數學中，特別是算子理論中，每個內積空間中的線性算子 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 都個有一個對應的伴隨算子（英語：adjoint operator），記作 
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}}
  
，伴隨算子可由以下關係定義

  
    
      
        ⟨
        A
        x
        ,
        y
        ⟩
        =
        ⟨
        x
        ,
        
          A
          
            ∗
          
        
        y
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }
  

其中 
  
    
      
        ⟨
        ⋅
        ,
        ⋅
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
  
 是向量空間中的內積。
算子 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的伴隨 
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}}
  
 亦可稱作埃尔米特伴随（英語：Hermitian adjoint），以夏尔·埃尔米特命名。在物理學，尤其是量子力學中，算子 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的埃尔米特伴随常被記作 
  
    
      
        
          A
          
            †
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{\dagger }}
  
（狄拉克符号记法）。
有限維向量空間中算子可以以矩陣的形式表示，而伴隨算子的矩陣等於原矩陣的共軛轉置。
泛函分析中，上述對伴隨算子的定義可以直接套用於希尔伯特空间中的线性算子。


有界算子 假設
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
是一個希爾伯特空間，帶有內積

  
    
      
        ⟨
        ⋅
        ,
        ⋅
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
  
。考慮連續線性算子
  
    
      
        A
        :
        H
        →
        H
      
    
    {\displaystyle A:H\rightarrow H}
  
（這與有界算子相同）。
利用里斯表示定理，我們可以證明存在唯一的連續線性算子

  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        :
        H
        →
        H
      
    
    {\displaystyle A^{*}:H\rightarrow H}
  
具有如下性質：

  
    
      
        ⟨
        A
        x
        ,
        y
        ⟩
        =
        ⟨
        x
        ,
        
          A
          
            ∗
          
        
        y
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }
  
，对所有
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle x,y\in H}
  
。
這個算子
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}}
  
是
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的伴隨。
這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。


性质 马上可得的性质

  
    
      
        
          A
          
            ∗
            ∗
          
        
        =
        A
      
    
    {\displaystyle A^{**}=A}
  

如
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
可逆，则
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}}
  
也可逆，且
  
    
      
        (
        
          A
          
            ∗
          
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        =
        (
        
          A
          
            −
            1
          
        
        
          )
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle (A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}}
  

  
    
      
        (
        A
        +
        B
        
          )
          
            ∗
          
        
        =
        
          A
          
            ∗
          
        
        +
        
          B
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}
  

  
    
      
        (
        λ
        A
        
          )
          
            ∗
          
        
        =
        
          λ
          
            ∗
          
        
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle (\lambda A)^{*}=\lambda ^{*}A^{*}}
  
，这里
  
    
      
        
          λ
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda ^{*}}
  
表示复数
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
的复共轭

  
    
      
        (
        A
        B
        
          )
          
            ∗
          
        
        =
        
          B
          
            ∗
          
        
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}
  

如果我们定义
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的算子范数为

  
    
      
        ‖
        A
        
          ‖
          
            o
            p
          
        
        :=
        sup
        {
        ‖
        A
        x
        ‖
        :
        ‖
        x
        ‖
        ≤
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}}
  

则

  
    
      
        ‖
        
          A
          
            ∗
          
        
        
          ‖
          
            o
            p
          
        
        =
        ‖
        A
        
          ‖
          
            o
            p
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op},}
  

而且有

  
    
      
        ‖
        
          A
          
            ∗
          
        
        A
        
          ‖
          
            o
            p
          
        
        =
        ‖
        A
        
          ‖
          
            o
            p
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}}
  
。
希尔伯特空间
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的像与它的伴随的核的关系为

  
    
      
        ker
        ⁡
        
          A
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            (
            
              im
              ⁡
               
              A
            
            )
          
          
            ⊥
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot },}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              ker
              ⁡
              
                A
                
                  ∗
                
              
            
            )
          
          
            ⊥
          
        
        =
        
          
            
              im
              ⁡
               
              A
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\ker A^{*}\right)^{\bot }={\overline {\operatorname {im} \ A}}}
  
。
第一个等式的证明：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  
                    ∗
                  
                
                x
                =
                0
              
              
                
                
                ⟺
                
                ⟨
                
                  A
                  
                    ∗
                  
                
                x
                ,
                y
                ⟩
                =
                0
                
                ∀
                y
                ∈
                H
              
            
            
              
              
                
                
                ⟺
                
                ⟨
                x
                ,
                A
                y
                ⟩
                =
                0
                
                ∀
                y
                ∈
                H
              
            
            
              
              
                
                
                ⟺
                
                x
                 
                ⊥
                 
                im
                ⁡
                 
                A
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff \langle x,Ay\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}}
  

第二个等式由第一个推出，于两边取正交空间即可。注意到一般地，像未必是闭的，但连续算子的核总是闭的。


埃尔米特算子 有界算子
  
    
      
        A
        :
        H
        →
        H
      
    
    {\displaystyle A:H\rightarrow H}
  
称为埃尔米特或自伴如果

  
    
      
        A
        =
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A=A^{*}}
  

这等价于

  
    
      
        ⟨
        A
        x
        ,
        y
        ⟩
        =
        ⟨
        x
        ,
        A
        y
        ⟩
        ,
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\forall x,y\in H}
  
。
在某种意义下，这种算子起着实数（等于他们的复共轭）的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。


无界算子的伴随 许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形，我们仍然能定义伴随，在自伴算子一文有解释。


其他伴随 范畴论中，方程

  
    
      
        ⟨
        A
        x
        ,
        y
        ⟩
        =
        ⟨
        x
        ,
        
          A
          
            ∗
          
        
        y
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }
  

形式上类似地定义了伴随函子偶性质，这也是伴随函子得名之由来。


又见 数学概念
线性代数
内积
希尔伯特空间
埃尔米特算子
范数
算子范数
线性映射的转置
物理应用
对偶空间
狄拉克符号
量子力学
可观测量


参考文献 Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006