卢曼-缅绍夫定理（英語：Looman–Menchoff theorem）是复分析中的一条定理，可用于判断复函数的解析性。该定理指出，定义在复平面上某个区域内的连续函数是解析函数，当且仅当其视作
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
  
的映射时，四个偏导数处处存在且满足柯西-黎曼方程。该定理由卢曼于1923年提出，于1931年由缅绍夫给出完整证明。虽然定理涉及初等数学领域，但其证明需运用现代实变函数理论。


背景 定义在复平面内的区域上的复解析函数
  
    
      
        f
        
          (
          x
          +
          i
          y
          )
        
        =
        u
        +
        i
        v
      
    
    {\displaystyle f{(x+iy)}=u+iv}
  
在整个定义域内满足柯西-黎曼方程：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y},}
  

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}
  

上述命题的部分逆命题亦成立，例如：额外假定
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
作为实函数在区域内处处可微，或是假定
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的偏导数处处连续，同时满足柯西-黎曼方程，均可推出
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
是区域内的解析函数；其中前一个命题由爱徳华·古尔萨在1900年证明，又被称为古尔萨定理。实际上，这些附加条件存在放宽的余地。20世纪初，人们对放宽函数解析性的判定条件这一问题开展了大量的研究。1905年，迪米特里耶·蓬佩尤指出，古尔萨定理的附加条件可以放宽到“函数在区域内几乎处处可微”。之后，卢曼和迪米特里·缅绍夫在这一领域做出了重要的贡献。
卢曼注意到，仅仅假定偏导数在区域内处处存在，且满足柯西-黎曼方程，并不足以保证函数在区域上的解析性——甚至不能保证函数在其上的连续性：如下定义的复变函数，在复平面上处处可求偏导，且偏导数满足柯西-黎曼方程，但它在原点处并不解析：

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          {
          
            
              
                
                  exp
                  ⁡
                  (
                  −
                  
                    z
                    
                      −
                      4
                    
                  
                  )
                  ,
                
                
                
                  
                    z
                    =
                    0
                  
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                
                  
                    z
                    =
                    0
                  
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)=\left\{{\begin{aligned}\exp(-z^{-4}),&&{z\neq 0}\\0,&&{z=0}\end{aligned}}\right.}
  

1923年，卢曼断言只要附加函数在区域上连续的条件，就可以推出函数的解析性，从而强化了古尔萨定理。然而，卢曼当时的证明中存在一个漏洞。缅绍夫于1931年发表的证明则弥补了这一漏洞，他的证明用到了勒贝格积分和贝尔纲定理。1933年，数学家斯坦尼斯拉夫·萨克斯回顾了这一证明，并将其命名为“卢曼-缅绍夫定理”。萨克斯对该证明评价甚高：“毫无疑问，它是现代实变函数理论在初等数学领域最优美和令人意外的应用之一”。


定理的陈述和证明 设
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
为复平面
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
上的开集，
  
    
      
        f
        
          (
          x
          +
          i
          y
          )
        
        =
        u
        +
        i
        v
      
    
    {\displaystyle f{(x+iy)}=u+iv}
  
为定义在
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
上的连续复变函数。若偏导数
  
    
      
        
          ∂
          u
        
        
          ∂
          x
        
      
    
    {\displaystyle \partial u \over \partial x}
  
、
  
    
      
        
          ∂
          v
        
        
          ∂
          y
        
      
    
    {\displaystyle \partial v \over \partial y}
  
、
  
    
      
        
          ∂
          u
        
        
          ∂
          y
        
      
    
    {\displaystyle \partial u \over \partial y}
  
、
  
    
      
        
          ∂
          v
        
        
          ∂
          x
        
      
    
    {\displaystyle \partial v \over \partial x}
  
在
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
上处处存在且处处满足柯西-黎曼方程，则
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
为
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
上的解析函数。


= 引理 =
为证明卢曼-缅绍夫定理，需要先证明如下引理：
设
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
为
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
上的正方形，
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
为
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
到
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
的映射，且在
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
内处处可求偏导。若存在
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
的某个非空闭集
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
和正数
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
，使得：

  
    
      
        ∀
        (
        x
        ,
        y
        )
        ∈
        E
        ,
        (
        w
        ,
        y
        )
        ∈
        R
        ,
        (
        x
        ,
        v
        )
        ∈
        R
        :
        
          |
          
            f
            (
            x
            ,
            y
            )
            −
            f
            (
            x
            ,
            v
            )
          
          |
        
        ⩽
        N
        
          |
          
            y
            −
            v
          
          |
        
        ,
        
          |
          
            f
            (
            x
            ,
            y
            )
            −
            f
            (
            w
            ,
            v
            )
          
          |
        
        ⩽
        N
        
          |
          
            x
            −
            w
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \forall (x,y)\in E,(w,y)\in R,(x,v)\in R:\left|f(x,y)-f(x,v)\right|\leqslant N\left|y-v\right|,\left|f(x,y)-f(w,v)\right|\leqslant N\left|x-w\right|}
  

记
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
        ×
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]\times [c,d]}
  
为包含
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的最小矩形，则有：

  
    
      
        
          |
          
            
              ∫
              
                a
              
              
                b
              
            
            (
            f
            (
            x
            ,
            d
            )
            −
            f
            (
            x
            ,
            c
            )
            )
            d
            x
            −
            
              ∫
              
                E
              
            
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            d
            σ
          
          |
        
        ⩽
        5
        N
        m
        (
        R
        −
        E
        )
      
    
    {\displaystyle \left|\int _{a}^{b}(f(x,d)-f(x,c))dx-\int _{E}{\partial f \over \partial y}d\sigma \right|\leqslant 5Nm(R-E)}
  

  
    
      
        
          |
          
            
              ∫
              
                c
              
              
                d
              
            
            (
            f
            (
            b
            ,
            y
            )
            −
            f
            (
            a
            ,
            y
            )
            )
            d
            y
            −
            
              ∫
              
                E
              
            
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            d
            σ
          
          |
        
        ⩽
        5
        N
        m
        (
        R
        −
        E
        )
      
    
    {\displaystyle \left|\int _{c}^{d}(f(b,y)-f(a,y))dy-\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma \right|\leqslant 5Nm(R-E)}
  

其中
  
    
      
        m
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle m(A)}
  
代表集合
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
的测度。为证明该引理，可以先考虑一维的情形。这时，
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
为实轴上的区间
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
，而
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
为其内一个闭集。可以在
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
上定义一个辅助函数，它在
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
内取
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，在
  
    
      
        I
        −
        R
      
    
    {\displaystyle I-R}
  
内取分段线性函数，并保持边界处连续。可以证明，该辅助函数在整个
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
上利普希茨连续，因此绝对连续，几乎处处可导，且导函数可积。而
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的孤立点集至多可数，在
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
非孤立点集上，辅助函数和
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的导数又几乎处处相等。故而：

  
    
      
        
          |
          
            f
            (
            b
            )
            −
            f
            (
            a
            )
            −
            
              ∫
              
                E
              
            
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            d
            x
          
          |
        
        ⩽
        N
        m
        (
        R
        −
        E
        )
      
    
    {\displaystyle \left|f(b)-f(a)-\int _{E}{\partial f \over \partial x}dx\right|\leqslant Nm(R-E)}
  

回到引理，由于
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
        ×
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]\times [c,d]}
  
是包含闭集
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的最小矩形，在区间
  
    
      
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle [c,d]}
  
上必然存在点
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
、
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
，使得
  
    
      
        (
        a
        ,
        α
        )
        ,
        (
        b
        ,
        β
        )
        ∈
        E
      
    
    {\displaystyle (a,\alpha ),(b,\beta )\in E}
  
。对
  
    
      
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle [c,d]}
  
上的任何一点
  
    
      
        χ
      
    
    {\displaystyle \chi }
  
，都有：

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        a
        ,
        χ
        )
        −
        f
        (
        b
        ,
        χ
        )
        
          |
        
        ⩽
        
          |
        
        f
        (
        a
        ,
        χ
        )
        −
        f
        (
        a
        ,
        α
        )
        
          |
        
        +
        
          |
        
        f
        (
        a
        ,
        α
        )
        −
        f
        (
        b
        ,
        α
        )
        
          |
        
        +
        
          |
        
        f
        (
        b
        ,
        α
        )
        −
        f
        (
        b
        ,
        β
        )
        
          |
        
        +
        
          |
        
        f
        (
        b
        ,
        β
        )
        −
        f
        (
        b
        ,
        χ
        )
        
          |
        
        ⩽
        4
        N
        L
      
    
    {\displaystyle |f(a,\chi )-f(b,\chi )|\leqslant |f(a,\chi )-f(a,\alpha )|+|f(a,\alpha )-f(b,\alpha )|+|f(b,\alpha )-f(b,\beta )|+|f(b,\beta )-f(b,\chi )|\leqslant 4NL}
  

其中
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
为
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
的边长。记
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
中所有点纵坐标的集合为
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
在
  
    
      
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle [c,d]}
  
中的补集为
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
。则
  
    
      
        f
        (
        a
        ,
        χ
        )
        −
        f
        (
        b
        ,
        χ
        )
      
    
    {\displaystyle f(a,\chi )-f(b,\chi )}
  
在
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
上的积分满足：

  
    
      
        
          |
        
        
          ∫
          
            B
          
        
        (
        f
        (
        a
        ,
        χ
        )
        −
        f
        (
        b
        ,
        χ
        )
        )
        d
        χ
        
          |
        
        ⩽
        
          ∫
          
            B
          
        
        4
        N
        L
        d
        χ
        ⩽
        4
        N
        m
        (
        R
        −
        E
        )
      
    
    {\displaystyle |\int _{B}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi |\leqslant \int _{B}4NLd\chi \leqslant 4Nm(R-E)}
  

另一方面，
  
    
      
        ∀
        χ
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle \forall \chi \in A}
  
，可以证明
  
    
      
        
          E
          
            χ
          
        
        =
        {
        (
        ϕ
        ,
        χ
        )
        
          |
        
        (
        ϕ
        ,
        χ
        )
        ∈
        E
        }
      
    
    {\displaystyle E_{\chi }=\{(\phi ,\chi )|(\phi ,\chi )\in E\}}
  
是闭集。因此，对连接
  
    
      
        (
        a
        ,
        χ
        )
      
    
    {\displaystyle (a,\chi )}
  
和
  
    
      
        (
        b
        ,
        χ
        )
      
    
    {\displaystyle (b,\chi )}
  
的线段使用上述一维情形的结论，可知：

  
    
      
        
          |
          
            f
            (
            b
            ,
            χ
            )
            −
            f
            (
            a
            ,
            χ
            )
            −
            
              ∫
              
                
                  E
                  
                    χ
                  
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            d
            x
          
          |
        
        ⩽
        N
        (
        b
        −
        a
        −
        m
        (
        
          E
          
            χ
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \left|f(b,\chi )-f(a,\chi )-\int _{E_{\chi }}{\partial f \over \partial x}dx\right|\leqslant N(b-a-m(E_{\chi }))}
  

将上式在
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
上积分，并将重积分化作累次积分，可得：

  
    
      
        
          |
        
        
          ∫
          
            A
          
        
        (
        f
        (
        a
        ,
        χ
        )
        −
        f
        (
        b
        ,
        χ
        )
        )
        d
        χ
        −
        
          ∫
          
            E
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        d
        σ
        
          |
        
        ⩽
        N
        m
        (
        R
        −
        E
        )
      
    
    {\displaystyle |\int _{A}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi -\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma |\leqslant Nm(R-E)}
  

注意到下式即可证明引理：

  
    
      
        
          |
        
        
          ∫
          
            E
          
        
        (
        f
        (
        a
        ,
        χ
        )
        −
        f
        (
        b
        ,
        χ
        )
        )
        d
        χ
        −
        
          ∫
          
            E
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        d
        σ
        
          |
        
        ⩽
        
          |
        
        
          ∫
          
            B
          
        
        (
        f
        (
        a
        ,
        χ
        )
        −
        f
        (
        b
        ,
        χ
        )
        )
        d
        χ
        
          |
        
        +
        
          |
        
        
          ∫
          
            A
          
        
        (
        f
        (
        a
        ,
        χ
        )
        −
        f
        (
        b
        ,
        χ
        )
        )
        d
        χ
        −
        
          ∫
          
            E
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        d
        σ
        
          |
        
        ⩽
        5
        N
        m
        (
        R
        −
        E
        )
      
    
    {\displaystyle |\int _{E}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi -\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma |\leqslant |\int _{B}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi |+|\int _{A}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi -\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma |\leqslant 5Nm(R-E)}
  


= 证明概要 =
记
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
为
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
中
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
不解析的点的集合。利用反证法：假设
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
非空，只需证明存在
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的一个子集，使得
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在其上解析，即可推出矛盾，进而说明原命题成立。
利用解析性和围道积分的关系可以证明
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
是一个闭集。定义
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}}
  
为
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
的具备如下性质的子集：

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        {
        z
        
          |
        
        z
        ∈
        D
        ,
        
          |
          
            f
            (
            z
            +
            h
            )
            −
            f
            (
            z
            )
          
          |
        
        ⩽
        n
        
          |
          h
          |
        
        ,
        
          |
          
            f
            (
            z
            +
            i
            h
            )
            −
            f
            (
            z
            )
          
          |
        
        ⩽
        n
        
          |
          h
          |
        
        ,
        ∀
        h
        ∈
        
          R
        
        ,
        D
        (
        z
        ,
        h
        )
        ⊂
        D
        ,
        
          |
          h
          |
        
        ⩽
        1
        
          /
        
        n
        }
      
    
    {\displaystyle E_{n}=\{z|z\in D,\left|f(z+h)-f(z)\right|\leqslant n\left|h\right|,\left|f(z+ih)-f(z)\right|\leqslant n\left|h\right|,\forall h\in \mathbb {R} ,D(z,h)\subset D,\left|h\right|\leqslant 1/n\}}
  

由
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的连续性和处处可求偏导的性质分别可以推出
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}}
  
是闭集，且
  
    
      
        E
        ⊂
        D
        ⊆
        
          ∪
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E\subset D\subseteq \cup _{n=1}^{\infty }E_{n}}
  
。因此，由贝尔纲定理，必然至少存在一个
  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}}
  
和
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
中开集
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
，使得
  
    
      
        ∅
        =
        E
        ∩
        K
        ⊆
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \emptyset \neq E\cap K\subseteq E_{k}}
  
。
设
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
是
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
中任意一个边长小于
  
    
      
        1
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle 1/k}
  
，且交
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
非空的正方形。可证
  
    
      
        u
        (
        x
        +
        i
        y
        )
      
    
    {\displaystyle u(x+iy)}
  
、
  
    
      
        v
        (
        x
        +
        i
        y
        )
      
    
    {\displaystyle v(x+iy)}
  
作为
  
    
      
        Q
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle Q\to \mathbb {R} }
  
的映射，均满足引理要求的一切条件。因此，在包含
  
    
      
        E
        ∩
        Q
      
    
    {\displaystyle E\cap Q}
  
的最小矩形
  
    
      
        R
        =
        [
        a
        ,
        b
        ]
        ×
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}
  
上：

  
    
      
        
          |
          
            
              ∫
              
                a
              
              
                b
              
            
            (
            v
            (
            x
            ,
            d
            )
            −
            v
            (
            x
            ,
            c
            )
            )
            d
            x
            −
            
              ∫
              
                E
                ∩
                Q
              
            
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            d
            σ
          
          |
        
        ⩽
        5
        k
        m
        (
        Q
        −
        
          E
          ∩
          Q
        
        )
      
    
    {\displaystyle \left|\int _{a}^{b}(v(x,d)-v(x,c))dx-\int _{E\cap Q}{\partial v \over \partial y}d\sigma \right|\leqslant 5km(Q-{E\cap Q})}
  

  
    
      
        
          |
          
            
              ∫
              
                c
              
              
                d
              
            
            (
            u
            (
            b
            ,
            y
            )
            −
            u
            (
            a
            ,
            y
            )
            )
            d
            y
            −
            
              ∫
              
                E
                ∩
                Q
              
            
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            d
            σ
          
          |
        
        ⩽
        5
        k
        m
        (
        Q
        −
        
          E
          ∩
          Q
        
        )
      
    
    {\displaystyle \left|\int _{c}^{d}(u(b,y)-u(a,y))dy-\int _{E\cap Q}{\partial u \over \partial x}d\sigma \right|\leqslant 5km(Q-{E\cap Q})}
  

注意到
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
、
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
满足柯西-黎曼方程，可以得到对
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
边界上积分的虚部估计式：

  
    
      
        
          |
          
            I
            m
            
              ∮
              
                ∂
                R
              
            
            f
            d
            l
          
          |
        
        ⩽
        
          |
          
            
              ∫
              
                a
              
              
                b
              
            
            (
            v
            (
            x
            ,
            d
            )
            −
            v
            (
            x
            ,
            c
            )
            )
            d
            x
            −
            
              ∫
              
                E
                ∩
                Q
              
            
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            d
            σ
          
          |
        
        +
        
          |
          
            
              ∫
              
                c
              
              
                d
              
            
            (
            u
            (
            b
            ,
            y
            )
            −
            u
            (
            a
            ,
            y
            )
            )
            d
            y
            −
            
              ∫
              
                E
                ∩
                Q
              
            
            
              
                
                  ∂
                  u
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            d
            σ
          
          |
        
        ⩽
        10
        k
        m
        (
        Q
        −
        
          E
          ∩
          Q
        
        )
      
    
    {\displaystyle \left|Im\oint _{\partial R}fdl\right|\leqslant \left|\int _{a}^{b}(v(x,d)-v(x,c))dx-\int _{E\cap Q}{\partial v \over \partial y}d\sigma \right|+\left|\int _{c}^{d}(u(b,y)-u(a,y))dy-\int _{E\cap Q}{\partial u \over \partial x}d\sigma \right|\leqslant 10km(Q-{E\cap Q})}
  

显然该积分的实部也满足类似的估计式。因此：

  
    
      
        
          |
          
            
              ∮
              
                ∂
                R
              
            
            f
            d
            l
          
          |
        
        =
        
          
            
              
                |
                
                  I
                  m
                  
                    ∮
                    
                      ∂
                      R
                    
                  
                  f
                  d
                  l
                
                |
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                |
                
                  R
                  e
                  
                    ∮
                    
                      ∂
                      R
                    
                  
                  f
                  d
                  l
                
                |
              
              
                2
              
            
          
        
        ⩽
        10
        
          
            2
          
        
        k
        m
        (
        Q
        −
        
          E
          ∩
          Q
        
        )
      
    
    {\displaystyle \left|\oint _{\partial R}fdl\right|={\sqrt {\left|Im\oint _{\partial R}fdl\right|^{2}+\left|Re\oint _{\partial R}fdl\right|^{2}}}\leqslant 10{\sqrt {2}}km(Q-{E\cap Q})}
  

依定义，
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        Q
        −
        R
      
    
    {\displaystyle Q-R}
  
内解析，因此可将上式中的积分围道由
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
的边界扩大为
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
的边界：

  
    
      
        
          |
          
            
              ∮
              
                ∂
                Q
              
            
            f
            d
            l
          
          |
        
        ⩽
        10
        
          
            2
          
        
        k
        m
        (
        Q
        −
        
          E
          ∩
          Q
        
        )
      
    
    {\displaystyle \left|\oint _{\partial Q}fdl\right|\leqslant 10{\sqrt {2}}km(Q-{E\cap Q})}
  

记
  
    
      
        
          Q
          
            n
          
        
        ⊂
        K
      
    
    {\displaystyle Q_{n}\subset K}
  
是任意一串收敛到
  
    
      
        z
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle z\in K}
  
的正方形序列。若
  
    
      
        z
        ∈
        E
      
    
    {\displaystyle z\in E}
  
，当
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
充分大时，所有
  
    
      
        
          Q
          
            l
          
        
        ⊂
        K
        ,
        l
        >
        n
      
    
    {\displaystyle Q_{l}\subset K,l>n}
  
的边长都小于
  
    
      
        1
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle 1/k}
  
，因此：

  
    
      
        
          lim sup
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              |
              
                
                  ∮
                  
                    ∂
                    
                      Q
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                f
                d
                l
              
              |
            
            
              m
              (
              
                Q
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
        ⩽
        10
        
          
            2
          
        
        k
        <
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}\leqslant 10{\sqrt {2}}k<+\infty }
  

  
    
      
        0
        ⩽
        
          lim inf
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              |
              
                
                  ∮
                  
                    ∂
                    
                      Q
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                f
                d
                l
              
              |
            
            
              m
              (
              
                Q
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
        ⩽
        10
        
          
            2
          
        
        k
        (
        1
        −
        
          lim sup
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              m
              (
              
                Q
                
                  n
                
              
              ∩
              E
              )
            
            
              m
              (
              
                Q
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant \liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}\leqslant 10{\sqrt {2}}k(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {m(Q_{n}\cap E)}{m(Q_{n})}})}
  

由勒贝格密度定理，第二式右侧的极限作为
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
的函数几乎处处为1，因此左侧的下极限几乎处处为零。
若
  
    
      
        z
        ∈
        K
        −
        K
        ∩
        E
      
    
    {\displaystyle z\in K-K\cap E}
  
，当
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
充分大时，
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在所有
  
    
      
        
          Q
          
            l
          
        
        ⊂
        K
        ,
        l
        >
        n
      
    
    {\displaystyle Q_{l}\subset K,l>n}
  
内解析，因此：

  
    
      
        0
        =
        
          lim inf
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              |
              
                
                  ∮
                  
                    ∂
                    
                      Q
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                f
                d
                l
              
              |
            
            
              m
              (
              
                Q
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          lim sup
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              |
              
                
                  ∮
                  
                    ∂
                    
                      Q
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                f
                d
                l
              
              |
            
            
              m
              (
              
                Q
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
        <
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle 0=\liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}<+\infty }
  

将围道积分视为集合函数，上述极限以及围道积分的连续性和可加性保证了围道积分几乎处处可导，且围道积分的值由导函数在集合上的积分给出。又因上述下极限在
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
上几乎处处为零，该导数在
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
上也几乎处处为零。这意味着
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
内的围道积分恒为零，即
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
在
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
乃至
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
的子集
  
    
      
        E
        ∩
        K
      
    
    {\displaystyle E\cap K}
  
内解析。矛盾。


参考文献