局域化的時變电荷和电流密度在真空中是电磁波的源。在有源的情形下，麦克斯韦方程组可以写成一个非齐次的电磁波方程（英文：Inhomogeneous electromagnetic wave equation）的形式，正是因为波源的存在使得偏微分方程变为非齐次。


国际单位 真空中的麦克斯韦方程组在含有电荷
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
和电流
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
的情形下可以用矢势和标势表示为

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        φ
        +
        
          
            
              ∂
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          (
          
            ∇
            ⋅
            
              A
            
          
          )
        
        =
        −
        
          
            ρ
            
              ε
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{{\partial } \over \partial t}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-{\rho  \over \varepsilon _{0}}}
  

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
        
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                A
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        ∇
        
          (
          
            
              
                1
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  φ
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            ∇
            ⋅
            
              A
            
          
          )
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A}  \over \partial t^{2}}-\nabla \left({1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\mu _{0}\mathbf {J} }
  

此时电场和磁场分别为

  
    
      
        
          E
        
        =
        −
        ∇
        φ
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\partial \mathbf {A}  \over \partial t}}
  

以及

  
    
      
        
          B
        
        =
        ∇
        ×
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
  
.
如果加上洛伦茨规范条件

  
    
      
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              φ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          A
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0}
  

则非齐次的波动方程为

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        φ
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              φ
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            ρ
            
              ε
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\varphi  \over \partial t^{2}}=-{\rho  \over \varepsilon _{0}}}
  

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
        
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                A
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A}  \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }
  
      .


厘米-克-秒单位和洛伦兹-赫维赛德单位 在厘米-克-秒制下，方程的形式为

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        φ
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              φ
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          4
          π
          ρ
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\varphi  \over \partial t^{2}}=-{4\pi \rho }}
  

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
        
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                A
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              4
              π
            
            c
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A}  \over \partial t^{2}}=-{4\pi  \over c}\mathbf {J} }
  

电场和磁场的形式为

  
    
      
        
          E
        
        =
        −
        ∇
        φ
        −
        
          
            1
            c
          
        
        
          
            
              ∂
              
                A
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\partial \mathbf {A}  \over \partial t}}
  

  
    
      
        
          B
        
        =
        ∇
        ×
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
  

洛伦茨规范条件为

  
    
      
        
          
            1
            c
          
        
        
          
            
              ∂
              φ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          A
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {1 \over c}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0}
  
.
如果采取有时在高维相对论场合计算中使用的洛伦兹-赫维赛德单位制，电荷和电流密度需要从厘米-克-秒制变换为

  
    
      
        ρ
        →
        
          
            ρ
            
              4
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho \rightarrow {\rho  \over {4\pi }}}
  

  
    
      
        
          J
        
        →
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} \rightarrow {1 \over {4\pi }}\mathbf {J} }
  
.


非齐次波方程的协变形式 在狭义相对论中，麦克斯韦方程组可以写成协变的形式：

  
    
      
        ◻
        
          A
          
            μ
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              A
              
                μ
                ,
                β
              
            
          
          
            β
          
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box A^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\beta }\partial ^{\beta }A^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {A^{\mu ,\beta }}_{\beta }=-\mu _{0}J^{\mu }}
  
     （国际单位制）

  
    
      
        ◻
        
          A
          
            μ
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              A
              
                μ
                ,
                β
              
            
          
          
            β
          
        
        =
        −
        
          
            
              4
              π
            
            c
          
        
        
          J
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box A^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\beta }\partial ^{\beta }A^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {A^{\mu ,\beta }}_{\beta }=-{\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }}
  

（厘米-克-秒制）
其中
  
    
      
        
          J
          
            μ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle J^{\mu }\,}
  
是四维电流密度：

  
    
      
        
          J
          
            μ
          
        
        =
        
          (
          
            c
            ρ
            ,
            
              J
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,\mathbf {J} \right)}
  
,

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  a
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          ∂
          
            a
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          

          
          
            ,
            a
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        (
        ∂
        
          /
        
        ∂
        c
        t
        ,
        ∇
        )
      
    
    {\displaystyle {\partial  \over {\partial x^{a}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {}_{,a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\partial /\partial ct,\nabla )}
  

是四维梯度，而电磁四维势为

  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
        =
        (
        φ
        ,
        
          A
        
        c
        )
      
    
    {\displaystyle A^{\mu }=(\varphi ,\mathbf {A} c)}
  
     （国际单位制）

  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
        =
        (
        φ
        ,
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle A^{\mu }=(\varphi ,\mathbf {A} )}
  
    （厘米-克-秒制）
洛伦茨规范为

  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}
  
.
这里

  
    
      
        ◻
        =
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          ∂
          
            β
          
        
        =
        
          ∇
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box =\partial _{\beta }\partial ^{\beta }=\nabla ^{2}-{1 \over c^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}
  
是达朗贝尔算符。


弯曲时空 电磁波方程在弯曲时空中需要做两处修正，分别是偏导数被替换为协变导数，以及增加了一项有关时空曲率的项。在国际单位制下

  
    
      
        −
        
          
            
              A
              
                α
                ;
                β
              
            
          
          
            β
          
        
        +
        
          
            
              R
              
                α
              
            
          
          
            β
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=\mu _{0}J^{\alpha }}
  

其中

  
    
      
        
          
            
              R
              
                α
              
            
          
          
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }}
  

是里奇曲率张量。 这里分号表示对角标求协变导数。对于厘米-克-秒制下的方程，需要用
  
    
      
        4
        π
        
          /
        
        c
      
    
    {\displaystyle 4\pi /c}
  
替换真空磁导率。
这里假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为

  
    
      
        
          
            
              A
              
                μ
              
            
          
          
            ;
            μ
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0}
  


非齐次电磁波方程的解 在波源周围没有边界条件的情形下，非齐次波方程在厘米-克-秒制下的解为

  
    
      
        φ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        ∫
        
          
            
              δ
              
                (
                
                  
                    t
                    ′
                  
                  +
                  
                    
                      
                        
                          |
                          
                            
                              r
                            
                            −
                            
                              
                                r
                              
                              ′
                            
                          
                          |
                        
                      
                      c
                    
                  
                  −
                  t
                
                )
              
            
            
              
                |
                
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                
                |
              
            
          
        
        ρ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        ,
        
          t
          ′
        
        )
        
          d
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
        d
        
          t
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {{\delta \left(t'+{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)} \over {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\rho (\mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'}
  

以及

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        ∫
        
          
            
              δ
              
                (
                
                  
                    t
                    ′
                  
                  +
                  
                    
                      
                        
                          |
                          
                            
                              r
                            
                            −
                            
                              
                                r
                              
                              ′
                            
                          
                          |
                        
                      
                      c
                    
                  
                  −
                  t
                
                )
              
            
            
              
                |
                
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                
                |
              
            
          
        
        
          
            
              
                J
              
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              ,
              
                t
                ′
              
              )
            
            c
          
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
        d
        
          t
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {{\delta \left(t'+{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)} \over {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t') \over c}d^{3}r'dt'}
  

其中

  
    
      
        
          δ
          
            (
            
              
                t
                ′
              
              +
              
                
                  
                    
                      |
                      
                        
                          r
                        
                        −
                        
                          
                            r
                          
                          ′
                        
                      
                      |
                    
                  
                  c
                
              
              −
              t
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\delta \left(t'+{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)}}
  

是狄拉克δ函数。
对于国际单位制，

  
    
      
        ρ
        →
        
          
            ρ
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho \rightarrow {\rho  \over {4\pi \varepsilon _{0}}}}
  

  
    
      
        
          J
        
        →
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} \rightarrow {\mu _{0} \over {4\pi }}\mathbf {J} }
  
.
对于洛伦兹-赫维赛德单位制，

  
    
      
        ρ
        →
        
          
            ρ
            
              4
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho \rightarrow {\rho  \over {4\pi }}}
  

  
    
      
        
          J
        
        →
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} \rightarrow {1 \over {4\pi }}\mathbf {J} }
  
.
这些解被称作推迟解，它们表示的是一族由波源向外发出的并从现在向未来传播的球面电磁波的线性叠加。
此外还有所谓超前解，表示为

  
    
      
        φ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        ∫
        
          
            
              δ
              
                (
                
                  
                    t
                    ′
                  
                  −
                  
                    
                      
                        
                          |
                          
                            
                              r
                            
                            −
                            
                              
                                r
                              
                              ′
                            
                          
                          |
                        
                      
                      c
                    
                  
                  −
                  t
                
                )
              
            
            
              
                |
                
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                
                |
              
            
          
        
        ρ
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        ,
        
          t
          ′
        
        )
        
          d
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
        d
        
          t
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {{\delta \left(t'-{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)} \over {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\rho (\mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'}
  

以及

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        ∫
        
          
            
              δ
              
                (
                
                  
                    t
                    ′
                  
                  −
                  
                    
                      
                        
                          |
                          
                            
                              r
                            
                            −
                            
                              
                                r
                              
                              ′
                            
                          
                          |
                        
                      
                      c
                    
                  
                  −
                  t
                
                )
              
            
            
              
                |
                
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                    
                    ′
                  
                
                |
              
            
          
        
        
          
            
              
                J
              
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              ,
              
                t
                ′
              
              )
            
            c
          
        
        
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            3
          
        
        
          r
          ′
        
        d
        
          t
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {{\delta \left(t'-{{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} \over c}-t\right)} \over {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t') \over c}d^{3}r'dt'}
  
.
它们表示的是一族由波源向外发出的并从未来向现在传播的球面电磁波的线性叠加。


参见 波动方程
电磁波方程
电磁波方程的正弦平面波解
拉莫尔公式
麦克斯韦方程组在狭义相对论中的形式
弯曲时空中的麦克斯韦方程组
阿布拉罕-洛伦兹力


参考文献 = 电磁学 =


 期刊论文  James Clerk Maxwell, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865).  (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)


 本科水平教科书  Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998. ISBN 0-13-805326-X. 
Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0810-8. 
Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985).
Hermann A. Haus and James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X
Banesh Hoffman, Relativity and Its Roots (Freeman, New York, 1983).
David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, and Jin Au Kong, Electromagnetic Waves (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4
Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.


 研究生水平教科书  Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 0-471-30932-X. 
Landau, L. D.,  The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2),  (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987).
Maxwell, James C. A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. 1954. ISBN 0-486-60637-6. 
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)


= 矢量微积分 =
H. M. Schey, Div Grad Curl and all that:  An informal text on vector calculus, 4th edition (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1.