假设 φ : M → N 是光滑流形之间的光滑映射；则 φ 在一点 x 处的微分在某种意义上是 φ 在 x 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说，它是从 M 在 x 处的切空间到 N 在 φ(x) 处的切空间的一个线性映射，从而可以将 M 的切向量“前推”成 N 的切向量。  
映射 φ 的微分也被一些的作者称为 φ 的导数或全导数，有时它自己也之称为前推（pushforward）。


动机 设 φ:U→V 是从 Rm 的一个开集 U 到 Rn 的开集 V 的一个光滑映射。对任何 U 中的给定点 x， φ 在 x 的雅可比矩阵（关于标准坐标）是 φ 在 x 的全微分的矩阵表示，这是一个从 Rm 到 Rn 的线性映射：

  
    
      
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        :
        
          
            R
          
          
            m
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}\ .}
  

我们希望将其推广到 φ 是“任何”两个光滑流形 M 与 N 之间的光滑映射。


光滑映射的微分 令 φ : M → N 是光滑流形间的光滑映射。给定某点 x ∈ M，φ 在 x 的微分或（全）导数是从 M 在 x 的切空间到 N 在 φ(x) 的切空间一个线性映射

  
    
      
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        :
        
          T
          
            x
          
        
        M
        →
        
          T
          
            φ
            (
            x
            )
          
        
        N
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\ ,}
  

映射 dφx 运用到切向量 X 上有时称为 X 由 φ 的前推。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量（不同的定义可参见切空间）。
如果我们定义切向量为通过 x 的曲线等价类，那么微分由

  
    
      
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        (
        
          γ
          ′
        
        (
        0
        )
        )
        =
        (
        φ
        ∘
        γ
        
          )
          ′
        
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0)}
  

给出，这里 γ 是 M 上满足 γ(0) = x 的一条曲线。换句话说，一条曲线 γ 在 0 处切向量的前推恰好是 φ
  
    
      
        ∘
      
    
    {\displaystyle \circ }
  
γ 在 0 处的切向量。
另一种方式，如果切向量定义为作用在光滑实值函数上的导子，那么微分由

  
    
      
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        (
        X
        )
        (
        f
        )
        =
        X
        (
        f
        ∘
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi )}
  

给出，这里 X ∈ TxM，从而 X 是定义在 M 上的一个导子而 f 是 N 上一个光滑实值函数。根据定义，在给定 M 上 x 处 X 的前推在 Tφ(x)N 中，从而定义了一个N上的导子。
取定 x 与 φ(x) 附近的坐标卡以后，F 局部由 Rm 与 Rn 之间的光滑映射

  
    
      
        
          
            
              φ
              ^
            
          
        
        :
        U
        →
        V
      
    
    {\displaystyle {\hat {\varphi }}:U\rightarrow V}
  

确定。而 dφx 具有表示（在 x 附近）：

  
    
      
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                u
                
                  a
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      φ
                      ^
                    
                  
                
                
                  b
                
              
            
            
              ∂
              
                u
                
                  a
                
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                v
                
                  b
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial u^{a}}}{\Bigr )}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}
  

这里使用了爱因斯坦求和约定，偏导数对 x 坐标卡相应的 U 中的点取值。
线性扩张得到如下矩阵

  
    
      
        (
        
          d
        
        
          φ
          
            x
          
        
        
          )
          
            a
          
          
            
            b
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      φ
                      ^
                    
                  
                
                
                  b
                
              
            
            
              ∂
              
                u
                
                  a
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {d} \varphi _{x})_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}
  

从而光滑映射 φ 在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从  Rm 到 Rn 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果 φ 是一个局部微分同胚，那么在 x 点的前推是可逆的，其逆给出  Tφ(x)N 的拉回。
另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构。
微分经常有其他一些记法，比如

  
    
      
        D
        
          φ
          
            x
          
        
        ,
        
        (
        
          φ
          
            ∗
          
        
        
          )
          
            x
          
        
        ,
        
        
          φ
          ′
        
        (
        x
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle D\varphi _{x},\;(\varphi _{*})_{x},\;\varphi '(x)\ .}
  

从定义可得出复合函数的微分便是微分的复合（即，具有函子性质），这便是光滑函数微分的链式法则。


切丛上的微分 光滑映射 φ 的微分以显而易见的方式诱导了从 M 的切丛到 N 的切丛的一个丛映射（事实上是向量丛同态），记为 dφ 或 φ*，满足如下的交换图表：

这里 πM 与 πN 分别表示 M 与 N 切丛的丛投影。
等价地（参见丛映射），φ* = dφ 是从 TM 到 M 上的拉回丛 φ*TN 的丛映射，这可以看成 M 上向量丛 Hom(TM,φ*TN) 的一个截面。


向量场的前推 给定了一个光滑映射 φ:M→N 与 M 上一个向量场 X，一般不能定义 X 通过 φ 的前推为 N 的一个向量场。譬如，如果映射 φ 不是满射，则在 φ 的像外部没有自然的方式定义拉回；如果 φ 不是单射也有可能在给定一点拉回不止一种选择。无论如何，可以用“沿着映射的向量场”概念将难处变精确。
M 上 φ*TN 的一个截面称为沿着 φ 的向量场。例如，如果 M 是 N 的一个子丛而 φ 是包含映射，那么沿着 φ 的向量场恰好是 N 沿着 M 的切丛的一个截面；特别的，M 上的向量通过 TM 包含到 TN 中定义这样一个截面。这种想法推广到任何光滑映射。
假设 X 是 M 上一个向量场，即 TM 的一个截面。那么，运用逐点微分得出 X 的前推 
φ*X，这是一个沿着 φ 的向量场，即 M 上 φ*TN 的一个截面。
任何 N 上的向量场 Y 定义了 φ*TN 的一个拉回截面 φ*Y 使得 (φ*Y)x = Yφ(x)。M 上一个向量场 X 与 N 上一个向量场 Y 称为 φ-相关的，如果作为沿着 φ 的向量场有 φ*X = φ*Y。换句话说，对任何 x 属于 M，有 dφx(X)=Yφ(x)。
在某些情形，给定 M 上一个向量场 X，N 上只有惟一的向量场 Y 与 X φ-相关。特别地，这在 φ 是微分同胚时自然成立。在这种情况下，前推定义了 N 上一个向量场 Y，由

  
    
      
        
          Y
          
            x
          
        
        =
        
          φ
          
            ∗
          
        
        (
        
          X
          
            
              φ
              
                −
                1
              
            
            (
            x
            )
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle Y_{x}=\varphi _{*}(X_{\varphi ^{-1}(x)}).}
  

给出。一个更一般的情形是 φ 为满射（比如纤维丛的丛投影）。这时 M 上的向量场 X 称为可投影的，如果对任何 y 属于 N, dφx(Xx) 与 x 属于 φ-1({y}) 的取法无关。这恰好是保证 X 的前推可以作为 N 上的一个良定的向量场的条件。


參閲 拉回


参考文献