Phan so đon vi la phan so duong co tu so bang 1, tuc co dang 
  
    
      
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n}}}
  
 voi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la so nguyen duong. Phan so đon vi la phan so nghich đao cua mau so cua chinh no (vi du: 
  
    
      
        
          
            1
            1
          
        
        ,
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
          
            1
            3
          
        
        ,
        
          
            1
            4
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots }
  
). Khi mot vat đuoc chia nho thanh nhieu phan bang nhau, moi phan nho la mot phan phan so đon vi cua vat lon.
Phep nhan giua hai phan so đon vi cho ket qua la mot phan so đon vi moi, nhung nhung phep toan so cap khac (cong, tru, chia) thuong khong cho ra ket qua la phan so đon vi. Trong he thong so hoc mo đun, cac phan so đon vi co the đuoc bien đoi thanh so nguyen tuong đuong, tu đo bien phep chia modulo thanh phep nhan.
Moi so huu ti đeu co the đuoc viet duoi dang tong cac phan so đon vi rieng biet – tong nay đuoc goi la phan so Ai Cap vi chung đuoc su dung trong nen toan hoc Ai Cap co đai. Mot so tong co vo han hang tu duoi dang nay co tam quan trong lon trong linh vuc toan hoc.
Trong linh vuc hinh hoc, phan so đon vi đuoc dung đe bieu thi đo cong cua cac nhom tam giac va tiep điem cua cac đuong tron Ford. Bai toan chia đeu thuong su dung đen phan so đon vi, va vi vay khai niem nay thuong đuoc su dung trong viec giang day mon toan, giup hoc sinh nam ro khai niem phan so va lam buoc đem đe hieu đuoc cac phan so tong quat hon. Cac phan so đon vi cung xuat hien nhieu trong linh vuc xac suat thong ke do nguyen ly phi thien vi trong ly thuyet xac suat (xac suat la nhu nhau cho moi ket qua). Phan so đon vi cung co ung dung trong cac bai toan toi uu hoa to hop va phan tich quy luat cua cac tan so trong chuoi quang pho cua khi hydro.


So hoc Phan so đon vi la cac so huu ti đuoc viet duoi dang 
  
    
      
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n}}}
  
, trong đo 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la so tu nhien bat ky; vi vay, phan so đon vi chinh la phan so nghich đao cua 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Khi mot vat đuoc chia thanh 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 phan nho, moi phan nho đo la 
  
    
      
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n}}}
  
 cua vat lon.


= So hoc so cap =
Phep nhan giua hai phan so đon vi cho ket qua la mot phan so đon vi moi:

  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
        ×
        
          
            1
            y
          
        
        =
        
          
            1
            
              x
              y
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}},}
  

nhung phep cong, tru, hay chia giua hai phan so đon vi lai thuong cho ket qua khong co dang phan so đon vi:

  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
        +
        
          
            1
            y
          
        
        =
        
          
            
              x
              +
              y
            
            
              x
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}
  

  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
        −
        
          
            1
            y
          
        
        =
        
          
            
              y
              −
              x
            
            
              x
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}}
  

  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
        ÷
        
          
            1
            y
          
        
        =
        
          
            y
            x
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}
  

Bieu thuc cuoi cung cho thay moi phan so đeu co the viet duoi dang thuong so cua hai phan so đon vi.


= So hoc mo đun =
Trong he thong so hoc mo đun, moi phan so đon vi co the đuoc bien đoi thanh mot so nguyen tuong thong qua thuat toan Euclid mo rong. So nguyen nay sau đo co the đuoc su dung đe lam phep chia modulo: phep chia cho 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 theo modulo 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 co the tinh bang cach chuyen phan so đon vi 
  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}}
  
 thanh so nguyen tuong đuong theo modulo 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
, roi sau đo nhan voi so đo.
Vi du, gia su hai so 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 va 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 la hai so nguyen to cung nhau (vi neu khong thi phep chia cho 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 theo modulo 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 khong xac đinh). Su dung phep giai thuat Euclid mo rong cho uoc so chung lon nhat, ta tim đuoc hai so nguyen 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 thoa man bo đe Bezout:

  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        =
        gcd
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.}
  

Co the triet tieu hang tu 
  
    
      
        b
        y
      
    
    {\displaystyle by}
  
 trong bieu thuc voi modulo 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 vi hang tu nay bang 
  
    
      
        0
        
          mod
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle 0{\bmod {y}}}
  
. Tu đo co:

  
    
      
        a
        x
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          y
          )
        
      
    
    {\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}}
  

co nghia la 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 la nghich đao modulo cua 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 – tich cua hai so nay bang 1. Tu đo co bieu thuc tuong đuong:

  
    
      
        a
        ≡
        
          
            1
            x
          
        
        
          
          (
          mod
          
          y
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}
  

Vay đe chia 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 (mod 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
) chi can nhan voi so nguyen 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 nay.


Ket hop Mot so cau truc toan hoc bao gom cac phan so đon vi đuoc ket hop voi nhau, thuong la bang cach cong cac phan so voi nhau.


= Tong huu han =
Moi so huu ti duong đeu co the đuoc viet duoi dang tong cac phan so đon vi rieng biet, va moi so thuong co nhieu cach viet. Vi du:

  
    
      
        
          
            4
            5
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            1
            4
          
        
        +
        
          
            1
            20
          
        
        =
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        +
        
          
            1
            6
          
        
        +
        
          
            1
            10
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}
  

Cac tong nay đuoc goi la phan so Ai Cap vi cac nen van minh Ai Cap co đai đa dung nhung tong dang nay đe bieu dien cac so huu ti noi chung. Đen ngay nay, cac nha toan hoc van phan tich phuong phap ma nguoi Ai Cap co đai đa dung đe chon mot trong so cac tong co the dung đe bieu thi so va lam cac phep toan voi chung. Cac phan so Ai Cap cung xuat hien trong ly thuyet so hien đai; bai toan Erdos–Graham, phong đoan Erdos–Straus va đinh nghia cua so hai hoa Ore đeu phu thuoc vao tong cua cac phan so đon vi.

Trong ly thuyet nhom hinh hoc, cac nhom tam giac đuoc phan loai thanh cac truong hop dang Euclid, hinh cau, va hinh hyperbole theo tieu chi tong cac phan so đon vi lien quan bang 1, lon hon 1, hoac nho hon 1.


= Chuoi vo han =
Nhieu chuoi vo han noi tieng co cac hang tu la cac phan so đon vi, bao gom:

Chuoi đieu hoa la tong cua moi phan so đon vi duong. Chuoi nay phan ki voi vo han so hang, va tong rieng
  
    
      
        
          
            1
            1
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            1
            3
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}
  
cua chuoi co gia tri xap xi 
  
    
      
        ln
        ⁡
        
          n
        
        +
        γ
      
    
    {\displaystyle \ln {n}+\gamma }
  
, trong đo 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 la hang so Euler-Mascheroni 
  
    
      
        γ
        ≈
        0.5572
      
    
    {\displaystyle \gamma \approx 0.5572}
  
. Neu thay the luan phien phep cong va phep tru trong chuoi tren, ta co chuoi moi co tong bang logarit tu nhien cua 2:
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            n
          
        
        =
        1
        −
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            1
            3
          
        
        −
        
          
            1
            4
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        −
        ⋯
        =
        ln
        ⁡
        2.
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}
  

Cong thuc Leibniz đe tinh so π la:
  
    
      
        
          
            π
            4
          
        
        =
        1
        −
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        −
        
          
            1
            7
          
        
        +
        
          
            1
            9
          
        
        −
        ⋯
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  k
                
              
            
            
              2
              k
              +
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}.}
  

Bai toan Basel yeu cau tinh chinh xac tong moi phan so đon vi co mau so la so chinh phuong:
  
    
      
        1
        +
        
          
            1
            4
          
        
        +
        
          
            1
            9
          
        
        +
        
          
            1
            16
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}
  
 Tuong tu, hang so Apery la mot so vo ti co gia tri bang tong moi phan so đon vi co mau so la so lap phuong.
Chuoi hinh hoc nhi phan co dang:
  
    
      
        1
        +
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            1
            4
          
        
        +
        
          
            1
            8
          
        
        +
        
          
            1
            16
          
        
        +
        ⋯
        =
        2.
      
    
    {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}
  


= Ma tran =
Ma tran Hilbert la ma tran vuong co cac phan tu tren đuong cheo phu thu 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 đeu bang 
  
    
      
        
          
            1
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{i}}}
  
, hoac noi cach khac la co cac phan tu duoi dang

  
    
      
        
          B
          
            i
            ,
            j
          
        
        =
        
          
            1
            
              i
              +
              j
              −
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}
  

Vi du, ma tran sau đay la ma tran Hilbert:

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      4
                    
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      5
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}.}
  

Ma tran nay co ma tran nghich đao co toan bo cac phan tu la so nguyen. Tuong tu, Thomas Richardson đinh nghia nen mot ma tran co cac phan tu la phan so đon vi co mau so la so Fibonacci:

  
    
      
        
          C
          
            i
            ,
            j
          
        
        =
        
          
            1
            
              F
              
                i
                +
                j
                +
                1
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j+1}}},}
  

trong đo 
  
    
      
        
          F
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{i}}
  
 la so Fibonacci thu 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
. Ma tran nay đuoc goi la ma tran Filbert, va co cac phan tu nguyen trong ma tran nghich đao nhu ma tran Hilbert.


= Phan so ke nhau va đuong tron Ford =

Hai phan so toi gian 
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
  
 va 
  
    
      
        
          
            c
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {c}{d}}}
  
 đuoc goi la hai phan so ke nhau (adjacent) neu

  
    
      
        a
        d
        −
        b
        c
        =
        ±
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle ad-bc=\pm 1,}
  

tu đo suy ra hai phan so nay co hieu so la phan so đon vi:

  
    
      
        
          |
          
            
              
                1
                a
              
            
            −
            
              
                1
                b
              
            
          
          |
        
        =
        
          
            
              |
              
                a
                d
                −
                b
                c
              
              |
            
            
              b
              d
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              b
              d
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left\vert {\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right\vert ={\frac {\left\vert ad-bc\right\vert }{bd}}={\frac {1}{bd}}.}
  

Vi du, hai phan so 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
  
 va 
  
    
      
        
          
            3
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{5}}}
  
 ke nhau vi 
  
    
      
        1
        ⋅
        5
        −
        2
        ⋅
        3
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}
  
 va 
  
    
      
        
          
            3
            5
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        =
        
          
            1
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{5}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{10}}}
  
. Tuy nhien, co mot so cap phan so co hieu so la phan so đon vi, nhung lai khong ke nhau – vi du, hai phan so 
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  
 va 
  
    
      
        
          
            2
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{3}}}
  
 co hieu so la phan so đon vi (
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  
), nhung lai khong ke nhau vi 
  
    
      
        1
        ⋅
        3
        −
        2
        ⋅
        3
        =
        −
        3.
      
    
    {\displaystyle 1\cdot 3-2\cdot 3=-3.}
  

Khai niem phan so ke nhau neu tren xuat phat tu khai niem đuong tron Ford. Cac đuong tron nay co tiep điem voi truc so la mot phan so nhat đinh, va co đuong kinh la 
  
    
      
        
          
            1
            
              q
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{q^{2}}}}
  
, trong đo 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 la mau so cua tiep điem. Hai phan so 
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
  
 va 
  
    
      
        
          
            c
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {c}{d}}}
  
 ke nhau khi va chi khi đuong tron Ford cua hai phan so tiep xuc ngoai voi nhau tai duy nhat mot điem.


Ung dung = Phep chia đeu va ung dung trong su pham toan hoc =
Cac chuong trinh giao duc toan hoc thuong đua cac phan so đon vi ra gioi thieu truoc cac loai phan so khac, boi le cac vi du truc quan ve phan so đon vi (chia mot vat thanh nhieu phan bang nhau) thuong de hieu hon cho nguoi hoc. Mot ung dung thuong gap cua cac phan so đon vi la bai toan chia đeu đo an cho nhieu nguoi; cac bai toan theo dang nay thuong đuoc dung lam vi du đe day hoc sinh cach lam phep tinh bang phan so đon vi.


= Xac suat thong ke =

Trong ham phan phoi đeu roi rac, xac suat cua cac ket qua la cac phan so đon vi bang nhau; cac gia tri xac suat duoi dang nay thuong xuat hien nhieu trong cac bai toan thong ke do nguyen ly phi thien vi trong ly thuyet xac suat.
Cac gia tri xac suat khong đeu nhau co moi tuong quan voi phan so đon vi xuat hien trong đinh luat Zipf. Đinh luat cho rang trong so nhieu truong hop, khi chon cac yeu to tu mot chuoi đuoc sap xep theo thu tu, xac suat yeu to o vi tri thu 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 đuoc chon ti le thuan voi 
  
    
      
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n}}}
  
.


= Toi uu hoa to hop =
Bai toan toi uu hoa to hop co ten goi la bai toan đong thung (bin packing) yeu cau đat cac "vat pham" co "kich thuoc" la so huu ti vao cac "thung" co suc chua bang 1. Cac cong trinh nghien cuu bai toan nay bao gom nghien cuu cac dang bai đong thung co kich thuoc cua cac vat pham la phan so đon vi, voi muc tieu su dung loi giai cua cac bai toan nay lam phep thu cho cac phuong phap giai cac bai toan đong thung dang tong quat hon.
Mot bai toan khac ung dung loi giai neu tren la bai toan xep lich vong quay (pinwheel scheduling), trong đo yeu cau cua bai toan la xep cac tin nhan co đo dai bang nhau tren mot hay nhieu vong quay quay lien tuc, trong đo thoi gian cho giua hai lan phat cung mot tin nhan khong đuoc vuot qua mot gia tri nhat đinh. Mot tin nhan co thoi gian cho bang 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 lan đo dai cua chinh no phai chiem it nhat 
  
    
      
        
          
            1
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{k}}}
  
 thoi gian tren vong quay tuong ung, vay nen loi giai cua bai toan xep lich nay phai đuoc suy ra tu loi giai cua bai toan đong thung duoi dang phan so đon vi, trong đo cac vong quay la cac thung va cac vat pham co kich thuoc 
  
    
      
        
          
            1
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{k}}}
  
.
Ke ca trong cac bai toan co cac kich thuoc vat pham tong quat, mot phuong phap giai huu hieu la lam tron len kich thuoc cua cac vat pham đen phan so đon vi lien sau, sau đo ap dung thuat toan chuyen giai cac bai toan đong thung co dang phan so đon vi. Thuat toan đong thung đieu hoa su dung phuong phap lam tron nay, sau đo gop cac vat pham co kich thuoc bang nhau sau khi đa lam tron voi nhau.


= Vat ly =

Theo cong thuc Rydberg, cac muc nang luong cua cac photon đuoc hap thu hoac phat ra boi nguyen tu hydro ti le thuan voi hieu so cua hai phan so đon vi. Mo hinh Bohr ly giai hien tuong nay – muc nang luong cua cac orbital electron trong nguyen tu hydro ti le nghich voi mot so cac phan so đon vi co mau so la so chinh phuong, va muc nang luong cua mot photon đuoc luong tu hoa thanh hieu so nang luong cua hai muc.
Arthur Eddington cho rang hang so cau truc tinh te co dang phan so đon vi. Ong phong đoan phan so nay la 
  
    
      
        
          
            1
            136
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{136}}}
  
 va ve sau sua lai gia thuyet cua minh thanh 
  
    
      
        
          
            1
            137
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{137}}}
  
; hien nay, hang so nay đuoc uoc tinh bang khoang 
  
    
      
        
          
            1
            
              137
              ,
              036
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{137,036}}}
  
.


Tham khao