反正切（英語：arctangent，记为
  
    
      
        arctan
      
    
    {\displaystyle \arctan }
  
、arctg或
  
    
      
        
          tan
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan ^{-1}}
  
）是一種反三角函數，是利用已知直角三角形的對邊和鄰邊这两条直角边的比值求出其夹角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反正切被定義為一個角度，也就是正切值的反函數，由於正切函數在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正切是單射和滿射也是可逆的，但不同於反正弦和反餘弦，由於限制正切函數的定義域在
  
    
      
        (
        −
        
          
            π
            2
          
        
        ,
        
          
            π
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}
  
（(-90°,90°)）时，其值域是全體實數，因此可得到的反函數定義域也是全體實數，而不必再進一步去限制定義域。
由於反正切函數的定義為求已知對邊和鄰邊的角度值，剛好可以視為直角坐標系的x座標與y座標，根據斜率的定義，反正切函數可以用來求出平面上已知斜率的直線與座標軸的夾角。
反正切函數經常記為
  
    
      
        
          tan
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan ^{-1}}
  
，在外文文獻中常記為
  
    
      
        arctan
      
    
    {\displaystyle \arctan }
  
，在一些舊的教科書中也有人記為arctg，但那是舊的用法，不過根據ISO 31-11標準應將反正切函數記為
  
    
      
        arctan
      
    
    {\displaystyle \arctan }
  
，因為
  
    
      
        
          tan
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan ^{-1}}
  
可能會與
  
    
      
        
          
            1
            tan
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\tan }}}
  
混淆，
  
    
      
        
          
            1
            tan
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\tan }}}
  
是餘切函數。


定義 原始的定義是將正切函數限制在
  
    
      
        (
        −
        
          
            π
            2
          
        
        ,
        
          
            π
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}
  
（(-90°,90°)）的反函數
在複變分析中，反正切是這樣定義的：

  
    
      
        arctan
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              i
            
            2
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  
                    i
                  
                
                +
                x
              
              
                
                  
                    i
                  
                
                −
                x
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \arctan x={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln \left({\frac {{\mathrm {i} }+x}{{\mathrm {i} }-x}}\right)\,}
  

這個動作使反正切被推廣到複數。


= 直角坐标系中 =
在直角坐標系中，反正切函數可以視為已知平面上直線斜率的傾角


= 级数定义 =
反正切函數可利用泰勒展開式來求得級數的定義
反正切函數的泰勒展開式為：

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
        
        
          a
          r
          c
          t
          a
          n
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
          
        
        
          
            
              x
              
                2
                k
                +
                1
              
            
            
              2
              k
              +
              1
            
          
        
        =
        x
        −
        
          
            1
            3
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        
          x
          
            5
          
        
        −
        
          
            1
            7
          
        
        
          x
          
            7
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \mathrm {arctan} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }
  

當
  
    
      
        
          |
          x
          |
        
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle \left|x\right|\leq 1}
  
且
  
    
      
        x
        =
        ±
        i
      
    
    {\displaystyle x\neq \pm i}
  
時，這是一個收斂的級數，這使得反正切函數被定義在整個實數集上。這個級數也可以用來計算圓周率的近似值，最簡單的公式是
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
  
時的情況，稱為莱布尼茨公式

  
    
      
        
          
            π
            4
          
        
        =
        1
        −
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        −
        
          
            1
            7
          
        
        +
        −
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\ldots }
  

更精確的寫法是梅欽類公式

  
    
      
        
          
            π
            4
          
        
        =
        4
        
          a
          r
          c
          t
          a
          n
        
        
          
            1
            5
          
        
        −
        
          a
          r
          c
          t
          a
          n
        
        
          
            1
            239
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctan} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctan} {\frac {1}{239}}}
  


性質 由於反正切函數是一個奇函數，因此滿足下面等式：

  
    
      
        arctan
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        =
        −
        arctan
        ⁡
        x
        
      
    
    {\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}
  

反正切函數的微分導數為：

  
    
      
        
          
            
              a
              r
              c
              t
              a
              n
            
          
          ′
        
        x
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\rm {arctan}}'x={\frac {1}{1+x^{2}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              a
              r
              c
              t
              a
              n
            
          
          ″
        
        x
        =
        
          
            
              −
              2
              x
            
            
              
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\rm {arctan}}''x={\frac {-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\,}}}
  

  
    
      
        
          
            
              a
              r
              c
              t
              a
              n
            
          
          ‴
        
        x
        =
        
          
            
              
              6
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              2
              
            
            
              
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  3
                
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\rm {arctan}}'''x={\frac {\;6x^{2}-2\;}{\left(1+x^{2}\right)^{3}\,}}}
  

  
    
      
        
          
            
              a
              r
              c
              t
              a
              n
            
          
          ⁗
        
        x
        =
        
          
            
              
              −
              24
              
                x
                
                  3
                
              
              +
              24
              x
              
            
            
              
              
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  4
                
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\rm {arctan}}''''x={\frac {\;-24x^{3}+24x\;}{\;\left(1+x^{2}\right)^{4}\,}}}
  

  
    
      
        ⋯
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cdots \qquad .}
  


恆等式 = 和差 =

  
    
      
        arctan
        
        x
        ±
        arctan
        
        y
        =
        arctan
        
        
          
            
              x
              ±
              y
            
            
              1
              ∓
              x
              y
            
          
        
        ,
        x
        y
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},xy<1}
  
（+）、
  
    
      
        x
        y
        >
        −
        1
      
    
    {\displaystyle xy>-1}
  
（－）

  
    
      
        arctan
        
        x
        ±
        arctan
        
        y
        =
        π
        ±
        arctan
        
        
          
            
              x
              ±
              y
            
            
              1
              ∓
              x
              y
            
          
        
        ,
        x
        >
        0
        ,
        x
        y
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x>0,xy>1}
  
（+）、
  
    
      
        x
        >
        0
        ,
        x
        y
        <
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x>0,xy<-1}
  
（－）

  
    
      
        arctan
        
        x
        ±
        arctan
        
        y
        =
        −
        π
        ±
        arctan
        
        
          
            
              x
              ±
              y
            
            
              1
              ∓
              x
              y
            
          
        
        ,
        x
        <
        0
        ,
        x
        y
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=-\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x<0,xy>1}
  
（+）、
  
    
      
        x
        <
        0
        ,
        x
        y
        <
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x<0,xy<-1}
  
（－）


Atan2 在反三角函數中，atan2是反正切函數的一個變種，有兩個變數，主要是提供給計算機编程語言一個簡便的角度計算方式，其定義為：

  
    
      
        atan2
        ⁡
        (
        y
        ,
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  arctan
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        y
                        x
                      
                    
                    )
                  
                
                
                  
                  x
                  >
                  0
                
              
              
                
                  arctan
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        y
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  +
                  π
                
                
                  
                  y
                  ≥
                  0
                  ,
                  x
                  <
                  0
                
              
              
                
                  arctan
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        y
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  −
                  π
                
                
                  
                  y
                  <
                  0
                  ,
                  x
                  <
                  0
                
              
              
                
                  +
                  
                    
                      π
                      2
                    
                  
                
                
                  
                  y
                  >
                  0
                  ,
                  x
                  =
                  0
                
              
              
                
                  −
                  
                    
                      π
                      2
                    
                  
                
                
                  
                  y
                  <
                  0
                  ,
                  x
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    undefined
                  
                
                
                  
                  y
                  =
                  0
                  ,
                  x
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}
  


參考文獻 埃里克·韦斯坦因. Inverse Tangent. MathWorld. 
埃里克·韦斯坦因. Machin-Like Formulas. MathWorld. 


參見 正切
餘切