在复分析中，辐角原理（Argument principle）或称柯西辐角原理（Cauchy's argument principle）说如果 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  
 是在某个围道 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 上以及内部一个亚纯函数，且 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 上没有零点或极点，则下列公式成立

  
    
      
        
          ∮
          
            C
          
        
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
        
        d
        z
        =
        2
        π
        
          i
        
        (
        N
        −
        P
        )
      
    
    {\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)}
  

这里 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 与 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 分别表示 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  
 在围道 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。
更一般地，假设 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
 中可缩为一点。对每个 
  
    
      
        z
        ∈
        Ω
      
    
    {\displaystyle z\in \Omega }
  
，令 
  
    
      
        n
        (
        C
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle n(C,z)}
  
 是 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 绕点 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 的卷绕数。则

  
    
      
        
          ∮
          
            C
          
        
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
        
        d
        z
        =
        2
        π
        
          i
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                a
              
            
            n
            (
            C
            ,
            a
            )
            −
            
              ∑
              
                b
              
            
            n
            (
            C
            ,
            b
            )
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi \mathrm {i} \left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right),}
  

这里第一个求和对 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 所有零点 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 进行并计重数，第二个求和在 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的所有极点 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 上进行并计重数。


证明 设 
  
    
      
        
          z
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{N}}
  
 是 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的一个零点。我们可将 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 写成 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        (
        z
        −
        
          z
          
            N
          
        
        
          )
          
            k
          
        
        g
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)=(z-z_{N})^{k}g(z)}
  
 这里 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 是零点
  
    
      
        
          z
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{N}}
  
的重数，从而

  
    
      
        g
        (
        
          z
          
            N
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle g(z_{N})\neq 0}
  
。我们有

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        z
        )
        =
        k
        (
        z
        −
        
          z
          
            N
          
        
        
          )
          
            k
            −
            1
          
        
        g
        (
        z
        )
        +
        (
        z
        −
        
          z
          
            N
          
        
        
          )
          
            k
          
        
        
          g
          ′
        
        (
        z
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!}
  

以及

  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
        =
        
          
            k
            
              z
              −
              
                z
                
                  N
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              g
              (
              z
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.}
  

因  
  
    
      
        g
        (
        
          z
          
            N
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle g(z_{N})\neq 0}
  
， 
  
    
      
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              g
              (
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {g'(z)}{g(z)}}}
  
在 

  
    
      
        
          z
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{N}}
  
 没有奇点，从而在 
  
    
      
        
          z
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{N}}
  
 解析，这意味着 

  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
  
 在 
  
    
      
        
          z
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{N}}
  
 的留数是 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
。
设 
  
    
      
        
          z
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{P}}
  
 是 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的一个极点。我们可写成 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        (
        z
        −
        
          z
          
            P
          
        
        
          )
          
            −
            m
          
        
        h
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)=(z-z_{P})^{-m}h(z)}
  
 这里 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 是极点
  
    
      
        
          z
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{P}}
  
的阶数，从而

  
    
      
        h
        (
        
          z
          
            P
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle h(z_{P})\neq 0}
  
。我们有

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        z
        )
        =
        −
        m
        (
        z
        −
        
          z
          
            P
          
        
        
          )
          
            −
            m
            −
            1
          
        
        h
        (
        z
        )
        +
        (
        z
        −
        
          z
          
            P
          
        
        
          )
          
            −
            m
          
        
        
          h
          ′
        
        (
        z
        )
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}
  

以及

  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              −
              m
            
            
              z
              −
              
                z
                
                  P
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                h
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              h
              (
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}
  

因为 
  
    
      
        h
        (
        
          z
          
            P
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle h(z_{P})\neq 0}
  
， 
  
    
      
        
          
            
              
                h
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              h
              (
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {h'(z)}{h(z)}}}
  
 在 
  
    
      
        
          z
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{P}}
  
 没有奇点，从而在 
  
    
      
        
          z
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{P}}
  
 解析。我们发现 

  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
  
 在 
  
    
      
        
          z
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{P}}
  
 的留数是 
  
    
      
        −
        m
      
    
    {\displaystyle -m}
  
。
将它们放在一起，
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的每个 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 重零点 
  
    
      
        
          z
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{N}}
  
 产生 

  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
  
 的一个留数为 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 的单极点，而 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的每个 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 阶极点 
  
    
      
        
          z
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{P}}
  
 产生 
  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
  
 的一个留数为 
  
    
      
        −
        m
      
    
    {\displaystyle -m}
  
 的单极点（这里一个单极点指一阶极点）。另外，可以证明 
  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
  
 没有其它极点，从而没有其它留数。 
由留数定理我们有关于 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 的积分是 
  
    
      
        2
        π
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }
  
 与这些留数之和的乘积。总之，每个零点 
  
    
      
        
          z
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{N}}
  
 的 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 之和是计重数的零点个数，对极点类似，故我们得到了欲证之结论。


推论 假设 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 是一个以原点为中心的闭围道，通过考虑 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  
 关于 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 的卷绕数可得出一些推论。我们看到 
  
    
      
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
  
 在 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 上的积分是 
  
    
      
        log
        ⁡
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \log f(z)}
  
 值的变化。因为 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 是闭的我们只需考虑 
  
    
      
        
          arg
          ⁡
          f
          (
          z
          )
        
        ⋅
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle {\arg f(z)}\cdot \mathrm {i} }
  
 在 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 上的变化，它将是 
  
    
      
        2
        π
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }
  
 的某个整数倍（但可能绕原点卷多圈）。但从辐角原理

  
    
      
        
          ∮
          
            C
          
        
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
        
        d
        z
        =
        2
        π
        
          i
        
        (
        N
        −
        P
        )
      
    
    {\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)}
  

约去因子 
  
    
      
        2
        π
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }
  
，我们得到

  
    
      
        N
        −
        P
        =
        I
        (
        C
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle N-P=I(C,0)}
  

这里 
  
    
      
        I
        (
        C
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle I(C,0)}
  
 表示 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 上关于 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 的卷绕数，且有
  
    
      
        I
        (
        C
        ,
        0
        )
        =
        
          ∑
          
            a
          
        
        n
        (
        C
        ,
        a
        )
      
    
    {\displaystyle I(C,0)=\sum _{a}n(C,a)}
  
，（这里的求和对 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 所有零点 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 进行并计重数）。
一个推论是更广泛的定理，在同样的假设下，如果 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 是 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
 中一个解析函数，则

  
    
      
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            C
          
        
        g
        (
        z
        )
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
        
        d
        z
        =
        
          ∑
          
            a
          
        
        n
        (
        C
        ,
        a
        )
        g
        (
        a
        )
        −
        
          ∑
          
            b
          
        
        n
        (
        C
        ,
        b
        )
        g
        (
        b
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}
  

例如，如果 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 是以一个简单围道 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 内部 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          z
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},\dots ,z_{p}}
  
 为零点的多项式，以及
  
    
      
        g
        )
        z
        )
        =
        
          z
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle g)z)=z^{k}}
  
，则

  
    
      
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            C
          
        
        
          z
          
            k
          
        
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
        
        d
        z
        =
        
          z
          
            1
          
          
            k
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
          
            k
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          z
          
            p
          
          
            k
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},}
  

是 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的根的次方和對稱多項式。
另一个推论是如果我们计算复积分：

  
    
      
        
          ∮
          
            C
          
        
        f
        (
        z
        )
        
          
            
              
                g
                ′
              
              (
              z
              )
            
            
              g
              (
              z
              )
            
          
        
        
        d
        z
        ,
      
    
    {\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz,}
  

对一个合适的
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，我们有阿贝尔-普兰纳公式：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        n
        )
        −
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        f
        (
        0
        )
        
          /
        
        2
        +
        i
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              i
              t
              )
              −
              f
              (
              −
              i
              t
              )
            
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        t
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt,}
  

这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。


历史 按照弗兰克·史密西斯一书（Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997）的说法，在奥古斯丁·路易·柯西从法国到都灵（当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国的首都）的自我放逐途中，柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理（见177页）。但是根据此书，只提到了零点，没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表，故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中，零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说“一个单复变量函数 Z 的对数计量（compteurs logarithmiques，相当于现代教材中的对数留数）等于 Z 与 1/Z 根的个数之差（相当于现代教材中的函数 Z 的零点与极点）。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。


= 应用 =
反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理，将其作为奈奎斯特稳定性判据的理论基础。哈里·奈奎斯特1932年原理的论文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中，奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在，辐角原理可在复分析或控制工程学的现代教材中都可以找到。


参考文献 Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979. 


外部链接 埃里克·韦斯坦因. Argument Principle. MathWorld. 
Module for the Argument Principle by John H. Mathews
An Illustration of the Argument Principle （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project.


相关条目 儒歇定理
路径积分
奈奎斯特稳定性判据
奥古斯丁·路易·柯西