在数论中，特别在同余理论裏，一个整数
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
对另一个整数
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩余（英語：Quadratic residue）指
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的平方
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{2}}
  
除以
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
得到的余数。
當存在某個
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，式子
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
        ≡
        d
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle X^{2}\equiv d{\pmod {p}}}
  
成立時，稱「
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩余」
當对任意
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
        ≡
        d
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle X^{2}\equiv d{\pmod {p}}}
  
不成立時，稱「
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次非剩余」
研究二次剩余的理论称为二次剩余理论。二次剩余理论在实际上有广泛的应用，包括从噪音工程学到密码学以及大数分解。


前几个自然数的二次剩余 下表列出了1至25对2至25的二次剩余。


研究历史以及基本概念 从17世纪到18世纪，费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数论学家对二次剩余理论作了初步的研究，证明了一些定理并作出了一些相关的猜想，但首先对二次剩余进行有系统的研究的数学家是高斯。他在著作《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae，1801年）中首次引入了术语“二次剩余”与“二次非剩余”，并声明在不至于导致混淆的行文中，可以省略“二次”两字。
为了得到关于一个整数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的所有二次剩余（在一个完全剩余系中），我们可以直接计算0, 1,..., n − 1的平方模
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的余数。但只要注意到a2 ≡(n − a)2(mod n)，我们就可以减少一半的计算量，只算到n/2了。于是，关于
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的二次剩余的个数不可能超过n/2 + 1（n为偶数）或(n + 1)/2（n为奇数）。
两个二次剩余的乘积必然还是二次剩余。


基本结论 = 质数二次剩余 =
对于质数2，每个整数都是它的二次剩余。
以下討論
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
是奇質數的情況：
對於
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
        ≡
        d
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle X^{2}\equiv d{\pmod {p}}}
  
而言，能滿足「
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
是模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩餘」的
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
共有
  
    
      
        
          
            
              (
              p
              +
              1
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {(p+1)}{2}}}
  
個（剩余类），分別為：

  
    
      
        
          0
          
            2
          
        
        ,
        
          1
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        
          
            (
            
              
                
                  
                    (
                    p
                    −
                    1
                    )
                  
                  2
                
              
              −
              1
            
            )
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            (
            
              
                
                  p
                  −
                  1
                
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 0^{2},1^{2},...\left({{\frac {(p-1)}{2}}-1}\right)^{2},\left({\frac {p-1}{2}}\right)^{2}}
  
（0計算在內）
此外是
  
    
      
        
          
            
              (
              p
              −
              1
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {(p-1)}{2}}}
  
个二次非剩余。但在很多情况下，我们只考虑乘法群Z/pZ，因此不将0包括在内。这样，每个二次剩余的乘法逆元仍然是二次剩余；二次非剩余的乘法逆元仍然是二次非剩余。二次剩余的个数与二次非剩余的个数相等，都是
  
    
      
        
          
            
              (
              p
              −
              1
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {(p-1)}{2}}}
  
。此外，两个二次非剩余的乘积是二次剩余，二次剩余和二次非剩余的乘积是二次非剩余。
应用二次互反律可以知道，当
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
模4余1时，-1是
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次剩余；如果
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
模4余3，那么，-1是
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的二次非剩余。
要知道d是否為模p的二次剩餘，可以运用歐拉判別法（或叫歐拉準則）。


= 质数乘方的二次剩余 =
每个奇数的平方都模8余1，因此模4也余1。设a是一个奇数。m为8，16或2的更高次方，那么a是关于m的二次剩余当且仅当a ≡ 1(mod 8)。

比如说，在模32时，所有的奇數的平方分别是：
12 ≡ 152 ≡ 1
32 ≡ 132 ≡ 9
52 ≡ 112 ≡ 25
72 ≡ 92 ≡ 17
模8都余1。而偶数的二次剩余是：

02 ≡ 82 ≡ 162 ≡ 0
22 ≡ 62≡ 102 ≡ 142≡ 4
42 ≡ 122 ≡ 16

可以看出，关于8，16或2的更高次方的二次剩余是具有4k(8n + 1)形式的所有数，其中
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
、
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
为整数。
对于奇质数
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
以及与
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 互质的整数
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是关于
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的若干次乘方的剩余当且仅当它是关于
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的剩余。
设模的是pn（n次乘方）， 

那么pkA
当k ≥ n时是模pn的剩余；
当k < n并为奇数时是模pn的非剩余。
当k < n并为偶数时，

如果
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是关于
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的剩余，那么pkA就是模pn的剩余；
如果
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是关于
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的非剩余，那么pkA就是模pn的非剩余。


= 合数二次剩余 =
首先可以看出，

如果a是模n的剩余，并且pk 整除n，那么a是模pk的剩余。
如果a是模n的非剩余，那么存在pk 整除n，使得a是模pk的非剩余。
对于模合数的情况，两个剩余的乘积仍然是剩余，剩余和非剩余的乘积必为非剩余，但是两个非剩余的乘积则可能是剩余、非剩余或0。

比如，对于模15的情况 

 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  9, 10, 11, 12, 13, 14（粗斜体为二次剩余）。

两个二次非剩余2和8的乘积是二次剩余1，但另外两个二次非剩余2和7的乘积是二次非剩余14。


相关记号 高斯使用R和N来分别表示二次剩余及二次非剩余。例如：2 R 7，5 N 7，并且1 R 8，3,5,7 N 8。尽管这种记号在某些方面来说十分简洁，但现今最常用的是勒让德符号，或称二次特征（见狄利克雷特征）。对于整数a及奇质数p，

之所以将0另分一类有两个原因。首先，这使公式和定理叙述方便。其次，二次特征是一个从乘法群Z/pZ射到复数域的群同态，
  
    
      
        (
        
          
            
              
                n
                p
              
              p
            
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ({\tfrac {np}{p}})=0}
  
可以将这个同态扩张到整数构成的乘法半群。
相比高斯的记号，勒让德符号的优势在于可以写在公式里（作为一个数字值）。此外勒让德符号可以推广到三次以至高次剩餘。
勒让德符号中的分母只限奇质数，对于一般的奇合数，有推广的雅可比符号。雅可比符号的性质比前者复杂。如果a R m那么
  
    
      
        (
        
          
            
              a
              m
            
          
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ({\tfrac {a}{m}})=1}
  
，如果
  
    
      
        (
        
          
            
              a
              m
            
          
        
        )
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle ({\tfrac {a}{m}})=-1}
  
那么a N m。但如果
  
    
      
        (
        
          
            
              a
              m
            
          
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ({\tfrac {a}{m}})=1}
  
，我们不能知道a R m还是a N m。


推广 二次剩餘的推廣叫做高次剩餘，是研究任意
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，
  
    
      
        
          X
          
            n
          
        
        ≡
        d
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle X^{n}\equiv d{\pmod {p}}}
  
中
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
是否為模
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
次剩餘的問題。


相關條目 勒让德符号
同餘
欧拉准则
二次互反律
三次互反律


注释及参考来源 闵嗣鹤、严士健，《初等数论》，第二版，高等教育出版社，2001年。


外部链接 李宗儒，高斯二次互反律