酉群，又叫幺正群，是李群的一种。在群论中，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶酉群（unitary group）是
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
酉矩阵组成的群，群乘法是矩阵乘法。酉群记作
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
，是一般线性群
  
    
      
        
          GL
        
        (
        n
        ,
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {C} )}
  
的一个子群。
在最简单情形
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
，群
  
    
      
        
          U
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(1)}
  
相当于圆群，由所有绝对值为1的复数在乘法下组成的群。所有酉群都包含一个这样的子群。
酉群
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
是一个
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}}
  
维实李群。
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
的李代数由所有复
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
斜埃尔米特矩阵组成，李括号为交换子。
一般酉群(也称为酉相似群）由所有复矩阵
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
使得

  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        A
      
    
    {\displaystyle A^{*}A}
  
是恒同矩阵非零复数倍，这就是酉群与恒同矩阵的正数倍的乘积。


性质 因为酉矩阵的行列式是模长1复数，行列式给出了一个群同态

  
    
      
        det
        :
        
          U
        
        (
        n
        )
        →
        
          U
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \det \colon \mathrm {U} (n)\to \mathrm {U} (1)}
  

这个同态的核是行列式为单位的酉矩阵集合，这个子群称为特殊酉群，记作
  
    
      
        
          SU
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{SU}}(n)}
  
。我们有李群的短正合列：

  
    
      
        1
        →
        
          S
          U
        
        (
        n
        )
        →
        
          U
        
        (
        n
        )
        →
        
          U
        
        (
        1
        )
        →
        1
        
      
    
    {\displaystyle 1\to \mathrm {SU} (n)\to \mathrm {U} (n)\to \mathrm {U} (1)\to 1\,}
  
。
这个短正合列分裂，故
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
可以写成
  
    
      
        
          SU
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{SU}}(n)}
  
与
  
    
      
        
          U
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(1)}
  
的半直积。这里
  
    
      
        
          U
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(1)}
  
是
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
中由
  
    
      
        
          
            diag
          
        
        (
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        ⋯
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {\mbox{diag}}(e^{i\theta },1,1,\cdots ,1)}
  
形式的矩阵组成的子群。
酉群
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
对
  
    
      
        n
        >
        1
      
    
    {\displaystyle n>1}
  
是非交换的。
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
的中心是数量矩阵
  
    
      
        λ
        I
      
    
    {\displaystyle \lambda I}
  
，这里
  
    
      
        λ
        ∈
        
          U
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda \in {\text{U}}(1)}
  
。这由舒尔引理得来。这样中心同构于
  
    
      
        
          U
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(1)}
  
。因为
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
的中心是一个1维阿贝尔正规子群，酉群不是半单的。


拓扑 酉群
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
作为
  
    
      
        
          M
          
            n
          
        
        (
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle M_{n}(\mathbf {C} )}
  
的子集赋予相对拓扑，
  
    
      
        
          M
          
            n
          
        
        (
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle M_{n}(\mathbf {C} )}
  
是所有
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
复矩阵集合，本身同构于
  
    
      
        2
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2n^{2}}
  
维欧几里得空间。
作为一个拓扑空间，
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
是紧连通空间。因为
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
是
  
    
      
        
          M
          
            n
          
        
        (
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle M_{n}(\mathbf {C} )}
  
的一个有界闭子集，然后海涅-博雷尔定理可知紧性。欲证
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
是连通的，回忆到任何酉矩阵
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
能被另一个酉矩阵
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
对角化。任何对角酉矩阵的对角线上都是绝对值为1的复数。从而我们可以写成

  
    
      
        A
        =
        S
        
        
          
            diag
          
        
        (
        
          e
          
            i
            
              θ
              
                1
              
            
          
        
        ,
        …
        ,
        
          e
          
            i
            
              θ
              
                n
              
            
          
        
        )
        
        
          S
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A=S\,{\mbox{diag}}(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}})\,S^{-1}}
  
。

  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
中从单位到
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的一条道路由

  
    
      
        t
        ↦
        S
        
        
          
            diag
          
        
        (
        
          e
          
            i
            t
            
              θ
              
                1
              
            
          
        
        ,
        …
        ,
        
          e
          
            i
            t
            
              θ
              
                n
              
            
          
        
        )
        
        
          S
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle t\mapsto S\,{\mbox{diag}}(e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta _{n}})\,S^{-1}}
  

给出。
酉群不是单连通的；对所有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{U}}(n)}
  
的基本群是无限循环群

  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        U
        (
        n
        )
        )
        ≅
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}(U(n))\cong \mathbf {Z} }
  
。
第一个酉群U(1)是一个拓扑圆周，熟知其有同构于
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Z} }
  
的基本群，包含映射
  
    
      
        U
        (
        n
        )
        →
        U
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle U(n)\to U(n+1)}
  
在
  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}}
  
上是同构（其商是斯蒂弗尔流形）。
行列式映射
  
    
      
        
          d
          e
          t
        
        :
        
          U
        
        (
        n
        )
        →
        
          U
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {det} \colon \mathrm {U} (n)\to \mathrm {U} (1)}
  
诱导了基本群的同构，分裂映射
  
    
      
        
          U
        
        (
        1
        )
        →
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {U} (1)\to \mathrm {U} (n)}
  
诱导其逆。


相关的群 = 三选二性质 =
酉群是正交群、辛群与复数群的3重交集：

  
    
      
        U
        (
        n
        )
        =
        O
        (
        2
        n
        )
        ∩
        G
        L
        (
        n
        ,
        
          C
        
        )
        ∩
        S
        p
        (
        2
        n
        ,
        
          R
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle U(n)=O(2n)\cap GL(n,\mathbf {C} )\cap Sp(2n,\mathbf {R} ),}
  

从而一个酉结构可以视为一个正交结构、复结构与辛结构，他们要求是“一致的”（意思是说：复结构与辛形式使用同样的
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
，且
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
是正交的；取定一个
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
将所有群写成矩阵群便确保了一致性）。
事实上，它是这三个中任何两个的交集；从而一个一致的正交与複结构导致了一个辛结构，如此等等。
在方程的层次上，这可以由下面看出

辛：
  
    
      
        
          A
          
            T
          
        
        J
        A
        =
        J
        ,
      
    
    {\displaystyle A^{T}JA=J,}
  

複：
  
    
      
        
          A
          
            −
            1
          
        
        J
        A
        =
        J
        ,
      
    
    {\displaystyle A^{-1}JA=J,}
  

正交：
  
    
      
        
          A
          
            T
          
        
        =
        
          A
          
            −
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle A^{T}=A^{-1},}
  

任何两个方程蕴含第三个。
在形式的层次上，这可从埃尔米特形式分解为实部与虚部看出：
实部是对称的（或正交），虚部是斜正交（辛）——他们由複结构联系（这便是一致性）。在一个殆凯勒流形上，可以将这个分解写成
  
    
      
        h
        =
        g
        +
        i
        ω
      
    
    {\displaystyle h=g+i\omega }
  
，这里
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
是埃尔米特形式，
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
是黎曼度量，
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
是殆复结构，而
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
是殆辛结构。
从李群的观点来看，这可部分地解释如下：

  
    
      
        O
        (
        2
        n
        )
      
    
    {\displaystyle O(2n)}
  
是
  
    
      
        G
        L
        (
        2
        n
        ,
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle GL(2n,\mathbf {R} )}
  
的极大紧子群，而
  
    
      
        U
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle U(n)}
  
是
  
    
      
        G
        L
        (
        n
        ,
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle GL(n,\mathbf {C} )}
  
与
  
    
      
        S
        p
        (
        2
        n
        )
      
    
    {\displaystyle Sp(2n)}
  
的极大紧子群。从而交集
  
    
      
        O
        (
        2
        n
        )
        ∩
        G
        L
        (
        n
        ,
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(2n)\cap GL(n,\mathbf {C} )}
  
或
  
    
      
        O
        (
        2
        n
        )
        ∩
        S
        p
        (
        2
        n
        )
      
    
    {\displaystyle O(2n)\cap Sp(2n)}
  
是这些群的极大紧子群，即
  
    
      
        U
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle U(n)}
  
。从这个观点来看，意料之外的是交集
  
    
      
        G
        L
        (
        n
        ,
        
          C
        
        )
        ∩
        S
        p
        (
        2
        n
        )
        =
        U
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle GL(n,\mathbf {C} )\cap Sp(2n)=U(n)}
  
。


= 特殊酉群与射影酉群 =

就像正交群有子群特殊正交群与商群射影正交群
  
    
      
        
          PO
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{PO}}(n)}
  
，以及子商群射影特殊正交群；酉群也有关联的特殊酉群
  
    
      
        
          SU
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{SU}}(n)}
  
，射影酉群
  
    
      
        
          PU
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{PU}}(n)}
  
，以及射影特殊酉群
  
    
      
        
          PSU
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{PSU}}(n)}
  
。他们的关系如左所示的交换图表；特别地，两个射影群相等：
  
    
      
        PSU
        ⁡
        (
        n
        )
        =
        PU
        ⁡
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {PSU} (n)=\operatorname {PU} (n)}
  
。
上面对经典酉群成立（复数上），对有限域，可以类似地得到特殊酉群与射影酉群，但是一般地
  
    
      
        PSU
        ⁡
        (
        n
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        )
        =
        PU
        ⁡
        (
        n
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {PSU} (n,q^{2})\neq \operatorname {PU} (n,q^{2})}
  
。


G-结构：殆埃米尔特 用G-结构的语言来说，一个具有
  
    
      
        
          U
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {U} (n)}
  
-结构的流形是一个殆埃米尔特流形。


推广 从李群的观点来看，典型酉群是斯坦伯格群
  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {}^{2}\!A_{n}}
  
的实形式，后者是由一般线性群的“图表自同构”（翻转丹金图形 
  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}}
  
，对应于转置逆）与扩张
  
    
      
        
          C
        
        
          /
        
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} /\mathbf {R} }
  
的域同构（即复共轭）的复合得到的代数群。两个自同构都是代数群的自同构，阶数为2，可交换，酉群作为代数群是乘积自同构的不动点。典型酉群是这个群的实形式，对应于标准埃尔米特形式
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  
，它是正定的。
这可从几个方面推广：

推广到其它埃尔米特形式得到了不定酉群
  
    
      
        U
        ⁡
        (
        p
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {U} (p,q)}
  
；
域扩张可用任何2阶可分代数取代，最特别地是一个2阶有限域扩张；
推广到其它图表得出李型群，即其它斯坦伯格群
  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
        
          D
          
            n
          
        
        ,
        
          

          
          
            2
          
        
        
        
          E
          
            6
          
        
        ,
        
          

          
          
            3
          
        
        
        
          D
          
            4
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {}^{2}\!D_{n},{}^{2}\!E_{6},{}^{3}\!D_{4},}
  
（以及
  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {}^{2}\!A_{n}}
  
）Suzuki-Ree群
  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
        
          B
          
            2
          
        
        
          (
          
            2
            
              2
              n
              +
              1
            
          
          )
        
        ,
        
          

          
          
            2
          
        
        
        
          F
          
            4
          
        
        
          (
          
            2
            
              2
              n
              +
              1
            
          
          )
        
        ,
        
          

          
          
            2
          
        
        
        
          G
          
            2
          
        
        
          (
          
            3
            
              2
              n
              +
              1
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right)}
  
；
考虑一个推广的酉群作为代数群，可取它的点在不同的代数上。


= 不定形式 =
类似于不定正交群，给定一个不必正定（但一般取为非退化）的埃尔米特形式，考虑保持这个形式的变换，我们可以定义不定酉群。这里我们在复向量空间上考虑问题。
给定复向量空间
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
上的一个埃尔米特形式
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  
，酉群
  
    
      
        U
        (
        Ψ
        )
      
    
    {\displaystyle U(\Psi )}
  
是保持这个形式的变换群：变换
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
使得
  
    
      
        Ψ
        (
        M
        v
        ,
        M
        w
        )
        =
        Ψ
        (
        v
        ,
        w
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (Mv,Mw)=\Psi (v,w)}
  
，对所有
  
    
      
        v
        ,
        w
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle v,w\in V}
  
。写成矩阵，设这个形式用矩阵
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
  
表示，这便是说
  
    
      
        
          M
          
            ∗
          
        
        Φ
        M
        =
        Φ
      
    
    {\displaystyle M^{*}\Phi M=\Phi }
  
。
就像实数上的对称形式，埃尔米特形式由符号确定，所有都是酉合同于对角线上
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
个元素为1，
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
个
  
    
      
        −
        1
      
    
    {\displaystyle -1}
  
的对角矩阵。非退化假设等价于  
  
    
      
        p
        +
        q
        =
        n
      
    
    {\displaystyle p+q=n}
  
。在一组标准基下，这代表二次形式：

  
    
      
        ‖
        z
        
          ‖
          
            Ψ
          
          
            2
          
        
        =
        ‖
        
          z
          
            1
          
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        ‖
        
          z
          
            p
          
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        −
        ‖
        
          z
          
            p
            +
            1
          
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        −
        ⋯
        −
        ‖
        
          z
          
            n
          
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \lVert z\rVert _{\Psi }^{2}=\lVert z_{1}\rVert ^{2}+\dots +\lVert z_{p}\rVert ^{2}-\lVert z_{p+1}\rVert ^{2}-\dots -\lVert z_{n}\rVert ^{2},}
  

作为对称形式是：

  
    
      
        Ψ
        (
        w
        ,
        z
        )
        =
        
          
            
              
                w
                ¯
              
            
          
          
            1
          
        
        
          z
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              
                w
                ¯
              
            
          
          
            p
          
        
        
          z
          
            p
          
        
        −
        
          
            
              
                w
                ¯
              
            
          
          
            p
            +
            1
          
        
        
          z
          
            p
            +
            1
          
        
        −
        ⋯
        −
        
          
            
              
                w
                ¯
              
            
          
          
            n
          
        
        
          z
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \Psi (w,z)={\bar {w}}_{1}z_{1}+\cdots +{\bar {w}}_{p}z_{p}-{\bar {w}}_{p+1}z_{p+1}-\cdots -{\bar {w}}_{n}z_{n},}
  

得出的群记为
  
    
      
        U
        (
        p
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle U(p,q)}
  
。


= 有限群 =
在
  
    
      
        q
        =
        
          p
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle q=p^{r}}
  
个元素的有限域
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{q}}
  
上，有一个惟一的2阶扩张域  
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              q
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}}}
  
，带有2阶自同构
  
    
      
        α
        :
        x
        ↦
        
          x
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha \colon x\mapsto x^{q}}
  
（弗罗贝尼乌斯自同构的
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
次幂）。这使得我们可以定义
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              q
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}}}
  
上一个向量空间
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
上的埃尔米特形式，是一个
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{q}}
  
-双线性映射
  
    
      
        Ψ
        :
        V
        ×
        V
        →
        K
      
    
    {\displaystyle \Psi \colon V\times V\to K}
  
使得
  
    
      
        Ψ
        (
        w
        ,
        v
        )
        =
        α
        
          (
          
            Ψ
            (
            v
            ,
            w
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)}
  
以及
  
    
      
        Ψ
        (
        w
        ,
        c
        v
        )
        =
        c
        Ψ
        (
        w
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)}
  
对
  
    
      
        c
        ∈
        
          
            F
          
          
            
              q
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c\in \mathbf {F} _{q^{2}}}
  
。另外，有限域上向量空间的所有非退化埃尔米特形式都酉合同与用恒同矩阵表示的标准形式。这便是说，任何埃尔米特形式酉等价于

  
    
      
        Ψ
        (
        w
        ,
        v
        )
        =
        
          w
          
            α
          
        
        ⋅
        v
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          w
          
            i
          
          
            q
          
        
        
          v
          
            i
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \Psi (w,v)=w^{\alpha }\cdot v=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{q}v_{i},}
  

这里
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
        ,
        
          v
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i},v_{i}}
  
表示
  
    
      
        w
        ,
        v
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle w,v\in V}
  
在
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-维空间
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的某个特定
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              q
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}}}
  
-基下的坐标(Grove 2002，Thm. 10.3)。
从而我们对扩张
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              q
              
                2
              
            
          
        
        
          /
        
        
          
            F
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}}/\mathbf {F} _{q}}
  
可以定义一个（惟一的）
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维酉群，记作
  
    
      
        U
        (
        n
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle U(n,q)}
  
或
  
    
      
        U
        
          (
          
            n
            ,
            
              q
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle U\left(n,q^{2}\right)}
  
（取决于作者的习惯）。酉群中矩阵的行列式为1的子群称为特殊酉群，记作
  
    
      
        S
        U
        (
        n
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle SU(n,q)}
  
或
  
    
      
        S
        U
        (
        n
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle SU(n,q^{2})}
  
。为方便起见，本文使用
  
    
      
        U
        (
        n
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U(n,q^{2})}
  
写法。
  
    
      
        U
        (
        n
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U(n,q^{2})}
  
的中心的阶数为
  
    
      
        q
        +
        1
      
    
    {\displaystyle q+1}
  
由为酉数量矩阵组成，这便是所有矩阵
  
    
      
        c
        
          I
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle cI_{V}}
  
，这里
  
    
      
        
          c
          
            q
            +
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle c^{q+1}=1}
  
。特殊酉群的中心的阶数为
  
    
      
        gcd
        (
        n
        ,
        q
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \gcd(n,q+1)}
  
，由那些阶数整除
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的酉数量矩阵组成。酉群除以中心的商称为射影酉群，
  
    
      
        P
        U
        (
        n
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle PU(n,q^{2})}
  
，特殊酉群除以中心是射影特殊酉群
  
    
      
        P
        S
        U
        (
        n
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle PSU(n,q^{2})}
  
。在大多数情形（
  
    
      
        n
        ≥
        2
      
    
    {\displaystyle n\geq 2}
  
与
  
    
      
        (
        n
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        )
        ∈
        {
        (
        2
        ,
        
          2
          
            2
          
        
        )
        ,
        (
        2
        ,
        
          3
          
            2
          
        
        )
        ,
        (
        3
        ,
        
          2
          
            2
          
        
        )
        }
      
    
    {\displaystyle (n,q^{2})\notin \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}}
  
），
  
    
      
        S
        U
        (
        n
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle SU(n,q^{2})}
  
是完全群而
  
    
      
        P
        S
        U
        (
        n
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle PSU(n,q^{2})}
  
是有限单群(Grove 2002，Thm. 11.22 and 11.26)。


= 2阶可分代数 =
更一般地，给定一个域
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
与一个2阶可分
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-代数
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
（可能是一个域扩张但也未必），我们可以定义关于这个扩张的酉群。
首先，存在
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
的惟一
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-自同构
  
    
      
        a
        ↦
        
          
            
              a
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a\mapsto {\bar {a}}}
  
是一个对合且恰好不动元为
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
（
  
    
      
        a
        =
        
          
            
              a
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\bar {a}}}
  
当且仅当
  
    
      
        a
        ∈
        k
      
    
    {\displaystyle a\in k}
  
)。这是复共轭与2阶有限域扩张共轭的推广，从而我们可以在它上面的定义埃尔米特形式与酉群。


= 代数群 =
定义酉群的方程是一些
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
上的多项式方程（但不是在
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
上）：对标准形式 

  
    
      
        Φ
        =
        I
      
    
    {\displaystyle \Phi =I}
  
，这些方程由矩阵
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        A
        =
        I
      
    
    {\displaystyle A^{*}A=I}
  
给出，这里
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            
              A
              ¯
            
          
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}={\overline {A}}^{t}}
  
是共轭转置。给定另外一个形式，它们是
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        Φ
        A
        =
        Φ
      
    
    {\displaystyle A^{*}\Phi A=\Phi }
  
。从而酉群一个代数群，它在一个
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-代数
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
上的点由

  
    
      
        U
        ⁡
        (
        n
        ,
        K
        
          /
        
        k
        ,
        Φ
        )
        (
        R
        )
        :=
        
          {
          
            A
            ∈
            GL
            ⁡
            (
            n
            ,
            K
            
              ⊗
              
                k
              
            
            R
            )
            :
            
              A
              
                ∗
              
            
            Φ
            A
            =
            Φ
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {U} (n,K/k,\Phi )(R):=\left\{A\in \operatorname {GL} (n,K\otimes _{k}R):A^{*}\Phi A=\Phi \right\}}
  

给出。
对域扩张
  
    
      
        
          C
        
        
          /
        
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} /\mathbf {R} }
  
与标准（正定）埃尔米特形式，这得出了具有实点与复点的代数群：

  
    
      
        U
        ⁡
        (
        n
        ,
        
          C
        
        
          /
        
        
          R
        
        )
        (
        
          R
        
        )
        =
        U
        ⁡
        (
        n
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {R} )=\operatorname {U} (n),}
  

  
    
      
        U
        ⁡
        (
        n
        ,
        
          C
        
        
          /
        
        
          R
        
        )
        (
        
          C
        
        )
        =
        GL
        ⁡
        (
        n
        ,
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {C} )=\operatorname {GL} (n,\mathbf {C} )}
  
。


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参考文献 Grove, Larry C., Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics 39, Providence, R.I.: 美国数学学会, 2002, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR1859189 


另见 特殊酉群
射影酉群
正交群
辛群