速降函数空间（Schwartz space）是数学中一类函数的总称，也称为施瓦茨空间，指的是当X值趋向于无穷大时，函数值f(X)趋近0的速度“足够快”的函数。速降函数空间的一个重要性质是傅里叶变换对于这个空间是一个自同构，也就是说，速降函数进行傅里叶变换之后仍然会是速降函数。这个性质使得可以对
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}}
  
的对偶空间中的元素，也就是缓增广义函数，来定义其傅里叶变换。速降函数空间的别称“施瓦茨空间”得名于法国数学家洛朗·施瓦茨，速降函数空间里的函数也被称为施瓦茨函数。


定义 欧几里得空间Rn 上的速降函数空间
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}}
  
是满足以下条件的函数的集合：

  
    
      
        
          
            S
          
        
        
          (
          
            
              R
            
            
              n
            
          
          )
        
        =
        {
        f
        ∈
        
          C
          
            ∞
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        ∣
        ‖
        f
        
          ‖
          
            α
            ,
            β
          
        
        <
        ∞
        
        ∀
        
        α
        ,
        β
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mid \|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \,\forall \,\alpha ,\beta \},}
  

其中 α, β 是多重指标，C∞(Rn) 是所有从Rn射到C 的光滑函数。

  
    
      
        ‖
        f
        
          ‖
          
            α
            ,
            β
          
        
        =
        
          sup
          
            x
            ∈
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        
          |
        
        
          x
          
            α
          
        
        
          D
          
            β
          
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }f(x)|.}
  

其中
  
    
      
        sup
      
    
    {\displaystyle \sup }
  
 符号指函数的最小上界，
  
    
      
        
          D
          
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle D^{\beta }}
  
指多重指标下的导数。简单来说，速降函数是指当
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle |x|\to \infty }
  
 时趋近于零的速度比所有的多项式的倒数都快，并且任意阶的导数都有这种性质的函数。


例子 设 i 是一个多重指标，a 是一个正实数，那么

  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        
          e
          
            −
            a
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        ∈
        
          
            S
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x^{i}e^{-ax^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
  

比如，高斯函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}
  
就是一个速降函数。这是因为对任意的多重指标 α, β

  
    
      
        ‖
        f
        
          ‖
          
            α
            ,
            β
          
        
        =
        
          sup
          
            x
            ∈
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
        
        
          |
        
        
          x
          
            α
          
        
        
          D
          
            β
          
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        
          x
          
            α
            +
            β
          
        
        
          2
          
            ‖
            β
            ‖
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }f(x)|\leq x^{\alpha +\beta }2^{\|\beta \|}e^{-x^{2}}<\infty }
  
。
任意的紧支撑光滑函数f 都属于
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}}
  
，这是因为f 的所有的导函数乘以任意的
  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{\alpha }}
  
都是紧支撑的，所以必然有界，也就是说(xα Dβ) f 在Rn 上有最大值。
如果一个光滑函数仅仅满足自身乘以任意的
  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{\alpha }}
  
都有界的话，这个函数不一定是速降函数。导函数也具有同样的性质这一点是很重要的。例如函数

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            −
            x
          
        
        ⋅
        
          e
          
            −
            i
            
              e
              
                2
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=e^{-x}\cdot e^{-ie^{2x}}}
  

f自身乘以任何的
  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{\alpha }}
  
都有界，但它的导数：

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        −
        
          e
          
            −
            x
          
        
        ⋅
        
          e
          
            i
            
              e
              
                2
                x
              
            
          
        
        −
        2
        i
        
          e
          
            −
            x
          
        
        i
        
          e
          
            2
            x
          
        
        ⋅
        
          e
          
            i
            
              e
              
                2
                x
              
            
          
        
        =
        −
        f
        (
        x
        )
        +
        2
        
          e
          
            x
          
        
        ⋅
        
          e
          
            i
            
              e
              
                2
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)=-e^{-x}\cdot e^{ie^{2x}}-2ie^{-x}ie^{2x}\cdot e^{ie^{2x}}=-f(x)+2e^{x}\cdot e^{ie^{2x}}}
  

而
  
    
      
        2
        
          e
          
            x
          
        
        ⋅
        
          e
          
            i
            
              e
              
                2
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2e^{x}\cdot e^{ie^{2x}}}
  
是一个指数发散的函数，甚至不趋于零，当然不是速降函数。从而
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x)}
  
也不是速降函数。


性质 S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}}
  
 是复数的弗雷歇空间。
如果
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 是速降函数，那么
  
    
      
        ‖
        f
        
          ‖
          
            α
            ,
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }}
  
在
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle |x|\rightarrow \infty }
  
 时一定趋于0。
速降函数空间
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}}
  
 中的元素乘以多项式之后仍然属于
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}}
  
。甚至只要函数
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
 在
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle |x|\rightarrow \infty }
  
 时是某个多项式的等价无穷大，那么
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}}
  
 中的元素乘以
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
 后仍在
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}}
  
 中。
根据微分的莱布尼兹法则，速降函数空间
  
    
      
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}}
  
 在函数乘法运算下封閉。也就是说，如果两个函数
  
    
      
        f
        ,
        g
        ∈
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle f,g\in {\mathcal {S}}}
  
，那麼有 
  
    
      
        f
        g
        ∈
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle fg\in {\mathcal {S}}}
  
。這裡的乘積是逐點乘積。
对所有的1 ≤ p ≤ ∞，都有
  
    
      
        
          
            S
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        ⊂
        
          L
          
            p
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{p}(\mathbb {R} ^{n}),}
  
，其中Lp(Rn) 是所谓的Lp空间，也就是说所有在Rn 上p 次可积的函数的空间。
傅里叶变换是 
  
    
      
        
          
            S
          
        
        →
        
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}
  
 的一个线性自同构。


参考来源 L. Hormander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis), 2nd ed, Springer-Verlag, 1990.
M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I, Revised and enlarged edition, Academic Press, 1980.