從鼓的音色（即其泛音列），利用數學理論，來獲取鼓膜形狀的信息，謂之聽出鼓的形狀。美國數學月刊於1966年刊登了馬克·卡克的論文〈能否聽出鼓的形狀？〉，文題由利普曼·伯斯給出。此數學問題可回溯至赫尔曼·外尔。
卡克1966年的論文使此問題廣為人知。他因為該論文於1967年獲萊斯特·福特獎，並於1968年獲肖夫內獎。
鼓膜可以振動的頻率取決於其形狀。假若已知形狀，則可用亥姆霍兹方程求出頻率。該些頻率為空間（鼓膜）上的拉普拉斯算子的特征值。問題是單由該些頻率是否能確定鼓膜的形狀。例如，沒有其他形狀的鼓膜與正方形鼓膜有相同的泛音列。卡克未能得知是否存在兩個不同的形狀，其具有相同的泛音列。結果，在1992年，戈登、韋伯，以及沃爾珀特證得頻率不能完全決定形狀，解決了原來的問題。


正式敍述 更正式地，鼓視為邊界鉗緊的彈性膜，數學上表示成平面上的一個區域 D. 設 λn 為其狄利克雷特徵值：即以下拉普拉斯算子的狄利克雷問題

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  Δ
                  u
                  +
                  λ
                  u
                  =
                  0
                
              
              
                
                  u
                  
                    
                      |
                    
                    
                      ∂
                      D
                    
                  
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|_{\partial D}=0\end{cases}}}
  

的特徵值。兩個區域若具有完全相同的特徵根列，則稱其等譜，或同音（英語：homophonic）。稱為「同音」的原因是，該些狄利克雷特徵值恰好是鼓所能發出的基調：其為鉗緊邊界的波動方程的解的傅立葉系數。
於是，可以將問題轉述成：只知 λn 之值，可以推導出 D 的何種性質？又或，更具體地，是否有兩個不同形狀但等譜的區域？
也可以從數個不同方向推廣，提出同樣的問題。其一，可將平面換成高維或黎曼流形，考慮其上的拉氏算子的狄利克雷問題。其二，可將拉氏算子換成其他橢圓算子，例如柯西－黎曼算子或狄拉克算子。其三，可考慮狄利克雷條件以外的其他邊界條件，例如諾伊曼邊界條件。相關課題屬於譜幾何的研究。


答案 問題提出後，約翰·米爾諾很快觀察到，恩斯特·維特的一條定理足以推出存在兩個不同形狀的 16 維環面，其具有相同的特徵值。然而，原來的二維問題要待1992年才得到解決。當時，卡羅林·戈登 , 大衛·韋伯 (數學家)  和斯科特·沃爾珀特利用砂田方法（得名自砂田利一）, 在平面上構造了兩個不同形狀，但卻具有同樣特徵值的區域。該些區域為凹多邊形。其特徵值相等的證明用到拉氏算子的對稱性。彼得·布塞尔與合作者推廣了此想法，從而構造了若干類似的例子。因此，卡克原先問題的答案是否定的：對於許多形狀，不能完全聽出鼓的形狀，不過仍可推斷出若干性質。
另一方面，史提夫·澤爾迪奇證明，若將卡克的問題收窄到僅考慮邊界解析的平面凸區域，則會得到肯定的答案。仍未知道是否存在兩個非凸的解析區域具有同樣的特徵值，但已知的是，與某個給定區域等譜的所有區域組成的集合，在 C∞ 拓撲中是緊集。又例如，由鄭氏特徵值比較定理知，球面是譜剛的（英語：spectrally rigid, 即若有流形與之等譜，則其形狀亦必與之相同）。此外，利用奧斯古德（Osgood）、菲利浦斯（Phillips）和薩納克（Sarnak）的成果，可以證明固定虧格的黎曼面組成的模空間中，没有過任何點的連續等譜流，且該模空間在弗雷歇－施瓦茨拓撲（英語：Frechet–Schwartz topology）下為緊。


外爾公式 外爾公式斷言，可藉 λn 的增長速度推斷鼓的面積 A。定義 N(R) 為小於 R 的特徵值的數目，則可得

  
    
      
        A
        =
        
          ω
          
            d
          
          
            −
            1
          
        
        (
        2
        π
        
          )
          
            d
          
        
        
          lim
          
            R
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              N
              (
              R
              )
            
            
              R
              
                d
                
                  /
                
                2
              
            
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle A=\omega _{d}^{-1}(2\pi )^{d}\lim _{R\to \infty }{\frac {N(R)}{R^{d/2}}},\,}
  

其中 d 是維數，
  
    
      
        
          ω
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{d}}
  
 是 d-維單位球的體積。外爾猜想迫近式的第二項將給出 D 的周長，即有

  
    
      
        
        N
        (
        R
        )
        =
        (
        2
        π
        
          )
          
            −
            d
          
        
        
          ω
          
            d
          
        
        A
        
          R
          
            d
            
              /
            
            2
          
        
        +
        
          
            1
            4
          
        
        (
        2
        π
        
          )
          
            −
            d
            +
            1
          
        
        
          ω
          
            d
            −
            1
          
        
        L
        
          R
          
            (
            d
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        +
        o
        (
        
          R
          
            (
            d
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \,N(R)=(2\pi )^{-d}\omega _{d}AR^{d/2}+{\frac {1}{4}}(2\pi )^{-d+1}\omega _{d-1}LR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}),\,}
  

其中 L 表示周長（高維情況下則為表面積）。維克托·伊夫里於1980年證明了上式對於某類邊界光滑的流形適用，其不具由兩個連續參數給出的一族測地線（例如球面則具有如此一族測地線）。


外爾－貝里猜想 對於邊界非光滑的情況，邁克爾·貝里於 1979 年猜想，修正值的量級應為

  
    
      
        
          R
          
            D
            
              /
            
            2
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle R^{D/2},\,}
  

其中 D 為邊界的豪斯多夫維數。寶樂沙 (法語：J. Brossard）和卡莫納（法語：R. A. Carmona）推翻了此猜想，但提出應將豪斯多夫維數改成頂盒維數（即上計盒維數）。在平面上，邊界維數為 1 的情況已獲證（1993 年），但大多數高維情況被否證（1996 年），兩個結論都是拉皮迪和波默蘭斯的成果。


相關條目 圓形膜的振動
加斯曼三元組
等譜
譜幾何
推廣到疊代函數系統生成的碎形的情況


行內引用 參考資料 Abikoff, William, Remembering Lipman Bers (PDF), Notices of the AMS, January 1995, 42 (1): 8–18  [2020-10-04], （原始内容存档 (PDF)于2020-02-07） 
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外部鏈結 Isospectral Drums （页面存档备份，存于互联网档案馆） （由特拉華大學的 Toby Driscoll 所寫）
Some planar isospectral domains （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler
Drums That Sound Alike by Ivars Peterson at the Mathematical Association of America web site
埃里克·韦斯坦因. Isospectral Manifolds. MathWorld. 
Benguria, Rafael D., Dirichlet eigenvalue, Hazewinkel, Michiel  (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4