散（san）度（divergence）是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。
举例来说，考虑空间中的静电场，其空间里的电场强度是一个矢量场。正电荷附近，电场线“向外”发射，所以正电荷处的散度为正值，电荷越大，散度越大。负电荷附近，电场线“向内”，所以负电荷处的散度为负值，电荷越大，散度越小。向量值函數的散度為一個純量，而二阶张量的散度是向量值函数。


定义 定义向量场的散度，首先要引入通量的概念。给定一个三维空间中的向量场
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
以及一个简单有向曲面
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }
  
，则向量场
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
通过曲面
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }
  
的通量就是曲面每一点
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
上的场向量
  
    
      
        
          A
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (x)}
  
在曲面法向方向上的分量的积分:

  
    
      
        
          Φ
          
            
              A
            
          
        
        (
        Σ
        )
        =
        
          ∬
          
            Σ
          
        
        
          A
        
        ⋅
        
          n
        
        
          d
        
        S
      
    
    {\displaystyle \Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )=\iint \limits _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S}
  

其中
  
    
      
        
          d
        
        S
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} S}
  
是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从裡朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。
通量描述一固定区域（也就是 
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }
  
 ）上向量场的流通傾向，散度在某點的值则是这个性质的在這點的局部描述:7-8，也就是说，从散度在一点的值，我们可以看出向量场在这点附近到底倾向发散还是收敛。要算某一点 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的散度，先求包含这一点的某一个封闭曲面 
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }
  
 的通量  
  
    
      
        
          Φ
          
            
              A
            
          
        
        (
        Σ
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )}
  
 除以封闭曲面 
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }
  
 围起来的微小体元 
  
    
      
        δ
        V
      
    
    {\displaystyle \delta V}
  
   的体积 （这个体积用 
  
    
      
        
          |
        
        δ
        V
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\delta V|}
  
 表示） 得到的比值，矢量场 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 在点 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的散度即是这个比值在体积微元 
  
    
      
        δ
        V
      
    
    {\displaystyle \delta V}
  
 趋向于点 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 时的极限。用数学公式表示即：

  
    
      
        div
        ⁡
        
          A
        
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            δ
            V
            →
            {
            x
            }
          
        
        
          ∮
          
            Σ
          
        
        
          
            
              
                A
              
              ⋅
              
                n
              
            
            
              
                |
              
              δ
              V
              
                |
              
            
          
        
        
        
          d
        
        S
        =
        
          lim
          
            δ
            V
            →
            {
            x
            }
          
        
        
          
            
              
                Φ
                
                  
                    A
                  
                
              
              (
              Σ
              )
            
            
              
                |
              
              δ
              V
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {A} (x)=\lim _{\delta V\rightarrow \{x\}}\oint _{\Sigma }{\mathbf {A} \cdot \mathbf {n}  \over |\delta V|}\,\mathrm {d} S=\lim _{\delta V\rightarrow \{x\}}{\frac {\Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )}{|\delta V|}}}
  
:4
如果用Nabla算子 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  
 表示的话，向量场 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 的散度记作：
  
    
      
        div
        
        
          A
        
        =
        ∇
        ⋅
        
          A
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} .}
  
:5


物理意义 从定义中可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以说散度是通量的体密度:7-8。下面从散度的极限表达式来看它的物理意义。
设
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\textstyle \mathbf {A} }
  
为场域V中的一点，现作包围
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\textstyle \mathbf {A} }
  
点的任一闭合曲面
  
    
      
        
          S
        
      
    
    {\textstyle \mathbf {S} }
  
，
  
    
      
        Δ
        V
      
    
    {\displaystyle \Delta V}
  
是S面所围的区域。那么：
  
    
      
        
          ∮
          
            S
          
        
        
          
            A
          
          ⋅
          
            d
          
          
            S
          
        
        =
        
          ∭
          
            Δ
            V
          
        
        
          d
          i
          v
        
        
          A
        
        
          d
        
        V
        
        
        
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \oint _{S}{\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }=\iiint \limits _{\Delta V}\mathrm {div} \mathbf {A} \mathrm {d} V\;\;\;\;(1)}
  

利用中值定理得
  
    
      
        
          ∭
          
            Δ
            V
          
        
        
          d
          i
          v
        
        
          A
        
        
          d
        
        V
        =
        
          (
        
        
          d
          i
          v
        
        
          A
        
        
          
            )
          
          
            x
          
        
        ⋅
        
          |
        
        Δ
        V
        
          |
        
        
        
        
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \iiint \limits _{\Delta V}\mathrm {div} \mathbf {A} \mathrm {d} V=\mathrm {(} \mathrm {div} \mathbf {A} \mathrm {)} _{x}\cdot |\Delta V|\;\;\;\;(2)}
  

式中 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 为 
  
    
      
        Δ
        V
      
    
    {\displaystyle \Delta V}
  
中的某一点，
  
    
      
        
          |
        
        Δ
        V
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\Delta V|}
  
 為 
  
    
      
        Δ
        V
      
    
    {\displaystyle \Delta V}
  
 的體積。带入(1)中后得
  
    
      
        
          (
        
        
          d
          i
          v
        
        
          A
        
        
          
            )
          
          
            x
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                |
              
              Δ
              V
              
                |
              
            
          
        
        
          ∮
          
            S
          
        
        
          
            A
          
          ⋅
          d
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {(} \mathrm {div} \mathbf {A} \mathrm {)} _{x}={\frac {1}{|\Delta V|}}\oint _{S}{\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} }}
  

令
  
    
      
        Δ
        V
      
    
    {\displaystyle \Delta V}
  
向点P收缩，则 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 点就趋向于P点，所以在P点的散度可由下列极限表示
  
    
      
        (
        
          d
          i
          v
        
        
          A
        
        
          )
          
            P
          
        
        =
        
          lim
          
            Δ
            V
            →
            P
          
        
        
          
            1
            
              
                |
              
              Δ
              V
              
                |
              
            
          
        
        
          ∮
          
            S
          
        
        
          
            A
          
          ⋅
          
            d
          
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {div} \mathbf {A} )_{P}=\lim _{\Delta V\rightarrow P}{\frac {1}{|\Delta V|}}\oint _{S}{\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }}
  

若在上式中令
  
    
      
        Δ
        Φ
        =
        
          ∮
          
            S
          
        
        
          
            A
          
          ⋅
          d
          
            S
          
        
      
    
    {\textstyle \Delta \Phi =\oint _{S}{\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} }}
  
,那么

  
    
      
        (
        
          d
          i
          v
        
        
          A
        
        
          )
          
            P
          
        
        =
        
          lim
          
            Δ
            V
            →
            P
          
        
        
          
            1
            
              
                |
              
              Δ
              V
              
                |
              
            
          
        
        
          ∮
          
            S
          
        
        
          
            A
          
          ⋅
          
            d
          
          
            S
          
        
        =
        
          lim
          
            Δ
            V
            →
            P
          
        
        
          
            
              Δ
              Φ
            
            
              
                |
              
              Δ
              V
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              Φ
            
            
              
                d
              
              V
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {div} \mathbf {A} )_{P}=\lim _{\Delta V\rightarrow P}{\frac {1}{|\Delta V|}}\oint _{S}{\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }=\lim _{\Delta V\rightarrow P}{\frac {\Delta \Phi }{|\Delta V|}}={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} V}}}
  

由此可见，散度是通量
  
    
      
        Φ
      
    
    {\textstyle \Phi }
  
对曲面所围区域体積的变化率，也可看成通量在V中的分布密度。所以
  
    
      
        
          d
          i
          v
        
        
          A
        
      
    
    {\textstyle \mathrm {div} \mathbf {A} }
  
也称为通量密度。
物理上，散度的意义是场的有源性。某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。这样的点或区域分别称为向量场的正源（发散源）和负源（洞）:8。举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。
散度等于零的区域称为无源场或管形场。流体力学中，散度为零的流体称为不可压缩流体，也就是说此流体中不会有一部分凭空消失或突然产生，每个微小时间间隔中流入一个微小体元的流体总量都等于在此时间间隔内流出此体元的流体总量:30。


分量表示 在不同的坐标系下，向量场的散度有不同的表达方式。


= 直角坐标系 =
在三维直角坐标系 
  
    
      
        x
        y
        z
      
    
    {\displaystyle xyz}
  
 中，设向量场 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 的表示为:8：

  
    
      
        
          A
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          A
          
            x
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        
          i
        
        +
        
          A
          
            y
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        
          j
        
        +
        
          A
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)=A_{x}(x,y,z)\mathbf {i} +A_{y}(x,y,z)\mathbf {j} +A_{z}(x,y,z)\mathbf {k} }
  
，
其中的 
  
    
      
        
          i
        
        ,
        
          j
        
        ,
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }
  
 分别是 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
轴、
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
轴、
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
轴方向上的单位向量，场的分量 
  
    
      
        
          A
          
            x
          
        
        ,
        
          A
          
            y
          
        
        ,
        
          A
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}
  
 具有一阶连续偏导数，那么向量场 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 的散度就是：

  
    
      
        div
        ⁡
        
          A
        
        =
        ∇
        ⋅
        
          A
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  x
                
              
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  y
                
              
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  z
                
              
            
            
              ∂
              z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}}
  


= 圆柱坐标系 =
圆柱坐标系中，假设物体的位置为
  
    
      
        (
        ρ
        ,
        φ
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}
  
，定义其径向单位矢量、横向单位矢量和纵向单位矢量为
  
    
      
        
          
            e
          
          
            ρ
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            φ
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\rho },{\boldsymbol {e}}_{\varphi },{\boldsymbol {e}}_{z}}
  
，那么向量场
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
可以表示成：

  
    
      
        
          A
        
        =
        
          A
          
            ρ
          
        
        (
        ρ
        ,
        φ
        ,
        z
        )
        
          
            e
          
          
            ρ
          
        
        +
        
          A
          
            φ
          
        
        (
        ρ
        ,
        φ
        ,
        z
        )
        
          
            e
          
          
            φ
          
        
        +
        
          A
          
            z
          
        
        (
        ρ
        ,
        φ
        ,
        z
        )
        
          
            e
          
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} =A_{\rho }(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{\rho }+A_{\varphi }(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{\varphi }+A_{z}(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{z}}
  
，
向量场A的散度就是:73：  

  
    
      
        div
        
        
          A
        
        =
        ∇
        ⋅
        
          A
        
        =
        
          
            1
            ρ
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              ρ
            
          
        
        (
        ρ
        
          A
          
            ρ
          
        
        )
        +
        
          
            1
            ρ
          
        
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  φ
                
              
            
            
              ∂
              φ
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  z
                
              
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho A_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\,}
  
。


= 球坐标系 =
球坐标系中，假设物体的位置用球坐标表示为
  
    
      
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
  
，定义它的基矢：
  
    
      
        
          
            e
          
          
            r
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta },{\boldsymbol {e}}_{\varphi }}
  
，则向量场A可以表示成：

  
    
      
        
          A
        
        =
        
          A
          
            r
          
        
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        φ
        )
        
          
            e
          
          
            r
          
        
        +
        
          A
          
            θ
          
        
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        φ
        )
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
        +
        
          A
          
            φ
          
        
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        φ
        )
        
          
            e
          
          
            φ
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} =A_{r}(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{r}+A_{\theta }(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{\theta }+A_{\varphi }(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{\varphi },}
  

向量场A的散度就是:73：

  
    
      
        div
        
        
          A
        
        =
        ∇
        ⋅
        
          A
        
        =
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        (
        
          r
          
            2
          
        
        
          A
          
            r
          
        
        )
        +
        
          
            1
            
              r
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        (
        sin
        ⁡
        θ
        
        
          A
          
            θ
          
        
        )
        +
        
          
            1
            
              r
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  φ
                
              
            
            
              ∂
              φ
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,A_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}
  


性质 以下的性质都可以从常见的求导法则推出。最重要的是，散度是一个线性算子，也就是说:6：

  
    
      
        div
        ⁡
        (
        a
        
          F
        
        +
        b
        
          G
        
        )
        =
        a
        
        div
        ⁡
        (
        
          F
        
        )
        +
        b
        
        div
        ⁡
        (
        
          G
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )}
  

其中F和G是向量场，a和b是实数。
设
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
是标量函数，F是向量场，则它们的乘积的散度为:7：

  
    
      
        div
        ⁡
        (
        φ
        
          F
        
        )
        =
        grad
        ⁡
        (
        φ
        )
        ⋅
        
          F
        
        +
        φ
        
        div
        ⁡
        (
        
          F
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} ),}
  
 或 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        (
        φ
        
          F
        
        )
        =
        (
        ∇
        φ
        )
        ⋅
        
          F
        
        +
        φ
        
        (
        ∇
        ⋅
        
          F
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).}
  

设有两个向量场F和G，则它们的向量积的散度为:9：

  
    
      
        div
        ⁡
        (
        
          F
        
        ×
        
          G
        
        )
        =
        curl
        ⁡
        (
        
          F
        
        )
        ⋅
        
          G
        
        
        −
        
        
          F
        
        ⋅
        curl
        ⁡
        (
        
          G
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} (\mathbf {G} ),}
  
 或 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        (
        
          F
        
        ×
        
          G
        
        )
        =
        (
        ∇
        ×
        
          F
        
        )
        ⋅
        
          G
        
        −
        
          F
        
        ⋅
        (
        ∇
        ×
        
          G
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).}
  

其中
  
    
      
        curl
      
    
    {\displaystyle \operatorname {curl} }
  
是旋度。
对一个标量场求梯度后再求散度，等于拉普拉斯算子作用在其上：

  
    
      
        div
        
        grad
        ⁡
        f
        =
        ∇
        ⋅
        ∇
        f
        =
        Δ
        f
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} \,\operatorname {grad} f=\nabla \cdot \nabla f=\Delta f}
  
 (在 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 的向量分析中 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        ∇
        f
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \nabla f}
  
 也寫作 
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}f)}
  
。


高斯散度定理 既然向量场某一处的散度是向量场在该处附近通量的体密度，那么对某一个体积内的散度进行积分，就应该得到这个体积内的总通量。事实上可以证明这个推论是正确的，称为高斯散度定理。高斯定理说明，如果在体积V内的向量场A拥有散度，那么散度的体积分等于向量场在V的表面S的面积分:10：

  
    
      
        
          ∭
          
            V
          
        
        
          d
          i
          v
        
        
          A
        
        
          d
        
        v
        =
        ∫
        
        
        
        
        
          ∫
          
            S
          
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        ◯
        
        
        
          A
        
        ⋅
        
          n
        
        
          d
        
        S
      
    
    {\displaystyle \iiint \limits _{V}\mathrm {div} \mathbf {A} \mathrm {d} v=\int \!\!\!\!\int _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S}
  


历史 作为向量分析的基础概念，散度同样源自对四元数上的微积分研究。哈密顿在介绍四元数的运算时，将一个四元数
  
    
      
        q
        =
        A
        +
        B
        
          i
        
        +
        C
        
          j
        
        +
        D
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle q=A+B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}}}
  
中的
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
称为“标量部分”（scalar part），将
  
    
      
        B
        
          i
        
        +
        C
        
          j
        
        +
        D
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}}}
  
称为“向量部分”（vector part）。他引入了四元数的偏微分算子
  
    
      
        ∇
        =
        
          i
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        +
        
          j
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              y
            
          
        
        +
        
          k
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ={\boldsymbol {i}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\boldsymbol {j}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}+{\boldsymbol {k}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}}
  
（即
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  
算子）后，计算
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  
对一个四元数之向量部分
  
    
      
        σ
        =
        B
        
          i
        
        +
        C
        
          j
        
        +
        D
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \sigma =B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}}}
  
的效果：

  
    
      
        ∇
        σ
        =
        (
        
          i
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        +
        
          j
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              y
            
          
        
        +
        
          k
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              z
            
          
        
        )
        (
        B
        
          i
        
        +
        C
        
          j
        
        +
        D
        
          k
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla \sigma =({\boldsymbol {i}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\boldsymbol {j}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}+{\boldsymbol {k}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}})(B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}})}
  

  
    
      
        =
        −
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  B
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    d
                  
                  C
                
                
                  
                    d
                  
                  y
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    d
                  
                  D
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          (
          
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      D
                    
                    
                      
                        d
                      
                      y
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      C
                    
                    
                      
                        d
                      
                      z
                    
                  
                
              
              )
            
            
              i
            
            +
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      B
                    
                    
                      
                        d
                      
                      z
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      D
                    
                    
                      
                        d
                      
                      x
                    
                  
                
              
              )
            
            
              j
            
            +
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      C
                    
                    
                      
                        d
                      
                      x
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      B
                    
                    
                      
                        d
                      
                      y
                    
                  
                
              
              )
            
            
              k
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle =-\left({\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} y}}+{\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} z}}\right)+\left(\left({\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} y}}-{\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} z}}\right){\boldsymbol {i}}+\left({\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} z}}-{\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} x}}\right){\boldsymbol {j}}+\left({\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} x}}-{\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} y}}\right){\boldsymbol {k}}\right)}
  

麦克斯韦在1873年的论文中将其中的“标量部分”：
  
    
      
        −
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  B
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    d
                  
                  C
                
                
                  
                    d
                  
                  y
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    d
                  
                  D
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle -\left({\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} y}}+{\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} z}}\right)}
  
称为“聚集度”、「收斂度」（convergence），而将“向量部分”：
  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  D
                
                
                  
                    d
                  
                  y
                
              
            
            −
            
              
                
                  
                    d
                  
                  C
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
          
          )
        
        
          i
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  B
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
            −
            
              
                
                  
                    d
                  
                  D
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
          
          )
        
        
          j
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  C
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  
                    d
                  
                  B
                
                
                  
                    d
                  
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} y}}-{\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} z}}\right){\boldsymbol {i}}+\left({\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} z}}-{\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} x}}\right){\boldsymbol {j}}+\left({\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} x}}-{\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} y}}\right){\boldsymbol {k}}}
  
称为“旋度”（curl）或“变度”（version）:131-132。亥维赛在1883年发表的论文：《电学与磁学中的若干关系》（Some Electrostatic and Magnetic Relations）中讨论了静电场中电场力的聚集度。他计算出在电荷体密度为
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
的一点上，有：
  
    
      
        4
        π
        ρ
        =
        −
        conv
        
        R
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                R
                
                  x
                
              
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              
                d
              
              
                R
                
                  y
                
              
            
            
              
                d
              
              y
            
          
        
        +
        
          
            
              
                d
              
              
                R
                
                  z
                
              
            
            
              
                d
              
              z
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle 4\pi \rho =-\operatorname {conv} \,R={\frac {\mathrm {d} R_{x}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} R_{y}}{\mathrm {d} y}}+{\frac {\mathrm {d} R_{z}}{\mathrm {d} z}}.\,}
  
其中
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
是电场力。他将这个关系解释为电荷的存在是电场力汇聚的相反。如果将聚集度解释为电场力进入一个微小体积的总和，那么加上一个负号之后，就可以描述一个微小体积中散发出的电场力总和，他将其称为“散度”、「發散度」（divergence）:165，收斂度與發散度在量上相同，但正負符號相反。他认为有必要将
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  
算子对一个四元数
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
的作用效果分开，并将
  
    
      
        
          ∇
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}
  
算子对
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
的向量部分作用的结果分成散度部分
  
    
      
        div
        
        q
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} \,q}
  
和旋度部分
  
    
      
        curl
        
        q
      
    
    {\displaystyle \operatorname {curl} \,q}
  
 :166-167 。


参阅 旋度
梯度
高斯散度定理
在圆柱和球坐标系中的del


参考文献