Giai tich toan hoc hay goi ngan la giai tich  (Tieng Anh: analysis) la phan nhanh cua toan hoc lam viec voi ham lien tuc, gioi han va cac ly thuyet lien quan nhu đao ham, phep lay tong, tich phan, đo luong, chuoi vo han va cac ham giai tich.
Nhung ly thuyet nay thuong đuoc nghien cuu trong truong so thuc va so phuc. Giai tich phat trien tu vi tich phan, tu đo phat trien cac khai niem va ky thuat giai tich co ban. Giai tich va hinh hoc la hai nhanh rieng biet; tuy nhien, giai tich co the đuoc ap dung cho bat ky khong gian nao cua cac đoi tuong toan hoc co đinh nghia lan can (khong gian topo) hoac khoang cach cu the giua cac đoi tuong (khong gian metric).


Lich su = Co đai va Trung đai =
Giai tich toan hoc chinh thuc đuoc phat trien vao the ky 17 trong cuoc Cach mang khoa hoc, nhung cac y tuong đuoc bat nguon tu cac nha toan hoc truoc đo. Cac ket qua lien quan toi giai tich đa xuat hien trong thoi ky đau cua toan hoc Hy Lap co đai, vi du nhu mot chuoi vo han đuoc tao ra trong nghich ly phan đoi cua Zeno. (Noi cach khac, điem quan trong cua nghich ly nay la viec phu đinh su vo han cua chuoi phep tinh.) Sau đo, cac nha toan hoc Hy Lap nhu Eudoxus va Archimedes đa su dung cac khai niem gioi han va hoi tu mot cach ro rang hon, nhung khong chinh thuc hon khi ho su dung phuong phap vet kiet đe tinh dien tich cua cac vung va the tich cua vat ran.  Viec su dung ro rang cac so it vo cuc xuat hien trong Phuong phap Đinh ly Co hoc cua Archimedes, mot cong trinh đuoc phat hien lai vao the ky 20. O chau A, nha toan hoc Trung Quoc Luu Huy đa su dung phuong phap vet kiet vao the ky thu 3 sau Cong nguyen đe tim dien tich hinh tron. To Xung Chi đa thiet lap mot phuong phap ma sau nay đuoc goi la nguyen ly Cavalieri đe tim the tich cua mot hinh cau vao the ky thu 5. Vao the ky 12, nha toan hoc An Đo Bhaskara II đa đua ra cac vi du ve đao ham va su dung đinh ly ma ngay nay đuoc goi la đinh ly Rolle.
Trong the ky 14, Madhava cua Sangamagrama đa phat trien chuoi vo han mo rong, giong nhu chuoi luy thua va chuoi Taylor, cac ham nhu sin, cosin, tan va arctan. Cung voi viec phat trien chuoi Taylor cua cac ham luong giac, ong cung uoc tinh đo lon cua cac so hang sai so đuoc tao ra bang cach cat ngan cac chuoi nay va đua ra gia tri xap xi hop ly cua mot chuoi vo han. Nhung nguoi theo hoc ong tai Truong phai Thien van va Toan hoc Kerala đa mo rong them cac cong trinh cua ong cho đen the ky 16.


= Can đai va qua trinh Hien đai hoa =
Cac co so hien đai cua giai tich toan hoc đa đuoc xac lap o chau Au the ky 17. Descartes va Fermat đa phat trien hinh hoc giai tich mot cach đoc lap voi nhau, vi du nhu phuong phap xap xi cua Fermat đa giup ong tim cuc tri đia phuong va tiep tuyen cua cac đuong cong; hay tac pham La Geometrie cua Descartes xuat ban nam 1637 ma trong đo lan đau tien gioi thieu he toa đo Descartes, thuong đuoc coi la thoi điem xuat hien chinh thuc cua giai tich toan hoc. Vai thap ky sau, Newton va Leibniz đa đoc lap phat trien vi tich phan, va vi tich phan đa phat trien voi cac ung dung tiep tuc cho đen the ky 18. Cac ung dung nay tap trung vao cac chu đe giai tich nhu tinh toan cac bien phan, phuong trinh vi phan thong thuong va rieng phan, giai tich Fourier va ham sinh. Trong thoi ky nay, ky thuat giai tich đuoc ap dung cho cac bai toan roi rac bang cach thay the gan đung bang cac bai toan voi cac ham lien tuc.
Trong the ky thu 18, Leonhard Euler lan đau tien gioi thieu ki hieu anh xa. Tu đo, giai tich thuc bat đau đuoc phat trien mot cach đoc lap khi Bernand Bolzano gioi thieu khai niem theo nghia hien đai ve su lien tuc vao nam 1816, nhung nguoi ta chi biet đen chung sau nam 1870. Nam 1821, Augustin-Louis Cauchy phu nhan cac nguyen ly đai so thuong đuoc su dung truoc đo (đac biet la boi Euler) đe xay dung lai vi tich phan bang cac y tuong hinh hoc va cac vo cung be; đe ra khai niem lien tuc khi nay la: su thay đoi vo cung be cua x se dan toi su thay đoi vo cung be cung tuong đuong cua y. Ong cung đe ra khai niem day Cauchy, cung nhu cac đinh li nen tang cua giai tich phuc. 


Tham khao