在数学中，七维叉积是七维空间的向量的双线性算子。对于任何两个向量a、b在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
  
，其叉积a × b也在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
  
。七维叉积和三维叉积相似在于，它们满足反交換律且a × b正交于a和b；不同在于，七维叉积不满足雅可比恒等式。虽然每对三维向量只有一个叉积（不辨正负），但每对七维向量可以有很多叉积。七维叉积与八元数的关系和三维叉积与四元数的一样。
七维叉积是将三维以外的叉积广义化的一个方式，而它和三维叉积是唯二结果为向量、正交于两个向量，且大小与三维情况相同的二元双线性向量积。在其他维度中，一些结果为向量的向量积满足这些条件，但它们是三个或以上的向量的运算；也有一些结果为二重向量的二元积。


乘法表 七维叉积可以用乘法表表示。凱萊所提供的乘法表显示正交规范基向量ei和ej（其中i和j从1到7）的叉积。例如，由该表可知，

  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        =
        −
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{1}}
  

乘法表可以用来计算任意两个向量的叉积。例如，如果要计算x × y的e1部分，我们可以选出叉积等于e1的基向量：

  
    
      
        
          
            (
            
              x
              ×
              y
            
            )
          
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            3
          
        
        −
        
          x
          
            3
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            4
          
        
        
          y
          
            5
          
        
        −
        
          x
          
            5
          
        
        
          y
          
            4
          
        
        +
        
          x
          
            7
          
        
        
          y
          
            6
          
        
        −
        
          x
          
            6
          
        
        
          y
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\mathbf {x\times y} \right)_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4}+x_{7}y_{6}-x_{6}y_{7}}
  
。
重复这个步骤，便可以计算其余六个部分。
七维叉积有480个乘法表，每个都对应一个满足定义的叉积。以上乘法表可以用以下关系总结：

  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        
          ×
        
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        =
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          
            e
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {\times } \mathbf {e} _{j}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k}}
  
，
其中
  
    
      
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
  
是一个完全反对称张量；当ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365时，
  
    
      
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
  
的值为+1。
该表左上的3 × 3区域代表三维的叉积。


定义 欧几里得空间V中的叉积是V × V到V的双线性映射，将V中的向量x和y映射到V中的x × y，其中x × y具有以下性质：

正交：

  
    
      
        
          x
        
        ⋅
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
        =
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
        ⋅
        
          y
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\cdot \mathbf {y} =0}
  

大小：

  
    
      
        
          |
        
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          |
        
        
          x
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          |
        
        
          y
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        −
        (
        
          x
        
        ⋅
        
          y
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}}
  

其中(x·y)为欧几里得点积，而|x|为歐氏範數。
第一个性质表明叉积垂直于其运算数，而第二个性质提供叉积的大小。设向量的夹角为θ，则表示式可以表达为

  
    
      
        
          |
        
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          x
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          y
        
        
          |
        
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |\sin \theta }
  
，
而它就是x和y的平面中邻边为x和y的平行四边形的面积。大小条件的第三个表示式是

若
  
    
      
        
          (
          
            
              x
            
            ⋅
            
              y
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \right)=0}
  
，则
  
    
      
        
          |
        
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          x
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          y
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}
  

（如果假设x × x = 0是另一个公理。）


定义性质的内涵 已知双线性、正交和大小的性质，非零叉积仅存在于三维和七维。如果假定叉积所需的性质，然后推断一个只在0、1、3和7维满足的方程式，我们便可得出这个结论。零维只有零向量，而一维的所有向量都是平行的，所以零维和一维的叉积必定等于零。这个维度限制与胡尔维兹定理有关：賦範可除代數只能存在于1、2、4和8维。如果将代数限制在0、1、3或7个虚维度，叉积则可以由賦範可除代數的积形成，而非零叉积仅存在于三维和七维。
三维叉积是唯一的（不辨正负），但任何一对七维向量都有很多叉积。设一对向量x和y
  
    
      
        ∈
        
          
            R
          
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle \in \mathbb {R} ^{7}}
  
和任一向量v，其中|v| = |x||y| sin θ且v在垂直于x和y的五维空间中。通过乘法表（和一个有关的基向量集），我们可以求出一个叉积使得x × y = v。不像三维叉积一样，x × y = a × b不代表a和b位于x和y所在的平面。
根据定义，我们有以下性质和恒等式：

反交换律：

  
    
      
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        =
        −
        
          y
        
        ×
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-\mathbf {y} \times \mathbf {x} }
  

标量三重积：

  
    
      
        
          x
        
        ⋅
        (
        
          y
        
        ×
        
          z
        
        )
        =
        
          y
        
        ⋅
        (
        
          z
        
        ×
        
          x
        
        )
        =
        
          z
        
        ⋅
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )=\mathbf {z} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )}
  

马尔采夫恒等式：

  
    
      
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
        ×
        (
        
          x
        
        ×
        
          z
        
        )
        =
        (
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
        ×
        
          z
        
        )
        ×
        
          x
        
        +
        (
        (
        
          y
        
        ×
        
          z
        
        )
        ×
        
          x
        
        )
        ×
        
          x
        
        +
        (
        (
        
          z
        
        ×
        
          x
        
        )
        ×
        
          x
        
        )
        ×
        
          y
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times (\mathbf {x} \times \mathbf {z} )=((\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {y} }
  

  
    
      
        
          x
        
        ×
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
        =
        −
        
          |
        
        
          x
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          y
        
        +
        (
        
          x
        
        ⋅
        
          y
        
        )
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-|\mathbf {x} |^{2}\mathbf {y} +(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {x} }
  
。
一些性质成立于三维但不成立于七维，包括：

向量三重积：

  
    
      
        
          x
        
        ×
        (
        
          y
        
        ×
        
          z
        
        )
        =
        (
        
          x
        
        ⋅
        
          z
        
        )
        
          y
        
        −
        (
        
          x
        
        ⋅
        
          y
        
        )
        
          z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} )\mathbf {y} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {z} }
  

雅可比恒等式：

  
    
      
        
          x
        
        ×
        (
        
          y
        
        ×
        
          z
        
        )
        +
        
          y
        
        ×
        (
        
          z
        
        ×
        
          x
        
        )
        +
        
          z
        
        ×
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\neq 0}
  

由于雅可比恒等式不成立，七维叉积使R7不具有李代數的结构。


坐标表示式 为定义某特定叉积，我们可以选定一个标准正交基{ej}和一个提供{ei × ej}全部的积的乘法表。乘法表一节只展示其中一个乘法表。七维叉积有很多乘法表，因为每对单位向量垂直于五个其他单位向量，所以每个叉积都有很多选择。
确立一个乘法表后，我们可以将它应用于一般向量x和y：以基向量表示x和y，然后根据二线性展开x × y。

如果我们为e1至e7指定另一个乘法表，根据反交换律，所得的叉积为：

  
    
      
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            4
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            4
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            4
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2},}
  

  
    
      
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            5
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            5
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            5
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3},}
  

  
    
      
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            4
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            4
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            4
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{4},}
  

  
    
      
        
          
            e
          
          
            4
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            5
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            7
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            5
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            7
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            4
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            7
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            4
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            5
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{5},}
  

  
    
      
        
          
            e
          
          
            5
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            5
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            5
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{6},}
  

  
    
      
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            7
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            7
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            7
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{7},}
  

  
    
      
        
          
            e
          
          
            7
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            7
          
        
        ,
        
        
          
            e
          
          
            3
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            7
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{1}}
  
。
这个规则可以简化为

  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            i
            +
            1
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            i
            +
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i+3}}
  

其中i = 1...7 mod 7，而指数i、i + 1和i + 3可以循环移位。与反交换律结合，这个规则代表叉积。它直接产生乘法表中与零的对角线相邻的两个对角线。此外，根据内涵一节的一个恒等式，

  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ×
        
          (
          
            
              
                e
              
              
                i
              
            
            ×
            
              
                e
              
              
                i
                +
                1
              
            
          
          )
        
        =
        −
        
          
            e
          
          
            i
            +
            1
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            i
            +
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \left(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}\right)=-\mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+3}}
  
。
这个规则能产生其他对角线，如此类推。
如果要求出叉积x × y的ej部分，我们可以选定乘法表中所有出现的ej，然后收集左列的对应x部分和上行的对应y部分，结果为：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  x
                
                ×
                
                  y
                
                =
                (
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  y
                  
                    4
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                
                  y
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                
                  y
                  
                    7
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    7
                  
                
                
                  y
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                
                  y
                  
                    6
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    6
                  
                
                
                  y
                  
                    5
                  
                
                )
                
              
              
                
                  
                    e
                  
                  
                    1
                  
                
              
            
            
              
                

                
                +
                (
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                
                  y
                  
                    5
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                
                  y
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                
                  y
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    6
                  
                
                
                  y
                  
                    7
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    7
                  
                
                
                  y
                  
                    6
                  
                
                )
                
              
              
                
                  
                    e
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                

                
                +
                (
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                
                  y
                  
                    6
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    6
                  
                
                
                  y
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                
                  y
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  y
                  
                    5
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    7
                  
                
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                
                  y
                  
                    7
                  
                
                )
                
              
              
                
                  
                    e
                  
                  
                    3
                  
                
              
            
            
              
                

                
                +
                (
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                
                  y
                  
                    7
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    7
                  
                
                
                  y
                  
                    5
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    6
                  
                
                
                  y
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                
                  y
                  
                    6
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                
                  y
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                )
                
              
              
                
                  
                    e
                  
                  
                    4
                  
                
              
            
            
              
                

                
                +
                (
                
                  x
                  
                    6
                  
                
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                
                  y
                  
                    6
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    7
                  
                
                
                  y
                  
                    4
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                
                  y
                  
                    7
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  y
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                
                  y
                  
                    2
                  
                
                )
                
              
              
                
                  
                    e
                  
                  
                    5
                  
                
              
            
            
              
                

                
                +
                (
                
                  x
                  
                    7
                  
                
                
                  y
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  y
                  
                    7
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                
                  y
                  
                    5
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                
                  y
                  
                    4
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                
                  y
                  
                    3
                  
                
                )
                
              
              
                
                  
                    e
                  
                  
                    6
                  
                
              
            
            
              
                

                
                +
                (
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                
                  y
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  y
                  
                    6
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    6
                  
                
                
                  y
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                
                  y
                  
                    5
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                
                  y
                  
                    4
                  
                
                )
                
              
              
                
                  
                    e
                  
                  
                    7
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{3}y_{7}-x_{7}y_{3}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5})\,&\mathbf {e} _{1}\\{}+(x_{3}y_{5}-x_{5}y_{3}+x_{4}y_{1}-x_{1}y_{4}+x_{6}y_{7}-x_{7}y_{6})\,&\mathbf {e} _{2}\\{}+(x_{4}y_{6}-x_{6}y_{4}+x_{5}y_{2}-x_{2}y_{5}+x_{7}y_{1}-x_{1}y_{7})\,&\mathbf {e} _{3}\\{}+(x_{5}y_{7}-x_{7}y_{5}+x_{6}y_{3}-x_{3}y_{6}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,&\mathbf {e} _{4}\\{}+(x_{6}y_{1}-x_{1}y_{6}+x_{7}y_{4}-x_{4}y_{7}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,&\mathbf {e} _{5}\\{}+(x_{7}y_{2}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{5}-x_{5}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})\,&\mathbf {e} _{6}\\{}+(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{6}-x_{6}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4})\,&\mathbf {e} _{7}\end{aligned}}}
  


= 其他乘法表 =

本条目使用了两个乘法表，但七维向量乘法表不止这些。这些乘法表可以用法诺平面总结。法诺平面底下的数字表示七个不同叉积的指数集合，其中ijk → ei × ej = ek。我们可以根据连接任意三点的直线或中心的圆，加上箭头所代表的正负，得出法诺图所代表的乘法表。例如，第二个乘法表中的e1结果由第二个法诺图中连接e1的三个路径得出：圆路径e2 × e4、斜路径e3 × e7和边路径e6 × e1 = e5。根据上述其中一个恒等式，第三个算式可以写成：

  
    
      
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        ×
        
          (
          
            
              
                e
              
              
                6
              
            
            ×
            
              
                e
              
              
                1
              
            
          
          )
        
        =
        −
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \left(\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}\right)=-\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{5}}
  

或

  
    
      
        
          
            e
          
          
            5
          
        
        ×
        
          
            e
          
          
            6
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1}}
  

此外，在法诺图中，一条直线上的任意两个单位向量与该直线上的第三个单位向量有叉积关系，且正负取决于箭头（单位向量的排列）。
考虑到基向量的所有可能排列，总共有480个乘法表，所以总共有480种叉积。


= 利用几何代数 =
叉积也可以用几何代数计算。叉积以外積（exterior product）开始，而外積是结果为二重向量的两个向量的积：

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          x
        
        ∧
        
          y
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          x
          y
        
        −
        
          y
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} )}
  
。
外积是双线性的，满足交错性且具有所求的大小，但结果不是向量。向量和叉积由这个二重向量的积或三重向量得出。三维中只有一个三重向量（不辨缩放因子），也就是该空间的贗純量。上述二重向量与其中一个单位三重向量的积则是该二重向量的对偶。
七维也有类似的计算方式，但由于三重向量组成一个35维空间，我们可以使用很多三重向量，但不是所有三重向量都有用。其积等于上述坐标变换的三重向量是

  
    
      
        
          v
        
        =
        
          
            e
          
          
            124
          
        
        +
        
          
            e
          
          
            235
          
        
        +
        
          
            e
          
          
            346
          
        
        +
        
          
            e
          
          
            457
          
        
        +
        
          
            e
          
          
            561
          
        
        +
        
          
            e
          
          
            672
          
        
        +
        
          
            e
          
          
            713
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{124}+\mathbf {e} _{235}+\mathbf {e} _{346}+\mathbf {e} _{457}+\mathbf {e} _{561}+\mathbf {e} _{672}+\mathbf {e} _{713}}
  
。
与外积结合，得叉积为

  
    
      
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        =
        −
        (
        
          x
        
        ∧
        
          y
        
        )
         
        ⌟
         
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )~\lrcorner ~\mathbf {v} }
  

其中
  
    
      
        ⌟
      
    
    {\displaystyle \lrcorner }
  
是几何代数的左缩併（left contraction）算子。


与八元数的关系 就像三维叉积可以用四元数表示，七维叉积可以用八元数表达。建立
  
    
      
        
          
            R
          
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
  
与虚八元数（
  
    
      
        
          O
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {O} }
  
中实数线的正交补）的关系后，叉积由以下方程以八元数乘法表示：

  
    
      
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        =
        
          I
          m
        
        (
        
          x
          y
        
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          x
          y
        
        −
        
          y
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {Im} (\mathbf {xy} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} )}
  
。
相反，设V为一个叉积为某向量的七维欧几里得空间，则我们可以在
  
    
      
        
          R
        
        ⊕
        V
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} \oplus V}
  
上定义一个双线性乘法如下：

  
    
      
        (
        a
        ,
        
          x
        
        )
        (
        b
        ,
        
          y
        
        )
        =
        (
        a
        b
        −
        
          x
        
        ⋅
        
          y
        
        ,
        a
        
          y
        
        +
        b
        
          x
        
        +
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a,\mathbf {x} )(b,\mathbf {y} )=(ab-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {x} +\mathbf {x} \times \mathbf {y} )}
  
。
因此，具有该乘法的空间
  
    
      
        
          R
        
        ⊕
        V
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} \oplus V}
  
与八元数同构。
叉积仅存在于三维和七维，因为我们必然可以在高一个维度的空间定义乘法，而该空间需要得证为賦範可除代數。根据胡尔维兹定理，此类代数仅存在于1、2、4和8维，所以叉积必定存在于0、1、3和7维。零维和一维的叉积必然等于零，所以叉积仅存在于三维和七维。
七维叉积之所以不能满足雅可比恆等式，是因为八元数不满足交换律。事实上，

  
    
      
        
          x
        
        ×
        (
        
          y
        
        ×
        
          z
        
        )
        +
        
          y
        
        ×
        (
        
          z
        
        ×
        
          x
        
        )
        +
        
          z
        
        ×
        (
        
          x
        
        ×
        
          y
        
        )
        =
        −
        
          
            3
            2
          
        
        [
        
          x
        
        ,
        
          y
        
        ,
        
          z
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]}
  

其中[x, y, z]是結合子。


旋转 在三维，叉积在旋转群SO(3)的作用下保持不变，所以x和y被旋转后，它们的叉积是x × y被旋转后的像。然而，这个不变性不适用于七维：叉积在七维旋转群SO(7)的作用下并非不变，但它在SO(7)的子群G2李群下不变。


广义化 非零二元叉积仅存在于三维和七维。如果取消二元积的限制，其他维度也可以有叉积。我们要求叉积是多重线性且满足交错性的，而且结果是一个正交于所有输入向量ai的向量。由正交的规定得知，在n维中，叉积最多只能接受n − 1个向量。叉积的大小应该等于以这些向量为边的超平行體的体积，而它可以用格拉姆行列式计算。叉积的条件是：

正交：
  
    
      
        
          (
          
            
              
                a
              
              
                1
              
            
            ×
             
            ⋯
             
            ×
            
              
                a
              
              
                k
              
            
          
          )
        
        ⋅
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1}\times \ \cdots \ \times \mathbf {a} _{k}\right)\cdot \mathbf {a} _{i}=0}
  
对于
  
    
      
        i
        =
        1
        ,
         
        …
         
        ,
        k
      
    
    {\displaystyle i=1,\ \dots \ ,k}
  
。
格拉姆行列式：
  
    
      
        
          |
        
        
          
            a
          
          
            1
          
        
        ×
        ⋯
        ×
        
          
            a
          
          
            k
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        det
        (
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            a
          
          
            j
          
        
        )
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      a
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ⋅
                  
                    
                      a
                    
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    
                      a
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ⋅
                  
                    
                      a
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      a
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ⋅
                  
                    
                      a
                    
                    
                      k
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      a
                    
                    
                      2
                    
                  
                  ⋅
                  
                    
                      a
                    
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    
                      a
                    
                    
                      2
                    
                  
                  ⋅
                  
                    
                      a
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      a
                    
                    
                      2
                    
                  
                  ⋅
                  
                    
                      a
                    
                    
                      k
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    
                      a
                    
                    
                      k
                    
                  
                  ⋅
                  
                    
                      a
                    
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    
                      a
                    
                    
                      k
                    
                  
                  ⋅
                  
                    
                      a
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      a
                    
                    
                      k
                    
                  
                  ⋅
                  
                    
                      a
                    
                    
                      k
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {a} _{1}\times \cdots \times \mathbf {a} _{k}|^{2}=\det(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j})={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\end{vmatrix}}}
  

格拉姆行列式是以a1, ..., ak为边的超平行体的体积的平方。
考虑到这些条件，非零叉积

在三维和七维中是二元积；
在n ≥ 3维中是n − 1个向量的积，而它是这些向量的外积的霍奇对偶；
在八维中是三个向量的积。
在八维中，三个向量的叉积可以用以下方程求出：

  
    
      
        
          a
        
        ×
        
          b
        
        ×
        
          c
        
        =
        (
        
          a
        
        ∧
        
          b
        
        ∧
        
          c
        
        )
         
        ⌟
         
        (
        
          w
        
        −
        
          
            v
            e
          
          
            8
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )~\lrcorner ~(\mathbf {w} -\mathbf {ve} _{8})}
  

其中v是七维所用的三重向量，
  
    
      
        ⌟
      
    
    {\displaystyle \lrcorner }
  
是左縮併算子，而w = −ve12...7是一个4-向量。
除此之外，如上文所述，零叉积存在于一维和零维。偶数维度也有其他“叉积”。它是一元函数，用适当的二重向量通过左縮併，输出一个垂直于输入向量但大小与其相同的向量。在二维中，这个运算相当于将向量经90度旋转。
我们也可以解除多线性和大小的限制，考虑一个一般连续函数
  
    
      
        
          V
          
            d
          
        
        →
        V
      
    
    {\displaystyle V^{d}\to V}
  
（其中
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
是赋有欧几里得内积的
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
且
  
    
      
        d
        ≥
        2
      
    
    {\displaystyle d\geq 2}
  
），它是满足以下两个性质的唯一条件：

叉积必定垂直于所有输入函数。
如果输入函数线性无关，则其叉积必定非零。
应用这些限制后，叉积只存在于
  
    
      
        n
        =
        3
        ,
        d
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=3,d=2}
  
；
  
    
      
        n
        =
        7
        ,
        d
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=7,d=3}
  
；
  
    
      
        n
        =
        8
        ,
        d
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=8,d=3}
  
；和
  
    
      
        d
        =
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle d=n-1}
  
的情况中。


参见 复合代数


参考文献 Brown, Robert B.; Gray, Alfred. Vector cross products. Commentarii Mathematici Helvetici. 1967, 42 (1): 222–236. S2CID 121135913. doi:10.1007/BF02564418. 
Lounesto, Pertti. Clifford algebras and spinors. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-00551-5. 
Silagadze, Z.K. Multi-dimensional vector product. J Phys A. 2002, 35 (23): 4949–4953. Bibcode:2002JPhA...35.4949S. S2CID 119165783. arXiv:math/0204357 . doi:10.1088/0305-4470/35/23/310.  Also available as ArXiv reprint arXiv:math.RA/0204357.
Massey, W.S. Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces. The American Mathematical Monthly. 1983, 90 (10): 697–701. JSTOR 2323537. doi:10.2307/2323537.