大反屈扭稜截半二十面體（great retrosnub icosidodecahedron）又稱大逆反屈扭稜截半二十面體（great inverted retrosnub icosidodecahedron）是一種星形均勻多面體，由80個正三角形和12個正五角星組成，索引為U74，對偶多面體為大五角星六十面體，具有二十面體群對稱性。，並且與扭棱十二面体、扭稜大星形十二面體和反扭稜大星形十二面體拓樸同構。


性質 大反屈扭稜截半二十面體共由92個面、150條邊和60個頂點組成，在其92個面中，有80個正三角形面和12個正五角星面，在其80個正三角形面中又可以分為60個一般的正三角形面（施萊夫利符號：{3}）和20個反向相接的正三角形面（施萊夫利符號：{3/2}），當中的60個正三角形面是在扭稜的過程產生的。


= 頂角的組成 =
在大反屈扭稜截半二十面體的60個頂點中，每個頂點都是4個正三角形面和1個正五角星面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖中可以用(5/2.3.3.3.3)/2來表示，並以「/2」來表示整個頂角的周邊面繞了頂點兩圈。
另一種表示方式則是將反向相接的正三角形也考慮進來，此時三角形在頂點周圍的分布方式則為正三角形與反向相接的正三角形交錯出現，即面在頂點周圍排列的順序是依照：正三角形、反向相接的正三角形、正三角形、正五角星和正三角形來排列，這種頂角的結構在頂點圖中可以用(3.3/2.3.5/3.3)來表示。


= 表示法 =
大反屈扭稜截半二十面體在考克斯特—迪肯符号中可以表示為，在施萊夫利符號中可以表示為sr{3⁄2,5⁄3}，在威佐夫記號中可以表示為| 2 3/2 5/3或| 3/2 5/3 2


= 尺寸 =
若大反屈扭稜截半二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：

  
    
      
        R
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              
                2
                −
                x
              
              
                1
                −
                x
              
            
          
        
        =
        0.580002
        …
      
    
    {\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.580002\dots }
  

其中
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        2
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              
                1
                ±
                
                  
                    5
                  
                
              
              2
            
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}}
  
的實根。
以
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{2}}
  
為變數的六次方程

  
    
      
        4096
        
          R
          
            12
          
        
        −
        27648
        
          R
          
            10
          
        
        +
        47104
        
          R
          
            8
          
        
        −
        35776
        
          R
          
            6
          
        
        +
        13872
        
          R
          
            4
          
        
        −
        2696
        
          R
          
            2
          
        
        +
        209
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}
  

共有4個實根，分別是扭棱十二面体、扭稜大星形十二面體、反扭稜大星形十二面體和大反屈扭稜截半二十面體的外接球半徑。
邊長為單位長的二十面化截半大十二面體，中分球半徑為方程式

  
    
      
        4096
        
          x
          
            6
          
        
        −
        21504
        
          x
          
            5
          
        
        +
        16384
        
          x
          
            4
          
        
        −
        4672
        
          x
          
            3
          
        
        +
        624
        
          x
          
            2
          
        
        −
        40
        x
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 4096x^{6}-21504x^{5}+16384x^{4}-4672x^{3}+624x^{2}-40x+1=0}
  

的較小正實跟（約為0.086401745）的平方根，約為0.293941738。


= 二面角 =
大反屈扭稜截半二十面體有兩種二面角，分別為三角形面和三角形面的二面角、以及五角星面和三角形面的二面角。
其中三角形面和三角形面的二面角約21.724655212度，實際上是為方程式

  
    
      
        729
        
          x
          
            6
          
        
        −
        486
        
          x
          
            5
          
        
        −
        729
        
          x
          
            4
          
        
        +
        756
        
          x
          
            3
          
        
        +
        63
        
          x
          
            2
          
        
        −
        270
        x
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 729x^{6}-486x^{5}-729x^{4}+756x^{3}+63x^{2}-270x+1=0}
  

的較小非零正實根（約為0.928973378）的反餘弦值。
而五角星面和三角形面的二面角約67.31029488度，實際上是為方程式

  
    
      
        91125
        
          x
          
            6
          
        
        −
        668250
        
          x
          
            5
          
        
        +
        2006775
        
          x
          
            4
          
        
        −
        2735100
        
          x
          
            3
          
        
        +
        1768275
        
          x
          
            2
          
        
        −
        502410
        x
        +
        43681
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 91125x^{6}-668250x^{5}+2006775x^{4}-2735100x^{3}+1768275x^{2}-502410x+43681=0}
  

的較小正實根（約為0.14879556）之平方根的反餘弦值。

  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            
              root
              ⁡
              
                (
                
                  91125
                  
                    x
                    
                      6
                    
                  
                  −
                  668250
                  
                    x
                    
                      5
                    
                  
                  +
                  2006775
                  
                    x
                    
                      4
                    
                  
                  −
                  2735100
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  +
                  1768275
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  502410
                  x
                  +
                  43681
                
                )
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \arccos \left({\sqrt {\operatorname {root} \left(91125x^{6}-668250x^{5}+2006775x^{4}-2735100x^{3}+1768275x^{2}-502410x+43681\right)}}\right)}
  

  
    
      
        ≈
        1.174786266
        ≈
        
          67.310294880
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \approx 1.174786266\approx 67.310294880^{\circ }}
  


= 頂點座標 =
大反屈扭稜截半二十面體的頂點座標為下列座標的偶置換：

  
    
      
        
          (
          
            ±
            2
            α
            ,
            ±
            2
            ,
            ±
            2
            β
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)}
  
、

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              (
              
                α
                −
                β
                τ
                −
                
                  
                    1
                    τ
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                
                  
                    α
                    τ
                  
                
                +
                β
                −
                τ
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                α
                τ
                −
                
                  
                    β
                    τ
                  
                
                −
                1
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)}
  
、

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              (
              
                α
                τ
                −
                
                  
                    β
                    τ
                  
                
                +
                1
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                α
                −
                β
                τ
                +
                
                  
                    1
                    τ
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                
                  
                    α
                    τ
                  
                
                +
                β
                +
                τ
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)}
  
、

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              (
              
                α
                τ
                −
                
                  
                    β
                    τ
                  
                
                −
                1
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                α
                +
                β
                τ
                +
                
                  
                    1
                    τ
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                
                  
                    α
                    τ
                  
                
                +
                β
                −
                τ
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)}
  
和

  
    
      
        
          (
          
            ±
            
              (
              
                α
                −
                β
                τ
                +
                
                  
                    1
                    τ
                  
                
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                
                  
                    α
                    τ
                  
                
                −
                β
                −
                τ
              
              )
            
            ,
            ±
            
              (
              
                −
                α
                τ
                −
                
                  
                    β
                    τ
                  
                
                +
                1
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)}
  
，
帶有偶數個正號，其中

  
    
      
        α
        =
        
          
            
              ξ
              −
              1
            
            ξ
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}}
  

且

  
    
      
        β
        =
        −
        
          
            ξ
            τ
          
        
        +
        
          
            1
            
              τ
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              ξ
              τ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}}
  

其中
  
    
      
        τ
        =
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
  
為黃金比例、

  
    
      
        ξ
      
    
    {\displaystyle \xi }
  
是方程式
  
    
      
        
          ξ
          
            3
          
        
        −
        2
        ξ
        =
        −
        
          
            1
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}}
  
的較小正實根，其值為：

  
    
      
        ξ
        =
        
          
            
              
                (
                
                  1
                  +
                  i
                  
                    
                      3
                    
                  
                
                )
              
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        
                          2
                          τ
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            
                              τ
                              
                                −
                                2
                              
                            
                            4
                          
                        
                        −
                        
                          
                            8
                            27
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
              +
              
                (
                
                  1
                  −
                  i
                  
                    
                      3
                    
                  
                
                )
              
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        
                          2
                          τ
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        
                          
                            
                              τ
                              
                                −
                                2
                              
                            
                            4
                          
                        
                        −
                        
                          
                            8
                            27
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
            
            2
          
        
        ≈
        0.3264046
      
    
    {\displaystyle \xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}\approx 0.3264046}
  

若上述座標使用奇置換並帶有奇數個正號的話，則會得到大反屈扭稜截半二十面體的另一種形式，即另一種形式的手性對映體，將兩種手性對映體組合起來可以得到一種均勻複合體——二複合大反屈扭稜截半二十面體。


相關多面體 兩個大反屈扭稜截半二十面體的手性鏡像可以複合成均勻複合體，稱為二複合大反屈扭稜截半二十面體。


參見 均勻多面體列表
扭稜大星形十二面體
反扭稜大星形十二面體


參考文獻