實際數（英語：practical number）是指任意正整數n使得所有小於n的正整數都可以用數個n的相異真因數和表示。例如12的真因數有1, 2, 3, 4及6，而1至11的數字中有幾個不是12的真因數，但都可以表示為數個相異真因數的和：5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。
以下是實際數的列表（OEIS數列A005153）：1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....
12,13世紀的義大利數學家斐波那契在其著作《計算之書》（Liber Abaci）中，在說明如何用埃及分數的和表示有理數時有用到實際數。斐波那契沒有正式的定義實際數，但其中有一個表，其中有許多分數的分母為實際數。
實際數（practical number）一詞最早是由Srinivasan在1948年開始使用，他希望可以找出有這類性質的數字，此工作後來在1955年由Stewart和Sierpinski完成。利用正整數的質因數分解可以判斷是否是實際數，所有2的幂及偶數的完全數都是實際數。
已發現實際數和質數有許多類似的特質。


實際數的充份必要條件 一個正整數可以由其質因數分解看出是否是實際數，一正整數
  
    
      
        n
        =
        
          p
          
            1
          
          
            
              α
              
                1
              
            
          
        
        .
        .
        .
        
          p
          
            k
          
          
            
              α
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}
  
，其中
  
    
      
        n
        >
        1
      
    
    {\displaystyle n>1}
  
，質因數為
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        <
        
          p
          
            2
          
        
        <
        ⋯
        <
        
          p
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}
  
，其為實際數若且唯若
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle p_{1}=2}
  
，且對於每個2到k之間的i：

  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        ≤
        1
        +
        σ
        (
        
          p
          
            1
          
          
            
              α
              
                1
              
            
          
        
        …
        
          p
          
            i
            −
            1
          
          
            
              α
              
                i
                −
                1
              
            
          
        
        )
        =
        1
        +
        
          ∏
          
            j
            =
            1
          
          
            i
            −
            1
          
        
        
          
            
              
                p
                
                  j
                
                
                  
                    α
                    
                      j
                    
                  
                  +
                  1
                
              
              −
              1
            
            
              
                p
                
                  j
                
              
              −
              1
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}
  

其中
  
    
      
        σ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (x)}
  
為x的除數函數。
例如3 ≤ σ(2)+1 = 4，29 ≤ σ(2 × 32)+1 = 40，及823 ≤ σ(2 × 32 × 29)+1=1171，因此2 × 32 × 29 × 823 = 429606為一實際數。
由於以上條件成立時，才能用其他較小的因數和表示
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p_{i}-1}
  
，因此是一正數為實際數的必要條件。上述條件也是一正數為實際數的充份條件。


和其他數列的關係 所有2的幂都是實際數。2的幂的質因數分解滿足實際數的充份必要條件：第一個質因數為2。所有偶數的完全數也都是實際數：依照歐拉的研究，偶數的完全數可以表示為2n − 1(2n − 1)，其奇數的質因數可以用其他偶數部份的除數函數來表示，因此也滿足實際數的充份必要條件。
任一個質數階乘也都是實際數。根據伯特蘭－切比雪夫定理，質數階乘中最大的質數會小於次大質數和最小質數（2）的乘積，因此滿足實際數的充份必要條件。前k個質數幂次的乘積也都是實際數，包括階乘以及斯里尼瓦瑟·拉馬努金提出的高合成數。


和埃及分數的關係 若n為實際數，則小於1的有理數m/n可以表示∑di/n來表示，其中di為n的相異因數，此式的每一項都可以化簡為單位分數，因此此式即為m/n的埃及分數表示式。例如

  
    
      
        
          
            13
            20
          
        
        =
        
          
            10
            20
          
        
        +
        
          
            2
            20
          
        
        +
        
          
            1
            20
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            1
            10
          
        
        +
        
          
            1
            20
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}
  

斐波那契在其著作《計算之書》（Liber Abaci）中列出許多用埃及分數表示有理數的方式，首先先確認分數是否可以直接化簡為單位分數，再來則是設法將分子表示為分母因數的和，此方式只在分母為實際數時有效。斐波那契列出了分母為6, 8, 12, 20, 24, 60及100時，分數用埃及分數表示時的表示式。


和質數的類似之處 實際數特別的一點是其許多性質都類似質數。例如假設p(x)為小於x實際數的個數，Saias證明存在常數c1及 c2使得下式成立：

  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
        
          
            x
            
              log
              ⁡
              x
            
          
        
        <
        p
        (
        x
        )
        <
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            x
            
              log
              ⁡
              x
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x}},}
  

以上公式可以對應素數的素數定理。此證明解答了Margenstern的猜想：存在特定常數c，使得p(x)漸近於cx/log x。也強化了保罗·埃尔德什所提出：實際數在正整數中的密度為0的論點。
實際數也有對應哥德巴赫猜想及孿生質數猜想的定理：每一個偶數可以表示為二個實際數的和，以及存在無限多個 x − 2, x, x + 形式的實際數。Melfi也證明在斐波那契数列中存在無限多個實際數，素數對應的問題是是否存在無限多個斐波那契質數，此問題仍為開放問題，還沒有被證明，但也還找不到反例。Hausman及Shapiro證明若x為正實數，在[x2,(x + 1)2]區間內存在實際數，可以對應質數中的勒讓德猜想。


參考資料 外部連結 Tables of practical numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆） compiled by Giuseppe Melfi
Practical Number at PlanetMath.
埃里克·韦斯坦因. Practical Number. MathWorld.