在数学中，单位圆（Unit circle）是指半径为单位长度的圆，通常为欧几里得平面直角坐标系中圆心为
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
  
、半径为1的圆。单位圆对于三角函数和复数的坐标化表示有着重要意义。单位圆通常表示为S1。多维空间中，单位圆可推广为单位球。
如果单位圆上的点
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
位于第一象限，那么
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
与
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
是斜边长度为1的直角三角形的两条边，根据畢氏定理，
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
与
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
满足方程式：

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,\!}
  

因对于所有的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
而言，
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        (
        −
        x
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}
  
，且所有点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上述方程式。


单位圆与三角函数 不仅是正弦函數与余弦函數，六个标准三角函数——正弦（sin）、餘弦（cos）、正切（tan）、餘切（cot）、正割（sec）、餘割（csc）以及不常用的正矢（versin）和其相關函數、外正割（exsec）、外餘割（excsc），甚至歷史上曾存在的弦函數（crd），都可以以单位圆標示。
在直角三角形中，正弦、余弦以及其它三角函数只有在滿足角度大于0且小于
  
    
      
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
  
时才有意义。但在单位圆上，对于任何实数角度，这些函数都具有直观意义。

正弦函数与余弦函数可以用此方法定义：
设
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
是单位圆上的一个点。设角
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
的起始边为x轴的正方向，角度按照逆时针方向测量。那么角t的终边和单位圆会有一个交点。因此：

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        t
        )
        =
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos(t)=x\,\!}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        t
        )
        =
        y
        
        
      
    
    {\displaystyle \sin(t)=y\,\!}
  

另外，从
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
  
可以得到

  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        t
        )
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        t
        )
        =
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!}
  

从这里可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是週期函数，对于任意的整数
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
有恒等式

  
    
      
        cos
        ⁡
        t
        =
        cos
        ⁡
        (
        2
        π
        k
        +
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        t
        =
        sin
        ⁡
        (
        2
        π
        k
        +
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!}
  

这些恒等式的依据是在角度 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 增加或减少任意圈数时，x与y坐标將保持不变，其中一圈
  
    
      
        =
        2
        π
      
    
    {\displaystyle =2\pi }
  
 弧度=360°。


复数的圆群 复数也可以用欧几里得平面内的点来表示，
  
    
      
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle a+bi}
  
 表示为
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
。在这种表示下，单位圆是不断增加的群，在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。


参见 三角函数
角
单位球
单位正方形
单位圆盘
圆群