Toan hoc hay goi tat la toan (tieng Anh: Mathematics hoac viet tat la Math) la mot nganh nghien cuu truu tuong ve nhung chu đe nhu luong (cac con so), cau truc (tap hop, to po), khong gian (hinh hoc, he toa đo, vector), kha nang (xac suat, bien ngau nhien) va su thay đoi (ham so, gioi han, đao ham, vi phan, tich phan). Cac nha toan hoc va triet hoc co nhieu quan điem khac nhau ve đinh nghia va pham vi cua toan hoc.
Cac nha toan hoc tim kiem cac mo thuc va su dung chung đe tao ra nhung gia thuyet moi. Ho ly giai tinh đung đan hay sai lam cua cac gia thuyet bang cac chung minh toan hoc. Khi nhung cau truc toan hoc la mo hinh tot cho hien thuc, luc đo suy luan toan hoc co the cung cap su hieu biet sau sac hay nhung tien đoan ve tu nhien. Thong qua viec su dung nhung phuong phap truu tuong va logic, toan hoc đa phat trien tu viec đem, tinh toan, đo luong đen viec nghien cuu co he thong nhung hinh dang va chuyen đong cua cac đoi tuong vat ly. Con nguoi đa ung dung toan hoc trong đoi song tu xa xua. Viec tim loi giai cho nhung bai toan co the mat hang nam, hay tham chi hang the ky.
Nhung lap luan chat che xuat hien truoc tien trong nen toan hoc Hy Lap co đai, đang chu y nhat la trong tac pham Co so cua Euclid. Ke tu nhung cong trinh tien phong cua Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943), va cua nhung nha toan hoc khac trong the ky 19 ve cac he thong tien đe, nghien cuu toan hoc tro thanh viec thiet lap chan ly thong qua suy luan logic chat che tu nhung tien đe va đinh nghia thich hop. Toan hoc phat trien tuong đoi cham cho toi thoi Phuc hung, khi su tuong tac giua nhung phat minh toan hoc voi nhung phat kien khoa hoc moi đa dan đen su gia tang nhanh chong nhung phat minh toan hoc van tiep tuc cho đen ngay nay.
Toan hoc đuoc su dung tren khap the gioi nhu mot cong cu thiet yeu trong nhieu linh vuc, bao gom khoa hoc, ky thuat, y hoc, va tai chinh. Toan hoc ung dung, mot nhanh toan hoc lien quan đen viec ung dung kien thuc toan hoc vao nhung linh vuc khac, thuc đay va su dung nhung phat minh toan hoc moi, tu đo đa dan đen viec phat trien nen nhung nganh toan hoan toan moi, chang han nhu thong ke va ly thuyet tro choi. Cac nha toan hoc cung danh thoi gian cho toan hoc thuan tuy, tuc la đao rat sau vao cac ly thuyet toan hoc. Khong co bien gioi ro rang giua toan hoc thuan tuy va toan hoc ung dung, va nhung ung dung thuc tien thuong đuoc kham pha tu nhung gi ban đau đuoc xem la toan hoc thuan tuy.


Lich su Tu "mathematics" trong tieng Anh bat nguon tu μαθημα (mathema) trong tieng Hy Lap co, co nghia la "thu hoc đuoc", "nhung gi nguoi ta can biet," va nhu vay cung co nghia la "hoc" va "khoa hoc"; con trong tieng Hy Lap hien đai thi no chi co nghia la "bai hoc." Tu mathema bat nguon tu μανθανω (manthano), tu tuong đuong trong tieng Hy Lap hien đai la μαθαινω (mathaino), ca hai đeu co nghia la "hoc." Trong tieng Viet, "toan" co nghia la tinh; "toan hoc" la mon hoc ve toan so. Trong cac ngon ngu su dung tu vung goc Han khac, mon hoc nay lai đuoc goi la so hoc.
Su tien hoa cua toan hoc co the nhan thay qua mot loat gia tang khong ngung ve nhung phep truu tuong, hay qua su mo rong cua noi dung nganh hoc. Phep truu tuong đau tien, ma nhieu loai đong vat co đuoc, co le la ve cac con so, voi nhan thuc rang, chang han, mot nhom hai qua tao va mot nhom hai qua cam co cai gi đo chung, o đay la so luong qua trong moi nhom.
Cac bang chung khao co hoc cho thay, ngoai viec biet đem nhung vat the vat ly, con nguoi thoi tien su co the cung đa biet đem nhung đai luong truu tuong nhu thoi gian - ngay, mua, va nam.
Đen khoang nam 3000 truoc Tay lich thi toan hoc phuc tap hon moi xuat hien, khi nguoi Babylon va nguoi Ai Cap bat đau su dung so hoc, đai so, va hinh hoc trong viec tinh thue va nhung tinh toan tai chinh khac, trong xay dung, va trong quan sat thien van. Toan hoc đuoc su dung som nhat trong thuong mai, đo đac đat đai, hoi hoa, det, va trong viec ghi nho thoi gian.
Cac phep tinh so hoc can ban trong toan hoc Babylon (cong, tru, nhan, va chia) xuat hien đau tien trong cac tai lieu khao co. Giua nam 600 đen 300 truoc Tay lich, nguoi Hy Lap co đa bat đau nghien cuu mot cach co he thong ve toan hoc nhu mot nganh hoc rieng, hinh thanh nen toan hoc Hy Lap. Ke tu đo toan hoc đa phat trien vuot bac; su tuong tac giua toan hoc va khoa hoc đa đem lai nhieu thanh qua va loi ich cho ca hai. Ngay nay, nhung phat minh toan hoc moi van tiep tuc xuat hien lam cho toan hoc ngay cang đa dang hon.


Cam hung, thuan tuy ung dung, va ve đep Toan hoc nay sinh ra tu nhieu kieu bai toan khac nhau. Truoc het la nhung bai toan trong thuong mai, đo đac đat đai, kien truc, va sau nay la thien van hoc; ngay nay, tat ca cac nganh khoa hoc đeu goi y nhung bai toan đe cac nha toan hoc nghien cuu, ngoai ra con nhieu bai toan nay sinh tu chinh ban than nganh toan. Chang han, nha vat ly Richard Feynman đa phat minh ra tich phan lo trinh (path integral) cho co hoc luong tu bang cach ket hop suy luan toan hoc voi su hieu biet sau sac ve mat vat ly, va ly thuyet day - mot ly thuyet khoa hoc van đang trong giai đoan hinh thanh voi co gang thong nhat tat ca cac tuong tac co ban trong tu nhien - tiep tuc goi hung cho nhung ly thuyet toan hoc moi. Mot so ly thuyet toan hoc chi co ich trong linh vuc đa giup tao ra chung, va đuoc ap dung đe giai cac bai toan khac trong linh vuc đo. Nhung thuong thi toan hoc sinh ra trong mot linh vuc co the huu ich trong nhieu linh vuc, va đong gop vao kho tang cac khai niem toan hoc.
Cac nha toan hoc phan biet ra hai nganh toan hoc thuan tuy va toan hoc ung dung. Tuy vay cac chu đe toan hoc thuan tuy thuong tim thay mot so ung dung, chang han nhu ly thuyet so trong nganh mat ma hoc. Viec ngay ca toan hoc "thuan tuy nhat" hoa ra cung co ung dung thuc te chinh la đieu ma Eugene Wigner goi la "su huu hieu đen muc kho tin cua toan hoc". Giong nhu trong hau het cac nganh hoc thuat, su bung no tri thuc trong thoi đai khoa hoc đa dan đen su chuyen mon hoa: hien nay co hang tram linh vuc toan hoc chuyen biet va bang phan loai cac chu đe toan hoc đa dai toi 46 trang. Mot vai linh vuc toan hoc ung dung đa nhap vao nhung linh vuc lien quan nam ngoai toan hoc va tro thanh nhung nganh rieng, trong đo co xac suat, van tru hoc, va khoa hoc may tinh.
Nhung ai yeu thich nganh toan thuong thay toan hoc co mot ve đep nhat đinh. Nhieu nha toan hoc noi ve "su thanh lich" cua toan hoc, tinh tham my noi tai va ve đep ben trong cua no. Ho coi trong su gian đon va tinh tong quat. Ve đep an chua ca ben trong nhung chung minh toan hoc đon gian va gon nhe, chang han chung minh cua Euclid cho thay co vo han so nguyen to, va trong nhung phuong phap so giup đay nhanh cac phep tinh toan, nhu phep bien đoi Fourier nhanh. Trong cuon sach Loi bao chua cua mot nha toan hoc (A Mathematician's Apology) cua minh, G. H. Hardy tin rang chinh nhung ly do ve mat tham my nay đu đe bien minh cho viec nghien cuu toan hoc thuan tuy. Ong nhan thay nhung tieu chuan sau đay đong gop vao mot ve đep toan hoc: tam quan trong, tinh khong luong truoc đuoc, tinh khong the tranh đuoc, va su ngan gon. Su pho bien cua toan hoc vi muc đich giai tri la mot dau hieu khac cho thay nhieu nguoi tim thay su sang khoai trong viec giai toan...


Ky hieu, ngon ngu, tinh chat che Hau het cac ky hieu toan hoc đang dung ngay nay chi moi đuoc phat minh vao the ky 16. Truoc đo, toan hoc đuoc viet ra bang chu, qua trinh nhoc nhan nay đa can tro su phat trien cua toan hoc. Euler (1707–1783) la nguoi tao ra nhieu trong so nhung ky hieu đang đuoc dung ngay nay. Ky hieu hien đai lam cho toan hoc tro nen de hon đoi voi chuyen gia toan hoc, nhung nguoi moi bat đau hoc toan thuong thay nan long. Cac ky hieu cuc ky ngan gon: mot vai bieu tuong chua đung rat nhieu thong tin. Giong ky hieu am nhac, ky hieu toan hoc hien đai co cu phap chat che va chua đung thong tin kho co the viet theo mot cach khac đi.
Ngon ngu toan hoc co the kho hieu đoi voi nguoi moi bat đau. Nhung tu nhu hoac va chi co nghia chinh xac hon so voi trong loi noi hang ngay. Ngoai ra, nhung tu nhu mo va truong đa đuoc cho nhung nghia rieng trong toan hoc. Nhung thuat ngu mang tinh ky thuat nhu phep đong phoi va kha tich co nghia chinh xac trong toan hoc. Them vao đo la nhung cum tu nhu neu va chi neu nam trong thuat ngu chuyen nganh toan hoc. Co ly do tai sao can co ky hieu đac biet va von tu vung chuyen nganh: toan hoc can su chinh xac hon loi noi thuong ngay. Cac nha toan hoc goi su chinh xac nay cua ngon ngu va logic la "tinh chat che."


Cac linh vuc toan hoc Truoc thoi ki Phuc Hung, toan hoc chi đuoc phan ra thanh hai linh vuc chinh la so hoc - nghien cuu cac phep toan voi nhung con so va hinh hoc - nghien cuu ve cac hinh dang. Ke ca nhung nganh nguy khoa hoc nhu than so hoc va thien van hoc, khi đo cung chua đuoc tach biet ro rang khoi toan hoc.
Trong thoi ki Phuc Hung, hai linh vuc moi xuat hien. Cac ki hieu toan hoc lam nay sinh đai so, nganh ma o đo nghien cuu tap trung vao cac cong thuc. Giai tich - voi gioi han va tich phan - nghien cuu tap trung vao cac ham so lien tuc, va su thay đoi cua chung theo cac bien cho truoc. Mot vai linh vuc nhu co hoc thien the hay co hoc vat ran khi đo cung đuoc nghien cuu boi toan, nhung gio lai la cac phan nganh chinh cua vat ly hoc.To hop cung đuoc nghien cuu nhieu trong lich su, nhung chi tro thanh mot linh vuc rieng ke tu the ki thu muoi bay.
Cuoi the ki muoi chin, nhung nghien cuu triet hoc ve nguon goc cua toan hoc va ket qua cua su he thong hoa cua cac tien đe đa tao ra nhieu nganh toan hoc moi. Phan lop Linh vuc Toan hoc (tieng Anh: Mathematics Subject Classification - MSC) nam 2020 đa chi ra rang co it nhat sau muoi ba nganh toan hoc đoc lap, mot vai trong so đo chi xuat hien tu the ki XX la logic toan hoc va nguon goc toan hoc.


= Nen tang va triet hoc =

Đe lam ro nen tang toan hoc, linh vuc logic toan hoc va ly thuyet tap hop đa đuoc phat trien. Logic toan hoc bao gom nghien cuu toan hoc ve logic va ung dung cua logic hinh thuc trong nhung linh vuc toan hoc khac. Ly thuyet tap hop la mot nhanh toan hoc nghien cuu cac tap hop hay tap hop nhung đoi tuong. Ly thuyet pham tru, lien quan đen viec xu ly cac cau truc va moi quan he giua chung bang phuong phap truu tuong, van đang tiep tuc phat trien. Cum tu "khung hoang nen tang" noi đen cong cuoc tim kiem mot nen tang toan hoc chat che dien ra tu khoang nam 1900 đen 1930. Mot so bat đong ve nen tang toan hoc van con ton tai cho đen ngay nay. Cuoc khung hoang nen tang noi len tu mot so tranh cai thoi đo, trong đo co nhung tranh cai lien quan đen ly thuyet tap hop cua Cantor va cuoc tranh cai giua Brouwer va Hilbert.
Khoa hoc may tinh ly thuyet bao gom ly thuyet kha tinh (computability theory), ly thuyet đo phuc tap tinh toan, va ly thuyet thong tin. Ly thuyet kha tinh khao sat nhung gioi han cua nhung mo hinh ly thuyet khac nhau ve may tinh, bao gom mo hinh may Turing noi tieng. Ly thuyet đo phuc tap nghien cuu kha nang co the giai đuoc bang may tinh; mot so bai toan, mac du ve ly thuyet co the giai đuoc bang may tinh, can thoi gian hay khong gian tinh toan qua lon, lam cho viec tim loi giai trong thuc te gan nhu khong the, ngay ca voi su tien bo nhanh chong cua phan cung may tinh. Mot vi du la bai toan noi tieng "P = NP?". Cuoi cung, ly thuyet thong tin quan tam đen khoi luong du lieu co the luu tru đuoc trong mot moi truong luu tru nhat đinh, va do đo lien quan đen nhung khai niem nhu nen du lieu va entropy thong tin.


= Toan hoc thuan tuy =


 So hoc  Viec nghien cuu ve luong (quantity) bat đau voi cac con so, truoc het voi so tu nhien va so nguyen va cac phep bien đoi so hoc, noi đen trong linh vuc so hoc. Nhung tinh chat sau hon ve cac so nguyen đuoc nghien cuu trong ly thuyet so, trong đo co đinh ly lon Fermat noi tieng. Trong ly thuyet so, gia thiet so nguyen to sinh đoi va gia thiet Goldbach la hai bai toan chua giai đuoc.
Khi he thong so đuoc phat trien them, cac so nguyen đuoc xem nhu la tap con cua cac so huu ti. Cac so nay lai đuoc bao gom trong so thuc von đuoc dung đe the hien nhung đai luong lien tuc. So thuc đuoc tong quat hoa thanh so phuc. Đay la nhung buoc đau tien trong phan bo cac so, sau đo thi co cac quaternion (mot su mo rong cua so phuc) va octonion. Viec xem xet cac so tu nhien cung dan đen cac so vo han (transfinite numbers), tu đo chinh thuc hoa khai niem "vo han". Mot linh vuc nghien cuu khac la kich co (size), tu đo sinh ra so đem (cardinal numbers) va roi mot khai niem khac ve vo han: so aleph, cho phep thuc hien so sanh co y nghia kich co cua cac tap hop lon vo han.


 Cau truc  Nhieu đoi tuong toan hoc, chang han tap hop nhung con so va nhung ham so, the hien cau truc noi tai toat ra tu nhung phep bien đoi toan hoc hay nhung moi quan he đuoc xac đinh tren tap hop. Toan hoc tu đo nghien cuu tinh chat cua nhung tap hop co the đuoc dien ta duoi dang cau truc đo; chang han ly thuyet so nghien cuu tinh chat cua tap hop nhung so nguyen co the đuoc dien ta duoi dang nhung phep bien đoi so hoc. Ngoai ra, thuong thi nhung tap hop co cau truc (hay nhung cau truc) khac nhau đo the hien nhung tinh chat giong nhau, khien nguoi ta co the xay dung nen nhung tien đe cho mot lop cau truc, roi sau đo nghien cuu đong loat toan bo lop cau truc thoa man nhung tien đe nay. Do đo nguoi ta co the nghien cuu cac nhom, vanh, truong, va nhung he phuc tap khac; nhung nghien cuu nhu vay (ve nhung cau truc đuoc xac đinh boi nhung phep bien đoi đai so) tao thanh linh vuc đai so truu tuong. Voi muc đo tong quat cao cua minh, đai so truu tuong thuong co the đuoc ap dung vao nhung bai toan duong nhu khong lien quan gi đen nhau. Mot vi du ve ly thuyet đai so la đai so tuyen tinh, linh vuc nghien cuu ve cac khong gian vecto, o đo nhung yeu to cau thanh no goi la vecto co ca luong va huong va chung co the đuoc dung đe mo phong cac điem (hay moi quan he giua cac điem) trong khong gian. Đay la mot vi du ve nhung hien tuong bat nguon tu nhung linh vuc hinh hoc va đai so ban đau khong lien quan gi voi nhau nhung lai tuong tac rat manh voi nhau trong toan hoc hien đai. Toan hoc to hop nghien cuu nhung cach tinh so luong nhung đoi tuong co the xep đuoc vao trong mot cau truc nhat đinh.


 Khong gian  Viec nghien cuu khong gian bat đau voi hinh hoc - cu the la hinh hoc Euclid. Luong giac la mot linh vuc toan hoc nghien cuu ve moi quan he giua cac canh va goc cua tam giac va voi cac ham luong giac; no ket hop khong gian va cac con so, va bao gom đinh ly Pythagore noi tieng. Nganh hoc hien đai ve khong gian tong quat hoa nhung y tuong nay đe bao gom hinh hoc nhieu chieu hon, hinh hoc phi Euclide (đong vai tro quan trong trong ly thuyet tuong đoi tong quat), va to po. Ca luong va khong gian đeu đong vai tro trong hinh hoc giai tich, hinh hoc vi phan, va hinh hoc đai so. Hinh hoc loi va hinh hoc roi rac truoc đay đuoc phat trien đe giai cac bai toan trong ly thuyet so va giai tich phiem ham thi nay đang đuoc nghien cuu cho cac ung dung trong toi uu hoa (toi uu loi) va khoa hoc may tinh (hinh hoc tinh toan). Trong hinh hoc vi phan co cac khai niem bo soi (fiber bundles) va vi tich phan tren cac đa tap, đac biet la vi tich phan vecto va vi tich phan tensor. Hinh hoc đai so thi mo ta cac đoi tuong hinh hoc duoi dang loi giai la nhung tap hop phuong trinh đa thuc, cung voi nhung khai niem ve luong va khong gian, cung nhu nghien cuu ve cac nhom to-po ket hop cau truc va khong gian. Cac nhom Lie đuoc dung đe nghien cuu khong gian, cau truc, va su thay đoi. To po trong tat ca nhung khia canh cua no co the la mot linh vuc phat trien vi đai nhat cua toan hoc the ky 20; no bao gom to-po tap hop điem (point-set topology), to-po ly thuyet tap hop (set-theoretic topology), to-po đai so va to-po vi phan (differential topology). Trong đo, nhung chu đe cua to-po hien đai la ly thuyet khong gian metric hoa đuoc (metrizability theory), ly thuyet tap hop tien đe (axiomatic set theory), ly thuyet đong luan (homotopy theory), va ly thuyet Morse. To-po cung bao gom gia thuyet Poincare nay đa giai đuoc, va gia thuyet Hodge van chua giai đuoc. Nhung bai toan khac trong hinh hoc va to-po, bao gom đinh ly bon mau va gia thiet Kepler, chi giai đuoc voi su tro giup cua may tinh.


 Su thay đoi  Hieu va mo ta su thay đoi la chu đe thuong gap trong cac nganh khoa hoc tu nhien. Vi tich phan la mot cong cu hieu qua đa đuoc phat trien đe nghien cuu su thay đoi đo. Ham so tu đay ra đoi, nhu mot khai niem trung tam mo ta mot đai luong đang thay đoi. Viec nghien cuu chat che cac so thuc va ham so cua mot bien thuc đuoc goi la giai tich thuc, voi so phuc thi co linh vuc tuong tu goi la giai tich phuc. Giai tich phiem ham (functional analysis) tap trung chu y vao nhung khong gian thuong la vo han chieu cua ham so. Mot trong nhieu ung dung cua giai tich phiem ham la trong co hoc luong tu (vi du: ly thuyet phiem ham mat đo). Nhieu bai toan mot cach tu nhien dan đen nhung moi quan he giua luong va toc đo thay đoi cua no, roi đuoc nghien cuu duoi dang cac phuong trinh vi phan. Nhieu hien tuong trong tu nhien co the đuoc mo ta bang nhung he thong đong luc; ly thuyet hon đon nghien cuu cach thuc theo đo nhieu trong so nhung he thong đong luc nay the hien nhung hanh vi khong tien đoan đuoc nhung van co tinh tat đinh.


= Toan hoc ung dung =

Toan hoc ung dung quan tam đen nhung phuong phap toan hoc thuong đuoc su dung trong khoa hoc, ky thuat, kinh doanh, va cong nghiep. Nhu vay, "toan hoc ung dung" la mot nganh khoa hoc toan hoc voi kien thuc đac thu. Thuat ngu toan hoc ung dung cung đuoc dung đe chi linh vuc chuyen nghiep, o đo cac nha toan hoc giai quyet cac bai toan thuc te. Voi tu cach la mot nganh nghe chu trong vao cac bai toan thuc te, toan hoc ung dung tap trung vao "viec thiet lap, nghien cuu, va su dung nhung mo hinh toan hoc" trong khoa hoc, ky thuat, va nhung linh vuc thuc hanh toan hoc khac. Truoc đay, nhung ung dung thuc te đa thuc đay su phat trien cac ly thuyet toan hoc, đe roi sau đo tro thanh chu đe nghien cuu trong toan hoc thuan tuy, noi toan hoc đuoc phat trien chu yeu cho chinh no. Nhu vay, hoat đong cua toan hoc ung dung nhat thiet co lien he đen nghien cuu trong linh vuc toan hoc thuan tuy.


 Thong ke va nhung linh vuc lien quan  Toan hoc ung dung co nhieu phan chung voi thong ke, đac biet voi ly thuyet xac suat. Cac nha thong ke, khi lam viec trong mot cong trinh nghien cuu, "tao ra so lieu co y nghia" su dung phuong phap tao mau ngau nhien (random sampling) va nhung thi nghiem đuoc ngau nhien hoa (randomized experiments); viec thiet ke thi nghiem hay mau thong ke xac đinh phuong phap phan tich so lieu (truoc khi so lieu đuoc tao ra). Khi xem xet lai so lieu tu cac thi nghiem va cac mau hay khi phan tich so lieu tu nhung nghien cuu bang cach quan sat, cac nha thong ke "lam bat ra y nghia cua so lieu" su dung phuong phap mo phong va suy luan – qua viec chon mau va qua uoc tinh; nhung mau uoc tinh va nhung tien đoan co đuoc tu đo can đuoc thu nghiem voi nhung so lieu moi.
Ly thuyet thong ke nghien cuu nhung bai toan lien quan đen viec quyet đinh, vi du giam thieu nguy co (su ton that đuoc mong đoi) cua mot hanh đong mang tinh thong ke, chang han su dung phuong phap thong ke trong uoc tinh tham so, kiem nghiem gia thuyet, va chon ra tham so cho ket qua tot nhat. Trong nhung linh vuc truyen thong nay cua thong ke toan hoc, bai toan quyet đinh-thong ke đuoc tao ra bang cach cuc tieu hoa mot ham muc tieu (objective function), chang han gia thanh hay su mat mat đuoc mong đoi, duoi nhung đieu kien nhat đinh. Vi co su dung ly thuyet toi uu hoa, ly thuyet toan hoc ve thong ke co chung moi quan tam voi nhung nganh khoa hoc khac nghien cuu viec quyet đinh, nhu van tru hoc, ly thuyet đieu khien, va kinh te hoc toan.


 Toan hoc tinh toan  Toan hoc tinh toan đua ra va nghien cuu nhung phuong phap giai cac bai toan toan hoc ma con nguoi thuong khong co kha nang giai so đuoc. Giai tich so nghien cuu nhung phuong phap giai cac bai toan trong giai tich su dung giai tich phiem ham va ly thuyet xap xi; giai tich so bao gom viec nghien cuu xap xi va roi rac hoa theo nghia rong, voi su quan tam đac biet đen sai so lam tron (rounding errors). Giai tich so va noi rong hon tinh toan khoa hoc (scientific computing) cung nghien cuu nhung chu đe phi giai tich nhu khoa hoc toan hoc, đac biet la ma tran thuat toan va ly thuyet đo thi. Nhung linh vuc khac cua toan hoc tinh toan bao gom đai so may tinh (computer algebra) va tinh toan bieu tuong (symbolic computation).


Giai thuong toan hoc va nhung bai toan chua giai đuoc Co the noi giai thuong toan hoc danh gia nhat la Huy chuong Fields, thiet lap vao nam 1936 va nay đuoc trao bon nam mot lan cho 2 đen 4 nha toan hoc co đo tuoi duoi 40. Huy chuong Fields thuong đuoc xem la tuong đuong voi Giai Nobel trong nhung linh vuc khac. (Giai Nobel khong xet trao thuong trong linh vuc toan hoc) Mot so giai thuong quoc te quan trong khac gom co: Giai Wolf ve Toan hoc (thiet lap vao nam 1978) đe ghi nhan thanh tuu tron đoi; Giai Abel (thiet lap vao nam 2003) danh cho nhung nha toan hoc xuat chung; Huy chuong Chern (thiet lap vao nam 2010) đe ghi nhan thanh tuu tron đoi.
Nam 1900, nha toan hoc nguoi Đuc David Hilbert bien soan mot danh sach gom 23 bai toan chua co loi giai (con đuoc goi la Cac bai toan cua Hilbert). Danh sach nay rat noi tieng trong cong đong cac nha toan hoc, va ngay nay co it nhat chin bai đa đuoc giai. Mot danh sach moi bao gom bay bai toan quan trong, goi la "Cac bai toan cua giai thien nien ky" (Millennium Prize Problems), đa đuoc cong bo vao nam 2000, ai giai đuoc mot trong so cac bai toan nay se đuoc trao giai mot trieu đo-la. Chi co mot bai toan tu danh sach cua Hilbert (cu the la gia thuyet Riemann) trong danh sach moi nay. Toi nay, mot trong so bay bai toan đo (gia thuyet Poincare) đa co loi giai.


Moi quan he giua toan hoc va khoa hoc Gauss xem toan hoc la "hoang tu cua cac nganh khoa hoc". Trong cum tu La-tinh Regina Scientiarum va cum tu tieng Đuc Konigin der Wissenschaften (ca hai đeu co nghia la "nu hoang cua cac nganh khoa hoc"), tu chi "khoa hoc" co nghia la "linh vuc tri thuc," va đay cung chinh la nghia goc cua tu science (khoa hoc) trong tieng Anh; nhu vay toan hoc la mot linh vuc tri thuc. Su chuyen biet hoa gioi han nghia cua "khoa hoc" vao "khoa hoc tu nhien" theo sau su phat trien cua phuong phap luan Bacon, tu đo đoi lap "khoa hoc tu nhien" voi phuong phap kinh vien, phuong phap luan Aristotle nghien cuu tu nhung nguyen ly co so. So voi cac nganh khoa hoc tu nhien nhu sinh hoc hay vat ly hoc thi thuc nghiem va quan sat thuc te co vai tro khong đang ke trong toan hoc. Albert Einstein noi rang "khi cac đinh luat toan hoc con phu hop voi thuc tai thi chung khong chac chan; va khi ma chung chac chan thi chung khong con phu hop voi thuc tai." Moi đay hon, Marcus du Sautoy đa goi toan hoc la "nu hoang cua cac nganh khoa hoc;... đong luc thuc đay chinh đang sau nhung phat kien khoa hoc."
Nhieu triet gia tin rang, trong toan hoc, tinh co the chung minh đuoc la sai (falsifiability) khong the thuc hien đuoc bang thuc nghiem, va do đo toan hoc khong phai la mot nganh khoa hoc theo nhu đinh nghia cua Karl Popper. Tuy nhien, trong thap nien 1930, cac đinh ly ve tinh khong đay đu (incompleteness theorems) cua Godel đua ra goi y rang toan hoc khong the bi quy giam ve logic ma thoi, va Karl Popper ket luan rang "hau het cac ly thuyet toan hoc, giong nhu cac ly thuyet vat ly va sinh hoc, mang tinh gia đinh-suy dien: toan hoc thuan tuy do đo tro nen gan gui hon voi cac nganh khoa hoc tu nhien noi gia đinh mang tinh chat suy đoan hon hon muc ma nguoi ta nghi."
Mot quan điem khac thi cho rang mot so linh vuc khoa hoc nhat đinh (nhu vat ly ly thuyet) la toan hoc voi nhung tien đe đuoc tao ra đe ket noi voi thuc tai. Thuc su, nha vat ly ly thuyet J. M. Ziman đa cho rang khoa hoc la "tri thuc chung" va nhu the bao gom ca toan hoc. Du sao đi nua, toan hoc co nhieu điem chung voi nhieu linh vuc trong cac nganh khoa hoc vat ly, đang chu y la viec khao sat nhung he qua logic cua cac gia đinh. Truc giac va hoat đong thuc nghiem cung đong mot vai tro trong viec xay dung nen cac gia thuyet trong toan hoc lan trong nhung nganh khoa hoc (khac). Toan hoc thuc nghiem ngay cang đuoc chu y trong ban than nganh toan hoc, va viec tinh toan va mo phong đang đong vai tro ngay cang lon trong ca khoa hoc lan toan hoc.
Y kien cua cac nha toan hoc ve van đe nay khong thong nhat. Mot so cam thay viec goi toan hoc la khoa hoc lam giam tam quan trong cua khia canh tham my cua no, va lich su cua no trong bay mon khai phong truyen thong; mot so nguoi khac cam thay rang bo qua moi quan he giua toan hoc va cac nganh khoa hoc la co tinh lam ngo truoc thuc te la su tuong tac giua toan hoc va nhung ung dung cua no trong khoa hoc va ky thuat đa la đong luc chinh cua nhung phat trien trong toan hoc. Su khac biet quan điem nay boc lo trong cuoc tranh luan triet hoc ve chuyen toan hoc "đuoc tao ra" (nhu nghe thuat) hay "đuoc kham pha ra" (nhu khoa hoc). Cac vien đai hoc thuong co mot truong hay phan khoa "khoa hoc va toan hoc". Cach goi ten nay ngam y rang khoa hoc va toan hoc gan gui voi nhau nhung khong phai la mot.


Xem them Danh sach cac nha toan hoc
Danh sach cac bai toan toan hoc


Chu thich Tham khao Lien ket ngoai Mathematics tai Encyclopædia Britannica (tieng Anh)
Toan hoc tai Tu đien bach khoa Viet Nam
Vien Toan hoc. Viet Nam.
Mathematics Cac khoa hoc va bai giang ve toan hoc. MIT OpenCourseWare.
Weisstein, Eric W., "Mathematics" tu MathWorld.
The Mathematical Atlas (Ban đo cac nhanh toan hoc).
Vietnam Journal of Mathematics
Acta Mathematica Vietnamica
Toan hoc va tuoi tre