1 + 1 + 1 + 1 + …，亦寫作 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          n
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}}
  
, 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          1
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}}
  
或
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}
  
，是一個發散級數，表示其部份和形成的數列不會收斂。數列1n可以視為公比為1的等比級數。不同於其他公比為有理數的等比級數，此級數不但在實數下不收斂，在某些特定數字p的p進數下也不收斂。若在擴展的實數軸中，因為部份和形成的數列單調遞增且沒有上界，因此級數的值如下：

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        1
        =
        +
        ∞
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,}
  

此發散級數無法用切薩羅求和及阿貝爾和的求和法求和。
当出现于物理运用时，它也解释为ζ函數正規化，它是黎曼ζ函數在零点的取值。

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                2
                
                  1
                  −
                  s
                
              
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,}
  

上述二個公式在
  
    
      
        s
        =
        0
      
    
    {\displaystyle s=0}
  
時不成立，必需利用解析连续定义。

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          2
          
            s
          
        
        
          π
          
            s
            −
            1
          
        
         
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                s
              
              2
            
          
          )
        
         
        Γ
        (
        1
        −
        s
        )
         
        ζ
        (
        1
        −
        s
        )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}
  

用上式求得（假設
  
    
      
        Γ
        (
        1
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \Gamma (1)=1}
  
）

  
    
      
        ζ
        (
        0
        )
        =
        
          
            1
            π
          
        
        
          lim
          
            s
            →
            0
          
        
         
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                s
              
              2
            
          
          )
        
         
        ζ
        (
        1
        −
        s
        )
        =
        
          
            1
            π
          
        
        
          lim
          
            s
            →
            0
          
        
         
        
          (
          
            
              
                
                  π
                  s
                
                2
              
            
            −
            
              
                
                  
                    π
                    
                      3
                    
                  
                  
                    s
                    
                      3
                    
                  
                
                48
              
            
            +
            .
            .
            .
          
          )
        
         
        
          (
          
            −
            
              
                1
                s
              
            
            +
            .
            .
            .
          
          )
        
        =
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!}
  

以下ζ(s)在s = 1時的級數展開：也是這種意義下此級數的和：
1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1⁄2
也可用其他的s值來為其他的級數求和，例如ζ(-1)=1 + 2 + 3 + 4 + ⋯=–1/12，ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0，其通式為

  
    
      
        ζ
        (
        −
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          n
          
            s
          
        
        =
        
          1
          
            s
          
        
        +
        
          2
          
            s
          
        
        +
        
          3
          
            s
          
        
        +
        …
        =
        −
        
          
            
              B
              
                s
                +
                1
              
            
            
              s
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\ldots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}}
  

其中Bk為伯努利数。
在同一年內，有兩位傑出的物理學家斯拉夫诺夫（A. Slavnov）和F. Yndurain 分别在巴塞羅那作了学术演讲。两场学术演讲的主题不同，但是在這兩個人的介紹當中，都说到了一句令觀眾非常難忘的话：“各位都知道，1 + 1 + 1 + 1 + … = −1⁄2”，某程度意味著「如果觀眾不知道这个，那么继续听下去是没有意义的。」 


參考資料