在数学中，幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          
            (
            
              x
              −
              c
            
            )
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}}
  

  
    
      
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            3
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle =a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }
  

其中的c和
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ⋯
        
          a
          
            n
          
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots a_{n}\cdots }
  
是常数。
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ⋯
        
          a
          
            n
          
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots a_{n}\cdots }
  
称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。
如果把
  
    
      
        (
        x
        −
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (x-c)}
  
看成一项，那么幂级数可以化简为
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  
的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。
将一个函数写成幂级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          
            (
            
              x
              −
              c
            
            )
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}}
  
的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。
幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源。在电子工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的x被固定为
  
    
      
        
          
            1
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{10}}}
  
。在p-进数中则可以见到x被固定为
  
    
      
        10
      
    
    {\displaystyle 10}
  
的幂级数。


例子 多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        x
        +
        3
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}
  
可以写成标准形式的幂级数：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        3
        +
        2
        x
        +
        1
        
          x
          
            2
          
        
        +
        0
        
          x
          
            3
          
        
        +
        0
        
          x
          
            4
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }
  

也可以写成（
  
    
      
        c
        =
        1
      
    
    {\displaystyle c=1}
  
）：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        6
        +
        4
        (
        x
        −
        1
        )
        +
        1
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            2
          
        
        +
        0
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            3
          
        
        +
        0
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            4
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots }
  

实际上，多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。
等比级数的公式给出了对
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |x|<1}
  
，有

  
    
      
        
          
            1
            
              1
              −
              x
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        =
        1
        +
        x
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }
  
，是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开：

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        1
        +
        x
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        ⋯
        ,
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}
  

以及正弦函数（对所有实数x成立）：

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
              
                x
                
                  2
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            
              (
              2
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        =
        x
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            
              5
              !
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                7
              
            
            
              7
              !
            
          
        
        +
        ⋯
        ,
      
    
    {\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}
  

这些幂级数都属于泰勒级数。
幂级数里不包括负的幂次。例如
  
    
      
        1
        +
        
          x
          
            −
            1
          
        
        +
        
          x
          
            −
            2
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }
  
就不是幂级数（它是一个洛朗级数）。同样的，幂次为分数的级数也不是幂级数。系数
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  
必须是和x无关，比如
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        x
        +
        sin
        ⁡
        (
        2
        x
        )
        
          x
          
            2
          
        
        +
        sin
        ⁡
        (
        3
        x
        )
        
          x
          
            3
          
        
        +
        ⋯
        
      
    
    {\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}
  
就不是一个幂级数。


敛散性 作为级数的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量x在复数中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有：

阿贝尔引理：给定一个幂级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  
，如果对实数
  
    
      
        
          r
          
            0
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r_{0}>0}
  
，数列
  
    
      
        (
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          |
        
        
          r
          
            0
          
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ≥
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle (|a_{n}|r_{0}^{n})_{n\geq 0}}
  
 有界，那么对任意复数
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        
          r
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle |x|<r_{0}}
  
，
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  
绝对收敛。

按照引理，使得幂级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  
收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆（不包括边界），称为收敛圆盘，其边界称为收敛圆。具体来说，就是：

要么对所有的非零复数，
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  
都发散；
要么存在一个正常数（包括正无穷）
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
，使得当
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        R
      
    
    {\displaystyle |x|<R}
  
时，
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  
绝对收敛，当
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        >
        R
      
    
    {\displaystyle |x|>R}
  
时，
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  
发散。
这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
被称为幂级数的收敛半径，当属于第一种情况时，规定收敛半径为零。
按照定义，对一个幂级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  
，当
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        R
      
    
    {\displaystyle |x|<R}
  
（在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        >
        R
      
    
    {\displaystyle |x|>R}
  
时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        =
        R
      
    
    {\displaystyle |x|=R}
  
（在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。
根据达朗贝尔审敛法，收敛半径
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
满足：如果幂级数
  
    
      
        ∑
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum a_{n}x^{n}}
  
满足
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          
            
              a
              
                n
                +
                1
              
            
            
              a
              
                n
              
            
          
        
        
          |
        
        =
        ρ
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }|{a_{n+1} \over a_{n}}|=\rho }
  
，则：

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

  
    
      
        R
        =
        
          lim inf
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            |
            
              a
              
                n
              
            
            |
          
          
            −
            
              
                1
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}
  

或者
  
    
      
        
          
            1
            R
          
        
        =
        
          lim sup
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            |
            
              a
              
                n
              
            
            |
          
          
            
              1
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}
  
。


幂级数的运算 形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。

  
    
      
        (
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        +
        ⋯
        )
        ±
        (
        
          b
          
            0
          
        
        +
        
          b
          
            1
          
        
        x
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          b
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        +
        ⋯
        )
        =
        (
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          b
          
            0
          
        
        )
        +
        (
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          b
          
            1
          
        
        )
        x
        +
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
          x
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        (
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          b
          
            n
          
        
        )
        
          x
          
            n
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots )\pm (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}+\cdots )=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}+\cdots }
  

两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积：

  
    
      
        
          (
          
            
              ∑
              
                n
                =
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              a
              
                n
              
            
            (
            x
            −
            c
            
              )
              
                n
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                n
                =
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              b
              
                n
              
            
            (
            x
            −
            c
            
              )
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}
  

  
    
      
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          b
          
            j
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            i
            +
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}
  

  
    
      
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
                =
                0
              
              
                n
              
            
            
              a
              
                i
              
            
            
              b
              
                n
                −
                i
              
            
          
          )
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}}
  
。
各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。


一致收敛性 对一个收敛半径为R的幂级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  
，可以证明，幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此，考虑幂级数函数

  
    
      
        f
        :
        (
        −
        R
        ,
        R
        )
        ⟶
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:(-R,R)\longrightarrow \mathbb {R} }
  

  
    
      
        .
         
         
         
         
         
         
        x
        ⟼
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle .\ \ \ \ \ \ x\longmapsto \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  

它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。


幂级数函数的求导和积分 可以证明，幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导，并且可积。此外，由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛，可以进行逐项求导和积分，而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
  
的收敛半径R。具体形式为：

  
    
      
        
          f
          
            ′
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        n
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        
          (
          
            n
            +
            1
          
          )
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}nx^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)x^{n}}
  

  
    
      
        ∫
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              
                x
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            
              n
              +
              1
            
          
        
        +
        k
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                a
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
        +
        k
      
    
    {\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+k}
  


函数的幂级数展开 鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究，如能将要研究的函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。然而，不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点c附近可展（可以展开为幂级数），当且仅当存在正实数R>0，使得在复平面中以c为圆心以R为半径的圆D(c,R)内（不包括边界）有：

  
    
      
        ∀
        z
        ∈
        D
        (
        c
        ,
        R
        )
        ,
        
        f
        (
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        (
        z
        −
        c
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall z\in D(c,R),\qquad f(z)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}a_{n}(z-c)^{n}}
  

其中
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  
为确定的常数。
如果一个函数在某处可展，那么它在这点无穷可导（
  
    
      
        
          C
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{\infty }}
  
），并且在这点附近的展开式是唯一的。

  
    
      
        ∀
        n
        ∈
        
          N
        
        ,
        
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  n
                  )
                
              
              (
              c
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}={f^{(n)}(c) \over {n!}}}
  

即是在这点的泰勒展开的第n项的值。这时展开得到的幂级数称为函数f在c点的泰勒级数。


= 函数的可展性 =
对于一般的无穷可导函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，也可以写出幂级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  n
                  )
                
              
              (
              c
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}}
  
，但即使这个幂级数收敛，其值也不一定等于
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
。例如函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
：

当x>0时，
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            −
            1
            
              /
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}
  

当
  
    
      
        x
        ≤
        0
      
    
    {\displaystyle x\leq 0}
  
时，
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x)=0}
  

可以证明
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
无穷可导，并且在0处的每阶导数都是零，因此相应的幂级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  n
                  )
                
              
              (
              0
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        (
        x
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(0) \over {n!}}(x)^{n}}
  
恒等于0，不等于
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
。
函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零：

  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        −
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  n
                  )
                
              
              (
              c
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-\sum _{n=0}^{n}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}\rightarrow 0}
  
，
一个更常用到的充分条件是：
如果存在正实数r，使得
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在区间
  
    
      
        (
        c
        −
        r
        ,
        c
        +
        r
        )
      
    
    {\displaystyle (c-r,c+r)}
  
上无穷可导，并且存在正数M使得对任意的n，任意的
  
    
      
        x
        ∈
        (
        c
        −
        r
        ,
        c
        +
        r
        )
      
    
    {\displaystyle x\in (c-r,c+r)}
  
都有

  
    
      
        
          |
        
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        
          M
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle |f^{n}(x)|\leq M^{n}}
  
，那么
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
可以在c附近展开成幂级数：

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        (
        c
        −
        r
        ,
        c
        +
        r
        )
        ,
         
         
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  n
                  )
                
              
              (
              c
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall x\in (c-r,c+r),\ \ f(x)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}}
  
。


= 常见函数的幂级数展开 =
以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          C
        
        ,
        
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} ,\,e^{x}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{n}}{n!}}.}
  
 

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          R
        
        ,
        
        cos
        ⁡
        x
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
        
          
            
              x
              
                2
                
                n
              
            
            
              (
              2
              
              n
              )
              !
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\cos x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.}
  
 

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          R
        
        ,
        
        sin
        ⁡
        x
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
        
          
            
              x
              
                2
                
                n
                +
                1
              
            
            
              (
              2
              
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\sin x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.}
  

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          R
        
        ,
        
        ch
        
        x
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          
            
              x
              
                2
                
                n
              
            
            
              (
              2
              
              n
              )
              !
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {ch} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.}
  

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          R
        
        ,
        
        sh
        
        x
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          
            
              x
              
                2
                
                n
                +
                1
              
            
            
              (
              2
              
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {sh} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.}
  
 

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        D
        (
        0
        ,
        1
        )
        ,
        
        
          
            1
            
              1
              −
              x
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          
            x
            
              n
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in D(0,1),\,{1 \over {1-x}}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{x^{n}}.}
  
 

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        (
        −
        1
        ,
        1
        ]
        ,
        
        ln
        ⁡
        (
        1
        +
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
            +
            1
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in (-1,1],\,\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}(-1)^{n+1}{x^{n} \over {n}}.}
  
 

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
        ,
        
        arctan
        
        x
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
        
          
            
              x
              
                2
                
                n
                +
                1
              
            
            
              2
              
              n
              +
              1
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \forall x\in [-1,1],\,\arctan \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;}
  
，特别地，
  
    
      
        π
        =
        4
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              2
              
              n
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi =4\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{2\,n+1}}}
  
。

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
        (
        −
        1
        ,
        1
        )
        ,
         
        ∀
        α
        
        ∈
        
        
          N
        
        ,
        
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            α
          
        
        
        =
        1
        
        +
        
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          
            
              
                α
                
                (
                α
                −
                1
                )
                ⋯
                (
                α
                −
                n
                +
                1
                )
              
              
                n
                !
              
            
          
          
          
            x
            
              n
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \,(-1,1),\ \forall \alpha \,\not \in \,\mathbb {N} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}.}
  
 

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          R
        
        ,
        
        ∀
        α
        
        ∈
        
        
          N
        
        ,
        
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            α
          
        
        
        =
        1
        
        +
        
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
          
            
              
                α
                
                (
                α
                −
                1
                )
                ⋯
                (
                α
                −
                n
                +
                1
                )
              
              
                n
                !
              
            
          
          
          
            x
            
              n
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            α
          
        
        
          
            
              
                (
              
              
                α
                n
              
              
                )
              
            
          
          
          
            x
            
              n
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\forall \alpha \,\in \,\mathbb {N} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}=\sum _{n=0}^{\alpha }{{\alpha  \choose n}\,x^{n}}.}
  
 

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        (
        −
        1
        ,
        1
        )
        ,
        
        artanh
        
        x
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
        
          
            
              x
              
                2
                
                n
                +
                1
              
            
            
              2
              
              n
              +
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {artanh} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.}
  
 

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        (
        −
        1
        ,
        1
        )
        ,
        
        arcsin
        
        x
        =
        x
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∏
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                
                (
                2
                
                k
                −
                1
                )
              
              
                
                  ∏
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                
                2
                
                k
              
            
          
          )
        
        
          
            
              x
              
                2
                
                n
                +
                1
              
            
            
              2
              
              n
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\arcsin \,x=x+\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}}
  

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        (
        −
        1
        ,
        1
        )
        ,
        
        arsinh
        
        x
        =
        x
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∏
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                
                (
                2
                
                k
                −
                1
                )
              
              
                
                  ∏
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                
                2
                
                k
              
            
          
          )
        
        
          
            
              x
              
                2
                
                n
                +
                1
              
            
            
              2
              
              n
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {arsinh} \,x=x+\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,(-1)^{n}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}}
  

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
        
          (
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ,
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
        ,
         
        tan
        ⁡
        x
        =
        
          
            2
            π
          
        
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
        
          
            
              (
              
                
                  x
                  π
                
              
              )
            
          
          
            2
            
            n
            +
            1
          
        
        (
        
          2
          
            2
            
            n
            +
            2
          
        
        −
        1
        )
        
        ζ
        (
        2
        
        n
        +
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \,\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right),\ \tan x={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\left({\frac {x}{\pi }}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)}
  
，其中
  
    
      
        ∀
        p
        >
        1
        ,
        
        ζ
        (
        p
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            +
            
              ∞
            
          
        
        
        
          
            1
            
              n
              
                p
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall p>1,\,\zeta (p)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,{\frac {1}{n^{p}}}}
  


幂级数与解析函数 局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与複解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即複可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。


形式幂级数 在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。


多元幂级数 幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数：

  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            
              j
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              j
              
                n
              
            
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            
              j
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              j
              
                n
              
            
          
        
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            (
            
              
                x
                
                  k
                
              
              −
              
                c
                
                  k
                
              
            
            )
          
          
            
              j
              
                k
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},}
  

其中j = (j1, ..., jn)是一个系数为非负整数的向量。系数a(j1,...,jn)通常是实数或复数。c = (c1, ..., cn)和变量x = (x1, ..., xn)是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中，则有

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            α
            ∈
            
              
                N
              
              
                n
              
            
          
        
        
          a
          
            α
          
        
        
          
            (
            
              x
              −
              c
            
            )
          
          
            α
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}
  


参见 泰勒级数
解析函数
阿贝尔定理
零点孤立原理


参考来源 參考文獻