在數學中，超黃金比例又稱超黄金分割率是指比值為

  
    
      
        ψ
        =
        
          
            
              1
              +
              
                
                  
                    
                      29
                      +
                      3
                      
                        
                          93
                        
                      
                    
                    2
                  
                  
                    3
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    
                      29
                      −
                      3
                      
                        
                          93
                        
                      
                    
                    2
                  
                  
                    3
                  
                
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi ={\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {29+3{\sqrt {93}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {29-3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}}
  

的比例。這個值是一元三次方程
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}
  
的唯一一個實數根，一般以希臘字母
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
（psi）表示。其亦可以由雙曲餘弦表達：

  
    
      
        ψ
        =
        
          
            2
            3
          
        
        cosh
        ⁡
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      cosh
                      
                        −
                        1
                      
                    
                    ⁡
                    
                      (
                      
                        
                          29
                          2
                        
                      
                      )
                    
                  
                  3
                
              
            
            )
          
        
        +
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi ={\frac {2}{3}}\cosh {\left({\tfrac {\cosh ^{-1}\left({\frac {29}{2}}\right)}{3}}\right)}+{\frac {1}{3}}}
  
。
其在十进制中的近似值約為1.465571231876768026656731…（OEIS數列A092526）。其倒數為：

  
    
      
        
          
            1
            ψ
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                +
                
                  
                    
                      31
                      27
                    
                  
                
              
              2
            
            
              3
            
          
        
        +
        
          
            
              
                1
                −
                
                  
                    
                      31
                      27
                    
                  
                
              
              2
            
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\psi }}={\sqrt[{3}]{\frac {1+{\sqrt {\frac {31}{27}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {1-{\sqrt {\frac {31}{27}}}}{2}}}}
  
 
  
    
      
        =
        
          
            
              2
              
                3
              
            
          
        
        sinh
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  1
                  3
                
              
            
            
              sinh
              
                −
                1
              
            
            
            
              (
              
                
                  
                    
                      3
                      
                        
                          3
                        
                      
                    
                    2
                  
                
              
              )
            
          
          )
        
        ≈
      
    
    {\displaystyle ={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \left({\tfrac {1}{3}}\sinh ^{-1}\!\left({\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right)\approx }
  
0.6823 2780 3828 0193 2736 9483 7397 …（OEIS數列A263719）
此外，超黃金比例是第四小的皮索特數。


超黃金數列 超黃金數列又稱為娜里亞納牛隻數列，是連續項之間的比率趨近於超黃金比例的數列。這個數列每一項都是前一項和前三項的和，前幾項為1、 1、 1、 2、 3、 4、 6、 9、 13、 19、 28、 41、 60、 88、 129、 189、 277、 406、 595、 872……（OEIS數列A000930）。


性質 超黃金比例的部分性質與黃金比例相關。例如超黃金數列（娜里亞納數列）第n項的值表示用1×1和1×3的方塊鋪滿1×n矩形的方法數，而斐波那契数列第n項的值則是表示用1×1和1×2的方塊鋪滿1×n矩形的方法數。超黃金比例滿足ψ−1 = ψ−2，而黃金比例則是滿足φ−1 = φ−1。在斐波那契兔子問題中，每對兔子可以在出生後的第二個周期開始每個周期都繁殖一次；而在娜里亞納牛隻問題中，每對牛隻可以在出生後的第三個周期開始每個周期都繁殖一次。此外，邊長比為超黃金比例的矩形（下稱超黃金矩形）具有這樣的特性：如果從超黃金矩形的一側移除一個正方形，剩餘的部分可以分割成一大一小方向不同的超黃金矩形。
另一個例子是，黃金比例和超黃金比例都是皮索特數。超黃金比例的代數共軛為
  
    
      
        
          
            
              
                1
                +
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          1
                          ±
                          i
                          
                            
                              3
                            
                          
                        
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      
                        
                          29
                          +
                          3
                          
                            
                              93
                            
                          
                        
                        2
                      
                    
                    
                      3
                    
                  
                
                +
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          1
                          ∓
                          i
                          
                            
                              3
                            
                          
                        
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      
                        
                          29
                          +
                          3
                          
                            
                              93
                            
                          
                        
                        2
                      
                    
                    
                      3
                    
                  
                
              
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dfrac {1+\left({\tfrac {1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{\tfrac {29+3{\sqrt {93}}}{2}}}+\left({\tfrac {1\mp i{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{\tfrac {29+3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}}
  
，絕對值為
  
    
      
        
          
            
              1
              
                ψ
              
            
          
        
        ≈
        0.8260313
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {\psi }}}\approx 0.8260313}
  
，與
  
    
      
        
          ψ
          
            3
          
        
        −
        
          ψ
          
            2
          
        
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0}
  
的根乘積為1。


超黃金矩形 超黃金矩形是邊長比為超黃金比例ψ=
  
    
      
        
          
            
              1
              +
              
                
                  
                    
                      29
                      +
                      3
                      
                        
                          93
                        
                      
                    
                    2
                  
                  
                    3
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    
                      29
                      −
                      3
                      
                        
                          93
                        
                      
                    
                    2
                  
                  
                    3
                  
                
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {29+3{\sqrt {93}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {29-3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}}
  
的矩形。當從超黃金矩形的短側移除一個正方形，剩餘的矩形邊長比將變為ψ2:1。這個矩形可以分割成邊長比為ψ:1和1:ψ的兩個矩形，這兩個矩形為方向差90度的兩個超黃金矩形，面積比為ψ2:1。此外，若將分開兩超黃金矩形的線延伸至穿過原始矩形的其餘部分以及從原始矩形移除正方形的邊來將原始矩形分成4個象限，則分割後面積較大的超黃金矩形與對角象限的矩形面積相同，其對角線長為原始矩形的短邊長除以
  
    
      
        
          
            ψ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\psi }}}
  
的值。第四象限也是超黃金矩形，其對角線長為原始矩形短邊的
  
    
      
        
          
            ψ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\psi }}}
  
倍。


參見 黃金比例
塑膠數


註釋 參考文獻