余弦（cosine）是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集，值域是
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,1]}
  
。它是周期函数，其最小正周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）。在自变量为
  
    
      
        2
        n
        π
      
    
    {\displaystyle 2n\pi }
  
（或
  
    
      
        
          360
          
            ∘
          
        
        n
      
    
    {\displaystyle 360^{\circ }n}
  
，其中
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为
  
    
      
        (
        2
        n
        +
        1
        )
        π
      
    
    {\displaystyle (2n+1)\pi }
  
（
  
    
      
        
          360
          
            ∘
          
        
        n
        +
        
          180
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle 360^{\circ }n+180^{\circ }}
  
）时，该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。


符号说明 余弦的符号为
  
    
      
        cos
      
    
    {\displaystyle \cos }
  
，取自拉丁文cosinus。该符号最早由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所采用。


定义 = 直角三角形中 =

在直角三角形中，一个锐角
  
    
      
        ∠
        A
      
    
    {\displaystyle \angle A}
  
的余弦定义为它的邻边与斜边的比值，也就是：

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              b
            
            
              c
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {b} }{\mathrm {c} }}\,\!}
  

可以發現其定義和正割函數互為倒數。


= 直角坐标系中 =
设
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，
  
    
      
        P
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P\left({x,y}\right)}
  
是角的终边上一点，
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}
  
是P到原点O的距离，则
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
的余弦定义为：

  
    
      
        cos
        ⁡
        α
        =
        
          
            x
            r
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x}{r}}\,\!}
  


= 单位圆定义 =

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于
  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \sin \theta }
  
。
在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了
  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            x
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{1}}}
  
。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
对于大于
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）或小于
  
    
      
        −
        2
        π
      
    
    {\displaystyle -2\pi }
  
（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，余弦变成了周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）的周期函数：

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        cos
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            2
            π
            k
          
          )
        
        =
        cos
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            
              360
              
                ∘
              
            
            k
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)=\cos \left(\theta +360^{\circ }k\right)}
  

对于任何角度
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
和任何整数
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
。


= 级数定义 =

  
    
      
        cos
        ⁡
        x
        =
        1
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            
              4
              !
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                6
              
            
            
              6
              !
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
              
                x
                
                  2
                  n
                
              
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\,\!}
  


= 微分方程定义 =
由于余弦的导数是负的正弦，正弦的导数是余弦，因此余弦函数满足初值問題

  
    
      
        
          y
          ″
        
        =
        −
        y
        ,
        
        y
        (
        0
        )
        =
        1
        ,
        
        
          y
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y''=-y,\,y(0)=1,\,y'(0)=0}
  

这就是余弦的微分方程定义。


= 指数定义 =

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              
                e
                
                  i
                  θ
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  i
                  θ
                
              
            
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,\!}
  


恒等式 = 用其它三角函数来表示余弦 =


= 两角和差公式 =

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          (
          
            x
            +
            y
          
          )
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        cos
        ⁡
        y
        −
        sin
        ⁡
        x
        sin
        ⁡
        y
      
    
    {\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          (
          
            x
            −
            y
          
          )
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        cos
        ⁡
        y
        +
        sin
        ⁡
        x
        sin
        ⁡
        y
      
    
    {\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}
  


= 二倍角公式 =

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        2
        θ
        )
        =
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        −
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        =
        2
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        −
        1
        =
        1
        −
        2
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta }
  


= 三倍角公式 =

  
    
      
        cos
        ⁡
        3
        θ
        =
        4
        
          cos
          
            3
          
        
        ⁡
        θ
        −
        3
        cos
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}
  


= 半角公式 =

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        =
        ±
        
        
          
            
              
                1
                +
                cos
                ⁡
                θ
              
              2
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}.\,}
  


= 幂简约公式 =

  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              1
              +
              cos
              ⁡
              2
              θ
            
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\,\!}
  

  
    
      
        
          cos
          
            3
          
        
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              3
              cos
              ⁡
              θ
              +
              cos
              ⁡
              3
              θ
            
            4
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}\,\!}
  


= 和差化积公式 =

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        +
        cos
        ⁡
        ϕ
        =
        2
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                θ
                +
                ϕ
              
              2
            
          
          )
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                θ
                −
                ϕ
              
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        −
        cos
        ⁡
        ϕ
        =
        −
        2
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                θ
                +
                ϕ
              
              2
            
          
          )
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                θ
                −
                ϕ
              
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\theta +\phi  \over 2}\right)\sin \left({\theta -\phi  \over 2}\right)}
  


= 万能公式 =

  
    
      
        cos
        ⁡
        α
        =
        
          
            
              1
              −
              
                tan
                
                  2
                
              
              ⁡
              
                
                  α
                  2
                
              
            
            
              1
              +
              
                tan
                
                  2
                
              
              ⁡
              
                
                  α
                  2
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\,\!}
  


含有余弦的积分 ∫
        cos
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        =
        
          
            1
            c
          
        
        sin
        ⁡
        c
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \int \cos cx\;dx={\frac {1}{c}}\sin cx\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          cos
          
            n
          
        
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        =
        
          
            
              
                cos
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              ⁡
              c
              x
              sin
              ⁡
              c
              x
            
            
              n
              c
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              −
              1
            
            n
          
        
        ∫
        
          cos
          
            n
            −
            2
          
        
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        
        
          
            (
          
        
        n
        >
        0
        
          
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int \cos ^{n}cx\;dx={\frac {\cos ^{n-1}cx\sin cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        x
        cos
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        =
        
          
            
              cos
              ⁡
              c
              x
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              sin
              ⁡
              c
              x
            
            c
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int x\cos cx\;dx={\frac {\cos cx}{c^{2}}}+{\frac {x\sin cx}{c}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          x
          
            n
          
        
        cos
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        =
        
          
            
              
                x
                
                  n
                
              
              sin
              ⁡
              c
              x
            
            c
          
        
        −
        
          
            n
            c
          
        
        ∫
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        sin
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \int x^{n}\cos cx\;dx={\frac {x^{n}\sin cx}{c}}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\sin cx\;dx\,\!}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            
              
                −
                a
              
              2
            
          
          
            
              a
              2
            
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            
              n
              π
              x
            
            a
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            
              
                a
                
                  3
                
              
              (
              
                n
                
                  2
                
              
              
                π
                
                  2
                
              
              −
              6
              )
            
            
              24
              
                n
                
                  2
                
              
              
                π
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        
          
            (
          
        
        n
        =
        1
        ,
        3
        ,
        5...
        
          
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=1,3,5...{\mbox{)}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              cos
              ⁡
              c
              x
            
            x
          
        
        d
        x
        =
        ln
        ⁡
        
          |
        
        c
        x
        
          |
        
        +
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
          
        
        
          
            
              (
              c
              x
              
                )
                
                  2
                  i
                
              
            
            
              2
              i
              ⋅
              (
              2
              i
              )
              !
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {\cos cx}{x}}dx=\ln |cx|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i}}{2i\cdot (2i)!}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              cos
              ⁡
              c
              x
            
            
              x
              
                n
              
            
          
        
        d
        x
        =
        −
        
          
            
              cos
              ⁡
              c
              x
            
            
              (
              n
              −
              1
              )
              
                x
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        −
        
          
            c
            
              n
              −
              1
            
          
        
        ∫
        
          
            
              sin
              ⁡
              c
              x
            
            
              x
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        d
        x
        
        
          
            (
          
        
        n
        =
        1
        
          
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {\cos cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\sin cx}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              cos
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        
          
            1
            c
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            tan
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    
                      c
                      x
                    
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    π
                    4
                  
                
              
              )
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan \left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                cos
                
                  n
                
              
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              c
              x
            
            
              c
              (
              n
              −
              1
              )
              c
              o
              
                s
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              c
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              −
              2
            
            
              n
              −
              1
            
          
        
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                cos
                
                  n
                  −
                  2
                
              
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        
        
          
            (
          
        
        n
        >
        1
        
          
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {\sin cx}{c(n-1)cos^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{)}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              1
              +
              cos
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        
          
            1
            c
          
        
        tan
        ⁡
        
          
            
              c
              x
            
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos cx}}={\frac {1}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              1
              −
              cos
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            c
          
        
        cot
        ⁡
        
          
            
              c
              x
            
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {1}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              x
              
              d
              x
            
            
              1
              +
              cos
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        
          
            x
            c
          
        
        tan
        ⁡
        
          
            
              c
              x
            
            2
          
        
        +
        
          
            2
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            cos
            ⁡
            
              
                
                  c
                  x
                
                2
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\cos cx}}={\frac {x}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {cx}{2}}\right|}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              x
              
              d
              x
            
            
              1
              −
              cos
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        −
        
          
            x
            c
          
        
        cot
        ⁡
        
          
            
              c
              x
            
            2
          
        
        +
        
          
            2
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            sin
            ⁡
            
              
                
                  c
                  x
                
                2
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {x}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {cx}{2}}\right|}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              cos
              ⁡
              c
              x
              
              d
              x
            
            
              1
              +
              cos
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        x
        −
        
          
            1
            c
          
        
        tan
        ⁡
        
          
            
              c
              x
            
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{1+\cos cx}}=x-{\frac {1}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              cos
              ⁡
              c
              x
              
              d
              x
            
            
              1
              −
              cos
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        −
        x
        −
        
          
            1
            c
          
        
        cot
        ⁡
        
          
            
              c
              x
            
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{1-\cos cx}}=-x-{\frac {1}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        cos
        ⁡
        
          c
          
            1
          
        
        x
        cos
        ⁡
        
          c
          
            2
          
        
        x
        
        d
        x
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              
                c
                
                  1
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
              )
              x
            
            
              2
              (
              
                c
                
                  1
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        +
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              
                c
                
                  1
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
              )
              x
            
            
              2
              (
              
                c
                
                  1
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        
        
          
            (
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            1
          
        
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          |
        
        
          
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int \cos c_{1}x\cos c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}+{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{(}}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
  


特殊值 余弦定理 余弦定理（也叫做余弦公式）是勾股定理的扩展：

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        C
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,}
  

也表示为：

  
    
      
        cos
        ⁡
        C
        =
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              2
              a
              b
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!}
  

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定律用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。
如果这个角不包含在这两个边之间，三角形可能不是唯一的（边-边-角全等歧义）。小心余弦定律的这种歧义情况。


參見 正弦
正切
餘切
正割
餘割
三角学
三角函数
函數
正弦波