Trong toan hoc va thong ke, bien ngau nhien (Tieng Anh: random variable) la mot anh xa toan hoc voi đac điem la no gan mot gia tri cho ket qua đau ra cua mot phep thu ngau nhien. Trong mot phep thu ngau nhien, đau ra cua no co the la gia tri so hoac khong phai. Vi du phep thu ngau nhien la tung mot đong xu len va xet mat nao cua đong xu o phia tren, thi ket qua đau ra co the la {sap, ngua} (đau ra khong phai la so). Vi du phep thu ngau nhien la tung con suc sac va xem mat nam phia tren la co may cham, thi ket qua đau ra co the la {1,2,3,4,5,6} (đau ra la so). Tuy nhien, trong cac ung dung cua thong ke, nguoi ta muon moi đau ra đeu gan voi mot đai luong đo đac đuoc, hay con goi la thuoc tinh co gia tri la so. Đe thuc hien đieu nay, nguoi ta đinh ra bien ngau nhien đe anh xa moi đau ra cua mot phep thu ngau nhien voi mot gia tri so. Bien ngau nhien co hai loai chinh bao gom bien ngau nhien lien tuc va bien ngau nhien roi rac.

  
    
      
        X
        (
        ζ
        )
        =
        x
        
      
    
    {\displaystyle X(\zeta )=x\;}
  
voi 
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
 la đai dien cho đau ra cua mot thuc nghiem, 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 la mot so thuc, X la ham anh xa (hay la bien ngau nhien). Vi the, nguoi ta con goi X la bien ngau nhien gia tri thuc (real-valued random variable).


Cac đinh nghia = Bien ngau nhien =
Mot so nguoi cho rang goi ten bien ngau nhien la mot su nham lan, do mot bien ngau nhien khong phai la mot bien ma la mot ham so anh xa cac bien co toi cac so. Cho A la mot σ-đai so va Ω la khong gian cac bien co lien quan toi thuc nghiem đang đuoc tien hanh. Trong vi du tha suc sac, khong gian cac bien co chinh la cac ket qua co the cua mot lan tha, nghia la Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, va A se la tap luy thua cua Ω.  Trong truong hop nay, mot bien ngau nhien thich hop co the la ham đong nhat (identity function) X(ω) = ω, sao cho neu ket qua la nhat thi bien ngau nhien cung se bang 1. Mot vi du cung đon gian nhung it tam thuong hon la viec tung đong xu: mot khong gian thich hop cho cac bien co co the la Ω = {S, N} (S: sap, N: ngua), va A cung lai bang tap luy thua cua Ω. Mot trong so nhieu bien ngau nhien co the đuoc đinh nghia tren khong gian nay la

  
    
      
        X
        (
        ω
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  ω
                  =
                  
                    
                      N
                    
                  
                  ,
                
              
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  ω
                  =
                  
                    
                      S
                    
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle X(\omega )={\begin{cases}0,&\omega ={\texttt {N}},\\1,&\omega ={\texttt {S}}.\end{cases}}}
  

Mot bien ngau nhien đuoc đinh nghia nhu la mot ham đo đuoc (measurable function) tu mot khong gian xac suat toi mot khong gian đo đuoc nao đo. Khong gian đo đuoc nay la mot khong gian cua cac gia tri co the cua bien, va no thuong đuoc lay la cac so thuc voi Borel σ-đai so. Phan con lai cua bai nay su dung gia thuyet đo, tru khi đuoc chi ro.
Cho khong gian xac suat (Ω, A, P). Mot ham X: Ω → R la mot bien ngau nhien gia tri thuc neu voi moi tap con Ar = { ω: X(ω) ≤ r } trong đo r ∈ R, ta cung co Ar ∈ A. Đinh nghia nay co tam quan trong o cho no cho phep ta xay dung ham phan bo cua bien ngau nhien.


= Cac ham phan bo =
Neu cho truoc mot bien ngau nhien 
  
    
      
        X
        :
        Ω
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }
  
 xac đinh tren khong gian xac suat 
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        P
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,P)}
  
, ta co the đat cac cau hoi nhu "Kha nang gia tri cua 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 lon hon 2 la bao nhieu?". Đo chinh la xac suat cua bien co 
  
    
      
        {
        s
        ∈
        Ω
        :
        X
        (
        s
        )
        >
        2
        }
      
    
    {\displaystyle \{s\in \Omega :X(s)>2\}}
  
, thuong đuoc viet gon la 
  
    
      
        P
        (
        X
        >
        2
        )
      
    
    {\displaystyle P(X>2)}
  
.
Viec ghi nhan tat ca cac xac suat nay cua cac khoang bien thien ket qua cua mot bien ngau nhien gia tri thuc X cho ra phan bo xac suat cua X. Phan bo xac suat "bo quen" khong gian xac suat đa đuoc dung đe đinh nghia X va chi ghi nhan cac xac suat cua cac gia tri cua X. Bao gio cung co the mo ta mot phan bo xac suat nhu vay bang ham phan bo tich luy cua no.

  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
        (
        x
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        X
        ≤
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}
  

va đoi khi con dung mot ham mat đo xac suat. Theo thuat ngu ly thuyet đo đo, ta su dung bien ngau nhien X đe "đay" (push-forward) đo đo P tren Ω toi mot đo đo dF tren R.
Khong gian xac suat Ω la mot thiet bi ky thuat đe đam bao su ton tai cua cac bien ngau nhien, va đoi khi đe xay dung chung. Trong thuc te, nguoi ta thuong bo qua khong gian Ω va chi đat mot đo đo len R ma đo đo nay gan so đo bang 1 cho toan bo đuong so thuc, nghia la nguoi ta lam viec voi phan bo xac suat thay vi cac bien ngau nhien.


Ham cua cac bien ngau nhien Neu ta co mot bien ngau nhien X tren Ω va mot ham đo đuoc (measurable function) f: R → R, thi Y = f(X) cung la mot bien ngau nhien tren Ω, do hop cua cac ham đo đuoc cung la mot ham đo đuoc. Co the su dung quy trinh cho phep đi tu mot khong gian xac suat (Ω, P) toi (R, dFX) đe thu đuoc phan bo cua Y. Ham phan bo tich luy cua Y la

  
    
      
        
          F
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        f
        (
        X
        )
        ≤
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (f(X)\leq y).}
  


= Vi du =
Cho X la mot bien ngau nhien lien tuc gia tri thuc va Y = X2. Khi đo,

  
    
      
        
          F
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        
          X
          
            2
          
        
        ≤
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}
  

Neu y < 0, thi P(X2 ≤ y) = 0, do đo

  
    
      
        
          F
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        0
        
        
          
            if
          
        
        
        y
        <
        0.
      
    
    {\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}
  

Neu y ≥ 0, thi

  
    
      
        P
        ⁡
        (
        
          X
          
            2
          
        
        ≤
        y
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ≤
        
          
            y
          
        
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        −
        
          
            y
          
        
        ≤
        X
        ≤
        
          
            y
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}
  

do đo

  
    
      
        
          F
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        
          F
          
            X
          
        
        (
        
          
            y
          
        
        )
        −
        
          F
          
            X
          
        
        (
        −
        
          
            y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})}
  
    neu  
  
    
      
        y
        ≥
        0.
      
    
    {\displaystyle y\geq 0.}
  


Cac tham so đac trung cua bien ngau nhien Đoi voi mot bien ngau nhien neu đa xac đinh đuoc quy luat phan phoi cua no thi xem nhu ta đa 
nam đuoc toan bo thong tin ve bien ngau nhien đo. Tuy nhien trong thuc te ta khong the nam bat đuoc tung gia tri rieng cua bien ngau nhien. Mot yeu cau rat tu nhien đuoc đat ra la phai co
gia tri đai dien phan anh tung phan cua bien ngau nhien.
Ta co the phan loai cac tham so đac trung nhu sau:
- Cac tham so đac trung cho xu huong trung tam cua bien ngau nhien: ky vong toan (expected value), trung vi (median), mot (mode),...
- Cac tham so đac trung cho đo phan tan cua bien ngau nhien: phuong sai, đo lech chuan, he so bien thien, gia tri toi han, momen (moment)...
- Cac tham so đac trung cho dang phan phoi xac suat; he so bat đoi xung (skewness), he so nhon (kurtosis),...


= Ki vong toan =
Tham khao bai chinh Ki vong toan
1. Đinh nghia
- Bien ngau nhien roi rac: Gia su bien ngau  nhien  roi rac X nhan mot trong cac gia tri co the co 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
  
 voi xac suat tuong ung 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        ,
        
          p
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1},p_{2},...,p_{n}}
  
. Ki vong toan cua bien ngau nhien roi rac X, ky hieu E(X) la tong cac tich giua cac gia tri co the co cua bien ngau nhien voi cac xac suat tuong ung:

  
    
      
        E
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle E(X)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}}
  

- Bien ngau nhien lien tuc: Neu X la bien ngau nhien lien tuc voiham mat đo xac suat f(x) thi ki vong toan E(X) đuoc xac đinh bang bieu thuc:

  
    
      
        E
        (
        X
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        x
        f
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle E(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx}
  

2. Cac tinh chat cua ky vong toan
- Tinh chat 1: E(C) = C; C = const
- Tinh chat 2: E(CX) = C.E(X); C = const
- Tinh chat 3: Voi X va Y la 2  bien ngau nhien bat ky thi:

  
    
      
        E
        (
        X
        +
        Y
        )
        =
        E
        (
        X
        )
        +
        E
        (
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)}
  

- Tinh chat 4: Voi X va Y la 2 bien ngau nhien đoc lap thi:

  
    
      
        E
        (
        X
        .
        Y
        )
        =
        E
        (
        X
        )
        .
        E
        (
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle E(X.Y)=E(X).E(Y)}
  

3. Ban chat va y nghia cua ki vong toan
- Ban chat: Ki vong toan la trung binh theo nghia xac suat cua bien ngau nhien.
- Y nghia: ki vong toan phan anh gia tri trung tam cua phan phoi xac suat cua bien ngau nhien.
4. Ung dung thuc te cua ki vong toan
Trong kinh doanh va quan ly kinh te, ki vong toan đuoc xem nhu la mot tieu chuan đe ra quyet đinh trong tinh huong can lua chon nhieu chien luoc kinh doanh  khac nhau. tieu chuan nay thuong đuoc goi la loi nhuan ki vong hay doanh so ki vong.


= Phuong sai =
Tham khao bai chinh Phuong sai
1. Đinh nghia
Phuong sai cua bien ngau nhien X, ky hieu V(X), la ky vong toan cua binh phuong sai lenh cua bien ngau nhien so voi ki vong toan cua no.

  
    
      
        V
        (
        X
        )
        =
        E
        [
        X
        −
        E
        (
        X
        )
        
          ]
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V(X)=E[X-E(X)]^{2}}
  

Ta co the bien đoi nhu sau:

  
    
      
        V
        (
        X
        )
        =
        E
        [
        X
        −
        E
        (
        X
        )
        
          ]
          
            2
          
        
        =
        E
        [
        
          X
          
            2
          
        
        −
        2
        X
        .
        E
        (
        X
        )
        +
        (
        E
        (
        X
        )
        
          )
          
            2
          
        
        ]
        =
        E
        (
        
          X
          
            2
          
        
        )
        −
        E
        (
        2
        X
        .
        E
        (
        X
        )
        )
        +
        E
        (
        E
        (
        X
        )
        
          )
          
            2
          
        
        =
        E
        (
        
          X
          
            2
          
        
        )
        −
        2
        E
        (
        X
        )
        .
        E
        (
        X
        )
        +
        E
        (
        E
        (
        X
        )
        
          )
          
            2
          
        
        =
        E
        (
        
          X
          
            2
          
        
        )
        −
        [
        E
        (
        X
        )
        
          ]
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V(X)=E[X-E(X)]^{2}=E[X^{2}-2X.E(X)+(E(X))^{2}]=E(X^{2})-E(2X.E(X))+E(E(X))^{2}=E(X^{2})-2E(X).E(X)+E(E(X))^{2}=E(X^{2})-[E(X)]^{2}}
  

+ Neu X la bien ngau nhien roi rac:

  
    
      
        V
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          x
          
            i
          
          
            2
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        −
        [
        E
        (
        X
        )
        
          ]
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V(X)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}-[E(X)]^{2}}
  

+ Neu X la  bien ngau nhien lien tuc:

  
    
      
        V
        (
        X
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        −
        [
        E
        (
        X
        )
        
          ]
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx-[E(X)]^{2}}
  

2. Cac tinh chat cua phuong sai
- Tinh chat 1: V(C) = 0; C = const
- Tinh chat 2:
  
    
      
        V
        (
        C
        X
        )
        =
        
          C
          
            2
          
        
        V
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle V(CX)=C^{2}V(X)}
  
, C = const
- Tinh  chat 3: Voi X va  Y la hai bien ngau nhien đoc lap thi

  
    
      
        V
        (
        X
        +
        Y
        )
        =
        V
        (
        X
        )
        +
        V
        (
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)}
  

  
    
      
        V
        (
        X
        −
        Y
        )
        =
        V
        (
        X
        )
        +
        V
        (
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle V(X-Y)=V(X)+V(Y)}
  

3. Ban chat va y nghia cua phuong sai
- Ban chat: Phuong sai la trung binh so hoc cua binh phuong cac sai lenh giua cac gia tri quan  sat cua bien ngau nhien so voi gia tri quan sat cua bien ngau nhien so voi gia tri trung binh cua cac gia tri đo.
- Y nghia: Phuong sai phan anh muc đo phan tan cua cac  gia tri cua bien ngau nhien so voi gia tri trung tam la ky vong toan. Phuong sai cang nho thi cac gia tri cang tap trung o  gan gia tri trung tam.
4. Ung dung thuc te cua phuong sai
+ Trong ky thuat: Phuong sai đac trung cho sai so cua  thiet bi, chi tiet gia cong so voi kich thuoc tieu chuan
+ Trong linh vuc  kinh te: Phuong sai đac trung cho muc đo rui ro cua cac  quyet đinh.


= Momen =
Phan bo xac suat cua mot bien ngau nhien thuong đuoc đac trung boi mot so cac tham so, cac tham so nay cung co mot cach hieu thuc dung. Vi du, trong nhieu truong hop, biet "gia tri trung binh" cua bien ngau nhien la đu. Gia tri nay đuoc the hien boi khai niem toan hoc gia tri ky vong cua mot bien ngau nhien, đuoc ky hieu la E[X]. Luu y rang, noi chung, E[f(X)] khac voi f(E[X]). Mot khi đa biet đuoc "gia tri trung binh", nguoi ta co the đat cau hoi cai gia tri trung binh nay cach bao xa đoi voi cac gia tri đien hinh cua X, cau hoi nay đuoc tra loi boi cac khai niem phuong sai va đo lech tieu chuan cua mot bien ngau nhien.
Trong toan hoc, bai toan (mo rong) ve cac momen (generalised problem of moments) đuoc phat bieu nhu sau: cho truoc mot lop gom cac bien ngau nhien X, tim mot tap hop {fi} gom cac ham sao cho cac gia tri ky vong E[fi(X)] đac trung đay đu cho phan bo cua bien ngau nhien X.


Tinh tuong đuong cua cac bien ngau nhien Cac bien ngau nhien co the đuoc coi la tuong đuong theo mot so nghia. Hai bien ngau nhien co the bang nhau, gan nhu bang nhau, trung binh bang nhau, hoac phan phoi bang nhau.
Đinh nghia chinh xac cua cac khai niem tren đuoc cho duoi đay theo thu tu tang dan ve đo manh.


= Phan phoi bang nhau =
Hai bien ngau nhien 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 va 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 co phan phoi bang nhau neu chung co cac ham phan phoi tich luy giong nhau:

  
    
      
        P
        ⁡
        (
        X
        ≤
        x
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        Y
        ≤
        x
        )
        ,
        
        ∀
        x
        ∈
        
          R
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x),\quad \forall x\in \mathbb {R} .}
  

Hai bien ngau nhien co cac ham sinh momen bang nhau thi co phan phoi bang nhau.
Đe co phan phoi bang nhau, cac bien ngau nhien khong nhat thiet đuoc đinh nghia tren cung mot khong gian xac suat.
Khai niem phan phoi tuong đuong co quan he voi khai niem duoi đay ve khoang cach giua hai phan phoi xac suat,

  
    
      
        d
        (
        X
        ,
        Y
        )
        =
        
          sup
          
            x
            ∈
            
              R
            
          
        
        
          |
        
        P
        ⁡
        (
        X
        ≤
        x
        )
        −
        P
        ⁡
        (
        Y
        ≤
        x
        )
        
          |
        
        ,
      
    
    {\displaystyle d(X,Y)=\sup _{x\in \mathbb {R} }|\operatorname {P} (X\leq x)-\operatorname {P} (Y\leq x)|,}
  

khoang cach nay co lien quan đen thu nghiem Kolmogorov-Smirnov.


= Gia tri trung binh bang nhau =
Hai bien ngau nhien 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 va 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 la bang nhau theo trung binh thu 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 neu momen thu 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 cua 
  
    
      
        
          |
        
        X
        −
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X-Y|}
  
 bang 0,  nghia la

  
    
      
        E
        ⁡
        (
        
          |
        
        X
        −
        Y
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \operatorname {E} (|X-Y|^{p})=0.}
  

Bang nhau voi trung binh thu 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 suy ra bang nhau voi trung binh thu 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 voi moi 
  
    
      
        q
        <
        p
      
    
    {\displaystyle q<p}
  
. Cung nhu trong truong hop truoc, khai niem nay co lien quan đen khoang cach theo trung binh thu 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 giua cac bien ngau nhien, đo la

  
    
      
        
          d
          
            p
          
        
        (
        X
        ,
        Y
        )
        =
        E
        ⁡
        (
        
          |
        
        X
        −
        Y
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle d_{p}(X,Y)=\operatorname {E} (|X-Y|^{p}).}
  


= Bang nhau hau chac chan =
Hai bien ngau nhien 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 va 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
  tren cung mot khong gian xac suat 
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            F
          
        
        ,
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\text{P}})}
  
 goi la bang nhau hau chac chan khi va chi khi xac suat chung khac nhau la bang 0:

  
    
      
        P
        ⁡
        (
        X
        =
        Y
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        {
        ω
        :
        X
        (
        ω
        )
        =
        Y
        (
        ω
        )
        }
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=\operatorname {P} (\{\omega :X(\omega )\neq Y(\omega )\})=0.}
  

Đieu nay cung tuong đuong voi  
  
    
      
        P
        ⁡
        (
        X
        =
        Y
        )
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle \operatorname {P} (X=Y)=1.}
  


= Bang nhau =
Cuoi cung, hai bien ngau nhien tren cung mot khong gian xac suat 
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            F
          
        
        ,
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\text{P}})}
  
 goi la bang nhau neu chung bang nhau voi vai tro cac ham so tren khong gian xac suat cua chung, nghia la,

  
    
      
        X
        (
        ω
        )
        =
        Y
        (
        ω
        )
        ,
        
        ∀
        ω
        ∈
        Ω
        .
      
    
    {\displaystyle X(\omega )=Y(\omega ),\quad \forall \omega \in \Omega .}
  


Su hoi tu cua day cac bien ngau nhien Mot day 
  
    
      
        (
        
          X
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X_{n})}
  
 gom cac bien ngau nhien co the hoi tu thanh mot bien ngau nhien 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 theo nhieu nghia khac nhau. Nhung kieu đo đuoc giai thich trong bai su hoi tu cua cac bien ngau nhien.
Cac ket qua trong thong ke toan hoc dua vao viec chung minh su hoi tu đoi voi mot so day bien ngau nhien nhat đinh. Mot trong nhung đinh luat hoi tu quan trong nhat đo la luat so lon va đinh ly gioi han trung tam.


Tham khao ^  Kay, Steven 2006 Intuitive probability and Random Processes using Matlab . Springer.
^  Papoulis, Athanasios 1965 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo, 9th edition, ISBN 0-07-119981-0.


Xem them Bien ngau nhien roi rac
Bien ngau nhien lien tuc
Phan bo xac suat
Bien co (ly thuyet xac suat)
Tinh ngau nhien
Vecto ngau nhien
Ham ngau nhien
Ham sinh (generating function)
Ly thuyet thong tin thuat toan (Algorithmic information theory)


Lien ket ngoai Random variable tai trang PlanetMath.org.