在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理或欧拉
  
    
      
        
          φ
        
      
    
    {\displaystyle {\varphi }}
  
函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若
  
    
      
        n
        ,
        a
      
    
    {\displaystyle n,a}
  
为正整数，且
  
    
      
        n
        ,
        a
      
    
    {\displaystyle n,a}
  
互素（即
  
    
      
        gcd
        (
        a
        ,
        n
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \gcd(a,n)=1}
  
），则

  
    
      
        
          a
          
            φ
            (
            n
            )
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
  

即
  
    
      
        
          a
          
            φ
            (
            n
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{\varphi (n)}}
  
与1在模n下同余；φ(n)为欧拉函数。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。
欧拉定理实际上是费马小定理的推广。


例子 首先看一个基本的例子。令
  
    
      
        a
        =
        3
      
    
    {\displaystyle a=3}
  
，
  
    
      
        n
        =
        5
      
    
    {\displaystyle n=5}
  
，此两数為互質正整數。小於等於5的正整数中与5互質的数有4個（1、2、3和4），所以
  
    
      
        φ
        (
        5
        )
        =
        4
      
    
    {\displaystyle \varphi (5)=4}
  
（详情见欧拉函数）。计算：
  
    
      
        
          a
          
            φ
            (
            n
            )
          
        
        =
        
          3
          
            4
          
        
        =
        81
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          5
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{\varphi (n)}=3^{4}=81\equiv 1{\pmod {5}}}
  
，与定理结果相符。
使用本定理可大程度地简化幂的模运算。比如计算
  
    
      
        
          7
          
            222
          
        
      
    
    {\displaystyle 7^{222}}
  
的个位数時，可將此命題視為求
  
    
      
        
          7
          
            222
          
        
      
    
    {\displaystyle 7^{222}}
  
被10除的余数：因7和10互質，且
  
    
      
        φ
        (
        10
        )
        =
        4
      
    
    {\displaystyle \varphi (10)=4}
  
，故由欧拉定理可知
  
    
      
        
          7
          
            4
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          10
          )
        
      
    
    {\displaystyle 7^{4}\equiv 1{\pmod {10}}}
  
。所以
  
    
      
        
          7
          
            222
          
        
        =
        
          7
          
            4
            ⋅
            55
            +
            2
          
        
        =
        (
        
          7
          
            4
          
        
        
          )
          
            55
          
        
        ⋅
        
          7
          
            2
          
        
        ≡
        
          1
          
            55
          
        
        ⋅
        
          7
          
            2
          
        
        ≡
        49
        ≡
        9
        
          
          (
          mod
          
          10
          )
        
      
    
    {\displaystyle 7^{222}=7^{4\cdot 55+2}=(7^{4})^{55}\cdot 7^{2}\equiv 1^{55}\cdot 7^{2}\equiv 49\equiv 9{\pmod {10}}}
  
。
一般在简化幂的模运算的时候，当
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
互質時，可对
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的指数取模
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
：

  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        ≡
        
          a
          
            y
          
        
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{x}\equiv a^{y}{\pmod {n}}}
  
，其中
  
    
      
        x
        ≡
        y
        
          
          (
          mod
          
          φ
          (
          n
          )
          )
        
      
    
    {\displaystyle x\equiv y{\pmod {\varphi (n)}}}
  
。


证明 一般的证明中会用到“所有与
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
互質的同余类构成一个群”的性质，也就是说，设
  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                ¯
              
            
            ,
            
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                ¯
              
            
            ,
            ⋯
            ,
            
              
                
                  a
                  
                    φ
                    (
                    n
                    )
                  
                
                ¯
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}},\cdots ,{\overline {a_{\varphi (n)}}}\right\}}
  
是比
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 小的正整数中所有与
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 互素的数对应的同余类组成的集合（这个集合也称为模n 的简化剩余系）。这些同余类构成一个群，称为整数模n乘法群。因为此群阶为
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
，所以
  
    
      
        
          a
          
            φ
            (
            n
            )
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
  
。
当
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
是素数的时候，
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
        =
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)=n-1}
  
，所以欧拉定理变为：

  
    
      
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}
  
或

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        ≡
        a
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{n}\equiv a{\pmod {n}}}
  

这就是费马小定理。


参看 初等数论
欧拉定理
欧拉函数
同余
群论
RSA加密算法


参考书籍 潘承洞 潘承彪. 《初等数论》. 北京大学出版社. 2003. ISBN 9787301060759. 
Albert H. Beiler 著，谈祥柏 译. 《数论妙趣--数学女王的盛情款待》. 上海教育出版社. 1998. ISBN 9787532054732.