Trong toan hoc, logarit nhi phan (log2 n) la luy thua ma so 2 can phai đuoc nang len đe đuoc so n, nghia la voi moi so thuc x thi

  
    
      
        x
        =
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        n
        
        ⟺
        
        
          2
          
            x
          
        
        =
        n
        .
      
    
    {\displaystyle x=\log _{2}n\quad \Longleftrightarrow \quad 2^{x}=n.}
  

Vi du, logarit nhi phan cua 1 la 0, logarit nhi phan cua 2 la 1, logarit nhi phan cua 4 la 2 va logarit nhi phan cua 32 la 5.
Logarit nhi phan la logarit co so 2. Ham logarit nhi phan la ham nguoc cua ham luy thua cua 2. Cung voi log2, logarit nhi phan con đuoc ky hieu la lg, ld, lb hoac log.
Trong lich su, ung dung đau tien cua logarit nhi phan nam trong ly thuyet am nhac do Leonhard Euler tim ra: logarit nhi phan cua ti le tan so giua hai tong nhac cho biet so quang tam nam giua hai tong đo. Logarit nhi phan co the đuoc dung đe tinh đo dai cua mot so khi đuoc bieu dien trong he nhi phan, hoac so bit can đe ma hoa mot thong điep nao đo trong ly thuyet thong tin. Trong khoa hoc may tinh, no đem so buoc can đe thuc thi thuat toan tim kiem nhi phan va cac thuat toan co lien quan khac. Logarit nhi phan cung co nhieu ung dung trong mot so linh vuc nhu toan hoc to hop, tin sinh hoc, nhiep anh va trong thiet ke cac giai đau the thao.
Logarit nhi phan la mot trong cac ham toan hoc chuan cua ngon ngu C va co trong mot so bo chuong trinh phan mem toan hoc khac. Phan nguyen cua logarit nhi phan co the đuoc tim qua phep toan tim bit 1 đau tien tren mot gia tri nguyen hoac tim so mu cua mot gia tri dau phay đong, trong khi phan thap phan co the tinh đuoc mot cach hieu qua.


Lich su Luy thua cua 2 đa đuoc biet đen tu thoi co xua; chang han, chung xuat hien trong bo Co so cua Euclid, menh đe IX.32 (ve phan tich luy thua cua 2) va IX.36 (mot nua đinh ly Euclid–Euler ve su xay dung cac so hoan thien chan), va logarit nhi phan chinh la vi tri cua chung trong day luy thua cua 2 đuoc sap xep. Tren co so đo, Michael Stifel đuoc cho la đa xuat ban bang logarit nhi phan đau tien vao nam 1544. Cuon Arithmetica Integra cua ong co mot vai bang so gom cac so nguyen va luy thua cua 2 tuong ung. Khi đao nguoc cac hang trong cac bang so nay thi chung co the đuoc xem la bang logarit nhi phan.
Truoc Stifel, nha toan hoc Ky Na the ky 8 Virasena đuoc cho la đa tim ra tien than cua logarit nhi phan. Khai niem ardhachena cua Virasena đuoc xac đinh la so lan mot so cho truoc co the chia het cho 2. Đinh nghia nay lam nay sinh khai niem ve mot ham so cho cung gia tri voi logarit nhi phan đoi voi luy thua cua 2, nhung voi cac so nguyen khac thi ham nay cho biet cap 2-adic cua so đo thay vi logarit.
Dang hien đai cua logarit nhi phan, ap dung cho bat ky so nao (khong chi co luy thua cua 2) do Leonhard Euler phat hien vao nam 1739. Euler cung la nguoi đau tien tim ra ung dung cua logarit nhi phan trong ly thuyet am nhac, tu lau truoc khi nguoi ta đuoc biet ung dung cua chung trong ly thuyet thong tin va khoa hoc may tinh. Trong cong trinh cua minh, Euler đa lap đuoc bang logarit nhi phan cua cac so nguyen tu 1 đen 8 chinh xac đen 7 chu so thap phan.


Đinh nghia va tinh chat Ham logarit nhi phan đuoc đinh nghia la ham nguoc cua ham luy thua cua 2, von la mot ham so tang tren tap hop so thuc duong va do đo co mot ham nguoc duy nhat. Ngoai ra, no cung đuoc xac đinh bang ln n/ln 2 voi ln la logarit tu nhien. Trong đinh nghia, khi thay logarit thuc bang logarit phuc thi logarit nhi phan co the đuoc mo rong cho so phuc.
Giong nhu logarit thong thuong, logarit nhi phan thoa man cac tinh chat sau:

  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        y
        =
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        +
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        y
      
    
    {\displaystyle \log _{2}xy=\log _{2}x+\log _{2}y}
  

  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            x
            y
          
        
        =
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        −
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        y
      
    
    {\displaystyle \log _{2}{\frac {x}{y}}=\log _{2}x-\log _{2}y}
  

  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        
          x
          
            y
          
        
        =
        y
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \log _{2}x^{y}=y\log _{2}x.}
  

Voi cac tinh chat khac, xem danh sach đong nhat thuc logarit.


Ky hieu Trong toan hoc, logarit nhi phan cua mot so n đuoc ky hieu la log2 n. Tuy nhien, tuy theo linh vuc ma no đuoc su dung, con ton tai them mot so ky hieu khac.
Mot so tac gia ky hieu logarit nhi phan la lg n; đay la ky hieu đuoc liet ke trong The Chicago Manual of Style. Theo Donald Knuth, ky hieu nay do Edward Reingold đe xuat, nhung thuc te no đa đuoc dung trong ly thuyet thong tin va khoa hoc may tinh tu truoc khi Reingold bat đau su nghiep. Logarit tu nhien cung đuoc viet la log n cung mot cau truoc đo giai thich rang co so mac đinh cua logarit la 2. Mot ky hieu khac cua chinh ham so đo (đac biet xuat hien trong cac bai viet khoa hoc cua Đuc) la ld n, viet tat cua cum tu logarithmus dualis hoac logarithmus dyadis trong tieng Latinh. Cac tieu chuan DIN 1302, ISO 31-11 va ISO 80000-2 con khuyen nghi dung mot ky hieu khac nua, lb n. Theo cac tieu chuan nay, khong nen dung lg n đe ky hieu logarit nhi phan vi no đuoc dung rieng cho logarit thap phan log10 n.


Ung dung = Ly thuyet thong tin =
So chu so (bit) trong bieu dien nhi phan cua mot so nguyen duong n la phan nguyen cua 1 + log2 n hay bang

  
    
      
        ⌊
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        n
        ⌋
        +
        1.
      
    
    {\displaystyle \lfloor \log _{2}n\rfloor +1.}
  

Trong ly thuyet thong tin, đinh nghia ve luong thong tin va entropy thong tin thuong đuoc bieu dien qua logarit nhi phan, tuong ung voi viec coi bit la đon vi co ban cua thong tin. Tuy nhien, con ton tai mot so dang khac cua cac đinh nghia nay đuoc bieu thi qua logarit tu nhien va đon vi nat.


= Toan hoc to hop =

Mac du logarit tu nhien co vai tro quan trong hon logarit nhi phan trong nhieu linh vuc cua toan hoc thuan tuy nhu ly thuyet so va giai tich toan hoc, nhung logarit nhi phan van co mot so ung dung trong toan hoc to hop:

Mot cay nhi phan gom n la co chieu cao nho nhat la log2 n, đat đuoc khi n la luy thua cua 2 va cay đo la cay nhi phan hoan thien. Lien quan đen no, so Strahler lon nhat cua mot he thong song gom n dong chay phu luu la log2 n + 1.
Hop cua mot ho tap hop bat ky gom n tap hop khac nhau co so phan tu nho nhat la log2 n, đat đuoc khi ho đo la mot tap luy thua.
Mot hinh lap phuong rieng n đinh co so chieu đang cu nho nhat la log2 n va so canh lon nhat la 1/2n log2 n, đat đuoc khi hinh đo la đo thi hinh sieu lap phuong.
Theo đinh ly Ramsey, mot đo thi vo huong n đinh co mot clique hoac mot to hop đoc lap voi cap ti le thuan voi logarit cua n. Chua ro cap chinh xac cua no la bao nhieu nhung cac khoang gia tri gan đung nhat cua cap đo co lien quan đen logarit nhi phan. Đac biet, moi đo thi đeu co mot clique hoac to hop đoc lap voi cap nho nhat la 1/2log2 n (1 − o(1)) va hau het moi đo thi khong co mot clique hoac to hop đoc lap voi cap lon hon 2log2 n (1 + o(1)).
Dua tren mot phan tich toan hoc cua mo hinh Gilbert–Shannon–Reeds ve xao bai ngau nhien, co the thay so lan che bai ma mot nguoi can thuc hien đe sau đo mot bo bai n la đuoc phan phoi hoan vi ngau nhien gan đeu la xap xi 3/2log2 n lan. Tinh toan nay la co so đe phat bieu rang tot nhat mot bo bai 52 la phai đuoc xao 7 lan.


= Đo phuc tap tinh toan =

Do so hoc nhi phan đuoc dung nhieu trong thuat toan nen logarit nhi phan xuat hien thuong xuyen trong phan tich thuat toan theo phan nhanh nhi phan. Neu mot bai toan co n cach giai va moi vong lap cua thuat toan lam giam so cach giai đi mot nua thi so vong lap can đe cho ra mot cau tra loi duy nhat la phan nguyen cua log2 n. Y tuong nay đuoc ung dung khi phan tich mot so thuat toan va cau truc du lieu. Vi du, trong tim kiem nhi phan, kich thuoc cua bai toan can giai giam đi mot nua sau moi vong lap, va do đo can log2 n vong lap đe cho cau tra loi đoi voi mot bai toan kich thuoc n. Tuong tu, mot cay tim kiem nhi phan can bang chua n phan tu co chieu cao la log2(n + 1) − 1.
Thoi gian hoat đong cua mot thuat toan thuong đuoc bieu dien qua ky hieu O lon, dung đe rut gon bieu thuc bang cach bo qua hang so ti le va hang tu bac thap. Vi logarit co so khac nhau chi sai khac nhau boi mot hang so ti le nen thuat toan hoat đong trong thoi gian O(log2 n) cung co the noi la hoat đong trong thoi gian O(log13n). Do đo, co so cua logarit trong cac bieu thuc nhu O(log n) hay O(n log n) khong quan trong va co the bo qua. Tuy nhien, neu logarit xuat hien tren so mu cua mot khoang thoi gian thi khong the bo qua co so cua logarit đo. Chang han, O(2log2 n) khong giong voi O(2ln n) vi khoang thoi gian thu nhat bang voi O(n) trong khi khoang thoi gian thu hai bang voi O(n0,6931...).
Mot so vi du ve thuat toan co thoi gian hoat đong la O(log n) hoac O(n log n) la:

Sap xep nhanh (thoi gian trung binh) va cac thuat toan sap xep so sanh khac
Tim kiem trong cay tim kiem nhi phan can bang
Binh phuong va nhan
Day con tang dai nhat
Logarit nhi phan cung xuat hien trong so mu cua khoang thoi gian đe mot so thuat toan chia đe tri hoat đong, chang han nhu thuat toan Karatsuba dung đe nhan cac so n bit trong thoi gian O(nlog2 3), va thuat toan Strassen dung đe nhan ma tran n × n trong khoang thoi gian O(nlog2 7). Su xuat hien cua logarit nhi phan trong cac khoang thoi gian đo co the đuoc giai thich bang cach lien he voi đinh ly tho cho he thuc truy hoi chia đe tri.


= Tin sinh hoc =

Trong tin sinh hoc, microarray đuoc dung đe đo muc đo bieu hien gen trong mot mau nguyen lieu sinh hoc. Cac toc đo bieu hien khac nhau cua mot gen thuong đuoc so sanh bang cach lay logarit nhi phan cua ti so giua chung: ti so log cua hai toc đo bieu hien gen đuoc đinh nghia la logarit nhi phan cua ti so giua chung. Logarit nhi phan giup viec so sanh toc đo bieu hien gen tro nen thuan loi: chang han, toc đo bieu hien gen nhan đoi tuong ung voi ti so log la 1, toc đo giam mot nua tuong ung voi ti so log la −1 va toc đo khong đoi tuong ung voi ti so log bang khong.
Cac điem du lieu thu đuoc bang cach nay thuong đuoc minh hoa thanh mot bieu đo phan tan co mot hoac ca hai truc đeu la logarit nhi phan cua ti le toc đo, hoac thong qua cac loai bieu đo nhu MA va RA đe quay va phong to hoac thu nho bieu đo phan tan đo.


= Ly thuyet am nhac =
Trong ly thuyet am nhac, quang giua hai tong nhac đuoc xac đinh bang ti le tan so cua chung. Cac quang am co tu ti so so huu ti voi tu so va mau so nho đeu đuoc xem la đac biet em tai, nhip nhang. Trong đo, quang am đon gian nhat va quan trong nhat la quang tam voi ti le tan so la 2:1. So quang tam nam giua hai tong nhac la logarit nhi phan cua ti le tan so cua chung.
Đe nghien cuu he thong đieu chinh cao đo va cac khia canh khac cua ly thuyet am nhac von can su phan biet tinh vi hon giua cac tong nhac, can co mot đo đo đe đo mot quang nho hon nhieu so voi quang tam va co tinh cong (giong logarit) thay vi tinh nhan (giong ti le tan so). Theo đo, neu ba tong x, y, z tao thanh mot chuoi tong nhac voi cao đo tang dan thi đo đo cua quang tu x đen y cong voi đo đo cua quang tu y đen z phai bang đo đo cua quang tu x đen z. Mot đo đo nhu the đuoc cho bang đon vi cent, mot đon vi chia quang tam thanh 1200 quang bang nhau (12 nua cung, moi cung gom 100 cent). Cho hai tong nhac voi chu ky f1 va f2, khi đo so cent trong quang tu f1 đen f2 la

  
    
      
        
          |
          
            1200
            
              log
              
                2
              
            
            ⁡
            
              
                
                  f
                  
                    1
                  
                
                
                  f
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left|1200\log _{2}{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right|.}
  


= To chuc giai đau the thao =
Trong cac giai đau the thao gom hai nguoi (hoac đoi) thi đau moi tran, logarit nhi phan cho biet so vong đau ma mot giai đau loai truc tiep can co đe xac đinh nha vo đich. Vi du, mot giai gom 4 nguoi can log2 4 = 2 vong đe tim nha vo đich, mot giai gom 32 đoi can log2 32 = 5 vong, ... Trong truong hop giai co n nguoi/đoi tham gia ma n khong phai la luy thua cua 2 thi log2 n đuoc lam tron len vi can co it nhat mot vong đau nua ma trong đo co mot so nguoi/đoi khong tham gia. Chang han, log2 6 gan bang 2,585, lam tron len thanh 3, nghia la mot giai đau gom 6 đoi can co 3 vong đau (cho hai đoi ngoi ngoai vong thu nhat hoac mot đoi ngoi ngoai vong thu hai). So vong nhu vay cung la can thiet đe xac đinh nha vo đich trong mot giai đau he Thuy Si.


= Nhiep anh =
Trong nhiep anh, gia tri phoi sang đuoc đo bang logarit nhi phan cua luong anh sang toi man anh hoac cam bien anh, phu hop voi luat Weber–Fechner mo ta phan ung logarit cua he thong thi giac con nguoi voi anh sang. Mot buoc ("khau") phoi sang tuong ung voi mot đon vi trong thang đo logarit co so 2. Chinh xac hon, gia tri phoi sang cua mot buc anh bang

  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            
              N
              
                2
              
            
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \log _{2}{\frac {N^{2}}{t}}}
  

trong đo N la chi so khau đo (so f) đo đo mo cua ong kinh khi phoi sang va t la so giay phoi sang.
Logarit nhi phan cung đuoc dung khi bieu dien dai tuong phan đong cua vat lieu nhay sang hoac cam bien ky thuat so.


Tinh toan = Đoi co so =
Mot cach de dang đe tinh log2 n tren cac may tinh khong co san ham log2 la thong qua ham logarit tu nhien (ln) hoac logarit thap phan (log hoac log10), co the đuoc tim thay trong hau het may tinh bo tui. Theo cong thuc đoi co so thi:

  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        n
        =
        
          
            
              ln
              ⁡
              n
            
            
              ln
              ⁡
              2
            
          
        
        =
        
          
            
              
                log
                
                  10
                
              
              ⁡
              n
            
            
              
                log
                
                  10
                
              
              ⁡
              2
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \log _{2}n={\frac {\ln n}{\ln 2}}={\frac {\log _{10}n}{\log _{10}2}},}
  

hay

  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        n
        ≈
        1
        ,
        442695
        ln
        ⁡
        n
        ≈
        3
        ,
        321928
        
          log
          
            10
          
        
        ⁡
        n
        .
      
    
    {\displaystyle \log _{2}n\approx 1,442695\ln n\approx 3,321928\log _{10}n.}
  


= Lam tron so nguyen =
Logarit nhi phan co the đuoc lam thanh mot ham voi đau vao la so nguyen va tra ve so nguyen bang cach lam tron no len hay xuong. Hai dang nay cua logarit nhi phan nguyen đuoc lien he bang cong thuc:

  
    
      
        ⌊
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        n
        )
        ⌋
        =
        ⌈
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        n
        +
        1
        )
        ⌉
        −
        1
        
           neu 
        
        n
        ≥
        1.
      
    
    {\displaystyle \lfloor \log _{2}(n)\rfloor =\lceil \log _{2}(n+1)\rceil -1{\text{ neu }}n\geq 1.}
  

Co the mo rong đinh nghia nay bang cach quy uoc 
  
    
      
        ⌊
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        0
        )
        ⌋
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \lfloor \log _{2}(0)\rfloor =-1}
  
. Khi đo, ham nay co lien he voi so bit 0 đung truoc trong bieu dien nhi phan khong dau 32 bit cua n, nlz(n):

  
    
      
        ⌊
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        n
        )
        ⌋
        =
        31
        −
        nlz
        ⁡
        (
        n
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \lfloor \log _{2}(n)\rfloor =31-\operatorname {nlz} (n).}
  

Logarit nhi phan nguyen co the đuoc xac đinh la chi so cua bit 1 co trong so cao nhat trong đau vao (tinh tu so 0). Trong truong hop nay, đo chinh la phan bu cua phep toan tim bit 1 đau tien, dung đe tim chi so cua bit 1 co trong so thap nhat. Nhieu nen tang phan cung co ho tro tim so bit 0 đung truoc hoac cac phep toan tuong đuong, cho phep tim logarit nhi phan mot cach nhanh chong. Cac ham fls va flsl trong hat nhan Linux va trong mot so phien ban cua thu vien phan mem libc cung tinh đuoc logarit nhi phan (lam tron thanh so nguyen cong 1).


= Tinh gan đung bang phep lap =
Voi mot so thuc duong bat ky, logarit nhi phan co the đuoc chia thanh hai phan đe tinh. Truoc tien, ta tinh phan nguyen 
  
    
      
        ⌊
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \lfloor \log _{2}x\rfloor }
  
 đe đua ve thanh bai toan ma trong đo đoi so cua logarit nam trong nua khoang [1, 2), tu đo rut gon buoc thu hai la tinh phan thap phan cua logarit. Voi x > 0, ton tai duy nhat mot so nguyen n sao cho 2n ≤ x < 2n+1 hay 1 ≤ 2−nx < 2. Tu lap luan nay, ta suy ra đuoc phan nguyen cua logarit la n va phan thap phan la log2(2−nx). Noi cach khac:

  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        n
        +
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        
        
          voi 
        
        y
        =
        
          2
          
            −
            n
          
        
        x
        
           va 
        
        y
        ∈
        [
        1
        ,
        2
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \log _{2}x=n+\log _{2}y\quad {\text{voi }}y=2^{-n}x{\text{ va }}y\in [1,2).}
  

Voi so thuc dau phay đong, phan nguyen la so mu dau phay đong, con đoi voi so nguyen thi no đuoc xac đinh bang cach thuc hien phep toan đem so bit 0 đung truoc.
Phan thap phan cua ket qua thu đuoc la log2 y va co the đuoc tinh chi bang phep lap cung cac phep nhan va phep chia co ban. Thuat toan tinh phan thap phan co the đuoc mo ta bang ma gia nhu sau:

Bat đau voi mot so thuc y thuoc nua khoang [1, 2). Neu y = 1 thi thuat toan ket thuc va phan thap phan bang 0.
Nguoc lai, binh phuong y lap lai đen khi ket qua z thuoc nua khoang [2, 4). Goi m la so lan binh phuong can thuc hien. Khi đo z = y2m voi m la gia tri sao cho z thuoc [2, 4).
Lay logarit nhi phan cho ca hai ve roi bien đoi đai so:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  log
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                z
              
              
                
                =
                
                  2
                  
                    m
                  
                
                
                  log
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                y
              
            
            
              
                
                  log
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                y
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        log
                        
                          2
                        
                      
                      ⁡
                      z
                    
                    
                      2
                      
                        m
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      1
                      +
                      
                        log
                        
                          2
                        
                      
                      ⁡
                      (
                      z
                      
                        /
                      
                      2
                      )
                    
                    
                      2
                      
                        m
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  2
                  
                    −
                    m
                  
                
                +
                
                  2
                  
                    −
                    m
                  
                
                
                  log
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                (
                z
                
                  /
                
                2
                )
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\log _{2}z&=2^{m}\log _{2}y\\\log _{2}y&={\frac {\log _{2}z}{2^{m}}}\\&={\frac {1+\log _{2}(z/2)}{2^{m}}}\\&=2^{-m}+2^{-m}\log _{2}(z/2).\end{aligned}}}
  

Mot lan nua z/2 la so thuc trong nua khoang [1, 2). Tro lai buoc 1 va tinh logarit nhi phan cua z/2 theo cach tren.

Ket qua cuoi cung đuoc bieu dien bang cac cong thuc đe quy sau voi mi la so lan binh phuong trong vong lap thu i cua thuat toan:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  log
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                n
                +
                
                  2
                  
                    −
                    
                      m
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      2
                      
                        −
                        
                          m
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    
                      (
                      
                        1
                        +
                        
                          2
                          
                            −
                            
                              m
                              
                                3
                              
                            
                          
                        
                        
                          (
                          
                            1
                            +
                            ⋯
                          
                          )
                        
                      
                      )
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                n
                +
                
                  2
                  
                    −
                    
                      m
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                +
                
                  2
                  
                    −
                    
                      m
                      
                        1
                      
                    
                    −
                    
                      m
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                +
                
                  2
                  
                    −
                    
                      m
                      
                        1
                      
                    
                    −
                    
                      m
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    
                      m
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                +
                ⋯
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\log _{2}x&=n+2^{-m_{1}}\left(1+2^{-m_{2}}\left(1+2^{-m_{3}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\\&=n+2^{-m_{1}}+2^{-m_{1}-m_{2}}+2^{-m_{1}-m_{2}-m_{3}}+\cdots \end{aligned}}}
  

Trong truong hop đac biet khi phan thap phan o buoc 1 đuoc xac đinh la bang 0, đo la mot chuoi huu han ket thuc tai mot so hang nao đo. Nguoc lai, đo la mot chuoi vo han hoi tu theo dau hieu d'Alembert vi moi so hang luon nho hon so hang lien truoc (do mi > 0). Khi ung dung thuc te, phai cat ngan đi chuoi vo han nay đe đat ket qua gan đung. Neu chuoi dung lai o so hang thu i thi sai so trong ket qua la nho hon 2−(m1 + m2 + ... + mi).


= Trong thu vien phan mem =
Ham log2 la mot ham toan hoc nam trong thu vien chuan cua ngon ngu C. Dang mac đinh cua ham nay yeu cau đoi so voi đo chinh xac kep (kieu double) nhung mot so dang khac cua ham cho phep đoi so co đo chinh xac đon (kieu float) hoac đo chinh xac kep mo rong (kieu long double). Trong MATLAB, đoi so cua ham log2 co the la so am, va trong truong hop nay thi đau ra cua ham la mot so phuc.


Ghi chu Tham khao Lien ket ngoai Weisstein, Eric W., "Binary Logarithm", MathWorld.
Anderson, Sean Eron (ngay 12 thang 12 nam 2003), "Find the log base 2 of an N-bit integer in O(lg(N)) operations", Bit Twiddling Hacks, Stanford University, truy cap ngay 23 thang 8 nam 2020
Feynman and the Connection Machine