人們經常使用
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}}}
  
這個有理數作為圓周率
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的丢番圖逼近。在
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的連分數表達中，
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}}}
  
是它的一個渐近分數。從這兩個數字的小數形式可見
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}}}
  
是大於
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的：

  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
        ≈
        3.142857
        …
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}}\approx 3.142857\dots \,}
  

  
    
      
        π
        ≈
        3.141592
        …
        
      
    
    {\displaystyle \pi \approx 3.141592\dots \,}
  

這個近似值從古代就有人使用。縱使阿基米德並非這個近似值的始創者，但他證明了
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {22 \over 7}}
  
高估了圓周率。他以
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {22 \over 7}}
  
大於外切正96邊形的周界：該圓直徑之比作證明。
這個近似值常被稱為「約率」，除這以外，常用的近似值還有同是由祖沖之在5世紀提出的密率：
  
    
      
        
          
            355
            113
          
        
      
    
    {\displaystyle {355 \over 113}}
  
。
以下是另一個
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
        >
        π
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}}>\pi }
  
的證明，所用到的只是微積分的基本技巧。它本來只是用於顯示可以用有系統的方法計算π的值，而非以證明
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
        >
        π
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}}>\pi }
  
為最終目標。它比起一些基本證明更容易理解。它的優雅是由於它和丟番圖逼近的關連。路卡斯稱這條公式為「其中一個估計π值的最美麗結果」。Havil以這個結果作爲一個有關以連分數估計的討論之結尾，說它在該範疇是「不得不提及」的。


概念 0
        <
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  4
                
              
              (
              1
              −
              x
              
                )
                
                  4
                
              
            
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            22
            7
          
        
        −
        π
      
    
    {\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi }
  

故此
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
        >
        π
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}}>\pi }
  
。


詳情 被積函數是一個分數，其分子和分母皆是非負函數，所以該積分是正數。由於被積函數是正數，由0至1的定積分也大於0。
以下就證明該積分實際上與
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {22 \over 7}}
  
的關係：


= 布肯南數學比賽中的出現 =
求取這積分的值是1968年威廉·罗威尔·普特南数学竞赛的第一個題目：

A-1. 证明

  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
        −
        π
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  4
                
              
              (
              1
              −
              x
              
                )
                
                  4
                
              
            
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}}-\pi =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx}
  


上限和下限 達賽爾（1944）指出，只要把1代入分母中的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，可輕易取得積分的下限；把0代入分母中的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，可取得積分的上限：

  
    
      
        
          
            1
            1260
          
        
        <
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  4
                
              
              (
              1
              −
              x
              
                )
                
                  4
                
              
            
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        d
        x
        <
        
          
            1
            630
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {1 \over 1260}<\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx<{1 \over 630}.}
  

結果得出

  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
        −
        
          
            1
            630
          
        
        <
        π
        <
        
          
            22
            7
          
        
        −
        
          
            1
            1260
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {22 \over 7}-{1 \over 630}<\pi <{22 \over 7}-{1 \over 1260}.}
  

也許這是計算
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
值至小數後3位的最快和最基本的方法。另參見達賽爾（1971）.


參考資料 相關條目 圆周率近似值
證明0.999...等於1
证明所有素数的倒数之和发散
费马平方和定理的证明
數學符號表


外部連結 Pi的故事（页面存档备份，存于互联网档案馆），Jonathan Borwein著；第5頁出現這積分