在数学中，偏导数（英語：partial derivative）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。
偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。
函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
关于变量
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的偏导数写为
  
    
      
        
          f
          
            x
          
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{x}^{\prime }}
  
或
  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
  
。偏导数符号
  
    
      
        ∂
      
    
    {\displaystyle \partial }
  
是全导数符号
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
的变体，由阿德里安-马里·勒让德引入，并在雅可比的重新引入后得到普遍接受。


简介 假设ƒ是一个多元函数。例如：

  
    
      
        z
        =
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}
  

因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。通常，最感兴趣的是垂直于y轴（平行于xOz平面）的切线，以及垂直于x轴（平行于yOz平面）的切线。
一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如，欲求出以上的函数在点(1, 1)的与xOz平面平行的切线。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面y = 1上是什么样的。我们把变量y视为常数，通过对方程求导，我们可以发现f在点(x, y)的导数，记为：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        2
        x
        +
        y
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y}
  

于是在点(1, 1)的xOz平面平行的切线的斜率是3。

  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=3}
  

在点(1, 1)，或称“f在(1, 1)的关于x的偏导数是3”。


定义 函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数：

  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          f
          
            x
          
        
        (
        y
        )
        =
        
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}}
  
。
也就是说，每一个x的值定义了一个函数，记为fx，它是一个一元函数。也就是说：

  
    
      
        
          f
          
            x
          
        
        (
        y
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}}
  
。
一旦选择了一个x的值，例如a，那么f(a,y)便定义了一个函数fa，把y映射到a2 + ay + y2：

  
    
      
        
          f
          
            a
          
        
        (
        y
        )
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        a
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}}
  
。
在这个表达式中，a是常数，而不是变量，因此fa是只有一个变量的函数，这个变量是y。这样，便可以使用一元函数的导数的定义：

  
    
      
        
          f
          
            a
          
          ′
        
        (
        y
        )
        =
        a
        +
        2
        y
      
    
    {\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y}
  

以上的步骤适用于任何a的选择。把这些导数合并起来，便得到了一个函数，它描述了f在y方向上的变化：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        x
        +
        2
        y
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y}
  

这就是f关于y的偏导数，在这裡，∂是一个弯曲的d，称为偏导数符号。为了把它与字母d区分，∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。
一般地，函数f(x1,...,xn)在点(a1,...,an)关于xi的偏导数定义为：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
          
        
        
          
            
              f
              (
              
                a
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                a
                
                  i
                
              
              +
              h
              ,
              …
              ,
              
                a
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                a
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                a
                
                  n
                
              
              )
            
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}}
  

在以上的差商中，除了xi以外的所有变量都是固定的。这个固定值的选择决定了一个一元函数
  
    
      
        
          f
          
            
              a
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              a
              
                i
                −
                1
              
            
            ,
            
              a
              
                i
                +
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              a
              
                n
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            i
          
        
        ,
        
          a
          
            i
            +
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}
  
，根据定义，

  
    
      
        
          
            
              d
              
                f
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  …
                  ,
                  
                    a
                    
                      i
                      −
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                    a
                    
                      i
                      +
                      1
                    
                  
                  ,
                  …
                  ,
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}
  

这个表达式说明了偏导数的计算可以化为一元导数的计算。
多变量函数的一个重要的例子，是欧几里德空间Rn（例如R2或R3）上的标量值函数f(x1,...xn)。在这种情况下，f关于每一个变量xj具有偏导数∂f/∂xj。在点a，这些偏导数定义了一个向量：

  
    
      
        ∇
        f
        (
        a
        )
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            (
            a
            )
            ,
            …
            ,
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            (
            a
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)}
  

这个向量称为f在点a的梯度。如果f在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数∇f，它把点a映射到向量∇f(a)。这样，梯度便决定了一个向量场。
一个常见的符号滥用是在欧几里得空间R3中用单位向量 
  
    
      
        
          
            
              i
              ^
            
          
        
        ,
        
          
            
              j
              ^
            
          
        
        ,
        
          
            
              k
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} }
  
来定义Nabla算子 (∇) 如下:

  
    
      
        ∇
        =
        
          
            [
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              x
            
          
        
        
          
            ]
          
        
        
          
            
              i
              ^
            
          
        
        +
        
          
            [
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          
            ]
          
        
        
          
            
              j
              ^
            
          
        
        +
        
          
            [
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          
            ]
          
        
        
          
            
              k
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {i}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial y}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {j}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial z}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {k}} }
  

或者，更一般地，对于n维欧几里得空间Rn 的坐标(x1, x2, x3,...,xn)和单位向量(
  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                  ^
                
              
            
            
              1
            
          
        
        ,
        
          
            
              
                
                  e
                  ^
                
              
            
            
              2
            
          
        
        ,
        
          
            
              
                
                  e
                  ^
                
              
            
            
              3
            
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                
                  e
                  ^
                
              
            
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{1}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{3}} ,\dots ,\mathbf {{\hat {e}}_{n}} }
  
):

  
    
      
        ∇
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            [
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          
            ]
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                  ^
                
              
            
            
              j
            
          
        
        =
        
          
            [
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  1
                
              
            
          
        
        
          
            ]
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                  ^
                
              
            
            
              1
            
          
        
        +
        
          
            [
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            ]
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                  ^
                
              
            
            
              2
            
          
        
        +
        
          
            [
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          
            ]
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                  ^
                
              
            
            
              3
            
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            [
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          
            ]
          
        
        
          
            
              
                
                  e
                  ^
                
              
            
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{j}} ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{1}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{2}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{3}} +\dots +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{n}} }
  


例子 考虑一个圆锥的体积V；它与高度h和半径r有以下的关系：

  
    
      
        V
        (
        r
        ,
        h
        )
        =
        
          
            
              π
              
                r
                
                  2
                
              
              h
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}}
  
。
V关于r的偏导数为：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
              r
              h
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}}
  
，它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。
V关于h的偏导数为：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              h
            
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                r
                
                  2
                
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}}
  
，它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。
现在考虑V关于r和h的全导数。它们分别是：

  
    
      
        
          
            
              d
              ⁡
              V
            
            
              d
              ⁡
              r
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  2
                  π
                  r
                  h
                
                3
              
              ⏞
            
          
          
            
              
                ∂
                V
              
              
                ∂
                r
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  π
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
                3
              
              ⏞
            
          
          
            
              
                ∂
                V
              
              
                ∂
                h
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              h
            
            
              ∂
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\partial h}{\partial r}}}
  

以及

  
    
      
        
          
            
              d
              ⁡
              V
            
            
              d
              ⁡
              h
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  π
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
                3
              
              ⏞
            
          
          
            
              
                ∂
                V
              
              
                ∂
                h
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  2
                  π
                  r
                  h
                
                3
              
              ⏞
            
          
          
            
              
                ∂
                V
              
              
                ∂
                r
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              r
            
            
              ∂
              h
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial h}}}
  

现在假设，由于某些原因，高度和半径的比k需要是固定的：

  
    
      
        k
        =
        
          
            h
            r
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              h
            
            
              ∂
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {\partial h}{\partial r}}}
  

这便给出了关于r的全导数：

  
    
      
        
          
            
              d
              ⁡
              V
            
            
              d
              ⁡
              r
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
              r
              h
            
            3
          
        
        +
        k
        
          
            
              π
              
                r
                
                  2
                
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}}
  

可以化简为：

  
    
      
        
          
            
              d
              ⁡
              V
            
            
              d
              ⁡
              r
            
          
        
        =
        k
        π
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=k\pi r^{2}}
  

类似地，关于h的全导数是：

  
    
      
        
          
            
              d
              ⁡
              V
            
            
              d
              ⁡
              h
            
          
        
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\pi r^{2}}
  

含有未知函数的偏导数的方程，称为偏微分方程，它在物理学、工程学，以及其它应用科学中经常会见到。
与关于r和h二者相关的全导数是由雅可比矩阵给出的，它的形式为梯度向量
  
    
      
        ∇
        V
        =
        (
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        ,
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              h
            
          
        
        )
        =
        (
        
          
            2
            3
          
        
        π
        r
        h
        ,
        
          
            1
            3
          
        
        π
        
          r
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla V=({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}})=({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2})}
  
。


记法 在以下的例子中，设f为x、y和z的函数。
f的一阶偏导数为：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        
          f
          
            x
          
        
        =
        
          ∂
          
            x
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f}
  

二阶偏导数为：

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          f
          
            x
            x
          
        
        =
        
          ∂
          
            x
            x
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f}
  

二阶混合偏导数为：

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              y
              
              ∂
              x
            
          
        
        =
        
          
            ∂
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                f
              
              
                ∂
                x
              
            
          
          )
        
        =
        
          f
          
            x
            y
          
        
        =
        
          ∂
          
            y
            x
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=f_{xy}=\partial _{yx}f}
  

高阶偏导数为：

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  i
                  +
                  j
                  +
                  k
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
              
              ∂
              
                y
                
                  j
                
              
              
              ∂
              
                z
                
                  k
                
              
            
          
        
        =
        
          f
          
            (
            i
            ,
            j
            ,
            k
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\,\partial y^{j}\,\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}}
  

当处理多变量函数时，有些变量可能互相有关，这样就需要明确指定哪些变量是固定的。在诸如统计力学的领域中，f关于x的偏导数，把y和z视为常数，通常记为：

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            )
          
          
            y
            ,
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}}
  


正式定义和性质 像导数一样，偏导数也是定义为一个极限。设U为Rn的一个开子集，f : U → R是一个函数。我们定义f在点a = (a1, ..., an) ∈ U关于第i个变量xi的偏导数为：

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        f
        (
        
          a
        
        )
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
          
        
        
          
            
              f
              (
              
                a
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                a
                
                  i
                  −
                  1
                
              
              ,
              
                a
                
                  i
                
              
              +
              h
              ,
              
                a
                
                  i
                  +
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                a
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                a
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                a
                
                  n
                
              
              )
            
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n}) \over h}}
  

即使在某个给定的点a，所有的偏导数∂f/∂xi(a)都存在，函数仍然不一定在该点连续。然而，如果所有的偏导数在a的一个邻域内存在并连续，那么f在该邻域内完全可微分，且全导数是连续的。在这种情况下，我们称f是一个C1函数。
偏导数
  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
  
可以视为定义在U内的另外一个函数，并可以再次求偏导数。如果所有的混合二阶偏导数在某个点（或集合）连续，我们便称f为在该点（或集合）的一个C2函数；在这种情况下，根据克莱罗定理，偏导数可以互相交换：

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
              
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
              
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}}
  
。


参考文献 George B. Thomas & Ross L. Finney. Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1994: 833–840. ISBN 0-201-52929-7. 


注释 参见