正切（Tangent，
  
    
      
        tan
      
    
    {\displaystyle \tan }
  
，东欧国家将其写作tg）是三角函数的一种。它的值域是整个实数集，定义域落在
  
    
      
        
          {
          
            x
            
              |
            
            x
            =
            k
            π
            +
            
              
                
                  π
                  2
                
              
            
            ,
            k
            ∈
            
              Z
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{x|x\neq k\pi +{\tfrac {\pi }{2}},k\in \mathbb {Z} \right\}}
  
（
  
    
      
        
          {
          
            x
            ∈
            
              R
            
            
              |
            
            x
            =
            
              180
              
                ∘
              
            
            k
            +
            
              90
              
                ∘
              
            
            ,
            
            k
            ∈
            
              Z
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k+90^{\circ },\,k\in \mathbb {Z} \right\}}
  
）。它是周期函数，其最小正周期为
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
（180°）。正切函数是奇函数。


符号说明 正切的符号为
  
    
      
        tan
      
    
    {\displaystyle \tan }
  
，旧写为
  
    
      
        t
        g
      
    
    {\displaystyle tg}
  
，源于英文tangent。该符号最早由数学家湯瑪斯·芬克（Thomas Fincke）所采用。


定义 = 直角三角形中 =

在直角三角形中，一个锐角的正切定义为它的對邊与鄰邊的比值，也就是：

  
    
      
        tan
        ⁡
        θ
        =
        
          
            a
            b
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              θ
            
            
              cos
              ⁡
              θ
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{a}}{\text{b}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\,\!}
  

可以發現其定義和餘切函數互為倒數。


= 直角坐标系中 =
设
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，
  
    
      
        P
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P\left({x,y}\right)}
  
是角的终边上一点，
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}
  
是P到原点O的距离，则
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
的正切定义为：

  
    
      
        tan
        ⁡
        α
        =
        
          
            y
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {y}{x}}}
  


= 单位圆定义 =

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，并与单位圆相交，並令这个交点為y。另原點為O。做一直線，y點，垂直於
  
    
      
        
          
            
              O
              y
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {Oy}}}
  
，並與单位圆相切，令直線與x軸的交點，則此點與y點之距離為正切比值。

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
对于大于
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）或小于
  
    
      
        −
        2
        π
      
    
    {\displaystyle -2\pi }
  
（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些三角函數变成了周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（360°）的周期函数；但由於正切是切線，再绕单位圆旋转時，會出現周期是
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
（180°），所以正切是周期为π（180°）的周期函数：

  
    
      
        tan
        ⁡
        θ
        =
        tan
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            π
            k
          
          )
        
        =
        tan
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            
              180
              
                ∘
              
            
            k
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \tan \theta =\tan \left(\theta +\pi k\right)=\tan \left(\theta +180^{\circ }k\right)}
  

对于任何角度
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
和任何整数
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
。


= 級數定義 =
正切函數也可以使用泰勒展開式定義

  
    
      
        tan
        ⁡
        x
        =
        x
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        +
        
          
            
              2
              
                x
                
                  5
                
              
            
            15
          
        
        +
        
          
            
              17
              
                x
                
                  7
                
              
            
            315
          
        
        +
        
          
            
              62
              
                x
                
                  9
                
              
            
            2835
          
        
        +
        .
        .
        .
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                B
                
                  2
                  n
                
              
              
                4
                
                  n
                
              
              (
              
                4
                
                  n
                
              
              −
              1
              )
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        
          x
          
            2
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+{\frac {62x^{9}}{2835}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}
  

其中
  
    
      
        
          B
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{2n}}
  
為伯努利數。
另外，我们也有

  
    
      
        tan
        ⁡
        x
        =
        8
        x
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              (
              1
              −
              2
              k
              
                )
                
                  2
                
              
              
                π
                
                  2
                
              
              −
              4
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \tan x=8x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-2k)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}.}
  


= 微分方程定义 =

  
    
      
        tan
      
    
    {\displaystyle \tan }
  
的微分是
  
    
      
        sec
      
    
    {\displaystyle \sec }
  
的平方

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        tan
        ⁡
        x
         
        =
        
          sec
          
            2
          
        
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x\ =\sec ^{2}x}
  

另外

  
    
      
        ∫
        tan
        ⁡
        x
        
        d
        x
        =
        −
        ln
        ⁡
        (
        cos
        ⁡
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \int \tan x\,dx=-\ln(\cos x)}
  

所以可以用

  
    
      
        tan
        ⁡
        x
        =
        (
        −
        ln
        ⁡
        (
        cos
        ⁡
        x
        )
        
          )
          ′
        
        
      
    
    {\displaystyle \tan x=(-\ln(\cos x))'\,}
  
來定義。


= 指数定义 =

  
    
      
        tan
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              
                e
                
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
            
            
              
                
                  i
                
              
              (
              
                e
                
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  
                    
                      i
                    
                  
                  θ
                
              
              )
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}{{\mathrm {i} }(e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta })}}\,}
  


恒等式 = 用其它三角函数来表示正切 =


= 角的和差 =

  
    
      
        tan
        ⁡
        (
        θ
        ±
        ψ
        )
        =
        
          
            
              tan
              ⁡
              θ
              ±
              tan
              ⁡
              ψ
            
            
              1
              ∓
              tan
              ⁡
              θ
              tan
              ⁡
              ψ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan(\theta \pm \psi )={\frac {\tan \theta \pm \tan \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}}
  


 正切的有限多项和  设
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        =
        tan
        ⁡
        (
        
          θ
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x_{i}=\tan(\theta _{i})}
  
，对于
  
    
      
        i
        =
        1
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle i=1,\ldots ,n}
  
。设
  
    
      
        
          e
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{k}}
  
是变量
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
，
  
    
      
        i
        =
        1
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle i=1,\ldots ,n}
  
，
  
    
      
        k
        =
        0
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle k=0,\ldots ,n}
  
的
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
次基本对称多项式。则

  
    
      
        tan
        ⁡
        (
        
          θ
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          θ
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                e
                
                  1
                
              
              −
              
                e
                
                  3
                
              
              +
              
                e
                
                  5
                
              
              −
              ⋯
            
            
              
                e
                
                  0
                
              
              −
              
                e
                
                  2
                
              
              +
              
                e
                
                  4
                
              
              −
              ⋯
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},}
  

项的数目依赖于
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
。例如，

  
    
      
        
          
            
              
                tan
                ⁡
                (
                
                  θ
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  θ
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  θ
                  
                    3
                  
                
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      
                        e
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        e
                        
                          3
                        
                      
                    
                    
                      
                        e
                        
                          0
                        
                      
                      −
                      
                        e
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      )
                       
                      −
                       
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      )
                    
                    
                      1
                       
                      −
                       
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                ,
              
            
            
              
            
            
              
                tan
                ⁡
                (
                
                  θ
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  θ
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  θ
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  θ
                  
                    4
                  
                
                )
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      
                        e
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        e
                        
                          3
                        
                      
                    
                    
                      
                        e
                        
                          0
                        
                      
                      −
                      
                        e
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        e
                        
                          4
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      )
                       
                      −
                       
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      )
                    
                    
                      1
                       
                      −
                       
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      +
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      )
                       
                      +
                       
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}
  

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。


= 半角公式 =

  
    
      
        
          
            
              
                tan
                ⁡
                
                  
                    θ
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                csc
                ⁡
                θ
                −
                cot
                ⁡
                θ
              
            
            
              
              
                
                =
                ±
                
                
                  
                    
                      
                        1
                        −
                        cos
                        ⁡
                        θ
                      
                      
                        1
                        +
                        cos
                        ⁡
                        θ
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      θ
                    
                    
                      1
                      +
                      cos
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      1
                      −
                      cos
                      ⁡
                      θ
                    
                    
                      sin
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      cos
                      ⁡
                      θ
                      +
                      sin
                      ⁡
                      θ
                      −
                      1
                    
                    
                      cos
                      ⁡
                      θ
                      −
                      sin
                      ⁡
                      θ
                      +
                      1
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta  \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta +\sin \theta -1}{\cos \theta -\sin \theta +1}}\end{aligned}}}
  


= 二倍角 =

  
    
      
        
          
            
              
                tan
                ⁡
                2
                θ
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                      tan
                      ⁡
                      θ
                    
                    
                      1
                      −
                      
                        tan
                        
                          2
                        
                      
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      1
                      −
                      tan
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    
                      1
                      +
                      tan
                      ⁡
                      θ
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\tan 2\theta &={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\\&={\frac {1}{1-\tan \theta }}-{\frac {1}{1+\tan \theta }}\\\end{aligned}}}
  


= 三倍角 =

  
    
      
        tan
        ⁡
        3
        θ
        =
        
          
            
              3
              tan
              ⁡
              θ
              −
              
                tan
                
                  3
                
              
              ⁡
              θ
            
            
              1
              −
              3
              
                tan
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}
  


正切定理 在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。即：

  
    
      
        
          
            
              a
              −
              b
            
            
              a
              +
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              
                t
                a
                n
              
              
              
                
                  
                    α
                    −
                    β
                  
                  2
                
              
            
            
              
                t
                a
                n
              
              
              
                
                  
                    α
                    +
                    β
                  
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\alpha +\beta }{2}}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              b
              −
              c
            
            
              b
              +
              c
            
          
        
        =
        
          
            
              
                t
                a
                n
              
              
              
                
                  
                    β
                    −
                    γ
                  
                  2
                
              
            
            
              
                t
                a
                n
              
              
              
                
                  
                    β
                    +
                    γ
                  
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {b-c}{b+c}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\beta +\gamma }{2}}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              c
              −
              a
            
            
              c
              +
              a
            
          
        
        =
        
          
            
              
                t
                a
                n
              
              
              
                
                  
                    γ
                    −
                    α
                  
                  2
                
              
            
            
              
                t
                a
                n
              
              
              
                
                  
                    γ
                    +
                    α
                  
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {c-a}{c+a}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\gamma +\alpha }{2}}}}}
  


用途 = 物理學 =
當一物體在斜面上剛開始滑動時，其靜摩擦係數為斜面傾角的正切值。


參見 正弦
餘弦
餘切
餘割
正割
三角学
三角函数