Vo han, vo cuc, vo tan (ky hieu: ∞) la mot khai niem mo ta mot cai gi đo ma khong co bat ky gioi han nao, hoac mot cai gi đo lon hon bat ky so tu nhien nao. Cac nha triet hoc đa suy đoan ve ban chat cua vo han, vi du  Zeno xu Elea, nguoi đa đe xuat nhieu nghich ly lien quan đen vo cuc, va Eudoxus cua Cnidus, nguoi đa su dung y tuong ve so luong nho vo han trong phuong phap can kiet cua minh. Y tuong nay cung la co so cua vi tich phan.
Vao cuoi the ky 19, Georg Cantor  đa gioi thieu va nghien cuu cac tap hop vo han va so luong vo han, hien la mot phan thiet yeu cua nen tang cua toan hoc. Vi du, trong toan hoc hien đai, mot dong thuong đuoc coi la cac thiet lap cua tat ca cac điem cua no, va so luong vo han cua chung (cac luc luong cua dong) lon hon so luong cac so nguyen. Do đo, khai niem toan hoc ve vo cuc tinh chinh va mo rong khai niem triet hoc cu. No đuoc su dung o moi noi trong toan hoc, ngay ca trong cac linh vuc nhu to hop va ly thuyet so duong nhu khong lien quan gi đen no. Vi du, cach chung minh cua Đinh ly cuoi cung cua Fermat su dung su ton tai cua cac tap hop vo han rat lon.
Khai niem vo han cung đuoc su dung trong vat ly va cac nganh khoa hoc khac.


Lich su Cac nen van hoa co đai co nhieu y tuong khac nhau ve ban chat cua vo cuc. Nguoi An Đo va Hy Lap co đai khong đinh nghia su vo han trong chu nghia hinh thuc chinh xac nhu toan hoc hien đai, va thay vao đo tiep can vo cuc nhu mot khai niem triet hoc.


= Hy Lap co đai =
Y tuong đau tien đuoc ghi lai ve su vo han đen tu Anaximander, mot triet gia Hy Lap tien Socrates song o Miletus. Ong đa su dung tu apeiron co nghia la vo han hoac vo tan. Tuy nhien, cac tai khoan chung thuc som nhat ve vo cuc toan hoc đen tu Zeno xu Elea (sinh ra k. 490 BCE), mot triet gia Hy Lap tien Socrates o mien nam nuoc Y va la thanh vien cua truong phai Elea do Parmenides thanh lap. Aristotle goi ong la nguoi phat minh ra phep bien chung. Ong noi tieng voi nhung nghich ly cua minh, đuoc Bertrand Russell mo ta la "vo cung tinh te va sau sac".
Theo quan điem truyen thong cua Aristotle, nguoi Hy Lap thoi Hellenic noi chung thuong thich phan biet vo cuc tiem nang voi vo cuc thuc te; vi du, thay vi noi rang co vo so cac so nguyen to, Euclid thay vao đo thich noi rang: co nhieu so nguyen to hon trong bat ky tap hop cac so nguyen to nhat đinh nao.


= An Đo co đai =
Cuon sach Jain ve toan hoc Surya Prajnapti (the ky thu 4 đen thu 3 TCN) phan loai tat ca cac so thanh ba tap hop: đem đuoc, vo so, va vo han. Moi trong so nay đuoc chia thanh ba loai:

Vo so: thap nhat, trung binh va cao nhat
Khong đem đuoc: gan nhu khong đem đuoc, thuc su khong đem đuoc, va vo so khong đem đuoc
Vo han: gan nhu vo han, thuc su vo han, vo han vo han
Trong tac pham nay, hai loai so vo han co ban đuoc phan biet. Tren ca co so vat chat va ban the hoc, mot su khac biet đa đuoc tao ra giua asamkhyata ("vo so, khong đem đuoc") va ananta ("vo tan, khong gioi han"), giua loai vo so bi gioi han cung nhac va loai vo so gioi han long leo.


= The ky 17 =
Cac nha toan hoc chau Au bat đau su dung cac so va bieu thuc vo han theo kieu co he thong trong the ky 17. Nam 1655, John Wallis lan đau tien su dung ky hieu 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
  
 cho mot so nhu vay trong De partibus conicis cua minh va khai thac no trong cac tinh toan dien tich bang cach chia vung thanh cac dai co chieu rong vo han theo thu tu 
  
    
      
        
          
            
              1
              ∞
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}
  
  Nhung trong Arithmetica infinitorum (1655), ong chi ra chuoi vo han, cac san pham vo han va cac phan so tiep tuc vo han bang cach viet ra mot vai thuat ngu hoac yeu to va sau đo noi them "& c." Vi du: "1, 6, 12, 18, 24, & c." 
Nam 1699, Isaac Newton đa viet ve cac phuong trinh voi thuat ngu vo han trong tac pham De analysi per aequationes numero terminorum infinitas.


Toan hoc Hermann Weyl đa mo đau mot bai dien thuyet ve toan hoc-triet hoc vao nam 1930 voi cau noi: "Toan hoc la mon khoa hoc cua vo han".


= Bieu tuong vo cuc =
Bieu tuong vo cuc 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
  
 la mot bieu tuong toan hoc đai dien cho khai niem vo cuc. Bieu tuong đuoc ma hoa bang Unicode tai  U+221E ∞ infinity (HTML &#8734; ·  &infin;) va trong LaTeX nhu \infty.
No đuoc gioi thieu vao nam 1655 boi John Wallis, va, ke tu khi đuoc gioi thieu, no cung đa đuoc su dung ben ngoai toan hoc trong chu nghia than bi hien đai  va ky hieu van hoc.


= Giai tich =
Leibniz, mot trong nhung nguoi đong phat minh ra phep tinh vi tich phan, đa suy đoan rong rai ve so luong vo han va viec su dung chung trong toan hoc. Đoi voi Leibniz, ca so luong vo han va so luong vo han đeu la nhung thuc the ly tuong, khong co cung ban chat voi so luong đang ke, nhung đuoc huong cac tinh chat tuong tu theo Luat lien tuc.


 Giai tich thuc  Trong giai tich thuc, bieu tuong 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
  
, đuoc goi la "vo cuc", đuoc su dung đe bieu thi mot gioi han khong gioi han. Ky hieu 
  
    
      
        x
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle x\rightarrow \infty }
  
 co nghia la x tang khong gioi han va 
  
    
      
        x
        →
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle x\to -\infty }
  
 co nghia la   x giam khong gioi han. Neu f (t) ≥ 0 cho moi t, thi 

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        d
        t
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }
  
 co nghia la f(t) khong bi gioi han trong khoang nao tu 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 toi 
  
    
      
        b
        .
      
    
    {\displaystyle b.}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        d
        t
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }
  
 nghia la tong dien tich f(t) la vo han trong mien gioi han.

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        d
        t
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}
  
 nghia la tong dien tich cua f(t) trong mien gioi han la huu han, va bang 
  
    
      
        a
        .
      
    
    {\displaystyle a.}
  

Vo han cung đuoc su dung đe mo ta chuoi vo han:

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        i
        )
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}
  
 nghia la tong cua chuoi vo han nay la hoi tu đen so thuc 
  
    
      
        a
        .
      
    
    {\displaystyle a.}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        i
        )
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }
  
 tong cua chuoi vo han nay la phan ky.


Xem them 0,999...
Luy thua
Đinh ly con khi vo han
Tap hop khong đem đuoc
Tap hop vo han
Danh sach nghich ly


Tham khao Lien ket ngoai Vo tan tai Tu đien bach khoa Viet Nam
Vo han tai Tu đien bach khoa Viet Nam
Vo han va huu han tai Tu đien bach khoa Viet Nam
Infinity (mathematics) tai Encyclopædia Britannica (tieng Anh)
"The Infinite". Internet Encyclopedia of Philosophy.

Infinity tren chuong trinh In Our Time cua BBC. (Nghe tai đay)
A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets Luu tru ngay 27 thang 2 nam 2010 tai Wayback Machine, by Peter Suber. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. The stand-alone appendix to Infinite Reflections, below. A concise introduction to Cantor's mathematics of infinite sets.
Infinite Reflections Luu tru ngay 5 thang 11 nam 2009 tai Wayback Machine, by Peter Suber. How Cantor's mathematics of the infinite solves a handful of ancient philosophical problems of the infinite. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59.
Grime, James. "Infinity is bigger than you think". Numberphile. Brady Haran. Ban goc luu tru ngay 22 thang 10 nam 2017. Truy cap ngay 14 thang 8 nam 2019.
Hotel Infinity
John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor', MacTutor History of Mathematics archive.
John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' Luu tru ngay 20 thang 12 nam 2008 tai Wayback Machine, MacTutor History of Mathematics archive.
Ian Pearce (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
Source page on medieval and modern writing on Infinity
The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity
Dictionary of the Infinite (compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy)