Co hoc luong tu (tieng Anh: quantum mechanics) la mot ly thuyet co ban trong vat ly hoc mieu ta lai cac tinh chat vat ly cua tu nhien o cap đo nguyen tu hay o hat ha nguyen tu. No la co so cua moi ly thuyet vat ly luong tu bao gom hoa hoc luong tu, ly thuyet truong luong tu, cong nghe luong tu va khoa hoc thong tin luong tu.
Vat ly co đien, noi tong hop nhung ly thuyet san co truoc khi co hoc luong tu ra đoi, mieu ta nhieu khia canh cua tu nhien o cap đo thong thuong (vi mo), nhung khong phu hop đe giai thich cac khia canh cua tu nhien o cap đo vi mo (phan tu, nguyen tu va nho hon nguyen tu). Hau het cac ly thuyet trong vat ly co đien co the thu đuoc tu co hoc luong tu thong qua xap xi o quy mo lon (vi mo).
Co hoc luong tu khac voi co hoc co đien o cho nang luong, đong luong, mo men đong luong, va cac đai luong khac cua mot he đong nhan cac gia tri roi rac (luong tu hoa); cac thuc the mang ca đac trung cua hat lan cua song (luong tinh song hat); va co nhung gioi han ve tinh toan xac đinh đo chinh xac cua đai luong vat ly truoc moi phep đo đai luong đo, cho boi mot tap hop đay đu cac đieu kien ban đau (nguyen ly bat đinh).
Co hoc luong tu dan dan xuat hien tu cac hoc thuyet giai thich cho nhung quan sat thuc nghiem ma vat ly co đien khong mieu ta đuoc, nhu loi giai cua Max Planck nam 1900 cho van đe ve buc xa vat đen, hay moi lien he giua nang luong va tan so tuong ung trong bai bao nam 1905 cua Albert Einstein nham giai thich hieu ung quang đien. Nhung no luc ban đau đe nhan thuc cac hien tuong vi mo, ma hien nay goi la "thuyet luong tu cu", đa dan đen su phat trien đay đu cua co hoc luong tu vao giua thap nien 1920 boi Niels Bohr, Erwin Schrodinger, Werner Heisenberg, Max Born va nhung nha khoa hoc khac. Ly thuyet hien đai đuoc hinh thanh va mieu ta bang nhieu mo hinh toan hoc đac trung. Mot trong nhung mo hinh nay, mot khai niem toan hoc goi la ham song chua đung thong tin, duoi dang cac bien đo xac suat, ve ket qua cac phep đo nang luong, đong luong va cac tinh chat vat ly khac cua hat.


Tong quan Co hoc luong tu cho phep tinh toan cac tinh chat va hanh vi cua cac he thong vat ly. No thuong đuoc ap dung cho cac he thong vi mo: phan tu, nguyen tu va cac hat ha nguyen tu. No đa đuoc chung minh la co the mieu ta đung cho cac phan tu phuc tap chua hang nghin nguyen tu, nhung ung dung cua no đoi voi con nguoi lam nay sinh nhung van đe mang tinh triet hoc, chang han nhu thi nghiem tuong tuong nguoi ban cua Wigner, va ung dung cua no đoi voi toan the vu tru van chi la suy đoan. Cac du đoan cua co hoc luong tu đa đuoc kiem chung bang thuc nghiem voi đo chinh xac cuc cao.
Đac điem co ban cua ly thuyet đo la no khong the du đoan mot cach chac chan đieu gi se xay ra ma chi đua ra xac suat cho moi kha nang. Ve mat toan hoc, xac suat đuoc tim bang cach lay binh phuong cua gia tri tuyet đoi cua mot so phuc, đuoc goi la bien đo xac suat. Đay đuoc goi la quy tac Born, quy tac đuoc đat theo ten cua nha vat ly Max Born. Vi du, mot hat luong tu nhu electron co the đuoc mo ta bang mot ham song, ham lien ket voi moi điem trong khong gian tuong ung mot bien đo xac suat. Ap dung quy tac Born cho cac bien đo nay se cho mot ham mat đo xac suat cho vi tri ma electron se đuoc tim thay khi mot thi nghiem đuoc thuc hien đe đo no. Đay la đieu tot nhat ma ly thuyet co the lam đuoc; no khong the xac đinh chac chan noi electron se đuoc tim thay. Phuong trinh Schrodinger lien he tap hop cac bien đo xac suat lien quan đen mot thoi điem voi tap hop cac bien đo xac suat lien quan đen mot thoi điem khac.
Mot he qua cua cac quy tac toan hoc cua co hoc luong tu la su can bang ve kha nang du đoan giua cac đai luong co the đo luong khac nhau. Dang noi tieng nhat cua nguyen ly bat đinh nay cho rang bat ke mot hat luong tu đuoc chuan bi nhu the nao hoac cac thi nghiem đuoc sap xep can than nhu the nao, thi khong the đong thoi du đoan chinh xac đuoc ket qua phep đo vi tri cua hat va ket qua phep đo đong luong cua no.
Mot he qua khac cua cac quy tac toan hoc cua co hoc luong tu la hien tuong giao thoa luong tu, thuong đuoc minh hoa bang thi nghiem hai khe. Trong dang co ban cua thi nghiem nay, mot nguon sang ket hop, chang han nhu chum tia laser, chieu sang qua hai khe hep song song tren mot tam va anh sang đi qua cac khe đuoc quan sat tren mot man hinh đat phia sau tam. Ban chat song cua anh sang lam cho cac song anh sang đi qua hai khe giao thoa, tao ra cac dai sang va toi tren man – mot ket qua khong the co đuoc neu anh sang co thanh phan la cac hat co đien. Tuy vay, tren man chan anh sang luon bi hap thu tai cac điem roi rac, duoi dang cac hat rieng le chu khong phai la song; hinh anh giao thoa xuat hien thong qua mat đo thay đoi cua cac hat va cham vao man. Hon nua, neu đat cac may do tai ngay sau cac khe thi moi photon đuoc phat hien se đi qua chi mot khe (giong nhu mot hat co đien), va khong đi qua ca hai khe (nhu mot song). Song, cac thi nghiem nay cung chung to, cac hat se khong hinh thanh van giao thoa neu may do thu đuoc chung đi qua khe hep nao. Nhung thuc the o cap đo nguyen tu khac, nhu electron, cung đuoc phat hien co hanh xu tuong tu khi ban cac electron qua hai khe hep. Đac điem nay đuoc goi la luong tinh cua song hat.
Mot hien tuong phan truc giac khac đuoc du đoan boi co hoc luong tu la su xuyen ham luong tu: mot hat co the đi qua mot hang rao ho the, ngay ca khi đong nang cua no nho hon the nang cua ho. Trong co hoc co đien hien tuong nay khong the xay ra. Su xuyen ham luong tu co mot vai he qua quan trong: chang han, no cho phep giai thich hien tuong phan ra phong xa, phan ung tong hop hat nhan ben trong cac sao, va cac ung dung khac nhu kinh hien vi quet xuyen ham va diode tunnel.
Khi cac he luong tu tuong tac, ket qua co the dan đen hieu ung roi luong tu: cac thuoc tinh cua chung tro nen gan bo voi nhau đen muc khong con co the mo ta tong the theo tung phan rieng le nua. Erwin Schrodinger goi su vuong viu la "... đac điem đac trung cua co hoc luong tu, đac điem bat buoc no hoan toan tach khoi cac dong tu tuong co đien". Vuong viu luong tu cho phep cac tinh chat phan truc giac nhu trong ly thuyet tro choi gia luong tu (quantum pseudo-telepathy), va la mot nguon đac điem vo gia trong cac giao thuc truyen thong, nhu phan bo chia khoa luong tu trong ly thuyet thong tin luong tu. Trai nguoc voi quan niem sai lam pho bien, hieu ung vuong viu luong tu khong cho phep gui tin hieu nhanh hon anh sang, nhu đuoc chung minh boi đinh ly khong the lien lac (no-communication theorem).
Mot kha nang khac mo ra boi su vuong viu luong tu đo la thuc hien kiem nghiem "ly thuyet bien an", cac tinh chat gia thuyet co ban hon cac đai luong đuoc mieu ta trong chinh thuyet luong tu, ma nhung hieu biet lien quan cho phep cac du đoan chinh xac hon so voi thuyet luong tu co the đua ra. Tap hop cac ket qua, quan trong nhat la đinh ly Bell, đa chung minh rang cac lop ly thuyet bien an nhu vay tren thuc te khong tuong thich voi vat ly luong tu. Theo đinh ly Bell, neu tu nhien thuc su hoat đong tuan theo mot ly thuyet bien an cuc bo nao, thi cac ket qua cua mot thi nghiem Bell se bi rang buoc theo mot cach đac biet, đinh luong đuoc. Nhieu thi nghiem Bell đa đuoc thuc hien, su dung cac hat vuong viu, va chung cho ket qua khong tuong thich voi cac rang buoc ap đat boi cac bien an cuc bo.
Khong the trinh bay cac khai niem nay mot cach sau sac hon ma khong đua ra gioi thieu cac đinh nghia toan hoc lien quan; đe hieu co hoc luong tu đoi hoi khong chi nam đuoc cac phep toan tren cac so phuc, ma con co đai so tuyen tinh, phuong trinh vi phan, ly thuyet nhom, va cac chu đe toan hoc cao cap khac. Theo đo, bai viet nay se trinh bay mot khuon kho toan hoc cua co hoc luong tu va đua ra cac ung dung cua no o mot so vi du huu ich va đa đuoc nghien cuu.


Khuon kho toan hoc Trong khuon kho toan hoc chat che cua co hoc luong tu, trang thai cua mot he co hoc luong tu la mot vecto 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 trong mot khong gian Hilbert phuc (tach đuoc) 
  
    
      
        
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}}
  
. Vecto nay đuoc chuan hoa duoi phep toan tich vo huong cua khong gian Hilbert, nghia la no thoa man 
  
    
      
        ⟨
        ψ
        ,
        ψ
        ⟩
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}
  
, va no đuoc xac đinh ro theo mot so phuc co mo đun bang 1 (trang thai toan cuc), tuc la 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 va 
  
    
      
        
          e
          
            i
            α
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle e^{i\alpha }\psi }
  
 bieu dien cung mot he vat ly. Noi cach khac, cac trang thai kha di la cac điem trong khong gian xa anh cua khong gian Hilbert, thuong goi la khong gian xa anh phuc. Ban chat chinh xac cua khong gian Hilbert nay phu thuoc vao he – chang han, đe mieu ta vi tri va xung luong khong gian Hilbert la khong gian ham phuc binh phuong kha tich (square-integrable function) 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        (
        
          C
        
        )
      
    
    {\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}
  
, trong khi khong gian Hilbert cho spin cua mot proton đon le chi đon gian la khong gian vecto phuc hai chieu 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}
  
 đuoc trang bi mot tich vo huong thong thuong.
Cac đai luong vat ly quan tam – vi tri, xung luong, nang luong, spin – đuoc bieu dien bang cac đai luong quan sat đuoc, goi la cac toan tu tuyen tinh Hermit (chinh xac hon, toan tu tu lien hop) tac dung tren khong gian Hilbert. Mot trang thai luong tu la mot vecto rieng cua mot đai luong quan sat đuoc, trong truong hop no đuoc goi la trang thai rieng, va gia tri rieng đi kem tuong ung voi gia tri cua đai luong quan sat đuoc trong trang thai rieng đo. Tong quat hon, mot trang thai luong tu se la to hop tuyen tinh cua cac trang thai rieng, hay goi la chong chap luong tu. Khi mot đai luong quan sat đuoc đuoc đo, ket qua đo se la mot trong cac gia tri rieng cua no voi xac suat cho boi quy tac Born: trong truong hop đon gian nhat gia tri rieng 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 khong suy bien va xac suat đuoc cho boi 
  
    
      
        
          |
        
        ⟨
        
          
            
              λ
              →
            
          
        
        ,
        ψ
        ⟩
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}}
  
, voi 
  
    
      
        
          
            
              λ
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {\lambda }}}
  
 la vecto rieng ket hop cua no. Trong truong hop tong quat, gia tri rieng la suy bien va xac suat đuoc cho boi 
  
    
      
        ⟨
        ψ
        ,
        
          P
          
            λ
          
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }
  
, voi 
  
    
      
        
          P
          
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{\lambda }}
  
 la toan tu hinh chieu tren khong gian rieng tuong ung cua no. Trong truong hop lien tuc, cac cong thuc nay thay vao đo se cho mat đo xac suat.
Sau khi thuc hien phep đo, neu nhan đuoc ket qua 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
, thi trang thai luong tu đuoc cho la suy sap thanh 
  
    
      
        
          
            
              λ
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {\lambda }}}
  
 trong truong hop khong suy bien, hoac thanh 
  
    
      
        
          P
          
            λ
          
        
        ψ
        
          /
        
        
          
            ⟨
            ψ
            ,
            
              P
              
                λ
              
            
            ψ
            ⟩
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{\lambda }\psi /{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }}}
  
 trong truong hop tong quat. Ban chat xac suat cua co hoc luong tu do vay co nguon goc tu tac đong cua phep đo. Đay la mot trong nhung khia canh kho hieu nhat cua co hoc luong tu. No la chu đe trung tam trong cuoc tranh luan Bohr–Einstein noi tieng, khi hai nha vat ly hoc co gang hieu ro nhung nguyen ly co ban nay bang cac thi nghiem tuong tuong. Trong hang thap ky ke tu khi hinh thanh co hoc luong tu, cau hoi ve cai gi tao len mot "phep đo" đa đuoc nghien cuu rong rai. Cac giai thich moi ve co hoc luong tu đa đuoc đua ra theo cach khac so voi quan điem "suy sap ham song" (vi du nhu cach giai thich đa the gioi). Y tuong co ban đo la khi mot he luong tu tuong tac voi mot thiet bi đo, ham song tuong ung cua no tro len vuong viu do đo he luong tu ban đau mat đi su ton tai nhu la mot thuc the đoc lap. Ve chi tiet, xem bai viet ve phep đo trong co hoc luong tu.
Su tien trien theo thoi gian cua mot he luong tu đuoc mieu ta bang phuong trinh Schrodinger:

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        ψ
        (
        t
        )
        =
        H
        ψ
        (
        t
        )
        .
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)=H\psi (t).}
  

O đay 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 la toan tu Hamilton, đai luong quan sat đuoc tuong ung voi tong nang luong cua he, va 
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  
 la hang so Planck thu gon. Hang so 
  
    
      
        i
        ℏ
      
    
    {\displaystyle i\hbar }
  
 đuoc đua ra sao cho toan tu Hamilton trong co hoc luong tu tro thanh toan tu Hamilton co đien trong truong hop he luong tu co the xap xi bang mot he co đien; voi kha nang co the thuc hien đuoc nhung phep xap xi nhu the trong mot so gioi han nhat đinh đuoc goi la nguyen ly tuong ung.
Nghiem cua phuong trinh vi phan tuyen tinh tren đuoc cho boi:

  
    
      
        ψ
        (
        t
        )
        =
        
          e
          
            −
            i
            H
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
        ψ
        (
        0
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0).}
  

Toan tu 
  
    
      
        U
        (
        t
        )
        =
        
          e
          
            −
            i
            H
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}
  
 đuoc goi la toan tu tien trien theo thoi gian, va no co mot tinh chat quan trong đo la tinh unita. Su tien trien thoi gian nay la tat đinh theo nghia – khi cho mot trang thai luong tu ban đau 
  
    
      
        ψ
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (0)}
  
 – co the du đoan đuoc cu the trang thai luong tu 
  
    
      
        ψ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (t)}
  
 o thoi gian bat ky sau đo.

Mot so ham song co phan bo xac suat đoc lap voi thoi gian, nhu trang thai rieng cua Hamiltonian. Nhieu he co tinh đong luc trong co hoc co đien đuoc mieu ta bang nhung ham song tinh nhu the. Vi du, mot electron o trang thai binh thuong trong nguyen tu đuoc hinh dung theo cach co đien nhu la mot hat chuyen đong tron tren quy đao quanh hat nhan nguyen tu, trong khi đo o co hoc luong tu, no đuoc mieu ta bang mot ham song tinh (khong phu thuoc thoi gian) bao quanh hat nhan. Vi du, ham song cho electron đoi voi mot nguyen tu hydro o trang thai binh thuong la mot ham đoi xung cau goi la orbital s (Hinh 1).
Co it cac nghiem giai tich cua phuong trinh Schrodinger đuoc biet mot cach chinh xac, chung chu yeu la nghiem cua cac mo hinh Hamilton tuong đoi đon gian bao gom dao đong tu đieu hoa luong tu (quantum harmonic oscillator), hat trong mot hop, cation hydro phan tu, va nguyen tu hydro. Ngay ca voi nguyen tu heli – ma chi chua co hai electron – hien van chua co nghiem giai tich chinh xac mieu ta cho he nay.
Tuy vay đa co nhung ky thuat đe tim cac nghiem xap xi. Mot phuong phap goi la ly thuyet nhieu loan, su dung ket qua giai tich cua mot mot hinh co hoc luong tu đon gian nham tao ra ket qua cho nhung mo hinh lien quan phuc tap hon (chang han) bang cach them vao mot the nang yeu. Mot phuong phap khac goi la "phuong trinh chuyen đong ban co đien", ap dung cho cac he ma co hoc luong tu chi tao ra nhung chenh lech nho so voi he co đien. Nhung chenh lech nho nay khi ay co the đuoc tinh tu nhung chuyen đong co đien. Cach tiep can nay đac biet quan trong trong ly thuyet hon loan luong tu (quantum chaos).


= Nguyen ly bat đinh =
Mot he qua co ban cua hinh thuc luan co ban co hoc luong tu đo la nguyen ly bat đinh. Trong dang quen thuoc nhat, nguyen ly phat bieu rang khong co su chuan bi nao cua mot hat luong tu co the cho phep du đoan chinh xac đong thoi ket qua đo vi tri va ket qua đo đong luong cua hat. Ca vi tri va đong luong la nhung đai luong quan sat đuoc, co nghia rang chung đuoc bieu dien boi cac toan tu Hermit. Hai toan tu vi tri 
  
    
      
        
          
            
              X
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {X}}}
  
 va toan tu xung luong 
  
    
      
        
          
            
              P
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {P}}}
  
 khong co tinh chat giao hoan, nhung thoa man he thuc giao hoan tu chinh tac:

  
    
      
        [
        
          
            
              X
              ^
            
          
        
        ,
        
          
            
              P
              ^
            
          
        
        ]
        =
        i
        ℏ
        .
      
    
    {\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar .}
  

Đoi voi mot trang thai luong tu, quy tac Born cho phep chung ta tinh đuoc cac gia tri ky vong cua ca 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 va 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
, va đoi voi ca luy thua cua chung. Đinh nghia đo bat đinh cua mot bien quan sat đuoc bang đo lech chuan, chung ta co:

  
    
      
        
          σ
          
            X
          
        
        =
        
          
            ⟨
            
              
                X
              
              
                2
              
            
            ⟩
            −
            ⟨
            
              X
            
            
              ⟩
              
                2
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle -\langle {X}\rangle ^{2}}},}
  

va tuong tu cho xung luong:

  
    
      
        
          σ
          
            P
          
        
        =
        
          
            ⟨
            
              
                P
              
              
                2
              
            
            ⟩
            −
            ⟨
            
              P
            
            
              ⟩
              
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sigma _{P}={\sqrt {\langle {P}^{2}\rangle -\langle {P}\rangle ^{2}}}.}
  

Nguyen ly bat đinh phat bieu rang

  
    
      
        
          σ
          
            X
          
        
        
          σ
          
            P
          
        
        ≥
        
          
            ℏ
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}
  

Ve nguyen tac đo lech chuan co the nho tuy y nhung khong the đong thoi ca hai. Bat đang thuc nay đuoc tong quat hoa cho mot cap toan tu tu lien hop bat ky 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 va 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
. Giao hoan tu cua hai toan tu nay la:

  
    
      
        [
        A
        ,
        B
        ]
        =
        A
        B
        −
        B
        A
        ,
      
    
    {\displaystyle [A,B]=AB-BA,}
  

va no đat ra gioi han duoi cho tich cua cac đo lech chuan:

  
    
      
        
          σ
          
            A
          
        
        
          σ
          
            B
          
        
        ≥
        
          
            1
            2
          
        
        
          |
          
            ⟨
            [
            A
            ,
            B
            ]
            ⟩
          
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.}
  

Mot he qua khac cua he thuc giao hoan tu chinh tac la cac toan tu vi tri va xung luong la cac bien đoi Fourier cua nhau, do vay su mo ta mot đoi tuong theo xung luong cua no la mot bien đoi Fourier cua mo ta theo vi tri cua no. Thuc te la su phu thuoc vao xung luong la bien đoi Fourier cua su phu thuoc vao vi tri co nghia rang toan tu xung luong tuong đuong (đung đen so hang 
  
    
      
        i
        
          /
        
        ℏ
      
    
    {\displaystyle i/\hbar }
  
) đe lay đao ham theo vi tri, do trong giai tich Fourier phep toan vi phan tuong ung voi phep nhan trong khong gian đoi ngau. Đieu nay giai thich tai sao trong cac phuong trinh luong tu trong khong gian vi tri, xung luong 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
  
 đuoc thay the boi 
  
    
      
        −
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}
  
, va đac biet trong phuong trinh Schrodinger phi tuong đoi tinh trong khong gian vi tri so hang binh phuong xung luong đuoc thay the bang phep nhan voi toan tu Laplace 
  
    
      
        −
        
          ℏ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -\hbar ^{2}}
  
.


= He to hop va roi luong tu =
Khi xem xet cung nhau hai he luong tu khac biet, khong gian Hilbert cua he to hop la tich tensor cua hai khong gian Hilbert cua hai he thanh phan. Vi du, goi A va B la hai he luong tu, voi cac khong gian Hilbert 
  
    
      
        
          
            
              H
            
          
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}
  
 va 
  
    
      
        
          
            
              H
            
          
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}
  
 tuong ung. Khong gian Hilbert cua he to hop khi ay bang:

  
    
      
        
          
            
              H
            
          
          
            A
            B
          
        
        =
        
          
            
              H
            
          
          
            A
          
        
        ⊗
        
          
            
              H
            
          
          
            B
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.}
  

Neu trang thai cua he thu nhat la vecto 
  
    
      
        
          ψ
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{A}}
  
 va trang thai cua he thu hai la 
  
    
      
        
          ψ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{B}}
  
, thi trang thai cua he to hop la:

  
    
      
        
          ψ
          
            A
          
        
        ⊗
        
          ψ
          
            B
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \psi _{A}\otimes \psi _{B}.}
  

Tuy nhien, khong phai moi trang thai trong khong gian Hilbert lien hop 
  
    
      
        
          
            
              H
            
          
          
            A
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}}
  
 co the đuoc bieu dien theo dang nay, boi vi nguyen ly chong chap ham y rang cac to hop tuyen tinh cua nhung "trang thai tich" hay "tach đuoc" cung thoa man. Chang han, neu 
  
    
      
        
          ψ
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{A}}
  
 va 
  
    
      
        
          ϕ
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{A}}
  
 la cac trang thai kha di cua he 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, va tuong tu 
  
    
      
        
          ψ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{B}}
  
 va 
  
    
      
        
          ϕ
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{B}}
  
 la cac trang thai kha di cua he 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, thi:

  
    
      
        
          
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        
          (
          
            
              ψ
              
                A
              
            
            ⊗
            
              ψ
              
                B
              
            
            +
            
              ϕ
              
                A
              
            
            ⊗
            
              ϕ
              
                B
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)}
  

cung la mot trang thai lien hop kha di nhung khong tach đuoc. Cac trang thai khong tach đuoc đuoc goi la vuong viu hay roi luong tu.
Neu trang thai cho mot he to hop la roi (hay khong tach đuoc), khong the mieu ta đuoc cac he thanh phan A hoac he B bang mot vecto trang thai. Thay vao đo co the xac đinh ma tran mat đo thu gon mieu ta su thong ke thu đuoc bang cac phep đo tren tung he thanh phan. Mac du the phep đo lam mat thong tin: khi biet ma tran mat đo thu gon cua tung he thanh phan la khong đu đe tai dung đuoc trang thai cua he to hop. Giong nhu ma tran mat đo xac đinh trang thai cua mot he thanh phan trong he lon hon, mot cach tuong tu, đo đo gia tri toan tu duong (POVM) mieu ta hieu ung tren mot he thanh phan cua mot phep đo thuc hien tren he lon hon. POVM đuoc su dung thuong xuyen trong ly thuyet thong tin luong tu.
Nhu mieu ta o tren, vuong viu luong tu la mot đac trung quan trong cua cac tien trinh đo trong đo mot thiet bi tro nen vuong viu voi he đuoc đo. Cac he tuong tac voi moi truong ma chung nam trong thong thuong bi vuong viu voi moi truong đo, mot hien tuong đuoc goi la su mat ket hop luong tu (quantum decoherence). Đieu nay giai thich tai sao, trong thuc hanh, cac hieu ung luong tu tro nen kho quan sat o nhung he lon hon cap đo vi mo.


= Su tuong đuong giua cac hinh thuc luan =
Co nhieu hinh thuc luan toan hoc tuong đuong trong co hoc luong tu. Mot trong nhung hinh thuc luan lau đoi nhat va pho bien nhat đo la "ly thuyet bien đoi" do Paul Dirac đua ra, ly thuyet nay thong nhat va tong quat hoa hai hinh thuc luan som nhat cua co hoc luong tu – co hoc ma tran (do Werner Heisenberg, Max Born, va Pascual Jordan đua ra) va co hoc song (boi Erwin Schrodinger). Mot hinh thuc luan khac cua co hoc luong tu đo la hinh thuc luan tich phan lo trinh cua Feynman, trong đo mot bien đo xac suat co hoc luong tu đuoc xem nhu la tong cua tat ca cac đuong đi kha di co đien va phi co đien giua trang thai ban đau va trang thai cuoi cung. Hinh thuc luan cua Feynman đuoc xem la dang tuong đuong cua nguyen ly tac dung trong co hoc co đien.


= Đoi xung va cac đinh luat bao toan =

Toan tu Hamilton 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 con đuoc coi la toan tu sinh cua su tien trien theo thoi gian, vi no xac đinh mot toan tu tien trien theo thoi gian unita 
  
    
      
        U
        (
        t
        )
        =
        
          e
          
            −
            i
            H
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}
  
 đoi voi moi gia tri cua 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
. Tu su lien he giua 
  
    
      
        U
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle U(t)}
  
 va 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
, co the thay bat ky mot đai luong quan sat đuoc nao 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 ma giao hoan voi 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 se đuoc bao toan: gia tri ky vong cua no se khong thay đoi theo thoi gian. Phat bieu nay đuoc tong quat hoa bang toan hoc, rang đoi voi bat ky mot toan tu Hermit 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 co the sinh mot ho cac toan tu unita đuoc tham so hoa boi bien 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
. Duoi su tien trien sinh boi 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, bat ky đai luong quan sat đuoc nao 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 ma giao hoan voi 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 se đuoc bao toan. Hon nua, neu 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 la bao toan trong su tien trien duoi 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, thi 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 đuoc bao toan duoi su tien trien sinh boi 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
. Đieu nay ham y mot phien ban luong tu cua ket qua đa đuoc chung minh boi nha toan hoc Emmy Noether trong co hoc co đien (Lagrangian): đoi voi moi đoi xung kha vi cua mot toan tu Hamilton, ton tai tuong ung mot đinh luat bao toan.


Cac vi du = Hat tu do =

Dang đon gian nhat cua he luong tu voi mot bac tu do vi tri đo la hat tu do chuyen đong tren đuong thang. Mot hat tu do khong chiu tac đong tu ben ngoai, do vay toan tu nang luong Hamilton cua no chi bao gom đong nang:

  
    
      
        H
        =
        
          
            1
            
              2
              m
            
          
        
        
          P
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              d
              
                2
              
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}P^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}
  

Nghiem tong quat cua phuong trinh Schrodinger cho boi

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              ψ
              ^
            
          
        
        (
        k
        ,
        0
        )
        
          e
          
            i
            (
            k
            x
            −
            
              
                
                  ℏ
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                  m
                
              
            
            t
            )
          
        
        
          d
        
        k
        ,
      
    
    {\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}\mathrm {d} k,}
  

hay la su chong chap cua tat ca cac song phang kha di 
  
    
      
        
          e
          
            i
            (
            k
            x
            −
            
              
                
                  ℏ
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                  m
                
              
            
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}}
  
, va la cac trang thai rieng cua toan tu xung luong voi xung luong 
  
    
      
        p
        =
        ℏ
        k
      
    
    {\displaystyle p=\hbar k}
  
. Cac he so chong chap la 
  
    
      
        
          
            
              ψ
              ^
            
          
        
        (
        k
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {\psi }}(k,0)}
  
, chinh la bien đoi Fourier cua trang thai luong tu ban đau 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x,0)}
  
.
Khong ton tai nghiem la mot trang thai rieng xung luong rieng le, hoac trang thai rieng vi tri rieng le, vi cac nghiem nay la nhung trang thai luong tu khong chuan hoa đuoc. Thay vi the, ta co the xet mot bo song Gauss:

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        0
        )
        =
        
          
            1
            
              
                π
                a
              
              
                4
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  a
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi a}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}}
  

ma co bien đoi Fourier, va do vay phan bo xung luong

  
    
      
        
          
            
              ψ
              ^
            
          
        
        (
        k
        ,
        0
        )
        =
        
          
            
              a
              π
            
            
              4
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                
                  a
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\hat {\psi }}(k,0)={\sqrt[{4}]{\frac {a}{\pi }}}e^{-{\frac {ak^{2}}{2}}}.}
  

Ta thay rang khi ta thuc hien mot su phan tan nho hon trong vi tri, nhung su phan tan trong xung luong lai tro len lon hon. Nguoc lai, bang cach lam mot bo song lon hon phan tan nho hon trong xung luong, nhung khi ay su phan tan trong vi tri lai lon hon. Đieu nay minh hoa nguyen ly bat đinh.
Khi đe bo song Gauss phat trien theo thoi gian, ta thay tam cua no di chuyen trong khong gian voi van toc khong đoi (giong nhu mot hat co đien khong co luc tac dung len no). Tuy nhien, bo song cung phan tan theo tien trinh thoi gian, co nghia la vi tri tro len cang bat đinh hon. Tuy nhien, đo bat đinh trong xung luong tro len khong đoi.


= Hat trong mot hop =

Hat trong hop the nang mot chieu la vi du đon gian nhat ve mat toan hoc, noi cac gioi han dan đen su luong tu hoa cac muc nang luong. Hop đuoc xac đinh co the nang bang 0 o khap noi ben trong mot vung nhat đinh, va co the nang lon vo han khap noi ben ngoai vung nay. Đoi voi truong hop mot chieu theo huong 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, phuong trinh Schrodinger đoc lap thoi gian đuoc viet thanh

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              ψ
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        E
        ψ
        .
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}
  

Voi toan tu vi phan xac đinh boi

  
    
      
        
          
            
              
                p
                ^
              
            
          
          
            x
          
        
        =
        −
        i
        ℏ
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}
  

phuong trinh truoc goi đen phuong trinh tuong tu cho đong nang co đien,

  
    
      
        
          
            1
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              
                p
                ^
              
            
          
          
            x
          
          
            2
          
        
        =
        E
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}
  

voi trang thai 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 trong truong hop nay co nang luong 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 trung voi đong nang cua hat.
Nghiem tong quat cua phuong trinh Schrodinger cho hat trong hop la

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        A
        
          e
          
            i
            k
            x
          
        
        +
        B
        
          e
          
            −
            i
            k
            x
          
        
        
        
        E
        =
        
          
            
              
                ℏ
                
                  2
                
              
              
                k
                
                  2
                
              
            
            
              2
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}
  

hoac theo dang cong thuc Euler,

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        C
        sin
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        +
        D
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).\!}
  

Tuong the vo han cua hop xac đinh cac gia tri 
  
    
      
        C
        ,
        D
        ,
      
    
    {\displaystyle C,D,}
  
 va 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 tai 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
 va 
  
    
      
        x
        =
        L
      
    
    {\displaystyle x=L}
  
 voi 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 phai bang 0. Do đo, tai 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
,

  
    
      
        ψ
        (
        0
        )
        =
        0
        =
        C
        sin
        ⁡
        (
        0
        )
        +
        D
        cos
        ⁡
        (
        0
        )
        =
        D
      
    
    {\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}
  

va 
  
    
      
        D
        =
        0
      
    
    {\displaystyle D=0}
  
. Tai 
  
    
      
        x
        =
        L
      
    
    {\displaystyle x=L}
  
,

  
    
      
        ψ
        (
        L
        )
        =
        0
        =
        C
        sin
        ⁡
        (
        k
        L
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}
  

trong đo 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 khong the bang 0 do đieu nay se mau thuan voi gia thuyet rang 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  
 co chuan bang 1. Do vay, tu 
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        k
        L
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sin(kL)=0}
  
, 
  
    
      
        k
        L
      
    
    {\displaystyle kL}
  
 phai bang so boi nguyen lan cua 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
, hay

  
    
      
        k
        =
        
          
            
              n
              π
            
            L
          
        
        
        
        n
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
        .
      
    
    {\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}
  

Su rang buoc tren 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 ham y su rang buoc tren cac muc nang luong, thu đuoc

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                ℏ
                
                  2
                
              
              
                π
                
                  2
                
              
              
                n
                
                  2
                
              
            
            
              2
              m
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                n
                
                  2
                
              
              
                h
                
                  2
                
              
            
            
              8
              m
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}
  

Mot gieng the huu han la truong hop tong quat cua bai toan gieng the vo han đoi voi gieng the co đo sau huu han. Bai toan gieng the huu han phuc tap hon ve mat toan hoc so voi bai toan hat trong mot hop vo han vi ham song khong triet tieu tai cac tuong cua gieng the. Thay vao đo, ham song phai thoa man cac đieu kien bien toan hoc phuc tap hon khi no khac 0 tai cac vung ben ngoai gieng the. Cac bai toan lien quan khac đo la rao the hinh vuong, mot mo hinh minh hoa cho hieu ung xuyen ham luong tu đong vai tro quan trong trong su hoat đong cua cac cong nghe hien đai nhu bo nho flash va kinh hien vi quet xuyen ham.


= Dao đong tu đieu hoa =

Nhu trong truong hop co đien, the cho dao đong tu đieu hoa luong tu đuoc cho boi

  
    
      
        V
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          ω
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}
  

Bai toan nay co the giai truc tiep tu phuong trinh Schrodinger, ma phuong trinh co dang khong tam thuong, hoac su dung mot phuong phap bac thang đon gian hon do Paul Dirac neu ra đau tien. Cac trang thai rieng đuoc cho boi

  
    
      
        
          ψ
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              1
              
                
                  2
                  
                    n
                  
                
                
                n
                !
              
            
          
        
        ⋅
        
          
            (
            
              
                
                  m
                  ω
                
                
                  π
                  ℏ
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            4
          
        
        ⋅
        
          e
          
            −
            
              
                
                  m
                  ω
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                  ℏ
                
              
            
          
        
        ⋅
        
          H
          
            n
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    m
                    ω
                  
                  ℏ
                
              
            
            x
          
          )
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }
  

  
    
      
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        .
      
    
    {\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}
  

voi Hn la cac đa thuc Hermite

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          e
          
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              d
              
                n
              
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          (
          
            e
            
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right),}
  

va cac muc nang luong tuong ung la

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        ℏ
        ω
        
          (
          
            n
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}
  

Đay la mot vi du khac minh hoa su roi rac cua nang luong cho cac trang thai bi chan.


= Giao thoa ke Mach–Zehnder =

Giao thoa ke Mach–Zehnder (MZI) minh hoa cac khai niem chong chap va giao thoa bang đai so tuyen tinh trong khong gian hai chieu, hon la bang cac phuong trinh vi phan. Co the coi giao thoa ke la mot phien ban đon gian cua thi nghiem hai khe, tuy the no cung co nhung đac điem thu vi, chang han nhu trong thi nghiem bo xoa luong tu lua chon tre (delayed choice quantum eraser), thi nghiem tuong tuong kiem tra su hoat đong cua qua bom boi Elitzur–Vaidman (Elitzur–Vaidman bomb tester), va cac nghien cuu trong vuong viu luong tu.
Chung ta co the mo hinh mot photon đi qua giao thoa ke bang cach xem xet rang tai moi điem no co the o trong su chong chap chi cua hai đuong đi: đuong "phia duoi" bat đau tu ben trai, đi thang qua bo tach chum tia, va ket thuc o ben tren, va đuong "phia tren" bat đau tu đay, đi thang qua bo tach chum tia, va ket thuc o ben phai. Trang thai luong tu cua photon do đo la mot vecto 
  
    
      
        ψ
        ∈
        
          
            C
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2}}
  
 la su chong chap cua đuong "phia duoi" 
  
    
      
        
          ψ
          
            l
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}
  
 va đuong "phia tren" 
  
    
      
        
          ψ
          
            u
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
  
, tuc la, 
  
    
      
        ψ
        =
        α
        
          ψ
          
            l
          
        
        +
        β
        
          ψ
          
            u
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}}
  
 đoi voi cac so phuc 
  
    
      
        α
        ,
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta }
  
. Đe đam bao đieu kien chuan hoa 
  
    
      
        ⟨
        ψ
        ,
        ψ
        ⟩
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}
  
 hai so phuc phai thoa man 
  
    
      
        
          |
        
        α
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        +
        
          |
        
        β
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}
  
.
Ca hai guong ban ma đuoc mo hinh bang ma tran unita 
  
    
      
        B
        =
        
          
            1
            
              2
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  i
                
              
              
                
                  i
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle B={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}}
  
, co nghia rang khi mot photon gap mot guong ban ma no se o tren cung đuong đi voi bien đo xac suat 
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}
  
, hoac bi phan xa sang đuong đi khac voi bien đo xac suat 
  
    
      
        i
        
          /
        
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle i/{\sqrt {2}}}
  
. Bo dich chuyen pha o nhanh phia tren đuoc mo hinh bang ma tran unita 
  
    
      
        P
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    e
                    
                      i
                      Δ
                      Φ
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\Delta \Phi }\end{pmatrix}}}
  
, co nghia rang neu photon o đuong "phia tren" no se nhan đuoc them mot pha 
  
    
      
        Δ
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Delta \Phi }
  
, va no se khong thay đoi neu no o đuong phia duoi.
Mot photon đi vao giao thoa ke tu ben trai se bi tac đong boi mot guong ban ma 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, mot bo dich chuyen pha 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
, va mot guong ban ma khac 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, va trang thai cuoi cua no bang

  
    
      
        B
        P
        B
        
          ψ
          
            l
          
        
        =
        i
        
          e
          
            i
            Δ
            Φ
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  −
                  sin
                  ⁡
                  (
                  Δ
                  Φ
                  
                    /
                  
                  2
                  )
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  Δ
                  Φ
                  
                    /
                  
                  2
                  )
                
              
            
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle BPB\psi _{l}=ie^{i\Delta \Phi /2}{\begin{pmatrix}-\sin(\Delta \Phi /2)\\\cos(\Delta \Phi /2)\end{pmatrix}},}
  

va xac suat đe no bi phat hien o ben phai hoac o phia tren đuoc cho boi 

  
    
      
        p
        (
        u
        )
        =
        
          |
        
        ⟨
        
          ψ
          
            u
          
        
        ,
        B
        P
        B
        
          ψ
          
            l
          
        
        ⟩
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            
              Δ
              Φ
            
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle p(u)=|\langle \psi _{u},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}},}
  

  
    
      
        p
        (
        l
        )
        =
        
          |
        
        ⟨
        
          ψ
          
            l
          
        
        ,
        B
        P
        B
        
          ψ
          
            l
          
        
        ⟩
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            
              Δ
              Φ
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle p(l)=|\langle \psi _{l},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}.}
  

Do đo chung ta co the dung giao thoa ke Mach–Zehnder đe uoc tinh dich chuyen pha bang cach tinh ra cac xac suat nay.
Co điem thu vi khi xem xet đieu gi se xay ra neu photon chac chan đi theo đuong "phia duoi" hoac "phia tren" giua cac guong ban ma. Co the thuc hien đieu nay bang cach che bot mot đuong, hoac tuong đuong la bo đi mot guong ban ma (va chieu photon tu trai hoac ben duoi theo y muon). Trong ca hai truong hop se khong co giao thoa giua hai đuong đi nua, va cac xac suat đuoc cho bang 
  
    
      
        p
        (
        u
        )
        =
        p
        (
        l
        )
        =
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle p(u)=p(l)=1/2}
  
, do vay đoc lap voi su dich chuyen pha 
  
    
      
        Δ
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Delta \Phi }
  
. Tu đieu nay chung ta ket luan rang photon khong đi theo đuong nay hay đuong kia sau khi roi khoi guong ban ma, ma thuc su no o trang thai chong chap cua ca hai đuong, mot đac điem chi co o co hoc luong tu.


Cac ung dung Co hoc luong tu đa co su thanh cong lon trong giai thich nhieu đac điem cua vu tru, nham toi cac pham vi nho va cac đai luong roi rac va cac tuong tac ma khong the giai thich bang cac phuong phap co đien. Co hoc luong tu thuong chi la ly thuyet co the mieu ta đuoc cac hanh xu cua cac hat ha nguyen tu cau thanh len moi dang vat chat (electron, proton, neutron, photon, va cac hat khac). Vat ly trang thai ran va khoa hoc vat lieu chu yeu hoan toan dua vao co hoc luong tu.
O nhieu khia canh cac cong nghe hien đai hoat đong o pham vi ma cac hieu ung luong tu tro len quan trong. Cac ung dung quan trong cua ly thuyet luong tu bao gom hoa hoc luong tu, quang hoc luong tu, tinh toan luong tu, nam cham sieu dan, diode phat quang, khuech đai quang hoc va laser, transistor va chat ban dan nhu vi xu ly, chup anh nghien cuu va y hoc nhu chup cong huong tu va kinh hien vi đien tu. Nhieu su giai thich cho nhieu hien tuong vat ly va sinh hoc co nguon goc tu ban chat cua lien ket hoa hoc, nhu noi bat nhat la đai phan tu DNA.


Lien he voi cac ly thuyet khoa hoc khac = Co hoc co đien =
Cac quy tac cua co hoc luong tu khang đinh rang khong gian trang thai cua mot he thong la mot khong gian Hilbert va rang cac đai luong quan sat đuoc cua he la cac toan tu Hermit tac dung len cac vecto trong khong gian đo – mac du chung khong noi cho chung ta biet khong gian Hilbert nao hoac toan tu nao. Nhung đieu nay co the đuoc chon mot cach phu hop đe co the nhan đuoc mieu ta đinh luong ve mot he luong tu, mot buoc can thiet đe đua ra cac du đoan vat ly. Mot huong dan quan trong cho viec thuc hien cac lua chon nay đo la su dung nguyen ly tuong ung, mot phep toan suy nghiem phat bieu rang cac tien đoan cua co hoc luong tu tro thanh cac mieu ta cua co hoc co đien trong vung cac so luong tu lon. Chung ta cung co the bat đau tu thiet lap mot mo hinh co đien cua mot he đac biet, roi thu đoan mo hinh luong tu an duoi ma se cho ra mo hinh co đien trong gioi han tuong ung. Cach tiep can nay đuoc biet đen la su luong tu hoa.
Khi co hoc luong tu ban đau đuoc thiet lap, no đuoc ap dung cho cac mo hinh ma gioi han tuong ung la cac mo hinh co hoc co đien phi tuong đoi tinh. Vi du, mo hinh đuoc biet đen nhieu đo la dao đong tu đieu hoa luong tu su dung mot bieu thuc tuong minh phi tuong đoi tinh bieu dien cho đong nang cua dao đong tu, va do đo la mot phien ban luong tu cua dao đong tu đieu hoa co đien.
Cac phuc tap xuat hien cung voi cac he nhieu loan, ma he khong co cac so luong tu tot đe mieu ta, va ly thuyet nhieu loan luong tu nghien cuu cac moi quan he giua cac cach mieu ta co đien va luong tu trong nhung he nay.
Su mat ket hop luong tu la mot co che thong qua đo cac he luong tu mat đi tinh ket hop, va do đo khong co kha nang the hien nhieu hieu ung luong tu: su chong chap luong tu tro len đon gian chi la su tron lan cac xac suat, va vuong viu luong tu tro thanh cac tuong quan co đien đon gian. Su ket hop luong tu thuong khong tim thay o quy mo vi mo, ngoai tru o mot so muc nhiet đo gan đo khong tuyet đoi tai đo cac hanh xu luong tu tro len bieu hien o cap đo lon hon.
Nhieu tinh chat vi mo cua mot he co đien la he qua truc tiep cua hanh xu luong tu cua tung thanh phan cua no. Vi du, su on đinh cua mot khoi vat chat (chua cac nguyen tu va cac phan tu ma se nhanh chong suy sap chi duoi anh huong cua luc đien), tinh cung cua vat ran, va cac tinh chat co hoc, nhiet, hoa hoc, quang hoc va tu hoc cua vat chat tat ca đeu la ket qua cua tuong tac giua cac đien tich duoi su chi phoi cua cac quy tac co hoc luong tu.


= Thuyet tuong đoi hep va đien đong luc hoc =
Nhung no luc ban đau đe hop nhat co hoc luong tu voi thuyet tuong đoi hep bao gom viec thay the phuong trinh Schrodinger bang mot phuong trinh hiep bien nhu phuong trinh Klein–Gordon hoac phuong trinh Dirac. Trong khi cac ly thuyet nay đa thanh cong trong viec giai thich nhieu ket qua thuc nghiem, chung co nhung đac điem khong phu hop xuat phat tu viec ly thuyet bo qua viec sinh va huy cac cap hat tuong đoi tinh. Mot ly thuyet luong tu tuong đoi tinh đay đu đoi hoi su phat trien cua ly thuyet truong luong tu, o đay ap dung su luong tu hoa vao mot truong (hon la đoi voi mot tap hop cac hat co đinh). Ly thuyet truong luong tu hoan thien đau tien, đien đong luc hoc luong tu, cung cap mot mieu ta luong tu đay đu ve tuong tac đien tu. Đien đong luc hoc luong tu la, cung voi thuyet tuong đoi rong, mot trong nhung ly thuyet vat ly chinh xac nhat tung đuoc đua ra.
Thuong khong can thiet phai dung toan bo noi dung cua ly thuyet truong luong tu đe mieu ta cac he thong đien đong luc. Mot cach tiep can đon gian hon, ma đa tung đuoc su dung tu luc khai sinh ra co hoc luong tu, đo la coi cac hat mang đien nhu la cac đoi tuong co hoc luong tu bi tac đong boi mot truong đien tu co đien. Vi du, mo hinh luong tu co ban cua nguyen tu hydro mieu ta đien truong cua nguyen tu hydro su dung mot the Coulomb co đien 
  
    
      
        
          −
          
            e
            
              2
            
          
          
            /
          
          (
          4
          π
          
            ϵ
            
              
                
                
                  0
                
              
            
          
          r
          )
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle -e^{2}/(4\pi \epsilon _{_{0}}r)}
  
. Cach tiep can "ban co đien" nay tro len khong con hieu luc neu cac thang giang luong tu trong truong đien tu đong vai tro đang ke, nhu o su phat ra cac photon boi cac hat đien tich.
Cac ly thuyet truong luong tu cho luc hat nhan manh va luc hat nhan yeu cung đa đuoc phat trien. Ly thuyet truong luong tu cua luc hat nhan manh đuoc goi la sac đong luc hoc luong tu, va no mieu ta cac tuong tac cua cac hat nho hon hat nhan nguyen tu nhu cac quark va gluon. Luc hat nhan yeu va luc đien tu đuoc thong nhat lam mot, trong cac dang luong tu cua chung, tro thanh mot ly thuyet truong luong tu (đuoc goi la thuyet đien yeu), do cac nha vat ly Abdus Salam, Sheldon Glashow va Steven Weinberg phat trien.


= Lien he voi thuyet tuong đoi tong quat =
Mac du cac du đoan cua ca co hoc luong tu va thuyet tuong đoi tong quat đa đuoc kiem nghiem nhieu lan bang cac chung cu thuc nghiem phuc tap va chat che, dang thuc luan cua chung lai mau thuan voi nhau va chung đa đuoc chung minh la cuc ky kho hop nhat đuoc voi nhau thanh mot ly thuyet nhat quan va thong nhat. Hap dan la rat nho trong nhieu pham vi cua vat ly hat, do đo su thong nhat giua thuyet tuong đoi rong va co hoc luong tu khong phai la mot van đe cap bach trong cac ung dung thuc te. Tuy nhien, hien chua co mot ly thuyet đung đan ve hap dan luong tu la mot van đe quan trong trong vu tru hoc vat ly va su tim kiem cua cac nha vat ly đi đen mot "ly thuyet van vat" (TOE) tao nha. Do đo, muc tieu giai quyet đuoc nhung mau thuan giua hai ly thuyet la mot trong nhung muc tieu lon cua vat ly the ky 20 va the ky 21. Thuyet TOE se ket hop khong chi cac mo hinh cua vat ly hat ha nguyen tu nhung cung cho phep suy ra bon luc trong tu nhien tu mot luc thong nhat hoac mot hien tuong.
Mot đe xuat noi bat đo la ly thuyet day, ly thuyet cho rang cac hat điem cua vat ly hat đuoc thay the bang cac đoi tuong mot chieu đuoc goi la day. Ly thuyet day mieu ta cach ma nhung day nay lan truyen trong khong gian va tuong tac voi nhau. Tren nhung pham vi khoang cach lon hon pham vi cua day, mot day se trong giong nhu mot hat co ban binh thuong, voi khoi luong, đien tich, va cac tinh chat khac đuoc xac đinh boi cac trang thai rung đong cua day. Trong ly thuyet day, mot trong nhieu cac trang thai rung đong cua day tuong ung voi hat graviton, mot hat luong tu truyen luc hap dan.
Mot ly thuyet pho bien khac đo la hap dan luong tu vong (LQG), ly thuyet mieu ta cac tinh chat luong tu cua hap dan cung nhu mieu ta khong thoi gian luong tu. LQG co gang hop nhat va chap nhan co hoc luong tu chuan va thuyet tuong đoi rong chuan. Ly thuyet nay mieu ta khong gian nhu mot tam vai cuc ky min đuoc det bang nhung vong khep kin huu han goi la mang luoi spin. Su tien trien cua mot mang luoi spin theo thoi gian đuoc goi la bot spin. Đo dai đac trung cua bot spin bang đo dai Planck, xap xi 1,616×10−35 m, do vay cac đo dai va kich thuoc nho hon đo dai Planck khong co y nghia trong LQG.


Y nghia triet hoc Ke tu khi ra đoi, nhieu khia canh phan truc giac va ket qua cua co hoc luong tu đa gay ra cac cuoc tranh luan triet hoc manh me va nhieu cach giai thich khac nhau. Cac lap luan tap trung vao ban chat xac suat cua co hoc luong tu, nhung kho khan voi su suy sup ham song va van đe đo luong lien quan, va tinh phi đinh xu luong tu. Co le su đong thuan duy nhat ton tai ve nhung van đe nay la khong co su đong thuan nao ca. Richard Feynman tung noi, "Toi nghi toi co the tu tin khi noi rang khong ai hieu co hoc luong tu." Theo Steven Weinberg, "Theo quan điem cua toi, hien nay khong co cach giai thich nao hoan toan thoa đang ve co hoc luong tu."
Quan điem cua Niels Bohr, Werner Heisenberg va cua cac nha vat ly khac thuong đuoc nhom lai voi nhau bang cach "giai thich Copenhagen". Theo nhung quan điem nay, ban chat xac suat cua co hoc luong tu khong phai la mot đac điem tam thoi ma cuoi cung se bi thay the boi mot ly thuyet xac đinh, ma thay vao đo la su tu bo y tuong co đien ve "quan he nhan qua". Bohr đac biet nhan manh rang bat ky ung dung nao đuoc xac đinh ro rang cua hinh thuc luan co luong tu phai luon tham chieu đen cach sap xep thi nghiem, do ban chat bo sung cua bang chung thu đuoc trong cac tinh huong thi nghiem khac nhau. Cach giai thich kieu Copenhagen van con pho bien trong the ky 21.
Ban than Albert Einstein, mot trong nhung nguoi sang lap thuyet luong tu, đa gap kho khan khi ly thuyet ro rang khong tuan theo mot so nguyen ly sieu hinh đuoc ua thich, nhu tinh tat đinh va tinh đinh xu. Nhung cuoc trao đoi lau dai cua Einstein voi Bohr ve y nghia va trang thai cua co hoc luong đuoc biet đen la tranh luan Bohr–Einstein. Einstein tin rang ben duoi co hoc luong tu phai co mot ly thuyet khong cho phep ton tai tac dung o mot khoang cach tu xa (action at a distance). Ong cho rang co hoc luong tu la ly thuyet chua đay đu, ly thuyet co gia tri đung nhung chua o muc co ban, tuong tu nhu nhiet đong luc hoc la đung, nhung ly thuyet co ban ben duoi no la co hoc thong ke. Nam 1935, Einstein va cac cong su Boris Podolsky va Nathan Rosen cong bo lap luan cho rang nguyen ly đinh xu ham y su khong hoan chinh cua co hoc luong tu, sau đo mot thi nghiem tuong tuong đuoc đat ten la nghich ly Einstein–Podolsky–Rosen. Nam 1964, John Bell đa chi ra rang nguyen ly đinh xu cua EPR, cung voi thuyet tat đinh, thuc su khong tuong thich voi co hoc luong tu: chung ngu y nhung rang buoc đoi voi cac moi tuong quan tao ra boi cac he thong khoang cach, ngay nay đuoc goi la cac bat đang thuc Bell, co the bi vi pham boi cac hat vuong viu. Ke tu đo đa co mot so thi nghiem đuoc thuc hien đe kiem tra cac moi tuong quan nay, voi ket qua thu đuoc đung la chung vi pham bat đang thuc Bell, va do vay bac bo su ket hop giua tinh đinh xu va thuyet tat đinh.
Ly thuyet De Broglie–Bohm chi ra co the viet lai hinh thuc luan cua co hoc luong tu đe cho no tuong thich voi thuyet tat đinh, nhung voi gia lam cho ly thuyet the hien ro tinh phi đinh xu. No khong chi quy mot ham song cho mot he thong vat ly, ma con cho mot vi tri thuc, tien trien mot cach xac đinh theo mot phuong trinh huong dan phi cuc bo. Su tien trien cua mot he thong vat ly đuoc cho boi o moi thoi gian tu phuong trinh Schrodinger cung voi phuong trinh huong dan; do vay khong bao gio co su suy sup cua ham song. Đieu nay giai quyet van đe đo luong.
Cach giai thich đa the gioi cua Everett, đua ra vao nam 1956, cho rang moi xac suat mieu ta boi thuyet luong tu đong thoi xuat hien trong mot đa vu tru chua cac vu tru song song đoc lap voi nhau. Đay la he qua cua viec xoa bo tien đe ve su suy sup bo song. Moi trang thai kha di cua he đuoc đo va thiet bi đo, cung voi nguoi quan sat, đuoc bieu dien trong su chong chap luong tu vat ly thuc. Trong khi đa vu tru la tat đinh, chung ta chi nhan thuc cac hanh xu phi tat đinh bi chi phoi boi cac xac suat, boi vi chung ta khong quan sat đuoc đa vu tru mot cach tong the, ma chi co the quan sat đuoc mot vu tru song song o mot thoi điem. Chinh xac cach thuc hoat đong cua đieu nay đa la chu đe cua nhieu cuoc tranh luan. Mot so no luc đa đuoc thuc hien đe hieu đieu nay va rut ra quy tac Born, ma khong co su đong thuan ve viec lieu chung co thanh cong hay khong.
Co hoc luong tu quan he (Relational quantum mechanics) xuat hien vao cuoi thap nien 1990 nhu la mot thuyet phai sinh hien đai cua nhung y tuong kieu Copenhagen, va QBism đuoc phat trien o mot vai nam ve sau.


Lich su Co hoc luong tu đuoc phat trien vao nhung thap ky đau cua the ky 20, đuoc thuc đay boi nhu cau giai thich cac hien tuong, trong mot so truong hop, đa đuoc quan sat thay trong thoi gian truoc đo. Nghien cuu khoa hoc ve ban chat song cua anh sang bat đau vao the ky 17 va 18, khi cac nha khoa hoc nhu Robert Hooke, Christiaan Huygens va Leonhard Euler đe xuat ly thuyet song cua anh sang dua tren cac quan sat thuc nghiem. Nam 1803 nha bac hoc Thomas Young nguoi Anh mieu ta thi nghiem hai khe noi tieng. Thi nghiem nay đong vai tro quan trong trong viec chap nhan chung ly thuyet song cua anh sang.
Vao đau the ky 19, cac nghien cuu khoa hoc cua John Dalton va Amedeo Avogadro đa giup cung co thuyet nguyen tu cua vat chat, mot y tuong ma ve sau đuoc James Clerk Maxwell, Ludwig Boltzmann va nhieu nha khoa hoc khac tiep tuc xay dung đe hinh thanh nen thuyet đong hoc chat khi. Nhung ket qua cua thuyet đong hoc đa phan nao lam sang to quan điem rang vat chat đuoc cau tao boi nguyen tu, song, ly thuyet nay van con nhung thieu sot chi co the giai quyet đuoc nho su phat trien cua co hoc luong tu. Du khai niem ban đau ve nguyen tu tu triet hoc Hy Lap cho rang chung la đon vi khong the chia nho – cum tu "nguyen tu" lay tu nguyen goc trong tieng Hy Lap co nghia la "khong cat nho đuoc" – nhung the ky 19 đa chung kien su xuat hien cac gia thuyet ve cau truc ha nguyen tu. Mot thanh tuu quan trong lien quan van đe nay la quan sat cua Michael Faraday nam 1838 ve mot lop sang đuoc tao ra nho phong đien ben trong mot ong thuy tinh chua khi o ap suat thap. Cong trinh cua Faraday sau đo tiep tuc đuoc phat trien boi Julius Plucker, Johann Wilhelm Hittorf va Eugen Goldstein dan đen su nhan dien tia am cuc, von đuoc J. J. Thomson phat hien co chua cac hat ha nguyen tu ma ve sau đuoc goi la electron.
Van đe buc xa vat đen đuoc Gustav Kirchhoff kham pha vao nam 1859. Đen nam 1900, Max Planck đua ra gia thuyet rang nang luong đuoc buc xa va hap thu trong cac "luong tu" (hay goi nang luong) roi rac khop chinh xac voi cac dang buc xa vat đen quan sat đuoc. Tu luong tu bat nguon tu tieng Latinh, co nghia la "lon nhu the nao" hoac "bao nhieu". Theo Planck, cac đai luong nang luong co the đuoc coi chia thanh cac "phan tu" co đo lon (E) ty le voi tan so (ν) cua chung:

  
    
      
        E
        =
        h
        ν
         
      
    
    {\displaystyle E=h\nu \ }
  
,
voi h la hang so Planck. Planck than trong nhan manh rang đay chi la mot khia canh cua qua trinh hap thu va phat xa buc xa va khong phai la thuc tai vat ly cua buc xa. Tren thuc te, ong coi gia thuyet luong tu cua minh la mot thu thuat toan hoc đe co đuoc cau tra loi đung hon la mot kham pha lon. Tuy nhien, vao nam 1905, Albert Einstein đa giai thich gia thuyet luong tu cua Planck mot cach thuc te va su dung no đe giai thich hieu ung quang đien, trong đo viec chieu anh sang vao mot so vat lieu nhat đinh co the đay electron ra khoi vat lieu. Niels Bohr sau đo đa phat trien y tuong cua Planck ve buc xa thanh mot mo hinh nguyen tu hydro ma đa du đoan thanh cong cac vach quang pho cua hydro. Einstein phat trien them y tuong nay đe chi ra rang mot song đien tu nhu anh sang cung co the đuoc mo ta nhu dang hat (sau nay đuoc goi la photon), voi mot luong nang luong roi rac phu thuoc vao tan so cua no. Trong bai bao cua ong "Ve ly thuyet luong tu cua buc xa," Einstein đa mo rong su tuong tac giua nang luong va vat chat đe giai thich su hap thu va phat xa nang luong cua cac nguyen tu. Mac du vao thoi điem đo, thuyet tuong đoi rong cua ong đa lam lu mo van đe nay, bai bao nay đa trinh bay ro co che co ban cua su phat xa kich thich, ma tro thanh co che co ban cua laser ve sau.
Giai đoan nay đuoc biet đen nhu la thuyet luong tu cu. Khong bao gio hoan chinh hoac tu nhat quan, ly thuyet luong tu cu đung hon la mot tap hop cac hieu chinh heuristic đoi voi co hoc co đien. Ly thuyet hien nay đuoc hieu la mot phep gan đung ban co đien đoi voi co hoc luong tu hien đai. Cac ket qua đang chu y tu thoi ky nay bao gom, ngoai cong trinh cua Planck, Einstein va Bohr đa đe cap o tren, cong trinh cua Einstein va Peter Debye ve nhiet dung rieng cua chat ran, chung minh cua Bohr va Hendrika Johanna van Leeuwen rang vat ly co đien khong the giai thich cho hien tuong nghich tu, va su mo rong cua Arnold Sommerfeld ve mo hinh Bohr đe bao gom cac hieu ung tuong đoi tinh đac biet.

Vao giua nhung nam 1920, co hoc luong tu đa đuoc phat trien đe tro thanh ly thuyet tieu chuan cho vat ly nguyen tu. Nam 1923, nha vat ly nguoi Phap Louis de Broglie đua ra ly thuyet cua minh ve song vat chat bang cach phat bieu rang cac hat co the bieu hien cac đac tinh cua song va nguoc lai. Dua tren cach tiep can cua de Broglie, co hoc luong tu hien đai ra đoi vao nam 1925, khi cac nha vat ly nguoi Đuc Werner Heisenberg, Max Born, va Pascual Jordan phat trien co hoc ma tran va nha vat ly nguoi Ao Erwin Schrodinger phat minh ra co hoc song. Born đa gioi thieu cach giai thich xac suat cua ham song Schrodinger vao thang 7 nam 1926. Do đo, toan bo linh vuc vat ly luong tu đa xuat hien, dan đen viec no đuoc chap nhan rong rai hon tai hoi nghi Solvay lan thu nam vao nam 1927.
Đen nam 1930, co hoc luong tu đa đuoc David Hilbert, Paul Dirac va John von Neumann thong nhat va toan hoc hoa hon nua voi su nhan manh nhieu hon vao phep đo, ban chat thong ke cua kien thuc ve thuc te cua chung ta va suy đoan triet hoc ve 'nguoi quan sat'. Ke tu đo, no đa tham nhap vao nhieu nganh, bao gom hoa hoc luong tu, đien tu luong tu, quang hoc luong tu va khoa hoc thong tin luong tu. No cung cung cap mot khuon kho huu ich cho nhieu đac điem cua bang tuan hoan cac nguyen to hien đai, va mo ta hanh vi cua cac nguyen tu trong qua trinh lien ket hoa hoc va dong electron trong chat ban dan may tinh, va do đo đong vai tro quan trong trong nhieu cong nghe hien đai. Trong khi co hoc luong tu đuoc xay dung đe mo ta the gioi rat nho, no cung can thiet đe giai thich mot so hien tuong vi mo chang han nhu chat sieu dan va sieu long.


Xem them Nguyen tu
He hai trang thai luong tu
Vat ly ly thuyet
Vat ly thuc nghiem
Lich su vat ly hoc


Chu thich Tham khao Đoc them Lien ket ngoai J. O'Connor va E.F. Robertson: A history of quantum mechanics.
Introduction to Quantum Theory at Quantiki.
Quantum Physics Made Relatively Simple: ba video bai giang tu Hans Bethe
Tai lieu hoc tap
Quantum Cook Book va PHYS 201: Fundamentals of Physics II cua Ramamurti Shankar, Yale OpenCourseware
The Modern Revolution in Physics – sach giao khoa truc tuyen.
MIT OpenCourseWare: Chemistry va Physics. Xem 8.04, 8.05 va 8.06
5½ Examples in Quantum Mechanics
Imperial College Quantum Mechanics Course.
Triet hoc
Ismael, Jenann. "Quantum Mechanics". Trong Zalta, Edward N. (bien tap). Stanford Encyclopedia of Philosophy (bang tieng Anh).
Krips, Henry. "Measurement in Quantum Theory". Trong Zalta, Edward N. (bien tap). Stanford Encyclopedia of Philosophy (bang tieng Anh).
Sach Wikibooks (tieng Anh)
This Quantum World