在量子场论中，背景场方法是通过将场系统中一些量子场写成经典场（称为背景场）和量子场的叠加，从而计算原来的量子场的有效作用量的方法。由于该方法能给出保持规范对称性的结果，它常被用于规范场的量子化。


原理 量子场的格林函数可以由其生成泛函
  
    
      
        Z
        [
        J
        ]
      
    
    {\displaystyle Z[J]}
  
对外源
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
的泛函微商给出：

  
    
      
        Z
        [
        J
        ]
        =
        ∫
        
          
            D
          
        
        ϕ
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              i
            
            ∫
            
              
                d
              
              
                d
              
            
            x
            (
            
              
                L
              
            
            [
            ϕ
            (
            x
            )
            ]
            +
            
              J
              
                a
              
            
            (
            x
            )
            
              ϕ
              
                a
              
            
            (
            x
            )
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J^{a}(x)\phi ^{a}(x))\right)}
  

连通格林函数的生成泛函
  
    
      
        W
        [
        J
        ]
      
    
    {\displaystyle W[J]}
  
为：

  
    
      
        W
        [
        J
        ]
        =
        −
        
          
            i
          
        
        ln
        ⁡
        (
        Z
        [
        J
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle W[J]=-{\mathcal {i}}\ln(Z[J])}
  

有效作用量
  
    
      
        Γ
        [
        ϕ
        ]
      
    
    {\displaystyle \Gamma [\phi ]}
  
为
  
    
      
        W
        [
        J
        ]
      
    
    {\displaystyle W[J]}
  
的勒让德变换：

  
    
      
        Γ
        [
        ϕ
        ]
        =
        W
        [
        J
        ]
        −
        ∫
        
          
            d
          
          
            d
          
        
        x
        
          J
          
            a
          
        
        (
        x
        )
        
          ϕ
          
            a
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma [\phi ]=W[J]-\int \mathrm {d} ^{d}xJ^{a}(x)\phi ^{a}(x)}
  
，其中
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  
由方程
  
    
      
        ϕ
        =
        
          
            
              δ
              W
              [
              J
              ]
            
            
              δ
              J
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi ={\frac {\delta W[J]}{\delta J}}}
  
决定。
  
    
      
        Γ
        [
        ϕ
        ]
      
    
    {\displaystyle \Gamma [\phi ]}
  
也是单粒子不可约格林函数的生成泛函。
如果将
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
写成经典场
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
（称为背景场）和量子场
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
的叠加：

  
    
      
        ϕ
        (
        x
        )
        =
        B
        (
        x
        )
        +
        η
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \phi (x)=B(x)+\eta (x)}
  
.
则同样可以定义背景场存在下量子场
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
的生成泛函
  
    
      
        Z
        [
        J
        ,
        B
        ]
      
    
    {\displaystyle Z[J,B]}
  
，
  
    
      
        W
        [
        J
        ,
        B
        ]
      
    
    {\displaystyle W[J,B]}
  
和有效作用量
  
    
      
        Γ
        [
        η
        ,
        B
        ]
      
    
    {\displaystyle \Gamma [\eta ,B]}
  
：

  
    
      
        Z
        [
        J
        ,
        B
        ]
        =
        ∫
        
          
            D
          
        
        η
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              i
            
            ∫
            
              
                d
              
              
                d
              
            
            x
            (
            
              
                L
              
            
            [
            η
            (
            x
            )
            +
            B
            (
            x
            )
            ]
            +
            
              J
              
                a
              
            
            (
            x
            )
            
              η
              
                a
              
            
            (
            x
            )
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle Z[J,B]=\int {\mathcal {D}}\eta \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\eta (x)+B(x)]+J^{a}(x)\eta ^{a}(x))\right)}
  

  
    
      
        W
        [
        J
        ,
        B
        ]
        =
        −
        
          
            i
          
        
        ln
        ⁡
        (
        Z
        [
        J
        ,
        B
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle W[J,B]=-{\mathcal {i}}\ln(Z[J,B])}
  

  
    
      
        Γ
        [
        η
        ,
        B
        ]
        =
        W
        [
        J
        ,
        B
        ]
        −
        ∫
        
          
            d
          
          
            d
          
        
        x
        
          J
          
            a
          
        
        (
        x
        )
        
          η
          
            a
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma [\eta ,B]=W[J,B]-\int \mathrm {d} ^{d}xJ^{a}(x)\eta ^{a}(x)}
  
，
  
    
      
        
          η
          
            a
          
        
        =
        
          
            
              δ
              W
              [
              J
              ,
              B
              ]
            
            
              δ
              
                J
                
                  a
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta ^{a}={\frac {\delta W[J,B]}{\delta J^{a}}}}
  

对
  
    
      
        Z
        [
        J
        ,
        B
        ]
      
    
    {\displaystyle Z[J,B]}
  
的路径积分表达式作
  
    
      
        η
        →
        ϕ
        −
        B
      
    
    {\displaystyle \eta \to \phi -B}
  
的变量代换，可以证明：

  
    
      
        Γ
        [
        η
        ,
        B
        ]
        =
        Γ
        [
        ϕ
        
          ]
          
            ϕ
            =
            η
            +
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma [\eta ,B]=\Gamma [\phi ]_{\phi =\eta +B}}
  
，特别地，
  
    
      
        Γ
        [
        0
        ,
        B
        ]
        =
        Γ
        [
        ϕ
        
          ]
          
            ϕ
            =
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma [0,B]=\Gamma [\phi ]_{\phi =B}}
  

因此，为计算量子场
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
的有效作用量
  
    
      
        Γ
        [
        ϕ
        ]
      
    
    {\displaystyle \Gamma [\phi ]}
  
，只需计算
  
    
      
        Γ
        [
        0
        ,
        B
        ]
        =
        Γ
        [
        ϕ
        
          ]
          
            B
            =
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma [0,B]=\Gamma [\phi ]_{B=\phi }}
  
，此方法即为背景场方法。实际计算通常会使用微扰方法：将作用量
  
    
      
        S
        [
        η
        +
        B
        ]
      
    
    {\displaystyle S[\eta +B]}
  
中
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
的二次项当作无扰的作用量，用以构建
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
场的传播子，包含
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
更高阶次的项则视为相互作用项，并以微扰展开的方法处理。在这种处理下，
  
    
      
        Γ
        [
        0
        ,
        B
        ]
      
    
    {\displaystyle \Gamma [0,B]}
  
是背景场存在时，所有单粒子不可约的真空图的贡献之和。量子场只出现在这些图的内线中，而背景场只出现在这些图的外线中。进行重整化时，背景场的场强需要重整化，但量子场的场强不需要重整化。


应用 背景场方法常被用于规范场的量子化。描述规范场论时，通常会从一个规范对称的作用量出发。然而为了量子化规范场，需要向作用量中引入规范固定项（对于非阿贝尔规范场还需引入鬼场），如下所示：

  
    
      
        Z
        [
        J
        ]
        =
        ∫
        
          
            D
          
        
        
          
            A
          
        
        ×
        det
        [
        
          
            
              δ
              
                
                  
                    G
                  
                
                
                  a
                
              
            
            
              δ
              
                θ
                
                  b
                
              
            
          
        
        ]
        ×
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              i
            
            ∫
            
              
                d
              
              
                d
              
            
            x
            (
            
              
                L
              
            
            [
            
              
                A
              
            
            (
            x
            )
            ]
            −
            
              
                1
                
                  2
                  ξ
                
              
            
            (
            
              
                
                  G
                
              
              
                a
              
            
            (
            
              
                A
              
            
            (
            x
            )
            )
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              J
              
                μ
              
              
                a
              
            
            (
            x
            )
            
              
                
                  A
                
              
              
                a
                μ
              
            
            (
            x
            )
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}{\mathcal {A}}\times \det[{\frac {\delta {\mathcal {G}}^{a}}{\delta \theta ^{b}}}]\times \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[{\mathcal {A}}(x)]-{\frac {1}{2\xi }}({\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}}(x)))^{2}+J_{\mu }^{a}(x){\mathcal {A}}^{a\mu }(x))\right)}
  

其中
  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            μ
          
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}
  
是规范场，
  
    
      
        
          
            
              G
            
          
          
            a
          
        
        (
        
          
            A
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}})}
  
是引入的规范固定项，
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
是规范群的参数。
规范固定后的作用量失去了原有的规范对称性。选取特定的规范并不会对可观测量的计算带来影响，这些量仍然具有规范对称性。但是不可观测的量，如格林函数、有效作用量以及重整化时引入的抵消项，通常不再具有规范对称性。
如果使用背景场方法，在规范场上叠加一个经典场
  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            μ
          
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mu }^{a}}
  
，并选取如下的规范固定项（这种规范也被称为背景场规范）：

  
    
      
        Z
        [
        J
        ,
        
          
            B
          
        
        ]
        =
        ∫
        
          
            D
          
        
        
          
            A
          
        
        ×
        det
        [
        
          
            
              δ
              
                
                  
                    G
                  
                
                
                  a
                
              
            
            
              δ
              
                θ
                
                  b
                
              
            
          
        
        ]
        ×
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              i
            
            ∫
            
              
                d
              
              
                d
              
            
            x
            (
            
              
                L
              
            
            [
            
              
                A
              
            
            (
            x
            )
            +
            
              
                B
              
            
            (
            x
            )
            ]
            −
            
              
                1
                
                  2
                  ξ
                
              
            
            (
            
              
                
                  G
                
              
              
                a
              
            
            (
            
              
                A
              
            
            (
            x
            )
            )
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              J
              
                μ
              
              
                a
              
            
            (
            x
            )
            
              
                
                  A
                
              
              
                a
                μ
              
            
            (
            x
            )
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle Z[J,{\mathcal {B}}]=\int {\mathcal {D}}{\mathcal {A}}\times \det[{\frac {\delta {\mathcal {G}}^{a}}{\delta \theta ^{b}}}]\times \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[{\mathcal {A}}(x)+{\mathcal {B}}(x)]-{\frac {1}{2\xi }}({\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}}(x)))^{2}+J_{\mu }^{a}(x){\mathcal {A}}^{a\mu }(x))\right)}
  

  
    
      
        
          
            
              G
            
          
          
            a
          
        
        (
        
          
            A
          
        
        )
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          
            
              A
            
          
          
            a
            μ
          
        
        +
        g
        
          f
          
            a
            b
            c
          
        
        
          
            
              A
            
          
          
            b
          
          
            μ
          
        
        
          
            
              B
            
          
          
            c
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}})=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}^{a\mu }+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{b}^{\mu }{\mathcal {B}}_{c\mu }}
  

那么生成泛函
  
    
      
        Z
        [
        J
        ,
        
          
            B
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle Z[J,{\mathcal {B}}]}
  
在如下的无穷小规范变换下保持不变：

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            μ
          
          
            a
          
        
        →
        
          
            
              A
            
          
          
            μ
          
          
            a
          
        
        −
        
          f
          
            a
            b
            c
          
        
        
          θ
          
            b
          
        
        
          
            
              A
            
          
          
            μ
          
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\to {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}-f^{abc}\theta ^{b}{\mathcal {A}}_{\mu }^{c}}
  
；
  
    
      
        
          
            
              B
            
          
          
            μ
          
          
            a
          
        
        →
        
          
            
              B
            
          
          
            μ
          
          
            a
          
        
        +
        
          
            1
            g
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          θ
          
            a
          
        
        −
        
          f
          
            a
            b
            c
          
        
        
          θ
          
            b
          
        
        
          
            
              B
            
          
          
            μ
          
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mu }^{a}\to {\mathcal {B}}_{\mu }^{a}+{\frac {1}{g}}\partial _{\mu }\theta ^{a}-f^{abc}\theta ^{b}{\mathcal {B}}_{\mu }^{c}}
  
；
  
    
      
        
          J
          
            μ
          
          
            a
          
        
        →
        
          J
          
            μ
          
          
            a
          
        
        +
        
          f
          
            a
            b
            c
          
        
        
          θ
          
            b
          
        
        
          J
          
            μ
          
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{\mu }^{a}\to J_{\mu }^{a}+f^{abc}\theta ^{b}J_{\mu }^{c}}
  

因此，有效作用量
  
    
      
        Γ
        [
        0
        ,
        
          
            B
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \Gamma [0,{\mathcal {B}}]}
  
具有规范对称性。由它生成的所有单粒子不可约的格林函数也都是规范不变的，并且满足瓦德恒等式（在一般的规范下，格林函数只满足更为复杂的斯拉夫诺夫－泰勒恒等式）。运用背景场方法令规范场论变得更易于理解，同时也大大简化了计算。
背景场方法也可用来处理电弱标准模型，这种情况下，除了要为规范场引入背景场，也要为希格斯场引入背景场，并将对称性破缺带来的希场真空期望值放入背景场中，以避免树图水平上规范场和希场自由度的混合（参见Rξ规范）。此外，背景场方法亦被用于处理引力和超引力相关的理论。


参考文献