So nguyen to la so tu nhien lon hon 1 khong phai la tich cua hai so tu nhien nho hon chinh no. Noi cach khac, so nguyen to la nhung so chi co đung hai uoc so la 1 va chinh no. Cac so tu nhien lon hon 1 khong phai la so nguyen to đuoc goi la hop so. Chang han, 5 la so nguyen to boi vi cach duy nhat đe viet no duoi dang mot tich, 1 × 5 hoac 5 × 1, co mot thua so la chinh so 5. Tuy nhien, 6 la hop so vi no la tich cua hai so (2 × 3) ma ca hai so đeu nho hon 6. So nguyen to la noi dung trong tam trong ly thuyet so theo đinh ly co ban cua so hoc: moi so tu nhien lon hon 1 hoac la so nguyen to hoac co the đuoc phan tich ra thua so nguyen to mot cach duy nhat xe xich mot phep hoan vi.
Tinh chat nguyen to cua mot so đuoc goi la tinh nguyen to. Mot phuong phap đon gian đe kiem tra tinh nguyen to cua mot so 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, đuoc goi la giai thuat chia thu, kiem tra xem 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 co phai la boi so cua bat ky so nguyen nao giua 2 va 
  
    
      
        
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}}
  
 hay khong. Mot so thuat toan khac bao gom phep kiem tra Miller–Rabin, tuy nhanh nhung co xac suat nho cho ket qua sai va phep kiem tra tinh nguyen to AKS, von luon cho loi giai đung trong khoang thoi gian đa thuc nhung qua cham đe ap dung trong thuc te. Ngoai ra, con co mot so thuat toan nhanh danh cho cac so co dang đac biet, chang han nhu so nguyen to Mersenne. Đen nay, so nguyen to lon nhat đa biet la mot so nguyen to Mersenne co 41.024.320 chu so, đuoc kham pha vao thang 10 nam 2024.
Co vo so so nguyen to, nhu đa đuoc Euclid chung minh vao khoang nam 300 TCN. Hau nhu khong co cong thuc đon gian nao đe phan biet so nguyen to va hop so. Tuy nhien, su phan phoi cac so nguyen to trong tap hop cac so tu nhien co trong mot khoang gia tri lon co the đuoc mo hinh hoa theo thong ke. Ket qua đau tien theo huong đo la đinh ly so nguyen to, đuoc chung minh vao cuoi the ky 19, cho rang xac suat đe mot so bat ky la so nguyen to ti le nghich voi so chu so cua no, nghia la voi logarit cua no.
Mot so bai toan lich su lien quan đen so nguyen to van chua co loi giai. Chung bao gom gia thuyet Goldbach, cho rang moi so nguyen chan lon hon 2 co the đuoc bieu dien thanh tong cua hai so nguyen to, va phong đoan ve so nguyen to sinh đoi, cho rang co vo so cap so nguyen to chi co mot so chan giua chung. Nhung bai toan nhu the đa gop phan thuc đay su phat trien cua nhieu nhanh trong ly thuyet so tap trung vao khia canh đai so va giai tich cua cac so. So nguyen to cung co ung dung trong mot so linh vuc cua cong nghe thong tin, chang han nhu mat ma hoa khoa cong khai, dua vao su phuc tap trong viec phan tich cac so nguyen lon ra thua so nguyen to. Trong đai so truu tuong, con co mot so đoi tuong khac co đac điem va tinh chat giong voi so nguyen to, trong đo gom phan tu nguyen to va i-đe-an nguyen to.


Đinh nghia va vi du Mot so tu nhien (1, 2, 3, 4, 5, 6,...) đuoc goi la so nguyen to neu no lon hon 1 va khong the đuoc bieu dien thanh tich cua hai so tu nhien nho hon khac 1. Cac so lon hon 1 khong phai la so nguyen to đuoc goi la hop so. Noi cach khac, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la so nguyen to neu 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 vat khong the chia đeu thanh nhieu nhom nho gom nhieu hon mot vat, hoac 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 dau cham khong the đuoc sap xep thanh mot hinh chu nhat co chieu dai va chieu rong nhieu hon mot dau cham. Chang han, trong cac so tu 1 đen 6, so 2, 3 va 5 la so nguyen to vi khong co so nao khac co the chia het đuoc chung (so du bang 0). 1 khong phai la so nguyen to vi no đa đuoc loai tru ra khoi đinh nghia. 4 = 2 × 2 va 6 = 2 × 3 đeu la hop so.

Uoc so cua mot so tu nhien 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la cac so tu nhien co the chia het đuoc 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Moi so tu nhien đeu co it nhat hai uoc so la 1 va chinh no. Neu no con co them mot uoc so khac thi no khong the la so nguyen to. Tu y tuong đo ma ta co mot đinh nghia khac ve so nguyen to: đo la nhung so chi co đung hai uoc so duong la 1 va chinh no. Ngoai ra, con co mot cach dien đat khac nua: 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la so nguyen to neu no lon hon 1 va khong co so nao trong cac so 
  
    
      
        2
        ,
        3
        ,
        …
        ,
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}
  
 co the chia het đuoc no.
25 so nguyen to đau tien (tat ca cac so nguyen to nho hon 100) la:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (day so A000040 trong bang OEIS).
Khong co so chan 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 lon hon 2 nao la so nguyen to vi mot so chan bat ky co the đuoc bieu dien thanh 
  
    
      
        2
        ×
        
          
            n
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2\times {\frac {n}{2}}}
  
. Do đo, so 2 la so nguyen to chan duy nhat; tat ca so nguyen to ngoai so 2 la so le va đuoc goi la so nguyen to le. Tuong tu, khi đuoc viet trong he thap phan, tat ca so nguyen to lon hon 5 đeu co tan cung la 1, 3, 7 hoac 9. Cac so co tan cung la chu so khac đeu la hop so: so co tan cung la 0, 2, 4, 6 hoac 8 la so chan, va so co tan cung la 0 hoac 5 thi chia het cho 5.
Tap hop cac so nguyen to đuoc ky hieu la 
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} }
  
 (chu P viet hoa, in đam) hoac 
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
 (chu P viet hoa, in đam bang đen).


Lich su Cuon giay Rhind (tu khoang nam 1550 truoc Cong nguyen) co chua cac khai trien phan so Ai Cap theo nhieu dang khac nhau cho so nguyen to va hop so. Tuy nhien, cac cong trinh nghien cuu cu the ve so nguyen to đuoc luu lai som nhat đen tu toan hoc Hy Lap co đai. Bo Co so cua Euclid (khoang 300 TCN) co phan chung minh su ton tai vo so so nguyen to va đinh ly co ban cua so hoc, đong thoi neu cach tao ra mot so hoan thien tu so nguyen to Mersenne. Mot phat minh khac tu Hy Lap la sang Eratosthenes van con đuoc dung đe lap danh sach cac so nguyen to.
Khoang nam 1000, nha toan hoc Hoi giao Ibn al-Haytham (Alhazen) tim ra đinh ly Wilson, xac đinh so nguyen to la cac so 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 chia het 
  
    
      
        (
        n
        −
        1
        )
        !
        +
        1
      
    
    {\displaystyle (n-1)!+1}
  
. Ong cung phong đoan rang tat ca so hoan thien chan đeu co the đuoc tao ra tu so Mersenne theo cach xay dung cua Euclid, nhung khong chung minh đuoc. Mot nha toan hoc Hoi giao khac, Ibn al-Banna' al-Marrakushi tim ra rang sang Eratosthenes co the đuoc đay nhanh khi chi kiem tra cac uoc so lon đen can bac hai cua so lon nhat đuoc kiem tra. Fibonacci sau đo đa mang nhung y tuong moi nay tu toan hoc Hoi giao ve chau Au. Cuon Liber Abaci (1202) cua ong la cuon sach đau tien mo ta phep chia thu đe kiem tra tinh nguyen to chi bang viec kiem tra cac uoc so lon đen can bac hai cua so can kiem tra.
Nam 1640, Pierre de Fermat phat bieu đinh ly nho Fermat (ve sau đuoc Leibniz va Euler chung minh). Fermat cung đa nghien cuu va kiem tra tinh nguyen to cua so Fermat 
  
    
      
        
          2
          
            
              2
              
                n
              
            
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 2^{2^{n}}+1}
  
, va Marin Mersenne nghien cuu so nguyen to Mersenne, so nguyen to co dang 
  
    
      
        
          2
          
            p
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 2^{p}-1}
  
 voi 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 cung la so nguyen to. Trong thu gui Euler nam 1742, Christian Goldbach đa phat bieu gia thuyet Goldbach cho rang moi so chan đeu la tong cua hai so nguyen to. Euler chung minh đuoc gia thuyet cua Alhazen (ve sau goi la đinh ly Euclid–Euler) rang moi so hoan thien chan co the đuoc tao ra tu so nguyen to Mersenne. Ong cung gioi thieu cac phuong phap đuoc ung dung tu giai tich toan hoc trong linh vuc nay khi chung minh su ton tai vo so so nguyen to va tinh phan ky cua tong nghich đao cac so nguyen to 
  
    
      
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        +
        
          
            
              1
              3
            
          
        
        +
        
          
            
              1
              5
            
          
        
        +
        
          
            
              1
              7
            
          
        
        +
        
          
            
              1
              11
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }
  
. Đau the ky 19, Legendre va Gauss đua ra phong đoan rang khi 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 tien ve vo han thi so luong so nguyen to nho hon hoac bang 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 tiem can ve 
  
    
      
        x
        
          /
        
        log
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle x/\log x}
  
 voi 
  
    
      
        log
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \log x}
  
 la logarit tu nhien cua 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
. Mot he qua yeu hon tu ket qua ve mat đo so nguyen to noi tren la đinh đe Bertrand rang voi mot so nguyen 
  
    
      
        n
        >
        1
      
    
    {\displaystyle n>1}
  
 bat ky thi ton tai mot so nguyen to nam giua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 va 
  
    
      
        2
        n
      
    
    {\displaystyle 2n}
  
, đuoc Pafnuty Chebyshev chung minh vao nam 1852. Y tuong cua Bernhard Riemann trong bai bao nam 1859 ve ham zeta cua minh đa gop phan vach ra huong đi đe chung minh phong đoan đo. Mac du mot phong đoan lien quan la gia thuyet Riemann van chua co loi giai, đai cuong cua Riemann đa đuoc hoan thanh vao nam 1896 boi Hadamard va de la Vallee Poussin va ket qua nay hien đuoc biet đen voi ten goi đinh ly so nguyen to. Mot thanh tuu quan trong khac trong the ky 19 la đinh ly Dirichlet ve cap so cong cho rang mot cap so cong nhat đinh chua vo so so nguyen to.
Nhieu nha toan hoc đa nghien cuu cac thuat toan kiem tra tinh nguyen to voi cac so lon hon so voi cac so ma giai thuat chia thu co the ap dung đuoc. Cac thuat toan gioi han ve mot dang so cu the bao gom kiem tra Pepin cho so Fermat (1877), đinh ly Proth (khoang 1878), kiem tra Lucas–Lehmer (1856) va dang tong quat cua no, kiem tra Lucas.
Tu nam 1951, tat ca cac so nguyen to lon nhat đa biet đeu đuoc tim ra thong qua cac thuat toan tren may tinh. Cong cuoc tim ra so nguyen to lon hon the đa gay chu y ngoai pham vi toan hoc voi du an Great Internet Mersenne Prime Search va nhieu du an đien toan phan tan khac. Quan niem rang so nguyen to it đuoc ung dung ngoai toan hoc thuan tuy đa bi xoa bo vao nhung nam 1970 khi mat ma hoa khoa cong khai va ma hoa RSA đuoc phat minh dua tren so nguyen to.
Tam quan trong ngay cang lon cua viec kiem tra tinh nguyen to va phan tich so nguyen to tren may tinh dan đen su phat trien cua nhieu thuat toan khac co the thuc hien đuoc voi cac so rat lon khong thuoc bat ky dang đac biet nao. Ly thuyet toan hoc ve so nguyen to cung tiep tuc phat trien trong thoi ky hien đai voi đinh ly Green–Tao (2004) phat bieu rang ton tai cac cap so cong dai bat ky chi chua so nguyen to, va chung minh cua Yitang Zhang nam 2013 rang ton tai vo so khoang cach so nguyen to voi kich thuoc gioi han.


= Tinh nguyen to cua so 1 =
Đa so nha toan hoc Hy Lap co khong cho rang 1 la mot so nen ho khong the xet đuoc tinh nguyen to cua no. Mot so nha toan hoc thoi điem đo cung cho rang so nguyen to co đuoc tu su chia nho cac so le nen ho khong xem so 2 la so nguyen to. Tuy nhien, Euclid va đa so nha toan hoc Hy Lap co xem 2 la so nguyen to. Cac nha toan hoc Hoi giao cung noi tiep theo Hy Lap, khong cong nhan 1 la mot so. Đen thoi Trung Co va Phuc Hung, cac nha toan hoc bat đau thua nhan 1 la mot so, va mot vai trong so đo cho rang so 1 la so nguyen to đau tien. Giua the ky 18, Christian Goldbach cong nhan so 1 la so nguyen to trong thu gui Leonhard Euler, nhung Euler lai khong thua nhan nhu the. Nhieu nha toan hoc the ky 19 van cho rang 1 la so nguyen to va Derrick Norman Lehmer cung liet ke so 1 trong danh sach so nguyen to nho hon 10 trieu do ong tong hop va xuat ban nam 1914. Cac danh sach so nguyen to co chua so 1 van tiep tuc đuoc xuat ban cho đen nam 1956.
Neu đinh nghia so nguyen to bi thay đoi đe cong nhan 1 la so nguyen to, nhieu đinh ly lien quan đen no se phai đuoc dien đat lai mot cach rac roi. Chang han, đinh ly co ban cua so hoc khi đo se bi sua lai ve mat phan tich thanh cac so nguyen to lon hon 1, vi moi so đeu co vo so cach phan tich ma trong đo so 1 xuat hien voi so lan bat ky. Tuong tu, sang Eratosthenes cung se khong hoat đong đung cach, vi khi đo no loai bo tat ca cac boi cua 1 (tuc la tat ca cac so khac) va cho đau ra chi co duy nhat so 1. Mot so tinh chat cua so nguyen to cung khong đung đoi voi so 1: vi du, cong thuc cua ham phi Euler hoac ham tong cac uoc so khac nhau voi so nguyen to so voi so 1. Đen đau the ky 20, cac nha toan hoc bat đau thua nhan rang so 1 khong nen nam trong danh sach so nguyen to, ma thay vao đo can nam o mot the loai đac biet: "đon vi" trong ly thuyet vanh.


Tinh chat co ban = Su phan tich duy nhat =

Viet mot so thanh tich cua cac so nguyen to đuoc goi la phan tich nguyen to cua so đo. Chang han: 

  
    
      
        
          
            
              
                34866
              
              
                
                =
                2
                ⋅
                3
                ⋅
                3
                ⋅
                13
                ⋅
                149
              
            
            
              
              
                
                =
                2
                ⋅
                
                  3
                  
                    2
                  
                
                ⋅
                13
                ⋅
                149.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}34866&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149.\end{aligned}}}
  

Cac thua so trong tich đuoc goi la thua so nguyen to. Mot thua so nguyen to co the xuat hien nhieu lan, khi đo co the dung luy thua đe gop nhieu thua so giong nhau đo lai thanh mot. Trong vi du tren, so 3 xuat hien hai lan va 
  
    
      
        
          3
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 3^{2}}
  
 la binh phuong hay luy thua bac hai cua 3.
Tam quan trong thiet yeu cua so nguyen to trong ly thuyet so va toan hoc noi chung co đuoc tu đinh ly co ban cua so hoc. Đinh ly nay phat bieu rang bat ky so nguyen nao lon hon 1 đeu co the đuoc viet thanh tich cua mot hoac nhieu so nguyen to. Hon nua, tich đo la duy nhat, vi de thay trong hai phan tich nguyen to cua cung mot so, cac thua so nguyen to luon xuat hien voi so lan bang nhau du thu tu cua chung co the khac nhau. Do đo, mac du co nhieu cach khac nhau đe tim cach phan tich mot so thong qua thuat toan phan tich so nguyen nhung chung đeu phai cho cung mot ket qua. So nguyen to vi vay con đuoc goi la "khoi gach co ban" cua so tu nhien.
Mot so chung minh ve tinh duy nhat cua phan tich nguyen to đuoc dua tren bo đe Euclid: Neu 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 la so nguyen to va 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 chia het mot tich 
  
    
      
        a
        b
      
    
    {\displaystyle ab}
  
 voi 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 la so nguyen thi 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 cung chia het 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 hoac 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 (hoac ca hai). Nguoc lai, neu mot so 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 co tinh chat khi chia het mot tich thi no cung chia het it nhat mot thua so trong tich, thi 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 phai la so nguyen to.


= Su ton tai vo so so nguyen to =

Co vo so so nguyen to. Noi cach khac, day cac so nguyen to

2, 3, 5, 7, 11, 13,...
khong bao gio ket thuc. Phat bieu tren con đuoc goi la đinh ly Euclid theo ten cua nha toan hoc Hy Lap co đai Euclid vi ong la nguoi đau tien chung minh đuoc phat bieu nay. Mot so cach chung minh khac ve su ton tai vo so so nguyen to bao gom mot chung minh bang giai tich cua Euler, chung minh cua Goldbach dua tren so Fermat, chung minh tu to po hoc cua Furstenberg, hay cach chung minh đon gian cua Kummer.
Chung minh cua Euclid cho thay rang mot tap hop huu han cac so nguyen to bat ky la chua hoan thanh. That vay, xet mot tap hop huu han gom cac so nguyen to 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        ,
        
          p
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}
  
. Khi nhan cac so đo voi nhau va cong them 1 thi ta đuoc

  
    
      
        N
        =
        1
        +
        
          p
          
            1
          
        
        ⋅
        
          p
          
            2
          
        
        ⋯
        
          p
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}
  

Theo đinh ly co ban cua so hoc thi 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 co mot phan tich nguyen to

  
    
      
        N
        =
        
          p
          
            1
          
          ′
        
        ⋅
        
          p
          
            2
          
          ′
        
        ⋯
        
          p
          
            m
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}
  

voi mot hoac nhieu thua so nguyen to. 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 co the đuoc chia het boi bat ky thua so nao trong tich tren, nhung lai co phan du bang 1 khi đuoc chia boi bat ky so nguyen to nao trong tap hop đa cho, nen khong co thua so nguyen to nao cua 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 co trong tap hop đo. Vi khong ton tai mot tap hop huu han nao chua tat ca cac so nguyen to nen phai co vo so so nguyen to.
Cac so đuoc tao ra khi cong them 1 vao tich cua cac so nguyen to nho nhat đuoc goi la so Euclid. Nam so Euclid đau tien la so nguyen to, nhung so Euclid thu sau,

  
    
      
        1
        +
        
          
            (
          
        
        2
        ⋅
        3
        ⋅
        5
        ⋅
        7
        ⋅
        11
        ⋅
        13
        
          
            )
          
        
        =
        30031
        =
        59
        ⋅
        509
        ,
      
    
    {\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}
  

la hop so.


= Cong thuc so nguyen to =

Khong co cong thuc so nguyen to hieu qua nao đuoc biet đen. Chang han, khong co đa thuc khac hang so nao, ke ca đa thuc đa bien, chi cho duy nhat cac gia tri nguyen to. Tuy nhien, co mot so bieu thuc co the tao ra cac gia tri nguyen to, nhung hieu qua hoat đong kha thap. Mot cong thuc nhu the đuoc dua tren đinh ly Wilson va co the cho gia tri 2 nhieu lan, cac gia tri nguyen to khac đung mot lan. Mot he phuong trinh Diophantine gom 9 bien va mot tham so cung ton tai voi tinh chat: tham so đo la so nguyen to khi va chi khi he phuong trinh thu đuoc co mot nghiem tren tap hop so tu nhien. Tinh chat đo co the đuoc dung đe suy ra mot cong thuc voi tinh chat la tat ca cac gia tri duong cua no đeu la so nguyen to.
Hai cong thuc so nguyen to khac đen tu đinh ly Mills va mot đinh ly cua Wright, cho rang ton tai hang so thuc 
  
    
      
        A
        >
        1
      
    
    {\displaystyle A>1}
  
 va 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 sao cho gia tri cua

  
    
      
        
          ⌊
          
            A
            
              
                3
                
                  n
                
              
            
          
          ⌋
        
        
           va 
        
        
          ⌊
          
            2
            
              
                ⋯
                
                  
                    2
                    
                      
                        2
                        
                          μ
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ va }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }
  

la so nguyen to voi moi so tu nhien 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 bat ky o cong thuc thu nhat va bat ky so luy thua nao trong cong thuc thu hai. O đay 
  
    
      
        ⌊
        

        
        ⋅
        

        
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }
  
 la ham san, so lon nhat nho hon hoac bang voi so đuoc xet. Tuy nhien, cac cong thuc nay khong huu ich vi can phai tao ra cac so nguyen to truoc tien đe tinh 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 hoac 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
.


= Cac bai toan mo =

Đa co nhieu gia thuyet đuoc đat ra lien quan đen so nguyen to, va đa so gia thuyet nhu vay khong đuoc chung minh trong nhieu thap ky: ca bon bai toan cua Landau tu nam 1912 van chua co loi giai. Mot trong so đo la gia thuyet Goldbach cho rang moi so nguyen chan 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 lon hon 2 co the đuoc viet thanh tong cua hai so nguyen to. Tinh đen nam 2014, gia thuyet nay đa đuoc xac nhan la đung voi cac so lon đen 
  
    
      
        n
        =
        4
        ⋅
        
          10
          
            18
          
        
      
    
    {\displaystyle n=4\cdot 10^{18}}
  
. Mot so gia thuyet tuong tu nhu vay đa đuoc chung minh, chang han, đinh ly Vinogradov cho rang mot so nguyen le đu lon co the đuoc viet thanh tong cua ba so nguyen to. Con theo đinh ly Chen, mot so nguyen chan đu lon co the đuoc bieu dien thanh tong cua mot so nguyen to va mot so nua nguyen to (tich cua hai so nguyen to). Đong thoi, mot so nguyen chan lon hon 10 co the đuoc viet thanh tong cua 6 so nguyen to. Nhanh cua ly thuyet so nghien cuu nhung bai toan nhu the đuoc goi la ly thuyet cong tinh so.
Mot dang bai toan khac co lien quan đen khoang cach so nguyen to, tuc la chenh lech giua hai so nguyen to lien tiep. Co the thay đuoc su ton tai cua cac khoang cach so nguyen to lon tuy y bang cach chu y rang day so 
  
    
      
        n
        !
        +
        2
        ,
        n
        !
        +
        3
        ,
        …
        ,
        n
        !
        +
        n
      
    
    {\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}
  
 chua 
  
    
      
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n-1}
  
 hop so voi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la so tu nhien. Tuy nhien, khoang cach so nguyen to lon nay bat đau xuat hien som hon so voi thoi điem ma lap luan nay đa cho. Chang han, khoang cach so nguyen to đau tien voi đo dai bang 8 nam giua hai so nguyen to 89 va 97, nho hon nhieu so voi 
  
    
      
        8
        !
        =
        40320
      
    
    {\displaystyle 8!=40320}
  
. Co gia thuyet cho rang co vo so cap so nguyen to sinh đoi, tuc la cap so nguyen to voi chenh lech bang 2; đo chinh la gia thuyet so nguyen to sinh đoi. Gia thuyet Polignac phat bieu tong quat hon rang voi mot so nguyen duong 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 bat ky, ton tai vo so cac cap so nguyen to lien tiep sai khac nhau 
  
    
      
        2
        k
      
    
    {\displaystyle 2k}
  
. Gia thuyet Andrica, gia thuyet Brocard, gia thuyet Legendre va gia thuyet Oppermann đeu cho rang khoang cach lon nhat giua cac so nguyen to tu 1 đen 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 phai la xap xi 
  
    
      
        
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}}
  
, mot ket qua đuoc cho la suy ra tu gia thuyet Riemann, trong khi gia thuyet Cramer đat khoang cach lon nhat bang 
  
    
      
        O
        (
        (
        log
        ⁡
        n
        
          )
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O((\log n)^{2})}
  
. Khoang cach so nguyen to co the đuoc khai quat hoa thanh bo 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 so nguyen to, the hien nhung day lap lai khoang cach giua nhieu hon hai so nguyen to. Tinh vo han va mat đo cua chung la van đe chinh trong gia thuyet Hardy–Littlewood đau tien, von co the đuoc suy ra tu thuat giai heuristic rang day so nguyen to hanh xu tuong tu nhu mot day so ngau nhien voi mat đo đuoc cho boi đinh ly so nguyen to.


Tinh chat trong giai tich Ly thuyet so giai tich nghien cuu ly thuyet so qua cac khai niem ham so lien tuc, gioi han, chuoi vo han va cac khai niem lien quan đen vo han va so nho vo han.
Leonhard Euler la nguoi đau tien khoi xuong ra nganh nghien cuu nay voi thanh tuu quan trong đau tien la loi giai cho bai toan Basel. Bai toan yeu cau tim gia tri cua tong vo han 
  
    
      
        1
        +
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        +
        
          
            
              1
              9
            
          
        
        +
        
          
            
              1
              16
            
          
        
        +
        …
      
    
    {\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots }
  
 ma ngay nay đuoc cong nhan la gia tri 
  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)}
  
 cua ham zeta Riemann. Ham nay co lien he mat thiet voi so nguyen to va gia thuyet Riemann, mot trong nhung bai toan chua đuoc giai co y nghia quan trong nhat trong toan hoc. Euler chung minh đuoc rang 
  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
        =
        
          π
          
            2
          
        
        
          /
        
        6
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}
  
. Nghich đao cua so đo, 
  
    
      
        6
        
          /
        
        
          π
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 6/\pi ^{2}}
  
, la gioi han cua xac suat đe hai so đuoc chon ngau nhien tu mot khoang gia tri lon la hai so nguyen to cung nhau (khong co thua so chung nao).
Su phan phoi cac so nguyen to trong khoang gia tri lon đo, chang han nhu co bao nhieu so nguyen to nho hon mot so lon cho truoc, đuoc mo ta boi đinh ly so nguyen to, nhung khong co cong thuc cho so nguyen to thu 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 đuoc biet đen. O dang co ban nhat, đinh ly Dirichlet ve cap so cong phat bieu rang đa thuc tuyen tinh

  
    
      
        p
        (
        n
        )
        =
        a
        +
        b
        n
      
    
    {\displaystyle p(n)=a+bn}
  

voi 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 nguyen to cung nhau cho vo so cac gia tri nguyen to. Dang chat che hon cua đinh ly phat bieu rang tong cua nghich đao cac gia tri nguyen to đo phan ky, va cac đa thuc tuyen tinh khac nhau voi 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 bang nhau co ti le so nguyen to gan nhu nhau. Mac du đa co nhieu gia thuyet đuoc đat ra ve ti le so nguyen to trong cac đa thuc bac cao nhung chung van chua đuoc chung minh, va khong ro co ton tai mot đa thuc bac hai nao co the luon cho cac gia tri nguyen to mot cach thuong xuyen hon hay khong.


= Chung minh đinh ly Euclid bang giai tich =
Chung minh cua Euler ve su ton tai vo so so nguyen to xet tong nghich đao cac so nguyen to

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        +
        
          
            1
            7
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            1
            p
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}
  

Euler chung minh đuoc rang voi mot so thuc 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 bat ky, ton tai mot so nguyen to 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 sao cho tong tren lon hon 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
. Neu chi co mot so huu han cac so nguyen to thi tong nay phai đat gia tri lon nhat tai so nguyen to lon nhat thay vi tang dan qua cac gia tri cua 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, do đo co vo so so nguyen to. Toc đo gia tang gia tri cua tong nay đuoc mo ta ro hon trong đinh ly thu hai cua Mertens. Đe so sanh, tong

  
    
      
        
          
            1
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                2
              
            
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}
  

khong tang đen vo han khi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 tien đen vo han (xem bai toan Basel). Trong truong hop nay, so nguyen to xuat hien thuong xuyen hon so voi binh phuong cac so tu nhien, mac du ca hai tap hop đeu la vo han. Đinh ly Brun phat bieu rang tong nghich đao cac so nguyen to sinh đoi

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                3
              
            
            +
            
              
                1
                5
              
            
          
          )
        
        +
        
          (
          
            
              
                1
                5
              
            
            +
            
              
                1
                7
              
            
          
          )
        
        +
        
          (
          
            
              
                1
                11
              
            
            +
            
              
                1
                13
              
            
          
          )
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }
  

la huu han. Do đinh ly nay nen khong the ap dung cach cua Euler đe chung minh gia thuyet so nguyen to sinh đoi rang co vo so cap so nguyen to sinh đoi.


= So luong so nguyen to nam duoi mot so cho truoc =

Ham đem so nguyen to 
  
    
      
        π
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \pi (n)}
  
 đuoc đinh nghia la so luong so nguyen to khong lon hon 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Vi du, 
  
    
      
        π
        (
        11
        )
        =
        5
      
    
    {\displaystyle \pi (11)=5}
  
, nghia la co 5 so nguyen to nho hon hoac bang 11. Co mot so phuong phap đe tinh gia tri chinh xac cua 
  
    
      
        π
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \pi (n)}
  
 nhanh hon so voi khi liet ke tat ca cac so nguyen to lon đen 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, chang han nhu thuat toan Meissel–Lehmer. Đinh ly so nguyen to phat bieu rang 
  
    
      
        π
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \pi (n)}
  
 tiem can voi 
  
    
      
        n
        
          /
        
        log
        ⁡
        n
      
    
    {\displaystyle n/\log n}
  
 hay 

  
    
      
        π
        (
        n
        )
        ∼
        
          
            n
            
              log
              ⁡
              n
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}
  

nghia la ti so giua 
  
    
      
        π
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \pi (n)}
  
 va phan so o ve phai tien ve 1 khi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 tang đen vo han. Keo theo đo, xac suat đe mot so nho hon 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 đuoc chon ngau nhien la so nguyen to ti le nghich voi so chu so cua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Đong thoi, so nguyen to thu 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 ti le thuan voi 
  
    
      
        n
        log
        ⁡
        n
      
    
    {\displaystyle n\log n}
  
 va đo dai trung binh cua khoang cach nguyen to ti le thuan voi 
  
    
      
        log
        ⁡
        n
      
    
    {\displaystyle \log n}
  
. Mot xap xi chinh xac hon cua 
  
    
      
        π
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \pi (n)}
  
 đuoc cho boi tich phan logarit bu

  
    
      
        π
        (
        n
        )
        ∼
        Li
        ⁡
        (
        n
        )
        =
        
          ∫
          
            2
          
          
            n
          
        
        
          
            
              d
              t
            
            
              log
              ⁡
              t
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}
  


= Cap so cong =
Cap so cong la mot day so huu han hoac vo han sao cho cac so lien tiep trong day đeu co chenh lech bang nhau. Chenh lech đo đuoc goi la mo đun (cong sai) cua cap so cong. Vi du,

3, 12, 21, 30, 39,...
la cap so cong vo han voi mo đun 9. Trong mot cap so cong, phep chia cua tat ca cac so cho mo đun đeu cho so du bang nhau; trong vi du tren, so du đo bang 3. Vi ca mo đun 9 va so du 3 đeu la boi cua 3 nen cac phan tu khac trong day cung vay. Do đo, cap so cong đa cho chi chua mot so nguyen to duy nhat, đo chinh la so 3. Tong quat, cap so cong vo han

  
    
      
        a
        ,
        a
        +
        q
        ,
        a
        +
        2
        q
        ,
        a
        +
        3
        q
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }
  

co the chua nhieu hon mot so nguyen to chi khi so du 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va mo đun 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 nguyen to cung nhau. Khi đo, theo đinh ly Dirichlet ve cap so cong, cap so cong đo chua vo so so nguyen to.

Đinh ly Green–Tao cho thay ton tai cac cap so cong huu han dai tuy y chi chua cac so nguyen to.


= Gia tri nguyen to cua đa thuc bac hai =

Euler nhan thay rang ham

  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
        −
        n
        +
        41
      
    
    {\displaystyle n^{2}-n+41}
  

cho gia tri la so nguyen to voi 
  
    
      
        1
        ≤
        n
        ≤
        40
      
    
    {\displaystyle 1\leq n\leq 40}
  
, mac du cac gia tri hop so bat đau xuat hien khi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 lon hon 40. Viec tim ra giai thich cho hien tuong nay chinh la tien đe cua ly thuyet so đai so voi so Heegner va bai toan lop so. Gia thuyet F cua Hardy–Littlewood du đoan mat đo so nguyen to trong cac gia tri cua đa thuc bac hai voi he so nguyen ve mat tich phan logarit va he so cua đa thuc. Khong co đa thuc bac hai nao đuoc chung minh la chi cho cac gia tri nguyen to.
Xoan Ulam sap xep cac so tu nhien thanh mot mat phang hai chieu, xoan o cac hinh vuong đong tam quanh điem goc voi so nguyen to đuoc đanh dau. De thay trong vi du nay, cac so nguyen to chi tap trung o mot so đuong cheo nhat đinh, ngu y rang co mot so đa thuc bac hai cho gia tri nguyen to thuong xuyen hon cac đa thuc khac.


= Ham zeta va gia thuyet Riemann =

Gia thuyet Riemann (1859) la mot trong nhung bai toan chua đuoc giai noi tieng nhat toan hoc va mot la trong bay bai toan thien nien ky, yeu cau tim cac nghiem so cua ham zeta Riemann 
  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)}
  
. Ham nay la mot ham giai tich tren tap so phuc. Voi so phuc 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 co phan thuc lon hon 1, no bang mot tong vo han tren tat ca so nguyen va mot tich vo han tren tat ca so nguyen to:

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          ∏
          
            p
            
               nguyen to
            
          
        
        
          
            1
            
              1
              −
              
                p
                
                  −
                  s
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ nguyen to}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}
  

Đang thuc nay giua mot tong va mot tich (do Euler tim ra) đuoc goi la tich Euler. Tich Euler co the đuoc suy ra tu đinh ly co ban cua so hoc va cho thay su lien he giua ham zeta va so nguyen to. No dan đen mot cach chung minh khac ve su ton tai vo so so nguyen to: neu chi co mot so huu han so nguyen to thi dau bang giua tong va tich cung xay ra tai 
  
    
      
        s
        =
        1
      
    
    {\displaystyle s=1}
  
 nhung tong co tinh phan ky (đo chinh la chuoi đieu hoa 
  
    
      
        1
        +
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        +
        
          
            
              1
              3
            
          
        
        +
        …
      
    
    {\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }
  
) trong khi tich co tinh hoi tu (mang gia tri huu han), mau thuan.
Gia thuyet Riemann phat bieu rang nghiem so cua ham zeta la tat ca cac so am chan hoac cac so phuc voi phan thuc bang 1/2. Chung minh ban đau cua đinh ly so nguyen to đuoc dua tren dang khong chat che cua gia thuyet nay cho rang khong co nghiem so nao co phan thuc bang 1, mac du con co them mot so cach chung minh co ban khac. Ham đem so nguyen to co the đuoc bieu dien boi cong thuc tuong minh cua Riemann thanh mot tong ma trong đo, moi so hang đen tu mot nghiem so cua ham zeta: so hang chinh cua tong la tich phan logarit va cac so hang con lai lam cho gia tri cua tong dao đong quanh so hang chinh đo. Trong truong hop nay, cac nghiem so lam anh huong đen su phan phoi cac so nguyen to. Neu gia thuyet Riemann la đung, đo dao đong đo se nho lai va su phan phoi tiem can cac so nguyen to đuoc cho boi đinh ly so nguyen to cung đung tren cac khoang nho hon rat nhieu (co đo dai gan bang can bac hai cua 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 đoi voi khoang nam gan mot so 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
).


Đai so truu tuong = So hoc mo đun va truong huu han =

So hoc mo đun la mot dang khac cua so hoc thong thuong chi dung cac so 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}
  
 voi mot so tu nhien 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 đuoc goi la mo đun. Bat ky so tu nhien nao khac đeu co the đuoc anh xa vao he thong nay bang cach thay no bang so du cua no khi đuoc chia boi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Mo đun tong, hieu va tich đuoc tinh bang cach thuc hien phep the bang so du trong phep chia cua tong, hieu hoac tich cac so nguyen thong thuong. Su bang nhau giua cac so nguyen co lien quan đen khai niem đong du trong so hoc mo đun: 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 va 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 đong du (ky hieu 
  
    
      
        x
        ≡
        y
        
          mod
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x\equiv y{\bmod {n}}}
  
) khi phep chia cua chung boi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 cho so du bang nhau. Tuy nhien, trong he thong so đo, chi co the xay ra phep chia cho mot so khac 0 khi va chi khi mo đun la so nguyen to. Chang han, voi mo đun 7, co the ton tai phep chia cho 3: 
  
    
      
        2
        
          /
        
        3
        ≡
        3
        
          mod
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}
  
, vi khi nhan ca hai ve cho 3 thi ta đuoc bieu thuc đung 
  
    
      
        2
        ≡
        9
        
          mod
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}
  
. Nhung voi mo đun 6 (la mot hop so), khong the ton tai phep chia cho 3: phuong trinh 
  
    
      
        2
        
          /
        
        3
        ≡
        x
        
          mod
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}
  
 vo nghiem vi khi nhan ca hai ve cho 3 thi ve trai tro thanh so 2 con ve phai tro thanh so 0 hoac so 3. Trong đai so truu tuong, kha nang thuc hien phep chia co nghia rang mo đun mot so nguyen to tao thanh mot truong đuoc goi la truong huu han, trong khi cac mo đun khac chi tao ra vanh.
Bang so hoc mo đun, co the suy ra đuoc mot so đinh ly ve so nguyen to. Vi du, đinh ly nho Fermat phat bieu rang neu 
  
    
      
        a
        ≡
        0
      
    
    {\displaystyle a\not \equiv 0}
  
 (mod 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
) thi 
  
    
      
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
      
    
    {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}
  
 (mod 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
). Lay tong tren tat ca gia tri cua 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, ta đuoc phuong trinh

  
    
      
        
          ∑
          
            a
            =
            1
          
          
            p
            −
            1
          
        
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        (
        p
        −
        1
        )
        ⋅
        1
        ≡
        −
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}
  

đung khi 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 la so nguyen to. Gia thuyet Giuga cho rang phuong trinh nay la đieu kien đu đe 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 la so nguyen to. Theo đinh ly Wilson, mot so nguyen 
  
    
      
        p
        >
        1
      
    
    {\displaystyle p>1}
  
 la so nguyen to khi va chi khi giai thua 
  
    
      
        (
        p
        −
        1
        )
        !
      
    
    {\displaystyle (p-1)!}
  
 đong du voi –1 mod 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
. Voi mot hop so
  
    
      
        
        n
        =
        r
        ⋅
        s
        
      
    
    {\displaystyle \;n=r\cdot s\;}
  
thi đinh ly nay khong đung, vi khi đo co mot trong hai thua so chia het ca n va 
  
    
      
        (
        n
        −
        1
        )
        !
      
    
    {\displaystyle (n-1)!}
  
 nen khong the co 
  
    
      
        (
        n
        −
        1
        )
        !
        ≡
        −
        1
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}
  
.


= So p-adic =

Cap 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-adic 
  
    
      
        
          ν
          
            p
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \nu _{p}(n)}
  
 cua mot so nguyen 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la so lan xuat hien cua 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 trong phan tich nguyen to cua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Khai niem nay co the đuoc mo rong cho so huu ti: cap 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-adic cua mot phan so 
  
    
      
        m
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle m/n}
  
 đuoc xac đinh la 
  
    
      
        
          ν
          
            p
          
        
        (
        m
        )
        −
        
          ν
          
            p
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}
  
. Khi đo, gia tri tuyet đoi 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-adic 
  
    
      
        
          |
        
        q
        
          
            |
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle |q|_{p}}
  
 cua mot so huu ti 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 la 
  
    
      
        
          |
        
        q
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        =
        
          p
          
            −
            
              ν
              
                p
              
            
            (
            q
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}
  
. Khi nhan mot so nguyen voi gia tri tuyet đoi 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-adic cua no thi cac thua so 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 trong phan tich nguyen to cua so nguyen đo bi khu va chi con lai cac thua so nguyen to khac. Giong nhu khi đo khoang cach giua hai so thuc bang gia tri tuyet đoi thong thuong, khoang cach giua hai so huu ti co the đuoc đo bang đo dai 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-adic, tuc la gia tri tuyet đoi 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-adic cua hieu hai so đo. Theo đinh nghia khoang cach đo, hai so đuoc goi la gan nhau (co khoang cach nho) khi hieu giua chung co the chia het boi mot luy thua bac cao cua 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
. Bang cung mot cach ma so thuc đuoc tao thanh tu so huu ti va khoang cach giua chung cung mot so gia tri gioi han đuoc them vao đe hop lai thanh mot truong đay đu, cac so huu ti voi khoang cach 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 co the đuoc mo rong sang mot truong đay đu khac đuoc goi la so 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-adic.
Cac khai niem ve cap, gia tri tuyet đoi va truong đay đu suy ra tu chung co the đuoc khai quat hoa cho truong so đai so cung voi đinh chuan (anh xa nhat đinh tu nhom nhan cua truong đo sang mot nhom cong đuoc sap toan phan), gia tri tuyet đoi (anh xa nhan nhat đinh tu mot truong sang so thuc), va place (su mo rong sang truong đay đu ma trong đo tap cho truoc la mot tap tru mat) cua chung. Chang han, su mo rong tu tap so huu ti sang tap so thuc la mot place ma tai đo khoang cach giua hai so la gia tri tuyet đoi thong thuong cua hieu hai so đo. Anh xa tuong ung sang mot nhom cong la logarit cua gia tri tuyet đoi đo, mac du no khong thoa man tat ca yeu cau cua mot đinh chuan. Theo đinh ly Ostrowski, so thuc va so 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-adic cung cap va gia tri tuyet đoi cua chung la đinh chuan, gia tri tuyet đoi va place duy nhat tren tap so huu ti xe xich theo khai niem tu nhien ve tinh tuong đuong. Nguyen ly Hasse cho phep giai nhieu bai toan tren so huu ti bang cach hop cac nghiem tu moi place cua chung lai voi nhau, mot lan nua nhan manh tam quan trong cua so nguyen to trong ly thuyet so.


= Phan tu nguyen to trong vanh =

Vanh giao hoan la mot cau truc đai so co đinh nghia phep cong, phep tru va phep nhan. Tap so nguyen la mot vanh va so nguyen to trong tap đo đa đuoc khai quat hoa sang ly thuyet vanh voi thuat ngu phan tu nguyen to va phan tu toi gian. Mot phan tu 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 cua vanh 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 đuoc goi la phan tu nguyen to neu no khac 0, khong co nghich đao (khong phai phan tu đon vi) va thoa man đieu kien: khi 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 chia het tich 
  
    
      
        x
        y
      
    
    {\displaystyle xy}
  
 gom hai phan tu trong 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 thi no cung chia het it nhat mot trong hai phan tu 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 va 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
. Mot phan tu đuoc goi la phan tu toi gian neu no khong phai phan tu đon vi, cung khong phai la tich cua hai phan tu khac phan tu đon vi. Trong vanh so nguyen, cac phan tu nguyen to va toi gian tao thanh cung mot tap hop

  
    
      
        {
        …
        ,
        −
        11
        ,
        −
        7
        ,
        −
        5
        ,
        −
        3
        ,
        −
        2
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        5
        ,
        7
        ,
        11
        ,
        …
        }
        
        .
      
    
    {\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}
  

Trong mot vanh bat ky, moi phan tu nguyen to đeu la phan tu toi gian. Phat bieu nguoc lai cua no chi đung trong mien phan tich nhan tu duy nhat.
Đinh ly co ban cua so hoc la đung (theo đinh nghia) trong mien phan tich nhan tu duy nhat. Vi du ve mot mien nhu the la vanh so nguyen Gauss 
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  
, vanh cac so phuc dang 
  
    
      
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle a+bi}
  
 voi 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 la đon vi ao va 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 la so nguyen bat ky. Cac phan tu nguyen to cua vanh đo đuoc goi la so nguyen to Gauss. Mot so nguyen to trong vanh so nguyen co the khong phai la so nguyen to trong vanh so nguyen Gauss; chang han, so 2 co the đuoc viet thanh tich cua hai so nguyen to Gauss 
  
    
      
        1
        +
        i
      
    
    {\displaystyle 1+i}
  
 va 
  
    
      
        1
        −
        i
      
    
    {\displaystyle 1-i}
  
. So nguyen to huu ti (phan tu nguyen to trong vanh so nguyen) đong du voi 3 mod 4 la so nguyen to Gauss, nhung so nguyen to huu ti đong du voi 1 mod 4 khong phai vay. Đo la mot he qua cua đinh ly Fermat ve tong cua hai so chinh phuong, phat bieu rang mot so nguyen to le 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 co the đuoc bieu dien thanh tong cua hai so chinh phuong, 
  
    
      
        p
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}
  
, va do đo co the đuoc phan tich thanh 
  
    
      
        p
        =
        (
        x
        +
        i
        y
        )
        (
        x
        −
        i
        y
        )
      
    
    {\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}
  
, chi khi 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 đong du voi 1 mod 4.


= I-đe-an nguyen to =

Khong phai moi vanh đeu la mien phan tich nhan tu duy nhat. Chang han, trong vanh cac so 
  
    
      
        a
        +
        b
        
          
            −
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}
  
 (voi 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 la so nguyen), so 21 co hai cach phan tich: 
  
    
      
        21
        =
        3
        ⋅
        7
        =
        (
        1
        +
        2
        
          
            −
            5
          
        
        )
        (
        1
        −
        2
        
          
            −
            5
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}
  
, trong đo ca bon thua so đeu la toi gian, nen no khong co mot phan tich nhan tu duy nhat. Đe mo rong khai niem phan tich nhan tu duy nhat sang cac lop vanh khac lon hon, co the thay the thuat ngu ve so bang thuat ngu ve i-đe-an, mot tap hop con cua cac phan tu trong mot vanh chua tong cua moi cap phan tu cua no va tich cua moi phan tu cua no voi mot phan tu trong vanh. I-đe-an nguyen to, von khai quat hoa phan tu nguyen to trong truong hop i-đe-an chinh tao ra boi mot phan tu nguyen to la mot i-đe-an nguyen to, la mot cong cu quan trong va chu đe nghien cuu chinh trong đai so giao hoan, ly thuyet so đai so va hinh hoc đai so. Cac i-đe-an nguyen to trong vanh so nguyen la (0), (2), (3), (5), (7), (11),... Đinh ly co ban cua so hoc đuoc khai quat hoa thanh đinh ly Lasker–Noether bieu dien mot i-đe-an bat ky trong mot vanh giao hoan Noether thanh giao cua cac i-đe-an so cap, mot dang khai quat hoa thich hop cua luy thua nguyen to.
Pho cua mot vanh la mot khong gian hinh hoc ma cac điem trong đo la cac i-đe-an nguyen to cua vanh đo. Thuat ngu nay giup ich nhieu cho hinh hoc đai so va nhieu khai niem lien quan khac cung xuat hien trong hinh hoc va ly thuyet so. Chang han, su phan tich hoac phan chia i-đe-an nguyen to khi ap dung trong mot truong mo rong, mot bai toan co ban cua ly thuyet so đai so, thi co tuong đong voi su phan chia trong hinh hoc. Cac khai niem nay tham chi con co the ho tro giai mot so bai toan đac biet lien quan đen so nguyen trong ly thuyet so. Vi du, co the dung i-đe-an nguyen to trong vanh so nguyen cua truong so bac hai đe chung minh luat tuong ho bac hai, mot phat bieu ve su ton tai cua bieu thuc can bac hai mo đun mot so nguyen to nguyen. Nhung co gang ban đau đe chung minh đinh ly cuoi cua Fermat đa dan đen su ra đoi khai niem so nguyen to chinh quy, nhung so nguyen to nguyen lien quan đen su khong ton tai phan tich nhan tu duy nhat trong truong so nguyen chia đuong tron. Bai toan co bao nhieu so nguyen to nguyen co the đuoc phan tich thanh mot tich gom nhieu i-đe-an nguyen to trong mot truong so đai so đuoc giai quyet bang đinh ly mat đo Chebotarev ma khi đuoc ap dung cho so nguyen chia đuong tron thi co truong hop đac biet la đinh ly Dirichlet ve so nguyen to trong cap so cong.


= Ly thuyet nhom =
Trong ly thuyet nhom huu han, đinh ly Sylow phat bieu rang neu luy thua cua mot so nguyen to 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
  
 chia het cap cua mot nhom thi no co mot nhom con voi cap 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
  
. Theo đinh ly Lagrange, mot nhom voi cap nguyen to la nhom cyclic, va theo đinh ly Burnside thi mot nhom co cap chia het đuoc boi đung hai so nguyen to la nhom giai đuoc.


Phuong phap tinh Trong mot thoi gian dai, ly thuyet so noi chung va nganh nghien cuu so nguyen to noi rieng tung đuoc xem la vi du kinh đien ve toan hoc thuan tuy khi khong co ung dung nao ngoai pham vi toan hoc, ngoai tru viec dung cac banh rang voi so rang la so nguyen to đe han che mai mon. Tham chi, mot so nha ly thuyet so nhu nha toan hoc nguoi Anh G. H. Hardy con tu hao ve chinh ho khi lam nhung cong trinh nghien cuu hoan toan khong co y nghia quan su gi.
Goc nhin nay đa bi xoa bo vao nhung nam 1970, khi so nguyen to đa co the đuoc dung lam co so đe tao ra cac thuat toan mat ma hoa khoa cong khai. Nhung ung dung nay đa gop phan đay manh hoat đong nghien cuu thuat toan thuc hien phep tinh tren so nguyen to va cac phuong phap kiem tra tinh nguyen to cua mot so. Thuat toan kiem tra tinh nguyen to co ban nhat, giai thuat chia thu, qua cham đoi voi so rat lon. Mot nhom thuat toan hien đai co the ap dung đuoc cho mot so bat ky, trong khi con co cac thuat toan hieu qua hon danh cho cac nhom so đac biet. Đa so thuat toan kiem tra tinh nguyen to chi cho biet đau vao cua chung co phai la so nguyen to hay khong. Mot so đoan chuong trinh khac con xuat ra mot (hoac tat ca) thua so nguyen to tu đau vao la hop so va đuoc goi la thuat toan phan tich so nguyen. So nguyen to cung co ung dung trong đien toan nhu gia tri tong kiem, bang bam va bo sinh so gia ngau nhien.


= Giai thuat chia thu =

Phuong phap co ban nhat đe kiem tra tinh nguyen to cua mot so nguyen 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 cho truoc đuoc goi la chia thu. Thuat toan nay chia 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 cho tat ca so nguyen tu 2 đen can bac hai cua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Khi co bat ky so nguyen nao chia het 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 thi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la hop so, nguoc lai thi no la so nguyen to. Cac so lon hon can bac hai đo khong can đuoc kiem tra, vi khi 
  
    
      
        n
        =
        a
        ⋅
        b
      
    
    {\displaystyle n=a\cdot b}
  
 thi mot trong hai thua so 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 nho hon hoac bang can bac hai cua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Mot dang toi uu khac la chi kiem tra cac thua so nguyen to trong khoang đo. Chang han, đe kiem tra xem 37 co phai la so nguyen to hay khong, thuat toan nay chia no cho cac so nguyen to trong khoang tu 2 đen √37, đo la so 2, 3 va 5. Ca ba phep chia đeu co so du khac 0 nen 37 chinh la so nguyen to.
Phuong phap nay co the đuoc mo ta mot cach đon gian, nhung khong thuc te khi kiem tra tinh nguyen to cua cac so nguyen lon, vi so phep chia no thuc hien tang dan theo cap so nhan khi so chu so cua so nguyen đo cang nhieu. Tuy nhien, giai thuat chia thu van đuoc su dung đe tim nhanh hop so voi thua so nho truoc khi ap dung nhung phuong phap phuc tap hon đoi voi cac so vuot qua đuoc giai thuat đo.


= Sang =

Truoc khi may tinh ra đoi, nhieu bang so liet ke tat ca so nguyen to hoac phan tich nguyen to đen mot gioi han cho truoc đa đuoc phat hanh rong rai. Phuong phap co xua nhat đe lap danh sach so nguyen to đuoc goi la sang Eratosthenes. Hinh minh hoa ben phai cho thay mot dang toi uu cua phuong phap nay. Mot sang khac hieu qua hon đe giai quyet bai toan đo la sang Atkin. Trong toan hoc nang cao, ly thuyet sang ap dung cac phuong phap tuong tu vao nhieu bai toan khac.


= Kiem tra tinh nguyen to va chung minh tinh nguyen to =
Mot so thuat toan hien đai nhanh nhat đe giai quyet bai toan ve tinh nguyen to cua mot so 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 bat ky cho truoc la cac thuat toan xac suat (Monte Carlo), nghia la no co mot kha nang nho ngau nhien cho cau tra loi sai. Chang han, kiem tra Solovay–Strassen voi mot so cho truoc 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 chon ngau nhien mot so 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 trong khoang tu 2 đen 
  
    
      
        p
        −
        2
      
    
    {\displaystyle p-2}
  
 va su dung luy thua mo đun đe kiem tra xem 
  
    
      
        
          a
          
            (
            p
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        ±
        1
      
    
    {\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}
  
 co chia het đuoc boi 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 hay khong. Neu đung la nhu vay thi no tra loi "co" va nguoc lai thi no tra loi "khong". Neu 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 đung la so nguyen to thi no luon tra loi "co", nhung neu 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 la hop so thi no tra loi "co" voi xac suat lon nhat la 1/2 va "khong" voi xac suat nho nhat la 1/2. Neu thuat toan nay đuoc lap lai 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 lan trong cung mot so, xac suat lon nhat đe mot hop so vuot qua đuoc thuat toan moi lan la 
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          2
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/2^{n}}
  
. Vi xac suat đo giam dan theo cap so nhan khi so lan thuc hien kiem tra tang dan nen no dan đen kha nang cao (nhung khong chac chan) rang mot so vuot qua đuoc thuat toan lap lai đo la so nguyen to. Mat khac, neu mot so khong vuot qua đuoc kiem tra thi no chac chan la hop so. Mot hop so vuot qua đuoc mot kiem tra nhu the đuoc goi la so gia nguyen to.
Nguoc lai, mot so thuat toan khac đam bao rang cau tra loi luon luon đung: so nguyen to se luon luon đuoc xac đinh la so nguyen to va hop so se luon luon đuoc xac đinh la hop so. Chang han, phat bieu nay la đung đoi voi giai thuat chia thu. Nhung thuat toan voi đau ra đam bao chinh xac bao gom thuat toan tat đinh nhu phep kiem tra tinh nguyen to AKS, va cac thuat toan Las Vegas ngau nhien ma trong đo nhung lua chon ngau nhien cua thuat toan khong anh huong gi đen ket qua cuoi cung, chang han nhu mot so dang cua phep chung minh tinh nguyen to bang đuong cong elliptic. Khi phuong phap đuong cong elliptic ket luan rang mot so la so nguyen to, no cung xuat ra mot chung nhan tinh nguyen to co the đuoc xac nhan nhanh chong. Ky thuat đuong cong elliptic la nhanh nhat trong so cac thuat toan voi đo chinh xac tuyet đoi, nhung thoi gian thuc thi chi đuoc đo dua tren thuc nghiem thay vi lap luan chung minh. Kiem tra AKS co đo phuc tap tinh toan đuoc chung minh bang lap luan toan hoc nhung hoat đong cham hon so voi ky thuat đuong cong elliptic. Cac phuong phap nay co the đuoc dung đe tao ra cac so nguyen to lon bang cach tao va kiem tra cac so ngau nhien đen khi tim đuoc mot so nguyen to; khi đo, mot thuat toan kiem tra xac suat co the nhanh chong loai đi phan lon hop so truoc khi mot thuat toan "chac chan đung" đuoc dung đe xac thuc lai rang cac so con lai la so nguyen to.
Bang duoi đay liet ke mot so thuat toan nhu vay. Thoi gian hoat đong đuoc cho theo so đuoc kiem tra 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 va so vong lap 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 (đoi voi thuat toan xac suat). Đong thoi, 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
 la mot so duong nho bat ky va 
  
    
      
        log
      
    
    {\displaystyle \log }
  
 la logarit co so khong xac đinh. Ky hieu O lon nghia la moi khoang thoi gian phai đuoc nhan len boi mot hang so ti le đe chuyen no tu mot đai luong vo huong sang đon vi thoi gian; hang so nay phu thuoc vao thong so ky thuat chang han nhu loai may tinh đuoc dung đe thuc hien thuat toan, nhung khong phu thuoc vao tham so đau vao 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 va 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
.


= Cac thuat toan đac biet va so nguyen to lon nhat đa biet =

Cung voi cac thuat toan noi tren ap dung đuoc cho bat ky so tu nhien nao, mot vai so voi dang đac biet con co the đuoc kiem tra tinh nguyen to nhanh hon. Vi du, kiem tra Lucas–Lehmer co the xac đinh đuoc mot so Mersenne (luy thua cua 2 tru 1) co phai la so nguyen to hay khong mot cach tat đinh voi thoi gian bang voi mot vong lap cua kiem tra Miller–Rabin. Đo la ly do ke tu nam 1992 (tinh đen thang 10 nam 2024) so nguyen to lon nhat đa biet luon la mot so nguyen to Mersenne. Co gia thuyet cho rang co vo so so nguyen to Mersenne.
Bang duoi đay liet ke cac so nguyen to lon nhat đa biet theo nhieu dang khac nhau. Mot vai trong so đo đuoc tim thay qua đien toan phan tan. Nam 2009, du an Great Internet Mersenne Prime Search đa đuoc trao giai thuong 100.000 USD cho so nguyen to đau tien co it nhat 10 trieu chu so thap phan. To chuc Bien gioi Đien tu cung co giai thuong lan luot la 150.000 va 250.000 USD danh cho so nguyen to co it nhat 100 trieu va 1 ty chu so.


= Phan tich so nguyen =

Cho mot hop so 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, cong viec xuat ra mot (hoac tat ca) thua so nguyen to đuoc goi la phan tich cua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Cong viec nay kho hon đang ke so voi kiem tra tinh nguyen to, va mac du ton tai nhieu thuat toan phan tich nhung chung đeu cham hon so voi cac phuong phap nhanh nhat đe kiem tra tinh nguyen to. Giai thuat chia thu va thuat toan RHO co the đuoc dung đe tim cac nhan tu rat nho cua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, va thuat toan phan tich bang đuong cong elliptic co the hieu qua khi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 co cac nhan tu lon vua phai. Mot so phuong phap phu hop đoi voi so lon bat ky khong phu thuoc vao đo lon cua nhan tu bao gom sang cap hai va sang truong so thong thuong. Giong nhu kiem tra tinh nguyen to, co mot so thuat toan phan tich yeu cau đau vao co dang đac biet, trong đo co sang truong so đac biet. Tinh đen thang 2 nam 2020 so lon nhat đuoc phan tich bang mot thuat toan thong thuong la RSA-250, mot so co 250 chu so (829 bit) va la tich cua hai so nguyen to lon.
Thuat toan Shor cho phep phan tich bat ky so nguyen nao voi so buoc đa thuc trong mot may tinh luong tu. Tuy nhien, voi cong nghe hien nay thi thuat toan nay chi hoat đong đuoc voi cac so rat nho. Tinh đen thang 10 nam 2012 so lon nhat đuoc phan tich bang thuat toan Shor trong mot may tinh luong tu la 21.


= Ung dung khac trong đien toan =
Mot so thuat toan mat ma hoa khoa cong khai, chang han nhu RSA va trao đoi khoa Diffie−Hellman đuoc dua tren so nguyen to lon (pho bien nhat la so nguyen to 2048 bit). RSA dua vao gia thiet rang thuc hien phep nhan hai so lon 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 va 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 de hon nhieu so voi khi tinh 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 va 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 (gia su la hai so nguyen to cung nhau) neu chi biet mot tich 
  
    
      
        x
        y
      
    
    {\displaystyle xy}
  
. Trao đoi khoa Diffie−Hellman dua vao thuc te rang co mot so thuat toan hieu qua đoi voi luy thua mo đun (tinh 
  
    
      
        
          a
          
            b
          
        
        
          mod
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}
  
), trong khi phep tinh nguoc lai (logarit roi rac) đuoc cho la mot bai toan kho.
So nguyen to đuoc su dung thuong xuyen trong bang bam. Chang han phuong phap ban đau cua Carter va Wegman đoi voi bam pho quat đuoc dua vao viec tinh ham bam bang cach chon ngau nhien ham tuyen tinh mo đun so nguyen to lon. Carter va Wegman đa khai quat hoa phuong phap nay cho bam 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-đoc lap bang cach su dung đa thuc bac cao mo đun so nguyen to lon. Cung nhu trong ham bam, so nguyen to đuoc dung trong kich thuoc cua bang bam dua tren do cap hai đe đam bao rang chuoi do bao phu het bang đo.
Mot so phuong phap gia tri tong kiem đuoc dua tren kien thuc toan hoc ve so nguyen to. Chang han gia tri tong kiem dung trong ISBN đuoc xac đinh bang cach lay tong cua tat ca cac chu so (ngoai chu so cuoi cung) mo đun 11. Vi 11 la so nguyen to nen phuong phap nay co the phat hien cac chu so bi sai va chuyen vi cua cac chu so lien ke nhau. Adler-32, mot cong cu kiem tra tong kiem khac, su dung so hoc mo đun 65521, so nguyen to lon nhat nho hon 
  
    
      
        
          2
          
            16
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{16}}
  
. So nguyen to cung đuoc dung trong bo sinh so gia ngau nhien, trong đo co bo sinh so đong du tuyen tinh va Mersenne Twister.


Cac ung dung khac So nguyen to la chu đe trong tam cua ly thuyet so va co nhieu ung dung trong cac linh vuc khac cua toan hoc, trong đo co đai so truu tuong va hinh hoc co ban. Vi du, co the đat mot so luong so nguyen to cac điem tren mat phang hai chieu sao cho khong co ba điem nao thang hang, hoac sao cho mot tam giac bat ky voi ba đinh la ba trong so cac điem đo co kich thuoc lon. Mot vi du khac la tieu chuan Eisenstein, dung đe kiem tra xem mot đa thuc co toi gian hay khong dua vao tinh chia het cua cac he so cho mot so nguyen to va binh phuong cua no.

Khai niem so nguyen to quan trong đen muc no đa đuoc khai quat hoa sang cac nhanh khac cua toan hoc. Thong thuong, "nguyen to" co nghia la "toi thieu" hoac "khong khai trien, phan tich đuoc" trong truong hop thich hop. Vi du, truong nguyen to cua mot truong cho truoc la truong con nho nhat cua truong đa cho co chua ca 0 va 1. No co the la truong so huu ti hoac mot truong huu han co so luong phan tu la so nguyen to. Mot nghia thu hai am chi rang bat ky đoi tuong nao cung đeu co mot cach phan tich duy nhat thanh cac thanh phan nguyen to. Chang han, trong ly thuyet nut that, nut that nguyen to la mot nut that khong phan tich đuoc, nghia la no khong the đuoc viet thanh tong lien ket cua hai nut that khong tam thuong. Moi nut that bat ky co mot cach bieu dien duy nhat thanh tong lien ket cua cac nut that nguyen to. Phan tich nguyen to cua 3-đa tap la vi du khac cua dang nay.
Cung voi toan hoc va đien toan, so nguyen to co moi lien he voi co hoc luong tu va la hinh anh an du trong nghe thuat va van hoc. Chung cung co ung dung trong sinh hoc tien hoa đe giai thich vong đoi cua lien ho Ve sau.


= Đa giac ve đuoc va phan chia đa giac =

So Fermat la nhung so co dang

  
    
      
        
          F
          
            k
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                k
              
            
          
        
        +
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}
  

voi 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 la so nguyen khong am. Chung đuoc đat ten theo Pierre de Fermat, nguoi đa du đoan rang tat ca cac so dang nay đeu la so nguyen to. Nam so Fermat đau tien – 3, 5, 17, 257 va 65.537 – đeu la so nguyen to, nhung 
  
    
      
        
          F
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{5}}
  
 la hop so va tuong tu voi tat ca cac so Fermat khac (tinh đen nam 2017). Mot 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-giac đeu co the ve đuoc bang thuoc thang va compa khi va chi khi tap hop cac thua so nguyen to le cua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 (neu co) chi gom cac so nguyen to Fermat. Tuong tu, mot 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-giac đeu co the ve đuoc bang thuoc, compa va thuoc goc phan ba khi va chi khi tap hop cac thua so nguyen to cua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 co chua so 2 hoac so 3 cung mot tap hop (co the rong) cac so nguyen to Pierpont, so nguyen to co dang 
  
    
      
        
          2
          
            a
          
        
        
          3
          
            b
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}
  
.
Co the chia mot đa giac loi bat ky thanh 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 đa giac loi nho hon voi dien tich va chu vi bang nhau khi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la luy thua cua mot so nguyen to, nhung chua ro tinh chat nay ra sao voi cac gia tri khac cua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
.


= Co hoc luong tu =
Bat đau tu cong trinh cua Hugh Montgomery va Freeman Dyson vao nhung nam 1970, nhieu nha toan hoc va vat ly suy đoan rang nghiem so cua ham zeta Riemann co lien he voi muc nang luong cua he thong luong tu. So nguyen to cung co y nghia quan trong trong khoa hoc thong tin luong tu nho vao cac cau truc toan hoc nhu co so khong lech qua lai va SIC-POVM (đo đo gia tri toan tu duong đoi xung đay đu thong tin).


= Sinh hoc =
Chu ky tien hoa cua lien ho ve sau chi Magicicada o Bac My co lien quan đen so nguyen to. Cac con trung nay song phan lon cuoc đoi duoi dang au trung duoi long đat. Chung chi phat trien dan va chui len mat đat sau 7, 13 hoac 17 nam, tu đo chung bay, sinh san va chet sau nhieu nhat vai tuan. Cac nha sinh hoc gia thiet rang tinh nguyen to cua chu ky sinh san la đe tranh đong bo voi chu ky cua đong vat an thit. Nguoc lai, chu ky ra hoa nhieu nam cua tre đuoc cho la so nhan, chi co cac thua so nguyen to nho trong phan tich cua no.


= Nghe thuat va van hoc =
So nguyen to đa lam anh huong đen nhieu nghe si va nha van. Nha soan nhac nguoi Phap Olivier Messiaen su dung so nguyen to đe sang tac nhac qua "hien tuong tu nhien". Trong mot so sang tac nhu La Nativite du Seigneur (1935) va Quatre etudes de rythme (1949–1950), ong đong thoi ap dung nhac to voi đo dai cho boi cac so nguyen to khac nhau đe tao nhung nhip đieu đac biet: so 41, 43, 47 va 53 xuat hien trong khuc luyen thu ba "Neumes rythmiques". Theo Messiaen, phong cach sang tac nay "lay cam hung tu van đong tu nhien, van đong theo huong tu do va khac biet".
Trong tieu thuyet khoa hoc vien tuong Contact (1985), nha khoa hoc Carl Sagan goi y rang phan tich nguyen to co the đuoc dung đe tao mat phang anh hai chieu khi lien lac voi nguoi ngoai hanh tinh, mot y tuong ma ong cung nha thien van nguoi Hoa Ky Frank Drake phat trien tu nam 1975. Trong tieu thuyet The Curious Incident of the Dog in the Night-Time (Bi an ve con cho luc nua đem) cua Mark Haddon, tac gia đanh so cac muc cua cau chuyen bang cac so nguyen to lien tiep đe truyen đat trang thai tinh than cua nhan vat chinh, mot cau be co nang khieu toan hoc mac hoi chung Asperger. So nguyen to la hinh anh an du cho su co đon trong tieu thuyet La Solitudine dei Numeri Primi (Noi co đon cua cac so nguyen to) cua Paolo Giordano, o đo chung đuoc mo ta la "nguoi ngoai cuoc" trong cac so nguyen.


Xem them Ghi chu Chu thich Lien ket ngoai Hazewinkel, Michiel, bien tap (2001), "Prime number", Bach khoa toan thu Toan hoc, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Prime (number) tai Encyclopædia Britannica (tieng Anh)

Prime Numbers tren chuong trinh In Our Time cua BBC.
Caldwell, Chris, The Prime Pages tai primes.utm.edu
Bang so nguyen to tai Tu đien bach khoa Viet Nam
Cac so nguyen to đen 1 nghin ty. Luu tru ngay 27 thang 2 nam 2021 tai Wayback Machine