在欧几里得幾何中，莫雷角三分線定理（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個内角作角三分線，靠近公共边三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發現。对外角作外角三分線，也會有类似的性质，可以再作出4個等邊三角形。
此定理沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規作圖無法作出三等分角。


證明 = 引理 =
由三倍角公式及和差公式可得出：

  
    
      
        sin
        ⁡
        3
        θ
        ≡
        4
        sin
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        (
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        θ
        )
        sin
        ⁡
        (
        
          120
          
            ∘
          
        
        +
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \sin 3\theta \equiv 4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )}
  


= 引理證明 =

  
    
      
        sin
        ⁡
        3
        θ
        =
        3
        sin
        ⁡
        θ
        −
        4
        
          sin
          
            3
          
        
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta }
  

  
    
      
        =
        sin
        ⁡
        θ
        (
        3
        −
        4
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        )
        =
        sin
        ⁡
        θ
        (
        3
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        −
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle =\sin \theta (3-4\sin ^{2}\theta )=\sin \theta (3\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )}
  

  
    
      
        =
        sin
        ⁡
        θ
        (
        
          
            3
          
        
        cos
        ⁡
        θ
        +
        sin
        ⁡
        θ
        )
        (
        
          
            3
          
        
        cos
        ⁡
        θ
        −
        sin
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle =\sin \theta ({\sqrt {3}}\cos \theta +\sin \theta )({\sqrt {3}}\cos \theta -\sin \theta )}
  

  
    
      
        =
        4
        sin
        ⁡
        θ
        (
        
          
            
              
                3
              
              2
            
          
        
        cos
        ⁡
        θ
        +
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        )
        (
        
          
            
              
                3
              
              2
            
          
        
        cos
        ⁡
        θ
        −
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle =4\sin \theta ({\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}\sin \theta )({\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta -{\tfrac {1}{2}}\sin \theta )}
  

  
    
      
        =
        4
        sin
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        (
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        θ
        )
        sin
        ⁡
        (
        
          120
          
            ∘
          
        
        +
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle =4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )}
  


= 定理證明 =
在
  
    
      
        △
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \triangle ABC}
  
中：

  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
是
  
    
      
        ∠
        A
      
    
    {\displaystyle \angle A}
  
的三等分角

  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
是
  
    
      
        ∠
        B
      
    
    {\displaystyle \angle B}
  
的三等分角

  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是
  
    
      
        ∠
        C
      
    
    {\displaystyle \angle C}
  
的三等分角
作6條角三分線分別為
  
    
      
        
          
            
              B
              X
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {BX}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              X
              C
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {XC}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              C
              Y
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {CY}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              Y
              A
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {YA}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              A
              Z
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {AZ}}}
  
、
  
    
      
        
          
            
              Z
              B
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {ZB}}}
  
，作
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
、
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
、
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
在
  
    
      
        
          
            
              B
              C
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {BC}}}
  
上，且
  
    
      
        
          
            
              B
              C
            
            ¯
          
        
        ⊥
        
          
            
              X
              D
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {BC}}\bot {\overline {XD}}}
  
、
  
    
      
        ∠
        B
        X
        E
        =
        ∠
        C
        X
        F
        =
        
          60
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \angle BXE=\angle CXF=60^{\circ }}
  

容易得出
  
    
      
        α
        +
        β
        +
        γ
        =
        
          60
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }}
  
，由此等式還可以得出以下三式：

  
    
      
        ∠
        B
        X
        C
        =
        
          120
          
            ∘
          
        
        +
        α
      
    
    {\displaystyle \angle BXC=120^{\circ }+\alpha }
  

  
    
      
        ∠
        C
        Y
        A
        =
        
          120
          
            ∘
          
        
        +
        β
      
    
    {\displaystyle \angle CYA=120^{\circ }+\beta }
  

  
    
      
        ∠
        A
        Z
        B
        =
        
          120
          
            ∘
          
        
        +
        γ
      
    
    {\displaystyle \angle AZB=120^{\circ }+\gamma }
  

由正弦定理可得出：

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        
          120
          
            ∘
          
        
        +
        β
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    A
                    C
                  
                  ¯
                
              
              sin
              ⁡
              γ
            
            
              
                A
                Y
              
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {{\overline {AC}}\sin \gamma }{\overline {AY}}}}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        
          120
          
            ∘
          
        
        +
        γ
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    A
                    B
                  
                  ¯
                
              
              sin
              ⁡
              β
            
            
              
                A
                Z
              
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {{\overline {AB}}\sin \beta }{\overline {AZ}}}}
  

從這裡可以得出
  
    
      
        △
        X
        E
        F
      
    
    {\displaystyle \triangle XEF}
  
的三個內角，計算出
  
    
      
        ∠
        X
        E
        F
      
    
    {\displaystyle \angle XEF}
  
和
  
    
      
        ∠
        X
        F
        E
      
    
    {\displaystyle \angle XFE}
  
的正弦值：

  
    
      
        ∠
        E
        X
        F
        =
        α
      
    
    {\displaystyle \angle EXF=\alpha }
  

  
    
      
        ∠
        X
        E
        F
        =
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        β
        ⇒
        sin
        ⁡
        (
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        β
        )
        =
        
          
            
              
                
                  X
                  D
                
                ¯
              
              
                
                  X
                  E
                
                ¯
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \angle XEF=60^{\circ }+\beta \Rightarrow \sin(60^{\circ }+\beta )={\tfrac {\overline {XD}}{\overline {XE}}}}
  

  
    
      
        ∠
        X
        F
        E
        =
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        γ
        ⇒
        sin
        ⁡
        (
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        γ
        )
        =
        
          
            
              
                
                  X
                  D
                
                ¯
              
              
                
                  X
                  F
                
                ¯
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \angle XFE=60^{\circ }+\gamma \Rightarrow \sin(60^{\circ }+\gamma )={\tfrac {\overline {XD}}{\overline {XF}}}}
  

我們知道：

  
    
      
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
        sin
        ⁡
        3
        β
        =
        
          
            
              A
              C
            
            ¯
          
        
        sin
        ⁡
        3
        γ
      
    
    {\displaystyle {\overline {AB}}\sin 3\beta ={\overline {AC}}\sin 3\gamma }
  

從引理我們可以得出：

  
    
      
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
        4
        sin
        ⁡
        β
        sin
        ⁡
        (
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        β
        )
        sin
        ⁡
        (
        
          120
          
            ∘
          
        
        +
        β
        )
        =
        
          
            
              A
              C
            
            ¯
          
        
        4
        sin
        ⁡
        γ
        sin
        ⁡
        (
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        γ
        )
        sin
        ⁡
        (
        
          120
          
            ∘
          
        
        +
        γ
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {AB}}4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )={\overline {AC}}4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma )}
  

  
    
      
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
        sin
        ⁡
        β
        
          
            
              
                X
                D
              
              ¯
            
            
              
                X
                E
              
              ¯
            
          
        
        
          
            
              
                
                  
                    A
                    C
                  
                  ¯
                
              
              sin
              ⁡
              γ
            
            
              
                A
                Y
              
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            
              A
              C
            
            ¯
          
        
        sin
        ⁡
        γ
        
          
            
              
                X
                D
              
              ¯
            
            
              
                X
                F
              
              ¯
            
          
        
        
          
            
              
                
                  
                    A
                    B
                  
                  ¯
                
              
              sin
              ⁡
              β
            
            
              
                A
                Z
              
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {AB}}\sin \beta {\frac {\overline {XD}}{\overline {XE}}}{\frac {{\overline {AC}}\sin \gamma }{\overline {AY}}}={\overline {AC}}\sin \gamma {\frac {\overline {XD}}{\overline {XF}}}{\frac {{\overline {AB}}\sin \beta }{\overline {AZ}}}}
  

化簡後得出：

  
    
      
        
          
            
              
                X
                E
              
              ¯
            
            
              
                X
                F
              
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            
              
                A
                Z
              
              ¯
            
            
              
                A
                Y
              
              ¯
            
          
        
        ⇒
        △
        X
        E
        F
        ≈
        △
        A
        Z
        Y
      
    
    {\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}\Rightarrow \triangle XEF\approx \triangle AZY}
  

因為
  
    
      
        △
        X
        E
        F
      
    
    {\displaystyle \triangle XEF}
  
和
  
    
      
        △
        A
        Y
        Z
      
    
    {\displaystyle \triangle AYZ}
  
相似，所以可得出：

  
    
      
        ∠
        A
        Z
        Y
        =
        ∠
        X
        E
        F
        =
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        β
      
    
    {\displaystyle \angle AZY=\angle XEF=60^{\circ }+\beta }
  

  
    
      
        ∠
        A
        Y
        Z
        =
        ∠
        X
        F
        E
        =
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        γ
      
    
    {\displaystyle \angle AYZ=\angle XFE=60^{\circ }+\gamma }
  

同理可得出：

  
    
      
        ∠
        B
        Z
        X
        =
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        α
      
    
    {\displaystyle \angle BZX=60^{\circ }+\alpha }
  

  
    
      
        ∠
        C
        Y
        X
        =
        
          60
          
            ∘
          
        
        +
        α
      
    
    {\displaystyle \angle CYX=60^{\circ }+\alpha }
  

綜合以上結果，可得出
  
    
      
        ∠
        X
        Z
        Y
        =
        ∠
        X
        Y
        Z
        =
        
          60
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \angle XZY=\angle XYZ=60^{\circ }}
  
，因此
  
    
      
        △
        X
        Y
        Z
      
    
    {\displaystyle \triangle XYZ}
  
是等邊三角形


推廣 更一般的莫雷角三分線定理由Taylor和Marr於1914年發表，將6條角三分線順時鐘和逆時鐘旋轉120°，其交點共可得出27個不同的等邊三角形。


參見 三等分角
三角恆等式


參考資料 Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929.
Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Morleys Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） MathWorld
Morley's Trisection Theorem MathPages