在電磁學裏，電磁波方程式（英語：Electromagnetic wave equation）乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度，假若波源為零，則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式。這方程式的形式，以電場
  
    
      
        
          E
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} \,\!}
  
和磁場
  
    
      
        
          B
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
  
來表達為

  
    
      
        
          (
          
            
              ∇
              
                2
              
            
            −
            
              
                1
                
                  
                    c
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          E
        
         
        =
         
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!}
  
、

  
    
      
        
          (
          
            
              ∇
              
                2
              
            
            −
            
              
                1
                
                  
                    c
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          B
        
         
        =
         
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\,\!}
  
是拉普拉斯算符，
  
    
      
        c
        
        
      
    
    {\displaystyle c\,\!}
  
是電磁波在真空或介質中傳播的速度，
  
    
      
        t
        
        
      
    
    {\displaystyle t\,\!}
  
是時間。
由於光波就是電磁波，
  
    
      
        c
        
        
      
    
    {\displaystyle c\,\!}
  
也是光波傳播的速度，稱為光速。在真空裏，
  
    
      
        c
        =
        
          c
          
            0
          
        
        =
        299
        ,
        792
        ,
        458
        
        
      
    
    {\displaystyle c=c_{0}=299,792,458\,\!}
  
 ［公尺／秒］，是電磁波傳播於自由空間的速度。


歷史 在詹姆斯·麦克斯韦的1864年論文《電磁場的動力學理論》內，麦克斯韦將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說
：


理論推導 在真空裏，麦克斯韦方程組的四個微分方程式為

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          E
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!}
  
、(1)

  
    
      
        ∇
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}
  
、(2)

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          B
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}
  
、(3)

  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ε
          
            0
          
        
        
          
            
              ∂
              
                E
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}
  
；(4)
其中，
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}\,\!}
  
是真空磁導率，
  
    
      
        
          ε
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{0}\,\!}
  
是真空電容率。
分別取公式(2)、(4)的旋度，

  
    
      
        ∇
        ×
        (
        ∇
        ×
        
          E
        
        )
        =
        −
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        (
        ∇
        ×
        
          B
        
        )
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ε
          
            0
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                E
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\,\!}
  
、

  
    
      
        ∇
        ×
        (
        ∇
        ×
        
          B
        
        )
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ε
          
            0
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        (
        ∇
        ×
        
          E
        
        )
        =
        −
        
          μ
          
            o
          
        
        
          ε
          
            o
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                B
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!}
  
。
應用一則向量恆等式（這裏，
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} }
  
應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子，卽拉普拉斯–德拉姆算子）

  
    
      
        ∇
        ×
        
          (
          
            ∇
            ×
            
              V
            
          
          )
        
        =
        ∇
        
          (
          
            ∇
            ⋅
            
              V
            
          
          )
        
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          V
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {V} \,\!}
  
是任意向量函數。
將公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍茲方程形式的波動方程式：

  
    
      
        
          (
          
            
              ∇
              
                2
              
            
            −
            
              
                1
                
                  
                    c
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          E
        
         
        =
         
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!}
  
、(5)

  
    
      
        
          (
          
            
              ∇
              
                2
              
            
            −
            
              
                1
                
                  
                    c
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          B
        
         
        =
         
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!}
  
；(6)
其中，
  
    
      
        c
        =
        
          c
          
            0
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                
                  μ
                  
                    0
                  
                
                
                  ε
                  
                    0
                  
                
              
            
          
        
        =
        2.99792458
        ×
        
          10
          
            8
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\!}
  
 ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。


齊次的波動方程式的協變形式 電磁四維勢
  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{\mu }\,\!}
  
是由電勢
  
    
      
        ϕ
        
        
      
    
    {\displaystyle \phi \,\!}
  
與矢量勢
  
    
      
        
          A
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \,\!}
  
共同形成的，定義為

  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        (
        ϕ
        
          /
        
        c
        ,
        
        
          A
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )\,\!}
  
。
採用勞侖次規範：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  μ
                
              
            
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!}
  
。
前述那些齊次的波動方程式(5)、(6)，可以按照反變形式寫為

  
    
      
         
        ◻
        
          A
          
            μ
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \ \Box A^{\mu }=0\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        ◻
        =
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  ν
                
              
              ∂
              
                x
                
                  ν
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                c
              
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \Box =\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}={\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\,\!}
  
是達朗貝爾算子，又稱為四維拉普拉斯算子。


彎曲時空中的齊次的波動方程式 齊次的电磁波方程式在弯曲时空中需要做两处修正，分别是將偏导数替换为协变导数，以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为

  
    
      
        
          
            
              A
              
                μ
              
            
          
          
            ;
            μ
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  μ
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  μ
                
              
            
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!}
  
。
那麼，彎曲時空中的齊次的波動方程式為

  
    
      
        −
        
          
            
              A
              
                α
                ;
                β
              
            
          
          
            β
          
        
        +
        
          
            
              R
              
                α
              
            
          
          
            β
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            
              R
              
                α
              
            
          
          
            β
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }\,\!}
  
是里奇曲率张量。


非齊次的電磁波方程式 追根究底，局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下，馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在，使得偏微分方程式變為非齊次。


波動方程式的解 在齊次的電磁波方程式中，電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式

  
    
      
        
          
            1
            
              
                c
              
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        f
         
        =
         
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2}f \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}f\ =\ 0\,\!}
  
；(7)
其中，
  
    
      
        f
        
        
      
    
    {\displaystyle f\,\!}
  
是任意良態函數，
純量波動方程式的一般解的形式為

  
    
      
        f
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        g
        (
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        −
        ω
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        g
        (
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        −
        ω
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}
  
是任意良態函數，
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
是位置向量，
  
    
      
        t
        
        
      
    
    {\displaystyle t\,\!}
  
是時間，
  
    
      
        
          k
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} \,\!}
  
是波向量，
  
    
      
        ω
        
        
      
    
    {\displaystyle \omega \,\!}
  
是角頻率。
函數
  
    
      
        g
        (
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        −
        ω
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}
  
描述一個波動，隨著時間的演化，朝著
  
    
      
        
          k
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} \,\!}
  
的方向傳播於空間。將函數
  
    
      
        g
        (
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        −
        ω
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}
  
代入純量波動方程式(7)，可得到角頻率與波數的色散關係：

  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2}=c^{2}k^{2}\,\!}
  
，
或者，角頻率一定大於零，但波數可以是負值：

  
    
      
        ω
        =
        c
        
          |
        
        k
        
          |
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \omega =c|k|\,\!}
  
。


= 正弦波 =

假設，函數
  
    
      
        g
        
        
      
    
    {\displaystyle g\,\!}
  
的波形為正弦波：

  
    
      
        f
        =
        
          f
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        (
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        −
        ω
        t
        +
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle f=f_{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            f
          
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {f}_{0}\,\!}
  
是實值波幅，
  
    
      
        
          ϕ
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{0}\,\!}
  
是初相位。
根據歐拉公式，

  
    
      
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        =
        cos
        ⁡
        θ
        +
        i
        sin
        ⁡
        θ
        
        
      
    
    {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,\!}
  
，
函數
  
    
      
        f
        
        
      
    
    {\displaystyle f\,\!}
  
也可以表達為一個複數的實值部分

  
    
      
        f
        =
        Re
        ⁡
        {
        
          f
          
            0
          
        
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
            −
            ω
            t
            +
            
              ϕ
              
                0
              
            
            )
          
        
        }
        
        
      
    
    {\displaystyle f=\operatorname {Re} \{f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}\}\,\!}
  
。
以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數
  
    
      
        
          
            
              f
              ~
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}
  
為

  
    
      
        
          
            
              f
              ~
            
          
        
        =
        
          f
          
            0
          
        
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
            −
            ω
            t
            +
            
              ϕ
              
                0
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            
              
                f
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
            −
            ω
            t
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {f}}=f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}={\tilde {f}}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            
              
                f
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        =
        
          f
          
            0
          
        
        
          e
          
            i
            
              ϕ
              
                0
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {f}}_{0}=f_{0}e^{i\phi _{0}}\,\!}
  
是複值波幅。
那麼，

  
    
      
        f
        =
        Re
        ⁡
        {
        
          
            
              f
              ~
            
          
        
        }
        
        
      
    
    {\displaystyle f=\operatorname {Re} \{{\tilde {f}}\}\,\!}
  
；
純量波動方程式的正弦波解的形式為
  
    
      
        
          
            
              f
              ~
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}
  
的實值部分。任意涉及實函數
  
    
      
        f
        
        
      
    
    {\displaystyle f\,\!}
  
的線性方程式，都可以用複函數
  
    
      
        
          
            
              f
              ~
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}
  
來代替
  
    
      
        f
        
        
      
    
    {\displaystyle f\,\!}
  
。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。
由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。


= 線性疊加 =
任意波動
  
    
      
        f
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}
  
可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加：

  
    
      
        f
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                f
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        ω
        )
        
          e
          
            −
            i
            ω
            t
          
        
         
        d
        ω
        
        
      
    
    {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\ d\omega \,\!}
  
。
所以，只要能得知單獨頻率的波動
  
    
      
        
          
            
              
                f
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        ω
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )\,\!}
  
（單色波）的表達式，就可以求算整個波動
  
    
      
        f
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}
  
的表達式。


齊次的電磁波方程式的解 = 單色正弦平面波的解 =

從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為：

  
    
      
        
          
            
              
                E
              
              ~
            
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              
                
                  E
                
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
            −
            ω
            t
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {E} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}
  
、

  
    
      
        
          
            
              
                B
              
              ~
            
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              
                
                  B
                
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
            −
            ω
            t
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {B} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            
              
                
                  E
                
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          
            
              
                
                  B
                
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}\,\!}
  
分別為複值電場
  
    
      
        
          
            
              
                E
              
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}}
  
和複值磁場
  
    
      
        
          
            
              
                B
              
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}}
  
的複常數振幅向量。
這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是
  
    
      
        
          k
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} \,\!}
  
的方向。由於方程式(1)和(3)，

  
    
      
        
          k
        
        ⋅
        
          
            
              
                E
              
              ~
            
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          k
        
        ⋅
        
          
            
              
                
                  E
                
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=0\,\!}
  
、

  
    
      
        
          k
        
        ⋅
        
          
            
              
                E
              
              ~
            
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          k
        
        ⋅
        
          
            
              
                
                  B
                
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}=0\,\!}
  
，
電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。
由於法拉第電磁感應定律方程式(2)，

  
    
      
        ∇
        ×
        
          
            
              
                E
              
              ~
            
          
        
        =
        
          (
          
            ∇
            
              e
              
                i
                (
                
                  k
                
                ⋅
                
                  r
                
                −
                ω
                t
                )
              
            
          
          )
        
        ×
        
          
            
              
                
                  E
                
                ~
              
            
          
          
            0
          
        
        =
        i
        
          k
        
        ×
        
          
            
              
                E
              
              ~
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      B
                    
                    ~
                  
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        i
        ω
        
          
            
              
                B
              
              ~
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=\left(\nabla e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\right)\times {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=i\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {B} }}}{\partial t}}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }}\,\!}
  
。
將角頻率與波數的色散關係式
  
    
      
        ω
        =
        c
        k
        
        
      
    
    {\displaystyle \omega =ck\,\!}
  
帶入：

  
    
      
        
          
            
              
                B
              
              ~
            
          
        
        =
        
          
            
              k
            
            ω
          
        
        ×
        
          
            
              
                E
              
              ~
            
          
        
        =
        
          
            1
            c
          
        
        
          
            
              
                k
              
              ^
            
          
        
        ×
        
          
            
              
                E
              
              ~
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}={\frac {\mathbf {k} }{\omega }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {1}{c}}{\hat {\mathbf {k} }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}\,\!}
  
。
所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。


= 電磁波譜分解 =

由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            E
          
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        −
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        +
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}
  
、

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            B
          
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        −
        
          k
        
        ⋅
        
          r
        
        +
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}
  
。
波向量與角頻率的關係為

  
    
      
        k
        =
        
          |
        
        
          k
        
        
          |
        
        =
        
          
            ω
            c
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
            
            λ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega  \over c}={2\pi  \over \lambda }\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        λ
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \,\!}
  
是波長。
按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。


= 圓柱對稱性解 =

如圖右，思考一條由半徑為
  
    
      
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle a\,\!}
  
的無窮長的直導線，和半徑為
  
    
      
        b
        
        
      
    
    {\displaystyle b\,\!}
  
的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸
  
    
      
        
          E
          
            z
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle E_{z}=0\,\!}
  
和
  
    
      
        
          B
          
            z
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle B_{z}=0\,\!}
  
的電磁橫波，採用圓柱坐標
  
    
      
        (
        s
        ,
        ϕ
        ,
        z
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle (s,\phi ,z)\,\!}
  
，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為

  
    
      
        
          
            E
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              
                
                  E
                
              
              
                0
              
            
            s
          
        
        cos
        ⁡
        (
        k
        z
        −
        ω
        t
        )
        
          
            
              s
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {{\mathbf {E} }_{0}}{s}}\cos(kz-\omega t){\hat {s}}\,\!}
  
、

  
    
      
        
          
            B
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              
                E
              
              
                0
              
            
            
              c
              s
            
          
        
        cos
        ⁡
        (
        k
        z
        −
        ω
        t
        )
        
          
            
              ϕ
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}}{cs}}\cos(kz-\omega t){\hat {\phi }}\,\!}
  
。
這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。


= 球對稱性解 =
思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩
  
    
      
        m
        =
        
          m
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle m=m_{0}\cos(\omega t)\,\!}
  
。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標
  
    
      
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        ϕ
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle (r,\theta ,\phi )\,\!}
  
，則在離原點很遠的位置
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
，電場和磁場分別為

  
    
      
        
          
            E
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              
                
                  E
                
                
                  0
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
            r
          
        
        
          [
          
            cos
            ⁡
            (
            k
            r
            −
            ω
            t
            )
            −
            
              
                1
                
                  k
                  r
                
              
            
            [
            sin
            ⁡
            (
            k
            r
            −
            ω
            t
            )
          
          ]
        
        
          
            
              ϕ
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!}
  
、

  
    
      
        
          
            B
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        −
        
          
            
              
                
                  E
                
                
                  0
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
            
              c
              r
            
          
        
        
          [
          
            cos
            ⁡
            (
            k
            r
            −
            ω
            t
            )
            −
            
              
                1
                
                  k
                  r
                
              
            
            [
            sin
            ⁡
            (
            k
            r
            −
            ω
            t
            )
          
          ]
        
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!}
  
。
這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。


參閱 = 理論與實驗 =


= 應用領域 =


參考文獻