本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。
在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，
  
    
      
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        )
        →
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}
  
，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。


定義 點變換（point transformation）將廣義坐標
  
    
      
        
          q
        
        =
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
         
        
          q
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          q
          
            N
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})}
  
變換成廣義坐標
  
    
      
        
          Q
        
        =
        (
        
          Q
          
            1
          
        
        ,
         
        
          Q
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          Q
          
            N
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})}
  
，點變換方程式的形式為

  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
        =
        
          q
          
            i
          
        
        (
        
          Q
          
            1
          
        
        ,
         
        
          Q
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          Q
          
            N
          
        
        ,
         
        t
        )
         
        ,
        
        
        
        
        i
        =
        1
        ,
         
        2
        ,
         
        3
        ,
         
        …
        ,
         
        N
      
    
    {\displaystyle q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N}
  
；
其中，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
是時間。
在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量
  
    
      
        
          p
        
        =
        (
        
          p
          
            1
          
        
        ,
         
        
          p
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          p
          
            N
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})}
  
同樣地都是自變量（independent variable），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為

  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
        =
        
          q
          
            i
          
        
        (
        
          Q
          
            1
          
        
        ,
         
        
          Q
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          Q
          
            N
          
        
        ,
         
        
          P
          
            1
          
        
        ,
         
        
          P
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          P
          
            N
          
        
        ,
         
        t
        )
         
        ,
        
        
        
        
        i
        =
        1
        ,
         
        2
        ,
         
        3
        ,
         
        …
        ,
         
        N
      
    
    {\displaystyle q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N}
  
，

  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        =
        
          p
          
            i
          
        
        (
        
          Q
          
            1
          
        
        ,
         
        
          Q
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          Q
          
            N
          
        
        ,
         
        
          P
          
            1
          
        
        ,
         
        
          P
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          P
          
            N
          
        
        ,
         
        t
        )
         
        ,
        
        
        
        
        i
        =
        1
        ,
         
        2
        ,
         
        3
        ,
         
        …
        ,
         
        N
      
    
    {\displaystyle p_{i}=p_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N}
  
；
其中，
  
    
      
        
          P
        
        =
        (
        
          P
          
            1
          
        
        ,
         
        
          P
          
            2
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          P
          
            N
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})}
  
是新的廣義動量。
為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。
在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標
  
    
      
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}
  
變換為一組新的正則坐標
  
    
      
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}
  
，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為

  
    
      
        
          
            
              
                q
              
              ˙
            
          
        
        =
         
         
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                p
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}}
  
，

  
    
      
        
          
            
              
                p
              
              ˙
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}}
  
；
新的哈密頓方程式為

  
    
      
        
          
            
              
                Q
              
              ˙
            
          
        
        =
         
         
        
          
            
              ∂
              
                
                  K
                
              
            
            
              ∂
              
                P
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}}
  
，

  
    
      
        
          
            
              
                P
              
              ˙
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                
                  K
                
              
            
            
              ∂
              
                Q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}}
  
；
其中，
  
    
      
        
          
            H
          
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}
  
、
  
    
      
        
          
            K
          
        
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}
  
分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。


實際用處 思考一個物理系統的哈密頓量

  
    
      
        
          
            H
          
        
        =
        
          
            H
          
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}
  
。
假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
無關，則稱
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
為可略坐標（ignorable coordinate），或循環坐標（cyclic coordinate）：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0}
  
。
在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是

  
    
      
        
          
            
              
                p
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                q
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0}
  
。
所以，廣義動量
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
  
是常數
  
    
      
        
          k
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{i}}
  
。
假設一個系統裏有
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個廣義坐標是可略坐標。找出這
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
個可略坐標，則可以使這系統減少
  
    
      
        2
        n
      
    
    {\displaystyle 2n}
  
個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。


生成函數方法 主項目：正則變換生成函數
採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從
  
    
      
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        ,
         
        
          
            H
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ {\mathcal {H}})}
  
變換到
  
    
      
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        ,
         
        
          
            K
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ {\mathcal {K}})}
  
。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

  
    
      
        δ
        
          ∫
          
            
              t
              
                1
              
            
          
          
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        
          [
          
            
              p
            
            ⋅
            
              
                
                  
                    q
                  
                  ˙
                
              
            
            −
            
              
                H
              
            
            (
            
              q
            
            ,
             
            
              p
            
            ,
             
            t
            )
          
          ]
        
        d
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]dt=0}
  
、

  
    
      
        δ
        
          ∫
          
            
              t
              
                1
              
            
          
          
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        
          [
          
            
              P
            
            ⋅
            
              
                
                  
                    Q
                  
                  ˙
                
              
            
            −
            
              
                K
              
            
            (
            
              Q
            
            ,
             
            
              P
            
            ,
             
            t
            )
          
          ]
        
        d
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\right]dt=0}
  
。
那麼，必須令

  
    
      
        σ
        
          [
          
            
              p
            
            ⋅
            
              
                
                  
                    q
                  
                  ˙
                
              
            
            −
            
              
                H
              
            
            (
            
              q
            
            ,
             
            
              p
            
            ,
             
            t
            )
          
          ]
        
        =
        
          P
        
        ⋅
        
          
            
              
                Q
              
              ˙
            
          
        
        −
        
          
            K
          
        
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        ,
         
        t
        )
        +
        
          
            
              d
              G
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)+{\frac {dG}{dt}}}
  
；
其中，
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
是標度因子，
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
是生成函數。
假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（scale transformation）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（extended canonical transformation）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。
任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個
  
    
      
        σ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sigma \neq 1}
  
的延伸正則變換表示為

  
    
      
        σ
        
          [
          
            
              p
            
            ⋅
            
              
                
                  
                    q
                  
                  ˙
                
              
            
            −
            
              
                H
              
            
          
          ]
        
        =
        
          
            P
          
          ′
        
        ⋅
        
          
            
              
                
                  Q
                
                ˙
              
            
          
          ′
        
        −
        
          
            K
          
        
        
          
          ′
        
        +
        
          
            
              d
              G
              
                
                ′
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}\right]=\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}}}
  
。
則可以設定另外一組變數與哈密頓量：

  
    
      
        
          Q
        
        =
        α
        
          
            Q
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} =\alpha \mathbf {Q} '}
  
、

  
    
      
        
          P
        
        =
        β
        
          
            P
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =\beta \mathbf {P} '}
  
、

  
    
      
        
          
            K
          
        
        =
        α
        β
        
          
            K
          
        
        
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}=\alpha \beta {\mathcal {K}}\,'}
  
、

  
    
      
        G
        =
        α
        β
        G
        
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle G=\alpha \beta G\,'}
  
；其中，
  
    
      
        α
        ,
         
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\ \beta }
  
是用來刪除
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
的常數，
  
    
      
        σ
        =
        
          
            1
            
              α
              β
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\alpha \beta }}}
  
。經過一番運算，可以得到

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  K
                
              
            
            
              ∂
              
                P
              
            
          
        
        =
        α
        
          
            
              ∂
              
                
                  K
                
              
              
                
                ′
              
            
            
              ∂
              
                
                  P
                
                ′
              
            
          
        
        =
        α
        
          
            
              
                
                  Q
                
                ˙
              
            
          
          ′
        
        =
        
          
            
              
                Q
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}=\alpha {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {P} '}}=\alpha {\dot {\mathbf {Q} }}'={\dot {\mathbf {Q} }}}
  
、

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  K
                
              
            
            
              ∂
              
                Q
              
            
          
        
        =
        β
        
          
            
              ∂
              
                
                  K
                
              
              
                
                ′
              
            
            
              ∂
              
                
                  Q
                
                ′
              
            
          
        
        =
        −
        β
        
          
            
              
                
                  P
                
                ˙
              
            
          
          ′
        
        =
        −
        
          
            
              
                P
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=\beta {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {Q} '}}=-\beta {\dot {\mathbf {P} }}'=-{\dot {\mathbf {P} }}}
  
、

  
    
      
        
          p
        
        ⋅
        
          
            
              
                q
              
              ˙
            
          
        
        −
        
          
            H
          
        
        =
        α
        β
        (
        
          
            P
          
          ′
        
        ⋅
        
          
            
              
                
                  Q
                
                ˙
              
            
          
          ′
        
        −
        
          
            K
          
        
        
          
          ′
        
        +
        
          
            
              d
              G
              
                
                ′
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        )
        =
        
          P
        
        ⋅
        
          
            
              
                Q
              
              ˙
            
          
        
        −
        
          
            K
          
        
        +
        
          
            
              d
              G
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\alpha \beta (\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}})=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}}
  
。（1）
顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。
假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（restricted canonical transformation）。
生成函數
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換
  
    
      
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        )
        →
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}
  
保證是正則變換。


= 第一型生成函數 =
第一型生成函數
  
    
      
        
          G
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{1}}
  
只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

  
    
      
        G
        =
        
          G
          
            1
          
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          Q
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}
  
。
代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，

  
    
      
        
          p
        
        ⋅
        
          
            
              
                q
              
              ˙
            
          
        
        −
        
          
            H
          
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        ,
         
        t
        )
        =
        
          P
        
        ⋅
        
          
            
              
                Q
              
              ˙
            
          
        
        −
        
          
            K
          
        
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        ,
        t
        )
        +
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              
                q
              
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                q
              
              ˙
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              
                Q
              
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                Q
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}
  
。
新廣義坐標
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} }
  
和舊廣義坐標
  
    
      
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} }
  
都是自變量，其對於時間的全導數
  
    
      
        
          
            
              
                Q
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}}
  
和
  
    
      
        
          
            
              
                q
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}
  
互相無關，所以，以下
  
    
      
        2
        N
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 2N+1}
  
個方程式都必須成立：

  
    
      
        
          p
        
        =
         
         
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              
                q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}}
  
，（2）

  
    
      
        
          P
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              
                Q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}
  
，（3）

  
    
      
        
          
            K
          
        
        =
        
          
            H
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}
  
。（4）
這
  
    
      
        2
        N
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 2N+1}
  
個方程式設定了變換
  
    
      
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        )
        →
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}
  
，步驟如下：
第一組的
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
個方程式（2），設定了
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
的
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
個函數方程式

  
    
      
        
          p
        
        =
        
          p
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          Q
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}
  
。
在理想情況下，這些方程式可以逆算出
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} }
  
的
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
個函數方程式

  
    
      
        
          Q
        
        =
        
          Q
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}
  
。（5）
第二組的
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
個方程式（3），設定了
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
的
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
個函數方程式

  
    
      
        
          P
        
        =
        
          P
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          Q
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}
  
。
代入函數方程式（5），可以算出
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
的
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
個函數方程式

  
    
      
        
          P
        
        =
        
          P
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}
  
。（6）
從
  
    
      
        2
        N
      
    
    {\displaystyle 2N}
  
個函數方程式（5）、（6），可以逆算出
  
    
      
        2
        N
      
    
    {\displaystyle 2N}
  
個函數方程式

  
    
      
        
          q
        
        =
        
          q
        
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}
  
，

  
    
      
        
          p
        
        =
        
          p
        
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}
  
。
代入新哈密頓量
  
    
      
        
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}}
  
的方程式（4），可以得到

  
    
      
        
          
            K
          
        
        =
        
          
            K
          
        
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}
  
。


= 第二型生成函數 =
第二型生成函數
  
    
      
        
          G
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{2}}
  
的參數是舊廣義坐標
  
    
      
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} }
  
、新廣義動量
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
  與時間：

  
    
      
        G
        =
        −
        
          Q
        
        ⋅
        
          P
        
        +
        
          G
          
            2
          
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          P
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle G=-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}
  
；
以下
  
    
      
        2
        N
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 2N+1}
  
方程式設定了變換
  
    
      
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        )
        →
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}
  
：

  
    
      
        
          p
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  2
                
              
            
            
              ∂
              
                q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}
  
，　

  
    
      
        
          Q
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  2
                
              
            
            
              ∂
              
                P
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}
  
，

  
    
      
        
          
            K
          
        
        =
        
          
            H
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  2
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}
  
。


= 第三型生成函數 =
第三型生成函數
  
    
      
        
          G
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{3}}
  
  的參數是舊廣義動量
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
、新廣義坐標
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} }
  
與時間： 

  
    
      
        G
        =
        
          q
        
        ⋅
        
          p
        
        +
        
          G
          
            3
          
        
        (
        
          p
        
        ,
        
          Q
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}
  
。
以下
  
    
      
        2
        N
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 2N+1}
  
方程式設定了變換
  
    
      
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        )
        →
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}
  
：

  
    
      
        
          q
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  3
                
              
            
            
              ∂
              
                p
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}
  
，

  
    
      
        
          P
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  3
                
              
            
            
              ∂
              
                Q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}
  
，

  
    
      
        
          
            K
          
        
        =
        
          
            H
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  3
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}
  
。


= 第四型生成函數 =
第四型生成函數
  
    
      
        
          G
          
            4
          
        
        (
        
          p
        
        ,
        
          P
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}
  
的參數是舊廣義動量
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
、新廣義動量
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
與時間：

  
    
      
        G
        =
        
          q
        
        ⋅
        
          p
        
        −
        
          Q
        
        ⋅
        
          P
        
        +
        
          G
          
            4
          
        
        (
        
          p
        
        ,
        
          P
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}
  
。
以下
  
    
      
        2
        N
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 2N+1}
  
方程式設定了變換
  
    
      
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        )
        →
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}
  
：

  
    
      
        
          q
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  4
                
              
            
            
              ∂
              
                p
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}
  
，

  
    
      
        
          Q
        
        =
         
         
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  4
                
              
            
            
              ∂
              
                P
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}
  
，

  
    
      
        
          
            K
          
        
        =
        
          
            H
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  4
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}
  
。


= 實例1 =
第一型生成函數有一個特別簡易案例：

  
    
      
        
          G
          
            1
          
        
        =
        
          q
        
        ⋅
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle G_{1}=\mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }
  
。
生成函數的導數分別為

  
    
      
        
          p
        
        =
         
         
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              
                q
              
            
          
        
        =
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} }
  
，

  
    
      
        
          P
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              
                Q
              
            
          
        
        =
        −
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} }
  
。
舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：

  
    
      
        
          
            K
          
        
        (
        
          Q
        
        ,
         
        
          P
        
        ,
         
        t
        )
        =
        
          
            H
          
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}
  
。


= 實例2 =
再擧一個比較複雜的例子。讓

  
    
      
        
          G
          
            2
          
        
        ≡
        
          g
        
        (
        
          q
        
        ;
         
        t
        )
        ⋅
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P} }
  
；
這裏，
  
    
      
        
          g
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {g} }
  
是一組
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
個函數。
答案是一個廣義坐標的點變換，

  
    
      
        
          Q
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  2
                
              
            
            
              ∂
              
                P
              
            
          
        
        =
        
          g
        
        (
        
          q
        
        ;
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)}
  
。


不變量 正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。


= 辛條件 =
辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個
  
    
      
        2
        N
        ×
        1
      
    
    {\displaystyle 2N\times 1}
  
的豎矩陣
  
    
      
        
          ξ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}
  
 :

  
    
      
        
          
            ξ
          
          
            T
          
        
        =
        [
        
          q
          
            1
          
        
        ,
         
        
          q
          
            2
          
        
        ,
         
        
          q
          
            3
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          q
          
            N
          
        
        ,
         
        
          p
          
            1
          
        
        ,
         
        
          p
          
            2
          
        
        ,
         
        
          p
          
            3
          
        
        ,
         
        …
        ,
         
        
          p
          
            N
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]}
  
。
變數向量
  
    
      
        
          ξ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}
  
將
  
    
      
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} }
  
與
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

  
    
      
        
          
            
              ξ
              ˙
            
          
        
        =
        
          Ω
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                ξ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}
  
；
這裏，
  
    
      
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}
  
是辛連結矩陣、
  
    
      
        
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}}
  
是哈密頓量。
應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標
  
    
      
        
          ξ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}
  
改變成新正則坐標
  
    
      
        
          Ξ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}}
  
，
  
    
      
        
          ξ
        
        →
        
          Ξ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}}
  
；哈密頓量也從舊的哈密頓量
  
    
      
        
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}}
  
改變成新的哈密頓量
  
    
      
        
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}}
  
，
  
    
      
        
          
            H
          
        
        →
        
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}}
  
；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

  
    
      
        
          
            
              Ξ
              ˙
            
          
        
        =
        
          Ω
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  K
                
              
            
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}}
  
；
這裏，
  
    
      
        
          
            K
          
        
        =
        
          
            H
          
        
        +
        
          
            
              d
              G
            
            
              d
              t
            
          
        
        +
        
          P
        
        
          
            
              
                Q
              
              ˙
            
          
        
        −
        
          p
        
        
          
            
              
                q
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {dG}{dt}}+\mathbf {P} {\dot {\mathbf {Q} }}-\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}}
  
。
用第一型生成函數
  
    
      
        G
        =
        
          G
          
            1
          
        
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          Q
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}
  
，則
  
    
      
        
          
            K
          
        
        =
        
          
            H
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                G
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}
  
。
取
  
    
      
        
          Ξ
        
        =
        
          Ξ
        
        (
        
          ξ
        
        ,
         
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}={\boldsymbol {\Xi }}({\boldsymbol {\xi }},\ t)}
  
關於時間
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
的導數，

  
    
      
        
          
            
              Ξ
              ˙
            
          
        
        =
        
          M
        
        
          
            
              ξ
              ˙
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}=\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}}
  
；
這裏，
  
    
      
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} }
  
是亞可比矩陣，
  
    
      
        
          M
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                Ξ
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                ξ
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{ij}={\frac {\partial \Xi _{i}}{\partial \xi _{j}}}}
  
。
代入哈密頓方程式，

  
    
      
        
          M
        
        
          
            
              ξ
              ˙
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          Ω
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  K
                
              
            
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
          
        
        =
        
          Ω
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
          
        
        +
        
          Ω
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                G
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              
                Ξ
              
               
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}+{\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}\ \partial t}}}
  
 ;
假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為

  
    
      
        
          M
        
        
          
            
              ξ
              ˙
            
          
        
        =
        
          Ω
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}}
  
。
而
  
    
      
        
          
            H
          
        
        =
        
          
            H
          
        
        (
        
          ξ
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {\xi }})}
  
，所以，

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                ξ
              
            
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                ξ
              
            
          
        
        =
        (
        
          
            M
          
          
            −
            1
          
        
        
          )
          
            T
          
        
        
          
            
              ∂
              
                
                  H
                
              
            
            
              ∂
              
                ξ
              
            
          
        
        =
        −
        (
        
          
            M
          
          
            −
            1
          
        
        
          )
          
            T
          
        
        
          Ω
        
        
          
            
              ξ
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=-(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}{\dot {\boldsymbol {\xi }}}}
  
。
代回前一個方程式，取
  
    
      
        
          
            
              ξ
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}}
  
的係數，則可以得到

  
    
      
        
          M
        
        =
        −
        
          Ω
        
        (
        
          
            M
          
          
            −
            1
          
        
        
          )
          
            T
          
        
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} =-{\boldsymbol {\Omega }}(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}}
  
。
經過一番運算，

  
    
      
        
          
            M
          
          
            T
          
        
        =
        −
        
          Ω
        
        
          
            M
          
          
            −
            1
          
        
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}=-{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}{\boldsymbol {\Omega }}}
  
；

  
    
      
        
          
            M
          
          
            T
          
        
        
          Ω
        
        =
        
          Ω
        
        
          
            M
          
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}}
  
；
可以求出辛條件：

  
    
      
        
          
            M
          
          
            T
          
        
        
          Ω
        
        
          M
        
        =
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}
  
。
在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。


= 基本帕松括號不變量 =
在相空间裏，兩個函數
  
    
      
        f
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        )
        ,
         
        g
        (
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}
  
關於正則坐標
  
    
      
        
          q
        
        ,
         
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} }
  
的帕松括號定義為

  
    
      
        
          
            [
          
        
        f
        ,
         
        g
        
          
            
              ]
            
          
          
            (
            
              q
            
            ,
             
            
              p
            
            )
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  g
                
                
                  ∂
                  
                    p
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    p
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  g
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}
  
。
用辛標記，

  
    
      
        
          
            [
          
        
        f
        ,
         
        g
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    ξ
                  
                
              
            
            )
          
          
            T
          
        
        
          Ω
        
         
        
          
            
              ∂
              g
            
            
              ∂
              
                ξ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}
  
。
立刻，可以得到下述關係：

  
    
      
        
          
            [
          
        
        
          q
          
            i
          
        
        ,
         
        
          q
          
            j
          
        
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        
          
            [
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        ,
         
        
          p
          
            j
          
        
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\big [}q_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\big [}p_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=0}
  
，

  
    
      
        
          
            [
          
        
        
          q
          
            i
          
        
        ,
         
        
          p
          
            j
          
        
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        −
        
          
            [
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        ,
         
        
          q
          
            j
          
        
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        
          δ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}q_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=-{\big [}p_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\delta _{ij}}
  
。
定義基本帕松括號
  
    
      
        
          
            [
          
        
        
          ξ
        
        ,
         
        
          ξ
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}}
  
為一個方矩陣，其中，元素
  
    
      
        i
        j
      
    
    {\displaystyle ij}
  
的值是
  
    
      
        
          
            [
          
        
        
          ξ
          
            i
          
        
        ,
         
        
          ξ
          
            j
          
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}\xi _{i},\ \xi _{j}{\big ]}}
  
。那麼，

  
    
      
        
          
            [
          
        
        
          ξ
        
        ,
         
        
          ξ
        
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}
  
。
思考一個變換
  
    
      
        
          ξ
        
        →
        
          Ξ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}}
  
。新坐標的基本帕松括號為

  
    
      
        
          
            [
          
        
        
          Ξ
        
        ,
         
        
          Ξ
        
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  
                    Ξ
                  
                
                
                  ∂
                  
                    ξ
                  
                
              
            
            )
          
          
            T
          
        
        
          Ω
        
         
        
          
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
            
              ∂
              
                ξ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}
  
。
這兩個正則坐標的亞可比矩陣
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
是

  
    
      
        M
        =
        
          
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
            
              ∂
              
                ξ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle M={\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}
  
。
代入前一個方程式，則

  
    
      
        
          
            [
          
        
        
          Ξ
        
        ,
         
        
          Ξ
        
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        
          
            M
          
          
            T
          
        
        
          Ω
        
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} }
  
。
假若這變換是正則變換，辛條件
  
    
      
        
          
            M
          
          
            T
          
        
        
          Ω
        
        
          M
        
        =
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}
  
必須成立，

  
    
      
        
          
            [
          
        
        
          Ξ
        
        ,
         
        
          Ξ
        
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}
  
。
相反地，假若
  
    
      
        
          
            [
          
        
        
          Ξ
        
        ,
         
        
          Ξ
        
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}
  
，則辛條件成立，這變換是正則變換。
所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為
  
    
      
        
          
            [
          
        
        
          ξ
        
        ,
         
        
          ξ
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}}
  
，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。


= 帕松括號不變量 =
思考兩個函数
  
    
      
        f
        ,
         
        g
      
    
    {\displaystyle f,\ g}
  
對於正則坐標
  
    
      
        
          ξ
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}
  
的泊松括號

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    [
                  
                
                f
                ,
                 
                g
                
                  
                    
                      ]
                    
                  
                  
                    ξ
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          ∂
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            ξ
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    T
                  
                
                
                  Ω
                
                 
                
                  
                    
                      ∂
                      g
                    
                    
                      ∂
                      
                        ξ
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              Ξ
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              ξ
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            ∂
                            f
                          
                          
                            ∂
                            
                              Ξ
                            
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    T
                  
                
                
                  Ω
                
                 
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        Ξ
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        ξ
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      g
                    
                    
                      ∂
                      
                        Ξ
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          ∂
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            Ξ
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    T
                  
                
                
                  M
                  
                    T
                  
                
                
                  Ω
                
                M
                
                  
                    
                      ∂
                      g
                    
                    
                      ∂
                      
                        Ξ
                      
                    
                  
                
                 
                
                   
                  
                    ∘
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}M^{T}{\boldsymbol {\Omega }}M{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\ \ _{\circ }\\\end{aligned}}}
  

假若這變換是正則變換，辛條件
  
    
      
        
          
            M
          
          
            T
          
        
        
          Ω
        
        
          M
        
        =
        
          Ω
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}
  
必須成立，

  
    
      
        
          
            [
          
        
        f
        ,
         
        g
        
          
            
              ]
            
          
          
            ξ
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    Ξ
                  
                
              
            
            )
          
          
            T
          
        
        
          Ω
        
         
        
          
            
              ∂
              g
            
            
              ∂
              
                Ξ
              
            
          
        
        =
        
          
            [
          
        
        f
        ,
         
        g
        
          
            
              ]
            
          
          
            Ξ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\Xi }}}
  
。
所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為
  
    
      
        
          
            [
          
        
        f
        ,
         
        g
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}}
  
，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。


參閱 正則變換列表
正則座標
帕松括號
辛矩陣
辛拓撲
辛群


參考文獻 Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).