極正弦（polar sine）是正弦函數的推廣。
其將正弦函數從原本只能計算平面角推廣到可以計算多胞形的頂角。
極正弦函數通常記為psin或polsin。
不同於一般的正弦，極正弦的輸入值並非是角度，而是能代表特定立體角的向量組。


定義 = n維空間的n向量 =

令v1, ..., vn（n ≥ 1）為n維空間（ℝn）的非零歐幾里德向量，該向量從平行多胞形的頂點定向，形成平行多胞形的邊。則頂角的極正弦為：

  
    
      
        psin
        ⁡
        (
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            v
          
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            Ω
            Π
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})={\frac {\Omega }{\Pi }},}
  

其中分子是行列式：

  
    
      
        
          
            
              
                Ω
              
              
                
                =
                det
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
                =
                
                  
                    |
                    
                      
                        
                          
                            v
                            
                              11
                            
                          
                        
                        
                          
                            v
                            
                              21
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            v
                            
                              n
                              1
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            v
                            
                              12
                            
                          
                        
                        
                          
                            v
                            
                              22
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            v
                            
                              n
                              2
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          ⋮
                        
                        
                          ⋮
                        
                        
                          ⋱
                        
                        
                          ⋮
                        
                      
                      
                        
                          
                            v
                            
                              1
                              n
                            
                          
                        
                        
                          
                            v
                            
                              2
                              n
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            v
                            
                              n
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                    |
                  
                
              
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\v_{12}&v_{22}&\cdots &v_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}\,,}
  

其等價於具有向量邊的平行多胞形的有符號超體積。

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    v
                  
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                (
                
                  v
                  
                    11
                  
                
                ,
                
                  v
                  
                    12
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  v
                  
                    1
                    n
                  
                
                
                  )
                  
                    T
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    v
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                (
                
                  v
                  
                    21
                  
                
                ,
                
                  v
                  
                    22
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  v
                  
                    2
                    n
                  
                
                
                  )
                  
                    T
                  
                
              
            
            
              
              
                
                
                
                
                ⋮
              
            
            
              
                
                  
                    v
                  
                  
                    n
                  
                
              
              
                
                =
                (
                
                  v
                  
                    n
                    1
                  
                
                ,
                
                  v
                  
                    n
                    2
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  v
                  
                    n
                    n
                  
                
                
                  )
                  
                    T
                  
                
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{1}&=(v_{11},v_{12},\dots ,v_{1n})^{T}\\\mathbf {v} _{2}&=(v_{21},v_{22},\dots ,v_{2n})^{T}\\&\,\,\,\vdots \\\mathbf {v} _{n}&=(v_{n1},v_{n2},\dots ,v_{nn})^{T}\,,\\\end{aligned}}}
  

而分母是所有頂角邊長的積：

  
    
      
        Π
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        ‖
        
          
            v
          
          
            i
          
        
        ‖
      
    
    {\displaystyle \Pi =\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}
  

它等於n維超矩形的超體積，其邊等於向量長度||v1||, ||v2||, ... ||vn||，而非向量本身。另見埃里克森的著作。
平行多胞形有如「壓扁的超矩形」，因此它的超體積比超矩形小，這意味著（可參閱附圖的3D範例）：

  
    
      
        
          |
        
        Ω
        
          |
        
        ≤
        Π
        
        ⟹
        
        
          
            
              
                |
              
              Ω
              
                |
              
            
            Π
          
        
        ≤
        1
        
        ⟹
        
        −
        1
        ≤
        psin
        ⁡
        (
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            v
          
          
            n
          
        
        )
        ≤
        1
        
        ,
      
    
    {\displaystyle |\Omega |\leq \Pi \implies {\frac {|\Omega |}{\Pi }}\leq 1\implies -1\leq \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})\leq 1\,,}
  

對於一般的正弦，只有在所有向量相互正交的情況下才能達到其中任一個極值。
在n = 2的情況下，極正弦是兩個向量之間角度的普通正弦。


= n維角 =
如果一個n維角有一個以該角之頂點為中心的n維球體，則從該角之頂點射出的n條射線會與該n維球體交於n個點，這些n個點在n維球體表面的(n−1)維球面空間中形成單純形。此時將這個球面空間中單純形的極正弦定義為該單純形對應之對角的極正弦值。對於n維球面的單純形S，如果頂點Vi和Vj之間的邊長為Eij，則其在高斯曲率K > 0之空間中的極正弦值由下式給出：

  
    
      
        
          psin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          (
          S
          )
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    E
                    
                      01
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    E
                    
                      02
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    E
                    
                      0
                      n
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    E
                    
                      10
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    E
                    
                      12
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    E
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    E
                    
                      20
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    E
                    
                      21
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
                
                  1
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    E
                    
                      2
                      n
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    E
                    
                      n
                      0
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    E
                    
                      n
                      1
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    E
                    
                      n
                      2
                    
                  
                  
                    
                      K
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  1
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {psin} ^{2}\left(S\right)={\begin{vmatrix}1&\cos E_{01}{\sqrt {K}}&\cos E_{02}{\sqrt {K}}&\cdots &E_{0n}{\sqrt {K}}\\\cos E_{10}{\sqrt {K}}&1&\cos E_{12}{\sqrt {K}}&\cdots &E_{1n}{\sqrt {K}}\\\cos E_{20}{\sqrt {K}}&\cos E_{21}{\sqrt {K}}&1&\cdots &E_{2n}{\sqrt {K}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos E_{n0}{\sqrt {K}}&\cos E_{n1}{\sqrt {K}}&\cos E_{n2}{\sqrt {K}}&\cdots &1\end{vmatrix}}}
  


= 高維空間 =
可以使用格拉姆行列式定義適用於任何m維空間的非負極正弦。此時，分子為：

  
    
      
        Ω
        =
        
          
            det
            
              (
              
                
                  
                    
                      [
                      
                        
                          
                            
                              
                                v
                              
                              
                                1
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                v
                              
                              
                                2
                              
                            
                          
                          
                            ⋯
                          
                          
                            
                              
                                v
                              
                              
                                n
                              
                            
                          
                        
                      
                      ]
                    
                  
                  
                    T
                  
                
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
              )
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \Omega ={\sqrt {\det \left({\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\right)}}\,,}
  

其中，上標的T代表矩陣的轉置。只有當m ≥ n時，該值才可能非零。在m = n 的情況下，這相當於前面給出的定義之絕對值。在m < n退化的情況中，行列式將是奇異n × n矩陣，得到Ω = 0，因為此時在m維空間中不可能有n個線性獨立向量。


性質 = 向量互換 =
由於行列式交換行的反對稱性，因此只要兩個向量互換，極正弦就會正負變號；不過，極正弦的絕對值並不會因此改變。

  
    
      
        
          
            
              
                Ω
              
              
                
                =
                det
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              i
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              j
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                det
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              j
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              i
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            
                              v
                            
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                Ω
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\!\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\Omega \end{aligned}}}
  


= 向量與純量乘法的不變性 =
如果將代入極正弦的所有向量v1, ..., vn皆乘以一個純量的常數ci，則由於因式分解，極正弦的值不會改變。

  
    
      
        
          
            
              
                psin
                ⁡
                (
                
                  c
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    v
                  
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  c
                  
                    n
                  
                
                
                  
                    v
                  
                  
                    n
                  
                
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      det
                      
                        
                          [
                          
                            
                              
                                
                                  c
                                  
                                    1
                                  
                                
                                
                                  
                                    v
                                  
                                  
                                    1
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  c
                                  
                                    2
                                  
                                
                                
                                  
                                    v
                                  
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                              
                                ⋯
                              
                              
                                
                                  c
                                  
                                    n
                                  
                                
                                
                                  
                                    v
                                  
                                  
                                    n
                                  
                                
                              
                            
                          
                          ]
                        
                      
                    
                    
                      
                        ∏
                        
                          i
                          =
                          1
                        
                        
                          n
                        
                      
                      ‖
                      
                        c
                        
                          i
                        
                      
                      
                        
                          v
                        
                        
                          i
                        
                      
                      ‖
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        ∏
                        
                          i
                          =
                          1
                        
                        
                          n
                        
                      
                      
                        c
                        
                          i
                        
                      
                    
                    
                      
                        ∏
                        
                          i
                          =
                          1
                        
                        
                          n
                        
                      
                      
                        |
                      
                      
                        c
                        
                          i
                        
                      
                      
                        |
                      
                    
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      det
                      
                        
                          [
                          
                            
                              
                                
                                  
                                    v
                                  
                                  
                                    1
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                    v
                                  
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                              
                                ⋯
                              
                              
                                
                                  
                                    v
                                  
                                  
                                    n
                                  
                                
                              
                            
                          
                          ]
                        
                      
                    
                    
                      
                        ∏
                        
                          i
                          =
                          1
                        
                        
                          n
                        
                      
                      ‖
                      
                        
                          v
                        
                        
                          i
                        
                      
                      ‖
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                psin
                ⁡
                (
                
                  
                    v
                  
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  
                    v
                  
                  
                    n
                  
                
                )
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {psin} (c_{1}\mathbf {v} _{1},\dots ,c_{n}\mathbf {v} _{n})&={\frac {\det {\begin{bmatrix}c_{1}\mathbf {v} _{1}&c_{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|c_{i}\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&={\frac {\prod _{i=1}^{n}c_{i}}{\prod _{i=1}^{n}|c_{i}|}}\cdot {\frac {\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&=\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}).\end{aligned}}}
  

如果有奇數個常數為負值，則極正弦的值會正負變號，但絕對值仍然會維持不變。


= 非線性獨立的情況 =
如果向量不是線性獨立的，則極正弦值為零。而在維數m嚴格小於向量數n的退化情況下，則極正弦也為零。


= 與對應的餘弦之關係 =
兩個非零向量之間的角度之餘弦值由下式給出：

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            v
          
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                
                  v
                
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                
                  v
                
                
                  2
                
              
            
            
              ‖
              
                
                  v
                
                
                  1
                
              
              ‖
              ‖
              
                
                  v
                
                
                  2
                
              
              ‖
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})={\frac {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}{\|\mathbf {v} _{1}\|\|\mathbf {v} _{2}\|}}\,}
  

其使用了点积和向量長的乘積。將此式與上面給出的極正弦絕對值的定義進行比較，可以得到：

  
    
      
        
          
            |
            
              psin
              ⁡
              (
              
                
                  v
                
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                
                  v
                
                
                  n
                
              
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        =
        det
        
        
          [
          
            
              
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      v
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                    
                      v
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  ⋯
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      v
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                    
                      v
                    
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      v
                    
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                    
                      v
                    
                    
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  ⋯
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      v
                    
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                    
                      v
                    
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      v
                    
                    
                      n
                    
                  
                  ,
                  
                    
                      v
                    
                    
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      v
                    
                    
                      n
                    
                  
                  ,
                  
                    
                      v
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  ⋯
                
                
                  1
                
              
            
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left|\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})\right|^{2}=\det \!\left[{\begin{matrix}1&\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{n})\\\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1})&1&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{1})&\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{2})&\cdots &1\\\end{matrix}}\right].}
  

特別是對於維數n = 2時，其等價於：

  
    
      
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            v
          
          
            2
          
        
        )
        =
        1
        −
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            v
          
          
            2
          
        
        )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sin ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})=1-\cos ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})\,,}
  

即勾股定理。


歷史 歐拉在18世紀時研究了極正弦。


參見 三角函數
三角恆等式
立體角


註釋 參考文獻 外部連結 埃里克·韦斯坦因. 極正弦. MathWorld.