數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。


常微分方程 假若，一個常微分方程可以寫為

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        g
        (
        x
        )
        [
        h
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]}
  
 。

設定變數 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
 。那麼，

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        g
        (
        x
        )
        h
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)}
  
 ．(1)
只要是 
  
    
      
        h
        (
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle h(y)\neq 0}
  
 ，就可以將方程式兩邊都除以 
  
    
      
        h
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle h(y)}
  
 ，再都乘以 
  
    
      
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dx}
  
 ：

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              h
              (
              y
              )
            
          
        
        =
        
          g
          (
          x
          )
          d
          x
        
      
    
    {\displaystyle {dy \over h(y)}={g(x)dx}}
  
 。
這樣，可以將兩個變數 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 ，
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程；

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              y
            
            
              h
              (
              y
              )
            
          
        
        =
        ∫
        
          g
          (
          x
          )
          d
          x
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle \int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}=k}
  
 。


= 第二種方法 =
有些不喜歡用萊布尼茨標記的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為

  
    
      
        
          
            1
            
              h
              (
              y
              )
            
          
        
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)}
  
 。
這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？
隨著 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 積分公式的兩邊，可以得到

  
    
      
        ∫
        
          
            1
            
              h
              (
              y
              )
            
          
        
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        
        d
        x
        =
        ∫
        g
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx}
  
 。(2)
應用换元积分法，

  
    
      
        ∫
        
          
            1
            
              h
              (
              y
              )
            
          
        
        
        d
        y
        =
        ∫
        g
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}
  
 。
假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
  
 當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋，


= 實例 (I) =
常微分方程式 
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        (
        1
        −
        f
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))}
  
 可以寫為

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        y
        (
        1
        −
        y
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y(1-y)}
  
 ；(3)
其中，
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
 。
設定 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle g(x)=1}
  
 ，
  
    
      
        h
        (
        y
        )
        =
        y
        (
        1
        −
        y
        )
      
    
    {\displaystyle h(y)=y(1-y)}
  
 。套用公式 (1) ，這常微分方程式是可分的。
進一步編排，則

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              y
              (
              1
              −
              y
              )
            
          
        
        =
        d
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{y(1-y)}}=dx}
  
 。
變數 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 ，
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 分別在公式的兩邊。將兩邊積分，

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              y
            
            
              y
              (
              1
              −
              y
              )
            
          
        
        =
        ∫
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx}
  
 。
積分的結果是

  
    
      
        ln
        ⁡
        
          |
        
        y
        
          |
        
        −
        ln
        ⁡
        
          |
        
        1
        −
        y
        
          |
        
        =
        x
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \ln |y|-\ln |1-y|=x+C}
  
 ；
其中，
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 是個積分常數。稍加運算，則可得

  
    
      
        y
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              B
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}}
  
 。
在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數 
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
  
 。答案應該與原本的問題相同。（必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 的正值與負值。而當 
  
    
      
        y
        =
        1
      
    
    {\displaystyle y=1}
  
 時，
  
    
      
        B
        =
        0
      
    
    {\displaystyle B=0}
  
 ）。
特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 跟 
  
    
      
        (
        1
        −
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (1-y)}
  
 ，必須檢查兩個函數 
  
    
      
        y
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y(x)=0}
  
 與 
  
    
      
        y
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle y(x)=1}
  
 是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱奇異解 。


= 實例 (II) =
人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達

  
    
      
        
          
            
              d
              P
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        k
        P
        
          (
          
            1
            −
            
              
                P
                K
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}
  
 ；
其中，
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 是人口數值函數，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 是時間參數， 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 是成長的速率，
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 環境的容納能力。
將方程式的兩邊都除以
  
    
      
        P
        
          (
          
            1
            −
            
              
                P
                K
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}
  
 ．再隨著時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 積分，

  
    
      
        ∫
        
          
            1
            
              P
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    
                      P
                      K
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        
          
            
              d
              p
            
            
              d
              t
            
          
        
        
        d
        t
        =
        ∫
        k
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}{\frac {dp}{dt}}\,dt=\int k\,dt}
  
 。
應用换元积分法，

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              P
            
            
              P
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    
                      P
                      K
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        =
        ∫
        k
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt}
  
 。
稍微運算，則可得

  
    
      
        P
        (
        t
        )
        =
        
          
            K
            
              1
              +
              A
              
                e
                
                  −
                  k
                  t
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 是常數。


偏微分方程 給予一個 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 元函數 
  
    
      
        F
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
         
        
          x
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})}
  
 的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，可以猜想一個解答；解答的形式為

  
    
      
        F
        =
        
          F
          
            1
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        
          F
          
            2
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        ⋯
        
          F
          
            n
          
        
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})}
  
 ，
或者

  
    
      
        F
        =
        
          f
          
            1
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        
          f
          
            2
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        +
        ⋯
        +
        
          f
          
            n
          
        
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})}
  
 。
時常，對於每一個自變量 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 ，都會伴隨著一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。


= 實例 (III) =
假若，函數 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
         
        y
        ,
         
        z
        )
      
    
    {\displaystyle F(x,\ y,\ z)}
  
 的偏微分方程為

  
    
      
        
          
            
              ∂
              F
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              F
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              F
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0}
  
 。
猜想解答為

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        X
        (
        x
        )
        +
        Y
        (
        y
        )
        +
        Z
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)}
  
 。
那麼，

  
    
      
        
          
            
              d
              X
            
            
              d
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              d
              Y
            
            
              d
              y
            
          
        
        +
        
          
            
              d
              Z
            
            
              d
              z
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0}
  
 。
因為 
  
    
      
        X
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle X(x)}
  
 只含有 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 、
  
    
      
        Y
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle Y(y)}
  
 只含有 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 、
  
    
      
        Z
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle Z(z)}
  
 只含有 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 ，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程：

  
    
      
        
          
            
              d
              X
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dX}{dx}}=c_{1}}
  
 、

  
    
      
        
          
            
              d
              Y
            
            
              d
              y
            
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dY}{dy}}=c_{2}}
  
 、

  
    
      
        
          
            
              d
              Z
            
            
              d
              z
            
          
        
        =
        
          c
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dZ}{dz}}=c_{3}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
        ,
         
        
          c
          
            2
          
        
        ,
         
        
          c
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1},\ c_{2},\ c_{3}}
  
 都是常數，
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            3
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=0}
  
 。
偏微分方程的答案為

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          c
          
            1
          
        
        x
        +
        
          c
          
            2
          
        
        y
        +
        
          c
          
            3
          
        
        z
        +
        
          c
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          c
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{4}}
  
 是常數。


= 實例 (IV) =
思考一個典型的偏微分方程，

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        v
        +
        λ
        v
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              v
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              v
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        λ
        v
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0}
  
 。
首先，猜想答案的形式為

  
    
      
        v
        =
        X
        (
        x
        )
        Y
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle v=X(x)Y(y)}
  
 。
代入偏微分方程，

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        [
        X
        (
        x
        )
        Y
        (
        y
        )
        ]
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        [
        X
        (
        x
        )
        Y
        (
        y
        )
        ]
        +
        λ
        X
        (
        x
        )
        Y
        (
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0}
  
 。
或者，用單撇號標記，

  
    
      
        
          X
          ″
        
        (
        x
        )
        Y
        (
        y
        )
        +
        X
        (
        x
        )
        
          Y
          ″
        
        (
        y
        )
        +
        λ
        X
        (
        x
        )
        Y
        (
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0}
  
 。
將方程式的兩邊除以 
  
    
      
        X
        (
        x
        )
        Y
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle X(x)Y(y)}
  
 ，則可得

  
    
      
        
          
            
              
                X
                ″
              
              (
              x
              )
            
            
              X
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                Y
                ″
              
              (
              y
              )
              +
              λ
              Y
              (
              y
              )
            
            
              Y
              (
              y
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}}
  
 。
由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
  ：

  
    
      
        
          
            
              
                X
                ″
              
              (
              x
              )
            
            
              X
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        k
        =
        −
        
          
            
              
                Y
                ″
              
              (
              y
              )
              +
              λ
              Y
              (
              y
              )
            
            
              Y
              (
              y
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}}
  
 。
因此，可以得到兩個新的常微分方程式：

  
    
      
        
          X
          ″
        
        (
        x
        )
        −
        k
        X
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle X''(x)-kX(x)=0}
  
 、

  
    
      
        
          Y
          ″
        
        (
        y
        )
        +
        (
        λ
        +
        k
        )
        Y
        (
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0}
  
 。
這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若，
  
    
      
        k
        <
        0
        <
        λ
        +
        k
      
    
    {\displaystyle k<0<\lambda +k}
  
 ，則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為

  
    
      
        X
        (
        x
        )
        =
        
          A
          
            x
          
        
        cos
        ⁡
        (
        
          
            −
            k
          
        
         
        x
        +
        
          B
          
            x
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle X(x)=A_{x}\cos({\sqrt {-k}}\ x+B_{x})}
  
 ，

  
    
      
        Y
        (
        y
        )
        =
        
          A
          
            y
          
        
        cos
        ⁡
        (
        
          
            λ
            +
            k
          
        
         
        y
        +
        
          B
          
            y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Y(y)=A_{y}\cos({\sqrt {\lambda +k}}\ y+B_{y})}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          A
          
            x
          
        
        ,
         
        
          A
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{x},\ A_{y}}
  
 是振幅常數，
  
    
      
        
          B
          
            x
          
        
        ,
         
        
          B
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{x},\ B_{y}}
  
 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。


參閱 拉普拉斯-龍格-冷次向量
哈密頓-雅可比方程
亥姆霍茲方程


參考文獻 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9。