在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。


超几何级数 当
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
为正整数时，对于|z| < 1，超几何函数可用如下幂级数定义

  
    
      
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                a
                
                  (
                  n
                  )
                
              
              
                b
                
                  (
                  n
                  )
                
              
            
            
              c
              
                (
                n
                )
              
            
          
        
        
        
          
            
              z
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}}
  

其中 
  
    
      
         
        
          x
          
            (
            n
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \ x^{(n)}}
  
 是遞進階乘，定义为:

  
    
      
        
          q
          
            (
            n
            )
          
        
        =
        
          {
          
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  n
                  =
                  0
                
              
              
                
                  q
                  (
                  q
                  +
                  1
                  )
                  ⋯
                  (
                  q
                  +
                  n
                  −
                  1
                  )
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  n
                  >
                  0
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle q^{(n)}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{if }}n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&{\mbox{if }}n>0\end{array}}\right.}
  

当a或b是0或负整数时级数只有有限项，另有避免这种情况出现的正则超几何函数。 
对于满足|z| ≥ 1 的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径做解析延拓来得到。具体的公式可以表示为

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                (
                a
                ,
                b
                ;
                c
                ;
                z
                )
                =
                
                  
                    
                      Γ
                      (
                      b
                      −
                      a
                      )
                      Γ
                      (
                      c
                      )
                      (
                      −
                      z
                      
                        )
                        
                          −
                          a
                        
                      
                    
                    
                      Γ
                      (
                      b
                      )
                      Γ
                      (
                      c
                      −
                      a
                      )
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      a
                      
                        )
                        
                          k
                        
                      
                      (
                      a
                      −
                      c
                      +
                      1
                      
                        )
                        
                          k
                        
                      
                      
                        z
                        
                          −
                          k
                        
                      
                    
                    
                      k
                      !
                      (
                      a
                      −
                      b
                      +
                      1
                      
                        )
                        
                          k
                        
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      Γ
                      (
                      a
                      −
                      b
                      )
                      Γ
                      (
                      c
                      )
                      (
                      −
                      z
                      
                        )
                        
                          −
                          b
                        
                      
                    
                    
                      Γ
                      (
                      a
                      )
                      Γ
                      (
                      c
                      −
                      b
                      )
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      b
                      
                        )
                        
                          k
                        
                      
                      (
                      b
                      −
                      c
                      +
                      1
                      
                        )
                        
                          k
                        
                      
                      
                        z
                        
                          −
                          k
                        
                      
                    
                    
                      k
                      !
                      (
                      −
                      a
                      +
                      b
                      +
                      1
                      
                        )
                        
                          k
                        
                      
                    
                  
                
                
                  /
                
                ;
              
            
            
              
              
                
                
                  |
                
                z
                
                  |
                
                ≥
                1
                ∧
                a
                −
                b
                ∈
                
                  Z
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (b-a)\Gamma (c)(-z)^{-a}}{\Gamma (b)\Gamma (c-a)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(a-c+1)_{k}z^{-k}}{k!(a-b+1)_{k}}}+{\frac {\Gamma (a-b)\Gamma (c)(-z)^{-b}}{\Gamma (a)\Gamma (c-b)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(b)_{k}(b-c+1)_{k}z^{-k}}{k!(-a+b+1)_{k}}}/;\\&|z|\geq 1\wedge a-b\notin \mathbb {Z} \end{aligned}}}
  


特殊情形 很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        1
        +
        z
        )
        =
        z
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        1
        ,
        1
        ;
        2
        ;
        −
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \ln(1+z)=z\,_{2}F_{1}(1,1;2;-z)}
  
.

  
    
      
        (
        1
        −
        z
        
          )
          
            −
            a
          
        
        =
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        1
        ;
        1
        ;
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (1-z)^{-a}=\,_{2}F_{1}(a,1;1;z)}
  

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        z
        =
        z
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            ,
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            ;
            
              
                
                  3
                  2
                
              
            
            ;
            
              z
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin z=z\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}\right)}
  

合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下

  
    
      
        M
        (
        a
        ,
        c
        ,
        z
        )
        =
        
          lim
          
            b
            →
            ∞
          
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        
          b
          
            −
            1
          
        
        z
        )
      
    
    {\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}
  

因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。
勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如

  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        1
        −
        a
        ;
        c
        ;
        z
        )
        =
        Γ
        (
        c
        )
        
          z
          
            
              
                
                  1
                  −
                  c
                
                2
              
            
          
        
        (
        1
        −
        z
        
          )
          
            
              
                
                  c
                  −
                  1
                
                2
              
            
          
        
        
          P
          
            −
            a
          
          
            1
            −
            c
          
        
        (
        1
        −
        2
        z
        )
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}
  

很多多项式，例如贾可比多项式 P(α,β)n及其特殊情形勒让德多项式、车比雪夫多项式、Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        −
        n
        ,
        α
        +
        1
        +
        β
        +
        n
        ;
        α
        +
        1
        ;
        x
        )
        =
        
          
            
              n
              !
            
            
              (
              α
              +
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        1
        −
        2
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}
  

其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式、Meixner多项式、Meixner–Pollaczek多项式。
椭圆模函数有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若

  
    
      
        τ
        =
        
          
            i
          
        
        
          
            
              
                

                
                
                  2
                
              
              
                F
                
                  1
                
              
              (
              
                
                  1
                  2
                
              
              ,
              
                
                  1
                  2
                
              
              ;
              1
              ;
              1
              −
              z
              )
            
            
              
                

                
                
                  2
                
              
              
                F
                
                  1
                
              
              (
              
                
                  1
                  2
                
              
              ,
              
                
                  1
                  2
                
              
              ;
              1
              ;
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z)}{{}_{2}F_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z)}}}
  

则

  
    
      
        z
        =
        
          κ
          
            2
          
        
        (
        τ
        )
        =
        
          
            
              
                θ
                
                  2
                
              
              (
              τ
              
                )
                
                  4
                
              
            
            
              
                θ
                
                  3
                
              
              (
              τ
              
                )
                
                  4
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}
  

是τ的椭圆模函数.
不完全 Beta 函数 Bx(p,q) 表示成

  
    
      
        
          B
          
            x
          
        
        (
        p
        ,
        q
        )
        =
        
          
            
              x
              
                p
              
            
            p
          
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        p
        ,
        1
        −
        q
        ;
        p
        +
        1
        ;
        x
        )
      
    
    {\displaystyle B_{x}(p,q)={\frac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)}
  

完整的椭圆积分 K 和 E 如下给出

  
    
      
        K
        (
        k
        )
        =
        
          
            
              π
              2
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            ,
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            ;
            1
            ;
            
              k
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}
  

  
    
      
        E
        (
        k
        )
        =
        
          
            
              π
              2
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            −
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            ,
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            ;
            1
            ;
            
              k
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}
  


超几何方程 超几何函数满足的微分方程称为超几何方程，其形式为（参见广义超几何函数)

  
    
      
        z
        
          (
          
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    
                      d
                    
                  
                  z
                
              
            
            +
            a
          
          )
        
        
          (
          
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    
                      d
                    
                  
                  z
                
              
            
            +
            b
          
          )
        
        w
        =
        z
        
          
            
              d
            
            
              
                
                  d
                
              
              z
            
          
        
        
          (
          
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    
                      d
                    
                  
                  z
                
              
            
            +
            c
            −
            1
          
          )
        
        w
        ,
        
        w
        (
        z
        )
        =
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        z
        )
      
    
    {\displaystyle z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+c-1\right)w,\quad w(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}
  
.
展开后，得

  
    
      
        z
        (
        1
        −
        z
        )
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              w
            
            
              
                d
              
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          [
          
            c
            −
            (
            a
            +
            b
            +
            1
            )
            z
          
          ]
        
        
          
            
              
                d
              
              w
            
            
              
                d
              
              z
            
          
        
        −
        a
        b
        w
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle z(1-z){\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-abw=0.}
  

它有三个正则奇点：0, 1, ∞.


= 正则奇点 0 附近的解 =
超几何方程的指标方程为

  
    
      
        ρ
        (
        ρ
        −
        1
        )
        +
        c
        ρ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \rho (\rho -1)+c\rho =0}
  

它的两个指标 ρ 是 0 和 1-c。
当 c不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：

  
    
      
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        z
        )
        
           and 
        
        
          z
          
            1
            −
            c
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        1
        +
        a
        −
        c
        ,
        1
        +
        b
        −
        c
        ;
        2
        −
        c
        ;
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}
  

当 c 为 1 时，方程只有一个正则解。当 c 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。
事实上，当 c 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer G-函数：

  
    
      
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        z
        )
        
           and 
        
        
        
          G
          
            2
            ,
            2
          
          
            2
            ,
            0
          
        
        (
        1
        −
        a
        ,
        1
        −
        b
        ;
        0
        ,
        c
        −
        1
        ;
        z
        )
        ,
        
           if 
        
        c
        ∈
        
          
            Z
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,c-1;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} ^{+}}
  

  
    
      
        
        
          z
          
            1
            −
            c
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        1
        +
        a
        −
        c
        ,
        1
        +
        b
        −
        c
        ;
        2
        −
        c
        ;
        z
        )
        
           and 
        
        
        
          G
          
            2
            ,
            2
          
          
            2
            ,
            0
          
        
        (
        1
        −
        a
        ,
        1
        −
        b
        ;
        0
        ,
        1
        −
        c
        ;
        z
        )
        ,
        
           if 
        
        c
        ∈
        
          
            Z
          
          
            0
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle \,z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,1-c;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} _{0}^{-}}
  


= 正则奇点 1 附近的解 =
只需作代换 t=1-z，方程变为：

  
    
      
        t
        (
        1
        −
        t
        )
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              w
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          [
          
            1
            +
            a
            +
            b
            −
            c
            −
            (
            a
            +
            b
            +
            1
            )
            t
          
          ]
        
        
          
            
              d
              w
            
            
              d
              t
            
          
        
        −
        a
        b
        w
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle t(1-t){\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}+\left[1+a+b-c-(a+b+1)t\right]{\frac {dw}{dt}}-abw=0.}
  

当 a+b-c 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

  
    
      
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        1
        +
        a
        +
        b
        −
        c
        ;
        1
        −
        z
        )
        
           and 
        
        (
        1
        −
        z
        
          )
          
            c
            −
            a
            −
            b
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        c
        −
        b
        ,
        c
        −
        a
        ;
        1
        −
        a
        −
        b
        +
        c
        ;
        1
        −
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z){\text{ and }}(1-z)^{c-a-b}\,_{2}F_{1}(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)}
  


= 正则奇点 ∞ 附近的解 =
当 a-b 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

  
    
      
        
          z
          
            −
            a
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            a
            ,
            1
            +
            a
            −
            c
            ;
            1
            +
            a
            −
            b
            ;
            
              z
              
                −
                1
              
            
          
          )
        
        
           and 
        
        
          z
          
            −
            b
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            b
            ,
            1
            +
            b
            −
            c
            ;
            1
            +
            b
            −
            a
            ;
            
              z
              
                −
                1
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right){\text{ and }}z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}
  


= 李代数参数与连接关系 =
在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

  
    
      
        
          F
          
            α
            ,
            β
            ,
            μ
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        z
        )
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}
  

  
    
      
        α
        =
        c
        −
        1
        ,
        β
        =
        a
        +
        b
        −
        c
        ,
        μ
        =
        b
        −
        a
      
    
    {\displaystyle \alpha =c-1,\beta =a+b-c,\mu =b-a}
  

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              1
              +
              α
              +
              β
              −
              μ
            
            2
          
        
        ,
        b
        =
        
          
            
              1
              +
              α
              +
              β
              +
              μ
            
            2
          
        
        ,
        c
        =
        1
        +
        α
      
    
    {\displaystyle a={\frac {1+\alpha +\beta -\mu }{2}},b={\frac {1+\alpha +\beta +\mu }{2}},c=1+\alpha }
  

参数 α,β,γ 称为李代数参数。
运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：

  
    
      
        
          At 
        
        0
        :
        
          F
          
            α
            ,
            β
            ,
            μ
          
        
        (
        z
        )
        
           and 
        
        
          z
          
            −
            α
          
        
        
          F
          
            −
            α
            ,
            β
            ,
            −
            μ
          
        
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{At }}0:F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)}
  

  
    
      
        
          At 
        
        1
        :
        
          F
          
            β
            ,
            α
            ,
            μ
          
        
        (
        1
        −
        z
        )
        
           and 
        
        (
        1
        −
        z
        
          )
          
            −
            β
          
        
        
          F
          
            −
            β
            ,
            α
            ,
            −
            μ
          
        
        (
        1
        −
        z
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{At }}1:F_{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z){\text{ and }}(1-z)^{-\beta }F_{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)}
  

  
    
      
        
          At 
        
        ∞
        :
        (
        −
        z
        
          )
          
            
              
                −
                1
                −
                α
                −
                β
                +
                μ
              
              2
            
          
        
        
          F
          
            −
            μ
            ,
            β
            ,
            −
            α
          
        
        (
        
          z
          
            −
            1
          
        
        )
        
           and 
        
        (
        −
        z
        
          )
          
            
              
                −
                1
                −
                α
                −
                β
                −
                μ
              
              2
            
          
        
        
          F
          
            μ
            ,
            β
            ,
            α
          
        
        (
        
          z
          
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{At }}\infty :(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta +\mu }{2}}F_{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1}){\text{ and }}(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta -\mu }{2}}F_{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})}
  

从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 a,b,c 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。
引入记号：

  
    
      
        G
        (
        m
        ;
        n
        ,
        p
        )
        =
        
          
            π
            
              sin
              ⁡
              m
              π
              Γ
              (
              n
              )
              Γ
              (
              p
              )
            
          
        
        =
        G
        (
        m
        ;
        p
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle G(m;n,p)={\frac {\pi }{\sin m\pi \Gamma (n)\Gamma (p)}}=G(m;p,n)}
  

  
    
      
        
          
            F
          
          
            α
            ,
            β
            ,
            μ
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              Γ
              (
              1
              +
              α
              )
            
          
        
        
          F
          
            α
            ,
            β
            ,
            μ
          
        
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1+\alpha )}}F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)}
  

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：

  
    
      
        
          
            F
          
          
            β
            ,
            α
            ,
            μ
          
        
        (
        1
        −
        z
        )
        =
        G
        (
        −
        α
        ;
        a
        −
        α
        ,
        b
        −
        α
        )
        
          
            F
          
          
            α
            ,
            β
            ,
            μ
          
        
        (
        z
        )
        +
        G
        (
        α
        ;
        a
        ,
        b
        )
        
          z
          
            −
            α
          
        
        
          
            F
          
          
            −
            α
            ,
            β
            ,
            −
            μ
          
        
        (
        z
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z)=G(-\alpha ;a-\alpha ,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,b)z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),}
  

  
    
      
        
          
            
              
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    β
                  
                
                
                  
                    F
                  
                  
                    −
                    β
                    ,
                    α
                    ,
                    −
                    μ
                  
                
                (
                1
                −
                z
                )
              
              
                =
              
              
                G
                (
                −
                α
                ;
                1
                −
                a
                ,
                1
                −
                b
                )
                
                  
                    F
                  
                  
                    α
                    ,
                    β
                    ,
                    μ
                  
                
                (
                z
                )
                +
                G
                (
                α
                ;
                b
                −
                β
                ,
                a
                −
                β
                )
                
                  z
                  
                    −
                    α
                  
                
                
                  
                    F
                  
                  
                    −
                    α
                    ,
                    β
                    ,
                    −
                    μ
                  
                
                (
                z
                )
              
            
            
              
              
                =
              
              
                G
                (
                −
                α
                ;
                1
                −
                a
                ,
                1
                −
                b
                )
                
                  
                    F
                  
                  
                    α
                    ,
                    β
                    ,
                    μ
                  
                
                (
                z
                )
                +
                G
                (
                α
                ;
                1
                −
                (
                a
                −
                α
                )
                ,
                1
                −
                (
                b
                −
                α
                )
                )
                
                  z
                  
                    −
                    α
                  
                
                
                  
                    F
                  
                  
                    −
                    α
                    ,
                    β
                    ,
                    −
                    μ
                  
                
                (
                z
                )
                ;
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{rcl}(1-z)^{-\beta }\mathbf {F} _{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b-\beta ,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;1-(a-\alpha ),1-(b-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z);\end{array}}}
  

  
    
      
        (
        −
        z
        
          )
          
            −
            a
          
        
        
          
            F
          
          
            −
            μ
            ,
            β
            ,
            −
            α
          
        
        (
        
          z
          
            −
            1
          
        
        )
        =
        G
        (
        −
        α
        ;
        1
        −
        b
        ,
        a
        −
        α
        )
        
          
            F
          
          
            α
            ,
            β
            ,
            μ
          
        
        (
        z
        )
        +
        G
        (
        α
        ;
        a
        ,
        a
        −
        β
        )
        
          z
          
            −
            α
          
        
        
          
            F
          
          
            −
            α
            ,
            β
            ,
            −
            μ
          
        
        (
        z
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle (-z)^{-a}\mathbf {F} _{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1})=G(-\alpha ;1-b,a-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),}
  

  
    
      
        
          
            
              
                (
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    b
                  
                
                
                  
                    F
                  
                  
                    μ
                    ,
                    β
                    ,
                    α
                  
                
                (
                
                  z
                  
                    −
                    1
                  
                
                )
              
              
                =
              
              
                G
                (
                −
                α
                ;
                1
                −
                a
                ,
                b
                −
                α
                )
                
                  
                    F
                  
                  
                    α
                    ,
                    β
                    ,
                    μ
                  
                
                (
                z
                )
                +
                G
                (
                α
                ;
                b
                ,
                b
                −
                β
                )
                
                  z
                  
                    −
                    α
                  
                
                
                  
                    F
                  
                  
                    −
                    α
                    ,
                    β
                    ,
                    −
                    μ
                  
                
                (
                z
                )
              
            
            
              
              
                =
              
              
                G
                (
                −
                α
                ;
                1
                −
                a
                ,
                1
                −
                (
                a
                −
                β
                )
                )
                
                  
                    F
                  
                  
                    α
                    ,
                    β
                    ,
                    μ
                  
                
                (
                z
                )
                +
                G
                (
                α
                ;
                b
                ,
                1
                −
                (
                a
                −
                α
                )
                )
                
                  z
                  
                    −
                    α
                  
                
                
                  
                    F
                  
                  
                    −
                    α
                    ,
                    β
                    ,
                    −
                    μ
                  
                
                (
                z
                )
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{rcl}(-z)^{-b}\mathbf {F} _{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})&=&G(-\alpha ;1-a,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,b-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-(a-\beta ))\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,1-(a-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z).\end{array}}}
  

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。
完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。


积分表示 B
        
        (
        a
        ,
        c
        −
        a
        )
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        z
        )
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          t
          
            b
            −
            c
          
        
        (
        t
        −
        1
        
          )
          
            c
            −
            a
            −
            1
          
        
        (
        t
        −
        z
        
          )
          
            −
            b
          
        
        
          d
        
        t
        ,
        ℜ
        (
        c
        )
        >
        ℜ
        (
        a
        )
        >
        0
        ,
        
          |
        
        arg
        ⁡
        (
        1
        −
        z
        )
        
          |
        
        <
        π
      
    
    {\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a){}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-z)|<\pi }
  

式中的 Β 是beta函数。


= 证明 =
可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 z=0 附近的性质，可以确定它的具体形式。
设

  
    
      
        p
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ;
        t
        ,
        z
        )
        =
        
          t
          
            b
            −
            c
          
        
        (
        t
        −
        1
        
          )
          
            c
            −
            a
            −
            1
          
        
        (
        t
        −
        z
        
          )
          
            −
            b
            −
            2
          
        
        ,
        
        w
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ;
        t
        ,
        z
        )
        =
        (
        t
        −
        z
        
          )
          
            2
          
        
        p
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ;
        t
        ,
        z
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b-2},\quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^{2}p(a,b,c;t,z);}
  

则

  
    
      
        
          
            
              ∂
              w
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        =
        b
        (
        t
        −
        z
        )
        p
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ;
        t
        ,
        z
        )
        ,
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              w
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        b
        (
        b
        +
        1
        )
        p
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ;
        t
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\quad {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)}
  

  
    
      
        
          
            
              
              
                z
                (
                1
                −
                z
                )
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          2
                        
                      
                      w
                    
                    
                      ∂
                      
                        z
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                +
                
                  [
                  
                    c
                    −
                    (
                    a
                    +
                    b
                    +
                    1
                    )
                    z
                  
                  ]
                
                
                  
                    
                      ∂
                      w
                    
                    
                      ∂
                      z
                    
                  
                
                −
                a
                b
                w
              
            
            
              
                =
              
              
                b
                p
                (
                a
                ,
                b
                ,
                c
                ;
                t
                ,
                z
                )
                
                  {
                  
                    z
                    (
                    1
                    −
                    z
                    )
                    (
                    b
                    +
                    1
                    )
                    +
                    [
                    c
                    −
                    (
                    a
                    +
                    b
                    +
                    1
                    )
                    z
                    ]
                    (
                    t
                    −
                    z
                    )
                    −
                    a
                    (
                    t
                    −
                    z
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                  
                  }
                
              
            
            
              
                =
              
              
                b
                p
                (
                a
                ,
                b
                ,
                c
                ;
                t
                ,
                z
                )
                
                  {
                  
                    −
                    a
                    
                      t
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    [
                    c
                    −
                    (
                    b
                    −
                    a
                    +
                    1
                    )
                    z
                    ]
                    t
                    +
                    (
                    b
                    −
                    c
                    +
                    1
                    )
                    z
                  
                  }
                
              
            
            
              
                =
              
              
                b
                p
                (
                a
                ,
                b
                ,
                c
                ;
                t
                ,
                z
                )
                
                  {
                  
                    (
                    b
                    −
                    c
                    +
                    1
                    )
                    (
                    t
                    −
                    1
                    )
                    (
                    t
                    −
                    z
                    )
                    +
                    (
                    c
                    −
                    a
                    )
                    t
                    (
                    t
                    −
                    z
                    )
                    +
                    (
                    −
                    b
                    −
                    1
                    )
                    t
                    (
                    t
                    −
                    1
                    )
                  
                  }
                
              
            
            
              
                =
              
              
                b
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                [
                t
                (
                t
                −
                1
                )
                (
                t
                −
                z
                )
                p
                (
                a
                ,
                b
                ,
                c
                ;
                t
                ,
                z
                )
                ]
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\partial w}{\partial z}}-abw\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z)^{2}\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{-at^{2}+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\right\}\\=&b{\frac {\partial }{\partial t}}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],\end{array}}}
  

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 t 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。
另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按 z 展开成幂级数，故可知等号右边应取 C 2F1(a,b,c;z) 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 C 为待定的常数。
对比积分表达式在 z=0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 C。


变换公式 = 分式线性变换 =


 Pfaff 变换  Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 β 与 μ 对换）：

  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        z
        )
        =
        (
        1
        −
        z
        
          )
          
            −
            b
          
        
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        c
        −
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        
          
            
              z
              
                z
                −
                1
              
            
          
        
        )
        ,
        
        
          |
        
        arg
        ⁡
        (
        1
        −
        z
        )
        
          |
        
        <
        π
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }
  

由 a,b 的对称性自然有：

  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        z
        )
        =
        (
        1
        −
        z
        
          )
          
            −
            a
          
        
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        c
        −
        b
        ;
        c
        ;
        
          
            
              z
              
                z
                −
                1
              
            
          
        
        )
        ,
        
        
          |
        
        arg
        ⁡
        (
        1
        −
        z
        )
        
          |
        
        <
        π
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }
  


 = 证明  =
Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              z
              
                z
                −
                1
              
            
          
        
        =
        1
        +
        
          
            
              1
              
                z
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u={\tfrac {z}{z-1}}=1+{\tfrac {1}{z-1}}}
  

则

  
    
      
        z
        =
        
          
            
              u
              
                u
                −
                1
              
            
          
        
        ,
        
        (
        1
        −
        z
        
          )
          
            a
          
        
        =
        (
        1
        −
        u
        
          )
          
            −
            a
          
        
        ,
        
        
          
            
              
                
                  d
                
                u
              
              
                
                  d
                
                z
              
            
          
        
        =
        −
        (
        1
        −
        u
        
          )
          
            2
          
        
        ,
        
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  
                    2
                  
                
                u
              
              
                
                  d
                
                
                  z
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        −
        (
        1
        −
        u
        
          )
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle z={\tfrac {u}{u-1}},\quad (1-z)^{a}=(1-u)^{-a},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}=-(1-u)^{2},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-(1-u)^{3}}
  

  
    
      
        
          
            
              
              
                z
                (
                1
                −
                z
                )
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          2
                        
                      
                      
                        
                          d
                        
                        
                          z
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                [
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    b
                  
                
                w
                ]
                +
                
                  [
                  
                    c
                    −
                    (
                    a
                    +
                    b
                    +
                    1
                    )
                    z
                  
                  ]
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        
                          d
                        
                        z
                      
                    
                  
                
                [
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    b
                  
                
                w
                ]
                −
                a
                b
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    b
                  
                
                w
              
            
            
              
                =
              
              
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    b
                    −
                    1
                  
                
                
                  {
                  
                    z
                    [
                    b
                    (
                    b
                    +
                    1
                    )
                    +
                    2
                    b
                    (
                    1
                    −
                    z
                    )
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            
                              d
                            
                            z
                          
                        
                      
                    
                    +
                    (
                    1
                    −
                    z
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              d
                            
                            
                              2
                            
                          
                          
                            
                              d
                            
                            
                              z
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                    +
                    [
                    c
                    −
                    (
                    a
                    +
                    b
                    +
                    1
                    )
                    z
                    ]
                    [
                    b
                    +
                    (
                    1
                    −
                    z
                    )
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            
                              d
                            
                            z
                          
                        
                      
                    
                    ]
                    −
                    a
                    b
                    (
                    1
                    −
                    z
                    )
                  
                  }
                
                w
              
            
            
              
                =
              
              
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    b
                    −
                    1
                  
                
                
                  {
                  
                    z
                    (
                    1
                    −
                    z
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              d
                            
                            
                              2
                            
                          
                          
                            
                              d
                            
                            
                              z
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    (
                    1
                    −
                    z
                    )
                    [
                    c
                    −
                    (
                    a
                    −
                    b
                    +
                    1
                    )
                    z
                    ]
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            
                              d
                            
                            z
                          
                        
                      
                    
                    +
                    b
                    (
                    c
                    −
                    a
                    )
                  
                  }
                
                w
              
            
            
              
                =
              
              
                (
                1
                −
                u
                
                  )
                  
                    b
                    +
                    1
                  
                
                
                  {
                  
                    −
                    u
                    (
                    1
                    −
                    u
                    )
                    
                      
                        
                          
                            
                              d
                            
                            
                              2
                            
                          
                          
                            
                              d
                            
                            
                              u
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    2
                    u
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            
                              d
                            
                            u
                          
                        
                      
                    
                    −
                    (
                    1
                    −
                    u
                    )
                    [
                    c
                    +
                    (
                    a
                    −
                    b
                    +
                    1
                    )
                    (
                    1
                    −
                    u
                    
                      )
                      
                        −
                        1
                      
                    
                    u
                    ]
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            
                              d
                            
                            u
                          
                        
                      
                    
                    +
                    b
                    (
                    c
                    −
                    a
                    )
                  
                  }
                
                w
              
            
            
              
                =
              
              
                −
                (
                1
                −
                u
                
                  )
                  
                    b
                    +
                    1
                  
                
                
                  {
                  
                    u
                    (
                    1
                    −
                    u
                    )
                    
                      
                        
                          
                            
                              d
                            
                            
                              2
                            
                          
                          
                            
                              d
                            
                            
                              u
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    [
                    c
                    −
                    (
                    c
                    −
                    a
                    +
                    b
                    +
                    1
                    )
                    u
                    ]
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            
                              d
                            
                            u
                          
                        
                      
                    
                    −
                    b
                    (
                    c
                    −
                    a
                    )
                  
                  }
                
                w
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-b}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-b}w]-ab(1-z)^{-b}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z[b(b+1)+2b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][b+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a-b+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+b(c-a)\right\}w\\=&(1-u)^{b+1}\left\{-u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+2u{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{-1}u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+b(c-a)\right\}w\\=&-(1-u)^{b+1}\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[c-(c-a+b+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-b(c-a)\right\}w\end{array}}}
  

取

  
    
      
        w
        =
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        c
        −
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        u
        )
      
    
    {\displaystyle w={}_{2}F_{1}(c-a,b;c;u)}
  

由 w(u) 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-z)-bw(z) 在 z=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。


 Euler 变换  Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 β 变成 -β：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  

                  
                  
                    2
                  
                
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                (
                a
                ,
                b
                ;
                c
                ;
                z
                )
              
              
                =
              
              
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    b
                  
                
                
                
                  

                  
                  
                    2
                  
                
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                (
                c
                −
                a
                ,
                b
                ;
                c
                ;
                
                  
                    z
                    
                      z
                      −
                      1
                    
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                =
              
              
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    b
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      1
                      −
                      
                        
                          z
                          
                            z
                            −
                            1
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    a
                    −
                    c
                  
                
                
                
                  

                  
                  
                    2
                  
                
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                
                  (
                  
                    c
                    −
                    a
                    ,
                    c
                    −
                    b
                    ;
                    c
                    ;
                    
                      
                        
                          z
                          
                            z
                            −
                            1
                          
                        
                        
                          
                            
                              z
                              
                                z
                                −
                                1
                              
                            
                          
                          −
                          1
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    c
                    −
                    a
                    −
                    b
                  
                
                
                
                  

                  
                  
                    2
                  
                
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                (
                c
                −
                a
                ,
                c
                −
                b
                ;
                c
                ;
                z
                )
                ,
                
                
                  |
                
                arg
                ⁡
                (
                1
                −
                z
                )
                
                  |
                
                <
                π
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=&(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}})\\&=&(1-z)^{-b}\left(1-{\frac {z}{z-1}}\right)^{a-c}\,{}_{2}F_{1}\left(c-a,c-b;c;{\frac {\frac {z}{z-1}}{{\frac {z}{z-1}}-1}}\right)\\&=&(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z),\quad |\arg(1-z)|<\pi \end{array}}}
  

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。
将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。
给定一组李代数参数(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（Fα,β,μ 恒等于 Fα,β,-μ），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。
例如 Euler 变换可以表示为：

  
    
      
        
          F
          
            α
            ,
            β
            ,
            μ
          
        
        
          
            →
            
              Pfaff
            
          
        
        
          F
          
            α
            ,
            μ
            ,
            β
          
        
        ≡
        
          F
          
            α
            ,
            μ
            ,
            −
            β
          
        
        
          
            →
            
              Pfaff
            
          
        
        
          F
          
            α
            ,
            −
            β
            ,
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,\mu ,\beta }\equiv F_{\alpha ,\mu ,-\beta }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,-\beta ,\mu }}
  


= 二次变换 =
下面是一个二次变换的例子：

  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        2
        a
        ;
        z
        )
        =
        (
        1
        −
        z
        
          )
          
            −
            
              
                
                  b
                  2
                
              
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        −
        
          
            
              b
              2
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              2
            
          
        
        ;
        a
        +
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        ;
        
          
            
              
                z
                
                  2
                
              
              
                4
                z
                −
                4
              
            
          
        
        )
        ,
        
        
          |
        
        arg
        ⁡
        (
        1
        −
        z
        )
        
          |
        
        <
        π
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2a;z)=(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}\,_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4z-4}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }
  

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。


 证明  仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：

  
    
      
        
          
            
              
              
                z
                (
                1
                −
                z
                )
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          2
                        
                      
                      
                        
                          d
                        
                        
                          z
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                [
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    
                      
                        
                          b
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                w
                ]
                +
                
                  [
                  
                    c
                    −
                    (
                    a
                    +
                    b
                    +
                    1
                    )
                    z
                  
                  ]
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        
                          d
                        
                        z
                      
                    
                  
                
                [
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    
                      
                        
                          b
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                w
                ]
                −
                a
                b
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    
                      
                        
                          b
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                w
              
            
            
              
                =
              
              
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    
                      
                        
                          b
                          2
                        
                      
                    
                    −
                    1
                  
                
                
                  {
                  
                    z
                    [
                    
                      
                        
                          b
                          2
                        
                      
                    
                    (
                    
                      
                        
                          b
                          2
                        
                      
                    
                    +
                    1
                    )
                    +
                    b
                    (
                    1
                    −
                    z
                    )
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            
                              d
                            
                            z
                          
                        
                      
                    
                    +
                    (
                    1
                    −
                    z
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              d
                            
                            
                              2
                            
                          
                          
                            
                              d
                            
                            
                              z
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                    +
                    [
                    c
                    −
                    (
                    a
                    +
                    b
                    +
                    1
                    )
                    z
                    ]
                    [
                    
                      
                        
                          b
                          2
                        
                      
                    
                    +
                    (
                    1
                    −
                    z
                    )
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            
                              d
                            
                            z
                          
                        
                      
                    
                    ]
                    −
                    a
                    b
                    (
                    1
                    −
                    z
                    )
                  
                  }
                
                w
              
            
            
              
                =
              
              
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    −
                    
                      
                        
                          b
                          2
                        
                      
                    
                    −
                    1
                  
                
                
                  {
                  
                    z
                    (
                    1
                    −
                    z
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              d
                            
                            
                              2
                            
                          
                          
                            
                              d
                            
                            
                              z
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    (
                    1
                    −
                    z
                    )
                    [
                    c
                    −
                    (
                    a
                    +
                    1
                    )
                    z
                    ]
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            
                              d
                            
                            z
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          b
                          4
                        
                      
                    
                    [
                    2
                    (
                    c
                    −
                    2
                    a
                    )
                    +
                    (
                    2
                    a
                    −
                    b
                    )
                    z
                    ]
                  
                  }
                
                w
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]-ab(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z[{\tfrac {b}{2}}({\tfrac {b}{2}}+1)+b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][{\tfrac {b}{2}}+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\\end{array}}}
  

令

  
    
      
        c
        =
        2
        a
        ,
        
        u
        =
        
          
            
              
                z
                
                  2
                
              
              
                4
                z
                −
                4
              
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        (
        z
        +
        1
        −
        
          
            
              1
              
                1
                −
                z
              
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle c=2a,\quad u={\tfrac {z^{2}}{4z-4}}={\tfrac {1}{4}}(z+1-{\tfrac {1}{1-z}})}
  

则

  
    
      
        1
        −
        u
        =
        
          
            
              
                (
                z
                −
                2
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                4
                (
                1
                −
                z
                )
              
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              
                
                  d
                
                u
              
              
                
                  d
                
                z
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                z
                (
                z
                −
                2
                )
              
              
                4
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  
                    2
                  
                
                u
              
              
                
                  d
                
                
                  z
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              1
              
                2
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    3
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 1-u={\tfrac {(z-2)^{2}}{4(1-z)}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}={\tfrac {z(z-2)}{4(1-z)^{2}}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-{\tfrac {1}{2(1-z)^{3}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
              
                z
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          2
                        
                      
                      
                        
                          d
                        
                        
                          z
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                +
                (
                1
                −
                z
                )
                [
                c
                −
                (
                a
                +
                1
                )
                z
                ]
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        
                          d
                        
                        z
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      b
                      4
                    
                  
                
                [
                2
                (
                c
                −
                2
                a
                )
                +
                (
                2
                a
                −
                b
                )
                z
                ]
              
            
            
              
                =
              
              
                z
                (
                1
                −
                z
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          2
                        
                      
                      
                        
                          d
                        
                        
                          z
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                +
                (
                1
                −
                z
                )
                [
                2
                a
                −
                (
                a
                +
                1
                )
                z
                ]
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        
                          d
                        
                        z
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      b
                      2
                    
                  
                
                (
                a
                −
                
                  
                    
                      b
                      2
                    
                  
                
                )
                z
              
            
            
              
                =
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          z
                          
                            3
                          
                        
                        (
                        z
                        −
                        2
                        
                          )
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        16
                        (
                        1
                        −
                        z
                        
                          )
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          2
                        
                      
                      
                        
                          d
                        
                        
                          u
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      z
                      
                        2
                        (
                        1
                        −
                        z
                        )
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        
                          d
                        
                        u
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        z
                        (
                        z
                        −
                        2
                        )
                        (
                        2
                        a
                        −
                        a
                        z
                        −
                        z
                        )
                      
                      
                        4
                        (
                        1
                        −
                        z
                        )
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        
                          d
                        
                        u
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      b
                      2
                    
                  
                
                (
                a
                −
                
                  
                    
                      b
                      2
                    
                  
                
                )
                z
              
            
            
              
                =
              
              
                −
                z
                
                  {
                  
                    u
                    (
                    1
                    −
                    u
                    )
                    
                      
                        
                          
                            
                              d
                            
                            
                              2
                            
                          
                          
                            
                              d
                            
                            
                              u
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    [
                    a
                    +
                    
                      
                        
                          1
                          2
                        
                      
                    
                    −
                    (
                    a
                    +
                    1
                    )
                    u
                    ]
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          
                            
                              d
                            
                            u
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        
                          b
                          2
                        
                      
                    
                    (
                    a
                    −
                    
                      
                        
                          b
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                  }
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\\=&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[2a-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&{\tfrac {z^{3}(z-2)^{2}}{16(1-z)^{2}}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}-{\tfrac {z}{2(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&-z\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[a+{\tfrac {1}{2}}-(a+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})\right\}\end{array}}}
  

取

  
    
      
        w
        =
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        −
        
          
            
              b
              2
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              2
            
          
        
        ;
        a
        +
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        ;
        u
        )
      
    
    {\displaystyle w=\,{}_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};u)}
  

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。


 其它例子  运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为

  
    
      
        
          F
          
            α
            ,
            β
            ,
            μ
          
        
        (
        z
        )
        =
        f
        (
        z
        )
        
          F
          
            
              α
              ′
            
            ,
            
              β
              ′
            
            ,
            
              μ
              ′
            
          
        
        (
        g
        (
        z
        )
        )
        ,
        
        P
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)=f(z)F_{\alpha ',\beta ',\mu '}(g(z)),\quad P(z)}
  

其中 f(z),g(z) 是 z 的函数， P(z) 表示 z 要满足的约束。
下表给出了一些二次变换。

另外还有：

  
    
      
        
          
            
              
                2
                Γ
                (
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                )
                Γ
                (
                
                  
                    
                      
                        a
                        +
                        b
                        +
                        1
                      
                      2
                    
                  
                
                )
              
              
                Γ
                (
                
                  
                    
                      
                        a
                        +
                        1
                      
                      2
                    
                  
                
                )
                Γ
                (
                
                  
                    
                      
                        b
                        +
                        1
                      
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        
          F
          
            −
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            ,
            β
            ,
            
              
                
                  μ
                  2
                
              
            
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          F
          
            β
            ,
            β
            ,
            μ
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            −
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            
              
                z
              
            
          
          )
        
        +
        
          F
          
            β
            ,
            β
            ,
            μ
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            +
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            
              
                z
              
            
          
          )
        
        ,
        
        
          |
        
        arg
        ⁡
        z
        
          |
        
        <
        π
        ,
        
          |
        
        arg
        ⁡
        (
        1
        −
        z
        )
        
          |
        
        <
        π
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {2\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {a+b+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {a+1}{2}})\Gamma ({\tfrac {b+1}{2}})}}F_{-{\tfrac {1}{2}},\beta ,{\tfrac {\mu }{2}}}(z)=F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)+F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right),\quad |\arg z|<\pi ,|\arg(1-z)|<\pi }
  

将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。
另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。


= 三次及高次变换 =
若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。
另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Goursat (1881)。


特殊值 = z=0 =

  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        0
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;0)=1}
  


= z=1 =

  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        c
        ;
        1
        )
        =
        
          
            
              
                
                  B
                
                (
                a
                ,
                c
                −
                a
                −
                b
                )
              
              
                
                  B
                
                (
                a
                ,
                c
                −
                a
                )
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                Γ
                (
                c
                )
                Γ
                (
                c
                −
                a
                −
                b
                )
              
              
                Γ
                (
                c
                −
                a
                )
                Γ
                (
                c
                −
                b
                )
              
            
          
        
        ,
        
        ℜ
        (
        c
        )
        >
        ℜ
        (
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\tfrac {\mathrm {B} (a,c-a-b)}{\mathrm {B} (a,c-a)}}={\tfrac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)}
  

这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。


= z=-1 =

  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        a
        ,
        b
        ;
        1
        +
        a
        −
        b
        ;
        −
        1
        )
        =
        
          
            
              Γ
              (
              1
              +
              a
              −
              b
              )
              Γ
              (
              1
              +
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              a
              )
            
            
              Γ
              (
              1
              +
              a
              )
              Γ
              (
              1
              +
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              a
              −
              b
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}
  

这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。


= z=1/2 =

  
    
      
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            a
            ,
            b
            ;
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            
              (
              
                1
                +
                a
                +
                b
              
              )
            
            ;
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              Γ
              (
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              )
              Γ
              (
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  1
                  +
                  a
                  +
                  b
                
                )
              
              )
            
            
              Γ
              (
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  1
                  +
                  a
                  )
                
                )
              
              Γ
              (
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  1
                  +
                  b
                
                )
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}
  

  
    
      
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            a
            ,
            1
            −
            a
            ;
            c
            ;
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              Γ
              (
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              c
              )
              Γ
              (
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  1
                  +
                  c
                
                )
              
              )
            
            
              Γ
              (
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  c
                  +
                  a
                
                )
              
              )
              Γ
              (
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  1
                  +
                  c
                  −
                  a
                
                )
              
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        .
      
    
    {\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}
  

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。


参考文献 Hazewinkel, Michiel (编), Hypergeometric function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions （页面存档备份，存于互联网档案馆） (University of Oxford, MSc Thesis)
Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable)
埃里克·韦斯坦因. Hypergeometric Function. MathWorld. 
Olde Daalhuis, A. B., Hypergeometric Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W.  (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
Goursat, Edouard. Sur l'equation differentielle lineaire, qui admet pour integrale la serie hypergeometrique. Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure. 1881, 10: 3–142  [2008-10-16]. （原始内容存档于2021-03-08） （法语）.