Trong toan hoc, mat phang la mot mat hai chieu phang keo dai vo han. Mot mat phang la mo hinh hai chieu tuong tu nhu mot điem (khong chieu), mot đuong thang (mot chieu) va khong gian ba chieu. Cac mat phang co the xuat hien nhu la khong gian con cua mot khong gian co chieu cao hon, nhu la nhung buc tuong cua mot can phong dai ra vo han, hoac chung co the co quyen ton tai đoc lap, nhu trong cac đieu kien cua hinh hoc Euclid.
Khi chi xet rieng trong khong gian Euclide hai chieu, mat phang đe cap đen toan bo khong gian. Nhieu hoat đong co ban trong toan hoc, hinh hoc, luong giac, ly thuyet đo thi va ve đo thi đuoc tien hanh tren khong gian hai chieu, hay noi cach khac, trong mat phang.


Hinh hoc Euclide Euclid đat ra buoc ngoat quan trong đau tien trong tu duy toan hoc, phuong phap tien đe cua hinh hoc. Ong chon lay huu han cac thuat ngu khong the đinh nghia (cac khai niem chung) va cac đinh đe (hoac cac tien đe) co ban ma ong đa su dung đe chung minh cac menh đe hinh hoc khac nhau. Mac du mat phang theo y nghia hien đai khong truc tiep đua ra mot đinh nghia nao trong cuon Co so, nhung no co the đuoc coi la mot phan cua cac khai niem chung. Trong cong trinh cua minh Euclid chua bao gio su dung cac con so đe đo chieu dai, goc, hay la dien tich. Do đo, mat phang Euclide khong hoan toan giong mat phang Descartes.


Mat phang trong khong gian Euclide 3 chieu Phan nay chi quan tam đen nhung mat phang khong gian ba chieu: đac biet la trong R3.


= Xac đinh bang cac điem va đuong thang đuoc chua =
Trong khong gian Euclide cua bat ky chieu nao, mat phang đuoc xac đinh duy nhat bang nhung đieu sau:

3 điem khong thang hang (cac điem khong nam tren cung mot đuong thang).
Mot đuong thang va mot điem nam ngoai đuong thang đo.
Hai đuong thang phan biet giao nhau.
Hai đuong thang song song.


= Tinh chat =
Cac menh đe sau ton tai trong khong gian Euclide ba chieu nhung khong ton tai o cac chieu khong gian cao hon, du chung co mo hinh chieu khong gian cao hon:

Hai mat phang phan biet hoac la song song hoac giao nhau tren mot đuong thang.
Mot đuong thang hoac la song song voi mot mat phang, hoac cat no tai mot điem duy nhat, hoac bi chua trong mat phang.
Hai đuong thang phan biet vuong goc voi cung mot mat phang phai song song voi nhau.
Hai mat phang phan biet vuong goc voi cung mot đuong thang phai song song voi nhau.


= Phuong trinh điem-phap tuyen va phuong trinh tong quat cua mot mat phang =
Cung nhu cac đuong thang co huong trong khong gian hai chieu đuoc bieu dien bang cach su dung phuong trinh điem-he so goc, mat phang trong khong gian ba chieu co dang bieu dien tu nhien su dung mot điem trong mat phang va mot vector truc giao voi no (cac vector phap tuyen) đe chi ra "goc nghieng" cua no.
Cu the, đat 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
  
 la vecto ban kinh cua điem 
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        =
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        ,
        
          z
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}
  
, đat 
  
    
      
        
          n
        
        =
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}
  
 la mot vector khac khong. Mat phang đuoc xac đinh bang điem nay va vector chua cac điem 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
, co vecto ban kinh 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
, sao cho vector ve tu 
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{0}}
  
 đen 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 vuong goc voi 
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
. Nho rang hai vecto vuong goc khi va chi khi tich vo huong cua chung bang khong, do đo mat phang mong muon co the đuoc mo ta nhu la tap tat ca cac điem 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 sao cho

  
    
      
        
          n
        
        ⋅
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}
  

(Dau cham o đay co nghia la mot tich vo huong cua 2 vector, khong phai phep nhan vo huong.) Mo rong nay se tro thanh

  
    
      
        a
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        b
        (
        y
        −
        
          y
          
            0
          
        
        )
        +
        c
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        )
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}
  

đo chinh la phuong trinh điem-phap tuyen cua mot mat phang. Đay la mot phuong trinh tuyen tinh:

  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        +
        c
        z
        +
        d
        =
        0
        ,
        
           where 
        
        d
        =
        −
        (
        a
        
          x
          
            0
          
        
        +
        b
        
          y
          
            0
          
        
        +
        c
        
          z
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}
  

Nguoc lai, de dang chi ra rang neu a, b, c va d la hang so va a, b, c la khong đong thoi bang khong, thi đo thi cua phuong trinh

  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        +
        c
        z
        +
        d
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle ax+by+cz+d=0,}
  

la mot mat phang nhan vector 
  
    
      
        
          n
        
        =
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}
  
 lam phap tuyen. Phuong trinh quen thuoc nay đoi voi mat phang đuoc goi la dang tong quat cua phuong trinh mat phang.
Vi du mot phuong trinh hoi quy co dang y = d + ax + cz (with b=-1) thiet lap mat phang phu hop nhat trong khong gian ba chieu khi co hai bien giai thich.


= Bieu dien mot mat phang voi mot điem va hai vecto nam tren mat phang đo =
Ngoai ra, mat phang co the đuoc bieu dien mot cach tham so la tap tat ca cac điem co dang

  
    
      
        
          r
        
        =
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        +
        s
        
          v
        
        +
        t
        
          w
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {v} +t\mathbf {w} ,}
  

trong đo s va t thuoc so thuc, cho v va w la cac vecto đoc lap tuyen tinh xac đinh mat phang, va r0 la vector đai dien cho vi tri cua mot điem tuy y (nhung co đinh) tren mat phang. Cac vecto v va w co the đuoc hinh dung nhu cac vecto bat đau tai r0 va chi theo cac huong khac nhau doc theo mat phang. Luu y rang v va w co the vuong goc, nhung khong đuoc song song.


= Bieu dien mot mat phang qua ba điem =
Đat p1=(x1, y1, z1), p2=(x2, y2, z2), va p3=(x3, y3, z3) la nhung điem khong thang hang.


 Phuong phap 1  Cac mat phang đi qua p1, p2, va p3 co the đuoc mo ta nhu la tap tat ca cac điem (x,y,z) thoa man phuong trinh đinh thuc sau đay:

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  x
                  −
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  y
                  −
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  z
                  −
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  −
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                  −
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      3
                    
                  
                  −
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  x
                  −
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  y
                  −
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  z
                  −
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  x
                  −
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  y
                  −
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  z
                  −
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  x
                  −
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  y
                  −
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  z
                  −
                  
                    z
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.}
  


 Phuong phap 2  Đe bieu dien mat phang bang mot phuong trinh co dang 
  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        +
        c
        z
        +
        d
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax+by+cz+d=0}
  
, can giai cac he phuong trinh sau:

  
    
      
        
        a
        
          x
          
            1
          
        
        +
        b
        
          y
          
            1
          
        
        +
        c
        
          z
          
            1
          
        
        +
        d
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \,ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0}
  

  
    
      
        
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        
          y
          
            2
          
        
        +
        c
        
          z
          
            2
          
        
        +
        d
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \,ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0}
  

  
    
      
        
        a
        
          x
          
            3
          
        
        +
        b
        
          y
          
            3
          
        
        +
        c
        
          z
          
            3
          
        
        +
        d
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \,ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.}
  

He co the đuoc giai quyet bang đinh ly Cramer va cac thao tac bien đoi co ban cua ma tran. Đat

  
    
      
        D
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}}
  
.
Neu D khac khong (đe cho cac mat phang khong qua goc toa đo) cac gia tri cua a, b va c co the đuoc tinh nhu sau:

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              −
              d
            
            D
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}}
  

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              −
              d
            
            D
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  1
                
                
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  1
                
                
                  
                    z
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}}
  

  
    
      
        c
        =
        
          
            
              −
              d
            
            D
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  1
                
              
            
            |
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}
  

Nhung phuong trinh nay co tham so la d. Đat d bang voi so khac khong va the no vao cac phuong trinh nay se co mot tap nghiem.


 Phuong phap 3  Mat phang nay cung co the đuoc bieu dien bang "điem va mot vector phap tuyen" quy đinh o tren. Cho mot vector phap tuyen phu hop bang tich vector

  
    
      
        
          n
        
        =
        (
        
          
            p
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            p
          
          
            1
          
        
        )
        ×
        (
        
          
            p
          
          
            3
          
        
        −
        
          
            p
          
          
            1
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} =(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1}),}
  

va điem r0 co the đuoc xem la mot trong nhung điem p1,p2 hoac p3 đa cho.


= Vi tri tuong đoi giua 2 mat phang =
Cho mat phang 
  
    
      
        (
        α
        )
        A
        x
        +
        B
        y
        +
        C
        z
        +
        D
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (\alpha )Ax+By+Cz+D=0}
  
 va mat phang 
  
    
      
        (
        
          α
          ′
        
        )
        
          A
          ′
        
        x
        +
        
          B
          ′
        
        y
        +
        
          C
          ′
        
        z
        +
        
          D
          ′
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (\alpha ')A'x+B'y+C'z+D'=0}
  

  
    
      
        (
        α
        )
        ∩
        (
        
          α
          ′
        
        )
        =
        (
        d
        )
        ⇔
        A
        :
        B
        :
        C
        =
        
          A
          ′
        
        :
        
          B
          ′
        
        :
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle (\alpha )\cap (\alpha ')=(d)\Leftrightarrow A:B:C\neq A':B':C'}
  

  
    
      
        (
        α
        )
        
          /
        
        
          /
        
        (
        
          α
          ′
        
        )
        ⇔
        
          
            {
            
              
                
                  A
                  :
                  B
                  :
                  C
                  =
                  
                    A
                    ′
                  
                  :
                  
                    B
                    ′
                  
                  :
                  
                    C
                    ′
                  
                
              
              
                
                  A
                  :
                  B
                  :
                  C
                  :
                  D
                  =
                  
                    A
                    ′
                  
                  :
                  
                    B
                    ′
                  
                  :
                  
                    C
                    ′
                  
                  :
                  
                    D
                    ′
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\alpha )//(\alpha ')\Leftrightarrow {\begin{cases}A:B:C=A':B':C'\\A:B:C:D\neq A':B':C':D'\end{cases}}}
  

  
    
      
        (
        α
        )
        ≡
        (
        
          α
          ′
        
        )
        ⇔
        A
        :
        B
        :
        C
        :
        D
        =
        
          A
          ′
        
        :
        
          B
          ′
        
        :
        
          C
          ′
        
        :
        
          D
          ′
        
      
    
    {\displaystyle (\alpha )\equiv (\alpha ')\Leftrightarrow A:B:C:D=A':B':C':D'}
  


= Khoang cach tu mot điem đen mot mat phang =
Cho mat phang 
  
    
      
        Π
        :
        a
        x
        +
        b
        y
        +
        c
        z
        +
        d
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \Pi :ax+by+cz+d=0\,}
  
 va mot điem 
  
    
      
        
          
            p
          
          
            1
          
        
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}
  
 khong nhat thiet phai nam tren mat phang, khoang cach ngan nhat tu 
  
    
      
        
          
            p
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} _{1}}
  
 toi mat phang la

  
    
      
        D
        =
        
          
            
              |
              
                a
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                +
                b
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                +
                c
                
                  z
                  
                    1
                  
                
                +
                d
              
              |
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}
  

Suy ra 
  
    
      
        
          
            p
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} _{1}}
  
 nam tren mat phang khi va chi khi D=0.
Neu 
  
    
      
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
            +
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}
  
 co nghia rang a, b, va c đuoc chuan hoa thi phuong trinh tro thanh

  
    
      
        D
        =
         
        
          |
        
        a
        
          x
          
            1
          
        
        +
        b
        
          y
          
            1
          
        
        +
        c
        
          z
          
            1
          
        
        +
        d
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.}
  

Mot dang phuong trinh vector khac cua mat phang, đuoc biet đen nhu la dang phap tuyen Hesse dua tren tham so D. Co dang:

  
    
      
        
          n
        
        ⋅
        
          r
        
        −
        
          D
          
            0
          
        
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} -D_{0}=0,}
  

voi 
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
 la mot vector phap tuyen đon vi đen mat phang, 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 la mot vector ban kinh cua mot điem thuoc mat phang va D0 la khoang cach tu goc đen mat phang.
Cong thuc tong quat cho cac chieu khong gian cao hon co the nhanh chong đat đuoc bang cach su dung ky hieu vector. Cho cac sieu mat phang co phuong trinh 
  
    
      
        
          n
        
        ⋅
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0}
  
, voi 
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
 la mot vector phap tuyen va 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        =
        (
        
          x
          
            10
          
        
        ,
        
          x
          
            20
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            N
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{0}=(x_{10},x_{20},\dots ,x_{N0})}
  
 la ban kinh vector trong sieu mat phang. Ta mong muon khoang cach vuong goc toi điem 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        =
        (
        
          x
          
            11
          
        
        ,
        
          x
          
            21
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            N
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})}
  
. Cac sieu mat phang nay cung co the đuoc bieu dien bang phuong trinh vo huong 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        =
        −
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}
  
, voi moi hang so 
  
    
      
        {
        
          a
          
            i
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{i}\}}
  
. Tuong tu nhu vay, 
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
 tuong tu cung co the đuoc bieu dien la 
  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            N
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{N})}
  
. Ta can phep chieu vo huong cua vector 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        −
        
          
            r
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{0}}
  
 theo huong cua 
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  
. Luu y rang 
  
    
      
        
          n
        
        ⋅
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        =
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        ⋅
        
          n
        
        =
        −
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{0}=\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {n} =-a_{0}}
  
 (do 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
  
 thoa phuong trinh cua sieu mat phang) ta co

  
    
      
        
          
            
              
                D
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                      (
                      
                        
                          r
                        
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        
                          r
                        
                        
                          0
                        
                      
                      )
                      ⋅
                      
                        n
                      
                      
                        |
                      
                    
                    
                      
                        |
                      
                      
                        n
                      
                      
                        |
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                      
                        
                          r
                        
                        
                          1
                        
                      
                      ⋅
                      
                        n
                      
                      −
                      
                        
                          r
                        
                        
                          0
                        
                      
                      ⋅
                      
                        n
                      
                      
                        |
                      
                    
                    
                      
                        |
                      
                      
                        n
                      
                      
                        |
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                      
                        
                          r
                        
                        
                          1
                        
                      
                      ⋅
                      
                        n
                      
                      +
                      
                        a
                        
                          0
                        
                      
                      
                        |
                      
                    
                    
                      
                        |
                      
                      
                        n
                      
                      
                        |
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                      
                        a
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          11
                        
                      
                      +
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                      
                        x
                        
                          21
                        
                      
                      +
                      ⋯
                      +
                      
                        a
                        
                          N
                        
                      
                      
                        x
                        
                          N
                          1
                        
                      
                      +
                      
                        a
                        
                          0
                        
                      
                      
                        |
                      
                    
                    
                      
                        a
                        
                          1
                        
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        a
                        
                          2
                        
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      ⋯
                      +
                      
                        a
                        
                          N
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}D&={\frac {|(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{0})\cdot \mathbf {n} |}{|\mathbf {n} |}}\\&={\frac {|\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {n} -\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {n} |}{|\mathbf {n} |}}\\&={\frac {|\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {n} +a_{0}|}{|\mathbf {n} |}}\\&={\frac {|a_{1}x_{11}+a_{2}x_{21}+\dots +a_{N}x_{N1}+a_{0}|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots +a_{N}^{2}}}}\end{aligned}}}
  
.


= Đuong thang giao nhau giua hai mat phang =
Đuong thang giao nhau giua hai mat phang 
  
    
      
        
          Π
          
            1
          
        
        :
        
          
            n
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          r
        
        =
        
          h
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \Pi _{1}:\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {r} =h_{1}}
  
 va 
  
    
      
        
          Π
          
            2
          
        
        :
        
          
            n
          
          
            2
          
        
        ⋅
        
          r
        
        =
        
          h
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \Pi _{2}:\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {r} =h_{2}}
  
 voi 
  
    
      
        
          
            n
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} _{i}}
  
 đuoc chuan hoa cho boi

  
    
      
        
          r
        
        =
        (
        
          c
          
            1
          
        
        
          
            n
          
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            n
          
          
            2
          
        
        )
        +
        λ
        (
        
          
            n
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            n
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =(c_{1}\mathbf {n} _{1}+c_{2}\mathbf {n} _{2})+\lambda (\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2})}
  

voi

  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                h
                
                  1
                
              
              −
              
                h
                
                  2
                
              
              (
              
                
                  n
                
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                
                  n
                
                
                  2
                
              
              )
            
            
              1
              −
              (
              
                
                  n
                
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                
                  n
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}}
  

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                h
                
                  2
                
              
              −
              
                h
                
                  1
                
              
              (
              
                
                  n
                
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                
                  n
                
                
                  2
                
              
              )
            
            
              1
              −
              (
              
                
                  n
                
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                
                  n
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}.}
  

Đieu nay co đuoc bang cach chu y rang cac đuong thang phai vuong goc voi phap tuyen cua 2 mat phang, va do đo song song voi tich vecto cua chung
  
    
      
        
          
            n
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            n
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}}
  
 (tich vecto bang khong khi va chi khi cac mat phang nay song song, va do đo khong giao nhau hoac hoan toan trung nhau).
Phan con lai cua bieu thuc co đuoc bang cach tim mot điem tuy y tren đuong thang. Đe lam vay, đe y rang bat ky điem nao trong khong gian cung co the đuoc viet duoi dang
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
        
          
            n
          
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            n
          
          
            2
          
        
        +
        λ
        (
        
          
            n
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            n
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =c_{1}\mathbf {n} _{1}+c_{2}\mathbf {n} _{2}+\lambda (\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2})}
  
, do
  
    
      
        {
        
          
            n
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            n
          
          
            2
          
        
        ,
        (
        
          
            n
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            n
          
          
            2
          
        
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \{\mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},(\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2})\}}
  
 la mot co so. Ta muon tim mot điem nam tren ca hai mat phang (nghia la nam tren giao tuyen cua chung), do đo chen phuong trinh nay vao tung phuong trinh cua tung mat phang đe co đuoc hai phuong trinh đong thoi co the tim ra 
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1}}
  
 va 
  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{2}}
  
.
Neu chung ta cung gia đinh rang 
  
    
      
        
          
            n
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} _{1}}
  
 va 
  
    
      
        
          
            n
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} _{2}}
  
 la truc giao thi điem gan nhat tren giao tuyen toi goc la 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        =
        
          h
          
            1
          
        
        
          
            n
          
          
            1
          
        
        +
        
          h
          
            2
          
        
        
          
            n
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{0}=h_{1}\mathbf {n} _{1}+h_{2}\mathbf {n} _{2}}
  
. Neu khong phai la truong hop đo, thi mot thu tuc phuc tap hon phai đuoc su dung.


= Goc giua hai mat phang =
Cho hai mat phang giao nhau đuoc mo ta boi 
  
    
      
        
          Π
          
            1
          
        
        :
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          b
          
            1
          
        
        y
        +
        
          c
          
            1
          
        
        z
        +
        
          d
          
            1
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\,}
  
 va
  
    
      
        
          Π
          
            2
          
        
        :
        
          a
          
            2
          
        
        x
        +
        
          b
          
            2
          
        
        y
        +
        
          c
          
            2
          
        
        z
        +
        
          d
          
            2
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,}
  
, thi goc giua hai mat phang nay đuoc đinh nghia la goc 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 giua cac đuong thang chua 2 phap tuyen cua chung:

  
    
      
        cos
        ⁡
        α
        =
        
          
            
              
                
                  
                    
                      n
                      ^
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                
                  
                    
                      n
                      ^
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  
                    
                      n
                      ^
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                |
              
              
                |
              
              
                
                  
                    
                      n
                      ^
                    
                  
                
                
                  2
                
              
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  1
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  1
                
              
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  1
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      1
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    c
                    
                      1
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    c
                    
                      2
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1}||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.}
  


Mat phang trong cac linh vuc khac nhau cua toan hoc Ben canh cau truc hinh hoc quen thuoc, voi cac phep đang cau co cac đang cu cung voi tich trong thong thuong, mat phang co the đuoc xem o cac cap đo truu tuong khac nhau. Moi cap đo truu tuong tuong ung voi mot the loai cu the.
O mot thai cuc, tat ca cac khai niem hinh hoc va chuan đo he met co the bi bo khoi mat phang topo, ma co the đuoc coi nhu mot tam cao su vo han đong luan tam thuong đuoc ly tuong hoa, song van duy tri mot khai niem ve khoang cach, nhung khong ton tai khoang cach. Mat phang topo co mot khai niem ve đuong thang tuyen tinh, nhung khong co khai niem ve mot đuong thang. Mat phang topo, hoac su tuong đuong voi hinh tron mo cua no, la mien lan can topo can ban đuoc su dung đe xay dung cac be mat (hoac cac đa tap 2 chieu) đuoc xep vao loai topo it chieu. Cac phep đang cau cua mat phang topo đeu la song anh lien tuc. Mat phang topo chinh la ngu canh tu nhien cho cac nhanh cua ly thuyet đo thi ma giai quyet cac đo thi phang, va co cac ket qua chang han nhu đinh ly bon mau.
Mat phang cung co the đuoc xem nhu la khong gian affine, ma phep đang cau cua no la su ket hop cua cac phep tinh tien va ban đo tuyen tinh khong suy bien. Tu quan điem nay suy ra khong ton tai khoang cach, nhung tinh cong tuyen va ty le khoang cach tren bat ky đuong thang nao đeu đuoc bao toan.
Hinh hoc vi phan coi mot mat phang nhu mot đa tap thuc 2 chieu, la mot mat phang topo đuoc cung cap kem mot cau truc vi phan. Mot lan nua trong truong hop nay, khong co khai niem ve khoang cach, nhung hien co mot khai niem ve tinh tron cua xa anh, vi du nhu mot đuong thang kha vi hoac tron nhan (phu thuoc vao loai cau truc vi phan đuoc ap dung). Cac phep đang cau trong truong hop nay la la song anh voi muc đo đuoc chon theo su kha vi.
Theo huong đoi dien cua su truu tuong, chung ta co the ap dung mot cau truc truong tuong thich voi mat phang hinh hoc, tao ra nhung mat phang phuc va cac linh vuc chinh cua giai tich phuc. Cac truong phuc chi co hai phep đang cau ma ly khai đuong thang thuc co đinh, phep đong nhat va phep lien hop.
Theo cung cach nhu trong cac truong hop thuc te, mat phang cung co the đuoc xem nhu la đa tap phuc đon gian nhat, mot chieu (tren truong so phuc), đoi khi goi la đuong phuc. Tuy nhien, quan điem nay đoi lap voi truong hop mat phang nhu mot đa tap thuc 2 chieu. Cac phep đang cau đeu la song anh bao giac cua mat phang phuc, nhung kha nang chi la cac xa anh tuong ung voi cac thanh phan cua mot phep nhan mot so phuc voi mot phep tinh tien.
Ngoai ra, hinh hoc Euclide (trong đo đo cong bang khong o khap moi noi) khong phai la hinh hoc duy nhat ma mat phang co the co. Mat phang co the đuoc cho mot dang hinh hoc hinh cau bang cach su dung phep chieu lap the. Đieu nay co the coi nhu đat mot khoi cau tren mat phang (giong nhu mot qua bong tren san nha), loai bo điem đau, va chieu hinh cau len mat phang tu điem nay). Đay la mot trong cac phep chieu ma co the đuoc su dung trong viec tao ra mot ban đo phang cua mot phan cua be mat Trai đat. Cac dang hinh hoc thu đuoc co đo cong duong lien tuc.
Ngoai ra, mat phang cung co the đuoc cung cap mot chuan đo he met ma mang lai cho no mat phang hyperbol co đo cong am khong đoi. Kha nang thu hai la tim thay mot ung dung trong thuyet tuong đoi đac biet trong truong hop đon gian hoa, noi co hai chieu khong gian va mot chieu thoi gian. (Cac mat phang hyperbol la mot sieu be mat loai thoi gian trong khong gian Minkowski ba chieu.)


Ghi chu ve hinh hoc topo va hinh hoc vi phan Su mo rong compac tai mot điem cua mat phang la đong phoi voi hinh cau (xem phep chieu lap the); hinh tron mo la đong phoi voi khoi cau co "cuc Bac" mat tich; them điem đo bo sung khoi cau (compact). Ket qua cua su mo rong compac nay la mot đa tap goi tat la khoi cau Riemann hay đuong xa anh phuc. Phep chieu tu mat phang Euclide đen mot qua cau ma khong co mot điem la mot ban đo vi đong phoi va tham chi bao giac.
Mat phang ban than la đong phoi (va vi đong phoi) đen mot hinh tron mo. Đoi voi mat phang hyperbol thi vi đong phoi la bao giac, nhung đoi voi cac mat phang Euclide khong phai vay.


Xem them Flat (geometry)
Half-plane
Hyperplane
Line-plane intersection
Plane of incidence
Plane of rotation
Point on plane closest to origin
Projective plane


Ghi chu Tham khao Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (an ban thu 7), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, quyen I, Boston: Allyn and Bacon, Inc.


Lien ket ngoai Hazewinkel, Michiel, bien tap (2001), "Plane", Bach khoa toan thu Toan hoc, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W., "Plane" tu MathWorld.
"Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry" is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.