在量子力學裏，有限深方形阱，又稱為有限深位勢阱，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於0。
在經典力學裏，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。


一維阱定義 一維有限深方形阱的阱寬為
  
    
      
        L
        
        
      
    
    {\displaystyle L\,\!}
  
，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為
  
    
      
        x
        =
        −
        L
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle x=-L/2\,\!}
  
與
  
    
      
        x
        =
        L
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle x=L/2\,\!}
  
。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為
  
    
      
        
          V
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle V_{0}\,\!}
  
。阱外位勢保持為
  
    
      
        
          V
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle V_{0}\,\!}
  
。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數
  
    
      
        ψ
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi \,\!}
  
也不同，標記為：

  
    
      
        ψ
        =
        
          ψ
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi =\psi _{1}\,\!}
  
：阱左邊，
  
    
      
        x
        <
        −
        L
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle x<-L/2\,\!}
  
（阱外區域），

  
    
      
        ψ
        =
        
          ψ
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi =\psi _{2}\,\!}
  
：阱內，
  
    
      
        −
        L
        
          /
        
        2
        <
        x
        <
        L
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle -L/2<x<L/2\,\!}
  
（阱內區域），

  
    
      
        ψ
        =
        
          ψ
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi =\psi _{3}\,\!}
  
：阱右邊，
  
    
      
        x
        >
        L
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle x>L/2\,\!}
  
（阱外區域）。
這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              ψ
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        V
        (
        x
        )
        ψ
        =
        E
        ψ
        
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \,\!}
  
；(1)
其中，
  
    
      
        ℏ
        
        
      
    
    {\displaystyle \hbar \,\!}
  
是約化普朗克常數，
  
    
      
        m
        
        
      
    
    {\displaystyle m\,\!}
  
是粒子質量，
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
是粒子位置，
  
    
      
        V
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle V(x)\,\!}
  
是位勢，
  
    
      
        E
        
        
      
    
    {\displaystyle E\,\!}
  
是能量。


= 阱內區域 =
在阱內，位勢
  
    
      
        V
        (
        x
        )
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle V(x)=0\,\!}
  
，方程簡化為：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                ψ
                
                  2
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        E
        
          ψ
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}\,\!}
  
。(2)
設定波數
  
    
      
        k
        
        
      
    
    {\displaystyle k\,\!}
  
為

  
    
      
        k
        =
        
          
            
              2
              m
              E
            
            ℏ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\,\!}
  
。(3)
代入方程(2)：

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                ψ
                
                  2
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          k
          
            2
          
        
        
          ψ
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}\,\!}
  
。
這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數
  
    
      
        
          ψ
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{2}(x)\,\!}
  
是正弦函數與餘弦函數的線性組合：

  
    
      
        
          ψ
          
            2
          
        
        =
        A
        sin
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        +
        B
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad \,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        A
        
        
      
    
    {\displaystyle A\,\!}
  
與
  
    
      
        B
        
        
      
    
    {\displaystyle B\,\!}
  
都是複值常數，由邊界條件而決定。


= 阱外區域 =
在阱外，位勢
  
    
      
        V
        (
        x
        )
        =
        
          V
          
            0
          
        
        >
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle V(x)=V_{0}>0\,\!}
  
，薛丁格方程為：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                ψ
                
                  1
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        (
        E
        −
        
          V
          
            0
          
        
        )
        
          ψ
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}\,\!}
  
。
視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。


束縛態 假若，粒子的能量小於位勢：
  
    
      
        E
        <
        
          V
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle E<V_{0}\,\!}
  
，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（bound state）。設定

  
    
      
        α
        =
        
          
            
              2
              m
              (
              
                V
                
                  0
                
              
              −
              E
              )
            
            ℏ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}\,\!}
  
。(4)
代入方程(1)：

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                ψ
                
                  1
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          α
          
            2
          
        
        
          ψ
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}\,\!}
  
。
一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是

  
    
      
        
          ψ
          
            1
          
        
        =
        F
        
          e
          
            −
            α
            x
          
        
        +
        G
        
          e
          
            α
            x
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}
  
，

  
    
      
        
          ψ
          
            3
          
        
        =
        H
        
          e
          
            −
            α
            x
          
        
        +
        I
        
          e
          
            α
            x
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}
  
；
其中，
  
    
      
        F
        
        
      
    
    {\displaystyle F\,\!}
  
，
  
    
      
        G
        
        
      
    
    {\displaystyle G\,\!}
  
，
  
    
      
        H
        
        
      
    
    {\displaystyle H\,\!}
  
，
  
    
      
        I
        
        
      
    
    {\displaystyle I\,\!}
  
都是常數。
從正確的邊界條件，可以找到常數
  
    
      
        A
        
        
      
    
    {\displaystyle A\,\!}
  
，
  
    
      
        B
        
        
      
    
    {\displaystyle B\,\!}
  
，
  
    
      
        F
        
        
      
    
    {\displaystyle F\,\!}
  
，
  
    
      
        G
        
        
      
    
    {\displaystyle G\,\!}
  
，
  
    
      
        H
        
        
      
    
    {\displaystyle H\,\!}
  
，
  
    
      
        I
        
        
      
    
    {\displaystyle I\,\!}
  
的值。


= 束縛態的波函數 =
薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。
總結前面導引出的結果，波函數
  
    
      
        ψ
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi \,\!}
  
的形式為：

  
    
      
        
          ψ
          
            1
          
        
        =
        F
        
          e
          
            −
            α
            x
          
        
        +
        G
        
          e
          
            α
            x
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}
  
：阱左邊，
  
    
      
        x
        <
        −
        L
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle x<-L/2\,\!}
  
（阱外區域），

  
    
      
        
          ψ
          
            2
          
        
        =
        A
        sin
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        +
        B
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,\!}
  
：阱內，
  
    
      
        −
        L
        
          /
        
        2
        <
        x
        <
        L
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle -L/2<x<L/2\,\!}
  
（阱內區域），

  
    
      
        
          ψ
          
            3
          
        
        =
        H
        
          e
          
            −
            α
            x
          
        
        +
        I
        
          e
          
            α
            x
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}
  
：阱右邊，
  
    
      
        x
        >
        L
        
          /
        
        2
        
        
      
    
    {\displaystyle x>L/2\,\!}
  
（阱外區域）。
當
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
趨向負無窮，包含
  
    
      
        F
        
        
      
    
    {\displaystyle F\,\!}
  
的項目趨向無窮。類似地，當
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
趨向無窮，包含
  
    
      
        I
        
        
      
    
    {\displaystyle I\,\!}
  
的項目趨向無窮。可是，波函數在任何
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
都必須是有限值。因此，必須設定
  
    
      
        F
        =
        I
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle F=I=0\,\!}
  
。阱外區域的波函數變為

  
    
      
        
          ψ
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        G
        
          e
          
            α
            x
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{1}(x)=Ge^{\alpha x}\,\!}
  
，

  
    
      
        
          ψ
          
            3
          
        
        (
        x
        )
        =
        H
        
          e
          
            −
            α
            x
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{3}(x)=He^{-\alpha x}\,\!}
  
。
在阱左邊，隨著
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
越小，波函數
  
    
      
        
          ψ
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{1}(x)\,\!}
  
呈指數遞減。而在阱右邊，隨著
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
越大，波函數
  
    
      
        
          ψ
          
            3
          
        
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{3}(x)\,\!}
  
呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。
由於有限深方形阱對稱於
  
    
      
        x
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle x=0\,\!}
  
，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。


= 奇的波函數 =
假若，波函數
  
    
      
        ψ
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi \,\!}
  
是奇函數，則 

  
    
      
        
          ψ
          
            2
          
        
        =
        A
        sin
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)\,\!}
  
，

  
    
      
        G
        =
        −
        H
        
        
      
    
    {\displaystyle G=-H\,\!}
  
，

  
    
      
        
          ψ
          
            1
          
        
        (
        −
        x
        )
        =
        −
        
          ψ
          
            3
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
        
        x
        ≥
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{1}(-x)=-\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!}
  
，
由於整個波函數
  
    
      
        ψ
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi \,\!}
  
必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

  
    
      
        
          ψ
          
            1
          
        
        (
        −
        L
        
          /
        
        2
        )
        =
        
          ψ
          
            2
          
        
        (
        −
        L
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}
  

  
    
      
        
          
            
            
              
                
                  d
                  
                    ψ
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  d
                  x
                
              
            
            |
          
          
            x
            =
            −
            L
            
              /
            
            2
          
        
        =
        
          
            
            
              
                
                  d
                  
                    ψ
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  d
                  x
                
              
            
            |
          
          
            x
            =
            −
            L
            
              /
            
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!}
  

將波函數的公式代入：

  
    
      
        G
        
          e
          
            −
            α
            L
            
              /
            
            2
          
        
        =
        −
        A
        sin
        ⁡
        (
        k
        L
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=-A\sin(kL/2)\,\!}
  
，(5)

  
    
      
        α
        G
        
          e
          
            −
            α
            L
            
              /
            
            2
          
        
        =
        k
        A
        cos
        ⁡
        (
        k
        L
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\cos(kL/2)\,\!}
  
。(6)
方程(6)除以方程(5)，可以得到：

  
    
      
        α
        =
        −
        k
        cot
        ⁡
        (
        k
        L
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2)\,\!}
  
。
從方程(3)與(4)，可以求得常數
  
    
      
        α
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha \,\!}
  
與波數
  
    
      
        k
        
        
      
    
    {\displaystyle k\,\!}
  
的關係：

  
    
      
        
          α
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              m
              
                V
                
                  0
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          k
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!}
  
。
所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

  
    
      
        
          k
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              m
              
                V
                
                  0
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        k
        L
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\sin ^{2}(kL/2)\,\!}
  
。
這也造成了離散的能量。


= 偶的波函數 =
假若，波函數
  
    
      
        ψ
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi \,\!}
  
是偶函數，則 

  
    
      
        
          ψ
          
            2
          
        
        =
        A
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{2}=A\cos(kx)\,\!}
  
，

  
    
      
        G
        =
        H
        
        
      
    
    {\displaystyle G=H\,\!}
  
，

  
    
      
        
          ψ
          
            1
          
        
        (
        −
        x
        )
        =
        
          ψ
          
            3
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
        
        x
        ≥
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{1}(-x)=\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!}
  
，
由於整個波函數
  
    
      
        ψ
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi \,\!}
  
必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

  
    
      
        
          ψ
          
            1
          
        
        (
        −
        L
        
          /
        
        2
        )
        =
        
          ψ
          
            2
          
        
        (
        −
        L
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}
  

  
    
      
        
          
            
            
              
                
                  d
                  
                    ψ
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  d
                  x
                
              
            
            |
          
          
            x
            =
            −
            L
            
              /
            
            2
          
        
        =
        
          
            
            
              
                
                  d
                  
                    ψ
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  d
                  x
                
              
            
            |
          
          
            x
            =
            −
            L
            
              /
            
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!}
  

將波函數的公式代入：

  
    
      
        G
        
          e
          
            −
            α
            L
            
              /
            
            2
          
        
        =
        A
        cos
        ⁡
        (
        k
        L
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=A\cos(kL/2)\,\!}
  
，(7)

  
    
      
        α
        G
        
          e
          
            −
            α
            L
            
              /
            
            2
          
        
        =
        k
        A
        sin
        ⁡
        (
        k
        L
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\sin(kL/2)\,\!}
  
。(8)
方程(8)除以方程(7)，可以得到：

  
    
      
        α
        =
        k
        tan
        ⁡
        (
        k
        L
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2)\,\!}
  
。
從方程(3)與(4)，可以求得常數
  
    
      
        α
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha \,\!}
  
與波數
  
    
      
        k
        
        
      
    
    {\displaystyle k\,\!}
  
的關係：

  
    
      
        
          α
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              m
              
                V
                
                  0
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          k
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!}
  
。
所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

  
    
      
        
          k
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              m
              
                V
                
                  0
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        k
        L
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\cos ^{2}(kL/2)\,\!}
  
。
這也造成了離散的能量。


散射態 假若，一個粒子的能量大於位勢，
  
    
      
        E
        >
        
          V
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle E>V_{0}\,\!}
  
，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（scattering）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，
  
    
      
        E
        >
        
          V
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle E>V_{0}\,\!}
  
，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於
  
    
      
        
          V
          
            0
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle V_{0}\,\!}
  
的任意值。波數
  
    
      
        κ
        
        
      
    
    {\displaystyle \kappa \,\!}
  
，用方程式表達為
  
    
      
        κ
        =
        
          
            
              2
              m
              (
              E
              −
              
                V
                
                  0
                
              
              )
            
            ℏ
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\,\!}
  
，也不是離散量。代入方程(1)：

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                ψ
                
                  1
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          κ
          
            2
          
        
        
          ψ
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{1}\,\!}
  
，

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                ψ
                
                  3
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          κ
          
            2
          
        
        
          ψ
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{3}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{3}\,\!}
  
。
解答形式與阱內區域的解答形式相同：

  
    
      
        
          ψ
          
            1
          
        
        =
        
          C
          
            1
          
        
        sin
        ⁡
        (
        κ
        x
        )
        +
        
          D
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        (
        κ
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{1}=C_{1}\sin(\kappa x)+D_{1}\cos(\kappa x)\,\!}
  
，

  
    
      
        
          ψ
          
            3
          
        
        =
        
          C
          
            3
          
        
        sin
        ⁡
        (
        κ
        x
        )
        +
        
          D
          
            3
          
        
        cos
        ⁡
        (
        κ
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{3}=C_{3}\sin(\kappa x)+D_{3}\cos(\kappa x)\,\!}
  
。
其中，
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          D
          
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle D_{1}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          C
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle C_{3}\,\!}
  
、
  
    
      
        
          D
          
            3
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle D_{3}\,\!}
  
，都是常數。


參閱 自由粒子
無限深方形阱
有限位勢壘
球對稱位勢
Delta位勢阱
Delta位勢壘
量子穿隧效應
盒中氣體


參考文獻