数学上，特别是在群论中，群的元素可以分割成共轭类（英語：Conjugacy class）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性。非交换群的共轭类有很多关于該群的结构的重要特征。对于交换群，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个单元素集合。
在同一个共轭类上取常值的函数称为類函數。


定义 對於群 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 中的元素 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 和 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 ， 
  
    
      
        g
        n
        
          g
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle gng^{-1}}
  
 稱為 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 關於 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 的共轭。類似地，對元素 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 ，如果存在元素 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 使得 
  
    
      
        b
        =
        g
        a
        
          g
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle b=gag^{-1}}
  
 ，可以稱 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 共轭。
對由可逆矩陣構成的一般線性群 
  
    
      
        
          G
          L
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {GL} (n)}
  
 ，共軛的元素（矩陣）稱為相似矩阵。
共轭是一種等价关系，因此可以 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 分割为等价类。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类 
  
    
      
        
          C
          l
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} (a)}
  
 和 
  
    
      
        
          C
          l
        
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} (b)}
  
 相等当且仅当 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 共轭，否则不相交。）包含群 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 中元素 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的等价类是

  
    
      
        
          C
          l
        
        (
        a
        )
        =
        {
        g
        a
        
          g
          
            −
            1
          
        
        ∣
        g
        ∈
        G
        }
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} (a)=\{gag^{-1}\mid g\in G\}}
  

称为 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的共轭类。
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的类数是不同共轭类的个数。同一個共軛類中的元素的階相同。


例子 对称群
  
    
      
        
          S
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{3}}
  
，由所有3个元素的6个置换组成，拥有三个共轭类：

恒等 (abc -> abc)表示为(1)
对换 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
三阶轮换 (abc -> bca，abc -> cab)表示为(132) (123)
对称群
  
    
      
        
          S
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{4}}
  
，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：

恒等
对换
三阶轮换
四阶轮换
双对换
参看立方体的恰当转动，它可以用体对角线的枚举刻划。

在
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
矩陣，在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。


属性 单位元总是自成一类，也就是说
  
    
      
        
          C
          l
        
        (
        e
        )
        =
        {
        e
        }
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} (e)=\{e\}}
  
。
若
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
可交换，则
  
    
      
        g
        a
        
          g
          
            −
            1
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle gag^{-1}=a}
  
对于所有
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
属于
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
成立；所以
  
    
      
        
          C
          l
        
        (
        a
        )
        =
        {
        a
        }
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Cl} (a)=\{a\}}
  
对于
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
属于
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。
若
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的两个元素
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的階。更一般地讲，每个关于
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的命题可以转换成关于
  
    
      
        b
        =
        g
        a
        
          g
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle b=gag^{-1}}
  
的一个命题，因为映射
  
    
      
        φ
        (
        x
        )
        =
        g
        x
        
          g
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}
  
是一个
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的自同构。

  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的一个元素
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
位于
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
的中心
  
    
      
        
          Z
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Z} (G)}
  
当且仅当其共轭类只有一个元素，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
本身。更一般地讲，若
  
    
      
        
          
            C
          
          
            G
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {C} _{G}(a)}
  
代表
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
中
  
    
      
        {
        a
        }
      
    
    {\displaystyle \{a\}}
  
的中心化子，也即，有所有满足
  
    
      
        g
        a
        =
        a
        g
      
    
    {\displaystyle ga=ag}
  
的元素
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
组成的子群，则指数
  
    
      
        [
        G
        :
        
          
            C
          
          
            G
          
        
        (
        a
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [G:\mathrm {C} _{G}(a)]}
  
等于
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的共轭类中元素的个数。


共軛群作用 令 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 為群，對任意 
  
    
      
        g
        ,
        x
        ∈
        G
      
    
    {\displaystyle g,x\in G}
  
 ，定義 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 關於自身的群作用

  
    
      
        g
        ⋅
        x
        =
        g
        x
        
          g
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle g\cdot x=gxg^{-1}}
  
 。

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 在作用 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 上的軌道是其在群 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 中的共軛類。元素 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的穩定子群等於該元素的中心化子。
類似地，我們可以令 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 作用在 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的所有子集構成的集合，有

  
    
      
        g
        ⋅
        S
        =
        g
        S
        
          g
          
            −
            1
          
        
        =
        {
        g
        s
        
          g
          
            −
            1
          
        
        ∣
        s
        ∈
        S
        }
      
    
    {\displaystyle g\cdot S=gSg^{-1}=\{gsg^{-1}\mid s\in S\}}
  
 。
又或者是作用在 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的子群構成的集合。


共轭类方程 若 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 为有限群，對 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的任意元素 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 ，其共軛類中的元素可以與中心化子 
  
    
      
        
          C
          
            G
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle C_{G}(a)}
  
 的陪集一一對應。因為同一陪集的任意兩元素 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 和 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 （存在 
  
    
      
        z
        ∈
        
          C
          
            G
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle z\in C_{G}(a)}
  
 使得 
  
    
      
        b
        =
        c
        z
      
    
    {\displaystyle b=cz}
  
 ）對 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的共軛相同：

  
    
      
        b
        a
        
          b
          
            −
            1
          
        
        =
        (
        c
        z
        )
        a
        (
        c
        z
        
          )
          
            −
            1
          
        
        =
        c
        z
        a
        
          z
          
            −
            1
          
        
        
          c
          
            −
            1
          
        
        =
        c
        a
        z
        
          z
          
            −
            1
          
        
        
          c
          
            −
            1
          
        
        =
        c
        a
        
          c
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle bab^{-1}=(cz)a(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}}
  
 。
由於 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 在 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 上的軌道等於其共軛類，其穩定子群等於其中心化子，上述結論亦可以由軌道-穩定化子定理給出。

  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 的共轭类的元素个数等於它的中心化子的指數 
  
    
      
        [
        G
        :
        
          C
          
            G
          
        
        (
        z
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [G:C_{G}(z)]}
  
 ，因而整除 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的階。
进一步的有，对于任何群 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 ，从 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的每个元素个数大於 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集 
  
    
      
        S
        =
        {
        
          x
          
            i
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle S=\{x_{i}\}}
  
 。则 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 是群的中心 
  
    
      
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle Z(G)}
  
 以及 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 中所有元素的共轭类 
  
    
      
        C
        l
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Cl(x_{i})}
  
 的不交并集。由此可得群論中重要的类方程：

  
    
      
        
          |
        
        G
        
          |
        
        =
        
          |
        
        Z
        (
        G
        )
        
          |
        
        +
        
          ∑
          
            i
          
        
        [
        G
        :
        
          C
          
            G
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}[G:C_{G}(x_{i})]}
  

其中求和取遍对于每个 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 中的 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 的 
  
    
      
        
          H
          
            i
          
        
        =
        
          C
          
            G
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle H_{i}=C_{G}(x_{i})}
  
 。注意 
  
    
      
        [
        G
        :
        
          H
          
            i
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [G:H_{i}]}
  
 是 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 的共軛類的元素个数。该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。


= 例子 =
考虑一个有限的 p-群 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 （即元素數目为 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
  
 的群，其中 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 是一个质数且 
  
    
      
        n
        >
        0
      
    
    {\displaystyle n>0}
  
 ）。我们将证明：每个有限p-群有非平凡的中心。
因为 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的任意子群的指數必须整除 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 的次数，所以每个 
  
    
      
        
          H
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{i}}
  
 等於 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 的一個幂 
  
    
      
        
          p
          
            
              k
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{k_{i}}}
  
 ， 
  
    
      
        
          k
          
            i
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle k_{i}>0}
  
 。类方程給出

  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        =
        
          |
        
        G
        
          |
        
        =
        
          |
        
        Z
        (
        G
        )
        
          |
        
        +
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          p
          
            
              k
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}=|G|=|Z(G)|+\sum _{i}p^{k_{i}}}
  

由於 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 整除 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          p
          
            
              k
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}p^{k_{i}}}
  
 和 
  
    
      
        
          |
        
        G
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |G|}
  
 ， 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 必须整除 
  
    
      
        
          |
        
        Z
        (
        G
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |Z(G)|}
  
 ，所以 
  
    
      
        
          |
        
        Z
        (
        G
        )
        
          |
        
        >
        1
      
    
    {\displaystyle |Z(G)|>1}
  
。


子群和一般子集的共轭 更一般的来讲，给定任意G的子集S（S不必是子群），我们定义一个G的子集T为S的共轭，当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg−1。我们可以定义Cl(S)为所有共轭于S的子集T的集合。
一个常用的定理是，给定任意子集S，N(S)（S的正规化子）的指数等于Cl(S)的次数：

|Cl(S)| = [G : N(S)]
这是因为，如果g和h属于G，则gSg−1 = hSh−1当且仅当gh −1属于N(S)，换句话说，当且仅当g和h属于N(S)的同一个陪集。
注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（S = {a}的特殊情况）。
上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。


作为群作用的共轭类 如果对于任意两个G中的元素g和x定义

g.x = gxg−1
则我们有了一个G在G上的群作用。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。
同样，我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg−1。


参看 群
群作用
中心化子和正规化子


参考 Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-36879-2
Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-43334-9
Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X