Trong toan hoc, so thap phan vo han tuan hoan 0,999... hay con đuoc viet 
  
    
      
        
          
            0,
          
        
        
          
            
              9
              ¯
            
          
        
        ;
        
          
            0,
          
        
        
          
            
              9
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{0,}}{\bar {9}};{\mbox{0,}}{\dot {9}}}
  
 hoac 
  
    
      
        
          
            0,(9)
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{0,(9)}}\,\!}
  
 la mot so thuc bang 1. Noi cach khac: ky hieu 0,999... va 1 đeu the hien cung mot so thuc. Đieu nay đa đuoc nhieu giao su toan hoc tren the gioi cong nhan va đuoc giang day trong nhieu sach giao khoa. Nhieu cach chung minh khac nhau đa đuoc trinh bay, dua vao nhieu phep tinh toan tren cac so thuc, cac kien thuc đa đuoc cong nhan va tuy theo muc đich cua nguoi đoc. Trong thuc te, so thuc co thuc co the đuoc đai dien boi mot day so thap phan vo han va su thuc nay moi nhin giong nhu mot nghich ly. Đieu nay co the tranh đuoc voi nhieu he thong so hay cach bieu dien so khac nhu vi phan: mot đai luong bien thien nho vo cung luon chay ve 0 nhung khong bao gio bang 0, so p-adic.


Chung minh Co nhieu cach đe chung minh đieu nay: van dung cac kien thuc so hoc, đai so, giai tich, chuoi vo han, van dung chia khoang va tinh bi chan, dua vao cau truc cua cac so thuc, day Cauchy... Duoi đay la cac cach đon gian nhat.


= So hoc =


 Phan so va phep chia  Ta co:

Mot phien ban rut gon khac la

  
    
      
        1
        =
        
          
            9
            9
          
        
        =
        9
        ×
        
          
            1
            9
          
        
        =
        9
        ×
        
          
            0,111
          
        
        ⋯
        =
        
          
            0,999
          
        
        …
      
    
    {\displaystyle 1={\frac {9}{9}}=9\times {\frac {1}{9}}=9\times {\mbox{0,111}}\dots ={\mbox{0,999}}\dots }
  

Ca hai phep chung minh đeu cho thay gia tri cua 0,999... phai bang 1. Đon gian hon, ta co 3/3 = 1


 Bien đoi so hoc  Đat:

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                
                  
                    0,999
                  
                
                …
              
            
            
              
                10
                x
              
              
                
                =
                
                  
                    9,999
                  
                
                …
              
            
            
              
                10
                x
                −
                x
              
              
                
                =
                
                  
                    9,999
                  
                
                …
                −
                
                  
                    0,999
                  
                
                …
              
            
            
              
                9
                x
              
              
                
                =
                9
              
            
            
              
                x
              
              
                
                =
                1
              
            
            
              
                
                  
                    0,999
                  
                
                …
              
              
                
                =
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\mbox{0,999}}\ldots \\10x&={\mbox{9,999}}\ldots \\10x-x&={\mbox{9,999}}\ldots -{\mbox{0,999}}\ldots \\9x&=9\\x&=1\\{\mbox{0,999}}\ldots &=1\end{aligned}}}
  


Van đe lien quan Con rua bo truoc chang luc si Asin. Du Asin chay rat nhanh nhung anh se khong bao gio đuoi kip rua vi moi lan chang đen noi rua đa đen thi no đa kip bo mot đoan. Do đo du khoang cach giua chang va rua ngay cang rut ngan nhung Asin van khong theo kip rua. Đieu nay co the giai quyet đon gian bang cach tim gioi han cua tong vo han cac so day so co cap so lon hon 0 va be hon 1. Vi du:

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              1
              −
              
                
                  (
                  
                    
                      1
                      4
                    
                  
                  )
                
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            
              1
              −
              
                
                  1
                  4
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                
                  1
                  4
                
              
            
          
        
        =
        
          
            4
            3
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.}
  

Tong vo han cac so hang trong day so:

  
    
      
        1
        +
        
          
            1
            4
          
        
        +
        
          
            1
            
              4
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              4
              
                3
              
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          
            4
            3
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}.}
  

Trong toan hoc co quy tac khong the chia cho so 0, neu cong nhan so co the chia cho 0 va thi se xay ra nhieu nghich ly. Vi du:

  
    
      
        +
        ∞
        =
        
          
            1
            0
          
        
        =
        
          
            1
            
              −
              0
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            0
          
        
        =
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty ={\frac {1}{0}}={\frac {1}{-0}}=-{\frac {1}{0}}=-\infty }
  

So am khong la mot con so ton tai trong may tinh, phat sinh do mot so phuong phap bieu dien so nguyen am va hau het cac phuong phap bieu dien so cham đong (floating point). Toan hoc khong co đinh nghia tuong đuong ve so am khong, do đo, −0 va 0 la hoan toan nhu nhau. Trong cac khoa hoc khac, −0 co the đuoc su dung đe bieu thi mot so luong nho hon khong, nhung khong đang ke, nen khong the lam tron thanh mot con so co nghia.


Xem them Vo han
Giai tich thuc
Chuoi (toan hoc)


Chu thich Tham khao Lien ket ngoai 0,999999… = 1? tu cut-the-knot
Tai sao 0.9999… = 1 ?
Hoi mot nha khoa hoc: So thap phan tuan hoan Luu tru ngay 26 thang 2 nam 2015 tai Wayback Machine
Phep chung minh so hoc
Chin vo han Luu tru ngay 3 thang 3 nam 2016 tai Wayback Machine
Chin vo han bang mot
Nghien cuu cua David Tall ve su nhan thuc toan hoc
Co gi sai khi nghi rang so thuc la thap phan vo han?
Đinh ly 0,999... tren Metamath
Hackenstrings, va 0.999... ?= 1 FAQ Luu tru ngay 11 thang 12 nam 2006 tai Wayback Machine