交換律（英語：Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义。


一般用法 交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。
在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。


數學定義 「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中：
1. 在集合 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 的一二元運算 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle *}
  
 被稱之為「可交換」的，若：

  
    
      
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        S
        ,
        x
        ∗
        y
        =
        y
        ∗
        x
      
    
    {\displaystyle \forall x,y\in S,x*y=y*x}
  

一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。
2. 若稱 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 在 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle *}
  
 下和 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 「可交換」，即表示：

  
    
      
        x
        ∗
        y
        =
        y
        ∗
        x
      
    
    {\displaystyle x*y=y*x}
  

3. 一二元函數
  
    
      
        f
        :
        A
        ×
        A
        →
        B
      
    
    {\displaystyle f:A\times A\to B}
  
被稱之為「可交換」的，若：

  
    
      
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        A
        ,
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        f
        (
        y
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)}
  
.


歷史 對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。
第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。


相關性質 = 結合律 =

結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。


= 對稱 =

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 
  
    
      
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y=x}
  
 這條線對稱。舉例來說，若設一函數 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 來表示加法（一可交換運算），所以 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        x
        +
        y
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=x+y}
  
 ，也因此 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 會是個如右圖所見的對稱函數。


例子 = 日常生活中 =
洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。


= 數學中的可交換運算 =

兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為：

實數的加法

  
    
      
        y
        +
        z
        =
        z
        +
        y
        
        ∀
        y
        ,
        z
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }
  

例如， 
  
    
      
        4
        +
        5
        =
        5
        +
        4
      
    
    {\displaystyle 4+5=5+4}
  
 ，兩個表示式都等於 9 。
實數的乘法

  
    
      
        y
        z
        =
        z
        y
        
        ∀
        y
        ,
        z
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }
  

例如， 
  
    
      
        3
        ×
        5
        =
        5
        ×
        3
      
    
    {\displaystyle 3\times 5=5\times 3}
  
 ，兩者都等於 15 。
更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。


= 日常生活中的不可交換運算 =

洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。


= 數學中的不可交換運算 =
一些不可交換二元運算有：

減法： 
  
    
      
        0
        −
        1
        =
        1
        −
        0
      
    
    {\displaystyle 0-1\neq 1-0}
  
 ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
除法： 
  
    
      
        1
        ÷
        2
        =
        2
        ÷
        1
      
    
    {\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}
  
，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
矩陣乘法：

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  2
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        ⋅
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        ⋅
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}
  


數學結構與交換律 阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。
交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。）
域的加法與乘法都是可交換的。
中心是一個群最大的可交換子集。


註記 參考資料 = 書籍 =
Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8. 
Abstract algebra theory.  Covers commutativity in that context.  Uses property throughout book.
Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8. 
Abstract algebra theory.  Uses commutativity property throughout book.
Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7. 
Linear algebra theory.  Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.


= 文章 =
https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.


= 線上資源 =
Hazewinkel, Michiel (编), Commutativity, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath., Accessed 2007-08-08.
Definition of commutativity and examples of commutative operations
埃里克·韦斯坦因. Commute. MathWorld. , Accessed 2007-08-08.
Explanation of the term commute
Yark.   [2008-02-21]. （原始内容存档于2010-11-26）.  Examples of non-commutative operations at PlanetMath., Accessed 2007-08-08
Examples proving some noncommutative operations
O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. History of real numbers. MacTutor.   [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-18）. 
Article giving the history of the real numbers
Cabillon, Julio; Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms.   [2008-11-22]. （原始内容存档于2011-05-01）. 
Page covering the earliest uses of mathematical terms
O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. biography of Francois Servois. MacTutor.   [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-02）. 
Biography of Francois Servois, who first used the term


另見 反交換律
二元運算
交換子集合
交換子
分配律
結合律
遞移關係