伯恩赛德引理（英語：Burnside's lemma），也叫伯恩赛德计数定理（Burnside's counting theorem），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（Cauchy-Frobenius lemma）或轨道计数定理（orbit-counting theorem），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括威廉·伯恩赛德、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)。
下文中，设 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 是一个有限群，作用在集合 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 上。对每个属于 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的  
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 ，令 
  
    
      
        
          X
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{g}}
  
 表示 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 中在 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数（记作 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          /
        
        G
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X/G|}
  
）由如下公式给出：

  
    
      
        
          |
        
        X
        
          /
        
        G
        
          |
        
        =
        
          
            1
            
              
                |
              
              G
              
                |
              
            
          
        
        
          ∑
          
            g
            ∈
            G
          
        
        
          |
        
        
          X
          
            g
          
        
        
          |
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.\,}
  

从而轨道数（是一个自然数或无穷）等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。


应用举例 = 環狀排列 =
使用兩種顏色對三個珠子染色，共有
  
    
      
        
          2
          
            3
          
        
        =
        8
      
    
    {\displaystyle 2^{3}=8}
  
種染色方法，而只有四種旋轉後不重合的染色方法，用二元數列表示為
  
    
      
        000
        ,
        001
        ,
        011
        ,
        111
      
    
    {\displaystyle 000,001,011,111}
  
。旋轉對稱將染色方法的集合X分為四個軌道：
  
    
      
        X
        =
        {
        000
        }
        ∪
        {
        001
        ,
        010
        ,
        100
        }
        ∪
        {
        011
        ,
        101
        ,
        110
        }
        ∪
        {
        111
        }
      
    
    {\displaystyle X=\{000\}\cup \{001,010,100\}\cup \{011,101,110\}\cup \{111\}}
  
。考慮三種可能的旋轉：「空旋轉」，順時針轉一個單位，順時針轉兩個單位；它們對應的不動點數目分別為8，2，2，因此軌道數為
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
        (
        8
        +
        2
        +
        2
        )
        =
        4
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}(8+2+2)=4}
  
。對於長度為4的環狀排列，共有16種染色方法，4個旋轉；0個單位的旋轉有16個不動點，1個單位和3個單位的旋轉有不動點0000,1111；2個單位的旋轉有不動點0000,0101,1010,1111。因此軌道數為
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
        (
        16
        +
        2
        +
        4
        +
        2
        )
        =
        6
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}(16+2+4+2)=6}
  
。具體地，0000,0001,0011,0101,0111,1111為六種旋轉後不重合的染色方法。


= 立方體染色 =
使用三種顏色對立方體的六個面染色，將旋轉后相同的視為一種染色，染色方式總數可以由上述公式確定。
選取一個定向，設
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
是這個定向立方體所有
  
    
      
        
          3
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle 3^{6}}
  
種可能面染色組合，立方體的旋轉群
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
顯然是作用在
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
上的群。且若
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的兩個元素（染色組合）屬于同一軌道，則其中一個染色可以通過旋轉變成另一個染色，因而考慮旋轉對稱後不同的染色數就是
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
關於
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的軌道数，可以通過數
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的
  
    
      
        24
      
    
    {\displaystyle 24}
  
個元素的不動集合的大小求出來。

一個恒同元素保持 X 的所有 36 個元素不變。
六個 90 度面旋轉，每一個保持 X 的 33 個元素不變。
三個 180 度面旋轉，每一個保持 X 的 34 個元素不變。
八個 120 度頂點旋轉，每一個保持 X 的 32 個元素不變。
六個 180 度邊旋轉，每一個保持 X 的 33 個元素不變。
這些自同構的詳細檢驗可參見循環指標。
這樣，平均不動集合的大小是

  
    
      
        
          
            1
            24
          
        
        (
        
          3
          
            6
          
        
        +
        6
        ×
        
          3
          
            3
          
        
        +
        3
        ×
        
          3
          
            4
          
        
        +
        8
        ×
        
          3
          
            2
          
        
        +
        6
        ×
        
          3
          
            3
          
        
        )
        =
        57.
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{24}}(3^{6}+6\times 3^{3}+3\times 3^{4}+8\times 3^{2}+6\times 3^{3})=57.\,}
  

從而有 57 種旋轉不同的立方體面 3 色染色方式。一般地，使用 n 種顏色，立方體不同的旋轉面染色數是

  
    
      
        
          
            1
            24
          
        
        (
        
          n
          
            6
          
        
        +
        3
        
          n
          
            4
          
        
        +
        12
        
          n
          
            3
          
        
        +
        8
        
          n
          
            2
          
        
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{24}}(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}).\,}
  


证明 定理的證明利用軌道-中心化子定理以及 X 是軌道的不交并的事實：

  
    
      
        
          ∑
          
            g
            ∈
            G
          
        
        
          |
        
        
          X
          
            g
          
        
        
          |
        
        =
        
          |
        
        {
        (
        g
        ,
        x
        )
        ∈
        G
        ×
        X
        ∣
        g
        ⋅
        x
        =
        x
        }
        
          |
        
        =
        
          ∑
          
            x
            ∈
            X
          
        
        
          |
        
        
          G
          
            x
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{g\in G}|X^{g}|=|\{(g,x)\in G\times X\mid g\cdot x=x\}|=\sum _{x\in X}|G_{x}|}
  

  
    
      
        =
        
          ∑
          
            x
            ∈
            X
          
        
        
          
            
              
                |
              
              G
              
                |
              
            
            
              
                |
              
              G
              .
              x
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          |
        
        G
        
          |
        
        
          ∑
          
            x
            ∈
            X
          
        
        
          
            1
            
              
                |
              
              G
              .
              x
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          |
        
        G
        
          |
        
        
          ∑
          
            A
            ∈
            X
            
              /
            
            G
          
        
        
          ∑
          
            x
            ∈
            A
          
        
        
          
            1
            
              
                |
              
              A
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle =\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|G.x|}}=|G|\sum _{x\in X}{\frac {1}{|G.x|}}=|G|\sum _{A\in X/G}\sum _{x\in A}{\frac {1}{|A|}}}
  

  
    
      
        =
        
          |
        
        G
        
          |
        
        
          ∑
          
            A
            ∈
            X
            
              /
            
            G
          
        
        1
        =
        
          |
        
        G
        
          |
        
        ⋅
        
          |
        
        X
        
          /
        
        G
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle =|G|\sum _{A\in X/G}1=|G|\cdot |X/G|.}
  


历史：该引理不属于伯恩赛德 威廉·伯恩賽德在他1897年關于有限群的書中陳述并證明了這個引理，將其歸于弗罗贝尼乌斯 1887。不過在弗羅貝尼烏斯以前，這個公式在1845年已經為柯西所知。事實上，這個引理明顯如此有名，伯恩賽德不過忽略了將其歸于柯西。因此，這個引理有時候也稱為不是伯恩賽德的引理
。這可能看起來不那么有歧義，伯恩賽德對這個領域貢獻了許多引理。


注释 另见 波利亞計數定理


参考文献 伯恩赛德, 威廉, Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, 1897 .
弗罗贝尼乌斯, 费迪南德·格奥尔格, Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle, 1887, CI: 288 .
紐曼, 彼得·邁克爾, A lemma that is not Burnside's, The Mathematical Scientist, 1979, 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685, MR562002 .
Cheng, Yuanyou (程远游), A generalization of Burnside's lemma to multiply transitive groups, journal of Hubei University of Technology, 1986, ISSN 1003-4684 .
Rotman, Joseph, An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94285-8 .