在数学中，曲（qu）率（英語：curvature）即“弯曲度”，是描述几何体弯曲程度的量；直观地说，曲率是曲线偏离直线的量（程度），或是曲面偏离平面的量（程度）。
在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。
曲线的曲率通常是标量，但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象，曲率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。


平面曲线的曲率 曲率有多种等价的定义

圆上每一点处的弯曲程度都相同，半径越小弯曲得越厉害，所以可以用半径的倒数来定量描述圆的弯曲程度。直线可以看作半径无限大的圆，所以直线的曲率为0。对于任意形状的曲线，每一点处的弯曲程度一般是不同的。对曲线
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
上任一点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
，在其附近再找
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
上的两个点
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1},P_{2}}
  
，这三点总能确定一个圆（三点共线时确定一条直线，但可以把直线看作半径无限大的广义的圆）。当
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1},P_{2}}
  
无限接近于点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
时，相应的圆也有一个极限，这个极限圆就是在点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
处最接近曲线
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的圆，称为密切圆。密切圆的曲率就是曲线
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
在点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
处的曲率。
柯西这样定义密切圆和曲率：对曲线
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
上任一点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
，在其附近再找
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
上的两个点
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1},P_{2}}
  
，分别过
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1},P_{2}}
  
作出曲线
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的法线，两条法线会有一个交点。当
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1},P_{2}}
  
无限接近于点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
时，相应的交点有一个极限，以这个极限点为圆心，过点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
作圆，就是曲线
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
在点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
处的密切圆，密切圆的半径的倒数就是曲率。
当曲线上一点沿着曲线以单位速率运动时，过这一点处的切线的方向在转动。曲线弯曲程度越高，切线旋转得越快。设曲线
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的参数方程为
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          r
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}(s)}
  
，其中s是弧长参数。则
  
    
      
        
          α
        
        (
        s
        )
        =
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(s)={\dot {\boldsymbol {r}}}(s)}
  
是单位切向量。设切向量
  
    
      
        
          α
        
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(s)}
  
与
  
    
      
        
          α
        
        (
        s
        +
        Δ
        s
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(s+\Delta s)}
  
的夹角为
  
    
      
        Δ
        θ
      
    
    {\displaystyle \Delta \theta }
  
，则曲率
  
    
      
        κ
        =
        
          |
        
        
          
            
              α
              ˙
            
          
        
        (
        s
        )
        
          |
        
        =
        
          lim
          
            Δ
            s
            →
            0
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  Δ
                  θ
                
                
                  Δ
                  s
                
              
            
            |
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \kappa =|{\dot {\boldsymbol {\alpha }}}(s)|=\lim _{\Delta s\to 0}{\left|{\frac {\Delta \theta }{\Delta s}}\right|}.}
  


= 局部表达式 =
对于一个以参数化形式给出的平面曲线
由此可知，反函数的曲率与原函数相同（具有对称性）。
  
    
      
        c
        (
        t
        )
        =
        (
        x
        (
        t
        )
        ,
        y
        (
        t
        )
        )
        
      
    
    {\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))\,}
  
，其曲率为

  
    
      
        κ
        =
        
          
            
              
                |
              
              
                x
                ′
              
              (
              t
              )
              
                y
                ″
              
              (
              t
              )
              −
              
                x
                ″
              
              (
              t
              )
              
                y
                ′
              
              (
              t
              )
              
                |
              
            
            
              (
              
                x
                
                  ′
                  
                    2
                  
                
              
              (
              t
              )
              +
              
                y
                
                  ′
                  
                    2
                  
                
              
              (
              t
              )
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'^{2}(t)+y'^{2}(t))^{3/2}}}.}
  


= 函数图像的曲率 =
若曲線 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle y=f(x)\,}
  
，其曲率為

  
    
      
        κ
        =
        
          
            
              
                |
              
              
                f
                ″
              
              (
              x
              )
              
                |
              
            
            
              (
              1
              +
              
                f
                
                  ′
                  
                    2
                  
                
              
              (
              x
              )
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \kappa ={\frac {|f''(x)|}{(1+f'^{2}(x))^{3/2}}}.}
  

对于极坐标方程给出的曲线 
  
    
      
        r
        =
        r
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle r=r(\theta )}
  
，其曲率为

  
    
      
        κ
        (
        θ
        )
        =
        
          
            
              
                |
              
              
                r
                
                  2
                
              
              +
              2
              
                r
                
                  ′
                  
                    2
                  
                
              
              −
              r
              
                r
                ″
              
              
                |
              
            
            
              (
              
                r
                
                  2
                
              
              +
              
                r
                
                  ′
                  
                    2
                  
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {|r^{2}+2r'^{2}-rr''|}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}.}
  


= 隐式方程曲线 =
对于隐式给出的平面曲线 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle F(x,y)=0\,}
  
，其曲率为

  
    
      
        κ
        =
        
          
            1
            
              (
              
                F
                
                  x
                
                
                  2
                
              
              +
              
                F
                
                  y
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    F
                    
                      x
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    F
                    
                      x
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    F
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    F
                    
                      y
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    F
                    
                      y
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    F
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    F
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    F
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          
            
              −
              
                F
                
                  y
                
                
                  2
                
              
              
                F
                
                  x
                  x
                
              
              +
              2
              
                F
                
                  x
                
              
              
                F
                
                  y
                
              
              
                F
                
                  x
                  y
                
              
              −
              
                F
                
                  x
                
                
                  2
                
              
              
                F
                
                  y
                  y
                
              
            
            
              (
              
                F
                
                  x
                
                
                  2
                
              
              +
              
                F
                
                  y
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}{\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{x}\\F_{yx}&F_{yy}&F_{y}\\F_{x}&F_{y}&0\end{vmatrix}}={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}.}
  

最后的公式也给出了在欧几里得空间中的超曲面的平均曲率（可以差一个常数）。


= 範例 =
考虑抛物线 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        2
        p
        y
      
    
    {\displaystyle x^{2}=2py}
  
。代入公式直接计算

  
    
      
        κ
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              (
              
                p
                
                  2
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \kappa (x)={\frac {p^{2}}{(p^{2}+x^{2})^{3/2}}}.}
  

在原点处取得最大曲率，相应的曲率半径就等于准焦距 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
。
频率比为 
  
    
      
        3
        :
        2
      
    
    {\displaystyle 3:2}
  
 的利萨如曲线 
  
    
      
        γ
        (
        t
        )
        =
        (
        cos
        ⁡
        
          3
          t
        
        ,
        sin
        ⁡
        
          2
          t
        
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma (t)=(\cos {3t},\sin {2t})}
  
，其曲率为

  
    
      
        k
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              6
              cos
              ⁡
              
                t
              
              (
              8
              
                cos
                
                  4
                
              
              ⁡
              
                t
              
              −
              10
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              
                t
              
              +
              5
              )
            
            
              (
              232
              
                cos
                
                  4
                
              
              ⁡
              
                t
              
              −
              97
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              
                t
              
              +
              13
              −
              144
              
                cos
                
                  6
                
              
              ⁡
              
                t
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle k(t)={\frac {6\cos {t}(8\cos ^{4}{t}-10\cos ^{2}{t}+5)}{(232\cos ^{4}{t}-97\cos ^{2}{t}+13-144\cos ^{6}{t})^{3/2}}}.}
  


空间曲线的曲率 = 局部表达式 =
对于一个以参数化形式给出的空间曲线
  
    
      
        
          r
        
        (
        t
        )
        =
        (
        x
        (
        t
        )
        ,
        y
        (
        t
        )
        ,
        z
        (
        t
        )
        )
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=(x(t),y(t),z(t))\,}
  
其曲率为

  
    
      
        κ
        =
        
          
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                ′
              
              ×
              
                
                  r
                
                ″
              
              
                |
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                z
                ″
              
              
                y
                ′
              
              −
              
                y
                ″
              
              
                z
                ′
              
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              (
              
                x
                ″
              
              
                z
                ′
              
              −
              
                z
                ″
              
              
                x
                ′
              
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              (
              
                y
                ″
              
              
                x
                ′
              
              −
              
                x
                ″
              
              
                y
                ′
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              (
              
                x
                
                  ′
                  
                    2
                  
                
              
              +
              
                y
                
                  ′
                  
                    2
                  
                
              
              +
              
                z
                
                  ′
                  
                    2
                  
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ={\frac {|{\boldsymbol {r}}'\times {\boldsymbol {r}}''|}{|{\boldsymbol {r}}'|^{3}}}={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}
  

  
    
      
        κ
        =
        
          
            
              det
              
                (
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                ,
                
                  
                    r
                  
                  ″
                
                
                  )
                  
                    T
                  
                
                (
                
                  
                    r
                  
                  ′
                
                ,
                
                  
                    r
                  
                  ″
                
                )
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
              
                |
              
              
                
                  r
                
                ″
              
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
              −
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              ⋅
              
                
                  r
                
                ″
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {\det {({\boldsymbol {r}}',{\boldsymbol {r}}'')^{T}({\boldsymbol {r}}',{\boldsymbol {r}}'')}}}{|{\boldsymbol {r}}'|^{3}}}={\frac {\sqrt {|{\boldsymbol {r}}'|^{2}|{\boldsymbol {r}}''|^{2}-({\boldsymbol {r}}'\cdot {\boldsymbol {r}}'')^{2}}}{|{\boldsymbol {r}}'|^{3}}}}
  


= 用弧长和弦长计算曲率 =
给定曲线
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
上的两点
  
    
      
        P
        ,
        Q
      
    
    {\displaystyle P,Q}
  

  
    
      
        P
        ,
        Q
      
    
    {\displaystyle P,Q}
  
两点之间的弧长为
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
，弦长为
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
。则曲线
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
在点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
处的曲率

  
    
      
        κ
        =
        
          lim
          
            Q
            →
            P
          
        
        
          
            
              
                24
                (
                s
                −
                d
                )
              
              
                s
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa =\lim _{Q\to P}{\sqrt {\frac {24(s-d)}{s^{3}}}}}
  

分子中的
  
    
      
        
          s
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle s^{3}}
  
也可以替换为
  
    
      
        
          d
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle d^{3}}
  
。这个公式对任意维空间中的曲线都成立。


曲面上曲线的曲率 当曲线位于三维空间中的二维曲面上时，可以定义法曲率、测地曲率和测地挠率。设曲面上的曲线在某一点处的切向量为
  
    
      
        
          τ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
  
，曲面在这一点处的法向量为
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {n}}}
  
。则曲线的法曲率就是曲线在
  
    
      
        
          τ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
  
和
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {n}}}
  
张成的平面上的投影曲线的曲率；测地曲率就是曲线在曲面的切平面上的投影的曲率。


三维空间中的曲面曲率 对于嵌入在欧几里得空间
  
    
      
        
          
            
              R
            
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {R}}^{3}}
  
中的二维曲面，有两种曲率存在：高斯曲率和平均曲率。为计算在曲面给定点的曲率，考虑曲面和由在该点的法向量和某一切向量所确定的平面的交集。这个交集是一个平面曲线，所以有一个曲率；如果选择其它切向量，这个曲率会改变，并且有两个极值-最大和最小曲率，称为主曲率
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}}
  
和
  
    
      
        
          k
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{2}}
  
，极值方向称为主方向。这里我们采用在曲线向和曲面选定法向的相同方向绕转的时候把曲率置为正数，否则为负的约定。


= 高斯曲率 =
曲线没有内蕴的曲率，只有外在的曲率（即只有把曲线嵌入到具体的空间中才能定义曲率）。相比之下，曲面可以有不依赖于嵌入的内蕴曲率。高斯曲率，以高斯命名，等于主曲率的乘积
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
        
          k
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}k_{2}}
  
。它的量纲为长度−2，对于球面、椭球、双叶双曲面的一叶、椭圆抛物面为正，对于伪球面、 单叶双曲面、双曲抛物面为负，对平面、圆柱面为0。它决定了曲面是局部凸（正的时候）还是局部鞍形（负的时候）。
上面给出的高斯曲率的定义是外在的，因为它用了曲面在
  
    
      
        
          
            
              R
            
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\textbf {R}}^{3}}
  
中的嵌入，法向量，外部平面等等。但是高斯曲率实际上是曲面的内在属性，也就是它不依赖于曲面的特定嵌入；直观的讲，这意味着活在曲面上的蚂蚁可以确定高斯曲率。例如，生活在球面上的蚂蚁能够测量三角形的内角和，发现它大于180度，表明这个曲面是正曲率的。而生活在圆柱面上的蚂蚁则不会发现对欧氏几何的任何背离。
形式地说，高斯曲率只依赖于曲面的黎曼度量。这就是高斯著名的絕妙定理，在他研究地理测绘和地图制作时发现。
高斯曲率在一点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
的内在定义的一种：想象把一只蚂蚁绑在一条长为
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
的短线一端，线的另一端绑在
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
。这只蚂蚁在线拉直的时候绕
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
点跑并测量绕
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
点的一圈的周长
  
    
      
        C
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle C(r)}
  
。如果曲面是平的，则有
  
    
      
        C
        (
        r
        )
        =
        2
        π
        r
      
    
    {\displaystyle C(r)=2\pi r}
  
。在弯曲的曲面上，
  
    
      
        C
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle C(r)}
  
的公式不同，
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
点的高斯曲率
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
可以这样计算：

  
    
      
        K
        =
        
          lim
          
            r
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          (
          2
          π
          r
          −
          C
          (
          r
          )
          )
          ⋅
          
            
              3
              
                π
                
                  r
                  
                    3
                  
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}{(2\pi r-C(r))\cdot {\frac {3}{\pi r^{3}}}}.}
  

高斯曲率在整个曲面上的积分和曲面的欧拉示性数有密切关联；参见高斯-博内定理。


= 平均曲率 =
平均曲率等于主曲率的算术平均数
  
    
      
        
          
            
              
                k
                
                  1
                
              
              +
              
                k
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}}
  
。量纲为长度−1。平均曲率和曲面面积的第一变分密切相关。特别的，像肥皂膜这样的极小曲面平均曲率为0，而肥皂泡平均曲率为常数。不像高斯曲率，平均曲率依赖于嵌入，例如，圆柱和平面是局部等距的，但是平面的平均曲率为0，而圆柱的非零。


= 第二基本形式 =
曲面的外在曲率与内在曲率可以在第二基本形式中结合起来。用符号来表示

  
    
      
        
          I
          I
        
        (
        
          x
        
        ,
        
          x
        
        )
        =
        
          n
        
        ⋅
        
          ∇
          
            x
          
        
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {II} ({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {n}}\cdot \nabla _{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {x}}}
  

其中
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {n}}}
  
是曲面的单位法向量。对单位切向量
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
  
，第二基本形式分别在主方向
  
    
      
        
          
            u
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            u
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{2}}
  
处取得最大值
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}}
  
与最小值
  
    
      
        
          k
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{2}}
  
。因此第二基本形式也可表示为

  
    
      
        
          I
          I
        
        =
        
          k
          
            1
          
        
        (
        
          x
        
        ⋅
        
          
            u
          
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        (
        
          x
        
        ⋅
        
          
            u
          
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {II} =k_{1}({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {u}}_{1})^{2}+k_{2}({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {u}}_{2})^{2}}
  


= 形状算子 =
形状算子是与曲率相关的一个概念，是切空间到自身的线性算子。主曲率是形状算子的特征值，事实上形状算子与第二基本形式关于切平面的一对正交基的矩阵表示相同。于是高斯曲率等于形状算子的行列式，而平均曲率等于形状算子的迹的一半。


空间的曲率 上文提到曲线没有内蕴曲率，而曲面则可以。更一般地，三维以上的空间都可以有内蕴曲率。曲率的内蕴定义与非欧几何紧密相关，许多数学家与科学家怀疑实际的物理空间可能也是弯曲的。在描述引力和宇宙学的广义相对论中，这个想法推广为“时空的弯曲”；在相对论中时空是伪黎曼流形。
尽管任意弯曲的空间的描述是很复杂的，局部各向同性和齐性的空间可以只用高斯曲率来描述，就像曲面那样；从数学上来说这些是很强的条件，但从物理上来说是合理的假设。正曲率对应曲率半径的倒数平方，例如球面或超球面。双曲几何是负曲率的弯曲空间的例子。零曲率的空间或时空称为平坦的。例如，欧氏空间是平坦的空间，而闵可夫斯基空间是平坦的时空。可以给环面和圆柱面赋予平坦的度量，但它们的拓扑是不同的。


注释 另见 曲率形式 包含对于有联络的向量丛和主丛的曲率的正确描述。
黎曼流形曲率 有高斯曲率在高维黎曼流形上的推广。
曲率向量和测地曲率 黎曼曲面上的曲线的曲率的描述。
高斯-博内定理有曲率的基本应用
高斯映射有高斯曲率的更多几何属性。
曲面上一点处的平均曲率
最小曲线半径
曲率半径
超曲面的第二基本形式
曲线的挠率