在向量分析中，旋度（英語：curl）是一个向量算子，表示在三维欧几里德空间中的向量场的无穷小量旋转。在向量场每个点上，点的旋度表示为一个向量，称为旋度向量。这个向量的特性（长度和方向）刻画了在这个点上的旋转。
旋度的方向是旋转的轴，它由右手定则来确定，而旋度的大小是旋转的量。如果向量场表示一个移动的流形的流速，则旋度是这个流形的环量面密度。旋度为零的向量场叫做无旋向量场。旋度是向量的一种微分形式。微积分基本定理的对应形式是开尔文-斯托克斯定理，它将向量场旋度的曲面积分关联于这个向量场环绕边界曲线的曲线积分。
对于旋度curl F还经常使用可替代的术语回转度（rotation或rotational）和可替代的符号rot F和∇ × F。前者特别用于很多欧洲国家，后者使用del（或称nabla）算子和叉积，更多用于其它国家。
不同于梯度和散度，旋度不能简单的推广到其他维度；某些推广是可能的，但是只有在三维中，在几何上定义的向量场旋度还是向量场。这个现象类似于三维叉积，这个联系反应在旋度的符号∇ ×上。
旋度的名称“curl”最初由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在1871年提出，但这个概念显然最初用于James MacCullagh在1839年对光学场理论的构建中。


定义 定义向量场的旋度，首先要引入环量（或称为旋涡量）的概念。给定一个三维空间中的向量场
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
以及一个简单闭合有向曲线
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
，
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
沿着曲线
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
的环量就是
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
沿着路径
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
的闭合曲线积分:12：

  
    
      
        
          Circ
          
            
              A
            
          
        
        ⁡
        (
        Γ
        )
        =
        
          ∮
          
            Γ
          
        
        
          A
        
        ⋅
        
          d
        
        
          l
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Circ} _{\mathbf {A} }(\Gamma )=\oint _{\Gamma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}
  

其中
  
    
      
        
          d
        
        
          l
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}
  
是曲线
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
上的线元，方向是曲线的切线方向，其正方向规定为使得闭合曲线
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
所包围的面积在它的左侧。举例来说，假如在河岸边看到河中有逆时针旋转的漩涡，那么在漩涡范围内，水流围绕涡心旋转，所以水流速度
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
  
沿着逆时针围绕漩涡的闭合曲线积分一定大于零，即是说环量大于零。这说明漩涡中的水流流速场在漩涡范围内是转圈旋转的。
环量和通量一样，是描述向量场的重要参数。某个区域中的环量不等于零，说明这个区域中的向量场表现出环绕某一点或某一区域旋转的特性:12。旋度则是局部地描述这一特性的方法。为了描述一个向量场
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
在一点附近的环量，选择包括这一点的一个微小面元
  
    
      
        Δ
        S
      
    
    {\displaystyle \Delta S}
  
，考虑向量场
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
沿其边界曲线
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
的环量。当面元
  
    
      
        Δ
        S
      
    
    {\displaystyle \Delta S}
  
收小，面积
  
    
      
        
          |
          
            Δ
            S
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|\Delta S\right\vert }
  
趋于零的时候，向量场
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
沿着
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
的环量和面元
  
    
      
        Δ
        S
      
    
    {\displaystyle \Delta S}
  
面积的比值的极限值:13：

  
    
      
        
          lim
          
            Δ
            S
            →
            0
          
        
        
          
            1
            
              |
              
                Δ
                S
              
              |
            
          
        
        
          ∮
          
            Γ
          
        
        
          A
        
        ⋅
        
          d
        
        
          l
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{\Delta S\to 0}{\frac {1}{\left|\Delta S\right\vert }}\oint _{\Gamma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}
  

称作
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的环量面密度（或称为环量强度）。显然，随着面元
  
    
      
        Δ
        S
      
    
    {\displaystyle \Delta S}
  
选取的方向不同，得到的环量面密度也有大有小。如果要表现一点附近向量场的旋转程度，则应该表现出其最大可能值以及对应面元选取的方向。而向量场的旋度是一个向量。它在一个方向上的投影的大小表示了在这个方向上的环量面密度的大小。也就是说，
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
在一点的旋度记为
  
    
      
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        
          A
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} (x)}
  
或
  
    
      
        
          r
          o
          t
          
        
        
          A
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {rot\,} \mathbf {A} (x)}
  
，满足:4-5：

  
    
      
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        
          A
        
        (
        x
        )
        ⋅
        
          n
        
        =
        
          lim
          
            Δ
            
              S
              
                
                  n
                
              
            
            →
            0
          
        
        
          
            1
            
              |
              
                Δ
                
                  S
                  
                    
                      n
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
        
          ∮
          
            
              Γ
              
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          A
        
        ⋅
        
          d
        
        
          l
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} (x)\cdot \mathbf {n} =\lim _{\Delta S_{\mathbf {n} }\to 0}{\frac {1}{\left|\Delta S_{\mathbf {n} }\right\vert }}\oint _{\Gamma _{\mathbf {n} }}\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}
  

其中的
  
    
      
        Δ
        
          S
          
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta S_{\mathbf {n} }}
  
指以单位向量
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
为法向量的面元，
  
    
      
        
          Γ
          
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{\mathbf {n} }}
  
指它的边界曲线。如果用Nabla算子
  
    
      
        
          ∇
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}
  
表示的话，向量场
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的旋度记作：
  
    
      
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        
          A
        
        =
        
          ∇
        
        ×
        
          A
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}
  
 从定义中可以看出，旋度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是向量场沿一个闭合曲线的环量，所以說旋度是環量的面密度。如果一个向量场中处处的旋度都是零，则称这个场为无旋场或保守场:13。


分量表示 在不同的坐标系下，向量场的旋度有不同的表达方式。


= 直角坐标系 =
在三维直角坐标系 
  
    
      
        x
        y
        z
      
    
    {\displaystyle xyz}
  
 中，设向量场 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 为:8：

  
    
      
        
          A
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          A
          
            x
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        
          i
        
        +
        
          A
          
            y
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        
          j
        
        +
        
          A
          
            z
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)=A_{x}(x,y,z)\mathbf {i} +A_{y}(x,y,z)\mathbf {j} +A_{z}(x,y,z)\mathbf {k} }
  
，
其中的 
  
    
      
        
          i
        
        ,
        
          j
        
        ,
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }
  
 分别是 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
轴、
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
轴、
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
轴方向上的单位向量，场的分量 
  
    
      
        
          A
          
            x
          
        
        ,
        
          A
          
            y
          
        
        ,
        
          A
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}
  
 具有一阶连续偏导数， 那么在各个坐标上的投影分别为：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  z
                
              
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  y
                
              
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  x
                
              
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  z
                
              
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  y
                
              
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  x
                
              
            
            
              ∂
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}},\quad {\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}},\quad {\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}}
  

的向量叫做向量场A的旋度，也就是:14：

  
    
      
        
          c
          u
          r
          l
          
        
         
        
          A
        
        =
        
          ∇
        
        ×
        
          A
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        
          i
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
          
          )
        
        
          j
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {curl\,} \ \mathbf {A} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }
  

旋度的表达式也可以用行列式记号形式表示:4-5：

  
    
      
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        
          A
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    j
                  
                
                
                  
                    k
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        x
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        y
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        z
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    A
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    A
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}}
  

需要注意的是这里的行列式记号只有形式上的意义，因为真正的行列式中的系数应该是数值而不是 
  
    
      
        
          i
        
        ,
        
          j
        
        ,
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }
  
 这样的向量。这种表示方法只是便于记忆旋度在直角坐标系中的表达式:78。


= 圆柱坐标系 =
圆柱坐标系中，假设物体的位置为
  
    
      
        (
        ρ
        ,
        φ
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}
  
，定义其径向单位矢量、横向单位矢量和纵向单位矢量为
  
    
      
        
          
            e
          
          
            ρ
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            φ
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\rho },{\boldsymbol {e}}_{\varphi },{\boldsymbol {e}}_{z}}
  
，那么向量场
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
可以表示成：

  
    
      
        
          A
        
        =
        
          A
          
            ρ
          
        
        (
        ρ
        ,
        φ
        ,
        z
        )
        
          
            e
          
          
            ρ
          
        
        +
        
          A
          
            φ
          
        
        (
        ρ
        ,
        φ
        ,
        z
        )
        
          
            e
          
          
            φ
          
        
        +
        
          A
          
            z
          
        
        (
        ρ
        ,
        φ
        ,
        z
        )
        
          
            e
          
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} =A_{\rho }(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{\rho }+A_{\varphi }(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{\varphi }+A_{z}(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{z}}
  
，
向量场A的旋度就是:87：  

  
    
      
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        
          A
        
        =
        
          (
          
            
              
                1
                ρ
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  φ
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      φ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            ρ
          
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      ρ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  ρ
                
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            φ
          
        
        +
        
          
            1
            ρ
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  (
                  
                    ρ
                  
                  
                    A
                    
                      φ
                    
                  
                  )
                
                
                  ∂
                  ρ
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      ρ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  φ
                
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {e}}_{\rho }+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {e}}_{\varphi }+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial ({\rho }A_{\varphi })}{\partial \rho }}-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {e}}_{z}}
  
。
旋度的表达式也可以用行列式记号形式表示（即向量积的行列式形式），比如：

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          A
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      1
                      ρ
                    
                  
                  
                    
                      e
                    
                    
                      ρ
                    
                  
                
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      φ
                    
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      ρ
                    
                  
                  
                    
                      e
                    
                    
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        ρ
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        φ
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        z
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      ρ
                    
                  
                
                
                  ρ
                  
                    A
                    
                      φ
                    
                  
                
                
                  
                    A
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{\rho }&\mathbf {e} _{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{\rho }&\rho A_{\varphi }&A_{z}\end{vmatrix}}}
  

要注意的是：以上的行列式中元素并不是可交换的。实际计算时，展开式其中的每一项应该是第一行的元素乘以第二行的元素再作用于第三行的元素。例如应该是
  
    
      
        
          
            1
            ρ
          
        
        
          
            e
          
          
            z
          
        
        ⋅
        
          
            ∂
            
              ∂
              ρ
            
          
        
        (
        ρ
        
          A
          
            φ
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{z}\cdot {\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho A_{\varphi })}
  
而不是
  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              ρ
            
          
        
        (
        ρ
        
          A
          
            φ
          
        
        ⋅
        
          
            1
            ρ
          
        
        
          
            e
          
          
            z
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho A_{\varphi }\cdot {\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{z}).}
  
 后文中的球面坐标系表达式也是如此。


= 球坐标系 =
球坐标系中，假设物体的位置用球坐标表示为
  
    
      
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
  
，定义它的單位向量：
  
    
      
        
          
            e
          
          
            r
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta },{\boldsymbol {e}}_{\varphi }}
  
，则向量场A可以表示成：

  
    
      
        
          A
        
        =
        
          A
          
            r
          
        
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        φ
        )
        
          
            e
          
          
            r
          
        
        +
        
          A
          
            θ
          
        
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        φ
        )
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
        +
        
          A
          
            φ
          
        
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        φ
        )
        
          
            e
          
          
            φ
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} =A_{r}(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{r}+A_{\theta }(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{\theta }+A_{\varphi }(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{\varphi },}
  

向量场A的旋度就是:87：

  
    
      
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        
          A
        
        =
        
          
            1
            
              r
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  (
                  
                    A
                    
                      φ
                    
                  
                  sin
                  ⁡
                  θ
                  )
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      θ
                    
                  
                
                
                  ∂
                  φ
                
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            r
          
        
        +
        
          
            1
            r
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  sin
                  ⁡
                  θ
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      r
                    
                  
                
                
                  ∂
                  φ
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  (
                  r
                  
                    A
                    
                      φ
                    
                  
                  )
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
        +
        
          
            1
            r
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  (
                  r
                  
                    A
                    
                      θ
                    
                  
                  )
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                    
                      r
                    
                  
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            φ
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial (A_{\varphi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial (rA_{\varphi })}{\partial r}}\right){\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right){\boldsymbol {e}}_{\varphi }\,.}
  

旋度的表达式也可以用行列式记号形式表示（即向量积的行列式形式）：

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          A
        
        =
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      r
                    
                  
                
                
                  r
                  
                    
                      e
                    
                    
                      θ
                    
                  
                
                
                  r
                  sin
                  ⁡
                  θ
                  
                    
                      e
                    
                    
                      φ
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        r
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        θ
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        φ
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    A
                    
                      r
                    
                  
                
                
                  r
                  
                    A
                    
                      θ
                    
                  
                
                
                  r
                  sin
                  ⁡
                  θ
                  
                    A
                    
                      φ
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{r}&r\mathbf {e} _{\theta }&r\sin \theta \mathbf {e} _{\varphi }\\{\frac {\partial }{\partial r}}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\A_{r}&rA_{\theta }&r\sin \theta A_{\varphi }\end{vmatrix}}}
  


例子 下面是两个简单的例子，用以说明旋度的直观意义。第一个例子是向量场
  
    
      
        
          
            F
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{1}}
  
（如右图1）：

  
    
      
        
          
            F
          
          
            1
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        y
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
        −
        x
        
          
            
              y
              ^
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{1}(x,y,z)=y{\boldsymbol {\hat {x}}}-x{\boldsymbol {\hat {y}}}.}
  

直观上，可以看出向量场
  
    
      
        
          
            F
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{1}}
  
是表示一个向顺时针方向旋转的趋势。假如在图中放一个点，它会被向量场“推动”，沿顺时针方向绕圈运动。根据右手定则，旋度的方向应该是朝向页面内。按照右手系坐标的方向，旋度的方向是z轴的负方向。而经过计算可以得出，向量场
  
    
      
        
          
            F
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{1}}
  
的旋度

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          
            F
          
          
            1
          
        
        =
        0
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
        +
        0
        
          
            
              y
              ^
            
          
        
        +
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            (
            −
            x
            )
            −
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            y
          
          ]
        
        
          
            
              z
              ^
            
          
        
        =
        −
        2
        
          
            
              z
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} _{1}=0{\boldsymbol {\hat {x}}}+0{\boldsymbol {\hat {y}}}+\left[{\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right]{\boldsymbol {\hat {z}}}=-2{\boldsymbol {\hat {z}}}}
  
:70
 
和直观的推断相符合。以上的计算表明，旋度是一个恒定的量：
  
    
      
        −
        2
        
          
            
              z
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -2{\boldsymbol {\hat {z}}}}
  
。也就是说，每一点上旋转的程度都是一样的。旋度图象为右图2：

第二个例子是向量场
  
    
      
        
          
            F
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{2}}
  
（如右图3）：

  
    
      
        
          
            F
          
          
            2
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          
            
              y
              ^
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{2}(x,y,z)=-x^{2}{\boldsymbol {\hat {y}}}.}
  

向量场
  
    
      
        
          
            F
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{2}}
  
的作用是向下，越是靠近两侧，向下的趋势越显著。假想这个向量场是一个力场，一块薄板水平放在图的右边，那么由于更靠右的地方受到向下的力更大，薄板会顺时针转动。类似地，如果将薄板水平放在图的左边，则会逆时针转动。所以
  
    
      
        
          
            F
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{2}}
  
的旋转作用是右侧顺时针、左侧逆时针，而且越偏离中心，作用越大。按照右手定则，旋度应该是右侧朝z轴负方向（指向页面内），左侧朝z轴正方向（指向页面外）。实际的计算可以得到：

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          
            F
          
          
            2
          
        
        =
        0
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
        +
        0
        
          
            
              y
              ^
            
          
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              x
            
          
        
        (
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              z
              ^
            
          
        
        =
        −
        2
        x
        
          
            
              z
              ^
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} _{2}=0{\boldsymbol {\hat {x}}}+0{\boldsymbol {\hat {y}}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2}){\boldsymbol {\hat {z}}}=-2x{\boldsymbol {\hat {z}}}.}
  

所以
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  
时是朝z轴负方向，
  
    
      
        x
        <
        0
      
    
    {\displaystyle x<0}
  
时是朝z轴正方向，和直观推断相符合。旋度图象为右图4。


性质 以下的性质都可以从常见的求导法则推出。最重要的是，旋度是一个线性算子，也就是说:9：

  
    
      
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        (
        a
        
          F
        
        +
        b
        
          G
        
        )
        =
        a
        
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        (
        
          F
        
        )
        +
        b
        
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        (
        
          G
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {curl\,} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\mathbf {curl\,} (\mathbf {F} )+b\;\mathbf {curl\,} (\mathbf {G} )}
  

其中F和G是向量场，a和b是实数。
设
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
是标量函数，F是向量场，则它们的乘积的旋度为:9：

  
    
      
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        (
        φ
        
          F
        
        )
        =
        
          g
          r
          a
          d
          
        
        (
        φ
        )
        ×
        
          F
        
        +
        φ
        
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        (
        
          F
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {curl\,} (\varphi \mathbf {F} )=\mathbf {grad\,} (\varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;\mathbf {curl\,} (\mathbf {F} ),}
  

或

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        (
        φ
        
          F
        
        )
        =
        (
        
          ∇
        
        φ
        )
        ×
        
          F
        
        +
        φ
        
        
          ∇
        
        ×
        
          F
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\varphi \mathbf {F} )=({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} .}
  

设有两个向量场F和G，则它们的向量积的旋度为:9：

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        (
        
          F
        
        ×
        
          G
        
        )
        =
        (
        
          G
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        
          F
        
        
        −
        
        (
        
          ∇
        
        ⋅
        
          F
        
        )
        
          G
        
        −
        (
        
          F
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        
          G
        
        +
        (
        
          ∇
        
        ⋅
        
          G
        
        )
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\mathbf {G} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {F} \;-\;({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} )\mathbf {G} -(\mathbf {F} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {G} +({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {G} )\mathbf {F} }
  

一个标量场 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零:14：
  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        (
        
          ∇
        
        f
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}f)=0.}
  

一个向量场 
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
 的旋度场是无源场，也就是说 
  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} }
  
 的散度处处为零:18：
  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        (
        
          ∇
        
        ×
        
          F
        
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} )=0.}
  

F 的旋度场的旋度场则有公式:14：
  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        (
        
          ∇
        
        ×
        
          F
        
        )
        =
        
          ∇
        
        (
        
          ∇
        
        ⋅
        
          F
        
        )
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          F
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} .}
  


= 旋度的斯托克斯公式 =

三维空间 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  
 中，设 
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
 为分段光滑的空间有向闭曲线， 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 是以 
  
    
      
        Γ
        =
        ∂
        S
      
    
    {\displaystyle \Gamma =\partial S}
  
 为边界的分片光滑的有向曲面，
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
 的正向与 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 的侧符合右手规则，函数 
  
    
      
        P
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        ,
        Q
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        ,
        R
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}
  
 在曲面 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
（连同边界 
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
 上具有一阶连续偏导数，则有

  
    
      
        
          ∬
          
            S
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  R
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  Q
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        
          d
        
        y
        
        
          d
        
        z
        +
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  P
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  R
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
          
          )
        
        
          d
        
        z
        
        
          d
        
        x
        +
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  Q
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  P
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
          d
        
        x
        
        
          d
        
        y
        =
        
          ∮
          
            Γ
          
        
        P
        
          d
        
        x
        +
        Q
        
          d
        
        y
        +
        R
        
          d
        
        z
      
    
    {\displaystyle \iint \limits _{S}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\oint \limits _{\Gamma }P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z}
  

用旋度表示，就是:71：

  
    
      
        
          ∫
          
            S
          
        
        (
        
          ∇
        
        ×
        
          A
        
        )
        ⋅
        
          d
        
        
          S
        
        =
        
          ∮
          
            ∂
            S
          
        
        
          A
        
        ⋅
        
          d
        
        
          l
        
      
    
    {\displaystyle \int _{S}({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }
  

这个公式是一般的斯托克斯公式（在n=2时）的特例，在欧氏3维空间上的向量场的旋度的曲面积分和向量场在曲面边界上的线积分之间建立了联系。具体就是，向量场A在某个曲面的封闭边界线上的闭合路径积分，等于A的旋度场在这个曲面上的积分:71。


历史 作为向量分析的基础概念，旋度同样源自对四元数上的微积分研究。哈密尔顿在介绍四元数的运算时，将一个四元数
  
    
      
        q
        =
        A
        +
        B
        
          i
        
        +
        C
        
          j
        
        +
        D
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle q=A+B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}}}
  
中的
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
称为“标量部分”，将
  
    
      
        B
        
          i
        
        +
        C
        
          j
        
        +
        D
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}}}
  
称为“向量部分”。他引入了四元数的偏微分算子
  
    
      
        
          ∇
        
        =
        
          i
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        +
        
          j
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              y
            
          
        
        +
        
          k
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}={\boldsymbol {i}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\boldsymbol {j}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}+{\boldsymbol {k}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}}
  
（即
  
    
      
        
          ∇
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}
  
算子）后，计算
  
    
      
        
          ∇
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}
  
对一个四元数之向量部分
  
    
      
        σ
        =
        B
        
          i
        
        +
        C
        
          j
        
        +
        D
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \sigma =B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}}}
  
的效果：

  
    
      
        
          ∇
        
        σ
        =
        (
        
          i
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        +
        
          j
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              y
            
          
        
        +
        
          k
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              z
            
          
        
        )
        (
        B
        
          i
        
        +
        C
        
          j
        
        +
        D
        
          k
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\sigma =({\boldsymbol {i}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\boldsymbol {j}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}+{\boldsymbol {k}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}})(B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}})}
  

  
    
      
        =
        −
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  B
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    d
                  
                  C
                
                
                  
                    d
                  
                  y
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    d
                  
                  D
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          (
          
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      D
                    
                    
                      
                        d
                      
                      y
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      C
                    
                    
                      
                        d
                      
                      z
                    
                  
                
              
              )
            
            
              i
            
            +
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      B
                    
                    
                      
                        d
                      
                      z
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      D
                    
                    
                      
                        d
                      
                      x
                    
                  
                
              
              )
            
            
              j
            
            +
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      C
                    
                    
                      
                        d
                      
                      x
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      
                        d
                      
                      B
                    
                    
                      
                        d
                      
                      y
                    
                  
                
              
              )
            
            
              k
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle =-\left({\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} y}}+{\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} z}}\right)+\left(\left({\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} y}}-{\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} z}}\right){\boldsymbol {i}}+\left({\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} z}}-{\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} x}}\right){\boldsymbol {j}}+\left({\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} x}}-{\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} y}}\right){\boldsymbol {k}}\right)}
  

麦克斯韦在1873年的论文中将其中的“标量部分”：
  
    
      
        −
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  B
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    d
                  
                  C
                
                
                  
                    d
                  
                  y
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    d
                  
                  D
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle -\left({\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} y}}+{\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} z}}\right)}
  
称为“聚集度”（Convergence），而将“向量部分”：
  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  D
                
                
                  
                    d
                  
                  y
                
              
            
            −
            
              
                
                  
                    d
                  
                  C
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
          
          )
        
        
          i
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  B
                
                
                  
                    d
                  
                  z
                
              
            
            −
            
              
                
                  
                    d
                  
                  D
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
          
          )
        
        
          j
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                  C
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  
                    d
                  
                  B
                
                
                  
                    d
                  
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} y}}-{\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} z}}\right){\boldsymbol {i}}+\left({\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} z}}-{\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} x}}\right){\boldsymbol {j}}+\left({\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} x}}-{\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} y}}\right){\boldsymbol {k}}}
  
称为“旋度”（Curl）或“变度”（Version）:131-132。他在写给泰特的信中解释了他起名“旋度”前的想法。他最初想将这一部分称为“扭曲度”（Twist），但可能会被理解为“旋扭”（screw）或“螺旋”（helix）；而他想表达的概念是类似“转”（turn）或“变动”（version）。他曾想用“拧动”（Twirl）一词，但又认为它太过“活泼”（racy），对于数学家来说动感过于强烈，所以最后使用了“旋度”:132。海维赛德在1883年发表的论文：《电学与磁学中的若干关系》（Some Electrostatic and Magnetic Relations）中讨论了
  
    
      
        
          ∇
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}
  
算子对一个四元数
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
的作用效果。他认为有必要将
  
    
      
        
          ∇
        
        q
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}q}
  
的三个部分分开，将
  
    
      
        
          ∇
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}
  
算子对
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
的向量部分作用的结果分成散度部分
  
    
      
        div
        
        q
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} \,q}
  
和旋度部分
  
    
      
        
          c
          u
          r
          l
          
        
        q
      
    
    {\displaystyle \mathbf {curl\,} q}
  
:166-167。


参见 散度
涡量
偏导数
在圆柱和球坐标系中的del
向量恆等式列表


注释 参考来源