勒让德符号，或二次特征，是一个由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入的函数。这个符号是许多高次剩余符号的原型；其它延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。


定义 勒让德符号
  
    
      
        (
        
          
            
              a
              p
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}
  
（有时为了印刷上的方便，写成(a|p))有下列定义：

如果(a|p) = 1，a 便称为二次剩余(mod p)；如果(a|p) = −1，则 a 称为二次非剩余(mod p)。通常把零视为一种特殊的情况。
a 等于0、1、2、……时的周期数列(a|p)，又称为勒让德数列，有时把{0,1,-1}的数值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。


勒让德符号的公式 勒让德原先把他的符号定义为：

  
    
      
        
          (
          
            
              a
              p
            
          
          )
        
        ≡
        
          a
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
        ,
        
          (
          
            
              a
              p
            
          
          )
        
        ∈
        {
        −
        1
        ,
        1
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}},\left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,1\}.}
  

欧拉在之前证明了如果a是二次剩余(mod p)，(a|p) = 1；如果a是二次非剩余，(a|p) = -1；这个结论现在称为欧拉准则。
除了这个基本定义式以外，还有其它(a|p)的表达式，它们当中有许多都在二次互反律的证明中有所使用。
高斯证明了如果
  
    
      
        ζ
        =
        
          e
          
            
              
                2
                π
                i
              
              p
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta =e^{\frac {2\pi i}{p}}}
  
，那么：

  
    
      
        
          (
          
            
              a
              p
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              1
              +
              
                ζ
                
                  a
                
              
              +
              
                ζ
                
                  4
                  a
                
              
              +
              
                ζ
                
                  9
                  a
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                ζ
                
                  (
                  p
                  −
                  1
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                  a
                
              
            
            
              1
              +
              ζ
              +
              
                ζ
                
                  4
                
              
              +
              
                ζ
                
                  9
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                ζ
                
                  (
                  p
                  −
                  1
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              (
              1
              +
              
                ζ
                
                  a
                
              
              +
              
                ζ
                
                  4
                  a
                
              
              +
              
                ζ
                
                  9
                  a
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                ζ
                
                  (
                  p
                  −
                  1
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                  a
                
              
              )
            
            
              
                
                  p
                
              
              (
              1
              +
              i
              )
              [
              1
              +
              (
              −
              i
              
                )
                
                  p
                
              
              ]
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\frac {1+\zeta ^{a}+\zeta ^{4a}+\zeta ^{9a}+\dots +\zeta ^{(p-1)^{2}a}}{1+\zeta +\zeta ^{4}+\zeta ^{9}+\dots +\zeta ^{(p-1)^{2}}}}={\frac {2(1+\zeta ^{a}+\zeta ^{4a}+\zeta ^{9a}+\dots +\zeta ^{(p-1)^{2}a})}{{\sqrt {p}}(1+i)[1+(-i)^{p}]}}.}
  

这是他对二次互反律的第四个、第六个，以及许多后续的证明的基础。参见高斯和。
克罗内克的证明是建立了

  
    
      
        
          (
          
            
              p
              q
            
          
          )
        
        =
        sgn
        ⁡
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            
              
                q
                −
                1
              
              2
            
          
        
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        
          (
          
            
              
                k
                p
              
            
            −
            
              
                i
                q
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)}
  

然后把p和q互换。
艾森斯坦的一个证明是从以下等式开始：

  
    
      
        
          (
          
            
              q
              p
            
          
          )
        
        =
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              
                
                  
                    2
                    π
                  
                  p
                
              
              q
              n
              )
            
            
              sin
              ⁡
              (
              
                
                  
                    2
                    π
                  
                  p
                
              
              n
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin({\frac {2\pi }{p}}qn)}{\sin({\frac {2\pi }{p}}n)}}.}
  

把正弦函数用椭圆函数来代替，他也证明了三次和四次互反律。


= 其它含有勒让德符号的公式 =
斐波那契数1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ……由递推公式F1 = F2 = 1，Fn+1 = Fn + Fn-1定义。
如果p是素数，则：

  
    
      
        
          F
          
            p
            −
            
              (
              
                
                  p
                  5
                
              
              )
            
          
        
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
        ,
        
        
        
        
          F
          
            p
          
        
        ≡
        
          (
          
            
              p
              5
            
          
          )
        
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p}},\;\;\;F_{p}\equiv \left({\frac {p}{5}}\right){\pmod {p}}.}
  

例如： 

  
    
      
        (
        
          
            
              2
              5
            
          
        
        )
        =
        −
        1
        ,
        
        
        
          F
          
            3
          
        
        =
        2
        ,
        
          F
          
            2
          
        
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle ({\tfrac {2}{5}})=-1,\,\,F_{3}=2,F_{2}=1,}
  

  
    
      
        (
        
          
            
              3
              5
            
          
        
        )
        =
        −
        1
        ,
        
        
        
          F
          
            4
          
        
        =
        3
        ,
        
          F
          
            3
          
        
        =
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle ({\tfrac {3}{5}})=-1,\,\,F_{4}=3,F_{3}=2,}
  

  
    
      
        (
        
          
            
              5
              5
            
          
        
        )
        =
        
        
        
        0
        ,
        
        
        
          F
          
            5
          
        
        =
        5
        ,
      
    
    {\displaystyle ({\tfrac {5}{5}})=\;\;\,0,\,\,F_{5}=5,}
  

  
    
      
        (
        
          
            
              7
              5
            
          
        
        )
        =
        −
        1
        ,
        
        
        
          F
          
            8
          
        
        =
        21
        ,
        
        
        
          F
          
            7
          
        
        =
        13
        ,
      
    
    {\displaystyle ({\tfrac {7}{5}})=-1,\,\,F_{8}=21,\;\;F_{7}=13,}
  

  
    
      
        (
        
          
            
              11
              5
            
          
        
        )
        =
        +
        1
        ,
        
          F
          
            10
          
        
        =
        55
        ,
        
          F
          
            11
          
        
        =
        89.
      
    
    {\displaystyle ({\tfrac {11}{5}})=+1,F_{10}=55,F_{11}=89.}
  

这个结果来自卢卡斯数列的理论，在素性测试中有所应用。参见沃尔-孙-孙素数。


性质 勒让德符号有许多有用的性质，可以用来加速计算。它们包括：

  
    
      
        
          (
          
            
              
                a
                b
              
              p
            
          
          )
        
        =
        
          (
          
            
              a
              p
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              b
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)}
  
（它是一个完全积性函数。这个性质可以理解为：两个剩余或非剩余的乘积是剩余，一个剩余与一个非剩余的乘积是非剩余。）
如果a ≡ b (mod p)，则
  
    
      
        
          (
          
            
              a
              p
            
          
          )
        
        =
        
          (
          
            
              b
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              p
            
          
          )
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=1}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              
                −
                1
              
              p
            
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  +
                  1
                  
                    
                       if 
                    
                  
                  p
                  ≡
                  1
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    4
                    )
                  
                
              
              
                
                  −
                  1
                  
                    
                       if 
                    
                  
                  p
                  ≡
                  3
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    4
                    )
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
  

这个性质称为二次互反律的第一补充。

  
    
      
        
          (
          
            
              2
              p
            
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              
                
                  p
                  
                    2
                  
                
                −
                1
              
              8
            
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  +
                  1
                  
                    
                       if 
                    
                  
                  p
                  ≡
                  1
                  
                    
                       or 
                    
                  
                  7
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    8
                    )
                  
                
              
              
                
                  −
                  1
                  
                    
                       if 
                    
                  
                  p
                  ≡
                  3
                  
                    
                       or 
                    
                  
                  5
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    8
                    )
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}7{\pmod {8}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 3{\mbox{ or }}5{\pmod {8}}\end{cases}}}
  

这个性质称为二次互反律的第二补充。一般的二次互反律为：

如果p和q是奇素数，则
  
    
      
        
          (
          
            
              p
              q
            
          
          )
        
        ⋅
        
          (
          
            
              q
              p
            
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              
                (
                p
                −
                1
                )
                (
                q
                −
                1
                )
              
              4
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}}
  

参见二次互反律和二次互反律的证明。
以下是一些较小的p的值的公式：

对于奇素数p，
  
    
      
        
          (
          
            
              3
              p
            
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              ⌈
              
                
                  
                    p
                    +
                    1
                  
                  6
                
              
              ⌉
            
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  +
                  1
                  
                    
                       if 
                    
                  
                  p
                  ≡
                  1
                  
                    
                       or 
                    
                  
                  11
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    12
                    )
                  
                
              
              
                
                  −
                  1
                  
                    
                       if 
                    
                  
                  p
                  ≡
                  5
                  
                    
                       or 
                    
                  
                  7
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    12
                    )
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lceil {\frac {p+1}{6}}\right\rceil }={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}11{\pmod {12}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 5{\mbox{ or }}7{\pmod {12}}\end{cases}}}
  

对于奇素数p，
  
    
      
        
          (
          
            
              5
              p
            
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              ⌊
              
                
                  
                    p
                    −
                    2
                  
                  5
                
              
              ⌋
            
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  +
                  1
                  
                    
                       if 
                    
                  
                  p
                  ≡
                  1
                  
                    
                       or 
                    
                  
                  4
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    5
                    )
                  
                
              
              
                
                  −
                  1
                  
                    
                       if 
                    
                  
                  p
                  ≡
                  2
                  
                    
                       or 
                    
                  
                  3
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    5
                    )
                  
                
              
            
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {5}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p-2}{5}}\right\rfloor }={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}4{\pmod {5}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 2{\mbox{ or }}3{\pmod {5}}\end{cases}},}
  

但一般直接把剩余和非剩余列出更简便：

对于奇素数p，
  
    
      
        
          (
          
            
              7
              p
            
          
          )
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  +
                  1
                  
                    
                       if 
                    
                  
                  p
                  ≡
                  1
                  ,
                  3
                  ,
                  9
                  ,
                  19
                  ,
                  25
                  ,
                  
                    
                       or 
                    
                  
                  27
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    28
                    )
                  
                
              
              
                
                  −
                  1
                  
                    
                       if 
                    
                  
                  p
                  ≡
                  5
                  ,
                  11
                  ,
                  13
                  ,
                  15
                  ,
                  17
                  ,
                  
                    
                       or 
                    
                  
                  23
                  
                    
                    (
                    mod
                    
                    28
                    )
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {7}{p}}\right)={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1,3,9,19,25,{\mbox{ or }}27{\pmod {28}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 5,11,13,15,17,{\mbox{ or }}23{\pmod {28}}\end{cases}}}
  

勒让德符号(a|p)是一个狄利克雷特征(mod p)。


计算例子 以上的性质，包括二次互反律，可以用来计算任何勒让德符号。例如：

  
    
      
        
          (
          
            
              12345
              331
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {12345}{331}}\right)}
  

  
    
      
        =
        
          (
          
            
              3
              331
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              5
              331
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              823
              331
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle =\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {823}{331}}\right)}
  

  
    
      
        =
        
          (
          
            
              3
              331
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              5
              331
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              161
              331
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle =\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {161}{331}}\right)}
  

  
    
      
        =
        
          (
          
            
              3
              331
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              5
              331
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              7
              331
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              23
              331
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle =\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {7}{331}}\right)\left({\frac {23}{331}}\right)}
  

  
    
      
        =
        (
        −
        1
        )
        
          (
          
            
              331
              3
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              331
              5
            
          
          )
        
        (
        −
        1
        )
        
          (
          
            
              331
              7
            
          
          )
        
        (
        −
        1
        )
        
          (
          
            
              331
              23
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle =(-1)\left({\frac {331}{3}}\right)\left({\frac {331}{5}}\right)(-1)\left({\frac {331}{7}}\right)(-1)\left({\frac {331}{23}}\right)}
  

  
    
      
        =
        −
        
          (
          
            
              1
              3
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              1
              5
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              2
              7
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              9
              23
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle =-\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {2}{7}}\right)\left({\frac {9}{23}}\right)}
  

  
    
      
        =
        −
        
          (
          
            
              1
              3
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              1
              5
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              2
              7
            
          
          )
        
        
          
            (
            
              
                3
                23
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle =-\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {2}{7}}\right)\left({\frac {3}{23}}\right)^{2}}
  

  
    
      
        =
        −
        
          (
          1
          )
        
        
          (
          1
          )
        
        
          (
          1
          )
        
        
          (
          1
          )
        
        =
        −
        1.
      
    
    {\displaystyle =-\left(1\right)\left(1\right)\left(1\right)\left(1\right)=-1.}
  


相关函数 雅可比符号是勒让德符号的一个推广，允许底数为合数，但底数仍然必须是奇数和正数。这个推广提供了计算所有勒让德符号的一个有效的方法。
一个进一步的推广是克罗内克符号，把底数的范围延伸到一切整数。


注释 参考文献 Gauss, Carl Friedrich; Maser, H.（德文翻译者）, Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory)（第二版）, New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8 
Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A.（英文翻译者）, Disquisitiones Arithmeticae（第二，修订版）, New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549 
Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), Cambridge: The MIT Press, 1966, ISBN 0-262-02405-5 
Lemmermeyer, Franz, Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, 2000, ISBN 3-540-66957-4 
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory（第二版）, New York: Springer, 1990, ISBN 0-387-97329-X 
Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5 


外部链接 雅可比符号计算器