四元數（英語：Quaternion）是由爱尔兰數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年创立出的數學概念。通常记为H，或
  
    
      
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {H} }
  
。
從明確地角度而言，四元數是複數的不可交換延伸。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數則代表著一個四维空间，相對於複數為二维空间。
作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。
i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0=j0=k0=1，i2=j2=k2=-1
对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。


基礎 = 定義 =
複數是由實數加上虛數單位 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 組成，其中

  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1\,}
  
。
相似地，四元數都是由實數加上三個元素 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
、
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
、
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 組成，而且它們有如下的關係：

  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        
          j
          
            2
          
        
        =
        
          k
          
            2
          
        
        =
        i
        j
        k
        =
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,}
  

每個四元數都是 1、
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
、
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
 和 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 的線性組合，即是四元數一般可表示為
  
    
      
        a
        +
        b
        i
        +
        c
        j
        +
        d
        k
        
      
    
    {\displaystyle a+bi+cj+dk\,}
  
。
要把兩個四元數相加只需將相類的係數加起來就可以，就像複數一樣。至於乘法則可跟隨以下的乘數表：

四元數的單位元素的乘法構成了八階四元群，
  
    
      
        
          Q
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{8}}
  
。


= 性質 =
四元數不像實數或複數那樣，它的乘法符合反交換律，不符合交換律，因此是不可交換的，例如：

  
    
      
        i
        
        j
        =
        k
        ,
        
        j
        
        i
        =
        −
        k
      
    
    {\displaystyle i\,j=k,\,j\,i=-k}
  
；

  
    
      
        j
        
        k
        =
        i
        ,
        
        k
        
        j
        =
        −
        i
      
    
    {\displaystyle j\,k=i,\,k\,j=-i}
  
；

  
    
      
        k
        
        i
        =
        j
        ,
        
        i
        
        k
        =
        −
        j
      
    
    {\displaystyle k\,i=j,\,i\,k=-j}
  
。
四元數是除法環的一個例子。除了沒有乘法的交換律外，除法環與域是相類的。特別地，乘法的結合律仍舊存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
四元數形成一個在實數上的四維結合代数（事實上是除法代数），並包括複數，但不與複數組成結合代数。
四元數（以及實數和複數）都只是有限維的實數結合除法代数。
四元數的不可交換性往往導致一些令人意外的結果，例如四元數的 n-階多項式能有多於 n 個不同的根。
例如方程式 
  
    
      
        
          h
          
            2
          
        
        +
        1
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle h^{2}+1=0\,}
  
 就有無數多個解。
只要是符合 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
        =
        1
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}+c^{2}+d^{2}=1\,}
  
 的實數，那麼 
  
    
      
        h
        =
        b
        
        i
        +
        c
        
        j
        +
        d
        
        k
      
    
    {\displaystyle h=b\,i+c\,j+d\,k}
  
就是一個解。
一個四元數 
  
    
      
        h
        =
        a
        +
        b
        
        i
        +
        c
        
        j
        +
        d
        
        k
      
    
    {\displaystyle h=a+b\,i+c\,j+d\,k}
  
 的共軛值定義為：

  
    
      
        
          h
          
            ∗
          
        
        =
        a
        −
        b
        
        i
        −
        c
        
        j
        −
        d
        
        k
      
    
    {\displaystyle h^{*}=a-b\,i-c\,j-d\,k}
  

而它的絕對值則是非負實數，定義為：

  
    
      
        
          |
          h
          |
        
        =
        
          
            h
            ⋅
            
              h
              
                ∗
              
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
            +
            
              c
              
                2
              
            
            +
            
              d
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|h\right|={\sqrt {h\cdot h^{*}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}
  

注意
  
    
      
        (
        h
        
        k
        
          )
          
            ∗
          
        
        =
        
          k
          
            ∗
          
        
        
        
          h
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle (h\,k)^{*}=k^{*}\,h^{*}}
  
，一般狀況下不等於
  
    
      
        
          h
          
            ∗
          
        
        
        
          k
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle h^{*}\,k^{*}}
  
。
四元數的乘法逆可以
  
    
      
        
          h
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              h
              
                ∗
              
            
            
              
                |
                h
                |
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h^{-1}={\frac {h^{*}}{\left|h\right|^{2}}}}
  
算得。
透過使用距离函数 
  
    
      
        d
        (
        h
        ,
        k
        )
        =
        
          |
        
        h
        −
        k
        
          |
        
        
      
    
    {\displaystyle d(h,k)=|h-k|\,}
  
，四元數便可成為同胚於 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
  
 的度量空间，
並且有連續的算術運算。另外，對於所有四元數
  
    
      
        h
        
      
    
    {\displaystyle h\,}
  
和
  
    
      
        k
        
      
    
    {\displaystyle k\,}
  
皆有 
  
    
      
        
          |
        
        h
        
        k
        
          |
        
        =
        
          |
        
        h
        
          |
        
        
        
          |
        
        k
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |h\,k|=|h|\,|k|}
  
。
若以絕對值為模，則四元數可組成一實數 巴拿赫空間。


= 群旋轉 =

非零四元数的乘法群在R3的实部为零的部分上的共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）若实部为cos(t)，它的共轭作用是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：

表达式无奇点（和例如欧拉角之类的表示相比）
比矩阵更简炼（也更快速）
单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。
所有单位四元数的集合组成一个三维球S3和在乘法下的一个群（一个李群）。S3是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO(3,R)的双重複盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S3和SU(2)同构，SU(2)是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合，其中a, b, c和d或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。


= 以矩陣表示四元數 =
有兩種方法能以矩陣表示四元數，並以矩陣之加法、乘法應用於四元數之加法、乘法。

第一種是以二階複數矩陣表示。四元數的三個元素i、j、k採用矩陣表示法（其中斜體字
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
為
  
    
      
        
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {-1}}}
  
；σx、σy、σz为泡利矩陣）：

  
    
      
        
          i
        
        =
        −
        i
        
          σ
          
            x
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  i
                
              
              
                
                  −
                  i
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        ,
        
          j
        
        =
        −
        i
        
          σ
          
            y
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        ,
        
          k
        
        =
        −
        i
        
          σ
          
            z
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  −
                  i
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  i
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} =-i\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}},\mathbf {j} =-i\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\mathbf {k} =-i\sigma _{z}={\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}}
  
。
則任意四元數h = a + bi + cj + dk的矩陣形式為：

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  a
                  −
                  d
                  i
                
                
                  −
                  c
                  −
                  b
                  i
                
              
              
                
                  c
                  −
                  b
                  i
                
                
                  a
                  +
                  d
                  i
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{pmatrix}}}
  

這種表示法有如下優點：

使b = d = 0，可回歸到一複數h = a + cj，相應於一個實矩陣。（參見複數的矩陣表達式。）
四元數的絕對值平方就等於矩陣的行列式。
四元數的共軛值就等於矩陣的共軛轉置。
對於單位四元數 (|h| = 1) 而言，這種表示方式給了四維球体和SU(2)之間的一個同型，而後者對於量子力學中的自旋的研究十分重要。（參見泡利矩陣）
第二種則是以四階實數矩陣表示（相當與把上述表示中的複數再換成其矩陣表示）：
  
    
      
        i
        ↔
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                  
                  0
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle i\leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  a
                
                
                  d
                
                
                  −
                  c
                
                
                  b
                
              
              
                
                  −
                  d
                
                
                  a
                
                
                  −
                  b
                
                
                  −
                  c
                
              
              
                
                  c
                
                
                  b
                
                
                  a
                
                
                  −
                  d
                
              
              
                
                  −
                  b
                
                
                  c
                
                
                  d
                
                
                  a
                
              
            
            )
          
        
        =
        a
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        +
        b
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        +
        c
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        +
        d
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&d&-c&b\\-d&a&-b&-c\\c&b&a&-d\\-b&c&d&a\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}.}
  

其中四元數的共軛等於矩陣的轉置，模的四次方等於矩陣的行列式。


四元數運算 四元數運算在電動力學與廣義相對論中有廣泛的應用。四元數可以用來取代張量表示。有時候採用帶有複數元素之四元數會比較容易，導得結果不為除法代數之形式。然而亦可結合共軛運算以達到相同的運算結果。
此處僅討論具有實數元素之四元數，並將以兩種形式來描述四元數。其中一種是向量與純量的結合，另一形式兩個創建量(constructor)與雙向量(bivector；i、j與k)的結合。
定義兩個四元數:

  
    
      
        q
        =
        a
        +
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        =
        a
        +
        b
        i
        +
        c
        j
        +
        d
        k
      
    
    {\displaystyle q=a+{\vec {u}}=a+bi+cj+dk}
  

  
    
      
        p
        =
        t
        +
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        t
        +
        x
        i
        +
        y
        j
        +
        z
        k
      
    
    {\displaystyle p=t+{\vec {v}}=t+xi+yj+zk}
  

其中
  
    
      
        
          
            
              u
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {u}}}
  
表示矢量<b, c, d>，而
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  
表示矢量<x, y, z>.


= 加、乘和一般函數 =
四元數加法：p + q
跟複數、向量和矩陣一樣，兩個四元數之和需要將不同的元素加起來：

  
    
      
        p
        +
        q
        =
        a
        +
        t
        +
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        (
        a
        +
        t
        )
        +
        (
        b
        +
        x
        )
        i
        +
        (
        c
        +
        y
        )
        j
        +
        (
        d
        +
        z
        )
        k
      
    
    {\displaystyle p+q=a+t+{\vec {u}}+{\vec {v}}=(a+t)+(b+x)i+(c+y)j+(d+z)k}
  

加法遵循实数和複數的所有交换律和结合律。

四元數乘法：qp
两个四元数之间的非可换乘积通常被称为格拉斯曼积，這個積上面已經簡單介紹過，它的完整型態是：

  
    
      
        q
        p
        =
        a
        t
        −
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        +
        a
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        +
        t
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle qp=at-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+a{\vec {v}}+t{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}}
  

  
    
      
        q
        p
        =
        (
        a
        t
        −
        b
        x
        −
        c
        y
        −
        d
        z
        )
        +
        (
        a
        x
        +
        b
        t
        +
        c
        z
        −
        d
        y
        )
        i
        +
        (
        a
        y
        −
        b
        z
        +
        c
        t
        +
        d
        x
        )
        j
        +
        (
        a
        z
        +
        b
        t
        −
        c
        x
        +
        d
        t
        )
        k
        
      
    
    {\displaystyle qp=(at-bx-cy-dz)+(ax+bt+cz-dy)i+(ay-bz+ct+dx)j+(az+bt-cx+dt)k\,}
  

由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的向量部分是:

  
    
      
        q
        p
        =
        a
        t
        −
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        +
        a
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        +
        t
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle qp=at-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+a{\vec {v}}+t{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}}
  

四元數點積： p · q
点积也叫做欧几里得内积，四元数的点积等同于一个四维向量的点积。点积的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个标量。

  
    
      
        p
        ⋅
        q
        =
        a
        t
        +
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        a
        t
        +
        b
        x
        +
        c
        y
        +
        d
        z
      
    
    {\displaystyle p\cdot q=at+{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=at+bx+cy+dz}
  

点积可以用格拉斯曼积的形式表示:

  
    
      
        p
        ⋅
        q
        =
        
          
            
              
                p
                
                  ∗
                
              
              q
              +
              
                q
                
                  ∗
                
              
              p
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p\cdot q={\frac {p^{*}q+q^{*}p}{2}}}
  

这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：

  
    
      
        p
        ⋅
        i
        =
        x
      
    
    {\displaystyle p\cdot i=x}
  

四元數外積：Outer(p,q)

欧几里得外积并不常用; 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性.它们总是一同被提及:

  
    
      
        Outer
        ⁡
        (
        p
        ,
        q
        )
        =
        
          
            
              
                p
                
                  ∗
                
              
              q
              −
              
                q
                
                  ∗
                
              
              p
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Outer} (p,q)={\frac {p^{*}q-q^{*}p}{2}}}
  

  
    
      
        Outer
        ⁡
        (
        p
        ,
        q
        )
        =
        t
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        −
        a
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              u
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Outer} (p,q)=t{\vec {u}}-a{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {u}}}
  

  
    
      
        Outer
        ⁡
        (
        p
        ,
        q
        )
        =
        (
        t
        b
        −
        a
        x
        +
        c
        z
        −
        d
        y
        )
        i
        +
        (
        t
        c
        −
        a
        y
        +
        d
        x
        −
        b
        z
        )
        j
        +
        (
        t
        d
        −
        a
        z
        +
        b
        y
        −
        x
        c
        )
        k
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Outer} (p,q)=(tb-ax+cz-dy)i+(tc-ay+dx-bz)j+(td-az+by-xc)k}
  

四元數偶積：Even(p,q)

四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。

  
    
      
        Even
        ⁡
        (
        p
        ,
        q
        )
        =
        
          
            
              p
              q
              +
              q
              p
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Even} (p,q)={\frac {pq+qp}{2}}}
  

  
    
      
        Even
        ⁡
        (
        p
        ,
        q
        )
        =
        a
        t
        −
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        +
        a
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        +
        t
        
          
            
              u
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Even} (p,q)=at-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+a{\vec {v}}+t{\vec {u}}}
  

  
    
      
        Even
        ⁡
        (
        p
        ,
        q
        )
        =
        (
        a
        t
        −
        b
        x
        −
        c
        y
        −
        d
        z
        )
        +
        (
        a
        x
        +
        t
        b
        )
        i
        +
        (
        a
        y
        +
        t
        c
        )
        j
        +
        (
        a
        z
        +
        t
        d
        )
        k
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Even} (p,q)=(at-bx-cy-dz)+(ax+tb)i+(ay+tc)j+(az+td)k}
  

四元數叉積：p × q
四元数叉积也称为奇积。它和向量叉积等价，并且只返回一个向量值：

  
    
      
        p
        ×
        q
        =
        
          
            
              p
              q
              −
              q
              p
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p\times q={\frac {pq-qp}{2}}}
  

  
    
      
        p
        ×
        q
        =
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p\times q={\vec {u}}\times {\vec {v}}}
  

  
    
      
        p
        ×
        q
        =
        (
        c
        z
        −
        d
        y
        )
        i
        +
        (
        d
        x
        −
        b
        z
        )
        j
        +
        (
        b
        y
        −
        x
        c
        )
        k
      
    
    {\displaystyle p\times q=(cz-dy)i+(dx-bz)j+(by-xc)k}
  

四元數的逆：p−1
四元數的逆通过p−1p = 1被定義。 它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建構方式相同於複倒數(complex inverse)之构造：

  
    
      
        
          p
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              p
              
                ∗
              
            
            
              p
              ⋅
              p
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{-1}={\frac {p^{*}}{p\cdot p}}}
  

一個四元數的自身點積是個純量。四元數除以一個純量等效於乘上此純量的倒數，而使四元數的每個元素皆除以此一除數。

四元數除法：p−1q

四元数的不可换性导致了 p−1q 和 qp−1的不同。 这意味着除非p是一个标量,否则不能使用q/p这一符号。

四元數純量部：Scalar(p)

四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：

  
    
      
        1
        ⋅
        p
        =
        
          
            
              p
              +
              
                p
                
                  ∗
                
              
            
            2
          
        
        =
        t
      
    
    {\displaystyle 1\cdot p={\frac {p+p^{*}}{2}}=t}
  

四元數向量部：Vector(p)

四元数的向量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：

  
    
      
        Outer
        ⁡
        (
        1
        ,
        p
        )
        =
        
          
            
              p
              −
              
                p
                
                  ∗
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        =
        b
        i
        +
        c
        j
        +
        d
        k
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Outer} (1,p)={\frac {p-p^{*}}{2}}={\vec {u}}=bi+cj+dk}
  

四元數模：|p|

四元数的绝对值是四元数到原点的距离。

  
    
      
        
          |
        
        p
        
          |
        
        =
        
          
            p
            ⋅
            p
          
        
        =
        
          
            
              p
              
                ∗
              
            
            p
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
            +
            
              c
              
                2
              
            
            +
            
              d
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |p|={\sqrt {p\cdot p}}={\sqrt {p^{*}p}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}
  

四元數符號數：sgn(p)

一複數之符號數乃得出單位圓上，一個方向與原複數相同之複數。四元數的符號數亦產生單位四元數：

  
    
      
        sgn
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        
          
            p
            
              
                |
              
              p
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn}(p)={\frac {p}{|p|}}}
  

四元數辐角：arg(p)

辐角函數可找出一個四元數向量偏離單位純量(即：1)之角度。此函數輸出一個純量角度。

  
    
      
        arg
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                Scalar
                ⁡
                (
                p
                )
              
              
                
                  |
                
                p
                
                  |
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \arg(p)=\arccos \left({\frac {\operatorname {Scalar} (p)}{|p|}}\right)}
  


= 冪和對數 =
因為四元數有除法，所以冪和對數可以定義。

自然冪：
  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        exp
        ⁡
        (
        a
        )
        (
        cos
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
        +
        sgn
        ⁡
        (
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        )
        sin
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \exp(p)=\exp(a)(\cos(|{\vec {u}}|)+\operatorname {sgn}({\vec {u}})\sin(|{\vec {u}}|))}
  

自然對數：
  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        ln
        ⁡
        (
        
          |
        
        p
        
          |
        
        )
        +
        sgn
        ⁡
        (
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        )
        arg
        ⁡
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \ln(p)=\ln(|p|)+\operatorname {sgn}({\vec {u}})\arg(p)}
  

冪：
  
    
      
        
          p
          
            q
          
        
        =
        
          e
          
            q
            ln
            ⁡
            (
            p
            )
          
        
        
      
    
    {\displaystyle p^{q}=e^{q\ln(p)}\,}
  


= 三角函數 =
正弦：
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        sin
        ⁡
        (
        a
        )
        cosh
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
        +
        cos
        ⁡
        (
        a
        )
        sgn
        ⁡
        (
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        )
        sinh
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
      
    
    {\displaystyle \sin(p)=\sin(a)\cosh(|{\vec {u}}|)+\cos(a)\operatorname {sgn}({\vec {u}})\sinh(|{\vec {u}}|)}
  

餘弦：
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        cos
        ⁡
        (
        a
        )
        cosh
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
        −
        sin
        ⁡
        (
        a
        )
        sgn
        ⁡
        (
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        )
        sinh
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
      
    
    {\displaystyle \cos(p)=\cos(a)\cosh(|{\vec {u}}|)-\sin(a)\operatorname {sgn}({\vec {u}})\sinh(|{\vec {u}}|)}
  

正切：
  
    
      
        tan
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              p
              )
            
            
              cos
              ⁡
              (
              p
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan(p)={\frac {\sin(p)}{\cos(p)}}}
  


= 雙曲函數 =
雙曲正弦: 
  
    
      
        sinh
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        sinh
        ⁡
        (
        a
        )
        cos
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
        +
        cosh
        ⁡
        (
        a
        )
        sgn
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
        sin
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
      
    
    {\displaystyle \sinh(p)=\sinh(a)\cos(|{\vec {u}}|)+\cosh(a)\operatorname {sgn}(|{\vec {u}}|)\sin(|{\vec {u}}|)}
  

雙曲餘弦: 
  
    
      
        cosh
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        cosh
        ⁡
        (
        a
        )
        cos
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
        +
        sinh
        ⁡
        (
        a
        )
        sgn
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
        sin
        ⁡
        (
        
          |
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        
          |
        
        )
      
    
    {\displaystyle \cosh(p)=\cosh(a)\cos(|{\vec {u}}|)+\sinh(a)\operatorname {sgn}(|{\vec {u}}|)\sin(|{\vec {u}}|)}
  

雙曲正切: 
  
    
      
        tanh
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        
          
            
              sinh
              ⁡
              (
              p
              )
            
            
              cosh
              ⁡
              (
              p
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tanh(p)={\frac {\sinh(p)}{\cosh(p)}}}
  


= 反雙曲函數 =
反雙曲正弦: 
  
    
      
        arcsinh
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        ln
        ⁡
        (
        p
        +
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            +
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcsinh} (p)=\ln(p+{\sqrt {p^{2}+1}})}
  

反雙曲餘弦: 
  
    
      
        arccosh
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        ln
        ⁡
        (
        p
        +
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arccosh} (p)=\ln(p+{\sqrt {p^{2}-1}})}
  

反雙曲正切: 
  
    
      
        arctanh
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        
          
            
              ln
              ⁡
              (
              1
              +
              q
              )
              −
              ln
              ⁡
              (
              1
              −
              q
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arctanh} (p)={\frac {\ln(1+q)-\ln(1-q)}{2}}}
  


= 反三角函數 =
將這些被放到最後，是因為需要先定義四元數中的反雙曲三角函数。

反正弦函數: 
  
    
      
        arcsin
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        −
        sgn
        ⁡
        (
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        )
        arcsinh
        ⁡
        (
        p
        sgn
        ⁡
        (
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \arcsin(p)=-\operatorname {sgn}({\vec {u}})\operatorname {arcsinh} (p\operatorname {sgn}({\vec {u}}))}
  

反餘弦函數: 
  
    
      
        arccos
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        −
        sgn
        ⁡
        (
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        )
        arccosh
        ⁡
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \arccos(p)=-\operatorname {sgn}({\vec {u}})\operatorname {arccosh} (p)}
  

反正切函數: 
  
    
      
        arctan
        ⁡
        (
        p
        )
        =
        −
        sgn
        ⁡
        (
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        )
        arctanh
        ⁡
        (
        p
        sgn
        ⁡
        (
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \arctan(p)=-\operatorname {sgn}({\vec {u}})\operatorname {arctanh} (p\operatorname {sgn}({\vec {u}}))}
  


= 廣義化 =
若 F 是一個域，且 a、b 為 F 的元素，那麼就可在 F 上定義一個四維單一結合代数，而它的產生是由符合 i2 = a、j2 = b 和 ij = -ji 的 i、j 而起。
這些代数不是與 F 的二階矩陣代数同型，就是 F 的除法代数。它們稱為「四元數代数」。


歷史 四元數是由哈密頓在1843年愛爾蘭發現的。當時他正研究擴展複數到更高的維次（複數可視為平面上的点）。他不能做到三維空間的例子（即構建不出三元數），但四維則造出四元數。根據哈密頓記述，他於10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運河（Royal Canal）上散步時突然想到

  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        
          j
          
            2
          
        
        =
        
          k
          
            2
          
        
        =
        i
        j
        k
        =
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,}
  

的方程解。之後哈密頓立刻將此方程刻在附近布魯穆橋（Brougham Bridge，現稱為金雀花橋 Broom Bridge）。這條方程放棄了交換律，是當時一個極端的想法（那時還未發展出向量和矩陣）。
不只如此，哈密頓還創造了向量的内积和外积。他亦把四元數描繪成一個有序的四重實數：一個純量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。若兩個純量部為零的四元數相乘，所得的純量部便是原來的兩個向量部的純量積的負值，而向量部則為向量積的值，但它們的重要性仍有待發掘。
哈密頓之後繼續推廣四元數，並出了幾本書。最後一本《四元數的原理》（Elements of Quaternions）於他死後不久出版，長達八百多頁。


= 用途爭辯 =
即使到目前為止四元數在某些領域的用途仍在爭辯之中。一些哈密頓的支持者非常反對奥利弗·黑維塞的向量代数和约西亚·吉布斯的向量分析的發展，以維持四元數的超然地位。對於三維空間這可以討論，但對於更高維四元數就失效了（但可用延伸如八元数和克利福德代数）。而事實上，在20世紀中葉的科學和工程界中，向量幾乎已完全取代四元數的位置。
詹姆斯·克拉克·馬克士威曾經在他的《電磁場動力理論》（A Dynamical Theory of Electromagnetic Field）直接以20條有20個變數的微分方程組來解釋电力、磁力和电磁场之間的關係。某些早期的馬克士威方程组使用了四元数来表述，但与後來黑維塞使用四條以向量為基礎的馬克士威方程组表述相比较，使用四元数的表述并没有流行起来。
事实上，四元数是常被数学家称为几何代数的clifford代数的一个子代数，而后者已经得到很好的研究和应用，尤其是在理论物理中。例如可以用几何代数将狭义相对论和经典电动力学表述为非常优美的形式，量子力学中讨论自旋常用的泡利矩阵实际上也是几何代数的一个子代数的矩阵表示，类似的例子还有对经典力学中刚体的转动的不可交换性的表述。


應用 四元數大量用於计算机图形学中，表示三維物件的旋轉及方位。四元數亦見於控制論、信號處理、姿态控制、物理、轨道力学和生物信息学，都是用來表示旋轉和方位。
相對於另兩種旋轉表示法（矩陣和歐拉角），四元數具有某些方面的優勢，如速度更快、提供平滑插值、有效避免萬向鎖問題、存儲空間較小等等。


相關條目 複數
八元数
十六元数
超复数
泡利矩陣
四平方和定理
四元数与空间旋转


外部链接 （英文）Doing Physics with Quaternions （页面存档备份，存于互联网档案馆）
（英文）Quaternion Calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Java)
（英文）The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton (PDF)
（英文）Tait, Peter Guthrie, “Quaternion.   [2016-01-09]. （原始内容存档于2014-08-08）. ”. M.A. Sec. R.S.E. Encyclopaedia Britannica, Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160–164. (PostScript)
Kuipers, Jack (2002). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality (Reprint edition). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-10298-6
（简体中文）关于四元数的几何意义和物理应用 （页面存档备份，存于互联网档案馆）


参考文献