在數學中，雙曲餘弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的餘弦函數相對應的函數。雙曲餘弦一般以cosh表示，在部分較舊的文獻中有時會以
  
    
      
        
          
            C
            o
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {Cos}}}
  
表示。雙曲餘弦可以用來描述悬链线，即兩端固定自然下垂的繩索，因此可以用於進行悬索桥的工程計算。


定義 雙曲餘弦一般記為
  
    
      
        cosh
      
    
    {\displaystyle \cosh }
  
（有時會簡寫為
  
    
      
        ch
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} }
  
），其在複分析中定義為：

  
    
      
        
          
            
              
                cosh
                :
              
              
                
                  C
                
              
              
                →
              
              
                
                  C
                
              
            
            
              
              
                z
              
              
                ↦
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          e
                          
                            z
                          
                        
                        +
                        
                          e
                          
                            −
                            z
                          
                        
                      
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}\cosh :&\mathbb {C} &\to &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &\displaystyle {\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\end{matrix}}}
  

其中
  
    
      
        z
        ↦
        
          e
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle z\mapsto e^{z}}
  
是複變指數函數。

也就是說，雙曲餘弦可以視為指數函數與其倒數的算術平均數，即雙曲餘弦為自然指數函數的偶函數部分。
在雙曲幾何中，雙曲餘弦函數類似於歐幾里得幾何中的餘弦函數。一般的餘弦可以表示為單位圓上特定角的終邊正向與圓之交點的x座標；而雙曲餘弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角的終邊正向與單位雙曲線之交點的x座標。
對於非單位雙曲線的情形，如以下列形式定義的雙曲線：

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
  

令
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
為雙曲角的終邊與雙曲線的交點，並令
  
    
      
        
          P
          ′
        
      
    
    {\displaystyle P'}
  
為點
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
在共軛雙曲線
  
    
      
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1}
  
上對應的點：

  
    
      
        P
        =
        
          (
          
            
              x
              
                P
              
            
            ,
            
            
              y
              
                P
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P=\left(x_{P},\,y_{P}\right)}
  

  
    
      
        
          P
          ′
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  a
                  
                    y
                    
                      P
                    
                  
                
                b
              
            
            ,
            
            
              
                
                  b
                  
                    x
                    
                      P
                    
                  
                
                a
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P'=\left({\frac {ay_{P}}{b}},\,{\frac {bx_{P}}{a}}\right)}
  

此時雙曲角
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
可以透過交點
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 、共軛點
  
    
      
        
          P
          ′
        
      
    
    {\displaystyle P'}
  
與原點構成的三角形（三角形
  
    
      
        O
        P
        
          P
          ′
        
      
    
    {\displaystyle OPP'}
  
）與雙曲扇形
  
    
      
        O
        A
        P
      
    
    {\displaystyle OAP}
  
的面積比來定義：

  
    
      
        α
        =
        
          
            
              
                s
                e
                c
                t
                o
                r
              
              O
              A
              P
            
            
              △
              
                O
                P
                
                  P
                  ′
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ={\frac {\mathrm {sector} OAP}{\triangle {OPP'}}}}
  

在這個定義下，雙曲餘弦為雙曲角
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
的終邊正向與單位雙曲線之交點的x座標除以雙曲線方程
  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
  
係數
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的結果：

  
    
      
        cosh
        ⁡
        α
        =
        
          
            
              x
              
                P
              
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \cosh \alpha ={\frac {x_{P}}{a}}}
  

此外，亦可以透過三角形面積比來定義雙曲餘弦。若右圖(a)中雙曲角QOP 定義為：

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              
                s
                e
                c
                t
                o
                r
              
              O
              P
              Q
            
            
              △
              
                O
                P
                
                  P
                  ′
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {\mathrm {sector} OPQ}{\triangle {OPP'}}}}
  

則其雙曲餘弦為：

  
    
      
        cosh
        ⁡
        u
        =
        
          
            
              △
              
                O
                Q
                
                  P
                  ′
                
              
            
            
              △
              
                O
                P
                
                  P
                  ′
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cosh u={\frac {\triangle {OQP'}}{\triangle {OPP'}}}}
  

這個定義對應到單位圓上則可以定義一般的餘弦函數。若右圖(b)中角QOP 定義為：

  
    
      
        θ
        =
        
          
            
              
                s
                e
                c
                t
                o
                r
              
              O
              P
              Q
            
            
              △
              
                O
                P
                
                  P
                  ′
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta ={\frac {\mathrm {sector} OPQ}{\triangle {OPP'}}}}
  

則其對應餘弦為：

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              △
              
                O
                Q
                
                  P
                  ′
                
              
            
            
              △
              
                O
                P
                
                  P
                  ′
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\triangle {OQP'}}{\triangle {OPP'}}}}
  


性質 雙曲餘弦在實數域中是連續函數，在複數域中是全純函數，因此在整個複數域中雙曲餘弦處處可微，其導函數為雙曲正弦函數。雙曲餘弦是偶函數，這意味著，雙曲餘弦滿足以下等式：

  
    
      
        cosh
        ⁡
        x
        =
        cosh
        ⁡
        
          (
          
            −
            x
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \cosh x=\cosh \left(-x\right)}
  

雙曲餘弦曲線下的面積（在有限區間內）總是等於該區間對應的弧長：

  
    
      
        
          area
        
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        cosh
        ⁡
        x
        
        d
        x
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          
            1
            +
            
              
                (
                
                  
                    
                      d
                      
                        d
                        x
                      
                    
                  
                  cosh
                  ⁡
                  x
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          arc length.
        
      
    
    {\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}
  

由歐拉公式 
  
    
      
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        =
        cos
        ⁡
        θ
        +
        i
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }
  
和雙曲函數與指數函數的關聯
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        cosh
        ⁡
        x
        +
        sinh
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x}
  
能推出雙曲餘弦與餘弦的關係：

  
    
      
        cos
        ⁡
        i
        x
        =
        cosh
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \cos ix=\cosh x}
  


特殊值 雙曲餘弦存在一些特殊值：

  
    
      
        cosh
        ⁡
        (
        0
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \cosh(0)=1}
  

  
    
      
        cosh
        ⁡
        (
        1
        )
        =
        
          
            
              
                e
                
                  2
                
              
              +
              1
            
            
              2
              e
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cosh(1)={\frac {e^{2}+1}{2e}}}
  

  
    
      
        cosh
        ⁡
        (
        i
        )
        =
        cos
        ⁡
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \cosh(i)=\cos(1)}
  

  
    
      
        cosh
        ⁡
        (
        ln
        ⁡
        φ
        )
        =
        
          
            
              5
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \cosh(\ln \varphi )={\frac {\sqrt {5}}{2}}}
  

其中
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
為黃金比例、
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
為自然對數的底數。


根 函數的根代表函數值為0的點。雙曲餘弦函數的根可透過求解下列方程得到：

  
    
      
        cosh
        ⁡
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \cosh x=0}
  

在實數域中，雙曲餘弦的最小值為1，不與x軸相交，因此上述方程無實根。
而在複數域中可以找到雙曲餘弦的根。所有雙曲餘弦為零的點都是純虛數：

  
    
      
        cosh
        ⁡
        z
        =
        0
        ⇔
        z
        ∈
        i
        π
        
          (
          
            
              Z
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cosh z=0\Leftrightarrow z\in i\pi \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right).}
  

原因是，若將
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
表示成
  
    
      
        x
        +
        i
        y
      
    
    {\displaystyle x+iy}
  
，其中
  
    
      
        x
        ,
        y
      
    
    {\displaystyle x,y}
  
皆為實數，則由
  
    
      
        cosh
        ⁡
        z
        =
        cosh
        ⁡
        x
        cos
        ⁡
        y
        +
        i
        sinh
        ⁡
        x
        sin
        ⁡
        y
      
    
    {\displaystyle \cosh z=\cosh x\cos y+i\sinh x\sin y}
  
有：

  
    
      
        cosh
        ⁡
        z
        =
        0
        ⇔
        
          (
          
            cos
            ⁡
            y
            =
            0
            ∧
            sinh
            ⁡
            x
            =
            0
          
          )
        
        ⇔
        
          (
          
            y
            ∈
            {
            
              
                π
                2
              
            
            +
            k
            π
            ∣
            k
            ∈
            
              Z
            
            }
            ∧
            x
            =
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \cosh z=0\Leftrightarrow \left(\cos y=0\land \sinh x=0\right)\Leftrightarrow \left(y\in \{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}\land x=0\right)}
  

例如：

  
    
      
        cosh
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                i
              
              2
            
          
          )
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \cosh \left({\frac {\pi i}{2}}\right)=0.}
  


用途 = 物理學 =

雙曲餘弦可以用來描述懸鏈線。懸鏈線在物理學中，可以用於描繪軟繩位於水平兩點間，在鉛直方向均勻受力下自然形變後的形狀。其可以表示為：

  
    
      
        y
        =
        a
        cosh
        ⁡
        
          
            x
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}}
  

其中，
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
為繩子的高度，繩子的最低點定為y軸（
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
），
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是一個常數，由繩子本身性質（如密度）、與懸鏈線懸掛的方式決定，通常可以表示為
  
    
      
        a
        =
        
          
            
              T
              
                0
              
            
            
              g
              λ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {T_{0}}{g\lambda }}}
  
，其中
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
是重力加速度、
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
是繩子的密度、
  
    
      
        
          T
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{0}}
  
為繩子上每一點處張力的水平分量。


= 建築學 =

雙曲餘弦在建築學與工程學中一般用於計算懸索橋工程產生的懸鏈線。安东尼·高迪是最早將雙曲餘弦曲線融入建築設計的建築師之一，例如其作品聖家堂以及科洛尼亚桂尔教堂就有用到。
美國密蘇里州聖路易的聖路易斯拱門是一個倒過來的雙曲餘弦曲線外型的建築物。該拱門的最高點離地面約192公尺，其拱頂近似於以下方程：

  
    
      
        y
        =
        −
        39
        
        
          m
        
        cosh
        ⁡
        
          (
          
            
              x
              39
            
          
          )
        
        +
        231
        
        
          m
        
      
    
    {\displaystyle y=-39\,\mathrm {m} \cosh \left({\frac {x}{39}}\right)+231\,\mathrm {m} }
  

其中
  
    
      
        
          m
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {m} }
  
表示單位為公尺，且
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
滿足
  
    
      
        −
        96
        <
        x
        <
        96
      
    
    {\displaystyle -96<x<96}
  
公尺。而具體的幾何結構由結構工程師漢斯卡爾·班德爾提供給埃罗·萨里宁的數學方程確定。

  
    
      
        y
        =
        A
        
          (
          
            cosh
            ⁡
            
              
                
                  C
                  x
                
                L
              
            
            −
            1
          
          )
        
        
        ⇔
        
        x
        =
        
          
            L
            C
          
        
        
          cosh
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          (
          
            1
            +
            
              
                y
                A
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle y=A\left(\cosh {\frac {Cx}{L}}-1\right)\quad \Leftrightarrow \quad x={\frac {L}{C}}\cosh ^{-1}\left(1+{\frac {y}{A}}\right)}
  
,
其中，常量
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
為
  
    
      
        
          
            
              f
              
                c
              
            
            
              
                
                  
                    Q
                    
                      b
                    
                  
                  
                    Q
                    
                      t
                    
                  
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f_{c}}{{\frac {Q_{b}}{Q_{t}}}-1}}=\,}
  
 68.7672英尺（21米）、常數
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
為
  
    
      
        
          cosh
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            
              Q
              
                b
              
            
            
              Q
              
                t
              
            
          
        
        =
        3.0022
      
    
    {\displaystyle \cosh ^{-1}{\frac {Q_{b}}{Q_{t}}}=3.0022}
  
；
  
    
      
        
          f
          
            c
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle f_{c}=}
  
625.0925英尺（191米）為質心的最高點、
  
    
      
        
          Q
          
            b
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle Q_{b}=}
  
1,262.6651 sq ft（117 m2）為截面積的最大值（在拱底取到）、
  
    
      
        
          Q
          
            t
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle Q_{t}=}
  
125.1406 sq ft（12 m2）為截面積的最小值（在拱頂取到）、
  
    
      
        L
        =
      
    
    {\displaystyle L=}
  
299.2239英尺（91米）質心位於拱底之寬度的一半。


參見 餘弦


參考文獻