狭义相对论和广义相对论中，四维动量（英文：four-momentum）是经典的三维动量在四维时空中的相对论化形式。动量是三维空间中的矢量，而类似地四维动量是时空中的四维矢量。引入四维动量的原因是它在洛伦兹变换下是協變性的。对于一个具有三维动量
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        =
        (
        
          p
          
            x
          
        
        ,
        
          p
          
            y
          
        
        ,
        
          p
          
            z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})}
  
和能量
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的粒子，其逆變四维动量表示为

  
    
      
        
          P
        
        ≡
        
          P
          
            α
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    P
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    P
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    P
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    P
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      E
                      c
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    p
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    p
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    p
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} \equiv P^{\alpha }={\begin{pmatrix}P^{0}\\P^{1}\\P^{2}\\P^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}}
  

利用四元数可以通过全新的角度来理解和诠释物理运动，并采用以下四维表达式对动量进行定义（详见链接文档第6页）关于四元数的几何意义和物理应用 （页面存档备份，存于互联网档案馆）


闵可夫斯基模：p2 对一个粒子的四维动量在闵可夫斯基时空下计算它的模的平方，能够得到一个洛伦兹不变量，这个量等于这个粒子的固有质量（内秉质量）的平方（乘以系数光速的平方）：

  
    
      
        −
        
          |
        
        p
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        −
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
        
          p
          
            μ
          
        
        
          p
          
            ν
          
        
        =
        
          
            
              E
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          |
        
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -|p|^{2}=-\eta ^{\mu \nu }p_{\mu }p_{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}}
  

这里我们使用的是传统的国际单位制下的闵可夫斯基度规：

  
    
      
        
          η
          
            α
            β
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  −
                  1
                  
                    /
                  
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1/c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
  

由于
  
    
      
        
          |
        
        p
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle |p|^{2}\!}
  
是一个洛伦兹不变量，它的值不随洛伦兹变换（例如不同参考系间的旋转和递升）发生变化。


与四维速度的关系 对于一个有非零静止质量的粒子，四维动量等于粒子的内秉质量乘以粒子的四维速度：

  
    
      
        
          p
          
            μ
          
        
        =
        m
        
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
        
          U
          
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle p_{\mu }=m\,\eta _{\mu \nu }U^{\nu }\!}
  

四维速度的定义是

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    U
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    U
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    U
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    U
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  γ
                  c
                
              
              
                
                  γ
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  γ
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  γ
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}U^{0}\\U^{1}\\U^{2}\\U^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma c\\\gamma v_{x}\\\gamma v_{y}\\\gamma v_{z}\end{pmatrix}}}
  

其中
  
    
      
        γ
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              (
              
                
                  v
                  c
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}
  
是洛伦兹因子，
  
    
      
        c
        
      
    
    {\displaystyle c\,}
  
是真空中的光速。


四维动量的守恒律 四维动量的守恒律能够给出两个“经典的”守恒律：

总能量
  
    
      
        E
        =
        −
        
          p
          
            0
          
        
        
      
    
    {\displaystyle E=-p_{0}\,}
  
是守恒的。
经典的三维动量
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}}
  
是守恒的。
需要注意的是，一个多粒子系统的不变质量可能会大于这个系统中每个粒子的静止质量的总和，这是因为在系统的质心系中的动能以及粒子间相互作用力产生的势能都对系统的不变质量有贡献。举例来说，两个粒子分别具有四维动量
  
    
      
        
          (
          
            −
            5
            
              G
              e
              V
            
            ,
            4
            
              G
              e
              V
            
            
              /
            
            c
            ,
            0
            ,
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(-5\mathrm {GeV} ,4\mathrm {GeV} /c,0,0\right)}
  
和
  
    
      
        
          (
          
            −
            5
            
              G
              e
              V
            
            ,
            −
            4
            
              G
              e
              V
            
            
              /
            
            c
            ,
            0
            ,
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(-5\mathrm {GeV} ,-4\mathrm {GeV} /c,0,0\right)}
  
，则可知它们都分别具有静止质量
  
    
      
        3
        
          G
          e
          V
        
        
          /
        
        
          c
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle 3\mathrm {GeV} /c^{2}\,}
  
，但系统的静止质量是
  
    
      
        10
        
          G
          e
          V
        
        
          /
        
        
          c
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle 10\mathrm {GeV} /c^{2}\,}
  
。也就是说，如果这两个粒子碰撞后合成在一起，得到的粒子具有的静止质量为
  
    
      
        10
        
          G
          e
          V
        
        
          /
        
        
          c
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle 10\mathrm {GeV} /c^{2}\,}
  
。
粒子物理学中应用系统不变质量的守恒律的实例之一是，一个原本在实验室参考系中具有四维动量
  
    
      
        q
        
      
    
    {\displaystyle q\,}
  
的较重粒子发生衰变后成为两个分别具有四维动量
  
    
      
        
          p
          
            A
          
        
        
      
    
    {\displaystyle p^{A}\,}
  
和
  
    
      
        
          p
          
            B
          
        
        
      
    
    {\displaystyle p^{B}\,}
  
的粒子，通过对这两个动量进行测量能够得到原先粒子的静止质量。根据四维动量的守恒律有

  
    
      
        
          q
          
            μ
          
        
        =
        
          p
          
            μ
          
          
            A
          
        
        +
        
          p
          
            μ
          
          
            B
          
        
        
      
    
    {\displaystyle q_{\mu }=p_{\mu }^{A}+p_{\mu }^{B}\,}
  

而较重粒子的质量又满足

  
    
      
        −
        
          |
        
        q
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          M
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle -|q|^{2}=M^{2}c^{2}\,}
  

通过对产生的两个粒子的能量和三维动量进行测量就能得到这个二粒子系统的不变质量，这个不变质量必然等于原先粒子的不变质量。这个原理的实验应用如在高能粒子对撞机中寻找Z玻色子，理论上认为Z玻色子会在电子-反电子对或μ子-反μ子对的不变质量能谱上表现为一个峰值。
如果一个物体的质量不发生变化，在闵可夫斯基时空中它的四维动量和四维加速度彼此正交（即内积为零）。这是由于加速度和动量对时间的导数成正比，从而有

  
    
      
        
          p
          
            μ
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
        =
        
          p
          
            μ
          
        
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          
            
              
                η
                
                  μ
                  ν
                
              
              
                p
                
                  ν
                
              
            
            m
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          |
        
        p
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        (
        −
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle p_{\mu }A^{\mu }=p_{\mu }{\frac {d}{dt}}{\frac {\eta ^{\mu \nu }p_{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}|p|^{2}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}(-m^{2}c^{2})=0.}
  


存在电磁场时的正则动量 在相对论量子力学中，常常需要定义一个“正则”的四维动量
  
    
      
        
          P
          
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{\mu }\,}
  
，它被定义为四维动量和电荷与四维势乘积的和：

  
    
      
        
          P
          
            μ
          
        
        =
        
          p
          
            μ
          
        
        +
        q
        
          A
          
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+qA_{\mu }\!}
  

电磁场的四维势是电场标势与磁场矢势的组合：

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    A
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  −
                  ϕ
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{0}\\A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\phi \\A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}}
  

这样做的目的是使一个电磁场中的带电粒子所具有的势能和受到的洛伦兹力能够简明地耦合入薛定谔方程。


参见 动量
四维矢量
四维速度
狭义相对论


参考资料 Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5. 
John David Jackson. Classical Electrodynamics Third Edition (Hardcover). Wiley. 1998-08-10. ISBN 978-0471309321.