在幾何學中，偽多邊形（英語：pseudogon）又稱為超無限邊形，是一種位於雙曲平面上的無限邊形，具有偽多邊形群（pseudogonal group）的對稱性，諾曼·約翰遜將一般的發散鏡射形式的無限邊形稱為偽多邊形，其外接圓為極限圓，正偽多邊形在施萊夫利符號中用
  
    
      
        
          {
          
            
              
                i
                π
              
              λ
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\frac {i\pi }{\lambda }}\right\}}
  
表示，其中
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
表示發散垂直鏡射的週期距離，用來表示其拓撲結構具有比無限邊形更多的邊與頂點，換句話說，若其不為發散鏡射形式則只能看做為普通的無限邊形，也因此偽多邊形無法在平面上存在。此外，偽多邊形也可以解釋為未完全具備多邊形性質的多邊形，此種情況下未必需要位於雙曲面，這種偽多邊形其英文也可以寫為pseudo polygon。


正偽多邊形 正偽多邊形（英語：regular pseudogon）又稱雙曲正無限邊形，是雙曲線
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle H^{1}}
  
（並非歐幾里得線）分割為每段長度為
  
    
      
        2
        λ
      
    
    {\displaystyle 2\lambda }
  
線段形成的無限邊形，為具有
  
    
      
        
          [
          
            
              
                i
                π
              
              λ
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[{\frac {i\pi }{\lambda }}\right]}
  
考克斯特群的羅氏無限邊形，可以視為正無限邊形的一種類似物。依據其考克斯特群，其邊數和頂點數將會是
  
    
      
        
          
            
              i
              π
            
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {i\pi }{\lambda }}}
  
個，事實上它頂點數為正無窮大，邊長為
  
    
      
        2
        λ
      
    
    {\displaystyle 2\lambda }
  
，其中
  
    
      
        
          
            
              i
              π
            
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {i\pi }{\lambda }}}
  
用來表示超平形（ultraparallel）的鏡射，虛數值使鏡射變換的角度以一個雙曲線的形式，而存在等式
  
    
      
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              π
              n
            
          
          )
        
        =
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                λ
              
              
                i
                π
              
            
          
          )
        
        =
        cosh
        ⁡
        (
        2
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\cos \left({\frac {\pi \lambda }{i\pi }}\right)=\cosh(2\lambda )}
  
，而
  
    
      
        λ
        ∈
        
          {
          
            
              
                π
                n
              
            
            ∣
            n
            ∈
            
              
                Z
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \in \left\{{\frac {\pi }{n}}\mid n\in {\mathbb {Z}}\right\}}
  
。
其亦可以視為二維空間的雙曲密鋪，和三維雙曲密鋪如：正七邊形鑲嵌、七階三角形鑲嵌等，做類比。其屬於非緊湊空間。
正偽多邊形無法在平面上存在，但可以構造在雙曲面。其可以擁有外接圓和內切圓，但他們必須是雙曲超圓形。


扭歪偽多邊形 扭歪偽多邊形（英語：Skew pseudogon）是偽多邊形對應的扭歪多邊形，即位於非緊雙曲空間的雙曲扭歪無限邊形。


鑲嵌與密鋪 正偽多邊形不能構成平面鑲嵌，但可以構成雙曲鑲嵌，如三階偽多邊形鑲嵌，其考克斯特記號計為。該鑲嵌可以視為偽多邊形在三維空間的類比，稱為偽多面體（pseudohedron）。
二個偽多邊形即可完全鑲嵌整個雙曲平面，稱為二階偽多邊形鑲嵌。


高維類比 偽多面體（pseudohedron）是偽多邊形在三維空間的類比，即在三維非緊雙曲空間中的無限面體，又稱為超無限面體。例如三階七邊形鑲嵌蜂巢體中的正七邊形鑲嵌，由於要使每個頂點都是3個正七邊形鑲嵌的公共頂點使得圖形被變換到非緊雙曲空間中，即幾何中心跑到龐加萊模型外，其外接球為三維雙曲極限球。
偽多胞體（pseudotope）則為非緊雙曲鑲嵌在四維或更高維度類比，例如四階一百二十胞體堆砌。
但嚴格來說，偽多胞形（pseudotope）只會在二維雙曲空間討論，由於二維的考克斯特群表達到無窮之後仍為平面，因此只能用雙曲鏡射的方式以虛數表達雙曲幾何圖形。


參見 正圖形列表


參考文獻