在数学分支线性代数之中，向量空间中一个向量集合的线性生成空间（linear span，也称为线性包 linear hull），是所有包含这个集合的线性子空间的交集，从而一个向量集合的线性生成空间也是一个向量空间。


定义 给定域 K 上的向量空间 V，集合 S（不必有限）的生成空间定义为所有包含 S 的线性子空间 V 的交集 W，称 W 为由 S（或 S 中的向量）生成的子空间。
如果 
  
    
      
        S
        =
        {
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          v
          
            r
          
        
        }
        
      
    
    {\displaystyle S=\{v_{1},...,v_{r}\}\,}
  
 是 V 的有限子集，则生成空间为

  
    
      
        
          
            s
            p
            a
            n
          
        
        
          (
          S
          )
        
        =
        
          
            s
            p
            a
            n
          
        
        
          (
          
            
              v
              
                1
              
            
            ,
            .
            .
            .
            ,
            
              v
              
                r
              
            
          
          )
        
        =
        
          {
          
            
              λ
              
                1
              
            
            
              v
              
                1
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              λ
              
                r
              
            
            
              v
              
                r
              
            
            ∣
            
              λ
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              λ
              
                r
              
            
            ∈
            
              K
            
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\rm {span}}\left(S\right)={\rm {span}}\left(v_{1},...,v_{r}\right)=\left\{{\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{r}v_{r}\mid \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}\in \mathbf {K} }\right\}.}
  


解释 S 的生成空间也可定义为 S 中元素的所有有限线性组合组成的集合。因为容易验证：S 中向量的有限线性组合的集合是包含 S 的一个向量空间，反之任何包含 S 的向量空间必然都包含 S 中向量的有限组合，故两个定义是等价的。
如果 S 的生成空间是 V，则 S 称为 V 的生成集合（spanning set）。V 的一个生成集合不必是 V 的一组基，因其不必是线性无关的。但是，对给定向量空间的极小生成集合一定是一组基。换句话说，V 的生成集合是一组基当且仅当 V 的任何向量可以唯一的写成生成集合中一些元素的线性组合。
如果 V 是无限维向量空间，S 是无穷集合，则 S 中的无限个向量的线性组合（如果收敛的话）不一定属于 S 的生成空间。


例子 实向量空间 R3 中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一个生成集合，这个生成集合事实上是一组基。这个空间的另一组生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一组基，因为它们不是线性獨立的。
集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 R3 的生成集合；它的生成空间是 R3 中最后一个分量为零的向量组成的空间。
设 V={ (x,y,z) ∈R3 |x+y-z=0 }，则 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 V 的一个生成集合，也是一组基。


定理 定理 1：向量空间 V 的非空集合 S 生成的子空间是 S 中向量的所有有限线性组合；

如注释中所说，这个定理如此熟知，以至有时也作为一个集合的生成空间的定义。
定理 2：设 V 是一个有限维向量空间，则 V 的任何生成集合 S 去掉一些向量（如果必要的话）可以简化为 V 的一组基。

取 V 任意一组基（有限集），将这组基表示为 S 中一些向量的有限组合，只用到 S 中有限个向量，这有限个向量的生成集合包含这组基，从而包含 V，故第一步可将 S 简化为有限集；如果 S 中向量不是线性无关的，则至少有一个向量能写成其他向量的组合，去掉这个向量剩下的也能生成 V。继续这个步骤直到剩下的向量集合线性无关，这便简化为一组基了。
这也说明当 V 是有限维时，一组基是极小生成集合。


性质 假设 
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          v
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}
  
 是向量空间 V 中 n 个向量，那么

  
    
      
        
          
            s
            p
            a
            n
          
        
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          v
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        =
        
          
            s
            p
            a
            n
          
        
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          v
          
            n
          
        
        )
        ⟺
        
          v
          
            n
          
        
        ∈
        
          
            s
            p
            a
            n
          
        
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          v
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1})={\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n})\Longleftrightarrow v_{n}\in {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1}).}
  

n 个向量生成空间的维数不大于 n，等于 n 当且仅当这些向量线性不相關。
假设 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 与 
  
    
      
        
          S
          ′
        
      
    
    {\displaystyle S'}
  
 是向量空间 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 中两个集合，则有：

  
    
      
        S
        ⊂
        
          S
          ′
        
        ⇒
        
          
            s
            p
            a
            n
          
        
        (
        S
        )
        ⊂
        
          
            s
            p
            a
            n
          
        
        (
        
          S
          ′
        
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle S\subset S'\Rightarrow {\rm {span}}(S)\subset {\rm {span}}(S');}
  

  
    
      
        
          
            s
            p
            a
            n
          
        
        (
        S
        ∪
        
          S
          ′
        
        )
        =
        
          
            s
            p
            a
            n
          
        
        (
        S
        )
        +
        
          
            s
            p
            a
            n
          
        
        (
        
          S
          ′
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\rm {span}}(S\cup S')={\rm {span}}(S)+{\rm {span}}(S').}
  


线性生成空间与直和 设
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
与
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
是线性空间
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
的两个线性包，线性包
  
    
      
        
          ⟨
          
            U
            ∪
            V
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle U\cup V\right\rangle }
  
称为
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
与
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的和,

  
    
      
        U
        +
        V
        =
        
          ⟨
          
            U
            ∪
            V
          
          ⟩
        
        =
        
          {
          
            u
            +
            v
            
              |
            
            u
            ∈
            U
            ,
            v
            ∈
            V
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}}
  
,如果
  
    
      
        U
        ∩
        V
        =
        0
      
    
    {\displaystyle U\cap V=0}
  
，则称
  
    
      
        U
        +
        V
      
    
    {\displaystyle U+V}
  
为直和，记为
  
    
      
        U
        ⊕
        V
      
    
    {\displaystyle U\oplus V}
  


参考文献 M.I. Voitsekhovskii, Linear hull, Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
蓝以中，《高等代数简明教程》（上册），北京大学出版社，2002年8月。
《代数学引论（第二卷）》/（俄）A.H.柯斯特利金著；牛凤文译.-北京：高等教育出版社，2008.1 ISBN：978-7-040-21491-8