在数学中，雅可比多项式 （英語：Jacobi polynomials，有时也被称为超几何多项式）是一类正交多项式。它的名称来自十九世纪普魯士数学家卡爾·雅可比。


定义 雅可比多项式是从超几何函数中获得的，这个多项式列实际上是有限的：

  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              (
              α
              +
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            −
            n
            ,
            1
            +
            α
            +
            β
            +
            n
            ;
            α
            +
            1
            ;
            
              
                
                  1
                  −
                  z
                
                2
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}
  

其中的
  
    
      
        (
        α
        +
        1
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (\alpha +1)_{n}}
  
是阶乘幂符号（这里是指上升阶乘幂），（Abramowitz & Stegun p561 （页面存档备份，存于互联网档案馆））因此实际上的表达式是：

  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              Γ
              (
              α
              +
              n
              +
              1
              )
            
            
              n
              !
              
              Γ
              (
              α
              +
              β
              +
              n
              +
              1
              )
            
          
        
        
          ∑
          
            m
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              m
            
            
              )
            
          
        
        
          
            
              Γ
              (
              α
              +
              β
              +
              n
              +
              m
              +
              1
              )
            
            
              Γ
              (
              α
              +
              m
              +
              1
              )
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  z
                  −
                  1
                
                2
              
            
            )
          
          
            m
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}
  

当z等于1的时候，上式中的无穷级数只有第一项非零，这时得到：

  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        1
        )
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                α
              
              n
            
            
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha  \choose n}.}
  

这里对于每一个整数
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              z
              n
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              Γ
              (
              z
              +
              1
              )
            
            
              Γ
              (
              n
              +
              1
              )
              Γ
              (
              z
              −
              n
              +
              1
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}
  

而 
  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)\,}
  
是通常定义的伽马函数，其中约定，当整数n为小于零的时候：

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              z
              n
            
            
              )
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {z \choose n}=0}
  

这个多项式列满足正交性条件：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            1
          
          
            1
          
        
        (
        1
        −
        x
        
          )
          
            α
          
        
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            β
          
        
        
          P
          
            m
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        x
        )
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        
          
            
              2
              
                α
                +
                β
                +
                1
              
            
            
              2
              n
              +
              α
              +
              β
              +
              1
            
          
        
        
          
            
              Γ
              (
              n
              +
              α
              +
              1
              )
              Γ
              (
              n
              +
              β
              +
              1
              )
            
            
              Γ
              (
              n
              +
              α
              +
              β
              +
              1
              )
              n
              !
            
          
        
        
          δ
          
            n
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}}
  

其中
  
    
      
        α
        >
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha >-1}
  
而且
  
    
      
        β
        >
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \beta >-1}
  
。
这个多项式列还满足对称性的关系：

  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        −
        z
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          P
          
            n
          
          
            (
            β
            ,
            α
            )
          
        
        (
        z
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}
  

因此在z等于-1的时候也可以直接算出多项式值：

  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        −
        1
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                β
              
              n
            
            
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta  \choose n}.}
  

对于实数 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，雅可比多项式也可以写成另一种形式：

  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            s
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                α
              
              s
            
            
              )
            
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                β
              
              
                n
                −
                s
              
            
            
              )
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  x
                  −
                  1
                
                2
              
            
            )
          
          
            n
            −
            s
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  x
                  +
                  1
                
                2
              
            
            )
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha  \choose s}{n+\beta  \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}}
  

其中 
  
    
      
        s
        ≥
        0
        
      
    
    {\displaystyle s\geq 0\,}
  
 并且 
  
    
      
        n
        −
        s
        ≥
        0
        
      
    
    {\displaystyle n-s\geq 0\,}
  
。
有一个特殊的情形，是当以下四个量：

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
、
  
    
      
        n
        +
        α
      
    
    {\displaystyle n+\alpha }
  
、
  
    
      
        n
        +
        β
      
    
    {\displaystyle n+\beta }
  
 以及

  
    
      
        n
        +
        α
        +
        β
      
    
    {\displaystyle n+\alpha +\beta }
  
 都是非负的实数的时候，雅可比多项式可以写成如下形式：

  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        n
        +
        α
        )
        !
        (
        n
        +
        β
        )
        !
        
          ∑
          
            s
          
        
        
          
            [
            
              s
              !
              (
              n
              +
              α
              −
              s
              )
              !
              (
              β
              +
              s
              )
              !
              (
              n
              −
              s
              )
              !
            
            ]
          
          
            −
            1
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  x
                  −
                  1
                
                2
              
            
            )
          
          
            n
            −
            s
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  x
                  +
                  1
                
                2
              
            
            )
          
          
            s
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}
  

其中
  
    
      
        s
        
      
    
    {\displaystyle s\,}
  
的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数
  
    
      
        s
        
      
    
    {\displaystyle s\,}
  
求和。
在这种情形下，以上表达式使得维纳d-矩阵
  
    
      
        
          d
          
            
              m
              ′
            
            m
          
          
            j
          
        
        (
        ϕ
        )
        
      
    
    {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;}
  
（
  
    
      
        0
        ≤
        ϕ
        ≤
        4
        π
      
    
    {\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }
  
）可以写成用雅可比多项式表达的形式：

  
    
      
        
          d
          
            
              m
              ′
            
            m
          
          
            j
          
        
        (
        ϕ
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  (
                  j
                  +
                  m
                  )
                  !
                  (
                  j
                  −
                  m
                  )
                  !
                
                
                  (
                  j
                  +
                  
                    m
                    ′
                  
                  )
                  !
                  (
                  j
                  −
                  
                    m
                    ′
                  
                  )
                  !
                
              
            
            ]
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            (
            
              sin
              ⁡
              
                
                  ϕ
                  2
                
              
            
            )
          
          
            m
            −
            
              m
              ′
            
          
        
        
          
            (
            
              cos
              ⁡
              
                
                  ϕ
                  2
                
              
            
            )
          
          
            m
            +
            
              m
              ′
            
          
        
        
          P
          
            j
            −
            m
          
          
            (
            m
            −
            
              m
              ′
            
            ,
            m
            +
            
              m
              ′
            
            )
          
        
        (
        cos
        ⁡
        ϕ
        )
        .
      
    
    {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}
  


导数 身为多项式的一种，雅可比多项式也是无限连续可微（可导）的函数。雅可比多项式的第k次导函数为：

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              
                k
              
            
            
              
                d
              
              
                z
                
                  k
                
              
            
          
        
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              Γ
              (
              α
              +
              β
              +
              n
              +
              1
              +
              k
              )
            
            
              
                2
                
                  k
                
              
              Γ
              (
              α
              +
              β
              +
              n
              +
              1
              )
            
          
        
        
          P
          
            n
            −
            k
          
          
            (
            α
            +
            k
            ,
            β
            +
            k
            )
          
        
        (
        z
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}
  


微分方程 雅可比多项式
  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}
  
是以下的二阶齐次线性常微分方程的解：

  
    
      
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        
          y
          ″
        
        +
        (
        β
        −
        α
        −
        (
        α
        +
        β
        +
        2
        )
        x
        )
        
          y
          ′
        
        +
        n
        (
        n
        +
        α
        +
        β
        +
        1
        )
        y
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,}
  


参见 比贝尔巴赫猜想
勒让德多项式
切比雪夫多项式
盖根鲍尔多项式
雅可比过程


注释