Thi nghiem Schiehallion la mot thi nghiem o the ky 18 nham xac đinh khoi luong rieng trung binh cua Trai Đat. Đuoc tai tro boi Hoi Hoang gia Luan Đon, thi nghiem thuc hien vao mua he nam 1774 quanh ngon nui Schiehallion, Perthshire cua Scotland. Muc tieu cua no la đo đo lech rat nho cua con lac duoi anh huong cua luc hap dan boi qua nui gan đo. Schiehallion đuoc đanh gia la mot vi tri thich hop sau mot cuoc khao sat cac ngon nui cua Anh, nho su đon lap va hinh dang gan nhu đoi xung cua no. Mot trong nhung nguyen nhan thuc hien thi nghiem đo la co nhung ghi chu bat thuong trong cuoc khao sat ranh gioi Mason–Dixon.

Truoc đay thi nghiem đa tung đuoc đe xuat, nhung bi Isaac Newton bac bo boi vi dua theo ket qua tinh toan tu đinh luat van vat hap dan đo lech thu đuoc se rat nho. Tuy nhien, mot đoi cac nha khoa hoc, noi bat la Nevil Maskelyne thuoc Hoi Thien van Hoang gia Luan Đon, đa thuyet phuc moi nguoi đo la hieu ung co the đo đuoc va thuc đay tien hanh thi nghiem. Goc lech cua con lac phu thuoc tuong đoi vao mat đo va the tich cua Trai Đat cung nhu ngon nui: neu mat đo va the tich cua nui Schiehallion co the đanh gia đuoc tu cuoc khao sat trac đia, thi ong co the tinh ra khoi luong rieng cua Trai Đat. Mot khi biet gia tri nay, thi khoi luong rieng xap xi cua cac hanh tinh, cac ve tinh cua chung, va Mat Troi ma truoc đo chi biet duoi cac ti so tuong đoi, se co the tinh ra gan chinh xac. Them mot loi ich khac, khai niem đuong đong muc, dan ra mot cach đon gian tu qua trinh khao sat nui, ve sau tro thanh ky thuat tieu chuan trong nganh ban đo hoc.


Boi canh Con lac đat trong truong hap dan đeu se treo theo phuong thang đung. Tuy nhien, neu co mot khoi luong đu lon o gan nhu mot qua nui, luc hut hap dan cua no se keo đau con lac lech khoi phuong thang đung mot chut. Su thay đoi phuong giong cua truc con lac so voi mot vat tham chieu—chang han ngoi sao o xa—co the đo đuoc khi đat con lac tren hai phia cua qua nui. Neu khoi luong cua qua nui đuoc xac đinh mot cach đoc lap tu the tich va uoc luong mat đo trung binh cua đa chua trong no, thi cac gia tri nay cho phep ngoai suy ra đuoc mat đo trung binh cua Trai Đat, va do vay khoi luong cua Trai Đat.
Isaac Newton đa xet đen hieu ung nay trong cuon Principia, nhung ong cho rang bat ky mot ngon nui thuc te nao cung se tao ra mot goc lech qua nho ma co the đo đuoc. Ong viet, hieu ung hap dan chi đang ke o pham vi hanh tinh. Translated: Andrew Motte, First American Edition. New York, 1846</ref> Su bi quan cua Newton la hoi thai qua: mac du tinh toan cua ong cho ket qua đo lech nho hon 2 phut goc (đoi voi mot ngon nui ly tuong hoa cao 3 dam), goc lech nay mac du rat nho, nhung van nam trong kha nang phat hien cua cac dung cu trong thoi cua ong.
Thi nghiem kiem tra y tuong cua Newton khong nhung cung cap bang chung ung ho cho đinh luat van vat hap dan cua ong, ma con cho phep uoc luong khoi luong va mat đo cua Trai Đat. Do thoi đay khoi luong cac thien the chi đuoc cho thong qua cac ti so tuong đoi, khoi luong cua Trai Đat se cung cap gia tri gan chinh xac cho khoi luong cua cac hanh tinh khac, cac ve tinh tu nhien cua chung va cho khoi luong cua Mat Troi. Du lieu đo đuoc cung co kha nang xac đinh ra hang so hap dan G, mac du đay khong phai la muc đich chinh cua nhung nguoi lam thi nghiem nay; gia tri tham khao cho hang so G khong xuat hien trong cac tu lieu khoa hoc cho toi gan mot tram nam sau.


Tim ngon nui thich hop = Chimborazo, 1738 =
Hai nha thien van hoc nguoi Phap Pierre Bouguer va Charles Marie de La Condamine la nhung nguoi đau tien thuc hien thi nghiem kieu nay, khi ho đo luong goc lech con lac tai nui Chimborazo cao 6268 met o Ecuador vao nam 1738. Đoan cua ho roi Phap đen Nam My vao nam 1735 đe đo đo dai cung kinh tuyen chan boi mot đo vi tuyen gan đuong xich đao, va ho đa co co hoi đe đo đo lech goc nay. Vao thang 12 nam 1738, trong đieu kien đia hinh va thoi tiet khac nghiet, ho đa thuc hien hai thi nghiem tai cac đo cao 4680 va 4340 m. Bouguer viet trong mot bai nam 1749 rang ho đa đo đuoc goc lech 8 giay cung, nhung ong đa đanh gia thap su quan trong cua ket qua nay, va goi y rang ket qua tot hon co the thuc hien trong nhung đieu kien de dang hon o Anh hay Phap. Ong cung luu y them rang thi nghiem it nhat đa chung to đuoc Trai Đat khong phai la lop vo rong ruot nhu mot so nguoi đuong thoi tung đe xuat, bao gom Edmond Halley.


= Schiehallion, 1774 =

Mot co gang khac thuc hien thi nghiem nay đa đuoc Hoi Hoang gia Luan Đon thuc đay vao nam 1772 tu nha thien van hoc Nevil Maskelyne. Ong cho rang thi nghiem "se la vinh du cho quoc gia noi no đuoc thuc hien" va đe xuat nui Whernside o Yorkshire, hoac rang nui Blencathra-Skiddaw o Cumberland la nhung đia điem thich hop. Hoi Hoang gia thanh lap Uy ban Quan tam đe xem xet đe xuat, đa bo nhiem Maskelyne, Joseph Banks va Benjamin Franklin la mot trong so thanh vien. Uy ban gui nha thien van va khao sat đia hinh Charles Mason đe tim mot đia điem thich hop cho thi nghiem.
Sau cuoc tim kiem dai ngay vao mua he nam 1773, Mason thong bao đia điem phu hop nhat la nui Schiehallion (khi ay viet la Schehallien), mot nui cao 1083 met nam giua ho Loch Tay va Loch Rannoch o trung tam cao nguyen Scotland. Nui nay đung rieng re so voi cac ngon đoi ben canh, do vay anh huong hap dan cua chung bi giam đi, va suon doc đoi xung đong - tay cua no lam đon gian cac tinh toan lien quan. Suon doc bac va nam đu đo doc đe cho phep vi tri thi nghiem đat gan khoi tam cua nui, lam toi đa tac dung cua hieu ung hap dan.
Tuy nhien Mason đa tu choi thuc hien thi nghiem do uy ban tra phi mot xu guinea trong mot ngay. Do đo nhiem vu đa đuoc chuyen cho Maskelyne, va ong đuoc phep roi tam thoi nhiem vu cua minh khi la nha thien van Hoang gia. Ong đuoc ho tro boi nha toan hoc va khao sat Charles Hutton va nha toan hoc Reuben Burrow, thanh vien cua Đai thien van Hoang gia Greenwich. Ho thue luc luong cong nhan đe xay dung vi tri thi nghiem cung nhu ho tro qua trinh khao sat. Đoi khoa hoc đuoc trang bi đay đu: cac thiet bi thien van bao gom thuoc ban kinh 12 cm đo goc 90 đo bang đong thau tu đoan tham hiem cua James Cook quan sat su đi qua cua Sao Kim nam 1769, mot kinh vien vong thien đinh 10 met (zenith sector), va mot đong ho đo (đong ho qua lac chinh xac) đe đem thoi gian quan sat thien van. Ho cung mua them mot may kinh vi va xich Gunter đe khao sat nui, mot cap ap ke đe đo đo cao. Chi phi đe thuc hien thi nghiem lay tu so tien con du cua đoan tham hiem theo doi su đi qua cua Sao Kim, ma đuoc vua George III ra lenh chuyen lai cho Hoi Hoang gia.


Cac đo đac = Thien van hoc =

Cac nha đe quan sat đuoc xay dung o phia bac va phia nam nui, cong them mot can leu đe chua thiet bi va la noi nghi ngoi cho cac nha khoa hoc. Cac cong nhan thi o trong cac leu vai tam. Đau tien Maskelyne thuc hien cac đo luong thien van hoc. Đieu nay la can thiet đoi voi ong nham xac đinh khoang cach thien đinh tu phuong day doi đen mot so ngoi sao o nhung thoi điem chinh xac khi moi sao đi qua điem phia nam (passed due south). Đieu kien thoi tiet thuong khong thuan loi do anh huong cua mua va suong mu. Tuy nhien, tu tram quan sat phia nam, ong đa thuc hien đuoc 76 lan đo đoi voi 34 sao trong cung mot huong va sau đo la 93 lan đo đoi voi 39 sao theo huong khac. Tu tram phia bac, ong thuc hien đuoc 68 lan đo đoi voi 32 sao va 100 lan đo đoi voi 37 sao. Bang cach thuc hien cac lan đo theo mat phang cua kinh vien vong thien đinh đau tien huong theo phia đong roi sau đo huong sang phia tay, ong đa thanh cong khi tranh đuoc bat ky sai so he thong nao xuat hien tu bo chuan truc cua kinh vien vong.
Nham xac đinh goc lech do qua nui, mot nhan to phai tinh đen đo la đo cong cua Trai Đat: mot nguoi đi ve bac hay nam se thay thien đinh cuc bo dich chuyen theo cung mot goc nhu o su thay đoi trong vi đo. Sau khi tinh đen cac hieu ung quan trac nhu tien đong, quang sai va chuong đong, Maskelyne chi ra đo lech giua thien đinh cuc bo giua cac tram phia bac va phia nam cua nui Schiehallion bang 54,6 giay cung. Khi đoi khao sat cho biet đo lech vi đo giua hai tram la 42,94″, ong co the tru đi đo lech nay va sau khi tien hanh hieu chinh cac sai so đe thu đuoc ket qua chinh xac, ong cong bo tong đo lech bac va nam bang 11,6″.
Maskelyne đang ket qua so bo cua ong trong tap chi Philosophical Transactions of the Royal Society cua Hoi Hoang gia nam 1775, khi su dung du lieu ban đau ve hinh dang va vi tri cua khoi tam cua ngon nui. Đieu nay đua ong đen ky vong đo lech bang 20,9″ neu mat đo trung binh cua Schiehallion va Trai Đat la nhu nhau. Do đo lech đo đuoc bang mot nua gia tri nay, ong cho rang khoi luong rieng trung binh cua Trai Đat xap xi gap hai lan so voi cua nui Schiehallion. Gia tri chinh xac hon phai đoi toi khi đoan khao sat đia hinh va đia chat ket thuc nhiem vu cua ho.
Maskelyne đa co co hoi đe chung to rang nui Schiehallion the hien suc hut hap dan, va do đo moi nui cung nhu vay; va rang đinh luat nghich đao binh phuong cua Newton ve hap dan đa đuoc xac nhan. Hoi Hoang gia đa trao cho Maskelyne Huy chuong Copley nam 1775 nho thi nghiem nay; nha tieu su Chalmers sau nay viet rang "Neu co con bat ky nghi ngo nao ve tinh đung đan cua ly thuyet Newton, thi bay gio chung se bi loai bo hoan toan".


= Khao sat =
Cong viec cua đoi khao sat đa bi can tro lon boi su khac nghiet cua thoi tiet, va phai toi tan nam 1776 ho moi hoan thanh nhiem vu. Đe đo the tich cua nui, ho chia no ra thanh cac hinh lang tru đung va tinh the tich tung cai mot. Nhiem vu đac tam giac cua Charles Hutton la kha lon: nhung nguoi khao sat phai đo hon mot nghin điem xung quanh nui. Hon nua, đinh cua cac lang tru ma ho chia ra khong phai luon luon trung mot cach thuan tien voi cao đo khao sat. Đe khop moi du lieu thu đuoc, Hutton ap dung phuong phap noi suy chuoi cac đuong noi giua cac khoang điem du lieu ma ong đo đuoc, va đat cac điem co đo cao bang nhau. Khi lam nhu vay, no khong nhung giup ong de xac đinh hon chieu cao cua cac lang tru ma tu cac đuong nay se cho phep hinh dung ra dang đia hinh cua qua nui. Hutton đa phat minh ra đuong đong muc, cong cu thuong đuoc su dung ve sau cho cong tac ve ban đo đia hinh.

Hutton đa phai tinh luc hut hap dan cua tung lang tru đoi voi cac lang tru khac trong luoi phan chia cua ong, mot qua trinh đoi hoi nhieu cong suc nhu qua trinh khao sat. Nhiem vu nay chiem mat hai nam cua ong truoc khi ong co the cong bo ket qua, mot bai bao dai khoang mot tram trang trinh bay truoc Hoi Hoang gia nam 1778. Ong tim thay rang suc hut cua Trai Đat đoi voi qua lac bang 9.933 lan suc hut tong cong cua ngon nui khi no nam o tram phia bac va phia nam, neu nhu mat đo cua Trai Đat va nui Schiehallion la nhu nhau. Do goc lech thuc te bang 11,6″ ham y mot ty so 17.804:1 sau khi tinh đen anh huong cua vi đo len luc hap dan, ong cho rang mat đo trung binh cua Trai Đat bang 
  
    
      
        
          
            
              17.804
              9.933
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {17.804}{9.933}}}
  
, hay khoang 
  
    
      
        
          
            
              9
              5
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {9}{5}}}
  
 cua nui. Ket qua tu qua trinh khao sat ngon nui dai ngay do vay đa khong anh huong lon toi ket qua tu cac phep tinh cua Maskelyne. Hutton đat mat đo trung binh cua Schiehallion bang 2.500 kg·m−3, va tinh ra mat đo trung binh cua Trai Đat bang 
  
    
      
        
          
            
              9
              5
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {9}{5}}}
  
 lan gia tri nay, hay 4.500 kg·m−3. So sanh voi gia tri hien đai bang 5.515 kg·m−3, mat đo Trai Đat ma ong tinh đuoc co sai so nho hon 20%.
Mat đo trung binh cua Trai Đat lon hon mat đo cua đa be mat co nghia la lop vat lieu o sau trong no phai đam đac hon. Hutton đa phong đoan đung khi cho rang vat lieu loi co the la kim loai, va mat đo co the lon toi 10.000 kg·m−3. Ong uoc luong ty le kim loai nay chiem khoang 65% đuong kinh cua Trai Đat. Voi gia tri trung binh cho mat đo cua Trai Đat, Hutton co the tinh ra mot so gia tri trong bang du lieu hanh tinh cua Jerome Lalande, ma truoc đo chi co the bieu dien mat đo cua cac thien the chinh trong He Mat Troi thong qua cac ti so tuong đoi.


Cac thi nghiem lap lai Mot phep đo truc tiep hon va chinh xac hon ve mat đo trung binh cua Trai Đat đuoc thuc hien 24 nam sau thi nghiem Schiehallion, khi Henry Cavendish vao nam 1798 su dung mot can xoan rat nhay đe đo luc hut giua cac qua cau lam bang chi. Gia tri cua Cavendish thu đuoc bang 5.448 ± 33 kg·m−3 chi sai khac 1,2% so voi gia tri chap nhan hien nay 5.515 kg·m−3, va ket qua cua ong khong đuoc lam chinh xac hon cho toi tan 1895 boi Charles Boys. Su quan tam toi thi nghiem Cavendish va đo chinh xac trong ket qua cua ong đa khien ong tro len noi tieng tu đo.
John Playfair thuc hien cuoc khao sat lan thu hai o nui Schiehallion vao nam 1811; tren co so suy nghi lai tang đa cua no, ong tim ra ket qua mat đo trung binh Trai Đat tu 4.560 toi 4.870 kg·m−3, mac du sau nay Hutton nhieu tuoi hon đa ra suc bao ve ket qua ban đau cua ong trong mot bai bao nam 1821 truoc Hoi Hoang gia. Tinh toan cua Playfair cho gia tri gan voi gia tri hien nay, nhung van con qua thap va kem quan trong hon so voi phuong phap cua Cavendish tu vai nam truoc.

Thi nghiem Schiehallion đuoc lap lai vao nam 1856 boi tuong Henry James, nguoi chi huy Co quan ve ban đo quoc gia khi đo (Ordnance Survey), ong đa su dung đoi Arthur's Seat o trung Edinburgh. Voi nguon luc tu co quan ma ong chi huy, James đa mo rong cuoc khao sat đia hinh ra toi ban kinh 21 km, đua nhom cua ong toi tan bien gioi cua Midlothian. Ong thu đuoc ket qua vao khoang 5.300 kg·m−3.
Mot thi nghiem thuc hien vao nam 2005 duoi mot cach khac so voi qua trinh đa thuc hien vao nam 1774: thay vi tinh toan hieu giua cac thien đinh cuc bo, thi nghiem đa so sanh mot cach chinh xac chu ky cua con lac tai đinh va chan nui Schiehallion. Chu ky cua con lac la ham cua g, gia toc trong truong đia phuong. Theo tinh toan con lac se dao đong cham hon tai đinh nui, nhung do khoi luong cua nui se lam giam su cham tre nay. Thi nghiem lan nay co thuan loi la de thuc hien hon so voi lan nam 1774, ma con thu đuoc đo chinh xac mong muon, khi co the đo đuoc chu ky cua con lac voi sai so mot phan mot trieu. Khoi luong cua Trai Đat thu đuoc tu thi nghiem nay bang 8,1 ± 2,4 × 1024 kg, tuong ung voi mat đo trung binh vao khoang 7.500 ± 1.900 kg·m−3.
Viec thuc hien kiem tra lai du lieu hien đai ve đia vat ly cho phep tinh toi cac nhan to ma đoi nam 1774 khong the đua vao. Voi kha nang mo hinh hoa đia hinh bang ky thuat so trong ban kinh 120 km, cung nhu hieu biet ve đia chat cua nui Schiehallion đuoc mo rong đang ke, va voi su tro giup cua may tinh, mot bao cao nam 2007 cho ket qua mat đo trung binh cua Trai Đat bang 5.480 ± 250 kg·m−3. Khi so voi gia tri hien đai 5.515 kg·m−3, co the đanh gia đuoc tinh chinh xac tu nhung quan sat thien van hoc cua Maskelyne.


Co so toan hoc va vat ly Xet bieu đo luc o ben phai, voi goc lech đa đuoc ve phong đai. Viec phan tich đuoc lam đon gian khi xet luc hut chi boi mot phia cua ngon nui. Qua doi khoi luong m nam o khoang cach d tu khoi tam P cua qua nui co khoi luong MM va mat đo trung binh ρM. Day doi bi lech mot goc nho θ do luc hut hap dan F huong ve điem P va boi trong luong W cua no huong ve tam Trai Đat. Vecto tong cua W va F tao ra suc cang T đoi voi soi day. Trai Đat co khoi luong  ME, ban kinh rE va mat đo ρE.
Hai luc hap dan tac đong len qua lac đuoc tinh theo đinh luat hap dan cua Newton:

  
    
      
        F
        =
        
          
            
              G
              m
              
                M
                
                  M
                
              
            
            
              d
              
                2
              
            
          
        
        ,
        
        W
        =
        
          
            
              G
              m
              
                M
                
                  E
                
              
            
            
              r
              
                E
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F={\frac {GmM_{M}}{d^{2}}},\quad W={\frac {GmM_{E}}{r_{E}^{2}}}}
  

Voi G la hang so hap dan Newton. G va m bi triet tieu khi lay ti so F chia cho W:

  
    
      
        
          
            F
            W
          
        
        =
        
          
            
              (
              G
              m
              
                M
                
                  M
                
              
              )
              
                /
              
              
                d
                
                  2
                
              
            
            
              (
              G
              m
              
                M
                
                  E
                
              
              )
              
                /
              
              
                r
                
                  E
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              M
              
                M
              
            
            
              M
              
                E
              
            
          
        
        
          
            
              (
              
                
                  
                    r
                    
                      E
                    
                  
                  d
                
              
              )
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              ρ
              
                M
              
            
            
              ρ
              
                E
              
            
          
        
        
          
            
              V
              
                M
              
            
            
              V
              
                E
              
            
          
        
        
          
            
              (
              
                
                  
                    r
                    
                      E
                    
                  
                  d
                
              
              )
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {F}{W}}={\frac {(GmM_{M})/d^{2}}{(GmM_{E})/r_{E}^{2}}}={\frac {M_{M}}{M_{E}}}{\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)}^{2}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}{\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)}^{2}}
  

Voi VM va VE lan luot la the tich cua nui va Trai Đat. Trong đieu kien can bang tinh, thanh phan theo phuong ngang va đung cua suc cang day T lien he voi luc hap dan va goc lech θ:

  
    
      
        W
        =
        T
        cos
        ⁡
        θ
        ,
        
        F
        =
        T
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle W=T\cos \theta ,\quad F=T\sin \theta }
  

Thay the vao T:

  
    
      
        tan
        ⁡
        θ
        =
        
          
            F
            W
          
        
        =
        
          
            
              ρ
              
                M
              
            
            
              ρ
              
                E
              
            
          
        
        
          
            
              V
              
                M
              
            
            
              V
              
                E
              
            
          
        
        
          
            
              (
              
                
                  
                    r
                    
                      E
                    
                  
                  d
                
              
              )
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan \theta ={\frac {F}{W}}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}{\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)}^{2}}
  

Do VE, VM, d va rE đeu đa biet, va θ va d đo đuoc tu thi nghiem va khao sat, khi đo gia tri cua ti so ρE : ρM bang:

  
    
      
        
          
            
              ρ
              
                E
              
            
            
              ρ
              
                M
              
            
          
        
        =
        
          
            
              V
              
                M
              
            
            
              V
              
                E
              
            
          
        
        
          
            
              (
              
                
                  
                    r
                    
                      E
                    
                  
                  d
                
              
              )
            
          
          
            2
          
        
        
          
            1
            
              tan
              ⁡
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\rho _{E}}{\rho _{M}}}={\frac {V_{M}}{V_{E}}}{\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)}^{2}{\frac {1}{\tan \theta }}}
  


Chu thich Tham khao