數學中，調和測度是調和函數理論中出現的一個概念。给定了一个解析函数的模在一个区域 D 边界上的界，能用调和测度去估计函数在区域内部的模。在一个非常相关的领域，一个伊藤扩散 X 的调和测度描绘了 X 撞击 D 边界的分布。


定義 设 D 是 n-维欧几里得空间中一个有界开区域，n ≥ 2，记 ∂D 为 D 的边界。任何连续函数 f : ∂D → R 惟一确定一个调和函数 Hf 满足狄利克雷问题：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  −
                  Δ
                  
                    H
                    
                      f
                    
                  
                  (
                  x
                  )
                  =
                  0
                  ,
                
                
                  x
                  ∈
                  D
                  ;
                
              
              
                
                  
                    H
                    
                      f
                    
                  
                  (
                  x
                  )
                  =
                  f
                  (
                  x
                  )
                  ,
                
                
                  x
                  ∈
                  ∂
                  D
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}-\Delta H_{f}(x)=0,&x\in D;\\H_{f}(x)=f(x),&x\in \partial D.\end{cases}}}
  

如果点 x ∈ D 取定，Hf(x) 确定了 ∂D 上的一个非负拉东测度 ω(x, D)：

  
    
      
        
          H
          
            f
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            ∂
            D
          
        
        f
        (
        y
        )
        
        
          d
        
        ω
        (
        x
        ,
        D
        )
        (
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle H_{f}(x)=\int _{\partial D}f(y)\,\mathrm {d} \omega (x,D)(y).}
  

这个测度 ω(x, D) 称为关于区域 D 和点 x 的调和测度。


性質 对任何 ∂D 中的波萊爾集 E ，调和测度 ω(x, D)(E) 等于Direchlet 问题中边界函数取 E 的示性函数的解在 x 点的取值。故ω(x, D)(E) 是 x 的调和函数。
对取定的 D 和  E ⊆ ∂D， ω(x, D)(E) 是x ∈ D 的一个调和函数，且

  
    
      
        0
        ≤
        ω
        (
        x
        ,
        D
        )
        (
        E
        )
        ≤
        1
        ;
      
    
    {\displaystyle 0\leq \omega (x,D)(E)\leq 1;}
  

  
    
      
        1
        −
        ω
        (
        x
        ,
        D
        )
        (
        E
        )
        =
        ω
        (
        x
        ,
        D
        )
        (
        ∂
        D
        ∖
        E
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle 1-\omega (x,D)(E)=\omega (x,D)(\partial D\setminus E);}
  

从而，对任何 x 和 D，ω(x, D) 是 ∂D 上的概率测度。
只要在 D 中有一点 x 满足 ω(x, D)(E) = 0 ，那么根据极小值原理，ω(x, D)(E) 对任何 x 恒等于 0，在这种情况下称 E 是一个零调和测度集。进一步，如果 Rn 中紧集 K 关于某个区域 D 的调和测度为 0，那么 K 关于任何区域的调和测度都是 0，这种情况当且仅当 K 的调和体积为 0。


举例和应用 要计算出一个一般区域的调和测度是困难的，但是对于平面 R2 上一些常见的区域的边界上某些子集，我们可以直接写出调和测度。

D 为圆域，E ⊆ ∂D 是长为 2α 的圆弧，设 θ(x) 为点 x ∈ D 对圆弧 E 的视角，则：

  
    
      
        ω
        (
        x
        ,
        D
        )
        (
        E
        )
        =
        
          
            
              θ
              (
              x
              )
              −
              α
            
            π
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \omega (x,D)(E)={\frac {\theta (x)-\alpha }{\pi }}.}
  

D 为以原点为中心内外半径为 r、R 的圆环域，E1、E2 分别为内外边界，则对所有 x ∈ D 有：

  
    
      
        ω
        (
        x
        ,
        D
        )
        (
        
          E
          
            1
          
        
        )
        =
        
          
            
              log
              ⁡
              R
              −
              log
              ⁡
              
                |
              
              x
              
                |
              
            
            
              log
              ⁡
              R
              −
              log
              ⁡
              r
            
          
        
        ;
      
    
    {\displaystyle \omega (x,D)(E_{1})={\frac {\log R-\log |x|}{\log R-\log r}};}
  

  
    
      
        ω
        (
        x
        ,
        D
        )
        (
        
          E
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            
              log
              ⁡
              
                |
              
              x
              
                |
              
              −
              log
              ⁡
              r
            
            
              log
              ⁡
              R
              −
              log
              ⁡
              r
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \omega (x,D)(E_{2})={\frac {\log |x|-\log r}{\log R-\log r}}.}
  

若已知调和函数的模在边界上的估计，利用调和测度就可得到内部模的一个估计。譬如，如果 ∂D 分为 E1 和 E2 两部分（多部分一样），设调和函数 f 的模长在 E1、E2 上分别有界 M1、M2，那么 f 在 D 内部 x 点有界：

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        ω
        (
        x
        ,
        D
        )
        (
        
          E
          
            1
          
        
        )
        
          M
          
            1
          
        
        +
        ω
        (
        x
        ,
        D
        )
        (
        
          E
          
            2
          
        
        )
        
          M
          
            2
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle |f(x)|\leq \omega (x,D)(E_{1})M_{1}+\omega (x,D)(E_{2})M_{2}\;.}
  

设 D、E1、E2 为第二个例子，取 f(x) = |log(h(x))|，这里 h(x) 是环域上一个全纯函数，我们便可得到阿达马的三圆定理。


擴散的調和測度 考虑始于区域 D 内部某一点 x 的一个取 Rn 值的 Ito 扩散 X，具有规律 Px。假设我们要知道 X 逃逸出 D 的点分布。譬如，实数轴上开始于 0 点，位于区间 (−1, +1) 的标准布朗运动，在 −1 的概率是 1/2，在 +1 的概率是 1/2，所以 Bτ(−1, +1) 是集合{−1, +1} 上的一致分布。
一般的，如果 G 紧嵌入 Rn，那么 X 在 G 的 ∂G的调和测度（或撞击分布）为测度 μGx，定义为：

  
    
      
        
          μ
          
            G
          
          
            x
          
        
        (
        F
        )
        =
        
          
            P
          
          
            x
          
        
        
          
            [
          
        
        
          X
          
            
              τ
              
                G
              
            
          
        
        ∈
        F
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}{\big [}X_{\tau _{G}}\in F{\big ]}}
  

对 x ∈ G 和 F ⊆ ∂G。
回到首先布朗运动的例子，我们可以证明如果 B 是一个 Rn 内开始于 x ∈ Rn 的布朗运动，且 D ⊂ Rn 是一个以 x 为中心的开球体，那么 B 在 ∂D 的调和测度在 D 绕 x 的所有旋转下是不变的，从而调和测度等于 ∂D 上的曲面测度。


參考文獻 Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications Sixth edition. Berlin: Springer. 2003. ISBN 3-540-04758-1.  引文格式1维护：冗余文本 (link) MR2001996 (See Sections 7, 8 and 9)
Ahlfors, Lars V. Complex Analysis Third edition. Beijing: China Machine Press. 2004. ISBN 711113416.  引文格式1维护：冗余文本 (link)(See Sections 6.5.1)
Solomentsev, E.D. (2001), Harmonic measure（页面存档备份，存于互联网档案馆）, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104