Trong toan hoc, tetration hoac hyper-4 trong hyperoperation la mot phep toan dua tren phep lap hoac su lap lai cua luy thua, tetration đuoc hieu la "luy thua chong chat".
Theo đinh nghia tetration la "luy thua lap" (hoac "chong") nen tetration la mot phep toan hai ngoi đuoc viet duoi dang 
  
    
      
        
          
            
            
              b
            
          
          a
        
      
    
    {\displaystyle {^{b}a}}
  
, trong đo 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 đuoc goi la "co so" va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 la so lan 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 luy thua lap chinh no (hoac so lan lap lai cua 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
) đuoc goi la "chieu cao", tuong tu nhu luy thua. Nhu vay, 
  
    
      
        
          
            
            
              b
            
          
          a
        
      
    
    {\displaystyle {^{b}a}}
  
 se đuoc bien đoi thanh mot thap luy thua 
  
    
      
        
          
            a
            
              
                a
                
                  
                    ⋅
                    
                      
                        ⋅
                        
                          a
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}
  
va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 la so tang luy thua cua 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 tinh tu co so va 
  
    
      
        
          
            
            
              b
            
          
          a
        
      
    
    {\displaystyle {^{b}a}}
  
 se đuoc đoc la "tetration bac 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 cua 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
" hoac "
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 tetration bac 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
".
Tetration la phep toan bac tiep theo sau luy thua, nhung truoc pentation. Thuat ngu "tetration" theo tieng Anh đuoc Reuben Louis Goodstein đat ra tu tu tetra- nghia la "bon" trong tien to Hy Lap va itetration nghia la "su lap lai" đe chi phep lap tam dich la "su lap lai lan thu bon".
Tetration cung đuoc đinh nghia đe quy nhu

  
    
      
        
          
            
            
              n
            
          
          a
        
        :=
        
          
            {
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    neu 
                  
                  n
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                            
                              (
                              n
                              −
                              1
                              )
                            
                          
                          a
                        
                        )
                      
                    
                  
                
                
                  
                    neu 
                  
                  n
                  >
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{neu }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{neu }}n>0\end{cases}}}
  

cho phep co gang mo rong "chieu cao" cua tetration thanh cac so khong phai so tu nhien chang han nhu so thuc hoac so phuc.
Hai phep toan nghich đao cua tetration đuoc goi la sieu can va sieu logarit, tuong tu nhu can bac n va ham logarit. Khong co ham nao trong ba ham nay la ham so so cap.
Tetration đuoc su dung đe ky hieu cac so rat lon.


Gioi thieu Duoi đay la bon phep toan đau tien, tetration đuoc coi la phep toan thu tu trong đo. Phep toan mot ngoi successor, đuoc đinh nghia la 
  
    
      
        
          a
          ′
        
        =
        a
        +
        1
      
    
    {\displaystyle a'=a+1}
  
.

Phep cong

  
    
      
        a
        +
        n
        =
        a
        
        
          
            
              
                
                  
                  ″
                
                
                  

                  
                  
                    ⋯
                  
                
                
                  

                  
                  ′
                
              
              ⏟
            
          
          
            n
          
        
        =
        a
        +
        
          
            
              
                1
                +
                1
                +
                ⋯
                +
                1
              
              ⏟
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a+n=a\!\underbrace {''{}^{\cdots }{}'} _{n}=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}
  

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la so lan cong them 1 cua 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  

Phep nhan

  
    
      
        a
        ×
        n
        =
        
          
            
              
                a
                +
                a
                +
                ⋯
                +
                a
              
              ⏟
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}
  

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la so lan 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 cong lap chinh no
Luy thua

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                ×
                a
                ×
                ⋯
                ×
                a
              
              ⏟
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}
  

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la so lan 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 nhan lap chinh no
Tetration

  
    
      
        
          
            
            
              n
            
          
          a
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  
                    a
                    
                      
                        ⋅
                        
                          
                            ⋅
                            
                              a
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              ⏟
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}
  

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la so lan 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 luy thua lap chinh no, tinh tu phai sang trai.
Phep toan sau la su lap lai cua phep toan lien truoc đo.
Luu y rang cac so mu chong nhau đuoc tinh theo quy uoc tu tren xuong: 
  
    
      
        
          
            a
            
              
                b
                
                  c
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {a^{b^{c}}}}
  
 co nghia la 
  
    
      
        
          a
          
            (
            
              b
              
                c
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{(b^{c})}}
  
 chu khong phai 
  
    
      
        (
        
          a
          
            b
          
        
        
          )
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle (a^{b})^{c}}
  
.
Phep successor, 
  
    
      
        (
        
          a
          ′
        
        =
        a
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (a'=a+1)}
  
 la phep toan co ban nhat; trong khi phep cong 
  
    
      
        (
        a
        +
        n
        )
      
    
    {\displaystyle (a+n)}
  
  la mot phep toan chinh, đoi voi phep cong cac so tu nhien, no co the đuoc coi la n chuoi lap lai cac phep successor cua a; phep nhan 
  
    
      
        (
        a
        ×
        n
        )
      
    
    {\displaystyle (a\times n)}
  
 cung la mot phep toan chinh mac du đoi voi cac so tu nhien, no co the đuoc coi la mot n chuoi lap lai cac phep cong cua a voi chinh no. Luy thua 
  
    
      
        (
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a^{n})}
  
 co the đuoc coi la n chuoi lap lai cac phep nhan cua a voi chinh no va tetration 
  
    
      
        (
        
          
            
            
              n
            
          
          a
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({^{n}a})}
  
 cung đuoc coi nhu n chuoi lap lai hay cac tang a luy thua chinh no đuoc xep chong len nhau. Moi phep toan o tren đuoc xac đinh bang cach lap lai phep toan lien truoc đo. Tuy nhien, khong giong nhu cac phep toan truoc no, tetration khong phai la mot ham so so cap.
Tham so a đuoc goi la co so, trong khi tham so n trong tetration co the đuoc goi la chieu cao. Trong đinh nghia ban đau cua tetration, chieu cao phai la so tu nhien; chang han, se la khong đung neu noi "ba tetration am nam" hoac "bon tetration mot phan hai". Tuy nhien, cung giong nhu phep cong, phep nhan va luy thua co the đuoc đinh nghia theo nhung cach cho phep mo rong len so thuc va so phuc, mot so no luc đa đuoc thuc hien đe tong quat hoa tham so chieu cao cua tetration thanh so am, so thuc va so phuc. Mot trong nhung cach lam nhu vay la su dung mot đinh nghia đe quy cho tetration; đoi voi bat ky so thuc 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
  
 va so nguyen khong am 
  
    
      
        n
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 0}
  
, chung ta co the xac đinh 
  
    
      
        
          
            
            
              n
            
          
          a
        
      
    
    {\displaystyle {^{n}a}}
  
 đe quy duoi dang:

  
    
      
        
          
            
            
              n
            
          
          a
        
        :=
        
          
            {
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    neu 
                  
                  n
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                            
                              (
                              n
                              −
                              1
                              )
                            
                          
                          a
                        
                        )
                      
                    
                  
                
                
                  
                    neu 
                  
                  n
                  >
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{neu }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{neu }}n>0\end{cases}}}
  

Đinh nghia nay tuong đuong voi so lan lap luy thua cho cac tham so chieu cao tu nhien. Tuy nhien, đinh nghia nay cho phep mo rong len cac tham so chieu cao khac chang han nhu 
  
    
      
        
          
          
            0
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle ^{0}a}
  
, 
  
    
      
        
          
          
            −
            1
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle ^{-1}a}
  
, va 
  
    
      
        
          
          
            i
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle ^{i}a}
  
 - nhieu phan mo rong trong so nay la nhung mo rong đang đuoc nghien cuu.


Thuat ngu Co rat nhieu thuat ngu cho tetration, moi thuat ngu đeu co tinh logic đang sau no, nhung mot so thuat ngu đa khong đuoc su dung pho bien vi ly do nay hay ly do khac. Duoi đay la su so sanh cua tung thuat ngu voi co so ly luan va phan bien cua no.

Thuat ngu tetration, đuoc gioi thieu boi Goodstein trong bai bao Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory cua minh nam 1947 (khai quat hoa bieu dien co so đe quy đuoc su dung trong đinh ly Goodstein đe su dung cac phep toan cao hon), đa gianh đuoc uu the. No cung đuoc pho bien trong cuon Infinity and the Mind cua nha toan hoc Rudy Rucker.
Thuat ngu superexponentiation ("sieu luy thua") đa đuoc Bromer xuat ban trong bai bao Superexponentiation cua ong ay nam 1987. No đa đuoc su dung truoc đo boi Ed Nelson trong cuon sach Du đoan so hoc, Nha xuat ban Đai hoc Princeton, 1986.
Thuat ngu hyperpower ("sieu mu") la su ket hop tu nhien cua tu hyper va tu power, đuoc mo ta mot cach chinh xac ve tetration. Van đe nam o y nghia cua tu hyper đoi voi day hyperoperation. Khi xem xet hyperoperation, thi thuat ngu hyper đeu đe cap đen tat ca cac bac phep toan cua no, va thuat ngu super đe cap đen bac 4, tuc tetration. Vi vay, theo nhung can nhac nay hyperpower la sai lam, vi no chi đe cap đen tetration ma thoi.
Thuat ngu power tower ("thap mu") đoi khi cung đuoc su dung, o dang "thap mu bac n" cho 
  
    
      
        
          
             
            
               
            
          
        
        
          
            
              
                
                  
                    a
                    
                      
                        a
                        
                          
                            ⋅
                            
                              
                                ⋅
                                
                                  a
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  ⏟
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\  \atop {\ }}{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop n}}
  
. Luy thua de bi hieu sai: luu y rang phep nang len luy thua la phep ket hop ben phai. Tetration phep luy thua lap (goi đay la phep toan ket hop ben phai ^), bat đau tu phia tren ben phai cua bieu thuc voi a^a đau tien tren cung (ta goi gia tri nay la c). Luy thua so tiep theo sang trai, a ke tiep (ta goi đay la "co so tiep theo" b), đuoc tinh sang trai sau khi nhan đuoc gia tri moi b^c. Tinh o ben trai, su dung a tiep theo o ben trai, lam co so b va đanh gia b^c moi. Lan luot 'đi xuong thap', voi gia tri moi lon hon cho c o buoc đi xuong tiep theo.
Do mot phan thuat ngu đuoc chia se va ky hieu tuong trung tuong tu, tetration thuong xuyen bi nham lan voi cac chuc nang va bieu thuc lien quan. Duoi đay la mot so thuat ngu lien quan:

Trong hai bieu thuc đau tien 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 la co so, va cac tang gia tri 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 la chieu cao (them mot tang cho gia tri 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
). Trong bieu thuc thu ba, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la chieu cao, nhung moi tang lai co gia tri khac nhau.
Can luu y khi đe cap đen so mu lap, vi thong thuong goi bieu thuc cua dang nay la luy thua lap, đo la đieu mo ho, boi vi đieu nay co the co nghia la mu lap hoac so mu lap.


Ki hieu Co rat nhieu kieu ky hieu khac nhau đe dien đat tetration. Mot so ky hieu cung co the đuoc su dung đe mo ta cac hyperoperation khac, trong khi mot so chi gioi han o tetration va khong co phan mo rong ngay lap tuc.

Mot ky hieu o tren su dung ky hieu so mu lap, đieu nay đuoc đinh nghia chung nhu sau:

  
    
      
        
          exp
          
            a
          
          
            n
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            
              a
              
                
                  ⋅
                  
                    
                      ⋅
                      
                        
                          a
                          
                            x
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}
  
 voi n la so tang cua a.
Khong co nhieu ky hieu cho so mu lap, duoi đay la mot vai ky hieu đuoc su dung đe mo ta chi so lap:


Thi du Boi vi tetration co su gia tang nhanh chong, hau het cac gia tri trong bang sau đay la qua lon đe viet bang ky hieu khoa hoc. Trong nhung truong hop nay, ky hieu so mu lap đuoc su dung đe the hien chung trong co so 10. Cac gia tri chua dau thap phan la gan đung.


Tinh chat Tetration co nhung tinh chat tuong tu nhu luy thua, cung nhu cac thuoc tinh cu the danh rieng cho no va bi mat hoac thu đuoc tu luy thua. Boi vi luy thua khong co tinh chat giao hoan, ket qua va quy tac khong co su tuong tu voi tetration, cac cau 
  
    
      
        
          

          
          
            a
          
        
        
          (
          
            
              

              
              
                b
              
            
            x
          
          )
        
        =
        
          (
          
            
              

              
              
                a
                b
              
            
            x
          
          )
        
      
    
    {\textstyle {}^{a}\left({}^{b}x\right)=\left({}^{ab}x\right)}
  
 and 
  
    
      
        
          

          
          
            a
          
        
        
          (
          
            x
            y
          
          )
        
        =
        
          

          
          
            a
          
        
        x
        
          

          
          
            a
          
        
        y
      
    
    {\textstyle {}^{a}\left(xy\right)={}^{a}x{}^{a}y}
  
 khong nhat thiet đung voi moi truong hop.
Tuy nhien, tetration theo mot tinh chat khac, trong đo 
  
    
      
        
          

          
          
            a
          
        
        x
        =
        
          x
          
            
              (
              
                
                  

                  
                  
                    a
                    −
                    1
                  
                
                x
              
              )
            
          
        
      
    
    {\textstyle {}^{a}x=x^{\left({}^{a-1}x\right)}}
  
. Su that nay đuoc the hien ro nhat bang cach su dung đinh nghia đe quy. Tu thuoc tinh nay, mot menh đe theo sau 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                

                
                
                  b
                
              
              a
            
            )
          
          
            
              (
              
                
                  

                  
                  
                    c
                  
                
                a
              
              )
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                

                
                
                  c
                  +
                  1
                
              
              a
            
            )
          
          
            
              (
              
                
                  

                  
                  
                    b
                    −
                    1
                  
                
                a
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}=\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}}
  
, cho phep chuyen đoi b va c trong cac phuong trinh nhat đinh. Menh đe nhu sau:

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  
                    (
                    
                      
                        

                        
                        
                          b
                        
                      
                      a
                    
                    )
                  
                  
                    
                      (
                      
                        
                          

                          
                          
                            c
                          
                        
                        a
                      
                      )
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                  
                    (
                    
                      a
                      
                        
                          

                          
                          
                            b
                            −
                            1
                          
                        
                        a
                      
                    
                    )
                  
                  
                    
                      (
                      
                        
                          

                          
                          
                            c
                          
                        
                        a
                      
                      )
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                  a
                  
                    
                      (
                      
                        
                          

                          
                          
                            b
                            −
                            1
                          
                        
                        a
                      
                      )
                    
                    
                      (
                      
                        
                          

                          
                          
                            c
                          
                        
                        a
                      
                      )
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                  a
                  
                    
                      (
                      
                        
                          

                          
                          
                            c
                          
                        
                        a
                      
                      )
                    
                    
                      (
                      
                        
                          

                          
                          
                            b
                            −
                            1
                          
                        
                        a
                      
                      )
                    
                  
                
              
            
            
              
                =
                

                
              
              
                
                  
                    (
                    
                      
                        

                        
                        
                          c
                          +
                          1
                        
                      
                      a
                    
                    )
                  
                  
                    
                      (
                      
                        
                          

                          
                          
                            b
                            −
                            1
                          
                        
                        a
                      
                      )
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\={}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}}
  

Khi mot so x va 10 la so nguyen to cung nhau, co the tinh cac chu so thap phan m cuoi cung cua 
  
    
      
        
        
        
           
          
            a
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle \,\!\ ^{a}x}
  
 bang đinh ly Euler, cho bat ky so nguyen m.


= Huong tinh =
Khi bien đoi mot bieu thuc tetration ra mot "thap luy thua", thi thap luy thua ay sau đo phai đuoc tinh o tang luy thua tren cung truoc tien (o đinh) trong bieu thuc. Vi du:

  
    
      
        
        
        
           
          
            4
          
        
        2
        =
        
          2
          
            
              2
              
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          2
          
            
              (
              
                2
                
                  
                    (
                    
                      2
                      
                        2
                      
                    
                    )
                  
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          2
          
            
              (
              
                2
                
                  4
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          2
          
            16
          
        
        =
        65536
      
    
    {\displaystyle \,\!\ ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65536}
  

Thu tu nay rat quan trong vi luy thua khong co tinh ket hop, va tinh toan bieu thuc theo thu tu nguoc lai se cho ra mot ket qua khac:

  
    
      
        
        
        
          2
          
            
              2
              
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  (
                  
                    2
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
              
              
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          4
          
            2
            ⋅
            2
          
        
        =
        256
      
    
    {\displaystyle \,\!2^{2^{2^{2}}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=4^{2\cdot 2}=256}
  

Tinh toan bieu thuc tu trai sang phai đuoc coi la it thu vi hon, tinh toan tu trai sang phai, moi bieu thuc 
  
    
      
        
          
          
            n
          
        
        a
        
      
    
    {\displaystyle ^{n}a\!}
  
 co the đuoc ha xuong thanh 
  
    
      
        
          a
          
            
              (
              
                a
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              )
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{\left(a^{n-1}\right)}\!\!}
  
. Boi vi đieu nay, cac thap phai đuoc tinh tu phai sang trai (hoac tu tren xuong duoi). Lap trinh vien may tinh nhac đen su lua chon nay nhu ket hop phai.


Mo rong Tetration co the đuoc mo rong theo hai cach khac nhau. Trong phuong trinh 
  
    
      
        
          
          
            n
          
        
        a
        
      
    
    {\displaystyle ^{n}a\!}
  
, ca co so a va chieu cao n co the đuoc khai quat bang cach su dung đinh nghia va tinh chat cua tetration. Mac du co so va chieu cao co the đuoc mo rong vuot ra ngoai cac so nguyen duong đen cac mien khac, ke ca 
  
    
      
        
          
            
            
              n
            
          
          0
        
      
    
    {\displaystyle {^{n}0}}
  
, cac ham phuc nhu 
  
    
      
        
          

          
          
            n
          
        
        i
      
    
    {\displaystyle {}^{n}i}
  
, va chieu cao cua vo han n, cac tinh chat han che hon cua tetration lam giam kha nang mo rong tetration.


= Mo rong mien cho co so =


 Co so khong  So mu 
  
    
      
        
          0
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle 0^{0}}
  
 khong đuoc xac đinh nhat quan. Nhu vay, cac tetration 
  
    
      
        
        
          
            
            
              n
            
          
          0
        
      
    
    {\displaystyle \,{^{n}0}}
  
 khong đuoc xac đinh ro rang boi cac cong thuc đua ra truoc đo. Tuy nhien, 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          

          
          
            n
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}
  
 đuoc xac đinh ro, va ton tai:

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          

          
          
            n
          
        
        x
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  n
                  
                     chan
                  
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  n
                  
                     le
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ chan}}\\0,&n{\text{ le}}\end{cases}}}
  

Do đo, chung ta co the xac đinh nhat quan 
  
    
      
        
          

          
          
            n
          
        
        0
        =
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          

          
          
            n
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}
  
. Đieu nay tuong tu nhu viec đinh nghia 
  
    
      
        
          0
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 0^{0}=1}
  
.
Theo phan mo rong nay, 
  
    
      
        
          

          
          
            0
          
        
        0
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {}^{0}0=1}
  
, do đo, quy tac 
  
    
      
        
          
            
            
              0
            
          
          a
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {^{0}a}=1}
  
 tu đinh nghia ban đau van giu.


 Co so phuc  Ke tu khi cac so phuc đuoc nang len thanh cac mu, tetration co the đuoc ap dung cho cac co so co dang 
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
  
 (trong đo 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 la so thuc). Vi du, trong 
  
    
      
        
          
            
            
              n
            
          
          z
        
      
    
    {\displaystyle {^{n}z}}
  
 voi 
  
    
      
        z
        =
        i
      
    
    {\displaystyle z=i}
  
, tetration đat đuoc bang cach su dung cac nhanh chinh cua logarit tu nhien, su dung cong thuc Euler chung ta đuoc moi quan he:

  
    
      
        
          i
          
            a
            +
            b
            i
          
        
        =
        
          e
          
            
              
                1
                2
              
            
            
              π
              i
            
            (
            a
            +
            b
            i
            )
          
        
        =
        
          e
          
            −
            
              
                1
                2
              
            
            
              π
              b
            
          
        
        
          (
          
            cos
            ⁡
            
              
                
                  π
                  a
                
                2
              
            
            +
            i
            sin
            ⁡
            
              
                
                  π
                  a
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}
  

Đieu nay cho thay mot đinh nghia đe quy cho 
  
    
      
        
          
            
            
              n
              +
              1
            
          
          i
        
        =
        
          a
          ′
        
        +
        
          b
          ′
        
        i
      
    
    {\displaystyle {^{n+1}i}=a'+b'i}
  
 voi bat ky 
  
    
      
        
          
            
            
              n
            
          
          i
        
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle {^{n}i}=a+bi}
  
:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  a
                  ′
                
              
              
                
                =
                
                  e
                  
                    −
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                    
                      π
                      b
                    
                  
                
                cos
                ⁡
                
                  
                    
                      π
                      a
                    
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  b
                  ′
                
              
              
                
                =
                
                  e
                  
                    −
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                    
                      π
                      b
                    
                  
                
                sin
                ⁡
                
                  
                    
                      π
                      a
                    
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}
  

Cac gia tri gan đung sau đay co the đuoc lay:

Giai quyet cac quan he nghich đao, nhu trong phan truoc, mang lai 
  
    
      
        
          
            
            
              0
            
          
          i
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {^{0}i}=1}
  
 va 
  
    
      
        
          
            
            
              −
              1
            
          
          i
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {^{-1}i}=0}
  
, voi cac gia tri am cua n cho ket qua vo han tren truc ao. Ve so đo trong mat phang phuc, toan bo chuoi xoan oc đen gioi han 
  
    
      
        0.4383
        +
        0.3606
        i
      
    
    {\displaystyle 0.4383+0.3606i}
  
, ma co the đuoc hieu la gia tri trong đo 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 la vo han.
Trinh tu tetration nhu vay đa đuoc nghien cuu ke tu thoi Euler, nhung đuoc hieu mot cach kem coi do hanh vi hon loan cua chung. Hau het cac nghien cuu đuoc cong bo trong lich su đa tap trung vao su hoi tu cua ham so mu lap vo han. Nghien cuu hien tai đa đuoc huong loi rat nhieu tu su co mat cua cac may tinh manh me voi fractal va phan mem toan hoc tuong trung. Phan lon nhung gi đuoc biet ve tetration xuat phat tu kien thuc chung ve đong luc hoc phuc tap va nghien cuu cu the ve ban đo so mu.


= Phan mo rong cua mien cho cac chieu cao khac nhau =


 Chieu cao vo han  Tetration co the đuoc mo rong đen cac chieu cao vo han. Tuc la, đoi voi mot so gia tri a va n nhat đinh trong 
  
    
      
        
          

          
          
            n
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle {}^{n}a}
  
, ton tai mot ket qua đuoc xac đinh ro rang cho mot n vo han. Đieu nay la vi cac co so trong mot khoang nhat đinh, tetration hoi tu đen mot gia tri huu han khi chieu cao co xu huong tien đen vo cung. Vi du, 
  
    
      
        
          
            
              2
            
          
          
            
              
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      2
                    
                  
                  
                    
                      ⋅
                      
                        
                          ⋅
                          
                            ⋅
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}
  
 hoi tu tai 2, va do đo, co the noi la bang 2. Xu huong toi 2 co the đuoc nhin thay bang cach đanh gia mot thap mu huu han nho:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      2
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          2
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              2
                            
                          
                          
                            
                              
                                
                                  2
                                
                              
                              
                                
                                  
                                    
                                      2
                                    
                                  
                                  
                                    1.414
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                ≈
                
                  
                    
                      2
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          2
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              2
                            
                          
                          
                            
                              
                                
                                  2
                                
                              
                              
                                1.63
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                ≈
                
                  
                    
                      2
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          2
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              2
                            
                          
                          
                            1.76
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                ≈
                
                  
                    
                      2
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          2
                        
                      
                      
                        1.84
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                ≈
                
                  
                    
                      2
                    
                  
                  
                    1.89
                  
                
              
            
            
              
              
                
                ≈
                1.93
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}
  

Noi chung, so mu lap lai vo han 
  
    
      
        
          x
          
            
              x
              
                
                  ⋅
                  
                    
                      ⋅
                      
                        ⋅
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!}
  
, đuoc đinh nghia la gioi han cua 
  
    
      
        
          

          
          
            n
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {}^{n}x}
  
 khi n tien đen vo cung, hoi tu cho e−e ≤ x ≤ e1/e, đai khai khoang tu 0.066 đen 1.44, mot ket qua đuoc hien thi boi Leonhard Euler. Gioi han, no nen ton tai, la mot so thuc duong cua phuong trinh y = xy. Nhu vay, x = y1/y. Gioi han xac đinh tetration vo han cua x khong hoi tu cho x > e1/e boi vi toi đa cua y1/y la e1/e.
Đieu nay co the đuoc mo rong thanh so phuc z voi đinh nghia:

  
    
      
        
          

          
          
            ∞
          
        
        z
        =
        
          z
          
            
              z
              
                
                  ⋅
                  
                    
                      ⋅
                      
                        ⋅
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                W
              
              (
              −
              ln
              ⁡
              
                z
              
              )
            
            
              −
              ln
              ⁡
              
                z
              
            
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}
  

Trong đo W đai dien cho ham W Lambert.
Nhu gioi han y = ∞x (neu ton tai, tuc la cho e−e < x < e1/e) phai thoa man xy = y chung ta thay rang x ↦ y = ∞x la (nhanh duoi cua) ham nghich đao cua y ↦ x = y1/y.


 Chieu cao am  Chung ta co the su dung quy tac đe quy cho tetration,

  
    
      
        
          
            
            
              k
              +
              1
            
          
          a
        
        =
        
          a
          
            
              (
              
                
                  
                  
                    k
                  
                
                a
              
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}
  

đe chung minh 
  
    
      
        
          

          
          
            −
            1
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle {}^{-1}a}
  
:

  
    
      
        
          
          
            k
          
        
        a
        =
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        
          (
          
            
              
              
                k
                +
                1
              
            
            a
          
          )
        
        ;
      
    
    {\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);}
  

Thay −1 cho k se cho

  
    
      
        
          

          
          
            −
            1
          
        
        a
        =
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        
          (
          
            
              

              
              
                0
              
            
            a
          
          )
        
        =
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}
  
.
Cac gia tri am nho hon khong the đuoc xac đinh ro theo cach nay. Thay −2 cho k trong cung phuong trinh se cho

  
    
      
        
          

          
          
            −
            2
          
        
        a
        =
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        
          (
          
            
              

              
              
                −
                1
              
            
            a
          
          )
        
        =
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        0
      
    
    {\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0}
  

ma khong đuoc xac đinh ro. Ho co the, tuy nhien, đoi khi đuoc coi la cac bo.
Đoi voi 
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
, moi đinh nghia cua 
  
    
      
        
        
        
          
            
            
              −
              1
            
          
          1
        
      
    
    {\displaystyle \,\!{^{-1}1}}
  
 đeu phu hop voi quy tac boi vi

  
    
      
        
          
            
            
              0
            
          
          1
        
        =
        1
        =
        
          1
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}
  
 voi moi 
  
    
      
        
        
        n
        =
        
          
            
            
              −
              1
            
          
          1
        
      
    
    {\displaystyle \,\!n={^{-1}1}}
  
.


 Chieu cao thuc  Tai thoi điem nay khong co giai phap thong thuong đuoc chap nhan cho van đe chung la mo rong tetration thanh gia tri thuc va phuc cua n. Tuy nhien, đa co nhieu cach tiep can đoi voi van đe nay va cac cach tiep can khac nhau đuoc neu ra duoi đay.
Noi chung, van đe la tim kiem — voi moi so thuc a > 0 — mot ham sieu mu 
  
    
      
        
        f
        (
        x
        )
        =
        
          

          
          
            x
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}
  
 tren so thuc x > −2 thoa man

  
    
      
        
        
          

          
          
            −
            1
          
        
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \,{}^{-1}a=0}
  

  
    
      
        
        
          

          
          
            0
          
        
        a
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \,{}^{0}a=1}
  

  
    
      
        
        
          

          
          
            x
          
        
        a
        =
        
          a
          
            
              (
              
                
                  

                  
                  
                    x
                    −
                    1
                  
                
                a
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{x-1}a\right)}}
  
cho tat ca so thuc 
  
    
      
        x
        >
        −
        1.
      
    
    {\displaystyle x>-1.}
  

Đe tim them phan mo rong so tu nhien, thuong can mot hoac nhieu yeu cau bo sung. Đieu nay thuong la mot so tap hop sau đay:

Yeu cau lien tuc (thuong chi la 
  
    
      
        
          

          
          
            x
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle {}^{x}a}
  
 la lien tuc trong ca hai bien cho 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  
).
Yeu cau kha vi (co the la mot lan, hai lan, k lan, hoac vo cung kha vi trong x).
Yeu cau thuong xuyen (ngu y hai lan vi phan trong x) rang:

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                
                  d
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            f
            (
            x
            )
            >
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}
  
 cho tat ca 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  

Yeu cau thu tu khac nhau tu tac gia đen tac gia, va giua cac cach tiep can. Co hai cach tiep can chinh đe mo rong tetration len chieu cao thuc, mot la dua tren yeu cau thuong xuyen, va mot la dua tren yeu cau kha vi. Hai cach tiep can nay duong nhu khac nhau đen muc chung co the khong the đoi chieu, vi chung tao ra ket qua khong nhat quan voi nhau.
Khi 
  
    
      
        
        
          

          
          
            x
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle \,{}^{x}a}
  
 đuoc xac đinh cho mot khoang co đo dai mot, toan bo ham de dang theo sau voi tat ca x > −2.


 Xap xi tuyen tinh cho chieu cao thuc  Mot xap xi tuyen tinh (giai phap cho yeu cau lien tuc, gan đung voi yeu cau kha vi) đuoc đua ra boi:

  
    
      
        
          

          
          
            x
          
        
        a
        ≈
        
          
            {
            
              
                
                  
                    log
                    
                      a
                    
                  
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        
                        
                          x
                          +
                          1
                        
                      
                      a
                    
                    )
                  
                
                
                  x
                  ≤
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                  +
                  x
                
                
                  −
                  1
                  <
                  x
                  ≤
                  0
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                            
                              x
                              −
                              1
                            
                          
                          a
                        
                        )
                      
                    
                  
                
                
                  0
                  <
                  x
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}
  

vi the:

van van. Tuy nhien, no chi la kha vi, tai cac gia tri nguyen cua x đao ham đuoc nhan voi 
  
    
      
        ln
        ⁡
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \ln {a}}
  
. No lien tuc đuoc kha vi cho 
  
    
      
        x
        >
        −
        2
      
    
    {\displaystyle x>-2}
  
 khi va chi khi 
  
    
      
        a
        =
        e
      
    
    {\displaystyle a=e}
  
. Vi du, su dung cac phuong phap nay 
  
    
      
        
          

          
          
            
              π
              2
            
          
        
        e
        ≈
        5.868...
      
    
    {\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}
  
 va 
  
    
      
        
          

          
          
            −
            4.3
          
        
        0.5
        ≈
        4.03335...
      
    
    {\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}
  

Mot đinh ly chinh trong bai bao Hooshmand phat bieu: Đat 
  
    
      
        0
        <
        a
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 0<a\neq 1}
  
. Neu 
  
    
      
        f
        :
        (
        −
        2
        ,
        +
        ∞
        )
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }
  
 la lien tuc va thoa man cac đieu kien sau:

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            f
            (
            x
            −
            1
            )
          
        
        
        
        
          voi moi
        
        
        
        x
        >
        −
        1
        ,
        
        f
        (
        0
        )
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\text{voi moi}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}
  

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 la kha vi tren (−1, 0),

  
    
      
        
          f
          
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{\prime }}
  
 la mot ham so khong giam hoac khong tang tren (−1, 0),

  
    
      
        
          f
          
            ′
          
        
        
          (
          
            0
            
              +
            
          
          )
        
        =
        (
        ln
        ⁡
        a
        )
        
          f
          
            ′
          
        
        
          (
          
            0
            
              −
            
          
          )
        
        
           hoac 
        
        
          f
          
            ′
          
        
        
          (
          
            −
            
              1
              
                +
              
            
          
          )
        
        =
        
          f
          
            ′
          
        
        
          (
          
            0
            
              −
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ hoac }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right).}
  

thi 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 đuoc xac đinh duy nhat thong qua phuong trinh

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          exp
          
            a
          
          
            [
            x
            ]
          
        
        ⁡
        
          (
          
            a
            
              (
              x
              )
            
          
          )
        
        =
        
          exp
          
            a
          
          
            [
            x
            +
            1
            ]
          
        
        ⁡
        (
        (
        x
        )
        )
        
        
          for all
        
        
        
        x
        >
        −
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))\quad {\text{for all}}\;\;x>-2,}
  

trong đo 
  
    
      
        (
        x
        )
        =
        x
        −
        [
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle (x)=x-[x]}
  
 bieu thi phan phan so cua 
  
    
      
        
          exp
          
            a
          
          
            [
            x
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}
  
 la 
  
    
      
        [
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle [x]}
  
-ham lap cua ham 
  
    
      
        
          exp
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \exp _{a}}
  
.
Bang chung la đieu kien thu hai đen thu tu ngu y tam thuong rang f la ham tuyen tinh tren [−1, 0].
Phep xap xi tuyen tinh voi ham tetration tu nhien 
  
    
      
        
          

          
          
            x
          
        
        e
      
    
    {\displaystyle {}^{x}e}
  
 lien tuc đuoc kha vi, nhung đao ham thu hai cua no khong ton tai o cac gia tri nguyen cua đoi so cua no. Hooshmand đa đua ra mot đinh ly duy nhat cho no, trong đo neu ro:
Neu 
  
    
      
        f
        :
        (
        −
        2
        ,
        +
        ∞
        )
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }
  
 la mot ham lien tuc thoa man:

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            f
            (
            x
            −
            1
            )
          
        
        
        
        
          voi moi
        
        
        
        x
        >
        −
        1
        ,
        
        f
        (
        0
        )
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\text{voi moi}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}
  

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 la loi tren (−1, 0),

  
    
      
        
          f
          
            ′
          
        
        
          (
          
            0
            
              −
            
          
          )
        
        ≤
        
          f
          
            ′
          
        
        
          (
          
            0
            
              +
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right).}
  

sau đo 
  
    
      
        f
        =
        
          uxp
        
      
    
    {\displaystyle f={\text{uxp}}}
  
. [O đay 
  
    
      
        f
        =
        
          uxp
        
      
    
    {\displaystyle f={\text{uxp}}}
  
 la ten cua Hooshmand cho phep tinh gan đung tuyen tinh voi ham tetration tu nhien.]
Bang chung la giong nhu truoc đay, phuong trinh đe quy đam bao rang 
  
    
      
        
          f
          
            ′
          
        
        (
        −
        
          1
          
            +
          
        
        )
        =
        
          f
          
            ′
          
        
        (
        
          0
          
            +
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}
  
 va sau đo đieu kien loi ngu y rang 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 la tuyen tinh tren (−1, 0).
Do đo, phep xap xi tuyen tinh voi tetration tu nhien la giai phap duy nhat cua phuong trinh 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            f
            (
            x
            −
            1
            )
          
        
        
        
        (
        x
        >
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}
  
 va 
  
    
      
        f
        (
        0
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle f(0)=1}
  
 la ham loi tren (−1, +∞). Tat ca cac giai phap đu kha vi khac phai co điem uon tren khoang (−1, 0).


 Xap xi bac cao hon cho chieu cao thuc  Ngoai cac xap xi tuyen tinh, xap xi bac hai (theo yeu cau kha vi) đuoc đua ra boi:

  
    
      
        
          

          
          
            x
          
        
        a
        ≈
        
          
            {
            
              
                
                  
                    log
                    
                      a
                    
                  
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        

                        
                        
                          x
                          +
                          1
                        
                      
                      a
                    
                    )
                  
                
                
                  x
                  ≤
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                  +
                  
                    
                      
                        2
                        ln
                        ⁡
                        (
                        a
                        )
                      
                      
                        1
                        
                        +
                        
                        ln
                        ⁡
                        (
                        a
                        )
                      
                    
                  
                  x
                  −
                  
                    
                      
                        1
                        
                        −
                        
                        ln
                        ⁡
                        (
                        a
                        )
                      
                      
                        1
                        
                        +
                        
                        ln
                        ⁡
                        (
                        a
                        )
                      
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  −
                  1
                  <
                  x
                  ≤
                  0
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      
                        (
                        
                          
                            

                            
                            
                              x
                              −
                              1
                            
                          
                          a
                        
                        )
                      
                    
                  
                
                
                  x
                  >
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x-{\frac {1\;-\;\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}
  

co the phan biet cho tat ca 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  
, nhung khong hai lan kha vi. Vi du, 
  
    
      
        
          

          
          
            
              1
              2
            
          
        
        2
        ≈
        1.45933...
      
    
    {\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}
  
 Neu 
  
    
      
        a
        =
        e
      
    
    {\displaystyle a=e}
  
 thi đay gan giong nhu xap xi tuyen tinh.
Boi vi cach tinh toan, ham nay khong "huy bo", trai voi so mu, trong đo 
  
    
      
        
          
            (
            
              a
              
                
                  1
                  n
                
              
            
            )
          
          
            n
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}
  
. Cu the la,

  
    
      
        
          

          
          
            n
          
        
        
          (
          
            
              

              
              
                
                  1
                  n
                
              
            
            a
          
          )
        
        =
        
          
            
              
                
                  (
                  
                    
                      

                      
                      
                        
                          1
                          n
                        
                      
                    
                    a
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      (
                      
                        
                          

                          
                          
                            
                              1
                              n
                            
                          
                        
                        a
                      
                      )
                    
                    
                      
                        ⋅
                        
                          
                            ⋅
                            
                              
                                ⋅
                                
                                  
                                    ⋅
                                    
                                      
                                        (
                                        
                                          
                                            

                                            
                                            
                                              
                                                1
                                                n
                                              
                                            
                                          
                                          a
                                        
                                        )
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              ⏟
            
          
          
            n
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}
  
.
Cung nhu co mot xap xi bac hai, xap xi bac ba va phuong phap đe khai quat hoa cho xap xi bac n cung ton tai, mac du chung kho su dung hon nhieu.


 Chieu cao phuc  Hien tai đa chung minh rang ton tai mot ham F duy nhat la mot nghiem cua phuong trinh F(z + 1) = exp(F(z)) va thoa man cac đieu kien bo sung ma F(0) = 1 va F(z) tiep can cac điem co đinh cua logarit (khoang 0.318 ± 1.337i) khi z tiep can ±i∞ va F la bien hinh trong toan bo mat phang phuc z-phuc, ngoai tru mot phan cua truc so thuc tai z ≤ −2. Bang chung nay xac nhan mot phong đoan truoc đo. Ban đo phuc cua chuc nang nay đuoc hien thi trong hinh ben phai. Bang chung cung hoat đong cho cac co so khac ngoai e, mien la co so đo lon hon 
  
    
      
        
          e
          
            
              1
              e
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{\frac {1}{e}}}
  
.
Yeu cau cua tetration la chinh hinh rat quan trong cho tinh đoc đao cua no. Nhieu chuc nang S co the đuoc xay dung nhu

  
    
      
        S
        (
        z
        )
        =
        F
        
        
          (
          
             
            z
             
            +
            
              ∑
              
                n
                =
                1
              
              
                ∞
              
            
            sin
            ⁡
            (
            2
            π
            n
            z
            )
             
            
              α
              
                n
              
            
            +
            
              ∑
              
                n
                =
                1
              
              
                ∞
              
            
            
              
                (
              
            
            1
            −
            cos
            ⁡
            (
            2
            π
            n
            z
            )
            
              
                )
              
            
             
            
              β
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle S(z)=F\!\left(~z~+\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)~\alpha _{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}1-\cos(2\pi nz){\Big )}~\beta _{n}\right)}
  

trong đo α va β la cac chuoi thuc su phan ra đu nhanh đe cung cap su hoi tu cua day lien tiep nhau, it nhat la o cac gia tri vua phai cua Im z.
Ham S thoa man cac phuong trinh tetration S(z + 1) = exp(S(z)), S(0) = 1, va neu αn va βn tiep can 0 đu nhanh no se đuoc phan tich tren mot vung lan can cua truc so thuc duong. Tuy nhien, neu mot so phan tu cua {α} hoac {β} khong bang khong, thi ham S co vo so cac điem ky di bo sung va đuong cat trong mat phang phuc, do su tang truong theo cap so nhan cua sin va cos doc theo truc tuong tuong. Cac he so {α} va {β} cang nho thi, cac điem ky di nay cang xa truc thuc.
Do đo, viec mo rong tetration vao mat phang phuc la rat can thiet cho su đoc đao. tetration phan tich thuc khong phai la duy nhat.


Đe quy phi co ban Tetration (bi gioi han o 
  
    
      
        
          
            N
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}
  
) khong phai la mot ham đe quy nguyen thuy. Nguoi ta co the chung minh bang cam ung rang voi moi ham đe quy so cap f, co mot hang so c sao cho

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ≤
        
          
            
              
                2
                
                  
                    2
                    
                      
                        ⋅
                        
                          
                            ⋅
                            
                              x
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              ⏟
            
          
          
            c
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)\leq \underbrace {2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{c}.}
  

Chung ta bieu thi phia ben tay phai boi 
  
    
      
        g
        (
        c
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(c,x)}
  
. Gia su nguoc lai rang tetration la đe quy so cap. 
  
    
      
        g
        (
        x
        ,
        x
        )
        +
        1
      
    
    {\displaystyle g(x,x)+1}
  
 cung la đe quy so cap. Theo bat đang thuc tren, co mot hang so c sao cho 
  
    
      
        g
        (
        x
        ,
        x
        )
        +
        1
        ≤
        g
        (
        c
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x,x)+1\leq g(c,x)}
  
. Bang cach đe 
  
    
      
        x
        =
        c
      
    
    {\displaystyle x=c}
  
, chung ta co 
  
    
      
        g
        (
        c
        ,
        c
        )
        +
        1
        ≤
        g
        (
        c
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle g(c,c)+1\leq g(c,c)}
  
, mot mau thuan.


Phep toan nghich đao Luy thua co hai phep toan nghich đao: can va logarit. Tuong tu, nghich đao cua tetration thuong đuoc goi la sieu can, va sieu logarit (Trong thuc te, tat ca cac phep toan co bac lon hon hoac bang 3 đeu co phep nghich đao tuong tu). Vi du, trong ham 
  
    
      
        
          
            
            
              3
            
          
        
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle {^{3}}y=x}
  
, hai nghich đao la sieu can bac 3 cua y va sieu logarit co so y cua x.


= Sieu can =
Cac sieu can la phep toan nghich đao cua tetration đoi voi co so: neu 
  
    
      
        
          
          
            n
          
        
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle ^{n}y=x}
  
, thi y la sieu can bac n cua x (
  
    
      
        
          
            
              x
              
                n
              
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}
  
 hoac 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                n
              
            
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{4}}
  
).
Vi du,

  
    
      
        
          
          
            4
          
        
        2
        =
        
          2
          
            
              2
              
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        65,536
      
    
    {\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65{,}536}
  

vi vay 2 la sieu can bac 4 cua 65,536.


= Sieu can bac 2 =

Sieu can bac 2 co hai ky hieu tuong đuong, 
  
    
      
        
          s
          s
          r
          t
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}
  
 va 
  
    
      
        
          
            
              x
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}
  
. No la nghich đao cua 
  
    
      
        
          
          
            2
          
        
        x
        =
        
          x
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle ^{2}x=x^{x}}
  
 va co the đuoc bieu dien bang ham W Lambert:

  
    
      
        
          s
          s
          r
          t
        
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            W
            (
            ln
            ⁡
            x
            )
          
        
        =
        
          
            
              ln
              ⁡
              x
            
            
              W
              (
              ln
              ⁡
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=e^{W(\ln x)}={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}
  

Ham nay cung minh hoa ban chat phan xa cua ham can va ham logarit vi phuong trinh duoi đay chi đung khi 
  
    
      
        y
        =
        
          s
          s
          r
          t
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}
  
:

  
    
      
        
          
            x
            
              y
            
          
        
        =
        
          log
          
            y
          
        
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}
  

Giong nhu can bac hai, sieu can bac hai cua x co the khong co mot giai phap duy nhat. Khong giong nhu can bac hai, viec xac đinh so luong sieu can bac hai cua x co the kho khan. Noi chung, neu 
  
    
      
        
          e
          
            −
            1
            
              /
            
            e
          
        
        <
        x
        <
        1
      
    
    {\displaystyle e^{-1/e}<x<1}
  
, thi x co hai sieu can bac hai duong giua 0 va 1, thi x co mot sieu can bac 2 duong lon hon 1. Neu x la so duong va nho hon 
  
    
      
        
          e
          
            −
            1
            
              /
            
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-1/e}}
  
 thi no khong co bat ky sieu can bac 2 thuc nao, nhung cong thuc đa cho o tren mang lai vo cung nhieu cong thuc phuc cho bat ky x huu han nao khong bang 1. Ham đa đuoc su dung đe xac đinh kich thuoc cua cum du lieu.
Tai 
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
  
:

  
    
      
        
          s
          s
          q
          r
          t
        
        (
        x
        )
        =
        1
        +
        (
        x
        −
        1
        )
        −
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          
            3
            2
          
        
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            3
          
        
        −
        
          
            17
            6
          
        
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            4
          
        
        +
        
          
            37
            6
          
        
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            5
          
        
        −
        
          
            1759
            120
          
        
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            6
          
        
        +
        
          
            13279
            360
          
        
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            7
          
        
        +
        
          O
        
        
          (
          
            (
            x
            −
            1
            
              )
              
                8
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ssqrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+\mathrm {O} \left((x-1)^{8}\right)}
  


= Cac sieu can khac =

Đoi voi moi so nguyen n > 2, ham nx đuoc xac đinh va tang cho x ≥ 1, va n1 = 1, sao cho sieu can bac n cua x, 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                n
              
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}
  
, ton tai cho x ≥ 1.
Tuy nhien, neu su dung xap xi tuyen tinh o tren, thi 
  
    
      
        
          
          
            y
          
        
        x
        =
        y
        +
        1
      
    
    {\displaystyle ^{y}x=y+1}
  
 neu −1 < y ≤ 0, vi vay 
  
    
      
        
          
          
            y
          
        
        
          
            
              y
              +
              1
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}
  
 khong the ton tai.
Cung giong nhu sieu can bac hai, thuat ngu cho cac sieu can khac co the dua tren cac can thong thuong:"sieu can bac 3" co the đuoc the hien nhu 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                3
              
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}
  
, "sieu can bac 4" co the đuoc the hien nhu 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                4
              
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}
  
, va "sieu can bac n la 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                n
              
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}
  
. Luu y rang 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                n
              
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}
  
 co the khong đuoc xac đinh duy nhat, boi vi co the co nhieu hon can thu n. Vi du, x co mot sieu can đon (so thuc) neu n le va len đen hai neu n chan.
Cung giong nhu viec mo rong tetration len chieu cao vo han, sieu can co the đuoc mo rong đen n = ∞, đuoc xac đinh ro neu 1/e ≤ x ≤ e. Luu y rang 
  
    
      
        x
        =
        
          
            
            
              ∞
            
          
          y
        
        =
        
          y
          
            
              [
              
                
                  
                  
                    ∞
                  
                
                y
              
              ]
            
          
        
        =
        
          y
          
            x
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}
  
 va do đo 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            1
            
              /
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{1/x}}
  
. Do đo, khi no đuoc xac đinh ro, 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                ∞
              
            
          
          
            s
          
        
        =
        
          x
          
            1
            
              /
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}
  
 va, khong giong nhu tetration thuong, la mot ham so so cap. Vi du, 
  
    
      
        
          
            
              2
              
                ∞
              
            
          
          
            s
          
        
        =
        
          2
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        =
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}
  
.
No xuat phat tu Đinh ly Schelfider Schneider sieu can  cho bat ky so nguyen du
  
    
      
        
          
            
              n
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}
  
ong n la so nguyen hoac so sieu viet, va 
  
    
      
        
          
            
              n
              
                3
              
            
          
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}
  
 la so nguyen hoac khong hop ly. Van con la mot cau hoi mo cho du cac sieu can phi ly co sieu viet trong truong hop sau hay khong.


= Sieu logarit =
Khi đinh nghia tang lien tuc (tinh bang 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
) cua tetration, 
  
    
      
        
          
          
            x
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle ^{x}a}
  
, đa đuoc chon, sieu logarit tuong ung 
  
    
      
        
          slog
          
            a
          
        
        ⁡
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {slog} _{a}{x}}
  
 hoac 
  
    
      
        
          log
          
            a
          
          
            4
          
        
        ⁡
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \log _{a}^{4}{x}}
  
 đuoc đinh nghia cho tat ca cac so thuc 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, va 
  
    
      
        a
        >
        1
      
    
    {\displaystyle a>1}
  
.
Ham 
  
    
      
        
          slog
          
            a
          
        
        ⁡
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {slog} _{a}{x}}
  
 thoa man:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  slog
                  
                    a
                  
                
                ⁡
                
                  
                    
                    
                      x
                    
                  
                  a
                
              
              
                =
              
              
                x
              
            
            
              
                
                  slog
                  
                    a
                  
                
                ⁡
                
                  
                    a
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
                1
                +
                
                  slog
                  
                    a
                  
                
                ⁡
                x
              
            
            
              
                
                  slog
                  
                    a
                  
                
                ⁡
                
                  x
                
              
              
                =
              
              
                1
                +
                
                  slog
                  
                    a
                  
                
                ⁡
                
                  log
                  
                    a
                  
                
                ⁡
                x
              
            
            
              
                
                  slog
                  
                    a
                  
                
                ⁡
                
                  x
                
              
              
                >
              
              
                −
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=&x\\\operatorname {slog} _{a}{a^{x}}&=&1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}{x}&=&1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}{x}&>&-2\end{array}}}
  


Xem them Ham Ackermann
Ky hieu O lon
Ham mu đoi
Hyperoperation
Logarit lap


Tham khao Thu muc Daniel Geisler, iteratedfunctions.com Luu tru ngay 16 thang 6 nam 2019 tai Wayback Machine
Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function Luu tru ngay 17 thang 1 nam 2010 tai Wayback Machine.
Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials
Knobel R (1981). "Exponentials Reiterated". American Mathematical Monthly. Quyen 88. tr. 235–252.
Hans Maurer, "Uber die Funktion 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            [
            
              x
              
                [
                x
                (
                ⋯
                )
                ]
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}
  
 fur ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33–50. (Reference to usage of 
  
    
      
         
        
          
            
            
              n
            
          
          a
        
      
    
    {\displaystyle \ {^{n}a}}
  
 from Knobel's paper.)