在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 中的某个区域 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
 上的泊松方程

  
    
      
        Δ
        u
        +
        f
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \Delta u+f=0\,}
  

满足边界条件

在 
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
  
 上 
  
    
      
        u
        =
        g
        
      
    
    {\displaystyle u=g\,}
  

的解 u(x) 的刻画。原理说明，u(x) 是使得狄利克雷势能

  
    
      
        E
        [
        v
        ]
        =
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              |
            
            ∇
            v
            
              
                |
              
              
                2
              
            
            −
            v
            f
          
          )
        
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}
  

最小的几乎处处二次可导，并且在边界 
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
  
 上满足 
  
    
      
        v
        =
        g
      
    
    {\displaystyle v=g}
  
 的函数 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
（如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话）。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷。
由于以上的狄利克雷积分是下有界的，因此必然存在一个下确界。黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到，直到魏尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。


证明 以下给出 
  
    
      
        g
        =
        0
      
    
    {\displaystyle g=0}
  
 时的证明。假设 u 是使得

  
    
      
        E
        [
        v
        ]
        =
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              |
            
            ∇
            v
            
              
                |
              
              
                2
              
            
            −
            v
            f
          
          )
        
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}
  

最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
  
上满足
  
    
      
        v
        =
        0
      
    
    {\displaystyle v=0}
  
的函数
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
，那么对于任意一个满足边界条件的函数 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
，任意正实数
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
都有：

  
    
      
        E
        [
        u
        +
        ε
        w
        ]
        =
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              |
            
            ∇
            u
            +
            ε
            ∇
            w
            
              
                |
              
              
                2
              
            
            −
            u
            f
            −
            ε
            w
            f
          
          )
        
        
        
          d
        
        x
        ⩾
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              |
            
            ∇
            u
            
              
                |
              
              
                2
              
            
            −
            u
            f
          
          )
        
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle E[u+\varepsilon w]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u+\varepsilon \nabla w|^{2}-uf-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant \int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}-uf\right)\,\mathrm {d} x}
  

即

  
    
      
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          (
          
            ε
            ∇
            u
            ⋅
            ∇
            w
            +
            
              
                1
                2
              
            
            
              ε
              
                2
              
            
            
              |
            
            ∇
            w
            
              
                |
              
              
                2
              
            
            −
            ε
            w
            f
          
          )
        
        
        
          d
        
        x
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle \int _{\Omega }\left(\varepsilon \nabla u\cdot \nabla w+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}|\nabla w|^{2}-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant 0}
  

上式左侧是一个关于
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
的二次多项式，并且在 
  
    
      
        ε
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \varepsilon =0}
  
 的时候取到最小值，所以有：

  
    
      
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          (
          
            ∇
            u
            ⋅
            ∇
            w
            −
            w
            f
          
          )
        
        
        
          d
        
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \int _{\Omega }\left(\nabla u\cdot \nabla w-wf\right)\,\mathrm {d} x=0}
  

另一方面，由于函数 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
 满足边界条件，即在 
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
  
 上满足 
  
    
      
        w
        =
        0
      
    
    {\displaystyle w=0}
  
，因此有：

  
    
      
        
          
            
              
                0
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    ∂
                    Ω
                  
                
                w
                
                  (
                  
                    ∇
                    u
                    ⋅
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
                
                
                  d
                
                σ
                =
                
                  ∫
                  
                    Ω
                  
                
                div
                ⁡
                
                  (
                  
                    w
                    ⋅
                    ∇
                    u
                  
                  )
                
                
                
                  d
                
                x
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    Ω
                  
                
                
                  (
                  
                    w
                    Δ
                    u
                    +
                    ∇
                    u
                    ⋅
                    ∇
                    w
                  
                  )
                
                
                
                  d
                
                x
                =
                
                  ∫
                  
                    Ω
                  
                
                w
                
                  (
                  
                    Δ
                    u
                    +
                    f
                  
                  )
                
                
                
                  d
                
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\partial \Omega }w\left(\nabla u\cdot \mathbf {n} \right)\,\mathrm {d} \sigma =\int _{\Omega }\operatorname {div} \left(w\cdot \nabla u\right)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }\left(w\Delta u+\nabla u\cdot \nabla w\right)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }w\left(\Delta u+f\right)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}
  

这个结果对所有满足边界条件的函数 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
 都成立，因此根据變分法基本引理，可以得到
  
    
      
        Δ
        u
        +
        f
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta u+f=0}
  


参见 普拉托问题
格林第一公式


参考来源