代数中，一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积，一个元素的平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积，记作x2。平方也可視為求指數为2的幂的值。若x是正实数，这个乘积相当于一个边长为x的正方形的面积；如果x为虚数，则这个乘积为负数。如果x为非虛數的复数，则这个乘积也是复数。
如果实数y = x2，就说y是x的平方；如果同時x是非负数，那么x就是y的平方根。如果一个整数 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 是某个整数的平方，则称 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 为一个完全平方数或平方数。有理数的平方一定是有理数，无理数的平方可以是有理数，也可以是无理数。


平方和 平方和通常指一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。
正整数的平方和公式如下：

  
    
      
        
          1
          
            2
          
        
        +
        
          2
          
            2
          
        
        +
        
          3
          
            2
          
        
        +
        
          4
          
            2
          
        
        +
        
          5
          
            2
          
        
        +
        
          6
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          n
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              n
              (
              n
              +
              1
              )
              (
              2
              n
              +
              1
              )
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
  


= 证明 =
用数学归纳法证明如下：

  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
時，
  
    
      
        
          1
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              1
              ×
              2
              ×
              3
            
            6
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 1^{2}={\frac {1\times 2\times 3}{6}}=1}
  
成立

  
    
      
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=2}
  
時，
  
    
      
        
          1
          
            2
          
        
        +
        
          2
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              ×
              3
              ×
              5
            
            6
          
        
        =
        5
      
    
    {\displaystyle 1^{2}+2^{2}={\frac {2\times 3\times 5}{6}}=5}
  
成立
設
  
    
      
        n
        =
        k
      
    
    {\displaystyle n=k}
  
時成立，即
  
    
      
        
          1
          
            2
          
        
        +
        
          2
          
            2
          
        
        +
        
          3
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        .
        +
        
          k
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              k
              (
              k
              +
              1
              )
              (
              2
              k
              +
              1
              )
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}}
  
成立
當
  
    
      
        n
        =
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=k+1}
  
時，

  
    
      
        
          1
          
            2
          
        
        +
        
          2
          
            2
          
        
        +
        
          3
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        .
        +
        
          k
          
            2
          
        
        +
        (
        k
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}+(k+1)^{2}}
  

  
    
      
        =
        
          
            
              k
              (
              k
              +
              1
              )
              (
              2
              k
              +
              1
              )
            
            6
          
        
        +
        (
        k
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}}
  

  
    
      
        =
        
          
            
              (
              k
              +
              1
              )
              (
              2
              
                k
                
                  2
                
              
              +
              k
              )
            
            6
          
        
        +
        
          
            
              6
              (
              k
              +
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {(k+1)(2k^{2}+k)}{6}}+{\frac {6(k+1)^{2}}{6}}}
  

  
    
      
        =
        
          
            
              (
              k
              +
              1
              )
              [
              (
              2
              
                k
                
                  2
                
              
              +
              k
              )
              +
              6
              (
              k
              +
              1
              )
              ]
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {(k+1)[(2k^{2}+k)+6(k+1)]}{6}}}
  

  
    
      
        =
        
          
            
              (
              k
              +
              1
              )
              (
              2
              
                k
                
                  2
                
              
              +
              7
              k
              +
              6
              )
              )
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6))}{6}}}
  

  
    
      
        =
        
          
            
              (
              k
              +
              1
              )
              (
              k
              +
              2
              )
              (
              2
              k
              +
              3
              )
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}}
  

  
    
      
        =
        
          
            
              (
              k
              +
              1
              )
              [
              (
              k
              +
              1
              )
              +
              1
              ]
              [
              2
              (
              k
              +
              1
              )
              +
              1
              ]
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}}}
  

故
  
    
      
        n
        =
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=k+1}
  
時亦成立，原式得證。
也可以用组合数公式来推导这个公式。
平方和也可以指：
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        i
        )
        (
        a
        −
        b
        i
        )
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}
  


參見 立方
次方