線性映射（英語：linear map）是向量空間之間，保持向量加法和純量乘法的函數。線性映射也是向量空間作為模的同態。
線性算子（英語：linear operator）與線性轉換（英語：linear transformation，又稱線性變換）是與線性映射相關的慣用名詞，但其實際意義存在許多分歧，詳見相關名詞一節。


正式定義 設 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 和 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 都是係數體為 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 的向量空間， 
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:V\to W}
  
 是一個從 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 送到 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 的一個映射。如果 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 具有以下兩個性質：

維持向量加法——對於任意兩個 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 中的向量 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 和 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 ：
  
    
      
        f
        (
        x
        +
        y
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        +
        f
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
  

維持純量乘法——對於任何 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 中的向量 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 和任何純量 
  
    
      
        a
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle a\in K}
  
 ：
  
    
      
        f
        (
        a
        ⋅
        x
        )
        =
        a
        ⋅
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(a\cdot x)=a\cdot f(x)}
  

則稱 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 是一個 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
-線性映射。在係數體不致混淆的情況下也經常簡稱線性映射。
這等價於要求 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
  對任意向量 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          x
          
            m
          
        
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\in V}
  
 和任意純量 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          a
          
            m
          
        
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle a_{1},\,\ldots ,\,a_{m}\in K}
  
 ：
  
    
      
        f
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ⋅
        
          x
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            m
          
        
        ⋅
        
          x
          
            m
          
        
        )
        =
        
          a
          
            1
          
        
        ⋅
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            m
          
        
        ⋅
        f
        (
        
          x
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(a_{1}\cdot x_{1}+\cdots +a_{m}\cdot x_{m})=a_{1}\cdot f(x_{1})+\cdots +a_{m}\cdot f(x_{m})}
  


= 線性泛函 =
任何的體 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 本身就是一維的（係數為自身的）向量空間，所以可以考慮任何從係數體同樣為 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 的向量空間 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 送往 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 的線性映射，這類線性映射被稱為線性泛函。研究線性泛函的學科是線性泛函分析，是泛函分析最成熟的分支。


= 注意事項 =
線性映射中的「線性」與「函數圖形是直線」沒有任何關聯。
定義域和對應域相同的線性映射可以進行函數合成，合成的結果依然會是線性映射。但是如果改變合成的順序，那合成出來的結果通常不會相同。例如「把函數乘上 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  
 」和「對函數進行微分」都是線性算子，但是對一個函數「先乘上 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  
 再進行微分」和「先進行微分再乘上 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  
 」是不同的線性映射。
維持向量加法的映射可能不維持純量乘法；同樣地，維持純量乘法的映射也可能不維持向量加法。


相關名詞 線性變換和線性算子這兩個名詞，與本條目的線性映射密切相關，但不同作者有不同的定義。而這種定義分歧的根源在於，如 
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        V
      
    
    {\displaystyle f:V\rightarrow V}
  
  這樣，定義域和值域落在同個向量空間的特殊線性映射，有些人為了凸顯而予之不同的稱呼。
比如Axler和龔昇就稱這種特殊線性映射為線性算子，但另一方面將線性映射和線性變換視為同義詞；李尚志則將這種特殊線性映射稱為線性變換；而泛函分析的書籍一般將三者都視為本條目所定義的「線性映射」，其他細節以函數的符號傳達。
本條目採用泛函分析的習慣。


例子 恒等映射和零映射是線性的。
對於實數，映射
  
    
      
        x
        ↦
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x\mapsto x^{2}}
  
不是線性的。
如果
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
是
  
    
      
        m
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle m\times n}
  
實矩陣，則
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
定義了一個從
  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{n}}
  
到
  
    
      
        
          R
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{m}}
  
的線性映射，這個映射將列向量
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in R^{n}}
  
映射到列向量
  
    
      
        A
        x
        ∈
        
          R
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle Ax\in R^{m}}
  
。反過來說，在有限維向量空間之間的任何線性映射都可以用這種方式表示；參見後面章節。
積分生成從在某個區間上所有可積分實函數的空間到
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
的線性映射。這只是把積分的基本性質（“積分的可加性”和“可從積分號內提出常數倍數”）用另一種說法表述出來。
微分是從所有可微分函數的空間到所有函數的空間的線性映射。
“給函數乘上
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  
”是一種線性映射。設
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
是由全體連續函數所組成的函數空間，則此運算也是空間
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
中的算子。
後向移位（backward shift）運算是一種線性映射。即把無窮維向量
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        .
        .
        .
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...)}
  
的第一個坐標劃去：
  
    
      
        T
        ⁡
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        .
        .
        .
        )
        =
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        .
        .
        .
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {T} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...)=(x_{2},x_{3},x_{4},...)}
  
。
如果
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
和
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
為在體
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
上的有限維向量空間，則從線性映射
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:V\rightarrow W}
  
到在後面所描述的
  
    
      
        
          dim
          
            F
          
        
        ⁡
        (
        W
        )
        ×
        
          dim
          
            F
          
        
        ⁡
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \dim _{F}(W)\times \dim _{F}(V)}
  
矩陣的函數也是線性映射。
一次函數
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
        =
        x
        +
        b
      
    
    {\displaystyle y=f(x)=x+b}
  
僅在
  
    
      
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b=0}
  
時才是一種線性變換。容易驗證一次函數僅在
  
    
      
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b=0}
  
時，線性變換的基本性質
  
    
      
        f
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(0)=0}
  
才能成立。（盡管
  
    
      
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  
時其圖像也是一條直線，但這里所說的線性不是指函數圖像為直線。）同理，平移變換一般也不是線性變換（平移距離為零時才是線性變換）。


矩陣 若 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 和 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 是有限維的、有相同的係數體 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 的向量空間，則從 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 到 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 的線性映射可以用矩陣表示。


= 以矩陣表示線性映射 =
假設 
  
    
      
        T
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle T:V\to W}
  
 是個線性映射，且

  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            V
          
        
        =
        
          {
          
            
              α
              
                1
              
            
            ,
            
              α
              
                2
              
            
            ,
            
            …
            ,
            
              α
              
                n
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}=\left\{\alpha _{1},\alpha _{2},\,\ldots ,\alpha _{n}\right\}}
  

  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            W
          
        
        =
        
          {
          
            
              β
              
                1
              
            
            ,
            
              β
              
                2
              
            
            ,
            
            …
            ,
            
              β
              
                m
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}=\left\{\beta _{1},\beta _{2},\,\ldots ,\beta _{m}\right\}}
  

分別是 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 和 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 的基底。
根據基底 
  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
  
 的基本定義，對於每個基向量 
  
    
      
        
          α
          
            i
          
        
        ∈
        
          
            
              B
            
          
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}}
  
 ，存在唯一一組純量 
  
    
      
        
          t
          
            1
            i
          
        
        ,
        
        
          t
          
            2
            i
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          t
          
            m
            i
          
        
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K}
  
 使得

  
    
      
        T
        (
        
          α
          
            i
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          t
          
            j
            i
          
        
        ⋅
        
          β
          
            j
          
        
        =
        
          t
          
            1
            i
          
        
        ⋅
        
          β
          
            1
          
        
        +
        
          t
          
            2
            i
          
        
        ⋅
        
          β
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          t
          
            m
            i
          
        
        ⋅
        
          β
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle T(\alpha _{i})=\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}=t_{1i}\cdot \beta _{1}+t_{2i}\cdot \beta _{2}+\cdots +t_{mi}\cdot \beta _{m}}
  

直觀上，純量 
  
    
      
        
          t
          
            1
            i
          
        
        ,
        
        
          t
          
            2
            i
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          t
          
            m
            i
          
        
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K}
  
 就是對基向量 
  
    
      
        
          α
          
            i
          
        
        ∈
        
          
            
              B
            
          
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}}
  
 的作用結果 
  
    
      
        T
        (
        
          α
          
            i
          
        
        )
        ∈
        W
      
    
    {\displaystyle T(\alpha _{i})\in W}
  
 ，在基底 
  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
  
 下的諸分量。
現在任取一個 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 裡的向量 
  
    
      
        v
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle v\in V}
  
 ，因為基底 
  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}}
  
 的基本定義，存在唯一一組純量 
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          v
          
            n
          
        
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n}\in K}
  
 使得

  
    
      
        v
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          v
          
            i
          
        
        ⋅
        
          α
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \alpha _{i}}
  

這樣根據求和符號的性質，可以得到

  
    
      
        T
        (
        v
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          v
          
            i
          
        
        ⋅
        
          (
          
            
              ∑
              
                j
                =
                1
              
              
                m
              
            
            
              t
              
                j
                i
              
            
            ⋅
            
              β
              
                j
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            m
          
        
        (
        
          t
          
            j
            i
          
        
        
          v
          
            i
          
        
        )
        ⋅
        
          β
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        (
        
          t
          
            j
            i
          
        
        
          v
          
            i
          
        
        )
        ⋅
        
          β
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              t
              
                j
                i
              
            
            
              v
              
                i
              
            
          
          )
        
        ⋅
        
          β
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle T(v)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}\right)\cdot \beta _{j}}
  

然後考慮到 
  
    
      
        T
        (
        v
        )
        ∈
        W
      
    
    {\displaystyle T(v)\in W}
  
 ，所以根據基底 
  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
  
 的基本定義，存在唯一一組純量 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          λ
          
            m
          
        
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{m}\in K}
  
 使得

  
    
      
        T
        (
        v
        )
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          λ
          
            j
          
        
        ⋅
        
          β
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle T(v)=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}\cdot \beta _{j}}
  

因為這樣的純量 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          λ
          
            M
          
        
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{M}\in K}
  
 是唯一存在的，所以對 
  
    
      
        j
        =
        1
        ,
        
        2
        ,
        
        …
        ,
        
        m
      
    
    {\displaystyle j=1,\,2,\,\ldots ,\,m}
  
 有

  
    
      
        
          λ
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          t
          
            j
            i
          
        
        
          v
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{j}=\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}}
  

考慮到矩陣乘法的定義，上式可以改寫為

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    λ
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    λ
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    λ
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    t
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    t
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    t
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    t
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    t
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    t
                    
                      2
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    t
                    
                      m
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    t
                    
                      m
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    t
                    
                      m
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    v
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    v
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\vdots \\\lambda _{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}&\dots &t_{1n}\\t_{21}&t_{22}&\dots &t_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{m1}&t_{m2}&\dots &t_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}
  

也就是說，只要知道 
  
    
      
        T
        (
        
          α
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle T(\alpha _{i})}
  
 在 
  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
  
 下的諸分量 
  
    
      
        
          t
          
            j
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{ji}}
  
 ，任意向量 
  
    
      
        v
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle v\in V}
  
 的作用結果 
  
    
      
        T
        (
        v
        )
      
    
    {\displaystyle T(v)}
  
 ，都可以表示為矩陣 
  
    
      
        
          T
        
        =
        
          
            [
            
              t
              
                j
                i
              
            
            ]
          
          
            m
            ×
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}
  
 與行向量 
  
    
      
        
          v
        
        =
        
          
            [
            
              v
              
                i
              
            
            ]
          
          
            n
            ×
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} ={[v_{i}]}_{n\times 1}}
  
 的乘積。更直觀的來說，矩陣 
  
    
      
        
          T
        
        =
        
          
            [
            
              t
              
                j
                i
              
            
            ]
          
          
            m
            ×
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}
  
 就是把 
  
    
      
        T
        (
        
          α
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle T(\alpha _{i})}
  
 的諸分量沿行（column）擺放所構成的。
由上面的推導可以知道，不同的基底 
  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}}
  
 和 
  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}
  
 下，矩陣 
  
    
      
        
          T
        
        =
        
          
            [
            
              t
              
                j
                i
              
            
            ]
          
          
            m
            ×
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}
  
 也不同，為了強調這點，也會將矩陣 
  
    
      
        
          T
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} }
  
 記為

  
    
      
        
          T
        
        =
        
          
            [
            T
            ]
          
          
            
              
                
                  B
                
              
              
                W
              
            
          
          
            
              
                
                  B
                
              
              
                V
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{W}}^{{\mathfrak {B}}_{V}}}
  

來強調這種關聯性。
若 
  
    
      
        T
        :
        V
        →
        V
      
    
    {\displaystyle T:V\to V}
  
 ，在同個向量空間 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 通常沒有取不同基底的必要，那上面的推導可以在 
  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            V
          
        
        =
        
          
            
              B
            
          
          
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}={\mathfrak {B}}_{W}}
  
 的前提下進行。這時上式可以進一步簡寫為

  
    
      
        
          T
        
        =
        
          
            [
            T
            ]
          
          
            
              
                
                  B
                
              
              
                V
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{V}}}
  


= 以線性映射表示矩陣 =
若有由 
  
    
      
        m
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle m\times n}
  
 個純量構成的矩陣 
  
    
      
        
          A
        
        =
        
          
            [
            
              a
              
                i
                j
              
            
            ]
          
          
            m
            ×
            n
          
        
        ∈
        
          K
          
            m
            ×
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ={[a_{ij}]}_{m\times n}\in K^{m\times n}}
  
 ，如果取 
  
    
      
        f
        :
        
          K
          
            n
            ×
            1
          
        
        →
        
          K
          
            m
            ×
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f:K^{n\times 1}\to K^{m\times 1}}
  
 為

  
    
      
        f
        (
        
          x
        
        )
        =
        
          A
        
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x} }
  

其中

  
    
      
        
          x
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        ∈
        
          K
          
            n
            ×
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in K^{n\times 1}}
  

因為矩陣乘法只有唯一的結果，上面的定義的確符合函數定義的基本要求。然後考慮 
  
    
      
        
          K
          
            n
            ×
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle K^{n\times 1}}
  
 和  
  
    
      
        
          K
          
            m
            ×
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle K^{m\times 1}}
  
 都可以視為定義在同個純量體 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 上的向量空間，而且矩陣乘法是線性的，所以上述定義的函數 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的確符合線性映射的基本定義。


= 用泛性质做矩阵表示 =
根据积和余积的泛性质，我们有

  
    
      
        
          H
          o
          m
        
        
          (
          
            
              ⨁
              
                i
                ∈
                I
              
            
            
              U
              
                i
              
            
            ,
            
              ∏
              
                j
                ∈
                J
              
            
            
              V
              
                j
              
            
          
          )
        
        ≃
        
          ∏
          
            i
            ∈
            I
          
        
        
          ∏
          
            j
            ∈
            J
          
        
        
          H
          o
          m
        
        
          (
          
            
              U
              
                i
              
            
            ,
            
              V
              
                j
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Hom} \left(\bigoplus _{i\in I}U_{i},\prod _{j\in J}V_{j}\right)\simeq \prod _{i\in I}\prod _{j\in J}\mathrm {Hom} \left(U_{i},V_{j}\right).}
  

在 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
-线性空间构成的范畴中，有限个线性空间的余积和积是一回事。对于 
  
    
      
        U
        ,
        V
      
    
    {\displaystyle U,V}
  
 的基 
  
    
      
        
          
            
              b
            
          
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              b
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              b
            
          
          
            1
          
          ′
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              b
            
          
          
            m
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {b}}_{1},\dots ,{\mathbf {b}}_{n},{\mathbf {b}}'_{1},\dots ,{\mathbf {b}}'_{m}}
  
，取 
  
    
      
        
          U
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              b
            
          
          
            i
          
        
        K
        ,
        
          V
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              b
            
          
          
            i
          
          ′
        
        k
      
    
    {\displaystyle U_{i}={\mathbf {b}}_{i}K,V_{i}={\mathbf {b}}'_{i}k}
  
，我们有 
  
    
      
        
          H
          o
          m
        
        (
        
          U
          
            i
          
        
        ,
        
          V
          
            j
          
        
        )
        ≃
        K
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Hom} (U_{i},V_{j})\simeq K}
  
，所以左边的线性映射 
  
    
      
        
          H
          o
          m
        
        (
        U
        ,
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Hom} (U,V)}
  
 就被拆解为了 
  
    
      
        n
        m
      
    
    {\displaystyle nm}
  
 个 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 中的元素，这就是线性映射的矩阵表示。


= 用矩陣表示線性映射的原因和好處 =
把線性映射寫成具體而簡明的2維數陣形式後，就成了一種矩陣。進而由線性映射的加法規則和覆合規則來分別定義矩陣的加法規則和乘法規則是很自然的想法。當空間的基變化（坐標系變換）時，線性映射的矩陣也會有規律地變化。在特定的基上研究線性映射，就轉化為對矩陣的研究。利用矩陣的乘法，可以把一些線性系統的方程表達得更緊湊（比如把線性方程組用矩陣表達和研究），也使幾何意義更明顯。矩陣可以分塊計算，可以通過適當的變換以“解耦”（把覆雜的變換分解為一些簡單變換的組合）。要求出一個線性變換的秩，先寫出其矩陣形式幾乎是不可避免的一個步驟。
遇到
  
    
      
        y
        =
        x
        +
        3
      
    
    {\displaystyle y=x+3}
  
這樣的加上了1個常量的非線性映射可以通過增加1個維度的方法，把變換映射寫成2×2維的方形矩陣形式，從而在形式上把這一類特殊的非線性映射轉化為線性映射。這個辦法也適用於處理在高維線性變換上多加了一個常向量的情形。這在計算機圖形學和剛體理論（及其相關機械制造和機器人學）中都有大量應用。
對角化的矩陣具有諸多優點。線性映射在寫成矩陣後可以進行對角化（不能對角化的矩陣可以化簡成接近對角矩陣的準對角矩陣），從而可以獲得對角化矩陣擁有的獨特優勢（極大地簡化乘法運算，易於分塊，容易看出與基的選取無關的不變量）。比如，對於作用於同一個空間的可對角化的方形矩陣
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
，要求出
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
自乘
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
次後的結果
  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{n}}
  
，一個一個慢慢地乘是很麻煩的事情。而知道對角化技巧的人會發現，在將這矩陣對角化後，其乘法運算會變得格外簡單。實際應用中有很多有意思的問題或解題方法都會涉及到矩陣自乘n次的計算，如1階非齊次線性遞推數列通項公式的線性代數求解法和馬爾可夫鏈的極限狀態（極限分布）的求解。線性代數及矩陣論的一個主要問題就是尋找可使矩陣對角化的條件或者可使矩陣化簡到含很多個0的條件，以便簡化計算（這是主要原因之一）。


線性映射的矩陣的例子 二維空間
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{2}}
  
的線性變換的一些特殊情況有：

逆時針旋轉90度：

  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}
  

逆時針旋轉
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
度：

  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  θ
                  )
                
                
                  −
                  sin
                  ⁡
                  (
                  θ
                  )
                
              
              
                
                  sin
                  ⁡
                  (
                  θ
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  θ
                  )
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}
  

針對y軸反射：

  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
  

在所有方向上放大2倍：

  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  2
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  2
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}}
  

水平錯切：

  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  m
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&m\\0&1\end{bmatrix}}}
  

擠壓：

  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  k
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                  
                    /
                  
                  k
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}}
  

向y軸投影：

  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}}
  


從給定線性映射構造新的線性映射 兩個線性映射的覆合映射是線性的：如果
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:V\rightarrow W}
  
和
  
    
      
        g
        :
        W
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle g:W\rightarrow Z}
  
是線性的，則
  
    
      
        g
        ∘
        f
        :
        V
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle g\circ f:V\rightarrow Z}
  
也是線性的。
若線性映射可逆，則該線性映射的逆也是線性映射。
如果
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f_{1}:V\rightarrow W}
  
和
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f_{2}:V\rightarrow W}
  
是線性的，則它們的和
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        +
        
          f
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{1}+f_{2}}
  
也是線性的(這是由
  
    
      
        
          (
          
            
              f
              
                1
              
            
            +
            
              f
              
                2
              
            
          
          )
        
        
          (
          x
          )
        
        =
        
          f
          
            1
          
        
        
          (
          x
          )
        
        +
        
          f
          
            2
          
        
        
          (
          x
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(f_{1}+f_{2}\right)\left(x\right)=f_{1}\left(x\right)+f_{2}\left(x\right)}
  
定義的)。
如果
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:V\rightarrow W}
  
是線性的，而a是基礎體K的一個元素，則定義自 (af)(x) = a (f(x))的映射af也是線性的。
所以從
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
到
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
的線性映射的集合
  
    
      
        L
        
          (
          
            V
            ,
            W
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle L\left(V,W\right)}
  
自身形成在
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
上的向量空間，有時指示為
  
    
      
        
          H
          o
          m
        
        
          (
          
            V
            ,
            W
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Hom} \left(V,W\right)}
  
。進一步的說，在
  
    
      
        V
        =
        W
      
    
    {\displaystyle V=W}
  
的情況中，這個向量空間(指示為
  
    
      
        
          E
          n
          d
        
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {End} (V)}
  
)是在映射覆合下的結合代數，因為兩個線性映射的覆合再次是線性映射，所以映射的覆合總是結合律的。
給定有限維的情況，如果基已經選擇好了，則線性映射的覆合對應於矩陣乘法，線性映射的加法對應於矩陣加法，而線性映射與純量的乘法對應於矩陣與純量的乘法。


自同態線性映射 自同態的線性映射在泛函分析和量子力學中都有很重要的地位。按前文約定，我們用“線性算子”來簡稱它。（注意泛函分析中所說的“線性算子”不一定是自同態(endomorphism)映射，但我們為了照顧不同書籍的差異以及敘述的方便，暫用“線性算子”來稱呼這種自同態。）


= 自同態和自同構 =
自同態是一個數學對象到它本身的保持結構的映射（同態），例如群
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的自同態則是群同態
  
    
      
        f
        :
        G
        →
        G
      
    
    {\displaystyle f:G\to G}
  
。對於向量空間
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
，其自同態是線性算子
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        V
      
    
    {\displaystyle f:V\rightarrow V}
  
；所有這種自同態的集合
  
    
      
        
          E
          n
          d
        
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {End} (V)}
  
與如上定義的加法、覆合和純量乘法一起形成一個結合代數，帶有在體
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
上的單位元(特別是一個環)。這個代數的乘法單位元是恒等映射
  
    
      
        
          i
          d
        
        :
        V
        →
        V
      
    
    {\displaystyle \mathrm {id} :V\rightarrow V}
  
。
若
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的自同態也剛好是同構則稱之為自同構。兩個自同構的覆合再次是自同構，所以
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的所有的自同構的集合形成一個群，
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的自同構群可表為
  
    
      
        
          A
          u
          t
        
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}
  
或
  
    
      
        
          G
          L
        
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {GL} (V)}
  
。因為自同構正好是那些在覆合運算下擁有逆元的自同態，所以
  
    
      
        
          A
          u
          t
        
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}
  
也就是在環
  
    
      
        
          E
          n
          d
        
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {End} (V)}
  
中的可逆元群。
如果
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
之維度
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
有限
  
    
      
        
          E
          n
          d
        
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {End} (V)}
  
同構於帶有在
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
中元素的所有
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
矩陣構成的結合代數，且
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
的自同態群同構於帶有在
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
中元素的所有
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
可逆矩陣構成的一般線性群
  
    
      
        
          G
          L
        
        (
        n
        ,
        K
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}
  
。


= 自同态在基下矩阵的分类 =
若尔当标准型叙述了代数闭域 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 上的线性空间 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 上的自同态 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 在 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 的基上的矩阵表示的表现，有理标准型是将其推广到任意域上的方法。


核、像和秩-零化度定理 對於一個線性映射 
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f:V\rightarrow W}
  
 ，可以考慮以下兩個：

核（ Kernel ）——送到零向量的那些向量：
  
    
      
        
          K
          e
          r
        
        (
        f
        )
        :=
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        
          0
        
        )
        =
        {
        x
        ∈
        V
        ∣
        f
        (
        x
        )
        =
        
          0
        
        }
        ⊆
        V
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ker} (f):=f^{-1}(\mathbf {0} )=\{x\in V\mid f(x)=\mathbf {0} \}\subseteq V}
  

像（ Image ）——把整個空間送過去後的結果：
  
    
      
        
          I
          m
        
        (
        f
        )
        :=
        f
        (
        V
        )
        =
        {
        f
        (
        x
        )
        ∈
        W
        ∣
        x
        ∈
        V
        }
        ⊆
        W
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Im} (f):=f(V)=\{f(x)\in W\mid x\in V\}\subseteq W}
  

那麼 
  
    
      
        Ker
        ⁡
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Ker} (f)}
  
 是 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 的子空間，而 
  
    
      
        Im
        ⁡
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Im} (f)}
  
 是 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 的子空間。下面的叫做秩-零化度定理的維度公式經常是有用的：

  
    
      
        dim
        ⁡
        (
        
          K
          e
          r
        
        (
        f
        )
        )
        +
        dim
        ⁡
        (
        
          I
          m
        
        (
        f
        )
        )
        =
        dim
        ⁡
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \dim(\mathrm {Ker} (f))+\dim(\mathrm {Im} (f))=\dim(V)}
  

  
    
      
        dim
        ⁡
        (
        
          I
          m
        
        (
        f
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \dim(\mathrm {Im} (f))}
  
這個數稱做「 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的秩」（ rank ）並寫成 
  
    
      
        
          r
          k
        
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {rk} (f)}
  
 ，有時也寫成 
  
    
      
        ρ
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (f)}
  
 ；而 
  
    
      
        dim
        ⁡
        (
        
          K
          e
          r
        
        (
        f
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \dim(\mathrm {Ker} (f))}
  
 這個數則稱做「 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的零化度」（ nullity ）並寫成 
  
    
      
        v
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle v(f)}
  
 。如果 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 和 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 是有限維的，那麼 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的秩和零化度就是 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 的矩陣形式的秩和零化度。
這個定理在抽象代數的推廣是同構定理。


推廣 多重線性映射是線性映射最重要的推廣，它也是格拉斯曼代數和張量分析的數學基礎。其特例為雙線性映射。


參見 線性方程
反線性映射
變換矩陣
連續線性算子
人工神經網路
計算機圖形學
線性系統


腳注與參考資料 = 腳注 =


= 腳注所引資料 =
Michael Artin. Algebra [代數] 2. Pearson. 2010. ISBN 978-0132413770. 
Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right [線性代數應該這樣學]. 圖靈數學•統計學叢書. 杜現昆 (漢譯者); 馬晶 (漢譯者). 人民郵電出版社. 2009. ISBN 9787115206145 （中文（中国大陆））. 
Peter D. Lax. Functional Analysis [泛函分析]. 圖靈數學·統計學叢書. 侯成軍 (翻譯); 王利廣 (翻譯). 人民郵電出版社. 2010. ISBN 978-7-115-23174-1. 
Richard Feynman. The Feynman Lectures on Physics [費曼物理學講義] 1. Addison-Wesley. 1999. ISBN 978-0201021165. 


= 其它參考資料 =
Halmos, Paul R., Finite-Dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, (1993). ISBN 0-387-90093-4.