σ-有限测度是测度论中的一个概念。對测度空间 
  
    
      
        (
        X
        ,
        
        Σ
        ,
        
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}
  
 來說，若测度 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
  其對任意 
  
    
      
        A
        ∈
        Σ
      
    
    {\displaystyle A\in \Sigma }
  
  的取值 
  
    
      
        μ
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \mu (A)}
  
 是一个有限的实数（而不是无穷大），那么就称这个测度为有限测度。
若測度空間的母集合 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 可表示为 
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }
  
 的某有限可測集合序列 
  
    
      
        {
        
          E
          
            n
          
        
        ∈
        Σ
        
          }
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}
  
 的并集：

  
    
      
        X
        =
        
          ⋃
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}
  

則么就称这个测度为σ-有限测度:24。進一步的，如果 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的某个子集能够表示为 
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }
  
 之中的某可測集合序列的并集，那么也称这个子集拥有σ-有限测度。


例子 勒贝格测度：实数集
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
上的勒贝格测度不是有限测度，因为整个实数轴的“长度”，也就是全集
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
的测度是无穷大。但是，勒贝格测度是σ-有限测度，因为
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
可以表示为所有形如
  
    
      
        [
        −
        n
        ,
        n
        ]
      
    
    {\displaystyle [-n,n]}
  
的区间的并集，而每个区间的测度都是有限的（等于
  
    
      
        2
        n
      
    
    {\displaystyle 2n}
  
）：

  
    
      
        
          R
        
        =
        
          ⋃
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        [
        −
        n
        ,
        n
        ]
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }[-n,n].}
  
:24
计数测度：实数集
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
上的计数测度，是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度：含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大:20-21。这个测度不是σ-有限测度，因为实数集是不可数的，它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集:30。不过，自然数集
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
上的计数测度就是σ-有限测度:29，因为全集
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
可以（很自然地）表示成可数个测度为1的子集的并集：

  
    
      
        
          N
        
        =
        
          ⋃
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        {
        n
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\{n\}.}
  

局部紧群：设
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
是一个局部紧的拓扑群，并且是σ-紧致的，那么群
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
上的哈尔测度是σ-有限测度:42。


性质 σ-有限测度中，全集可以表示为
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
中的可数个有限测度子集的并集：
  
    
      
        Ω
        =
        
          ⋃
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          B
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}}
  
，但实际上表示的方法可以不止一种。比如说，令

  
    
      
        ∀
        n
        ∈
        
          N
        
        ,
        
        
        
          C
          
            n
          
        
        =
        
          ⋃
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          B
          
            k
          
        
        ∈
        
          
            A
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;C_{n}=\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\in {\mathcal {A}},}
  

那么
  
    
      
        ∀
        n
        ∈
        
          N
        
        ,
        
        
        μ
        (
        
          C
          
            n
          
        
        )
        ⩽
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        μ
        (
        
          B
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;\mu (C_{n})\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu (B_{k})}
  
，也就是说
  
    
      
        
          
            (
            
              C
              
                n
              
            
            )
          
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
  
也是一系列有限测度的子集，并且
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
        ⊂
        
          C
          
            2
          
        
        ⊂
        ⋯
        ⊂
        
          C
          
            n
          
        
        ⊂
        
          C
          
            n
            +
            1
          
        
        ⊂
        ⋯
      
    
    {\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots \subset C_{n}\subset C_{n+1}\subset \cdots }
  
，所以
  
    
      
        μ
        (
        
          C
          
            1
          
        
        )
        ⩽
        μ
        (
        
          C
          
            2
          
        
        )
        ⩽
        ⋯
        ⩽
        μ
        (
        
          C
          
            n
          
        
        )
        ⩽
        μ
        (
        
          C
          
            n
            +
            1
          
        
        )
        ⩽
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \mu (C_{1})\leqslant \mu (C_{2})\leqslant \cdots \leqslant \mu (C_{n})\leqslant \mu (C_{n+1})\leqslant \cdots }
  
。随着下标增大，
  
    
      
        
          C
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{n}}
  
的测度越来越大，趋向正无穷大，并且
  
    
      
        Ω
        =
        
          ⋃
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          C
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }C_{n}}
  
。这称为全集的升序表示。而如果令：

  
    
      
        
          C
          
            0
          
        
        =
        ∅
        ,
        
        
        ∀
        n
        ∈
        
          N
        
        ,
        
        
        
          D
          
            n
          
        
        =
        
          C
          
            n
          
        
        ∖
        
          C
          
            n
            −
            1
          
        
        ∈
        
          
            A
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle C_{0}=\varnothing ,\;\;\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;D_{n}=C_{n}\setminus C_{n-1}\in {\mathcal {A}},}
  
，
那么
  
    
      
        
          
            (
            
              D
              
                n
              
            
            )
          
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
  
也是一系列测度有限，并且两两不相交的集合（交集为空集），并且
  
    
      
        Ω
        =
        
          ⋃
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          D
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}
  
。
  
    
      
        
          
            (
            
              D
              
                n
              
            
            )
          
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
  
被称为全集的一个划分，或者称为全集的不交覆盖。


= 半有限和一致σ-有限 =
与σ-有限测度的概念相关的概念还有半有限测度和一致σ-有限测度。一致σ-有限测度是一类特殊的σ-有限测度。它不仅要求全集
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
能够表示为
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
中的可数个有限测度子集的并集：
  
    
      
        Ω
        =
        
          ⋃
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          B
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}}
  
，而且要求存在一个正实数
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
，使得这些子集的测度（的绝对值）都小于等于
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
。

  
    
      
        Ω
        =
        
          ⋃
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          B
          
            n
          
        
        ,
        
        
          B
          
            n
          
        
        ∈
        
          
            A
          
        
        ,
        
        
          |
        
        μ
        (
        
          B
          
            n
          
        
        )
        
          |
        
        <
        m
        ,
      
    
    {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},\qquad B_{n}\in {\mathcal {A}},\quad |\mu (B_{n})|<m,}
  

勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致σ-有限测度。但并非所有的σ-有限测度都是一致σ-有限测度。比如说自然数集上如下定义的σ-有限测度
  
    
      
        
          μ
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{c}}
  
：

  
    
      
        ∀
        E
        ∈
        
          N
        
        ,
        
        
        
          μ
          
            c
          
        
        (
        E
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            ∈
            E
          
        
        k
      
    
    {\displaystyle \forall E\in \mathbb {N} ,\;\;\mu _{c}(E)=\sum _{k\in E}k}
  

就不是一致σ-有限测度:30。
半有限测度则是比σ-有限测度更宽泛的一种定义。如果
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            A
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}
  
上的一个测度中，任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集，那么就说这个测度是半有限测度。任何的σ-有限测度都是半有限测度，只要考虑它的升序表示，但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度，但它并不是σ-有限测度:30。


= 与概率测度的等价性 =
给定
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            A
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}
  
，其上的任何σ-有限测度
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
都等价于一个
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            A
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}
  
的概率测度。具体的构造方法是：令
  
    
      
        
          
            (
            
              B
              
                n
              
            
            )
          
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(B_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
  
为全集
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
的一个不交覆盖（划分），并且每个
  
    
      
        
          B
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{n}}
  
在
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
下的测度都是有限的；再令
  
    
      
        
          
            (
            
              ω
              
                n
              
            
            )
          
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\omega _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
  
为一个由正实数构成的数列，并且级数和

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          w
          
            n
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.}
  

那么以下方式定义的测度
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
：

  
    
      
        ∀
        A
        ∈
        
          
            A
          
        
        ,
        
        
        ν
        (
        A
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          w
          
            n
          
        
        
          
            
              μ
              (
              A
              ∩
              
                B
                
                  n
                
              
              )
            
            
              μ
              (
              
                B
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\;\;\nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu (A\cap B_{n})}{\mu (B_{n})}}}
  

就是一个与
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
等价的概率测度，因为两者有着相同的零测集。


参见 富比尼定理
叶戈罗夫定理
拉东-尼科迪姆定理


参考资料