三角形，又稱三邊形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共線的三點兩兩連接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少邊的多边形。
一般用大写英语字母
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
和
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
为三角形的顶点标号；用小写英语字母
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
和
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
表示边；用
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
、
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
和
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
給角標號，又或者以
  
    
      
        ∠
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \angle ABC}
  
這樣的顶点标号来表示。


分类 = 以角度分類 =


 锐角三角形  銳角三角形的所有內角均為銳角。


 钝角三角形  鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其余兩角均小於90°。


 直角三角形  有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角邊」（cathetus），直角所对的边是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）


 三角函数  直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。


= 以邊長分類 =


 不等邊三角形  三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。


 等邊三角形  等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 ，则其面積公式為 
  
    
      
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                
                  3
                
              
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}
  
 。
等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。


 三角形的对边  对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC，∠B的对边就是AC，∠C的对边就是AB。
对边测量是全站仪的一种专项测量功能，它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活，操作简单，但它的测量精度没有标注，需要通过计算求得。


 等腰三角形  等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。
等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
令其底边是 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 ，腰是 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，则其面積公式為 
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
        
          b
          
            
              4
              
                a
                
                  2
                
              
              −
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}}
  

等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。


 退化三角形  退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。


勒洛三角形 勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗朗茨·勒洛命名。


一般性质 = 三角不等式 =
三角边長不等式
三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等，则是退化三角形。
三角內外角不等式
三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。


= 角度 =

三角形外角
三角形兩內角之和，等於第三角的外角。
三角形內角和
在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。


= 勾股定理 =

勾股定理，又稱畢氏定理或毕达哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 為斜邊，即 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 的對角 
  
    
      
        γ
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
  
 ，則

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  
。
勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  
，
則

  
    
      
        γ
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
  


= 正弦定理 =

設 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 为三角形外接圓半径，則

  
    
      
        
          
            a
            
              sin
              ⁡
              α
            
          
        
        =
        
          
            b
            
              sin
              ⁡
              β
            
          
        
        =
        
          
            c
            
              sin
              ⁡
              γ
            
          
        
        =
        2
        R
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}
  


= 餘弦定理 =

對於任意三角形：

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        −
        2
        b
        c
        ⋅
        cos
        ⁡
        α
        ,
      
    
    {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,}
  

  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        c
        ⋅
        cos
        ⁡
        β
        ,
      
    
    {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,}
  

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        ⋅
        cos
        ⁡
        γ
        .
      
    
    {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .}
  

勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 
  
    
      
        α
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =90^{\circ }\,}
  
 时， 
  
    
      
        cos
        ⁡
        α
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \cos \alpha =0}
  
 ，于是 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        −
        2
        b
        c
        ⋅
        cos
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
  
 化简为 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}
  
 。


全等及相似 = 全等三角形 =

三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：

SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及一條直角邊對應地相等。
AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。
SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保证两个三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。


= 相似三角形 =
AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）


特殊線段 三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。

中線（median）：三角形一边中点与这边所对頂点的连线段。
高线（altitude）：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
角平分线（angle bisector）：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
垂直平分線（perpendicular bisector）：通過三角形一边中点与該边所垂直的线段，又稱中垂线。
以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。


= 中线长度 =
设在
  
    
      
        Δ
        A
        B
        C
        
      
    
    {\displaystyle \Delta ABC\,}
  
中，若三边
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
、
  
    
      
        c
        
      
    
    {\displaystyle c\,}
  
的中線分别为
  
    
      
        
          m
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{a}}
  
、
  
    
      
        
          m
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{b}}
  
、
  
    
      
        
          m
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{c}}
  
，则：

  
    
      
        
          m
          
            a
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}}
  

  
    
      
        
          m
          
            b
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}}
  

  
    
      
        
          m
          
            c
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}}
  


= 高线长度 =
设在
  
    
      
        Δ
        A
        B
        C
        
      
    
    {\displaystyle \Delta ABC\,}
  
中，連接三个顶点
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
上的高分別记作
  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{a}}
  
、
  
    
      
        
          h
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{b}}
  
、
  
    
      
        
          h
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{c}}
  
，則：

  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                
                  s
                  (
                  s
                  −
                  a
                  )
                  (
                  s
                  −
                  b
                  )
                  (
                  s
                  −
                  c
                  )
                
              
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}}
  

  
    
      
        
          h
          
            b
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                
                  s
                  (
                  s
                  −
                  a
                  )
                  (
                  s
                  −
                  b
                  )
                  (
                  s
                  −
                  c
                  )
                
              
            
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}}
  

  
    
      
        
          h
          
            c
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                
                  s
                  (
                  s
                  −
                  a
                  )
                  (
                  s
                  −
                  b
                  )
                  (
                  s
                  −
                  c
                  )
                
              
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}}
  

其中 
  
    
      
        s
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
  
 。


= 角平分线长度 =
设在
  
    
      
        Δ
        A
        B
        C
        
      
    
    {\displaystyle \Delta ABC\,}
  
中，若三个角
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
的角平分线分别为
  
    
      
        
          t
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{a}}
  
、
  
    
      
        
          t
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{b}}
  
、
  
    
      
        
          t
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{c}}
  
，则：

  
    
      
        
          t
          
            a
          
        
        =
        
          
            1
            
              b
              +
              c
            
          
        
        
          
            
              (
              
                b
                +
                c
                +
                a
              
              )
            
            
              (
              
                b
                +
                c
                −
                a
              
              )
            
            b
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}}
  

  
    
      
        
          t
          
            b
          
        
        =
        
          
            1
            
              a
              +
              c
            
          
        
        
          
            
              (
              
                a
                +
                c
                +
                b
              
              )
            
            
              (
              
                a
                +
                c
                −
                b
              
              )
            
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}}
  

  
    
      
        
          t
          
            c
          
        
        =
        
          
            1
            
              a
              +
              b
            
          
        
        
          
            
              (
              
                a
                +
                b
                +
                c
              
              )
            
            
              (
              
                a
                +
                b
                −
                c
              
              )
            
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}}
  


三角形的心 三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心，定義如下：

关于三角形的四心，有这样的一首诗：

垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。
連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：


外接圆和内切圆半径 設外接圆半径為
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 ， 内切圆半径為
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 ，則：

  
    
      
        R
        =
        
          
            
              a
              b
              c
            
            
              
                (
                
                  a
                  +
                  b
                  +
                  c
                
                )
              
              
                (
                
                  b
                  +
                  c
                  −
                  a
                
                )
              
              
                (
                
                  a
                  +
                  c
                  −
                  b
                
                )
              
              
                (
                
                  a
                  +
                  b
                  −
                  c
                
                )
              
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              b
              c
            
            
              4
              △
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}={\frac {abc}{4\triangle }}}
  

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              
                (
                
                  a
                  +
                  b
                  +
                  c
                
                )
              
              
                (
                
                  b
                  +
                  c
                  −
                  a
                
                )
              
              
                (
                
                  a
                  +
                  c
                  −
                  b
                
                )
              
              
                (
                
                  a
                  +
                  b
                  −
                  c
                
                )
              
            
            
              2
              
                (
                
                  a
                  +
                  b
                  +
                  c
                
                )
              
            
          
        
        =
        
          
            △
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}={\frac {\triangle }{s}}}
  

其中
  
    
      
        △
      
    
    {\displaystyle \triangle }
  
為三角形面積；
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
為三角形半周長，
  
    
      
        s
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
  


面積 = 基本公式 =
三角形的面積 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 是底邊 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 與高 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 乘積的一半，即：

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        b
        h
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}
  
，
其中的高是指底邊與對角的垂直距離。


= 已知兩邊及其夾角 =
設 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 為已知的兩邊， 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        sin
        ⁡
        
          γ
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }}
  
。


= 已知兩角及其夾邊 =

  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 、 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 為已知的兩角， 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：

  
    
      
        A
        =
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              β
              sin
              ⁡
              γ
            
            
              2
              sin
              ⁡
              (
              β
              +
              γ
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}}
  
。


= 已知三邊長 =
海倫公式，其表示形式為：

  
    
      
        A
        =
        
          
            s
            
              (
              
                s
                −
                a
              
              )
            
            
              (
              
                s
                −
                b
              
              )
            
            
              (
              
                s
                −
                c
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}
  
，
其中 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 等於三角形的半周長，即：

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
  

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

  
    
      
        A
        =
        
          
            
              
                1
                4
              
            
            
              
                [
                
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    
                      (
                      
                        
                          
                            
                              c
                              
                                2
                              
                            
                            +
                            
                              a
                              
                                2
                              
                            
                            −
                            
                              b
                              
                                2
                              
                            
                          
                          2
                        
                      
                      )
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                ]
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}}
  

也有用幂和来表示的公式：

  
    
      
        
          
            
              
                A
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    2
                    (
                    
                      a
                      
                        4
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        4
                      
                    
                    +
                    
                      c
                      
                        4
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                  
                    2
                    (
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                    )
                    −
                    (
                    
                      a
                      
                        4
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        4
                      
                    
                    +
                    
                      c
                      
                        4
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}}
  

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

  
    
      
        16
        ⋅
        
          A
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            |
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle 16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}}
  

基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 
  
    
      
        a
        ≥
        b
        ≥
        c
      
    
    {\displaystyle a\geq b\geq c}
  
 ，三角形面積為：

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            [
            a
            +
            (
            b
            +
            c
            )
            ]
            [
            c
            −
            (
            a
            −
            b
            )
            ]
            [
            c
            +
            (
            a
            −
            b
            )
            ]
            [
            a
            +
            (
            b
            −
            c
            )
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}}
  
。


= 已知坐标系中三顶点坐标 =
由 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1})}
  
 、 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2})}
  
 及 
  
    
      
        (
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          y
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{3},y_{3})}
  
 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的絕對值表示：

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          |
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      x
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    
                      y
                      
                        3
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
              
              |
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|}
  

若三個頂點設在三維坐標系上，即由 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}
  
 、 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}
  
 及 
  
    
      
        (
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          y
          
            3
          
        
        ,
        
          z
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})}
  
 三个顶点构成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              
                
                  |
                  
                    
                      
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          y
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        1
                      
                    
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        
                          y
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        1
                      
                    
                    
                      
                        
                          x
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        
                          y
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        1
                      
                    
                  
                  |
                
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                
                  |
                  
                    
                      
                        
                          y
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          z
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        1
                      
                    
                    
                      
                        
                          y
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        
                          z
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        1
                      
                    
                    
                      
                        
                          y
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        
                          z
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        1
                      
                    
                  
                  |
                
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                
                  |
                  
                    
                      
                        
                          z
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        1
                      
                    
                    
                      
                        
                          z
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        1
                      
                    
                    
                      
                        
                          z
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        
                          x
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        1
                      
                    
                  
                  |
                
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}}
  


= 已知周界及內切圓或外接圓半徑 =
設三角形三邊邊長分別為 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 、 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 及 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 ，三角形半周長（ 
  
    
      
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}
  
 ）為 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 ，內切圓半徑為 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
，則：

  
    
      
        A
        =
        s
        r
      
    
    {\displaystyle A=sr}
  

若設外接圓半徑為 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 ，則：

  
    
      
        A
        =
        
          
            
              a
              b
              c
            
            
              4
              R
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {abc}{4R}}}
  


= 已知兩邊向量 =
設從一角出發，引出兩邊的向量為 
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
 及 
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
  
 ，三角形的面積為：

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          |
        
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}
  


半角定理 在三角形
  
    
      
        A
        B
        C
        
      
    
    {\displaystyle ABC\,}
  
中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：

  
    
      
        
          
            
              
                tan
                ⁡
                
                  
                    A
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        
                          (
                          a
                          +
                          c
                          −
                          b
                          )
                          (
                          a
                          +
                          b
                          −
                          c
                          )
                        
                        
                          (
                          a
                          +
                          b
                          +
                          c
                          )
                          (
                          b
                          +
                          c
                          −
                          a
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                tan
                ⁡
                
                  
                    B
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        
                          (
                          a
                          +
                          b
                          −
                          c
                          )
                          (
                          b
                          +
                          c
                          −
                          a
                          )
                        
                        
                          (
                          a
                          +
                          b
                          +
                          c
                          )
                          (
                          a
                          +
                          c
                          −
                          b
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                tan
                ⁡
                
                  
                    C
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        
                          (
                          b
                          +
                          c
                          −
                          a
                          )
                          (
                          a
                          +
                          c
                          −
                          b
                          )
                        
                        
                          (
                          a
                          +
                          b
                          +
                          c
                          )
                          (
                          a
                          +
                          b
                          −
                          c
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}}
  


其他有关三角形的定理 外角定理
拿破仑三角形
费马点
欧拉线
梅涅劳斯定理
樞紐定理
維維亞尼定理
莫雷角三分線定理


註釋 參考資料 參看 三角學
三-椭圆形