Trong toan hoc, mot chung minh la mot cach trinh bay thuyet phuc (su dung nhung chuan muc đa đuoc chap nhan trong linh vuc đo) rang mot phat bieu toan hoc la đung đan. Chung minh co đuoc tu lap luan suy dien, chu khong phai la tranh luan kieu quy nap hoac theo kinh nghiem. Co nghia la, mot chung minh phai bieu dien cho thay mot phat bieu la đung voi moi truong hop, khong co ngoai le. Mot menh đe chua đuoc chung minh nhung đuoc chap nhan đung đuoc goi la mot phong đoan.
Phat bieu đa đuoc chung minh thuong đuoc goi la đinh ly. Mot khi phat bieu đa đuoc chung minh, no co the đuoc dung lam nen tang đe chung minh cac phat bieu khac. Mot đinh ly cung co the đuoc goi la bo đe, đac biet neu no đuoc du đinh dung lam buoc đem đe chung minh mot đinh ly khac.


Lich su Cac tranh luan ve su hop ly bang cach su dung cac vat dung co san nhu hinh anh hay vat tuong tu la tien đe cho cac chung minh toan hoc chinh xac. Su phat trien cua chung minh toan hoc chu yeu la san pham cua nen van minh Hy Lap. Thales (624–546 TCN) đa chung minh mot so đinh ly trong hinh hoc. Eudoxus (408–355 TCN) va Theaetetus (417–369 TCN) đa cong thuc hoa cac đinh ly nhung khong chung minh. Aristoteles (384–322 TCN) noi rang cac đinh nghia can đuoc mo ta bang nhung khai niem đa biet. Euclid (300 TCN) đa bat đau tu nhung thuat ngu chua đuoc đinh nghia la cac tien đe (cac menh đe su dung nhung thuat ngu chua đinh nghia đuoc gia thiet la hien nhien đung, nguyen tu Hy Lap la "axios" co nghia la "mot thu gia tri") va đa dung nhung thu nay đe chung minh cac đinh ly bang luan ly suy dien. Ly thuyet chung minh hien đai xem cac chung minh la nhung cau truc du lieu đuoc đinh nghia mot cach quy nap. Nguoi ta khong con gia thiet rang cac tien đe luc nao cung "đung đan"; đieu nay cho phep cac ly thuyet toan hoc đuoc xay dung song song nhau dua tren nhung tap tien đe khac nhau (Ly thuyet tap hop tien đe va Hinh hoc phi Euclid la cac vi du).


Cac phuong phap chung minh = Chung minh truc tiep =

Trong chung minh truc tiep, ket luan co đuoc bang cach phoi hop mot cach logic cac tien đe, đinh nghia, va cac đinh ly truoc đo. Vi du, chung minh truc tiep co the dung đe chung minh rang tong cua hai so nguyen chan luon luon la so chan:

Voi hai so nguyen chan bat ky 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 va 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 ta co the bieu dien thanh 
  
    
      
        x
        =
        2
        a
      
    
    {\displaystyle x=2a}
  
 va 
  
    
      
        y
        =
        2
        b
      
    
    {\displaystyle y=2b}
  
 qua hai so nguyen 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 nao đo, vi ca 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 va 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 đeu la boi so cua 2. Ma tong 
  
    
      
        x
        +
        y
        =
        2
        a
        +
        2
        b
        =
        2
        (
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle x+y=2a+2b=2(a+b)}
  
 cung la boi cua 2, do đo theo đinh nghia, no la so chan.
Bai chung minh nay su dung đinh nghia so nguyen chan, va luat phan phoi.


= Chung minh bang quy nap toan hoc =

Trong cach chung minh bang quy nap toan hoc', đau tien "truong hop co so" se đuoc chung minh, sau đo se dung mot "luat quy nap" đe chung minh (thuong la vo tan) cac truong hop khac. Vi truong hop co so la đung, tat ca cac truong hop khac cung phai đung, tham chi neu ta khong the chung minh truc tiep tat ca chung la đung vi so luong vo tan cua no. Mot dang con cua quy nap la phuong phap xuong thang. Phuong phap xuong thang đuoc dung đe chung minh su vo ty cua can bac 2 cua 2.
Nguyen tac quy nap toan hoc nhu sau:
Cho N = { 1, 2, 3, 4,... } la tap cac so tu nhien va P(n) la mot phat bieu toan hoc lien quan toi mot so tu nhien n thuoc N sao cho

(i) P(1) la đung, tuc la, P(n) la đung khi n = 1
(ii) P(n + 1) la đung bat cu khi nao P(n) đung, tuc la, P(n) đung thi voi P(n + 1) cung đung.
Khi đo P(n) la đung voi moi so tu nhien n.
Cac nha toan hoc thuong dung cum tu "chung minh bang quy nap" đe noi tat cho chung minh bang quy nap toan hoc. Tuy vay, thuat ngu "chung minh bang quy nap" cung đuoc dung trong logic đe noi đen mot tranh luan su dung suy dien quy nap.


= Chung minh bang chuyen ve =
Chung minh bang chuyen ve se hinh thanh ket luan "neu p thi q" bang cach chung minh phat bieu tuong phan tuong đuong "neu khong q thi khong p".


= Chung minh bang phan chung =

Trong chung minh bang phan chung (con đuoc goi la reductio ad absurdum, tieng La tinh co nghia la "thu giam đen su vo ly"), nguoi ta se chung minh neu mot phat bieu nao đo xay ra, thi dan đen mau thuan ve logic, vi vay phat bieu đo khong đuoc xay ra. Phuong phap nay co le la phuong phap pho bien nhat trong chung minh toan hoc. Mot vi du noi tieng ve cach chung minh phan chung la đe chung minh 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
 la mot so vo ty:

Gia su 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
 la so huu ty, ta se bieu dien đuoc 
  
    
      
        
          
            2
          
        
        =
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}
  
 trong đo a va b la cac so nguyen khac khong co uoc chung lon nhat la 1 (theo đinh nghia so huu ty). Do đo, 
  
    
      
        b
        
          
            2
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}
  
. Binh phuong hai ve cho ra 2b2 = a2. Vi ve trai chia het cho 2, nen ve phai cung phai chia het cho 2 (vi chung bang nhau va đeu la so nguyen). Do đo a2 la so chan, co nghia la a cung phai la so chan. Dan đen ta co the viet a = 2c, trong đo c cung la so nguyen. Thay vao phuong trinh ban đau cho ra 2b2 = (2c)2 = 4c2. Chia hai ve cho 2 ta đuoc b2 = 2c2. Nhung khi đo, tuong tu nhu tren, b2 chia het cho 2, nen b phai la so chan. Nhung neu a va b đeu la so chan, chung se co chung mot uoc so la 2. Đieu nay trai voi gia thuyet, do đo ma chung ta buoc phai ket luan rang 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
 la so vo ty.


= Chung minh bang dan chung =

Chung minh bang dan chung, la đua ra mot dan chung cu the voi mot thuoc tinh nao đo đe chung minh rang co ton tai mot thu co tinh chat nhu vay. Vi du nhu Joseph Liouville đa chung minh ton tai so sieu viet bang cach đua ra mot vi du ro rang.


= Chung minh vet can =

Trong chung minh vet can, ket luan se co đuoc bang cach chia nho no ra thanh mot so truong hop huu han va chung minh moi truong hop mot cach rieng re. So truong hop đoi khi rat lon. Vi du nhu, cach chung minh đinh ly bon mau đau tien la mot chung minh vet can voi 1.936 truong hop. Cach chung minh nay con gay tranh cai vi đa so cac truong hop đuoc kiem chung bang chuong trinh may tinh, chu khong phai bang tay. Cach chung minh đa biet toi ngan nhat cua đinh ly bon mau ngay nay van co toi hon 600 truong hop.


= Chung minh xac suat =

Chung minh xac suat la cach chung minh trong đo nguoi ta đua mot vi du đe cho thay no co ton tai, voi mot đo tin cay nao đo, bang cach dung cac phuong phap cua ly thuyet xac suat. Cai nay khong nen nham lan voi mot tranh luan ve mot đinh ly 'co the' đung. Loai suy dien sau co the goi la 'tranh luan co ve đung' va khong phai la mot chung minh; trong truong hop phong đoan Collatz ta co the thay no cach xa mot chung minh đung nghia nhu the nao. Chung minh xac suat, cung nhu chung minh bang dan chung, la mot trong nhieu cach chung minh đinh ly su ton tai.


= Chung minh to hop =

Mot chung minh to hop se chung minh su tuong đuong cua cac cach bieu dien khac nhau bang cach cho thay chung dan đen cung mot đoi tuong theo cac cach khac nhau. Mot song anh giua hai tap hop thuong đuoc dung đe chung minh rang so bieu thuc la bang nhau.


= Chung minh khong xay dung =

Mot chung minh khong xay dung (nonconstructive proof) se chung minh mot đoi tuong toan hoc nao đo phai ton tai (vi du "X nao đo thoa man f(X)"), ma khong giai thich lam the nao đe tim đoi tuong đo. Thong thuong, no co dang nhu chung minh phan chung trong đo nguoi ta chung minh viec khong ton tai mot đoi tuong la khong xay ra. Nguoc lai, mot chung minh xay dung (chung minh bang dan chung) chung minh rang mot đoi tuong nao đo ton tai bang cach đua ra phuong phap tim no. Mot vi du noi tieng ve chung minh khong xay dung la chung minh ton tai hai so vo ty 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 va 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 sao cho 
  
    
      
        
          a
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{b}}
  
 la so huu ty:

Hoac 
  
    
      
        
          
            
              2
            
          
          
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}
  
 la mot so huu ty va nhu vay đa chung minh xong (voi 
  
    
      
        a
        =
        b
        =
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a=b={\sqrt {2}}}
  
), hoac 
  
    
      
        
          
            
              2
            
          
          
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}
  
 la so vo ty va ta co the viet 
  
    
      
        a
        =
        
          
            
              2
            
          
          
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}
  
 va 
  
    
      
        b
        =
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\sqrt {2}}}
  
. Cho ra 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  2
                
              
              
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            
              2
            
          
        
        =
        
          
            
              2
            
          
          
            2
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2}
  
, la dang huu ty cua 
  
    
      
        
          a
          
            b
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle a^{b}.}
  


= Chung minh thong ke trong toan hoc thuan tuy =

Cum tu "chung minh thong ke" co the đuoc dung nhu thuat ngu hoac mot cach thong thuong trong cac linh vuc toan hoc thuan tuy, nhu cac linh vuc lien quan đen mat ma hoa, chuoi hon loan, va ly thuyet so xac suat va phan tich. No it đuoc dung đe chi mot chung minh toan hoc trong nganh toan hoc co ten thong ke toan hoc.


= Chung minh voi su ho tro cua may tinh =
Cho đen the ky thu 20 nguoi ta đa gia thiet rang, tren nguyen tac, tat ca cac chung minh đeu co the đuoc mot nha toan hoc gioi xac nhan su đung đan cua no. Tuy nhien, ngay nay may tinh đuoc dung ca đe chung minh cac đinh ly lan thuc hien cac phep toan qua dai ma con nguoi hoac mot nhom nguoi co the kiem tra noi; cach chung minh đinh ly bon mau đau tien la mot vi du ve mot cach chung minh co su ho tro tu may tinh. Mot so nha toan hoc lo ngai rang kha nang xay ra loi trong mot chuong trinh may tinh hoac loi khi tinh toan co the khien cho su đung đan cua cac cach chung minh bang may tinh bi đat dau hoi. Tren thuc te, co hoi xay ra loi đe bac bo mot chung minh cua may tinh co the giam thieu bang cach đua vao su trung lap va tu kiem tra khi tinh toan, va bang cach phat trien nhieu cach tiep can va chuong trinh đoc lap nhau.


Cac khai niem lien quan = Chung minh bang hinh anh =

Mac du khong phai la mot cach chung minh chinh quy, mot cach bieu dien hinh anh cho mot đinh ly toan hoc đoi khi đuoc goi la "chung minh khong can loi". Hinh anh ben phai la vi du cua mot chung minh bang hinh anh co xua đinh ly Pythagoras trong truong hop tam giac (3, 4, 5).


= Chung minh so cap =

Mot chung minh so cap la mot chung minh chi dung cac kien thuc so cap. Cu the hon, thuat ngu đuoc dung trong ly thuyet so đe am chi cac chung minh khong su dung phan tich so phuc. Đoi khi nguoi ta cho rang mot so đinh ly, nhu đinh ly so nguyen to, chi co the chung minh bang toan hoc "cao cap". Tuy nhien, qua thoi gian, nhieu trong so cac ket qua nay đa đuoc chung minh lai chi bang cac kien thuc so cap.


= Chung minh hai cot =

Mot dang cu the cua chung minh su dung hai cot song song thuong dung trong cac lop hinh hoc co ban. Chung minh đuoc viet theo dang mot loat hang phan thanh hai cot. Tai moi dong, cot ben trai chua cac menh đe (hai đoi khi goi la phat bieu), con cot ben phai la loi giai thich ngan gon menh đe đo la gi, mot tien đe, gia thuyet, hay co đuoc tu dong tren (hoac đoi khi chi goi la "suy dien").


Tham khao Lien ket ngoai What are mathematical proofs and why they are important?
2πix.com: Logic Luu tru ngay 8 thang 9 nam 2009 tai Wayback Machine Part of a series of articles covering mathematics and logic.
How To Write Proofs by Larry W. Cusick
How to Write a Proof by Leslie Lamport, and the motivation of proposing such a hierarchical proof style.
Proofs in Mathematics: Simple, Charming and Fallacious
The Seventeen Provers of the World, ed. by Freek Wiedijk, foreword by Dana S. Scott, Lecture Notes in Computer Science 3600, Springer, 2006, ISBN 3-540-30704-4. Contains formalized versions of the proof that 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
 is irrational in several automated proof systems.
What is Proof? Thoughts on proofs and proving.
ProofWiki.org Luu tru ngay 31 thang 7 nam 2012 tai Wayback Machine An online compendium of mathematical proofs.
planetmath.org A wiki style encyclopedia of proofs
A lesson about proofs, in a course from Wikiversity