Meijer G-函数是荷兰数学家梅耶尔引入的一种特殊函数。它是广义超几何函数的推广，绝大多数的特殊函数都可以用 Meijer G-函数表示出来。


定义 广义超几何函数有下列一般的积分表达式（参见相关小节）：

  
    
      
        
          (
          
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                p
              
            
            Γ
            (
            
              a
              
                k
              
            
            )
          
          /
        
        
          
          
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                q
              
            
            Γ
            (
            
              b
              
                k
              
            
            )
          
          )
        
        
        
          

          
          
            p
          
        
        
          F
          
            q
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    …
                  
                  
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    …
                  
                  
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                  
                
              
            
            ;
            z
          
          ]
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∫
          
            C
          
        
        
          (
          
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                p
              
            
            Γ
            (
            
              a
              
                k
              
            
            +
            s
            )
          
          /
        
        
          
          
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                q
              
            
            Γ
            (
            
              b
              
                k
              
            
            +
            s
            )
          
          )
        
        Γ
        (
        −
        s
        )
        (
        −
        z
        
          )
          
            s
          
        
        
          d
        
        s
      
    
    {\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}
  

其中积分路径 C 视参数 p, q 的相对大小而定。上面的积分表达式具有 Mellin 逆变换的形式。
Meijer-G 函数是上面积分表达式的一个推广，它的定义为：

  
    
      
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            m
            ,
            n
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    …
                  
                  
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    …
                  
                  
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                  
                
              
            
            ;
            z
          
          ]
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∫
          
            C
          
        
        
          z
          
            s
          
        
        
          
          
            
              (
              
                
                  ∏
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                Γ
                (
                1
                −
                
                  a
                  
                    k
                  
                
                +
                s
                )
              
              /
            
            
              
              
                
                  ∏
                  
                    k
                    =
                    m
                    +
                    1
                  
                  
                    q
                  
                
                Γ
                (
                1
                −
                
                  b
                  
                    k
                  
                
                +
                s
                )
              
              )
            
          
          /
        
        
          (
          
            
              ∏
              
                k
                =
                n
                +
                1
              
              
                p
              
            
            Γ
            (
            
              a
              
                k
              
            
            −
            s
            )
          
          /
        
        
          
          
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                m
              
            
            Γ
            (
            
              b
              
                k
              
            
            −
            s
            )
          
          )
        
        
          d
        
        s
      
    
    {\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}z^{s}\left.\left(\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{k}+s)\right)\right/\left(\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}-s)\right/\left.\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}-s)\right)\mathrm {d} s}
  

其中积分路径 C 视参数的相对大小而定。但是，为了保证至少一条积分路径有定义，要求

  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
        −
        
          b
          
            l
          
        
        ∈
        
          
            Z
          
          
            +
          
        
        ,
        
        ∀
        k
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
        ;
        l
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        m
      
    
    {\displaystyle a_{k}-b_{l}\notin \mathbb {Z} ^{+},\quad \forall k=1,2,\dots ,n;l=1,2,\dots ,m}
  

在书写 Meijer-G 函数时要注意，上标中的第一个参数和下标中的第二个参数对应的是 bk，而上标中的第二个参数和下标中的第一个参数对应的是 ak。
对比上述两式可以得到广义超几何函数和 Meijer-G 函数的关系：

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∏
                        
                          k
                          =
                          1
                        
                        
                          p
                        
                      
                      Γ
                      (
                      
                        a
                        
                          k
                        
                      
                      )
                    
                    
                      
                        ∏
                        
                          k
                          =
                          1
                        
                        
                          q
                        
                      
                      Γ
                      (
                      
                        b
                        
                          k
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                
                
                  

                  
                  
                    p
                  
                
                
                  F
                  
                    q
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              a
                              
                                1
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                2
                              
                            
                          
                          
                            …
                          
                          
                            
                              a
                              
                                p
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              b
                              
                                1
                              
                            
                          
                          
                            
                              b
                              
                                2
                              
                            
                          
                          
                            …
                          
                          
                            
                              b
                              
                                q
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    z
                  
                  ]
                
              
            
            
              
                =
              
              
                
                  G
                  
                    p
                    ,
                    q
                    +
                    1
                  
                  
                    1
                    ,
                    p
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            1
                            −
                            
                              a
                              
                                1
                              
                            
                          
                          
                            1
                            −
                            
                              a
                              
                                2
                              
                            
                          
                          
                            …
                          
                          
                            1
                            −
                            
                              a
                              
                                p
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            0
                          
                          
                            1
                            −
                            
                              b
                              
                                1
                              
                            
                          
                          
                            …
                          
                          
                            1
                            −
                            
                              b
                              
                                q
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    −
                    z
                  
                  ]
                
              
            
            
              
                =
              
              
                
                  G
                  
                    q
                    +
                    1
                    ,
                    p
                  
                  
                    p
                    ,
                    1
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            1
                          
                          
                            
                              b
                              
                                1
                              
                            
                          
                          
                            …
                          
                          
                            
                              b
                              
                                q
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              a
                              
                                1
                              
                            
                          
                          
                            
                              a
                              
                                2
                              
                            
                          
                          
                            …
                          
                          
                            
                              a
                              
                                p
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    −
                    
                      
                        1
                        z
                      
                    
                  
                  ]
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{cl}&{\frac {\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})}}\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\\=&G_{p,q+1}^{1,p}\left[{\begin{matrix}1-a_{1}&1-a_{2}&\ldots &1-a_{p}\\0&1-b_{1}&\ldots &1-b_{q}\end{matrix}};-z\right]\\=&G_{q+1,p}^{p,1}\left[{\begin{matrix}1&b_{1}&\ldots &b_{q}\\a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\end{matrix}};-{\frac {1}{z}}\right]\end{array}}}
  


基本性质 和广义超几何函数一样，如果上下两个向量组在合适的位置有相同的元素，则 Meijer-G 函数可以降阶，此处不再赘述。


= 一般关系式 =
Meijer-G 函数的导函数具有下列性质：

  
    
      
        
          z
          
            h
          
        
        
          
            
              
                d
              
              
                h
              
            
            
              
                d
              
              
                z
                
                  h
                
              
            
          
        
        
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        
          G
          
            p
            +
            1
            ,
            
            q
            +
            1
          
          
            
            m
            ,
            
            n
            +
            1
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        0
                        ,
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                        ,
                        h
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            h
          
        
        
        
          G
          
            p
            +
            1
            ,
            
            q
            +
            1
          
          
            
            m
            +
            1
            ,
            
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                        ,
                        0
                      
                    
                    
                      
                        h
                        ,
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle z^{h}{\frac {\mathrm {d} ^{h}}{\mathrm {d} z^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}
  

注意 h 可以取任意整数值，取负数时表示不定积分。
另一方面，

  
    
      
        
          z
          
            ρ
          
        
        
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                        +
                        ρ
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                        +
                        ρ
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}
  

  
    
      
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        
          G
          
            q
            ,
            p
          
          
            
            n
            ,
            m
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        1
                        −
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        1
                        −
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            
              z
              
                −
                1
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}
  

  
    
      
        
          (
          
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
            −
            
              a
              
                1
              
            
            +
            1
          
          )
        
        
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          a
                          
                            1
                          
                        
                        −
                        1
                        ,
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        …
                        ,
                        
                          a
                          
                            p
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        
        n
        ≥
        1.
      
    
    {\displaystyle \left(z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-a_{1}+1\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad n\geq 1.}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              a
              
                p
              
            
            −
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
            −
            1
          
          )
        
        
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          a
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        …
                        ,
                        
                          a
                          
                            p
                          
                        
                        −
                        1
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        
        n
        ≤
        p
        −
        1.
      
    
    {\displaystyle \left(a_{p}-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-1\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad n\leq p-1.}
  

  
    
      
        
          (
          
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
            −
            
              b
              
                q
              
            
          
          )
        
        
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          b
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          b
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        …
                        ,
                        
                          b
                          
                            q
                          
                        
                        +
                        1
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        
        m
        ≤
        q
        −
        1.
      
    
    {\displaystyle \left(z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-b_{q}\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad m\leq q-1.}
  

  
    
      
        
          (
          
            
              b
              
                1
              
            
            −
            z
            
              
                
                  d
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
          
          )
        
        
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            m
            ,
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          b
                          
                            1
                          
                        
                        +
                        1
                        ,
                        
                          b
                          
                            2
                          
                        
                        ,
                        …
                        ,
                        
                          b
                          
                            q
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        
        m
        ≥
        1.
      
    
    {\displaystyle \left(b_{1}-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad m\geq 1.}
  

上面的式子都可以直接由定义得到。


= 向量组中两个元素相差整数时的关系式 =
由

  
    
      
        
          
            
              Γ
              (
              1
              −
              u
              +
              s
              )
            
            
              Γ
              (
              1
              −
              v
              +
              s
              )
            
          
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            u
            −
            v
          
        
        
          
            
              Γ
              (
              v
              −
              s
              )
            
            
              Γ
              (
              u
              −
              s
              )
            
          
        
        ,
        
        u
        −
        v
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\Gamma (1-u+s)}{\Gamma (1-v+s)}}=(-1)^{u-v}{\frac {\Gamma (v-s)}{\Gamma (u-s)}},\quad u-v\in \mathbb {Z} }
  

又有

  
    
      
        
          G
          
            p
            +
            2
            ,
            
            q
          
          
            
            m
            ,
            
            n
            +
            1
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        α
                        ,
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                        ,
                        
                          α
                          ′
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              α
              ′
            
            −
            α
          
        
        
        
          G
          
            p
            +
            2
            ,
            
            q
          
          
            
            m
            ,
            
            n
            +
            1
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          α
                          ′
                        
                        ,
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                        ,
                        α
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        ,
        
        n
        ≤
        p
        ,
        
        
          α
          ′
        
        −
        α
        ∈
        
          Z
        
        ,
      
    
    {\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}
  

  
    
      
        
          G
          
            p
            ,
            
            q
            +
            2
          
          
            
            m
            +
            1
            ,
            
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        β
                        ,
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                        ,
                        
                          β
                          ′
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              β
              ′
            
            −
            β
          
        
        
        
          G
          
            p
            ,
            
            q
            +
            2
          
          
            
            m
            +
            1
            ,
            
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          β
                          ′
                        
                        ,
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                        ,
                        β
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        ,
        
        m
        ≤
        q
        ,
        
        
          β
          ′
        
        −
        β
        ∈
        
          Z
        
        ,
      
    
    {\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}
  

  
    
      
        
          G
          
            p
            +
            1
            ,
            
            q
            +
            1
          
          
            
            m
            ,
            
            n
            +
            1
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        α
                        ,
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                        ,
                        β
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            β
            −
            α
          
        
        
        
          G
          
            p
            +
            1
            ,
            
            q
            +
            1
          
          
            
            m
            +
            1
            ,
            
            n
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              p
                            
                          
                        
                        ,
                        α
                      
                    
                    
                      
                        β
                        ,
                        
                          
                            b
                            
                              q
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
        ,
        
        m
        ≤
        q
        ,
        
        β
        −
        α
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
      
    
    {\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}
  


微分方程 由上面一般关系式一节的讨论知 Meijer-G 函数满足下列微分方程，它与广义超几何函数满足的微分方程形式上很类似。

  
    
      
        
          [
          
            (
            −
            1
            
              )
              
                p
                −
                m
                −
                n
              
            
            z
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                p
              
            
            
              (
              
                z
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      
                        
                          d
                        
                      
                      z
                    
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    k
                  
                
                +
                1
              
              )
            
            −
            
              ∏
              
                k
                =
                1
              
              
                q
              
            
            
              (
              
                z
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      
                        
                          d
                        
                      
                      z
                    
                  
                
                −
                
                  b
                  
                    k
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        w
        =
        0
        ,
        
        w
        (
        z
        )
        =
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            m
            ,
            n
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                  
                
              
            
            ;
            z
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}z\prod _{k=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-a_{k}+1\right)-\prod _{k=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-b_{k}\right)\right]w=0,\quad w(z)=G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]}
  
.
这是一个 max(p,q) 阶的线性微分方程，在 z=0 附近的基本解组可以选取为

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    G
                    
                      p
                      ,
                      q
                    
                    
                      
                      1
                      ,
                      p
                    
                  
                  
                  
                    (
                    
                      
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                    a
                                    
                                      1
                                    
                                  
                                  ,
                                  …
                                  ,
                                  
                                    a
                                    
                                      p
                                    
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                    b
                                    
                                      h
                                    
                                  
                                  ,
                                  
                                    b
                                    
                                      1
                                    
                                  
                                  ,
                                  …
                                  ,
                                  
                                    b
                                    
                                      h
                                      −
                                      1
                                    
                                  
                                  ,
                                  
                                    b
                                    
                                      h
                                      +
                                      1
                                    
                                  
                                  ,
                                  …
                                  ,
                                  
                                    b
                                    
                                      q
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                          
                        
                        |
                      
                      
                      (
                      −
                      1
                      
                        )
                        
                          p
                          −
                          m
                          −
                          n
                          +
                          1
                        
                      
                      
                      z
                    
                    )
                  
                  ,
                  
                  h
                  =
                  1
                  ,
                  2
                  ,
                  …
                  ,
                  q
                  ,
                
                
                  
                     if 
                  
                  p
                  ⩽
                  q
                
              
              
                
                  
                    G
                    
                      p
                      ,
                      q
                    
                    
                      
                      q
                      ,
                      1
                    
                  
                  
                  
                    (
                    
                      
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                    a
                                    
                                      h
                                    
                                  
                                  ,
                                  
                                    a
                                    
                                      1
                                    
                                  
                                  ,
                                  …
                                  ,
                                  
                                    a
                                    
                                      h
                                      −
                                      1
                                    
                                  
                                  ,
                                  
                                    a
                                    
                                      h
                                      +
                                      1
                                    
                                  
                                  ,
                                  …
                                  ,
                                  
                                    a
                                    
                                      p
                                    
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                    b
                                    
                                      1
                                    
                                  
                                  ,
                                  …
                                  ,
                                  
                                    b
                                    
                                      q
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                          
                        
                        |
                      
                      
                      (
                      −
                      1
                      
                        )
                        
                          q
                          −
                          m
                          −
                          n
                          +
                          1
                        
                      
                      
                      z
                    
                    )
                  
                  ,
                  
                  h
                  =
                  1
                  ,
                  2
                  ,
                  …
                  ,
                  p
                  ,
                
                
                  
                     if 
                  
                  p
                  ⩾
                  q
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,&{\text{ if }}p\leqslant q\\G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p,&{\text{ if }}p\geqslant q\end{cases}}}
  

当 p=q 时两种取法都可以。
从 m, n 的取值上就可以看到它们跟广义超几何函数有直接的联系。事实上的确如此，以第一种情况为例，

  
    
      
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            1
            ,
            p
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          a
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        …
                        ,
                        
                          a
                          
                            p
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          b
                          
                            h
                          
                        
                        ,
                        
                          b
                          
                            1
                          
                        
                        ,
                        …
                        ,
                        
                          b
                          
                            h
                            −
                            1
                          
                        
                        ,
                        
                          b
                          
                            h
                            +
                            1
                          
                        
                        ,
                        …
                        ,
                        
                          b
                          
                            q
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            (
            −
            1
            
              )
              
                p
                −
                m
                −
                n
                +
                1
              
            
            
            z
          
          )
        
        =
        
          z
          
            
              b
              
                h
              
            
          
        
        
          G
          
            p
            ,
            q
          
          
            
            1
            ,
            p
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          a
                          
                            1
                          
                        
                        −
                        
                          b
                          
                            h
                          
                        
                        ,
                        …
                        ,
                        
                          a
                          
                            p
                          
                        
                        −
                        
                          b
                          
                            h
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        0
                        ,
                        
                          b
                          
                            1
                          
                        
                        −
                        
                          b
                          
                            h
                          
                        
                        ,
                        …
                        ,
                        
                          b
                          
                            h
                            −
                            1
                          
                        
                        −
                        
                          b
                          
                            h
                          
                        
                        ,
                        
                          b
                          
                            h
                            +
                            1
                          
                        
                        −
                        
                          b
                          
                            h
                          
                        
                        ,
                        …
                        ,
                        
                          b
                          
                            q
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            (
            −
            1
            
              )
              
                p
                −
                m
                −
                n
                +
                1
              
            
            
            z
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right)=z^{b_{h}}G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-b_{h},\dots ,a_{p}-b_{h}\\0,b_{1}-b_{h},\dots ,b_{h-1}-b_{h},b_{h+1}-b_{h},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right)}
  

等号右边的 Meijer-G 函数显然就是广义超几何函数。


特殊情形 因为广义超几何函数是 Meijer-G 函数的特殊情形，故所有可以用广义超几何函数表示的特殊函数都可以用 Meijer-G 函数表示，但是，在个别情况下，用 Meijer-G 函数有更简单的表示式，例子如诺依曼函数，它可以用超几何函数0F1表示，但表示式仅仅是将（第一类）贝塞尔函数的超几何函数表示式代入其定义式中，因此含有两个超几何函数。而用 Meijer-G 函数就可以直接表示为：

  
    
      
        
          Y
          
            ν
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          G
          
            1
            ,
            3
          
          
            
            2
            ,
            0
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              −
                              ν
                              −
                              1
                            
                            2
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            ν
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          
                            
                              −
                              ν
                            
                            2
                          
                        
                        ,
                        
                          
                            
                              −
                              ν
                              −
                              1
                            
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            
              
                
                  z
                  
                    2
                  
                
                4
              
            
          
          )
        
        ,
        
        
          
            
              −
              π
            
            2
          
        
        <
        arg
        ⁡
        z
        ≤
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{\nu }(z)=G_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg z\leq {\frac {\pi }{2}}}
  

另外一个例子是不完全伽玛函数对参变量的偏导数，它无法用广义超几何函数表出，但可以用 Meijer-G 函数表出：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              Γ
              (
              a
              ,
              z
              )
            
            
              ∂
              a
            
          
        
        =
        Γ
        (
        a
        ,
        z
        )
        ln
        ⁡
        z
        +
        
        
          G
          
            2
            ,
            
            3
          
          
            
            3
            ,
            
            0
          
        
        
        
          (
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        1
                        ,
                        1
                      
                    
                    
                      
                        a
                        ,
                        0
                        ,
                        0
                      
                    
                  
                
                
              
              |
            
            
            z
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,z)}{\partial a}}=\Gamma (a,z)\ln z+\,G_{2,\,3}^{\,3,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\a,0,0\end{matrix}}\;\right|\,z\right)}
  

事实上，不完全伽玛函数对参变量的高阶偏导数也可以用 Meijer-G 函数表出，详见不完全Γ函数一文。


推广 如同广义超几何函数和Kampe de Feriet函数（双变量的广义超几何函数）的关系那样，Meijer G-函数也可以被推广到两个变量的情况：

  
    
      
        
          G
          
            p
            ,
            q
            ,
            
              u
              
                1
              
            
            ,
            
              v
              
                1
              
            
            ,
            
              u
              
                2
              
            
            ,
            
              v
              
                2
              
            
          
          
            m
            ,
            n
            ,
            
              s
              
                1
              
            
            ,
            
              t
              
                1
              
            
            ,
            
              s
              
                2
              
            
            ,
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      a
                      
                        p
                      
                    
                    ;
                    
                      c
                      
                        1
                        ,
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      c
                      
                        1
                        ,
                        
                          u
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    
                      c
                      
                        2
                        ,
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      c
                      
                        2
                        ,
                        
                          u
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    ;
                  
                
                
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      b
                      
                        q
                      
                    
                    ;
                    
                      d
                      
                        1
                        ,
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      d
                      
                        1
                        ,
                        
                          v
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                    ;
                    
                      d
                      
                        2
                        ,
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      d
                      
                        2
                        ,
                        
                          v
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    ;
                  
                
              
            
             
            z
            ,
            w
          
          ]
        
        =
        −
        
          
            1
            
              4
              
                π
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              L
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                L
                ′
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  1
                
                
                  m
                
              
              Γ
              (
              
                b
                
                  k
                
              
              +
              σ
              +
              τ
              )
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              Γ
              (
              1
              −
              
                a
                
                  k
                
              
              −
              σ
              −
              τ
              )
            
            
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  n
                  +
                  1
                
                
                  p
                
              
              Γ
              (
              
                a
                
                  k
                
              
              +
              σ
              +
              τ
              )
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  m
                  +
                  1
                
                
                  q
                
              
              Γ
              (
              1
              −
              
                a
                
                  k
                
              
              −
              σ
              −
              τ
              )
            
          
        
        
          
            
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  1
                
                
                  
                    s
                    
                      1
                    
                  
                
              
              Γ
              (
              
                d
                
                  1
                  ,
                  k
                
              
              +
              σ
              )
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  1
                
                
                  
                    t
                    
                      1
                    
                  
                
              
              Γ
              (
              1
              −
              
                c
                
                  1
                  ,
                  k
                
              
              −
              σ
              )
            
            
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  
                    t
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  1
                
                
                  
                    u
                    
                      1
                    
                  
                
              
              Γ
              (
              
                c
                
                  1
                  ,
                  k
                
              
              +
              σ
              )
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  
                    s
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  1
                
                
                  
                    v
                    
                      1
                    
                  
                
              
              Γ
              (
              1
              −
              
                d
                
                  1
                  ,
                  k
                
              
              −
              σ
              )
            
          
        
        
          
            
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  1
                
                
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                
              
              Γ
              (
              
                d
                
                  2
                  ,
                  k
                
              
              +
              τ
              )
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  1
                
                
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
              Γ
              (
              1
              −
              
                c
                
                  2
                  ,
                  k
                
              
              −
              τ
              )
            
            
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  1
                
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
              
              Γ
              (
              
                c
                
                  2
                  ,
                  k
                
              
              +
              τ
              )
              
                ∏
                
                  k
                  =
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  1
                
                
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                
              
              Γ
              (
              1
              −
              
                d
                
                  2
                  ,
                  k
                
              
              −
              τ
              )
            
          
        
        
          z
          
            −
            σ
          
        
        
          w
          
            −
            τ
          
        
        d
        σ
        d
        τ
        
          /
        
        ;
        m
        ,
        n
        ,
        
          s
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            1
          
        
        ,
        
          s
          
            2
          
        
        ,
        
          t
          
            2
          
        
        ,
        p
        ,
        q
        ,
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          u
          
            2
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        ∈
        
          N
        
        ,
        m
        ≤
        q
        ,
        n
        ≤
        p
        ,
        
          s
          
            1
          
        
        ≤
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            1
          
        
        ≤
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          s
          
            2
          
        
        ≤
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        
          t
          
            2
          
        
        ≤
        
          u
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{p,q,u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}}^{m,n,s_{1},t_{1},s_{2},t_{2}}\left[{\begin{array}{lll}a_{1},\dots ,a_{p};c_{1,1},\dots ,c_{1,u_{1}};c_{2,1},\dots ,c_{2,u_{2}};\\b_{1},\dots ,b_{q};d_{1,1},\dots ,d_{1,v_{1}};d_{2,1},\dots ,d_{2,v_{2}};\end{array}}\ z,w\right]=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{\mathcal {L}}\int _{\mathcal {L'}}{\frac {\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}+\sigma +\tau )\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}-\sigma -\tau )}{\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}+\sigma +\tau )\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-a_{k}-\sigma -\tau )}}{\frac {\prod _{k=1}^{s_{1}}\Gamma (d_{1,k}+\sigma )\prod _{k=1}^{t_{1}}\Gamma (1-c_{1,k}-\sigma )}{\prod _{k=t_{1}+1}^{u_{1}}\Gamma (c_{1,k}+\sigma )\prod _{k=s_{1}+1}^{v_{1}}\Gamma (1-d_{1,k}-\sigma )}}{\frac {\prod _{k=1}^{s_{2}}\Gamma (d_{2,k}+\tau )\prod _{k=1}^{t_{2}}\Gamma (1-c_{2,k}-\tau )}{\prod _{k=t_{2}+1}^{u_{2}}\Gamma (c_{2,k}+\tau )\prod _{k=s_{2}+1}^{v_{2}}\Gamma (1-d_{2,k}-\tau )}}z^{-\sigma }w^{-\tau }d\sigma d\tau /;m,n,s_{1},t_{1},s_{2},t_{2},p,q,u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}\in \mathbb {N} ,m\leq q,n\leq p,s_{1}\leq v_{1},t_{1}\leq u_{1},s_{2}\leq v_{2},t_{2}\leq u_{2}}
  


注 参考文献 Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W.  (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
Beals, Richard; Szmigielski, Jacek. Meijer G-Functions: A Gentle Introduction, (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2013, 60 (7)  [2014-09-06]. （原始内容存档 (PDF)于2021-01-26）. 
Luke, Yudell L. The Special Functions and Their Approximations, Vol. I. New York: Academic Press. 1969. ISBN 0-12-459901-X.  (see Chapter V, "The Generalized Hypergeometric Function and the G-Function", p. 136)
The Wolfram Functions Site.   [2014-09-06]. （原始内容存档于2007-10-10）. 


外部链接 埃里克·韦斯坦因. Meijer G-函数. MathWorld.