在數學裡，反函數，也称为逆函数（英語：Inverse function），為對一個定函數做逆運算的函數。


定义与存在性 設
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
為一函數，其定義域為
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，陪域為
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
。如果存在一函數
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
，其定義域和陪域分別為
  
    
      
        Y
        ,
        
        X
      
    
    {\displaystyle Y,\,X}
  
，並對任意
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
有

  
    
      
        g
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle g(f(x))=x}
  
、對任意
  
    
      
        y
        ∈
        Y
      
    
    {\displaystyle y\in Y}
  
有
  
    
      
        f
        (
        g
        (
        y
        )
        )
        =
        y
      
    
    {\displaystyle f(g(y))=y}
  
，則稱
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
為
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的反函數，記之為
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{-1}}
  
。
若一函數有反函數，便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。
若
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
為一实函数，还可通過水平線測試判断其是否为单射、满射与双射。


与限制的关系 一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。例如

  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →
        [
        0
        ,
        ∞
        )
        ,
        
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\,f(x)=x^{2}}
  

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
并不是单射，因
  
    
      
        f
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle f(1)}
  
和
  
    
      
        f
        (
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle f(-1)}
  
均为
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
。但若取其到
  
    
      
        [
        0
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle [0,\infty )}
  
上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数

  
    
      
        
          
            
              f
              
                
                  
                    |
                  
                  
                    [
                    0
                    ,
                    −
                    ∞
                    )
                  
                
              
            
          
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            x
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {f_{|_{[0,-\infty )}}}^{-1}(x)={\sqrt {x}}.}
  

反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性，如

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        x
        +
        2
        π
        )
        =
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x),}
  

这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如反正弦函数通常定义为正弦函数到
  
    
      
        
          [
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ,
            
              
                π
                2
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
  
上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域，称作其主值。


性質 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
原函数与其反函数的函数图像关于函数
  
    
      
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y=x}
  
的图像对称。
严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            −
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{-3}}
  


注释 参考资料 另見 值域
逆關係
反函数定理