拉普拉斯变换（英語：Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，又名拉氏轉換，其符號為
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            {
            
              f
              (
              t
              )
            
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
  
。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有實數变量
  
    
      
        t
        (
        t
        ≥
        0
        )
      
    
    {\displaystyle t(t\geq 0)}
  
的函數轉換為一個变量為複數
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
的函數：

  
    
      
        F
        (
        s
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        
        
          d
        
        t
        .
      
    
    {\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t.}
  

拉氏變換在大部份的應用中都是對射的，最常見的
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
  
和
  
    
      
        F
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle F(s)}
  
組合常印製成表，方便查閱。拉普拉斯变换得名自法國天文學家暨數學家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace），他在機率論的研究中首先引入了拉氏變換。
拉氏變換和傅里叶变换有關，不過傅里叶变换將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加，而拉氏變換則是將一個函數表示為許多矩的疊加。拉氏變換常用來求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來分析線性非時變系統，可用來分析電子電路、諧振子、光学仪器及機械設備。在這些分析中，拉氏變換可以作時域和頻域之間的轉換，在時域中輸入和輸出都是時間的函數，在頻域中輸入和輸出則是複變角頻率的函數，單位是弧度每秒。
對於一個簡單的系統，拉氏變換提供另一種系統的描述方程，可以簡化分析系統行為的時間。像時域下的線性非時變系統，在頻域下會轉換為代數方程，在時域下的捲積會變成頻域下的乘法。


正式定义 对于所有实数
  
    
      
        t
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle t\geq 0}
  
，函数
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
  
的拉普拉斯变换是函数
  
    
      
        F
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle F(s)}
  
，定义为：

  
    
      
        F
        (
        s
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t}
  

其中频率参数
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
是一个复数：

  
    
      
        s
        =
        σ
        +
        i
        ω
        ,
        
      
    
    {\displaystyle s=\sigma +i\omega ,\,}
  
 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
和
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
为实数。
除了
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
，有时我们也使用 
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          f
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}f}
  
 或 
  
    
      
        
          
            
              
                L
              
            
            
              t
            
          
          
            {
            
              f
              (
              t
              )
            
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}_{t}\left\{f(t)\right\}}
  
 来表示拉普拉斯变换。
  
    
      
        
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}}
  
 是一个运算符号。
这个积分的具体含义取决于被积函数的类型。它存在的一个必要条件是在 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 在 
  
    
      
        [
        0
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle [0,\infty )}
  
 上局部可积。对于在无穷大处衰减的局部可积函数或指数型函数，这积分可以被理解成（恰当）勒贝格积分。然而，在很多应用中，我们有必要将其视作在 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
  
 处条件收敛的反常积分。更一般的，这个积分可以在较弱的意义上理解，在下面会去处理。
可以用勒贝格积分定义拉普拉斯变换为一个有限博雷尔测度 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  

  
    
      
        
          
            L
          
        
        {
        μ
        }
        (
        s
        )
        =
        
          ∫
          
            [
            0
            ,
            ∞
            )
          
        
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        
        
          d
        
        μ
        (
        t
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,\mathrm {d} \mu (t).}
  

以上定义的一个特殊情况是 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 为概率测度，或者更具体地说，是狄拉克δ函数时。在运算微积分中，拉普拉斯变换的测度常常被视作由分布函数 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 带来的测度。在这种情况下，为了避免混淆，一般写作

  
    
      
        
          
            L
          
        
        {
        f
        }
        (
        s
        )
        =
        
          ∫
          
            
              0
              
                −
              
            
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        
          d
        
        t
        ,
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t,}
  

其中积分下限 
  
    
      
        
          0
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle 0^{-}}
  
 是

  
    
      
        
          lim
          
            ε
            →
            0
          
        
        
          ∫
          
            −
            ε
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }}
  

的简化符号。
这个极限强调任何位于 0 的质点都被拉普拉斯变换完全捕获。虽然在使用勒贝格积分时，我们没有必要取这个极限，但它让我们更自然地与拉普拉斯–斯蒂尔吉斯变换建立联系。


= 雙邊拉普拉斯轉換 =
更廣義地，對於定義於整個實數軸上的實值函數或複值函數 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
  
，其雙邊拉普拉斯轉換為

  
    
      
        
          
            B
          
        
        
          {
          f
          }
        
        (
        s
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f\right\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t}
  


= 拉普拉斯逆变换 =
兩個相異的可積函數，只有其在勒貝格測度為零的集合上具有不同的值時，才會有相同的拉普拉斯变换。因此以轉換的角度而言，存在其反轉換。包括可積分函數在內，拉普拉斯变换是单射映射，將一個函數空間映射到其他的函數空間。典型的函數空間包括有界連續函數、函數空間L∞(0, ∞)、或是更廣義，在 (0, ∞) 區間內的缓增广义函数（函數的最壞情形是多項式成長）。
拉普拉斯逆变换有许多不同的名称，如维奇积分、傅立叶-梅林积分、梅林逆公式，是一个複數积分：

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              L
            
          
          
            −
            1
          
        
        {
        F
        }
        (
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          lim
          
            T
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            γ
            −
            i
            T
          
          
            γ
            +
            i
            T
          
        
        
          e
          
            s
            t
          
        
        F
        (
        s
        )
        
        
          d
        
        s
      
    
    {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,\mathrm {d} s}
  

其中
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
是一个使
  
    
      
        F
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle F(s)}
  
的积分路径在收敛域内的实数。另一個拉普拉斯逆变换的公式是由Post反演公式而來。
在實務上一般會配合查表，將函數的拉普拉斯变换分換為許多已知函數的拉普拉斯变换，再利用觀察的方式產生其拉普拉斯逆变换。在微分方程中會用到拉普拉斯逆变换，會比用傅利葉轉換的處理方式要簡單。


性质和定理 函数
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
  
和
  
    
      
        g
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle g(t)}
  
的拉普拉斯变换分别为
  
    
      
        F
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle F(s)}
  
和
  
    
      
        G
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle G(s)}
  
：

  
    
      
        
          
            
              
                f
                (
                t
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      L
                    
                  
                  
                    −
                    1
                  
                
                {
                F
                (
                s
                )
                }
              
            
            
              
                g
                (
                t
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      L
                    
                  
                  
                    −
                    1
                  
                
                {
                G
                (
                s
                )
                }
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}\end{aligned}}}
  

下面的表格是一系列单边拉普拉斯变换的性质：

初值定理：

  
    
      
        f
        (
        
          0
          
            +
          
        
        )
        =
        
          lim
          
            s
            →
            ∞
          
        
        
          s
          F
          (
          s
          )
        
      
    
    {\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}
  
，要求 
  
    
      
        
          F
          (
          s
          )
        
      
    
    {\displaystyle {F(s)}}
  
 为真分式，即分子的最高次小于分母的最高次，否则使用多项式除法将
  
    
      
        
          F
          (
          s
          )
        
      
    
    {\displaystyle {F(s)}}
  
分解
终值定理：

  
    
      
        f
        (
        ∞
        )
        =
        
          lim
          
            s
            →
            0
          
        
        
          s
          F
          (
          s
          )
        
      
    
    {\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}
  
，要求 
  
    
      
        s
        F
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle sF(s)}
  
 的所有极点都在左半复平面或原点为单极点。
由于终值定理无需经过部分分式分解或其他困难的代数就能给出长期的行为，它就很有用。如果 
  
    
      
        F
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle F(s)}
  
 在右侧面或虚轴上有极点，如当 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          e
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle f(t)=e^{t}}
  
 或 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        sin
        ⁡
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)=\sin(t)}
  
 时，这个公式的行为就是未定义的。


= 与幂级数的关系 =
拉普拉斯变换可以看成是幂级数的一个连续模拟。如果 a(n) 是正整数 n 的一个离散函数，那么与 a(n) 相关的幂级数为

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        a
        (
        n
        )
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}
  

其中 x 是实变量（参见Z变换）。将对 n 的加和替换成对 t 的积分，则此幂级数的连续形式为

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        
          x
          
            t
          
        
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,\mathrm {d} t}
  

其中离散型函数 a(n) 被替换成连续型的 f(t)。（参见下文梅林变换。）改变幂的基底 x 为 e 得

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        
          
            (
            
              e
              
                log
                ⁡
                
                  x
                
              
            
            )
          
          
            t
          
        
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\log {x}}\right)^{t}\,\mathrm {d} t}
  

要使这个积分对任何有界函数 f 都收敛，就需要满足
  
    
      
        log
        ⁡
        
          x
        
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \log {x}<0}
  
。使用−s = log x代换就能得到拉普拉斯变换：

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}
  

换句话说，拉普拉斯变换是幂级数的一个连续模拟，只是把离散参数 n 换成了连续变量 t ， x 换成了 e−s。


= 与矩的关系 =

函数 f 的矩为

  
    
      
        
          μ
          
            n
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          t
          
            n
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,\mathrm {d} t}
  

如果 f 的前 n 阶矩绝对收敛，则通过反复在积分符号内取微分，就得到
  
    
      
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        (
        
          
            L
          
        
        f
        
          )
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        0
        )
        =
        
          μ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}}
  
。这在概率论里是有特别重要的意义的，其中随机变量 X 的矩是
  
    
      
        
          μ
          
            n
          
        
        =
        E
        [
        
          X
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \mu _{n}=E[X^{n}]}
  
。下面的关系成立：

  
    
      
        
          μ
          
            n
          
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          
            
              
                d
              
              
                n
              
            
            
              
                d
              
              
                s
                
                  n
                
              
            
          
        
        E
        
          [
          
            e
            
              −
              s
              X
            
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}E\left[e^{-sX}\right].}
  


= 证明函数导数的拉普拉斯变换 =
很方便用拉普拉斯变换的微分性质来求函数导数的变换。从拉普拉斯变换的基本表达式就可以推导如下：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    L
                  
                
                
                  {
                  
                    f
                    (
                    t
                    )
                  
                  }
                
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    
                      0
                      
                        −
                      
                    
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  e
                  
                    −
                    s
                    t
                  
                
                f
                (
                t
                )
                
                
                  d
                
                t
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          f
                          (
                          t
                          )
                          
                            e
                            
                              −
                              s
                              t
                            
                          
                        
                        
                          −
                          s
                        
                      
                    
                    ]
                  
                  
                    
                      0
                      
                        −
                      
                    
                  
                  
                    ∞
                  
                
                −
                
                  ∫
                  
                    
                      0
                      
                        −
                      
                    
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      e
                      
                        −
                        s
                        t
                      
                    
                    
                      −
                      s
                    
                  
                
                
                  f
                  ′
                
                (
                t
                )
                
                
                  d
                
                t
                
                
                  (by parts)
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  [
                  
                    −
                    
                      
                        
                          f
                          (
                          
                            0
                            
                              −
                            
                          
                          )
                        
                        
                          −
                          s
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
                +
                
                  
                    1
                    s
                  
                
                
                  
                    L
                  
                
                
                  {
                  
                    
                      f
                      ′
                    
                    (
                    t
                    )
                  
                  }
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t\\&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,\mathrm {d} t\quad {\text{(by parts)}}\\&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}
  

导出

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            
              f
              ′
            
            (
            t
            )
          
          }
        
        =
        s
        ⋅
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            (
            t
            )
          
          }
        
        −
        f
        (
        
          0
          
            −
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0^{-}),}
  

而在双边的情形下，

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            
              f
              ′
            
            (
            t
            )
          
          }
        
        =
        s
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        
          d
        
        t
        =
        s
        ⋅
        
          
            L
          
        
        {
        f
        (
        t
        )
        }
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{f'(t)}\right\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}
  

一般化的结果是

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            
              f
              
                (
                n
                )
              
            
            (
            t
            )
          
          }
        
        =
        
          s
          
            n
          
        
        ⋅
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            (
            t
            )
          
          }
        
        −
        
          s
          
            n
            −
            1
          
        
        f
        (
        
          0
          
            −
          
        
        )
        −
        ⋯
        −
        
          f
          
            (
            n
            −
            1
            )
          
        
        (
        
          0
          
            −
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}
  

其中 f(n) 表示 f 的 n阶导数，可以由归纳假设得出。


= 计算广义积分 =
令
  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            (
            t
            )
          
          }
        
        =
        F
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}
  
，则（参见上面的表格）

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            
              
                f
                (
                t
                )
              
              t
            
          
          }
        
        =
        
          ∫
          
            s
          
          
            ∞
          
        
        F
        (
        p
        )
        
        
          d
        
        p
        ,
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,\mathrm {d} p,}
  

或

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              t
              )
            
            t
          
        
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        
        
          d
        
        t
        =
        
          ∫
          
            s
          
          
            ∞
          
        
        F
        (
        p
        )
        
        
          d
        
        p
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,\mathrm {d} t=\int _{s}^{\infty }F(p)\,\mathrm {d} p.}
  

令 s → 0，假定可以改变取极限顺序，就得到性质

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              t
              )
            
            t
          
        
        
        
          d
        
        t
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        F
        (
        p
        )
        
        
          d
        
        p
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }F(p)\,\mathrm {d} p.}
  

即便在不可以交换，此计算依然有暗示性。例如，形式上按此计算得到

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              a
              t
              −
              cos
              ⁡
              b
              t
            
            t
          
        
        
        
          d
        
        t
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                p
                
                  
                    p
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                p
                
                  
                    p
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        
          d
        
        p
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
            
              ln
              ⁡
              
                
                  
                    
                      p
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    
                      p
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            |
          
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        =
        ln
        ⁡
        b
        −
        ln
        ⁡
        a
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos at-\cos bt}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,\mathrm {d} p={\frac {1}{2}}\left.\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right|_{0}^{\infty }=\ln b-\ln a.}
  

这个性质的正确性可以用其他方法证明。它是傅汝兰尼积分（Frullani integral）的一个例子。
例子还有狄利克雷积分。


= 与其他变换的联系 =


 与傅里叶变换关系  连续傅里叶变换相当于计算令 
  
    
      
        s
        =
        ı
        ω
      
    
    {\displaystyle s=\imath \omega }
  
 或 
  
    
      
        s
        =
        2
        π
        f
        ı
      
    
    {\displaystyle s=2\pi f\imath }
  
 的双边拉普拉斯变换：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      f
                      ^
                    
                  
                
                (
                ω
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    F
                  
                
                
                  {
                  
                    f
                    (
                    t
                    )
                  
                  }
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    L
                  
                
                
                  {
                  
                    f
                    (
                    t
                    )
                  
                  }
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    s
                    =
                    i
                    ω
                  
                
                =
                F
                (
                s
                )
                
                  
                    |
                  
                  
                    s
                    =
                    i
                    ω
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  e
                  
                    −
                    ı
                    ω
                    t
                  
                
                f
                (
                t
                )
                
                
                  d
                
                t
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}\\[1em]&={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[1em]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.\\\end{aligned}}}
  


 与z变换的联系  z 变换表达式为：

  
    
      
        X
        (
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        x
        [
        n
        ]
        
          z
          
            −
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}
  

其中 
  
    
      
        z
        ←
        
          e
          
            s
            T
          
        
         
      
    
    {\displaystyle z\leftarrow e^{sT}\ }
  
。比较两者表达式有：

  
    
      
        
          X
          
            q
          
        
        (
        s
        )
        =
        X
        (
        z
        )
        
          
            
              |
            
          
          
            z
            =
            
              e
              
                s
                T
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}
  


拉普拉斯变换简表 下表提供了许多常用单变量函数的拉普拉斯变换。 对于定义和解释，请参见表末的注释 。
由于拉普拉斯变换是一个线性算子：

和的拉普拉斯变换等于各项拉普拉斯变换的和。

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            (
            t
            )
            +
            g
            (
            t
            )
          
          }
        
        =
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            (
            t
            )
          
          }
        
        +
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            g
            (
            t
            )
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}
  

一个函数的常數倍拉普拉斯变换等于其拉普拉斯变换的常數倍。

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            a
            f
            (
            t
            )
          
          }
        
        =
        a
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            (
            t
            )
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
  

使用这个线性性质 ，以及各种三角、双曲、和复数 （等）的性质，可以从其他拉普拉斯变换得到一些拉普拉斯变换，这会比直接通过使用定义更快。
单边拉普拉斯变换取时域为非负实数的函数作为输入，这就是下表中所有时域函数都乘以单位阶跃函数  u(t) 的原因。表中涉及时间延迟 τ 的条目必须是因果的 （即 τ > 0）。因果系统是 t = 0 之前的冲激响应 h(t) 都为零的一个系统。在一般情况下，因果系统的收敛区域和反因果系统是不相同的。

另外，數學家田士弘透過解析延拓的方式計算出了laplace(1/t)的值。已知laplace(1)=laplace(t*1/t)=-d/ds(laplace(1/t)，將兩邊做積分，即可得出laplace(1/t)=-lns+c。


变换及其性质的应用实例 拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的；线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算，而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决，由于它的代数形式。
拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程，这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程，这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师奧利弗·黑維塞第一次提出了一个类似的计划，虽然没有使用拉普拉斯变换；以及由此产生的演算被誉为黑維塞演算。


在工程学上的应用 应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。


相關條目 z轉換
微分方程
傅立葉變換
微分几何中的拉普拉斯算子
控制理论
信号处理
线性系统
双边拉普拉斯变换


參考書目、資料來源 電機電子類科《工程數學》，ISBN 957-584-377-0，作者陳锡冠、胡曦、周祯晖老師，高立出版社。
Korn, G. A.; Korn, T. M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers 2nd, McGraw-Hill Companies, 1967, ISBN 0-07-035370-0 .