Thuyet tuong đoi rong hay thuyet tuong đoi tong quat (tieng Anh: general relativity) la ly thuyet hinh hoc cua luc hap dan do nha vat ly Albert Einstein cong bo vao nam 1915 va hien tai đuoc coi la ly thuyet mieu ta hap dan thanh cong cua vat ly hien đai. Thuyet tuong đoi tong quat thong nhat thuyet tuong đoi hep va đinh luat van vat hap dan cua Newton, đong thoi no mieu ta luc hap dan (truong hap dan) nhu la mot tinh chat hinh hoc cua khong gian va thoi gian, hoac khong thoi gian. Đac biet, đo cong cua khong thoi gian co lien he chat che truc tiep voi nang luong va đong luong cua vat chat va buc xa. Lien he nay đuoc xac đinh bang phuong trinh truong Einstein, mot he phuong trinh đao ham rieng phi tuyen.
Nhieu tien đoan va he qua cua thuyet tuong đoi rong khac biet han so voi ket qua cua vat ly co đien, đac biet khi đe cap đen su troi đi cua thoi gian, hinh hoc cua khong gian, chuyen đong cua vat the khi roi tu do va su lan truyen cua anh sang. Nhung su khac biet nhu vay bao gom su gian thoi gian do hap dan, thau kinh hap dan, dich chuyen đo do hap dan cua anh sang, va su tre thoi gian do hap dan. Moi quan sat va thi nghiem đeu xac nhan cac hieu ung nay cho toi nay. Mac du co mot so ly thuyet khac ve luc hap dan cung đuoc neu ra, nhung ly thuyet tuong đoi tong quat la mot ly thuyet đon gian nhat phu hop cac du lieu thuc nghiem. Tuy the, van con ton tai nhung cau hoi mo, can ban nhat nhu cac nha vat ly chua biet lam the nao ket hop thuyet tuong đoi rong voi cac đinh luat cua vat ly luong tu nham tao ra mot ly thuyet đay đu va nhat quan la thuyet hap dan luong tu.
Ly thuyet cua Einstein co nhieu ung dung quan trong trong vat ly thien van. No chi ra truc tiep su ton tai cua lo đen – nhung vung cua khong thoi gian trong đo khong gian va thoi gian bi uon cong đen muc ngay ca anh sang cung khong the thoat ra đuoc – mot trang thai cuoi cung cua cac ngoi sao khoi luong lon. Co rat nhieu nguon buc xa manh phat ra tu mot vai loai thien the co đinh dua tren su ton tai cua lo đen; vi du, cac microquasar va nhan cac thien ha hoat đong the hien su co mat cua tuong ung lo đen khoi luong sao va lo đen co khoi luong khong lo. Su lech cua tia sang do truong hap dan lam xuat hien hieu ung thau kinh hap dan, trong đo nhieu hinh anh cua cung mot thien ha hien len qua anh chup. Thuyet tuong đoi tong quat mieu ta cac tinh chat cua song hap dan ma đa đuoc xac nhan mot cach truc tiep boi nhom Advanced LIGO. Hon nua, thuyet tuong đoi rong con la co so cho cac mo hinh vu tru hoc hien tai ve su đang gian no khong ngung cua vu tru.


Lich su Ngay sau khi phat trien thuyet tuong đoi đac biet nam 1905, Einstein bat đau suy nghi ve su mau thuan giua luc hap dan Newton voi ly thuyet nay. Nam 1907, ong nhan ra su lien he (hay tuong đuong cuc bo) giua luc hap dan va he quy chieu gia toc (ong coi đay la y tuong hanh phuc nhat cua đoi minh) va neu ra mot thi nghiem suy tuong đon gian trong đo co mot nguoi quan sat trong thang may roi tu do. Ong đa phai mat tam nam theo đuoi nham tim kiem ly thuyet hap dan tuong đoi tinh. Sau nhieu nham lan va đi lech huong, cuoi cung ong đa tim ra đuoc phuong trinh hap dan va mieu ta no trong cuoc hop cua Vien han lam Khoa hoc Pho vao thang 11 nam 1915 ma ngay nay goi la phuong trinh truong Einstein. He phuong trinh nay cho biet hinh hoc cua khong thoi gian bi anh huong boi su co mat cua vat chat nhu the nao, va luc hap dan do su cong cua hinh hoc khong thoi gian. Phuong trinh truong Einstein la manh ghep trung tam cua thuyet tuong đoi tong quat.
Phuong trinh truong Einstein la he phuong trinh vi phan rieng phan phi tuyen va rat kho đe giai. Einstein đa su dung phuong phap xap xi nham suy luan nhung he qua đau tien cua ly thuyet. Nhung ngay đau nam 1916, nha thien van vat ly Karl Schwarzschild tim ra nghiem chinh xac khong tam thuong đau tien cua phuong trinh truong Einstein ma ngay nay goi la metric Schwarzschild. Nghiem nay la co so ly thuyet cho mo hinh vat ly ve trang thai cuoi cung cua suy sup hap dan, dan đen su hinh thanh cua mot so thien the trong đo co lo đen dang đoi xung cau. Trong cung nam, nghiem Schwarzschild đa đuoc tong quat thanh nghiem chinh xac cho vat the co đien tich, hay chinh la metric Reissner–Nordstrom, nghiem nay mo ta lo đen tich đien khong quay. Nam 1917, Einstein ap dung ly thuyet cua ong cho toan bo vu tru, khai sinh ra nganh vu tru hoc tuong đoi tinh. Theo tu tuong đuong thoi, ong đa gia đinh vu tru tinh tai vinh hang, va phai cong them mot tham so moi vao trong phuong trinh truong ban đau cua minh—hang so vu tru hoc—nham thu đuoc ket qua nhu "quan sat" tu bay lau nay. Tuy the, nam 1929, nhung nghien cuu cua nha thien van Edwin Hubble va nhung nguoi khac lai chi ra vu tru đang gian no. Va ket qua quan sat nay lai phu hop voi nghiem mo ta vu tru đang gian no do nha vat ly nguoi Nga Alexander Friedman tim ra tu nam 1922 ma khong đoi hoi co hang so vu tru hoc. Linh muc va nha vu tru hoc nguoi Bi Georges Lemaitre đa su dung nghiem nay nham mieu ta kich ban so khai cua mo hinh Vu No Lon, mo hinh noi rang vu tru ban đau đa tien hoa tu trang thai cuc ky nong va đam đac. Sau nay, Einstein coi hang so vu tru hoc la sai lam lon nhat cua đoi ong.
Trong suot thoi ki tu thap nien 1920 đen thap nien 1950, cac nha vat ly van coi thuyet tuong đoi tong quat mot ly thuyet ky la trong cac ly thuyet vat ly. No đep hon ly thuyet cua Newton, phu hop voi thuyet tuong đoi hep va giai thich đuoc mot vai hieu ung ma ly thuyet Newton chua thanh cong. Chinh Einstein đa chi ra vao nam 1915 rang ly thuyet cua ong đa giai thich đuoc chuyen đong di thuong cua điem can nhat cua Sao Thuy ma khong can toi bat ki mot tham so nao. Vao nam 1919 mot đoan tham hiem dan đau boi Arthur Eddington đa xac nhan tien đoan cua thuyet tuong đoi tong quat ve su lech anh sang khi no đi gan Mat troi bang cach theo doi nhat thuc vao thang 5, khien Einstein ngay lap tuc tro nen noi tieng. Va ly thuyet tro thanh huong đi chinh cua vat ly ly thuyet va thien van vat ly trong giai đoan phat trien tu 1960 đen 1975, hay thoi ky vang cua thuyet tuong đoi rong. Cac nha vat ly bat đau nam bat đuoc khai niem lo đen, va đong nhat nhung đoi tuong thien van vat ly nay voi quasar trong thien van quan sat. Co them nhieu kiem nghiem chinh xac trong he Mat Troi đa chung to suc manh tien đoan cua ly thuyet, va trong vu tru hoc tuong đoi tinh cung vay voi rat nhieu quan sat đo luong nham kiem chung he qua cua ly thuyet.


Tu co hoc co đien đen thuyet tuong đoi rong Chung ta co the hieu thuyet tuong đoi rong thong qua nhung điem tuong tu va khac biet cua no so voi ly thuyet Newton. Buoc đau tien la chi ra co hoc co đien va đinh luat van vat hap dan cho phep mieu ta theo ngon ngu hinh hoc. Bang cach ket hop mieu ta nay voi đinh luat cua thuyet tuong đoi hep se cho chung ta kham pha thuyet tuong đoi rong mot cach tu nhien.


= Mo ta bang hinh hoc cua luc hap dan Newton =

Co so cua vat ly co đien la khai niem chuyen đong cua mot vat the, ket hop giua chuyen đong tu do (hay quan tinh) va chuyen đong khi co ngoai luc tac dung. Cac chuyen đong nay đuoc mieu ta bang phuong trinh trong khong gian 3 chieu Euclid va su dung khai niem thoi gian tuyet đoi. Nhung ngoai luc tac dung len vat the lam quy đao vat lech khoi quy đao cua chuyen đong quan tinh tuan theo đinh luat thu hai cua Newton ve chuyen đong, phat bieu la tong luc tac dung len vat bang khoi luong (quan tinh) nhan voi gia toc cua no. Tiep theo, chuyen đong quan tinh đuoc lien he voi hinh hoc cua khong gian va thoi gian: trong he quy chieu quan tinh cua co hoc co đien, cac vat chuyen đong tu do voi van toc khong đoi se co quy đao la đuong thang. Theo ngon ngu cua vat ly hien đai, quy đao cua chung la đuong trac đia, nhung tuyen the gioi thang (world lines, hay đuong the gioi) trong khong thoi gian cong va đuong trac đia chinh la đuong thang trong hinh hoc phang.
Nguoc lai, chung ta mong muon rang nho ap dung chuyen đong quan tinh - mot khi biet đuoc chuyen đong thuc cua vat the do anh huong cua ngoai luc nao (nhu luc đien tu hoac ma sat) - đe xac đinh ra hinh hoc cua khong gian, cung nhu toa đo thoi gian. Tuy nhien, co mot su kho khan khi xuat hien hap dan. Theo đinh luat van vat hap dan Newton, va nhung thi nghiem đoc lap cua Eotvos va cac thi nghiem sau đo (xem thi nghiem Eotvos), vat roi tu do (con goi la nguyen ly tuong đuong yeu, hay su bang nhau giua khoi luong quan tinh va khoi luong hap dan thu đong): quy đao cua vat thu khi roi tu do chi phu thuoc vao vi tri va van toc ban đau cua no, chu khong phu thuoc vao no cau tao bang vat chat gi (nhu luc đien tu con phu thuoc vao đien tich hat thu). Co mot minh hoa đon gian đieu nay the hien trong thi nghiem tuong tuong cua Einstein, o hinh ben canh: đoi voi mot quan sat vien trong thang may kin, anh ta khong the biet đuoc, bang theo doi quy đao cua cac vat nhu qua bong roi, rang anh ta đang o trong can phong đung yen tren mat đat va trong mot truong hap dan, hay đang o trong tau vu tru chuyen đong tu do trong khong gian voi gia toc bang gia toc hap dan.
Neu chi dua vao su roi tu do cua vat, chung ta khong the phan biet đuoc chi bang quan sat giua chuyen đong quan tinh va chuyen đong chiu anh huong cua luc hap dan. Su khong phan biet đuoc nay goi ra mot đinh nghia moi cho chuyen đong quan tinh: chuyen đong cua vat roi tu do trong truong hap dan. Đinh nghia moi ve chuyen đong quan tinh nay cung cho phep xac đinh ra hinh hoc cua khong gian va thoi gian theo ngon ngu toan hoc, quy đao cua vat chinh la chuyen đong tren đuong trac đia. Trong phuong trinh đuong trac đia chua he so lien thong phu thuoc vao gradien cua the nang hap dan. Khong gian cua co hoc Newton theo cach xay dung nay van thuan tuy la hinh hoc Euclid phang. Hinh hoc nay tac đong đen chuyen đong cua vat chat nhung khong bi anh huong boi vat chat va ton tai mot cach tuyet đoi. Tuy nhien toan bo khong thoi gian vat ly lai la mot cau truc phuc tap. Nhu đuoc chi ra bang cac thi nghiem tuong tuong đon gian ve quy đao roi tu do cua cac hat thu khac nhau, khi dich chuyen cac vecto khong thoi gian - ky hieu cho van toc cua hat (cac vecto kieu thoi gian, co 4 thanh phan toa đo) - se cho ket qua la cac vecto khac nhau doc theo quy đao cua hat; hay noi ve mat toan hoc, lien thong Newton khong kha tich đuoc (cac vecto van toc khi dich chuyen tren quy đao se khong con song song voi vecto ban đau nua). Tu đieu nay, chung ta co the ket luan rang khong thoi gian la cong. Mo hinh hinh hoc phang cua hap dan Newton chi su dung cac khai niem hiep bien, co nghia la no cong nhan mot he quy chieu quan tinh toan cuc va mo ta hien tuong hap dan đung trong moi he toa đo. Theo cach mieu ta hinh hoc nay, cac hieu ung thuy trieu — gia toc tuong đoi giua cac vat the gan nhau khi roi tu do — đuoc lien he voi đao ham cua lien thong, chi ra hinh hoc thay đoi nhu the nao boi su co mat khoi luong.


= Chuyen sang tuong đoi tinh =

Neu mo hinh luc hap dan Newton co the bieu dien bang hinh hoc thi co so vat ly cua no, co hoc co đien, chi la truong hop gioi han cua co hoc tuong đoi tinh (đac biet) đoi voi chuyen đong co van toc nho. Theo ngon ngu cua đoi xung: khi bo qua anh huong cua truong hap dan, cac phuong trinh vat ly tuan theo bat bien Lorentz giong nhu cua thuyet tuong đoi hep hon la tuan theo bat bien Galileo nhu trong co hoc co đien. (Nhom đoi xung cua thuyet tuong đoi hep la nhom Poincare bao gom ca phep tinh tien va phep quay.) Su khac nhau giua co hoc co đien va thuyet tuong đoi hep tro len ro ret khi cac vat co van toc gan voi toc đo anh sang, va khi xet đen nhung qua trinh nang luong cao.
Voi đoi xung Lorentz, chung ta co them nhung cau truc moi. Chung đuoc xac đinh bang tap hop non anh sang (xem hinh ben trai). Cac non anh sang cho phep đinh nghia cau truc nhan qua: đoi voi moi su kien A, ve nguyen ly co mot tap cac su kien, hoac anh huong đen A hoac bi anh huong boi A thong qua tin hieu hoac tuong tac ma khong vuot qua toc đo anh sang (nhu su kien B trong hinh), va mot tap cac su kien khong the lien quan đuoc đen A (nhu su kien C trong hinh). Tap nay goi la tap nhung quan sat vien đoc lap. Khi gan voi tuyen the gioi (world-lines) cua hat roi tu do, chung ta su dung non anh sang nham khoi phuc lai metric nua-Riemannian cua khong thoi gian, it nhat đoi voi so hang vo huong duong. Theo thuat ngu toan hoc, qua trinh nay xac đinh len cau truc bao giac.
Thuyet tuong đoi hep khong mieu ta luc hap dan, do vay cac nha vat ly ap dung no cho nhung mo hinh khong tinh đen luc hap dan. Boi vi mo hinh hap dan Newton noi rang luc hap dan giua hai vat the tac dung mot cach tuc thi, khong ke chung o cach xa bao nhieu (hay ton tai nhung he quy chieu quan tinh toan cuc), do vay ly thuyet Newton vi pham bat bien Lorentz. Khi tinh đen truong hap dan, bang ap dung su roi tu do, cach ly giai tuong tu nhu phan truoc đuoc ap dung: khong co mot he quy chieu quan tinh toan cuc ton tai trong ly thuyet tuong đoi tong quat. Thay vi vay chung ta chi co the su dung nhung he quy chieu quan tinh cuc bo "xap xi" di chuyen doc theo quy đao hat roi tu do. Chuyen thanh ngon ngu cua khong thoi gian: nhung tuyen the gioi thang kieu thoi gian ma xac đinh he quy chieu quan tinh khong co truong hap dan se bi lech thanh nhung đuong cong tuong đoi voi nhau trong truong hap dan (Giong nhu khi tha hai qua bong roi tu do, tuong nhu chung roi song song voi nhau nhung thuc te quy đao cua chung gap nhau tai tam Trai Đat, hay quy đao hai qua bong bi lech tuong đoi voi nhau khi co mat truong hap dan.) va đieu nay goi ra rang truong hap dan lam thay đoi hinh hoc cua khong thoi gian tu phang sang cong.
Nhung co mot cau hoi xuat hien truoc tien la lieu he quy chieu cuc bo moi gan lien voi vat roi tu do co giong voi he quy chieu ma trong đo cac đinh luat cua thuyet tuong đoi hep thoa man — ly thuyet dua tren co so su khong đoi cua toc đo anh sang trong chan khong, va cung mo ta ly thuyet đien tu hoc co đien. Bang su dung nhung he quy chieu tuong đoi tinh cua thuyet tuong đoi hep (nhu he quy chieu gan lien voi mat đat-phong thi nghiem, hay he quy chieu roi tu do), chung ta co the dan ra nhung ket qua khac nhau cho hieu ung dich chuyen đo do hap dan, hieu ung dich chuyen tan so cua anh sang khi no truyen qua truong hap dan (xem ben duoi). Nhung đo đac thu nghiem chi ra rang anh sang lan truyen trong cac he quy chieu roi tu do co quy đao va tan so giong voi khi anh sang lan truyen trong nhung he quy chieu quan tinh cua thuyet tuong đoi hep. Va anh sang lan truyen trong truong hap dan co quy đao va su dich chuyen tan so giong nhu khi no lan truyen trong he quy chieu đang gia toc voi gia toc bang gia toc hap dan. Tong quat hoa phat bieu nay tuong ung voi phat bieu "cac đinh luat cua thuyet tuong đoi hep thoa man mot cach xap xi tot trong nhung he quy chieu roi tu do (va khong quay)", con goi la nguyen ly tuong đuong Einstein, mot nguyen ly nen tang cua thuyet tuong đoi tong quat.
Cac thi nghiem cung chi ra rang thoi gian đo boi nhung đong ho trong truong hap dan — thoi gian rieng, thuat ngu cua vat ly hoc — khong tuan theo cac đinh luat cua thuyet tuong đoi hep (ham y thoi gian bi cong). Trong ngon ngu cua hinh hoc khong thoi gian, no khong đuoc đo bang metric Minkowski. Nhu trong truong hop luc hap dan Newton, đieu nay goi ra ly thuyet tuong đoi rong can mot hinh hoc tong quat đe mieu ta. O quy mo nho, moi he quy chieu roi tu do đeu tuong đuong voi nhau va mieu ta xap xi bang metric Minkowski. He qua la, chung ta se can phai tong quat hinh hoc Minkowski thanh hinh hoc cac khong gian cong. Tenxo metric xac đinh len cau truc hinh hoc — đac biet no cho phep đo đo dai va goc — khac voi metric Minkowski cua thuyet tuong đoi hep, no la metric tong quat cua metric đa tap gia-Riemann. Hon nua, moi metric Riemann đuoc ket hop mot cach tu nhien voi mot loai lien thong đac biet, lien thong Levi-Civita, va thuc te lien thong nay thoa man nguyen ly tuong đuong va lam cho khong thoi gian cua thuyet tuong đoi tong quat tren phuong dien cuc bo giong voi khong thoi gian Minkowski (co nghia la khi chon he toa đo quan tinh cuc bo phu hop, tenxo metric cua thuyet tuong đoi rong tro thanh tenxo metric Minkowski, cung nhu đao ham rieng bac nhat va cac he so lien thong triet tieu - tuong đuong voi khong co truong hap dan o he toa đo cuc bo nay). Tenxo metric the hien tinh đong luc cua hinh hoc khong thoi gian, no cho thay vat chat anh huong len hinh hoc nhu the nao cung nhu su xuat hien cua no trong phuong trinh chuyen đong cua hat thu.

Trong khong thoi gian Minkowski phang, voi he toa đo 
  
    
      
        
          x
          
            μ
          
        
        →
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
        =
        (
        c
        t
        ,
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        
      
    
    {\displaystyle x^{\mu }\rightarrow (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\,}
  
 mot trong nhung bat bien Lorentz la "khoang khong thoi gian" giua hai su kien

  
    
      
        Δ
        
          s
          
            2
          
        
        =
        −
        
          c
          
            2
          
        
        Δ
        
          t
          
            2
          
        
        +
        Δ
        
          x
          
            2
          
        
        +
        Δ
        
          y
          
            2
          
        
        +
        Δ
        
          z
          
            2
          
        
        =
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        −
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          t
          
            2
          
        
        +
        d
        
          x
          
            2
          
        
        +
        d
        
          y
          
            2
          
        
        +
        d
        
          z
          
            2
          
        
        =
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
        d
        
          x
          
            μ
          
        
        d
        
          x
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta s^{2}=-c^{2}\Delta t^{2}+\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}=ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}
  

Neu 
  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        <
        0
      
    
    {\displaystyle ds^{2}<0}
  
 thi hai su kien nam tren tuyen the gioi (world line) kieu thoi gian (time-like), va moi su kien thuc co lien he nhan qua voi nhau-mot su kien nam trong non anh sang cua su kien kia-se nam tren đuong kieu thoi gian.
Neu 
  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle ds^{2}>0}
  
 thi hai su kien nam tren tuyen the gioi kieu khong gian (space-like), đay la khoang khong thoi gian giua hai su kien ma mot su kien nam ngoai non anh sang cua su kien kia.
Neu 
  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=0}
  
 thi hai su kien nam tren tuyen the gioi khong (null-world line), hay chung nam tren đuong đi cua anh sang.
Bat bien Lorentz la đai luong khong đoi khi chung ta chuyen tu he toa đo nay sang he toa đo khac.
Tenxo metric Minkowski la

  
    
      
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  −
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  +
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  +
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  +
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        .
         
      
    
    {\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&+1&0&0\\0&0&+1&0\\0&0&0&+1\end{bmatrix}}.\ }
  

voi dau metric 
  
    
      
        (
        −
        ,
        +
        ,
        +
        ,
        +
        )
      
    
    {\displaystyle (-,+,+,+)}
  
. Trong thuyet tuong đoi rong, cac tenxo metric 
  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{\mu \nu }}
  
 thay the cho tenxo 
  
    
      
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{\mu \nu }}
  
 va van đam bao đai luong 
  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        d
        
          x
          
            μ
          
        
        d
        
          x
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}
  
 la bat bien Lorentz cuc bo. Đong thoi tenxo metric cho phep nang va ha chi so cua cac tenxo khac. Cac phuong trinh vat ly viet duoi dang phuong trinh tenxo co mot thuan loi la dang phuong trinh cua no khong thay đoi khi chung ta chuyen sang he toa đo khac bat ky (the hien cho tinh hiep bien tong quat va nguyen ly tuong đuong Einstein).


= Phuong trinh truong Einstein =

Tuy đa nhan ra đuoc hinh hoc Riemann la cong cu toan hoc can thiet nham mo ta cac hieu ung hap dan, chung ta con can phai xac đinh them nhung nguon cua truong hap dan. Trong mo hinh hap dan Newton, nguon hap dan la khoi luong. Trong thuyet tuong đoi hep, khoi luong la mot thanh phan trong đai luong tong quat hon la tenxo nang luong–đong luong, bao gom mat đo nang luong va mat đo đong luong cung nhu ung suat (bao gom ap suat va luc cat). Tenxo nang luong–đong luong khong chua nang luong cua truong hap dan. Neu nguon hap dan trong thuyet tuong đoi rong chi la khoi luong-nang luong, thi chung ta can phai lua chon uu tien mot he quy chieu quan tinh va do đo đoi hoi ton tai mot he quy chieu quan tinh toan cuc, đieu nay la khong đuoc phep trong thuyet tuong đoi tong quat. Nho nguyen ly tuong đuong Einstein, ngoai khoi luong, nang luong thi ung suat cung tro thanh mot nguon cho truong hap dan. Va tenxo ung suat–nang luong ngay lap tuc tong quat cho khong thoi gian cong va tro thanh tenxo mieu ta mat đo nguon cho truong hap dan. Đe cho phep thu ve truong hop gioi han cua luc hap dan Newton co đien, mot cach tu nhien chung ta gia thiet rang phuong trinh truong hap dan lien he tenxo ung suat–nang luong hang hai voi mot tenxo đo cong hang hai goi la tenxo Ricci, tenxo nay co y nghia vat ly mieu ta mot truong hop đac biet cua hieu ung thuy trieu: no cho biet su thay đoi the tich cua mot đam nho hat thu ban đau đung yen tuong đoi voi nhau, va sau đo roi tu do trong truong hap dan. Trong thuyet tuong đoi hep, đinh luat bao toan nang luong–đong luong tuong ung voi phuong trinh toan hoc la phan ky cua tenxo ung suat–nang luong phai bang 0 (hay tu do). Cong thuc nay cung đuoc tong quat hoa sang cho khong thoi gian cong bang cach thay the đao ham rieng thong thuong theo cac truc toa đo cua đa tap cong bang đao ham hiep bien cua cac toa đo, đao ham nay đuoc nghien cuu trong hinh hoc vi phan. Cac đinh luat bao toan phai luon thoa man o pham vi cuc bo — hay la phan ky hiep bien cua tenxo mat đo ung suat–nang luong bang 0, va do vay phan ky hiep bien cua ve ben kia phuong trinh truong - ve cho biet đo cong cuc bo cua khong thoi gian - cung phai bang 0. Ban đau, Einstein nghi rang ve hinh hoc nay chi co tenxo Ricci (phan ky hiep bien cua tenxo nay khac 0), nhung sau đo ong phat hien ra phuong trinh truong can phai tuan theo đinh ly phan ky hiep bien tu do - va ong đa tim ra dang phuong trinh đon gian nhat tuan theo đinh ly nay, ma ngay nay goi la Phuong trinh truong Einstein:

  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          
            
              1
            
            2
          
        
        R
        
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            
              8
              π
              G
            
            
              c
              
                4
              
            
          
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.\,}
  

Ve trai cua phuong trinh la tenxo Einstein, phan ky hiep bien cua tenxo nay bang 0. Tenxo nay la to hop cua tenxo Ricci 
  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu }}
  
 va tenxo metric 
  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          g
          
            ν
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }}
  
. Đac biet

  
    
      
        R
        =
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
          R
          
            α
            β
          
        
        
      
    
    {\displaystyle R=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }\,}
  

la đo cong vo huong Ricci, voi 
  
    
      
        
          g
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle g^{\alpha \beta }}
  
 co the coi la cac phan tu cua ma tran nghich đao cua ma tran co phan tu 
  
    
      
        
          g
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{\alpha \beta }}
  
. Tenxo Ricci lien he voi tenxo đo cong Riemann 
  
    
      
        
          
            
              R
              
                α
              
            
          
          
            μ
            β
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle {R^{\alpha }}_{\mu \beta \nu }}
  
 thong qua phep thu gon chi so

  
    
      
        
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            
              R
              
                α
              
            
          
          
            μ
            α
            ν
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \quad R_{\mu \nu }={R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }.\,}
  

Mat khac, he so lien thong (hay ky hieu Christoffel, no khong phai la tenxo) co the đuoc tinh tu tenxo metric,

  
    
      
        
          Γ
          
            α
          
        
        
          

          
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          g
          
            α
            β
          
        
        (
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          g
          
            β
            μ
          
        
        +
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          g
          
            β
            ν
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }={1 \over 2}g^{\alpha \beta }(\partial _{\nu }g_{\beta \mu }+\partial _{\mu }g_{\beta \nu }-\partial _{\beta }g_{\mu \nu })}
  

va tenxo đo cong Riemann (mieu ta đo cong noi tai cuc bo cua khong thoi gian) bang

  
    
      
        
          R
          
            α
          
        
        
          

          
          
            μ
            β
            ν
          
        
        =
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          Γ
          
            α
          
        
        
          

          
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          Γ
          
            α
          
        
        
          

          
          
            μ
            β
          
        
        +
        
          Γ
          
            α
          
        
        
          

          
          
            β
            λ
          
        
        
          Γ
          
            λ
          
        
        
          

          
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          Γ
          
            α
          
        
        
          

          
          
            ν
            λ
          
        
        
          Γ
          
            λ
          
        
        
          

          
          
            μ
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{\alpha }{}_{\mu \beta \nu }=\partial _{\beta }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \beta }}
  

o đay 
  
    
      
        
          
            ∂
            
              ν
            
          
          =
          
            
              ∂
              
                ∂
                
                  x
                  
                    ν
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\partial _{\nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}}}
  
 la đao ham rieng. Trong thuyet tuong đoi rong, tenxo đo xoan bang 0, do đo he so Christoffel co tinh đoi xung 
  
    
      
        
          
            Γ
            
              α
            
          
          
            

            
            
              μ
              ν
            
          
          =
          
            Γ
            
              α
            
          
          
            

            
            
              ν
              μ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }}}
  
 cung nhu tenxo Ricci 
  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          R
          
            ν
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }}
  
.
Tren ve phai cua phuong trinh truong, 
  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mu \nu }}
  
 la tenxo mat đo ung suat–nang luong. Đinh luat bao toan nang luong-đong luong cuc bo tuong đuong voi phan ky hiep bien (đao ham hiep bien) cua no

  
    
      
        
          ∇
          
            β
          
        
        
          T
          
            α
            β
          
        
        
        =
        
          T
          
            α
            β
          
        
        
          

          
          
            ;
            β
          
        
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }\,=T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0}
  

voi

  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          g
          
            μ
            α
          
        
        
          g
          
            ν
            β
          
        
        
          T
          
            α
            β
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle T_{\mu \nu }=g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }T^{\alpha \beta },}
  
 va 
  
    
      
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
          

          
          
            ;
            β
          
        
        =
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
          

          
          
            ;
            ν
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle g_{\alpha \beta }{}_{;\beta }=g^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0}
  

Tenxo Einstein

  
    
      
        
          G
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        R
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }}
  

va

  
    
      
        
          ∇
          
            ν
          
        
        
          G
          
            μ
            ν
          
        
        
        =
        
          G
          
            μ
            ν
          
        
        
          

          
          
            ;
            ν
          
        
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla _{\nu }G^{\mu \nu }\,=G^{\mu \nu }{}_{;\nu }\,=0}
  

Mot khi giai phuong trinh Einstein va tim đuoc nghiem la tenxo metric (cho phep xac đinh đuoc cau truc hinh hoc cua đa tap khong thoi gian), chung ta se mieu ta đuoc chuyen đong cua hat (hay ke ca anh sang-photon) trong truong hap dan thong qua phuong trinh đuong trac đia,

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  α
                
              
            
            
              d
              
                λ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          Γ
          
            μ
            ν
          
          
            α
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  μ
                
              
            
            
              d
              λ
            
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  ν
                
              
            
            
              d
              λ
            
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}=0\,}
  

voi 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 la tham so cua đuong trac đia. Tat ca cac phuong trinh tren đuoc viet trong he toa đo 
  
    
      
        
          
            x
            
              α
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {x^{\alpha }}}
  
 bat ky. Tat ca cac tenxo va he so Christoffel co thanh phan viet theo ky hieu chi so truu tuong, va tuan theo quy tac tinh tong Einstein. Đe cho ket qua tien đoan phu hop voi ket qua ly thuyet Newton ve quy đao cac hanh tinh va khi truong hap dan yeu, Einstein tim ra hang so ty le trong phuong trinh κ = 8πG/c4, voi G la hang so hap dan va c la toc đo anh sang. Khi khong co vat chat hay buc xa, tenxo mat đo ung suat–nang luong bang 0, va chung ta thu đuoc phuong trinh chan khong Einstein,

  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu }=0.\,}
  

do vo huong đo cong R la ham cua tenxo Ricci nen no cung bang 0 trong phuong trinh chan khong.
Ngoai cach dan ra phuong trinh Einstein tuan theo đinh luat bao toan nang luong-đong luong o tren, chinh Einstein va nha toan hoc David Hilbert con neu ra phuong phap bien phan cho tac dung Einstein-Hilbert va cung thu đuoc phuong trinh truong. Phuong phap bien phan co đac điem la no thuan loi cho viec tong quat hay mo rong thuyet tuong đoi tong quat.
Cac nha vat ly cung đa đe xuat ra nhung ly thuyet khac so voi thuyet tuong đoi tong quat va thu đuoc nhung phuong trinh truong khac nhau. Nhung ly thuyet nay cung dua tren ba đieu kien ma thuyet tuong đoi tong quat thoa man:

Cac phuong trinh tuan theo nguyen ly hiep bien tong quat (va nguyen ly tuong đuong Einstein).
Phuong trinh truong tuan theo đinh luat bao toan nang luong-đong luong cuc bo đoi voi moi tenxo metric.
Khi truong hap dan yeu va van toc cac vat the la nho so voi toc đo anh sang, ly thuyet se thu ve mo hinh hap dan Newton va co hoc co đien.
Ngoai ba đieu kien tren thi cac ly thuyet nay con co them mot so gia thiet khac, va do đo nhung ly thuyet đe xuat nay phuc tap hon ve mat toan hoc so voi thuyet cua Einstein. Vi du mot so ly thuyet nhu thuyet Brans–Dicke, teleparallelism, va thuyet Einstein–Cartan (thuyet nay coi tenxo đo xoan khac 0).


Đinh nghia va cac ung dung co ban Mot so net khai quat o phan truoc chua moi thong tin can thiet đe mieu ta thuyet tuong đoi rong, cac tinh chat quan trong cua no, nhung he qua chu yeu va viec ung dung ly thuyet đe xay dung cac mo hinh vat ly.


= Đinh nghia va cac tinh chat co ban =
Thuyet tuong đoi tong quat la ly thuyet metric ve tuong tac hap dan. Phuong trinh nen tang cua ly thuyet la phuong trinh truong Einstein, trong đo lien he giua hinh hoc cua đa tap tua Riemann bon chieu cua khong thoi gian voi nang luong va đong luong chua trong khong thoi gian đo. Nhung qua trinh hien tuong trong co hoc co đien đuoc gan cho nguyen nhan luc hap dan tac dung (nhu vat roi tu do, chuyen đong tren quy đao cua cac hanh tinh, va quy đao cua cac ve tinh nhan tao), tuong ung voi chuyen đong quan tinh trong hinh hoc cong cua khong thoi gian trong thuyet tuong đoi rong; khong co luc hap dan lam lech quy đao chuyen đong cua vat khoi đuong thang. Thay vao đo, luc hap dan la do su thay đoi tinh chat cua khong thoi gian, dan đen lam thay đoi quy đao cua vat tro thanh đuong "ngan nhat" co the ma vat se tu nhien chuyen đong theo (hay đuong trac đia trong hinh hoc vi phan). Con nguon goc đo cong cua khong thoi gian la do nang luong va đong luong cua vat chat. Nhu nha vat ly John Archibald Wheeler phat bieu, khong thoi gian noi cho vat chat cach chuyen đong; vat chat noi cho khong thoi gian cong nhu the nao.
Khi ma thuyet tuong đoi thay the nang hap dan vo huong cua vat ly co đien thanh tenxo đoi xung hang hai, thi đong thoi tenxo nay se thu ve truong hop gioi han co đien trong nhung đieu kien xac đinh. Đoi voi truong hap dan yeu va chuyen đong co van toc tuong đoi cham so voi toc đo anh sang, ly thuyet cho ket qua tien đoan trung voi tien đoan cua đinh luat van vat hap dan Newton.
Đuoc xay dung tren cong cu tenxo, thuyet tuong đoi tong quat the hien tinh hiep bien tong quat: moi đinh luat cua no va hon nua cac đinh luat thiet lap tren khuon kho tuong đoi tinh tong quat—se co dang phuong trinh nhu nhau trong moi he toa đo. Can ban hon, ly thuyet khong chua bat ky mot cau truc hinh hoc co so bat bien nao, hay thuyet tuong đoi rong co đac tinh đoc lap voi phong co so khong thoi gian (ung voi moi su phan bo vat chat va nang luong thi lai co mot dang hinh hoc khong thoi gian khac nhau). No cung thoa man đieu kien chat che cua nguyen ly tuong đoi tong quat, tuc la moi đinh luat vat ly phai nhu nhau đoi voi moi quan sat vien. Tren cuc bo, nhu đoi hoi cua nguyen ly tuong đuong, khong thoi gian cong tro thanh khong thoi gian Minkowski, va cac đinh luat vat ly tuan theo bat bien Lorentz cuc bo.


= Co so cho mo hinh vat ly =
Khai niem cot loi trong mo hinh vat ly tuong đoi tinh tong quat đo la tim nghiem cua phuong trinh truong Einstein. Khi co phuong trinh Einstein va nhung phuong trinh hay đieu kien gioi han cu the khac ve tinh chat cua vat chat (nhu phuong trinh trang thai, hoac gia đinh ve tinh đoi xung cua khong thoi gian, hoac phuong trinh đieu kien bien, đieu kien ban đau) thi nghiem cua phuong trinh se la mot đa tap tua Riemann (thong thuong đa tap nay đuoc xac đinh boi tenxo metric theo nhung he toa đo đac biet), va truong vat chat cu the xac đinh tren đa tap đo. Vat chat cung phai thoa man bat ky mot đieu kien phu nao cua cac phuong trinh khac mo ta tinh chat cua no. Hay ngan gon, moi nghiem la mot mo hinh vat ly thoa man cac đinh luat tuong đoi tinh tong quat cung nhu cac đinh luat vat ly khac chi phoi su co mat cua vat chat.
Phuong trinh truong Einstein la he phuong trinh vi phan rieng phan phi tuyen cho nhung ket qua đang tin cay, do vay rat kho đe tim đuoc nghiem chinh xac. Tuy vay, cac nha vat ly đa giai đuoc mot so nghiem chinh xac, mac dau chi co vai ba nghiem co y nghia vat ly truc tiep. Nhung nghiem chinh xac noi tieng nhat, va cung co nhieu ung dung trong vat ly thuc nghiem đo la: metric Schwarzschild, metric Reissner–Nordstrom va metric Kerr, chung la cac nghiem cua phuong trinh chan khong Einstein va moi nghiem tuong ung voi mot kieu lo đen; va metric Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker va "vu tru de Sitter", moi loai mieu ta mot vu tru co tinh đong luc. Nhung nghiem chinh xac hap dan ve mat ly thuyet bao gom "vu tru Godel" (mo ra kha nang ky la cho phep du hanh nguoc thoi gian trong khong thoi gian cong), "nghiem song-pp" cho song hap dan, "khong gian Taub-NUT" (mo hinh vu tru đong nhat, nhung phi đang huong), va "khong gian phan de Sitter" (ma gan đay tro len quan trong trong "phong đoan Maldacena" cua ly thuyet day).
Do rat kho đe tim đuoc nghiem chinh xac, cac nha vat ly đa tim cach giai phuong trinh truong Einstein bang phuong phap "tich phan so" tren may tinh, hoac xet nhung nhieu loan nho trong nghiem chinh xac. Trong linh vuc mo phong ly thuyet bang may tinh, nguoi ta su dung cac sieu may tinh đe mo phong hinh hoc cua khong thoi gian va giai phuong trinh Einstein cho nhung tinh huong quan trong nhu su va cham va sap nhap hai lo đen hay cau truc cua vu tru tren khoang cach lon. Đac biet, phuong phap nay co the ap dung cho mot he bat ky neu kha nang tinh toan cua sieu may tinh cho phep, va co the tiep can đuoc nhung cau hoi can ban nhu điem ky di hap dan. Chung ta co the tim nhung nghiem xap xi bang ly thuyet nhieu loan nhu "tuyen tinh hoa hap dan" va phuong phap tong quat hoa cua no "khai trien hau Newton", ca hai phuong phap nay đeu do Einstein phat trien. Phuong phap sau cung cap cach tiep can co he thong nham giai ra hinh hoc khong thoi gian voi su phan bo vat chat chuyen đong cham so voi toc đo anh sang. Phuong phap khai trien chua cac chuoi so hang; voi so hang thu nhat đai dien cho đong gop cua hap dan Newton, trong khi nhung so hang tiep sau the hien nhung hieu chinh nho hon cua ly thuyet Newton tu thuyet tuong đoi tong quat. Phuong phap mo rong cua phuong phap nay goi la "hinh thuc tham so hoa hau Newton", cho phep so sanh mot cach đinh luong giua nhung tien đoan cua thuyet tuong đoi rong voi nhung ly thuyet thay the phi luong tu khac.

Nghiem Schwarzchild: mieu ta khong thoi gian tinh co tinh đoi xung cau, ben ngoai ban kinh Schwarzchild. No la nghiem cua phuong trinh chan khong voi 
  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        

        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle T_{\mu \nu }{}=0}
  

Trong he toa đo cau 
  
    
      
        
          x
          
            μ
          
        
        →
        (
        c
        t
        ,
        r
        ,
        θ
        ,
        ϕ
        )
        
      
    
    {\displaystyle x^{\mu }\rightarrow (ct,r,\theta ,\phi )\,}
  
 su dung dau metric (-, +, +, +), metric Schwarzchild la 

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            d
            τ
          
          
            2
          
        
        =
        −
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  r
                  
                    s
                  
                
                r
              
            
          
          )
        
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          t
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              1
              −
              
                
                  
                    r
                    
                      s
                    
                  
                  r
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        d
        
          r
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        
          (
          
            d
            
              θ
              
                2
              
            
            +
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            θ
            
            d
            
              φ
              
                2
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=c^{2}{d\tau }^{2}=-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),}
  

voi
τ la thoi gian rieng (đo boi đong ho gan cung voi hat thu di chuyen tren tuyen the gioi kieu thoi gian)
t la toa đo thoi gian (đo boi mot đong ho đung yen nam rat xa so voi nguon hap dan),
r la toa đo xuyen tam (đo bang chu vi đuong tron chia cho 2π, cac đuong tron nam tren mat cau co tam tai nguon hap dan),
θ la đo du vi (tinh tu cuc bac, đon vi radian),
φ la kinh đo (radian), va
rs la ban kinh Schwarzschild cua nguon hap dan, no la he so ty le lien he voi khoi luong M cua "nguon hap dan khong co đien tich va khong quay" va rs = 2GM/c2.
hay dang ma tran cua metric

  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  −
                  
                    (
                    
                      1
                      −
                      
                        
                          
                            2
                            G
                            M
                          
                          
                            
                              c
                              
                                2
                              
                            
                            r
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      (
                      
                        1
                        −
                        
                          
                            
                              2
                              G
                              M
                            
                            
                              
                                c
                                
                                  2
                                
                              
                              r
                            
                          
                        
                      
                      )
                    
                    
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  
                    sin
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  θ
                
              
            
            ]
          
        
        .
         
      
    
    {\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)&0&0&0\\0&\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.\ }
  

Ta thay khi hat thu nam rat xa nguon hap dan 
  
    
      
        r
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle r\to \infty }
  
 hoac khi khong co nguon hap dan 
  
    
      
        M
        =
        0
      
    
    {\displaystyle M=0}
  
 thi metric Schwarzschild 
  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{\mu \nu }}
  
 tro thanh metric Minkowski 
  
    
      
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{\mu \nu }}
  
 sau khi chuyen tu toa đo cau sang toa đo (ct, x, y, z).
Ty so rs/r la rat nho, đoi voi Mat Troi co ban kinh Schwarzschild xap xi 3 km, trong khi no co ban kinh gan 700.000 km. Ty so nay se tuong đoi lon đoi voi lo đen va sao neutron. Ta thay tai r = rs thi metric tro len ky di (con goi la chan troi su kien), thuc ra đay la ky di do chung ta su dung he toa đo cau chu khong han la ky di thuc. Khi lua chon he toa đo phu hop, ky di nay bien mat va chi co r = 0 moi la điem ky di vat ly.


He qua cua ly thuyet Einstein Thuyet tuong đoi rong co mot so he qua vat ly. Mot so xuat hien truc tiep tu nhung tien đe cua ly thuyet, trong khi mot so khac chi tro len ro rang sau hon 100 nam nghien cuu ke tu khi Einstein cong bo ly thuyet nay.


= Su gian thoi gian do hap dan va dich chuyen tan so =

Ban đau, bang gia su nguyen ly tuong đuong la thoa man, Einstein đa chung to truong hap dan anh huong toi su troi đi cua thoi gian. Khi anh sang truyen vao truong hap dan manh thi tan so cua no tang len (hay buoc song giam đi-dich chuyen xanh), trong khi anh sang truyen theo huong nguoc lai-thoat ra khoi truong hap dan thi tan so cua no giam (hay buoc song tang-dich chuyen đo); ket hop lai, hai hieu ung nay goi chung la dich chuyen tan so do hap dan. Tan so anh sang trong mot he quy chieu cuc bo cung chinh la thoi gian đo đuoc trong he quy chieu đo. Do vay, tong quat hon, mot qua trinh se dien ra cham chap khi gan thien the khoi luong lon so voi cung qua trinh đo dien ra o mot noi xa hon; hieu ung nay goi la su gian thoi gian do hap dan-hay noi ve mat hinh hoc, thoi gian bi cong do su co mat cua vat chat.
Hieu ung dich chuyen đo đa đuoc đo trong phong thi nghiem va o nhung quan sat thien van. Su gian thoi gian trong truong hap dan cua Trai Đat cung đuoc đo nhieu lan bang cac đong ho nguyen tu, va nho hieu chinh sai lech thoi gian do hieu ung nay cho phep He thong đinh vi toan cau (GPS) hoat đong chinh xac toi vai met. Nhung kiem nghiem trong truong hap dan manh thuc hien tren quan sat cac pulsar đoi. Tat ca cac ket qua thi nghiem va quan sat đeu phu hop voi thuyet tuong đoi tong quat voi sai so nho. Tuy vay, o muc đo chinh xac hien nay, nhung quan sat nay khong the loai tru mot so ly thuyet thay the thuyet tuong đoi rong cung dua tren nguyen ly tuong đuong, va mot so ly thuyet thi bi bac bo.


= Anh sang bi lech va su tre thoi gian do hap dan =

Thuyet tuong đoi tong quat tien đoan quy đao cua anh sang bi be cong trong truong hap dan; anh sang lan truyen gan vat the khoi luong lon bi keo ve phia vat đo. Hieu ung nay đa đuoc xac nhan tu cac quan sat anh sang phat ra tu nhung ngoi sao, thien ha hay quasar o xa bi lech đi khi đi gan Mat Troi.
Hieu ung nay va nhung tien đoan lien quan la do thuc te anh sang truyen theo đuong trac đia kieu anh sang hay đuong trac đia khong—mot đuong tong quat hoa nhung đuong thang ma anh sang truyen đi trong vat ly co đien. Nhung đuong trac đia nay cung la su tong quat hoa tinh bat bien cua toc đo anh sang trong thuyet tuong đoi hep. Khi chung ta khao sat cac mo hinh khong thoi gian mot cach phu hop (hoac la phia ben ngoai ban kinh Schwarzschild, hoac khi co nhieu vat the tham gia thi su dung phuong phap khai trien hau Newton), thi mot vai hieu ung cua hap dan len su lan truyen cua anh sang xuat hien. Mac dau hien tuong lech anh sang co the suy ra đuoc khi chung ta xet anh sang truyen trong mot he quy chieu đang roi tu do, nhung ket qua tinh thu đuoc cho goc lech chi bang mot nua gia tri so voi ket qua cua thuyet tuong đoi rong.
Mot hieu ung co lien he gan gui voi anh sang bi be cong la hieu ung tre thoi gian do hap dan (hay tre Shapiro), hien tuong tin hieu anh sang truyen tu điem A toi điem B se mat thoi gian lau hon neu co mot truong hap dan giua hai điem đo so voi khi khong co truong hap dan. Đa co nhieu thi nghiem thanh cong kiem tra hieu ung nay voi đo chinh xac cao. Trong phuong phap tham so hoa hau Newton (PPN), cac phep đo bao gom ca đo lech anh sang va đo tre thoi gian do hap dan xac đinh mot tham so γ, chua su anh huong cua truong hap dan len hinh hoc cua khong gian.


= Song hap dan =

Co mot vai điem tuong tu giua truong hap dan yeu va đien tu hoc đo la, su tuong tu giua song đien tu va song hap dan: nhung bien đoi nho cua metric cua khong thoi gian lan truyen voi toc đo anh sang. Hinh dung đon gian nhat ve song hap dan co the thay la tac dung cua no len vanh hat thu đat trong vung song truyen qua. Song hinh sin lan truyen qua vanh hat theo huong vuong goc voi mat phang vanh lam bop meo vanh theo kieu dao đong đieu hoa (minh hoa hinh ben phai). Do phuong trinh truong Einstein la phi tuyen, song hap dan co cuong đo bat ky khong tuan theo nguyen ly chong chap, khien cho viec mieu ta no rat kho khan. Tuy vay, đoi voi truong yeu chung ta co the ap dung phuong phap xap xi tuyen tinh. Nhung song hap dan đuoc tuyen tinh hoa la đu chinh xac đe mieu ta cac loai song lan truyen đen Trai Đat tu nhung su kien vu tru tu rat xa neu cac may do phat hien ra chung. Khi đen Trai Đat, do nguon san sinh ra song hap dan o rat xa cho nen bien đo song thu đuoc o cac may do đuoc tinh toan vao khoang co 
  
    
      
        
          10
          
            −
            21
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{-21}}
  
 hay nho hon. Cac phuong phap phan tich du lieu thu đuoc tu may do su dung đac điem cua song hap dan tuyen tinh hoa đo la chung co the phan tich thanh tong cac chuoi tuan hoan, hay chuoi Fourier.
Mot so nghiem chinh xac mieu ta song hap dan ma khong can đen phuong phap xap xi, nhu đoan song truyen qua chan khong con goi la "vu tru Gowdy", mot loai vu tru đang gian no chua đay song hap dan. Nhung đoi voi song hap dan sinh ra tu nhung su kien thien van vat ly, nhu hai lo đen quay tren quy đao quanh nhau va cuoi cung sap nhap lai, hoac cac vu no sieu tan tinh, nhung su kien nay chi co the thuc hien mo phong tren sieu may tinh bang cac mo hinh phu hop.
Ngay 11 thang 2 nam 2016, nhom Hop tac Khoa hoc LIGO va Virgo thong bao đa đo đuoc truc tiep song hap dan phat ra tu cap lo đen khoi luong sao sap nhap vao nhau mo ra mot linh vuc moi đo la thien van song hap dan.


= Hieu ung quy đao va tinh tuong đoi cua phuong huong =

Thuyet tuong đoi tong quat tien đoan mot so ket qua khac la ve chuyen đong quy đao cua vat the so voi co hoc co đien. No tien đoan su tien đong cua điem can nhat cua quy đao hanh tinh, cung nhu su giam chu ky quy đao do he phat ra song hap dan va cac hieu ung lien quan đen tinh tuong đoi cua phuong huong.


 Su tien đong cua điem can nhat  Trong thuyet tuong đoi rong, can điem quy đao (điem cua quy đao gan nhat voi khoi tam cua he) se tien đong—hay quy đao khong phai la elip, ma gan giong voi elip khi no quay quanh khoi tam, ma se la đuong cong giong canh hoa hong (xem hinh ben). Einstein lan đau tien tim ra đuoc ket qua nay khi ong su dung phuong phap xap xi metric ve gioi han Newton va coi hanh tinh co khoi luong khong đang ke so voi Mat Troi. Đoi voi ong, ket qua tinh toan luong dich chuyen điem can nhat cua Sao Thuy bang voi gia tri ma nha thien van Urbain Le Verrier phat hien ra vao nam 1859, chinh la đieu cung co cho ong tin rang cuoi cung ong đa tim ra dang đung cua phuong trinh truong hap dan.
Hieu ung nay co the suy truc tiep tu nghiem chinh xac la metric Schwarzschild (mieu ta khong thoi gian xung quanh vat the khoi luong hinh cau) hoac su dung phuong phap khai trien hau Newton. Ve ban chat hieu ung dich chuyen điem can nhat la do anh huong cua hap dan len hinh hoc cua khong gian va su đong gop cua nang luong tu co (self-energy) cua nguon hap dan (the hien boi tinh phi tuyen cua phuong trinh truong Einstein). Su tien đong can điem đa đuoc quan sat cho mot so hanh tinh voi đo chinh xac cao (Sao Thuy, Sao Kim va Trai Đat), cung nhu o he đoi pulsar, ma o đay hieu ung the hien ro co vai bac đo lon.


 Giam chu ky quy đao  Theo thuyet tuong đoi tong quat, he sao đoi se phat ra song hap dan va vi vay he mat nang luong. Vi su mat mat nay, khoang cach quy đao giua hai vat the se giam dan, va tuong ung la chu ky quy đao. Trong he Mat Troi hoac o nhung he sao đoi, hieu ung nay rat nho va kho quan sat đuoc. Nhung đoi voi he pulsar đoi gom hai sao neutron quay quanh nhau, trong đo co mot hoac ca hai la pulsar: nhung đai thien van vo tuyen tren Trai Đat se nhan đuoc nhung xung vo tuyen rat đeu đan tu cac pulsar nay, chung đuoc coi la nhung đong ho chinh xac nhat trong tu nhien, va cho phep viec đo cac tham so quy đao cua he tro len rat chinh xac. Do sao neutron la nhung vat the nen đac va quay quanh nhau o khoang cach nho cho nen luong nang luong cua song hap dan chung phat ra la đang ke.
Hai nha thien van vo tuyen Hulse va Taylor la nhung nguoi đau tien ghi nhan su suy giam chu ky quy đao do phat ra song hap dan tu he pulsar PSR1913+16 ma ho đa phat hien ra nam 1974. Đay la kham pha gian tiep ra song hap dan đau tien va ho nhan giai Nobel Vat ly vi kham pha nay. Tu đo toi nay, cac nha thien van đa phat hien ra mot vai he pulsar đoi khac, đac biet he PSR J0737-3039 chua ca hai pulsar.


 Hieu ung trac đia va keo he quy chieu  Co mot so hieu ung tuong đoi tinh tong quat lien quan truc tiep đen tinh tuong đoi cua phuong huong. Mot hieu ung đo la đo lech trac đia: truc quay cua mot con quay trong khong thoi gian cong se bi lech đi trong qua trinh con quay di chuyen tren quy đao khi so sanh huong cua no voi mot vat co đinh o rat xa, nhu ngoi sao chang han—cho du con quay co giu huong truc quay cua no co đinh mot huong. Hieu ung nay the hien bang toan hoc chinh la qua trinh "chuyen dich song song" cua mot vecto tren đuong trac đia trong đa tap cong. Đoi voi he Mat Trang–Trai Đat, khi coi Mat Trang la mot "vecto", hieu ung nay đa đuoc đo bang cach chieu tia laser len mot tam phan quang đat tren Mat Trang do cac nha du hanh vu tru đe lai khi đo bo len Mat Trang (phuong phap đinh tam Mat Trang). Gan đay, hieu ung trac đia đa đuoc đo voi đo chinh xac hon 0,3% tu bon con quay hoi chuyen sieu dan đat tren ve tinh Gravity Probe B quay tren quy đao cuc quanh Trai Đat.
Truong hap dan gan mot thien the quay quanh truc cua no co tinh đong luc cao, hieu ung nay goi la hap dan tu hay hieu ung keo he quy chieu. Mot quan sat vien o vi tri xa se nhan thay vat thu o gan thien the quay bi "keo theo" chieu quay cua thien the đo. Hien ung nay the hien rat ro o vung khong thoi gian quanh lo đen quay, vung nay đuoc mieu ta bang metric Kerr. Khi ta mot vat đat vao "vung san cong" cua lo đen, viec no bi keo theo chieu quay cua lo đen la khong the tranh khoi. Su dung huong cua cac con quay hoi chuyen tren đuong trac đia ta cung thuc hien đuoc kiem nghiem hieu ung nay. Co mot so thu nghiem gay tranh cai khi cac nha vat ly su dung ve tinh LAGEOS đe kiem nghiem xac nhan hieu ung nay. Tau tham do Mars Global Surveyor tham hiem Sao Hoa cung đa đuoc su dung đe kiem tra hieu ung nay. Ket qua thi nghiem tu tau Gravity Probe B cung xac nhan hieu ung nay voi đo chinh xac khoang 15%.


Cac ung dung thien van vat ly = Thau kinh hap dan =

Su lech anh sang do hap dan dan đen mot hien tuong thien van vat ly moi. Neu co mot thien the khoi luong lon nam giua kinh thien van va vat the o xa thi chung ta se thu đuoc nhieu hinh anh bi meo mo cua vat nay. Hieu ung nay đuoc goi la thau kinh hap dan. Phu thuoc vao khoang cach, nguon phat, va su phan bo khoi luong cua thien the thau kinh, chung ta co the thu đuoc nhieu hon hai anh, hay tham chi la mot vanh tron goi la vanh Einstein, hoac dang cung.
Cac nha thien van lan đau tien phat hien ra thau kinh hap dan vao nam 1979; Ke tu đo toi nay, hang tram thau kinh hap dan đa đuoc phat hien va nghien cuu. Ngay ca khi nhieu hinh anh cua cung vat the hien ra qua gan nhau trong buc anh chup, cac nha khoa hoc van đo đuoc hieu ung nay, vi du, do đoi tuong muc tieu qua sang; hieu ung "vi thau kinh hap dan" đa đuoc quan sat thay.
Thau kinh hap dan tro thanh mot cong cu quan trong trong thien van quan sat. Cac nha vu tru hoc su dung no đe phat hien va uoc tinh su phan bo cua vat chat toi, ho su dung "thau kinh tu nhien" đe quan sat cac thien ha o xa va co đuoc phuong phap đoc lap nham uoc tinh hang so Hubble. Nho phan tich, đanh gia thong ke tu du lieu cac thau kinh đa cung cap nhung manh moi quan trong trong su tien hoa cau truc cua cac thien ha.


= Thien van song hap dan =

Bang quan sat cac he pulsar đoi đa cung cap nhung ket qua gian tiep khang đinh su ton tai cua song hap dan (xem phan Giam chu ky quy đao o tren). Song hap dan phat ra tu nhung nguon xa xoi trong vu tru đa đuoc quan sat truc tiep (nhu cac su kien GW150914 va GW151226), va la muc tieu chinh cua cac du an nghien cuu lien quan đen thuyet tuong đoi hien nay. Vai tram quan sat tham do song hap dan đang hoat đong tren mat đat, noi bat la cac may do song hap dan su dung giao thoa ke laser nhu GEO 600, LIGO, TAMA 300 va VIRGO. Nhieu kinh thien van vo tuyen quan sat su bien đoi nho trong chu ky quay cua cac pulsar mili giay nham phat hien song hap dan o dai tan so 10−9 đen 10−6 Hertz phat ra tu su kien sap nhap hai lo đen. Đai quan sat chau Au tren khong gian, eLISA/NGO, hien tai đang đuoc phat trien, voi phi vu thu nghiem tien phong (LISA Pathfinder) đuoc phong len vao nam 2015, va đa thu đuoc ket qua thi nghiem vuot mong đoi cua cac nha khoa hoc.
Quan sat song hap dan cung hua hen bo sung cho du lieu quan sat tu song đien tu. Chung cho phep cac nha vat ly thu đuoc thong tin ve cac lo đen va nhung thien the nen đac khac nhu sao neutron va sao lun trang, ve su kien phat no sieu tan tinh, va giai đoan hinh thanh con so khai cua vu tru, bao gom dau hieu cua loai "day vu tru" đuoc cac nha ly thuyet du đoan.


= Lo đen va cac thien the nen đac =

Bat cu khi nao ti so giua khoi luong cua vat va ban kinh cua no tro len đu lon vuot qua mot gioi han, cac nha ly thuyet tien đoan se hinh thanh mot lo đen, vung cua khong thoi gian ma khong mot thu gi, ke ca anh sang co the thoat ra đuoc. Trong nhung mo hinh đuoc chap nhan hien nay ve qua trinh tien hoa sao, cac sao neutron voi khoi luong xap xi 1,4 lan khoi luong Mat Troi, va cac lo đen co khoi luong tu vai lan đen vai chuc lan khoi luong Mat Troi đuoc cho la trang thai cuoi cung trong qua trinh tien hoa cua cac ngoi sao co khoi luong lon. Tai tam cua cac thien ha thuong co lo đen sieu khoi luong voi khoi luong tu vai trieu toi mot chuc ty lan khoi luong Mat Troi, va su co mat cua no đuoc cho la co vai tro quan trong trong qua trinh hinh thanh thien ha cung nhu cac cau truc o cap đo lon hon.

Ve mat thien van vat ly, tinh chat quan trong nhat cua cac thien the nen đac la chung cung cap mot co che hieu qua rat cao cho su bien đoi nang luong hap dan thanh buc xa đien tu. Qua trinh boi tu, vat chat khi hay bui bi thu hut ve cac lo đen, la nguyen nhan phat sang rat manh cua mot so thien the, đien hinh la nhan cac thien ha hoat đong tren quy mo thien ha hoac cac vi quasar o nhung thien the cap đo sao. Đac biet, su boi tu cung dan đen hinh thanh chum tia tuong đoi tinh, chum hat va buc xa nang luong cao voi cac hat bi ban ra voi van toc gan bang toc đo anh sang. Thuyet tuong đoi tong quat đong mot vai tro quan trong cho mo hinh hoa tat ca nhung hien tuong nay, va nhieu quan sat đa cung cap nhung bang chung thuc nghiem cho su ton tai cua lo đen voi tinh chat phu hop voi tien đoan cua ly thuyet.
Lo đen cung la muc tieu mong muon tim kiem trong nghien cuu song hap dan (xem phan song hap dan o tren). Qua trinh sap nhap cac he lo đen đoi se phat ra song hap dan voi tin hieu rat manh khi đen đuoc may do tren Trai Đat, va song hap dan phat ra o giai đoan truoc khi hai lo đen tron thanh mot co the coi la "ngon nen chuan" nham đo khoang cach đen he lo đen va cung cap phuong phap đoc lap cho nghien cuu su gian no cua vu tru o khoang cach lon. Song hap dan phat ra tu su kien lo đen khoi luong sao bi hut vao lo đen sieu khoi luong mang lai cho cac nha vat ly thong tin ve hinh hoc cua lo đen lon hon.


= Vu tru hoc =

Mo hinh chuan ve vu tru hoc hien nay dua tren phuong trinh truong Einstein co chua hang so vu tru hoc Λ, do no co anh huong quan trong đen đong luc tren quy mo lon cua vu tru,

  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          
            
              1
            
            2
          
        
        R
        
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        +
        Λ
         
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        =
        κ
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda \ g_{\mu \nu }=\kappa \,T_{\mu \nu }}
  

voi 
  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{\mu \nu }}
  
 la tenxo metric. Dua tren Nguyen ly vu tru hoc, vu tru la đong nhat va đang huong tren quy mo lon, cac nha vat ly tim ra đuoc metric Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker (metric FLRW) la nghiem chinh xac cua phuong trinh Einstein mo ta vu tru đang no ra hay co lai, cho phep mo ta su tien hoa cua vu tru tu xap xi 13,8 ty nam ve truoc, khoi nguyen tu Vu No Lon. Metric FLRW la:

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        −
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          t
          
            2
          
        
        +
        a
        (
        t
        
          )
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  d
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  −
                  k
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              r
              
                2
              
            
            d
            
              θ
              
                2
              
            
            +
            
              r
              
                2
              
            
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            θ
            
            d
            
              ϕ
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+a(t)^{2}\left({\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}
  

voi a(t) la he so ty le chi phu thuoc thoi gian, hang so k phu thuoc vao đo cong cua khong thoi gian va đuoc chuan hoa thanh -1, 0, 1 tuong ung voi mo hinh vu tru mo, phang hay đong. Cac bien 
  
    
      
        r
        ,
        θ
        ,
        ϕ
      
    
    {\displaystyle r,\theta ,\phi }
  
 la cac toa đo đong chuyen đong, ma moi thien ha co gia tri co đinh rieng. Khoang cach vu tru hoc vat ly (khoang cach thuc) đoi voi hai thien ha cach nhau mot khoang r va o thoi gian t cho truoc (trong mo hinh vu tru phang k = 0) la a(t)r, ma tang dan theo thoi gian đoi voi vu tru đang gian no. Đe xac đinh đuoc he so a(t), chung ta phai giai phuong trinh Einstein voi metric FLRW (thuc chat metric la dang tong quat đoi voi vu tru co tinh đong nhat va đang huong, no khong nhat thiet suy ra tu phuong trinh Einstein, phuong trinh nay can thiet đe tinh ra he so a(t)) gan voi dang phan bo cua vat chat. Theo Nguyen ly vu tru hoc ham y tenxo mat đo nang luong-đong luong cua vat chat va buc xa trong vu tru co dang giong voi tenxo mat đo nang luong-đong luong cua chat long tuong đoi tinh ly tuong co mat đo 
  
    
      
        ρ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (t)}
  
 va ap suat 
  
    
      
        p
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle p(t)}
  
 (ca hai co the bien đoi theo thoi gian) va tenxo mat đo nang luong-đong luong co dang 

  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        
        =
        
          (
          
            ρ
            +
            
              
                p
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          u
          
            μ
          
        
        
          u
          
            ν
          
        
        +
        p
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{\mu \nu }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }}
  

voi 
  
    
      
        
          u
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{\mu }}
  
 la bon van toc cua vat chat, va 
  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle g^{\mu \nu }}
  
 la thanh phan cua ma tran nghich đao cua ma tran co thanh phan 
  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{\mu \nu }}
  
. Tiep theo, su dung metric chung ta tinh ra đuoc he so Christoffel va tenxo Ricci, vo huong Ricci. Cung voi tenxo mat đo nang luong-đong luong thay vao phuong trinh truong Einstein chung ta thu đuoc hai phuong trinh Friedmann đoc lap sau khi sap xep lai cac so hang

  
    
      
        
          H
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    a
                    ˙
                  
                
                a
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              8
              π
              G
            
            3
          
        
        ρ
        −
        
          
            
              k
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              Λ
              
                c
                
                  2
                
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                a
                ¨
              
            
            a
          
        
        =
        −
        
          
            
              4
              π
              G
            
            3
          
        
        
          (
          
            ρ
            +
            
              
                
                  3
                  p
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              Λ
              
                c
                
                  2
                
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}
  

voi a cham co nghia la đao ham theo thoi gian cua a va H la toc đo gian no cua Vu tru goi la tham so Hubble hay hang so Hubble (gia tri hien tai cua no la 
  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{0}}
  
, va 
  
    
      
        
          
            
              a
              ˙
            
          
        
        =
        
          H
          
            0
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle {\dot {a}}=H_{0}a}
  
 hay co dang tuong tu 
  
    
      
        v
        =
        
          H
          
            0
          
        
        d
      
    
    {\displaystyle v=H_{0}d}
  
 nhu thuong viet o đinh luat Hubble). Tu hai phuong trinh ta thay H phu thuoc vao ca mat đo nang luong, đo cong cua khong thoi gian cung nhu hang so 
  
    
      
        Λ
      
    
    {\displaystyle \Lambda }
  
. Neu hang so vu tru hoc lan at mat đo nang luong, buc xa cua vat chat (ca vat chat toi va vat chat thuong) trong vu tru thi o phuong trinh Friedmann thu hai co ve trai lon hon 0 va 
  
    
      
        
          
            
              a
              ¨
            
          
        
        
          /
        
        
          a
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle {\ddot {a}}/{a}>0}
  
 dan đen su gian no cua vu tru tang toc. Ngoai hai phuong trinh tren chung ta con co them phuong trinh cua đinh luat bao toan 
  
    
      
        
          ∇
          
            ν
          
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }\,=0}
  

Phuong trinh Friedmann co the giai chinh xac khi gia su them phuong trinh trang thai cua chat long ly tuong

  
    
      
        p
        =
        w
        ρ
        
          c
          
            2
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle p=w\rho c^{2},\!}
  

voi 
  
    
      
        
        p
      
    
    {\displaystyle \!p}
  
 la ap suat, 
  
    
      
        
        ρ
      
    
    {\displaystyle \!\rho }
  
 la mat đo cua chat long trong he toa đo đong chuyen đong va 
  
    
      
        
        w
      
    
    {\displaystyle \!w}
  
 la hang so.
Trong truong hop vu tru phang (k = 0) va khi Λ=0, nghiem cho he so ty le la

  
    
      
        a
        (
        t
        )
        =
        
          a
          
            0
          
        
        
        
          t
          
            
              2
              
                3
                (
                w
                +
                1
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}}
  

voi 
  
    
      
        
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \!a_{0}}
  
 la hang so tich phan tuan theo lua chon đieu kien đau. Ho nghiem cho tham so 
  
    
      
        
        w
      
    
    {\displaystyle \!w}
  
 la rat quan trong trong mo hinh vu tru hoc.

Khi cac tham so (nhu mat đo trung binh cua vat chat, ap suat buc xa...) đuoc đo tu cac du an khao sat vu tru, va phoi hop voi cac du lieu khac nham kiem tra cac he qua ma mo hinh chuan vu tru hoc tien đoan. Cac he qua tien đoan, hau het phu hop voi du lieu quan sat, bao gom luong nguyen to hoa hoc hinh thanh trong giai đoan tong hop hat nhan nguyen thuy cua vu tru so khai tu Vu No Lon, cau truc lon cua vu tru, cung nhu su ton tai va tinh chat cua "tieng vong nhiet" tu thoi điem khoi nguyen cua vu tru, buc xa phong vi song vu tru.
Cac du an khao sat toc đo gian no cua vu tru cho phep cac nha vat ly uoc tinh đuoc tong luong vat chat trong vu tru, mac du ban chat cua mot so loai van con la bi an. Khoang 90% luong vat chat la vat chat toi, ma co tuong tac hap dan, nhung lai khong tham gia vao tuong tac đien tu, va do vay khong the quan sat truc tiep đuoc. Chua co mot ly thuyet nao mieu ta dang vat chat moi nay, ma phu hop voi khuon kho cua Mo hinh chuan trong vat ly hat hoac phai đe xuat ly thuyet sua đoi mo hinh hap dan. Du lieu thu đuoc tu cac du an khao sat dich chuyen đo tu cac vu no sieu tan tinh tu xa va đo luong tu buc xa nen vi song cung chi ra qua trinh tien hoa cua vu tru bi anh huong lon boi hang so vu tru hoc gay ra su gian no tang toc cua vu tru (mieu ta khai quat o tren), hay tuong đuong, boi mot dang nang luong ky la ket hop trong phuong trinh trang thai, goi la nang luong toi, ma ban chat cua no van chua biet đuoc.
Co mot giai đoan xay ra rat nhanh tu vu no lon đo la pha lam phat, mot giai đoan gian no gia toc cuc nhanh cua vu tru trong khoang thoi gian cuc ngan 
  
    
      
        
          10
          
            −
            33
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{-33}}
  
 giay. No đuoc neu ra tu nam 1980 voi muc đich giai thich mot so ket qua quan sat khong la he qua cua mo hinh vu tru hoc co đien, nhu su đong nhat gan nhu hoan hao cua buc xa nen vu tru. Nhung khao sat gan đay ve buc xa nen vi song vu tru cho ket qua ve chung cu đau tien cua kich ban nay. Tuy the, co nhieu kich ban lam phat khac nhau ma hien tai chua the noi kich ban nao la phu hop nhat neu rut ra tu du lieu thuc nghiem. Mot cau hoi lon hon nua trong vat ly cua vu tru so khai, truoc ca giai đoan lam phat va gan voi mo hinh vu tru hoc tien đoan ton tai ky di cua Vu No Lon. Cau tra loi cho trang thai cua giai đoan so khai nay đoi hoi cac nha vat ly phat trien mot ly thuyet hoan thien ve hap dan luong tu, ma van chua co đuoc (xem phan Hap dan luong tu ben duoi).


Cac khai niem mo rong = Cau truc nhan qua va hinh hoc toan cuc =

Trong thuyet tuong đoi rong, khong vat nao co van toc bang hoac vuot toc đo anh sang. Khong co su anh huong nao tu su kien A co the đen vi tri X truoc khi anh sang gui tu A đen X (xem them phan Chuyen sang tuong đoi tinh o tren). He qua cua no la bang cach su dung moi tuyen the gioi cua anh sang (light worldline-hay đuong trac đia khong) chung ta se thu đuoc thong tin ve cau truc nhan qua cua khong thoi gian. Cau truc nay đuoc the hien bang bieu đo Penrose–Carter trong đo nhung vung khong gian lon vo han va khoang thoi gian lon vo han đuoc co lai mot cach compact hoa đe vua voi mot bieu đo nho, trong khi van cho phep anh sang chuyen đong tren đuong nghieng 45° hoac 135° nhu trong cac bieu đo Minkowski.
Nhan thuc đuoc vai tro quan trong cua cau truc nhan qua, nha toan hoc Roger Penrose va nhung nguoi khac đa phat trien ra hinh hoc toan cuc. Trong hinh hoc nay, đoi tuong nghien cuu khong phai la mot nghiem đac biet (hoac ho nghiem) cua phuong trinh Einstein, ma la nhung lien he thoa man cho moi đuong trac đia, vi du nhu phuong trinh Raychaudhuri, cung nhu nhung gia thiet khong cu the ve ban chat cua vat chat (nhu đuoc mieu ta thanh cac đieu kien nang luong) va su dung đe suy ra cac ket qua tong quat.


= Chan troi =

Su dung hinh hoc toan cuc, nguoi ta chung minh đuoc mot so khong thoi gian chua nhung mat bien goi la chan troi (hay chan troi su kien), mat phan chia mot vung tach khoi phan con lai cua khong thoi gian. Vi du hay gap nhat đo la cac lo đen: neu khoi luong bi nen vao mot vung khong gian đu nho (nhu đuoc neu trong phong đoan vong-hoop conjecture), voi ban kinh Schwarzschild tuong ung trong nghiem Schwarzschild), va anh sang khong the thoat tu ben trong ra ngoai. Do khong co vat nao vuot qua đuoc anh sang, moi vat chat roi vao trong đeu bi giam giu lai. Tuy moi vat khong the thoat ra ngoai nhung viec vuot qua chan troi su kien đi vao ben trong lo đen la co the, va chan troi cua lo đen chi la ky di toan hoc chu khong phai la ky di vat ly thuc (cung xem phan Co so cho mo hinh vat ly o tren).

Nhung nghien cuu ban đau ve cac nghiem chinh xac cua phuong trinh truong Einstein, noi bat la nghiem Schwarzschild đoi xung cau (thuong dung đe mieu ta lo đen dung (đung yen) va khong quay) va nghiem Kerr đoi xung truc (dung đe mieu ta lo đen dung, quay quanh truc cua no, lo đen nay co them nhung đac trung moi nhu mat cau san cong-ergosphere). Bang su dung hinh hoc toan cuc, cac nha vat ly sau đo đa phat hien them nhung tinh chat tong quat cua lo đen. Đo la mieu ta bang vat ly cac lo đen chi đon gian can muoi mot tham so xac đinh bao gom nang luong (1 tham so), đong luong (3), momen đong luong (3), vi tri cua no tai thoi gian cu the (3) va đien tich (1) lo đen. Đay chinh la phat bieu cua đinh ly ve đac trung duy nhat cua lo đen: "cac lo đen khong co toc", nghia la no khong co nhung đac điem khac phan biet giong nhu cac kieu toc o nguoi. No khong phu thuoc vao su phuc tap ve cau truc cung nhu thanh phan, trang thai cua thien the truoc khi suy sup hap dan hinh thanh len lo đen, lo đen sinh ra (sau khi qua trinh suy sup phat ra song hap dan) co nhung đac điem rat đon gian.
Đang chu y hon nua, co mot bo cac đinh luat goi la co hoc lo đen, tuong tu nhu cac đinh luat nhiet đong luc hoc. Vi du, đinh luat hai cua co hoc lo đen, dien tich cua chan troi su kien cua lo đen tong quat se khong bao gio giam theo thoi gian, tuong tu nhu entropy cua he nhiet đong luc hoc. Đinh luat nay gioi han nang luong ma chung ta co the thu đuoc theo nghia co đien tu mot lo đen quay (vi du theo tien trinh Penrose). Co chung cu manh cho rang cac đinh luat cua co hoc lo đen thuc te chi la tap con cua cac đinh luat nhiet đong luc hoc, va dien tich chan troi su kien ty le voi entropy cua no. Ket qua nay dan đen su sua đoi cac đinh luat co hoc lo đen ban đau: nhu đinh luat thu hai se tro thanh mot phan cua đinh luat thu hai trong nhiet đong luc hoc, dien tich chan troi lo đen khong the giam—trong khoang thoi gian nhung qua trinh khac đam bao rang, tren toan the entropy luon tang. Khi xet tren phuong dien la mot vat trong can bang nhiet đong voi nhiet đo khac khong, lo đen se phat ra buc xa nhiet. Nhung tinh toan ban co đien cho thay ket qua đung nhu vay, voi be mat hap dan đong vai tro la nhiet đo trong đinh luat Planck. Buc xa nay goi la buc xa Hawking (xem phan ly thuyet luong tu ben duoi).
Ngoai chan troi su kien o cac lo đen con co nhung loai chan troi khac. Trong mo hinh vu tru đang gian no, mot quan sat vien se thay rang mot so vung khong thoi gian trong qua khu khong bao gio quan sat đuoc ("chan troi hat"), va mot so vung trong tuong lai khong bao gio bi anh huong (chan troi vu tru hoc). Ngay ca trong khong thoi gian Minkowski phang, đuoc mieu ta bang mot quan sat vien đang chuyen đong gia toc đeu (khong gian Rindler), se co chan troi xuat hien ket hop voi dang buc xa ban co đien goi la "hieu ung Unruh".


= Ky di =

Mot đac trung tong quat khac—va kha nhieu loan—cua thuyet tuong đoi tong quat đo la su xuat hien cua nhung ky di khong thoi gian. Chung ta co the mieu ta cau truc khong thoi gian bang su dung cac đuong trac đia kieu thoi gian cung nhu cac đuong truyen tia sang— moi con đuong kha di ma anh sang hay vat chat co the di chuyen đuoc. Nhung mot so nghiem cua phuong trinh truong Einstein co nhung "mom sac"—nhung vung goi la ky di khong thoi gian, noi đuong trac đia cua anh sang va hat ket thuc đot ngot, va hinh hoc cua khong thoi gian khong con đuoc xac đinh. Trong truong hop thu vi hon, co nhung "ky di đo cong", noi cac đai luong đac trung boi đo cong khong thoi gian, nhu đo cong vo huong Ricci hoac binh phuong đo cong Riemann, nhan gia tri vo han. Nhung vi du thuong gap ve khong thoi gian voi ky di tuong lai—noi tuyen the gioi ket thuc (worldline)—la nghiem Schwarzschild, mieu ta điem ky di ben trong lo đen dung khong quay (xem Co so cho mo hinh vat ly o tren), hoac nghiem Kerr mieu ta vong ky di ben trong mot lo đen dung quay quanh truc cua no. Nghiem Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker va nhung khong thoi gian khac mieu ta vu tru co điem ky di qua khu noi cac tuyen the gioi bat đau, hay o ky di cua Vu No Lon, cung nhu chung co nhung điem ky di tuong lai (nhu Vu co lon).
Nhung nghiem mieu ta o tren co mot so đac điem đoi xung—va do vay đa đuoc đon gian hoa—va biet đau su xuat hien cua nhung ky di nay chi la su ly tuong hoa nhan tao (do gia su tinh đoi xung va chon he toa đo-xem muc Chan troi o tren). Tuy nhien theo đinh ly điem ky di, chung minh bang phuong phap cua hinh hoc toan cuc, noi rang: cac điem ky di la nhung đac điem chung noi tai cua thuyet tuong đoi tong quat, va su suy sup hap dan cua ngoi sao thuc voi khoi luong đu lon tro thanh lo đen khong tranh khoi xuat hien điem ky di nay cung nhu ton tai điem ky di o su khoi đau cua nhung mo hinh vu tru đang gian no. Tuy vay, đinh ly nay noi rat it ve đac điem cua cac ky di, va hien nay đang co nhung no luc nghien cuu nham phan loai cau truc nhung thuc the nay (nhu phong đoan BKL). "Phong đoan su kiem duyet vu tru" phat bieu rang moi ky di tuong lai thuc (cau hinh vat chat khong co đoi xung hoan hao, cung nhu cac đac tinh thuc khac) bi an giau an toan ben duoi chan troi su kien, va do vay quan sat vien o xa se khong nhin thay đuoc. Tuy chua co chung minh chat che bang toan hoc, cac mo phong may tinh đeu ung ho ket qua cua phong đoan nay.


= Phuong trinh tien hoa =
Moi nghiem cua phuong trinh Einstein chua toan bo lich su cua mot khong thoi gian ma no mieu ta — no khong chi chup lai vat the hoat đong nhu the nao ma con la toan bo khong thoi gian co the chua vat chat. Nghiem mieu ta trang thai cua vat chat va hinh hoc khap noi va tai moi thoi điem trong khong thoi gian. Do tuan theo nguyen ly hiep bien tong quat (tinh bat bien cua phuong trinh cac đinh luat vat ly duoi moi phep bien đoi he toa đo), ly thuyet cua Einstein khong đu đe xac đinh phuong trinh tien hoa theo thoi gian cua tenxo metric. No phai ket hop voi cac đieu kien toa đo, tuong tu nhu phep tron chuan (gauge fixing) trong nhung ly thuyet truong khac.
Đe hieu phuong trinh truong Einstein nhu la he phuong trinh vi phan rieng phan, se thuan loi khi chung ta thiet lap chung theo cach mieu ta su tien hoa cua cau truc hinh hoc theo thoi gian. Đieu nay đuoc thuc hien trong hinh thuc "3+1", voi khong thoi gian tach ra thanh 3 chieu khong gian va 1 chieu thoi gian. Vi du nhu hinh thuc luan ADM. Cach phan tach nay cho thay cac phuong trinh tien hoa cua khong thoi gian trong thuyet tuong đoi rong hoat đong tron tru: phuong trinh luon luon ton tai nghiem xac đinh duy nhat, va phu hop voi đieu kien ban đau đinh truoc. Nhung hinh thuc luan phan tach phuong trinh Einstein la co so cho nganh mo phong khong thoi gian trong thuyet tuong đoi tren sieu may tinh.


= Cac đai luong toan cuc va gia cuc bo =

Khai niem phuong trinh tien hoa co lien he mat thiet voi nhung khia canh khac cua vat ly tuong đoi tinh tong quat. Trong ly thuyet Einstein, chung ta khong the co đuoc mot đinh nghia chung cho mot thuoc tinh co ve đon gian cua mot he nhu tong khoi luong (hay nang luong). Ly do chinh đo la truong hap dan—nhu nhung truong vat ly khac— phai đuoc gan cho mot luong nang luong xac đinh, nhung cac nha vat ly đa chung minh rang ve co ban chung ta khong the cuc bo hoa (hay đinh xu) nang luong hap dan (tuc la khong xac đinh cu the đuoc nang luong hap dan o pham vi cuc bo).
Mac du vay, chung ta van co the xac đinh tong khoi luong cua he (khoi luong toan cuc), hoac su dung ky thuat "quan sat vien o xa vo tan" (khoi luong ADM) hoac cac đoi xung phu hop (khoi luong Komar). Neu chung ta tru vao tong khoi luong cua he boi nang luong do song hap dan mang ra xa vo tan, ket qua thu đuoc goi la khoi luong Bondi đoi voi quan sat vien o xa vo tan. Cung giong nhu trong vat ly co đien, cac nha vat ly đa chung minh đuoc nhung khoi luong nay phai duong. Va cung co tuong ung đinh nghia khoi luong (nang luong) toan cuc voi viec đinh nghia đong luong va momen đong luong tren toan cuc. Cung đa co nhung co gang cho viec đinh nghia nhung đai luong gia cuc bo, nhu khoi luong cua mot he co lap bang cach chi su dung nhung đai luong đuoc xac đinh ben trong pham vi cua khong thoi gian chua he đo. Muc đich cua viec nay la nham thu đuoc nhung đai luong gia cuc bo co ich trong viec mieu ta he co lap, nhu viec phat bieu chinh xac bang toan hoc phong đoan vong (hoop conjecture).


Moi quan he voi thuyet luong tu Thuyet tuong đoi tong quat la mot trong hai tru cot cua vat ly hien đai, tru cot kia chinh la thuyet luong tu, co so cho hieu biet cua chung ta ve vat chat tu cac hat co ban đen vat ly trang thai ran. Tuy nhien, cau hoi mo ve moi lien he giua hai ly thuyet van la bai toan kho cua vat ly hien đai.


= Ly thuyet truong luong tu trong khong thoi gian cong =

Ly thuyet truong luong tu thong thuong, co so cua vat ly hat co ban, đuoc xac đinh trong khong thoi gian Minkowski phang; ly thuyet nay mieu ta hanh trang cua cac hat vi mo trong truong hap dan rat yeu va coi nhu bo qua giong nhu thuong gap tren Trai Đat. Đe mieu ta nhung luc hap dan tro len đu manh đe anh huong toi vat chat luong tu, nhung chua đu manh đe can thiet phai luong tu hoa hap dan, cac nha vat ly phai thiet lap ly thuyet truong luong tu trong khong thoi gian cong. Nhung ly thuyet nay dua tren thuyet tuong rong mieu ta boi canh khong thoi gian cong, tren đo xac đinh mot truong luong tu nham mieu ta hanh trang cua vat chat luong tu trong khong thoi gian đo. Su dung ly thuyet nay, Hawking va cac nha vat ly chung minh đuoc lo đen phat ra dang pho buc xa vat đen cac hat luong tu goi la buc xa Hawking, dan đen he qua cua su boc hoi lo đen trong thoi gian dai. Nhu đa mieu ta ngan o tren, buc xa nay đong vai tro quan trong trong nhiet đong luc hoc lo đen.


= Hap dan luong tu =

Su đoi hoi cho tinh nhat quan giua cach mieu ta luong tu ve vat chat va mieu ta hinh hoc cau truc khong thoi gian, cung nhu su xuat hien cua ky di khong thoi gian (noi đo cong hinh hoc o thang vi mo), am chi can thiet co mot ly thuyet đay đu ve hap dan luong tu: đe mieu ta đac điem gan ky di ben trong lo đen, va o thoi điem so khai cua vu tru, ly thuyet đoi hoi hap dan va cau truc khong thoi gian đi kem đuoc mieu ta bang ngon ngu cua vat ly luong tu. Cho du đa co nhung no luc lon, chua mot ly thuyet hoan chinh va nhat quan nao ve hap dan luong tu hien nay đuoc cong nhan rong rai, ngay ca khi hua hen mot so ung cu vien đay sang gia.

Khi cac nha vat ly co gang tong quat hoa nhung ly thuyet truong luong tu thong thuong, va su dung vat ly hat co ban đe mieu ta cac tuong tac co ban cung nhu gop ca tuong tac hap dan vao đa dan đen nhung van đe nghiem trong. O muc nang luong thap, cach tiep can nay đa thanh cong, voi ket qua la ly thuyet truong huu hieu (luong tu) ve hap dan đuoc moi nguoi chap nhan. Tuy nhien đoi voi muc nang luong cao, ket qua cua mo hinh mat đi tinh tien đoan cua no ("khong tai chuan hoa đuoc").

Mot ly thuyet nham vuot qua nhung tro ngai nay la ly thuyet day, ly thuyet luong tu khong coi cac hat điem la nhung vien gach co ban, ma thay vao đo la nhung day dao đong rat nho va co mot chieu. Ly thuyet nay hua hen mot cach mieu ta thong nhat cho moi hat va cac tuong tac, bao gom ca hap dan; nhung cai gia phai tra la nhung đac điem ki la trong ly thuyet day nhu khong gian co them 6 chieu phu them ngoai 3 chieu đa co. Trong giai đoan ma cac nha ly thuyet day goi la "cuoc cach mang sieu day lan hai", nguoi ta đa neu ra phong đoan su ket hop ly thuyet day va su thong nhat voi thuyet tuong đoi tong quat va sieu đoi xung thanh mot ly thuyet goi la sieu hap dan tao nen mot phan cua mo hinh gia thuyet voi 10 chieu khong gian va 1 chieu thoi gian goi la thuyet M, mot ly thuyet xac đinh duy nhat va nhat quan ve hap dan luong tu. Tat ca cac ly thuyet nay đeu chua đuoc thuc nghiem kiem chung.
Mot cach tiep can khac đo la thu tuc luong tu hoa chinh tac trong co hoc luong tu. Su dung hinh thuc luan ve gia tri ban đau cua thuyet tuong đoi rong (xem Phuong trinh tien hoa o tren), cac nha vat ly thu đuoc phuong trinh Wheeler–deWitt (phuong trinh tuong tu nhu phuong trinh Schrodinger) nhung đang tiec la no đa khong đung. Tuy the, voi bien Ashtekar đuoc đua ra, dan đen mot mo hinh hua hen khac đo la hap dan luong tu vong. Trong thuyet nay, khong gian đuoc mieu ta bang cau truc luoi nhu mang luoi spin, va no tien hoa trong thoi gian theo nhung buoc roi rac.
Phu thuoc vao đac điem nao cua thuyet tuong đoi tong quat va thuyet luong tu đuoc giu nguyen, va muc đo thay đoi cac đac điem khac, đa co rat nhieu ly thuyet đuoc đua ra nham canh tranh voi thuyet hap dan luong tu, nhu đong luc hoc tam phan, tap nhan qua, mo hinh twistor hoac mo hinh dua tren tich phan đuong ve vu tru luong tu.
Moi ly thuyet mieu ta trong phan nay van co nhung van đe trong ly luan, khai niem va phong đoan ma chua vuot qua đuoc. Va chung đoi mat voi chung mot van đe đo la, chua co mot cach nao nham đua cac ket qua ly thuyet ra kiem chung bang thuc nghiem đuoc (va do vay cho phep cac nha vat ly quyet đinh đuoc ly thuyet nao co trien vong tro len đung va loai bo nhung ly thuyet nao), mac du co hy vong trong tuong lai đieu nay se thay đoi khi cac du lieu thuc nghiem trong vat ly hat co ban nang luong cao cung nhu tu cac quan sat thien van hoc cho phep voi đo chinh xac cao hon va tinh te hon.


Trang thai phat trien Thuyet tuong đoi rong đa noi len nhu la mot mo hinh thanh cong lon ve luc hut hap dan va vu tru hoc, ma no đa vuot qua đuoc rat nhieu quan sat va thi nghiem kiem chung mot cach mach lac. Tuy nhien, co nhung dau hieu cho thay ly thuyet chua hoan chinh. Van đe ve hap dan luong tu va cau hoi ve tinh thuc tai cua cac ky di khong thoi gian van đang la nhung cau hoi mo mang tinh thoi su. Du lieu quan sat mang lai chung cu cho nang luong toi va vat chat toi cho thay cac nha vat ly can phai tim kiem mot nen vat ly moi. Ngay ca voi ban than ly thuyet, thuyet tuong đoi tong quat la mo vang giau tiem nang cho nhung kham pha moi. Nhieu nha vat ly tuong đoi tinh nghien cuu thuyet tuong đoi bang cong cu toan hoc nham tim hieu ban chat cua cac ky di va nhung tinh chat co ban cua phuong trinh truong Einstein, cung nhu gia tang su dung sieu may tinh đe mo phong (nhu mieu ta qua trinh cac lo đen va cham va sap nhap) trong linh vuc so hoa thuyet tuong đoi (numerical relativity). Sau su kien quan sat đuoc truc tiep song hap dan boi Advanced LIGO, linh vuc thien van song hap dan đa mo ra mot nhanh ung dung moi cho thuyet tuong đoi tong quat. Mot the ky sau khi đuoc cong bo, thuyet tuong đoi rong van đang la linh vuc nghien cuu soi noi va đay hua hen trong nhieu thap ky toi.


Xem them Gioi thieu thuyet tuong đoi rong
Ly thuyet tuong đoi hep


Chu thich Nguon tham khao Đoc them = Sach pho thong =
Geroch, Robert (1981). General Relativity from A to B. Chicago: Nha xuat ban Đai hoc Chicago. ISBN 0-226-28864-1.
Wald, Robert M. (1992). Space, Time, and Gravity: the Theory of the Big Bang and Black Holes. Chicago: Nha xuat ban Đai hoc Chicago. ISBN 0-226-87029-4.
Thorne, Kip S. (1995). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. Thanh pho New York: W. W. Norton. ISBN 0-393-31276-3.


= Sach giao khoa =


 Sach can ban  Hughston, L.; Tod, K. P. (1991). Introduction to General Relativity. Cambridge: Nha xuat ban Đai hoc Cambridge. ISBN 0-521-33943-X.
d'Inverno, Ray (1992). Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Nha xuat ban Đai hoc Oxford. ISBN 0-19-859686-3.
Schutz, Bernard F. (1985). A First Course in General Relativity. Cambridge: Nha xuat ban Đai hoc Cambridge. ISBN 0-521-27703-5.
Stephani, Hans (1990). General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field. Cambridge: Nha xuat ban Đai hoc Cambridge. ISBN 0-521-37941-5.
Ohanian, Hans C.; Ruffini, Remo (1994). Gravitation and Spacetime. Thanh pho New York: W. W. Norton. ISBN 0-393-96501-5.
Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (2000). Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity. Addison Wesley. ISBN 0-201-38423-X.


 Sach nang cao  Carroll, Sean M. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8732-3.
Landau, L. D.; Lifschitz, E. F. (1980). The Classical Theory of Fields. Luan Đon: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.
Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.
Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: Nha xuat ban Đai hoc Chicago. ISBN 0-226-87033-2.


 Sach chuyen đe  Lightman, Alan P.; Press, William H.; Teukolsky, Saul A. (1975). Problem Book in Relativity and Gravitation. Princeton, New Jersey: Nha xuat ban Đai hoc Princeton. ISBN 0-691-08162-X.
Poisson, Eric (2004). A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black Hole Mechanics. Cambridge: Nha xuat ban Đai hoc Cambridge. ISBN 0-521-83091-5.
Stewart, John (1993). Advanced General Relativity. Cambridge: Nha xuat ban Đai hoc Cambridge. ISBN 0-521-44946-4.
De Felice, F.; Clarke, C. J. (1992). Relativity on Curved Manifolds. Cambridge: Nha xuat ban Đai hoc Cambridge. ISBN 0-521-42908-0.
Hawking, Stephen W.; Ellis, George F.R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Nha xuat ban Đai hoc Cambridge. ISBN 978-0-521-09906-6.


Lien ket ngoai Hawking, Steven (2001). Vu tru trong mot vo hat: Luoc su ve thuyet tuong đoi. Bantam. ISBN 0-553-71449-X. Ban dich tieng Viet cua Da Trach.
Einstein Online Luu tru ngay 1 thang 6 nam 2014 tai Wayback Machine – Articles on a variety of aspects of relativistic physics for a general audience; hosted by the Max Planck Institute for Gravitational Physics
NCSA Spacetime Wrinkles Luu tru ngay 27 thang 3 nam 2015 tai Wayback Machine – produced by the numerical relativity group at the NCSA, with an elementary introduction to general relativity
Bai giang truc tuyen, sach đien tu
Einstein's General Theory of Relativity by Leonard Susskind's Modern Physics lectures. Recorded ngay 22 thang 9 nam 2008 at Stanford University
Series of lectures on General Relativity given in 2006 at the Institut Henri Poincare (introductory courses and advanced ones).
General Relativity Tutorials Luu tru ngay 7 thang 7 nam 2007 tai Wayback Machine by John Baez
Brown, Kevin. "Reflections on relativity". Mathpages.com. Truy cap ngay 25 thang 3 nam 2013.
Carroll, Sean M. "Lecture Notes on General Relativity". Truy cap ngay 25 thang 3 nam 2013.
Moor, Rafi. "Understanding General Relativity". Truy cap ngay 25 thang 3 nam 2013.
Waner, Stefan. "Introduction to Differential Geometry and General Relativity" (PDF). Truy cap ngay 13 thang 9 nam 2015.