磁矢势，又稱磁位、磁勢（Magnetic vector potential），通常標記為 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 。磁向量勢的旋度是磁場，以方程式表示

  
    
      
        
          B
        
        =
        ∇
        ×
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 是磁場。
直觀而言，磁向量勢似乎不及磁場來得「自然」、「基本」，而在一般電磁學教科書亦多以磁場來定義磁向量勢。在電磁學發展初期，很多學者認為磁向量勢對於給定介質狀態並沒有實際物理意義，除了方便計算以外，別無其它用途。但是，詹姆斯·馬克士威頗不以為然，他認為磁向量勢可以詮釋為「每單位電荷儲存的動量」，就好像電勢被詮釋為「每單位電荷儲存的能量」。相關論述，稍後會有更詳盡解釋。
磁向量勢並不是唯一定義的；其數值是相對的，相對於某設定數值。因此，學者會疑問到底儲存了多少動量？不論如何，磁向量勢確實具有實際意義。尤其是在量子力學裏，於1959年，阿哈諾夫－波姆效應闡明，假設一個帶電粒子移動經過某零電場、零磁場、非零磁向量勢場區域，則此帶電粒子的波函數相位會有所改變，因而導致可觀測到的干涉現象
 。現在，越來越多學者認為電勢和磁向量勢比電場和磁場更基本。不單如此，有學者認為，甚至在經典電磁學裏，磁向量勢也具有明確的意義和直接的測量值。
磁向量勢與電勢可以共同用來設定電場與磁場。許多電磁學的方程式可以以電場與磁場寫出，或者以磁向量勢與電勢寫出。較高深的理論，像量子力學理論，偏好使用的是磁向量勢與電勢，而不是電場與磁場。因為，在這些學術領域裏所使用的拉格朗日量或哈密頓量，都是以磁向量勢與電勢表達，而不是以電場與磁場表達。
開爾文男爵最先於1851年引入磁向量勢的概念，並且給定磁向量勢與磁場之間的關係。


定義與公式 根據高斯磁定律，磁場是螺線向量場；在空間裏任意位置，磁場的散度等於零：

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          B
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
  
 。
那麼，根據亥姆霍兹定理（Helmholtz theorem） ，必定存在一個極向量場 （poloidal vector field）
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 ，滿足方程式

  
    
      
        
          B
        
        =
        ∇
        ×
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
  
 。(1)
因此，假設 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 在所有位置都是連續性的、良好定義的，則磁單極子絕對不存在。
又根據安培定律，

  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}}
  
 是磁常數，
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
 是電流密度。
應用一則向量恆等式，再採用庫侖規範（Coulomb gauge）， 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          A
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}
  
 ，可以得到

  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        ∇
        ×
        (
        ∇
        ×
        
          A
        
        )
        =
        ∇
        (
        ∇
        ⋅
        
          A
        
        )
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
        
        =
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} =-\nabla ^{2}\mathbf {A} }
  
 。
所以，從安培定律可以推導出電流的帕松方程式：

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} }
  
 。
這帕松方程式的解為

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
        =
         
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∭
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          
            
              
                J
              
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 是場位置， 
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
 是源位置，
  
    
      
        
          
            V
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {V} '}
  
 是體積分的空間，
  
    
      
        
          d
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '}
  
 是微小體元素。
根據法拉第感應定律，

  
    
      
        ∇
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        (
        ∇
        ×
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {A} )}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
 是電場。
重新編排，

  
    
      
        ∇
        ×
        
          (
          
            
              E
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    A
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0}
  
 。
所以，在圓括弧內的表達式具有保守性，是某函數 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 的梯度：

  
    
      
        
          E
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                A
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        −
        ∇
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-\nabla \phi }
  
 。
設定 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 為電勢，重新編排，可以得到電場、電勢、磁向量勢這三者之間的關係式：

  
    
      
        
          E
        
        =
        −
        ∇
        ϕ
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
  
 。(2)
在電動力學和量子力學裏，採用拉格朗日表述，拉格朗日量會用到磁向量勢 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 。更詳盡細節，請參閱包立方程式、拉格朗日量。
採用國際標準制，磁向量勢的單位為伏特·秒／公尺（volt·second·meter−1）。
在電動力學的上下文裏，術語向量勢和純量勢分別指的是磁向量勢與電勢。在數學裏，這兩個術語有更廣義的意義。


規範設定 上述定義並不能唯一地設定磁向量勢，因為，添加任意無旋矢量 
  
    
      
        ∇
        λ
      
    
    {\displaystyle \nabla \lambda }
  
 於磁矢量，不會改變磁場：

  
    
      
        
          B
        
        =
        ∇
        ×
        
          A
        
        =
        ∇
        ×
        (
        
          A
        
        +
        ∇
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla \lambda )}
  
 。
因此，磁向量勢有一個選擇的自由度。這狀況稱為規範不變性。


= 採用庫侖規範的馬克士威方程組 =
根據高斯定律，

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          
            E
          
        
        =
        ρ
        
          /
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {E}}=\rho /\epsilon _{0}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{0}}
  
 是電常數。
將方程式(2)代入，採用庫侖規範，
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          
            A
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}=0}
  
 ，可以得到

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          
            E
          
        
        =
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
        −
        
          
            
              ∂
              (
              ∇
              ⋅
              
                A
              
              )
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {E}}=-\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {A} )}{\partial t}}=-\nabla ^{2}\phi }
  
 。
根據馬克士威-安培定律，

  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
        +
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          
            
              ∂
              
                E
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
  
 。
將方程式(1)、(2)代入，可以得到

  
    
      
        ∇
        ×
        (
        ∇
        ×
        
          A
        
        )
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          [
          
            ∇
            
              (
              
                
                  
                    ∂
                    ϕ
                  
                  
                    ∂
                    t
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  
                    A
                  
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\epsilon _{0}\left[\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right]}
  
 。
所以，馬克士威方程組可以寫為

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
        =
        −
        ρ
        
          /
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-\rho /\epsilon _{0}}
  
 、

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          
            A
          
        
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  A
                
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          
            J
          
        
        +
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        ∇
        
          (
          
            
              
                ∂
                ϕ
              
              
                ∂
                t
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}{\textbf {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\textbf {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}
  
 。
庫侖規範的優點是，很容易就可以計算出電勢，但計算磁向量勢比較困難。


= 採用勞侖次規範的馬克士威方程組 =
採用勞侖次規範，
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 必須滿足條件

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          
            A
          
        
        +
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}
  
 。
這規範的優點是馬克士威方程組可以更簡易對稱地寫為

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              ϕ
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        ρ
        
          /
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\phi -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-\rho /\epsilon _{0}}
  
 、

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          
            A
          
        
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  A
                
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          
            J
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}{\textbf {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\textbf {J}}}
  
 。
以達朗貝爾算符 
  
    
      
        ◻
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          ∇
          
            2
          
        
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box \ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla ^{2}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}
  
 來表示，

  
    
      
        ◻
        ϕ
        =
        −
        ρ
        
          /
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box \phi =-\rho /\epsilon _{0}}
  
 、

  
    
      
        ◻
        
          
            A
          
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          
            J
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box {\textbf {A}}=-\mu _{0}{\textbf {J}}}
  
 。
注意到這兩個方程式的形式為非齊次波動方程式，源項目
  
    
      
        −
        ρ
        
          /
        
        
          ϵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle -\rho /\epsilon _{0}}
  
 、
  
    
      
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          
            J
          
        
      
    
    {\displaystyle -\mu _{0}{\textbf {J}}}
  
 在方程式右手邊。這方程組特別適用於描述電磁波的物理行為。


電磁四維勢 在解析狹義相對論問題時，很自然而然地會將磁向量勢與電勢連結在一起，成為電磁四維勢。這樣做法主要基於三個動機：

第一、電磁四維勢乃是一個四維向量。使用標準四維向量變換規則，假若知道在某慣性參考系的電磁四維勢，很容易就可以計算出在其它慣性參考系的數值。
第二、经典电磁学的內容可以更簡要、更便利地以電磁四維勢表達，特別是當採用勞侖次規範時。
第三、電磁四維勢在量子電動力學裏佔有重要的角色。
電磁四維勢定義為

  
    
      
        
          A
          
            α
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        (
        ϕ
        
          /
        
        c
        ,
        
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )}
  
 。
勞侖次規範以抽象指标记号表示為

  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          A
          
            α
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          ∂
          
            α
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  c
                  ∂
                  t
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\partial }{c\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)}
  
 是對於反變矢量的偏微分。
馬克士威方程組寫為

  
    
      
        ◻
        
          A
          
            α
          
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box A^{\alpha }=-\mu _{0}J^{\alpha }}
  
；
其中，
  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        (
        ρ
        c
        ,
        
        
          j
        
        )
      
    
    {\displaystyle J^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\rho c,\,\mathbf {j} )}
  
 是四維電流密度。
前面談到電勢和磁向量勢分別詮釋為每單位電荷儲存能量和每單位電荷儲存動量。這可以從它們的四維矢量觀察出來。思考四維動量，它是由能量 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 與動量 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 共同組成的四維矢量：

  
    
      
        
          P
          
            α
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                E
                c
              
            
            ,
            
            
              p
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P^{\alpha }=\left({\frac {E}{c}},\,\mathbf {p} \right)}
  
 。
改變觀測的參考系，四維動量的四個分量會有對應的改變，電磁四維勢也會有類似的改變。假若，電磁四維勢的電勢可以詮釋為每單位電荷儲存能量，那麼，電磁四維勢的磁向量勢應該也有足夠的理由詮釋為每單位電荷儲存動量。


從源分佈計算位勢 對於靜態的電荷分佈和電流分佈，電勢 
  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}
  
 和磁向量勢 
  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}
  
 分別定義為

  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          
            
              ρ
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
  
 、

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          
            
              
                J
              
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
  
 ；
其中，
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 是場位置，
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
 是源位置。
在電動力學裏，這兩個方程式必須加以延伸，才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間 
  
    
      
        
          t
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{r}}
  
 為檢驗時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 減去電磁波傳播的時間：

  
    
      
        
          t
          
            r
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        t
        −
        
          
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}
  
 ；
其中，
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 是光速。
假設，從源位置 
  
    
      
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} '}
  
 往場位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 抵達觀測者的場位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 ，則這束電磁波發射的時間是推遲時間 
  
    
      
        
          t
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{r}}
  
 。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 ，會不同於這電磁波發射的推遲時間 
  
    
      
        
          t
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{r}}
  
 。
推遲純量勢 
  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        ,
        
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\,t)}
  
 與推遲向量勢 
  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        ,
        
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}
  
 分別用方程式定義為

  
    
      
        ϕ
        (
        
          r
        
        ,
        
        t
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            1
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          
            
              ρ
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              ,
              
              
                t
                
                  r
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
  
 、

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        ,
        
        t
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
         
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            
              
                V
              
              ′
            
          
        
        
          
            
              
                J
              
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              ,
              
              
                t
                
                  r
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
  
 。
請注意，在這兩個含時方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間 
  
    
      
        
          t
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{r}}
  
 有關，而不是與時間無關。
這兩個含時方程式，是用推理得到的啟發式，而不是用任何定律或公理推導出來的。由於訊號以光速傳播，從源位置到場位置，需要有限時間，所以在時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的推遲勢必定是由在推遲時間 
  
    
      
        
          t
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{r}}
  
 的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要肯定這兩個方程式的正確性與合理性，這兩個方程式必須滿足非齊次的電磁波方程式。


磁向量勢場線圖 關於載流螺線管周圍的磁向量勢繪圖，請參閱理查·費曼的著作。
在靜磁學裏，安培方程式為 
  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
  
 。這與方程式 
  
    
      
        ∇
        ×
        
          A
        
        =
        
          B
        
         
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} \ }
  
 很相像。因此，磁場 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 所生成的磁向量勢 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 的場線，就好似電流密度 
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}\mathbf {J} }
  
 所生成的磁場 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 場線，所以，在一圈磁通量周圍的磁向量勢的場線，看起來就好似在一圈電流周圍的磁場線。
右圖顯示出磁向量勢的場線。紅線越粗代表磁向量勢越強（路徑越短，磁向量勢越強，但是磁向量勢的閉合路徑積分相同）。
採用庫侖規範，磁場的散度和旋度分別為

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          B
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
  
 、

  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
  
 ；
而磁向量勢的散度和旋度分別為

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          A
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}
  
 、

  
    
      
        ∇
        ×
        
          A
        
        =
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }
  
 。
所以，可以將 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 類比於 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 。磁向量勢的源頭是磁場，就如同磁場的源頭是電流。


歷史 麥可·法拉第最先提出電緊張態的概念。在研究電磁感應理論時，他發現當將物體放在磁鐵或電流的附近時，物體會進入一種狀態。假若不打擾這系統，則處於此狀態的物體不會自發地顯示出任何現象。但是，一當系統有所變化，像磁鐵被移動了，或電流被增大了，則這狀態也會改變，因而產生電流或趨向產生電流。法拉第稱此狀態為「電緊張態」（electrontonic state）。但是，這概念並沒有被很明確地說明。
後來，開爾文男爵於1851年引入磁向量勢的概念，並且給定磁向量勢與磁場之間的關係：

  
    
      
        
          B
        
        =
        ∇
        ×
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
  
。
在論文《論法拉第力線》的後半部分，馬克士威開始仔細分析電緊張態的物理性質。他給出一條重要定律：作用於一個導體的微小元素的電場，可以由該微小元素的電緊張態對於時間的導數來量度。以現代標記表示，這方程式為

  
    
      
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              
                A
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =-{\dot {\mathbf {A} }}}
  
。
這是馬克士威學術生涯中的第一個重要突破，他將法拉第的電緊張態辨識為開爾文男爵的磁向量勢，並且對於電緊張態給出嚴格定義。
對於電緊張態的定義式取旋度，則可得到法拉第感應方程式：

  
    
      
        ∇
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              
                B
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\dot {\mathbf {B} }}}
  
。
馬克士威在他的論文裏特別提出，開爾文男爵於1851年發現的關於磁向量勢的數學性質，即任意添加一個函數的梯度給磁向量勢，都不會改變磁向量勢與磁場的關係式、法拉第感應方程式，這數學性質後來演化為現今規範自由的概念。


相关条目 磁标势
全球地磁模型


註釋 參考文獻 参考书目 Duffin, W.J. Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill. 1990. ISBN 007707209X. 
Jackson, John Davd, Classical Electrodynamics 3rd, John-Wiley, 1999, ISBN 047130932X 
Kraus, John D., Electromagnetics 3rd, McGraw-Hill, 1984, ISBN 0070354235 
Ulaby, Fawwaz. Fundamentals of Applied Electromagnetics, Fifth Edition. Pearson Prentice Hall. 2007: 226–228. ISBN 0-13-241326-4. 


外部連結 量子力學中的 Vector potentials ，洪在明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（《物理雙月刊》 17卷4期（1995年8月））