Leonhard Euler ( OY-lər, tieng Đuc: [ˈleːɔnhaʁt ˈɔɪlɐ] ; 15 thang 4 nam 1707 – 18 thang 9 nam 1783) la mot nha toan hoc, nha vat ly hoc, nha thien van hoc, nha ly luan va ky su nguoi Thuy Si. Ong đa co nhung kham pha quan trong va co anh huong trong nhieu nganh toan hoc, nhu vi tich phan va ly thuyet đo thi, đong thoi co nhung đong gop tien phong cho mot so nganh nhu to po va ly thuyet so giai tich. Ong cung gioi thieu nhieu thuat ngu va ky hieu toan hoc hien đai, đac biet cho nganh giai tich toan hoc, noi bat la khai niem ham so toan hoc. Ong cung đuoc biet đen voi nhung nghien cuu ve co hoc, thuy đong luc hoc, quang hoc, thien van hoc va ly thuyet am nhac.
Euler la mot trong nhung nha toan hoc noi tieng nhat cua the ky 18 va đuoc coi la mot trong nhung nha toan hoc vi đai nhat trong lich su. Ong cung đuoc nhieu nguoi coi la nha toan hoc co nang suat nhat moi thoi đai. Sau khi ong qua đoi, cac cong trinh cua ong đuoc tap hop lai trong quyen "Leonhard Euler Opera Omnia" gom 85 quyen co lon voi hon 40.000 trang, (uoc tinh mot nguoi phai lam viec khoang 40 nam moi co the ghi lai luong cong trinh nay). Ong đa danh phan lon cuoc đoi cua minh o Saint Petersburg, Nga, va Berlin, khi ay la thu đo cua nuoc Pho. Mot nhan xet cua Pierre-Simon Laplace đa the hien anh huong cua Euler đoi voi toan hoc: "Hay đoc Euler, đoc Euler đi, ong ay la bac thay cua tat ca chung ta." Ten cua ong đa đuoc đat cho mot mieng nui lua tren Mat Trang va cho tieu hanh tinh 2002 Euler.


Tieu su = Thoi tre =
Leonhard Euler sinh ngay 15 thang 4 nam 1707 tai Basel, Basel-Stadt, Thuy Si. Ong la con cua Basela Paul III Euler, muc su than hoc Calvin va Marguerite (nhu danh Brucker), co to tien la nhung hoc gia noi tieng trong linh vuc co đien. Ong co hai chi em gai la Anna Maria va Maria Magdalena, va mot em trai la Johann Heinrich. Ngay sau khi Leonhard chao đoi, cha ong chuyen tu Basel đen thi tran Riehen, đay la noi Euler đa danh hau het thoi tho au cua minh. Paul Euler la mot nguoi ban cua dong ho Bernoulli; Johann Bernoulli sau nay đuoc coi la nha toan hoc hang đau cua chau Au, va se la nguon anh huong quan trong nhat đoi voi cau be Leonhard.
Euler thua huong nen giao duc chinh thuc bat đau tai Basel, noi ong đen song voi ba ngoai cua ong. Nam 1720, luc 13 tuoi, ong theo hoc tai Đai hoc Basel, va nam 1723, ong nhan bang Thac si Triet hoc voi luan van so sanh cac triet luan cua Descartes va Newton. Trong thoi gian đo, ong cung đa đuoc hoc cac bai giang tu Johann Bernoulli vao nhung buoi chieu thu bay, nguoi đa nhanh chong kham pha ra tai nang toan hoc la thuong o cau hoc sinh moi cua minh. Vao thoi điem đo, cac nghien cuu chinh cua Euler bao gom than hoc, tieng Hy Lap va Hebrew tuan theo su thuc giuc cua cha ong đe Euler tro thanh muc su, nhung Bernoulli đa thuyet phuc cha cua Leonhard rang cau be đa đuoc đinh đe tro thanh mot nha toan hoc vi đai.
Nam 1726, Euler hoan thanh luan van ve su truyen am thanh voi tieu đe De Sono. Vao thoi điem đo, ong khong thanh cong khi co gang co đuoc mot vi tri tai Đai hoc Basel. Nam 1727, Leonhard lan đau tien tham gia "Cuoc thi giai toan" cua Vien Han lam Paris; cau đo nam đo la tim cach tot nhat đe đat cot buom tren tau. Pierre Bouguer, nguoi sau nay đuoc biet đen nhu la "cha đe cua kien ​​truc hai quan", đa chien thang va Euler đung thu hai. Euler sau đo đa gianh chien thang cuoc thi hang nam nay đen muoi hai lan.


= Saint Petersburg =
Trong khoang thoi gian nay, hai con trai cua Johann Bernoulli, la Daniel va Nicolaus, đang lam viec tai Vien Han lam Khoa hoc Đe quoc Nga o Saint Petersburg. Vao ngay 31 thang 7 nam 1726, Nicolaus mat do viem ruot thua trong luc o Nga duoi mot nam, va khi Daniel đam nhan vi tri cua anh trai tai phan vien toan hoc/vat ly, ong đa đe nghi rang vi tri o phan vien sinh ly hoc ma anh trai ong bo trong co the đuoc đam trach boi nguoi ban Euler. Vao thang 11 nam 1726, Euler hao huc chap nhan loi đe nghi, nhung tri hoan chuyen đi đen Saint Petersburg vi trong luc đo ong đa khong thanh cong khi nop đon lam giao su vat ly tai Đai hoc Basel.

Euler đen Saint Petersburg vao ngay 17 thang 5 nam 1727. Mot thoi gian sau ong đuoc đe cu tu vi tri nhan vien o phan vien y hoc cua Vien Han lam chuyen sang vi tri trong phan vien toan hoc. Ong song cung voi Daniel Bernoulli, nguoi ma ong đa lam viec chat che cung. Euler đa thong thao tieng Nga, on đinh cuoc song tai Saint Petersburg va đam nhan them mot cong viec la y si trong Hai quan Nga.
Vien Han lam Saint Petersburg, đuoc thanh lap boi Peter Đai đe, co muc đich cai thien giao duc o Nga va đe thu hep khoang cach khoa hoc voi Tay Au. Ket qua la, hoat đong cua Vien đac biet hap dan voi cac hoc gia nuoc ngoai nhu Euler. Vien co nguon tai chinh phong phu va mot thu vien toan dien đuoc trich ra tu chinh cac thu vien rieng cua Peter va cua tang lop quy toc. Rat it hoc sinh đuoc ghi danh vao Vien Han lam đe lam giam ganh nang day hoc cua giang vien, va Vien nhan manh vao cong tac nghien cuu va đe nghi cac thanh vien danh no luc cua ho cung nhu thoi gian va su tu do đe theo đuoi cac cau hoi khoa hoc.
Nguoi bao tro cua Hoc vien, nu hoang Yekaterina I, đa tiep tuc cac chinh sach tien bo cua nguoi chong qua co. Gioi quy toc Nga sau đo đa gianh đuoc quyen luc voi su len ngoi cua Pyotr II luc 12 tuoi. Gioi quy toc đa nghi ngo cac nha khoa hoc ngoai quoc cua hoc vien, do vay ho đa cat giam kinh phi hoat đong va gay ra nhung kho khan khac cho Euler va cac đong nghiep cua ong.
Cac đieu kien lam viec đuoc cai thien nhe sau khi Pyotr II bang ha va Anna cua Nga, nguoi chiu anh huong tu Đuc, len ngai vang. Euler nhanh chong thang tien trong hoc vien va đuoc bo nhiem lam giao su vat ly vao nam 1731. Hai nam sau đo, Daniel Bernoulli, nguoi bi anh huong nang boi viec kiem duyet va nhung thu đich ma ong phai đoi mat tai Saint Petersburg, đa roi Nga đen Basel. Euler đa ke nhiem ong lam truong phan vien Toan hoc.
Vao ngay 7 thang 1 nam 1734, ong ket hon voi Katharina Gsell (1707–1773), con gai cua Georg Gsell, mot hoa si cua Hoc vien giao duc. Cap vo chong tre mua mot can nha ben canh song Neva. Trong so muoi ba đua con cua ho, chi co nam nguoi song đen luc truong thanh.


= Berlin =

Lo ngai ve tinh trang bat on đang dien ra o Nga, Euler roi St. Petersburg ngay 19 thang 6 nam 1741 đe đam nhiem vi tri tai Vien Han lam Berlin, theo loi moi cua Friedrich Đai đe. Ong song 25 nam tai Berlin, noi ong viet hon 380 bai bao. O Berlin, ong xuat ban hai tac pham ma se tro thanh noi tieng nhat: Introductio in analysin infinitorum, mot cuon ve cac ham toan hoc đuoc xuat ban nam 1748, va cuon Institutiones calculi differentialis, xuat ban nam 1755 ve giai tich vi phan. Nam 1755, ong đuoc bau lam thanh vien nuoc ngoai cua Vien Han lam Khoa hoc Hoang gia Thuy Đien.
Ngoai ra, Euler đuoc yeu cau day hoc cho Friederike Charlotte vung Brandenburg-Schwedt, hay chinh la cong chua vung Anhalt-Dessau va la chau gai cua Friedrich. Euler đa viet hon 200 la thu cho co vao đau thap nien 1760, sau đo đa đuoc bien soan thanh mot cuon ban rat chay voi tua đe đay đu la Thu cua Euler ve cac chu đe triet hoc tu nhien khac nhau gui đen mot cong chua Pho. Tac pham nay chua đung nhung giai thich cua Euler ve nhieu chu đe lien quan đen vat ly va toan hoc, cung nhu cung cap them hieu biet co gia tri ve tinh cach va niem tin ton giao cua Euler. Cuon sach nay đuoc đoc rong rai hon bat ky tac pham toan hoc nao cua ong va đuoc xuat ban tren khap chau Au va Hoa Ky. Su pho bien cua cuon Thu cua Euler chung minh cho kha nang cua Euler trong viec truyen đat cac van đe khoa hoc mot cach co hieu qua đen đoi tuong đai chung (tuc khong co chuyen mon trong nganh), mot kha nang thuong it co o mot nha khoa hoc nghien cuu chuyen sau.

Mac du co đong gop to lon cua Euler cho uy tin cua Vien Han lam Khoa hoc Pho, ong lai lam Friedrich noi gian va cuoi cung phai roi khoi Berlin. Xung quanh nha vua Pho co đong đao tri thuc trong trieu đinh, va ong đa thay Euler khong tinh te va khong co nhieu ky nang ngoai tinh toan va con so. Euler la nguoi đon gian va sung đao, cung nhu khong bao gio đat cau hoi ve trat tu xa hoi hien tai hay nhung niem tin thong thuong; va trong nhieu truong hop la cuc đoi nghich voi Voltaire, nguoi thich vi tri cao trong trieu đinh cua Friedrich. Euler khong phai la mot nha tranh bien gioi va thuong the hien ra khi ong tranh luan ve cac đoi tuong ma ong biet rat it, khien ong tro thanh đoi tuong cham biem thuong xuyen. Friedrich Đai đe cung bay to su that vong voi ky nang thuc tien cua Euler trong la thu gui đen Voltaire:Tram muon co mot voi nuoc trong vuon: Euler tinh toan luc cua banh xe nuoc can thiet đe nang nuoc vao mot ho chua, tu đo nuoc se chay tuon vao cac kenh, cuoi cung đen đai nuoc phut len tai Sanssouci. Voi nuoc cua ta đa đuoc thiet ke mang tinh hinh hoc nhu the va khong the đay luong nuoc nam gan hon nam muoi buoc vao ho chua. Đung la vo van cua vo van! Thu hinh hoc phu phiem!


= Suy giam thi luc =

Thi giac cua Euler ngay cang te hon trong su nghiep toan hoc cua ong. Nam 1738, ba nam sau khi gan khoi sot, mat phai cua ong tro nen gan nhu bi mu, nhung Euler lai đo loi tinh trang nay la do cong viec ve ban đo cho Vien Han lam St Petersburg. Thi luc cua Euler ngay cang te hon trong suot thoi gian ong o Đuc, tham chi luc đo Friedrich con goi ong la "Mot mat". Mat trai Euler sau đo con xuat hien cuom kho o thuy tinh the ma đuoc đuoc phat hien vao nam 1766. Chi vai tuan sau khi phat hien ra no, ong đa gan nhu bi mu hoan toan. Tuy nhien, tinh trang đo duong nhu it anh huong đen kha nang lam viec cua ong, vi ong co thien bam ve ky nang tinh nham va tri nho sieu pham - bu lai cho thi luc kem. Khi ca hai mat đeu khong nhin đuoc, Euler noi: "Bay gio toi se it xao nhang hon". Vi du, Euler co the đoc thuoc long su thi Aeneid cua Publius Vergilius tu đau đen cuoi ma khong vap, va ong cung co the chi ra dong nao la đau tien va la cuoi cung cua moi trang trong ban in. Voi su tro giup cua cac phu ta ghi chep, nang suat cua Euler tren nhieu linh vuc nghien cuu lai thuc su tang len. Trong nam 1775, trung binh, ong viet mot trang toan hoc moi tuan. Gia đinh dong ho Euler con mang mot cai ten kep, Euler-Scholpi, phan sau cua no co nguon goc tu schelb va schief, co nghia la mo mat, hoac tan tat. Đieu nay cho thay mot so nguoi trong dong ho Euler tung co nhung van đe lien quan đen mat.


= Tro ve Nga va qua đoi =

Nam 1760, trong chien tranh Bay Nam, trang trai cua Euler o Charlottenburg, Berlin bi cuop pha boi linh Nga khi ho tran qua. Khi biet đuoc su viec nay, tuong Ivan Petrovich Saltykov đa boi thuong thiet hai tai san cho Euler, sau đo Nu hoang Elizaveta đa đen bu them 4000 rup, mot khoan tien rat lon vao thoi đo. Tinh hinh chinh tri o Nga đa on đinh sau khi Ekaterina II Đai đe len ngoi, vi vay, nam 1766 Euler chap nhan loi moi tro lai Vien Han lam St. Petersburg. Cac đieu kien cua ong kha la cao - voi muc luong hang nam đen 3000 rup, tien tro cap cho vo ong, va nhung hua hen se bo nhiem cac vi tri danh gia cho cac con trai ong. Tat ca nhung đieu kien nay đeu đuoc chap thuan. Ong đa song nhung nam thang cuoi đoi o Nga. Tuy nhien, mot bi kich đa xay đen. Mot tran hoa hoan tai St. Petersburg nam 1771 khien ong mat nha va suyt nua la mang song. Nam 1773, vo ong, Katharina, mat sau gan 40 nam chung song.
Ba nam sau cai chet cua Katharia, Euler ket hon voi nguoi em (khong cung cha/me) cua vo minh, Salome Abigail Gsell (1723–1794). Cuoc hon nhan nay keo dai đen khi ong qua đoi. Nam 1782, ong đuoc bau lam Thanh vien Danh du ngoai quoc cua Vien Han lam Nghe thuat va Khoa hoc Hoa Ky.

Tai Saint Petersburg vao ngay 18 thang 9 nam 1783, sau bua an trua voi gia đinh, khi Euler đang thao luan ve hanh tinh moi đuoc kham pha sao Thien vuong va quy đao cua no voi vien si Anders Johan Lexell, nguoi ong đo sup xuong do xuat huyet nao. Ong qua đoi vai gio sau đo. Jacob von Staehlin-Storcksburg đa viet mot bai cao pho ngan cho Vien Han lam Khoa hoc Nga. Sau đo, nha toan hoc nguoi Nga Nicolas Fuss, mot trong cac hoc tro cua Euler, đa viet đieu van chi tiet hon, va chinh ong đoc tai buoi le tuong niem. Trong bai viet tuong niem gui đen Vien Han lam Phap, nha toan hoc va triet gia nguoi Phap Marquis de Condorcet, đa viet:il cessa de calculer et de vivre -... ong đa ngung tinh va ngung song.
Euler đuoc chon ben canh nguoi vo Katharina tai nghia trang Smolensk Lutheran tren đao Goloday. Vao nam 1785, Vien Han lam Khoa hoc Nga đa đat buc tuong ban than bang đa cam thach cua Leonhard Euler tren mot be, ngay canh ghe Chu tich vien. Nam 1837, Vien đa đat bia mo cho huyet cua ong. Đe tuong nho 250 nam ngay sinh cua Euler vao nam 1956, ngoi mo cua ong đuoc cai tang đen Nghia trang Lazarevskoe tai Tu vien Alexander Nevsky.


Đong gop Euler đa lam viec trong hau het cac linh vuc cua toan hoc, nhu hinh hoc, so vo cung be (infinitesimal), vi tich phan, luong giac, đai so, ly thuyet so, cung nhu co hoc moi truong lien tuc, thuyet mat trang va cac linh vuc khac cua vat ly hoc. Ong la mot nhan vat tieu bieu trong lich su toan hoc; neu đuoc in, cac tac pham cua ong, đa so đeu la cac tac pham co ban, se chiem tu 60 đen 80 pho sach. Ten goi Euler đuoc gan cung rat nhieu chu đe toan hoc, đen noi trong nganh toan hoc co cau noi rang cac kham pha va đinh ly đuoc đat ten theo nguoi chung minh chung sau Euler.
Euler la nha toan hoc duy nhat co hai so mang theo ten cua ong: So e trong vi tich phan, e, xap xi 2,71828, va hang so Euler–Mascheroni γ (gamma) đoi khi đuoc goi la "hang so Euler", xap xi 0.57721. Cac nha toan hoc van chua biet đuoc so γ la so huu ti hay so vo ti.


= Ky hieu toan hoc =
Euler đa gioi thieu va pho bien mot vai khai niem va ky hieu quy uoc thong qua cac cuon sach đuoc luu truyen rong rai cua ong. Noi bat nhat, ong gioi thieu khai niem ham so va la nguoi đau tien viet f(x) đe ky hieu ham f ap dung cho đoi so x. Ong cung đua ra cac ky hieu hien đai cho cac ham luong giac, chu cai e cho co so cua logarit tu nhien (ma ngay nay con goi la so Euler), chu cai Hy Lap Σ viet hoa cho ky hieu tong va chu i ky hieu cho đon vi ao. Viec su dung chu cai Hy Lap π ky hieu cho ty so giua chu vi va đuong kinh cua hinh tron cung đuoc pho bien boi Euler, mac du nguon goc cua no đuoc nha toan hoc xu Wales William Jones đua ra.


= Hinh hoc =

Cac nghien cuu cua Euler ve hinh hoc tren pham vi rong lon bao gom trong hinh hoc phang lan hinh hoc khong gian. Ong tim hieu tinh chat cac đuong trong tam giac voi cac ket qua nhu: đinh ly đuong thang Euler, đinh ly Euler lien he giua tam đuong tron noi tiep va tam đuong tron ngoai tiep, đuong tron chin điem trong mot tam giac. Ong cung kham pha ra moi lien he giua tong binh phuong cac canh mot tu giac voi tong binh phuong hai đuong cheo cua no. Ve hinh hoc khong gian, ong đua ra đinh nghia goc Euler nham mieu ta phuong huong cua vat ran trong khong gian 3 chieu va đinh ly quay vat ran.
Euler cung tim hieu moi lien he giua hinh hoc va so hoc thong qua bai toan tim cac hinh hop chu nhat ma ca ba canh va 3 đuong cheo cua moi mat đeu la cac so tu nhien.


= Giai tich =
Su phat trien cua nganh giai tich vo cung be (infinitesimal calculus) la linh vuc đuoc cac nha toan hoc the ky 18 uu tien nghien cuu hang đau, va cac nha toan hoc trong gia đinh Bernoulli—nhung nguoi ban gia đinh cua Euler—co vai tro chinh trong su tien trien đau tien cua linh vuc. Nho anh huong cua ho, viec nghien cuu giai tich tro thanh trong tam chinh cua Euler. Trong khi mot so chung minh cua Euler khong đuoc chap nhan neu dua theo cac tieu chuan hien đai ve muc đo chat che toan hoc (ong đac biet dua tren nguyen tac tinh tong quat cua đai so, generality of algebra), cac y tuong cua ong đa đua đen nhieu đot pha lon. Euler con noi tieng trong nganh giai tich voi viec su dung thuong xuyen va phat trien cac chuoi luy thua, trong đo cac ham so đuoc bieu dien duoi dang tong vo han cac so hang, nhu

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  0
                  !
                
              
            
            +
            
              
                x
                
                  1
                  !
                
              
            
            +
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  !
                
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                
                  n
                  !
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}
  

Đac biet, Euler đa chung minh truc tiep cong thuc khai trien thanh chuoi luy thua cho e va ham tang luong giac nguoc (chung minh gian tiep thong qua ky thuat chuoi luy thua nguoc đua ra boi Newton va Leibniz trong giai đoan tu 1670 đen 1680). Viec tao bao su dung chuoi luy thua cho phep ong giai đuoc bai toan noi tieng van đe Basel vao nam 1735 (va ong đua ra cac lap luan ky luong hon vao nam 1741), tinh tong cac nghich đao binh phuong cac so tu nhien:

  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  1
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  3
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              
                1
                
                  n
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}
  

o đo 
  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)}
  
 la ham Euler zeta (khong nen lam lan voi ham Riemann zeta von khong hoan toan giong nhau o mien gia tri cua x).

Euler gioi thieu cach su dung cac ham mu va logarit trong cac chung minh giai tich. Ong kham pha ra cach bieu dien nhieu ham logarit khac nhau duoi dang cac chuoi luy thua, va ong đa đinh nghia thanh cong logarit cho cac so am va so phuc, do đo giup mo rong xa hon pham vi ung dung toan hoc cua logarit. Ong cung neu đinh nghia ham mu cho cac so phuc, va kham pha ra moi lien he cua no voi cac ham luong giac. Đoi voi mot so thuc φ bat ky (đon vi đo theo radian), cong thuc Euler ve ham mu phuc đuoc viet nhu sau

  
    
      
        
          e
          
            i
            φ
          
        
        =
        cos
        ⁡
        φ
        +
        i
        sin
        ⁡
        φ
        .
      
    
    {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}
  

Mot truong hop đac biet cua cong thuc tren đo la đong nhat thuc Euler,

  
    
      
        
          e
          
            i
            π
          
        
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
  

đuoc nha vat ly Richard P. Feynman coi la "cong thuc đang chu y nhat trong toan hoc", vi trong mot cong thuc co xuat hien cua cac phep toan cong, nhan, luy thua, va dau bang, cung nhu the hien moi lien he giua cac hang so quan trong 0, 1, e, i va π. Nam 1988, ban đoc cua tap chi Mathematical Intelligencer bau chon đay la "cong thuc toan hoc đep nhat tu truoc đen nay". Trong so cong thuc đuoc binh chon, co 3 cong thuc cua Euler trong tong so 5 cong thuc dan đau o cuoc binh chon nay.
Ngoai ra, cong thuc de Moivre do Abraham de Moivre kham pha ra truoc đo vao nam 1707 tro thanh he qua truc tiep cua cong thuc Euler.
Them vao đo, Euler đa nghien cuu sau hon ly thuyet cac ham sieu viet (transcendental functions) bang đua ra ham gamma va phuong phap moi đe giai cac phuong trinh bac bon. Ong cung tim ra mot cach tinh cac tich phan bien so phuc giup khai pha so bo cho su phat trien cua giai tich phuc hien đai. Ong phat minh ra phep tinh bien phan voi ket qua noi tieng trong nganh nay, đo la phuong trinh Euler–Lagrange.
Euler la nguoi tien phong su dung phuong phap giai tich đe giai cac van đe trong ly thuyet so. Voi phuong phap nay, ong đa keo gan lai hai linh vuc duong nhu tach biet cua toan hoc va gioi thieu ra mot nganh nghien cuu moi, ly thuyet so giai tich. Cac đot phat trong linh vuc nay cua Euler co the liet ke ra bao gom chuoi sieu hinh hoc (hypergeometric series), q-series, ham luong giac hypebolic va ly thuyet giai tich lien phan so tong quat hoa. Vi du, ong chung minh đinh ly co vo han so nguyen to bang cach su dung tinh phan ky cua cac chuoi đieu hoa (harmonic series), va ong su dung phuong phap giai tich đe thu them hieu biet ve su phan bo cua cac so nguyen to. Cong trinh cua Euler trong linh vuc nay dan đen su phat trien cua đinh ly so nguyen to (prime number theorem, đinh ly phat bieu ve su phan bo cua so nguyen to giua hai so nguyen duong cho truoc).


= Ly thuyet so =
Moi quan tam cua Euler ve ly thuyet so co the lan lai tu anh huong cua nha toan hoc Christian Goldbach, mot nguoi ban cua ong o Vien han lam St. Petersburg. Nhieu tac pham ban đau cua Euler ve ly thuyet so dua tren cac nghien cuu cua Pierre de Fermat. Euler đa phat trien mot so y tuong cua Fermat va bac bo mot so phong đoan cua nha toan hoc nay.
Euler đa lien he ban chat cua su phan bo cac so nguyen to voi cac y tuong trong linh vuc giai tich. Ong chung minh đuoc su phan ky cua tong nghich đao cac so nguyen to (xem Wikipedia tieng Anh). Trong qua trinh nghien cuu tong nay, ong đa phat hien ra moi lien he giua ham zeta Riemann va cac so nguyen to; ma ket qua đuoc biet duoi dang chung minh cua Euler ve cong thuc tich cho ham zeta Riemann (xem Wikipedia tieng Anh).
Euler chung minh đuoc đong nhat thuc Newton (xem Wikipedia tieng Anh), đinh ly nho Fermat, đinh ly Fermat ve tong cua hai so chinh phuong, va co đong gop quan trong cho đinh ly Lagrange ve tong bon binh phuong (xem Wikipedia tieng Anh). Ong phat minh ra ham phi φ(n), so cac so nguyen duong nho hon hoac bang so nguyen n ma nguyen to cung nhau voi n. Su dung cac tinh chat cua ham nay, ong đa tong quat hoa đinh ly nho Fermat thanh dang ma ngay nay biet đen la đinh ly Euler. Ong co đong gop đac biet quan trong cho ly thuyet so hoan hao, ly thuyet đa lam say me cac nha toan hoc tu thoi Euclid. Euler đa chung minh moi lien he tuong minh giua so hoan hao va so nguyen to Mersenne đuoc chung minh truoc đo boi Euclid la quan he mot - mot, ket qua ngay nay đuoc biet đen voi đinh ly Euclid–Euler (moi so nguyen to Mersenne se cho tuong ung mot so hoan hao, va nguoc lai). Euler cung neu ra phong đoan ve luat tuong ho bac hai. Khai niem nay đuoc coi nhu la đinh ly co ban cua ly thuyet so, va y tuong cua ong đat co so cho cong trinh cua Carl Friedrich Gauss ve luat tuong ho bac hai sau nay. Nam 1772, Euler chung minh đuoc 231 − 1 = 2,147,483,647 la so nguyen to Mersenne. No la so nguyen to lon nhat đuoc biet cho đen tan nam 1867.


= Ly thuyet đo thi =

Nam 1735, Euler trinh bay loi giai ve bai toan noi tieng bay cay cau o Konigsberg. Thanh pho Konigsberg, khi ay thuoc Vuong quoc Pho nam ben bo song Pregel, trong đo co hai đao lon đuoc noi voi nhau va voi đat lien bang 7 cay cau. Bai toan đat ra la lieu co con đuong nao đe đi lien mot mach ma moi lan chi đi qua đung mot cau va quay tro lai điem xuat phat. Cau tra loi la khong ton tai con đuong nhu vay: hay khong ton tai mot đuong đi Euler. Loi giai nay đuoc coi nhu la đinh ly đau tien trong linh vuc ly thuyet đo thi, đac biet la ly thuyet đo thi phang.
Euler cung kham pha ra cong thuc 
  
    
      
        V
        −
        E
        +
        F
        =
        2
      
    
    {\displaystyle V-E+F=2}
  
 lien he giua so đinh, so canh va so mat cua mot đa dien loi, va cung đuoc ap dung cho đo thi phang. Hang so trong cong thuc nay ve sau đuoc goi la đac trung Euler cua đo thi (hoac cho nhung đoi tuong toan hoc), va co lien he voi giong cua đoi tuong. Cac cong trinh nghien cuu tong quat hoa cong thuc nay, đac biet boi Cauchy va L'Huilier, cung nhieu nha toan hoc khac đat co so cho su phat trien cua linh vuc to-po hoc sau nay.


= Toan ung dung =
Mot vai thanh cong lon nhat cua Euler la o giai quyet nhung van đe thuc tien bang phuong phap giai tich, va nghien cuu nhieu ung dung cua so Bernoulli, chuoi Fourier, so Euler, hang so e va π, lien phan so va tich phan. Ong ket hop phep tinh vi tich phan cua Leibniz voi phuong phap đao ham cua Newton, va phat trien cac cong cu giup no de dang su dung hon khi ap dung giai tich vao cac van đe thuc. Ong đa co cai thien lon trong viec tinh tich phan bang phuong phap xap xi so, phat minh ra xap xi Euler nhu đuoc biet ngay nay. Noi bat nhat trong nhung xap xi nay đo la phuong phap Euler va cong thuc Euler–Maclaurin. Ong cung lam đon gian hoa cach su dung phuong trinh vi phan, đac biet gioi thieu ra hang so Euler–Mascheroni:

  
    
      
        γ
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                1
                2
              
            
            +
            
              
                1
                3
              
            
            +
            
              
                1
                4
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              
                1
                n
              
            
            −
            ln
            ⁡
            (
            n
            )
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}
  

Mot trong nhung moi quan tam ky la cua Euler đo la ap dung cac y tuong toan hoc vao trong am nhac. Nam 1739 ong viet cuon Tentamen novae theoriae musicae, voi hy vong co the đua ly thuyet am nhac tro thanh mot bo phan cua toan hoc. Tuy nhien, linh vuc nghien cuu nay cua ong khong nhan đuoc su quan tam rong rai va tung đuoc mieu ta nhu la mang qua nhieu noi dung toan hoc đoi voi cac nhac si va qua nhieu noi dung am nhac đoi voi cac nha toan hoc.


= Vat ly va thien van hoc =

Euler giup phat trien phuong trinh dam Euler–Bernoulli, sau nay tro thanh nen tang cua vat ly ky thuat. Ben canh viec ong ap dung thanh cong cac cong cu giai tich cua minh vao cac bai toan cua co hoc co đien, Euler cung ap dung cac ky thuat nay cho cac van đe cua co hoc thien the. Nghien cuu cua ong trong thien van hoc đa đuoc nhan mot so giai thuong tu Vien han lam khoa hoc Phap trong su nghiep cua minh. Thanh tuu cua ong bao gom xac đinh đo chinh xac cao quy đao cua cac sao choi va cac thien the khac, tim hieu ban chat cua sao choi, va tinh toan thi sai cua Mat Troi. Cac tinh toan cua ong cung đong gop cho su phat trien cua viec lap bang kinh đo chinh xac sau nay.
Them vao đo, Euler đa co nhung đong gop quan trong cho linh vuc quang hoc. Ong khong tan thanh ly thuyet hat anh sang cua Newton neu trong cuon Opticks, ma o thoi điem ay la mot ly thuyet noi bat chiem uu the. Cac bai bao cua ong trong thap nien 1740 đa giup đam bao rang ly thuyet song anh sang do Christiaan Huygens đe xuat tro lai thanh mot ly thuyet đuoc chap thuan rong hon, cho đen tan khi co su phat trien cua ly thuyet luong tu ve anh sang.
Nam 1757 ong cong bo mot he phuong trinh quan trong mieu ta dong chat luu khong nhot (inviscid flow), ma ngay nay đuoc biet đen la phuong trinh Euler cua co hoc chat luu (no la truong hop đac biet cua phuong trinh Navier-Stokes). O dang vi phan, cac phuong trinh nay la:

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  
                    
                      ∂
                      ρ
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                +
                ∇
                ⋅
                (
                ρ
                
                  u
                
                )
                =
                0
              
            
            
              
              
                
                  
                    
                      ∂
                      (
                      ρ
                      
                        
                          u
                        
                      
                      )
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                +
                ∇
                ⋅
                (
                
                  u
                
                ⊗
                (
                ρ
                
                  u
                
                )
                )
                +
                ∇
                p
                =
                
                  0
                
              
            
            
              
              
                
                  
                    
                      ∂
                      E
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                +
                ∇
                ⋅
                (
                
                  u
                
                (
                E
                +
                p
                )
                )
                =
                0
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho  \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}
  

voi

ρ la khoi luong rieng chat luu,
u la vecto van toc chat luu, voi cac thanh phan u, v, va w,
E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) la tong nang luong tren đon vi the tich, voi e la noi nang tren đon vi khoi luong chat luu,
p la ap suat,
⊗ ky hieu tich tenxo, va
0 la vecto-khong.
Euler cung đuoc biet đen trong co hoc ket cau voi cong thuc tinh luc toi han tac dung len thanh đung thang ly tuong, ma tinh chat chi phu thuoc vao đo dai va đo cung khang uon cua no:

  
    
      
        F
        =
        
          
            
              
                π
                
                  2
                
              
              E
              I
            
            
              (
              K
              L
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}
  

voi

F = luc toi han hay lon nhat (luc tac dung doc truc cua cot ly tuong),
E = mo đun đan hoi,
I = mo men quan tinh dien tich cua tiet dien cot,
L = chieu dai tu do cua cot,
K = he so đo dai huu hieu, ma gia tri phu thuoc vao đieu kien lien ket cua hai điem đau cuoi cot, xac đinh tren ly thuyet nhu sau:
Hai đau khop (nhu ban le, quay tu do), K = 1,0
Hai đau ngam co đinh, K = 0,50
Mot đau ngam, mot đau khop, K = 0,699...
Mot đau ngam, mot đau tu do, K = 2,0
K L la đo dai huu hieu cua cot
E I la đo cung khang uon cua cot.


= Logic =
Euler cung su dung đuong cong kin đe minh hoa cac ly giai tam đoan luan (1768). Cac so đo nay ngay nay goi la so đo Euler.

So đo Euler la mot cach bieu dien bang so đo ve cac tap hop va moi lien he giua chung. So đo Euler bao gom cac đuong cong kin đon gian (thuong la hinh tron) trong mat phang va bieu dien cho cac tap hop. Moi đuong cong kin Euler chia mat phang ra thanh hai vung hoac "mien": mien trong chua cac phan tu cua tap hop, va mien ngoai la nhung phan tu khong thuoc tap hop. Kich thuoc hoac hinh dang cua cac đuong cong kin khong mang tinh quan trong; y nghia quan trong cua so đo la o cho cac đuong cong co chung mot mien. Moi lien he khong gian giua cac mien bi chan boi cac đuong cong kin (chung mot mien, chua trong hoac tach roi) tuong ung voi cac quan he cua ly thuyet tap hop (giao, tap con va khong giao nhau). Cac đuong con kin ma cac mien trong khong giao nhau goi la cac tap khong giao nhau. Hai đuong cong kin co chung mot mien trong bieu dien hai tap hop co chung cac phan tu; mot mien nam ben trong hai mien khac bieu dien cac phan tu chung nhau cua hai tap hop (giao cua hai tap hop). Mot đuong cong kin nam hoan toan ben trong mot đuong cong kin khac bieu dien tap con cua mot tap hop. So đo Euler cung voi so đo Venn đuoc đua vao noi dung giang day cua ly thuyet tap hop nhu la mot phan trong chuong trinh toan hoc moi cua thap nien 1960. Ke tu đo, so đo bieu dien tap hop đa đuoc chap nhan va su dung cho ca cac linh vuc khac.


= Am nhac =
Ngay ca khi nghien cuu am nhac, cach tiep can cua Euler chu yeu dua tren mo hinh toan hoc. Cac bai luan cua ong ve am nhac khong qua nhieu (chi day vai tram trang, trong tong so khoang 30 nghin trang giay), nhung chung phan anh moi ban tam tu som va khong roi khoi tam tri trong suot cuoc đoi cua ong.
Điem đau tien trong ly thuyet am nhac cua Euler la đinh nghia "the loai", hay so kha nang chia mot quang tam su dung cac so nguyen to 3 va 5. Euler mieu ta 18 the loai nay, voi đinh nghia tong quat 2mA, trong đo A la "so bieu dien" cua the loai (hay tong luy thua cac co so 3 va 5) va 2m (voi "m la mot so tuy y, lon hoac nho, cho đen khi van con cam nhan đuoc am thanh"), bieu dien cac lien he thoa man đoc lap voi cac so quang tam đuoc xet. The loai đau tien, voi A = 1, chinh la quang tam (hay ban sao cua no); the loai thu hai, 2m.3, la quang tam chia boi quang 5 (5 + 4, C–G–C); the loai thu 3 la 2m.5, quang 3 truong + quang 6 thu (C–E–C); the loai 4 la 2m.32, hai quang 4 va mot am (C–F–B♭–C); the loai 5 la 2m.3.5 (C–E–G–B–C); vv. Cac the loai 12 (2m.33.5), 13 (2m.32.52) va 14 (2m.3.53) la nhung loai chinh cho tuong ung am giai 7 not (diatonic), nua cung (chromatic) va trung am cua nguoi co đai. The loai 18 (2m.33.52) la the loai "diatonico-chromatic", "thuong su dung trong moi hop am", ma tro thanh đong nhat voi he thong mieu ta boi Johann Mattheson. Euler sau đo thu toi kha nang mieu ta cac the loai bang viec them vao so nguyen to 7.
Euler nghi ra mot đoan nhac đac biet, Speculum musicum, đe minh hoa the loai diatonico-chromatic,va thao luan cac con đuong trong đo thi nay cho moi quang nhac cu the, goi lai su quan tam cua ong toi bai toan Bay cay cau Konigsberg (xem o tren). Cong cu nay đuoc ap dung vao khai niem Tonnetz trong ly thuyet moi cua Hugo Riemann (xem them Dan (am nhac)).
Euler tiep tuc su dung nguyen ly bieu dien so "luy thua" đe đe xuat cach tim ra gradus suavitatis (đo de chiu) cua quang va cung nhac tu cac he so nguyen to – luu y rang ong chi xem xet đen am đieu, vi du chi so 1 va cac so nguyen to 3 va 5. Cac cong thuc đuoc đe xuat mo rong tu he nay cho he chua cac so nguyen to bat ky, vi du co dang

ds = Σ (kipi – ki) + 1
voi pi la cac so nguyen to va ki la cac so mu cua chung.


Triet hoc va đuc tin Euler va nguoi ban Daniel Bernoulli la nhung nguoi chong đoi chu nghia đon tu (monadism) cua Leibniz va triet hoc cua Christian Wolff. Euler qua quyet rang kien thuc hieu biet la mot phan nen tang cua co so cua cac đinh luat mieu ta đinh luong chinh xac, mot so thu ma chu nghia đon tu va triet hoc Wolff khong nhac đen. Nhung đinh huong ton giao cua Euler cung co the co anh huong đen su khong thich giao ly; ong đi đen cho rang cac y tuong cua Wolff la "ngoai đao va vo than".
Nhung hieu biet ve niem tin ton giao cua Euler co the dua theo cuon La thu gui đen cong chua Đuc va mot cong trinh truoc đo, Rettung der Gottlichen Offenbahrung Gegen die Einwurfe der Freygeister (Bao ve Khai Huyen cua Thien Chua chong lai Phan đoi cua Nguoi tu do). Nhung tac pham nay cho thay Euler la mot Kito huu mo đao, nguoi tin rang Kinh thanh se đuoc truyen cam hung; Rettung chu yeu la mot luan cu cho cam hung thieng lieng cua thanh thu.
Co mot huyen thoai noi tieng lay cam hung tu lap luan cua Euler voi cac triet gia the tuc ve ton giao, đat trong thoi gian Euler lam viec tai Vien han lam St Petersburg lan thu hai. Nha triet hoc nguoi Phap Denis Diderot đa đen tham Nga voi loi moi cua Ekaterina II Đai đe. Tuy nhien, Hoang hau đa đuoc canh bao rang cac luan cu cua nha triet hoc cho thuyet vo than co the anh huong đen cac thanh vien cua toa an cua ba, va do đo Euler đa đuoc yeu cau phai tranh luan voi nha triet Phap. Diderot đuoc thong bao rang mot nha toan hoc đa đua ra chung minh ve su ton tai cua Chua: ong đong y đen toa an đe xem chung minh nay. Euler xuat hien, tien đen Diderot, va voi giong noi mang đay tinh thuyet phuc tu tin tuyen bo: "Thua ngai  
  
    
      
        
          
            
              a
              +
              
                b
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {a+b^{n}}{n}}=x}
  
, do đo Chua ton tai—ong đap lai!" Diderot, (theo nhu cau chuyen) nguoi khong hieu gi ve toan hoc, đung chet lang trong khi nhung nguoi xung quanh toa an cuoi vang. Cam thay boi roi, ong đe nghi roi khoi nuoc Nga, mot loi yeu cau đuoc Nu hoang chap thuan ngay lap tuc. Tuy nhien đay co the la mot giai thoai gay cuoi, boi vi thuc te Diderot cung la mot nha toan hoc. Giai thoai nay đa đuoc Dieudonne Thiebault ke lan đau tien voi nhung thong tin them that vao tu phia Augustus De Morgan.


Tuong niem Hinh anh Euler đa đuoc thiet ke tren đong 10 Franc Thuy Si cung nhu o nhieu con tem Thuy Si, Đuc, va Nga. Tieu hanh tinh 2002 Euler đuoc đat ten đe vinh danh ong. Ong cung đuoc to chuc tuong nho boi giao hoi Luther vao ngay Thanh le cua ho tuc ngay 24 thang 5 (cung la ngay tuong niem Nikolaus Kopernikus cua giao hoi)—ong la mot nguoi Kito huu sung tin (nguoi tin tuong vao su bat kha sai lam trong Kinh thanh), nguoi đa viet bien giai va lap luan manh me chong lai cac nha vo than noi tieng thoi ong.
Ly thuyet dam Euler–Bernoulli do Leonhard Euler va Daniel Bernoulli la nhung nguoi đau tien neu ra, la ly thuyet đan hoi tuyen tinh đuoc đon gian hoa đe tinh toan dam chiu tai va đo vong cua dam trong thiet ke xay dung.
Cong thuc Euler lien he giua ham so luong giac va ham so mu phuc 
  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        i
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\ }
  
 voi dang suy bien la đong nhat thuc Euler 
  
    
      
        
          e
          
            i
            π
          
        
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
  
 khi 
  
    
      
        x
        =
        π
      
    
    {\displaystyle x=\pi }
  
.


Tac pham noi tieng Euler co khoi luong sach viet đo so nhung nhung cuon sach noi tieng nhat cua ong bao gom:

Mechanica (1736).
Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744). Tam dich la Phuong phap tim nhung đuong cong co tinh chat cuc đai hoac cuc tieu, hoac loi giai cho bai toan đang cau trong chung muc chap nhan rong rai nhat.
Introductio in analysin infinitorum (1748).
Hai cuon sach co anh huong toi vi tich phan: Institutiones calculi differentialis (1755) va Institutiones calculi integralis (1768–1770).
Principia motus fluidorum (Nguyen ly chuyen đong cua chat luu; 1761):; cuon sach trinh bay phuong trinh lien tuc va phuong trinh Euler.
Vollstandige Anleitung zur Algebra (Nhap mon Đai so hoc; 1765). Cuon sach ve đai so so cap nay bat đau bang mot loi ban luan ve ban chat cac con so va mot loi gioi thieu tong quan ve đai so, bao gom cac cong thuc danh cho cach giai phuong trinh đa thuc.
Lettres a une Princesse d'Allemagne (Nhung la thu gui mot cong chua Đuc; 1768–1772).
Tap cac tac pham cua Euler đau tien đuoc tao boi Paul Heinrich von Fuss vao nam 1862. Tap hop cac tac pham cua Euler, tieu đe Opera Omnia, đa đuoc xuat ban tu 1911 boi Hoi đong Euler thuoc Vien han lam Khoa hoc va Nghe thuat Thuy Si. Danh sach đay đu liet ke cac tac pham cua Euler co the xem tai Chi muc Enestrom Luu tru ngay 19 thang 8 nam 2019 tai Wayback Machine (PDF).


Xem them Danh sach nha toan hoc
So Euler
Cong thuc Euler
Cau chuyen toan hoc (The Story of Maths)


Chu thich Ghi chu Sach tham khao Lien ket ngoai Tu lieu lien quan toi Leonhard Euler tai Wikimedia Commons
Ole L. tai Tu đien bach khoa Viet Nam
LeonhardEuler.com
Leonhard Euler tai Encyclopædia Britannica (tieng Anh)
Leonhard Euler (1707 - 1783) MacTutor
Leonhard Euler. - PubMed - NCBI 1982 Sep 3;248(9):1072
THE LEONHARD EULER SOCIETY PubMed, NCBI 1913 Jul 4;38(966):26. doi:10.1126/science.38.966.26-a
Tieu su Leonhard Euler tren Dien đan toan hoc
Leonhard Euler - Nguoi thay vi đai, tren tiasang.com.vn ngay 12 thang 4 nam 2016.
Leonhard Euler tren IMDb