三角形内角的嵌入不等式是平面几何中的一个不等式。在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有：

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        ⩾
        2
        x
        y
        cos
        ⁡
        C
        +
        2
        y
        z
        cos
        ⁡
        A
        +
        2
        z
        x
        cos
        ⁡
        B
        .
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B.}
  

首先发现此不等式的是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆。他在1867年出版的《数学问题集》一书中对嵌入不等式做出介绍。


证明 注意到不等式：
  
    
      
        (
        x
        −
        y
        cos
        ⁡
        C
        −
        z
        cos
        ⁡
        B
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        sin
        ⁡
        C
        −
        z
        sin
        ⁡
        B
        
          )
          
            2
          
        
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle (x-y\cos C-z\cos B)^{2}+(y\sin C-z\sin B)^{2}\geqslant 0}
  
 对所有的实数 x、y、z以及任意角A、B、C成立，将其左侧展开，就得到：

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        (
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        C
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        C
        )
        +
        
          z
          
            2
          
        
        (
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        B
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        B
        )
        −
        2
        x
        y
        cos
        ⁡
        C
        −
        2
        x
        z
        cos
        ⁡
        B
        −
        2
        y
        z
        sin
        ⁡
        B
        sin
        ⁡
        C
        +
        2
        y
        z
        cos
        ⁡
        B
        cos
        ⁡
        C
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}(\cos ^{2}C+\sin ^{2}C)+z^{2}(\cos ^{2}B+\sin ^{2}B)-2xy\cos C-2xz\cos B-2yz\sin B\sin C+2yz\cos B\cos C\geqslant 0}
  

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        ⩾
        2
        x
        y
        cos
        ⁡
        C
        +
        2
        x
        z
        cos
        ⁡
        B
        +
        2
        y
        z
        (
        sin
        ⁡
        B
        sin
        ⁡
        C
        −
        cos
        ⁡
        B
        cos
        ⁡
        C
        )
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B+2yz(\sin B\sin C-\cos B\cos C)}
  

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        ⩾
        2
        x
        y
        cos
        ⁡
        C
        +
        2
        x
        z
        cos
        ⁡
        B
        −
        2
        y
        z
        cos
        ⁡
        (
        B
        +
        C
        )
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B-2yz\cos(B+C)}
  

由于A、B、C是三角形内角，
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        B
        +
        C
        )
        =
        cos
        ⁡
        (
        π
        −
        A
        )
        =
        −
        cos
        ⁡
        A
      
    
    {\displaystyle \cos(B+C)=\cos(\pi -A)=-\cos A}
  
，因此上式等价于

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        ⩾
        2
        x
        y
        cos
        ⁡
        C
        +
        2
        x
        z
        cos
        ⁡
        B
        +
        2
        y
        z
        cos
        ⁡
        A
        .
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B+2yz\cos A.}
  

从证明中可推出，不等式中等号成立当且仅当
  
    
      
        y
        sin
        ⁡
        C
        =
        z
        sin
        ⁡
        B
      
    
    {\displaystyle y\sin C=z\sin B}
  
和
  
    
      
        x
        =
        y
        cos
        ⁡
        C
        +
        z
        cos
        ⁡
        B
      
    
    {\displaystyle x=y\cos C+z\cos B}
  
同时成立。也就是说，要么
  
    
      
        x
        =
        y
        =
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=y=z=0}
  
，要么
  
    
      
        x
        :
        y
        :
        z
        =
        sin
        ⁡
        A
        :
        sin
        ⁡
        B
        :
        sin
        ⁡
        C
      
    
    {\displaystyle x:y:z=\sin A:\sin B:\sin C}
  
。


推广与加强 从以上证明中可以看到，证明成立的关键是
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        B
        +
        C
        )
        +
        cos
        ⁡
        A
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \cos(B+C)+\cos A=0}
  
，所以可以将条件中的“A、B、C是三角形内角”推广到“
  
    
      
        A
        +
        B
        +
        C
        =
        (
        2
        k
        +
        1
        )
        π
        ,
        
        k
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle A+B+C=(2k+1)\pi ,\,k\in \mathbb {N} }
  
”。而如果 
  
    
      
        A
        +
        B
        +
        C
        =
        2
        k
        π
      
    
    {\displaystyle A+B+C=2k\pi }
  
，则
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        B
        +
        C
        )
        =
        cos
        ⁡
        A
      
    
    {\displaystyle \cos(B+C)=\cos A}
  
，展开恒成立的不等式 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        cos
        ⁡
        C
        +
        z
        cos
        ⁡
        B
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        sin
        ⁡
        C
        −
        z
        sin
        ⁡
        B
        
          )
          
            2
          
        
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle (x+y\cos C+z\cos B)^{2}+(y\sin C-z\sin B)^{2}\geqslant 0}
  
便可得到不等式 

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        +
        2
        x
        y
        cos
        ⁡
        C
        +
        2
        y
        z
        cos
        ⁡
        A
        +
        2
        z
        x
        cos
        ⁡
        B
        ⩾
        0.
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B\geqslant 0.}
  

这个不等式和三角形内角的嵌入不等式可以合写成一个不等式：

如果
  
    
      
        A
        +
        B
        +
        C
        =
        k
        π
        ,
        
        k
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle A+B+C=k\pi ,\,k\in \mathbb {N} }
  
，那么对任意实数x、y、z，都有
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        +
        2
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
          
        
        (
        x
        y
        cos
        ⁡
        C
        +
        y
        z
        cos
        ⁡
        A
        +
        z
        x
        cos
        ⁡
        B
        )
        ⩾
        0.
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(-1)^{k}(xy\cos C+yz\cos A+zx\cos B)\geqslant 0.}
  

由于三角形内角的嵌入不等式具有高度对称性，在应用中也会写成对称下标不等式：

  
    
      
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
          
            2
          
        
        ⩾
        2
        
          x
          
            1
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        
          φ
          
            3
          
        
        +
        2
        
          x
          
            2
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        cos
        ⁡
        
          φ
          
            1
          
        
        +
        2
        
          x
          
            3
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        
          φ
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\geqslant 2x_{1}x_{2}\cos \varphi _{3}+2x_{2}x_{3}\cos \varphi _{1}+2x_{3}x_{1}\cos \varphi _{2}.}
  

或轮换下标不等式：

  
    
      
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
          
            2
          
        
        ⩾
        2
        
          x
          
            1
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        
          φ
          
            1
          
        
        +
        2
        
          x
          
            2
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        cos
        ⁡
        
          φ
          
            2
          
        
        +
        2
        
          x
          
            3
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        
          φ
          
            3
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\geqslant 2x_{1}x_{2}\cos \varphi _{1}+2x_{2}x_{3}\cos \varphi _{2}+2x_{3}x_{1}\cos \varphi _{3}.}
  

设 
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        
          α
          
            2
          
        
        ,
        
          α
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}
  
是三角形内角，对后一个不等式做变量代换

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        →
        
          x
          
            1
          
        
        
          
            
              
                sin
                ⁡
                
                  α
                  
                    2
                  
                
              
              
                sin
                ⁡
                
                  α
                  
                    3
                  
                
                sin
                ⁡
                
                  α
                  
                    1
                  
                
              
            
          
        
        ,
        
        
          x
          
            2
          
        
        →
        
          x
          
            2
          
        
        
          
            
              
                sin
                ⁡
                
                  α
                  
                    3
                  
                
              
              
                sin
                ⁡
                
                  α
                  
                    1
                  
                
                sin
                ⁡
                
                  α
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        ,
        
        
          x
          
            3
          
        
        →
        
          x
          
            3
          
        
        
          
            
              
                sin
                ⁡
                
                  α
                  
                    1
                  
                
              
              
                sin
                ⁡
                
                  α
                  
                    2
                  
                
                sin
                ⁡
                
                  α
                  
                    3
                  
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{1}\rightarrow x_{1}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{3}\sin \alpha _{1}}}},\,x_{2}\rightarrow x_{2}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{3}}{\sin \alpha _{1}\sin \alpha _{2}}}},\,x_{3}\rightarrow x_{3}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}\sin \alpha _{3}}}},}
  

可以得到不等式：

  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                α
                
                  1
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                α
                
                  1
                
              
            
          
        
        +
        (
        
          x
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                α
                
                  2
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                α
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        (
        
          x
          
            3
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                α
                
                  3
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                α
                
                  3
                
              
            
          
        
        ⩾
        2
        
          x
          
            1
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                φ
                
                  1
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                α
                
                  1
                
              
            
          
        
        +
        2
        
          x
          
            2
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                φ
                
                  2
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                α
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        2
        
          x
          
            3
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                φ
                
                  3
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                α
                
                  3
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}){\frac {\cos \alpha _{1}}{\sin \alpha _{1}}}+(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}){\frac {\cos \alpha _{2}}{\sin \alpha _{2}}}+(x_{3}^{2}+x_{1}^{2}){\frac {\cos \alpha _{3}}{\sin \alpha _{3}}}\geqslant 2x_{1}x_{2}{\frac {\cos \varphi _{1}}{\sin \alpha _{1}}}+2x_{2}x_{3}{\frac {\cos \varphi _{2}}{\sin \alpha _{2}}}+2x_{3}x_{1}{\frac {\cos \varphi _{3}}{\sin \alpha _{3}}}.}
  

由这个不等式可以推出嵌入不等式的另一种推广：

设
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        
          α
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          α
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}}
  
满足 
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        +
        
          α
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          α
          
            n
          
        
        =
        π
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=\pi }
  
，  
  
    
      
        
          φ
          
            1
          
        
        ,
        
          φ
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          φ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}}
  
满足 
  
    
      
        
          φ
          
            1
          
        
        +
        
          φ
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          φ
          
            n
          
        
        =
        π
      
    
    {\displaystyle \varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{n}=\pi }
  
，则有：

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                α
                
                  i
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                α
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            i
            +
            1
          
          
            2
          
        
        )
        ⩾
        2
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                φ
                
                  i
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                α
                
                  i
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\cos \alpha _{i}}{\sin \alpha _{i}}}(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2})\geqslant 2\sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}{\frac {\cos \varphi _{i}}{\sin \alpha _{i}}}.}
  

其中
  
    
      
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n+1}=x_{1}}
  
。而当
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        =
        
          α
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          α
          
            n
          
        
        =
        
          
            π
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n}={\frac {\pi }{n}}}
  
的时候，上面的不等式转化为：

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          
            π
            n
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            i
            +
            1
          
          
            2
          
        
        )
        ⩾
        2
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        cos
        ⁡
        
          φ
          
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2})\geqslant 2\sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}\cos \varphi _{i}.}
  

嵌入不等式是此不等式在
  
    
      
        n
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=3}
  
时的特例。


应用 三角形内角的嵌入不等式将代数不等式和几何不等式结合起来。运用嵌入不等式可以解决许多几何不等式，例如以下是运用嵌入不等式证明埃尔德什－莫德尔不等式。

埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式，其声称：对于任何三角形和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。下设这个三角形顶点为
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        ,
        
          A
          
            2
          
        
        ,
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}
  
，点O到这三个顶点的距离分别是
  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
        ,
        
          R
          
            2
          
        
        ,
        
          R
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}}
  
，到它们对边的距离分别是
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        
          r
          
            2
          
        
        ,
        
          r
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}
  
，则埃尔德什-莫德尔不等式写作：

  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
        +
        
          R
          
            2
          
        
        +
        
          R
          
            3
          
        
        ⩾
        2
        
          (
          
            
              r
              
                1
              
            
            +
            
              r
              
                2
              
            
            +
            
              r
              
                3
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right)}
  

在嵌入不等式中令
  
    
      
        x
        =
        
          
            
              R
              
                1
              
            
          
        
        ,
        y
        =
        
          
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        ,
        z
        =
        
          
            
              R
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\sqrt {R_{1}}},y={\sqrt {R_{2}}},z={\sqrt {R_{3}}}}
  
，
  
    
      
        A
        =
        
          
            
              ∠
              
                A
                
                  2
                
              
              O
              
                A
                
                  3
                
              
            
            2
          
        
        ,
        B
        =
        
          
            
              ∠
              
                A
                
                  1
                
              
              O
              
                A
                
                  3
                
              
            
            2
          
        
        ,
        C
        =
        
          
            
              ∠
              
                A
                
                  1
                
              
              O
              
                A
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}},B={\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}},C={\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}}
  
则可得到：

  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
        +
        
          R
          
            2
          
        
        +
        
          R
          
            3
          
        
        ⩾
        2
        
          [
          
            
              
                
                  R
                  
                    1
                  
                
                
                  R
                  
                    2
                  
                
              
            
            cos
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    ∠
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                    O
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                  
                  2
                
              
              )
            
            +
            
              
                
                  R
                  
                    2
                  
                
                
                  R
                  
                    3
                  
                
              
            
            cos
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    ∠
                    
                      A
                      
                        2
                      
                    
                    O
                    
                      A
                      
                        3
                      
                    
                  
                  2
                
              
              )
            
            +
            
              
                
                  R
                  
                    1
                  
                
                
                  R
                  
                    3
                  
                
              
            
            cos
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    ∠
                    
                      A
                      
                        1
                      
                    
                    O
                    
                      A
                      
                        3
                      
                    
                  
                  2
                
              
              )
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left[{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{2}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{1}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}}\right)\right]}
  

另一方面，计算三角形
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        O
        
          A
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}OA_{2}}
  
在O点发出的角平分线长度
  
    
      
        
          w
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{3}}
  
，可得

  
    
      
        
          w
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                R
                
                  1
                
              
              
                R
                
                  2
                
              
            
            
              
                R
                
                  1
                
              
              +
              
                R
                
                  2
                
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                ∠
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                O
                
                  A
                  
                    2
                  
                
              
              2
            
          
          )
        
        ⩽
        
          
            
              R
              
                1
              
            
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                ∠
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                O
                
                  A
                  
                    2
                  
                
              
              2
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle w_{3}={\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right).}
  

同时作为角平分线，其长度必然大于O点到
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          A
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}A_{2}}
  
的距离
  
    
      
        
          r
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{3}}
  
，所以

  
    
      
        
          r
          
            3
          
        
        ⩽
        
          w
          
            3
          
        
        ⩽
        
          
            
              R
              
                1
              
            
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                ∠
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                O
                
                  A
                  
                    2
                  
                
              
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle r_{3}\leqslant w_{3}\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)}
  

  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            3
          
        
        ⩽
        
          
            
              R
              
                1
              
            
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                ∠
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                O
                
                  A
                  
                    2
                  
                
              
              2
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              R
              
                2
              
            
            
              R
              
                3
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                ∠
                
                  A
                  
                    2
                  
                
                O
                
                  A
                  
                    3
                  
                
              
              2
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              R
              
                1
              
            
            
              R
              
                3
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                ∠
                
                  A
                  
                    1
                  
                
                O
                
                  A
                  
                    3
                  
                
              
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{2}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{1}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}}\right)}
  

因此 

  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
        +
        
          R
          
            2
          
        
        +
        
          R
          
            3
          
        
        ⩾
        2
        
          (
          
            
              r
              
                1
              
            
            +
            
              r
              
                2
              
            
            +
            
              r
              
                3
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right).}
  


等价形式 设 
  
    
      
        A
        +
        B
        +
        C
        =
        k
        π
      
    
    {\displaystyle A+B+C=k\pi }
  
, 
  
    
      
        k
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
  
, 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} }
  
，则有

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        +
        z
        
          )
          
            2
          
        
        ⩾
        4
        y
        z
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        A
        +
        4
        z
        x
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        B
        +
        4
        x
        y
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        C
        ,
      
    
    {\displaystyle (x+y+z)^{2}\geqslant 4yz\sin ^{2}A+4zx\sin ^{2}B+4xy\sin ^{2}C,}
  

等号成立当且仅当 
  
    
      
        x
        :
        y
        :
        z
        =
        sin
        ⁡
        2
        A
        :
        sin
        ⁡
        2
        B
        :
        sin
        ⁡
        2
        C
      
    
    {\displaystyle x:y:z=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C}
  
。


= 证明 =

  
    
      
        L
        H
        S
        −
        R
        H
        S
        =
        (
        x
        +
        y
        cos
        ⁡
        2
        C
        +
        z
        cos
        ⁡
        2
        B
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        sin
        ⁡
        2
        C
        −
        z
        sin
        ⁡
        2
        B
        
          )
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle LHS-RHS=(x+y\cos 2C+z\cos 2B)^{2}+(y\sin 2C-z\sin 2B)^{2}.}
  


= 推论 =
对于 
  
    
      
        △
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \triangle ABC}
  
，令 
  
    
      
        x
        =
        u
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=ua^{2}}
  
, 
  
    
      
        y
        =
        v
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=vb^{2}}
  
, 
  
    
      
        z
        =
        w
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=wc^{2}}
  
，其中 
  
    
      
        u
        ,
        v
        ,
        w
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle u,v,w\in \mathbb {R} }
  
，即得

  
    
      
        (
        u
        
          a
          
            2
          
        
        +
        v
        
          b
          
            2
          
        
        +
        w
        
          c
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        ⩾
        4
        ∑
        v
        w
        
          b
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        A
        =
        16
        (
        v
        w
        +
        w
        u
        +
        u
        v
        )
        
          S
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (ua^{2}+vb^{2}+wc^{2})^{2}\geqslant 4\sum vwb^{2}c^{2}\sin ^{2}A=16(vw+wu+uv)S^{2},}
  

等号成立当且仅当 
  
    
      
        u
        
          a
          
            2
          
        
        :
        v
        
          b
          
            2
          
        
        :
        w
        
          c
          
            2
          
        
        =
        sin
        ⁡
        2
        A
        :
        sin
        ⁡
        2
        B
        :
        sin
        ⁡
        2
        C
      
    
    {\displaystyle ua^{2}:vb^{2}:wc^{2}=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C}
  
，即 
  
    
      
        u
        :
        v
        :
        w
        =
        cot
        ⁡
        A
        :
        cot
        ⁡
        B
        :
        cot
        ⁡
        C
      
    
    {\displaystyle u:v:w=\cot A:\cot B:\cot C}
  
。


= 一般形式 =
若非零实数 
  
    
      
        p
        ,
        q
        ,
        r
      
    
    {\displaystyle p,q,r}
  
 满足 
  
    
      
        2
        (
        p
        q
        +
        q
        r
        +
        r
        p
        )
        ⩾
        
          p
          
            2
          
        
        +
        
          q
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2(pq+qr+rp)\geqslant p^{2}+q^{2}+r^{2}}
  
，则对任意实数 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
      
    
    {\displaystyle x,y,z}
  
 恒有

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        +
        z
        
          )
          
            2
          
        
        ⩾
        
          
            
              2
              (
              p
              q
              +
              q
              r
              +
              r
              p
              )
              −
              
                p
                
                  2
                
              
              −
              
                q
                
                  2
                
              
              −
              
                r
                
                  2
                
              
            
            
              p
              q
              r
            
          
        
        (
        p
        y
        z
        +
        q
        z
        x
        +
        r
        x
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle (x+y+z)^{2}\geqslant {\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{pqr}}(pyz+qzx+rxy).}
  

证明：

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  
                    L
                    H
                    S
                    −
                    R
                    H
                    S
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                  
                    (
                    
                      x
                      +
                      y
                      +
                      z
                      −
                      
                        
                          
                            2
                            (
                            p
                            q
                            +
                            q
                            r
                            +
                            r
                            p
                            )
                            −
                            
                              p
                              
                                2
                              
                            
                            −
                            
                              q
                              
                                2
                              
                            
                            −
                            
                              r
                              
                                2
                              
                            
                          
                          
                            2
                            p
                            q
                            r
                          
                        
                      
                      (
                      r
                      y
                      +
                      q
                      z
                      )
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                +
                
                  
                    
                      2
                      (
                      p
                      q
                      +
                      q
                      r
                      +
                      r
                      p
                      )
                      −
                      
                        p
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        q
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        r
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      4
                      
                        p
                        
                          2
                        
                      
                      
                        q
                        
                          2
                        
                      
                      
                        r
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    (
                  
                
                (
                p
                +
                q
                −
                r
                )
                r
                y
                −
                (
                p
                −
                q
                +
                r
                )
                q
                z
                
                  
                    
                      )
                    
                  
                  
                    2
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {LHS-RHS}}\\={}&\left(x+y+z-{\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{2pqr}}(ry+qz)\right)^{2}\\&+{\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{4p^{2}q^{2}r^{2}}}{\bigl (}(p+q-r)ry-(p-q+r)qz{\bigr )}^{2}.\end{aligned}}}
  


参见 三角不等式
外森比克不等式


参考来源