在数论中，二次剩余的歐拉判別法（又稱歐拉準則）是用来判定给定的整数是否是一个质数的二次剩余。


叙述 若
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
是奇質數且
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
不能整除
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
，則：

  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩余当且仅当：

  
    
      
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}}
  

  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的非二次剩余当且仅当：

  
    
      
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        ≡
        −
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}}
  

以勒让德符号表示，即為：

  
    
      
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        ≡
        
          (
          
            
              d
              p
            
          
          )
        
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {d}{p}}\right){\pmod {p}}}
  


举例 = 例子一：对于给定数，寻找其为二次剩余的模数 =
令
  
    
      
        a
        =
        17
      
    
    {\displaystyle a=17}
  
。对于怎样的质数
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，17是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩余呢？
根据判别法里给出的准则，我们可以从小的质数开始检验。 
首先测试
  
    
      
        p
        =
        3
      
    
    {\displaystyle p=3}
  
。我们有：
  
    
      
        
          17
          
            
              
                3
                −
                1
              
              2
            
          
        
        =
        
          17
          
            1
          
        
        ≡
        2
        
          
          (
          mod
          
          3
          )
        
        ≡
        −
        1
        
          
          (
          mod
          
          3
          )
        
      
    
    {\displaystyle 17^{\frac {3-1}{2}}=17^{1}\equiv 2{\pmod {3}}\equiv -1{\pmod {3}}}
  
，因此17不是模3的二次剩余。
再来测试
  
    
      
        p
        =
        13
      
    
    {\displaystyle p=13}
  
。我们有：
  
    
      
        
          17
          
            
              
                13
                −
                1
              
              2
            
          
        
        =
        
          17
          
            6
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          13
          )
        
      
    
    {\displaystyle 17^{\frac {13-1}{2}}=17^{6}\equiv 1{\pmod {13}}}
  
，因此17是模13的二次剩余。实际上我们有：
  
    
      
        17
        ≡
        4
        
          
          (
          mod
          
          13
          )
        
      
    
    {\displaystyle 17\equiv 4{\pmod {13}}}
  
，而
  
    
      
        
          2
          
            2
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle 2^{2}=4}
  
.
运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去，可以得到：

对于质数
  
    
      
        p
        =
        13
        ,
        19
        ,
        ⋯
        ,
        
          
            17
            p
          
        
        =
        +
        1
      
    
    {\displaystyle p=13,19,\cdots ,{\frac {17}{p}}=+1}
  
（也就是说17是模这些质数的二次剩余）。
对于质数
  
    
      
        p
        =
        3
        ,
        5
        ,
        7
        ,
        11
        ,
        23
        ,
        ⋯
        ,
        
          
            17
            p
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p=3,5,7,11,23,\cdots ,{\frac {17}{p}}=-1}
  
（也就是说17是模这些质数的二次非剩余）。


= 例子二：对指定的质数p，寻找其二次剩余 =
哪些数是模17的二次剩余？
我们可以手工计算：

  
    
      
        
          1
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 1^{2}=1}
  

  
    
      
        
          2
          
            2
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle 2^{2}=4}
  

  
    
      
        
          3
          
            2
          
        
        =
        9
      
    
    {\displaystyle 3^{2}=9}
  

  
    
      
        
          4
          
            2
          
        
        =
        16
      
    
    {\displaystyle 4^{2}=16}
  

  
    
      
        
          5
          
            2
          
        
        =
        25
        ≡
        8
        
          
          (
          mod
          
          17
          )
        
      
    
    {\displaystyle 5^{2}=25\equiv 8{\pmod {17}}}
  

  
    
      
        
          6
          
            2
          
        
        =
        36
        ≡
        2
        
          
          (
          mod
          
          17
          )
        
      
    
    {\displaystyle 6^{2}=36\equiv 2{\pmod {17}}}
  

  
    
      
        
          7
          
            2
          
        
        =
        49
        ≡
        15
        
          
          (
          mod
          
          17
          )
        
      
    
    {\displaystyle 7^{2}=49\equiv 15{\pmod {17}}}
  

  
    
      
        
          8
          
            2
          
        
        =
        64
        ≡
        13
        
          
          (
          mod
          
          17
          )
        
      
    
    {\displaystyle 8^{2}=64\equiv 13{\pmod {17}}}
  

于是得到：所有模17的二次剩余的集合是
  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
        4
        ,
        8
        ,
        9
        ,
        13
        ,
        15
        ,
        16
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,2,4,8,9,13,15,16\}}
  
。要注意的是我们只需要算到8，因为
  
    
      
        9
        =
        17
        −
        8
      
    
    {\displaystyle 9=17-8}
  
，9的平方与8的平方模17是同余的：
  
    
      
        
          9
          
            2
          
        
        =
        (
        −
        8
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          8
          
            2
          
        
        ≡
        13
        
          
          (
          mod
          
          17
          )
        
      
    
    {\displaystyle 9^{2}=(-8)^{2}=8^{2}\equiv 13{\pmod {17}}}
  
.（同理不需计算比9大的数）。  
但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余，就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余，只需要计算
  
    
      
        
          3
          
            
              
                17
                −
                1
              
              2
            
          
        
        =
        
          3
          
            8
          
        
        ≡
        
          81
          
            2
          
        
        ≡
        (
        −
        4
        
          )
          
            2
          
        
        ≡
        −
        1
        
          
          (
          mod
          
          17
          )
        
      
    
    {\displaystyle 3^{\frac {17-1}{2}}=3^{8}\equiv 81^{2}\equiv (-4)^{2}\equiv -1{\pmod {17}}}
  
，然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。
欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关，并且在定义欧拉-雅可比伪素数（见伪素数）时会用到。


證明 首先，由于
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
是一个奇素数，由费马小定理，
  
    
      
        
          d
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle d^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
  
。但是
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
  
是一个偶数，所以有

  
    
      
        (
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        −
        1
        )
        ⋅
        (
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        +
        1
        )
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle (d^{\frac {p-1}{2}}-1)\cdot (d^{\frac {p-1}{2}}+1)\equiv 0{\pmod {p}}}
  

  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
是一个素数，所以
  
    
      
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}-1}
  
和
  
    
      
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}+1}
  
中必有一个是
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的倍数。因此
  
    
      
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}}
  
模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的余数必然是1或-1。

證明若
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩餘，則
  
    
      
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}}
  

若
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩餘，則存在
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        ≡
        d
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}\equiv d{\pmod {p}}}
  
，
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
跟
  
    
      
        d
        ,
        x
      
    
    {\displaystyle d,x}
  
互質。根據費馬小定理得：

  
    
      
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        ≡
        
          x
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
  

證明若
  
    
      
        
          d
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}}
  
，則
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩餘

  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
是一个奇素数，所以关于
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的原根存在。设
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的一个原根，则存在
  
    
      
        1
        ≤
        j
        ≤
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 1\leq j\leq p-1}
  
使得
  
    
      
        d
        =
        
          a
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle d=a^{j}}
  
。于是 

  
    
      
        
          a
          
            j
            
              
                
                  p
                  −
                  1
                
                2
              
            
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{j{\frac {p-1}{2}}}\equiv 1{\pmod {p}}}
  

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的一个原根，因此
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的指数是
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
  
，于是
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
  
整除
  
    
      
        
          
            
              j
              (
              p
              −
              1
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {j(p-1)}{2}}}
  
。这说明
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
是一个偶数。令
  
    
      
        i
        =
        
          
            j
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle i={\frac {j}{2}}}
  
，就有
  
    
      
        (
        
          a
          
            i
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
            i
          
        
        =
        d
      
    
    {\displaystyle (a^{i})^{2}=a^{2i}=d}
  
。
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩余。


參考资料 Legendre Symbol
二次互反律
潘承洞、潘承彪，《初等数论》，北京大学出版社。


外部链接 参考证明(中文)