在幾何學中，五角二十四面體是一種卡塔蘭多面體，由24個全等的不等邊五邊形組成，其對偶多面體為扭棱立方體，共有24個面、60個邊和38個頂點。
在礦物學中，這種形狀又稱為五角三八面體、螺旋二十四面體（gyroid）、五角偏方三八面體或偏菱五角二十四面體，部分的礦石可以結晶成這種形狀，例如赤銅礦——化學成份為氧化亞銅（Cu2O）的氧化物礦物可以結晶成五角二十四面體。


性質 五角二十四面體是一個手性多面體，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。這兩種形式互為鏡像（或“對映體”），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有24個面、60個邊、38個頂點。

五角二十四面體的對偶多面體為扭棱立方體，換句話說即這個多面體的頂點可以對應到扭棱立方體每個面的幾何中心、扭棱立方體的每個頂點可以對應到五角二十四面體的幾何中心。


= 面的組成 =

五角二十四面體由24個全等的具有鏡像對稱性之不等邊五邊形組成。這種不等邊五邊形有兩種邊長，有三個邊為短邊（下圖中以b表示）、兩個邊為長邊（下圖中以a表示）。長邊的邊長為短邊的一半再加上短邊的三波那契常數倍，即：

短邊
  
    
      
        :
      
    
    {\displaystyle :}
  
長邊
  
    
      
        =
        1
        :
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            t
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle =1:{\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2}}}
  

其中，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
為三波那契常數，即：

  
    
      
        
          
            
              1
              +
              
                
                  
                    19
                    +
                    3
                    
                      
                        33
                      
                    
                  
                  
                    3
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    19
                    −
                    3
                    
                      
                        33
                      
                    
                  
                  
                    3
                  
                
              
            
            3
          
        
        =
        
          
            
              1
              +
              4
              cosh
              ⁡
              
                (
                
                  
                    
                      1
                      3
                    
                  
                  
                    cosh
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      2
                      +
                      
                        
                          3
                          8
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                )
              
            
            3
          
        
        ≈
        1.839286755214161
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,}
  
 （OEIS數列A058265）
這個數為
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        −
        
          x
          
            2
          
        
        −
        x
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}
  
的實根。

這個不等邊五邊形兩個長邊相鄰，其夾角為二減去三波那契常數的反餘弦值（
  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          
            (
            
              2
              −
              t
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos {\left(2-t\right)}}
  
約為80.75度）；其餘4個角皆為二分之一減去一半的三波那契常數之反餘弦值（
  
    
      
        arccos
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              −
              
                
                  
                    t
                    2
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {t}{2}}\right)}}
  
約為114.81度）。
若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長，則相應的五角二十四面體面的短邊邊長為：

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              6
              
                (
                
                  4
                  −
                  
                    
                      
                        2
                        
                          (
                          
                            13
                            +
                            3
                            
                              
                                33
                              
                            
                          
                          )
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                  −
                  
                    
                      
                        2
                        
                          (
                          
                            13
                            −
                            3
                            
                              
                                33
                              
                            
                          
                          )
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                )
              
            
            6
          
        
        ≈
        0.593465355971987310502
      
    
    {\displaystyle b={\frac {\sqrt {6\left(4-{\sqrt[{3}]{2\left(13+3{\sqrt {33}}\right)}}-{\sqrt[{3}]{2\left(13-3{\sqrt {33}}\right)}}\right)}}{6}}\approx 0.593465355971987310502}
  

相應的五角二十四面體面的長邊邊長為：

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              3
              
                (
                
                  4
                  +
                  
                    
                      
                        19
                        +
                        3
                        
                          
                            33
                          
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        19
                        −
                        3
                        
                          
                            33
                          
                        
                      
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                )
              
            
            6
          
        
        ≈
        0.8425091624448604672504
      
    
    {\displaystyle a={\frac {\sqrt {3\left(4+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)}}{6}}\approx 0.8425091624448604672504}
  


= 體積與表面積 =
若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長，則相應的五角二十四面體的體積與表面積為：

  
    
      
        
          
            
              
                A
              
              
                
                =
                3
                
                  
                    
                      
                        22
                        (
                        5
                        t
                        −
                        1
                        )
                      
                      
                        4
                        t
                        −
                        3
                      
                    
                  
                
              
              
              
                
                ≈
                19.299
                
                94
              
            
            
              
                V
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        11
                        (
                        t
                        −
                        4
                        )
                      
                      
                        2
                        (
                        20
                        t
                        −
                        37
                        )
                      
                    
                  
                
              
              
              
                
                ≈
                7.4474
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}A&=3{\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}&&\approx 19.299\,94\\V&={\sqrt {\frac {11(t-4)}{2(20t-37)}}}&&\approx 7.4474\end{aligned}}}
  

而根據相應的邊長關係，可以得到以邊長表示的體積與表面積：

  
    
      
        A
        =
        
          
            
              24
              
                a
                
                  2
                
              
              (
              2
              +
              3
              t
              )
            
            
              1
              +
              2
              t
            
          
        
        
          
            
              
                1
                −
                t
              
              
                1
                +
                t
              
            
          
        
        =
        
          
            
              12
              
                b
                
                  2
                
              
              (
              2
              +
              3
              t
              )
            
            
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        
          
            1
            −
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        ≈
        27.19
        
          a
          
            2
          
        
        ≈
        54.8
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {24a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {12b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}\approx 27.19a^{2}\approx 54.8b^{3}}
  

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              4
              
                a
                
                  3
                
              
              (
              2
              +
              3
              t
              )
              
                
                  1
                  −
                  2
                  t
                
              
            
            
              (
              1
              +
              t
              )
              (
              1
              −
              4
              
                t
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                b
                
                  3
                
              
              (
              1
              +
              t
              )
              (
              2
              +
              3
              t
              )
            
            
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              )
              
                
                  1
                  −
                  2
                  t
                
              
            
          
        
        ≈
        12.45
        
          a
          
            3
          
        
        ≈
        35.63
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {4a^{3}(2+3t){\sqrt {1-2t}}}{(1+t)(1-4t^{2})}}={\frac {2b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}\approx 12.45a^{3}\approx 35.63b^{3}}
  


正交投影 五角二十四面體有三種具有特殊對稱性的正交投影，分別是以度為三的頂點為中心、以度為四的頂點為中心以及以與側邊中點為中心的正交投影。前兩者對稱性對分別應於A2和B2的考克斯特平面。


變體 五角二十四面體有另外一種同樣所有面全等的變體。這種變體具有八面體群的對稱性，且具有3種不同的邊長。這種變體可以透過在扭棱立方體的6個正方形與8個三角形的面上加上角錐至與鄰面共面來構造。


相關多面體及鑲嵌 五角二十四面體的拓樸結構屬於(432)的旋轉對稱性，其他同為(n32)旋轉對稱性的幾何結構有：

關於的拓樸結構屬於(432)的旋轉對稱性的五角二十四面體，亦可以從(4n2)旋轉對稱性進行比較。這些相關幾何結構包括：

五角二十四面體是立方體經過扭棱變換後的對偶多面體，其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有：


五角二十四面體圖 在圖論的數學領域中，與五角二十四面體相關的圖為五角二十四面體圖，是五角二十四面體之邊與頂點的圖，同時也是拓樸結構與五角二十四面體等架的圖論对象，由38個節點和60條邊組成，是一個哈密顿图。


= 性質 =
五角二十四面體圖有60條邊和38個頂點，其中度為3的頂點有32個；度為4的頂點有6個。這個圖的直徑是7，半徑是6，其中半徑代表圖中所有頂點偏心率的最小值、直徑代表代表圖中所有頂點偏心率的最大值、偏心率為某頂點和离其最远点的距离。換句話說五角二十四面體圖在不考慮循環路徑下頂點間最大距離只少相距6個頂點，最長距離不超過7個頂點。五角二十四面體圖的圍長為5，即在這個圖內最小的循環路徑為5個頂點。

五角二十四面體圖的特徵多項式為：

  
    
      
        (
        x
        −
        2
        
          )
          
            2
          
        
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            3
          
        
        x
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        x
        −
        7
        )
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        −
        3
        )
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        x
        −
        1
        
          )
          
            2
          
        
        (
        
          x
          
            3
          
        
        −
        4
        x
        +
        1
        
          )
          
            3
          
        
        (
        
          x
          
            5
          
        
        +
        
          x
          
            4
          
        
        −
        8
        
          x
          
            3
          
        
        −
        9
        
          x
          
            2
          
        
        +
        7
        x
        +
        4
        
          )
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-2)^{2}(x-1)^{3}x(x^{2}-x-7)(x^{2}+x-3)(x^{2}+2x-1)^{2}(x^{3}-4x+1)^{3}(x^{5}+x^{4}-8x^{3}-9x^{2}+7x+4)^{3}}
  


參見 卡塔蘭立體
對偶多面體


參考文獻 外部連結 埃里克·韦斯坦因, 五角二十四面體 （參閱卡塔蘭立體） 於MathWorld（英文）