在数学中，有理数（rational number）的定义是：可以表示为两个整数比的数；此处的整数比写为分数形式 
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
  
, 
  
    
      
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  
。例如：0.375 可以表示为 
  
    
      
        
          
            3
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{8}}}
  
，因此 0.375 是有理数，当然 
  
    
      
        
          
            3
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{8}}}
  
 本身也是有理数。
按上述有理数定义，可知整数和整数分数统称有理数；而与有理数相對的是无理数，不是有理數的實數遂稱為無理數；例如 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
无法用整数比表示，因此 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
 是无理数。
並非所有以分數表示的數字皆為有理數，例如 
  
    
      
        
          
            
              2
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
  
 並不是有理數，其不符合可表示为整数比的定义。
所有有理数構成的集合常寫作 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} }
  
 或 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
，其定义為：

  
    
      
        
          Q
        
        =
        
          {
          
            
              
                m
                n
              
            
            :
            m
            ,
            n
            ∈
            
              Z
            
            ,
            n
            =
            0
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}
  

有理数寫作小数時，其小数部分为有限或为循环。


词源 有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。


运算 有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的（其中除法的除數不能為 0），亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下：

  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        +
        
          
            c
            d
          
        
        =
        
          
            
              a
              d
              +
              b
              c
            
            
              b
              d
            
          
        
        
         
         
         
         
         
         
        
          
            a
            b
          
        
        ⋅
        
          
            c
            d
          
        
        =
        
          
            
              a
              c
            
            
              b
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}
  

两个有理数 
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
  
 和 
  
    
      
        
          
            c
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {c}{d}}}
  
 相等的充要條件為 
  
    
      
        a
        d
        =
        b
        c
      
    
    {\displaystyle ad=bc}
  
。
有理数中存在加法反元素與乘法反元素（除了 0 以外，0 不具乘法反元素）：

  
    
      
        −
        
          (
          
            
              a
              b
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              −
              a
            
            b
          
        
        
         
         
         
         
         
         
         
         
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0}
  
时，
  
    
      
        
          
            (
            
              
                a
                b
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            b
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}
  

两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘。


古埃及分数 古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

  
    
      
        
          
            5
            7
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            1
            6
          
        
        +
        
          
            1
            21
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}}
  

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。


形式构建 数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上
  
    
      
        
          (
          
            a
            ,
            b
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(a,b\right)}
  
的等价类，这里
  
    
      
        b
        ,
        d
      
    
    {\displaystyle b,d}
  
不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

  
    
      
        
          (
          
            a
            ,
            b
          
          )
        
        +
        
          (
          
            c
            ,
            d
          
          )
        
        =
        
          (
          
            a
            d
            +
            b
            c
            ,
            b
            d
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            a
            ,
            b
          
          )
        
        ×
        
          (
          
            c
            ,
            d
          
          )
        
        =
        
          (
          
            a
            c
            ,
            b
            d
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}
  

为了使
  
    
      
        
          
            2
            4
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}
  
，定义等价关系
  
    
      
        ∼
      
    
    {\displaystyle \sim }
  
如下：

  
    
      
        
          (
          
            a
            ,
            b
          
          )
        
        ∼
        
          (
          
            c
            ,
            d
          
          )
        
        
          
             iff 
          
        
        a
        d
        =
        b
        c
      
    
    {\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc}
  

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：
  
    
      
        
          Q
        
        =
        
          Z
        
        ×
        (
        
          Z
        
        −
        {
        0
        }
        )
        
          /
        
        ∼
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim }
  
。例如：两个对
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
和
  
    
      
        (
        c
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (c,d)}
  
是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）


= 定義大小 =
Q上的大小可以定义为：

  
    
      
        
          (
          
            a
            ,
            b
          
          )
        
        ≤
        
          (
          
            c
            ,
            d
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)}
  
当且仅当下列任一條件成立：

  
    
      
        b
        d
        >
        0
      
    
    {\displaystyle bd>0}
  
并且
  
    
      
        a
        d
        ≤
        b
        c
      
    
    {\displaystyle ad\leq bc}
  

  
    
      
        b
        d
        <
        0
      
    
    {\displaystyle bd<0}
  
并且
  
    
      
        a
        d
        ≥
        b
        c
      
    
    {\displaystyle ad\geq bc}
  

然後
  
    
      
        x
        <
        y
      
    
    {\displaystyle x<y}
  
是指
  
    
      
        x
        ≤
        y
      
    
    {\displaystyle x\leq y}
  
但
  
    
      
        y
        ≤
        x
      
    
    {\displaystyle y\nleq x}
  
。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  
当且仅当
  
    
      
        b
        >
        a
      
    
    {\displaystyle b>a}
  
。此排序中，每一对有理数
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
之间皆可比較，必有且仅有以下关系之一：

  
    
      
        a
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a=b}
  
，
  
    
      
        a
        >
        b
      
    
    {\displaystyle a>b}
  
，
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  
。
又滿足传递性：若
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  
，且
  
    
      
        b
        <
        c
      
    
    {\displaystyle b<c}
  
，则
  
    
      
        a
        <
        c
      
    
    {\displaystyle a<c}
  
。所以以上定義的大小關係是全序关系。
有理數集的序還滿足稠密性：若
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  
，则必存在有理数
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
，满足
  
    
      
        a
        <
        c
      
    
    {\displaystyle a<c}
  
，且
  
    
      
        c
        <
        b
      
    
    {\displaystyle c<b}
  
。


性质 集合
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
的商域。
有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
的一个拷贝（即存在一个从
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
到其中的同构映射）。

  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。
所有有理数的集合是可数的，亦即是說
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
的基數（或勢）與自然數集合
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
相同，都是阿列夫數
  
    
      
        
          ℵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{0}}
  
，這是因為可以定義一個從有理數集
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
映至自然數集合的笛卡爾積
  
    
      
        
          N
        
        ×
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
  
的單射函數，而
  
    
      
        
          N
        
        ×
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
  
是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。
有理数的序是个稠密序：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托爾同構定理說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。


实数 有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量
  
    
      
        d
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
        =
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|}
  
，有理数构成一个度量空间，这是
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
的完备集。


p进数 除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
转化到拓扑域：
设
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
是素数，对任何非零整数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
设
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        =
        
          p
          
            −
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}
  
，这里
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
  
是整除
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的最高次幂；
另外
  
    
      
        
          |
        
        0
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle |0|_{p}=0}
  
。对任何有理数
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
  
，设
  
    
      
        
          
            |
            
              
                a
                b
              
            
            |
          
          
            p
          
        
        =
        
          
            
              
                |
              
              a
              
                
                  |
                
                
                  p
                
              
            
            
              
                |
              
              b
              
                
                  |
                
                
                  p
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}
  
。
则
  
    
      
        
          d
          
            p
          
        
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
        =
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          
            |
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}
  
在
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
上定义了一个度量。
度量空间
  
    
      
        
          (
          
            
              Q
            
            ,
            
              d
              
                p
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}
  
不完备，它的完备集是p进数域
  
    
      
        
          
            Q
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
  
。


参见 浮点数
尼云定理


参考文献