射流，也称节（英語：Jet）在数学中是指取一个可微函数f并在其定义域的每一点产生一个多项式，也就是f的截尾泰勒多项式的操作。虽然这是一个射流的定义，射流理论将这些多项式作为抽象多项式而不是多项式函数。


欧氏空间之间的函数的射流 在给出一个射流的严格定义之前，有必要查看一些特殊情况。


= 例：一维情况 =
设
  
    
      
        f
        :
        
          
            R
          
        
        →
        
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}
  
是实值函数，在点
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
的领域U有至少k+1阶导数。那么根据泰勒定理，

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  k
                  )
                
              
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              k
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        
          )
          
            k
          
        
        +
        
          
            
              
                R
                
                  k
                  +
                  1
                
              
              (
              x
              )
            
            
              (
              k
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        
          )
          
            k
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}(x-x_{0})^{k+1}}
  

其中

  
    
      
        
          |
        
        
          R
          
            k
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        
          sup
          
            x
            ∈
            U
          
        
        
          |
        
        
          f
          
            (
            k
            +
            1
            )
          
        
        (
        x
        )
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq \sup _{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|.}
  

那么f在点
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
的k-射流定义为多项式

  
    
      
        (
        
          J
          
            
              x
              
                0
              
            
          
          
            k
          
        
        f
        )
        (
        z
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        z
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  k
                  )
                
              
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              k
              !
            
          
        
        
          z
          
            k
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+f'(x_{0})z+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}z^{k}.}
  

射流通常视为变量z的抽象多项式，而不是一个该变量实际的多项式函数。换言之，z是一个不定变量，这使得我们可以在射流上施行各种代数操作。实际上，射流是从基点
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
得到它们的函数依赖关系。这样，通过变换基点，一个射流在每一点产生了一个k次多项式。这标志着射流和截尾泰勒级数的概念上的区别：通常泰勒级数被视为函数式地依赖于它的变量，而非其基点。另一方面，射流将泰勒级数的代数属性和它们的函数属性分离开来。我们将在本条目后面讨论该区别的原因和应用。


= 例：从欧氏空间到另一个欧氏空间的映射 =
假设
  
    
      
        f
        :
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
  
是从一个欧氏空间到另一个的一个函数，有至少(k+1)阶导数。本例中，推广的泰勒定理断言

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        (
        D
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
        ⋅
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          D
          
            2
          
        
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
        ⋅
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        
          )
          
            ⊗
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              
                D
                
                  k
                
              
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              k
              !
            
          
        
        ⋅
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        
          )
          
            ⊗
            k
          
        
        +
        
          
            
              
                R
                
                  k
                  +
                  1
                
              
              (
              x
              )
            
            
              (
              k
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        ⋅
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        
          )
          
            ⊗
            (
            k
            +
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}}
  

这个情况下，f的k-射流定义为多项式

  
    
      
        (
        
          J
          
            
              x
              
                0
              
            
          
          
            k
          
        
        f
        )
        (
        z
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        (
        D
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
        ⋅
        z
        +
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          D
          
            2
          
        
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
        ⋅
        
          z
          
            ⊗
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              
                D
                
                  k
                
              
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              k
              !
            
          
        
        ⋅
        
          z
          
            ⊗
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot z+{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot z^{\otimes k}}
  


= 例：射流的代数属性 =
射流可以加上两种基本的代数结构。第一个是乘积结构，虽然这最后是最不重要的。第二个是射流的复合结构。
若
  
    
      
        f
        ,
        g
        :
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle f,g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}
  
是一对实值函数，则我们可以定义它们的射流的积为

  
    
      
        
          J
          
            
              x
              
                0
              
            
          
          
            k
          
        
        f
        ⋅
        
          J
          
            
              x
              
                0
              
            
          
          
            k
          
        
        g
        =
        
          J
          
            k
          
        
        (
        f
        ⋅
        g
        )
      
    
    {\displaystyle J_{x_{0}}^{k}f\cdot J_{x_{0}}^{k}g=J^{k}(f\cdot g)}
  
.
这里，我们略去了不定变量z，因为可以将射流理解为形式化多项式。这个乘积就是z上的普通多项式的乘积，以
  
    
      
        
          z
          
            k
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{k+1}}
  
为模。换言之，它是在环
  
    
      
        
          
            R
          
        
        [
        z
        ]
        
          /
        
        (
        
          z
          
            k
            +
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})}
  
上的乘积，其中
  
    
      
        (
        
          z
          
            k
            +
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (z^{k+1})}
  
是由次数≥ k+1的齐次多项式生成的理想。
现在讨论射流的复合。为避免不必要的技术细节，我们考虑从原点映射到原点的函数的射流。若
  
    
      
        f
        :
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        →
        
          
            
              R
            
          
          
            ℓ
          
        
      
    
    {\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}
  
和
  
    
      
        g
        :
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
  
满足f(0)=0和g(0)=0，则
  
    
      
        f
        ∘
        g
        :
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            
              R
            
          
          
            ℓ
          
        
      
    
    {\displaystyle f\circ g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}
  
。射流的复合定义为

  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        f
        ∘
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        g
        =
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        f
        ∘
        g
        )
        .
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}f\circ J_{0}^{k}g=J_{0}^{k}(f\circ g).}
  

它可以用链式法则直接证明构成一个原点的射流空间上的非交换操作。
实际上，k-射流的复合不过就是多项式的复合，以次数
  
    
      
        >
        k
      
    
    {\displaystyle >k}
  
的齐次多项式为模。
例:

在一维，令
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        log
        ⁡
        (
        1
        −
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=\log(1-x)}
  
而
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        sin
        
        x
      
    
    {\displaystyle g(x)=\sin \,x}
  
。则

  
    
      
        (
        
          J
          
            0
          
          
            3
          
        
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        −
        x
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            2
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle (J_{0}^{3}f)(x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}}
  

  
    
      
        (
        
          J
          
            0
          
          
            3
          
        
        g
        )
        (
        x
        )
        =
        x
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle (J_{0}^{3}g)(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}}
  

且

  
    
      
        (
        
          J
          
            0
          
          
            3
          
        
        f
        )
        ∘
        (
        
          J
          
            0
          
          
            3
          
        
        g
        )
        =
        −
        
          (
          
            x
            −
            
              
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                6
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            (
            
              x
              −
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  6
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            3
          
        
        
          
            (
            
              x
              −
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  6
                
              
            
            )
          
          
            3
          
        
         
         
        (
        
          
            mod
          
        
         
        
          x
          
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}\ \ ({\hbox{mod}}\ x^{4})}
  

  
    
      
        =
        −
        x
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            2
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle =-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}}
  


欧氏空间一点的射流：严格定义 本节集中描述在一点的一个函数的射流的两种不同的严格定义，之后讨论泰勒定理。这些定义在给出在两个流形之间的射流的内蕴定义中是很有用的。


= 解析定义 =
如下的定义采用了数学分析中定义射流和射流空间的思想。它可以推广到巴拿赫空间之间的光滑函数、实或复域之间的解析函数、p进分析、或是其它的分析领域。
令
  
    
      
        
          C
          
            ∞
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
  
为光滑函数
  
    
      
        f
        :
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
  
的向量空间。令k为非负整数，并令p为
  
    
      
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
  
的一点。我们在该空间定义一个等价关系
  
    
      
        
          E
          
            p
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{p}^{k}}
  
，也就是令两个函数f和g等价如果f和g在p有相同的值，并且所有它们的偏导数等价到k阶，若f和g在p数值相同，并且它们直到p阶的偏导数全部相同。
k阶射流空间
  
    
      
        
          C
          
            ∞
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
  
在点p定义为
  
    
      
        
          E
          
            p
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{p}^{k}}
  
的等价类集合，并记为
  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
  
。
光滑函数
  
    
      
        f
        ∈
        
          C
          
            ∞
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
  
的k阶射流定义为f在
  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
  
中所属的等价类。


= 代数几何定义 =
如下定义采用代数几何和交换代数中的思想来建立射流和射流空间的概念。虽然这个定义不太适合代数几何本身，因为它属于光滑范畴，但也很容易修改为适合代数几何的使用的形式。
令
  
    
      
        
          C
          
            ∞
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            p
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }_{p}^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
  
为光滑函数
  
    
      
        f
        :
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
  
在
  
    
      
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
  
中的点p的芽的向量空间。令
  
    
      
        
          
            
              m
            
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}
  
为在p为零的函数的理想。(这是局部环 
  
    
      
        
          C
          
            ∞
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            p
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }_{p}^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
  
的极大理想。)则理想
  
    
      
        
          
            
              m
            
          
          
            p
          
          
            k
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}
  
由所有在点p直到k阶导数全部为零的函数的芽组成。现在我们可以定义p点的射流空间为

  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
        =
        
          C
          
            ∞
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            p
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
        
          /
        
        
          
            
              m
            
          
          
            p
          
          
            k
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})=C^{\infty }({\mathbb {R} }_{p}^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}
  

若
  
    
      
        f
        :
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
  
为光滑函数，我们可以定义f在p的k阶射流为
  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
  
的如下元素

  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        f
        =
        f
         
        (
        
          
            mod
          
        
         
        
          
            
              m
            
          
          
            p
          
          
            k
            +
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}f=f\ ({\hbox{mod}}\ {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1})}
  


= 泰勒定理 =
不管怎样定义，泰勒定理建立了向量空间
  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
  
和
  
    
      
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        [
        z
        ]
        
          /
        
        (
        
          z
          
            k
            +
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z]/(z^{k+1})}
  
之间的标准同构。所以，在欧氏空间的范围中，射流通常可以和它们的多项式表示在这个同构下等同起来。


= 从一点到一点的射流空间 =
我们定义了位于一点
  
    
      
        p
        ∈
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p\in {\mathbb {R} }^{n}}
  
的射流的空间
  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
  
由所有f(p)=q的函数f的射流组成的子空间记为

  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            m
          
        
        
          )
          
            q
          
        
        =
        
          {
          
            
              J
              
                k
              
            
            f
            ∈
            
              J
              
                p
              
              
                k
              
            
            (
            
              
                
                  R
                
              
              
                n
              
            
            ,
            
              
                
                  R
                
              
              
                m
              
            
            )
            
              |
            
            f
            (
            p
            )
            =
            q
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})_{q}=\left\{J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})|f(p)=q\right\}}
  


两个流形间的函数的射流 若M和N是两个光滑流形，我们如何定义函数
  
    
      
        f
        :
        M
        →
        N
      
    
    {\displaystyle f:M\rightarrow N}
  
的射流?也许可以通过M和N上的局部坐标来定义。这个方法的缺点是流形不能在这种方式下以等变的形式来定义。射流不像张量那样变换。实际上，两个流形间的函数的射流属于一个射流丛。
本节先引入从实直线到流形的函数的射流的概念。然后，证明这样的射流构成一个纤维丛，和切丛类似，它也是一个射流丛的一个伴随丛。接下来，讨论定义两个光滑流形间的函数的射流的问题。在整节中，我们全部采用分析方法。虽然代数几何方法在很多应用中更合适，因其过于微妙不便于在此系统论述。细节请参看射流 (代数几何)。


= 从实直线到流形的函数的射流 =
假设M为一个光滑流形，p为其中一点。我们来定义穿过p的曲线的射流，我们所指的曲线也即使得f(0)=p的光滑函数
  
    
      
        f
        :
        
          
            R
          
        
        →
        M
      
    
    {\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow M}
  
。定义一个等价关系
  
    
      
        
          E
          
            p
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{p}^{k}}
  
如下。令f和g为一对穿过p的曲线。我们称f和g在p为k阶等价，如果存在p的某个邻域U，使得对于每个光滑函数
  
    
      
        φ
        :
        U
        →
        
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi :U\rightarrow {\mathbb {R} }}
  
, 
  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        φ
        ∘
        f
        )
        =
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        φ
        ∘
        g
        )
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \circ g)}
  
。注意，这些射流是定义良好的，因为复合函数
  
    
      
        φ
        ∘
        f
      
    
    {\displaystyle \varphi \circ f}
  
和
  
    
      
        φ
        ∘
        g
      
    
    {\displaystyle \varphi \circ g}
  
只是从实直线到自身的映射而已。该等价关系有时称为在点p的曲线的k阶相切。
现在我们定义k阶射流空间
  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            R
          
        
        ,
        M
        
          )
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
  
为在
  
    
      
        
          E
          
            p
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{p}^{k}}
  
关系下穿过p的曲线构成的等价类。曲线f穿过p的k阶射流定义为f所属的等价类，记为
  
    
      
        
          J
          
            k
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle J^{k}f}
  
 or 
  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}f}
  
。
这构成了一个实向量空间。随着p在M中变化，
  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            R
          
        
        ,
        M
        
          )
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
  
构成了M上的一个纤维丛:k阶切丛，经常记为TkM （虽然这个记号有时会导致混淆）。在k=1时，一阶切丛就是通常的切丛：T1M=TM。
要证明TkM实际上构成一个纤维丛，我们需要查看一下
  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            R
          
        
        ,
        M
        
          )
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
  
在局部坐标中的属性。令(xi)= (x1,...,xn)为M在p的邻域U中的一个局部坐标系。稍微滥用记号一下，我们可以视(xi)为一个局部微分同胚
  
    
      
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        :
        M
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
  
。
断言：穿过p的两条曲线f和g以
  
    
      
        
          E
          
            p
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{p}^{k}}
  
为模等价，当且仅当
  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        
          (
          
            (
            
              x
              
                i
              
            
            )
            ∘
            f
          
          )
        
        =
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        
          (
          
            (
            
              x
              
                i
              
            
            )
            ∘
            g
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\right)}
  
在p的某个邻域
  
    
      
        U
        ⊂
        V
      
    
    {\displaystyle U\subset V}
  
上成立。

显然，仅当这部分很清楚，因为这n的函数x1,...,xn的每一个都是从M到
  
    
      
        
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {R} }}
  
的光滑函数。所以按照等价关系
  
    
      
        
          E
          
            p
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{p}^{k}}
  
的定义，两个等价曲线必须满足
  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        ∘
        f
        )
        =
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        ∘
        g
        )
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)}
  
。
反过来，假设φ是一个M上在p的一个邻域内的光滑实值函数。因为每个光滑函数有一个局部坐标表达式，我们可以将φ表达为坐标的函数。精确地讲，假设Q是M中接近 p的一点，则

  
    
      
        φ
        (
        Q
        )
        =
        ψ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        (
        Q
        )
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        (
        Q
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (Q)=\psi (x_{1}(Q),\dots ,x_{n}(Q))}
  

对于某个n个实变量的光滑实值函数ψ成立。因此，对于穿过p的曲线f和g，我们有

  
    
      
        φ
        ∘
        f
        =
        ψ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ∘
        f
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ∘
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi \circ f=\psi (x_{1}\circ f,\dots ,x_{n}\circ f)}
  

  
    
      
        φ
        ∘
        g
        =
        ψ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ∘
        g
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ∘
        g
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi \circ g=\psi (x_{1}\circ g,\dots ,x_{n}\circ g)}
  

从链式法则即可得到断言中当的部分。例如，若f和g是实变量t的函数，则

  
    
      
        
          
            
            
              
                
                  d
                  
                    d
                    t
                  
                
              
              
                (
                
                  ψ
                  ∘
                  f
                
                )
              
              (
              t
              )
            
            |
          
          
            t
            =
            0
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
            
              
                
                  d
                  
                    d
                    t
                  
                
              
              (
              
                x
                
                  i
                
              
              ∘
              f
              )
              (
              t
              )
            
            |
          
          
            t
            =
            0
          
        
         
        (
        
          D
          
            i
          
        
        ψ
        )
        ∘
        f
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\left(\psi \circ f\right)(t)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x_{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_{i}\psi )\circ f(0)}
  

这和同样的表达式中用g代替f计算有相同的值，因为f(0)=g(0)=p并且f和g在坐标系(xi)中k阶相切。
因此，这个表面上的纤维丛TkM确实有每个坐标邻域中的局部平凡化。至此，要证明这个表面上的纤维丛是真正的纤维丛，只需证明它在坐标变换下有非奇异的变换函数。令
  
    
      
        (
        
          y
          
            i
          
        
        )
        :
        M
        →
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}
  
为一个不同的坐标系，并令
  
    
      
        ρ
        =
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        ∘
        (
        
          y
          
            i
          
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        :
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}
  
为相伴随的从欧氏空间到自身的坐标变换微分同胚。通过
  
    
      
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
  
的仿射变换，我们可以不失一般性地假设ρ(0)=0。在该假设下，只要证明
  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        ρ
        :
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        )
        →
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              R
            
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}\rho :J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\rightarrow J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})}
  
是射流复合下的可逆变换即可。（参看射流群。）但是由于ρ是微分同胚，
  
    
      
        
          ρ
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho ^{-1}}
  
也是光滑映射。因而，

  
    
      
        I
        =
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        I
        =
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        ρ
        ∘
        
          ρ
          
            −
            1
          
        
        )
        =
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        ρ
        )
        ∘
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        
          ρ
          
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})}
  

这表明
  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        ρ
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}\rho }
  
是非奇异的。而且，它是光滑的，虽然我们这里并不需要利用这一点。
直观的来讲，这意味着我们可以用M上的局部坐标中的泰勒级数来表达一个曲线的射流。
局部坐标中的例子：

如前所示，通过p的一条曲线的1阶射流就是一个切向量。在p的一个切向量就是一个一阶微分算子，它作用于p点的光滑实值函数。在局部坐标中，每个切向量有如下形式

  
    
      
        v
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          v
          
            i
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
  

给定这样的一个切向量v，令f为在坐标系xi中用
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        ∘
        f
        (
        t
        )
        =
        t
        
          v
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{i}\circ f(t)=tv^{i}}
  
给定的曲线。若φ是p的一个邻域中的光滑函数，且φ(p)=0，则

  
    
      
        φ
        ∘
        f
        :
        
          
            R
          
        
        →
        
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi \circ f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}
  

是一个光滑实值单变量函数，其1阶射流如下

  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            1
          
        
        (
        φ
        ∘
        f
        )
        (
        t
        )
        =
        t
        
          v
          
            i
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=tv^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)}
  
.
这表明，可以自然地将切向量和过该点的曲线的1阶射流等同起来。
过一点的曲线的二阶射流。
在以点p为中心的局部坐标系xi中，我们可以将曲线f(t)的二阶泰勒多项式表达如下

  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        (
        t
        )
        =
        t
        
          
            
              d
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        (
        0
        )
        +
        
          
            
              t
              
                2
              
            
            2
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x^{i}(t)=t{\frac {dx^{i}}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}.}
  

所以在这个x坐标系中，过p的曲线的2阶射流可以等同为一个实数的列表
  
    
      
        (
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        ,
        
          
            
              
                x
                ¨
              
            
          
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{i})}
  
。和且向量（曲线的1阶射流）一样，2阶射流在坐标变换函数作用下的某种变化法则。
令(yi)为另一坐标系。按链式法则，

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          y
          
            i
          
        
        (
        x
        (
        t
        )
        )
        =
        
          
            
              ∂
              
                y
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        (
        x
        (
        t
        )
        )
        
          
            
              d
              
                x
                
                  j
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y^{i}(x(t))={\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(x(t)){\frac {dx^{j}}{dt}}(t)}
  

  
    
      
        
          
            
              d
              
                2
              
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          y
          
            i
          
        
        (
        x
        (
        t
        )
        )
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                y
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
              ∂
              
                x
                
                  k
                
              
            
          
        
        (
        x
        (
        t
        )
        )
        
          
            
              d
              
                x
                
                  j
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        (
        t
        )
        
          
            
              d
              
                x
                
                  k
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        (
        t
        )
        +
        
          
            
              ∂
              
                y
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        (
        x
        (
        t
        )
        )
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  j
                
              
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(x(t))={\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(x(t)){\frac {dx^{j}}{dt}}(t){\frac {dx^{k}}{dt}}(t)+{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(x(t)){\frac {d^{2}x^{j}}{dt^{2}}}(t)}
  

因此，变换通过在t=0计算如下两个表达式给出。

  
    
      
        
          
            
              
                y
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                y
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        (
        0
        )
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {y}}^{i}={\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                y
                ¨
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                y
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
              ∂
              
                x
                
                  k
                
              
            
          
        
        (
        0
        )
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            j
          
        
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            k
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                y
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        (
        0
        )
        
          
            
              
                x
                ¨
              
            
          
          
            k
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\ddot {y}}^{i}={\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{k}.}
  

注意，二阶射流的变化法则在坐标变换函数中是二阶的。


= 从流形到流形的函数的射流 =
现在可以定义从流形到流形的函数的射流了。
设M和N为两个光滑流形。令p为M一点。考虑由定义在p的某个邻域中的光滑映射
  
    
      
        f
        :
        M
        →
        N
      
    
    {\displaystyle f:M\rightarrow N}
  
组成的空间
  
    
      
        
          C
          
            p
          
          
            ∞
          
        
        (
        M
        ,
        N
        )
      
    
    {\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}
  
。在
  
    
      
        
          C
          
            p
          
          
            ∞
          
        
        (
        M
        ,
        N
        )
      
    
    {\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}
  
上定义一个等价关系
  
    
      
        
          E
          
            p
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{p}^{k}}
  
如下。两个映射f和g称为等价的，若对于每条穿过p的曲线γ（按此处常规，这表示一个使得
  
    
      
        γ
        (
        0
        )
        =
        p
      
    
    {\displaystyle \gamma (0)=p}
  
的映射
  
    
      
        γ
        :
        
          
            R
          
        
        →
        M
      
    
    {\displaystyle \gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M}
  
，）我们在p的某个领域上有
  
    
      
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        f
        ∘
        γ
        )
        =
        
          J
          
            0
          
          
            k
          
        
        (
        g
        ∘
        γ
        )
      
    
    {\displaystyle J_{0}^{k}(f\circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )}
  
。

  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        M
        ,
        N
        )
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}
  
的射流空间则定义为
  
    
      
        
          C
          
            p
          
          
            ∞
          
        
        (
        M
        ,
        N
        )
      
    
    {\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}
  
以等价关系
  
    
      
        
          E
          
            p
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{p}^{k}}
  
为模的等价类的集合。注意，因为目标空间N不需要有代数结构，
  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        M
        ,
        N
        )
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}
  
也可以没有这样的结构。也就是说，这和欧氏空间的情形实际上形成鲜明的对比。
若
  
    
      
        f
        :
        M
        →
        N
      
    
    {\displaystyle f:M\rightarrow N}
  
是定义在p附近的光滑函数，则我们定义f在p的k阶射流
  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}f}
  
为f以
  
    
      
        
          E
          
            p
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{p}^{k}}
  
为模所属的等价类。


截面的射流 本节讨论向量丛的局部截面的射流的概念。所有本节的内容可以在做适当的改动后推广到纤维丛、巴拿赫流形上的巴拿赫丛、纤维化流形、或者概形上的准一致层的局部截面的情况。而且，这些例子只是可以作的推广的一部分而已。
设E为流形M上的有限维光滑向量丛，其投影为
  
    
      
        π
        :
        E
        →
        M
      
    
    {\displaystyle \pi :E\rightarrow M}
  
。则E的截面为满足
  
    
      
        π
        ∘
        s
      
    
    {\displaystyle \pi \circ s}
  
为M上的恒等自同构的光滑函数
  
    
      
        s
        :
        M
        →
        E
      
    
    {\displaystyle s:M\rightarrow E}
  
。截面s在p的一个邻域上的射流就是从M到E的光滑函数在点p的射流。
这些在点p的射流的空间记为
  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        M
        ,
        E
        )
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}
  
。虽然这个记法可能会和更一般的两个流形间的函数的射流空间造成混淆，上下文通常可以消除这种歧义。
和从流形到另一流形的函数的射流不同，在p的截面的射流有继承自截面本身的向量空间结构的向量空间结构。随着p在M上变化，射流空间
  
    
      
        
          J
          
            p
          
          
            k
          
        
        (
        M
        ,
        E
        )
      
    
    {\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}
  
形成一个M上的丛，也就是E的k阶射流丛，记为Jk(E)。

例：切丛的一阶射流丛。
我们采用一点的局部坐标。考虑一个向量场

  
    
      
        v
        =
        
          v
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        ∂
        
          /
        
        ∂
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle v=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i}}
  

在M中点p的一个邻域。v的一阶射流可以通过取向量场的系数的一阶泰勒多项式得到：

  
    
      
        
          v
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          v
          
            i
          
        
        (
        0
        )
        +
        
          x
          
            j
          
        
        
          
            
              ∂
              
                v
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        (
        0
        )
        =
        
          v
          
            i
          
        
        +
        
          v
          
            j
          
          
            i
          
        
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle v^{i}(x)=v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}^{i}x^{j}}
  

在这个x坐标中，在一点的1阶射流可以和实数的列表
  
    
      
        (
        
          v
          
            i
          
        
        ,
        
          v
          
            j
          
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}
  
等同起来。这和将一点的切向量和列表(vi)等同起来是一样的。在特定的坐标变换的变换法则之下，我们必须知道该变换如何影响这个列表
  
    
      
        (
        
          v
          
            i
          
        
        ,
        
          v
          
            j
          
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}
  
。
因此我们考虑变换到另一个坐标系yi时所需的变化。令wk为向量场v在y坐标中的表示。则在y坐标系中，v的一阶射流是新的实数列表
  
    
      
        (
        
          w
          
            i
          
        
        ,
        
          w
          
            j
          
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (w^{i},w_{j}^{i})}
  
。因为

  
    
      
        v
        =
        
          w
          
            k
          
        
        (
        y
        )
        ∂
        
          /
        
        ∂
        
          y
          
            k
          
        
        =
        
          v
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        ∂
        
          /
        
        ∂
        
          x
          
            i
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle v=w^{k}(y)\partial /\partial y^{k}=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i},}
  

我们有

  
    
      
        
          w
          
            k
          
        
        (
        y
        )
        =
        
          v
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        
          
            
              ∂
              
                y
                
                  k
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x).}
  

所以

  
    
      
        
          w
          
            k
          
        
        (
        0
        )
        +
        
          y
          
            j
          
        
        
          
            
              ∂
              
                w
                
                  k
                
              
            
            
              ∂
              
                y
                
                  j
                
              
            
          
        
        (
        0
        )
        =
        
          (
          
            
              v
              
                i
              
            
            (
            0
            )
            +
            
              x
              
                j
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              ∂
              
                y
                
                  k
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle w^{k}(0)+y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)}
  

用泰勒级数展开，我们有

  
    
      
        
          w
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                y
                
                  k
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        0
        )
        
          v
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w^{k}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(0)v^{i}}
  

  
    
      
        
          w
          
            j
          
          
            k
          
        
        =
        
          v
          
            i
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                y
                
                  k
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        +
        
          v
          
            j
          
          
            i
          
        
        
          
            
              ∂
              
                y
                
                  k
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle w_{j}^{k}=v^{i}{\frac {\partial ^{2}y^{k}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}+v_{j}^{i}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}.}
  

注意变换法则在坐标变换函数中也是二阶的。


= 向量丛之间的微分算子 =
参看微分算子#坐标无关表述。


参看 射流丛


参考 Ehresmann, C., "Introduction a la theorie des structures infinitesimales et des pseudo-groupes de mathcal{L}."  Geometrie Differentielle, Colloq. Inter. du Centre Nat. de la Recherche Scientifique, Strasbourg, 1953, 97-127.
Kolar(, I., Michor, P., Slovak, J., Natural operations in differential geometry. （页面存档备份，存于互联网档案馆）  Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993.  ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
Bocharov, A.V. [et al.], "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
Olver, P.J., "Equivalence, Invariants and Symmetry", Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1