子集（英語：subset）亦稱部分集合，為某集合中部分元素的集合；關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集的关系被称为“包含”。
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（∀a∈A，则a∈B），则集合A称为集合B的子集，记为
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  
或
  
    
      
        B
        ⊇
        A
      
    
    {\displaystyle B\supseteq A}
  
，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。
即：
  
    
      
        ∀
        a
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle \forall a\in A}
  
，有
  
    
      
        a
        ∈
        B
      
    
    {\displaystyle a\in B}
  
，则
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  
。
若
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
为集合，且
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的所有元素都是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的元素，则可表示為：

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的子集（或称
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
包含于 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
）；
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  

  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的父集／超集（或称
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
包含 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
）；
  
    
      
        B
        ⊇
        A
      
    
    {\displaystyle B\supseteq A}
  

任何集合
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
皆是本身的子集（
  
    
      
        B
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle B\subseteq B}
  
）。而
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的子集中不等于
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的集合，称为真子集，若
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的真子集，写作
  
    
      
        A
        ⫋
        B
      
    
    {\displaystyle A\subsetneqq B}
  
。


定义 假设有
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
两个集合，如果
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
中的每个元素都在
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中，则：

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的子集，记作
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  

也可以说

  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的超集，记作
  
    
      
        B
        ⊇
        A
      
    
    {\displaystyle B\supseteq A}
  

如果
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的子集，但
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
不等于
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
（即
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
中至少存在一个元素不在
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
集合中），则：

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的真子集，记作
  
    
      
        A
        ⫋
        B
      
    
    {\displaystyle A\subsetneqq B}
  

也可以说

  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的真超集，记作
  
    
      
        B
        ⫌
        A
      
    
    {\displaystyle B\supsetneqq A}
  


符号 ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配：

  
    
      
        ⊆
      
    
    {\displaystyle \subseteq }
  
表示子集关系，
  
    
      
        ⊂
      
    
    {\displaystyle \subset }
  
表示真子集关系。

  
    
      
        ⊂
      
    
    {\displaystyle \subset }
  
表示子集关系，
  
    
      
        ⫋
      
    
    {\displaystyle \subsetneqq }
  
表示真子集关系。


举例 集合
  
    
      
        
          {
          
            1
            ,
            2
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{1,2\right\}}
  
是集合
  
    
      
        
          {
          
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}
  
的真子集。
自然数集合是有理数集合的真子集。
集合
  
    
      
        {
        x
        :
        x
      
    
    {\displaystyle \{x:x}
  
是大于2000的素数
  
    
      
        }
      
    
    {\displaystyle \}}
  
是集合
  
    
      
        {
        x
        :
        x
      
    
    {\displaystyle \{x:x}
  
是大于1000的奇数
  
    
      
        }
      
    
    {\displaystyle \}}
  
的真子集。
任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
空集，写作
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing }
  
，是任意集合
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。


性质 命题1：空集是任意集合的子集。
这个命题说明：包含是一种偏序关系。
命题2：若
  
    
      
        A
        ,
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,B,C}
  
是集合，则：

自反性：

  
    
      
        A
        ⊆
        A
      
    
    {\displaystyle A\subseteq A}
  

反对称性：

  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  
且
  
    
      
        B
        ⊆
        A
      
    
    {\displaystyle B\subseteq A}
  
当且仅当
  
    
      
        A
        =
        B
      
    
    {\displaystyle A=B}
  

传递性：
若
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  
且
  
    
      
        B
        ⊆
        C
      
    
    {\displaystyle B\subseteq C}
  
则
  
    
      
        A
        ⊆
        C
      
    
    {\displaystyle A\subseteq C}
  

这个命题说明：对任意集合
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
，
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。
命题3：若
  
    
      
        A
        ,
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,B,C}
  
是集合
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

  
    
      
        ∅
        ⊆
        A
        ⊆
        S
      
    
    {\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}
  
（
  
    
      
        ∅
        ⊆
        A
      
    
    {\displaystyle \varnothing \subseteq A}
  
由命題1給出）
存在并运算：

  
    
      
        A
        ⊆
        A
        ∪
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq A\cup B}
  

若
  
    
      
        A
        ⊆
        C
      
    
    {\displaystyle A\subseteq C}
  
且
  
    
      
        B
        ⊆
        C
      
    
    {\displaystyle B\subseteq C}
  
则
  
    
      
        A
        ∪
        B
        ⊆
        C
      
    
    {\displaystyle A\cup B\subseteq C}
  

存在交运算：

  
    
      
        A
        ∩
        B
        ⊆
        A
      
    
    {\displaystyle A\cap B\subseteq A}
  

若
  
    
      
        C
        ⊆
        A
      
    
    {\displaystyle C\subseteq A}
  
且
  
    
      
        C
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle C\subseteq B}
  
则
  
    
      
        C
        ⊆
        A
        ∩
        B
      
    
    {\displaystyle C\subseteq A\cap B}
  

命题4：对任意两个集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，下列表述等价：

  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  

  
    
      
        A
        ∩
        B
        =
        A
      
    
    {\displaystyle A\cap B=A}
  

  
    
      
        A
        ∪
        B
        =
        B
      
    
    {\displaystyle A\cup B=B}
  

  
    
      
        A
        −
        B
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle A-B=\varnothing }
  

  
    
      
        
          B
          ′
        
        ⊆
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle B'\subseteq A'}
  

这个命题说明：表述"
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  
"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。


參考文獻 参见 冪集：某集合的全部子集组成的集合。