数学中，尤其是在基本计算裏，除法（英語：division）可以看成是「乘法的反运算」，也可以理解为「重复的减法」。除法运算的本质就是「把参与运算的除数变为
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
，得出同比的被除数的值」。
例如：
  
    
      
        
          
            6
          
          ÷
          
            3
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle {{6}\div {3}}=2}
  
，就好像
  
    
      
        
          
            
              6
            
            −
            
              3
            
          
          −
          
            3
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {{{6}-{3}}-{3}}=0}
  
，

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  6
                  −
                  3
                  =
                  3
                
              
              
                
                  3
                  −
                  3
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}6-3=3\\3-3=0\end{cases}}}
  
，
  
    
      
        6
      
    
    {\displaystyle 6}
  
被
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
減了兩次後，就變成了
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
。
如果

  
    
      
        a
        ×
        b
        =
        c
      
    
    {\displaystyle a\times b=c}
  

而且
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
不等于零，那么

  
    
      
        a
        =
        c
        ÷
        b
      
    
    {\displaystyle a=c\div b}
  

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。
如果除式的商數（
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
）必須是整數，则称为带餘除法，
  
    
      
        a
        ×
        b
      
    
    {\displaystyle a\times b}
  
与
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
相差的数值，称为餘數（
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
）。

  
    
      
        c
        ÷
        b
        =
        a
        …
        d
      
    
    {\displaystyle c\div b=a\dots d}
  

這也意味著

  
    
      
        c
        =
        a
        ×
        b
        +
        d
      
    
    {\displaystyle c=a\times b+d}
  

在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中，
  
    
      
        c
        ÷
        b
      
    
    {\displaystyle c\div b}
  
写成
  
    
      
        c
        
          /
        
        b
      
    
    {\displaystyle c/b}
  
。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中尋找商數的函數為
  
    
      
        div
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} }
  
，尋找餘數的函數則為
  
    
      
        mod
      
    
    {\displaystyle \operatorname {mod} }
  
。
在大部分的非英语语言中，
  
    
      
        c
        :
        b
      
    
    {\displaystyle c:b}
  
代表
  
    
      
        c
        ÷
        b
      
    
    {\displaystyle c\div b}
  
的比，讀做c比b；
  
    
      
        c
        
          /
        
        b
      
    
    {\displaystyle c/b}
  
則代表
  
    
      
        c
        ÷
        b
      
    
    {\displaystyle c\div b}
  
的比值。用法请参照比例。


整除 整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
可以被自然数
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
整除，是指
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
是
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的因數，且a是b的整数倍数，也就是
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
除以
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
没有餘数。

  
    
      
        a
        ÷
        b
        =
        q
        …
        0
      
    
    {\displaystyle a\div b=q\dots 0}
  

因數判別法可參照整除規則。


= 表示法 =

  
    
      
        b
        ∣
        a
      
    
    {\displaystyle b\mid a}
  
表示
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
整除
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，即
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
的倍数，
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
是
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的因数。


= 举例 =

  
    
      
        15
      
    
    {\displaystyle 15}
  
可以被
  
    
      
        5
      
    
    {\displaystyle 5}
  
整除，记作
  
    
      
        5
        ∣
        15
      
    
    {\displaystyle 5\mid 15}
  
。

  
    
      
        20
      
    
    {\displaystyle 20}
  
不能被
  
    
      
        6
      
    
    {\displaystyle 6}
  
整除（因为餘数为
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
），记作
  
    
      
        6
        ∣
        20
      
    
    {\displaystyle 6\nmid 20}
  
。在
  
    
      
        ∣
      
    
    {\displaystyle \mid }
  
上加一条斜线即表示不整除。


除法计算 根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。
算盘也可以做除法运算。


= 長除法 =
長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。
使用長除法計算
  
    
      
        
          
            1260257
          
          ÷
          
            37
          
        
        =
        34061
      
    
    {\displaystyle {{1260257}\div {37}}=34061}
  
的過程可以表示為：

  
    
      
        
          
            
              
                37
                 
                
                  
                    )
                  
                
              
            
            
              
            
            
              
            
            
              
            
            
              
            
            
              
            
            
              
            
            
              
            
          
        
        
        
        
        
        
        
          
            
              
                34061
              
            
            
              
                 
                1260257
              
            
            
              
                111
                
                
              
            
            
              
                150
                
                 
                 
              
            
            
              
                148
                
                 
                 
              
            
            
              
                225
                 
                 
              
            
            
              
                222
                 
                 
              
            
            
              
                37
              
            
            
              
                37
              
            
            
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}
  


= 短除法 =
短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

使用短除法計算
  
    
      
        3
        ÷
        7
      
    
    {\displaystyle 3\div 7}
  
的近似值：

  
    
      
        
          
            
              
                7
                 
                
                  |
                
                
                
                  
                    
                      
                       
                      3.00000000000000000
                      …
                       
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                0.42857142857142857
                …
                 
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}
  

使用短除法計算
  
    
      
        420
      
    
    {\displaystyle 420}
  
的質因數分解：

  
    
      
        
          
            
              
                2
                 
                
                  |
                
                
                
                  
                    
                      
                       
                       
                       
                      420
                       
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                2
                 
                
                  |
                
                
                
                  
                    
                      
                       
                       
                      210
                       
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                3
                 
                
                  |
                
                
                
                  
                    
                      
                       
                      105
                       
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                5
                 
                
                  |
                
                
                
                  
                    
                      
                       
                      35
                       
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                7
                 
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}
  

  
    
      
        420
        =
        
          2
          
            2
          
        
        ×
        3
        ×
        5
        ×
        7
      
    
    {\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}
  

使用短除法計算
  
    
      
        420
        ,
        270
      
    
    {\displaystyle 420,270}
  
的最大公因數及最小公倍數：

  
    
      
        
          
            
              
                2
                 
                
                  |
                
                
                
                  
                    
                      
                       
                       
                       
                      420
                      
                      270
                       
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                3
                 
                
                  |
                
                
                
                  
                    
                      
                       
                       
                      210
                      
                      135
                       
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                5
                 
                
                  |
                
                
                
                  
                    
                      
                       
                      70
                      
                       
                       
                      45
                       
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                14
                
                 
                 
                 
                 
                9
                 
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}
  

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  gcd
                  (
                  420
                  ,
                  270
                  )
                  =
                  2
                  ×
                  3
                  ×
                  5
                  =
                  30
                
              
              
                
                  lcm
                  ⁡
                  (
                  420
                  ,
                  270
                  )
                  =
                  2
                  ×
                  3
                  ×
                  5
                  ×
                  14
                  ×
                  9
                  =
                  3780
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}
  


多項式的除法 和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和非零多项式
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，则存在唯一的多项式
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
和
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
，满足：

  
    
      
        A
        =
        B
        Q
        +
        R
      
    
    {\displaystyle A=BQ+R}
  

而多项式
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
若非零多项式，則其冪次严格小于
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的冪次。
作为特例，如果要计算某个多项式
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
除以一次多项式
  
    
      
        X
        −
        a
      
    
    {\displaystyle X-a}
  
得到的餘多项式，可以直接将
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
代入到多项式
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
中。
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
除以
  
    
      
        X
        −
        a
      
    
    {\displaystyle X-a}
  
的餘多项式是
  
    
      
        P
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle P(a)}
  
。
具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算
  
    
      
        
          X
          
            3
          
        
        −
        12
        
          X
          
            2
          
        
        −
        42
      
    
    {\displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}
  
除以
  
    
      
        X
        −
        3
      
    
    {\displaystyle X-3}
  
，列式如下：

  
    
      
        
          
            
              
                
                
                
                
                
                  X
                  
                    2
                  
                
                
                −
                9
                X
                
                −
                27
              
            
            
              
                
                
                X
                −
                3
                
                  
                    
                      |
                      
                        X
                        
                          3
                        
                      
                      −
                      12
                      
                        X
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      0
                      X
                      −
                      42
                    
                    ¯
                  
                
              
            
            
              
                
                
                
                  
                    
                      
                      
                      
                        X
                        
                          3
                        
                      
                      −
                      
                      
                      3
                      
                        X
                        
                          2
                        
                      
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                
                
                
                
                −
                9
                
                  X
                  
                    2
                  
                
                +
                0
                X
              
            
            
              
                
                
                
                
                
                  
                    
                      −
                      9
                      
                        X
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      27
                      X
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                
                
                
                
                
                −
                27
                X
                −
                42
              
            
            
              
                
                
                
                
                
                
                  
                    
                      −
                      27
                      X
                      +
                      81
                    
                    _
                  
                
              
            
            
              
                
                
                
                
                
                
                
                
                −
                123
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}
  

因此，商式是
  
    
      
         
        
          X
          
            2
          
        
        −
        9
        X
        −
        27
      
    
    {\displaystyle \ X^{2}-9X-27}
  
，餘式是
  
    
      
         
        −
        123
      
    
    {\displaystyle \ -123}
  
。


重要性質 通常不定义除以零这种形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時，該式或該數無意義。


参见 筹算除法
同餘
余数
带餘除法