在微分几何中，一个曲面 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 的平均曲率（mean curvature）
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
，是一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。
这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。


定义 令 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 是曲面 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 上一点，考虑 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 上过 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 的所有曲线 
  
    
      
        
          C
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{i}}
  
。每条这样的 
  
    
      
        
          C
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{i}}
  
 在 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 点有一个伴随的曲率 
  
    
      
        
          K
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{i}}
  
。在这些曲率 
  
    
      
        
          K
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{i}}
  
 中，至少有一个极大值 
  
    
      
        
          κ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa _{1}}
  
 与极小值 
  
    
      
        
          κ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa _{2}}
  
，这两个曲率 
  
    
      
        
          κ
          
            1
          
        
        ,
        
          κ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}
  
 称为 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 的主曲率。

  
    
      
        p
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle p\in S}
  
 的平均曲率是两个主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999，第3卷，第2章)，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。

  
    
      
        H
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          κ
          
            1
          
        
        +
        
          κ
          
            2
          
        
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .}
  

利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

  
    
      
        H
        =
        
          
            
              L
              G
              −
              2
              M
              F
              +
              N
              E
            
            
              2
              (
              E
              G
              −
              
                F
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}\ ,}
  

这里 
  
    
      
        E
        ,
        F
        ,
        G
      
    
    {\displaystyle E,F,G}
  
 是第一基本形式的系数，
  
    
      
        L
        ,
        M
        ,
        N
      
    
    {\displaystyle L,M,N}
  
 为第二基本形式的系数。
平均曲率可推广为更一般情形 (斯皮瓦克 1999，第4卷，第7章)，一个超曲面 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 的平均曲率为：

  
    
      
        H
        =
        
          
            1
            n
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          κ
          
            i
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}\ .}
  

更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 
  
    
      
        ×
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \times {\frac {1}{n}}}
  
。
另外，平均曲率 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 可以用共变导数 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  
 写成 

  
    
      
        H
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        =
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
          ∇
          
            i
          
        
        
          ∇
          
            j
          
        
        X
         
        ,
      
    
    {\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X\ ,}
  

这里利用了高斯-Weingarten 关系，
  
    
      
        X
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle X(x,t)}
  
 是一族光滑嵌入超曲面，
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}}
  
 为单位法向量，而 
  
    
      
        
          g
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{ij}}
  
 是度量张量。
一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。  
有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的迹（而並未
  
    
      
        ×
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \times {\frac {1}{n}}}
  
）。然而，這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。


= 3 维空间中曲面 =
对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

  
    
      
        2
        H
        =
        ∇
        ⋅
        
          
            
              n
              ^
            
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle 2H=\nabla \cdot {\hat {n}}\ ,}
  

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。
对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 
  
    
      
        z
        =
        S
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle z=S(x,y)}
  
，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

  
    
      
        
          
            
              
                2
                H
              
              
                
                =
                ∇
                ⋅
                
                  [
                  
                    
                      
                        ∇
                        (
                        S
                        −
                        z
                        )
                      
                      
                        
                          |
                        
                        ∇
                        (
                        S
                        −
                        z
                        )
                        
                          |
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
              
            
            
              
              
                
                =
                ∇
                ⋅
                
                  [
                  
                    
                      
                        ∇
                        S
                      
                      
                        1
                        +
                        (
                        ∇
                        S
                        
                          )
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        [
                        
                          1
                          +
                          
                            
                              (
                              
                                
                                  
                                    ∂
                                    S
                                  
                                  
                                    ∂
                                    x
                                  
                                
                              
                              )
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                        ]
                      
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                              
                                2
                              
                            
                            S
                          
                          
                            ∂
                            
                              y
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                      −
                      2
                      
                        
                          
                            ∂
                            S
                          
                          
                            ∂
                            x
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            ∂
                            S
                          
                          
                            ∂
                            y
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                              
                                2
                              
                            
                            S
                          
                          
                            ∂
                            x
                            ∂
                            y
                          
                        
                      
                      +
                      
                        [
                        
                          1
                          +
                          
                            
                              (
                              
                                
                                  
                                    ∂
                                    S
                                  
                                  
                                    ∂
                                    y
                                  
                                
                              
                              )
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                        ]
                      
                      
                        
                          
                            
                              ∂
                              
                                2
                              
                            
                            S
                          
                          
                            ∂
                            
                              x
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        [
                        
                          1
                          +
                          
                            
                              (
                              
                                
                                  
                                    ∂
                                    S
                                  
                                  
                                    ∂
                                    x
                                  
                                
                              
                              )
                            
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            
                              (
                              
                                
                                  
                                    ∂
                                    S
                                  
                                  
                                    ∂
                                    y
                                  
                                
                              
                              )
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                        ]
                      
                      
                        
                          3
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}2H&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla (S-z)}{|\nabla (S-z)|}}\right]\\&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla S}{\sqrt {1+(\nabla S)^{2}}}}\right]\\&={\frac {\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}}
  

如果曲面还是轴对称的，满足 
  
    
      
        z
        =
        S
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle z=S(r)}
  
，则

  
    
      
        2
        H
        =
        
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                S
              
              
                ∂
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                [
                
                  1
                  +
                  
                    
                      (
                      
                        
                          
                            ∂
                            S
                          
                          
                            ∂
                            r
                          
                        
                      
                      )
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                ]
              
              
                
                  3
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                S
              
              
                ∂
                r
              
            
            
              r
              
                
                  [
                  
                    1
                    +
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              ∂
                              S
                            
                            
                              ∂
                              r
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  ]
                
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
         
      
    
    {\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\frac {\partial S}{\partial r}}{r\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\ }
  


流体力学 在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

  
    
      
        
          H
          
            f
          
        
        =
        (
        
          κ
          
            1
          
        
        +
        
          κ
          
            2
          
        
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .}
  

这出现于楊-拉普拉斯公式中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 
  
    
      
        
          H
          
            f
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{f}}
  
；两个曲率等于小滴半径的倒数 
  
    
      
        
          κ
          
            1
          
        
        =
        
          κ
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}}
  
。


极小曲面 一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与Enneper 曲面。新近发现的包括Costa极小曲面（1982年）与Gyroid（1970年）。
极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente在1986年曾构造出这样的自交环面(陈维桓 2006，4.6节)。


参见 高斯曲率
平均曲率流
逆平均曲率流
面积公式第一变分


注释 参考文献 斯皮瓦克, 迈克尔, A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) .
陈维桓, 微分几何, 北京大学出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9