在点集拓扑学與欧几里得空间中，凸集（Convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的线段點都落在該點集合中。


凸集實例 區間是實數的凸集。
依據定義，中空的圓形稱為圆（circle），它不是凸集；實心的圓形稱為圆盘（disk），它是凸集。
凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集，它們的每隻角都小於180度。
单纯形是凸集，對於單純形的顶点集合來說，單純形是它們的最小凸集，所以單純形也是一個凸包。
定宽曲线是凸集。


凸集的延森不等式定義 在度量幾何中，琴生不等式（Jensen's inequality）為凸集給出一個最健全的解釋，而不必牽涉到二階導數：

假設
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
為在實或複向量空間的集。若對於所有
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle x,y\in S}
  
和所有
  
    
      
        t
        ∈
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle t\in [0,1]}
  
，有
  
    
      
        (
        1
        −
        t
        )
        x
        +
        t
        y
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle (1-t)x+ty\in S}
  
，則稱
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
為凸集。
簡單而言，就是
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
中的任何兩點之間的直線段都屬於
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
。因此，凸集是一個連通空間。


特殊凸集 特殊凸集是特別給了名稱的凸集，它們可能是具有額外性質的凸集，或是在某種定義下的凸集（非一般定義中的凸集）。


= 具有額外性質的凸集 =
絕對凸集：若
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
既是凸集又是平衡集，則稱
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
為絕對凸的。


= 在某種定義下的凸集 =
星形凸集：若集
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
中存在一點
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
，使得由
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
到
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
中任何一點的直線段都屬於
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
，則稱
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
為星形域或星形凸集。星形域是簡單連通的。


性質 若
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
是凸集，對於任意
  
    
      
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          u
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          u
          
            r
          
        
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}\in S}
  
，及所有非負數
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          λ
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}
  
滿足
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            r
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{r}=1}
  
，都有

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            r
          
        
        
          λ
          
            k
          
        
        
          u
          
            k
          
        
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}\in S}
  
。這個向量稱為
  
    
      
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          u
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          u
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}}
  
的凸組合。


非歐幾何的凸集 對於非歐平面，可用測地線來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。


參見 凸函數
凸包