側錐球狀屋頂（日語：側錐球形屋根、英語：Augmented sphenocorona）是一種由16個三角形和1個正方形組成的十七面體，為詹森多面體的其中一個，索引為J87。它雖然可由球狀屋頂（J86）於正方形面上增加一正四角錐（J1）來構成，但無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（Norman Johnson）命名並給予描述。


性質 側錐球狀屋頂共由17個面、26條邊和11個頂點所組成。在其17個面中，有16個三角形面和1個正方形面。在其11個頂點中有1個頂點是4個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[34]來表示、還有6個頂點是5個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[35]來表示、還有2個頂點是3個三角形和1個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[33,4]來表示、剩下的2個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[34,4]來表示。


= 構成 =
側錐球狀屋頂可以透過在球狀屋頂（J86）的正方形面上疊上一個正四角錐構成，疊上之後正四角錐側面與球狀屋頂另一個正方形面的角度將會非常接近平角，幾乎是共面的，但還未達到共面的狀態：其二面角約為171.8°。


= 體積與表面積 =
若一個側錐球狀屋頂邊長為
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，則其表面積
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
為：

  
    
      
        A
        =
        
          (
          
            1
            +
            4
            
              
                3
              
            
          
          )
        
        
          a
          
            2
          
        
        ≈
        7.92820
        
          a
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle A=\left(1+4{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7.92820a^{2},}
  

而其體積
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
為：

  
    
      
        V
        =
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              
                1
                +
                3
                
                  
                    
                      3
                      2
                    
                  
                
                +
                
                  
                    13
                    +
                    3
                    
                      
                        6
                      
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  3
                  
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          a
          
            3
          
        
        ≈
        1.75105
        
          a
          
            3
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle V=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1.75105a^{3}.}
  


= 頂點座標 =
要計算側錐球狀屋頂的頂點座標可以從球狀屋頂開始計算，然後再補上側錐多出來的頂點。邊長為2的球狀屋頂的頂點座標之計算可以先令k ≈ 0.85273為下列四次式的最小實根：

  
    
      
        60
        
          x
          
            4
          
        
        −
        48
        
          x
          
            3
          
        
        −
        100
        
          x
          
            2
          
        
        +
        56
        x
        +
        23.
      
    
    {\displaystyle 60x^{4}-48x^{3}-100x^{2}+56x+23.}
  

則邊長為2的球狀屋頂之頂點座標可以由下列頂點的軌道的並集在沿xz平面和yz平面鏡射所產生的空間對稱群之群作用下給出：

  
    
      
        
          (
          
            0
            ,
            1
            ,
            2
            
              
                1
                −
                
                  k
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        ,
        
        (
        2
        k
        ,
        1
        ,
        0
        )
        ,
        
          (
          
            0
            ,
            1
            +
            
              
                
                  3
                  −
                  4
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  −
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                
                  1
                  −
                  2
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  −
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        ,
        
        
          (
          
            1
            ,
            0
            ,
            −
            
              
                2
                +
                4
                k
                −
                4
                
                  k
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(0,1,2{\sqrt {1-k^{2}}}\right),\,(2k,1,0),\left(0,1+{\frac {\sqrt {3-4k^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}}}},{\frac {1-2k^{2}}{\sqrt {1-k^{2}}}}\right),\,\left(1,0,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right)}
  

最後計算其中一個正方形面的質心和該正方形面的法向量後，可以得出其最後一個頂點的位置為：

  
    
      
        
          (
          
            k
            +
            
              
                2
                −
                2
                
                  k
                  
                    2
                  
                
              
            
            ,
            0
            ,
            k
            +
            
              
                2
                −
                2
                
                  k
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(k+{\sqrt {2-2k^{2}}},0,k+{\sqrt {2-2k^{2}}}\right).}
  

另一個角度的邊長為2的側錐球狀屋頂頂點座標也可以表示為：

  
    
      
        
          (
          
            0
            ,
            
            0
            ,
            
            ±
            1
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(0,\,0,\,\pm 1\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            ±
            A
            ,
            
            
              
                B
              
            
            ,
            
            ±
            1
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm A,\,{\sqrt {B}},\,\pm 1\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            0
            ,
            
            
              
                C
              
            
            ,
            
            ±
            D
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(0,\,{\sqrt {C}},\,\pm D\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            ±
            1
            ,
            
            
              
                E
              
            
            ,
            
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm 1,\,{\sqrt {E}},\,0\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  A
                  +
                  B
                  
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            ,
            
            
              
                
                  B
                  −
                  A
                  
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            ,
            
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {A+B{\sqrt {2}}}{2}},\,{\frac {B-A{\sqrt {2}}}{2}},\,0\right)}
  

其中，
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
、
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
和
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
為下列方程式的實根：

  
    
      
        15
        
          A
          
            4
          
        
        −
        24
        
          A
          
            3
          
        
        −
        100
        
          A
          
            2
          
        
        +
        112
        A
        +
        92
        =
        0
        ,
        
        1
        ⩽
        A
        ⩽
        2
      
    
    {\displaystyle 15A^{4}-24A^{3}-100A^{2}+112A+92=0,\qquad 1\leqslant A\leqslant 2}
  

  
    
      
        225
        
          B
          
            4
          
        
        −
        24
        
          B
          
            3
          
        
        −
        3176
        
          B
          
            2
          
        
        −
        96
        B
        +
        3600
        =
        0
        ,
        
        1
        ⩽
        B
        ⩽
        2
      
    
    {\displaystyle 225B^{4}-24B^{3}-3176B^{2}-96B+3600=0,\qquad 1\leqslant B\leqslant 2}
  

  
    
      
        225
        
          C
          
            4
          
        
        −
        24
        
          C
          
            3
          
        
        −
        3176
        
          C
          
            2
          
        
        −
        96
        C
        +
        3600
        =
        0
        ,
        
        3
        ⩽
        C
        ⩽
        4
      
    
    {\displaystyle 225C^{4}-24C^{3}-3176C^{2}-96C+3600=0,\qquad 3\leqslant C\leqslant 4}
  

  
    
      
        15
        
          D
          
            4
          
        
        −
        36
        
          D
          
            3
          
        
        −
        82
        
          D
          
            2
          
        
        +
        100
        D
        +
        95
        =
        0
        ,
        
        1
        ⩽
        D
        ⩽
        2
      
    
    {\displaystyle 15D^{4}-36D^{3}-82D^{2}+100D+95=0,\qquad 1\leqslant D\leqslant 2}
  

  
    
      
        
          E
          
            2
          
        
        −
        4
        E
        −
        20
        =
        0
        ,
        
        6
        ⩽
        E
        ⩽
        7
      
    
    {\displaystyle E^{2}-4E-20=0,\qquad 6\leqslant E\leqslant 7}
  

其中，
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
和
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
是同個方程式但不同實根。
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
可以表達為
  
    
      
        2
        +
        2
        
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle 2+2{\sqrt {6}}}
  
。
這些數值的近似值為：

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ≈ 1.705453885692834

  
    
      
        
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {B}}}
  
 ≈ 1.044713857367277

  
    
      
        
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {C}}}
  
 ≈ 1.914399800381786

  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 ≈ 1.578855253321743

  
    
      
        
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {E}}}
  
 ≈ 2.626590848527109


相關多面體 參見 詹森多面體
球狀屋頂
正四角錐
多面體


參考文獻 外部連結 埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld. 
埃里克·韦斯坦因. Augmented sphenocorona. MathWorld.