在算術組合學中，塞邁雷迪定理（英語：Szemeredi's theorem）是個關於自然數集子集中的等差数列的結論。1936年，艾狄胥·帕爾和圖蘭·帕爾猜想：若整數集 A 具有正的自然密度，則對任意的正整數 k, 都可以在 A 中找出一個 k 項的等差數列。匈牙利數學家塞迈雷迪·安德烈於1975年證明了此結論。


定理敍述 若自然数集的子集 A 滿足

  
    
      
        
          lim sup
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              
                |
              
              A
              ∩
              {
              1
              ,
              2
              ,
              3
              ,
              …
              ,
              n
              }
              
                |
              
            
            n
          
        
        >
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,2,3,\dotsc ,n\}|}{n}}>0,}
  

則稱 A 具有正的上密度。塞邁雷迪定理斷言，若自然數集的一個子集具有正的上密度，則對任意的正整數 k, 該子集都包含無窮多個長為 k 的（公差不為 0) 的等差數列。
定理另有一個等價的有限性敍述（即不牽涉「無窮」的）：對任意的正整數 k 和實數 
  
    
      
        δ
        ∈
        (
        0
        ,
        1
        ]
        ,
      
    
    {\displaystyle \delta \in (0,1],}
  
都存在正整數

  
    
      
        N
        =
        N
        (
        k
        ,
        δ
        )
      
    
    {\displaystyle N=N(k,\delta )}
  

使得 {1, 2, ..., N} 的每個至少 δN 元的子集，都包含長為 k 的等差數列。
定義 rk(N) 為 {1, 2, ..., N} 的子集當中，不包含長為 k 的等差數列的最大子集的大小。塞邁雷迪定理給出漸近上界

  
    
      
        
          r
          
            k
          
        
        (
        N
        )
        =
        o
        (
        N
        )
        .
      
    
    {\displaystyle r_{k}(N)=o(N).}
  

換言之，rk(N) 隨 N 的增長慢於線性。


歷史 范德瓦尔登定理是塞邁雷迪定理的先驅，其於 1927 年獲證。
塞邁雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情況顯然成立。 k = 3 的結論關乎薩萊姆-斯賓塞集（不包含 3 項等差數列的整數子集）的大小。1953 年，克勞斯·羅特 利用類似哈代-李特爾伍德圓法的方法，證明了 k = 3 的結論。1969 年，塞迈雷迪·安德烈利用組合學方法證明了 k = 4 的情況。在 1972 年，羅特利用類似自己證明 k = 3 的情況的方法，給出了 k = 4 的情況的另證。
塞邁雷迪於 1975 年給出了適用於所有 k 的證明。 他巧妙地擴展了自己先前對 k = 4 的情況的組合論證，艾狄胥稱該證明為「組合學推理的傑作」("a masterpiece of combinatorial reasoning"). 定理亦有若干其他證明，較重要的有：1977 年希勒尔·菲尔斯滕贝格利用遍历理论給出的證明，以及 2001 年高爾斯結合傅里叶分析和组合数学給出的證明。陶哲轩稱塞邁雷迪定理的眾多證明為「羅塞塔石碑」，因為它們連結了幾個乍看之下迥異的數學分支。


rk(N) 的具體大小 rk(N) 的確切增長速度仍然未知。目前所知的上下界為

  
    
      
        C
        N
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            n
            
              2
              
                (
                n
                −
                1
                )
                
                  /
                
                2
              
            
            
              
                
                  log
                  ⁡
                  N
                
                
                  n
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  2
                  n
                
              
            
            log
            ⁡
            log
            ⁡
            N
          
          )
        
        ≤
        
          r
          
            k
          
        
        (
        N
        )
        ≤
        
          
            N
            
              (
              log
              ⁡
              log
              ⁡
              N
              
                )
                
                  
                    2
                    
                      −
                      
                        2
                        
                          k
                          +
                          9
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle CN\exp \left(-n2^{(n-1)/2}{\sqrt[{n}]{\log N}}+{\frac {1}{2n}}\log \log N\right)\leq r_{k}(N)\leq {\frac {N}{(\log \log N)^{2^{-2^{k+9}}}}},}
  

其中 
  
    
      
        n
        =
        ⌈
        log
        ⁡
        k
        ⌉
        .
      
    
    {\displaystyle n=\lceil \log k\rceil .}
  
歐布萊恩（Kevin O'Bryant) 證出了上述的下界 ，其證明建基於貝哈連德（Felix Behrend)、羅伯特·藍欽，以及埃爾金（Michael Elkin) 先前的成果。上界由高爾斯證出。
對於較小的 k, 可以找到比起一般情況更緊的上下界。當 k = 3 時，布爾甘、希斯-布朗、塞邁雷迪，以及湯姆·桑德斯依次給出了愈來愈好的下界。目前所知的上下界為

  
    
      
        N
        
          2
          
            −
            
              
                8
                log
                ⁡
                N
              
            
          
        
        ≤
        
          r
          
            3
          
        
        (
        N
        )
        ≤
        C
        
          
            
              (
              log
              ⁡
              log
              ⁡
              N
              
                )
                
                  4
                
              
            
            
              log
              ⁡
              N
            
          
        
        N
        .
      
    
    {\displaystyle N2^{-{\sqrt {8\log N}}}\leq r_{3}(N)\leq C{\frac {(\log \log N)^{4}}{\log N}}N.}
  

兩邊的界限分別由歐布萊恩 和布魯姆（Thomas Bloom)  給出。
當 k = 4 時，本·格林和陶哲軒 證明了存在 c > 0 使得

  
    
      
        
          r
          
            4
          
        
        (
        N
        )
        ≤
        C
        
          
            N
            
              (
              log
              ⁡
              N
              
                )
                
                  c
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle r_{4}(N)\leq C{\frac {N}{(\log N)^{c}}}.}
  


推廣 希勒尔·菲尔斯滕贝格和伊扎克·卡茨內勒松利用遍歷理論整明了塞邁雷迪定理的高維推廣。 高爾斯、沃伊傑赫·勒德爾和約澤夫·斯科肯 (Jozef Skokan)  ，以及布蘭登·納格 (Brendan Nagle)、 勒德爾和馬蒂亞斯·沙赫特 ，和陶哲軒給出了各自的組合學證明。
亞歷山大·萊布門 (Alexander Leibman)  和維塔利·別爾格爾松 給出定理對多項式列的推廣：若 
  
    
      
        A
        ⊂
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle A\subset \mathbb {N} }
  
的上密度為正，且 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        (
        n
        )
        ,
        
          p
          
            2
          
        
        (
        n
        )
        ,
        …
        ,
        
          p
          
            k
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle p_{1}(n),p_{2}(n),\dotsc ,p_{k}(n)}
  
為滿足 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle p_{i}(0)=0}
  
的整值多項式，則存在無窮多組 
  
    
      
        u
        ,
        n
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle u,n\in \mathbb {Z} }
  
使得對
  
    
      
        1
        ≤
        i
        ≤
        k
      
    
    {\displaystyle 1\leq i\leq k}
  
都有 
  
    
      
        u
        +
        
          p
          
            i
          
        
        (
        n
        )
        ∈
        A
        .
      
    
    {\displaystyle u+p_{i}(n)\in A.}
  
 萊布門和別爾格爾松的結果同樣適用於高維的情況。
塞邁雷迪定理的有限性版本可推廣至有限的加法群上，例如有限域上的向量空间。 定理在有限域上的類比，是有助理解原定理（在正整數集上）的模型。 所謂封頂集問題，就是要找出向量空間 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            3
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}
  
所包含的無 3 項等差數列的最大子集的大小，即塞邁雷迪定理當 k = 3 時的界限。
格林-陶定理斷言，存在任意長的質數等差數列。此結論不能由塞邁雷迪定理推出，因為質數集的密度為 0. 本·格林和陶哲軒在其證明中引入了「相對性」（英語：relative) 的塞邁雷迪定理，該定理適用於任意具特定偽隨機性的整數子集（允許密度為 0)。大衛·康倫，雅各布·福克斯和趙宇飛 (Yufei Zhao)其後亦給出了適用於更一般情況的相對性塞邁雷迪定理。
埃尔德什等差数列猜想（斷言倒數和發散的集合，必有任意長的等差數列）可以推出塞邁雷迪定理和格林-陶定理。


參見 與等差數列有關的問題
遍歷拉姆齊理論
算術組合學
塞邁雷迪正則性引理


參考資料 延申閱讀 Tao, Terence. Granville, Andrew; Nathanson, Melvyn B.; Solymosi, Jozsef , 编. Additive Combinatorics. CRM Proceedings & Lecture Notes 43. Providence, RI: American Mathematical Society: 145–193. 2007. Bibcode:2006math......4456T. ISBN 978-0-8218-4351-2. MR 2359471. Zbl 1159.11005. arXiv:math/0604456 .  


外部鏈結 Announcement by Ben Green and Terence Tao （页面存档备份，存于互联网档案馆） – the preprint is available at math.NT/0404188
Discussion of Szemeredi's theorem (part 1 of 5) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Ben Green and Terence Tao: Szemeredi's theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） on Scholarpedia
埃里克·韦斯坦因. SzemeredisTheorem. MathWorld. 
Grime, James; Hodge, David. 6,000,000: Endre Szemeredi wins the Abel Prize. Numberphile. 布雷迪·哈蘭. 2012  [2019-06-17]. （原始内容存档于2014-01-09）.