Trong hinh hoc, phep chieu lap the  hay phep chieu noi la mot phep anh xa chieu mot hinh cau len mot mat phang. Phep chieu đuoc xac đinh tren toan mat cau, ngoai tru mot điem, đo la điem chieu. Anh xa la tron va song anh. No cung la mot bao giac, nghia la no bao toan goc. Tuy nhien, no khong bao toan dien tich, đac biet la o vung gan điem chieu.
Ve mat truc quan, phep chieu lap the la mot cach chup anh hinh cau len mat phang, voi mot so han che khong the tranh khoi. Vi ca mat cau va mat phang đeu xuat hien rat nhieu trong toan hoc va cac ung dung cua no, nen phep chieu lap the cung vay; đuoc su dung nhieu trong phan tich phuc, ve ban đo, đia ly, va chup anh. Tren thuc te, phep chieu co the đuoc thuc hien nho dung may tinh hoac bang tay dung mot loai giay co đo thi ve đac biet goi la luoi Wulff hay stereonet.


Lich su Phep chieu lap the đuoc biet đen voi Hipparchus, Ptolemy va co the som hon voi nhung nguoi Ai Cap co đai. Ban đau đuoc goi la phep chieu cau phang (planisphere projection).
Nguoi ta tin rang ban đo ton tai som nhat, đuoc tao boi Gualterious Lud nam 1507, la dua tren phep chieu lap the, anh xa moi nua ban cau len mot đia tron.
Francois d'Aiguillon la nguoi đa đua ra ten goi hien nay cho phep chieu nay trong cuon sach cong bo nam 1613 Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Six Books of Optics, huu ich cho cac nha triet hoc va toan hoc).


Đinh nghia Phan nay noi đen phep chieu cua hinh cau đon vi tu cuc bac len mat phang thong qua đuong xich đao. Hinh cau đon vi trong khong gian 3 chieu R3 la tap cac điem (x, y, z) thoa man x2 + y2 + z2 = 1. Cho N = (0, 0, 1) la "cuc Bac", va M la phan con lai cua hinh cau. Mat phang z = 0 chay qua trung tam cua hinh cau; "đuong xich đao" la phan giao cua hinh cau voi mat phang.
Voi điem P bat ki tren M, co mot đuong thang duy nhat qua N va P, va đuong thang nay giao voi mat phang z = 0 tai duy nhat 1 điem P'. Ta đinh ra phep chieu lap the cua P la điem P' trong mat phang.
Đe thuc hien tren may tinh, ta can cong thuc cu the. Trong he toa đo Descartes (x, y, z) tren hinh cau va (X, Y) tren mat phang, phep chieu va phep đao đuoc cho boi cong thuc

  
    
      
        (
        X
        ,
        Y
        )
        =
        
          (
          
            
              
                x
                
                  1
                  −
                  z
                
              
            
            ,
            
              
                y
                
                  1
                  −
                  z
                
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (X,Y)=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),}
  

  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  X
                
                
                  1
                  +
                  
                    X
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    Y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                
                  2
                  Y
                
                
                  1
                  +
                  
                    X
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    Y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ,
            
              
                
                  −
                  1
                  +
                  
                    X
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    Y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  +
                  
                    X
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    Y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle (x,y,z)=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).}
  

Trong he toa đo cau (φ, θ) tren mat cau (voi φ la điem cao nhat va θ la goc phuong vi) va toa đo cuc (R, Θ) tren mat phang, phep chieu va phep nghich đao nhu sau

  
    
      
        (
        R
        ,
        Θ
        )
        =
        
          (
          
            
              
                
                  sin
                  ⁡
                  φ
                
                
                  1
                  −
                  cos
                  ⁡
                  φ
                
              
            
            ,
            θ
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (R,\Theta )=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right),}
  

  
    
      
        (
        φ
        ,
        θ
        )
        =
        
          (
          
            2
            arctan
            ⁡
            
              (
              
                
                  1
                  R
                
              
              )
            
            ,
            Θ
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle (\varphi ,\theta )=\left(2\arctan \left({\frac {1}{R}}\right),\Theta \right).}
  

Vi the, φ đuoc hieu la nhan gia tri π khi R = 0. Đong thoi, co nhieu cach đe viet lai cac cong thuc nay dung đang thuc luong giac (trigonometric identities). Trong he toa đo tru (r, θ, z) o tren mat cau va he toa đo cuc (R, Θ) o tren mat phangg, phep chieu va phep nghich đao la

  
    
      
        (
        R
        ,
        Θ
        )
        =
        
          (
          
            
              
                r
                
                  1
                  −
                  z
                
              
            
            ,
            θ
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (R,\Theta )=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),}
  

  
    
      
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        z
        )
        =
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  R
                
                
                  1
                  +
                  
                    R
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ,
            Θ
            ,
            
              
                
                  
                    R
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  1
                
                
                  
                    R
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  1
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle (r,\theta ,z)=\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right).}
  


Tinh chat Phep chieu lap the chieu "cuc Nam" (0, 0, −1) thanh (0, 0), va đuong xich đao đuoc chieu tro thanh vong tron đon vi, ban cau Nam tro thanh vung ben trong đuong tron va ban cau Bac chieu đen vung o ngoai đuong tron.
Phep chieu khong xac đinh voi điem chieu N = (0, 0, 1). 


Luoi Wulff Phep chieu lap the co the đuoc thuc hien bang may tinh dung cong thuc đa cho. Tuy nhien, neu ve bang tay thi that kho khan; thay vao đo, nguoi ta thuong dung mot loai giay co ve san mot luoi đac biet. Đe tao ra luoi nay, ho ve mot luoi cac vi tuyen va kinh tuyen cua ban cau, va chieu cac đuong cong nay len đia. Ket qua thu đuoc goi la stereonet hay luoi Wulff (đat theo ten goi nha khoang vat hoc nguoi Nga George (Yuri Viktorovich) Wulff ).
Tinh chat bao toan goc cua phep chieu co the thay bang cach kiem tra cac đuong cua luoi. Cac vi tuyen va kinh tuyen vuong goc nhau tren mat cau, va anh cua chung cung the tren luoi Wulff.

Minh hoa viec su dung luoi Wulff, tuong tuong ta co hai ban sao nhu vay tren mot to giay mong, cai nay chong len cai kia, co cung tam. Gia su rang ta muon ve mot điem co toa đo (0.321, 0.557, -0.766) nam tai nua duoi cua ban cau đon vi chieu len mat phang. Điem nay nam tren đuong thang tao mot goc nguoc chieu kim đong ho 60° so voi chieu duong cua truc x (hay 30°Cung chieu kim đong ho theo chieu duong cua truc y) va 50° duoi mat phang ngang z = 0. Sau khi xac đinh đuoc cac goc nay, ta lam theo 4 buoc:

Dung cac đuong luoi, o hinh ve minh hoa, moi đuong cach nhau 10°, đanh dau điem tren canh cua luoi ma co goc 60° nguoc chieu kim đong ho tinh tu điem (1, 0) (hay 30° theo chieu kim đong ho tinh tu điem (0, 1)).
Xoay luoi o tren cho đen khi điem nay canh trung voi toa đo (1, 0) cua luoi ben duoi.
Dung cac đuong luoi o luoi ben duoi, đanh dau điem huong 50° ve phia trung tam tinh tu điem đo.
Xoay luoi ben tren theo chieu nguoc lai voi lan xoay truoc, đe đem no ve trung khop voi luoi ben duoi. Va điem đanh dau o buoc 3 chinh la điem chieu ta muon tim.
Đe ve cac điem khac ma co goc khong tron so nhu 60° va 50°, nguoi ta phai noi suy tu cac đuong luoi gan nhat. Vi the, tot hon la nen chia nho luoi ra voi khoang cach 2°, thay vi dung khoang cach 10°.
Đe tim goc o tam giua 2 điem tren mat cau dua tren hinh ve lap the cua chung, ap hinh ve len tren luoi Wulff va xoay hinh ve quanh tam cho toi khi 2 điem nam tren cung hoac gan mot đuong kinh tuyen. Sau đo, đo goc giua chung bang cach đem so đuong luoi (vi tuyen) doc theo kinh tuyen đo.


Ung dung trong toan = Phan tich phuc =


= Hien thi đuong thang va mat phang =


Cac ung dung khac = Ban đo hoc =

Thuc tien la khong co anh xa nao tu mat cau sang mat phang ma co the bieu dien chinh xac ca goc (đong thoi la hinh dang) va dien tich. Noi chung, phep chieu anh xa co bao toan dien tich đuoc ua thich trong ung dung thong ke, vi chung đap ung tot voi tich phan, trong khi cac anh xa bao giac (bao luu goc) thi đuoc ua thich trong nganh hang hai.
Va phep chieu lap the thuoc ve loai 2.


= Tinh the hoc =

Trong tinh the hoc, huong cua cac truc tinh the va be mat cua chung trong khong gian 3D la moi quan tam chinh, muc tieu la hieu đuoc cac mau tia X va nhieu xa electron. Cac huong nay co the đuoc the hien ra hinh anh bang cac phuong cach đe cap trong phan Hien thi hinh anh đuong thang va mat phang o tren. Nghia la cac truc tinh the va cac cuc cua mat phang tinh the giao nhau voi nua cau Bac va đuoc ve len mat phang bang phep chieu lap the. Phac đo cuc đuoc goi la hinh ve cuc (pole figure).


= Đia chat =

Cac nha nghien cuu ve đia chat cau tao quan tam đen huong cua cac mat phang va đuong thang voi nhieu muc đich khac nhau. Su phan phien cua đa la mot mat phang thuong chua cac yeu to dang tuyen. Mot cach tuong tu, mat phang đut gay cung la mot yet to phang chua cac yeu to dang tuyen.
Cac huong cua cac đuong thang va mat phang nay  co the đuoc ve o nhieu ti le khac nhau bang cac phuong phap the hien mat phang va đuong thang nhu đa đe cap o tren. Trong khi đo tinh the hoc, cac mat phang đuoc ve theo cac truc cua no. Khong giong tinh the hoc, cuc nam đuoc su dung thay vi cuc bac (boi vi cac yeu to đia chat nhu la mot cau hoi nam ben duoi be mat Trai Đat?). Trong pham vi nay, phep chieu lap the thuong đe cap đen phep chieu nua ban cau duoi bao toan goc. Phep chieu nua ban cau duoi bao toan dien tich nhau dua tren phep chieu Lambert đung bao toan dien tich cung đuoc su dung, đac biet khi ve cac đoi tuong theo cac phan tich thong ke nhu đuong đang tri mat đo.


= Đia ly hoc =


= Nhiep anh hoc =


Chu y Tham khao Apostol, Tom (1974). Mathematical Analysis (an ban thu 2). Addison-Wesley.
Brown, James and Churchill, Ruel (1989). Complex variables and applications. New York: McGraw-Hill. ISBN 0070109052.{{Chu thich sach}}:  Quan ly CS1: nhieu ten: danh sach tac gia (lien ket)
German, Daniel (thang 6 nam 2007). "Flattening the Viewable Sphere". "Proceedings of Computational Aesthetics 2007". Burchill, L.; Duret-Lutz, A.; Perez-Duarte, S.; Perez-Duarte, E. and Sommers, J. Banff: Eurographics. tr. 23--28.
Do Carmo, Manfredo P. (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-212589-7.
Elkins, James (1988). "Did Leonardo Develop a Theory of Curvilinear Perspective?: Together with Some Remarks on the 'Angle' and 'Distance' Axioms". Journal of the Warburg and Courtauld Institutes. Quyen 51. tr. 190--196. doi:10.2307/751275.
Oprea, John (2003). Differential geometry and applications. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0130652466.
Pedoe, Dan (1988). Geometry. Dover. ISBN 0-486-65812-0.
Shafarevich, Igor (1995). Basic Algebraic Geometry I. Springer. ISBN 0387548122.
Snyder, John P. (1989). An Album of Map Projections, Professional Paper 1453. US Geological Survey.
Snyder, John P. (1993). Flattening the Earth. University of Chicago. ISBN 0-226-76746-9.
Spivak, Michael (1999). A comprehensive introduction to differential geometry, Volume IV. Houston, Texas: Publish or Perish. ISBN 091409873X.


Lien ket ngoai Weisstein, Eric W., "Stereographic projection", MathWorld.
http://planetmath.org/encyclopedia/StereographicProjection.html Luu tru ngay 10 thang 3 nam 2013 tai Wayback Machine
Bang cac vi du va tinh chat cua cac phep chieu thong dung, tu radicalcartography.net
Java Applet 3D Luu tru ngay 26 thang 1 nam 2021 tai Wayback Machine