品质因子或Q因子是物理及工程中的無因次參數，是表示振子阻尼性质的物理量，也可表示振子的共振頻率相對於頻寬的大小，
高Q因子表示振子能量損失的速率較慢，振動可持續較長的時間，例如一個單擺在空氣中運動，其Q因子較高，而在油中運動的單擺Q因子較低。高Q因子的振子一般其阻尼也較小。


說明 Q因子較高的振子在共振時，在共振頻率附近的振幅較大，但會產生的共振的頻率範圍比較小，此頻率範圍可以稱為頻寬。例如一台無線電接收器內的調諧電路Q因子較高，要調整接收器對準一特定頻率會比較困難，但其選擇性較好，在過濾頻譜上鄰近電台的訊號上也有較佳的效果。Q因子較高的振子會產生共振的頻率範圍較小，也比較穩定。
系統的Q因子可能會隨著應用場合及需求的不同而有大幅的差異。強調阻尼特性的系統（例如防止門突然關閉的阻尼器）其Q因子為1⁄2，而時鐘、雷射或是其他需要強烈共振或是要求頻率穩定性的系統其Q因子也較高。音叉的Q因子大約為1000，原子鐘、加速器中的超導射頻或是光學共振腔的Q因子可以到1011甚至更高。
Q因子的概念是來自電子工程中，評量一調諧電路或其他振子的「品質」。


定義 Q因子可定義為在一系統的共振頻率下，當信號振幅不隨時間變化時，系統儲存能量和每個週期外界所提供能量的比例（此時系統儲存能量也不隨時間變化）：

  
    
      
        Q
        =
        2
        π
        ×
        
          
            
              Energy Stored
            
            
              Energy dissipated per cycle
            
          
        
        =
        2
        π
        
          f
          
            r
          
        
        ×
        
          
            
              Energy Stored
            
            
              Power Loss
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Energy dissipated per cycle}}}=2\pi f_{r}\times {\frac {\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}}.\,}
  

大部份的共振系統都可以用二階的微分方程表示，Q因子中2π的係數，使Q因子可以表示成只和二階微分方程係數有關的較簡單型式。在電機系統中，能量會儲存在理想無損失的電感及電容中，損失的能量則是每個週期由電阻損失能量的總和。力學系統儲存的能量是該時間動能及位能的和，損失的能量則是因為摩擦力或阻力所消耗的能量。
針對高Q因子的系統，也可以用下式計算的Q因子，在數學上也是準確的：

  
    
      
        Q
        =
        
          
            
              f
              
                r
              
            
            
              Δ
              f
            
          
        
        =
        
          
            
              ω
              
                r
              
            
            
              Δ
              ω
            
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle Q={\frac {f_{r}}{\Delta f}}={\frac {\omega _{r}}{\Delta \omega }},\,}
  

其中fr為共振頻率，Δf為頻寬，ωr = 2πfr是以角頻率表示的共振頻率，Δω是以角頻率表示的頻寬
在像電感等儲能元件的規格中，會用到和頻率有關的Q因子，其定義如下：

  
    
      
        Q
        (
        ω
        )
        =
        ω
        ×
        
          
            
              Maximum Energy Stored
            
            
              Power Loss
            
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle Q(\omega )=\omega \times {\frac {\mbox{Maximum Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}},\,}
  

其中ω是計算儲存能量和功率損失時的角頻率。若電路中只有一個儲能元件（電感或是電容），也可用上式來定義Q因子，此時Q因子會等於无功功率相對有功功率的比例。


Q因子及阻尼 Q因子可決定一個簡單阻尼諧振子的量化特性（有關數學的細節及不同系統的行為，請參考諧振子及线性时不变系统理论等條目）。

低Q因子的系統（Q < ½）是過阻尼系統。過阻尼系統不會振盪，當偏離穩態輸出平衡點時，會以指數衰減的方式，漸近式的回到穩態輸出。其冲激响应是二個不同速度的指數衰減函數的和。當Q因子減少時，衰減較慢的響應函數其影響會變明顯，因此整個系統會變慢。一個Q因子很低的二階系統其步階響應類似一階系統。
高Q因子的系統（Q > ½）是欠阻尼系統。欠阻尼系統在特定頻率的輸入下，其輸出會振盪，其振幅也會指數衰減。Q因子略高於½的系統可能會振盪一或二次。若Q因子提高，阻尼的效果也會降低。高品質的鐘在敲擊後可以長時間發出單一音調的聲音，沒有阻尼的諧振系統其Q因子是無限大，類似一個敲擊後可永遠發出聲音的鐘。若二階低通濾波器有很高的Q因子，其步階響應一開始會快速上昇，在平衡點附近震盪，最後才收斂到穩態的值。
Q因子為½的系統是臨界阻尼系統。臨界阻尼系統和過阻尼系統一様不會震盪，也不會有过冲的情形。臨界阻尼系統和欠阻尼系統一様，會對階躍有快速的響應，臨界阻尼可以使系統在不过冲的條件下有最快的反應，實際的系統若要求更快的反應，一般會允許一定程度的过冲，若系統不允許过冲，可能會使反應時間放慢，以提供一定的安全係數。
在負回授系統中，閉回路系統的響應常常用二階系統來表示。設定開迴路系統的相位裕度可以決定閉回路系統的Q因子，當相位裕度減少時，對應的二階閉回路系統振盪會變大，也就是Q因子提高。


= 常見系統的Q因子 =
單位增益的Sallen–Key拓扑结构濾波器為臨界阻尼系統，Q因子為
  
    
      
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle 1/2}
  
)。
巴特沃斯滤波器（有最平坦通帶頻率響應的的連續時間濾波器）為欠阻尼系統，Q因子為
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}
  
。
貝塞爾濾波器（有最平坦群延遲的連續時間濾波器）為欠阻尼系統，Q因子為
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}
  
。


Q因子的物理意涵 根據物理學，Q因子等於
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
乘以系統儲存的總能量，除以單一周期損失的能量，也可以表示為系統儲存的總能量和單位弳度損失能量的比值。
Q因子是無因次的參數，是比較系統振幅衰減的時間常數和振盪週期後的結果。當Q因子數值較大時，Q因子可近似為系統從開始振盪起，一直到其能量剩下原來的 
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          e
          
            2
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/e^{2\pi }}
  
（約1/535或0.2%），中間歷經的振盪次數。
共振的頻寬可以用下式表示

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            
              f
              
                0
              
            
            Q
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {f_{0}}{Q}}\,}
  
,
其中
  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{0}}
  
為共振頻率，
  
    
      
        Δ
        f
      
    
    {\displaystyle \Delta f}
  
為頻寬，也就是能量超過峰值能量一半以上的頻率範圍。
Q因子、阻尼比ζ及衰減率α之間有以下的關係

  
    
      
        ζ
        =
        
          
            1
            
              2
              Q
            
          
        
        =
        
          
            α
            
              ω
              
                0
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha  \over \omega _{0}}.}
  

因此Q因子可表示為

  
    
      
        Q
        =
        
          
            1
            
              2
              ζ
            
          
        
        =
        
          
            
              ω
              
                0
              
            
            
              2
              α
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}={\omega _{0} \over 2\alpha },}
  

而指數衰減率可表示為

  
    
      
        α
        =
        ζ
        
          ω
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              ω
              
                0
              
            
            
              2
              Q
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \alpha =\zeta \omega _{0}={\omega _{0} \over 2Q}.}
  

二階低通濾波器的響應函數可以用下式來表示

  
    
      
        H
        (
        s
        )
        =
        
          
            
              ω
              
                0
              
              
                2
              
            
            
              
                s
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    
                      
                        ω
                        
                          0
                        
                      
                      Q
                    
                    ⏟
                  
                
                
                  2
                  ζ
                  
                    ω
                    
                      0
                    
                  
                  =
                  2
                  α
                
              
              s
              +
              
                ω
                
                  0
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{0}}{Q}} _{2\zeta \omega _{0}=2\alpha }s+\omega _{0}^{2}}}\,}
  

若此系統的
  
    
      
        Q
        >
        0.5
      
    
    {\displaystyle Q>0.5}
  
（欠阻尼系統），系統有二個共軛複數極點，其實部為
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
。衰減參數
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
表示其冲激响应指數衰減的速率。Q因子大表示其衰減率較慢，因此Q因子很大的系統可以持續振盪較長的時間。例如高Q因子的鐘，用鎚子敲擊後，其輸出近似純音，且可以維持很長的時間。


電子系統 對電子共振系統而言，Q因子表示電阻的影響，若針對機電共振系統（例如石英晶体谐振器），也包括摩擦力的影響。


= RLC電路 =
理想串聯RLC電路的Q因子為：

  
    
      
        Q
        =
        
          
            1
            R
          
        
        
          
            
              L
              C
            
          
        
        =
        
          
            
              
                ω
                
                  0
                
              
              L
            
            R
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                ω
                
                  0
                
              
              R
              C
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}RC}}}
  

其中
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
、
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
及
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
分別是電路的電阻、電感和電容，若電阻值越大，Q因子越小。
並聯RLC電路的Q因子恰為對應串聯電路Q因子的倒數：

  
    
      
        Q
        =
        R
        
          
            
              C
              L
            
          
        
        =
        
          
            R
            
              
                ω
                
                  0
                
              
              L
            
          
        
        =
        
          ω
          
            0
          
        
        R
        C
      
    
    {\displaystyle Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}=\omega _{0}RC}
  

若將電阻、電感和電容並聯形成一電路，並聯電阻值越小，其阻尼的效果越大，因此Q因子越小。
若是電感和電容並聯的電路，而主要損失是電感內，和電感串聯的電阻R，其Q因子和串聯RLC電路相同，此時降低寄生電阻R可以提昇Q因子，也使頻寬縮小到需要的範圍內。


= 儲存元件 =
個別儲存元件的Q因子和對應信號頻率有關，一般是電路的共振頻率。電感器的Q因子為：

  
    
      
        Q
        =
        
          
            
              X
              
                L
              
            
            
              R
              
                L
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ω
              L
            
            
              R
              
                L
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Q={\frac {X_{L}}{R_{L}}}={\frac {\omega L}{R_{L}}}}
  

其中：

  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
為頻率。

  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
為電感。

  
    
      
        
          X
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{L}}
  
為電感器的感抗。

  
    
      
        
          R
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{L}}
  
為電感內的電阻。

電容器的Q因子為：

  
    
      
        Q
        =
        
          
            
              X
              
                C
              
            
            
              R
              
                C
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              ω
              C
              
                R
                
                  C
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Q={\frac {X_{C}}{R_{C}}}={\frac {1}{\omega CR_{C}}}}
  

其中:

  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
為頻率。

  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
為電容。

  
    
      
        
          X
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{C}}
  
為電容器的容抗。

  
    
      
        
          R
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{C}}
  
為電容內的電阻。


力學系統 對於一個有阻尼的質量－彈簧系統，可以用Q因子表示簡化的黏滯阻尼或阻力對系統的影響，其中的阻尼力（或阻力）和速度成正比。此系統的Q因子可以用下式表示： 

  
    
      
        Q
        =
        
          
            
              M
              k
            
            D
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,}
  

其中M是質量，k是弹簧常数，而D是阻力係數，可用下式來定義：

  
    
      
        
          F
          
            damping
          
        
        =
        −
        D
        v
      
    
    {\displaystyle F_{\text{damping}}=-Dv}
  

其中
  
    
      
        
          F
          
            damping
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{\text{damping}}}
  
是阻力，
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
是速度。


雷射系統 雷射系統中，光學共振腔的Q因子可以用下式表示

  
    
      
        Q
        =
        
          
            
              2
              π
              
                f
                
                  o
                
              
              
              
                
                  E
                
              
            
            P
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle Q={\frac {2\pi f_{o}\,{\mathcal {E}}}{P}},\,}
  

其中
  
    
      
        
          f
          
            o
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{o}}
  
為共振頻率，
  
    
      
        
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {E}}}
  
為共振腔中儲存的能量，
  
    
      
        P
        =
        −
        
          
            
              d
              E
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P=-{\frac {dE}{dt}}}
  
為耗散的能量。光學共振腔的Q因子等於共振頻率和共振腔頻寬的比值。共振光子的平均壽命和Q因子成正比，若雷射共振腔中的Q因子突然地調高，共振腔會輸出雷射脈衝，其強度遠高於平常共振腔連結輸出的強度，此技術稱為為Q切換。


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參考資料