本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。

加速度（英語：Acceleration）是物理学中的一个物理量，是一个矢量，主要应用于经典物理当中，一般用字母
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
表示，在国际单位制中的单位为米每二次方秒（
  
    
      
        
          m
          
            /
          
          
            s
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {m/s^{2}} }
  
）。加速度是速度矢量對于时间的变化率，描述速度的方向和大小变化的快慢。
在经典力学中，牛顿第二定律说明了力和加速度成正比，這定律又稱為「加速度定律」。假設施加於物體的淨外力為零，則加速度為零，速度為常數，由於動量是質量與速度的乘積，所以動量守恆。在電動力學裏，呈加速度運動的帶電粒子會發射电磁辐射。


简述 简单地说，速度描述了位置是如何变化的，而加速度描述了速度是如何变化的。比如，水平地向前扔出一个物体，起初它的速度朝向正前，然而由於重力它开始在向前的同时向下坠落，即其速度改变了。这里改变物体速度的主要是地球的重力引起的重力加速度。
加速度具有向量性质，即需要用大小和方向同时描述一个加速度。在光滑水平面上向前运动的物体，如果向左或向右施以力，即给予了不同的加速度，则其速度会发生变化（包含了速率及方向），然而向左的加速度和向右的加速度显然引起了不同的效果。同样，施力的大小不同，引起的加速度不同，最终的结果也不一样，亦可以從向量的加成性來看。作为一个矢量，加速度的叠加和分解分别遵循平行四边形法则和三角形法则。
具體而言，加速度描述的是速度随时间的变化率。需要注意的是，由于速度也是矢量，因此加速度不为零的物体速度的大小（称之为速率）也不一定会发生变化，实际上，如果加速度保持与速度垂直，速度大小就一直不会改变，同时方向一直改变。这种情况在生活中最常见的是圆周运动，比如在被拴在一端固定的线的另一端的一个小物体在线保持绷直时做的运动，又比如带电粒子在仅受静磁场的洛伦兹力
  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  
时做的运动。


= 直线运动中的平均加速度和瞬时加速度 =
设质点A呈一維运动，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
时刻位于
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  
处，经过
  
    
      
        Δ
        t
      
    
    {\displaystyle \Delta t}
  
时间后位于
  
    
      
        x
        (
        t
        +
        Δ
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t+\Delta t)}
  
处，则定义质点A在
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
时刻的瞬时速度（简称速度）为

  
    
      
        v
        (
        t
        )
        =
        
          lim
          
            Δ
            t
            →
            0
          
        
        
          
            
              x
              (
              t
              +
              Δ
              t
              )
              −
              x
              (
              t
              )
            
            
              Δ
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}
  

其中，
  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}
  
表示位移對时间的一阶导数，在时间-位移图上表现为求斜率。
首先，定义
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
时刻到
  
    
      
        t
        +
        Δ
        t
      
    
    {\displaystyle t+\Delta t}
  
时刻之间的平均加速度为

  
    
      
        
          
            
              a
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            
              v
              (
              t
              +
              Δ
              t
              )
              −
              v
              (
              t
              )
            
            
              Δ
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {a}}={\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}}
  

平均加速度粗略地表示了在该段时间内物体速度的变化情况。如果
  
    
      
        Δ
        t
      
    
    {\displaystyle \Delta t}
  
越小，该段时间内速度的波动就越小，描述的速度变化情况也就越精细，从而定义质点A在
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
时刻的瞬时加速度为

  
    
      
        a
        (
        t
        )
        =
        
          lim
          
            Δ
            t
            →
            0
          
        
        
          
            
              v
              (
              t
              +
              Δ
              t
              )
              −
              v
              (
              t
              )
            
            
              Δ
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              v
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  d
                  
                    2
                  
                
              
              x
            
            
              
                d
              
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d^{2}} x}{\mathrm {d} t^{2}}}}
  

瞬时加速度，简称加速度。进而有

  
    
      
        v
        (
        
          t
          
            1
          
        
        )
        =
        
          ∫
          
            
              t
              
                0
              
            
          
          
            
              t
              
                1
              
            
          
        
        a
        (
        t
        )
        
          d
        
        t
        +
        v
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle v(t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}a(t)\mathrm {d} t+v(t_{0})}
  

在直线运动时，矢量約化为带符号的标量，其绝对值表示该物理量的大小。速度为正表示向右，速度为负表示向左（二維空間座標中）。加速度与速度方向相同（即符号相同）时表示物体不断加速，不同则表示物体不断减速。
右图画出了三个质点在
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
  
从坐标原点以相同的速度
  
    
      
        
          v
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{0}}
  
出发，由于分别拥有正、零、负的加速度而导致其位置
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
关于时间的曲线。可以将其想象为在光滑桌面上，三个木块以相同初速度，沿斜面向下、沿水平面、沿斜面向上滑行。
在位移-时间图上，加速度由曲线的凹凸性表示，加速度为正的部分表现为凸函数，反之为凹函数，亦可以從微分的角度來分析。


= 曲线运动中的加速度 =

设质点A在空间中运动，原点O指向A的矢量
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
为其矢径，则可类似定义其速度矢量和加速度矢量为

  
    
      
        
          v
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                r
              
              (
              t
              )
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}}
  

  
    
      
        
          a
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                v
              
              (
              t
              )
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  d
                  
                    2
                  
                
              
              
                r
              
              (
              t
              )
            
            
              
                d
              
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} (t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}}
  

右图表现的是一个质点沿一曲线运动的轨迹，表示出了两次微分的过程，为了清晰表示，这里使用差分（
  
    
      
        Δ
        t
      
    
    {\displaystyle \Delta t}
  
并不趋于0）近似代替了微分，因此表现的是平均速度和平均加速度。可以看出，加速度与速度都具有方向和大小，并且即使在同一时刻两者方向也不一定相同。加速度与速度方向平行的分量表示速度大小的变化率（相同则加速，相反则减速），而与速度垂直的分量表示速度方向的变化率（速度矢量转动的角速度）。
在
  
    
      
        Δ
        t
      
    
    {\displaystyle \Delta t}
  
足够小时，可以将那一小段曲线运动（称作元弧）近似看作直线运动或圆周运动。


= 伽利略变换 =
在经典物理下，即速度远小于光速、研究宏观物体时，可以使用伽利略变换来研究不同参考系间的加速度的联系，簡單來說就是座標間的轉換，但仍有保持一定的不變量：

  
    
      
        
          a
        
        =
        
          
            a
          
          ′
        
        +
        
          
            a
          
          
            rel
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+\mathbf {a} _{\text{rel}}}
  

其中，
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
为物体在参考系
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
下的加速度，
  
    
      
        
          
            a
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} '}
  
为物体在参考系
  
    
      
        
          S
          ′
        
      
    
    {\displaystyle S'}
  
下的加速度，
  
    
      
        
          
            a
          
          
            rel
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\text{rel}}}
  
为参考系
  
    
      
        
          S
          ′
        
      
    
    {\displaystyle S'}
  
在参考系
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
下的加速度。
考虑站在地面看火车上的人抛出一个小球，这个公式表达：小球相对于地面的加速度
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
，等于小球相对于火车的加速度
  
    
      
        
          
            a
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} '}
  
加上火车相对于地面的加速度
  
    
      
        
          
            a
          
          
            rel
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\text{rel}}}
  
。这个式子是矢量表达式，即三个加速度矢量的方向不在同一条直线上时，要使用矢量加法计算。


= 牛顿第二定律 =

加速度最主要的应用之一是牛顿第二定律。简单地说，牛顿第二定律表明，感受到合外力的作用，物体的加速度与合外力成正比，与质量成反比，加速度方向沿合力方向，在国际单位制中表示为

  
    
      
        
          F
        
        =
        m
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
  

其中
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
表示物体所受合外力，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
为物体质量，
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
为物体的加速度。
在古典物理下，牛顿第二定律廣泛适用。此外，牛顿第二定律要求所处参考系为惯性参考系。由于经典物理的研究几乎都会或多或少地涉及到物体在力的作用下的运动，又由于牛顿第二定律和伽利略变换极具简洁性，所以，牛顿第二定律是經典動力學裏的重要基礎定律，質點運動亦然。


= 惯性力 =

當帶質量物體加速時，慣性是物體維持原有運動狀態的傾向，慣性力是對於這傾向的衡量。因為慣性力實際上並不存在，只有原本將該物體加速的作用力實際存在，因此慣性力又稱為假想力。更具體而言，根據牛顿第二定律，

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        =
        m
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}\mathbf {F} _{i}=m\mathbf {a} }
  

其中，
  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
  
是第
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
個作用力，
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
是物體的加速度。
重新編排，可以得到

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        −
        m
        
          a
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}\mathbf {F} _{i}-m\mathbf {a} =0}
  

設定慣性向量
  
    
      
        
          I
        
        =
        −
        m
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} =-m\mathbf {a} }
  
，這物體的動力系統滿足方程式

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          F
        
        +
        
          I
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}\mathbf {F} +\mathbf {I} =0}
  

想像這慣性向量為由於加速度運動而產生的一種力，稱為慣性力。因為慣性力與所有作用於這物體的外力的向量總和為零，這動力系統可以視為處於動力平衡狀態。藉著這機制，可以將動力系統約化為靜力系統，用靜力學發展出的方法來解析動力問題。
惯性力在平日生活中其实很常见，例如，停止不動的火车突然向前方加速，则所有站立乘客都会向後方倾移，這便是惯性力效應，從另外一個角度而言也是為了提供乘客們有足夠的摩擦力來進行移動。


= 加加速度 =

将位移對于时间进行一阶求导得到了速度，二阶求导得到了加速度。可能会想到，可以通过进行三阶求导来得到一个诸如加加速度的物理量。
在工程学中经常需要用到加加速度，特别是在交通工具设计以及材料等问题。交通工具在加速时将使乘客产生不适感，这种不适感不仅来自于加速度，也与加加速度有关。在这种情况中，加速度反应人体器官在加速度運動時所感受到的力（见牛頓第二定律），加加速度则反应这作用力的变化快慢。较大的加加速度将会使人体产生相当的不适感，例如在电梯升降，汽车、火车等加速和转弯的过程中（在这些情况中加速度和加加速度的效应一般会同时存在）。人體需要時間適應加速度的變化，假若加加速度超過安全標準，則可能會發生像車禍造成的頸部扭傷（whiplash）一類的人體傷害。因而在设计交通工具时加加速度是必须考虑的因素。
在物理學裏，加加速度现在主要应用在混沌理论領域。


= 角加速度 =
角加速度涉及繞著固定轴轉動的物体，例如，想象一个圆盘和一个垂直固定於其中心的木棍，两隻手合拍住木棍并前後磨擦，造成木棍與圓盤共同轉動（例如，在地上高速旋转的陀螺，绕著固定点轉動）。在圆盘上做一个标记（如一条半径），则繞著固定轴轉動的物体可以简单地用标量角弧（即该标记转动的角弧）來做定量描述。
旋轉運動可以與直线运动相类比：位移、速度、加速度，分别对应於角弧、角速度、角加速度。直线运动中已有的定律和方法可以直接带入，用於旋轉運動，例如，使用已有的匀加速直线运动理论来研究匀角加速度固定轴转动。
在国际单位制中，角加速度的单位为弧度每二次方秒（
  
    
      
        
          r
          a
          d
          
            /
          
          
            s
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {rad/s^{2}} }
  
）。其定义式为

  
    
      
        α
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              
                d
              
              ω
              (
              t
              )
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  d
                  
                    2
                  
                
              
              θ
              (
              t
              )
            
            
              
                d
              
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha (t)={\frac {\mathrm {d} \omega (t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d^{2}} \theta (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}}
  

其中，
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
為物體角加速度，
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
为物体角速度，
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
为物体转过的角弧。


加速度的分解 处理关于空间加速度矢量的问题，除了直接计算矢量之外，更多的时候可以将加速度按照适当坐标轴分解，即将矢量形式的加速度表示为相互独立的不同方向上的标量的形式。因为标量的计算要容易很多，因此这是解决问题常用的方法。


= 按坐标系分解 =


 平面直角坐标系  在平面直角坐标系中，

  
    
      
        
          a
        
        (
        t
        )
        =
        
          a
          
            x
          
        
        (
        t
        )
        
          i
        
        +
        
          a
          
            y
          
        
        (
        t
        )
        
          j
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} (t)=a_{x}(t)\mathbf {i} +a_{y}(t)\mathbf {j} }
  

其中
  
    
      
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} }
  
和
  
    
      
        
          j
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {j} }
  
分别为x、y坐标轴上的单位矢量，皆为常矢量。
这种分解方式的优点在于，形式简便，思维简单；因为单位矢量不会变化，故质点在二个方向上的投影等价于直线运动，并将其叠加，使得问题完全化为代数问题，并且可以直接使用直线运动的已有结论。


 极坐标系  在二维空间裡，极坐标系用半径坐标 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 、角坐标 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 来表示質點的位置。半径坐标是極點与質點的直线距离；角坐标是極點与質點的连线对於极轴的角弧。在任意点的两个单位矢量分别为沿半径向外的
  
    
      
        
          
            e
          
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{r}}
  
和垂直于半径指向角坐标正方向的
  
    
      
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }}
  
。不論是直角坐標或是極坐標都可以互相來駔變換，坐標和坐標之間有一定的轉換量，使用以方便所在的坐標系為主。
從极坐标 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 和 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 可以计算出直角坐标：

  
    
      
        x
        =
        r
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle x=r\cos \theta }
  

  
    
      
        y
        =
        r
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle y=r\sin \theta }
  

在极坐标系中，位置
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
、速度
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
、加速度
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
分别为

  
    
      
        
          r
        
        =
        r
        
          
            e
          
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r}}
  

  
    
      
        
          v
        
        =
        r
        
          
            
              
                d
              
              θ
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
        +
        
          
            
              d
              r
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        
          
            e
          
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {dr}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{r}}
  

  
    
      
        
          a
        
        =
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      2
                    
                  
                  r
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            r
            
              
                (
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      θ
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
          ]
        
        
          
            e
          
          
            r
          
        
        +
        
          (
          
            2
            
              
                
                  
                    d
                  
                  r
                
                
                  
                    d
                  
                  t
                
              
            
            
              
                
                  
                    d
                  
                  θ
                
                
                  
                    d
                  
                  t
                
              
            
            +
            r
            
              
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      2
                    
                  
                  θ
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} =\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]\mathbf {e} _{r}+\left(2{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {e} _{\theta }}
  


 = 极坐标系分解的推导  =
两个单位矢量
  
    
      
        
          
            e
          
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{r}}
  
、
  
    
      
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }}
  
会随质点所处位置不同而变化，并可通过分析得出结论，在质点运动的时候

  
    
      
        
          d
        
        
          
            e
          
          
            r
          
        
        =
        
          d
        
        θ
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {e} _{r}=\mathrm {d} \theta \mathbf {e} _{\theta }}
  

  
    
      
        
          d
        
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
        =
        −
        
          d
        
        θ
        
          
            e
          
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {e} _{\theta }=-\mathrm {d} \theta \mathbf {e} _{r}}
  

其中，经过微小时间
  
    
      
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} t}
  
後，单位矢量
  
    
      
        
          
            e
          
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{r}}
  
、
  
    
      
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }}
  
的微小变化分別為
  
    
      
        
          d
        
        
          
            e
          
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {e} _{r}}
  
、
  
    
      
        
          d
        
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {e} _{\theta }}
  
。
應用微分的莱布尼兹法则

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        (
        a
         
        b
        )
        =
        a
         
        
          
            
              
                d
              
              b
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        +
        b
         
        
          
            
              
                d
              
              a
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(a\ b)=a\ {\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} t}}+b\ {\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}}
  

在极坐标系下，速度
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
、加速度
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
分別為

  
    
      
        
          
            
              
                
                  v
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                (
                r
                
                  
                    e
                  
                  
                    r
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                r
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      θ
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    θ
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      r
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    r
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(r\mathbf {e} _{r})\\&=r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{r}\\\end{aligned}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  a
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        v
                      
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    r
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          θ
                        
                        
                          
                            d
                          
                          t
                        
                      
                    
                    
                      
                        e
                      
                      
                        θ
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          r
                        
                        
                          
                            d
                          
                          t
                        
                      
                    
                    
                      
                        e
                      
                      
                        r
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                r
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      θ
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        
                          e
                        
                        
                          θ
                        
                      
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                +
                r
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          2
                        
                      
                      θ
                    
                    
                      
                        d
                      
                      
                        t
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    θ
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      r
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      θ
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    θ
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          2
                        
                      
                      r
                    
                    
                      
                        d
                      
                      
                        t
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    r
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      r
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      
                        
                          e
                        
                        
                          r
                        
                      
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                r
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          θ
                        
                        
                          
                            d
                          
                          t
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    r
                  
                
                +
                r
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          2
                        
                      
                      θ
                    
                    
                      
                        d
                      
                      
                        t
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    θ
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      r
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      θ
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    θ
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                        
                        
                          2
                        
                      
                      r
                    
                    
                      
                        d
                      
                      
                        t
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    r
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      r
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      θ
                    
                    
                      
                        d
                      
                      t
                    
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    θ
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              d
                            
                            
                              2
                            
                          
                          r
                        
                        
                          
                            d
                          
                          
                            t
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    −
                    r
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              
                                d
                              
                              θ
                            
                            
                              
                                d
                              
                              t
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  ]
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    r
                  
                
                +
                
                  (
                  
                    2
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          r
                        
                        
                          
                            d
                          
                          t
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            d
                          
                          θ
                        
                        
                          
                            d
                          
                          t
                        
                      
                    
                    +
                    r
                    
                      
                        
                          
                            
                              d
                            
                            
                              2
                            
                          
                          θ
                        
                        
                          
                            d
                          
                          
                            t
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    θ
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }\right)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{r}\right)\\&=r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {e} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}+r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {e} _{r}}{\mathrm {d} t}}\\&=-r\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\mathbf {e} _{r}+r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]\mathbf {e} _{r}+\left(2{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {e} _{\theta }\\\end{aligned}}}
  


 按自然坐标系分解  假設一個質點移動於二維平面。在質點軌道的任意位置，二維自然坐标系的一个坐标轴方向（切向）保持与軌道切線方向平行，另一个坐标轴方向（法向）則與軌道法線平行。分解按右图。向量可以無限地做拆解，所以只需要選擇對於分析最有利的為主！通常以切線方向和法線方向來分解。
简单地说，加速度的切向分量
  
    
      
        
          a
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{\text{t}}}
  
表示速度大小的变化，加速度的法向分量
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{\text{n}}}
  
表示速度方向的变化，即

  
    
      
        
          a
          
            t
          
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              v
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{\text{t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}}
  

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{\text{n}}={\frac {v^{2}}{\rho }}}
  

其中，
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
为此时刻的速度大小，
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
为此时刻的曲率半径。


= 按功能分解 =


 匀速圆周运动 向心加速度  若质点以不变的速率（速度大小）沿著圆周繞著圆心运动，则质点呈匀速圆周运动，质点具有向心加速度
  
    
      
        
          
            a
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{n}}
  
，其方向保持沿半径方向向裏（因此不断变化），大小为

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          ω
          
            2
          
        
        r
        =
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{\text{n}}=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}}
  

其中，
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
是角速度。
這公式也可以从极坐标系分解中，代入与匀速圆周运动相关的特殊值得到。更一般的情况下（非匀速圆周运动），以矢量来表示，

  
    
      
        
          
            a
          
          
            n
          
        
        =
        
          ω
        
        ×
        (
        
          ω
        
        ×
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\text{n}}=\mathbf {\omega } \times (\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} )}
  

在矢量式中，令沿半径向外为正。在平面的情况下，该矢量式約化为上述标量式，这时会得到一个负号，通常以圓座標來表示最為合適。
假设，在一根绳子的一端系上一个小物体（比如石頭），另一端握在手中，大致保持手不动而水平旋转，则手会明確地感受到绳子的拉力，该拉力的反作用力在绳子的另一端表現為向心力，提供小物体的向心加速度。当转得越快，向心力会越大，可以定性地验证上述向量式。从这个实验，可以看出，向心加速度总是使物体趋向于朝著圆心做运动；如果没有绳子施予向心力，物体一定会飞奔出去。
再舉一个例子，在游乐场的巨大旋转圆盘上，大部分遊客都會站立不稳，总是会向外摔倒，這是因為缺乏向心力施予於遊客。在旋转圆盘的非惯性系中，遊客會感受到慣性力，但由於缺乏向心力，無法達成平衡狀態，因此被向外“甩”出去，這慣性力又稱為离心力，人们以这个原理制成了离心机。
上述公式不但對於从匀速圆周运动成立，也可以應用於各种圆周运动、甚至任意曲线运动，只是上述的
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
和
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
应理解为该时刻的瞬时物理量，
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
应以曲率半径
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
替代，表示的是物体的加速度在垂直于路径方向的分量。


 = 向心加速度的推导  =
如勻速圓周運動圖所示，某一时刻质点速度为
  
    
      
        
          
            v
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
  
，极短时间
  
    
      
        d
        t
      
    
    {\displaystyle dt}
  
过后，质点沿圆周前行，速度变成
  
    
      
        
          
            v
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} _{2}}
  
。因为是匀速圆周运动，速度大小保持为
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
，但方向会保持与圆相切（垂直于半径
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
），不断改变。关注图的左上部分，当
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
使用弧度值时，速度大小的改变
  
    
      
        d
        v
      
    
    {\displaystyle dv}
  
在
  
    
      
        d
        β
      
    
    {\displaystyle d\beta }
  
极小时近似于
  
    
      
        v
        d
        β
      
    
    {\displaystyle vd\beta }
  
，方向大约沿半径向裏，则该段时间内的平均加速度大小为

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        v
        
          
            
              
                d
              
              β
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        v
        ω
      
    
    {\displaystyle a_{\text{n}}=v{\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} t}}=v\omega }
  

其中，角速度
  
    
      
        ω
        =
        
          
            
              
                d
              
              β
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} t}}}
  
。
以上“近似”在
  
    
      
        d
        t
        →
        0
      
    
    {\displaystyle dt\to 0}
  
时精确成立。又因为

  
    
      
        v
        =
        ω
        r
      
    
    {\displaystyle v=\omega r}
  

所以，

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          ω
          
            2
          
        
        r
        =
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{\text{n}}=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}}
  


 科里奥利效应  給定固定参考系S與旋轉参考系S'，從固定参考系S觀察，旋轉参考系S'以勻角速度轉動。移動於旋轉参考系S'的質點因為運動速度而產生的偏轉效應，稱為「科里奥利效应」，這是為紀念法国科学家贾斯帕-古斯塔夫·科里奥利而命名。
舉例而言，設想一个巨大的圆盘在地上绕著定點匀角速度轉動（定點運動），而這定點為圆盤的圆心，在圆盘上沿半径方向有一个直导轨，一个物体被限制在导轨上运动，从圆心匀速向外移动。從地上（固定參考系）觀察，物體的軌跡不是一条直线，而是一条弧形或者螺旋形路线，物体也會感受到導軌的約束力，其方向垂直於導軌，並且指向圆盘旋轉方向（不是角速度向量的方向），這約束力促使物體朝著圆盘旋轉方向加速，使物體的軌跡呈弧形或螺旋形。從圓盤（旋轉坐標系）觀察，物體所感受到的科里奥利力會與導軌施予的約束力相抵消，因此，物體只會呈直線運動。假若，導軌不存在，則物體會逆著圆盘旋轉方向以科里奥利加速度運動。
在科里奥利效应裏，参考系S'的物體的柯里奧利加速度與感受到的科里奥利力分別為

  
    
      
        
          
            a
          
          
            cor
          
        
        =
        −
        2
        
          Ω
        
        ×
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\text{cor}}=-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} }
  

  
    
      
        
          
            F
          
          
            cor
          
        
        =
        −
        2
        m
        
          Ω
        
        ×
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\text{cor}}=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} }
  

其中
  
    
      
        
          
            a
          
          
            cor
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\text{cor}}}
  
为科里奥利加速度，
  
    
      
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}
  
为参考系S'在参考系S中的角速度矢量，
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
为物体在参考系S'中的速度矢量。
在气象学裏，科里奥利力使得熱帶氣旋在沒有強引導氣流影響下移向兩極。 熱帶氣旋靠近兩極部分含有東風，科里奥利力會將東風拉向兩極；靠近赤道部分含有西風，科里奥利力會將西風拉向赤道。在地球上越接近赤道科里奥利力會越弱，所以科里奥利力影響熱帶氣旋靠近兩極部分會較靠近赤道部分為多。因此，在沒有其他引導氣流抵消科里奥利力的情況下，北半球的熱帶氣旋一般會向北移動，而南半球的熱帶氣旋則會向南移動。
科里奥利力也會開啟氣旋系統的旋轉，但驅動高速度旋轉的主要因素，不是科里奥利力，而是凝結熱。


 欧拉力  給定固定参考系S與旋轉参考系S'，從固定参考系S觀察，旋轉参考系S'以非勻角速度
  
    
      
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}
  
轉動。從旋轉参考系S'觀察，物體因這非勻角速度而感受到的虛設力（fictitious force）稱為「歐拉力」，產生的加速度稱為「歐拉加速度」。歐拉力
  
    
      
        
          
            F
          
          
            Euler
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\text{Euler}}}
  
與歐拉加速度
  
    
      
        
          
            a
          
          
            Euler
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\text{Euler}}}
  
之間的關係式為

  
    
      
        
          
            F
          
          
            Euler
          
        
        =
        m
        
          
            a
          
          
            Euler
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\text{Euler}}=m\mathbf {a} _{\text{Euler}}}
  

設想一个巨大的圆盘在地上绕著定點轉動，而這定點為圆盤的圆心。在圓盤的非圆心位置固定一个物体。圆盘呈非勻角速度運動，則從旋轉参考系S'觀察，延著物体的圓形軌跡切向（不是角速度向量的方向），此物体的受力是歐拉力。
欧拉加速度的一般公式为

  
    
      
        
          
            a
          
          
            Euler
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                d
              
              
                Ω
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        ×
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\text{Euler}}=-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }
  

其中，
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
是物體在旋轉参考系S'的位置。
欧拉力为

  
    
      
        
          
            F
          
          
            Euler
          
        
        =
        −
        m
        
          
            
              
                d
              
              
                Ω
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        ×
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\text{Euler}}=-m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\Omega } }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }
  


几种特殊的运动 以下为几种特殊的运动，因为在不同的模型下质点常被不同地近似处理，并且可以得出的结论较之上面的积分式常能极大地简省计算量，故有研究的价值。最常運用的就是拋體運動，以及自由落體。


= 匀速直线运动 =

若某质点保持加速度
  
    
      
        a
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle a=0\,\!}
  
，则其速度
  
    
      
        
          v
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
  
的大小和方向不会变化，质点将保持在同一直线上以同一速率（速度大小）运动，这种运动被称作匀速直线运动。特殊地，若速度
  
    
      
        v
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle v=0\,\!}
  
，则质点静止。
匀速直线运动主要出现在牛顿第一定律中，该定律表示：“不受任何力或受合力为零的物体作匀速直线运动。”由于自然界中大部分力的随距离增大而减小，故离所有其它物体足够远的某一物体的运动能够在足够的精度下被近似为匀速直线运动。这种近似常被用于寻找惯性参考系和粒子物理学的运算当中。


= 匀变速直线运动 =

若某作质点作直线运动并保持加速度
  
    
      
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle a\,\!}
  
恒定，则质点作匀变速直线运动。在这种情况下，若
  
    
      
        t
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle t=0\,\!}
  
时刻速度为
  
    
      
        
          v
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle v_{0}\,\!}
  
，
  
    
      
        t
        
        
      
    
    {\displaystyle t\,\!}
  
时刻速度为
  
    
      
        v
        (
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle v(t)\,\!}
  
，位移为
  
    
      
        s
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle s(x)\,\!}
  
，则可由上面积分式得出

  
    
      
        v
        (
        t
        )
        =
        
          v
          
            0
          
        
        +
        a
        t
        
        .
      
    
    {\displaystyle v(t)=v_{0}+at\,.}
  

  
    
      
        
          
            
              
                s
                (
                t
                )
              
              
                
                =
                
                  v
                  
                    0
                  
                
                t
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                a
                
                  t
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      v
                      (
                      t
                      )
                      +
                      
                        v
                        
                          0
                        
                      
                    
                    2
                  
                
                t
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}s(t)&=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}\\&={\frac {v(t)+v_{0}}{2}}t\\\end{aligned}}}
  

以及得出

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              v
              (
              t
              
                )
                
                  2
                
              
              −
              
                v
                
                  0
                
                
                  2
                
              
            
            
              2
              s
              (
              t
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {v(t)^{2}-v_{0}^{2}}{2s(t)}}}
  


 自由落体运动 重力加速度  自由落体运动是指初速度为0，加速度恒为竖直向下

的重力加速度g的运动，在地球上大约有
  
    
      
        g
        =
        9.8
        
          m
          ⋅
          
            s
            
              -
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle g=9.8\operatorname {m\cdot s^{-2}} }
  
。自由落体运动是匀变速直线运动的一种特殊情况。自由落体运动是将地球上的物体下落的状况进行理想化的抽象模型，当物体在地面附近，且所受空气阻力远小于其重力时，在一定精度内可被视作自由落体运动。


= 加速度恒定的运动 =
加速度是一个矢量，因此“加速度恒定”暗示加速度的大小和方向都不随时间变化。

当加速度
  
    
      
        
          a
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,}
  
与速度
  
    
      
        
          v
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} \,}
  
不在同一条直线上时，选取适当的坐标系，可以将其按照平面直角坐标系分解，使质点的运动在其中一个坐标轴上的投影为匀速直线运动，另一个方向上为匀变速直线运动。根据独立作用原理，两者的合运动（即质点的轨迹）为一条抛物线的一部分。


 抛体运动  抛体运动具体包括平抛运动和斜（上、下）抛运动，和自由落体运动类似，它是在地球上向不同方向抛出的物体在忽略空气阻力的情况下的运动状况进行理想化的抽象模型。物体拥有一个非竖直方向的不为零初速度
  
    
      
        
          
            v
            
              0
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v_{0}} \,\!}
  
，和竖直向下、大小恒定为重力加速度g的加速度，落地前的轨迹为一条抛物线的一部分。这也正是抛物线名字的由来。


= 简谐运动 =

再一个例子是简谐运动，即质点在正弦或余弦函数形式下的一维运动，一般形式为

  
    
      
        x
        =
        A
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        +
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle x=A\cos(\omega t+\phi _{0})\,.}
  

其中，
  
    
      
        A
        
      
    
    {\displaystyle A\,}
  
为振幅，
  
    
      
        ω
        
      
    
    {\displaystyle \omega \,}
  
为角频率，
  
    
      
        
          ϕ
          
            0
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{0}\,}
  
为初相位。将其对时间求导后可得出

  
    
      
        v
        =
        −
        A
        ω
        sin
        ⁡
        (
        ω
        t
        +
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle v=-A\omega \sin(\omega t+\phi _{0})\,}
  

  
    
      
        a
        =
        −
        A
        
          ω
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        +
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle a=-A\omega ^{2}\cos(\omega t+\phi _{0})}
  

由此也可以得出一些有趣的结论，如在任一时刻，

  
    
      
        a
        =
        −
        x
        
          ω
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle a=-x\omega ^{2}\,}
  

  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                a
                
                  ω
                  
                    2
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                v
                ω
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle A^{2}=\left({\frac {a}{\omega ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {v}{\omega }}\right)^{2}\,}
  


加速度的应用 = 电磁辐射 =

加速度的另一个重要应用之处是带电粒子的电磁辐射（即手机和收音机使用所需要的信号来源）。通过对麦克斯韦方程组的研究，可以将带电粒子产生电磁辐射的规律概括性地定性总结为：带电粒子的加速度产生电磁辐射，并且电磁辐射的强度和加速度大小正相关。电磁辐射常见于用带电粒子的碰撞实验中。这类实验的一个早期著名例子是卢瑟福用电子碰撞金箔的实验，这个实验导致了对原子结构的深入探索。而这类实验至今广泛见于在各种大型粒子對撞機中，带电粒子以很高的速度运动，经受撞击后变慢、静止甚至反弹回来，这个过程中显然速度发生剧烈改变，一定经受了加速度不为零的过程，也一定会放出辐射。这样产生的辐射被称为轫致辐射。
加速度产生电磁辐射的另一个很典型的例子是回旋加速器（回旋辐射）。带电粒子在回旋加速器中作圆周运动，每半圈加速一次，同时运动半径增大从而形成螺旋轨道，最后以很高的速度射出。圆周运动需要向心加速度来维持，当速度相当高时，加速度太大以至于因为电磁辐射损失的能量过多，导致回旋加速器实际对粒子的加速作用有上限。光速可比拟时，这时因为相对论效应而需使用同步加速器。这样产生的光能量高、偏振高，并且集中在一个很小的锥角里（相对论效应导致的前灯效应），因此是很好的大型物理用同步輻射光源。


= 狭义相对论 =

狭义相对论用于速度可以和光速相比拟时的运动，并且要求参考系是惯性系。在狭义相对论中，加速度的定义没有改变。然而，由于在狭义相对论中，不同的参考系有不同的时间和空间度量标准，即当前参考系中的加速度为当前参考系中的位移对当前参考系中的时间的二阶导数，因此在参考系变换（洛伦兹变换）时变得复杂很多。
设有两个参考系
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
、
  
    
      
        
          S
          ′
        
      
    
    {\displaystyle S'}
  
，在空间直角坐标系中，三个坐标轴相对应平行，在
  
    
      
        t
        =
        
          t
          ′
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=t'=0}
  
时刻两坐标系原点对齐，在
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
中
  
    
      
        
          S
          ′
        
      
    
    {\displaystyle S'}
  
以速率
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
沿x正方向运动。
同一事件在两个参考系中的時空坐標
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,z,t)}
  
、
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        
          z
          ′
        
        ,
        
          t
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y',z',t')}
  
變换如下：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  γ
                  (
                  
                    x
                    ′
                  
                  +
                  v
                  t
                  )
                
              
              
                
                  y
                  =
                  
                    y
                    ′
                  
                
              
              
                
                  z
                  =
                  
                    z
                    ′
                  
                
              
              
                
                  t
                  =
                  γ
                  
                    (
                    
                      
                        t
                        ′
                      
                      +
                      
                        
                          
                            
                              
                            
                            
                              
                                v
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                            
                            
                              
                                
                                  c
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      x
                    
                    )
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=\gamma (x'+vt)\\y=y'\\z=z'\\t=\gamma \left(t'+{\cfrac {v}{c^{2}}}x\right)\\\end{cases}}}
  

其中，單撇符號 
  
    
      
        
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle '}
  
 标示该物理量是在 
  
    
      
        
          S
          ′
        
      
    
    {\displaystyle S'}
  
下的测量，
  
    
      
        γ
        =
        
          
            
              1
              
                1
                −
                
                  
                    
                      v
                      
                        2
                      
                    
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
  
 是勞侖茲因子，用
  
    
      
        
          (
          
            
              u
              
                x
              
            
            ,
            
              u
              
                y
              
            
            ,
            
              u
              
                z
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(u_{x},u_{y},u_{z}\right)}
  
表示一质点的速度，
  
    
      
        
          (
          
            
              a
              
                x
              
            
            ,
            
              a
              
                y
              
            
            ,
            
              a
              
                z
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(a_{x},a_{y},a_{z}\right)}
  
表示其加速度。表示定义式如下

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              d
                            
                            x
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              d
                            
                            t
                          
                        
                      
                    
                  
                  =
                  
                    u
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              d
                            
                            
                              u
                              
                                x
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              d
                            
                            t
                          
                        
                      
                    
                  
                  =
                  
                    a
                    
                      x
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u_{x}\\{\cfrac {\mathrm {d} u_{x}}{\mathrm {d} t}}=a_{x}\end{cases}}}
  

y、z方向的定义式与之类似。综合该定义式，利用坐标转换的t部分，将坐标转换的x、y、z连续两次进行一阶求导。
通过展开，可以得到

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      x
                    
                  
                  =
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                x
                              
                              ′
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              γ
                              
                                3
                              
                            
                            
                              
                                (
                                
                                  1
                                  +
                                  
                                    
                                      
                                        v
                                        
                                          u
                                          
                                            x
                                          
                                          ′
                                        
                                      
                                      
                                        c
                                        
                                          2
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                                )
                              
                              
                                3
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      y
                    
                  
                  =
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              γ
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                            
                            
                              
                                
                                  a
                                  
                                    y
                                  
                                  ′
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                            
                            
                              
                                
                                  
                                    (
                                    
                                      1
                                      +
                                      
                                        
                                          
                                            v
                                            
                                              u
                                              
                                                x
                                              
                                              ′
                                            
                                          
                                          
                                            c
                                            
                                              2
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                    )
                                  
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      −
                      
                        
                          
                            
                              
                            
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                      v
                                      
                                        u
                                        
                                          y
                                        
                                        ′
                                      
                                    
                                    
                                      c
                                      
                                        2
                                      
                                    
                                  
                                
                                
                                  a
                                  
                                    x
                                  
                                  ′
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                            
                            
                              
                                
                                  
                                    (
                                    
                                      1
                                      +
                                      
                                        
                                          
                                            v
                                            
                                              u
                                              
                                                x
                                              
                                              ′
                                            
                                          
                                          
                                            c
                                            
                                              2
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                    )
                                  
                                  
                                    3
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      z
                    
                  
                  =
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              γ
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                            
                            
                              
                                
                                  a
                                  
                                    z
                                  
                                  ′
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                            
                            
                              
                                
                                  
                                    (
                                    
                                      1
                                      +
                                      
                                        
                                          
                                            v
                                            
                                              u
                                              
                                                x
                                              
                                              ′
                                            
                                          
                                          
                                            c
                                            
                                              2
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                    )
                                  
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      −
                      
                        
                          
                            
                              
                            
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                      v
                                      
                                        u
                                        
                                          z
                                        
                                        ′
                                      
                                    
                                    
                                      c
                                      
                                        2
                                      
                                    
                                  
                                
                                
                                  a
                                  
                                    x
                                  
                                  ′
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                            
                            
                              
                                
                                  
                                    (
                                    
                                      1
                                      +
                                      
                                        
                                          
                                            v
                                            
                                              u
                                              
                                                x
                                              
                                              ′
                                            
                                          
                                          
                                            c
                                            
                                              2
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                    )
                                  
                                  
                                    3
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}a_{x}={\cfrac {a'_{x}}{\gamma ^{3}\left(1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}={\cfrac {1}{\gamma ^{2}}}\left[{\cfrac {a'_{y}}{\left(1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\cfrac {{\frac {vu'_{y}}{c^{2}}}a'_{x}}{\left(1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{3}}}\right]\\a_{z}={\cfrac {1}{\gamma ^{2}}}\left[{\cfrac {a'_{z}}{\left(1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\cfrac {{\frac {vu'_{z}}{c^{2}}}a'_{x}}{\left(1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{3}}}\right]\\\end{cases}}}
  

其中，
  
    
      
        γ
        =
        1
        
          /
        
        
          
            1
            −
            
              v
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
  
 是勞侖茲因子。
可以看出，在狭义相对论中，加速度的变换公式冗长而复杂，各分量的公式也极不相似。再加上如果要考虑到力，虽然
  
    
      
        
          F
        
        =
        m
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
  
仍然成立，但质量也会变得随参考系的不同而不同。以上原因导致加速度在牛顿力学中那种因为简洁而具有的优越性，在狭义相对论中不复存在，必須使用更有功能的數學工具，即張量分析。


= 广义相对论 =

在广义相对论中和在量子力学中，大都是从能量、动量等的角度出发（类似于分析力学），而很少会像牛顿第二定律一样涉及到作用力；实际上，即使在需要表示出“位移的二阶导数”这一个量的时候，会趋向于直接使用
  
    
      
        
          
            
              x
              ¨
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {x}}}
  
，等价于
  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              x
            
            
              
                d
              
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}
  
，来求解微分方程。因此，加速度在进階理论中較少被用到。
运用到加速度的其中一个例子是等效原理，简单地说，它叙述了观测者不能在局部的区域内分辨出由加速度所产生的惯性力或由物体所产生的引力。比如，观测者站在地球上静止的电梯厢中向前方抛球，球会向下坠落，是因为地球的引力；而在远离任何星体的宇宙中的一个电梯厢，在以重力加速度
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
向上（定义观测者踩到的地面为下）加速运动时，观测者抛出一个球，仍然会向“下”坠落，是因为惯性力。作为在封闭电梯厢中的观测者无法分辨这两种情况，爱因斯坦据此提出，引力与惯性力等价。等效原理是广义相对论中的支柱性原理之一。


参见 惯性力


參考文獻