在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為守恆量（conserved quantity），又稱為運動常數。由於很多物理定律會表達某種守恆行為，對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如，假設在某系統內涉及的作用力是保守力，則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力，則此系統的角動量是守恆量。


動量 根據動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力，其總向量和為零，則這粒子的動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻速運動或著靜止不變。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力為零：

  
    
      
        
          F
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =0}
  
 。
根據牛頓第二定律，淨外力與動量 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 的關係式為

  
    
      
        
          F
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                p
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}
  
 。
所以，動量是一個常數，是一個守恆量。


角動量 根據角動量守恒定律，假若一個粒子所感受到的外力矩，其其總向量和為零，則這粒子的角動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻角運動或直線運動。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力矩 
  
    
      
        
          τ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
  
 為零：

  
    
      
        
          τ
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=0}
  
 。
淨外力矩與角動量 
  
    
      
        
          ℓ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}
  
 的關係式為

  
    
      
        
          τ
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              
                ℓ
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}}
  
 。
所以，角動量是一個常數，是一個守恆量。


能量 在經典力學裏，粒子的能量定義為動能與勢能的代數和。根據能量守恒定律，假若一個粒子所感受到的外力都是保守力，則這粒子的能量保持不變，是一個守恆量。以方程式表達，能量 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 為動能 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 與勢能 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 的代數和

  
    
      
        E
        =
        T
        +
        V
      
    
    {\displaystyle E=T+V}
  
 。
粒子的動能與運動速度 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
 的關係為

  
    
      
        T
        =
        m
        
          v
          
            2
          
        
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle T=mv^{2}/2}
  
 ；
其中，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 是粒子的質量。
而對於保守系統，勢能與淨保守力 
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
 的關係為

  
    
      
        
          F
        
        =
        −
        ∇
        V
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V}
  
 ；
能量對於時間的導數為

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              E
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        m
        
          v
        
        ⋅
        
          
            
              
                d
              
              
                v
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        +
        
          v
        
        ⋅
        ∇
        V
        =
        
          v
        
        ⋅
        (
        m
        
          a
        
        −
        
          F
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla V=\mathbf {v} \cdot (m\mathbf {a} -\mathbf {F} )=0}
  
 。
所以，能量是一個常數，是一個守恆量。


能量函數 思考一個物理系統，其拉格朗日量是动能 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 与势能 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 的差值：

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        T
        −
        V
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}
  
 。
通常，動能的參數為廣義速度 
  
    
      
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}}
  
 （符號上方的點號表示對於時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的全導數），而勢能的參數為廣義坐標 
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        
          q
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          q
          
            N
          
        
        ;
        t
      
    
    {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t}
  
 ，所以，拉格朗日量的參數為 
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        
          q
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          q
          
            N
          
        
        ;
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            N
          
        
        ;
        t
      
    
    {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t}
  
 。
這物理系統的運動軌道，以拉格朗日方程式表示為

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  
                    L
                  
                
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0}
  
；
其中，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 是时间。
拉格朗日量對於時間的全導數為

  
    
      
        
          
            
              d
              
                
                  L
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        +
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ¨
              
            
          
          
            i
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}
  
 。
將拉格朗日方程式代入，可以得到

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      d
                      
                        
                          L
                        
                      
                    
                    
                      d
                      t
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    d
                    
                      d
                      t
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          
                            L
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          
                            
                              
                                q
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            i
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          L
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        
                          
                            
                              q
                              ˙
                            
                          
                        
                        
                          i
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        q
                        ¨
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                
                +
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          L
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    d
                    
                      d
                      t
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            
                              L
                            
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            
                              
                                
                                  q
                                  ˙
                                
                              
                            
                            
                              i
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            q
                            ˙
                          
                        
                      
                      
                        i
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          L
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}}
  
。
定義「能量函數」 
  
    
      
        
          
            h
          
        
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        
          q
          
            3
          
        
        ,
        …
        ;
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            3
          
        
        ,
        …
        ;
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)}
  
 為

  
    
      
        
          
            h
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        −
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}}
  
 ，
則能量函數與拉格朗日量的關係為

  
    
      
        
          
            
              d
              
                
                  h
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}
  
 。
假若拉格朗日量顯性地與時間無關，
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0}
  
 ，
  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        
          
            L
          
        
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        
          q
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          q
          
            N
          
        
        ;
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            N
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N})}
  
 ，則能量函數是一個常數，是一個守恆量。設定 
  
    
      
        
          
            h
          
        
        =
        E
      
    
    {\displaystyle {\mathit {h}}=E}
  
 ，這常數 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 可以稱為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。


參閱 李亞普諾夫函數
哈密頓系統
守恆定律


參考文獻