Gia thuyet Poincare  la mot trong nhung gia thuyet toan hoc noi tieng va quan trong bac nhat do Jules-Henri Poincare đua ra nam 1904, va đuoc Grigori Perelman chung minh vao nam 2002, 2003. Trong 100 nam ton tai, no truc tiep va gian tiep đem ve 4 huy chuong Fields cho Smale (1966), Thurston (1982), Freedman (1986) va Perelman (2006).


Lich su Cuoi the ky 19 đen đau the ky 20, Jules Henri Poincare co le la nha toan hoc vi đai nhat cua nuoc Phap, tham chi cua ca the gioi ngay đo. Tac gia cua rat nhieu cong trinh toan hoc, vat ly hoc, triet hoc tung đoat đuoc nhieu giai thuong quoc te, tro thanh thanh vien hay chu tich cua biet bao hiep hoi bac hoc, thanh vien Vien han lam khoa hoc Phap, Henri Poincare la hinh anh tieu bieu tot đep nhat ve su thanh đat tri tue va xa hoi ma giai cap tu san the ki XIX co the san sinh. Đo cung la nha bac hoc "xuyen nganh" cuoi cung: nhu mot triet gia ve phuong phap luan, ong la tac gia nhung cong trinh kinh đien ve nen tang phuong phap khoa hoc, ve co cau nao trang cua qua trinh kham pha; o vi tri nha vat ly, ong đa 12 lan đuoc đe nghi giai Nobel, va ngay nay đuoc coi la đong tac gia cua thuyet tuong đoi "thu hep"; voi tu cach nha toan hoc, ben canh David Hilbert, ong đuoc coi la nha toan hoc vi đai nhat, đong thoi la "bac thay pho quat cuoi cung", bao trum đai so hoc lan hinh hoc, ly thuyet so va hinh hoc. Chinh ong, trong mot cong trinh nam 1895, đa sang lap ra mot nganh moi cua hinh hoc ma ong đat ten la "analysis situs", ngay nay goi la topo hoc (topo, tieng Hy Lap co nghia: noi, khong gian).
Di san đo so cua ong cho đen nay van con đang đuoc hau sinh khai thac. Đac biet gia thuyet Poincare do ong đua ra nam 1904 la mot trong nhung thach thuc lon nhat cua toan hoc the ky 20.


Phat bieu Neu mot đa tap ba chieu compact khong co bien la đon lien, thi no đong phoi voi mat cau ba chieu.


Y nghia truc quan Đe de hinh dung, ban hay lay mot qua bong (hoac mot vat hinh cau), ve tren đo mot đuong cong khep kin khong co điem cat nhau, sau đo cat qua bong theo đuong vua ve: ban se nhan đuoc hai manh bong vo. Lam lai nhu vay voi mot cai phao (hay mot vat hinh xuyen): lan nay ban khong đuoc hai manh phao vo ma chi đuoc co mot. Trong hinh hoc topo, nguoi ta goi qua bong -đoi lap voi cai phao- la mot be mat lien thong đon gian. Mot đieu rat de chung minh la trong khong gian 3 chieu, moi be mat lien thong đon gian huu han va khong co bien đeu la be mat cua mot vat hinh cau. Vao nam 1904, Henri Poincare đat ra cau hoi: Lieu tinh chat nay cua cac vat hinh cau co con đung trong khong gian bon chieu. Đieu ky la la cac nha hinh hoc topo đa chung minh đuoc rang đieu nay đung trong nhung khong gian lon hon hoac bang 5 chieu, nhung chua ai chung minh đuoc tinh chat nay van đung trong khong gian bon chieu.
Chinh xac hon, nhung nguoi nghien cuu toan hoc đinh nghia hai khong gian topo la đong phoi neu co mot song anh lien tuc tu khong gian nay vao khong gian kia sao cho anh xa nguoc cung lien tuc, nghia la hai khong gian giong nhu nhau ve mat topo. Mot đa tap ba chieu khong co bien la mot khong gian topo ma moi điem co mot lan can đong phoi voi mot lan can cua khong gian Euclide ba chieu 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  
, nghia la ve mat đia phuong mot đa tap ba chieu khong khac gi 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  
. Mot khong gian topo la đon lien neu moi đuong cong đong lien tuc tren đo đeu co the đuoc "that" mot cach lien tuc thanh mot điem, nghia la no đong luan lien tuc voi mot điem, noi cach khac nhom co ban cua khong gian chi chua phan tu đon vi.


Chung minh cua Perelman Gia thuyet Poincare tung lam nhieu bo oc toan hoc the gioi cua the ki 20 phai phat sot va biet bao chung minh sai (cung nhu nhung "chung minh" khong đuoc chu y đen) đa tung đuoc đua ra. Vien Toan hoc Clay (Hoa Ky) đanh xep no vao mot trong 7 bai toan kho cua thien nien ky chua giai đuoc đe thach đo the ki 21 voi giai thuong lon toi mot trieu USD.
Rat may la khong lau sau đo, vao cuoi nam 2002, nha toan hoc Nga ky di nhung xuat sac Grigori Perelman tai Vien toan hoc Steklov (thanh pho St. Petersburg) đa cong bo tren Internet hai ban nghien cuu dai khoang 61 trang viet tay. Perelman duong nhu đa chung minh đuoc đinh ly, nhung ong chua đua ra mot cong trinh đay đu tren cac tap chi khoa hoc. Nhieu nhom chuyen gia hang đau đa bat tay vao kiem tra cong trinh rat phuc tap cua Perelman. Trong mot thoi gian dai khong ai dam đung ra đoan chac rang cong trinh nay la đung, tuy rang khong co loi nghiem trong nao đuoc phat hien. Đen he nam 2006 thi ba nhom đoc lap voi nhau đa cong bo ket qua cong viec kiem tra cong phu cua minh va su đong thuan đa đuoc hinh thanh trong cac chuyen gia la Perelman đa chung minh Gia thuyet Poincare, cham dut su ton tai cua no sau gan 1 the ky. Con viec Perelman chung minh đuoc toan bo Gia thuyet Hinh hoc hoa hay chua thi co le con cho them thoi gian.


= Dong Ricci va phau thuat hinh hoc =
Nam 1982, Hamilton đua ra mot chuong trinh đe chung minh gia thuyet Poincare. Y tuong cua Hamilton la đat mot metric Riemann len đa tap ba chieu đong đon lien, sau đo tim cach cai thien metric nay; vi du nhu neu metric đuoc cai thien đen muc no co đo cong duong hang thi, theo cac ket qua co đien trong hinh hoc Riemann, đa tap ba chieu phai la mot hinh cau. Hamilton su dung phuong trinh dong Ricci đe cai thien metric:
  
    
      
        
          ∂
          
            t
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        =
        −
        2
        
          R
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}}
  
trong đo g la metric va R la đo cong Ricci, va ta hi vong rang khi t tang, đa tap cung voi metric cua no se tro nen de hieu hon.
Trong mot so truong hop, Hamilton chi ra rang phuong phap nay đu hieu qua, chang han nhu neu đa tap Riemann co đo cong Ricci duong moi noi. Tuy nhien, voi mot metric Riemann bat ky, dong Ricci tao ra cac ky di phuc tap hon.
Mot thanh tuu lon cua Perelman la chi ra rang, trong mot so truong hop, cac ky di nay se trong giong nhu hinh cau hoac hinh tru bi co lai. Voi mot mo ta đinh luong cua hien tuong nay, Perelman cat đa tap quanh cac ky di, chia đa tap thanh nhieu manh, va tiep tuc dong Ricci tren moi manh nho. Qua trinh nay đuoc goi la dong Ricci voi phau thuat.


Gia thuyet hinh hoc hoa Vao khoang nhung nam cuoi thap ki 1970 nha toan hoc My William Thurston co nhung quan sat theo mot huong moi. Ong nhan thay la trong truong hop hai chieu mat cau la mat duy nhat ma tren đo co the đat hinh hoc elliptic (tong ba goc trong mot tam giac lon han hon 180 đo; hai đuong thang bat ki đeu cat nhau; đo cong cua mat la hang so duong), tren mat xuyen mot lo co hinh hoc Euclide (tong ba goc trong mot tam giac bang 180 đo; qua mot điem o ngoai mot đuong thang chi co mot đuong thang song song voi đuong thang đa cho; đo cong cua mat luon luon bang khong); voi tat ca cac mat xuyen con lai ta co hinh hoc hyperpolic (tong ba goc trong mot tam giac nho hon 180 đo; qua mot điem o ngoai mot đuong thang co the ve đuoc vo so đuong thang song song voi đuong thang đa cho; đo cong cua mat la hang so am). Thurston tong quat hoa quan sat nay len khong gian ba chieu, mot cach nom na, moi đa tap khong bien compact ba chieu đeu co the đuoc cat thanh tung manh ma tren moi manh co mot hinh hoc duy nhat. Đay đuoc goi la Gia thuyet Hinh hoc hoa; no chua Gia thuyet Poincare nhu la truong hop rieng. Thurston đuoc tang giai Fields nam 1982.
Gia thuyet Hinh hoc hoa cua Thurston mo ra mot huong moi đe nghien cuu Gia thuyet Poincare. Vi đo cong cua mot đa tap tron đuoc đinh nghia thong qua cac đao ham bac nhat va bac hai nhat đinh (trong phep tinh Vi Tich phan đo cong cua mot đuong cong voi toa đo đuoc tham so hoa đuoc cho thong qua cac đao ham bac nhat va bac hai cua toa đo) nen xuat hien kha nang su dung nhung cong cu cua Hinh hoc vi phan, Giai tich va Phuong trinh đao ham rieng. Mot chuong trinh nham chung minh Gia thuyet Hinh hoc hoa đa đuoc đe ra boi nha toan hoc My Richard Hamilton vao đau thap ki 1980.


Gia thuyet Poincare mo rong Gia thuyet tong quat hon cho đa tap n-chieu đuoc goi la Gia thuyet Poincare mo rong. Trong truong hop n=2 nguoi ta đa biet tu lau va khong qua kho đe chung to rang mat cau hai chieu la mat khong bien compact duy nhat ma la đon lien. Nhung mat xuyen la khong đon lien vi chung co nhung "lo" va do đo co nhung đuong cong đong khong the that lai đuoc.
Nhung co gang đe nghien cuu Gia thuyet Poincare mo rong đa dan đen nhung tien bo to lon trong nganh Topo va trong Toan hoc noi chung. Nam 1960 nha toan hoc lon nguoi My Stephen Smale đa chung minh Gia thuyet Poincare mo rong cho moi n lon hon hay bang 5. Cong cu chu yeu cua ong la ly thuyet Morse trong Topo vi phan. Nho vay Smale đuoc trao giai Fields nam 1966. Mai đen nam 1982 truong hop n=4 moi đuoc giai quyet nho cong cua nha toan hoc My Michael Freedman. Cong cu cua ong lai hoan toan la Topo Hinh hoc, nghia la noi chung khong su dung cac cau truc vi phan hay đai so. Freedman roi cung đuoc trao giai thuong Fields nam 1986.
Đong gop to lon vao nhung cong trinh nghien cuu dan đen cac ket qua nay va nhung tien bo sau đo phai ke đen John Milnor (giai Fields 1966), John Stallings, Papakyriapoulos, Sergey Novikov (giai Fields 1970), Robion Kirby, Simon Donaldson (giai Fields 1986) va nhieu nguoi khac. Nhung phuong phap khac nhau đa đuoc su dung: Topo vi phan, Topo đai so, Topo hinh hoc, va ca nhung y tuong tu vat ly ly thuyet.


Tham khao Lien ket ngoai The Poincare conjecture described Luu tru ngay 7 thang 6 nam 2015 tai Wayback Machine by the Clay Mathematics Institute.
The Geometry of 3-Manifolds (video) Luu tru ngay 27 thang 1 nam 2010 tai Wayback Machine A public lecture on the Poincare and geometrization conjectures, given by C. McMullen at Harvard in 2006.
Bruce Kleiner (Yale) and John W. Lott (University of Michigan): "Notes & commentary on Perelman's Ricci flow papers".
Stephen Ornes, What is The Poincare Conjecture? Luu tru ngay 4 thang 12 nam 2008 tai Wayback Machine, Seed Magazine, ngay 25 thang 8 nam 2006.
"The Poincare Conjecture" – BBC Radio 4 programme In Our Time, ngay 2 thang 11 nam 2006. Contributors June Barrow-Green, Lecturer in the History of Mathematics at the Open University, Ian Stewart, Professor of Mathematics at the University of Warwick, Marcus du Sautoy, Professor of Mathematics at the University of Oxford, and presenter Melvyn Bragg.
"Solving an Old Math Problem Nets Award, Trouble" – NPR segment, ngay 26 thang 12 nam 2006.
Nasar, Sylvia (ngay 21 thang 8 nam 2006). "Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it". The New Yorker. and Gruber, David. Ban goc luu tru ngay 3 thang 9 nam 2012. Truy cap ngay 24 thang 8 nam 2006.
Poincare's conjecture at the Manifold Atlas


= Video =
The Poincare Conjecture tren YouTube, Brief visual overview of the Poincare Conjecture, background and solution.
Steckles, Katie; Isenberg, James A. "Poincare Conjecture" (video). Brady Haran. Truy cap ngay 23 thang 4 nam 2014.