Trong toan hoc, mot hinh elip la mot đuong cong phang xung quanh hai tieu điem, sao cho voi moi điem tren đuong cong, tong khoang cach đen hai tieu điem la hang so. Hinh tron la truong hop đac biet cua đuong elip khi hai tieu điem trung nhau. Đo det cua hinh elip đuoc bieu dien bang tam sai e cua no, chay tu e = 0 (truong hop cua đuong tron) đen e = 1 (đo det vo han, khong con la elip ma la mot parabol).
Phuong trinh chinh tac cua mot elip voi tam la goc toa đo va chieu dai 2a va chieu rong 2b la:

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
  

Gia su a ≥ b, cac tieu điem co toa đo (±c, 0) voi 
  
    
      
        c
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            −
            
              b
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
  
. Phuong trinh tham so cua elip la:

  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        (
        a
        cos
        ⁡
        (
        t
        )
        ,
        b
        sin
        ⁡
        (
        t
        )
        )
        
        
        0
        ≤
        t
        ≤
        2
        π
        .
      
    
    {\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\qquad \quad 0\leq t\leq 2\pi .}
  

Elip la mot loai đuong conic đong: mot đuong cong phang bao quanh mat cat cua mot hinh non voi mot mat phang nghieng (xem hinh ben). Elip co nhieu điem tuong đong voi hai đuong conic khac la parabol va hyperbol, ca hai đeu ho va khong co gioi han. Mot mat cat nghieng cua mot hinh tru tron cung co hinh elip.
Mot hinh elip cung co the đuoc đinh nghia chi voi mot tieu điem va mot đuong thang nam ngoai elip goi la đuong chuan: elip la quy tich cac điem co ti so khoang cach toi tieu điem va đuong chuan la hang so. Hang so ti le nay chinh la tam sai cua elip đuoc tao thanh:

  
    
      
        e
        =
        
          
            c
            a
          
        
        =
        
          
            1
            −
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
  
.
Hinh elip rat thong dung trong vat ly, thien van va ky thuat. Vi du, quy đao cua moi hanh tinh trong he Mat Troi gan giong mot hinh elip voi Mat Troi la mot tieu điem (chinh xac, tieu điem la tam ti cu cua cap Mat Troi – hanh tinh). Quy đao cua mat trang xoay quanh hanh tinh va tat ca ca he hai thien the khac đeu nhu the. Hinh dang cua cac hanh tinh va sao thuong đuoc mo ta bang hinh ellipsoid. Mot hinh tron nhin tu mot goc nghieng trong giong mot hinh elip, tuc hinh elip la anh cua hinh tron qua mot phep chieu song song hay vuong goc. Hinh elip cung la dang đuong cong Lissajous đon gian nhat, voi chuyen đong theo chieu ngang va doc la cac đuong hinh sin voi cung tan so. Hien tuong tuong tu dan đen phan cuc elip cua anh sang trong quang hoc.


Tu nguyen Ten goi "elip" (tieng Anh: ellipse), xuat phat tu tieng Hy Lap co đai: ελλειψις (elleipsis, "thieu"), đuoc đua ra boi Apollonius xu Perga trong quyen Conics cua ong.


Đinh nghia quy tich Mot đuong elip co the đuoc xac đinh la tap hop hay quy tich cac điem tren mat phang Euclid:

Voi hai điem co đinh F1, F2 goi la tieu điem va mot khoang cach 2a lon hon khoang cach giua hai tieu điem, đuong elip la quy tich cac điem P sao cho tong cac khoang cach | PF1 |, | PF2 | bang 2a. Tuc la

  
    
      
        E
        =
        
          {
          
            P
            ∈
            
              
                R
              
              
                2
              
            
            :
            
            
              |
            
            P
            
              F
              
                1
              
            
            
              |
            
            +
            
              |
            
            P
            
              F
              
                2
              
            
            
              |
            
            =
            2
            a
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}:\,|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a\right\}.}
  

Trung điem C cua đoan thang noi hai tieu điem goi la tam cua elip. Đuong thang noi hai tieu điem la truc lon, va đuong vuong goc voi no đi qua tam la truc be. Cac truc cua hinh elip cat elip tai bon điem, goi la cac đinh cua elip. Đo dai đoan thang F1F2 = 2c đuoc goi la tieu cu, va c la ban tieu cu. Ti so e = c / a đuoc goi la đo lech tam hay tam sai.
Truong hop F1 ≡ F2 cho ta mot đuong tron, truong hop đac biet cua elip.
Phuong trinh | PF1 | + | PF2 | = 2a co the đuoc xem theo cach khac:

Neu c2 la đuong tron voi tam la F2 va ban kinh 2a thi quy tich cac điem P co khoang cach đen đuong tron c2 bang khoang cach đen tieu điem F1 tao thanh mot đuong elip:

  
    
      
        E
        =
        
          {
          
            P
            ∈
            
              
                R
              
              
                2
              
            
            :
            
            
              |
            
            P
            
              F
              
                1
              
            
            
              |
            
            =
            
              |
            
            P
            
              c
              
                2
              
            
            
              |
            
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}:\,|PF_{1}|=|Pc_{2}|\right\}.}
  

Đuong tron c2 goi la đuong tron chuan (voi tam la tieu điem F2) cua elip. Ngoai ra, con mot đinh nghia thuong dung cua elip su dung đuong chuan đuoc neu o duoi.
Su dung mat cau Dandelin, ta co the chung minh bat ki mat cat nghieng cua mot hinh non la mot hinh elip, voi đieu kien mat phang cat khong đi qua đinh va co đo doc be hon đo doc đuong sinh cua mat non.


He toa đo Descartes = Phuong trinh chinh tac =
Trong suot phan con lai cua bai, (E) la elip trong he toa đo Descartes voi tam tai goc toa đo, truc lon la truc x va

tieu điem la F1 = (c, 0), F2 = (−c, 0),
cac đinh la V1 = (a, 0), V2 = (−a, 0),
trong đo a > c.
Voi mot điem co toa đo (x, y) nam tren elip (E), ban kinh qua tieu điem (c, 0) la 
  
    
      
        
          
            (
            x
            −
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
  
 va ban kinh qua tieu điem con lai la 
  
    
      
        
          
            (
            x
            +
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}
  
. Do điem (x, y) nam tren elip nen

  
    
      
        
          
            (
            x
            −
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            (
            x
            +
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        =
        2
        a
        .
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a.}
  

Bien đoi thich hop va đat an phu b2 = a2 − c2 cho ta phuong trinh chinh tac cua elip (E):

Giai tim y, ta đuoc

  
    
      
        y
        =
        ±
        
          
            b
            a
          
        
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        =
        ±
        
          
            
              (
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
              )
            
            
              (
              
                1
                −
                
                  e
                  
                    2
                  
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}
  

Chieu rong va chieu cao a, b đuoc goi la ban truc lon va ban truc be cua elip. Ban kinh qua tieu điem trai va phai cua (x, y) lan luot la a + ex va a − ex.
Tu phuong trinh nay de thay hinh elip đoi xung qua cac truc toa đo va qua goc toa đo.

Chung minh phuong trinh chinh tac
Tu phuong trinh tong khoang cach

  
    
      
        
          
            (
            x
            −
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            (
            x
            +
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        =
        2
        a
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a}
  

Chuyen ve mot dau can roi binh phuong hai ve, ta đuoc

  
    
      
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        4
        
          a
          
            2
          
        
        +
        (
        x
        +
        c
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        
          
            (
            x
            +
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x+c)^{2}+y^{2}-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}
  

Rut gon phuong trinh tren cho ta

  
    
      
        
          
            
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                +
                c
                x
              
              
                
                =
                a
                
                  
                    (
                    x
                    +
                    c
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    (
                    
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      c
                      x
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  [
                  
                    (
                    x
                    +
                    c
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                  ]
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+cx&=a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\\\left(a^{2}+cx\right)^{2}&=a^{2}\left[(x+c)^{2}+y^{2}\right]\\\end{aligned}}}
  

Rut gon phuong trinh tren va sap xep lai cac hang tu, ta đuoc:

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        )
        =
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        )
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}(a^{2}-c^{2})=(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}}
  

Đat b2 = a2 − c2 roi chia ca hai ve cua phuong trinh tren cho ta (ab)2, ta đuoc phuong trinh chinh tac cua elip.


 Ban truc lon va be  Trong suot bai viet nay, a se la ban truc lon con b la ban truc be, tuc a ≥ b > 0. Trong dang chinh tac cua elip (1), neu a < b thi elip se dai chu khong det.


 Ban tieu cu  Ban tieu cu c la khoang cach tu mot tieu điem đen tam elip: 
  
    
      
        c
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            −
            
              b
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
  
.


 Đo lech tam  Đo lech tam hay tam sai e la

  
    
      
        e
        =
        
          
            c
            a
          
        
        =
        
          
            1
            −
            
              
                (
                
                  
                    b
                    a
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}}
  
,
voi đieu kien a > b. Mot elip voi hai truc bang nhau (a = b) co tam sai bang 0, va la mot đuong tron. Mot elip voi truc be bang 0 co tam sai bang 1, va la mot parabol.


 Ban truc ben  Đo dai cua day cung qua mot tieu điem va vuong goc voi truc lon đuoc goi la truc ben (tieng Anh: latus rectum). Mot nua đo dai đo la ban truc ben, thuong đuoc ky hieu la ℓ va bang

  
    
      
        ℓ
        =
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            a
          
        
        =
        a
        
          (
          
            1
            −
            
              e
              
                2
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}
  

Ban truc ben ℓ bang ban kinh cong cua đuong tron mat tiep elip tai cac đinh tren truc lon.


= Tiep tuyen =
Mot đuong thang d tuy y cat elip tai 2 điem goi la cat tuyen, tai 1 điem la tiep tuyen. Tiep tuyen cua elip (E) tai điem (x1, y1) co phuong trinh toa đo la:

  
    
      
        
          
            
              x
              
                1
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        x
        +
        
          
            
              y
              
                1
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        y
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}
  

Phuong trinh tham so cua tiep tuyen nay la:

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  −
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  t
                
              
              
                
                  y
                  =
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  t
                
              
            
            
          
        
        
        (
        t
        ∈
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{1}-y_{1}a^{2}t\\y=y_{1}+x_{1}b^{2}t\end{cases}}\,(t\in \mathbb {R} )}
  

Hoac viet theo dang vecto thi:

  
    
      
        
          
            
              d
              →
            
          
        
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
        +
        t
        (
        −
        
          y
          
            1
          
        
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\vec {d}}=(x_{1},y_{1})+t(-y_{1}a^{2},x_{1}b^{2}).}
  

Neu hai điem tren elip (x1, y1) va (x2, y2) thoa 
  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              
                x
                
                  2
                
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                v
              
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\textstyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}
  
, thi chung nam tren hai đuong kinh lien hop (xem o duoi). Neu a = b, elip la hinh tron va "lien hop" o đay la "vuong goc".

Chung minh
Xet điem (x1, y1) nam tren elip (E) va 
  
    
      
        
          
            
              d
              →
            
          
        
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
        +
        t
        (
        u
        ,
        v
        )
      
    
    {\textstyle {\vec {d}}=(x_{1},y_{1})+t(u,v)}
  
 la phuong trinh đuong thang g bat ky đi qua (x1, y1). Nhu vay mot điem P nam tren đuong thang g co toa đo (x1 + tu, y1 + tv).
Gia su điem P cung nam tren elip (E). Thay toa đo cua P vao phuong trinh chinh tac cua elip (1), ta đuoc

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        (
                        
                          
                            x
                            
                              1
                            
                          
                          +
                          t
                          u
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      
                        (
                        
                          
                            y
                            
                              1
                            
                          
                          +
                          t
                          v
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              
                
                =
                1
              
            
            
              
                ⇒
                2
                t
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            x
                            
                              1
                            
                          
                          u
                        
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            y
                            
                              1
                            
                          
                          v
                        
                        
                          b
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  t
                  
                    2
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          u
                          
                            2
                          
                        
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          v
                          
                            2
                          
                        
                        
                          b
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                =
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\left(x_{1}+tu\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+tv\right)^{2}}{b^{2}}}&=1\\\Rightarrow 2t\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+t^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)&=0\end{aligned}}}
  

Đen đay ta co hai truong hop:

  
    
      
        
          
            
              x
              
                1
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        u
        +
        
          
            
              y
              
                1
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        v
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}
  
 Tuc t = 0, hay P chinh la (x1, y1). Noi cach khac, đuong thang g chi cat elip tai mot điem duy nhat la (x1, y1), tuc g la tiep tuyen tai đo. Vecto phap tuyen cua g la 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ,
                  
                    
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      
                        b
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}},{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}
  
, do đo phuong trinh tiep tuyen la 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                1
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        x
        +
        
          
            
              
                y
                
                  1
                
              
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        y
        =
        k
      
    
    {\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}
  
 voi mot so k nao đo. Vi (x1, y1) nam tren tiep tuyen đo, the vao ta đuoc k = 1.

  
    
      
        
          
            
              x
              
                1
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        u
        +
        
          
            
              y
              
                1
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        v
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}
  
 Khi ay đuong thang g cat elip tai hai điem, tuong ung voi 
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
  
 va 
  
    
      
        t
        =
        −
        2
        
          (
          
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  u
                
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  v
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle t=-2\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)^{-1}.}
  
 Tuc g la cat tuyen qua elip (E).


= Tam khac goc toa đo =
Neu elip chuan tren co tam tai (x0, y0) thi phuong trinh chinh tac cua no la:

  
    
      
        
          
            
              
                (
                
                  x
                  −
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                (
                
                  y
                  −
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}
  

Cac truc cua elip van song song voi truc x va y.


= Elip tong quat =

Trong hinh hoc giai tich, hinh elip la mot mat bac hai: tap hop cac điem 
  
    
      
        (
        X
        ,
        
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\,Y)}
  
 tren mat phang Descartes thoa man phuong trinh an

voi đieu kien 
  
    
      
        
          B
          
            2
          
        
        −
        4
        A
        C
        <
        0.
      
    
    {\displaystyle B^{2}-4AC<0.}
  

Đe phan biet voi truong hop suy bien, đat ∆ la đinh thuc

  
    
      
        Δ
        =
        
          
            |
            
              
                
                  A
                
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  B
                
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  D
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  B
                
                
                  C
                
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  E
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  D
                
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  E
                
                
                  F
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          (
          
            A
            C
            −
            
              
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                4
              
            
          
          )
        
        F
        +
        
          
            
              B
              E
              D
            
            4
          
        
        −
        
          
            
              C
              
                D
                
                  2
                
              
            
            4
          
        
        −
        
          
            
              A
              
                E
                
                  2
                
              
            
            4
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=\left(AC-{\frac {B^{2}}{4}}\right)F+{\frac {BED}{4}}-{\frac {CD^{2}}{4}}-{\frac {AE^{2}}{4}}.}
  

Khi ay hinh elip la mot elip thuc (tuc (2) co nghiem thuc) khong suy bien khi va chi khi C∆ < 0. Neu C∆ > 0, phuong trinh khong co nghiem thuc, va neu ∆ = 0, elip suy bien thanh mot điem.
Neu mot elip co ban truc lon a, ban truc be b, toa đo cua tam la (x0, y0), va goc quay ϕ (goc giua truc x duong đen ban truc lon cua elip) thi he so cua phuong trinh (2) la:

  
    
      
        
          
            
              
                A
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                (
                sin
                ⁡
                ϕ
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                (
                cos
                ⁡
                ϕ
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                B
              
              
                
                =
                
                  (
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                sin
                ⁡
                2
                ϕ
              
            
            
              
                C
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                (
                cos
                ⁡
                ϕ
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                (
                sin
                ⁡
                ϕ
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                D
              
              
                
                =
                −
                2
                A
                
                  x
                  
                    0
                  
                
                −
                B
                
                  y
                  
                    0
                  
                
              
            
            
              
                E
              
              
                
                =
                −
                B
                
                  x
                  
                    0
                  
                
                −
                2
                C
                
                  y
                  
                    0
                  
                
              
            
            
              
                F
              
              
                
                =
                A
                
                  x
                  
                    0
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                B
                
                  x
                  
                    0
                  
                
                
                  y
                  
                    0
                  
                
                +
                C
                
                  y
                  
                    0
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}(\sin \phi )^{2}+b^{2}(\cos \phi )^{2}\\B&=\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin 2\phi \\C&=a^{2}(\cos \phi )^{2}+b^{2}(\sin \phi )^{2}\\D&=-2Ax_{0}-By_{0}\\E&=-Bx_{0}-2Cy_{0}\\F&=Ax_{0}^{2}+Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}
  

Nhung bieu thuc nay co the suy ra tu phuong trinh chinh tac 
  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                y
                
                  2
                
              
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
  
 bang phep bien đoi afin cua toa đo:

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                 
                
                  (
                  
                    X
                    −
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                  
                  )
                
                cos
                ⁡
                ϕ
                +
                
                  (
                  
                    Y
                    −
                    
                      y
                      
                        0
                      
                    
                  
                  )
                
                sin
                ⁡
                ϕ
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                −
                
                  (
                  
                    X
                    −
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                  
                  )
                
                sin
                ⁡
                ϕ
                +
                
                  (
                  
                    Y
                    −
                    
                      y
                      
                        0
                      
                    
                  
                  )
                
                cos
                ⁡
                ϕ
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\ \left(X-x_{0}\right)\cos \phi +\left(Y-y_{0}\right)\sin \phi \\y&=-\left(X-x_{0}\right)\sin \phi +\left(Y-y_{0}\right)\cos \phi .\end{aligned}}}
  

Nguoc lai, tu phuong trinh tong quat (2) ta co the suy ra phuong trinh chinh tac nhu sau:

  
    
      
        
          
            
              
                a
                ,
                b
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      −
                      
                        
                          −
                          2
                          Δ
                          
                            (
                            
                              
                                (
                                
                                  A
                                  +
                                  C
                                
                                )
                              
                              ±
                              
                                
                                  (
                                  A
                                  −
                                  C
                                  
                                    )
                                    
                                      2
                                    
                                  
                                  +
                                  
                                    B
                                    
                                      2
                                    
                                  
                                
                              
                            
                            )
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        B
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      4
                      A
                      C
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    0
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                      C
                      D
                      −
                      B
                      E
                    
                    
                      
                        B
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      4
                      A
                      C
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  y
                  
                    0
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                      A
                      E
                      −
                      B
                      D
                    
                    
                      
                        B
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      4
                      A
                      C
                    
                  
                
              
            
            
              
                ϕ
              
              
                
                =
                
                  
                    {
                    
                      
                        
                          arctan
                          ⁡
                          
                            (
                            
                              
                                
                                  
                                    1
                                    B
                                  
                                
                              
                              
                                (
                                
                                  C
                                  −
                                  A
                                  −
                                  
                                    
                                      
                                        
                                          (
                                          
                                            A
                                            −
                                            C
                                          
                                          )
                                        
                                        
                                          2
                                        
                                      
                                      +
                                      
                                        B
                                        
                                          2
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                                )
                              
                            
                            )
                          
                        
                        
                          
                          B
                          =
                          0
                        
                      
                      
                        
                          0
                        
                        
                          
                          B
                          =
                          0
                          ,
                           
                          A
                          <
                          C
                        
                      
                      
                        
                          
                            90
                            
                              ∘
                            
                          
                        
                        
                          
                          B
                          =
                          0
                          ,
                           
                          A
                          >
                          C
                        
                      
                    
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {-2\Delta \left(\left(A+C\right)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}\right)}}}{B^{2}-4AC}}\\x_{0}&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}\\[3pt]y_{0}&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}\\[3pt]\phi &={\begin{cases}\arctan \left({\dfrac {1}{B}}\left(C-A-{\sqrt {\left(A-C\right)^{2}+B^{2}}}\right)\right)&\quad B\neq 0\\0&\quad B=0,\ A<C\\90^{\circ }&\quad B=0,\ A>C\\\end{cases}}\end{aligned}}}
  


Bieu dien tham so = Bieu dien tham so chinh tac =
Su dung cac ham luong giac, bieu dien tham so cua elip chuan 
  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                y
                
                  2
                
              
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
  
 la:

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  a
                  cos
                  ⁡
                  t
                
              
              
                
                  y
                  =
                  b
                  sin
                  ⁡
                  t
                
              
            
            
          
        
        
        0
        ≤
        t
        <
        2
        π
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}\quad 0\leq t<2\pi .}
  

Tham so t (goi la di thuong lech tam trong thien van hoc) khong phai la goc giua điem (x(t), y(t)) voi truc hoanh, ma co y nghia hinh do Philippe de La Hire đua ra (xem Ve elip o duoi).


= Bieu dien huu ti =
Bang phep đoi bien 
  
    
      
        u
        =
        tan
        ⁡
        
          (
          
            
              t
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}
  
, ta đuoc cac bieu thuc huu ti cho cac ham luong giac:

  
    
      
        cos
        ⁡
        t
        =
        
          
            
              1
              −
              
                u
                
                  2
                
              
            
            
              
                u
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
         
        ,
        
        sin
        ⁡
        t
        =
        
          
            
              2
              u
            
            
              
                u
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{u^{2}+1}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{u^{2}+1}}}
  

va phuong trinh tham so huu ti cua hinh elip

  
    
      
        
          
            
              
                x
                (
                u
                )
              
              
                
                =
                a
                
                  
                    
                      1
                      −
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              
                y
                (
                u
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                      b
                      u
                    
                    
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      1
                    
                  
                
              
            
          
        
        
        ,
        
        u
        ∈
        
          R
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x(u)&=a{\frac {1-u^{2}}{u^{2}+1}}\\y(u)&={\frac {2bu}{u^{2}+1}}\end{aligned}}\;,\quad u\in \mathbb {R} .}
  

Phuong trinh tren cho ta tat ca cac điem tren elip chinh tac 
  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                y
                
                  2
                
              
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
  
 ngoai tru đinh trai (−a, 0).
Voi 
  
    
      
        u
        ∈
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle u\in [0,1]}
  
, cong thuc nay bieu dien goc phan tu thu nhat (phan tren ben phai) cua hinh elip, đi nguoc chieu kim đong ho khi u tang dan. Đinh ben trai (−a, 0) la gioi han 
  
    
      
        
          lim
          
            u
            →
            ±
            ∞
          
        
        (
        x
        (
        u
        )
        ,
        
        y
        (
        u
        )
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u)).}
  

Dang huu ti cua cac đuong conic thuong đuoc dung trong cac phan mem CAD (xem đuong cong Bezier).


= Đo doc tiep tuyen lam tham so =
Mot bieu dien tham so khac su dung đo doc m cua tiep tuyen tai điem (a cos t, b sin t). Đo doc nay co the đuoc tinh tu đao ham cua phuong trinh tham so o tren. Cu the la:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      d
                      y
                    
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      d
                      y
                      
                        /
                      
                      d
                      t
                    
                    
                      d
                      x
                      
                        /
                      
                      d
                      t
                    
                  
                
                =
                
                  
                    
                      b
                      cos
                      ⁡
                      t
                    
                    
                      −
                      a
                      sin
                      ⁡
                      t
                    
                  
                
              
            
            
              
                ⇒
                m
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    b
                    a
                  
                
                cot
                ⁡
                t
                ⇒
                cot
                ⁡
                t
                =
                −
                
                  
                    
                      m
                      a
                    
                    b
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {dy/dt}{dx/dt}}={\frac {b\cos t}{-a\sin t}}\\\Rightarrow m&=-{\frac {b}{a}}\cot t\Rightarrow \cot t=-{\frac {ma}{b}}\end{aligned}}}
  

Su dung cac đang thuc luong giac ta tinh đuoc:

  
    
      
        cos
        ⁡
        t
        =
        
          
            
              cot
              ⁡
              t
            
            
              ±
              
                
                  1
                  +
                  
                    cot
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  t
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              −
              m
              a
            
            
              ±
              
                
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
         
        ,
        
        sin
        ⁡
        t
        =
        
          
            1
            
              ±
              
                
                  1
                  +
                  
                    cot
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  t
                
              
            
          
        
        =
        
          
            b
            
              ±
              
                
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}
  

Thay cac bieu thuc tren cho cos t va sin t trong dang tham so chuan o tren, ta đuoc:

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  
                    
                      
                        
                          −
                          m
                          
                            a
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          ±
                          
                            
                              
                                m
                                
                                  2
                                
                              
                              
                                a
                                
                                  2
                                
                              
                              +
                              
                                b
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  y
                  =
                  
                    
                      
                        
                          b
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ±
                          
                            
                              
                                m
                                
                                  2
                                
                              
                              
                                a
                                
                                  2
                                
                              
                              +
                              
                                b
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
          
        
        
        m
        ∈
        
          R
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {-ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\\y={\dfrac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\end{cases}}\qquad m\in \mathbb {R} .}
  

O đay m la đo doc cua tiep tuyen tai điem tren elip. Khi dau truoc can thuc o duoi mau la duong, điem (x, y) thuoc nua tren cua elip, nguoc lai neu dau am thi điem đo thuoc nua duoi cua elip. Hai đinh trai phai (±a, 0) khong đuoc bieu dien do co tiep tuyen thang đung (đo doc la vo cung).
Phuong trinh tiep tuyen tai điem (x(m), y(m)) co dang y = mx + n. He so tu do n co the đuoc xac đinh bang cach thay toa đo cua điem tren elip tuong ung, cho ta:

  
    
      
        y
        =
        m
        x
        ±
        
          
            
              m
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\;.}
  

Phuong trinh tiep tuyen nay co the đuoc dung đe xac đinh phuong khuy cua hinh elip.


= Elip tong quat =

Mot đinh nghia khac cho elip su dung bien đoi afin la:

Mot elip bat ky la anh cua mot phep bien đoi afin cua đuong tron đon vi voi phuong trinh 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
  
.
Bieu dien tham so
Mot phep bien đoi afin cua mat phang Euclid co dang 
  
    
      
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        ↦
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            0
          
        
        +
        A
        
          
            
              x
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}
  
, trong đo A la mot ma tran (voi đinh thuc khac khong) va 
  
    
      
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}
  
 la mot vecto bat ky. Neu 
  
    
      
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}
  
 la cac vecto cot cua ma tran A, đuong tron đon vi (cos(t), sin(t)), trong đo 0 ≤ t ≤ 2π, bien thanh hinh elip:

O đay 
  
    
      
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}
  
 la tam va 
  
    
      
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            1
          
        
        ,
        
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}
  
 la huong cua cua hai đuong kinh lien hop, khong nhat thiet phai vuong goc.

Đinh
Bon đinh cua elip la 
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        
          (
          
            
              t
              
                0
              
            
            +
            k
            
              
                
                  π
                  2
                
              
            
          
          )
        
        ,
        
        k
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}\left(t_{0}+k{\tfrac {\pi }{2}}\right),\,k=0,1,2,3}
  
, trong đo tham so t0 la nghiem cua:

  
    
      
        cot
        ⁡
        (
        2
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    f
                    →
                  
                
              
              
                
                
                  1
                
                
                  
                  2
                
              
              −
              
                
                  
                    f
                    →
                  
                
              
              
                
                
                  2
                
                
                  
                  2
                
              
            
            
              2
              
                
                  
                    f
                    →
                  
                
              
              
                
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                
                  
                    f
                    →
                  
                
              
              
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}
  

(Neu 
  
    
      
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}
  
, thi t0 = 0.) Phuong trinh tren đuoc suy ra nhu sau. Vecto tiep tuyen tai điem 
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}(t)}
  
 is:

  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        
          
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        −
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            1
          
        
        sin
        ⁡
        t
        +
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        t
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}
  

Tai đinh cua voi tham so t = t0, tiep tuyen voi elip vuong goc voi ban truc lon/be, do đo:

  
    
      
        0
        =
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        
          
          ′
        
        (
        t
        )
        ⋅
        
          (
          
            
              
                
                  p
                  →
                
              
            
            (
            t
            )
            −
            
              
                
                  f
                  →
                
              
            
            
              
              
                0
              
            
          
          )
        
        =
        
          (
          
            −
            
              
                
                  f
                  →
                
              
            
            
              
              
                1
              
            
            sin
            ⁡
            t
            +
            
              
                
                  f
                  →
                
              
            
            
              
              
                2
              
            
            cos
            ⁡
            t
          
          )
        
        ⋅
        
          (
          
            
              
                
                  f
                  →
                
              
            
            
              
              
                1
              
            
            cos
            ⁡
            t
            +
            
              
                
                  f
                  →
                
              
            
            
              
              
                2
              
            
            sin
            ⁡
            t
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle 0={\vec {p}}\,'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}
  

Khai trien va su dung cac đang thuc luong giac cos2 t − sin2 t = cos 2t, 2sin t cos t = sin 2t cho ta phuong trinh tren.

Phuong trinh an
Giai phuong trinh tham so cho cos t, sin t su dung quy tac Cramer va đe y rang cos2 t + sin2 t = 1, ta đuoc phuong trinh an

  
    
      
        det
        (
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        
        −
        
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            0
          
        
        ,
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        det
        (
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        
        −
        
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            0
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        −
        det
        (
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}+\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})^{2}=0}
  
.
Elip trong khong gian
Đinh nghia cua elip tong quat trong phan nay cho ta bieu dien tham so cua mot elip bat ky, tham chi trong khong gian ba chieu, neu ta cho 
  
    
      
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            0
          
        
        ,
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}
  
 la cac vecto trong khong gian.


Dang cuc = Dang cuc đoi voi tam =

Trong he toa đo cuc, voi goc toa đo la tam cua elip va voi toa đo goc θ tinh tu ban truc lon, phuong trinh elip la

  
    
      
        r
        (
        θ
        )
        =
        
          
            
              a
              b
            
            
              (
              b
              cos
              ⁡
              θ
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              (
              a
              sin
              ⁡
              θ
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            b
            
              1
              −
              (
              e
              cos
              ⁡
              θ
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}
  


= Dang cuc đoi voi tieu điem =

Neu ta dung toa đo cuc voi goc đat tai mot trong hai tieu điem, va toa đo goc θ tinh tu ban truc lon, phuong trinh cua elip khi ay la

  
    
      
        r
        (
        θ
        )
        =
        
          
            
              a
              (
              1
              −
              
                e
                
                  2
                
              
              )
            
            
              1
              ±
              e
              cos
              ⁡
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}
  

trong đo dau o mau la am neu chieu cua θ = 0 chi ve tam elip, va duong neu chieu đo chi ra xa tam elip.
Trong truong hop tong quat hon, voi elip co mot tieu điem o goc toa đo va tieu điem con lai o toa đo goc la φ, phuong trinh dang cuc la:

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              a
              (
              1
              −
              
                e
                
                  2
                
              
              )
            
            
              1
              −
              e
              cos
              ⁡
              (
              θ
              −
              ϕ
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1-e\cos(\theta -\phi )}}.}
  

Goc θ trong nhung cong thuc nay đuoc goi la di thuong thuc cua điem đang xet. Tu so ℓ = a(1 − e2) la ban truc ben.


Tam sai va đuong chuan Hai đuong thang song song va cach ban truc be mot đoan bang d = a2 / c = a / e, đuoc goi la đuong chuan cua elip.

Voi điem P bat ky tren elip, ti so khoang cach đen mot tieu điem va khoang cach đen đuong chuan tuong ung bang tam sai cua elip:

  
    
      
        
          
            
              |
              
                P
                
                  F
                  
                    1
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                P
                
                  l
                  
                    1
                  
                
              
              |
            
          
        
        =
        
          
            
              |
              
                P
                
                  F
                  
                    2
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                P
                
                  l
                  
                    2
                  
                
              
              |
            
          
        
        =
        e
        =
        
          
            c
            a
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}
  

Ta co the chung minh cho truong hop cap F1, l1. Đe y rang 
  
    
      
        
          
            |
            
              P
              
                F
                
                  1
                
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        =
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        ,
         
        
          
            |
            
              P
              
                l
                
                  1
                
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              x
              −
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    c
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}
  
 va 
  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}
  
 thoa man phuong trinh

  
    
      
        
          
            |
            
              P
              
                F
                
                  1
                
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        
          
            |
            
              P
              
                l
                
                  1
                
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        =
        0
         
        .
      
    
    {\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\ .}
  

Đieu nguoc lai cung đung va thuong đuoc dung đe đinh nghia elip su dung đuong chuan (giong voi đinh nghia cua mot parabol:

Voi tieu điem F va đuong chuan l khong đi qua F bat ky, va so thuc e sao cho 0 < e < 1, mot elip la quy tich cac điem sao cho ti so khoang cach tu điem đo đen tieu điem va đen đuong chuan la e. Tuc la 
  
    
      
        E
        =
        
          {
          
            P
            
            :
            
            
              |
            
            P
            F
            
              |
            
            
              /
            
            
              |
            
            P
            l
            
              |
            
            =
            e
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle E=\left\{P\,:\,|PF|/|Pl|=e\right\}.}
  

Trong truong hop e = 0, la tam sai cua đuong tron, ta co the coi đuong chuan cua đuong tron nam o vo han. Neu e = 1, quy tich tao thanh mot hinh parabol, va neu e > 1, mot hinh hyperbol.)

Chung minh
Gia su F = (f, 0) va đuong chuan l co phuong trinh x = −f / e, e > 0. Khi ay goc toa đo (0, 0) nam tren đuong cong tao thanh. Gia su điem P = (x, y) thoa man | PF |2 = e2 | Pl |2. Bien đoi, ta đuoc phuong trinh:

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              e
              
                2
              
            
            −
            1
          
          )
        
        +
        2
        x
        (
        1
        +
        e
        )
        f
        −
        
          y
          
            2
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2x(1+e)f-y^{2}=0.}
  

Đay la phuong trinh cua mot elip neu e < 1, mot parabol neu e = 1, hoac mot hyperbol neu e > 1. Ca ba conic khong suy bien nay đeu co mot đinh la goc toa đo.
Trong truong hop e < 1, lay hai so a, b sao cho 1 − e2 = (b / a)2 va p = b2 / a. Phuong trinh o tren tro thanh

  
    
      
        
          
            
              (
              x
              −
              a
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}
  

Đay chinh la phuong trinh cua elip voi tam (a, 0), truc chinh la truc hoanh va ban truc lon va be lan luot la a, b.


= Elip tong quat =
Neu tieu điem F = (f1, f2) va đuong chuan co phuong trinh ax + by + c = 0, ta co phuong trinh cua elip la:

  
    
      
        
          
            (
            
              x
              −
              
                f
                
                  1
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              y
              −
              
                f
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          e
          
            2
          
        
        
          
            
              
                (
                
                  a
                  x
                  +
                  b
                  y
                  +
                  c
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ax+by+c\right)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\ .}
  


Tinh chat phan chieu Mot elip co tinh chat sau:

Voi điem P thuoc elip, phap tuyen voi elip tai điem P chia đoi goc 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  F
                  
                    1
                  
                
                P
                
                  F
                  
                    2
                  
                
              
              ^
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\widehat {F_{1}PF_{2}}}.}
  
 (Phap tuyen trong truong hop nay la đuong vuong goc voi tiep tuyen tai điem đo)
Chung minh
Ta se chung minh đieu tuong đuong la tiep tuyen la đuong phan giac ngoai cua tam giac PF1F2.
Lay điem L tren tia F2P sao cho LF2 = 2a, voi a la ban truc lon cua elip. Goi đuong thang w la phan giac ngoai đinh P cua tam giac PF1F2. Đe chung minh w la tiep tuyen tai điem P, lay điem Q khac P nam tren w, ta se chung minh Q khong thuoc elip. Khi ay đuong thang w chi cat elip tai mot điem la P, nen no la tiep tuyen voi elip tai P.
Tu hinh ve ben, ap dung bat đang thuc tam giac ta thay 
  
    
      
        2
        a
        =
        
          |
          
            L
            
              F
              
                2
              
            
          
          |
        
        <
        
          |
          
            Q
            
              F
              
                2
              
            
          
          |
        
        +
        
          |
          
            Q
            L
          
          |
        
        =
        
          |
          
            Q
            
              F
              
                2
              
            
          
          |
        
        +
        
          |
          
            Q
            
              F
              
                1
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<\left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|=\left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|}
  
, do đo: 
  
    
      
        
          |
          
            Q
            
              F
              
                2
              
            
          
          |
        
        +
        
          |
          
            Q
            
              F
              
                1
              
            
          
          |
        
        >
        2
        a
        .
      
    
    {\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|>2a.}
  
 Nhung neu Q nam tren elip thi tong đo phai bang 2a. Nhu vay Q khong thuoc elip, ta co đieu phai chung minh.

Ung dung
Cac tia tu mot tieu điem bi phan chieu boi elip đen tieu điem thu hai, dan đen ung dung quang va am thanh tuong tu voi tinh chat phan chieu cua mot parabol (xem phong thi tham).


Đuong kinh lien hop Mot đuong tron co tinh chat sau:

Trung điem cua cac day cung song song thi nam tren mot đuong kinh.
Đuong kinh đo vuong goc voi cac day cung song song. Qua mot phep bien đoi afin, tinh song song va trung điem cua cac đoan thang đuoc giu nguyen, nen tinh chat nay van đung voi hinh elip. Tuy nhien khi ay đuong kinh va cac day cung song song khong vuong goc voi nhau. Đuong kinh lien hop cua elip tong quat hoa đuong kinh vuong goc trong đuong tron.

Đinh nghia

Hai đuong kinh d1, d2 cua mot elip goi la lien hop neu trung điem cac day cung song song voi d1 nam tren d2.
Tu hinh ve ta thay:

Hai đuong kinh P1Q1, P2Q2 cua mot elip la lien hop voi nhau khi va chi khi tiep tuyen tai P1 (hoac Q1 song song voi P2Q2.
Trong phuong trinh tham so cho elip tong quat (3) o tren:

  
    
      
        
          
            
              x
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            0
          
        
        +
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        t
        +
        
          
            
              f
              →
            
          
        
        
          
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        t
        ,
      
    
    {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}
  

bat ky hai điem 
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        (
        t
        )
        ,
         
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        (
        t
        +
        π
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}
  
 tao thanh mot đuong kinh, va cap 
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        
          (
          
            t
            +
            
              
                
                  π
                  2
                
              
            
          
          )
        
        ,
         
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        
          (
          
            t
            −
            
              
                
                  π
                  2
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}
  
 tao thanh đuong kinh lien hop voi no.


= Đinh ly Apollonius ve đuong kinh lien hop =

Cho elip voi hai ban truc a, b. Gia su c1, c2 la hai ban kinh lien hop cua elip, tuc mot nua cua duong kinh lien hop. Khi ay ta co:

  
    
      
        
          c
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}
  
,
hinh binh hanh tao boi cac tiep tuyen voi cac đuong kinh lien hop đa cho co dien tich A = 4ab.
Đang thuc đau tien đuoc goi la đinh ly thu nhat cua Apollonius ve đuong kinh lien hop, con cong thuc dien tich la đinh ly Apollonius thu hai.

Chung minh

Gia su elip o dang chuan (tam o goc toa đo, hai ban truc la hai truc hoanh va tung), voi phuong trinh tham so:

  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        (
        t
        )
        =
        (
        a
        cos
        ⁡
        t
        ,
        
        b
        sin
        ⁡
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)}
  
.
Hai điem 
  
    
      
        
          
            
              
                c
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        (
        t
        )
        ,
         
        
          
            
              
                c
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        
          (
          
            t
            +
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}
  
 la hai đuong kinh lien hop (xem phan tren). Tu cong thuc luong giac ta co 
  
    
      
        
          
            
              
                c
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        (
        −
        a
        sin
        ⁡
        t
        ,
        
        b
        cos
        ⁡
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)}
  
. Bien đoi đai so ta de chung minh:

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  
                    c
                    →
                  
                
              
              
                1
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            |
            
              
                
                  
                    c
                    →
                  
                
              
              
                2
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\ .}
  

Dien tich cua tam giac tao boi 
  
    
      
        
          
            
              
                c
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
        
          
            
              
                c
                →
              
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}
  
 va day cung noi hai điem la:

  
    
      
        
          A
          
            Δ
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        det
        
          (
          
            
              
                
                  
                    c
                    →
                  
                
              
              
                1
              
            
            ,
            
            
              
                
                  
                    c
                    →
                  
                
              
              
                2
              
            
          
          )
        
        =
        ⋯
        =
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
      
    
    {\displaystyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\frac {1}{2}}ab}
  

Tu hinh ve ta thay dien tich hinh binh hanh ngoai tiep elip bang 8 lan dien tich tam giac đo, suy ra dien tich hinh binh hanh la 4ab.


Tinh chat đo luong Tat ca tinh chat sau ap dung cho elip voi phuong trinh 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
  


= Dien tich =
Dien tich 
  
    
      
        
          A
          
            elip
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{\text{elip}}}
  
 cua elip la:

  
    
      
        
          A
          
            elip
          
        
        =
        π
        a
        b
      
    
    {\displaystyle A_{\text{elip}}=\pi ab}
  

Trong đo a va b la đo dai cac ban truc lon va be cua elip. Cong thuc nay kha tu nhien: bat đau tu đuong tron co ban kinh b va dien tich πb2 va keo dai no voi ti so 
  
    
      
        a
        
          /
        
        b
      
    
    {\displaystyle a/b}
  
 đe tao thanh elip. Viec keo dai nay lam tang dien tich len ti so bang nhau: 
  
    
      
        π
        
          b
          
            2
          
        
        (
        a
        
          /
        
        b
        )
        =
        π
        a
        b
        .
      
    
    {\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}
  
 Ta cung co the chung minh chat che tinh chat nay bang tich phan nhu sau.
Phuong trinh (1) co the đuoc viet lai thanh 
  
    
      
        y
        (
        x
        )
        =
        b
        
          
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}},}
  
 voi 
  
    
      
        x
        ∈
        [
        −
        a
        ,
        a
        ]
        ,
      
    
    {\displaystyle x\in [-a,a],}
  
 đuong cong nay lanua tren cua elip. Vay dien tich elip bang hai lan tich phan cua y(x) tren đoan [−a, a]:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                  
                    elip
                  
                
              
              
                
                =
                2
                
                  ∫
                  
                    −
                    a
                  
                  
                    a
                  
                
                b
                
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                d
                x
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    b
                    a
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    a
                  
                  
                    a
                  
                
                2
                
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                d
                x
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{elip}}&=2\int _{-a}^{a}b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}
  

Tich phan thu hai la dien tich cua đuong tron voi ban kinh a, bang πa2. Do đo

  
    
      
        
          A
          
            ellipse
          
        
        =
        
          
            b
            a
          
        
        π
        
          a
          
            2
          
        
        =
        π
        a
        b
        .
      
    
    {\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}
  

Mot elip voi phuong trinh 
  
    
      
        A
        
          x
          
            2
          
        
        +
        B
        x
        y
        +
        C
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}
  
 co dien tich 
  
    
      
        2
        π
        
          /
        
        
          
            4
            A
            C
            −
            
              B
              
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle 2\pi /{\sqrt {4AC-B^{2}}}.}
  


= Chu vi =

Chu vi C cua mot elip la:

  
    
      
        C
        
        =
        
        4
        a
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            1
            −
            
              e
              
                2
              
            
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            θ
          
        
         
        d
        θ
        
        =
        
        4
        a
        
        E
        (
        e
        )
      
    
    {\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}
  

trong đo a la đo dai cua ban truc lon, 
  
    
      
        e
        =
        
          
            1
            −
            
              b
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}
  
 la tam sai cua elip, va ham so E la tich phan elliptic đay đu loai II,

  
    
      
        E
        (
        e
        )
        
        =
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            1
            −
            
              e
              
                2
              
            
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            θ
          
        
         
        d
        θ
        .
      
    
    {\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta .}
  

Chuoi vo han cua cong thuc nay la:

  
    
      
        
          
            
              
                C
              
              
                
                =
                2
                π
                a
                
                  [
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        (
                        
                          
                            1
                            2
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      e
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              1
                              ⋅
                              3
                            
                            
                              2
                              ⋅
                              4
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        
                          e
                          
                            4
                          
                        
                        3
                      
                    
                    −
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              1
                              ⋅
                              3
                              ⋅
                              5
                            
                            
                              2
                              ⋅
                              4
                              ⋅
                              6
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        
                          e
                          
                            6
                          
                        
                        5
                      
                    
                    −
                    ⋯
                  
                  ]
                
              
            
            
              
              
                
                =
                2
                π
                a
                
                  [
                  
                    1
                    −
                    
                      ∑
                      
                        n
                        =
                        1
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              (
                              2
                              n
                              −
                              1
                              )
                              !
                              !
                            
                            
                              (
                              2
                              n
                              )
                              !
                              !
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        
                          e
                          
                            2
                            n
                          
                        
                        
                          2
                          n
                          −
                          1
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left[{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots }\right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right],\end{aligned}}}
  

trong đo n!! la giai thua đoi. Chuoi nay hoi tu, nhung bang cach đat h = (a − b)2 / (a + b)2, James Ivory va Bessel cho mot cong thuc khac hoi tu nhanh hon nhieu:

  
    
      
        
          
            
              
                C
              
              
                
                =
                π
                (
                a
                +
                b
                )
                
                  [
                  
                    1
                    +
                    
                      ∑
                      
                        n
                        =
                        1
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              (
                              2
                              n
                              −
                              1
                              )
                              !
                              !
                            
                            
                              
                                2
                                
                                  n
                                
                              
                              n
                              !
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        
                          h
                          
                            n
                          
                        
                        
                          (
                          2
                          n
                          −
                          1
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
                .
              
            
            
              
              
                
                =
                π
                (
                a
                +
                b
                )
                
                  [
                  
                    1
                    +
                    
                      
                        h
                        4
                      
                    
                    +
                    
                      ∑
                      
                        n
                        =
                        2
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              (
                              2
                              n
                              −
                              3
                              )
                              !
                              !
                            
                            
                              
                                2
                                
                                  n
                                
                              
                              n
                              !
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    
                      h
                      
                        n
                      
                    
                  
                  ]
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}C&=\pi (a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}{\frac {h^{n}}{(2n-1)^{2}}}\right].\\&=\pi (a+b)\left[1+{\frac {h}{4}}+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\right].\end{aligned}}}
  

Srinivasa Ramanujan đua ra hai xap xi cho chu vi trong phan §16 cua "Modular Equations and Approximations to π":

  
    
      
        C
        ≈
        π
        
          (
          
            3
            (
            a
            +
            b
            )
            −
            
              
                (
                3
                a
                +
                b
                )
                (
                a
                +
                3
                b
                )
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle C\approx \pi \left(3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right),}
  

va

  
    
      
        C
        ≈
        π
        
          (
          
            a
            +
            b
          
          )
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                
                  3
                  h
                
                
                  10
                  +
                  
                    
                      4
                      −
                      3
                      h
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right).}
  

Sai so cua nhung xap xi nay lan luot co bac cua h3 va h5.
Mot so bat đang thuc ve chu vi cua elip chuan x2 / a2 + y2 / b2 = 1 voi a ≥ b la

  
    
      
        
          
            
              
                2
                π
                b
              
              
                
                ≤
                C
                ≤
                2
                π
                a
                ,
              
            
            
              
                π
                (
                a
                +
                b
                )
              
              
                
                ≤
                C
                ≤
                4
                (
                a
                +
                b
                )
                ,
              
            
            
              
                4
                
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              
                
                ≤
                C
                ≤
                
                  
                    2
                  
                
                π
                
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}2\pi b&\leq C\leq 2\pi a,\\\pi (a+b)&\leq C\leq 4(a+b),\\4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}&\leq C\leq {\sqrt {2}}\pi {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\end{aligned}}}
  

O đay chan tren 2πa la chu vi cua đuong tron ngoai tiep đi qua hai đinh cua truc lon elip, va chan duoi 
  
    
      
        4
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
  
 la chu vi cua mot hinh thoi noi bon đinh cua elip.


= Đo cong =
Đo cong cua elip la

  
    
      
        κ
        =
        
          
            1
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  
                    b
                    
                      4
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            −
            3
            
              /
            
            2
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{-3/2}\ ,}
  

Ban kinh cong tai điem (x, y):

  
    
      
        ρ
        =
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  
                    b
                    
                      4
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            3
            
              /
            
            2
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                a
                
                  4
                
              
              
                b
                
                  4
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                (
                
                  
                    a
                    
                      4
                    
                  
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      4
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
              
                3
              
            
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \rho =a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{3/2}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}\right)^{3}}}\ .}
  

Ban kinh cong tai hai đinh (±a, 0) va tam cong la:

  
    
      
        
          ρ
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            a
          
        
        =
        p
         
        ,
        
        
          (
          
            ±
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                a
              
            
            
            
              
                |
              
            
            
            0
          
          )
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \rho _{0}={\frac {b^{2}}{a}}=p\ ,\qquad \left(\pm {\frac {c^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,0\right)\ .}
  

Ban kinh cong tai hai đinh (0, ±b) va tam cong la:

  
    
      
        
          ρ
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            b
          
        
         
        ,
        
        
          (
          
            0
            
            
              
                |
              
            
            
            ±
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                b
              
            
          
          )
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \rho _{1}={\frac {a^{2}}{b}}\ ,\qquad \left(0\,{\bigg |}\,\pm {\frac {c^{2}}{b}}\right)\ .}
  


Xem them Hinh bau duc
Hinh bau duc Descartes, mot dang tong quat elip
Cac đinh luat Kepler ve chuyen đong thien the
Conic ngoai tiep va noi tiep
He toa đo elip, mot he toa đo vuong goc dua tren hinh elip va hyperbol
Phuong trinh vi phan rieng phan elip
Phong cau, hinh ellipsoid nhan đuoc bang cach xoay mot elip quanh truc lon hoac be
Sieu elip, mot dang tong quat khac cua elip
Di thuong đung, di thuong tam sai, va di thuong trung binh


Chu thich Tham khao Besant, W.H. (1907). "Chapter III. The Ellipse". Conic Sections. London: George Bell and Sons. tr. 50.
Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry (an ban thu 2). New York: Wiley. tr. 115–9.
Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-63415-9
Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (an ban thu 3). Scott Foresman/Little. tr. 381. ISBN 978-0-673-38638-0.
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (an ban thu 2), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042{{Chu thich}}:  Quan ly CS1: nhieu ten: danh sach tac gia (lien ket)


Lien ket ngoai Ellipse (mathematics) tai Encyclopædia Britannica (tieng Anh)
Ellipse tai trang PlanetMath.org.
Weisstein, Eric W., "Ellipse" tu MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Ellipse as special case of hypotrochoid" tu MathWorld.
Apollonius' Derivation of the Ellipse at Convergence
The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. by Clark Kimberling
Ellipse circumference calculator
Collection of animated ellipse demonstrations
Ivanov, A.B. (2001), "Ellipse", trong Hazewinkel, Michiel (bien tap), Bach khoa toan thu Toan hoc, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4