弦函數（chord function），又稱全弦，是最早的三角函數之一，符號通常表示為
  
    
      
        crd
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \theta }
  
，由古希臘數學家喜帕恰斯所定義，在三角學的早期發展中被廣泛使用，主要用於解決天文學計算的問題，現已鮮少使用，但部分的程式庫仍會提供弦函數的計算函式。
弦函數的函數值為該角在單位圓上的弦長或圓上特定圓心角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
對應的弦與半徑的比值，換句話說，就是單位圓上角的終邊端點到始邊端點的距離。
弦函數與正弦函數不太一樣，但關係十分密切。
在0到π弧度（180度）之間的全弦（crd）與正弦（sin）的關係為crd θ = 2 sin θ/2。


定義 假設角θ介於0和π弧度（180度）之間，則
  
    
      
        crd
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \theta }
  
的值由圓心角∠AOB構造等腰三角形ΔOAB的底邊長
  
    
      
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {AB}}}
  
給出，其中O為圓心，即圓心角的頂點。
弦函數的幾何定義如右圖所示。
角的弦函數值是單位圓上由該圓心角分隔的兩點之間的弦的長度。
角度θ取正值，必須位於0 < θ ≤ π（以弧度為單位，或0 < θ ≤ 180度）區間內。
弦函數可以與現代的正弦函數連結起來，取其中一點為(1,0)，另一點為(cos θ, sin θ)，然後利用勾股定理即可計算弦長度。

  
    
      
        crd
        ⁡
         
        θ
        =
        
          
            (
            1
            −
            cos
            ⁡
            θ
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            θ
          
        
        =
        
          
            2
            −
            2
            cos
            ⁡
            θ
          
        
        =
        2
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              θ
              2
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}
  

也就是說，弦長度可以透過下列等式來計算：

弦長 = 
  
    
      
        r
        crd
        ⁡
        θ
        =
        2
        r
        sin
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r\operatorname {crd} \theta =2r\sin {\frac {\theta }{2}}}
  

其中，r為圓的半徑、θ為弦對應的圓心角角度。
弦函數與正弦函數相關聯。
在下表中，弦函數可以滿足許多類似於眾所周知的現代函數的恆等式：

弦函數也可以表達成如下指數定義：

  
    
      
        crd
        ⁡
         
        x
        =
        
          
            2
            −
            
              e
              
                i
                x
              
            
            −
            
              e
              
                −
                i
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \ x={\sqrt {2-e^{ix}-e^{-ix}}}}
  


歷史 最早已知的弦函數表由喜帕恰斯編制，其列出了每7+1/2度的弦函數值。
在公元二世紀，亞歷山大的托勒密在他的天文學書《天文學大成》中編制了弦函數的函數表——托勒密全弦表，其給出了從1/2度到180度的角度的弦函數值，表中的每行以1/2度為單位。
但其並非是直接以單位圓列出弦函數值，其列出的數值，參考的圓形直徑為120，弦長精確到整數部分後兩位60進位的數字，
也就是說，托勒密全弦表所列出的值是弦函數的60倍，例如
  
    
      
        crd
        ⁡
        
          60
          
            ∘
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} 60^{\circ }=1}
  
，而在托勒密全弦表中，60度角所記錄的值為弦的全長——60。
弦函數與現代常用的正弦函數之關係可以看做是正弦函數代入半角公式的結果。

  
    
      
        crd
        ⁡
         
        θ
        =
        2
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              θ
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}
  

上述等式只成立於0 < θ ≤ π（以弧度為單位，或0 < θ ≤ 180度）。
正如現代三角學是建立在正弦函數的基礎上一樣，古代三角學也是建立在和弦函數的基礎上。
據說喜帕恰斯寫了一本十二卷的關於弦函數的著作，雖然現在全部都失傳了，但想必人們對弦函數有一定的了解。


托勒密的弦函數 托勒密所建立的托勒密全弦表是紀錄特定圓心角θ°在直徑120（半徑60）的圓形上所對應的弦之長度，換句話說，這個函數表所對應的函數
  
    
      
        chord
        ⁡
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {chord} (\theta )}
  
與正弦函數的關係為：

  
    
      
        
          
            
              
              
                chord
                ⁡
                (
                θ
                )
                =
                120
                sin
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      
                        θ
                        
                          ∘
                        
                      
                      2
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                60
                ⋅
                
                  (
                  
                    2
                    
                    sin
                    ⁡
                    
                      (
                      
                        
                          
                            
                              π
                              
                                θ
                                
                                  ∘
                                
                              
                            
                            360
                          
                        
                        
                           radians
                        
                      
                      )
                    
                  
                  )
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {chord} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\,\sin \left({\frac {\pi \theta ^{\circ }}{360}}{\text{ radians}}\right)\right).\end{aligned}}}
  


恒等式 = 导数 =

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
        crd
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              θ
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {crd} (\theta )=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}
  
，（0 < θ ≤ π）

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
        crd
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            
              2
              −
              2
              cos
              ⁡
              (
              θ
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              sin
              ⁡
              (
              θ
              )
              (
              1
              −
              cos
              ⁡
              (
              θ
              )
              )
              +
              2
              sin
              ⁡
              (
              θ
              )
              cos
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            
              2
              
                
                  
                    sin
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  (
                  θ
                  )
                  +
                  (
                  1
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  θ
                  )
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {crd} (\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {2-2\cos(\theta )}}}={\frac {2\sin(\theta )(1-\cos(\theta ))+2\sin(\theta )\cos(\theta )}{2{\sqrt {\sin ^{2}(\theta )+(1-\cos(\theta ))^{2}}}}}}
  


= 積分 =

  
    
      
        ∫
        crd
        ⁡
        (
        θ
        )
        
        
          d
        
        θ
        =
        −
        4
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              θ
              2
            
          
          )
        
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int \operatorname {crd} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =-4\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+C}
  
，（0 < θ ≤ π）

  
    
      
        ∫
        crd
        ⁡
        (
        θ
        )
        
        
          d
        
        θ
        =
        −
        2
        
          
            2
            −
            2
            cos
            ⁡
            (
            θ
            )
          
        
        cot
        ⁡
        
          (
          
            
              θ
              2
            
          
          )
        
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int \operatorname {crd} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =-2{\sqrt {2-2\cos(\theta )}}\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)+C}
  


= 其他恆等式 =

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            α
            ±
            β
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        crd
        ⁡
        
          (
          α
          )
        
        
          
            4
            −
            
              crd
              
                2
              
            
            ⁡
            
              (
              β
              )
            
          
        
        ±
        
          
            1
            2
          
        
        crd
        ⁡
        
          (
          β
          )
        
        
          
            4
            −
            
              crd
              
                2
              
            
            ⁡
            
              (
              α
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {1}{2}}\operatorname {crd} \left(\alpha \right){\sqrt {4-\operatorname {crd} ^{2}\left(\beta \right)}}\pm {\frac {1}{2}}\operatorname {crd} \left(\beta \right){\sqrt {4-\operatorname {crd} ^{2}\left(\alpha \right)}}}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            
              θ
              2
            
          
          )
        
        =
        
          
            2
            −
            crd
            ⁡
            (
            π
            −
            θ
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            2
            θ
          
          )
        
        =
        crd
        ⁡
        
          (
          θ
          )
        
        
          
            4
            −
            
              crd
              
                2
              
            
            ⁡
            (
            θ
            )
          
        
        =
        2
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left(2\theta \right)=\operatorname {crd} \left(\theta \right){\sqrt {4-\operatorname {crd} ^{2}(\theta )}}=2\sin \theta }
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            3
            θ
          
          )
        
        =
        3
        crd
        ⁡
        
          (
          θ
          )
        
        −
        
          crd
          
            3
          
        
        ⁡
        
          (
          θ
          )
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left(3\theta \right)=3\operatorname {crd} \left(\theta \right)-\operatorname {crd} ^{3}\left(\theta \right)}
  

正弦定理也可以寫成基於弦函數的形式：

  
    
      
        
          
            
              crd
              ⁡
               
              2
              A
            
            a
          
        
        =
        
          
            
              crd
              ⁡
               
              2
              B
            
            b
          
        
        =
        
          
            
              crd
              ⁡
               
              2
              C
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\operatorname {crd} \ 2A}{a}}={\frac {\operatorname {crd} \ 2B}{b}}={\frac {\operatorname {crd} \ 2C}{c}}}
  

其中，a、b和c為三角形的三條邊；而A、B和C則為對應邊的對角。


= 與其他三角函數的關係 =
弦函數可以透過正弦、餘弦和正矢等函數來構造：

  
    
      
        crd
        ⁡
         
        θ
        =
        2
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              θ
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}
  
，0 < θ ≤ π（0 < θ ≤ 180°）

  
    
      
        crd
        ⁡
         
        θ
        =
        
          
            2
            −
            2
            cos
            ⁡
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {2-2\cos \theta }}}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
         
        θ
        =
        
          
            2
            versin
            ⁡
             
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {2\operatorname {versin} \ \theta }}}
  


特殊值 crd
        ⁡
        
          (
          0
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left(0\right)=0}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            
              π
              15
            
          
          )
        
        =
        crd
        ⁡
        
          (
          
            12
            
              ∘
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              
                
                  30
                  −
                  6
                  
                    
                      5
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  6
                  +
                  2
                  
                    
                      5
                    
                  
                
              
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left({\frac {\pi }{15}}\right)=\operatorname {crd} \left(12^{\circ }\right)={\frac {{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {6+2{\sqrt {5}}}}}{4}}}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            
              π
              5
            
          
          )
        
        =
        crd
        ⁡
        
          (
          
            36
            
              ∘
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\operatorname {crd} \left(36^{\circ }\right)={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            
              π
              3
            
          
          )
        
        =
        crd
        ⁡
        
          (
          
            60
            
              ∘
            
          
          )
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left({\frac {\pi }{3}}\right)=\operatorname {crd} \left(60^{\circ }\right)=1}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            
              
                2
                π
              
              5
            
          
          )
        
        =
        crd
        ⁡
        
          (
          
            72
            
              ∘
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              10
              −
              2
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left({\frac {2\pi }{5}}\right)=\operatorname {crd} \left(72^{\circ }\right)={\frac {10-2{\sqrt {5}}}{2}}}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            
              π
              2
            
          
          )
        
        =
        crd
        ⁡
        
          (
          
            90
            
              ∘
            
          
          )
        
        =
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left({\frac {\pi }{2}}\right)=\operatorname {crd} \left(90^{\circ }\right)={\sqrt {2}}}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            
              
                3
                π
              
              5
            
          
          )
        
        =
        crd
        ⁡
        
          (
          
            108
            
              ∘
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              6
              +
              2
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left({\frac {3\pi }{5}}\right)=\operatorname {crd} \left(108^{\circ }\right)={\frac {6+2{\sqrt {5}}}{2}}}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            
              
                2
                π
              
              3
            
          
          )
        
        =
        crd
        ⁡
        
          (
          
            120
            
              ∘
            
          
          )
        
        =
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left({\frac {2\pi }{3}}\right)=\operatorname {crd} \left(120^{\circ }\right)={\sqrt {3}}}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          
            
              
                4
                π
              
              5
            
          
          )
        
        =
        crd
        ⁡
        
          (
          
            144
            
              ∘
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              10
              +
              2
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left({\frac {4\pi }{5}}\right)=\operatorname {crd} \left(144^{\circ }\right)={\frac {10+2{\sqrt {5}}}{2}}}
  

  
    
      
        crd
        ⁡
        
          (
          π
          )
        
        =
        crd
        ⁡
        
          (
          
            180
            
              ∘
            
          
          )
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \left(\pi \right)=\operatorname {crd} \left(180^{\circ }\right)=2}
  


反函數 弦函數的反函數可以定義如下：

  
    
      
        
          crd
          
            −
            1
          
        
        ⁡
         
        y
        =
        2
        arcsin
        ⁡
        
          
            y
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} ^{-1}\ y=2\arcsin {\frac {y}{2}}}
  

在這定義下只有0 ≤ y ≤ 2是有意義的（弦長沒有負值、單位圓的弦長不會超過兩倍半徑）。
或者用
  
    
      
        crd
        ⁡
         
        θ
        =
        
          
            2
            −
            2
            cos
            ⁡
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {2-2\cos \theta }}}
  
回推得到：

  
    
      
        
          crd
          
            −
            1
          
        
        ⁡
         
        y
        =
        arccos
        ⁡
        
          
            
              2
              −
              
                y
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {crd} ^{-1}\ y=\arccos {\frac {2-y^{2}}{2}}}
  

反弦函數有時會簡稱為acrd。
因此已知弦長可以回推圓心角的角度：

  
    
      
        θ
        =
        2
        arcsin
        ⁡
        
          
            c
            
              2
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}
  

其中，其中c是弦長、r是圓的半徑。


相關函數 弦函數的值域範圍在0到2之間，類似的函數還有正矢函數（versin），值域範圍也在0到2之間，但函數圖形略有差異。
弦函數在範圍0到π（180度）之間的圖形與正弦函數0到π/2（90度）的形狀類似，但邊長差了1倍的縮放倍率。弦函數與其他「正」的三角函數（正弦、正切、正割、正矢）同樣是從零開始遞增的函數。


= arc θ =

與弦函數（crd θ）類似的還有另一個符號——arc θ，用於表達指定角θ對應的圓弧之弧長，這個概念有時稱為正弧，對應於割圓八線中正角的弧。
早期為了計算天文學上的球面幾何問題，例如計算球面三角形和四邊形。
因此需要找出arc θ和crd θ的對應關係。在單位圓上，arc θ以黑色較粗的線標示在下圖上。

在單位圓上，arc θ的值在範圍0到2π（360度）之間與θ相等，在2π以上時，則為最小正同界角的弧度值。


 正弧與餘弧  相同的概念在割圓八線中也存在。
arc θ在割圓八線中對應「正弧」，即正角（θ）對應的弧。在這概念下，除了正弧（arc θ）外，也存在對應的餘弧（coarc θ），即餘角對應的弧，等價於直角與正角之差所對應的弧（coarc θ = arc(π/2 − θ)）。
正弧與餘弧的概念早在清代就已經記載於梅文鼎的著作《平三角舉要》中了，
並且正弧和餘弧的概念與正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢和餘矢並列列出，同時也給角「正角」和「餘角」的概念。


參見 三角函數
弦 (幾何)


註釋 參考文獻