微积分基本定理（英語：Fundamental theorem of calculus）描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。
定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性。
定理的第二部分，称为微积分第二基本定理或牛顿-莱布尼茨公式，表明某函數的定积分可以用該函數的任意一個反導函數来计算。这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因为它大大简化了定积分的计算。
该定理的一个特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）证明和出版。定理的一般形式，则由艾萨克·巴罗完成证明。
對微积分基本定理比較直觀的理解是：把函數在一段區間的「无穷小变化」全部「加起來」，會等于该函數的净变化，這裡「無窮小變化」就是微分，「加起來」就是積分，淨變化就是該函數在區間兩端點的差。
我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动，其位置为
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  
，其中
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
为时间，
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  
意味着
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
除以时间的无穷小变化
  
    
      
        d
        t
      
    
    {\displaystyle dt}
  
（当然，该导数本身也与时间有关）。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法：

  
    
      
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        v
        (
        t
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(t).}
  

整理，得

  
    
      
        d
        x
        =
        v
        (
        t
        )
        
        d
        t
        .
      
    
    {\displaystyle dx=v(t)\,dt.}
  

根据以上的推理，
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的变化──
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
，是
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和，就是积分；所以，一个函数求导之后再积分，得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断，这个运算反过来也成立，积分之后再求导，得到的也是原来的函数。


历史 詹姆斯·格里高利首先发表了该定理基本形式的几何证明，艾萨克·巴罗证明了该定理的一般形式。巴罗的学生艾萨克·牛顿完善了微积分的相关理论。莱布尼茨使得相关理论实现体系化并引入了沿用至今的微积分符号。


正式表述 微積分基本定理有兩部分，第一部分是定積分的微分，第二部分是原函数和定積分之間的關聯。


= 第一部分 / 第一基本定理 =
設 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
  
，
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
  
於 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
 黎曼可積分，定義函數 
  
    
      
        F
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }
  
 如下：

  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            x
          
        
        
        f
        (
        t
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}\!f(t)\,dt}
  

則

  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
 於閉區間 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
 連續
若 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 於 
  
    
      
        c
        ∈
        [
        a
        ,
        
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle c\in [a,\,b]}
  
 連續，則
  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        c
        )
        =
        f
        (
        c
        )
      
    
    {\displaystyle F'(c)=f(c)}
  


= 第二部分 / 第二基本定理 =

若兩函數 
  
    
      
        f
        ,
        F
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        ↦
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f,F:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }
  
 滿足：

  
    
      
        [
        ∀
        x
        ∈
        (
        a
        ,
        b
        )
        ]
        [
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [\forall x\in (a,b)][F'(x)=f(x)]}
  
 （即 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
 是 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的一个原函數）

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 於 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
 黎曼可積分
則有：

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
        f
        (
        t
        )
        
        d
        t
        
        =
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\,dt\,=F(b)-F(a)}
  

可簡記為

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
        f
        (
        t
        )
        
        d
        t
        
        =
        F
        (
        x
        )
        
          
            
              |
            
          
          
            a
          
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\,dt\,=F(x){\bigg |}_{a}^{b}}
  


證明 = 第一部分 =
(1)
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
 於 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
 連續
因為 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 為黎曼可積，所以 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 有界 (否則會有矛盾) ，也就是存在 
  
    
      
        M
        >
        0
      
    
    {\displaystyle M>0}
  
 使

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        M
      
    
    {\displaystyle |f(x)|\leq M}
  
 (對所有的 
  
    
      
        x
        ∈
        [
        a
        ,
        
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle x\in [a,\,b]}
  
)
根據黎曼積分的定義，若取 
  
    
      
        x
        ,
        
        c
        ∈
        [
        a
        ,
        
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle x,\,c\in [a,\,b]}
  
 則

  
    
      
        
          |
        
        F
        (
        x
        )
        −
        F
        (
        c
        )
        
          |
        
        =
        
          |
          
            
              ∫
              
                c
              
              
                x
              
            
            f
            (
            t
            )
            
            d
            t
          
          |
        
        ≤
        M
        
          |
        
        x
        −
        c
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |F(x)-F(c)|=\left|\int _{c}^{x}f(t)\,dt\right|\leq M|x-c|}
  

那這樣，如果取 
  
    
      
        δ
        =
        
          
            ϵ
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta ={\frac {\epsilon }{M}}}
  
 且 
  
    
      
        0
        <
        
          |
        
        x
        −
        c
        
          |
        
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle 0<|x-c|<\delta }
  
 ，則

  
    
      
        
          |
        
        F
        (
        x
        )
        −
        F
        (
        c
        )
        
          |
        
        <
        ϵ
      
    
    {\displaystyle |F(x)-F(c)|<\epsilon }
  

那根據函數極限的定義，可以得到

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        F
        (
        x
        )
        =
        F
        (
        c
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}F(x)=F(c)}
  

故得証。 
  
    
      
        ◻
      
    
    {\displaystyle \Box }
  

(2)若 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 於 
  
    
      
        c
        ∈
        [
        a
        ,
        
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle c\in [a,\,b]}
  
 連續，則
  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        c
        )
        =
        f
        (
        c
        )
      
    
    {\displaystyle F'(c)=f(c)}
  

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 於 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 連續意為：對所有 
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
  
 ，都存在 
  
    
      
        δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \delta >0}
  
 使得所有的 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 定義域裡的 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 只要滿足 
  
    
      
        0
        <
        
          |
        
        x
        −
        c
        
          |
        
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle 0<|x-c|<\delta }
  
 就有 
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        c
        )
        
          |
        
        <
        ϵ
      
    
    {\displaystyle |f(x)-f(c)|<\epsilon }
  

而根據黎曼積分的定義可以知道，若對黎曼可積分的 
  
    
      
        g
        :
        [
        r
        ,
        
        s
        ]
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle g:[r,\,s]\to \mathbb {R} }
  
 有 
  
    
      
        (
        ∀
        x
        ∈
        [
        r
        ,
        
        s
        ]
        )
        [
        
        
          |
        
        g
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        M
        
        ]
      
    
    {\displaystyle (\forall x\in [r,\,s])[\,|g(x)|\leq M\,]}
  
 ，則

  
    
      
        
          ∫
          
            r
          
          
            s
          
        
        g
        (
        t
        )
        
        d
        t
        ≤
        
          ∫
          
            r
          
          
            s
          
        
        
          |
        
        g
        (
        t
        )
        
          |
        
        
        d
        t
        ≤
        M
        (
        s
        −
        r
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{r}^{s}g(t)\,dt\leq \int _{r}^{s}|g(t)|\,dt\leq M(s-r)}
  

這樣考慮上述連續定義  
  
    
      
        0
        <
        x
        −
        c
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle 0<x-c<\delta }
  
  的部分會有

  
    
      
        
          |
          
            
              
                
                  F
                  (
                  x
                  )
                  −
                  F
                  (
                  c
                  )
                
                
                  x
                  −
                  c
                
              
            
            −
            f
            (
            c
            )
          
          |
        
        =
        
          |
          
            
              
                1
                
                  x
                  −
                  c
                
              
            
            
              [
              
                
                  ∫
                  
                    c
                  
                  
                    x
                  
                
                f
                (
                t
                )
                −
                f
                (
                c
                )
                
                d
                t
              
              ]
            
          
          |
        
        <
        
          |
          
            
              
                ϵ
                (
                x
                −
                c
                )
              
              
                x
                −
                c
              
            
          
          |
        
        =
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \left|{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}-f(c)\right|=\left|{\frac {1}{x-c}}\left[\int _{c}^{x}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|{\frac {\epsilon (x-c)}{x-c}}\right|=\epsilon }
  

類似的， 
  
    
      
        0
        <
        c
        −
        x
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle 0<c-x<\delta }
  
 的部分會有

  
    
      
        
          |
          
            
              
                
                  F
                  (
                  x
                  )
                  −
                  F
                  (
                  c
                  )
                
                
                  x
                  −
                  c
                
              
            
            −
            f
            (
            c
            )
          
          |
        
        =
        
          |
          
            
              
                1
                
                  c
                  −
                  x
                
              
            
            
              [
              
                
                  ∫
                  
                    x
                  
                  
                    c
                  
                
                f
                (
                t
                )
                −
                f
                (
                c
                )
                
                d
                t
              
              ]
            
          
          |
        
        <
        
          |
          
            
              
                ϵ
                (
                c
                −
                x
                )
              
              
                c
                −
                x
              
            
          
          |
        
        =
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \left|{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}-f(c)\right|=\left|{\frac {1}{c-x}}\left[\int _{x}^{c}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|{\frac {\epsilon (c-x)}{c-x}}\right|=\epsilon }
  

那同樣根據函數極限的定義，就有

  
    
      
        
          F
          
            ′
          
        
        (
        c
        )
        =
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
          
            
              F
              (
              x
              )
              −
              F
              (
              c
              )
            
            
              x
              −
              c
            
          
        
        =
        f
        (
        c
        )
      
    
    {\displaystyle F^{\prime }(c)=\lim _{x\to c}{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}=f(c)}
  

即為所求。 
  
    
      
        ◻
      
    
    {\displaystyle \Box }
  


= 第二部分 =
设
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
上连续，并设
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
为
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的原函数。我们从以下表达式开始

  
    
      
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(b)-F(a)\,.}
  

设有数

  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
  

使得

  
    
      
        a
        =
        
          x
          
            0
          
        
        <
        
          x
          
            1
          
        
        <
        
          x
          
            2
          
        
        <
        …
        <
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        <
        
          x
          
            n
          
        
        =
        b
        
        .
      
    
    {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b\,.}
  

可得

  
    
      
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
        =
        F
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
        −
        F
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})\,.}
  

我们加上
  
    
      
        F
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F(x_{i})}
  
及其相反数，这样等式仍成立：

  
    
      
        
          
            
              
                F
                (
                b
                )
                −
                F
                (
                a
                )
              
              
                =
              
              
                F
                (
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                )
                
                +
                
                [
                −
                F
                (
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                )
                
                +
                
                F
                (
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                )
                ]
                
                +
                
                …
                
                +
                
                [
                −
                F
                (
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                )
                +
                F
                (
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                )
                ]
                
                −
                
                F
                (
                
                  x
                  
                    0
                  
                
                )
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                [
                F
                (
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                )
                
                −
                
                F
                (
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                )
                ]
                
                +
                
                [
                F
                (
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                )
                
                +
                
                …
                
                −
                
                F
                (
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                )
                ]
                
                +
                
                [
                F
                (
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                )
                
                −
                
                F
                (
                
                  x
                  
                    0
                  
                
                )
                ]
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x_{n})\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x_{1})+F(x_{1})]\,-\,F(x_{0})\,\\&=&[F(x_{n})\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x_{1})]\,+\,[F(x_{1})\,-\,F(x_{0})]\,.\end{matrix}}}
  

以上表达式可用以下的和表示：

  
    
      
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
        [
        F
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        −
        F
        (
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
        )
        ]
        
        .
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\,.\qquad (1)}
  

我们将使用均值定理。就是：
设
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
在闭区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
连续，在开区间
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
可导，则开区间
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
内一定存在
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
使得

  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        c
        )
        =
        
          
            
              F
              (
              b
              )
              −
              F
              (
              a
              )
            
            
              b
              −
              a
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}\,.}
  

可得

  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        c
        )
        (
        b
        −
        a
        )
        =
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).\,}
  

函数
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
在区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
可导，所以在每一个区间
  
    
      
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i-1}}
  
也是可导和连续的。因此，根据均值定理，

  
    
      
        F
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        −
        F
        (
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
        )
        =
        
          F
          ′
        
        (
        
          c
          
            i
          
        
        )
        (
        
          x
          
            i
          
        
        −
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\,.}
  

把上式代入(1)，得

  
    
      
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
        [
        
          F
          ′
        
        (
        
          c
          
            i
          
        
        )
        (
        
          x
          
            i
          
        
        −
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
        )
        ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]\,.}
  

根据第一部分的结论，我们有
  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        
          c
          
            i
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          c
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i})}
  
。另外，
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        −
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}
  
可表示为第
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
个小区间的
  
    
      
        Δ
        x
      
    
    {\displaystyle \Delta x}
  
。

  
    
      
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
        [
        f
        (
        
          c
          
            i
          
        
        )
        (
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
        )
        ]
        
        .
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.\qquad (2)}
  

注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度），并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到，
  
    
      
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta x_{i}}
  
并不需要对于任何
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
都是相同的，换句话说，矩形的长度可以变化。我们要做的，是要用
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个矩形来近似代替曲线。现在，当
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
增加而每一个矩形越来越小时，它的面积就越来越接近曲线的真实面积。
当矩形的宽度趋近于零时取极限，便得出黎曼积分。也就是说，我们取最宽的矩形趋于零，而矩形的数目趋于无穷大时的极限。
所以，我们把(2)式的两边取极限，得

  
    
      
        
          lim
          
            ‖
            Δ
            ‖
            →
            0
          
        
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
        =
        
          lim
          
            ‖
            Δ
            ‖
            →
            0
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
        [
        f
        (
        
          c
          
            i
          
        
        )
        (
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
        )
        ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.}
  

  
    
      
        F
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle F(b)}
  
和
  
    
      
        F
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle F(a)}
  
都不依赖于
  
    
      
        
          
            ‖
            
              
                
                  Δ
                
              
            
            ‖
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{Vmatrix}\Delta \end{Vmatrix}}}
  
，所以左面的极限仍然是
  
    
      
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle F(b)-F(a)}
  
。

  
    
      
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
        =
        
          lim
          
            ‖
            Δ
            ‖
            →
            0
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
        [
        f
        (
        
          c
          
            i
          
        
        )
        (
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
        )
        ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.}
  

右边的表达式定义了
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
从
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
到
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
的积分。这样，我们有

  
    
      
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        
        ,
      
    
    {\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,,}
  

证明完毕。


例子 d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    a
                  
                  
                    sin
                    ⁡
                    x
                  
                
                
                  e
                  
                    t
                  
                
                
                d
                t
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                F
                (
                sin
                ⁡
                x
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  F
                  ′
                
                (
                sin
                ⁡
                x
                )
                cos
                ⁡
                x
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  e
                  
                    sin
                    ⁡
                    x
                  
                
                cos
                ⁡
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{\sin x}e^{t}\,dt\\&={\frac {d}{dx}}F(\sin x)\\&=F'(\sin x)\cos x\\&=e^{\sin x}\cos x\\\end{aligned}}}
  

计算以下积分：

  
    
      
        
          ∫
          
            2
          
          
            5
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx.}
  

在这里，
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{2}}
  
，
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle F(x)={x^{3} \over 3}}
  
是一个原函数。因此：

  
    
      
        
          ∫
          
            2
          
          
            5
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        
        d
        x
        =
        F
        (
        5
        )
        −
        F
        (
        2
        )
        =
        
          
            
              5
              
                3
              
            
            3
          
        
        −
        
          
            
              2
              
                3
              
            
            3
          
        
        =
        39
      
    
    {\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={5^{3} \over 3}-{2^{3} \over 3}=39}
  


推广 我们不需要假设
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明：如果
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
内的任何一个勒贝格可积的函数，
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
是
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
内的一个数，使得
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
连续，则

  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            x
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}
  

在
  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x=x_{0}}
  
是可导的，且
  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}
  
。我们可以把
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的条件进一步降低，假设它仅仅是可积的。这种情况下，我们便得出结论：
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
几乎处处可导，且
  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F'(x)}
  
几乎处处等于
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
。这有时称为勒贝格微分定理。
定理的第一部分对于任何具有原函数
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的勒贝格可积函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
都是正确的（不是所有可积的函数都有原函数）。
泰勒定理中把余项表示成一个积分的形式，可以视为微积分基本定理的一个推广。
对于复数函数，也有一个类似的形式：假设
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
是
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
的一个开集，
  
    
      
        f
        :
        U
        →
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }
  
是一个在
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
处具有全纯原函数
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的函数。那么对于所有曲线
  
    
      
        γ
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        U
      
    
    {\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow U}
  
，曲线积分可以用下式来计算：

  
    
      
        
          ∫
          
            γ
          
        
        f
        (
        z
        )
        
        d
        z
        =
        F
        (
        γ
        (
        b
        )
        )
        −
        F
        (
        γ
        (
        a
        )
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))\,.}
  

微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分，也可以推广到流形。
这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理：设
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
为一个可定向分段光滑
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维流形，并设
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
为
  
    
      
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n-1}
  
阶
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
上的C1类紧支撑微分形式。如果
  
    
      
        ϑ
        M
      
    
    {\displaystyle \vartheta M}
  
表示M
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
的边界，并以
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
的方向诱导的方向为边界的方向，则

  
    
      
        
          ∫
          
            M
          
        
        
          d
        
        ω
        =
        
          ∮
          
            ∂
            M
          
        
        ω
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\oint _{\partial M}\omega \,.}
  

这里
  
    
      
        
          d
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \!\,}
  
是外导数，它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调和奇异链的同调联系起来。


參見 極限
微分
积分


注解 参考文献 Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)