Phuong trinh Friedmann la mot tap hop cac phuong trinh trong vu tru hoc vat ly mieu ta su mo rong cua vu tru trong cac mo hinh đong nhat va đang huong cua vu tru cua ly thuyet tuong đoi tong quat. Cac phuong trinh nay đuoc tim ra boi Alexander Friedmann vao nam 1922 xuat phat tu phuong trinh truong Einstein cua truong hap dan cho metric Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker va mot chat long ly tuong co mat đo 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
 va ap suat 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
. Cac phuong trinh cho đo cong khong gian am sau đo đa đuoc Friedmann tim ra vao nam 1924.


Gia su Cac phuong trinh Friedmann bat đau voi viec đon gian hoa cac gia su vu tru la mot khong gian đong nhat va đang huong, hay dua tren nguyen ly vu tru hoc. Ve mat thuc tien, nguyen ly vu tru hoc tro len đung tren pham vi khoang cach lon hon ~100 Mpc. Tu gia su khong gian vu tru la đong nhat va đang huong cho phep rut ra metric cua vu tru phai co dang:

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        a
        (
        t
        
          )
          
            2
          
        
        
        d
        
          s
          
            3
          
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        
        d
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=a(t)^{2}\,ds_{3}^{2}-c^{2}\,dt^{2}}
  

trong đo 
  
    
      
        d
        
          s
          
            3
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds_{3}^{2}}
  
 la mot metric cua khong gian 3 chieu thuoc mot trong ba truong hop: (a) khong gian phang, (b) mat cau voi đo cong duong khong đoi hoac (c) mot khong gian hypebol voi đo cong am khong đoi. Tham so 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 (hay đo cong Gauss) thao luan ben duoi nhan cac gia tri 0, 1, −1 tuong ung cho ba truong hop nay. Đo la đieu cho phep de co the đe cap đen he so gian no (scale factor) 
  
    
      
        a
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle a(t)}
  
 mot cach hop ly.
Phuong trinh truong Einstein lien he su tien hoa cua he so gian no voi ap suat va nang luong cua vat chat trong vu tru. Tu metric Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker, chung ta tinh toan ky hieu Christoffel va sau đo la tensor Ricci. Voi vat chat co tinh chat nhu mot chat long ly tuong, chung ta thay the chung vao phuong trinh truong Einstein va thu đuoc cac phuong trinh Friedmann.


Cac phuong trinh Co hai phuong trinh Friedmann đoc lap cho mo hinh vu tru đang huong va đong nhat. Phuong trinh đau tien la:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      ˙
                    
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              k
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              8
              π
              G
              ρ
              +
              Λ
              
                c
                
                  2
                
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}}
  

đuoc rut ra tu thanh phan 00 trong phuong trinh truong Einstein. Phuong trinh thu hai la:

  
    
      
        
          
            
              
                a
                ¨
              
            
            a
          
        
        =
        −
        
          
            
              4
              π
              G
            
            3
          
        
        
          (
          
            ρ
            +
            
              
                
                  3
                  p
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              Λ
              
                c
                
                  2
                
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}
  

đuoc rut ra tu phuong trinh thu nhat cung voi vet cua phuong trinh truong Einstein.  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 la he so gian no (scale factor), 
  
    
      
        H
        ≡
        
          
            
              
                a
                ˙
              
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle H\equiv {\frac {\dot {a}}{a}}}
  
 la tham so Hubble. G, Λ, va c la cac hang so pho quat (G la hang so hap dan Newton, Λ la hang so vu tru hoc, va c la toc đo anh sang trong chan khong). k tro thanh mot hang so trong moi ho nghiem, nhung thay đoi gia tri giua cac ho nghiem khac nhau. 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, H, ρ, va p la nhung ham theo bien so thoi gian. ρ, va p tuong ung la mat đo va ap suat cua vat chat.  
  
    
      
        
          k
        
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle k \over a^{2}}
  
 la đo cong khong gian tai mot nhat cat thoi gian bat ky cua vu tru; no xap xi bang mot phan sau đo cong vo huong Ricci R vi 
  
    
      
        R
        =
        
          
            6
            
              
                c
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        
          
            
              a
              ¨
            
          
        
        a
        +
        
          
            
              
                a
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        k
        
          c
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})}
  
 trong phuong trinh Friedmann. Chung ta thay rang trong cac phuong trinh Friedmann, a(t) chi phu thuoc vao ρ, p,  Λ, va đo cong noi tai k. No khong phu thuoc vao he toa đo đuoc chon cho nhat cat khong gian. Thuong co hai lua chon cho 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va k ma mieu ta cung mot tinh chat vat ly:

k = +1, 0 hoac −1 phu thuoc vao hinh dang cua vu tru tuong ung la mot mat cau đong 3 chieu nhung trong khong thoi gian 4 chieu, khong gian phang (nhu khong gian Euclide) hoac mat cau hypeboloid mo 3 chieu nhung trong khong thoi gian 4 chieu. Neu k = +1, thi 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 la ban kinh cua đo cong cua vu tru. Neu k = 0, thi 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 nhan gia tri duong bat ky o mot thoi điem cu the. Neu k = −1, thi co the coi mot cach so bo rang 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
·
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 la ban kinh cua đo cong cua vu tru.

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 la he so gian no nhan gia tri 1 o thoi điem hien tai. 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 la đo cong khong gian khi 
  
    
      
        a
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a=1}
  
 (tuc o thoi điem hien tai). Neu hinh dang cua vu tru la mot sieu cau va 
  
    
      
        
          R
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{t}}
  
 la ban kinh đo cong (
  
    
      
        
          R
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{0}}
  
 trong thoi điem hien tai), thi 
  
    
      
        a
        =
        
          R
          
            t
          
        
        
          /
        
        
          R
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle a=R_{t}/R_{0}}
  
. Neu 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 co gia tri duong, thi vu tru la mot sieu mat cau. Neu 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 bang 0, thi vu tru la mot khong gian phang. Neu 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 co gia tri am, thi vu tru co hinh dang giong khong gian hypebolic.
Su dung phuong trinh đau tien, phuong trinh thu hai co the viet lai thanh 

  
    
      
        
          
            
              ρ
              ˙
            
          
        
        =
        −
        3
        H
        
          (
          
            ρ
            +
            
              
                p
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),}
  

o đay đa triet tieu 
  
    
      
        Λ
      
    
    {\displaystyle \Lambda }
  
 va bieu dien cho đinh luat bao toan nang luong-khoi luong 
  
    
      
        
          T
          
            α
            β
          
        
        
          

          
          
            ;
            β
          
        
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0}
  
.
Cac phuong trinh nay đoi khi đuoc lam đon gian hon bang cach thay the

  
    
      
        ρ
        →
        ρ
        −
        
          
            
              Λ
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              8
              π
              G
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}
  

  
    
      
        p
        →
        p
        +
        
          
            
              Λ
              
                c
                
                  4
                
              
            
            
              8
              π
              G
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}}
  

cho:

  
    
      
        
          H
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    a
                    ˙
                  
                
                a
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              8
              π
              G
            
            3
          
        
        ρ
        −
        
          
            
              k
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              H
              ˙
            
          
        
        +
        
          H
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                ¨
              
            
            a
          
        
        =
        −
        
          
            
              4
              π
              G
            
            3
          
        
        
          (
          
            ρ
            +
            
              
                
                  3
                  p
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).}
  

Dang đon gian cua phuong trinh thu hai la bat bien duoi phep bien đoi nay.
Tham so Hubble co the thay đoi theo thoi gian neu cac phan khac cua phuong trinh phu thuoc thoi gian (đac biet la cac tham so mat đo khoi luong, nang luong chan khong hoac đo cong khong gian). Xac đinh tham so Hubble o thoi điem hien tai thu đuoc hang so Hubble la hang so ty le trong đinh luat Hubble. Ap dung cho mot chat long voi đieu kien đau cua phuong trinh trang thai, phuong trinh trang thai Friedmann mieu ta hinh hoc va su tien hoa theo thoi gian cua vu tru nhu la mot ham cua mat đo chat long.
Mot so nha vu tru hoc đa goi phuong trinh thu hai la phuong trinh gia toc Friedmann va giu thuat ngu phuong trinh Friedmann cho phuong trinh đau tien.


Xem them Phat bieu toan hoc cua thuyet tuong đoi rong
Cac nghiem cua phuong trinh truong Einstein


Chu thich