本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。
德拜-沃勒因子（Debye–Waller factor，DWF），得名于彼得·德拜和伊瓦尔·沃勒，在凝聚态物理学中描述的是X射线衍射中由热运动引起的衰减；又被称作B因子或者温度因子。兰姆-穆斯堡尔因子是德拜-沃勒因子在相干中子散射实验和穆斯堡尔谱学中的一个推广。
在散射实验中，对于散射矢量 
  
    
      
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} }
  
，
  
    
      
        
          DWF
        
        (
        
          q
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{DWF}}(\mathbf {q} )}
  
 给出的是弹性散射的比例；
  
    
      
        1
        −
        
          DWF
        
        (
        
          q
        
        )
      
    
    {\displaystyle 1-{\text{DWF}}(\mathbf {q} )}
  
 则是非弹性散射的比例。（严格来讲，这种概率诠释不是非常准确。）布拉格衍射实验中，弹性散射是出现布拉格峰的原因；而非弹性散射产生的是宽广的背景噪声，除非分析对象是散射粒子的能量（例如非弹性中子散射或是电子能量损失谱），否则均被视为干扰。因此在一般的衍射实验中，只有弹性散射是有效信息。这也使得德拜-沃勒因子的计算在衍射实验中具有重要的意义。


背景 在劳厄完成X射线衍射实验之前，学术界曾经对此实验的可行性进行过讨论。其中一种观点认为，在室温条件下，晶格中的原子由于热运动，是无法维持其在晶格中周期性排列的位置的，因此在实际的实验中不应该观测到任何的衍射峰（即布拉格峰）。
然而，随后劳厄和布拉格等人的X射线衍射实验证实了布拉格峰的存在。实验中，当晶体的温度上升时，布拉格峰的强度下降，但其宽度不变。 以下是德拜的描述：


最初的理论 对此实验现象，德拜给出了最初的理论解释。给结构因子 
  
    
      
        S
        (
        
          q
        
        )
      
    
    {\displaystyle S(\mathbf {q} )}
  
 中表示原子位置的项 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} _{j}}
  
 加上关于时间的微扰项 
  
    
      
        
          u
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} (t)}
  
，得到修正后的原子位置为 
  
    
      
        
          R
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            R
          
          
            j
          
        
        +
        
          u
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} (t)=\mathbf {R} _{j}+\mathbf {u} (t)}
  
。假设每个原子都相对各自的平衡位置独立地振动，则对修正后结构因子中的 
  
    
      
        
          f
          
            j
          
        
        exp
        ⁡
        (
        −
        i
        
          q
        
        ⋅
        
          
            R
          
          
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})}
  
 一项变为：

  
    
      
        
          f
          
            j
          
        
        exp
        ⁡
        (
        −
        i
        
          q
        
        ⋅
        
          
            R
          
          
            j
          
        
        )
        
          ⟨
          
            exp
            ⁡
            
              (
              
                −
                i
                
                  q
                
                ⋅
                
                  u
                
              
              )
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }
  

修正项 
  
    
      
        
          ⟨
          
            exp
            ⁡
            
              (
              
                −
                i
                
                  q
                
                ⋅
                
                  u
                
              
              )
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }
  
 即为德拜-沃勒因子的最初来源。


定义 德拜-沃勒因子的基本表达式为：

  
    
      
        
          DWF
        
        =
        
          
            ⟨
            
              exp
              ⁡
              
                (
                
                  −
                  i
                  
                    q
                  
                  ⋅
                  
                    u
                  
                
                )
              
            
            ⟩
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}}
  

其中的 
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
  
 为热振动引起的位移，
  
    
      
        
          ⟨
          
            .
            .
            .
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle ...\right\rangle }
  
 表示热力学平均。

  
    
      
        
          ⟨
          
            exp
            ⁡
            
              (
              
                −
                i
                
                  q
                
                ⋅
                
                  u
                
              
              )
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }
  
 可被展开为

  
    
      
        1
        −
        i
        
          ⟨
          
            
              q
            
            ⋅
            
              u
            
          
          ⟩
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          ⟨
          
            (
            
              q
            
            ⋅
            
              u
            
            
              )
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
        +
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle 1-i\left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle -{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...}
  

假设 
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
  
 在空间上具有各向同性，即
  
    
      
        
          ⟨
          
            
              q
            
            ⋅
            
              u
            
          
          ⟩
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle =0}
  
，则

  
    
      
        
          ⟨
          
            exp
            ⁡
            
              (
              
                −
                i
                
                  q
                
                ⋅
                
                  u
                
              
              )
            
          
          ⟩
        
        =
        1
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          ⟨
          
            (
            
              q
            
            ⋅
            
              u
            
            
              )
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
        +
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle =1-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...}
  

注意到上式的前两项与 
  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          ⟨
          
            (
            
              q
            
            ⋅
            
              u
            
            
              )
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
        )
      
    
    {\displaystyle \exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}
  
 展开式的前两项是一致的。因此可用 
  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          ⟨
          
            (
            
              q
            
            ⋅
            
              u
            
            
              )
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
        )
      
    
    {\displaystyle \exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}
  
 代换
  
    
      
        
          ⟨
          
            exp
            ⁡
            
              (
              
                −
                i
                
                  q
                
                ⋅
                
                  u
                
              
              )
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }
  
，代入开头的基本表达式：

  
    
      
        
          DWF
        
        =
        
          
            ⟨
            
              exp
              ⁡
              
                (
                
                  −
                  i
                  
                    q
                  
                  ⋅
                  
                    u
                  
                
                )
              
            
            ⟩
          
          
            2
          
        
        =
        (
        exp
        ⁡
        (
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          ⟨
          
            (
            
              q
            
            ⋅
            
              u
            
            
              )
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
        )
        
          )
          
            2
          
        
        =
        exp
        ⁡
        (
        −
        
          ⟨
          
            (
            
              q
            
            ⋅
            
              u
            
            
              )
              
                2
              
            
          
          ⟩
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}=(\exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle ))^{2}=\exp(-\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}
  

即

上式即为德拜-沃勒因子在教科书中常见的定义。值得注意的是上述推导都是在经典物理学的框架之下完成的；而在量子力学中，相同的结论依然成立。
进一步的推导可得

  
    
      
        
          DWF
        
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              q
              
                2
              
            
            ⟨
            
              u
              
                2
              
            
            ⟩
            
              /
            
            3
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\text{DWF}}=\exp \left(-q^{2}\langle u^{2}\rangle /3\right)}
  

其中 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
，
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
 为向量 
  
    
      
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} }
  
，
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
  
 的大小。
  
    
      
        ⟨
        
          u
          
            2
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle u^{2}\rangle }
  
 叫做均方位移。若入射波的波长为 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
，且被弹性散射了 
  
    
      
        2
        θ
      
    
    {\displaystyle 2\theta }
  
 角度，可用下式计算出 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 的大小：

  
    
      
        q
        =
        
          
            
              4
              π
              sin
              ⁡
              (
              θ
              )
            
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle q={\frac {4\pi \sin(\theta )}{\lambda }}}
  


B因子 在对蛋白质结构的研究中，“B因子（B-factor）”这个名称更为常用，其定义为

  
    
      
        B
        =
        8
        
          π
          
            2
          
        
        ⟨
        
          u
          
            2
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle B=8\pi ^{2}\langle u^{2}\rangle }
  

单位为 A2。B因子可被看作是结构中不同部分的相对振动。低B因子的原子从属于结构中良好有序（well ordered）的部分，而高B因子的原子一般属于结构中非常柔性易变（flexible）的部分。蛋白质资料库中的每一ATOM记录（PDB文件格式）都会包含某特定原子的B因子信息。


参见 兰姆-穆斯堡尔因子


注释 参考资料