Đoc lap thong ke cua cac bien xac suat hay bien co chi viec giua cac bien khong co quan he thong ke gi voi nhau. Trong ly thuyet xac suat, noi rang hai bien co la đoc lap mot cach truc quan co nghia la viec mot bien co trong đo xay ra khong lam tang hay giam kha nang bien co kia xay ra. Vi du:

Bien co cua viec gieo suc sac đuoc "nhat" va bien co cua viec gieo suc sac lan tiep theo đuoc "nhat" la hai bien co đoc lap.
Xet truong hop hai la bai đuoc lan luot rut tu mot bo bai sao cho sau khi rut va kiem tra la bai đau tien, nguoi ta cho no vao lai vao bo bai tren. Bien co cua viec rut đuoc mot la bai đo o lan thu thu nhat va bien co cua viec rut đuoc mot la bai đo o lan thu thu hai la đoc lap. Nguoc lai, neu la bai đau khong đuoc cho lai vao trong bo bai sau lan thu thu nhat thi hai bien co đe cap tren la khong đoc lap.
Tuong tu, khi ta noi rang hai bien ngau nhien la đoc lap, ta co y noi rang viec biet gi đo ve gia tri cua mot trong hai bien ngau nhien đo khong cho ta thong tin nao ve gia tri cua bien kia. Vi du, con so hien tren mat tren con suc sac khi gieo no lan đau va lan sau la đoc lap


Cac bien co đoc lap Đinh nghia chuan:

Hai bien co A va B la đoc lap khi va chi khi P(A ∩ B) = P(A)P(B).
trong đo, A ∩ B la giao cua A va B, nghia la, no la bien co rang ca hai bien co A va B đeu xay ra.
Tong quat hon, mot tap hop bien co bat ky—co the gom nhieu hon hai bien co—la đoc lap lan nhau khi va chi khi voi moi tap con huu han A1,..., An cua tap hop tren, ta co

  
    
      
        P
        (
        
          A
          
            1
          
        
        ∩
        ⋯
        ∩
        
          A
          
            n
          
        
        )
        =
        P
        (
        
          A
          
            1
          
        
        )
        
        ⋯
        
        P
        (
        
          A
          
            n
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle P(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=P(A_{1})\,\cdots \,P(A_{n}).}
  

Đo la quy tac nhan cua cac bien co đoc lap.
Neu hai bien co A va B la đoc lap, thi xac suat đieu kien cua A neu co B bang xac suat "khong đieu kien" (hay xac suat "can bien") cua A, nghia la,

  
    
      
        P
        (
        A
        ∣
        B
        )
        =
        P
        (
        A
        )
        .
      
    
    {\displaystyle P(A\mid B)=P(A).}
  

Co it nhat hai ly do tai sao phat bieu tren khong đuoc dung lam đinh nghia ve tinh đoc lap: (1) hai bien co A va B khong co vai tro đoi xung trong phat bieu đo, va (2) van đe nay sinh voi phat bieu nay khi co lien quan đen cac bien co voi xac suat bang 0.
Khi nho lai rang xac suat đieu kien P(A | B) đuoc cho boi

  
    
      
        P
        (
        A
        ∣
        B
        )
        =
        
          
            
              P
              (
              A
              ∩
              B
              )
            
            
              P
              (
              B
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle P(A\mid B)={P(A\cap B) \over P(B)},}
  

ta thay rang phat bieu tren tuong đuong voi

  
    
      
        P
        (
        A
        ∩
        B
        )
        =
        P
        (
        A
        )
        P
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}
  

đo chinh la đinh nghia chuan đuoc cho o tren.


Cac bien ngau nhien đoc lap Phan tren đinh nghia tinh đoc lap cua bien co. Trong phan nay, ta xet tinh đoc lap cua cac bien ngau nhien. Neu X la mot bien ngau nhien co gia tri thuc va a la mot so, thi X ≤ a la mot bien co, do đo, co the noi ve viec no co đoc lap voi mot bien co khac hay khong.
Hai bien ngau nhien X va Y la đoc lap khi va chi khi voi cac so a va b bat ky, bien co [X ≤ a] (bien co rang X nho hon hay bang a) va [Y ≤ b] la cac bien co đoc lap, theo đinh nghia tren. Tuong tu, mot tap hop cac bien ngau nhien tuy y -- co the gom nhieu hon hai—la đoc lap neu voi tap hop huu han bat ky X1,..., Xn va mot tap huu han bat ky gom cac so a1,..., an, cac bien co [X1 ≤ a1],..., [Xn ≤ an] la cac bien co đoc lap, nhu đa đuoc đinh nghia o tren.
Nhung nguoi thien ve đo đac ly thuyet co the muon thay the bien co [X ∈ A] vao vi tri bien co [X ≤ a] trong đinh nghia tren, trong đo A la tap hop Borel bat ky. Đinh nghia đo hoan toan tuong đuong voi đinh nghia tren khi gia tri cua cac bien ngau nhien la so thuc. No co loi the o cho con ap dung đuoc cho cac bien ngau nhien gia tri phuc hoac cac bien ngau nhien lay gia tri trong khong gian to po bat ky.
Neu hai bien ngau nhien bat ky trong mot tap hop la đoc lap (nhung tap hop đo van co the khong đoc lap lan nhau), tap hop đuoc goi la đoc lap đoi mot.
Neu X va Y la đoc lap, thi phep toan ky vong E co tinh chat thu vi

E[X Y] = E[X] E[Y],
con đoi voi phuong sai, ta co

var(X + Y) = var(X) + var(Y),
do đo hiep phuong sai cov(X,Y) bang 0.
(Phat bieu nghich đao - menh đe rang neu hai bien cc nhien co mot hiep phuong sai 0 thi chung phai đoc lap voi nhau - la khong đung. Xem khong tuong quan (uncorrelated).)
Ngoai ra, cac bien ngau nhien X va Y voi cac ham phan bo FX(x) va FY(y), va cac mat đo xac suat fX(x) va fY(y), la đoc lap khi va chi khi bien ngau nhien ket hop (X,Y) co mot phan bo co đieu kien phu thuoc (joint distribution)

  
    
      
        
          F
          
            X
            ,
            Y
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          F
          
            X
          
        
        (
        x
        )
        
          F
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y),}
  

hoac tuong đuong, mot mat đo co đieu kien phu thuoc (joint density)

  
    
      
        
          f
          
            X
            ,
            Y
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          f
          
            X
          
        
        (
        x
        )
        
          f
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y).}
  

Cac bieu thuc tuong tu đac trung cho tinh đoc lap mot cach tong quat hon cho nhieu hon hai bien ngau nhien.


Cac bien ngau nhien đoc lap co đieu kien Ve mat truc quan, hai bien ngau nhien X va Y đuoc goi la đoc lap co đieu kien voi Z cho truoc, neu mot khi Z đuoc cho truoc thi gia tri cua Y khong cung cap them đuoc thong tin gi ve X. Vi du, hai so đo X va Y ve cung mot đinh luong Z khong đoc lap voi nhau, nhung chung đoc lap co đieu kien neu cho truoc Z (tru khi cac sai sot trong hai so đo co quan he voi nhau theo mot cach nao đo.)
Đinh nghia chinh thuc cua đoc lap co đieu kien đuoc dua tren khai niem ve cac phan bo co đieu kien. Neu X, Y, va Z la cac bien ngau nhien roi rac, thi ta đinh nghia X va Y la đoc lap co đieu kien voi Z đuoc cho truoc neu

P(X = x, Y = y | Z = z) = P(X = x | Z = z) · P(Y = y | Z = z)
voi moi x, y va z sao cho P(Z = z) > 0. Mat khac, neu cac bien ngau nhien la lien tuc va co mot ham mat đo xac suat ket hop p, thi X va Y la đoc lap co đieu kien voi Z cho truoc neu

pXY|Z(x, y | z) = pX|Z(x | z) · pY|Z(y | z)
voi moi so thuc x, y va z sao cho pZ(z) > 0.
Neu X va Y la đoc lap co đieu kien voi Z cho truoc, thi

P(X = x | Y = y, Z = z) = P(X = x | Z = z)
voi x, y va z bat ky voi P(Z = z) > 0. Nghia la, phan bo co đieu kien cho X voi Y va Z cho truoc trung voi phan bo co đieu kien cua X ma chi Z đuoc cho truoc. Mot đang thuc tuong tu cung đung voi cac ham mat đo xac suat co đieu kien trong truong hop lien tuc.
Tinh đoc lap co the đuoc xem la mot truong hop đac biet cua đoc lap co đieu kien, do xac suat co the đuoc coi la mot dang xac suat co đieu kien ma khong cho truoc bien co nao.


Xem them Copula (thong ke)
Bien ngau nhien phan bo đong nhat đoc lap (Independent identically-distributed random variables)


Tham khao