数学中，交错群（alternating group）是一个有限集合偶置换之群。集合 
  
    
      
        {
        1
        ,
        ⋯
        ,
        n
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}
  
上的交错群称为 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶交错群，或 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 个字母上的交错群，记做 
  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}}
  
或 
  
    
      
        
          A
          l
          t
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Alt} (n)}
  
。
例如，4 阶交错群是 
  
    
      
        
          A
          
            4
          
        
        =
        {
        e
        ,
        (
        123
        )
        ,
        (
        132
        )
        ,
        (
        124
        )
        ,
        (
        142
        )
        ,
        (
        134
        )
        ,
        (
        143
        )
        ,
        (
        234
        )
        ,
        (
        243
        )
        ,
        (
        12
        )
        (
        34
        )
        ,
        (
        13
        )
        (
        24
        )
        ,
        (
        14
        )
        (
        23
        )
        }
      
    
    {\displaystyle A_{4}=\{e,(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}
  
 （参见轮换记法）。


基本性质 对 
  
    
      
        n
        >
        1
      
    
    {\displaystyle n>1}
  
，群
  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}}
  
是对称群 
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}}
  
的交换子群，指数为 2，从而有
  
    
      
        
          
            
              n
              !
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {n!}{2}}}
  
个元素。它是符号群同态 
  
    
      
        sgn
        :
        
          S
          
            n
          
        
        →
        {
        1
        ,
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} :S_{n}\to \{1,-1\}}
  
的核。
群 
  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}}
  
 是阿贝尔的当且仅当 
  
    
      
        n
        ≤
        3
      
    
    {\displaystyle n\leq 3}
  
，是单群当且仅当 
  
    
      
        n
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=3}
  
 或 
  
    
      
        n
        ≥
        5
      
    
    {\displaystyle n\geq 5}
  
。注意 
  
    
      
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{3}}
  
 事实上是 3 阶单群。
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}}
  
与 
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{2}}
  
 是 1 阶群，一般不称为单群的，而 
  
    
      
        
          A
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{4}}
  
 有一个非平凡正规子群从而不是单群。
  
    
      
        
          A
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{5}}
  
是最小非阿贝尔单群，阶数为 60，也是最小不可解群。


共轭类 在对称群中，
  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}}
  
 的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成，这里长为 1 的轮换包含在轮换型中，则对这样的轮换型恰有两个共轭类 (Scott 1987，§11.1, p299)。
例如：

两个置换 (123) 与 (132) 有相同的轮换型从而在 S3 中共轭，但在 A3 中不共轭。
置换 (123)(45678) 与其逆 (132)(48765) 有相同的轮换型所以在 S8 中共轭，但在 A8 中不共轭。


自同构群 对 n > 3，除了 n = 6，An 的自同构群就是 Sn 的自同构群，其内自同构群为 An 外自同构群为 Z2；外自同构来自用一个奇置换共轭。
对 n = 1 与 2，自同构群平凡。对 n = 3  自同构群是 Z2，其内自同构群平凡外自同构群为 Z2。
A6 的外自同构群是克莱因四元群 V = Z2 × Z2，这也是 S6 的自同构群。 A6 另外的自同构将三轮换（比如 (123)）与 32 型元素（比如 (123)(456)）交换。


特殊同构 在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是

A4 同构于 PSL2(3) 以及手征性四面体对称之对称群。
A5 同构于 PSL2(4)，PSL2(5)，以及手征性二十面体对称之对称群。
A6 同构于 PSL2(9) 与 PSp4(2)'。
A8 同构于 PSL4(2)。
更显然有 A3 同构于循环群 Z3，以及 A1 与 A2 同构于平凡群（也是 SL1(q)=PSL1(q) 对任何 q）。


子群 A4 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群：给定一个有限群 G 和 |G| 的一个因子 d，不一定存在 G 的一个 d 阶子群。群 G = A4，阶为 12，没有 6 阶子群。有三个元素的子群（由三个对象的轮换旋转生成）再加上任何一个其它元素生成整个群。


群同调 交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论中的稳定性：对足够大的 n 是常值。


= H1：阿贝尔化 =
第一同调群与阿贝尔化相同，因为 
  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}}
  
 除去已经提到的例外是完全群（完滿群），从而有

  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        (
        
          A
          
            3
          
        
        ,
        
          Z
        
        )
        =
        
          A
          
            3
          
          
            ab
          
        
        =
        
          A
          
            3
          
        
        =
        
          Z
        
        
          /
        
        3
        ;
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}(A_{3},\mathbf {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbf {Z} /3;\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        (
        
          A
          
            4
          
        
        ,
        
          Z
        
        )
        =
        
          A
          
            4
          
          
            ab
          
        
        =
        
          Z
        
        
          /
        
        3
        ;
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}(A_{4},\mathbf {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbf {Z} /3;\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        (
        
          A
          
            n
          
        
        ,
        
          Z
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle H_{1}(A_{n},\mathbf {Z} )=0}
  
 for 
  
    
      
        n
        =
        1
        ,
        2
      
    
    {\displaystyle n=1,2}
  
 and 
  
    
      
        n
        ≥
        5.
        
      
    
    {\displaystyle n\geq 5.\,}
  


= H2：舒尔乘子 =
当 n 等于 5 或大于等于 8 时，交错群 An 的舒尔乘子是 2 阶循环群；在 6 和 7 时有一个三重覆盖，则舒尔乘子的阶数为 6。

  
    
      
        
          H
          
            2
          
        
        (
        
          A
          
            n
          
        
        ,
        
          Z
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=0}
  
 for 
  
    
      
        n
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ;
        
      
    
    {\displaystyle n=1,2,3;\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            2
          
        
        (
        
          A
          
            n
          
        
        ,
        
          Z
        
        )
        =
        
          Z
        
        
          /
        
        6
      
    
    {\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /6}
  
 对 
  
    
      
        n
        =
        6
        ,
        7
        ;
        
      
    
    {\displaystyle n=6,7;\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            2
          
        
        (
        
          A
          
            n
          
        
        ,
        
          Z
        
        )
        =
        
          Z
        
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2}
  
 对 
  
    
      
        n
        =
        4
        ,
        5
      
    
    {\displaystyle n=4,5}
  
 與 
  
    
      
        n
        ≥
        8.
      
    
    {\displaystyle n\geq 8.}
  


参考文献 Scott, W.R., Group Theory, New York: Dover Publications, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8 
徐明曜, 有限群导引·上册（第二版）, 北京: 科学出版社, 2001, ISBN 7-03-007119-0