在數學中，正弦（英語：sine、縮寫
  
    
      
        sin
      
    
    {\displaystyle \sin }
  
）是一種週期函數，是三角函数的一種。它的定义域是整个实数集，值域是
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,1]}
  
。它是周期函数，其最小正周期为
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
（
  
    
      
        
          360
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle 360^{\circ }}
  
）。在自变量为
  
    
      
        
          
            
              (
              4
              n
              +
              1
              )
              π
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {(4n+1)\pi }{2}}}
  
（
  
    
      
        
          360
          
            ∘
          
        
        n
        +
        
          90
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle 360^{\circ }n+90^{\circ }}
  
，其中
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为
  
    
      
        
          
            
              (
              4
              n
              +
              3
              )
              π
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {(4n+3)\pi }{2}}}
  
（
  
    
      
        
          360
          
            ∘
          
        
        n
        +
        
          270
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle 360^{\circ }n+270^{\circ }}
  
）时，该函数有极小值-1。正弦函数是奇函数，其图像于原点对称。
在半个最小正周期内，正弦函数有反函数，称为反正弦函数。


符号史 正弦的符号为
  
    
      
        sin
      
    
    {\displaystyle \sin }
  
，取自拉丁文sinus，词源是梵文的jiva（“弓弦”，如今多写作jya）。这个词在阿拉伯语里转写为jiba（جيب），但该词无意义，阿拉伯语又好省略元音，故只写作jb（جب）。然而在从阿拉伯文翻译到拉丁文时，jb被解释为jayb（جيب），意为“胸部”或“乳房”，而拉丁文sinus便是克雷莫纳的杰拉德由此词翻译而来。该符号最早由法国数学家阿尔贝·热拉尔（Albert Gerard）使用（但他只使用了正弦、余弦和正切；其余三个符号则是被欧拉补足的）。


定义 = 直角三角形中 =

在直角三角形中，一个锐角
  
    
      
        ∠
        A
      
    
    {\displaystyle \angle A}
  
的正弦定义为它的对边与斜边的比值，也就是：

  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              a
            
            
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {a} }{\mathrm {c} }}}
  

其定義與餘割函數互為倒數。


= 直角坐标系中 =
设
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，
  
    
      
        P
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P\left({x,y}\right)}
  
是角的终边上一点，
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}
  
是P到原点O的距离，则
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
的正弦定义为：

  
    
      
        sin
        ⁡
        α
        =
        
          
            y
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y}{r}}}
  


= 单位圆定义 =

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于
  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \sin \theta }
  
。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了
  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
        =
        
          
            y
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{1}}}
  
。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
对于大于
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
或小于
  
    
      
        −
        2
        π
      
    
    {\displaystyle -2\pi }
  
的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的周期函数：

  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
        =
        sin
        ⁡
        
          (
          
            θ
            +
            2
            π
            k
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}
  

对于任何角度
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
和任何整数
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
。


= 級數定義 =

  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        =
        x
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            
              5
              !
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                7
              
            
            
              7
              !
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
              
                x
                
                  2
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            
              (
              2
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
  


= 微分方程定义 =
由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足初值問題

  
    
      
        
          y
          ″
        
        =
        −
        y
        ,
        
        y
        (
        0
        )
        =
        0
        ,
        
        
          y
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle y''=-y,\,y(0)=0,\,y'(0)=1}
  

这就是正弦的微分方程定义。


= 指数定义 =
正弦函數的指數定義可由歐拉公式導出：

  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              
                e
                
                  i
                  θ
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  i
                  θ
                
              
            
            
              2
              i
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,}
  


恒等式 = 用其它三角函数来表示正弦 =


= 两角和差公式 =

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          (
          
            x
            +
            y
          
          )
        
        =
        sin
        ⁡
        x
        cos
        ⁡
        y
        +
        cos
        ⁡
        x
        sin
        ⁡
        y
      
    
    {\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          (
          
            x
            −
            y
          
          )
        
        =
        sin
        ⁡
        x
        cos
        ⁡
        y
        −
        cos
        ⁡
        x
        sin
        ⁡
        y
      
    
    {\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}
  


= 二倍角公式 =

  
    
      
        sin
        ⁡
        2
        θ
        =
        2
        sin
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \,}
  


= 三倍角公式 =

  
    
      
        sin
        ⁡
        3
        θ
        =
        3
        sin
        ⁡
        θ
        −
        4
        
          sin
          
            3
          
        
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,}
  


= 半角公式 =

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        =
        ±
        
        
          
            
              
                1
                −
                cos
                ⁡
                θ
              
              2
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}.\,}
  


= 和差化积公式 =

  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
        +
        sin
        ⁡
        ϕ
        =
        2
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                θ
                +
                ϕ
              
              2
            
          
          )
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                θ
                −
                ϕ
              
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \sin \theta +\sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
        −
        sin
        ⁡
        ϕ
        =
        2
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                θ
                +
                ϕ
              
              2
            
          
          )
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                θ
                −
                ϕ
              
              2
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \sin \theta -\sin \phi =2\cos \left({\theta +\phi  \over 2}\right)\sin \left({\theta -\phi  \over 2}\right)\;}
  


= 万能公式 =

  
    
      
        sin
        ⁡
        α
        =
        
          
            
              2
              tan
              ⁡
              
                
                  α
                  2
                
              
            
            
              1
              +
              
                tan
                
                  2
                
              
              ⁡
              
                
                  α
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}
  


含有正弦的积分 ∫
        sin
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        =
        −
        
          
            1
            c
          
        
        cos
        ⁡
        c
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \int \sin cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\cos cx\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          |
        
        sin
        ⁡
        x
        
          |
        
        
        d
        x
        =
        −
        cos
        ⁡
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \int |\sin x|\;dx=-\cos x\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          sin
          
            n
          
        
        ⁡
        
          c
          x
        
        
        d
        x
        =
        −
        
          
            
              
                sin
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              ⁡
              c
              x
              cos
              ⁡
              c
              x
            
            
              n
              c
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              −
              1
            
            n
          
        
        ∫
        
          sin
          
            n
            −
            2
          
        
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        
        
          
            (for 
          
        
        n
        >
        0
        
          
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int \sin ^{n}{cx}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          c
          x
        
        
        d
        x
        =
        
          
            x
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              4
              c
            
          
        
        sin
        ⁡
        2
        c
        x
        =
        
          
            x
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              2
              c
            
          
        
        sin
        ⁡
        c
        x
        cos
        ⁡
        c
        x
        
      
    
    {\displaystyle \int \sin ^{2}{cx}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4c}}\sin 2cx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\sin cx\cos cx\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            1
            −
            sin
            ⁡
            
              x
            
          
        
        
        d
        x
        =
        ∫
        
          
            cvs
            ⁡
            
              x
            
          
        
        
        d
        x
        =
        2
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                
                  x
                  2
                
              
              +
              sin
              ⁡
              
                
                  x
                  2
                
              
            
            
              cos
              ⁡
              
                
                  x
                  2
                
              
              −
              sin
              ⁡
              
                
                  x
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            cvs
            ⁡
            
              x
            
          
        
        =
        2
        
          
            1
            +
            sin
            ⁡
            
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\sqrt {1-\sin {x}}}\;dx=\int {\sqrt {\operatorname {cvs} {x}}}\,dx=2{\frac {\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}{\sqrt {\operatorname {cvs} {x}}}=2{\sqrt {1+\sin {x}}}}
  

  
    
      
        ∫
        x
        sin
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              c
              x
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              cos
              ⁡
              c
              x
            
            c
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x\cos cx}{c}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          x
          
            n
          
        
        sin
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        =
        −
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            c
          
        
        cos
        ⁡
        c
        x
        +
        
          
            n
            c
          
        
        ∫
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        cos
        ⁡
        c
        x
        
        d
        x
        
        
          
            (for 
          
        
        n
        >
        0
        
          
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int x^{n}\sin cx\;dx=-{\frac {x^{n}}{c}}\cos cx+{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\cos cx\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            
              
                −
                a
              
              2
            
          
          
            
              a
              2
            
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            
              n
              π
              x
            
            a
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            
              
                a
                
                  3
                
              
              (
              
                n
                
                  2
                
              
              
                π
                
                  2
                
              
              −
              6
              )
            
            
              24
              
                n
                
                  2
                
              
              
                π
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        
          
            (for 
          
        
        n
        =
        2
        ,
        4
        ,
        6...
        
          
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              sin
              ⁡
              c
              x
            
            x
          
        
        
        d
        x
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
          
        
        
          
            
              (
              c
              x
              
                )
                
                  2
                  i
                  +
                  1
                
              
            
            
              (
              2
              i
              +
              1
              )
              ⋅
              (
              2
              i
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {\sin cx}{x}}\;dx=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              sin
              ⁡
              c
              x
            
            
              x
              
                n
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        −
        
          
            
              sin
              ⁡
              c
              x
            
            
              (
              n
              −
              1
              )
              
                x
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        +
        
          
            c
            
              n
              −
              1
            
          
        
        ∫
        
          
            
              cos
              ⁡
              c
              x
            
            
              x
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        d
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {\sin cx}{x^{n}}}\;dx=-{\frac {\sin cx}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\cos cx}{x^{n-1}}}dx\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              sin
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        
          
            1
            c
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            tan
            ⁡
            
              
                
                  c
                  x
                
                2
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan {\frac {cx}{2}}\right|}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                sin
                
                  n
                
              
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              cos
              ⁡
              c
              x
            
            
              c
              (
              1
              −
              n
              )
              
                sin
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              −
              2
            
            
              n
              −
              1
            
          
        
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                sin
                
                  n
                  −
                  2
                
              
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        
        
          
            (for 
          
        
        n
        >
        1
        
          
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx}}={\frac {\cos cx}{c(1-n)\sin ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              1
              ±
              sin
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        
          
            1
            c
          
        
        tan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  c
                  x
                
                2
              
            
            ∓
            
              
                π
                4
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin cx}}={\frac {1}{c}}\tan \left({\frac {cx}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              x
              
              d
              x
            
            
              1
              +
              sin
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        
          
            x
            c
          
        
        tan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  c
                  x
                
                2
              
            
            −
            
              
                π
                4
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            2
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            cos
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    
                      c
                      x
                    
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    π
                    4
                  
                
              
              )
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\sin cx}}={\frac {x}{c}}\tan \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              x
              
              d
              x
            
            
              1
              −
              sin
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        
          
            x
            c
          
        
        cot
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            −
            
              
                
                  c
                  x
                
                2
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            2
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            sin
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    π
                    4
                  
                
                −
                
                  
                    
                      c
                      x
                    
                    2
                  
                
              
              )
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\sin cx}}={\frac {x}{c}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)\right|}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              sin
              ⁡
              c
              x
              
              d
              x
            
            
              1
              ±
              sin
              ⁡
              c
              x
            
          
        
        =
        ±
        x
        +
        
          
            1
            c
          
        
        tan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            ∓
            
              
                
                  c
                  x
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {\sin cx\;dx}{1\pm \sin cx}}=\pm x+{\frac {1}{c}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {cx}{2}}\right)}
  

  
    
      
        ∫
        sin
        ⁡
        
          c
          
            1
          
        
        x
        sin
        ⁡
        
          c
          
            2
          
        
        x
        
        d
        x
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              
                c
                
                  1
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
              )
              x
            
            
              2
              (
              
                c
                
                  1
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        −
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              
                c
                
                  1
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
              )
              x
            
            
              2
              (
              
                c
                
                  1
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        
        
          
            (for 
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            1
          
        
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          |
        
        
          
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int \sin c_{1}x\sin c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}-{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{(for }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
  


特殊值 正弦定理 正弦定理說明对于任意三角形，它的边是
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
和
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
而相对这些边的角是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
和
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
，有：

  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              A
            
            a
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              B
            
            b
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              C
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}
  

也表示为：

  
    
      
        
          
            a
            
              sin
              ⁡
              A
            
          
        
        =
        
          
            b
            
              sin
              ⁡
              B
            
          
        
        =
        
          
            c
            
              sin
              ⁡
              C
            
          
        
        =
        2
        R
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}
  

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明。在这个定理中出现的公共数
  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              A
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}}
  
是通过
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
和
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。


参考文献 外部链接 维基共享资源上的相關多媒體資源：正弦


參見 餘弦
正切
餘切
正割
餘割
三角学
三角函数
函數
正弦波