在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英語：Laplace operator, Laplacian）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  
、
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}}
  
 或 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \nabla }
  
。
這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零 
  
    
      
        Δ
        f
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta f=0}
  
 的函數稱為调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。
拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆算子中的一個重要例子。
拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程裡。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程中的動能項。
拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测和边缘检测等的各种任务。


定义 拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为對函數 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 先作梯度運算（
  
    
      
        ∇
        f
      
    
    {\displaystyle \nabla f}
  
）後，再作散度運算（
  
    
      
        ∇
        ⋅
        ∇
        f
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \nabla f}
  
）的結果。因此如果 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 是二阶可微的实函数，则 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的拉普拉斯算子定义为：

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          ∇
          
            2
          
        
        f
        =
        ∇
        ⋅
        ∇
        f
      
    
    {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}
  
  ── (1)

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 中的所有非混合二阶偏导数：

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}
  
  ── (2)
作为一个二阶微分算子，对于k ≥ 2，拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：Ck(Rn)→ Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ：Ck(Ω)→ Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          t
          r
        
        (
        H
        (
        f
        )
        )
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle \Delta f=\mathrm {tr} (H(f)).\,\!}
  


坐標表示式 = 二維空間 =

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
  

其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標
另外極坐標的表示法為：

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            r
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            r
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial  \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}}
  


= 三維空間 =
笛卡兒坐標系下的表示法

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
  

圓柱坐標系下的表示法

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            ρ
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              ρ
            
          
        
        
          (
          
            ρ
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  ρ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              ρ
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial  \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}
  

球坐標系下的表示法

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            
              r
              
                2
              
            
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}
  


= N维空间 =
在参数方程为
  
    
      
        x
        =
        r
        θ
        ∈
        
          
            
              R
            
          
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}}
  
（其中
  
    
      
        r
        ∈
        [
        0
        ,
        +
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle r\in [0,+\infty )}
  
以及
  
    
      
        θ
        ∈
        
          S
          
            N
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta \in S^{N-1}}
  
）的
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              N
              −
              1
            
            r
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          Δ
          
            
              S
              
                N
                −
                1
              
            
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}
  

其中
  
    
      
        
          Δ
          
            
              S
              
                N
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}}
  
是
  
    
      
        N
        −
        1
      
    
    {\displaystyle N-1}
  
维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把
  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              N
              −
              1
            
            r
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}}
  
的项写成
  
    
      
        
          
            1
            
              r
              
                N
                −
                1
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          
            (
          
        
        
          r
          
            N
            −
            1
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}}
  
。


恒等式 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：

  
    
      
        Δ
        (
        f
        g
        )
        =
        (
        Δ
        f
        )
        g
        +
        2
        (
        (
        ∇
        f
        )
        ⋅
        (
        ∇
        g
        )
        )
        +
        f
        (
        Δ
        g
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta (fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot (\nabla g))+f(\Delta g)}
  
。
f是径向函数
  
    
      
        f
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle f(r)}
  
且g是球谐函数
  
    
      
        
          Y
          
            l
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )}
  
，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。
  
    
      
        f
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle f(r)}
  
的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

  
    
      
        2
        (
        ∇
        f
        (
        r
        )
        )
        ⋅
        (
        ∇
        
          Y
          
            l
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 2(\nabla f(r))\cdot (\nabla Y_{lm}(\theta ,\phi ))=0}
  
。
球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

  
    
      
        Δ
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        =
        −
        
          
            
              ℓ
              (
              ℓ
              +
              1
              )
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}
  
。
因此：

  
    
      
        Δ
        (
        f
        (
        r
        )
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        )
        =
        
          (
          
            
              
                
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                  f
                  (
                  r
                  )
                
                
                  d
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                2
                r
              
            
            
              
                
                  d
                  f
                  (
                  r
                  )
                
                
                  d
                  r
                
              
            
            −
            
              
                
                  ℓ
                  (
                  ℓ
                  +
                  1
                  )
                
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
            
            f
            (
            r
            )
          
          )
        
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta (f(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ))=\left({\frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {df(r)}{dr}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}
  
。


谱理论 拉普拉斯算子的谱由特征值
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
和对应的特征函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
组成，满足：

  
    
      
        −
        Δ
        f
        =
        λ
        f
      
    
    {\displaystyle -\Delta f=\lambda f}
  

这就是所谓的亥姆霍兹方程。
如果
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  
在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
中有界，拉普拉斯算子的特征函数时希尔伯特空间
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle L^{2}(\Omega )}
  
下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理，适用于拉普拉斯的逆算子（根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理，它是紧算子）。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说，这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的，或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时，拉普拉斯的特征函数是球谐函数。


推广 = 复杂空间上的实值函数 =
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆算子、双曲算子、或超双曲算子。
在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子（英語：d'Alembertian）：

  
    
      
        ◻
        =
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}.}
  

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。


= 值域爲复杂空间 =


 向量值函數的拉普拉斯算子  拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
        
        =
        (
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
          
            x
          
        
        ,
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
          
            y
          
        
        ,
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
          
            z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z})}
  
．
更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恒等式的啓發）：

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          A
        
        =
        ∇
        (
        ∇
        ⋅
        
          A
        
        )
        −
        ∇
        ×
        (
        ∇
        ×
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )}
  
，也可用類似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明“旋度的旋度”向量恒等式．


 拉普拉斯－贝尔特拉米算子  拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。
另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。


参见 在圆柱和球坐标系中的del


参考文献 Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970. 
Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604. 
Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979. 


外部連結 MathWorld: Laplacian （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Swapnil Sunil Jain