本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。

達朗貝爾原理（英語：d'Alembert principle）是因其發現者法國物理學家與數學家讓·達朗貝爾而命名。達朗貝爾原理闡明，對於任意物理系統，所有慣性力或施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總和等於零：

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        (
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        +
        
          
            I
          
          
            i
          
        
        )
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}\ (\mathbf {F} _{i}+\mathbf {I} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            I
          
          
            i
          
        
        =
        −
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} _{i}=-m_{i}\mathbf {a} _{i}\,\!}
  
是粒子
  
    
      
        
          P
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{i}\,\!}
  
感受到的慣性力，
  
    
      
        
          m
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle m_{i}\,\!}
  
和
  
    
      
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{i}\,\!}
  
分別是粒子
  
    
      
        
          P
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{i}\,\!}
  
的質量和加速度，
  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,\!}
  
是施加於粒子
  
    
      
        
          P
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{i}\,\!}
  
的外力（不包括約束力）、
  
    
      
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}\,\!}
  
是符合系統約束的虛位移。
靜力學的虛功原理在動力學的版本是達朗貝爾原理。假若一個物理系統的每一個約束條件都只約束位置或時間，而不約束速度，則稱此物理系統為完整系統。達朗貝爾原理比哈密頓原理的適用範圍更廣闊，可以用於不僅是完整系統。
因為達朗貝爾原理，在一個動力系統裏，約束力所作的虛功自動抵消，也就是說，不需要顧慮約束力所作的虛功。


導論 思考由一群粒子構成的一個物理系統。按照牛頓運動定律，

  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
          
            (
            T
            )
          
        
        =
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
          
            (
            T
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}\,\!}
  
是所有施加於粒子
  
    
      
        
          P
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{i}\,\!}
  
的作用力的合力（包括約束力）。
將方程式右邊的加速度項目移至左邊，

  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
          
            (
            T
            )
          
        
        −
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        =
        
          0
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0} \,\!}
  
。
達朗貝爾建議將這加速度項目視為一種因為粒子的運動而產生的作用力，稱為慣性力：

  
    
      
        
          
            I
          
          
            i
          
        
        =
        −
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} _{i}=-m_{i}\mathbf {a} _{i}\,\!}
  
。
這樣，施加於每一個粒子的作用力（包括慣性力）的向量和皆等於零：

  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
          
            (
            T
            )
          
        
        +
        
          
            I
          
          
            i
          
        
        =
        
          0
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}+\mathbf {I} _{i}=\mathbf {0} \,\!}
  
。
採用達朗貝爾這絕頂聰明的建議，這系統內所有的作用力的向量和變為零，也就是說，這系統達到平衡狀態。假若動力系統的動態平衡可以視為靜力系統的靜態平衡，則所有靜力系統內有關於平衡狀態的理論都可以適用於動力系統，而這動力系統的運動問題的一大部份也可以當作靜力系統的平衡問題來解析。因此，當然也可以將靜力學的虛功原理搬遷至動力學裏。
對於每一個粒子，經過虛位移
  
    
      
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}\,\!}
  
，其向量和所作的虛功等於零：

  
    
      
        δ
        
          W
          
            i
          
        
        =
        (
        
          
            F
          
          
            i
          
          
            (
            T
            )
          
        
        +
        
          
            I
          
          
            i
          
        
        )
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta W_{i}=(\mathbf {F} _{i}^{(T)}+\mathbf {I} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,\!}
  
。
作用於每一個粒子的虛功的總和
  
    
      
        δ
        W
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta W\,\!}
  
等於零：

  
    
      
        δ
        W
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        δ
        
          W
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        (
        
          
            F
          
          
            i
          
          
            (
            T
            )
          
        
        +
        
          
            I
          
          
            i
          
        
        )
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta W=\sum _{i}\delta W_{i}=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}^{(T)}+\mathbf {I} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,\!}
  
。
將作用於每一個粒子上的合力
  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
          
            (
            T
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}\,\!}
  
，細分為外力
  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,\!}
  
與約束力
  
    
      
        
          
            C
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} _{i}}
  
：

  
    
      
        δ
        W
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        +
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        
          
            C
          
          
            i
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        +
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            I
          
          
            i
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta W=\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\ \mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {I} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,\!}
  
。
假設，每一個約束力，因為虛位移，所做的虛功的總和是零。則約束力的項目可以從方程式內移去，達朗貝爾原理成立：

  
    
      
        δ
        W
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        (
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        +
        
          
            I
          
          
            i
          
        
        )
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta W=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}+\mathbf {I} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,\!}
  
。（1）
現在，總和內的每一個單獨
  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        −
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}\,\!}
  
很可能不等於零。
定義有效力
  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
          
            e
            f
            f
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{eff}\,\!}
  
為外力加慣性力：

  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
          
            e
            f
            f
          
        
        =
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        +
        
          
            I
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{eff}=\mathbf {F} _{i}+\mathbf {I} _{i}\,\!}
  
。
達朗貝爾原理又可表達為：對於任意物理系統，所有有效力，經過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總合等於零，

  
    
      
        δ
        W
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            F
          
          
            i
          
          
            e
            f
            f
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{eff}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,\!}
  
。
注意到這推論裏的約束力假設。在這裏，約束力就是牛頓第三定律的反作用力。因此，可以稱此假設為反作用力的虛功假設：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學額外設立的假設，無法從牛頓運動定律推導出來。


= 適用案例 =
在此特別列出幾個案例，展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零：

剛體的約束條件是一種完整約束，以方程式表達，
  
    
      
        (
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        −
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          L
          
            i
            j
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}}
  
；其中，剛體內部的粒子
  
    
      
        
          P
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{i}}
  
、
  
    
      
        
          P
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{j}}
  
的位置分別為
  
    
      
        
          
            r
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
  
、
  
    
      
        
          
            r
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{j}}
  
，它們之間的距離
  
    
      
        
          L
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{ij}}
  
是個常數。所以，兩個粒子的虛位移
  
    
      
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}
  
、
  
    
      
        δ
        
          
            r
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}}
  
之間的關係為

  
    
      
        δ
        (
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        −
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        2
        (
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        −
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        )
        (
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        −
        δ
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=2(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})(\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}
  
。
在這裏，有兩種可能的狀況：
1、
  
    
      
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        δ
        
          
            r
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \mathbf {r} _{j}}
  
：
對於這狀況，由於
  
    
      
        
          
            C
          
          
            j
            i
          
        
        =
        −
        
          
            C
          
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} _{ji}=-\mathbf {C} _{ij}}
  
，兩個作用力所做的虛功相互抵消，也就是說，

  
    
      
        
          
            C
          
          
            i
            j
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        +
        
          
            C
          
          
            j
            i
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=0}
  
，
所以，約束力所做的虛功的總合是零。
2、
  
    
      
        (
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        −
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        )
        ⊥
        (
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        −
        δ
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\perp (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})}
  
：
由於
  
    
      
        
          
            C
          
          
            i
            j
          
        
         
        ‖
         
        
          
            C
          
          
            j
            i
          
        
         
        ‖
         
        (
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        −
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\ \|\ \mathbf {C} _{ji}\ \|\ (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}
  
，

  
    
      
        
          
            C
          
          
            i
            j
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        +
        
          
            C
          
          
            j
            i
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        =
        
          
            C
          
          
            i
            j
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        −
        
          
            C
          
          
            i
            j
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        =
        
          
            C
          
          
            i
            j
          
        
        ⋅
        (
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        −
        δ
        
          
            r
          
          
            j
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}
  
。
所以，約束力所做的虛功的總合是零。
所以，在剛體內，粒子與粒子之間的約束力所作的虛功的總合是零。
思考木塊移動於平滑地面上。因為木塊的重量，而產生的反作用力，是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例，符合約束條件的虛位移必須與地面平行，所以，地面施加的約束力垂直於虛位移，它所作的虛功等於零。可是，假若木塊移動的地面是粗糙的，則會有摩擦力產生。由於虛位移平行於摩擦力，虛功不等於零。所以，達朗貝爾原理不適用於這狀況。但是，假設是一隻輪子純滚动於地面上，因為輪子與地面的瞬時接觸點是不動的，符合約束條件的虛位移等於零，所以虛功等於零，達朗貝爾原理又適用了。


拉格朗日方程式的導引 主項目：拉格朗日方程式
拉格朗日力學是對經典力學的一種不同的表述。拉格朗日方程式是拉格朗日力學的基要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能等價於牛頓力學中的牛頓第二定律。
從達朗貝爾原理，可以推導出拉格朗日方程式。設定粒子
  
    
      
        
          P
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{i}\,\!}
  
的位置
  
    
      
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,\!}
  
為廣義坐標
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}\,\!}
  
與時間
  
    
      
        t
        
        
      
    
    {\displaystyle t\,\!}
  
的函數：

  
    
      
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        ,
         
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n},\ t)\,\!}
  
。
轉換為廣義坐標的主要的目的，是要除去物體內粒子位置與粒子位置之間的相依性。這問題在後面會有更詳細的說明。
虛位移可以表示為

  
    
      
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
          
        
         
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j}\ {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\,\!}
  
。（2）
粒子的速度
  
    
      
        
          
            v
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            v
          
          
            i
          
        
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            n
          
        
        ,
         
        t
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {v} _{i}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n},\ t)\,\!}
  
是

  
    
      
        
          
            v
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∑
          
            j
          
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}+\sum _{j}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\,\!}
  
。
取速度對於廣義速度的偏微分：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  v
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  j
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\,\!}
  
。（3）
思考方程式（1）的加速度項目，將方程式（2）代入，

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
         
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}\ m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{i,j}\ m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\,\!}
  
。
應用乘積法則，

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
         
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
        
          (
          
            
              
                d
                
                  d
                  t
                
              
            
            
              (
              
                
                  m
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    v
                  
                  
                    i
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          r
                        
                        
                          i
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        q
                        
                          j
                        
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            −
            
              m
              
                i
              
            
            
              
                v
              
              
                i
              
            
            ⋅
            
              
                d
                
                  d
                  t
                
              
            
            
              (
              
                
                  
                    ∂
                    
                      
                        r
                      
                      
                        i
                      
                    
                  
                  
                    ∂
                    
                      q
                      
                        j
                      
                    
                  
                
              
              )
            
          
          )
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i,j}\ m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{i,j}\left({\frac {d}{dt}}\left(m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\right)-m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\right)\right)\delta q_{j}\,\!}
  
。
注意到
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\,\!}
  
的參數為
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        ,
         
        t
        
        
      
    
    {\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n},\ t\,\!}
  
，而速度
  
    
      
        
          
            v
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} _{i}\,\!}
  
的參數為
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            n
          
        
        ,
         
        t
        
        
      
    
    {\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n},\ t\,\!}
  
，所以，

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  
                    r
                  
                  
                    i
                  
                
              
              
                ∂
                
                  q
                  
                    j
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              ∑
              
                k
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ˙
                  
                
              
              
                k
              
            
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      k
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  
                    r
                  
                  
                    i
                  
                
              
              
                ∂
                
                  q
                  
                    j
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∑
          
            k
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
              ∂
              
                q
                
                  k
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            k
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{k}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\right)={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}\partial t}}+\sum _{k}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}\,\!}
  
  、

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  v
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        =
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      r
                    
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              ∑
              
                k
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      r
                    
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      k
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ˙
                  
                
              
              
                k
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∑
          
            k
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
              ∂
              
                q
                
                  k
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            k
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial }{\partial q_{j}}}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}+\sum _{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}\right)={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}\partial t}}+\sum _{k}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}\,\!}
  
。
因此，以下關係式成立：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  
                    r
                  
                  
                    i
                  
                
              
              
                ∂
                
                  q
                  
                    j
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                
                  v
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\right)={\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial q_{j}}}\,\!}
  
  。（4）
將方程式（3）與（4）代入，加速度項目成為

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
         
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
        
          (
          
            
              
                d
                
                  d
                  t
                
              
            
            
              (
              
                
                  m
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    v
                  
                  
                    i
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          v
                        
                        
                          i
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        
                          
                            
                              q
                              ˙
                            
                          
                        
                        
                          j
                        
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            −
            
              m
              
                i
              
            
            
              
                v
              
              
                i
              
            
            ⋅
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      v
                    
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i,j}\ m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{i,j}\left({\frac {d}{dt}}\left(m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial q_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\!}
  
。
思考這個系統的動能
  
    
      
        T
        
        
      
    
    {\displaystyle T\,\!}
  
，

  
    
      
        T
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        
          
            1
            2
          
        
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            v
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            v
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle T=\sum _{i}\ {\frac {1}{2}}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}\,\!}
  
。
加速度項目與動能的關係為

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
         
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
          
        
         
        
          (
          
            
              
                d
                
                  d
                  t
                
              
            
            
              (
              
                
                  
                    ∂
                    T
                  
                  
                    ∂
                    
                      
                        
                          
                            q
                            ˙
                          
                        
                      
                      
                        j
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  T
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i,j}\ m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j}\ \left({\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\!}
  
。（5）
思考方程式（1）的外力項目，將方程式（2）代入，

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        ⋅
        δ
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
         
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
          
        
         
        
          
            
              F
            
          
          
            j
          
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{i,j}\ \mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j}\ {\mathcal {F}}_{j}\delta q_{j}\,\!}
  
；（6）
這裏，
  
    
      
        
          
            F
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!}
  
是廣義力：

  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            
              ∂
              
                
                  r
                
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}=\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\,\!}
  
。
將方程式（5）與（6）代入方程式（1），會得到

  
    
      
        
          ∑
          
            j
          
        
         
        
          (
          
            
              
                d
                
                  d
                  t
                
              
            
            
              (
              
                
                  
                    ∂
                    T
                  
                  
                    ∂
                    
                      
                        
                          
                            q
                            ˙
                          
                        
                      
                      
                        j
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  T
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  F
                
              
              
                j
              
            
          
          )
        
        δ
        
          q
          
            j
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{j}\ \left({\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}-{\mathcal {F}}_{j}\right)\delta q_{j}=0\,\!}
  
。（7）
假設所有的廣義坐標都相互獨立，則所有的廣義坐標的虛位移也都相互獨立。由於這些虛位移都是任意設定的，只有滿足下述方程式，才能使方程式方程式（7）成立：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                T
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    j
                  
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              ∂
              T
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              F
            
          
          
            j
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}-{\mathcal {F}}_{j}=0\,\!}
  
。（8）
假設這系統是單演系統，也就是說，這系統的廣義力與廣義位勢
  
    
      
        V
        
        
      
    
    {\displaystyle V\,\!}
  
之間的關係式為

  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            j
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                V
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    j
                  
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,\!}
  
，
那麼，

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                (
                T
                −
                V
                )
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    j
                  
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              ∂
              (
              T
              −
              V
              )
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial (T-V)}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial (T-V)}{\partial q_{j}}}=0\,\!}
  
。
廣義位勢也是系統的勢能。注意到拉格朗日量
  
    
      
        L
        
        
      
    
    {\displaystyle L\,\!}
  
定義為系統的動能減去勢能：

  
    
      
        L
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        T
        −
        V
        
        
      
    
    {\displaystyle L\ {\stackrel {def}{=}}\ T-V\,\!}
  
，
則可得到拉格朗日方程式：

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                L
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    j
                  
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\!}
  
。
假設這系統是保守系統，也就是說，這系統的廣義力與位勢
  
    
      
        V
        
        
      
    
    {\displaystyle V\,\!}
  
之間的關係式為

  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            j
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              
                q
                
                  j
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,\!}
  
，
則拉格朗日方程式也成立。


達朗貝爾慣性力原理 根據對於剛體的牛頓第二定律，一個運動中的剛體，其運動方程式為

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        =
        m
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}=m\mathbf {a} \,\!}
  
、

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        
          
            M
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            I
          
        
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}\ \mathbf {M} _{i}={\boldsymbol {\mathcal {I}}}{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,\!}
  
是施加於剛體的外力，
  
    
      
        m
        
        
      
    
    {\displaystyle m\,\!}
  
是剛體的質量，
  
    
      
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
  
是剛體質心的加速度，
  
    
      
        
          
            M
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} _{i}\,\!}
  
是每一個外力
  
    
      
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,\!}
  
對於剛體質心的力矩、
  
    
      
        
          
            I
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {I}}}\,\!}
  
是對於剛體質心的慣性張量，
  
    
      
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
是剛體的角加速度。
達朗貝爾建議將加速度項目
  
    
      
        −
        m
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle -m\mathbf {a} \,\!}
  
視為一種因為剛體的運動而產生的作用力，稱為慣性力
  
    
      
        
          I
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
  
，又將角加速度項目
  
    
      
        −
        
          
            I
          
        
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle -{\mathcal {I}}{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
視為一種因為剛體的運動而產生的力矩，稱為慣性力矩
  
    
      
        
          M
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} \,\!}
  
：

  
    
      
        
          I
        
        =
        −
        m
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} =-m\mathbf {a} \,\!}
  
、

  
    
      
        
          M
        
        =
        −
        
          
            I
          
        
        
          α
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} =-{\boldsymbol {\mathcal {I}}}{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
  
。
那麼，運動方程式變為

  
    
      
        
          I
        
        +
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        
          
            F
          
          
            i
          
        
        =
        
          0
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} +\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}=\mathbf {0} \,\!}
  
、

  
    
      
        
          M
        
        +
        
          ∑
          
            i
          
        
         
        
          
            M
          
          
            i
          
        
        =
        
          0
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} +\sum _{i}\ \mathbf {M} _{i}=\mathbf {0} \,\!}
  
。
在工程力學裏，達朗貝爾慣性力原理闡明：剛體的慣性力與所有作用於剛體的外力的合力等於零，剛體的慣性力矩與所有作用於剛體的力矩的合力矩等於零。。這原理可以幫助分析正在運動中的某連桿所感受到的作用力。
請注意，慣性力必須作用於質心；而慣性力矩是力偶矩，可以作用於物體的任何一位置。靠著達朗貝爾慣性力原理，動力系統可以變為像靜力系統一樣的解析。這方法的優點是，在等價的靜力系統裏，可以選擇任何一點（不只是質心）來計算力矩。這時常會導至較簡易的運算。因為，如果選擇出正確的力矩作用點，在計算力矩時，可以忽略許多作用力（這些作用力與選擇點同直線）。


= 剛體二維平面運動實例 =
假設施加作用力或力矩於一個平面剛體，則此剛體會在xy-平面上呈平移運動或旋轉運動，其慣性力
  
    
      
        
          I
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
  
與慣性力矩
  
    
      
        
          M
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} \,\!}
  
的方程式分別為

  
    
      
        
          I
        
        =
        −
        m
        
          a
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} =-m\mathbf {a} \,\!}
  
、

  
    
      
        
          M
        
        =
        −
        
          
            I
          
        
        α
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} =-{\boldsymbol {\mathcal {I}}}\alpha \,\!}
  
。
假設，除了作用於剛體的外力以外，將慣性力視為作用力，將慣性力矩視為力矩，這系統就等價於靜力系統。因此，靜力平衡方程式成立：

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          F
          
            x
            i
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}F_{xi}=0\,\!}
  
、

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          F
          
            y
            i
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}F_{yi}=0\,\!}
  
、

  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          M
          
            i
          
        
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}M_{i}=0\,\!}
  
。
這方法的優點是，
  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          M
          
            i
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}M_{i}\,\!}
  
乃是對於任意點的力矩的總合；而直接應用牛頓運動定律的方法有一個額外的要求：旋轉運動方程式只能選擇在質心計算。


參考文獻