数学上，曲面积分，也称为面积分（英語：Surface integral），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是實数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。
面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的經典物理學中。


标量场的面积分 考虑定义在曲面S上的實函數 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片，假设函數 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在每小片的變化不大，且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大，任意取每片中函數 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的值，然后乘以小片的近似面积，最后全部加起来得到一個值，當這種分割越來越細時，如果這值趨近一個實數，我們稱這个實數為實數值函數 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在曲面 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 上的面積分。
要找到面积分的直接公式，首先需要参数化曲面S，也即在S上建立坐标系，就像球面上的经纬度。令参数化为x(s, t)，其中(s, t)在某个平面上的区域T中变化。则 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在曲面 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 的面积分为

  
    
      
        
          ∬
          
            S
          
        
        f
        
        
          d
        
        S
        =
        
          ∬
          
            T
          
        
        f
        (
        
          x
        
        (
        s
        ,
        t
        )
        )
        
          |
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    x
                  
                
                
                  ∂
                  s
                
              
            
            ×
            
              
                
                  ∂
                  
                    x
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
          
          |
        
        
          d
        
        s
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}
  

其中 
  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      x
                    
                  
                  
                    ∂
                    s
                  
                
              
              ×
              
                
                  
                    ∂
                    
                      x
                    
                  
                  
                    ∂
                    t
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|}
  
 是x(s, t)的偏导数的外積這向量的長度，而 
  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      x
                    
                  
                  
                    ∂
                    s
                  
                
              
              ×
              
                
                  
                    ∂
                    
                      x
                    
                  
                  
                    ∂
                    t
                  
                
              
            
            |
          
          
            d
          
          s
          
            d
          
          t
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|\mathrm {d} s\mathrm {d} t}
  
 在微分幾何裡又叫作流形 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 的面積元素（Surface element）。
例如，如果要找出某个函数（
  
    
      
        z
        =
        f
        
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle z=f\,(x,y)}
  
）形状的曲面面积，就有

  
    
      
        A
        =
        
          ∬
          
            S
          
        
        
        
          d
        
        S
        =
        
          ∬
          
            T
          
        
        
          |
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    r
                  
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            ×
            
              
                
                  ∂
                  
                    r
                  
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          |
        
        
          d
        
        x
        
        
          d
        
        y
      
    
    {\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}\right|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
  

其中
  
    
      
        
          r
        
        =
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        (
        x
        ,
        y
        ,
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}
  
。所以，
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                r
              
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        (
        1
        ,
        0
        ,
        
          f
          
            x
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}=(1,0,f_{x}(x,y))}
  
，且
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                r
              
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        =
        (
        0
        ,
        1
        ,
        
          f
          
            y
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=(0,1,f_{y}(x,y))}
  
。因此

  
    
      
        
          
            
              
                A
              
              
                
                

                
                =
                
                  ∬
                  
                    T
                  
                
                
                  ‖
                  
                    
                      (
                      
                        1
                        ,
                        0
                        ,
                        
                          
                            
                              ∂
                              f
                            
                            
                              ∂
                              x
                            
                          
                        
                      
                      )
                    
                    ×
                    
                      (
                      
                        0
                        ,
                        1
                        ,
                        
                          
                            
                              ∂
                              f
                            
                            
                              ∂
                              y
                            
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  ‖
                
                
                  d
                
                x
                
                
                  d
                
                y
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  ∬
                  
                    T
                  
                
                
                  ‖
                  
                    (
                    
                      −
                      
                        
                          
                            ∂
                            f
                          
                          
                            ∂
                            x
                          
                        
                      
                      ,
                      −
                      
                        
                          
                            ∂
                            f
                          
                          
                            ∂
                            y
                          
                        
                      
                      ,
                      1
                    
                    )
                  
                  ‖
                
                
                  d
                
                x
                
                
                  d
                
                y
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  ∬
                  
                    T
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              ∂
                              f
                            
                            
                              ∂
                              x
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              ∂
                              f
                            
                            
                              ∂
                              y
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    1
                  
                
                
                
                
                  d
                
                x
                
                
                  d
                
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}
  

这就是一般以 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,f(x,y))}
  
 為參數的曲面其面积的標準公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的法向量。
注意，因为外积的存在，這裡的公式只在曲面嵌入在三维空间中时适用。


向量场的面积分 考虑S上的向量场v，对于每个S上的点x，v(x)是一个向量。想象一个穿过S的液体流，使得v(x)决定液体在x的速度。则流量定义为单位时间穿过S的液体量。
这个解释意味着如果向量场和S在每点相切，则流量为0，因为液体平行于S流动，从而不进不出。这也意味着如果v不仅仅沿着S流动，也即，如果v既有切向分量也有法向分量，则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理，要找出流量，我们必须取v和S上每点的单位法向量的点积，这就给出了一个标量场，然后就可以用上述方式积分。公式如下

  
    
      
        
          ∫
          
            S
          
        
        
          
            v
          
        
        ⋅
        
        
          d
        
        
          
            S
          
        
        =
        
          ∫
          
            S
          
        
        (
        
          
            v
          
        
        ⋅
        
          
            n
          
        
        )
        
        
          d
        
        S
        =
        
          ∬
          
            T
          
        
        
          
            v
          
        
        (
        
          x
        
        (
        s
        ,
        t
        )
        )
        ⋅
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    x
                  
                
                
                  ∂
                  s
                
              
            
            ×
            
              
                
                  ∂
                  
                    x
                  
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
          
          )
        
        
          d
        
        s
        
        
          d
        
        t
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,\mathrm {d} S=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial t}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.}
  

右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。
该公式定义为向量场v在S上的面积分。


微分2-形式的面积分 令

  
    
      
        ω
        =
        
          f
          
            x
          
        
        
          d
        
        y
        ∧
        
          d
        
        z
        +
        
          f
          
            y
          
        
        
          d
        
        z
        ∧
        
          d
        
        x
        +
        
          f
          
            z
          
        
        
          d
        
        x
        ∧
        
          d
        
        y
      
    
    {\displaystyle \omega =f_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+f_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+f_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
  

为定义在曲面S上的2阶微分形式，并令

  
    
      
        
          x
        
        (
        s
        ,
        t
        )
        =
        (
        x
        (
        s
        ,
        t
        )
        ,
        y
        (
        s
        ,
        t
        )
        ,
        z
        (
        s
        ,
        t
        )
        )
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!}
  

为一保定向的在曲面 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 上的参数化，其中
  
    
      
        (
        s
        ,
        t
        )
        ∈
        D
        ⊆
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (s,t)\in D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}
  
。利用變數變換，则 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
 在S上的面积分變成

  
    
      
        
          ∬
          
            D
          
        
        
          [
          
            
              f
              
                x
              
            
            (
            
              x
            
            (
            s
            ,
            t
            )
            )
            
              
                
                  ∂
                  (
                  y
                  ,
                  z
                  )
                
                
                  ∂
                  (
                  s
                  ,
                  t
                  )
                
              
            
            +
            
              f
              
                y
              
            
            (
            
              x
            
            (
            s
            ,
            t
            )
            )
            
              
                
                  ∂
                  (
                  z
                  ,
                  x
                  )
                
                
                  ∂
                  (
                  s
                  ,
                  t
                  )
                
              
            
            +
            
              f
              
                z
              
            
            (
            
              x
            
            (
            s
            ,
            t
            )
            )
            
              
                
                  ∂
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                
                
                  ∂
                  (
                  s
                  ,
                  t
                  )
                
              
            
          
          ]
        
        
        
          d
        
        s
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \iint _{D}\left[f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}+f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\mathrm {d} t}
  

其中

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                x
              
            
            
              ∂
              s
            
          
        
        ×
        
          
            
              ∂
              
                x
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  (
                  y
                  ,
                  z
                  )
                
                
                  ∂
                  (
                  s
                  ,
                  t
                  )
                
              
            
            ,
            
              
                
                  ∂
                  (
                  z
                  ,
                  x
                  )
                
                
                  ∂
                  (
                  s
                  ,
                  t
                  )
                
              
            
            ,
            
              
                
                  ∂
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                
                
                  ∂
                  (
                  s
                  ,
                  t
                  )
                  )
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\partial \mathbf {x}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t))}}\right)}
  

为S的法向量。利用微分形式（2-form）的變數變換，我們有

  
    
      
        
          ∫
          
            S
          
        
        ω
        =
        
          ∬
          
            S
          
        
        (
        
          f
          
            x
          
        
        ,
        
          f
          
            y
          
        
        ,
        
          f
          
            z
          
        
        )
        ⋅
        
          d
        
        
          S
        
        =
        
          ∬
          
            S
          
        
        (
        
          f
          
            x
          
        
        ,
        
          f
          
            y
          
        
        ,
        
          f
          
            z
          
        
        )
        ⋅
        
          n
        
        
        
          d
        
        S
      
    
    {\displaystyle \int _{S}\omega =\iint _{S}(f_{x},f_{y},f_{z})\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}(f_{x},f_{y},f_{z})\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}
  

也就是說，對 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
 該2-形式的积分和以
  
    
      
        
          f
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{x}}
  
、
  
    
      
        
          f
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{y}}
  
和
  
    
      
        
          f
          
            z
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{z}.}
  
为分量的向量场的面积分相同。


涉及面积分的定理 面积分中很多有用的结果可以用微分几何和向量微积分导出，例如散度定理及其推广斯托克斯定理。


进阶问题 注意面积分的定义中用到曲面S的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如，如果移动球面上南极和北极的位置，所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分，答案很简单：无论参数化为何，面积分不变。
对于向量场，情况复杂一些，因为積分時涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同，则积分值不变。如果法向量定向相反，则积分值相反。因此，不需要規定特定的参数化，但是对于法向量，不同的参数化的定向必须保持一致。
另外一个问题是，有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化；譬如对于有限长的圆柱面就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片，在每一片上求面积分，然后加起来。这就是正确的办法，但是对向量场积分的时候，必须小心，要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲，也就是让所有片的法向量向外指。
最后一个问题是，有些曲面没有一个一致的法向量（譬如莫比乌斯带）。对于这样的曲面，无法找到一致的定向。这样的曲面称为不可定向的，在其上无法进行向量场的积分。


参看 散度定理
斯托克斯定理
体积分
不同坐标系下的体积和面积元


参考 Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905


外部链接 曲面积分 -- MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）
曲面积分 -- 理论和习题 （页面存档备份，存于互联网档案馆）