调日法是南北朝数学家何承天发明的一种系统地寻找最佳逼近（帕德近似）以表示天文数据或数学常数的内插法。据宋史卷七十四：“宋世何承天，更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率；于强弱之际，以求日法……自后治历者，莫不因承天法，累强弱之数”调日法后來传入日本。

中国有学者认为祖冲之可能利用何承天的调日法求得圆周率的约率和密率：

圆周率的约率为 
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
         
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}}\ }
  

圆周率的密率为 
  
    
      
        
          
            355
            113
          
        
         
      
    
    {\displaystyle {\frac {355}{113}}\ }
  

何承天的调日法是他对数学的一项重要贡献。一千年以后，15世纪法国数学家尼古拉·许凯（1455年 ━ 1488年），才使用相似的插入法。


何承天调日法原理 已知
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        <
        
          
            c
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}
  

则
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        <
        
          
            
              a
              +
              c
            
            
              b
              +
              d
            
          
        
        <
        
          
            c
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}}
  
 
推而广之：

  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        <
        
          
            
              m
              a
              +
              k
              c
            
            
              m
              b
              +
              k
              d
            
          
        
        <
        
          
            c
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {ma+kc}{mb+kd}}<{\frac {c}{d}}}
  
，其中 m,k 为正整数。
欲求精确分数
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{n}}
  
使
  
    
      
        
          |
        
        f
        −
        
          f
          
            n
          
        
        
          |
        
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle |f-f_{n}|<\delta }
  
，其中
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
为误差界限。
令
  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
        =
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{0}={\frac {a}{b}}}
  
为弱率，
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        =
        
          
            c
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{1}={\frac {c}{d}}}
  
为强率。
第一步，根据下列方法求得一个近似分数

  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              a
              +
              c
            
            
              b
              +
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{2}={\frac {a+c}{b+d}}}
  

如果
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        >
        f
      
    
    {\displaystyle f_{2}>f}
  
，则将
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              a
              +
              c
            
            
              b
              +
              d
            
          
        
         
      
    
    {\displaystyle f_{2}={\frac {a+c}{b+d}}\ }
  
 作为新的强分数，和旧弱分数 
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
         
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}\ }
  
调日得到近似分数：

  
    
      
        
          f
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              a
              +
              c
              +
              a
            
            
              b
              +
              d
              +
              b
            
          
        
         
      
    
    {\displaystyle f_{3}={\frac {a+c+a}{b+d+b}}\ }
  

如果
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        <
        f
      
    
    {\displaystyle f_{2}<f}
  
， 则将
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              a
              +
              c
            
            
              b
              +
              d
            
          
        
         
      
    
    {\displaystyle f_{2}={\frac {a+c}{b+d}}\ }
  
 作为新的弱分数，和旧强分数 
  
    
      
        
          
            c
            d
          
        
         
      
    
    {\displaystyle {\frac {c}{d}}\ }
  
 调日得到近似分数：

  
    
      
        
          f
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              a
              +
              c
              +
              c
            
            
              b
              +
              d
              +
              d
            
          
        
         
      
    
    {\displaystyle f_{3}={\frac {a+c+c}{b+d+d}}\ }
  

反复操作，到
  
    
      
        
          |
        
        f
        −
        
          f
          
            n
          
        
        
          |
        
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle |f-f_{n}|<\delta }
  
 为止。
另外，还可以直接求m,k的数值，加快逼近速度：
若
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        <
        x
        <
        
          
            c
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}<x<{\frac {c}{d}}}
  
，且 
  
    
      
        x
        −
        
          
            a
            b
          
        
        =
        
          d
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x-{\frac {a}{b}}=d_{1}}
  
以及
  
    
      
        
          
            c
            d
          
        
        −
        x
        =
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {c}{d}}-x=d_{2}}
  

如果有正整数m,k满足：
  
    
      
        
          
            
              k
              d
            
            
              m
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                1
              
            
            
              d
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {kd}{mb}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}}
  

那么就有：
  
    
      
        x
        =
        
          
            
              m
              a
              +
              k
              c
            
            
              m
              b
              +
              k
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {ma+kc}{mb+kd}}}
  

证明如下：由条件可得

  
    
      
        
          
            
              
                b
                
                  d
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                b
                x
                −
                a
              
            
            
              
                d
                
                  d
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                c
                −
                d
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}bd_{1}&=bx-a\\dd_{2}&=c-dx\end{aligned}}}
  

而根据
  
    
      
        
          
            
              k
              d
            
            
              m
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                1
              
            
            
              d
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {kd}{mb}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}}
  
又有

  
    
      
        m
        b
        
          d
          
            1
          
        
        =
        k
        d
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle mbd_{1}=kdd_{2}}
  

代入上面的两个关系式可得：

  
    
      
        m
        (
        b
        x
        −
        a
        )
        =
        k
        (
        c
        −
        d
        x
        )
      
    
    {\displaystyle m(bx-a)=k(c-dx)}
  

解关于x的一元一次方程就有结果：

  
    
      
        x
        =
        
          
            
              m
              a
              +
              k
              c
            
            
              m
              b
              +
              k
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {ma+kc}{mb+kd}}}
  


应用 何承天调日法被同时代和后代数学家如赵爽，祖冲之，一行等运用。


= 朔望月 =
何承天将 
  
    
      
        
          
            9
            17
          
        
        =
        0.529412...
         
      
    
    {\displaystyle {\frac {9}{17}}=0.529412...\ }
  
作为朔望月零数部分的弱率，以
  
    
      
        
          
            26
            49
          
        
        =
        0.530612...
         
      
    
    {\displaystyle {\frac {26}{49}}=0.530612...\ }
  
作为朔望月零数部分的强率。运用调日法，最后得到 
  
    
      
        
          
            399
            752
          
        
         
      
    
    {\displaystyle {\frac {399}{752}}\ }
  
，根据他的观测数值0.530585，首先计算d1,d2

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                0.530585
                −
                0.529412
              
              
                =
                0.001173
              
            
            
              
                
                  d
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                0.530612
                −
                0.530585
              
              
                =
                0.000027
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=0.530585-0.529412&=0.001173\\d_{2}&=0.530612-0.530585&=0.000027\end{aligned}}}
  

寻找满足以下关系的m,k值：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      49
                      k
                    
                    
                      17
                      m
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    1173
                    27
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    k
                    m
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      1173
                      ×
                      17
                    
                    
                      49
                      ×
                      27
                    
                  
                
              
              
                ≈
                

                
                15.07
                …
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {49k}{17m}}&={\frac {1173}{27}}\\{\frac {k}{m}}&={\frac {1173\times 17}{49\times 27}}&\approx {}15.07\ldots \end{aligned}}}
  

可以令(m,k)=(1,15)
从而得到：

  
    
      
        
          
            
              1
              ×
              9
              +
              15
              ×
              26
            
            
              1
              ×
              17
              +
              15
              ×
              49
            
          
        
        =
        
          
            399
            752
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1\times 9+15\times 26}{1\times 17+15\times 49}}={\frac {399}{752}}}
  

727年唐朝天文学家一行在《大衍历》中用同样的弱率和强率求得  
  
    
      
        
          
            1613
            3040
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1613}{3040}}}
  


= 闰周问题 =
南北朝数学家祖冲之熟悉调日术，他以
  
    
      
        
          
            4
            11
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {4}{11}}}
  
为弱率， 
以
  
    
      
        
          
            7
            19
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {7}{19}}}
  
为强率，通过调日法得到
  
    
      
        
          
            144
            391
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {144}{391}}}
  


= 近点月 =
何承天以
  
    
      
        
          
            56
            101
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {56}{101}}}
  
为弱率，以
  
    
      
        
          
            5
            9
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{9}}}
  
为强率，用调日法求得近点月为
  
    
      
        
          
            417
            752
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {417}{752}}}
  
。祖冲之也得到高精度的数值
  
    
      
        
          
            14631
            26377
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {14631}{26377}}}
  


= 圆周率约率和密率 =
祖冲之求圆周率约率和密率的方法已失传。有学者认为他用刘徽割圆术求得圆周率的约率和密率 ；也有学者认为祖冲之有可能用何承天的调日法求得圆周率的约率和密率的分数表示式。 祖冲之对调日法是熟悉的，他自己就用过调日法改进何承天近点月
  
    
      
        
          
            417
            752
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {417}{752}}}
  
为更加精确的
  
    
      
        
          
            14631
            26377
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {14631}{26377}}}
  

取
  
    
      
        π
        ≈
        3.1416
      
    
    {\displaystyle \pi \approx 3.1416}
  
，先只考虑小数部分，根据
  
    
      
        
          
            1
            8
          
        
        <
        0.1416
        <
        
          
            1
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{8}}<0.1416<{\frac {1}{7}}}
  
，用调日法进行计算： 

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                0.1416
                −
                0.125
              
              
                =
                0.0166
              
            
            
              
                
                  d
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                0.142857
                −
                0.1416
              
              
                =
                0.001257
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=0.1416-0.125&=0.0166\\d_{2}&=0.142857-0.1416&=0.001257\end{aligned}}}
  

寻找满足以下关系的m,k值：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      7
                      k
                    
                    
                      8
                      m
                    
                  
                
                =
                
                  
                    0.0166
                    0.001257
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    k
                    m
                  
                
                =
                
                  
                    
                      8
                      ×
                      0.0166
                    
                    
                      7
                      ×
                      0.001257
                    
                  
                
              
              
                
                ≈
                

                
                15.09
                …
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {7k}{8m}}={\frac {0.0166}{0.001257}}\\{\frac {k}{m}}={\frac {8\times 0.0166}{7\times 0.001257}}&\approx {}15.09\ldots \end{aligned}}}
  

所以可以令(m,k)=(1,15)，从而可以得到结果：

  
    
      
        3
        +
        
          
            
              1
              ×
              1
              +
              1
              ×
              15
            
            
              1
              ×
              8
              +
              15
              ×
              7
            
          
        
        =
        3
        +
        
          
            16
            113
          
        
        =
        
          
            355
            113
          
        
      
    
    {\displaystyle 3+{\frac {1\times 1+1\times 15}{1\times 8+15\times 7}}=3+{\frac {16}{113}}={\frac {355}{113}}}
  

祖冲之密率 
  
    
      
        
          
            355
            113
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {355}{113}}}
  
 和π之误差为0.0000002668。下一个比之更為精确的分数为 
  
    
      
        
          
            52163
            16604
          
        
        =
        3.1415923874
      
    
    {\displaystyle {\frac {52163}{16604}}=3.1415923874}
  
 误差为 -0.0000002662，分子、分母都比祖冲之密率的分子、分母複雜得多。
祖冲之很可能先用刘徽割圆术求出圆周率。刘徽割圆术计算需要多次开平方运算，例如用八次割圆术得到 
  
    
      
        π
        ≈
        
          
            3927
            1250
          
        
        =
        3.1416
      
    
    {\displaystyle \pi \approx {\frac {3927}{1250}}=3.1416}
  
， 无论分子分母都比祖冲之密率的分子分母复杂，但还不如密率的分数表示准确。用十一次割圆术可得到和密率相当精确但比较复杂的分数，再通过调日法求得准确而又简单的分数式。
调日法后传入日本。日本数学家关孝和（Seki, Takakazu, 1642-1708）在《括要算法》一书中称之为零约术，并用之得出圆周率的近似分数为 
  
    
      
        
          
            355
            113
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {355}{113}}}
  
，正是祖冲之的密率。


黄金分割与斐波那契数列 黄金分割：

  
    
      
        φ
        =
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              +
              1
            
            2
          
        
        ≈
        1.6180339887...
      
    
    {\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.6180339887...}
  

用调日法求分数表示：

  
    
      
        
          
            1
            1
          
        
        ,
        
          
            2
            1
          
        
        ,
        
          
            3
            2
          
        
        ,
        
          
            5
            3
          
        
        ,
        
          
            8
            5
          
        
        ,
        
          
            13
            8
          
        
        ,
        
          
            21
            13
          
        
        ,
        
          
            34
            21
          
        
        ,
        
          
            55
            34
          
        
        ,
        
          
            89
            55
          
        
        ,
        
          
            144
            89
          
        
        ,
        
          
            233
            144
          
        
        ,
        
          
            377
            233
          
        
        ,
        
          
            610
            377
          
        
        ,
        
          
            987
            610
          
        
        ,
        
          
            1597
            987
          
        
        ,
        
          
            2584
            1597
          
        
        ,
        
          
            4181
            2584
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},{\frac {13}{8}},{\frac {21}{13}},{\frac {34}{21}},{\frac {55}{34}},{\frac {89}{55}},{\frac {144}{89}},{\frac {233}{144}},{\frac {377}{233}},{\frac {610}{377}},{\frac {987}{610}},{\frac {1597}{987}},{\frac {2584}{1597}},{\frac {4181}{2584}}}
  

分母1,2,3,5,8,13,21,....正是斐波那契数列。


其他 √2=1.4142135623 ~=
  
    
      
        
          
            99
            70
          
        
      
    
    {\displaystyle {99 \over 70}}
  

√3=1.7320508075 ~=
  
    
      
        
          
            71
            41
          
        
      
    
    {\displaystyle {71 \over 41}}
  

√5=2.2360679775 ~=
  
    
      
        
          
            199
            89
          
        
      
    
    {\displaystyle {199 \over 89}}
  

√10=3.162277660 ~=
  
    
      
        
          
            117
            37
          
        
      
    
    {\displaystyle {117 \over 37}}
  

  
    
      
        
          
            2
            
              12
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}
  
=1.059463094~=
  
    
      
        
          
            107
            101
          
        
      
    
    {\displaystyle {107 \over 101}}
  

e=2.718281828 ~=
  
    
      
        
          
            2721
            1001
          
        
      
    
    {\displaystyle {2721 \over 1001}}
  

普朗克常数 ~=
  
    
      
        
          
            53
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {53 \over 8}}
  
x10-34
万有引力常数 G~=
  
    
      
        
          
            227
            34
          
        
      
    
    {\displaystyle {227 \over 34}}
  
x10-11
阿伏伽德罗常量~=
  
    
      
        
          
            241
            40
          
        
      
    
    {\displaystyle {241 \over 40}}
  
x1023
玻尔兹曼常数~=
  
    
      
        
          
            29
            21
          
        
      
    
    {\displaystyle {29 \over 21}}
  
x10-23


参考文献