在几何学里, 莫比乌斯变换是一类从黎曼球面映射到自身的函数。用扩展复平面上的复数表示的话，其形式为：

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              a
              z
              +
              b
            
            
              c
              z
              +
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
  

其中 z, a, b, c, d 为满足 ad − bc = 0的（扩展）复数。
莫比乌斯变换也可以被分解为以下几个变换：把平面射影到球面上，把球体进行旋转、位移等任何变换，然后把它射影回平面上。
莫比乌斯变换是以数学家奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯的名字命名的，它也被叫做单应变换（homographic transformation）或分式线性变换（linear fractional  transformation）。


简介 莫比乌斯变换是定义在扩充复平面上的（扩充复平面是指在普通的复平面加入无穷远点构成的集合）

  
    
      
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
        =
        
          C
        
        ∪
        {
        ∞
        }
        .
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}
  

扩充复平面可以看做是一个球面，它的另一个名称就是黎曼球面。每个莫比乌斯变换都是从黎曼球面到它自身的一一对应的共形变换。事实上，所有这样的变换都是莫比乌斯变换。
所有莫比乌斯变换的集合在函数复合作用下构成一个群，称为“莫比乌斯群”，记作 
  
    
      
        
          
            M
          
        
        (
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}({\widehat {\mathbb {C} }})}
  
。这个群是黎曼球面（作为一个黎曼曲面）的自同构群，因此有时也被记作：

  
    
      
        
          
            Aut
          
        
        (
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }})\,}
  
.
莫比乌斯群同构于三维双曲空间中的保向等距同构群，因此在三维双曲空间中的子流形的研究中占有重要地位。


定义 莫比乌斯变换的常见形式为：

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              a
              z
              +
              b
            
            
              c
              z
              +
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
  

其中a、b、c、d是任何满足 ad − bc = 0 的复数（当ad = bc 的时候这个表达式退化成一个常数，通常约定常数函数不是莫比乌斯变换）。当c=0 时，定义

  
    
      
        f
        (
        −
        d
        
          /
        
        c
        )
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle f(-d/c)=\infty }
  
 ，
  
    
      
        f
        (
        ∞
        )
        =
        a
        
          /
        
        c
        ;
      
    
    {\displaystyle f(\infty )=a/c;}
  

这样便将莫比乌斯变换扩展到整个黎曼球面上。
如果c=0，那么定义

  
    
      
        f
        (
        ∞
        )
        =
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle f(\infty )=\infty .}
  

这样定义后莫比乌斯变换就成为了黎曼球面上的一个一一对应的全纯函数。
由于对莫比乌斯变换的每一个系数乘上一个相同的系数
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
后不会改变这个变换：
  
    
      
        
          
            
              λ
              a
              z
              +
              λ
              b
            
            
              λ
              c
              z
              +
              λ
              d
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              z
              +
              b
            
            
              c
              z
              +
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda d}}={\frac {az+b}{cz+d}}}
  
，所以也有的定义中将ad − bc = 0 的条件改成 ad − bc = 1. 这样的定义下得到的莫比乌斯变换可以说是“约简后”的莫比乌斯变换:22。


分解与基本性质 莫比乌斯变换的实质与反演密切相关。实际上，一个形如

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              a
              z
              +
              b
            
            
              c
              z
              +
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
  

的莫比乌斯变换可以分解成四个变换:51：

  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        (
        z
        )
        =
        z
        +
        d
        
          /
        
        c
        
      
    
    {\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\!}
  
 （按d/c 做平移变换）；

  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        (
        z
        )
        =
        1
        
          /
        
        z
        
      
    
    {\displaystyle f_{2}(z)=1/z\!}
  
 （关于单位圆做反演变换然后关于实数轴做镜面反射）；

  
    
      
        
          f
          
            3
          
        
        (
        z
        )
        =
        (
        −
        (
        a
        d
        −
        b
        c
        )
        
          /
        
        
          c
          
            2
          
        
        )
        ⋅
        z
        
      
    
    {\displaystyle f_{3}(z)=(-(ad-bc)/c^{2})\cdot z\!}
  
 （做关于原点的位似变换然后做旋转）；

  
    
      
        
          f
          
            4
          
        
        (
        z
        )
        =
        z
        +
        a
        
          /
        
        c
        
      
    
    {\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\!}
  
（按a/c 做平移变换）。
这四个变换的复合就是莫比乌斯变换：

  
    
      
        
          f
          
            4
          
        
        ∘
        
          f
          
            3
          
        
        ∘
        
          f
          
            2
          
        
        ∘
        
          f
          
            1
          
        
        (
        z
        )
        =
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              a
              z
              +
              b
            
            
              c
              z
              +
              d
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}(z)=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.\!}
  

在这种分解之下，我们可以清楚地看出莫比乌斯变换的不少基本性质。首先，由于以上分解中的每个变换都是可逆的（它们的逆变换也十分清楚），因此可以容易地看出，莫比乌斯变换的逆变换也是一个莫比乌斯变换，而且其表达式可以具体计算。具体来说，设变换函数
  
    
      
        
          g
          
            1
          
        
        ,
        
          g
          
            2
          
        
        ,
        
          g
          
            3
          
        
        ,
        
          g
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}}
  
 ，其中每一个
  
    
      
        
          g
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{i}}
  
都是相应的
  
    
      
        
          f
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{i}}
  
的逆变换（反函数），

  
    
      
        
          g
          
            i
          
        
        =
        
          f
          
            i
          
          
            (
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{i}=f_{i}^{(-1)}}
  

那么莫比乌斯变换f的逆变换就是：

  
    
      
        
          f
          
            (
            −
            1
            )
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          g
          
            1
          
        
        ∘
        
          g
          
            2
          
        
        ∘
        
          g
          
            3
          
        
        ∘
        
          g
          
            4
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              d
              z
              −
              b
            
            
              −
              c
              z
              +
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{(-1)}(z)=g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}
  
:51


= 保角性与保圆性 =
由于莫比乌斯变换可以分解为平移、反演、位似与旋转变换，因此能够保持所有反演变换的性质。一个基本的例子是保角性：由于平移、反演、位似与旋转变换都保持角度不变，因此两个复数（或向量）之间的幅角差（夹角）在经过莫比乌斯变换后不变。
此外，一个广义圆经过莫比乌斯变换后，仍会映射到一个广义圆。广义圆是指黎曼球面上的圆，包括普通的圆形和带无穷远点的直线（可以认为是一个半径无限大的圆）。这也是反演保持广义圆的结果。当然莫比乌斯变换并不是将圆映射到圆，将直线映射到直线，经过映射后直线可能变成圆，圆也可能变成直线。


= 复比不变性 =
莫比乌斯变换也可以保持复数的复比不变。设有四个两两不同的复数
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            3
          
        
        ,
        
          z
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}
  
，对应扩充复平面上四个不同的点，它们经过莫比乌斯变换后变成
  
    
      
        
          w
          
            1
          
        
        ,
        
          w
          
            2
          
        
        ,
        
          w
          
            3
          
        
        ,
        
          w
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}
  
四点，那么复比：

  
    
      
        
          
            
              (
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                z
                
                  3
                
              
              )
              (
              
                z
                
                  2
                
              
              −
              
                z
                
                  4
                
              
              )
            
            
              (
              
                z
                
                  2
                
              
              −
              
                z
                
                  3
                
              
              )
              (
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                z
                
                  4
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                w
                
                  1
                
              
              −
              
                w
                
                  3
                
              
              )
              (
              
                w
                
                  2
                
              
              −
              
                w
                
                  4
                
              
              )
            
            
              (
              
                w
                
                  2
                
              
              −
              
                w
                
                  3
                
              
              )
              (
              
                w
                
                  1
                
              
              −
              
                w
                
                  4
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.}
  

当 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            3
          
        
        ,
        
          z
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}
  
 中有一个或多个是无穷大时，复比就定义为相应逼近的极限。比如说当四个复数是 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            3
          
        
        ,
        ∞
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty }
  
 时，复比就是：

  
    
      
        
          
            
              (
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                z
                
                  3
                
              
              )
            
            
              (
              
                z
                
                  2
                
              
              −
              
                z
                
                  3
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.}
  


= 确定莫比乌斯变换 =
给定平面上三个不同点 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}
  
，存在着唯一的一个莫比乌斯变换
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，使得
  
    
      
        f
        (
        
          z
          
            1
          
        
        )
        ,
        f
        (
        
          z
          
            2
          
        
        )
        ,
        f
        (
        
          z
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(z_{1}),f(z_{2}),f(z_{3})}
  
 分别等于 
  
    
      
        0
        ,
        1
        ,
        ∞
      
    
    {\displaystyle 0,1,\infty }
  
。这个莫比乌斯变换就是：

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              (
              z
              −
              
                z
                
                  1
                
              
              )
              (
              
                z
                
                  2
                
              
              −
              
                z
                
                  3
                
              
              )
            
            
              (
              z
              −
              
                z
                
                  3
                
              
              )
              (
              
                z
                
                  2
                
              
              −
              
                z
                
                  1
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}}
  

而由于对于另外的三个不同点 
  
    
      
        
          w
          
            1
          
        
        ,
        
          w
          
            2
          
        
        ,
        
          w
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}
  
，也唯一存在一个莫比乌斯变换
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
，使得
  
    
      
        g
        (
        
          w
          
            1
          
        
        )
        ,
        g
        (
        
          w
          
            2
          
        
        )
        ,
        g
        (
        
          w
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g(w_{1}),g(w_{2}),g(w_{3})}
  
 分别等于 
  
    
      
        0
        ,
        1
        ,
        ∞
      
    
    {\displaystyle 0,1,\infty }
  
。因此，对于任意一组出发点 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}
  
，任意一组到达点 
  
    
      
        
          w
          
            1
          
        
        ,
        
          w
          
            2
          
        
        ,
        
          w
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}
  
，都唯一存在一个莫比乌斯变换，将
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}
  
 分别映射到点 
  
    
      
        
          w
          
            1
          
        
        ,
        
          w
          
            2
          
        
        ,
        
          w
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}
  
。具体地说，这个变换就是
  
    
      
        
          g
          
            (
            −
            1
            )
          
        
        ∘
        f
      
    
    {\displaystyle g^{(-1)}\circ f}
  
:59-60。作为推论，如果一个莫比乌斯变换有三个不动点，那么它是恒等变换。


矩阵表示 莫比乌斯变换构成的莫比乌斯群
  
    
      
        
          
            M
          
        
        (
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}({\widehat {\mathbb {C} }})}
  
和由二阶复可逆矩阵所构成的二阶复系数一般线性群
  
    
      
        
          
            
              G
              L
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {GL}}_{2}(\mathbb {C} )}
  
有同态的关系。事实上，考虑一个二阶的可逆矩阵：
  
    
      
        A
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{3}&a_{4}\end{pmatrix}}}
  
，其中
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            4
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          a
          
            3
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3}\neq 0}
  
，那么由矩阵的系数 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        ,
        
          a
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}}
  
 可以写出一个莫比乌斯变换：

  
    
      
        
          g
          
            A
          
        
        :
        
        z
        
        ↦
        
          
            
              
                a
                
                  1
                
              
              z
              +
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              
                a
                
                  3
                
              
              z
              +
              
                a
                
                  4
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{A}:\;z\;\mapsto {\frac {a_{1}z+a_{2}}{a_{3}z+a_{4}}}}
  

而如果考虑映射：

  
    
      
        
          
            
              G
              L
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          C
        
        )
        ⟶
        
          
            M
          
        
        (
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {GL}}_{2}(\mathbb {C} )\longrightarrow {\mathcal {M}}({\widehat {\mathbb {C} }})}
  

  
    
      
        φ
        :
        
        A
        
        ↦
        
        
          g
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi :\,A\quad \mapsto \quad g_{A}}
  

则经过计算可以知道，
  
    
      
        
          g
          
            A
            B
          
        
        =
        
          g
          
            A
          
        
        ∘
        
          g
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{AB}=g_{A}\circ g_{B}}
  
，也就是说：

  
    
      
        φ
        (
        A
        B
        )
        =
        φ
        (
        A
        )
        ∘
        φ
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (AB)=\varphi (A)\circ \varphi (B)}
  

因此
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
是一个群同态:53。
注意到对所有的复数
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
，
  
    
      
        
          
            
              λ
              
                a
                
                  1
                
              
              z
              +
              λ
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              λ
              
                a
                
                  3
                
              
              z
              +
              λ
              
                a
                
                  4
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  1
                
              
              z
              +
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              
                a
                
                  3
                
              
              z
              +
              
                a
                
                  4
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\lambda a_{1}z+\lambda a_{2}}{\lambda a_{3}z+\lambda a_{4}}}={\frac {a_{1}z+a_{2}}{a_{3}z+a_{4}}}}
  
，所以变换
  
    
      
        
          g
          
            (
            λ
            A
            )
          
        
        =
        
          g
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{(\lambda A)}=g_{A}}
  
。因此，可以将起始空间由一般线性群缩小到特殊线性群
  
    
      
        
          
            
              S
              L
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {SL}}_{2}(\mathbb {C} )}
  
。而由于有且仅有单位矩阵
  
    
      
        
          
            I
            d
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Id} _{2}}
  
和负单位矩阵
  
    
      
        −
        
          
            I
            d
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -\mathbf {Id} _{2}}
  
在群同态
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
下对应的莫比乌斯变换是恒等变换，所以
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
的核是
  
    
      
        
          {
          
            
              
                I
                d
              
              
                2
              
            
            ,
            −
            
              
                I
                d
              
              
                2
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{\mathbf {Id} _{2},-\mathbf {Id} _{2}\right\}}
  
。根据群同态基本定理，有以下群同构关系:23：

  
    
      
        
          
            M
          
        
        (
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
        )
        ≅
        
          
            
              S
              L
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          C
        
        )
        
          
            /
          
        
        
          {
          
            
              
                I
                d
              
              
                2
              
            
            ,
            −
            
              
                I
                d
              
              
                2
              
            
          
          }
        
        =
        
          P
        
        
          
            
              S
              L
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}({\hat {\mathbb {C} }})\cong {\mathcal {SL}}_{2}(\mathbb {C} ){\bigg /}\left\{\mathbf {Id} _{2},-\mathbf {Id} _{2}\right\}=\mathbb {P} {\mathcal {SL}}_{2}(\mathbb {C} )}
  

其中
  
    
      
        
          P
        
        
          
            
              S
              L
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {SL}}_{2}(\mathbb {C} )}
  
为复平面上的射影特殊线性群。


参见 双曲几何
勞侖茲群
共形几何
庞加莱半平面模型
射影几何


参考来源