逆矩陣（inverse matrix），又稱乘法反方陣、反矩陣。在线性代数中，給定一个n 階方陣
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
，若存在一n 階方陣
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
，使得
  
    
      
        
          A
          B
        
        =
        
          B
          A
        
        =
        
          
            I
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}}
  
，其中
  
    
      
        
          
            I
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} _{n}}
  
为n 階单位矩阵，則稱
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
是可逆的，且
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
是
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的逆矩陣，記作
  
    
      
        
          
            A
          
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}
  
。
只有方陣（n×n 的矩陣）才可能有逆矩陣。若方阵
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的逆矩阵存在，则称
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
为非奇异方阵或可逆方阵。
與行列式類似，逆矩陣一般用於求解线性方程组。


求法 = 伴随矩阵法 =
如果矩阵
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
可逆，则
  
    
      
        
          A
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                d
                j
              
              (
              A
              )
            
            
              det
              (
              A
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                ∗
              
            
            
              
                |
              
              A
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}={\frac {A^{*}}{|A|}}}
  
其中
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        =
        
          a
          d
          j
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle A^{*}=\mathrm {adj} (A)}
  
是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的伴随矩阵，
  
    
      
        
          |
        
        A
        
          |
        
        =
        
          d
          e
          t
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle |A|=\mathrm {det} (A)}
  
是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的行列式。 
注意：
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}}
  
中元素的排列特点是
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}}
  
的第
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
列元素是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的第
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
行元素的代数餘子式。要求得
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}}
  
即为求解
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的余因子矩阵的转置矩阵。


= 初等变换法 =
如果矩阵
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
互逆，则
  
    
      
        A
        B
        =
        B
        A
        =
        I
      
    
    {\displaystyle AB=BA=I}
  
。由条件
  
    
      
        A
        B
        =
        B
        A
      
    
    {\displaystyle AB=BA}
  
以及矩阵乘法的定义可知，矩阵
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
都是方阵。再由条件
  
    
      
        A
        B
        =
        I
      
    
    {\displaystyle AB=I}
  
以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
方阵，且
  
    
      
        
          r
          a
          n
          k
        
        (
        A
        )
        =
        
          r
          a
          n
          k
        
        (
        B
        )
        =
        n
      
    
    {\displaystyle \mathrm {rank} (A)=\mathrm {rank} (B)=n}
  
换而言之, 
  
    
      
        A
      
    
    {\textstyle A}
  
与
  
    
      
        B
      
    
    {\textstyle B}
  
均为满秩矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。
因为对矩阵
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
施以初等行变换（初等列变换）就相当于在
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
被变为
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
时，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
就被变为
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的逆阵
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
。


性质 (
            
              A
              
                −
                1
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        =
        A
      
    
    {\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A}
  

  
    
      
        (
        λ
        A
        
          )
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            1
            λ
          
        
        ×
        
          A
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}}
  

  
    
      
        (
        A
        B
        
          )
          
            −
            1
          
        
        =
        
          B
          
            −
            1
          
        
        
          A
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              A
              
                
                  T
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            (
            
              A
              
                −
                1
              
            
            )
          
          
            
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}
  
（
  
    
      
        
          A
          
            
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\mathrm {T} }}
  
为A的转置）

  
    
      
        det
        (
        
          A
          
            −
            1
          
        
        )
        =
        
          
            1
            
              det
              (
              A
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}}
  
（det为行列式）


广义逆阵 广义逆阵（Generalized inverse）又称伪逆，是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔－彭若斯广义逆，它是由E·H·摩爾和羅傑·潘洛斯分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。


参见 矩阵
广义逆阵
除法