在线性代数中，一個
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
的矩陣
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的跡（或跡數），是指
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的主對角線（從左上方至右下方的對角線）上各個元素的總和，一般記作
  
    
      
        tr
        ⁡
        (
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )}
  
或
  
    
      
        Sp
        ⁡
        (
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Sp} (\mathbf {A} )}
  
：

  
    
      
        tr
        ⁡
        (
        
          A
        
        )
        =
        
          
            A
          
          
            1
            ,
            1
          
        
        +
        
          
            A
          
          
            2
            ,
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            A
          
          
            n
            ,
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} _{1,1}+\mathbf {A} _{2,2}+\cdots +\mathbf {A} _{n,n}}
  

其中
  
    
      
        
          
            A
          
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} _{i,j}}
  
代表矩陣的第i行j列上的元素的值。一個矩陣的跡是其特徵值的總和（按代數重數計算）。 
跡的英文為trace，是來自德文中的Spur這個單字（與英文中的Spoor是同源詞），在數學中，通常簡寫為「Sp」或「tr」。


例子 設有矩陣：

  
    
      
        
          A
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  3
                
                
                  5
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  9
                
                
                  2
                
              
              
                
                  7
                
                
                  6
                
                
                  4
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&5&1\\0&9&2\\7&6&4\end{bmatrix}}}
  

它的跡是：

  
    
      
        tr
        ⁡
        (
        
          A
        
        )
        =
        tr
        ⁡
        
          
            [
            
              
                
                  3
                
                
                  5
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  9
                
                
                  2
                
              
              
                
                  7
                
                
                  6
                
                
                  4
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\begin{bmatrix}3&5&1\\0&9&2\\7&6&4\end{bmatrix}}}
  
 = 3 + 9 + 4 = 16


性質 = 线性函数 =
給定一個環
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
，跡是一個從係數在環中的
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
矩陣的空間
  
    
      
        
          
            
              M
            
          
          
            n
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}
  
射到環
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
之上的線性算子。也就是說，對於任兩個
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
的矩陣
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
、
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
和純量
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
，都有：

  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        +
        
          B
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        )
        +
        
          t
          r
        
        (
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )+\mathrm {tr} (\mathbf {B} )}
  

  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        r
        ⋅
        
          A
        
        )
        =
        r
        ⋅
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (r\cdot \mathbf {A} )=r\cdot \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}
  

更進一步來說，當
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
是一個域時，跡數函數
  
    
      
        
          t
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} }
  
是
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
矩陣的空間
  
    
      
        
          
            
              M
            
          
          
            n
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}
  
上的一個線性泛函。
由於一個矩陣
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的轉置矩陣
  
    
      
        
          
            A
          
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}
  
的主對角線元素和原來矩陣的主對角線元素是一樣的，所以任意一個矩陣和其轉置矩陣都會有相同的跡：

  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        
          (
          
            
              A
            
            
              T
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{T}\right)}
  


= 矩阵乘积的迹数 =
設A是一個
  
    
      
        n
        ×
        m
      
    
    {\displaystyle n\times m}
  
矩陣，B是個
  
    
      
        m
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle m\times n}
  
矩陣，則：

  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        
          A
          B
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          B
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )}
  

其中
  
    
      
        
          A
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {AB} }
  
是一個
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
矩陣，而
  
    
      
        
          B
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {BA} }
  
是一個
  
    
      
        m
        ×
        m
      
    
    {\displaystyle m\times m}
  
矩陣。
上述的性質可以由矩陣乘法的定義證明：

  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        
          A
          B
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        (
        
          A
          B
        
        
          )
          
            i
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          
            A
          
          
            i
            j
          
        
        
          
            B
          
          
            j
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            B
          
          
            j
            i
          
        
        
          
            A
          
          
            i
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            m
          
        
        (
        
          B
          A
        
        
          )
          
            j
            j
          
        
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          B
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {AB} )_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\mathbf {A} _{ij}\mathbf {B} _{ji}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{ji}\mathbf {A} _{ij}=\sum _{j=1}^{m}(\mathbf {BA} )_{jj}=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )}
  

如果
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
和
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
都是
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
的方形矩陣，那麼它們的乘積
  
    
      
        
          A
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {AB} }
  
和
  
    
      
        
          B
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {BA} }
  
也會是方形矩陣。因此，利用這個結果，可以推導出：計算若干個同樣大小的方形矩陣的乘積的跡數時，可以循環改變乘積中方形矩陣相乘的順序，而最終的結果不變。例如，有三個方形矩陣
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
、
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
和
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} }
  
，則：

  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        
          A
          B
          C
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          B
          C
          A
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          C
          A
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )}
  

但是要注意：

  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        
          A
          B
          C
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          A
          C
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )\neq \mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )}
  

更一般地，乘積中的矩陣不一定要是方形矩陣，只要某一個循環改變後的乘積依然存在，那麼得到的跡數依然會和原來的跡數相同。
另外，如果
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
、
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
和
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} }
  
是同樣大小的方陣而且還是對稱矩陣的話，那麼其乘積的跡数不只在循環置換下不會改變，而且在所有的置換下都不會改變：

  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        
          A
          B
          C
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          B
          C
          A
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          C
          A
          B
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          A
          C
          B
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          C
          B
          A
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          B
          A
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CBA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BAC} )}
  


= 迹数的相似不变性 =
跡數擁有相似不變性。如果矩陣
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
和
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
相似的話，它們會有相同的跡。這一性質可使上面講過的循環性質來證明：

矩陣
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
和
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
相似也就是說存在可逆矩陣
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
，使得
  
    
      
        
          B
        
        =
        
          P
        
        
          A
        
        
          
            P
          
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1}}
  

因此
  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        
          B
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          P
        
        
          A
        
        
          
            P
          
          
            −
            1
          
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          
            P
          
          
            −
            1
          
        
        
          P
        
        
          A
        
        )
        =
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1})=\mathrm {tr} (\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {P} \mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )}
  


= 矩阵迹数和特征多项式 =
一个
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
的方形矩阵
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的特征多项式
  
    
      
        
          P
          
            A
          
        
        (
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle P_{A}(\lambda )}
  
定义为
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
减去
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
倍的单位矩阵后所得到的矩阵的行列式：

  
    
      
        
          P
          
            A
          
        
        (
        λ
        )
        =
        det
        (
        
          A
        
        −
        λ
        
          I
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )}
  

特征多项式是一个关于
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
的n次多项式，它的常数项是
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
的行列式的值，最高次项是
  
    
      
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          λ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (-1)^{n}\lambda ^{n}}
  
，而接下来的n-1次项就是
  
    
      
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
            −
            1
          
        
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        )
        
          λ
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}}
  
，也就是说：

  
    
      
        
          P
          
            A
          
        
        (
        λ
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          λ
          
            n
          
        
        +
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
            −
            1
          
        
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        )
        
          λ
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        det
        (
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}+\cdots +\det(\mathbf {A} )}
  


= 矩阵迹数与特征值 =
当系数域是代数闭域时（否则可以将系数域扩展到其代数闭包上来看），特征多项式
  
    
      
        
          P
          
            A
          
        
        (
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle P_{A}(\lambda )}
  
有n个根，它可以表达成：

  
    
      
        
          P
          
            A
          
        
        (
        λ
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        (
        λ
        −
        
          r
          
            1
          
        
        
          )
          
            
              α
              
                1
              
            
          
        
        (
        λ
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          )
          
            
              α
              
                2
              
            
          
        
        ⋯
        (
        λ
        −
        
          r
          
            k
          
        
        
          )
          
            
              α
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}(\lambda -r_{1})^{\alpha _{1}}(\lambda -r_{2})^{\alpha _{2}}\cdots (\lambda -r_{k})^{\alpha _{k}}}
  

其中的
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        
          r
          
            2
          
        
        ⋯
        
          r
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1},r_{2}\cdots r_{k}}
  
是特征多项式的不同的根，而
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        
          α
          
            2
          
        
        ⋯
        
          α
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\cdots \alpha _{k}}
  
是这些根在特征多项式裡的重数，称为代数重数。显然，所有代数重数加起来等于n。一方面，特征多项式的根就是矩阵的特征值，而另一方面，借由根与多项式系数的关系可以知道：特征多项式的所有的根加起来等于矩阵的迹数。所以矩阵的迹数是矩阵的所有特征值（按照代数重数计算）的和。

  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        )
        =
        
          α
          
            1
          
        
        
          r
          
            1
          
        
        +
        
          α
          
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          α
          
            k
          
        
        
          r
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\alpha _{1}r_{1}+\alpha _{2}r_{2}+\cdots +\alpha _{k}r_{k}}
  

如果将矩阵写成它的若尔当标准型的话，也可以看出这一点，因为若尔当标准型的特征多项式的所有的根（包括重根）就是对角线上的所有元素。
如果不区分相同或不同的特征值的话，上述关系也可以写成：

  
    
      
        
          t
          r
        
        (
        
          A
        
        )
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}
  

其中的
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
          λ
          
            2
          
        
        ⋯
        
          λ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}}
  
是矩阵的特征值。
而且有：

  
    
      
        ∀
        m
        ∈
        
          N
        
        ,
        
          t
          r
        
        (
        
          
            A
          
          
            m
          
        
        )
        =
        
          λ
          
            1
          
          
            m
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
          
            m
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            n
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ,\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{m})=\lambda _{1}^{m}+\lambda _{2}^{m}+\cdots +\lambda _{n}^{m}}
  


線性映射的跡數 設系数域为
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  
的
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
是一個有限維的向量空間，維數是n。給定任一線性映射
  
    
      
        f
        :
        
          V
        
        →
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {V} \rightarrow \mathbb {V} }
  
，可以定義此一映射的跡數為其变换矩阵的跡，即選定
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
的一個基底並用對應於此基底的一個方形矩陣描述
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，再定義這個方形矩陣的跡數為
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的跡數。這個定義下
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的跡數和所選取的基無關：只需要注意到不同的基底的選取實際上等價於對變換矩陣做一次相似變換，而兩個相似的矩陣的跡數是一樣的。因此這樣的定義是自洽的。
另外一种定义涉及到行列式的性质。考虑
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} }
  
的一个基底
  
    
      
        
          
            B
          
        
        =
        (
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          e
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {B}}=(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}
  
，以及函数：

  
    
      
        S
        p
        :
        
        
        
        
        
          
            V
          
          
            n
          
        
        
        
        
        ⟶
        
        
        
        
        
          K
        
        
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle Sp:\;\;\;\quad \mathbb {V} ^{n}\qquad \;\quad \longrightarrow \quad \qquad \qquad \qquad \mathbb {K} \qquad \qquad \qquad ,}
  

  
    
      
        S
        p
        :
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ⟼
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        det
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        f
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        ,
        ⋯
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Sp:(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}\det(x_{1},x_{2},\cdots ,f(x_{i}),\cdots ,x_{n})}
  

根据行列式理论，这个函数也是一个行列式型的函数，也就是说存在一个只取决于
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的量
  
    
      
        
          S
          p
        
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Sp} (f)}
  
，使得

  
    
      
        S
        p
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          S
          p
        
        (
        f
        )
        ⋅
        det
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Sp(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\mathrm {Sp} (f)\cdot \det(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}
  

可以证明，这个纯量
  
    
      
        
          S
          p
        
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Sp} (f)}
  
就等于之前定义的
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的跡數。


迹的梯度 由迹的定义可知迹可以看作是矩阵的实标量函数，所以我们可以通过求实标量函数的梯度来求迹的梯度。


= 单个矩阵 =
A是m×m矩阵时，有
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                A
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          
            
              I
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}={\mathbf {I} }_{m}}
  

m×m矩阵A可逆时，有
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                
                  A
                
                
                  −
                  1
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        −
        (
        
          
            A
          
          
            −
            2
          
        
        
          )
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-2})^{T}}
  

对于两个向量x和y的外积，有
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                
                  x
                  y
                
                
                  T
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                x
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                
                  y
                  x
                
                
                  T
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                x
              
            
          
        
        =
        
          y
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {xy}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {yx}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\boldsymbol {y}}}
  


= 两个矩阵 =
若A为m×n矩阵，有
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                A
              
              
                
                  A
                
                
                  T
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                
                  A
                
                
                  T
                
              
              
                A
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        2
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} }
  

若A为m×m矩阵，有
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                
                  A
                
                
                  2
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                A
              
              
                A
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        2
        
          
            A
          
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{2})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} ^{T}}
  

若A为m×n矩阵，B是m×n矩阵，有
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                
                  A
                
                
                  T
                
              
              
                B
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                B
              
              
                
                  A
                
                
                  T
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} }
  

若A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，有
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                A
              
              
                B
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                B
              
              
                A
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          
            B
          
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} ^{T}}
  

当A和B均为对称矩阵时，有
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                A
              
              
                B
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                B
              
              
                A
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          B
        
        +
        
          
            B
          
          
            T
          
        
        −
        d
        i
        a
        g
        (
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} +\mathbf {B} ^{T}-diag(\mathbf {B} )}
  

若A和B都是m×m矩阵，并且A是非奇异矩阵，有
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                t
                r
              
              (
              
                B
              
              
                
                  A
                
                
                  −
                  1
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                A
              
            
          
        
        =
        −
        (
        
          
            A
          
          
            −
            1
          
        
        
          
            B
          
          
            T
          
        
        
          
            A
          
          
            −
            1
          
        
        
          )
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} ^{-1})^{T}}
  


參見 行列式
若尔当标准型
对角矩阵
三角矩阵
特征多项式


参考来源 参考书籍 （中文）张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社. 2008. ISBN 9787302092711. 
（英文）Strang Gilbert. Linear algebra and its applications. Thomson, Brooks/Cole, Belmont, CA. 2006. ISBN 9780534422004. 
（中文）居余马、林翠琴. 线性代数. 清华大学出版社. 2002. ISBN 978-7-302-06507-4. 
（英文）Werner Hildbert Greub. linear algebra. Springer Verlag. 1975. ISBN 978-0-387-90110-7. 
（英文）Steven Roman. Advanced Linear Algebra. Springer. 2005. ISBN 0-387-24766-1. 
（英文）Carl Dean Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Book and Solutions Manual. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2001. ISBN 978-0898714548. 
（英文）Karim M. Abadir,Jan R. Magnus. Matrix algebra. Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0521537469.