巴特勒–福尔默方程（英語：Butler–Volmer equation），也称为埃爾第-格魯兹–福爾默方程（Erdey-Gruz–Volmer equation），是电化学领域的一个最基本的动力学关系。它描述了电极上的电流如何随电极电势变化，考虑到陰極方向（cathodic）和陽極方向（anodic）的反应会出现在同一个电极上：

  
    
      
        j
        =
        
          j
          
            0
          
        
        ⋅
        
          {
          
            exp
            ⁡
            
              [
              
                
                  
                    
                      
                        α
                        
                          a
                        
                      
                      z
                      F
                    
                    
                      R
                      T
                    
                  
                
                (
                E
                −
                
                  E
                  
                    e
                    q
                  
                
                )
              
              ]
            
            −
            exp
            ⁡
            
              [
              
                −
                
                  
                    
                      
                        α
                        
                          c
                        
                      
                      z
                      F
                    
                    
                      R
                      T
                    
                  
                
                (
                E
                −
                
                  E
                  
                    e
                    q
                  
                
                )
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle j=j_{0}\cdot \left\{\exp \left[{\frac {\alpha _{a}zF}{RT}}(E-E_{eq})\right]-\exp \left[-{\frac {\alpha _{c}zF}{RT}}(E-E_{eq})\right]\right\}}
  

或者更紧凑地写为：

  
    
      
        j
        =
        
          j
          
            0
          
        
        ⋅
        
          {
          
            exp
            ⁡
            
              [
              
                
                  
                    
                      α
                      
                        a
                      
                    
                    z
                    F
                    η
                  
                  
                    R
                    T
                  
                
              
              ]
            
            −
            exp
            ⁡
            
              [
              
                −
                
                  
                    
                      
                        α
                        
                          c
                        
                      
                      z
                      F
                      η
                    
                    
                      R
                      T
                    
                  
                
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle j=j_{0}\cdot \left\{\exp \left[{\frac {\alpha _{a}zF\eta }{RT}}\right]-\exp \left[-{\frac {\alpha _{c}zF\eta }{RT}}\right]\right\}}
  

其中：

  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
：电极的电流密度，A/m2（定义为 i = I/A ）

  
    
      
        
          j
          
            o
          
        
      
    
    {\displaystyle j_{o}}
  
：交换电流密度，A/m2

  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
：电极电势，V

  
    
      
        
          E
          
            e
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{eq}}
  
：平衡态电势，V

  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
：热力学温度，K

  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
：该电极反应中涉及的电子数目

  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
：法拉第常数

  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
：氣體常數

  
    
      
        
          α
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{c}}
  
：正极（阴极）方向电荷传递系数，无量纲

  
    
      
        
          α
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{a}}
  
：负极（阳极）方向电荷传递系数，无量纲

  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
：活化過電位（定义为 
  
    
      
        η
        =
        (
        E
        −
        
          E
          
            e
            q
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \eta =(E-E_{eq})}
  
 ）。
右边的图展示了
  
    
      
        
          α
          
            a
          
        
        =
        1
        −
        
          α
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{a}=1-\alpha _{c}}
  
的情况。
该方程的名字是为了纪念化学家约翰·阿尔弗雷德·瓦伦丁·巴特勒和马克斯·福尔默。


质量传递的控制 当某个电极反应是被该电极的电荷传递（而不是被电极表面与主体电解质之间的质量传递）控制时，以上的巴特勒-福尔默公式的形式是有效的。尽管如此，巴特勒-福尔默公式在电化学中的使用十分广泛，并且常常被认为是“电极动力学现象的核心”。
在电流接近极限的区间，也即电极反应过程受质量传递（传质）控制时，电流密度的值为：

  
    
      
        
          i
          
            limiting
          
        
        =
        
          
            
              z
              F
              
                D
                
                  e
                  f
                  f
                
              
            
            δ
          
        
        
          C
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle i_{\text{limiting}}={\frac {zFD_{eff}}{\delta }}C^{*}}
  

其中： 

Deff 是有效扩散系数（已考虑可能存在的迂曲度）；
δ 是扩散层的厚度（扩散距离）；
C* 是电活性物质（限制反应速率的物质）在电解质主体体积的浓度。
更一般地，考虑质量传递的影响，Butler-Volmer方程可以写成：

  
    
      
        i
        =
        
          i
          
            0
          
        
        
          {
          
            
              
                
                  
                    C
                    
                      o
                    
                  
                  (
                  0
                  ,
                  t
                  )
                
                
                  C
                  
                    o
                  
                  
                    ∗
                  
                
              
            
            exp
            ⁡
            
              [
              
                
                  
                    
                      α
                      
                        a
                      
                    
                    n
                    F
                    η
                  
                  
                    R
                    T
                  
                
              
              ]
            
            −
            
              
                
                  
                    C
                    
                      r
                    
                  
                  (
                  0
                  ,
                  t
                  )
                
                
                  C
                  
                    r
                  
                  
                    ∗
                  
                
              
            
            exp
            ⁡
            
              [
              
                −
                
                  
                    
                      
                        α
                        
                          c
                        
                      
                      n
                      F
                      η
                    
                    
                      R
                      T
                    
                  
                
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle i=i_{0}\left\{{\frac {C_{o}(0,t)}{C_{o}^{*}}}\exp \left[{\frac {\alpha _{a}nF\eta }{RT}}\right]-{\frac {C_{r}(0,t)}{C_{r}^{*}}}\exp \left[-{\frac {\alpha _{c}nF\eta }{RT}}\right]\right\}}
  

其中

i 是电流密度，A/m2,
Co 和 Cr 分别是待氧化和待还原的物质的浓度，
C(0,t)是依赖于时间的浓度，与表面零距离。
上述的形式被简化为传统（本文顶部的）形式，当活性物质的表面浓度和主体体积浓度相等时。


极限情况 在两种极限情况下，巴特勒-福尔默公式有如下形式：

低过电势区间（即当 E≈Eeq 时；此时称为“极化电阻”），巴特勒-福尔默公式简化为：

  
    
      
        i
        =
        
          i
          
            0
          
        
        
          
            
              z
              F
            
            
              R
              T
            
          
        
        (
        E
        −
        
          E
          
            e
            q
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle i=i_{0}{\frac {zF}{RT}}(E-E_{eq})}
  
;
高过电势区间，此时巴特勒-福尔默方程简化为塔菲尔方程：
对阴极方向的反应，
  
    
      
        E
        −
        
          E
          
            e
            q
          
        
        =
        
          a
          
            c
          
        
        −
        
          b
          
            c
          
        
        log
        ⁡
        (
        i
        )
      
    
    {\displaystyle E-E_{eq}=a_{c}-b_{c}\log(i)}
  
，当 E<<Eeq 时
对阳极方向的反应，
  
    
      
        E
        −
        
          E
          
            e
            q
          
        
        =
        a
        +
        b
        log
        ⁡
        (
        i
        )
      
    
    {\displaystyle E-E_{eq}=a+b\log(i)}
  
 ，当 E>>Eeq 时
其中a和b是常量（对于某反应、在某温度下），被称为塔菲尔方程常数。对于阴极方向和阳极方向的反应过程，a和b的理论值是不同的。


参见 Advanced Simulation Library软件
能斯特方程
戈德曼方程


参考文献