数学中，旋量群 Spin(n) 是特殊正交群 SO(n) 的二重覆叠，使得存在李群的短正合列：

  
    
      
        1
        →
        
          
            Z
          
          
            2
          
        
        →
        Spin
        ⁡
        (
        n
        )
        →
        SO
        ⁡
        (
        n
        )
        →
        1
      
    
    {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1}
  
 。
对 n > 2， Spin(n) 单连通，从而是 SO(n) 的万有覆叠空间。作为李群 Spin(n) 及其李代数和特殊正交群 SO(n) 有相同的维数 n(n − 1)/2。
Spin(n) 可以构造为克利福德代数 Cℓ(n) 可逆元群的一个子群。Spin(n) 由所有写成个偶数个单位向量的克利福德乘积的元素生成。对应到 SO(n) 中恰是沿着垂直于这偶数个向量的超平面的反射的复合。


巧合同构 当维数比较低时，典型李群之间存在同构，称为“巧合同构”。例如，低维旋量群和一定的典型李群同构，这是因为不同的低维单李代数的根系之间存在同构。特别的我们有：

Spin(1) = O(1) = Z2
Spin(2) = U(1) = SO(2) = S1
Spin(3) = Sp(1) = SU(2) = HU(1) = S3
Spin(4) = Sp(1) × Sp(1)
Spin(5) = Sp(2) = HU(2)
Spin(6) = SU(4)
对 n = 7，8 仍然有退化的同构，细节可参见 Spin(8)；对更高的维数，这样的同构完全消失。


不定符号差 对于不定符号差，旋量群 Spin(p,q) 通过克利福德代数用类似于标准旋量群的方式构造，由能写成偶数个模+1和偶数个模-1单位向量的克利福德乘积的元素生成。它是一个 SO0(p,q)（不定正交群 SO(p,q) 含单位元连通分支）的连通二重覆叠。Spin(p,q) 的连通性不同作者有不同的约定，此文中取 p+q>2 时连通。不定符号低维时，也有一些巧合同构：

Spin(1,1) = GL(1,R)
Spin(2,1) = SL(2,R)
Spin(3,1) = SL(2,C)
Spin(2,2) = SL(2,R) × SL(2,R)
Spin(4,1) = Sp(1,1)
Spin(3,2) = Sp(4,R)
Spin(5,1) = SL(2,H)
Spin(4,2) = SU(2,2)
Spin(3,3) = SL(4,R)
注意有 Spin(p,q) = Spin(q,p)。


拓扑 连通且单连通的李群由它们的李代数决定。所以，如果 G 是具有单李代数的连通李群，G′ 是 G 的万有覆叠，有包含：

  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        G
        )
        ⊂
        Z
        (
        
          G
          ′
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}(G)\subset Z(G'),}
  

这里 Z(G′) 是 G 的中心。这个包含映射和 G 的李代数  
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 完全确定了 G （注意 
  
    
      
        
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
  
 和 
  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}(G)}
  
 不能完全确定 G，例如 SL(2,R) 和 PSL(2,R) 有相同的李代数和基本群 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
，但却不同构）。
定符号 Spin(n) 对 n > 2 都是单连通的，所以它们是 SO(n) 的万有覆叠。不定符号时，Spin(p,q) 的极大紧子群是

  
    
      
        (
        
          
            Spin
          
        
        (
        p
        )
        ×
        
          
            Spin
          
        
        (
        q
        )
        )
        
          /
        
        {
        (
        1
        ,
        1
        )
        ,
        (
        −
        1
        ,
        −
        1
        )
        }
      
    
    {\displaystyle ({\mbox{Spin}}(p)\times {\mbox{Spin}}(q))/\{(1,1),(-1,-1)\}}
  
。
这样我们就可计算出 Spin(p,q) 的基本群：

  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        
          
            Spin
          
        
        (
        p
        ,
        q
        )
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  {
                  0
                  }
                
                
                  (
                  p
                  ,
                  q
                  )
                  =
                  (
                  1
                  ,
                  1
                  )
                  
                    
                       or 
                    
                  
                  (
                  1
                  ,
                  0
                  )
                
              
              
                
                  {
                  0
                  }
                
                
                  p
                  >
                  2
                  ,
                  q
                  =
                  0
                  ,
                  1
                
              
              
                
                  
                    Z
                  
                
                
                  (
                  p
                  ,
                  q
                  )
                  =
                  (
                  2
                  ,
                  0
                  )
                  
                    
                       or 
                    
                  
                  (
                  2
                  ,
                  1
                  )
                
              
              
                
                  
                    Z
                  
                  ×
                  
                    Z
                  
                
                
                  (
                  p
                  ,
                  q
                  )
                  =
                  (
                  2
                  ,
                  2
                  )
                
              
              
                
                  
                    Z
                  
                
                
                  p
                  >
                  2
                  ,
                  q
                  =
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      Z
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  p
                  >
                  2
                  ,
                  q
                  >
                  2
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}({\mbox{Spin}}(p,q))={\begin{cases}\{0\}&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\{0\}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} &p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q>2\\\end{cases}}}
  

对 
  
    
      
        p
        ,
        q
        >
        2
      
    
    {\displaystyle p,q>2}
  
，这意味着映射 
  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        
          
            Spin
          
        
        (
        p
        ,
        q
        )
        )
        →
        
          π
          
            1
          
        
        (
        S
        O
        (
        p
        ,
        q
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}({\mbox{Spin}}(p,q))\to \pi _{1}(SO(p,q))}
  
 由

  
    
      
        1
        ∈
        
          
            Z
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1\in \mathbb {Z} _{2}}
  
 映到 
  
    
      
        (
        1
        ,
        1
        )
        ∈
        
          
            Z
          
          
            2
          
        
        ×
        
          
            Z
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (1,1)\in \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}
  
 给出；
对 p=2，q>2，映射由 
  
    
      
        1
        ∈
        
          Z
        
        →
        (
        1
        ,
        1
        )
        ∈
        
          Z
        
        ×
        
          
            Z
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1\in \mathbb {Z} \to (1,1)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{2}}
  
 ；最后，对 p = q = 2， 
  
    
      
        (
        1
        ,
        0
        )
        ∈
        
          Z
        
        ×
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle (1,0)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
  
 映到 
  
    
      
        (
        1
        ,
        1
        )
        ∈
        
          Z
        
        ×
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle (1,1)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
  
 而 
  
    
      
        (
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (0,1)}
  
 映到 
  
    
      
        (
        1
        ,
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1,-1)}
  
 。


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旋量
旋量丛
任意子
自旋結構
克利福德代数
定向纏結
複自旋群


參考文獻 F.Reece Harvey, Spinors and Calibrations, Academic Press, Inc., 1990.
Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, LMSLNS 239, Cambridge University Press,1997.
PlanetMath, Spin Groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）.