形的2倍。
然而，位置与动量的相关性会随着状态演化而越来越强，因为相对于原点传播得越远，动量值需要更大。这一情形的渐近式为：

  
    
      
        W
        ⟶
        
          
            1
            
              (
              π
              ℏ
              
                )
                
                  3
                
              
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          [
          
            −
            
              α
              
                2
              
            
            
              
                (
                
                  
                    x
                  
                  −
                  
                    
                      
                        
                          p
                        
                        t
                      
                      m
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
          ]
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.}
  

在这里，只能求出粒子的动能的渐近解，与给定取向独立性时的基态非零角动量情况一致：

  
    
      
        
          K
          
            r
            a
            d
          
        
        =
        
          
            
              
                α
                
                  2
                
              
              
                ℏ
                
                  2
                
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          (
          
            
              
                3
                2
              
            
            −
            
              
                1
                
                  1
                  +
                  (
                  t
                  
                    /
                  
                  τ
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle K_{rad}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)}
  

  
    
      
        
          K
          
            a
            n
            g
          
        
        =
        
          
            
              
                α
                
                  2
                
              
              
                ℏ
                
                  2
                
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            1
            
              1
              +
              (
              t
              
                /
              
              τ
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle K_{ang}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.}
  


= 莫尔斯势 =
莫尔斯势常被用来近似双原子分子的振动结构。


= 量子隧穿效应 =
量子隧穿效应是一种典型的量子效应。在发生隧穿时，粒子在不具备足够飞跃势垒的能量时，仍能像有一个“隧道”一样穿过势垒。这一效应在经典力学中并没有对应的效应。


= 四次势 =


注释 参考文献