指数增长（包括指数衰减）指一个函数的增长率与其函数值成比例。在定义域为离散的且等差的情况下。
指数增长模型也称作马尔萨斯增长模型。


基本公式 变量x指数地依赖时间t，若

  
    
      
        x
        (
        t
        )
        =
        a
        ⋅
        
          b
          
            
              t
              τ
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x(t)=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\,}
  

其中常数a是x的初始值，

  
    
      
        x
        (
        0
        )
        =
        a
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x(0)=a\,,}
  

并且，常数b是正的增长率，τ为x增长b倍所需时间：

  
    
      
        x
        (
        t
        +
        τ
        )
        =
        x
        (
        t
        )
        ⋅
        b
        
        .
      
    
    {\displaystyle x(t+\tau )=x(t)\cdot b\,.}
  

若τ > 0且b > 1，则x为指数增长。若τ < 0且b > 1，或τ > 0且0 < b < 1，则x为指数衰减。


微分方程 指数函数
  
    
      
        
          x
          (
          t
          )
          =
          a
          
            e
            
              k
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle x(t)=ae^{kt}}
  
满足线性微分方程：

  
    
      
        
        
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        k
        x
      
    
    {\displaystyle \!\,{\frac {dx}{dt}}=kx}
  

则称t时刻x的增长率与函数值x(t)成正比，且初值为：

  
    
      
        x
        (
        0
        )
        =
        a
        .
        
      
    
    {\displaystyle x(0)=a.\,}
  

对于
  
    
      
        
          a
          >
          0
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle a>0}
  
微分方程可以使用分离变量法求解：

  
    
      
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        k
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx}
  

  
    
      
        ⇒
        
          
            
              d
              x
            
            x
          
        
        =
        k
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \Rightarrow {\frac {dx}{x}}=k\,dt}
  

  
    
      
        ⇒
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            x
          
        
        =
        ∫
        k
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \Rightarrow \int {\frac {dx}{x}}=\int k\,dt}
  

  
    
      
        ⇒
        ln
        ⁡
        x
        =
        k
        t
        +
        
          constant
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Rightarrow \ln x=kt+{\text{constant}}\,.}
  

考虑到给定初值：

  
    
      
        ln
        ⁡
        x
        =
        k
        t
        +
        ln
        ⁡
        a
        
      
    
    {\displaystyle \ln x=kt+\ln a\,}
  

  
    
      
        ⇒
        x
        =
        a
        
          e
          
            k
            t
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \Rightarrow x=ae^{kt}\,}
  

这种解法对于
  
    
      
        
          a
          ≤
          0
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle a\leq 0}
  
同样适用。
对于该增长模型的非线性变体，请参考Logistic函數。


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文內注釋 資料引用 Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.