He thap phan (he đem co so 10) la he đem dung so 10 lam co so. Đay la he đem đuoc su dung rong rai nhat trong cac nen van minh thoi hien đai.


Ky tu he thap phan He thong ky tu cac con so dung đe bieu đat cac gia tri trong mot he đem. Trong he thap phan, 10 ky tu (con goi la con so) khac nhau đuoc dung đe bieu đat 10 gia tri rieng biet (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 va 9), tuc la 10 con so. Nhung con so nay con đuoc dung cung voi dau thap phan - vi du dau "phay" - đe đinh vi phan thap phan sau hang đon vi. Con so con co the đuoc dan đau bang cac ky hieu "+" hay "-" đe bieu đat so duong va so am nua.
He thap phan la mot he đem dung vi tri đinh luong (positional numeral system), bao gom hang đon vi, hang chuc, hang tram v.v. Vi tri cua mot con so am chi mot phep nhan (mu 10) voi con so o vi tri đo, va moi vi tri co gia tri gap muoi lan vi tri o ben tay phai cua no.
So muoi la mot so đem, bieu tuong cua 10 ngon cua hai ban tay (hoac ban chan). Tu "con so" trong nhieu ngon ngu tren the gioi co cung nghia am chi đen cau truc sinh vat hoc cua ngon tay, hoac ngon chan. Trong tieng Viet chu "phan muoi" am chi đen so luong nho bang 1/10 cua mot so luong nao đo, va "muoi lan" am chi đen mot so luong đuoc nhan gap 10 lan so luong đang co.
Nhung ky tu đai bieu cho cac con so, hien đang đuoc dung pho bien tren toan the gioi ngay nay, đuoc cac nuoc chau Au goi la bang chu so A Rap, va cac nuoc o vung A Rap goi la bang chu so An Đo. Hai nhom tu nay đeu am chi đen mot nen van hoa, noi ho tiep can va hoc hoi đuoc he thong so, lan đau tien. Tuy vay, hinh dang cua cac ky tu cua cung mot he so, o nhung noi khac nhau, lai khong giong nhau hoan toan. Chang han, trong he đem dung o cac vung Tay A Rap (noi he thong ky tu chau Au đuoc lay ra) khac han voi nhung ky tu đuoc dung trong cac nen van minh A Rap khac.


Nhung he thong ky tu khac Co nhieu nen van hoa dung, hoac đa tung dung, nhung he đem khac voi he thap phan. Chang han, nguoi tho dan o cac vung cao nguyen cua Mexico Tzotzil dung he nhi thap phan (20) (vigesimal) - do dung ca 10 ngon tay va 10 ngon chan trong khi đem - va mot so dan Nigeria dung he thap nhi phan (12) (duodecimal). Nguoi dan o thanh pho Babylon dung he luc thap phan (60), va tho dan chau My, nguoi Yuki, dung he bat phan.
He thong phan cung va phan mem cua may tinh cung dung mot he thong rieng, đe bieu đat cac gia tri cua he thap phan, song song voi viec dung he thong nay luu tru cac con so, va dung chung trong cac thao tac so hoc. Thuong thi nhung thao tac so hoc nay đuoc ap dung vao cac nguon du lieu đa đuoc ma hoa dung he nhi phan bieu đat so thap phan (so le) (binary-coded decimal), song cung co cac he ma thap phan hoa khac hien đang đuoc dung (xem IEEE 754r), đac biet trong viec kien tao va thi hanh co so du lieu. Thao tac so hoc trong he thap phan tren đuoc dung tren cac may tinh đe đam bao su chuan xac cua cac con tinh voi phan so thap phan, boi viec dung phan so nhi phan khong đam bao đuoc ket qua tinh toan nhu mong đoi. Su chuan xac trong cac phep tinh nay rat quan trong voi cac tinh toan trong tai chinh va trong cac nganh khac.


Phan so thap phan Phan so thap phan la mot phan so co mau so voi so mu cua 10. Phan so thap phan thuong đuoc bieu thi la mot so khong co mau so, dung dau thap phan cho vao tu so (voi so khong dan đau neu can), va con so ngay sau dau phan so co gia tri tuong đuong voi mot phan so mau so la 10, chang han.

Phan nguyen va phan phan so cua cac so đuoc tach biet boi dau thap phan. Trong tieng Anh, thay vi dau phay nguoi ta dung dau cham (.) đe lam dau tach ly phan phan so ra khoi so nguyen, trong khi tieng Viet va nhieu ngon ngu khac dung dau phay. Thuong nhung so co gia tri nho hon 1 đuoc bieu đat bang mot phan so thap phan voi so 0 dan đau, chang han 0,25 (thay vi 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    4
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}}
  
). Nhung so 0 noi theo sau tro thanh khong can thiet, dau vay trong khoa hoc, ky thuat va ke toan, nhung so 0 noi theo sau co the can phai đe lai đe bieu đat muc đo chinh xac yeu cau, đam bao su an tam ve tinh chinh xac cua con so. Tuy 0,080 va 0,08 la tuong đuong ve gia tri, trong ky thuat 0,080 am chi đen mot đo luong voi sai so 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2000
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2000}}\end{matrix}}}
  
 = ±0,0005, trong khi 0,08 am chi đen mot đon vi đo luong voi sai so 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    200
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{200}}\end{matrix}}}
  
 = ±0,005 thoi. (Xin xem them ve so đang ke).


Nhom so Cac so co nhieu con so, đung truoc hoac sau dau thap phan, co the đuoc nhom lai thanh cac nhom co ba con so, bat đau tu dau thap phan, chay theo huong ve ca hai chieu, trai va phai. Su phan nhom thuong đuoc thi hanh boi mot dau phay hoac dau cham, hoac mot khoang trong. Viec dung khoang trong đa đuoc can nhac va đe nghi trong tai lieu SI/ISO 31-0. Viec dung dau cham thay the cho dau phay, đe phan chia phan thap phan, cung co the đuoc can nhac. Đe biet them chi tiet, xin xem them bai viet ve dau thap phan. Nhung phuong thuc bieu đat tuong tu nhu "12,345", "12.345", "12,345.678", va "12.345,678" gay su kho hieu neu khong co mot he thong phan đinh ve ky hieu nhat đinh.


Cac so huu ty khac Bat cu mot so huu ty nao khong the bieu đat bang mot phan so thap phan, đeu co mot so thap phan đac thu o phan đuoi đuoc nhac đi nhac lai, tao nen mot day so thap phan tai dien.
So muoi la tong so cua hai so nguyen to, thu 2 va thu 4, (3 + 7=10), va la so lon hon binh phuong cua so nguyen to thu 2 (32=9), va la so nho hon so nguyen to thu 5 (so 11). Đieu nay chi ra rang co nhieu phan so thap phan đon thuan, nhu sau:

1/2 = 0.5
1/3 = 0.333333... (voi so 3 tai dien)
1/4 = 0.25
1/5 = 0.2
1/6 = 0.166666... (voi so 6 tai dien)
1/8 = 0.125
1/9 = 0.111111... (voi so 1 tai dien)
1/10 = 0.1
1/11 = 0.090909... (voi so 09 tai dien)
1/12 = 0.083333... (voi so 3 tai dien)
1/81 = 0.012345679012... (voi day so 012345679 tai dien)
Khi mau so la cac thua so nguyen to, no con cho phep nhung day so tai dien lau hon, chang han truong hop 7, 13.
Mot so huu ty nao đo, tao nen mot day so thap phan tai dien huu han, hoac vo han, đeu la hau qua cua mot phep tinh chia dai, ma trong đo so du con lai chi la (q-1) nhung so khac 0, khi so chia la q, hau cho mo hinh tai dien chi nhac lai q-1 lan. Chang han phep chia dai 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    3
                    7
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {3}{7}}\end{matrix}}}
  
 sau đay:

  3,0 0 0 0 0 0 0 0 |7                                  
- 2 8               |0,4 2 8 5 7 1 4...
    2 0             |
  - 1 4             |
      6 0           |
    - 5 6           |
        4 0         |
      - 3 5         |
          5 0       |
        - 4 9       |
            1 0     |
          -   7     |
              3 0   |
            - 2 8   |
                2 0 |
 van van.

Mot quan điem đoi lap voi quan sat tren la moi so thap phan tai dien (recurring decimal) cho ta mot phan so huu ty 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    p
                    q
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {p}{q}}\end{matrix}}}
  
. Đay chinh la hau qua cua viec day so thap phan tai dien la mot cap so nhan (geometric series) huu han, va tong cua chung la mot so huu ty. Chang han:

  
    
      
        0.0123123123
        ⋯
        =
        
          
            123
            10000
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          0.001
          
            k
          
        
        =
        
          
            123
            10000
          
        
         
        
          
            1
            
              1
              −
              0.001
            
          
        
        =
        
          
            123
            9990
          
        
        =
        
          
            41
            3330
          
        
      
    
    {\displaystyle 0.0123123123\cdots ={\frac {123}{10000}}\sum _{k=0}^{\infty }0.001^{k}={\frac {123}{10000}}\ {\frac {1}{1-0.001}}={\frac {123}{9990}}={\frac {41}{3330}}}
  


So thuc Moi so thuc (real number) co mot bieu thi thap phan tuong ung (co the la vo han). Co the đuoc bieu thi theo cong thuc sau đay:

  
    
      
        x
        =
        
          
            s
            i
            g
            n
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
        
          ∑
          
            i
            ∈
            
              Z
            
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
        
          10
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x=\mathop {\rm {sign}} (x)\sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}\,10^{i}}
  

ghi chu:

sign() la ham signum,
ai ∈ { 0,1,...,9 } đoi voi tat ca cac gia tri i ∈ Z, la con so trong phan thap phan, bang 0 đoi voi tat ca cac gia tri i lon hon mot so nao đo (va so đo la logarit tu nhien cua |x|).
Tong nay tang truong trong khi i đuoc giam xuong, va co the no la nhung day so cua cac con so lon hon khong ai, lap lai theo tien trinh vo han.
So huu ty (rational number) (vi du: 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    p
                    q
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {p}{q}}\end{matrix}}}
  
) voi mau so la cac thua so nguyen to (prime factor), ngoai so 2 va 5 (khi đa đuoc giam xuong dang đon gian nhat), co mot chuoi day so thap phan lap lai đac thu.
Xem xet cac so huu ty co mau so la cac thua so nguyen to, nhu 2 va 5 - co the bieu thi bang 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    p
                    
                      
                        2
                        
                          a
                        
                      
                      
                        5
                        
                          b
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {p}{2^{a}5^{b}}}\end{matrix}}}
  
. Nhung so nay cho chung ta mot day so thap phan huu han. Chang han:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    1
                  
                
                =
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{1}}=1\end{matrix}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                =
                0
                ,
                5
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}=0,5\end{matrix}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    3
                    5
                  
                
                =
                0
                ,
                6
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {3}{5}}=0,6\end{matrix}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    3
                    25
                  
                
                =
                0
                ,
                12
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {3}{25}}=0,12\end{matrix}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1306
                    1250
                  
                
                =
                1
                ,
                0448
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1306}{1250}}=1,0448\end{matrix}}}
  

Co nhung so thuc khong co mot bieu đat bang mot day so thap phan đac thu, vi chung con co the đuoc bieu đat bang mot bieu thuc khac, gom co nhung con so 9 tai dien, chang han 
  
    
      
        
          
            
              
                1
                =
                0
                ,
                99999...
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}1=0,99999...\end{matrix}}}
  
 hoac 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                =
                0
                ,
                499999...
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}=0,499999...\end{matrix}}}
  
 van van.
Nhung so nay goi la so vo ty (irrational number). Chung co the co mot bieu thi thap phan đac thu huu han, nhung cung đong thoi mang đac tinh la nhung so co phan bieu thi thap phan vua huu han, vua vo han.
Noi chung, phan bieu thi thap phan tro nen đac thu, neu chung ta khong ke đen nhung phan bieu thi ket thuc bang nhung con so 9 tai dien.
Đuong nhien, cung mot he tam phan phap (trichotomy) đuoc ap dung cho cac goc he đem khac cua cac he đem dung vi tri đinh luong (positional numeral system):

Bieu thi huu han: so huu ty voi mau so chia het cho mot so nk nao đo.
Bieu thi tai dien: mot truong hop khac cua so huu ty.
Bieu thi vo han, bat tai dien: so vo ty.
Mot sao ban cua hien trang nay cung đuoc thay ap dung trong cac he đem vo ty, chang han nhu the dang golden mean base (???)


Lich su = Nhung hoc gia viet ve he thap phan =
Khoang 3500 - 2500 TCN, Đe che Elam cua Iran đa dung the thuc so đang cua he thap phan. [1] [2]
Khoang 2900 TCN, trong cac ban chu tuong hinh cua nguoi Ai Cap đa co thay su tinh toan voi mu 10 (1 trieu + 400,000 con de chang han).
Khoang 2600 TCN, nen van minh song An (Bac An Đo va Pakistan) đa co bang chung dung he thap phan trong he can đong trong luong dung cac trong luong thang bang co gia tri: 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    20
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}}
  
 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    10
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{10}}\end{matrix}}}
  
 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    5
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{5}}\end{matrix}}}
  
 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}
  
. Xin xem them trong muc Can đong va đo luong trong nen van minh song An co.
Khoang 1400 TCN, co bieu hien la nhung hoc gia cua Trung Hoa quen thuoc va thong hieu quan niem ve so thap phan, chang han so 547 đuoc viet la "Nam tram, cong voi bon muoi, cong voi bay ngay" trong mot so ban viet tay.
Khoang 1200 TCN, An Đo co, kinh Ve đa nghi thuc te tu (Yajur-Veda) co liet ke nhung con so co mu 10, đen so 1055.
Khoang 450 TCN, nha ngu phap Panini cua An Đo – dung toan tu vo đinh (null operator) trong ngu phap tieng Phan.
Khoang 400 TCN, Pingala (em trai cua Panini) – kien tao ra he nhi phan trong phep lam tho tieng Phan, voi su sap xep tuong ung ro rang he thap phan.
Khoang 100–200, Satkhandagama (he thong toan hoc co cua An Đo) la mot he thong dung logarit som nhat.
Khoang 476–550, Aryabhata (nha thien van hoc nguoi An Đo) dung mot he thong mat ma hoa bang bang chu cai đoi voi nhung con so dung so khong (0).
Khoang 598–670, Brahmagupta (nha thien van hoc va toan hoc nguoi An Đo) giai thich bang chu so A Rap (he thong đuong đai) ma trong đo so nguyen, so am, va so khong đa đuoc dung đen.
Khoang 780–850, Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi (nha bac hoc nguoi Ba Tu) la nguoi đau tien trinh bay chi tiet ve algorism dung he thap phan o ngoai An Đo.
Khoang 920–980, Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi (nha toan hoc nguoi A Rap) đuoc biet la nguoi som nhat ap dung truc tiep phuong phap toan hoc đoi voi phan so thap phan (decimal fraction).
Khoang 1300–1500, Truong Kerala (day toan va thien van hoc) o mien Nam An Đo) day so thap phan voi dau cham đong (decimal floating point number).
1548/49–1620, Simon Stevin (nha toan hoc va ky su nguoi vung Vlaanderen - phia Bac nuoc Bi) viet cuon De Thiende (Phan muoi).
1561–1613, Bartholemaeus Pitiscus (nha luong giac hoc, thien van hoc va than hoc nguoi Silesia) co kha nang đa dung dau thap phan (decimal point notation).
1550–1617, John Napier (nha toan hoc, vat ly hoc, thien van hoc nguoi Scotland) dung logarit thap phan lam cong cu tinh toan.


Cach dien đat trong ngon ngu Mot so ngon ngu dien đat thang so thap phan theo kieu, vi du so 11 đuoc goi la "muoi-mot" (10+1) va 23 đuoc noi la "hai-muoi-ba" (2x10+3); cach dien đat nay co trong cac tieng Trung Quoc - ngoai tru tieng Ngo (吳語) - va cung co trong tieng Viet, voi mot vai bien am (euphony) ("muoi" thanh "muoi", "nam" thanh "lam", "mot" thanh "mot"...) hay nuot am (elision) ("hai muoi mot" thanh "ham mot"). Nhat Ban, Han Quoc va Thai Lan đa nhap noi he thap phan tu tieng Trung Quoc. Nhieu ngon ngu khac, co he thap phan cai đat san, co nhung chu danh rieng cho "chuc" va "thap nien".
Trong cac ngon ngu cua nguoi dan ban xu chau My, nhu tieng Quechua va tieng Aymara, cac tu đem cua he thap phan hau nhu đuoc dung truc tiep, chang han 11 đuoc bay to la "muoi voi mot", hoac 23 đuoc noi la "hai muoi voi ba".
Nhieu nha tam ly hoc cho rang nhung su bat thong nhat (bat thuong) ve so hoc trong mot ngon ngu nao đo, se gay su yem the trong kha nang tinh toan cua tre con, lam giam kha nang tinh toan cua chung.


Xem them Thuat toan thap phan (Algorism)
Dau tach thap phan (Decimal separator)
Bieu dien thap phan
Cac day thap phan dung cho ma hoa
He đem
So thap phan ma hoa theo nhi phan (Binary-coded decimal, BCD)
He thong phan loai thap phan Dewey
10 (so)
He nhi phan
He thap luc phan
He bat phan


Tham khao Lien ket ngoai Decimal arithmetic FAQ
Tests: Decimal Place Value Sums Fractions
Practice Decimal Arithmetic with Printable Worksheets
Converting Decimals to Fractions
Cultural Aspects of Young Children's Mathematics Knowledge Luu tru ngay 26 thang 4 nam 2006 tai Wayback Machine
English words may hinder math skills development