外正割（exsecant，
拉丁文：secans exterior）
是一種可以根據正割定義的三角函數，符号通常表示为
  
    
      
        exsec
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exsec} x}
  
或
  
    
      
        exs
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exs} x}
  
，
曾經在应用在鐵道工程學、测量学、土木工程、天文學和球面几何学等学科，可以幫助提高精度，但如今除了簡化一些計算外很少使用。外正割的函數值比正割函數少1，換句話說，其與正割的關係可以用下列等式表達：

  
    
      
        exsec
        ⁡
        x
        =
        sec
        ⁡
        (
        x
        )
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exsec} x=\sec(x)-1}
  
。
在單位圓上，外正割位於正割線上單位圓的外側，因此稱為外正割。
此外，外正割也有exterior secant、 external secant、
outward secant或outer secant等稱呼。


定義 在單位圓上，角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
的外正割可以定義為，在x軸上，從單位圓圓周沿x軸到「角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
的終邊與單位圓交點的切線」的長度。
由於從角的頂點沿x軸到「角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
的終邊與單位圓交點的切線」的長度為正割，因此正割與外正割相差1，即外正割為正割扣掉單位圓半徑。
外正割也可以定義為：

  
    
      
        exsec
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        sec
        ⁡
        (
        θ
        )
        −
        1
        =
        
          
            1
            
              cos
              ⁡
              (
              θ
              )
            
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1={\frac {1}{\cos(\theta )}}-1}
  


用途 直到20世紀80年代，外正割函數在測量學、鐵路工程（例如佈置鐵路曲線和橫向高度）、土木工程、天文學和球面三角學等領域都很重要，但現在很少使用。這主要是因為计算器和计算机的廣泛使用已經消除了對諸如此類的專門函數的三角表的需求。
定義一個特殊的外正割函數的原因與定義正矢函數的理據相似：
對於小角度 θ，sec(θ) 函數值接近於1，因此使用上述的外正割公式涉及減法時會幾乎會出現兩個幾乎相等的數量的相減，這個過程可能導致導致嚴重的灾难性抵消或數值誤差。
因此，正割函數表需要非常高的精確度才能用於外正割，這使得專用的外正割函數表非常有用。
即使使用计算机，如果使用基於餘弦的定義，對於小角度的外正割來說，浮點誤差可能會成為問題。
在這種極限情況下，更準確的公式應該使用這個恒等式：

  
    
      
        exsec
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        
          
            
              1
              −
              cos
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            
              cos
              ⁡
              (
              θ
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              versin
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            
              cos
              ⁡
              (
              θ
              )
            
          
        
        =
        versin
        ⁡
        (
        θ
        )
        sec
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        2
        
          
            (
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    θ
                    2
                  
                
                )
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        sec
        ⁡
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\cos(\theta )}}=\operatorname {versin} (\theta )\sec(\theta )=2\left(\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\sec(\theta )}
  

在計算機出現之前，這需要相當費時的乘法運算。
伽利略·伽利莱早在 1632 年就使用了外正割函數，但當時他將其稱為segante（意為正割）。
其拉丁語名稱secans external至少可以追朔到1745年左右才開始有使用紀錄。
而其英語名稱external secant和其縮寫縮寫ex的用法：ex.sec，最早可以追溯到1855 年。
當時查爾斯·哈斯萊特（Charles Haslett）發表了第一個已知最早的外正割函數表。
ex secant和exsec等變體於則需要到1880年才開始有使用紀錄。1894年後，exsecant一術語的使用則比較少。


數學性質 = 导数 =

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
        exsec
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        tan
        ⁡
        (
        θ
        )
        sec
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              θ
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos ^{2}(\theta )}}}
  


= 積分 =

  
    
      
        ∫
        exsec
        ⁡
        (
        θ
        )
        
        
          d
        
        θ
        =
        ln
        ⁡
        
          [
          
            cos
            ⁡
            
              (
              
                
                  θ
                  2
                
              
              )
            
            +
            sin
            ⁡
            
              (
              
                
                  θ
                  2
                
              
              )
            
          
          ]
        
        −
        ln
        ⁡
        
          [
          
            cos
            ⁡
            
              (
              
                
                  θ
                  2
                
              
              )
            
            −
            sin
            ⁡
            
              (
              
                
                  θ
                  2
                
              
              )
            
          
          ]
        
        −
        θ
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}
  


= 其他性质 =

外正割可由單位圓推導：

  
    
      
        exsec
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        sec
        ⁡
        (
        θ
        )
        −
        cos
        ⁡
        (
        θ
        )
        −
        versin
        ⁡
        (
        θ
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-\cos(\theta )-\operatorname {versin} (\theta ).}
  

外正割函数可由正切函数表示为：

  
    
      
        exsec
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        tan
        ⁡
        (
        θ
        )
        tan
        ⁡
        
          (
          
            
              θ
              2
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right).}
  

外正割函數與正弦函數的關係為：

  
    
      
        exsec
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              (
              sin
              ⁡
              (
              θ
              )
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        1.
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\theta ))^{2}}}}-1.}
  

外正割函數可以擴展到複平面。


= 其他恆等式 =

  
    
      
        
          lim
          
            θ
            →
            0
          
        
        
          
            
              exsec
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            θ
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )}{\theta }}=0}
  

  
    
      
        
          
            
              versin
              ⁡
              (
              θ
              )
              +
              coversin
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            
              versin
              ⁡
              (
              θ
              )
              −
              coversin
              ⁡
              (
              θ
              )
            
          
        
        −
        
          
            
              exsec
              ⁡
              (
              θ
              )
              +
              excsc
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            
              exsec
              ⁡
              (
              θ
              )
              −
              excsc
              ⁡
              (
              θ
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              versin
              ⁡
              (
              θ
              )
              coversin
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            
              versin
              ⁡
              (
              θ
              )
              −
              coversin
              ⁡
              (
              θ
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}}
  

  
    
      
        (
        exsec
        ⁡
        (
        θ
        )
        +
        versin
        ⁡
        (
        θ
        )
        )
        
        (
        excsc
        ⁡
        (
        θ
        )
        +
        coversin
        ⁡
        (
        θ
        )
        )
        =
        sin
        ⁡
        (
        θ
        )
        cos
        ⁡
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {versin} (\theta ))\,(\operatorname {excsc} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta ))=\sin(\theta )\cos(\theta )}
  

  
    
      
        exsec
        ⁡
        (
        2
        θ
        )
        =
        
          
            
              2
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            
              1
              −
              2
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              θ
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )={\frac {2\sin ^{2}(\theta )}{1-2\sin ^{2}(\theta )}}}
  

  
    
      
        exsec
        ⁡
        (
        2
        θ
        )
        
        cos
        ⁡
        (
        2
        θ
        )
        =
        tan
        ⁡
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )\,\cos(2\theta )=\tan(\theta )}
  

  
    
      
        
          exsec
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        θ
        )
        +
        2
        exsec
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        
          tan
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {exsec} ^{2}(\theta )+2\operatorname {exsec} (\theta )=\tan ^{2}(\theta )}
  


反外正割 反外正割（arcexsecant）是外正割函數的反函數，符号通常表示为arcexsec 、aexsec、aexs或exsec−1。
反外正割可以定義為：

  
    
      
        arcexsec
        ⁡
        (
        y
        )
        =
        arcsec
        ⁡
        (
        y
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)}
  

  
    
      
         
        =
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            
              1
              
                y
                +
                1
              
            
          
          )
        
        =
        arctan
        ⁡
        (
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            +
            2
            y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \ =\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\right)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})}
  
（對所有的y ≤ −2或y ≥ 0）


參見 外餘割：角的餘割值減去1
正矢：1減去角的餘弦值
三角函数


參考文獻 外部連結 埃里克·韦斯坦因. 外正割. MathWorld.