Ly thuyet tap hop (tieng Anh: set theory) la nganh toan hoc nghien cuu ve tap hop. Mac du bat ky đoi tuong nao cung co the đuoc đua vao mot tap hop, song ly thuyet tap hop đuoc dung nhieu cho cac đoi tuong phu hop voi toan hoc.
Su nghien cuu ly thuyet tap hop hien đai do Cantor va Dedekind khoi xuong vao thap nien 1870. Sau khi kham pha ra cac nghich ly trong ly thuyet tap khong hinh thuc, đa co nhieu he tien đe đuoc đe nghi vao đau the ky thu 20, trong đo co cac tien đe Zermelo–Fraenkel, voi tien đe chon la noi tieng nhat.
Ngon ngu cua ly thuyet tap hop đuoc dung trong đinh nghia cua gan nhu tat ca cac đoi tuong toan hoc, nhu ham so, va cac khai niem ly thuyet tap hop đuoc đua vao nhieu chuong trinh giang day toan hoc. Cac su kien co ban ve tap hop va phan tu trong tap hop co the đuoc mang ra gioi thieu o cap tieu hoc, cung voi so đo Venn, đe hoc ve tap hop cac đoi tuong vat ly thuong gap. Cac phep toan co ban nhu hoi va giao co the đuoc hoc trong boi canh nay. Cac khai niem cao hon nhu Luc luong la phan tieu chuan cua chuong trinh toan hoc cua sinh vien đai hoc.
Ly thuyet tap hop, đuoc hinh thuc hoa bang logic bac nhat (first-order logic), la phuong phap toan hoc nen tang thuong dung nhat. Ngoai viec su dung no nhu mot he thong nen tang, ly thuyet tap hop ban than no cung la mot nhanh cua toan hoc, voi mot cong đong nghien cuu tich cuc. Cac nghien cuu moi nhat ve ly thuyet tap hop bao gom nhieu loai chu đe khac nhau, tu cau truc cua dong so thuc đen nghien cuu tinh nhat quan cua ban so lon.


Lich su Cac chu đe ve toan hoc thuong xuat hien va phat trien thong qua su tuong tac giua cac nha nghien cuu. Tuy nhien, ly thuyet tap hop đuoc tim thay nam 1874 boi Georg Cantor thong qua bai viet: "On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers".


= The ky 19 =

Ly thuyet tap hop đuoc sang lap boi Georg Cantor trong nhung nam 1874 đen nam 1897. Thay cho thuat ngu "tap hop", ban đau ong ta đa su dung nhung tu nhu "bieu hien" (inbegriff) hoac "su đa dang" (Mannigfaltigkeit); Ve tap hop va Ly thuyet tap hop, ong chi noi sau đo. Nam 1895, ong đa dien ta đinh nghia sau:

Cantor phan loai cac tap hop, đac biet la nhung tap hop vo han, theo Luc luong cua chung. Đoi voi tap hop huu han, đay la so luong cac phan tu cua chung. Ong goi hai tap hop " co luc luong bang nhau" khi chung đuoc anh xa song anh voi nhau, tuc la khi co mot moi quan he mot-mot giua cac phan tu cua chung. Cai đuoc đinh nghia la su đong nhat luc luong la mot quan he tuong đuong, va mot luc luong hay so phan tu cua mot tap hop M theo Cantor, la lop tuong đuong cua cac tap hop co luc luong bang M. Ong la nguoi đau tien quan sat thay rang co nhung luc luong vo han khac nhau. Tap hop cac so tu nhien, va tat ca cac tap hop co luc luong bang no, đuoc Cantor goi la 'Tap hop đem đuoc, tat ca cac tap hop vo han khac đuoc goi la tap hop khong đem đuoc.

Cac ket qua quan trong tu Cantor

Tap hop cua so tu nhien, so huu ti (lap luan cheo đau tien cua Cantor) va so đai so la đem đuoc va co luc luong bang nhau.
Tap hop so thuc co luc luong lon hon so voi cac so tu nhien, đo la khong đem đuoc (luan cheo thu hai cua Cantor).
Tap hop cua tat ca cac tap hop con cua mot tap hop  M  luon luon co luc luong lon hon la  M , ma con đuoc goi la đinh ly Cantor.
Tu bat ky hai tap hop co it nhat mot tap hop cung luc luong voi mot tap hop con cua tap hop kia.
Co rat nhieu luc luong cua tap hop khong đem đuoc.
Cantor goi  Gia thiet continuum  la "co mot luc luong o giua tap hop cac so tu nhien va tap hop cac so thuc " Ong đa co gang đe giai quyet, nhung khong thanh cong. Sau đo no bat ra rang van đe nay tren nguyen tac khong quyet đinh đuoc.
Ngoai Cantor, Richard Dedekind la mot nha tien phong quan trong cua ly thuyet ve ly thuyet tap hop. Ong đa noi ve cac "he thong" thay vi tap hop va phat trien mot cau truc ly thuyet tap hop cua cac con so thuc vao nam 1872, mot so luong ly thuyet xay dung so thuc [2] va 1888 noi ve tien đe hoa ly thuyet tap hop cac con so tu nhien. Ong la nguoi đau tien tao ra cong thuc tien đe Axiom of extensionality cua ly thuyet tap hop.
Ngay tu nam 1889, Giuseppe Peano, nguoi đa mieu ta tap hop la cac tang lop, đa tao ra cach tinh toan bang cong thuc logic cac tang lop đau tien lam co so cho so hoc cua ong voi cac tien đe Peano, ma ong đa mo ta lan đau tien trong mot ngon ngu ly thuyet tap hop chinh xac. Do đo ong đa phat trien co so cho ngong ngu cong thuc ngay nay cua ly thuyet tap hop va gioi thieu nhieu bieu tuong đuoc pho bien ngay nay, đac biet la ky hieu phan tu 
  
    
      
        ∈
      
    
    {\displaystyle \in }
  
, đuoc đoc la la "phan tu cua". Trong khi đo 
  
    
      
        ∈
      
    
    {\displaystyle \in }
  
 la chu viet thuong cua ε (epsilon) cua tu εστι (tieng Hy Lap: "la").
Gottlob Frege đa co gang đua ra mot ly giai ly thuyet tap hop khac cua ly thuyet ve so hoc vao nam 1893. Bertrand Russell đa phat hien ra mau thuan cua no vao nam 1902, đuoc biet đen nhu la Nghich ly Russell. Su mau thuan nay va cac mau thuan khac nay sinh do su thiet lap tap hop khong han che, đo la ly do tai sao dang thuc ban đau cua ly thuyet tap hop sau nay đuoc goi la ly thuyet tap hop ngay tho. Tuy nhien, đinh nghia cua Cantor khong co y muon noi toi mot ly thuyet tap hop ngay tho nhu vay, nhu chung minh cua ong ve loai tat ca la Nichtmenge cho thay boi nghich ly Cantor thu hai [6].
Hoc thuyet cua Cantor ve ly thuyet tap hop hau nhu khong đuoc cong nhan boi nhung nguoi đuong thoi ve vai tro quan trong cua no, va khong đuoc coi la buoc tien cach mang, ma đa bi mot so cac nha toan hoc nhu Leopold Kronecker khong chap nhan. Tham chi nhieu hon, no con bi mang tieng khi cac nghich ly đuoc biet toi, vi du nhu Henri Poincare, che dieu, "Logic khong con hoan toan, bay gio no tao ra nhung mau thuan."


= The ky 20 =
Trong the ky XX, nhung y tuong cua Cantor tiep tuc chiem uu the; đong thoi, trong Logic toan, mot ly thuyet Axiomatic Quantum đa đuoc thiet lap, qua đo co the vuot qua cac mau thuan hien thoi.
Nam 1903/1908 Bertrand Russell phat trien Type theory cua minh, trong đo tap hop luon luon co mot kieu cao hon cac phan tu cua chung, do đo su hinh thanh cac tap hop co van đe se khong the xay ra. Ong chi ra cach đau tien ra khoi nhung mau thuan va cho thay trong "Principia Mathematica" cua 1910-1913 cung la mot phan hieu qua cua Type theory ung dung. Cuoi cung, tuy nhien, no chung to la khong thich hop voi ly thuyet tap hop cua Cantor va cung khong the vuot qua đuoc su phuc tap cua no.
Tien đe ly thuyet tap hop đuoc phat trien boi Ernst Zermelo vao nam 1907 nguoc lai de su dung va thanh cong hon, trong đo schema of replacement cua ong la can thiet đe bo sung vao. Zermelo them no vao he thong Zermelo-Fraenkel nam 1930, ma ong goi tat la he thong-ZF. Ong đa thiet ke no cho Urelement ma khong phai la tap hop, nhung co the la phan tu cua tap hop va đuoc xem nhu cai Cantor goi la "đoi tuong cua quan điem cua chung toi." Ly thuyet tap hop Zermelo-Fraenkel, tuy nhien, theo y tuong Fraenkel la ly thuyet tap hop thuan tuy ma đoi tuong hoan toan la cac tap hop.
Tuy nhien, nhieu nha toan hoc thay vi theo mot tien đe hop ly lai chon mot ly thuyet tap hop thuc dung, tranh tap hop co van đe, chang han nhu nhung ap dung cua Felix Hausdorff 1914 hoac Erich Kamke tu nam 1928. Dan dan cac nha toan hoc y thuc hon rang ly thuyet tap hop la mot co ban khong the thieu cho cau truc toan hoc. He thong ZF chung minh đuoc trong thuc hanh, vi vay ngay nay no đuoc đa so cac nha toan hoc cong nhan la co so cua toan hoc hien đai; khong con co mau thuan co the bat nguon tu he thong ZF. Tuy nhien, su khong mau thuan chi co the đuoc chung minh cho ly thuyet tap hop voi tap hop huu han, chu khong phai cho toan bo he thong ZF, ma chua ly thuyet tap hop cua Cantor voi tap hop vo han. Theo Godel's incompleteness theorems nam 1931 mot chung minh ve tinh nhat quan ve nguyen tac la khong the đuoc. Nhung kham pha Godel chi la chuong trinh cua Hilbert đe cung cap toan hoc va ly thuyet tap hop vao mot co so tien đe khong mau thuan đuoc chung minh, mot gioi han, nhung khong can tro su thanh cong cua ly thuyet trong bat ky cach nao, vi vay ma mot khung hoang nen tang cua toan hoc, ma nhung nguoi ung ho cua Intuitionismus, trong thuc te khong đuoc cam thay.
Tuy nhien, su cong nhan cuoi cung cua ly thuyet tap hop ZF trong thuc te tri hoan trong mot thoi gian dai. Nhom toan hoc voi but danh Nicolas Bourbaki đa đong gop đang ke cho su cong nhan nay; ho muon mo ta moi toan hoc đong nhat dua tren ly thuyet tap hop va bien đoi no vao nam 1939 tai cac lanh vuc toan hoc chinh thanh cong. Trong nhung nam 1960, no tro nen pho bien rong rai rang, ly thuyet tap hop ZF thich hop la co so cho toan hoc. Đa co mot khoang thoi gian tam thoi trong đo ly thuyet so luong đa đuoc day o tieu hoc.
Song song voi cau chuyen thanh cong cua thuyet tap hop, tuy nhien, viec thao luan ve cac tien đe tap hop van con luu hanh trong the gioi chuyen nghiep. No cung hinh thanh nhung ly thuyet tap hop tien đe thay the khoang nam 1937 ma khong huong theo Cantor va Zermelo-Fraenkel, nhung dua tren Ly thuyet kieu (Type Theory) cua Willard Van Orman Quine tu New Foundations (NF) cua ong ta, nam 1940 ly thuyet tap hop Neumann-Bernays-Godel, ma khai quat hoa ZF ve cac lop, hay nam 1955, ly thuyet tap hop Ackermann, khai trien moi đinh nghia tap hop cua Cantor.


Khai niem va ky hieu co ban Ly thuyet tap hop bat đau voi mot quan he nhi phan co ban giua mot phan tu o va mot tap hop A. Neu o la mot thanh vien (hoac phan tu) cua A, ky hieu o ∈ A đuoc su dung. Khi đo ta cung noi rang phan tu a thuoc tap hop A. Vi cac tap cung la cac đoi tuong, quan he phan tu cung co the lien quan đen cac tap.


= Quan he giua cac tap hop =


 Quan he bao ham  Neu tat ca cac thanh vien cua tap   A  cung la thanh vien cua tap   B , thi   A  la mot  Tap hop con cua   B , đuoc bieu thi 
  
    
      
        A
        ⊆
        B
      
    
    {\displaystyle A\subseteq B}
  
, va tap hop B bao ham tap hop A. Vi du,  {1, 2} la mot tap hop con cua  {1, 2, 3}, va  {2} cung vay, nhung  { 1, 4} thi khong.


 Quan he bang nhau  Hai tap hop A va B đuoc goi la bang nhau neu A la tap hop con cua B va B cung la tap hop con cua A, ky hieu A = B.
Theo đinh nghia, moi tap hop đeu la tap con cua chinh no; tap rong la tap con cua moi tap hop. Moi tap hop A khong rong co it nhat hai tap con la rong va chinh no. Chung đuoc goi la cac tap con tam thuong cua tap A. Neu tap con B cua A khac voi chinh A, nghia la co it nhat mot phan tu cua A khong thuoc B thi B đuoc goi la tap con thuc su hay tap con chan chinh cua tap A.
Chu y rang 1 va 2 va 3 la cac phan tu cua tap  {1, 2, 3} nhung khong phai la tap con, cac tap con chang han nhu {1} khong phai la phan tu cua tap {1, 2, 3}.


= Cac phep toan tren cac tap hop =
Hop (Union): Hop cua A va B la tap hop gom tat ca cac phan tu thuoc it nhat mot trong hai tap hop A va B, ky hieu A 
  
    
      
        ∪
      
    
    {\displaystyle \cup }
  
 B
Ta co A 
  
    
      
        ∪
      
    
    {\displaystyle \cup }
  
 B = {x| x 
  
    
      
        ∈
      
    
    {\displaystyle \in }
  
 A hoac x 
  
    
      
        ∈
      
    
    {\displaystyle \in }
  
 B}, hop cua {1, 2, 3} va {2, 3, 4} la tap {1, 2, 3, 4}.

Giao (Intersection): Giao cua hai tap hop A va B la tap hop tat ca cac phan tu vua thuoc A, vua thuoc B, ky hieu A 
  
    
      
        ∩
      
    
    {\displaystyle \cap }
  
 B
Ta co A 
  
    
      
        ∩
      
    
    {\displaystyle \cap }
  
 B = {x| x 
  
    
      
        ∈
      
    
    {\displaystyle \in }
  
 A va x 
  
    
      
        ∈
      
    
    {\displaystyle \in }
  
 B}, giao cua {1, 2, 3} va {2, 3, 4} la tap { 2, 3}.

Hieu (Difference): Hieu cua tap hop A voi tap hop B la tap hop tat ca cac phan tu thuoc A nhung khong thuoc B, ky hieu 
  
    
      
        A
        ∖
        B
      
    
    {\displaystyle A\setminus B}
  

Ta co: A \ B = {x| x 
  
    
      
        ∈
      
    
    {\displaystyle \in }
  
 A va x 
  
    
      
        ∈
      
    
    {\displaystyle \notin }
  
 B}
Luu y, A \ B 
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle \neq }
  
 B \ A

Phan bu (Complement): la hieu cua tap hop con. Neu A
  
    
      
        ⊂
      
    
    {\displaystyle \subset }
  
B thi B \ A đuoc goi la phan bu cua A trong B, ky hieu CAB (hay CB A)


Ghi chu Lien ket ngoai Foreman, M., Akihiro Kanamori, eds. Handbook of Set Theory. 3 vols., to appear in December 2009. Each chapter surveys some aspect of contemporary research in set theory. Does not cover established elementary set theory, on which see Devlin (1993).


Đoc them Keith Devlin, 1993. The Joy of Sets (2nd ed.). Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
Ferreiros, Jose, 2007 (1999). Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Birkhauser. ISBN 978-3-7643-8349-7
Johnson, Philip, 1972. A History of Set Theory. Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0-87150-154-6
Kenneth Kunen, 1980. Set Theory:An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, ISBN 0-444-85401-0.
Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction. Oxford University Press.
Tiles, Mary, 2004 (1989). The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise. Dover Publications.