在數論中，過剩數又称作丰数或盈数，一般指的是真因數之和大於自身的一类正整数，严格意义上指的是因数和函数大於两倍自身的一类正整数。


定義 = 一般定义 =
一般而言，過剩數是指使得函数 
  
    
      
        s
        (
        n
        )
        >
        n
      
    
    {\displaystyle s(n)>n}
  
 的正整数 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，其中 
  
    
      
        s
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle s(n)}
  
 指的是 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的真因數之和；
  
    
      
        s
        (
        n
        )
        −
        n
      
    
    {\displaystyle s(n)-n}
  
 称作 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的盈度或豐度。
例如，12除本身外的所有正因數为1、 2、 3、 4和6，由于 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  1
                
                +
                
                  2
                
              
              +
              
                3
              
            
            +
            
              4
            
          
          +
          
            6
          
        
        =
        16
      
    
    {\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}=16}
  
，且 
  
    
      
        16
        >
        12
      
    
    {\displaystyle 16>12}
  
，因此12為過剩數，且12的豐度為 
  
    
      
        
          
            16
          
          −
          
            12
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle {{16}-{12}}=4}
  
。


= 严格定义 =
更为严格地说，過剩數是指使得函数 
  
    
      
        
          σ
          
            1
          
        
        (
        n
        )
        >
        2
        n
      
    
    {\displaystyle \sigma _{1}(n)>2n}
  
 的正整数 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，其中 
  
    
      
        
          σ
          
            1
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma _{1}(n)}
  
 指的是 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的所有正因数（包括 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
）之和；
  
    
      
        
          σ
          
            1
          
        
        (
        n
        )
        −
        2
        n
      
    
    {\displaystyle \sigma _{1}(n)-2n}
  
 称作 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的盈度或豐度。
在这种定义下，12的正因數有1、 2、 3、 4、 6和12，由于 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                  
                  +
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  3
                
              
              +
              
                4
              
            
            +
            
              6
            
          
          +
          
            12
          
        
        =
        28
      
    
    {\displaystyle {{{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}+{12}}=28}
  
，且 
  
    
      
        28
        >
        12
        ×
        2
      
    
    {\displaystyle 28>12\times 2}
  
，因此12為過剩數，且12的豐度為 
  
    
      
        
          
            28
          
          −
          
            
              12
            
            ×
            
              2
            
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle {{28}-{{12}\times {2}}}=4}
  
。


性質 最小的偶過剩數构成数列（OEIS數列A005101）：
12、 18、 20、 24、 30、 36、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 72、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 100、 102 ……
最小的奇過剩數构成数列（OEIS數列A005231）：
945、 1575、 2205、 2835、 3465、 4095、 4725、 5355、 5775、 5985、 6435、 6615、 6825、 7245、 7425、 7875 ……
不能被2和3整除的最小過剩數是 5391411025，其質因數有 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23 和 29（OEIS數列A047802）。
亞努奇（Iannucci）在2005年給出了一個尋找不能被前
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
個質數整除的最小過剩數的演算法：若 
  
    
      
        A
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle A(k)}
  
 表示不能被前 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 個質數整除的最小過剩數，則當 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 足夠大時，對所有的 
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
  
，有

  
    
      
        (
        1
        −
        ϵ
        )
        (
        k
        ln
        ⁡
        k
        
          )
          
            2
            −
            ϵ
          
        
        <
        ln
        ⁡
        A
        (
        k
        )
        <
        (
        1
        +
        ϵ
        )
        (
        k
        ln
        ⁡
        k
        
          )
          
            2
            +
            ϵ
          
        
      
    
    {\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}
  

除了完全數本身，完全數的倍數都是過剩數。例如，每個大於6之6的倍數都是過剩數，因為 
  
    
      
        1
        +
        
          
            
              n
              2
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              3
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              6
            
          
        
        =
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1}
  
。
過剩數的倍數都是過剩數。例如，20是過剩數，20及其倍數也都是過剩數，因為 
  
    
      
        
          
            
              n
              2
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              4
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              5
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              10
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              20
            
          
        
        =
        n
        +
        
          
            
              n
              10
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}}
  
。
由於完全數的倍數都是過剩數，過剩數的倍數也都是過剩數，因此奇數和偶數的過剩數都有無限多個。

過剩數的集合具有非零的自然密度，1998年 Marc Deleglise 证明了過剩數在自然数中的自然密度介于 0.2474 与 0.2480 之间。
若一個過剩數不是完全數或其他過剩數的倍數，則這個數稱為本原過剩數。
若一個過剩數的豐度超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為高過剩數。
若一個過剩數的相對豐度 
  
    
      
        
          
            
              s
              
                (
                n
                )
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {s\left(n\right)}{n}}}
  
 超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為超過剩數。
每個大於 20161 的整數都可以寫成兩個過剩數之和。
不是半完全數的過剩數稱為奇異數。
豐度為1的過剩數稱為准完全数，然而目前尚未找到准完全数。


相關概念 与過剩數相关的概念是完全数（真因數和等於本身，即 
  
    
      
        s
        (
        n
        )
        =
        n
      
    
    {\displaystyle s(n)=n}
  
 或 
  
    
      
        
          σ
          
            1
          
        
        (
        n
        )
        =
        2
        n
      
    
    {\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}
  
）和亏数（真因數和小於本身，即 
  
    
      
        s
        (
        n
        )
        <
        n
      
    
    {\displaystyle s(n)<n}
  
 或 
  
    
      
        
          σ
          
            1
          
        
        (
        n
        )
        <
        2
        n
      
    
    {\displaystyle \sigma _{1}(n)<2n}
  
）。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是 Nicomachus 于公元前100年所著的 Introductio Arithmetica。

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 的豐度指數（過過剩指數）是指因數和與自身的比，即 
  
    
      
        
          
            
              
                σ
                
                  1
                
              
              
                (
                n
                )
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sigma _{1}\left(n\right)}{n}}}
  
；若一组相異的數 
  
    
      
        
          n
          
            1
          
        
        ,
        
          n
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle n_{1},n_{2},...}
  
（無論是否為過剩數）擁有相同的豐度指數，則這些數互為友誼數。
记 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 变化时，滿足 
  
    
      
        
          σ
          
            1
          
        
        
          (
          n
          )
        
        >
        k
        n
      
    
    {\displaystyle \sigma _{1}\left(n\right)>kn}
  
 的最小自然数 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 构成数列 
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{k}}
  
（OEIS數列A134716），则 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        =
        12
      
    
    {\displaystyle a_{2}=12}
  
，为第一個過剩數。
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{k}}
  
 是一个增長速度很快的数列。
豐度指數超過3的最小奇數為 
  
    
      
        1018976683725
        =
      
    
    {\displaystyle 1018976683725=}
  
 
  
    
      
    
    {\displaystyle }
  

  
    
      
        
          3
          
            3
          
        
        ×
        
          5
          
            2
          
        
        ×
        
          7
          
            2
          
        
        ×
        11
        ×
        13
        ×
        17
        ×
        19
        ×
        23
        ×
        29
      
    
    {\displaystyle 3^{3}\times 5^{2}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29}
  
。


参见 高合成數
完全數
婚約數
親和數
亏数
梅森素数
半完全數
佩服數


參考文獻