Đinh ly Euclid–Euler la mot đinh ly trong ly thuyet so lien he so hoan thien voi so nguyen to Mersenne. Đinh ly nay phat bieu rang mot so chan la so hoan thien khi va chi khi no co dang 2p−1(2p − 1), trong đo 2p − 1 la so nguyen to. No đuoc đat ten theo hai nha toan hoc Euclid va Leonhard Euler, la hai nguoi đa lan luot chung minh đuoc phan "khi" va "chi khi" cua đinh ly.
Co gia thuyet cho rang co vo so so nguyen to Mersenne. Mac du van chua ro gia thuyet nay co chinh xac hay khong, nhung theo đinh ly Euclid–Euler, no tuong đuong voi gia thuyet rang co vo so so hoan thien chan. Tuy nhien, cung chua ro co ton tai mot so hoan thien le hay khong.


Phat bieu va vi du So hoan thien la mot so tu nhien co gia tri bang tong cac uoc that su cua no (uoc thuc su cua mot so đuoc đinh nghia la nhung so nho hon no va chia het no, voi so du bang khong). Vi du, cac uoc that su cua 6 la 1, 2 va 3, va ba so tren co tong bang 6, nen 6 la so hoan thien.
So nguyen to Mersenne la so nguyen to co dang Mp = 2p − 1, nho hon 1 đon vi so voi luy thua cua 2. Đe mot so dang nay la so nguyen to thi p phai la so nguyen to, nhung khong phai moi so nguyen to ap vao cong thuc tren đeu cho gia tri la so nguyen to Mersenne. Chang han, 23 − 1 = 7 la so nguyen to Mersenne, nhung 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 thi khong phai.
Đinh ly Euclid–Euler phat bieu rang mot so tu nhien chan la so hoan thien khi va chi khi no co dang 2p−1Mp voi Mp la so nguyen to Mersenne. So hoan thien 6 co đuoc trong truong hop p = 2 do 22−1M2 = 2 × 3 = 6, va so nguyen to Mersenne 7 thay vao dang noi tren cho gia tri la so hoan thien 28.


Lich su Euclid chung minh đuoc 2p−1(2p − 1) la so hoan thien chan khi 2p − 1 la so nguyen to. Đay la ket qua cuoi cung ve ly thuyet so trong bo Co so cua Euclid; cac cuon tiep theo trong bo sach nay tap trung vao so vo ti, hinh hoc khong gian va ty le vang. Euclid the hien ket qua nay bang cach phat bieu rang neu mot cap so nhan huu han voi so hang đau la 1 va cong boi la 2 co tong la so nguyen to q, thi tong nay nhan cho so hang cuoi cung t cua day so nay la mot so hoan thien. Bieu dien cu the đoi voi day so nay thi tong q cua cac so hang la so nguyen to Mersenne 2p − 1 va so hang cuoi cung cua day t la luy thua cua 2, 2p−1. Euclid chung minh qt la so hoan thien khi nhan thay mot cap so nhan thu hai, voi so hang đau la q, cong boi la 2 va co cung so cac so hang, co tinh ty le thuan voi cap so nhan ban đau; do đo, vi tong cua day so ban đau la q = 2t − 1 nen tong cua day so thu hai la q(2t − 1) = 2qt − q, va tong cua ca hai day so cong lai la 2qt, bang hai lan so hoan thien gia thiet luc đau. Tuy nhien, hai day so nay lai khong giao nhau va (do tinh nguyen to cua q) vet kiet tat ca cac uoc cua qt, nen qt la mot so co tong cac uoc bang 2qt, dan đen no la so hoan thien.
Hon mot thien nien ky sau Euclid, Alhazen khoang nam 1000 sau Cong nguyen đua ra gia thuyet rang moi so hoan thien chan đeu co dang 2p−1(2p − 1) voi 2p − 1 la so nguyen to, nhung ong khong the chung minh đuoc gia thuyet đo. Phai đen the ky 18, hon 2000 nam sau Euclid, Leonhard Euler moi chung minh đuoc rang cong thuc 2p−1(2p − 1) luon cho gia tri la so hoan thien chan. Nhu vay, ton tai moi lien he mot–mot giua so hoan thien chan va so nguyen to Mersenne; moi so nguyen to Mersenne cho mot so hoan thien chan tuong ung, va nguoc lai. Tu sau chung minh cua Euler, nhieu nha toan hoc đa xuat ban cac cach chung minh khac cho đinh ly Euclid–Euler nhu Victor-Amedee Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Leonard Eugene Dickson, John Knopfmacher va Wayne L. McDaniel. Đac biet, chung minh cua Dickson đa đuoc nhac đen pho bien trong sach giao khoa.
Đinh ly nay nam trong danh sach web "top 100 đinh ly toan hoc", co tu nam 1999, ma ve sau đuoc Freek Wiedijk su dung lam kiem chuan đe kiem tra đo manh cua cac trinh ho tro chung minh đinh ly khac nhau. Tinh đen nam 2021, phan chung minh cua đinh ly Euclid–Euler đa đuoc đinh hinh tai 5 tren 10 trinh ho tro ma Wiedijk theo doi.


Chung minh Chung minh cua Euler la mot chung minh ngan va dua tren co so rang ham tong cac uoc σ la ham nhan tinh, nghia la neu a va b la hai so nguyen to cung nhau thi σ(ab) = σ(a)σ(b). Đe cong thuc nay chinh xac, tong cac uoc cua mot so phai tinh ca so hang la chinh so đo chu khong chi tinh cac uoc that su cua no. Mot so đuoc coi la hoan thien khi va chi khi tong cac uoc cua no bang hai lan so đo.


= Đieu kien đu =
Phan đau tien cua đinh ly (phan đa đuoc Euclid chung minh) đuoc suy ra tu tinh nhan tinh: moi so nguyen to Mersenne tuong ung voi mot so hoan thien chan đuoc tao thanh. Khi 2p − 1 la so nguyen to thi

  
    
      
        σ
        (
        
          2
          
            p
            −
            1
          
        
        (
        
          2
          
            p
          
        
        −
        1
        )
        )
        =
        σ
        (
        
          2
          
            p
            −
            1
          
        
        )
        σ
        (
        
          2
          
            p
          
        
        −
        1
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).}
  

Cac uoc cua 2p−1 la 1, 2, 4, 8, ..., 2p−1, tao thanh mot cap so nhan voi tong la 2p − 1. Vi 2p − 1 la so nguyen to nen no chi co hai uoc la 1 va chinh no, va do đo, tong cac uoc cua no la 2p.
Ket hop lai, ta co:

  
    
      
        
          
            
              
                σ
                (
                
                  2
                  
                    p
                    −
                    1
                  
                
                (
                
                  2
                  
                    p
                  
                
                −
                1
                )
                )
              
              
                
                =
                σ
                (
                
                  2
                  
                    p
                    −
                    1
                  
                
                )
                σ
                (
                
                  2
                  
                    p
                  
                
                −
                1
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                
                  2
                  
                    p
                  
                
                −
                1
                )
                (
                
                  2
                  
                    p
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                2
                (
                
                  2
                  
                    p
                    −
                    1
                  
                
                )
                (
                
                  2
                  
                    p
                  
                
                −
                1
                )
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1).\end{aligned}}}
  

Do đo, 2p−1(2p − 1) la so hoan thien.


= Đieu kien can =
Nguoc lai, gia su ton tai mot so hoan thien chan đuoc phan tich mot phan duoi dang 2kx, voi x la so le. Đe 2kx la so hoan thien thi tong cac uoc cua no phai bang hai lan so đo:
Thua so le 2k+1 − 1 o ve phai cua (∗) co gia tri nho nhat la 3, va no phai la uoc cua x, thua so le duy nhat o ve trai, nen y = x/(2k+1 − 1) la mot uoc that su cua x. Chia ca hai ve cua (∗) cho thua so chung 2k+1 − 1 va xem xet cac uoc so x va y đa biet cua x, ta đuoc

Đe đang thuc tren đung thi khong the ton tai mot uoc so nao khac. Do đo, y phai bang 1, va x phai la mot so nguyen to dang 2k+1 − 1.


Tham khao