亥姆霍茲線圈（Helmholtz coil）是一種製造小範圍區域均勻磁場的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質，很容易地可以將其它儀器置入或移出，也可以直接做視覺觀察，所以，是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者赫爾曼·馮·亥姆霍茲而命名。


簡介 亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形導體線圈組成。採用直角坐標系，這兩個半徑為
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為
  
    
      
        h
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle h/2}
  
與
  
    
      
        −
        h
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle -h/2}
  
。每一個導體線圈載有同向電流
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
。
設定
  
    
      
        h
        =
        R
      
    
    {\displaystyle h=R}
  
可以使得在兩個線圈中心位置O（即原點）的磁場，其不均勻程度極小化。這動作促使
  
    
      
        
          ∂
          
            2
          
        
        B
        
          /
        
        ∂
        
          z
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial ^{2}B/\partial z^{2}=0}
  
，也意味著領先的非零微分項目是
  
    
      
        
          ∂
          
            4
          
        
        B
        
          /
        
        ∂
        
          z
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial ^{4}B/\partial z^{4}}
  
，稍後會對這論點做更詳細解釋。但是，這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約7%磁場數值的差別。
在某些应用中，亥姆霍茲線圈可以用來抵消地磁場，製造出接近零磁場的區域。


數學描述 關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
，可以使得O點成為拐點，則可以保證
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{2}}
  
級項目為零，因此領先不均勻項目是
  
    
      
        
          z
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{4}}
  
級項目。
在中心位置O點，磁場為

  
    
      
        B
        =
        
          
            
              (
              
                
                  4
                  5
                
              
              )
            
          
          
            3
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              n
              I
            
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}}
  
是磁常數。


= 推導 =
採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為（這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來）

  
    
      
        B
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
              
                R
                
                  2
                
              
            
            
              2
              (
              
                R
                
                  2
                
              
              +
              
                z
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}}
  
；
其中，
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
是磁場數值大小，
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}}
  
是磁常數，
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
是電流，
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
是線圈半徑，
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
是檢驗位置的z-坐標。
對於
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
匝線圈，磁場為

  
    
      
        B
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              n
              I
              
                R
                
                  2
                
              
            
            
              2
              (
              
                R
                
                  2
                
              
              +
              
                z
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}}
  
。
現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為
  
    
      
        R
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle R/2}
  
，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為

  
    
      
        B
        =
        
          
            
              2
              
                μ
                
                  0
                
              
              n
              I
              
                R
                
                  2
                
              
            
            
              2
              (
              
                R
                
                  2
                
              
              +
              (
              R
              
                /
              
              2
              
                )
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                
                  4
                  5
                
              
              )
            
          
          
            3
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              n
              I
            
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle B={\frac {2\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+(R/2)^{2})^{3/2}}}={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}}
  
。


= 進階推導 =
更詳細地計算，沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加：

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
              
                R
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        
          {
          
            
              
                [
                
                  
                    R
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  (
                  z
                  −
                  h
                  
                    /
                  
                  2
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
                ]
              
              
                −
                3
                
                  /
                
                2
              
            
            +
            
              
                [
                
                  
                    R
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  (
                  z
                  +
                  h
                  
                    /
                  
                  2
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
                ]
              
              
                −
                3
                
                  /
                
                2
              
            
          
          }
        
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}}\left\{\left[R^{2}+(z-h/2)^{2}\right]^{-3/2}+\left[R^{2}+(z+h/2)^{2}\right]^{-3/2}\right\}{\hat {\mathbf {z} }}}
  
。
在原點附近的磁場，經過一番運算，可以泰勒展開成
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
的冪級數：

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
              
                R
                
                  2
                
              
            
            
              d
              
                3
              
            
          
        
        
          [
          
            1
            +
            
              
                
                  3
                  (
                  
                    h
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    R
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    d
                    
                      4
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  15
                  (
                  
                    h
                    
                      4
                    
                  
                  −
                  6
                  
                    h
                    
                      2
                    
                  
                  
                    R
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  2
                  
                    R
                    
                      4
                    
                  
                  )
                  
                    z
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  16
                  
                    d
                    
                      8
                    
                  
                
              
            
            +
            …
          
          ]
        
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{d^{3}}}\left[1+{\frac {3(h^{2}-R^{2})z^{2}}{2d^{4}}}+{\frac {15(h^{4}-6h^{2}R^{2}+2R^{4})z^{4}}{16d^{8}}}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}}
  
；
其中，
  
    
      
        d
        =
        
          
            
              R
              
                2
              
            
            +
            
              h
              
                2
              
            
            
              /
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\sqrt {R^{2}+h^{2}/4}}}
  
。
現在設定
  
    
      
        h
        =
        R
      
    
    {\displaystyle h=R}
  
，則
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{2}}
  
項目為零，在原點附近的磁場更加均勻：

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          
            
              (
              
                
                  4
                  5
                
              
              )
            
          
          
            3
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
            
            R
          
        
        
          [
          
            1
            −
            
              
                144
                125
              
            
             
            
              
                (
                
                  
                    z
                    R
                  
                
                )
              
              
                4
              
            
            +
            …
          
          ]
        
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} ={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}I}{R}}\left[1-{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}}
  
。
磁場不均勻率與
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
的關係式為

  
    
      
        
          
            
              Δ
              
                B
                
                  z
                
              
            
            
              B
              
                z
              
            
          
        
        ≈
        −
        
          
            144
            125
          
        
         
        
          
            (
            
              
                z
                R
              
            
            )
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}}
  
。
在
  
    
      
        z
        =
        ±
        R
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle z=\pm R/2}
  
，線圈平面與z-軸相交處，磁場數值的差別為

  
    
      
        
          
            
              Δ
              
                B
                
                  z
                
              
            
            
              B
              
                z
              
            
          
        
        ≈
        −
        
          
            144
            125
          
        
         
        
          
            (
            
              
                1
                2
              
            
            )
          
          
            4
          
        
        ≈
        −
        7
        %
      
    
    {\displaystyle {\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {1}{2}}\right)^{4}\approx -7\%}
  
。


參閱 麦克斯韦线圈（Maxwell coils）
亥姆霍茲共鳴
螺線管
磁振造影


參考文獻 外部連結 Helmholtz-Coil Fields （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project.
加州大學洛杉磯分校的高中電漿實驗室網頁：單獨載流迴圈的磁場精確解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。