在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 是微分算子 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
 的核（又被称为零空间），即 
  
    
      
        d
        α
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d\alpha =0}
  
的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 是微分算子 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
 的像，即存在某个微分形式 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 使得 
  
    
      
        α
        =
        d
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha =d\beta }
  
，
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 称为关于 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 的一个“本原”。
因为 
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d^{2}=0}
  
，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。
当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果 
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
 与 
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
 是闭形式，且存在某个 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 使得

  
    
      
        ζ
        −
        η
        =
        d
        β
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \zeta -\eta =d\beta \ ,}
  

那么 
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
 与 
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。

  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
 与 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元  
  
    
      
        d
        x
        ∧
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dx\wedge dy}
  
，故只有 1-形式

  
    
      
        α
        =
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        +
        g
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        y
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,}
  

具有真正的意义，其外导数 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
 是

  
    
      
        d
        α
        =
        (
        
          g
          
            x
          
        
        −
        
          f
          
            y
          
        
        )
        d
        x
        ∧
        d
        y
         
        ,
      
    
    {\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,}
  

这里下标表示偏导数。从而 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
“闭”的条件是

  
    
      
        
          f
          
            y
          
        
        =
        
          g
          
            x
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle f_{y}=g_{x}\ .}
  

当 
  
    
      
        h
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle h(x,y)}
  
 是一个函数时则

  
    
      
        d
        h
        =
        
          h
          
            x
          
        
        d
        x
        +
        
          h
          
            y
          
        
        d
        y
         
        .
      
    
    {\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .}
  

“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。
在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。


庞加莱引理 庞加莱引理指出，在 一个n-维度域 Rn 中的开球上的每个封闭的p-微分形式对于 p 都是恰当的，这里 1 ≤ p ≤ n 。 更一般地，引理指出，在流形的可收缩开子集（例如 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
）上，闭 p-形式 p > 0 时是恰当的。[需要解释] 


参考文献 Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7