積分常數是（英語：Constant of integration）指在微積分中，函數的不定積分表示式中會出現的一個待定常數，一般會用C表示，一函數的反導數有無窮多個，但其中除了積分常數不同外，其餘部份均相同。


簡介 任何常數函數的導數均為零，因此只要發現一個函數的反導數
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  
，因為
  
    
      
        (
        F
        (
        x
        )
        +
        C
        
          )
          ′
        
        =
        F
        
          
          ′
        
        (
        x
        )
        +
        C
        
          
          ′
        
        =
        F
        
          
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)}
  
，加上或減去一常數C後的函數也是反導數，積分常數可用來表示任何函數均有無限個不同的反導數。
例如，假設需要求得 
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \cos(x)}
  
的反導數，
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \sin(x)}
  
、
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \sin(x)+1}
  
及
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        −
        π
      
    
    {\displaystyle \sin(x)-\pi }
  
的導數都是
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \cos(x)}
  
，因此都是
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \cos(x)}
  
的反導數。
同一個函數可以有許多的反導數，而這些反導數之間只相差一個常數，因此若要列出 
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \cos(x)}
  
所有的反導數，可以用以下的通式：

  
    
      
        ∫
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        C
        .
      
    
    {\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.}
  

C即為積分常數，利用下式可以確認這些函數的確都是
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \cos(x)}
  
的反導數：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                [
                sin
                ⁡
                (
                x
                )
                +
                C
                ]
              
              
                
                =
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                [
                sin
                ⁡
                (
                x
                )
                ]
                +
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                [
                C
                ]
              
            
            
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                (
                x
                )
                +
                0
              
            
            
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                (
                x
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}
  

若利用線性代數的描述方式，微分算子可將k+1維的向量映射到k維的空間中，因此其反運算（積分）會多一個待確定的條件。


積分常數的必要性 積分常數可以設為0，而且利用微積分基本定理計算定積分時，積分常數會互相抵消，積分常數看似沒有必要。
不過試圖將積分常數設為0的作法不一定合理，例如
  
    
      
        2
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}
  
可以用以二種方式積分：

  
    
      
        
          
            
              
                ∫
                2
                sin
                ⁡
                (
                x
                )
                cos
                ⁡
                (
                x
                )
                
                d
                x
              
              
                
                =
              
              
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                (
                x
                )
                +
                C
              
              
                
                =
              
              
                −
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                (
                x
                )
                +
                1
                +
                C
              
            
            
              
                ∫
                2
                sin
                ⁡
                (
                x
                )
                cos
                ⁡
                (
                x
                )
                
                d
                x
              
              
                
                =
              
              
                −
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                (
                x
                )
                +
                C
              
              
                
                =
              
              
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                (
                x
                )
                −
                1
                +
                C
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C\end{aligned}}}
  

即使將C設為0，仍然有些積分表示式中會出現常數，也就是說有些函數不存在一種最簡單的反導數。
使用積分常數的另一個原因，是有時會需要反導數在特定點為某特定值，就像是初值問題的情形一様。例如要求出
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \cos(x)}
  
的反導數，且x = π時的值為100，此時C只有一個數值才能滿足此條件（此例中C = 100）。
上述限制可以用微分方程的形式來描述：求解一個函數
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
的反導數也就是求解微分方程
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}
  
。任何微分方程都有許多的解，每一個解都是一個良態初值問題的唯一解。上一段的問題中x = π時的值為100即為初始條件。每一個初值問題對應一個唯一的C值，若沒有積分常數C，許多初值問題就無法求解。


不同反導數之間只差一個常數的原因 原因可以用以下定理來表示：令
  
    
      
        F
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
  
及
  
    
      
        G
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
  
為二個處處可微的函數。假設對於所有的實數x，
  
    
      
        F
        
          
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        G
        
          
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}
  
都成立，則存在一實數C使得對於所有的實數x，
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        −
        G
        (
        x
        )
        =
        C
      
    
    {\displaystyle F(x)-G(x)=C}
  
皆成立。
若要證明此式，由於
  
    
      
        [
        F
        (
        x
        )
        −
        G
        (
        x
        )
        
          ]
          ′
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0}
  
，因此以下用F-G來代替F，而用常數函數0來代替G，待證明為一個處處可微，導數恆為0的函數一定是常數：
選擇一實數a，令
  
    
      
        C
        =
        F
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle C=F(a)}
  
。針對任意的x，依照微積分基本定理可得

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∫
                  
                    a
                  
                  
                    x
                  
                
                0
                
                d
                t
              
              
                
                =
                F
                (
                x
                )
                −
                F
                (
                a
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                F
                (
                x
                )
                −
                C
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}0\,dt&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}}
  

因此可得
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        C
      
    
    {\displaystyle F(x)=C}
  
，因此F為常數函數。
證明過程中，有二個條件相當重要。首先，實數數線為連通空間，若實數數線不是連通空間，就無法從固定的a點積分到任意的x點。例如一函數只在[0,1]及[2,3]的區間有定義，而a為0，因為函數在1到2之間沒有定義，不可能從0積分到3。此時會有二個常數，分別對應定义域中的二個連通空間。一般而言，若將常數改為局部常數函數s，可以將此定理延伸到不連通的空間中。例如
  
    
      
        
          ∫
          d
          x
          
            /
          
          x
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \int dx/x}
  
有二個積分常數，而
  
    
      
        
          ∫
          tan
          ⁡
          x
          
          d
          x
          ,
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \int \tan x\,dx,}
  
有無限個積分常數。1/x積分的一般式為：

  
    
      
        ∫
        
          
            1
            x
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            {
            
              
                
                  ln
                  ⁡
                  
                    |
                    x
                    |
                  
                  +
                  
                    C
                    
                      −
                    
                  
                
                
                  x
                  <
                  0
                
              
              
                
                  ln
                  ⁡
                  
                    |
                    x
                    |
                  
                  +
                  
                    C
                    
                      +
                    
                  
                
                
                  x
                  >
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}
  

再者，F和G的條件需是處處可微的函數，若F及G在某一點不可微，則以上定理不成立。例如令
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  
单位阶跃函数，在x負值時為0，在x非負時為1，令
  
    
      
        G
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle G(x)=0}
  
。F在有定義導數的區域，其導數為0，G的導數恆為0，但F及G不只差一個常數而已。
甚至假設F及G為處處連續，幾乎處處可微，則以上定理仍然不成立。康托函數和常數函數0就是這樣的例子。


注释 參考資料