倫敦方程把超導體的電流與其裏面及周圍的電磁場聯繫起來，這兩條方程是由弗里茨與海因茨·倫敦兩兄弟於1935年提出的。它們可被視為超導現象最簡單的有效描述，所以幾乎所有介紹超導的現代教科書，都會把倫敦方程視為入門必修課。這套方程組最大的成就，就在於它們成功地解釋了邁斯納效應；該效應指的是，當超導體溫度低於超導的門檻後，它會愈來愈快地排斥掉其內部所有的磁場。


數學表述 以可量度的場表示時，倫敦方程共有兩條：

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                
                  j
                
                
                  s
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              
                n
                
                  s
                
              
              
                e
                
                  2
                
              
            
            m
          
        
        
          E
        
        ,
        
        
          ∇
        
        ×
        
          
            j
          
          
            s
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                n
                
                  s
                
              
              
                e
                
                  2
                
              
            
            
              m
              c
            
          
        
        
          B
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}\mathbf {B} \,}
  
。
其中
  
    
      
        
          
            
              j
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {j} }_{s}}
  
為超導電流，E和B分別為超導體內部的電場與磁場，
  
    
      
        e
        
      
    
    {\displaystyle e\,}
  
為基本電荷，
  
    
      
        m
        
      
    
    {\displaystyle m\,}
  
為電子質量，而
  
    
      
        
          n
          
            s
          
        
        
      
    
    {\displaystyle n_{s}\,}
  
為一現象常數，大致上與超導電子的數密度有關。本條目全篇都使用高斯cgs單位制。
另一方面，可以利用較抽象的概念——磁向量勢A，來把上面兩條式子寫成較簡便的形式，也就獨立一條的“倫敦方程”：

  
    
      
        
          
            j
          
          
            s
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                n
                
                  s
                
              
              
                e
                
                  2
                
              
            
            
              m
              c
            
          
        
        
          A
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}\mathbf {A} \,}
  
。
上述這條方程只有一個缺點，就是它一般不具有規範不變性，但只有在符合倫敦規範時，即向量場A的散度為零，才具有規範不變性
。


倫敦穿透深度 若使用安培定律來處理第二條倫敦方程的話：

  
    
      
        ∇
        ×
        
          B
        
        =
        
          
            
              4
              π
              
                j
              
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}}
  
，
這樣最後會得出一條微分方程

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          B
        
        =
        
          
            1
            
              λ
              
                2
              
            
          
        
        
          B
        
        ,
        
        λ
        ≡
        
          
            
              
                m
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                4
                π
                
                  n
                  
                    s
                  
                
                
                  e
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {B} ,\qquad \lambda \equiv {\sqrt {\frac {mc^{2}}{4\pi n_{s}e^{2}}}}\,}
  
。
因此從量綱可見，倫敦方程內含一特有的長度大小，
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
，而在這個長度中，外來的磁場會被愈來愈快地被排斥。這個數值被稱為倫敦穿透深度。
舉例說，一超導體與自由空間之間的邊界是平的，而超導體外面的磁場大小是固定的，且方向跟z軸一致，與邊界平面平行。若x從邊界指向超導體內部，則內部的磁場解為

  
    
      
        
          B
          
            z
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          B
          
            0
          
        
        
          e
          
            −
            x
            
              /
            
            λ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda }\,}
  
，
從上式可以較容易地理解到倫敦穿透深度的物理意義。


倫敦方程的基本原理 = 最初的論述 =
需要注意的是，上述各方程並不能用文字推導出來
，儘管如此，倫敦兄弟在表述這套理論時，還是有跟着一套憑直覺所得的邏輯。歐姆定律指出，電流與電場成正比；即使各種物質的構造不同，但是大致遵守歐姆定律的物質種類還是出奇地多。然而，超導體是不可能有這樣的線性關係，因為超導時電流都沒有電阻，而這點就是超導的定義。為了這一點，倫敦兄弟把超導電子想像成，受均勻外在電場影響的真空電子。根據洛倫茲力方程式：

  
    
      
        
          F
        
        =
        e
        
          E
        
        +
        
          
            e
            c
          
        
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =e\mathbf {E} +{\frac {e}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  

這些電子應感受到一股均勻的力，並因此均勻地加速。第一條倫敦方程所描述的正是如此。
要得出第二條方程，先取第一條倫敦方程的旋度，然後使用法拉第定律：

  
    
      
        ∇
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            1
            c
          
        
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
  
，
最後可得

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          (
          
            ∇
            ×
            
              
                j
              
              
                s
              
            
            +
            
              
                
                  
                    n
                    
                      s
                    
                  
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  m
                  c
                
              
            
            
              B
            
          
          )
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {j} _{s}+{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}\mathbf {B} \right)=0\,}
  
。
就現時所得的方程而言，方程同時允許不變解及指數衰變解。倫敦兄弟從邁斯納效應中察覺到，非零的不變解是不具有物理意義的，因此他們假定不單是上式的時間導數為零，還有括號內的式子也必須是零。由此得出第二條倫敦方程。


= 正則動量論述 =
要解釋倫敦方程，還有其他方法。電流密度的表示式如下：

  
    
      
        
          
            j
          
          
            s
          
        
        =
        
          n
          
            s
          
        
        e
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {j} _{s}=n_{s}e\mathbf {v} }
  
。
要把上式由古典描述轉為量子力學的描述，就必須把j及v的數值，改為對應算符的期望值。速度算符的表示式如下

  
    
      
        
          v
        
        =
        
          
            1
            m
          
        
        
          (
          
            
              p
            
            −
            
              
                e
                c
              
            
            
              A
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)}
  
。
把具有規範不變性的動態動量算符，除以粒子質量m，就能得到速度算符。然後可以將速度算符代入電流密度的表示式。然而，超導的微觀理論中有一個重要的假設，就是一系統的超導態是這個系統的基態，而根據布洛赫的一條定理，這樣一個態的正則動量p為零。因此得

  
    
      
        
          
            j
          
          
            s
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                n
                
                  s
                
              
              
                e
                
                  s
                
                
                  2
                
              
            
            
              m
              c
            
          
        
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e_{s}^{2}}{mc}}\mathbf {A} }
  
，
也就是上面用向量場A所表示的倫敦方程。


註釋及參考資料