数列（英語：Number sequence）是由数字組成的序列。另一種略為抽象的說法是——以正整數為定義域、值域是一個數系的函数。级数也是一種数列，不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的数列是實數序列和實數級數。一般的「序列」则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列向量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成。而在計算理論中，数列以及相关术语常用于有关递推规律的研究。


正式定義 由於最一般的數為複數，可以作如下的定義：

在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

  
    
      
        
          
            ⟨
            
              a
              
                k
              
            
            ⟩
          
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        =
        
          ⟨
          
            
              a
              
                1
              
            
            ,
            
            
              a
              
                2
              
            
            ,
            
            
              a
              
                3
              
            
            ,
            
            ⋯
            ,
            
            
              a
              
                n
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}=\left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}\right\rangle }
  

以上表達式中的每一个数被称为这个数列的「项」。
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  
 为数列的「第一项」、
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
  
 为「第二项」，以此類推。
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 被稱為有限數列的項數。數列中的第一项常稱為「首項」，最后一项則称为「末项」。注意有限數列也可以設為 
  
    
      
        
          
            ⟨
            
              a
              
                k
              
            
            ⟩
          
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=0}^{n}}
  
 ，換句話說，把 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 包含在數列的定義域中，並以第零項 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0}}
  
 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也可不将
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
包含在無窮數列的定義域中，讓無窮數列的首項為 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  
 。
由數列中各個項的和組成的數列稱為「級數」，換句話說

一般會將 
  
    
      
        
          
            
              {
              
                s
                
                  i
                
              
              }
            
          
          
            i
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}
  
 寫為 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}}
  
 ，甚至更直觀的 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}
  
 來凸顯級數源於求和」的直觀概念。
級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的函数級數。


分類 = 單調性 =
若對所有 n ∈ Z+ ，an+1 ≥ an  ，则称数列 ⟨ak⟩ 为「递增数列」。把 ≥ 換成 > ，則稱為「嚴格遞增數列」。
若對所有 n ∈ Z+ ，an+1 ≤ an  ，则称数列 ⟨ak⟩ 为「递减数列」。把 ≤ 換成 < ，則稱為「嚴格遞减數列」。
若對所有 n ∈ Z+ ，an+1 = an  ，则称数列 ⟨ak⟩ 为「常数数列」。


= 有限性 =
若數列 
  
    
      
        
          
            ⟨
            
              a
              
                k
              
            
            ⟩
          
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}}
  
 的项数有限，則 ⟨ak⟩ 为「有限数列」。
若數列 
  
    
      
        
          
            ⟨
            
              a
              
                k
              
            
            ⟩
          
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{\infty }}
  
 的项数无限，則 ⟨ak⟩ 为「无穷数列」。


= 有界性 =
若對所有 n ∈ Z+ ，M ≤  an ≤ N  ，则称数列 ⟨ak⟩ 为「有界数列」。 M 稱為「下界」， N 稱為「上界」。
若對數列 ⟨ak⟩ ，上述的 M 、 N 不存在，则称数列 ⟨ak⟩ 为「無界数列」。


收斂性與極限 收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為收斂數列，否則稱為發散數列。
簡單的說，一個數列
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
  
有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
（稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
，而不一定恰好相等。
舉例來說：當 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}
  
 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        5
        −
        
          
            
              3
              
                n
                
                  2
                
              
              −
              9
            
            
              
                n
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}=5-{\frac {3n^{2}-9}{n^{2}+1}}}
  
時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。
此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        =
        L
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}
  
。


= 收斂的嚴格定義 =
我們說一個實數數列
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
  
收斂於實數
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
；如果對任意的
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
  
 ，存在一個正整數
  
    
      
        N
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle N\in \mathbb {N} }
  
，使得對所有的
  
    
      
        n
        ≥
        N
      
    
    {\displaystyle n\geq N}
  
，有
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        −
        L
        
          |
        
        <
        ϵ
      
    
    {\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }
  
。


重要的特殊数列 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。
例如数列
  
    
      
        1
        ,
        3
        ,
        5
        ,
        7
        ,
        9
        ,
        ⋯
        ,
        9995
        ,
        9997
        ,
        9999
        ,
        ⋯
      
    
    {\displaystyle 1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots }
  
。
这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
；
  
    
      
        9999
      
    
    {\displaystyle 9999}
  
与
  
    
      
        9997
      
    
    {\displaystyle 9997}
  
的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
，并且
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
可为0。
若設首項
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle a_{1}=a}
  
，則等差數列的通項公式為
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        d
      
    
    {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
  
。
多阶等差数列：又称高阶等差数列，中國则称之为“质数相关数列”。
把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。
由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。
普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。
等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。
例如数列
  
    
      
        2
        ,
        4
        ,
        8
        ,
        16
        ,
        32
        ,
        ⋯
        ,
        
          2
          
            197
          
        
        ,
        
          2
          
            198
          
        
        ,
        
          2
          
            199
          
        
        ,
        ⋯
      
    
    {\displaystyle 2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots }
  
。
这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，
  
    
      
        
          2
          
            198
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{198}}
  
与
  
    
      
        
          2
          
            197
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{197}}
  
的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
。
若設首項
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle a_{1}=a}
  
，則等比數列的通項公式為
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        a
        
          r
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}
  
。
斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首兩項均是1，从第3项起，每一项均為前兩項的和。
以數學符號表示，即
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a_{1}=a_{2}=1}
  
，且對於
  
    
      
        n
        ≥
        3
      
    
    {\displaystyle n\geq 3}
  
，
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}
  
。
斐波那契数列的通项公式為
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              5
            
          
        
        
          [
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      1
                      +
                      
                        
                          5
                        
                      
                    
                    2
                  
                
                )
              
              
                n
              
            
            −
            
              
                (
                
                  
                    
                      1
                      −
                      
                        
                          5
                        
                      
                    
                    2
                  
                
                )
              
              
                n
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}
  
。
質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,............
正负相间：
  
    
      
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (-1)^{n}}
  
或
  
    
      
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (-1)^{n-1}}
  

隔项有零：
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        [
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        +
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n}+1]}
  
或
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        [
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]}
  


数列的求和 通常对第1项到第
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
项求和，记为
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
  
。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。
一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的平方。例如：1+3=22,1+3+5=32。


通项公式的求解 通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。并不存在一种通用的解法。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。


= 数学归纳法 =
求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。
数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。


= 逐差全加 =
给定数列差
  
    
      
        
          d
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{n}}
  
时逐差全加，例如：

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a_{1}=1}
  
，
  
    
      
        
          d
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
        −
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        2
        n
      
    
    {\displaystyle d_{n}=a_{n}-a_{n-1}=2n}
  
, 求
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            2
          
          
            n
          
        
        
          d
          
            k
          
        
        =
        
          n
          
            2
          
        
        +
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}d_{k}=n^{2}+n-1}
  


= 逐商全乘 =
给定数列比
  
    
      
        
          r
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{n}}
  
时逐差全乘，例如：

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a_{1}=1}
  
，
  
    
      
        
          r
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                n
              
            
            
              a
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        =
        
          
            n
            
              n
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}}
  
，求
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          ∏
          
            k
            =
            2
          
          
            n
          
        
        
          r
          
            k
          
        
        =
        n
      
    
    {\displaystyle a_{n}=a_{1}\prod _{k=2}^{n}r_{k}=n}
  


= 从和式求通项 =
如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{n}}
  
可知
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        −
        
          S
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}}
  

把
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}}
  
看成一个数列，可以先对
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}}
  
进行求解，然后得出
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  
。


= 换元法 =
换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。


= 不动点法 =
对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。
已知
  
    
      
        A
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        +
        B
        
          a
          
            n
          
        
        +
        C
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0}
  
，其中
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
都是常数，求
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  
。
求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

如果
  
    
      
        A
        =
        −
        B
      
    
    {\displaystyle A\neq -B}
  
，那么这个式子就可以化成下面的形式：

  
    
      
        A
        (
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        +
        k
        )
        =
        −
        B
        (
        
          a
          
            n
          
        
        +
        k
        )
      
    
    {\displaystyle A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)}
  
。
求出
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
，那么数列
  
    
      
        
          
            a
            
              n
            
          
          +
          k
        
      
    
    {\displaystyle {a_{n}+k}}
  
就是一个等比数列，从而求出通项公式。

如果
  
    
      
        A
        =
        −
        B
      
    
    {\displaystyle A=-B}
  
，这个递推关系就不能化为等比数列。如果
  
    
      
        A
        =
        −
        B
      
    
    {\displaystyle A=-B}
  
，那么它就是等差数列。另外，当
  
    
      
        A
        =
        B
      
    
    {\displaystyle A=B}
  
的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
除此之外也可以这样将之化成等比数列：

  
    
      
        A
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        +
        B
        
          a
          
            n
          
        
        +
        C
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0}
  

  
    
      
        A
        
          a
          
            n
          
        
        +
        B
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        C
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0}
  

两边相减就有：
  
    
      
        A
        (
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        −
        
          a
          
            n
          
        
        )
        +
        B
        (
        
          a
          
            n
          
        
        −
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A(a_{n+1}-a_{n})+B(a_{n}-a_{n-1})=0}
  
，如此就化成了一个等比数列。
已知
  
    
      
        A
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        +
        B
        
          a
          
            n
          
        
        +
        C
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        D
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+Ca_{n-1}+D=0}
  
,其中
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
、
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
、
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
都为常数，求
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  
；
与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：

  
    
      
        A
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        +
        E
        
          a
          
            n
          
        
        =
        k
        (
        A
        
          a
          
            n
          
        
        +
        E
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        −
        D
      
    
    {\displaystyle Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D}
  

求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列
  
    
      
        
          A
          
            a
            
              n
            
          
          +
          E
          
            a
            
              n
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {Aa_{n}+Ea_{n-1}}}
  
的通项公式，然后求出
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  
的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。


= 其它方法 =
其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。


在其他數學領域的使用 = 拓樸 =


= 分析 =


= 線性代數 =


= 抽象代數 =


参见 整数数列线上大全 (OEIS)


参考资料