在数学中，狄利克雷级数是如下形式的无穷级数：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              a
              
                n
              
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}
  

其中s是一个复数，an是一个复数列。
狄利克雷级数在解析数论中有重要的地位。黎曼ζ函数和狄利克雷L函数都可以用狄利克雷级数来定义。有猜测所有的狄利克雷级数组成塞尔伯格类函数都满足广义黎曼猜想。狄利克雷级数的名称来源于数学家約翰·彼得·狄利克雷。


例子 最有名的狄利克雷级数要数黎曼ζ函数了，即数列an恒等于 1 时的情形。

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}
  

另外一个是：

  
    
      
        
          
            1
            
              ζ
              (
              s
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              μ
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}
  

其中 μ(n) 是默比乌斯函数。还有很多的狄利克雷级数都可以通过默比乌斯倒置算法和狄利克雷卷积得到。比如对于一个给定的狄利克雷特征
  
    
      
        
          χ
          (
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \chi (n)}
  
，有

  
    
      
        
          
            1
            
              L
              (
              χ
              ,
              s
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              μ
              (
              n
              )
              χ
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}
  

其中 
  
    
      
        L
        (
        χ
        ,
        s
        )
      
    
    {\displaystyle L(\chi ,s)}
  
是一个狄利克雷L函数。
还有：

  
    
      
        
          
            
              ζ
              (
              s
              −
              1
              )
            
            
              ζ
              (
              s
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              φ
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}
  

其中φ(n) 是欧拉函数。以及：

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        ζ
        (
        s
        −
        a
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                σ
                
                  a
                
              
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              ζ
              (
              s
              )
              ζ
              (
              s
              −
              a
              )
              ζ
              (
              s
              −
              b
              )
              ζ
              (
              s
              −
              a
              −
              b
              )
            
            
              ζ
              (
              2
              s
              −
              a
              −
              b
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                σ
                
                  a
                
              
              (
              n
              )
              
                σ
                
                  b
                
              
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}}
  

其中 σa(n) 是因数函数。
其他关于因数函数d=σ0的等式还有：

  
    
      
        
          
            
              
                ζ
                
                  3
                
              
              (
              s
              )
            
            
              ζ
              (
              2
              s
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              d
              (
              
                n
                
                  2
                
              
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                ζ
                
                  4
                
              
              (
              s
              )
            
            
              ζ
              (
              2
              s
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              d
              (
              n
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}}
  

对于Re(s) > 1，ζ函数的对数由下式给出：

  
    
      
        log
        ⁡
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            2
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              Λ
              (
              n
              )
            
            
              log
              ⁡
              (
              n
              )
            
          
        
        
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}
  

其中 
  
    
      
        
          Λ
          (
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}
  
为 馮·曼戈爾特函數。
其导数由下式给出：

  
    
      
        
          
            
              
                ζ
                
                  ′
                
              
              (
              s
              )
            
            
              ζ
              (
              s
              )
            
          
        
        =
        −
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              Λ
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}
  

更广泛的性质如下：对于一个刘维尔函数，
  
    
      
        
          λ
          (
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \lambda (n)}
  
，有：

  
    
      
        
          
            
              ζ
              (
              2
              s
              )
            
            
              ζ
              (
              s
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              λ
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}
  

另外一个例子是关于拉馬努金和
  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle c_{n}(m)}
  
：

  
    
      
        
          
            
              
                σ
                
                  1
                  −
                  s
                
              
              (
              m
              )
            
            
              ζ
              (
              s
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                c
                
                  n
                
              
              (
              m
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}}
  
。


解析性质：收敛轴标 对于一个给定的数列an}n ∈ N

  
    
      
        f
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              a
              
                n
              
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
  

是一个关于复变量 s 的函数。为了使得函数有意义，需要考虑使得右端的无穷级数收敛的s。
如果an}n ∈ N是一个有界数列，那么f在所有Re(s) > 1的s处绝对收敛。如果 an = O(nk)，那么函数 f 在所有 Re(s) > k + 1 的 s 处（一个半平面）绝对收敛。
如果对任意n 和 k ≥ 0，和an + an + 1 + ... + an + k有界。那么对 Re(s) > 0 的 s ，函数 f 收敛。
以上定义的函数 f 对于定义域中的s都是解析函数。
一般来说，一个狄利克雷函数的收敛轴标是指实轴上的一个数x0，使得对于复平面上处于直线 y=x0 右边的半平面，函数都收敛（有定义）。
一般来说，与狄利克雷级数相对应的函数都可以解析扩展到更广的领域中。


导数 对于

  
    
      
        F
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
  

其中ƒ(n)是一个完全积性函数，并且对于Re(s) > σ0，函数收敛，则有：

  
    
      
        
          
            
              
                F
                
                  ′
                
              
              (
              s
              )
            
            
              F
              (
              s
              )
            
          
        
        =
        −
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              n
              )
              Λ
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}
  

对于Re(s) > σ0收敛，其中
  
    
      
        
          Λ
          (
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}
  
是馮·曼戈爾特函數。


乘积 对于

  
    
      
        F
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        n
        )
        
          n
          
            −
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}
  

以及

  
    
      
        G
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        g
        (
        n
        )
        
          n
          
            −
            s
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}
  

如果 F(s)和 G(s) 分别对 Res > a 和 Res > b 的 s 绝对收敛，那么

当 
  
    
      
        T
        ∼
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle T\sim \infty .}
  
时，
  
    
      
        
          
            1
            
              2
              T
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            T
          
          
            T
          
        
        
        d
        t
        F
        (
        a
        +
        i
        t
        )
        G
        (
        b
        −
        i
        t
        )
        
        d
        t
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        n
        )
        g
        (
        n
        )
        
          n
          
            −
            a
            −
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,dtF(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}}
  

如果 a = b 并且 ƒ(n) = g(n) 则有：

当 
  
    
      
        T
        ∼
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle T\sim \infty .}
  
时，
  
    
      
        
          
            1
            
              2
              T
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            T
          
          
            T
          
        
        d
        t
        
          |
        
        F
        (
        a
        +
        i
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        d
        t
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        [
        f
        (
        n
        )
        
          ]
          
            2
          
        
        
          n
          
            −
            2
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}}
  


参见 ζ函數正规化
L函數
亚纯函数
狄利克雷η函数


参考来源 Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976.
G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).
The general theory of Dirichlet's series  （页面存档备份，存于互联网档案馆） by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
Dirichlet series. PlanetMath.