直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。前兩個命題被分别称为大前提和小前提。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蕴涵了最後的命題，它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：中項在前提中必須周延（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂词之間的連接。例如：

這裡的中項“生物”在大前提中周延，大項“會死者”在大前提和結論中都不周延，小項“人”在小前提和結論中周延；這個三段論符合周延規則：中項至少在一個前提中周延。一些直言三段論不是有效的，例如：

即使此例子的兩個前提和結論都是正確的，中項“鳥”在大前提和小前提中周延，大項“有翅膀”在結論中周延，小項“人”在小前提和結論中周延；此三段論卻是一種大項不當謬誤，將結論“沒有人有翅膀”理解為同樣表達的“所有人沒有翅膀”如此一來方便了解其中的谬误；此三段論不有效的原因是它不符合另一個周延規則：在結論中周延的詞項，在前提中也必須周延。在該三段論中大項“有翅膀”在結論被否定了，也就是說表達了人沒有“有翅膀”，大項在此周延，但在大前提中未周延，因為在大前提中“有翅膀”並沒有涉及該項的所有個體。


语气和格式 三段論有如下典型形式：

大前提：所有M是P。
小前提：所有S是M。
結論：所有S是P。
其中S代表結論的主詞（Subject），P代表結論的謂詞（Predicate），M代表中詞（Middle）。
三段論的命題可分為全称（universal）、特称（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類語氣（Mood）：

三段論中，結論中的謂詞稱作大詞（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作大前提；結論中的主詞稱作小詞（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作小前提；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作中詞（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種格（Figure）：

將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為A、E、I、O型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有512種，但邏輯上是相同的）。
三段論依語氣與格的分類縮寫，例如AAA-1（也可以寫成1-AAA）代表「大前提為A型，小前提為A型，結論為A型，第1格」的三段論。
此外，三段論的四種格之间可相互转换：

第1格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第2格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第3格。
第2格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第1格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第4格。
第3格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第4格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第1格。
第4格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第3格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第2格。
E和I命题对换主词和谓词的位置而保持同原命题等价。A命题和O命题不能对换主词和谓词的位置，但是可以采用直接推理中的“对置法”。A命题还可以在确实主词有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的I命题后再对换主词和谓词的位置。


有效性 考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。
還可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。

作为文氏圖方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P，它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。（注意：黑影区域和存在量化区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。

本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。
最后一种方法是记住下面非形式表述的幾條规则以避免謬論。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用這些规则来检验有效性。
基本規則：

結論中周延的詞必須在前提中周延（謬誤：大詞不當、小詞不當）。
中詞必須周延至少一次（謬誤：中詞不周延）。
結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等：
二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：肯定前提推得否定結論）。
一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：否定前提推得肯定結論）。
二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：排它前提謬誤）。
結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等：
二前提皆全稱，則結論必須為全稱。
一前提是特稱，則結論必須為特稱。
二前提皆特稱，則三段論必無效。
若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。
其他檢查：

如果語境上不能假設所有提及的集合非空，部分推論將會無效（謬誤：存在謬誤）。
必須包含嚴格的三個詞，不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致（謬誤：四詞謬誤、歧義謬誤）。


= 有效三段論式 =
唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了A、E、I、O全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E或O），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I或O），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E、I或O）。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。

在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。


= 常犯的無效三段論式 =
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO


三段论式列表 总共有19个有效的论式，算结论弱化（全称弱化为特称）的5个论式則為24個有效论式，其中每一格刚好各有6個有效论式。為便於記憶，中世纪的学者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字，每個名字的加了下劃線的元音即是對應的語氣：


= 经典三段论式 =
下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。


 第1格  AAA（Barbara）
 所有M是P。
 所有S是M。
∴所有S是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  ∀
                  x
                  (
                  M
                  (
                  x
                  )
                  →
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                  
                  ∀
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  →
                  M
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∀
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  →
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}
  

EAE（Celarent）
 没有M是P。
 所有S是M。
∴没有S是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  ∀
                  x
                  (
                  M
                  (
                  x
                  )
                  →
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                  
                  ∀
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  →
                  M
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∀
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  →
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
  

AII（Darii）
 所有M是P。
 有些S是M。
∴有些S是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  ∀
                  x
                  (
                  M
                  (
                  x
                  )
                  →
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                  
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  M
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
  

EIO（Ferio）
 没有M是P。
 有些S是M。
∴有些S不是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  ∀
                  x
                  (
                  M
                  (
                  x
                  )
                  →
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                  
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  M
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
  


 第2格  AEE（Camestres）
 所有P是M。
 没有S是M。
∴没有S是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  ∀
                                  x
                                  (
                                  P
                                  (
                                  x
                                  )
                                  →
                                  M
                                  (
                                  x
                                  )
                                  )
                                
                              
                            
                          
                          
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    ¬
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    ¬
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                          ¬
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                          
                          ∀
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          →
                          M
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          →
                          ¬
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          S
                          (
                          x
                          )
                          →
                          ¬
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}}}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
  

（AEE-2是AEE-4的等价形式。这种形式还有其他推导方法。）

EAE（Cesare）
 没有P是M。
 所有S是M。
∴没有S是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∀
                            x
                            (
                            P
                            (
                            x
                            )
                            →
                            ¬
                            M
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∀
                            x
                            (
                            M
                            (
                            x
                            )
                            →
                            ¬
                            P
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          S
                          (
                          x
                          )
                          →
                          M
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∀
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  →
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
  

（EAE-2是EAE-1的等价形式。）

AOO（Baroco）
 所有P是M。
 有些S不是M。
∴有些S不是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    P
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    P
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    ¬
                                    (
                                    ¬
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∀
                            x
                            (
                            (
                            ¬
                            M
                            (
                            x
                            )
                            )
                            →
                            ¬
                            P
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∃
                            x
                            (
                            S
                            (
                            x
                            )
                            ∧
                            ¬
                            M
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∃
                            x
                            (
                            S
                            (
                            x
                            )
                            ∧
                            (
                            ¬
                            M
                            (
                            x
                            )
                            )
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land (\lnot M(x)))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
  

（这种形式还有其他推导方法。）

EIO（Festino）
 没有P是M。
 有些S是M。
∴有些S不是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∀
                            x
                            (
                            P
                            (
                            x
                            )
                            →
                            ¬
                            M
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∀
                            x
                            (
                            M
                            (
                            x
                            )
                            →
                            ¬
                            P
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          ∃
                          x
                          (
                          S
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          M
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
  

（EIO-2是EIO-1的等价形式。）


 第3格  AAI（Darapti）
 所有M是P。
 所有M是S。
∴有些S是P。
（这种形式需要假定有些M确实存在。）

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                   
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                            
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      ∃
                                      x
                                      M
                                      (
                                      x
                                      )
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      ∃
                                      x
                                      (
                                      M
                                      (
                                      x
                                      )
                                      ∧
                                      M
                                      (
                                      x
                                      )
                                      )
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∃
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    ∧
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∃
                                    x
                                    (
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    ∧
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\ {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
  

EAO（Felapton）
 没有M是P。
 所有M是S。
∴有些S不是P。
（这种形式需要假定有些M确实存在。）

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                          ¬
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                            
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      ∃
                                      x
                                      M
                                      (
                                      x
                                      )
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      ∃
                                      x
                                      (
                                      M
                                      (
                                      x
                                      )
                                      ∧
                                      M
                                      (
                                      x
                                      )
                                      )
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∃
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    ∧
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∃
                                    x
                                    (
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    ∧
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
  

AII（Datisi）
 所有M是P。
 有些M是S。
∴有些S是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∃
                            x
                            (
                            M
                            (
                            x
                            )
                            ∧
                            S
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∃
                            x
                            (
                            S
                            (
                            x
                            )
                            ∧
                            M
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
  

（AII-3是AII-1的等价形式。）

EIO（Ferison）
 没有M是P。
 有些M是S。
∴有些S不是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                          ¬
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∃
                            x
                            (
                            M
                            (
                            x
                            )
                            ∧
                            S
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∃
                            x
                            (
                            S
                            (
                            x
                            )
                            ∧
                            M
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
  

（EIO-3是EIO-1的等价形式。）

IAI（Disamis）
 有些M是P。
 所有M是S。
∴有些S是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∃
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    ∧
                                    P
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∃
                                    x
                                    (
                                    P
                                    (
                                    x
                                    )
                                    ∧
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                          
                          
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  ∀
                                  x
                                  (
                                  M
                                  (
                                  x
                                  )
                                  →
                                  S
                                  (
                                  x
                                  )
                                  )
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                          
                          ∃
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          M
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∃
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∃
                          x
                          (
                          S
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))}{\exists x(P(x)\land M(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
  

（IAI-3是IAI-4的等价形式。）

OAO（Bocardo）
 有些M不是P。
 所有M是S。
∴有些S不是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∃
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    ∧
                                    ¬
                                    P
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∃
                                    x
                                    (
                                    (
                                    ¬
                                    P
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                    ∧
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                          
                          
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  ∀
                                  x
                                  (
                                  M
                                  (
                                  x
                                  )
                                  →
                                  S
                                  (
                                  x
                                  )
                                  )
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                          
                          ∃
                          x
                          (
                          (
                          ¬
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                          ∧
                          M
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∃
                          x
                          (
                          (
                          ¬
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                          ∧
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∃
                          x
                          (
                          S
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          ¬
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))}{\exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\quad \exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}{\cfrac {\exists x((\lnot P(x))\land S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}}
  

（这种形式还有其他推导方法。）


= 增补的论式 =
第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。


 第4格  AAI（Bamalip）
 所有P是M。
 所有M是S。
∴有些S是P。
（这种形式需要假定有些P确实存在。）

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    P
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                    
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                    
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    P
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∀
                            x
                            (
                            P
                            (
                            x
                            )
                            →
                            S
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∃
                            x
                            P
                            (
                            x
                            )
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∃
                            x
                            (
                            P
                            (
                            x
                            )
                            ∧
                            P
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∃
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∃
                          x
                          (
                          S
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
  

EAO（Fesapo）
 没有P是M。
 所有M是S。
∴有些S不是P。
（这种形式需要假定有些M确实存在。）

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    P
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    ¬
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    ¬
                                    P
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∀
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    →
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                            
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      ∃
                                      x
                                      M
                                      (
                                      x
                                      )
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      ∃
                                      x
                                      (
                                      M
                                      (
                                      x
                                      )
                                      ∧
                                      M
                                      (
                                      x
                                      )
                                      )
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∃
                                    x
                                    (
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    ∧
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                              
                                
                                  
                                
                                
                                  
                                    ∃
                                    x
                                    (
                                    S
                                    (
                                    x
                                    )
                                    ∧
                                    M
                                    (
                                    x
                                    )
                                    )
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
  

（EAO-4是EAO-3的等价形式。）

AEE（Calemes）
 所有P是M。
 没有M是S。
∴没有S是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          →
                          M
                          (
                          x
                          )
                          )
                          
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                          ¬
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                          ¬
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                          
                          ∀
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          →
                          M
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          →
                          ¬
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          S
                          (
                          x
                          )
                          →
                          ¬
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
  

EIO（Fresison）
 没有P是M。
 有些M是S。
∴有些S不是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∀
                            x
                            (
                            P
                            (
                            x
                            )
                            →
                            ¬
                            M
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∀
                            x
                            (
                            M
                            (
                            x
                            )
                            →
                            ¬
                            P
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∃
                            x
                            (
                            M
                            (
                            x
                            )
                            ∧
                            S
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            ∃
                            x
                            (
                            S
                            (
                            x
                            )
                            ∧
                            M
                            (
                            x
                            )
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  ∃
                  x
                  (
                  S
                  (
                  x
                  )
                  ∧
                  ¬
                  P
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
  

（EIO-4是EIO-1的等价形式。）

IAI（Dimaris）
 有些P是M。
 所有M是S。
∴有些S是P。

  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∃
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          M
                          (
                          x
                          )
                          )
                          
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                           
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∀
                          x
                          (
                          M
                          (
                          x
                          )
                          →
                           
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                          
                          ∃
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          M
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∃
                          x
                          (
                          P
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          S
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                      
                      
                        
                          ∃
                          x
                          (
                          S
                          (
                          x
                          )
                          ∧
                          P
                          (
                          x
                          )
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
  


 结论弱化的论式  歷史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母“p”，用来指示出这些论式通過引入了某个词项确实有元素存在的前提，将一个A命题弱化成了I命题。后人认为它們不是直言的即不是无条件的，这个问题被称为存在性引入问题。
在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可将论式中的结论A弱化为结论I，结论E弱化为结论O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。结论弱化论式有5个：AAI-1（Barbari），即弱化的AAA-1；EAO-1（Celaront），即弱化的EAE-1；AEO-2（Camestros），即弱化的AEE-2；EAO-2（Cesaro），即弱化的EAE-2；AEO-4（Calemos），即弱化的AEE-4。AAI-1的结论同于AII-1的结论，EAO-1、EAO-2的结论同于EIO-1的结论，AEO-2、AEO-4的结论同于AOO-2的结论，需要注意结论弱化论式原来的结论依然成立。


= 谓词演算公式的注解 =
按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）
  
    
      
        
        S
        
      
    
    {\displaystyle \,S\,}
  
和集合
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
有某种二元关系，并且集合
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
和集合
  
    
      
        
        P
        
      
    
    {\displaystyle \,P\,}
  
有某种二元关系，从而推论出集合
  
    
      
        
        S
        
      
    
    {\displaystyle \,S\,}
  
和集合
  
    
      
        
        P
        
      
    
    {\displaystyle \,P\,}
  
是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：

A（全称肯定）命题：所有
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
的元素是
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的元素，确定了
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
“包含于”
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的关系，
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
是
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的子集，
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
是
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
的超集，这是一种偏序关系，
  
    
      
        
        L
        
      
    
    {\displaystyle \,L\,}
  
包含于
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
，並且
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
包含于
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
，則
  
    
      
        
        L
        
      
    
    {\displaystyle \,L\,}
  
包含于
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
。A命题允许两个推理方向，从元素属于
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
推出它属于
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
，从元素不属于
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
推出它不属于
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
。A命题确定了
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
减
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的差集是空集。
E（全称否定）命题：所有
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
的元素不是
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的元素，确定了
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
和
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
是“无交集”的关系，这是一种对称关系，
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
无交集于
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
，同于
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
无交集于
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
。E命题允许两个推理方向，从元素属于
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
推出它不属于
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
，从元素属于
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
推出它不属于
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
。E命题确定了
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
与
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的交集是空集。
I（特称肯定）命题：有些
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
的元素是
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的元素，确定了
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
和
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
是“有交集”的关系，这是一种对称关系，
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
有交集于
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
，同于
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
有交集于
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
。I命题确定了
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
与
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的交集不是空集。
O（特称否定）命题：有些
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
的元素不是
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的元素，确定了
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
“不包含于”
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的关系。O命题确定了
  
    
      
        
        M
        
      
    
    {\displaystyle \,M\,}
  
减
  
    
      
        
        N
        
      
    
    {\displaystyle \,N\,}
  
的差集不是空集。
两个全称命题可以推出一个新的全称命题，一个全称命题和一个特称命题可以推出一个新的特称命题，两个特称命题无法推理。A命题可以和所有四种命题組合。E命题还可以和I命题組合，两个否定命题和IE组合，不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式，要在AA、AE、EA、AI、IA、AO、OA、EI這8種組合乘以4種格，共32種情況中找出。
AA组合中AAA-1是直接推出的；第4格AA組合推论出谓词包含於主词的关系，这不是四种命题之一，只能在谓词确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE组合中AEE-4是直接推出的，EA组合中EAE-1是直接推出的。第3格AA組合和EA組合，在中項確定有元素存在的前提下，形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3没有等价者。通過對換其前提E命題中主詞和謂詞的位置，從AEE-4得出其等價者AEE-2，從EAE-1的得出其等價者EAE-2，從EAO-3得出其等價者EAO-4。
AII-1、IAI-4是直接推出的，通過對換其前提I命題中主詞和謂詞的位置，從AII-1得出其等價者AII-3，從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了反證法，这里采用了直接推理中的“对置法”，AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的，通過對換其前提E命题及/或I命題中主詞和謂詞的位置，從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。


24論式圖示 下表以文氏圖展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。


参见 直接推理
传统逻辑
谓词演算


註解 引用 Aristotle, Prior Analytics. transl. Robin Smith（Hackett, 1989）ISBN 0-87220-064-7.
Blackburn, Simon, 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy. Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8.
Broadie, Alexander, 1993. Introduction to Medieval Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0.
Irving Copi, 1969. Introduction to Logic, 3rd ed. Macmillan Company.
Hamblin, Charles L., 1970. Fallacies, Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5. Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“
Jan Łukasiewicz, 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic. New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242. OCLC 15015545.


外部連結 Robin Smith. Aristotle's Logic. 扎尔塔, 爱德华·N  (编). 《斯坦福哲学百科全书》. 
Terence Parsons. The Traditional Square of Opposition. 扎尔塔, 爱德华·N  (编). 《斯坦福哲学百科全书》. 
Henrik Lagerlund. Medieval Theories of the Syllogism. 扎尔塔, 爱德华·N  (编). 《斯坦福哲学百科全书》. 
Aristotle's Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism （页面存档备份，存于互联网档案馆） an annotated bibliography on Aristotle's syllogistic
Abbreviatio Montana （页面存档备份，存于互联网档案馆） article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
The Figures of the Syllogism （页面存档备份，存于互联网档案馆） is a brief table listing the forms of the syllogism.
www.fibonicci.co.uk/syllogisms some fun syllogism tests/quizzes
Syllogistic Reasoning in Buddhism - Example & Worksheet