在数论中，高斯引理给出了一个整数是模另一个整数的二次剩余的条件。尽管高斯引理没有实际计算上的意义，但作为二次互反律的证明中的一环，高斯引理有着理论上的重要性。
高斯引理最早出现在高斯1808年发表的二次互反律的第三个证明中，并在第五个证明中再次用到。


叙述 设
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
为奇质数，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是一个与
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
互质的整数。考虑以下数组：
  
    
      
        a
        ,
        2
        a
        ,
        3
        a
        ,
        …
        ,
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle a,2a,3a,\dots ,{\frac {p-1}{2}}a}
  
, 取它们模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的最小非负剩余。这些剩余两两不等，因此我们共有
  
    
      
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}
  
个两两不等的介于1和
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
  
之间的整数：
  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            2
          
        
        ,
        
          t
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          t
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\dots ,t_{\frac {p-1}{2}}}
  
。设其中有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个数比
  
    
      
        
          
            p
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{2}}}
  
大，那么高斯引理声称：

  
    
      
        
          (
          
            
              a
              p
            
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n}}
  

上式左边是勒让德符号，当其值为+1时，表示
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩余；其值为-1时，表示
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次非剩余。
用通俗的语言来说，就是：如果
  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            2
          
        
        ,
        
          t
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          t
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\dots ,t_{\frac {p-1}{2}}}
  
里面比
  
    
      
        
          
            p
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{2}}}
  
大的有偶数个，那么
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩余，如果有奇数个，那么
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次非剩余。


例子 令
  
    
      
        p
        =
        11
      
    
    {\displaystyle p=11}
  
，
  
    
      
        a
        =
        7
      
    
    {\displaystyle a=7}
  
，则我们考虑的数组是
  
    
      
        7
        ,
        14
        ,
        21
        ,
        28
        ,
        35
      
    
    {\displaystyle 7,14,21,28,35}
  
。模11之后，就得到
  
    
      
        7
        ,
        3
        ,
        10
        ,
        6
        ,
        2
      
    
    {\displaystyle 7,3,10,6,2}
  
。其中比
  
    
      
        
          
            11
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {11}{2}}}
  
大的有三个：
  
    
      
        6
        ,
        7
        ,
        10
      
    
    {\displaystyle 6,7,10}
  
。3是奇数，因此由高斯引理得到结论：7是模11的二次非剩余。
这个结论是正确的，因为模11的全部二次剩余是
  
    
      
        1
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        5
        ,
        9
      
    
    {\displaystyle 1,3,4,5,9}
  
，不包括7在内。


证明 一个常见的简单证明用的是一个令人联想到费马小定理之最简单证明的方法：考虑乘积

  
    
      
        Z
        =
        a
        ⋅
        2
        a
        ⋅
        3
        a
        ⋅
        ⋯
        ⋅
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle Z=a\cdot 2a\cdot 3a\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}a}
  

用两种方式模p之后，一方面可以得到：

  
    
      
        Z
        =
        
          a
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        
          (
          
            1
            ⋅
            2
            ⋅
            3
            ⋅
            ⋯
            ⋅
            
              
                
                  p
                  −
                  1
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle Z=a^{\frac {p-1}{2}}\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}\right)}
  

另一方面，我们将
  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        
          t
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{1},t_{2},\cdots t_{\frac {p-1}{2}}}
  
中每一个比
  
    
      
        
          
            p
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{2}}}
  
大的数都减去
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
，这样我们得到一个新数组
  
    
      
        
          t
          
            1
          
          ′
        
        ,
        
          t
          
            2
          
          ′
        
        ,
        ⋯
        
          t
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle t'_{1},t'_{2},\cdots t'_{\frac {p-1}{2}}}
  
，其中每个数都介于
  
    
      
        −
        
          
            p
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {p}{2}}}
  
与
  
    
      
        
          
            p
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{2}}}
  
之间。取绝对值后，我们便得到
  
    
      
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}
  
个介于1和
  
    
      
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}
  
之间（含等于
  
    
      
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}
  
）的整数（这是因为
  
    
      
        
          
            p
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{2}}}
  
不是整数，因此比
  
    
      
        
          
            p
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{2}}}
  
小的整数必然小于等于
  
    
      
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}
  
）。
关键的一步，是证明这些数两两不等。
证明是用反证法：假设在这些数中有两个数
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |x|}
  
和
  
    
      
        
          |
        
        y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |y|}
  
相等，那么找出其对应的“原型”：
  
    
      
        x
        ≡
        k
        ⋅
        a
        
        mod
        
        
        p
      
    
    {\displaystyle x\equiv k\cdot a\mod p}
  
与
  
    
      
        y
        ≡
        l
        ⋅
        a
        
        mod
        
        
        p
      
    
    {\displaystyle y\equiv l\cdot a\mod p}
  
，其中k和l是两个介于1和
  
    
      
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}
  
之间的整数。分别平方后，就有：

  
    
      
        (
        k
        a
        
          )
          
            2
          
        
        ≡
        
          x
          
            2
          
        
        ≡
        
          y
          
            2
          
        
        ≡
        (
        l
        a
        
          )
          
            2
          
        
        
        mod
        
        
        p
      
    
    {\displaystyle (ka)^{2}\equiv x^{2}\equiv y^{2}\equiv (la)^{2}\mod p}
  

因此p整除两者之差：
  
    
      
        p
        
          |
        
        (
        k
        a
        
          )
          
            2
          
        
        −
        (
        l
        a
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        ⋅
        (
        k
        +
        l
        )
        ⋅
        (
        k
        −
        l
        )
      
    
    {\displaystyle p|(ka)^{2}-(la)^{2}=a^{2}\cdot (k+l)\cdot (k-l)}
  
。
但这不可能，因为p不整除
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}}
  
，并且由于k和l是两个介于1和
  
    
      
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}
  
之间的整数，它们的和与差的都介于
  
    
      
        −
        p
        +
        1
      
    
    {\displaystyle -p+1}
  
与
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
  
之间，绝对值比
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
小，不可能被
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
整除。这导致了矛盾！
因此这
  
    
      
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}
  
个数都在1和
  
    
      
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}
  
之间，且两两不等。于是它们就是
  
    
      
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1,2,\cdots {\frac {p-1}{2}}}
  
。这样，

  
    
      
        Z
        ≡
        
          t
          
            1
          
        
        
          t
          
            2
          
        
        ⋯
        
          t
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Z\equiv t_{1}t_{2}\cdots t_{\frac {p-1}{2}}}
  

  
    
      
        .
         
         
        ≡
        
          t
          
            1
          
          ′
        
        
          t
          
            2
          
          ′
        
        ⋯
        
          t
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle .\ \ \equiv t'_{1}t'_{2}\cdots t'_{\frac {p-1}{2}}}
  
  (因为我们知道
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
        ≡
        
          t
          
            i
          
        
        −
        p
        
        mod
        
        
        p
      
    
    {\displaystyle t_{i}\equiv t_{i}-p\mod p}
  
)

  
    
      
        .
         
         
        ≡
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        ⋅
        
          |
        
        
          t
          
            1
          
          ′
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          t
          
            2
          
          ′
        
        
          |
        
        ⋯
        
          |
        
        
          t
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
          ′
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle .\ \ \equiv (-1)^{n}\cdot |t'_{1}||t'_{2}|\cdots |t'_{\frac {p-1}{2}}|}
  
  (比
  
    
      
        
          
            p
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{2}}}
  
大的减去
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
之后为负数，因此共有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个-1)

  
    
      
        .
         
         
        ≡
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          (
          
            1
            ⋅
            2
            ⋅
            3
            ⋅
            ⋯
            ⋅
            
              
                
                  p
                  −
                  1
                
                2
              
            
          
          )
        
        
        mod
        
        
        p
      
    
    {\displaystyle .\ \ \equiv (-1)^{n}\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}\right)\mod p}
  

总结两次不同算法的结果，可以得出：
  
    
      
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        ≡
        
          a
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        
        mod
        
        
        p
      
    
    {\displaystyle (-1)^{n}\equiv a^{\frac {p-1}{2}}\mod p}
  
（因为
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
不整除
  
    
      
        1
        ⋅
        2
        ⋅
        3
        ⋅
        ⋯
        ⋅
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}}
  
）。然而由欧拉判别法可以得出

  
    
      
        
          (
          
            
              a
              p
            
          
          )
        
        =
        
          a
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=a^{\frac {p-1}{2}}}
  

因此有

  
    
      
        
          (
          
            
              a
              p
            
          
          )
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n}}
  

引理得证。


应用 在很多的二次互反律的证明中都可以见到高斯引理的身影。比如艾森斯坦曾用高斯引理证明了在
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
为奇质数时，有下式成立

  
    
      
        
          (
          
            
              a
              p
            
          
          )
        
        =
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            (
            p
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    
                      2
                      π
                      a
                      n
                    
                    p
                  
                
                )
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    
                      2
                      π
                      n
                    
                    p
                  
                
                )
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{(p-1)/2}{\frac {\sin {({\frac {2\pi an}{p}})}}{\sin {({\frac {2\pi n}{p}})}}},}
  

并运用这个公式证明二次互反律（并且运用椭圆函数而不是三角函数来证明三次以及四次的互反律）。
克罗内克运用高斯引理证明了

  
    
      
        
          (
          
            
              p
              q
            
          
          )
        
        =
        sgn
        ⁡
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            
              
                q
                −
                1
              
              2
            
          
        
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            
              
                p
                −
                1
              
              2
            
          
        
        
          (
          
            
              
                k
                p
              
            
            −
            
              
                i
                q
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)}
  
。
翻转p和q后就可立即得到二次互反律。


与群论中迁移的关系 令
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
为Z/pZ中全体非零的二次剩余类组成的乘法群，令
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
为此群的子群
  
    
      
        {
        +
        1
        ,
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{+1,-1\}}
  
。考虑如下的
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
中
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
的陪集代表：

  
    
      
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
        ,
        
          
            
              p
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1,2,3,\dots ,{\frac {p-1}{2}}}
  
。
在这些陪集上应用迁移，就可以得到迁移同态：
  
    
      
        ϕ
        :
        G
        →
        H
      
    
    {\displaystyle \phi :G\to H}
  
，将
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
射到
  
    
      
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (-1)^{n}}
  
，其中
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
与
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
为高斯引理中所定义的。高斯引理可以被看做一个清楚地将这个同态等同到二次剩余特征的计算。


参见 同余
二次剩余
勒让德符号
二次互反律
欧拉判别法
佐罗塔列夫引理


注释 参考来源 Gauss, Carl Friedrich; Maser, H.（translator into German）, Untersuchungen uber hohere Arithmetik（Disqusitiones Arithemeticae & other papers on number theory）（Second edition）, New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8 
Lemmermeyer, Franz, Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, 2000, ISBN 3-540-66967-4