2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
是在虛數軸正向距離原點兩個單位的純虛數，屬於高斯整數，為虛數單位（
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
）的兩倍，同時也是負四的平方根，是方程式
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        4
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+4=0}
  
的正虛根。日常生活中通常不會用
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
來計量事物，例如無法具體地描述何謂
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
個人，邏輯上
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
個人並沒有意義。部分書籍或教科書偶爾會使用
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
來做虛數的例子或題目。
在高斯平面上，與
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
相鄰的高斯整數有
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
和
  
    
      
        3
        i
      
    
    {\displaystyle 3i}
  
（上下相鄰；純虛數）以及
  
    
      
        2
        i
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 2i-1}
  
和
  
    
      
        2
        i
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 2i+1}
  
（左右相鄰），然而複數不具備有序性，即無法判斷
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
與
  
    
      
        3
        i
      
    
    {\displaystyle 3i}
  
間的大小關係，因此無法定義
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
與
  
    
      
        3
        i
      
    
    {\displaystyle 3i}
  
何者為
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
的前一個虛數、何者為
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
的下一個虛數。


性質 2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
不屬於實數，是純虛數，同時也是複數，位於複數平面。其實部為0、虛部為2，輻角為90度（
  
    
      
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
  
弧度），其也能表達為
  
    
      
        2
        
          e
          
            i
            π
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2e^{i\pi /2}}
  
或
  
    
      
        2
        
          (
          
            cos
            ⁡
            
              
                π
                2
              
            
            +
            i
            sin
            ⁡
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}
  
。

  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
是高斯整數，高斯整數分解為
  
    
      
        (
        1
        +
        i
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (1+i)^{2}}
  
，或
  
    
      
        (
        1
        +
        i
        )
        (
        1
        +
        i
        )
      
    
    {\displaystyle (1+i)(1+i)}
  
，其中，1+i為2i的高斯質因數。
所有的複數皆可以表達為
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
之冪的線性組合。換句話說若進位制以
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
為底數，則可獨一無二地表示全體複數。該進制稱為2i進制，由高德納於1955年發現。
複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
的商，換言之，則
  
    
      
        z
        −
        
          z
          
            ∗
          
        
        =
        2
        i
        
        I
        m
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle z-z^{*}=2i\,Im(z)}
  
。

  
    
      
        I
        m
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              z
              −
              
                z
                
                  ∗
                
              
            
            
              2
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}}
  

正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
的商。

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              
                e
                
                  i
                  z
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  i
                  z
                
              
            
            
              2
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}
  

  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
等於最小的質數和虛數單位的積，即
  
    
      
        
          p
          
            
              
              
                1
              
            
          
        
        ×
        i
        =
        2
        i
      
    
    {\displaystyle p_{_{1}}\times i=2i}
  
，其中
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{n}}
  
為第
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個質數。
虛數單位和虛數單位的倒數相差
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
。
任意數與
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。


= 2i的冪 =

  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中，實數項為−4的冪 ，虛數的正值項為16的冪的2倍 、虛數的負值項為16的冪的−8倍，因此這種特性使得
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，並且有研究以此特性設計複數運算電路。


= 2i的平方根 =

  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即
  
    
      
        
          
            2
            i
          
        
        =
        1
        +
        i
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2i}}=1+i}
  
，反過來說
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
正好是實數單位與虛數單位相加的平方，
  
    
      
        (
        1
        +
        i
        
          )
          
            2
          
        
        =
        2
        i
      
    
    {\displaystyle (1+i)^{2}=2i}
  
。若考慮平方根的正負，則1+i和−1−i都是
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
的平方根。


相關數字 = −2i =

  
    
      
        −
        2
        i
      
    
    {\displaystyle -2i}
  
是
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。
  
    
      
        −
        2
        i
      
    
    {\displaystyle -2i}
  
的絕對值為2而非2i。此外，
  
    
      
        −
        2
        i
      
    
    {\displaystyle -2i}
  
也是負四的平方根。


= 1+i =

  
    
      
        1
        +
        i
      
    
    {\displaystyle 1+i}
  
是
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
的平方根，同時也是高斯質數。由於其冪次為1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於
  
    
      
        −
        1
        +
        i
      
    
    {\displaystyle -1+i}
  
為底數的進位制，
  
    
      
        −
        1
        +
        i
      
    
    {\displaystyle -1+i}
  
做為底數更為適合。亦有另外一個數也為
  
    
      
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 2i}
  
的平方根，即
  
    
      
        −
        1
        −
        i
      
    
    {\displaystyle -1-i}
  
，但這個數較少出現於探討進位制底數的文章中，也沒有其他特殊的性質。此外，
  
    
      
        −
        1
        −
        i
      
    
    {\displaystyle -1-i}
  
也不是第一象限高斯質數，因此鮮少被拿出來討論。


= −1+i =

  
    
      
        −
        1
        +
        i
      
    
    {\displaystyle -1+i}
  
是
  
    
      
        −
        2
        i
      
    
    {\displaystyle -2i}
  
的平方根，也是高斯質數。其距離原點
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
單位，輻角為135度（
  
    
      
        
          
            
              3
              π
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}
  
弧度），實部為負一、虛部為1。由於其冪次為−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，在正負、虛實交替變化，因此可以構建以
  
    
      
        −
        1
        +
        i
      
    
    {\displaystyle -1+i}
  
為底數並用1和0表達複數的進位制。其他複數雖然也可以，如
  
    
      
        1
        −
        i
      
    
    {\displaystyle 1-i}
  
，但對高斯整數而言，以
  
    
      
        1
        −
        i
      
    
    {\displaystyle 1-i}
  
為底並不是優良的選擇。雖然
  
    
      
        1
        −
        i
      
    
    {\displaystyle 1-i}
  
也是
  
    
      
        −
        2
        i
      
    
    {\displaystyle -2i}
  
的平方根，但因為上述原因，所以
  
    
      
        1
        −
        i
      
    
    {\displaystyle 1-i}
  
這個數字通不會用來作為進制的底數來使用。
除了
  
    
      
        −
        1
        +
        i
      
    
    {\displaystyle -1+i}
  
外，其他
  
    
      
        −
        n
        +
        i
      
    
    {\displaystyle -n+i}
  
形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以
  
    
      
        −
        1
        +
        i
      
    
    {\displaystyle -1+i}
  
為例，其表達的範圍較為均勻，而
  
    
      
        −
        2
        +
        i
      
    
    {\displaystyle -2+i}
  
、
  
    
      
        −
        3
        +
        i
      
    
    {\displaystyle -3+i}
  
等則會越來越狹長。而底數
  
    
      
        2
        +
        i
      
    
    {\displaystyle 2+i}
  
則需要非自然數的位數來表示。


相鄰的高斯整數 = 3i =

  
    
      
        3
        i
      
    
    {\displaystyle 3i}
  
是在虛數軸正向距離原點3個單位的純虛數，是虛數單位的三倍，同時也是負九（−9）的平方根，與純虛數2i和4i相鄰、並與高斯整數−1+3i和1+3i相鄰。

  
    
      
        3
        i
      
    
    {\displaystyle 3i}
  
的為虛數單位與質數3的乘積，其中，3也是高斯質數，因此
  
    
      
        3
        i
      
    
    {\displaystyle 3i}
  
的高斯整數分解為
  
    
      
    
    {\displaystyle }
  

  
    
      
        i
        ×
        3
      
    
    {\displaystyle i\times 3}
  
。


= −1+2i =

  
    
      
        −
        1
        +
        2
        i
      
    
    {\displaystyle -1+2i}
  
是在虛數軸正向距離原點
  
    
      
        
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {5}}}
  
個單位的高斯整數，其實部為負一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數−1+3i、−1+i和−2+2i相鄰。
  
    
      
        −
        1
        +
        2
        i
      
    
    {\displaystyle -1+2i}
  
是高斯質數。


= 1+2i =

  
    
      
        1
        +
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 1+2i}
  
是高斯質數
，在虛數軸正向距離原點
  
    
      
        
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {5}}}
  
個單位，其實部為一、虛部為2i，為方程式
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        2
        x
        +
        5
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}-2x+5=0}
  
的其中一根，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數1+3i、1+i和3+2i相鄰。


參見 虛數單位
-2


註釋 參考文獻