向量（vector，在中国大陆物理、工程领域通称矢量），是同时具有数值和方向，且满足平行四边形法则的几何對象。向量是数学、物理学和工程科学等多个自然科學領域中的基本概念。
理论数学中對向量的定义为任何在稱為向量空间的代數結構中的元素。向量常常以符号與箭头共同标示以作為区别。与向量相对的概念称為纯量。
一些物理量雖然具有方向性，但只能使用算術加法，不符合向量加法，所以不是向量，如角移、電壓及電流。


不同学科中的向量 = 数学 =
在线性代数中，向量經常采用更抽象的向量空间（线性空间）来定义，向量是向量空间中的基本构成元素。
向量空间是基于物理学或几何学中的空间概念，依其代數性質所形成的抽象概念。向量空間相伴的純量未必是實數，也可以是複數等域。欧几里得空间便是向量空间的一种。
向量空间中的元素就可被称为向量。除歐幾里德向量外，也存在一般的向量空間，例如所有次數不大於3的複係數多項式的集合、所有6×6實對稱矩陣的集合、區間[0, 1]上的所有實值連續函數的集合、所有收斂於0的複數數列的集合等。


= 物理学与工程学 =
向量可以描述许多常见的物理量，如运动学中的位移、速度、加速度，力学中的力、力矩，电磁学中的电流密度、磁矩、电磁波等等。
物理学和一般的几何学中涉及的向量概念严格意义上应当被称为欧几里得向量或几何向量。定义具有物理意义上的數值和方向的向量概念则需引进定义范数和内积的欧几里得空间。


 固定向量  在一些上下文中，尤其在物理学领域，有些向量会与起点有关（如一个力与其的作用点有关，质点运动速度与该质点的位置有关），因而假设向量有确定的起点和终点，当起点和终点改变后，构成的向量不再是原来的向量。这样的向量也被称为固定向量。例子之一是运动学中常见的物理量位置向量。


 自由向量  在特定情境下，因為向量的共同性質皆具有數值和方向，引此向量的起点和终点變得未必如此重要。两个起点不一样的向量，只要數值相等，方向相同，就可以称为是同一个向量。这样的向量被称为自由向量。在数学中，一般只研究自由向量，并且数学中所指的向量就是指自由向量。也就是只要數值以及方向一樣，即可視為同一向量，與向量的起始點並無關係。一些文献中会提到向量空间带有一个特定的原点，这时可能会默认向量的起点是原点。


表示方法 = 形式表示 =
符号形式实际上只是对向量规定的一个概念化代号。向量在包括数学和物理等诸多领域均被广泛采用，优点是简洁明瞭，缺点則是高度抽象化，既缺少几何形象性，又缺少定量精确性。


 带箭头字母  数学上的向量通常可用加向右箭头的小写字母表示，如
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
, 
  
    
      
        
          
            
              i
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {i}}}
  
, 
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
。有时也有用加箭头的大写字母表示数学量，如微积分中的面积元
  
    
      
        d
        
          
            
              S
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d{\vec {S}}}
  
。给定两点
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
时，也可确定一固定向量：如确定一个始于点从
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
终于点
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的向量，符号表示为：
  
    
      
        
          
            
              
                A
                B
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {AB}}}
  
，此符號廣泛運用於手寫標示。
在表示物理学上的矢量也可用加箭头的小写字母表示，如速度
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
、摩擦力
  
    
      
        
          
            
              f
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {f}}}
  
、动量
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}}
  
。
物理学还有许多物理量以含有箭头的大写字母表示，如电场
  
    
      
        
          
            
              E
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {E}}}
  
、磁场
  
    
      
        
          
            
              H
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {H}}}
  
、力
  
    
      
        
          
            
              F
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {F}}}
  
。


 粗体字母  向量也可用粗体小写字母表示，如
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
，许多書本会采用此种记法，但缺点是區分粗體字有時不容易，例如 
  
    
      
        
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \!\mathrm {D} }
  
和 
  
    
      
        
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \!\mathbf {D} }
  
肉眼看易混淆。


= 几何表示 =
直观上，向量通常被标示为一个带箭头的有向线段。线段的长度表示向量的大小（或称模长），向量的方向即箭头所指的方向，可以記為
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
。该种表示的优点是具有强烈的几何直观形象性，缺点是在纸面上作图繁琐，不便定量分析。

而遇到某些特殊情况（如表示磁场的磁通量密度）需要表示与记载纸面垂直的向量，则会使用圆圈中打叉或打点的方式来表示（如右图）。圆圈中带点的记号（⊙）表示由纸下方指向纸上方的向量，而圆圈中带叉的记号（⊗）则表示由纸的上方指向纸下方的向量。由于这种记号不表示向量的大小，所以必须时需要在旁边或其它地方另外注明。


= 代数表示 =

代数表示指在指定了一个坐标系之后，用一个向量在该坐标系下的坐标来表示该向量，兼具了符号的抽象性和几何形象性，因而具有最高的实用性，被广泛采用于需要定量分析的情形。
对于自由向量，将向量的起点平移到坐标原点后，向量就可以用一个坐标系下的一个点来表示，该点的坐标值即向量的终点坐标。
设有一向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
，有坐标系
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
。在
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
中定义好若干个特殊的基本向量（称为基向量，各个基向量共同组成该坐标系下的基底）
  
    
      
        
          
            
              
                e
                
                  1
                
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e_{1}}}}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                e
                
                  2
                
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e_{2}}}}
  
，...，
  
    
      
        
          
            
              
                e
                
                  n
                
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e_{n}}}}
  
之后，则向量在各个基方向的投影值即为对应的坐标值，各个投影值组成的有序数组，稱為该向量在坐标系
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
的坐标，是向量的唯一表示，即与向量的终点一一对应。换言之，其它的向量只需通过将这些基本向量拉伸后再按照平行四边形法则进行向量加法即可表示（通常被称为“用基底线性表出一个向量”，即该向量是基向量的某种线性组合），即：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          
            
              
                e
                
                  1
                
              
              →
            
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          
            
              
                e
                
                  n
                
              
              →
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\vec {e_{1}}}+...+a_{n}{\vec {e_{n}}},}
  

其中
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  
, ..., 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  
分别为
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
在
  
    
      
        
          
            
              
                e
                
                  1
                
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e_{1}}}}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                e
                
                  n
                
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e_{n}}}}
  
方向的投影。当基底已知，可直接省略各基向量的符号，类似于坐标系上的点，直接用坐标表示为：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})}
  

在矩阵运算中，更常將向量写成类似于矩阵的列向量或行向量。在线性代数中所指的向量，通常默认为列向量。如一个向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}=(a,b,c)}
  
，可写成：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          a
                        
                      
                      
                        
                          b
                        
                      
                      
                        
                          c
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
                ,
              
            
            
              
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
                [
                a
                 
                b
                 
                c
                ]
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\vec {a}}&=&{\begin{bmatrix}a\\b\\c\\\end{bmatrix}},\\{\vec {a}}&=&[a\ b\ c].\end{array}}}
  

其中，上者为列向量写法，下者为行向量写法；此处採中国大陆定义。
值得注意的是：

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维列向量可视作
  
    
      
        
          n
        
        ×
        1
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} \times 1}
  
矩阵，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维行向量可视作
  
    
      
        1
        ×
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle 1\times \mathbf {n} }
  
矩阵。
在中国，横向的元素组称為「行」，纵向的称為「列」，而在臺灣則相反，横向称為「列」，纵向称為「行」。详见矩阵。
对于由两个点确定的向量，同样可以用坐标进行表示，详见向量運算。
在常见的三维空间直角坐标系Oxyz里，基本向量就是以横轴（Ox）、竖轴（Oy）以及纵轴（Oz）为方向的三个长度为1的单位向量
  
    
      
        
          
            
              i
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {i}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              j
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {j}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              k
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {k}}}
  
。这三个向量取好以后，其它的向量就可以透過三元数组来表示，因為他們可以表示成一定倍数的三個基本向量的總和。比如说一个标示为（2,1,3）的向量就是2个向量
  
    
      
        
          
            
              i
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {i}}}
  
加上1个向量
  
    
      
        
          
            
              j
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {j}}}
  
加上3个向量
  
    
      
        
          
            
              k
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {k}}}
  
得到的向量，即：

  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
        =
        a
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        b
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        +
        c
        
          
            
              k
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)=a{\vec {i}}+b{\vec {j}}+c{\vec {k}}}
  


特殊向量 类似于數字中的1（单位元）、相反数（加法逆元）、0（加法单位元），向量中有单位向量（单位元）、反向量（加法逆元）、零向量（加法单位元）、等概念量。此外，还有方向向量、相等向量等概念。


= 单位向量 =
对于任意向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
，不论方向如何，若其數值为单位长度，则称其为
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
方向上的单位向量（Unit vector）。单位向量通常被记为
  
    
      
        
          
            
              u
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {u}}}
  
。
特殊地，三维笛卡尔坐标系上的三个基向量
  
    
      
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        =
        (
        1
        ,
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {i}}=(1,0,0)}
  
，
  
    
      
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        =
        (
        0
        ,
        1
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {j}}=(0,1,0)}
  
，
  
    
      
        
          
            
              k
              →
            
          
        
        =
        (
        0
        ,
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {k}}=(0,0,1)}
  
都是单位向量。


= 反向量 =
一個向量
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
的反向量（Opposite vector）與它大小相等，但方向相反，一般記作
  
    
      
        −
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\vec {v}}}
  
。如果向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
是向量
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的反向量，那麼
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
也是
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
的反向量。
另外，向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
的反向量也可按如下定义：


= 零向量 =
始點與終點重合，即大小为0的向量，被称为零向量（Zero vector），记以数字0上加箭头，即
  
    
      
        
          
            
              0
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {0}}}
  
。有时亦可以用粗体的0表示，如
  
    
      
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {0} }
  
。在坐标表示下，不论含有多少分量，不论指向任何方向，若所有的分量均为0的向量即为零向量。关于零向量有两点值得一提：

零向量依旧具有方向性，但方向不定。。因此，零向量與任一向量平行。
零向量不等于数量0，它们是两种性质完全不同的对象，即
  
    
      
        
          
            
              0
              →
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\vec {0}}\neq 0}
  
。
零向量可以如下进行形式化定义：


= 等向量 =
不论起点终点，兩向量長度、方向相等，即為等向量或相等向量（Identical vector）。
对于任意向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
，若其一个相等向量为
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
，则对
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
和数字-1进行係數積运算后得到的向量
  
    
      
        −
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\vec {b}}}
  
即
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
的反向量。
另外，类似于反向量的定义，向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
等向量也可按如下定义：


= 方向向量 =
方向向量（Directional vector）的形式化定义如下：

一般地，所有方向相同的向量之间互为方向向量。


向量的性质 = 有向線段 =

有向線段的概念建構於向量的方向與長度，差別在於多定義了始點與終點。在文字描述時，如果已知某有向線段的始点和終點分别是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，则此線段的長度称为线段的模或绝对值，可以記為
  
    
      
        
          |
        
        
          
            
              
                A
                B
              
              →
            
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |{\vec {AB}}|}
  
，即
  
    
      
        
          |
        
        
          
            
              
                A
                B
              
              →
            
          
        
        
          |
        
        =
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle |{\vec {AB}}|={\overline {AB}}}
  
，此线段带有正负号的模称为有向线段的数量，可以记为
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
  
，此时
  
    
      
        A
        B
        =
        −
        B
        A
      
    
    {\displaystyle AB=-BA}
  
。


= 大小 =

向量的大小（Magnitude）也称模长、长度。几何上，当确定了单位长度后作图所得的向量的长度，即为向量的大小，记作
  
    
      
        
          |
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|{\vec {v}}\right|}
  
。在有限维赋范线性空间中，向量的模长也称为范数（Norm），记作
  
    
      
        
          ‖
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          ‖
        
      
    
    {\displaystyle \left\|{\vec {v}}\right\|}
  
。已知向量的坐标，就可以知道它的模长。
设向量
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          v
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})}
  
，其范数的计算表达式由弗罗贝尼乌斯范数（一种同时适用于向量和矩阵的范数计算方法）给出：

  
    
      
        
          ‖
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          ‖
        
        =
        
          
            
              v
              
                1
              
              
                2
              
            
            +
            
              v
              
                2
              
              
                2
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              v
              
                n
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\|{\vec {v}}\right\|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}}
  
。
特殊地，对于n 维欧几里得空间 Rn上的向量
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          v
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})}
  
，其模长或范数为：

  
    
      
        
          |
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          |
        
        =
        
          ‖
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          ‖
        
        =
        
          
            
              v
              
                1
              
              
                2
              
            
            +
            
              v
              
                2
              
              
                2
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              v
              
                n
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|{\vec {v}}\right|=\left\|{\vec {v}}\right\|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}}
  
。
更特殊地，对于三维笛卡尔坐标系下的向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}=(x,y,z)}
  
，其模长为：

  
    
      
        
          ‖
          
            
              
                a
                →
              
            
          
          ‖
        
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
            +
            
              z
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\|{\vec {a}}\right\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
  
。


= 夹角 =

向量的夹角（Included angle）是对于两个向量而言的概念。对于任意两个给定的向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
，二者的夹角即将二者图示化后两箭头所夹之角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
。由于夹角具有互补性，因此在不同的出发规定、不同的旋转方向下，所得夹角亦不同。
向量的夹角可由內積的定义导出计算公式，即：

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              
                
                  
                    a
                    →
                  
                
              
              ⋅
              
                
                  
                    b
                    →
                  
                
              
            
            
              
                ‖
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
                ‖
              
              
                ‖
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                ‖
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left\|{\vec {a}}\right\|\left\|{\vec {b}}\right\|}}}
  


= 線性相依性 =


 線性相依  对于
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
个向量
  
    
      
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}_{1}}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}_{2}}
  
，…，
  
    
      
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}_{m}}
  
，如果存在一组不全為零的
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
个数
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  
、
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
  
、…、
  
    
      
        
          a
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{m}}
  
，使得
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          
            a
            
              i
            
          
          
            
              
                
                  v
                  →
                
              
            
            
              i
            
          
        
        =
        
          
            
              0
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{a_{i}{\vec {v}}_{i}}={\vec {0}}}
  
，那么，称
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
个向量
  
    
      
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}_{1}}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}_{2}}
  
，…，
  
    
      
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}_{m}}
  
 為線性相關（Linearly dependent）。


 線性獨立  如果这样不全為零的
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
个数不存在，即上述向量等式仅当
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  
 =
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
  
 = … = 
  
    
      
        
          a
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{m}}
  
 = 0时才能成立，就称向量
  
    
      
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}_{1}}
  
，
  
    
      
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}_{2}}
  
，…，
  
    
      
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}_{m}}
  
 為線性無關（Linearly independent）。


向量運算 向量的大小是相对的，在有需要时，会规定单位向量，以其长度作为1。每个方向上都有一个单位向量。
向量之间可以如数字一样进行运算。常见的向量运算有：加法、减法、数与向量之间的乘法（数量积）以及向量与向量之间的乘法（外积），但向量的除法沒有定義。


= 加法与减法 =
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。具体地，两个向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
相加，得到的是另一个向量。这个向量可以表示为
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的起点重合后，以它们为邻边构成的平行四边形的一条对角线（以共同的起点为起点的那一条，见下图左），或者表示为将
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
的终点和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的起点重合后，从
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
的起点指向
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的终点的向量：

两个向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的相减，则可以看成是向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
加上一个与
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
大小相等，方向相反的向量。又或者，
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的相减得到的向量可以表示为
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的起点重合后，从
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的终点指向
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
的终点的向量：

当这两个向量数值、方向都不同，基本向量
  
    
      
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        =
        (
        1
        ,
        0
        ,
        0
        )
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        (
        0
        ,
        1
        ,
        0
        )
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            3
          
        
        =
        (
        0
        ,
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0,0),{\vec {e}}_{2}=(0,1,0),{\vec {e}}_{3}=(0,0,1)}
  
时，向量和计算为

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          b
          
            1
          
        
        )
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        +
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        (
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        )
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1}){\vec {e}}_{1}+(a_{2}+b_{2}){\vec {e}}_{2}+(a_{3}+b_{3}){\vec {e}}_{3}}
  

并且有如下的不等关系：

  
    
      
        
          |
          
            
              
                a
                →
              
            
          
          |
        
        +
        
          |
          
            
              
                b
                →
              
            
          
          |
        
        ≥
        
          |
          
            
              
                
                  a
                  →
                
              
            
            +
            
              
                
                  b
                  →
                
              
            
          
          |
        
        ≥
        
          |
          
            
              
                a
                →
              
            
          
          |
        
        −
        
          |
          
            
              
                b
                →
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|\geq \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\geq \left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|}
  

此外，向量的加法也满足交换律和结合律。


= 向量与積 =
向量空间分为有限维向量空间与无限维向量空间。在有限维向量空间中，可以找到一组（有限个）向量
  
    
      
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\cdots ,{\vec {e}}_{n}}
  
，使得任意一个向量
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
都可以唯一地表示成这组向量的线性组合：

  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        
          v
          
            1
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        +
        
          v
          
            2
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          v
          
            n
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}{\vec {e}}_{1}+v_{2}{\vec {e}}_{2}+\cdots +v_{n}{\vec {e}}_{n}}
  

其中的标量
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          v
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}}
  
是随着向量
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
而确定的。这样的一组向量称为向量空间的基。给定了向量空间以及一组基后，每个向量就可以用一个数组来表示了。两个向量
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              w
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {w}}}
  
相同，当且仅当表示它们的数组一样。

  
    
      
        
          
            
              
                
                  v
                  
                    1
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  w
                  
                    1
                  
                
              
            
            
              
                
                  v
                  
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  w
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                ⋮
                 
              
              
              
                ⋮
              
            
            
              
                
                  v
                  
                    n
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  w
                  
                    n
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lcl}v_{1}&=&w_{1}\\v_{2}&=&w_{2}\\\vdots \ &&\vdots \\v_{n}&=&w_{n}\end{array}}}
  

两个向量
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
和  
  
    
      
        
          
            
              w
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {w}}}
  
的和：

  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              w
              →
            
          
        
        =
        (
        
          v
          
            1
          
        
        +
        
          w
          
            1
          
        
        )
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        +
        (
        
          v
          
            2
          
        
        +
        
          w
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        (
        
          v
          
            n
          
        
        +
        
          w
          
            n
          
        
        )
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}=(v_{1}+w_{1}){\vec {e}}_{1}+(v_{2}+w_{2}){\vec {e}}_{2}+\cdots +(v_{n}+w_{n}){\vec {e}}_{n}}
  

它们的数量积为：

  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              w
              →
            
          
        
        =
        
          v
          
            1
          
        
        ⋅
        
          w
          
            1
          
        
        +
        
          v
          
            2
          
        
        ⋅
        
          w
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          v
          
            n
          
        
        ⋅
        
          w
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=v_{1}\cdot w_{1}+v_{2}\cdot w_{2}+\cdots +v_{n}\cdot w_{n}}
  

而标量k与向量v的乘积则为：

  
    
      
        k
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        (
        k
        ⋅
        
          v
          
            1
          
        
        )
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        +
        (
        k
        ⋅
        
          v
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        (
        k
        ⋅
        
          v
          
            n
          
        
        )
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle k\cdot {\vec {v}}=(k\cdot v_{1}){\vec {e}}_{1}+(k\cdot v_{2}){\vec {e}}_{2}+\cdots +(k\cdot v_{n}){\vec {e}}_{n}}
  


= 係數積（純量乘法、数乘） =

一个标量k和一个向量
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
之间可以做乘法，得出的结果是另一个与
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
方向相同或相反，大小为
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
的大小之｜k｜倍的向量，可以记成
  
    
      
        k
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k{\vec {v}}}
  
 ，该种运算被称为係數積。-1乘以任意向量会得到它的反向量，0乘以任何向量都会得到零向量  
  
    
      
        
          
            
              0
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {0}}}
  
。


= 內積（數量積、純量積） =

內積是向量与向量的乘积，其结果為一個純量。

几何上，內積可以定义如下：设 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
 为两个任意向量，它们的夹角为 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，则他们的內積为：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          |
          
            
              
                a
                →
              
            
          
          |
        
        
          |
          
            
              
                b
                →
              
            
          
          |
        
        cos
        ⁡
        
          θ
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos {\theta }}
  
即 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
 向量在 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
 向量方向上的投影長度（同方向為正反方向為負號），與 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
 向量長度的乘積。
內積被广泛应用于物理中，如做功就是用力的向量乘位移的向量，即 
  
    
      
        W
        =
        
          
            
              F
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              s
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}
  
。


= 外積（叉積、叉乘、向量積） =

外积也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量。它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量張成的平行四边形的面积。所以向量积不满足交换律。舉例來說 
  
    
      
        (
        1
        ,
        0
        ,
        0
        )
        ×
        (
        0
        ,
        1
        ,
        0
        )
        =
        (
        0
        ,
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1,0,0)\times (0,1,0)=(0,0,1)}
  
 但是 
  
    
      
        (
        0
        ,
        1
        ,
        0
        )
        ×
        (
        1
        ,
        0
        ,
        0
        )
        =
        (
        0
        ,
        0
        ,
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (0,1,0)\times (1,0,0)=(0,0,-1)}
  
。
设有向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        
          a
          
            x
          
        
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        
          a
          
            y
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        +
        
          a
          
            z
          
        
        
          
            
              k
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          b
          
            x
          
        
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        
          b
          
            y
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        +
        
          b
          
            z
          
        
        
          
            
              k
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}=b_{x}{\vec {i}}+b_{y}{\vec {j}}+b_{z}{\vec {k}}}
  
，
则其向量积的矩阵表达式可用下列符號表示：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      
                        i
                        →
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        j
                        →
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        k
                        →
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    b
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}
  


= 向量三重積（混合積） =

三个向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  
的三重積定义为，物理意義為三向量始於同點時所構成的體積：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        (
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
        =
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ⋅
        (
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        )
        =
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ⋅
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})}
  


= 线性组合 =

若
  
    
      
        
          
            
              
                O
                A
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {OA}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              
                O
                B
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {OB}}}
  
為平面上兩個不平行的非零向量，則平面上的每一個向量
  
    
      
        
          
            
              
                O
                P
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {OP}}}
  
都可以唯一表示為
  
    
      
        
          
            
              
                O
                P
              
              →
            
          
        
        =
        x
        
          
            
              
                O
                A
              
              →
            
          
        
        +
        y
        
          
            
              
                O
                B
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {OP}}=x{\vec {OA}}+y{\vec {OB}}}
  
的形式。這種表示方式，稱為向量的線性組合。


关于向量运算的定理 = 向量与定比分点、中点公式 =
在实际应用中，向量运算时常会运用到定比分点定理。

设平面直角坐标系
  
    
      
        O
        x
        y
      
    
    {\displaystyle Oxy}
  
原点
  
    
      
        O
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle O(0,0)}
  
，内有点
  
    
      
        A
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A(x_{1},y_{1})}
  
，点
  
    
      
        B
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(x_{2},y_{2})}
  
，点
  
    
      
        P
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P(x_{0},y_{0})}
  
，点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
在点
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
之间，且

  
    
      
        
          |
          
            
              
                A
                P
              
              →
            
          
          |
        
        :
        
          |
          
            
              
                P
                B
              
              →
            
          
          |
        
        =
        n
      
    
    {\displaystyle \left|{\overrightarrow {AP}}\right|:\left|{\overrightarrow {PB}}\right|=n}
  
，则：

  
    
      
        
          
            
              O
              P
            
            →
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  n
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  +
                  n
                
              
            
            ,
            
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  n
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  +
                  n
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {OP}}\left({\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}},{\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}}\right)}
  

特殊地，当
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
，

  
    
      
        
          
            
              O
              P
            
            →
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            ,
            
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}
  

相应的有中点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
坐标：

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            ,
            
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}
  

实际上，上述结论可以推广到空间向量中。
设空间直角坐标系
  
    
      
        O
        x
        y
        z
      
    
    {\displaystyle Oxyz}
  
内原点为
  
    
      
        O
        (
        0
        ,
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle O(0,0,0)}
  
，有点
  
    
      
        A
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A(x_{1},y_{1},z_{1})}
  
，
  
    
      
        B
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(x_{2},y_{2},z_{2})}
  
，
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
点间有一点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
，且

  
    
      
        
          |
          
            
              
                A
                P
              
              →
            
          
          |
        
        :
        
          |
          
            
              
                P
                B
              
              →
            
          
          |
        
        =
        n
      
    
    {\displaystyle \left|{\overrightarrow {AP}}\right|:\left|{\overrightarrow {PB}}\right|=n}
  
，
则：
  
    
      
        
          
            
              O
              P
            
            →
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  n
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  +
                  n
                
              
            
            ,
            
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  n
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  +
                  n
                
              
            
            ,
            
              
                
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  n
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  +
                  n
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=\left({\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}},{\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}},{\frac {z_{1}+nz_{2}}{1+n}}\right)}
  

中点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
坐标：

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            ,
            
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            ,
            
              
                
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)}
  


 附：平面几何中定比分点定理的证明  设平面直角坐标系
  
    
      
        O
        x
        y
      
    
    {\displaystyle Oxy}
  
内原点
  
    
      
        O
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle O(0,0)}
  
，有点
  
    
      
        A
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A(x_{1},y_{1})}
  
，点
  
    
      
        B
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(x_{2},y_{2})}
  
，点
  
    
      
        P
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P(x_{0},y_{0})}
  
，点
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
在点
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
之间，且
  
    
      
        
          |
          
            A
            P
          
          |
        
        :
        
          |
          
            P
            B
          
          |
        
        =
        n
      
    
    {\displaystyle \left|AP\right|:\left|PB\right|=n}
  
，则：

  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  0
                
              
              −
              
                x
                
                  1
                
              
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
          
        
        =
        n
        ⇒
        
          x
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              n
              
                x
                
                  2
                
              
            
            
              1
              +
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x_{0}-x_{1}}{x_{2}-x_{0}}}=n\Rightarrow x_{0}={\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}}}
  
，

  
    
      
        
          
            
              
                y
                
                  0
                
              
              −
              
                y
                
                  1
                
              
            
            
              
                y
                
                  2
                
              
              −
              
                y
                
                  0
                
              
            
          
        
        =
        n
        ⇒
        
          y
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              
                y
                
                  1
                
              
              +
              n
              
                y
                
                  2
                
              
            
            
              1
              +
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {y_{0}-y_{1}}{y_{2}-y_{0}}}=n\Rightarrow y_{0}={\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}}}
  


注释 参见 向量空间
向量分析
向量场
標量
張量


参考文献