在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩陣，英語：Jacobian matrix）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。
當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。
其重要性在於，如果函數f : ℝn → ℝm 在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分或者導數。
在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以普魯士数学家卡爾·雅可比命名。


雅可比矩阵 假設某函數從 f : ℝn → ℝm， 從 x ∈ ℝn 映射到 向量 f(x) ∈ ℝm， 其雅可比矩陣是一 m×n 的矩陣，換句話講也就是從 ℝn 到 ℝm 的線性映射，其重要意義在于它表現了一个多變數向量函數的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于單變數函数的导数。
此函數 f 的雅可比矩陣 J  為 m×n 的矩陣，一般由以下方式定義：

  
    
      
        
          J
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            f
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            f
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            f
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            f
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            f
                            
                              m
                            
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            f
                            
                              m
                            
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}
  

矩陣的分量可表示成：

  
    
      
        
          
            J
          
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                f
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}
  

雅可比矩陣的其他常用符號還有：

  
    
      
        D
        f
      
    
    {\displaystyle Df}
  
、 
  
    
      
        
          D
        
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }
  
、
  
    
      
        
          
            J
          
          
            
              f
            
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},\ldots ,x_{n})}
  
 或者 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              (
              
                f
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                f
                
                  m
                
              
              )
            
            
              ∂
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                x
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}
  

此矩陣的第 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
行是由函數 
  
    
      
        
          f
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{i}}
  
 的梯度函数所表示的，
  
    
      
        1
        ≤
        i
        ≤
        m
      
    
    {\displaystyle 1\leq i\leq m}
  
 。 
如果 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
是
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 中的一点，
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
点可微分，根據數學分析， 
  
    
      
        
          
            J
          
          
            
              f
            
          
        
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)}
  
是在这点的导数。在此情况下，
  
    
      
        
          
            J
          
          
            
              f
            
          
        
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)}
  
這個线性映射即 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在点  
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
附近的最优线性逼近，也就是說當 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
足夠靠近點  
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
時，我們有

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ≈
        f
        (
        p
        )
        +
        
          
            J
          
          
            
              f
            
          
        
        (
        p
        )
        ⋅
        (
        x
        −
        p
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)\approx f(p)+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)\cdot (x-p)}
  

講更詳細點也就是：

  
    
      
        
          f
        
        (
        
          x
        
        )
        =
        
          f
        
        (
        
          p
        
        )
        +
        
          
            J
          
          
            
              f
            
          
        
        (
        
          p
        
        )
        (
        
          x
        
        −
        
          p
        
        )
        +
        o
        (
        ‖
        
          x
        
        −
        
          p
        
        ‖
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {p} )+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)}
  

其中，o 代表小o符號，‖x − p‖ 為 x 與 p 之間的距離。


例子 = 例一 =
由球坐标系到直角坐标系的转化由 F: ℝ+ × [0, π) × [0, 2π) → ℝ3 函数给出，其分量為：

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                r
                sin
                ⁡
                θ
                cos
                ⁡
                φ
                ;
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                r
                sin
                ⁡
                θ
                sin
                ⁡
                φ
                ;
              
            
            
              
                z
              
              
                
                =
                r
                cos
                ⁡
                θ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y&=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}
  

此坐标变换的雅可比矩阵是

  
    
      
        
          
            J
          
          
            
              F
            
          
        
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          x
                        
                        
                          ∂
                          r
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          x
                        
                        
                          ∂
                          θ
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          x
                        
                        
                          ∂
                          φ
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          y
                        
                        
                          ∂
                          r
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          y
                        
                        
                          ∂
                          θ
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          y
                        
                        
                          ∂
                          φ
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          z
                        
                        
                          ∂
                          r
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          z
                        
                        
                          ∂
                          θ
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          z
                        
                        
                          ∂
                          φ
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  sin
                  ⁡
                  θ
                  cos
                  ⁡
                  φ
                
                
                  r
                  cos
                  ⁡
                  θ
                  cos
                  ⁡
                  φ
                
                
                  −
                  r
                  sin
                  ⁡
                  θ
                  sin
                  ⁡
                  φ
                
              
              
                
                  sin
                  ⁡
                  θ
                  sin
                  ⁡
                  φ
                
                
                  r
                  cos
                  ⁡
                  θ
                  sin
                  ⁡
                  φ
                
                
                  r
                  sin
                  ⁡
                  θ
                  cos
                  ⁡
                  φ
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  θ
                
                
                  −
                  r
                  sin
                  ⁡
                  θ
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}}
  

其雅可比行列式為 r2 sin θ。以體積元變換爲例，由於 dV = dx dy dz，如果做變數變換，則其體積元（Volume element，dV），會變成：dV = r2 sin θ dr dθ dφ。


= 例二 =
F : ℝ3 → ℝ4，其各分量為

  
    
      
        
          y
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y_{1}=x_{1}\,}
  

  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        =
        5
        
          x
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y_{2}=5x_{3}\,}
  

  
    
      
        
          y
          
            3
          
        
        =
        4
        
          x
          
            2
          
          
            2
          
        
        −
        2
        
          x
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,}
  

  
    
      
        
          y
          
            4
          
        
        =
        
          x
          
            3
          
        
        sin
        ⁡
        
          x
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin x_{1}\,}
  

其雅可比矩阵为:

  
    
      
        
          J
          
            F
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            4
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            4
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            4
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  5
                
              
              
                
                  0
                
                
                  8
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  −
                  2
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  cos
                  ⁡
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  sin
                  ⁡
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}}
  

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。


在动力系统中 考虑形为 
  
    
      
        
          x
          
            ′
          
        
        =
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle x^{\prime }=F(x)}
  
的动力系统，
  
    
      
        F
        :
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
  
。如果 
  
    
      
        F
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F(x_{0})=0}
  
，那么 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
是一个臨界點。系统接近臨界點时的行為跟 
  
    
      
        
          J
          
            F
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J_{F}(x_{0})}
  
的特征值相關。


雅可比行列式 如果 m = n，那么 F 是从 ℝn 映射到 ℝn 的函数，且它的雅可比矩阵是一个方陣。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。
在某个给定点的雅可比行列式提供了 F 在接近该点时的表现的重要資訊。例如，如果连续可微函数 F 在 p 点的Jacobi行列式不等於零，那么它在该点附近有 F 的反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果  p 点的Jacobi行列式是正数，则 F 在 p 点保持定向（preserves orientation）；如果是负数，则 F 逆轉定向（reverses orientation）。而从Jacobi行列式的绝对值，就可以知道函数 F 在 p 點附近是放大或縮小體積；这就是它出现在换元积分法中的原因。


= 例子一 =
设有函数 F : ℝ3 → ℝ3，其分量为：

  
    
      
        
          y
          
            1
          
        
        =
        5
        
          x
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y_{1}=5x_{2}\,}
  

  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        =
        4
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        −
        2
        sin
        ⁡
        (
        
          x
          
            2
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\,}
  

  
    
      
        
          y
          
            3
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y_{3}=x_{2}x_{3}\,}
  

则它的Jacobi行列式为：

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  0
                
                
                  5
                
                
                  0
                
              
              
                
                  8
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  −
                  2
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  −
                  2
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        −
        8
        
          x
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            |
            
              
                
                  5
                
                
                  0
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        −
        40
        
          x
          
            1
          
        
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}\cdot {\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}}
  

从中我们可以看到，當 x1 和 x2 同号时，F 逆轉定向；该函数处处具有反函数，除了在 x1 = 0 或 x2 = 0  的點。


= 例子二 =
这是一个与巴塞尔问题
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  
较为相似的级数
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              (
              2
              n
              +
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}
  
的求解方法，首先可以转化为二重积分（在这里 D1 指 x 与 y 皆为从 0 到 1 的正方形区域）：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              (
              2
              n
              +
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          ∬
          
            
              D
              
                1
              
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        (
        x
        y
        
          )
          
            2
            n
          
        
        
          d
        
        x
        
          d
        
        y
        =
        
          ∬
          
            
              D
              
                1
              
            
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
              
                d
              
              y
            
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\iint \limits _{D_{1}}\sum _{n=1}^{\infty }(xy)^{2n}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}}
  

此时定义映射 F : ℝ2 → ℝ2，满足：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  u
                  =
                  arctan
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      x
                      
                        
                          
                            
                              
                                1
                                −
                                
                                  y
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                              
                                1
                                −
                                
                                  x
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
              
                
                  v
                  =
                  arctan
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      y
                      
                        
                          
                            
                              
                                1
                                −
                                
                                  x
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                              
                                1
                                −
                                
                                  y
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
            
          
        
        
        ⟺
        
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  
                    
                      
                        
                          sin
                          ⁡
                          u
                        
                        
                          cos
                          ⁡
                          v
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  y
                  =
                  
                    
                      
                        
                          sin
                          ⁡
                          v
                        
                        
                          cos
                          ⁡
                          u
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}u=\arctan \left(x{\sqrt {\dfrac {1-y^{2}}{1-x^{2}}}}\right)\\v=\arctan \left(y{\sqrt {\dfrac {1-x^{2}}{1-y^{2}}}}\right)\end{cases}}\iff {\begin{cases}x={\dfrac {\sin u}{\cos v}}\\y={\dfrac {\sin v}{\cos u}}\end{cases}}}
  

于是有相应的雅可比行列式：

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          x
                        
                        
                          ∂
                          u
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          x
                        
                        
                          ∂
                          v
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          y
                        
                        
                          ∂
                          u
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          y
                        
                        
                          ∂
                          v
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          cos
                          ⁡
                          u
                        
                        
                          cos
                          ⁡
                          v
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          sin
                          ⁡
                          u
                          sin
                          ⁡
                          v
                        
                        
                          
                            cos
                            
                              2
                            
                          
                          ⁡
                          v
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          sin
                          ⁡
                          u
                          sin
                          ⁡
                          v
                        
                        
                          
                            cos
                            
                              2
                            
                          
                          ⁡
                          u
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          cos
                          ⁡
                          v
                        
                        
                          cos
                          ⁡
                          u
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              u
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              v
            
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              u
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              v
            
          
        
        =
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\cos u}{\cos v}}&{\dfrac {\sin u\sin v}{\cos ^{2}v}}\\{\dfrac {\sin u\sin v}{\cos ^{2}u}}&{\dfrac {\cos v}{\cos u}}\end{vmatrix}}=1-{\frac {\sin ^{2}u\sin ^{2}v}{\cos ^{2}u\cos ^{2}v}}=1-x^{2}y^{2}}
  

因此
  
    
      
        
          d
        
        x
        
          d
        
        y
        =
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        )
        
          d
        
        u
        
          d
        
        v
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y=(1-x^{2}y^{2})\mathrm {d} u\mathrm {d} v}
  
，并且将正方形 D1 映射成 u>0、v>0、u+v<π/2 的等腰直角三角形，记为 D2，得到：

  
    
      
        
          ∬
          
            
              D
              
                1
              
            
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
              
                d
              
              y
            
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          ∬
          
            
              D
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        u
        
          d
        
        v
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              π
              2
            
          
        
        
          (
          
            
              ∫
              
                0
              
              
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                v
              
            
            
              d
            
            u
          
          )
        
        
          d
        
        v
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle \iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}=\iint \limits _{D_{2}}\mathrm {d} u\mathrm {d} v=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{{\frac {\pi }{2}}-v}\mathrm {d} u\right)\mathrm {d} v={\frac {\pi ^{2}}{8}}}
  


逆矩陣 根據反函數定理，一個可逆函數（存在反函數的函數）的雅可比矩陣的逆矩陣即為該函數的反函數的雅可比矩陣。即，若函數 
  
    
      
        F
        :
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
  
在點  
  
    
      
        p
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}
  
的雅可比矩陣是連續且可逆的，則 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
在點 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的某一鄰域內也是可逆的，且有

  
    
      
        
          J
          
            
              F
              
                −
                1
              
            
          
        
        ∘
        f
        =
        
          J
          
            F
          
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{F^{-1}}\circ f=J_{F}^{-1}}
  

成立。相反，倘若雅可比行列式在某一個點不為零，那麽該函數在這個點的某一鄰域內可逆（存在反函數）。
一個多項式函數的可逆性與未經證明的雅可比猜想有關。其斷言，如果函數的雅可比行列式為一個非零實數（相當於其不存在複零點），則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。


参看 前推
黑塞矩阵


参考资料 外部链接 Ian Craw的本科教学网页 雅可比行列式的通俗解释
Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆） 更技术型的雅可比行列式的解释