Trong toan hoc va xac suat thong ke, đinh ly gioi han trung tam (Tieng Anh goi la Central Limit Theorem) la mot ket qua ve su hoi tu yeu cua mot day cac bien ngau nhien. Voi đinh ly nay, ta co ket qua la tong (hoac trung binh mau) cua cac bien ngau nhien đoc lap va  co phan phoi đong nhat (bat ke phan phoi nao) se hoi tu ve phan phoi chuan khi kich co mau tro nen rat lon.
Trong truong hop đon gian nhat, đuoc dung duoi đay trong phan chung minh cua đinh ly, cac bien ngau nhien la đoc lap, co cung ky vong va phuong sai. Mot cach tong quat, tong cua cac bien ngau nhien se tang vo đinh khi so bien ngau nhien tang. Do đo đe co mot ket qua huu han, ta han che su tang cua tong bang cach lay tong tru đi gia tri trung binh va rut gon bang cach chia cho can bac hai cua phuong sai (chuan hoa). Voi mot so cac đieu kien nua thi phan phoi xac suat cua bien ngau nhien gian luoc se hoi tu ve mot phan phoi chuan.
Su hoi tu đuoc đam bao trong truong hop đon gian nay. Tuy nhien cung ton tai su hoi tu trong truong hop cac bien ngau nhien khong cung phan phoi, nhung van phai đam bao đieu kien khong co bien ngau nhien nao co phan phoi troi hon hoac gay anh huong đen phan phoi cua cac bien ngau nhien khac. Đieu nay đuoc đam bao boi đieu kien Lindeberg va đieu kien Lyapunov. Mot so phien ban khac cua đinh ly cung cho phep su phu thuoc yeu giua cac bien ngau nhien.
Ngoai ra con co mot so nghien cuu khac cua Gnedenko va Kolmogorov cho rang tong cua cac bien ngau nhien voi phan phoi co đuoi giam theo phan so 1/|x|α+1, 0 < α < 2 (do đo co phuong sai vo han), se hoi tu ve phan phoi Levy đoi xung va on đinh khi so bien nhau nhien tang.
Phan trinh bay o đay chi đe cap đen đinh ly gioi han trung tam cho truong hop cac phan phoi co phuong sai huu han.


Đinh ly gioi han trung tam Cho X1, X2... la tap hop cac bien ngau nhien đuoc đinh nghia tren cung mot khong gian xac suat, co cung phan phoi D va đoc lap lan nhau. Gia su gia tri ky vong 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 va đo lech chuan 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 cua phan phoi D la ton tai va huu han (
  
    
      
        σ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sigma \neq 0}
  
).
Xet tong Sn = X1 + ... + Xn.
Ta co Sn co ky vong la nμ va đo lech chuan σ n½. Khi đo, phan phoi cua Sn hoi tu ve phan phoi chuan N(nμ,σ2n) khi n tien ve vo cung.
Đe lam ro hon su hoi tu nay, ta đat:

  
    
      
        
          Z
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                S
                
                  n
                
              
              −
              n
              μ
            
            
              σ
              
                
                  n
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}.}
  

đe co đuoc ky vong va đo lech chuan cua 
  
    
      
        
          Z
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle Z_{n}}
  
 lan luot la 0 va 1.
Neu phan phoi cua Zn hoi tu ve phan phoi chuan N(0,1) khi n tien ve vo cung (tuc la hoi tu theo phan phoi), thi cung co nghia la: neu Φ la ham phan phoi tich luy cua N(0,1), thi voi moi so thuc z:

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            P
          
        
        (
        
          Z
          
            n
          
        
        ≤
        z
        )
        =
        Φ
        (
        z
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\mbox{P}}(Z_{n}\leq z)=\Phi (z),}
  

Hay mot cach tuong đuong:

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            P
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        X
                        ¯
                      
                    
                    
                      n
                    
                  
                  −
                  μ
                
                
                  σ
                  
                    /
                  
                  
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ≤
            z
          
          )
        
        =
        Φ
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\mbox{P}}\left({\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq z\right)=\Phi (z)}
  

trong đo 

  
    
      
        
          
            
              X
              ¯
            
          
          
            n
          
        
        =
        
          S
          
            n
          
        
        
          /
        
        n
        =
        (
        
          X
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          X
          
            n
          
        
        )
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle {\overline {X}}_{n}=S_{n}/n=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}
  


= Chung minh đinh ly gioi han trung tam =
Mac du đay la đinh ly quan trong trong thong ke va xac suat ung dung nhung phan chung minh cua no kha đon gian bang cach su dung cac ham đac trung, no gan giong voi phan chung minh cua luat so lon.
Ta co voi moi i, 
  
    
      
        
          Y
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              
                X
                
                  i
                
              
              −
              μ
            
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}
  
 co ky vong 0 va đo lech chuan 1, voi ham đac trung đuoc khai trien gioi han duoi dang:

  
    
      
        
          φ
          
            
              Y
              
                i
              
            
          
        
        (
        t
        )
        =
        1
        −
        
          
            
              t
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        o
        (
        
          t
          
            2
          
        
        )
        ,
        
        t
        →
        0.
      
    
    {\displaystyle \varphi _{Y_{i}}(t)=1-{t^{2} \over 2}+o(t^{2}),\quad t\rightarrow 0.}
  

Ta co:

  
    
      
        
          Z
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    X
                    ¯
                  
                
                
                  n
                
              
              −
              μ
            
            
              σ
              
                /
              
              
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              Y
              
                i
              
            
            
              
                n
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle Z_{n}={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}=\sum _{i=1}^{n}{Y_{i} \over {\sqrt {n}}}.}
  

Tu cac tinh chat co ban cua ham đac trung, ta suy ra ham đac trung cua Zn la

  
    
      
        
          φ
          
            
              Z
              
                n
              
            
          
        
        
          (
          t
          )
        
        =
        
          
            [
            
              
                φ
                
                  
                    Y
                    
                      i
                    
                  
                
              
              
                (
                
                  
                    t
                    
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                )
              
            
            ]
          
          
            n
          
        
        =
        
          
            [
            
              1
              −
              
                
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                  
                    2
                    n
                  
                
              
              +
              o
              
                (
                
                  
                    
                      t
                      
                        2
                      
                    
                    n
                  
                
                )
              
            
            ]
          
          
            n
          
        
        
        →
        
        
          e
          
            −
            
              t
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{Z_{n}}\left(t\right)=\left[\varphi _{Y_{i}}\left({t \over {\sqrt {n}}}\right)\right]^{n}=\left[1-{t^{2} \over 2n}+o\left({t^{2} \over n}\right)\right]^{n}\,\rightarrow \,e^{-t^{2}/2}}
  
 khi 
  
    
      
        n
        →
        +
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle n\to +\infty .}
  

Gioi han nay la ham đac trung cua phan phoi chuan N(0,1). Tu đo đinh ly gioi han trung tam đuoc chung minh nho vao đinh ly ve tinh lien tuc cua Levy, trong đo co noi rang, su hoi tu cua cac ham đac trung cho phep suy ra su hoi tu theo phan phoi.
Neu momen bac 3 E[(X - μ)3] ton tai va huu han, thi ta co hoi tu đeu (uniform), va van toc hoi tu co bac it nhat la 1/n½ (xem đinh ly Berry-Esseen).
Trong cac ung dung thuc te, đinh ly nay cho phep thay the tong vo cung lon nhung huu han cac bien ngau nhien bang mot bien ngau nhien co phan phoi chuan, nhu vay se de dang thao tac, tinh toan hon.


= Cac suy rong tu đinh ly =


 Ham phan phoi xac suat  Ham phan phoi xac suat cua tong nhieu bien ngau nhien đoc lap đuoc xac đinh boi ham xoan (convolution) tu cac ham phan phoi xac suat cua cac bien ngau nhien đo. Tu đinh ly gioi han trung tam, ta co the suy ra, ham xoan nay hoi tu ve mot ham phan phoi xac suat chuan khi so bien ngau nhien tang vo han.


 Tich cac bien ngau nhien  Đinh ly gioi han trung tam phat bieu cho tong cac bien ngau nhien đoc lap, cau hoi la chuyen gi xay ra voi tich cua cac bien ngau nhien đoc lap?
Ta biet rang, logarit (log) cua tich cac so hang thi bang tong logarit cac so hang. Đinh ly gioi han trung tam cho biet tong logarit, va do đo logarit cua tich, hoi tu ve bien ngau nhien phan phoi chuan. Tu đo suy ra tich cac bien ngau nhien hoi tu ve mot bien ngau nhien co phan phoi chuan-logarit (log-normal).


Cac đinh ly gioi han trung tam mo rong = Đieu kien Lyapunov =
Xet Xn la mot day cac bien ngau nhien đuoc đinh nghia tren cung mot khong gian xac suat, khong nhat thiet co cung phan phoi. Gia su Xi co ky vong huu han μi va đo lech chuan huu han σi. Ta đinh nghia:

  
    
      
        
          s
          
            n
          
          
            2
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          σ
          
            i
          
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}.}
  

Gia su cac momen bac 3

  
    
      
        
          r
          
            i
          
          
            3
          
        
        =
        
          
            E
          
        
        
          (
          
            
              
                |
                
                  
                    X
                    
                      i
                    
                  
                  −
                  
                    μ
                    
                      i
                    
                  
                
                |
              
            
            
              3
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle r_{i}^{3}={\mbox{E}}\left({\left|X_{i}-\mu _{i}\right|}^{3}\right)}
  

la huu han voi moi i va

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              r
              
                n
              
            
            
              s
              
                n
              
            
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0.}
  

Cac đieu kien tren đuoc goi la đieu kien Lyapunov.
Ta xet tong moi
Sn=X1+...+Xn. Ky vong cua Sn la mn = ∑i=1..nμi va đo lech chuan la sn. Neu ta chuan hoa Sn bang cach đat

  
    
      
        
          Z
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                S
                
                  n
                
              
              −
              
                m
                
                  n
                
              
            
            
              s
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}}
  

thi phan phoi xac suat cua Zn hoi tu ve phan phoi chuan N(0,1).


= Đieu kien Lindeberg =
Voi cac gia thiet ban đau nhu trong đieu kien Lyapunov.
Voi moi ε > 0

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            E
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  (
                  
                    X
                    
                      i
                    
                  
                  −
                  
                    μ
                    
                      i
                    
                  
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  s
                  
                    n
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            :
            
              |
              
                
                  X
                  
                    i
                  
                
                −
                
                  μ
                  
                    i
                  
                
              
              |
            
            >
            ϵ
            
              s
              
                n
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\mbox{E}}\left({\frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}:\left|X_{i}-\mu _{i}\right|>\epsilon s_{n}\right)=0}
  

trong đo E(U: V > c) la ky vong co đieu kien: ky vong cua U voi đieu kien V > c. Khi đo phan phoi xac suat cua Zn hoi tu ve phan phoi chuan N(0,1).


= Truong hop cac bien ngau nhien khong đoc lap =
Co mot so đinh ly nghien cuu truong hop tong cua cac bien ngau nhien khong đoc lap, vi du đinh ly gioi han trung tam m-phu thuoc (m-dependent central limit theorem), đinh ly gioi han trung tam martingal (martingale central limit theorem) va đinh ly gioi han trung tam cho qua trinh hon hop (central limit theorem for mixing processes).


Links ngoai Central Limit Theorem Java Luu tru ngay 17 thang 9 nam 2007 tai Wayback Machine
Central Limit Theorem chuong trinh mo phong thuc nghiem đinh ly gioi han trung tam.


Tham khao