在物理学中，普朗克黑体辐射定律（英語：Planck's law，Blackbody radiation law，也简称作普朗克定律或黑体辐射定律）是指在任意温度
  
    
      
        T
        
      
    
    {\displaystyle T\,}
  
下，从一个黑体中发射出的电磁辐射的辐射率与频率彼此之間的关系。在这裏，辐射率是频率
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
的函数：

  
    
      
        
          I
          
            ν
          
        
        (
        ν
        ,
        T
        )
        =
        
          
            
              2
              h
              
                ν
                
                  3
                
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            1
            
              
                e
                
                  
                    
                      h
                      ν
                    
                    
                      k
                      T
                    
                  
                
              
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}
  
，
如果写成波长的函数，則辐射率为

  
    
      
        
          I
          
            λ
          
        
        (
        λ
        ,
        T
        )
        =
        
          
            
              2
              h
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              λ
              
                5
              
            
          
        
        
          
            1
            
              
                e
                
                  
                    
                      h
                      c
                    
                    
                      λ
                      k
                      T
                    
                  
                
              
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          I
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{\nu }}
  
或
  
    
      
        
          I
          
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{\lambda }}
  
是輻射率，
  
    
      
        ν
        
      
    
    {\displaystyle \nu \,}
  
是频率，
  
    
      
        λ
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \,}
  
是波长，
  
    
      
        T
        
      
    
    {\displaystyle T\,}
  
是黑体的温度，
  
    
      
        h
        
      
    
    {\displaystyle h\,}
  
是普朗克常数，
  
    
      
        c
        
      
    
    {\displaystyle c\,}
  
是光速，
  
    
      
        k
        
      
    
    {\displaystyle k\,}
  
是玻尔兹曼常数。
注意这两个函数具有不同的单位：第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率。因而
  
    
      
        
          I
          
            ν
          
        
        (
        ν
        ,
        T
        )
      
    
    {\displaystyle I_{\nu }(\nu ,T)}
  
和
  
    
      
        
          I
          
            λ
          
        
        (
        λ
        ,
        T
        )
      
    
    {\displaystyle I_{\lambda }(\lambda ,T)}
  
并不等价。它们之间存在有如下关系：

  
    
      
        
          I
          
            ν
          
        
        (
        ν
        ,
        T
        )
        
        d
        ν
        =
        −
        
          I
          
            λ
          
        
        (
        λ
        ,
        T
        )
        
        d
        λ
      
    
    {\displaystyle I_{\nu }(\nu ,T)\,d\nu =-I_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda }
  
。
通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换：

  
    
      
        d
        ν
        =
        d
        
          (
          
            
              c
              λ
            
          
          )
        
        =
        c
        
        d
        
          (
          
            
              1
              λ
            
          
          )
        
        =
        −
        
          
            c
            
              λ
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        λ
      
    
    {\displaystyle d\nu =d\left({\frac {c}{\lambda }}\right)=c\,d\left({\frac {1}{\lambda }}\right)=-{\frac {c}{\lambda ^{2}}}\,d\lambda }
  
。
在低頻率極限，普朗克定律趨於瑞利-金斯定律，而在高頻率極限，普朗克定律趨於維恩近似。
馬克斯·普朗克於1900年發展出普朗克定律，並從實驗結果計算出所涉及的常數。後來，他又展示，當表達為能量分布時，該分布是電磁輻射在熱力學平衡下的唯一穩定分布。當表達為能量分布時，該分布是熱力學平衡分布家族的成員之一，其它成員為玻色–愛因斯坦分布、費米–狄拉克分布、麦克斯韦-玻尔兹曼分布等等。


概述 电磁波波长和频率的关系为

  
    
      
        λ
        =
        
          
            c
            ν
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \lambda ={c \over \nu }.}
  

普朗克定律有时写做能量密度频谱的形式：

  
    
      
        
          u
          
            ν
          
        
        (
        ν
        ,
        T
        )
        =
        
          
            
              4
              π
            
            c
          
        
        
          I
          
            ν
          
        
        (
        ν
        ,
        T
        )
        =
        
          
            
              8
              π
              h
              
                ν
                
                  3
                
              
            
            
              c
              
                3
              
            
          
        
         
        
          
            1
            
              
                e
                
                  
                    
                      h
                      ν
                    
                    
                      k
                      T
                    
                  
                
              
              −
              1
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={4\pi  \over c}I_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},}
  

这是指单位频率在单位体积内的能量，单位是焦耳／（立方米·赫兹）。对全频域积分可得到与频率无关的能量密度。一个黑体的辐射场可以被看作是光子气体，此时的能量密度可由气体的热力学参数决定。
能量密度频谱也可写成波长的函数

  
    
      
        
          u
          
            λ
          
        
        (
        λ
        ,
        T
        )
        =
        
          
            
              8
              π
              h
              c
            
            
              λ
              
                5
              
            
          
        
        
          
            1
            
              
                e
                
                  
                    
                      h
                      c
                    
                    
                      λ
                      k
                      T
                    
                  
                
              
              −
              1
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1},}
  

下表中给出了函数中每一个物理量的意义和单位：


推导 下面的推导并非普朗克的原始推导（来源），需要用到电动力学、量子力学和统计力学的有关概念。
考虑一个充满了电磁辐射的边长为
  
    
      
        L
        
      
    
    {\displaystyle L\,}
  
的立方体：根据经典电动力学，在立方体壁表面的边界条件为电场的平行分量和磁场的垂直分量都为零。类似于处于束缚态的粒子的波函数，立方体内部的电磁场也是满足边界条件的周期性本征函数的线性叠加，在垂直于立方体壁表面的三个方向上各个本征函数的波长分别为
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1},}
  
 
  
    
      
        
          λ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{2}}
  
和
  
    
      
        
          λ
          
            3
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \lambda _{3},}
  

  
    
      
        
          λ
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              2
              L
            
            
              n
              
                i
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}
  

这里
  
    
      
        
          n
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{i}}
  
是非负整数。对于每一组
  
    
      
        
          n
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{i}}
  
值都有两个线性无关的解（两种不同的模）。根据量子力学中的谐振子理论，任意模式下的系统能级为

  
    
      
        
          E
          
            
              n
              
                1
              
            
            ,
            
              n
              
                2
              
            
            ,
            
              n
              
                3
              
            
          
        
        
          (
          r
          )
        
        =
        
          (
          
            r
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
        
          
            
              h
              c
            
            
              2
              L
            
          
        
        
          
            
              n
              
                1
              
              
                2
              
            
            +
            
              n
              
                2
              
              
                2
              
            
            +
            
              n
              
                3
              
              
                2
              
            
          
        
        .
        
        
          
            (1)
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n_{1},n_{2},n_{3}}\left(r\right)=\left(r+{\frac {1}{2}}\right){\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.\qquad {\mbox{(1)}}}
  

这里量子数
  
    
      
        r
        
      
    
    {\displaystyle r\,}
  
可看作是立方体中的光子数，而两种不同模式对应的是光子的两种偏振态。注意到当光子数为零时能级不为零，这种电磁场的真空能量是一种量子效应，是产生卡西米尔效应的原因。下面我们计算在温度
  
    
      
        T
        
      
    
    {\displaystyle T\,}
  
下光子数为零时系统处于真空状态下的内能。
根据统计力学，在特定模式下不同能级的概率分布由下式给出

  
    
      
        
          P
          
            r
          
        
        =
        
          
            
              e
              
                −
                β
                E
                
                  (
                  r
                  )
                
              
            
            
              Z
              
                (
                β
                )
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.}
  

这里

  
    
      
        β
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        1
        
          /
        
        
          (
          
            k
            T
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 1/\left(kT\right).}
  

分母
  
    
      
        Z
        (
        β
        )
        
      
    
    {\displaystyle Z(\beta )\,}
  
是系统在特定模式下的配分函数，它能够使概率分布
  
    
      
        
          P
          
            r
          
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{r}\,}
  
归一化。对正则系综有

  
    
      
        Z
        
          (
          β
          )
        
        =
        
          ∑
          
            r
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            β
            E
            
              (
              r
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              e
              
                −
                
                  
                    
                      β
                      ε
                    
                    2
                  
                
              
            
            
              1
              −
              
                e
                
                  −
                  β
                  ε
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-{\frac {\beta \varepsilon }{2}}}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}}.}
  

这里我们定义单个光子的能量为

  
    
      
        ε
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              h
              c
            
            
              2
              L
            
          
        
        
          
            
              n
              
                1
              
              
                2
              
            
            +
            
              n
              
                2
              
              
                2
              
            
            +
            
              n
              
                3
              
              
                2
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}},}
  

系统的平均能量和配分函数的关系为

  
    
      
        
          ⟨
          E
          ⟩
        
        =
        −
        
          
            
              d
              ln
              ⁡
              Z
            
            
              d
              β
            
          
        
        =
        
          
            ε
            2
          
        
        +
        
          
            ε
            
              
                e
                
                  β
                  ε
                
              
              −
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\ln Z}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}
  

这个公式是玻色-爱因斯坦统计的一个特例。由于光子是玻色子，任一能级对光子的数量没有限制，系统的化学势为零。
系统的总能量是平均能量
  
    
      
        
          ⟨
          E
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle E\right\rangle }
  
对所有可能的单光子态求和。考虑在热力学极限下，立方体边长
  
    
      
        L
        
      
    
    {\displaystyle L\,}
  
趋于无穷大，这时单光子能量
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
近似成为连续值，我们将平均能量
  
    
      
        
          ⟨
          E
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle E\right\rangle }
  
对单光子的连续能量积分就可以得到系统的总能量，这就需要我们首先确定在任意给定的能量范围内具有多少个光子态。假设处于能级
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
和
  
    
      
        ε
        +
        d
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon +d\varepsilon }
  
的单光子态总数为
  
    
      
        g
        (
        ε
        )
        
        d
        ε
      
    
    {\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon }
  
（这里
  
    
      
        g
        (
        ε
        )
      
    
    {\displaystyle g(\varepsilon )}
  
是所谓光子的能态密度，其具体表达式还需另行计算），则系统的总能量为

  
    
      
        U
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            ε
            
              
                e
                
                  β
                  ε
                
              
              −
              1
            
          
        
        g
        (
        ε
        )
        
        d
        ε
        .
        
        
          
            (2)
          
        
      
    
    {\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}g(\varepsilon )\,d\varepsilon .\qquad {\mbox{(2)}}}
  

为计算光子能态密度的表达式，我们将（1）式重写成

  
    
      
        ε
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              h
              c
            
            
              2
              L
            
          
        
        n
        ,
      
    
    {\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}n,}
  

这里
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
是矢量
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              n
              
                1
              
            
            ,
            
              n
              
                2
              
            
            ,
            
              n
              
                3
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}
  
的模

  
    
      
        n
        =
        
          
            
              n
              
                1
              
              
                2
              
            
            +
            
              n
              
                2
              
              
                2
              
            
            +
            
              n
              
                3
              
              
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle n={\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.}
  

每一个矢量都对应有两个光子态，换句话说，在给定的一个由矢量
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              n
              
                1
              
            
            ,
            
              n
              
                2
              
            
            ,
            
              n
              
                3
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}
  
构成的希尔伯特空间中的光子态总数是这个空间体积的2倍。一个微小的能量区间
  
    
      
        d
        ε
      
    
    {\displaystyle d\varepsilon }
  
对应着这个希尔伯特空间中一个薄球壳的厚度
  
    
      
        d
        n
        =
        (
        2
        L
        
          /
        
        h
        c
        )
        d
        ε
      
    
    {\displaystyle dn=(2L/hc)d\varepsilon }
  
。由于矢量
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}}
  
的分量不能为负值，能量区间实际上只能对应整个薄球壳总体积的1/8（这是因为矢量有三个分量，每一个分量都为正数时的概率为1/8）。因而在能量区间
  
    
      
        d
        ε
      
    
    {\displaystyle d\varepsilon }
  
上光子态总数
  
    
      
        g
        (
        ε
        )
        
        d
        ε
      
    
    {\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon }
  
为

  
    
      
        g
        (
        ε
        )
        
        d
        ε
        =
        2
        
          
            1
            8
          
        
        4
        π
        
          n
          
            2
          
        
        
        d
        n
        =
        
          
            
              8
              π
              
                L
                
                  3
                
              
            
            
              
                h
                
                  3
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          ε
          
            2
          
        
        
        d
        ε
        .
      
    
    {\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}
  

将这个表达式代入（2）式，得到

  
    
      
        U
        =
        
          L
          
            3
          
        
        
          
            
              8
              π
            
            
              
                h
                
                  3
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              ε
              
                3
              
            
            
              
                e
                
                  β
                  ε
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        ε
        .
        
        
          
            (3)
          
        
      
    
    {\displaystyle U=L^{3}{\frac {8\pi }{h^{3}c^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{3}}{e^{\beta \varepsilon }-1}}\,d\varepsilon .\qquad {\mbox{(3)}}}
  

注意到
  
    
      
        L
        
      
    
    {\displaystyle L\,}
  
的三次方是立方体体积，因此可直接得到能量密度的表达式，将它写成频率的频谱函数
  
    
      
        u
        (
        ν
        ,
        T
        )
      
    
    {\displaystyle u(\nu ,T)}
  

  
    
      
        
          
            U
            
              L
              
                3
              
            
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        u
        (
        ν
        ,
        T
        )
        
        d
        ν
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int _{0}^{\infty }u(\nu ,T)\,d\nu ,}
  

其中

  
    
      
        u
        (
        ν
        ,
        T
        )
        =
        
          
            
              8
              π
              h
              
                ν
                
                  3
                
              
            
            
              c
              
                3
              
            
          
        
        
          
            1
            
              
                e
                
                  h
                  ν
                  
                    /
                  
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle u(\nu ,T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}
  

这里
  
    
      
        u
        (
        ν
        ,
        T
        )
      
    
    {\displaystyle u(\nu ,T)}
  
即是黑体辐射的能量频谱密度，其意义为单位频率在单位体积内的能量。
如果写成波长的函数，

  
    
      
        
          
            U
            
              L
              
                3
              
            
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        u
        (
        λ
        ,
        T
        )
        
        d
        λ
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int _{0}^{\infty }u(\lambda ,T)\,d\lambda ,}
  

其中

  
    
      
        u
        (
        λ
        ,
        T
        )
        =
        
          
            
              8
              π
              h
              c
            
            
              λ
              
                5
              
            
          
        
        
          
            1
            
              
                e
                
                  h
                  c
                  
                    /
                  
                  λ
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle u(\lambda ,T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}
  

这是黑体辐射的能量密度频谱的另一种形式，其意义为单位波长在单位体积内的能量。在玻色或费米气体情形下对这一函数积分需要用到多对数函数展开。但这里可以用初等函数的办法得到一个近似形式，数学上做代换

  
    
      
        ε
        =
        k
        T
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle \varepsilon =kTx,}
  

积分变量从而可写成如下形式

  
    
      
        u
        (
        T
        )
        =
        
          
            
              8
              π
              (
              k
              T
              
                )
                
                  4
                
              
            
            
              (
              h
              c
              
                )
                
                  3
                
              
            
          
        
        J
        ,
      
    
    {\displaystyle u(T)={\frac {8\pi (kT)^{4}}{(hc)^{3}}}J,}
  

其中
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
的表达式为

  
    
      
        J
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            
              π
              
                4
              
            
            15
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle J=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}.}
  

这一积分结果将后文附录中做说明。因而得到立方体中电磁场的总能量为

  
    
      
        
          
            U
            V
          
        
        =
        
          
            
              8
              
                π
                
                  5
                
              
              (
              k
              T
              
                )
                
                  4
                
              
            
            
              15
              (
              h
              c
              
                )
                
                  3
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {U \over V}={\frac {8\pi ^{5}(kT)^{4}}{15(hc)^{3}}},}
  

其中
  
    
      
        V
        =
        
          L
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle V=L^{3}\,}
  
是立方体体积（注意：这个表达式不是斯特藩-玻尔兹曼定律，它的含义并不是理想黑体在单位时间内从单位表面积辐射出的总能量，参见斯特藩-玻尔兹曼定律条目）。由于辐射各向同性，并且以光速传播，能量的辐射率（单位时间单位立体角所对应辐射行进截面积及单位频率下辐射的能量）为

  
    
      
        I
        (
        ν
        ,
        T
        )
        =
        
          
            
              u
              (
              ν
              ,
              T
              )
              
              c
            
            
              4
              π
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {u(\nu ,T)\,c}{4\pi }},}
  

从而得到普朗克黑体辐射定律

  
    
      
        I
        (
        ν
        ,
        T
        )
        =
        
          
            
              2
              h
              
                ν
                
                  3
                
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
         
        
          
            1
            
              
                e
                
                  h
                  ν
                  
                    /
                  
                  k
                  T
                
              
              −
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}.}
  


历史 马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾变”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机，参见后文叙述）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率
  
    
      
        ν
        
      
    
    {\displaystyle \nu \,}
  
有关，并且和频率
  
    
      
        ν
        
      
    
    {\displaystyle \nu \,}
  
成正比。

  
    
      
        E
        =
        h
        ν
        .
        
      
    
    {\displaystyle E=h\nu .\,}
  

这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。
很多有关量子理论的大众科普读物，甚至某些物理学课本，在讨论普朗克黑体辐射定律的历史时都犯了严重的错误。尽管这些错误概念在四十多年前就已经被物理学史的研究者们指出，事实证明它们依然难以被消除。部分原因可能在于，普朗克最初量子化能量的动机并不是能用三言两语就能够道清的，这里面的原因在现代人看来相当复杂，因而不易被外人所理解。丹麦物理学家Helge Kragh曾发表过一篇文章清晰地阐述了这种错误是如何发生的。

首先是尽管普朗克给出了量子化的电磁波能量表达式，普朗克并没有将电磁波量子化，这在他1901年的论文以及这篇论文对他早先文献的引用中就可以看到。他还在他的著作《热辐射理论》（Theory of Heat Radiation）中平淡无奇地解释说量子化公式中的普朗克常数（现代量子力学中的基本常数）只是一个适用于赫兹振荡器的普通常数。真正从理论上提出光量子的第一人是于1905年成功解释光电效应的爱因斯坦，他假设电磁波本身就带有量子化的能量，携带这些量子化的能量的最小单位叫光量子。1924年萨特延德拉·纳特·玻色发展了光子的统计力学，从而在理论上推导了普朗克定律的表达式。
另一错误概念是，普朗克发展这一定律的动机并不是试图解决“紫外灾变”。“紫外灾变”这一名称是保罗·埃伦费斯特于1911年提出的，从时间上看这比普朗克定律的提出要晚十年之久。紫外灾变是指将经典统计力学的能量均分定理应用于一个空腔中的黑体辐射（又叫做空室辐射或具空腔辐射）时，系统的总能量在紫外区域将变得发散并趋于无穷大，这显然与实际不符。普朗克本人从未认为能量均分定理永远成立，从而他根本没有觉察到在黑体辐射中有任何“灾变”存在——不过仅仅过了五年之后，这一问题随着爱因斯坦、瑞利勋爵和金斯爵士的发现而就变得尖锐起来。


附录 有一个简便方法计算下面的积分

  
    
      
        J
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle J=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}
  

我们可以首先用
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{n}\,}
  
替换式中的
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}\,}
  
，计算一般形式下的积分

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  n
                
              
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
            
              1
              −
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}-1}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}e^{-x}}{1-e^{-x}}}\,dx}
  

由于分母总是小于1，我们可以将它按
  
    
      
        
          e
          
            −
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-x}}
  
展开写成收敛的几何级数

  
    
      
        
          
            1
            
              1
              −
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            k
            x
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-kx}.}
  

这就是几何级数的求和公式。等号左边的表达式正是右边的
  
    
      
        1
        +
        
          e
          
            −
            x
          
        
        +
        
          e
          
            −
            2
            x
          
        
        +
        
          e
          
            −
            3
            x
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle 1+e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+\cdots .}
  
求和结果，右边的几何级数公比为
  
    
      
        
          e
          
            −
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-x}}
  
.
从而得到

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            x
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            k
            x
          
        
        
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }e^{-kx}\,dx.}
  

表达式乘以
  
    
      
        
          e
          
            −
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-x}}
  
后相当于将
  
    
      
        
          e
          
            −
            x
          
        
        +
        
          e
          
            −
            2
            x
          
        
        +
        
          e
          
            −
            3
            x
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+\cdots }
  
变成
  
    
      
        
          e
          
            −
            2
            x
          
        
        +
        
          e
          
            −
            3
            x
          
        
        +
        
          e
          
            −
            4
            x
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+\cdots }
  
，因而我们将求和符号中的序号加1，并消去原先的
  
    
      
        
          e
          
            −
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-x}}
  
:

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            k
            x
          
        
        
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}\sum _{k=1}^{\infty }e^{-kx}\,dx.}
  

通过变量替换
  
    
      
        u
        =
        k
        x
      
    
    {\displaystyle u=kx}
  
，我们得到
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              u
              
                n
              
            
            
              k
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{n}={\frac {u^{n}}{k^{n}}}}
  
以及
  
    
      
        d
        x
        =
        
          
            
              d
              u
            
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle dx={\frac {du}{k}}}
  
，积分式进一步写成

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              u
              
                n
              
            
            
              k
              
                n
              
            
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            u
          
        
        
          
            
              d
              u
            
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{k^{n}}}\sum _{k=1}^{\infty }e^{-u}{\frac {du}{k}}}
  

即

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          u
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              k
              
                n
                +
                1
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            u
          
        
        d
        u
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }u^{n}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n+1}}}e^{-u}du.}
  

形如上式的积分是收敛的，我们将求和的部分移到积分之外：

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              k
              
                n
                +
                1
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          u
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            u
          
        
        
        d
        u
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du.}
  

前面的求和系数正是黎曼ζ函数
  
    
      
        ζ
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (n+1)}
  
，而后面的积分正是Γ函数
  
    
      
        Γ
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma (n+1)}
  
。从而我们得到一个一般的关系式：

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
        =
        ζ
        (
        n
        +
        1
        )
        Γ
        
          
            (
            
              n
              +
              1
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}-1}}\,dx=\zeta (n+1)\Gamma {\left(n+1\right)}.}
  

或等价为

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
                −
                1
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
        =
        ζ
        
          
            (
            n
            )
          
        
        Γ
        
          
            (
            n
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}-1}}\,dx=\zeta {\left(n\right)}\Gamma {\left(n\right)}.}
  

对于我们所需要的积分，积分式的分子为
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}}
  
，因此代入上面等式中得到

  
    
      
        J
        =
        ζ
        
          
            (
            4
            )
          
        
        Γ
        
          
            (
            4
            )
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                4
              
            
            90
          
        
        ×
        6
        =
        
          
            
              π
              
                4
              
            
            15
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle J=\zeta {\left(4\right)}\Gamma {\left(4\right)}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\times 6={\frac {\pi ^{4}}{15}}.}
  

这里我们用到了

  
    
      
        ζ
        
          
            (
            4
            )
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                4
              
            
          
        
        =
        
          π
          
            4
          
        
        
          /
        
        90
      
    
    {\displaystyle \zeta {\left(4\right)}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}=\pi ^{4}/90}
  

和
  
    
      
        Γ
        (
        n
        +
        1
        )
        =
        n
        !
      
    
    {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}
  
。（参见黎曼ζ函数和Γ函数的有关性质）。


参考文献 目錄 参见 黑体 (热力学)
维恩位移定律
维恩近似
瑞利-金斯定律
盒中氣體


延伸阅读 Peter C. Milonni. The Quantum Vacuum. Academic Press. 1994. 


外部链接 Summary of Radiation
Radiation of a Blackbody - interactive simulation to play with Planck's law
Scienceworld entry on Planck's Law