在数学中，点积（德語：Punktprodukt；英語：dot product）又称数量积或标量积（德語：Skalarprodukt；英語：scalar product），是一种接受两串等长的数字序列（通常是坐标向量）、返回单一数字的代数运算。
在欧几里得几何里，两條笛卡尔坐标向量的点积常称为内积（德語：inneres Produkt；英語：inner product）。點积是内积的一种特殊形式：内积是点积的抽象，內积是一种双线性函数，点积是欧几里得空间（内积空间）的度量。
从代数角度看，先求两数字序列中每组对应元素的积，再求所有积之和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两向量的长度与它们夹角余弦的积。这两种定义在笛卡尔坐标系中等价。
点积的名称源自表示点乘运算的点号（
  
    
      
        
          a
        
        ⋅
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }
  
），讀作a dot b，标量积的叫法则是在强调其运算结果为标量而非向量。向量的另一种乘法是叉乘（
  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }
  
），讀作a cross b，其结果为向量，称为叉积或向量积。


定义 点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两向量的长度和角度等几何概念来求解。


= 代数定义 =
向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        [
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}=[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        [
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          b
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}=[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}
  
的点积定义为：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}
  

这裡的Σ是求和符号，而n是向量空間的維度。
例如，三维向量
  
    
      
        
          [
          
            1
            ,
            3
            ,
            −
            5
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[1,3,-5\right]}
  
和
  
    
      
        
          [
          
            4
            ,
            −
            2
            ,
            −
            1
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[4,-2,-1\right]}
  
的点积是

  
    
      
        
          
            
              
                 
                [
                1
                ,
                3
                ,
                −
                5
                ]
                ⋅
                [
                4
                ,
                −
                2
                ,
                −
                1
                ]
              
              
                
                =
                (
                1
                )
                (
                4
                )
                +
                (
                3
                )
                (
                −
                2
                )
                +
                (
                −
                5
                )
                (
                −
                1
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                4
                −
                6
                +
                5
              
            
            
              
              
                
                =
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}
  

点积还可以写为：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        
          
            
              
                b
                →
              
            
          
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}{\vec {b}}^{T}}
  
。
这裡，
  
    
      
        
          
            
              
                b
                →
              
            
          
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}^{T}}
  
是列向量
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的转置。
使用上面的例子，1×3矩阵（列向量）乘以3×1矩阵（行向量）的行列式就是结果(通过矩阵乘法得到1×1矩陣):

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  −
                  5
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  4
                
              
              
                
                  −
                  2
                
              
              
                
                  −
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  3
                
              
            
            ]
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3}
  
。


= 几何定义 =
在欧几里得空间中，点积可直观定义为

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          |
        
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        
          |
        
        
        
          |
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        
          |
        
        cos
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \;}
  

这里 |
  
    
      
        
          
            
              x
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {x}}}
  
| 表示
  
    
      
        
          
            
              x
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {x}}}
  
的模（长度），
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
表示向量间的角度。
注意：点积的形式定义和这定义不同；在形式定义，
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的夹角用上述等式定义。
这样，互相垂直的两條向量的点积总是零。若
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两條向量，它们之间的夹角可以以下公式得到：

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          θ
        
        =
        
          
            
              a
              ⋅
              b
            
            
              
                |
              
              
                
                  
                    a
                    →
                  
                
              
              
                |
              
              
              
                |
              
              
                
                  
                    b
                    →
                  
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos {\theta }={\frac {\mathbf {a\cdot b} }{|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|}}}
  

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一向量投影到第二向量上（向量顺序这裡在不重要，点积运算可交换），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这分数一定是小于等于1的，可以简单转化成角度值。


= 标量投影 =

欧氏空间中向量
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
在向量
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
上的标量投影是指對於向量B來說向量A的垂直度到向量B的代表長度

  
    
      
        
          A
          
            B
          
        
        =
        
          |
        
        
          A
        
        
          |
        
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle A_{B}=|\mathbf {A} |\cos \theta }
  

这里
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
和
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
的夹角。从点积的几何定义
  
    
      
        
          A
        
        ⋅
        
          B
        
        =
        
          |
        
        
          A
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          B
        
        
          |
        
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta }
  
不难得出，两向量的点积：
  
    
      
        
          A
        
        ⋅
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }
  
可以理解为向量
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
在向量
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
上的投影再乘以
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
的长度。

  
    
      
        
          A
        
        ⋅
        
          B
        
        =
        
          A
          
            B
          
        
        
          |
        
        
          B
        
        
          |
        
        =
        
          B
          
            A
          
        
        
          |
        
        
          A
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{B}|\mathbf {B} |=B_{A}|\mathbf {A} |}
  


= 两种定义的等价性 =
点积的两种定义中，只需给定一种定义，另外一种定义就可以推出。


 由几何定义推出代数定义  设
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},...,e_{n}}
  
是
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
空间的一组标准正交基，可以得出：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                
              
              
                
                =
                [
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  a
                  
                    n
                  
                
                ]
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  a
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    i
                  
                
              
            
            
              
                
                  B
                
              
              
                
                =
                [
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  b
                  
                    n
                  
                
                ]
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  b
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    i
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {B} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}
  

上文中已经得知两條向量点积的几何定义实际上就是一條向量在另外一條向量上的投影，故
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
在任一标准基
  
    
      
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{n}}
  
的点积
  
    
      
        
          A
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{i}}
  
就是
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
在此标准基向量上的投影，而根据向量自身的定义，这个投影即为
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
  
。因此：

  
    
      
        
          A
        
        ⋅
        
          B
        
        =
        
          A
        
        ⋅
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        (
        
          A
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}}
  


 由代数定义推出几何定义  应用余弦定理。
注意：这个证明采用三维向量，但可以推广到
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维的情形。
考虑向量

  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        
          v
          
            1
          
        
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        
          v
          
            2
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        +
        
          v
          
            3
          
        
        
          
            
              k
              →
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}{\vec {i}}+v_{2}{\vec {j}}+v_{3}{\vec {k}}\;}
  
.
重復使用勾股定理得到

  
    
      
        
          |
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          v
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          v
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          v
          
            3
          
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle |{\vec {v}}|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\;}
  
.
而由代数定义

  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        
          v
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          v
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          v
          
            3
          
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\;}
  
,
所以，根据向量点积的代数定义，向量
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
和自身的点积就是其长度的平方。

引理1

  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        
          |
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {v}}|^{2}\;}
  

现在，考虑从原点出发的两條向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
，夹角
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
。第三條向量
  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  
定义为

  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ≡
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}\equiv {\vec {a}}-{\vec {b}}\;}
  
,
构造以
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
，
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
，
  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  
为边的三角形，采用余弦定理，有

  
    
      
        
          |
        
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          |
        
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        +
        
          |
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        −
        2
        
          |
        
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        
          |
        
        cos
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle |{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;}
  
.
根据引理1，用点积代替向量长度的平方，有

  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        −
        2
        
          |
        
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        
          |
        
        cos
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;}
  
.                   （1）
同时，根据定义
  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  
 ≡ 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
 - 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
，有

  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        =
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
        ⋅
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\;}
  
,
根据分配律，得

  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        −
        2
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\;}
  
.                  （2）
连接等式（1）和（2）有

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        −
        2
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
        =
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        −
        2
        
          |
        
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        
          |
        
        cos
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;}
  
.
简化等式即得

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          |
        
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        
          |
        
        cos
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;}
  
,
以上即为向量点积的几何定义。
需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 (
  
    
      
        n
        ≤
        3
      
    
    {\displaystyle n\leq 3}
  
)。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是

  
    
      
        
          ⟨
          
            
              
                
                  a
                  →
                
              
            
            ,
            
              
                
                  b
                  →
                
              
            
          
          ⟩
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          b
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}
  

点积可以用来计算合力和功。若
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
为单向量，则点积即为
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
在方向
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。


性质 点积有以下性质。

满足交换律：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}
  
，
从定义即可证明（
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 为
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
与
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
的夹角）：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          ‖
          
            
              
                a
                →
              
            
          
          ‖
        
        
          ‖
          
            
              
                b
                →
              
            
          
          ‖
        
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          ‖
          
            
              
                b
                →
              
            
          
          ‖
        
        
          ‖
          
            
              
                a
                →
              
            
          
          ‖
        
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left\|{\vec {a}}\right\|\left\|{\vec {b}}\right\|\cos \theta =\left\|{\vec {b}}\right\|\left\|{\vec {a}}\right\|\cos \theta ={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}
  

对向量加法满足分配律：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        (
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
        =
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}}
  

点积是双线性算子：

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        (
        r
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
        =
        r
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
        +
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot (r{\vec {b}}+{\vec {c}})=r({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})}
  

在乘以标量时满足：

  
    
      
        (
        
          c
          
            1
          
        
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        )
        ⋅
        (
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
        =
        (
        
          c
          
            1
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        )
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (c_{1}{\vec {a}})\cdot (c_{2}{\vec {b}})=(c_{1}c_{2})({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})}
  

不满足结合律。因为标量（
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}
  
）与向量（
  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  
）的点积没有定义，所以结合律相关的表达式 
  
    
      
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}}
  
 和 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        (
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})}
  
 都没有良好的定义
两个非零向量
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
是正交的，当且仅当
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0}
  

如果
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
是单位向量，则点积给出
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
在方向
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
上投影的大小，如果方向相反则带有负号。分解向量对求向量的和经常是有用的，比如在力学中计算合力。
不像普通数的乘法服从消去律，如果
  
    
      
        a
        b
        =
        a
        c
      
    
    {\displaystyle ab=ac}
  
，则
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
总是等于
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
，除非
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
等于零。而对于点积：

如果
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}}
  
并且
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\neq 0}
  
:
则根据分配律可以得出：
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          (
          
            
              
                
                  b
                  →
                
              
            
            −
            
              
                
                  c
                  →
                
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {c}}\right)=0}
  
；进而：
如果
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
垂直于
  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  b
                  →
                
              
            
            −
            
              
                
                  c
                  →
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\vec {b}}-{\vec {c}}\right)}
  
，则
  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  b
                  →
                
              
            
            −
            
              
                
                  c
                  →
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\vec {b}}-{\vec {c}}\right)}
  
可能
  
    
      
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \neq 0}
  
，因而
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
可能
  
    
      
        =
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \neq {\vec {c}}}
  
；否则
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}={\vec {c}}}
  
。


延伸 = 矩阵 =
矩阵具有弗罗比尼乌斯内积，可以类比于向量的内积。它被定义为两个相同大小的矩阵A和B的对应元素的内积之和。
复矩阵情况下：

  
    
      
        
          A
        
        :
        
          B
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          ∑
          
            j
          
        
        
          A
          
            i
            j
          
        
        
          
            
              B
              
                i
                j
              
            
            ¯
          
        
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          
            B
          
          
            
              H
            
          
        
        
          A
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        
          
            B
          
          
            
              H
            
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {H} }).}
  

实矩阵情况下：

  
    
      
        
          A
        
        :
        
          B
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          ∑
          
            j
          
        
        
          A
          
            i
            j
          
        
        
          B
          
            i
            j
          
        
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          
            B
          
          
            
              T
            
          
        
        
          A
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        
          
            B
          
          
            
              T
            
          
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          
            A
          
          
            
              T
            
          
        
        
          B
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          B
        
        
          
            A
          
          
            
              T
            
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} })=\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }).}
  


应用 物理学中力学的力做功的问题，经常用到点积计算。
计算机图形学常用来判断方向，如两向量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。
向量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一。
此方法用于动画渲染（Animation-Rendering）。


广义定义 在向量空间
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
中，定義在
  
    
      
        V
        ×
        V
      
    
    {\displaystyle V\times V}
  
上的正定对称双线性形式函數即是
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的內積，而添加有数量积的向量空间即是内积空间。


参见 向量积


参考文献