双缝实验中光子的动力学描述了在双缝实验中，经典电磁波和其量子化的对应物——光子之间的关系。表面上，只要将经典场解释为光子的几率幅，光子的动力学似乎就能用经典的麦克斯韦方程组完全描述。然而，这种解释充满疏漏，并最终会导致矛盾的结论。也就是说，我们不能将电磁场看作是光子的波函数。主要原因在於，电磁场是物理实在的并且是可观测的；而从原理上说（即不管使用什么仪器），满足薛定谔方程的波函数都不是可观测量。从而，电磁场是一种物理实在的可观测场，而不仅仅代表了对振幅取模平方所对应的在某处找到光子的几率。而光子的波函数是否可定义，仍然是一个悬而未决的问题。


双缝实验的经典描述 = 电磁波方程 =

电磁波方程是一种简化了的麦克斯韦方程组，它描述了电磁场在真空或介质中的传播。电磁波方程的齐次形式，以电场
  
    
      
        
          E
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} \,}
  
或磁场
  
    
      
        
          B
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} \,}
  
的形式写成

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          E
        
         
        −
         
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                E
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
         
         
        =
         
         
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} \ -\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {E}  \over \partial t^{2}}\ \ =\ \ 0}
  

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          B
        
         
        −
         
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                B
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
         
         
        =
         
         
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} \ -\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {B}  \over \partial t^{2}}\ \ =\ \ 0}
  

其中
  
    
      
        c
        
      
    
    {\displaystyle c\,}
  
是真空或介质中的光速。对於真空，c = 2.998 x 108米/秒，也就是光在自由空间中的速度。
磁场和电场之间的联系由麦克斯韦修正的安培定律给出：

  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        
          
            1
            c
          
        
        
          
            
              ∂
              
                E
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
  
.


= 电磁波方程的平面波解 =

沿z方向传播的电磁波可由一个平面正弦波来给出（在厘米-克-秒制和国际单位制下）：

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          z
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    E
                    
                      x
                    
                    
                      0
                    
                  
                  cos
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      k
                      z
                      −
                      ω
                      t
                      +
                      
                        α
                        
                          x
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
              
                
                  
                    E
                    
                      y
                    
                    
                      0
                    
                  
                  cos
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      k
                      z
                      −
                      ω
                      t
                      +
                      
                        α
                        
                          y
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
              
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          E
          
            x
          
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            k
            z
            −
            ω
            t
            +
            
              α
              
                x
              
            
          
          )
        
        
          
            
              
                x
              
              ^
            
          
        
        
        +
        
        
          E
          
            y
          
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            k
            z
            −
            ω
            t
            +
            
              α
              
                y
              
            
          
          )
        
        
          
            
              
                y
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {z} ,t)={\begin{pmatrix}E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\\E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\\0\end{pmatrix}}=E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right){\hat {\mathbf {x} }}\;+\;E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right){\hat {\mathbf {y} }}}
  

以上为电矢量。

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          z
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              
                z
              
              ^
            
          
        
        ×
        
          E
        
        (
        
          z
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  −
                  
                    E
                    
                      y
                    
                    
                      0
                    
                  
                  cos
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      k
                      z
                      −
                      ω
                      t
                      +
                      
                        α
                        
                          x
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
              
                
                  
                    E
                    
                      x
                    
                    
                      0
                    
                  
                  cos
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      k
                      z
                      −
                      ω
                      t
                      +
                      
                        α
                        
                          y
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
              
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        =
        −
        
          E
          
            y
          
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            k
            z
            −
            ω
            t
            +
            
              α
              
                y
              
            
          
          )
        
        
          
            
              
                x
              
              ^
            
          
        
        
        +
        
        
          E
          
            x
          
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            k
            z
            −
            ω
            t
            +
            
              α
              
                x
              
            
          
          )
        
        
          
            
              
                y
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {z} ,t)={\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {E} (\mathbf {z} ,t)={\begin{pmatrix}-E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\\E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\\0\end{pmatrix}}=-E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right){\hat {\mathbf {x} }}\;+\;E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right){\hat {\mathbf {y} }}}
  

以上为磁矢量，其中
  
    
      
        k
        
      
    
    {\displaystyle k\,}
  
是波数。

  
    
      
        
          ω
          

          
          

          
        
        =
        c
        k
      
    
    {\displaystyle \omega _{}^{}=ck}
  

是波的角频率。矢量正上方的标记分别表示x、y和z方向的单位矢量。

其中的参数包括振幅

  
    
      
        
          E
          
            x
          
          
            0
          
        
        =∣
        
          E
        
        ∣
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle E_{x}^{0}=\mid \mathbf {E} \mid \cos \theta }
  

  
    
      
        
          E
          
            y
          
          
            0
          
        
        =∣
        
          E
        
        ∣
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle E_{y}^{0}=\mid \mathbf {E} \mid \sin \theta }
  

和相位

  
    
      
        
          α
          
            x
          
          

          
        
        ,
        
          α
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{x}^{},\alpha _{y}}
  

其中

  
    
      
        θ
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          tan
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          (
          
            
              
                E
                
                  y
                
                
                  0
                
              
              
                E
                
                  x
                
                
                  0
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \theta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \tan ^{-1}\left({E_{y}^{0} \over E_{x}^{0}}\right)}
  
.

  
    
      
        ∣
        
          E
        
        
          ∣
          
            2
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            (
            
              E
              
                x
              
              
                0
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              E
              
                y
              
              
                0
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mid \mathbf {E} \mid ^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(E_{x}^{0}\right)^{2}+\left(E_{y}^{0}\right)^{2}}
  
.
这个解可被写为简洁的形式

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          z
        
        ,
        t
        )
        =∣
        
          E
        
        ∣
        
          R
          e
        
        
          {
          
            
              |
            
            ψ
            ⟩
            exp
            ⁡
            
              [
              
                i
                
                  (
                  
                    k
                    z
                    −
                    ω
                    t
                  
                  )
                
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {z} ,t)=\mid \mathbf {E} \mid \mathrm {Re} \left\{|\psi \rangle \exp \left[i\left(kz-\omega t\right)\right]\right\}}
  

其中

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            (
            
              
                
                  
                    ψ
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    ψ
                    
                      y
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  θ
                  exp
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      i
                      
                        α
                        
                          x
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
              
                
                  sin
                  ⁡
                  θ
                  exp
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      i
                      
                        α
                        
                          y
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}}
  

是x-y平面的琼斯矢量。这里这个矢量的记法是借用了量子力学中的狄拉克符号。之所以用狄拉克符号来标注琼斯矢量是希望将其理解为量子力学中的态矢量。


= 电磁波方程的球面波和柱面波解 =


 球面波  从一个源点发出的球面波解为

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =∣
        
          E
        
        (
        
          
            r
            
              0
            
          
        
        ,
        t
        )
        ∣
        
          (
          
            
              
                r
                
                  0
                
              
              r
            
          
          )
        
        
          R
          e
        
        
          {
          
            
              |
            
            ψ
            ⟩
            exp
            ⁡
            
              [
              
                i
                
                  (
                  
                    k
                    r
                    −
                    ω
                    t
                  
                  )
                
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mid \mathbf {E} (\mathbf {r_{0}} ,t)\mid \left({r_{0} \over r}\right)\mathrm {Re} \left\{|\psi \rangle \exp \left[i\left(kr-\omega t\right)\right]\right\}}
  

其中
  
    
      
        r
        
      
    
    {\displaystyle r\,}
  
是从波源出发的距离，而
  
    
      
        
          r
          
            0
          
        
        
      
    
    {\displaystyle r_{0}\,}
  
是对应电场强度 
  
    
      
        
          E
        
        (
        
          
            r
            
              0
            
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r_{0}} ,t)}
  
的从波源出发的距离。
而磁场和电场的关系为

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ×
        
          E
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}
  

其中单位矢量是沿径向的。


 柱面波  从一根无限长波源线发出的柱面波解是贝塞尔函数。对於远源情形，解简化为如下形式：

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =∣
        
          E
        
        (
        
          
            r
            
              0
            
          
        
        ,
        t
        )
        ∣
        
          
            (
            
              
                
                  r
                  
                    0
                  
                
                r
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        
          R
          e
        
        
          {
          
            
              |
            
            ψ
            ⟩
            exp
            ⁡
            
              [
              
                i
                
                  (
                  
                    k
                    r
                    −
                    ω
                    t
                  
                  )
                
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mid \mathbf {E} (\mathbf {r_{0}} ,t)\mid \left({r_{0} \over r}\right)^{1/2}\mathrm {Re} \left\{|\psi \rangle \exp \left[i\left(kr-\omega t\right)\right]\right\}}
  

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ×
        
          E
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}
  

其中
  
    
      
        r
        
      
    
    {\displaystyle r\,}
  
和
  
    
      
        
          r
          
            0
          
        
        
      
    
    {\displaystyle r_{0}\,}
  
的意义同上，和球面波呈
  
    
      
        
          
            1
            r
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{r}}\,}
  
衰减相比，柱面波的衰减为
  
    
      
        
          
            1
            
              r
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}\,}
  
。


= 惠更斯原理 =

惠更斯原理指出，向前行进的波前上的每一点都实则为新的扰动中心，从而成为新的子波源；而波前本身是所有这些子波叠加形成的包络。
这个原理意味着一束平面波传播至一个屏障上两个相邻的狭缝时，这两个狭缝可视作相关的波源。如果狭缝本身的长度和观察者所在距离相比很长，则观察到的波是柱面波；反之则是球面波。对於任意一种情形，从狭缝发出的电场正比于

  
    
      
        
          R
          e
        
        
          {
          
            
              |
            
            ψ
            ⟩
            exp
            ⁡
            
              [
              
                i
                
                  (
                  
                    k
                    r
                    −
                    ω
                    t
                  
                  )
                
              
              ]
            
          
          }
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          R
          e
        
        
          {
          
            
              |
            
            ϕ
            ⟩
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Re} \left\{|\psi \rangle \exp \left[i\left(kr-\omega t\right)\right]\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {Re} \left\{|\phi \rangle \right\}}
  
.


= 干涉 =

考虑两个相邻距离为d的狭缝，在离狭缝距离为L处放置一个屏，则从狭缝1到屏上一点x的距离为

  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              L
              
                2
              
            
            +
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}={\sqrt {L^{2}+x^{2}}}}
  

从狭缝2到屏上同一点x的距离为

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              L
              
                2
              
            
            +
            (
            x
            −
            d
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{2}={\sqrt {L^{2}+(x-d)^{2}}}}
  
.
当L很大，而x和L相比很小时，两者的距离差近似等于

  
    
      
        Δ
        r
        ≈
        
          
            
              x
              d
            
            
              r
              
                1
              
            
          
        
        ≈
        
          
            
              x
              d
            
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta r\approx {xd \over r_{1}}\approx {xd \over L}}
  
.
场点x处的电场是来自每个狭缝的波前的叠加并正比于下面相位的实部：

  
    
      
        
          |
        
        
          ϕ
          
            1
          
        
        ⟩
        +
        
          |
        
        
          ϕ
          
            2
          
        
        ⟩
        =
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        
          {
          
            exp
            ⁡
            
              [
              
                i
                
                  (
                  
                    k
                    
                      r
                      
                        1
                      
                    
                    −
                    ω
                    t
                  
                  )
                
              
              ]
            
            +
            exp
            ⁡
            
              [
              
                i
                
                  (
                  
                    k
                    
                      r
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    ω
                    t
                  
                  )
                
              
              ]
            
          
          }
        
        =
        
          |
        
        
          ϕ
          
            1
          
        
        ⟩
        exp
        ⁡
        
          [
          
            i
            
              (
              
                k
                Δ
                r
                −
                ω
                t
              
              )
            
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle |\phi _{1}\rangle +|\phi _{2}\rangle =|\psi \rangle \left\{\exp \left[i\left(kr_{1}-\omega t\right)\right]+\exp \left[i\left(kr_{2}-\omega t\right)\right]\right\}=|\phi _{1}\rangle \exp \left[i\left(k\Delta r-\omega t\right)\right].}
  

入射到场点x的电磁波的总能量正比于电场的模平方，从而正比于

  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        
          (
          
            k
            Δ
            r
          
          )
        
        ≈
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        
          (
          
            2
            π
            
              
                
                  x
                  d
                
                λ
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}\left(k\Delta r\right)\approx \cos ^{2}\left(2\pi {xd \over \lambda }\right)}
  

其中
  
    
      
        λ
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \,}
  
是电磁波的波长。当相位是
  
    
      
        π
        
      
    
    {\displaystyle \pi \,}
  
的整数倍时来自狭缝的两列波有相长干涉，形成干涉驻波的波腹：

  
    
      
        2
        π
        
          
            
              x
              d
            
            λ
          
        
        =
        n
        π
        
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
      
    
    {\displaystyle 2\pi {xd \over \lambda }=n\pi \quad n=0,1,2,\cdots }
  

即

  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              n
              λ
            
            
              2
              d
            
          
        
        
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        ⋯
      
    
    {\displaystyle x_{n}={n\lambda  \over 2d}\quad n=0,1,2,\cdots }
  
.
而在相位是
  
    
      
        π
        
          /
        
        2
        
      
    
    {\displaystyle \pi /2\,}
  
的奇数倍时有相消干涉，此时对应着干涉驻波中两个相邻波腹当中的波节。


双缝实验的量子描述 以上的处理方法都是经典的。不过，这种方法可以被推广成量子力学的方法，只需要将其中一个经典量重新解释为量子力学量。这个量就是上面用狄拉克符号写成的琼斯矢量
  
    
      
        ∣
        ϕ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \mid \phi \rangle }
  
：将其从原本双缝实验中的经典描述改为用於描述光子量子态的态矢量。


= 光子的能量和动量 =
通过普朗克的能量量子化假设和爱因斯坦对光电效应实验的解释，爱因斯坦提出了电磁波的能量是由不可再分的能量子组成的，这种不可再分的能量子称为光子。


 能量  由普朗克的能量量子化假设，光子的能量正比于电磁波的角频率：

  
    
      
        ϵ
        =
        ℏ
        ω
      
    
    {\displaystyle \epsilon =\hbar \omega }
  

则如在体积为V的盒子内存在有N个光子，电磁场的能量密度为
  
    
      
        
          
            
              N
              ℏ
              ω
            
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle {N\hbar \omega  \over V}}
  
。
根据对应原理，当光子数量很大时，量子化的能量密度必须和经典场的能量密度一致。从而对於很大的N，我们有

  
    
      
        
          
            
              N
              ℏ
              ω
            
            V
          
        
        =
        
          
            
              E
            
          
          
            c
          
        
        =
        
          
            
              ∣
              
                E
              
              
                ∣
                
                  2
                
              
            
            
              8
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {N\hbar \omega  \over V}={\mathcal {E}}_{c}={\frac {\mid \mathbf {E} \mid ^{2}}{8\pi }}}
  
.
则可得到盒子中的光子数量

  
    
      
        N
        =
        
          
            V
            
              8
              π
              ℏ
              ω
            
          
        
        ∣
        
          E
        
        
          ∣
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle N={\frac {V}{8\pi \hbar \omega }}\mid \mathbf {E} \mid ^{2}}
  
.


 动量  从对应原理还可以得到光子的动量，其动量密度对应着经典的玻印亭矢量除以光速的平方，即

  
    
      
        
          
            
              P
            
          
          
            c
          
        
        =
        
          
            
              N
              ℏ
              ω
            
            
              c
              V
            
          
        
        =
        
          
            
              N
              ℏ
              k
            
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}_{c}={N\hbar \omega  \over cV}={N\hbar k \over V}}
  

即一个光子的动量为
  
    
      
        ℏ
        k
      
    
    {\displaystyle \hbar k}
  
。


= 量子力学中的几率本性 =


 单个光子的干涉  将几率的概念应用到解释光子的行为时，有两种方法可以考虑：一种是用几率计算处在某个特定态上的可能的光子数量，另一种是用几率计算单个光子处在某个特定态上的可能性。前一种方法的结果会违反能量守恒；后一种方法虽然不直观但确实是可行的。狄拉克在双缝实验中对这一点进行了解释：


 几率幅  光子处於某一偏振态的几率取决于用麦克斯韦方程组描述的经典场；类似地，一个单光子的福柯态所对应的几率密度和其对应电磁场的能量密度的期望值有关。一般而言，量子力学中几率幅的叠加法则和经典的几率叠加看上去非常相似：

两个先后过程的几率叠加得到的几率幅是每一个单独几率幅的乘积。
一个过程可由多种不可区分的方法之一来完成，则它的几率幅是每一种独立方法的几率幅的和。
过程发生的总几率是通过第1条和第2条所给出的几率幅的模平方。


参见 薛定谔方程的理论和实验验证
施特恩-格拉赫实验
波粒二象性
光子的偏振
光电效应
基爾霍夫衍射公式


註釋 参考文献