在標準模型裏，希格斯機制（英語：Higgs mechanism）是一種生成質量的機制，能夠使基本粒子獲得質量。為什麼費米子、W玻色子、Z玻色子具有質量，而光子、膠子的質量為零？希格斯機制可以解釋這問題。希格斯機制應用自發對稱性破缺來賦予規範玻色子質量。在所有可以賦予規範玻色子質量，而同時又遵守規範理論的可能機制中，這是最簡單的機制。根據希格斯機制，希格斯場遍佈於宇宙，有些基本粒子因為與希格斯場之間交互作用而獲得質量。
更仔細地解釋，在规范场论裏，為了滿足局域規範不變性，必須設定规范玻色子的质量為零。由於希格斯場的真空期望值不等於零，造成自發對稱性破缺，因此規範玻色子會獲得質量，同時生成一種零質量玻色子，稱為戈德斯通玻色子，而希格斯玻色子則是伴隨著希格斯場的粒子，是希格斯場的振動。通過選擇適當的規範，戈德斯通玻色子會被抵銷，只存留帶質量希格斯玻色子與帶質量規範向量場。
費米子也是因為與希格斯場相互作用而獲得質量，但它們獲得質量的方式不同於W玻色子、Z玻色子的方式。在规范场论裏，為了滿足局域規範不變性，必須設定費米子的质量為零。通過湯川耦合，費米子也可以因為自發對稱性破缺而獲得質量。
本條目的數學表述內容需要讀者了解一些量子場論的知識。所有方程式都遵守愛因斯坦求合約定。按照粒子物理學慣例，採用CGS單位制為物理量的單位，並且設定光速與約化普朗克常數的數值為
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
。


歷史 1964年，分別有三組研究小組幾乎同時地獨立研究出希格斯機制，其中，一組為弗朗索瓦·恩格勒和羅伯特·布繞特，另一組為彼得·希格斯，第三組為傑拉德·古拉尼、卡爾·哈庚和湯姆·基博爾。古拉尼於1965年、希格斯於1966年又各自更進一步發表論文探討這模型的性質。這些論文表明，假若將規範不變性理論與自發對稱性破缺的概念以某種特別方式連結在一起，則規範玻色子必然會獲得質量。1967年，史蒂文·溫伯格與阿卜杜勒·薩拉姆首先應用希格斯機制來打破電弱對稱性，並且表述希格斯機制怎樣能夠併入稍後成為標準模型一部分的謝爾登·格拉肖的電弱理論。
六位物理學者分別發表的三篇論文，在《物理評論快報》50周年慶祝文獻裏被公認為里程碑論文。2010年，他們又榮獲理論粒子物理學櫻井獎。
因為“次原子粒子質量的生成機制理論，促進了人類對這方面的理解，並且最近由歐洲核子研究組織屬下大型強子對撞機的超環面儀器及緊湊緲子線圈探測器發現的基本粒子證實”，恩格勒、希格斯榮獲2013年諾貝爾物理學獎。


U(1)希格斯機制 U(1)希格斯機制是一種很簡單的賦予質量的機制，適用於U(1)規範場論。U(1)規範場論的規範變換涉及到相位變換：
  
    
      
        ϕ
        →
        
          ϕ
          ′
        
        =
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }
  
；其中，
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
是複值希格斯場，
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是相位。這種變換是U(1)變換，所涉及的是阿貝爾群，因此是一種「阿貝爾希格斯機制」。
假定遍佈於宇宙的希格斯場是由兩個實函數
  
    
      
        
          ϕ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{1}}
  
、
  
    
      
        
          ϕ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{2}}
  
組成的複值純量場
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
：

  
    
      
        ϕ
        (
        
          x
          
            α
          
        
        )
        =
        
          ϕ
          
            1
          
        
        (
        
          x
          
            α
          
        
        )
        +
        i
        
          ϕ
          
            2
          
        
        (
        
          x
          
            α
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \phi (x^{\alpha })=\phi _{1}(x^{\alpha })+i\phi _{2}(x^{\alpha })}
  
；
其中，
  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
        =
        
          (
          
            c
            t
            ,
            
              x
              
                1
              
            
            ,
            
              x
              
                2
              
            
            ,
            
              x
              
                3
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x^{\alpha }=\left(ct,x_{1},x_{2},x_{3}\right)}
  
是四維坐標。
對於這自旋為零、質量為
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
、勢能為
  
    
      
        V
        (
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )}
  
的純量場，克莱因-戈尔登拉格朗日量
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
為

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        ϕ
        
          )
          
            ∗
          
        
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        ϕ
        )
        −
        
          m
          
            2
          
        
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        −
        V
        (
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}=(\partial _{\alpha }\phi )^{*}(\partial ^{\alpha }\phi )-m^{2}\phi ^{*}\phi -V(\phi ^{*}\phi )}
  
。
暫時假設質量項目不存在，則克莱因-戈尔登拉格朗日量的形式變為

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        ϕ
        
          )
          
            ∗
          
        
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        ϕ
        )
        −
        V
        (
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}=(\partial _{\alpha }\phi )^{*}(\partial ^{\alpha }\phi )-V(\phi ^{*}\phi )}
  
；
其中，
  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)}
  
是四維導數算子。
這是個波動方程式，可以用來描述電磁波處於位勢的物理行為。從這方程式，似乎找不到任何質量的蛛絲馬跡。


= 局域規範不變性 =

對於全域相位變換
  
    
      
        ϕ
        →
        
          ϕ
          ′
        
        =
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }
  
，由於相位
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是常數，拉格朗日量
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
具有全域規範不變性：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    L
                  
                
                →
                
                  
                    
                      L
                    
                  
                  ′
                
              
              
                
                =
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                
                  ϕ
                  ′
                
                
                  )
                  
                    ∗
                  
                
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                
                  ϕ
                  ′
                
                )
                −
                V
                (
                
                  ϕ
                  
                    ′
                    
                      ∗
                    
                  
                
                
                  ϕ
                  ′
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                [
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                (
                
                  e
                  
                    i
                    θ
                  
                
                ϕ
                )
                
                  ]
                  
                    ∗
                  
                
                [
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                (
                
                  e
                  
                    i
                    θ
                  
                
                ϕ
                )
                ]
                −
                V
                (
                
                  ϕ
                  
                    ∗
                  
                
                ϕ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    L
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'&=(\partial _{\alpha }\phi ')^{*}(\partial ^{\alpha }\phi ')-V(\phi '^{*}\phi ')\\&=[\partial _{\alpha }(e^{i\theta }\phi )]^{*}[\partial ^{\alpha }(e^{i\theta }\phi )]-V(\phi ^{*}\phi )\\&={\mathcal {L}}\end{aligned}}}
  
 。
但是，假設
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是變數，隨著時空坐標不同而改變：

  
    
      
        θ
        =
        q
        η
        (
        
          x
          
            α
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \theta =q\eta (x^{\alpha })}
  
；
其中，
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
是電荷。
則為了要滿足局域規範不變性，必須將
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
的偏導數
  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }}
  
改換為協變導數
  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }}
  
，這變換與前面提到的相位變換合稱為「規範變換」： 

  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            α
          
        
        ≡
        
          ∂
          
            α
          
        
        +
        i
        q
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }\equiv \partial _{\alpha }+iqA_{\alpha }}
  
；
其中，
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }}
  
是規範向量場。
當做局域相位變換時，規範向量場
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }}
  
變換為

  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
        →
        
          A
          
            α
          
          ′
        
        =
        
          A
          
            α
          
        
        −
        
          ∂
          
            α
          
        
        η
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }\to A_{\alpha }'=A_{\alpha }-\partial _{\alpha }\eta }
  
。
這樣，對於局域相位變換，拉格朗日量
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
具有不變性：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    L
                  
                
                →
                
                  
                    
                      L
                    
                  
                  ′
                
              
              
                
                =
                 
                [
                (
                
                  
                    
                      D
                    
                  
                  
                    α
                  
                
                ϕ
                
                  )
                  
                    ∗
                  
                
                (
                
                  
                    
                      D
                    
                  
                  
                    α
                  
                
                ϕ
                )
                
                  ]
                  ′
                
                −
                V
                (
                
                  ϕ
                  
                    ′
                    
                      ∗
                    
                  
                
                
                  ϕ
                  ′
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                [
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                +
                i
                q
                
                  A
                  
                    α
                  
                  ′
                
                )
                (
                
                  e
                  
                    i
                    q
                    η
                  
                
                ϕ
                )
                
                  ]
                  
                    ∗
                  
                
                [
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                +
                i
                q
                
                  A
                  
                    α
                    
                    ′
                  
                
                )
                (
                
                  e
                  
                    i
                    q
                    η
                  
                
                ϕ
                )
                ]
                −
                V
                (
                
                  ϕ
                  
                    ∗
                  
                
                ϕ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                [
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                +
                i
                q
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                −
                i
                q
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                η
                )
                (
                
                  e
                  
                    i
                    q
                    η
                  
                
                ϕ
                )
                
                  ]
                  
                    ∗
                  
                
                [
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                +
                i
                q
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                −
                i
                q
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                η
                )
                (
                
                  e
                  
                    i
                    q
                    η
                  
                
                ϕ
                )
                ]
                −
                V
                (
                
                  ϕ
                  
                    ∗
                  
                
                ϕ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                [
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                +
                i
                q
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                )
                ϕ
                
                  ]
                  
                    ∗
                  
                
                [
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                +
                i
                q
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                )
                ϕ
                ]
                −
                V
                (
                
                  ϕ
                  
                    ∗
                  
                
                ϕ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                
                  
                    
                      D
                    
                  
                  
                    α
                  
                
                ϕ
                
                  )
                  
                    ∗
                  
                
                (
                
                  
                    
                      D
                    
                  
                  
                    α
                  
                
                ϕ
                )
                −
                V
                (
                
                  ϕ
                  
                    ∗
                  
                
                ϕ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    L
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'&=\ [({\mathcal {D}}_{\alpha }\phi )^{*}({\mathcal {D}}^{\alpha }\phi )]'-V(\phi '^{*}\phi ')\\&=[(\partial _{\alpha }+iqA_{\alpha }')(e^{iq\eta }\phi )]^{*}[(\partial ^{\alpha }+iqA^{\alpha \,\prime })(e^{iq\eta }\phi )]-V(\phi ^{*}\phi )\\&=[(\partial _{\alpha }+iqA_{\alpha }-iq\partial _{\alpha }\eta )(e^{iq\eta }\phi )]^{*}[(\partial ^{\alpha }+iqA^{\alpha }-iq\partial ^{\alpha }\eta )(e^{iq\eta }\phi )]-V(\phi ^{*}\phi )\\&=[(\partial _{\alpha }+iqA_{\alpha })\phi ]^{*}[(\partial ^{\alpha }+iqA^{\alpha })\phi ]-V(\phi ^{*}\phi )\\&=({\mathcal {D}}_{\alpha }\phi )^{*}({\mathcal {D}}^{\alpha }\phi )-V(\phi ^{*}\phi )\\&={\mathcal {L}}\\\end{aligned}}}
  
。
為了要滿足規範場論的局域規範不變性，必須添加規範向量場
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }}
  
，連帶地也要添加規範向量場自由傳播時的普羅卡拉格朗日量（Proca Lagrangian）：

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            P
          
        
        =
        −
         
        
          
            1
            4
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        +
         
        
          
            1
            2
          
        
        
          m
          
            2
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}=-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+\ {\frac {1}{2}}m^{2}A_{\alpha }A^{\alpha }}
  
；
其中，
  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
        ≡
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            β
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{\alpha \beta }\equiv \partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha }}
  
。
注意到
  
    
      
        
          F
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{\alpha \beta }}
  
滿足局域規範不變性，但是
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }A^{\alpha }}
  
無法滿足局域規範不變性，因此必須設定質量
  
    
      
        m
        =
        0
      
    
    {\displaystyle m=0}
  
。一般而言，為了滿足局域規範不變性，所有規範玻色子的質量都必須設定為零。對於傳遞電磁交互作用的光子與傳遞強交互作用的膠子，它們都是零質量規範玻色子，所以這理論結果與它們的性質相符合。但是對於傳遞弱交互作用的W玻色子與Z玻色子，這兩種規範玻色子的質量分別為80Gev、91Gev！這理論結果與實驗結果有天壤之別。這顯露出規範理論對於這論題的嚴重不足，希格斯機制可以彌補這不足。
總結，表達為以下形式的拉格朗日量
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
滿足局域規範不變性：

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        (
        
          D
          
            α
          
        
        ϕ
        
          )
          
            ∗
          
        
        (
        
          D
          
            α
          
        
        ϕ
        )
        −
         
        
          
            1
            4
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        −
        V
        (
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}=(D_{\alpha }\phi )^{*}(D^{\alpha }\phi )-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-V(\phi ^{*}\phi )}
  
。


= 自發對稱性破缺 =

量子力學的真空與一般認知的真空不同。在量子力學裏，真空並不是全無一物的空間，虛粒子會持續地隨機生成或湮滅於空間的任意位置，這會造成奧妙的量子效應。將這些量子效應納入考量之後，空間的最低能量態，是在所有能量態之中，能量最低的能量態，又稱為基態或「真空態」。最低能量態的空間才是量子力學的真空。
設想某種對稱群變換，只能將最低能量態變換為自己，則稱最低能量態對於這種變換具有「不變性」，即最低能量態具有這種對稱性。儘管一個物理系統的拉格朗日量對於某種對稱群變換具有不變性，並不意味著它的最低能量態對於這種對稱群變換也具有不變性。假若拉格朗日量與最低能量態都具有同樣的不變性，則稱這物理系統對於這種變換具有「外顯的對稱性」；假若只有拉格朗日量具有不變性，而最低能量態不具有不變性，則稱這物理系統的對稱性被自發打破，或者稱這物理系統的對稱性被隱藏，這現象稱為「自發對稱性破缺」。

如右圖所示，假設在墨西哥帽（sombrero）的帽頂有一個圓球。这個圓球是處於旋轉對稱性狀態，對於繞著帽子中心軸的旋轉，圓球的位置不變。這圓球也處於局部最大引力勢的狀態，極不稳定，稍加微擾，就可以促使圓球滾落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力勢位置，使得旋轉對稱性被打破。儘管這圓球在帽子谷底的所有可能位置因旋轉對稱性而相互關聯，圓球實際實現的帽子谷底位置不具有旋轉對稱性──對於繞著帽子中心軸的旋轉，圓球的位置會改變。在帽子谷底有無窮多個不同、簡併的最低能量態，都具有同樣的最低能量。對於繞著帽子中心軸的旋轉，會將圓球所處的最低能量態變換至另一個不同的最低能量態，除非旋轉角度為360°的整數倍數，所以，圓球的最低能量態對於旋轉變換不具有不變性，即不具有旋轉對稱性。總結，這物理系統的拉格朗日量具有旋轉對稱性，但最低能量態不具有旋轉對稱性，因此出現自發對稱性破缺現象。


 外顯的對稱性案例  假定希格斯勢的形式為

  
    
      
        V
        (
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        )
        =
        
          μ
          
            2
          
        
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        +
        λ
        (
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )=\mu ^{2}\phi ^{*}\phi +\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2}}
  
；
其中，
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
、
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
都是正值常數。
則這物理系統只有一個最低能量態，其希格斯場為零（
  
    
      
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \phi _{vac}=0}
  
）
對於這自旋為零、質量為零、勢能為
  
    
      
        V
        (
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )}
  
的純量場
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
，克莱因-戈尔登拉格朗日量
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
為

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            α
          
        
        ϕ
        
          )
          
            ∗
          
        
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            α
          
        
        ϕ
        )
        −
         
        
          
            1
            4
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        −
        
          μ
          
            2
          
        
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        −
        λ
        (
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}=({\mathcal {D}}_{\alpha }\phi )^{*}({\mathcal {D}}^{\alpha }\phi )-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-\mu ^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2}}
  
。
注意到這拉格朗日量的第一個項目是動能項目。
由於拉格朗日量對於局域相位變換
  
    
      
        ϕ
        →
        
          ϕ
          ′
        
        =
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }
  
具有不變性，而最低能量態對於局域相位變換也具有不變性：

  
    
      
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
        
        →
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
          ′
        
        =
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \phi _{vac}\to \phi '_{vac}=e^{i\theta }\phi _{vac}=0}
  
，
所以，這物理系統對於局域相位變換具有外顯的對稱性。


 自發對稱性破缺案例  假定希格斯勢的形式為

  
    
      
        V
        (
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        )
        =
        −
        
          μ
          
            2
          
        
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        +
        λ
        (
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        ϕ
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )=-\mu ^{2}\phi ^{*}\phi +\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2}}
  
；
其中，
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
、
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
都是正值常數。
如墨西哥帽繪圖所示，這勢能的猜想形狀好似一頂墨西哥帽。希格斯勢與拉格朗日量在
  
    
      
        
          ϕ
          
            
              R
              E
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{\mathrm {RE} }}
  
、
  
    
      
        
          ϕ
          
            
              I
              M
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{\mathrm {IM} }}
  
空間具有旋轉對稱性。位於z-坐標軸的帽頂為希格斯勢的局域最大值，其複值希格斯場為零（
  
    
      
        ϕ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \phi =0}
  
），但這不是最低能量態；在帽子的谷底有無窮多個簡併的最低能量態。從無窮多個簡併的最低能量態中，物理系統只能實現出一個最低能量態，標記這最低能量態為
  
    
      
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{vac}}
  
。這物理系統的拉格朗日量對於局域相位變換
  
    
      
        ϕ
        →
        
          ϕ
          ′
        
        =
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }
  
具有不變性，即在
  
    
      
        
          ϕ
          
            
              R
              E
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{\mathrm {RE} }}
  
、
  
    
      
        
          ϕ
          
            
              I
              M
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{\mathrm {IM} }}
  
空間具有旋轉對稱性，而最低能量態
  
    
      
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{vac}}
  
對於局域相位變換不具有不變性：

  
    
      
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
        
        →
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
          ′
        
        =
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{vac}\to \phi '_{vac}=e^{i\theta }\phi _{vac}}
  
，
通常，
  
    
      
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{vac}}
  
不等於
  
    
      
        
          ϕ
          
            v
            a
            c
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi '_{vac}}
  
，除非角弧
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
的整數倍數。所以，這物理系統對於局域相位變換的對稱性被自發打破。
以數學來表述，最低能量態處於勢能的最低值，對應的希格斯場真空期望絕對值
  
    
      
        ⟨
        
          |
        
        ϕ
        
          |
        
        
          ⟩
          
            v
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle |\phi |\rangle _{vac}}
  
可以從勢能的公式求得：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              ϕ
            
          
        
        =
        −
        
          ϕ
          
            ∗
          
        
        (
        
          μ
          
            2
          
        
        −
        2
        λ
        
          |
        
        ϕ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \phi }}=-\phi ^{*}(\mu ^{2}-2\lambda |\phi |^{2})=0}
  
。
所以，希格斯場的真空期望絕對值
  
    
      
        ⟨
        
          |
        
        ϕ
        
          |
        
        
          ⟩
          
            v
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle |\phi |\rangle _{vac}}
  
為

  
    
      
        ⟨
        
          |
        
        ϕ
        
          |
        
        
          ⟩
          
            v
            a
            c
          
        
        =
        μ
        
          /
        
        
          
            2
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle |\phi |\rangle _{vac}=\mu /{\sqrt {2\lambda }}}
  
。
為了簡化表達式，設定常數
  
    
      
        v
        =
        μ
        
          /
        
        
          
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle v=\mu /{\sqrt {\lambda }}}
  
。對於這物理系統，存在有無窮多最低能量態，這些最低能量態在
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
-複平面形成一個半徑為
  
    
      
        v
        
          /
        
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle v/{\sqrt {2}}}
  
的圓圈。物理系統的狀態只能實現出一個最低能量態，稱這最低能量態的位置為希格斯場的真空期望值。不影響論述的一般性，選擇真空期望值
  
    
      
        ⟨
        ϕ
        
          ⟩
          
            v
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle \phi \rangle _{vac}}
  
為

  
    
      
        ⟨
        ϕ
        
          ⟩
          
            v
            a
            c
          
        
        =
        v
        
          /
        
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle \phi \rangle _{vac}=v/{\sqrt {2}}}
  
。
這動作打破了其在
  
    
      
        
          ϕ
          
            
              R
              E
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{\mathrm {RE} }}
  
、
  
    
      
        
          ϕ
          
            
              I
              M
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{\mathrm {IM} }}
  
空間的旋轉對稱性。設定兩個實函數
  
    
      
        
          φ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{1}}
  
、
  
    
      
        
          φ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{2}}
  
來標紀對於最低能量態的漲落所產生的量子場：

  
    
      
        ϕ
        =
        
          ϕ
          
            1
          
        
        +
        i
        
          ϕ
          
            2
          
        
        =
        (
        
          φ
          
            1
          
        
        +
        v
        +
        i
        
          φ
          
            2
          
        
        )
        
          /
        
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi =\phi _{1}+i\phi _{2}=(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})/{\sqrt {2}}}
  
。
在量子場論裏，這些漲落的量子場可以詮釋為真實的粒子。將量子場的公式代入拉格朗日量，

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    L
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                [
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                +
                i
                q
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                )
                (
                
                  φ
                  
                    1
                  
                
                +
                v
                +
                i
                
                  φ
                  
                    2
                  
                
                )
                
                  ]
                  
                    ∗
                  
                
                [
                (
                
                  ∂
                  
                    α
                  
                
                +
                i
                q
                
                  A
                  
                    α
                  
                
                )
                (
                
                  φ
                  
                    1
                  
                
                +
                v
                +
                i
                
                  φ
                  
                    2
                  
                
                )
                ]
                −
                 
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                  F
                  
                    α
                    β
                  
                
                
                  F
                  
                    α
                    β
                  
                
              
            
            
              
              
                
                
                +
                
                  
                    
                      μ
                      
                        2
                      
                    
                    2
                  
                
                (
                
                  φ
                  
                    1
                  
                
                +
                v
                +
                i
                
                  φ
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    ∗
                  
                
                (
                
                  φ
                  
                    1
                  
                
                +
                v
                +
                i
                
                  φ
                  
                    2
                  
                
                )
                −
                 
                
                  
                    λ
                    4
                  
                
                [
                (
                
                  φ
                  
                    1
                  
                
                +
                v
                +
                i
                
                  φ
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    ∗
                  
                
                (
                
                  φ
                  
                    1
                  
                
                +
                v
                +
                i
                
                  φ
                  
                    2
                  
                
                )
                
                  ]
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {1}{2}}[(\partial _{\alpha }+iqA_{\alpha })(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})]^{*}[(\partial ^{\alpha }+iqA^{\alpha })(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})]-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\\&\qquad +{\frac {\mu ^{2}}{2}}(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})^{*}(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})-\ {\frac {\lambda }{4}}[(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})^{*}(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})]^{2}\\\end{aligned}}}
  
。
經過一番計算，取至
  
    
      
        
          φ
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{i}}
  
的二次方，可以得到新形式

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          φ
          
            1
          
        
        )
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          φ
          
            1
          
        
        )
        −
        
          μ
          
            2
          
        
        
          φ
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
         
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          φ
          
            2
          
        
        )
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          φ
          
            2
          
        
        )
        −
         
        
          
            1
            4
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        +
         
        
          
            1
            2
          
        
        
          q
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        +
        
          
            
              L
            
          
          
            i
            n
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\alpha }\varphi _{1})(\partial ^{\alpha }\varphi _{1})-\mu ^{2}\varphi _{1}^{2}+\ {\frac {1}{2}}(\partial _{\alpha }\varphi _{2})(\partial ^{\alpha }\varphi _{2})-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+\ {\frac {1}{2}}q^{2}v^{2}A_{\alpha }A^{\alpha }+{\mathcal {L}}_{int}}
  
。
仔細分析
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
的新形式。前兩個項目是純量場
  
    
      
        
          φ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{1}}
  
的動能項目
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          φ
          
            1
          
        
        )
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          φ
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}(\partial _{\alpha }\varphi _{1})(\partial ^{\alpha }\varphi _{1})}
  
與質量項目
  
    
      
        
          μ
          
            2
          
        
        
          φ
          
            1
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu ^{2}\varphi _{1}^{2}}
  
，這純量場
  
    
      
        
          φ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{1}}
  
即是質量為
  
    
      
        
          
            2
          
        
        μ
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}\mu }
  
的希格斯玻色子，是希格斯場對於最低能量態在徑向方面的漲落。第三個項目是純量場
  
    
      
        
          φ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{2}}
  
的自由拉格朗日量，它沒有質量項目，這純量場
  
    
      
        
          φ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{2}}
  
即是零質量的戈德斯通玻色子。第四個、第五個項目是規範向量場
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }}
  
的自由拉格朗日量
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }}
  
與質量項目
  
    
      
        
          q
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle q^{2}v^{2}A_{\alpha }A^{\alpha }/2}
  
，這規範向量場
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }}
  
是質量為
  
    
      
        
          |
        
        q
        
          |
        
        μ
        
          /
        
        
          
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle |q|\mu /{\sqrt {\lambda }}}
  
的規範玻色子。剩下的
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            i
            n
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{int}}
  
代表這幾個量子場彼此之間相互作用，在這裏不多做說明。
按照這結果，應該可以從做實驗證實戈德斯通玻色子存在。帶質量粒子比較難製成，粒子加速器必須使用很高的能量來碰撞製成帶質量粒子。零質量粒子案例跟重質量粒子案例不同，零質量粒子很容易製成，或者可從缺失能量或動量推測其存在。然而，事實並非如此，物理學者無法找到其存在的任何蛛絲馬跡。這意味著理論可能有瑕疵。希格斯機制可以處理這瑕疵。
回想先前的局域相位變換
  
    
      
        ϕ
        →
        
          ϕ
          ′
        
        =
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }
  
，這變換並沒有設定相位
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
。假若設定相位
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
可以讓戈德斯通玻色子消失無蹤，則問題就可迎刃而解。仔細觀察這變換的公式，

  
    
      
        ϕ
        →
        
          ϕ
          ′
        
        =
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        ϕ
        =
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        
          θ
        
        −
        
          ϕ
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        
          θ
        
        )
        +
        i
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        sin
        ⁡
        
          θ
        
        +
        
          ϕ
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        
          θ
        
        )
      
    
    {\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi =(\phi _{1}\cos {\theta }-\phi _{2}\sin {\theta })+i(\phi _{1}\sin {\theta }+\phi _{2}\cos {\theta })}
  
。
只要設定
  
    
      
        θ
        =
        −
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            ϕ
            
              2
            
          
          
            /
          
          
            ϕ
            
              1
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \theta =-\arctan {(\phi _{2}/\phi _{1})}}
  
，就可以除去希格斯場
  
    
      
        
          ϕ
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi '}
  
的虛部
  
    
      
        
          ϕ
          
            2
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{2}'}
  
，拉格朗日量變為

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
         
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          φ
          
            1
          
        
        )
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          φ
          
            1
          
        
        )
        −
        
          μ
          
            2
          
        
        
          φ
          
            1
          
          
            2
          
        
        −
         
        
          
            1
            4
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        
          F
          
            α
            β
          
        
        +
         
        
          
            1
            2
          
        
        
          q
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        +
        
          
            
              L
            
          
          
            i
            n
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}=\ {\frac {1}{2}}(\partial _{\alpha }\varphi _{1})(\partial ^{\alpha }\varphi _{1})-\mu ^{2}\varphi _{1}^{2}-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+\ {\frac {1}{2}}q^{2}v^{2}A_{\alpha }A^{\alpha }+{\mathcal {L}}_{int}}
  
。
總括而言，從自發對稱性破缺，可以賦予規範玻色子質量，但也生成了不符合實際物理的戈德斯通玻色子，選擇正確的規範，可以清除戈德斯通玻色子，這就是希格斯機制。


SU(2)×U(1)希格斯機制 在標準模型裏，SU(2)×U(1)希格斯機制是最簡單的一種賦予質量的機制，適用於電弱交互作用的SU(2)×U(1)規範場論。採用這種機制的標準模型稱為最小標準模型（minimal standard model）。在這模型裏，希格斯場是複值二重態：

  
    
      
        ϕ
        (
        x
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      ϕ
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      i
                    
                    
                      ϕ
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ϕ
                      
                        3
                      
                    
                    +
                    
                      i
                    
                    
                      ϕ
                      
                        4
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi (x)={\left({\begin{matrix}\phi _{1}+\mathrm {i} \phi _{2}\\\phi _{3}+\mathrm {i} \phi _{4}\end{matrix}}\right)}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          ϕ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{1}}
  
、
  
    
      
        
          ϕ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{2}}
  
、
  
    
      
        
          ϕ
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{3}}
  
、
  
    
      
        
          ϕ
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{4}}
  
都是實函數。
這種希格斯場是由兩個複值純量場，或四個實值純量場組成，其中，兩個帶有電荷，兩個是中性。在這模型裏，還有四個零質量規範玻色子，都是橫場，如同光子一樣，具有兩個自由度。總合起來，一共有十二個自由度。自發對稱性破缺之後，一共有三個規範玻色子會獲得質量、同時各自添加一個縱場，總共有九個自由度，另外還有一個具有兩個自由度的零質量規範玻色子，剩下的一個自由度是帶質量的希格斯玻色子。三個帶質量規範玻色子分別是W+、W-和Z玻色子。零質量規範玻色子是光子。


= 標準模型 =

在標準模型裏，假若溫度足夠高，物理系統的電弱對稱性沒有被打破，則所有基本粒子都不具有質量。當溫度降到低於臨界溫度，希格斯場會變得不穩定，會躍遷至最低能量態，即量子力學的真空，整個物理系統的連續對稱性因此被自發打破，W玻色子、Z玻色子、費米子也因此會獲得質量。


= 局域規範不變性 =
SU(2)×U(1)規範場論的相位變換形式為：

  
    
      
        ϕ
        →
        
          ϕ
          ′
        
        =
        S
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi \to \phi '=S\phi }
  
；
其中，
  
    
      
        S
        =
        
          e
          
            i
            η
            
              /
            
            2
          
        
        
          e
          
            i
            
              w
            
            ⋅
            
              σ
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S=e^{i\eta /2}e^{i\mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}/2}}
  
是變換矩陣，
  
    
      
        
          w
        
        =
        (
        
          w
          
            1
          
        
        ,
        
          w
          
            2
          
        
        ,
        
          w
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} =(w_{1},w_{2},w_{3})}
  
是參數為時空坐標
  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{\alpha }}
  
的向量函數，
  
    
      
        
          σ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}
  
是三個包立矩陣
  
    
      
        
          σ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{1}}
  
、
  
    
      
        
          σ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{2}}
  
、
  
    
      
        
          σ
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{3}}
  
共同組成的矩陣向量。
由於三個包立矩陣彼此之間不能對易，SU(2)是非阿貝爾群，這機制是「非阿貝爾希格斯機制」。
指數函數
  
    
      
        
          e
          
            i
            
              w
            
            ⋅
            
              σ
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{i\mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}/2}}
  
的參數是一個矩陣：

  
    
      
        
          w
        
        ⋅
        
          σ
        
        =
        
          w
          
            j
          
        
        
          σ
          
            j
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    w
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    w
                    
                      1
                    
                  
                  −
                  i
                  
                    w
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    w
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  i
                  
                    w
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    w
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}=w_{j}\sigma _{j}={\begin{pmatrix}w_{3}&w_{1}-iw_{2}\\w_{1}+iw_{2}&-w_{3}\end{pmatrix}}}
  
 。
這指數函數等於

  
    
      
        
          e
          
            i
            
              w
            
            ⋅
            
              σ
            
            
              /
            
            2
          
        
        =
        
          I
        
        cos
        ⁡
        
          (
          w
          
            /
          
          2
          )
        
        +
        i
        (
        
          
            
              
                w
              
              ^
            
          
        
        ⋅
        
          σ
        
        )
        sin
        ⁡
        
          (
          w
          
            /
          
          2
          )
        
      
    
    {\displaystyle e^{i\mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}/2}=\mathbb {I} \cos {(w/2)}+i({\hat {\mathbf {w} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\sin {(w/2)}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          I
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {I} }
  
是單位矩陣，
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
是
  
    
      
        
          w
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} }
  
的數值大小，
  
    
      
        
          
            
              
                w
              
              ^
            
          
        
        =
        
          w
        
        
          /
        
        w
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {w} }}=\mathbf {w} /w}
  
是單位向量。
為了要滿足局域規範不變性，必須將
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
的偏導數
  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }}
  
改換為協變導數
  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }}
  
，這變換與前面提到的相位變換合稱為「規範變換」： 

  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            α
          
        
        ≡
        
          ∂
          
            α
          
        
        −
        i
        
          
            
              g
              
                W
              
            
            2
          
        
        
          
            W
          
          
            α
          
        
        ⋅
        
          σ
        
        −
        i
        
          
            
              g
              
                B
              
            
            2
          
        
        
          B
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }\equiv \partial _{\alpha }-i{\frac {g_{W}}{2}}\mathbf {W} _{\alpha }\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-i{\frac {g_{B}}{2}}B_{\alpha }}
  
；
其中，
  
    
      
        
          g
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{W}}
  
、
  
    
      
        
          g
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{B}}
  
都是耦合常數，
  
    
      
        
          
            W
          
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {W} _{\alpha }}
  
、
  
    
      
        
          B
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{\alpha }}
  
分別是SU(2)規範向量場、U(1)規範向量場。
這些規範向量場的局域相位變換為

  
    
      
        
          
            W
          
          
            α
          
        
        →
        
          
            W
          
          
            α
          
          ′
        
        =
        
          
            W
          
          
            α
          
        
        +
        
          
            1
            
              g
              
                W
              
            
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          w
        
        +
        
          
            W
          
          
            α
          
        
        ×
        
          w
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {W} _{\alpha }\to \mathbf {W} _{\alpha }'=\mathbf {W} _{\alpha }+{\frac {1}{g_{W}}}\partial _{\alpha }\mathbf {w} +\mathbf {W} _{\alpha }\times \mathbf {w} }
  
、

  
    
      
        
          B
          
            α
          
        
        →
        
          B
          
            α
          
          ′
        
        =
        
          B
          
            α
          
        
        +
        
          
            1
            
              g
              
                B
              
            
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        η
      
    
    {\displaystyle B_{\alpha }\to B_{\alpha }'=B_{\alpha }+{\frac {1}{g_{B}}}\partial _{\alpha }\eta }
  
。
由於這些額外的規範向量場，又必須添加對應的自由拉格朗日量：

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            K
            E
          
        
        =
        −
         
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            C
          
          
            α
            β
          
        
        ⋅
        
          
            C
          
          
            α
            β
          
        
        −
         
        
          
            1
            4
          
        
        
          B
          
            α
            β
          
        
        
          B
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{KE}=-\ {\frac {1}{4}}\mathbf {C} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {C} ^{\alpha \beta }-\ {\frac {1}{4}}B_{\alpha \beta }B^{\alpha \beta }}
  
；
其中，
  
    
      
        
          B
          
            α
            β
          
        
        =
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          B
          
            β
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          B
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }B_{\beta }-\partial _{\beta }B_{\alpha }}
  
是場強張量，
  
    
      
        
          
            C
          
          
            α
            β
          
        
        =
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          
            W
          
          
            β
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          
            W
          
          
            α
          
        
        +
        
          g
          
            W
          
        
        
          
            W
          
          
            α
          
        
        ×
        
          
            W
          
          
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} _{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }\mathbf {W} _{\beta }-\partial _{\beta }\mathbf {W} _{\alpha }+g_{W}\mathbf {W} _{\alpha }\times \mathbf {W} _{\beta }}
  
是由三個場強張量
  
    
      
        
          C
          
            α
            β
          
          
            (
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{\alpha \beta }^{(1)}}
  
、
  
    
      
        
          C
          
            α
            β
          
          
            (
            2
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{\alpha \beta }^{(2)}}
  
、
  
    
      
        
          C
          
            α
            β
          
          
            (
            3
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{\alpha \beta }^{(3)}}
  
組成的向量。
總結，表達為以下形式的拉格朗日量
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
滿足局域規範不變性：

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        (
        
          D
          
            α
          
        
        ϕ
        
          )
          
            †
          
        
        (
        
          D
          
            α
          
        
        ϕ
        )
        −
         
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            C
          
          
            α
            β
          
        
        ⋅
        
          
            C
          
          
            α
            β
          
        
        −
         
        
          
            1
            4
          
        
        
          B
          
            α
            β
          
        
        
          B
          
            α
            β
          
        
        −
        V
        (
        
          ϕ
          
            †
          
        
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}=(D_{\alpha }\phi )^{\dagger }(D^{\alpha }\phi )-\ {\frac {1}{4}}\mathbf {C} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {C} ^{\alpha \beta }-\ {\frac {1}{4}}B_{\alpha \beta }B^{\alpha \beta }-V(\phi ^{\dagger }\phi )}
  
；
其中，標號
  
    
      
        †
      
    
    {\displaystyle \dagger }
  
表示取埃尔米特伴随。


= 自發對稱性破缺 =
假定勢能的形式為

  
    
      
        V
        (
        
          ϕ
          
            †
          
        
        ϕ
        )
        =
        −
        
          μ
          
            2
          
        
        
          ϕ
          
            †
          
        
        ϕ
        +
        λ
        (
        
          ϕ
          
            †
          
        
        ϕ
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V(\phi ^{\dagger }\phi )=-\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi +\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}}
  
，
最低能量態處於勢能的最低值，對應的希格斯場滿足關係式

  
    
      
        ⟨
        
          ϕ
          
            †
          
        
        ϕ
        
          ⟩
          
            v
            a
            c
          
        
        =
        
          v
          
            2
          
        
        
          /
        
        2
        =
        
          μ
          
            2
          
        
        
          /
        
        2
        λ
      
    
    {\displaystyle \langle \phi ^{\dagger }\phi \rangle _{vac}=v^{2}/2=\mu ^{2}/2\lambda }
  
。
對於這物理系統，存在有無窮多最低能量態。物理系統的狀態只能實現出一個最低能量態，稱這最低能量態的位置為希格斯場的真空期望值。不影響論述的一般性，設定真空期望值
  
    
      
        ⟨
        ϕ
        
          ⟩
          
            v
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle \phi \rangle _{vac}}
  
為

  
    
      
        ⟨
        ϕ
        
          ⟩
          
            v
            a
            c
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    0
                  
                
                
                  
                    v
                    
                      /
                    
                    
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle \phi \rangle _{vac}={\left({\begin{matrix}0\\v/{\sqrt {2}}\end{matrix}}\right)}}
  
。
設定四個新實函數
  
    
      
        
          φ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{1}}
  
、
  
    
      
        
          φ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{2}}
  
、
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
、
  
    
      
        
          φ
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{4}}
  
來代表對於最低能量態的漲落所產生的量子場：

  
    
      
        ϕ
        (
        
          x
          
            α
          
        
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      ϕ
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      i
                    
                    
                      ϕ
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ϕ
                      
                        3
                      
                    
                    +
                    
                      i
                    
                    
                      ϕ
                      
                        4
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      φ
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      i
                    
                    
                      φ
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    v
                    +
                    h
                    +
                    
                      i
                    
                    
                      φ
                      
                        4
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi (x^{\alpha })={\left({\begin{matrix}\phi _{1}+\mathrm {i} \phi _{2}\\\phi _{3}+\mathrm {i} \phi _{4}\end{matrix}}\right)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\begin{matrix}\varphi _{1}+\mathrm {i} \varphi _{2}\\v+h+\mathrm {i} \varphi _{4}\end{matrix}}\right)}}
  
。
採用么正規範（unitary gauge），正確地設定變換矩陣
  
    
      
        S
        =
        
          e
          
            i
            
              w
            
            ⋅
            
              σ
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S=e^{i\mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}/2}}
  
的參數向量
  
    
      
        
          w
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} }
  
，可以使得
  
    
      
        
          φ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{1}}
  
、
  
    
      
        
          φ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{2}}
  
、
  
    
      
        
          φ
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{4}}
  
變為零。這動作抵銷了三個戈德斯通玻色子。希格斯場變為

  
    
      
        ϕ
        =
        
          
            1
            
              2
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    0
                  
                
                
                  
                    v
                    +
                    h
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\begin{matrix}0\\v+h\end{matrix}}\right)}}
  
。
將這公式代入拉格朗日量，注意到規範玻色子的質量是來自於動能項目的改變：

  
    
      
        
          
            
              
                Δ
                
                  
                    
                      L
                    
                  
                  
                    K
                    E
                  
                
              
              
                
                =
                Δ
                [
                (
                
                  D
                  
                    α
                  
                
                ϕ
                
                  )
                  
                    †
                  
                
                (
                
                  D
                  
                    α
                  
                
                ϕ
                )
                ]
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    8
                  
                
                (
                0
                ,
                v
                )
                (
                
                  g
                  
                    W
                  
                
                
                  
                    W
                  
                  
                    α
                  
                
                ⋅
                
                  σ
                
                +
                
                  g
                  
                    B
                  
                
                
                  B
                  
                    α
                  
                
                )
                (
                
                  g
                  
                    W
                  
                
                
                  
                    W
                  
                  
                    α
                  
                
                ⋅
                
                  σ
                
                +
                
                  g
                  
                    B
                  
                
                
                  B
                  
                    α
                  
                
                )
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          
                            0
                          
                        
                        
                          
                            v
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      v
                      
                        2
                      
                    
                    8
                  
                
                [
                
                  
                    
                      g
                      
                        W
                      
                    
                  
                  
                    2
                  
                
                (
                
                  W
                  
                    α
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      g
                      
                        W
                      
                    
                  
                  
                    2
                  
                
                (
                
                  W
                  
                    α
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                (
                −
                
                  g
                  
                    W
                  
                
                
                  W
                  
                    α
                  
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    g
                    
                      B
                    
                  
                
                
                  B
                  
                    α
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                ]
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\mathcal {L}}_{KE}&=\Delta [(D_{\alpha }\phi )^{\dagger }(D^{\alpha }\phi )]\\&={\frac {1}{8}}(0,v)(g_{W}\mathbf {W} _{\alpha }\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+g_{B}B_{\alpha })(g_{W}\mathbf {W} ^{\alpha }\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+g_{B}B^{\alpha }){\left({\begin{matrix}0\\v\end{matrix}}\right)}\\&={\frac {v^{2}}{8}}[{g_{W}}^{2}(W_{\alpha }^{1})^{2}+{g_{W}}^{2}(W_{\alpha }^{2})^{2}+(-g_{W}W_{\alpha }^{3}+{g_{B}}B_{\alpha })^{2}]\\\end{aligned}}}
  
。
設定W玻色子
  
    
      
        
          W
          
            α
          
          
            ±
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{\alpha }^{\pm }}
  
、Z玻色子
  
    
      
        
          Z
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle Z_{\alpha }}
  
、光子
  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }}
  
分別為

  
    
      
        
          W
          
            α
          
          
            ±
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
            
          
        
        (
        
          W
          
            α
          
          
            1
          
        
        ∓
        i
        
          W
          
            α
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle W_{\alpha }^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(W_{\alpha }^{1}\mp iW_{\alpha }^{2})}
  
、

  
    
      
        
          Z
          
            α
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                
                  
                    g
                    
                      W
                    
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    g
                    
                      B
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        
          g
          
            W
          
        
        
          W
          
            α
          
          
            3
          
        
        −
        
          g
          
            B
          
        
        
          B
          
            α
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Z_{\alpha }={\frac {1}{\sqrt {{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}}(g_{W}W_{\alpha }^{3}-g_{B}B_{\alpha })}
  
、

  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                
                  
                    g
                    
                      W
                    
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    g
                    
                      B
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        
          g
          
            W
          
        
        
          W
          
            α
          
          
            3
          
        
        +
        
          g
          
            B
          
        
        
          B
          
            α
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A_{\alpha }={\frac {1}{\sqrt {{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}}(g_{W}W_{\alpha }^{3}+g_{B}B_{\alpha })}
  
。
從普羅卡拉格朗日量，可以推斷W玻色子、Z玻色子的質量分別為
  
    
      
        
          m
          
            W
          
        
        =
        
          g
          
            W
          
        
         
        v
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle m_{W}=g_{W}\ v/2}
  
、
  
    
      
        
          m
          
            Z
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  g
                  
                    W
                  
                
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                
                  g
                  
                    B
                  
                
              
              
                2
              
            
          
        
         
        v
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle m_{Z}={\sqrt {{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}\ v/2}
  
，而光子的質量為零。
經過一番推導，可以查明
  
    
      
        
          g
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{W}}
  
是弱耦合常數，與電磁耦合常數
  
    
      
        
          g
          
            E
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{EM}}
  
的關係為

  
    
      
        
          g
          
            E
            M
          
        
        =
        
          
            
              
                g
                
                  W
                
              
              
                g
                
                  B
                
              
            
            
              
                
                  
                    g
                    
                      W
                    
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    g
                    
                      B
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{EM}={\frac {g_{W}g_{B}}{{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}}
  
。
定義弱混合角（weak mixing angle）
  
    
      
        
          θ
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{W}}
  
為

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  A
                
              
              
                
                  Z
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    θ
                    
                      W
                    
                  
                
                
                  sin
                  ⁡
                  
                    θ
                    
                      W
                    
                  
                
              
              
                
                  −
                  sin
                  ⁡
                  
                    θ
                    
                      W
                    
                  
                
                
                  cos
                  ⁡
                  
                    θ
                    
                      W
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  B
                
              
              
                
                  W
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}A\\Z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W}&\sin \theta _{W}\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B\\W\end{pmatrix}}}
  
。
以耦合常數
  
    
      
        
          g
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{B}}
  
與
  
    
      
        
          g
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{W}}
  
來表達，

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            W
          
        
        =
        
          
            
              g
              
                W
              
            
            
              
                
                  
                    g
                    
                      W
                    
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    g
                    
                      B
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta _{W}={\frac {g_{W}}{\sqrt {{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}}}
  
、

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          θ
          
            W
          
        
        =
        
          
            
              g
              
                B
              
            
            
              
                
                  
                    g
                    
                      W
                    
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    g
                    
                      B
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \theta _{W}={\frac {g_{B}}{\sqrt {{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}}}
  
。
所以，

  
    
      
        
          g
          
            E
            M
          
        
        =
        
          g
          
            W
          
        
        sin
        ⁡
        
          θ
          
            W
          
        
        =
        
          g
          
            B
          
        
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{EM}=g_{W}\sin \theta _{W}=g_{B}\cos \theta _{W}}
  
。
W玻色子與Z玻色子之間的質量關係為

  
    
      
        
          m
          
            W
          
        
        =
        
          m
          
            Z
          
        
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{W}=m_{Z}\cos \theta _{W}}
  
。
這關係式也可以做為弱混合角的數學定義式。


= 費米子質量 =
對於費米子的拉格朗日量
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
，除了希格斯項目
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{H}}
  
、規範項目
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{G}}
  
以外，必須再添加一個費米子項目
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{F}}
  
：

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        
          
            
              L
            
          
          
            H
          
        
        +
        
          
            
              L
            
          
          
            G
          
        
        +
        
          
            
              L
            
          
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{H}+{\mathcal {L}}_{G}+{\mathcal {L}}_{F}}
  
。
這費米子項目為描述自旋1/2費米子自由傳播的狄拉克拉格朗日量：

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            F
          
        
        =
        i
        
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            α
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        ψ
        −
        m
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{F}=i\,{\overline {\psi }}\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi -m{\overline {\psi }}\psi }
  
；
其中，
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
是費米子的狄拉克旋量（Dirac Spinor），
  
    
      
        
          
            ψ
            ¯
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          ψ
          
            †
          
        
        
          γ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
  
是其伴隨旋量，
  
    
      
        
          γ
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma ^{\alpha }}
  
是狄拉克矩陣，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
是費米子的質量。
這方程式右手邊第一個項目是動能項目，第二個項目是質量項目。
狄拉克旋量可以按照手徵性分解為左手狄拉克旋量
  
    
      
        
          ψ
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{L}}
  
與右手狄拉克旋量
  
    
      
        
          ψ
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{R}}
  
 ︰

  
    
      
        
          ψ
          
            L
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              
                γ
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi }
  
、

  
    
      
        
          ψ
          
            R
          
        
        =
        
          
            
              1
              +
              
                γ
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }
  
；
其中，
  
    
      
        
          γ
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma ^{5}}
  
是第五個狄拉克矩陣，
  
    
      
        (
        1
        ∓
        
          γ
          
            5
          
        
        )
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle (1\mp \gamma ^{5})/2}
  
是投影算符，可以挑選出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。
物理學者做實驗發現，W玻色子只與左手費米子彼此相互作用，費米子的左手部分與右手部分，兩者的物理性質大不相同。因此，為了要正確地分析每一個部分，必須將費米子項目按照手徵性分為左手項目、右手項目。費米子動能項目可以改寫為

  
    
      
        i
        
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        
          γ
          
            α
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        ψ
        =
        i
        
        
          
            
              ψ
              ¯
            
          
          
            L
          
        
        
          γ
          
            α
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          ψ
          
            L
          
        
        +
        i
        
        
          
            
              ψ
              ¯
            
          
          
            R
          
        
        
          γ
          
            α
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          ψ
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle i\,{\overline {\psi }}\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi =i\,{\overline {\psi }}_{L}\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi _{L}+i\,{\overline {\psi }}_{R}\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi _{R}}
  
。
由於在規範場論裏，左手費米子與右手費米子的規範群表現不一樣。，偏導數
  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }}
  
必須按照手徵性分別改換為不同的協變導數
  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            L
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}_{L\alpha }}
  
、
  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            R
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}_{R\alpha }}
  
，才能滿足局域規範不變性：

  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
        →
        
          
            
              D
            
          
          
            L
            α
          
        
        =
        (
        
          ∂
          
            α
          
        
        −
        i
        
          
            
              g
              
                B
              
            
            2
          
        
        
          Y
          
            L
          
        
        
          B
          
            α
          
        
        )
        
          I
        
        −
        i
        
          
            
              g
              
                W
              
            
            2
          
        
        
          
            W
          
          
            α
          
        
        ⋅
        
          σ
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }\to {\mathcal {D}}_{L\alpha }=(\partial _{\alpha }-i{\frac {g_{B}}{2}}Y_{L}B_{\alpha })\mathbb {I} -i{\frac {g_{W}}{2}}\mathbf {W} _{\alpha }\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}
  
、

  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
        →
        
          
            
              D
            
          
          
            R
            α
          
        
        =
        
          ∂
          
            α
          
        
        −
        i
        
          
            
              g
              
                B
              
            
            2
          
        
        
          Y
          
            R
          
        
        
          B
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }\to {\mathcal {D}}_{R\alpha }=\partial _{\alpha }-i{\frac {g_{B}}{2}}Y_{R}B_{\alpha }}
  
；
其中，
  
    
      
        
          I
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {I} }
  
是單位矩陣，
  
    
      
        
          Y
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{L}}
  
與
  
    
      
        
          Y
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{R}}
  
分別為左手費米子與右手費米子的弱超荷。
注意到
  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            L
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}_{L\alpha }}
  
是一個2×2矩陣算符，而
  
    
      
        
          
            
              D
            
          
          
            R
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}_{R\alpha }}
  
是一個純量算符。應用這性質，設定SU(2)二重態來表示左手費米子，SU(2)單態來表示右手費米子，就可以促使W玻色子只與左手費米子彼此相互作用。例如，對於第一代輕子，左手二重態、右手單態分別為

  
    
      
        
          E
          
            L
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        ν
                        
                          e
                        
                      
                    
                  
                  
                    
                      e
                    
                  
                
              
              )
            
          
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{L}={\left({\begin{matrix}\nu _{e}\\e\end{matrix}}\right)}_{L}}
  
、
  
    
      
        
          e
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{R}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          ν
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \nu _{e}}
  
、
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
分別是微中子、電子的狄拉克旋量。
費米子質量項目以
  
    
      
        
          ψ
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{L}}
  
、
  
    
      
        
          ψ
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{R}}
  
表示為

  
    
      
        −
        m
        
        
          
            ψ
            ¯
          
        
        ψ
        =
        −
        m
        
        
          
            
              ψ
              ¯
            
          
          
            L
          
        
        
          ψ
          
            R
          
        
        −
        m
        
        
          
            
              ψ
              ¯
            
          
          
            R
          
        
        
          ψ
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle -m\,{\overline {\psi }}\psi =-m\,{\overline {\psi }}_{L}\psi _{R}-m\,{\overline {\psi }}_{R}\psi _{L}}
  
。
由於
  
    
      
        
          ψ
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{L}}
  
、
  
    
      
        
          ψ
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{R}}
  
所涉及的SU(2)L變換與U(1)Y變換都不一樣，質量項目不能夠滿足局域規範不變性，必須設定
  
    
      
        m
        =
        0
      
    
    {\displaystyle m=0}
  
。在標準模型裏，遵守規範理論，所有費米子的質量都必須設定為零。這樣，費米子項目變為只擁有遵守手徵對稱性的動能項目：

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            F
          
        
        =
        i
        
        
          
            
              ψ
              ¯
            
          
          
            L
          
        
        
          γ
          
            α
          
        
        
          D
          
            L
            α
          
        
        
          ψ
          
            L
          
        
        +
        i
        
        
          
            
              ψ
              ¯
            
          
          
            R
          
        
        
          γ
          
            α
          
        
        
          D
          
            R
            α
          
        
        
          ψ
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{F}=i\,{\overline {\psi }}_{L}\gamma ^{\alpha }D_{L\alpha }\psi _{L}+i\,{\overline {\psi }}_{R}\gamma ^{\alpha }D_{R\alpha }\psi _{R}}
  
。
希格斯機制可以促使費米子獲得質量，通過添加湯川耦合項目
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            Y
            u
            k
            a
            w
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{Yukawa}}
  
在希格斯拉格朗日量
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{H}}
  
裏，可以達成這目標：

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            Y
            u
            k
            a
            w
            a
          
        
        =
        −
        
          λ
          
            e
          
        
        (
        
          
            
              E
              ¯
            
          
          
            L
          
        
        ϕ
        
          e
          
            R
          
        
        +
        
          
            
              e
              ¯
            
          
          
            R
          
        
        
          ϕ
          
            †
          
        
        
          E
          
            L
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{Yukawa}=-\lambda _{e}({\overline {E}}_{L}\phi e_{R}+{\overline {e}}_{R}\phi ^{\dagger }E_{L})}
  
；
其中，
  
    
      
        
          λ
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{e}}
  
是電子的「湯川耦合常數」。
由於自發對稱性破缺，採用么正規範，希格斯場會變為

  
    
      
        ϕ
        =
        
          
            1
            
              2
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    0
                  
                
                
                  
                    v
                    +
                    h
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\begin{matrix}0\\v+h\end{matrix}}\right)}}
  
，
湯川耦合項目會生成電子質量：

  
    
      
        Δ
        
          
            
              L
            
          
          
            Y
            u
            k
            a
            w
            a
          
        
        =
        −
         
        
          
            
              
                λ
                
                  e
                
              
              v
            
            
              2
            
          
        
        (
        
          
            
              e
              ¯
            
          
          
            L
          
        
        
          e
          
            R
          
        
        +
        
          
            
              e
              ¯
            
          
          
            R
          
        
        
          e
          
            L
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta {\mathcal {L}}_{Yukawa}=-\ {\frac {\lambda _{e}v}{\sqrt {2}}}({\overline {e}}_{L}e_{R}+{\overline {e}}_{R}e_{L})}
  
。
很明顯地，電子質量
  
    
      
        
          m
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{e}}
  
為

  
    
      
        
          m
          
            e
          
        
        =
        
          λ
          
            e
          
        
        v
        
          /
        
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{e}=\lambda _{e}v/{\sqrt {2}}}
  
。
類似地，希格斯機制可以促使其他種費米子獲得質量。對於為甚麼每一種費米子都有其特定的湯川耦合常數
  
    
      
        
          λ
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{F}}
  
，希格斯機制並沒有給出任何說明。標準模型裏的自由參數大多數都是湯川耦合常數


参阅 希格斯玻色子的實驗探索
探尋希格斯玻色子時間軸


註釋 參考文獻