施泰纳-莱穆斯定理（Steiner–Lehmus theorem）是平面几何的一个定理：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。该命题看似显而易见，但直到19世纪上半叶才得到明确的几何证明，随后成为平面几何领域最受欢迎的证明题之一。该定理以德国数学家C·L·莱穆斯和瑞士数学家雅各布·施泰纳命名，两人在通信中最早提出和解决了该问题。
施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。


历史 在平面几何中，“等腰三角形的两条内角平分线相等”，是一个非常容易得到的结论。该命题的逆命题，“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”，则没有看上去那么容易证明。1840年，德国数学家C·L·莱穆斯写信给瑞士数学家、几何学权威雅各布·施泰纳，询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了问题，不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明来自法国路易大帝中学的学生鲁热万（Rougevin），发表在1842年的《新数学年鉴》上。1850年，莱穆斯也给出了自己的证明。
19世纪40年代起的一百多年里，关于施泰纳-莱穆斯定理的几何证明大量涌现，有上百个之多。绝大多数证明都依赖于反证法，即先假定两内角平分线相等的三角形不等腰，其中一个内角大于另一个，然后推出矛盾的结论。于是，关注点变成了，施泰纳-莱穆斯定理是否有“直接”的几何证明法，以及怎样的证明才算得上是“直接”。不过也有人认为，拒绝反证法的“纯粹主义”并没有什么意义。


证明 = 反证法 =

在 
  
    
      
        △
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \triangle ABC}
  
 中，两条内角平分线 
  
    
      
        C
        E
        =
        B
        D
      
    
    {\displaystyle CE=BD}
  
 。
假设 
  
    
      
        ∠
        A
        B
        C
        =
        ∠
        A
        C
        B
      
    
    {\displaystyle \angle ABC\neq \angle ACB}
  
 ，令 
  
    
      
        ∠
        A
        B
        C
        =
        2
        α
        <
        ∠
        A
        C
        B
        =
        2
        β
      
    
    {\displaystyle \angle ABC=2\alpha <\angle ACB=2\beta }
  
 。
在线段 
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
 上取点 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
，使 
  
    
      
        ∠
        E
        C
        G
        =
        α
      
    
    {\displaystyle \angle ECG=\alpha }
  
， 
  
    
      
        C
        G
      
    
    {\displaystyle CG}
  
 交 
  
    
      
        B
        D
      
    
    {\displaystyle BD}
  
 于点 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
 。

  
    
      
        △
        C
        E
        G
        ∼
        △
        B
        F
        G
      
    
    {\displaystyle \triangle CEG\sim \triangle BFG}
  

  
    
      
        
        ⇒
        
      
    
    {\displaystyle \;\Rightarrow \;}
  

  
    
      
        
          
            
              C
              G
            
            
              B
              G
            
          
        
        =
        
          
            
              C
              E
            
            
              B
              F
            
          
        
        =
        
          
            
              B
              D
            
            
              B
              F
            
          
        
        >
        1
      
    
    {\displaystyle {CG \over BG}={CE \over BF}={BD \over BF}>1}
  

  
    
      
        
        ⇒
        
      
    
    {\displaystyle \;\Rightarrow \;}
  

  
    
      
        C
        G
        >
        B
        G
      
    
    {\displaystyle CG>BG}
  

  
    
      
        
        ⇒
        
      
    
    {\displaystyle \;\Rightarrow \;}
  

  
    
      
        ∠
        C
        B
        G
        >
        ∠
        B
        C
        G
      
    
    {\displaystyle \angle CBG>\angle BCG}
  

  
    
      
        
        ⇒
        
      
    
    {\displaystyle \;\Rightarrow \;}
  

  
    
      
        α
        >
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha >\beta }
  

结论与假设矛盾，故假设不成立。故 
  
    
      
        ∠
        A
        B
        C
        =
        ∠
        A
        C
        B
      
    
    {\displaystyle \angle ABC=\angle ACB}
  
 。


= 直接证明 =

在 
  
    
      
        △
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \triangle ABC}
  
 中，两条内角平分线 
  
    
      
        B
        E
        =
        C
        D
      
    
    {\displaystyle BE=CD}
  
 。记 
  
    
      
        ∠
        C
        B
        E
        =
        ∠
        A
        B
        E
        =
        α
      
    
    {\displaystyle \angle CBE=\angle ABE=\alpha }
  
 ，
  
    
      
        ∠
        B
        C
        D
        =
        ∠
        A
        C
        D
        =
        β
      
    
    {\displaystyle \angle BCD=\angle ACD=\beta }
  
 。
做直线 
  
    
      
        E
        F
      
    
    {\displaystyle EF}
  
 ，使 
  
    
      
        ∠
        B
        E
        F
        =
        β
      
    
    {\displaystyle \angle BEF=\beta }
  
。做直线 
  
    
      
        B
        F
      
    
    {\displaystyle BF}
  
 ，使 
  
    
      
        ∠
        E
        B
        F
        =
        ∠
        C
        D
        B
        =
        
          180
          
            ∘
          
        
        −
        2
        α
        −
        β
      
    
    {\displaystyle \angle EBF=\angle CDB=180^{\circ }-2\alpha -\beta }
  
 。

  
    
      
        △
        B
        E
        F
        ≅
        △
        D
        C
        B
      
    
    {\displaystyle \triangle BEF\cong \triangle DCB}
  

  
    
      
        
        ⇒
        
      
    
    {\displaystyle \;\Rightarrow \;}
  

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  B
                  F
                  =
                  D
                  B
                
              
              
                
                  E
                  F
                  =
                  C
                  B
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}BF=DB\\EF=CB\\\end{cases}}}
  

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  E
                  F
                  =
                  C
                  B
                
              
              
                
                  C
                  F
                  =
                  C
                  F
                
              
              
                
                  ∠
                  C
                  B
                  F
                  =
                  ∠
                  F
                  E
                  C
                  =
                  
                    180
                    
                      ∘
                    
                  
                  −
                  α
                  −
                  β
                  >
                  
                    90
                    
                      ∘
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}EF=CB\\CF=CF\\\angle CBF=\angle FEC=180^{\circ }-\alpha -\beta >90^{\circ }\\\end{cases}}}
  

  
    
      
        
        ⇒
        
      
    
    {\displaystyle \;\Rightarrow \;}
  

  
    
      
        △
        C
        B
        F
        ≅
        △
        F
        E
        C
      
    
    {\displaystyle \triangle CBF\cong \triangle FEC}
  

  
    
      
        
        ⇒
        
      
    
    {\displaystyle \;\Rightarrow \;}
  

  
    
      
        B
        F
        =
        E
        C
      
    
    {\displaystyle BF=EC}
  

  
    
      
        E
        C
        =
        B
        F
        =
        D
        B
      
    
    {\displaystyle EC=BF=DB}
  

  
    
      
        
        ⇒
        
      
    
    {\displaystyle \;\Rightarrow \;}
  

  
    
      
        △
        D
        B
        C
        ≅
        △
        E
        C
        B
      
    
    {\displaystyle \triangle DBC\cong \triangle ECB}
  

  
    
      
        
        ⇒
        
      
    
    {\displaystyle \;\Rightarrow \;}
  

  
    
      
        ∠
        A
        B
        C
        =
        ∠
        A
        C
        B
      
    
    {\displaystyle \angle ABC=\angle ACB}
  

该证明方法由F. G. Hesse于1874年发表。不过，该证明方法所用到的一些构造和定理，如“三角形内角和为180度”，本身需要用反证法去证明，因此一些纯粹主义者认为这一证明还是不够直接。


= 代数证明 =
利用角平分線長公式，可以简洁地证明施泰纳-莱穆斯定理。

  
    
      
        
          t
          
            a
          
        
        =
        
          t
          
            b
          
        
         
        
        ⇒
         
        
        
          
            b
            c
            (
            1
            −
            
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  (
                  b
                  +
                  c
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            a
            c
            (
            1
            −
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  (
                  a
                  +
                  c
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}}
  

化简后得到： 
  
    
      
        c
        (
        a
        +
        b
        +
        c
        )
        (
        a
        −
        b
        )
        [
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        
          c
          
            2
          
        
        +
        a
        b
        )
        +
        3
        a
        b
        c
        +
        
          c
          
            3
          
        
        ]
        =
        0
      
    
    {\displaystyle c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0}
  

连乘的其他各项都为正数，从而推出： 
  
    
      
        a
        −
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a-b=0}
  


外角平分线问题 施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。一个常举的反例是三个内角分别为132度、36度和12度的三角形，因为这个三角形的两条外角平分线恰等于一条边，易于证明。
进一步地，数学家们尝试证明，所有两条外角平分线相等的不等腰三角形的共性。中国数学家蒋声指出，满足下列条件的三角形都是有两条外角平分线相等的不等腰三角形：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  A
                  =
                  θ
                  −
                  arccos
                  ⁡
                  (
                  1
                  +
                  cos
                  ⁡
                  θ
                  +
                  cos
                  ⁡
                  2
                  θ
                  )
                
              
              
                
                  B
                  =
                  θ
                  +
                  arccos
                  ⁡
                  (
                  1
                  +
                  cos
                  ⁡
                  θ
                  +
                  cos
                  ⁡
                  2
                  θ
                  )
                
              
              
                
                  C
                  =
                  
                    180
                    
                      ∘
                    
                  
                  −
                  2
                  θ
                
              
              
                
                  
                    60
                    
                      ∘
                    
                  
                  <
                  θ
                  <
                  
                    90
                    
                      ∘
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}A=\theta -\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\B=\theta +\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\C=180^{\circ }-2\theta \\60^{\circ }<\theta <90^{\circ }\\\end{cases}}}
  

“两条外角平分线相等的三角形是等腰三角形”是假命题，不过较弱的命题是成立的：三角形的两个角的外角平分线相等，若第三个角是最大或最小的角，则该三角形是等腰三角形；不然，则不是等腰三角形。


参考文献