Chuoi Kempner la mot phien ban đac biet cua chuoi đieu hoa, đuoc hinh thanh tu chuoi đieu hoa bang cach loai bo trong chuoi đo cac phan tu co bieu dien co so 10 chua chu so 9. Tuc la

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        ∑
                      
                    
                  
                
              
              
              
                
                  ∑
                
                ′
              
            
            
              n
              =
              1
            
            
              ∞
            
          
        
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}}}
  

dau nhay đon dung đe noi rang n chi lay cac so khong chua chu so 9. Chuoi nay đuoc lan đau nghien cuu boi A. J. Kempner trong 1914. Chuoi nay trai nguoc voi truc giac vi khong giong nhu chuoi đieu hoa, chuoi nay thuc ra hoi tu. Kempner chung minh tong cua chuoi nay nho hon 90. Baillie đa chung minh va tinh gia tri tong cua chuoi, đuoc lam tron đen 20 chu so: 22.92067661926415034816
(day so A082838 trong bang OEIS).
Theo heuristic, chuoi nay hoi tu boi vi hau nhu moi so lon đeu chua moi chu so. Vi du chang han, cho mot so nguyen co 100 chu so, so đo se rat co kha nang chua it nhat mot chu so 9 trong đo, do đo no co the bi loai khoi tong tren.
Schmelzer va Baillie tim ra thuat toan hieu qua trong bai toan tong quat loai bo bat ky xau chu so. Vi du chang han, tong cua 1/n trong đo n khong chua "42" co gia tri nam vao khoang 228.44630415923081325415. Mot vi du khac: tong cua 1/n trong đo n khong chua xau chu so "314159" la khoang 2302582.33386378260789202376. (Tat ca gia tri nay đeu đa đuoc lam tron o chu so cuoi.)


Tinh hoi tu Bai chung minh tinh hoi tu cua Kempner đuoc nhac lai trong nhieu sach, vi du nhu trong sach cua Hardy va Wright, va ngoai ra cung la bai tap trong cuon Apostol. Ta nhom cac phan tu theo so chu so cua mau so. So cac so nguyen duong co n chu so va khong co chu so '9' la 8 × 9n−1 boi vi co 8 lua chon (tu 1 đen 8) cho chu so đau tien, va 9 lua chon đoc lap (tu 0 đen 8) cho moi chu so con lai trong n−1 chu so. Moi so khong chua chu so '9' nay lon hon hoac bang voi 10n−1, do đo nghich đao cua moi so nay nho hon hoac bang voi 101−n. Do đo, tong cua toan bo nhom nay nho hon 8 × (9/10)n−1. Do đo tong ban đau khong lon hon

  
    
      
        8
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              
                9
                10
              
            
            )
          
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        80.
      
    
    {\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80.}
  

Ta co the lap luan tuong tu cho bat ky chu so khac khong. So cac so nguyen duong n chu so khong chua chu so '0' la 9n, do đo tong cua 1/n trong đo n khong co chu so '0' khong qua

  
    
      
        9
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              
                9
                10
              
            
            )
          
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        90.
      
    
    {\displaystyle 9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90.}
  

Chuoi nay van hoi tu neu ta loai bo đi k chu so lien tiep, vi du chang han, neu ta bo cac phan tu co xau chu so 42 thi ta van co the chung minh theo cach gan nhu tren. Đau tien, quan sat rang ta co the lam viec voi cac so trong he co so 10k va bo đi cac phan tu co mau so chua "chu so" bang voi xau tren. Chung minh tuong tu voi he co so 10 se cho thay chuoi nay hoi tu. Sau đo quay ve he co so 10, ta nhan thay rang chuoi nay chua cac phan tu co mau so bo xau cho truoc va cac cac mau so chua no neu no khong nam trong gioi han "k chu so". Vi du chang han neu ta bo 42, thi trong he co so 100, chuoi nay se bo ca 4217 va 1742, nhung khong bo 1427, do đo no lon hon tong khong chua 42 (Trong he co so 100, so co 4 chu so trong co so 10 se chuyen thanh so co hai chu so, so 42 goc hoac se la chu so trai hoac chu so phai, hoac co chu so 4 nam o chu so trai va chu so hai o chu so phai, phuong phap chung minh tren chi loai bo hoan toan chu so chu khong nua nay nua no, do đo so 1427 van đuoc cong vao).
Farhi xet chuoi Kempner tong quat, la cac tong S(d, n) cua cac nghich đao cua cac so tu nhien chua n lan chu so  d trong đo 0 ≤ d ≤ 9 (do vay, tong cua chuoi Kempner goc la S(9, 0)). Ong chung minh rang cho moi chu so d day cac gia tri S(d, n) voi n ≥ 1 la day giam dan va hoi tu đen 10 ln 10. Day nay chua thuc su giam dan khi bat đau voi n = 0; vi du chang han, đoi voi chuoi Kempner goc ta co S(9, 0) ≈ 22.921 < 23.026 ≈ 10 ln 10 < S(9, n) voi n ≥ 1.


Cac phuong phap xap xi Chuoi nay hoi tu cuc ky cham. Baillie đa chi ra rang sau khi cong 1024 phan tu, hieu giua can tren voi gia tri tong van lon hon 1.
Can tren 80 van con tho. Trong 1916, Irwin đa chung minh gia tri cua tong chuoi Kempner nam giua 22.4 va 23.3, sau nay tim ra đuoc gia tri tren 22.92067...
Baillie xet tong cua nghich đao cua tat ca cac luy thua bac j cho moi j. Ong phat trien cong thuc đe quy bieu dien tong cua luy thua bac j tu khoi (k + 1) chu so bang cac luy thua cao hon cua khoi k chu so. Do đo, chi can mot luong tinh toan nho, chuoi goc (tuong ung voi j = 1, cong tren tat ca gia tri k) co the đuoc uoc luong chinh xac.


Xem them Ham Kempner
Tap nho


Chu thich Lien ket ngoai "Summing Curious, Slowly Convergent, Harmonic Subseries". Preprint of the paper by Thomas Schmelzer and Robert Baillie.
"Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series". Mathematica package by Thomas Schmelzer and Robert Baillie implementing their algorithm.