在經典力學裏，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
可以給出閉合軌道：

平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為

  
    
      
        V
        (
        r
        )
        =
        
          
            
              −
              k
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle V(r)={\frac {-k}{r}}}
  
。
徑向諧振子勢：

  
    
      
        V
        (
        r
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        k
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}}
  
。
其中，
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
是徑向座標，
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。
1687年，物理学家艾薩克·牛頓在著作《自然哲學的數學原理》裏提出了萬有引力定律，解釋了行星繞著太陽的公轉为何遵守克卜勒定律。此后許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道時，可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到1873年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確解析此問題。该定理對於經典天體力學研究非常重要，伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。
在現代物理學裏，理論物理學家發現由於廣義相對論效應，引力與距離不再成精確的平方反比關係，因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。


前論 所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。
採用極坐標
  
    
      
        (
        r
        ,
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle (r,\theta )}
  
，一個移動於連心勢
  
    
      
        V
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle V(r)}
  
的粒子，其拉格朗日量
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
是

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          
            
              
                r
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              
                θ
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        −
        V
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-V(r)}
  
。
其中，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
是粒子質量，
  
    
      
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {r}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\theta }}}
  
分別表示
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
、
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
對於時間
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
的導數。
這粒子的拉格朗日方程式為

  
    
      
        m
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
        −
        m
        r
        
          
            
              
                θ
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              d
              V
            
            
              d
              r
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dV}{dr}}=0}
  
、

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        (
        m
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0}
  
。
由於角坐標
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
顯性地跟拉格朗日量無關，
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是個可略坐標，其共軛動量（角動量）
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
守恆，
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
是個常數：

  
    
      
        ℓ
        =
        
          
            
              ∂
              
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    θ
                    ˙
                  
                
              
            
          
        
        =
        m
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}
  
。
將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
的二次微分方程式，

  
    
      
        m
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
        −
        
          
            
              ℓ
              
                2
              
            
            
              m
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              d
              V
            
            
              d
              r
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle m{\ddot {r}}-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}+{\frac {dV}{dr}}=0}
  
。
假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個項目是零，則如同期待的，連心力
  
    
      
        −
        
          
            
              d
              V
            
            
              d
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {dV}{dr}}}
  
等值於離心力
  
    
      
        −
        
          
            
              ℓ
              
                2
              
            
            
              m
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}}
  
。
對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            ℓ
            
              m
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            d
            
              d
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}
  
。
將這公式代入，可推導出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式：

  
    
      
        
          
            ℓ
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            d
            
              d
              θ
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ℓ
                
                  m
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  d
                  r
                
                
                  d
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              ℓ
              
                2
              
            
            
              m
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              d
              V
            
            
              d
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\ell }{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}
  
。
設定變數
  
    
      
        u
        =
        
          
            1
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {1}{r}}}
  
，改換方程式的變數為
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
，同時將方程式兩邊乘以
  
    
      
        
          
            m
            
              
                ℓ
                
                  2
                
              
              
                u
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}}
  
，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式：

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              u
            
            
              d
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        u
        =
        −
        
          
            m
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
        
          
            d
            
              d
              u
            
          
        
        V
        (
        1
        
          /
        
        u
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)}
  
。


導引 如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。
為了簡化標記，設定 

  
    
      
        J
        (
        u
        )
        =
        −
        
          
            m
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
        
          
            d
            
              d
              u
            
          
        
        V
        (
        1
        
          /
        
        u
        )
        =
        −
        
          
            m
            
              
                ℓ
                
                  2
                
              
              
                u
                
                  2
                
              
            
          
        
        f
        (
        1
        
          /
        
        u
        )
      
    
    {\displaystyle J(u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}f(1/u)}
  
；(1)
其中，
  
    
      
        f
        (
        1
        
          /
        
        u
        )
      
    
    {\displaystyle f(1/u)}
  
是連心力函數。
則軌道方程式為

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              u
            
            
              d
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        u
        =
        J
        (
        u
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)}
  
。
如果要得到半徑為
  
    
      
        
          r
          
            0
          
        
        ≡
        
          
            1
            
              u
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{0}\equiv {\frac {1}{u_{0}}}}
  
的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為

  
    
      
        
          u
          
            0
          
        
        =
        J
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u_{0}=J(u_{0})}
  
。
思考對於標準圓形運動軌道的變數
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
的微擾
  
    
      
        η
        ≡
        u
        −
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta \equiv u-u_{0}}
  
，函數
  
    
      
        J
        (
        u
        )
      
    
    {\displaystyle J(u)}
  
在
  
    
      
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{0}}
  
的泰勒級數為

  
    
      
        J
        (
        u
        )
        ≈
        
          u
          
            0
          
        
        +
        η
        
          J
          
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          η
          
            2
          
        
        
          J
          
            ′
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        +
        
          
            1
            6
          
        
        
          η
          
            3
          
        
        
          J
          
            ′
            ′
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        +
        …
      
    
    {\displaystyle J(u)\approx u_{0}+\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})+\ldots }
  
。
將此展開示代入軌道方程式：

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              η
            
            
              d
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        η
        =
        η
        
          J
          
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          η
          
            2
          
        
        
          J
          
            ′
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        +
        
          
            1
            6
          
        
        
          η
          
            3
          
        
        
          J
          
            ′
            ′
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots }
  
。
設定常數
  
    
      
        
          β
          
            2
          
        
        ≡
        1
        −
        
          J
          
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \beta ^{2}\equiv 1-J^{\prime }(u_{0})}
  
（
  
    
      
        β
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \beta =0}
  
的解答為標準圓形運動軌道）：

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              η
            
            
              d
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          β
          
            2
          
        
        η
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          η
          
            2
          
        
        
          J
          
            ′
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        +
        
          
            1
            6
          
        
        
          η
          
            3
          
        
        
          J
          
            ′
            ′
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots }
  
。(2)
取至
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
的1次方：

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              η
            
            
              d
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          β
          
            2
          
        
        η
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta =0}
  
。

  
    
      
        
          β
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ^{2}}
  
必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為

  
    
      
        η
        (
        θ
        )
        =
        
          h
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        (
        β
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta )}
  
；
其中，振幅
  
    
      
        
          h
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{1}}
  
是個積分常數。
假若這軌道是閉合軌道，則
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
必須是有理數。繼續運算，從方程式(1)，取對於
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
的導數：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  J
                  
                    ′
                  
                
                (
                
                  u
                  
                    0
                  
                
                )
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    m
                    
                      ℓ
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    −
                    
                      
                        
                        
                          
                            
                              2
                              f
                              (
                              1
                              
                                /
                              
                              u
                              )
                            
                            
                              u
                              
                                3
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                      
                        
                          u
                          
                            0
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                        
                          
                            
                              1
                              
                                u
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                d
                                f
                                (
                                1
                                
                                  /
                                
                                u
                                )
                              
                              
                                d
                                u
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                      
                        
                          u
                          
                            0
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    
                    
                      
                        
                          2
                          J
                          (
                          u
                          )
                        
                        u
                      
                    
                    |
                  
                  
                    
                      u
                      
                        o
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      J
                      (
                      u
                      )
                    
                    
                      f
                      (
                      1
                      
                        /
                      
                      u
                      )
                    
                  
                
                
                  
                    
                    
                      
                        
                          d
                          f
                        
                        
                          d
                          u
                        
                      
                    
                    |
                  
                  
                    
                      u
                      
                        0
                      
                    
                  
                
                =
                −
                2
                +
                
                  
                    
                      u
                      
                        0
                      
                    
                    
                      f
                      (
                      1
                      
                        /
                      
                      
                        u
                        
                          0
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                
                  
                    
                    
                      
                        
                          d
                          f
                        
                        
                          d
                          u
                        
                      
                    
                    |
                  
                  
                    
                      u
                      
                        0
                      
                    
                  
                
                =
                1
                −
                
                  β
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}J^{\prime }(u_{0})&=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}\left(-\left.{\frac {2f(1/u)}{u^{3}}}\right|_{u_{0}}+\left.{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {df(1/u)}{du}}\right|_{u_{0}}\right)\\&=-\left.{\frac {2J(u)}{u}}\right|_{u_{o}}+{\frac {J(u)}{f(1/u)}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=-2+{\frac {u_{0}}{f(1/u_{0})}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=1-\beta ^{2}\\\end{aligned}}}
  
 。
這方程式對於任意
  
    
      
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{0}}
  
值都必須成立，因此可以將
  
    
      
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{0}}
  
認定為函數
  
    
      
        
          
            
            
              
                
                  d
                  f
                
                
                  d
                  u
                
              
            
            |
          
          
            
              u
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}}
  
的參數。用符號
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
來代替
  
    
      
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{0}}
  
，

  
    
      
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              u
            
          
        
        =
        −
        (
        
          β
          
            2
          
        
        −
        3
        )
        
          
            
              f
              (
              1
              
                /
              
              u
              )
            
            u
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {df}{du}}=-(\beta ^{2}-3){\frac {f(1/u)}{u}}}
  
。
將方程式的變數換回為
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
，

  
    
      
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              r
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              β
              
                2
              
            
            −
            3
          
          )
        
        
          
            f
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {df}{dr}}=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r}}}
  
。
這意味著作用力必須遵守冪定律：

  
    
      
        f
        (
        r
        )
        =
        −
        
          
            k
            
              r
              
                3
                −
                
                  β
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}}
  
。
代入方程式 (1) , 
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
的一般形式為

  
    
      
        J
        (
        u
        )
        =
        
          
            
              m
              k
            
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
        
          u
          
            1
            −
            
              β
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle J(u)={\frac {mk}{\ell ^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}}
  
。(3)
假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
函數的泰勒級數的更高次方項目），則可以用傅立葉級數來展開
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
：

  
    
      
        η
        (
        θ
        )
        =
        
          h
          
            0
          
        
        +
        
          h
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        (
        β
        θ
        )
        +
        
          h
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        (
        2
        β
        θ
        )
        +
        
          h
          
            3
          
        
        cos
        ⁡
        (
        3
        β
        θ
        )
        +
        …
      
    
    {\displaystyle \eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos(\beta \theta )+h_{2}\cos(2\beta \theta )+h_{3}\cos(3\beta \theta )+\ldots }
  
。
因為高頻率項目的係數太小，傅立葉級數只取至
  
    
      
        3
        β
      
    
    {\displaystyle 3\beta }
  
項目。方程式 (2)也只取至
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
的三次方。注意到
  
    
      
        
          h
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{0}}
  
與
  
    
      
        
          h
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{2}}
  
的數量級為
  
    
      
        
          h
          
            1
          
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle h_{1}^{2}\!}
  
，超小於
  
    
      
        
          h
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{1}}
  
；
  
    
      
        
          h
          
            3
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle h_{3},\!}
  
的數量級為
  
    
      
        
          h
          
            1
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{1}^{3}}
  
，超小於
  
    
      
        
          h
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{0}}
  
與
  
    
      
        
          h
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{2}}
  
。將上述傅立葉級數代入方程式 (2)，匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣，可以得到一系列方程式：

  
    
      
        
          h
          
            0
          
        
        =
        
          h
          
            1
          
          
            2
          
        
        
          
            
              
                J
                
                  ′
                  ′
                
              
              (
              
                u
                
                  0
                
              
              )
            
            
              4
              
                β
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{4\beta ^{2}}}}
  
，(4)

  
    
      
        0
        =
        (
        2
        
          h
          
            1
          
        
        
          h
          
            0
          
        
        +
        
          h
          
            1
          
        
        
          h
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                J
                
                  ′
                  ′
                
              
              (
              
                u
                
                  0
                
              
              )
            
            2
          
        
        +
        
          h
          
            1
          
          
            3
          
        
        
          
            
              
                J
                
                  ′
                  ′
                  ′
                
              
              (
              
                u
                
                  0
                
              
              )
            
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle 0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J^{\prime \prime \prime }(u_{0})}{8}}}
  
，(5)

  
    
      
        
          h
          
            2
          
        
        =
        −
        
          h
          
            1
          
          
            2
          
        
        
          
            
              
                J
                
                  ′
                  ′
                
              
              (
              
                u
                
                  0
                
              
              )
            
            
              12
              
                β
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{12\beta ^{2}}}}
  
。(6)
求
  
    
      
        J
        (
        u
        )
      
    
    {\displaystyle J(u)}
  
在
  
    
      
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{0}}
  
對於
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
的微分：

  
    
      
        
          J
          
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        =
        (
        1
        −
        
          β
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              m
              k
            
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
        
          u
          
            0
          
          
            −
            
              β
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
        −
        
          β
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle J^{\prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}}=1-\beta ^{2}}
  

  
    
      
        
          J
          
            ′
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        =
        (
        1
        −
        
          β
          
            2
          
        
        )
        (
        −
        
          β
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              m
              k
            
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
        
          u
          
            0
          
          
            −
            
              β
              
                2
              
            
            −
            1
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                β
                
                  2
                
              
              (
              1
              −
              
                β
                
                  2
                
              
              )
            
            
              u
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle J^{\prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-1}=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}}}
  
。(7)

  
    
      
        
          J
          
            ′
            ′
            ′
          
        
        (
        
          u
          
            0
          
        
        )
        =
        (
        1
        −
        
          β
          
            2
          
        
        )
        (
        −
        
          β
          
            2
          
        
        )
        (
        −
        
          β
          
            2
          
        
        −
        1
        )
        
          
            
              m
              k
            
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
        
          u
          
            0
          
          
            −
            
              β
              
                2
              
            
            −
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                β
                
                  2
                
              
              (
              1
              −
              
                β
                
                  2
                
              
              )
              (
              1
              +
              
                β
                
                  2
                
              
              )
            
            
              u
              
                0
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle J^{\prime \prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2})(-\beta ^{2}-1){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-2}={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}}
  
。(8)
將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：

  
    
      
        
          h
          
            0
          
        
        =
        −
        
          
            
              (
              1
              −
              
                β
                
                  2
                
              
              )
              
                h
                
                  1
                
                
                  2
                
              
            
            
              4
              
                u
                
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{0}=-{\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{4u_{0}}}}
  
，(9)

  
    
      
        
          h
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
              1
              −
              
                β
                
                  2
                
              
              )
              
                h
                
                  1
                
                
                  2
                
              
            
            
              12
              
                u
                
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{2}={\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{12u_{0}}}}
  
。(10)
再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果：

  
    
      
        
          β
          
            2
          
        
        (
        1
        −
        
          β
          
            2
          
        
        )
        (
        4
        −
        
          β
          
            2
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0}
  
。
解答
  
    
      
        β
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \beta =0}
  
是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 (
  
    
      
        β
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \beta =1}
  
)與徑向諧振子勢 (
  
    
      
        β
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \beta =2}
  
)能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。


平方反比力（克卜勒問題） 平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為 

  
    
      
        V
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              −
              k
            
            r
          
        
        =
        −
        k
        u
      
    
    {\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku}
  
。
處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              u
            
            
              d
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        u
        =
        −
        
          
            m
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
        
          
            d
            
              d
              u
            
          
        
        V
        (
        1
        
          /
        
        u
        )
        =
        
          
            
              k
              m
            
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)={\frac {km}{\ell ^{2}}}}
  
。
其解答為軌道函數
  
    
      
        u
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle u(\theta )}
  
： 

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              k
              m
            
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
        
          [
          
            1
            +
            e
            cos
            ⁡
            
              (
              
                θ
                −
                
                  θ
                  
                    0
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {km}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]}
  
；
其中，
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
是橢圓軌道的離心率，
  
    
      
        
          θ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{0}}
  
是相位差，是一個積分常數。
這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當
  
    
      
        e
        =
        0
      
    
    {\displaystyle e=0}
  
時，這軌道對應於圓形軌道；
當
  
    
      
        e
        <
        1
      
    
    {\displaystyle e<1}
  
時，這軌道是橢圓形軌道；當
  
    
      
        e
        =
        1
      
    
    {\displaystyle e=1}
  
時，這軌道是拋物線軌道；當
  
    
      
        e
        >
        1
      
    
    {\displaystyle e>1}
  
時，這軌道是雙曲線軌道。
離心率與粒子能量
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的關係為

  
    
      
        e
        =
        
          
            1
            +
            
              
                
                  2
                  E
                  
                    ℓ
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                  m
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{k^{2}m}}}}}
  
。
所以，當
  
    
      
        E
        =
        −
        
          
            
              
                k
                
                  2
                
              
              m
            
            
              2
              
                ℓ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2\ell ^{2}}}}
  
時，這軌道是圓形軌道；
當
  
    
      
        E
        <
        0
      
    
    {\displaystyle E<0}
  
時，這軌道是橢圓形軌道；當
  
    
      
        E
        =
        0
      
    
    {\displaystyle E=0}
  
時，這軌道是拋物線軌道；當
  
    
      
        E
        >
        0
      
    
    {\displaystyle E>0}
  
時，這軌道是雙曲線軌道。


徑向諧振子 為了方便解析這問題，採用直角坐標
  
    
      
        
          r
        
        =
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}
  
。勢能可以寫為

  
    
      
        V
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        k
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        k
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})}
  
。
處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
是

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        (
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                y
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                z
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        )
        +
        
          
            1
            2
          
        
        k
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})}
  
。
這粒子的拉格朗日方程式為

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              x
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          ω
          
            0
          
          
            2
          
        
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0}
  
、

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              y
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          ω
          
            0
          
          
            2
          
        
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0}
  
、

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              z
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          ω
          
            0
          
          
            2
          
        
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0}
  
；
其中，
  
    
      
        
          ω
          
            0
          
        
        =
        k
        
          /
        
        m
      
    
    {\displaystyle \omega _{0}=k/m}
  
是振動頻率。
常數
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為

  
    
      
        x
        =
        
          A
          
            x
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              ω
              
                0
              
            
            t
            +
            
              ϕ
              
                x
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x=A_{x}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{x}\right)}
  
、

  
    
      
        y
        =
        
          A
          
            y
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              ω
              
                0
              
            
            t
            +
            
              ϕ
              
                y
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle y=A_{y}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{y}\right)}
  
、

  
    
      
        z
        =
        
          A
          
            z
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              ω
              
                0
              
            
            t
            +
            
              ϕ
              
                z
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle z=A_{z}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{z}\right)}
  
；
其中，
  
    
      
        
          A
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{x}}
  
、
  
    
      
        
          A
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{y}}
  
、
  
    
      
        
          A
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{z}}
  
分別為x、y、z方向的振幅，
  
    
      
        
          ϕ
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{x}}
  
、
  
    
      
        
          ϕ
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{y}}
  
、
  
    
      
        
          ϕ
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{z}}
  
分別為其相位
由於上述方程式經過整整一周期
  
    
      
        T
        ≡
        
          2
          π
        
        
          /
        
        
          
            ω
            
              0
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T\equiv {2\pi }/{\omega _{0}}}
  
後，會重複自己，軌道解答
  
    
      
        
          r
        
        (
        t
        )
        =
        
          [
          
            x
            (
            t
            )
            ,
            y
            (
            y
            )
            ,
            z
            (
            t
            )
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left[x(t),y(y),z(t)\right]}
  
是閉合軌道。


牛頓旋轉軌道定理 牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力
  
    
      
        Δ
        F
        (
        r
        )
        =
        
          
            k
            
              r
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta F(r)={\frac {k}{r^{3}}}}
  
為

  
    
      
        Δ
        F
        (
        r
        )
        =
        
          
            
              L
              
                1
              
              
                2
              
            
            
              m
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              α
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Delta F(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-\alpha ^{2}\right)}
  
；
其中，
  
    
      
        
          ℓ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell _{1}}
  
是粒子原本的角動量，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
是粒子的質量。
所以，
  
    
      
        
          α
          
            2
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              m
              k
            
            
              ℓ
              
                1
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ^{2}=1-{\frac {mk}{\ell _{1}^{2}}}}
  
。 
由於
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是有理數，
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
可以寫為分數
  
    
      
        m
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle m/n}
  
；其中，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
和
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
圈公轉的時間等於原本完成
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。


參閱 二體問題
三體問題
克卜勒定律
牛頓旋轉軌道定理


參考文獻 Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
Grandati, Yves; Berard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics, August 2008, 76 (8): pp. 782–787  引文格式1维护：冗余文本 (link)
Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157  引文格式1维护：冗余文本 (link)
Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, April 2002, 70 (4): pp. 446–449  引文格式1维护：冗余文本 (link)