在幾何學中，大星形五角化十二面體是一種星形多面體，由60個互相相交的鈍角等腰三角形組成，在均勻多面體中，其索引編號為DU55，對偶多面體為截角大二十面體。


性質 大星形五角化十二面體由60個面、90條邊和32個頂點組成，是一種六十面體。其具有互相相交的面，是一種複雜多面體，但其僅有面互相相交，其所有面都是凸多邊形。


= 面的組成 =
大星形五角化十二面體的面由60個全等的等腰鈍角三角形組成，每個等腰頓角三角形彼此互相相交，每個等腰三角形皆露出兩個頓角三角形部分，其餘皆隱藏於該立體的內部。露在該立體外部的部分如下圖，以藍色表示，其中黑線代表等腰頓角三角形彼此互相相交的位置：

大星形五角化十二面體一共有兩種邊長，分別為等腰三角形的底邊，和等腰三角形的腰長。
若其對偶多面體截角大二十面體的邊長為單位長，則等腰三角形的腰長為：

  
    
      
        
          
            
              9
              (
              1
              +
              2
              
                
                  5
                
              
              )
            
            19
          
        
        ≈
        2.592
      
    
    {\displaystyle {\frac {9(1+2{\sqrt {5}})}{19}}\approx 2.592}
  

在同樣情況下，等腰三角形的底邊長為：

  
    
      
        
          
            
              3
              (
              1
              +
              
                
                  5
                
              
              )
            
            2
          
        
        ≈
        4.8541
      
    
    {\displaystyle {\frac {3(1+{\sqrt {5}})}{2}}\approx 4.8541}
  


= 二面角 =
大星形五角化十二面體的二面角僅有一種，其值為：

  
    
      
        
          cos
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        (
        −
        
          
            
              80
              −
              9
              
                
                  5
                
              
            
            109
          
        
        )
        ≈
        2.15234
        ≈
        
          123.32
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos ^{-1}(-{\frac {80-9{\sqrt {5}}}{109}})\approx 2.15234\approx 123.32^{\circ }}
  


= 頂點座標 =
若一個大星形五角化十二面體幾何中心位於原點，且其經對偶變換後的立體邊長為1單位長，則其頂點座標為：

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              3
              (
              1
              +
              
                
                  5
                
              
              )
            
            4
          
        
        ,
        0
        ,
        ±
        
          
            
              3
              (
              
                
                  5
                
              
              −
              1
              )
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {3(1+{\sqrt {5}})}{4}},0,\pm {\frac {3({\sqrt {5}}-1)}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        0
        ,
        ±
        
          
            
              3
              (
              
                
                  5
                
              
              −
              1
              )
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              3
              (
              1
              +
              
                
                  5
                
              
              )
            
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (0,\pm {\frac {3({\sqrt {5}}-1)}{4}},\pm {\frac {3(1+{\sqrt {5}})}{4}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              3
              (
              
                
                  5
                
              
              −
              1
              )
            
            4
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              3
              (
              1
              +
              
                
                  5
                
              
              )
            
            4
          
        
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {3({\sqrt {5}}-1)}{4}},\pm {\frac {3(1+{\sqrt {5}})}{4}},0)}
  
、

  
    
      
        (
        0
        ,
        ±
        
          
            
              9
              (
              9
              −
              
                
                  5
                
              
              )
            
            76
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              9
              (
              5
              
                
                  5
                
              
              −
              7
              )
            
            76
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (0,\pm {\frac {9(9-{\sqrt {5}})}{76}},\pm {\frac {9(5{\sqrt {5}}-7)}{76}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              9
              (
              9
              −
              
                
                  5
                
              
              )
            
            76
          
        
        ,
        ±
        
          
            
              9
              (
              5
              
                
                  5
                
              
              −
              7
              )
            
            76
          
        
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {9(9-{\sqrt {5}})}{76}},\pm {\frac {9(5{\sqrt {5}}-7)}{76}},0)}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            
              9
              (
              5
              
                
                  5
                
              
              −
              7
              )
            
            76
          
        
        ,
        0
        ,
        ±
        
          
            
              9
              (
              9
              −
              
                
                  5
                
              
              )
            
            76
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {9(5{\sqrt {5}}-7)}{76}},0,\pm {\frac {9(9-{\sqrt {5}})}{76}})}
  
、

  
    
      
        (
        ±
        
          
            3
            2
          
        
        ,
        ±
        
          
            3
            2
          
        
        ,
        ±
        
          
            3
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\pm {\frac {3}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\pm {\frac {3}{2}})}
  
。


相關多面體 = 對偶複合體 =
對偶複合體，即一個多面體與其對偶多面體組合成的複合圖形。大星形五角化十二面體與其對偶的複合體為複合截角大二十面體大星形五角化十二面體。其共有92個面、180條邊和92個頂點，其尤拉示性數為4，虧格為-1，有12個非凸面。


參見 大星形十二面體


參考文獻 外部連結 埃里克·韦斯坦因. 大星形五角化十二面體. MathWorld.