Hinh hoc vi phan la mot nhanh cua toan hoc su dung cac cong cu va phuong phap cua phep tinh vi phan va tich phan cung nhu đai so tuyen tinh va đai so đa tuyen đe nghien cuu cac van đe cua hinh hoc. Ly thuyet ve cac đuong cong trong mat phang va khong gian cung nhu ve cac mat cong trong khong gian Euclid ba chieu đa tro thanh co so va cho su phat trien ban đau cua hinh hoc vi phan vao the ky thu 18 va 19. Cuoi the ky thu 19, hinh hoc vi phan đa phat trien thanh mot linh vuc nghien cuu nhung cau truc hinh hoc tong quat tren cac đa tap kha vi. No cung co lien he mat thiet voi nganh topo vi phan, va la mot khia canh hinh hoc cua linh vuc phuong trinh vi phan. Chung minh cua Grigori Perelman ve gia thuyet Poincare su dung ki thuat dong Ricci cho thay suc manh cua cach tiep can theo phuong phap hinh hoc vi phan trong cac cau hoi va van đe cua topo hoc va lam noi bat vai tro quan trong cua cac phuong phap giai tich. Hinh hoc vi phan cac mat cong cung đa the hien đuoc nhieu y tuong chia khoa va cac đac trung ki thuat cua linh vuc hinh hoc vi phan.


Lich su phat trien Hinh hoc vi phan đa đuoc phat trien tu cac nghien cuu cua Gaspard Monge va Carl Friedrich Gauss trong thoi gian đau the ky 19. Trong thoi gian nay, toan hoc van con đuoc nay sinh manh me tu cac nhu cau thuc tien, va nhung ket qua quan trong cua toan hoc đa đuoc đem ung dung cho viec đo ve ban đo, đinh huong trong hang hai va khao sat. Chung đuoc phat trien tu phuong phap hinh chieu ban đo, đuong trac đia va đo cong Gauss. Cung tu đay Gauss đa chu y toi van đe tong cac goc trong mot tam giac cau khong bang 180 đo, va tu đo ong đa co nhung y tuong ve hinh hoc phi Euclid, tro thanh nhung nha tien phong trong linh vuc hinh hoc vi phan. Sau đo nhung đong gop quan trong cho linh vuc nay đa đuoc cac nha toan hoc bao gom Bernhard Riemann,Elwin Bruno Christoffel, va Gregorio Ricci-Curbastro đua ra vao cuoi the ky 19. Nhung nghien cuu nay đa đuoc tap hop va he thong hoa lai vao cuoi the ky 19 boi cac nha toan hoc Jean Gaston Darboux va Luigi Bianchi.


Cac ung dung cua hinh hoc vi phan Duoi đay la mot so ung dung quan trong cua hinh hoc vi phan trong toan hoc va khoa hoc:

Trong Vat ly hoc, co ba ung dung chinh la:
Hinh hoc vi phan la cong cu co ban trong viec nghien cuu thuyet tuong đoi tong quat cua Einstein. Theo ly thuyet nay, vu tru la mot đa tap tron đuoc trang bi cung voi metric gia-Riemann, cho phep mieu ta đuoc đo cong cua khong thoi gian. Ap dung đo cong khong thoi gian la mot viec khong the thieu trong viec xac đinh vi tri cua cac ve tinh nhan tao quay xung quanh Trai Đat nhu he GPS. Hinh hoc vi phan cung la mot cong cu khong the thieu trong nghien cuu thau kinh hap dan va lo đen.
Cac dang vi phan rat co ich trong nghien cuu đien tu hoc.
Hinh hoc vi phan đuoc ap dung trong ca co hoc Lagrange va co hoc Hamilton. Đac biet cac đa tap Symplectic co the dung đe nghien cuu nhung he Hamilton.
Trong kinh te hoc, hinh hoc vi phan co ung dung trong linh vuc kinh te luong.
Ap dung hinh hoc vi phan vao mo hinh hinh hoc (bao gom đo hoa may tinh) va thiet ke hinh hoc tren may tinh lam đon gian hoa cac đoi tuong hinh hoc.
Trong ki thuat, no đuoc ap dung đe giai quyet cac van đe trong xu ly tin hieu so va trong ly thuyet đan hoi.
Trong xac suat, thong ke, va ly thuyet thong tin, chung ta co the giai thich nhieu cau truc khac nhau bang cac đa tap Riemann, va no la cong cu chu yeu cua hinh hoc thong tin (information geometry), đac biet thong qua metric thong tin Fisher.
Trong đia chat cau tao, hinh hoc vi phan đuoc su dung đe phan tich va mieu ta cac cau truc đia tang.
Trong truc quan may tinh (computer vision), hinh hoc vi phan đuoc su dung đe phan tich cac hinh dang.


Chu thich Sach tham khao Wolfgang Kuhnel (2005). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (an ban thu 2). ISBN 0-821-83988-8.
Theodore Frankel (2004). The geometry of physics: an introduction (an ban thu 2). ISBN 0-521-53927-7.
Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) (an ban thu 3).
do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7. Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. ISBN 0-48-666721-9. Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. Francis Flaherty bien dich.
McCleary, John (1994). Geometry from a Differentiable Viewpoint.
Bloch, Ethan D. (1996). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry.
Gray, Alfred (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (an ban thu 2).
Burke, William L. (1985). Applied Differential Geometry.
ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis. ISBN 1-4020-1507-0.


Lien ket ngoai Hinh hoc vi phan tai Tu đien bach khoa Viet Nam
Differential geometry tai Encyclopædia Britannica (tieng Anh)
Differential Geometry handouts B. Conrad. Stanford University
Teaching from previous years Luu tru ngay 1 thang 8 nam 2013 tai Wayback Machine Michael Murray's online differential geometry course, updated Tuesday, 14 February, 2012
A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003
Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery
Balazs Csikos's Notes on Differential Geometry Luu tru ngay 5 thang 6 nam 2009 tai Wayback Machine
Modern Differential Geometry for Maple
N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.
MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008