Dien tich la đai luong bieu thi pham vi cua hinh hoac hinh hai chieu hoac lamina phang, trong mat phang. Dien tich be mat la tuong tu cua dien tich tren be mat hai chieu cua mot vat the ba chieu. Dien tich co the đuoc hieu la luong vat lieu co đo day nhat đinh se can thiet đe tao kieu cho mo hinh hinh dang hoac luong son can thiet đe phu len be mat bang mot lop son. No la tuong tu ve mat hai chieu đoi voi chieu dai cua đuong cong (khai niem mot chieu) hoac the tich cua vat ran (khai niem ba chieu).
Dien tich cua hinh co the đuoc đo bang cach so sanh hinh voi cac hinh vuong co kich thuoc co đinh. Trong He thong đon vi quoc te (SI), đon vi dien tich tieu chuan la met vuong (viet la m²), la dien tich cua mot hinh vuong co canh dai mot met. Mot hinh co dien tich ba met vuong se co cung dien tich voi ba hinh vuong nhu vay. Trong toan hoc, hinh vuong đon vi đuoc xac đinh la co dien tich bang mot va dien tich cua bat ky hinh dang hoac be mat nao khac la mot so thuc khong thu nguyen.
Co mot so cong thuc noi tieng cho cac dien tich co hinh dang đon gian nhu hinh tam giac, hinh chu nhat va hinh tron. Su dung cac cong thuc nay, dien tich cua bat ky đa giac nao đeu co the đuoc tinh toan bang cach chia đa giac thanh cac hinh tam giac. Đoi voi cac hinh co ranh gioi cong, tich phan thuong đuoc dung đe tinh dien tich. That vay, van đe xac đinh dien tich cac hinh phang la mot đong luc chinh cho su phat trien lich su cua tich phan.
Đoi voi mot hinh dang ran nhu hinh cau, hinh non hoac hinh tru, dien tich be mat ranh gioi cua no đuoc goi la dien tich be mat. Cac cong thuc cho cac dien tich be mat cua cac hinh dang đon gian đa đuoc nguoi Hy Lap co đai tinh toan, nhung tinh toan dien tich be mat cua mot hinh dang phuc tap hon thuong đoi hoi tich phan đa bien.
Dien tich đong mot vai tro quan trong trong toan hoc hien đai. Ngoai tam quan trong ro rang cua no trong hinh hoc va tinh toan, dien tich co lien quan đen đinh nghia cac yeu to quyet đinh trong đai so tuyen tinh, va la mot tinh chat co ban cua cac be mat trong hinh hoc vi phan. Trong phan tich, dien tich cua mot tap hop con cua mat phang đuoc xac đinh bang cach su dung thuoc đo Lebesgue, mac du khong phai moi tap hop con đeu co the đo đuoc. Noi chung, dien tich trong toan hoc cap cao hon đuoc coi la mot truong hop đac biet ve the tich cho cac vung co hai chieu.
Dien tich co the đuoc xac đinh thong qua viec su dung cac tien đe, xac đinh no la mot ham cua mot tap hop cac hinh mat phang nhat đinh chieu đen tap hop cac so thuc. No co the đuoc chung minh rang mot ham nhu vay la ton tai.


Đinh nghia hinh thuc Mot cach tiep can đe xac đinh y nghia cua "dien tich" la thong qua cac tien đe. "Dien tich" co the đuoc đinh nghia la mot ham a tu tap hop M gom cac hinh phang đac biet (goi la tap hop co the đo đuoc) đen tap cac so thuc, thoa man cac tinh chat sau:

Voi moi S thuoc M thi a (S) ≥ 0.
Neu S va T nam trong M thi S ∪ T va S ∩ T, va a (S ∪ T) = a (S) + a (T) - a (S ∩ T).
Neu S va T nam trong M voi S ⊆ T thi T - S thuoc M va a (T - S) = a (T) - a (S).
Neu mot tap hop S thuoc M va S đong nhat voi T thi T cung thuoc M va a (S) = a (T.
Moi hinh chu nhat R đeu nam trong M. Neu hinh chu nhat co chieu dai h va chieu rong k thi a (R) = hk.
Goi Q la mot tap hop nam giua hai vung buoc S va T. Vung buoc đuoc hinh thanh tu su ket hop huu han cua cac hinh chu nhat lien ke nam tren mot co so chung, tuc la S ⊆ Q ⊆ T. Neu ton tai mot so duy nhat c sao cho a (S) ≤ c ≤ a (T) đoi voi tat ca cac vung buoc S va T nhu vay, thi a (Q) = c.
Co the chung minh rang mot ham dien tich nhu vay thuc su ton tai.


Đon vi Moi đon vi đo dai đeu co mot đon vi dien tich tuong ung la dien tich hinh vuong co đo dai canh bang đon vi đo dai đa cho. Do đo dien tich co the đuoc đo bang met vuong (m2), vuong cm (cm2), milimet vuong (mm2), kilomet vuong (km²),feet vuong (ft 2), yard vuong (yd 2), dam vuong (mi2), v.v. Ve mat đai so, cac đon vi nay co the đuoc coi la binh phuong cua cac đon vi đo dai tuong ung.
Đon vi dien tich SI la met vuong, đuoc coi la mot đon vi dan xuat SI.


= Chuyen đoi =

Tinh dien tich cua mot hinh vuong co chieu dai va chieu rong la 1 met se la:
1 met × 1 met = 1 m²
va do đo, mot hinh chu nhat co cac canh khac nhau (gia su chieu dai 3 met va chieu rong 2 met) se co dien tich tinh bang đon vi hinh vuong co the đuoc tinh nhu sau:
3 met × 2 met = 6 m². Đieu nay tuong đuong voi 6 trieu mm vuong. Cac chuyen đoi huu ich khac la:

1 km vuong = 1.000.000 met vuong
1 met vuong = 10.000 cm vuong = 1.000.000 mm vuong
1 cm vuong = 100 mm vuong.


 Đon vi khong phai he met  Trong đon vi khong thuoc he met, viec chuyen đoi giua hai đon vi vuong la binh phuong cua viec chuyen đoi giua cac đon vi chieu dai tuong ung.
1 foot = 12 inch,
moi quan he giua feet vuong va inch vuong la
1 foot vuong = 144 inch vuong,
trong đo 144 = 122 = 12 × 12. Tuong tu:

1 yard vuong = 9 feet vuong
1 dam vuong = 3.097.600 yard vuong = 27.878.400 feet vuong
Ngoai ra, cac yeu to chuyen đoi bao gom:

1 inch vuong = 6.4516 cm vuong
1 foot vuong = 0.09290304 met vuong
1 yard vuong = 0.83612736 met vuong
1 dam vuong = 2.589988110336 km vuong


= Cac đon vi khac bao gom cac đon vi mang tinh lich su =
Co mot so đon vi pho bien khac cho dien tich. A la đon vi dien tich ban đau trong he met, voi:

1 a = 100 met vuong
Mac du đa khong con su dung, hecta van thuong đuoc su dung đe đo đat:

1 hecta = 100 a = 10.000 met vuong = 0,01 ki lo met vuong
Mau Anh cung thuong đuoc su dung đe đo dien tich đat

1 mau Anh = 4,840 yard vuong = 43,560 feet vuong.
Mot mau Anh la khoang 40% cua mot hecta.
Tren quy mo nguyen tu, dien tich đuoc đo bang đon vi barn:

1 barn = 10 −28 met vuong.
Barn đuoc su dung pho bien trong viec mo ta vung tuong tac mat cat ngang trong vat ly hat nhan.
O An Đo,

20 dhurki = 1 dhur
20 dhur = 1 khatha
20 khata = 1 bigha
32 khata = 1 mau Anh


Lich su = Dien tich hinh tron =
Vao the ky thu 5 truoc Cong nguyen, Hippocrates xu Chios la nguoi đau tien chi ra rang dien tich cua mot cai đia (vung đuoc bao quanh boi mot vong tron) ty le voi binh phuong đuong kinh cua no, nhu mot phan cua viec cau phuong cua ong, nhung khong xac đinh đuoc hang so ty le. Eudoxus cua Cnidus, cung vao the ky thu 5 truoc Cong nguyen, cung phat hien ra rang dien tich cua mot cai đia tron ty le thuan voi binh phuong ban kinh cua no.
Sau đo, Quyen I cua Co so cua Euclid đe cap đen su bang nhau ve dien tich giua cac hinh hai chieu. Nha toan hoc Archimedes su dung cac cong cu cua Euclid đe chung minh rang dien tich ben trong mot vong tron la tuong đuong voi cua mot tam giac vuong co đay la chieu dai cua chu vi cua vong tron va co chieu cao tuong đuong voi ban kinh cua vong tron, trong cuon sach cua ong Đo mot hinh tron. (Chu vi la 2 πr, va dien tich cua mot tam giac bang mot nua đay nhan voi chieu cao, mang lai dien tich πr 2 cho hinh tron.) Archimedes đa tinh gan đung gia tri cua π (va do đo la dien tich cua mot hinh tron ban kinh đon vi) bang phuong phap nhan đoi cua minh, trong đo ong noi tiep mot tam giac đeu trong mot vong tron va ghi nhan dien tich cua no, sau đo nhan đoi so canh đe tao ra mot hinh luc giac đeu., sau đo lien tuc nhan đoi so canh khi dien tich cua đa giac ngay cang gan voi dien tich cua hinh tron (va thuc hien tuong tu voi đa giac ngoai tiep).
Nha khoa hoc nguoi Thuy Si Johann Heinrich Lambert nam 1761 đa chung minh rang π, ty so giua dien tich hinh tron voi ban kinh binh phuong cua no, la so vo ti, nghia la no khong bang thuong so cua hai so nguyen bat ky. Nam 1794, nha toan hoc nguoi Phap Adrien-Marie Legendre đa chung minh rang π2 la vo ti; đieu nay cung chung to rang π la vo ti. Nam 1882, nha toan hoc nguoi Đuc Ferdinand von Lindemann đa chung minh rang π la so sieu viet (khong phai la nghiem cua bat ky phuong trinh đa thuc nao voi he so huu ti), chung minh nay xac nhan mot phong đoan cua ca Legendre va Euler. 


= Dien tich tam giac =
Heron (hay Hero) cua Alexandria đa tim ra cai đuoc goi la cong thuc Heron cho dien tich tam giac tinh theo cac canh cua no, va mot phep chung minh co trong cuon sach cua ong, Metrica, đuoc viet vao khoang nam 60 CN. Co y kien cho rang Archimedes đa biet cong thuc hon hai the ky truoc đo, va vi Metrica la tap hop cac kien thuc toan hoc co san trong the gioi co đai, nen co the cong thuc co truoc tham chieu đuoc đua ra trong cong trinh đo.
Nam 499, Aryabhata, mot nha toan hoc - thien van hoc vi đai cua thoi đai co đien cua toan hoc An Đo va thien van hoc An Đo, đa bieu thi dien tich cua mot tam giac bang mot nua đay nhan voi chieu cao trong Aryabhatiya (phan 2.6).
Mot cong thuc tuong đuong voi Heron đa đuoc nguoi Trung Quoc tim ra đoc lap voi nguoi Hy Lap. No đuoc xuat ban vao nam 1247 trong Shushu Jiuzhang ("Cuu chuong toan thuat"), tac pham cua Qin Jiushao.


= Dien tich tu giac =
Trong the ky thu 7, Brahmagupta đa phat trien mot cong thuc, bay gio đuoc goi la cong thuc Brahmagupta, cho dien tich cua mot tu giac noi tiep (mot tu giac co cac đinh nam tren mot vong tron) theo cac canh cua no. Nam 1842, cac nha toan hoc nguoi Đuc Carl Anton Bretschneider va Karl Georg Christian von Staudt đa đoc lap voi nhau, cung tim ra mot cong thuc, đuoc goi la cong thuc Bretschneider, cho dien tich cua bat ky hinh tu giac nao.


= Dien tich đa giac =
Su phat trien cua toa đo Descartes do Rene Descartes xay dung vao the ky 17 cho phep phat trien cong thuc cho dien tich cua bat ky đa giac nao co vi tri đinh đa biet cua Gauss vao the ky 19.


= Dien tich đuoc xac đinh bang phep tinh tich phan =
Su phat trien cua phep tinh tich phan vao cuoi the ky 17 đa cung cap cac cong cu sau đo co the đuoc su dung đe tinh toan cac dien tich phuc tap hon, chang han nhu dien tich hinh elip va dien tich be mat cua cac vat the ba chieu cong khac nhau.


Cong thuc dien tich = Đa giac =
Đoi voi mot đa giac khong tu cat (đa giac đon), toa đo Descartes
  
    
      
        (
        
          x
          
            i
          
        
        ,
        
          y
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{i},y_{i})}
  
 (i = 0, 1,..., n -1) cua n đinh đa biet, dien tich đuoc cho boi cong thuc cua nguoi đong mong:

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          |
        
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        
          y
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        
          y
          
            i
          
        
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})|}
  

trong đo khi i = n -1, thi i +1 đuoc bieu thi duoi dang mođun n va do đo quy ve 0.


 Hinh chu nhat  Cong thuc dien tich co ban nhat la cong thuc dien tich hinh chu nhat. Cho mot hinh chu nhat co chieu dai l va chieu rong w, cong thuc cua dien tich la:
A = lw.
Nghia la, dien tich cua hinh chu nhat bang chieu dai nhan voi chieu rong. Trong truong hop đac biet, vi l = w trong truong hop hinh vuong, dien tich cua hinh vuong co đo dai canh s đuoc cho boi cong thuc:
A = s2
Cong thuc cho dien tich hinh chu nhat truc tiep dua tren cac tinh chat co ban cua dien tich, va đoi khi đuoc coi la mot đinh nghia hoac tien đe. Mat khac, neu hinh hoc đuoc phat trien truoc so hoc, cong thuc nay co the đuoc su dung đe đinh nghia phep nhan cac so thuc.


 Phuong phap tach hinh, hinh binh hanh va hinh tam giac  Hau het cac cong thuc đon gian khac cho dien tich đeu tuan theo phuong phap tach hinh. Đieu nay bao gom viec cat mot hinh thanh tung hinh nho, va viec tinh dien tich hinh đo se la viec dung phep cong cac dien tich cac hinh con.

Vi du, bat ky hinh binh hanh nao cung co the đuoc chia nho thanh hinh thang va tam giac vuong, nhu the hien trong hinh ben trai. Neu tam giac đuoc di chuyen sang phia ben kia cua hinh thang, thi hinh thu đuoc la mot hinh chu nhat. Theo đo dien tich cua hinh binh hanh bang dien tich cua hinh chu nhat đo:
A = bh  (hinh binh hanh).

Tuy nhien, cung mot hinh binh hanh cung co the đuoc cat theo mot đuong cheo thanh hai tam giac tuong đang, nhu trong hinh ben phai. Nhu vay dien tich cua moi tam giac bang mot nua dien tich cua hinh binh hanh:

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        b
        h
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}
  
 (Tam giac).
Cac phep chung minh tuong tu co the đuoc su dung đe tim cong thuc dien tich cho hinh thang  cung nhu cac đa giac phuc tap hon.


= Dien tich cac hinh cong =


 Hinh tron  Cong thuc tinh dien tich hinh tron (đuoc goi đung hon la dien tich đuoc bao boi hinh tron hay dien tich đia) dua tren mot phuong phap tuong tu. Cho mot vong tron ban kinh r no co the phan vung cac vong tron vao cac linh vuc, nhu the hien trong hinh ben phai. Moi cung co dang hinh tam giac gan đung va cac cung co the đuoc sap xep lai đe tao thanh mot hinh binh hanh gan đung. Chieu cao cua hinh binh hanh nay la r, va chieu rong bang nua chu vi cua hinh tron, hay πr. Nhu vay, tong dien tich cua hinh tron la πr2:
A = πr2  (hinh tron).
Mac du viec phan tach hinh tron đuoc su dung trong cong thuc nay chi la gan đung, nhung sai so ngay cang nho hon khi vong tron đuoc phan chia thanh ngay cang nhieu cung. Gioi han dien tich cua cac hinh binh hanh gan đung la πr2, la dien tich cua hinh tron.
Lap luan nay thuc su la mot ung dung đon gian cua cac y tuong cua phep tinh vi tich phan. Trong thoi co đai, phuong phap can kiet đuoc su dung mot cach tuong tu đe tim dien tich hinh tron, va phuong phap nay ngay nay đuoc cong nhan la tien than cua phep tinh tich phan. Su dung cac phuong phap hien đai, dien tich hinh tron co the đuoc tinh bang cach su dung mot tich phan xac đinh:

  
    
      
        A
        
        =
        
        2
        
          ∫
          
            −
            r
          
          
            r
          
        
        
          
            
              r
              
                2
              
            
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        
        =
        
        π
        
          r
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}
  


 Hinh elip  Cong thuc cho dien tich đuoc bao boi mot hinh elip co lien quan đen cong thuc cua mot hinh tron; đoi voi mot hinh elip voi cac ban truc chinh va ban truc phu x va y, voi cong thuc la:

  
    
      
        A
        =
        π
        x
        y
        .
      
    
    {\displaystyle A=\pi xy.}
  


 Dien tich be mat  Hau het cac cong thuc co ban cho dien tich be mat co the thu đuoc bang cach cat cac be mat va lam phang chung. Vi du, neu be mat ben cua mot hinh tru (hoac bat ky hinh lang tru nao) đuoc cat theo chieu doc, be mat đo co the đuoc lam phang thanh hinh chu nhat. Tuong tu, neu mot vet cat đuoc thuc hien doc theo mat ben cua hinh non, be mat ben co the đuoc lam phang thanh mot phan cua hinh tron va dien tich ket qua co the đuoc tinh ra.
Cong thuc cho dien tich be mat cua mot hinh cau kho tim hon: boi vi mot hinh cau co đo cong Gauss khac 0, no khong the bi can det ra. Cong thuc ve dien tich be mat cua mot hinh cau lan đau tien đuoc Archimedes thu đuoc trong tac pham Ve hinh cau va hinh tru. Cong thuc la:

A = 4πr2  (hinh cau), voi r la ban kinh cua hinh cau. Cung giong nhu cong thuc ve dien tich hinh tron, bat ky suy luan nao cua cong thuc nay đeu su dung cac phuong phap tuong tu nhu tich phan.


= Cong thuc chung =


 Dien tich cua cac hinh 2 chieu  Hinh tam giac:
  
    
      
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        B
        h
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}
  
 (trong đo B la canh bat ky va h la khoang cach tu đuong thang ma B nam đen đinh con lai cua tam giac). Co the su dung cong thuc nay neu biet chieu cao h. Neu biet đo dai cua ba canh thi co the su dung cong thuc Heron:
  
    
      
        
          
            s
            (
            s
            −
            a
            )
            (
            s
            −
            b
            )
            (
            s
            −
            c
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
  
 trong đo a, b, c la cac canh cua tam giac va 
  
    
      
        s
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        a
        +
        b
        +
        c
        )
      
    
    {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}
  
 la mot nua chu vi cua no. Neu cho mot goc va hai canh ben cua no, dien tich la
  
    
      
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        a
        b
        sin
        ⁡
        (
        C
        )
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)}
  
 trong đo C la goc đa cho va a va b la cac canh cua no. Neu tam giac đuoc ve đo thi tren mot mat phang toa đo, mot ma tran co the đuoc su dung va đuoc đon gian hoa thanh gia tri tuyet đoi cua
  
    
      
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            3
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
        
        
          y
          
            1
          
        
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            1
          
        
        −
        
          x
          
            3
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        
          y
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}
  
. Cong thuc nay con đuoc goi la cong thuc day giay va la mot cach de dang đe giai dien tich cua mot tam giac toa đo bang cach thay the 3 điem (x 1, y 1), (x 2, y 2) va (x 3, y 3). Cong thuc day giay cung co the đuoc su dung đe tim dien tich cua cac đa giac khac khi cac đinh cua chung đa biet. Mot cach tiep can khac cho tam giac toa đo la su dung phep tinh đe tim dien tich.
Mot đa giac đon đuoc xay dung tren mot luoi cac điem co khoang cach bang nhau (tuc la cac điem co toa đo nguyen) sao cho tat ca cac đinh cua đa giac la cac điem luoi:
  
    
      
        i
        +
        
          
            b
            2
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}
  
, voi i la so điem luoi ben trong đa giac va b la so điem bien. Ket qua nay đuoc goi la đinh ly Pick.


 Dien tich trong giai tich  Dien tich giua đuong cong co gia tri duong va truc hoanh, đuoc đo giua hai gia tri a va b (b đuoc đinh nghia la lon hon trong hai gia tri) tren truc hoanh, đuoc cho boi tich phan tu a đen b cua ham đai dien cho đuong cong:

  
    
      
        A
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}
  

Dien tich giua đo thi cua hai ham so bang tich phan cua mot ham so, f (x), tru đi tich phan cua ham so kia, g (x):

  
    
      
        A
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        f
        (
        x
        )
        −
        g
        (
        x
        )
        )
        
        d
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}
  

Dien tich bi gioi han boi mot ham r = r (θ) đuoc bieu thi bang toa đo cuc la:

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ∫
        
          r
          
            2
          
        
        
        d
        θ
        .
      
    
    {\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .}
  

Khu vuc đuoc bao quanh boi mot đuong cong tham so
  
    
      
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        (
        t
        )
        =
        (
        x
        (
        t
        )
        ,
        y
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}
  
 voi cac điem cuoi
  
    
      
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        (
        
          t
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}
  
 đuoc cho boi tich phan đuong:

  
    
      
        
          ∮
          
            
              t
              
                0
              
            
          
          
            
              t
              
                1
              
            
          
        
        x
        
          
            
              y
              ˙
            
          
        
        
        d
        t
        =
        −
        
          ∮
          
            
              t
              
                0
              
            
          
          
            
              t
              
                1
              
            
          
        
        y
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        
        d
        t
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∮
          
            
              t
              
                0
              
            
          
          
            
              t
              
                1
              
            
          
        
        (
        x
        
          
            
              y
              ˙
            
          
        
        −
        y
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}
  

(xem đinh ly Green) hoac thanh phan z cua

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∮
          
            
              t
              
                0
              
            
          
          
            
              t
              
                1
              
            
          
        
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              
                
                  u
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        
        d
        t
        .
      
    
    {\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}
  


Cac cong thuc thong dung Xem them Đo dai
The tich


Tham khao