在數學上，超現實數系統（英語：Surreal Numbers）是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函數域、列維-奇維塔域、上超實數域和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。

超現實數是由約翰·何頓·康威所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納在他的書《研究之美》中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。


概述 康威使用递归构造了超现实数，其中每个数都是两个数集构成的序对，记为 
  
    
      
        {
        L
        
          |
        
        R
        }
      
    
    {\displaystyle \{L|R\}}
  
。这两个集合要求 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 里的每个元素都严格小于每个 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字：
  
    
      
        {
        1
        
          |
        
        3
        }
        =
        
          {
          
            
              
                3
                2
              
            
            
              |
            
            
              
                5
                2
              
            
          
          }
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \{1|3\}=\left\{{\frac {3}{2}}|{\frac {5}{2}}\right\}=2}
  
。


= 整数及二进分数 =
让我们先来看几个简单的例子。

  
    
      
        {
        
          |
        
        }
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \{|\}=0}
  

  
    
      
        {
        0
        
          |
        
        }
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \{0|\}=1}
  

  
    
      
        {
        1
        
          |
        
        }
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \{1|\}=2}
  

  
    
      
        {
        
          |
        
        0
        }
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \{|0\}=-1}
  

  
    
      
        {
        
          |
        
        −
        1
        }
        =
        −
        2
      
    
    {\displaystyle \{|-1\}=-2}
  

因此整数都是超现实数。（以上几行是定义而非等式。）

  
    
      
        {
        0
        
          |
        
        1
        }
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \{0|1\}={\frac {1}{2}}}
  

  
    
      
        
          {
          
            0
            
              |
            
            
              
                1
                2
              
            
          
          }
        
        =
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}}
  

  
    
      
        
          {
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              |
            
            1
          
          }
        
        =
        
          
            3
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}}
  

至此我们可以通过超现实数定义二进分数（分母为2的幂次的分数）。


= 其他实数 =
为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
        =
        {
        0
        ,
        
          
            1
            4
          
        
        ,
        
          
            5
            16
          
        
        ,
        …
        
          |
        
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
          
            3
            8
          
        
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}
  
，
  
    
      
        π
        =
        {
        3
        ,
        
          
            25
            8
          
        
        ,
        
          
            201
            64
          
        
        ,
        …
        
          |
        
        4
        ,
        
          
            7
            2
          
        
        ,
        
          
            13
            4
          
        
        ,
        
          
            51
            16
          
        
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}}
  
，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。


= 无穷数 =
根据归纳法，我们可以构造出 
  
    
      
        ω
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        …
        
          |
        
        }
      
    
    {\displaystyle \omega =\{0,1,2,3\ldots |\}}
  
，
  
    
      
        ω
        −
        1
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        …
        
          |
        
        ω
        }
      
    
    {\displaystyle \omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}}
  
 等无穷大的数，
  
    
      
        
          
            1
            ω
          
        
        =
        {
        0
        
          |
        
        1
        ,
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
          
            1
            4
          
        
        ,
        
          
            1
            8
          
        
        …
        }
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}}
  
 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。


= 更多的数 =
我们定义 
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        =
        
          0
        
      
    
    {\displaystyle P_{0}={0}}
  
。
若 
  
    
      
        x
        =
        {
        L
        
          |
        
        R
        }
        ,
         
        L
        ,
        R
        ⊂
        
          P
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}}
  
 且 
  
    
      
        x
        ∈
        
          P
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x\not \in P_{i}}
  
，那么 
  
    
      
        x
        ∈
        
          P
          
            i
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in P_{i+1}}
  
，这在直观上等价于“
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是在第
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
天中出生的”。
那么我们可以观察发现：

  
    
      
        1
        ,
        −
        1
        ∈
        
          P
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 1,-1\in P_{1}}
  

  
    
      
        2
        ,
        −
        2
        ,
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        −
        
          
            1
            2
          
        
        ∈
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}}
  

  
    
      
        π
        ,
        ω
        ,
        
          
            1
            3
          
        
        ∈
        
          P
          
            ω
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }}
  

  
    
      
        ω
        −
        1
        ,
        ω
        +
        1
        ∈
        
          P
          
            ω
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}}
  

  
    
      
        ω
        +
        π
        ∈
        
          P
          
            2
            ω
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega +\pi \in P_{2\omega }}
  
，其中
  
    
      
        2
        ω
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        ω
        +
        1
        ,
        ω
        +
        2
        ,
        …
        
          |
        
        }
      
    
    {\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}}
  

  
    
      
        ∀
        i
        ∈
        
          O
          r
          d
        
        :
        i
        ∈
        
          P
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}}
  

我们将超现实数集合称作 
  
    
      
        
          N
          o
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {No} }
  
。


序关系 给定  
  
    
      
        x
        =
        {
        
          X
          
            L
          
        
        
          |
        
        
          X
          
            R
          
        
        }
        ,
         
        y
        =
        {
        
          Y
          
            L
          
        
        
          |
        
        
          Y
          
            R
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}}
  
，我们（递归地）定义  
  
    
      
        x
        ≤
        y
      
    
    {\displaystyle x\leq y}
  
 当且仅当以下两命题同时成立：

没有一个 
  
    
      
        
          x
          
            L
          
        
        ∈
        
          X
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{L}\in X_{L}}
  
 符合 
  
    
      
        y
        ≤
        
          x
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle y\leq x_{L}}
  
，
没有一个 
  
    
      
        
          y
          
            R
          
        
        ∈
        
          Y
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{R}\in Y_{R}}
  
 符合 
  
    
      
        
          y
          
            R
          
        
        ≤
        x
      
    
    {\displaystyle y_{R}\leq x}
  
。
那么可以自然地定义 
  
    
      
        x
        <
        y
        ,
        x
        >
        y
        ,
        x
        =
        y
        ,
        x
        ≥
        y
      
    
    {\displaystyle x<y,x>y,x=y,x\geq y}
  
。可以证明，这样的二元关系是一个全序关系。
我们分别将 
  
    
      
        x
        <
        0
        ,
        x
        >
        0
        ,
        x
        ≤
        0
        ,
        x
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0}
  
 称为 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 负、 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 正、 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 非正、 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 非负。
我们定义 
  
    
      
        x
        ‖
        y
      
    
    {\displaystyle x\|y}
  
 表示 
  
    
      
        x
        ≤
        y
      
    
    {\displaystyle x\leq y}
  
 与 
  
    
      
        y
        ≤
        x
      
    
    {\displaystyle y\leq x}
  
 同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在，但是这个关系会在之后的博弈章节出现。


运算 = 加法 =
我们定义超现实数之间的加法为 
  
    
      
        x
        +
        y
        =
        
          {
          
            
              X
              
                L
              
            
            +
            y
            ∪
            x
            +
            
              Y
              
                L
              
            
            
              |
            
            
              X
              
                R
              
            
            +
            y
            ∪
            x
            +
            
              Y
              
                R
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}}
  
，其中 
  
    
      
        X
        +
        y
        =
        
          {
          
            x
            +
            y
            
              |
            
            x
            ∈
            X
          
          }
        
        ,
        x
        +
        Y
        =
        
          {
          
            x
            +
            y
            
              |
            
            y
            ∈
            Y
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}}
  
。


 加法逆元  我们定义负号（加法逆元）为 
  
    
      
        −
        x
        =
        
          {
          
            −
            
              X
              
                R
              
            
            
              |
            
            −
            
              X
              
                L
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle -x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}}
  
，其中 
  
    
      
        −
        X
        =
        
          {
          
            −
            x
            
              |
            
            x
            ∈
            X
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle -X=\left\{-x|x\in X\right\}}
  
。
可以验证这两个运算构成了（真类上的）阿贝尔群。


= 乘法 =
我们定义乘法运算为
  
    
      
        x
        y
        =
        
          {
          
            (
            
              X
              
                L
              
            
            y
            +
            x
            
              Y
              
                L
              
            
            −
            
              X
              
                L
              
            
            
              Y
              
                L
              
            
            )
            ∪
            (
            
              X
              
                R
              
            
            y
            +
            x
            
              Y
              
                R
              
            
            −
            
              X
              
                R
              
            
            
              Y
              
                R
              
            
            )
            
              |
            
            (
            
              X
              
                L
              
            
            y
            +
            x
            
              Y
              
                R
              
            
            −
            
              X
              
                L
              
            
            
              Y
              
                R
              
            
            )
            ∪
            (
            
              X
              
                R
              
            
            y
            +
            x
            
              Y
              
                L
              
            
            −
            
              X
              
                R
              
            
            
              Y
              
                L
              
            
            )
          
          }
        
      
    
    {\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}}
  
，其中 
  
    
      
        X
        Y
        =
        {
        x
        y
        
          |
        
        x
        ∈
        X
        ,
        y
        ∈
        Y
        }
        ,
         
        x
        Y
        =
        {
        x
        }
        Y
        ,
         
        X
        y
        =
        X
        {
        y
        }
      
    
    {\displaystyle XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}}
  
。


 乘法逆元  我们定义（正数的）乘法逆元为
  
    
      
        
          
            1
            y
          
        
        =
        
          
            {
          
        
        0
        ,
        
          
            
              1
              +
              (
              
                y
                
                  R
                
              
              −
              y
              )
              (
              
                
                  1
                  y
                
              
              
                )
                
                  L
                
              
            
            
              y
              
                R
              
            
          
        
        ,
        
          
            
              1
              +
              (
              
                y
                
                  L
                
              
              −
              y
              )
              (
              
                
                  1
                  y
                
              
              
                )
                
                  R
                
              
            
            
              y
              
                L
              
            
          
        
        
          
            |
          
        
        
          
            
              1
              +
              (
              
                y
                
                  L
                
              
              −
              y
              )
              (
              
                
                  1
                  y
                
              
              
                )
                
                  L
                
              
            
            
              y
              
                L
              
            
          
        
        ,
        
          
            
              1
              +
              (
              
                y
                
                  R
                
              
              −
              y
              )
              (
              
                
                  1
                  y
                
              
              
                )
                
                  R
                
              
            
            
              y
              
                R
              
            
          
        
        
          
            }
          
        
      
    
    {\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}}
  
，这样除法就是 
  
    
      
        
          
            x
            y
          
        
        =
        x
        
          (
          
            
              1
              y
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)}
  
。我们可以发现这个定义是递归的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取
  
    
      
        y
        =
        3
        =
        {
        2
        
          |
        
        }
      
    
    {\textstyle y=3=\{2|\}}
  
 那么 
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\textstyle {\frac {1}{3}}}
  
  会有一个 
  
    
      
        0
      
    
    {\textstyle 0}
  
 作为左项，导致了
  
    
      
        
          
            
              1
              +
              (
              2
              −
              3
              )
              0
            
            2
          
        
        =
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2}
  
 会是一个右项。这又意味着 
  
    
      
        
          
            
              1
              +
              (
              2
              −
              3
              )
              
                (
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                )
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}
  
 作为左项、
  
    
      
        
          
            
              1
              +
              (
              2
              −
              3
              )
              
                (
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                )
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            3
            8
          
        
      
    
    {\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}
  
 作为右项，以此类推，所以我们有
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
        =
        {
        0
        ,
        
          
            1
            4
          
        
        ,
        
          
            5
            16
          
        
        ,
        …
        
          |
        
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
          
            3
            8
          
        
        ,
        …
        }
      
    
    {\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}
  
 （考虑两边的序列在实数中分别收敛到 
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  
，因此是相容的）。
对于负数，我们定义 
  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              −
              x
            
          
        
        
        (
        x
        <
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)}
  
。


子集对应 有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。


= 有理数 =
所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。


= 实数 =
在定义出了有理数之后，使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。
假设
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
        ,
        x
        =
        A
        
          |
        
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,x=A|A'}
  
，其中 
  
    
      
        A
        ,
        
          A
          ′
        
        ⊂
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle A,A'\subset \mathbb {Q} }
  
，那么立刻可知存在 
  
    
      
        X
        ∈
        
          N
          o
        
        ,
        X
        =
        
          {
          
            f
            (
            A
            )
            
              |
            
            f
            (
            B
            )
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}}
  
 是 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的一个超现实数表示，其中 
  
    
      
        f
        :
        
          Q
        
        →
        
          N
          o
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No} }
  
 是有理数到超现实数的域同態。


= 序数 =
我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合。所有序数的全体记为
  
    
      
        
          O
          r
          d
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Ord} }
  
，那么我们有：

  
    
      
        f
        :
        
          O
          r
          d
        
        →
        
          N
          o
        
        ,
         
        f
        (
        X
        )
        =
        
          {
          
            f
            (
            x
            )
            ,
            x
            ∈
            X
            
              |
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}}
  

这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如 
  
    
      
        ω
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \omega -1}
  
 这一式子的值在序数中的结果是 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
，而在超现实数中则是 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        
          |
        
        ω
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1,2,\ldots |\omega \}}
  
.


博弈 如果去除超现实数定义中对所有 
  
    
      
        L
        <
        R
      
    
    {\displaystyle L<R}
  
 的约定，那么这样（递归）定义出来的真类被称做游戏。对其仍然可以（一模一样的）定义加法、加法逆元以及比较。
显然，所有的超现实数都是游戏，但并非所有游戏都是超现实数，例如 
  
    
      
        ⋆
        =
        {
        0
        
          |
        
        0
        }
      
    
    {\displaystyle \star =\{0|0\}}
  
 就不是，其满足 
  
    
      
        ⋆
        ‖
        0
      
    
    {\displaystyle \star \|0}
  
。
可以发现，所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏，其中左集合表示第一位玩家（下称左玩家）可以走到的局面，右集合则表示第二位玩家（下称右玩家）的选择，不能操作者负。
两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏，而每个玩家选择其中一个进行操作，不能操作者负。
我们可以发现，这个游戏的胜负取决于 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 和 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 的相对关系。

若 
  
    
      
        G
        =
        0
      
    
    {\displaystyle G=0}
  
，则后手必胜。
若 
  
    
      
        G
        >
        0
      
    
    {\displaystyle G>0}
  
，则左玩家必胜。
若 
  
    
      
        G
        <
        0
      
    
    {\displaystyle G<0}
  
，则右玩家必胜。
若 
  
    
      
        G
        ‖
        0
      
    
    {\displaystyle G\|0}
  
，则先手必胜（英語：fuzzy game）。
有以下这些特殊的游戏：

  
    
      
        ⋆
        =
        {
        0
        
          |
        
        0
        }
      
    
    {\displaystyle \star =\{0|0\}}
  

  
    
      
        ↑=
        {
        0
        
          |
        
        ⋆
        }
        ,
         
        ↓=
        {
        ⋆
        
          |
        
        0
        }
      
    
    {\displaystyle \uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}}
  

  
    
      
        ±
        1
        =
        {
        1
        
          |
        
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \pm 1=\{1|-1\}}
  

可以发现，关于他们有这么几个性质：

  
    
      
        ⋆
        ‖
        0
      
    
    {\displaystyle \star \|0}
  

  
    
      
        ∀
        i
        :
        −
        1
        ≤
        i
        ≤
        1
        
        ⟹
        
        ±
        1
        ‖
        i
      
    
    {\displaystyle \forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i}
  

  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          N
          o
        
        ,
        x
        >
        0
        :
        −
        x
        <↓<
        0
        <↑<
        x
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \mathbb {No} ,x>0:-x<\downarrow <0<\uparrow <x}
  
 （比所有超现实数更接近0）

  
    
      
        ⋆
        +
        ⋆
        =↑
        +
        ↓=
        0
      
    
    {\displaystyle \star +\star =\uparrow +\downarrow =0}
  

  
    
      
        (
        ↑
        +
        ⋆
        )
        ‖
        0
        ,
         
        ↑
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        +
        ⋆
        >
        0
      
    
    {\displaystyle (\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0}
  

可以用于分析复杂的游戏。


暫譯術語 超現實數（Surreal）
無窮量（Infinitesimal）
格羅滕迪克宇集


注释 来源