纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），是一组描述液体、空气等流体的運動的偏微分方程。该方程以法國物理學家克劳德-路易·纳维和愛爾蘭物理學家乔治·斯托克斯的名字命名。
纳维尔－斯托克斯方程描述了牛頓流體在运动过程中需要满足的動量和質量守恆性质。在纳维－斯托克斯方程的一些应用中，会将该方程与状态方程一同列出，以說明流體壓強、溫度和密度三者之間的關係。
纳维－斯托克斯方程是将牛顿第二定律应用到流体动力学之后得到的结果。与欧拉方程不同，纳维－斯托克斯方程考虑了流体的粘性。它假设流体在运动过程中，其所受的应力是正比于速度梯度的扩散黏性力和压力的总和。因此，纳维－斯托克斯方程可以描述有黏性流体的运动；而欧拉方程仅能描述无粘性流的运动。在流体黏性为零时，纳维-斯托克斯方程退化為歐拉方程。
纳维－斯托克斯方程的应用十分广泛。它可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流，也可以用于设计飞行器和车辆、研究血液循环、设计电站、分析污染效应等等。如果将纳维尔－斯托克斯方程與馬克士威方程組聯立，还可以研究磁流體力學。
纳维－斯托克斯方程难以求解。实用上，也只有最简单的情况才能用这种方法获得已知解。这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非紊流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（低雷诺数）。对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，現時僅能借助计算机求出纳维-斯托克斯方程的數值解。这个科学领域称为计算流体力学。
虽然紊流是日常经验中就可以遇到的，但这类非线性问题在理論上极难求解，仍未能證明三維空間中是否總存在光滑解，甚至有界解。此問題稱為納維-斯托克斯存在性與光滑性。克雷数学学院于2000年5月21日列入七大未解難題，懸賞一百萬美元，奖励找到數學證明或反例的任何人。


性质 = 非线性 =
纳维－斯托克斯方程的一般形式是非线性的偏微分方程，所以在大多数实际情况下仍是如此。在特定情况，如一维流和斯托克斯流（又稱蠕动流）下，方程可以简化为线性方程组。非线性項的出現，令大部分问题變得很难，甚至無法求解。另一方面，方程組能描述湍流，而非線性正是湍流出現的重要因素。
方程式中的非线性項是对流加速（与点速度变化相关联的加速度），因此，任何对流，无论湍流与否，都会涉及非线性。有對流但仍為層流（而非湍流）的例子如下：考慮黏性液體（如油），流經一個細小並逐漸收窄的噴嘴。此種流，不論能否確切解出，通常都能透徹研究、理解。


= 湍流 =

湍流是时变的混沌行为，这种行为常见于许多流体流动中。人们普遍认为，湍流的成因，是整個流體的慣性：时變加速度與对流加速度疊加，以產生亂流告終。因此惯性影响很小的流体，往往是层流（雷诺数量化了流所受惯性的大小）。虽然不完全确定，但一般相信纳维－斯托克斯方程能够合理地描述湍流。
纳维-斯托克斯方程关于湍流的数值解是非常难得到的，而且由于湍流之中，有多個显著不同的混合长度尺度，若要得到穩定解，所需要的分辨率要極度精细，於是计算或直接數值模擬的时间長得不可行。若试圖用解层流的方法来解决湍流问题，通常会得到时间不稳定的解，而不能适当收敛。为了解决这个问题，計算流體力學中，實際模擬湍流的程序，多採用雷諾平均納維－斯托克斯方程（RANS）等时间平均方程，再辅以各湍流模型，如Spalart-Allmaras、k–ω、k–ε、SST，以添加另外的方程。另一种數值解法是大涡模拟（LES）。这种方法比RANS方法，佔用更多計算时间和記憶體空間，但效果較好，因为LES明确解出較大的湍流尺度。


= 适用性 =
連同其他方程（如质量守恒定律）和良好的边界条件一併考慮時，纳维－斯托克斯方程似乎是流体运动的精确模型；甚至湍流（平均而言）也符合实际观察结果。
纳维－斯托克斯方程假定所研究的流体連續（无限可分，而不是由粒子组成），且不具相對論流速。在非常小的尺度或极端条件下，由离散分子组成的真实流体，与由纳维－斯托克斯方程描繪的连续流体，将产生不同的结果。例如，大梯度流的流體內層，有毛细现象。對於大克努森數的问题，用统计力学的波茲曼方程式可能更適合 ，甚至要用分子动力学或其他混合方法。
另一个限制是方程的复杂性。要刻劃一般常見的流体類，有行之有效的公式，但對於較罕見的類別，應用纳维－斯托克斯方程時，往往会得到非常复杂的描述，甚至是未解難題。出于这个原因，这些方程通常用于描述牛顿流体。研究这种液体是“简单”的，因为粘度模型最终被线性化；真正描述其他类型流体（如血液）的普遍模型，截至2012年还不存在。


基本假设 在解释纳维－斯托克斯方程的细节之前，首先对流体的性质作几个假设。第一个假设是流体是连续的。这强调其内部沒有空隙，例如，汽水中有氣泡，便不屬此例；同樣，包含雾状粒子的氣體亦不屬此例。另一个必要的假设是，所有涉及到的场，即压强、速度、密度、温度等，全部都可微。
该方程从质量守恆、动量守恆、能量守恆等基本原理导出。推導過程中，經常考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，並對其應用这些原理。该有限体积记为
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
，而其表面记为
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
  
。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。这会导致一些特殊的结果，見下文。


= 随質导数 =
运动流体的属性变化，譬如大气风速的变化，可以有两种不同的方法来测量：风速仪可以固定在气象站上，也可以隨气象气球飄動。第一种情况下，风速仪测量的速度，是所有运动的粒子经过一个固定点的速度；而第二种情况下，仪器测量的數值，是其随着流体运动时，速度的变化。同样的论证对于密度、温度等物理量的测量也是成立的。因此，当作微分时必须区分两种情况。第一种情况称为空间导数或者欧拉导数。第二种情况称为實質導數或拉格朗日导数。
随質导数定义为算子：

  
    
      
        
          
            
              D
            
            
              
                D
              
              t
            
          
        
        (
        ⋆
        )
        =
        
          
            
              ∂
              (
              ⋆
              )
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        (
        
          v
        
        ⋅
        ∇
        )
        (
        ⋆
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}(\star )={\frac {\partial (\star )}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )(\star )}
  

其中
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
是流体的速度。方程右边的第一项是普通的欧拉导数（也就是在静止参照系中的导数），而第二项表示由于流体的运动带来的变化。这个效应称为移流。
L在一个控制体积
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
上守恆，可用以下积分式表示：

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          L
        
        
        
          d
        
        Ω
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega }\mathbf {L} \,\mathrm {d} \Omega =0.}
  

設Ω共动（隨流體移動），則它随着时间而改变，所以不能将时间导数和积分简单的交换，但有：

  
    
      
        0
        =
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          L
        
        
        
          d
        
        Ω
        =
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          L
        
        
        
          d
        
        Ω
        +
        
          ∫
          
            ∂
            Ω
          
        
        
          L
        
        
          (
          
            
              v
            
            ⋅
            
              n
            
            
            
              d
            
            ∂
            Ω
          
          )
        
        =
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            
              L
            
            +
            ∇
            ⋅
            
              (
              
                
                  L
                
                
                  v
                
              
              )
            
          
          ]
        
        
          d
        
        Ω
        .
      
    
    {\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega }\mathbf {L} \,\mathrm {d} \Omega =\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {L} \,\mathrm {d} \Omega +\int _{\partial \Omega }\mathbf {L} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} \partial \Omega \right)=\int _{\Omega }\left[{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {L} +\nabla \cdot \left(\mathbf {L} \mathbf {v} \right)\right]\mathrm {d} \Omega .}
  

因为这个表达式对于所有
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
成立，它可以简化为：

  
    
      
        
          
            
              D
            
            
              
                D
              
              t
            
          
        
        
          L
        
        +
        
          (
          
            ∇
            ⋅
            
              v
            
          
          )
        
        
          L
        
        =
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          L
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            
              v
            
            
              L
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {L} +\left(\nabla \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {L} ={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {L} +\nabla \cdot \left(\mathbf {v} \mathbf {L} \right)=0}
  

（第一個等號用到隨質導數的定義，以及對
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            
              v
            
            
              L
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {v} \mathbf {L} \right)}
  
用到導數的積法則）对于不是密度的量（因而它不必在空间中积分），
  
    
      
        
          
            
              D
            
            
              
                D
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}
  
给出了正确的共动时间导数。


= 守恒定律 =

在上式中，依次取
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
為下列各守恒量：

質量
能量
动量
角动量
并且用状态定律配合一些假设（比如假设流体为理想气体等），将各物理量写成由各守恒量表示的形式，就能推導出NS方程。


 连续性方程  质量的守恒写作：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        (
        ρ
        
          v
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )=0}
  

其中
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
是流体的密度。
在不可压缩流体的情况，
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
是常數，不取決於时间或位置，於是方程简化为：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          v
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}
  


 动量守恒  动量守恒写作：

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          (
          
            ρ
            
              v
            
          
          )
        
        +
        ∇
        ⋅
        (
        ρ
        
          v
        
        ⊗
        
          v
        
        )
        =
        ∑
        ρ
        
          f
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )=\sum \rho \mathbf {f} ,}
  

注意
  
    
      
        
          v
        
        ⊗
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} }
  
是一个张量，
  
    
      
        ⊗
      
    
    {\displaystyle \otimes }
  
代表张量积。
可以进一步简化，利用连续性方程，上式變成：

  
    
      
        ρ
        
          
            
              D
              
                v
              
            
            
              D
              t
            
          
        
        =
        ∑
        ρ
        
          f
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=\sum \rho \mathbf {f} ,}
  

可以认出这就是通常牛頓第二定律
  
    
      
        m
        
          a
        
        =
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle m\mathbf {a} =\mathbf {F} }
  
。


方程组 = 一般形式 =


 方程组的形式  纳维-斯托克斯方程的一般形式是：

  
    
      
        ρ
        
          
            
              
                D
              
              
                v
              
            
            
              
                D
              
              t
            
          
        
        =
        ∇
        ⋅
        
          P
        
        +
        ρ
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {v} }{\mathrm {D} t}}=\nabla \cdot \mathbb {P} +\rho \mathbf {f} }
  

关于动量守恒。张量
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
代表施加在一个流体粒子上的表面力（应力张量）。除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
是一个对称张量。一般来讲，我们有如下形式：

  
    
      
        
          P
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    σ
                    
                      x
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    τ
                    
                      x
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    τ
                    
                      x
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    τ
                    
                      y
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    σ
                    
                      y
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    τ
                    
                      y
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    τ
                    
                      z
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    τ
                    
                      z
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    σ
                    
                      z
                      z
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        −
        
          
            (
            
              
                
                  p
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  p
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  p
                
              
            
            )
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                
                  
                    σ
                    
                      x
                      x
                    
                  
                  +
                  p
                
                
                  
                    τ
                    
                      x
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    τ
                    
                      x
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    τ
                    
                      y
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    σ
                    
                      y
                      y
                    
                  
                  +
                  p
                
                
                  
                    τ
                    
                      y
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    τ
                    
                      z
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    τ
                    
                      z
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    σ
                    
                      z
                      z
                    
                  
                  +
                  p
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}+p&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}+p&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}+p\end{pmatrix}}}
  

其中
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
是法向约束，而
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
是切向约束。
迹
  
    
      
        
          σ
          
            x
            x
          
        
        +
        
          σ
          
            y
            y
          
        
        +
        
          σ
          
            z
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}}
  
在流体处于平衡态时为0。这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。
我们再加上连续性方程：

  
    
      
        
          
            
              
                D
              
              ρ
            
            
              
                D
              
              t
            
          
        
        +
        ρ
        ∇
        ⋅
        
          v
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} =0}
  

对于处于平衡的液体，
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
的迹是3p。 
其中

p是压强
最后，我们得到：

  
    
      
        ρ
        
          
            
              
                D
              
              
                v
              
            
            
              
                D
              
              t
            
          
        
        =
        −
        ∇
        p
        +
        ∇
        ⋅
        
          T
        
        +
        ρ
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {v} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\rho \mathbf {f} }
  

其中
  
    
      
        
          T
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {T} }
  
是
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
的非对角线部分。


 闭合问题  这些方程是不完整的，对具有不同物理性质的流体的可以有不同的解。要对它们进行完备化，必须对
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
的形式作一些假设。例如在理想流体的情况
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
分量为0。用于完备方程组的方程是状态方程。
再如，压强可以主要是密度和温度的函数。
要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度。流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件。

  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
的分量是流体的一个无穷小元上面的约束。它们代表垂直和剪切约束。
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
是对称的，除非存在非零的自旋密度。
所谓非牛顿流体就是其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体


特殊形式 这些是问题的特定的常见简化，有时解是已知的。


= 牛顿流体 =

在牛顿流体中，如下假设成立：

  
    
      
        
          τ
          
            i
            j
          
        
        =
        μ
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      j
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                2
                3
              
            
            
              δ
              
                i
                j
              
            
            ∇
            ⋅
            
              v
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} \right)}
  

其中

  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
是液体的粘滞度。

  
    
      
        ρ
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              ∇
              
                
                  v
                
              
            
            
              v
            
          
          )
        
        =
        ρ
        
          f
        
        −
        ∇
        p
        +
        μ
        
          (
          
            Δ
            
              v
            
            +
            
              
                1
                3
              
            
            ∇
            
              (
              
                ∇
                ⋅
                
                  v
                
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {v} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {v} \right)\right)}
  

  
    
      
        ρ
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              v
              
                j
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        ρ
        
          f
          
            i
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              p
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        +
        μ
        
          (
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                3
              
            
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      j
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right)=\rho f_{i}-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {\partial ^{2}v_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)}
  

其中为简化书写，对脚标使用了爱因斯坦求和约定。
不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：
动量守恒：

  
    
      
        ρ
        ⋅
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            u
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            +
            v
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            +
            w
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          k
          
            x
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              p
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              x
            
          
        
        
          [
          
            μ
            ⋅
            
              (
              
                2
                ⋅
                
                  
                    
                      ∂
                      u
                    
                    
                      ∂
                      x
                    
                  
                
                −
                
                  
                    2
                    3
                  
                
                ⋅
                (
                ∇
                ⋅
                
                  
                    
                      v
                      →
                    
                  
                
                )
              
              )
            
          
          ]
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          [
          
            μ
            ⋅
            
              (
              
                
                  
                    
                      ∂
                      u
                    
                    
                      ∂
                      y
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      ∂
                      v
                    
                    
                      ∂
                      x
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          [
          
            μ
            ⋅
            
              (
              
                
                  
                    
                      ∂
                      w
                    
                    
                      ∂
                      x
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      ∂
                      u
                    
                    
                      ∂
                      z
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \rho \cdot \left({\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}+w{\partial u \over \partial z}\right)=k_{x}-{\partial p \over \partial x}+{\partial  \over \partial x}\left[\mu \cdot \left(2\cdot {\partial u \over \partial x}-{\frac {2}{3}}\cdot (\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\partial  \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y}+{\partial v \over \partial x}\right)\right]+{\partial  \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x}+{\partial u \over \partial z}\right)\right]}
  

  
    
      
        ρ
        ⋅
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            u
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            +
            v
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            +
            w
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          k
          
            y
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              p
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          [
          
            μ
            ⋅
            
              (
              
                2
                ⋅
                
                  
                    
                      ∂
                      v
                    
                    
                      ∂
                      y
                    
                  
                
                −
                
                  
                    2
                    3
                  
                
                ⋅
                (
                ∇
                ⋅
                
                  
                    
                      v
                      →
                    
                  
                
                )
              
              )
            
          
          ]
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          [
          
            μ
            ⋅
            
              (
              
                
                  
                    
                      ∂
                      v
                    
                    
                      ∂
                      z
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      ∂
                      w
                    
                    
                      ∂
                      y
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              x
            
          
        
        
          [
          
            μ
            ⋅
            
              (
              
                
                  
                    
                      ∂
                      u
                    
                    
                      ∂
                      y
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      ∂
                      v
                    
                    
                      ∂
                      x
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \rho \cdot \left({\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}+w{\partial v \over \partial z}\right)=k_{y}-{\partial p \over \partial y}+{\partial  \over \partial y}\left[\mu \cdot \left(2\cdot {\partial v \over \partial y}-{\frac {2}{3}}\cdot (\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\partial  \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z}+{\partial w \over \partial y}\right)\right]+{\partial  \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y}+{\partial v \over \partial x}\right)\right]}
  

  
    
      
        ρ
        ⋅
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  w
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            u
            
              
                
                  ∂
                  w
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            +
            v
            
              
                
                  ∂
                  w
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            +
            w
            
              
                
                  ∂
                  w
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          k
          
            z
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              p
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          [
          
            μ
            ⋅
            
              (
              
                2
                ⋅
                
                  
                    
                      ∂
                      w
                    
                    
                      ∂
                      z
                    
                  
                
                −
                
                  
                    2
                    3
                  
                
                ⋅
                (
                ∇
                ⋅
                
                  
                    
                      v
                      →
                    
                  
                
                )
              
              )
            
          
          ]
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              x
            
          
        
        
          [
          
            μ
            ⋅
            
              (
              
                
                  
                    
                      ∂
                      w
                    
                    
                      ∂
                      x
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      ∂
                      u
                    
                    
                      ∂
                      z
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          [
          
            μ
            ⋅
            
              (
              
                
                  
                    
                      ∂
                      v
                    
                    
                      ∂
                      z
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      ∂
                      w
                    
                    
                      ∂
                      y
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \rho \cdot \left({\partial w \over \partial t}+u{\partial w \over \partial x}+v{\partial w \over \partial y}+w{\partial w \over \partial z}\right)=k_{z}-{\partial p \over \partial z}+{\partial  \over \partial z}\left[\mu \cdot \left(2\cdot {\partial w \over \partial z}-{\frac {2}{3}}\cdot (\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\partial  \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x}+{\partial u \over \partial z}\right)\right]+{\partial  \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z}+{\partial w \over \partial y}\right)\right]}
  

质量守恒：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              (
              ρ
              ⋅
              u
              )
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              (
              ρ
              ⋅
              v
              )
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              (
              ρ
              ⋅
              w
              )
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial \rho  \over \partial t}+{\partial (\rho \cdot u) \over \partial x}+{\partial (\rho \cdot v) \over \partial y}+{\partial (\rho \cdot w) \over \partial z}=0}
  

因为密度是一个未知数，我们需要另一个方程。
能量守恒：

  
    
      
        ρ
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  e
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            u
            
              
                
                  ∂
                  e
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            +
            v
            
              
                
                  ∂
                  e
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            +
            w
            
              
                
                  ∂
                  e
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            
              (
              
                λ
                ⋅
                
                  
                    
                      ∂
                      T
                    
                    
                      ∂
                      x
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            
              (
              
                λ
                ⋅
                
                  
                    
                      ∂
                      T
                    
                    
                      ∂
                      y
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  z
                
              
            
            
              (
              
                λ
                ⋅
                
                  
                    
                      ∂
                      T
                    
                    
                      ∂
                      z
                    
                  
                
              
              )
            
          
          )
        
        −
        p
        ⋅
        
          (
          
            ∇
            ⋅
            
              
                
                  v
                  →
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              k
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        +
        ρ
        ⋅
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            s
          
        
        +
        μ
        ⋅
        Φ
      
    
    {\displaystyle \rho \left({\partial e \over \partial t}+u{\partial e \over \partial x}+v{\partial e \over \partial y}+w{\partial e \over \partial z}\right)=\left({\partial  \over \partial x}\left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial x}\right)+{\partial  \over \partial y}\left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial y}\right)+{\partial  \over \partial z}\left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial z}\right)\right)-p\cdot \left(\nabla \cdot {\vec {v}}\right)+{\vec {k}}\cdot {\vec {v}}+\rho \cdot {\dot {q}}_{s}+\mu \cdot \Phi }
  

其中：

  
    
      
        Φ
        =
        2
        ⋅
        
          [
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      ∂
                      u
                    
                    
                      ∂
                      x
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  
                    
                      ∂
                      v
                    
                    
                      ∂
                      y
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  
                    
                      ∂
                      w
                    
                    
                      ∂
                      z
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
          ]
        
        +
        
          
            (
            
              
                
                  
                    ∂
                    v
                  
                  
                    ∂
                    x
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    ∂
                    u
                  
                  
                    ∂
                    y
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                
                  
                    ∂
                    w
                  
                  
                    ∂
                    y
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    ∂
                    v
                  
                  
                    ∂
                    z
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                
                  
                    ∂
                    u
                  
                  
                    ∂
                    z
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    ∂
                    w
                  
                  
                    ∂
                    x
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            2
            3
          
        
        ⋅
        
          
            (
            
              
                
                  
                    ∂
                    u
                  
                  
                    ∂
                    x
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    ∂
                    v
                  
                  
                    ∂
                    y
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    ∂
                    w
                  
                  
                    ∂
                    z
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi =2\cdot \left[\left({\partial u \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial v \over \partial y}\right)^{2}+\left({\partial w \over \partial z}\right)^{2}\right]+\left({\partial v \over \partial x}+{\partial u \over \partial y}\right)^{2}+\left({\partial w \over \partial y}+{\partial v \over \partial z}\right)^{2}+\left({\partial u \over \partial z}+{\partial w \over \partial x}\right)^{2}-{\frac {2}{3}}\cdot \left({\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}\right)^{2}}
  

假设一个理想气体：

  
    
      
        e
        =
        
          c
          
            p
          
        
        ⋅
        T
        −
        
          
            p
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle e=c_{p}\cdot T-{\frac {p}{\rho }}}
  

上面是一共6个方程6个未知数的系统。（u，v，w，T，e以及　
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
）。


= 宾汉（Bingham）流体 =

在宾汉流体中，我们有稍微不同的假设：

  
    
      
        
          τ
          
            i
            j
          
        
        =
        
          τ
          
            0
          
        
        +
        μ
        
          
            
              ∂
              
                v
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              ∂
              
                v
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \tau _{ij}=\tau _{0}+\mu {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}},\;{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}>0}
  

那些流体在开始流动之前能够承受一定的剪切。牙膏是一个例子。


= 幂律流体 =

这是一种理想化的流体，其剪切应力，
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
，由下式给出

  
    
      
        τ
        =
        K
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            )
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}}
  

该形式对于模拟各种一般流体有用。


= 不可壓缩流體 =

其纳维－斯托克斯方程（Navier-Stoke equation）分为動量守恆公式

  
    
      
        
        
          
            
              ρ
              
                
                  (
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          v
                        
                      
                      
                        ∂
                        t
                      
                    
                    ⏟
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            非 稳 态
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            加 速
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    
                      (
                      
                        v
                      
                      ⋅
                      ∇
                      )
                      
                        v
                      
                    
                    ⏟
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            对 流
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            加 速
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  )
                
              
            
            ⏞
          
        
        =
        
          
            
              
                −
                ∇
                p
              
              ⏟
            
          
          
            
              
                
                  
                    
                      压 強
                    
                  
                
                
                  
                    
                      梯 度
                    
                  
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                μ
                
                  ∇
                  
                    2
                  
                
                
                  v
                
              
              ⏟
            
          
          
            粘 滞 力
          
        
        +
        
          
            
              
                f
              
              ⏟
            
          
          
            
              
                
                  
                    
                      其 他 力
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \quad \overbrace {\rho {\Big (}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{非 稳 态}}\\{\text{加 速}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} } _{\begin{smallmatrix}{\text{对 流}}\\{\text{加 速}}\end{smallmatrix}}{\Big )}} =\underbrace {-\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{压 強}}\\{\text{梯 度}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} } _{\text{粘 滞 力}}+\underbrace {\mathbf {f} } _{\begin{smallmatrix}{\text{其 他 力}}\end{smallmatrix}}}
  

和質量守恆公式

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          v
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}
  
。
其中，對不可壓縮牛頓流體來說，只有對流項（convective terms）為非線性形式。對流加速度（convective acceleration）來自於流體流動隨空間之變化所產生的速度改變，例如：當流體通過一個漸縮噴嘴（convergent nozzle）時，流體產生加速之情況。由於此項的存在，對於暫態運動中的流體來說，其流場速度變化不再單是時間的函數，亦與空間有關。
另外一個重要的觀察重點，在於黏滯力（viscosity）在流場中的以流體速度作拉普拉斯運算來表現。這暗示了在牛頓流體中，黏滯力為動量擴散（diffusion of momentum），與熱擴散方程式非常類似。

  
    
      
        
          e
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    u
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    u
                    
                      j
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}
  
;

  
    
      
        Δ
        =
        
          e
          
            i
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta =e_{ii}}
  
是散度，

  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}}
  
是克罗内克记号。
若
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
在整个流体上均匀，动量方程简化为

  
    
      
        ρ
        
          
            
              D
              
                u
                
                  i
                
              
            
            
              D
              t
            
          
        
        =
        ρ
        
          f
          
            i
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              p
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        +
        μ
        
          (
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    u
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                3
              
            
            
              
                
                  ∂
                  Δ
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=\rho f_{i}-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {\partial \Delta }{\partial x_{i}}}\right)}
  

（若
  
    
      
        μ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mu =0}
  
这个方程称为欧拉方程；那里的重点是可压缩流和冲击波）。
如果现在再有
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
为常数，我们得到如下系统：

  
    
      
        ρ
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              v
              
                x
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            +
            
              v
              
                y
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            +
            
              v
              
                z
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        =
        μ
        
          [
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        −
        
          
            
              ∂
              p
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        ρ
        
          g
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho \left({\partial v_{x} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{x} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{x} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{x} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{x} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{x} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{x} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial p \over \partial x}+\rho g_{x}}
  

  
    
      
        ρ
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              v
              
                x
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            +
            
              v
              
                y
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            +
            
              v
              
                z
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        =
        μ
        
          [
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        −
        
          
            
              ∂
              p
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        +
        ρ
        
          g
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho \left({\partial v_{y} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{y} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{y} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{y} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{y} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{y} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{y} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial p \over \partial y}+\rho g_{y}}
  

  
    
      
        ρ
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              v
              
                x
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            +
            
              v
              
                y
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            +
            
              v
              
                z
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        =
        μ
        
          [
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        −
        
          
            
              ∂
              p
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        +
        ρ
        
          g
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho \left({\partial v_{z} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{z} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{z} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{z} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{z} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{z} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{z} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial p \over \partial z}+\rho g_{z}}
  

连续性方程（假设不可压缩性）：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                v
                
                  x
                
              
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                v
                
                  y
                
              
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                v
                
                  z
                
              
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=0}
  

N-S方程的简化版本。采用《不可压缩流》，Ronald Panton所著第二版
注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，而且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其他物质（例如悬浮粒子和溶解的气体）的混合体组成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的连续并且齐性的液体不同的结果。依赖于问题的纳森数，统计力学可能是一个更合适的方法。但是，纳维－斯托克斯方程对于很大范围的实际问题是有效的，只要记住他们的缺陷是天生的就可以了。


程式模擬 參考MIT18086_NAVIERSTOKES

模擬結果
執行MATLAB 即可觀察4秒的模擬結果


参看 雷诺数
马赫数
雷诺平均纳维－斯托克斯方程
納維-斯托克斯存在性與光滑性


参考文献 外部链接 克雷数学研究院纳维-斯托克斯方程大奖
该问题的正式命题
纳维-斯托克斯方程的一个推导
纳维-斯托克斯方程的推导 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
NASA关于纳维-斯托克斯方程的网页
纳维-斯托克斯方程（一些精确解） （页面存档备份，存于互联网档案馆），位于EqWorld:数学方程的世界