数学上，一个平面（plane）就是基本的二维对象。直观的讲，它可以视为一个平坦的拥有无穷大面积的纸。多数几何、三角学和制图的基本工作都在二维进行，或者说，在平面上进行。
给定一个平面，可以引入一个直角坐标系以便在平面上用两个数字唯一的标示一个点，这两个数字也就是它的坐标。
在三维x-y-z坐标系中，可以将平面定义为一个方程的集：

  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        +
        c
        z
        +
        d
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax+by+cz+d=0}
  
,
其中a, b, c和d是实数，使得a, b, c不全为0。或者，一个平面也可以参数化的表述，作为所有具有u + s v + t w形式的点的集合，其中s和t取遍所有实数，而u, v 和w是给定用于定义平面的向量。
平面由如下组合的任何一个唯一确定

三个不共线的点（不位于同一直线上的）
一条直线和线外一点
一个点和一条垂直于平面的直线
两条相交的直线
两条平行的直线
在三维空间，两个不同平面或平行或交于一条直线。不和给定平面平行的直线交平面于一点。


由一点和一个法向量决定的平面 对于一点
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        =
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        ,
        
          z
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}
  
和一个向量

  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        =
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}=(a,b,c)}
  
，平面方程为

  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        +
        c
        z
        =
        a
        
          x
          
            0
          
        
        +
        b
        
          y
          
            0
          
        
        +
        c
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle ax+by+cz=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}}
  

这是穿过点
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{0}}
  
并垂直于向量
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}}
  
的平面。


通过三点的平面 穿过三点
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}
  
, 
  
    
      
        
          P
          
            2
          
        
        =
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}
  
 和 
  
    
      
        
          P
          
            3
          
        
        =
        (
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          y
          
            3
          
        
        ,
        
          z
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}
  
的平面的方程可以表述为如下行列式:

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  x
                  −
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  y
                  −
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  z
                  −
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  −
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                  −
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      3
                    
                  
                  −
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0}
  


一点到平面的距离 对于一点
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}
  
和一个平面
  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        +
        c
        z
        +
        d
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax+by+cz+d=0}
  
，从点
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}}
  
到平面的距离是：

  
    
      
        D
        =
        
          
            
              |
              
                a
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                +
                b
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                +
                c
                
                  z
                  
                    1
                  
                
                +
                d
              
              |
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}
  


两个平面的夹角 两个相交平面的夹角，称为二面角（dihedral angle），可以用平面方程
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          b
          
            1
          
        
        y
        +
        
          c
          
            1
          
        
        z
        +
        
          d
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}
  
和
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        x
        +
        
          b
          
            2
          
        
        y
        +
        
          c
          
            2
          
        
        z
        +
        
          d
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}
  
给出如下：

  
    
      
        α
        =
        arccos
        ⁡
        
          
            
              
                a
                
                  1
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  1
                
              
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  1
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      1
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    c
                    
                      1
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    c
                    
                      2
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}
  
.


外部链接 减少算术和平面几何的难点 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 是一个阿拉伯语的手稿，从15世纪，作为一个教程平面的几何和算术