葛立恆數（英語：Graham's number）由美国数学家葛立恆（Ronald Graham）提出，曾經被視為在正式數學證明中出現過最大的數，它大得連高德納箭號表示法也難以簡單表示，而必須使用64層高德納箭號表示法才表示得出來。馬丁·加德納於1977年11月在美國科學人雜誌的「數學遊戲」專欄將此數刊登出來，1980年被金氏世界紀錄定為在正式數學證明中出現過最大的數。


問題背景 葛立恆數與拉姆齊理論有關：考慮一個
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
維的超立方体，在連結所有頂點後，將形成一個
  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{n}}
  
個頂點的完全圖。將這個圖的每條邊填上紅色或藍色。求
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的最小值，才使得所有填法中都必定存在一個在同一平面上有四個頂點的單色完全子圖。
在1971年Graham與Rothschild證明了此題之解
  
    
      
        
          N
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle N^{*}}
  
的上下界為
  
    
      
        6
        ≤
        
          N
          
            ∗
          
        
        ≤
        N
      
    
    {\displaystyle 6\leq N^{*}\leq N}
  
，其中
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
是一個極大但明確定義的數字
  
    
      
        
          F
          
            7
          
        
        (
        12
        )
        =
        F
        (
        F
        (
        F
        (
        F
        (
        F
        (
        F
        (
        F
        (
        12
        )
        )
        )
        )
        )
        )
        )
      
    
    {\displaystyle F^{7}(12)=F(F(F(F(F(F(F(12)))))))}
  
，用高德納箭號表示法，
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
可表示為
  
    
      
        F
        (
        n
        )
        =
        2
        
          ↑
          
            n
          
        
        3
      
    
    {\displaystyle F(n)=2\uparrow ^{n}3}
  
；康威鏈式箭號表示法也可以表示此數的大略範圍，此數介於
  
    
      
        4
        →
        2
        →
        8
        →
        2
      
    
    {\displaystyle 4\rightarrow 2\rightarrow 8\rightarrow 2}
  
與
  
    
      
        2
        →
        3
        →
        9
        →
        2
      
    
    {\displaystyle 2\rightarrow 3\rightarrow 9\rightarrow 2}
  
之間，
  
    
      
        
          N
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle N^{*}}
  
的上界在2014年藉由Hales–Jewett數的上界而降為
  
    
      
        2
        ↑↑
        2
        ↑↑
        (
        3
        +
        2
        ↑↑
        8
        )
      
    
    {\displaystyle 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow (3+2\uparrow \uparrow 8)}
  
，并于2019年进一步降低为
  
    
      
        
          N
          ″
        
        =
        (
        2
        ↑↑
        5138
        )
        ×
        (
        (
        2
        ↑↑
        5140
        )
        ↑↑
        (
        2
        ×
        2
        ↑↑
        5137
        )
        )
        ≪
        2
        ↑↑
        (
        2
        ↑↑
        5138
        )
      
    
    {\displaystyle N''=(2\uparrow \uparrow 5138)\times ((2\uparrow \uparrow 5140)\uparrow \uparrow (2\times 2\uparrow \uparrow 5137))\ll 2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 5138)}
  
；下界則在2003年由Geoffrey Exoo提高為11，並由Jerome Barkley在2008年進一步的提高為13。因此目前所知最佳的
  
    
      
        
          N
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle N^{*}}
  
上下界為
  
    
      
        13
        ≤
        
          N
          
            ∗
          
        
        ≤
        
          N
          ″
        
      
    
    {\displaystyle 13\leq N^{*}\leq N''}
  
。
葛立恆數
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
比
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
大得多，
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
可表示為
  
    
      
        
          f
          
            64
          
        
        (
        4
        )
      
    
    {\displaystyle f^{64}(4)}
  
，其中
  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        3
        
          ↑
          
            n
          
        
        3
      
    
    {\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3}
  
。葛立恆數為此問題的較弱上界，是葛立恆未出版的工作，最後由馬丁·加德納刊登在1977年11月的美國科學人雜誌。


定義 定義函數
  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        3
        
          ↑
          
            n
          
        
        3
        =
        3
        [
        n
        +
        2
        ]
        3
        =
        3
        →
        3
        →
        n
      
    
    {\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3=3[n+2]3=3\rightarrow 3\rightarrow n}
  
（參見高德納箭號表示法、超運算、康威鏈式箭號表示法），則葛立恆數可使用疊代函數表示為
  
    
      
        
          f
          
            64
          
        
        (
        4
        )
      
    
    {\displaystyle f^{64}(4)}
  
。
雖然葛立恆數不可以用康威鏈式箭號表示法很方便地表達，但康威鏈式箭號表示法能為它簡單地定上下界：

  
    
      
        3
        →
        3
        →
        64
        →
        2
        <
      
    
    {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<}
  
葛立恆數
  
    
      
        <
        3
        →
        3
        →
        65
        →
        2
      
    
    {\displaystyle <3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}
  

使用高德納箭號表示法來表示葛立恆數：

  
    
      
        G
        =
        
          
            
              
                3
                
                  ↑
                  
                    3
                    
                      ↑
                      
                        3
                        
                          ↑
                          
                            
                              ⋅
                              
                                
                                  ⋅
                                  
                                    
                                      ⋅
                                      
                                        3
                                        ↑↑↑↑
                                        3
                                      
                                    
                                    ⋅
                                  
                                
                                ⋅
                              
                            
                            ⋅
                          
                        
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                3
              
              ⏟
            
          
          
            64
            
               layers
            
          
        
        =
        
          
          
            
              
                
                  3
                  
                    
                      
                        ↑↑
                        ⋯
                        ⋯
                        ⋯
                        ⋯
                        ⋯
                        ↑
                      
                      ⏟
                    
                  
                  3
                
              
              
                
                  3
                  
                    
                      
                        ↑↑
                        ⋯
                        ⋯
                        ⋯
                        ⋯
                        ↑
                      
                      ⏟
                    
                  
                  3
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                        
                        ⋮
                        
                        
                      
                      ⏟
                    
                  
                
              
              
                
                  3
                  
                    
                      
                        ↑↑
                        ⋯
                        ⋯
                        ↑
                      
                      ⏟
                    
                  
                  3
                
              
              
                
                  3
                  ↑↑↑↑
                  3
                
              
            
          
          }
        
        
          64 layers
        
      
    
    {\displaystyle G=\underbrace {3\uparrow ^{3\uparrow ^{3\uparrow ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}\cdot }\cdot }\cdot }3}3}3} _{64{\text{ layers}}}=\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\\underbrace {\qquad \quad \vdots \qquad \quad } \\3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow } 3\\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}}
  


巨大的葛立恆數 利用超運算，葛立恆數G可以表示為：

  
    
      
        
          
            
              
                3
                [
                3
                [
                3
                [
                ⋯
                3
                [
                3
                [
                3
              
              ⏟
            
          
          
            64
          
        
        [
        6
        ]
        3
        +
        2
        ]
        3
        +
        2
        ]
        3
        ⋯
        ]
        3
        +
        2
        ]
        3
        +
        2
        ]
        3
      
    
    {\displaystyle \underbrace {3[3[3[\cdots 3[3[3} _{64}[6]3+2]3+2]3\cdots ]3+2]3+2]3}
  

其中，
  
    
      
        64
      
    
    {\displaystyle 64}
  
表示共有64層超運算。從內至外，每一層中的超運算級數由方括號內的那一層所表示的數值決定。 計算G值需要經過64步，首先從最內層開始計算：

  
    
      
        
          g
          
            1
          
        
        =
        3
        [
        6
        ]
        3
        =
        3
        [
        5
        ]
        (
        3
        [
        5
        ]
        3
        )
        =
        
          
            
              
                3
                [
                4
                ]
                (
                3
                [
                4
                ]
                (
                3
                [
                4
                ]
                ⋯
                (
                3
                [
                4
                ]
                (
                3
                [
                4
                ]
                3
              
              ⏟
            
          
          
            3
            [
            5
            ]
            3
          
        
        )
        )
        ⋯
        )
        )
      
    
    {\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=\underbrace {3[4](3[4](3[4]\cdots (3[4](3[4]3} _{3[5]3}))\cdots ))}
  

讓：
  
    
      
        X
        =
        3
        [
        5
        ]
        3
        =
        3
        [
        4
        ]
        (
        3
        [
        4
        ]
        3
        )
        =
        3
        [
        4
        ]
        (
        3
        [
        3
        ]
        (
        3
        [
        3
        ]
        3
        )
        )
        =
        3
        [
        4
        ]
        (
        3
        [
        3
        ]
        27
        )
      
    
    {\displaystyle X=3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4](3[3](3[3]3))=3[4](3[3]27)}
  

  
    
      
        =
        3
        [
        4
        ]
        7625597484987
        =
        
          
            
              
                3
                [
                3
                ]
                3
                [
                3
                ]
                ⋯
                [
                3
                ]
                3
              
              ⏟
            
          
          
            7625597484987
          
        
        =
        
          
            
              
                3
                

                
                
                  
                    3
                    
                      
                        

                        
                        
                          .
                          
                            
                            
                              .
                              
                                
                                
                                  .
                                  
                                    
                                    
                                      3
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              ⏟
            
          
          
            7625597484987
          
        
      
    
    {\displaystyle =3[4]7625597484987=\underbrace {3[3]3[3]\cdots [3]3} _{7625597484987}=\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} _{7625597484987}}
  
（迭代冪次）

  
    
      
        
          g
          
            1
          
        
        =
        3
        [
        6
        ]
        3
        =
        3
        [
        5
        ]
        (
        3
        [
        5
        ]
        3
        )
        =
        3
        [
        5
        ]
        X
        =
        
          
            
              
                3
                [
                4
                ]
                3
                [
                4
                ]
                ⋯
                [
                4
                ]
                3
              
              ⏟
            
          
          
            X
          
        
        =
        
          
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          3
                          
                            
                              3
                              
                                
                                  .
                                  
                                    
                                      .
                                      
                                        .
                                        
                                          3
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                        ⏟
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              3
                              
                                
                                  3
                                  
                                    
                                      .
                                      
                                        
                                          .
                                          
                                            .
                                            
                                              3
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                            ⏟
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                ⋮
                                ⏟
                              
                            
                            
                              3
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
          }
        
        X
      
    
    {\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.{\begin{matrix}\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\end{matrix}}\right\}X}
  

給定函數：

  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        3
        [
        n
        +
        2
        ]
        3
      
    
    {\displaystyle f(n)=3[n+2]3}
  

例如：
  
    
      
        f
        (
        1
        )
        =
        3
        [
        3
        ]
        3
        ,
         
        f
        (
        2
        )
        =
        3
        [
        4
        ]
        3
      
    
    {\displaystyle f(1)=3[3]3,\ f(2)=3[4]3}
  

  
    
      
        
          g
          
            1
          
        
        =
        f
        (
        4
        )
        =
        3
        [
        6
        ]
        3
        =
        3
        [
        5
        ]
        X
        =
        
          
            
              
                3
                [
                4
                ]
                3
                [
                4
                ]
                ⋯
                [
                4
                ]
                3
              
              ⏟
            
          
          
            X
          
        
        =
        
          
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          3
                          
                            
                              3
                              
                                
                                  .
                                  
                                    
                                      .
                                      
                                        .
                                        
                                          3
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                        ⏟
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              3
                              
                                
                                  3
                                  
                                    
                                      .
                                      
                                        
                                          .
                                          
                                            .
                                            
                                              3
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                            ⏟
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                ⋮
                                ⏟
                              
                            
                            
                              3
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
          }
        
        X
      
    
    {\displaystyle g_{1}=f(4)=3[6]3=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.{\begin{matrix}\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\end{matrix}}\right\}X}
  

然後計算g2：

  
    
      
        
          g
          
            2
          
        
        =
        
          f
          
            2
          
        
        (
        4
        )
        =
        f
        (
        f
        (
        4
        )
        )
        =
        3
        [
        
          g
          
            1
          
        
        +
        2
        ]
        3
      
    
    {\displaystyle g_{2}=f^{2}(4)=f(f(4))=3[g_{1}+2]3}
  

接著計算：

  
    
      
        
          g
          
            3
          
        
        =
        f
        (
        
          f
          
            2
          
        
        (
        4
        )
        )
        =
        3
        [
        
          g
          
            2
          
        
        +
        2
        ]
        3
      
    
    {\displaystyle g_{3}=f(f^{2}(4))=3[g_{2}+2]3}
  

  
    
      
        ⋮
        ⋮
      
    
    {\displaystyle \vdots \vdots }
  

  
    
      
        
          g
          
            63
          
        
        =
        f
        (
        
          f
          
            62
          
        
        (
        4
        )
        )
        =
        3
        [
        
          g
          
            62
          
        
        +
        2
        ]
        3
      
    
    {\displaystyle g_{63}=f(f^{62}(4))=3[g_{62}+2]3}
  

最後：

  
    
      
        G
        =
        
          g
          
            64
          
        
        =
        
          f
          
            64
          
        
        (
        4
        )
        =
        
          
            
              
                f
                (
                f
                (
                ⋯
                f
              
              ⏟
            
          
          
            64
          
        
        (
        4
        )
        ⋯
        )
        )
        =
        3
        [
        
          g
          
            63
          
        
        +
        2
        ]
        3
      
    
    {\displaystyle G=g_{64}=f^{64}(4)=\underbrace {f(f(\cdots f} _{64}(4)\cdots ))=3[g_{63}+2]3}
  

一般來說：

  
    
      
        
          g
          
            n
          
        
        =
        3
        [
        
          g
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        2
        ]
        3
      
    
    {\displaystyle g_{n}=3[g_{n-1}+2]3}
  

其中：

  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        (
        n
        )
        =
        f
        (
        f
        (
        n
        )
        )
        ,
         
        
          f
          
            3
          
        
        (
        n
        )
        =
        f
        (
        f
        (
        f
        (
        n
        )
        )
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle f^{2}(n)=f(f(n)),\ f^{3}(n)=f(f(f(n))),}
  
 以此類推。


葛立恆數最尾端的1000位數字 ...
69789 01699 96590 70368 75647 69571 41995 17294 68405 82682
71081 20793 88857 60678 08905 76605 97351 28204 06609 18730
71084 83992 11311 79579 18089 16067 30297 76868 73493 26380
38255 18970 12211 05348 18861 41584 87485 19200 98526 10652
52039 48232 20737 11493 41083 91687 37854 40379 86033 68448
47205 27292 48390 75786 66178 05529 41415 71193 66603 08189
28819 36678 77414 82317 80172 81269 34985 73578 32709 50758
57659 19749 47039 19315 29675 96669 23404 88030 23624 47049
10353 17809 08226 11674 69507 74641 91287 72824 43305 83239
50925 25499 35509 25261 68572 45956 57413 17934 41675 01485
02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521
43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780
38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092
91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080
25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560
43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887
17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509
27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508
94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380
03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387.
事實上，對於所有正整數
  
    
      
        n
        >
        500
      
    
    {\displaystyle n>500}
  
，
  
    
      
        3
        [
        4
        ]
        n
      
    
    {\displaystyle 3[4]n}
  
的末500位數也與葛立恆數相同。


參見 拉約數


参考文献