本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。
 

在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（英語：Wave function）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。
波函數 
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  
 是一種複值函數，表示粒子在位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 、時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的機率幅，它的絕對值平方 
  
    
      
        
          |
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}}
  
 是在位置 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 、時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  
是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。


歷史 在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。
德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程式。他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。
薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。
1927年，道格拉斯·哈特里與弗拉基米尔·福克在對於多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。
薛定谔方程式不具有勞侖茲不變性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。
1926年，奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克莱因-戈尔登方程式。
1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。


概述 = 位置空間波函數 =
假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)}
  
 ；其中，
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 是位置，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 在區間 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
 （即 
  
    
      
        a
        ≤
        x
        ≤
        b
      
    
    {\displaystyle a\leq x\leq b}
  
 ）的機率
  
    
      
        
          P
          
            a
            ≤
            x
            ≤
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{a\leq x\leq b}}
  
為

  
    
      
        
          P
          
            a
            ≤
            x
            ≤
            b
          
        
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
        
          |
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle P_{a\leq x\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x}
  
 ；
其中，
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 是對於粒子位置做測量的時間。
換句話說，
  
    
      
        
          |
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}}
  
 是粒子在位置 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 、時間 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 的機率密度。
這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        
          |
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          d
        
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x=1}
  
 。


= 動量空間波函數 =
在動量空間，粒子的波函數表示為 
  
    
      
        Φ
        (
        p
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (p,t)}
  
 ；其中，
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 是一維動量，值域從 
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
  
 至 
  
    
      
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty }
  
 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 在區間 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
 （即 
  
    
      
        a
        ≤
        p
        ≤
        b
      
    
    {\displaystyle a\leq p\leq b}
  
 ）的機率為

  
    
      
        
          P
          
            a
            ≤
            p
            ≤
            b
          
        
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
        
          |
        
        Φ
        (
        p
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          d
        
        p
      
    
    {\displaystyle P_{a\leq p\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p}
  
 。
動量空間波函數的歸一化條件也類似：

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        
          
            |
            
              Φ
              (
              p
              ,
              t
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        
          d
        
        p
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,\left|\Phi (p,t)\right|^{2}\mathrm {d} p=1}
  
 。


= 兩種波函數之間的關係 =

位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為

  
    
      
        Φ
        (
        p
        ,
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              ℏ
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        
          e
          
            −
            i
            p
            x
            
              /
            
            ℏ
          
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \Phi (p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{-ipx/\hbar }\Psi (x,t)\mathrm {d} x}
  
 、

  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              ℏ
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        
          e
          
            i
            p
            x
            
              /
            
            ℏ
          
        
        Φ
        (
        p
        ,
        t
        )
        
          d
        
        p
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ipx/\hbar }\Phi (p,t)\mathrm {d} p}
  
 。


= 波函数实质 =
量子力学中体系的态实际上由一个希尔伯特空间里的 
  
    
      
        
          |
        
        
          
            J
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
  
 矢量来描述。我们可以用任何不同的基来表示它。
波函数 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)}
  
 实际上是 
  
    
      
        
          |
        
        
          
            J
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
  
 在坐标本征函数为基上展开的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
“分量”：

  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        ⟨
        x
        ∣
        
          
            J
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
        ,
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\mid {\mathfrak {J}}(t)\rangle ,}
  

（这里基矢量 
  
    
      
        
          |
        
        x
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |x\rangle }
  
 对应于本征值为 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 的算符 
  
    
      
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {x}}}
  
 的本征函数）。
动量空间波函数 
  
    
      
        Φ
        =
        (
        p
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi =(p,t)}
  
 是 
  
    
      
        
          |
        
        
          
            J
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
  
 用动量本征函数的基展开时的展开系数:

  
    
      
        Φ
        (
        p
        ,
        t
        )
        =
        ⟨
        p
        ∣
        
          
            ℑ
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \Phi (p,t)=\langle p\mid {\mathfrak {\Im }}(t)\rangle }
  

（这里基矢量 
  
    
      
        
          |
        
        p
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |p\rangle }
  
 对应于属于本征值 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 的 
  
    
      
        
          
            
              p
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {p}}}
  
 的本征函数） 。
我们也可以把 
  
    
      
        
          |
        
        
          
            F
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |{\mathfrak {F}}(t)\rangle }
  
 用能量本征函数的基展开（简单起见，假设谱是分立的）：

  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        (
        t
        )
        =
        ⟨
        n
        ∣
        
          
            ℑ
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle c_{n}(t)=\langle n\mid {\mathfrak {\Im }}(t)\rangle }
  

（这里基矢量 
  
    
      
        
          |
        
        n
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |n\rangle }
  
 对应属于 
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
  
 的第 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 个本征函数：
  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        =
        
          ⟨
          
            
              f
              
                n
              
            
            ∣
            Ψ
          
          ⟩
        
        =
        ∫
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        
          )
          
            ∗
          
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle c_{n}=\left\langle f_{n}\mid \Psi \right\rangle =\int f_{n}(x)^{*}\Psi (x,t)\mathrm {d} x}
  
) 。
波函数 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  
 与 
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
  
 和系数的集合 
  
    
      
        
          {
          
            c
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{c_{n}\right\}}
  
 ，所有这些所表示的都是同一个状态，包含完全一样的信息——它们仅是描述同一矢量的三种不同途径而已：

  
    
      
        
          |
        
        
          
            J
          
        
        (
        t
        )
        ⟩
        →
        ∫
        Ψ
        (
        y
        ,
        t
        )
        δ
        (
        x
        −
        y
        )
        d
        y
        =
        ∫
        Φ
        (
        p
        ,
        t
        )
        
          
            1
            
              2
              π
              ℏ
            
          
        
        
          e
          
            i
            p
            x
            
              /
            
            ℏ
          
        
        d
        p
        =
        ∑
        
          c
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            i
            
              E
              
                n
              
            
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle \rightarrow \int \Psi (y,t)\delta (x-y)dy=\int \Phi (p,t){\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{ipx/\hbar }dp=\sum c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\psi _{n}(x)}
  


薛丁格方程式 在一維空間裏，運動於位勢 
  
    
      
        V
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle V(x)}
  
 的單獨粒子，其波函数滿足含時薛丁格方程式

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        +
        V
        (
        x
        )
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)}
  
 ；
其中，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 是質量，
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  
 是約化普朗克常數。
不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,\,t)}
  
 的函數形式為

  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        
        t
        )
        =
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
        
          e
          
            −
            i
            E
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,\,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }}
  
 ；
其中，
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 是分離常數，稍加推導可以論定 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 就是能量，
  
    
      
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi _{E}(x)}
  
 是對應於 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 的本徵函數。
代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
        +
        V
        (
        x
        )
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
        =
        E
        
          ψ
          
            E
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi _{E}(x)+V(x)\psi _{E}(x)=E\psi _{E}(x)}
  
 。


波函数的概率诠释 波函数 
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  
 是概率波。其模的平方 
  
    
      
        |
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        
          |
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,}
  
 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分

  
    
      
        ∫
        |
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        
          |
          
            2
          
        
        
        
          d
          
            3
          
        
        
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,d^{3}\,x=1}
  
 。
波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。


波函数的本征值和本征态 在量子力学中，可观察量 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 以算符 
  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}}
  
 的形式出现。
  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}}
  
 代表对於波函数的一种运算。例如，在位置空間裏，动量算符 
  
    
      
        
          
            
              
                p
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}
  
 的形式為

  
    
      
        
          
            
              
                p
              
              ^
            
          
        
        =
        −
        i
        ℏ
        ∇
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }
  
 。
可观察量 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的本徵方程式為

  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
        ψ
        =
        a
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi }
  
 。
对应的 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 称为算符 
  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}}
  
 的本徵值，
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 称为算符 
  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}}
  
 的本徵態。假設對於 
  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}}
  
 的本徵態 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 再測量可观察量 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ，則得到的結果是本徵值 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 。


态叠加原理 假設對於某量子系統測量可觀察量 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ，而可觀察量 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 的本徵態 
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |a_{1}\rangle }
  
 、
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            2
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |a_{2}\rangle }
  
 分別擁有本徵值 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  
 、
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
  
 ，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
  
 也可以是這量子系統的量子態：

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        
          c
          
            1
          
        
        
          |
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⟩
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          |
        
        
          a
          
            2
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle }
  
 ；
其中， 
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1}}
  
 、
  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{2}}
  
 分別為疊加態處於本徵態 
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |a_{1}\rangle }
  
 、
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            2
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |a_{2}\rangle }
  
 的機率幅。
假設对這疊加態系統测量可观察量 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ，則測量獲得數值是 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  
 或 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
  
 的機率分別為 
  
    
      
        
          |
        
        
          c
          
            1
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |c_{1}|^{2}}
  
 、
  
    
      
        
          |
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |c_{2}|^{2}}
  
 ，期望值為

  
    
      
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        A
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        
          |
        
        
          c
          
            1
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          |
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}}
  
 。


定态 在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
  
 不含时间的情况。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數 
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  
 分離成一个只与位置有关的函数 
  
    
      
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
  
 和一个只与时间有关的函数 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
  
 ：

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )f(t)}
  
 。
將這公式代入薛定谔方程，就会得到

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          −
          i
          E
          t
          
            /
          
          ℏ
          )
        
      
    
    {\displaystyle f(t)=\exp {(-iEt/\hbar )}}
  
 。
而 
  
    
      
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
  
 则满足本徵能量薛丁格方程式：

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        E
        ψ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}
  
 。


例子 = 自由粒子 =

3D空间中的自由粒子，其波矢 为k ， 角频率 为ω，其波函数为：

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        A
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
            −
            ω
            t
            )
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,.}
  


= 無限深方形阱 =

粒子被限制在x = 0和x = L之间的1D空间中，其波函数为:

  
    
      
        
          
            
              
                Ψ
                (
                x
                ,
                t
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                      L
                    
                  
                
                sin
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      
                        n
                        π
                        x
                      
                      L
                    
                  
                  )
                
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    
                      ω
                      
                        n
                      
                    
                    t
                  
                
                ,
              
              
                
                0
                ≤
                x
                ≤
                L
              
            
            
              
                Ψ
                (
                x
                ,
                t
                )
              
              
                
                =
                0
                ,
              
              
                x
                <
                0
                ,
                x
                >
                L
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x,t)&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-i\omega _{n}t},&\quad 0\leq x\leq L\\\Psi (x,t)&=0,&x<0,x>L\\\end{aligned}}}
  

其中，
  
    
      
        ℏ
        
          ω
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                n
                
                  2
                
              
              
                h
                
                  2
                
              
            
            
              8
              m
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}
  
是能量本徵值，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
是正整數，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
是質量。


= 有限位势垒 =

在1D情况下，粒子处于如下势垒中：

  
    
      
        V
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    V
                    
                      0
                    
                  
                
                
                  
                    |
                  
                  x
                  
                    |
                  
                  <
                  a
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    otherwise,
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}
  

其波函数的定态解为(
  
    
      
        k
        ,
        κ
      
    
    {\displaystyle k,\kappa }
  
为常数)

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    A
                    
                      
                        r
                      
                    
                  
                  exp
                  ⁡
                  (
                  i
                  k
                  x
                  )
                  +
                  
                    A
                    
                      
                        l
                      
                    
                  
                  exp
                  ⁡
                  (
                  −
                  i
                  k
                  x
                  )
                
                
                  x
                  <
                  −
                  a
                  ,
                
              
              
                
                  
                    B
                    
                      
                        r
                      
                    
                  
                  exp
                  ⁡
                  (
                  κ
                  x
                  )
                  +
                  
                    B
                    
                      
                        l
                      
                    
                  
                  exp
                  ⁡
                  (
                  −
                  κ
                  x
                  )
                
                
                  
                    |
                  
                  x
                  
                    |
                  
                  ≤
                  a
                  ,
                
              
              
                
                  
                    C
                    
                      
                        r
                      
                    
                  
                  exp
                  ⁡
                  (
                  i
                  k
                  x
                  )
                  +
                  
                    C
                    
                      
                        l
                      
                    
                  
                  exp
                  ⁡
                  (
                  −
                  i
                  k
                  x
                  )
                
                
                  x
                  >
                  a
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+A_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }\exp(\kappa x)+B_{\mathrm {l} }\exp(-\kappa x)&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+C_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x>a.\end{cases}}}
  


= 量子点 =

量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似無限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。


参閱 波包


参考文獻 注释