So pi (ky hieu: π), con goi la hang so Archimedes, la mot hang so toan hoc co gia tri bang ty so giua chu vi cua mot đuong tron voi đuong kinh cua đuong tron đo. Hang so nay co gia tri xap xi bang 3,142 hoac 22⁄7 hoac 355⁄113. No đuoc bieu dien bang chu cai Hy Lap π tu giua the ky XVIII.
π la mot so vo ti, nghia la no khong the đuoc bieu dien chinh xac duoi dang ti so cua hai so nguyen. Noi cach khac, no la mot so thap phan vo han khong tuan hoan. Hon nua, π con la mot so sieu viet – tuc la no khong phai la nghiem cua bat ki đa thuc voi he so huu ti nao. Tinh sieu viet cua π keo theo su vo nghiem cua bai toan cau phuong. Cac con so trong bieu dien thap phan cua π duong nhu xuat hien theo mot thu tu ngau nhien, mac du nguoi ta chua tim đuoc bang chung nao cho tinh ngau nhien nay.
Trong hang ngan nam, cac nha toan hoc đa no luc mo rong tam hieu biet cua con nguoi ve so π, đoi khi bang viec tinh ra gia tri cua no voi đo chinh xac ngay cang cao. Truoc the ky XV, cac nha toan hoc nhu Archimedes va Luu Huy đa su dung cac ki thuat hinh hoc, dua tren đa giac, đe uoc luong gia tri cua π. Bat đau tu the ky XV, nhung thuat toan moi dua tren chuoi vo han đa cach mang hoa viec tinh toan so π, đuoc nhung nha toan hoc nhu Madhava cua Sangamagrama, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss va Srinivasa Ramanujan su dung.
Trong the ky XXI, cac nha toan hoc va cac nha khoa hoc may tinh đa kham pha ra nhung cach tiep can moi – ket hop voi s – đe mo rong kha nang bieu dien thap phan cua so π toi hang nghin ti chu so. Cac ung dung khoa hoc thong thuong yeu cau khong qua 40 chu so cua π, do đo đong luc cua nhung tinh toan nay chu yeu la tham vong cua con nguoi muon đat toi nhung ki luc moi, nhung nhung tinh toan đo cung đuoc su dung đe kiem tra cac sieu may tinh va cac thuat toan tinh nhan voi đo chinh xac cao.
Do đinh nghia cua π lien he voi đuong tron, ta co the tim thay no trong nhieu cong thuc luong giac va hinh hoc, đac biet la nhung cong thuc lien quan toi đuong tron, đuong elip, hoac hinh cau. No cung xuat hien trong cac cong thuc cua cac nganh khoa hoc khac, nhu vu tru hoc, ly thuyet so, thong ke, phan dang, nhiet đong luc hoc, co hoc va đien tu hoc. Su co mat rong rai cua so π khien no tro thanh mot trong nhung hang so toan hoc đuoc biet đen nhieu nhat, ca trong lan ngoai gioi khoa hoc: mot so sach viet rieng ve so π đa đuoc xuat ban; ngay so pi; bao chi thuong đat nhung tin tuc ve ki luc tinh toan chu so moi cua π tren trang nhat. Mot so nguoi con co gang ghi nho gia tri cua π voi đo chinh xac ngay cang tang, đat toi ki luc tren 70.000 chu so.


Tong quan = Đinh nghia =

π thong thuong đuoc đinh nghia la ti so giua chu vi cua đuong tron C voi đuong kinh cua no d:

  
    
      
        π
        =
        
          
            C
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}
  

Ti so C/d la hang so, bat ke kich thuoc cua đuong tron du to hay nho. Vi du, neu mot đuong tron co đuong kinh gap đoi đuong kinh cua mot đuong tron khac thi no cung co chu vi lon gap đoi, bao toan ti so C/d. Đinh nghia nay ve π khong pho quat, boi vi no chi đung trong hinh hoc Euclid (phang) va khong đung trong hinh hoc phi Euclid (cong). Vi ly do nay, mot so nha toan hoc ua dung nhung đinh nghia khac ve π dua tren vi tich phan hoac luong giac von khong phu thuoc vao đuong tron. Mot đinh nghia nhu the la: π bang hai lan so x duong, nho nhat ma voi no cos(x) bang 0.


= Ten goi =

Ky hieu đuoc cac nha toan hoc su dung đe bieu dien ti so giua chu vi cua mot đuong tron va đuong kinh cua no la chu cai Hy Lap π. Chu cai nay đuoc bieu dien bang tu Latin pi. Khong đuoc nham lan ky tu in thuong π (hoac duoi dang chu khong co net chan chu π) voi ky tu in hoa Π (Π trong toan hoc dung đe bieu dien mot tich day so hay day ham).
Nha toan hoc đau tien dung π voi đinh nghia nhu tren la William Jones, trong cuon "Synopsis Palmariorum Matheseos" (tam dich, Nhap mon Toan hoc moi) nam 1706. Cu the, ky tu π lan đau tien xuat hien trong cum tu "1/2 Periphery (π)" trong đoan ban ve mot đuong tron voi ban kinh bang 1. Co the ong đa chon π boi vi no la chu cai đau tien trong cach ky am tieng Hy Lap περιφερεια cua tu periphery (nghia la vien ngoai, cung tuc la chu vi). Jones viet rang cac phuong trinh cua π đuoc lay tu "ban viet co san cua John Machin thien tai", dan đen phong đoan rang Machin co le đa su dung ky tu Hy Lap nay truoc Jones, tuy nhien khong co bang chung truc tiep ve đieu nay. Ngoai ra, ky tu π đa xuat hien truoc đo trong cac ky hieu hinh hoc; chang han, vao nam 1631 William Oughtred đa dung no đe bieu dien nua chu vi cua hinh tron.
Sau khi Jones gioi thieu ky hieu nay nam 1706, no đa khong đuoc cac nha toan hoc khac chap nhan; thay vao đo ho thuong dung chu cai c hoac p. Đieu nay thay đoi khi Euler bat đau dung no nam 1736. Vi Euler thuong xuyen trao đoi thu tu voi nhung nha toan hoc khac tren toan chau Au, viec su dung ky tu Hy Lap nay lan rong nhanh chong. Nam 1748, Euler su dung π trong cuon sach rat pho bien cua ong, Introductio in analysin infinitorum (Dan nhap Giai tich vo han), trong đo ong viet: "đe cho ngan gon chung ta se viet so nay la π; nghia la, π bang mot nua chu vi cua đuong tron ban kinh bang 1". Cach ky hieu nay ke tu đo đuoc chap nhan rong rai o phuong Tay.


= Tinh chat =
π la mot so vo ti, co nghia la no khong the đuoc bieu dien duoi dang ti so cua hai so nguyen, nhu 22/7 hay cac phan so khac thuong đuoc dung đe xap xi π. Vi π la so vo ti, bieu dien thap phan cua no co so chu so vo han, va no khong ket thuc o dang lap lai vo han (vo han tuan hoan) cac chu so. Co nhieu cach đe chung minh π la so vo ti; phuong phap thuong dung la su dung phep vi tich phan va phuong phap chung minh bang phan chung. Muc đo xap xi hoa π bang so huu ti (goi la đo vo ti, hay hang so Liouville–Roth) van chua đuoc xac đinh chinh xac; nguoi ta uoc luong rang đo vo ti cua π lon hon e hoac ln(2), nhung nho hon so Liouville.

π la mot so sieu viet, tuc la no khong phai la nghiem cua bat cu phuong trinh đai so voi he so huu ti nao, nhu 
  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  5
                
              
              120
            
          
          
          −
          
          
            
              
                x
                
                  3
                
              
              6
            
          
          
          +
          
          x
          
          =
          
          0
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\frac {x^{5}}{120}}\,-\,{\frac {x^{3}}{6}}\,+\,x\,=\,0}
  
. Tinh chat sieu viet cua π co hai he qua quan trong: thu nhat, π khong the đuoc bieu dien bang to hop cac so huu ti va can bac n nhu 
  
    
      
        
          
            
              31
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{31}}}
  
 hay 
  
    
      
        
          
            
              10
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{2}]{10}}}
  
. Thu hai, vi khong co so sieu viet nao co the đuoc xac đinh bang phep dung hinh bang thuoc ke va compa, nen khong the giai bai toan "cau phuong hinh tron". Noi cach khac, neu chi su dung compa va thuoc ke thi khong the xay dung mot hinh vuong ma dien tich cua no bang dien tich cua mot hinh tron cho truoc. Cau phuong hinh tron la mot trong nhung bai toan hinh hoc quan trong trong thoi co đai. Mot so nha toan hoc nghiep du thoi hien đai co luc tuyen bo ho thanh cong du đieu nay la khong the.
Cac chu so cua π khong co mot quy luat ro rang nao va vuot qua nhung kiem thu ve tinh ngau nhien thong ke, trong đo co kiem thu tinh chuan tac; mot so vo han đuoc goi la 'chuan tac' khi moi day so kha di (voi đo dai bat ki) co tan suat xuat hien la nhu nhau. Nguoi ta van chua the khang đinh hoac bac bo gia thuyet rang π la 'chuan tac'. Ke tu khi may vi tinh ra đoi, nguoi ta đa tinh đuoc so π voi so luong chu so lon, đu đe thuc hien cac phan tich thong ke. Yasumasa Kanada đa thuc hien cac phan tich thong ke chi tiet ve cac chu so thap phan cua π, va thay rang chung phu hop voi tinh chuan tac; chang han, tan suat xuat hien cac chu so tu 0 toi 9 đuoc su dung đe kiem tra y nghia thong ke, va khong tim thay bang chung ve mot hinh mau nao. Bat chap viec cac chu so cua π đa vuot qua cac bai kiem tra ve tinh ngau nhien, π duong nhu van chua nhung day so co ve co quy luat đoi voi nhung nguoi khong phai nha toan hoc, nhu điem Feynman, la mot day sau chu so 9 lien tiep bat đau tu vi tri thu 762 trong bieu dien thap phan cua π.


= Phan so lien tuc =

Giong nhu tat ca cac so vo ti khac, π khong the đuoc bieu dien bang mot phan so thuong; nhung mat khac, moi so vo ti, bao gom ca π, co the đuoc bieu dien boi mot chuoi vo han nhung phan so long vao nhau, đuoc goi la phan so lien tuc:

  
    
      
        π
        =
        3
        +
        
          
            
              1
              
                7
                +
                
                  
                    
                      1
                      
                        15
                        +
                        
                          
                            
                              1
                              
                                1
                                +
                                
                                  
                                    
                                      1
                                      
                                        292
                                        +
                                        
                                          
                                            
                                              1
                                              
                                                1
                                                +
                                                
                                                  
                                                    
                                                      1
                                                      
                                                        1
                                                        +
                                                        
                                                          
                                                            
                                                              1
                                                              
                                                                1
                                                                +
                                                                ⋱
                                                              
                                                            
                                                          
                                                        
                                                      
                                                    
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
  

Chat cut phan so lien tuc nay o bat ki điem nao se tao nen mot phan so xap xi voi π; hai phan so nhu vay (22/7 va 355/113) tung đuoc su dung trong lich su đe tinh gan đung hang so nay. Cac so gan đung đuoc sinh ra theo cach nay la đuoc goi la 'xap xi huu ti tot nhat'; nghia la, chung gan voi π hon bat ki phan so nao khac co mau so bang hoac nho hon. Mac du phan so lien tuc đon gian cho π (o tren) khong the hien mot nguyen tac nao, cac nha toan hoc đa kham pha ra vai phan so lien tuc tong quat (tong quat hoa phan so lien tuc thuong trong dang chinh tac) co quy luat, chang han:

  
    
      
        π
        =
        
          
            
              
                
                  
                
                
                  
                    4
                  
                
              
              
                
                  
                
                
                  
                    1
                    +
                    
                      
                        
                          
                            1
                            
                              2
                            
                          
                          
                            2
                            +
                            
                              
                                
                                  
                                    3
                                    
                                      2
                                    
                                  
                                  
                                    2
                                    +
                                    
                                      
                                        
                                          
                                            5
                                            
                                              2
                                            
                                          
                                          
                                            2
                                            +
                                            
                                              
                                                
                                                  
                                                    7
                                                    
                                                      2
                                                    
                                                  
                                                  
                                                    2
                                                    +
                                                    
                                                      
                                                        
                                                          
                                                            9
                                                            
                                                              2
                                                            
                                                          
                                                          
                                                            2
                                                            +
                                                            ⋱
                                                          
                                                        
                                                      
                                                    
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
          =
          3
          +
          
            
              
                
                  1
                  
                    2
                  
                
                
                  6
                  +
                  
                    
                      
                        
                          3
                          
                            2
                          
                        
                        
                          6
                          +
                          
                            
                              
                                
                                  5
                                  
                                    2
                                  
                                
                                
                                  6
                                  +
                                  
                                    
                                      
                                        
                                          7
                                          
                                            2
                                          
                                        
                                        
                                          6
                                          +
                                          
                                            
                                              
                                                
                                                  9
                                                  
                                                    2
                                                  
                                                
                                                
                                                  6
                                                  +
                                                  ⋱
                                                
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            =
            
              
                
                  
                    
                      
                    
                    
                      
                        4
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                    
                    
                      
                        1
                        +
                        
                          
                            
                              
                                1
                                
                                  2
                                
                              
                              
                                3
                                +
                                
                                  
                                    
                                      
                                        2
                                        
                                          2
                                        
                                      
                                      
                                        5
                                        +
                                        
                                          
                                            
                                              
                                                3
                                                
                                                  2
                                                
                                              
                                              
                                                7
                                                +
                                                
                                                  
                                                    
                                                      
                                                        4
                                                        
                                                          2
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        9
                                                        +
                                                        ⋱
                                                      
                                                    
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
  


= Gia tri gan đung =
Mot so gia tri gan đung cua π bao gom:

Dang phan so: Cac gia tri xap xi bao gom (theo thu tu đo chinh xac tang dan) 
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
        ,
        
          
            333
            106
          
        
        ,
        
          
            355
            113
          
        
        ,
        
          
            52163
            16604
          
        
        ,
        
          
            103993
            33102
          
        
        ,
        
          
            104348
            33215
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {52163}{16604}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}}}
  
 va 
  
    
      
        
          
            245850922
            78256779
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {245850922}{78256779}}}
  
. (chon loc tu day so  A063674 va  A063673 trong bang OEIS)
Dang thap phan: 100 chu so thap phan đau cua π la 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.... (xem  A000796)
Dang can: 
  
    
      
        
          
            9
            ,
            869604401089357
          
        
        ,
        
          
            
              31
              ,
              00627668
            
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {9,869604401089357}},{\sqrt[{3}]{31,00627668}}}
  
.
Dang nhi phan: 11.001001000011111101101010100010001000010110100011... (xem  A004601)
Dang thap luc phan: 3.243F6A8885A308D31319.... (xem  A062964)
Dang luc thap phan: Nam chu so đau tien cua π trong he luc thap phan la 3;8,29,44,0,47 (xem  A060707)
Dang he tam phan: 38 chu so đau tien cua π trong he tam phan la 10.0102110122220102110021111102212222201... (xem  A004602)


Lich su = Thoi Co đai =
Kim tu thap Kheops o Giza (xay dung vao khoang thoi gian 2589–2566 tr.CN) đuoc thiet ke voi chu vi khoang 1760 cubit (1 cubit bang khoang 0,5 met) va chieu cao khoang 280 cubit. Dua vao ti le 1760/280 ≈ 6.2857, xap xi bang τ = 2π ≈ 6.2832, mot so nha Ai Cap hoc ket luan rang nhung nha xay dung kim tu thap đa biet đen so π va chu y thiet ke kim tu thap theo ti le đuong tron. Tuy nhien nhieu nguoi khong đong tinh voi y kien nay va khang đinh moi quan he voi so π đon thuan la mot su trung hop, boi khong co bang chung cho thay nhung nguoi xay dung kim tu thap đa biet đen so π, va kich thuoc cua kim tu thap con dua tren nhieu yeu to khac.
Nhung uoc luong som nhat ve π đuoc tim thay o Ai Cap va Babylon co nien đai tu thien nien ki thu 2 truoc Cong nguyen, voi sai so tuong đoi cung vao co mot phan tram. O Babylon, mot tam đat set co nien đai khoang 1900–1600 tr.CN đa ghi lai mot phat bieu hinh hoc, trong đo am chi uoc luong so π bang 25/8 = 3,1250. O Ai Cap, cuon giay Rhind, co nien đai khoang 1650 tr.CN, ban sao cua mot van ban co tu khoang 1850 tr.CN, co ghi mot cong thuc tinh dien tich hinh tron, trong đo gan cho gia tri cua π bang (16/9)2 ≈ 3,1605.
O An Đo vao khoang 600 nam truoc Cong nguyen, bo Kinh Shulba (viet bang tieng Phan voi nhieu noi dung toan hoc) đa cho so π bang (9785/5568)2 ≈ 3,088. Vao nam 150 tr.CN hoac som hon, co tai lieu cua An Đo đanh gia π bang 
  
    
      
        
          
            
              10
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {10}}}
  
 ≈ 3,1622.
Hai bai tho trong Kinh thanh Hebrew (đuoc viet giua the ky VIII va the ky III tr.CN) mo ta mot ho nuoc dung trong nghi le tai Đen Solomon co đuong kinh 10 cubit va chu vi 30 cubit, bai tho ngu y rang π bang 3 neu ho co hinh tron. Hoc gia nguoi Do Thai Rabbi Nehemiah giai thich su sai khac nam o đo day cua ho. Cong trinh ve hinh hoc cua ong, Mishnat ha–Middot, viet vao khoang nam 150 CN va coi π bang 21/7.


= Thoi ki cua phep xap xi đa giac =

Thuat toan chat che đau tien đuoc ghi chep đe tinh gia tri cua π la mot cach tiep can hinh hoc su dung đa giac, đuoc phat minh vao khoang nam 250 tr. CN boi nha toan hoc nguoi Hy Lap Archimedes. Thuat toan đa giac cua Archimedes thong tri suot hon 1000 nam, khien cho π đoi khi đuoc goi la "hang so Archimedes". Archimedes đa tinh toan cac gioi han tren va duoi cua π bang cach ve hai đa giac đeu co cung so canh, mot noi tiep va mot ngoai tiep voi cung mot hinh tron, sau đo tu tu tang so canh len gap đoi cho đen khi đat đen đa giac đeu 96 canh. Bang cach tinh chu vi cua cac đa giac nay, ong chung minh rang 223/71 < π < 22/7 (3,1408 < π < 3,1429). Co the chinh can tren 22/7 cua phep tinh đa dan đen viec nhieu nguoi cho rang π bang 22/7. Khoang nam 150 CN, nha khoa hoc Hy Lap–La Ma Ptolemaeus, trong bo Almagest cua minh, đa đua ra gia tri π bang 3,1416, co le la lay lai ket qua tinh toan cua Archimedes hoac cua Apollonius xu Pergaeus. Cac nha toan hoc, bang cach su dung thuat toan đa giac, đa tinh đuoc toi chu so thu 39 cua π vao nam 1630, mot ki luc ma đen nam 1699 moi đuoc pha vo khi chu so thu 71 đuoc tinh ra bang phuong phap chuoi vo han.

O Trung Hoa co đai, cac gia tri cua π bao gom 3,1547 (khoang nam thu nhat cua Cong Nguyen), 
  
    
      
        
          
            
              10
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {10}}}
  
 (100 cua Cong Nguyen, xap xi 3,1623) va 142/45 (the ky thu III, xap xi 3,1556). Vao khoang nam 265, nha toan hoc trieu Tao Nguy ten la Luu Huy đa phat minh ra thuat toan lap dua tren đa giac (thuat toan π Luu Huy) va su dung no voi mot đa giac 3072 canh đe thu đuoc gia tri cua π bang 3,1416. Cung chinh Luu Huy sau đo đa phat trien mot phuong phap nhanh hon đe tinh π va thu đuoc gia tri 3,14 voi mot đa giac 96 canh, bang cach loi dung tinh chat la hieu dien tich cac đa giac lien tiep tao nen mot day cap so nhan voi he so 4. Vao khoang nam 480, mot nha toan hoc Trung Quoc khac la To Xung Chi đa tinh toan ra π ≈ 355/113, su dung thuat toan Luu Huy cho đa giac 12.288 canh. Voi gia tri chinh xac o bay chu so thap phan đau tien, gia tri 3,141592920... la gia tri gan đung chinh xac nhat cua π ma con nguoi tinh đuoc trong suot hon 800 nam sau đo.
Trong khi đo, nha thien van nguoi An Đo Aryabhata su dung gia tri 3,1416 trong sach Aryabhatiya cua ong (nam 499 cua Cong Nguyen). Fibonacci vao khoang nam 1220 đa tinh ra gia tri 3,1418 bang mot phuong phap đa giac khac voi phuong phap cua Archimedes. Van hao nguoi Y Dante duong nhu đa su dung gia tri cua π la 
  
    
      
        
          3
          +
          
            
              2
            
          
          
            /
          
          10
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle 3+{\sqrt {2}}/10}
  
 ≈ 3,14142.
Nha thien van Ba Tu Jamshid al–Kashi đa tim ra 16 chu so vao nam 1424 bang cach su dung đa giac co 3×228 canh, xac lap mot ki luc the gioi moi ton tai đuoc khoang 180 nam. Nha toan hoc Phap Francois Viete vao nam 1579 tinh đuoc 9 chu so bang mot đa giac 3×217 canh. Nha toan hoc xu Vlaanderen Adriaan van Roomen đat toi chu so 15 vao nam 1593. Nam 1596, nha toan hoc nguoi Ha Lan Ludolph van Ceulen đat toi 20 chu so, mot ki luc đuoc chinh ong ve sau noi rong len thanh 35 chu so (ket qua so π đuoc goi la "so Ludolph" trong tieng Đuc cho toi tan đau the ky XX). Khoa hoc gia nguoi Ha Lan Willebrord Snellius đat toi 34 chu so vao nam 1621 va nha thien van hoc nguoi Ao Christoph Grienberger đat toi 39 chu so vao nam 1630, đen nay van la ket qua chinh xac nhat đuoc tinh thu cong bang thuat toan su dung đa giac.


= Nhung chuoi so vo han =
Viec tinh toan so π đuoc cach mang hoa boi su phat trien ki thuat chuoi so vo han trong cac the ky XVI va XVII. Mot chuoi vo han la mot tong cac so hang cua mot day vo han. Chuoi vo han cho phep cac nha toan hoc tinh toan π voi đo chinh xac lon hon nhieu đo chinh xac đat đuoc tu phuong phap cua Archimedes va cac ki thuat hinh hoc khac. Mac du chuoi vo han đuoc su dung cho so π noi tieng nhat boi cac nha toan hoc chau Au nhu James Gregory va Gottfried Leibniz, cach tiep can nay đuoc kham pha lan đau tien o An Đo vao giua nhung nam 1400 va 1500 CN. Ban ghi chep đau tien mo ta mot chuoi vo han co the tinh toan so π nam trong mot bai tho tieng Phan cua nha thien van An Đo Nilakantha Somayaji trong tap Tantrasamgraha cua ong, ra đoi khoang nam 1500. Trong tap sach, chuoi nay đuoc chep lai ma khong co chung minh, nhung phep chung minh đa đuoc trinh bay trong mot cong trinh An Đo sau đo, Yuktibhasa, do Jyesthadeva bien soan vao khoang nam 1530. Nilakantha quy chuoi nay la phat hien cua mot nha toan hoc An Đo truoc đo, Madhava cua Sangamagrama, nguoi song trong khoang nhung nam 1350–1425. Mot so chuoi vo han đuoc mo ta, bao gom cac chuoi sin, tang, va cosin, ngay nay đuoc biet duoi ten chuoi Madhava hay chuoi Gregory–Leibniz. Madhava đa su dung nhung chuoi vo han đe đanh gia π toi 11 chu so vao khoang nam 1400, nhung ki luc nay đa bi đanh bai boi mot thuat toan đa giac cua Jamshid al–Kashi nam 1430.

Day so vo han đau tien đuoc kham pha o chau Au la mot tich vo han (thay vi mot tong vo han, von pho bien hon trong phep tinh so π) đuoc tim thay boi nha toan hoc Phap Francois Viete nam 1593:

  
    
      
        
          
            2
            π
          
        
        =
        
          
            
              2
            
            2
          
        
        ×
        
          
            
              2
              +
              
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        ×
        
          
            
              2
              +
              
                
                  2
                  +
                  
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            2
          
        
        ×
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\times {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\times {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\times \cdots }
  

Day so vo han thu hai o chau Au cua John Wallis (1655) cung la mot tich vo han nua. Kham pha ra phep vi tich phan, boi nha khoa hoc Anh Isaac Newton va nha toan hoc Đuc Leibniz vao thap nien 1660 đa dan toi su phat trien nhieu chuoi vo han đe đanh gia π. Chinh Newton cung dung mot chuoi arcsin đe tinh ra mot xap xi 15 chu so cho so π vao khoang nam 1665 hoac 1666, va ve sau nay viet rang "Toi lay lam ho then đe ke voi anh bao nhieu con so toi đa thuc hien cho nhung tinh toan nay, chang co viec gi hon đe lam vao luc đo ca".
O chau Au, cong thuc Madhava đuoc kham pha lai boi nha toan hoc Scotland James Gregory nam 1671, va boi Leibniz nam 1674:

  
    
      
        arctan
        ⁡
        z
        =
        z
        −
        
          
            
              z
              
                3
              
            
            3
          
        
        +
        
          
            
              z
              
                5
              
            
            5
          
        
        −
        
          
            
              z
              
                7
              
            
            7
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }
  

Cong thuc nay, tuc chuoi Gregory–Leibniz, tuong đuong 
  
    
      
        
          π
          
            /
          
          4
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \pi /4}
  
 khi đanh gia voi z = 1. Nam 1699, nha toan hoc Anh Abraham Sharp su dung chuoi Gregory–Leibniz đe tinh π toi 71 chu so, pha vo ki luc truoc đo voi 39 chu so xac lap boi mot thuat toan đa giac. Chuoi Gregory–Leibniz đon gian, nhung no hoi tu rat cham (co nghia la, tiem can voi gia tri chinh xac mot cach tu tu qua tung so hang), do đo nguoi ta khong dung no trong cac phep tinh toan so π hien đai.
Nam 1706 John Machin su dung chuoi Gregory–Leibniz đe tao nen mot thuat toan hoi tu nhanh hon nhieu:

  
    
      
        
          
            π
            4
          
        
        =
        4
        
        arctan
        ⁡
        
          
            1
            5
          
        
        −
        arctan
        ⁡
        
          
            1
            239
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
  

Machin đa đat toi 100 chu so cua π voi cong thuc nay. Cac nha toan hoc khac tao nen nhung bien the cua no, ngay nay đuoc biet duoi ten "cac cong thuc kieu Machin", đuoc dung đe thiet lap mot so ki luc tiep theo cho so chu so cua π. Cac cong thuc kieu Machin duy tri la phuong phap đuoc biet đen nhieu nhat đe tinh toan π khi tien toi nguong cua ki nguyen may tinh, va chung đa tao nen cac ki luc trong 250 nam, len đen đinh điem vao mot phep gan đung 620 chu so nam 1946 boi Daniel Ferguson – đay chinh la ket qua cao nhat ma con nguoi tung đat đuoc ma khong co su giup đo cua mot thiet bi tinh toan nao.
Mot ki luc đang chu y đuoc thiet lap boi thien tai tinh toan Zacharias Dase vao nam 1844 khi ong 20 tuoi. Ong đa su dung mot cong thuc kieu Machin đe tinh toan 200 chu so cua π trong đau duoi su chi đao cua nha toan hoc Đuc Carl Friedrich Gauss. Nha toan hoc Anh William Shanks noi tieng vi danh 15 nam đe tinh toan π toi 707 chu so (hoan thanh nam 1873), nhung ve sau nguoi ta tim thay mot loi sai o chu so thu 528, keo tat ca nhung so đang sau sai theo.


 Toc đo hoi tu  Mot so chuoi vo han cho π hoi tu nhanh hon nhung chuoi khac. Cho truoc hai chuoi vo han cho π, cac nha toan hoc thong thuong su dung chuoi hoi tu nhanh hon boi nhu the đong nghia voi viec giam đuoc so luong phep tinh cho bat ki đo chinh xac yeu cau nao. Mot chuoi vo han cho π la chuoi Gregory–Leibniz:

  
    
      
        π
        =
        
          
            4
            1
          
        
        −
        
          
            4
            3
          
        
        +
        
          
            4
            5
          
        
        −
        
          
            4
            7
          
        
        +
        
          
            4
            9
          
        
        −
        
          
            4
            11
          
        
        +
        
          
            4
            13
          
        
        −
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }
  

Khi cac so hang rieng le cua chuoi vo han nay đuoc cong them vao tong, tong so tien gan hon dan dan toi π, va – voi mot so luong so hang đu – no se tien đen π gan nhu mong muon. No hoi tu kha cham, sau 500 000 so hang, no chi sinh ra 5 chu so chinh xac cua π.
Mot chuoi vo han cho π đuoc cong bo boi Nilakantha vao the ky XV hoi tu nhanh hon nhieu chuoi Gregory–Leibniz:

  
    
      
        π
        =
        3
        +
        
          
            4
            
              2
              ×
              3
              ×
              4
            
          
        
        −
        
          
            4
            
              4
              ×
              5
              ×
              6
            
          
        
        +
        
          
            4
            
              6
              ×
              7
              ×
              8
            
          
        
        −
        
          
            4
            
              8
              ×
              9
              ×
              10
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }
  

Bang sau so sanh toc đo hoi tu cua hai chuoi nay:

Sau 5 so hang, tong cua chuoi Gregory–Leibniz nam trong sai so tuyet đoi co 0,2 cua π, trong khi tong cua chuoi Nilakantha sai so chi co 0,002. Nhu vay chuoi Nilakantha hoi tu nhanh hon va huu dung hon trong viec tinh toan so π. Nhung chuoi tham chi hoi tu con nhanh hon bao gom cac chuoi kieu Machin va chuoi Chudnovsky, trong đo chuoi Chudnovsky tao ra 14 chu so thap phan đung cho moi so hang them vao.


= Tinh vo ti va tinh sieu viet =

Khong phai tat ca cac tien bo toan hoc lien quan toi π đeu nham vao viec tang đo chinh xac cua phep xap xi. Khi Euler giai Bai toan Basel vao nam 1735, tim ra gia tri chinh xac cua tong cac can bac hai, ong đa thiet lap mot moi lien he giua π va cac so nguyen to ma ve sau gop phan vao su phat trien va nghien cuu ham zeta Riemann:

  
    
      
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              4
              
                2
              
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }
  

Nha khoa hoc Thuy Si Johann Heinrich Lambert vao nam 1761 chung minh rang π la so vo ti, co nghia no khong bang ti so cua bat ki hai so huu ti nao. Phep chung minh cua Lambert khai thac mot bieu dien phan so lien tuc cua ham tang. Nha toan hoc Phap Adrien–Marie Legendre vao nam 1794 chung to rang π2 cung la so vo ti. Nam 1882, nha toan hoc Đuc Ferdinand von Lindemann chung to rang π la so sieu viet, xac nhan mot phong đoan đuoc ca Legendre va Euler đua ra truoc đo.


= Ki nguyen may tinh va cac thuat toan lap =

Su phat trien cua may tinh vao giua the ky XX mot lan nua đa cach mang hoa cuoc san lung nhung chu so cua π. Cac nha toan hoc Hoa Ky la John Wrench va Levi Smith đa đat toi 1120 chu so vao nam 1949 voi mot may tinh ban. Su dung mot chuoi vo han arctang, mot nhom đung đau boi George Reitwiesner va John von Neumann đa đat đuoc 2037 chu so voi mot phep tinh đoi hoi 70 gio lam viec cua may tinh ENIAC. Ki luc, luon dua vao cac chuoi arctang, lien tuc bi pha vo sau đo (7.480 chu so nam 1957, 10.000 chu so nam 1958, 100.000 nam 1961) cho đen khi 1 trieu chu so đat đuoc vao nam 1973.

Hai tien bo khac khoang nam 1980 mot lan nua tang toc kha nang tinh toan so π. Thu nhat, kham pha ra cac thuat toan lap đe tinh π nhanh hon nhieu cac chuoi vo han; va thu hai, su phat minh ra thuat toan nhan nhanh cho phep nhan nhung so lon mot cach nhanh chong. Nhung thuat toan nhu vay la đac biet quan trong trong viec tinh toan so π thoi hien đai, boi hau het thoi gian van hanh may tinh la danh cho cac phep nhan. Chung bao gom thuat toan Karatsuba, phep nhan Toom–Cook, va cac phuong phap dua tren bien đoi Fourier. 
Cac thuat toan lap đuoc cong bo mot cach đoc lap trong nam 1975–1976 boi nha vat ly Hoa Ky Eugene Salamin va nha khoa hoc Australia Richard Brent. Cac thuat toan nay cham dut su phu thuoc vao cac chuoi vo han. Mot thuat toan lap
(iterative algorithm) lap lai mot phep tinh đac trung, moi lan lap lai su dung đau ra tu buoc lap truoc lam đau vao cua no, va sinh ra mot ket qua trong moi buoc hoi tu ve gia tri mong muon. Cach tiep can nay thuc ra đa đuoc kham 160 nam truoc đo boi Carl Friedrich Gauss, trong mot phuong phap ma ngay nay goi la phuong phap AGM (arithmetic–geometric mean method, phuong phap trung binh hinh hoc–đai so) hay thuat toan Gauss–Legendre. Vi đuoc sua đoi boi Salamin va Brent, no cung con đuoc goi la thuat toan Brent–Salamin.
Cac thuat toan lap đuoc su dung rong rai sau 1980 boi no nhanh hon cac thuat toan chuoi vo han: trong khi cac chuoi vo han thuong tang so chu so chinh xac dan dan mot cach cong them, cac thuat toan lap lai thuong "nhan" so chu so chinh xac o moi buoc. Vi du, thuat toan Brent–Salamin nhan đoi so chu so trong moi lan lap. Nam 1984, hai anh em nguoi Canada John va Peter Borwein tao nen mot thuat toan lap nhan bon lan so chu so trong moi buoc; va nam 1987, mot thuat toan nhan nam lan moi buoc. Cac phuong phap lap đuoc su dung boi nha toan hoc Nhat Ban Yasumasa Kanada đe lap len mot so ki luc giua 1995 va 2002. Su hoi tu nhanh co đuoc kem theo mot cai gia: cac thuat toan lap đoi hoi bo nho nhieu hon đang ke so voi cac chuoi vo han.


= Đong luc tinh toan so π =

Đoi voi hau het cac tinh toan so lien quan toi π, mot it chu so thoi đa cung cap đo chinh xac can thiet. Chang han, theo Jorg Arndt va Christoph Haenel, 39 chu so la đu đe thuc hien cac tinh toan vu tru hoc, boi đay la đo chinh xac can thiet đe tinh the tich vu tru hien biet voi đo chinh xac co mot nguyen tu. Bat chap đieu nay, nhieu nguoi đa lam viec rat vat va đe tinh toan π toi hang nghin, hang trieu va nhieu hon the cac chu so. No luc nay mot phan co the quy cho su thuc ep con nguoi pha vo cac ki luc, va nhung thanh tich nhu the voi π thuong xuat hien tren trang nhat bao chi tren khap the gioi. Chung cung co nhung loi ich thuc tien, nhu la kiem tra cac sieu may tinh, kiem tra cac thuat toan giai tich so (bao gom cac thuat toan nhan chinh xac cao); va trong đia hat toan hoc thuan tuy, chung cung cap du lieu đe đanh gia tinh ngau nhien cac chu so cua π.


= Cac chuoi hoi tu nhanh =

Cac phep tinh so π hien đai khong chi su dung duy nhat thuat toan lap. Cac chuoi vo han moi đuoc phat hien vao nhung thap nien 1980 va 1990 cung hoi tu nhanh khong kem cac thuat toan lap, nhung đon gian hon va ton it bo nho hon. Chung đa manh nha xuat hien vao nam 1914, khi nha toan hoc An Đo Srinivasa Ramanujan cong bo hang chuc cong thuc moi cho so π, chung đang nho do tinh tao nha, chieu sau toan hoc va su hoi tu nhanh. Mot trong cac cong thuc cua ong, dua tren cac phuong trinh module:

  
    
      
        
          
            1
            π
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                
                  2
                
              
            
            9801
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              4
              k
              )
              !
              (
              1103
              +
              26390
              k
              )
            
            
              (
              k
              !
              
                )
                
                  4
                
              
              
                396
                
                  4
                  k
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}
  

Chuoi nay hoi tu nhanh hon rat nhieu hau het moi chuoi arctang, bao gom ca cong thuc Machin. Bill Gosper la nguoi đau tien su dung no đe tao nen nhung tien bo trong tinh toan π, lap nen ki luc 17 trieu chu so vao nam 1985. Cac cong thuc cua Ramanujan bao truoc cac thuat toan hien đai phat trien boi anh em nha Borwein va anh em nha Chudnovsky. Thuat toan Chudnovsky đuoc phat trien vao nam 1987 la:

  
    
      
        
          
            1
            π
          
        
        =
        12
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  k
                
              
              (
              6
              k
              )
              !
              (
              13591409
              +
              545140134
              k
              )
            
            
              (
              3
              k
              )
              !
              (
              k
              !
              
                )
                
                  3
                
              
              
                640320
                
                  3
                  k
                  +
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.\!}
  

No sinh ra khoang 14 chu so cua π moi so hang, va đa đuoc ap dung cho mot vai phep tinh lap ki luc ve π, trong đo co ki luc vuot mot ti chu so nam 1989 boi anh em nha Chudnovsky, tiep theo la chu so thu 2,7 nghin ti boi Fabrice Bellard vao ngay 31 thang 12 nam 2009, chu so thu 5 nghin ti vao nam 2010 va chu so thu 10 nghin ti vao nam 2011 boi Shigeru Kondo, va chu so thu 100 nghin ti vao nam 2022 boi Emma Haruka Iwao.
Nam 2006, nha toan hoc Canada Simon Plouffe đa su dung "thuat toan he thuc nguyen PSLQ" (PSLQ: Partial Sum of Least Squares – tong rieng phan cua cac binh phuong cuc tieu) đe tao ra mot vai cong thuc moi cho π, tuan theo mau sau:

  
    
      
        
          π
          
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                k
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                a
                
                  
                    q
                    
                      n
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
            +
            
              
                b
                
                  
                    q
                    
                      2
                      n
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
            +
            
              
                c
                
                  
                    q
                    
                      4
                      n
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)}
  

trong đo 
  
    
      
        
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathit {q}}}
  
 la hang so Gelfond eπ, 
  
    
      
        
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathit {k}}}
  
 la mot so le, va 
  
    
      
        
          
            a
            ,
            b
            ,
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathit {a,b,c}}}
  
 la nhung so huu ti ma Plouffe đua vao.


= Thuat toan mieng voi =
Hai thuat toan đuoc kham pha vao nam 1995 đa mo ra mot huong đi moi cho nghien cuu ve so π. Chung goi la cac thuat toan "mieng voi" (spigot algorithms) boi vi, giong nhu nuoc nho giot khoi mot mieng voi, chung tao ra tung chu so rieng le cua π khong đuoc tai su dung sau khi đa đuoc tinh ra. Đieu nay đoi lap voi cac chuoi vo han hay nhung thuat toan lap, la nhung thuat toan luu giu va su dung tat ca nhung chu so trung gian cho đen khi ket qua cuoi cung đuoc tao ra.
Cac nha toan hoc Hoa Ky Stan Wagon va Stanley Rabinowitz đa tao nen mot thuat toan mieng voi đon gian vao nam 1995. Toc đo cua no la tuong đuong voi cac thuat toan arctang, nhung khong nhanh bang cac thuat toan lap.
Mot thuat toan mieng voi khac, thuat toan trich xuat chu so Bailey–Borwein–Plouffe (BBP digit extraction algorithm), đuoc phat hien vao nam 1995 boi Simon Plouffe:

  
    
      
        π
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              16
              
                i
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                4
                
                  8
                  i
                  +
                  1
                
              
            
            −
            
              
                2
                
                  8
                  i
                  +
                  4
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  8
                  i
                  +
                  5
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  8
                  i
                  +
                  6
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \pi =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{i}}}\left({\frac {4}{8i+1}}-{\frac {2}{8i+4}}-{\frac {1}{8i+5}}-{\frac {1}{8i+6}}\right)}
  

Cong thuc nay, khong giong nhung cong thuc truoc đo, co the sinh ra bat ki chu so he thap luc phan cua π ma khong tinh toan toi cac chu so đung truoc no. Cac chu so nhi phan hay bat phan rieng re co the trich xuat tu cac chu so he thap luc phan. Cac bien the cua thuat toan nay đa đuoc phat hien, nhung cho toi nay chua tim thay thuat toan trich xuat chu so nao sinh ra nhanh chong cac chu so thap phan. Mot ung dung quan trong cua cac thuat toan trich xuat chu so la hop thuc hoa nhung tuyen bo moi ve ki luc tinh toan so π: sau khi mot ki luc đuoc tuyen bo, cac ket qua thap phan đuoc chuyen sang he thap luc phan, va sau đo mot thuat toan trich xuat chu so đuoc dung đe tinh toan mot so ngau nhien nhung chu so gan cuoi, neu chung phu hop, đieu nay cung cap mot phuong phap tin cay rang tinh toan tong the la đung.
Giua nam 1998 va 2000, du an tinh toan phan bo PiHex su dung cong thuc Bellard (mot ban chinh sua cua thuat toan BBP) đe tinh toan bit thu mot trieu ti (1015) cua π, đa cho ra ket qua la 0. Thang Chin nam 2010, mot nhan vien cua Yahoo! đa su dung ung dung Hadoop cua cong ty tren mot ngan may tinh trong mot thoi gian 23 ngay đe tinh toan 256 bit cua π o vi tri bit 2 trieu ti (2×1015).


Su dung Do π lien he chat che voi đuong tron, no xuat hien trong nhieu cong thuc thuoc cac linh vuc hinh hoc va luong giac, đac biet la nhung cong thuc lien quan toi đuong tron, hinh cau, hoac elip. Mot so nganh khoa hoc khac cung co cac cong thuc lien quan toi π, nhu thong ke, phan dang, co hoc, vu tru hoc, ly thuyet so, va đien tu hoc.


= Hinh hoc va luong giac =

π xuat hien trong nhung cong thuc ve chu vi, dien tich va the tich cac hinh hinh hoc lien quan toi đuong tron, nhu cac hinh elip, hinh cau, hinh non, hinh xuyen. Mot vai cong thuc pho bien hon ca trong so đo la:

Chu vi cua mot đuong tron voi đuong kinh d la 
  
    
      
        π
        d
      
    
    {\displaystyle \pi d}
  

Dien tich cua mot hinh tron voi đuong kinh d la 
  
    
      
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        π
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi d^{2}}
  

Chu vi cua mot đuong tron voi ban kinh r la 
  
    
      
        2
        π
        r
      
    
    {\displaystyle 2\pi r}
  

Dien tich cua mot hinh tron voi ban kinh r la 
  
    
      
        π
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi r^{2}}
  

The tich cua mot hinh cau voi ban kinh r la 
  
    
      
        
          
            
              4
              3
            
          
        
        π
        
          r
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}
  

Dien tich mat cau voi ban kinh r la 
  
    
      
        4
        π
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 4\pi r^{2}}
  

π xuat hien trong cac tich phan xac đinh mo ta chu vi, dien tich, hoac the tich cac hinh tao ra tu đuong tron. Chang han, mot tich phan xac đinh nua dien tich cua mot đuong tron voi ban kinh bang 1 đuoc cho boi:

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            1
          
          
            1
          
        
        
          
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}
  

Trong cong thuc nay, ham 
  
    
      
        
          
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1-x^{2}}}}
  
 bieu dien nua tren cua đuong tron (can thuc la he qua cua đinh ly Pythagoras), va tich phan 
  
    
      
        
          
            ∫
            
              −
              1
            
            
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \int _{-1}^{1}}
  
 tinh dien tich giua nua đuong tron va truc x.

Trong luong giac, cac ham luong giac lien he voi cac goc, va cac nha toan hoc thuong su dung radian nhu mot đon vi đo. Mat khac, π đong mot vai tro quan trong trong cac goc đo bang radian, do radian đuoc đinh nghia sao cho mot đuong tron chiem mot goc bang 2π radian, hoac noi cach khac, goc 180° bang voi π radian, va 1° = π/180 radian.
Cac ham luong giac pho bien thuong co chu ki la boi cua π; chang han, sin va cosin co chu ky 2π, do đo voi bat ki goc θ va bat ki so nguyen k nao,

  
    
      
        
          sin
          ⁡
          θ
          =
          sin
          ⁡
          
            (
            
              θ
              +
              2
              π
              k
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}
  
 va 
  
    
      
        
          cos
          ⁡
          θ
          =
          cos
          ⁡
          
            (
            
              θ
              +
              2
              π
              k
            
            )
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}
  


= Phuong phap Monte Carlo =

Ho dung phuong phap Monte Carlo, von dung đe tinh toan ket qua cua nhung phep thu ngau nhien nhieu lan, co the dung đe tao nen cac phep xap xi so π. Kim Buffon la mot ki thuat nhu vay: neu mot cay kim co chieu dai ℓ đuoc tha n lan len mot be mat tren đo ve cac đuong thang song song cach nhau t đon vi, va neu x lan trong so đo no dung lai cat qua mot vach (x > 0), thi nguoi ta co the tinh gan đung π dua tren phep tinh:

  
    
      
        π
        ≈
        
          
            
              2
              n
              ℓ
            
            
              x
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}}
  

Mot phuong phap Monte Carlo khac đe tinh π la ve mot đuong tron noi tiep mot hinh vuong, va đat ngau nhien cac cham len hinh vuong. Ti le cac cham nam trong hinh tron tren tong so cham xap xi bang 
  
    
      
        
          π
          
            /
          
          4.
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \pi /4.}
  

Phuong phap Monte Carlo đe tinh gan đung π rat cham so voi nhung phuong phap khac. Nam 1901 nha toan hoc Italia Mario Lazzarini đa tung mot cay kim 3048 lan đe thu đuoc ket qua uoc luong π bang 355/113, mot thi nghiem nham minh hoa cho phuong phap hon la no luc lap ki luc ve so π. Mo phong tren may tinh hien đai cho phep thuc hien "gieo" ngau nhien nhanh hon nhieu cach tung kim bang tay nhu vay, nhung nhin chung no khong bao gio đuoc dung đe tinh π khi đoi hoi đo chinh xac va toc đo.


= So phuc va giai tich =

Bat ky so phuc z nao đeu co the bieu dien bang mot cap so thuc. Trong he toa đo cuc, mot so (ban kinh r) đuoc dung đe bieu dien khoang cach tu z toi goc toa đo cua mat phang phuc va mot so khac (goc φ) đe bieu dien mot phep quay nguoc chieu kim đong ho tu tia duong cua truc thuc toi z:

  
    
      
        z
        =
        r
        ⋅
        (
        cos
        ⁡
        φ
        +
        i
        sin
        ⁡
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )}
  

O đay i2 = −1. Su xuat hien thuong xuyen cua π trong giai tich phuc lien quan toi bieu dien ham mu cua mot bien phuc, đuoc mo ta bang cong thuc Euler:

  
    
      
        
          e
          
            i
            φ
          
        
        =
        cos
        ⁡
        φ
        +
        i
        sin
        ⁡
        φ
      
    
    {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }
  

O đay hang so e la co so cua logarit tu nhien. Cong thuc nay lap len mot moi lien he giua luy thua ao cua e va cac điem tren đuong tron đon vi co tam o goc cua mat phang phuc. Đat φ = π trong cong thuc Euler sinh ra Đong nhat thuc Euler, mot cong thuc đuoc cac nha toan hoc ca ngoi do chua đung nam hang so toan hoc quan trong nhat:

  
    
      
        
          e
          
            i
            π
          
        
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
  

Co n so phuc z khac nhau thoa man 
  
    
      
        
          z
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle z^{n}=1}
  
, va chung đuoc goi la "nghiem bac n cua đon vi". Chung đuoc cho boi cong thuc:

  
    
      
        
          e
          
            2
            π
            i
            k
            
              /
            
            n
          
        
        
        (
        k
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1)}
  

Cong thuc tich phan Cauchy chi phoi cac ham giai tich phuc va thiet lap moi quan he quan trong giua cac phep tich phan va vi phan, bao gom mot đieu đang chu y la gia tri cua mot ham phuc trong mot mien đong hoan toan đuoc xac đinh boi nhung gia tri trong mien:

  
    
      
        f
        (
        
          z
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            γ
          
        
        
          
            
              f
              (
              z
              )
            
            
              z
              −
              
                z
                
                  0
                
              
            
          
        
        
        d
        z
      
    
    {\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz}
  

Su hien dien cua π trong fractal (phan dang) tap Mandelbrot đuoc mot nguoi My ten la David Boll kham pha vao nam 1991. Ong đa kiem tra bieu hien cua tap Mandelbrot o gan vung "co" o (–0.75, 0). Xem xet nhung điem co toa đo (–0.75, ε), khi ε tien toi 0, so lan tu lap lai hinh dang cua tap cho đen khi phan ki đoi voi điem đo nhan voi ε hoi tu ve π. Điem (0.25, ε) o đinh cua mot "thung lung" lon o phia phai cua tap Mandelbrot cung bieu hien tuong tu: so lan tu lap lai truoc khi phan ki nhan voi can bac hai cua ε tien toi π.
Ham gamma mo rong khai niem ve giai thua – von thong thuong chi đuoc đinh nghia cho cac so nguyen – sang moi so thuc. Neu ham gamma đuoc tinh o cac so ban nguyen, thi ket qua se chua π, chang han 
  
    
      
        
          Γ
          (
          1
          
            /
          
          2
          )
          =
          
            
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}
  
 va 
  
    
      
        
          Γ
          (
          5
          
            /
          
          2
          )
          =
          
            
              
                3
                
                  
                    π
                  
                
              
              4
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}
  
. Ham gamma co the đuoc su dung đe tao ra mot phep tinh gan đung 
  
    
      
        
          n
          !
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle n!}
  
 cho so 
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle n}
  
 lon: 
  
    
      
        
          n
          !
          ∼
          
            
              2
              π
              n
            
          
          
            
              (
              
                
                  n
                  e
                
              
              )
            
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
  
 con đuoc goi la xap xi Stirling.


= Gia tri rieng =

Trong nhieu ung dung, so pi đong vai tro đac biet la mot gia tri rieng. Vi du, mot soi day rung co the đuoc mo hinh hoa bang đo thi cua mot ham so f tren đoan đon vi [0,1], voi hai đau co đinh f(0) = f(1) = 0.  Cac che đo (ham) rung đong cua day la nghiem cua mot phuong trinh vi phan, 
  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        x
        )
        +
        λ
        f
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}
  
 hay 
  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        t
        )
        =
        −
        λ
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}
  
. Vi the λ la mot gia tri rieng cua toan tu đao ham cap hai 
  
    
      
        f
        ↦
        
          f
          ″
        
      
    
    {\displaystyle f\mapsto f''}
  
, va bi rang buoc theo ly thuyet Sturm–Liouville, no chi co o mot vai gia tri nhat đinh. No phai la so duong vi toan tu la xac đinh am, vay ta co the viet λ = ν2, trong đo so ν > 0 đuoc goi so song. Vi vay f(x) = sin(π x) thoa man đieu kien bien va phuong trinh vi phan, voi ν = π.
Gia tri cua π thuc ra la gia tri nho nhat cua so song, va no tuong ung voi che đo co ban cua soi day rung. Mot cach đe cho thay đieu nay la uoc tinh nang luong, thoa man bat đang thuc Wirtinger: đoi voi mot ham f : [0, 1] → ℂ voi f(0) = f(1) = 0;  f va f ' đeu kha tich binh phuong, ta co:

  
    
      
        
          π
          
            2
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
        d
        x
        ≤
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          |
        
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
        d
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}
  

voi đang thuc xay ra chi khi f la mot boi cua sin(π x). O đay π la mot hang so toi uu trong bat đang thuc Wirtinger, va co the suy ra rang no la so song nho nhat, su dung đac trung bien thien cua gia tri rieng. He qua la, π la gia tri suy bien nho nhat cua toan tu đao ham tren khong gian cac ham so tren đoan [0,1] ma bang 0 tai cac điem đau mut (khong gian Sobolev 
  
    
      
        
          H
          
            0
          
          
            1
          
        
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}
  
).


= Ly thuyet so va ham zeta Riemann =
Ham zeta Riemann ζ(s) đuoc dung trong nhieu linh vuc cua toan hoc. Khi tinh cho 
  
    
      
        
          s
          =
          2
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle s=2}
  
, no co the viet lai thanh

  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                2
              
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }
  

Tim mot nghiem đon cho chuoi vo han nay la mot bai toan noi tieng trong toan hoc goi la bai toan Basel. Leonhard Euler giai no vao nam 1735 khi ong chi ra no bang 
  
    
      
        
          
            
              
                π
                
                  2
                
              
              6
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  
. Ket qua cua Euler dan đen mot ket luan quan trong trong ly thuyet so la xac suat đe hai so ngau nhien nguyen to cung nhau (nghia la khong co uoc chung nao ngoai 1) bang 
  
    
      
        
          6
          
            /
          
          
            π
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle 6/\pi ^{2}}
  
. Xac suat nay dua tren mot nhan xet rang bat ki so nao chia het cho mot so nguyen to 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle p}
  
 la 
  
    
      
        
          1
          
            /
          
          p
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle 1/p}
  
 (chang han, cu bay so nguyen lien tiep thi co mot so chia het cho 7). Do đo xac suat đe hai so cung chia het boi so nguyen to nay la 
  
    
      
        
          1
          
            /
          
          
            p
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle 1/p^{2}}
  
, va xac suat đe it nhat mot trong hai so khong chia het la 
  
    
      
        
          1
          −
          1
          
            /
          
          
            p
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle 1-1/p^{2}}
  
. Đoi voi cac so nguyen khac nhau, cac su kien co the chia het la đoc lap voi nhau; do đo xac suat đe hai so nguyen to cung nhau cho boi mot tich lay tren tat ca cac so nguyen to:

  
    
      
        
          ∏
          
            p
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                
                  p
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            (
            
              
                ∏
                
                  p
                
                
                  ∞
                
              
              
                
                  1
                  
                    1
                    −
                    
                      p
                      
                        −
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                
                  1
                  
                    2
                    
                      2
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                    3
                    
                      2
                    
                  
                
              
              +
              ⋯
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              ζ
              (
              2
              )
            
          
        
        =
        
          
            6
            
              π
              
                2
              
            
          
        
        ≈
        61
        %
      
    
    {\displaystyle \prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%}
  

Xac suat nay co the dung cung voi mot phuong phap sinh so ngau nhien đe tinh gan đung π su dung cach tiep can Monte Carlo.


= Vat ly =
Mac du khong phai la mot hang so vat ly, π xuat hien thuong xuyen trong cac phuong trinh mo ta cac nguyen ly co ban cua vu tru, thuong do moi lien he giua π voi đuong tron va voi he toa đo cau. Mot cong thuc đon gian trong linh vuc co hoc co đien cho ta chu ky dao đong gan đung T cua mot con lac đon voi chieu dai L, dao đong voi bien đo nho (g la gia toc trong truong tren be mat Trai Đat):

  
    
      
        T
        ≈
        2
        π
        
          
            
              L
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
  

Mot trong nhung cong thuc toi quan trong cua co hoc luong tu la nguyen ly bat đinh Heisenberg chi ra rang đo bat đinh trong phep đo vi tri cua mot hat (Δx) va đong luong (Δp) khong the đong thoi nho tuy y o cung mot thoi điem (o đay h la hang so Planck):

  
    
      
        Δ
        x
        
        Δ
        p
        ≥
        
          
            h
            
              4
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}
  

Trong nganh vu tru hoc, π xuat hien trong mot cong thuc nen tang, đo la phuong trinh truong Einstein tao nen co so cua thuyet tuong đoi tong quat va mo ta tuong tac co ban cua luc hap dan nhu mot ket qua cua khong–thoi gian bi uon cong boi vat chat va nang luong:

  
    
      
        
          R
          
            i
            k
          
        
        −
        
          
            
              
                g
                
                  i
                  k
                
              
              R
            
            2
          
        
        +
        Λ
        
          g
          
            i
            k
          
        
        =
        
          
            
              8
              π
              G
            
            
              c
              
                4
              
            
          
        
        
          T
          
            i
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}}
  

Trong đo 
  
    
      
        
          R
          
            i
            k
          
        
        
      
    
    {\displaystyle R_{ik}\,}
  
 la tenxo đo cong Ricci,
  
    
      
        R
        
      
    
    {\displaystyle R\,}
  
 la đo cong vo huong, 
  
    
      
        
          g
          
            i
            k
          
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{ik}\,}
  
 la tenxo metric, 
  
    
      
        Λ
        
      
    
    {\displaystyle \Lambda \,}
  
 la hang so vu tru hoc, 
  
    
      
        G
        
      
    
    {\displaystyle G\,}
  
 la hang so hap dan, 
  
    
      
        c
        
      
    
    {\displaystyle c\,}
  
 la van toc anh sang trong chan khong, va 
  
    
      
        
          T
          
            i
            k
          
        
        
      
    
    {\displaystyle T_{ik}\,}
  
 la tenxo ung suat–nang luong.
Trong linh vuc đien tu hoc, đinh luat Coulomb mo ta đien truong giua hai đien tich (q1 va q2) cach nhau mot khoang r (voi ε0 bieu dien cho hang so đien moi trong chan khong):

  
    
      
        F
        =
        
          
            
              |
              
                
                  q
                  
                    1
                  
                
                
                  q
                  
                    2
                  
                
              
              |
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}
  

Viec π xap xi bang 3 gop phan vao thoi gian song tuong đoi lau cua ortho–positronium (he luong tu co mot electron va mot positron nam tren cung mot quy đao quay xung quanh mot khoi tam). Nghich đao thoi gian song 
  
    
      
        
          
            1
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\tau }}}
  
 đoi voi bac thap nhat trong hang so cau truc te vi 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 đuoc cho boi cong thuc:

  
    
      
        
          
            1
            τ
          
        
        =
        2
        
          
            
              
                π
                
                  2
                
              
              −
              9
            
            
              9
              π
            
          
        
        m
        
          α
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6}}
  

trong đo m la khoi luong electron.


= Xac suat thong ke =

Cac linh vuc xac suat va thong ke su dung thuong xuyen phan bo chuan nhu mot mo hinh đon gian cho cac hien tuong phuc tap; chang han cac nha khoa hoc thong thuong gia đinh rang cac sai so quan sat trong hau het cac thi nghiem tuan theo mot phan bo chuan. π đuoc tim thay trong ham Gauss (la ham mat đo xac suat cua phan bo chuan voi gia tri trung binh μ va đo lech chuan σ:

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              σ
              
                
                  2
                  π
                
              
            
          
        
        
        
          e
          
            −
            (
            x
            −
            μ
            
              )
              
                2
              
            
            
              /
            
            (
            2
            
              σ
              
                2
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}}
  

Dien tich duoi đo thi cua đuong cong phan bo chuan đuoc cho boi tich phan Gauss:

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
  
,
trong khi tich phan tuong tu đoi voi phan bo Cauchy la

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
        
        d
        x
        =
        π
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi }
  
.


= Ky thuat va đia chat =
π hien dien trong mot so cong thuc trong ki thuat cau truc, nhu cong thuc tinh đo cong venh do Euler tim ra, cho ta biet tai trong theo truc toi đa F ma mot cot dai, manh co đo dai L, suat đan hoi E, va momen quan tinh dien tich I co the mang đuoc ma khong bi cong venh:

  
    
      
        F
        =
        
          
            
              
                π
                
                  2
                
              
              E
              I
            
            
              L
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}
  

Linh vuc thuy đong luc hoc cung chua π trong đinh luat Stokes, cho phep tinh gan đung luc ma sat F tac dung len mot vat the nho dang cau ban kinh R chuyen đong voi van toc v trong mot chat long voi đo nhot đong η:

  
    
      
        F
        =
        6
        
        π
        
        η
        
        R
        
        v
      
    
    {\displaystyle F=6\,\pi \,\eta \,R\,v}
  

Bien đoi Fourier la mot phep toan bieu dien thoi gian nhu mot ham cua tan so, đuoc biet nhu pho tan so cua no. No co nhieu ung dung trong vat ly va ky thuat, đac biet trong xu ly tin hieu:

  
    
      
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        (
        ξ
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
         
        
          e
          
            −
            2
            π
            i
            x
            ξ
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx}
  

Duoi cac đieu kien ly tuong (doc thoai đeu tren mot nen xoi mon mot cach đong đeu), đo uon khuc cua mot con song tien gan toi π. Đo uon khuc (sinousity) la ti so giua đo dai thuc va khoang cach theo đuong ke giua thuong nguon va cua song. Cac dong chay nhanh hon doc cac canh ben ngoai cua cho uon dong song gay ra nhieu xoi lo hon doc cac canh trong, do đo đay cac cho uon ra xa hon, va gia tang su uon vong lap lai tong the cua dong song. Tuy nhien, su uon vong qua muc dan toi o mot so cho, dong cuon thanh mot đuong vong quanh, tao ra nhung ho co hinh chu U (box–ow lake), lam giam đo uon khuc tong the. Su can bang giua hai nhan to đoi lap nay khien cho dan toi đo uon khuc cua dong song trung binh gan bang π.


Ngoai khoa hoc = Ghi nho cac chu so =
Nhieu nguoi đa co gang nho cang nhieu cang tot cac chu so cua π, mot su luyen tap đuoc goi la piphilology (ket hop tu pi va philology tuc ngu van hoc). Mot ki thuat pho bien la ghi nho mot cau chuyen hay mot bai tho, trong đo đo dai cac tu ung voi so cac chu so: tu thu nhat co 3 chu cai, tu thu hai co 1, tu thu ba co 4, thu tu co 1, thu nam co 5, va tiep tuc nhu vay. Mot trong nhung vi du som nhat ve bien phap ho tro ghi nho nay đuoc đe xuat boi nha khoa hoc Anh James Hopwood Jeans: "How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics" (tam dich: Tat nhien la toi muon mot ly đo uong, đo uong co con, sau nhung bai giang nang ne lien quan đen co hoc luong tu). Mot bai tho (tieng Anh: poem) dung cho viec ghi nho nay đoi khi đuoc goi la mot piem. Ngoai tieng Anh, cac bai tho đe ghi nho π cung đuoc sang tac trong mot so ngon ngu khac.
Ki luc ve ghi nho cac chu so cua π, đuoc xac nhan boi Sach Ky luc Guinness, la 67.890 chu so, đuoc Lu Sieu, mot nguoi Trung Quoc đoc thuoc long trong 24 gio va 4 phut vao ngay 20 thang 11 nam 2005. Nam 2006, mot ki su Nhat Ban ve huu ten la Haraguchi Akira tuyen bo la đa đoc thuoc long 100.000 chu so, nhung tuyen bo nay khong đuoc sach Ky luc Guinness kiem chung. Nhung nguoi lap nen ki luc ve ghi nho cac chu so cua π thuong khong dua vao cac bai tho, ma su dung cac phuong phap khac, nhu nho cac khuon dang so hay phuong phap loci (ghi nho bang cach lien he so voi vi tri).
Mot vai tac gia su dung cac chu so cua π đe thiet lap nen mot dang han tu moi, trong đo đo dai tu yeu cau phai bieu dien cac chu so cua π, trong tieng Anh goi la pilish. Truyen tho ngan Cadaeic Cadenza chua 3835 chu so đau tien cua π theo cach nay, va toan bo cuon sach Not a Wake chua 10 000 tu, moi tu bieu dien mot chu so cua π.


= Trong van hoa đai chung =

Co le do π co đinh nghia đon gian ma lai hien dien o khap cac linh vuc, no đuoc the hien trong van hoa đai chung nhieu hon bat ki khai niem toan hoc nao khac. Tai bao tang Palais de la Decouverte o Paris co mot can phong hinh tron đuoc goi la "phong pi" tren tuong the hien 707 chu cai cua π, duoi dang nhung ky tu lam bang go gan vao tran vom. Cac chu so nay dua tren tinh toan nam 1853 cua William Shanks co chua mot loi sai bat đau tu chu so thu 528. Loi nay đuoc phat hien nam 1946 va đuoc sua lai vao nam 1949.

Nhieu truong hoc o nuoc My cu hanh ki niem Ngay so pi vao 14 thang 3 (trong ngon ngu Anh–My, ngay nay viet la 3/14). Ngay 9 thang 3 nam 2009, Ha vien Hoa Ky đa chinh thuc chon ngay 14 thang 3 hang nam la ngay so Pi nham khuyen khich hoc sinh, giao vien nghien cuu toan hoc. π va chuoi chu so cua no thuong đuoc nhung nguoi tu xem minh la "lap di" su dung trong nhung tro đua cua nhom nhung nguoi ua thich toan hoc va cong nghe. Mot vai loi co vu (trong thi đau the thao, van nghe...) cua Hoc vien Cong nghe Massachusetts (MIT) cung xuat hien so "3,14159". Trong vu ban đau gia cac tai lieu ve bang phat minh cong nghe co gia tri cua tap đoan Nortel nam 2010, Google đa lien tuc đat gia mot cach khac thuong dua tren cac hang so toan hoc va khoa hoc, bao gom π.
Nhung nguoi ung ho mot hang so toan hoc moi la tau (τ), bang 2 lan π, lap luan rang mot hang so dua tren ti so giua chu vi đuong tron voi ban kinh cua no thay vi voi đuong kinh se co tinh tu nhien hon va se đon gian hoa nhieu cong thuc. Trong khi nhung đe xuat cua ho, nhu viec to chuc ki niem ngay 28 thang 6 nhu "Ngay Tau" đuoc tuong thuat tren truyen thong, ho khong đuoc cac sach vo khoa hoc phan anh.
Trong tieu thuyet "Contact", Carl Sagan đe xuat rang Đang Sang tao ra vu tru đa chon giau mot thong điep an sau trong cac chu so cua π. Cac chu so cua π cung đuoc đua vao loi ca cua bai hat "Pi" trong album Aerial cua Kate Bush. Pi cung đuoc dung đe đat ten cho mot bai hat trong album "Horses and Grasses" phat hanh nam 2005 cua ban nhac My Hard 'n Phirm.
Nam 1897, nha toan hoc nghiep du Edwin J. Goodwin đa no luc thuyet phuc co quan lap phap bang Indiana (Hoa Ky) thong qua Du luat Indiana Pi, trong đo mo ta mot phuong phap cau phuong hinh tron, va chua nhung noi dung gia thiet nhung gia tri sai cua π nhu 3,2. Du luat nay noi danh nhu mot no luc thiet lap mot chan ly khoa hoc bang sac lenh lap phap. Du thao đa đuoc Ha nghi vien Indiana thong qua, nhung bi Thuong nghi vien bac bo.
Trong tap Midnight thuoc seri Doctor Who, vi Tien si cham tran voi Thuc the Nua đem (Midnight Entity), ke nhap xac mot so nhan vat. Nhan vat Sky Silvestry khi bi nhap xac đa bat chuoc kieu noi cua Tien si bang cach lap lai khop nhau so π toi 30 chu so thap phan. Đieu nay đoi hoi cac dien vien David Tennant va Leslie Sharp hoc chuoi so đe co the nhac lai no.
Tieu thuyet cua Yann Martel xuat ban nam 2001, đuoc dung thanh phim nam 2012 (Ly An đao dien) noi ve nhan vat chinh ten Pi co the nho đuoc rat nhieu chu so thap phan cua Pi.


Chu thich Tham khao Arndt, Jorg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. ban dich tieng Anh cua Catriona va David Lischka.
Ayers, Frank (1964). Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0-070-02653-7.
Mathematics from the Birth of Numbers cua Jan Gullberg, ISBN 0-393-04002-X
A History of Mathematical Notation cua Florian Cajori, ISBN 0-486-67766-4
Blatner, David (1999). The Joy of Pi. Walker & Company. ISBN 978-0-8027-7562-7.
Borwein, Jonathan Michael va Borwein, Peter Benjamin, "The Arithmetic–Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions", SIAM Review, 26(1984) 351–365
Borwein, Jonathan Michael, Borwein, Peter Benjamin, va Bailey, David H., Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi", The American Mathematical Monthly, 96(1989) 201–219
Chudnovsky, David V. va Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", trong Ramanujan Revisited (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp 375–396, 468–472
Cox, David A., "The Arithmetic–Geometric Mean of Gauss", L' Ensignement Mathematique, 30(1984) 275–330
Engels, Hermann, "Quadrature of the Circle in Ancient Egypt", Historia Mathematica 4(1977) 137–140
Euler, Leonhard, "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", in Introduction to Analysis of the Infinite. Book I, dich tu tieng Latin sang tieng Anh boi J. D. Blanton, Springer–Verlag, 1964, pp 137–153
Heath, T. L., The Works of Archimedes, Cambridge, 1897; in lai trong The Works of Archimedes with The Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 91–98
Huygens, Christiaan, "De Circuli Magnitudine Inventa", Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp 384–388
Lay–Yong, Lam va Tian–Se, Ang, "Circle Measurements in Ancient China", Historia Mathematica 13(1986) 325–340
Lindemann, Ferdinand, "Ueber die Zahl pi", Mathematische Annalen 20(1882) 213–225
Matar, K. Mukunda, va Rajagonal, C., "On the Hindu Quadrature of the Circle" (Phu luc cua K. Balagangadharan). Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society 20(1944) 77–82
Niven, Ivan, "A Simple Proof that pi Is Irrational", Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7 (July 1947), 507
Ramanujan, Srinivasa, "Modular Equations and Approximations to pi",  Journal of the Indian Mathematical Society, XLV, 1914, 350–372. In lai trong G.H. Hardy, P.V. Sehuigar, va B. M. Wilson (eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1962, pp 23–29
Shanks, William, Contributions to Mathematics Comprising Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10
Shanks, Daniel va Wrench, John William, "Calculation of pi to 100,000 Decimals", Mathematics of Computation 16(1962) 76–99
Tropfke, Johannes, Geschichte Der Elementar–Mathematik in Systematischer Darstellung (The history of elementary mathematics), BiblioBazaar, 2009 (in lai), ISBN 978-1-113-08573-3
Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (in lai), Georg Olms Verlag, 1970, pp 398–401, 436–446
Wagon, Stan, "Is Pi Normal?", The Mathematical Intelligencer, 7:3(1985) 65–67
Wallis, John, Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata, Oxford 1655–6. In lai trong tap 1 (pp 357–478) cua Opera Mathematica, Oxford, 1693
Zebrowski, Ernest, A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe, Rutgers Univ Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4


Tai lieu đoc them Blatner, David (1999). The Joy of Pi. Walker & Company. ISBN 978-0-8027-7562-7.
Borwein, Jonathan Michael va Borwein, Peter Benjamin, "The Arithmetic–Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions", SIAM Review, 26(1984) 351–365
Borwein, Jonathan Michael, Borwein, Peter Benjamin, va Bailey, David H., Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi", The American Mathematical Monthly, 96(1989) 201–219
Chudnovsky, David V. va Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", trong Ramanujan Revisited (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, 375–396, 468–472
Cox, David A., "The Arithmetic–Geometric Mean of Gauss", L' Ensignement Mathematique, 30(1984) 275–330
Engels, Hermann, "Quadrature of the Circle in Ancient Egypt", Historia Mathematica 4(1977) 137–140
Euler, Leonhard, "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", trong Introduction to Analysis of the Infinite. Book I, dich tu tieng Latin boi J. D. Blanton, Springer–Verlag, 1964, pp 137–153
Heath, T. L., The Works of Archimedes, Cambridge, 1897; in lai trong The Works of Archimedes with The Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 91–98
Huygens, Christiaan, "De Circuli Magnitudine Inventa", Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp 384–388
Lay–Yong, Lam va Tian–Se, Ang, "Circle Measurements in Ancient China", Historia Mathematica 13(1986) 325–340
Lindemann, Ferdinand, "Ueber die Zahl pi", Mathematische Annalen 20(1882) 213–225
Matar, K. Mukunda, and Rajagonal, C., "On the Hindu Quadrature of the Circle" (Appendix by K. Balagangadharan). Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society 20(1944) 77–82
Niven, Ivan, "A Simple Proof that pi Is Irrational", Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7 (July 1947), 507
Ramanujan, Srinivasa, "Modular Equations and Approximations to pi",  Journal of the Indian Mathematical Society, XLV, 1914, 350–372. In lai trong G.H. Hardy, P.V. Sehuigar, va B. M. Wilson (eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1962, 23–29
Shanks, William, Contributions to Mathematics Comprising Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10
Shanks, Daniel va Wrench, John William, "Calculation of pi to 100,000 Decimals", Mathematics of Computation 16(1962) 76–99
Tropfke, Johannes, Geschichte Der Elementar–Mathematik in Systematischer Darstellung (The history of elementary mathematics), BiblioBazaar, 2009 (in lai), ISBN 978-1-113-08573-3
Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (in lai), Georg Olms Verlag, 1970, 398–401, 436–446
Wagon, Stan, "Is Pi Normal?", The Mathematical Intelligencer, 7:3(1985) 65–67
Wallis, John, Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata, Oxford 1655–6. In lai trong tap 1 (tr. 357–478) cua Opera Mathematica, Oxford, 1693
Zebrowski, Ernest, A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe, Rutgers Univ Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4
The Life of Pi: History and Computation Luu tru ngay 7 thang 12 nam 2006 tai Wayback Machine Jonathan Michael Borwein, 21/6–17/7/2003


Lien ket ngoai (tieng Anh)

Pi (mathematics) tai Encyclopædia Britannica (tieng Anh)
Digits of Pi tren DMOZ
Weisstein, Eric W., "Pi" tu MathWorld.
Representations of Pi tai Wolfram Alpha
Pi Search Engine tim kiem 2 ti chu so cua π, 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
, va e
Du lieu Pi tai PlanetMath, voi giay phep su dung GFDL.
(tieng Viet)

Pi tai Tu đien bach khoa Viet Nam
Lich su con so Pi bi an dieu ky Vietsciences, Vo Thi Dieu Hang, 13 thang 5 nam 2006
Phien ban mot trieu chu so cua so pi