在数学中，泰勒公式（英語：Taylor's Formula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一個可微函數，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，這個多項式稱為泰勒多項式（Taylor polynomial）。泰勒公式还给出了餘項即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了帶有余項的現在形式的泰勒定理。


泰勒公式 泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
  
在
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
的附近可以用以下多项式来近似地表示：

  
    
      
        
          
            
              e
            
          
          
            x
          
        
        ≈
        1
        +
        x
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.}
  

称为指数函数在0处的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
阶泰勒展开公式。这个公式只对
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
附近的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
有用，
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
离
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。

  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              e
            
          
          
            x
          
        
        −
        
          (
          
            1
            +
            x
            +
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  !
                
              
            
            +
            
              
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                
                  3
                  !
                
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                
                  n
                  !
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle R_{n}(x)={\textrm {e}}^{x}-\left(1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}
  


泰勒定理 对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：

  
    
      
        f
        (
        a
        +
        h
        )
        =
        f
        (
        a
        )
        +
        
          f
          
            ′
          
        
        (
        a
        )
        h
        +
        o
        (
        h
        )
      
    
    {\displaystyle f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+o(h)}
  
，其中
  
    
      
        o
        (
        h
        )
      
    
    {\displaystyle o(h)}
  
 是比h 高阶的无穷小。
也就是说
  
    
      
        f
        (
        a
        +
        h
        )
        ≈
        f
        (
        a
        )
        +
        
          f
          
            ′
          
        
        (
        a
        )
        h
      
    
    {\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f^{\prime }(a)h}
  
，或
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ≈
        f
        (
        a
        )
        +
        
          f
          
            ′
          
        
        (
        a
        )
        (
        x
        −
        a
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}
  
。
注意到
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 和
  
    
      
        f
        (
        a
        )
        +
        
          f
          
            ′
          
        
        (
        a
        )
        (
        x
        −
        a
        )
      
    
    {\displaystyle f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}
  
 在a 处的零阶导数和一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在a 处的前n 次导数值都与函数在a 处的前n 次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a 附近的情况。以下定理说明这是正确的：

  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle R_{n}(x)}
  
 的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。
带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：

也就是说，当x 无限趋近a 时，余项
  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle R_{n}(x)}
  
 将会是
  
    
      
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-a)^{n}}
  
 的高阶无穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于
  
    
      
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-a)^{n}}
  
。这个结论可以由下面更强的结论推出。
带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：

即
  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  n
                  +
                  1
                  )
                
              
              (
              ξ
              )
            
            
              (
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            (
            n
            +
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{(n+1)}}
  
，其中
  
    
      
        ξ
        ∈
        (
        a
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \xi \in (a,x)}
  
。
带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广：

  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            x
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  n
                  +
                  1
                  )
                
              
              (
              t
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        t
        
          )
          
            n
          
        
        
        d
        t
        ,
      
    
    {\displaystyle R_{n}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,dt,}
  


余项估计 拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。设函数在区间[a − r, a + r] 上n 次连续可微并且在区间(a − r, a + r) 上n + 1 次可导。如果存在正实数Mn 使得区间(a − r, a + r) 里的任意x 都有 
  
    
      
        
          |
        
        
          f
          
            (
            n
            +
            1
            )
          
        
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        
          M
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle |f^{(n+1)}(x)|\leq M_{n}}
  
，那么：

其中
  
    
      
        
          |
        
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        
          M
          
            n
          
        
        
          
            
              r
              
                n
                +
                1
              
            
            
              (
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |R_{n}(x)|\leq M_{n}{\frac {r^{n+1}}{(n+1)!}}}
  
。这个上界估计对区间(a − r, a + r) 里的任意x 都成立，是一个一致估计。
如果当n 趋向于无穷大时，还有
  
    
      
        
          M
          
            n
          
        
        
          
            
              r
              
                n
                +
                1
              
            
            
              (
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle M_{n}{\frac {r^{n+1}}{(n+1)!}}\rightarrow 0}
  
，那么可以推出 
  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        →
        0
      
    
    {\displaystyle R_{n}(x)\rightarrow 0}
  
，f 是区间(a − r, a + r) 上解析函数。f 在区间(a − r, a + r) 上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的極限。


多元泰勒公式 对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设B(a, r ) 是欧几里得空间RN 中的开球，ƒ 是定义在B(a, r ) 的閉包（即閉球）上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1 次偏导数。这时的泰勒公式为：

对所有
  
    
      
        x
        ∈
        
          B
        
        (
        a
        ,
        r
        )
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbf {B} (a,r)}
  
，

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            
              |
            
            α
            
              |
            
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            1
            
              α
              !
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  α
                
              
              f
              (
              a
              )
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            α
          
        
        +
        
          ∑
          
            
              |
            
            α
            
              |
            
            =
            n
            +
            1
          
        
        
          R
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{|\alpha |=0}^{n}{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}}(x-a)^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=n+1}R_{\alpha }(x)(x-a)^{\alpha }}
  

其中的 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 是多重指标，即
  
    
      
        
          |
        
        α
        
          |
        
        =
        
          α
          
            1
          
        
        +
        
          α
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          α
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}}
  
 , 
  
    
      
        α
        !
        =
        
          α
          
            1
          
        
        !
        ⋅
        
          α
          
            2
          
        
        !
        ⋅
        .
        .
        .
        ⋅
        
          α
          
            n
          
        
        !
      
    
    {\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdot ...\cdot \alpha _{n}!}
  
 。
若
  
    
      
        x
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
  
 ,则记 :
  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
        =
        
          x
          
            1
          
          
            
              α
              
                1
              
            
          
        
        
          x
          
            2
          
          
            
              α
              
                2
              
            
          
        
        .
        .
        .
        
          x
          
            n
          
          
            
              α
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}...x_{n}^{\alpha _{n}}}
  
,
  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  α
                
              
              f
              (
              a
              )
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  .
                  .
                  .
                  +
                  
                    α
                    
                      n
                    
                  
                
              
              f
              (
              a
              )
            
            
              ∂
              
                x
                
                  1
                
                
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                x
                
                  2
                
                
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                
              
              .
              .
              .
              
                x
                
                  n
                
                
                  
                    α
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}}={\frac {\partial ^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}}f(a)}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}...x_{n}^{\alpha _{n}}}}}
  
.
其中的余项也满足不等式：

对所有满足 |α| = n + 1 的 α，
  
    
      
        
          |
        
        
          R
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        
          sup
          
            y
            ∈
            
              
                
                  B
                  ¯
                
              
            
          
        
        
          |
          
            
              
                1
                
                  α
                  !
                
              
            
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      α
                    
                  
                  f
                  (
                  y
                  )
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      α
                    
                  
                
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle |R_{\alpha }(x)|\leq \sup _{y\in {\bar {B}}}\left|{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(y)}{\partial x^{\alpha }}}\right|}
  

特别地，多元形式的泰勒公式可表示为：

  
    
      
        f
        (
        a
        +
        h
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            m
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  α
                
              
              f
              (
              a
              )
            
            
              α
              !
            
          
        
        
          ∂
          
            x
            
              α
            
          
        
        
          h
          
            α
          
        
        +
        
          R
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle f(a+h)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\alpha !}}{\partial x^{\alpha }}h^{\alpha }+R_{m}}
  

其中
  
    
      
        
          R
          
            m
          
        
        =
        
          ∑
          
            
              |
            
            α
            
              |
            
            =
            m
            +
            1
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  α
                
              
              f
              (
              a
              +
              θ
              h
              )
            
            
              α
              !
            
          
        
        
          h
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{m}=\sum _{|\alpha |=m+1}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha !}}h^{\alpha }}
  
.
在应用上述公式时，特别重要的是展开式的前三项，即：

  
    
      
        f
        (
        a
        +
        h
        )
        =
        f
        (
        a
        )
        +
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  1
                
              
            
          
        
        (
        a
        )
        
          h
          
            1
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        (
        a
        )
        
          h
          
            n
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        (
        a
        )
        +
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle f(a+h)=f(a)+{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)h_{1}+...+{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)h_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(a)+...}
  
.
运用雅可比矩阵与海森矩阵，则上式可表示为：

  
    
      
        f
        (
        a
        +
        h
        )
        =
        f
        (
        a
        )
        +
        J
        f
        (
        a
        )
        h
        +
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          h
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        
          h
          
            n
          
        
        )
        H
        f
        (
        a
        )
        
          
            (
            
              
                
                  
                    h
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  .
                  .
                  .
                
              
              
                
                  
                    h
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        +
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle f(a+h)=f(a)+Jf(a)h+{\frac {1}{2}}(h_{1},...h_{n})Hf(a){\begin{pmatrix}h_{1}\\...\\h_{n}\\\end{pmatrix}}+...}
  

其中
  
    
      
        J
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle Jf(a)}
  
 为雅可比矩阵，
  
    
      
        H
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle Hf(a)}
  
 为海森矩阵.


參閱 泰勒級數
拉格朗日型餘項
佩亞諾型餘項
麥克勞林公式


参考来源 Apostol, Tom. 《微积分学》（Calculus）. Jon Wiley & Sons, Inc. 1967. ISBN 0-471-00005-1. 
Klein, Morris. 《微积分学：直观物理方法》(Calculus: An Intuitive and Physical Approach). Dover. 1998. ISBN 0-486-40453-6. 
Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8. 
清华大学数学科学系微积分编写组. 《微积分(Ⅱ)》. 清华大学出版社. 2000. ISBN 7-302-06917-4. 
Murray H. Protter, Charles Bradfield Morrey. 《中等微积分》(Intermediate calculus). Springer. 1986. ISBN 978-0-387-96058-6.