Trong toan hoc, cong thuc Viete la mot cong thuc tich vo han bieu dien gia tri cua hai lan nghich đao hang so toan hoc π:

  
    
      
        
          
            2
            π
          
        
        =
        
          
            
              2
            
            2
          
        
        ⋅
        
          
            
              2
              +
              
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        ⋅
        
          
            
              2
              +
              
                
                  2
                  +
                  
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            2
          
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }
  
 
Ngoai ra, cong thuc nay cung co the đuoc bieu dien bang ki hieu tich vo han: 

  
    
      
        
          
            2
            π
          
        
        =
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            π
            
              2
              
                n
                +
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}}
  
 
Nha toan hoc nguoi Phap Francois Viete cong bo cong thuc vao nam 1593, va cong thuc nay đuoc đat theo ten ong. Cong thuc Viete bieu dien mot hang so bang mot chuoi cac phep tinh dai vo han, no cung co the bieu thi y nghia chat che ve mat gioi han, va cung đanh dau su khoi đau cua giai tich toan hoc. Cong thuc nay co mot toc đo hoi tu xac đinh, đe tu đo co the đuoc su dung đe tinh so π, tuy nhien cac phuong phap truoc va sau khi cong thuc nay ra đoi lai co đo chinh xac cao hon. Cong thuc nay cung đuoc su dung đe tinh toan su chuyen đong cua he cac lo xo kem voi khoi luong, ngoai ra cung đong vai tro nhu mot vi du đe thuc đay su xuat hien khai niem đoc lap thong ke.
Cong thuc Viete co the đuoc coi nhu mot ket qua cua chuoi long nhau cua ca chu vi va dien tich cua mot đa giac đeu trong qua trinh suy bien tro thanh đuong tron. Cung bang viec su dung lien tuc cac cong thuc nhan đoi goc cua luong giac đe suy ra cac cong thuc tong quat, Leonhard Euler đa thu đuoc cong thuc Viete nhu mot truong hop đac biet cua cac cong thuc tong quat neu tren.


Dan nhap Francois Viete (sinh nam 1540, mat nam 1603) la mot luat su nguoi Phap, lam viec trong vien co mat cho hai đoi vua Phap va la mot nha toan hoc nghiep du. Ong lan đau tien cong bo cong thuc Viete vao nam 1593 trong cong trinh nghien cuu Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (dich tu tieng Latinh: Đap an cho cac van đe toan hoc, cuon VIII). Trong thoi gian nay, cac phuong phap nham tinh xap xi so π voi đo chinh xac khac nhau đa đuoc biet đen rong rai. Phuong phap rieng cua Viete co the đuoc coi nhu mot loi tu duy khac cho y tuong cua Archimedes cua viec tinh xap xi chu vi mot đuong tron bang viec su dung đa giac đeu nhieu canh. Y tuong nay Archimedes đa giup tim đuoc chan gia tri cua so π:

  
    
      
        
          
            223
            71
          
        
        <
        π
        <
        
          
            22
            7
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.}
  
Bang viec cong bo phuong phap tinh cua minh duoi dang mot cong thuc toan hoc, Viete lan đau tien đua ra mot vi du ma ngay nay đuoc đinh nghia la tich vo han trong toan hoc, va cung la vi du đau tien ma mot cong thuc cu the co the tinh toan gia tri chinh xac cua so π. Lan đau tien nen toan hoc chau Au co mot cong thuc ma mot so đuoc the hien bang ket qua cua mot chuoi cac phep tinh vo han. Eli Maor đa coi cong thuc Viete nhu dau moc khoi đau cho giai tich toan hoc, trong khi Jonathan Borwein goi su xuat hien cua cong thuc nay la "buoi binh minh cua toan hoc hien đai" (the dawn of modern mathematics).
Viete su dung cong thuc cua chinh minh đe tinh toan so π chinh xac toi 9 chu so thap phan sau dau phay. Tuy nhien, đay lai khong phai la phep xap xi so pi co đo chinh xac cao nhat tai thoi điem đo, khi ma nha toan hoc nguoi Ba Tu Jamshid al-Kashi đa tinh so π chinh xac toi 16 chu so thap phan sau dau phay, tuc la 9 chu so neu tinh theo he luc thap phan vao nam 1424. Khong lau sau khi Viete cong bo cong thuc cua minh, Ludolph van Ceulen cung đa su dung mot phuong phap gan tuong tu voi cong thuc cua Viete đe tinh toan so π chinh xac toi 35 chu so. Phuong phap tinh nay chi đuoc cong bo sau khi Ceulen qua đoi vao nam 1610.
Cong thuc Viete khong chi quan trong ve mat toan hoc hay lich su toan hoc, ma con co the đuoc su dung đe giai thich cho su tan sac trong mot he co vo so lo xo voi khoi luong cho truoc, đe tu đo su xuat hien cua so π lam tien đe đe giai thich gioi han đe mot van toc pha thay đoi tinh chat cua no. Them vao đo, mot he qua đuoc dan xuat tu cong thuc Viete la ket qua cua phep toan voi cac so nguyen xuat hien trong he Rademacher, tu đo giup đua ra cac vi du nham đinh nghia khai niem ve đoc lap thong ke.


Su hoi tu cua cong thuc Viete Cong thuc Viete co the đuoc bieu dien duoi dang ket qua cua mot phep tinh gioi han

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              a
              
                i
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            2
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}}
  

ma o đo day so 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {a}_{n}}
  
  đuoc cho boi cong thuc truy hoi 

  
    
      
        
          
            
              
                
                  a
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  a
                  
                    n
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    2
                    +
                    
                      a
                      
                        n
                        −
                        1
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{n}&={\sqrt {2+a_{n-1}}}.\end{aligned}}}
  

Voi moi gia tri 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 xac đinh, bieu thuc gioi han la mot phep tinh huu han cac nhan tu, tuy nhien khi 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 tien dan toi vo cung, ket qua gioi han nay cang ngay cang gan hon toi ket qua cua cong thuc Viete. Francois Viete đa nghien cuu cong thuc Viete truoc ca khi khai niem ve gioi han va cac chung minh ve su hoi tu trong toan hoc ra đoi; khi ma chung minh đau tien cho viec ton tai gioi han neu tren moi đuoc tim ra lan đau tien trong nghien cuu cua Ferdinand Rudio vao nam 1891. 

Toc đo hoi tu cua mot phep tinh gioi han co lien quan mat thiet toi so luong bieu thuc tham gia phep tinh đe đat đuoc mot đo chinh xac nhat đinh ve mat so chu so trong mot phep tinh. Đoi voi cong thuc Viete, so luong nhan tu va so chu so ti le thuan voi nhau, va ket qua cua cong thuc Viete cho 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 nhan tu đau tien cho ra xap xi so π voi su chinh xac cho 0,6
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 chu so. Toc đo hoi tu nay kha tuong đong voi ket qua Wallis – mot cong thuc cung su dung tich vo han đe tim kiem cong thuc tinh so π ra đoi vao nam 1656. Mac du cong thuc cua ban than Viete đuoc chinh ong su dung đe tinh so π voi đo chinh xac la chin chu so sau dau phay, mot dan xuat khac voi toc đo hoi tu nhanh hon đuoc su dung đe tinh π toi khoang vai nghin chu so.


Cong thuc lien quan Cong thuc Viete co the đuoc coi nhu mot truong hop đac biet cho cong thuc lien quan toi ham sinc. Nha toan hoc Leonhard Euler đuoc cho la nguoi tim ra cong thuc nay hon mot the ky sau đo: 

  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        
          
            x
            2
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            x
            4
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            x
            8
          
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots }
  

Thay x = π/2 vao cong thuc nay, ta co:

  
    
      
        
          
            2
            π
          
        
        =
        cos
        ⁡
        
          
            π
            4
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            π
            8
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            π
            16
          
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {\pi }{4}}\cdot \cos {\frac {\pi }{8}}\cdot \cos {\frac {\pi }{16}}\cdots }
  

Sau đo, bieu dien tung nhan tu o ve phai su dung cong thuc nhan đoi goc: 

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          
            x
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                +
                cos
                ⁡
                x
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}
  

cho ta cong thuc Viete.
Ta cung co the thu đuoc tu cong thuc Viete mot cong thuc bieu thi truc tiep gia tri cua so π voi vo so cac can bac hai chua so 2, nhung chi su dung duy nhat mot phep nhan:

  
    
      
        π
        =
        
          lim
          
            k
            →
            ∞
          
        
        
          2
          
            k
          
        
        
          
            
              
                2
                −
                
                  
                    2
                    +
                    
                      
                        2
                        +
                        
                          
                            2
                            +
                            
                              
                                2
                                +
                                ⋯
                                +
                                
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              ⏟
            
          
          
            k
            
               dau can bac hai
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k{\text{ dau can bac hai}}},}
  

Cong thuc nay co the đuoc thu gon lai duoi dang day so: 

  
    
      
        
          
            
              
                π
              
              
                
                =
                
                  lim
                  
                    k
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  2
                  
                    k
                  
                
                
                  
                    2
                    −
                    
                      a
                      
                        k
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  a
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                0
              
            
            
              
                
                  a
                  
                    k
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    2
                    +
                    
                      a
                      
                        k
                        −
                        1
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=\lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}}\\[5px]a_{1}&=0\\a_{k}&={\sqrt {2+a_{k-1}}}.\end{aligned}}}
  
Nhieu cong thuc cho so π va cac hang so khac nhu ty le vang cung co dang cong thuc giong voi cong thuc Viete khi su dung viec long cac can thuc bac hai hoac cac chuoi vo han cac cong thuc luong giac.


Nguon goc Viete thu đuoc cong thuc nay khi so sanh dien tich cua cac đa giac đeu voi so canh lan luot la 2n va 2n + 1 cung noi tiep mot đuong tron. Ti le đau tien khi so sanh dien tich cua mot hinh vuong va mot hinh bat giac la √2/2 – cung chinh la nhan tu đau tien trong cong thuc Viete, nhan tu thu hai thu đuoc khi so sanh mot hinh bat giac voi mot hinh 16 canh. Theo đo, chuoi nhan tu nay long nhau lien tuc đe cho ra ti le dien tich giua hinh vuong (đa giac đeu đau tien) va đuong tron (truong hop gioi han cua mot đa giac co 2n canh). Ngoai ra, cac nhan tu xuat hien trong chuoi phep nhan vo han cung the hien ti le cua chu vi chuoi đa giac nhu cach lap luan tren.
Mot cach khac đe thu đuoc cong thuc Viete đuoc dua tren cac đang thuc luong giac va cong thuc Euler. Bang viec lien tuc su dung cong thuc nhan đoi goc

  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        =
        2
        sin
        ⁡
        
          
            x
            2
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            x
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},}
  

dan toi viec đua ra mot chung minh bang phep quy nap rang voi moi so nguyen n, 

  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        =
        
          2
          
            n
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            x
            
              2
              
                n
              
            
          
        
        
          (
          
            
              ∏
              
                i
                =
                1
              
              
                n
              
            
            cos
            ⁡
            
              
                x
                
                  2
                  
                    i
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).}
  

Bieu thuc 2n sin x/2n tien dan toi x khi ma x trong phep gioi han tien dan toi duong vo cung. Bang viec thay x = π/2 se cho ra đuoc cong thuc Viete.


Xem them Francois Viete
Tich vo han


Tham khao Lien ket ngoai Tac pham Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (cong bo lan đau nam 1593) cua Francois Viete tren nen tang Google Books. Cong thuc Viete nam o nua sau cua trang 30.