Đinh ly bon mau (con goi la đinh ly ban đo bon mau) phat bieu rang đoi voi bat ky mat phang nao đuoc chia thanh cac vung phan biet, chang han nhu ban đo hanh chinh cua mot quoc gia, chi can đen bon mau đe phan biet cac vung lan can voi nhau. Hai vung đuoc coi la lan can neu nhu chung co chung nhau mot đoan đuong bien, khong tinh chung nhau mot điem.
Đinh ly bon mau la đinh ly lon đau tien đuoc chung minh bang may vi tinh. Tuy nhien mot so nha toan hoc khong đong tinh voi cach chung minh nay, boi vi con nguoi khong the kiem chung truc tiep đuoc cach chung minh. Do vay, muon tin vao chung minh nay thi nguoi ta phai cong nhan su chinh xac cua Trinh bien dich va phan cung may tinh đuoc su dung đe chay chuong trinh chung minh.


Lich su Van đe nay lan đau tien đuoc đe cap vao nam 1852 boi Francis Guthrie khi ong thu to mau ban đo nuoc Anh va ong nhan ra rang chi can bon mau khac nhau la đu. Ong đa đem van đe nay hoi nguoi anh trai la Fredrick, luc đo đang la sinh vien cua truong Đai hoc Hoc vien London (UCL). Fredrick đa đua van đe nay hoi thay cua minh la nha toan hoc Augustus De Morgan nhung nguoi thay cung chua biet ro van đe nay.
Nguoi đau tien gioi thieu van đe ra truoc cong chung la nha toan hoc Arthur Cayley vao nam 1878 tai Hoi Toan hoc London, ong đa chi ra nguoi đe cap van đe la De Morgan. Vao thang 10/1852, giao su De Morgan o truong Đai hoc Luan Đon viet thu cho đong nghiep cua minh la ong William Hamilton đe ban ve bai toan: "Moi ban đo đeu co the to bang 4 mau sao cho hai nuoc nam ke nhau phai đuoc to bang hai mau khac  nhau".
Nguoi đau tien chung minh đinh ly nay la Alfred Kempe vao nam 1879. Nam 1880, co them mot cach chung minh khac cua Peter Guthrie Tait. Nhung đen nam 1890 Percy Heawood đa chi ra sai lam trong cach chung minh cua Kempe, va đen nam 1891 Julius Petersen chi ra sai lam trong cach chung minh cua Tait.
Trong viec chi ra sai lam cua Kempe, Heawood con chung minh rang tat ca cac Đo thi phang phai su dung nam mau khac nhau, va lam co so phat trien cho loi giai sau nay. Xem Đinh ly nam mau.
Trong nhung nam 1960 va 1970, nha toan hoc nguoi Đuc la Heinrich Heesch đa phat trien phuong phap su dung may vi tinh cho viec chung minh van đe.
Nam 1976, cuoi cung thi đinh ly cung đuoc chung minh boi Kenneth Appel va Wolfgang Haken tai truong Đai hoc Illinois voi su tro giup cua may vi tinh (trong khoang 1000 gio may). Nha khoa hoc John A. Koch cung gop phan cai tien thuat toan đe giai quyet tron ven bai toan 4 mau.


Khong ap dung vao thuc te Mac du đinh ly đuoc phat hien ra trong qua trinh to mau ban đo, nhung tren thuc te no rat it khi đuoc ap dung vao khoa hoc ve ban đo. Nhieu ban đo phai su dung nhieu hon bon mau đe the hien cac khu vuc, ngoai ra co nhung ban đo su dung it hon bon mau.
Hau het cac ban đo thuc te đeu co ve ho ao, ma tat ca ho ao nay phai ve cung mau. Do vay lam tang so luong mau can thiet đe ve cac vung đat. Neu bo qua khong ve ho ao, thi tren thuc te van co nhung vung đat cua cung mot quoc gia nhung bi tach roi nhau, do đo phai ve cung mau va đinh ly khong ap dung đuoc.
Cac sach vo ve mon Ban đo hoc cung khong nhac đen đinh ly nay. Nhung nguoi ve ban đo cho rang ho quan tam hon đen viec phoi mau ban đo sao cho đep mat; do vay viec su dung bon, nam hay nhieu mau hon khong phai la van đe đang ban tam.


Vi tri cac phan lanh tho tren thuc te = Nhung vung khong lien tuc =
Tren thuc te co nhieu quoc gia ma cac phan lanh tho khong lien ke nhau. Vi du nhu phan lanh tho Alaska cua nuoc My, Nakhchivan cua Azerbaijan, hay Kaliningrad cua Nga. Neu viec ve ban đo đoi hoi cac phan lanh tho nay phai cung mau thi viec su dung bon mau la khong đu.
Trong toan hoc, nhung vung đat tach roi nay đuoc goi la điem co lap cua tap hop mien quoc gia.
Thu xet mot hinh ve đon gian sau
Trong hinh, hai khu vuc đuoc đanh dau "A" cung thuoc ve mot quoc gia, va phai đuoc ve cung mau. Ban đo nay phai su dung nam mau, nen can chu y mot so điem sau.


= Mot so điem can chu y =
Đe tranh mot so hieu lam ve bai toan 4 mau, chung ta can phai luu y mot so truong hop đac biet ma co the ngo nhan la gia thiet 4 mau khong đung:

Hai nuoc co chung 1 điem đuoc xem la khong ke nhau: ke nhau phai co chung đuong bien gioi. Vi neu khong co quy uoc nay thi ban đo co dang nhu hinh Cac nuoc chung 1 điem đuoc xem la khong ke nhau la phan vi du: phai dung đen 5 mau (do 2 nuoc đoi mot đeu co chung 1 điem).
Mot nuoc phai la mot vung lien thong. Vi neu khong co quy uoc nay thi ban đo co dang nhu hinh Mot nuoc phai la mot vung lien thong la mot vi du: bon nuoc A, B, C, D đoi mot ke nhau; nuoc E (co hai vung đat 1 va 2) ke ca bon nuoc A, B, C, D nen phai dung đen 5 mau.
Con so 4 mau noi chung khong the ha thap xuong hon: ban đo co dang nhu hinh Ban đo buoc phai dung 4 mau buoc phai dung đung 4 mau.
Ban đo phai đuoc ve tren mat phang hay mat cau: ta co the tim vi du ve ban đo ve tren phao boi can phai dung tren 5 mau moi co the to đuoc.


Gia thuyet 4 mau va so mau đo thi phang Đe giai bai toan 4 mau, cac nha toan hoc đa tim cach xay dung cac đo thi tuong ung voi cac ban đo va đua gia thuyet 4 mau ve gia thuyet so mau cua đo thi phang.
Voi moi ban đo, ta co the đinh nghia mot đo thi:

Tap đinh: gom cac đinh ma moi đinh tuong ung voi mot nuoc tren ban đo;
Tap canh: moi canh tuong ung voi 2 nuoc ke nhau co chung mot bien gioi.
Vi du: Hinh minh hoa đo thi (G) tuong ung voi ban đo Gia thuyet minh hoa đo thi (G) ben canh.
Moi vung đuoc ky hieu bang mot chu cai, cac chu nay cung đuoc dung đe ky hieu cac đinh cua đo thi.
Tu vi du nay ta thay yeu cau hai nuoc ke nhau phai co mau khac nhau khi to ban đo cung tuong ung voi yeu cau hai đinh ke nhau phai co mau khac nhau khi thuc hien phep to mau đinh cho đo thi.
Cac nha toan hoc đa chung minh đuoc đinh ly sau đay:
Đinh ly: Đo thi (G) đuoc đinh nghia tuong ung voi moi ban đo M (theo nhu đinh nghia tren) luon la đo thi phang. Cach to mau moi vung cua ban đo M tuong uong voi cach to mau cac đinh cua đo thi (G)
Nho đinh ly tren, gia thuyet 4 mau đuoc quy ve gia thuyet ve so mau cua đo thi phang đuoc phat bieu nhu sau:
Gia thuyet:
Moi đo thi phang (G) đeu co so mau γ(G)≤4
Sau cong trinh cua Kenneth Appel, Wolfgang Haken va John A. Koch thi gia thuyet tren đa tro thanh đinh ly va ngay nay chung ta cung goi la đinh ly 4 mau.
Cho đen bay gio cung chua tim đuoc cach chung minh đinh ly 4 mau ma khong dung kiem chung bang may tinh. Mot so cong trinh khac cung tim cach cai tien thuat toan kiem tra đe chay nhanh hon.


Chu thich Tham khao Allaire, F. (1997), "Another proof of the four colour theorem—Part I", Proceedings, 7th Manitoba Conference on Numerical Mathematics and Computing, Congr. Numer., quyen 20, tr. 3–72
Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang (1977), "Every Planar Map is Four Colorable Part I. Discharging", Illinois Journal of Mathematics, quyen 21, tr. 429–490
Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang; Koch, John (1977), "Every Planar Map is Four Colorable Part II. Reducibility", Illinois Journal of Mathematics, quyen 21, tr. 491–567
Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang (1977), "Solution of the Four Color Map Problem", Scientific American, quyen 237 so 4, tr. 108–121, doi:10.1038/scientificamerican1077-108
Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang (1989), Every Planar Map is Four-Colorable, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-5103-9
Bernhart, Frank R. (1977), "A digest of the four color theorem.", Journal of Graph Theory, quyen 1, tr. 207–225, doi:10.1002/jgt.3190010305
Cayley, Arthur (1879), "On the colourings of maps", Proc. Royal Geographical Society, quyen 1 so 4, Blackwell Publishing, tr. 259–261, doi:10.2307/1799998, JSTOR 1799998
Fritsch, Rudolf; Fritsch, Gerda (1998), The Four Color Theorem: History, Topological Foundations and Idea of Proof, New York: Springer, ISBN 978-0-387-98497-1
Gonthier, Georges (2008), "Formal Proof—The Four-Color Theorem" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, quyen 55 so 11, tr. 1382–1393
Gonthier, Georges (2005), A computer-checked proof of the four colour theorem (PDF), unpublished
Hadwiger, Hugo (1943), "Uber eine Klassifikation der Streckenkomplexe", Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zurich, 88: 133–143
Heawood, P. J. (1890), "Map-Colour Theorem", Quarterly Journal of Mathematics, Oxford, quyen 24, tr. 332–338
Magnant, C.; Martin, D. M. (2011), "Coloring rectangular blocks in 3-space", Discussiones Mathematicae Graph Theory, 31 (1): 161–170, Ban goc luu tru ngay 4 thang 2 nam 2022, truy cap ngay 17 thang 7 nam 2012
Nash-Williams, C. St. J. A. (1967), "Infinite graphs—a survey", J. Combinatorial Theory, 3: 286–301, MR 0214501.
O'Connor; Robertson (1996), The Four Colour Theorem, MacTutor archive, Ban goc luu tru ngay 16 thang 1 nam 2013, truy cap ngay 17 thang 7 nam 2012
Pegg, A.; Melendez, J.; Berenguer, R.; Sendra, J. R.; Hernandez; Del Pino, J. (2002), "Book Review: The Colossal Book of Mathematics" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 49 (9): 1084–1086, Bibcode:2002ITED...49.1084A, doi:10.1109/TED.2002.1003756
Reed, Bruce; Allwright, David (2008), "Painting the office", Mathematics-in-Industry Case Studies, 1: 1–8, Ban goc luu tru ngay 3 thang 2 nam 2013, truy cap ngay 17 thang 7 nam 2012
Ringel, G.; Youngs, J.W.T. (1968), "Solution of the Heawood Map-Coloring Problem", Proc. Nat. Acad. Sci. USA, quyen 60 so 2, tr. 438–445, doi:10.1073/pnas.60.2.438, PMC 225066, PMID 16591648
Robertson, Neil; Sanders, Daniel P.; Seymour, Paul; Thomas, Robin (1996), "Efficiently four-coloring planar graphs", Efficiently four-coloring planar graphs, STOC'96: Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing, ACM Press, tr. 571–575, doi:10.1145/237814.238005
Robertson, Neil; Sanders, Daniel P.; Seymour, Paul; Thomas, Robin (1997), "The Four-Colour Theorem", J. Combin. Theory Ser. B, quyen 70 so 1, tr. 2–44, doi:10.1006/jctb.1997.1750
Saaty, Thomas; Kainen, Paul (1986), "The Four Color Problem: Assaults and Conquest", Science, 202 (4366), New York: Dover Publications: 424, Bibcode:1978Sci...202..424S, doi:10.1126/science.202.4366.424, ISBN 0-486-65092-8
Swart, ER (1980), "The philosophical implications of the four-color problem" (PDF), American Mathematical Monthly, quyen 87 so 9, Mathematical Association of America, tr. 697–702, doi:10.2307/2321855, JSTOR 2321855, Ban goc (PDF) luu tru ngay 14 thang 7 nam 2010, truy cap ngay 17 thang 7 nam 2012
Thomas, Robin (1998), "An Update on the Four-Color Theorem" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, quyen 45 so 7, tr. 848–859
Thomas, Robin (1995), The Four Color Theorem
Thomas, Robin, Recent Excluded Minor Theorems for Graphs (PDF), tr. 14, Ban goc (PDF) luu tru ngay 3 thang 8 nam 2016, truy cap ngay 17 thang 7 nam 2012
Wilson, Robin (2002), Four Colors Suffice, London: Penguin Books, ISBN 0-691-11533-8