物理学中，弯曲时空中的麦克斯韦方程组（Maxwell's equations in curved spacetime）制约着弯曲时空（其间的度规可能不是闵可夫斯基性的）中的电磁场的动力学。它们可以被认为是真空中的麦克斯韦方程组在广义相对论框架中的扩展，而真空中的麦克斯韦方程组只是一般化的麦克斯韦方程组在局部平直时空中的特殊形式。但由于在广义相对论中电磁场本身的存在也会引起时空的弯曲，因此真空中的麦克斯韦方程组应被理解为一种出于方便的近似形式。
然而，这种形式的麦克斯韦方程组仅仅对真空情形下的麦克斯韦方程组有用，这也被称作“微观”麦克斯韦方程组。对于宏观上与各向异性的物质相关的麦克斯韦方程组，物质的存在会建立一个参考系从而使方程组不再是协变的。
阅读本条目需要读者了解平直时空中电磁理论的四维形式。
电磁场本身要求其几何描述与坐标选取无关，而麦克斯韦方程组在任何时空中的几何描述都是一样的，而不管这个时空是否是平直的。同时，当使用非笛卡尔的局部坐标时平直闵可夫斯基空间中的方程组会做同样的修改。例如本条目中方程组可以写成球坐标中的麦克斯韦方程组的形式。基于上述原因，更好的理解方法是将闵可夫斯基空间中的麦克斯韦方程组理解为一种特殊形式，而非将弯曲时空中的麦克斯韦方程组理解为一种相对论化的推广。


摘要 广义相对论中真空中的电磁理论的方程为

  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        =
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        
        −
        
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha \beta }\,=\,\partial _{\alpha }A_{\beta }\,-\,\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}
  

  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
        =
        
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
        
          g
          
            μ
            α
          
        
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          g
          
            β
            ν
          
        
        
        
          
            −
            g
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\,}
  

  
    
      
        
          J
          
            μ
          
        
        
        =
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle J^{\mu }\,=\,\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,}
  

  
    
      
        
          f
          
            μ
          
        
        
        =
        
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        
        
          J
          
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{\mu }\,=\,F_{\mu \nu }\,J^{\nu }\,}
  

其中
  
    
      
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle g^{\alpha \beta }\,}
  
是度规张量
  
    
      
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{\alpha \beta }\,}
  
的倒数，而
  
    
      
        g
        
      
    
    {\displaystyle g\,}
  
是度规张量的行列式，
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }\,}
  
是电磁场的四维势，
  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle F^{\alpha \beta }\,}
  
是电磁场的四维协变张量，
  
    
      
        
          D
          
            μ
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle D^{\mu \nu }\,}
  
是位移电流张量，
  
    
      
        
          f
          
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{\mu }\,}
  
是洛伦兹力的密度，
  
    
      
        
          J
          
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle J_{\mu }\,}
  
是四维电流密度。尽管方程组中使用了偏导数，这些方程仍然在任意曲面坐标变换下是协变的。也就是说如果将偏导数换成协变导数，引入的附加项会自动消去从而保持形式不变。


电磁四维势 电磁场的四维势
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }\,,}
  
是一个协变矢量，它的坐标变换规则为

  
    
      
        
          
            
              
                A
                ¯
              
            
          
          
            β
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
          A
          
            γ
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\bar {A}}_{\beta }={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\,.}
  


电磁场四维张量 电磁场是一个协变的二阶反对称张量，它用电磁势可以定义为

  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        =
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        
        −
        
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha \beta }\,=\,\partial _{\alpha }A_{\beta }\,-\,\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.}
  

为证明它的洛伦兹不变性，我们对其进行坐标变换

  
    
      
        
          
            
              
                F
                ¯
              
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      A
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        −
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      A
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {F}}_{\alpha \beta }\,=\,{\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,-\,{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      γ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      β
                    
                  
                
              
            
            
              A
              
                γ
              
            
          
          )
        
        
        −
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      δ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      α
                    
                  
                
              
            
            
              A
              
                δ
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)\,-\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
          A
          
            γ
          
        
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        −
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
          A
          
            δ
          
        
        
        −
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\,\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\,+\,{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\,\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\,-\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  δ
                
              
            
          
        
        
        −
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  γ
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}\,-\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      γ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      δ
                    
                  
                
              
            
            
            −
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      δ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      γ
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\,\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}\,-\,{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          F
          
            δ
            γ
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\,F_{\delta \gamma }\,.}
  

这一定义暗示了电磁场张量满足关系

  
    
      
        
          ∂
          
            λ
          
        
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        +
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          F
          
            ν
            λ
          
        
        +
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          F
          
            λ
            μ
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0\,}
  

这一关系包含了法拉第电磁感应定律和磁场的高斯定理，因此也叫做法拉第-高斯方程。具体而言，

  
    
      
        
          ∂
          
            λ
          
        
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        +
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          F
          
            ν
            λ
          
        
        +
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          F
          
            λ
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          ∂
          
            λ
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          A
          
            ν
          
        
        −
        
          ∂
          
            λ
          
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
        +
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          A
          
            λ
          
        
        −
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            λ
          
        
        
          A
          
            ν
          
        
        +
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          ∂
          
            λ
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
        −
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          A
          
            λ
          
        
        
        =
        0
        
        .
      
    
    {\displaystyle =\,\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }\,=0\,.}
  

虽然这个关系包含了64个分量方程，但只有四个是独立的。借助电磁场张量的反对称性，可知只有
  
    
      
        λ
        ,
        μ
        ,
        ν
        
      
    
    {\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu \,}
  
等于1,2,3或2,3,0或3,0,1或0,1,2时的方程是彼此独立的。
法拉第-高斯方程有时也写作下面的形式

  
    
      
        
          F
          
            [
            μ
            ν
            ;
            λ
            ]
          
        
        
        =
        
        
          F
          
            [
            μ
            ν
            ,
            λ
            ]
          
        
        
        =
        
        
          
            1
            6
          
        
        
          (
          
            
              ∂
              
                λ
              
            
            
              F
              
                μ
                ν
              
            
            +
            
              ∂
              
                μ
              
            
            
              F
              
                ν
                λ
              
            
            +
            
              ∂
              
                ν
              
            
            
              F
              
                λ
                μ
              
            
            −
            
              ∂
              
                λ
              
            
            
              F
              
                ν
                μ
              
            
            −
            
              ∂
              
                μ
              
            
            
              F
              
                λ
                ν
              
            
            −
            
              ∂
              
                ν
              
            
            
              F
              
                μ
                λ
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle F_{[\mu \nu ;\lambda ]}\,=\,F_{[\mu \nu ,\lambda ]}\,=\,{\frac {1}{6}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda }\right)\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            1
            3
          
        
        
          (
          
            
              ∂
              
                λ
              
            
            
              F
              
                μ
                ν
              
            
            +
            
              ∂
              
                μ
              
            
            
              F
              
                ν
                λ
              
            
            +
            
              ∂
              
                ν
              
            
            
              F
              
                λ
                μ
              
            
          
          )
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {1}{3}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }\right)=0\,}
  

其中按照惯例用分号表示协变导数，逗号表示偏导数，方括号表示反对称形式。电磁场张量的协变导数为

  
    
      
        
          F
          
            α
            β
            ;
            γ
          
        
        
        =
        
        
          F
          
            α
            β
            ,
            γ
          
        
        −
        
          
            
              Γ
              
                μ
              
            
          
          
            α
            γ
          
        
        
          F
          
            μ
            β
          
        
        −
        
          
            
              Γ
              
                μ
              
            
          
          
            β
            γ
          
        
        
          F
          
            α
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha \beta ;\gamma }\,=\,F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu }\,}
  

其中
  
    
      
        
          Γ
          
            β
            γ
          
          
            α
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }\,}
  
是克里斯托费尔符号，两个下标是对称的。


电磁位移张量 位移电场
  
    
      
        
          D
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} \,,}
  
和附屬磁场
  
    
      
        
          H
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} \,,}
  
构成一个反对称的逆变二阶张量。真空中这个张量为

  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
        =
        
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
        
          g
          
            μ
            α
          
        
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          g
          
            β
            ν
          
        
        
        
          
            −
            g
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\,.}
  

注意这个方程是电磁理论中唯一有度规（即引力）存在的方程。并且这一方程具有尺度不变性，即将度规乘以一个常数不会改变方程的形式。也就是说，引力只能通过改变全局坐标中的光速来影响相应的电磁场，由于光在引力场中会发生偏折，其效应等同于质量的引力场增加了周围时空的折射率，从而影响了对应的位移电场和附屬磁场。
更一般地，当物质中的磁化-极化张量不为零时，我们有

  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
        =
        
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
        
          g
          
            μ
            α
          
        
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          g
          
            β
            ν
          
        
        
        
          
            −
            g
          
        
        
        −
        
        
          
            
              M
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\,-\,{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.}
  

电磁位移张量的坐标变换规则为

  
    
      
        
          
            
              
                
                  D
                
                ¯
              
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              D
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,}
  

其中使用了雅可比行列式。如果磁化-极化张量存在，它和电磁位移张量具有同样的变换规则。


电流 电磁位移张量的散度被定义为电流，在真空中

  
    
      
        
          J
          
            μ
          
        
        
        =
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle J^{\mu }\,=\,\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,.}
  

如果磁化-极化张量存在，则上式替换为

  
    
      
        
          J
          
            free
          
          
            μ
          
        
        
        =
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle J_{\text{free}}^{\mu }\,=\,\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,.}
  

这一方程包含了高斯定理和安培环路定理。
无论磁化-极化张量是否存在，电磁位移张量是反对称的这一事实暗示了电流是一个守恒量：

  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          J
          
            μ
          
        
        
        =
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          
            
              D
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }\,=\,\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=0\,}
  

这个二阶偏导数为零是由于偏导是对易的。
电流的安培-高斯定义并不能决定它的大小，因为电磁四维势的大小并未确定。相反地，通常的步骤是使电流等于一个用其他场表示的表达式（主要是电荷），然后解得电磁位移、电磁场和电磁势。
电流是一个逆变的矢量，因而其变换规则是

  
    
      
        
          
            
              
                J
                ¯
              
            
          
          
            μ
          
        
        
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          J
          
            α
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\bar {J}}^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,J^{\alpha }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,.}
  

变换规则的验证如下：

  
    
      
        
          
            
              
                J
                ¯
              
            
          
          
            μ
          
        
        
        =
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    D
                  
                  ¯
                
              
            
            
              μ
              ν
            
          
          )
        
        
        =
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      μ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      α
                    
                  
                
              
            
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ν
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      β
                    
                  
                
              
            
            
            
              
                
                  D
                
              
              
                α
                β
              
            
            
            det
            
              [
              
                
                  
                    ∂
                    
                      x
                      
                        σ
                      
                    
                  
                  
                    ∂
                    
                      
                        
                          
                            x
                            ¯
                          
                        
                      
                      
                        ρ
                      
                    
                  
                
              
              ]
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {J}}^{\mu }\,=\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\right)\,=\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              D
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              D
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,+\,}
  

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    D
                  
                
                
                  α
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              D
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
          
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              D
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              D
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,+\,}
  

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    D
                  
                
                
                  α
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              D
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ρ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  σ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ρ
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        0
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              D
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle =\,0\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,+\,}
  

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          J
          
            α
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              D
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ρ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  σ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ρ
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,J^{\alpha }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          J
          
            α
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              D
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        det
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    σ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    ρ
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ν
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ν
                    
                  
                  ∂
                  
                    x
                    
                      β
                    
                  
                
              
            
            
            +
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ρ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      σ
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      σ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      β
                    
                  
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ρ
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,J^{\alpha }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\left({\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right)\,.}
  

下面只需证明

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ρ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  σ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ρ
                
              
            
          
        
        
        =
        
        0
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\,=\,0\,}
  

这是微分学中一条已知定理的应用：

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ρ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  σ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ρ
                
              
            
          
        
        
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        +
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  σ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\,=\,{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\beta }}}\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
            
          
        
        
        +
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  σ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  σ
                
              
            
          
        
        
        =
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      σ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ν
                    
                  
                
              
            
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ν
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      σ
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\sigma }}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\,=\,{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ν
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ν
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        =
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        
          (
          
            4
          
          )
        
        
        =
        
        0
        
        .
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)\,=\,{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\mathbf {4} \right)\,=\,0\,.}
  


洛伦兹力 洛伦兹力的密度是一个协变矢量：

  
    
      
        
          f
          
            μ
          
        
        
        =
        
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        
        
          J
          
            ν
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{\mu }\,=\,F_{\mu \nu }\,J^{\nu }\,.}
  

如果在一个测试粒子上的作用力只有引力和电磁力，则有

  
    
      
        
          
            
              d
              
                p
                
                  α
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        =
        
        
          Γ
          
            α
            γ
          
          
            β
          
        
        
        
          p
          
            β
          
        
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  γ
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        +
        
        q
        
        
          F
          
            α
            γ
          
        
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  γ
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{dt}}\,=\,\Gamma _{\alpha \gamma }^{\beta }\,p_{\beta }\,{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}\,+\,q\,F_{\alpha \gamma }\,{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}\,}
  

其中
  
    
      
        
          p
          
            α
          
        
        
      
    
    {\displaystyle p^{\alpha }\,}
  
是粒子的四维动量，
  
    
      
        t
        
      
    
    {\displaystyle t\,}
  
是将粒子世界线参数化的任意时间坐标。式中第一项含有克里斯托费尔符号，表示引力项，第二项含有电荷，表示电磁力项。
方程具有洛伦兹不变性，对时间坐标变换的验证方法为将方程乘以
  
    
      
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              
                
                  
                    t
                    ¯
                  
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dt}{d{\bar {t}}}}\,}
  
并使用链式法则。
对空间坐标变换，通过对克里斯托费尔符号进行坐标变换

  
    
      
        
          
            
              
                Γ
                ¯
              
            
          
          
            α
            γ
          
          
            β
          
        
        
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  ϵ
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  ζ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  γ
                
              
            
          
        
        
        
          Γ
          
            δ
            ζ
          
          
            ϵ
          
        
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  η
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  η
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  γ
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }\,=\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\epsilon }}}\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,{\frac {\partial x^{\zeta }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\,\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }\,+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\,}
  

我们得到

  
    
      
        
          
            
              d
              
                
                  
                    
                      p
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        −
        
        
          
            
              
                Γ
                ¯
              
            
          
          
            α
            γ
          
          
            β
          
        
        
        
          
            
              
                p
                ¯
              
            
          
          
            β
          
        
        
        
          
            
              d
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  γ
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        −
        
        q
        
        
          
            
              
                F
                ¯
              
            
          
          
            α
            γ
          
        
        
        
          
            
              d
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  γ
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d{\bar {p}}_{\alpha }}{dt}}\,-\,{\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }\,{\bar {p}}_{\beta }\,{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\,-\,q\,{\bar {F}}_{\alpha \gamma }\,{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      δ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      α
                    
                  
                
              
            
            
            
              p
              
                δ
              
            
          
          )
        
        
        −
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      β
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      θ
                    
                  
                
              
            
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      δ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      α
                    
                  
                
              
            
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      ι
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      γ
                    
                  
                
              
            
            
            
              Γ
              
                δ
                ι
              
              
                θ
              
            
            
            +
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      β
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      η
                    
                  
                
              
            
            
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      η
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      α
                    
                  
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      γ
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  ϵ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          p
          
            ϵ
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  ζ
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  ζ
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        −
        
        q
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          F
          
            δ
            ζ
          
        
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  ζ
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,p_{\delta }\right)\,-\,\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\,\Gamma _{\delta \iota }^{\theta }\,+\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right)\,{\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\,p_{\epsilon }\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}\,{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\,-\,q\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,F_{\delta \zeta }\,{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  δ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
            
          
        
        
        
          (
          
            
              
                
                  d
                  
                    p
                    
                      δ
                    
                  
                
                
                  d
                  t
                
              
            
            
            −
            
            
              Γ
              
                δ
                ζ
              
              
                ϵ
              
            
            
            
              p
              
                ϵ
              
            
            
            
              
                
                  d
                  
                    x
                    
                      ζ
                    
                  
                
                
                  d
                  t
                
              
            
            
            −
            
            q
            
            
              F
              
                δ
                ζ
              
            
            
            
              
                
                  d
                  
                    x
                    
                      ζ
                    
                  
                
                
                  d
                  t
                
              
            
          
          )
        
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle =\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,\left({\frac {dp_{\delta }}{dt}}\,-\,\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }\,p_{\epsilon }\,{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\,-\,q\,F_{\delta \zeta }\,{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)\,+\,}
  

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    δ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    α
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        
          p
          
            δ
          
        
        
        −
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      β
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      η
                    
                  
                
              
            
            
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      η
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      α
                    
                  
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          x
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      γ
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  ϵ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  β
                
              
            
          
        
        
        
          p
          
            ϵ
          
        
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  γ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  ζ
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  ζ
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)\,p_{\delta }\,-\,\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right)\,{\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\,p_{\epsilon }\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}\,{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        0
        
        +
        
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  x
                  
                    δ
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    α
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        
          p
          
            δ
          
        
        
        −
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  ϵ
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  α
                
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  γ
                
              
            
          
        
        
          p
          
            ϵ
          
        
        
        
          
            
              d
              
                
                  
                    
                      x
                      ¯
                    
                  
                
                
                  γ
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        =
        
        0
        
      
    
    {\displaystyle =\,0\,+\,{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)\,p_{\delta }\,-\,{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p_{\epsilon }\,{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\,=\,0\,}
  


拉格朗日量 在真空中经典电磁场的拉格朗日量（在密度意义下的单位为焦耳/米3）是一个标量：

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
        =
        
        −
        
          
            1
            
              4
              
                μ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          
            −
            g
          
        
        
        +
        
        
          A
          
            α
          
        
        
        
          J
          
            α
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\sqrt {-g}}\,+\,A_{\alpha }\,J^{\alpha }\,}
  

其中
  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        =
        
          g
          
            α
            γ
          
        
        
          F
          
            γ
            δ
          
        
        
          g
          
            δ
            β
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle F^{\alpha \beta }=g^{\alpha \gamma }F_{\gamma \delta }g^{\delta \beta }\,.}
  
。这里的四维电流项应理解为各种对电流有贡献的场的总和。
如果我们将自由电流与束缚电流分离开来，拉格朗日量则变为

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
        =
        
        −
        
          
            1
            
              4
              
                μ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          
            −
            g
          
        
        
        +
        
        
          A
          
            α
          
        
        
        
          J
          
            free
          
          
            α
          
        
        
        +
        
        
          
            1
            2
          
        
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
        
          
            
              M
            
          
          
            α
            β
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\sqrt {-g}}\,+\,A_{\alpha }\,J_{\text{free}}^{\alpha }\,+\,{\frac {1}{2}}\,F_{\alpha \beta }\,{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.}
  


电磁应力-能量张量 作为爱因斯坦引力场方程的源，电磁场的应力-能量张量是一个协变的对称张量

  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        
        =
        
        −
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        (
        
          F
          
            μ
            α
          
        
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            β
            ν
          
        
        
        −
        
        
          
            1
            4
          
        
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
        
          F
          
            σ
            α
          
        
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            β
            ρ
          
        
        
          g
          
            ρ
            σ
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mu \nu }\,=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \nu }\,-\,{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }\,F_{\sigma \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma })\,}
  

并且它是无迹的

  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
        =
        
        0
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mu \nu }g^{\mu \nu }\,=\,0\,}
  

这是由于电磁场的传播速度在不同参考系下是不变的。
为了表达能量和动量的守恒律，电磁应力-能量张量的最佳表示方法是

  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            μ
          
          
            ν
          
        
        =
        
          T
          
            μ
            γ
          
        
        
        
          g
          
            γ
            ν
          
        
        
        
          
            −
            g
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }=T_{\mu \gamma }\,g^{\gamma \nu }\,{\sqrt {-g}}.}
  

对于上式可以证明

  
    
      
        
          
            
              
                
                  T
                
              
              
                μ
              
              
                ν
              
            
          
          
            ;
            ν
          
        
        
        +
        
        
          f
          
            μ
          
        
        
        =
        
        0
        
      
    
    {\displaystyle {{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }\,+\,f_{\mu }\,=\,0\,}
  

并可重写为

  
    
      
        −
        
          
            
              
                
                  T
                
              
              
                μ
              
              
                ν
              
            
          
          
            ,
            ν
          
        
        
        =
        
        −
        
          Γ
          
            μ
            ν
          
          
            σ
          
        
        
          
            
              T
            
          
          
            σ
          
          
            ν
          
        
        
        +
        
        
          f
          
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle -{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{,\nu }\,=\,-\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }\,+\,f_{\mu }\,}
  

这个方程的意义是，电磁场能量的减少相当于电磁场对引力场以及通过洛伦兹力对物质所做的功，类似地，电磁场动量的减少率相当于作用在引力场上的电磁力以及作用在物质上的洛伦兹力。
守恒律的推导过程为

  
    
      
        
          
            
              
                
                  T
                
              
              
                μ
              
              
                ν
              
            
          
          
            ;
            ν
          
        
        
        +
        
        
          f
          
            μ
          
        
        
        =
        
        −
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        (
        
          F
          
            μ
            α
            ;
            ν
          
        
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            β
            γ
          
        
        
          g
          
            γ
            ν
          
        
        
        +
        
        
          F
          
            μ
            α
          
        
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            β
            γ
            ;
            ν
          
        
        
          g
          
            γ
            ν
          
        
        
        −
        
        
          
            1
            2
          
        
        
          δ
          
            μ
          
          
            ν
          
        
        
        
          F
          
            σ
            α
            ;
            ν
          
        
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            β
            ρ
          
        
        
          g
          
            ρ
            σ
          
        
        )
        
          
            −
            g
          
        
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle {{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }\,+\,f_{\mu }\,=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{\mu \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma }g^{\gamma \nu }\,+\,F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }\,-\,{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\nu }\,F_{\sigma \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }){\sqrt {-g}}\,+\,}
  

  
    
      
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
        
          F
          
            μ
            α
          
        
        
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
        
          F
          
            β
            γ
            ;
            ν
          
        
        
        
          g
          
            γ
            ν
          
        
        
        
          
            −
            g
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}\,F_{\mu \alpha }\,g^{\alpha \beta }\,F_{\beta \gamma ;\nu }\,g^{\gamma \nu }\,{\sqrt {-g}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        −
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        (
        
          F
          
            μ
            α
            ;
            ν
          
        
        
          F
          
            α
            ν
          
        
        
        −
        
        
          
            1
            2
          
        
        
          F
          
            σ
            α
            ;
            μ
          
        
        
          F
          
            α
            σ
          
        
        )
        
          
            −
            g
          
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }\,-\,{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }){\sqrt {-g}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        −
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        (
        (
        −
        
          F
          
            ν
            μ
            ;
            α
          
        
        −
        
          F
          
            α
            ν
            ;
            μ
          
        
        )
        
          F
          
            α
            ν
          
        
        
        −
        
        
          
            1
            2
          
        
        
          F
          
            σ
            α
            ;
            μ
          
        
        
          F
          
            α
            σ
          
        
        )
        
          
            −
            g
          
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}((-F_{\nu \mu ;\alpha }-F_{\alpha \nu ;\mu })F^{\alpha \nu }\,-\,{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }){\sqrt {-g}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        −
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        (
        
          F
          
            μ
            ν
            ;
            α
          
        
        
          F
          
            α
            ν
          
        
        −
        
          F
          
            α
            ν
            ;
            μ
          
        
        
          F
          
            α
            ν
          
        
        
        +
        
        
          
            1
            2
          
        
        
          F
          
            σ
            α
            ;
            μ
          
        
        
          F
          
            σ
            α
          
        
        )
        
          
            −
            g
          
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{\mu \nu ;\alpha }F^{\alpha \nu }-F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }\,+\,{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\sigma \alpha }){\sqrt {-g}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        −
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        (
        
          F
          
            μ
            α
            ;
            ν
          
        
        
          F
          
            ν
            α
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          F
          
            α
            ν
            ;
            μ
          
        
        
          F
          
            α
            ν
          
        
        )
        
          
            −
            g
          
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }){\sqrt {-g}}\,}
  

  
    
      
        =
        
        −
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        (
        −
        
          F
          
            μ
            α
            ;
            ν
          
        
        
          F
          
            α
            ν
          
        
        
        +
        
        
          
            1
            2
          
        
        
          F
          
            σ
            α
            ;
            μ
          
        
        
          F
          
            α
            σ
          
        
        )
        
          
            −
            g
          
        
        
      
    
    {\displaystyle =\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(-F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }\,+\,{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }){\sqrt {-g}}\,}
  

所得的结果是为零的，因为它等于自身的负值（对照推导的第二步）。


电磁波方程 从电磁理论的狭义相对论形式可以借助电磁场张量修改得到非齐次的电磁波方程

  
    
      
        ◻
        
          F
          
            a
            b
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          F
          
            a
            b
            ;
          
        
        
          

          
          
            d
          
        
        
          

          
          
            d
          
        
        =
        
        −
        2
        
          R
          
            a
            c
            b
            d
          
        
        
          F
          
            c
            d
          
        
        +
        
          R
          
            a
            e
          
        
        
          F
          
            e
          
        
        
          

          
          
            b
          
        
        −
        
          R
          
            b
            e
          
        
        
          F
          
            e
          
        
        
          

          
          
            a
          
        
        +
        
          J
          
            a
            ;
            b
          
        
        −
        
          J
          
            b
            ;
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box F_{ab}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ F_{ab;}{}^{d}{}_{d}=\,-2R_{acbd}F^{cd}+R_{ae}F^{e}{}_{b}-R_{be}F^{e}{}_{a}+J_{a;b}-J_{b;a}}
  

其中

  
    
      
        
          R
          
            a
            c
            b
            d
          
        
        
      
    
    {\displaystyle R_{acbd}\,}
  

是黎曼张量的协变形式，而
  
    
      
        ◻
        
      
    
    {\displaystyle \Box \,}
  
是达朗贝尔算符在协变导数情形下的推广。
波方程可以写成四维势的形式（参见ref 2, p. 569）

  
    
      
        ◻
        
          A
          
            a
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  A
                  
                    a
                    ;
                  
                
              
              
                b
              
            
          
          
            b
          
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
          
            a
          
        
        +
        
          
            
              R
              
                a
              
            
          
          
            b
          
        
        
          A
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box A^{a}={{A^{a;}}^{b}}_{b}=-\mu _{0}J^{a}+{R^{a}}_{b}A^{b}}
  

其中 

  
    
      
        
          
            
              R
              
                a
              
            
          
          
            b
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              R
              
                s
              
            
          
          
            a
            s
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {R^{a}}_{b}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{s}}_{asb}}
  

是里奇张量。而这里假设了洛伦茨规范在弯曲时空中的推广具有下面的形式

  
    
      
        
          
            
              A
              
                a
              
            
          
          
            ;
            a
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {A^{a}}_{;a}=0}
  

这个波方程与平直时空中的波方程具有十分类似的形式，除了导数被替换为协变导数，以及在表示源的项中多了一项描述时空曲率的项。这个方程和弯曲时空中的洛伦兹力也有相似之处，这里的四维势
  
    
      
        
          
            A
            
              a
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {A^{a}}\,}
  
相当于洛伦兹力中的四维坐标。


麦克斯韦方程组在动态时空中的非线性 在考虑麦克斯韦方程组本身与背景时空无关时，时空度规在广义相对论中被认为是受电磁场影响的动态变化的变量，这导致了电磁波方程和麦克斯韦方程组是非线性的。这一点可以从爱因斯坦场方程中的曲率张量依赖于应力-能量张量看出。

  
    
      
        
          G
          
            a
            b
          
        
        =
        
          
            
              8
              π
              G
            
            
              c
              
                4
              
            
          
        
        
          T
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab}}
  

其中

  
    
      
        
          
            G
          
          
            a
            b
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            R
          
          
            a
            b
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          R
        
        
          g
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {G}_{ab}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R}_{ab}-{1 \over 2}{R}g_{ab}}
  

是爱因斯坦张量，
  
    
      
        G
        
      
    
    {\displaystyle G\,}
  
是万有引力常数，
  
    
      
        R
        
      
    
    {\displaystyle R\,}
  
 （标量曲率）是里奇张量的迹。应力-能量张量来源于粒子的应力和能量，但同时也来源于电磁场，这造就了非线性。


参见 电磁波方程
非齐次的电磁波方程
麦克斯韦方程组在狭义相对论中的形式
麦克斯韦方程组的历史
广义相对论的理论动机
广义相对论的数学方法
电真空解


参考文献 Einstein, A. Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown. 1961. ISBN 0-517-02961-8. 
Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. 1973. ISBN 0-7167-0344-0. 
Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon. 1975. ISBN 0-08-018176-7. 
R. P. Feynman, F. B. Moringo, and W. G. Wagner. Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. 1995. ISBN 0-201-62734-5. 


外部链接 弯曲时空中的麦克斯韦场