假設 
  
    
      
        (
        G
        ,
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (G,*)}
  
 是一個 群（group），若 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 是 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的一個非空子集（subset）且同時 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 與相同的二元運算 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle *}
  
 亦構成一個群，則 
  
    
      
        (
        H
        ,
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (H,*)}
  
 稱為 
  
    
      
        (
        G
        ,
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (G,*)}
  
 的一個 子群（subgroup）。參閱群論。
更精確地來說，若運算 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle *}
  
 在 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 的限制也是個在 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 上的群運算，则称  
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 為 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的子群。
一個群 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的 純子群 是指一個子群 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
，其為 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的純子集（即 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 = 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
）。任一個群總會有兩個子群 當然群（為只包含單位元素的子群，{e}）以及 群本身。若 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 為 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的子群，則 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 有時會被稱為 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 的「母群」。
相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當 G 為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G 有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle *}
  
 當 G 帶有多重的代數或其他結構。
在下面的文章中，會使用省略掉 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle *}
  
 的約定，並將乘積a*b寫成 ab。


子群的檢驗 給定一個群
  
    
      
        (
        G
        ,
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (G,*)}
  
，
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
為
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的子集，則有
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
為
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的子群若且唯若
  
    
      
        ∀
        h
        ,
        
          h
          ′
        
        ∈
        H
        ,
        h
        ∗
        (
        
          h
          ′
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}
  
。
若
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
為
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的子群可表示為
  
    
      
        H
        ≤
        G
      
    
    {\displaystyle H\leq G}
  
，則以上表述可表示為:

  
    
      
        H
        ≤
        G
        ⟺
        ∀
        h
        ,
        
          h
          ′
        
        ∈
        H
        ,
        h
        ∗
        (
        
          h
          ′
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}
  

證明：

  
    
      
        (
        ⟹
        )
      
    
    {\displaystyle (\Longrightarrow )}
  
：
因為
  
    
      
        H
        ≤
        G
      
    
    {\displaystyle H\leq G}
  
，對於任意
  
    
      
        
          h
          ′
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle h'\in H}
  
，
  
    
      
        ∃
        
          h
          
            ′
            
              −
              1
            
          
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle \exists h'^{-1}\in H}
  
，另有
  
    
      
        h
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle h\in H}
  
，由於
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
為一個群，所以
  
    
      
        h
        ∗
        
          h
          
            ′
            
              −
              1
            
          
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle h*h'^{-1}\in H}
  
。

  
    
      
        (
        ⟸
        )
      
    
    {\displaystyle (\Longleftarrow )}
  
：
假設
  
    
      
        ∃
        x
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle \exists x\in H}
  
，令
  
    
      
        h
        =
        
          h
          ′
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle h=h'=x}
  
，可得
  
    
      
        h
        ∗
        
          h
          
            −
            1
          
        
        =
        x
        ∗
        
          x
          
            −
            1
          
        
        =
        
          e
          
            G
          
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}\in H}
  
，即
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
存在單位元。
對於
  
    
      
        x
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle x\in H}
  
，令
  
    
      
        h
        =
        
          e
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle h=e_{G}}
  
，
  
    
      
        
          h
          ′
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle h'=x}
  
，可得
  
    
      
        h
        ∗
        
          h
          
            −
            1
          
        
        =
        
          e
          
            G
          
        
        ∗
        
          x
          
            −
            1
          
        
        =
        
          x
          
            −
            1
          
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}\in H}
  
，即對於任意
  
    
      
        x
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle x\in H}
  
，存在
  
    
      
        
          x
          
            −
            1
          
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle x^{-1}\in H}
  
。
對於
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle x,y\in H}
  
，令
  
    
      
        h
        =
        x
      
    
    {\displaystyle h=x}
  
，
  
    
      
        
          h
          ′
        
        =
        
          y
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle h'=y^{-1}}
  
，可得
  
    
      
        h
        ∗
        
          h
          
            −
            1
          
        
        =
        x
        ∗
        (
        
          y
          
            −
            1
          
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        =
        x
        ∗
        y
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H}
  
，即對於任意
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle x,y\in H}
  
，
  
    
      
        x
        ∗
        y
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle x*y\in H}
  
。
因此
  
    
      
        H
        ≤
        G
        ⟺
        ∀
        h
        ,
        
          h
          ′
        
        ∈
        H
        ,
        h
        ∗
        (
        
          h
          ′
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}
  
成立。


子群的基本性質 H
        ≤
        G
      
    
    {\displaystyle H\leq G}
  
 
  
    
      
        ⟺
      
    
    {\displaystyle \Longleftrightarrow }
  

  
    
      
        H
        ⊆
        G
      
    
    {\displaystyle H\subseteq G}
  
且存在一個映射
  
    
      
        ϕ
        :
        H
        →
        G
      
    
    {\displaystyle \phi :H\to G}
  
,且對每個 
  
    
      
        a
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle a\in H}
  
 有
  
    
      
        ϕ
        (
        a
        )
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \phi (a)=a}
  
。

  
    
      
        H
        ≤
        G
      
    
    {\displaystyle H\leq G}
  
 
  
    
      
        ⟺
      
    
    {\displaystyle \Longleftrightarrow }
  

  
    
      
        
          e
          
            H
          
        
        =
        
          e
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{H}=e_{G}}
  
,其中
  
    
      
        
          e
          
            H
          
        
        ,
        
          e
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{H},e_{G}}
  
為
  
    
      
        H
        ,
        G
      
    
    {\displaystyle H,G}
  
 的單位元素。
若
  
    
      
        H
        ≤
        G
      
    
    {\displaystyle H\leq G}
  
，則
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
為會使得
  
    
      
        a
        b
        =
        b
        a
        =
        
          e
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle ab=ba=e_{H}}
  
 之 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 中的元素，有
  
    
      
        a
        b
        =
        b
        a
        =
        
          e
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle ab=ba=e_{G}}
  
。
若
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        ≤
        G
        ,
        
          H
          
            2
          
        
        ≤
        G
        ⇒
        
          H
          
            1
          
        
        ∩
        
          H
          
            2
          
        
        ≤
        G
      
    
    {\displaystyle H_{1}\leq G,H_{2}\leq G\Rightarrow H_{1}\cap H_{2}\leq G}
  
 .但
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        ∪
        
          H
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}
  
則不一定，例如2和3是在
  
    
      
        2
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle 2\mathbb {Z} }
  
與
  
    
      
        3
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle 3\mathbb {Z} }
  
的聯集中，但其總和5則不是。
若S是G的子集，則存在一個包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。
群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ，則n會是最小個會使得an = e的正整數，且n被稱為是a的「階」。若<a>同構於Z，則a會被稱有「無限階」。
任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若e為G的單位元素，則其當然群{e}會是群G的最小子群，而其最大子群則會是群G本身。


例子 = 1. 有限群 =

  
    
      
        G
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        5
        ,
        6
        ,
        7
        }
      
    
    {\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}
  
 和以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。
其凱萊表為

此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群：
  
    
      
        J
        =
        {
        0
        ,
        4
        }
      
    
    {\displaystyle J=\{0,4\}}
  
 和 
  
    
      
        H
        =
        {
        0
        ,
        2
        ,
        4
        ,
        6
        }
      
    
    {\displaystyle H=\{0,2,4,6\}}
  
，其中 
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
 亦是 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 的子群。
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 的凱萊表是 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的凱萊表之左上半部。 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 群是循環的，而其子群亦為。一般而言，循環群的子群亦為循環的。


= 2. 二面體群 =
如果
  
    
      
        G
        =
        
          D
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle G=D_{n}}
  
，則 
  
    
      
        R
        =
        {
        e
        ,
        r
        ,
        
          r
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          r
          
            n
            −
            1
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle R=\{e,r,r^{2},...,r^{n-1}\}}
  
是一個子群


= 3.群的中心，中心化子，正規化子 =
我們設
  
    
      
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle Z(G)}
  
一個群G的子集，包含了所有與群G中其他元素可交換的元素，也就是說

  
    
      
        Z
        (
        G
        )
        =
        {
        x
        ∈
        G
        
          |
        
        
        x
        g
        =
        g
        x
        
        
        
        ∀
        
        g
        ∈
        G
        }
      
    
    {\displaystyle Z(G)=\{x\in G|\;xg=gx\;\,\;\forall \,g\in G\}}
  
，此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的中心，記作
  
    
      
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle Z(G)}
  
。
設A為G的任意子集，則A在G中的中心化子為集合
  
    
      
        
          C
          
            G
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle C_{G}(A)}
  
，此集合的定義為:

  
    
      
        
          C
          
            G
          
        
        (
        A
        )
        =
        {
        g
        ∈
        G
        
        
          |
        
        
        g
        a
        
          g
          
            −
            1
          
        
        =
        a
        
        
        ∀
        a
        ∈
        A
        }
      
    
    {\displaystyle C_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gag^{-1}=a\;\;\forall a\in A\}}
  
，此集合也是群G的子群。
至於A在G中的正規化子則為集合
  
    
      
        
          N
          
            G
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle N_{G}(A)}
  
，此集合定義為:

  
    
      
        
          N
          
            G
          
        
        (
        A
        )
        =
        {
        g
        ∈
        G
        
        
          |
        
        
        g
        A
        
          g
          
            −
            1
          
        
        ⊆
        A
        }
      
    
    {\displaystyle N_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gAg^{-1}\subseteq A\}}
  
，此集合也是群G的子群。


陪集和拉格朗日定理 給定一子群H和G內的某一元素a，則可定義出一個左陪集 aH={ah;h∈H}。因為a為可逆的，由φ(h) = ah給出之映射φ : H → aH為一個雙射。更甚地，每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中；其左陪集為對應於一等價關係的等價類，其等價關係a1 ~ a2若且唯若a1−1a2會在H內。H的左陪集之數目稱之為H在G內的「指數」，並標記為[G:H]。
拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言，

  
    
      
        [
        G
        :
        H
        ]
        =
        
          
            
              o
              (
              G
              )
            
            
              o
              (
              H
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}
  

其中o(G)和o(H)分別為G和H的階。特別地是，每一個G的子群的階(和每一個G內元素的階)都必須為o(G)的因數。
右陪集為相類比之定義：Ha = {ha : h∈H}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類，且其個數亦會相等於[G:H]。
若對於每個在G內的a，aH=Ha，則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的：左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。


另見 嘉當子群
費汀子群
穩定子群