Trong toan hoc, đac biet la trong ly thuyet thu tu, thu tu yeu (hay quan he thu tu yeu) la mot hinh thuc hoa khai niem hang cua mot tap hop, trong đo mot so phan tu ngang hang voi nhau. Thu tu yeu la dang tong quat cua tap sap thu tu toan phan (khong co cap phan tu nao ngang nhau) con dang tong quat cua no la tap hop sap thu tu mot phan (nghiem ngat) va tien thu tu. 
Co nhieu cach khac nhau dung đe hinh thuc hoa thu tu yeu, va đac biet la moi cach nay đeu co the bien đoi thanh cach khac khac ma khong lam mat thong tin: chung co the coi la cac thu tu yeu nghiem ngat (tap sap thu tu mot phan trong đo tinh khong so sanh đuoc la quan he bac cau), hoac la tien thu tu toan phan (quan he hai ngoi co tinh bac cau sao cho ton tai it nhat mot trong hai quan he kha thi cho moi cap phan tu) hoac la cac phan hoach đuoc sap (phan hoach cac phan tu thanh cac tap con khong giao nhau đoi mot, cung voi thu tu toan phan tren cac tap con đo). Ngoai ra trong nhieu truong hop con co bieu dien khac goi la sap xep uu tien dua tren ham thoa dung.
So thu tu yeu đuoc đem theo so Bell đuoc sap. Trong khoa hoc may tinh, chung la mot phan cua cac thuat toan min hoa phan hoach va trong thu vien chuan C++.


Cac vi du Trong đua ngua, dung bien phap chup anh khi cham đich co the loai tru đi mot so nhung khong phai tat ca cac truong hop hoa nhau. Lay vi du tu giai Maryland Hunt Cup trong 2007, con Bruce cham đich đau tien, nhung hai con sau Bug River va Lear Charm hoa nhau o vi tri thu hai, va trong đam ngua con lai co ba con khong cham vach đich. Su dung thu tu yeu đe mo ta ket qua nay, con Bruce se đung đau, Bug River va Lear Charm se đung đang sau Bruce nhung truoc cac con ngua con lai, con ba con ngua chua cham đich se nam o vi tri cuoi bang va hoa voi nhau.
Cac điem trong mat phang Euclid co the sap đuoc thu tu theo khoang cach Euclid tu điem đo đen goc, đua ra mot vi du ve thu tu yeu cua vo so cac phan tu, vo so cac tap con co cac phan tu ngang nhau (tap cac phan tu nam chung mot đuong tron co tam o goc toa đo) va vo so điem nam trong cac tap con đo. Mac du thu tu yeu nay co phan tu nho nhat (chinh la goc toa đo), no khong co phan tu nho thu nhi hay phan tu lon nhat.
Tham do y kien trong cac cuoc bau cu la mot vi du khac ve loai thu tu trong giong voi thu tu yeu, nhung nen đuoc mo hinh hoa theo cach khac. Trong ket qua cua mot cuoc tham do, ung cu nay co the hon han mot ung cu kia hoac co the co hai ung cu ngang nhau theo thong ke (tuc la chung co the khong bang nhau nhung chung nam trong gioi han sai so cua nhau). Tuy nhien, neu theo thong ke, ung cu 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 ngang voi 
  
    
      
        y
        ,
      
    
    {\displaystyle y,}
  
 va ung cu 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 ngang voi 
  
    
      
        z
        ,
      
    
    {\displaystyle z,}
  
 thi van ton tai truong hop ung cu 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 hon han so voi ung cu 
  
    
      
        z
        ,
      
    
    {\displaystyle z,}
  
 do vay ngang nhau theo thong ke khong phai quan he bac cau. Do đo, khi xep hang cac mo hinh nhu the, ta nen dung nua thu tu thay vi thu tu yeu.


Tien đe hoa Gia su rang 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 la quan he hai ngoi thuan nhat tren tap hop 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 (tuc la, 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 la tap con cua 
  
    
      
        S
        ×
        S
      
    
    {\displaystyle S\times S}
  
) va theo thong thuong, đuoc viet la 
  
    
      
        x
        <
        y
      
    
    {\displaystyle x<y}
  
 va noi rang 
  
    
      
        x
        <
        y
      
    
    {\displaystyle x<y}
  
 đuoc thoa man hoac la đung khi va chi khi 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
        ∈
        
        <
        .
        
      
    
    {\displaystyle (x,y)\in \,<.\,}
  
 


= Thu tu yeu nghiem ngat =
Nhac lai ve tinh khong so sanh đuoc va tinh chat bac cau cua tinh khong so sanh đuoc
Hai phan tu 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 va 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 tren 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 đuoc goi la khong so sanh đuoc voi nhau tuong ung voi 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 neu ca hai 
  
    
      
        x
        <
        y
        
           va 
        
        y
        <
        x
      
    
    {\displaystyle x<y{\text{ va }}y<x}
  
 đeu khong đung. 
Tinh khong so sanh đuoc tuong ung voi 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 chinh no la quan he đoi xung va thuan nhat tren 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
, quan he nay co tinh phan xa khi va chi khi 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 hoan toan khong phan xa (nghia la 
  
    
      
        x
        <
        x
      
    
    {\displaystyle x<x}
  
 luon sai), ta co the gia đinh y nay sao cho tinh chat bat cau la tinh chat con lai "quan he khong so sanh đuoc" can co đe tro thanh quan he tuong đuong. 
Ben canh đo, đinh nghia quan he thuan nhat đuoc cam sinh 
  
    
      
        
        ≲
        
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim \,}
  
 tren 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 bang cach đinh nghia 

  
    
      
        x
        ≲
        y
        
           đung 
        
        
        
           khi va chi khi 
        
        
        y
        <
        x
        
           sai
        
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y{\text{ đung }}\quad {\text{ khi va chi khi }}\quad y<x{\text{ sai}}}
  
 
co mot điem quan trong la, đinh nghia nay khong nhat thiet phai giong voi: 
  
    
      
        x
        ≲
        y
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y}
  
 khi va chi khi 
  
    
      
        x
        <
        y
        
           hoac 
        
        x
        =
        y
        .
      
    
    {\displaystyle x<y{\text{ hoac }}x=y.}
  
 
Hai phan tu 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle x,y\in S}
  
 khong so sanh đuoc voi nhau tuong ung voi 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 khi va chi khi 
  
    
      
        x
        
           va 
        
        y
      
    
    {\displaystyle x{\text{ va }}y}
  
 tuong đuong voi nhau tuong ung voi quan he 
  
    
      
        
        ≲
        
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim \,}
  
 (neu muon ngan dong hon, 
  
    
      
        
        ≲
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim }
  
-tuong đuong), thi theo đinh nghia, tuc la ca hai 
  
    
      
        x
        ≲
        y
        
           va 
        
        y
        ≲
        x
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y{\text{ va }}y\lesssim x}
  
 đeu đung. 
Quan he "khong so sanh đuoc voi nhau tuong ung voi 
  
    
      
        
        <
      
    
    {\displaystyle \,<}
  
" do đo giong het voi (tuc bang voi) quan he "
  
    
      
        
        ≲
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim }
  
-tuong đuong voi nhau" (do đo, quan he truoc co tinh bac cau khi va chi khi quan he sau co tinh bac cau) 
Khi 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 hoan toan khong phan xa thi "tinh chat bac cau cua tinh khong so sanh đuoc" (đinh nghia ben duoi) la đieu kien duy nhat can va đu đe đam bao quan he "
  
    
      
        
        ≲
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim }
  
-tuong đuong voi nhau" tao thanh quan he tuong đuong tren 
  
    
      
        S
        .
      
    
    {\displaystyle S.}
  
 
Neu no qua that đung, thi no cho phep bien bat ky hai phan tu 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle x,y\in S}
  
 thoa man 
  
    
      
        x
        ≲
        y
        
           va 
        
        y
        ≲
        x
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y{\text{ va }}y\lesssim x}
  
 ve mot (tuc la chung đong nhat voi nhau trong lop tuong đuong cua chung).
Đinh nghia
Thu tu yeu nghiem ngat tren tap hop 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 la quan he thu tu rieng phan nghiem ngat 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 tren 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 trong đo quan he khong so sanh đuoc cam sinh tren 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 boi 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 la quan he bac cau. 
Cu the, thu tu yeu nghiem ngat tren 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 la quan he thuan nhat 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 tren 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 thoa man bon tinh chat sau:

Tinh hoan toan khong phan xa: Voi moi 
  
    
      
        x
        ∈
        S
        ,
      
    
    {\displaystyle x\in S,}
  
 
  
    
      
        x
        <
        x
      
    
    {\displaystyle x<x}
  
 luon sai.
Đieu kien nay chi thoa man khi quan he cam sinh 
  
    
      
        
        ≲
        
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim \,}
  
 tren 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 co tinh phan xa, trong đo 
  
    
      
        
        ≲
        
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim \,}
  
 đuoc đinh nghia 
  
    
      
        x
        ≲
        y
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y}
  
 đung khi va chi khi 
  
    
      
        y
        <
        x
      
    
    {\displaystyle y<x}
  
 sai.
Tinh bac cau: Voi moi 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ∈
        S
        ,
      
    
    {\displaystyle x,y,z\in S,}
  
 neu 
  
    
      
        x
        <
        y
        
           va 
        
        y
        <
        z
      
    
    {\displaystyle x<y{\text{ va }}y<z}
  
 thi 
  
    
      
        x
        <
        z
        .
      
    
    {\displaystyle x<z.}
  

Tinh bat đoi xung: Voi moi 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        S
        ,
      
    
    {\displaystyle x,y\in S,}
  
 neu 
  
    
      
        x
        <
        y
      
    
    {\displaystyle x<y}
  
 đung thi 
  
    
      
        y
        <
        x
      
    
    {\displaystyle y<x}
  
 sai.
Tinh chat bac cau cua tinh khong so sanh đuoc: Voi moi 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ∈
        S
        ,
      
    
    {\displaystyle x,y,z\in S,}
  
 neu 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 khong so sanh đuoc voi 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 (tuc la ca 
  
    
      
        x
        <
        y
      
    
    {\displaystyle x<y}
  
 va 
  
    
      
        y
        <
        x
      
    
    {\displaystyle y<x}
  
 đeu sai) va neu 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 khong so sanh đuoc voi 
  
    
      
        z
        ,
      
    
    {\displaystyle z,}
  
 thi 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 cung khong so sanh đuoc voi 
  
    
      
        z
        .
      
    
    {\displaystyle z.}
  

Hai phan tu 
  
    
      
        x
        
           va 
        
        y
      
    
    {\displaystyle x{\text{ va }}y}
  
 khong so sanh đuoc voi nhau tuong ung voi 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 khi va chi khi chung tuong đuong voi nhau tuong ung voi quan he cam sinh 
  
    
      
        
        ≲
        
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim \,}
  
 (theo đinh nghia, tuc la ca 
  
    
      
        x
        ≲
        y
        
           va 
        
        y
        ≲
        x
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y{\text{ va }}y\lesssim x}
  
 đeu đung), trong khi ngay truoc đo, 
  
    
      
        x
        ≲
        y
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y}
  
 đung khi va chi khi 
  
    
      
        y
        <
        x
      
    
    {\displaystyle y<x}
  
 sai. Do đo đieu kien nay chi thoa man khi quan he đoi xung tren 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 đinh nghia boi "
  
    
      
        x
        
           va 
        
        y
      
    
    {\displaystyle x{\text{ va }}y}
  
 tuong đuong voi nhau tuong ung voi 
  
    
      
        
        ≲
        
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim \,}
  
" co tinh bac cau, nghia la moi khi cap 
  
    
      
        x
        
           va 
        
        y
      
    
    {\displaystyle x{\text{ va }}y}
  
 
  
    
      
        
        ≲
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim }
  
-tuong đuong voi nhau va cap 
  
    
      
        y
        
           va 
        
        z
      
    
    {\displaystyle y{\text{ va }}z}
  
 
  
    
      
        
        ≲
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim }
  
-tuong đuong voi nhau thi phai 
  
    
      
        x
        
           va 
        
        z
      
    
    {\displaystyle x{\text{ va }}z}
  
 
  
    
      
        
        ≲
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim }
  
-tuong đuong voi nhau. Ta cung co the phat bieu lai thanh: Neu 
  
    
      
        x
        ≲
        y
        
           va 
        
        y
        ≲
        x
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y{\text{ va }}y\lesssim x}
  
 va đong thoi 
  
    
      
        y
        ≲
        z
        
           va 
        
        z
        ≲
        y
      
    
    {\displaystyle y\lesssim z{\text{ va }}z\lesssim y}
  
 thi phai 
  
    
      
        x
        ≲
        z
        
           va 
        
        z
        ≲
        x
        .
      
    
    {\displaystyle x\lesssim z{\text{ va }}z\lesssim x.}
  

Tinh chat (1), (2), va (3) la cac tinh chat đinh nghia cua thu tu rieng phan nghiem ngat, mac du co mot so phan thua trong danh sach nay la vi tinh bat đoi xung (3) se suy ra tinh hoan toan khong phan xa (1), va cung vi tinh hoan toan khong phan xa (1) va tinh bac cau (2) se cung suy ra tinh bat đoi xung (3). Quan he khong so sanh đuoc luon luon đoi xung va no them tinh phan xa khi va chi khi 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 la quan he hoan toan khong phan xa. 
Do đo, thu tu rieng phan nghiem ngat 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 la thu tu yeu nghiem ngat khi chi khi quan he khong so sanh đuoc cam sinh cua no la quan he tuong đuong.
Trong truong hop nay, cac lop tuong đuong cua no phan hoach tap 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 va hon nua, tap 
  
    
      
        
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}}
  
 cua cac lop tuong đuong nay co the sap thu tu toan phan theo mot quan he hai ngoi, cung đuoc ky hieu 
  
    
      
        
        <
        ,
      
    
    {\displaystyle \,<,}
  
 đuoc đinh nghia cho moi 
  
    
      
        A
        ,
        B
        ∈
        
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}}
  
 nhu sau: 

  
    
      
        A
        <
        B
        
           khi va chi khi 
        
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle A<B{\text{ khi va chi khi }}a<b}
  
 voi mot so (hoac tuong đuong, tat ca)  đai dien 
  
    
      
        a
        ∈
        A
        
           va 
        
        b
        ∈
        B
        .
      
    
    {\displaystyle a\in A{\text{ va }}b\in B.}
  

Nguoc lai, bat ky thu tu toan phan nghiem ngat tren phan hoach 
  
    
      
        
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}}
  
 cua 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 cam sinh thu tu yeu nghiem ngat
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
 tren 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 đinh nghia boi 
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  
 khi va chi khi ton tai cac tap hop 
  
    
      
        A
        ,
        B
        ∈
        
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}}
  
 trong phan hoach sao cho 
  
    
      
        a
        ∈
        A
        ,
        b
        ∈
        B
        ,
        
           va 
        
        A
        <
        B
        .
      
    
    {\displaystyle a\in A,b\in B,{\text{ va }}A<B.}
  
 
Khong phai moi quan he thu tu rieng phan nghiem ngat đeu thoa man tinh bac cau cua tinh khong so sanh đuoc. Vi du chang han, xet quan he thu tu rieng phan tren 
  
    
      
        {
        a
        ,
        b
        ,
        c
        }
      
    
    {\displaystyle \{a,b,c\}}
  
 đuoc nghia boi 
  
    
      
        b
        <
        c
        .
      
    
    {\displaystyle b<c.}
  
 Cac cap 
  
    
      
        a
        ,
        b
        
           va 
        
        a
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b{\text{ va }}a,c}
  
 khong so sanh đuoc voi nhau nhung 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 va 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 thi co quan he voi nhau, do đo tinh khong so sanh đuoc khong phai quan he tuong đuong va vi du nay khong phai thu tu yeu nghiem ngat.
Đoi voi tinh bac cau cua khong so sanh đuoc, cac đieu kien sau la đieu kien can, con đoi voi quan he thu tu mot phan nghiem ngat thi chung la đieu kien đu:

Neu 
  
    
      
        x
        <
        y
      
    
    {\displaystyle x<y}
  
 thi voi moi 
  
    
      
        z
        ,
      
    
    {\displaystyle z,}
  
 hoac 
  
    
      
        x
        <
        z
        
           hoac 
        
        z
        <
        y
      
    
    {\displaystyle x<z{\text{ hoac }}z<y}
  
 hoac ca hai.
Neu 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 khong so sanh đuoc voi 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 thi voi moi 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
, hoac (
  
    
      
        x
        <
        z
        
           va 
        
        y
        <
        z
      
    
    {\displaystyle x<z{\text{ va }}y<z}
  
) hoac (
  
    
      
        z
        <
        x
        
           va 
        
        z
        <
        y
      
    
    {\displaystyle z<x{\text{ va }}z<y}
  
) hoac (
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 khong so sanh đuoc voi 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 va 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 khong so sanh đuoc voi 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
).


= Tien thu tu toan phan =
Thu tu yeu nghiem ngat co quan he rat gan gui voi tien thu tu toan phan hay thu tu yeu khong nghiem ngat, va cac khai niem toan hoc co the mo hinh hoa bang thu tu yeu cung co the mo hinh hoa bang tien thu tu toan phan. Tien thu tu toan phan hay thu tu yeu toan phan la tien thu tu ma moi cap phan tu đeu so sanh đuoc voi nhau. Tien thu tu toan phan 
  
    
      
        
        ≲
        
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim \,}
  
 thoa man cac tinh chat sau:

Tinh bac cau: Voi moi 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        
           va 
        
        z
        ,
      
    
    {\displaystyle x,y,{\text{ va }}z,}
  
 neu 
  
    
      
        x
        ≲
        y
        
           va 
        
        y
        ≲
        z
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y{\text{ va }}y\lesssim z}
  
 thi 
  
    
      
        x
        ≲
        z
        .
      
    
    {\displaystyle x\lesssim z.}
  

Tinh lien thong manh: Voi moi 
  
    
      
        x
        
           va 
        
        y
        ,
      
    
    {\displaystyle x{\text{ va }}y,}
  
 
  
    
      
        x
        ≲
        y
        
           hoac 
        
        y
        ≲
        x
        .
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y{\text{ hoac }}y\lesssim x.}
  

Suy ra tinh phan xa: voi moi 
  
    
      
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle x,}
  
 
  
    
      
        x
        ≲
        x
        .
      
    
    {\displaystyle x\lesssim x.}
  

Thu tu toan phan la tien thu tu co tinh bat đoi xung, noi cach khac, no la thu tu rieng phan. Tien thu tu toan phan đoi khi đuoc goi la quan he uu tien.
Bu cua thu tu yeu nghiem ngat la tien thu tu toan phan va nguoc lai, nhung thuong thi tu nhien hon khi lien he cac thu tu yeu nghiem ngat va tien thu tu toan phan theo cach bao toan thu tu cac phan tu thay vi đoi huong chung. Do vay, ta se lay nguoc cua phan bu: cho thu tu yeu nghiem ngat 
  
    
      
        
        <
        ,
      
    
    {\displaystyle \,<,}
  
 đinh nghia tien thu tu toan phan 
  
    
      
        
        ≲
        
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim \,}
  
 bang cach đat 
  
    
      
        x
        ≲
        y
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y}
  
 moi khi khong 
  
    
      
        y
        <
        x
        .
      
    
    {\displaystyle y<x.}
  
 Trong huong nguoc lai, đe đinh nghia thu tu yeu nghiem ngat < tu tien thu tu toan phan 
  
    
      
        
        ≲
        ,
      
    
    {\displaystyle \,\lesssim ,}
  
 đat 
  
    
      
        x
        <
        y
      
    
    {\displaystyle x<y}
  
 moi khi khong 
  
    
      
        y
        ≲
        x
        .
      
    
    {\displaystyle y\lesssim x.}
  

Trong bat ky tien thu tu, co quan he tuong đuong tuong ung trong đo moi hai phan tu 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 va 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 đuoc goi la tuong đuong voi nhau neu 
  
    
      
        x
        ≲
        y
        
           va 
        
        y
        ≲
        x
        .
      
    
    {\displaystyle x\lesssim y{\text{ va }}y\lesssim x.}
  
 Trong truong hop cua tien thu tu toan phan, quan he thu tu rieng phan tuong ung tren tap cac lop tuong đuong la quan he thu tu toan phan. Hai phan tu tuong đuong voi nhau trong tien thu tu toan phan khi va chi khi chung khong so sanh đuoc voi nhau trong thu tu yeu tuong ung.


= Phan hoach đuoc sap =
Phan hoach cua tap hop 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 la ho cac tap con khong giao nhau cua 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 co 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 lam hop cua chung. Mot phan hoach, khi đi kem voi thu tu toan phan thi se hinh thanh nen mot cau truc, ten goi cau truc đo la phan hoach đuoc sap đuoc đua boi nha toan hoc Richard P. Stanley, con ten danh sach tap hop đuoc đua boi Theodore Motzkin. Phan hoach đuoc sap cua mot tap huu han co the viet thanh day huu han cua cac tap cua phan hoach, vi du chang han, ba phan hoach đuoc sap cua tap 
  
    
      
        {
        a
        ,
        b
        }
      
    
    {\displaystyle \{a,b\}}
  
 la

  
    
      
        {
        a
        }
        ,
        {
        b
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle \{a\},\{b\},}
  

  
    
      
        {
        b
        }
        ,
        {
        a
        }
        ,
        
        
           va 
        
      
    
    {\displaystyle \{b\},\{a\},\;{\text{ va }}}
  

  
    
      
        {
        a
        ,
        b
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \{a,b\}.}
  

Trong thu tu yeu nghiem ngat, cac lop tuong đuong cua quan he khong so sanh đuoc sinh ra phan hoach tap hop, trong đo cac tap hop nay thua huong thu tu toan phan tu cac phan tu cua chung, tu đo sinh ra phan hoach đuoc sap. Theo huong nguoc lai cung tuong tu nhu vay, bat ky phan hoach đuoc sap se cam sinh thu tu yeu nghiem ngat trong đo hai phan tu khong so sanh đuoc voi nhau khi chung nam trong cung mot tap cua phan hoach con neu khong thi theo thu tu cua cac tap chua no.


= Bieu dien bang ham so =
Đoi voi cac tap co so luc luong đu nho, co cach hinh thuc hoa thu ba dua tren cac ham thuc. Neu 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 la mot tap hop bat ky va ta co ham thuc 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
  
 tren 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 cam sinh thu tu yeu tren 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 bang cach đat 

  
    
      
        a
        <
        b
        
           khi va chi khi 
        
        f
        (
        a
        )
        <
        f
        (
        b
        )
        .
      
    
    {\displaystyle a<b{\text{ khi va chi khi }}f(a)<f(b).}
  
 
Tien thu tu toan phan đuoc đinh nghia bang cach đat 

  
    
      
        a
        

        
        ≲
        

        
        b
        
           khi va chi khi 
        
        f
        (
        a
        )
        ≤
        f
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle a{}\lesssim {}b{\text{ khi va chi khi }}f(a)\leq f(b)}
  
 
con quan he tuong đuong tuong ung đuoc đinh nghia bang cach đat  

  
    
      
        a
        

        
        ∼
        

        
        b
        
           khi va chi khi 
        
        f
        (
        a
        )
        =
        f
        (
        b
        )
        .
      
    
    {\displaystyle a{}\sim {}b{\text{ khi va chi khi }}f(a)=f(b).}
  

Cac quan he khong đoi khi 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 đuoc thay bang 
  
    
      
        g
        ∘
        f
      
    
    {\displaystyle g\circ f}
  
 (hop cua hai ham), trong đo 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 la ham thuc tang đon đieu đuoc đinh nghia tren mien gia tri cua 
  
    
      
        f
        .
      
    
    {\displaystyle f.}
  
 Do đo, tu ham thoa dung se đinh nghia ra quan he uu tien. Trong ngu canh đo, tien thu tu yeu con đuoc goi la sap xep uu tien.
Neu 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 huu han hoac đem đuoc, thi moi thu tu yeu tren 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 co the bieu dien theo ham so bang cach nay. Tuy nhien, ton tai cac thu tu yeu nghiem ngat khong co ham thuc tuong ung. Vi du chang han, khong co ham nao cho thu tu tu đien tren 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
  
 Do đo, mac du hau nhu moi quan he uu tien mo hinh quan he đeu đinh nghia ham thoa dung xe xich cac phep bien đoi bao toan thu tu, khong co ham nao cho uu tien thu tu tu đien.
Tong quat hon, neu 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 la tap hop, 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 la tap đi kem thu tu yeu nghiem ngat 
  
    
      
        
        <
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \,<,\,}
  
 va 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
  
 la ham so, thi 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 cam sinh thu tu yeu tren 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 bang cach đat 

  
    
      
        a
        <
        b
        
           khi va chi khi 
        
        f
        (
        a
        )
        <
        f
        (
        b
        )
        .
      
    
    {\displaystyle a<b{\text{ khi va chi khi }}f(a)<f(b).}
  

Nhu ben tren, ta se co tien thu tu toan phan đinh nghia boi 

  
    
      
        a
        

        
        ≲
        

        
        b
        
           khi va chi khi 
        
        f
        (
        a
        )
        

        
        ≲
        

        
        f
        (
        b
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle a{}\lesssim {}b{\text{ khi va chi khi }}f(a){}\lesssim {}f(b),}
  
 
va quan he tuong đuong tuong ung bang cach đat 

  
    
      
        a
        

        
        ∼
        

        
        b
        
           khi va chi khi 
        
        f
        (
        a
        )
        

        
        ∼
        

        
        f
        (
        b
        )
        .
      
    
    {\displaystyle a{}\sim {}b{\text{ khi va chi khi }}f(a){}\sim {}f(b).}
  
 
Vi khong gia đinh rang 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 la đon anh, nen mot lop chua hai phan tuong đuong nhau tren 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 co the cam sinh lop lon hon tren 
  
    
      
        X
        .
      
    
    {\displaystyle X.}
  
 Ben canh đo, 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 cung khong nhat thiet phai la toan anh, nen mot lop cua 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 co the co lop nho hon hoac rong tren 
  
    
      
        X
        .
      
    
    {\displaystyle X.}
  
 Tuy nhien, 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 cam sinh ham đon anh anh xa cac phan hoach tren 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 sang tren 
  
    
      
        Y
        .
      
    
    {\displaystyle Y.}
  
Do đo, trong truong hop so phan hoach huu han, so cac lop trong 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 nho hon hoac bang voi so cac lop tren 
  
    
      
        Y
        .
      
    
    {\displaystyle Y.}
  


Cac quan he thu tu khac Nua thu tu tong quat hoa thu tu yeu, khong yeu cau tinh bac cau cua quan he khong so sanh đuoc. Thu tu yeu nghiem ngat thoa man luat phan tam đuoc goi la thu tu toan phan nghiem ngat. Tien thu tu toan phan ma la nghich đao (nguoc) cua phan bu cua no thi chinh no la quan he thu tu toan phan.
Cho thu tu yeu nghiem ngat 
  
    
      
        
        <
        
      
    
    {\displaystyle \,<\,}
  
, mot loai thu tu phan xa tuong ung khac la bao đong phan xa cua no, tuc thu tu rieng phan khong nghiem ngat 
  
    
      
        
        ≤
        .
      
    
    {\displaystyle \,\leq .}
  
 Hai quan he phan xa tuong ung chi khac nhau o mot cho khi xet hai phan tu 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 phan biet: trong tien thu tu toan phan ta co ca 
  
    
      
        a
        ≲
        b
      
    
    {\displaystyle a\lesssim b}
  
 va 
  
    
      
        b
        ≲
        a
      
    
    {\displaystyle b\lesssim a}
  
 đeu đung, con trong thu tu rieng phan cho boi bao đong phan xa ta co ca 
  
    
      
        a
        ≤
        b
      
    
    {\displaystyle a\leq b}
  
 va 
  
    
      
        b
        ≤
        a
      
    
    {\displaystyle b\leq a}
  
 đeu sai. Đoi voi thu tu toan phan nghiem ngat, ca hai quan he phan xa nay đeu la mot: thu tu toan phan khong nghiem ngat tuong ung. 


Thu tu yeu tren tap huu han = Liet ke to hop =

So thu tu yeu phan biet (hoac la nghiem ngat hoac la tien thu tu toan phan) tren tap co 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 phan tu nam co cong thuc sau (day so A000670 trong bang OEIS):

Trong đo S(n, k) la so Stirling loai thu hai.
Cac so nay con đuoc goi la so Fubini hay so Bell đuoc sap.
Lay vi du, xet tap chua ba phan tu khac nhau, co mot thu tu yeu trong đo ba phan tu nay ngang nhau. Co ba cach đe lay mot tap co mot phan tu va mot tap chua hai phan tu con lai, moi trong cach phan hoach đo se sinh hai thu tu yeu dua tren vi tri cua tap mot phan tu so voi tap hai phan tu kia), do đo nhan lai voi nhau sinh ra 6  thu tu yeu duoi dang đo. Co đung 1 cach đe phan hoach tap hop thanh ba tap mot phan tu, va cac tap đo co the sap xep theo 6 cach khac nhau. Do vay, khi cong lai se ra 13 thu tu yeu tren tap ba phan tu khac nhau.


Cac ung dung Nhu đa nhac o tren, thu tu yeu co ung dung trong ly thuyet thoa dung, đuoc dung đe mo hinh hoa mot so lua chon cua nguoi tieu dung khi lua chon hang hoa dua tren ngan sach cua minh. Trong cac bai quy hoach tuyen tinh va cac dang toi uu hoa to hop, đo uu tien cua nghiem hay cua co so thuong đuoc lay tu thu tu yeu, đuoc xac đinh boi ham ton that; hien tuong hoa nhau hay ngang nhau trong cach xep thu tu nay đuoc goi "suy bien", va co nhieu luat giai truong hop ngang nhau đe bien thu tu yeu nay thanh thu tu toan phan đe ngan ngua cac van đe xay ra do suy bien.
Thu tu yeu con đuoc dung trong khoa hoc may tinh, đuoc biet la trong cac toan dua tren min hoa phan hoach cho tim kiem tu đien theo chieu rong va thu tu tu đien topo. Trong cac thuat toan nay, thu tu yeu tren cac đinh cua đo thi (đuoc bieu dien la ho cac tap hop phan hoach cac đinh, cung voi danh sach lien ket đoi cho thu tu toan phan tren cac tap hop) se đuoc min hoa dan trong thuat toan, cuoi cung tao ra thu tu toan phan o đau ra.
Trong cac thu vien chuan danh cho ngon ngu lap trinh C++, cac kieu du lieu set va multiset sap xep đau vao bang ham so sanh đuoc xac đinh tai thoi điem khoi tao khuon mau, va đuoc gia đinh la dung thu tu yeu nghiem ngat.


Xem them Tinh so sanh đuoc – Tinh chat cua cac phan tu trong bat đang thuc
Tien thu tu – Quan he phan xa va bac cau
Thanh phan yeu


Tham khao